Автор: Кларнер Д.А.
Теги: этика учение о морали практическая философия математика занимательная математика
Год: 1983
Текст
ТНЕ МАТНЕМАТ1СА1,
СА№ЫЕК
есШес! Ьу
ЭАУЮ А. КХАККЕК
РпгкПе, АУеЬег аш! 8сИт1йГ \Уас15ТООг111 1пкгпа1юпа1
Во$1оп, Ма5$асЬизеи5 Ве1топ1, СаПГогта
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ЦВЕТНИК
СБОРНИК СТАТЕЙ И ЗАДАЧ
Составитель и редактор
Дэвид А. Кларнер
Перевод с английского
Ю. А. ДАНИЛОВА
под редакцией
д-ра физ.-мат. наук, проф.
И. М. Я Г ЛОМА
МОСКВА «МИР» 1983
ББК 22.1
М12
УДК 17.2.1
Авторы: Р. К. Тай, Н. Г. де Брейн, К. Берж
и др.
Математический цветник/ Сост. и ред.
М12 Д. А. Кларнер; Пер. с англ. Данилова Ю. А.;
Под ред., с предисл. и прилож. И. М. Яглома.—
М.: Мир, 1983.—494 с, ил.
Настоящий сборник статей и задач по занимательной математике
составлен специалистами из США, Англии, Канады и ряда других
стран. Посвящен 65-летию со дня рождения всемирно известного
американского популяризатора математики Мартина Гарднера. Книгу
отличают многообразие и оригинальность постановки математических
проблем, высокая научная компетентность авторов.
Представляет интерес для достаточно подготовленных читателей,
увлекающихся математикой, а также для математиков-профгссноналов.
1702010000-368 ББК 22.1
М 041 (01)-82 171"83' Ч' ! 17.2.1
Редакция научно-популярной
и научно-фантастической литературы
© СорупбМ 1981 Ьу ^аа^ог^п 1п1егла1юпа1 10 ОаУ15
Бпуе, Ве1топ1, СаШогш'а
© Перевод на русский язык, Приложение, «Мир», 1983
Предисловие редактора перевода
Американское издание книги вышло в свет в связи
с 65-летием известного популяризатора математики Мар-
тина Гарднера, хорошо знакомого русскому читателю
по целому ряду его книг и статей (см. список в конце
предисловия). Форма такого рода изданий, приурочен-
ных к юбилею того или иного выдающегося лица или
к какому-либо другому торжественному дню, достаточно
обычна в западной, да и в отечественной научной ли-
тературе. В истории математики навсегда осталась па-
мять о томе, выпущенном Гёттингенским научным обще-
ством по поводу открытия в 1899 г. в Гёттингене памятни-
ка КЛФ. Гауссу и В. Веберу и состоявшем всего из двух
статей: Д. Гильберт «Основания геометрии» и Е. Вихерт
«Основание электродинамики» (бессмертным этот том сде-
лала его первая часть, впоследствии выдержавшая бес-
счетное число переизданий почти на всех языках мира).
В списке дополнительной литературы в конце настоя-
щей книги читатель найдет ссылки на тома, посвященные
юбилеям двух ее авторов: 70-летию Г. С. М. Коксетера
и 60-летию У. Т. Татта. И своеобразие настоящей книги,
отличие ее от всех других в значительной степени свя-
зано лишь с определенной уникальностью того лица,
которому этот том посвящен.
Советскому читателю известны многие зарубеж-
ные выдающиеся популяризаторы математики, пере-
воды книг которых он имел возможность читать: Ганс
Радемахер и Отто Теплиц, авторы книги «Числа и фи-
гуры» (последнее русское издание — М.: Наука, 1966);
Рихард Курант и Герберт Роббинс, авторы обстоятель-
ного сочинения «Что такое математика?» (последнее рус-
ское издание — М.: Просвещение, 1967); Дьердь Пойя, в
замечательных книгах которого «Математика и правдо-
подобные рассуждения» (последнее русское издание —
М.: Мир, 1975) и «Математическое открытие» (последнее
русское издание — М.: Наука, 1977) глубоко анализи-
руется сущность исследовательской работы в области
математики на любом, в том числе и на школьном, уров-
5
не. Однако всех этих авторов никак нельзя назвать про-
фессиональными популяризаторами — это известные уче-
ные, которые создавали свои научно-популярные тру-
ды, так сказать, «в свободное от основной работы время».
По-иному сложилась судьба Мартина Гарднера. Ка-
жется даже удивительным, что этот человек, глубоко
уважаемый всем математическим миром, всем междуна-
родным математическим содружеством, никогда не вел
серьезной математической работы в области математи-
ки — он не имел никаких ученых степеней (и даже, как
будто, не получил законченного высшего математического
образования),— и в науке после него не останется
ни одной «теоремы Гарднера». Но Мартин Гарднер оста-
вит миру нечто иное, возможно, гораздо более ценное:
неисчислимое множество людей, которых именно ему
удалось заинтересовать математикой и побудить к серь-
езной работе в этой области.
У меня нет ни малейшего сомнения в том, что при
своих ярких математических способностях и обостренном
научном эстетическом чутье, при изобретательности и
остроумии, умении ценить чужие результаты и личной
научной инициативе, в полной мере проявляющихся
во всех его публикациях, Гарднер вполне мог бы стать
серьезным ученым-математиком. Однако он избрал дру-
гой путь — путь популяризатора математической науки.
И здесь Гарднер в полной мере является профессионалом.
Более двадцати лет Мартин вел рубрику «Математи-
ческие игры» (Ма1ЬетаИса1 (Зате$) в широко извест-
ном американском научно-популярном журнале 5с1-
еп1Шс Атепсап *, и в каждом номере этого ежемесяч-
ника появлялись подготовленные им статьи. Нетрудно
представить себе, какого титанического труда требовала
работа над этой рубрикой от составителя; более подроб-
ное описание характера этой работы читатель найдет в
настоящей книге, в статье Дорис Шаттшнайдер «Хвала
любителям».
21 октября 1979 г. Мартину Гарднеру исполнилось
65 лет. Юбилей Гарднера его друзья и поклонники ре-
шили ознаменовать изданием сборника посвященных ему
статей, перевод которого и лежит сейчас перед вами,
* С января 1983 г. этот журнал выходит в переводе на рус-
кий язык под названием «В мире науки».
6
читатель. Оригинальное название этой книги «ТЬеМа1Ье-
таИса! Оагёпег», обыгрывающее сходство фамилии
«героя» книги со словом ^агйепег (садовник), на русский
язык в буквальном смысле непереводимо — принятое
нами название «Математический цветник» передает смысл
английского заголовка лишь частично. Условия, в ко-
торых создавалась книга, описаны в предисловии ее ре-
дактора-составителя Дэвида А. Кларнера. Эти условия,
как и спешка, вызванная стремлением выпустить книгу
ко дню рождения юбиляра (что, впрочем, так и не уда-
лось осуществить!), определили некоторую разнопла-
новость и пестроту предлагаемого читателю, безусловно,
яркого и интересного сборника, статьи которого имеют
разную степень трудности, разный стиль и характер.
Совсем не обязательно читать все статьи сборника
подряд — каждый читатель может выбрать в нем те
статьи, которые ближе ему по теме и уровню трудности.
Стремясь облегчить читателю пользование книгой, мы
дополнили ее Приложением, содержащим комментарии к
отдельным статьям и целым темам, затронутым в сбор-
нике, а также список дополнительной литературы. В При-
ложение включены также краткие сведения об авторах
сборника, многие из которых являются всемирно извест-
ными учеными с громкими именами и авторами книг и
статей, уже ранее переведенных на русский язык.
В заключение мне хочется выразить благодарность
одному из авторов книги — моему коллеге Бранко Грюн-
бауму (США) за присылку использованных в коммента-
риях материалов.
КНИГИ И СТАТЬИ ГАРДНЕРА,
ИЗДАННЫЕ НА РУССКОМ ЯЗЫКЕ
А. Книги
1. Математические чудеса и тайны (последнее, 3-е изд.).— М.:
Наука, 1977.
2. Математические головоломки и развлечения.— М.: Мир, 1971.
3. Математические досуги.— М.: Мир, 1972.
4. Математические новеллы.— М.: Мир, 1974.
5. Есть идея! — М.: Мир, 1982.
6. Теория относительности для миллионов (последнее, 3-е изд.).—
М.: Атомиздат, 1979.
7. Этот правый, левый мир.— М.: Мир, 1967.
7
Б. Статьи и публикации
8. Иерархия бесконечностей и проблемы, которые она создает.—
Математика в школе, 1969, № 2, с. 85—88.
9. Числа Каталана.—Квант, 1978, № 7, с. 20—26.
10. Предисловие к книге: Сэм Лойд, Математическая мозаика.—
М.: Мир, 1980, с. 7—11.
11. Примечания к сказкам Льюиса Кэрролла — в кн.: Кэрролл Л.
Алиса в стране чудес. Алиса в Зазеркалье.— М.: Наука, 1978,
с. 9—100 и 107—227. Обстоятельные, яркие примечания Гардне-
ра (иногда одно примечание занимает несколько страниц петита)
к этому изданию вполне можно рассматривать как самостоятель-
ные публикации.
12. Аннотированная «Алиса». Введение к книге Л. Кэрролла (см.
[11]), с. 250—258.
13. Нульсторонний профессор.— В кн.: Трудная задача.—М.:
Мир, 1982, с. 121 — 136.
14. Остров пяти красок.—В кн.: Трудная задача.— М.: Мир,
1982, с. 136—157.
Ряд статей М. Гарднера был опубликован в разные годы в журна-
лах «Наука и жизнь», «Знание — сила» и других научно-популярных
изданиях, но по существу они перекрываются изданными позже
книгами Гарднера.
Я, М. Ягяом
От составителя сборника
Настоящий сборник статей посвящен Мартину Гард-
неру — замечательному популяризатору математики.
Каждая статья сборника относится к одной более или
менее узкой теме, тогда как интересы Гарднера и его
работы необычайно разносторонни. Поразмыслив, мы
решили назвать свой сборник «Математический цвет-
ник» в надежде, что когда-нибудь появятся и другие
«цветники» — литературный, философский, физический.
Такой выбор названия таит в себе намек на каламбур,
так как фамилия Оагйпег близка к английскому слову
^агйепег — садовник. В мировом содружестве математи-
ков Мартин Гарднер действительно играет роль садов-
ника, который бережно выращивает в своем саду удиви-
тельные цветы. Авторы сборника составляют лишь ма-
лую часть того поистине необъятного множества мате-
матиков, деятельность которых в немалой степени сти-
мулировалась публикацией их результатов или близких
им идей в руководимом Мартином Гарднером разделе
«Математические игры» журнала ЗаепИПс Атепсап.
Мартин Гарднер — это не просто журналист, который
пишет на математические темы: он объединяет и связы-
вает читателей, предлагая им различные задачи, сооб-
щая ценную информацию и всячески поощряя их твор-
ческую деятельность. Роль Мартина Гарднера в попу-
ляризации науки — порою незаметная, скрытая — чрез-
вычайно велика и заслуживает огромной признатель-
ности.
При составлении сборника особую помощь мне ока-
зали два человека: Рональд Грэхэм и Дональд Кнут не
только выступили здесь как авторы статей, но и привлекли
к участию в сборнике многих других математиков. Наш
проект создания сборника осуществлялся в глубокой
тайне, и поэтому мы вынуждены были подбирать авто-
ров главным образом на основе личных контактов, а
не путем открытого призыва присылать нам свои работы.
В этой связи я приношу извинения всем тем, кто, желая
принять участие в сборнике, не получил возможности
9
сделать это. В свое оправдание замечу, что публичный
призыв к участию в юбилейном сборнике не только ли-
шил бы его характера сюрприза, но и вызвал бы такой
обильный поток материалов, в котором составители сбор-
ника наверняка бы захлебнулись.
Мне хотелось бы поблагодарить всех тех, кто разде-
лил со мной тяготы создания книги, прежде всего Дина
Хоффмана. Многие из его идей реализованы в отредак-
тированных им статьях. Благодаря его поддержке мне
удалось довести наш проект до успешного завершения,
несмотря на то что издательская деятельность отнимала
слишком много времени от моей исследовательской ра-
боты. Я хотел бы также выразить искреннюю благодар-
ность моей жене за помощь и терпение. При подготовке
изданий такого рода приходится вести обширную пере-
писку — здесь просто неоценимой была помощь моего
секретаря Элизабет Ньютон. Наконец, я хотел бы выра-
зить глубокую признательность Сьюзен Грэхэм и дру-
гим сотрудникам издательства «Приндл, Вебер энд
Шмидт» (среди которых я особенно хотел бы отметить
Терон Шрив) за проявленный ими интерес к книге и не-
оценимую помощь.
Дэвид Л. Кларнер
1. Игры
1.1. Сыграем в тупинз?
Ричард А\ Тай
Тупинз (от англ. Т^тор1П5 — две кегли) — одна из
разновидностей игры в кегли. Играют в тупинз вдвоем,
кегли выстраивают колонками в ряд подобно тому, как
изображено на рис. 1. Каждая колонка состоит из одной
Рис. 1. Первоначальная расстановка кеглей при игре в тупинз.
или двух кеглей. Расстояния между колонками таковы,
что игрок, бросающий шар, может сбить любую отдель-
ную колонку или любые две соседние колонки. Если
сбита колонка из двух кеглей, то падают обе кегли.
После броска и перед броском противника сбитые кегли
снова не ставятся. Игра заканчивается, когда падает
последняя кегля, — и тот, кто ее собьет, объявляется
победителем. При хорошем броске должны упасть по
крайней мере две кегли — сбивать колонку, состоящую
только из одной кегли, не разрешается, поэтому игра
может закончиться, когда останутся стоять лишь разъе-
диненные (не соседние) одиночные кегли. Например,
бросая шар в начальной позиции, изображенной на
11
рис. 1, вы по правилам игры в тупинз имеете прайо
сбить любую колонку из двух кеглей (а, й, I и §*), но
вам не разрешается сбивать колонку из одной кегли
(Ь, су е и к): колонку из одной кегли можно сбивать
только вместе с соседней колонкой. Если вы, допустим,
сбили колонку йу то ваш противник не может сбить од-
ним броском колонки с и е, поскольку они не являются
соседними.
Тупинз — игра беспристрастная-, в любой позиции
оба игрока независимо от того, кому из них предстоит
бросать шар, могут сделать одни и те же ходы; этим она
отличается, скажем, от шахмат — игры пристрастной,
где в любой позиции возможные ходы черных отлича-
ются от ходов белых. Теория беспристрастных игр, в
которых побеждает тот, кто делает последний ход, извест-
на далеко не так широко, как она того заслуживает.
Ее независимо разработали Шпраг [21] и Гранди [12],
а впоследствии и другие математики. Создатели этой
теории установили, что каждая позиция в любой бес-
пристрастной игре имеет определенное ним-значение,
т. е. эквивалентна какой-то кучке фишек (пуговиц, ка-
мушков, бобов и т. д.) в известной игре ним [4, 2, 151.
Ним-значение позиции находится по весьма простому
правилу:
нужно образовать тех от ним-значений позиций,
которые возникают при всех допустимых ходах.
Мех (минимум исключенных значений — ппштит
ехс1ис1е<1 уа1ие) множества неотрицательных целых чисел
равен наименьшему неотрицательному целому числу,
не принадлежащему данному множеству. Например,
тех {5, 3, 0, 7, 1 }=2, а тех 0=0. Следовательно, ним-
значение конца игры (когда в игре невозможно сделать
ни одного хода и поэтому игра заканчивается) равно ну-
лю.
Важность ним-значения, или функции Шпрага —
Гранди, связана с тем обстоятельством, что все беспри-
страстные игры (точнее, все позиции во всех беспри-
страстных играх) образуют аддитивную абелеву (ком-
мутативную) группу. На самом деле аддитивную абе-
леву группу образуют все позиции всех (в том числе и
пристрастных) игр, в которых победу одерживает тот,
кто делает последний ход, но теория Шпрага — Гранди
применима только к подгруппе беспристрастных игр.
12
Сумма (или дизъюнктивная комбинация) двух или
большего числа позиций (не обязательно в одной и той
же игре) — это позиция в новой («составной») игре, полу-
чаемая объединением всех «позиций-компонент» со сле-
дующими правилами игры:
игрок, которому надлежит делать ход, выбирает одну
из игр-«слагаемыху> и делает ход по правилам этой игры.
Составная игра (игра-«сумма») заканчивается, когда
заканчиваются все игры-«слагаемые»,— и тот из игро-
ков, кто делает последний ход, оказывается в ней побе-
дителем. Нетрудно видеть, что такое «сложение» игр
ассоциативно и коммутативно.
Нулевым элементом нашей аддитивной группы, разу-
меется, служит конец игры; элементом, противоположным
любой позиции, можно считать ту же позицию, в которой
ход делает другой игрок. (В беспристрастных играх лю-
бая позиция противоположна самой себе.) Последнее
утверждение вытекает из того, что можно назвать прин-
ципом Твидлдума и Твидлди, с различными примерами
применения которого приходилось сталкиваться боль-
шинству людей: этот принцип декларирует возможность
победы с помощью симметричной стратегии — простого
повторения ходов противника.
Аддитивная группа беспристрастных игр, в которых
побеждает тот, кто делает последний ход, не только мате-
матически красива, но и важна, так как многие игры,
проводимые по обычным правилам, распадаются на сум-
мы отдельных игр. Например, ход при игре в тупинз
чаще всего разбивает ряд кеглей на два более коротких
ряда — и, делая следующий ход, игрок должен выбрать
один из новых рядов.
Основной результат теории Шпрага — Гранди бес-
пристрастных игр, в которых выигрывает тот, кто делает
последний ход, можно сформулировать в виде следую-
щей теоремы:
ним-значение суммы двух игр равно ним-сумме их ним-
значений.
Чтобы найти ним-сумму двух неотрицательных целых
чисел, нужно записать эти числа в двоичной системе
счисления и затем сложить их «по цифрам» без переноса
в старший разряд. Именно эту операцию применил Боу-
тон [4] в своей пионерской работе, посвященной анализу
игры ним (см. также [2, 15]). Теперь, когда мы распола-
13
' гаем теорией Шпрага — Гранди, нам ясно, что ним мож-
но рассматривать как архетип всех беспристрастных
игр: типичная позиция в игре ним есть дизъюнктивная
сумма позиций в «ним-играх», каждая из которых про-
водится с одной кучкой фишек.
Игра тупинз была открыта Элвином Берлекампом в
процессе весьма тонкого анализа ([3], гл. 16) известной
игры «точки и клетки» (или «точки и квадраты») [10].
Эта игра, для которой необходимы только листок бу-
маги и карандаш, охватывает как частные случаи такие
игры, как кегли [8, 19, 9] и кегли Доусона [6, 7], описа-
ние которых будет дано ниже и математический анализ
которых также известен. Гай и Смит [14] исследовали
обширный класс игр типа «взять и разбить», где исполь-
зуются ряды или кучки фишек. Все эти игры можно
назвать восьмеричными, поскольку их правила допуска-
ют описание с помощью кодового названия в восьме-
ричной системе
где с/0=0 или 4 (значение с?0=4 символизирует возмож-
ность разбить ряд или кучку на два непустых ряда или
две непустые кучки, не взяв при этом ни одной фишки) и
0<^г^7 при г^1. Смысл отдельных знаков кодовой
записи объясняется в табл. 1. Например, кодовое обо-
значение игры в кегли, описанной в книге Дьюдени [8],
и игры Рипа ван Винкля (датской игры, положившей
начало современной игре в кегли) Сэма Лойда [19, 9] —
0,77. Это — частный случай игры тупинз, где каждая
колонка состоит из двух кеглей. Правила такой игры
сформулировать очень просто: при каждом ходе надо
сбить либо 1 колонку, либо 2 соседние колонки.
Поводом для анализа восьмеричных игр послужила
задача, поставленная известным специалистом по «не-
традиционным шахматам» Т. Р. Доусоном [6, 7]. Мы
называем предложенную им игру шахматами Доусона.
Играют шахматами Доусона на шахматной доске с
3 горизонталями и п вертикалями (рис. 2). Белые и
черные пешки расставляются на первой и третьей го-
ризонталях. Игра ведется «на проигрыш» (или «в под-
давки»), т. е. взятие фигур обязательно, и тот, кто
делает последний ход, проигрывает. Тот, кто знает, как
ходит и бьет фигуры шахматная пешка, легко заме-
14
ТАБЛИЦА I
Смысл знаков йг восьмеричной кодовой записи игры
Игра с фишками,
выстроенными в ряды
Игра с кучками фишек
Не существует хода, при котором, следуя правилам
игры, можно было бы взять г фишек
Можно взять целиком Можно взять целиком
ряд из г фишек кучку из г фишек
Можно взять г соседних Можно взять г фишек из
фишек с любого конца кучки, содержащей > т
ряда, содержащего > г фи- фишек
шек
Можно взять г фишек либо способом, отвечающим
значению йг = 1, либо способом, отвечающим
значению ^г = 2
(оставив 0 рядов или (оставив 0 кучек или I
1 ряд) кучку)
Можно взять т фишек Можно взять г фишек из
подряд из ряда длины кучки, содержащей ^г + 2
^гг + 2, оставив 2 непу- фишек, разложив ©став-
стых «остатка» этого ря- шиеся в этой кучке фиш-
да (т. е. 2 новых ряда) ки в 2 новые непустые
кучки
Можно взять г фишек Можно взять г фишек из
подряд из одного ряда, кучки, состоящей из г или
оставив 0 рядов или2ря- же ^г-\-2 фишек; в пос-
да (ср. со значениями леднем случае оставшиеся
йг = \ и йг = А) фишки надо разложить в
2 непустые кучки
Можно взять г фишек Можно взять г фишек из
подряд из ряда длины кучки, содержащей >г
> г, оставив 1 новый ряд фишек, либо сохранив
или 2 ряда (ср. со зна- остаток в виде 1 кучки,
чениями йг — 2 и ^ = 4) либо разложив его в 2
кучки
Можно взять т фишек любым из указанных
выше способов
(оставив 0, 1 или 2 ряда) (оставив 0, 1 или 2 куч-
ки)
15
тит, что пары пешек оказываются запертыми на одной
вертикали, если на соседних вертикалях пешки поме-
нялись местами. Таким образом, в шахматы Доусона
можно играть, выстроив в ряд фишки. Делая очередной
ход, игрок имеет право брать любую фишку, но вместе
с ней он должен брать ее «ближайших соседей» (если та-
ковые существуют). Нетрудно проверить, что шахматы
Доусона имеют восьмеричный код 0,137.
Доусон с самого начала предложил так называемую
мизерную форму своих шахмат, т. е. считал проигравшим
того, кто делал последний ход. Анализ мизерных игр
по сложности намного превосходит анализ тех же игр в
нормальной форме, где тот, кто делает последний ход,
Рис. 2. Первоначальная расстановка пешек при игре в шахматы Доу-
сона.
выигрывает. Мизерная разновидность ним требует лишь
небольших изменений стратегии в конце игры; поэтому
многие думают, что стратегии для мизерных форм других
беспристрастных игр также удастся получить путем
незначительной модификации стратегий их нормальных
форм. Однако для большинства игр это совсем не так.
(См. [13] или [5, гл. 121 — в последней книге (см. с. 145)
дан обзор нескольких первых позиций мизерной формы
шахмат Доусона (в форме 0,4) и игры в кегли; более
подробный анализ см. [2, гл. 16].)
Нетрудно показать, что игры 0,137, 0,07 и 0,4 тесно
связаны между собой (см. [14]). Назовем игру 0,07 кег-
лями Доусона. Для игры в нее можно взять один ряд
фишек; ход состоит в том, чтобы забрать две соседние
фишки. Таким образом, кегли Доусона можно рассма-
тривать как частный случай игры тупинз, где каждая
колонка состоит из единственной кегли и поэтому в
каждом броске нужно сбить две соседние колонки. В ра-
боте [14] показано, что последовательности ним-значе-
16
ния для игры в кегли и для кеглей Доусона, когда по-
зиция такова, что в ряд выстроены п кеглей, являются
(за исключением нескольких малых значений п) перио-
дическими с периодами 12 и 34 соответственно.
Полный анализ игры тупинз — задача нереальная,
так как количество возникающих в игре различных по-
зиций огромно. Каково, например, число существенно
различных позиций из п колонок? Так как у нас есть
колонки двух видов, то сразу приходит в голову простой
ответ: 2п позиций. Однако нам не нужно исследовать все
2" позиций, поскольку Берлекамп обнаружил ряд отно-
шений эквивалентности между позициями, которые не-
трудно проверить:
0ы1к... = *1]к...=0011к... , (1)
. .Л]кх0*1тп... =. .л}'кх+*1тп..., (2)
"... г/й*00*//пАг ... = ... 1]к*%#1тп..., (3)
где 0 обозначает колонку из одной кегли (такую колон-
ку в отдельности, без соседней, не может сбить ни один
игрок, и она может ознаменовать конец игры); * соот-
ветствует колонке из двух кеглей (такую колонку может
сбить каждый из игроков, поэтому она эквивалентна
кучке из одной фишки при игре в ним); многоточия и
буквы соответствуют колонкам любого типа [5, с. 72],
а плюс в правой части соотношения (2) означает введен-
ную нами выше дизъюнктивную сумму.
Итак, нам достаточно проанализировать лишь такие
позиции, возникающие в игре тупинз, которые начина-
ются и кончаются звездочкой [ср. с соотношением (1)],
а нули (колонки из одной кегли) не входят иначе чем по
крайней мере по три подряд [ср. с соотношениями (2)
и (3)]. Двоичные последовательности такого типа были
перечислены Остином и Гаем [1], использовавшими обо-
значения 0 и 1 вместо наших * и 0. Число 1п таких по-
зиций, возникающих в игре тупинз, Остин и Гай обозна-
чили символом а{п-2'у при этом замена индекса п в обо-
значении 1п на п—2 в записи а(п312 обусловлена двумя
безусловными звездочками — в начале и конце ряда. Ве-
личина 1п удовлетворяет рекуррентному соотношению
Действительно,
, 1 ,-, , 1 пп
I = — Р -\ _51П-т= ,
п 2 " г^з ^3
17
где Рп— /г-е число Фибоначчи:
(4)
Кроме того, нет необходимости в анализе позиций, сим-
метричных уже рассмотренным, т.е. получающихся из
них переменой порядка букв на обратный. В связи с
этим сразу же возникает задача определения числа 5„
симметричных себе позиций.
В
С
в
"•*0
♦ 00
000
0*-<
00*
000
с:
... 41 0
•• * о о
••0 00
-0 00
1* * *|
000
0 0 0
р?о
0?0
и * *|
ф •••
* •••
0 * •••
00* •••
000-
001) •••
А
В
С
в
в
А
Рис. 3. Четыре типа центров для симметричной позиции.
Центр симметричной позиции может быть одного из
четырех типов: Л, В, Си/), изображенных на рис. 3
слева (общее число п символов нечетно; ? означает 0
или #). Если п четно, то центральный символ следует
заменить двумя одинаковыми символами. Если п нечет-
но, то, заменив центральный символ на
(а) ***, (Ь) 0*0 или (с) 000,
мы получим симметричные позиции с числом колонок, на
2 большим, чем в исходной позиции [триаду (а) нельзя
использовать в позициях типа В и С, триаду (Ь) — в по-
зициях А или В]. Если п четно, то центральная пара
символов заменяется на
(а) ****, (Ь) 0**0 или (с) 0000.
Пусть Ап — число симметричных позиций типа А с п
колонками, Вп — число симметричных позиций типа
18
В с п колонками и т. д. Тогда
Ап—Ап_ъ-\-ип_^
,Вп — Ап-2> '■
Нп = Сп- 2~1™71-2*
Так как символ? в центре позиции О имеет 2 значения, та.
уместно ввести коэффициент 2; поэтому
%=Ап+Вп+Ся+20п=
^(Ап_2+Вп_2+Сп_2+20п_2)+
+ (Ап_2+Сп_2+Оп-2)=
^(Лп_а+5П_2+Сп_2+20Л^2) +
+ (Ап-*+В»-*+Сп-1+20п-<).
Таким образом, 5„ удовлетворяет рекуррентному соот-
ношению ь^
5Л=5П-2~Т~5П-4» (**)
откуда следует, что 8п=Р{(п.+ \)/2ь где прямыми
скобками обозначена целая часть числа, а Р — соответ-
ствующее число Фибоначчи (4).
Следовательно, число ип несимметричных позиций,
возникающих при игре в тупинз (где симметричные друг
другу позиции, т. е. позиции, переходящие одна в дру-
гую при зеркальных отражениях, не считаются различ-
ными), таково:
ип = у ('я — 8п) = ТРп~~2 Р^п +1)/21 + ^у% 8Ш ~Т~ •
а общее число позиций (с точностью до отражения) состав-
ляет
Уп = т ('« + 8п) = Т рп + т /г[(«+1)/2] +
1 . пл
51П-
Более общий случай
"71-2»
где в записи позиции допустимы блоки, состоящие яе
менее чем из к нулей подряд, рассмотрен в [1]. Мы пойдем
далее и изучим последовательности 5*/", и(пк) и V(^\ где
к — любое натуральное число. Общие формулы верны
для всех к^\, где значение к=\ отвечает отсутствию
всяких ограничений (кроме требования о символе *
19
на каждом конце ряда). Нетрудно видеть, что при /С^2
(и Л=1)
у =2""3 + 21<"-3)/а1.
Верхний индекс (к) мы далее будем опускать.
Прежде всего, следуя [1], воспользуемся тем, что
1т = 21т_1-1т_, + 1т_к_1, (6)
или
*тп *т-1 = 'т-1 *т-2 -\г*т-к-\ =
= *да-2 'т-3~Млл-/г-1 + *т-й-2 =
= ^А-1 *Л ^/л-*-1 + ^/л-/г-2 + • • • + ^2 + ^1-
А так как 1Х=12=. . . = /Л=/Л+1=1, то мы получаем
удобный алгоритм для вычисления последовательности
т-к-1
'«-'«-,= 2 ',- (7)
1= 1
Просуммировав формулы (7), отвечающие последователь-
ным значениям /л, получим
т-к-1
<-=!+ 2 (т-Л-0/,. (8)
1=1
(Формулы (7) и (8) в [1] отсутствуют.)
Обобщим далее формулу (5):
8П = 5Л- 2 + 5/1-Л + 1« (9)
Случай А: к=21—1 (нечетно), п=2т—1 или п=2т.
Из рис. 4 видно, что число симметричных позиций равно
8п~ 52/л-1 = 52/л = *от + *1я-«"Г*1Я-/-1+ * * ' "Т *1»
5л-2 = 52/л-3 == 52/л-2 = */л-1 Г *т-1-\ Г *т-1-2~Т • • • ~Г*1>
т-2/
5и 5я- 2 = ^/л "" ^л-1 + 1*п-1 = ^т-1 + ^ ^|
1=1
[при замене разности /т—1т_х суммой мы воспользова-
лись формулой (7)]. Таким образом,
8П 5и-2 == 52(/л-/)-1 == 52(/л-Л = 5«-Л-1>]
что и требовалось доказать.
20
Случай Б: к=21 (четно). Случай Б аналогичен случаю
А, но значения п=2т и п = 2т—1 необходимо рассма-
тривать отдельно:
&2т = *т + 1т-1 + 1т-1-1+ • ■ • + *1.
52,л-1 ~ *т~\~*т-1-1~Ь~*т-1-2 + • • ■ +4»
52т-2==^л-1 + */Я-/-1 + ^т-/-2+ ' • • Н~^1>
52/и-3 ==*я-1 + */я-/-2 + *т-«-з4" * • • "Г *1»
52т 52/я-2 == */я I т-\\~* т-Ь
82гп-1 52/я-3 = *,л 'лл-1 I I т-1-1'
Подставляя вместо разности /т—(т_1 сумму /г- по фор-
муле (7), получаем в обоих случаях, как и прежде, соот-
ношение (9).
2т-1
* * * * * * ••• ••_•••
< т ►
""I
* ••- * о о о о о * ••• * * ••• * о о о о о о * ••
<-т-1 -> «-* = 2/-1-> «- т-1 -+ *-к+\=21 +
* ... * О О О О О 0 0 * ••• * * ••• * 0 0 0 0 0 0 0 0 * -
«-/И-/-1 < 2/+1 ► «-7Я-/-1 -> < 2/+2-
* 0 0 0 О 0 0 * * О О О О 00 *
Рис. 4. Симметричные позиции при игре в тупинз с блоками из ^г к
нулей подряд.
Производящие функции для 1п и 5„ имеют следующий
вид:
г([-г)
7Л + 1 »
3{г, *)-Ё фг'=. Л!+!1 + 1 •
Формулы (7) и (9), а также соотношения ип=(1п—5„)/2,
^п==('11+5Л)/2 позволяют вычислить значения, приве-
денные в табл. 2. Многоточия означают, что при мень-
21
ТАБЛИЦА 2
Значения г(*\ 5(*>, и{кп\ и<*> при Ь2, 3 9
2
2
3
3
3
п ...
'в
5/1
ип . . .
Vп . . .
15
1081
37
522
559
24
170 625
465
85 080
85 545
... 4
... 1
... 1
... 0
... 1
17
798
34
382
416
26
60 697
233
30 232
30 465
3 4 5
1 2 4
1 2 2
1 0 1
1 2 3
16 17
1897 3329
49 65
924 1632
973 1697
25
6 7
7 12
3 4
2 4
5 8
18
5842
86
2878
2964
26
299 426 525 456
616
816
262 320 262 320
263 136 263 136
5 6 7
2 4 7
2 2 3
0 1 2
2 3 5
18 19
1292 2091
34 55
629 1018
663 1073
27
8 9
11 17
3 5
4 6
7 11
20
3383
55
1664
1719
28
98 209 158 905
377
48 916
49 293
377
79 264
79641
8 9
21 37
5 7
8 15
13 22
19
10
65
9
28
37
20
10 252 17 991
114
5069
5183
27
922 111 1
1081
460 515
461 596
10 11
27 44
5 8
11 18
16 26
21
151
8920
9071
28
11
114
12
51
63
21
31 572
200
15 686
15 886
12
200
16
92
108
22
13 14
351 616
21 28
165 294
186 322
23
55 405 97 229
265 351
25 570 48 439
27 835 48 790
29
618 192 2 839 729
1432
1897
808 380 1 418 916
809 812 1 420 813
12
72
8
32
40
22
5474 8855 1
89
89
2692 4383
2781 4472
29
257 114
610
128 252
128 862
30
13
117
13
52
65
23
14 328
144
7092
7236
14
189
13
88
101
24
30
4 983 577
2 513
2 490 432
2492 945
15 16
305 493
21 21
142 236
163 257
25
23 184 37 513
1<
И 233
11 520 18 640
11 664 18 873
31
416 020 673 135
6
10
987
207 705 336 074
208 315 а37 0б!
32
1 089 155
987
544 084
545 071
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
* = 4
1
1
0
1
2
2
0
2
4
2
1
3
7
3
2
5
11
3
4
7
16
4
6
10
. 23
5
9
14
34
6
14
20
52 81 126 194 296 450
8 9 12 14 18 22
22 36 57 90 139 214
30 45 69 104 157 236
19
20
21
22
23
24
25
26
*=4
6 85
27
329
355
1046
34
507
540
1601
41
780
821
2452
52
1200
1252
3753
63
1845
1908
5739
79
2830
2909
8771
97
4337
4434
13 404
120
6642
6762
20 489
149
10 170
10 319
28
29
30
32
33
34
35
Л=4
31 323
183
15 572
15 755
47 904
228
23 838
24 066
73 252
280
36 486
36 766
112 004
348
55 828
56 176
171 245
429
85 408
85 837
261 813
513
130 641
131 172
400 285
657
199 814
200 471
612 009
811
305 599
306 410
10 11 12 13 14 15 16
17
18 19
* = 5
1
1
0
1
2
2
0
2
4
2
1
3
7
3
2
5
11
3
4
7
16
4
6
10
22
4
9
13
30
6
12
18
42
6
18
24
61
9
26
35
91
9
41
50
137
13
62
75
205
13
96
109
303
19
142
161!
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
Л = 5
443
19
212
644
28
308
936
28
454
1365
41
662
1999
41
979
2936
60
1438
4316
60
2128
6340
88
3126
9300
88
4606
13 625
129
9910
231 336 482 703 1020 1498 2188 3214 4694
10 039
30
31
32
33
34
35
36
37
* = 5
19 949
129
9910
10 039
29 209
189
14 510
14 699
42 785
189
21 298
21 487
62 701
277
31 212
31 489
91 917
277
45 820
46 097
134 758
406
67 176
67 582
197 548
406
98571
98 977
239 547
595
134476
145 071
23
7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
1
1
0
1
2
2
0
2
4
2
1
3
7
3
2
5
11
3
4
7
16
4
6
10
22 29 38 51 71 102 149
4 5 6 7 9 10 13
9 12 16 22 31 46 68
13 17 22 29 40 56 81
20 21 22 23
24
25
26
27
29
30
218 316 452 639 897
14 18 20 25 29
102 149 216 307 434
116 167 236 332 463
1257
35
611
646
1766
42
862
904
2493
49
1222
1271
3536
60
1738
1798
5031
69
2481
2550
7165
85
3540
3625
31
32
33
34
35
36
37
38
10 196 14484 20 538 29085 41168 58 282 82561 117036
98 120 140 169 200 238 285 336
5049 7182 10 199 14 458 20 484 29 022 58 350 58 350
5147 7302 10 339 14 627 20 684 29 260 41423 58 686
21
162
14
74
88
31
8 9
1 2
1 2
0 0
1 2
22
232
14
109
123
32
10
4
2
1
3
23
331
19
156
175
33
1 1 12
7 11
3 3
2 4
5 7
24
467
19
224
243
34
13
16
4
6
10
25
650
26
312
338
14
22
4
9
13
26
894
26
4 34
460
35
15 16
29 37
5 5
12 16
17 21
27
1220
36
592
628
36
17
47
7
20
27
28
1660
36
812
848
37
18
61
7
27
34
29
2262
50
1106
1156
38
19
82
10
36
46
20
114
10
52
62
30
3096
50
1523
1573
39
4261 5893 8175 11 351
69 69 95 95
2096 2912 4040 5628
15 747 21803 30 121 41535 57 210
131 131 181 181 250
7808 10 836 14 970 20 677 28 480
2165 2981 4135 5723 7939 10 967 15 151 20 858 28 730
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
22
127
11
58
69
33
3 823
59
1882
1941
23
107
11
48
59
33
2125
45
1040
1085
1 2
1 2
0 0
1 2
23 :
176 2
14
4
2
1
3
7 11
3 3
2 4
5 7
24 25 26
47 347 484
15 19 20
81 116 164 232
95 131 183 252
34
5126
70
2528
2598
10 11
1 2
1 2
0 0
1 2
24
141
11
65
76
34
2765
45
1360
1405
35
6913
79
34 17
3496
12
4
2
1
3
25
191
15
88
103
35
3596
60
1768
1828
36
9367
95
4636
4731
13 14
7 11
3 3
2 4
5 7
26
263 ;
15
124
139
36
4690
60
2315
2375
16
4
6
10
27
667
25
321
346
22
4
9
13
28
907
27
440
467
37
12 728
106
6311
6417
15
16
4
6
10
27
354
20
172
192
37
6148
80
3034
3114
16 17
22 29
4 5
9 12
13 17
28
502
20
241
261
38
8108
80
4014
4094
29 37
5 5
12 16
17 21
29
1219
33
593
626
38
17 308
128
8590
8718
18
37
5
16
21
29
686 !
26
330
356
39
10 754
106
5324
543С
46
6
20
26
30
1625
37
794
831
~
57
7
25
32
31
2158
44
1057
1101
39
23 513
11
1 1
19
46
6
20
26
30
926
26
450
476
14
1
143
685
828
72 94
8 10
32 42
40 52
32
2867
51
1408
1459
40
31 876
172
15 852
16 024
20 21 22
56 68 84
6
25 ;
8 8
30 38
31 38 46
31
1234
34
600
634
40
326
106
7110
7216
32
1626
34
796
830
41
19 132
140
9496
9636
25
ших положительных значениях п последовательности
постоянны.
Из этих последовательностей в «Справочнике» Слоу-
на [20] представлены только
степени двойки ^} = 2п'\
числа Фибоначчи 5^8),
последовательность #102 : 8™.
Последовательность {й2)} приведена в [11] как пример
суммы, взятой по обобщенным диагоналям Зх-\-2у=п—1
треугольника Паскаля. Она приведена также в [16, 17,
181 с разложениями на множители и обсуждением свойств
делимости. Например,
числа 5^2)^етны только в том случае, если п=7т—3,
7т—2 или 7т;
наивысшая степень числа 2, которая делит число 5^_а,
есть «функция линейки» — наивысшая степень числа 2,
содержащаяся в 2т;
г #♦♦000**.
Рис. 5. «Колесо» для нахождения ним-значений позиций, возникаю-
щих при игре в тупинз, где число колонок не превышает восьми.
26
з^ делится на 3 только в том случае, если п=\3т—3,
13т—2, 13т или 13т+6.
Однако мы далеко ушли от игры в тупинз. Какой бро-
сок может считаться наилучшим при начальной расста-
новке кеглей (рис. 1)? Соотношение эквивалентности (1)
Берлекампа говорит нам, что колонкой к можно прене-
бречь. Соотношение эквивалентности (2) позволяет ут-
верждать, что колонку е можно удалить, не повлияв
на позицию. Наконец, соотношение эквивалентности (3)
дает нам возможность объединить кегли Ъ и с в одну
колонку, после чего начальная позиция перейдет в по-
зицию
* * # -|- * *.
Даже не вычисляя ним-значений, можно заключить, что
хорошими ходами будут такие, при которых окажется
сбитой колонка & или колонка а.
На рис. 5 изображено «колесо», позволяющее нахо-
дить ним-значения любой позиции, возникающей
при игре в тупинз, с восемью или меньшим числом коло-
нок, если известны, ним-значения ряда из кеглей при
игре в кегли или кегли Доусона.(при игре в шахматы
Доусона ним-значения следует сдвинуть на одно место
влево):
п
кегли
кегли Доусона
0
0
0
1
1
0*
2 3 4 5
2 3 14
112 0
6
3
3
7 8 9
2 1 4
1 1 0
10
2
3
11
6
4
12
4
2
Пусть, например, вы хотите найти ним-значение по-
зиции, изображенной в верхней части рисунка.
Двигаясь от «12 часов» к «3 часам» по внешнему ободу
колеса, найдите такую позицию. Двигаясь по спирали
к центру от первой и последней звездочек, вы обнару-
жите, что обе ветви спиралей пересекаются в клетке с
числом 4. Это и есть ним-значение интересующей вас
позиции.
Каков наилучший ход при начальном расположении
пешек в шахматах Доусона (рис. 2)? Наш совет: предо-
* Следует заметить, что в кеглях Доусона должна остаться
стоять одна кегля.
27
ставьте противнику право первого хода. Дело в том, что
позиция, изображенная на рис. 2, принадлежит к числу
так называемых Р-позиций (проигрышных позиций —
выигрывает тот, кто сделал предыдущий ход) и имеет
нулевое ним-значение.
1. АизИп, Кюпагё, апс1 Сшу, НкгЬагс!. 1978. Втагу зеяиепсез
\уШюи1 1зо1а1её опез. ПЬопаш Оиаг(. 16.
2. Ва11, Ш. №. Ноизе, апй Сохе1ег, Н. 5. М. 1974. Ма1пета11са1
КесгеаИопз апй Еззауз. 121Ь ей. Тогоп1о: 11шу. о\ Тогоп1о Ргезз.
рр. 36—39.
3. Вег1екатр, Е. К.; Сотуау, Л. Н.; апё Оиу, К. К. 1980. \Утшп8
^ауз. №\у Уогк: Нагсоиг!, Вгасе ЛоуапоуюЬ.
4. Вои1оп, СЬаг1ез I.. 1901—2. N1111, а &ате ш1п а сотр1е1е таШё-
та1Ыса1 1Ьеогу. Апп. МаОг. РгтсеЬп (2) 3: 35—39.
5. Согшау, Л. Н. 1976. Оп МитЬегз апс1 Оатез. Ые\у Уогк: Асас1е-
Ш1С Ргезз.
6. Эа\узоп, Т. К. 1934. РгоЫет 1603. Раму СНезз Неу1еш. р. 94.
7. Оа\узоп, Т. К. 1935. Са155а'з \\Ч1с1 Козез. Раьгу СНезз ЯеЫеш.
р. 13.
8. Оиёепеу.Н.Е. 1958. Сап1егЬигу Риггкз. N. У.: Эоуег. рр. 118—
119, 120; Дьюдени Г. Э. Кентерберийские головоломки.— М.:
Мир, 1979, с. 110—111.
9. Оагс1пег, Маг1т. 1960. Моге Ма1пета1лса1 Ригг1ез о! 5ат Ьоус1.
N. У.: Ьоуег. рр. 5, 122; Лойд С. Математическая мозаика.—
М.: Мир, 1980, с. 140.
40. Оагстег, МагИп. 1974. МаШетаИса! Сатез: Сгат, сгоззсгат апд
Яиас1гарЬа§е: пе\у §атез паут^ е1из1уе уппшп§ з1га1е§1ез, 5ск
Атег. 230 2:106.
11. Огееп, Тпотаз М. 1968. Кесшгеп! 5е^иепсез апс! РазсаГз 1пап-
б1е. Ма1Н. Ма§. 41:13—21.
12. Огипёу, Р. М. 1964. МаИшпаИсз апс! &атез. Еигека. 27:9—11.
13. Огипс1у, Р. М., апс! 5гт1Ь, С. А. В. 1956. 01з]ипсиуе &атез ш1п
1пе 1аз1 р1ауег 1озт&. Ргос. СатЬгШ§е РНИоз. Зое. 52: 527—533;
М. К. 18: 546.
14. Оиу, КкЬап! К., апй 5тИп, Сес1пс А. В. 1956. ТЬе 0-уа1иез
тог уапоиз багпе8- Ргос. СатЬгШце РНИоз. Зое. 52; 514—526;
М. Я. 18: 546.
15. Нагс1у, О. Н., апс! \Уп§Ы, Е. М. 1960. Ап 1п1гос1ис1юп 1о 1пе
Тпеогу NитЬегз. 41Ь ес1. (Могс1: ОхГогё ЬГшу. Ргезз. рр. 117—120.
16. Лагёеп, Эоу. 1966. Кесигпп^ Зедиепсез. Яшеоп Ьета(етаНка
2пс1 её. 86—91.
17. Лагёеп, Ооу. 1946—47. ТЫгё огйег гесигпп^ 5е^иепсе5. Кшеоп
1ета1етаИка 1: 74; 1952—53 6: 41—42.
18. Лагйеп, Ооу. апс! Ка1г, А. 1947—48. ТаЫе оГ Ыпагу Ппеаг Инге*
огёег гесигпп^ зеяиепсез. Я'ьиеоп Ьета1етаИка 2: рр. 54—55.
19. Ьоус!, 5ат. 1914. Сус1оресПа о! Тпскз апс! Ри2г1ез. Ьте^ Уогк:
Эоуег. р. 232; Лойд С. Математическая мозаика.— М.: Мир, 1980,
с. 344.
20. 51оапе, N. Л. А. 1973. А. НапсШоок о\ 1п1е&ег Зеяиепсез. №>лг
Уогк: Асаёегтс Ргезз.
21. Зрга^ие, Н-Р. 1935—36. 1ЛЬег таШетаИзсНе Катр[зр1е1е. То-
Ноки Ма(Н. /. 41: 438—444; 2Ы. 13: 290.
28
1.2. Претцель — забава
для одинокого математика
Н. Г. де Брейк
Карточные игры типа «солитер» * — занятие не из
веселых. Вы начинаете с того, что раскладываете в оп-
ределенном порядке тщательно перетасованные карты
и, руководствуясь определенными правилами, пытаетесь
найти последовательность ходов, ведущих к заранее
поставленной цели. Обычно ходы необратимы, и по-
этому могут возникать тупиковые позиции, в которых
нельзя сделать ни одного хода. Если вам сопутствует
удача и удается достичь заветной цели, то вы испытываете
некоторое удовлетворение. Если же раскладка солитера
завершается тупиковой позицией, то вас обычно охва-
тывает грусть. Причина разочарования вовсе не в том,
что фортуна обернулась против вас: просто вам хотелось
бы знать, так ли неизбежна постигшая вас неудач.
Вам грустно от мысли, что игра, быть может, была ис-
порчена по вашей вине. Как правило, к концу игры вы
забываете начальную позицию — и проследить игру
ход за ходом оказывается невозможным. Особенно не-
приятно и обидно, когда не удается проанализировать
ход игры с полной информацией, т. е. в том случае, когда
карты раскладываются рубашкой вниз.
1. Математикам не свойственно гордиться случайным
решением задачи: они стремятся иметь общий метод,
позволяющий находить решение во всех случаях, когда
оно существует (или же доказать, что решения нет, если
оно не существует).
Математик стремится к тому, чтобы суметь проанали-
зировать любой расклад карт, и, не прикасаясь к картам,
* Солитер (от франц. 5оП1а1ге — одинокий) — карточная игра
для одного человека. Впрочем, у нас чаще применяется термин
пасьянс, в то время как солитером называют совсем другую «мате-
матическую игру» (ср., например, названные на с. 485 книги Арене
[1] или Доморяд [2]).— Прим. ред.
29
либо указать решение задачи, либо доказать его отсут-
ствие. Ясно, что реализовать такую программу удается
только для не слишком сложных карточных игр. Мы
хотим предложить для исследования игру с двумя цело-
численными параметрами, которые игрок может выби-
рать по своему вкусу (или по своим способностям) с тем,
чтобы игра не была ни слишком простой, ни слишком
сложной. Нашу игру мы назовем (/гхп)-претцель. Игра
эта давно известна (по крайней мере ее вариант, отве-
чающий значениям к=4, дг= 13; описание обычной игры в
(4х 13)-претцель приведено в п. 5), и проследить ее про-
исхождение трудно. Название игры предложено на-
ми — оно заимствовано от сорта печенья, имеющего
форму узла.
2. Для игры в (Ахя)-претцель требуется колода карт,
содержащая к мастей, по п карт каждой масти. Для про-
стоты условимся, что &=4 и будем обозначать масти
буквами П, Ч , Б и Т (пики, червы, бубны и трефы).
Карты каждой масти условимся нумеровать числами от
1 до п (карту со значением единица обычно называют
тузом) и обозначать символамиШ, . . ., Пп; . . .; Т1,
. . . Тлг.
♦ 1
*1
♦ 1
♦1
—«
—
~
♦ 2
1М
*3
♦4
♦3
чг
—~
*2 44 ]
♦3
*3
♦2
♦ 4
♦ 1
VI
♦ 1
♦1
♦ 2
*2
♦ 2
♦2
♦ 3
*з
♦ 3
43
♦4
*4
♦4
♦4
—
—
—
—
Рис. I. Рис. 2.
Тщательно перетасовав карты, разложим их на столе
в виде прямоугольника из 4 рядов и п столбцов. Затем
выберем тузы и расположим их отдельным столбиком
слева от прямоугольника в последовательности (сверху
вниз)П1, 41, Б1, Т1. Мы получим прямоугольник разме-
ром кх (п+1) с четырьмя пустотами, которые назовем ла-
кунами. Каждая лакуна по размеру совпадает с играль-
ной картой. Мы называем лакунами и «зияющие пусто-
ты», возникающие в том случае, если все четыре лакуны
30
сосредоточены в одном последнем столбце. Полезно
представлять себе, что все карты (и лакуны) заключены
в рамку размером кх (п+\), что позволяет отличать
лакуны от бесконечного внешнего пространства. В про-
цессе игры выкладывать карты вне рамки не разреша-
ется. Изображенная на рис. 1 позиция является одной
из возможных позиций в (4х4)-претцеле.
Теперь мы можем приступить к игре. Ход состоит в
заполнении лакуны такой картой, что карта (той же ма-
сти), имеющая номер на единицу меньший, соседствует
с лакуной и лежит слева от нее. Например, в позиции
рис. 1 первый ход можно сделать, переложив любую из
карт П2, 43, 42, Б2. Сделав первый ход, мы заполним
одну лакуну; однако при этом образуется одна новая ла-
куна, заполнение которой явится нашим вторым ходом.
В конце игры мы должны получить позицию, изобра-
женную на рис. 2. Назовем ее финишем игры.
Позиция называется разрешимой, если существует
последовательность ходов, ведущая к финишу (с;ама
финишная позиция также считается разрешимой). Если
же такой последовательности не существует, то позиция
называется неразрешимой. Отличная от финишной по-
зиция, в которой нельзя сделать ни одного хода, на-
зывается тупиковой. Ясно, что тупиковые позиции не-
разрешимы.
Правила игры мы пояснили для случая, когда &=4,
я=4, но они остаются такими же и при всех значениях
к и п.
3. Позиция рис. 1 разрешима: от нее можно прийти к
финишу, например, с помощью последовательности хо-
дов
П2, П4, Т4, ТЗ, Б4, Б2, БЗ, Т2, 44, 42, ПЗ, П4, Б4,
ТЗ, Т4. (1)
Изменим теперь наши обозначения. При игре в прет-
цель столбцы в позиции не играют никакой роли; поэ-
тому нашу позицию можно задать линейной записью,
обозначая концы рядов звездочками:
П1—4442—*41— 43 Т2 Т4*Б1— Б4 ПЗ П2*Т1Б2
БЗ ТЗ П4*. (2)
4. (4x2) -претцель и (4 X 3)-претцель — игры, весьма
скучные. В отличие от них игра в (4x4)-претцель может
&1
быть захватывающе интересной. Увлекательно также
раскладывать (4x5)- и (4х6)-претцели (по правилам,
указанным в п. 2).
При больших значениях п имеющегося у автора опы-
та недостаточно, чтобы сказать, под силу ли среднему
игроку разрешить возникающие позиции, не прикасаясь
к картам, без карандаша и бумаги и без использования
ЭВМ.
5. Пусть р (к, п) — вероятность того, что случайная
позиция при игре в (^хя)-претцель разрешима. За ис-
ключением случаев я^2, точное вычисление вероятно-
стей р(к, п) весьма затруднительно. Если п=2, то не-
разрешимы только позиции с циклической блокадой.
В циклической блокаде часть мастей (или все масти) че-
редуется в циклическом порядке, например Ч->Б-+П-+Ч,
так, что, скажем, (Б1 42), (П1 Б 2) и (41 П2) — пары со-
седних карт. При 6=4, п=2 существует 40 позиций
с 3-циклом, 168 с одним 2-циклом и 6 с двумя 2-циклами,
т. е. всего 214 неразрешимых позиций. Общее число по-
зиций равно 1680.
Можно считать, что /?(4, 4) по порядку величины
близко 0,45. Автор в течение длительного времени сыг-
рал в (4х4)-претцель несколько сотен раз. Во всех слу-
чаях ему удавалось определить (нередко с нарушением
правила о «неприкосновенности» карт — делая «безо-
пасные ходы», о которых пойдет речь в п. 14), разреши-
ма ли возникшая позиция или неразрешима. Кроме того,
2473 случайные позиции были проанализированы с
помощью ЭВМ, 1123 из них оказались разрешимыми, а
остальные 1350 неразрешимыми.
Не столь богат опыт, накопленный автором при игре
в претцель, где п=5 или п=6. Как показывает весьма
грубая оценка, р(4, 5) имеет величину порядка 0,1.
(4х 13)-претцель также содержит немало разреши-
мых позиций. Обычно, играя в него, ставят перед собой
задачу не достичь финиша, а продвинуться как можно
дальше. Играющий стремится получить длинную после-
довательность П1, П2, . . ., Пр в первом ряду и анало-
гично 41, . . ., Ч?, Б1, . . ., Б/*, Т1, . . ., Тз в после-
дующих рядах. Если позиция оказывается тупиковой,
играющий изымает все карты, не принадлежащие этим
последовательностям, перетасовывает колоду и снова
32
заполняет прямоугольник, оставляя лакуны рядом с
картами П/?, Ч?, Б/*, Т$ справа от них, после чего при-
ступает к игре еще раз. Возможно, что после второго
.тура придется сыграть третий. Игрок может считать,
.что ему повезло, если ему удастся достичь финиша в
.третьем туре.
Иногда финиша удается достичь в первом туре. Это
происходит примерно в одном случае из 1000. Наши на-
блюдения позволяют оценить р (4, 13) только снизу, так
как неизвестно, сколько разрешимых позиций оказы-
вается загубленными неудачными ходами. Судя по име-
ющемуся опыту, вероятность р (4, п) не убывает экспонен-
циально при /г-^оо.
6. В п. 5 мы упомянули о том, что (4 х4)-претцель про-
игрывался на ЭВМ. В основу программы было положено
изучение графа игры. Вершинами графа служили все
возможные позиции. Если из позиции Р в позицию ф
можно перейти одним ходом, то на графе игры эти вер-
шины соединены ориентированным ребром, ведущим из
Р в (?. Обозначим через 5(Р) множество всех вершин,
достижимых из вершины Р за конечное число ходов.
Анализ игры сводится к нахождению ответа на вопрос
о том, принадлежит или не принадлежит финишная
позиция Р0 множеству 5 (Р), где Р — фиксированная
исходная позиция.
Для любой позиции Р множество 5 (Р) легко закре-
пить в памяти ЭВМ путем перебора всех вершин, дости-
жимых за один ход из вершин, уже включенных в 5(Р).
Перебор вершин завершается, когда очередной шаг не
приводит к расширению множества 5(Р) (позиция Р
неразрешима) или когда финиш Р0 включается в 5(Р).
В последнем случае позиция Р разрешима, и необходи-
мость в построении всего множества 5(Р) отпадает.
Если позиция Р неразрешима, то число элементов в
5(Р) редко превышает 60, но в отдельных случаях оно
достигало 380. Если же позиция Р разрешима, то, преж-
де чем удавалось достичь финиша Р0, приходилось про-
сматривать около 150 вершин, а максимальное число
просмотренных вершин оказалось равным 802. Однако
сама по себе мощность множества 5 (Р) не представляет
особого интереса. Если это множество очень велико или
очень мало, то проанализировать позицию Р удается,
2 № 1136
33
не прибегая даже к карандашу и бумаге, не говоря уже
о ЭВМ.
От одной позиции к другой в претцеле могут вести
множество различных последовательностей ходов: иног-
да одни и те же ходы можно совершить в различном по-
рядке, порой же возникают полностью различные после-
довательности ходов, не имеющие общих позиций, кроме
начальной и конечной. Это означает, что составлять
программу для ЭВМ на основе ретроспективного просле-
живания ходов нерационально.
7. При игре в (4х4)-претцель и произвольной разре-
шимой начальной позиции Р обычно нетрудно найти
решение «в уме», хотя нередко встречаются и довольно
головоломные случаи. Но как доказать, что та или иная
позиция неразрешима? Найти целиком все множество
5 (Р) — чаще всего непосильная задача для человече-
ского (не электронного) мозга. Но существует множество
других способов, позволяющих доказать неразрешимость
позиции.
Один из них связан с понятием циклической блокады.
В п. 5 мы уже касались этого понятия в его простейшем
варианте. Но часто циклическая блокада имеет сложную
форму, как, скажем, в следующем примере. Рассмотрим
какую-нибудь карту сг. Докажем, что если в процессе
перекладывания карта сг когда-нибудь сдвинется с ме-
ста, то перед тем, как это произойдет в первый раз,
должна сдвинуться с места карта с2. Затем заметим, что
карта с3 не может сдвинуться с места до того, как в пер-
вый раз сдвинется с места карта с2. Следовательно, в
любом решении непременно наступит момент, когда
карта с2 впервые сдвинется с места, а карты сг и с9 по-
прежнему будут оставаться на местах. Далее найдем
карту сА, которая должна сдвинуться с места до того,
как впервые сдвинется с места карта с3, и т. д. Продол-
жая рассуждать таким же образом, мы получаем все
возрастающее множество карт, которые не успеют ни
разу сдвинуться с места к определенному моменту в ходе
игры, и это обстоятельство все более подкрепляет нашу
аргументацию. Если рано или поздно нам удастся зам-
кнуть петлю, заметив, что карта с^ должна сдвинуться с
'места до того, как сдвинутся с места всё остальные карты,
34
мы тем самым докажем, что исходная позиция неразре-
шима.
Разумеется, математик, играющий в претцель, от-
кроет немало трюков, облегчающих доказательство не-
разрешимости различных позиций.
Такие трюки иногда бывает довольно трудно сфор-
мулировать словесно. Нередко они сводятся к смешанно-
му анализу позиции, проводимому в двух направле-
ниях — вперед и назад. С анализом в обратном направ-
лении мы только что познакомились при рассмотрении
циклической блокады. Анализ «вперед» сводится к рассмо-
трению всех возможных первых ходов в начальной по-
зиции: если от позиции Р за один ход можно перейти
в любую из позиций Ри Р2, Р3 или Р4 и если позиции
Ри Р*, Рзу Р^ неразрешимы, то позиция Р неразрешима.
Необходимо тщательно следить за тем, чтобы не смеши-
вать тот и другой анализы, так как нетрудно принять
желаемое за действительное и получить неверное дока-
зательство неразрешимости, а это хуже, чем не иметь
доказательства вообще. Обычно от возможной ошибки в
доказательстве можно застраховаться, заменив его бо-
лее надежным вариантом, основанным на теореме об
«усечении» из п. 8.
Неудачи, постигшие вас при попытке найти решение,
могут оказаться полезными при доказательстве неразре-
шимости соответствующей позиции, и, наоборот, неуда-
чи, постигшие вас при попытке доказать неразрешимость,
могут навести на решение. И то и другое не может не за-
интересовать математика!
8. Пусть р — целое число, удовлетворяющее нера-
венству 1^р^я, Еп(р) — множество карт масти пики
(П) со значениями ^/? (т. е. {Ш, П2, . . ., Пр}). Множе-
ства ЕЧу ЕБ, Ет определим аналогичным образом и обоз-
начим через Р (/?, <7, г, 5) их объединение:
Р(р, ?, г, 8) = Еп(р)[]Еч{д)[)ЕБ{г)иЕт(8).
Объединение Р(р,д,г,8) назовем вместилищем. При
кф\ вместилище определяется аналогичным образом.
.Пусть Р — позиция, возникающая при игре в (кхп)-
претцель и Р — вместилище. Назовем усеченной по
вместилищу Р позицию, возникающую из Р при отбра-
сывании всех карт, не принадлежащих /\ Заметим, что
2*
35
усеченная позиция не является позицией в смысле оцре-:
деления, приведенного в п. 2 [за исключением тривиадьп
ного случая Р=Р(п, п, пу п)]. Тем не менее в претцель
можно играть, рассматривая вместо полных позиций
усеченные, если определять ход так же, как в пг 2.
Условимся, что какое бы ни было вместилище Р, в
усеченный (кхпупретиелъ надлежит играть, расклады-
вая карты в исходной рамке размера кх (п+\) [поэтому
(йхл)-претцель отличается от [кх (/г+1)]-претцеля, усе-
ченного по вместилищу Р(п, п, л, п)\. Финишем усе-
ченного претцеля называется позиция Р1 исходного (неу-
сеченного) претцел я, полученная из финиша Р0 усечением
по Р. Как и прежде, будем называть усеченную позицию
разрешимой, если существует последовательность ходов,
переводящая ее в финишную позицию Р*0.
Пусть />! и Р2 — такие позиции (или усеченные по-
зиции), что Рх преобразуется в Р2 за один ход; Р —
вместилище и Р] — позиция, возникающая из Р1 при
усечении по Р. Если карта, перекладывание которой пе-
реводит Рх в Р2, принадлежит Р9 то тем же ходом Р1
можно перевести в Р*г. Если же карта, перекладывание
которой, переводит Рг в Р2, не принадлежит Р, то Р{ =
=Р*2. Применяя это рассуждение к последовательности
ходов с заданным вместилищем Р, мы получаем теорему,
которая может служить необходимым признаком раз-
решимости:
Теорема. Если позиция Р разрешима, то любое ее
усечение также разрешимо.
9. В наиболее простых случаях теоремы об усече-
нии из п. 8 одно из усечений рассматриваемой позиции
заперто. Например, позиция
П1 Б4 ПЗ Б2 42*41 БЗ—44—*Б1 43 Т2 П2—*Т1
Т4 П4 ТЗ—*
неразрешима, так как ее усечение по вместилищу
Р(19 3, 3, 1) приводит к тупиковой позиции
П1—Б2 42*41 БЗ *Б1 43 *Т1
не допускающей ни одного хода.
В более сложных случаях нам удается ноказать, что
усеченная позиция неразрешима, но не является тупи-
36
кОвой или что каждый ход из исходной позиции перево-
дит ее в позицию, для которой можно указать неразре1
шимое усечение, и т. д.
10. Ход называется безопасным, если он не переводит
разрешимую позицию в неразрешимую. В неразреши-
мой позиции все ходы по определению считаются безо-
пасными, но во многих разрешимых позициях могут су-
ществовать и небезопасные ходы.
Нередко безопасность хода удается доказать. Рас-
смотрим, например, позицию Р, где карта с лежит на
месте р. Перекладывание карты с с места р на место
ц — заведомо безопасный ход, если выполняются два
следующих условия:
1) место справа от р (рядом с р) либо находится за
рамкой, либо занято картой той же масти со следую-
щим по величине «значением», либо же с — старшая
карта в своей масти;
2) при любой последовательности ходов, ведущих от
Р к финишу Р(), место ц может быть занято только кар-
той с.
Условие 1 гарантирует, что от карты с, лежащей на
месте р> «не будет проку», а условие 2 — что от карты с,
лежащей на месте </, «не будет вреда».
В связи с условием 2 следует заметить, что довольно
часто удается без особого труда предсказать, какие карты
не могут оказаться на том или ином месте. Например,
рассмотрим пять левых карт в ряду П1 43 Т2 Б4 ПЗ
Б2 БЗ. Мы вправе утверждать, что кандидатами на вто-
рое место справа (занимаемое картой Б2) могут быть
только карты П6, 47, Т5, Б6 и П4.
11. Безопасные ходы получают еще одним способом.
Если в последовательности ходов перекладываются толь-
ко карты бубновой масти и по завершении последователь-
ности все эти карты оказываются на тех местах, которые
они занимают в финишной позиции, то вся последова-
тельность состоит из безопасных ходов. Утверждение
остается в силе, если слова «бубновой масти» заменить
словами «бубновой и пиковой мастей» или «бубновой, пи-
ковой и трефовой мастей».
" Все эти утверждения легко выводятся из теоремы об
усечении.
37
12. Если в позиции Р существует толькоодин ход, Тф
он заведомо безопасен.
Предположим теперь, что в позиции Р существуют два
хода: при одном ходе мы перекладываем карту си при
другом — карту г2, причем если с± и с2— карты одной
масти, то «значение» (или номер) карты сг отличается
от номера карты сх по крайней мере на два. (Это условие
исключает «взаимосвязь» рассматриваемых ходов: пос-
ле перекладывания карты сг старый ход для с2 по-преж-
нему остается возможным и наоборот.) Кроме того, мы
предполагаем, что первый ход (перекладывание карты
Сг) переводит Р в позицию, в которой возможен только
ход картой сг. В этом случае можно утверждать, что
ход картой с2 безопасен для позиции Р.
Эта простая идея доказательства безопасности ходов
допускает обобщение на случай более чем двух невзаимо-
связанных ходов или невзаимосвязанных последователь-
ностей ходов. Математик, играющий в претцель, несом-
ненно придет к рассуждениям такого же рода.
Наконец, нельзя не упомянуть и о том, что в любой
позиции безопасность хода удается доказать, если мы
убеждаемся, что все остальные ходы небезопасны, т. е.
приводят к неразрешимой позиции.
13. В п. 1 мы говорили о том, что анализ игры в прет-
цель следует проводить, не прикасаясь к картам. Иног-
да все усилия провести анализ в уме могут не увенчать-
ся успехом. В таких случаях разумно модифицировать
правила и разрешить себе делать ходы до тех пор, пока
удается доказывать, что они безопасны.
Можно позволить себе еще одно отступление от пра-
вил при анализе циклической блокады (см. п. 7): оцени-
вая возможные последствия первого перекладывания'
той или иной карты, класть монетки или пуговицы на те
карты, которые нельзя сдвинуть с места раньше.
14. До сих пор наш претцель удовлетворял следую-
щим условиям:
1) карт каждой масти было поровну;
2) все ряды в рамке (см. позицию (1)) имели одина-
ковую длину;
3) число свободных мест было равно числу мастей.
Нарушив все три условия, мы тем не менее получим иг-
ру, к которой относится почти все, что было сказано о
38
претцеле в предыдущих пунктах. В качестве примера
можно привести позицию с линейной записью
П1 Б4 БЗ—ПЗ П5*41 42 П4 Б2*Б1 — П2 43*,
допускающую решение
Б2, П5, П4, 43, Б4, П2, БЗ, ПЗ, Б4, П4, П5.
15. Предлагаем вниманию читателя несколько задач,
почерпнутых из набора случайных позиций. Задачи, от-
меченные звездочкой, очень трудны: запас трюков, име-
ющийся у автора, по-видимому, недостаточен, чтобы пред-
ложить их изящное решение. Задачи 1—9 относятся
к (4х4)-претцелк>, задачи 10—16 — к (4 X 5)-претцелю.
1. П1 Б2—БЗ П3*41—Т2 42 Б4*Б1—П4 ТЗ 44*
Т1 П2 43—Т4*.
2. Ш—42 43 П3*41 44 П4—Б2*Б1—ТЗ ПЗ Т2*
Т1 Б4 БЗ Т4—*.
3. Ш ТЗ—Т4 44*41—Б4 42 Т2*Б1 БЗ П4 П2
43*Т1—Б2—ПЗ*.
4. П1 П2 Б4 ТЗ Б3*41 Т4—43 44*Б1 П4 42—*
Т1—Б2—ПЗ*.
5. П1 Т4 Т2 БЗ—* 41 42 43 44—*Т1 П4 ПЗ ТЗ
Б4*Т1 Б2—П2—*.
6. П1 Т4 44—42*41 БЗ Б4 ТЗ П4*Б1 ПЗ—43-*
Т1 П2—Т2 Б2*.
7*. Ш Б2 Т2—42*41 ПЗ Б4 Б2—*Б1 44 ТЗ 43
Т4*Т1—П4 П2—*.
8. Ш Т2 ТЗ П2—*41 Б2 44*Б1 БЗ 43 П4
42*Т1 Т4 ПЗ—Б4*.
9. Ш Б4 П4 П2 44*41 Т4 БЗ 42 Т2*Б1— ТЗ—43*
Т1 ПЗ—Б2—*.
10. П1 Б4 Т4 БЗ—Т5*41—Б5—45 42*Б1 Т2 ПЗ
44 43 ПЗ *Т1 П2 П5—ТЗ Б2*.
11. П1 П5 Б2 42—Б4*41 44 П4 ПЗ—БЗ*Б1 45
Т5 Т2 БЗ—Т1 П2—ТЗ 43 Т4*.
12. Ш Т4 Б5 БЗ П5 Т2*41—Б4—ТЗ П2*Б1 Т5
44 43^44* Т1 Б2 42 П4—ПЗ*.
39
13. П1— Т4 44 Т5 Б4*Ч1 БЗ 42 П2 42 Ч5*Б1
Б5—Б2—43*Т1 ТЗ ПЗ П5—П4*.
14*. П1 П5 П2 БЗ 43 Б4*41—Т2 БЗ ПЗ 44*Б1--
42 Т4 45 ТЗ*Т1 Т5-П4 Б2—*.
15. П1 Т4—Б2 Т5 П4*41 П5 Б5 45 Б4 БЗ*Б1 42
П2 44—ТЗ*Т1 ПЗ 43—Т2-*.
16. П1 Т4 42Б4—Б2*41 ТЗ Т5 БЗ П5 45*Б1—44
П4—Т2*Т1—Б5 43 ПЗ П2*.
Решения
1. Позиция разрешима: БЗ, Б4, 43, ПЗ, П4, Б2,
БЗ, 42, П2, ПЗ, Т2, ТЗ, Б4, П4, Т4, 43, 44.
2. Позиция неразрешима: после усечения по Р(1, 1,
3, 3) она двумя ходами переводится в тупиковую позицию.
3. Позиция неразрешима. После усечения по Р(4, 1,
3, 4) ход БЗ безопасен, после чего Б2, Т2, ТЗ, П2, ПЗ —
последовательность безопасных ходов, приводящая к ту-
пиковой позиции.
4. Позиция неразрешима: после усечения по Р (4, 1,
4, 1) она одним ходом переводится в тупиковую позицию.
5. Позиция разрешима: Б4, Т4, БЗ, ТЗ, П4, ПЗ, Б2,
БЗ, Т2, ТЗ, П2, ПЗ, П4, Т4, Б4.
6. Позиция неразрешима: 43 и Б4 блокируют друг
Друга.
7. Позиция неразрешима.
8. Позиция неразрешима: проведите усечение по
^(2, 1, 1,4).
9. Позиция разрешима: Т4, 42, Б4, П2, П4, ПЗ,
П4, Б2, Т2, ТЗ, Т4, БЗ, Б4, 43, 44.
10. Позиция неразрешима: ход 43 безопасен, каж-
дый из следующих 14 ходов единствен, а все вместе при-
водят к тупиковой позиции.
11. Позиция разрешима: Б4, 43, 44, 42, Т4, Т5,
БЗ, ТЗ, ПЗ, П4, 43, 44, 45, Б4, Т4, Б2, БЗ, П5, П2,
ПЗ, П4, Т2, Б4, П5, ТЗ, Т4, Т5, Б5.
12. Позиция неразрешима: после усечения по
Р(4, 1, 1,4) она двумя ходами переводится в тупиковую
позицию.
13. Позиция неразрешима. Ход П2 безопасен, так
как ход БЗ приводит к неразрешимой позиции [усечение
по Р(1, 1,5, 1)1. По той же причине безопасны ходы
40
ТЗ, Т2, Б4. Следующие 1а, хедев- единственны (с точ-
ностью до перестановки 10-го и 11-го ходов) и приводят
к тупиковой позиции.
14. Позиция неразрешима.
15. Позиция разрешима: 44, ТЗ, ПЗ, П4, П5, Т5,
Т2, 42, БЗ, 43, ТЗ, 45, 44, Б4, 45, Т4, П2, ПЗ, Б2,
БЗ, Б4, П4, П5, Б5.
16. Позиция разрешима: Б2, Т2, П5, Б4, 43, 44,
45, БЗ, Б5, ТЗ, Т4, 42, П2, ПЗ, Т5, 43, 44, П4, П5,
Б4, Б5, 45.
1.3. Несколько замечаний по поводу
одной задачи из игры в гекс
Клод Берж
Любители занимательной математики по достоинству
оценили глубину и красоту игры в гекс *, предложенной
почти одновременно Питом Хейном в Дании и Джоном
Нэшем в США. Особенно привлекателен гекс для мате-
матика-профессионала. Играют в гекс вдвоем. Игроки
поочередно делают ходы, вставляя фишки в отверстия
(«лунки») специальной доски, изображенной на рис. 1.
Первый из двух соперников играет черными фишками и
выигрывает, если ему удается выстроить (сколь угодно
извилистую, но непрерывную) цепочку черных фишек от
«восточного» края доски до «западного». Второй участ-
ник игры пытается выстроить цепочку белых фишек от
«северного» края доски до «южного». Оптимальные раз-
меры доски 14x14. Рассуждая от противного, можно до-
казать, что для того, кто делает первый ход, существует
выигрышная стратегия. 4тобы уравнять шансы, по тре-
бованию второго игрока место для первой фишки может
быть локализовано в определенном участке доски. Если
силы игроков неравны, для их уравнивания может быть
использован гандикап (преимущество, или фора, предо-
* См.. Гарднер М. Математические голввеломки и развлечения.—
М. : Мир, 1971, с. 74-83.
41
ставляемое более слабому игроку) любого типа — игра
при этом почти не утрачивает своей эстетической прив-
лекательности.
Я хочу предложить одну задачу из игры в гекс, ко-
торую посвящаю Мартину Гарднеру. Желательными осо-
Рис. I. Доска для игры в гекс.
бенностями игровой «задачи», будь то шахматная зада-
ча или задача на игру в гекс, могут быть, например, един-
ственность решения, неожиданность заложенной в-за-
даче идеи и т. д. {Напомним, что один из величайших
мастеров шахматной композиции Сэм Лойд * видел
главную цель своего творчества в составлении шахмат-
ной задачи, в которой первый ход был бы противополо-
жен предлагаемому 999 шахматистами из 1000.)
Мы хотели бы избежать излишних усложнений и
иметь несколько ходов в «миттельшпиле», поэтому отка-
жемся от критерия единственности ключевого хода и
требования, чтобы на диаграмме белых и черных фишек
было поровну: позиция с неравным количеством чер-
ных и белых фишек может возникнуть при уравнивании
сил противников с помощью гандикапа. Задача, кото-
рую я предлагаю (см. рис. 2), трудна не сложностью по-
* См. , например, Ксфман Р. М. Избранные задачи С. Лой-
да.— М.: Физкультура и спорт* 1960.— Прим. перев.
42-
зиции и не большим числом подлежащих просчету ва-
риантов. Белые легко могут выстроить цепочку от се-
верной стороны доски до южной, заняв лунку /9 или
лунку УИ8. Так как черные не могут занять обе эти лунки
одновременно, кажется, что их позиция безнадежна.
Задача формулируется так: черные начинают и выигры-
вают !
Рис. 2. Черные начинают и выигрывают.
Как показывает несложный анализ позиции, черные
фишки можно разбить на две группы, примыкающие к
западному краю доски и не доходящие до восточного ее
края. Обе группы окружены стенками из белых фишек
с проходами (каждый «проход» указан в приводимой
ниже «описи» стенок своим началом и концом, например
ВП—СЩ.
Первая стенка:
А\ 1, В10, В11—СЮ, СП, В11 — Б\ 1, ЕЮ, ЕП—РЮ,
Л1, 011—СЮ, //10, ЯП—/10, /11, /11—/10,
/(10, /СП—110, 111, 112—МП, Л112, ЛП2, Л/13,
Л/14;
вторая стенка:
Л8, Я8, С8, С9-Я8, 1)9, Е8-Е9, Р8, Р9—68,
09, Я9-Я8, /8, /9-/8, 79, /С9-/С8, 18, /7,
16-УИ6, Л15, Л/4, Л/3, Л/2, Л/1.
43
Как нетрудно видеть, ни одна из критических лунок
(например, С9, 08 и т. д.) не принадлежит ни однойпиз
двух стенок. Следовательно, рассчитывать на то, что
какая-то комбинация позволит пройти «по крайней мере
сквозь одну из стенок», не приходится. Кто бы мог поду-
мать, что только черная фишка /,9 станет началом но-
вой цепочки, идущей от западной стенки к восточной?
После того как черные займут лунки Мб, МП и /ЛО,
цепочка черных фишек пройдет через лунки /С9, Л О,
/10, /9, Я9, СЮ, Л0, Р9, ЕЮ и т. д.
Было бы интересно решить несколько задач из игры
в гекс, используя нетривиальные теоремы о комбина-
торных свойствах множеств (состоящих из групп крити-
ческих лунок). Не следует забывать, что знаменитая
шахматная задача Сэма Лойда («комета») основана на по-
нятии четности — и ее легко решит любой математик,
знающий теорему Кёнига о двудольных графах. В шах-
матах теория сопряженных квадратов Марселя Дюшампа
и Альберштадта служит красивым примером применения
алгебраической теории изоморфизма графов (задаваемых
ходами королей).
Использование того или иного математического мето-
да может быть неожиданным и поэтому придает игре
еще больший интерес, но гекс — игра увлекательная и
сама по себе, и для математика-профессионала, и для
человека, не сведущего в математике.
1.4. Эндшпиль в игре „кригсшпиль"
Джим Бойс
Игра кригсшпиль * — одна из наиболее увлекатель-
ных разновидностей игры в шахматы. Каждый из двух
партнеров стремится поставить мат противнику, играя
обычными шахматными фигурами по обычным правилам.
Отличие от традиционных шахмат состоит в том, что ни
один из играющих не знает, как расставил фигуры его
* От нем. Кпе§$5р1е1 — военная игра. Условия этой игры, в
основу которой положены обычные шахматы, частично напоминают
популярную у нас игру «морской бой».— Прим. ред.
44
противник: каждый из двух партнеров играет своим ком-
плектом фигур на своей доске, сохраняя все происходя-
щее на ней в тайне от противника. Кригсшпиль отлича-
ется от шахмат еще одной особенностью: в этой игре при-
нимает участие третий игрок, исполняющий роль по-
средника между сторонами. На своей доске посредник
расставляет еще один (третий) комплект шахматных фи-
гур в соответствии с ходами, сделанными двумя основны-
ми игроками. Например, дождавшись своей очереди, бе-
лые сообщают посреднику предполагаемый ход. Если
в позиции, сложившейся на доске, белые по правилам
игры в шахматы могут совершить этот ход, то посредник
принимает их предложение и записывает очередной ход
белых, переставляя фигуры на своей доске. Если же в
сложившейся позиции предлагаемый ход недопустим,
то посредник отвергает его — и белые ищут другой ход,
кажущийся им целесообразным. Так продолжается до
тех пор, пока очередная попытка белых не увенчается
успехом, и предлагаемый ими ход не будет принят посред-
ником. После того как белые сделают свой ход, таким же
образом совершают очередной ход черные и т. д. Если
кто-нибудь из партнеров ставит шах королю противника,
то посредник объявляет об этом обоим (основным) игро-
кам. В кригсшпиле существуют и другие правила (кото-
рые, однако, нас не интересуют), регламентирующие взя-
тие фигур и ходы пешек. Подробное изложение всех
правил игры в кригсшпиль содержится в [1].
Наша статья посвящена анализу эндшпиля в кригс-
шпиле: король и ладья против короля. В обычных шахма-
тах, как хорошо известно, такой эндшпиль завершается
элементарной постановкой мата [2]*, нов кригсшпиле по-
ставить в этой позиции мат далеко не так просто, как в
шахматах. Даже опытные шахматисты часами бились
над этой задачей, безуспешно пытаясь найти решение.
Мы надеемся, что читатель захочет испробовать свои
силы и попытается самостоятельно решить задачу до то-
го, как познакомится с предлагаемым нами решением.
Ходы и обозначения
Будем считать, что белые имеют короля и ладью, а
черные — только одного короля. Ходы записываются в
* См. также, например, Л аскер Э. Здравый смысл в шахма-
тах.—Л.: Наука и школа, 1925.— Прим. ред.
45
традиционной («алгебраической») системе шахматной за-
писи (шахматной нотации): доска располагается так,
что в правом нижнем углу находится белое поле, вер-'
тикали обозначаются слева направо малыми латинскими
буквами а, Ь, . . ., Н, горизонтали нумеруются снизу
Рис. 1. Стандартная («алгебра- Рис. 2. Пример'позиции в кригс-.
ическая») шахматная нотация. шпиле.
вверх по порядку цифрами от 1 до 8. В исходной по-
зиции- белые занимают две нижние горизонтали (рис. 1).
На всех последующих рисунках (шахматных диаграммах)
доска изображена так, как ее видит играющий белыми:
Рис. 3. Позиция на доске, если Рис. 4. Позиция после хода бе-
ход белых Кр<17 противоречит лых Ле2+ и хода черных,
правилам.
на ней указано (точное!) расположение белых фигур
и поля, на которых может находиться черный король.
Правила и условности нотации, принятой в кригс-
шпиле, станут яснее, если мы рассмотрим один или два
46
простых примера. Предположим, что в позиции, изоб-
раженной на рис. 2, белые пытаются сделать королем
ход на (17. Если посредник объявит, что предлагаемый
белыми ход невозможен (противоречит шахматным пра-
вилам), то играющему белыми позиция, сложившаяся
на доске, представится такой, как показано на рис. 3.
Рис. 5. Позиция после хода бе- Рис. 6. Позиция после хода бе-
лых Крсб и хода черных. лых Ле8Х.
Предположим, что затем белые попытаются пойти ладьей
на е2; если при этом посредник объявит шах черному, ко-
ролю, то выяснится, что черный король находится на
поле е8. В соответствии с шахматными правилами черные
уйдут с поля е8 — и перед следующим ходом белых по*
зиция на доске станет такой, как это показано на рис. 4.
Белые делают ход королем на сб, заведомо зная, что
этот ход вполне допустим. После того как черные сде-
лали ход, их король не может находиться на поле сШ.
Если бы черный король до хода находился на поле 18,
то ему также пришлось бы с этого поля уйти; однако он
мог бы занимать поле 17 и перейти с него на 18. Позиция
после очередного хода черных показана на рис. 5. Если,
черный король находится на поле с8, то белые могут по-
ставить ему мат, пойдя ладьей на е8 — на рис. 6 показа-
но, к чему приводит такой ход. Но, разумеется, белые
скорее всего не рискнут так играть: ведь в случае, когда
черный король стоит на 17 или на 18, он мог бы взять
белую ладью и обеспечить ничью.
Последовательность ходов на рис. 2—6 в обычной
(алгебраической) нотации выглядит так: 1. Крд7, Ле2+
2. Крсб 3. Ле8Х. Прежде всего обратите внимание на
47
то, что перед ходом Ле2+ нет порядкового номера. Это
объясняется тем, что предыдущая попытка белых (ход
Крй7) не была принята посредником как противореча-
щая правилам, и белым пришлось предпринять еще одну
попытку. Знак + означает шах, знак X —мат. Ничью
мы будем указывать знаком =, ставя его на том же месте,
как и знаки + и X.
Король и ладья против короля
Как будет показано, белые почти всегда могут рас-
считывать на выигрыш в таком эндшпиле, даже если речь
идет не о шахматах, а о кригсшпиле. Черным удается
свести игру к ничьей только при определенных исход-
ных позициях, не позволяющих^белым объединить короля
и ладью до того, как ладья будет взята черными. Следует
заметить, что даже в тех случаях, когда черные могли
бы взять белую ладью (как полагают белые, которым,
как мы здесь считаем, позиция известна), они обычно
этого не делают по понятной причине: если белые и сде-
лают ход ладьей на соседнее с черным королем поле,
то черным еще необходимо угадать, как именно пошел
их противник и на какое поле должны они пойти, чтобы
взять фигуру противника. Однако мы рассмотрим здесь
только такие позиции, в которых белые могут форсиро-
вать мат против любой (сколь угодно проницатель-
ной) защиты черных.
План игры белых складывается из нескольких ча-
стей. Прежде всего белым необходимо надежно уберечь
свою ладью. Затем белые создают на доске такую по-
зицию, чтобы все доступные для черного короля поля
находились в прямоугольнике, один из углов которого
совпадает с углом доски, а противоположный угол занят
ладьей. Своего короля белые стремятся ввести в этот
прямоугольник с таким расчетом, чтобы он защищал
белую ладью от черного короля. Затем белые оттес-
няют черного короля к краю доски, после чего становит-
ся уже несложным поставить ему мат.
В настоящей статье излагается простой (хотя и до-
вольно медленный) способ, позволяющий форсировать
мат черным, на основе анализа позиций трех типов:
1) оба короля находятся в одном квадранте доски по
48
отношению к ладье, от которой отсчитываются квад-
ранты (ладья здесь играет роль «начала координат»);
2) черный король может находиться в одном или в
двух из квадрантов доски;
3) белая ладья находится (или может находиться)
вне полей, которые могут быть побиты черным королем.
Позиции типа 1 мы проанализируем более подробно,
различая следующие варианты:
1а) черный король может находиться только на^ одной
горизонтали (или вертикали);
16) черный король может находиться только на двух
горизонталях;
1в) черный король может находиться только на трех
горизонталях;
1г) черный король может находиться только на четы-
рех горизонталях;
1д) черный король может находиться более чем на
четырех горизонталях.
1) Оба короля находятся в одном и том же квадранте—
так, на рис. 7 черный и белый короли расположены выше
и левее ладьи. Белые стремятся запереть черного короля,
оставляя ему все меньшие и меньшие прямоугольники
доски. Преследуя эту цель, белые пытаются пойти ко-
ролем на е4 и ладьей на 13. (Белых еще более устраивало,
если бы им удалось продвинуть свою ладью на четвертую
горизонталь.) Игра могла бы продолжаться так: 1. Кре4,
ЛГЗ (или если посредник примет ход Кре4, то можно вос-
пользоваться вариантом Л, который приведен ниже),
2. Кре4, КреЗ, КрГ5 (или воспользоваться вариантом В),
3. Кре4, Л!4. Эта последовательность ходов укорачивает
меньшую из сторон квадранта и приводит к позиции,
аналогичной той, которая возникла на доске после пер-
вого хода белых. Если ход Кре4 был принят на втором
или третьем ходе, то белые укорачивают более длинную
сторону квадранта и получают позицию, аналогичную
изображенной на рис. 7. На некоторые из попыток бе-
лых посредник может реагировать и по-другому. Если
ход белых Кре4 принят, то возникает вариант А: 2. ЛГЗ
или 2. Л?3, 3. ЛГ4. Второй вариант приводит к позиции,
в которой меньшая из сторон возникающих квадрантов
сокращается, но зато черный король может находиться
в одном из двух квадрантов. Другая возможность состоит
в том, что посредник принимает ход 2. . . .КреЗ. Ва-
49
риант В продолжает этот ход следующим образом:
3. Кре4, ЛИ. С первым ходом мы уже встречались. Второй
ход сокращает меньшую сторону, но приводит к пози-
ции, в которой черный король заведомо находится в од-
ном определенном квадранте, тогда как белый король
находится вне этого квадранта. Подобную же последо-
вательность ходов можно проделать, взяв за исходную
любую аналогичную позицию (за исключением того
случая, когда вдоль меньшей стороны умещается только
одно поле). Как будет показано дальше, белого короля
во всех случаях удается ввести в тот же квадрант, где
находится черный король, не увеличивая меньшую сто-
рону прямоугольника. Следовательно, белые всегда мо-
гут оттеснить черного короля к краю доски.
2) Черный король находится в одном определенном
квадранте или в одном из двух соседних квадрантов (со-,
седними мы называем квадранты, имеющие общую сто-
рону). На рис. 8 показана позиция, в которой черный
король может находиться в любом из двух соседних
квадрантов. Белые стремятся создать позицию, анало-
гичную изображенной на рис. 7, например, белый ко-
роль — на Ь4, ладья на аЗ, а черный король — где-то
на горизонталях 4—8. Прежде всего белые делают ход
ладьей (а в случае необходимости и королем) так, чтобы
вдоль стороны одного из квадрантов, где может нахо-
диться черный король, умещалось два поля. Из рис. 8
видно, что белые могли бы сделать ходы 1. КрЬ2, 2. ЛсЗ.
Затем белые вводят в этот квадрант своего короля:
3. КрЬЗ, 4. КрЬ4. Если вмешивается черный король,
то белые просто отводят свою ладью. Итак, оба короля
находятся в одном квадранте, вдоль стороны которого
укладываются два поля. Наконец, белые передвигают
свою ладью к краю квадранта ходом 5. ЛаЗ. На протя-
жении всей последовательности ходов белые заведомо зна-
ют, что каждый их ход правилен, и не нуждаются ни в
каких проверках. Белые могут действовать по тому же
плану и в том случае, если известно, что черный король
находится в одном определенном квадранте. Иногда бе-
лым не приходится передвигать короля и ладью на
вторую и третью полосы от края. На рис. 9 белые ведут
игру так, чтобы их король оказался на поле сб, а ладья —
на поле с5: в этом случае возникает такая же позиция,
как после первого хода в случае 1). Ход 1. Лй4 привел
50
бы к позиции, в которой оба короля находятся в одном
квадранте, но меньшая сторона квадранта оказалась
бы несколько длиннее. В случае позиции, изображенной
на рис. 9, игра протекала бы следующим образом:
1. Кр44, 2. Крс5, 3. Крсб, 4. ЛЬ5.
3) Ладья находится (или может находиться) в безо-
пасности. Если король и ладья находятся вместе в цент-
Рис. 7. Оба короля находятся Рис. 8. Белые делают ход.
в одном квадранте (относитель-
но ладьи). Белые делают ход.
ре доски, а местонахождение черного короля не огра-
ничено, как в предыдущих случаях, то белым желательно
каким-то образом сузить свободу перемещений черного
короля. В одной из позиций, несколько напоминающей
те, которые мы рассматривали в связи с ситуацией 1),
ладья находится в углу доски, например на поле Ы,
а белый король — «по соседству», например на поле §2.
Белые в этом случае двигают свои фигуры в угол. Если
вмешивается король черных, то белые, зная, что свобода
его передвижений ограниченна, продолжают игру так,
как описано в случаях 1) и 2). Если же черный король
не мешает перестройке фигур, то король и ладья белых
собираются в углу, и белые могут продолжать игру по
схеме, приведенной в случае 1).
Если ладья находится под ударом, то белым прежде
всего необходимо защитить ее. Обычно это делается
«в лоб». Иногда ладью можно защитить не одним, а не-
сколькими способами. На рис 10 показана неприкры-
тая ..ладья. Удастся ли читателю найти все способы,
51
позволяющие защитить ее? (Решение задачи приведено
в конце статьи.)
1а) Черный король находится на одной определенной
горизонтали. Предыдущий анализ неприменим к пози-
Рис. 9. Белые делают ход. Рис. 10. Задача 1. Сколькими
способами белые могут защи-
тить ладью?
циям, в которых оба короля находятся в одном квадран-
те, если этот квадрант имеет вид полосы шириной в одно
поле вдоль края доски. Такая позиция показана на
рис. 11. Белые могут быстро поставить мат черным, вы-
Рис. 11. Белые делают ход. Рис. 12. Белые делают ход.
нудив^ черного короля отступить в угол и угрожая ему
ладьей, но они должны проявлять известную осторож-
ность, чтобы избежать вечного шаха (пата). Окончание
игры могло бы быть следующим: 1. КрсШ, Л§7, 2. Крй8,
3. Крс7 (а не 3. Крс8=), 4. Л§6, 5. ЛабХ. Если черный
52
король мешает белому королю совершить ход, то белые
делают ход ладьей, и черному королю не остается ни-
чего другого, как отступить.
16) Черный король находится на одной из двух гори-
зонталей. Белые могут улучшить свое положение, дей-
ствуя по схеме, изложенной в 1), если перемещения чер-
ного короля ограничены двумя полосами. Загоняя чер-
ного короля в угол, совершенно необязательно продви-
гать вперед ладью вместе с королем. Как видно из рис. 12,
игра могла бы происходить следующим образом: 1. Кре7,
2. Крс17, Крйб, 3. Крс17, 4. Крс7, Крсб, Крс18, 5. Крс7,
6. Крсб, Крс8, 7. Лабх. Если посредник отклоняет
ход 5. Крс7 как недопустимый в сложившейся позиции,
белые могут сыграть 5. . . . ЛЬ7. Два хода спустя ход
7. ЛЬ7= был бы серьезной ошибкой, которую, однако,
легко избежать. (Схема, изложенная в 1), показывает,
что белые могут сужать «территорию», доступную чер-
ному королю. Однако тогда мы не упомянули о том, что
белые при этом могут реализовать вечный шах. Нетруд-
но видеть, что в последнем примере у белых имеется
еще один ход, которым они ставят черным мат; именно
его и следует выбрать.)
Рис. 13. Белые делают ход. Рис. 14. Задача 2. За сколько
ходов белые могут поставить
мат?
1в) Черный король находится на одной из трех гори-
зонталей. Если передвижения черного короля ограни-
чены тремя горизонталями или вертикалями, то рассмо-
тренные в 1) и 2) тактические схемы допускают лишь нез-
начительные усовершенствования. На рис. 13 показана
53
позиция после хода белых ЛГ5+. Черный король на-
ходится в одном из двух квадрантов. Белым не обяза-
тельно подходить своими фигурами к краю доски. Они
могут сыграть 1. ЛЮ, 2. Кре7. Если посредник сочтет
ход Кре7 допустимым, то черный король находится в.
квадранте справа. Если же посредник отклонит ход
Кре7, то черный король находится в квадранте слева.
Рис. 15. Белые делают ход.
На рис. 14 показан еще один вариант, позволяющий
белым «экономить» ходу в некоторых позициях. В ответ
на ход белых 1. Л (15+ черные могут «сбежать» к другому
краю доски и пребывать там вплоть до двенадцатого хода
белых. Могут ли белые выбрать более удачный ход?
(Ответ см. ниже.)
1г) Черный король находится на одной из четырех
горизонталей. Рисунок 15 аналогичен рис. 13. Белые
хотят сыграть Л!4. Если они сделают такой ход и посред-
ник объявит шах черным, то черный король находится
в одном из двух квадрантов, и белые слишком далеки от
края доски, чтобы и в этом случае можно было восполь-
зоваться основной идеей позиции, изображенной на
рис. 13. Тем не менее белые могут сэкономить силы
и время, необходимые для развития тактики, изложенной
в 2), сыграв 1. Креб. Если посредник отклонит такой
ход, то белые сыграют . . . Лф и еще более сократят
меньшую сторону квадранта. Если же ход 1. Креб при-
нят, то белые делают следующий ход 2. Л14. Если он
приводит к шаху, то белые могут воспользоваться идеей,
залрженной в рис. 13.
Рис. 16. Белые делают ход.
54/
1д) Черный король может находиться более чем на
четырех горизонталях. Если для короля доступна доста-
точно обширная, но ограниченная область шахматной
доски, то белые стремятся как можно быстрее сузить ее
пределы. На рис. 16 показан случай, когда область доски,
доступная черному королю, имеет максимальные разме-
ры. Если область, находящаяся в пределах досягаемо-
сти черного короля, достаточно велика, белые могут по-
пытаться сократить меньшую 1а не большую, как в 1)]
Рис. 17. Задача 3. Белые дела- Рис, 18..Задача 4. Белые дела-
ют ход. ют ход.
сторону квадранта, в котором находится черный король:
Так, в позиции, изображенной на рис. 16, белые могли
бы сыграть 1. Л§1, 2. КеЗ, 3. ЛП. Если какой-то ход
ладьи приводит к шаху, то белые следующим ходом ста-
вят свою ладью на два поля влево и получают позицию,
в которой оба короля находятся в одном квадранте и
вдоль меньшей стороны этого квадранта умещается
не более четырех полей. Более трудная позиция показана
на рис. 17. И в этом случае цель белых состоит в том,
чтобы запереть черного короля не более чем на четырех
горизонталях, не доводя своего короля и ладью до края
доски, как в ситуации, рассмотренной в 2).
: Позиция на рис. 18 возникает из позиции рис. 10,
если посредник отклоняет ход белых Кр*2. Как должны
сыграть белые, чтобы черный король оказался запертым
не более чем в четырех полосах? (Обратите внимание на
то, что прямоугольник 3x4 содержит все поля, на ко-
торых может находиться черный король, но края этого
55
прямоугольника не определяются краями дееки и ладь-
ей.)
В нашей статье показано, что белые, действуя коро-
лем и ладьей против короля черных, могут поставить в
кригсшпиле мат черным. В 1а) и 16) мы показали, что
белые могут поставить мат, если им удается оттеснить
черного короля к краю доски. Сказанное в 3) позволяет
утверждать, что белые с легкостью могут создать пози-
цию, в которой все доступные для черного короля поля
заполняют прямоугольник, ограниченный краями доски
и горизонталью и вертикалью, находящимися под уда-
ром белой ладьи. В 1) и 2) доказано, что от такой пози-
ции белые могут перейти к другой, в которой поля, дося-
гаемые для черного короля, заключены в меньшем
прямоугольнике (мы говорим, что прямоугольник А
меньше прямоугольника В, если более короткая сторона
прямоугольника меньше короткой стороны прямоуголь-
ника А или если их короткие стороны равны, но более
длинная сторона прямоугольника А меньше длинной
стороны прямоугольника В). Приведенных нами аргу-
ментов достаточно, чтобы утверждать: белые могут дать
мат черному королю, исходя из весьма обширного мно-
жества позиций не только на стандартной, но и на пря-
моугольной шахматной доске произвольных размеров.
Как показывает тщательный анализ предлагаемой на-
ми стратегии, исходя из позиции, показанной на рис. 10,
белые могут ставить мат не более чем за 39 ходов. Следо-
вательно, в кригсшпиле можно не опасаться партий,
автоматически считающихся ничейными в силу правила
«50 ходов без взятия фигуры» *.
Настоящая статья появилась на свет в результате
задачи, поставленной перед группой С5204 студентов
Станфордского университета осенью 1978 г. Я хотел бы
поблагодарить проф. Дональда Э. Кнута, поставившего
задачу об эндшпиле в кригсшпиле, о которой он узнал
от одного из своих друзей в ФРГ, и ассистента Криса
* Б шахматах существует правило, согласно которому партия
считается окончившейся вничью, если за 50 ходов противников си-
туация на доске «существенно не изменилась» : не была взята ни
одна фигура и ни одна пешка не сдвинулась со своего места (в на-
стоящей статье анализируются позиции, где на доске нет ни одной
пешки).-— Прим. ред.
56
Ван Вика, участвовавшего в подробном обсуждении про-
блемы и подготовке статьи к печати, а также студентов
группы С5204, внесших несколько ценных предложений.
Решения
1. Ладью спасают три хода: ЛИ, КрИ и Кр*2. После
каждого из двух последних ходов черные не могут взять
ладью, так как в противном случае посредник отверг бы
ход белых как противоречащий правилам. Если предло-
женный ход отвергнут, то белые могут просто поставить
свою ладью куда угодно на другое поле.
2. Белые ставят мат, сделав следующие ходы: 1. Кре7,
Леб (если ход Крс7 отвергнут, то к выигрышу ведет еще
более короткая цепочка ходов), 2. Кр(17, Крс16, 3. Кре7.
Мат ставится через девять ходов, аналогичных описан-
ным в 16).
3. Белые вынуждают черного короля оставаться в
пределах «малого» прямоугольника, сделав ходы 1. Ле4,
Лс4. Если первый ход приводит к шаху, белые отвечают
ходом 2. Ле2. Если к шаху приводит второй ход, то бе-
лые продолжают 3. Ле4.
4. Белые для большей безопасности сначала делают
ходы ладьей: 1. ЛЬ5, 2. Ла5. Затем белые ставят короля
рядом с ладьей: 3. Крй2, 4. КрсЗ. Если посредник отвер-
гает второй ход королем, то белые для безопасности де-
лают снова ход ладьей Л§5 и пытаются поставить короля
рядом с ладьей: 5. КеЗ, КсЗ, 6. Ла5. Если ходы КреЗ
и КрсЗ не приняты посредником, то черный король дол-
жен находиться на поле с14. Белые выгадывают в темпе,
делая ход 6. ЛЬ5, направленный на то, чтобы вынудить
черного короля сдвинуться с (14, и предпринимают новую
попытку, которая на этот раз должна увенчаться успехом.
Предположим, что ход 3. Крс12 отвергнут. Тогда белые
играют Ла4, 4. ЛЬ4, чтобы создать позицию, аналогич-
ную той, которая возникла бы на доске, если бы ход
3. Крс12 был принят.
1. Сотраупе, СЬаг1е8. 1976. Кп姧р1е1. Оатевапй Ригг/езЪО: 12—15.
2. Рте, ЙеиЬеп. 1941. Ва$1с СНезз Епёт^з. Оау1с1 МсКау.
57,
1.5. Покер без карт
Ади Шамир, Рональд Л. Райвест, Леонард М.
Адельман
Случается, что игрок в карты может и сплутовать.
Могут ли два игрока, играя в покер без карт, например
по телефону, быть уверенными, что игра ведется честно?
В предлагаемой вниманию читателя статье на этот во-
прос даются два ответа:
1) нет (приводится строгое математическое доказа-
тельство того, что невозможна игра в покер без карт,
где было бы гарантировано, что она ведется честно);
2) да (дается внутренне непротиворечивый и полный
алгоритм честной игры в покер без карт).
Однажды двум любителям игры в шах- 1гЯУг\
маты вслепую наскучило это занятие. ^ ЛМЁ
«Не сыграть ли нам для разнообразия ^ ЛЙД
в покер вслепую?» — предложил один \$^^^
из них. «Идет,— согласился другой, — у!ьМг ^
только, чур, я буду сдавать карты». г
• «Возможна ли честная игра в покер без карт?» —
этот вопрос был поставлен Робертом У. Флой дом. Мы
дадим на него полный (хотя и парадоксальный ответ):
сначала докажем, что проблема внутренне неразрешима,
а затем опишем способ, позволяющий вести честную
игру в покер без карт.
Что означает «играть в покер без карт»?
Вслепую (без карт) в покер играют так же, как обычно.
(см., например, Хойл [2]); только в этом случае карты
как таковые отсутствуют. Весь обмен информацией меж-
ду партнерами происходит с помощью сигналов, пере-
даваемых по тому или иному каналу связи, скажем по
телефону. Правила игры станут понятнее, если мы пред-
ставим на двух концах телефонной линии двух игроков,
Боба и Элис, пожелавших сразиться в покер без карт.
53
Пересылать игральные карты по телефонным проводам,
конечно, невозможно; поэтому всю игру (включая разда-
чу карт) необходимо свести к обмену словесными (или
цифровыми) сигналами между партнерами.
Мы предполагаем, что ни один из игроков не собира-
ется жульничать. Играть краплеными картами, конечно,
просто, если все карты — невидимки! Честная игра в
покер без карт, должна полностью исключать возмож-
ность любого жульничества.
Честная игра должна начинаться с честной «раздачи»
карт. Чтобы «раздать» карты, игроки должны обменяться
некоторой последовательностью сигналов, производи-
мых заранее обусловленным способом. (Например, каж-
дый из игроков может бросать игральную кость или
прибегнуть к помощи какого-нибудь устройства, создаю-
щего случайные сигналы и позволяющего выяснить, ка-
кие карты он получил «при раздаче», и указать сигналы,
которые необходимо передать по каналу связи другому
игроку.) Каждый игрок должен знать, какие имеются
карты у него на руках, но не должен располагать никакой
информацией о картах, доставшихся его партнеру, помимо
тривиального соображения о том, что противник имеет
иные карты, чем он сам. Способ честной раздачи карт
должен также гарантировать, что расклад на руках
одного партнера никак не связан с раскладом у другого
(но никакая карта не может входить в оба расклада)
и что для каждого игрока все расклады равновероятны.
В ходе игры у партнеров может возникнуть необходи-
мость прикупить из «оставшейся колоды» новые карты
или сдать те или иные карты противнику. Игроки должны
иметь возможность брать прикуп или сдавать карты без
опасности «показать» противнику другие свои карты.
В конце партии каждый из игроков должен иметь
возможность проверить, что игра велась честно и его
партнер не плутовал. Так, если один из партнеров зая-
вил во время раздачи карт, что ему достались четыре
туза, то по окончании игры другой партнер должен иметь
возможность проверить, что это было действительно так.
Приведенный нами перечень требований может соз-
дать впечатление, что вести честную игру в покер без;
карт — дело весьма непростое. Предположим, что у
каждого из игроков имеется «под рукой» своя ЭВМ.
Это хотя бы несколько облегчит игру и позволит ис-
59
пользовать сложные алгоритмы (включающие, напри-
мер, кодирование). Мы отнюдь не предполагаем, будто
один игрок должен с доверием относиться к ЭВМ дру-
гого игрока — ведь ЭВМ можно запрограммировать
так, что она будет плутовать не хуже профессионального'
шулера.
Мы надеемся, что задача отыскания стратегии чест-
ной игры в покер без карт покажется читателю увле-
кательной и он попытается решить ее самостоятельно
прежде, чем дочитает нашу статью до конца.
Сводка полученных результатов
Мы предлагаем вниманию читателя два решения про-
блемы честной игры в покер без карт.
1. Строгое доказательство теоретической неосущест-
вимости честной «раздачи» карт с одновременным соблю-
дением двух условий: а) ни один набор полученных «при
раздаче» карт не должен быть связан с любым другим на-
бором; б) ни один из игроков не должен располагать ин-
формацией о картах, доставшихся противнику (кроме са-
мой общей информации о том, что карты противника
отличны от имеющихся у него самого).
2) Точный алгоритм раздачи карт, позволяющий ве-
сти честную игру в покер без карт с соблюдением всех
требуемых условий.
Вопиющее противоречие между этими двумя резуль-
татами обусловлено не трюками и не допущенными ошиб-
ками. Мы предоставляем читателю самостоятельно ре-
шить интересную, хотя и непростую, задачу о том, ка-
ким образом эти результаты оказываются возможны, и
найти различия в исходных предположениях, которые и
приводят к столь явно противоречивым результатам.
Доказательство отсутствия алгоритма
честной раздачи карт
Для простоты рассмотрим минимальный нетривиаль-
ный случай раздачи двух различных карт (по одной кар-
те каждому игроку) из колоды, состоящей из трех карт
{X, V', 2). Доказательство отсутствия алгоритма чест-
ной раздачи карт, полученное для этого случая, лёгко-
60"
обобщается на любое число карт и на любое количество
#арт на руках у игроков.
Если для рассматриваемого случая существует ал-
горитм, удовлетворяющий всем требованиям, то после
обмена конечным числом сигналов Элис и Боб узнают,
какие карты достались им, но не будут знать, какие кар-
ты находятся на руках у партнера. Эти сигналы должны
так координировать выбор карт каждым из двух парт-
неров, чтобы оба они не смогли выбрать одну и ту. же
карту.
Предположим, что в рассматриваемом нами случае:
Элис и Боб обменялись сигналами Ми . . ., Мп\
Элис получила карту Х\
Боб получил карту V.
Пусть 5Э — множество карт, которые могла бы полу-
чить Элис во всех случаях, когда имел место обмен теми
же сигналами Ми . . ., Мп. (Так как игрок должен иметь
возможность воспользоваться случайным выбором кар-
ты, непредсказуемым для его противника, то одна и та же
последовательность сигналов, которыми обмениваются
партнеры, может приводить к разным наборам карт у
Элис.) Ясно, что карта X принадлежит множеству 5Э.
Очевидно, что множество 5Э никак не может не содер-
жать карт, отличных от X,— ведь в противном случае
Боб знал бы, какая карта досталась Элис. Если 5Э со-
держит одну карту (карту X), то последовательность
сигналов Ми . . ., Мп однозначно определяет карту
Элис; поэтому Боб располагает (полной) информацией
(с точки зрения теории информации) о том, какая карта
досталась его партнерше. Ясно, что при любом физиче-
ски реализуемом (и завершающемся за конечное число
шагов) процессе «раздачи» карт для Элис будет возмож-
но лишь конечное число случайных выборов карты;
поэтому Боб может определить, какая карта досталась
Элис, рассмотрев все варианты выбора, согласующиеся
с последовательностью сигналов, переданной по каналу
связи.
С другой стороны, если множество 5Э содержит все
три карты, то Бобу не достанется ни одной карты: неза-
висимо от того, какая карта попадает ему в руки, после-
довательность переданных сигналов согласуется с тем,
что та же карта могла достаться Элис. Значит, множество
5Э должно содержать две карты.
61.
Аналогичным образом определяется и множество 5Б
карт, которые может получить Боб. Множество 5Б также
должно содержать ровно две карты. Но полное число
карт в колоде равно трем, поэтому множества 5Э и 5Б
не могут не пересекаться (в нашем примере карта 2
принадлежит и множеству 5Э, и множеству 5Б). Следо-
вательно, может случиться так, что, обменявшись сиг-
налами М1у . . ., Мп, и Боб, и Элис получат при раздаче
одну и ту же карту 2. Значит, алгоритм раздачи не га-
рантирует, что игроки получат различные карты. От-
сюда мы заключаем, что при игре в покер «вслепую»
даже честная раздача карт невозможна.
Алгоритм честной раздачи карт
Приводимое ниже решение удовлетворяет всем тре-
бованиям задачи. Прежде всего Боб и Элис договорива-
ются о двух функциях Е (кодирующей функции) и О
(декодирующей функции), обладающих следующими свой-
ствами:
1) ЕК(Х) — закодированный вариант сигнала X в
коде К\
2) Ок(Ек(Х))=Х при любых сигналах X и кодах /С;
3) ЕК(Е7(Х))=Е^(ЕК{Х)) при любых сигналах X
и-кодах / и К',
: 4) если X и ЕК(Х) заданы, то никакой самый искус-
ный криптоаналитик не сможет раскрыть код К при
любых X и /С;
5) при любых (разных) заданных сигналах X и У
невозможно подобрать коды У и /С так, чтобы было
Е/(Х)=ЕК(Х).
Свойство 3 (коммутативность кодирования) несколько
необычно, но вполне реализуемо. Свойства 4 и 5 (особен-
но 4) по существу означают, что кодирующая функция Е
криптографически надежна, или нераскрываема.
В качестве примера функции, обладающей всеми
требуемыми свойствами, рассмотрим
ЕК(М)=М* (той л),
где п — некоторое большое число (простое или составное
с заданным разложением на простые множители), из-
вестное Бобу и Элис, и НОД 1К, ф(л)]=1|ф(я).— теоре-
-ее
тнко-числовая функция Эйлера, легко вычисляемая по
разложению числа п на простые множители *•].
Соответствующая декодирующая функция имеет вид
Ок(С)^Сь (той/г),
где 1-7(=1 (то(1 ц>(п)). Так как
ЕК(Е;(М))^ЕАЕК(М))^М;« (той п),
то Е обладает свойством 3. (Более подробные сведения о
криптографической надежности и важности этой функ-
ции см. в [1, 3, 4].) Мы упомянули эту кодирующую функ-
цию только для того, чтобы доказать существование ко-
дирующих функций с требуемыми свойствами. Никакие
другие свойства функции Е, кроме 1—5, нам не пона-
добятся.
Условившись о функциях Е и О (в нашем примере это
означает — о числе п), Боб и Элис втайне друг от друга
выбирают коды Б и Э. Эти коды они хранят у себя до
конца игры,' после чего каждый открывает свой код парт-
неру, чтобы тот мог убедиться, что игра велась честно.
Боб составляет 52 сигнала (по числу карт в колоде):
«двойка треф»,
«тройка треф»,
«туз пик»
и кодирует каждый сигнал (цепочка двоичных цифр рас-
сматривается как одно двоичное число) своим кодом Б
(т. е. вычисляет ЕБ («двойка треф»), . . . ). Затем Боб «та-
сует» кодированную колоду (случайным образом пере-
распределяет кодированные обозначения карт) и пере-
дает ее целиком Элис.
Элис выбирает пять карт (сигналов) случайным обра-
зом и посылает их назад Бобу. Тот декодирует получен-
ные сигналы и узнает, какие карты достались ему при
раздаче. Элис ничего не знает об этих картах, так как
до конца игры код Б известен только Бобу.
* Если п=р*1 р**, . . • , рл* , где ри р2, . . . ,. Рь — различ-
ные простые числа и ссь а2, . . . , а*— произвольные натуральные
числа, то <р (п)=я (] - 1) (1 - 1) (1 _ ±) Щп) -
число натуральных чисел, меньших п и взаимно-простых с я; см.
любой курс теории чисел, например названные на с. 486 книги
[1*4]).— Прим. ред.
-63
Затем Элис выбирает еще пять сигналов, кодирует их
своим кодом Э и посылает Бобу. Каждый из этих пяти
сигналов кодирован дважды: ЕЭ(ЕБ(М))> или, что экви-
валентно, ЕБ(ЕЭ(М)) при любом М. Боб декодирует
полученные сигналы, получает ЕЭ(М) и отправляет
их снова Элис. Та декодирует их по своему коду Э и
узнает, какие пять карт достались ей при раздаче. Боб,
не зная кода Э, не может установить, какие карты выпали
Элис.
Рис. 1. Боб кодирует карты и посылает их Элис в случайном порядке.
Элис выбирает одну карту для Боба, кодирует другую карту для себя
и посылает обе карты Бобу.
Боб декодирует обе карты и возвращает Элис закодированную ей
карту.
Майкл Рабин предложил изящную физическую реа-
лизацию описанного нами алгоритма. Кодирование мож-
но наглядно представить себе как навешивание замка
на ящик с картой. Боб первоначально запирает каждую
карту в отдельном ящике. Все ящики неотличимы и ко
64
всем подходит один и тот же ключ Б. Элис выбирает пять
ящиков и возвращает их Бобу. Открыв их своим ключом,
Боб получает свой расклад. Затем Элис посылает Бобу
еще пять ящиков, предварительно навесив на каждый из
них и по второму замку, открываемому ее ключом Э. Боб
открывает те замки, к которым подходит его ключ, и от-
сылает Элис ящики; запертые только на вторые замки.
Открыв их своим ключом, Элис получает свой расклад.
Заметим, что в этой модели неявно используется комму-
тативность кодирующей функции: Боб и Элис запирают
замки не в том порядке, в каком их отпирают.
Рис. 2. Элис декодирует свою карту, после чего они с Бобом сравни-
вают карты, чтобы узнать, кто из них выиграл.
Если кому-нибудь из игроков в ходе игры понадобит-
ся прикупить дополнительные карты, то описанную нами
процедуру можно повторить для каждой карты.
В конце игры оба участника раскрывают свои коды,
которые до того хранились в тайне. После этого каждый
игрок получает возможность удостовериться в том, что
его партнеру действительно были «сданы» те карты, ко-
торыми тот играл. Свойство 5 исключает возможность
«подмены кода»: каждый игрок может предъявить своему
партнеру только тот код, которым он действительно поль-
зовался (а не тот, который обеспечил бы ему лучший рас-
клад).
Предложенная нами процедура без труда обобщается
на случай, когда число игроков больше двух (подробности
мы предоставляем читателю). Другое очевидное обобще-
ние — использование коммутативных кодирующих функ-
ций в секретных системах связи для передачи произволь-
ных сигналов (а не только названий карт) по каналам
связи, подслушиваемым противником.
3 № 1136
65
Заключение
Сначала мы доказали, что задача о честной раздаче
при игре в покер без карт неразрешима, а затем привели
эффективный алгоритм ее решения. Предоставляем чи-
тателю разгрызть сей твердый орешек и .примирить
столь противоречивые результаты. (Указание: информа-
ция, имеющаяся у каждого игрока, вполне достаточна для
того, чтобы он мог определить, какие карты достались
партнеру, если бы не огромные вычислительные труд-
ности, мешающие раскрыть код партнера и тем самым
выведать все его «секреты».)
Мы хотели бы поблагодарить Роберта У. Флойда,
Майкла Рабина и Альберта Мейера за обсуждение и
ценные предложения.
1. БИПе, \ШШе1с1 апсЗ НеНтап, МагКп Е. 1976. №\у Б1гес1юп$ т
Сгур1обгарЬу. ШЕЕ Тгапз. 1п]о. ТНеогу 1Т—22: 644—654.
2. МогеЬеад, А. Н., Ргеу, Р. Ь. апё Мои-ЗтИЬ, С. 1947. ТЬе Ые\у
Сотр1е*е Ноу1е. Ые^ Уогк: Оагйеп СИу Воокз.
3. РопН&, 51ерЬеп С. апё НеНтап, Маг1т Е. 1978. Ап 1тргоуе<1 А1-
&оп1пт Гог Сотри1т2 оуег ОР (р) апё Не Сгур1обгарЫс З^пШ-
сапсе. 1ЕЕЕ Тгапз. 1п\о. ТНеогу 1Т—24: 106—110.
4. Кпгезх, Копа1ё Ь., ЗЪапнг, Ай\ апё Ас1е1тап, Ьеопагс1 М. 1978.
А Ме1Ьос1 !ог ОЫатт§ Б1бйа1 51бпа1иге5 апс! РиЪЬ'с-Кеу Сгур1сь
5узктз. САСМ 21: 120—126.
1.6. Дешево, дорого или по сходной цене?
Вашек Хватал
На стр. 128 книги Р. Ч. Мак-Лэгэна «Игры и развле-
чения Арджайлшира», изданной в 1901 г. в Лондоне
Дэвидом Наттом, приведено следующее описание одной
старинной шотландской игры.
Дешево, дорого или по сходной цене
В эту игру играют вдвоем. На грифельной доске пишут
буквы Дш, Др и С, означающие соответственно «дешево», «до-
рого» и «по сходной цене». Между этими словами следует оста-
вить промежутки. Под Дш записывают числа ], 2, 3, под С —
66
числа 4, 5, 6 и под Др — числа 7, 8, 9:
Дш С Др
I, 2, 3 4, 5, 6 7, 8, 9
Игрок А, начинающий игру, задумывает в тайне от игрока Б ка-
кое-нибудь одно из записанных под обозначениями чисел. Игрок
Б должен отгадать задуманное число. Обращаясь к Б, игрок А
произносит: «Отец купил на ярмарке лошадь». «Дешево, дорого
или по сходной цене?» — спрашивает Б. Отвечая Б, А называ-
ет ту группу, к которой принадлежит задуманное им число-.
Например, если А задумал число 5, то он отвечает: «По сходной
цене». После этого Б называет наугад одно из чисел в группе С.
Если Б называет 5, т. е. угадывает загаданную А цену, то он
получает 5 очков. Если же Б называет числа 4 или 6, то 5 очков-
получает игрок А. И в том, и в другом случае число 5 стирается
с доски. Следующее число задумывает игрок Б. Водят (задумы-
вают числа) игроки по очереди до тех пор, пока с доски не будут
стерты все числа. Каждый из игроков подсчитывает, сколько
очков он набрал. Побеждает тот, кто наберет больше очков.
Мы изложим здесь анализ игры «Дешево, дорого или
по сходной цене». Для удобства читателей, не знакомых
с теорией игр, приведем сначала краткий обзор основных
сведений о так называемых матричных играх.
Начнем с игры «Монетку под пару», в чем-то близ-
кой игре «Дешево, дорого или по сходной цене», но зна-
чительно более простой. Играют в «Монетку» вдвоем.
Каждай из игроков прячет в кулаке или в кармане мо-
нетку в 5, 10 или 25 центов; затем по команде оба игрока
одновременно показывают свои монетки друг другу.
Если монетки оказываются одинаковыми, то они пере-
ходят к первому игроку, а если различными — то ко
второму. Ясно, что стратегии, заведомо гарантирующей
выигрыш, нет ни у одного игрока: в случае неудачи лю-
бой из них может проиграть подряд какое угодно число
партий. И все же мы утверждаем, что, по крайней мере «в
статистическом смысле», шансы второго игрока предпоч-
тительнее: если он действует правильно, то может твер-
до рассчитывать на выигрыш в длинной серии игр. Разу-
меется, монету второй игрок каждый раз должен выби-
рать случайным образом, чтобы его противник не мог
предсказать исход очередного выбора. В то же время
вероятности выбора монеты того или иного достоинства
должны быть фиксированы: в длинной серии игр вероят-
ности выбора монеты в 5, 10 и 25 центов у второго игро-
ка должны соответственно равняться 7/34, 12/34 и, 15/34.
з*
67
Предположим, что второй игрок неукоснительно сле-
дует указанной стратегии игры. Рассмотрим длинную
серию игр. На каждую монету в 5 центов, поставленную
первым игроком, второй игрок в 7/34 общего числа игр
отвечает монетой в 5 центов, в 12/34 — монетой в 10 цен-
тов и в 15/34 — монетой в 25 центов. Ясно, что незави-
симо от избранной первым игроком стратегии он не может
преодолеть элемент случайности, вносимый в игру вто-
рым игроком (который выбирает свою монету случай-
ным образом). В той группе игр, в которой первый игрок
прячет монету в 5 центов, второй игрок проигрывает
монету в 5 центов в 7/34 и выигрывает в 27/34 общего чис-
ла игр. Аналогично в той группе игр, в которой первый
игрок выбирает монету в 10 центов, второй игрок про-
игрывает монету в 10 центов в 12/34 и выигрывает в
22/34 общего числа игр. Наконец, в той группе игр, в
которой первый игрок прячет монету в 25 центов, второй
игрок проигрывает монету в 25 центов в 15/34 и выигры-
вает в 19/34 общего числа игр. В каждой из этих трех
групп средний выигрыш второго игрока составляет
100/34 центов за игру. Разумеется, такой выигрыш не
гарантируется: речь идет лишь о математическом ожи-
дании, или среднем значении, выигрыша так же, как в
длинной серии бросаний (не фальшивая) монета в сред-
нем (хотя строго это и не гарантируется) в половине
случаев падает вверх гербом. В том же смысле первый
игрок может защитить себя от больших, чем 100/34
центов за игру проигрышей, если будет выбирать в 10/17
общего числа всех игр монету в 5 центов, в 5/17 — монету
в 10 центов, и в остальных 2/17 — монету в 25 центов.
Независимо от избранной вторым игроком стратегии
всякий раз, когда он будет ставить монету в 5, 10 и
25 центов, максимальный средний (ожидаемый) выигрыш
первого игрока будет составлять соответственно
— 17,Ь+17"Ш-+Т7'Л"Т7' Т7 Ь~\7 Ш+И Л~17'
10 54-5 10 2 25--
центов за игру (отрицательный выигрыш — это, разу-
меется, проигрыш).
68
Такой игре соответствует матрица
5 — 5 — 5\
— 10 10 —10 )
-25 —25 25/
Первый игрок выбирает одну из трех строк (в зависи-
мости от того, какую монету — 5, 10 или 25 центов —
он прячет), второй игрок независимо от первого выбирает
один из трех столбцов. Элемент матрицы, стоящий на
пересечении выбранной строки и выбранного столбца,
указывает величину выигрыша первого игрока. В общем
случае каждая матрица А = (аи) задает игру, в которой
первый игрок выбирает (скажем, 1-ю) строку, второй —
(например, /-й) столбец; при этом элемент а,ц матрицы
указывает величину выигрыша первого игрока. («Де-
шево, дорого или по сходной цене» можно рассматривать
как игру того же типа: каждая строка матрицы соответ-
ствует набору четких инструкций, которых игрок А
должен неукоснительно придерживаться на протяже-
нии девяти туров, а каждый столбец — аналогичному
набору инструкций для игрока Б. Число строк и столб-
цов матрицы игры «Дешево, дорого или по сходной цене»
огромно.)
Единственная разумная стратегия для каждого иг-
рока и в общем случае состоит в случайном и поэтому
непредсказуемом для противника выборе строки. Пусть
первый игрок выбирает каждую строку /=1, 2, . . .ут
с относительной частотой Л',, а второй игрок выбирает
каждый столбец /=1, 2, . . ., п с относительной часто-
той у.. Тогда средний выигрыш первого игрока за одну
игру составляет
т п
1=1 / = 1
В матричных обозначениях эту величину можно запи-
сать в виде хАу. Вектор-строка х с компонентами хи
х2, . . ., хт и вектор-столбец у с компонентами уи
У г, • •> Уп обладают одной общей характеристической
особенностью: все их компоненты неотрицательны и в
сумме равны единице. Такие векторы называются сто-
хастическими или случайными. В конце двадцатых годов
нашего века Джон фон Нейман (2иг ТЬеопе йег ОезеН-
69
5сЬаЙ55р1е1е, Ма№. Апп. (1928), 100, 195—320*) до-
казал знаменитую теорему о минимаксе. Эта теорема
утверждает, что
тах т\п хАу = т'т тах хАу,
х у У х
где А — произвольная матрица, максимум берется по
всем стохастическим вектор-строкам х, а минимум —
по всем стохастическим вектор-столбцам у. Теорему о ми-
нимаксе можно сформулировать и иначе: для любой мат-
рицы А найдутся такие стохастические векторы х* и у*,
что при любых стохастических векторах х и у
хАу* < х*Ау* ^ х* А у.
Стохастические векторы х* и у* можно рассматривать
как оптимальные стратегии в игре, задаваемой матрицей
А: первый игрок может рассчитывать выиграть за игру
не менее
т'т х*Ау = х*Ау*,
у
второй — проиграть за игру не более
тах хА у* = х* Ау*.
X
Величина х*Ау* называется ценой игры. (Цена игры
«Монетка под пару» отрицательна и равна —50/17.)
Но довольно предварительных замечаний. Обратим-
ся снова к игре «Дешево, дорого или по сходной цене».
Чтобы покончить с неизвестностью, сразу откроем, что
в этой игре большие шансы на выигрыш имеет игрок Б:
цена игры составляет около —3,8 (иначе говоря, если
оба игрока будут придерживаться своих оптимальных
стратегий, то игрок Б может рассчитывать набрать
24,4 очка, а игрок А — только 20,6 очков). Любая по-
зиция, какая только может возникнуть в игре «Дешево,
дорого или по сходной цене», определяется множеством
чисел 5, оставшихся на грифельной доске. Если число
элементов множества 5 нечетно, то очередное число на
доске выбирает игрок А; если же число элементов мно-
жества 5 четно, то очередное число выбирает игрок Б.
* Эта статья (Нейман Дж. К теории стратегических игр) вклю-
чена в названный на с. 485 сборник [7].— Прим. ред.
70
Если игрок при выборе числа придерживается своей оп-
тимальной стратегии, то за оставшуюся часть игры он
может рассчитывать набрать не менее V очков незави-
симо от того, какую стратегию изберет его противник.
Аналогично если игрок при отгадывании числа придер-
живается своей оптимальной стратегии, то за оставшуюся
часть игры он может рассчитывать набрать не менее ш
очков независимо от того, какую стратегию изберет его
противник. По теореме о минимаксе сумма у-\-хю равна
числу всех элементов множества 5. Разность V—ю бу-
дем называть ценой множества 5. Мы хотим предложить
вниманию читателя способ, позволяющий легко вычис-
лять цену любого множества 5, оптимальные способы вы-
бора числа из 5 и оптимальные способы угадывания чис-
ла в заданной подгруппе элементов множества 5. Наши
утверждения можно доказать методом индукции по числу
элементов множества 5, но мы опускаем доказательства
из-за их громоздкости.
Каждый тур начинается с того, что один из игроков
называет группу, в которой находится выбранное им
число. При выборе числа оптимальная стратегия состоит
в соблюдении следующих правил:
1) чем обширнее группа чисел, тем она предпочтитель-
нее»
2) из групп, содержащих по три числа, группа «До-
рого» предпочтительнее группы «По сходной цене», а та
в свою очередь предпочтительнее группы «Дешево»;
3) все группы, содержащие по два числа, одинаково
привлекательны;
4) из групп, содержащих по одному числу, группа
«Дешево» предпочтительнее группы «По сходной цене», а
та предпочтительнее группы «Дорого».
Выбор числа должен иметь случайный характер.
Оптимальная стратегия для этого сводится к следующему:
5) из группы, содержащей два числа х и у,
выбирать число х с вероятностью у/(х+у),
выбирать число у с вероятностью х/(х+у);
6) из группы, содержащей три числа х, у и г,
выбирать число х с вероятностью уг/(ху-\-хг+уг),
выбирать число у с вероятностью хг/(ху-\-хг+уг),
выбирать г с вероятностью ху/(ху+хг+уг).
Эти правила дают полное описание оптимальных стра-
тегий для игрока, которому предстоит выбрать число.
71
Почти любой оптимальный выбор можно сформулировать
как одно из правил 1—6. Единственное исключение
составляет случай, подпадающий под правило
7) в позициях, когда группа «Дешево» содержит одно
число, а каждая из групп «По сходной цене» и «Дорого» —
по два числа, не будет ошибкой выбрать единственное
число из группы «Дешево».
Займемся теперь оценкой различных позиций. Пред-
положим сначала, что две из трех групп полностью стер-
ты с доски. В этом случае множество {х} имеет цену—ху
множество {х, у) — цену (х2-\-у2)/(х+у), а множество
{*, у, г} — цену
1 ( ху(х* + у*) хг(х* + 2*) У2(у2+г*)\
ху-\-хг+уг\у х-\-у х + г у + г ]'
Последняя формула приводите следующим значениям:
цена множества {1, 2, 3} равна —330 ~—1,85757575;
цена множества {4, 5, 6} равна —18 315 «—3,544253344;
цена множества {7,8, 9} равна _ ±^^^—5,465232009.
Правила 1—6 в сочетании с вычисленными нами це-
нами множеств (их 21) позволяют просто находить це-
ны и других множеств. Например, рассмотрим множест-
во 5={1, 2, 3, 4, 5, 7, 9}. Так как 5 содержит нечетное
число элементов, выбирать число должен игрок А. Оп-
тимальная игра протекает следующим образом:
А выбирает число из группы «Дешево», Б выбирает
число из группы «Дешево», А выбирает число из группы
«По сходной цене», Б выбирает число из группы «Доро-
го», А выбирает число из группы «Дешево», Б выбирает
число из группы «По сходной цене», А выбирает число
из группы «Дорого».
Два игрока могли бы по обоюдному согласию разы-
грать партию в следующем порядке:
А выбирает число из группы «Дешево», Б выбирает
число из группы «Дешево», А выбирает число из группы
«Дешево», А выбирает число из группы «По сходной
цене», Б выбирает число из группы «По сходной цене», Б
выбирает число из группы «Дорого», А выбирает число
из группы «Дорого».
72
Мы заключаем, что цена множества 5 такова:
цена множества {1, 2, 3} + цена множества {4, 5} —
— цена множества {7, 9} =
613 , 41 130 21491 - ,07Л0Л0
= -330 + -9-^- = -3960^-5'4270202-
Чтобы аналогичным образом вычислить цену каждой
из 512 позиций, необходимо заготовить несколько до-
полнительных «строительных блоков». Пусть 5 — снова
позиция, в которой полностью стерты две из трех групп.
Под игрой со сбоем на множестве 8={х, у) мы будем
понимать игру, в которой А в обоих турах выбирает чис-
ло, а под игрой со сбоем на множестве 8={х, у, г} —
игру, в которой А выбирает число только в первом туре
и угадывает число, задуманное игроком Б, в двух осталь-
ных турах. При игре со сбоем цена множества {х, у}
равна —(х2+у2)/(х+у), а цена множества {х, у, г) сос-
тавляет
ху+хг + уг\ У ~*~ х-\-у "^ х-\-г ~1~ у + г )'
Последняя формула приводит к следующим значениям
цены множеств {х, у, г) в случае игры со сбоем:
{1,2,3} - §5^2,948484848,
<4' 5' 6> ~ ^ШТ« 6,787496587,
Я 8, 9}-^^«10,74271892.
Теперь мы знаем все, что необходимо для быстрого вы-
числения цены произвольной позиции. Например, рас-
смотрим множество 5={1, 2, 3, 5, 6}. Оптимальная игра
может проходить следующим образом:
А выбирает число из группы «Дешево», Б выбирает
число из группы «Дешево», А выбирает число из группы
«По сходной цене», Б выбирает число из группы «Деше-
во», А выбирает число из группы «По сходной цене».
По обоюдному согласию игроки могли бы сыграть
эту партию и так:
А выбирает число из группы «Дешево», Б выбирает
число из группы «Дешево», Б выбирает число из группы
73
«Дешево», А выбирает число из группы «По сходной
цене», А выбирает число из группы «По сходной цене».
Следовательно, цена множества 5 равна сумме
цена в игре со сбоем множества {1, 2, 3} + цена
в игре со сбоем множества {5, 6} =
=1-т1=-1«-2'5969696-
Наконец, обратимся к оптимальным стратегиям отга-
дывания выбранного числа. Предположим, что один из
игроков выбирает число из группы, содержащей три
числа {ху уу г). Пусть а, Ь и с — цены множеств 5—{*},
8—{(/}, 5—{г}. Ясно, что оптимальная стратегия отга-
дывания числа для другого игрока совпадает с оптималь-
ной стратегией второго игрока в игре с матрицей
— х — а
у-ь
г—с
х—а
-у-ь
г —с
х — а
у-ь
— г—с
Этому игроку необходимо
отгадывать число х с вероятностью
2(*гН-1г+Уг)[у(* + С~а) + г(' + 6~а)1'
отгадывать число у с вероятностью
2(ху+1Хг+уг) [х(У+с-Ь) + г{у+а-Ь)],
отгадывать число г с вероятностью
2(Ху+1хг+уг)[х{г + Ь-с)+у(г + а-с)].
Аналогично если один из игроков выбирает число из
группы, содержащей два числа, и а, & — цены множеств
5—{х}у 8—{у}у то оптимальная стратегия отгадывания
для другого игрока совпадает с оптимальной стратегией
второго игрока в игре с матрицей
-х — а х — а
у—Ь —у—Ь
74
Этому игрку надлежит
отгадывать число х с вероятностью 2 (*+*/—я+6),
отгадывать число у с вероятностью 2 (х+#+а—Ь).
1.7. Задача об одной игре в „классы'4,
имеющей случайный характер,
или как добиться,
чтобы Джонни больше читал
Дэвид Беренгат
Многие из наиболее распространенных игр сочетают
элемент случайности, вносимый бросанием игральной
кости, запуском волчка или сдачей тщательно перета-
сованной колоды карт, с еще одной особенностью: игра
ведется на какой-нибудь поверхности или специальной
доске, расчерченной на клетки («классы»). Эти клетки
располагаются в определенном порядке в виде либо зам-
кнутой петли (как в игре «Монополия»), либо цепочки с
раздельными началом и концом (как в криббедже или
триктраке). Перемещения фишек в таких играх при не-
которой доле воображения можно было бы назвать «слу-
чайной» игрой в классы. Как специалист по математиче-
ской статистике я питаю непреходящий интерес к веро-
ятностным аспектам"таких игр.
Наша статья берет начало от одной задачи, которую
мне сообщил Дэвид Кларнер. Стремясь пристрастить
своих питомцев к чтению, учительница начальной шко-
лы придумала следующую игру в классы с элементами
случайности. На доске начерчена цепочка клеток с раз-
дельными началом и концом. В одни клетки вписаны раз-
личные задания по чтению, другие клетки пустые.
Каждый ученик по очереди проходит от начала до конца
цепочки, делая ходы в соответствии с исходами бросания
видоизмененной игральной кости, на двух гранях кото-
рой стоит по одному очку, на двух других — по два оч-
75
ка и на последних двух — по три очка. Каждый ход
соответственно позволяет продвинуться на одну, две
или три клетки, причем эти три исхода равновероятны.
Если клетка, на которую ученик попадает, сделав оче-
редной ход, содержит задание по чтению, это задание
должно быть выполнено, прежде чем будет сделан сле-
дующий ход.
Выдумка оказалась удачной: вводя элемент случай-
ности (и подзадоривая своих учеников: «Интересно, кто
сумеет бросить кбсть так, чтобы выпало нужное число
очков?»), учительница смогла долго удерживать вни-
мание своих подопечных. В связи с этой игрой у учи-
тельницы возник вопрос: в какие клетки следует впи-
сывать задания по чтению, чтобы среднее число заданий,
выполняемых учеником за один проход, было макси-
мальным? Разумеется, неявно предполагается, что и чис-
ло клеток, и число заданий по чтению фиксированы.
От слов к числам
Ключ к решению многих математических задач ле-
жит просто в том, чтобы их правильно сформулировать.
В значительной степени так обстоит дело и с вопросом,
заданным нашей учительницей. Поскольку математиче-
ские задачи часто легче решать в общем, чем в част-
ном виде, я буду считать число клеток на игральной
доске и число заданий произвольными и обозначу их со-
ответственно буквами п и /.
Чтобы решить задачу, нужно прежде всего точно
знать, в чем, собственно, она состоит. Какой смысл вкла-
дывается в выражение «среднее число заданий, выполняе-
мых за один проход»? Среднее значение, или математиче-
ское ожидание случайной величины — стандартное по-
нятие теории вероятностей. Не вдаваясь в подробности,
математическое ожидание можно определить как взве-
шенное среднее случайной величины, где каждое ее зна-
чение берется с весом, равным вероятности этого значе-
ния. Если Т — число заданий, выполненных за один ги-
потетический проход по доске, то Т — случайная ве-
личина, которая может принимать любое целое значение
от 0 до / (включительно), каждое — с определенной
(пока неизвестной) вероятностью. Пусть Р(/)— вероят-
ность того, что Т принимает значение /, где / — любое
76
целое число, такое, что 0^/^Л Математическое ожида*
ние Е(Т) случайной величины Т вычисляется по форму-
ле
Е(Г)=0-Р(0)+ЬЯ(1)+ . . . +(/-1).Я(/-1)+/.р(/).
Клетки на доске удобно перенумеровать по порядку
от начала к концу так: чтобы начальная клетка имела
номер 1, следующая клетка — номер 2 и т. д., а послед-
няя клетка — номер п. Пусть /ь /2, . . ., 1г— номера
клеток (в порядке возрастания) с заданиями по чтению.
Для любого прохода значение Т есть просто число кле-
ток из множества {*!, /2, . . ., /,}, на которое попадает
игрок. Здесь удобно воспользоваться известным матема-
тическим приемом и ввести переменные-индикаторы,
принимающие только значения 1 или 0 в зависимости
от того, происходит или не происходит некоторое со-
бытие. Пусть в нашем случае 1г— индикатор события,
состоящего в том, что игрок попадает на клетку н,
т.е. /1=1, если игрок при проходе вступит на клетку
1и и /1=0, если игрок клетку н минует. Аналогично
пусть /2— индикатор события, состоящего в том, что
игрок попадает на клетку /2 и т. д. вплоть до 1Х. Ясно,
что сумма /1+/2+ ...+/* служит своего рода счет-
чиком, показывающим, сколько раз за проход игрок
попадает на клетки с заданиями. Это число мы обозначим
через Т.
Таким образом, вычисление математического ожида-
ния случайной величины Т эквивалентно вычислению
математического ожидания суммы Л+/2+ . . . +/*. Вос-
пользуемся фундаментальным свойством среднего зна-
чения (математического ожидания) — его аддитивно-
стью: математическое ожидание суммы равно сумме
математических ожиданий слагаемых. (Например, мате-
матическое ожидание числа дождливых дней в году для
данной местности равно математическому ожиданию чис-
ла дождливых дней в январе плюс математическое ожи-
дание числа дождливых дней в феврале и т. д.) Кратко
это свойство математического ожидания можно записать
так:
Е(Т)=Е(1,)+Е(12)+ .. .+Е (Л).
Как нам вычислить, например, Е (Л)? Из определения
математического ожидания следует, что Е (/])=() «Р (0)+
77
+ Ь/>(1)=Р(1). Но Р(1) — вероятность того, что 1%
принимает значение 1, т. е, что игрок попадает на клетку
с номером *ь Аналогично Е(12) совпадает с вероятно-
стью попасть на клетку ьг и т. д. Если обозначить через
рь вероятность того, что игрок ступит на клетку *, где
1^<Л, ТО
Итак, задача сводится к вычислению величин /?*,
Рг, • • ., Рп- Коль скоро они известны, мы можем решить
задачу, поставленную учительницей: выбрать клетки
*ь *2, . . ., и так, чтобы максимизировать Е(Т). Ясно,
что мы должны выбрать I клеток, которым соответствуют
I наибольших величин из числа чисел рь р2» - . ., Рп-
для вписывания заданий по чтению учительнице нужно
выбрать те I клеток, на которые с наибольшей вероят-
ностью будут попадать ученики!
Найти эти клетки — нетривиальная задача. Чтобы
пояснить основную идею предлагаемого метода решения,
рассмотрим сначала упрощенный вариант игры.
Более простая задача
Предположим, что правила игры несколько изменены:
делая очередной ход, игрок может продвинуться вперед
на одну или две клетки (в зависимости от того, какой
стороной вверх упадет подбрасываемая им монета). Мож-
но ли вычислить для упрощенного варианта игры ве-
роятности ри /?2, . . ., рп попасть на первую, вторую,
. . ., м-ю клетки?
Вычислить вероятность р± достаточно просто: это не
что иное, как вероятность попасть при первом ходе на
клетку 1, т.е. 1/2. Величина р2—вероятность попасть
на клетку 2. Это может произойти двумя способами: если
при первом ходе игрок сдвинется на две клетки и если
при первом и втором ходах он сместится на одну клетку.
Вероятность первого события составляет х/2. Вероят-
ность второго события равна вероятности получения
двух цифр при двух последовательных бросаниях монеты.
Так как каждое бросание монеты производится неза-
висимо, то принцип умножения утверждает, что инте-
ресующая нас вероятность равна произведению вероят-
ностей получить цифру при первом бросании и получить
78
ее при втором бросании, т. е. что она равна {^и*1!^—1!^
Так как других способов попасть на клетку 2 не сущест-
вует, а два рассмотренных нами способа различны, пол-
ная вероятность р2 попасть на клетку 2 равна сумме
вычисленных вероятностей
р2=1/2+1/4=3/4.
Те же рассуждения, требующие перебора всех «путей»,
ведущих к данной клетке, позволяют вычислить р3
и все остальные вероятности, хотя по мере продвижения
от начала доски задача становится все более громоздкой.
К счастью, эту трудность удается преодолеть с помощью
более тонких рассуждений, позволяющих вычислять
вероятности рекуррентно.
Рекуррентный подход
Предположим, требуется вычислить вероятность рь:
попасть на г-ю клетку, где />2. Любой ход, позволяю-
щий попасть на 1-ю клетку, должен начинаться либо с
(г—2)-й, либо с (I—1)-й клетки. Следовательно, попасть на
1-ю клетку можно двумя различными способами (см.
рис. 1):
^
}
#-2
:^ЯЧ
I- 2
/ - 1
Рис. 1. Два различных пути к 1-й клетке.
1) попасть на (**—2)-ю клетку и следующим ходом
продвинуться на две клетки (перешагнув через (/—1)-ю
клетку);
2) попасть на (/—1)-ю клетку и следующим ходом
продвинуться на одну клетку.
79
Последовательные ходы независимы, поэтому вероят-
ность попасть на клетку г в первом случае равна произ-
ведению вероятности попасть на (г—2)-ю клетку (т. е.
Р[-2) и равнойл12 вероятности продвинуться следующим
ходом на две клетки, иначе, вероятность попасть на /-ю
клетку первым путем равна 1/2р/_2- Аналогично вероят-
ность попасть на 1-ю клетку вторым путем равна 1/2р/_1.
Вероятность попасть на *-ю клетку любым путем состав-
ляет 1/2Р/_1+1/2Р/_2. Таким образом, каждый член
последовательности ръ р2у . . ., рпу начиная с третьего,
равен среднему арифметическому двух предыдущих
членов:
Зная, что р1=1/2 и р2=3/4, получаем р3=1/2 (х/2+
+3/4)=5/8. То же рекуррентное соотношение позволяет
вычислить р1=11/и> Р5=21/32 и т. д. Разумеется, для
того чтобы вычислить этим способом р20, нам пришлось
бы сначала вычислить числа /?ь /?2, . . ., /?19. Но вы-
числение 19 вероятностей — занятие довольно утоми-
тельное. А нельзя ли вывести явную формулу для ри
справедливую при любом /?
Оказывается, можно. Более того, эта формула полу-
чается удивительно простой:
Р/ = 2/з + 1/з(-1/2)' (2)
(из (2), в частности, следует, что/?20 = 2097 152/3 145 728).
Формула для р1 непосредственно следует из рекур-
рентного соотношения (1) для вероятностей, если за-
метить, что арифметическое среднее двух чисел нахо-
дится точно посредине между ними. Например, рь на-
ходится посредине между р(_2 и р{_^ Следовательно,
разность между рь и р{_^ по величине равна половине
разности между р;_+ и р^_2. Нетрудно видеть также, что
эти разности противоположны по знаку. Таким образом,
если обозначить йг-=/?г—р{_г (где Г$г2), то
^ = -1/^_1 (3)
(ер. рис. 2).
Повторно применяя соотношение (3), получаем
^~1/2^_1-(-1/2)(-1/2) 4,_2=. . . = {-Ч2У~Ч2.
Но
Й8 = />8— />1^3/4—1/2 = У4.
80"
Следовательно,
^ = (1/4)(-1/1)'"-1=(-1/,)'.
Наконец, воспользуемся тем, что рь можно предста-
вить в виде суммы
(Р~р1-1) + (Р1-1—Рг-г)+ . • . + (/>!—/>1)+Л =
Прямой подстановкой получаем
Рг = (-1/2У+(-1иу-1+^ • . + (-1/2)2 + 1/2.
Преобразуя правую часть по известной формуле для
суммы конечной геометрической прогрессии, приходим
/7,-1
Р\ + I
р\-1
Б«=Ь
К
1-2 1-1 | 1 + 1
Рис. 2. Соотношения между последовательными вероятностями рь
Рг, •••> Рп-
к окончательному ответу (2):
Приближенные значения 12 первых величин/^ собраны
в табл. 1.
Обращают на себя внимание правильные колебания-
последовательности вероятностей рь вокруг значения 2/3.
С увеличением I амплитуда колебаний убывает. Кроме
того, подпоследовательность с нечетными индексами
Ри Рзу- Р5> . . ., монотонно возрастая, сходится к пределу
2/3, в то время как дополнительная подпоследователь-
ность /72, />4, р6, . . . сходится к .тому же пределу, моно-
61,
ТАБЛИЦА I
Значения р,- при 1«^1<;12.
Упрощенный вариант игры
1
1
2
3
4
5
6
Р(
0,5000
0,7500
0,6250
0,6875
0,6563 1
0,6719
1
7
в
9
1 10
11
12
*1
0,6641
0,6680
0,6660
0,6670
0,6665
0,6667
тонно убывая. Ясно, что р2 — наибольший член по-
следовательности, р4 — второй по величине, рх — наи-
меньший член последовательности, р3 — следующий за
ним по величине член последовательности и т. д.
Теперь мы уже в состоянии ответить на вопрос учи-
тельницы (по крайней мере при упрощенном варианте
игры). Чтобы максимизировать математическое ожида-
ние числа выполненных заданий, задания следует впи-
сывать в клетки с четными номерами. Начать следует
с клетки 2 и заполнять последующие четные клетки до
тех пор, пока либо (а) мы не исчерпаем всех заданий,
либо (б) не дойдем до конца доски. В случае (б) остав-
шиеся задания следует вписывать в пустые клетки
(с нечетными номерами), начав с конца доски и дви-
гаясь от конца к началу.
Стоит ли очень стараться?
Будучи математиком с прикладным уклоном, я ре-
шил выяснить, много ли проку от оптимального разме-
щения заданий на доске. Вопрос, который меня интере-
совал, более точно следует сформулировать так: ве-
лика ли разность математических ожиданий числа вы-
полненных заданий в случае оптимальной и наихудшей
из возможных схем размещения (наихудший вариант
получается из оптимальной схемы, если четные и нечет-
ные клетки поменять ролями)? Ответ требует только
несложных алгебраических вычислений и зависит от
того', будет ли п (число клеток на доске) вдвое больше I
Ь2
(числа заданий). Если п=21, то разность математиче-
ских ожиданий равна (1—4~')/3, если пф21, то раз-
ность равна (1—4'~л)/3. Независимо от того, сколь
велики пи/, разность математических ожиданий ни-
когда не превышает 1/8, но в большинстве случаев мало
отличается от х/3. Например, если имеется всего пять
заданий, а число клеток на доске не меньше десяти, то
математическое ожидание числа выполненных заданий
при оптимальной схеме их размещения примерно равно
3,4443, а при наихудшей схеме — всего лишь 3,1113.
Разность этих значений составляет 0,3330 (или, если
быть точным, 341/1024). Хотя эта разность может по-
казаться не очень существенной, она становится тем
ощутимее, чем чаще проводится игра. Например, если
в классе из 30 человек каждый ученик сыграет по од-
ному разу, то различие между оптимальной и наихуд-
шей схемами размещения заданий обернется примерно
десятью дополнительно выполненными заданиями.
Исходный вариант задачи
Решив упрощенную задачу, попытаемся применить
те же методы к решению исходного варианта задачи,
поставленной учительницей, в котором равновероятны
ходы с продвижением на одну, две и три клетки. Ясно,
что, рассуждая по аналогии с упрощенным вариантом,
мы получим рекуррентное соотношение, которое на
этот раз имеет вид
Р*=(Р/-1+Л--1+Р/-.)/3, <>3. (4)
Чтобы формулой (4) можно было пользоваться, не+-
обходимо вычислить рь р2 и р9. Ясно, что р1=1/3. Чтобы
попасть на клетку 2, необходимо либо первым ходом
продвинуться на две клетки, либо сделать два хода
с продвижением на одну клетку каждый; поэтому р2=
=1/3+(1/з)2=4/9. Попасть на клетку 3 можно четырьмя
способами: 1) продвинуться первым ходом на три клет-
ки; 2) продвинуться первым ходом на две клетки, а
вторым на одну клетку; 3) продвинуться первым хо-
дом на одну клетку, а вторым на две клетки; 4) тремя
последовательными ходами с продвижением каждый
раз на одну клетку. Следовательно, /73=1/з4-(1/3)аЧ-
+(1/з)2+(1/з)3=1727- Рекуррентное соотношение с тремя
88
^начальными значениями позволяет в принципе вычис-
лять р{ при любом I. Приближенные величины 12 пер-
вых значений р1 приведены в табл. 2.
ТАБЛИЦА 2
Значения вероятностей /?/ при
1^1^ 12. Исходный вариант игры
1
1
2
3
4
5
6
*;
0,3333
0,4444
0,5926 1
0,4568 |
0,4979
0,5158
1
7
8
9
10
11
12
*7
0,4902
0,5013
0,5024
0,4980
0,5006
0,5003
Однако в отличие от упрощенного варианта игры не
существует сколько-нибудь элементарного способа, ко-
торый бы позволял вывести из рекуррентного соотно-
шения явную формулу для рг*-. Тем на менее мы можем
сделать кое-какие интересные наблюдения. Рекуррент-
ное соотношение устанавливает, что любой член после-
довательности вероятностей ри начиная с четвертого,
равен среднему арифметическому трех предыдущих чле-
нов. Следовательно, вероятность рь при любом ь^З
должна быть больше наименьшего, но меньше наиболь-
шего из этих трех членов. Повторяя это рассуждение,
приходим к заключению, что наибольший из любых трех
.членов р{_2, /?,•_!, рь последовательности {ри р2, • • •}
превосходит все остальные члены последователь-
ности, которые в свою очередь превосходят наимень-
ший из тех же трех членов. Непосредственно из этого
замечания следует, что наибольшая из трех вероят-
ностей р19 р2, рзу & именно р3, является наибольшей из
* Более подготовленному читателю будет интересно узнать,
что /?/ можно представить в виде
т+(—5-)/4К1+^=2)'+(1-»л=5)1-
[Попытайтесь сами вывести эту формулу. (А для ленивых укажем
брошюру Маркушевича [10], названную на с. 485.) — Ред.]
84
всех вероятностей рь в то время как наименьшая из
этих же трех вероятностей, вероятность ри является
наименьшей из всех вероятностей.
Существуют ли в последовательности р1У р2, . . . за-
кономерности, аналогичные тем, которые нам удалось
заметить в последовательности вероятностей упрощен-
ного варианта игры? Возможно, читатель заподозрит,
что наибольшие /?,-, расположенные в порядке убыва-
ния, образуют последовательность р3, ре, р9, . . . .
Увы, это не так! Чтобы опровергнуть подобную гипо-
тезу, достаточно взглянуть на табл. 2: предполагаемую
схему нарушает значение /?12^0,5003. Это не четвер-
тая, а лишь шестая по величине вероятность, так как и
р8«0,5013, и /?п«0,5006 больше ее. Не обладает пе-
риодичностью и подпоследовательность вероятностей,
расположенных в порядке возрастания: р1у р2, /?4, р7,
Табл. 2 позволяет предположить, что последователь-
ность рг сходится к х/2. Это предположение удается
доказать, хотя доказательство требует известных мате-
матических ухищрений. Из существования предела по-
следовательности, равного 1/2, следует, что никакие
три вероятности р{_2, р{_1У рг не могут лежать по одну
сторону от 1/2. Действительно, если бы такие вероят-
ности р*_2, р\-х, р* нашлись, то в силу сделанных ранее
замечаний все остальные вероятности с большими но-
мерами были бы заключены между наибольшей и наи-
меньшей из трех вероятностей /?*_2, р*_1у р- и поэтому
отличались бы от Ч2 больше, чем ближайшая к 1/2 из
этих вероятностей. Но тогда последовательность рь
не могла бы сходиться к 1/2, т. е. мы пришли бы к про-
тиворечию.
Вероятности рь совершают бесконечные колебания
около значения 1/2, причем по одну сторону от 1/2 на-
ходится не более двух соседних членов последователь-
ности. Заметить какую-нибудь закономерность в колеба-
ниях не удается. Общий ход колебаний первых 25 чле-
нов последовательности /?< представлен в табл. 3.
Предположим, мы применили все, чему научились,
к рассмотренному ранее примеру. Если на доске тре-
буется разместить пять заданий, а клеток не менее
одиннадцати, то по оптимальной схеме задания следует
вписать в клетки 3, 6, 8, 9 и 11. Математическое ожида-
85
ТАБЛИЦА 3
Положение первых 25 членов последовательности р; относительно
0,5 (плюс означает, что р/ больше 0,5,
минус— что /7/ меньше 0,5).
1
р1 относи-
тельно 0,5
1
Р1 относи-
тельно 0,5
1
—
13
—
2
—
14
+
3
+
15
+
4 5
— —
16 17
- +
6 7 8
+ - +
18 19 20
+
9
+
21
—
10 11 12
- + +
22 23 24 25
- +
ние числа выполненных заданий при этом будет пример-
но равно 2,6127. В худшем случае задания вписываются
в клетки с номерами 1, 2, 4, 5 и 7, что соответствует
математическому ожиданию 2,2226. Разность матема-
тических ожиданий оптимальной и наихудшей схем
размещения заданий составляет 0,3901. Интересно от-
метить, что эта разность больше, чем в упрощенном
варианте игры.
Несколько слов в заключение
Рассмотренная нами задача служит примером того,
что одни свойства решения допускают обобщение на
все случаи, другие носят частный характер. Вывод
рекуррентного соотношения для рг остается в силе для
всех вариантов игры, схема решения существенно за-
висит от числа возможных ходов. Разумеется, мы не
рассмотрели два наиболее распространенных варианта
игры в «классы» — с ходами, сопровождающимися про-
движением от 1 до 6 или от 2 до 12 клеток, но, воору-
жившись микрокалькулятором, читатель сумеет про-
анализировать и эти варианты.
Разобравшись в нашей статье, читатель может по-
забавиться на досуге и попытаться обобщить получен-
ные нами результаты: не следует забывать о том, что
если Джонни все время будет проводить на уроках и за
выполнением заданий по чтению, совсем позабыв об
играх, то ему станет нестерпимо скучно.
2. Геометрия
2.1. Венки из касающихся кругов
Соломон В. Голомб
Хорошо известно, что любой круг можно точно
окружить шестью другими кругами того же самого ра-
диуса (рис. 1). В общем случае для того, чтобы точно
окружить круг радиуса г нужно взять п одинаковых
кругов (п^З) радиуса 5, где, как следует из элементар-
ной тригонометрии (рис. 2),
$т-^- = -^т7 (или ^ = $ (созес (я/я) — 1)).
При фиксированном г= 1 радиус 5 с увеличением п,
естественно, убывает (табл. 1).
Рис. I. Круг, который точно ок- Рис.2. Круг данного радиуса,
ружают шесть равных ему кру- который точно окружают п оди-
гов. наковых кругов (п=7).
Рассмотрим теперь случай, когда внутренний круг
и п внешних кругов, точно его окружающих, различ-
ны (рис. 3). Такая ситуация возникает, например, если
у нас имеются круглые монеты различных диаметров
и мы хотим выложить вокруг одной из них не содержа-
щий пробелов венок из нескольких других не перекры-
вающихся между собой монет. Прежде всего необходимо
67
ТАБЛИЦА 1
Радиус 5 каждого из п одинаковых кругов, которые точно
окружают единичный круг
П 8
3 6,46410 = 3 + 2^3
4 2,41421 = 1+ У 2
5 1,42592
6 1,00000 |
П 5
7 0,76642
8 0,61991
9 0,51980
10 0,44721
дать строгое "определение такого венка (или точного
окружения круга известного радиуса п другими кру-
гами).
Определение. Мы говорим, что круг С* точно окру-
жен кругами С1У С2, . . ., Сп (или круги Сх, С2, . . ., Сп
образуют венок вокруг С*), если каждый круг Сь внешне
касается кругов С*, С(_^ и С/ + 1 (где считается, что
Существует ли простая формула, выражающая ве-
личину радиуса г центрального круга С* через извест-
ные радиусы г19 г2, . . ., гп кругов, образующих венок
вокруг С*?
Пытаясь ответить на этот вопрос, мы сразу же стал-
киваемся с первой неожиданностью: при п>3 радиус г
центрального круга зависит не только от радиусов
ги г2, . . ., гн окружающих его кругов, но и от того, в ка-
ком порядке эти круги окружают центральный круг С*.
В общем случае при заданном п существуют (1/2)(п—1)!
венков из п кругов заданных (различных) радиусов,
причем величина радиуса центрального круга зависит
от того, в каком порядке следуют друг за другом крути
радиусов г1У г2, . . ., г», образующие венок вокруг С*.
(Если п радиусов кругов, образующих вокруг С* ве-
нок,— алгебраически независимые вещественные числа,
то радиус г круга С* может принимать (1/2)(м— 1)!
различных значений.) В том, что порядок расположе-
ния кругов Си С2, . . ., Сп, окружающих С*, существен,
нетрудно убедиться на примере (рис. 4).
Радиусы кругов С6 и Св' на рис. 4 одинаковы, но
кругу Сс, расположенному между С4 и С5, отведена
88
более значимая роль в венке, окружающем С*, чем
кругу С^. Увеличив немного радиус круга С«, мы могли
бы нарушить касание кругов С± и С2 — но и тогда ве-
личина радиуса круга Св влияла бы на С* далеко не
столь сильно, как в том случае, когда входящий в ве-
нок круг заключен между двумя кругами почти того же
радиуса, что и его собственный.
Рис. 3. Круг, окруженный семью рис. 4. Круги Св и Се имеют
кругами разных радиусов. одинаковые радиусы, но играют
существенно разные роли в вен-
ке вокруг круга С *.
Не вдаваясь в излишние подробности, можно ска-
зать, что радиус центрального круга достигает макси-
мума, если каждый из кругов, образующих вокруг
него венок, расположен как можно ближе к кругам,
мало отличающимся от него по размерам. Наоборот,
Рис. 5. Максимизирующая и минимизирующая стратегии размеще-
ния п неравных кругов вдоль прямой.
радиус центрального круга минимален, если в окру-
жающем его венке соседние круги отличаются по разме-
рам максимально возможным образом! Если бы п кру-
гов требовалось расположить вдоль прямой, то указать
максимизирующую и минимизирующую стратегии не
составляло бы никакого труда (рис. 5). (Прямую до-
'89
пустимо рассматривать как границу полуплоскости, т. е.,
так сказать, круга С* бесконечного радиуса. Разумеется,
«окружить» полуплоскость С* конечным числом кру-
гов конечного радиуса невозможно — и здесь миними-
зируется и максимизируется не радиус С*, а величина
отрезка прямой между самыми далекими точками ее
касания с- Сх, С2, . . ., Сп.) Далее мы будем нумеровать
окружности Си СЪу ♦ . ., Сп в таком порядке, чтобы
их радиусы удовлетворяли не-
равенствам г^г^. . .^гп.
Замечание. Понятие миними-
зации утрачивает определен-
ность, если Сп меньше круга,
касающегося одновременно из-
вне кругов Сх, С2 и С* (см.
рис. 4); однако нам нет необ-
ходимости рассматривать этот
«особый» случай.
Если обратиться к задаче
о размещении п образующих
Рнс. 6. Эвристический ал-
горитм максимизации ра-
диуса круга С *'.
Рис. 7. Эвристический ал-
горитм минимизации ра-
диуса круга С *.
Рис. 8. Три круга, обра-
зующие венок, однознач-
но определяют радиус
центрального круга С *.
венок кругов в таком порядке, при котором радиус
центрального круга С* максимален, то эвристический
алгоритм (рис. 6) рекомендует начать оцепление С*
с круга С± наибольшего радиуса и пристроить к нему
с одной стороны круги С2, С4, Св, . . ., а с другой —
круги С3, С&, С7, . . . . Эвристический алгоритм мини-
мизации радиуса центрального круга С* (рис. 7) сове-
тует начать снова с максимального круга Сх и прист-
ав
роить к нему с одной стороны круги Сп, С2, С„_2, С4,
С„_4, С6, . . ., а с другой —круги Сп_1У С3, С5, С„_5, ...
Оптимальность обоих алгоритмов при всех возможных
наборах радиусов кругов Сх, С2, . . ., Сп не доказана.
При м=3 существует только одно (с точностью до
евклидовых движений — поворотов, отражений и па-
раллельных переносов) расположение трех кругов С*,
С2 и Сз, при котором каждый круг касается двух дру-
гих. Это расположение однозначно определяет радиус
центрального круга С* (рис. 8), такого, что круги Си
С2 и Сз образуют вокруг С* венок. Если а, Ъ и с — ра-
диусы кругов С1? С2 и Сз, то радиус г центрального
круга С* выражается формулой
аЬс
Г= т .
аЬ + Ьс+са-\-2уаЬс(а + Ь-{-с)
При п=4 из кругов Сь С2, С3 и С4 различных ра-
диусов можно составить 1/2(4—1)!=3 существенно раз-
личных венка (рис. 9).
Рассмотрим частный случай, когда образующие ве-
нок четыре круга имеют только два разных радиуса.
Предположим, что круги С1 и С2 имеют радиус а, а
круги Сз и С* — радиус Ь. Существуют только два су-
щественно различных варианта расположения наших
четырех кругов в венок; они показаны на рис. 10.
В случае 1 по теореме Пифагора (а-\-Ь)2=(а+г)2-\г
+(Ь+г)2, откуда 2аЬ = 2аг+2Ьг+2г2 или г2+(а+Ь)г~
—аЬ=0. Решая это квадратное уравнение, получаем
„_Уа*+Ш + Ь2-(а + Ъ)
Г- ^ '
При многих а и Ь радиус г принимает целые значе-
ния. Например, г(3, 2)=1, г(10, 3)=2, г(12, 5)=3 и т. д.
[Значения а, Ъ и г связаны с пифагоровыми тройками
по правилу: если г (а, Ь)=г, то (Ь+г, а+г, а-\-Ъ) — пи-
фагорова тройка (рис. 10, случай 1). Наоборот, если
(А, В, С) — пифагорова тройка, т.е. А2-\-В2=С2, то
мы получаем «диофантово» (целочисленное) решение
для случая 1 с а=(А— В+С)/2, Ь=(—Л+В+С)/2,
г=(А+В—С)/2.] Интересно отметить, что монету ра-
диуса 1 можно точно окружить двумя монетами ра-
диуса 2 и двумя монетами радиуса 3, если монеты рас-
положены так, как показано на рис. 10, случай 1. С дру--
91
гой стороны, если монеты расположить так, как пока-
зано на рис. 10, случай 2, то оцепление не будет точ-
ным, хотя и кажется таковым.
Пусть в случае 2 к=к1+к2. По теореме Пифагора
Рис. 9. Три существенно различных венка из п=А кругов фиксиро-
ванных (различных) радиусов.
Случай I Случай 2
Рис. 10. Два различных венка, образованных двумя кругами радиу-
са а и двумя кругами радиуса Ь.
(заметьте, что отрезок, показанный штриховой линией,
имеет длину к) к2=(а+Ь)2—(а—Ь)*=4аЬ. Поэтому
4аЬ = к2 = (к1 + к2У = к;1+к1 + 2к1к2 =
= 2(аК + ЬК + К2+к1кг),
откуда к1к2=2аЬ—(аН+Ы^+Я2) и
(2а/? + /?2) (26/? + /?2) = кА = [2аЬ - (а/? + ЬК + /?2)]2,
(2а + /?)(2й + /?)Ц^-(а+6)-/?)\
92
т. е.
+ 2{а + Ъ)-*аНа + Ь)
и, значит,
Я2 (а2 — 6аЬ + Ь2),— 4аЬ(а + Ь)К + 4а2Ь2 = 0.
\Решая это квадратное уравнение, находим
Г р 4аЬ(а-\-Ь)± У"Ш2Ь2 {(а + Ь)2 — (а2 — 6аЬ+ Ь2)}
Учитывая, что нас интересует только положительный
корень уравнения, окончательно получаем
„__ 2аЬ{2 УШЬ — (а+Ь)) _ 2аЪ
~~ 8аЬ — (а + Ь)2 ~ (а + Ь) _ 2 >/"2^ '
Мы видим, что при целых а \\ Ъ радиус 7? — рацио-
нальное число в том и только том случае, если 2аЪ —
точный квадрат. В частности, /?(3,2)=12/(5+4}/3)=
= (12/2з) (4/3—5)« 1,006019, что примерно на 0,6% боль-
ше, чем ;г(3,2)=1. Эта разность слишком мала, чтобы
с ней приходилось считаться «на практике». Но с уве-
личением отношения а/Ь растет и отношение Я/г. На-
пример, г(10,3) = 2,_в то время как /?(10,3)=60/(13+
+4/15)=60/71 (41/15—13)^2,10586. Превышение ра-
диуса /? центрального круга С* над г составляет здесь
около 5%.
Если венок вокруг круга С* составлен из одного
круга радиуса Ь и п кругов радиуса а, то радиус г цен-
трального круга С* естественно не может зависеть от
порядка в расположении образующих венок кругов.
При /1=2 мы получаем частный случай четырех касаю-
щихся извне кругов (круг С* радиуса г, точно окру-
женный тремя кругами радиусов а, Ь, с). Как уже упо-
миналось (и доказано в [1]), формула для этого более
общего случая имеет вид
аЬс 5 о
аЪ-\-Ьс + са + йУ"аЬс(а + Ь-\-с) 52-|-2 У^Зд
93
где 81=а+Ь+су 8ъ=аЬ-\-Ьс+са, 83=аЬс — элементар-
ные симметрические функции от а, Ь и с.
Наш частный случай (при а=с) более прост: а, Ь
и г связаны здесь соотношением
Из рис. 11 видно, что (а+гУ=а*-\-х*, (а+Ь)2=а2-\-
+(х+г+Ь)%. Таким образом, х+г+Ь=У2аЬ+Ь2, где
Рис. 11. Венок из двух кругов радиуса а и одного круга радиуса Ь.
Х=\/Г2аг-\-г2. Следовательно,
г +Ь =У2аЬ+Ь*-У2аг +гг,
т. е.
г * + 2гЬ + Ь2 = (2аЬ + б2) + (2аг + г2) -
-2Уг(2аЬ + Ь*)(2аг + г*),
й, значит,
(аЪ + аг - гЬ)2 = (2а6 + &2) (2аг + г2),
откуда
аа6а + а V2 = 2а26г + 4а6г2 -{- 4аг&2,
или
(&_г)2 = (~)(4&г)(& + 0 и а = 46г (& + /-)/(& -г)\
94
. . Кажущаяся симметрия между Ь и г не реализуется
геометрически, так как ясно, что Ь>г, Если а и Ь за-*
даны, то по формуле для корней квадратного уравне-
ния находим
Г-° а-4Ь
При а=4Ь мы имеем «устранимую особенность», так
как в этом случае г=г/3Ь. Но в аналогичном выражении
ь_г (а + 2т)+2Уг* + 2аг
■ а — Аг
при а=Аг возникает самая настоящая (неустранимая)
особенность, соответствующая значению Ъ=оо. В част-
ности, при г=1 и а=4 из пифагорова треугольника со
сторонами 3, 4, 5 (рис. 12) видно, что три круга, каждый
Рис. 12. Венок вокруг круга единичного радиуса, образованный дву-
мя кругами радиуса 4 и полуплоскостью («кругом радиуса со»),
из которых касается двух других, касаются прямой
(т. е. «окружают» полуплоскость — круг «радиуса» Ь=
= оо).
Существует много целочисленных троек (г, Ь, а):
(1, 2, 24), (1, 3, 12), (5, 7, 420), (6, 14, 105) и т. д. Их
можно получать по таким формулам, как:
1) г==/1э Ь=п+1, а=4п(/1+1)(2п+1);
2) г=п, Ь=п+2, а=2/1(л-Н)(/1+2);
3) г=2п, Ь=2п+8, а=п(п+2)(п+4) и т.д.
Потребуем, чтобы круг С*, венок вокруг которого
образован одним кругом радиуса Ь и п кругами радиу-
95
са а, имел радиус г=Ь. При любом п^Ъ эта конфигу-
рация однозначно определяет отношение 0,п=а1Ъ. Рас-
смотрим значения (2п при п=3, 4, 5, 6 несколько под-
робнее.
Рис. 13. Венок вокруг круга радиуса Ь, образованный тремя кругами
радиуса а и одним кругом радиуса Ь.
На рис. 13 показан случай п=3, когда
(2а)2=х2+(а+2Ь)*, (а+Ь)2=х2+Ь2,
поэтому
(2а)2—(а+Ь)2=(а+2Ь)2—Ь2 и а2—ЗаЬ—2Ь2=0.
По формуле корней квадратного уравнения получаем
д8=а/& = (3+1/"Т7)/2=315615528... .
При п = 5 получаем ф5=1, так как соответствующая
конфигурация сводится к изображенной на рис. 1. Но
при /1=4 мы сталкиваемся с несколько более сложным
случаем. Из рис. 14 видно, что
(а+Ь)2=Ь2+х2, (а+Ь)2=а2+у2,
(2а)2-=(У+Ь)2+(х-а)2.
Следовательно, х=\^а2+2аЬ1 у=\^Ь-+2аЬ и а2—2аЬ—
—Ь2=Ь\^ Ь2+2аЬ—аУа2+2аЬ, откуда
За2-аЬ-Ь2 =У(а2 + 2аЬ)(Ь2 + 2аЬ)
и 9а4 — 8а3й — 10а2&2+&4 = 0.
Следовательно, (З^а/Ь — корень уравнения 9х4—8х3—
-^-10л:2+1 =0, численное значение которого равно С$1=
.96
= 1,5684897... . (В принципе все корни любого урав-
нения четвертой степени можно выразить в радикалах,
но в рассматриваемом нами случае явная формула для
корня слишком сложна, чтобы ее можно было здесь
привести.)
Случай м=6 (рис. 15) был впервые сформулирован
в качестве задачи в неопубликованном письме Гэри А.
Форда Мартину Гарднеру в 1973 г. Задача родилась из
Рис. 14. Венок вокруг круга ра- Рис. 15. Венок вокруг круга
диуса 6, образованный четырьмя радиуса 6, образованный п
кругами радиуса а и одним кру- кругами радиуса а и одним
гом радиуса Ь. кругом радиуса Ь. Ясно,
что л=6+^я—1)ф, где 6=
= агссоз [Ь/(а+Ь)\ и <р=^
= агс?1П [а1(а-\-Ь)\.
попыток расположить соответствующим образом мо-
неты в 10 и 25 центов. Форд сообщал в письме о том,
что ему и его коллегам по Университету штата Мэри-
ленд удалось представить (?6 в виде корня многочлена
десятой степени. (Впоследствии Форд опубликовал свою
задачу в журнале ТесЬпо1обу Кеу1е^ [2], издаваемом
Массачусетсом технологическим институтом.) Сможем
ли мы продвинуться дальше, используя наши методы,
сущность которых ясна из рассмотренных примеров?
В более общем плане интересующий нас вопрос ста-
вится так: можно ли выразить (}п алгебраически^ или
тригонометрически как функцию п при всех п^З? Как
мы увидим, существует общее тригонометрическое вы-
4 № 1136
97
ряжение, из которого всегда можно вывести алгебраи-
ческое уравнение, имеющее корнем фп. В частности,
<?в можно представить в виде корня многочлена восьмой
степени.
Из рис. 15 видно, что развернутый угол с вершиной
в центре круга радиуса Ь, вокруг которого мы строим
наш венок, равен сумме угла 6 и пяти углов <р, где в=
=агссо8 Ш(а+6)1 и ф=агс5Ш [а/(а+Ь)]. При произ-
вольном п
л = агсс08 {ттъ) + ('2 ~ 1)агЫп (гтг) •
Если обозначить а/(а+Ь)=а и Ь/(а+А)=Р, то сс+р=1
и (1п=а/Ь=а/ф, где
п —агссоз (1 — а) +{п — 1) агсзт <х. (1)
Для практических вычислений эта формула вполне до-
статочна, так как позволяет находить а — а следова-
тельно, и <2п — с любой степенью точности. Однако при
произвольном п соотношение (1) можно заменить ал-
гебраическим уравнением, имеющим число а своим
корнем. Кроме того, мы всегда можем составить алгеб-
раическое уравнение с корнем Фп=а/(1—а). Действи-
тельно, если !(х)=0 имеет корень х=а, то, как нетрудно
проверить прямой подстановкой, §(х)=[ 1х/(1-{-х)] имеет
корень а/(1— а).
Наш метод вывода алгебраического уравнения со-
стоит в следующем. Записав соотношение (1) в виде
(п—1) агсзт а=п—агссоз (1—а) и взяв косинус от обеих
сторон частей последнего уравнения, получим
соз[(/г — 1)агсзта] = соз [л —агссоз (1 —а)] = а — 1.
Пусть агсзт а=г. Тогда, как известно, С05(п—1)г —
многочлен, имеющий относительно сОз*=
=со8 (агсзт г)=|/1—а2 степень (п—Г). Следовательно,
в худшем случае а может быть корнем многочлена степе-
ни 2 (я—1). В действительности при нечетных п отношение
фп — корень многочлена степени ^п—1 при всех л^З,
а при четных п отношение ()п — корень многочлена
степени ^2(м—2) при всех я>4.
Проиллюстрируем соответствующие вычисления на
уже рассмотренных выше случаях я=3 и п=4.
3*
ТАБЛИЦА 2
Многочлены и значения ф„ при З^л-^9'
п
3
4
5
6
7
8
9
Степень
много-
члена
2
4
4
8
6
12
8
Многочлен, корнем которого является ()п
л2—3*—2
1 9л4-8л3—Юл2+1
**—ц*з + **_|_ 7*-2
25л8 — 188лг7 + 236** + 436л6 —
_2л:4— 180а^—68л:2—4лг+ 1
^ *« — 31л5 + 40л4 + 42л? — 7л:2— Их— 2
49л:12 — 956л11 + 5090л1<> — 3036л»—
— 11121**+ 1800л7+ 10140ле +
| + 4200л5 —865л:4 -972л3 — 222л:2—
— 12лг+ 1
хя _ 55л:7 Ч- 259л6+77л5 - 215л4—
— 101л:3 + 17л:2 + 15*+2
Оп
3,56155
1,56849
1,00000
0,73403
0,58027
0,48015
0,40977
Примечания к таблице 2.
I. По-видимому, при и =46+1 получаемый нами многочлен
степени п—Г всегда имеет корень л=1. При п = 5 это соответст-
вует значению С?5==1. Однако при л = 9, 13, 17,... число (?в —
корень многочлена степени^я — 2.
2- При п > 4 ни один из наших многочленов не оказался
неприводимым. При /7 = 5 многочлен разлагается в произведение
линейного множителя (л — 1) и неприводимого кубического мно-
гочлена л* — Юл2 — 9л — 2; при л = 9 — в произведение
(X _ 1) (*? _ 54лв+205*5+282*4+67л3 - 34л8- 17л - 2).
При /1=3 получаем соз 2г=ос— 1, 2соз2г—1=а—1,
2соз2г=а, 2(1—а2)=а, 2а2+ос—-2=0, и а — корень
многочлена7(х)=2х2+А:—2. Следовательно, <23 — корень
функции 8{х)=([х/(1+х)] и удовлетворяет уравнению
(\+х)2§(х)=2х2+х(1+х)—2(1 +х)2=х2—Зя—2=0.
Нетрудно видеть, что (?з=(3+К17)У2»3,5б155
Аналогично^ при п=4 получаем соз Зг—а—1 4ссз3г—
—Зсозг=а—1, |^Г=^{4(1_а2)_3}=а—1; (1—а*)х
4*
ДО
Х(1— 4а2)2=(сс— I)2, (1+а)(16а4—8а2+1)= 1—а, 16а5+
+ 16а4—8а3—8а2+2а=0. Так как корень а=0 в нашей
задаче не имеет смысла, то интересующее нас значение а
должно быть корнем уравнения
/ (х)=8х4+8х*—4х2—4х+1 =0.
Следовательно, (24=а/(\— а) удовлетворяет уравнению
&(х)={ [х/(\+х)]=0, а это означает, что и уравнение
(1+хУё(х)=8х*+8х*(1+х)—4х2(1+х)2—4х(1+х)*+
+ (1+хУ=9х*—8х3— 10д:2+1=0
имеет своим корнем (?4= 1,56849... .
В таблице 2 приведены многочлены для С}п при
3^л^9 и соответствующие значения С}п. Бросаются
в глаза закономерности в распределении коэффициентов
этих многочленов. В частности, отчетливо видно, что
четные и нечетные п соответствуют различным семейст-
вам многочленов.
Наконец, упомянем еще один изящный результат:
если три круга радиусов а, Ъ и с (сС^Ь^с) внешне ка-
саются друг друга и одной и той же прямой, то (см. [3])
1/Угй+1/УЬ=1/\/тс. (Этот результат можно рассматри-
вать как обобщение ситуации, изображенной на рис. 12.)
1. ВеесгоЙ, РЬШр. 1842. РгорегИез оГ агсГез т ти1иа! соп!ас1.
Ьайу'з апд, СепИетап'з В1ату, рр. 91—96.
2. РогЗ, Сагу А. 1974. Тескпо1о§у КеV^е^ю, ргоЫет <1иле 5, уо1. 76:
57—8. (5ее а1зо ргоЫет N5 13, уо1. 81, ЫоуетЬег 1978, р. 84.)
3. Тпб& С. №. 1940. РгоЫет Е432, Атепсап МаИг. МопШу, 47:
487.
4. Тпё&, С. №. 1941. 5о1и1юп 1о РгоЫет Е432, Атепсап МаШ. Моп-
Шу 48: 267-68.
2.2. Как вывернуть велосипедную камеру
Герберт Тейлор
Традиционная геометрия резиновых поверхностей
занималась изучением поверхностей, которые можно
было как угодно изгибать, растягивать или перекручи-
100
иать, лишь бы они оставались целыми и невредимыми.
Одно из любимых топологических развлечений состоит
в том, чтобы попытаться представить себе, как выглядит
вывернутая наизнанку велосипедная камера. Насколько
мне известно, подобные курьезы не имели сколько-
нибудь серьезного значения для математики, но они
могут быть полезны как действенное средство развития
наглядного пространственного воображения.
Рис. I.
Для начала превратим поверхность, изображенную
на рис. 1, а, в поверхность, показанную на рис. 1, б.
Попробуйте, читатель, мысленно представить себе или
нарисовать цепочку последовательных превращений по-
верхности рис. 1, а в поверхность рис. 1, б, при этом
поверхность нельзя разрезать и ни одна ее часть не
должна касаться другой. Одна из возможных цепочек
последовательных превращений показана на рис. 1, в.
Следующее упражнение состоит в том, чтобы вре-
менно проделать в поверхности дыру. Что если вместо
101
выворачивания обычной велосипедной камеры мы зай-
мемся выворачиванием какой-нибудь более, сложной
поверхности? Довольно скоро выяснится, что вывора-
чивание даже довольно простой поверхности, изобра-
женной на рис. 2, а,— задача весьма сложная. Чтобы
легче было следить за всеми перипетиями решения, вы-
красим внутреннюю сторону поверхности в черный
цвет, а наружную — в серый. Кроме того, прорежем
временно в поверхности дыру и закроем ее крышкой,
Чтобы не потерять из виду.
Рис. 2, а
На рис. 2, 6 показаны последовательные этапы вы-
ворачивания этой поверхности: сжимание сложной по
своей структуре части поверхности и продевание ее
сквозь дыру.
После того как мы закроем дыру, вся поверхность
окажется выкрашенной снаружи в черный цвет, в то
время как до выворачивания черной краской была по-
крыта внутренняя сторона поверхности. Преимущество
предлагаемого нами способа выворачивания поверх-
ностей видно на рис. 3: он позволяет проследить во всех
деталях, что происходит при выворачивании наизнанку
сферы со многими «ручками» и велосипедной камеры.
На рис. 4 показано, как будет выглядеть поверхность,
состоящая из двух сцепленных кренделей, после выво-
рачивания одного из кренделей наизнанку, и представ-
лены последовательные этапы этой операции.
Задачи на выворачивание, о которых мы рассказали
в статье, не новы. Некоторые из них я придумал лет
25 назад. Вполне вероятно, что кому-нибудь они при-
ходили в голову и раньше: Задачу, изображенную
на рис. 5, предложил Деннис Л. Джонсон, признанный
специалист в теории узлов: В заключение мы предостав-
ляем читателю проделать несложное упражнение и
*©2
Рис. 2, б
Рис. 3,
103
Рис. 4.
Рис. 5.
превратить поверхность рис. 5, а в поверхность рис. 5, б
так же, как мы превратили поверхность на рис. 1, а
в поверхность на рис. 1,6.
104
2.3. Изгибаемые поверхности
Роберт Коне л ли
Предположим, что из плоских кусков плотного
картона, склеенных липкой лентой вдоль общих гра-
ниц, построена замкнутая многогранная (полиэдриче-
ская) поверхность. Изгибаема ли такая поверхность?
Другими словами, сможет ли она непрерывно изменять
свою форму так, чтобы ее грани оставались плоскими и
не расходились вдоль ребер? В качестве примера рас-
смотрим октаэдр (рис. 1). Если построить его из кар-
Рис. 1. Рис. 2.
тона, то конструкция окажется очень жесткой и не бу-
дет изгибаться. Но если верхняя часть октаэдра меньше
нижней, то ее можно будет протолкнуть внутрь большей
части (рис. 2). Однако в процессе такого проталкивания
картонные грани октаэдра будут искривляться: поверх-
ность рис. 1 не переходит в поверхность рис. 2 без де-
формации граней.
В 1813 г. известный французский математик Коши
доказал, что любая выпуклая многогранная поверх-
ность жесткая. (Мы считаем, что плоские грани поверх-
ности сделаны из картона и шарнирно соединены вдоль
ребер, так что двугранные углы многогранника в прин-
ципе могут меняться.) Естественно было предположить,
что жесткость присуща всем многогранным поверх-
ностям — как выпуклым, так и невыпуклым. К сожале-
105
нию, эта «гипотеза жесткости» оказалась неверной. Су-
ществуют вложенные в трехмерное пространство нё-
самопересекающиеся многогранные поверхности, кото-
рые могут изгибаться . В этой статье я опишу некоторые
примеры изгибающихся поверхностей, найденные мной,
и последующие модификации, принадлежащие другим
авторам. Эти примеры опровергают гипотезу жесткости.
Построение
Чтобы понять, почему изгибаются поверхности, ко-
торые мы намереваемся построить, рассмотрим некото-
рые изгибаемые октаэдры, открытые французским ин-
женером Р. Брикаром в 1897 г. Поверхности Брикара
самопересекающиеся, и мы будем рассматривать их
как конструкции из жестких (сохраняющих длину)
стержней, соединенных гибкими резиновыми шарнирами.
Построение октаэдрических «рам» Брикара мы начнем
с косого (т. е. не плоского) четырехсторонника аЬа'Ь'
(рис. 3), каждые две противоположные стороны кото-
Рис. 3. Рис. 4
рога равны. В трехмерном пространстве существует
прямая Ь, относительно которой четырехсторонник
аЬа'Ь' симметричен; иначе говоря, четырехсторонник
аЬа'Ы переходит в себя при повороте вокруг Ь на 180°
(можете вы это доказать?). Представим себе, что наш
четырехсторонник аЪЫЪ' — «экватор» октаэдричеекой
1-06*
рамы. Выберем точку с, не принадлежащую оси симмет-
рии I, и соединим ее стержнем с каждой из вершин
а,.Ь, а', Ь'. Нетрудно проверить, что построенная нами
рама изгибается. Будем изгибать ее, объединяя в каж-
дый момент времени с(аЪа'Ь') с конгруэнтной рамой
с'(аЬ'аЪ), симметричной первой относительно Ь (по-
лучающейся из первой рамы поворотом на 180° вокруг
I); ясно, что наша точка с симметрична относительно Ь
точке с'. То, что у нас при этом получится, и есть один
из изгибаемых октаэдров Брикара. Сделать его совсем
нетрудно. На рис. 4 показано, как выглядит полностью
собранная рама. Заметим, что если эту раму дополнить
всемд входящими в нее треугольниками, то поверхность,
которая при этом получится, будет самопересекающейся.
Наша цель состоит в том, чтобы максимально умень-
шить число самопересечений поверхности и упростить ее.
' На рис. 5 изображен другой вариант октаэдра Бри-
кара, в котором все стержни в исходном положении
лежат в одной плоскости. Ось симметрии Ь перпенди-
кулярна этой плоскости. При изгибании рамы вершины
не остаются в одной плоскости, тем не менее начинать
удобнее именно с плоского варианта «многогранника».
Другая незначительная модификация нашей конст-
рукции состоит в том, что мы начинаем с точек й и а',
лежащих в горизонтальной плоскости Нг как это изоб-
ражено на рис. 5. Затем выбираем точки Ь, Ь' на высоте
е>0 над плоскостью Н и точки с, с' на высоте 6>е над
плоскостью Н так, чтобы ортогональные проекции всех
этих точек на плоскость Н образовывали конфигура-
цию, изображенную на рис. 5. Ось симметрии I остается
перпендикулярной плоскости Ну октаэдрическая рама
по-прежнему изгибаема, и границы треугольников аЬ'с
\Ш
Рис. 6.
Рис. 7.
Рис. 8
Рис. 9
108
Рис. 10
и а'Ьс' связаны, т. е. их нельзя развести в стороны, не
поломав.
Построение вложенной изгибаемой поверхности мы
начнем с поверхности, изображенной на рис. 5. Вместо
того чтобы заполнять все треугольные отверстия плос-
Рис. 12
кри гранями, займемся кое-какими переделками, со-
хранив старую раму в качестве каркаса нашей поверх-
ности. Будем считать, что наша октаэдрическая поверх-
ность состоит из двух частей: крышки и дна. Дно изоб-
ражено на рис. 6. Продавив вниз все треугольные
грани, мы получим новую поверхность, которая выгля-
дит так, как показано на рис. 7: каждая треугольная
грань предыдущей поверхности заменена тетраэдром
с вершиной, обращенной вниз, и тетраэдром без осно-
вания — своеобразным тетраэдрическим «колодцем».
Крышку (рис. 8) мы аналогичным образом преобра-
зуем в поверхность, изображенную на рис. 9, заменив
109
Рис. 15
каждую треугольную грань тетраэдром без основания
с вершиной, обращенной вверх. Изображенные на рис. 7
и 9 поверхности с дополнительными вершинами изги-
110
Рис. 16
Рнс. 17
Рис. 18
баются так же, как поверхности, . представленные на
рис. 6 и 8: вершины тетраэдров остаются на постоянном
расстоянии от плоскостей оснований.
Склеив поверхности, изображенные на рис. 7 и &,
вдоль их общей границы, мы получим поверхность
рис. 10. Она изгибается так же, как поверхность на
рис. 5, но, к сожалению, имеет две точки самопересече-
ния 5 и $'. На рис. 11 показаны пересекающиеся части
поверхности, изображенной на рис. 10: точки 5 и $'
соответствуют точкам пересечения на рис. 5.
Избавиться от точек самопересечения 5 и $' нам под-
может конструкция, которую мы назовем складкой
(ее можно также назвать зарубкой). Эта конструкция
№
также основана на построении изгибаемого октаэдра
Брикара. Выберем плоский четырехсторонник йе[§ с рав-
ными противоположными сторонами с1е=[§, е[=8с1, как
показано на рис. 12; здесь отрезок Ле пересекает отре-
зок /#. Затем выберем точку к точно над центром ок-
ружности, проходящей через точки &, е, /, §\ Пусть
к'— точка, находящаяся под центром этой окружности
на таком же расстоянии от плоскости окружности, как
и точка Л, под центром. Тогда Ш=ке=к[=к§=к''(1=
=к'е=к'1=к'%у и рамы к(с1е[§) и к' (с1е[§), взятые вместе,
изгибаются. (Четырехсторонник с1е[§ остается при из-
гибании плоским.) Совокупность треугольных граней
ке[, А/#, к'е[, й'/ё", к'&& образует складку (октаэдр с двумя
треугольными гранями удален, рис. 13) с границей
ксИге. Расстояние от точки А до точки г при изгибании
остается неизменным. Построение складки показано
на рис. 14.
Наконец, чтобы построить требуемую изгибаемую
поверхность, вложенную без самопересечений в обыч-
ное (трехмерное) пространство, возьмем поверхность,
изображенную на рис. 10, и вырежем вокруг каждой
точки самопересечения по небольшой четырехсторонней
дыре, как показано на рис. 15. Вставим в каждую из
дыр складку соответствующих размеров. Если складка
расположится правильно, то поверхность, которая при
этом возникает, не имеет самопересечений (рис. 16).
Так как йе сохраняет в складке фиксированное положе-
ние, то поверхность вместе со складкой и двумя запол-
ненными дырами изгибается. Следовательно, «складча-
тая» поверхность в целом также изгибается; она выгля-
дит примерно так, как показано на рис. 17.
Эта была первая из найденных мной изгибаемых по-
верхностей, и при ее построении я не обращал внима-
ния на простоту и не стремился свести к минимуму
число вершин. Позднее Никол аа Кёйпер и Пьер Дел инь,
модифицировав мой пример, получили поверхность с
11 вершинами и 18 гранями. В качестве исходной они
выбрали раму, которую мы описали ранее (после ссылки
на рис. 5). Вместо четырех колодцев они пристроили
к нижней части поверхности только один колодец (как
показано на рис. 18), оставив три остальные треуголь-
ные грани плоскими. К верхней части поверхности они
пристроили только две «горы» (на рис. 19 получившаяся
112
Рис. 19
Рис. 20
поверхность изображена в двух ракурсах). Если но-
вые верх и низ склеить по их общей границе, то отрезок
с'Ь пересечет склоны двух пристроенных гор над са.
Так как точки с, с\ &, Ъ' приподняты на небольшую
высоту, это единственное место, где поверхность пере-
секает себя. Затем Кейпер и Делинь удалили отрезок
са и внутренности двух треугольников, имеющих са
Рис. 21
в качестве общей стороны, и в образовавшееся отверстие
вставили складку надлежащих размеров (см. рис. 13:
точки й и е на рис. 13 совместились с точками с и а,
а вершины двух гор — с точками Н и Л'). На рис. 20
показаны в двух ракурсах склеенные верх и низ (из
верхней поверхности изъят отрезок ш). На рис. 21 также
в двух ракурсах представлен окончательный вид из-
гибаемой поверхности с отверстием, заполненным склад-
кой.
Превзойдя достижение Кёйпера и Делиня, Клаус
Штеффен построил изгибаемую поверхность всего лишь
с девятью вершинами. В качестве исходных деталей он
взял две одинаковые складки,, аналогичные изображен-
ии
8.5
Л*
._^
)
- Сгибы-долины
• Сгибы-хребты
Рис. 22
Рис. 23
115
ной на рис. 14, соединил их двумя другими треуголь-
никами, как на рис. 22 (где поверхность симметрична
относительно вертикальной оси, вследствие чего от-
резки, переходящие друг в друга при повороте на 180°
вокруг оси, имеют одинаковую длину), и получил из-
гибаемую поверхность, аналогичную изображенной на
рис. 23.
Некоторые гипотезы
Приведенные выше примеры изгибаемых поверхнос-
тей обладают интересным свойством: объем, ограничи-
ваемый такими поверхностями, сохраняется при изги-
бании. Однако мне неизвестно доказательство того, что
объем, ограниченный любой изгибаемой поверхностью,
сохраняется при ее изгибании.
Гипотеза 1. Если многогранная поверхность с тре-
угольными гранями изгибаема, то ограничиваемый ею
объем при изгибании не меняется.
По-видимому, верны и более удивительные утверж-
дения. Пусть Р и Р'— два трехмерных многогранника
в трехмерном пространстве. Назовем многогранники
Р и Р' равносоставленными (Р~Р')У если Р можно раз-
резать на конечное число многогранных частей Р1?
Р2> • • •, Р*, нз которых, сложив их в другом порядке,
можно получить многогранник Р'. [Другими словами,
Р=Р11)Р21). . .1)Рк, Р^Г\Р^=(гратщ8^ Р*) П (граница
/>,) при 1фи Р'=--Р91У}Р*\}. • .11 Ра, Р; П Ру = (граница
Р[-)П (граница Р)) при /=/ и Рь~Р[ при /=1, ...,&,
где ^ есть знак конгруэнтности.] Принадлежащее
Максу Дену решение третьей проблемы Гильберта за-
ключало в себе доказательство следующего факта (ко-
торый подозревал еще Гильберт): правильный куб и
правильный тетраэдр того же объема не равносостав-
лены (см. Гарднер М. Математические головоломки и
развлечения.— М.: Мир, 1971, с. 112). Предположим
теперь, что Р* — трехмерное тело, ограниченное одной
из описанных выше изгибаемых многогранных поверх-
ностей, какой она является в момент времени I. Из ре-
зультата Дж.-П. Сидлера следует, что при всех /, от-
вечающих процессу изгибания, Ръ~Р%. [Третьей проб-
леме Гильберта, и в частности обсуждению нетривиаль-
ного результата Сидлера, посвящена книга В. Г,. Б ол-
ив
тянского («Третья проблема Гильберта».— М.: Наука,
1977.] Тем не менее остается открытым общий вопрос
о том, справедлива ли следующая
Гипотеза 2. Пусть Р( — тело, ограниченное (произ-
вольной) изгибаемой многогранной поверхностью, какой
она является в момент времени 1\ тогда Р0~/\ при всех I.
Было бы интересно рассмотреть хотя бы какие-либо
примеры, иллюстрирующие равносоставленность тел,
ограниченных многогранными поверхностями, получен-
ными одна из другой изгибаниями.
2.4. Как сажать деревья
Стефан Барр
Задача простая: деревья в саду.
Девять деревьев. По три в ряду.
Их посадить нужно в десять рядов.
Задача простая... Ответ ваш готов?
В 1821 г. Джон Джексон опубликовал это математи-
ческое четверостишие в своем сборнике занимательных
задач «Умственные развлечения для зимних вечеров» [41.
В наши дни стихи не столь популярны, и современный
составитель задач и головоломок скорее всего пожерт-
вовал бы даже деревьями, сформулировав задачу сле-
дующим образом: Расположить на плоскости девять
точек так, чтобы через них можно было провести десять
прямых, каждая из которых содержала бы три из наших
точек. Столкнувшись с такой задачей, истинный мате-
матик, естественно, испытывает потребность обобщить
ее, придав задаче более полный и точный вид. Тогда он
приходит к следующему варианту задачи: Дано целое
положительное число р. Как расположить на плоскости
р точек (р^З) так, чтобы никакие четыре из них не
принадлежали одной прямой и чтобы было максимально
число прямых, проходящих через три из наших точек
каждая? Интересующее нас максимальное число «трех-
точечных» прямых мы обозначим символом 1(р). •;•
ш
Замечательный математик Дж. Дж. Сильвестр.в
прошлом веке пытался вычислить неуловимое 1(р) — и
на какое-то время эта задача привлекла внимание лю-
бителей математики и математиков-профессионалов, В
прошлом любители не раз вносили ценный вклад в ре-
шение математических проблем. Весьма досадно, что
ныне поле деятельности любителей математики предельно
сузилссь. Отчасти это обусловлено недоступностью для
них большинства разделов современной математики.
Однако и сегодня имеется немало областей, особенно
связанных с комбинаторикой, в которых любитель
вполне может рассчитывать на успех. К сожалению,
широкому кругу любителей математики не часто при-
ходится встречать доступные им по сложности задачи.
Обычно любителям становятся известны какие-либо
абсолютно для них неприступные проблемы типа вели-
кой теоремы Ферма, где и у профессионала шансы на
успех минимальны. Одна из привлекательных особен-,
ностей комбинаторной геометрии состоит в том, что
здесь любители имеют широкие возможности внести су-
щественный вклад в ее развитие — примером тому, как
раз и может служить задача о деревьях в саду, с форму-
лировки которой мы начали эту статью.
На рис. 1 показаны некоторые варианты решения
задачи, отвечающие значениям р=3, 4, . . ., 11. Все они
оптимальны, т. е. содержат в точности 1(р) прямых,
проходящих через три точки каждая. Кроме выписан-
ных на рис. 1 значений функции /(/?) [/(3) —1, . . .,
((11)=16] достоверно известны еще только два значения
этой функции, о которых мы скажем ниже. Пока же от-
метим, что четыре точки в нашей проблеме ничем не
лучше трех, ибо /(4)=/(3), и что иногда одно решение
«содержится» в другом — так, иллюстрирующий значе-
ние /(10) чертеж составляет часть чертежа, указываю-
щего величину числа /(11).
Естественно возникает вопрос: единственны ли реше-
ния, проиллюстрированные на рис. 1. Нет, не единст-
венны: на рис. 2 показано другое расположение /(8)
прямых, полученное из расположения, отвечающего
значению /(7)=6. Разумеется, дополнительную точку
можно поставить на новой прямой где угодно.
Полученные решения неединственны еще в одном
смысле: их можно подвергать проективным преобрааова-
на
паям. Нам не хотелось бы подробно объяснять, что та-
кое проективное преобразование, но один тип таких
преобразований можно продемонстрировать весьма на-
глядно. Наклоните страницу и взгляните на все изоб-
раженные конфигурации под углом, отличным от пря-
мого: углы и расстояния изменятся в зависимости от
-• ш •
Р*У 1*1
-♦-•
Г
наклона страницы, но прямые останутся прямыми;
поэтому преобразованная конфигурация по-прежнему
будет обладать всеми требуемыми свойствами.
При рассматривании полученных решений под углом
возникает одно затруднение: подобно железнодорожным
рельсам, параллельные прямые могут теперь казаться
сходящимися, что изменит характер относительного
расположения точек и прямых (и наоборот — сходя-
щиеся прямые могут теперь казаться параллельными).
Однако математикам, когда они встречаются с какими-
И*
либо осложнениями, свойственно — и это очень удоб*
но — делать вид, что никаких осложнений здесь нет,
и считать, что осложнения отсутствуют по определению.
Именно так они давным-давно поступили с проектив-
ными преобразованиями. Математики взяли обычную
плоскость и дополнили ее воображаемой бесконечно уда-
ленной прямой, которой принадлежат все бесконечно
удаленные точки. Это позволило им рассматривать па-
раллельные как прямые, пересекающиеся в какой-то
(бесконечно удаленной!) точке, принадлежащей новой
(бесконечно удаленной!) прямой. Каждую точку беско-
нечно удаленной прямой математики отождествили с
«диаметрально ей противоположной» точкой — поэтому
любое семейство параллельных они считают сходящимся
только в одной (бесконечно удаленной) точке,— но не в
двух точках, отвечающих двум направлениям вдоль
прямой. ГкГсле этого ничто уже не мешает нам утвер-
ждать, что любые две прямые пересекаются в одной (и
только одной) точке. Тем самым была создана так называ-
емая расширенная евклидова или евклидовочгроективная
плоскость, а затем проективная геометрия, ставшая пло-
дотворным источником новых математических идей и по-
нятий.
В нашем случае пополнение плоскости бесконечно
удаленными точками очень полезно, поскольку позво-
ляет упростить многие сложные конфигурации и при-
дать им более симметричный вид. Более того, проектив-
ная геометрия помогла найти некоторые конфигурации
и доказать часть результатов, о которых речь пойдет
дальше. В качестве примера присоединения бесконечно
удаленных точек устремим в бесконечность точки на
верхней прямой конфигурации, иллюстрирующей зна-
чение /(9) (рис. 2). При этом мы придем к (более про-
стой!) конфигурации, изображенной на рис. 3.
Стрелки с буквами а, Ь и с указывают направления
на три «бесконечно удаленные точки» нашей конфигу-
рации. Любая из стрелок с тем же успехом могла бы
указывать и противоположное направление. Разуме-
ется, бесконечно удаленная прямая сама также принад-
лежит рассматриваемой конфигурации.
На рис. 4 показаны еще два решения, отвечающие
значениям р=12 и /?=16,— которые (вместе-с реше-
ниями, проиллюстрированными на рис. 1) исчерпывают
120
все известные на сегодняшний день точные значения
величины 1(р). Заметим, что отвечающая /(16) конфигу-
рация содержит конфигурацию, иллюстрирующую зна-
чение /(7). Каждая конфигурация на рис. 4 содержит
три бесконечно удаленные точки и бесконечно удален-
Рис. 2
Рис. 3
ную прямую. Их можно спроектировать так, что беско-
нечно удаленные точки и прямые каждой конфигурации
попадут в конечную часть плоскости,— однако при
этом чертежи стали бы менее симметричны и их было бы
трудно начертить на небольшом листе бумаги.
Рис. 4
А что мы знаем о других значениях р? В табл. 1
собрано все, что известно о 1(р) при р=3, 4, . . ., 25,—
указаны лучшие из известных ныне нижних и верхних
границ. Двенадцать точных значений /(/?) отмечены
звездочками (значения верхней границы, совпадающие
в этих случаях со значениями нижней границы, в таб-
лице опущены). Табл. 1 и почти все приведенные в ней
результаты заимствованы из статьи «Фруктовый сад» [1],
121
ТАБЛИЦА I
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
Нижняя граница 1
для / (д)
1*
1*
2*
4*
6*
7*
10*
12*
16*
19*
22
26
1 31
37*
46
46
52
1 57
64
70
77
85
1 92
Верхняя граница
Для / (р)
24
27
32
42
48
54
60
67
73
81
88
96
написанной мной в соавторстве с Б. Грюнбаумом и
Н. Дж. А. Слоуном, но многие из этих данных были по-
черпнуты из более ранней работы.
Начиная со значения р=20, все верхние и нижние
границы в табл. 1 вычислены с помощью двух общих
теорем.
Теорема 1. Пусть [_x^— целая часть х, т. е. наи-
большее целое число, не большее х\ тогда
7(р)>^р(р-3)/6^+I•
Теорема 2. Пусть Г х"] — наименьшее целое число,
не меньшее х\ тогда при всех р^З
'(рК1р(р-1)/2-Г 3/^71/з_|.
(Разумеется, /(3) = 1.)
122
Мы не станем приводить доказательство теоремы 1,
но наметим в общих чертах, каким образом ее утвержде-
ние следует из теории кубических кривых, или кубик,
т. е. кривых, задаваемых алгебраическим уравнением
третьей степени. На рис. 5 показана симметричная ку-
бика, задаваемая уравнением (*—1) 1(х+2)2—Зу2]=8
вместе с 12 ее точками, включая три бесконечно удален-
ные точки. Эти 12 точек образуют конфигурацию, сов-
падающую с конфигурацией «деревьев» в «саду» из 12
точек (рис. 4, а). I
Рис. 5 Рис. 6
<*-1)[(*+2)»-Зу*] = 8
А
Почему кубические кривые порождают столь хоро-
шие конфигурации точек? Ключ к этой тайне кроется
в том, что некоторые кубики можно задать параметри-
чески с помощью так называемых эллиптических функ-
ций Вейерштрасса. В таком представлении каждой
точке кривой соответствует какое-нибудь неотрицатель-
ное вещественное число, меньшее 360, причем три точки
лежат на одной прямой в том и только том случае, если
сумма соответствующих им чисел кратна 360. (Мы
могли бы выбрать в качестве магического какое угодно
число, но выбор числа 360 удобен тем, что он позволяет
считать значения параметра чем-то вроде угловых гра-
дусов.) На рис. 6 показана та же кубика, что и на рис. 5,
но большинство прямых удалено и у нескольких точек
указаны соответствующие им значения параметра. Не-
трудно проверить, что любая (в том числе и бесконечно
удаленная) прямая на рис. 5 удовлетворяет оформуяи-
-рованному выше условию.
г Нетрудно понять, как при любом р выбрать р »еот-
грицательных и меньших 360 чисел так, чтобы возможно
Ш
больше сумм (по три) из них оказывались кратными 360.
Такой выбор чисел приводит к «саду» и, следовательно,
к нижней границе для /(/?). Именно этим путем доказы-
вается теорема 1. В 1868 г. Сильвестр получил [61 да-
ваемую теоремой 1 нижнюю
120 границу для /(р), отвечаю-
•* щую всем значениям ру не
кратным 3. Если же р крат-
но 3, то нижняя граница те-
оремы 1 на единицу лучше
той, которую получил Силь-
вестр. (Всегда приятно хотя
бы немного улучшить резуль-
тат, полученный столь бле-
стящим математиком, как
Рис 7 Сильвестр!)
Теорема 1 позволила нам
получить все нижние гра-
ницы, приведенные в табл. 1, кроме тех, которые соот-
ветствуют значениям р=7, 11, 16 и 19. В каждом из
этих последних случаев оказалось возможным восполь-
зоваться конфигурацией из р—1 точек на специально
подобранной кубической кривой и, присоединив к ним
одну точку, не принадлежащую рассматриваемой кри-
вой, получить лучший «сад», чем тот, к которому при-
водит теорема 1. Например, на рис. 7 показано построе-
ние 16-точечной конфигурации, изображенной на рис.
4, б. Подчеркнем, что дополнительная точка 0 не соот-
ветствует нулевому значению параметра: так как эта
точка не принадлежит рассматриваемой кубике, то
параметризация «обошла ее стороной». Для упрощения
всей конфигурации на рис. 7 изображены только пря-
мые, проходящие через точку 0.
Обратимся теперь к верхним границам для 1(р)у в том
числе и к тем, которые дает теорема 2. В этом случае
подход к получению оценки будет совершенно иным.
Полезным инструментом для получения верхних гра-
ниц оказался так называемый граф конфигурации. Рас-
ставим точки конфигурации (вершины графа) и соеди-
ним отрезком прямой (ребром графа) любые две из них,
которые не лежат на одной прямой ни с какой третьей
вершиной. Например, на рис. 8 показаны графы, соот-
ветствующие семи- и восьмйточечным конфигурациям
124
рис. 1 и (второй) восьмиточечной конфигурации рис. 2.
Фундаментальное^ различие между двумя восьмиточеч-
цыми конфигурациями отчетливо видно на их графах:
так, например, один граф содержит треугольник, а
другой его не содержит.
Предположим, что через какую-то точку конфигура-
ции проходят к прямых, каждой из которых принадле-
жат по три точки конфигурации. Тогда в графе такой
конфигурации эта вершина (точка) принадлежит р—1—
—2к ребрам, так как к прямых исключают 2к точек,
которые в противном случае были бы соединены реб-
•V. А Яй?
Рис. 8
рами с рассматриваемой точкой. (Число ребер, выходя-
щих из вершины графа, называется степенью вершины.)
Следовательно, при четном р каждая вершина графа
должна иметь нечетную степень, а при нечетном р каж-
дая вершина графа должна иметь четную степень (быть
может, равную нулю), так как р и р—1—2к имеют про-
тивоположную четность.
Рассмотрим теперь число ребер в графе конфигура-
ции. Если никакие три точки конфигурации не при-
надлежат одной прямой, то любая пара точек порождает
в графе конфигурации ребро. Нетрудно видеть, что такой
граф (называемый полным графом) содержит р(р—1)/2
ребер. А всякий раз, когда три точки конфигурации
лежат на одной прямой, из полного графа исключаются
три ребра.
Следовательно, если конфигурация состоит из /
прямых, -то ее граф содержит р(р—1)/2—3/ ребер. Та-
ким образом, если
— число ребер, то
,125
Так как е^О, то> отсюда вытекает следующее значение
для верхней границы величины 1{р)г
«№ ] •
Но* если р четно, то степень любой вершины графа не*
четна, а значит, степень каждой вершины не меньше
единицы. Для этогоч необходимо, чтобы выполнялось
неравенство е^р/2, откуда
/ < р^р~ ' I при четном р.
Немного потрудившись, мы можем объединить два
приведенных выше неравенства для 1{р) в одно:
^<[№\\-
Этот результат уступает результату теоремы 2. Доказа-
тельство- теоремы 2 существенно опирается на теорему
Келли — Мозера 151, утверждающую, что в любой кон-
фигурации из р точек, не принадлежащих одной прямой,
найдется по крайней мере [~ Зр/Т "] пар точек, не лежа-
щах на одной прямой ни с какой третьей точкой. Для
конфигурации, состоящей не менее чем из четырех то*
чек, это означает, что в соответствующем ей графе число
ребер удовлетворяет неравенству г^рЗр/7"). Под-
ставляя эту оценку в полученную выше верхнюю гра-
ницу для /, мы приходим к неравенству
по существу эквивалентному теореме 2.
Заметим» что это доказательство теоремы 2 не очень
использует нетривиальное построение графа по задан-
ной конфигурации. Однако понятие графа конфигура-
ции очень полезно при рассмотрении частных случаев;
в тех редких случаях, когда известна более точная верх-
няя граница, чем та, которую дает теорема 2, графы
конфигураций оказались весьма полезны. Мы имеем
в виду значения р=&> 10, 12 и 14. В каждом из этих
12»
случаев верхняя грань, приведенная в табл. 1, лучше,
чем та, которую дает теорема 2. Приведем доказатель-
ство этого утверждения для р=8 (в остальных случаях
доказательство проводится аналогично, но оказывается
более громоздким).
Мы докажем неравенство /(8)^7 (в действительности
число 7 служит точной верхней границей для /(8), так
как существует конфигурация с семью прямыми), если
нам удастся показать, что кон-
фигурация с восемью точками и
восемью прямыми не существу-
ет. Будем рассуждать от про-
тивного. Предположим, что та-
кая конфигурация существует. Рис.9
Рассмотрим ее граф. Число ре-
бер в нем равно
е =
р(р-1)
■«-V-
-3-8 = 4.
А 4
•
1
4
7
; а!
! 1
1 8
У
6
9
?•
Так как р=8 — четное число, то
степень любой вершины этого
графа нечетна. Единственный
граф с четырьмя ребрами, все
вершины которого имеют нечет-
ную степень, состоит из четы- в
рех несвязных ребер (рис. 9). Рас. И)
(На рис. 9 граф изображен «аб-
страктно»: на нем показано только, какие вершины со-
единены ребрами, но не отражено относительное рас-
положение вершин.)
Рассмотрим вершины А и В графа. Обращаясь к ис-
ходной конфигурации, мы можем с помощью проектив-
ного преобразования превратить прямую А В в беско-
нечно удаленную. Анализируя граф, нетрудно заметить,
что остальные шесть его вершин должны лежать на
трех прямых, выходящих из вершины Л, и трех прямых,
выходящих из вершины В. Несколько схематически это
показано на рис. 10 (схематизм заключается только
в одинаковых расстояниях между прямыми).
Шесть вершин графа (отличных от А и В) должны
совпадать с какими-то из девяти точек пересечения
на рис. 10. Мы насчитали пока в нашей (гипотетической)
ишфигурации только шесть прямых. Две остальные
Й7
прямые должны проходить через какие-то из девяти
точек пересечения. Единственный способ добавить две
новые прямые — это считать, что они проходят через
точки 1, 5, 9 и 3, 5, 7. Но это дает только семь вершин:
Л, В, 1, 3, 5, 7 и 9. (Кроме того, прямые Л5 и ВЪ прохо-
дят только через две точки гипотетической конфигура-
ции.) Следовательно, конфигурация с восемью точками
и восемью прямыми не существует, и /(8) = 7.
Хотя о рассмотренной нами задаче, а тем более о род-
ственных задачах можно было бы рассказать гораздо
больше, подробное обсуждение технических деталей не
в силах передать всю привлекательность затронутой
нами области комбинаторной геометрии. Мы предпочи-
таем завершить нашу статью кратким перечнем того,
что можно было бы еще сделать. Ясно, что лучше всего
было бы вычислить точно 1(р) при любых р. Это труд-
ная, но, насколько можно судить, вполне разрешимая
задача. В [1] мы высказали следующую гипотезу: при
всех рф7у 11, 16, 19
1(р) = [р(р-3)/6]+\.
Иначе говоря, мы думаем, что теорема 1 дает «почти
точные» значения величины 1(р).
Было бы хорошо, если бы удалось получить точное
значение /(р), по крайней мере уменьшить разрыв
между оценками сверху и снизу, даваемыми теоремами
1 и 2. Пренебрегая скобками и вычитая из верхней гра-
ницы нижнюю, мы убеждаемся, что разрыв между этими
оценками при любом р составляет примерно (4/21)/?—1.
Следовательно, величина разрыва с ростом р растет
довольно медленно, что и подтверждает табл. 1.
Во всяком случае, было бы интересно либо вычис-
лить 1(р) точно, либо сузить разрыв между верхней и
нижней оценками при небольших значениях р. Ясно,
что начать следовало бы с р= 13, 14 или, возможно,
с р=15. Если исходить из высказанной выше гипотезы,
то более перспективны будут попытки понизить верхние
границы, приведенные в табл. 1. Помимо других сооб-
ражений, вычисление верхних границ не требует об-
ширных познаний в теории кубических кривых и про-
чих сложных вопросах, тогда как при вычислении ниж-
них границ без таких познаний обойтись не удается.
Попытка понизить верхние границы, возможно, потре-
те
бует детальной разработки каких-то новых подходов
или более тщательного анализа старых. Начать можно
было бы с подхода, использованного нами при рассмот-
рении случая р=8, но многие альтернативные подслучаи
следовало бы разобрать отдельно. Возможно, что при
осуществлении такого проекта может оказаться полез-
ной искусно составленная программа для ЭВМ.
Цель нашей статьи состояла в том, чтобы пролить
свет на одно из интересных «темных пятен» комбинатор-
ной математики. Я надеюсь также побудить любителей
математики, интересующихся затронутыми пробле-
мами, испробовать свои силы в решении задачи о вычис-
лении 1(р) или родственных задач. (Некоторые другие
задачи из той же области можно найти в превосходной
книге Бранко Грюнбаума [3].) Названные задачи осо-
бенно уместны в таком сборнике, как «Математический
цветник», потому что сегодня, кажется, никто не сделал
больше для популяризации математики, чем Мартин
Гарднер. В одном из выпусков журнала 5с1еп1Шс Ате-
псап он обсуждал и некоторые аспекты посадки де-
ревьев [21. Впрочем, нужно ли удивляться тому, что
человек, создавший великолепный математический цвет-
ник, является искусным садовником, умело рассажи-
вающим деревья в своем (математическом) саду?
1. Вигг, 5. А.; ОгйпЬаит, В. апс! 51оапе, N. .1. А. 1974. ТНе Огспагс!
, РгоЫет. Оеоте1пае Эе(Иса1а 2: 397—424.
2. Сагстег, М. 1976. Ма1пета11са1 Сатез. 8сьеп1'фс Агпепсап, 102—
109; Гарднер М. Математические новеллы.— М.: Мир, 1974,
с. 116—119.
3. ОгйпЬаит, В. 1972. Аггап&етеп{з апс! Зргеадз. РгоуЫепсе, К. I.:
.А тег. Ма1Ь. 5ос.
4. Ласкзоп, Л. 1821. КаНопа1 Атизетеп! Гог \\;т1ег Еуетт*$. Ьоп-
с1оп: Ьоп&тап, Нигз1, Кеез, Огте, апс! Вго\уп.
5. Ке11еу, Ь. М. апс! Мозег, Ш. О. Л. 1958. Оп 1Ье ЫитЪег оГ Огётагу
Ьтез Ве1егттес1 Ьу п Рот1з, Сапай, ^. Ма1Н. 10: 210—219.
6. 5у1уез1ег, Л. Л. 1886. РгоЫет 2572. МаШ (ЗиезИопз (гот 1Ье
ЕйисаПопа1 ТШез 45: 127—128.
5 я* изб
129
2,5. Нарежьте потоньше*
Говард Иве
Около шестисот лет назад его преосвященство кар-
динал Джованни Коломбини из Сиены основал новый
религиозный орден, в задачи которого первоначально
входили уход за больными и погребение умерших во
время эпидемии бубонной чумы, которая унесла более
трети населения Европы. Новый орден, получивший
название ордена иезуатов (и не имевший никакого от-
ношения к созданному позднее ордену иезуитов), был
утвержден папой Урбаном V в 1367 г. Со временем ор-
ден пришел в упадок, и предпринятая в 1606 г. попытка
оживить его деятельность лишь отчасти увенчалась
успехом: помешали недоразумения, связанные с произ-
водством и продажей монахами-иезуатами ликера в
нарушение норм канонического права. Эта и ряд дру-
гих причин привели к тому, что в 1668 г. папа Кле-
мент IX распустил орден иезуатов, просуществовавший
чуть более трех столетий.
В 1613 г. в орден иезуатов вступил пятнадцатилетний
итальянец Бонавентура Кавальери. До конца своих
дней он оставался членом этого ордена. Пострижение
в монахи-иезуаты, последующий роспуск ордена и
сильное сходство слова «иезуат» с гораздо более извест-
ным словом «иезуит» привели к тому, что во многих
больших энциклопедиях, биографических словарях, кни-
гах по истории и справочниках Кавальери ныне оши-
бочно называют иезуитом. Ошибки такого рода встре-
чаются отнюдь не редко, и некоторые из них необычайно
живучи.
Бонавентура Кавальери родился в итальянском го-
роде Милане в 1598 г. В юности он был учеником Га-
лилея. В 1619 г. Кавальери был назначен профессором
* Статья представляет собой несколько переработанный ва-
риант лекции, прочитанной автором в курсе «Звездные часы матема-
тики».
130
математики Болонского университета и оставался им
до конца своей жизни. Умер Кавальери в 1647 г. срав-
нительно молодым — ему было тогда всего сорок девять
лет. Он принадлежал к числу наиболее влиятельных
математиков своего времени и написал ряд работ по
геометрии, тригонометрии, астрономии, астрологии и
оптике. Поняв одним из первых огромное значение изоб-
ретения логарифмов Непером, Кавальери активно спо-
собствовал их распространению в Италии. Однако наи-
более важным вкладом в развитие математики стал его
трактат «Геометрия неделимых», первоначальный ва-
риант которого вышел в свет в 1635 г. В этом трактате
Кавальери изложил свой метод неделимых. Подобно
многим другим достижениям математики, метод неде-
лимых уходит корнями в античную науку — в труды
Демокрита (около 410 г. до н. э.) и Архимеда (около
287—212 гг. до н. э.), хотя непосредственным толчком
к его созданию могли послужить попытки разработать
метод интегрирования, предпринятые Иоганном Кеп-
лером (1571—1630). Как бы то ни было, выход в свет
в 1635 г. «Геометрии неделимых» Кавальери стал зна-
менательной вехой в истории всей математики, и в осо-
бенности интегрального исчисления.
Замечательный трактат Кавальери объемист и на-
писан недостаточно ясно. Из него трудно уяснить, что
именно понимал Кавальери под «неделимыми». По-види-
мому, неделимой данной плоской геометрической фигуры
он называл любую ее хорду, а саму фигуру считал со-
стоящей из бесконечного множества параллельных неде-
лимых (хорд). Неделимой геометрического тела Каваль-
ери, насколько можно судить, считал любое плоское
сечение этого тела, а само тело рассматривал как состоя-
щее из бесконечного множества параллельных недели-
мых. Если каждый элемент множества параллельных
неделимых данной плоской геометрической фигуры сдви-
нуть вдоль его оси, рассуждал Кавальери, так, чтобы
концы неделимых по-прежнему образовывали непре-
рывную границу, то площадь новой плоской геометри-
ческой фигуры будет такой же, как у исходной, так как
обе эти фигуры составлены из одних и тех же недели-
мых. Аналогично если сдвинуть, не выводя из плос-
кости, каждую неделимую какого-нибудь объемного
тела так, что границы неделимых по-прежнему будут
5*
131
образовывать непрерывную поверхность, то новое тело
будет, по мнению Кавальери, иметь такой же объем,
как и исходное тело, поскольку оба этих тела состав-
лены из одних и тех же неделимых. Поразительным
примером, иллюстрирующим последнее утверждение,
может служить колода игральных карт, уложенных
сначала по вертикали одна на другую, а затем сдвинув
тых так, что их короткие стороны образовали искривлен-
ную поверхность: и в том и в другом случае колода
имеет один и тот же объем.
Перечисленные выше положения трактата о недели-
мых в несколько обобщенном виде приводят к так на-
зываемым принципам Кавальери:
К Если две плоские геометрические фигуры заклю-
чены между двумя параллельными и отрезки* высекаемые
ими на любой прямой, параллельной двум прямым,
между которыми заключена фигура, всегда находятся
в данном отношении, то площади этих двух фигур на-
ходятся в том же отношении.
2. Если два тела заключены между двумя параллель-
ными плоскостями и площади сечений их любой плос-
костью, параллельной тем двум, между которыми за-
ключено тело, всегда находятся в данном отношении,
то объемы этих тел находятся в том же отношении.
Расплывчатое толкование Кавальери неделимых как
мельчайших составных частей геометрических фигур
и тел породило бурную дискуссию. Многие из тех, кто
занимался изучением геометрии неделимых, в част-
ности швейцарский ювелир и математик Пауль Гуль-
дин (1577—1642), подвергли предложенное Кавальери
понятие неделимых суровой критике. Кавальери подго-
товил новое издание своего трактата, в которохм попы-
тался ответить на возражения своих оппонентов, од-
нако и вторая его попытка не была особенно успешной.
Французский геометр и физик Жиль Персон де Робер-
валь (1602—1675) оспаривал приоритет Кавальери. Од-
нако и поныне трудно разрешить этот спор о приори-
тете, так как Роберваль имел обыкновение медлить с пуб-
ликацией своих открытий и неоднократно оспаривал
приоритет других ученых в получении различного рода
научных результатов.
Такое поведение Роберваля объяснялось тем, что
начиная с 1634 г. он на протяжении сорока лет занимал
192
- гфофессорскую кафедру, в парижском «Коллеж Ройяль».
По истечении трех лет кафедра вновь считалась вакантной,
и занять ее можно было, лишь выдержав открытый кон-
курс ло математике, в котором вопросы соискателям
задавал профессор, занимавший кафедру в предыдущие
три года. Чтобы сохранить кафедру за собой, Робер-
валь,? по-видимому, прдберегал свои открытия, чтобы
использовать их для вопросов конкурентам. Во всяком
случае, Еоберваль действительно искусно использовал
метод неделимых для вычисления ряда площадей, объе-
мов и,, центров тяжести. Метод неделимых или нечто
очень близкое эффективно использовали Эванджелиста
Торричелли (1608—1647), Б лез Паскаль (1623—1662),
Пьер Ферма (1601 —1665), Грегуар Сент-Винсент (1584—
1667), Исаак Барроу (1630—1677) и другие.
Два принципа Кавальери значительно облегчают
вычисление площадей и объемов. Их строгое обоснова-
ние вполне достижимо средствами современного матема^
тического анализа. Приняв принципы Кавальери на
эвристическом уровне, мы получаем возможность ре-
шать многие задачи на измерение геометрических вели-
чин, которые в противном случае потребовали бы при-
менения значительно более сложных методов интеграль-
ного исчисления. Многие авторы начальных курсов
по стереометрии из педагогических соображений счи-
тают вполне приемлемым использование второго прин-
ципа Кавальери без строгого обоснования, поскольку
принятие его существенно облегчает усвоение мате-
риала учащимися. Например, при выводе известной
формулы объема тетраэдра (У=8Н/3) камнем преткно-
вения является доказательство утверждения о том, что
любые два тетраэдра с равновеликими основаниями и
равными высотами в направлениях, перпендикулярных
этим основаниям, имеют равные объемы. Трудность,
о которой я говорю, носит принципиальный характер ,и
отражена во всех трактатах по стереометрии, начиная^
с «Начал» Евклида. Однако второй принцип Кавальери
просто отметает эту трудность.
Обратимся к примерам использования принципов
Кавальери. Некоторые из наших примеров — желан-
ный орешек для любителей трудных математических за-,
дач и головоломок. Начнем с одного удобного определе-
ния. Две плоские геометрические фигуры, которые
133,
можно расположить так, что они будут высекать от-
резки равной длины на любой прямой, принадлежащей
семейству параллельных прямых, или два тела, которые
можно расположить так, что их сечения любой плос-
костью, принадлежащей семейству параллельных плос-
костей, равновелики (т. е. имеют равную площадь), мы
называем равновеликими по Кавальери. Из принципов
Кавальери следует, что равновеликие по Кавальери
плоские геометрические фигуры или пространственные
тела равновелики в обычном смысле, т. е. имеют соот-
ветственно равные площади или равные объемы.
Примеры
1. Найдем площадь эллипса с полуосями а и Ь. Рас-
смотрим (в плоскости с фиксированной системой прямо-
угольных координат х, у) эллипс
г2 и2
и окружность
х2 + у* = а*
(рис. 1). Разрешив уравнения эллипса и окружности
относительно у, получим
у=(Ь/а) (а2-*2)1/2, у = (а2 -х2)1/2.
Следовательно, соответствующие ординаты эллипса и
окружности относятся, как Ыа. Так же относятся и
соответствующие вертикальные хорды эллипса и ок-
ружности. По первому принципу Кавальери это озна-
чает, что площадь эллипса относится к площади круга,
как Ыа, и, значит,
площадь эллипса = (Ь/а) (площадь круга)=
= (Ь/а) (да2) = паЪ.
По существу тем же методом воспользовался и Кеплер
для нахождения площади эллипса с полуосями а и Ь.
2. Выведем теперь известную формулу для объема
шара радиуса г. На рис. 2 слева изображен полушар
радиуса г, а справа — прямой круговой цилиндр ра-
диуса г и высоты г. Из цилиндра вырезан конус, осно-
134
вание которого совпадает с верхним основанием ци-
линдра, а вершина — с центром нижнего основания
цилиндра. Полушар и полый цилиндр покоятся на об-
щей горизонтальной плоскости. Рассечем оба тела го-
^.+ 21-1
Рис. I
ризонтальной плоскостью, проходящей на расстоянии к
над их общим основанием. Сечение полушара имеет
форму круга, а сечение полого цилиндра — форму
кольца. В элементарной геометрии доказывается, что
к
Рис. 2
площадь каждого из этих сечений равна л (г2—й2).
По второму принципу Кавальери^оба тела имеют оди-
наковый объем. Следовательно, объем шара можно вы-
числить по формуле
У = 2 (объем цилиндра —объем конуса) =
= 2(лг3—^пгА=^лг\
135
Весь трюк состоит в том, чтобы найти подходящее «тело
сравнения» (в данном случае — полый цилиндр, разно-
великий полушару по Кавальери).
3. В качестве еще одного примера применения прин-
ципов Кавальери в планиметрии рассмотрим плоскую
геометрическую фигуру, ограниченную отрезком пря-
мой и двумя криволинейными дугами (она изображена
Рис. 3
. РЧР- 4
на рис. 3 слева, где два отрезка, обозначенные одной и
той же буквой т, равны между собой). В качестве фи-
гуры сравнения, как нетрудно видеть, можно выбрать
полукруг, к которому пристроен равнобедренный треу-
гольник (эта фигура изображена на рис. 3 справа). По
первому принципу Кавальери площадь левой фигуры
равна
5-|Яг» + г«-(|+1)г».
4. В качестве еще одного примера применения прин-
дипа Кавальери в стереометрии найдем объем шаро-
вого кольца, которое получается, если в шаре радиуса г
просверлить цилиндрическое отверстие радиуса а, ось
которого совпадает с диаметром шара (шаровое кольцо
изображено на рис. 4 слева). Рассмотрим шар, диаметр
136
которого равен высоте шарового кольцу Поместим его
центр йа ту же горизонтальную плоскость, которой при-
надлежит центр шарового кольца (такой шар изобра-
жен на рис. 4 справа). Рассечем оба тела горизонталь-
ной плоскостью, проходящей на расстоянии к от их
центров. Сечение этой плоскостью шарового коЛьца
имеет*форму кольца с площадью
п (г2 —Н2) —па2 = п (г2—К2—а%
а сечение' шара:—форму круга с площаДью
п{к2 —Л2) = л(г2 —а2—Л2).
Следовательно, по второму принципу Кавзльери объем
V шарового кольца равен объему шара радиуса ку т. е.
у = ±яй3 (=±я(г2-а2)3/Л.
Интересно, что все шаровые кольца одной и той же вы-
соты к имеют одинаковый объем назависимо от радиуса
кольца.
5. В задаче Е465 из журнала ТЬе Атепсап Ма1Нета-
11са1 Моп1Н1у («Американский математический ежеме-
сячник») за март 1941 г. требовалось найти площадь
*-Ь,0)
1
«*м
/п \
<-м»\ Г
У
4^4
[ 1^
1<*е> *
(О.-*)
Рис. 5
фигуры, ограниченной кривой Ь2у2=(Ь+х)2 (а2—х% где
Ь^а>0. График этой кривой (рис. 5) состоит из овала,
проходящего через точки (0, ±а) и (±а, 0), и изолиро-
ванной точки (—6, 0). Кривая симметрична относи-
тельно оси х. Рассмотрим окружность х2+у2=а2. По-
кажем, что площадь фигуры, которую требуется вы-
числить в задаче, равна площади круга, ограниченного
137
окружностью х2+у2=а2. В силу симметрии фигуры от-
носительно оси х достаточно доказать, что расположен-
ная во втором квадранте серповидная лунка, заключен-
ная между нашей кривой и окружностью, равновелика
аналогичной серповидной лунке, расположенной в пер-
вом квадранте. Для этого в свою очередь достаточно
доказать, что высекаемые лунками отрезки ординат,
равноотдаленных от начала координат, равны. Итак,
пусть ух и у2 — положительные ординаты кривой и ок-
ружности при одном и том же х. Тогда
у,-Уг = \(Ъ + х)Уйг^-У&^^
Мы видим, что с точностью до знака разность у±+у2 при-
нимает одинаковые значения в точках +х и —х. Следо-
вательно, обе серповидные лунки равновелики по Ка-
вальери — и, значит, площадь фигуры, ограниченной
названной в условии задачи кривой, равна площади
па2 круга радиуса а.
Задачи- головоломки
.Найти подходящее тело сравнения, которое по
могло бы применить второй принцип Кавальери к вы-
числению нужного нам объема, иногда ничуть не легче,
чем решить хитроумную головоломку. Возможно, среди
читателей найдутся любители такого рода задач, кото-
рые пожелают испробовать свои силы в их решении
Для них мы и приводим несколько геометрических за
дач на вычисление объемов. Указания и советы дань
в конце статьи.
6. Вычислить с помощью второго принципа Кавалье
ри объем баранки, или тора, образованной вращением
круга радиуса г вокруг прямой, лежащей в плоскости
круга на расстоянии с^г от его центра.
7. Нетрудно показать, что не существует многоуголь-
ника, равновеликого по Кавальери данному кругу
(длина хорды, заключенной между двумя сторонами
многоугольника, равномерно меняется при равномер-
ном движении содержащей хорду прямой в перпенди-
кулярном ей направлении, в то время как для хорды
круга это уже неверно). Можно было бы думать, что не
существует и многогранника, равновеликого по Кавалье-
138
ри данному шару. Опровергните это утверждение, по-
строив тетраэдр, могущий служить телом сравнения
для шара.
8. Наклонная плоскость, проходящая через основа-
ние прямого кругового цилиндра, отсекает от цилиндра
клин, называемый копытом (рис. 6).
Вычислить с помощью второго
принципа Кавальери объем ко-
пыта, выразив его через радиус г
цилиндра и высоту Н копыта.
9. Обобщенным призматоидом
называется любое тело с двумя
плоскими параллельными основа-
ниями, у которого площадь сече-
ния плоскостью, параллельной ос-
нованиям, задается квадратичной
функцией расстояния от одного
из оснований.
а) Доказать, что объемы приз- Рис. 6
мы, клина (прямой треугольной
призмы, повернутой так, что она покоится на одной из
боковых граней как на основании) и пирамиды опреде-
ляются призматоидальной формулой
где Н — высота, V — площадь верхнего основания,
Ь — площадь нижнего основания, М — площадь сред-
него сечения, равноудаленного от верхнего и нижнего
оснований.
б) Доказать с помощью второго принципа Кавальери,
что объем обобщенного призматоида определяется приз-
матоидальной формулой.
в) Доказать, что 1) сфера, 2) эллипсоид, 3) копыто
(см. задачу 8) и 4) тело Штейнмеца (тело, образованное
в пересечении двух прямых круговых цилиндров оди-
наковых радиусов с пересекающимися взаимно перпен-
дикулярными осями) являются обобщенными призма-
тоидами, и найти выражения для объемов всех этих тел.
Наш рассказ о принципах Кавальери мы хотели бы
завершить одним предостережением и отметить одно
139
удивительное свойство равносоставленности по Каваль-
ери. Начнем с предостережения. ]
В элементарных учебниках принципы Кавальери
приводятся без доказательств как интуитивно очевид-
ные. Рассмотрим два тела, заключенные между двумя
параллельными плоскостями и такие, что их сечения
любой плоскостью, параллельной плоскостям, между
которыми они заключены, имеют равные периметры.
Кажется интуитивно ясным, что аналогично (второму)
принципу Кавальери боковые поверхности двух рассмот-
рю. 7
риваемых тел должны иметь равные площади. К этому
эвристическому заключению можно прийти, представив
боковые поверхности двух тел как бы состоящими из
бесконечно многих неделимых в форме нанизанных на
тела .нитяных (состоящих из бесконечно тонкой нити)
петель (периметров поперечных сечений), в простейшем
случае имеющих вид овалов. Так как петли, лежащие
в одной плоскости, имеют одинаковую длину, и между
образующими поверхности обоих тел петлями можно
установить взаимно-однозначное соответствие, то ка-
жется, будто боковые поверхности этих тел неизбежно
должны быть равновеликими. В действительности боко-
вые поверхности тел отнюдь не обязательно должны
иметь равные площади (т. е. быть равновеликими).
Чтобы убедиться в этом, рассмотрим две квадратные
призмы РиР'с одинаковыми основаниями и равными
высотами, причем Р — прямая призма, а Р'— наклон-
ная призма, две противоположные боковые грани которой
140.
перпендикулярны основаниям (рис. 7). Тогда площадь
боковой поверхности наклонной призмы будет, оче-
видно, больше, чем площадь боковой поверхности пря-
мой призхмы. Этот пример показывает, насколько опасно
в математике полагаться только на интуицию.
Обратимся теперь к одному удивительному свойству
равновеликое™ по Кавальери. Прежде всего введем
определение. Назовем два треугольника ЛВС и А'В'С
Рис. 8
аффиннО'Симметричными (или косо-симметричными) друг
другу-(с осью--симметрии т и направлением симмет-
рии А А'), если отрезки АА'\ВВ'\\СС и середины
последних трех отрезков принадлежат одной прямой т
(рис. 8). Можно доказать, что справедливы
Теорема 1. Любые два равновеликие треугольника
плоскости можно перевести один в другой с помощью
не более чем трех косых симметрии,
и
Теорема 2. Любые два треугольника одной площади-
равновелики по Кавальери.
Обе эти удивительные теоремы были установлены
лишь недавно. Стереометрический аналог второй тео-
ре:мы места уже не имеет, т. е. два тетраэдра равного
объема не обязательно равносоставлены по Кавальери.-
Доказательство этих утверждений мы здесь опустим.
N1
Указания и советы к решению задач
6. Положите тор на плоскость р, перпендикулярную оси тора.
В качестве тела сравнения выберите прямой круговой цилиндр ра-
диуса г и высоты 2лс, уложив его (не поставив, а именно уложив!)
на ту же плоскость р. Проведите теперь сечение тора и цилиндра
плоскостью, параллельной плоскости р. Сечение А тора имеет форму
кольца с внутренним радиусом Ь и наружным радиусом а, сечение
Л' цилиндра — форму прямоугольника длины 2лс и ширины ш. Эти
сечения имеют соответственно площади
А = па2 — лЬ2 = я (а2 -Ь2) ь л (а + Ь) (а — Ь)-2пс (а — Ь)
и А'=2лаю = 2лс(а — Ь).
Так как А=А\ то по второму принципу Кавальери объем тора ра-
вен объему цилиндра, т. е.
У = лг2(2лс) = 2л2г2с.
7. Пусть АВ и СО — два отрезка прямых в пространстве, та-
кие, что 1) АВ=€й=2г У~п; 2) каждый из отрезков АВ\_МЫ
СО | МИ% где Ми IV- соответственно середины А В и СО; ММ=2г,
3) отрезок АВ]^СО\ рассмотрите тетраэдр АВСЭ.
8. Разделите копыто на две равные части плоскостью р, прохо-
дящей через ось цилиндра. Пусть 5 — площадь сечения копыта
плоскостью р. Постройте прямую призму, основанием которой слу-
жит квадрат площадью 5 (основание лежит в плоскости р), а высота
равна радиусу г цилиндра. Вырежьте из этой призмы пирамиду,
основание которой совпадает с основанием призмы, не лежащим в
плоскости р, а вершина — с точкой другого основания призмы. Та-
кая полая призма может служить телом сравнения для одной из
половин копыта.
8 качестве тела сравнения для половины копыта можно выбрать
также тело, у которого нижним основанием служит прямоугольный
треугольник с катетами г и Л, высота равна г, а верхним основанием
служит отрезок прямой, равный и параллельный гипотенузе ниж-
него основания.
Объем копыта равен 2Нг2/3.
9 б. Площадь любого сечения, квадратично зависящая от рас-
стояния до одного из оснований, можно представить в виде алгебра-
ической суммы постоянной площади сечения призмы, пропорцио-
нальной расстоянию до выбранного основания площади сечения кли-
на и пропорциональной квадрату расстояния до того же основания
площади сечения пирамиды. Следовательно, объем обобщенного
призматоида можно представить в виде алгебраической суммы объ-
емов призмы, клина и пирамиды. Далее воспользуйтесь решением
задачи 9а.
9 в. Сечение эллипсоида
хУа2+у2/ЬЧ-г2/с2=\
плоскостью, проходящей на расстоянии г от плоскости ху, представ-
ляет собой эллипс
х2/а2+у2/Ь2=\ -г2/с2
142
с полуосями
(а/с)У*с — г2 и (Ь/с)Ус2 — г2.
Площадь этого эллипса равна
лаЬ (с2 — г2)/с\
из чего видно, что эллипсоид принадлежит к числу обобщённых
призматоидов. Его объем равен
У = 4лаЬс13.
Для объема тела Штейнмеца получаем 1/=16г3/3. (Рассказыва-
ют, что выдающемуся электротехнику Карлу Протеусу Штейнмеа г
(1865—1923) однажды предложил» вычислить объем тела, носящего
ныне его имя. Штейнмец поразил всех, мгновенно назвав ответ.
(О том, каким образом ему удалось решить задачу, не прибегал
к карандашу и бумаге, Штейнмец предпочел умолчать. Скорее всего
он увидел, что пересечение двух цилиндров принадлежит к числу
обобщенных призматоидов, и воспользовался призматоидальной
формулой.)
2.6. Как Папп доказал свою теорему?
Леон Банков
Величайшее наслаждение при занятиях математикой
доставляет нам решение задач, а самые захватывающие
ощущения мы испытываем, когда решение завершается
изящным результатом, особенно если и способы этого
решения столь же изящны. Папп, как свидетельствуют
разбросанные по математической литературе многочис-
ленные «теоремы Паппа», был подлинным мастером
изящной теоремы. Неудивительно, что именно ему уда-
лось найти остроумное доказательство утверждения,
которое он сам называл «одной древней теоремой».
Эта теорема приведена в IV книге его «Собрания» —
работы, содержащей немало красивых результатов.
В рассматриваемой теореме говорится о последователь-
ности касающихся окружностей, вписанных в арбелос,
или «сапожный нож»,— геометрическую фигуру, впер-
вые рассмотренную Архимедом в «Книге лемм». Мы вряд
ли погрешим против истины, предположив, что в древ-
ности эта теорема об окружностях была действительно
143
известна на эмпирическом уровне, но до Паппа ее ни-
кому не удалось доказать.
Если на отрезках А В выбрать произвольную точку С
и на отрезках Л С, СВ и АВ как на диаметрах описать по
одну сторону полуокружности, то криволинейный тре-
угольник, ограниченный тремя полуокружностями, на-
А С В
Рис. I
зывается арбелос. Одно из трех свойств арбелоса, рас-
смотренных Архимедом, связано с вычислением диамет-
ра вписанной окружности, касающейся каждой из трех
дуг, которые образуют границу арбелоса. Папп начал
с этой вписанной окружности, а затем расширил за-
А С В
Рис. 2
дачу, присоединив к этой окружности бесконечную
последовательность окружностей, каждая из которых
касается соседних окружностей и двух дуг, ограничи-
вающих арбелос (рис. 1). По «древней теореме» расстоя-
ние от центра первой вписанной окружности до отрез-
ка АВ вдвое больше ее радиуса, расстояние от центра
второй вписанной окружности до отрезка А В в четыре
раза больше ее радиуса, . , ., расстояние от центра
144
и-и вписанной окружности до отрезка АВ в 2/г раз
больше ее радиуса.
В показанной на рис. 2 конфигурации, тес«о -свя-
занной с теоремой Паппа, нет дуги СВ и первая вписан-
ная окружность касается дуг АС и А В и отрезка пря-
мой СВ. Ив этом случае цепочка окружностей, касаю-
щихся соседних окружностей, ограничена дугами (кри-
волинейного) треугольника (стороны которого могут
быть не только прямыми, но и кривыми). Расстояние от
центра /?-й окружности такой цепочки до основания АВ
в 2/г—1 раз больше ее радиуса. Например, расстояние
от центра седьмой окружности в цепочке до отрезка А В
в 13 раз больше радиуса окружности.
На первый взгляд доказательство этих свойств ка-
жется весьма простым. Мы, математики двадцатого
столетия, самонадеянные обладатели обширнейшего ма-
тематического арсенала, считаем подобные задачи не
более чем скучными упражнениями на применение
того или иного известного метода. Чтобы доказать тео-
рему Паппа или ее аналог, нам достаточно подвергнуть
исходный чертеж инверсии с центром А и рассмотреть
преобразование фигуры: покров таинственности, оку-
тывавший первоначальную конфигурацию, падет и -нам
откроется сокровенный смысл теоремы Паппа.
Для тех читателей, кто недостаточно знаком с инвер-
сией, уместно кратко рассказать о ее применении к тео-
реме Паппа. Восстановим перпендикуляр к отрезку
АВ в точке С, пересекающий дугу АВ в точке О, а за-
тем опишем дугу окружности с центром А и радиусом
АО — окружность, относительно которой мы будем
отражать наш чертеж (ибо инверсию называют также
симметрией относительно окружности); так как АО*=
=АС'АВ, то дуга А В перейдет при инверсии в перпен-
дикуляр СО, восстановленный к отрезку АВ в точке С
и продолженный за точку С, дуга А С — в прямую, ка-
сательную к дуге АВ в точке В. Окружность инверсии
пересекает дугу СВ ортогонально, поэтому полуокруж-
ность, построенная на отрезке СВ как на диаметре, при
инверсии переходит в себя (остается неизменной). Це-
почка окружностей Паппа переходит при инверсии
в цепочку равных касающихся окружностей, заключен-
ных между двумя вертикальными прямыми так же, как
их прообразы были заключены между дугами АВ и АС.
145
Из рис. 3 сразу видно, что расстояние до АВ от центра
л-й окружности, полученной в результате инверсии,
в 2/г раз больше ее радиуса. Аналогичная инверсия,
примененная к конфигурации на рис. 2, приводит к за-
висимости уп = 2п—1, где уп — расстояние от центра
/1-й окружности до АВ и расстояние между С и В при-
нято за 2.
А теперь обратимся к вопросу, вынесенному в загла-
вие нашей статьи: «Как Папп доказал свою теорему?»
Не следует забывать о том, что Папп сделал это, не ис-
пользуя инверсию (инверсию математикам предстояло
открыть через пятнадцать столетий после Паппа). Ни-
что в трудах Евклида, Архимеда или Аполлония не
могло служить путеводной нитью к замечательному ре-
зультату. Следовательно, Папп мог добиться успеха,
лишь проведя определенную подготовительную работу,
а именно предварительно доказав несколько вспомога-
тельных утверждений или лемм.
Мы воздаем хвалу Паппу за его замечательное до-
стижение и глубоко признательны за доставшееся нам
в наследство сложное, но строгое доказательство его
теоремы. Мы восхищаемся изобретательностью, с кото-
рой он преодолевал трудности, находя новые оригиналь-
ные способы решения различных проблем. Но даже если
подойти к оценке полученного им результата с совре-
менными критериями, то нельзя не признать, что дока-
зательство Паппа превосходит то, что можно было бы
146
приписать опытному математику-профессионалу, не го-
воря уже об ученике старших классов, пусть даже самом
талантливом. Это становится очевидным, если мы, под-
чиняясь нашему естественному стремлению, как можно
больше узнать о доказательстве, предложенном самим
Паппом, попытаемся найти его и вникнуть во все тон-
кости. Но где можно найти первоначальный вариант
доказательства знаменитой теоремы Паппа? Со вре-
мени, когда жил и работал Папп, прошло 16 веков, но
полного английского перевода его трудов нет. Однако
сокращенный вариант работ Паппа, в том числе доказа-
тельство теоремы об окружностях и связанных с ней
лемм, был издан на английском языке известным исто-
риком науки Томасом Хитом. Перевод вместе с ком-
ментариями был опубликован в книге Хита «История
древнегреческой математики», выпущенной издательст-
вом «Оксфорд юниверсити пресс» в 1921 г. В более
сжатом «Руководстве по древнегреческой математике»
(Оксфорд, 1931 г.) Хит лишь мельком упоминает тео-
рему Паппа, искусно избегая каких-либо пояснений
относительно метода доказательства. Авторы других
работ по античной математике, например Джеймс Гау
и Айвор Д/Шас, упорно обходят молчанием леммы и
доказательства основной теоремы.
Гордостью моей личной библиотеки является эк-
земпляр собрания трудов Паппа на латинском языке,
переведенный с греческого Коммандио в 1659 г. Чтобы
по достоинству оценить доказательство Паппа, необ-
ходимо шаг за шагом продираться через одиннадцать
страниц очень убористо напечатанного текста, пы-
таясь постичь глубинный смысл рассуждений Паппа.
Правда, существует двухтомное французское издание
трудов Паппа в великолепном переводе с подробными
комментариями Пайля Фер Эке, выпущенное издатель-
ством «Десле де Брауер энд компани» в Париже в 1933 г.
Девятнадцать страниц этого издания посвящены опи-
санию предложенного Паппом доказательства теоремы.
В своих комментариях Фер Эке часто цитирует трех-
томное немецкое издание Фридриха Хюлтша, выпущен-
ное в Берлине в 1876 г.
Читатель, дочитавший нашу статью до этого места,
в праве потребовать, чтобы мы хотя бы в общих чертах
объяснили, в чем именно заключается суть избранного
147
Палпом подхода. Наши пояснения состоят из кратких
комментариев и четырех чертежей, представленных на
рис. 4—7. Из чертежа на рис. 4, иллюстрирующего -пер-
вую лемму, с очевидностью следует соотношение, кото-
рое часто используется в дальнейшем: КЕ-ЕЬ=ЕВ*.
На рис. 5 окружность РОН с центром в точке А —
любая окружность, которая касается дуг полуокруж-
ностей, построенных на отрезках ВО и ВС как на диа-
метрах (точка О лежит на отрезке ВС). Начиная с диа-
метра НР, параллельного отрезку ВС, остальную часть
чертежа Папп строит так, как показано на чертеже.
Установив отношения ВС/ВО и ВР/ВЬ в подобных
треугольниках В6С, ВКН и ВЬР, ВЕй, П|^получает
отношение 2ВМ1К1={ВС+ВО)1{ВС—ВО) .Поскольку
/<Х=2г, то это соотношение можно записать в виде
ВМ/г=(ВС+ВО)/(ВС—ВО).
Прежде чем приступать к основному моменту своего
доказательства, Папп устанавливает несколько более
существенных лемм. Из подобия треугольников ВКН
и РЬС он выводит соотношение ВК^С=АМ2. А так
как ВС/ВО = ВЦВК, то Папп получает еще два соот-
ношения В/,.СО=ВС-2г. и В/С-СО = ВО-2г.
Обратимся теперь к рис. 6, на котором окружности
с центрами А и Р — любые две касающиеся окружности,
расположенные так, как показано на чертеже. Пусть
М и N — основания перпендикуляров, опущенных из
точек А и Р на ВС. Папп уже установил, что отноше-
ния ВМ/А8 и ВМ/РО постоянны и равны (ВС+ВВ)/
/(ВС—ВО). Используя другие доказанные им леммы и
устанавливая необходимые отношения в подобных тре-
угольниках, Папп сумел доказать, что (АМ-\-д)1й=
=РДШ', где д, и д!— диаметры окружностей с центрами
в точках А и Р.
1-4»
Только теперь у Паппа все готово для доказательства
основной теоремы. Опираясь на чертеж (рис; 7), вос-
пользуемся тонкими леммами Паппа, чтобы вывести
соотношения ВК^С=К12 и ВК*ЬС=АМг, из кото-
рых следует, что КЬ^АМ или рх^=Л1у где рх— рае-
В N О М С §
Рис. 6
стояние от центра А до прямой ВС. Пусть р2 и а2 —
расстояние от центра второй окружности до ВС и диа-
метр второй окружности соответственно. Тогда из по-
следней леммы мы заключаем, что (р1+й1)/с11=р2/с12у
откуда р2**2й2. Продолжая, мы приходим к тому же
Рис. 7
г
результату, который получили ранее с помощью ин-
версии, а именно что расстояние от центра /г-й окруж-
ности в цепочке Паппа до основания ВС в 2/г раз больше
радиуса окружности. Аналогичное рассуждение, при-
мененное к изображенной на рис. 2 конфигурации, при-
водит к заключению, что расстояние от центра п-й
окружности до основания в 2п—1 раз больше радиуса
окружности.
149
На этом завершается сокращенный вариант приве-
денного у Хита «конспекта» подлинного доказательства
Паппа, своего рода набросок фундамента, на котором
Папп построил свою знаменитую теорему об окружнос-
тях. Если запастись изрядным терпением и проследить
шаг за шагом доказательство, предложенное самим
Паппом то не останется ни малейших сомнений в том,
что Папп был гением, обладавшим неповторимым даром
проникать в глубинную сущность геометрических кон-
фигураций.
А НР Р О С В
Рис. 8
Подобно Евклиду и Архимеду, Папп доказывал свои
теоремы только средствами элементарной геометрии,
лишь изредка прибегая к простейшей алгебре — не
более сложной, чем составление пропорции из двух
равных соотношений. В начале статьи мы убедились,
с какой легкостью мог бы доказать Папп свою теорему
об окружностях, будь он знаком с инверсией и ее ос-
новными свойствами. Пофантазируем немного и попы-
таемся представить, как стал бы Папп доказывать свою
теорему, знай он несравненно более гибкую современ-
ную (элементарную) алгебру.
Введем новые обозначения (рис. 8). Пусть В и Е —
центры двух любых касающихся окружностей, вписан-
ных в «серп» (радиусами х и у), ограниченный дугами
А В и АС (с центрами в точках О и Р), Р и Н — основа-
ния перпендикуляров, опущенных из В и Е на АВ,
и пусть АО=Я, АР=г, Ьр=тх и ЕН=пу.
Из соотношения РО2—РР2=В02—ВР2 получаем
(К-АР)2-(г-АР)2=(К-х)2-(г+хУ,
или
(К+Г-2АР) (Р>-Г) = (Р>+г) {Я-г—2х).
150
Следовательно,
х _(/?-г)
АР (/?+г)
и аналогично
У ___(*-')
ЛЯ (Д+г)»
откуда
НР = АР — АН--=(х—уЩЩ.
Но Ъе2=НР2+{ОР—ЕН)\ поэтому
(* + ^/)2 =(* \*-ХгуУ)% + ("**-^)2. (О
Запишем теперь площадь треугольника СОР двумя спо-
собами: с помощью формулы Герона, выражающей ее
через длины сторон треугольника, и с помощью тради-
ционной формулы «полупроизведение основания на вы-
соту»:
Аналогично для треугольника ЕНО получаем
Разрешая эти соотношения относительно х и у, находим
4/?г(/?-г) ,9, 4Кг(К-г)
г + т2(# — г)2 УЬ у ~~4#г + я2(/? — г)2' 1°'
(4)
*"~4#г + т2 (/?— г)2 ^" ^ 4#г + я2(/? — г)
Из (2) и (3) следует, что
х _/г2(/? —г)2+4/?г
у ~~"т2(#— г)2 + 4/?г*
Соотношение (1) можно преобразовать к виду
(±)[4Яг + т2(Я-г)2] + (04#г + «2(#-г)2] =
= 2[2#2 + 2/-2 + т/г(# —г)2].
Подставляя вместо (*/«/) правую часть соотношения (4),
получаем
4 (#—г)2=(#_г)2 (т2+/г2—2т/г).
151
Наконец, заметим, что т—п=±2, а так как п>ту то
7г—т=2.
Заметим, что за точку О можно было бы выбрать
центр исходной или любой другой окружности в це-
почке Паппа и что отношение ЕН/у и соответствующие
отношения для последовательных окружностей при
П.-+Ж подчиняются закону п—т=2г т. е. последова-
тельные отношения образуют арифметическую прогрес-
сию с общей разностью 2.
Доказанная чисто геометрически, алгебраически или
с помощью инверсии, теорема Паппа об окружностях
и поныне будоражит воображение матехматиков, пленяя
своей загадочной красотой.
Зв Мозаики на плоскости
3.1. Сплошные разбиения прямоугольников
Р. Л. Грэхэм
Представим себе, что у нас имеется неограниченный
запас прямоугольных плиток размером 2x1 и мы хотим
выложить ими пол прямоугольной комнаты размером
рхщ. Разумеется, покрыть плитами необходимо все рц
кв. единиц площади пола; кроме того, никакие две
плитки не должны перекрываться. На рис. 1 показано,
например, как можно выложить этими плитками пол
в прямоугольной комнате размером 5x6.
>ьм
1 '\==г\—1
I 1
1. ■■
2
,
г 1
Рис. 1. Разбиение прямо-
угольника размера 5X6.
р = 2г
Рис. 2. Разбиение (2гХ ^-прямо-
угольника.
Ясно, что если пол в прямоугольной комнате разме-
ром /?х<7 выложен плитками 2x1, то произведение рц
четно, поскольку площадь каждой плитки равна 2.
С другой стороны, если произведение рц четно, то ком-
нату размером рхц можно выложить (2X 1)-плитками.
Действительно, в этом случае по крайней мере одно из
чисел р или <7 должно быть четно. Но если, скажем,
/?=2г, то комнату размером рхд можно замостить, рас-
положив плитки так, как показано на рис. 2.
153
Сплошные паркетажи
Присмотревшись внимательнее к паркету, изобра-
женному на рис. 1, мы обнаружим «линию разрыва»,
т. е. прямую, пересекающую всю «комнату» от стены
до стены, но не пересекающую ни одной плитки. Назо-
вем паркеты без таких линий сплошными паркетами
(или паркетами без разрывов); обладающие этим свойст-
вом разбиения прямоугольника на «плитки» назовем
сплошным разбиением (разбиением без разрывов). Если
представить себе паркет как по-
перечный срез кирпичной кладки,
то станет ясно, почему линий раз-
рыва следует избегать. На рис. 3
показан «сплошной паркетаж»
(2х1)-плитками комнаты размером
5x6.
С любопытным явлением мы
6 сталкиваемся при попытке сплош-
Рис. 3. Сплошное раз- ного разбиения на (2х1)-плитки
биение (бхб)-прямо- прямоугольника (точнее, квадра-
угольника. та) размером 6x6. (Попробуй-
те самостоятельно решить эту задачу, прежде чем
мы продолжим наш разговор.) Тот же неприятный сюр-
приз поджидает нас и при попытке выложить (2x1)-
плитками прямоугольник размером 4x6. Оказывается,
ни в одном из этих случаев невозможно выложить пря-
моугольники (2х 1)-плитками без разрывов. Естест-
венно, математик не устоит перед искушением поста-
вить вопрос *: при каких р и ц прямоугольник размером
/?Х</ допускает сплошное заполнение (2х\)-плит'ками,
а при каких р и д такое заполнение невозможно?
5
Ответ на вопрос
Прежде всего очевидно, что прямоугольник невоз-
можно выложить без разрывов (2х 1)-плитками, если
его вообще невозможно выложить такими плитками,
т. е. если площадь прямоугольника нечетна. Иначе
* Существует и другой более общий вопрос: сколькими спосо-
бами можно выложить без разрывов (2 X 1)-плитками прямоуголь-
ник размером рХд? В нашей статье этот вопрос не рассматривается.
154
говоря, необходимым условием существования сплош-
ного паркетажа (рх^-прямоугольника (2х 1)-плитками
является четность произведения рд.
Однако, как мы уже убедились выше, это условие
не достаточно. Попытаемся, например, выложить без
разрывов (2 X ^-прямоугольник, где ^2. Заполнить
Ш—~ "1 И^ 1
ш I еш . ^
я я
а б
-ис. 4. Сплошное разбиение (2Х ^-прямоугольника на (2Х ^-плит-
ки?
левый конец такого прямоугольника можно только
двумя способами — как показано на рис. 4, а и б. Но
каждый из этих способов приводит к появлению (вер-
тикальной) линии разрыва (так как ц^Я) — при ц=2
линия разрыва в случае б проходит горизонтально. Таким
я я я
а б *
ис. 6. Дальнейшие попытки выложить без разрывов прямоугольник
размера ЗХ^.
образом, прямоугольники размером 2х<7 не допускают
сплошных паркетажей с помощью (2х 1)-плиток, хотя
их площадь и выражается четным числом.
Далее попытаемся выложить без разрывов (2x1)-
плитками прямоугольник размером Зхд. И в этом слу-
155
чад.-дезый конец прямоугольника можно заполнит
лишь двумя существенно различными способами (рис..5).
Начало паркетажа, показанное на рис. 5, а, не при-
водит к успеху: здесь при ц=2 возникает горизонталь-
ная линия разрыва, а при ц>2 — вертикальная линия
разрыва. А что произойдет в случае рис. 5, б? Различ-
ные варианты начала в этом случае показаны на рис. 6.
: Выложив плитки так, как показано на рис. 6, а, мы
снова получили бы линию разрыва, поэтому от укладки
пЬиТок по этой схеме приходится отказаться. Плитки
Можно' уложить иначе — как показано на рис. 6, б.
При такой схеме укладки нам понадобятся дополнитель-
ные'плитки 2 и 3 — иначе нечем будет заполнить пус-
тоту у" нижней, границы прямоугольника (см. рис. 6, б).
Однако, как нетрудно заметить, на рис. 6, в правый
«профиль» укладки в точности совпадает с «профилем»
на рис. 5, б. Следовательно, мы смогли лишь несколько
отсрочить заполнение уступа, показанного на рис. 5, б.
Рано или поздно (ведь сколь ни велико число ^, оно
все же конечно!) нам все равно придется заполнить от-
верстие вертикальной плиткой, как на рис. 5, б,— а как
только мы уложим эту плитку, у нас возникнет линия
разрыва!
Итак, прямоугольник. Зх</ также не допускает,
сплошного заполнения (2х 1)-плитками.
Аналогичным способом (правда, здесь нам придется
рассмотреть несколько большее число случаев и из-
рядно потрудиться) доказывается, что и прямоугольник
размером 4х<7 невозможно выложить (2х 1)-плитками
без разрывов. [Из соображений симметрии следует,
что и (/?х4)-прямоугольник невозможно выложить без
разрыва (2х 1)-плитками.] Трудно удержаться от ис-
кушения попытаться доказать, что аналогичное ут-
верждение справедливо и для (5 х ^-прямоугольников,
но побороть искушение необходимо: ведь по крайней
мере один контрпример (прямоугольник размером 5x6,
см. рис. 3) нам известен.
Итак, мы установили еще одно необходимое условие.,
того, что (/?х</)-прямоугольник можно выложить (2x1)-
плитками без разрывов: каждое из чисел р и </ должно
быть не меньше 5.
Правда, при этом по-прежнему остается неприят-
ным, почему невозможно выложить (2х 1)-плитками
156
Рис. 7. Возможные ли-
нии разрыва в запол-
нении квадрата разме-
ра 6X6.
без разрывов квадрат размером 6x6. Этот пробел вос-
полняет следующее красивое рассуждение С. В. Го-
лоМба и Р. А. Джеветта.
Предположим, что нам удалось каким-то образом вы-
ложить без разрьшов квадрат размером 6x6. В этом
квадрате существуют 5 вертикаль-
ных и 5 горизонтальных отрез-
ков — «кандидатов» в линии раз-
рыва. В силу нашего предположе-
ния каждый такой отрезок должна
прерывать какая-то плитка (рис. 7).
В свою очередь каждая плит-
ка прерывает, очевидно, ровно
один отрезок, могущий стать ли-
нией разрыва. Кроме того (и это
имеет решающее значение), если
какой-либо отрезок (например,
отрезок Ь на рис. 7) прерывает
ровно одна плитка, то площадь
каждой из фигур, дополняющих
эту плитку до полного квадрата справа и слева от от-
резка, нечетна, так как эти фигуры суть прямоуголь-
ники размером 6х/, из которых изъято по одному квад-
рату. Но ведь такую фигуру невозможно выложить
(2х 1)-плитками! Следовательно, каждый из 10 отрез-
ков — кандидатов в линии разрыва — должен преры-
ваться по крайней мере двумя плитками. Таким обра-
зом мы насчитываем 5*2+5-2=20 плиток, разрываю-
щих 5+5 (вертикальных и горизонтальных) линий
внутри квадрата. Но полная площадь квадрата 6x6
равна всего лишь 36 квадратным единицам, в то время
как площадь 20 плиток составляет 40 квадратных еди-
ниц! Полученное противоречие и доказывает, что (6x6)-
квадрат не допускает сплошное заполнение (2х ^-плит-
ками.
Все, что нам удалось установить до сих пор, можно
резюмировать, перечислив необходимые условия сущест-
вования сплошного покрытия (рх^-прямоугольника
(2х 1)-плитками:
1) р<7 делится на 2,
2) р>5, ?>5,
3) (р, я)Ф(69 6).
157
Как ни странно, но эти условия оказываются также
и достаточными: если р и ц удовлетворяют условиям
1—3, то (рх ^-прямоугольник можно выложить без
разрывов (2х 1)-плитками. Один из способов доказа-
тельства достаточности условий 1—3 состоит в том,
чтобы, начав с небольших прямоугольников, допускаю-
щих сплошное покрытие (2х1)-плитками (например,
р + 4
9 + 4
Рис. 8. «Расширение» прямоугольника, выложенного без разрывов
(2Х 1)-плитками.
с прямоугольников 5x8, 6x8 и — это наш более ран-
ний пример — с прямоугольника 5x6), строить из них
более крупные прямоугольники, которые также можно
выложить без разрывов. Например, имея (рХ^-прямо-
угольник, выложенный без разрывов (2х1)-плитками,
мы можем построить [(/?+4)х(?+4)]-прямоугольник,
также выложенный без разрывов (рис. 8). Аналогичным
образом, сплошное разбиение на (2х1)-плитки (рХ^)-
прямоугольника можно дополнить до сплошного раз-
биения [(/?+2г+2)Х(<7+5+2)]-прямоугольника, где г и
5 — любые целые положительные числа.
Плитки других размеров
Естественно спросить, какие прямоугольники до-
пускают сплошное разбиение на плитки других разме-
ров, например на (Зх1)-плитки или на (7х5)-плитки.
На первый взгляд кажется, будто установление точного
критерия, позволяющего определять, какие именно
(рХ^-прямоугольники можно выложить без разрывов
плитками данного размера, представляет собой безна-
158
дежно сложную задачу. Но оказывается, что на этот
вопрос существует удивительно красивый ответ.
Предположим, что нам требуется выложить прямо-
угольник размером рХд (ахб)-плитками. Изменяя в
случае необходимости единицу измерения длин, мы
всегда можем добиться того, чтобы числа а и Ь были бы
взаимно-простыми, т. е. не имели общего делителя,
большего 1*. (Кроме того, мы всегда можем считать,
что не выполняется равенство а=Ь=1: ведь ясно, что
никакой прямоугольник нельзя выложить без разрывов
квадратными (1 х 1)-плитками, за исключением того
тривиального случая, когда весь паркет состоит из
одной-единственной плитки!) Как и в случае с (2x1)-
плитками, существуют два основных необходимых ус-
ловия возможности сплошного разбиения (рх ^-прямо-
угольника на (ахЬ)-плитки— одно из них относится
к делимости чисел р, ц, а и Ь, другое — к размерам
прямоугольника и плиток.
Начнем с условия на делимость. Чтобы прямоуголь-
ник размером /?Х<7 можно было выложить (с разрывами
или без разрывов) плитками размером ахЬ, разумеется,
необходимо, чтобы площадь ^-прямоугольника делилась
на площадь плитки. Но этого мало: должны быть вы-
полнены и другие требования. Раскрашивая плитки и
прямоугольник в аЬ цветов в определенной цикличе-
ской последовательности, можно доказать следующее
необходимое условие:
Г) каждое из чисел а и Ь должно делить по крайней
мере на одно из чисел р и ц (это условие, разумеется,
сильнее требования, чтобы площадь яб-плитки делила
площадь рц прямоугольника).
Что же касается относительных размеров прямоуголь-
ника и плитки, то в общем случае должен иметь место
определенный аналог установленному ранее условию 2:
р, <7^5. Этот аналог несколько неожидан:
2') каждое из чисел р и ц должно быть представимо
в виде суммы ха+уЬ (с натуральными х и у) по крайней
мере двумя способами.
По существу второе условие гарантирует определен-
* Ясно, что если (рХ ^-прямоугольник заполнен (аХЬ)-плт-
ками, где (натуральные) числа а и Ь имеют общий множитель йЛ то
и числа р и ц должны делиться на Л — и мы можем принять д. за но-
вую единицу длины.— Прим. ред.
159
11ую свободу в размещении плиток вдоль сторон прямо-
угольника, т. е. позволяет в известных пределах:варыь
ровать число плиток, укладываемых по вертикали и по
горизонтали. При а=2, 6=1 условие 2' сводится к.вве-
денному ранее условию 2, так как числа 2, 3 и 4 невоз-
можно представить в виде х-2+#-1; х, у>0 двумя спо-
собами в отличие от любого целого числа ^5, допускаю-
щего по крайней мере два таких представления (напри-
мер, 5=1x2+3x1=2x2+1x1 и т.д.).
Любопытно, что невозможность выложить (6x6)-
квадрат (2х 1)-плитками остается единственным ано-
мальным исключением. Во всех остальных случаях ме-
тоды, аналогичные приведенным выше, позволяют вы-
ложить без разрывов (рх^-прямоугольник (ах^-плит-
ками, если только размеры прямоугольника и плиток
удовлетворяют перечисленным выше необходимым ус-
ловиям 1 и 2. Окончательно наше заключение можно
сформулировать так:
Теорема. Прямоугольник рХд можно выложить без
разрывов (аХЬ)-плитками (предполагается, что р$>аЪ
и (а, 6)=1) в том и только том случае, если:
Г) каждое из чисел а и Ь делит р или ц;
2) каждое из чисел р и ц по крайней мере двумя спо-
собами представимо в виде ха-\-уЬ, где х и у — натураль-
ные числа (в частности, х>0 и у>0);
3') если {а, 6}={1, 2}, то (ру я)ф(6,6).
Доказательство этой теоремы проводится без труда,
и мы предоставляем его читателю. Заметим лишь, что
число т в том и только том случае по крайней мере
двумя способами представимо в виде суммы ха-\-уЬ,
когда разность т—аЬ представима по крайней мере
одним способом в виде ха+уЬ (предполагается, что
(а, Ь)=1). В общем случае такие числа не идут подряд,
как это имеет место при а=2, 6=1. Например, (3x2)-
плитками можно выложить без разрывов (11x18)- и
(14 X 15)-прямоугольники, но не (12 X 12)-квадрат (в част-
ности, 11=3-3+2.1=3-1+2.4, но 12=3.2+2.3—и это
все!).
Что же дальше?
В задачах такого рода, как рассмотренная нами,
один найденный ответ обычно порождает п новых воп-
росов, где п достаточно велико. Например, можно спро-
*!№.
сить: сколько сплошных разбиений на плитки задан-
ного размера допускает данный прямоугольник? Что мы
получим, если вместо плиток одного размера взять
плитки двух (или большего числа) разных размеров?
Что можно сказать, если аналогичные вопросы отно-
сятся к пространству трех измерений (или даже боль-
шего числа измерений)? Как скажется на ответах до-
полнительное требование о том, чтобы каждую линию
разрыва пересекали по крайней мере две плитки? Не
менее чем п плиток?
Мы достигли границ известного на сегодня в этой об-
ласти и желаем читателю успеха в исследовании затро-
нутого нами увлекательного раздела геометрии (хотя и
не лежащего в основном ее русле). Не сомневаемся, что
он откроет для себя сокровища, которые пока пребывают
в неизвестности, ожидая своего часа.
3.2. Разбиения
на равносторонние треугольники
У. Т. Татт
Я счастлив предоставившейся мне возможностью при-
нять участие в настоящем сборнике, посвященном Мар-
тину Гарднеру. Некогда я написал статью о разбиениях
прямоугольников на квадраты для редактируемого им
раздела журнала 5аеп1Шс Атепсап (см. [7]). Возмож-
но, еще одна статья о разбиениях будет уместной в этом
юбилейном сборнике.
В статье [71 речь шла о «квадрируемых прямоуголь-
никах», т. е. о разбиениях прямоугольников на квад-
раты. Прямоугольник или квадрат, разбитый на по-
аарно неравные квадраты, часто называют совершенным
прямоугольником или квадратом. Статья [7] основы-
валась на работе Брукса, Смита, Стоуна и Татта [21
1940 г., в которой был приведен пример совершенного
квадрата и изложен метод построения других совершен-
ных квадратов, использующий симметричные подграфы.
Говорилось в статье и о возможных обобщениях. Одно
6 № 1136
161
из них — исследование разбиений равносторонних тре-
угольников на попарно неравные равносторонние тре-
угольники. На эту тему впоследствии были опублико-
ваны две мои статьи [6, 81 и одна совместная статья
Брукса, Смита, Стоуна и Татта [3].
У меня нет оснований жаловаться на то, что статьи
о квадрируемых прямоугольниках были плохо приняты
математиками и учеными других специальностей. Вскры-
тая нами связь между правилами (законами) Кирхгофа
для электрических цепей и геометрическими задачами
на разрезание прямоугольников вызвала большой ин-
терес и одобрение профессионалов и математиков-люби-
телей. Но, насколько я могу судить, задача о разбиении
на равносторонние треугольники не произвела особого
впечатления. И Есе же я глубоко убежден, что теория
триангулируемых треугольников представляет собой
вполне достойное — простое и изящное — обобщение
теории квадрируемых квадратов. В этой статье я попы-
таюсь обосновать свое утверждение в надежде пробу-
дить к проблеме разбиения на равносторонние треуголь-
ники тот интерес, которого, как мне кажется, она за-
служивает.
При рассмотрении разбиений на равносторонние
треугольники несущественно, является ли исходная
фигура треугольником или параллелограммом (с уг-
лами 60 и 120°). От разбиения треугольника можно
перейти к разбиению параллелограмма, если отсечь от
треугольника примыкающую к вершине треугольную
часть и дополнить его другой треугольной частью. От
разбиения параллелограмма можно перейти к разбие-
нию треугольника, пристроив к двум смежным сторонам
параллелограмма по треугольной части соответствующих
размеров.
Именно триангулированный параллелограмм явля-
ется естественным аналогом квадрированного прямо-
угольника. Предположим, что, взяв квадрированный
прямоугольник /?, мы перекосим его, превратив в парал-
лелограмм, разбитый на ромбы. Каждый ромб (с уг-
лами 60 и 120°), если его разрезать вдоль меньшей диа-
гонали, распадается на два одинаковых* равносторон-
* Но разно ориентированных — это различие между треуголь-
никами в дальнейшем будет играть существенную роль.— Прим. ред.
162
них треугольника. Тем самым квадрированный прямо-
угольник /? превращается в триангулированный парал-
лелограмм Р. Следовательно, теорию квадрируемых
прямоугольников можно рассматривать как частный
случай теории триангулируемых параллелограммов.
Пусть /? — совершенный прямоугольник. Имеет ли
смысл утверждать, что Р — «совершенный» параллело-
грамм? Условимся считать одну из сторон исходного
(триангулируемого) треугольника или параллелограм-
ма «горизонтальной». Тогда любой из составляющих
его треугольников Т также имеет горизонтальную сто-
рону. Назовем треугольник Т положительно или отри-
цательно ориентированным (или просто положитель-
ным или отрицательным) в зависимости от того, рас-
положен ли он над или под своей горизонтальной сто-
роной. Определим «размер» Т как длину его горизон-
тальной стороны, взятую со знаком плюс, если треуголь-
ник Т положителен, и со знаком минус, если Т отрица-
телен. Мы будем говорить, что триангуляция «совер-
шенна», если никакие два треугольника разбиения не
имеют одинаковых размеров. При таком определении
мы можем утверждать, что перекос * переводит совер-
шенный прямоугольник # в совершенный параллело-
грамм, так как любые два конгруэнтные треугольника,
входящие в триангуляцию "параллелограмма, возникаю-
щего при перекосе одного из квадратов, на которые раз-
бит совершенный прямоугольник /?, ориентированы
противоположно и, следовательно, имеют разные (раз-
личающиеся знаком) размеры.
На рис. 1,а показан совершенный параллелограмм,
который невозможно получить перекосом совершенного
прямоугольника. В [6] устанавливается, что изобра-
женная на рис. 1, а совершенная триангуляция парал-
лелограмма состоит из наименьшего возможного (для
совершенного параллелограмма) числа составляющих
треугольников (здесь их 13). Для сравнения с более
привычными квадрированными прямоугольниками ука-
* Преобразование, несколько фамильярно именуемое здесь
«перекосом», геометры называют сдвигом; сдвиг в направлении оси Ох
декартовой (не обязательно прямоугольной) системы координат
с коэффициентом сдвига к можно записать так: М (х, у) ->.
~*ЛГ (х\-ку, у).— Прим, ред.
6*
163
жу, что совершенный параллелограмм, разбитый .на,
попарно неравные треугольники, можно условно сопо-
ставить с совершенным прямоугольником, так сказать;
«разбитым на 13/2 ( = 61/2) квадратов», поскольку при
перекосе квадрируемого прямоугольника каждый квадрат
переходит в пару различающихся по знаку треугольни-
Рис. 1
ков. (Совершенный параллелограмм порядка 13 отве-
чает совершенному прямоугольнику порядка 6,5, как
будем мы говорить далее.) На рис. 1,а число внутри
каждого треугольника означает его размер.
Далее в статьях о квадрированных прямоугольниках
возникают диаграммы, иллюстрирующие связь между
квадрированным прямоугольником и соответствующей
ему электрической цепью. В теории триангулируемых
треугольников той же цели служит рис. 1, б. Но на
этот раз термин «электрическая цепь» следует понимать
в несколько условном (обобщенном) смысле. Дело в том,
что (насколько мне известно) в физике электрические
цепи такого рода, по которым течет ток со знаками «плюс»
и «минус», не встречаются. Тем не менее мы будем счи-
тать, что наши «электрические заряды» текут по ребрам
ориентированного графа и подчиняются законам, ана-
логичным правилам Кирхгофа.
Параллелограмм Р изображен на рис. 1, а, а экви-
валентная ему электрическая цепь N — на рис. 1,6.
Каждый узел N цепи (вершина графа) соответствует
некоторому максимальному горизонтальному отрезку,
составленному из сторон треугольников, которые вхо-
164
дят в триангуляцию параллелограмма Р (на рис. 1,а
й б узел и соответствующий ему горизонтальный отре-
зок находятся на одной высоте над краем страницы).
Граф рис. 1,6— ориентирован (см. стрелки на ребрах
графа). Каждый из проводников, по которым течет
«ток» (каждое из ребер графа), соответствует одному из
треугольников в триангуляции параллелограмма Р;
при этом ребро ориентировано в направлении от вер-
шины треугольника к его основанию. Размер каждого
треугольника указан на схеме рядом с соответствующим
треугольнику ребром графа; мы будем его называть
силой тока, текущего по данному проводнику. Узлы
схемы, соответствующие верхней и нижней горизон-
тальным сторонам параллелограмма /\ называются
положительным и отрицательным полюсами схемы.
Вместо термина «ориентированный граф» (англ. сНгес1ес1
§гарЬ) мы далее будем часто употреблять более корот-
кий термин диграф.
Схема N представляет собой уравновешенный ди-
граф. Слово «уравновешенный» здесь означает, что в
каждой вершине графа число входящих в нее ребер
равно числу выходящих из этой вершины ребер. Не-
трудно видеть, что N — плоский граф (для любого
параллелограмма Р): его можно начертить на плос-
кости так, что порядок, в котором следуют ребра вокруг
каждой вершины, будет воспроизводить порядок, в ко-
тором следуют соответствующие им треугольники вдоль
горизонтального отрезка в Р. На таком чертеже в каж;
дой вершине чередуются входящие и выходящие ребра!
Плоскую фигуру, обладающую этим свойством, мы бу-
дем называть ориентированным графом с правильным
чередованием входящих и выходящих ребер или, короче,
альтернированным графом.
Назовем сумму токов в ребрах, направленных к вер-
шине V схемы Л\ выходящим током в вершине у, а та-
кую же сумму, взятую со знаком минус,— входящим то-
ком в вершине V. Таким образом, входящий ток в поло-
жительном полюсе схемы N равен выходящему току в от-
рицательном полюсе, причем сила каждого тока равна
длине горизонтальной стороны параллелограмма Я.
В любой же другой вершине схемы М, не совпадающей
с положительным или отрицательным полюсом, входя-
щий и выходящий ток равен нулю, так как выходящий
165
из N ток в любой вершине, отличной от полюса схемы,
равен сумме размеров треугольников с горизонтальным^
основаниями, принадлежащими соответствующему гори-
зонтальному отрезку триангуляции параллелограмма Р.
Это «правило токов» в отличных от полюсов вершинах
является нашим аналогом первого правила Кирхгофа.
Назовем потенциалом горизонтального отрезка в
триангуляции параллелограмма Р расстояние от этого
отрезка до нижнего горизонтального основания парал-
лелограмма Я, измеренное вдоль любой наклонного (боко-
вой) стороны Р. То же число, перенесенное на схему ТУ,
назовем потенциалом соответствующей вершины. Вер-
шины графа N, принадлежащие ребру I), назовем кон-
цом и началом ребра (направление ребра указывает
путь от его начала к концу). Теперь уже все готово аля
того, чтобы сформулировать, как обычно, второе пра-
вило Кирхгофа: полное падение напряжения вдоль любой
замкнутой цепи С в N всегда (независимо от ориентации
ребер) равно нулю. Заметим, что ток в ребре В равен
падению напряжения между началом ребра и его кон-
цом. Отсюда уже вытекает наше второе правило Кирх-
гофа, утверждающее, что сумма токов в любой замкну-
той цепи С равна нулю, если только токи в ребрах,
ориентированных против направления обхода цепи,
условиться брать с обратным знаком.
В теории триангулируемых треугольников модифи-
цированные правила Кирхгофа можно использовать
так же, как в теории квадрируемых прямоугольников
используются обычные правила Кирхгофа. Начертив
ориентированный альтернированный граф, у которого
каждая вершина принадлежит не менее чем четырем
ребрам, мы можем выбрать положительный и отрица-
тельный полюсы, инцидентные общей внешней грани
графа, решить уравнения для системы токов и, обратив
полученную схему типа рис. 1, б, получить соответст-
вующий этой схеме триангулированный параллело-
грамм (см. рис. 1, а). Если нам особенно повезет, то
триангуляция окажется совершенной. Полное теорети-
ческое обоснование такого алгоритма может оказаться
достаточно сложным, но самый принцип ясен и не вы-
зывает никаких сомнений.
Свойства триангуляции следуют из свойств альтер-
нированных схем. Например, из формулы Эйлера для
Мб
многогранников или для карт на плоскости, т. е. для
графов, можно вывести, что альтернированная схема,
соответствующая триангулированному параллелограм-
му, должна содержать либо «двусторонник» (двусторон-
нюю грань), либо отличную от полюса вершину, инци-
дентную только четырем ребрам. И в том и в другом
случае два из образующих триангуляцию параллело-
грамма треугольников должны быть равны (конгруэнт-
ны). Этот результат приводит к утверждению, которое
в статье [21 дано с использованием принятой здесь тер-
минологии: не существует совершенного равносторон-
него треугольника *.
Рассмотрим квадрированный прямоугольник /? и
отвечающую ему обычную (не модифицированную) элект-
рическую цепь С. Перекосив 7?, получим триангулиро-
ванный параллелограмм Р, которому соответствует об-
общенная (модифицированная) схема N. Оказывается,
N можно получить из О, заменив каждое ребро двумя
противоположно ориентированными ребрами. На соот-
ветствующей альтернированной схеме эти ребра огра-
ничивают двуугольник. Нетрудно видеть, что обобщен-
ные правила Кирхгофа для N эквивалентны обычным
правилам Кирхгофа для О, если сопротивление каждого
ребра считать единичным. Таким образом, теория квад-
рированных прямоугольников входит как частный слу-
чай в теорию триангулируемых треугольников.
Опыт, накопленный при исследовании квадрирован-
ных прямоугольников, казалось бы, достаточен для со-
ставления исчерпывающего каталога триангулирован-
ных параллелограммов. Увы, такого каталога пока не
существует.
Подробный анализ уравнений Кирхгофа для неори-
ентированного графа С вряд ли был бы уместен в на-
шей статье. Ограничимся замечанием, что всю теорию
удается развить на основе матрицы Кирхгофа К (О)
рассматриваемого графа. Предположим, что вершины
графа О перенумерованы: я1? 1>2, . . ., ип. Тогда К (О)
имеет п строк и п столбцов. Число, стоящее на /-м месте
* Различие в формулировке этой теоремы в работе [2] ив основ-
ном тексте настоящей статьи является весьма существенным: в [2]
совершенным называете разбиение равностороннего треугольника
на попарно ие равные треугольники, т. е. различие в ориентациях
треугольников разбиения не принимается во внимание.— Прим, ред-»
167
на главной диагонали матрицы К (О), показывает, сколь-
ко ребер соединяют вершину V^ с другими вершинами
графа. Элемент, стоящий на пересечении 1-й строки, и
/-го столбца, где гф], равен взятому со знаком минус
числу ребер, соединяющих вершину уг- с вершиной У/.
Следовательно, К (О) — симметричная матрица, и сумма
элементов ее каждой строки и каждого столбца равна
нулю.
Теорема о деревьях для матрицы К (О) утверждает,
что если из матрицы К (С) вычеркнуть \-ю строку и
\-й столбец, то определитель с!е1 К] (О) усеченной мат-
рицы К] {О) равен числу Т(С) максимальных деревьев
графа О. Условимся считать сопротивление любого
ребра единичным и выберем одну вершину за положи-
тельный, а другую за отрицательный полюс. Величину
Т(0) удобно принять за величину входящего тока в по-
ложительном полюсе схемы О и выходящего тока в ее
отрицательном полюсе, так как тогда силы токов в раз-
личных ребрах будут выражаться целыми числами.
Эти токи образуют полный поток электричества (или
полную систему токов) в О относительно выбранных по-
люсов. Разности потенциалов при таком полном потоке
можно представить в виде некоторых миноров матрицы
К (С), взятых со знаками плюс или минус. В частности,
разность потенциалов между полюсами равна определи-
телю подматрицы, которая получается из К (С) при
вычеркивании двух строк и двух столбцов, соответст-
вующих полюсам.
Все сказанное хорошо укладывается в рамки теории
несимметричных электрических цепей в ориентирован-
ных графах. Пусть С — любой (не обязательно уравно-
вешенный) ориентированный граф. Определим матрицу
К (С) так же, как это было сделано выше: пусть /-й эле-
мент на главной диагонали задает число ребер, соеди-
няющих вершину V] с другими вершинами, и пусть эле-
мент, стоящий на пересечении 1-й строки и /-го столбца,
где [ф\, равен взятому со знаком минус числу ребер,
направленных от ь\ к V^. Заметим, что теперь матрица
К (О) не обязана быть симметричной. Сумма элементов
в каждой ее строке равна нулю. Сумма элементов столб-
ца может быть и отлична от нуля.
Усеченную матрицу /С,-(О) можно определить так же,
как в предыдущем случае. Ее определитель по-прежнему
168
равен числу, максимальных деревьев графа О. Но на
■этот раз при подсчете следует учитывать не все макси-
мальные деревья графа О, а только такие, у которых
каждое ребро направлено от вершины у^. Назовем их
исходящими древовидными остовами графа С в вершине
V^. Максимальное дереао графа О, у которого каждое
Рис. 2
ребро направлено к V^, назовем входящим древовидным
остовом графа С в у7-. (Если граф О неориентирован, то
значение йе1 /С, (О) не зависит от /, но если граф О ори-
ентирован, то значение йе1 Ку(0) уже может зависеть
от /.)
Выберем положительный полюс уя, отрицательный
полюс ^ и воспользуемся обобщенными правилами
Кирхгофа для вычисления токов в ребрах. Входящий
ток схемы С в вершине ур теперь уже не обязательно
равен выходящему току той же схемы С в вершине уг
При таком полном потоке силы токов и разности по-
тенциалов задаются соответствующими минорами мат-
рицы К (С). Эти силы токов и разности потенциалов
оказываются целыми числами. Правило для разности
потенциалов между полюсами остается прежним.
В качестве примера рассмотрим ориентированный
граф, изображенный на рис. 2. За его положительный
полюс примем вершину уь. а за отрицательный — вер-
шину ув. Силы тока, отвечающие выбранному в соот-
ветствии со сказанным выше полному потоку электри-
чества, указаны у ребер.
169
Нетрудно проверить, что матрица К (О) имеет еле*-
дующий вид:
2
-1
-1
0
0
0
0
1
-1
0
— 1
0
—1
0
3
0
0
— 1
— 1
0
0
1
0
0
0
0
— 1
0
1
—1
0
0
0
— 1
0
2
Пусть Т;(С)— число исходящих древовидных ос-
товов графа О в вершине V). Непосредственно из рис. 2,
или вычисляя й^Х Кг(0) и с1е1^в(0), находим, что
Т1(0)=6, Гв(0)=3. Следовательно, поток электричества
на рис. 2 будет полным при входящем токе 3 в вер-
шине уг и выходящем токе 6 в вершине у„. То, что
сила токов в ребрах, идущих из ^ в у2 и из у2 в у5, равна
нулю, следует из обобщенного первого правила Кирх-
гофа.
А что произойдет, если мы перейдем к новому ди-
графу С, изменив ориентацию каждого ребра на про-
тивоположную? Что касается элементов матрицы К (С),
не принадлежащих главной диагонали, то переход от О
к О' сводится к транспонированию матрицы К (О)- Но
диагональные элементы К (О) при этом могут изме-
ниться. Если О — граф, изображенный рис. 2, то /С (С)
имеет вид
2
0
1
1
0
0
— 1
2
0
0
0
0
— 1
— 1
2
0
— 1
0
0
0
0
1
0
—1
0
—1
0
0
2
0
0
0
—1
0
—1
1
Диграф О' изображен на рис. 3 (вместе с полной систе-
мой токов).
Нетрудно видеть, что Т1(0')=8 и Тв(С')=9. Между
исходящими древовидными остовами графа О' в V} и
170
входящими древовидными остовами графа О в V^ су-
ществует очевидное взаимно-однозначное соответствие.
Ограничив нашу теорию уравновешенными дигра-
фами, мы избежим многих осложнений. Например, если
N — уравновешенный диграф, то сумма элементов лю-
бой строки и любого столбца матрицы /((Л/) равна
Рис. 3
нулю. С помощью элементарной теории определителей
можно показать, что отсюда следует независимость ве-
личины (к! К]{Ы) от /. Число исходящих древовидных
остовов графа N в данной вершине V одинаково для
всех вершин V, что позволяет ввести для графа N еди-
ную характеристику Г(Л^) — число максимальных де-
ревьев.
Рассмотрим в качестве примера уравновешенный ди-
граф, изображенный на рис. 1. Если вершины перену-
меровать сверху вниз, то матрица /С(Л^) будет иметь
вид
0
1
3
1
1
—1
— 1
0
3
—1
■о]
0
—1
—Г
2
т
Следовательно, при заданной полной системе токов па-
дение потенциала между полюсами составляет
3 —1 —1
-1 3 01-20.
-1 —1 з|
Мы заключаем отсюда, что система токов на рис. 1 дей-
ствительно полна. Но тогда Т(Ы) равно входящему
току в положительном полюсе, т. е. равно 19.
Изменив ориентацию всех ребер данного уравнове-
шенного диграфа N на противоположную, мы получим
новый диграф Л^'. Ясно, что диграф ЛГ также уравно-
вешен. Кроме того, если плоский диграф N является
альтернированным, то то же самое справедливо и для
графа ЛГ. Матрица /((ЛГ) совпадает с матрицей, полу-
ченной транспонированием матрицы /С(Л^). Следова-
тельно, Г(ЛО = Т(Л0, и для каждой вершины графа N
число исходящих древовидных остовов равно числу
входящих древовидных остовов.
Выберем две вершины в качестве положительного и
отрицательного полюсов графа N и графа Ы' и рассмот-
рим две полные системы токов. В силу равенства числа
деревьев входящий ток в положительном полюсе оди-
наков в обеих системах. Кроме того, падение напряже-
ния между полюсами в обеих системах также одинаково,
поскольку в диграфе N оно определяется минором, сим-
метричным относительно главной диагонали, а в ди-
графе ЛГ— тем же минором транспонированной мат-
рицы.
Если диграф N соответствует триангулированному
параллелограмму, то диграф ЛГ также соответствует
триангулированному параллелограмму. Эти паралле-
лограммы Р и Р\ как следует из предыдущего абзаца,
имеют одинаковые размеры и форму. К сожалению,
совпадение размеров и формы не очень отчетливо видно
на примере диграфа, изображенного на рис. 1: изменение
ориентации каждого ребра на противоположную порож-
дает граф, изоморфный исходному. Если N соответст-
вует квадрированному прямоугольнику /?, то Р и Р'
отвечают двум возможностям разбиения /?. Перекосив
прямоугольник, мы можем сместить его верхнее гори-
зонтальное оснорание влево или вправо по отношению
172
к нижнему горизонтальному основанию, что, однако,
мало скажется на геометрическом существе дела.
В [6] (с. 478) приведены два совершенных триангу-
лированных параллелограмма, которые являются па-
раллелограммами Р и Р', отвечающими альтернирован-
ному диграфу N. Каждый параллелограмм имеет гори-
зонтальные стороны длиной 3441 и наклонные боковые
стороны длиной 2999. Каждый из параллелограммов
разделен на 36 попарно различных треугольников.
Триангуляция каждого параллелограмма содержит по
два конгруэнтных треугольника со стороной 129; осталь^
ные элементы триангуляции не повторяются.
Теория «асимметричных» электрических цепей (тео-
рия электрических цепей с утечками), тесно связанная
с теорией триангулируемых параллелограммов, более
подробно изложена в работах [31, [6] и [91. В наиболее
общем варианте теории проводимость каждого ребра
(величина, обратная сопротивлению) не обязательно
равна 1: она является неопределенной величиной, кото-
рая может принимать любые целочисленные значения.
Стороны квадрированного прямоугольника /? имеют
два взаимно перпендикулярных направления. Любое
из этих направлений можно принять за горизонтальное.
Два различных выбора горизонтали приводят к двум
электрическим схемам С и 0г. Разумеется, между ними
существует простая связь: если каждую из схем допол-
нить новым проводником (ребром), соединяющим их
полюсы, то полученные при этом полные схемы (с-
схемы — от англ. сотр1е!ес1 — полный) будут плос-
кими и двойственными (дуальными) друг другу. По-
скольку две соответствующие системы уравнений для
токов порождают одну и ту же систему разбиения пря-
моугольника Я на квадраты, то есть основания ожидать,
что определители <3е1 /Сг (С) и йе1 К](0) будут равны.
Расчеты подтверждают правильность такого предпо-
ложения. Можно показать, что двойственные дуальные
плоские связные графы имеют одинаковое число мак-
симальных деревьев.
Существует ли в теории разбиений на равносторон-
ние треугольники объект, соответствующий паре дуаль-
ных полных схем? Оказывается, существует, но, чтобы
продемонстрировать его, нам придется перейти от три-
ангулированных параллелограммов к триангулирован-
173
ным треугольникам. Например, присоединив две новые
треугольные части к изображенному на рис. 1 триангу-
лированному параллелограмму Р, мы получим изоб-
раженный на рис. 4 триангулированный треугольник.
Соответствующая модификация электрической схемы,
изображенной на рис. 1, б, очевидна. Новый треуголь-
Рис. 4
ник размера 20 должен представлять ребро слева, на-
правленное от старого положительного полюса X к ста-
рому отрицательному полюсу V. Чтобы представить
треугольник размера 19, нам понадобятся новая вер-
шина 2 и новое ребро, идущее из 2 в X. Можно сказать,
что 2 соответствует вершине триангулированного тре-
угольника, хотя, строго говоря, эта вершина и не яв-
ляется горизонтальным отрезком триангуляции.
Токи в новой электрической схеме (с положитель-
ным полюсом 2 и отрицательным полюсом V) подчи-
няются обобщенным правилам Кирхгофа. Можно по-
казать, что число исходящих из 2 древовидных остовов
равно 39 — длине стороны триангулированного тре-
угольника. Число исходящих из У (и любой другой
вершины, кроме 2) древовидных остовов равно, как не-
трудно видеть, нулю. Это соответствует тому, что вхо-
дящий ток в вершине 2 равен нулю.
По некоторым причинам удобно, чтобы вершина 2
совпадала на электрической схеме с вершиной V. Если
такое совпадение имеет место, то электрическая схема
порождает новый ориентированный альтернированный
граф М. Ребро, которому первоначально принадлежала
вершина 2% называется полюсным; на графе его можно
лометить поперечной чертой. На рис. 5 показан такого
174
рода граф, соответствующий триангуляции на рис. 4.
Вершины графа представляют максимальные горизон-
тальные отрезки триангуляции.
На рис. 4 и 5 показан лишь один частный пример
общего подхода. Если задан любой ориентированный
альтернированный граф М, то, отметив в нем полюсное
ребро О, мы можем рассчитывать, что нам удастся по-
строить некий триангулированный треугольник. Для по-
Рис. 5
строения соответствующей электрической схемы мы от-
соединяем ребро В от его начала — вершины V — и
подключаем к новому началу — вершине 2, не принад-
лежащей ни одному другому ребру. Затем выбираем
вершину 1 за новый положительный полюс, а вершину У
за новый отрицательный полюс. Токи, силу которых
мы найдем, произведя необходимые вычисления, интер-
претируются как размеры треугольников в триангуля-
ции. (Осложнения возникают в тех случаях, когда не-
которые токи оказываются равными нулю.)
Возвращаясь к рис. 4, заметим, что стороны тре-
угольников образуют три семейства параллельных пря-
мых и что каждое из соответствующих трех направле-
ний мы можем принять за горизонтальное. Например,
мы могли бы считать горизонтальными максимальные
горизонтальные отрезки, параллельные левой боковой
стороне триангулированного треугольника на рис. 4,
и поставить им в соответствие вершины другой электри-
ческой схемы. Эта схема/представлена на рис. 6 (попе-
речной чертой помечено полюсное ребро). Оставшееся
семейство максимальных отрезков, соответствующее пра-
вой боковой стороне триангулированного треугольника,
175
порождает электрическую схему, изображенную нал
рис. 7.
На рис. 5—7 мы видим три различные электрические
схемы с одной и той же системой токов. Такие триады
альтернированных ориентированных графов можно рас-
сматривать как аналоги пар двойственных графов в тео-
Рис. 7
рии квадрируемых прямоугольников. Такой аналог
двойственности называется триальностью (ЫаШу) 16].
или тройственностью (1пт(у) [8]. Три ориентированных
графа, образующих триаду, тройственны друг другу [8].
Если задан любой ориентированный альтернирован-
ный граф, то тройственные ему графы можно построить
непосредственно, минуя связанный с ними триангули-
176
рованный треугольник. В [81 показано, каким обрвэом
по бикубическому графу М можно построить триэду-
М1у Л12, М3 альтернированных диграфов и каким вбра^
зом по триаде, соответствующей любому триангулиро-
ванному треугольнику, можно восстановить ее бикуби-
ческий граф М.
Вершины бикубического графа подразделяются на
черные и белые, причем каждое ребро соединяет белую
вершину с черной. Грани бикубического графа могут
быть трех цветов (например, красные, зеленые и синие),
причем каждое ребро разделяет грани двух различных
цветов. Раскраска в три цвета единственна с точностью
до перестановки цветов. Альтернированный диграф М±
(первый член триады) можно построить следующим об-
разом. Отнесем к Мг по одной вершине на каждой крас-
ной грани бикубического графа М. К ребрам графа М±
причислим ребра графа М, отделяющие зеленые грани
от синих. Каждое из ребер ориентировано от черной
вершины к белой и каждое продолжено в обе стороны
через примыкающую к вершине красную грань графа М
до вершины графа Мь принадлежащей этой грани. Ос-
тальные члены триады определяются аналогично —
каждый при своей перестановке трех цветов, в которые
окрашены грани. (В [81 определение триады дано не
через бикубический граф М, а через двойственный ему
граф. Этот двойственный граф есть не что иное, как
эйлерова триангуляция сферы.)
Пусть Мг получается из неориентированного пло-
ского графа N при замене каждого ребра двумя ребрами
с противоположными ориентациями. Оказывается, что
в этом случае один из двух остальных членов триады
(например, М2) может быть получен аналогичным спо-
собом из графа, двойственного графу N. Третий член
триады — ориентированная разновидность графа М, ис-
полняющего роль своего рода посредника между всеми
тремя членами триады. Эта взаимосвязь служит обосно-
ванием нашего утверждения о том, что тройственность
является истинным обобщением двойственности.
Двойственные плоские графы обладают равным чис-
лом максимальных деревьев. Можно ожидать, что и
тройственные графы обладают равным числом макси-
мальных деревьев. Эту гипотезу удалось доказать. (До-
казательства приведены в работах [61 и [8]. Более про-
177
етое доказательство недавно было предложено К. А. Бер-
маном [1 ].)
Одинаковое для трех тройственных альтернирован-
ных графов Мг, М2 и М3 с правильным чередованием
входящих и выходящих ребер число максимальных де-
ревьев можно рассматривать как свойство связанного
с триадой бикубического графа М. В [31 это свойство
интерпретировано непосредственно в терминах струк-
туры графа М — как число совпадений, а не деревьев.
На этом мы можем закончить рассказ о построении
триангулированных треугольников. Те, кому затрону-
тая здесь тема покажется интересной, смогут почерп-
нуть недостающие подробности из работ, указанных
в приведенном ниже списке литературы. Однако сле-
дует предупредить читателей об одной тонкости. При
разбиении на правильные треугольники может слу-
читься так, что шесть треугольников из числа образую-
щих триангуляцию имеют одну общую точку. Такая
точка называется точкой встречи. Она соответствует
точке встречи в теории квадрируемых прямоугольни-
ков, т. е. точке, принадлежащей одновременно четырем
квадратам, на которые разделен прямоугольник. Ни
в теории квадрируемых прямоугольников, ни в теории
триангулируемых треугольников точки встречи в интерес-
ных примерах, как правило, не попадаются, за исклю-
чением тех случаев, когда возникновение точки встречи
связано с той или иной симметрией графа. Но если точки
встречи возникают, то необходимо уточнить соответст-
вующие определения, чтобы мы могли по-прежнему
говорить о парах двойственных полных схем или о триа-
дах тройственных альтернированных диграфов с пра-
вильным чередованием входящих и выходящих ребер.
Для этого мы подразделяем некоторые из максимальных
отрезков в точках встречи и считаем, что вершинам
электрической цепи соответствуют подотрезки. Каждая
точка встречи в случае триангуляции — это точка пере-
сечения трех максимальных отрезков. Ровно два из них
(выбрать можно любые) следует разделить точкой встре-
чи на подотрезки.
178
Дополнение
Работа над этой статьей вновь пробудила во мне ин-
терес к триангулируемым параллелограммам, и я при-
нялся за вычисления с намерением найти один или два
к
Рис. 8
т
X Ш
У
Рис. 9
новых примера триангуляции. Мне удалось найти два
триангулированных параллелограмма, достаточно ин-
тересных, чтобы о них стоило сообщить. В обоих слу-
чаях триангуляция совершенна, и каждая имеет поря-
179
док 1Р/2*. Каждый параллелограмм имеет горизонталь-
ные стороны длиной 401 и боковые стороны длиной 264.
Ни один треугольник в триангуляции одного паралле-
лограмма не конгруэнтен никакому треугольнику в три-
ангуляции другого параллелограмма. Это единственный
известный мне случай двух совершенных триангуляции
одного и того же параллелограмма, не включающих ни
одной пары треугольников одного и того же размера.
Электрические схемы двух параллелограммов от-
личаются противоположной ориентацией токов в соот-
ветствующих ребрах. Эти схемы и токи показаны на
рис. 8 и 9. Я проверил, что обе системы токов полны.
В обоих случаях X — положительный, а V — отрица-
тельный полюс. Входящий ток в X и выходящий ток
вУ равны 401, падение потенциала от X к У составляет
264. Думаю, что для читателя не составит труда восста-
новить триангуляции по приведенным электрическим
схемам.
1. Веггпап, К. А. 1978. 5рапгпп& 1геез, агЪогезсепсез апс! 4-уа1еп1
&гарЬз. ТЬез15. \Уа1ег1оо.
2. Вгоокз, К. Ь.; 5гш1Ь, С. А. В.; 51опе, А. Н. апс! Тийе, Ш. Т.
1940. ТЬе сП$$ес1'юп о! гес1ап^1ез Ыо зяиагез. Вике Ма(Н.у 7:
312—340.
3. —»—1975. Ьеаку ексИсЛу апс! 1пап§и1а1ес! 1пап§1ез. РНШрз
Кез. Рерогк 30: 205—219.
4. ОицуезМрт, А. Л. Ш. 1978. 51тр1е регГес* 5^иагес1 зяиаге о! 1о\^ез1
огс!ег. ^. СотЫпа1опа1 ТНеогу В 25: 240—243.
5. Зрга^ие, Н. 1939. Ве1зр1'е1 етег 2ег1е§ип& с!ез Риас1га(5 т 1аи1ег
уег5сЬ1ес1епе Риас!га1е. Ма(Н. 2еШсНгф 45: 607.
6. Ти11е, XV. Т. 1948. ТЬе сНззесИоп о\ еяиПа1ега1 1пап&1ез Ыо ецш-
Ыега1 1пап&1ез. Ргос. СашЬгШ^е РНИ. Зое, 44: 463—482.
7. —»— 1961. 5яиапп& 1Ье Зциаге. 1п ТЬе 2пс1 ЗиепШгс Атепсап
Воок о[ Ма1ЬетаИса1 Ригх1е5 апс! 01уегз10пз, её. МагИп Оагс!пег.
Ые^ Уогк: 51топ апс! 5сЬиз1ег; Гарднер М. Математические голо-
воломки и развлечения.— М.: Мир, 1971, гл. 32, «Квадрирова-
ние квадрата», с. 305—326.
8. —»— 1973. ЭиаШу апс! 1ппйу. СоПодша МаОгетаИса 8оае1а-
Пз Уа/105 Во1уш. 10: 1459—1472.
9. —»— 1976. ТЬе го!ог еГГес! \УЙЬ «епетаУмей е1ес1пса1 Ло\\'з.'
Аг5 СотЫпа(ог1а 1: 3—31.
* Т. е. (ср. с. 164) каждый параллелограмм разбивается на.
23 треугольника.— Прим. ред.
180
3.3. Хвала любителям
Дорис Шаттшнайдер
Одна из наиболее привлекательных особенностей
возглавляемой Мартином Гарднером рубрики «Матема-
тические игры» журнала ЗаепНПс Атепсап — поста-
новка математической проблемы в такой форме, которая
увлекала бы любителей математики и поощряла их к
самостоятельным поискам решения. Сам Гарднер счи-
тает себя любителем математики, а не профессионалом
и не придает особого значения формальному математи-
ческому образованию. В его рубрике воздается должное
трудам как «сильных» математического мира, так и лю-
дей, совершенно не известных в математических кругах.
Их имена нередко стоят рядом без указания титулов и
званий, по которым их можно было бы отличить. Люби-
тели математики принадлежат к числу, наиболее ревно-
стных поклонников Гарднера. Они с радостью встре-
чают любую возможность посоревноваться в решении
трудных задач. Интересно, что отсутствие формального
математического образования часто из недостатка пре-
вращается в преимущество. Остроумные решения, пред-
ложенные любителями, иногда превосходят результаты,
достигнутые усилиями профессионалов.
Яркий пример тому — события, начало которым по-
ложила статья Мартина Гарднера «О замощении плос-
кости плитками, имеющими форму выпуклых много-
угольников», опубликованная в июльском номере жур-
нала ЗаегйШс Атепсап за 1975 г. Прочитав статью,
Ричард Джеймс решил испробовать свои силы в решении
проблемы и, руководствуясь наглядными соображе-
ниями и пользуясь известными результатами, полу-
чил решение, которого в формальной математической
схеме явно недоставало. Сообщение об открытии Джей-
мса вызвало острый интерес у Марджори Райе, что
позволило ей с неослабевающей энергией выполнить
шаг за шагом (главным образом за кухонным столом)
целое исследование, принесшее огромное количество
181
новых результатов. Предложение написать эту статьи?
предоставило мне удобный случай рассказать о некотот
рых подробностях событий, начавшихся с памятной
публикации статьи Гарднера и до сих пор время от
времени дающих о себе знать. Своей статьей я хотела
выразить уважение многотысячной армии любителей
математики, энтузиазм и усилия которых предопреде-
лили грандиозный успех гарднеровской рубрики.
Проблема разбиения плоскости — излюбленная тема
Гарднера, к которой он обращался множество раз.
За двадцать лет им опубликовано более двадцати ста-
тей, в основном посвященных этой теме. Собрать из ча-
стей определенной формы заданную фигуру — одна из
забав, с которой многие из нас знакомятся в раннем дет-
стве. Став взрослыми, мы продолжаем решать анало-
гичные задачи либо для собственного удовольствия, ли-
бо по необходимости: выкладываем полы и стены плит-
ками, кирпичами и т. д. Один из наиболее важных воп-
росов теории разбиений плоскости можно сформулиро-
вать так: «Какой формы должна быть плитка, чтобы ее
копиями можно было заполнить плоскость сплошь без
пробелов и двойных покрытий?» На ум сразу же при-
ходит довольно много очевидных форм: чтобы соста-
вить обширный список примеров, вовсе не нужно быть
математиком. Некоторые плитки удивительно красивых
очертаний, найденные в древних мозаиках, рассре-
доточенных по всему миру, делают честь художникам-
декораторам, по-своему решавшим в прошлом пробле-
му разбиения плоскости. Наиболее общий ответ на наш
вопрос неизвестен. Частные ответы зависят от условий,
налагаемых на форму плиток. Именно эти частные зада-
чи о разбиении плоскости мы и пытаемся обычно ре-
шать. Что можно сказать о заполнении плоскости плит-
ками, которые составлены из квадратов, примыкающих
друг к другу сторонами (полимино)? А если плитки со-
ставлены из примыкающих друг к другу равносторон-
них треугольников (полиамоды)? Правильных шести-
угольников (полигексы)?
В статье Гарднера, опубликованной в июльском но-
мере -ЗиепШй: Атепсап за 1975 г., речь шла о плитках,
имеющих форму Еыпуклых многоугольников. «Какими
выпуклыми многоугольниками можно покрыть без про-
белов и наложений всю плоскость? Указать в явном ви-
182
де, каким условиям должен удовлетворять выпуклый
многоугольник, чтобы им можно было замостить плос-
кость». В своей статье Гарднер затронул проблему, над
решением которой математики трудились более полуве-
ка. Считалось, что проблема разбиения плоскости на вы-
пуклые многоугольники полностью решена. Нетрудно
проверить, что любым треугольником или любым четы-
рехугольником можно вымостить плоскость, в то время
как выпуклый многоугольник с пятью или большим чис-
лом сторон не всегда позволяет выложить плоскость без
пробелов и наложений. Например, невозможно выло-
жить плоскость правильными пятиугольниками, хотя
пятиугольники с двумя параллельными сторонами по-
зволяют вымостить плоскость. Правильными шести-
угольниками можно выложить плоскость, а многие дру-
гие разновидности шестиугольников для этого непри-
годны. Невозможно выложить плоскость выпуклыми
многоугольниками с числом сторон, большим или рав-
ным семи. Последнее утверждение, которое, по словам
Гарднера, «нетрудно доказать», принадлежит к числу
теорем, относящихся к так называемому «математичес-
кому фольклору»: все на них ссылаются, но обычно никто
не приводит полного и строгого их доказательства.
К счастью, статья Айвена Нивена, опубликованная в де-
кабрьском номере журнала Атепсап Ма!Ьета(1са1 Моп-
1Ыу за 1978 г., восполняет этот пробел в математической
литературе и содержит тщательно аргументированное
и вполне убедительное доказательство.
В своей статье Гарднер опирался на работу Р.Б.
Кершнера за 1968 г., давшего обзор ответов на вопрос:
«Каким выпуклым многоугольником можно выложить
плоскость?» Полный ответ для шестиугольников (3 типа)
и частичный для пятиугольников (5 типов) был получен
К. Рейнхардтом в 1918 г. Обширные исследования, про-
веденные Кершнером, позволили дополнить этот пере-
чень тремя новыми типами пятиугольников. Кершнер
считал дополненный список полным (рис. 1). Энтузиазм
Кершнера и его восхищение задачей отчетливо ощуща-
ются в его письме, которое цитируется в статье Гардне-
ра: «По причинам, которые мне самому трудно объяснить,
я был захвачен этой проблемой на протяжении тридца-
ти пяти лет. Каждые пять или десять лет я предпринимал
гновую попытку решить ее. Лишь дда года назад мне уда-
183
лось, наконец, найти более уд$$ный спеееб-клаееифи*
кации допустимых пятиугольников, чем тот, который ис-
пользовал Рейнхардт... Проведенное мной исследование
позволило установить, что помимо открытых Рейнхард-
Рис. 1. Восемь типов выпуклых пятиугольников, которыми можно
замостить плоскость. О них сообщил Мартин Гарднер в июле 1975 г.
том существуют еще только три типа прямоугольников,
которыми... можно выложить плоскость. Получающиеся'
при этом разбиения плоскости весьма необычны. Откры-
тие их явилось для меня источником глубокого удовле-
творения». Восторг, который вызывала у Кершнера про-
184
блема разбиения плоскости, оказался весьма заразитель-
ным. Статья Гарднера извлекла проблему с пыльных
страниц старых математических журналов (где она на
протяжении долгих лет пребывала без малейшего про-
движения на пути к полному решению) и сделала ее
достоянием широкой читательской аудитории, в рядах
которой было немало любителей головоломных задач.
Тут-то и начинается наша история.
Когда Ричарду Джеймсу III попала в руки статья
Гарднера, он, прочитав только первую ее часть, захо-
тел испробовать свои силы в решении каверзной проб-
лемы, прежде чем дочитает статью до конца. В своем
"письме (любезно предоставленном мне Г. С. М. Коксете-
ром) Р. Джеймс так рассказывал о том, что произошло:
«Прежде чем прочитать приведенное в статье Гарднера
описание восьми найденных Кершнером пятиугольни-
ков, которыми можно выложить плоскость, я решил по-
пытаться найти их самостоятельно. Мне пришло в го-
лову взять восьмиугольники с квадратными отверстия-
ми (а оставшиеся дыры заполнить квадратами) и распо-
ложить восьмиугольники так, чтобы квадраты можно
было заменить пятиугольниками (разъяв паркет из вось-
миугольников на «параллельные» полосы). Сами вось-
миугольники также распались на четыре пятиугольни-
ка. Форма пятиугольников определялась следующими
данными: А = В=Е=90°, С=С=135° и а=Ь=2с=2е.
Разбиение плоскости оказалось интересным — но полу-
ченный мною пятиугольник не представлял собой ни-
чего особенного. Поворачивая внутри пятиугольника раз-
бивающий его на 4 части крест (и прибегая к некоторым
другим ухищрениям), я получил то, что требовалось
(пятиугольник и разбиение плоскости, показанные на
рис. 2)». Джеймс известил о своем открытии Мартина
Гарднера, задав ему одновременно важный вопрос: «Сог-
ласны ли Вы с тем, что Кершнер пропустил найденный
мной пятиугольник?» О потрясающей новости Гарднер
немедленно сообщил Кершнеру и нескольким другим ма-
тематикам. С доброжелательным ответом Кершнера и
найденным Джеймсом разбиением плоскости читатели
гарднеровской рубрики смогли познакомиться в де-
кабрьском номере 5с1еп1Шс Атепсап за 1975 г. Любитель
с помощью одного-единственного примера неопровержимо
доказал, что составленный ранее список пятиугольнн-
185
Рис. 2. Открытие Р. Джеймса: новый тип пятиугольника, порожда-
ющего разбиение плоскости.
Хорошо знакомый всем паркет из восьмиугальников и квадратов
(штриховыми линиями показана лежащая в его основе квадратная
решетка) разъят, и полосы раздвинуты, что позволяет выяснить,
нельзя ли заменить квадраты пятиугольниками. Удача — получился
новый паркет! Дальнейшее изменение восьмиугольников и пятиуголь-
ников привело к ранее неизвестному семейству пятиугольников, по-
рождающих разбиение плоскости.
186
ков, которыми можно выложить плоскость, неполон. Но,
может быть, другие пятиугольники еще ожидали своего
открытия?
Здесь уместно прервать наше повествование и оки-
нуть взглядом взращенный трудами Мартина Гарднера
«математический цветник». Хлопотливое это дело —
быть садовником такого цветника! Круглый год не ис-
Рис. 3. «Математический цветник» Мартина Гарднера.
сякает поток писем, телефонных разговоров, личных
встреч. Занимаясь решением какой-нибудь задачи или
работая' над очередной статьей, Мартин Гарднер уста-
навливает связь с теми, кто глубоко разбирается в ин-
тересующей его проблеме или по крайней мере распола-
гает свежей информацией о ней. Прежде чем предста-
вить рукопись в редакцию, он собирает отзывы о ней
специалистов, стремясь проверить каждую деталь. На-
оборот, когда Гарднер получает корреспонденцию о ка-
кой-то проблеме, то, прежде чем отложить ее в папку с
материалами для будущих статей, он рассылает копии
тем, кого затронутая в письмах тема живо интересует.
Тем самым последние новости становятся известными
всем, для кого они представляют серьезный интерес.
Точность полученной информации проверяется, коммен-
137
тарии специалистов поступают к Гарднеру, и, что наи-
более важно, все работающие над одной проблемой при
посредничестве Гарднера вступают в контакт друг с дру-
гом. Г. С. М. Коксетер был одним из тех, кому Гарднер
направил копию письма с сообщением об открытки
Джеймса. Именно от Коксетера я узнала об этом от-
крытии. Мне трудно было устоять от искушения попы-
таться решить проблему самостоятельно: незадолго до
этого я получила общее описание класса пятиугольни-
ков, которыми можно выложить плоскость. Присланный
Джеймсом Гарднеру пример был частным случаем пяти-
угольников этого класса. Если воспользоваться мето-
дом описания, предложенным Кершнером, то общий пя-
тиугольник найденного ДжеймсОхМ типа характеризуется
следующими данными: Л=90°, Е=180°—В, О=90°+
+В/2, С= 180°—В/2, а=Ь=с+е. Вскоре после того,
как я сообщила об этом Гарднеру и Коксетеру, мне были
присланы копии корреспонденции Гарднера о «пробле-
ме пятиугольника», и я вступила в прямое общение со
всеми, кто активно работал над этой проблемой. Пухлые
папки с материалами о «проблеме пятиугольника», за-
громоздившие мою комнату, могут служить показате-
лем объема корреспонденции, вызванной только одной
публикацией Гарднера. Его архив, должно быть, за-
нимает не одну комнату!
Когда в декабре 1975 г. очередной номер журнала
5с1еп1Шс Атепсап был разослан подписчикам, еще один
ревностный поклонник Гарднера жадно впился в руб-
рику «Математические игры». Марджори Райе, домаш-
няя хозяйка из Сан-Диего и мать пятерых детей, обыч-
но первой в доме читала журнал, который выписывал
ее сын. Опубликованная в июльском номере статья о
пятиугольниках, которыми можно выложить плоскость,
глубоко заинтересовала Марджо'ри Райе. Она «подума-
ла, как чудесно было бы открыть новые типы таких
пятиугольников». Теперь же, когда она прочитала об
открытом Джеймсом новом разбиении плоскости на пя-
тиугольники, ее интерес возрос еще больше, и она ре-
шила сама попытаться найти новые пятиугольники, ко-
торыми можно выложить плоскость. «Я подумала, что
в этих удивительных узорах следовало бы разобраться
поглубже, и захотела посмотреть, не удастся ли и мне
найти еще один тип пятиугольника. Для меня задача
188
бь*ла своего рода увлекательной головоломкой, и я при-
нялась обдумывать, как лучше всего подступиться к
ней». Райе начала свои исследования совсем не так, как
Джеймс, и вскоре развернула планомерное наступление
на проблему, длившееся около двух лет.
Рис. 4. Информация о пятиугольниках типов 1—8 и открытии Джейм-
са в обозначениях Марджори Райе.
Марджори Райе не получила специального матема-
тического образования, если не считать обычного курса
математики, который проходили выпускники средней
школы, окончившие ее в 1939 г. Столкнувшись с проб-
лемой поиска новых пятиугольников, которыми можно
выложить плоскость, Райе не только разработала ори-
гинальный подход к решению, но и изобрела свои соб-
ственные обозначения. Прежде всего она представила
в удобном для использования виде всю информацию, со-
державшуюся в двух статьях Гарднера о пятиугольни-
ках, которыми можно замостить плоскость (рис. 4).
Составляя свою таблицу, Марджори Райе надеялась об-
наружить какие-нибудь общие соотношения между пяти-
угольниками и образуемыми ими разбиениями плоско-
сти. «Прежде всего мне было необходимо зрительно пред-
189
ставить себе 9 типов пятиугольников, чтобы посмотреть,
чем они отличаются. Я выписала формулы (соотношения
между сторонами и углами) на одной карточке размером
3x5, а на другой карточке начертила 10 пятиугольни-
ков. Чтобы перенести на рисунки информацию, содер-
жавшуюся в формулах, я воспользовалась раЗНОЦВеТ-
*есец9гу го н*/>*и?к.
Рис. 5. Рисуночные обозначения, придуманные Марджори Раис (в
этих рисунках содержится вся информация о 9 типах пятиугольни-
ков, порождающих разбиение плоскости) и предопределившие успех
ее работы.
ными линиями. Красным цветом я отметила комбина-
ции трех углов, дающих в сумме 360°, синим — равные
по длине стороны, черным — комбинации из четырех уг-
лов, дающих в сумме 360°, зеленым — другие сведения.
...Мне бросилось в глаза, что в пятиугольниках типа 7
и 5 каждой вершины дважды касается красная или чер-
ная линия (крючки означали двукратное касание) и что
если бы на пятиугольниках типа / или 2 я соединила
линиями углы, дающие в сумме 180°, то каждой вершины
касалась бы одна линия. Дойдя до пятиугольника типа
5, я воспользовалась значком V» чтобы отметить схожде-
ние трех одинаковых углов в одной вершине разбиения
(таких вершин в пятиугольнике оказалось 3). Три ли-
нии понадобились между вершинами В и Е. Каждой
вершины линии касались три раза. Я увидела, что в
любом разбиении каждой вершины пятиугольника ли-
ния или значок должны касаться одинаковое число раз».
Это важное наблюдение (все вершины пятиугольни-
190
.ка, порождающего разбиение плоскости, должны участ-
вовать в разбиении одинаковое число раз) стало ключе-
вым в ходе дальнейших исследований Марджори. После-
дующее усовершенствование ее рисуночных обозначе-
ний позволило отбросить все второстепенное и сохра-
нить лишь наиболее существенную информацию (рис. 5).
«Я придумала такие обозначения пятиугольников, кото-
рые было гораздо проще рисовать». Линии соединяли
те вершины пятиугольников, которые сходились в од-
ной точке разбиения. «Эти обозначения стали ключевы-
ми во всей моей дальнейшей работе. Обозначив вершины
буквами (начинать можно с любой вершины), я.полу-
чила возможность записывать каждую разновидность пя-
тиугольника в виде определенной последовательности
букв и пояснять записи небольшими схемками».
Марджори самостоятельно открыла метод «кодиро-
вания» огромного количества информации, возникающей
при кропотливом исследовании допустимых комбинаций
углов (и сторон), позволяющих получать пятиугольни-
ки, которые порождают разбиения плоскости. Матема-
тики используют специальные обозначения для большей
объективности, точности и ясности. Хорошее обозначе-
ние должно сочетать в себе выразительность и одно-
значное описание «кодируемого» объекта. Рисуночные
обозначения Марджори напоминали по виду иерогли-
фы, но позволяли записывать допустимые комбинации
углов с простотой, не достижимой с помощью более тра-
диционных математических обозначений. «Иероглифы»
Марджори Райе полностью исключали неоднозначность
и путаницу, возникающую из-за приписывания различ-
ных букв вершинам пятиугольника.
Начав с двух экземпляров одного и того же пяти-
угольника, соединенных вдоль общей стороны, Марджо-
ри задалась целью выяснить, сколько таких же пяти-
угольников можно было бы добавить, чтобы возникло
разбиение плоскости. Изобретенная Марджори система
буквенных обозначений позволяла фиксировать инфор-
мацию о вершинах пятиугольника, сходящихся в одной
вершине разбиения, и о сторонах, вдоль которых одни
пятиугольники примыкают к другим. Если выяснялось,
что какая-то комбинация невозможна (не приводит к
разбиению плоскости), то соответствующий случай ис-
ключался. Если же некоторая комбинация, пятиуголь-
т.
ников казалась допустимой, то Марджори набрасывал^
контуры «многообещающего» пятиугольника и схему пог
рождаемого им разбиения плоскости.
Чтобы ускорить вычисления и проверку новых пяти-
угольников (углы при вершинах пятиугольника должны
позволять их копиям укладываться вокруг вершины раз-
биения), Марджори ввела собственную единицу из-
мерения углов, равную 18°, и нанесла соответствующие
метки на дугу небольшого транспортира. В новых еди-
ницах угол 36° был равен 2, угол 108°— 6 и т. д. «Пы-
таясь построить пятиугольник, я обычно начинала с двух
углов, дававших в сумме 180° (на транспортире им соот-
ветствовали деления 4 (72°) и 6 (108°)), и укладывала
их так, как мне было нужно. Было время рождества
(1975 г.), и праздничные хлопоты отнимали у меня мно-
го времени, но, как только выпадала свободная минута,
я возвращалась к захватившей меня задаче. Когда в
кухне никого не было, я чертила пятиугольники прямо
на столе и быстро закрывала их, как только кто-нибудь
входил: мне не хотелось никому объяснять, чем я зани-
маюсь. Вскоре я поняла, что существует довольно много
интересных разбиений, но не стала разрабатывать их
более подробно, так как была занята поиском пяти-
угольника нового типа. Через несколько недель мне уда-
лось найти его».
В середине февраля 1976 г. Марджори сообщила о
своем открытии Гарднеру и послала ему набросок целого
семейства форм, которые мог принимать новый пяти-
угольник, вместе со схемой разбиения плоскости для
двух различных представителей этого семейства (рис. 6).
В своем письме Марджори сообщала Гарднеру: «По-
сылаю Вам пятиугольник, порождающий, как мне ка-
жется, разбиение плоскости совершенно иного типа, чем
те, которые Вы привели в своей статье, хотя и несколь-
ко напоминающий пятиугольники типа 7 и 8. Один из
прилагаемых пятиугольников со сторонами, образую-
щими золотое сечение, порождает, как мне кажется,
очень изящное разбиение плоскости». По обычаю Гард-
нер известил об открытии Марджори Райе заинтересо*
ванных лиц, в том числе Кершнера и меня. Все едино-
гласно согласились, что Райе действительно нашла
новый пятиугольник, дополнивший известный ранее
список пятиугольников, порождающих разбиения плоско-
192
Рис. 6. Первое открытие Марджори Раис (февраль 1976 г.) — новый
тип пятиугольника, порождающего разбиение плоскости. Показаны
различные варианты форм пятиугольника и разбиение плоскости с
использованием одного из пятиугольников нового типа. Если отноше-
ние длин сторон такого пятиугольника образует «золотое сечение», то
порождаемое им разбиение плоскости совпадает с решеткой, лежащей
в основе «мозаики» Марджори Райе «Пчелы в клевере» (рис. 16, а),
напоминающей знаменитые рисунки Эшера.
' 7 к* изо
ста. Кершнер обратился к Марджори с просьбой сооб-
щить подробности о том, как был открыт новый пяти-
угольник, и признал, что в предложенной им классифи-
кации был по ошибке допущен досадный пробел. Откры-
тие Марджори Райе не сразу появилось на страницах
гарднеровской рубрики: как это часто бывает с письма-
ми читателей, оно сначала было отложено в сторону
и ожидало своего часа. (Среди прочих откликов на ста-
тью о разбиении плоскости, предложенном Джеймсом,
Гарднер получил не только письмо от Марджори Райе,
но и по крайней мере одно стеганое одеяло и красивый
ковер с узорами, навеянными новым разбиением плос-
кости — см. фото V.)
Изучив материалы, присланные Марджори Гардне-
ру, и сравнив ее пятиугольники с пятиугольниками
7 и 8 по классификации Кершнера, я заметила, что эти
три типа пятиугольников (пятиугольники Райе я от-
несла к типу 9) являются частными случаями еще более
широкого класса пятиугольников. Я высказала следую-
щую гипотезу, сообщив о ней Гарднеру: «Любой пяти-
угольник с четырьмя равными сторонами и четырьмя
различными углами Р, С}, /?, 5, удовлетворяющими ус-
ловиям 2Р+<2=360° и 2#+5=360°, порождает разбие-
ние плоскости». Менее чем через две недели я получила
письмо от Марджори, в котором сообщалось, что моя
гипотеза при проверке оказалась неверной. «Как видно
из приводимых ниже буквенных обозначений,— писала
Райе,— существует всего только 8 возможных случаев
(8 способов расположить вокруг одной точки плоскости
вершины пятиугольника, удовлетворяющие только ус-
ловиям 2Р+<2=360° и 2Я+5=360С). Четыре из них —
У, 5, 6 и 8 — порождают разбиения плоскости, а ос-
тальные, по-видимому, не подходят для этой цели по
причинам, которые ясны из моих рисунков. Пятиуголь-
ником 6 можно выложить плоскость только в том слу-
чае, когда два соседних угла в сумме равны 180°, что
позволяет отнести его к типу I, Однако, как видно из
прилагаемого чертежа, пятиугольник 6 приводит к двум
интересным разбиениям плоскости типа 1» (рис. 7).
Это было первое письмо, полученное мной от Мард-
жори, и мое первое знакомство с разработанными ею
системой обозначений и методом проверки предполагае-
мых вариантов разбиения прямым построением. Обозна-
194
/# /А^ у*** /а л'^« еуиа.* л:: 5щгз ?7"«С
Рис. 7. Рисуночное «доказательство» ошибочности гипотезы Шатт-
шнайдер. Пятиугольники типа 6 с четырьмя равными сторонами
и суммой двух углов, примыкающих к одной стороне, равной 180°,
можно собрать в блоки двумя различными способами (что приводит
к изменению разбиения вдоль штриховой прямой).
7*
195
чения Райе настолько отличались от традиционных ма-
тематических обозначений, что я довольно долго ломала
голову над ее схемками, пытаясь понять, о чем она го-
ворит, и доказывают ли схемы что-нибудь. «Причины»,
по которым, по ее мнению, некоторые из рассмотренных
пятиугольников не могли порождать разбиение плоско-
сти, были крохотными эскизами, а не алгебраическими
или геометрическими доказательствами, имеющими силу
в глазах математиков. Рисуночные обозначения Мард-
жори не сопроводила никакими пояснениями — настоль-
ко все казалось ей очевидным. В ее обозначениях жир-
ный знак > —, напоминающий отпечаток птичьей лапы,
соответствовал соотношениям 2Р+С1=360°, 27?+5=360°,
позволявшим уложить соответствующие углы пятиуголь-
ника вокруг общей вершины разбиения, а более светлые
линии, соединяющие вершины пятиугольника,—усло-
вию на последний (пятый) угол, необходимому для того,
чтобы пятиугольники можно было расположить вокруг
вершины разбиения. Напомню, что сумма внутренних
углов пятиугольника равна 540°; поэтому, если учесть
два соотношения на углы Ру С}, #, 5, недостающее соот-
ношение примет вид С1+8+2Т=360°, где Т — пятый
угол пятиугольника. Марджори предположила, что ни-
каким другим условиям углы пятиугольника не долж-
ны удовлетворять; поэтому в порождаемом пятиугольни-
ком разбиении следует использовать только те соотно-
шения между углами, которые представлены ее услов-
ными обозначениями. Например, пятиугольники 2 и 7
по классификации Марджори были исключены потому,
что, как она показала стрелкой на чертежах под каж-
дым из этих пятиугольников, разбиение приводило бы
к возникновению еще одного условия на углы. Пяти-
угольники 3 и 4 не позволяют построить разбиение, что
видно из приведенных под ними эскизов. Мне не соста-
вило особого труда проверить алгебраическим путем,
что ни один пятиугольник не мог бы удовлетворять ус-
ловиям на углы в случаях 2,7,3 и 4. Марджори построи-
ла несколько примеров пятиугольника 6 (по ее класси-
фикации) — и во всех случаях сумма углов, прилежа-
щих к одной стороне, была, по-видимому, равна 180°.
Но сколь ни правдоподобно выглядели ее примеры,
строгого доказательства они не обеспечивали. Пытаясь
доказать замеченное Марджори свойство, я обнаружила,
196
что оно не следует из предполагаемых условий на углы.
Изящное доказательство впоследствии предложил Керш-
нер. Оно основано на найденных им обобщениях тео-
рем синусов и косинусов. Это весьма яркий пример того,
как интуиция любителя и наблюдение, произведенное
на основе самых элементарных геометрических средств,
приводят к правильному заключению, но для получе-
ния строгого математического доказательства необходи-
мы более изощренные математические средства и трени-
рованный математический ум.
В остальных четырех случаях пятиугольники порож-
дали разбиение плоскости и были уже известны: рас-
смотренные Марджори случаи / и 8 в классификации
Кершнера соответствовали пятиугольникам типов 8 и
7. Случай 5 был новым открытием Марджори (я назвала
его пятиугольником типа 9), а ее случай 6 соответство-
вал кершнеровскому пятиугольнику типа /. Итак, моя
гипотеза была полностью опровергнута.
К этому времени Марджори установила прямой кон-
такт с Кершнером и со мной, необходимость в посред-
ничестве Гарднера отпала, но каждый из нас считал
своим долгом информировать его о продвижениях в ра-
боте над проблемой. Высокая оценка достижений Мард-
жори, о которой она узнала из корреспонденции, при-
дала ей новые силы, но главным стимулом по-прежнему
оставалась сама проблема, которую Марджори находи-
ла необычайно увлекательной. Обремененная многочис-
ленными домашними обязанностями, Марджори в ред-
кие свободные минуты снова и снова обдумывала проб-
лему, вычерчивала различные варианты разбиений плос-
кости и в бессчетный раз возвращалась к неоднократно
проанализированным случаям. Проблема чем-то напоми-
нала не до конца сложенную головоломку на составле-
ние картинки или фигурки из отдельных кусочков: вы
некоторое время усердно трудитесь над ней и даже полу-
чаете небольшое удовлетворение, когда вам удается до-
стичь частичного успеха, а затем забрасываете ее. Но
окончательно забыть головоломку вам не удается: она
вновь влечет вас и вы время от времени пытаетесь до-
бавить еще несколько кусочков, чтобы увидеть, как воз-
никает все более полная картина.
Я попросила Марджори написать мне обо всем, что
ей удалось сделать в решении проблемы, и сообщать о
197
новых результатах, так как редакция журнала Ма1Ье-
таИсз Ма^агте заказала мне статью о проблеме раз-
биения плоскости на пятиугольники. В марте 1976 г.
я получила от Марджори подробный «рассказ в кар-
тинках» о том, как она рассматривала возможные ва-
рианты заполнения плоскости пятиугольниками. На при-
сланной ею схеме были изображены группы рассмотрен-
ных пятиугольников. Каждая группа соответствовала
определенному набору условий на пятиугольник. Эти
Фа ф а
А06-СР ЛСО-6Е
Рис. 8. Обозначения Марджори Райе для пятиугольников, у кото-
рых каждый внутренний угол «используется» в вершинах разбиения
только один раз.
соотношения на внутренние углы (только на них) пяти-
угольника надлежало учитывать при попытке выложить
плоскость пятиугольниками каждого вида. От того, как
располагались вокруг общей вершины разбиения углы
пятиугольника, зависели условия на длины сторон.
В первую группу, которую Марджори назвала «ЯУ» (от
«пятиугольник У»), входили пятиугольники, в которых
каждый угол «использовался» в вершине разбиения толь-
ко один раз. Следовательно, три различных угла, «сой-
дясь вместе», образовывали угол 360°, а два остальных
угла, оказавшись «по соседству», в сумме давали угол
180°. К этой группе относились только два пятиуголь-
ника: типа / и типа 2 (рис. 8). Следующие 12 групп (на
присланной мне схеме они значились под номерами от
1 до 12 под общим заголовком «П2») содержали пяти-
угольники, в которых каждый угол «использовался»
дважды, если одновременно рассматривать различные
вершины разбиения. Двенадцатой в этом списке шла
коллекция пятиугольников, о которых Марджори сооб-
щила мне раньше в ответ на мою гипотезу. В примеча-
нии к группе П2 Марджори поясняла: «Каждая из две-
надцати подгрупп подлежит трем проверкам. Прежде все-
го необходимо удостовериться в том, может ли сущест-
вовать данная подгруппа (подгруппы 5 и 6 вообще не
существуют). Затем я набрасываю эскизы комбинаций,
198
/ дли **еЩ'
лве-лас
сд-ре
г М\л? а-\
а ал -л в ь"
с*- ер
сс-ее
ЛО*-*веам-л<1<~ «ед-Л»Л »0с-е*0*.«-и! Ллс-р»е есе-ям М*-*^
**-«* **-.»*■ *Г-*«" -*С**» ле./Ц) л»-ДЯ дв-/»« Ав-Д*
**?:«0'
* пи*Ю
А0е-ссоТ
,Ш
&с
> МК «Л
,//м ЛЗа
лПХ »иаи >ш
идеи ^с»
Щ]
4 I*-"!
Рис. 9. Двенадцать подгрупп пятиугольников, образующих группу
Я2. В перечне соотношений на углы, возникающих в вершинах раз-
биения, каждый внутренний угол любого из этих пятиугольников «ис-
пользуется» дважды. Для каждой комбинации углов, порождающих
разбиение, эскизы соответствующих разбиений показаны на рис.
9, а и 9, б. Перечень пятиугольников, образующих группу П2У и
эскизы разбиений плоскости также составлены Марджори Райе.
указываемые каждым членом группы, чтобы посмотреть,
можно ли состыковать соответствующие внутренние уг-
лы. Если с углами все обстоит благополучно, то стано-
вится ясно, какие отрезки (стороны пятиугольников)
должны быть равны. Последняя проверка сводится к
нахождению углов, удовлетворяющих всем условиям.
199
Рис. 9, а
Если такие углы удается найти, то разбиение осущест-
вимо». Рядом с каждым пятиугольником, не прошедшим
все три проверки, Марджори написала в своем списке
«нет», а рядом с пятиугольниками, порождающими
разбиение плоскости, указала номер их типа по класси-
фикации Кершнера. Кроме того, для каждого пятиуголь-
200
Рис. 9, б
ника, пригодного для замощения плоскости, она нари-
совала, как примерно выглядит порождаемое им разбие-
ние плоскости, возможность которого установлена тремя
проверками (рис. 9, а и 9, б). В составленном Марджо-
ри списке встречаются пятиугольники типов /, 2, 4,
6У 7, 5, 9, и она построила 26 различных разбиений
плоскости. Некоторые из разбиений оказались новыми.
Пятиугольники типов 3 и 5, а также разбиение, найден-
ное Джеймсом (которое я назвала типом 10), не вошли
в список Марджори по вполне понятной причине: если
выписать все соотношения на углы, возникающие в вер-
201
шинах разбиений, порождаемых пятиугольниками этих
типов, то каждый внутренний угол пятиугольника ока-
жется «использованным» трижды.
Через несколько недель после того, как я получила
столь богатую информацию, Марджори прислала мне еще
более обширный список. «Просматривая посланные вам
ранее разбиения, порождаемые пятиугольниками из груп-
пы П2У— говорилось в письме,— я обнаружила при по-
вторной проверке, что пропустила несколько типов, и
просмотрела всю классификацию еще раз более тщатель-
но. Посылаю вам дополненный список с примерами».
В дополненном варианте списка по-прежнему содержа-
лось 12 подгрупп, но некоторые подгруппы насчитывали
гораздо больше пятиугольников. Марджори обнаружи-
ла на этот раз 35 пятиугольников с условиями на углы,
пригодных для заполнения плоскости. Некоторые ком-
бинации углов порождали по два различных разбие-
ния и больше, поэтому к новому списку были приложе-
ны эскизы 45 разбиений. И хотя новые типы разбиений
обнаружить не удалось, диапазон возможных типов раз-
биений необычайно расширился. В своем письме Мард-
жори сообщала, что работает над пятиугольниками груп-
пы ПЗ (каждый из внутренних углов таких многоуголь-
ников удовлетворяет трем условиям на углы в верши-
нах разбиения). «Большинство пятиугольников этой
группы приводит, как легко проверить, к неосуществи-
мым разбиениям..., поэтому я надеюсь, что просмотр
остальных не отнимет много времени... Среди них пяти-
угольники типов 3 и 5, а также новый пятиугольник
Джеймса [типа 10]».
В октябре 1976 г. я получила от Марджори еще один
объемистый конверт. Она составила новый список всех
пятиугольных разбиений плоскости, которые ей уда-
лось построить к тому времени (всего 58 разбиений).
По-новому был построен и сам список: на этот раз Мард-
жори разделила пятиугольники (и связанные с ними
разбиения плоскости) на 12 классов в зависимости от
того, какие стороны пятиугольника должны быть равны.
Шесть страниц эскизов соответствующих разбиений убе-
дительно свидетельствовали о тщательности проделан-
ной работы. Классификация Марджори включала все де-
сять типов пятиугольников, пригодных для замощения
плоскости, и среди разбиений было много новых. Письмо
202
Марджори заканчивалось словами: «Вот и все, что мне
удалось пока сделать на основе моих скромных позна-
ний. Но поиск продолжается».
В середине ноября я послала Марджори препринт
статьи Бранко Грюнбаума и Джеффри Шепарда, дока-
завших существование 24 «индивидуально-транзитивных»
разбиений плоскости на пятиугольники типов 1—5, и
первоначальный вариант моей статьи о проблеме раз-
биения плоскости на пятиугольники, предназначенной
для журнала Ма{Ьета11С5 Ма§агте. Текст статьи был
расширенным вариантом доклада, с которым я высту-
пила на конференции по занимательной математике в
Университете Майами (Оксфорд, шт. Огайо). Среди уча-
стников конференции был и Джон Г. Конуэй. Он очень
заинтересовался и самой проблемой, и результатами
Джеймса и Райе. По признанию Конуэя, он и сам пы-
тался перечислить все пятиугольники, порождающие
разбиение плоскости, но отказался от своего намерения,
поняв, как много времени понадобилось бы для перебо-
ра всех вариантов. В конце своей статьи я поставила
несколько вопросов: полон ли список пятиугольников,
порождающих разбиения плоскости, если прямоуголь-
ники примыкают только сторонами, а не частью сторон?
Можно ли перечислить все равносторонние пятиуголь-
ники, порождающие разбиения плоскости?
Разумеется, Марджори не могла оставить мои воп-
росы без внимания. В декабре 1976 г. я получила от
нее письмо, в котором говорилось: «Думала, что не ста-
ну больше тратить время на пятиугольники, но рас-
статься с ними оказалось не так-то просто». На этот
раз Марджори с присущей ей энергией принялась за
мои вопросы. Отвечая на последний вопрос, Марджори
набросала эскизы всех найденных ею разбиений плос-
кости на равносторонние пятиугольники и перечислила
условия на углы, вытекающие из существования раз-
биений. Попыталась она ответить и на мой первый воп-
рос. В своей статье я рассказала о «блочно-транзитив-
ных» разбиениях плоскости на пятиугольники, отметив,
что все недавние открытия (Кершнера, Джеймса и са-
мой Марджори) относились к случаю, когда пятиуголь-
ники не могли образовывать изоэдрическое разбиение
плоскости и разбиение порождал блок из двух или трех
пятиугольников. Понятие «блочно-транзитивного» раз-
203
биения оказалось новым для Марджори. Она рассмот-
рела заново все свои разбиения, которые начинались
с двух «состыкованных» пятиугольников, и заметила,
что «большинство из них порождено блоками из 4 пяти-
угольников, образующих 2 шестиугольника, которыми
можно выложить плоскость одним из шести способов».
Сосредоточив внимание на одном разбиении такого бло-
ка на четыре конгруэнтных пятиугольника, Марджори
открыла несколько новых разбиений плоскости на пя-
тиугольники, примыкающие целыми сторонами. Через
две недели (27 декабря 1976 г.— рождественские
праздники, по-видимому, были для Марджори самой
творческой порой!) пришло потрясающее известие. «Про-
должая носиться с той же идеей,— сообщала Марджо-
ри Райе,— я получила несколько новых разбиений плос-
кости и, к своему удивлению и восторгу, два новых тесно
связанных между собой типа пятиугольников». Мард-
жори удалось открыть пятиугольники типов И и 12,
порождающие необычные разбиения плоскости (рис. 10).
Открытие новых типов замощений плоскости было
нежданной наградой за последовательно и методично
проведенный Марджори анализ транзитивных схем раз-
биения на блоки из двух фигур. Она обнаружила, что
блоки из двух шестиугольников можно разрезать на че-
тыре конгруэнтных пятиугольника девятью различными
пО
><»
В+Е=№* Д+Е-180*
А+А+Е=3$0* А+А+Е=ЗЮ9
С+С+В=Ж* С+С+В^ЗЫ
Рис. 10. Пятиугольники типов.// и 12 и порождаемые ими разбие-
ния плоскости, обнаруженные Марджори Раис в декабре 1976 г
204
Рис. 10 (продолжение).
205
Рис. 11. Девять способов разрезания блока из двух шестиугольни-
ков на четыре одинаковых пятиугольника. Варьируя замощение пло-
скости блоками из двух шестиугольников, Марджори Райе получила
много новых разбиений плоскости на пятиугольники.
способами (рис. 11). Эти разрезания вместе с различ-
ными вариантами замощения плоскости 2-блоками поро-
дили свыше 50 разновидностей разбиения плоскости на
пятиугольники («2-блочно-
транзитивные» разбиения).
Всю весну Марджори про-
должала развивать ту
идею и обнаружила нес-
колько способов разрезания,
порождающих разбиения на
пятиугольники посредством
3-блоков и даже 4-блоков.
«Математический цветник»
Мартина Гарднера вступил
в пору буйного цветения.
Обмен информацией по про-
блеме разбиения плоскости
на пятиугольники проис-
ходил уже между тремя
континентами. Еще одна Рис- 12- Серебряный брелок,
гпуппя птпбитРПРЙ ппин орнамент которого повторяет
Группа ЛЮОИтелеи — ОДИН- центральное разбиение плос-
надцатилетних ШКОЛЬНИКОВ кости на равносторонние пя-
ИЗ НОВОГО Южного Уэльса В тиугольники, установленное
Майклом Хиршхорном.
пя-
тну
кость, и способов разбиения плоскости на такие пяти-
угольники. Под руководством своих учителей Джорджа
Секереша и Майкла Хиршхорна ребятам удалось осно-
вательно продвинуться в решении проблемы. Найденный
ими равносторонний пятиугольник (частный случай пя-
тиугольника 6 из группы /77, о котором Марджори
Райе сообщала в своем первом письме ко мне) порож-
дал огромное число различных разбиений плоскости.
Используя этот пятиугольник, Хиршхорн открыл много
необычных разбиений, в том числе два центральных
разбиения с осью симметрии 6-го порядка (рис. 12).
Летом 1977 г. я отправила Марджори статью Бранко
Грюнбаума и Дж. Ч. Шепарда «81 тип изоэдрических
разбиений плоскости»*. В статье были приведены тща-
* По поводу точных ссылок на упомянутую литературу см.
заключительную часть статьи 3.4.— прим. ред.
207
тельно выполненные схемы разбиений 81 различного ти-
па — и я не сомневалась, что Марджори сумеет отыс-
кать среди них разбиения, элементарные области кото-
рых удастся разрезать на конгруэнтные пятиугольники
и тем самым найти новые разбиения плоскости на пяти-
угольники. Всю осень Марджори продолжала свои
прежние изыскания. Статье Грюнбаума и Шепарда
она нашла гораздо более остроумное применение, чем
я думала. «Изоэдрические разбиения Грюнбаума и Ше-
парда представляют большой интерес. Чтобы ими было
удобнее пользоваться, я скопировала их на четырех
страницах». Марджори перечертила фигурные разби-
ения Грюнбаума — Шепарда в своих условных обозна-
чениях, сохранив только топологическую схему разбие-
ния и действие группы симметрии на элементы разбие-
ния (рис. 13). Разбиения Грюнбаума — Шепарда позво-
лили Марджори заново проанализировать все найден-
ные ею разбиения и обнаружить несколько новых.
На рождество 1977 г. я получила от нее толстый кон-
верт с объемистой работой. И снова меня ожидал рож-
дественский подарок! «Недели две назад мне посчаст-
ливилось найти этот новый тип пятиугольника (а я-то
думала, что других пятиугольников не существует).
У этого пятиугольника (рис. 14) так же, как и у пяти-
угольника типа 4у два противоположных угла равны 90°,
но длины сторон удовлетворяют другим условиям». Раз-
биение плоскости на пятиугольники типа 13, которое
нарисовала Марджори Райе, обладало одной забавной
особенностью: оно казалось составленным из галстуков-
бабочек, каждый из которых был сложен из четырех
пятиугольников. Незадолго перед тем я получила верстку
своей статьи о проблеме разбиения плоскости на пяти-
угольники и могла вставить в нее сообщение о самом
последнем открытии в этой области. (Моя статья, опуб-
ликованная в январском номере журнала МаШетаИсз
Ма^агте за 1978 г., содержит более подробный отчет
о математических деталях разбиения плоскости на пя-
тиугольники.) Но и новым открытием работа Марджори
над проблемой не завершилась. Марджори решила по-
пробовать доказать, что все пятиугольники, способные
порождать разбиения плоскости, уже найдены. И хотя
ее доказательство не было полным, тем не менее проде-
ланный ею тщательный перебор всех разбиений на 2-
'208
Ш25
Ш26
Ш27
1Н28
Р г, Р I Р-Ц—I
I 1 а ч
Рис. 13^ Несколько разбиений плоскости на фигурные «плитки» (верх-
няя половина), предложенных в статье Бранко Грюнбаума и Джеф-
фри Шепарда «81 тип изоэдрических разбиений плоскости» (МаШ.
Ргос. СашЪпс^е РЬПоз. 5ос, 5ер1етЬег, 1977, рр. 190—191). Те же
разбиения в обозначениях Марджори Райе (нижняя половина).
:209
и 3-блоки существенно облегчил восполнение оставшего-
ся пробела. К тому времени, когда рассказываемая мной
история будет опубликована, ответ на вопрос о том, су-
ществуют ли неизвестные еще типы пятиугольников, по-
рождающих разбиения плоскости, скорее всего будет
В-Е^90° 2А+П=3$0° гС+ 1)^360
Рис. 14. Пятиугольник типа 13, порождающий разбиение плоскости,
который Марджори Райе обнаружила в декабре 1977 г.
получен. Хиршхорн убежден, что все равносторонние
выпуклые многоугольники, порождающие разбиения
плоскости, уже найдены (их описание приведено в моей
статье, опубликованной в ЛЫНетаИсз Ма^агте). В под-
тверждение своего мнения Хиршхорн ссылается на ре-
210
зультаты расчетов с помощью ЭВМ, исключавшие одно
за другим возможные соотношения на углы многоуголь-
ников.
Что заставляет человека искать решение проблемы
с таким упорством, какое проявила Марджори? Она не
обладала необходимой специальной подготовкой, ее труд
не оплачивался, но терпеливая и настойчивая работа
\Л- 1 \П- 1
Рис. 15. Изящное симметричное разбиение плоскости, предложенное
Марджори Райе. Начинаясь от центра, оно как бы расходится кру-
гами и может заполнить всю плоскость. Это разбиение порождается
двумя пятиугольниками, каждый из которых имеет по два угла 90°
и три угла 120°.
над проблемой, несомненно, доставляла ей глубокое
удовлетворение. Биография Марджори Райе типична для
многих любителей математики, черпавших вдохновение
в статьях Мартина Гарднера.
Марджори Райе родилась в 1923 г. в небольшом го-
родке Санкт-Петербург (шт. Флорида) и была первым
211
ребенком в семье. Когда Марджори исполнилось 5 лет,
ее отдали в школу, в которой около двух десятков уче-
ников с 1-го по 8-й класс занимались в одном помещении.
Рис. 16. Три рисунка Марджори Райе, заполняющих плоскость, как
в известных рисунках Эшера. Они основаны на геометрических ре-
шетках, создаваемых некоторыми из найденных Марджори Райе не-
обычных разбиений плоскости на пятиугольники. (Эшер в своих ри-
сунках, заполняющих плоскость, также использовал некоторые
«решетчатые» разбиения плоскости на пятиугольники.)
а — решетка, лежащая в основе рисунка «Пчелы в клевере» Мард-
жори Райе (см. фото I).
«Моя мама хотела, чтобы у меня были прочные основы
знаний, и занималась со мной дома, поэтому меня вско-
ре церевели во второй класс», Марджори росла тих.им>
застенчивым ребенком. Она «легко могла зачитаться или
212
задуматься, позабыв обо всем, что происходит вокруг».
Училась Марджори хорошо. «Арифметика давалась мне
легко, и я любила докапываться до причин, по которым
одни задачи нужно решать так, а другие этак... Меня
б — решетка, лежащая в основе рисунка «Рыбы» Марджори Райе
(см. фото II).
привлекали краски, формы и линии природы, я мечтала
стать художницей...» Последующие годы пребывания
Марджори в школе были «скрашены двумя прекрасными
учительницами, мисс/К^и и мисс Тиммонс..., крторые
213.
помогли мне восполнить недостатки образования, по-
лученного в небольшой деревенской школе».
«Когда я была в шестом или седьмом классе, учитель
однажды сказал нам, что пропорции картинной рамы
совпадают с золотым сечением. Это сразу же захватило
мое воображение и, хотя учитель упомянул о золотом
в — решетка, лежащая в основе рисунка «Гибискус» Марджори Раис
(см. фото III).
сечении мимоходом, навсегда врезалось мне в память.
Я продолжала много читать. Особенно меня интересовала
архитектура и идеи таких архитекторов и градострои-
телей, как Бакминстер Фуллер. В книгах мне снова
встретилось золотое сечение. Я поняла, сколь большую
роль оно играет в живописи и архитектуре. Особенно
полезной и увлекательной была для меня книга «Геомет-
рия искусства и жизни» Матилы Гика.» Интерес Мард-
жори к искусству не иссякал. Ее особенно привлекали
рисунки на тканях и работы М. К. Эшера. Размышляя
214
Фото I. «Пчелы в клевере» Марджори Райе.
над проблемой разбиения плоскости на пятиугольники,
Марджори создала несколько изящных геометрических
решеток и серию рисунков в духе Эшера (рис. 15, 16).
Когда Марджори училась в старших классах, ее се-
мья переехала в Пайн-Кастл, неподалеку от Орландо
(шт. Флорида). В Орландо Марджори изучала стено-
графию и машинопись, чтобы овладеть какой-нибудь
профессией на будущее, но не достигла сколько-нибудь
заметных успехов ни в том, ни в другом. Она сожалела,
что ее познания в математике ограничены общеобразо-
вательным курсом. После окончания средней школы
215
Фото II. «Рыбы» Марджори Райе.
Марджори с 16 лет работала сначала в конторе прачеч-
ной, а затем в небольшой типографии. В 1945 г. она вы-
шла замуж за Джилберта Раиса и с тех пор занимается
домашним хозяйством. «Я стала прилежной читательни-
цей городской библиотеки и много узнала из книг о
216
Фото III. «Гибискус» Марджори Райе.
естественных науках, психологии и о многом другом,
о чем мне не довелось узнать в школе. Я записалась
также на заочные коммерческие курсы...» После рож-
дения первого сына семья Райсов переехала в Сан-Диего
(шт. Калифорния). «Это были трудные годы и для меня,
и для мужа — у нас не было ни единой свободной ми-
нуты»,— вспоминала Марджори. Всего у Райсов роди-
лось пятеро детей. Когда дети немного подросли, Джил-
берт открыл шрифтолитейную мастерскую. К занятиям
математикой Марджори вернули ее дети. «Когда мой
старший сын Дэвид учился в четвертом классе, в школе
начали вводить «современную математику» *. ...Я захо-
* Так на Западе называют (модное, но, кажется, не особенно
плодотворное) увлечение в школе элементами теории множеств,
алгеброй высказываний, бинарными отношениями и пр.— Прим. ред.
217
Фото IV. «Пчелы и осы» М. К- Эшера.
Фото V. Ковер ручной работы (соткан жительницей Канберры, Авст.
ралия, А. Дж. Бомфорд) по мотивам разбиения плоскости на пяти-
угольники, найденного Р. Джеймсом. Размеры ковра 2,03X1,31 м2;
для изготовления ковра понадобилось сделать 46 986 узлов.
тела узнать, что это такое, и сначала не отставала от
сына, выполняя вместе с ним все задания. Сын всячески
помогал мне. Но свободного времени у меня было мало.
Вскоре я отстала, и мне пришлось бросить эти занятия.
Однако мой интерес к урокам Дэвида не иссяк, и мне
нередко удавалось решать задаваемые ему задачи свои-
ми, необычными методами, так как я не знала, как ре-
шать задачи «по правилам». Дэвид играл со мной в ма-
тематические игры, о которых узнавал в классе, напри-
мер в гекс или трехмерные крестики-нолики...
Я люблю задачи на смекалку, кроссворды, разные
игры-головоломки, математические игры и за многие
годы собрала неплохую библиотечку по занимательной
математике. Особенно мне нравятся геометрические за-
дачи. Когда нам приносят журнал 5с1еп1Шс Атепсап,
который выписывает мой сын, я прежде всего прочи-
тываю «Математические игры» Мартина Гарднера».
Страсть Марджори к геометрическим головоломкам и
острое восприятие форм, пропорций и линий ощущается
в ее рассказе о недавней поездке. «В ноябре 1974 г. мы
с мужем отправились в кругосветное путешествие... Мне
особенно бросались в глаза необычные пропорции и фор-
мы, столь отличные от того, что окружает нас дома.
Всюду, где бы нам ни приходилось бывать, я искала
необычное и находила его в пропорциях зданий, две-
рей, окон, в разбиении пространства, в рисунке реше-
ток на окнах... Особенно мне понравились яркие рисунки
на тканях, нередко очень крупные, которые носят жи-
тели Ганы и Нигерии. ...Наш багаж был сведен до ми-
нимума, но все же я нашла местечко для небольшой
книжки в мягкой обложке «Реши задачу» Л. Г. Лонгли-
Кука — сборника из 105 задач-головоломок. Размыш-
ления над этими задачами помогали мне коротать вре-
мя в тех случаях, когда нам приходилось ждать...»
Разум и дух — сильные стороны всех любителей ма-
тематики; им присуща неуемная любознательность и ост-
рота в восприятии всего, с чем им приходится сталки-
ваться. Формальное образование не способно наделить
человека такими способностями. От «профессионалов»
«любителей» отличает только отсутствие ученых степе-
ней. Но острая любознательность и способность нахо-
дить оригинальные способы решения поставленных проб-
219
лем делают «любителей» истинными математиками.
Мартин Гарднер пробудил активность многих таких
математиков.
3.4- Некоторые проблемы,
связанные с плоскими мозаиками
Бранно Грюнбаум
Дж. Ч. Шепард
Хотя искусство мозаики столь же древнее, как и
сама история человечества, наука о мозаиках вплоть до
недавнего времени почти не развивалась.
О высоком уровне искусства в средние века свиде-
тельствуют замечательные мозаики в многочисленных ме-
четях и других зданиях мавританской архитектуры.
Один из наиболее выдающихся примеров такого рода —
испанский дворцовый комплекс Альгамбра, построенный
в XIII—XIV вв. (рис. 1 и 2). Можно почти с уверенно-
стью сказать, что именно посещение Альгамбры вдох-
новило голландского художника Мориса Эшера на
создание некоторых из его известных произведений
(рис. 3).
Первая попытка проанализировать мозаики с мате-
матической точки зрения была предпринята великим аст-
рономом Иоганном Кеплером (1571 —1630) в его пяти-
томном сочинении «Гармония мира» (Нагтотсе МипсИ),
вышедшем в свет в 1619 г. (рис. 5). Открытия Кеплера
в области астрономии и небесной механики настолько
заслонили его геометрические работы, что последние на
протяжении почти трех столетий были преданы почти
полному забвению. После Кеплера вплоть до конца XIX в.
в теории мозаик было сделано очень мало; поэтому
можно считать, что наука о мозаиках, под которой мы по-
нимаем активное изучение математических свойств мо-
заик, или разбиений плоскости, насчитывает немногим
более ста лет. В нашем веке о мозаиках и их свойствах
было опубликовано огромное количество работ, выпол-
22(*
Рис. 1. Один из залов дворца Альгамбра в Гренаде (Испания). По-
строенный в XIV в., этот дворец, подобно другим зданиям мавритан-
ской архитектуры, приобрел широкую известность благодаря пышно-
сти мозаик, украшающих его полы, потолки и стены.
Рис. 2. Восемь мозаик из Альгамбры. Эти рисунки выполнены гол-
ландским художником М. К- Эщером, посетившим Альгамбру, в
1936 г. Богатство и разнообразие мозаик Альгамбры оказали замет-
ное влияние на творчество Эшера. ' ' '!
*Й1
Рис. 3. Одна из малоизвестных мозаик Эшера. Среди произведений
Эшера немало таких, в которых отдельные элементы мозаики имеют
вид животных или каких-нибудь предметов.
Рис. 4. Знаменитый астроном Иоганн Кеплер. Его основополагаю-
щее исследование мозаик в течение почти трехсот лет пребывало в
забвении.
ненных главным образом кристаллографами, инжене-
рами и другими математиками-непрофессионалами. Тео-
рия мозаик и поныне изобилует нерешенными пробле-
мами; цель нашей статьи заключается в том, чтобы
привлечь внимание к некоторым из них.
Рис. 5. Иллюстрации из работы Кеплера «Гармония мира» (1619 г.) —
первого математического исследования, посвященного мозаикам. На
рисунках представлены некоторые исследованные Кеплером мозаики,
состоящие из правильных и звездчатых многоугольников.
В последнее время в связи с возросшим признанием
сбщеобразовательной ценности геометрии изучению мо-
заик стали уделять внимание в курсах математики раз-
личных школ и колледжей. Периодические издания,
предназначенные для преподавателей математики, на-
чали отводить «мозаичной тематике» все больше места на
своих страницах. Возрождение интереса к мозаикам от-
части вызвано великолепными статьями Мартина Гард-
223
нера в ЗаегШПс Атеисап. Сообщениями о новых от-
крытиях Гарднер стимулировал интерес читателей ко
всему, что связано с мозаиками. Мы еще неоднократно
будем упоминать некоторые из статей Гарднера и на-
деемся, что читатель сможет в полной мере ощутить ту
благодарность, которую испытывает к Мартину Гард-
неру, первоклассному популяризатору науки, все ма-
тематическое сообщество.
1. Что такое мозаика? С математической точки зре-
ния мозаика — это семейство <$~={Т1у Т2,. . .} замкну-
тых множеств Ть (элементов мозаики), покрывающих
плоскость без существенных (имеющих ненулевую пло-
щадь) пробелов и перекрытий. Подобное определение мо-
заики носит слишком общий характер, и в нашей статье
мы ограничимся рассмотрением мозаик, элементы Ти /=
= 1, 2. . ., которых топологически эквивалентны дискам,
т. е. могут быть получены непрерывной деформацией из
круглых дисков. В частности, каждый элемент мозаик,
о которых будет идти речь, связен и односвязен. Тем
Рис. 6. Три правильные мозаики. Эти хорошо знакомые всем мозаи-
ки известны с незапамятных времен.
самым мы исключаем случаи, когда элементы мозаик:
состоят из двух или большего числа отдельных частей
или имеют дыры.
Наиболее часто встречаются мозаики, составленные
из ограниченного числа элементов различной формы. Та-
кого рода мозаики обычно допускают следующее опйса-'
224
(Э.122) (4.6.12) (4.82)
Рис. 7. Восемь типов однородных, но неправильных мозаик. От-
дельные элементы каждой мозаики имеют форму правильных мно-
гоугольников; при этом существует операция симметрии, переводя-
щая мозаику в себя и отображающая любую выбранную вершину
мозаики на любую другую также указанную нам вершину. Одна из
мозаик (З4 «6) может иметь два зеркально-симметричных друг другу
вида. Считается, что такие мозаики (точнее, их группы симметрии)
были открыты в начале XVII в. Кеплером.
6 \, изо 225
ние. Пусть 5*= {Л,. • ^ь) — (конечное) семейство зам-
кнутых множеств, таких, что каждый элемент Ть мозаи-
ки (<$Г) конгруэнтен одному из множеств />,-(/= 1,. . .к).
Тогда 5* называется множеством прототипных элемен-
тов (или прототипов) мозаики <^Г, и говорят, что 5* реа-
лизуется в виде мозаики <^Г. Если 5* содержит ровно к
различных (попарно неконгруэнтных) множеств (фигур)
и все эти фигуры используются в <^Г, то мозаика <$Г на-
зывается к-эдрической.
При к=\ мозаика называется моноэдрической. Такие
мозаики хорошо известны. Примером могут служить из-
вестные с незапамятных времен правильные мозаики
(рис. 6). Однородные мозаики (рис. 7), знакомые еще
Кеплеру (см. рис. 5) и, по-видимому, им открытые, под-
разделяются на 2-эдрические (диэдрические) и 3-эдриче-
ские (триэдрическиё). Известны также и многие другие
Л-эдрические мозаики при небольших значениях к.
Таковы, например, кеплеровские мозаики /С, Т, X и Аа
на рис. 5.
Можно подумать, что моноэдрические мозаики, все
элементы которых имеют одинаковую форму, тривиаль-
ны с математической точки зрения и вряд ли заслужи-
вают серьезного изучения. Однако те, кто так считает,
глубоко заблуждаются. О богатстве и разнообразии форм
моноэдрических мозаик можно судить даже по немно-
гим их образцам, изображенным далее на рис. 21, 23,
28 и 29. В том, что математический анализ моноэдричес-
ких мозаик представляет собой отнюдь не легкую зада-
чу, читатель может убедиться, взглянув на изображен-
ные на рис. 8 кандидаты в прототипы таких мозаик.
Для некоторых из представленных на рисунках фигур
достоверно не известно, реализуются ли они как прото-
типы моноэдрических мозаик. Во всяком случае, отве-
тить на этот вопрос достаточно трудно. Проблемы такого
рода обсуждались в статье Мартина Гарднера в августов-
ском номере 5аеп1Шс Атепсап за 1975 г. Основной
вопрос состоит в следующем:
Проблема 1. Существует ли вполне определенный
способ (или алгоритм), позволяющий, не прибегая к ме-
тоду проб и ошибок, проверить, реализуется или не реа-
лизуется данная фигура Р как прототип моноэдрической
мозаики?
Это очень трудная проблема, и обсуждение ее во всей
226
полноте и сложности завело бы нас слишком далеко в
дебри математической логики. Хотя здесь это и неумест-
но, в п. 5 мы все же кратко упомянем о связи между
проблемой 1 и проблемой нахождения апериодических
Рис.8. Шесть «кандидатов» в прототипы моноэдрических мозаик.
Являются ли они прототипами мозаик в действительности — вопрос
сложный.
мозаик. Заметим, что одно из немногих известных усло-
вий для проверки того, реализуется или не реализуется
данная фигура как прототип моноэдрической мозаики,
называется критерием Конуэя (рис. 9). Этот критерий
находит удивительно широкое применение, но содержит
лишь достаточное, но никак не необходимое условие су-
ществования мозаики. Следовательно, критерий Конуэя
не дает решения проблемы 1.
—+-Ч
8*
227
Глубина этой проблемы (и глубина нашего незнание)
видна хотя бы из того, что нам даже не известны ;эсе
многоугольники, которые могут служить прототипами
реализуемых моноэдрических мозаик. Любой треуголь-
С
^~И
_|
5"
6ь
а
Рис. 9. Можно ли выложить плоскость плитками, изображенными'
вверху (а)? Утвердительный ответ на этот вопрос дает критерий Ко-
нуэя, утверждающий, что данная фигура реализуется как прототип
моноэдрической мозаики, если ее границу можно разбить на шесть
таких частей (показанных черными кружками, б), что части а и А
переводятся друг в друга параллельным переносом, а остальные че-
тыре части Ь, с, е и } суть центрально-симметричные линии (центры
симметрии изображены светлыми кружками, б). В мозаике четыре
элемента из шести, примыкающих к центральному элементу, получа-
ются поворотом центрального элемента на 180° вокруг светлых круж-
ков, а остальные два — параллельным переносом центрального
элемента. Критерий Конуэя применим к элементу любой формы, а
не только к многоугольникам, подобным изображенному на рис. 9.
ник и любой четырехугольник так же, как и три семей-
ства шестиугольников (рис. 10), реализуются как про-
тотипы моноэдрических мозаик. (Под семейством мы по-
нимаем множество многоугольников, внутренние углы
и стороны которых удовлетворяют определенным соот-
ношениям.) Но число семейств пятиугольников все еще
остается неизвестным. Мы знаем тринадцать семейств
пятиугольников, допускающих мозаики (рис. 11), но вол-
228
'рос о том, полон ли этот список семейств пятиугольни-
кбв или его необходимо дополнить, остается пока нере-
шенным *. Мартин Гарднер внес важный вклад в реше-
ние'и-'Этой проблемы, опубликовав в июльском номере
5с1еп1Шс Атепсап за 1975 г. список пятиугольников,
в то время считавшийся полным (в список входили пяти-
Рис. 10. Три типа шестиугольников, допускающих моноэдрические
мозаики. В действительности каждый из шестиугольников допускает
изоэдрическую мозаику. Эти типы шестиугольников были открыты
К- Рейнхардтом в 1918 г. (Указаны соотношения между углами, обо-
значенными буквами х, у, г, I, и между сторонами а, Ь, с шестиуголь-
ников.)
угольники, открытые Рейнхардтом в 1918 г. и Кершне-
ром в 1968 г.). Некоторые читатели указали на неполноту
списка. Были открыты новые пятиугольники, допуска-
ющие мозаики (рис. 11). Именно с этими пятиуголь-
никами и связан наш второй вопрос.
Проблема 2. Существует ли какое-либо семейство вы-
пуклых пятиугольникову отличных от изображенных на
рис. 11 у которые допускают моноэдрические мозаики на
плоскости?
Недавно Д. Ч. Хант и М. Д. Хиршхорн заявили, что
им удалось доказать полноту составленного в 1978 г.
Дорис Шаттшнайдер списка равносторонних пятиуголь-
ников, допускающих мозаики на плоскости; однако их
доказательство пока нигде не опубликовано.
2. Даже если данный прототип допускает моноэдри-
ческую мозаику на плоскости, не существует априор-
ного метода, позволяющего решать, сколько при этом
* Моноэдрическим мозаикам из (выпуклых) пятиугольников
посвящена в этом сборнике специальная статья Д. Шаттшнайдер.—
Прим. " ред.
229
2п/3
2п-2у
Рис. 11. Тринадцать типов известных в настоящее время пятиуголь-
ников, допускающих моноэдрические мозаики на плоскости. Первые
пять типов допускают также изоэдрические мозаики. Список пятиу-
гольников заимствован из статьи Шаттшнайдер (ЛЫпетаИсз Мара-
зме, 51(1978), рр. 29—44). Там же можно найти остальные детадц и
другие примеры мозаик.
230
возникает различных мозаик. Назовем элемент моно-
морфным, если он допускает единственную мозаику. Наи-
более известным примером мономорфного элемента мо-
жет служить правильный шестиугольник. Он допускает
^
в
и
Рис. 12. Девять примеров мономорфных прототипов моноэдрических
мозаик.
единственную мозаику — ту правильную мозаику, кото-
рая изображена на рис. 6. В то же время квадрат не
мономорфен. Действительно, ряды квадратов можно
сдвигать друг относительно друга, из чего следует, что
квадрат допускает бесконечное множество различных мо-
шС
231
заик. На рис. 12 приведены некоторые менее известные
примеры мономорфных элементов. При рассмотрении их
возникает важный вопрос. Каждый из элементов (д) и
(ё) на рис. 12 допускает по две мозаики (рис. 13), но эти
1 И
1 \
1
* —1—1
^ 1-.
гг~
Ц-Гг-Я
1— . . 1
^пгК
^г
7~ П
\±А
5
5
53
^
^^
1
г
^
^
^
\ ^
~т
"7
Рис. 13. Мозаики, реализуемые в прототипах дне рис. 12. Посколь-
ку каждая из двух возможных мозаик зеркально-симметрична дру-
гой, прототипы мозаики считаются мономорфными.
мозаики зеркально-симметричны. Следует ли считать их
различными? Правильнее всего было бы сказать, что
это «дело вкуса», но по разным причинам, на которых
здесь неуместно останавливаться, мы предпочитаем не
различать зеркально-симметричные мозаики и поэтому
утверждаем, что элементы (д) и (е) мономорфны.
Существуют ли элементы, которые диморфны, т. е.
допускают ровно две моноэдрические мозаики? Оказы-
вается — существуют. Примеры такого рода изображе-
ны на рис. 14. Триморфный прототип и три реализую-
щиеся мозаики представлены на рис. 15. Этот пример
единствен в том смысле, что все остальные известные
нам триморфные прототипы тривиально получаются из
него. Обнаружить диморфные или триморфные прототи-
пы нелегко, поэтому мы предлагаем следующие проб-
лемы
232
Рис. 14. Два диморфных прототипа моноэдрнческих мозаик и соот-
ветствующие реализации мозаик.
233
Проблема 3. Найти новые примеры диморфных и три-
морфных прототипов моноэдрических мозаик, существен-
но отличных от уже известных.
Проблема 4. При любом ли конечном г>4 существует
г-морфный прототип моноэдрической мозаики}
Рис. 15. Триморфный прототип и реализуемые мозаики.
Следующий наш вопрос имеет более технический ха-
рактер, но представляет большой теоретический инте-
рес:
Проблема 5. Существует ли прототип, реализующий-
ся лишь в счетном множестве моноэдрических мозаик?
Проблемы 4 и 5 по существу сводятся к вопросу о
том, велик ли разрыв между (известными нам) значением
г=3 и несчетной бесконечностью* и насколько можно
сузить этот пробел.
При попытке распространить эти идеи на й-эдричес-
* Реализующейся, например, в случае квадратного прототи-
па.— Прим. ред.
234
кие мозаики (выложенные из элементов к различных
форм) мы сталкиваемся с необходимостью ввести новые
соображения. Рассмотрим &-эдрические г-морфные про-
тотипы (/г^2, /^5=1). Существование таких прототипов
было установлено Г. Харбортом в 1977 г. Харборт обна-
ружил, что ромб с надлежаще выбранным углом и эле-
менты, сложенные из нескольких ромбов (рис. 16), по-
Рис. 16. Конструкция Харборта для пары прототипов, допускающих
ровно г мозаик (в предположении, что в каждой мозаике встречают-
ся элементы обоих типов). На рисунке г=4. Один элемент имеет
форму ромба с углами 2л/р и (р—2) л//?, где р=6г—7, а другой
получается склеиванием 2г—2 ромбов, как показано на рисунке.
зволяют решить проблему при к=2, а следовательно,
и при к^2. (Харборт получил решение, разрезав оба
элемента мозаики на специально выбранное число час-
тей так, что эти части подходили друг к другу только
в том случае, если восстанавливались исходные элемен-
ты мозаики.) Однако конструкция, представленная на
рис. 16, не дает полного решения проблемы. Такое ре-
шение мы получим, только потребовав, чтобы во всех
235
Рис. 17. Две диэдрические мозаики, использующие в качестве про-
тотипов два одинаковых пятиугольника. Поскольку других мозаик
с теми же прототипами не существует, пара представленных на рисун-
ке пятиугольников образует диморфную систему "прототипов. Под-
черкнем, что в данном случае ни один из прототипов сам по себе не
реализуется в (моноздрической) мозаике.
Рис. 18. Мозаика с отмеченными (в левой части рисунка) операциями
симметрии (отличными от тривиальных параллельных переносов).
Темными треугольниками выделены линии — оси зеркальной сим-
метрии; штриховые линии суть оси скользящей симметрии. (Любой
вектор, соединяющий два темных треугольника, задает параллель-
ный перенос, также принадлежащий к числу операций, входящих в
группу симметрии мозаики).
мозаиках непременно использовались копии всех про-
тотипов — без этого условия наш пример утрачивает си-
лу, поскольку ромб сам по себе допускает несчетно бес-
конечное множество мозаик. Так мы приходим к сле-
дующей проблеме:
Проблема 6. При любых ли /г>2 и г^\ существует
множество 5*, состоящее из к таких прототипов, что &
реализуется ровно г различными мозаиками, даже если
разрешается использовать в мозаиках копии не всех эле-
ментов из 5х?
Пример решения проблемы 6, отвечающий значениям
к=г=2, показан на рис. 17.
3. В 1900 г. Давид Гильберт сформулировал свои
знаменитые проблемы, оказавшие огромное влияние на
развитие современной математики. Одна из проблем
Гильберта — восемнадцатая — имеет самое непосред-
ственное отношение к мозаикам. Уместно поэтому дать
краткий обзор попыток решения этой проблемы.
Прежде всего необходимо объяснить, что означает
термин «изоэдрический». Определяется это понятие сле-
дующим образом. Каждая мозаика <$Г обладает группой 5
<$Г-симметрии (или самосовмещений мозаики), т. е.
группой движений плоскости как целого, отображающих
мозаицу & на саму себя. (Так, на рис. 18 указаны не-
сколько элементов группы симметрии различного типа.)
Неформальное описание группы симметрии (с точки зре-
ния;'математики не сойсем свободное от дефектов) пред-
ложил в 1907 г. Фурре. Представим себе, что мозаика
перенесена на лист кальки. Каждой симметрии мозаики
соответствует какое-то движение кальки (с переворачи-
ванием листа кальки или без подобного переворачива-
ния), в результате которого чертеж совмещается о са-
мим собой. Мозаика <§Г называется изоэдрической, если
для любых двух элементов ТЬТ]. из <$Г существует опе-
рация -симметрии, отображающая Т( на Т;. Каждая изо-
эдрическая мозаика должна быть моцоэдрической. Об-
ратное утверждение неверно: различие между понятия-
ми изоэдрии и моноэдрии проиллюстрировано на рис. 19.
Восемнадцатую проблему Гильберта можно сформу-
лировать следующим образом: существует ли прототип,
допускающий моноэдрическую мозаику, но не допускаю-
щий ни одной изоэдрической мозаики? Первоначально речь
237
шла о трехмерных «мозаиках», должно быть, потому,
что в плоском случае Гильберт считал отрицательный
ответ очевидным. Но он заблуждался! В 1935 г. Г. Хе-
еш нашел элемент (рис. 20), являющийся прототипом
для бесконечно многих (моноэдрических) мозаик, ни
Рис. 19. Две моноэдрические мозаики, использующие один и тот же
прототип. Правая мозаика изоэдрическая, так как для любых эле-
ментов существует операция симметрии мозаики, отображающая
один элемент в другой. Левая мозаика не изоэдрическая, так как не
существует операции симметрии, которая бы отобразила элемент Л
в элемент В.
одна из которых не является изоэдрической. Впослед-
ствии были обнаружены и другие примеры. Некоторые
из выпуклых пятиугольников, изображенных на рис. 11,
допускают моноэдрические, но не изоэдрические мозаики.
На первый взгляд может показаться, что различие
между моноэдрическими и изоэдрическими мозаиками не-
существенно. Такое впечатление обманчиво. Например,
если ограничиться рассмотрением изоэдрических мозаик,
то становятся разрешимыми проблемы 1, 2, 4 и 6. В част-
ности, в связи с проблемой 2 Г. Хееш и О. Кинцле в 1963 г.
дали полный список многоугольников, допускающих изо-
эдрические мозаики. Они смогли решить эту задачу бла-
238
годаря тому, что математикам удалось описать все изо-
эдрические мозаики. Доказано, что всего существует 81
тип таких мозаик, 47 из которых можно построить, ис-
пользуя многоугольники. Некоторые примеры изоэдри-
ческих мозаик показаны на рис. 21. Метод, позволяющий
:
I
I
~7_
I
I
5
^-
I
I
I
1
I
2
^
^
X' ,<, 1 ,>
\
Ъъ
>
^
^
51
X
^
Ш
^
4
шт
в
Рис. 20. Прототип Хееша (а) — первый из обнаруженных элемен-
тов, реализующихся как прототип моноэдрическои мозаики, но не
реализующихся ни в одной изоэдрической мозаике. В настоящее вре-
мя известны и многие другие примеры такого рода. Например, этим
свойством обладают некоторые из пятиугольников, изображенных на
рис. 11. Показано, каким образом элемент Хееша составлен из квад-
ратов и половин квадратов (а). Приведены также примеры (каких-
то из бесконечно многих возможных) мозаик (б, в), использующих
этот элемент как прототип.
построить классификацию изоэдрических мозаик по ти-
пам, осложнен множеством технических деталей, и его
вряд ли стоит здесь приводить. Лишь недавно этот ме-
тод удалось удовлетворительным образом обобщить. (От-
сутствием такого обобщения, по-видимому, объясняют-
ся многочисленные неясности и ошибки в более ранних
работах по проблемам классификации мозаик.)
239
10 1! 12
Рис. 21. Двенадцать примеров изоэдрическнх мозаик.
4. Одной из наиболее замечательных теорем о мозаи-
ках с полным основанием считается теорема о расшире-
нии (мозаики). Ее частный случай известен под назва-
нием теоремы Ванга (по имени автора), но общий слу-
чай был доказан совсем недавно, и это доказательство
еще не опубликовано. Пусть 9* — заданное (конечное)
множество прототипов, топологически эквивалентных
диску. Предположим, что при любом сколь угодно боль-
шом /? круглый диск йн радиуса /? можно покрыть эле-
ментами множества Зъ. Теорема о расширении утверж-
дает, что в этом случае мозаики можно расширить на
всю плоскость, т. е. что элементами множества 5* можно
240
покрыть всю плоскость. Слова «можно, покрыть» тре-
буют некоторых пояснений. Они означают, что конеч-
ным числом элементов множества 5* можно полностью
выложить участок плоскости, содержащий диск ря, и
при этом площадь всех общих частей элементов (их
.--. )
Рис. 22. Каждый изображенный здесь элемент — бесконечная полу-
полоса, с одной стороны завершающаяся полукругом. Элементы та-
кого рода, разумеется, покрывают любой сколь угодно большой круг-
лый диск, но выложить ими всю плоскость не удается Как показы-
вает приведенный пример, теорема о расширении требует выполнения
необходимого условия — ограниченности образующих мозаику эле-
ментов.
перекрытий) будет равна нулю — эти фигуры будут со-
прикасаться, но не перекрываться. Теорема о расшире-
нии верна при соблюдении следующего существенного
условия: все прототипы (элементы множества 5*) долж-
ны быть ограниченными по своим размерам, а число их
должно быть конечно. На рис. 22 мы видим копии од-
ного «прототипа», покрывающие сколь угодно большие
диски, но покрыть этими фигурами всю плоскость, оче-
видно, нельзя. Теорема о расширении в этом случае не
работает, так как рассматриваемый нами «прототип» не-
ограничен.
Некоторые следствия из теоремы о расширении до-
вольно неожиданны. Например, из нее следует, что если
элементы множества 9* позволяют выложить мозаику,
заполняющую квадрант плоскости, то ими можно выло-
жить и всю плоскость. На первый взгляд может пока-
заться очевидным, что если можно покрывать мозаикой
все большие участки плоскости, то, продолжая неогра-
ниченно расширять выложенный мозаикой участок, мы
в конце концов вымостим всю плоскость. Однако это ут-
241
верждение становится менее очевидным, если принять
во внимание, что по мере увеличения Я нам может пона-
добиться непрерывно перестраивать элементы и что, воз-
можно, ни один из выложенных мозаикой участков не
войдет в окончательную мозаику, покрывающую всю
плоскость.
Рис. 23. Элемент Хееша (а) обладает замечательным свойством: хотя
его можно полностью окружить тождественными ему копиями (б),
он все же не пригоден для построения мозаики на всей плоскости.
Тем не менее этот элемент позволяет покрывать обширные участки
плоскости (в). Строение элемента показано слева вверху: он состоит
из объединенных квадрата, равностороннего треугольника и поло-
вины равностороннего треугольника (на рисунке они отделены от
квадрата штриховыми линиями).
Возникающая в этой связи проблема называется проб-
лемой Хееша. Известно, что существуют прототипы Р,
не реализующие мозаику на всей плоскости, хотя их
можно полностью окружить тождественными им копи-
ями (рис. 23). Окружить полностью элемент Р — это зна-
чит построить вокруг него (без просветов) кольцо /?
так, чтобы каждая точка элемента Р была удалена от
любой точки плоскости вне /? на расстояние, превышаю-
щее некоторое заданное положительное число. Полно-
стью дважды окружить Р означает построить вокруг
Р кольцо /?, окруженное другим кольцом /?'.
Проблема 7. Существует ли прототип Р, не реали-
зующийся в заполняющей всю плоскость мозаике, но та-
242
кой, что его можно полностью дважды окружить тож-
дественными ему копиями?
Проблема допускает обобщение. Рассмотрим элемент
Р, который можно г раз полностью окружить тожде-
ственными ему копиями (что это означает, конечно, яс-
но). Наибольшее из таких целых чисел г назовем числом
Хееша для элемента мозаики Р.
Проблема 8-. Существуют ли фигуры с числом Хееша
г=Зу 4, 5...?
5. Мозаика ©Г называется периодической, если среди
симметрии <$Г существуют два сдвига (параллельных пе-
реноса) в непараллельных направлениях. Примерами пе-
риодических мозаик могут служить мозаики на рис. 13,
15 и 18. В каждом случае мозаику можно считать со-
стоящей из повторений небольшого фрагмента, выложен-
ного из элементов в узлах некоторой решетки. Множе-
ство прототипов 5* называется апериодическим, если оно
реализуется в каких-то мозаиках на плоскости, но все
эти мозаики не являются периодическими. До недавнего
времени апериодические множества прототипов не были
известны. Первый пример обнаружил Р. Берджер в
1966 г. Позднее примеры предложили Робинсон, Пен-
роуз, Амманн и другие авторы. На рис. 24 показана мо-
заика, построенная на основе первого апериодического
множества, открытого Р. Пенроузом.
Мартин Гарднер посвятил апериодическим мозаикам
Пенроуза, известным под названием «воздушные змеи»
и «стрелы», увлекательную статью, опубликованную в ян-
варском номере журнала 5с1еп1Шс Атепсап за 1977 г.
Элементы этих мозаик обладают многими замечательными
и неожиданными свойствами, не все из которых получи-
ли адекватное объяснение. С 1977 г. несколько новых
апериодических множеств были открыты Робертом Ам-
манном. С его любезного разрешения мы воспроизводим
элементы этих множеств на рис. 25.
Апериодические мозаики — слишком обширная тема
для того, чтобы ее можно было сколько-нибудь полно
раскрыть в нашей статье. История апериодических мо-
заик и их связь с математической логикой — одна из
интереснейших, но еще не дописанных глав в науке о мо-
заиках. Мы упомянем лишь несколько фактов, посколь-
ку ни одна статья, претендующая на обзор свойств мо-
243
в
Рис. 24. Первый набор апериодических мозаик, открытый Роджером
Пенроузом. Прототипы изображены слева вверху (а). Справа вверху
(б) показано, каким образом выступы и впадины можно заменить
числами, сохранив эквивалентное «условие зацепления»: стороны
О, 1, 2 должны прийтись против сторон 0, 1,2. Внизу (в) изображен
один из примеров мозаики.
244
заик, не была быполна без упоминания, об основной
проблеме, связанной с построением апериодических мо-
заику
Проблема 9. Существует ли апериодическое множе-
ство, состоящее из единственного прототипа Р?
Иначе говоря, Р может допускать много моноэдричёс-
ких мозаик на плоскости, но ни одна из них не будет пе-
V
\
О
Рис. 25. Два набора апериодических элементов мозаики, недавно от-
крытых Р. Амманном. Каждый "набор из трех фигур содержит не-
большую «ключевую фигуру», заполняющую отверстия в более круп-
ных фигурах и тем самым ограничивающую варианты их относитель-
ного расположения.
риодической. Можно показать, что проблема 9 удиви-
тельным образом связана с проблемой 1. По крайней
доере Г. Ванг показал связь между апериодичностью и
'проблемой существования мозаики, т. е. проблемой пост-
роения алгоритма, позволяющего решать, реализуется
ли данное множество 3* прототипов в некоторой мозаике
или нет. Полученный Вангом результат применим только
к фигурам весьма специального вида — «квадратам с
цветными сторонами». Неизвестно, в какой мере ана-
логичные соображения применимы к элементам произ-
245
вольной формы. Тем не менее весьма правдоподобно,
что утвердительное решение проблемы 9 повлечет за собой
отрицательный ответ на вопрос, поставленный в про-
блеме 1.
6. В заключение статьи упомянем несколько любо-
пытных случаев. Первый из них связан с так называемой
Рис. 26. Элемент мозаики Фодерберга, обладающий замечательным
свойством: две копии такой фигуры могут образовать замкнутое
«кольцо», внутри которого помещается третья копия фигуры (б)
или даже две другие копии (в). Вверху (а) показана периодическая
мозаика, использующая фигуру Фодерберга в качестве прототипа.
проблемой замыкания. В 1934 г. К. Рейнхардт поставил
задачу: могут ли две фигуры, конгруэнтные прототипу
Р, образовать замкнутое кольцо вокруг еще одной копии
той же фигуры Р. В 1936 г. эту задачу решил Г. Фодер-
246
берг, предложивший пример прототипа, допускающего
периодическую мозаику (рис. 26). Найденная им фигура
обладала необычным свойством: две ее копии образовыва-
ли замкнутое кольцо не только вокруг третьей копии, но
и вокруг двух копий фигуры Р. Это свойство фигуры Фо-
Рис. 27. Построение прототипа мозаики, обладающего свойством
г-замыкания (на рисунке г=8). Сначала строится ломаная АЬСО с
прямыми углами при вершинах В и С. Сами вершины Л, В, С и О
располагаются на четырех параллельных прямых, удаленных друг
от друга (точнее, от соседней прямой) на одно и то же расстояние;
они изображены штриховыми линиями. Пусть ВЕ—дуга окружнос-
ти с центром в точке А, РА — дуга окружности с центром О, ЕЕ' —
четверть дуги Ей. Обозначтл АР ВСЕ через 5, и пусть 5' — образ 5
при повороте вокруг Л, при котором Е переходит в Е'. Тогда прото-
тип мозаики, ограниченный 5, 5' и ЕЕ', обладает свойством 8-замы-
кания, как видно из нижнего рисунка. При значениях г, отличных
от 8, построение проводится аналогично, только точка Е' выбирает-
ся так, чтобы дуга ИЕ по длине была в [(1/2) (Н~1)] раз больше дуги
ЕЕ'.
дерберга мы назовем 2-замыканием. Обобщая, можно на-
звать фигуру Р обладающей свойством г-замыкания, если
две ее копии образуют замкнутое кольцо вокруг облас-
ти, совпадающей с объединением ее г неперекрывающих-
ся копий. Замечательно, что обладающие свойством г-
замыкания фигуры существуют при сколь угодно боль-
ших г. Построить фигуры со свойством /--замыкания при
247
любом г можно так, как показано на рис. 27. вдюзио'эт
фигуры не позволяют ответить на следующий (по-види-
мому, не очень трудный) вопрос-
Проблема 10. Существует ли фигура Я, обладающая
свойством г-замыкания (г^З) и реализующаяся как про-
тотип мозаики на плоскости?
Рис. 28. Спиральная мозаика Фодерберга. В ней использован такой
же прототип, как и в мозаике на рис. 26.
В своей статье Фодерберг заметил, между прочим,
что предложенный им элемент допускает «спиралевид-
ную» мозаику (рис. 28). Необычная мозаика вызвала
значительный интерес. В январе 1977 г. Мартин Гард-
нер опубликовал рисунок спирали Фодерберга с ком-
ментариями Майкла Гольберга, объяснявшего, как по-
строена такая мозаика. Из метода построения было ясно,
что спиралевидность мозаики не имеет отношения к
свойству замыкания. Кроме того, оказалось нетрудным
найти многие другие элементы, также допускающие спи-
ральные мозаики.
Однако все спирали, построенные по методу Гольбер-
га, обладали четным числом рукавов, т. е. рядов эле-
248
Рис. 29. Моноэдрические спиральные мозаики с тремя рукавами и с
одним рукавом. Соответствующий прототип получил название «гиб-
кий».
ментов, раскручивающихся от центра наружу. Недавно
удалось обнаружить спирали с нечетным числом рука-
вов. Примеры таких спиралей показаны на рис. 29. Фи*
гура, использованная в этих спиралях, была названа
Рис. 30. Орнаментальная спиральная мозаика, использующая тот
же прототип, что и спирали на рис. 29.
«гибкой», так как она реализуется в большом числе дру-
гих необычных мозаик (рис. 30). Однако осталось не-
сколько нерешенных проблем. Например, на рис. 29 мож-
но заметить, что половина копий прототипа зеркально-
симметрична другой половине. Всегда ли так будет?
Проблема 11. Существует ли моноэдрическая спи-
ральная мозаика с нечетным числом рукавов, выложен-
ная только из собственных (но не зеркальных *) копий
прототипа?
* Две плоские фигуры называются собственно равными, если
их можно совместить с помощью собственного движения (перенос,
поворот), т. е. без переворачивания плоскости, и зеркально равными,
если они совмещаются зеркальным движением (осевая симметрия,
скользящая симметрия).— Прим. ред.
250
Нельзя не упомянуть и о том, что спиральные мозаи-
ки при всех их эстетических достоинствах с математи-
ческой точки зрения обладают существенным недостат-
ком: до сих пор так и не ясно точно, что же такое
спиральная мозаика — является ли это понятие матема-
тическим или оно принадлежит к разряду чисто эстети-
ческих категорий? Поэтому мы заканчиваем нашу статью
проблемой, более пригодной для общего обсуждения, чем
для математического исследования:
Проблема 12. Дайте точное определение спиральной
мозаики.
Литература и краткие рекомендации
к дальнейшему чтению
Помимо статей Мартина Гарднера, упоминавшихся в тексте,
представляют интерес следующие книги и статьи, которые мы распре-
делили по разделам нашей статьи.
Введение, Опубликовано несколько альбомов М. К- Эшера. На-
иболее полным собранием его работ считается издание ТЬе и'огЫ о^
М. С. ЕзсЬег (№>у Уогк, АЪгатз, 1971). Очень интересно об-
суждение творчества Эшера, и в частности его мозаик в книге:
Егп$1 В. ТЬе Ма^'с ЛМггог о* М. С. ЕзсЬег (Ые>у Уогк, Рапйот
Ноизе, 1976).
Теоретико-групповому анализу мозаик Альгамбры посвящена
работа: МйНег Е. ОгиррепШеогеИзсЬе Огпатеп*е аиз с!ег АШатЬге
т Сгепас1а (2йпсЬ, ЕТН 015зегЫюп, 1944). Работа Кеплера «Гар-
мония мира», первое издание которой вышло в 1619 г. в Линце, вос-
произведена в полном собрании трудов Кеплера, изданном под ре-
дакцией М. Каспара (Кер1ег Л. СезаттеИе Шегке, Вапё VI, Мйп-
сЬеп, Веек, 1940). Оригинал работы Кеплера написан по-латыни.
М. Каспар опубликовал также немецкий перевод «Гармонии мира»
(Кер1ег Л. МеЙЬаптюшк, МйпсЬеп, ОЫепЬиг^, 1967).
1. Три типа шестиугольников, реализуемых в плоских мозаи-
ках, были найдены К. Рейнхардтом в его диссертации «О разбие-
нии плоскости на многоугольники», представленной в 1918 г. Франк-
фуртскому университету (Ье1р21&, Козке, 1918). По поводу результа-
тов Кершнера о разбиении плоскости на пятиугольники см. КегзсЬ-
пег К. В. Оп рауш& 1Ье р1апе, Атепсап Ма1ЬетаИса1 Моп1Ыу,
75, 1968, рр. 839—844. Наш список пятиугольников базируется на
работе: ЗсЬаНзсЬпе^ег О. ТШп§ 1Ье р1апе >уйп соп^гиеп! реп1а&опз,
МаШетаИсз Ма§[а2те, 51, 1978, р. 29—44. В том же журнале Ма1Ье-
таИсз Ма&агше, 51, 1978, р. 312 М. Д. Хиршхорн и Д. Ч. Хант сде-
лали предварительное сообщение о том, что список равносторонних
пятиугольников полностью завершен.
2. Различные проблемы, связанные с Аморфными мозаиками,
рассмотрены в работе авторов: Ра1сН-(1е1ептипес1 Шт^з, Ма^ЬетаМсз
ОагеИе, 61, 1977, р. 31—38; пример Харборта приведен в его статье:
251
РгезспЬес! питЬегз оГ Шез ап<1 Шт§5, МаШета(1са1 Оагеие, 61.
1977, р. 296—299.
3. Знаменитые проблемы Гильберта были изданы на английском
языке еще в 1902 г. и переизданы в комментированном издании:
Ма1петаиса1 Оеуе1ортеп1з Апзт^ [гот НПЬег! РгоЫетз, Ргос.
5утр. Риге Ма1Ь., 28 (Атег. Ма1Ь. 5ос., РгоуМепсе, Р. I., 1976)*.
Книга Хееша и Кинцле, о которой шла речь,— НеезсЬ ипё Юепгк,
ПасЬепзсЬий, ВегПп — 06Шги|еп — Не1с1е1Ьег&, 5рпп&ег-Уег1а#,
1963. По поводу последних результатов, касающихся изоэдрических
мозаик, см. СгйпЬаит В., 5ЬерЬагс1 О. С. ТЬе е1*§Му-опе 1урез о!
15оЬес1га1 1Шп§з т 1Ье р1апе, Ма1Ь. Ргос. СаглЬпо^е РЬП. 5ос.,
82, 1977, р. 177—196.
4. Доказательство теоремы о расширении будет приведено в упо-
минаемой ниже книге авторов настоящей статьи. Проблема Хееша
поставлена в книге: НеезсЬ, Ке§и1агез РагкеШегип^зргоЫет, КбГгг —
Ор1ас1еп, Шез1аеи1зсЬег-Уег1а2, 1968.
5. Теории апериодических элементов посвящена статья: КоЫп-
50п К; М. Шс1ес1с1аЫП1у ап(1 попрепосНсИу о! Шт&з о\ 1Ье р1апе,
1пуеп11опе5 Ма1Ь., 12, 1971, р. 177—209, а также работы: Репгозе К,.
ТЬе го1е о! аезШеИсз т риге апё аррПео* та1ЬетаИса1 гезеагсЬ,
Ви11Лпз1. Ма*Ь. Арр1., 10, 1974, рр. 266—271; Реп1ар1ехЛу, Еигека,
39, 1978, рр. 16—22. Наиболее современный обзор по апериодическим
мозаикам содержится в статье Мартина Гарднера, упоминавшейся
в тексте. Более подробное изложение приведено в книге авторов, ко-
торая вскоре должна выйти из печати. Связь между апериодичностью
и проблемой существования мозаики рассмотрена в статье Робинсона,
а также в работе: \\1ап& Н. Ргоуш^ 1Ьеогетз Ьу раНегп гесо§ш1юп
II, ВеН 5уз1етз ТесЬп. Лоигп., 40, 1961, р. 1—42.
6. Результаты Фодерберга изложены в егр статьях: 2иг 2ег1е-
&ипд о!ег 11т&еЪип& етез еЬепеп Веге1сЬез т коп#гиеп1е, ЛаЬгез-
Ьег. Оеи1зсЬ. Ма1Ь. Уегет., 46, 1936, 5. 229—231; 2иг 2ег1е§ипе с!ег
ЕЬепе т коп§гиеп!е ВегеюЬе т Рогт етег 5р1га1е, \Ъ\й., 47, 1937,
5. 159—160. Принадлежащее Гольдбергу объяснение структуры спи-
ральных мозаик опубликовано в статье: «Сеп1га11еззе1а11ол5», 5спр1а
Ма1Ь., 21, 1955, р. 253—260. Спиральным мозаикам посвящена и
краткая статья авторов: 5р1га1 1еззе1аиоп5 ало! уегзаШез, Ма1Ьета-
*1С5 ТеасЬт^, 88, 1979, р. 50—51.
Мы указали здесь лишь малую долю обширной литературы по
мозаикам на плоскости. Более подробную информацию и обширный
перечень проблем вы сможете найти в книге авторов: ТПш^з апс1
РаНегпз, которая вскоре выйдет в свет (\У. Н. Ргеетап апй Со.,
5ап Ргапс|зсо).
* См. также (комментированное) русское издание: Проблемы
Гильберта.—М.: Наука, 1969.— Прим. ред.
252
3.5. Ангелы и демоны
Л С. М. Коксетер
Около сорока лет назад (в 1936 г.) Абрахам Синков
и я написали сходные статьи о группах, задаваемых пе-
риодами двух образующих элементов (двух генераторов)
5 и Т иих коммутатора 8-гТ-г8Т (см. [1] и [12]), не
подозревая о том, что через двадцать лет М. К. Эшер
(сам того не зная) независимо от нас придет к таким груп-
пам и использует их как группы симметрии резных
шаров и четырех других художественных орнаментов
([19], рис. 112, 115, 226, 235, 244, 247; [11], р. 18). Эти
работы воспроизведены в моей статье с разрешения Фонда
Эшера Гаагского городского музея.
Орнаменты на евклидовой плоскости
На обоях обычно основной мотив (основной элемент,
раппорт) монотонно повторяется, причем повторы идут
в двух независимых направлениях, т. е. порождаются
двумя (параллельными) переносами, что соответствует
группе симметрии р1. Теоретически более интересный
орнамент можно было бы получить с помощью других
операций симметрии, например центральной симмет-
рией (полуоборота), переворачивающей раппорт «вверх
тормашками», т. е. так, как латинская буква я получается
из Ь, или осевой симметрией (зеркальным отражением),
меняющей местами правое и левое (т. е. так, как латин-
ская буква Ь преобразуется в с1 или р). Центральная сим-
метрия — это поворот с периодом 2, но мы можем также
воспользоваться поворотами с периодами 3, 4 или 6.
Комбинируя все эти «изометрии» всеми возможными спо-
собами, Е. С. Федоров доказал в 1891 г., что сущест-
вует семнадцать (и только семнадцать) плоских групп
симметрии на плоскости, включающих параллельные
переносы в двух разных направлениях. Одиннадцать из
этих семнадцати групп симметрии задолго до Федорова
были интуитивно открыты безымянными мавританскими
253
Рис. 1. Эскиз Эшера к работе «Ангелы и демоны».
мастерами, создавшими великолепные мозаики Альгамб-
ры. Некоторые из этих одиннадцати и пять дополнитель-
ных групп симметрии используются в росписи гончар-
ных изделий, тканей и в плетении корзин, изготовлен-
ных племенами бакуба и бенин в Африке (на юге Сахары)
[61, [7]. Последняя оставшаяся из 17 групп симметрии
плоскости, обозначаемая р31т, встречается в китай-
ском орнаменте ([10], р. 40, Р1а*е 11.1).
Орнаменты Эшера более выразительны, так как в
качестве основных мотивов (раппортных элементов) ху-
дожник использует фигурки людей или животных, по-
догнанные столь хитроумно, что они покрывают всю
плоскость без малейшего зазора. Например, на рис. 1
каждая точка плоскости занята изображением либо ан-
гела, либо демона, либо линии, отделяющей одну фигу-
254
ру от другой. Группа симметрии орнамента, мысленно
продолженного так, чтобы он заполнил всю плоскость,
включает «четвертьобороты» (повороты на четверть пол-
ного угла — на угол л/2,— или повороты с периодом 4);
центрами таких четвертьоборотов являются все точки,
в которых концы крыльев четырех ангелов смыкаются с
концами крыльев четырех демонов. Орнамент перехо-
дит в себя и при зеркальных отражениях относительно
некоторых вертикальных и горизонтальных прямых; его
переводят в себя, разумеется, также и всевозможные
произведения поворотов и отражений. Все это можно
выразить более кратко: группа симметрии орнамента по-
рождена одним поворотом 5 периода 4 и одним отраже-
нием Т периода 2. Например, если Т — отражение от
одного из вертикальных зеркал, а 5 — четвертьоборот
с центром, расположенным ближе всего к этому зеркалу,
то 5 преобразует Т в отражение 7,1=5~1Г5 от одного
из горизонтальных зеркал. Степени 5* (6=0, 1, 2, 3)
поворота преобразуют Т в отражения 3~кТЗк относи-
тельно сторон квадрата.
Повороты 5* образуют циклическую группу С4 по-
рядка 4, порожденную элементом 5. Два отражения Т
и 7\ порождают диэдрическую группу Э2 порядка 4,
внутри которой произведение ТХТ порождает цикличес-
кую подгруппу С2 (так как полуоборот ТгТ имеет пе-
риод 2).
Соотношения
54=1 и Т1=Т*= (№)*=! (1)
служат абстрактными определениями, или образующими
соотношениями соответственно групп С4 и /?2 в том
смысле, что любое соотношение, которому удовлетво-
ряют образующий элемент 5 или два образующих эле-
мента 7\ и Т группы 02, является алгебраическим след-
ствием соотношений (1). Полагая Т1=5~ХТ5, мы легко
получим образующее соотношение
8* = Т2=(8~ХТ8Т)2=1
бесконечной группы, порожденной поворотом 5 и отра-
жением Т.
Эта бесконечная группа р4й (15], с. 74) есть частный
случай [4+, 4] группы [/+, 2р] с образующими соотно-
255
шениями
81=Т2=(8~1Т8Т) (/>2, /7=1). (2)
Здесь 5 — поворот с периодом / (т. е. поворот на угол
2&11), Т — отражение от зеркала, расположенного так,
что произведение 7\7\ где Г1=5"1Г5, имеет период р.
Иначе говоря, степени поворота 5 преобразуют зерка-
ло— ось симметрии Т — в стороны правильного /-
Рис. 2. Фрагмент двойственных разбиений плоскости {3,6}(жирные
линии) {6, 3} (тонкие линии).
угольника, и угол между двумя соседними сторонами
(между зеркалами, являющимися осями отражений Т и
7\) равен л/р. Следовательно группа [/+, 2р] отвечает
простейшей правильной мозаике — разбиению плоско-
сти на правильные /-угольники, причем вокруг каждой
вершины разбиения группируются по 2р таких /-уголь-
ника. Подобное разбиение плоскости принято обозначать
символом {/, 2р) ([5], с. 148). Например, {4, 4} — обыч-
ное разбиение плоскости на конгруэнтные квадраты (бу-
256
мага «в клеточку»). Евклидова плоскость допускает еще
только одно разбиение {3, 6}, показанное жирными ли-
ниями на рис. 2.
На кристаллографа Мак-Джиллаври([ 11], рис. 8) про-
извел сильное впечатление тот факт, что Эшер заново
открыл почти все федоровские группы симметрии на плос-
кости, пропустив, однако, как и африканские мастера,
группу р31т = [3+, 6] (ошибочно обозначенную рЗт1
В работах [3], с. 411, и [5], с. 199). По просьбе Мак-Джил-
лаври Эшер восполнил этот пробел, создав «мозаику»
из красных пчел и желтых ос (фото IV). На этой мозаике
границы областей лежащего в ее основе разбиения {3,6}
служат осями симметрии насекомых. Под прямыми уг-
лами к границам этого разбиения проходят границы об-
ластей двойственного разбиения {6, 3} (на рис. 2 они
показаны тонкими линиями), вершины которого распо-
лагаются в точках, где «локти» трех пчел соприкасаются
с «локтями» трех ос. Образующим элементом 5 группы
[3+, 6] служит поворот на угол 2я/3 вокруг каждой из
таких точек. Нетрудно проверить, что выполняются об-
разующие соотношения
83=Т2=(Т1ТУ=1У
где Г1=5~1Г5.
Смысл обозначения [/+, 2р] можно расширить так,
чтобы оно охватывало и случаи [2+, оо] и [оо+, 2] как
пятую и шестую из семи групп фризов ([3], с. 83). Груп-
па [2+, оо], порожденная полуоборотом и зеркальной
симметрией, есть группа симметрии синусоиды и фриза
Группа [оо + , 2], порожденная параллельным переносом
и отражением (параллельный перенос происходит в на-
правлении, параллельном плоскости зеркала), есть груп-
па симметрии фриза
. . .ОЭООО. . . .
Резные шары
Более интересное обобщение евклидовых разбиении
возникает, если обычную евклидову плоскость заменить
неевклидовой -— сферой или гиперболической плоско-
стью.
9 д-, 1 136
257
Рис. 3. Работа Эшера «Шар с рыбами».
Поверхность сферы можно рассматривать как плос-
кость, на которой роль прямых играют дуги больших кру-
гов. Эта идея встречается у Абу-ль-Вафы (940—998 гг.)
([13], р. 352-357). Поворот сферы вокруг диаметра рас-
сматривается как поворот вокруг любой из двух то-
чек, в которых этот диаметр «прокалывает» поверхность
сферы. Вписанный в сферу правильный тетраэдр {3, 3}
симметричен относительно поворотов периода 3 с
центрами в вершинах тетраэдра. Эти повороты порож-
дают тетраэдрическую группу порядка 4, обозначаемую
Л4, так как она является знакопеременной группой по-
рядка 4 — группой четных перестановок четырех вер-
шин. В ту же сферу можно вписать еще четыре тетраэдра
так, что все множество из 20 вершин будет принадле-
жать правильному додекаэдру {5, 3} ([5], с. 57). Присо-
единяя к Л4 поворот периода 5, мы получаем икоса-
эдрическую группу порядка 60, обозначаемую Л5, так
как она является знакопеременной группой порядка 5,
группой четных перестановок пяти тетраэдров.
258
Рис. 4. Многогранник с цветами.
Эшер создал резные шары с группами симметрии Л4
(рис. 3) и Аъ (рис. 4). Цветы на втором шаре расположе-
ны по спирали, как у вьюнка. Концы лепестков находят-
ся в вершинах додекаэдра. В основе этой резьбы лежит
многогранник, составленный из пяти тетраэдров, о ко-
тором мы уже упоминали (рис. 4А). Его принято обо-
значать {5,3} [5{3,3}1 {3,5}, так как двадцать его
вершин принадлежат додекаэдру {5, 3}, а двадцать гра-
ней лежат в тех же плоскостях, что и грани двойствен-
ного икосаэдра.
Более непосредственное отношение к интересующей
нас группе [/+, 2р] имеет другой резной шар Эшера
9*
259
Рис. 4А. Пять тетраэдров. Рисунок Дж. Ф. Петри.
(рис. 5), симметричный относительно поворота 5 пе-
риода 3 с центром в любой из точек, в которых концы
крыльев трех ангелов соприкасаются с концами крыль-
ев трех демонов. Этот шар симметричен также относи-
тельно отражения Т в зеркале, плоскость которого сов-
падает с любой из трех взаимно перпендикулярных плос-
костей. Таким образом, 5 и Т порождают группу [3+, 4] —
и отвечающее этой группе разбиение сферы {3, 4} есть
октаэдр, гранями которого служат сферические тре-
угольники, высекаемые на сфере тремя плоскостями сим-
метрии. Группу [3+, 4] иногда называют пиршпоэдри-
ческой, поскольку она является также группой симмет-
рии кристаллов пирита, имеющих форму не вполне
правильных додекаэдров. С чисто математической точки
зрения эта группа порядка 24 есть прямое произведение
Л4хС2 ([5], с. 63). Действительно, перестановки
8=(аЬс), Т=(аЬ) (ей) (<?/),
260
Рис. 5. Шар с ангелами и демонами.
порождающие прямое произведение группы Л4 с обра-
зующими
(аЬс)=8, (аЬ) (сй) = 8Т8Т8
и циклической группы порядка 2 с образующей
(е[) = (8Т)\
удовлетворяют образующим соотношениям
8^=Т2=(8-1Т8Т)2=1.
Для полноты упомянем также тривиальные группы
[2+, 2р]~02/, и [/+, 2\~С1хСг
261
(порядков 4р и 2/), напоминающие группы [2+, оо] и
[оо + ,2], с тем, однако, различием, что фризы на этот раз
навернуты на цилиндр. Иначе говоря, [2+, 2р] — группа
симметрии р-угольной антипризмы ([3], с. 223).
Предельные окружности
В 1958 г. я послал Эшеру оттиск статьи, в котором
была приведена схема, аналогичная изображенной на
рис. 6. В ответном письме Эшер писал: «[Присланная
Рис. 6. Фрагмент двойственных разбиений {4, 6} (жирные линии) и
{6, 4} (тонкие линии).
Вами] иллюстрация поразила меня. Дело в том, что я
уже давно интересуюсь орнаментами, раппорты которых
непрерывно убывают, покуда не достигают предела, ста-
новясь бесконечно малыми. Строить такие орнаменты
сравнительно просто, если пределом служит точка в
центре орнамента. Не нсва для меня и предельная пря-
мая, но мне никогда не удавалось построить орнамент,
в котором раппорты постепенно убывали бы от центра
к внешней предельной окружности, как на вашем ри-
сунке. Я попытался понять, как геометрически была
262
построена изображенная на нем фигура, но смог найти
только центры и радиусы наибольших внутренних ок-
ружностей. Не могли бы Вы объяснить мне, как строят-
ся последующие окружности, центры которых постепенно
сближаются извне, пока не доходят до предела? Я был
бы необычайно признателен Вам за такое объяснение. Су-
ществуют ли другие системы окружностей, также стре-
мящихся к предельной окружности?»
Я сообщил Эшеру, что {4, 6} и {6, 4} — лишь два
из бесконечно многих правильных разбиений {р, <7)>
состоящих из тщательно пригнанных конгруэнтных пра-
вильных р-угольников (по ц «штук» вокруг каждой вер-
шины разбиения). Если р и ^ слишком велики для то-
го, чтобы разбиение существовало на сфере или на плос-
кости, необходимо взять гиперболическую поверхность,
на которой внутренние углы при вершинах правиль-
ного р-угольника меньше. В одной из моделей Пуанкаре
«прямыми» на гиперболической поверхности служат дуги
окружностей, ортогональные предельной окружности ^,
проведенной на плоскости. Углы в этой модели пере-
даются точно, а расстояния искажаются. Точки предель-
ной окружности Й соответствуют бесконечно удаленным
точкам. Хотя правильные четырехугольники на рис. 6,
образованные жирными линиями, «постепенно убывают
от центра к внешней предельной окружности», мы по-
стигнем самый дух гиперболической геометрии, если,
напрягая наше воображение, попытаемся представить
себе, что все эти четырехугольники правильные и кон-
груэнтны между собой.
В записных книжках Эшера сохранились эскизы, по-
казывающие, с каким упорством он пытался усвоить
идеи гиперболической геометрии, прежде чем ему уда-
лось создать «Предельную окружность IV» (рис. 7) с
группой симметрии (понимаемой в смысле гиперболи-
ческой геометрии) [4+, 6]:
3' = Т2=(5-1Т8Т)3=\.
Образующим элементом 5 здесь (как и на рис. 1) служит
поворот на четверть окружности вокруг одной из точек,
в которых концы крыльев четырех ангелов соприкасают-
ся с концами крыльев четырех демонов, т. е. поворот
относительно одной из вершин разбиения {6, 4} (тонкие
линии на рис. 6). Другим образующим элементом слу-
263
Рис. 7. Работа Эшера «Предельная окружность IV».
жит отражение относительно одной из жирных линий на
рис. 6 (каждая такая линия составлена из бесконеч-
но многих сторон элементарных областей разбиения
{4, 6}). Если зеркалом для Т служит одна из прямых,
проходящих через центр, то 5 преобразует эту прямую
в одну из дуг, проведенных жирными линиями, и гипер-
болическое отражение Т1=5~1Г5 исполняет в модели
Пуанкаре роль инверсии относительно окружности, ко-
торой принадлежит эта дуга. Рис. 7 отличается от рис. 1
тем, что поворот ТгТ (относительно точки, в которой
соприкасаются ноги трех ангелов) имеет период 3, а
не 2, как ранее.
В «Предельной окружности II» (рис. 8) Эшер исполь-
зовал аналогичную группу [3+, 8], представляющую не
меньший математический интерес, хотя Бруно Эрнст
264
Рис. 8. Работа Эшера «Предельная окружность II».
шутливо отверг ее ([8], р. 109). Вершины разбиения
{3, 8} (рис. 9), лежащего в основе всей композиции, распо-
ложены в центрах крестов. Точки, в которых соприка-
саются области трех различных цветов, будучи центра-
ми треугольных областей разбиения {3, 8}, являются
вершинами двойственного разбиения {8, 3} ([41, р. 23,
рис. 5). В то же время центры крестов одного цвета слу-
жат вершинами разбиения на четырехугольники {4, 8}.
(На рис. 9 вершины разбиения {3, 8} изображены круж-
ками: черными, белыми или с черной точкой внутри в
зависимости от того, соответствуют ли они черным, бе-
лым или серым кружкам.) В этом смысле можно утверж-
дать, что Эшер предвосхитил мое открытие правильного
составного разбиения {3, 8} [3{4, 8}] 2{8, 3} ([2],
рр. 156—167), содержащего суперпозицию из трех раз-
биений {4, 8}, вершины которых совпадают с вершинами
265
Рис. 9. Фрагмент двойственных разбиений {3, 8} (жирные линии) и
{8, 3} (светлые линии).
одного и того же разбиения {3, 8}, а центры элемен-
тарных областей совпадают с центрами элементарных
областей двойственного разбиения {8, 3} (каждый центр
области двойственного разбиения используется дважды).
Заключение
Для любых двух целых чисел / и р(/>2, р>\) су-
ществует группа [/+, 2/?], порожденная поворотом 5 пе-
риода / и отражением Т периода 2, коммутатор которых
5~1Г5Г есть поворот периода р. Разбиение с группой
симметрии [/+, 2р] осуществляется на эллиптической
плоскости (на сфере), на евклидовой плоскости или
на гиперболической плоскости (плоскости Лобачевского)
в зависимости от того, будет ли число (/—2) (р—I)
меньше 2, равно 2 или больше 2. Конечная группа
[3+, 4] (порядка 24) есть группа симметрии построения
Эшера «Шар с ангелами и демонами». Он использовал
также две евклидовы группы [4+, 4] и [3+, 6]. Интересно,
266
что из бесконечно многих гиперболических групп
[/+, 2р] с (1—2) (р—1)>2 Эшер инстинктивно выбрал две
простейшие: [4+, 6] и [3+, 8],
1. Сохе^ег, Н. 5. М. 1936. ТЬе ^гоирз с1е1епгипес1 Ьу геЫюпз 5'=
=Тт = (3-1Т-18Т)Р=\. Вике МаИг. 1оигпа1. 2: 61—73.
2. — » — 1964. Не^и1аг сотроипй {еззеЫюпз оГ 1Ье ЬурегЪоНс р1а-
пе. Ргос. Яоуа1 Зое. Ьопйоп А 278: 147—167.
3. — » — 1969. 1п1гос1ис1юп 1о Оеоте1гу. 2п(1 её. Ые>у Уогк: ШПеу;
Коксетер Г. С. М. Введение в геометрию.— М.: Наука, 1966.
4. — » — 1979. ТЬе лоп-ЕисНс1еап зутте1гу оГ ЕзсЬег'з р1с!иге
«С1гс1е Ыгш1 III». ЬеопагЛо 12: 19—25, 32.
5. —»— апс1 Мозег, XV. О. Л. 1980. Оепега1огз апс! КеЫюпз Гог
01зсге1е §гоирз Зге! ес1. Вег1т: Зрпп^ег; Коксетер Г. С. М., Мо-
зер У. О. Дж. Порождающие элементы и определяющие отноше-
ния дискретных групп.— М.: Наука, 1980.
6. Сго\уе, О. XV. 1971. ТЬе &еоте1гу о! АГпсап аг1 I. 3. Сеот. 1:
169—182.
7. —»— 1975. ТЬе &еоте1гу о! А!псап аг1 II. ИЫопа Ма1Н. 2:
253—271.
8. Егпз1, Вгипо. 1976. ТЬе Ма^^с М1ггог о! М. С. ЕзсЬег. Ые>^ Уогк:
Капйот Ноизе.
9. ЕзсЬег, М. С. 1971. ТЬеАУогЫ о!М. С. ЕзсЬег. Ые^Уогк: АЬгагпз.
10. Ре]ез То1Ь, Ь. 1964. Не^и1аг р1^игез. Ые\у Уогк: Рсг&атоп.
11. МасОШаугу, СагоПпе. 1976. Рап1азу ап(1 5утте1гу — ТЬе Ре-
посНс Огачут&з оГ М. С. ЕзсЬег. №\у Уогк: АЬгатз.
12. Зткоу, АЬгаЬат. 1936. ТЬе Огоирз Ое1егттес1 Ьу 1Ье КеЫюпз
81=Тт=(8-1Т-18Т)Р=\. Вике МаШ. ЗоитпаЬ 2: 74—83.
13. ХУоерке, Р. 1855. КесЬегсЬез зиг ГЫзкиге ёез заепсез таШета-
Х1циез сЬег 1ез опегйаих, (Гаргёз ёез {гаНёз тё<Шз агаЬез е1
регзапз. /. Аз1аИдие 5: 309—359.
4. Мозаики в пространстве
4.1. Задачи по упаковке и неравенства
Д. Дж. Гофман
Земельные угодья, имеющие в плане форму квадрата
со стороной 15 миль, требуется разделить на четыре
прямоугольных участка размером 7x8 кв. миль каждый.
Как это сделать? (Попробуйте решить задачу самостоя-
тельно, прежде чем посмотрите в ответ, данный на
рис. 1, а).
Заметим, что площадь угодий составляет 152=225 кв.
миль, а площадь каждого участка 56 кв. миль. Следо-
вательно, после того, как участки будут нарезаны,
останется 225—4 (56) = 1 кв. миля «ничейной» земли.
Рассмотрим более общую задачу. Пусть х и у — по-
ложительные числа. Можно ли нарезать четыре прямо-
угольных участка площадью хХу кв. миль каждый из
надела, имеющего в плане форму квадрата со стороной
х+у миль? На этот раз площадь угодий составляет
(х+у)2 кв. миль, а площадь каждого участка ху кв.
миль. Чтобы задача была разрешима, необходимо,
чтобы выполнялось неравенство
4ху^(х+уУ (1)
— ведь суммарная площадь четырех участков не может
превышать площади надела.
Эта более общая задача всегда имеет решение, и я не
сомневаюсь, что вы нашли его, если решили первую
задачу, отвечающую значениям д;=7 и у=8. Решение
первой задачи показано на рис. 1, ау а варианты решений
более общей задачи в зависимости от относительных
размеров х и у — на рис. 1, б — г.
Среднее арифметическое (или просто среднее) двух
чисел х и у равно их полусумме: СЛ.= (1/2)(х+у).
268
Существует другое среднее чисел х и у, которое при
положительных х и у также используется. Оно назы-
вается средним геометрическим чисел х и у и равно
квадратному корню из их произведения: С.Т. = \^ху.
8
7
У
х
х = 7
дг<у
X
X
У
X
л=у
л>у
Рис. 1.
Например, если х=у, то С. А.= (1/2)(х+у)=х и С. Г.=
= \/гхх=х. Следовательно, при х=у оба средних —
арифметическое и геометрическое — совпадают. Но если
х=4, г/= 16, то С. А. = 10, а С. Г.=8. Оказывается, что
среднее геометрическое всегда меньше среднего арифме-
тического или в крайнем случае равно ему, т. е.
Уху^±
(х + У)>
(2)
269
Неравенство (2) легко доказать, используя приве-
денную ранее задачу о четырех участках земли. Как
показано на рис. 1, эта задача разрешима, следова-
тельно, должно выполняться неравенство (1). Извлекая
из обеих частей неравенства (1) квадратный корень,
получаем неравенство Я^ху^х+у, которое переходит
в (2), если обе части разделить на 2.
Задачи, в которых те или иные предметы требуется
разместить в заданном контейнере, называются задачами
об упаковках. Они хорошо известны всем, кто читал
статьи и книги Гарднера, любителям занимательной
математики, а также... контрабандистам.
Суть приведенного нами примера состоит в том, что
любое решение задачи об упаковке сводится к доказа-
тельству какого-нибудь неравенства: если все предметы
разместились в контейнере, то их суммарная площадь
(или суммарный объем) не превосходит площади (объ-
ема) контейнера. А что если поступить наоборот, т. е.
начать с какого-либо неравенства, о котором мы знаем,
что оно верно, и попытаться превратить его в какую-
нибудь занимательную задачу об упаковке? Приведем
пример такого рода.
Среднее арифметическое трех чисел х, у и г равно
одной трети их суммы: С. А. = 1/3(х+у+г). Среднее
геометрическое трех положительных чисел х, у и г
равно кубическому корню из их произведения: С. Г.=
= у' хуг.
Неравенство (2), доказанное нами для двух чисел,
справедливо и для трех чисел:
Уяр<ъ(х + у + г). (3)
Чтобы превратить это неравенство в задачу об упаковке,
умножим обе части на 3 и возведем в куб, т. е. преоб-
разуем неравенство (3) к виду
27хуг< (х+у+г)\ (4)
Произведение хуг — это объем «кирпича» размерами
хХуХг, а (х+у+г)3— объем куба с ребром длиной
х+у+г. А теперь задача об упаковке:
Войдут ли 27 одинаковых кирпичей, каждый из кото-
рых имеет размеры хХуХг, в кубический ящик с ребром
длиной х+у+г?
270
Разумеется, если эта задача об упаковке имеет ре-
шение, то оно доказывает, что неравенства (4), а следо-
вательно, и (3) действительно выполняются.
Мы уже упоминали о том, что неравенство (3) спра-
ведливо при любых положительных числах х, у и г.
Однако само по себе это еще не гарантирует, что кир-
пичи удастся уложить в ящик: мы можем лишь утверж-
дать, что суммарный объем кирпичей не превосходит
объема ящика. (Объем моей удочки для рыбной ловли
меньше объема моего портфеля, но уложить удочку в
портфель мне все равно не удастся!)
Возможно, что, дочитав до этого места, вы захотите
изготовить набор из 27 кирпичей и попытаться решить
задачу об упаковке «экспериментально», а не теорети-
чески. Позволю себе дать вам несколько советов отно-
сительно выбора размеров х, у и г. Дело в том, что при
многих значениях х, у и г задача об упаковке решается
слишком просто. Например, смешно выбирать х=у=\>
г= 100: 27 кирпичей размерами 1 X 1 X 100 см войдут
в ящик, имеющий форму куба с ребром длиной 102 см,
да еще останется столько свободного места, что там
поместится басовая туба *! Другой крайний случай:
х=у=г. Ясно, что 27 кубиков полностью заполнят
ящик. Во избежание таких тривиальных решений все
три размера следует выбрать различными, причем так,
чтобы сумма двух больших размеров была меньше ут-
роенного меньшего размера, т. е. чтобы выполнялись
неравенства
0<х<у<г (5) и у+г<3х. (6)
Если изготовить набор кубиков, нарушив при этом
либо неравенство (5), либо неравенство (6), то найти
решение задачи об упаковке скорее всего окажется
достаточно легко.
Помимо соблюдения неравенства (5) и (6) при выборе
размеров х, у и г следует руководствоваться только
соображениями удобства, сообразуясь с подручными
материалами и инструментами. Ни один набор значений
х, у и г, удовлетворяющих неравенствам (5) и (6), не
* Чтобы оценить выразительность этого примера, напомним
читателю, что басовая туба — это самый большой из духовых ин-
струментов современного симфонического оркестра.— Прим. ред.
271
приводит к задаче об упаковке, которая была бы труд-
нее или легче, чем при любом другом наборе значений,
удовлетворяющих тем же неравенствам; исключение
составляет единственный случай: при у=(1/2)(х+г) за-
дача об упаковке все же может оказаться чуть более
трудной! Возьмем такой пример: лг=4, */=5, 2=6. Вой-
дут ли 27 кирпичей размером 4x5x6 в кубический
ящик размером 15x15x15?
Поверьте, что эта задача об упаковке разрешима.
Более того, от Дж. Г. Конуэя и У. Катлера я узнал,
что существует всего 21 решение, не считая поворотов
и отражений ящика (разумеется, при условии, что
неравенства (5) и (6) выполнены).
Найти решение, по-видимому, трудно. Я потратил
несколько часов, пытаясь решить эту задачу с помощью
карандаша и бумаги. Наконец, отчаявшись, я призвал
на помощь своего друга Дэвида Кларнера, у которого
была мощная пила. По его словам, он стал выпиливать
бруски, складывая их по мере готовности в ящик, и
сразу, не передвигая ни одного бруска, получил ре-
шение, которое приведено ниже. Так Дэвид стал первым
человеком в мире, кому удалось решить мою задачу
(см. фотографии). Впоследствии мне приходилось встре-
чать людей, которые решали эту задачу кто за 20 мин,
а кто за несколько дней. Если вы изготовили комплект
«кубиков» и хотите уложить их в ящик, то это легче
будет сделать по «подсказке», которая на рис. 2 при-
ведена для случая а:=4, у=Ь> г=6. Истинные размеры в
действительности не играют роли: рис. 2 можно исполь-
зовать при любых х, у и г, удовлетворяющих неравен-
ствам (5) и (6) [подобно тому, как рис. 1, б сохраняет
силу при любых х<Су].
Итак, 27 кирпичей уложены в три слоя — по девять
кирпичей в каждом. На рис. 2 показаны поперечные
сечения каждого из этих трех слоев. А теперь попробуем
проанализировать нашу задачу более подробно.
Пусть ху у и г — числа, удовлетворяющие неравен-
ствам (5) и (6). Куб с ребром длиной х+у+г можно раз-
резать на 64 куба с ребрами длиной (1/4)(х+у+г) де-
вятью разрезами (рис. 3, а). Эти девять разрезов опре-
деляют девять плоскостей, которые мы будем называть
выделенными плоскостями (рис. 3, б). Девять выделен-
ных плоскостей распадаются на три семейства, каждое
272
Фото 1
Фото 2
Фото 3 Фото 4
Первым, кто построил набор «кубиков» и сумел уложить их
в, ящик, был Д. А. Кларнер. На снимках вы видите первый комплект
кубиков 7Х 8Х 10 см^. Его укладывает в ящик Карл Кларнер. (Фото
Кары Линн Кларнер.)
из которых содержит три параллельные плоскости.
Средняя плоскость каждого семейства удалена от двух
остальных плоскостей на расстояние (1/4)(х+г/+г), а
каждая из двух крайних плоскостей удалена на рас-
стояние (1/4)(х+у+г) от ближайшей к ней (и парал-
лельной ей) стенки ящика. Любые две непараллельные
Рерхний слой
Средний слой
Нижний слой
Рис. 2
выделенные плоскости пересекаются по прямой. Таким
образом, всего существует 27 линий пересечения выде-
ленных плоскостей, которые мы будем называть выде-
ленными прямыми (рис. 3, в). Любые три попарно непа-
раллельные выделенные плоскости пересекаются в одной
точке. Всего существует 27 таких точек пересечения,
которые мы будем называть выделенными точками
(рис. 3, г).
Предположим теперь, что в наш куб упаковано 27
(л:ХуХг)-кирпичей. Рассмотрим какое-нибудь из трех
274
семейств выделенных плоскостей. Они делят куб на
четыре слоя толщиной (1/4)(х+у+г). Может ли какой-то
(любой) из 27 кирпичей нашей упаковки находиться
целиком внутри одного из этих четырех слоев, удиви-
тельным образом не задетый ни одним из трех прове-
денных ножом разрезов?
м
и
г
1/
и
г
ш
Г ] ш
V.
#
А
/I
I '
I •
I •
I •
I •
Рис. 3. Распиленный куб (а). Девять специальных плоскостей (б).
Двадцать семь специальных прямых (в). Двадцать семь специальных
точек (г).
Так как у+г<3х, то х+у+г<4ху или (1/4)(х+у+
+г)<Сх. Следовательно, уже наименьший из размеров
нашего кирпича х больше толщины (1/4)(д:+у+г) слоя.
В отличие от очаровательной ассистентки иллюзио-
ниста, распиливающего ящик, в котором она сидит, ни
одному кирпичу не удается избежать всех трех парал-
лельных разрезов ножом!
275
Итак, мы доказали, что в нашей упаковке для лю-
бого из 27 кирпичей найдется по крайней мере одна
пересекающая его плоскость в каждом из трех се-
мейств выделенных плоскостей. Но тогда выделенная
точка, в которой пересекаются проходящие через дан-
ный кирпич плоскости из трех различных семейств вы-
деленных плоскостей, должна лежать внутри кирпича.
Рис. 4
Зазоры между «кубиками» на специальной прямой.
Таким образом, мы доказали, что в каждом из 27 кирпи-
чей нашей упаковки находится по крайней мере одна
выделенная точка. Но так как выделенных точек всего 27,
то каждый кирпич содержит внутри себя ровно одну
специальную точку и каждая выделенная точка нахо-
дится внутри ровно одного кирпича. (Заодно мы дока-
зали безнадежность любой попытки втиснуть в куби-
ческий ящик 28 и больше кирпичей: для них просто не
хватит выделенных точек.)
Каждая выделенная прямая проходит через три
выделенные точки. Значит, часть выделенной прямой
лежит внутри трех кирпичей, которым принадлежат
эти три выделенные точки. А могут ли иметься зазоры
между кирпичами подобно тому, как это показано на
рис. 4?
Докажем, что никаких зазоров между двумя кирпи-
чами или между кирпичем и стенкой быть не может.
Подсчитаем, какова суммарная длина отрезков любой
выделенной прямой, лежащей внутри кирпичей (длина
выделенной прямой внутри ящика равна х+у+г).
Пусть / — сумма 27 таких чисел (по одному для каждой
из 27 специальных прямых). Внутри каждого из 27 кир-
пичей лежит одна выделенная точка, через эту точку
проходят три взаимно перпендикулярные выделенные
прямые. Следовательно, каждый кирпич «охватывает»
от выделенных прямых отрезки суммарной длиной не
менее х+у+г, а все кирпичи вместе «проглатывают»
276
длину 27(х+у+г)^.1. С другой стороны, поскольку
внутрь ящика от каждой выделенной прямой попадает
отрезок длины х+у+г, то /^27(х+у+г). Сравнивая
полученные неравенства, получаем 1= (х+у+г). Сле-
довательно, каждая выделенная прямая внутри ящика
проходит целиком внутри трех кирпичей, которые
содержат принадлежащие этой прямой три выделенные
точки — никаких зазоров, показанных на рис. 4, на
I « а ъЛ*+—Ь » « с »
• • •
Рис. 5
выделенной прямой нет. Итак, вдоль каждой выделенной
прямой кирпичи располагаются так, как показано на
рис. 5, где а+Ь+с=х+у+г и каждое из чисел а, Ь и с
совпадает с одним из чисел х, у или г. Так как х<Су<.г,
то равенство может достигаться только в двух случаях:
либо а, Ьу с — некоторая перестановка чисел х, у, г,
либо а=Ь=с=у. В свою очередь второй случай может
иметь место только при условии, если у+у+у=х+у+г,
или у=(\12)(х+г).
Можно доказать, что второй случай (а=Ь=с=у)
полностью исключается. В самом деле, внутри ящика
каждая выделенная прямая делится тремя кирпичами
на три отрезка. Таких отрезков всего 81. В числе этих
отрезков должны быть ровно 27 отрезков длины х,
ровно 27 отрезков длины у и ровно 27 отрезков длины г,
так как каждый из 27 кирпичей высекает на выделенных
прямых по одному отрезку длины х, по одному отрезку
длины у и по одному отрезку длины г. Как было дока-
зано, из трех отрезков каждой выделенной прямой либо
ровно один отрезок, либо все три имеют длину у. Но
всего должно быть 27 отрезков длины у — откуда за-
ключаем, что на каждой выделенной прямой имеется
ровно один отрезок длины у. Следовательно, случай
а=Ь=с=у не может иметь места.
Итак, мы доказали, что каждая из 27 выделенных
прямых в ящике проходит целиком внутри трех кир-
пичей, которые делят ее на три разных по длине отрезка
277
х, у и г. Знать это очень полезно. Например, если вы
пытаетесь решить нашу задачу об упаковке, укладывая
первые девять кирпичей в один слой на дне ящика так,
как показано на рис. 6, то вас неизбежно ожидает не-
удача. Почему?
Следует также знать, что ни одна выделенная пло-
скость не может содержать «углов» подобно тому, как
показано на рис. 7. Действительно, если какой-нибудь
с
в
А
Рис. 6
Рис. 7
кирпич попадает в центр выделенной плоскости, то он
должен упираться как в кирпич Л, так и в кирпич В —
чему препятствует кирпич С. Все эти сведения помогают
решать задачу об упаковке, но, разумеется, на пути к
решению возникает немало других трудностей, тупиков
и ловушек.
Заметим, что каждая из 9 выделенных плоскостей
содержит 9 выделенных точек и, следовательно, пересе-
кает 9 кирпичей. Это означает, что выделенная пло-
скость «забита» 9 прямоугольниками, каждый из которых
имеет либо размер хху> либо размер хХг, либо размер
ухг. Нетрудно доказать, что среди этих 9 прямоуголь-
ников имеются ровно по 3 прямоугольника каждого
размера: ххуу хХг и уХг. Примером может служить
рис. 2. Заодно мы доказали неравенство
3 (ху+хг+уг)^ (х+у+г)\ (7)
так как слева стоит суммарная площадь 9 прямоуголь-
ников, а справа — площадь квадрата, в который они
«упакованы».
278
Если выполняются условия (5) и (6), то с точностью
до поворотов и отражений 3 прямоугольника хху,
3 прямоугольника ххг и 3 прямоугольника ухг можно
упаковать в квадрат со стороной х+у+г ровно 78 спо-
собами.
Неравенства (2) и (3) — частные случаи известного
неравенства, связывающего среднее арифметическое и
среднее геометрическое. Согласно этому неравенству,
если хи х2, . . ., хп — положительные числа, то
{^ЗД ••• Хп<\{*1+Хг+ +*!.)• (8)
Число, стоящее в левой части неравенства (8), называется
средним геометрическим чисел х1У х2, . . ., хп, число,
стоящее в правой части,— их средним арифметическим.
Превратим неравенство (8) в задачу об упаковке.
Для этого умножим обе его части на п и возведем в п-ю
степень:
пп(хг х2 . . . хп)^(х1+х2+. . .+хп)п. (9)
Но х1у х2, . . ., хп — я-мерный объем я-мерного кир-
пича с размерами ххХх2Х. . .Ххп, а (х14-#2+. . .+
+хп)п — я-мерный объем д-мерного куба с ребром дли-
ной (хг+х2+. . -+хп). Итак, войдут ли пп (х±Хх2Х
X. . .хп)-кирпичей в п-мерный куб со стороной Х1+*2+
+ . . .+хп?
Позволю себе заверить читателей, не привыкших
мыслить четырех- и более «мерными» образами: что
вопреки распространенным представлениям, размышле-
ния над многомерными задачами, если не увлекаться
ими чрезмерно, наш мозг переносит без особого ущерба.
Попытаюсь убедить вас в этом с помощью следующего
краткого пояснения.
Подобно тому как прямоугольник имеет два изме-
рения (длину и ширину), а коробка для обуви — три
измерения (длину, ширину и высоту), /г-мерный «кир-
пич» или «ящик» имеет п измерений х1$ х2у . . ., хп.
Каждое измерение хг — некоторое положительное число.
Обозначим п-мерный «ящик» вектором (х19 х2у . . ., хп).
Например, (3, 5) — прямоугольник 3x5, (4, 6, 2, 6) —
четырехмерный «ящик» 4x6x2x6, (2, 3, 9) и (2, 9, 3) —
обычные трехмерные прямоугольные параллелепипеды
(«ящики») 2x3x9. (В случае одного-единственного из-
279
мерения, т. е. при л=1, (хг) означает отрезок прямой
длиной в хг единиц.)
Мерой вместимости л-мерного «ящика» (х1у х2, . . .,
хп) служит произведение х± х2 . . . хп его размеров.
Оно называется гиперобъемом данного ящика. При п= 1
гиперобъем — это длина, при п=2 — площадь, при
п=3 — обычный объем.
Вопрос, на который, насколько известно, пока не
удалось получить ответ, состоит в следующем:
при каких положительных целых п в п-мерный
куб с ребром длины х1+х2+- . .+хп можно
упаковать пп кирпичей (х1У х2 . . . хп)у
где х1у х2у . . ., хп — любые
положительные числа? (10)
При п=\ проблема тривиальна — ее попросту нет!
Решения при п=2 и п=3 1(х1у х2) и (хъ х2, х3) — любые!]
показаны на рис. 1 и 2. А что можно утверждать при
л>4?
Хочу напомнить читателю, что выполнение неравен-
ства (9) не гарантирует успеха в решении задачи об
упаковке кирпичей в кубический ящик, но и не обрекает
нас на заведомую неудачу. (Если бы неравенство (9)
не выполнялось, то упаковать кирпичи в ящик] было бы
невозможно.)
Назовем размерности я, при которых задача об упа-
ковке допускает решение, хорошими. Например, к числу
хороших принадлежат размерности 1, 2 и 3. Как со-
общил мне Дж. Селфридж, Р. Робинсон доказал сле-
дующую теорему:
если тип — хорошие размерности, то
тп — также хорошая размерность. (11)
В частности, так как 2 и 3 — хорошие размерности,
то 4, 6, 8, 12 и 181398528=210 -З11 — также хорошие
размерности. Следовательно, 44=64 четырехмерных кир-
пича \хг, х2у х3, х4) при любых ЯхХ), *2>0, х3>0, лс4>0
можно упаковать в четырехмерный куб с ребром длины
Х\~\~Х2~т~-^зч %\'
Возможно, что все положительные размерности п—
хорошие. Если это так, то доказательство необходимо
провести лишь для всех простых м, так как любое по-
280
ложительное целое число п представимо в виде произ-
ведения простых чисел и решение при составном п по
теореме Робинсона (11) разлагается в «произведение»
решений при простых п. Таким образом, наименьшее п,
относительно которого у нас могут быть сомнения,—
это число 5.
Думаю, что кто-нибудь из наиболее честолюбивых
читателей захочет попытаться решить задачу об упаковке
в пятимерном пространстве, т. е. ответить на вопрос:
можно ли уложить 55=3125 пятимерных кирпичей
(#ь х2у . . ., хъ) в пятимерный куб с ребром длиной хх+
+х2+. . .+х5?
Камнем преткновения в понимании доказательства
теоремы (11) служит приведенное далее утверждение
(12). Если вы поняли это утверждение, то доказательство
теоремы (И) не представит для вас особого труда.
Прежде чем сформулировать утверждение (12), при-
ведем один пример. На рис. 1 показано, что четыре
прямоугольника (7, 8) можно упаковать в квадрат (15,
15). Следовательно, четыре кирпича (7, 8, 100) войдут
в ящик (15, 15, 100), а четыре пятимерных кирпича (7, 8,
100, 14, 47) можно уложить в пятимерный ящик (15,
15, 100, 14, 47).
А теперь сформулируем наше утверждение.
Пусть к п-мерных кирпичей (х1у1у л:Ь2, . . ., хип),
(Х2,1, -^2)2» • • ч -^2»п;» • • •» (Л/г>ъ ^/г»2» • • • » Х^т)
можно упаковать в ящик (у1У у2у . . ., уп)-
Тогда к (п+1)-мерных кирпичей (х1у1, х^2, . . •
• • •> ^1,71, ^Ъ ^2> • • •, ^), (Х2,1, #2>2> • • •
• • •, -^2,71» 21? 22у . . ., 2\)у . . ., (Х^,ъ Х^у2у . . .
. . ., хкч „, ги г2, . . . , гг) войдут в ящик
(Ух, У2, . . ., Уп, 21, г2, . . ., гг). (12)
Теперь все готово для доказательства теоремы Ро-
бинсона (11). Дано, что тип — хорошие размерности.
Требуется доказать, что тп — также хорошая размер-
ность. Иначе говоря, требуется найти способ, позволя-
ющий упаковать (тп)тп (т/г)-мерных кирпичей (х1у1у
■^1,2, • • •» •Я'ЬП, Х2)1> -^2,2» ' * *> -^2,71» -*3»1» . . ., -^Ш —1,71»
*т,ь *т,2> . . ., хтп) в кубический (тя)-мерный ящик
с ребром длины /, где I — сумма тп размеров х111у . . .,
*т, 7г. Следить за ходом доказательства будет легче, если
мы не станем выписывать тп размеров кирпича в строку,
281
а расположим их в виде матрицы
■^1,1» ^1,2» • • • » %\%п
■^2,1» -^2,2» • • • > -^2, п
\Л/Я,1» Лт,2» ••'» Л/Л,Л /
Прежде всего разделим (тп)тп кирпичей на группы по
тп кирпичей в каждой. Таких групп у нас наберет-
ся (тп)тп/тп=тт{п~1)птп. Пусть 51=Хы+л:2,1+. . .+
+*т>1- Так как т — хорошая размерность, тп кир-
пичей (#1,1, л;2,1, . . ., хту1) можно упаковать в ящик
(5Ь 51, . . ., 51). Из (12) заключаем, что тп кирпичей в
каждой из групп тт{п~1)птптакже можно упаковать
в ящик, размеры которого образуют матрицу
I 51» -^1,2» • • • » ^1,п )
^1» *2,2» • • • > ^Члп
\ъ\ч Л/я,2> • • • » лтп,п )
Таких ящиков тт{п~1)птп. Разделим эти новые ящики
на группы по тт ящиков в каждой. Всего таких групп
получится тт{п~1)птп/т=тт{п~2)птп. В свою очередь тт
ящиков в каждой группе можно упаковать в ящик,
размеры которого образуют матрицу
|$1» $2» -^1,3» • • *» %1,п I
М>1> ^2» -^2,3» * • •» -Ц,гс
^51? 52, Хш,з» • • •» %т%п)
где 52=л:1,2+л:2>2+. . -+хту2. [Здесь мы воспользовались
тем, что тт кирпичей (х1у2у х2у2у . . ., хту2) можно упа-
ковать в ящик (52, 52, . . ., 52), а затем снова обратились
к утверждению (12).]
Эти операции мы повторим п раз — по одному разу
для каждого столбца. При каждом повторении ящики,
получившиеся на предыдущей стадии, делятся на группы,
содержащие по тт ящиков, и из ящиков, попавших в
одну группу, мы собираем один новый ящик. Размеры
новых ящиков (каждый из которых вмещает целую
группу) получаются при замене каждого элемента рас-
282
сматриваемого столбца на сумму всех элементов этого
столбца. В результате мы упаковываем (тп)тп кир-
пичей, которые были у нас первоначально, в тт(п~п)птп=
= птп ящиков, размеры которых образуют матрицу
( 51? 52, . . ., 8п I
I $1> ^2> • • • > ^я
где 81=х1,1+х2,1 + . . .+хт,1 при 1=1, 2, . . ., п.
Повторим теперь все с самого начала, но на этот раз
не со столбцами, а со строками. Разделим птп ящиков
на группы по пп ящиков в каждой. Таких групп будет
птп/пп=пш-1)п9 так как п — хорошая размерность,
пп кирпичей (51, 52, . . ., 5П) можно упаковать в ящик
(/, /,..., О» гДе ^=51+52+. . .+5П. (Заметим, что, как
и следует из определения /, приведенного после утверж-
дения (12), эта величина равна сумме всех тп размеров
*1,ь *1,2> • • •» хтмг исходного множества кирпичей.
Таким образом, / — длина ребра /лл-мерного куба, в
который мы пытаемся упаковать.) Утверждение (12)
позволяет нам считать, что пп ящиков в каждой группе
войдут в новый ящик, размеры которого образуют
матрицу
II, I , . . . , I \
$1» ^2» • • •• 5л
\51> 52» • • •» $п)
Всего таких ящиков будет п{т~1)п. Повторяя весь про-
цесс для каждой из т строк, мы в конце концов упакуем
все в пш~т)п=1 ящик с размерами
(I I 1\
I м * » • • • » •'I
\1У 1У . . . , I
\/> ^» • • • > I)
Но именно это и являлось нашей целью! Итак, все
(тп)тп кирпичей из первоначального набора упакованы,
и тп — хорошая размерность. На этом доказательство
теоремы завершается.
283
В нашей статье мы привели несколько выразитель-
ных примеров связи между неравенствами и задачами
упаковки: известные неравенства иногда порождают
интересные задачи об упаковке, и, наоборот, бывает,
что какое-нибудь неравенство удается доказать, решив
соответствующую задачу об упаковке.
Приведенное выше доказательство теоремы обнару-
живает еще одну связь. В некоторых стандартных дока-
зательствах неравенства между средним арифметическим
и средним геометрическим на одном из этапов доказы-
вается^ что если это неравенство верно для т и п чисел
по отдельности, то оно верно и для тп чисел. Такого
рода доказательства можно сформулировать так, что
каждый их шаг будет соответствовать вполне определен-
ному шагу в доказательстве теоремы Робинсона, которое
мы только что завершили. Иначе говоря, в некоторых
случаях известное доказательство неравенства можно
использовать для решения задачи об упаковке.
Неравенства в изобилии встречаются в математике,
и многие из них заведомо приводят к интересным за-
дачам об упаковке. Я беру на себя смелость порекомен-
довать читателю превосходную книгу: КахаппоГ! N. В.
Оеоте1пс 1пеяиа1Шез, N. V., Капйот Наизе, 1961.
Она составляет 4-й выпуск рассчитанной на учащихся
старших классов серии №\у Ма(Ьетаиса1 ЫЬгагу,
легко читается (как, впрочем, и все выпуски этой се-
рии) и доступна любому вдумчивому читателю, владею-
щему математикой в объеме средней школы.
Если вам в будущем встретится какое-либо неравен-
ство, приложите все усилия к тому, чтобы превратить
его в задачу об упаковке — вы не пожалеете!
4.2. Могут ли кубы избежать встречи
„лицом к лицу"?
Рафаэль М. Робинсон
В этой статье мы займемся изучением разбиения
пространства на одинаковые (равные, или конгруэнт-
ные) кубы. Будем говорить, что кубы образуют разбив-
281
ние пространства, если они заполняют все пространство
без пробелов и перекрытий. Ребра кубов мы будем счи-
тать параллельными осям коор-
динат. Не ограничивая общно-
сти, можно считать кубы еди-
ничными — так мы обычно и бу-
дем поступать.
Начнем с более простого
двумерного случая — с разбиений
плоскости на одинаковые квад-
раты со сторонами, параллель-
ными координатным осям. Про-
стейшее разбиение такого рода
изображено на рис. 1. В этом
стандартном разбиении каждый
квадрат имеет по одной общей
стороне с четырьмя другими (со-
седними) квадратами. Мы будем
говорить, что два квадрата рас-
положены сторона к стороне,
если они имеют полную общую
сторону. Разбиение плоскости
на одинаковые квадраты мы по-
лучим и в том случае, если сдви-
нем по-разному различные ряды
изображенного на рис. 1 стан-
дартного разбиения (см. рис. 2).
При этом мы получим разбие-
ния, в которых каждый квад-
рат расположен сторона к сто-
роне только с двумя другими
квадратами. Вместо того чтобы
сдвигать ряды, можно сдвинуть
столбцы (рис. 3.) Нетрудно ви-
деть, что при любом разбиении
плоскости на одинаковые квад-
раты сами квадраты должны
располагаться либо рядами, ли-
бо столбцами, либо и рядами,
и столбцами, т. е. в любом
разбиении плоскости на одина-
ковые квадраты каждый квадрат должен встретиться
сторона к стороне по крайней мере с двумя другими
Рис. 1. Стандартное раз
биение плоскости на оди-
наковые квадраты.
|
Рис. 2. Разбиение плоско-
сти на одинаковые квад-
раты со сдвинутыми ряда-
ми.
Рис. 3. Разбиение плоско-
сти на одинаковые квадра-
ты со сдвинутыми столб-
цами.
285
квадратами. Стандартное разбиение на квадраты мы
получим, расположив единичные квадраты так, что-
бы их центры совпадали с узлами решетки на плос-
кости. (Узлом или точкой решетки на плоскости или
в пространстве называют точки (х, у) или (х, у, г) с
целочисленными координатами.)
Обратимся теперь к трехмерному случаю. Совместив
центры единичных кубов с узлами трехмерной решетки,
мы получим стандартное разбиение пространства. В этом
разбиении каждый куб встречается «лицом к лицу»,
т. е. грань к грани, с шестью другими кубами. (Мы
скажем, что два куба встречаются грань к грани, если
они имеют целую общую грань.) Стандартное разбиение
пространства на одинаковые кубы можно разложить
на слои, параллельные плоскости ху. Сдвинув по-раз-
ному эти слои вдоль осей х и у, мы получим различные
нестандартные разбиения пространства на одинаковые
кубы. В каждом слое мы можем по-разному сдвинуть
либо ряды вдоль оси Ху либо столбцы вдоль оси у, как
и в плоском случае. В одних слоях можно сдвинуть
ряды, в других — столбцы. В результате мы получим
разбиения, в которых каждый куб встречается грань к
грани только с двумя другими кубами.
Аналогичное построение можно выполнить, начав
со слоев, параллельных любой координатной плоско-
сти. Но кубы не обязательно должны выстраиваться
слоями. Мы приведем несколько примеров нерасслоен-
ных разбиений. При их описании удобно называть
столбом множество кубов, выложенных один за другим
в направлении любой из координатных осей.
Простейшие примеры нерасслоенных разбиений мож-
но получить, взяв за исходное стандартное разбиение,
выбрав по одному столбу в направлении каждой из
координатных осей так, чтобы эти три столба не имели
общих кубов, и сдвинув каждый столб вдоль его оси.
Обобщая ту же идею, мы получим разбиение про-
странства, в котором один фиксированный куб «избе-
гает» встречи грань к грани с любым другим кубом.
Возьмем стандартное разбиение за исходное и выберем
куб, который должен избегать встреч грань к грани со
всеми другими кубами. Шесть примыкающих х нему
кубов могут входить в шесть столбов (по два столба в
направлении каждой из координатных осей). Каждый
286
столб можно сдвинуть независимо параллельно самому
себе, не изменяя положения остальных столбов или
центрального куба. Например, кубы, примыкающие к
центральному кубу в направлении оси х> можно сдви-
нуть в направлении оси у, кубы, примыкающие к цент-
ральному кубу в направлении оси у, можно сдвинуть
в направлении оси г, а кубы, примыкающие к централь-
ному кубу в направлении оси г, можно сдвинуть в на-
правлении оси х. В каждом случае мы передвигаем в
соответствующем направлении целиком весь столб. В ре-
зультате передвижений центральный куб не будет
встречаться грань к грани ни с каким другим кубом.
Аналогичным образом можно построить разбиение
пространства, в котором встречи грань к грани с дру-
гими кубами избегают бесконечно много кубов. Раз-
биение, о котором пойдет речь, открыто в 1909 г. Гансом
Янсеном. Выберем в качестве исходного стандартное
разбиение пространства, возникающее при совмещении
центров единичных кубов с узлами (х, у, г) решетки.
Затем сдвинем кубы с центрами (х, у, г) на 1/2:
в направлении оси х, если у — четное, а г — нечет-
ное число;
в направлении оси у, если г — четное, а х — нечет-
ное число;
в направлении оси г, если х — четное, а у — нечет-
ное число.
Ж
ш
И _ 111 . 1р
Ш
Нечетное г
Четное %
Рис. 4. Поперечные сечения открытого Янсеном разбиения трехмер-
ного пространства.
Поперечные сечения разбиения Янсена г=с для
случаев, когда с — четное и нечетное число, показаны
на рис. 4. Проведенные плоскости проходят через центры
большинства кубов. Но если кубы сдвинуты вдоль оси г,
287
то поперечное сечение проходит через их грани. На
рис. 4 эти грани заштрихованы. Стрелки указывают
направления, в которых сдвинуты другие кубы. Кубы,
у которых координаты центра х, у, г либо все четные,
либо все нечетные, остаются на месте и поэтому не
заштрихованы и не отмечены стрелкой. Они не встре-
чаются ни с каким другим кубом грань к грани. Ясно,
что они составляют ровно одну четверть от всех кубов.
С другой стороны, если задано какое угодно разбие-
ние пространства на одинаковые кубы, то, как нетрудно
видеть, для любой грани выбранного куба, не принад-
лежащей целиком другому кубу, непременно найдутся
два куба, касающиеся этой грани и встречающиеся
друг с другом грань к грани. Таким образом, хотя не-
которые кубы избегают встречаться с другими грань
к грани, не все кубы могут уклониться от таких встреч.
Рассмотрим теперь кратные покрытия плоскости
одинаковыми квадратами или пространства одинако-
выми кубами. Здесь мы имеем в виду, что каждая точка
плоскости или пространства покрыта конечное число
раз и что точки, не принадлежащие границе никакого
квадрата или куба, покрыты одинаковое число раз.
Если это число равно ку то мы говорим о к-кратном
покрытии. Рассмотренные нами разбиения относятся
к числу 1-кратных, или простых (не кратных), покрытий.
Кратные покрытия плоскости не представляют особого
интереса: нетрудно видеть, что любое к-кратное покры-
тие плоскости можно получить наложением к простых
покрытий. Следовательно, и здесь каждый квадрат
встречается сторона к стороне по крайней мере с двумя
квадратами.
С новой ситуацией мы сталкиваемся в пространстве:
не все кратные покрытия представляют собой результат
наложения простых покрытий. Более того, в этом случае
встречи грань к грани с другими кубами могут избе-
жать все кубы. Это было доказано в 1974 г., когда я
открыл 25-кратное покрытие пространства одинако-
выми кубами, любая пара которых не встречается грань
к грани.
При описании этого покрытия удобно пользоваться
не единичными кубами, а кубами с ребром длины 5.
Изменение масштаба никак не сказывается на задаче.
Все центры участвующих в покрытии кубов совпадают
288
с узлами решетки. Мы выбираем только узлы, удовле-
творяющие одному из следующих четырех условий:
л;=*/=г (той 2), х+у+г=0 (той 5);
х+\=у=г (тос! 2), х+у+г=\ (той 5);
х=у+1=г (той 2), х+у+г=2 (той 5);
х=у=г+1 (той 2), х+у+г=3 (той 5).
Символ а^гй(той т) означает сравнение по модулю т:
числа а и Ь, связанные знаком сравнения, отличаются
на целое кратное т. Следовательно, первая строка
означает, что координаты х, у, г либо все четны, либо
все нечетны и что их сумма кратна 5. Вообще, первое
условие в каждой строке зависит только от того, четны
ли координаты или нечетны, в то время как второе
условие задает остаток от деления суммы х+у+г ко-
ординат на 5. Первое условие в каждой строке мы будем
называть условием четности. Все точки, удовлетворя-
ющие одному условию четности, образуют класс чет-
ности. Покажем, что все заданные нашими четырьмя
условиями кубы образуют 25-кратное покрытие про-
странства и что никакие два из этих кубов не ветре-
чаются грань к грани.
Чтобы показать, что построенное покрытие 25-
кратно, нам необходимо проверить, что каждый узел
решетки покрыт 25 раз. Заметим, что центры кубов с
ребром 5, содержащих узел (*', у\ г) решетки, совпа-
дают с узлами (ху у, г) решетки, принадлежащими кубу
с ребром 5 и центром (х\ у\ г'). Начнем с (х\ у\ г') =
= (0, 0, 0). Итак, рассмотрим куб с ребром 5 и центром
в начале координат. В этом кубе лежат 125 узлов
(х, у, г), решетки, координаты которых принимают зна-
чения—2, —1, 0, 1, 2. Они образуют решетку 5x5x5.
Рассмотрим сначала класс четности, образуемый срав-
• • • • • •
• ••••••• ф
• • •
• • • • • •
Рис. 5. Наклонные сечения (ЗХЗХЗ)-решетки.
нениями х=у=г(той 2). Он состоит из двух частей:
27 узлов с тремя четными координатами ху у, г, образую-
щих решетку 3x3x3, и 8 узлов с тремя нечетными
координатами, образующих решетку 2x2x2.
Ю № 1136
289
Проведем сечения х+у+г=с, перпендикулярные диа-
гонали куба. Сечения (3x3x3)-решетки содержат 1,
3, 6, 7, 6, 3, 1 узлов, как показано на рис. 5. Сечения
(2х2х2)-решетки содержат 1, 3, 3, 1 узлов. Рассмат-
ривая все эти 35 узлов решетки, мы заметим, что они
лежат на параллельных и следующих друг за другом на
одном и том же расстоянии плоскостях, содержащих
соответственно 1, 0, 3, 1, 6, 3, 7, 3, 6, 1, 3, 0, 1 узлов. Под-
считывая, сколько из них имеют одинаковые значения
х+у+г (той 5), мы получим следующие суммы:
10 3 1
6 3 7 3 6
13 0 1
7 7 7 7 7
Таким образом, в заданном кубе имеется ровно 7 узлов
решетки с х=у=г(то(1 2) с любым заданным значением
х+у+г(той 5).
Все узлы решетки в заданном кубе образуют (5х5х
х5)-решетку, о которой мы уже упоминали. Рассмотрим
Рис. 6. Наклонные сечения (5Х5х5)-решетки.
снова ее сечения плоскостями х-{-у-\-г=с. Три таких
сечения показаны на рис. 6. Приведем число точек во
всех сечениях, точки объединены в группы по значе-
ниям х+у+г (той 5):
1 3 6 10
15 18 19 18 15
10 6 3 1
25 25 25 25 25
Каждое значение встречается 25 раз. Это можно было бы
предвидеть заранее, если учесть, что х и у могут прини-
мать любые значения из множества —2, —1, 0, 1, 2, а г
290
однозначно определяется выбранным значением х+у+
+г (той 5). Каждое заранее выбранное значение х+у+
+2 (той 5) для точек с х=у=г (той 2) встречается 7 раз
и, следовательно, 18 раз для остальных точек. Три
других класса четности при циклической перестановке
координат х, у, г также меняются местами; иначе го-
воря, узлы решетки, образующие три других класса
четности, меняются местами при повороте на 120° вокруг
прямой х=у=г. Следовательно, в каждом из этих клас-
сов четности любое значение х+у+г (гйой 5) должно
встречаться в заданном кубе ровно 6 раз.
Рассмотрим теперь куб с ребром 5 и центром в лю-
бом узле решетки {х\ у\ г'). Если, совершив параллель-
ный перенос, мы совместим узел (х\ у', г') с началом
координат, то узел решетки (х, у, г), лежащий в пер-
воначальном кубе, перейдет в узел решетки (л:—х\
у—у\ г—г'), лежащий внутри куба с ребром 5 и центром
в начале координат. Если узел (х'\ у\г') задан, то его
класс четности определяется классом четности узла (х,
у, г), и наоборот. В частности, если (х, у, г) принадлежит
тому же классу четности, что и (х\ у', г'), то
х—х'^=у—у' ==г—г' (той 2).
Из доказанного следует, что в заданном кубе сущест-
вует 7 таких точек с заранее заданным значением х+у+
+г (той 5): Но в любом из трех остальных классов
четности в заданном кубе найдется лишь 6 узлов с за-
ранее выбранным значением х+у+г (той 5).
Итак, мы видим, что кубы с центрами, удовлетворя-
ющими любому из четырех условий в определении по-
крытия, образуют 7-кратное покрытие всех узлов ре-
шетки, удовлетворяющих тому же условию четности,
и 6-кратное покрытие остальных узлов решетки. Следо-
вательно, четыре класса кубов вместе покроют все узлы
решетки 25 раз и образуют 25-кратное покрытие. Все
сказанное не зависит от того, какие значения х+у+
+г (той 5) выбирались в каждом из четырех случаев.
Убедимся теперь, что никакие два куба не встреча-
ются грань к грани. Если бы два куба встретились грань
к грани, то центр второго куба получался бы из центра
первого куба при изменении одной координаты на 5 еди-
ниц. Такая замена изменила бы класс четности, но
сохранила бы значение х+у+г(то& 5), что невозможно,
10*
291
так как для четырех классов четности были использо-
ваны различные значения х+у+г(тоА 5). Следователь-
но, мы получили 25-кратное покрытие, в котором ни-
какие два куба не встречаются грань к грани.
Заметим, что покрытие пространства кубами с реб-
ром 5 переходит в себя при параллельном переносе на
10 единиц вдоль любой оси координат или на вектор с
компонентами (5, 5, 5). Эти свойства, как нетрудно
показать, следуют из того, что никакие два куба не
встречаются грань к грани.
г = 0 г = 5
Рис. 7. Поперечные сечения 25-кратного покрытия пространства.
Нарисовать хотя бы схематично построенное 25-
кратное покрытие весьма трудно. Максимум, что можно
сделать, это провести поперечные сечения и указать на
них центры используемых кубов. На рис. 7 показаны
два таких поперечных сечения — плоскостями г=0 и
г=5. Изображенные на рис. 7 части содержат сечения
единичных кубов с центрами в узлах решетки (х, */, г),
где х и у принимают значения от 0 до 9. Точками ука-
заны центры кубов с ребрами 5, образующих 25-кратное
покрытие. Каждое из двух сечений повторяется и по
горизонтали, и по вертикали. Аналогично выглядят
и другие сечения.
Для кратности покрытия необходимо, чтобы 5x5
квадратов, взятых в одинаковом положении в обоих
сечениях, содержали одно и то же число точек, а для
того, чтобы никакие два куба не встречались грань к
грани, точки на двух сечениях должны быть располо-
жены по-разному и расстояние по горизонтали или
вертикали между любыми двумя точками в каждом из
сечений не должно быть равно 5.
292
Несколько иное описание того же 25-кратного
покрытия было опубликовано недавно (см. [1], п. 12).
(Статья [1] посвящена главным образом проблеме по-
строения кратного покрытия кубами, не встречающи-
мися грань к грани, в многомерных пространствах с
дополнительным условием: центры кубов должны об-
разовывать решетку.) Аналогичные результаты и не-
которые исторические сведения приведены в работе Стей-
на [2].
Остается открытым вопрос о том, существует ли к-
кратное покрытие пространства одинаковыми кубами
при й<25, в котором никакие два куба не встречаются
грань к грани.
1. КоЫпзоп, К. М. 1979. МиШр1е 1Шп§5 оГ /г-сПтеп5юпа1 зрасе Ьу
штН сиЬез. МаНгетаШске ХеШскгЦ1 166: 225—264.
2. 51ет, 5. К. 1974. А1&еЪга1с Шт§. Атепсап Ма(кетаИса1 МопШу
81: 445—462.
Когда эта статья была уже написана, Базиль Гордон
доказал, что такое покрытие существует при к=2> т. е.
что существует 2-кратное покрытие пространства ку-
бами с ребром 2 (каждый из которых составлен из 8 еди-
ничных кубов стандартного разбиения), в котором
никакие два куба не встречаются грань к грани.
4.3. Упаковка зеркальных пентакубов
К. Й. Баукэмп
Напомним, что существует 29 различных трехмерных
пентакубов (пентакубом называется геометрическое тело,
составленное из пяти единичных кубов так, что соседние
кубы имеют общую грань и у каждого единичного куба,
входящего в пентакуб, имеется по крайней мере один
сосед). Двенадцать из них — плоские пентакубы, назы-
ваемые объемными пентамино,— хорошо известны лю-
бителям занимательной математики. Их суммарный
объем равен 60 единичным кубам. Объемные пентамино
293
можно упаковать в коробки различных размеров: 2хЗх
X 10, 2x5x6, 3x4x5 (см. [1], [2], [3]). Среди неплоских
пентакубов пять обладают по крайней мере одной пло-
скостью симметрии. Каждый из таких пентакубов сов-
падает со своим зеркальным отражением. Остальные 12
пентакубов распадаются на 6 пар. Каждая пара состоит
Пк
/^7[
я
/ОЛ
ъ
^7\
ш\
9
га
8
Э
1—1 о
Р
21
10
Рис. 1. Зеркальные пентакубы (число на каждом пентакубе означает
его номер).
из пентакуба и его зеркального отражения. Пентакубы,
образующие одну пару, находятся между собой в таком
же соотношении, как правая перчатка к левой (а ле-
вая — к правой), и мы будем называть их зеркальными
пентакубами. Полный набор зеркальных пентакубов
изображен на рис. 1 (каждый из этих пентакубов имеет
свой порядковый номер от 1 до 12). Как и у плоских
пентакубов, суммарный объем зеркальных пентакубов
составляет 60 единичных кубов. Естественно спросить,
можно ли упаковать полный набор зеркальных пента-
кубов, например, в коробку 3x4x5?
С этим вопросом я столкнулся в июле 1973 г., полу-
чив письмо Дж. В. Бэддли из Школы химии при уни-
294
верситете Нового Южного Уэльса (Австралия). Автора
письма интересовала главным образом стереохимия.
В своем письме он спрашивал: «Если я знаю, как со-
ставить из зеркальных пентакубов блок 3x4x5, то...
единственно ли найденное мной решение?»
Между прочим, если у читателя имеется под рукой
набор зеркальных пентакубов, то я настоятельно ре-
комендую ему попытаться самостоятельно сложить из
Рис. 2. Четыре пианино, построенных одновременно иг зеркальных
пентакубов.
них блокЗх4х5 прежде, чем читать дальше. Хотя упра-
вляться с зеркальными пентакубами не так просто,
как с плоскими, не следует быстро сдаваться, поскольку,
как теперь известно, задача об их упаковке допускает
много различных решений.
Необычайно остроумный и в то же время простой
способ получения одновременно большого числа реше-
ний был открыт Дж. М. М. Фербакелем из Научно-
исследовательской лаборатории фирмы «Филипс» в Эйнд-
ховене. Фербакель разделил набор зеркальных пента-
кубов на четыре подмножества, по три пентакуба в
каждом, так, чтобы из них можно было составить од-
новременно четыре блока, которые мы будем называть
пианино. Одно из построений Фербакеля показано на
рис. 2. Заметим, что два пианино слева зеркально-
симметричны (двойственны, или дуальны) двум пианино
справа. Ясно, что из четырех пианино можно собрать
одновременно два блока 2x3x5 (причем тремя раз-
личными способами) и, следовательно, блок 3x4x5,
решив тем ^амым вопрос о составлении такого блока,
295
поставленный Бэддли. Полученное решение далеко не
единственно. В качестве «побочного продукта» из по-
строения Фербакеля следует, что из зеркальных пента-
кубов можно составить блоки 2x3x10 и 2x5x6,
причем, как и в случае плоских пентакубов, не единст-
венным способом.
С помощью ЭВМ я нашел все возможные способы по-
строения одновременно четырех пианино из набора зер-
кальных пентакубов. С точностью до поворота и парал-
лельного переноса существуют 8 различных решений
(или 6 с точностью до отражения, поворота и парал-
лельного переноса). Все они перечислены в табл. 1. Пер-
вые четыре решения принадлежат Фербакелю и назы-
ваются двойственными себе или самодвойственными.
Решения 5 и 6 двойственны одно другому. Другую пару
двойственных решений образуют решения 7 и 8. (Пред-
лагаем читателю собственными руками собрать из че-
тырех пианино в каждом случае прямоугольный паралле-
лепипед — блок. Это великолепный способ приобрести
практические навыки в манипулировании зеркальными
пентакубами.) От внимания читателя не ускользнет,
что существуют два различных пианино (5, 6, 9) и два
различных пианино (5, 6, 10).
ТАБЛИЦА 1
Восемь различных разбиений набора зеркальных
пентакубов на четыре части. Из пентакубов,
принадлежащих каждой части, можно сложить
пианино
1
2
3
4
5
6
7
8
(1, 6, 9)
(1, 6, 9)
(1, 7, 9)
(1, 7, 9)
(1, 6, 9)
(1, 7, 9)
(1, 8, 11)
(1, 10, 11)
(2, 5, 10)
(2, 5, 10)
(2, 8, 10)
(2, 8, 10)
(2, 8, 10)
(2, 5, 10)
(2, 9, 12)
(2, 7, 12)
(3, 8, 11)
(3, 8, 12)
(3, 5, 11)
(3, 6, 12)
(3, 5, И)
(3, 8, 11)
(3, 4, 7)
(3, 4, 8)
(4, 7, 12)
(4, 7, 11)
(4, 6, 12)
(4, 5, И)
(4, 7, 12)
(4, 6, 12)
(5, 6, 10)
(5, 6, 9)
Я ограничусь пока рассмотрением составных блоков
3x4x5, т. е. блоков, построенных из прямоугольных
блоков меньших размеров. (Замечу попутно, что, как
нетрудно видеть, составной (Зх4х5)-блок должен быть
296
непременно построен из двух меньших (2хЗх5)-блоков.)
С помощью ЭВМ я нашел компоненты всех составных
(Зх4х5)-блоков. Полученные результаты собраны в
табл. 2.
ТАБЛИЦА 2
Типы составных блоков 3x4x5
Тип
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
Пентакубы в первом
блоке
(1.
(1.
О.
О.
(1,
О.
0.
(1,
О.
(1,
О.
О.
(1,
(1,
О.
0.
(1.
(1.
(1.
(1,
(I.
О.
О.
(1,
2, 5, 6, 9, 10)
2, 5, 7, 9, 10)
2, 7, 8, 9, 10)
2, 7, 8, 11, 12)
2, 7, 10, 11, 12)
3, 4, 5, 9, 11)
3, 4, 6, 7, 10)
3, 4, 6, 8, 9)
3, 4, 7, 8, 11)
3, 5, 6, 8, 10)
3, 5, 6, 9, 11)
3, 5, 7, 9, 11)
3, 5, 8, 10, 12)
3, 6, 7, 9, 12)
3, 6, 7, 10, 12)
3, 6, 8, 9, 11)
3, 6, 8, 9, 12)
3, 6, 8, 11, 12)
4, 5, 7, 9, 11)
4, 6, 7, 9, 10)
4, 6, 7, 9, 11)
4, 6, 7, 9, 12)
5, 6, 8, 9, 10)
5, 6, 8, 10, И)
Число решений для
первого
блока
1
1
3
1
1
3
1
1
1
1
4
2
1
1
2
1
2
2
1
1
1
3
1
2
второго
блока
3
1
4
1
2
1
1
2
2
1
1
2
1
1
2
1
2
1
1
1
1
3
1
1
Общее число
решений (5 —са-
модвойственное
решение)
35
1
125
1 5
2
3
1
2
2
1
4
1 + 25
1 5
1 5
1+25
1 5
1+25
2
1 5
1
1 5
3 + 35
1
2
Итого 28+ 30 5
Я различаю 24 типа составных блоков в зависимости
от шести различных пентакубов, образующих первый
блок (блок, содержащий пентакуб 1). В табл. 2 указано
297
также число различных (2x3x5)-б л оков, которые можно
составить из этих пентакубов, а также число решений
для второго блока, составленного из не вошедших в
1
8
9
7
10
2
[Г
пг
2
8
^О1
7
1
1
8
9
10
7
~2^
рг
10
7 '
9
8
2
1
| 10
7
2
8 '
9
11
5
1 4
12
б
3
4
6
11
5
3
12
4
"5
б
12
3
11
б
12
4
11
5
3
[ 5 ]
' 11
3
4
12
б
[5
4
11
б
3
12
5
11
3
б
4
12 1
| 5
Гп
4
[Т1
12 ]
б
Рис. 3. Основные (2ХЗХ5)-блоки типа 3 для построения составного
(ЗХ4Х5)-блока.
первый блок пентакубов (их номера в явном виде не
указаны). Общее число различных (с точностью до
отражения и поворота и, разумеется, параллельного
переноса, как подразумевается в дальнейшем) комби-
Г~1
[9~~
2
8
10
7 ;
298
наций каждого типа приведено в последнем столбце
табл. 2, где 5 означает самодвойственные решения.
Всего было получено 28+305 решений. Это означает,
что существует 2x28+30=86 различных (с точностью
до поворотов) комбинаций двух одновременно состав-
ленных блоков 2x3x5. Некоторые (но не все) блоки
составлены из пианино. Например, на рис. 3 показаны
блоки типа 3 с тремя решениями для первого блока и
четырьмя — для второго. Как обычно, каждый блок
представлен двумя прямоугольными поперечными се-
чениями: одним (слева) для нижнего слоя, другим (спра-
ва) — для верхнего. Ясно, что только три из семи бло-
ков построены из пианино. Интересно отметить, что все
семь блоков симметричны, т. е. каждый из них обладает
центром симметрии.
Общее число различных (с точностью до поворота и
отражения) составных (3x4x5)-блоков равно 372. Из
них 28 блоков обладают плоскостью симметрии и столько
же — центром симметрии. Множество из 28 блоков,
имеющих плоскость симметрии, полно, так как (3x4x5)-
блок не может не быть составным. Чтобы построить
симметричные составные блоки, читателю необходимо
обратиться к рис. 4, на котором изображен (2x3x5)-
г
1 з
1 П
10
5
1
8
3
12
1
5
8
10 |
Рис. 4. Два двойственных
блока, из которых можно
собрать (ЗХ4Х5)-блок,
обладающий либо цент-
ром, либо плоскостью сим-
метрии (каждый вариант
допускает два различных
решения).
Рис. 5. Простой (несостав-
ной) (ЗХ4Х5)-блок, соб-
ранный из четырех пиани-
но (одного полного набо-
ра зеркальных пентаку-
бов).
блок, построенный из пентакубов (1, 3, 5, 8, 10, 12).
Двойственный ему блок можно построить из остальных
пентакубов (2, 4, 6, 7, 9, 11). Соединяя два блока (двумя
различными способами), мы получаем (3X 4 X 5)-блок,
299
обладающий плоскостью симметрии. Два блока, обра-
зующие большой блок, можно расположить и так, чтобы
последний обладал центром симметрии (также двумя
способами). Пианино, собранные так, как показано на
рис. 4, позволяют построить много других видов сим-
метричных (3 X 4 X 5)-блоков.
Обратимся теперь к простым, т. е. не составным,
(Зх4х5)-блокам. В том, что простые блоки действи-
тельно существуют, нетрудно убедиться, взглянув на
рис. 5, на котором изображен блок, построенный из четы-
рех пианино (полного набора зеркальных пентакубов).
Так как пианино (рис. 5) можно переставить несколь-
кими способами и набор пентакубов можно разделить
на четыре пианино восемью способами (см. табл. 1),
очевидно, что и простых блоков имеется немало.
Хотя я часто пытался построить простой блок «нау-
гад», не размышляя, мне ни разу не удалось сделать
этого. Поэтому с моей стороны было бы нечестно обра-
щаться к читателю с призывом испытать счастье в по-
иске самостоятельного решения. В то же время я всегда
был глубоко убежден, что сотни известных решений
составляют лишь небольшую долю от общего числа
решений. Я оказался прав!
Одно дело запрограммировать ЭВМ так, чтобы полу-
чить с ее помощью одно или несколько решений, и со-
всем другое получить все решения. Исключить повороты
и симметрии в рассматриваемом случае нелегко, поэтому
программа ЭВМ была составлена так, чтобы можно было
получать и решения, отличающиеся поворотом и отра-
жением, но симметрия решений отмечалась в выходных
данных. Используя общую и специальную программы,
мне удалось установить, что общее число различных
центрально-симметричных (3 х4 X 5)-блоков равно 742.
В это число входят и 28 составных блоков, о которых
мы уже говорили. Их вклад в общее число блоков со-
ставляет менее 4 процентов.
На рис. 6 показаны все возможные решения, в кото-
рых пентакубы 1 и 2 расположены так, как показано
в правом нижнем углу. Каждое решение представлено
тремя поперечными сечениями (слева направо): ниж-
него, среднего и верхнего слоев. Пять блоков — про-
стые, два блока — составные (тип 15).
Изящный центрально-симметричный блок показан
300
1
7
к
"б
9
4
2
7
11
5
±1»
Л*
10
Т\
12
8
ГС
10
15
2
Г5
7
[_|1о
11
2}
4
2
Ц
[7
12
[Е
ц?
3|4
10
Л
71
7Г
8
3] 1
12|10
2 1
[-1
7
б 1
10
Т
7]
Г7"
ТТЛ1
10
Т]
4 |3 |
5
9
Ф.
8
Г
1
7
5
12[б^
2 1
[Г
ГГ
[7
9_
Ю|12|
2
71
гг
_1_|ю
I?]
"б!
4 |3 |
[гг
9
8
л
141 I |Ц I
Мним
|_|_
г
и
7
4
т
и
По
7
[б_
ГТ
12
3
4
11
9
'
Т]
8
^
По
[12
1
Г
■°1
8
7]
_2 |
ГГ"
110|12
Г
"Г
т
в
7]
7]
|10| 1
[7
П
Й*
"4*1
1
1и
г
1
т
4 1
—М
2 1
|Ю|_1_
И3
|7
ти
'4|б
9
Л
тя
_&.
ГИГ
Рис. 6. Пять простых и два составных (ЗХ 4Х 5)-блока с центром сим-
метрии. Пентакубы 1 и 2 расположены так, как показано в правом
нижнем углу.
8 | б[
I I | 2 [
[Т
гг
э
5
1 и'
7
8
По
4
и]
Т]
2
12
ГТ] По]
Рис. 7. Блок с центром симметрии, допускающий разбиение на две
«лесенки». Из этих двух лесенок (ЗХ4Х5)-блок можно собрать
различными способами.
301
на рис. 7. Он распадается на две «лесенки», из которых
(Зх4х5)-блок можно составить различными способами.
Это не единственный блок с такой структурой.
Последний пример центрально-симметричного блока
представлен на рис. 8. Он обладает несколькими при-
мечательными особенностями. Читатель, возможно, за-
2
и
3
12
6
2
5
11
3
4
12
&\
1
5
4
11
1
12
Рис. 8. Пример блока, переходящего в свое зеркальное отражение
при параллельном переносе четырех из 12 пентакубов. (Подробности
см. в тексте.)
метит, что на трех сечениях этого блока не указаны
пентакубы (7, 8, 9, 10). Дело в том, что «зияющие пу-
стоты» можно заполнить двумя различными способами,
что объясняется существованием двух одинаковых (кон-
груэнтных) пентакубов (7, 8) и (9, 10), изображенных
на рис. 8 внизу. При заполнении пустот этими двумя
комбинациями возникают зеркально-симметричные блоки
(с точностью до поворота). Блоки с такой структурой
встречаются-чрезвычайно редко: всего их существует
только десять.
На этом можно поставить точку и сообщить, сколько
всего (Зх4х5)-блоков можно построить из 12 зер-
кальных пентакубов. Не знаю, поверит ли мне читатель,
но с точностью до отражений и поворотов, полное число
различных (Зх4х5)-блоков равно 29 162, а с точностью
только до поворотов полное число равно 57 554. Оба
результата получены на ЭВМ примерно за два года
за время, отведенное для профилактики машины.
302
1. Вочукатр, С. XV. СаЫо^ие о* ^оЫюпз оГ гес1ап&и1аг 3X4X5 зо-
Пс1 реп1агтпо ргоЫет. 1967. 1Ье Ые1Ьег1апс15: ТесЬгпзсЬе Но^езс-
Ьоо1 ЕшсШоуеп, Оераг1гпеп{ о! Ма1Ьета11СЗ, ЕшсИюуеп.
2. — » — Раскт& а гес!ап&и1аг Ьох чуНН 1Ье 1\уе1уе зоПс! регйотто-
ез. 1969. Л СотЫпаШа! ТНеогу 7: 278—280.
3. —»— СаЫо&ие о? зоЫюпз о1 1Ье гес!ап^и1аг 2X5X6 зоПс! реп-
1отшо ргоЫет. 1978. Коп. Ыей. Акай. \Уе(еп5ск., Ргос, зег. А 81;
177—186.
4.4. Моя жизнь среди полимино
Дэвид А. Кларнер
Математиком я стал, должно быть, благодаря отцу.
Он отличался научным складом ума, был творческой
натурой и считал, что для него не существует ничего
невозможного. В школе мне повезло: превосходный
учитель Немо Дебели горячо поддерживал мой интерес
к естественным наукам и математике. Именно он посо-
ветовал мне следить за публикациями Мартина Гард-
нера, когда в конце пятидесятых годов они стали по-
являться в журнале 5с1еп1Шс Атепсап. Вдохновленный
примером отца, я тоже считал, что в математике мне по
плечу любая задача. Когда Деб задавал мне какую-
нибудь классическую задачу по геометрии, теории
чисел, комбинаторике или еще какому-либо разделу
математики, я принимался размышлять в твердой уве-
ренности, что с задачей непременно справлюсь. Разу-
меется, мне так и не удалось доказать Великую теорему
Ферма, доказать гипотезу (ныне — теорему) четырех
красок или установить, что множество простых чисел-
близнецов бесконечно, но я многому научился, пытаясь
справиться с этими знаменитыми проблемами. Именно
в этот период и произошла моя первая встреча с Мар-
тином Гарднером.
Вообразите охвативший меня восторг, когда Мартин
Гарднер ответил на мое письмо и свел меня — тогда еще
школьника — с другими людьми, интересовавшимися
подобными же проблемами. (Через Гарднера, например,
я впервые познакомился с Соломоном Голомбом, который
303
включил многие из моих результатов и придуманных
мной задач в свою книгу «Полимино» *.)
Превосходные учителя были у меня в то время, когда
происходило мое «посвящение в математика»: Немо Де-
бел и — в старших классах школы, Джеймс Э. Хаус-
холдер — в колледже, Лео Мозер — в университете,
Дик де Брейн — в аспирантуре. Мартин Гарднер бес-
спорно также принадлежит к числу моих учителей, но
его роль отличается от роли остальных моих наставни-
ков: на протяжении двадцати лет Мартин Гарднер под-
держивал мое вдохновение и помогал находить друзей,
с которыми я мог бы разделить мои математические
увлечения.
В этой статье я хочу попытаться изложить некото-
рые из моих математических открытий в области поли-
мино — предмета, который может показаться чересчур
специальным для популярного издания. Тем не менее
я намерен рассказать о полученных мной результатах,
причем сделать это я хочу так, чтобы эти результаты
стали понятны и неспециалисту. Несколько первых
разделов касаются проблем перечисления. Математиче-
ские статьи, посвященные этим проблемам, занимают не
один десяток печатных страниц, усыпанных формулами
самого устрашающего вида. Я опустил все доказатель-
ства, а сами результаты упростил до предела. Заклю-
чительные разделы статьи содержат очень краткий
обзор некоторых точных результатов замощения (раз-
биения) плоскости. Они более доступны и, вероятно,
более привлекательны для широкого круга читателей;
к тому же эти темы неоднократно затрагивал в своих
статьях и книгах Мартин Гарднер. Разумеется, я далек
от мысли попытаться превзойти Гарднера в мастерстве
популяризации.
Растущие полимино
Полимино «обитают» среди точек с целочисленными
координатами на плоскости, отнесенной к декартовой
системе координат. Состоят полимино из клеток, т. е.
единичных квадратов, вершины которых расположены
в точках с целочисленными координатами. Объединение
* Голомб С. В. Полимино.—М.: Мир, 1975.— Прим. перев.
304
п клеток, внутренность которого представляет собой
связную фигуру, мы назовем п-мино. Соломон Голомб
определяет /г-мино как такое множество полей беско-
нечной шахматной доски, где любые два принадлежащих
1Г.
П
Рис. 1. Единичная клетка, два трансляционных и один поворотный
тип /Агентами но и гептамино с дыркой внутри.
этому множеству поля можно связать ходом ладьи,
пролегающим только по клеткам /г-мино. На рис. 1
показаны единичная клетка, три пентамино (или 5-
мино) и одно гептамино (т. е. 7-мино). В связи с этим
гептамино обнаруживается одно важное обстоятельство:
п-мино не обязательно односвязно, т. е. внутри него
могут иметься дыры.
Рисунок 1 иллюстрирует еще один важный факт:
хотя при любом фиксированном п существует лишь
конечное число форм п-мино, самих п-мино имеется
бесконечно много. Различные типы п-мино выделяются
из этого бесконечного множества с помощью соотно-
шений эквивалентности, задаваемых некоторыми груп-
пами движений плоскости. Трансляционный тип по-
лимино мы получим, если условимся считать одинако-
выми два п-мино, эквивалентные относительно группы
параллельных переносов, т. е. такие, что некоторый
перенос отображает одно из них на другое. Например,
все трансляционные типы тетрамино (4-мино) показаны
305
на рис. 2. Вращательный тип возникает, если считать
одинаковыми два /г-мино, эквивалентные относительно
группы (собственных) движений (поворотов и переносов),
т. е. такие, что некоторая последовательность поворотов
отображает одно из них на другое. (Так как параллель-
ный перенос можно осуществить с помощью двух спе-
циально подобранных поворотов, то трансляционная
эквивалентность представляет собой частный случай
Рис. 2. Девятнадцать трансляционных типов тетрамино.
вращательной эквивалентности.) Интуитивное представ-
ление о вращательном типе /г-мино можно получить,
если вообразить, что /г-мино имеет только одну сторону
и его можно как угодно передвигать по плоскости, но
только не переворачивать. Наконец, изометрический тип
возникает, если считать одинаковыми (эквивалентными)
любые два конгруэнтные /г-мино. Так как любая изо-
метрия представляет собой композицию отражений, то
два /г-мино конгруэнтны, если существует последова-
тельность зеркальных отражений (осевых симметрии),
отображающая одно /г-мино на другое. Конгруэнтные
/г-мино образуют изометрические классы. Пять изомет-
рических типов тетрамино указаны на рис; 4.
Для составления полных каталогов /г-мино при не-
больших п (например, при /г^24) были использованы
современные ЭВМ. Но с увеличением /г число /г-мино
растет так быстро, что даже при не слишком боль-
ших /г (например, при /г^ЗО) для полного списка
/г-мино не хватило бы места во всей Солнечной системе.
306
Рональд Райвест предложил остроумный алгоритм,
позволяющий строить корневые трансляционные типы
/г-мино. Наделить трансляционный тип /г-мино корнем —
это просто означает выделить одну из п образующих
Рис. 3. Семь вращательных типов тетрамино.
Рис. 4. Пять изотермических типов тетрамино.
/г-мино клеток, пометив ее в центре точкой или кружком.
Соответственно корневых трансляционных типов /г-мино
ровно в /г раз больше, чем просто трансляционных
типов. Основная идея предложенного Райвестом алго-
ритма состоит в том, чтобы задать такой процесс роста,
при котором каждый корневой трансляционный тип
/г-мино порождается один и только один раз.
Чтобы вырастить корневой трансляционный тип п-
мино, начнем с клетки, помеченной кружком;^ этой
клетке мы присвоим номер 1. Затем, начав с клетки,
расположенной над клеткой У, перенумеруем по часовой
стрелке числами 2, 3, 4 и 5 клетки, имеющие с клеткой 1
общие стороны. Клетки, примыкающие к клеткам по-
лимино (имеющие с ними общие стороны), будем называть
соседними клетками. Процесс роста разбивается на
несколько стадий.. Каждая стадия состоит в нумерации
соседних с полимино клеток наименьшими (из еще не
использованных) положительными целыми числами.
Большее полимино вырастает из уже построенного за счет
присоединения тех из перенумерованных клеток, ко-
торые принадлежат выращиваемому /г-мино. Обычно
на каждом этапе появляются новые ненумерованные
клетки. Их следует перенумеровать наименьшими по-
ложительными целыми числами, не встречавшимися
ранее в качестве номеров. Вписывать новые номера над-
лежит по часовой стрелке, начиная сверху, с новой
307
клетки, ближайшей к помеченной. Может случиться,
что перенумеровать все новые соседние клетки нам
удастся лишь после того, как мы совершим вокруг по-
меченной клетки несколько оборотов. На рис. 5 пока-
заны последовательные стадии роста одного из 9-мино.
•
12
2 11 2 б
3 I 1 I 3 10 5 1 3
4 9 4 8
12 18
7 10
17
и
2
б
5 13
9
4
8
13
7
13
14
16
10
17
11
5
9
2
1
4
б
3
8
13
7
15
19
14
21
20
16
10
17
11
5
9
2
1
4
12
6
3
8
18
13
7
15
19
14
21
20
22
16 23
Рис. 5. Последовательные стадии роста одного из 9-мино по алго-
ритму Ра и веста.
Алгоритм Райвеста задает «генеалогическое древо»
корневых трансляционных типов л-мино. Множество
номеров р(Л), приписанных клеткам корневого м-мино
Л, называется его именем. Например, корневое 9-мино
на рис. 5 имеет имя {1, 3, 5, 6, 7, 9, 13, 14, 21}. Корневое
полимино В называется потомком корневого полимино
Л, если имя полимино А составляет часть имени поли-
мино В, т. е. если р(Л)^р(В). Часть генеалогического
древа корневых трансляционных типов полимино пока-
зана на рис. 6.
Если п больше единицы, то (3/г— 1) — наибольшее
целое число, встречающееся в имени любого корневого
я-мино. Это можно пояснить, рассуждая следующим
308
образом. Наибольшее целое число, используемое для
нумерации клеток, соседних с корневым мономино
(1-мино), равно 5. Добавление одной клетки к корневому
полимино увеличивает число соседних клеток (не более
чем) на 3. Следовательно, наибольшее целое число,
используемое для нумерации корневого п-мино, не пре-
Рнс. 6. Генеалогическое древо корневых трансляционных типов
полимино.
вышает Зп—2. При п>\ корневое п-мино вырастает
(путем добавления какой-то соседней клетки) из неко-
торого корневого (п—1)-мино. Целое число, которым
занумерована новая клетка, не больше (т. е. меньше
или равно), чем 3(л—1)+2=Зм—1. Так как корневое
п-мино растет с прибавлением соседних клеток со все
возрастающими номерами, наибольшее целое число,
которое может использоваться в нумерации клеток
я-мино, равно Зп—1. Таким образом, имя каждого корне-
вого трансляционного типа п-мино представляет собой
подмножество множества {1,2, . . ., Зп—1}, содержащее
ровно п элементов. А так как единица входит в имя каж-
дого я-мино, то корневые трансляционные типы /г-мино
309
взаимно-однозначно соответствуют (я—1)-членным под-
множествам множества {2, 3, . . ., Зя—1}, содержащего
(Зя—2) элементов. Число же таких подмножеств, оче-
видно, равно
Гп-х _ (3/1-2)!
^зя-2 (2„ _!)!(„ __!)!>
где Сдр — число сочетаний из р элементов по ц.
Если 1{п) — число трансляционных типов я-мино,
то п1(п) — число корневых трансляционных типов я-
мино. Из приведенного выше рассуждения следует, что
*(п)<СЫ%. (1)
Но, как нетрудно проверить,
1 Сп /I гя-1 _ 3(9п2-1) 27
(л+1) 8я+1/л С^-2~"2(2/12 + Зп + 1)<^ 4 ^'
при всех /1=1, 2, . . ., так что элементарным методом
индукции получаем
*(")< (т)*'1' или ['(")]"*"< т = 6'75- (3>
Методы получения экспоненциальных нижних гра-
ниц для 1{п) приведены в следующем разделе. Наилуч-
шая из когда-либо опубликованных оценок для 1(п)
снизу впервые была приведена в моей диссертации.
Мне удалось показать, что при всех достаточно больших
я выполняется неравенство
(3,72)"</(я), или 3,72<[Цп))1'п. (4)
Границы (3) и (4) показывают, что число трансляци-
онных типов я-мино растет экспоненциально. Заметим,
что если г (я) — число вращательных типов я-мино,
с(п) — число изометрических типов я-мино, то
/ (л)/8<с (л)<г (я)</ (я). (5)
Таким образом, число я-мино каждого типа возрастает
экспоненциально с одной и той же скоростью. Это оз-
начает, что даже самые эффективные алгоритмы, пред-
назначенные для построения всех трансляционных ти-
пов я-мино, при очень больших я (например, при я=30)
оказались бы малоэффективными, так как во всем мире
не хватило бы места для хранения каталога я-мино.
310
Подсчет числа полимино
Итак, множество трансляционных типов /г-мино даже
при умеренно больших п слишком обширно, чтобы его
можно было перечислить по элементам. Но даже в этом
случае мы могли бы пересчитать, сколько элементов
содержит такое множество при различных п. Напомним,
что 1{п), г(п) и с (п) означают соответственно число
трансляционных, вращательных и изометрических ти-
пов п-мино. Так как /(я), г(п) и с(п) ограничены сверху
некоторой экспонентой, например числом 8", десятич-
ная запись каждого из этих чисел содержит не более п
знаков. Иногда существуют хорошие алгоритмы для
вычисления членов последовательностей, растущих экс-
поненциально. Например, десятичную запись 2п можно
вычислить, произведя около 2\о&2п умножений. Сущест-
вует алгоритм, требующий порядка 1о§2/г основных
операций для вычисления п-то члена Рп последователь-
ности чисел Фибоначчи 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, . . . . (На-
помним, что каждый член этой последовательности,
начиная с третьего,. равен сумме двух предыдущих.)
Члены последовательности Фибоначчи растут экспонен-
циально*, поэтому "в десятичной записи л-го члена
около п знаков.
После этих предварительных замечаний спросим:
существует ли хороший алгоритм для вычисления /(/г)?
Тот же вопрос можно сформулировать даже не столь
определенно: существует ли какая-нибудь формула
для 1(п)?
В некотором смысле формула для 1(п) существует.
Например, можно было бы, воспользовавшись предло-
женным Райвестом процессом роста, построить множе-
ство всех корневых трансляционных типов /г-мино,
пересчитать элементы в этом множестве, а затем разде-
лить полученное число на п. Результат деления был бы
равен 1(п). К сожалению, такой алгоритм требует около
я/(я) шагов, а величина п1 (п) растет экспоненциально.
Насколько мне известно, все существующие ныне алго-
ритмы для вычисления г (я), 1(п) или с (п) упираются в
ту же проблему, т. е. время вычисления для этих алго-
ритмов ограничено снизу элементарными функциями
* См. формулу (4) на с. 18.— Прим. ред.
311
от г(п), 1(п) или с(п)у а не сверху каким-нибудь много-
членом от п. Вполне возможно, что хорошего алгоритма
для вычисления этих чисел не существует, но недавно
созданная теория сложности алгоритмов еще не до-
стигла того уровня совершенства, на котором можно
было бы решить этот вопрос.
Рис. 7. Трансляционные типы л-мино, умещающиеся в полоске ши-
риной в 2 клетки.
Удивительно, но даже при использовании весьма
изящного алгоритма, предложенного Р. Ч. Ридом,
время, затрачиваемое на расчеты, экспоненциально
растет с п. Алгоритм Рида предназначен для вычисления
1к(п) — числа трансляционных типов п-мино, умещаю-
щихся в полоске шириной к клеток. Этот алгоритм можно
приспособить к вычислению 1(п), г(п) и с (я), и Риду
удалось найти значения этих функций примерно для
десятка различных значений пу не прибегая к ЭВМ
и даже микрокалькулятору. На рис. 7 показаны транс-
ляционные типы я-мино, умещающиеся в полоске ши-
риной в 2 клетки при п=1, 2, 3, 4. Значения 12(п) при-
ведены в следующей таблице:
п
и(п)
1 2 3
2 3 6
4 5 6 7
И 20 27 68
8
125
9 10 11
230 423 778
12
1431
Возможно, кто-нибудь из читателей, разглядывая
эту таблицу, заметит важную особенность: каждый член
последовательности 12(п), начиная с четвертого, равен
сумме трех предыдущих, т. е.
12(п+3) = (2(п+2) + 12(п+1^2(п)
(П
312
при л=1, 2, 3, ... . Эта формула означает, что после-
довательность {/2(1), М2), ^г(З), . . .} удовлетворяет
разностному уравнению третьего порядка*. Рид доказал
более общее утверждение: при любом к последователь-
ность (*/Д1), *д(2), • • •} удовлетворяет разностному
уравнению, порядок которого зависит от к. В доказа-
тельстве Рида неявно содержится алгоритм для вывода
^^
п
Рис. 8. Типичный «штабель досок».
этого разностного уравнения. Рид свел также свой ал-
горитм к вычислению степеней некоторой квадратной
матрицы Мк: чтобы найти 1к(п), требуется вычислить
Мк, М1У . . ., Мь'**1- К сожалению, матрица Мк
имеет порядок 3й, а степени ее М)к приходится вычислять
при к и /', достигающих почти половины п. Это означает,
что алгоритм Рида с увеличением п требует экспонен-
циально возрастающих затрат времени. Полагаю, что
машинная реализация алгоритма Рида позволила бы
вычислить \(п), г(п) и с(п) при многих значениях я.
Были исследованы и другие подмножества трансля-
ционных типов п-мино. Например, один из пионеров
в этой области Мюррей Идеи рассмотрел Ь(п) — число
трансляционных типов п-мино, составленных как бы
из горизонтальных полосок. Такие п-мино по виду на-
поминают штабеля досок (рис. 8); поэтому их можно
было бы назвать штабельными п-мино. Значения Ь(п)
приведены в следующей таблице:
п 1234567 8 9 10
Ь(п) 1 2 6 19 61 196 529 1517 4666 14827
Идену удалось доказать, что при всех достаточно боль-
ших п выполняется неравенство
(3,14)я<6(л).
Когда я прибыл в университет Альберти, чтобы при-
ступить к своей дипломной работе, Лео Мозер пред-
* Ср. брошюру Маркушевича [10], указанную на с. 485.—
Прим. хед.
313
ложил мне улучшить оценку Идена. Я сумел доказать,
что
Ь(п+4)=5Ь (п+3)—7Ь (п+2)-^4Ь (п+1) (2')
при п— 1, 2, . . . . Отсюда следовало, что при всех до-
статочно больших п выполняется неравенство
(3,20)"<6(/г).
Примерно через десять лет Дональд Кнут предложил
называть штабельные д-мино выпуклыми по рядам.
(Просто выпуклыми /г-мино следовало бы называть шта-
бельные /г-мино, выпуклые по рядам и по столбцам.) Ро-
нальду Райвесту и мне удалось найти способ вычислить
й(п) (число выпуклых трансляционных типов п-мино).
Мы доказали, что (с1(п))1/п стремится к 2, 309 148 . . . .
Исходя из нашей формулы, Эд Бендер вывел асимпто-
тическую формулу для с1(п).
Оценки числа /г-мйно
Мы уже упоминали о том, что 1{п) [так же, как г(п)
и с (п)] — число трансляционных типов я-мина — экс-
поненциально растет с ростом п. Кроме того, доказано,
что затраты времени, требуемые всеми известными ал-
горитмами для вычисления 1(п), экспоненциально воз-
растают с увеличением п. Возможно, причиной тому
растущий с возрастом пессимизм, но я вполне допу-
скаю, что хорошей формулы для 1{п) вообще не суще-
ствует. Число 1{п) при /г, например, равном 30, может
оказаться «непознаваемым»*. Что это означает? Любое
утверждение о том, что /(30) равно тому или иному
десятичному (менее чем тридцатизначному) числу, долж-
но подтверждаться каким-то доказательством. А что
если короткого доказательства не существует? Что если
все доказательства этого утверждения настолько длинны,
что на проведение их понадобились бы тысячи лет бес-
прерывной работы самых быстродействующих ЭВМ с
огромной памятью? Перспектива не из блестящих.
Когда нам не удается найти ключ к трудной задаче,
нередко бывает полезно попытаться решить более про-
стую (связанную с ней) задачу. В своей диссертации я
доказал, что (Цп))1/п при п-> оо стремится к некоторому
*Ср. со статьей Д. Э. Кнута «Сверхъестественные числа» в
настоящем сборнике.— Прим. ред.
3*4
пределу 0. Более того, последовательность {/(1), (/(2))1/2,
(/(3))1/3, . . .}, возрастая, сходится к 0; поэтому 0
можно аппроксимировать снизу, вычисляя У(п))1/п для
ряда значений п. К сожалению, для этого требуется
вычислять 1(п), а для получения значений этой функции
хороший алгоритм пока неизвестен. Кроме того, после-
довательность оценок снизу {1{п)х1п} сходится к 0 очень
медленно, поэтому для того, чтобы превзойти нижнюю
границу 3,72<0, полученную мной совершенно другим
методом, понадобилось бы очень большое значение п.
Райвест и я предложили метод вычисления убываю-
щей последовательности оценок сверху для 0. Стои-
мость вычисления этой убывающей последовательности
оценок сверху возрастает экспоненциально, и нам не
удалось показать, что наша последовательность дей-
ствительно сходится к 0. Наша лучшая оценка сверху
0<4,65. Недавно Пэту Вудворту и мне удалось уточ-
нить эту схему. Новый метод, по-видимому, порождает
убывающую последовательность оценок сверху, сходя-
щуюся к 0. Реализовать наш метод на ЭВМ нам пока не
удалось.
Таким образом, предел 0 — величина в какой-то
мере иллюзорная: ни один знак десятичной записи 0
до сих пор не известен! Возможно, что для вычисления 0
не существует хорошего алгоритма и что, кроме двух-
трех первых цифр, все остальные знаки десятичного
разложения 0 «непознаваемы», т. е. невычислимы за
время жизни многих поколений людей. (Иногда в раз-
говорах на эту тему я в шутку называл 0 «постоянной
Кларнера». Хороша постоянная, все знаки которой
пребывают в неизвестности! Если бы удалось доказать,
что, например, 0=4, то детей можно было бы обучать
счету так: «один, два, три, постоянная Кларнера,
пять, . . .».)
В заключение этого раздела приведем таблицу из-
вестных значений с(п) (числа изометрических типов п-
мино). Эти значения (а также огромный объем другой
информации о полимино) были получены на ЭВМ
Д. Г. Редельмайером. Существует весьма интересная
гипотеза, согласно которой последовательность отноше-
ний с(2)1 с(\), с(3)/с(2), . . . возрастает, т. е
_^Ц<с_(^И)при п = 2, 3
с(п — 1) с (п) г * '
315
Если эта гипотеза верна, то последовательность отно-
шений {с(п-\-1)/с(п)}у п=1, 2, . . ., возрастая, стремится к
пределу, равному постоянной Кларнера 0. Каждое из
отношений могло бы служить нижней границей для 6.
В частности, с(24)/с(23)<6, т. е. 3,8977...<9, что по-
бивает конкурирующую оценку снизу 3,72...О. Разу-
меется, об этом улучшении оценки мы будем вправе
говорить лишь после того, как гипотеза будет доказана.
ТАБЛИЦА 1
Число различных я-мино
п с (л)
1 1
2 1
3 2
4 5
5 12
6 35
п
7
8
9
10
11
12
с(п)
108
369
1285
4655
17073
63600
п
13
14
15
16
17
18
с(п)
238591
901971
3426576
13079255
50107909
192622052
п
19
20
21
22
23
24
с(п)
742624232
2870671950
11123060678
43191857688
168047007728
654999700403
Головоломки, сложенные из полимино
Статья Мартина Гарднера о полимино *, опублико-
ванная в 1958 г., ввела меня в эту область, когда я был
еще школьником. Особенно интересными были задачи
и доказательства, придуманные Соломоном Голомбом.
В частности, в статье говорилось, что из 12 вращатель-
ных типов пентамино (которые мы в дальнейшем будем
называть просто пентамино) можно построить различ-
ные по форме прямоугольники площадью 60 (единичных)
клеток. Тогда речь шла о прямоугольниках (3x20),
(4 X 15), (5X 12) и (6X 10). Через несколько лет Ч. Дж. Бау-
кэмп составил с помощью ЭВМ полный каталог ре-
шений всех задач об упаковке 12 пентамино в прямо-
угольную коробку. Помимо четырех двумерных коробок,
названных в статье Гарднера, Баукэмп сумел запол-
нить также коробки (2x3x10), (2x5x6) и (3x4x5).
* Гарднер М. Математические головоломки и развлечения.—
М.: Мир, 1971, с. 111—124.— Прим. перев.
316
Но в 1958 г. читатели гарднеровской рубрики были еще
лишены возможности пользоваться каталогами Бау-
кэмпа и его остроумными программами. Помню, что
мне пришлось изрядно поломать голову, прежде чем
удалось двумя способами заполнить двенадцатью пен-
тамино прямоугольник 3x20. Я также был одним из
многочисленных энтузиастов, приславших свои решения
Гарднеру. Эти два решения (других не существует)
показаны на рис. 9.
Рис. 9. Два способа составить (ЗХ20)-прямоугольник из пентамино.
Второе решение получается при повороте заштрихованной части на
180° вокруг ее центра.
При подготовке статьи к печати я неожиданно обна-
ружил, что никто не рассматривал задачи с вращатель-
ными типами пентамино, т. е. с восемнадцатью «одно-
сторонними» пентамино, изображенными на рис. 10.
Оказалось, однако, что Голомб упоминает об этом на-
боре фигурок пентамино в своей книге «Полимино»:
в одной из задач требуется сложить из них прямоуголь-
ник 9x10. Возможно, что и другие задачи, о которых
пойдет речь в этом разделе, также приходили в голову
Голомбу. Если вы захотите сделать для себя набор из
18 односторонних пентамино, то лучше всего изготовить
их из картона, выкрасив его с одной стороны в черный,
а с другой в белый цвет. Играя фигурками, необходимо
следить за тем, чтобы все они были одного цвета, на-
пример, черного.
Так как всего существует 18 вращательных типов
пентамино, из них можно было бы попытаться сложить
прямоугольники площадью 90 единичных клеток. Эта
задача оказывается разрешимой для прямоугольников
четырех форм, а именно (3x30), (5X 18), (6 х 15) и (9X 10).
Задачи на составление прямоугольников решить легче,
если от «стройных» прямоугольников перейти к «тол-
стым». Например, составить прямоугольник (3x10)
мне удалось примерно за два часа, а на составление
прямоугольника (9x10) ушло только две минуты.
317
и^ФТ^
I I
Рис. 10. Восемнадцать поворртных типов пентамино.
ш:
Ц _] _] I 1н_. 1« |и__1 I»
^ I ПГ П
5
гип
ЖИ
г п
ОТ
и_
Т^
~1 Г
гГ?
Гч
|~гт]
III II
Г ГР
Ц 1
_гг_К_Ч
Р Н1
Рис. 11. Прямоугольники, составленные из односторонних пента-
мино.
318
Столь сильные различия в трудности задач, по-види-
мому, в какой-то мере связаны с тем, что задача на со-
ставление прямоугольника 3x30 допускает немного
решений, в то время как составить из односторонних
пентамино прямоугольник 9x10 можно тысячами раз-
личных способов. Решения обеих задач показаны на
рис. 11.
Рис. 12. Разбиение (ЗХЗО)-прямоугольника на односторонние пен-
тамино, полученное из разбиения, которое изображено на рис. 9.
Выложить односторонними пентамино прямоуголь-
ник 3X30 может оказаться не так-то просто. Но коль
скоро одно разбиение прямоугольника найдено, его
нередко удается преобразовать в другие решения с
помощью поворота и перестановки блоков. Объясним,
как действует поворот. Рассмотрим блок из пентамино
с номерами от 6 до 13 в разбиении прямоугольника
3X30, показанном на рис. 11. Повернув этот блок на
319
180° вокруг его центра, мы получим первое из решений,
представленных на рис. 12. Но это еще не все. Восполь-
зуемся разбиением, изображенным на рис. 11. Переста-
вив два блока, состоящих из пентамино с номерами от
6 до 11 и от 15 до 17, получим второе решение из числа
представленных на рис. 12. Преобразуя разбиение,
показанное на рис. 11 вверху, можно получить все
пять различных разбиений, изображенных на рис. 12.
Два преобразования сводятся к поворотам, остальные
к перестановкам блоков. Разумеется, ничто не мешает
нам применить те же преобразования к разбиениям
на рис. 12 и получить девять новых разбиений. Про-
должая, мы получим много новых разбиений. Думаю,
что читателю будет интересно самому проследить, сколь-
ко новых разбиений возникает из уже известных с по-
мощью поворотов и перестановок. Разумеется, отразив
любое разбиение в зеркале, мы также получим новое
решение, но зеркально-симметричные разбиения сле-
дует считать одинаковыми, хотя в техническом смысле
они и различны.
Когда моя жизнь среди полимино только начиналась,
я пытался найти фигуры, допускающие изящные опре-
деления, а затем принялся размышлять над тем, что
можно было бы из них сделать. Такого рода занятия
можно проиллюстрировать на примере односторонних
пентамино. Изящество этого набора фигурок отчасти
объясняется простотой их определения. На протяжении
нескольких лет я пытался найти ответ на вопрос, не
существуют ли еще более простые наборы фигурок,
которые бы порождали не менее сложные задачи. Мои
собственные изобретения представляли конструкции из
нескольких экземпляров одной и той же фигуры поли-
мино или поликуба (поликубом я называю трехмерный
аналог полимино). Задача, которую я рассматривал,
всегда была одной и той же: перечислить все прямоуголь-
ные коробки, которые можно заполнить несколькими
экземплярами одной и той же фигуры. Пример такого
рода задачи мы рассмотрим в следующем разделе.
ДО-пентакуб
На рис. 13 изображен УУ-пентакуб. Мы специально
расположили его так, чтобы подчеркнуть сходство с
очертаниями латинской буквы N. от которой и произо-
320
шло его название. В действительности Л/'-пентакуб пред-
ставляет собой Л^-пентамино, все пять единичных кле-
ток которого заменены единичными кубами. Очень легко
доказать, что из ЛЛпентамино нельзя выложить без про-
светов прямоугольник. Действительно, фигурами М-
пентамино невозможно выложить один конец прямо-
&>
Рис. 13. М-пентакуб.
угольника. Следовательно, Л^-пентакубами невозможно
заполнить без просветов ящик в форме прямоугольного
параллелепипеда, одно из ребер которого имеет единич-
ную длину. А можно ли вообще заполнить какие-нибудь
прямоугольные ящики ЛЛ-пентакубами? Оказывается,
можно! Я начну с описания ящиков, у которых одно из
ребер имеет длину 2.
Если ящик ахЬХс плотно упакован ЛЛпентакуба-
ми, то объем каждого пентакуба (равный 5) должен
делить объем аЬс ящика. Это означает, что одно из
чисел а, Ь или с кратно 5. Рассмотрим частный случай
а=2. Тогда Ь или с кратно 5 (пусть с кратно 5). Не-
трудно показать, что ЛЛпентакубы невозможно уложить
без промежутков у стенки ящика 2хЬХс при 6=1, 2, 3,
даже если третье ребро с имеет длину, кратную 5. Од-
нако, как видно из рис. 14, ЛЛпентакубами можно за-
полнить ящики (2x4x5), (2x5x5), (2x6x5) и (2х7х
Х5). Из этих ящиков можно составить более вмести-
тельные ящики, сплошь заполненные Л^-пентакубами.
Нетрудно показать, что любое целое число 6>3 пред-
ставимо в виде Ь=№+5х+6у+7г, где о;, х> у, г — неотри-
цательные целые числа. Следовательно, ящики оу(2х4х
Х5), *(2х5х5), #(2x6x5) и 2(2x7x5) можно при-
строить один к другому стенками 2x5, образовав ящик
2x6x5, сплошь заполненный Л^-пентакубами. Склеив
к таких ящиков стенками 2x6, мы получим ящик 2х6х
Х5к. Следовательно, множество 52 всех (2х6хс)-ящи-
ков, которые можно сплошь заполнить УУ-пентакубами,
11 № 1136
321
щ
/
/ /
/ /
Л^у *—
У'У]
/л—
//&-?
( ( ''
У У
"1 о| 1
1»1 1
х] Гх1
~| пг-Ч 1
Рис. 14. Четыре основных «ящика» для М-пентакубов. Пентакубы,
помеченные кружками в верхнем слое, в нижнем слое помечены крес-
тиками.
322
X О
О X
I ~х]о
Го хТо I
Рис. 15. Ящик размером 3X5X8, сплошь заполненный М-пентакуба-
ми.
Рис. 16. Ящик размером 3X4X15, сплошь заполненный М-пентаку-
бами. Если заштрихованные пентакубы удалить, а свободные грани
сдвинуть вместе, то получится ящик размером ЗХ4Х 10, по-прежнему
сплошь заполненный М-пентакубами.
состоит из всех ящиков с Ь>Ъ и с кратным 5. Базисом
множества служат четыре бруса, изображенные на
рис. 14. Это означает, что любой ящик, заполненный
11*
323
ЛГ-пента-кубами, можно составить из четырех брусов,
показанных на рис. 14.
Множество 52 состоит из всех двухслойных ящиков,
которые могут быть сплошь заполнены Л^-пентакубами.
Рис. 17. Куб с ребром 5, сложенный из М-пентакубов.
Из таких ящиков в свою очередь можно составить ящики
с четным числом слоев (больше двух). Это означает, что
четыре ящика, изображенные на рис. 14, служат бази-
сом для ящиков, имеющих размеры 2ахЬХ5с, где ау с= 1,
2, 3, ... и Ь=4, 5, 6, .... Ни один из этих ящиков не
имеет в толщину ровно 3 слоя. Можно ли заполнить
сплошь М-пентакубами трехслойные ящики? До сих
324
пор мне удалось заполнить #-пентакубами ящики Зх'бХ!
х8 (рис. 15) и ящики 3X4x56 при к=2у 3, . . . (рис. 16).
Доказано, что ящик 3x4x5 невозможно заполнить
М-пентакубами. Неизвестно, какие ящики ЗхбХп мож-
но заполнить М-пентакубами, но алгоритм решения этой
задачи существует.
Каждый четырехслойный ящик, допускающий раз-
биение на ЛЛпентакубы, может быть составлен из двух-
и трехслойных ящиков, заполненных М-пентакубами.
А что можно сказать о пятислойных ящиках? Ключевая
проблема в этом классе задач состоит в следующем:
как сложить из Л^-пентакубов куб с ребром 5? Немалых
усилий стоило мне собрать его из Л^-пентакубов (рис. 17).
Прилаживая последний ЛЛпентакуб, я едва держался
на ногах от усталости!
Ящиков, сплошь заполняемых Л^-пентакубами, до-
статочно много, чтобы попытаться доказать общее ут-
верждение: любой ящик ахЬхс можно заполнить Ы-
пентакубами, если произведение аЬс кратно 5 и а, Ь, с —
достаточно велики. Как показано в следующем
разделе, чего-то подобного действительно можно ожи-
дать. Ящики, которые можно заполнить Л^-пентакубами,
но нельзя разрезать на меньшие ящики, также заполня-
емые пентакубами, называются основными или примитив-
ними. Множество примитивных ящиков конечно, но
(для задачи заполнения Л^-пентакубами) неизвестно.
Заполнение ящиков брусками
Одним из многих преимуществ моего двухлетнего
пребывания в Нидерландах, где я работал с де Брёйном,
была встреча с еще одним «обитателем страны полими-
но» — Фрицем Гёбелем. Он не расставался с блокнотом,
в который заносил всю информацию и различные ги-
потезы о полимино. Гёбель напомнил мне об одной
задаче Голомба, которую я в свое время решил (мое ре-
шение было опубликовано в журнале Атепсап Ма1Ье-
та11са1 Моп1Ыу). Суть ее сводилась к следующему.
Каждый прямоугольник, который можно выложить из
/,-тетрамино, допускает покрытие прямоугольниками
2x4 и 3x8. Такие прямоугольники также можно со-
ставить из /,-тетрамино. Другой результат такого рода
был получен Дэвидом Уокапом. Он доказал, что любой
325
прямоугольник, допускающий разбиение на Г-тетра-
мино, можно выложить квадратами со стороной 4. Такие
квадраты также допускают разбиение на Г-тетрамино.
(Разбиения прямоугольников 2x4 и 3x8 на/,-тетрамино
и разбиение квадрата 4x4 на Т-тетрамино показаны
на рис. 18.) Этот результат и аналогичные открытия
Рис. 18. Основные «ящики» для /,-тетрамино и Г-тетрамино.
позволили Гёбелю высказать гипотезу о том, что мно-
жество /? прямоугольников, допускающих разбиение
на заданное полимино, имеет конечный базис 5, т. е.
что в К существует конечное подмножество В пря-
моугольников, которыми можно покрыть любой прямо-
угольник из 7?. Гёбель также предположил, что если
площади двух прямоугольников А и В выражаются
взаимно-простыми числами, то любые прямоуголь-
ники, обе стороны которых достаточно велики, допу-
скают покрытие прямоугольниками А и В. Гёбель на-
меревался воспользоваться этим утверждением для
доказательства первой гипотезы, но оказалось, что
вторая гипотеза неверна.
Вдохновленный гипотезами Гёбеля, я нашел необ-
ходимое и достаточное условие того, что прямоуголь-
ник аХЬ допускает разбиение на квадраты рХр и ^Х^:
либо прямоугольник допускает разбиение на квадраты
одного размера, либо его можно разрезать на два пря-
моугольника, каждый из которых допускает разбиение
на квадраты одного размера. Мое условие означает, что
выполняется одно из следующих утверждений:
1) оба числа а и Ь делятся на р\
2) оба числа а и Ъ делятся на ц\
3) либо а, либо Ь (пусть, например, а) делится на р
и на ц, в то время как Ь=рх+ду, где х и у — неот-
рицательные целые числа.
Это означает, что если р=2, д=3, то ни один из квад-
ратов 5x5, 25x25, 125x125, . . ., 5*х5*, . . . невоз-
можно выложить из квадратов 2x2 и 3x3.
Опровергнув тем самым вторую гипотезу Гёбеля,
перейдем к доказательству его первой гипотезы. Она
326
т
оказалась верной, но мне удалось получить более опре-
деленный результат.
Пусть ^ — бесконечное множество прямоугольников
с целочисленными сторонами. Задавая каждый прямо-
угольник, мы будем указывать его положение на пло-
скости и ориентацию. Под прямоугольником ахЬ мм
будем понимать прямоугольник со стороной а, парал-
лельной оси уу и другой стороной, параллельной оси х.
Рис. 19. Разбиение прямоугольника, которое невозможно построить
по методу «разделяй и властвуй».
Это означает, что если афЬ, то ахЪ и Ьха — разные
прямоугольники. Прямоугольники, переходящие друг
в друга при параллельных переносах, считаются оди-
наковыми (эквивалентными). Разбиения мы также за-
даем не произвольно, а с помощью метода «разделяй
и властвуй», т. е. исходный прямоугольник разрешается
только разрезать на два меньших прямоугольника,
каждый из которых подвергается разбиению тем же
методом. Например, моя теорема о разбиении прямо-
угольников на квадраты двух размеров утверждает,
что прямоугольник допускает разбиение на квадраты
двух размеров в том и только том случае, если он допу-
скает разбиение по методу «разделяй и властвуй». Раз-
биения такого типа, как показано на рис. 19, невозможно
построить по методу «разделяй и властвуй».
Моя теорема относится к разбиению ориентированных
прямоугольников с использованием метода «разделяй
и властвуй». Она утверждает, что каждое бесконечное
множество /? ориентированных прямоугольников содер-
жит конечное подмножество В, такое, что любой элемент
множества Я допускает разбиение на элементы подмно-
жества В по методу «разделяй и властвуй». Более того,
аналогичное утверждение справедливо и в 6-мерном
пространстве.
Изящную теорему о разбиении ящиков на бруски
сформулировал и доказал Дик де Брёйн. Он назвал
гармоническим брусок размерами ахаЬХаЬс, где а, Ь,
327
с — целые числа. (Аналогичное определение вводится
и для многомерных брусков.) Теорема де Брёйна ут-
верждает, что ящик допускает разбиение на гармони-
ческие бруски в том и только том случае, если допускает
также разбиение, при котором все бруски уложены па-
раллельно (т. е. когда ящик имеет размеры арХаЬдХ
хаЬсг). Это означает, что ящик допускает разбиение на
гармонические бруски в том и только том случае, когда
разбиение достижимо по методу «разделяй и властвуй».
Другая доказанная мной теорема утверждает, что пря-
моугольник больших размеров можно выложить мень-
шими прямоугольниками в том и только том случае,
если разбиение большего прямоугольника можно по-
строить по методу «разделяй и властвуй». Я начал было
думать, что и в общем случае одинаковыми брусками
можно выложить ящик в /г-мерном пространстве в том
и только том случае, если соответствующее разбиение
ящика можно построить по методу «разделяй и власт-
вуй», но Дэвид Сингмастер привел контрпример. Бру-
сками 1x3x4 можно выложить ящик 5x5x12, но как
разбить ящик на такие бруски по методу «разделяй и
властвуй»? Из моего доказательства первой гипотезы
Гёбеля следует, что, за исключением конечного множе-
ства ящиков, все ящики, допускающие разбиение на
конгруэнтные бруски заданного размера, могут быть
разделены на эти бруски методом «разделяй и властвуй».
С днем рождения, Мартин!
5. Задачи и забавы
5.1. Исчезновения
Дональд Э. Кнут
Перед вами короткое — в восемь строк — «стихо-
творение в прозе». Если правые части первых трех строк
переставить с правыми частями пяти заключительных
строк, то получится «стихотворение в прозе» всего в
семь строк. Какая строка исчезает при такой переста-
новке?
Я хотел знать, куда исчезают кролики из
шляпы фокусника.
Волшебные слова вроде «фокус-
покус» но. отменяют
законы науки ягные математические истины.
Манипуляторы творят чудеса, заставляют предметы летать, словно во сне,
на удивление непосвященным и те парят.
Как бы повисают в воздухе, лишенные опоры.
Тут какая-то тайна: ведь трюки создают (по крайней мере такова видимость)
по мановению волшебной
палочки силу, перед которой не устоит ничто.
Волшебные слова вроде «фокус-
покус» заставляют предметы летать, словно во сне,
и те паря г.
законы науки повисают в воздухе, лишенные опоры.
Манипуляторы творят чудеса, создают (по крайней мере такова видимость)
па удивление непосвященным силу, перед которой не устоит ничто.
Как бы я хотел знать, куда исчезают кролики из
шляпы фокусника.
Тут какая-то тайна: ведь трюки не отменяют
по мановению волшебной
палочки ясные математические истины
329
5.2. Неевклидова гармония
Скотт Ким
Евклид
Одним из выдающихся достижений древних греков
было создание дедуктивной системы гармонии тонов,
построенной на основных звуках, которые окружали
людей в их повседневной жизни. Эта система подробно
изложена в 13 книгах евклидовых «Начал гармонии»,
известных также под названием «Гармонический ряд».
Сначала Евклид вводит 5 аксиом (постулатов):
1. От всякой ноты к другой ноте можно перейти, вы-
держав паузу (аксиома Арпеджио).
2. Конечную паузу можно продолжить неограни-
ченно (аксиома Ферма(та)).
3. Развитие мелодии может быть описано посредством
задания тональности и звена секвенции (аксиома сек-
венции).
4. Все тритоны равны между собой (демоническая
аксиома).
5. Если мелодическая линия сопровождает две дру-
гие мелодические линии, отстоящие на квинту, таким
образом, что с одной стороны они образуют два внут-
ренних односторонних интервала, в сумме меньшие двух
тритонов, то эти две мелодические линии, если продол-
жить их неограниченно, разделяются с той стороны, где
односторонние интервалы составляют меньше двух три-
тонов (квинтовый, или пятый, постулат).
Из этих аксиом Евклид сумел вывести некоторые
теоремы, в частности следующую:
Сумма интервалов триады равна двум тритонам,
Евклид исследовал аполлоновы прогрессии и до-
казал, что для каждого пункта в квинтовом круге су-
ществует обратимый контрапункт.
Евклид, по-видимому, не был удовлетворен формули-
ровкой своего пятого постулата, которому явно недо-
ставало четкого изящества первых четырех. Об этом
можно судить хотя бы на основании того, что Евклид,
в полной мере используя первые четыре постулата,
330
упорно воздерживался от введения в «Начала» пятого
постулата. В одном месте он использовал еще одно
правило, назвав его «расширенным пятым постулатом»
или «постулатом увеличенной квинты», но потом отка-
зался от него, убедившись, что «увеличенная квинта»
совпадает с «малой секстой».
В последующие века немало людей прикоснулись к
«Началам», придирчиво выискивая у Евклида малей-
шие изъяны. Стали поговаривать о том, что пятый по-
стулат лишний. По мнению многих, все созданное на
основе пятого постулата можно было бы сочинить и без
него — используя только четыре первые постулата.
Кое-кто пытался доказать это с помощью весьма обман-
чивых каденций — метод «разрешения путем доказа-
тельства теорем».
В XVII в. итальянский теоретик музыки Джироламо
Саккери сочинил целую сюиту из пьес, противоречив-
ших пятому постулату. Он ожидал, что возникнет ка-
кое-либо противоречие — этого не случилось. Труды
Саккери — один из самых ранних примеров неевкли-
довой композиции. Недостаточная музыкальная подго-
товка не позволила Саккери оценить важность совер-
шенного им открытия. Неспособный к восприятию
новых созвучий, он объявил свои сочинения «несовме-
стимыми с природой мелодической линии», тем самым
лишив себя места, которое по праву принадлежало ему
в истории музыки. Пятый постулат оставался неразре-
шенным долгие годы.
Греческий идеал
Неудача, постигшая Саккери и его предшественни-
ков, была обусловлена господством в теории музыки
греческих идей. Греки считали, что все в мире подчи-
няется числовым соотношениям, которые установлены
богом. Одни и те же соотношения правят и орбитами
планет, и гармонией геометрических фигур, и музы-
кальными построениями. Греки обнаружили много при-
меров таких простых соотношений. Так, теорема Пифа-
гора устанавливала связь между высотой тона, «издава-
емого» гипотенузой, и длиной катетов. Если длина ка-
тетов удваивалась, высота тона падала в два раза. Пи-
фагорейская шкала тонов была основана на отношении
331
3/2, которое называлось золотым интервалом, так как
считалась наиболее благозвучным.
В конечном счете греки свели все пропорции к рядам
обертонов; через много веков это нашло отражение в
изречении: «Бог сотворил ряд обертонов, все остальное
дело рук человека». Исходя из ряда обертонов, греки
создали различные музыкальные шкалы, или моды.
Модальные логики считали, что настройка оказывает
сильное влияние на человеческий темперамент. Про-
порция и реальность в понимании греков были неразде-
лимы, а музыка служила отражением порядка, царя-
щего во Вселенной.
Поскольку существовала только одна музыка, не
возникало необходимости давать точное определение
понятию «музыка». Современному музыканту евклидовы
общие понятия типа «часть всегда меньше целого»
могут показаться наивными. Они основываются на дру-
гих столь же неясных понятиях, которые никак не
могут служить самостоятельными (независимыми) оп-
ределениями. Многие композиторы евклидова направ-
ления, признавая необходимость правильного ведения
голоса, ограничивались в своих сочинениях указанием
только тех мест, где могли возникнуть неясности.
Тенденция к аббревиатурам породила ряд «темных
мест» в нотном письме: математику фикта, генерал-бас
и орнаментику. Исполнителю приходилось «на свой
страх и риск» восстанавливать недостающие части му-
зыкального произведения. Великого математика И. С.
Баха считали старомодным за его пристрастие под-
робно выписывать всю орнаментику. Особенно трудно
было реконструировать инструментовку. Создавая свои
произведения, композиторы нередко имели в виду тембры
определенных инструментов, и в тех случаях, когда
исполнителю приходилось восстанавливать звучание по
обрывочным пометкам, имевшимся в его распоряжении,
информация обычно оказывалась недостаточной.
Греческая теория музыки вызывала возражения
музыкантов. Некоторые из фундаментальных проблем
интерпретации музыкального письма, поднятых крити-
ками греческой гармонической системы, удалось раз-
решить только в современной исполнительской прак-
тике. Зенон Элейский усомнился в правильности ин-
терпретации нот с точками, означавшими увеличение
332
наполовину их длительности. По его мнению, целая
нота не существует, так как в противном случае поло-
винную ноту пришлось бы снабдить бесконечно многими
точками. Критик Эпименид весьма самокритично зая-
вил, что «все критики лжецы». В более современной
форме парадокс Эпименида «эта песня неисполняема»
в конечном счете привел к «Симфонии Вселенной» Гё-
деля, которая либо некритикуема, либо неполна. Од-
нако вопрос о том, насколько универсальна евклидова
гармония, никем из критиков греческой теории так и
не был задан.
Неевклид*
Проблема диссонанса была окончательно разрешена
лишь через 2000 лет Неев^лидом (1874—1951). В конце
июля 1921 г. он сказал одному из своих учеников:
«До декабря еще долго, и я успею совершить открытие,
которое обеспечит превосходство немецкой геометрии
на ближайшие 100 лет». Свое обещание он выполнил.
Открытая им геометрия стала называться додекафони-
ческой — по первым двум словам произнесенной им фра-
зы, которая сразу стала крылатой.
Додекафоническая геометрия строилась исключи-
тельно на 12 соотнесенных между собой интервалах (две-
надцатитоновая система), доставлявших в прошлом
немало беспокойства. Сторонники додекафонии объя-
вили все интервалы разрешенными. За образец Неевклид
принял циферблат часов. Мелодические линии он отож-
дествил со стрелками часов. Так как стрелки всегда
пересекаются в центре циферблата, в додекафонии не
могло быть параллельных интервалов. В неевклидовой
гармонии каждый тон, или, как предпочитали говорить
приверженцы нового направления, атон, получает свой
номер от 1 до 12, как на циферблате часов. Затем на
основе этой шкалы от 1 до 12 строится атональный ряд.
Атональные ряды можно суммировать, дифференциро-
вать. Для двух атональных рядов можно построить
* Относительно пародийно обыгрываемой в настоящей статье
параллели между математикой и музыкой и, в частности, сопос-
тавления неевклидовой геометрии с так называемой атональной
музыкой, идущей от австрийского музыканта А. Шёнберга (1874—
1951) и его школы, см. Приложение, с. 483.— Прим. ред.
333
сумму или разность. Атональное дифференцирование
представляет особый интерес для психоакустика.
Неевклидова гармония разрушила греческий идеал
простого отношения. Атональность требует полной сим-
метрии равнотемперации — музыкальной шкалы, ко-
торая не может быть выражена простыми целочислен-
ными отношениями, сглаживающими неравномерности
распределения звуков по высоте. Неевклидова гармония
порвала связи с темперацией и тем самым утратила не-
посредственный контакт с реальностью.
Долгое время точный смысл новой системы гармо-
нии оставался излюбленным объектом критики. Разу-
меется, никому не возбраняется придумать новую си-
стему аксиом и придерживаться ее при создании произ-
ведений. Но сколь осмысленны плоды такого сочини-
тельства? Можно ли их слушать? Тональность и атональ-
ность казались взаимоисключающими противоположно-
стями. Если принять новую систему, то какой логи-
ческий статус обретет евклидова гармония? Не обратятся
ли в прах достижения композиторов — приверженцев
евклидовой системы?
Неевклидова гармония вынудила музыкантов рас-
ширить их понимание взаимосвязей между музыкой и
внешним миром. Было доказано, что существуют гар-
монии, противоположные евклидовой, но не утрачи-
вающие от этого внутренней непротиворечивости. Это
означало, что гармонию надлежит рассматривать как
абстрактную игру совершенно независимо от того, сколь
мощны ее выразительные средства. Вместо сочинения
пьес в уже существующих стилях композиторы начали
уделять все больше внимания разработке собственных
музыкальных стилей.
Хотя по богатству композиционных возможностей
евклидова и неевклидова системы гармонии не уступали
друг другу, оставался открытым вопрос о том, какая
система точно описывает акустическую реальность.
Кроме того, как показали последние работы по психо-
акустике, человеческое ухо не различает точные цело-
численные отношения. Пространство восприятия фор-
мируется под действием многих других факторов, на-
пример громкости звука и скорости, с которой он рас-
пространяется. Таким образом, евклидова гармония
неверна даже как описание реальных звуков. Евклидова
334
гармония — всего лишь одна из континуума потенци-
альных возможностей, охватывающего все мыслимые
разновидности атональности. С точки зрения повсед-
невности евклидовой гармонии вполне достаточно, так
как интервалы равнотемперации являются точнкми ап-
проксимациями интервалов ряда обертонов. Различие
между евклидовой и неевклидовой гармониями стано-
вится заметным только в предельных случаях, когда
модуляции происходят очень быстро. Не удивительно,
что неевклидовы гармонии не были реализованы ранее.
Последние достижения
Следуя атональной системе как образцу, компози-
торы начали создавать многие другие необычные стили
в композиции. Кое-кто стал сочинять пьесы, которые
можно было исполнять более чем одним способом, что
приводило к композициям двух или более функций.
Другие, стремясь подчеркнуть недетерминированную
форму своих композиций, отстаивали право на исполь-
зование случайных элементов. Эта тенденция встретила
упорное сопротивление. Широко известно высказывание
акустика Эйнштейна, который, создав теорию относи-
тельной высоты звуков, внес немалый вклад в теорию
музыки: «Бог не играет в кости».
В семидесятых годах прошлого века Георг Кантор
приступил к исследованиям сверхзвуковых частот. До
Кантора композиторы полагали, что все пьесы, испол-
няемые в сколь угодно быстром темпе, слышны одина-
ково. Кантор, исходя из соотношения 2/3 и несчетных
ритмов, доказал противоположное. Его исследование
увенчалось созданием таких всечастотных мелодий, как
кривая Пеано, исполняемых птицами ординалами и кар-
диналами. Хотя эти звуки охватывают все частоты,
они недифференцируемы. Методом «глиссандо» Кантор
показал, что скрипка может издавать больше нот, чем
фортепиано.
В 1976 г. в исполнении дуэта пианистов Хакена и
Аппеля впервые прозвучала «Баллада о четырех крас-
ках», показавшая, что гимн любой страны может быть
исполнен на четыре голоса. Исполнить «Балладу» уда-
лось после того, как была составлена программа для
ЭВМ, позволившая осуществить систематический пере-
335
бор огромного числа перестановок из некоторого мно-
жества, основанного по существу на очень простой му-
зыкальной идее. Своим исполнением Хакен и Аппель
вновь подняли основные проблемы, касающиеся при-
роды прекрасного. Можно ли назвать музыкальное
произведение прекрасным, если никто не может уловить
его структуру? Кого следует считать творцом музы-
кального произведения, созданного с помощью ЭВМ?
Эти вопросы пока остаются без ответов.
Более подробные сведения о Неевклиде и обсуж-
дение проблем истины в гармонии читатель сможет
найти в книге Д. Хофштадтера «Гёдель, Эшер, Бах»
(НоЫас11ег О. Обс1е1, ЕзсЬег, ВасЬ: ап Е1егпа1 ОоЫеп
ВгаЫ.— Ваз1с Воокз, 1979), где в метафорической форме
совместно обсуждается синтез работы теоретика му-
зыки Курта Гёделя, музыканта-исполнителя Мориса
Корнелиса Эшера и математика Иоганна Себастьяна
Баха.
5.3. Магические кубооктаэдры
Чарлз К. Тригг
Многогранник кубооктаэдр образован восемью рав-
носторонними треугольниками и шестью квадратами.
В каждой вершине кубооктаэдра треугольники и квад-
раты чередуются так, как показано на рис. 1, представ-
ляющем собой ортогональную проекцию кубооктаэдра.
Квадраты образуют связную цепь, причем в каждой
вершине сходятся по два квадрата. Квадраты разбива-
ются также на пары параллельных квадратов, т. е.
квадратов, лежащих в параллельных плоскостях. Плос-
кость, проходящая между двумя параллельными квадра-
тами на равном расстоянии между ними, называется сре-
динной плоскостью] она содержит четыре вершины кубо-
октаэдра, являющиеся вершинами квадрата — средин-
ного квадрата кубооктаэдра (не являющегося его гра-
нью). Таким образом, вершины кубооктаэдра принад-
336
лежат 9 квадратам (каждая вершина принадлежит
3 квадратам).
Если вершины кубооктаэдра занумеровать 12 числа-
ми, сумма которых равна 2, так, чтобы по периметру
каждой квадратной грани сумма чисел была равна. О, то
кубооктаэдр мы назовем магическим кубооктаэдром.
Суммируя числа по периметрам шести квадратов, полу-
Рис. 1. Ортогональная про- Рис. 2. Диаграмма Шле-
екция кубооктаэдра. геля для кубооктаэдра.
чаем 60=22, откуда 0=2/3 (0 называется магической
постоянной нашего кубооктаэдра). Из рассмотрения
трех параллельных квадратов — двух граней и одного
срединного квадрата — следует, что сумма чисел по пери-
метру каждого срединного квадрата равна 2—2(2/3) =
= 2/3, т. е. совпадает с магической постоянной. На
диаграмме Шлегеля кубооктаэдра (рис. 2) хорошо видны
четверки вершин срединных квадратов: это еу Д §, Н\ а,
с, р, т и Ъу йу к, п.
Восемь треугольных граней также подразделяются
на пары параллельных граней (лежащих в параллельных
плоскостях). Приравняв суммы чисел по периметрам
трех квадратов, окружающих (параллельные) треуголь-
ники а]Ъ и Нрк, получим после упрощения а+/+Ь=
=к+р+к: у магического кубооктаэдра противополож-
ным (параллельным) треугольным граням отвечают оди-
наковые суммы чисел по их периметрам.
Если вершинам кубооктаэдра приписать первые 12 на-
туральных чисел, то 2=1+2+. . . + 12=78 и 0=2/3=
= 26. Первый этап построения магических кубоокта-
эдров сводится к нахождению 33 разбиений числа 26 на
сумму четырех различных натуральных чисел, каждое
337
из которых не превышает 12 (для краткости числа 10,
11 и 12 обозначены символами X, У и 2):
\2У2 14ХК 2392 258Г 3472 349Х 456Г
13X2 159 К 2482 267Г 3562 358Х 457Х
1492 168 Г 2572 259Х 348К 367Х 4589
1582 169Х 23ХГ 268Х 357У 3689 4679
1672 178Х 249К 2789 5678
Если единица приписана заданной вершине а, то для
распределения чисел по вершинам а, Ь, с, й и а, е, т, /
квадратов необходимо взять две четверки чисел, имею-
щих только одно общее число. Этому требованию удов-
летворяют 11 пар четверок: 12К2, 169Х; 12X2, 178Х;
з .6
7Л
г
1
^4*""
^Т4
У
2
Л5
5 4 89
Рис. 3. Дополнительные магические кубооктаэдры.
13X2, 159Х; 13X2, 168У; 1492, 168У; 1492, 178Х;
14X7, 1582; МХУ, 1672; 1582, 169Х; 159У, 1672 и
1597, 178Х. Приписав единицу заданной вершине, рас-
пределить остальные числа каждой четверки по верши-
нам соответствующего квадрата можно 3! способами.
Таким образом, всего необходимо рассмотреть 62(11) =
=396 исходных вариантов распределения чисел.
Одно из распределений первой пары четверок чисел
показано на диаграмме Шлегеля, изображенной на
рис. 3 слева. Четверка чисел 457Х, содержащая число X
и не имеющая других чисел, общих с уже использован-
ными четверками, выбрана для использования ее в вер-
шинах наружного квадрата. После такого выбора вер-
шин четырехугольника \гщЬ необходимо найти четверку
чисел, содержащую 8, 2 и одно из чисел 4, 5 и 7. Наш
выбор пал на четверку чисел 2789. Затем необходимо вы-
брать четверку чисел, содержащую 8, У и одно из чисел
338
4 или 5. Если в вершинах четырехугольника сдрп стоит
четверка чисел 348У, то для завершения магического
кубооктаэдра остается приписать число 5 вершине к.
Таким способом было найдено 40 магических кубоок-
таэдров. Они существуют в виде 20 пар двойников, зер-
кально-симметричных друг другу. Один двойник пере-
ходит в другой при отражении в плоскости, которой
принадлежат вершины т, а, су р. В табл. 1 из каждой
пары двойников фигурирует лишь один кубооктаэдр.
Распределения чисел, переходящие друг в друга при по-
воротах кубооктаэдра, различными не считались.
Назовем два целых числа дополнительными, если их
сумма равна 13. Два магических кубооктаэдра будем
называть дополнительными, если соответственным вер-
шинам кубооктаэдра приписаны дополнительные числа.
Например, два магических кубооктаэдра на рис. 3 до-
полнительны.
В табл. 1 дополнительными являются следующие
пары кубооктаэдров: А, В; С, О; Еу Р\ С, Н и /, ^. В каж-
дой из пар четверки чисел ау Ьу с, д, являются перестанов-
ками одних и тех же четырех целых чисел. То же можно
сказать и о группах чисел еу /, §у Н и ку ту пу р этих кубо-
октаэдров. Исключение составляют пары кубооктаэдров
Л, В и /, У, в которых переставлены и сами четверки.
Десять кубооктаэдров от К до V «самодополнитель-
ны», т. е. дополнительны самим себе. В парах N у Р;
/?, 5 и Г, 0 распределения чисел по местам ау Ьу су й и ку
ту /г, р одинаковы. В парах Ыу Р и /?, 5 вершинам йу Д
§■, к отвечают четверки чисел, расположенных в таком
порядке, что последовательность чисел в одном кубоок-
таэдре пары противоположна их последовательности
в другом. В кубооктаэдрах /?, 5, Ту V четверки чисел
ау Ьу су й являются перестановками одних и тех же чи-
сел—так же, как и четверки чисел еу [, ^ й и ку пгу пу р.
Так как соответственные треугольники противопо-
ложны, суммы чисел по периметрам треугольников,
имеющих общие стороны с наружным квадратом на рис. 2,
совпадают с суммами по периметрам треугольников,
имеющих общие стороны с внутренним квадратом. Сум-
мы по периметрам треугольников, примыкающих к сто-
ронам наружного квадрата, представлены в табл. 1
в том порядке, в каком они встречаются при обходе диа-
граммы Шлегеля по часовой стрелке, начиная с верхнего
339
ТАБЛИЦА 1
Магические кубооктаэдры с магической постоянной 26
Обозначе-
ние маги-
ческих
кубоокта-
эдров
Л
В
с
в
Е
Р
0
Н
1
^
к
ь
м
N
р
я
я
5
т
ц
а
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Расположение чисел на шлегелевскои
диаграмме
Ьсёе[&Нктп
2
г
3
2
9
2
5
2
7
2
2
У
9
У
У
8
9
9
У
У
У
У
X
X
4
4
8
8
6
6
2
2
2
4
4
2
У
У
5
5
2
2
2
3
2
9
2
5
2
7
У
2
4
X
X
5
5
5
9
9
6
X
5
У
7
8
4
X
4
5
6
X
8
6
8
6
7
X
7
X
9
7
У
8
8
6
X
9
У
9
9
8
X
7
5
9
6
3
X
7
8
4
8
2
6
5
9
3
3
2
7
3
5
5
7
7
3
6
3
6
3
5
2
5
5
7
3
4
8
X
4
5
3
8
6
4
X
7
6
3
5
9
7
7
2
2
7
7
2
4
5
9
У
2
2
У
4
4
4
4
X
8
9
6
X
У
У
6
X
У
X
7
7
2
2
X
2
2
8
8
7
3
4
4
3
3
2
2
5
3
8
4
2
3
3
2
8
8
2
2
Р
4
6
6
9
У
X
6
К
9
8
3
6
6
9
9
3
2
2
2
2
Суммы чисел по
периметрам
треугольников
\тп &пр Нкр ект
26
18
24
18
21
20
23
17
26
23
27
19
19
22
20
21
26
23
20
17
19
13
18
15
20
18
17
16
17
13
18
13
13
17
19
12
13
16
17
20
12
20
15
21
18
19
16
22
19
22
12
20
20
19
17
18
16
23
22
19
21
27
21
24
19
21
22
23
16
20
21
26
26
20
22
27
23
26
19
22
треугольника. В каждом случае все четыре суммы раз-
личны. Четверки сумм совпадают в парах кубооктаэдров
С, В; Е, Р; О, Я; /С, ($; Ь, М и /?, 5, а также в группе
#, Р, Т, V. У кубооктаэдров С, О, Е и Р четыре суммы
образуют арифметическую прогрессию. У кубооктаэдров
С, С, Е, Р, О, Н> К, 1^, М и С} первая и третья суммы со-
ставляют вместе столько же, сколько вторая и четвертая
суммы, а именно 39. У кубооктаэдров ДО, Я, /?, 5, Т и V
то же число 39 составляют некоторые рядом стоящие
пары сумм.
Кубооктаэдры /,, М, # и 5 супер магические — здесь
имеются 9 квадратов и 2 треугольника с суммами чисел
по их периметрам, равными 26.
340
Первые 12 натуральных чисел невозможно распреде-
лить по вершинам кубооктаэдра так, чтобы сумма по
периметрам всех восьми треугольников совпадала, так
как 2 (78)/8=39/2 — не целое число.
5.4. Игры, графы, галереи
Росс Хонсберджер
Выпучивание рельса
Для начала я хотел бы задать Мартину Гарднеру не-
большую задачку (принадлежащую Мюррею Кламкину),
чтобы проверить силу его математической интуиции.
Представьте себе, Мартин, плоский прямой рельс А В
Л 2500 1 В
Рис. 1
длиной 5000 футов*, жестко закрепленный на концах
(рис. 1). Летом в сильную жару рельс удлиняется на
2 фута, что приводит к его выпучиванию. Предположим,
что рельс изгибается симметрично. Как велика стрела
прогиба в середине: 1 дюйм, 4 фута, 0,1 дюйма?
Так как полная длина удлинившегося рельса состав-
ляет 5002 фута, длина каждой его половины равна 2501
футу. Удлинившись, рельс принимает форму некой
плавной кривой, но для грубой оценки стрелы прогиба
можно предположить, что он имеет форму симметричной
ломаной, состоящей из двух прямолинейных звеньев.
Тогда оценку стрелы прогиба х нетрудно найти по теоре-
ме Пифагора
х = К25012—25002 =
= ^(2501 —2500) (2501 +2500) = К500Г,
* 1 фут»30,5 см; 1 дюйм=1/12 фут^2,5 см — английские меры
длины.— Прим. ред.
341
что составляет около 70 футов! Столь большая величина
прогиба может показаться неожиданной. С учётом криво-
линейной формы прогиба рельса эта величина на самом
деле оказывается ближе к 67 футам. Насколько близок
к этому ваш результат, Мартин?
Арифметический мастермайнд
Около года назад в США необычайной популярностью
пользовалась математическая игра под названием мас-
термайнд («чемпион по интеллекту»). Играют в нее вдво-
ем. Один из играющих расставляет четыре разноцветные
фишки в ряд, а другой за минимальное число ходов
пытается, не глядя, определить цвета и очередность рас-
положения фишек путем соответствующих вопросов и
рассуждений. Давайте, Мартин, сыграем в аналогичную
арифметическую игру, которая также предложена Мюр-
реем Кламкином.
Прежде всего задумайте 5 положительных целых чи-
сел, каждое из которых меньше 100 (эти числа не обя-
зательно должны быть все различными!): (а1У а2у а3, аи
а5). Я должен как можно быстрее определить задуман-
ные вами числа. Мне разрешается пользоваться вашей
помощью — но только в следующей форме. Я называю
вам пятерку чисел (х1у х2у х3у х4у хъ)у а вы сообщаете мне
единственное число
81=а1х1+а2х2+а3х3+а^х^+аьхь.
(В игре мастермайнд расставивший фишки сообщает,
сколько среди названных его партнером х фишек угаданы
правильно, т. е. называет число совпадений Х1=аь\
в нашей арифметической игре правила другие.) Зная чис-
ло $ь я предлагаю вам новую пятерку чисел (уи у2у у3у
у4, у5). Если я назвал все числа правильно, то игра
заканчивается. В противном случае вы называете мне
число
Так продолжается до тех пор, пока я не угадаю все
задуманные вами числа.
Ясно, что после пяти ходов я буду располагать пятью
уравнениями с пятью неизвестными а1У а2у а3, аъ аь —
342
и смогу определить, чему эти неизвестные равны. Таким
образом, игра длится самое большее пять ходов.
Разумеется, смысл игры для меня состоит в том, чтобы
определить задуманные вами числа за минимальное чис-
ло ходов. Можете ли вы, Мартин, поверить, что я всегда
смогу отгадать все задуманные вами числа за 4 хода? За
3 хода, за 2? В действительности я всегда могу устано-
вить задуманные вами числа за один ход!
Действительно, так как мне известно, что каждое из
задуманных вами чисел меньше 100, я на первом же ходу
назову пятерку чисел
(108, 10е, 104, 102, 1),
и вы называете мне величину
51= 100000000а5+ 1000000а4+ 10000а3+ Ю0а2+а,.
После этого, разбив полученное значение 5! на двузнач-
ные «грани» слева направо, я могу определить все пять
задухманных вами чисел. Например, если (аь а2, а3, а^
аъ) = (\7, 68, 5, 42, 8), то 5Х= 1768054208 — и на этом
игра заканчивается.
Первые п натуральных чисел
Хорошо известно (и это легко доказать), что
Дональд Сноу из университета Бригхэма Юнга предло-
жил новый подход к выводу этой формулы.
Пусть
51(л) = 1+2+. . .+п
и
$2(п)=Р+22+. . .+п*.
Тогда
52(/г+т)=12+22+. . .+(п+т)»=
=(12+22+. . .+п2)+(л+1)2+
+(п+2)2+. . .+(п+т)2=
=52(п)+(п2+2л+12)+(п2+4и+22)+. . .
. . .+(л2+2п/п+т2) =
=52(/г)+тп2+2/г(1+2+. . .+т)+
+(12+22+. . .+т2)=
=82(п)+тпг+2п31(т)+8г(т),
343
т. е.
5Д«-к/Г|)-52(/0-г52(/;г) + 2/251(ш)-}-/7Ша.
Поменяв местами т и /г, мы получим
8 {т+п) = 82(т)+8.^п) + 2т81(п)+пт\
Таким образом, равенство 82(п-\-т) = 82(т-{-п) упро-
щается до равенства
2п81(т)+тп2=2т81(п)+пт2.
Так как 51(1)=1, то, подставляя /тг=1, находим
2л+л2=25!(/1)+/1,
откуда сразу же следует формула 81(п)=п(п+1)/2.
Я никогда не переставал восхищаться замечательным
соотношением
13+23+33+. . .+/г3=(1+2+3+. . .+п)\
Роджер Эгглтон из Австралии предложил следующее
геометрическое доказательство этого соотношения. Пло-
и
Рис. 2
щадь к квадратов со стороной к равна к»к2=к3. Распо-
ложим на плоскости
1 квадрат со стороной 1, 2 квадрата со стороной 2,
3 квадрата со стороной 3, ..., п квадратов со сторо-
ной п
344
общей площадью 13+23+33+. . .+/г3. Постараемся по-
строить «слоистый» квадрат. Для этого уложим вдоль
стороны внешнего квадрата квадраты со сторонами 1, 2,
3, ... , я, к ним пристроим новые квадраты и т. д. (рис. 2).
Наша затея завершится успешно, если не считать «чет-
ных» квадратов со сторонами 2, 4, 6, ... , которые в одних
местах (заштрихованные квадраты) покрывают плос-
кость дважды, а в других (квадраты, помеченные бук-
вой х) оставляют пробелы.
Нетрудно понять, что каждый дважды покрытый
квадрат соответствует «пустому», т. е. оставшемуся не-
покрытым, квадрату тех же размеров. Следовательно,
суммарная площадь всех квадратов равна площади квад-
рата со стороной (1+2+.-.+я).
Маршрут разносчика молока,
предложенный Гербом Шенксом
В середине 1974 г. мой коллега Герб Шенкс совершил
необычное открытие в теории графов. Мне бы хотелось
описать это открытие, не останавливаясь на его доказа-
тельстве. Чтобы не затруднять изложение использовани-
ем технических терминов из теории графов, ограничимся
рамками хорошо знакомой всем элементарной геомет-
рии. Однако при этом доказанная Шенксом теорема от-
части утрачивает свою общность. Чтобы рассказать всю
историю с самого начала, я позволю себе обратиться к
читателям, сведущим в элементарной теории графов,
с одной фразой:
наша история начинается с рассмотрения любого
плоского эйлерова графа с нечетным числом корневых
деревьев.
Предположим, что на плоскости из многоугольников,
имеющих одну-единственную общую вершину, построена
некоторая конфигурация Р. Число многоугольников мо-
жет быть любым — выбор его мы предоставляем чита-
телю. Один многоугольник может располагаться внутри
другого. Необходимо, чтобы при этом выполнялись
3 условия:
1) каждый многоугольник должен иметь нечетное
число сторон;
2) никакие две стороны многоугольников не должны
пересекаться;
345
3) ни один многоугольник не может «прикрепляться»
к конфигурации более чем в одной вершине (что позво-
ляет избежать образования «кольца» многоугольников).
Предположим, что области конфигурации Р раскра-
шены через одну в красный и зеленый цвет так, что
Рис. 3
Рис. 4
области, имеющие более одной общей точки, раскра-
шены в различные цвета. Условия 1—3 гарантируют,
что такая раскраска всегда возможна. Чтобы упростить
наш пример, рассмотрим конфигурацию Ру состоящую из
двух треугольников и одного пятиугольника (рис. 3).
Буква К означает «красный», буква 3 — «зеленый».
Дополним нашу конфигурацию новыми ребрами, по-
парно соединяющими вершины конфигурации Р и удов-
летворяющими только одному условию: новые ребра не
должны пересекаться между собой и пересекать ребра,
принадлежавшие конфигурации Р, пока мы не дополнили
ее новыми ребрами (это позволяет исключить из рассмот-
346
рения кратные ребра, т. е. ребра, соединяющие вершины,
уже связанные ребром). Пусть О — дополненная конфи-
гурация (рис. 4).
Построим по конфигурации О новую конфигурацию
Я, называемую двойственным С графом; сделаем это
следующим образом:
О* сплошная линия
//."• штриховая линия
Рис. 5
Рис. 6
1. Поместим по одной вершине внутрь каждой обла-
сти конфигурации С (включая сюда и бесконечную
внешнюю область).
2. Соединим вершины, лежащие в соседних областях
конфигурации О, ребрами, проведя их так, чтобы ребро
пересекало общую границу двух смежных областей во
внутренней точке — по одному такому ребру мы прове-
347
дем для каждого ребра, разделяющего в конфигурации
С две смежные области (рис. 5).
Наконец, пометим каждую вершину конфигурации Н
либо буквой /С, либо буквой 3 в зависимости от того,
какого цвета — красного или зеленого — та область
конфигурации О, которой принадлежит наша вершина
(рис. 6).
В результате получим граф Н с помеченными верши-
нами, обладающий независимо от выбора вершин внутри
областей конфигурации О следующим замечательным
свойством:
выберем какую-либо (безразлично какую) вершину V
за исходную и выйдем из нее вдоль какого-то (безразлич-
но какого!) ребра; тогда если в каждой вершине, поме-
ченной буквой К, мы будем неизменно поворачивать
направо, а в каждой вершине, помеченной буквой 3,—
налево, то мы пройдем по каждому ребру ровно два раза
и закончим наш обход в вершине V.
Обход графа можно довольно изящно изобразить гра-
фически, если у каждого ребра ставить стрелки с номе-
ром, указывающие, в каком направлении и которым по
счету это ребро было пройдено. На рис. 7 изображена
одна из таких схем.
Кто украл яблоки?
Думаю, что многим из вас в часы досуга приходилось
решать логические задачи вроде тех, где требуется «опре-
делить профессию каждого из действующих лиц» или от-
348
ветить на вопрос: кто на ком женат? С возрастом такого
рода логические игры привлекают нас все чаще, хотя
единственным способом решения многих из них остается
прямой перебор всех априори возможных вариантов
и исключение тех из них, которые противоречат усло-
виям задачи. Однако иногда встречаются логические за-
дачи, допускающие весьма остроумные решения. Вот,
например, одна из них:
Известно, что из шести мальчиков ровно двое украли
яблоки. На вопрос, кто украл яблоки, мальчики дали
следующие ответы:
Гарри: Чарли и Джордж.
Джеймс: Дональд и Том.
Дональд: Том и Чарли.
Джордж: Гарри и Чарли.
Чарли: Дональд и Джеймс.
Найти Тома не удалось. Четверо из опрошенных мальчи-
ков назвали одного из участников кражи верно, а другого
неверно-, пятый же назвал неверно оба имени. Кто украл
яблоки?
Особый интерес задаче придают два обстоятельства:
то, что Тома искали, но не нашли, и то, что один из оп-
рошенных оба имени назвал неверно. В моей книге «Ост-
роумные решения в математике» (1пбепш1у т Ма1Ьета-
Ьс$) я изложил подход к решению этой задачи. А недавно
мой хороший друг и коллега Скотт Вэнстоун показал
Чарли
■• Гарри
^^_ Том
Джордж *
*^ Дональд
Джеймс
Рис. 8
мне блестящее решение, сводящее нашу задачу к прос-
тенькой задачке из теории графов. С учетом одного за-
мечания, принадлежащего Джону Аннулису из Аркан-
засского университета в Монтиселло, это решение стано-
вится действительно прозрачным.
Построим граф (рис. 8), каждая вершина которого
/
349
соответствует одному из шести мальчиков, а ребра —
парам имен, названных при опросе (например, ребро
Чарли — Джордж соответствует «показаниям» Гарри
и т. д.). У всех ребер, кроме одного, одна из вершин
соответствует имени мальчишки, укравшего яблоки, и
только у ребра, соответствующего показаниям отъявлен-
ного лжеца, обе вершины не соответствуют именам тех,
кто украл яблоки. Иначе говоря, на две вершины, поме-
ченные именами тех мальчишек, которые украли яблоки,
приходятся 4 конца ребер (по одной вершине от каждого
из четырех ребер и ни одной вершины от пятого ребра).
Заметим также, что вершины, помеченные именами тех,
кто украл яблоки, не соединены ребром. Сразу видно,
что виновниками печального происшествия могут быть
только Чарли и Джеймс.
Теорема Хватала о картинной галерее
Глава 11 моей книги «Математические жемчужины,
II» (Ма1ЬетаИса1 §етз, II) называется «Теорема Хватала
о картинной галерее». В ней рассматривается одна зада-
ча, связанная с охраной картин в галерее. Залы в музеях
и картинных галереях со всякого рода нишами и пово-
ротами образуют столь причудливый орнамент, что дер-
23
Рис. 9
жать под контролем каждый участок музея весьма за-
труднительно. Требуется определить, какое минималь-
ное число сторожей необходимо иметь, чтобы они могли
контролировать всю площадь галереи. Все сторожа на-
ходятся на строго указанных им постах, но могут осмат-
риваться вокруг. Стены галереи плоские. Хватал
доказал, что если галерея имеет п стен (т. е. если она
350
имеет в плане форму п-угольника, как на рис. 9, где
п довольно велико), то, как бы ни был изрезан периметр,
минимальное число сторожей, обеспечивающих охрану
всей галереи, никогда не превысит числа [п/3\, т. е. це-
лую часть отношения и/3. Доказательство теоремы, пред-
ложенное Хваталом, приведено в моей книге; здесь же
я хочу привести другое доказательство этой теоремы.
Рис. 10
Безусловно, доказательство Хватала очень интересно,
но следующее рассуждение, принадлежащее Стиву Фи-
ску из колледжа Боудойна, привлекает меня своей про-
стотой.
Прежде всего галерея разбивается на треугольники
непересекающимися диагоналями, проходящими внутри
ее (рис. 10). Затем вершины получившегося графа гале-
реи раскрашиваются так, чтобы вершины, соединяемые
напрямую ребром, были различного цвета. Методом мате-
матической индукции нетрудно доказать, что для такой
раскраски достаточно трех красок. Действительно, при
ц=3 галерея имеет в плане форму треугольника, и для
раскраски вершин достаточно трех красок. Предполо-
жим, что трех красок достаточно для правильной рас-
краски вершин триангулированной п-стенной галереи
(п^З). Рассмотрим галерею О с (п+1) стенами.
Ясно, что недостатка в диагоналях (ЛВ), отсекающих
от галереи О треугольник (АВС), нет. По предположению
индукции вершины триангулированного я-угольника С,
возникающего при отсечении от О треугольника А ВС,
можно раскрасить тремя красками так, что любые две
соседние вершины будут окрашены в различные цвета.
Так как вершины А и В могут быть окрашены только в
351
две краски из трех, то, окрасив вершину С в третий цвет,
мы получим правильную раскраску триангулированной
галереи О. Тем самым существование правильной рас-
краски любой галереи О доказано по индукции.
Итак, пусть вершины нашей галереи правильно рас-
крашены в три цвета а, Ь и с. Общее число вершин равно
и, поэтому вершин каждого из трех цветов не может быть
больше, чем п/3. Если какой-то цвет (например, Ъ) встре-
чается реже (точнее — не чаще) других (например, т
раз), то т^п/3. Так как т — целое число, это неравен-
ство равносильно неравенству т^[п/3], где [ ] — целая
часть числа.
Любые две вершины любого треугольника в С? не мо-
гут быть одного цвета. Следовательно, в каждом тре-
угольнике должно быть по одной вершине каждого цвета
а, Ь и с. Ясно, что сторож, находящийся в вершине цвета
Ьу может обозревать из нее весь треугольник, а т сторо-
жей, находящихся в т вершинах цвета 6, могут обозре-
вать все треугольники, т. е. всю галерею.
Автотрасса
Рассмотрим теперь следующую интереснейшую зада-
чу, которую, насколько мне удалось выяснить, придумал
молодой венгерский математик Ласло Ловас.
Л
//
/(
Рис. 11
Вдоль трассы Т в произвольно выбранных точках хг,
х2у ... , хп построены заправочные станции (рис. 11).
В резервуарах каждой станции имеется какое-то количе-
ство бензина. В резервуарах всех заправочных станций
имеется ровно столько бензина, сколько необходимо для
352
того, чтобы автомашина могла объехать всю трассу Т.
Доказать, что независимо от распределения бензина по
резервуарам заправочных станций всегда найдется стан-
ция, в которой автомашина с пустыми баками может за-
правиться и, пополняя далее запас горючего из резерву-
аров других станций по мере того, как те будут встре-
чаться по пути, объехать всю трассу.
Дин Гофман (Обернский университет) сообщил мне
следующее решение, которое он узнал от Ловаса.
Предположим, что из произвольной точки трассы от-
правляется в пробный автопробег автомашина с избы-
точным запасом горючего. Объехав трассу один раз, ма-
шина получит на заправочных станциях ровно столько
бензина, сколько необходимо для восполнения расхода
горючего; поэтому по окончании пробега в ее баках
будет столько же горючего, сколько было до того, как
она отправилась в путь. Следя за показателем уровня
бензина, мы заметили, что, когда прибыли на некоторую
заправочную станцию хь, уровень бензина был наиниз-
шим за весь пробег и составлял, скажем, й литров. Это
означает, что во время пробного пробега мы все время
имели д, лишних литров бензина, которые на самом деле
нам вовсе не нужны. Следовательно, с тем же успехом
мы могли бы оставить эти й литров бензина дома. Изба-
вившись от лишнего горючего, мы доехали бы до запра-
вочной станции хи израсходовав бензин до последней
капли. Этого состояния мы достигнем, если отправимся
в объезд трассы с пункта хи не имея — до заправки ма-
шины на этой станции — в баке машины ни одного литра
бензина. Поэтому если мы выберем за исходную точку
заправочную станцию хь то показатель уровня бензина
никогда не опустится ниже нуля, поскольку при проб-
ном автопробеге показатель уровня бензина никогда не
опускался ниже й литров.
Решеточные кубы
Точки (ху уу г) в трехмерном пространстве с тремя
целочисленными координатами называются точками ре-
шетки или узлами решетки. Их можно считать верши-
нами единичных кубов, на которые делят пространство
плоскости х=ау у=Ьу г=су где а, Ьу с — целые числа.
Ясно, что существует бесконечно много кубов, все 8 вер-
12 № И36
353
шин которых совпадают с узлами решетки. Эти кубы
расположены в пространстве так, что их грани параллель-
ны координатным плоскостям. Длина ребра каждого та-
кого куба выражается целым числом.
Существует также бесконечное множество кубов с
вершинами в узлах решетки, не находящихся в «стан-
дартном» положении, т. е. как-то повернутых (относи-
тельно элементарной ячейки решетки). Однако мало
у кого интуиция развита настолько, чтобы не удивиться
следующему утверждению, которое охватывает все воз-
можные варианты расположения кубов относительно
элементарной ячейки:
длина з ребра любого куба С с вершинами в узлах
решетки всегда выражается целым числом.
Поскольку безразлично, какой узел принять за на-
чало координат О, примем за него одну из вершин куба С.
Пусть три ребра, выходящих из вершины О, ведут к
вершинам Уг(хи уи гх\ У2(х2, у2у г2) и У3(х3у у3, г3).
Объем У куба С с ребром длиной 5 равен 53. Хорошо из-
вестная из курса аналитической геометрии формула поз-
воляет выразить объем куба через координаты концов
трех ребер, сходящихся в одной вершине
1*1 У1 2Л
У=± \х2 у2 22
| *з Уз %з |
Так как все вершины имеют целочисленные координаты,
объем V также должен быть целым числом, т. е. 53 — це-
лое число. Но длина ребра ОУ± равна
5 = | ОУх | = VА + у\ + ?! = Кцелое число,
поэтому 52 — также целое число. Таким образом, длина
ребра 5 должна быть рациональным числом, так как 5=
=53/52 рационально. Но 5=Киелое число, а если корень
квадратный из какого-либо целого числа не иррациона-
лен, то это число не только рациональное, но и целое*.
Следовательно, 5 — целое число/
Полученный результат допускает непосредственное
обобщение на кубы в я-мерном пространстве, где п не-
четно.
* См., например, названную на с. 488 книгу Нивена [52].
Прим. ред.
354
5.5. Занимательное столоверчение
Уильям Т. Лаазер, Лайл Рэмшоу
В этой статье мы рассмотрим обобщенный вариант за-
дачи о вращающемся столе. Стол имеет форму правиль-
ного л-угольника. В каждом из п углов стола имеется
углубление, в которое вставлен стакан — в нормальном
положении или вверх дном. Игрок имеет к рук. Цель игры
состоит в том, чтобы поставить все стаканы в одинаковое
положение — либо все вверх дном, либо все вниз дном.
Как только игроку — который различает стаканы на-
ощупь — удается повернуть все стаканы в одинаковое
положение, зазвенит колокольчик. Существует ли при за-
данных кип алгоритм, гарантирующий, что после конеч-
ного числа ходов колокольчик непременно зазвенит. Как
показано в нашей работе, такой алгоритм существует в
том и только том случае, если числа кип таковы, что
й^(1 — \1р)пу где р — наибольший простой делитель
числа п.
Введение
В февральском номере журнала ЗпепННс Атепсап
за 1979 г. Мартин Гарднер сформулировал задачу о вер-
тящемся столе следующим образом.
«Начну с новой замечательной комбинаторной задачи неизвест-
ного происхождения. Мне сообщил ее Роберт Таппей из Торонто,
по мнению которого задача пришла к нам из Советского Союза.
Представьте себе квадратный стол, который может вращаться
вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр. В каждом
углу столешницы имеется гнездо, в которое вставлен стакан — либо
в нормальном положении вниз дном, либо вверх дном. Вы не видите
стаканов, но можете дотянуться до любого из них и наощупь опреде-
лить, в каком он находится положении — дном вверх или дном вниз.
Ход состоит в следующем. Вы раскручиваете стол и, когда он
останавливается, дотягиваетесь руками до двух различных гнезд.
Находящимся в гнездах стаканам вы можете придать любое поло-
жение: оставить оба стакана в тех положениях, в которых они были,
перевернуть один стакан или перевернуть сразу оба стакана.
Затем вы делаете второй ход: раскручиваете стол снова и по-
вторяете все сначала. Гнезда, в которых стоят стаканы, неотличи-
12*
355
мы; поэтому поступить можно только двумя способами: ощупать
(и оставить в прежнем положении) или перевернуть стаканы в двух
соседних гнездах или в двух гнездах, расположенных по диагонали.
Цель игры состоит в том, чтобы установить все стаканы одинаково—
либо вверх дном, либо вниз дном. Как только это будет сделано,
зазвенит колокольчик.
В исходной позиции все четыре стакана расставляются вверх
или вниз дном случайным образом. Если все четыре стакана окажут-
ся расположенными одинаково, то сразу же зазвенит звонок — и
цель игры будет достигнута прежде, чем вы сделаете первый ход.
Поэтому предполагается, что в исходной позиции не все стаканы на-
ходятся в одном положении.
Существует ли алгоритм, который позволил бы достигнуть цели
игры за конечное число ходов? Большинство людей после непро-
должительного размышления отвечают на этот вопрос отрицатель-
но. По их мнению, число шагов — величина случайная, и если не
повезет, то играющий может совершать ходы неограниченно долго.
Однако это неверно: для достижения цели игры всегда достаточно
сделать некоторое конечное число ходов, не превосходящее опре-
деленного п. Каково минимальное число п и каким должен быть
алгоритм, чтобы колокольчик, возвещающий о достижении цели,
зазвонил не более чем через п ходов?
Рассмотрим стол с двумя углами и, следовательно, с двумя гнез-
дами. Ясно, что в этом случае колокольчик зазвенит после того, как
играющий сделает один ход. Если число гнезд равно трем (и они
расположены по углам треугольного стола), то для достижения цели
игры достаточно сделать следующие два хода.
1. Ощупайте стаканы, находящиеся в любых двух гнездах.
Если они находятся в одинаковых положениях (т. е. оба поставлены
либо вверх дном, либо вниз дном), то переверните их, и колоколь-
чик зазвенит. Если стаканы расположены по-разному, то перевер-
ните стакан, вставленный вверх дном. Если колокольчик не зазве-
нит, то приступайте к следующему ходу.
2. Поверните стол и протяните руки к любым двум гнездам.
Если вставленные в них стаканы обращены дном вниз, переверните
их, и колокольчик зазвенит. Если один стакан обращен дном вверх,
а другой — дном вниз, то переверните стакан, обращенный дном
вверх, и колокольчик зазвенит.
Хотя задача может быть решена за конечное число ходов, ког-
да имеется четыре гнезда (и четыре стакана), оказывается, что при
числе стаканов (и углов стола), большем или равном пяти, не су-
ществует алгоритма, гарантирующего достижение цели игры за п
ходов, где п — какое-то фиксированное число. В следующем номере
журнала я приведу одно решение для случая четырех стаканов, и
мы обсудим некоторые обобщения задачи, предложенные Рональ-
дом Л. Грэхэмом и Перси Диаконисом».
В правилах игры есть несколько заслуживающих
особого пояснения нюансов относительно типов допусти-
мых алгоритмов, которые «на законном основании» мо-
жет использовать играющий. Во-первых, прежде чем
протянуть руки и ощупать стаканы, играющий должен
356
объявить вслух, к каким гнездам он намерен прикоснуть-
ся. Не разрешается ощупывать какой-нибудь один ста-
кан и затем в зависимости от того, в каком положении —
вниз или вверх дном — он окажется, решать, к какому
стакану следует протянуть другую руку. Во-вторых, если
играющий ощупал стаканы и перевернул один или оба
из них, то колокольчик не зазвенит до тех пор, пока
играющий не отнимет руки от стаканов. Иначе говоря,
играющему не разрешается, не отнимая рук от гнезд,
перебирать один за другим несколько вариантов ориен-
тации стаканов в надежде, что по крайней мере при одном
из них колокольчик зазвенит.
Алгоритм для случая четырех гнезд и четырех стака-
нов, приведенный Мартином Гарднером в мартовском
номере журнала ЗаепШю Атепсап за 1979 г., заставляет
колокольчик звенеть не более чем через пять ходов. Если
читатель ранее не был знаком с задачей о вращающемся
столе, ему будет небезынтересно попытаться найти это
решение самостоятельно.
В том же мартовском номере также упоминаются два
обобщения задачи о вращающемся столе, предложенные
Рональдом Л. Грэхэмом и Перси Диаконисом. Они впер-
вые рассмотрели игру для «многорукого игрока», имею-
щего более двух рук. При любых кип рассмотрим игрока
с к руками и /г-угольный стол с п углами, п гнездами и
п стаканами. Задача состоит в том, чтобы указать алго-
ритм, позволяющий достигать цель игры за конечное
число ходов, или доказать, что такой алгоритм не сущест-
вует. Грэхэм и Диаконис предложили еще один обобщен-
ный вариант игры, заменив стаканы предметами, которые
могут находиться в гнездах более чем в двух положениях.
Возможны и другие интересные обобщения. Например,
Скотт Ким рассмотрел игру для случая, когда квад-
ратный стол заменен столом с более богатой группой
симметрии, например столом, обладающим группой
симметрии куба.
В нашей статье рассматривается лишь одно первое
из этих обобщений. В частности, для любого п^2 мы
определим /(я) как наименьшее целое число к «рук»,
обладающее следующим свойством: к-рукий игрок, сидя
за п-угольным столом, в гнезда которого вставлены
стаканы, могущие находиться только в двух положениях,
может найти алгоритм, за конечное число ходов застав-
357
ляющий колокольчик зазвенеть. Требуется найти значе-
ния функции /.
Правила игры «Столоверчение» достаточно хитроум-
ны — и трудно быть уверенным в том, что они всегда
могут быть истолкованы однозначно. Мы уже останавли-
вались на некоторых нюансах этих правил. Это вынуж-
дает нас сформулировать задачу о вертящемся столе бо-
лее абстрактно в надежде, что это по-
может сделать постановку задачи бо-
лее точной. Задачу о вращающемся
столе, сформулированную в терминах
теории игр, можно назвать асиммет-
ричной антагонистической игрой меж-
ду Играющим и Столом, сводящейся
к определенным манипуляциям над
о связанными в кольца нитями.
Рис. 1. Ожерелье с Упоминая далее о многоугольни-
шестью бусинами, ках, мы всегда будем иметь в виду пра-
вильные многоугольники, которые
можно поворачивать вокруг центра, но нельзя переворачи-
вать на другую сторону. Вершины п-угольника мы назовем
ожерельем с п бусинами. Ожерелье с п бусинами очень
напоминает замкнутую нить с п бусинами\ различие за-
ключается лишь в том, что все нити с циклически пере-
ставленными бусинами соответствуют одному и тому же
ожерелью. Ожерелье мы будем задавать либо с помощью
рисунка, либо выписывая в угловых скобках нить, полу-
чающуюся при обходе бусин ожерелья по часовой стрел-
ке, начиная с любого места. Например, ожерелье из ше-
сти бусин, изображенное на рис. 1, можно было бы запи-
сать в виде (010011) или (100110) (и еще четырьмя
способами) — но запись (101100) означает уже другое
ожерелье.
Положение стаканов в гнездах в любой момент вре-
мени соответствует ожерелью из п бусин над алфавитом
{в, н}, где буквы «в» и «н» означают «верх» и «низ» и
соответствуют стаканам, стоящим вверх дном и в нор-
мальном положении. Первый ход в игре «Столоверчение»
совершает Стол. Именно Стол определяет начальное по-
ложение стаканов, выбирая ожерелье над {в, н}. Обо-
значим это состояние через 5Х.
Затем свой первый ход делает Игрок, сообщая во все-
услышанье о том, как располагаются по периметру стола
358
руки, которыми он ощупывает стаканы. Схему располо-
жения рук по периметру стола назовем схемой испыта-
ния. Формально схему испытания можно представить
как ожерелье из п бусин над алфавитом {р, п}, где «р»
(«рука») — означает гнездо, которое Игрок желает про-
верить, а «п» («пробел») — гнездо, не проверяемое при
данном испытании. Игрок имеет право выбирать такие
схемы испытаний, в которой символ «р» встречается не
более к раз, поскольку у Игрока есть только к рук. Обоз-
начим первую схему испытаний через Р1ш
Затем свой очередной ход делает Стол. Он выбирает
один из п возможных способов совмещения ожерелий 5Х
и Рг. По существу этот ход моделирует верчение стола.
После того как Стол сделает свой ход, Игроку сообщают
относительно каждого символа «р» в схеме испытания Я*,
является ли соответствующий символ ожерелья 5Х бук-
вой «в» или «н». По требованию Игрока любой или даже
все символы «в», находящиеся в проверяемых позициях,
могут быть заменены символами «н»; точно так же лю-
бые (или все) символы «н» могут быть заменены символа-
ми «в». В результате операций мы получаем следующее
состояние стола — новое ожерелье 52 над алфавитом
{в, н}. Назовем ожерелье 52 монотонным, если оно со-
стоит только из символов «в» или только из символов «н».
Если ожерелье 52 монотонно, то колокольчик звенит
и Игрок выигрывает за один ход (одно испытание).
Далее все операции игры циклически повторяются.
Предположим, что задано немонотонное состояние 5г-.
Игрок останавливает свой выбор на схеме испытаний Р(.
Стол устанавливает соответствие между 5/ и Ри после
чего Игрок получает информацию о содержании 5г
в позициях, соответствующих символам «р» в Р(. Игрок
принимает решение относительно изменений в этих по-
зициях — и это решение задает следующее ожерелье
5,-+1. Если 5г+1 — монотонное ожерелье, то колокольчик
звенит и Игрок выигрывает за I испытаний. Задача Стола
состоит в том, чтобы не допустить выигрыша Игрока.
Стол выигрывает в том и только том случае, если игра
продолжается неограниченно долго. Напомним, что /(/г)
по определению — наименьшее целое к, при котором
/г-рукий Игрок может выиграть. Выигрышная стратегия
для Игрока существует, если к^[(п), тогда как выигрыш-
ная стратегия для Стола существует, если к<.Цп).
359
Остальная часть нашей статьи посвящена доказатель-
ству того, что справедлива следующая
Теорема 1. Пусть при любом целом п^2 величина
/(я) означает наименьшее целое число, такое, что к=
=1(п) РУК достаточно для того, чтобы игра закончилась
в пользу Игрока-, далее, пусть р — наибольший простой
делитель числа п. Тогда значение /(/г) задается формулой
Некоторые частные случаи этой общей формулы были
установлены ранее нас. Мы уже указывали, что [(п) = 2
при 2^п^4 и }(п)>2 при п^Ъ. В мартовском номе-
ре журнала 5с1еп1Шс Атепсап за 1979 г. Гарднер
сообщил, что Рональд Л. Грэхэм и Перси Диаконис до-
казали, что }(п)=п—1, если п — простое число, и /(/г)^
^/г—2 при составном п. Скотт Ким доказал, что при
всех а^\ и Ь^2 для /(м) существует оценка снизу
}(аЬ)^аГЬ/2-],
где |~ х~| означает число х, округленное до ближайшего
целого числа. Формула для /(п), приведенная в теореме 1,
впервые была предложена в качестве гипотезы Джеймсом
Бойсом.
Из теоремы 1 следует любопытный вывод: за исклю-
чением случая п=2, минимальное число рук, необходи-
мых Игроку для выигрыша, всегда четно.
Нижняя граница
В этом разделе мы докажем, что формула, приведен-
ная в теореме 1, задает нижнюю границу истинного зна-
чения /(/г). Другими словами, справедлива следующая
Лемма 1. Пусть п^2 — целое число и р — наиболь-
ший простой делитель числа п. Если число рук у Игрока
меньше (1—\/р)п, то для Стола существует выигрыш-
ная стратегия.
Доказательство. Прежде всего заметим, что если
п допускает разложение на множители вида п=1т, то
и-угольник можно рассматривать как наложение / раз-
личных т-угольников. Например, так как 6=2-3, то
шестиугольник можно рассматривать как объединение
двух треугольников (рис. 2).
360
Пусть р — наибольший простой делитель целого чис-
ла л^2, / — целое число, определяемое соотношением
п=1р. Мы могли бы ограничиться рассмотрением любого
простого делителя р числа п, но выбор наибольшего про-
стого делителя позволяет получить наиболее сильный
результат. Как уже говорилось, состояния и схемы ис-
пытаний в игре «Столоверчение» можно считать состоя-
щими из / наложенных друг на друга /7-угольников.
$ О
Рис. 2. Шестиугольник (справа) как результат наложения двух
треугольников (слева).
Наша цель состоит в построении выигрышной стратегии
для Стола в случае, когда число рук у Игрока меньше
чем (1—\1р)п. Основная идея состоит в доказательстве
того, что при всех г по крайней мере один из /7-угольни-
ков, образующих состояние 5,-, будет немонотонным,
т. е. стаканы в гнездах будут стоять и вверх, и вниз дном.
Такое состояние нетрудно установить первоначально,
так как Стол выбирает состояние 51 произвольно. Нам
необходимо доказать, что в ходе игры Стол может до-
биться сохранения этого условия. Пусть состояние $1
содержит немонотонный р-угольник, который мы обозна-
чим символом $,-, и пустьР[ — схема испытания, которую
Игрок собирается применить на 1-й ходу. Так как рук
у игрока меньше чем (1—1/р)п=1(р—1), то по крайней
мере один из / различных /7-угольников схемы Рь должен
содержать не менее двух пробелов «п». Пусть Р*с — такой
/7-угольник. Зафиксируем два входящих в Р\ пробела
и предположим, что расстояние между ними (при цикли-
ческом обходе вершин многоугольника Р*с) равно /
(расстояние между соседними вершинами считается рав-
ным единице). Обойдем периметр 5,* шагами в / единиц
каждый. Так как р— простое число, то независимо от
значения /, прежде чем вернуться в исходную точку, мы
побываем в каждой вершине многоугольника 5*. При
этом, совершая обход вершин, мы непременно встретим
как символы «в», так и символы «н»,так как многоуголь-
361
ник 5? является немонотонным. Следовательно, какой-
то символ «н» мы встретим сразу после того, как встретим
символ «в», т. е. 5? содержит по крайней мере одну пару
символов «в» и «н», расстояние между которыми точно
равно /.
Теперь мы уже располагаем всем необходимым для
того, чтобы посоветовать Столу, как он должен играть.
Ему следует совместить ожерелья 5* и Рь так, чтобы
р-угольники 5? и Р* наложились и чтобы, кроме того, сим-
волам «в» и «н», отстоящим в 5* на расстояние /, в Р*
соответствовали два пробела «п», удаленных на расстоя-
ние / друг от друга. Так как Игрок не может изменить
положение стаканов, соответствующих пробелам п, то
возникающее состояние 5/+х содержит по крайней мере
один немонотонный р-угольник. Неоднократно повторяя
эти операции, Стол может гарантировать, что состояние
5* при всех ь будет содержать немонотонный р-угольник.
Такова выигрышная стратегия для Стола.
Точные степени
Лемма 1, устанавливающая нижнюю границу для
/(я), составляет сравнительно простую часть доказатель-
ства теоремы 1. Чтобы завершить доказательство этой
теоремы, нам осталось выполнить гораздо более трудо-
емкую часть работы — построить выигрышные стратегии
для Игрока с минимальным числом рук. Мы начнем вы-
полнение этой задачи с одной идеи, которая позволит
нам использовать метод математической индукции и
манипулировать ранее созданными для меньших столов
стратегиями как «подпрограммами» при построении
выигрышных стратегий для больших столов.
Введем одно новое определение. Предположим, что
количество углов стола (размер стола, как мы уже гово-
рили ранее и будем говорить далее) разлагается в про-
изведение двух множителей: п=1т. Напомним, что в этом
случае л-угольник можно рассматривать как объедине-
ние / различных га-угольников. Пусть некоторое оже-
релье Т длины п таково, что все т-угольники монотонны.
Заметим, что в этом случае ожерелье Т должно состоять
из га последовательных экземпляров одной и той же не-
замкнутой нити длины /, т. е. Т должно иметь вид (Хт)>
где X — некоторая нить длины /. Такие ожерелья мы
будем называть точными т-ми степенями. Например,
362
ожерелье четной длины 2к называется точным квад-
ратом, если символы у концов каждой главной (диа-
метральной, большой) диагонали одинаковы, из чего
следует, что это ожерелье представимо в виде {XX), где
X — некоторая нить длины к. Утверждение о том, что
ожерелье длины п есть точная я-я степень, равносильно
утверждению о монотонности ожерелья.
Предположим, что мы занимаемся построением стра-
тегии для Игрока против Стола размера /г, где п — чис-
ло, допускающее нетривиальное разложение п=1т, и в
игре наступил такой момент, когда текущее состояние 5
стола стало точной га-й степенью. Тогда мы легко можем
завершить построение стратегии, так как располагаем
по крайней мере т[(1) руками. Наша основная идея
состоит в подражании оптимальной стратегии для Игрока
при игре против Стола размера / (эту стратегию мы будем
называть «меньшей») и т-кратном повторении ее. Такой
процесс вполне можно было бы назвать возведением в сте-
пень стратегии. Возьмем первую схему испытаний
«меньшей» стратегии и, повторив ее т раз подряд, обра-
зуем схему испытаний для большей стратегии. Так как
текущее состояние 5 стола есть точная т-я степень, каж-
дая из т групп по /(/) рук нашего Игрока нащупает
одну и ту же последовательность стаканов, обращенных
дном вверх или вниз. Затем мы инструктируем Игрока
внести каждой группой рук те изменения в состояние
стола, которые рекомендуются «меньшей» стратегией. Не-
зависимо от того, в чем состоят эти изменения, следующее
состояние большего стола также будет точной т-й сте-
пенью — так что и после перехода к следующему состоя-
нию мы продолжаем подражать «меньшей» стратегии.
Тем самым доказана
Лемма 2. Предположим, что игра «Столоверчением ве-
дется за столом размера п и что текущее состояние 8
стола есть точная тгя степень, где т^2 — делитель
числа /г, отличный отпиот\. Тогда существует страте-
гия, которая гарантирует Игроку выигрыш за конечнсе
число ходов и использует при этом т]{п1т) рук Игрока.
Прежде чем применять лемму 2, необходимо предва-
рительно заставить Стол перейти в состояние, являющее-
ся точной т-й степенью. Следующая лемма утверждает,
что существуют стратегии, не требующие для выполне-
ния этой части работы слишком большого числа рук.
363
Лемма 3. Если р — наибольший простой делитель
целого числа п^2, то в игре «Столоверчение» со столом
размера п для Игрока существует стратегия, которая
использует не более (1 — \1р)п рук Игрока и за конечное
число ходов либо приводит к выигрышу Игрока, либо
вынуждает Стол перейти в состояние, являющееся точ-
ной р-й степенью.
Лемму 3 мы докажем несколько позднее, а сейчас про-
демонстрируем, что леммы 1, 2 и 3 вместе позволяют за-
вершить доказательство теоремы 1.
Доказательство теоремы 1. Теорема 1 утверждает, что
Дп) = (1—\1р)п, где р — наибольший простой делитель
числа п. Из леммы 1 следует, что/(л)^(1—\1р)п. Остает-
ся доказать обратное неравенство: /(я)^(1—\1р)п. Мы
проведем доказательство индукцией по п, т. е. будем
предполагать, что для всех столов, размер которых мень-
ше п, наша теорема уже доказана — и покажем, что тог-
да она справедлива и для стола размера п.
Требуется доказать, что существует выигрышная стра-
тегия для Игрока, использующая только (1—\1р)п рук.
Прежде всего применим стратегию леммы 3. Она либо
позволяет Игроку добиться выигрыша, либо вынуждает
Стол перейти в состояние 5, котброе является точной
/?-й степенью. Если п — простое число, то р равно п —
и любое состояние, которое является точной р-й степенью,
уже монотонно. Таким образом, в рассматриваемом
случае стратегия леммы 3 всегда приводит к выигрышу
Игрока — а большего нам и не надо.
С другой стороны, если п ^- не простое число, то р —
собственный делитель числа п и, следовательно, приме-
нима лемма 2. Используя стратегию леммы 2, Игрок
может выиграть — прийти в состояние, при котором зве-
нит колокольчик. Надо лишь проверить, что у Игрока
хватает рук для осуществления этой стратегии, т. е.
проверить, выполняется ли неравенство
Докажем неравенство (1) методом математической
индукции. По индуктивному предположению при разме-
ре стола п1р<Сп доказываемая теорема справедлива.
Пусть ц — наибольший простой делитель числа п/р — и,
следовательно, второй по величине простой делитель
364
числа п. Из предположения индукции следует, что
1
'(7)<0-7(7 •
(2)
Так как д<р, то из неравенства (2) следует неравенство
(1) — и, значит, у Игрока хватит рук, чтобы воспользо-
ваться стратегией леммы 2.
Оставшаяся часть нашей статьи посвящена доказа-
тельству леммы 3. Оказывается, оно сводится к рассмот-
рению двух несколько различных случаев. Если наиболь-
ший простой делитель числа п не меньше 3, то достаточно
воспользоваться сравнительно простой стратегией, из-
вестной под названием «вверх — вниз». Она рассмотрена
в следующем разделе. В заключение мы проанализируем
более хитроумную стратегию «все наоборот», которую
необходимо применять в тех случаях, когда п — степень
числа 2.
Стратегия «вверх — вниз»
Докажем лемму 2 для всех столов, размер п которых
не является целой степенью двойки. Чтобы развить ин-
туицию, необходимую для общего случая, начнем с рас-
смотрения частного случая я=12.
Доказательство леммы 3 для значения я=12. На-
ибольший простой делитель числа 12 равен 3. Следова-
тельно, утверждение леммы 3 для п=12 сводится к сле-
дующему: существует стратегия, которой 8-ручный
" 12
!
а б
Рис. 3. Часовое ожерелье (а) и структурная диаграмма часового
ожерелья (б).
Игрок может воспользоваться при игре против 12-уголь-
365
ного Стола. Эта стратегия позволяет Игроку либо до-
биться выигрыша, либо перевести Стол в состояние, яв-
ляющееся точным кубом.
Итак, мы считаем, что п= 12, т. е. что Стол имеет фор-
му правильного двенадцатиугольника. Стратегия, кото-
рую мы собираемся построить, станет более понятной,
если этот двенадцатиугольник рассматривать как образо-
ванный объединением двух различных шестиугольников,
каждый из которых в свою очередь возник при наложе-
нии двух треугольников. На рис. 3, а изображен двенад-
цатиугольник, нумерация вершин которого напоминает
часовые отметки на обычном циферблате часов. Такой
двенадцатиугольник можно было бы также назвать ча-
совым ожерельем:
С= <(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12)).
На рис. 3, б часовое ожерелье С изображено в виде
диаграммы, отражающей разложение двенадцатиуголь-
ника в шестиугольники и треугольники. Каждый прямо-
угольник на рис. 3, б соответствует (правильному) «под-
многоугольнику» часового циферблата. Внутри прямо-
угольника указаны номера его вершин. У левой верхней
вершины каждого прямоугольника указано число вер-
шин соответствующего многоугольника. Такого рода
схематические изображения ожерелий мы будем назы-
вать их структурными диаграммами. Аналогичные диа-
граммы можно построить для любого ожерелья с 12 бу-
синами, в частности для состояний и схем испытаний,
возникающих при построении нашей стратегии.
Эта стратегия использует три схемы испытаний Ри Р2
и Р3. На рис. 4 показаны структурные диаграммы, кото-
рыми должны обладать схемы Р,. Схема Рх требует шести
рук, чтобы получить полную информацию относительно
стаканов в вершинах одного из двух шестиугольников.
Схема Р2 также требует шести рук, но позволяет полу-
чить полную информацию относительно стаканов в каж-
дом из двух треугольников, принадлежащих раз-
ным шестиугольникам. Наконец, схема испытаний
Р9 требует восьми рук для ощупывания стаканов, рас-
положенных в двух вершинах каждого из четырех тре-
угольников. Информация относительно того, какие вер-
шины подвергаются ощупыванию при каждом испытании,
остается в силе независимо от того, как повернут стол.
366
Мы не знаем, какой из двух шестиугольников будет под-
вергнут проверке при испытании Ри но можем с уверен-
ностью утверждать, что один из них заведомо будет про-
инспектирован. То же верно и относительно схем испы-
таний Рг и Р3. Именно такая инвариантность относи-
тельно поворотов и делает структурные диаграммы
полезными.
6:
6:
3:
3:
ппп
п п п
3:
3:
Р Р Р
Р'РР
6:
6:
3:
3:
ППП
р р р
3:
3:
ППП
Р Р Р
Л Л
6:
6:
3:
3:
п р р
п р р
! 3:
3:
п р р 1
п р р |
Рг
Рис. 4. Структурные диаграммы схем испытаний Р/.
Какую бы структурную диаграмму мы ни начертили,
всегда найдется по крайней мере одно ожерелье, обла-
дающее именно выбранной нами структурной диаграм-
мой, причем таких ожерелий может быть несколько.
В случаях схем Р± и Р2 существует ровно одно ожерелье.
Если Рг и Р2 должны иметь такие структурные диаграм-
мы, как на рис. 4, то следует выбрать Р1=(прпрпрпрпрпр)
и />2=(ппррппррппрр). В случае Р3 выбор неоднозначен:
два разных ожерелья (ппппрррррррр) и (пррпррпррпрр)
обладают одной и той же структурной диаграммой, ко-
торая необходима нам для Р3. В действительности су-
ществует еще шесть ожерелий с той же структурной диа-
граммой, но мы не станем приводить их здесь. Оказывает-
ся, что в качестве /^ можно выбирать любые схемы испы-
таний, лишь бы они обладали нужными структурными
367
диаграммами. Какие именно схемы испытаний мы вы-
берем, не играет роли.
Прежде чем приступить к изучению того, что позво-
ляют сделать эти схемы испытания, расширим наши обо-
значения состояний. Напомним, что любое точно задан-
ное состояние стола можно представить ожерельем дли-
6:
6:
3:
3:
Л Л Л
Л Л Л
3:
3:
Л Л Л
Л Л Л
*2
6:
6:
3:
3:
Л В В
В В В
3:
3:
В В В
В В В
6:
6:
3:
3:
Л Л Л
В В В
3:
3:
В В В
в в в
53 54
Рис. 5. Структурные диаграммы состояний •$!, ..., 54.
ны п над алфавитом {в, н}. Введя символ «л» («либо»)
для обозначения позиции, в которой стакан находится
либо вверх, либо вниз дном, мы получим возможность
представлять не только полную, но и частичную инфор-
мацию о состоянии Стола. Например, начальное состоя-
ние 51 Стола имеет формулу $1=(л"), так как Стол выби-
рает начальное состояние произвольно.
В качестве первых трех схем испытаний в нашей стра-
тегии мы рекомендуем Игроку выбрать схемы Ри Р2 и Р3
(именно в этом, а не в каком-либо другом порядке) и
устанавливать вверх дном каждый ощупываемый стакан
независимо от того, в каком состоянии тот находился
ранее. Результаты таких испытаний показаны на рис. 5,
на котором представлены структурные диаграммы состоя-
ний 51, ... , 54. Испытание со схемой А приводит к
тому, что в состоянии 52 один из шестиугольников
становится монотонным. Шесть рук в схеме испытания
368
Р2 ощупывают стаканы, расположенные в вершинах од-
ного треугольника в каждом шестиугольнике. Следова-
тельно, второе испытание приводит к тому, что в состоя-
нии 53 будет монотонным также и третий из четырех
треугольников. Схема Р3 позволяет получать информа-
цию о положении стаканов в двух из трех вершин каж-
дого треугольника. Следовательно, третье испытание
обращает в «в» два из трех оставшихся «л». Таким обра-
зом, после трех испытаний состояние 54 Стола будет та-
ково: 54=(лвп).
Может случиться так, что после одного из трех испы-
таний все оставшиеся «л» будут соответствовать стака-
нам, обращенным вверх дном, колокольчик зазвенит —
и Игрок выиграет.
Этим вариантом можно пренебречь — и сосредото-
чить внимание на случае, когда последний символ «л»
соответствует стакану в нормальном положении (т. е.
обращенному дном вниз), в силу чего состояние 54 будет
таково: 54=(нв21).
Этап стратегии, о котором речь шла до сих пор, мы
назовем первым заходом. Суммарное действие трех испы-
таний в первом заходе состоит в том, чтобы перевести
стол в состояние, которое лишь одной позицией отличает-
ся от монотонного. Назовем единственный стакан, стоя-
щий вниз дном, исключительным, а треугольник, в вер-
шине которого тот находится,— исключительным тре-
угольником.
К чему мы клоним? Какова наша цель? Нам необхо-
димо перевести стол в состояние, которое является точ-
ным кубом. Это можно сделать не более чем за три новых
испытания, образующих второй заход. Эти испытания
также используют схемы Ри Р* и Р3 (именно в таком по-
рядке!). Прежде всего рассмотрим, как происходит ис-
пытание состояния 54 по схеме Р1§ Напомним, что схема
испытания Р\ позволяет установить, в каком положении
находятся стаканы в вершинах одного из двух шести-
угольников. Если Стол повернется так, что Игрок нащу-
пает исключительный стакан, то Игроку останется пере-
вернуть этот стакан — после чего зазвенит колокольчик
и игра закончится. Следовательно, нам остается выяс-
нить, как поступить, если руки Игрока попадут на
вершины монотонного шестиугольника. Мы советуем Иг-
гроку сделать так: перевернуть все стаканы, которые
369
станут ему доступны, поставив их вниз дном. Структур-
ная диаграмма возникающего при этом состояния 55
представлена на рис. 6.
Перейдем теперь ко второму испытанию из второго
захода. Напомним, что схема испытаний Р2 позволяет
определить, в каком положении — вверх или вниз дном—
6:
6:
3:
3:
Н В В
Н Н Н
3:
3:
н н <н
н н н
[6:
6:
3:
3:
н" в в
н" н н
3:
3:
в в в
н.н' н
Рис. 6. Структурные диаграммы состояний 5б и 56.
находятся стаканы в вершинах одного треугольника из
каждого шестиугольника. Если один из треугольников,
ощупываемых Игроком, немонотонный, то он должен
быть исключительным треугольником (см. рис. 6). В этом
случае Игроку достаточно перевернуть исключительный
стакан — после чего все треугольники станут монотон-
ными или, что равносильно, возникнувшее состояние бу-
дет являться точным кубом. Но ведь мы стремимся дос-
тичь именно этого! И тогда последующую часть вто-
рого захода можно престо опустить. Больших усилий
требует случай, когда Игрок при ощупывании стаканов
обнаружит только монотонные треугольники. При этом,
очевидно, в вершинах одного треугольника все стаканы
стоят вниз дном, в вершинах другого — вверх дном.
В этом случае Игроку следует оставить в прежнем поло-
жении все стаканы, стоящие вниз дном, а стаканы, стоя-
щие вверх дном, перевернуть. При этом возникнет со-
стояние 56, структурная диаграмма которого изображена
на рис. 6.
Перейдем теперь к третьему и последнему испытанию
второго захода, проводимому по схеме Р3- Напомним, что
схема испытания Р3 позволяет определить, как стоят ста-
каны, расположенные в двух из трех вершин каждого из
четырех треугольников. Но в состоянии 56 исключитель-
ный треугольник — это треугольник (нвв), в то время
как три другие треугольника являются монотонными (все
370
стаканы в их вершинах стоят вниз дном). Игрок не мо-
жет перепутать исключительный треугольник с неисклю-
чительным: если стаканы в двух вершинах треугольника
оказываются обращенными вниз дном, то треугольник
не является исключительным: это есть монотонный тре-
угольник^3). Такие треугольники игрок оставляет в по-
кое, не переворачивая ни одного стакана. Но еще две
руки Игрока ощупывают стаканы, находящиеся в вер-
шинах исключительного треугольника. Эти руки нащу-
пывают либо два стакана, стоящие вверх дном, либо один
стакан, стоящий вверх дном, и один стакан, стоящий вниз
дном. В первом случае следует перевернуть оба стакана
(и колокольчик зазвенит!), а во втором случае — только
тот стакан, который стоит вниз дном. В результате в
следующем состоянии 57 исключительный треугольник
также становится монотонным. Но в состоянии 57 все
остальные треугольники также будут монотонными («вниз
дном»). Таким образом, Игроку, как того требовала лем-
ма 3, удалось заставить Стол перейти в состояние, кото-
рое является точным кубом.
Назовем построенную нами стратегию стратегией
«вверх — вниз», так как при первом заходе мы перевора-
чиваем все стаканы, кроме исключительного, вверх дном,
а во втором заходе мы переворачиваем все треугольники,
кроме исключительного, «вниз дном». Разумеется, лем-
му 3 необходимо доказать при всех п, а не только при
п=\2. Однако оказывается, что стратегия «вверх —
вниз» позволяет справиться со всеми значениями я,
отличными от целых степеней числа 2. Единственное, что
может привести к недоразумениям,— это обозначения.
С другой стороны, стратегия «вверх — вниз» непригодна
для степеней двойки; поэтому рассмотрение этого «пло-
хого» случая мы отложим до следующего (заключитель-
ного) раздела статьи.
Доказательство леммы 3 для случая пф2к, где к —
целое. Пусть п — размер Стола, р — наибольший про-
стой делитель числа п. Так как п — не степень числа 2,
то р^З. Требуется построить стратегию для Игрока,
обладающую следующими свойствами: она либо гаран-
тирует выигрыш, либо переводит Стол в состояние 5,
которое является точной /?-й степенью и использует не
более чем (1—\1р)п рук.
871
Начнем с выбора обозначений. Предположим, что чис-
ло п имеет / простых делителей, из которых р — наи*
больший. Расположив простые делители числа п в по-
рядке возрастания, получим
п=р!р2 . . . рз, где />1, р1</?2<. . .</>,-=/>.
Это разложение позволяет ввести вспомогательные обо-
значения 1Ь и гь. Пусть 1Ь — произведение простых
делителей числа п от рх дорг_1 (включительно), г( — про-
изведение простых делителей числа п от рь до р;- (вклю-
чительно). Более точно величины 1Ь и г, при 1^л</—1
определяются так:
'/= п Рк и п= П рк.
1 < к < I I < к < /
Заметим, что при всех I, разумеется, 1ьг1=п.
Чтобы разобраться в стратегии «вверх — вниз» в об-
щем случае, я-угольник необходимо представить доволь-
но сложным образом. Если начать извне, то мы имеем
я-угольник, или, что то же самое, /уугольник, образован-
ный наложением рг переплетенных (образующих звезду)
Гг-угольников. Каждый из /*2-угольников в свою очередь
представляет собой композицию из р2 переплетенных
Гз-угольников. В общем случае каждый /уугольник обра-
зован из рь переплетенных г,+1-угольников. Наконец,
г,-угольник образован р7- вершинами, так как Г)=р$. Эти
/?гугольники лежат в основе нашей иерархической струк-
туры и играют ту же роль, какая в случае п=\2 была
отведена треугольникам.
Смысл величин г{ ясен из сказанного: они указывают
размеры различных многоугольников, на которые мы
разбиваем я-угольник. Величины 1Ь играют дополни-
тельную роль — указывают число /^-угольников в раз-
биении. В частности, при любом I исходный я-угольник
содержит ровно 1{ различных /уугольников.
Теперь мы уже можем представить себе, как выгля-
дит структурная диаграмма в общем случае. Образующие
ее прямоугольники разбиваются на / уровней. Каждый
из 1Ь разных /^-угольников каждого уровня подразделен
на р1 различных гг+1-угольников. На рис. 7 показано,
как примерно выглядит 1-й уровень структурной диа-
граммы.
Стратегия «вверх — вниз» в общем случае использует
/ различных схем испытаний, которые мы обозначим
372
Ри Р*> • • • » Р]- Как и в случае /г=12, здесь не сущест-
венно, какие именно схемы испытаний обозначены этими
символами. Важно лишь, чтобы они обладали правиль-
ными структурными диаграммами. Структурную диа-
грамму, которой должна обладать схема испытания Р1у
можно описать в терминах 1-го уровня, представленного
Г«Ч-1:
г« + г-
к+.1:
:
~1
Г'
к' + 1:
Г/+1:
'/+1:
:
>
*
н
>|1 I Ч/
Рис. 7. Примерный вид /-го уровня структурной диаграммы в общем
случае.
на рис. 7. В частности, схема Р( должна проверять все,
кроме одного, г^+1-угольники, составляющие каждый
ггугольник. Встречаясь с подобной ситуацией, мы будем
для краткости говорить, что соответствующая схема
испытаний разрешает 1-й уровень структурной диа-
граммы.
Выберем произвольно схемы испытаний Рь следя
лишь за тем, чтобы схема Рг разрешала 1-й уровень «ук-
ладки» прямоугольников. Затем необходимо проверить,
хватит ли у Игрока рук, чтобы воспользоваться выбран-
ными нами схемами испытаний Р(. Для этого заметим,
что любая схема испытаний, разрешающая /-й уровень,
использует ровно
/|(Р|-1)г|+1=(1-1/р/)л
рук. Так как нашему Игроку разрешается пускать в дело
(1—\1р)п рук, где р=р^р1, то этого числа рук будет
вполне достаточно для осуществления схем испытаний Рг.
Мы рекомендуем Игроку начать с первого захода, т. е.
применить по очереди схемы испытаний от Рх до Ру,
переворачивая каждый ощупываемый стакан. Схема ис-
пытания Рх охватывает весь Стол (ггугольник), за ис-
ключением одного г2-угольника. Схема испытания Р2
охватывает все, кроме одного, г3-угольники в каждом
|г' + 1:
к + 1!
,(,' + Г-
\
1
Г'1
373
Гг-угольнике. Продолжая процесс, мы с каждой схемой
испытания Рь суживаем часть стола, на которой могут
находиться стаканы, расположенные вниз дном, доходя
до одного-единственного гг+1-угольника. Следовательно,
после того как произведено испытание по схеме Р;у
на столе останется не больше одного стакана, обращен-
ного вниз дном, т. е. ни одного такого стакана (а это оз-
начает, что Игрок уже выиграл!) или ровно один такой
стакан — и рассмотреть нам надо лишь последний слу-
чай. Единственный стакан, стоящий в гнезде вниз дном,
и /?;-угольник, в вершине которого находится гнездо с
этим стаканом, мы будем называть исключительными.
Первый заход осуществил ту часть стратегии «вверх —
вниз», которая соответствует первой половине ее назва-
ния: позволил перевернуть вверх дном все стаканы,
кроме одного исключительного.
Из нашего выбора схем испытаний Рь следует, что
при испытании по схеме Рг проверке подвергаются все
вершины любого /-,+1-угольника, если в число проверяе-
мых попадает хотя бы одна из его вершин. Это означает,
что при любом к>1 схема испытаний Р( должна подвер-
гать проверке либо все вершины каждого /уугольника,
либо не подвергать проверке ни одной вершины. Это
позволяет объяснить выбранную нами терминологию:
для проверки лишь части /уугольника, т. е. для разре-
шения к-го уровня структурной диаграммы, необходимо
воспользоваться схемой испытаний Р^ где С^к. В част-
ности, заметим, что все схемы испытаний Р( — кроме
последней, т. е. испытания Р^— должны подвергать
проверке либо все вершины каждого /-^-угольника, т. е.
каждого /?7-угольника, либо не подвергать проверке ни
одну из них. Последнее замечание можно было бы сфор-
мулировать и как утверждение о том, что схемы испыта-
ний Рь при К] являются точными р;-ми степенями.
Перейдем теперь ко второму заходу. Игроку следует
вновь воспользоваться упорядоченной последователь-
ностью схем Ри Р2, . . • , Р} испытаний с несколько бо-
лее сложными инструкциями по их применению. Будем
рассматривать Стол как наложение сплетенных рг
угольников. К тому моменту, когда мы приступаем ко
второму заходу, все р^-угольники станут монотонными,
кроме одного лишь исключительного /?;-угольника, ко-
торый содержит один стакан, обращенный вниз дном.
374
К концу последнего испытания второго захода мы про-
верим все вершины каждого ру-угольника, если хотя бы
одна вершина его подвергается проверке по ходу испы-
таний. Для проведения всех испытаний, кроме послед-
него, мы дадим Игроку следующую инструкцию: «Если
вы нащупали исключительный ру-угольник, то перевер-
ните исключительный стакан вверх дном. Тем самым вы
переведете стол в состояние, которое является точной
/?,-й степенью,— и удовлетворите требованиям леммы 3.
При этом оставшуюся часть второго захода можно будет
просто опустить. Если вы нащупали монотонный рг
угольник, в вершинах которого все стаканы стоят вверх
дном, то он не исключительный и еще не был перевернут.
Переверните все стаканы в вершинах такого р^уголь-
ника вниз дном. Если вы нащупали монотонный рг
угольник, в вершинах которого все стаканы обращены
вниз дном, то эти стаканы уже были перевернуты — и
более вам здесь делать нечего!»
Можно показать, что только один /?у-угольник может
остаться не проверенным после того, как будут прове-
дены первые /—1 испытаний второго захода. Рассужде-
ния при этом по существу те же, которые мы использова-
ли при анализе первого захода. Испытание, проводимое
по схеме Ри позволяет проверить все р7-угольники, кро-
ме принадлежащих какому-то г2-угольнику. Испытания
по схеме Р2 позволят проверить все еще не проверенные
/7у-угольники, кроме тех, которые принадлежат ка-
кому-то /*3-угольнику, и т. д. После того как будет про-
ведено испытание по схеме Р/_ъ окажутся проверенными
все р7-угольники, кроме тех, что принадлежат како-
му-то ггугольнику, где Г]=р;. Кроме того, можно пред-
положить, что исключительный /?7-угольник избежит
проверки. Если Игрок окажется достаточно удачливым
и сумеет проверить исключительный р^-угольник, то
наши инструкции дадут возможность свести на нет
это исключение. Таким образом, первые /—1 испытаний
второго захода позволяют проверить все неисключитель-
ные р7-угольники и перевернуть стаканы в их вершинах
вниз дном. Так осуществляется вторая фаза стратегии
«вверх — вниз».
Переходим к последнему испытанию второго захода.
К этому моменту Стол содержит один исключительный
ру-угольник, в вершинах которого р~1 стаканов обра-
375
щены вверх дном и ода» стакан стоит вниз дном, в то вре-
мя как все остальные /?7-угольники монотонны и стаканы
в их вершинах стоят вниз дном. Для проведения послед-
него испытания Игроку следует воспользоваться схемой
Р], подвергающей.проверке /?у-—1 из р; вершин каждого
/77-угольника. Однако здесь есть одна тонкость. До сих
пор мы нигде не использовали предположение о том,
что р^Ъ\ теперь же оно приобретает решающее значе-
ние — именно потому, что р^З, Игрок ощупает по край-
ней мере два стакана из каждого /?;-угольника и, следо-
вательно, по крайней мере один из стоящих вверх дном
стаканов в исключительном /?у-угольнике. Это позволяет
Игроку понять, какая из групп по р^—1 рук занята ощу-
пыванием исключительного ^-угольника. Случай р^=2
необходимо исключить именно здесь, так как для него
наши рассуждения не проходят. При р;=2 исключи-
тельный ргугольник вырождается в диагональ, находя-
щуюся в состоянии (нв). Если Игрок проверяет лишь
один конец этой диагонали, то ему может попасться
стакан, стоящий вниз дном,— к тогда Игрок не сможет
отличить этот стакан от всех остальных стаканов, постав-
ленных вниз дном.
Но если предположить, что р^З, то Игрок всегда
сможет отличить исключительный ру-угольник. Игрок
должен оставить в прежнем положении все неисключи-
тельные /^-угольники. Что же касается исключитель-
ных /?у-угольников, то возможны два случая: либо Игрок
нащупает единственный стакан, стоящий вниз дном, и
перевернет его вверх дном, либо он нащупает все
р]—1 стаканов, стоящих вверх дном, и перевернет их
все вниз дном. И в том и в другом случае исключи-
тельный р,-угольник в следующем состоянии становится
монотонным. Следовательно, требованиям леммы 3 всег-
да можно удовлетворить.
Этим и завершается доказательство леммы 3 для лю-
бого натурального числа п вершин стола, отличного от
целой степени числа 2.
Стратегия «все наоборот»
Последнее, что нам осталось сделать,— это построить
удовлетворяющую условиям леммы 3 стратегию для
случая, когда размер стола есть точная степень двойки.
376
Как уже отмечалось, стратегия «вверх — вниз» в этом
случае становится неприменимой, потому что Игрок,
производя последнее испытание во втором заходе, воз-
можно, не сумеет определить, где находится исключи-
тельная диагональ. В этом разделе мы построим для сте-
пеней двойки стратегию «все наоборот», аналогичную
стратегии «вверх — вниз», но отличающуюся от нее
более сложным вторым заходом. Перевернуть стакан
означает поставить его вверх дном, если он стоял вниз
дном, и поставить его вниз дном, если он стоял вверх
дном. Придерживаясь стратегии «все наоборот», мы на
втором заходе порекомендуем Игроку при каждом испы-
тании переворачивать стаканы на концах любой неисклю-
чительной диагонали вместо того, чтобы ставить их вниз
дном. При неоднократных переворачиваниях Стол перей-
дет в состояние, при котором множество стаканов, обра-
щенных и дном вниз, и дном вверх, распределятся по
гнездам самым причудливым образом. Оказывается, что
осторожный Игрок может извлечь немалые преимущест-
ва из возникающей в результате переворачиваний струк-
туры. Чтобы пояснить тонкости стратегии «все наобо-
рот», нам понадобятся некоторые сведения о периодах
в ожерельях.
Пусть к — любое целое число, Т — ожерелье. Мы
скажем, что ожерелье Т к-периодическое и назовем число
к периодом ожерелья Г, если каждый символ в Г и сим-
вол, отстоящий от него на к шагов вправо по 7\ обяза-
тельно совпадают. Иначе говоря, ожерелье называется
й-периодическим, если после поворота на к позиций впра-
во оно переходит в себя. Каждое ожерелье можно счи-
тать О-периодическим. Если ожерелье /-периодическое,
то оно и (—/)-периодическое; если ожерелье одновремен-
но и /-периодическое и т-периодическое, то оно и (1+т)-
периодическое. [Выражаясь более высоким стилем, мож-
но сказать, что множество всех периодов ожерелья Т об-
разует подгруппу аддитивной группы целых чисел.]
Так как ожерелье с п бусинами всегда я-периодиче-
ское, любое ожерелье обладает некоторым положитель-
ным периодом. Наименьший положительный период
ожерелья мы будем называть его основным периодом.
Очевидно, справедлива следующая
Лемма 4. Все периоды ожерелья кратны его основному
периоду.
377
Доказательство. Ясно, что любое кратное основного
периода есть период ожерелья, так что надо лишь дока-
зать, что любой период совпадает с одним из кратных
основного периода. Пусть к — основной период ожере-
лья, т — некоторый другой период и ц — наибольший
общий делитель (НОД) чисел кит. Напомним, что ц
можно представить в виде д=ак+Ьт, где а и Ь — неко-
торые целые числа. Следовательно, <7=НОД(й, /я) —
тоже один из периодов ожерелья. Но число к есть основ-
ной период, т. е. наименьший из положительных перио-
дов ожерелья; поэтому ц=к. А так как ц делит т, тот
должно быть кратно основному периоду. [Читатели с не-
которой алгебраической подготовкой должны восприни-
мать это как (стандартное) доказательство того, что пе-
риоды ожерелья образуют главный идеал.]
Понятие периода вполне обычно — оно тесно связано
с понятием точной степени. Заметим, что если ожерелье
из п бусин имеет основной период к, то к — делитель п
и ожерелье есть точная (п/к)-я степень. Нам понадобится
еще одно несколько более экзотическое понятие. Оно
имеет смысл только для ожерелий над алфавитом ровно
из двух букв. В нашем случае этими символами могут
быть символы «в» и «н». Каждый из этих двух символов
мы назовем противоположным другому или дополнением
другого. Мы назовем ожерелье к-альтернирующим, если
каждый символ в ожерелье противоположен символу,
стоящему от него на к шагов справа (по часовой стрелке).
Иначе говоря, поворот ожерелья на к шагов вправо при-
водит к такому же результату, которого мы бы достигли,
не поворачивая ожерелье, а просто заменив каждый сим-
вол противоположным.
Если ожерелье /г-альтернирующее, то оно должно
быть 2/г-периодическим, так как переход от символа к
дополнению дополнения эквивалентен возвращению к
исходному символу. Иногда ожерелье обладает и перио-
дами, которые меньше 2к. Так, например, ожерелье из
шести бусин (010101) является 3-альтернирующим и
6-периодическим, но оно обладает также и периодом 2 *.
Следующая наша лемма устанавливает, что в том случае,
когда к — целая степень двойки, меньшие периоды воз-
* В нашем случае это следует из того, что рассматриваемое оже-
релье является также и 1-альтернирующим.— Прим. ред.
378
никнуть не могут. (Возможно, этот результат покажется
кое-кому из читателей не имеющим отношения к делу —
но не будем торопиться с выводами.)
Лемма 5. Если ожерелье является 21-альтернирующим,
то его основной период равен 2/+1 (иначе говоря, 2'-аль-
тернирующее ожерелье не имеет нетривиальных пери-
одов).
Доказательство. Ясно, что 2|,+1 — период нашего
ожерелья. Следовательно, основной период ожерелья
должен делить число 2/+1 и поэтому должен быть сте-
пенью двойки. Но если основной период равен 21, где
/<л, то число 2' также является периодом ожерелья.
Но ожерелье не может быть одновременно и 2'-периоди-
ческим, и 2''-альтернирующим; поэтому основной период
здесь обязательно должен быть равен 2/+1.
Закончив с леммой 5, мы можем приступить к построе-
нию стратегии «все наоборот».
Доказательство леммы 3 для случая, когда /1=2^,
где у — целое. Предположим, что Игрок имеет дело со
Столом размером п=2'\ Требуется разработать страте-
гию, использующую не более я/2 рук, которая либо обес-
печивала бы выигрыш Игроку, либо позволяла бы пере-
вести Стол в состояние, являющееся точным квадратом.
При п=2 существует тривиальная стратегия, сводящая-
ся к единственному испытанию. Случай п=4 не столь
тривиален, однако здесь существует стратегия, сводя-
щаяся к проведению четырех испытаний, которая при-
водит к нужному результату: достаточно взять первые
четыре хода решения первоначального варианта задачи
о крутящемся столе, опубликованного. Мартином Гард-
нером в мартовском номере журнала 5аеп1Шс Атепсап
за 1979 г.* Следовательно, мы можем сосредоточить наше
внимание на случаях, когда п^8, или, что равносильно,
когда /^3. Несколько удивительно, что случай п=4 при-
ходится рассматривать особо, хотя это, по-видимому,
действительно вызывается необходимостью: стратегия
«все наоборот», которую мы намереваемся построить,
оказывается неприменимой к квадратному столу.
Первое различие между стратегиями «вверх — вниз»
и «все наоборот» возникает в определении / схем испыта-
ний Рь Р2, . . . , Р}. В случае стратегии «вверх — вниз»
* См. ниже с. 484.— Прим. ред.
379
мы согласились выбирать эти схемы испытаний произ-
вольно с тем лишь условием, чтобы схема Рь разрешала
1-й уровень структурной диаграммы. В случае стратегии
«все наоборот» мы выбираем вполне конкретный набор
схем, обладающих этим свойством и наделенных простой
структурой. Точнее говоря, мы требуем, чтобы схема
испытания Рь состояла из 2'"' блоков по 2'-1 рук в каж-
дом, разделенных 2;'~1' блоками по2/'"1 последовательных
пробелов. Более формально ожерелье Р( можно задать
соотношением
Р. = <(п2 р2 у >. (3)
Схема испытания Рх составлена из чередующихся сим-
волов «п» и «р», в то время как схема Р; проверяет одну
полуокружность и оставляет непроверенной другую.
Рассмотрим к-ю руку в каждом блоке символов «р» в схе-
ме Рх при некотором к в интервале 1^/^21'"1. Эти 2у_/
рук вместе проверяют один из двух 2'-'-угольников, со-
ставляющих 2/~1'+ ^угольник. Другой 2'"'-угольник ос-
тается непроверенным, так как попадает в к-и промежу-
ток в каждом блоке из символов «п» в схеме Рь. Это оз-
начает, что задаваемая соотношением (3) схема испыта-
ния Рь действительно разрешает 1-й уровень структур-
ной диаграммы.
Первый заход в стратегии «все наоборот» совпадает
с первым заходом в стратегии «вверх — вниз»; мы реко-
мендуем Игроку испробовать каждую из схем Рь и пере-
вернуть каждый ощупываемый стакан. Анализ, пол-
ностью повторяющий тот, который был проведен нами в
случае стратегии «вверх — вниз», показывает, что Игрок
либо заканчивает игру в свою пользу, не успев довести
до конца второй заход, либо в конце второго захода один
стакан на столе будет обращен вниз дном и (п—1) стака-
нов будут стоять вверх дном. Назовем единственный ста-
кан, стоящий вниз дном, исключительным стаканом, а
диагональ, которой он принадлежит, исключительной
диагональю. Так как самое интересное в нашем доказа-
тельстве должно произойти во время второго захода, мы
отойдем от наших обычных обозначений и будем считать,
что 5Х — состояние стола в начале второго захода, т. е.
то состояние
^^нв*'-1),
в которое переводит стол первый заход.
380
Первое испытание во втором.заходе остается прежним.
Мы рекомендуем Игроку воспользоваться схемой испы-
тания Рх. Если ему удастся нащупать стакан, стоящий
вниз дном, то Игрок может сразу же отпраздновать по-
беду, ибо знает, что это исключительный стакан и ему
остается лишь перевернуть его. Поэтому мы можем, не
ограничивая общности, считать, что Игрок ощупывает
только стаканы, стоящие вверх дном, и, следуя нашей
инструкции, переворачивает их вниз дном. В результате
этой операции стол переходит в состояние
52 = <нн(вн)2/"1-1>. (4)
Прежде чем Игрок сделает следующий шаг, относя-
щийся к тому же второму заходу, попросим его отмечать
на листке бумаги состояния Стола. Первая запись, ко-
торую сделает Игрок, относится к состоянию 52, задавае-
мому соотношением (4). Вооружив Игрока листком с за-
писями состояний, дадим ему инструкции, которыми Иг-
рок сможет руководствоваться от второго до предпослед-
него испытания второго захода включительно. Цель на-
ших инструкций состоит в том, чтобы проследить за вы-
полнением некоторых условий. Пусть 5$ — состояние
стола непосредственно перед 1-м испытанием второго за-
хода, где 2^л'<7. Будем поддерживать следующие усло-
вия:
Состояние Зь отличается ровно одной позицией
от 2''"^-альтернирующего ожерелья Ть.
Сразу после (7—\)-го испытания второго захода
Игрок может записать на листке бумаги состоя-
ние 5,-.
Оба этих условия выполняются при 1=2, так как
состояние 52 задается в явном виде соотношением (4)
и отличается только одной исключительной позицией «н»
от 1-альтернирующего ожерелья. Наша задача заклю-
чается в том, чтобы проследить за тем, чтобы и далее
условия (5) и (6) на протяжении всего второго захода ни
разу не нарушались. Рассмотрим 1-е испытание второго
захода, где 2^1</\ и предположим, что во всех преды-
дущих испытаниях условия (5) и (6) были выполнены.
Для проведения /-го испытания мы рекомендуем Игроку
воспользоваться схемой испытания /V Поскольку /</,
381
}(5)
| (6)
мы, рассуждая так же, как в случае стратегии «вверх —
вниз», заключаем, что схема Рь — точный квадрат, т. е.
она проверяет оба конца любой диагонали, коль скоро
подвергает контролю хотя бы один ее конец. Прежде
всего мы просим нашего Игрока классифицировать диа-
гонали, которые он обнаружит.
В силу (5) проверяемое Игроком состояние стола
5^ отличается от 2'~2-альтернирующего ожерелья Т{
только в одной исключительной позиции. Ожерелье Ть
должно быть еще и 2'_1-периодическим, и, поскольку
1'</, по крайней мере точной четвертой степенью. Из это-
го мы заключаем, что в состоянии 5/ все диагонали, кро-
ме одной исключительной диагонали, должны быть моно-
тонными. Следовательно, Игрок, добравшись до исклю-
чительной диагонали, сразу же определит, что проверяет
именно исключительную диагональ. В этом случае мы
рекомендуем Игроку превратить диагональ в монотонную
любым из двух способов: либо перевернув вниз дном ста-
кан, стоящий вверх дном, либо перевернуть вверх дном
стакан, стоящий вниз дном. Стол при этом перейдет в
состояние, которое является точным квадратом. Тем
самым требования леммы 3 будут выполнены, и осталь-
ную часть второго захода можно опустить.
Предположим теперь, что Игрок не попал на исклю-
чительную диагональ, т. е. что он проверяет только моно-
тонные диагонали. В стратегии «вверх — вниз» мы реко-
мендовали Игроку перевернуть вниз дном стаканы в вер-
шинах всех инспектируемых им монотонных ^-угольни-
ков. Но в стратегии «все наоборот» Игрок должен пере-
вернуть вниз дном стаканы, стоящие вверх дном на кон-
цах монотонных диагоналей, а стаканы, стоящие вниз
дном на концах монотонных диагоналей, перевернуть
вверх дном, т. е. попросту перевернуть «наоборот» все
стаканы, стоящие на концах любой проверяемой Игроком
монотонной диагонали. Это объясняет название «все
наоборот» нашей стратегии, но оставляет без ответа во-
прос, для чего эта стратегия нужна. Состояние 5; было
2/_2-альтернирующим с единственным «дефектом» — ис-
ключительным стаканом; поэтому оно является 2/~1-пе-
риодическим с тем же единственным изъяном — исклю-
чительным стаканом. Переворачивание каждого стакана
при использовании схемы испытания Рь сводится к пере-
ходу от каждого символа к противоположному ему и
382
сохраняет альтернирующие блоки длины 2'"1. Следова-
тельно, такое переворачивание гарантирует, что следую-
щее состояние 5;+1 будет 2/'"1-альтернирующим с единст-
венным сбоем в том месте, где находится исключительный
стакан. Иначе говоря, переворачивание — операция «все
наоборот» — обеспечивает выполнение условия (5) на
(1+1 )-м шаге.
А что можно утверждать относительно условия (6)?
Напомним, что по предположению наш Игрок не прове-
ряет исключительную диагональ и переворачивает каж-
дый стакан, который ощупывает. Так как состояние 5$
уже записано на листке бумаги, достаточно показать,
что Игрок может однозначно указать, какие из стаканов
в 5$ подвергаются проверке или в каких вершинах исход-
ного многоугольника находятся руки Игрока. Рассмот-
рим сначала ситуацию, которая возникла бы, если бы
Игрок испытывал ожерелье Т,- по схеме Рь. Результаты
испытаний каждого блока из 2/'~1 рук имели бы вид ХХ>
где X — некоторая последовательность символов дли-
ной 2'"2, а X — последовательность, полученная из X
заменой каждого символа противоположным, так как
ожерелье Ть является 2''~2-альтернирующим. Предполо-
жим теперь, что последовательность XX встречается
при обходе ожерелья Ть дважды и что места, в которых
находятся (незамкнутые) нити вида XX, получаются
одно из другого поворотом на / позиций. Так как оже-
релье Ть обладает периодом 21""1, все ожерелье Тг при по-
вороте на / позиций должно переходить в себя, т. е.
число / должно быть периодом ожерелья Т{.
Наконец-то нам становится ясно, для чего понадо-
билась лемма 5! Из полученного результата следует, что
число 2'"1 в действительности должно быть основным пе-
риодом ожерелья Ти и, значит, / должно быть кратно
числу 21'"1. Учитывая структуру схемы Ри отсюда можно
сделать вывод, что только две различные комбинации
ожерелий Рь и Ть привели бы к результатам испытаний
XX. Действительно, Т% состоит из 2^~' + 1 копий последо-
вательности символов XX — и руки Игрока должны ощу-
пать либо все четные, либо все нечетные копии. Любой
другой вариант привел бы к появлению у ожерелья Тг
нетривиального периода — но это противоречит лемме 5.
383
Однако Игрок подвергает проверке ожерелье 5^, а не Тг.
Так как по предположению Игрок не проверяет исклю-
чительный стакан, одна из двух возможных схем распо-
ложения его рук по 5* исключается, а это означает, что
руки Игрока располагаются по5^ единственным возмож-
ным образом. Следовательно, по результатам /-го испы-
тания Игрок сможет сказать, где именно находятся его
руки на ожерелье 5^. Располагая этими сведениями,
Игрок может легко вычислить вид ожерелья 5/ + 1 и за-
писать его на листке бумаги.
Итак, мы доказали, что Игрок может поддерживать
условия (5) и (6) на «внутренней» стадии второго захо-
да — на фазе переворачивания. Обратимся теперь к за-
ключительному испытанию второго захода — проверке
одной из полуокружностей. Прежде всего покажем, что
Игрок будет в состоянии различить, ощупывает ли он
исключительный стакан или не ощупывает. На этот раз
Игрок не сможет выделить исключительную диагональ
как немонотонную, поскольку проверяет только один
конец каждой диагонали. Но из условия (3) при /=/
следует, что состояние 5/ стола в начале /-го испытания
второго захода только одной позицией отличается от
2/_2-альтернирующего ожерелья Ть. Следовательно, Иг-
рок сможет установить, ощупывает он исключительный
или неисключительный стакан, по тому признаку, будут
или нет результаты испытаний иметь вид ХХУ где X —
некоторая последовательность символов длины 2'~2.
Если Игрок не ощупывает исключительный стакан, то
результаты испытаний можно представить в виде XX.
Если же Игрок ощупает исключительный стакан, то
результаты испытаний примут вид Ун2Ун2, где один
из двух символов «н» соответствует исключительному
стакану.
Предположим, что Игрок нащупал-таки исключитель-
ный стакан. Следующая его задача — определить, какой
из двух символов «н» соответствует исключению, и устра-
нить это исключение. Именно здесь решающее значение
приобретает наше предположение о том, что /^3. Если
бы мы попытались применить стратегию «все наоборот»
к квадратному столу, то мы столкнулись бы с необходи-
мостью выяснить, какой из символов «н» в блоке «нн»
соответствует исключительному стакану, т. е. встали бы
384
перед неразрешимой проблемой. Именно поэтому случай
п=4: приходится рассматривать особо. Это позволяет
нам заключить, что по крайней мере одна из двух после-
довательностей символов У и 1 непустая. Значит, Игрок
может проверить некоторую окрестность каждого из
«кандидатов в исключительные стаканы». Заметим, что
окрестности двух символов «н» дополнительны. Из ус-
ловия (6) нам известно, что на листке бумаги у Игрока
записано ожерелье 57-. Располагая этой записью, нетруд-
но заключить, какие состояния находятся слева и справа
от исключительного стакана, что позволяет Игроку оп-
ределить, который из двух «кандидатов» соответствует
исключительному стакану. Следуя инструкции, Игрок
переворачивает исключительный стакан. Исключитель-
ная диагональ переходит в монотонное состояние (вв),
и, следовательно, условия леммы 3 нами удовлетворены.
Теперь нам осталось рассмотреть только один случай.
Предположим, что, выполняя последнее испытание вто-
рого захода, Игрок не нащупал исключительный стакан,
т. е. что результаты проведенных испытаний можно пред-
ставить в виде XX. Тогда ожерелье Т], от которого со-
стояние 5; отличается только в той позиции, где находит-
ся исключительный стакан, должно определяться форму-
лой Т}={ХХХХ). Повторяя по существу доказательство
леммы 5, можно показать, что последовательность сим-
волов XX войдет в Т^ только в двух местах. Следователь-
но, в 57- последовательность символов XX встретится
только один раз. Это означает, что Игрок сумеет одно-
значно определить расположение рук на «5;. Так как
Игрок проверяет полуокружность и не ощупывает ис-
ключительный стакан, он подвергает проверке другую
вершину исключительной диагонали. Следуя инструк-
ции, Игрок заглядывает в свои записи и выясняет, какой
из стоящих вверх дном стаканов ему удастся ощупать на
другом конце диагонали от исключительного стакана.
После того как этот стакан будет перевернут вниз дном,
исключительная диагональ перейдет в монотонное со-
стояние (нн) — и требования леммы 3 будут полностью
удовлетворены.
Итак, мы исчерпывающим образом описали интересу-
ющую нас функцию 1(п). Но это отнюдь не означает, что
задачу о «столоверчении» можно считать решенной до
13 № 1136
335
конца. Наоборот, мы упоминали во введении о несколь-
ких других заслуживающих внимания обобщениях за-
дачи. Более того, углубленный анализ даже рассмотрен-
ного нами варианта задачи может сторицей вознаградить
за усилия. Например, можно было бы попытаться по-
строить короткие выигрышные стратегии для /г-рукого
Игрока, где к^}(п).
Избранный нами метод построения стратегий позво-
ляет составить предварительные представления о длине
стратегий одного семейства. Пусть п=а1а2 ... О/ —
разложение числа п на множители, где каждый множи-
тель а(, разумеется, удовлетворяет неравенству а^2.
Перенумеруем все аь так, чтобы все двойки, если они
среди аь имеются, шли первыми. Используя стратегию
«вверх — вниз» при ар>2 и стратегию «все наоборот»
при а/=2, мы можем не более чем за 2/ испытаний свести
задачу о построении стратегии для стола размером п
к задаче о построении стратегии для стола размером
п/а^у для чего нам потребуется не более
/С= шах (1 ]п
рук. Таким образом, мы можем построить выигрышную
стратегию для стола размером л, требующую только к
рук и использующую не более /2+/ испытаний, о которых
мы уже говорили. Существует своего рода свобода вы-
бора. Мы можем выбрать большие аь тогда число / будет
мало и стратегия получится короткой, но для осущест-
вления ее понадобится много рук. Но мы можем выбрать
малые аь\ тогда, напротив, число / будет велико и страте-
гия получится длинной, но для осуществления ее пона-
добится меньшее число рук. Кроме того, эти стратегии
сравнительно легко, по крайней мере немного, сократить.
Например, часто число испытаний удается уменьшить
за счет переноса информации от одной стадии стратегии
«вверх — вниз» к другой. Но мы не знаем, существуют
ли стратегии, которые в наименее благоприятных случа-
ях обходятся гораздо меньшим числом испытаний, чем
построенные нами стратегии.
Примечание при корректуре. Тед Льюис и Стивен Уиллард
нашли /(я) независимо от нас и опубликовали свои результаты в
статье «Крутящийся стол» (Ье\\пз Т., \УП1агс1 5. «ТЬе Но1аИп§ ТаЬ-
1е», Ма1петаИса1 Ма^агте, 1980, 53, № 3 рр. 174—179.) В случае
386
когда п не является степенью двойки, эти авторы использовали
усовершенствованный вариант стратегии «верх — вниз», в котором
перенос информации от одного этапа к другому позволяет Игроку
обходиться примерно вдвое меньшим числом испытаний. Кроме того,
Льюис и Уиллард обнаружили близкий вариант стратегии «вверх —
вниз», применимый в тех случаях, когда п совпадает со степенью
двойки. В первом заходе стаканы переворачиваются вверх дном, а
на протяжении почти всего второго захода Игрок поворачивает их
вниз дном. Переворачивание «наоборот» происходит только в пред-
последнем испытании второго захода, во время которого поворачи-
ваются «наоборот» стаканы, расположенные на концах одной-единст-
венной диагонали.
13*
6. Числа
и теория кодирования
6.1. Сверхъестественные числа
Дональд Э. Кнут
По словам Леопольда Кронекера, «господь бог создал
целые числа, все остальное — дело рук человеческих»
[10]. Если Кронекер прав, то было бы ересью называть
любые нецелые числа сверхъестественными, т. е. считать
что они обладают волшебными свойствами. С другой
стороны, математики обычно называют неотрицательные
целые числа {0, 1, 2, ...} натуральными (т. е. естествен-
ными) числами; поэтому, если число можно назвать
сверхъестественным, то оно тем более должно являться
естественным, или натуральным, числом. В настоящей
статье мы обсудим представление естественных (нату-
ральных) чисел, к которым можно приписать приставку
«сверх», потому что они необычайно велики — и для запи-
си их в обычной десятичной системе (с помощью степеней
числа 10) понадобились бы многозначные показатели.
Чтобы охарактеризовать размеры известной части
Вселенной, вовсе не требуется брать очень большие чис-
ла. Например, если взять куб с ребром длиной 40 милли-
ардов световых лет и заполнить его крохотными кубика-
ми с ребром длиной 10~1а см (каждый такой кубик по
размеру меньше протона или нейтрона), то общее число
кубиков окажется меньше 10126. Такое число можно наз-
вать гигантским лишь с известной натяжкой: ведь его
десятичная запись содержит всего лишь 126 цифр.
Великий Архимед, по-видимому, был первым, кто
всерьез задумался над существованием особенно боль-
ших чисел. Знаменитое сочинение Архимеда «Исчисле-
ние песчинок» [1] завершается доказательством того, что
для заполнения известной в его времена Вселенной по-
надобится менее 1063 песчинок. Кроме того, Архимед раз-
работал систему названий, позволявшую ему говорить
о числах вплоть до 108С 00° 00° 00° 00° 00°.
388
В английском языке нет названий для столь больших
величин. Поэтому было бы полезно разработать систему,
позволяющую оперировать гигантскими числами. В пе-
риоды инфляции такие названия могли бы пригодиться
для выражения цен. Известно, например, что в 1923 г.
в Германии находились в обращении почтовые марки до-
стоинством в 50 миллиардов марок — но ценность этих
клочков бумаги была почти нулевой.
Если критически подойти к традиционным названиям
чисел, то станет ясно, что все эти названия — дело рук
человеческих, и их можно было бы придумать гораздо
разумнее. Например, о тысячах можно было бы полно-
стью забыть и сразу после сотен ввести мириады (104).
Ведь такие числа, как 1984, читать «девятнадцать (сотен)
восемьдесят четыре» гораздо удобнее, чем «тысяча девять-
сот восемьдесят четыре»*. Использование мириадов дало
бы десятичные названия числам до 108. Например, про-
стое число 9999 9989 читалось бы как «девяносто де-
вять сотен девяносто девять мириадов девяносто девять
сотен восемьдесят девять».
Следующая единица, которая понадобилась бы нам
после мириадов, 108. Назовем ее мильюн (однокорневые
слова, например мильюнер — обладатель мильюнного
состояния, также были бы удобны в обращении). После
мильюнов идут билыоны, один бильюн равен 1016.
Иметь название «бильюн», допускающее однозначное
толкование, было бы чрезвычайно удобно, поскольку
прежде оперировали словом билион, относительно кото-
рого никак не могли прийти к единому мнению, что же
собственно оно означает. (Так, англичане и немцы счи-
тают, что биллион — это миллион миллионов, тогда как
американцы и французы полагают, что биллион — это
всего тысяча миллионов.) Не без удовлетворения замечу,
что национальный долг США составляет лишь малую
долю бильюна долларов. Список названий больших чи-
сел можно продолжить следующим образом:
1032 трильюн Ю1вз84 дуодецильюн
1064 квадрильюм ю:{2708 тредецильюн
10128 квинтилыоп ;он5536 кваттуордецильюн
* Названия чисел от 11 до 19 можно было бы заменить бо-
лее последовательными названиями «одцатьодин», . . ., «одцатьде-
вять». Боюсь, что такая номенклатура была бы слишком логич-
ной.
389
10256 секстильюн ю131072 квиндецильюн
10512 септильюн ю262144 сексдецильюн
101024 октильюн ю521288 сентдецильюн
Ю2048 нонильюн ю1048576 октодецильюн
10^096 децильюн Ю209П52 новемдецильюн |
108Ю2 ундецильюн Ю4194204 вигинтильюн
Например, карточную колоду в 52 листа можно пере-
тасовать 52! различными способами. Если мы условимся
отделять знаками препинания группы по четыре, восемь,
шестнадцать и т. д. цифр, то это число можно записать
в виде: 8065:: 8175, 1709; 4387, 8571: 6606, 3685; 6403,
7669;; 7528, 9505; 4408, 8327: 7824, 0000; 0000, 0000.
Следуя предложенной нами системе, его можно было бы
назвать так: «восемьдесят сотен шестьдесят пять квад-
рильюнов восемьдесят одна сотня семьдесят пять мири-
адов семнадцать сотен девять мильюнов сорок три сотни
восемьдесят семь мириадов восемьдесят пять сотен семь-
десят один бильюн шестьдесят шесть сотен шесть мири-
адов тридцать шесть сотен восемьдесят пять мильюнов
шестьдесят четыре сотни три мириада семьдесят шесть
сотен шестьдесят девять трильюнов семьдесят пять
сотен двадцать восемь мириадов девяносто пять сотен
пять мильюнов сорок четыре сотни восемь мириадов во-
семьдесят три сотни двадцать семь бильюнов семьдесят
восемь сотен двадцать четыре мириада мильюнов».
В современном американизированном английском языке
для этого числа не существует названия, разве что мы
прибегнем к какой-нибудь искусственной конструкции
типа «восемьдесят тысяч шестьсот пятьдесят восемь ви-
гинтиллионов сто семьдесят пять нониллионов ... во-
семьсот двадцать четыре триллиона», так как самые пол-
ные словари не приводят названий для чисел, превышаю-
щих один вигинтиллион (=1063), за исключением цен-
тиллиона (=10303).
Нам же необходимо превзойти вигинтилыоны и цен-
тильюны, если мы хотим иметь названия для всех «чи-
сел, сотворенных господом богом». Следующим за вигин-
тильюном большим числом, требующим особого назва-
ния, был бы «унвигинтильюн», если мы экстраполируем
принятую нами схему построения названий и углубимся
в номенклатуру, построенную на основе латинского
языка. Так, разложение
390
80 000 000 000 000 000=256+252+251+250+245+24Ч-
242+241+240+239+236+233+232+230+229+228+227+
22й+22б+210
позволит читателю, понявшему предлагаемую систему,
назвать «последнее число» Архимеда 1080 00° 00° 00° 00° 00°.
(Для проверки название «последнего числа» приведено
в конце статьи.)
Рано или поздно мы обнаружим, что латинской но-
менклатуры недостаточно. Это вполне понятно, так как
римляне не вели счет до очень больших чисел. Даже если
бы римские ученые приняли схему, предложенную Архи-
медом, нам было бы трудно назвать, например, такое чис-
ло, как
80 000 000 000 000 003
Однако эту трудность можно было бы обойти, назвав каж-
дую основную единицу Ю2"+2 при всех больших п словом
«латин{название числа #}ильюон». Например, число
Ю210 00° 00° 00° 00°002 следовало бы назвать «латинбилью-
нильюн». Такая номенклатура позволила бы нам на-
зывать все натуральные числа, сколь бы большими они
ни были. Например, одно из чисел называлось бы «латин-
латинлатинбильюнильюнильюнильюн». Сможете ли вы
указать, сколь велико это число? (Ответ см. в конце
статьи.)
Дочитав нашу статью до этого места, читатель может
подумать: «Ну и что? Зачем наделять специальными на-
званиями гигантские числа, если обычная десятичная
или двоичная запись дает более простое представление,
гораздо более удобное для вычислений?» Вы совершенно
правы, дорогой читатель: названия чисел представляют
больший интерес для «лингвистических отделов» нашего
мозга, чем для тех клеток серого вещества, которые ве-
дают вычислениями, и тот факт, что такой великий
ученый, как Архимед, писал на эту тему, не может слу-
жить аргументом в пользу ее научной значимости. Од-
нако затеянный нами разговор о больших числах не столь
уж бесполезен, поскольку он подготавливает нас к об-
суждению более важной проблемы, решение которой
связано с аналогичными понятиями.
Проблема, рассмотрению которой мы посвятим ос-
тальную часть статьи, состоит в следующем: как пред-
Ю210
- 391
ставить в виде последовательностей нулей и единиц
сколь угодно большие числа, причем так, чтобы
1) представление любого числа не входило в качестве
«приставки» в представление любого другого числа?
Иначе говоря, если какое-то число представлено после-
довательностью «01101», то никакое другое число не
должно начинаться с «01101». Кроме того, запись чисел
должна удовлетворять условию
2) представление каждого числа должно быть «лекси-
кографически меньше» представления любого боль-
шего числа.
Число «лексикографически меньше» другого, если
оно раньше, чем последнее, встречается в словаре.
Например, число 01101 лексикографически меньше всех
последовательностей, начинающихся с 1, 0111, 011010
или 011011.
Важность предлагаемой задачи связана с тем, что не-
редко нам бывает необходимо ввести в ЭВМ последова-
тельность чисел. Такой последовательностью могут быть,
например, команды программы, сообщающие ЭВМ, ка-
кие операции следует произвести. Основная трудность
состоит в том, что ЭВМ должна знать, где заканчивается
одно число и начинается следующее. Условие (1) гаран-
тирует, что ЭВМ всегда сумеет отличить конец предыду-
щего числа от начала следующего числа, так как при счи-
тывании последовательности нулей и единиц слева на-
право никакой неоднозначности не возникает. Условие (2)
не имеет столь решающего значения, однако благодаря
ему запись чисел обладает весьма удобным свойством:
представление, о котором идет речь, сохраняет порядок,
т. е. если одна последовательность чисел лексикографи-
чески меньше другой, то представление первой последо-
вательности лексикографически меньше представления
второй последовательности.
Условиям (1) и (2) легко удовлетворить, если нам нуж-
но представить не очень много чисел. Например, если
требуется записать только числа от 0 до 7, то можно вос-
пользоваться представлениями одинаковой длины: 000,
001, 010, 011, 100, 101, ПО, 111. Однако мы должны
иметь возможность закодировать все натуральные числа,
а не только м-алые числа.
Первое правильное решение, которое приходит в го-
лову,— «единичная» система счисления, в которой 0
392
записывается в виде «О», 1 — в виде «10», 2 — в виде
«110» и т. д. Число п в единичной системе счисления пред-
ставимо последовательностью «14)», т. е. п единицами,
за которыми идет один нуль. Этот нуль служит своего
рода конечной меткой, или «запятой», разделяющей по-
следовательные числа, которые считывает ЭВМ. Единич-
ная система счисления удовлетворяет условиям (1) и
(2), но вряд ли удобна для представления даже не очень
больших чисел, так как требует п+1 битов для записи
числа п. Нам же необходимо найти как можно более ком-
пактный способ представления чисел, удовлетворяющий
условиям (1) и (2).
Простейшим решением проблемы после «единичной»
системы счисления, по-видимому, можно считать обыч-
ную двоичную систему записи целых чисел: {0, 1, 10, 11,
100, 101, . . .}. В том виде, как вы ее знаете, двоичная
система счисления не удовлетворяет условиям (1) или
(2), но ее можно усовершенствовать, если условиться
указывать перед двоичной записью числа ее длину сле-
дующим образом:
0—>00
1--+01
2—^ 100
3—+ 101
4—* 11000
5—* 11001
6 —^ 11010
7—► 11011
8—> ИЮООО
9—> 1110001
10—► 1110010
15—+ 1110111
16—+ 111100000
31—+111101111
32 —► 11111000000
63—+11111011111
64-+И
127—+11
128—+11
255 —М 1
256 —> 11
511 — 11
512—> 11
1000—> И
11110000000
11110111111
1111100000000
1111101111111
111111000000000
111111011111111
11111110000000000
11111110111101000
В общем случае при п^2 если двоичное представление
числа п имеет вид 1а, где а — любая последовательность
нулей и единиц, то новое представление числа п имеет
вид
1,а,0ое,
где | а | означает длину последовательности а. Если двоич-
ная запись числа п требует т битов, то новое представ-
ление требует 2т—1 битов. Грубо говоря, мы удвоили
число битов, необходимых для записи числа п, чтобы
однозначно указать, где заканчивается каждое пред-
ставление.
Предлагаемое нами решение проблемы допускает
дальнейшее усовершенствование, но, прежде чем мы уг-
лубимся в его детали, небезынтересно отметить, что наша
зоз
проблема по существу эквивалентна игре в отгадывание,
в которой один задумывает, а другой пытается отгадать
произвольное натуральное число. Правила этой игры
аналогичны правилам игры в двадцать вопросов: отгады-
вающему разрешается задавать только вопрос: «Заду-
манное число меньше /г?» (п — неотрицательное целое
число), на который партнер, задумавший число, отвечает
только «да» или «нет». Разумеется, игра может длиться и
дольше 20 вопросов, поскольку задумывать разрешается
бесконечно много чисел, а с помощью 20 вопросов, до-
пускающих только ответы «да» и «нет», мы можем раз-
личить не более чем 220 чисел. Но общая идея игры состо-
ит в том, чтобы как можно быстрее отгадать задуманное
число.
Нетрудно понять, как связаны между собой игра в от-
гадывание и наше представление чисел в виде последо-
вательностей нулей и единиц. Любая стратегия, позво-
ляющая отгадывающему установить любое задуманное
число, приводит к решению проблемы, удовлетворяю-
щему условиям (1) и (2): в качестве представления числа
п достаточно выбрать последовательность ответов при
отгадывании этого числа, заменив нулями положитель-
ные ответы («да») и единицами отрицательные ответы
(«нет»). Наоборот, если известно решение проблемы,
удовлетворяющее условиям (1) и (2), мы можем постро-
ить соответствующую ему стратегию отгадывания, дей-
ствуя по тому же правилу, если разрешим отгадываю-
щему задавать помимо вопроса: «Задуманное число мень-
ше /г?» один глупый вопрос: «Задуманное число меньше
бесконечности?» (Ответ на этот вопрос всегда будет по-
ложительным, тогда как некоторые решения, удовлетво-
ряющие условиям (1) и (2), имеют представление, начи-
нающееся с нуля.)
«Единичное» представление, с обсуждения которого
мы начали, соответствует стратегии, при которой отга-
дывающий число просто спрашивает:
Задуманное число меньше 1?
Задуманное число меньше 2?
Задуманное число меньше 3?
и так далее, пока в ответ на свой вопрос не услышит впер-
вые «да». Наше второе решение более хитроумно. Оно
начинается с вопросов:
394
Задуманное число меньше 2?
Задуманное число меньше 4?
Задуманное число меньше 8?
и так далее, после чего использует «двоичный поиск»,
или «дихотомию», чтобы «поймать» задуманное число,
как только первый ответ «да» откроет порядок его вели-
чины.
При наличии эквивалентности между игрой в отга-
дывание и представлением чисел хорошая стратегия для
отгадывающего задуманное число соответствует компакт-
ному представлению чисел, и проводимый нами поиск
хороших представлений чисел по существу сводится к
поиску хорошей системы вопросов в задаче отгадывания
задуманного числа.
Заметим, кстати, что игра в отгадывание задуманного
числа — не пустая забава, она находит важные практи-
ческие применения. Например, пусть известно, что мно-
гочлен [(х) имеет ровно один положительный корень,
причем /(0) меньше нуля, а значение /(%) положительно
при всех достаточно больших х. Тогда этот положитель-
ный корень меньше п в том и только том случае, если
1(п) положительно. Так, хорошая стратегия для отга-
дывания чисел приводит к эффективному методу локали-
зации корней многочлена, не требующему вычисления
производной.
Наше второе решение можно улучшить, если заме-
тить, что оно по существу представляет собой не что
иное, как использование «единичной» стратегии для пред-
ставления длины двоичной записи числа п, и, следова-
тельно, в этом месте единичную стратегию можно заме-
нить более рациональной двоичной стратегией! Иначе
говоря, последовательность 1|а|0, применяемая для ко-
дирования длины последовательности а, может быть за-
менена более компактным представлением числа |а|.
Повторно используя ту же идею, мы получаем все более
..короткие представления больших чисел. В результате
мы приходим к тому, что можно было бы назвать рекур-
сивной стратегией, согласно которой сначала следует
отгадать, сколько знаков содержит двоичное представ-
ление числа /г, а затем воспользоваться двоичным поис-
ком (дихотомией) для нахождения точного значения чис-
ла п. Для отгадывания числа знаков в записи числа л
395
используется та же рекурсивная стратегия: сначала мы
отгадываем число знаков в числе знаков числа п, а затем
пытаемся отгадать число п. Приведем несколько первых
вопросов рекурсивной стратегии:
Задуманное число меньше 1?
Задуманное число меньше 2?
Задуманное число меньше 4?
Задуманное число меньше 16?
Задуманное число меньше 65 536?
и так далее, пока мы не получим первый утвердительный
ответ. (Заметим, что 2=2*, 4=22, 16=24 и 65 536-216.
Следующий вопрос должен был бы относиться к числу
265536) п0 рекурсивной стратегии мы продолжаем зада-
вать вопросы такого рода до тех пор, пока не установим
верхнюю границу для задуманного числа, после чего
«развернем» рекурсивную стратегию в обратную сторону
и получим для задуманного числа нижнюю границу.
Если задуманное число достаточно велико, то отгадываю-
щему довольно скоро придется иметь дело с большими
числами.
Рекурсивное представление числа, соответствующее
такой рекурсивной стратегии отгадывания, можно задать
очень просто. Пусть К(п) — последовательность нулей
и единиц, служащая представлением числа п. Тогда
Я(0) = 0,
/?((1а)1)=1/?(|а|)а,
где (1а)2 — число, записываемое в двоичной схеме в виде
1а, и |а|—длина последовательности а. В качестве
примера приведем представления нескольких неболь-
ших чисел:
0 — 0
1 — 10
2—+ 1100
3—* 1101
4—> 1110000
5—* 1110001
6—* 1110010
7—* 1110011
8—И
9—>
10—И
15-+
16—►
31—►
32-+
63—>
ИОН000
11101001
1101010
11101111
111100000000
111100001111
111000100000
1111000111111
64—+1
127 —^
128—Ч
255—>
256—+
511 —►
512—>
1000—►
110010000000
1110010111111
11100110000000
111100111111111
11110100000000000
11110100011111111
11101001000000000
111101001111101000
Нетрудно видеть, что это представление удовлетво-
ряет условиям (1) и (2). Специалистам по вычислитель-
396
ной математике, предпочитающим преобразовывать ре-
курсивные методы в интеративные, приятно найти про-
стую нерекурсивную процедуру, позволяющую оцени-
вать я, коль скоро известно представление числа п. (Най-
денную ими процедуру желающие смогут сравнить с
приведенной в ответах в конце статьи.)
Рекурсивное представление большого числа п при-
мерно вдвое короче его представления по двоичной схеме.
Например, представлением числа 2^--36—1 по двоичной
схеме служит последовательность
| 655350| 65535
длины 131 071, в то время как представление того же
числа по рекурсивной схеме
150165554
имеет длину только 65 560 «0,1 единиц», или битов. С дру-
гой стороны, при малых п рекурсивная схема «срабаты-
вает» лишь ценой больших усилий: при всех значениях п
от 2 до 127 включительно двоичная схема порождает бо-
лее короткое представление (рекурсивная схема дает
заметный выигрыш по сравнению с двоичной схемой
только при п=0 или п^512). Таким образом, для мно-
гих приложений двоичная схема предпочтительнее ре-
курсивной.
Рекурсивную схему при малых п можно улучшить,
если заметить, что все последовательности, кроме той,
которая соответствует нулю, начинаются с единицы. Сле-
довательно, если нам требуется представить строго по-
ложительные числа, то первую единицу заведомо можно
отбросить. Натуральные числа находятся во взаимно-
однозначном соответствии со строго положительными
числами, поэтому существует представление 0,(п)у такое,
что
Щп) = П(п+\).
Следуя этой модификации рекурсивной схемы, полу-
чаем
0—>0 3—> 110000
1 —^ 100 4—* 110001
2—> 101
и т. д. Двоичная схема предпочтительнее этой модифи-
кации рекурсивной схемы лишь при /1=1, 3, 4, 5, 6, 7
397
и 15^я^63. Аналогично преобразование в силу сходных
причин применимо также и к схеме (2; оно порождает
схему Р, где
\Р(п)=0(п+\),
откуда
О—>00 3—* 10001
1—^01 4—+10010
2 —> 10000
и т. д. Схема Р уступает двоичной схеме только при п=
2, 3, 6, 7, 62, 63 и 14<я<31.
Нам хотелось бы найти в некотором смысле наилуч-
шую из всех возможных стратегий, но сказать, что озна-
чает здесь слово «наилучшая», довольно трудно. Напри-
мер, можно считать, что двоичная стратегия намного
лучше единичной, но даже единичная стратегия превос-
ходит двоичную при п=0. Как мы увидим в дальнейшем,
такая ситуация неизбежна: ни одна стратегия для игры
в отгадывание не имеет преимуществ перед другой в том
смысле, что при использовании первой стратегии для от-
гадывания задуманного числа п при любом п требуется
не больше, а в ряде случаев даже меньше вопросов, чем
при использовании второй (разумеется, мы не рассматри-
ваем случай, когда худшая стратегия задает глупые во-
просы, допускающие ответы типа «да» и «нет», которые
полностью следуют из предыдущих ответов). Если одна
неглупая стратегия лучше другой при одних я, то она
заведомо хуже второй стратегии при других я. В чем-то
вы выигрываете, в чем-то проигрываете — так уж устрое-
на жизнь.
Чтобы проанализировать, насколько хороши предло-
женные стратегии, необходимо придать нашим оценкам
более количественный характер. (Считаю своим долгом
предупредить читателя, что остальная часть статьи со-
держит математические детали технического характера.
Они вполне элементарны, но иногда содержат кое-какие
тонкости.) Пусть я^Л. Обозначим через кп единственное
натуральное число, такое, что 2кп^п<.21+Хп. Например,
если п=(1а)2 в двоичных обозначениях, то Ая=|а|, где
| а | — длина последовательности а. Удобно считать, что
по определению Я0=0; тогда Хя — натуральное число,
коль скоро я—натуральное число. Число К(Хп) услсвим-
398
ся обозначать через Мл и т. д. Символом ктп обозначим
т-кратную итерацию функции X. Тогда 1к°п=п, К3п='к'кХп
и т. д. Наконец, обозначим через к*п наименьшее целое
число т, такое, что ктп=0.
Введенные нами функции позволяют без труда выра-
зить длину представления числа п. Пусть с(п)—эта
длина, т. е. «цена» представления числа п. В игре на от-
гадывание с (п) — число вопросов, которые необходимо
задать, чтобы определить задуманное число. Единичная
стратегия С/ отгадывания обладает весьма высокой ценой
си(п) = п+1
Цена двоичной стратегии В ниже:
|2 при я = 0 или п=1,
Св^П)==\2кп+1 при п> 1.
Цена рекурсивной стратегии 7? такова:
сн (/г) = Хп + ХХп + ХШ + ... +К*п + 1.
Бесконечный ряд, указанный многоточием, в действи-
тельности обрывается после конечного числа членов, так
как Хтп=0 при ггй^Х*п. Наконец, цена модифицирован-
ных рекурсивных стратегий составляет
Со(п)=сн(п+1)—1, ср(п)=сн(п+2)—2.
Эти формулы подтверждают наше замечание о том, что
при больших п рекурсивные стратегии стоят примерно
вдвое меньше двоичной схемы.
Будем называть схему представления неизбыточной,
если в соответствующей игре на отгадывание спрашиваю-
щий не задает глупых вопросов (глупым по определению
считается вопрос, отве'г на который известен заранее или
может быть определен из того, что нам уже известно).
Это означает, что если а — любая последовательность
нулей и единиц, не являющаяся представлением ни од-
ного числа /г, но входящая в качестве «префикса» (при-
ставки) в какое-нибудь представление любого целого чис-
ла, то и аО, и а1 входят в качестве префиксов в представ-
ления. Все разумные схемы представлений неизбыточны.
Действительно, если ссО входит в качестве префикса в
какое-то представление, а а1 не входит, то, не нарушая
условий (1) и (2), мы можем сократить представление не-
399
которых целых чисел: для этого нам достаточно вычерки-
вать следующий за а нуль всякий раз, когда а выступает
в качестве префикса.
Функции цены неизбыточных представлений удовлет-
воряют важному арифметическому соотношению.
Утверждение 1. Пусть с(п)—цена представления
числа п в неизбыточной схеме представления. Тогда
2с(0) | 2С(1) 2е (2) ^
Доказательство. Если а — представление числа я,
то в двоичных обозначениях при любом п справедливо
соотношение *
2с (0) + 2с (1) "Г • • • "г 2с кп-\) V» а/2-
Эта формула остается в силе и при п=0у так как в неиз-
быточном представлении нуля не может быть единиц.
Пусть р — представление числа п+1. Требуется дока-
зать, что
( .«)2+^п=( .Р)«-
Ни одно число не представимо в виде последователь-
ности одних лишь единиц, так как при лексикографиче-
ском упорядочении за последовательностью \т могут идти
только последовательности, в которые она входит в ка-
честве префикса. Следовательно, (,а)2+2_| а' меньше еди-
ницы. В действительности ( ,а)2+2-1 а|=( уа!а2а3...)2—
наименьшее двоичное число, которое больше ( ,а)2 и не со-
держит а в качестве префикса. Если ( ,Р)2 = ( ,Ь1Ь2Ь3...)2ф
Ф{ ,а1а2а3...)2у то пусть / — наименьший из индексов, при
которых Ьу=й=ау, а к — наибольший из индексов, таких,
что ак=\. Из неравенства ( ,Ь1Ь2Ь3...)2>( уа!а2а3...)2
следует, что Ь]=\ и а/=0. При к<] последовательность
Ь\. . .&у_1 — избыточный префикс, так как Ьх. . .&7_11
входит в качестве префикса в представление числа п+1,
но последовательность Ь\. . .&/_10 никогда не встречается
в качестве префикса. При к>\ последовательность
#1. . . ак_г — избыточный префикс, так как а±. . мк_г0
* В дальнейшем запись ( , аха2 ... ак)2 означает двоичную дробь
0, а^2 ... аку т.е. а1-2~1-\-а2-2~2-\-....-]-ак-2-п.— Прим. ред.
400
входит в качестве префикса в представление числа я, но
последовательность д^. . •ак_11 никогда не встречается
в качестве префикса. (Заметим, что к — положение са-
мого правого нуля в последовательности а.)
Нетрудно проверить, что \к встречается в качестве
префикса при всех к. Но если \и — префикс представле-
ния числа /г, то сумма 2~с(0)+2~с(1)+. . .+2'с{п'г) за-
ключена между ( , 1Л)а = 1—2~* и 1. Следовательно, при
п-+оо эта бесконечная сумма стремится к единице, что
и требовалось доказать.
(В приведенном доказательстве мы использовали и
условие (1), и условие (2). Одного условия (1) для полу-
чения окончательного результата было бы недостаточно.
Например, следующая процедура порождает неизбыточ-
ные представления длины п+к для каждого целого числа
п при любом к^2. Числу 0 требуется поставить в соот-
ветствие последовательность О*, а для п=1, 2, 3,... най-
ти последовательность а, такую, что (а) а входит в ка-
честве префикса в представление некоторого числа <Ся,
но не совпадает со всем представлением; (б) последова-
тельности аО и а1 не встречались ранее в качестве пре-
фиксов; (в) а — кратчайшая из последовательностей
нулей и единиц, удовлетворяющая условиям (а) ц (б).
В этом случае представлением числа п может быть лю-
бая последовательность длины п+к, содержащая аО
или а1 в качестве префикса, который не встречался ра-
нее. Например, при к=2 одна такая схема представле-
ния начинается с
О—*00 3 —^ 11000 6 -> 11100000
1 —^ 100 4 —^ 011000 7—+010100000
2 —^0100 5 —^ 1010000 8 —^ 0111000000
С другой стороны, нетрудно доказать, что для всех пред-
ставлений, удовлетворяющих условию 1, выполняется
неравенство
известное под названием «неравенство Крафта» [9].)
Следующее утверждение обратно утверждению 1.
Утверждение 2. Пусть с (0), с (1), с (2),...— неубываю-
щая последовательность положительных целых чисел,
401
такая, что
2с (0) ' 2Г(1) ' 2С(2) ' ' '
Тогда существует неизбыточная схема представления с
функцией цены с(п).
Доказательство. Пусть представление а числа п за-
дано формулами 2-г(0)+2"са)+. . .+2'с{п'1)=(9 а)2 и
\а\=с(п). Тогда оно обладает всеми нужными свойст-
вами, что и требовалось доказать.
Если X — неизбыточная схема представления с не-
монотонной функцией цены сХу то, переставив целые чис-
ла, мы можем полечить другую схему представления с
теми же ценами, расположенными в неубывающем поряд-
ке. Из утверждений 1 и 2 следует, что существует неизбы-
точная схема, обладающая такими упорядоченными цена-
ми. Схемы представления с немонотонными функциями
цены можно было бы назвать стандартными, так как
в большинстве приложений желательно, чтобы при всех
п выполнялось неравенство сх(п)^сх(п-\-1).
В заключение мы попытаемся найти наилучшую из
возможных схем, причем особенно нас будет интересовать
асимптотика (связанная с представлением очень боль-
ших чисел п). Ясно, что двоичный метод более эффекти-
вен, чем единичный. Кроме того, мы отдаем предпочтение
рекурсивному методу перед итеративным, поскольку при
больших числах рекурсивный метод обладает некоторы-
ми преимуществами. Эти примеры приводят нас к следую-
щему определению: схема представления X с функцией
цены сх(п) доминирует над схемой У с функцией цены
су(п), если сх(п)^су(п) при всех больших п и при бес-
конечно многих п имеет место строгое неравенство
сх(п)<.су(п). Если X доминирует над У, а У — над 2, то,
как следует из определения, X доминирует над 2.
Ясно, что все рекурсивные методы Р, (?, 7? доминиру-
ют над двоичным методом 5, а тот в свою очередь доми-
нирует над единичным методом V. Однако если мы попы-
таемся сравнить между собой три рекурсивные схемы,
то окажется, что ни одна из них не доминирует над дру-
гой. Метод Р почти всегда наилучший; в частности,
при Хп=Цп+2) мы получаем ср(п)=с(}(п)—\=ся(п)—2.
Но существует бесконечно много п, при которых
метод (2 превосходит и метод Р, и метод /? (при п=*
402
г=22 —2 и 6^1), и бесконечно много я, при которых ме-
тод /? превосходит и метод Р, и метод С[ (при л=22 —1).
Следует ли отсюда, что ни один метод не может домини-
ровать над методом #, который в этом смысле «оптима-
лен»? Нет, надеждам тех, кто так считает, не суждено
сбыться: справедливо следующее
Утверждение 3. Если X — любая стандартная схема
представления, то существует другая стандартная
схема представления У, доминирующая над X и удовлет-
воряющая неравенству су(п)^.сх(п) при всех значениях п,
кроме одного.
Доказательство. Общая идея доказательства состоит
в выборе последовательности длины с и в замене ее бес-
конечно многими последовательностями длин с+1, с+2,
с+3 и т. д., так как 2-е=2~с-1+2-с-*+2-с-*+... .
Более строго утверждение 3 доказывается следующим
образом. Пусть X — неизбыточная схема представления,
ак(к>\) —число таких п, для которых сх(п) = к, и / —
наименьший из индексов, таких, что а/>0. Введем обоз-
начения Ь]=а}—1 и Ьк=ак+1 при всех к>\. Тогда су-
ществует единственная неубывающая функция су(п),
такая, что су(п) = к ровно при ^значениях п и что 2-с^(0)4-
^-2-ск(1>^-...=2-сА'(0>+2-сл:(1>+... . Из утверждений 1
и 2 следует, что существует единственная схема пред-
ставления с функцией цены су. Кроме того, нетрудно
видеть, что су(п)^сх(п) при всех значениях /г, кроме
одного, при котором сх(п)=] и сх(п+1)>], и что су(п)<С
<сх{п)у если ]+Ксх(п—1)<сх(п). Тем самым утвержде-
ние 3 доказано.
Поиск строго оптимальной схемы — занятие безна-
дежное, так как, используя неоднократно рассуждения,
приведенные при доказательстве утверждения 3, мы бу-
дем получать бесконечное семейство все лучших и лучших
схем, каждая из которых доминирует над предшествую-
щими схемами. Оказывается, однако, что ни одна схема
не может быть намного лучше нашей рекурсивной схемы
/?, несмотря на все явные усовершенствования, гаранти-
руемые утверждением 3.
Утверждение 4. Пусть Ап— следующая функция:
Л/г = Хп + Хкп + кккп + ... .
Каждая функция цены с(п), соответствующая некоторой
схеме представления, при бесконечно многих п удовлет-
403
воряет неравенству
с{п)>Лп + ХХ*п.
Доказательство. Пусть с1(п) = Ап+'к'к*п. Покажем,
что ряд ^2~а{п) расходится. Этого достаточно для Доказа-
ло
тельства утверждения, так как если неравенство
с(п)^с1(п) выполняется при всех гС^т, то мы приходим
к неравенству 1 = ]^2-с(я)>21(2"с(л)—2"Лл))+22"<,(и)-
В общем случае если [(п) = Лп-\-§(Х*п) для любой
функции §, то
п > О п *> О
так как левую часть можно представить в виде
т> 0 А*л=т
и при пС^\ мы получаем
к*п=т Х*кп=т-\ Х*к = т-\ Ьп=к
Х*к = т-\
Таким образом, ряд 2^2~а{п) расходится в том и только
том случае, если расходится ряд /Л"кпш а этот ряд
действительно расходится, что и требовалось доказать.
Используя тот же самый метод, можно доказать, что
при бесконечно многих значениях п при любой фикси-
рованной схеме представления и любом фиксированном
т выполняется неравенство
с (п) >Ап + А\*п + АХ*к*п + . .. + Л (к*)тп +
В заключение мы покажем, как, усовершенствуя схе-
му 7?, можно получить «предельные» схемы, мало отли-
404
чающиеся от нижней границы, задаваемой правой частью
последнего неравенства. Последовательность /?(/г) начи-
нается с 1***0 — последовательности длины Х*/г+1, поз-
воляющей идентифицировать ^*/г, вслед за которой идет
последовательность длины Л/г, задающая при известном
к*п число п. В этом смысле Я-метод начинается с исполь-
зования единичного подхода для отгадывания А,*/г, и мы
знаем, что можем сделать это лучше: применим метод /?
к определению ^*/г, после чего найдем п так, как мы на-
ходили раньше, и обозначим новый метод 7?7?. Новая
функция цены определяется соотношением
сян (п) = Л/г + ся (1*п) = Л/г + АХ*п + Х*Х*п + 1,
и представление /?/? числа п начинается с последователь-
ности 1^*4).
Но подождите: начнем с отгадывания к*Х*п, тогда
мы получим метод /?/?/? с функцией цены
с^ня (п) = Л/г -(- АХ*п + сц (А,*Х*/г) =
= Л/г + АХ*п + ЛХ*Х*п + Х*Х*^*/г + 1.
Продолжим этот процесс; общий метод #т+1 будет обла-
дать функцией цены
с{п) = Ап+Ак*п+ .. . +А(Х*)тп + (к*)'п + 1п+и
и эта верхняя граница почти совпадает с нашей нижней
границей.
Филип Дэвис [4] написал великолепное введение в
круг вопросов, связанных с большими числами. Пробле-
ма схем представления была впервые рассмотрена Ле-
венштейном [11], изложившим метод /? и доказавшим, что
с(п)>Ап—Х*/г при бесконечно многих п. Он также рас-
смотрел представления, содержащие более двух символов.
Проблему представления независимо рассматривали так-
же Элиас [5] и Ивен и Роде [6]. Игру в отгадывания для
неограниченного поиска предложили Бентли и Яо [2].
Методы Р и (? были предложены Джимом Бойсом и Дэ-
видом Фуксом во время недавней беседы с автором.
Числа, гораздо большие, чем те, о которых шла речь в
нашей статье, были рассмотрены в [8]. В обозначениях этой
работы К*(2Нт)=т+1 и Я,*(2*П|т)=(2|П(т—1)) + 1,
из чего следует, что выведенные нами верхняя и
нижняя границы не столь близки, как могло бы пока-
заться. Возможно, что введение функций Х**п9 Х***/г
405
и т. д. позволит достичь большей ясности в «оптималь-
ные» схемы представления, когда нам приходится иметь
дело со сверхъестественными числами.
Древнекитайский математик Сю Ио (около 200 г.)
в трактате «Шу шу чи и» (см. [12]) рассмотрел номенклату-
ру для больших чисел, включавшую такие единицы, как
ван=Ю*, и=108, чао=Ю* и чин=10*2. Этой ссылкой я
обязан Туну Юнмею.
Красивая связь существует между рассмотренной
нами проблемой представления и теоретико-информаци-
онным понятием сложности алгоритма, введенным неза-
висимо Л. А. Левиным в СССР и Г. Хаитином в Арген-
тине. Некоторая функция 1(п)> обозначенная Левиным
[7] через КР(п) и Хаитином [3] через Я(/г), обладает
следующими двумя свойствами: а) существует схема
представления для натуральных чисел, удовлетворяю-
щая условию (1) и обладающая ценой 1(п)\ б) для каждой
схемы представления, удовлетворяющей условию (1) и
обладающей ценой /(/г), существует постоянная С, та-
кая, что 1(п)^с(п)-\-С. Интуитивно ясно, что 1(п) озна-
чает длину «простейшего» описания алгоритма для вы-
числения п. Функция 1(п) невычислима, но полувычисли-
ма сверху в том смысле, что если 1(п) действительно
меньше заданного числа т, то мы сумеем доказать_это
за конечное время. Если с(п) — функция цены для лю-
бой схемы представления, удовлетворяющей условиям
(1) и (2), то существует постоянная С, такая, что Хп+
+ 1(кп)^с (п)+С. Кроме того, существует постоянная С0,
такая, что \Хп+1(кп)—тах /(/г)|^С0. Таким образом,
наши рассуждения позволяют устанавливать границы
для тах/(&). Выражаю свою признательность Петеру
Гачу, сообщившему мне эти результаты.
1. Архимед. Исчисление песчинок (Псаммит).— М.—Л.: Гостехиз-
дат, 1932; Сочинения.—М.: Физматгиз, 1962, с. 358—366.
2. Веп11еу, Л. Ь. апс! Уао, А. С. 1976. Ап а1то$1 орИта1 а1&оп1пт
1ог ипЬоипс1ес1 зеагспт^. 1п\. Ргос. ЬеНегз 5: 82—87.
3. СЬаШп, Сге^огу Л. 1975. А Шеогу о\ рго&гат 51ге !огта11у 1с1еп-
1ка1 1о ЫогтаИоп 1пеогу. ЗоитаЬ о] (Не АСМ 22: 329—340.
4. Оау15, РЬШр Л. 1966. Тпе Ьоге о! Ьаг&е ЫитЬегз. 1Че\у Ма1Нета-
11са1 ЫЬгагу, уо1. 6, Ые\у Уогк: Капёот Ноизе.
5. ЕНаз, Р. 1975. Ш1уег5а1 со(1е\уогс1 5е1з апс! гергезепЫюпз о!
1Ье 1п1е§ег5. 1ЕЕЕ Тгапз. 1п[огш. ТПеогу 1Т—21: 194—203.
406
6. Еуеп, 5 апс1 НойеЬ, М. 1978. Есопогшса1 епсосИп^ о1 соттаз Ъет,-
\уееп 51г1п§5. Сотт. о/ (Не АСМ 21: 315—317.
7. Гач П. О симметрии алгоритмической информации. Доклады
АН СССР, 1974, 218, №6, с. 1265—1267.
8. КпиШ, О. Е. 1976. МагЬетаИсз апс! сотри1ег заепсе: сорт&
\и1Ь КпПепезз. 8аепсе 194: 1235—1242.
9. КгаГ1, Ь. О. 1949. А ёеуке Гог циапИгт^, &гоирт& апё сосИп^
атрШис!е тойиЫеё ри1зез. М. 5. 1пез13, Е1ес1пса1 Еп&. Т)ер{.,
Мазз. 1пз1. о! Тесппо1о&у.
10. Кгопескег, Ь. 1893. Кетагк т а 1ес1иге а! Ше ВегНп ваепМПс
соп^гезз, 1886: «И1е ^апгеп 2аЫеп Ьа1 с1ег НеЬе ОоИ &етасМ,
аНез апйеге 1з1 Мепзспетуегк». (Зио1ес1 Ьу Н. \УеЬег т МаШ.
Аппа1еп 43: 15.
И. Ьеуепз1ет, V. Е. 1968. Оп 1Не гес!ипс1апсу апс! йеку оГ с!есос1аЫе
сосИп^ о1 па!ига1 питЬегз. Зуз&тз ТНеогу НевеагсН 20: 149—155.
12. ЫеесШат, ЛозерЬ. 1959, Заепсе апс! СМПгаиоп тСЫпа 3, Сат-
Ъпё^е Ш1уегзЦу Ргезз.
Ответы
1. «Последнее» число Архимеда читается так: один септенде-
цильюн тревигинтильюн кватторвигинтильюн квинвигинтильюн
сексвигинтильюн септенвигинтильюн октовигинтильюн тригин-
тильюн унтригинтильюн кваттортригинтилыон септентригинтильюн
октотригинтильюн новемтригинтилыон квадрагинтильюн дуоквад-
рагинтильюн треквадрагинтильюн октоквадрагинтилыон новем-
квадрагинтильюн квинквагинтильюн кватторквинквагинтильюн.
(Название, предложенное самим Архимедом, было гораздо короче,
но новая система во многих случаях обладает несомненными пре-
имуществами.)
Замечу попутно, что американские названия больших чисел
основаны не на хорошей латыни (число сексдециллион правильнее
было бы называть «седециллионом», а новемдециллион — ундевигин-
тиллионом), поэтому неясно, сколь далеко удастся экстраполировать
американскую номенклатуру.
2. Один латинлатинлатинбильюнильюнильюнильюн — это
число
(10210000000000000002+2)
Для краткости мы могли бы назвать его амптильюном.
3. Итеративная процедура декодирования для метода #. Пусть
5x5253..., где каждый знак 5/ означает нуль или единицу,— последо-
вательность на входе, к — число уже сосчитанных на входе битов,
/ — длина вводимого числа, т — глубина стэка (группы входных
данных) при рекурсивной реализации ил — возвращаемый ответ.
Следующая рекурсивная процедура соответствует непосредственно
определению. Начальное значение к равно нулю. Используются
только глобальные переменные.
407
Процедура #
к+-к+\.
Если 5^=0, то я«-0 и выйти из 7?.
В противном случае обратиться к 7? (рекурсивно).
До тех пор пока />0, повторно выполнять к+-к-\-\у п+-2п+
+зк9 /<-/-1.
Выйти из /?.
Несложные преобразования позволяют превратить рекурсив-
ную процедуру /? в следующую чисто итеративную процедуру:
к<-\, т+-0.
До тех пор пока 5*=1, выполнять повторно т^-т-\~\, к^к-г\.
лч-0
До тех пор пека т>0, выполнять повторно следующие опера-
ции: гп4-т— 1, 1<-п, л«-1.
До тех пор пока />0, выполнять повторно /г«-6+1, п«-2/г+
+5Й1 /<-/— 1.
Соответствующую процедуру декодирования можно построить
аналогичным образом.
6.2. Что и как считают специалисты
по теории графов
Рон Рид
Что такое граф? Когда речь заходит о графе, боль-
шинство людей представляют себе график, т. е. нечто вро-
де диаграммы, отражающей производственную деятель-
щ
4
3
/г
1 1
' (
\
У
\ I
} 1
,
2
3
4 X
Рис. 1
Рис. 2
ность какого-нибудь предприятия (рис. 1), или гладкую
кривую (рис. 2), позволяющую наглядно представить
свойства какой-нибудь математической функции. Но
408
для огромного (и все возрастающего) числа математиков
слово «граф» означает нечто совсем иное. Мы имеем в ви-
ду математиков, которые в той или иной мере соприкаса-
ются в своей деятельности с новым разделом математики,
получившим название «теория графов». Когда речь за-
ходит о графах, эти математики имеют в виду диаграмму,
состоящую из нескольких точек, или вершин, и отрезков
прямых или кривых, соединяю-
щих некоторые из этих вершин.
Линии, соединяющие вершины,
называются ребрами. Один из
графов изображен на рис. 3 (на
большинстве других рисунков к
этой статье также изображены
графы). То, что математики на-
зывают графами, йесведущий че-
ловек назвал бы сетями (термин
«сеть» применяется и в теории
графов, но в несколько более
узком смысле).
Первоначально теория графов, которая занимается
изучением графов и их свойств, была одним из разделов
топологии. В ту пору она находилась на «задворках то-
пологии», но затем обрела достаточную «респектабель-
ность» (впрочем, в ней всегда было «что-то такое»!) и
ныне имеет немаловажное значение, находя многочислен-
ные приложения как в математике, так и в других
науках.
Почему наука, которая на первый взгляд представля-
ет собой не что иное, как своего рода игру с карандашом
и листком бумаги, нашла столь широкое применение?
Ответ на этот вопрос мы долучим, стоит лишь нам огля-
деться и увидеть, что многое в окружающем нас мире по
существу является графами или может быть представле-
но в виде графов. Первое, что приходит в голову,— это
различного рода коммуникации: междугородные телефон-
ные линии, шоссейные и железные дороги, маршруты
авиарейсов и т. д. Во всех этих примерах мы имеем дело
с физическими объектами, которые по самой своей при-
роде родственны графам: провода, дороги и т. п. служат
ребрами этих графов, города — вершинами.
Теория графов применима также и к таким объектам,
которые сами по себе ничем не напоминают граф. Граф
Рис. 3
409
возникает при выделении некоторых свойств таких объек-
тов. Рассмотрим, например, группу людей, собравшихся
по какому-либо поводу. Мы можем построить граф, по-
ставив каждому из людей в соответствие вершину и сое-
динив попарно вершины, если их «владельцы» как-то
общались между собой (или просто знакомы). В результа-
те у нас получится граф, напоминающий те, которые
изображены на рис. 4. Глядя на такой граф, можно доста-
ет б в
Рис. 4.
точно ясно представить себе отвечающую ему встречу
ряда лиц. Так, в случае 4, а встреча проходила необы-
чайно скучно, в случае 4, б была в меру оживленной,
но присутствовавшие разбивались на небольшие группы,
а в случае 4, в на встрече, по-видимому, творилось нечто
невообразимое!
Не всякий граф можно построить на плоскости так,
чтобы ребра его не пересекались во внутренних (отлич-
ных от вершин) точках. Примером графа с неизбежным
пересечением ребер во внутренней точке может служить
граф, изображенный на рис. 3. Чтобы отличать вершины
от точек пересечения ребер (например, точки пересе-
чения ребер АВ и СО на рис. 3), мы условимся изображать
вершины маленькими кружками. Существуют и такие
графы, которые можно изобразить на плоскости без до-
полнительных точек пересечения ребер. Их принято на-
зывать плоскими графами. Мы встретимся с ними в даль-
нейшем.
В качестве примера практической задачи из теории
графов представим себе диверсанта или вражеского
агента, проникшего к нам с заданием нарушить работу
сложной телефонной сети. Диверсанту хотелось бы знать
минимальное число телефонных проводов, которые не-
410
обходимо перерезать, или минимальное число телефон-
ных узлов, которые необходимо взорвать, чтобы вывести
из строя линии связи между несколькими ключевыми
пунктами. Эта задача затрагивает такое свойство графа,
как его «связность». Понятие графа можно расширить,
приписав каждому ребру какое-либо число. То, что при
этом получится, называется сетью. Пример сети изоб-
ражен на рис. 5. Числа могут означать расстояния меж-
ду узлами, стоимость транспортировки грузов из одного
населенного пункта в другой
и т. д. Структуры и ситуа-
ции, представимые сетями
(или в сетях), распространены
настолько широко, что боль-
шой и все расширяющийся
раздел исследования операций
занимается изучением сетей
и их свойств.
По тем же причинам поч-
ти все работы по теории гра-
фов таят в себе семена возможных практических приме-
нений или по крайней мере потенциально полезны. Од-
нако существуют и исключения. Забившись в темные
закоулки величественного здания теории графов, не
видя яркого света реального мира, некоторые специа-
листы по теории графов в поте лица трудятся над реше-
нием задач, которые даже отдаленно не напоминают все,
что имеет хотя бы какое-то практическое значение. Речь
идет о приверженцах перечисления графов — раздела
теории графов, занимающегося поиском ответов на во-
прос: «Сколько существует различных графов такого-то
и такого-то вида?». Свое время «перечислители» проводят,
подсчитывая графы или изыскивая новые, все более эф-
фективные способы пересчета графов. Занятие странное,
но совсем не лишенное интереса.
Кто же эти люди и что они считают? К концу статьи я
надеюсь хотя бы в общих чертах ответить на эти вопросы.
Кэли и перечисление деревьев
Основоположником перечисления графов по праву
считается Артур Кэли, который начиная с 1857 г. по-
ставил и решил много задач о перечислении графов
Рис. 5
411
особого вида — так называемых деревьев. По определе-
нию деревом называется связный (т. е. состоящий из
одного «куска») граф, не содержащий замкнутых цик-
лов. Понять интуитивно, что такое цикл, можно следую-
щим образом. Представим себе, что наш граф — это схе-
ма дорог. Тогда цикл — это маршрут, по которому мы
можем вернуться в исходную точ-
ку, побывав во всех вершинах
не более одного раза. Отбросив
условие возвращения в исходную
точку, мы получим то, что по
терминологии специалистов по те-
ории графов принято называть
«путем» между двумя вершинами.
Другое определение дерева гла-
сит: дерево — это граф, в кото-
ром между любыми двумя вер-
шинами существует единственный
путь. Граф на рис. 3 не является деревом, так как со-
держит, например, цикл АВСОЕРСА. Наоборот, граф
на рис. 6 — дерево (нетрудно понять, почему такого
рода графы называются деревьями).
В любом дереве число ребер всегда на единицу мень-
ше числа вершин. Докажите это (задача 1). Следователь-
но, основной вопрос перечисления деревьев можно поста-
вить так: «Сколько существует деревьев с п вершинами?»
Ответ на него (и на многие другие вопросы) был получен
Кэли.
В задачах на перечисление графов очень важно ясно
представлять себе, что именно требуется сосчитать.
Если мы спрашиваем: «Сколько существует различных
графов такого-то и такого-то вида?», то нам необходимо
точно знать, какие два графа следует считать одинако-
выми и какие различными. Понятия тождественности и
различия могут варьироваться от задачи к задаче. Обыч-
но мы считаем два графа одинаковыми (или, если вос-
пользоваться техническим термином, изоморфными),
если их вершины можно перенумеровать целыми числа-
ми 1,2,...,/? так, что для любых двух номеров их но-
сители либо соединены ребром на обоих графах, либо
не соединены ребром также на обоих графах.
Два графа на рис. 7 на первый взгляд могут показать-
ся различными, но в действительности они изоморфны.
412
Рис. 7
в г
Рис. 8
413
Один из способов нумерации вершин, позволяющей об-
наружить изоморфизм этих графов, показан на рис. 7.
(Задача 2. На рис. 8 изображены четыре графа с 10 вер-
шинами. Три из них изоморфны, а четвертый отличен ст
трех остальных. Какой из графов имеет особую струк-
туру?)
Итак, задавая вопрос: «Сколько существует различ-
ных графов?», мы должны всякий раз указывать, что име-
ется в виду под словом «различные». Часто «различные»
означает «неизоморфные», но такое толкование вовсе не
обязательно — мы можем иметь в виду и нечто совсем
иное.
Перечисление двоичных деревьев
Чтобы лучше прочувствовать, какого рода методы
применяются при перечислении графов, рассмотрим более
подробно одну очень простую задачу: займемся перечис-
лением двоичных деревьев. Двоичное дерево — это преж-
де всего дерево с корнем (или корневое дерево). Под этим
мы понимаем, что одна из его вершин, называемая кор-
нем, каким-то образом выделена из остальных вершин.
На диаграмме корень можно указывать, обводя его круж-
ком (как на рис. 6), или изображать деревья так, чтобы
корень был самой нижней вершиной. Из каждой вершины
двоичного дерева выходят вверх (т. е. по направлению
от корня) не более двух ребер: одно ребро идет направо,
другое — налево. Если из вершин выходит только одно
ребро, то оно может быть направлено влево или вправо.
Эти две возможности считаются различными. Если из
вершины не выходит ни одного ребра, то дерево не растет
из этой вершины. Такая вершина называется концом {ко-
нечной вершиной) или листом дерева. На рис. 9 изобра-
жены все двоичные деревья с 4 вершинами. Заметим,
что, поскольку различие между правым и левым (в силу
определения двоичного дерева) существенно, все эти де-
ревья различны. Если бы мы не отличали правое от ле-
вого, то первые два дерева (так же, как и многие другие
пары деревьев) на рис. 9 пришлось бы считать одинако-
выми, поскольку они изоморфны.
Приступая к перечислению двоичных деревьев, за-
метим, что из корня любого дерева, обладающего п+1
вершинами, выходят две ветви — одна налево, другая
направо. Их удобно назвать поддеревьями (соответст-
414
венно правым и левым, как на рис. 10). Пусть Вп — чис-
ло двоичных деревьев с п вершинами. Предположим, что
нам известно, чему равны числа Ви В2у . . ., Вп. Чтобы
Рис. 9
найти Вп+1у рассмотрим, каким образом можно было бы
построить двоичные деревья с п+1 вершинами. Для этого
нам понадобится выбрать два поддерева (одно правое и
Левое
поддерево
Правое
поддерево
Корень
Рис. 10
одно левое), насчитывающие вместе п вершин. Соединив
их корни в одну новую вершину — корень нового дере-
ва, мы получим дерево с п+1 вершинами. Сколькими
способами это можно сделать? Если левое поддерево
имеет / вершин, а правое г вершин, то свой выбор мы
можем произвести В1ВГ способами: каждому из В1 де-
ревьев с / вершинами можно выбрать в пару любое из
Вг деревьев с г вершинами.
Повторяя это построение при различных / и г(напом-
415
ним, что 1+г=п) и суммируя полученные результаты,
мы получаем число двоичных деревьев с п+1 вершина-
ми. Впрочем, постойте! Мы предположили, что из корня
выходят непременно две ветви и, следовательно, всег-
да существуют ровно два поддерева. Но встречаются и
деревья, у которых из корня выходит только одна ветвь.
К счастью, мы можем без труда избежать этой трудности
с помощью простого трюка: если при подсчете деревьев
нам встретится дерево, обладающее только одним под-
деревом, то мы сделаем вид, будто оно имеет два подде-
рева: одно «настоящее», а другое «призрачное», не обла-
дающее ни одной вершиной!
Эта уловка позволяет нам утверждать, что каждое
двоичное дерево порождает ровно два поддерева. Так как
существует ровно одно дерево-«призрак», мы полагаем
В0=1 и включаем 0 в число допустимых значений для
/ иг. Суммируя произведения 6,6,. по всем возможным
парам значений / и /*, мы получим число деревьев с п+1
вершинами:
Вп+1=В0Вп+В1 Вп_1+В2 Вп_2-{-...+Вп_1 В^Вп В0
(1)
(эта формула позволяет нам вычислить Вп+1у если все
числа В0(=0), Вх..., Вп уже известны).
Читатель может проверить, что первые числа Вп име-
ют следующие значения:
я01234567 8 9 10
Вп 1 1 2 5 14 42 132 429 1430 4862 16796
Величины Вп известны как числа Каталана. Они воз-
никают во многих комбинаторных задачах. Число Ка-
талана Вп — это не только число двоичных деревьев с
п вершинами, но и число способов разбиения /г-угольни-
ка на треугольники, попарного соединения 2/г точек ок-
ружности непересекающимися хордами, правильной рас-
становки п пар скобок. Интересную статью о числах Ка-
талана и их свойствах опубликовал Мартин Гарднер в
июньском номере журнала ЗаепЩьс Атегкап за 1976 г.*
Решение задач на перечисление принято — и не без
основания — формулировать в терминах производящих
* См. названную на с. 8 статью [9].— Прим. ред.
416
функций. Чтобы построить производящую функцию та
кой последовательности, как числа Каталана {Вп}> не-
обходимо взять степенной ряд, у которого коэффициент
при хп равен Вп. Таким образом, производящая функция
В(х) для чисел Каталана имеет вид
В(х)=В0+В1х+В2х2+В3х*+В4Х*+... .
Нетрудно видеть, что правая часть равенства (1) есть
коэффициент при хп в разложении [В(#)]2 и, следователь-
но, совпадает с коэффициентом при хп+1 в разложении
х 1В(х)]2. Левая же часть равенства (1) есть не что иное,
как коэффициент при хп+1 в разложении В(х). Следова-
тельно,
В(х)=1+х [В(х)]\ (2)
где единица в правой части добавлена, чтобы учесть де-
рево-«призрак», к которому неприменимо равенство (1).
Равенство (2) — это квадратное уравнение относитель-
но неизвестной функции В(х). Решая его, получаем
Отсюда с помощью нескольких громоздких, но несложных
алгебраических преобразований * находим явное выра-
жение для числа Каталина с произвольным номером:
п _ (2/1)?
п (п+\)\пГ
Соотношение (2) иллюстрирует традиционный метод,
применяемый при счете деревьев. Отбросим корень и
приглядимся к тем деревьям, которые при этом получа-
ются. Многое может случиться при отбрасывании корня,
ибо много различных типов деревьев ожидают подсчета!.
Мы можем получить более двух деревьев (возможно,
что число деревьев может даже быть переменным). Под-
деревья могут быть упорядоченными (поскольку мы ввели
различие между правым и левым) или неупорядоченные
* Использующих формулу бинома Ньютона, т.е. разложениз
Х#3+... .— Прим. ред.
14 ^« пзб
417
ми. Но каждое поддерево непременно имеет корень (в той
вершине, которой поддерево было «прикреплено» к кор-
ню большого дерева), и, если поддеревья принадлежат
к тому же типу, что и исходное дерево, мы можем надеять-
ся вывести рекуррентную зависимость для числа деревь-
ев с различным количеством вершин. Почти все подсчеты
деревьев производились по этой схеме.
В частности, Кэли пересчитал так называемые «обыч-
ные» корневые деревья, в которых число ребер, выходя-
щих из вершины, ничем не ограниченно и не придается
значения порядку в расположении ребер и тому, как де-
рево изображено на плоскости. Кэли показал, что если
Тп — число обычных деревьев с п вершинами, то выпол-
няется следующее весьма интересное соотношение:
Т1х + Т2х* + Т3х*+...=
= х(1—х)-т*(\—х2)-т*(\—х*)-т>... .
Как и прежде, зная значения Ть вплоть до некоторого
п и подставляя их в правую часть этого соотношения, мы
можем «извлечь» следующее число из формального ряда,
стоящего в левой части соотношения.
Кэли сосчитал также некорневые деревья. Это более
трудная задача, поскольку в ней нет корня, позволяю-
щего разделить задачу на части и свести к задачам при
меньших значениях п. Кэли нашел число различных
химических соединений некоторых типов, открыв тем
самым одну из немногих областей, в которых перечисле-
ние графов находит практическое применение. Структур-
ные формулы этих соединений (насыщенных углеводоро-
дов, или парафинов, и некоторых их производных) по
существу представляют собой деревья весьма специаль-
ных типов.
Перечисление графов
Для графов общего вида не существует такого прос-
того соотношения между числом вершин и числом ре-
бер, какое характерно для деревьев. У графа с р верши-
нами число ребер может принимать любые значения от О
(у «пустого» графа) до р(р—1)/2 (у «полного» графа,
каждая вершина которого соединена с каждой из осталь-
ных). Применительно к графам разумно поэтому поста-
вить вопрос: «Сколько существует различных графов с
416
р вершинами и ц ребрами?», где р и ц — заданные чис-
ла (причем естественно ц^р{р—1)/2 — иначе ответом
будет число 0).
Кэли не пытался решить эту задачу, а если бы он и
предпринял такую попытку, то вряд ли она увенчалась
бы успехом, так как в его время инструмента для реше-
ния подобной задачи еще не существовало. Таким инстру-
ментом стала теорема, опубликованная Д. Пойа в 1938 г.
[9], хотя неявно она содержалась в его более ранних ра-
ботах. Теорема Пойа имеет фундаментальное значение
для решения многих комбинаторных задач. И хотя здесь
у нас нет возможности вдаваться в детали, мы хотим дать
хотя бы общее представление о сфере ее применимости и
пользе, которую она приносит при решении задач на пе-
речисление графов.
Теорема Пойа
Многие комбинаторные задачи можно сформулировать
как задачи о «раскладывании предметов по ящикам».
Предположим, что у нас имеется несколько неотличи-
мых ящиков, в каждый из которых можно положить один
предмет (обычно называемый фигурой). Пусть каждой
фигуре поставлено в соответствие некоторое неотрица-
тельное целое число — ее стоимость. Для каждого ящи-
ка существует набор фигур, одна из которых должна
быть помещена в ящик. (Чаще всего выбор фигур для всех
ящиков одинаков, но это не обязательно.) Поместив в
каждый ящик по одной из предназначенных для него
фигур, мы получим конфигурацию— набор ящиков,
каждый из которых содержит по фигуре. Стоимость кон-
фигурации по определению равна сумме стоимостей фи-
гур, помещенных в ящики.
Прежде всего можно задать следующий вопрос:
«Предположим, что мы располагаем всей информацией
относительно того, какие фигуры могут быть помещены
в тот или иной ящик. Сколькими способами можно соз-
дать конфигурацию, обладающую заданной стоимостью?»
В качестве примера задач этого типа рассмотрим задачу
о расстановке 21 свечи на прямоугольном пироге, испе-
ченном по случаю дня рождения. Верхняя корка пирога
разделена на шесть участков так, как показано на рис. 11.
Предполагается, что на каждом участке мы можем по-
14*
419
местить любое число свечей и что несущественно, где
именно находится свеча в пределах каждого участка
(важно лишь, сколько всего свечей находятся на участ-
ке). В нашем примере фигура состоит из некоторого (воз-
можно, нулевого) числа свечей. Стоимость фигуры счи-
тается равной числу свечей. Требуется определить число
конфигураций, имеющих стоимость 21.
Оказывается, что редшть эту задачу совсем нетрудно,
поэтому мы сразу же усложним ее. Предположим, что
ящики; не вполне отличимы, и
ЬоэтоМу некоторые конфигура-
ции неотличимы друг от друга.
Например, если бы мы вме-
сто прямоугольного празднич-
ного пирога взяли круглый пи-
рог, разделенный на шесть оди-
Рис. П наковых секторов, то две кон-
фигурации, изображенные на
рис. 12 и 13, вряд ли было бы допустимо счи-
тать различными, так как при повороте на 60° по ча-
совой стрелке одна из них переходит в другую. Две кон-
фигурации, отличающиеся только тем, что одна поверну-
та относительно другой, в рамках нашей задачи допусти-
мо рассматривать как одну и ту же конфигурацию. В об-
щем случае мы выбираем некоторое множество переста-
новок (образующих группу) и считаем две конфигурации,
переходящие друг в друга под действием перестановок
этого множества, одинаковыми, или эквивалентными.
Поскольку нас интересует число различных конфигура-
ций, мы должны найти число неэквивалентных конфигура-
ций. Для круглого пирога группа состоит из перестановок
секторов, соответствующих поворотам пирога на 60°. За-
метим, что конфигурация свечей на изображенном на
рис. 14 пироге отлична от тех, что показаны на рис. 12 и
13: как бы мы ни поворачивали последний пирог, он со
своими свечами все равно будет выглядеть иначе, чем
пироги на рис. 12 и 13.
Мы не будем подробно разбирать теорему Пойа и даже
не станем формулировать ее. Заметим лишь, что она поз-
воляет решать любую задачу на распределение фигур
по ящикам. Если известно, какие фигуры могут быть
помещены в ящики и их стоимость, и задана группа
перестановок, позволяющая ответить на вопрос, эквива-
• • • I • I • •
• • г • *
• • • •
420
лентны две конфигурации или неэквивалентны, то теоре-
ма Пойа позволяет решать задачу. Более того, теорема
Пойа дает не один ответ, а ответы, поскольку позволяет
получить производящую функцию для числа конфигу-
раций при различных значениях стоимости.
Рис. 12 Рис. 13
Каким образом задачу о перечислении графов можно
сформулировать как задачу о раскладке фигур по ящи-
кам? Сделаем это следующим образом. Рассмотрим граф
с р вершинами, занумерованными числами 1, 2, 3, . . ., р.
Из р вершин можно выбрать р(р—1)/2 пар, каждая из
которых может быть соединена или не соединена ребром.
Будем рассматривать пары вершин как «ящики», в кото-
рые разрешается помещать только одну из двух фигур:
фигуру «нет ребра» с нулевой стоимостью и фигуру «есть
ребро» с единичной стоимостью. Распределение фигур
по ящикам очевидным образом соответствует графу: вер-
шины I и / соединены ребром, если ящик (/, /) содержит
фигуру «есть ребро». Стоимость конфигурации (графа)
равна числу ребер в нем. Однако построенный нами граф
будет помеченным, так как каждая его вершина имеет
специальную метку — число из множества {1,2, . . ., р).
Это еще не совсем то, что нам требуется. Если два графа
изоморфны, то мы не хотели бы считать их различными
только потому, что их вершины перенумерованы по-раз-
ному. Нам необходимо учесть, что не все вершины и, сле-
довательно, не все пары вершин (ящики) различны.
Любая перестановка номеров вершин автоматически
порождает перестановку ящиков. Например, если мы
изменим номера вершин 1 и 2 на 5 и <?, то ящик (У, 2)
перейдет в ящик (5, 9) и т. д. Каждая перестановка вер-
шин порождает некоторую перестановку ящиков, а
421
множество перестановок ящиков образует группу, до-
пускаемую рассматриваемой задачей. Решение задачи
нам дает теорема Пойа.
В 1955 г. Фрэнк Харари из Мичиганского универси-
тета, специалист по теории графов с мировой извест-
ностью, воспользовался этой схемой для перечисления
графов. Производящая функция, дающая решение зада-
Рис. 14 Рис. 15
чи, оказалась весьма сложной (чтобы не сказать устра-
шающе сложной). Тем не менее она позволяет находить
число различных графов, в особенности если расчеты
производить с помощью ЭВМ. Ч. А. Кинг и Э. М. Палмер
получили полное число графов до /?=24. Оказалось, что
число неизоморфных графов с 24 вершинами выражает-
ся следующим сверхастрономическим числом:
195 704 906 302 078 447 922 174 862 416 726 256
004 122 075 267 063 365 754 368.
(Весьма полезная информация, не правда ли?)
Этим же методом удалось перечислить многие вариа-
ции обычных графов, из которых наиболее важными яв-
ляются так называемые направленные графы, или ди-
графы (от англ. сНгес1 ^гарЬ). От обычных графов ди-
графы отличаются тем, что каждое их ребро снабжено
направлением (указанным стрелкой) и проходимо только
в одну сторону (а иногда и в обе стороны, если на ребре
сразу две стрелки). Типичный диграф изображен на
рис. 15. Задача о перечислении диграфов отличается от
задачи о перечислении графов только второстепенными
деталями, и теорема Пойа также позволяет получить ее
решение. Задача о перечислении диграфов была решена
422
Харари в той же работе [5], в которой он решил задачу
о перечислении графов.
Несмотря на всю силу теоремы Пойа, ей подвластна
не любая задача на перечисление графов. Задачей, под-
рывающей веру во всесилие теоремы Пойа, может слу-
жить, например, задача о перечислении «самодополни-
тельных» графов. «Дополнением» графа О по определе-
нию называется граф С, обладающий теми же вершинами,
что и граф С, и ребрами, которые соединяют две вершины
графа С в том и только том случае, если эти вершины не
соединены ребром в графе О. На рис. 16 изображен граф
^сплошные линии) и его дополнение (прерывистые линии),
о о
Рис. 18
наложенные на одно и то же множество вершин, чтобы
показать, что суперпозиции графа и его дополнения об-
разуют полный граф с максимальным числом ребер
р(р—1)/2, возможным у графа с р вершинами.
Иногда дополнение графа изоморфно самому графу.
Простейшим примером таких самодополнительных гра-
фов может служить граф с четырьмя вершинами и тремя
ребрами, изображенными на рис. 17. При числе вершин,
423
равном 5, существуют два различных самодополнитель-
ных графа, изображенных на рис. 18. Эти примеры само-
дополнительных графов с небольшим числом вершин бы-
ли легко построены «методом проб и ошибок», но уже при
восьми вершинах этот метод не позволяет надежно уста-
новить число различных самодополнительных графов.
(Задача 3. Сколько существует самодополнительных
графов с шестью и семью вер-
шинами?) Что нам действительно
нужно, так это теоретически обо-
снованная формула для числа
самодополнительных графов при
любом значении р.
Решение этой задачи требует
более мощных средств, чем тео-
рема Пойа, поскольку здесь име-
ется дополнительная сложность:
граф и его дополнение отличают-
Рис- 19 ся тем, что при переходе от одно-
го к другому мы заменяем каж-
дую фигуру«нет ребра» фигурой «есть ребро» и наоборот.
Таким образом мы приходим к общей задаче нового типа,
в которой для выяснения эквивалентности конфигураций
разрешается производить не только перестановки ящиков
но и перестановки фигур. Таким образом, возникают две
группы перестановок (одна для ящиков и одна для фи-
гур), что существенно усложняет задачу. Метод реше-
ния этого более общего типа задачи был впервые пред-
ложен голландским математиком Н. Г. де Брёйном [1]
в 1959 г. незадолго до того, как было получено перечис-
ление самодополнительных графов [10]. Дополнение ди-
графа определяется по аналогии с дополнением соответ-
ствующего графа. На рис. 19 изображен диграф, изоморф-
ный своему дополнению. Перечисление таких самодопол-
нительных диграфов было получено одновременно с пе-
речислением самодополнительных графов.
Выяснилась одна весьма любопытная подробность:
число самодополнительных диграфов при четном числе
вершин всегда совпадает с числом самодополнительных
графов при удвоенном числе вершин! Столь простая за-
висимость не может быть случайной — она наводит на
мысль (разумеется, на эвристическом уровне, но
трудно усомниться в ее правильности!) о том, что между
Ф
424
графами и диграфами существует какая-то простая связь.
Должен же существовать какой-то простой способ, поз-
воляющий увидеть, что рассматриваемые числа совпа-
дают, и понять, почему так происходит. Возможно, что
такой способ действительно будет найден, но пока он,
увы, неизвестен.
Со временем были доказаны и более сильные теоремы
перечисления, обобщающие теоремы Пойа и де Брёйна
или прокладывающие путь в совершенно других направ-
лениях. К числу наиболее важных обобщений принад-
лежит «теорема перечисления степенной группы» Хара-
ри и Палмера, слишком сложная для того, чтобы приво-
дить ее здесь. Более подробные сведения по всем затрону-
тым нами вопросам читатель может почерпнуть в книге
«Перечисление графов» Харари и Палмера [7] — наибо-
лее полному руководству по этому разделу теории гра-
фов. »
Странный случай, происшедший с Дж. Г. Редфилдом
Нельзя не рассказать об одном необычном действую-
щем лице, появившемся на сцене перечисления графов.
Правильнее было бы сказать «вновь появившемся» —
впрочем, не будем забегать вперед, расскажем все по
порядку... В начале 60-х годов Фрэнк Харари обратил
внимание своих коллег, занимавшихся перечислением
графов, на замечательную работу [11], о которой ему со-
общил один из его студентов. Называлась она «Теория
распределений для разложения группы» и была опубли-
кована в 1927 г. никому не известным математиком
Дж. Г. Редфилдом. Харари обнаружил (а остальные ма-
тематики, занимавшиеся перечислением графов, к вели-
чайшему своему удивлению, убедились, что он не ошиб-
ся) в статье Редфилда теорему, эквивалентную теореме
Пойа. Редфилд решил (по крайней мере отчасти, хотя
было ясно, что при желании он мог продвинуться даль-
ше) задачу о перечислении графов, предвосхитив целую
серию других «последних достижений» в области пере-
числения графов, и увенчал свою работу доказательством
новой мощной теоремы. Я хорошо помню «повторное от-
крытие» работы Редфилда, так как один из его результа-
тов (о перечислении графов, получаемых при суперпози-
ции нескольких графов на одном и том же множестве
425
вершин) предвосхитил теорему, бывшую краеугольным
камнем защищенной мною за несколько лет до того док-
торской диссертации! На протяжении примерно тридца-
ти лет математики, занимавшиеся перечислением гра-
фов, ценой огромных усилий решали задачи и доказыва-
ли теоремы, о которых давно знал и писал еще в 1927 г.
Редфилд! И все же его статья осталась незамеченной.
Как такое могло случиться?
Опубликована она была не в каком-то завалящем жур-
нальчике — Атепсап Лоигпа1 о! Ма1Ьетаис5, в котором
появилась статья Редфилда,— это широко известный
математический журнал с солидной репутацией. Возмож-
но, что недоставало некоторых факторов, которые обычно
привлекают внимание к публикации. Редфилд не был из-
вестным автором. Его статья была единственной опубли-
кованной им математической работой. Название статьи
не давало ни малейшего представления о ее содержании,
а избранные им весьма необычные обозначения не поз-
воляли установить, о чем идет речь. Сыграло свою роль
и то, что для идей Редфилда «время еще не наступило».
Редфилд не был профессиональным математиком —
он работал в области лингвистики. Тем не менее его един-
ственная математическая работа была подлинным шедев-
ром, и будь она признана по достоинству раньше, весь
ход развития теории перечисления графов несомненно
был бы совсем иным. После того как работа Редфилда —
наконец-то! — была замечена специалистами, она послу-
жила стимулом для ряда новых достижений. Так,
Р. У. Робинсон из университета в Ньюкасле (Австралия),
восприняв и развив некоторые идеи Редфилда, сумел
решить некоторые проблемы, ранее считавшиеся неразре-
шимыми.
Перечисление плоских графов
Как мы уже знаем, плоским называется граф, который
можно начертить на плоскости так, чтобы его ребра
не пересекались во внутренних точках. Рассмотрим
несколько задач на перечисление плоских графов. Вполне
естественно спросить: «Сколько существует плоских гра-
фов с р вершинами и ц ребрами?», и ответить на этот во-
прос не слишком трудно. Рассмотрим «кубические плос-
кие графы» {кубическими мы называем плоские графы,
426
у которых в каждой вершине сходятся ровно по три реб-
ра). У кубического графа число р вершин связано с чис-
лом ц ребер соотношением 2ц=Ър. (Задача 4. Почему?)
Поэтому порядок графа (число вершин; оно здесь долж-
но быть четным) является единственным параметром.
Можно было бы ожидать, что это обстоятельство облег-
чит решение задачи перечисления, но, к сожалению, она
остается столь же трудной. Такое положение характерно
для плоских графов. Задачи на перечисление плоских гра-
фов обычно отличаются чрезвычайной сложностью, од-
нако обычно, когда задача допускает решение, ее оказы-
вается проще решить для графов общего вида.
Рис. 20
В этом мы можем убедиться, если несколько сузим на-
шу задачу и поставим вопрос так: «Сколько существует
плоских кубических графов с фиксированным гамильто-
новым циклом?» [Гамилыпонов цикл графа (своего рода
«кругосветное путешествие») — это цикл, который про-
ходит через все вершины графа.] Под «фиксированным»
гамильтоновым циклом мы понимаем цикл, начерченный
раз и навсегда на плоскости. Изменять свое положение
могут только остальные ребра. Они-то и «достраивают»
гамильтонов цикл до тех графов, которые подлежат пе-
речислению. Таким образом, мы рассматриваем объекты,
аналогичные графу, изображенному на рис. 20. Ребра,
*не принадлежащие гамильтонову циклу, изображены
прерывистыми линиями. Они расположены либо цели-
ком внутри, либо целиком снаружи гамильтонова цикла,
так как если бы они пересекались с циклом в какой-
427
нибудь внутренней точке, то граф не был бы плоским.
Кроме того, в каждой вершине заканчивается ровно одно
ребро, проведенное сплошной линией. Следовательно,
задачу перечисления графов с фиксированным гамиль-
тоновым циклом можно было сформулировать и так:
«Пусть задан многоугольник с 2п вершинами. Сколькими
способами можно соединить попарно некоторые его вер-
шины непересекающимися хордами, лежащими внутри
многоугольника, а остальные вершины соединить попар-
но непересекающимися «хордами» (за неимением лучшего
термина воспользуемся тем, который существует), лежа-
щими вне многоугольника?»
Наиболее изящное решение этой задачи было предло-
жено У. Т. Таттом, заслуженным профессором универ-
ситета Ватерлоо, интенсивно изучавшим плоские графы
и внесшим немалый вклад в их перечисление. Рассмотрим
кратко полученный Таттом результат и его доказательст-
во (подробности см. в [12]).
Прежде всего заметим, что задача несколько упрости-
лась бы, если бы все хорды лежали внутри многоуголь-
ника: мы получили бы одну из многих задач, ответ кото-
рых дается, как уже упоминалось, последовательностью
чисел Каталана. Например, если мы условимся, что
2г вершины служат концами «внутренних» хорд, то число
способов, которыми можно попарно соединить эти вер-
шины, выражается числом Каталана
(2г)1
г\(г+\)Г
Аналогичный результат справедлив для остальных 25
вершин (напомним, что г+8=п) и «внешних» хорд.
Поскольку любой вариант расстановки внутренних
хорд может сочетаться с любым вариантом расстановки
внешних хорд, мы берем произведение соответствующих
чисел Каталана. Это произведение необходимо умножить
на число способов, которыми можно выбрать два множест-
ва вершин. Но это число равно числу способов, которы-
ми можно отобрать 2г вершин первого множества
из общего числа 2л вершин, т. е. совпадает с биномиаль-
ным коэффициентом
Г2г = (2я)1
^2п (2г)!(25)Г
428
Суммируя произведения при различных значениях г. и
5, мы получим
V (2я)1 (2г)! (25)!
2-» (2г)!(25)! ' г\(г+\)\ в5!(5+1)>
Г + 8 = П
т. е. величину
Х( Г\(Г
(2л)!
(г+1)Ы(*+1)Г
После несложных преобразований это выражение при-
водится к окончательному — притом достаточно просто-
му— виду:
(2я)1(2/1 + 2)?
/1![(/1+1)!]2(А1+1)Г
Именно этой формулой и определяется число интересу-
ющих нас графов.
При п=2 это выражение принимает значение равное
10. Может показаться странным, что существует так мно-
го разновидностей графов, обладающих только 4 верши-
нами, но из рис. 21 видно, почему так происходит. Га-
\
V
/
/
/
^
\
\
-я
^зг^
у
Ьг^^>>
}&-
ъ—?\ л
-7?
/
\
<^1
«^^
Рис. 21
мильтонов цикл имеет форму квадрата. Поскольку пово-
рачивать его не разрешается, графы 1 и 2 считаются раз-
личными. Кроме того, хотя графы 3 и 5 изоморфны (даже
с учетом ребер различного рода), они также считаются
различными, так как по-разному начерчены на плоскости.
Заметим, что между двумя вершинами мы разрешаем
проводить два ребра. Такие «двойные ребра» иногда впол-
не допустимы, иногда запрещены в зависимости от ха-
рактера решаемой задачи. В нашем случае более разумно
было бы считать, что двойные ребра недопустимы,— но
429
стоит лишь принять такой запрет, как мы немедленно
столкнемся с примером «капризности» задач перечисле-
ния: незначительное, казалось бы, изменение условий
задачи приводит к резкому усложнению. Задача перечис-
ления, в которой двойные ребра заранее исключаются,
насколько мне известно, пока еще не решена.
В теории перечисления графов существует много нере-
шенных проблем. Одни из них находятся у самых преде-
лов возможного, и кажется, недостает лишь какого-то
трюка или соответствующего обобщения существующих
теорем и методов, чтобы сломить их «сопротивление».
Другие проявляют все признаки упорного сопротивле-
ния и успешно противостоят самым изощренным попыт-
кам решить их. И те, и другие бросают вызов изобрета-
тельности математиков и сулят многие часы чистой ра-
дости тем, кто любит такого рода занятия!
Решения
Задача 1. Число ребер в деревьях на единицу меньше
числа вершин.
Дерево мы можем начертить, начав с одной вершины и
добавляя по одному ребру так, чтобы каждое новое ребро
соединяло новую вершину со старой. С каждым шагом
мы увеличиваем число вершин и число ребер на единицу.
Следовательно, поскольку утверждение задачи было вер-
но, когда мы начали строить дерево (число ребер было
равно нулю, а число вершин — единице), оно останется
в силе, когда мы достроим дерево до конца.
Задача 2. Графы на рис. 8.
Рис. 22
Неизоморфен трем остальным граф (в). Изоморфизм
графов (а), (б) и (г) станет ясен, если вершины перену-
меровать так, как показано на рис. 22. Граф (в) содержит
430
четырехвершинный цикл АВСБ, в то время как осталь-
ные графы содержат не менее чем пятивершинные циклы.
Эго показывает, что граф (в) не может быть таким же,
как три остальных графа.
Задача 3. Самодополнительные графы с 6 или 7 вер-
шинами.
Такие графы не существуют. Граф и его дополнение
вместе образуют так называемый полный граф, содержа-
щий все р(р—1)/2 ребер. Кроме того, так как самодопол-
нительный граф и его дополнение изоморфны, каждый
из них имеет одинаковое число ребер. Следовательно,
р(р—1)/2 должно быть четным числом, что неверно при
р=6 или р=7. В общем случае самодополнительные
графы могут существовать только в том случае, если
р(р—1)/4— целое число, а это возможно, только когда р
при делении на 4 дает остаток 0 или 1.
Задача 4. Соотношение 2ц=Ър для кубических графов.
Так как каждое ребро имеет 2 «конца», весь граф со-
держит 2<7 концов. Но каждой вершине отвечают по 3
конца — откуда и следует требуемое соотношение.
1. с1е Вгш]'п, N. О. ОепегаНгаМоп оГ Р61уа'з !ипс1атеп1а1 1Ьеогет
т епитега!1\те сотЫпа1опа1 апа1уз13. /пёад. Ма(Н. 21: 59—69.
2. Са1еу, А. 1857. Оп 1Ье 1Ьеогу оГ апа1у1лса1 Гогтз са11ес1 1геез.
РЫ1. Ма§. 13: 172—176.
3. Са1еу, А. 1874. Оп 1Ье та1ЬетаИса1 Шеогу оГ 15отегз. РНИ. Мщ.
47: 444—446.
4. Са1еу, А. 1875. Оп 1Ье апа1у11са1 Гогтз са11ес1 1геез, ^ИЬ аррП-
са1юпз 1о 1Ье Шеогу о[ сЬет1са1 сотроипйз. Яер. ВгН. Авз. 257—
305.
5. Нагагу, Р. 1955. ТЬе питЬег о\ 1теаг, сИгес1ей, гоо!ес! апё соп-
пес!е(1 §гарЬз. Тгапз. Атег. МаИг. Зое. 78: 445—463.
6. Нагагу, Р. 1969. ОгарЬ ТЬеогу. КеасПп^, МаззасЬизеИз: Ас1-
(1150п-иге51еу; Харари Ф. Теория графов.— М.: Мир, 1973.
7. Нагагу, Р. апс! Ра1тег, Е. М. 1973. ОгарЫса1 епитегаИоп.
№>*г Уогк: Асас1егшс Ргезз; Харари Ф., ПалмерЭ. Перечисление
графов.— М.: Мир, 1977.
8. Кт&, С. А. апс! Ра1тег, Е. М. СакиЫюп оГ \Ъе питЬег о[ §гарЬз
оГ огс!ег р= 1(1)24 (не опубликовано).
9. Р61уа, О. 1937. КотЫпа1опзсЬе АпгаНШезиттип^еп !йг
Огирреп, СгарЬеп ипё сЬегтзсЬе УегЫпйип^еп. Ас1а МаИг. 6§:
145—254.
10. Кеас1, К. С. 1963. Оп 1пе питЬег оГ зеИ-сотр1етеп1агу &гарЬз
апс! сПбгарЬз. ^. ЬопЛоп МаНг. 8ос. 38: 99—104.
11. Ке<Ше1с1,. Л. Н. 1927. ТЬе 1Ьеогу оГ &гоир-гес1исес1 сИз^пЬииопз.
Атег. /. Ма(Н. 49: 433—455.
12. ТиИе, XV. Т. 1976. НагшИотап агеийз. СоИс^шо 1п{егпагюпа1е
зиНе Теопе СотЫпа1оге. АШ <к Согыецт Ыпсе1. 17: 194—199.
431
6.3. Коды, исправляющие ошибки,
и криптография
Н. Дж. А. Слоун
Эта статья задумана как введение в теорию кодирова-
ния и криптографию, бурно развивающиеся на протяже-
нии последних десятилетий. Увлекательная книга Дэ-
вида Кана [29] вышла в свет в 1967 г., к сожалению, не-
задолго до того, как фирма ИБМ сообщила о разработан-
ной ее сотрудниками схеме кодирования «Люцифер»
[ 11, 20, 51 ] и тем самым стимулировала развитие событий,
о которых я хочу рассказать.
Математические статьи по криптографии, опублико-
ванные до 1967 г., на редкость скучны и невыразительны
(поговаривают, что им умышленно придавали малоприв-
лекательную форму, дабы не поощрять интерес к этой
тематике). Надеюсь, что к концу статьи читатель согла-
сится с точкой зрения автора и признает последние до-
стижения в этой области захватывающе интересными.
Мне кажется, что наиболее яркие идеи в теории информа-
ции на протяжении вот уже долгого времени появлялись
именно в связи с разработкой систем кодирования (по-
скольку большинство достижений в этой области при-
надлежит другим авторам, мне нет необходимости как-
то оправдывать свой энтузиазм). Чтобы не загромождать
текст превосходными степенями, позволю себе заявить,
что многое из того, о чем пойдет речь в моей статье, по-
черпнуто из шести классических, глубоких по содержа-
нию и блестящих по форме работ, принадлежащих Шен-
нону (1949, [49]), Файстелю, Нотцу и Смиту (1975, [13]),
Винеру (1975, [56]), Диффи и Хеллману (1976, [5]), Рай-
весту, Шамиру и Адельману (1978, [44]), Меркле и Хел-
лману (1978, [38]).
Моя статья не содержит новых результатов, кроме,
быть может, моей собственной оценки того, что уже из-
вестно. Однако я намерен хотя бы бегло упомянуть о
столь различных типах схем кодирования, что для боль-
432
шинства читателей по крайней мере некоторые из них
неизвестны.
Мне хотелось бы особенно подчеркнуть, что я «воль-
ный криптолог» и никогда не имел и не имею дела с за-
секреченными работами в этой области. К сожалению,
те из читателей, которые должны хранить профессиональ-
ную тайну, не смогут поправить меня, если я в чем-то
допущу ошибку. Все схемы кодирования, о которых
Передать 0 или 1 Принять 0 или 1
:» >■
Шум
Рис. 1
99/100
99/100
Рис. 2. Двоичный симметричный канал. Если на одном конце линии
связи передан нуль, то в 99 случаях из 100 на другом конце будет
принят нуль, но в 1 случае из 100 на другом конце линии ошибочно
принимают единицу (аналогичная ситуация, возникает и при переда-
че единицы). Следовательно, вероятность ошибки для этого канала
связи равна 1/100.
пойдет речь в моей статье, опубликованы в открытой
печати. Тем не менее все оценки и мнения, приведен-
ные здесь, принадлежат мне, а не авторам, на работы
которых я ссылаюсь, и не фирме «Белл телефон систем».
Статья состоит из пяти разделов. Все они посвящены
единой теме — проблеме передачи информации по линии
связи (рис. 1). Предположим, что мы можем передавать
по линии связи точки и тире или, если воспользоваться
математическим языком, нули и единицы. Если мы пере-
даем нуль, то на дальнем конце линии связи обычно
принимают нуль, но иногда (из-за помех, ошибок, шума)
принимают и единицу. Наоборот, если на ближнем кон-
це линии связи передана единица, то на дальнем конце
обычно принимают единицу и в более редких случаях —
нуль. Такую линию связи иногда называют двоичным
симметричным каналом связи и изображают схемати-
чески так, как показано на рис. 2.
15 № изо
433
Данные, которые требуется передать по линии связи,
предварительно записываются (возможно, выдаются
ЭВМ) в виде последовательности нулей и единиц. Проб-
лема состоит в следующем:
ПЕРЕДАТЬ ПО ЛИНИИ СВЯЗИ КАК МОЖНО
БОЛЬШЕ ИНФОРМАЦИИ, ПРИЧЕМ СДЕЛАТЬ
ЭТО ВОЗМОЖНО БЫСТРЕЕ И НАДЕЖНЕЕ,
ЗАЩИТИВ ИНФОРМАЦИЮ ОТ ПЕРЕХВАТА.
I Коды, исправляющие
ошибки
Отправитель
Шум
Получатель
Л Кангл с подслушивающим
устройством
Отправитель
~Ч "
ш
V
х радицисннан
, 9К
Отправитель
Коды,обнаруж
9К
Отправитель
Криптосистем*
с общественны
Без ключа
Отправитель
тюч
_
ивающне
люч
1
М КЛЮ.ЧО
\
Плохой
мальчик
подлог
Плохой
мальчик
л
1 _ _
I
\
Плохой
мальчик
Получатель
Шум
КЛЮЧ
9
Плохой
МаЛЬЧИК
1
Г\Ключ
Получатель
ГЛКлю
Получатель
ч
Рис. 3. Пять различных систем связи, рассмотренных в нашей статье.
Я опишу пять различных типов решения этой проб-
лемы во все более сложных условиях (рис. 3). В первом
разделе мы рассмотрим канал, изображенный на рис. 1.
,434
Он использует коды, исправляющие ошибки. В следую-
щем разделе мы рассмотрим такой же канал с шумом и с
отходящей от него подозрительной второй линией связи
(см. также далее рис. 10): к нашему каналу на этот раз
подключено подслушивающее устройство! Сначала мы
будем предполагать, что тот, кто подслушивает, работает
с плохим оборудованием, и покажем, каким образом его
можно легко перехитрить. В третьем разделе мы рассмот-
рим случай, когда против нас действует лицо, распола-
гающее самой совершенной аппаратурой. Именно из та-
ких условий исходит традиционная криптография, ис-
пользующая секретный код, известный отправителю и
принимающему сообщение, но не известный «плохому
мальчику». Четвертый раздел посвящен рассмотрению
чрезвычайной ситуации: наше сообщение попадает в
руки «плохого мальчика», который передает его за нас.
Несмотря на бсю сложность положения, мы можем вый-
ти из него победителями. Заключительная часть посвя-
щена описанию так называемых криптосистем с общест-
венным ключом, представляющих собой модификации схе-
мы, которую мы рассматриваем в третьем разделе. Во
всех случаях нам удается одержать верх над «плохим
мальчиком» и передать сообщения, не дав ему понять
(или исказить) их.
1. Коды, исправляющие ошибки
Проблема состоит в том, чтобы передать информацию
по каналу, изображенному на рис. 1 и 2, как можно быст-
рее и надежнее. Решение, предлагаемое специалистами
по теории кодирования, состоит в том, чтобы передавать
по каналу связи не произвольные последовательности
нулей и единиц, а только последовательности специаль-
ного вида, называемые кодовыми словами. Список всех
допустимых кодовых слов называется кодом. Он известен
отправителю сообщений и их получателю, которые сот-
рудничают между собой, чтобы исключить ошибки, мо-
гущие возникнуть при передаче сообщения.
Сообщения представлены кодовыми словами. Всякий
раз, когда требуется послать то или иное сообщение, по
каналу связи передается соответствующее кодовое слово.
Получатель принимает некий (возможно, искаженный)
вариант кодового слова, и декодирующее устройство
15*
435
должно определить, какое кодовое слово было послано, и
тем самым восстановить переданное сообщение. На рис. 4
показан простой пример кода: имеются всего два кодо-
вых слова 00000 и 11111 длиной 5, соответствующих,
например, сообщениям «да» и «нет». Предположим, что
передано «да». Ему соответствует кодовое слово 00000,
Сообщение Кодовое слово
I
I
п« '0 0.0 0 0 Шум
Да1 !-| I 1 01000
— м«г— ■ г-
Отправитель [-^Кодирующее
Нет
устройство
11111
Канал
связи
■^
Принято
Декоди-
рующее
устройство
Да
Рис. 4. Простой код с исправлением ошибок, состоящий из двух ко-
довых слов 00000 и 11111. Принятая последовательность 01000 пра-
вильно декодирована как сообщение «да».
которое (из-за шума) принято как 01000. Декодирующее
устройство учитывает малую вероятность ошибок (см.
рис. 2) и поэтому решает, что было передано кодовое
слово 00000, соответствующее сообщению «да». В общем
случае декодирующее устройство выбирает кодовое сло-
во, в каком-то смысле «наиболее близкое» к принятой
последовательности нулей и единиц.
Сказанному можно придать точный смысл, если ввести
понятие расстояния между двумя последовательностями
сигналов. Расстоянием Хэмминга Рх('Л у) между дву-
мя последовательностями и = (и^ и2у. . ., ип) и у—
= (^1, г>2,. • , ип) длиной п называется число мест, в
которых они различаются. Например,
/>х(010000, 00000)--1,
/>х(01000, 11111)=4.
Введя расстояние Хэмминга, мы получаем возмож-
ность дать тому, кто занимается декодированием, более
точные инструкции: принятую последовательность ну-
лей и единиц следует декодировать как ближайшее к
ней (в смысле расстояния Хэмминга) кодовое слово.
Именно оно с наибольшей вероятностью совпадает с
переданным кодовым словом. Эта процедура изображена
на рис. 4. Мы видим, что декодирующее устройство смог-
ло исправить одну ошибку. В действительности такой
код позволяет исправить любые две ошибки. Например,
436
0
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
0
1
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
1
1
0
0
0
1
если передана последовательность 00000, а принята
последовательность 01100 (с ошибками во втором и
третьем знаках), то последовательность 01100 все же
ближе к истинному кодовому слову, чем к последователь-
ности 11111. В то же время ясно, что такой код не может
исправить три ошибки (приняв последовательность 11100,
мы декодировали бы ее неправильно как 11111). Таким
образом, рассматриваемый нами код позволяет исправить
не более двух ошибок.
Причина этого вполне понятна: расстояние Хэмминга
между самими кодовыми словами равно 5. Как показы-
вают те же рассуждения, для
любого кода наиболее сущест-
венным параметром является ми-
нимальное расстояние Хэмминга
между кодовыми словами
^ = гп1П Рх (и, V),
и Ф V
где минимум берется по всем
парам различных кодовых слов
и и V. Действительно, если чис-
ло ошибок не превышает е=
= [(й—1)/2], то принятый «век-
тор» (последовательность сигна-
лов — «координат» вектора) бли-
же к истинному кодовому слову,
чем к любому другому, и декоди-
рующее устройство выдает правильное сообщение (Ы
означает наибольшее целое число, не превосходящее х).
Резюмируя, можно утверждать, что код с минималь-
ным расстоянием й между кодовыми словами есть код,
исправляющий е=[(й—1)/2\ ошибок. Так возникает задача
поиска кодов с большим й (исправляющих много оши-
бок) и малой длиной слов / (чтобы время передачи сооб-
щений не было велико).
Следующие примеры кодов представляют больший
интерес, чем примитивный код, изображенный на рис. 4:
1. Код Еп с четным весом, состоящий из всех двоич-
ных слов длиной пу каждое из которых содержит четное
число единиц (мы будем говорить, что эти слова имеют
четный вес). На рис. 5 изображен код Е^. Код Еп содер-
жит 2п-1 кодовых слов; минимальное расстояние между
Рис. 5. Код Е^ состоящий
из восьми «векторов» дли-
ны 4, каждый из которых
содержит четное число
единиц.
437
кодовыми словами равно (1=2. Пользоваться кодом Еп
для исправления ошибок нецелесообразно, хотя он и
обнаруживает единичную ошибку. С этим кодом мы еще
встретимся в разд. 2.
2. Код Хэмминга длиной 7. Один из многих кодов,
допускающих геометрическое построение. Проективной
Рис. 6. Проективная плоскость порядка 2. Содержит семь точек,
перенумерованных цифрами от 1 до 7, и семь прямых (одна ид прямых
изображена в виде окружности). Каждая прямая проходит через три
точки, а каждая точка принадлежит трем прямым.
плоскостью порядка р (геометрический объект, с которым
мы познакомимся в разд. 4) называется набор из р2+
+Р+1 точек и р2+р+1 прямых, расположенных так,
что каждая прямая проходит через /7+1 точек и каждая
точка принадлежит р-Ц прямым; при этом через каж-
дые две точки проходит единственная прямая и каждые
две прямые пересекаются в единственной точке. На рис. 6
изображена проективная плоскость порядка 2.
Чтобы описать проективную плоскость, вовсе не нуж-
но прибегать к чертежу. Достаточно указать, какие
точки принадлежат каждой прямой (что можно сделать
и по телефону). Например, на рис. 6 изображены пря-
мые 1, 2, 4; 2, 3, 5; 3, 4, 6; 4, 5, 7; 1, 5, 6; 2, 6, 7; 1, 3, 7.
Ту же конфигурацию мы могли бы описать матрицей,
строки которой соответствуют прямым, а столбцы —
точкам (рис. 7).
Код Хэмминга, который мы хотим построить, сос-
тоит из дополнений к строкам этой матрицы (получаемых
при замене нулей единицами и единиц нулями) и нуле-
вого кодового слова. Этот код изображен на рис. 8. Ми-
438
гимальное расстояние между кодовыми словами здесь
составляет с1-=А. Код исправляет любую единичную
сшибку (и обнаруживает двойную ошибку).
Все описываемые нами коды обладают одним особым
свойством, облегчающим их кодирование и декодирова-
ние: они линейны. Это означает, что покомпонентная сум-
■ма двух слов, взятая по той 2 (т. е. такая, что сумма 1 + 1
Точки
12 3 4 5 6 7
1
0
0
0
1
0
1
1
1
0
0
0
.1
0
0
1
1
0
0
0
1
1
0
1
1
0
0
0
0
1
0
1
1
0
0
0
0
1
0
1
1
0
0
0
0
1
0
1
1
Гис. 7. Матрица из нулей
и единиц, описывающая
проективную плоскость,
изображенную на рис. 6.
В частности, первая строка
матрицы показывает, что
существует прямая, про-
ходящая через точки 1, 2
ц 4.
0
0
I
1
1
0
1
0
0
0
0
1
1
1
0
1
0
I
0
0
I
1
1
0
0
0
1
0
0
1
I
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
1
1
1
0
1
0
0
Рис. 8. Код Хэмминга дли-
ной 7, содержащий восемь
кодовых слов; помимо ну-
левого кодового слова со-
держит дополнения к стро-
кам матрицы, изображен-
ной на рис. 7.
понимается равной 0), всегда совпадает с одним из кодо-
вых слов. Например, взяв сумму по той 2 второго и
третьего кодовых слов, представленных на рис. 5, мы
получим ОНО. Эта последовательность, разумеется, так-
же является кодовым словом.
Линейный код можно однозначно задать, указав для
него так называемую проверочную матрицу (для провер-
ки на четность). Так называется матрица Н, обладающая
следующим свойством: вектор и={ии . . ., ип) принад-
лежит коду в том и только том случае, если
НиТ=0 (той 2),
Ш
где Т — операция транспонирования. Чтобы объяс-
нив, какое отношение матрица Н имеет к проверке на
четность, нам потребовалось бы слишком длинное от-
ступление (см. [35], гл. 1). Для кода, приведенного на
рис. 5, проверочная матрица имеет вид
[ПШ,
так как вектор (щ, и±, н3, и4) принадлежит коду в том и
только том случае, если
и1+и2+и3+и4^0 (той 2).
Для кода, изображенного на рис. 8, в качестве прове-
рочной можно было бы выбрать матрицу
Г1 1 0 1 0 0 01
0 110 10 0
0 0 110 10
[_0 0 0 1 1 0 ]_\
В 30-е годы и несколько позже теория кодов с исправ-
лением ошибок по существу представляла собой огром-
ное число удачно подобранных примеров. Ныне это об-
ширная теория. Ф. Дж.Мак-Вильямс и я посвятили тео-
рии кодов с исправлением ошибок весьма объемистую
книгу [35]. Многие из кодов задаются хитроумно выб-
ранной проверочной матрицей. Особенно мощное семей-
ство образуют коды Гоппа. К сожалению, для их описа-
ния требуются некоторые познания в теории конечных
полей; поэтому те, кто этими познаниями не обладает,
могут при чтении опустить конец этого раздела.
3. Коды Гоппа длиной п=2т. Выберем неприводимый
многочлен С (г) степени I над полем Галуа 0Р{2т) по-
рядка 2т (поле с 2т элементами). Построим провероч-
ную матрицу
1
Н =
С(а1)"
С*1
0 (ах) • *
&1_
' 0 (ая)
ап
' О <ая)
|_С (ах) О (ОяЬ
0)
446
где аи а2, . . ., осп — элементы поля Галуа ОР(2т). Все
кодовые слова имеют вид двоичных векторов и, таких,
что НиТ=0. Свойства такого кода представлены на
рис. 9.
Длина
Число
Свойства кода Гоппа
п = 2т
кодовых слов не меньше 2п~
Минимальное расстояние й^21-{-\
Код с
исправлением / ошибок
тШ
Рис. 9
Коды Гоппа (такие, как код Боуза — Чоудхури —
Х'Квингема, код Рида — Мюллера и другие не упоминав-
шиеся нами коды) обладают эффективным алгоритмом
декодирования, т. е. существует алгебраический метод,
позволяющий по принятой последовательности нулей и
единиц находить ближайшее кодовое слово. Для боль-
шинства кодов эффективный алгоритм декодирования за-
ведомо отсутствует. Именно несуществование такого
алгоритма положено в основу криптосистем с общест-
венным ключом, описанных в разд. 5д. Дальнейшие све-
дения о кодах с исправлением ошибок читатель сможет
найти в [35].
2. Канал связи с подслушивающим устройством
Вместо канала связи, изображенного на рис. 1, рас-
смотрим теперь канал связи, изображенный на рис. 10.
Передать 0 или 1 Шум Принять 0 или 1
Рис. 10. Линия связи с подслушивающим устройством.
Вторая линия связи ведет к «плохому мальчику», ко-
торый подслушивает все, о чем говорят по первой линии
связи. Наша задача изменяется: теперь мы должны не
4*1
только по возможности быстро и надежно передать по
каналу связи сообщение, но и свести до минимума то, что
может понять «плохой мальчик».
В этом разделе мы рассмотрим случай, когда подслу-
шивающий вынужден пользоваться несовершенной аппа-
0 или 1
Отправитель
Коди-
рующее
устрой-
ство
нет
~- 1
-*
шума
:шум
г. - 1
Плохой 1
мальчик [
Декоди-
рующее
устрой -.
ство
Получатель
Рис. 11. Простейший вариант канала связи с подслушивающим уст-
ройством. В основном канале связи шума нет. Канал связи, ведущий к
подслушивающему устройству, работает как двоичный симметричный
канал (см. рис. 2) с вероятностью ошибки р0.
ратурой. Иначе говоря, мы предполагаем, что и канал
связи, ведущий от основной линии связи к подслушиваю-
щей аппаратуре («плохой мальчик» подслушивает по
двоичному симметричному каналу связи, аналогичному
тому, который изображен на рис. 2), есть линия связи с
помехами (шумами). Основной работой по кругу вопро-
сов, рассматриваемых нами в этом разделе, служит
статья Уинера [56]. (См. также [1, 31, 32, 55].) Простей-
ший случай, когда в основном канале связи нет шума,
схематически изображен на рис. 11.
Существует изящное и удивительно простое решение
нашей проблемы. Основная идея этого решения заклю-
чается в следующем:
ЗАКОДИРОВАТЬ НУЛЬ ДЛИННОЙ СЛУЧАЙНО
ВЫБРАННОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬЮ НУЛЕЙ
И ЕДИНИЦ С ЧЕТНЫМ ЧИСЛОМ ЕДИНИЦ.
ЗАКОДИРОВАТЬ ЕДИНИЦУ ДЛИННОЙ СЛУЧАЙНО
ВЫБРАННОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬЮ НУЛЕЙ
И ЕДИНИЦ С НЕЧЕТНЫМ ЧИСЛОМ ЕДИНИЦ.
Последовательность следует выбрать достаточно длин-
ной с тем, чтобы помехи в канале, ведущем к подслуши-
вающему устройству, с ненулевой вероятностью приво-
дили к появлению нескольких ошибок. Например, нуль
можно было бы закодировать последовательностью
Г-101110100000011111010100
442
(последовательность длиной 24, содержащая четное чис-
ло единиц), но к тому времени, когда эта последователь-
ность достигнет подслушивающего устройства, она мо-
жет превратиться в последовательность
2=100110100110011111010100.
Хотя тот, кто подслушивает, знает и правило, по кото-
рому производится декодирование (но, разумеется, ос-
тается в неведении относительно того, какая последова-
тельность У выбрана), он не сможет восстановить пере-
данное сообщение. Твердо зная, что 2 — искаженный
Еариант последовательности У, «плохой мальчик» не
сможет узнать, какое число нулей (четное или нечетное)
содержала последовательность У.
С другой стороны, законный получатель сообщения
принимает последовательность У такой, какой она была
передана,— и ему остается только сосчитать, четно или
нечетно число единиц в У. Это он может сделать, составив
.сумму (по тос! 2) всех битов (т. е. двоичных знаков),
входящих в У.
Идея, что и говорить, остроумная — но не лишена
одного бросающегося в глаза недостатка: передача ин-
формации осуществляется чрезвычайно медленно. Дей-
ствительно, скорость передачи информации по каналу
почти равна нулю, так как, чтобы сообщить получателю
один бит информации, нам приходится передавать всю
последовательность У.
Впрочем, этот недостаток легко исправить, но снача-
ла позвольте мне привести еще одно описание нашей
схемы. Пусть Рп означает множество всех двоичных век-
торов длиной п. Разделим Рп на два подмножества: под-
множество Еп (см. разд. 1), состоящее из всех векторов
с четным числом единиц, и множество остальных век-
торов (обозначим его Бл), содержащих нечетное число
единиц:
Р» = Еп[)От, (2)
Полезно воспользоваться языком теории групп. Дей-
ствительно, Рп есть группа (относительно покомпонент-
ного сложения), Еп — ее подгруппа (напомним, что речь
идет о линейном коде), аО„ — смежный класс группы
Рп по подгруппе Еп, так как
ЯЛ = 100. . .0+Еп.
443
Соотношение (2) можно рассматривать как своего рода
иллюстрацию общего принципа, согласно которому груп-
пу всегда можно разложить в теоретико-множественную
сумму смежных классов. Наша схема кодирования сво-
дится к следующему. Производим разложение Рп=
= Еп\}Оп. Чтобы передать нуль, посылаем случайный
вектор, принадлежащий Еп. Чтобы передать единицу,
посылаем случайный вектор, принадлежащий Оп.
Теперь мы уже в состоянии сформулировать общее
решение задачи о передаче сообщений по каналу связи
с подслушивающим устройством. Надо выбрать хороший
линейный код С* с исправлением ошибок, содержащий
2п~к кодовых слов длиной п (см. разд. 1). Произвести
разбиение Рп на 2Л смежных классов по Сг:
р = с1ис2ис3и... ис2к.
Перенумеровать возможные сообщения, подлежащие пе-
редаче по каналу связи, целыми числами от 1 до 2к.
Наконец,
ЗАШИФРОВАТЬ 1-е СООБЩЕНИЕ СЛУЧАЙНО
ВЫБРАННЫМ ВЕКТОРОМ ИЗ С,.
Законному получателю сообщения нетрудно опреде-
лить, какое сообщение было передано: для этого доста-
точно установить, какому из смежных классов по Сх
принадлежит принятый вектор (для чего в свою очередь
достаточно вычислить характеристики вектора (см.
[351, р. 16)). Но «плохой мальчик» останется в полном
неведении относительно переданного сообщения. Ско-
рость передачи при такой схеме равна к/п (п битов не-
обходимо передать, чтобы задать одно из 2* сообщений).
Уинер [561 доказал следующую теорему:
Теорема 1. Если р0 — вероятность ошибки подслуши-
вающего устройства, то по каналу можно передавать ин-
формацию с любой скоростью ниже
—ро 1о§2 ро—(1— р0) 1ое2(1—Ро),
оставляя подслушивающего в полном неведении относи-
тельно передаваемого сообщения.
Для доказательства теоремы вводится функция Я,
называемая энтропией или мерой неопределенности
([16], гл. 1; [36], гл. 2). Определяется она таким образом,
что если X — передаваемое сообщение, У — зашифро-
444
■ванное сообщение X, 2 — искаженный вариант сообще-
ния V, поступивший на подслушивающее устройство, то
И(Х) служит мерой неопределенности сообщения X до
того, как подслушивающему становится известным со-
общение 2, а Н(Х\2) является мерой неопределенности
сообщения X после того, как подслушивающему стано-
вится известно сообщение 2. Разумеется,
Н(Х\2)^Н{Х).
Доказательство теоремы 1 сводится к проверке прибли-
женного равенства
Н(Х\2)жН(Х),
т. е. к доказательству того, что установка подслушиваю-
щего устройства по существу ничего не дала (рис. 12).
С тем же успехом «плохой мальчик» мог бы сидеть дома.
1 ■*. 1
Отправитель
X
Шифро-
вальное
устрой -
ство
У
1
V
1 7
| и
Пло
мал
хои
1.ЧИК
Дешиф-
ратор
X
^
Получатель
н(х\г)**н(Х)
Рис. 12. Полная секретность достигается в том случае, если неопре-
деленность Н(Х\1) сообщения X для «плохого мальчика» после
того, как он подслушал сообщение 2, остается по существу равной
неопределенности И(Х) сообщения X до того, как было установлено
подслушивающее устройство.
Доказательство теоремы 1 читатель найдет в статье
[56]. Уинер рассматривает также и более общий случай,
когда помехи имеются и в прямом канале связи от от-
правителя к получателю.
3. Традиционная криптография
В предыдущем разделе мы без особого труда одолели
подслушивающего, использовавшего несовершенное обо-
рудование. А как быть, если против нас выступает про-
фессионал, располагающий ^ первоклассным оборудова-
нием, которое позволяет ему подслушивать без искажений
любое сообщение, передаваемое по каналу связи? В этой
ситуации применимы методы традиционной криптогра-
фии. Начнем с рассмотрения шифровальных схем, ос-
.445
нованных на использовании ключа, известного отправи-
телю и получателю, но не известного «плохому мальчику»
(рис. 13). В разд. 5 мы опишем недавно открытые схемы,
в которых ключ необходимо знать только получателям.
Отправитель
X
Ключ
*| У
Шифро-
вальное
устрой -
ство
Шума нет
Шума ^
нет
Плохой
мальчик
Ключ
\
Дешиф -
ратор
Получатель
Рис. 13. Схема традиционной криптографии, использующая ключ,
известный отправителю и получателю, но не известный «плохому
мальчику».
За. Схема одноразового пользования
Простейшей и наиболее надежной из всех схем явля-
ется схема одноразового пользования (рис. 14). (С изоб-
ретением ее связывают несколько имен, в особенности
Ключ
,.Ш
Сообщение
> Ключ
...то
».оо/Г\ ..лог
Сообщение
Плохой
мальчик
Рис. 14. Схема одноразового пользования. Ключ прибавляется по
тос! 2 к передаваемому сообщению. Ключевая последовательность
имеет такую же длину, как сообщение, и используется только один раз.
Г. С. Вернама, в то время работавшего в исследователь-
ском отделе фирмы «Американ телеграф энд телефон»,
см. [29], гл. 13; [54].)
Составляется (например, с помощью многократного
бросания монеты) длинная случайная последователь-
ность нулей и единиц. Эта последовательность служит
ключом. Ключ набивают на бумажной ленте и вручают
отправителю и получателю. Отправитель производит
бит за битом сложение ключа и сообщения и получает
446
зашифрованный текст. Например, если сообщение пред-
ставляет собой последовательность
...0100001101,
а ключом служит последовательность
...1101110011,
то зашифрованный текст есть их сумма
...1001111110.
(Суммирование производится по той 2 бит за битом без
переноса в старший разряд.) Получатель также прибав-
ляет к переданному ему сообщению ключевую последо-
вательность, тем самым восстанавливая исходное сооб-
щение:
Зашифрованное сообщение ...1001111110
+ Ключевая последовательность ...1101110011
Исходное сообщение ...0100001101
Ключевая последовательность используется только
один раз, после чего уничтожается. Это идеальный не
раскрываемый шифр. Действительно, пусть X — сооб-
щение, К — ключевая последовательность и
У = Х+К (3)
— зашифрованное сообщение. «Плохой мальчик» знает
У, но так как все различные ключевые последователь-
ности К возможны и равновероятны, то возможны и лю-
бые сообщения. И на этот раз, подключив свою подслу-
шивающую аппаратуру, «плохой мальчик» не узнает
по существу ничего (см. рис. 12).
Единственный недостаток описываемой схемы состоит
в том, что она требует столько ключей, сколько сообще-
ний нужно передать по каналу связи. Тем не менее она
широко используется для передачи важных сообщений.
Однако для менее важных дел желательно иметь схе-
му, которая использует меньшее число ключей. Искус-
ство построения хорошей шифровальной схемы состоит в
том, чтобы изыскать способ продолжения ключевой
последовательности, т. е. использования небольшого
фрагмента ключа как зародыша, порождающего гораздб
более длинную ключевую последовательность. ОсущесТ-
447
вить продолжение можно многими способами (см., на-
пример, [8, 15, 29]). Мы упомянем лишь некоторые ме-
тоды, использующие регистры сдвига.
36. Линейные регистры сдвига с обратной связью
Первый простейший и наиболее уязвимый метод сос-
тоит в использовании в качестве ключа последователь-
ности на выходе линейного регистра сдвига с обратной
связью (рис. 15).
а Регистр сдвига.
I—•—ф-
Чгн^псн
Сообщение
$
Регистр сдвига
Ф-
г——<р|
Шифр
От шифровального
устройства,
Ф
т
е-
Плохой
мальчик
Сообщение
К дешифратор?
ЧТоЛ-Н-НО"*^
0
X
1
1
X
О
0
о
1
0
1
0
1
1
1
X
0
0
0
1
0
I
0
1
1
1
1
0
0
0
1
0
1
О
1
1
1
1
0
0
^,..100011110101
Выходная
Последовательность
^КЛЮ1
Рис. 15. Выходная последовательность линейного регистра сдвига
с обратной связью используется в качестве ключевой (а). Пример ре-
гистра сдвига с четырьмя состояниями, показывающий последователь-
но содержимое регистра и выходную последовательность (б). Началь-
ное содержимое регистра (0101) представляет собой секретный четы-
рехзначный ключ и порождает выходную последовательность
...1110101100100011110101
периода 15, которая бит за битом суммируется с сообщением.
Если регистр сдвига может находиться в т состояни-
ях, то при подходящем выборе обратных связей мы полу-
чаем выходную последовательность периода 2т—1.
448
(См., например, 122] или [34].) Следует упомянуть и о
том, что все эти выходные последовательности являются
кодовыми словами в некотором коде с исправлением оши-
бок Рида — Мюллера ([35], р. 406). При больших т
(например, при т=100) период выходной последователь-
ности становится астрономически большим (2100—1^
»1030).
Несмотря на это, шифр легко раскрывается. Действи-
тельно, предположим, что «плохой мальчик» знает алго-
ритм дешифровки (конструкцию регистра сдвига) и
располагает несколькими парами:
(сообщение X, соответствующее
зашифрованное сообщение У),
т. е. открытый текст и тот же текст в зашифрованном ви-
де, и пытается определить ключевую последовательность
К. В случае линейного регистра сдвига сделать это очень
просто. Если известно т соответствующих друг другу
битов последовательностей X и У, то их разности дают
содержимое регистра сдвига. Прослеживая работу ре-
гистра, «плохой мальчик» полностью определяет ключ^
вую последовательность (см. [18, 39]). Несмотря на то
что эта схема шифровки легко раскрываема, она широко
применяется. Возможно, что большие периоды создают
иллюзию нераскрываемости.
Зв. Нелинейные регистры сдвига
Ситуация резко изменяется, если в схеме обратной
связи мы используем нелинейные компоненты (рис. 16).
Последовательности на выходе нелинейного регистра со
сдвигом можно сделать сколь угодно надежными.
Число возможных функций / обратных связей в этом
случае равно 22"\ При больших т это число весьма ве-
лико. Требуется найти подмножество допустимых /,
которые
1) эффективно стирают сообщение, т. е. производят
на выходе последовательность, напоминающую ту, кото-
рая возникает при бросании монеты (разд. За)\
2) просто вычисляются;
3) легко заменяются (т. е. при изменении ключа мы
можем перейти к другой функции /).
449
Один из способов состоит в построении сложных функций
из простых компонент. Схемы шифровки такого типа на-
зываются шифрами-произведениями. Их действие ана-
Нелинейный
регистратор с обратной
связью
Зашифрованное
сообщение
Сообщение
•*ь + ыг *\ + и1
-•*3Х**1
Рис. 16. Шифровка с помощью нелинейного- регистра сдвига. Здесь
представлена только шифровальная схема. Вторая схема, повторя-
ющая первую, служит для дешифровки. Регистр сдвига может нахо-
диться в т состояниях. Первоначально регистр содержит секретный
т-значный ключ ит, ы,я_ъ ..., ы2> иг. Поступающее слева
((тг]-1)—5/)-значмое сообщение ит + 1 является сложной нелинейной
функцией стиь..., ит, например «,» + !=/(«!, ..., ит). Тогда ит + 2=
= /(/.'2, ..., 1/и + 1) И Т.Д.
логично классическому «алгоритму», к которому прибе-
гают пеке;:*:, кс-да месят тесто:
РАСКАТАТЬ
сложить
РАСКАТАТЬ
СЛОЖИТЬ
РАСКАТАТЬ
Иначе говоря, над куском теста необходимо выполнить
некоторую последовательность некоммутирующих опе-
раций. Например, мы могли бы взять комбинацию двух
операций над элементами последовательностей: переста-
новки и какой-нибудь простой функции. Удобной компо-
нентой при построении нелинейных функций служит
элемент памяти ЭПТС-2 с двумя состояниями, предназна-
ченный только для считывания (рис. 17).
Каким образом эти операции могут быть объединены
в шифровальной схеме, станет ясно, если мы рассмотрим
в качестве примера регистр сдвига с 32 состояниями
(рис. 18, внизу). Основными операциями служат перёста-
450
новка 32 битов (рис. 18, в середине) и нелинейная функ-
ция, построенная из восьми элементов памяти с двумя
состояниями, аналогичных изображенному на рис. 17
(рис. 18, вверху),
а
4 ВХ°ДНЬ1Х Щклзюи^* 4 выходных
бита
бита
'Управляющий /ключевой/ бит
с*
0 Таблица истинности
Вход
10 0 0 0
'о 0 0 1
0 0 10
0 0 11
[1111
Выход |
Нлюг* 0
10 10
0 0 11
10 0 1
0 0 0 0
0 10 0
Ктт=\\
0 111
0 10 0
1111
10 10
10 0 1
Рис. 17. Широко распространенный элемент памяти ЭПТС-2 с двумя
состояниями, предназначенный только для считывания с четырьмя
выходными битами и одним управляющим, или ключевым, битом
(а). Выходные биты задаются как функция от входных битов и клю-
чевого бита с помощью таблицы истинности (б). (В действительности
используются гораздо более сложные компоненты. См., например,
схему, приведенную на с. 79 июльского номера журнала 5с1еп1Шс
Атепсап за 1979 г.)
8 ключевых
битов
у,)ПШ-П,- чЦЛ
ЭПТС-2
Г!
[ЭПТС-2
ЭПТС-21
29 30 31 32
8 элементов памяти
с 2 состояниями,
предназначенными
только для считывания-"
Перестановка
Регистр
Рис. 18. Две некоммутирующие операции, примененные к 32 битам
данных. Первая операция — перестановка, вторая — нелинейная
функция, реализованная на восьми элементах ЭПТС-2, изображенных
на рис. 17, и управляемая восемью битами ключа.
Операции повторяются последовательно 15 раз, по-
сле чего получившиеся 32 бита возвращаются в регистр
(рис. 19) и одновременно используются в качестве 32
битов ключевой последовательности — суммируются по-
компонентно с 32 битами сообщения (рис. 20).
Можно поступить иначе: сначала просуммировать
451
32 бита сообщения и ввести сумму в регистр сдвига,
затем 15 раз применить перестановки и нелинейные
функции и, наконец, принять 32 получившихся бита за
зашифрованный текст.
Шифры-произведения и их аналогия с операциями,
совершаемыми пекарем, были, по-видимому, впервые
гт
8 битов -]_
ключа ~"Н
Г
8 битов Д.
ключа "—1
Г
ключа Ц-
содер -^
экимое-32 ^
бита ключа
1м 1 1 1 Г п бита.
III 1111 сшпи
Перестановка 1
III МП
III 1 1 1 (
,...,. |
III МП
Перестанановка ]
III III).
1 [ 1 8 элементов
III 1 1 N памяти
Перестановка 1
А А А • • • А А А А регистр
Рис. 19. Операции, изображенные на рис. 18, 15 раз подряд применя-
ются к содержимому регистра сдвига, после чего получившиеся 32
бита вводятся снова в регистр сдвига. Каждый элемент памяти требу-
ет один бит ключа. Начальное содержимое регистра задается 32 би-
тами ключа. Таким образом, вся схема определяется 8Х 15+32=152
битами ключа.
описаны Шенноном [49]. Шифровальные схемы, осно-
ванные на использовании перестановок и нелинейных
цепей, были разработаны несколькими сотрудниками
фирмы ИБМ (см., например, статьи Файстеля [11, 12],
Файстеля, Нотца и Смита [13, 14], Гирданского [20, 211
и Смита [51]. Схемы шифровальных устройств, изобра-
женные на рис. 17—20, представляют собой не более
чём сильно упрощенные конструкции такого рода. Чи-
452
татель без труда сможет предложить свои собственные
более сложные схемы.
Внимание многих специалистов привлекли два ре-
ально действующих шифровальных устройства этого
типа: разработанный фирмой ИБМ шифр «Люцифер»
/'
32 бита сообщения
Рис. 20. Включение шифровальной схемы, изображенной на рис. 19,
в систему связи. Смешанный регистр на 152 бита используется для
задания регистра сдвига и функции /, как на рис. 19. Передаваемые
данные подразделяются на блоки по 32 бита. Прибавив к каждому
блоку 32 бита, хранящихся в регистре сдвига, мы получим 32 бита
шифрованного текста. Применив 15 перестановок и нелинейных
функций, мы получим следующие 32 бита в регистре сдвига. Они
суммируются с 32 битами данных и т. д.
и стандарт шифровки данных Национального бюро
стандартов. Шифр «Люцифер» [11, 20, 51] использует
ключ из 128 битов (а не из 152 битов, как на рис. 20)
и шифрует данные в виде блоков по 128 битов (а не по
32 бита, как на рис. 20). Стандарт шифровки данных [3,
4, 40, 41] использует ключ из 56 битов и шифрует данные
в виде блоков по 64 бита.
К сожалению, о надежности этих шифров известно
немного, хотя результаты предварительных исследо-
ваний опубликованы. Если ключ имеет малые размеры,
то «плохой мальчик» может раскрыть шифр, просто
перепробовав все возможные ключи. На этом осно-
вании высказывались критические замечания по поводу
стандарта шифровки данных, так как число различных
ключей для него составляет лишь 2*6«1017 (см. [6, 7, 27,
41, 53, 57]). Остро ощущается необходимость стандар-
6
32 зашиАоованных бита 1-^
453
тов, позволяющих судить о надежности этого типа
шифров.
Во всех схемах дешифровки, описанных в этом раз-
деле, предполагалось, что канал связи свободен от
помех. Если же мы имеем дело с линией связи с шумами,
Отправитель
| Получатель
•
Зашиф-
ровать
Расшиф-
ровать
Закоди-
ровать
Декоди-
ровать
Л^"^'Х V п
^ц Канал
г с помехами
-^-Г^Ч
Плохой
мальчик
Рис. 21. Если в канале связи имеются помехи, то код с исправлением
ошибок надлежит применять после дешифровки, так как даже одна
ошибка изменяет около половины битов в дешифрованном сообще-
нии.
то последствия могут быть самыми неприятными, так
как хорошие шифры обладают тем свойством, что из-
менение одного бита в исходном тексте изменяет при-
мерно половину битов в зашифрованном сообщении.
Во избежание этого нежелательного эффекта после шиф-
ровальной схемы необходимо включать код, исправ-
ляющий ошибки (см. разд. 1), как это показано на рис. 21.
4. Коды, обнаруживающие подлог
Канал связи продолжает ухудшаться: теперь он
всецело находится во власти «плохого мальчика» (см.
рис. 3, ч. IV). Правда, он обещал точно передавать наши
сообщения, но у нас нет оснований полностью ему дове-
рять. Следовательно, нам необходимо каким-то образом
помечать или удостоверять подлинность наших сооб-
щений, чтобы «плохой мальчик» не мог незаметно подме-
нить подлинное сообщение ложным. Э. Н. Джилберт,
Ф. Дж. Мак-Вильяме и я исследовали эту проблему в
статье, опубликованной в 1974 г. [19]. Такая проблема
действительно возникает в ряде ситуаций. Перед нами
ее поставил Р. Дж. Симмонс из «Сандиа Корпорейшн»
в связи с контролем за производством некоторых стра-
тегически важных материалов. Однако эту задачу проще
454
сформулировать на языке казино, где играют в азарт-
ные игры.
Управляющий казино («плохой мальчик») обманы-
вает владельца казино («хорошего мальчика»), сообщая
тому заниженные сведения о дневной выручке и при-
сваивая себе разницу. Чтобы предотвратить хищение,
владелец намеревается установить внутри каждого авто-
мата секретный ключ К и устройство, на вход которого
поступает сообщение X о дневной выручке и ключ К,
а на выход — метка, удостоверяющая подлинность све-
дений
2 = Ф(Х, К).
Устройство печатает X и 2 на бумажной ленте. «Пло-
хому мальчику» вменяется в обязанность пересылать
ленту владельцу казино. Получив ленту, владелец счи-
II
Источник
[сообщений
X
к
Ключ К]
*
Знак
'подлинности ф
\
Запечатанная коробка
1 Хороший
мальчик
X
К
Ключ К]
•»•
Знак
подл
инности ф
1 С*,2}
)
|
I Плохой 1
мальчик
'
|(*.
ИЛ1
(*',
ИЛИ
сигнал тревоги
Рис. 22. «Хороший мальчик» намеревается вмонтировать в каждый
автомат запечатанную коробку. В ней находится аппаратура, произ-
водящая подсчет дневной выручки X и записывающая X на бумажной
ленте вместе с меткой 2, зависящей от X и ключа К : 2=Ф (X, /С).
«Плохому мальчику» известно все, кроме К- Он хотел бы подменить
(X, 7.) другой парой (Х\ 2'). Если 2' удовлетворяет уравнению
2' =Ф(Х', К), хозяин казино не сможет уличить «плохого мальчи-
ка» в подлоге.
тывает с нее Ху вычисляет 2 по известным X и К и тем
самым проверяет, соответствует ли значение 2 напеча-
танным на ленте. Если вычисленное значение совпа-
дает с присланным, то владелец казино считает X ис-
тинным (рис. 22).
455
С другой стороны, «плохой мальчик» знает X, 2
и Ф (т. е. ему известно, как работает устройство), но не
знает К и хочет подменить X и 2 другой парой X' и
2'. Если ему удастся совершить подлог так, что
2' = Ф(Х\ К),
то подмена останется нераскрытой, и «плохой мальчик»
сможет положить в карман разность X'—X.
Рис. 23. Соответствие между сообщениями, ключами и метками.
На рис. 23 показано, как примерно может рассуж-
дать «плохой мальчик». Представлены все возможные
сообщения Хь Х2, Х3, ... и метки 2и 22, . . ., соот-
ветствующие различным ключам. Предположим, что
«плохой мальчик» видит, что сообщение Хг сопровож-
дается меткой 22. Взглянув на схему, он установит,
что речь может идти только об одном из ключей 2, 3, 4, 5
или 6. Желая заменить Хх сообщением Х2\ «плохой
мальчик» должен решить, какую метку (24, 2Ъ или 26)
456
ему выбрать. Шанс не быть пойманным у него наиболь-
ший, если он выберет метку 25. Эта метка «согласуется»
с ключом 2, 5 или 6, т. е. «плохой мальчик» имеет на
успех 3 шанса из 5. Если бы он выбрал метку 24 или 2в,
то его шансы на успех составляли бы только 1 из 5.
Как показывает это рассуждение, при проектиро-
вании системы, удостоверяющей подлинность сообще-
ний, необходимо стремиться к тому, чтобы каждой паре
сообщение — метка соответствовало большое число клю-
чей. Даже в этом случае трудно понизить шансы «пло-
хого мальчика» на успешный подлог. В [19] мы дока-
зали, что справедлива следующая
Теорема 2. Пусть существуют М возможных сооб-
щений Хи . . ., Хм и N возможных ключей Ки • • •» Км.
Если сообщение и ключ выбраны случайным образом, то
при оптимальной стратегии «плохой мальчик» может
гарантировать себе вероятность успешного подлога не
меньше, чем
Доказательство теоремы использует методы теории
информации, и я не стану приводить его здесь. Воз-
можно, что, если система спроектирована плохо, веро-
ятность успешного подлога превысит 1/|/*ЛЛ Мы пока-
зали также, как следует спроектировать систему, чтобы
вероятность успеха «плохого мальчика» была в точности
равна 1/КЛЛ По теореме, это наилучшее из возможных
значений. (Для простоты предположим, что N — точ-
ный квадрат.)
В основе нашей конструкции лежит проективная
плоскость порядка р=К7У, о которой говорилось в
разд. 1 (рис. 24).
Напомним, что эта проективная плоскость содержит
р2+р+1 точек и р2+р+1 прямых. Выберем произвольно
одну из прямых и назовем ее экватором. Сообщениям X
соответствуют р+1 точек на экваторе, ключам К—
остальные р2 точек. Наконец, меткой 2=Ф(Х, /(),
подтверждающей подлинность сообщения, служит един-
ственная прямая, проходящая через X и К. Наше
устройство печатает координаты точки X и уравнение
прямой 2 на бумажной ленте.
Взглянем на нашу систему глазами «плохого маль-
чика». Он знает X и 2, но относительно К ему известно
лишь, что К — одна из остальных р точек прямой 2.
457
Если см хочет подменить X сообщением Х\ то ему
лучше всего выбрать один из р ключей случайным обра-
зом. Действительно, возможные ключи (точки прямой 7)
соответствуют меткам (прямым, заведомо проходящим
через X'). Таким образом, шансы «плохого мальчика»
на успех равны Мр—Х/Уы, как нами и утверждалось.
У^0^ ^^Ч^ Сообщения X -~
уг ° • с \^ точки на экваторе
/ \ ° ° \ ^
Экватор / \ о ° ^\
Ключи К ~ все остальные
точки
Рис. 24. Оптимальная система подтверждения подлинности сообще-
ний, основанная на использовании проективной плоскости порядка
р. Меткой 1=Ф(Х, К) служит уравнение прямой, проходящей че-
рз Л' к /;.
Наша конструкция представляет главным образом
теоретический интерес, так как требует огромного числа
ключей — даже больше, чем код одноразового поль-
зования, описанный в разд. За. Тем не менее приятно
иметь схему, надежность которой доказана теоретиче-
ски (в отличие от схем, описанных в разд. Зв и 5).
Следует подчеркнуть, что в рассматриваемой нами
теперь ситуации код одноразового действия бесполезен:
метка [см. уравнение (3)] была бы просто суммой со-
общения и ключа и «плохой мальчик», зная сообщения,
сразу установил бы ключ.
В работе 119] мы описали также другие схемы уста-
новления подлинности сообщений (основанные на ис-
пользовании проективных пространств и случайных
кодов), требующие меньшего количества ключей. Весь
наш анализ (и, в частности, доказательство теоремы 2)
осноЕан на допущении, что «плохому мальчику» раз-
решается проводить любые вычисления, какие он только
пожелает. Разумеется, на практике он всегда ограничен
размерами своего компьютера. Эго ограничение при-
водит к тому, что описанные в разд. 36 традиционные
схемы шифровки, например шифр «Люцифер», также
458
можно использовать в качестве датчика меток. Дей-
ствительно, эти схемы порождают зашифрованное со-
общение У, которое является сложной функцией со-
общения X и ключа К (рис. 25). Эта функция умыш-
ленно построена так, чтобы при заданных X, У и Ф
найти К было трудно. Такое решение проблемы намного
Ключ К
Сообщение X
Зашифровать
сообщение
У=ФЯ,Ю
Рис. 25
практичнее предложенного нами теоретического вари-
анта, использующего проективные плоскости, но стра-
дает одним недостатком: никому точно не известно,
насколько надежна такая схема.
Другое решение проблемы датчика меток может быть
получено с помощью функций с закрытыми дверями
(см. разд. 5е).
5. Криптосистемы с общественным ключом
5а. Односторонние функции
Предшественницей схем, с описанием которых мы
познакомимся в этом разделе, является простая и изящ-
ная односторонняя функция. Так принято называть
функцию /, отображающую двоичные последователь-
ности одной фиксированной длины (например, 100) на
двоичные последовательности какой-нибудь другой фик-
сированной длины (например, 120):
и не имеющую известной обратной функции. Иначе
говоря, если вам сообщают, что
/(Х) = 1010001. . .11011110,
то вы не можете восстановить значение X, даже если
вам известно, как вычислено значение /. Последнее
утверждение не вполне точно: теоретически X можно
459
найти, проверяя по очереди все возможные X до тех
пор, пока /(X) не совпадет с заданной последователь-
ностью. Однако по существу такой метод обращения
функции / неосуществим, так как проверять пришлось
бы слишком много различных X. Итак, мы можем ска-
зать, что / — односторонняя функция, если /(X) легко
вычисляется при любом X, в то время как ?~Х(У) не
поддается вычислению почти при всех V из области
значений функции /.
Односторонние функции заведомо существуют. В кал
честве примера можно привести одну из традиционных
шифровальных схем из разд. Зв (рис. 26).
Ключ = X
Вход-постоянная •
■ Выход У=/Ш
Рис. 26. Традиционная шифровальная схема (например, шифр «Лю-
цифер») действует как односторонняя функция. Обычно на вход по-
дается последовательность, равная произвольно выбранной посто-
янной, а аргумент X используется в качестве ключа. Создатели шиф-
ра принимают специальные меры, чтобы при заданной выходной по-
следовательности У найти X было невозможно.
Односторонние функции находят широкое приме-
нение в ЭВМ [9, 42]. Обычно «пользователи» вычисли-
тельных машин выбирают пароли, удостоверяющие их
личность при подключении к системе. Хранить эти
пароли в массиве данных самой ЭВМ опасно, так как
трудно обеспечить секретность. Вместо этого можно
взять одностороннюю функцию / и хранить в массиве
данных значения [ от паролей. Так как функция / не
допускает обращения, «плохой мальчик» не может
узнать пароль по этим данным. С другой стороны,
если кто-нибудь подключается к ЭВМ, то он вводит
свой пароль Р, компьютер вычисляет [(Р) и сравнивает
с последовательностями, хранящимися в массиве дан-
ных. Это простая и весьма надежная схема. (Чтобы
повысить ее надежность, пользователи должны избе-
гать коротких парольных слов, например английских
имен, так как короткие слова легче отгадать ...) ,
469
56. Функции с закрытыми дверями
Одностороннюю функцию по вполне понятным со-
ображениям невозможно использовать в качестве шиф-
ровального устройства, так как, хотя [(X) — надежно
зашифрованное сообщение X, никто (даже законный
получатель) не сможет восстановить X. Диффи и Хелл-
ман указали в [5] способ, позволяющий обойти эту труд-
ность с помощью так называемой функции с закрытыми
дверями. Такова, например, функция
Е : р*00 —>- рХ2°
имеющая обратную функцию
Д : /ГД20 _^ рХОО
где обе функции О и Е легко вычислимы. Узнать об-
ратную функцию по Е невозможно: до тех пор, пока
вам не сообщат, что функция, обратная Еу существует,
Е воспринимается как односторонняя функция. Функ-
цию Е можно использовать для шифровки, а обратную
функцию Б — для дешифровки, так как при всех X
из Я00
й(Е(Х)) = Х.
Кроме того, свойство закрытых дверей подразуме-
вает, что тот, кто знает, как кодировать, не обязательно
должен знать, как декодировать. Примеры функций
с закрытыми дверями приведены в разд. 5в — 5д.
Зная, как найти функции с закрытыми дверями, мы
можем построить схему, которую Диффи и Хеллман
назвали криптосистемой с общественным ключом. Пред-
положим, что существует группа людей, желающих
беседовать друг с другом конфиденциально. Каждый
член г группы выбирает функцию с закрытыми дверями
Ег, имеющую обратную функцию Б^. Функции Еу,
Е2, . . . перечисляются в общедоступном справочнике,
в то время как «свою» обратную функцию Ь^ каждый
хранит в тайне. Если член / группы желает послать
сообщение X члену / группы, он просто передает
У = Е;(Х)
по общественному каналу связи. Так как обратная
функция Юг известна только члену г группы, он может
461
вычислить
Д<(У)=0,(Е|(Х)) = Х
и прочитать сообщение. Так мы приходим к сети связи,
обеспечивающей секретность без использования ключей.
5в. Функции с закрытыми дверями,
основанные на простых числах
Райвест, Шамир и Адельман первыми нашли дей-
ствительно удовлетворительный способ построения функ-
ций с закрытыми дверями. Свой метод они сообщили
в работе [44], опубликованной в 1978 г., хотя Мар-
тин Гарднер изложил основы их построения в [17].
Поскольку ныне метод Райвеста — Шамира — Адель-
мана широко известен, мы ограничимся лишь кратким
описанием.
Выберем два больших простых числа р и? (напри-
мер, не менее чем 50-значные числа р и д) и число 5,
взаимно-простое с числами р—1 и д—1. Вычислим
г=рд и найдем I, такое, что
5/^1 (той (р-1).(д-1)). (4)
Предложенная тремя авторами шифровальная схема
выглядит следующим образом:
ШИФРОВАЛЬНАЯ СХЕМА
РАЙВЕСТ А - ШАМИРА — АД ЕЛЬМАНА
СООБЩИТЕ ВСЕМ ЖЕЛАЮЩИМ г И 5,
ХРАНИТЕ В ТАЙНЕ р% ц% (>
ШИФРОВКА:
Е (х) = х5 (пюс1 г) = у.
ДЕШИФРОВКА:
В (у) == у* (гпос1 г) = х.
То, что 0(у)=х3*=х> следует из (4) и элементарных
теоретико-числовых соображений. Е(х) считается функ-
цией с закрытыми дверями, так как единственный способ
найти Б при известных г и 5 состоит в том, чтобы раз-
ложить на простые множители число г и найти /?, д и,
следовательно, I, Но г — 100-значное число, и в настоя-
щее время нет эффективных методов, позволяющих
462
разлагать столь большие числа на простые мно;::ители.
Таким образом, основное достоинство схемы Райвеста —
Шамира — Адельмана обусловлено тем, что, хотя срав-
нительно легко находить большие простые числа 151],
практически невозможно разлагать очень большие числа
на простые множители ([25], [46]).
5г. Функции с закрытыми дверями,
основанные на задачах об укладке рюкзака
Вскоре после того как Райвест, Адельман и Шамир
нашли способ построения функции с закрытыми две-
рями, Меркле и Хеллман [38] открыли еще одно очень
простое семейство, основанное на так называемых зада-
чах об укладке рюкзака.
Прототипом любой задачи об укладке рюкзака слу-
жит следующая задача. Имеется рюкзак и груда пред-
метов, которые вы хотели бы захватить с собой, отправ-
ляясь в поход. Можете ли вы указать подмножество
предметов, которые заполнят рюкзак до отказа? Простая
числовая задача того же типа формулируется следующим
образом:
ПРОСТАЯ ЗАДАЧА ОБ УПАКОВКЕ РЮКЗАКА
МОЖНО ЛИ ПРЕДСТАВИТЬ ЧИСЛО 31 В ВИДЕ
СУММЫ НЕКОТОРЫХ ИЗ ЧИСЕЛ
{10, 17, 9, 12, 40, 60)?
ОТВЕТ: МОЖНО.
31=10+9+12.
Таким образом, число 31 представимо в виде суммы
первого, третьего и четвертого чисел из предъявленного
списка. Условимся записывать это сокращенно так:
31<->(1, 0, 1, 1, 0, 0).
Наоборот, если известна последовательность (1, 0, 1, 1,
0, 0), мы восстанавливаем число 31, суммируя первое,
третье и четвертое числа из нашего списка.
Таким образом мы можем использовать список чисел
как основу для примитивной шифровальной схемы
(рис. 27).
Некоторые числовые задачи об укладке рюкзака
решаются очень просто. Так обстоит дело, например, в
463
том случае, когда числа в списке являются степенями
двойки (или просто очень быстро возрастают).
ОЧЕНЬ ПРОСТАЯ ЗАДАЧА
ОБ УКЛАДКЕ РЮКЗАКА
ПРЕДСТАВИТЬ ЧИСЛО 19 В ВИДЕ СУММЫ
РАЗЛИЧНЫХ ЧИСЕЛ ИЗ СПИСКА
{1, 2, 4, 8, 16, 32}.
ОТВЕТ: 19=1+2+16, ИЛИ
19<->(1, 1, 0, 0, 1, 0).
По существу решение задачи сводится к представленикг
числа в двоичной системе счисления.
1 Зашиф-
1 ровать
31 |
Расшиф-
ровать
101100
Рис. 27. Примитивная шифровальная схема, в которой и отправите-
лю, и получателю известен список чисел [10, 17, 9, 12, 40, 60].
Но существуют и другие задачи, решить которые
чрезвычайно трудно. Предположим, например, что спи-
сок содержит сто 40-значных чисел аи . . ., аюо и у —
42-значное число :
ТРУДНАЯ ЗАДАЧА ОБ УКЛАДКЕ РЮКЗАКА
ДАНЫ ЧИСЛА [а1? а2, ..., аш], а« « Ю4в.
ПРЕДСТАВИТЬ ЧИСЛО у « 1042 В ВИДЕ
СУММЫ ЧИСЕЛ а{
у = а3+Я11-|-Л1Н-я20+
Если числа в списке выбраны случайным образом, то,
по-видимому, не представляется возможным определить,
какие из них дают в сумме уу так как для ответа на этот
вопрос необходимо перебрать 2100«1030 различных под-
множеств. Если бы мы воспользовались этим списком
чисел в системе связи, изображенной на рис. 27, то она
была бы надежной, но, к сожалению, законный полу-
чатель не смог бы восстановить переданное ему сооб-
щение.
Итак, нам необходима задача с закрытыми дверями
об упаковке рюкзака, которую мог бы легко решить
464
01 9
Л,
0« =*
Л$ ~
«♦ »
8 3 О
О 5 I
законный получатель, но для всех остальных она вы-
глядела бы неприступной. Меркле и Хеллман [38] пред-
ложили несколько методов построения таких задач.
Один из вариантов их мето-
дов независимо был открыт
Грэхэмом [23] и Шамиром [48].
Сначала мы составляем
легкую задачу об укладке
рюкзака, для чего выбираем
числа аь . . ., аюо, напри-
мер, содержащие в десятич-
ной записи степени двойки
(на рис. 28 представлен при-
мер из шести чисел).
На рис. 29 показано, ка-
ким образом эту легкую за-
дачу об укладке рюкзака Рис- 28. Шесть чисел аь ...
можно использовать для за- •••» а*> с°ДеРжащих в своих
« -. о о десятичных записях степени
шифровки сообщении. Разу- двойки. Эти степени можно
меется, такой шифр легко использовать в задаче об ук-
раскрыть — и в действитель- ладке рюкзака,
ности мы намереваемся ис-
пользовать легкую задачу об укладке рюкзака иначе.
Выберем два больших числа г и 5 так, чтобы суще-
ствовало число /, удовлетворяющее сравнению
2 0 2 0 6 1
7 8 0 4 0 9 0
3 5 0 8 0 4 9
2 4 16 0 13
3 3 3 2 0 7 8
\
Степени Столбец
двойки нулей
5^=1 (гтюс! г).
Сотрем числа а, умножив их на 5 и приведя произве-
дения по той г. Полученные числа
[Ьи ЬгУ . . ., &юо1, Ьг=Ш1 (той г)
будут казаться случайными числами из интервала от 0
да г—1, и всякий, кто не знает чисел /*, 5 и /, примет их
за очень трудную задачу об укладке рюкзака. Именно
эта задача и применяется при шифровке. Мы сохраняем
в тайне числа аи • • •» #юо, Л 5 и I, но сообщаем всем
желающим числа Ьи . . ., Ьш. Шифровальная схема
действует следующим образом:
16 № П36
405
ШИФРОВАЛЬНАЯ СХЕМА НА ОСНОВЕ ЗАДАЧИ
С ЗАКРЫТЫМИ ДВЕРЯМИ ОБ УКЛАДКЕ РЮКЗАКА
СООБЩАЕМ ВСЕМ ЖЕЛАЮЩИМ ЧИСЛА Ь19 Ь2, . ..9ЬМ.
ЗАШИФРОВЫВАЕМ ДВОИЧНОЕ СООБЩЕНИЕ
Х= (Л-!, Х2, . . • > #1©о)
В ВИДЕ ЧИСЛА
100
1 = 1
ДЛЯ ДЕШИФРОВКИ СОСТАВЛЯЕМ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
100 100
1=1 1-1
И, РЕШАЯ ЭТУ ЛЕГКУЮ ЗАДАЧУ ОБ УКЛАДКЕ
РЮКЗАКА, ПОЛУЧАЕМ хх, ..., х100.
Сообщение
1
0
1
0
1
1
Легкая задача
об укладке
рюкзака
«30105!
2 0 2 0 6 1
7 8 0 4 0 9 0
3 5 0 6 0 4 9
2 4 1 6 0 1 Э
3 3 3 2 0 7 8
Зашифрованное
сообщение
8 3 0 1051
7 8 0 4 0 9 0
2 4 16 0 13
3 3 3 2 0 7 8
2 18 5 3 2 3 2
Г
53—Ю30П в двоичной записи.
Это и есть сообщение!
Рис. 29. Числа из легкой задачи об укладке рюкзака (рис. 28} мож-
но было бы использовать для шифровальной схемы. Как и на рис 27,
зашифрованное сообщение образуется при сложении чисел из списка,
соответствующих единицам в сообщении. Дешифровка производится
немедленно: двоичное разложение центральной пары'цифр несть со-
общение!
466
Пример такой шифровальной схемы приведен на
рис. 30. Всякий, кто не знает г, 5 и /, сталкивается с
необычайно трудной задачей об укладке рюкзака, но
законный получатель легко восстанавливает сообщение.
Легкая задача
об укладке
Сообщение рюкзака
Трудная задача
об укладке
рюкзака
Зашифрованное
сообщение
5 15 8 6 2*67
11)43830 $
427531791
37(052641
-*
I В 3 2 8 В 5 794
Умножить на* Шифр
* = 324358647
и взять произведение по то&
г-735 786053315
Рис. 30. Легкая задача об укладке рюкзака (рис. 28) становится труд-
ной при умножении чисел на 5=324 358 647 и приведении произведе-
ний по то<1 г=786 053 315. Для дешифровки мы возьмем число
*=326 072 163, удовлетворяющее условию.5/= 1 (то*1 г). Зашифрован-
ное сообщение 1 832 885 704 умножаем на I (ло модулю г) и полу-
чаем 2! 853 232. Двоичная запись центральной пары цифр 53
(см. рис. 29) дает исходное сообщение.
5д. Функции с закрытыми дверями,
основанные на кодах Гоппа
Макэлис 137] построил семейство функций с закры-
тыми дверями, используя коды Гоппа (см. пример 3 из
разд. 1). Зададим два числа п=2т и *, выберем непри-
водимый многочлен О (г) степени I над полем Галуа
СР(2п) и составим проверочную матрицу Н соответст-
вующего кода Гоппа, исправляющего I ошибок. Зная #,
вычислим производящую матрицу кода, т. е. матрицу М
размером кхп, где к=п—т/, такую, что если х= (лть ...
. . .,'х*)— вектор сообщения, то соответствующее ко-
довое слово с= (си . . ., сп) определяется произведением
с=хМ (той 2).
16*
467
[Матрица М легко находится по матрице Я (см. [35],
гл. 1).] Основная идея состоит в том, чтобы стереть
матрицу М, выбрав случайную обратимую двоичную
матрицу 5 размером кхк и случайную матрицу пере:
становки Р размером пХп и составив новую произво-
дящую матрицу
М' = ЗМР.
Матрицу ЛГ сообщаем всем желающим, матрицы М, 5
и Р храним в тайне. Шифровальная схема имеет сле-
дующий вид:
ШИФРОВАЛЬНАЯ СХЕМА,
ИСПОЛЬЗУЮЩАЯ КОДЫ ГОППА
ШИФРУЕМ СООБЩЕНИЕ х, СОДЕРЖАЩЕЕ к БИТОВ,
В ВИДЕ ВЕКТОРА
ГДЕ г—СЛУЧАЙНЫЙ ВЕКТОР С I ЕДИНИЦАМИ,
ВЫБРАННЫЙ ОТПРАВИТЕЛЕМ.
ДЛЯ ДЕШИФРОВКИ ВЫЧИСЛЯЕМ
уР-*- = (х8)М+(гР-1).
ДЕКОДИРУЯ, КАК ОБЫЧНО, ПОЛУЧАЕМ *5 И,
СЛЕДОВАТЕЛЬНО, х.
Отправитель «маскирует» кодовое слово хМ\ изменяя
/ случайно выбранных битов. Так как код Гоппа может
исправить I ошибок, законный получатель может из-
бавиться от этого искажения, например, с помощью
процедуры исправления ошибок, описанной в ([35],
гл. 12). Но «плохой мальчик», не знающий матриц М, 8
или Р, должен попытаться раскрыть код, задаваемый
производящей матрицей М'. Это линейный код, очень
похожий на случайный. Считается, что раскрыть такие
коды очень трудно.
В качестве примера выберем /г= 1024=2ао и /=50.
Многочлен О (г) можно выбрать примерно 10149 спосо1
бами, для матриц 5 и Р выбор еще шире. Размерность
кода не меньше Л = 1024—10-50=524. Таким образом,
подслушивающий сталкивается с проблемой декоди-
рования кода длиной 1024, исправляющего 50 ошибок
и кажущегося случайным. Дальнейшие- подробности
приведены в [37].
46*
5е. Меченая почта
Некоторые из криптосистем с общественным ключом
позволяют пересылать меченую почту", т. е. отправи-
тель I может послать получателю / сообщение, зашифро-
ванное'так, что послать его мог только I. Это свойство
становится существенным, когда шифровальные схемы,
о которых идет речь, используются при пересылке
денег.
Чтобы мы могли переслать меченую почту, функции
Е1 и О/ с закрытыми дверями (см. разд. 56) должны
при всех X удовлетворять соотношениям
Е,(0,(Х)) = Х (5)
0,(Е,(Х)) = Х.
Этому условию удовлетворяют основанные на простых
числах схемы из разд. 5в. Тогда ь шифрует сообщение X
просто как
г=Е,(о1{Х))
и посылает его /, который может восстановить X, вы-
числив
Отправить это сообщение мог только *, так как только
ему известна функция О,. Следовательно, 2 — меченый
вариант сообщения X.
Функции с закрытыми дверями, удовлетворяющие
соотношению (5), можно использовать для решения
проблемы проверки подлинности сообщения, описанной
в разд. 4: сообщение X можно просто сопроводить меткой
О(Х), подтверждающей его подлинность. Все, кому
следует, знают функцию Е и могут удостовериться в
подлинности сообщения X, вычислив
Е(й(Х))=Х.
Но так как функцию й держат в тайне, «плохой мальчик»
не может найти метку 1>(Х'), которая подходила бы к
подмененному им сообщению X'.
Более подробные сведения о меченой почте даны в
[30, 44 и 45]. Статья Шамира, Райвеста и Адельмана
(47], помещенная в настоящем сборнике, посвящена
изящному применению этих идей к «покеру без карт».
469
5ж. Заключение
Были предложены и другие криптосистемы с общест-
венными ключами [26, 33]. Однако в каждой из этих
систем остается открытым важный вопрос:
НАСКОЛЬКО ОНА НАДЕЖНА?
Все эти системы кажутся надежными — но до сих пор
их надежность не доказана теоретически, и поэтому не
исключена возможность, что кому-нибудь удастся изо-
брести хитроумный метод, позволяющий раскрыть их.
Некоторые шаги в этом направлении были предприняты
применительно к схемам на основе простых чисел и
задач об укладке рюкзака, однако пока угроза не слиш-
ком серьезна (см. [28, 43, 48, 50]).
Хочу надеяться, что читателя заинтересовало это
введение в увлекательную и быстро развивающуюся
область. Мы убедились, что даже в самых неблагопри-
ятных условиях существуют хитроумные шифровальные
схемы, позволяющие сохранять тайну передаваемых
сообщений.
1. Саг1е1а1, А. В. апй НеИтап, М. Е. 1977. А по!е оп АД/упег'з ™1-
ге!ар сЬаппеК ШЕЕ Тгапз. 1п[о. ТНеогу 1Т—23: 387—390.
2. СоррегзтЙЬ, Э. апд Сгоззтап, Е. 1975. Оепега1огз 1ог сегЫп а1-
1егпа1т§ ^гоирз \у11Ь арр1ка1юпз 1о сгур1обгарпу. 81АМ ^.
АррШд. МаШ. 29 : 624—627.
3. Оа1а ЕпсгурИоп 31апс1аг1, Ре<1ега1 1пГогта1юп Ргосеззте $1ап-
с!агс1 РиЪИсаИоп Ыо. 46, Ыа1юпа1 Вигеаи о\ 51алс1агс1з, 1Л. 5.
Оер1. о! Соттегсе, Лапиагу 1977.
4. Оау]$, К. М. 1978. ТЬе Оа1а ЕпсгурМоп 51ал(1аг<1 т регзресНуе.
ШЕЕ СоттитсаНопв §осШу Мадагте, 16 (Г^оуетЪег): 5—9.
5. Б]Ше, \\\ ал с] НеПтал, М. Е. 1976. №чу <1]"гес1юлз ]'п сгур1о^га-
рЬу, ШЕЕ Тгапв. 1п[о. ТНеогу 1Т—22: 644—654,
6. —»— 1976. А сгШчие оНЬе ргорозес! Эа1а ЕпсгурЯоп 81апс1аг(1.
Сотт. АСМ 19: 164—165.
7. —»— 1977. ЕхпаизНуе апа1уз15 о! 1пе N^5 <Ша епсгурИоп з1ап-
с1агс1. Сотри1ег 10: (Липе) 74—84.
8. —»— 1979. Рл'уасу апё аи{пепИса1юп: ал 1п1гос1ис1юп 1осгур1о
вгарЬу. Ргос. ШЕЕ 76: 397—427.
9. Еуапз, А. Лг., Кап1гс№Й2, \У\, ЭД^зз, Е. 1974. А изег аи1пепИса-
1юл зспете по* ^шпп§ зесгесу т \Ъе сотргйег. Сотт. АСМ
17: 437—442.
10. Рак, V. 1979. Кереа1её изе о! сос!ез ауЫсЬ ёе1ес1 ёесер!]'оп. ШЕЕ
Тгапз. /л/о. ТНеогу 1Т—25: 233—234.
11. Ре1з1е1, Н. 1970. Сгур^гарЫс сосПп^ *ог (1а1а-Ъапк рпуасу,
Керог! РС—2827, Уогк(о>уп Не^Ъз, N. У.: 1ВМ №а!зоп КезеагсЬ
Сеп*ет.
470
12. —»— 1973. Сгур1о&тарНу апс1 сотри1ег рпуасу. 8с1еп11(1с Ате-
п'сап 228 (Мау): 15—23.
13. Ре1з1е1, Н., Ыо1г, XV. А. апс! 5гт1И, Л. Ь. 1971. Сгурсо^гарЫс
{есНглциез [ог тасНте 1о тасНте (1а1а соттитсаНопз. Керог1
РС-3663. Уогк1о\т Не^Мз, N. У.: 1ВМ \Уа'1зоп РезеагсН Сеп1ег.
14. —»— 1975. 5отесгур1о§[гарН1с {еспшяиез ГогтасЫпе-хо-тасЫпе
сЫа соттитсаиопз. Ргос. 1ЕЕЕ 63: 1545—1554.
15. Оатез, Н. Р. 1956. Сгур1оапа1уз1з. №^ Уогк: Ооуег.
16. СаПа^ег, Я. 1968. ЫогтаНоп ТНеогу апс! ЯеПаЫе Соттит-
саНоп. Ые\у Уогк: XVI 1еу; Галлагер Р. Дж. Теория информации
и надежная связь.— М.: Советское радио, 1974, 719 с.
17. Оагйпег, М. 1977. А пе\у кш§ оГ ЫрИег 1На1 \уои1с! 1аке гпМПопз
о! уеагз 1о Ъгеак, ЗшпИЦс Атепсап 237 (Аи§из1): 120—124.
18. СеНе, Р. К. 1967. Ап ореп 1е11ег 1о соттитсаИоп епетеегз.
Ргос. 1ЕЕЕ 55: 2173.
19. СПЬег*, Е. N.. МасМШатз, Р. Л. апс1 51оапе, N. Л. А. 1974.
Сойез шЫсН (1е1ес1 с!есер1юп. Ве11 5уз1. ТесН. Л. 53: 405—424.
(Рог а зечие1 1о Циз рарег зее геГегепсе [10]).
20. СНгёапзку, М. В. 1971. Эа1а рпуасу— Сгур1о1о§у апс! 1Не сот-
ри!ег а! 1Не 1ВМ ЦезеагсН. 1ВМ КезеагсН Керог1з 7: (N0. 4), 12
ра&ез.
21. —»— 1972. СгурЫо&у, 1Не сотри1ег апс! с1а1а рпуасу. Сотри1ег
апс! Аи1ота1юп 21 (АргЛ): 12—19.
22. Оо1отЬ, 5. \У. ее!., 1964. бфЫ Соттишса1юп5 шНН Зрасе Ар-
рПсаПопз. Еп§1едуооё СНГЬ, N. Л.: РгепИсе-НаП.
23. ОгаНат, К. I.. (личное сообщение).
24. Сгоззтап, Е. К. апё Тискегтап, В. 1977. Апа1уз1з оГ а Ре1з1е1-
Пке арНег \уеакепес! Ьу Нау<ш§ по го1а1т& кеу. Керог! КС—6375.
Уогк1о\уп Не1^Ыз: N. У.: 1ВМ \Уа1зоп КезеагсН Сеп1ег.
25. Сиу, Р. К. 1975. Но\у 1о Гас1ог а питЪег. Ргос. РШН МапИоЬа
СопГегепсе оп №тепса1 Ма1Н. рр. 49—89.
26. НеИтап, М. Е. 1978. Ап оуетечу оГ риЬИс кеу сгур1о^гарИу.
1ЕЕЕ СоттишсаНопз Зос(е(у Ма&агШ 16 (№уетЪег): 24—32.
27. —»— 1980. А сгур!апа1у!1С Ите-тетогу 1гас!еоГГ. 1ЕЕЕ Тгапз.
/л/о. ТНеогу. 1Т—26 (Ли1у).
28. Нег1ез1ат, Т. 1978. СгШса1 гетагкз оп зоте риЬНс-кеу сгур*озуз-
1етз. В1Т 18: 493—496.
29. Капп, О. 1967. ТНе СоскЬгеакегз. №\у Уогк: МасгшНап.
30. КоЬпГеЫег, Ь. М. 1978. Оп 1Не 31^па1иге геЫоскт^ ргоЫет т
риЪИс-кеу сгур1озу51ет5. Сотт. АСМ 21: 179.
31. Ьеип^-Уап-СНеопд. 5. К. 1977. Оп а зреаа! с1азз о? >у1ге1ар сНап-
пе1з. 1ЕЕЕ Тгапз. 1п}о. ТНеогу. /Г—23: 625—627.
32. Ьеип^-Уап-СНеоп^, 5. К. апс! НеИтап, М. Е. 1978. ТНе Саизгнап
^ге1ар спаппе1. 1ЕЕЕ Тгапз. 1п[о. ТНеогу /Г—24: 451—456.
33. Ьеип&-Уап-СНеоп&, 5. К. апс! Уасоп. О. V. А тегНос! гог рпуаге
соттитсаКоп оуег а риЬИс сНаппе1, ргерпп*.
34. Мак-Вильяме Ф., Слоэн Н. Дж. Теория кодов, исправляющих
ошибки.— М.: Связь, 1979.
35. —»— 1977. ТНе ТНеогу о! Еггог-СоггесИп& Содез. №\у Уогк:
Е1зеу1ег.
36. МсЕПесе, К. Л. 1977. ТНе ТНеогу ог ШогтаНоп апс! СосПп^.
КеасИп^, Мазз.: А<!сП50п-\Уе51еу.
37. —»— 1978. А риЬПс-кеу сгур1озу$1ет Ьазес! оп а!деЬга1с сосНпб
471
1Ьеогу. Беер Зрасе №1\уогк Рго^гезз Керог! 42—44. Разайепз:
Ле1 РгорЫзюп ЬаЪз (Лапизгу) рр. 114—116.
38. Мегк1е К. С. апё НеНгаап, М. Е. 1978. НЫт^ тГогтаИоп ап<1
81&па1игез т 1гарёоог кпзрзаскз. 1ЕЕЕ Тгапз 1п}о. ТНесгу 1Т—24:
525-530.
39. Меуег С. Н. апё ТисЬтзп, \У. Ь. 1972. Рзеис1огап(1от соске сап
Ье сгаскес!. Е1ес1готс Везщп 20 (ЫоуетЪег 9): 74—76.
40. Могпз, К. 1978. ТЬе Оа1а Епсгур1юп 51апс1агё — ге1гозреспуе
апс1 ргозрес1з. 1ЕЕЕ СоттипкаИопз 8оае(у Ма^агте 16 (N0-
уетЪег): 11 —14.
41. Могпз, К., 51оапсе, N. Л. А. апс! АУупег А. О. 1977. Аззеззтеп!
о* 1Ье N31101131 Вигези о\ 51зпс1згс15 Ргорозеё Рес1ега1 Ба1а
Епсгур1юп 51ап(1згй. СгурШо&а 1: 281—306.
42. Ригёу, О. В. 1974. А Ыф\ зесигИу 1о&-т ргосеёиге. Соттипка-
Иопв АСМ 17: 442—445.
43. Юуез!, Р. Ь. 1978. Нетзгкз оп а ргорозес! сгур1апа1у11с аНаск
оп 1Ье М. I. Т. риЬНс-кеу сгур1озуз1ет. СгурШо&а 2: 62—65.
44. К1уез1 К. Ь., ЗЬзтгтг, А. зп(1 Аёе1тап, Ь. М. 1978. А тет.Ьсс!
{ог оМатт^ <11бйз1 З12пз1игез зпё риЬПс-кеу сгур1о$уз1етз.
Сотт. АСМ 21: 120—126.
45. 5Ьзгшг А. 1978. А *зз1 51§пз1иге зсЬете. Нерог! ТМ—107. ЬаЬо-
гз1огу 1ог Сотри1ег Заепсе, М. I. Т.
46. —»— 1979. Рзс1опп& питЪегз т 0 (1о§ п) агИЬтеМс з1ерз. 1п[о,
Ргосевзт^ ЬеИегз 8: 28—31.
47. Шамир А., Райвест Л. Р., Адельман Л. М. Покер без карт.—
Настоящий сборник, с. 58—66.
48. Зпагтпг, А. ап<1 21рре1, Н. Е. 1980. Оп Ше зесигйу о! 1Ье МегЦе-
НеНтап сгур1о§гзрЫс зсЬете. 1ЕЕЕ Тгапз. 1п/о. Ткеогу 1Т-26
(Мзу).
49. ЗЬзппоп, С. Е. 1949. СоттитсзИоп 1Ьеогу о! зесгесу зуз1етз.
Бе11 ~8уз1. Тесп. Л 28: 656—715; Шеннон К. Э. Работы по теории
информации и кибернетики. М.: ИЛ, 1963, 829 с.
50. 51ттопз, О. Л. зп<1 ^гпз, М. Л. 1977. РгеМгшпзгу соттеп!з оп
1Ье М. I. Т. риЬПс-кеу сгур1озуз1ет. СгурШо&а 1: 406—414.
51. 5тйЬ, Л. \^. 1971. ТЬе скз^п о} ЬисИег, а сгурк^гзрЫс (1еу1се
!ог ёа!з соттитсзМопз. Керог* КС-3326. Уогк1о>уп Не^Мз,
N. V.: 1ВМ \Уз1зоп КезеагсЬ Сеп(ег.
52. 5о1оуау, К. апё 51га5зеп, V. 1977. А /аз* Моп1е-Саг1о 1е$1 Гог рп-
таШу. 81АМ /. СотриПп^ 6: 84—85 апё 7 (1978): 18.
53. 5и&агтзп, К. е1. з1., 1979. Оп (оНт&сотри1ег спте. 1ЕЕЕ Зрес-
1гит 16 (Ли1у): 31—41.
54. Уегпзт, О. 5. 1926. Слрпег рппИп^ 1е1е§гарЬ зузктз !ог зесге!
\У1ге апс1 гзсНо 1е1е&гзрЫс соттитсзиопз. /. А1ЕЕ 45: 109—115;
55. Уегпез!, Е. зпё НеИтзп, М. Е. 1979. Сопуо1и1юпа1 епсосПп^
\ох \Уупег'з >У1ге1гар сЬаппе!. ШЕЕ Тгапз. 1п]о. Ткеогу, 1Т—25:
234—237.
56. \Уупег, А. Б. 1975. ТЬе >у1ге-1ар сЬаппе!. Ве11 8уз1. ТесН. 7, .54:
1355—1387
57. Уиуа1, С. 1979. Но>у 1о з^1П(11е КзЫп. СгурШо&а 3: 187—189
Приложение
Настоящая книга представляет собой сборник статей, довольно
резко отличающихся друг от друга по темам, характеру изложения и
уровню сложности; даже сама группировка их по шести главам (раз-
делам: «Игры», «Геометрия» и т. д.) в значительной степени условна.
Чтобы помочь читателю правильно сориентироваться в этой книге
и облегчить понимание рассматриваемых в ней проблем, мы сочли
необходимым дополнить книгу приложением, которое имеет характер
краткого комментария как к главам в целом, так и к отдельным
статьям. В приложение включен также список литературы, ориен-
тированный на советского читателя, поскольку авторские библио-.
графические указатели к отдельным статьям сборника рассчитаны
преимущественно на зарубежного (главным образом — англоязыч-
но.гр) читателя.
1. Игры
Совершенно естественно, что в сборнике, посвященном Мартину'
Гарднеру, создателю и редактору рубрики «Математические-игры»
журнала 5с1еп1Шс Атепсап, первым идет раздел «Игры». Математи-
ческие игры — точнее, математические теории тех или иных игр —
традиционно занимали и занимают очень большое место во всех кни-
гах по математическим развлечениям; весьма велик их вес и в назван-'
ных-в предисловии сборниках Гарднера. В научно-популярной лите-
ратуре на русском языке тема математических игр всегда занимала
значительное место (см. [1, 2] в списке литературы, а также широко-
известные книги Я. И. Перельмана. (В дореволюционной литературе
эта тема затрагивалась, например, в некогда весьма популярной
многотомной «Физико-математической хрестоматии» А. А. Лямина.)
Неоднократно обращался к теме о математических играх и наш
физико-математический журнал для школьников «Квант».
Разного рода игры с математическим содержанием (или с содер-
жанием, которое можно облечь в математическую форму — а это
возможно сделать почти для каждой игры1) издавна пользовались
широкой популярностью. Хорошо известно массовое увлечение при-
думанной Сэмом Лойдом «игрой в пятнадцать» 1, возникшее на рубе-
же прошлого и нынешнего столетий во многих странах мира, в том
числе в Германии и США. Сегодня во многих странах Запада чрезвы-
чайно популярна игра в так называемый «венгерский кубик» (которой
посвящена огромная литература; см., например, [3]), придуманная
будапештским архитектором и педагогом Эрнё Рубиком. Имеющие
сбвсем иной характер азартные игры (в карты, в кости и т. д.), как
1 См. задачу 21 из названного в предисловии сборника С. Лойда
[10]. (Специально этой игре посвящена книга Ковалевского [1]; мно-
го места уделено ей н в книгах Доморяда [2] и Еленьского [2].)
473
известно, послужили той «прикладной» базой, на которой в XVI—
XVII вв. развилась математическая теория вероятностей (в трудах
Дж. Кардано, П. Ферма, Б. Паскаля, X. Гюйгенса и др.). Наконец,
такие игры, как шашки или шахматы, в известной мере явились мо-
делями для разработки общей теории игр.
Последняя фраза имеет в виду явственный рубеж между двумя
этапами математической разработки учения об играх, который на-
метился в середине XX в. Как известно, в XVII—XIX вв. (да и в пер-
вой половине нашего столетия) главными «потребителями» математи-
ки являлись астрономия, физика и техника; при этом основу исполь-
зуемого математического аппарата составляли математический ана-
лиз (дифференциальное и интегральное исчисление) и теория диффе-
ренциальных уравнений. Однако вторая половина нашего столетия
ознаменовалась (что, безусловно, связано с созданием ЭВМ) колос-
сальной математической «экспансией» — вторжением математики в
совершенно новые отрасли науки и интеллектуальной деятельности,
ранее чуждавшиеся математики. При этом «математизированные» гу-
манитарные и социальные науки потребовали совсем нового матема-
тического аппарата, новых постановок задач и методов их решения —
и одним из центральных направлений «новой» математики, широко
используемым в экономике и военном деле, теории управления и пси-
хологии, социологии и биологических дисциплинах, явилась мате-
матическая теория игр. Эта теория позволила разработать методы
для изучения всякого рода конфликтных ситуаций в самом широком
понимании этого термина.
Создание теории игр обычно датируют 1928 г., когда была опуб-
ликована (воспроизведенная в сборнике [7]) статья выдающегося
математика Джона фон Неймана. Однако в то время прикладное зна-
чение теории игр еще не могло быть оценено — и статья Неймана ос-
талась тогда незамеченной. Поэтому справедливее, пожалуй, относить
создание теории игр к 1943 г., когда вышла в свет обстоятельная моно-
графия Неймана и экономиста О. Моргенштерна [6], ориентирован-
ная в первую очередь на приложения теории игр к экономике и со-
циальным наукам. С этого момента рост литературы по теории игр
принял поистине лавинообразный характер. Это вполне соответство-
вало как выдающемуся прикладному значению этой области знаний,
сразу занявшей почти ведущее место во всей «новой математике», по-
рожденной современным научно-техническим прогрессом, так и ес-
тественному интересу к «интеллектуальным играм» типа шахмат как к
определенной модели умственной деятельности человека 1. В этой
литературе (см., например, [4,5]) была отработана, в частнос-
ти, вся основная терминология теории игр: игры с полной информа-
цией, в которых каждая сторона в каждый момент игры полностью
знакома с «игровой ситуацией» (пример — шахматы), и с неполной
информацией (пример — карты); симметричные, или беспристраст-
ные, игры, в которых в каждой позиции игровые возможности обеих
1 Именно последнее обстоятельство определило то огромное
внимание, которое уделяется ныне в разных странах мира, каза-
лось бы, бесполезной задаче обучения ЭВМ игре в шахматы. С этим
связан известный афоризм московского математика А. С. Крон-
рода: «Все так называемые серьезные задачи — это детские
игры. Детские игры — вот единственно серьезные задачи!».
474
сторо.н полностью совпадают, и несимметричные, пристрастные;
вероятностные игры, в которых то или иное место отводится случаю
(пример — карты или кости), и динамические игры, подобные шаш-
кам или шахматам, исключающие роль случая; безобидные игры
с равными шансами у обеих партнеров и небезобидные игры; понятия
стратегии (общего плана игры), цены игры и т. д. В настоящей кни-
ге эта терминология, как и содержание математической теории игр,
в основном используется достаточно экономно. Заметим, кстати, что
кроме статей гл. 1 теоретико:игровую форму имеет также и статья 5.5.
В современной теории игр широко используется также связь этой
тематики с теорией графов (см., например, [8], а также статью 6.1 и
литературу к ней), находящая отражение в отдельных статьях сбор-
ника, например в статьях 1.2 и 1.7. Предположим, чте рассматривае-
мая игра имеет конечный набор МХх М2, . . . . , Мп «игровых позиций»
и что она симметрична в том смысле, что в любой позиции каждый из
играющих имеет возможность сделать одни и те же ходы. В таком слу-
чае мы можем, отметив на плоскости п точек Л1ь УИ2, . . ., Мп, соеди-
нить каждую точку М{ (где *=1, 2, . . ., п) со всеми позициями Му, в
которые можно перейти из позиции М{ одним ходом. Тем самым мы
сопоставим нашей игре граф с п вершинами Мъ М2, . . ., Мп
и ребрами М{ М]. При этом на ребрах (линиях, соединяющих точ-
ки М; и М/ стрелкой) указывается направление возможного перехода
(в нашем случае стрелка должна, указывать направление от вершины
М( к вершине М^), т. е. мы будем иметь так называемый ориентиро-
ванный граф (в котором всем ребрам приписывается определенное
направление, или ориентация). Саму же игру теперь можно описать
как осуществляемое последовательно двумя игроками «странствие»
по вершинам графа, где возможными «путями» служат ребра графа;
при этом мы начинаем с точки М1% отвечающей начальной позиции,
и победителем считается тот, кто раньше достигнет одной или не-
скольких «финишных» вершин, графа, отвечающих выигрышу.
. К теме об играх непосредственно относятся статьи 1.1—1.4 и
1.6—1.7 и имеющая теоретико-игровую форму, статья 5.5. Напротив,
статья 1.5, .хотя ее содержание и описывается в терминах некоторой
условной «игры», по существу гораздо ближе к теоретико-информа-
ционным проблемам,.затронутым в последней статье сборника, чем
к собственно теории игр. Отметим еще, что статьи главы «Игры», как
и все другие статьи сборника, отличаются разной степенью труднос-
ти, причем самыми простыми из них, пожалуй, являются статьи 1.6
и 1.7 (и имеющая иной характер краткая заметка 1.3), а наиболее
трудны, вероятно, статьи 1.1 и 1.5.
1.1. Сыграем в тупинэ? Эта содержательная и яркая, но отнюдь
не простая статья настолько существенно связана с известной игрой
ним (см., например, книги Аренса [1], Доморяда и Игнатьева [2), а
также [9]), что здесь, возможно, следует рассказать об этой игре. Одна
из возможных (и распространенных) формулировок условий игры ним
такова. Б трех кучках лежат по нескольку (любое число!) камешков
или фишек. Каждый из двух играющих своим.ходом имеет право взять
любое число, фишек из одной — но только из одной — кучки. Выиграв-
шим считается тот, кто заберет последнюю фишку. Теория игры ним
сводится к записи трех чисел а,,Ь не числа .фишек в каждой из трех
кучек в двоичной системе счисления, т. е. в виде а=атат^г. . . одц»
^=ьтьт-1 • • • Мо и с=стст_!.... схсъ где, например,
475
атат-1 . . . а1а0=ао+а1.~2+ . . . Ч ат _ 1 -2т~:1+ал-2«, все числа я,-,
Ь/ИСь равны 0 или 1 и хотя бы одна из трех «цифр» ат, Ьт и ст рав-
на 1. При этом позиция является выигрышной для начинающего, если
хотя бы одна«ним-сумма» а/+6/+с/ (где /=0, 1,2,..., т, см. с. 13) рав-
на 1", и проигрышной, если все эти «ним-суммы» равны 0. Если позиция
является выигрышной в этом смысле, то начинающий всегда может
своим ходом сделать позицию проигрышной (почему?); после этого
второй игрок снова неизбежно сделает позицию выигрышной для
начинающего и т. д. [Другие варианты теории игры ним, исполь-
зующие не двоичные, а четверичные, восьмеричные и т. д. представ-
ления чисел а, Ь, и с (количество этих чисел может быть любым),
намечены в примечании к решению задачи 128 книги [91.1
Доказательство формулы (4) статьи имеется во всех книгах и
статьях о числах Фибоначчи (см., например, разд. Б, гл. 14 книги
Кордемского [2], или брошюру [10]).
В известном смысле еще более близкой (чем игра ним) к игре ту-
пинз является старинная китайская народная игра цзяньшицзы
(в переводе — выбирание камней), в американской'и западноевропей-
ской литературе обычно именуемая игрой Витгофа — по имени гол-
ландского математика, указавшего в 1907 г. этот вариант популярной
в_Европе игры ним, не зная о китайском происхождении обеих игр:
и ним, и цзяньшицзы. Эта игра, как и игра тупинз, тесно связана с
числами Фибоначчи. (По поводу теории игры цзяньшицзы см., на-
пример, § 10 книги Доморяда [21, книгу Кордемского [2], а также [91
и [И]. Обобщения этой игры рассматриваются в статьях [12].)
1.3. Несколько замечаний по поводу одной задачи из игры в гекс.
Эта замётка тесно связана с указанным в ее начале отрывком 'из
книги Гарднера (см. подстрочное примечание на с. 41). Фигури-
рующая в конце статьи теорема Кёнига о двудольных графах имеется
во многих книгах по теории графов (см., например, с. 32 книги Ф. Ха-
рари [61, названной на с. 431). (Граф называется двудольным, если,все
его вершины можно разбить на две такие непересекающиеся части,
что каждое ребро соединяет вершину из 1-й части с вершиной из 2-й
части; теорема Кёнига дает условие двудольности графа. Австриец
Д. Кёниг является автором первой книги по теории графов, вышед-
шей в свет еще в 1936 г.; полтора десятка лет эта книга оставалась
единственной по данной тематике.) Ряд шахматных головоломок,
ключом к решению которых является теория графов, собран в
книсе [13].
1.5. Покер без карт. Разумеется, чтение этой статьи предпола-
гает хотя бы приблизительное знание условий игры в покер. Сущ-
ность этой карточной игры состоит в том, что каждый из играющих
получает по 5 карт; до начала «существенной» части игры, когда каж-
дый игрок ставит определенную сумму на свои карты, играющие могут
по определенным правилам меняться картами или «прикупать» карты
из колоды. Далее идет «торговля», т. е. назначение ставок; затем карты
раскрываются и выигравшим объявляется тот, у кого на руках имеет-
ся более «сильная» комбинация карт. Примеры учитываемых в игре в
покер комбинаций карт («каре» — 4 карты одного «значения»;
«флеш» — 5 карт одной масти; «стрит» — 5 последовательных карт,
не'обязательно одной масти и т. д.) и вероятности этих комбинаций
(чем комбинация менее вероятна, тем, как правило, она сильнее) пере-
476
числены, например, в книге [5] (упр. 11, § 3, гл. IV); при этом надо
еще иметь в виду, что одноименные комбинации также разнятся по
силе в зависимости от участвующих в них карт (например, каре ко-
ролей сильнее, чем каре дам или валетов и т. д.). Игра «покер» под-
робно обсуждается в классической книге [61; схематизированному,
«упрощенному» покеру посвящен § 9, гл. VI книги [5].
Мы уже говорили, что настоящая статья по тематике ближе к
гл. 6 (в частности, к статье 6.3), чем к другим статьям об играх. По-
нимание этой статьи может несколько облегчить частичное ознакомле-
ние с «общими» разделами названной в связи\хГстатьей 6.3 в [57) (§ 3,
гл. III; § 1 и 2, гл. IV, а также конец § 4 и начало § 5 той же главы).
Относительно используемых в статье сравнений (запись Р=ф (тос1 п)
читается: «Р сравнимо с <2 по модулю /г» — см. любой курс теории
чисел, скажем [141. Здесь же (§ 5, гл. II первой из книг, гл. 10 —
второй, § 23 — третьей) выводится формула для фигурирующей в
статье теоретико-числовой функции Эйлера ф(я) — числа натураль-
ных чисел, меньших данного натурального числа п и взаимно-прос-
тых с ним,— и доказываются ее свойства (вывод формулы для чис-
ла ср(л) составляет также содержание задачи 12 § 1 разд. I книги [91).
1.6. Дешево, дорого или по сходной цене? Как мы уже указывали,
это единственная статья сборника, по своей проблематике непосред-
ственно связанная с математической теорией игр; поэтому для ее по-
нимания полезно ознакомиться с теми или иными из книг и статей
[41 (самые простые из них — брошюра Венцель и книги Вильямса
и Кофмана — Фора) или [5]. Существенную роль в этой статье играет
также понятие вероятности и связанные с ним понятия, например
понятие среднего значения случайной величины; с этими понятиями
можно познакомиться в книгах [5] (гл. IV), [9] (§7, разд.1) или [15].
1.7. Задача об одной игре в «классы?, имеющей случайный харак-
тер, или как сделать, чтобы Джонни больше читал. Рассматриваемая
здесь «игра», как и в случае ситуации, проанализированной в статье
1.6, имеет «случайный» (вероятностный) характер; поэтому здесь
также полезны первоначальные знания в области теории вероятнос-
тей, которые можно получить из источников, указанных в коммен-
тариях к статье 1.6. Однако здесь, по существу, мы встречаемся с
понятием вероятностного (случайного) процесса; эти процессы иссле-
дованы в книгах [161; наряду с ними читателю можно порекомендо-
вать ознакомиться с заключительными параграфами гл. IV книги
[5] (а также с рядом тем из гл. VII той же книги). В связи с возни-
кающими в этой статье рекуррентными методами вычисления
вероятностей полезно обратиться к брошюре Маркушевича [10].
2. Геометрия
Сравнительно небольшая по объему и небогатая по содержанию
гл. 2 сборника отражает определенный кризис, который переживает
ныне геометрия: из шести статей этого раздела лишь две последние
можно отнести к области столь популярной в XIX в. элементарной
геометрии, тогда как четыре остальные статьи относятся к более
современным ее разделам, порожденным тем, что можно было бы на-
звать «математическим мышлением второй половины XX в.». Осо-
бенно поучительно сравнение этой главы с гораздо более цельными
по содержанию и объемными главами 3 и 4, относящимися к теме, ко-
477
торую можно было бы охарактеризовать как «элементарную геомет-
рию 2-й половины XX в.» (см. начало комментария к этим главам, а
также книгу и статью [37]).
2.1. Венки из касающихся кругов. Эта статья связана с темой о
геометрических оценках и задачах оптимизации в геометрии (ср.
книги [17]), интерес к которой порожден огромной ролью оптимиза-
ционных проблем в современной чистой и (особенно!) прикладной
математике; частично эта тема примыкает также к тематике брошюры
118], относящейся к так называемой комбинаторной геометрии (см.
комментарии к статьям гл. 3 и 4). Еще одно направление, с которым
соприкасается тема настоящей статьи,— вопрос о пифагоровых тре-
угольниках, т. е. прямоугольных треугольниках, катеты а, Ь и гипоте-
нуза с которых выражается целыми числами, и вообще вопрос о так
называемых диофантовых уравнениях, т. е. уравнениях с нескольки-
ми неизвестными, для которых требуется отыскать целочисленные их
решения (в случае пифагоровых треугольников речь идет об уравне-
нии а2-\-Ь*=с*, где а, Ь, с — неизвестные). Общее решение «пифаго-
рова уравнения» а}-\-Ьг=сг в целых числах дается формулами
а=2ктп, Ь=к(т2—пг), с=к{т2+п2), где к, т, п — натуральные
числа, тип — взаимно-простые числа, и естественно считать, что
т>пи что одно из этих чисел четное, а второе — нечетное. Приведен-
ные формулы (неосновательно) приписываются Платону, хотя их
наверняка знали еще пифагорейцы (а может быть, и древние вави-
лоняне, поскольку среди дошедших до нас их письменных памят-
ников имеется клинописная глиняная табличка со списком первых
«пифагоровых троек» чисел). Вывод формул для троек пифагоровых
чисел можно найти, например, в книге [19], трактующей эту тему
исключительно широко.
2.2. Как вывернуть велосипедную камеру? Эта статья касается
топологии (см. о ней книги и статьи 120]), которая в наши дни приоб-
рела статут одной из важнейших математических дисциплин и даже в
известной мере потеснила свою «старшую сестру» — геометрию. По
поводу конкретной задачи, рассмотренной в данной статье, см., на-
пример, [21].
2.3. Изгибаемые поверхности. Настоящая статья относится к
переживающей ныне новый расцвет древней теме — теории много-
гранников (см. в первую очередь статью [22], вторые части учебников
[23] и задачник [24]; на более подготовленного читателя рассчитана
книга [25]). Эта тема интересовала в свое время древнегреческих
мудрецов (ведь недаром правильные многогранники мы по сей день
называем Платоновыми телами!), и великого И. Кеплера, но наиболь-
ший вклад в нее внесли ученые XIX — начала X X вв.: француз О. Ко-
ши и немецкие математики Г. Минковский и Е. Штейниц. Первым
предвестником нового расцвета теории многогранников в нашем веке
по праву можно считать работы А. Д. Александрова и его школы,
подытоженные в монографии [25], являющиеся продолжением, разви-
тием, а иногда и завершением классических результатов геомет-
ров XIX — начала XX вв. В то же время Б. Грюнбаум, Г. Шепард
{см. сказанное ниже об авторах настоящего сборника) и их коллега
В. Кли начали здесь в некотором смысле новую главу.
Статья Коннели посвящена результату, полученному им в 1977 г.
478
(и опубликованному в 1978 г.— см. 126]), который вызвал подлинную
^сенсацию, о чем свидетельствует хотя бы тот факт, что к числу уче-
ных, продолживших исследования Коннели, относятся столь авто-
ритетные математики, как голландец Николаас Кёйпер, возглавив-
ший Институт высших исследований под Парижем (своего рода евро-
пейский аналог знаменитого американского Института перспектив-
ных исследований в Принстоне), и более молодой Пьер Дел инь —
один из самых известных французских ученых младшего поко-
ления. Дело в том, что после появления упоминаемой в тексте теоре-
мы Коши (доказательства которой имеются в статье [22], рассчитан-
ных на школьников книгах Адамара [23] и [24], а также в моногра-
фии [25], вполне доступной и наиболее способным учащимся) боль-
шинство геометров были твердо уверены, что и для невыпуклых мно-
гогранников (не самопересекающихся) имеет место аналог теоремы
Коши, который неизбежно будет рано или поздно доказан. Таким об-
разом «многогранники Коннели» явились для всех полным сюрпри-
зом. В нашей научно-популярной литературе результатам Коннели
посвящена обстоятельная статья [27]. По поводу ссылки автора на
Гарднера в конце его статьи см. также научно-популярную брошюру
Болтянского [28], примыкающую по теме к более серьезному сочи-
нению того же автора, которое указано в статье Р. Коннели.
2.4. Как сажать деревья? Несколько неожиданным результатом
современного расцвета «конечной» математики (сгязанного с разви-
тием ЭВМ), не имеющей дела с непрерывными функциями и предель-
ными переходами, явился повышенный интерес к так называемым ко-
нечным геометриям, содержащим конечное число.точек и прямых,
где, однако (как правило!) считают, что через каждые две точки про-
ходит единственная прямая. Теории таких геометрий сегодня посвя-
щено множество книг и статей (см., например, [29]), и она уже на-
шла серьезные практические применения. Другое новое направление
геометрии, порожденное теми же общими тенденциями, составляет
так называемая теория расположений (прямых или кривых) линий
на плоскости и ее стереометрические аналоги. Обе эти ветви
геометрии (конечные геометрии и теорию расположений) на Западе
часто называют комбинаторной геометрией, тогда как у нас этот
термин (который употребляется и в статье [2.4]) имеет другой
смысл.
Теория расположений точек и прямых считает своим родона-
чальником знаменитого Джеймса Сильвестра — одного из видней-
ших английских математиков XIX в.., который много лет работал в
США в университете Джона Гопкииса. От Сильвестра идет знаме-
нитая задача о таком расположении конечного числа точек на плос-
кости, что каждой прямой, соединяющей две из этих точек, принад-
лежит еще хотя бы одна из них (все эти точки должны принадлежать
одной прямой, чего Сильвестру доказать не удалось,— см. задачу
106 книги [9]). От также упоминаемых в статье Л. Келли и У. Мозе-
ра идет, как будто, задача оценки наименьшего возможного числа Мр)
различных прямых среди прямых, соединяющих р точек плоскости,
не принадлежащих одной прямой (доказано, что Ь(р)^р при р^З;
см. задачу 107 книги [9]). Но истинным создателем теории располо-
жений линий, видимо, следует считать Б. Грюнбаума: этой теме по-
священа гл. ]8 его книги «Сопуех Рогу1оре$» (см. с. 490), а также
книга [3} в литературе к статье 2.4).
т
Знания проективной геометрии, желательные для понимания
статьи 2.4, заметно меньше тех, которые можно почерпнуть из книги
Куранта и Роббинса [20], из простых книг и статьи [30] или из на-
званной на с. 267 книги Коксетера [3].
2.5. Нарежьте потоньше. Знаменитый трактат Б. Кавальери
[31] переведен и на русский язык. Формула (1) (с. 139) известна всем
изучавшим интегральное исчисление как формула Симпсона; элемен-
тарный вывод ее для так называемых призматоидов, включающих
все тела, названные автором статьи, имеется, например, в книге [32].
2.6. Как Папп доказал свою теорему? Последний великий гре-
ческий математик Папп жил и работал в Александрии в начале IV в.
Его «Математическое собрание» имеет в основном характер коммен-
тариев и дополнений к более ранним текстам. Выяснить, что именно
сделал Папп самостоятельно, в настоящее время невозможно: к услу-
гам Паппа была великолепная Александрийская библиотека. По
поводу упоминаемых в тексте теорем Архимеда об арбелосе см. [I]
(с. 363—365, в списке литературы к статье 6.1). Свойства инверсии, ис-
пользуемые в современном доказательстве теоремы Паппа, описыва-
ются, например, в первых частях книг [23]; в книге Яглом [30]; в
книгах [33]; по поводу доказательства этой теоремы (и родственных
ей предложений) см., например, Яглом [30] (задачи 224—227 и 399)
или книгу Адамара [23] (ч.1, задача 399).
3. Мозаики на плоскости
4. Мозаики в пространстве
Выше в связи со статьей 2.4 мы уже касались своеобразных из-
менений, происшедших в геометрии во второй половине XX в. и вы-
разившихся во взрывоподобном росте интереса к ее разделам, свя-
занным с «конечной математикой» наших дней. Здесь, пожалуй, в
первую очередь надо назвать расцвет так называемой дискретной
геометрии (см. [34]), созданной во 2-й половине XIX в. в связи с
попытками нащупать геометрические подходы к теоретико-числовым
проблемам (возникновение геометрической теории чисел связывают с
именами немецкого математика Г. Минковского, русского Г. Ф. Воро-
ного и норвежца А. Туэ), а также создание комбинаторной геометрии
(см. [35, 36, 18] и вторую из книг [17]), анализирующей оптимиза-
ционные задачи, связанные с конфигурациями из конечного числа
точек или фигур (чаще всего выпуклых). Обсуждению причин рас-
цвета дискретной и комбинаторной геометрии посвящены брошюра и
статья [37]; см. также предисловие и послесловие к книгам [38, 39],
входящим в серию книг по занимательной математике.
Под дискретной геометрией, сегодня имеющей уже серьезные
практические применения, в наши дни обычно понимают совокуп-
ность задач, порожденных тремя проблемами: проблемой (возможно
более плотного) заполнения (укладки, упаковки) плоскости, простран-
ства или их части (неперекрывающимися) фигурами из данного набо-
ра фигур; проблемой (возможно более «разреженного») покрытия
плоскости, пространства или их части; проблемой разбиения (или
мозаики, как мы переводим здесь английский термин Шт§ — чере-
480
пичное покрытие), которое одновременно является и упаковкой, и
покрытием. Заметим еще, что в дискретной геометрии большую роль
играет различие между решетчатыми и нерешетчатыми упаковками,
покрытиями и разбиениями, где решетчатым называется располо-
жение фигур, которое может быть переведено само в себя движениями
из (по возможности достаточно богатой) совокупности (группы)
движений. Читатели сами без труда установят, какие из рассматри-
ваемых в статьях гл. 3—4 мозаики являются решетчатыми, а какие
не являются таковыми.
3.2. Разбиения на равносторонние треугольники. Тематика этой
статьи тесно связана с содержанием книги [36], посвященной разбие-
ниям прямоугольников и квадратов на попарно неравные квадраты, и
можно только удивляться тому потоку исследований, который по-
священ этой, казалось бы, достаточно выспренней задаче. (Вышедшую
в свет в 1968 г. книгу [36] сегодня уже приходится считать изрядно
устаревшей: см. краткую информацию в «Кванте» [40], и особенно
указанный подтем же номером обстоятельный обзор Федерико.) В [36]
доказывается, что разносторонний треугольник не допускает раз-
биения на попарно различные равносторонние треугольники (ср.с. 167).
У. Т. Татт выходит из положения, различая равные, но противопо-
ложно ориентированные треугольники. При таком подходе задача о
разбиении правильного треугольника (или параллелограмма с угла-
ми в 60 и 120°) на попарно неравные правильные треугольники стано-
вится вполне содержательной и близкой к тем построениям, которым
посвящена книга [36] и обзор [40]. По поводу литературы по теории
графов см., например, книги и статьи [8] и [60]; вполне достаточные
для понимания статьи сведения о матрицах читатель может почерп-
нуть, например, из гл. V книги [5].
3.3. Хвала любителям. Тема о мозаиках на плоскости широко
представлена, например, в замечательной книге Штейнгауза [41]
(см. также, например, статью Колмогорова [41] или разд. 4 книги
[24]). В силу совсем простой задачи 82 из последней книги плоскость
может быть покрыта произвольными (но равными друг другу!) тре-
угольниками, (выпуклыми или невыпуклыми) четырехугольниками
или центрально-симметричными шестиугольниками; несколько более
сложная задача 83 из той же книги утверждает, что площадь нельзя
покрыть (одинаковыми или различными) выпуклыми семиугольни-
ками или многоугольниками, имеющими более семи сторон (ср. с. 183;
требование выпуклости здесь существенно). (В [24] все задачи сопро-
вождаются подробными решениями.)
Продолжением темы этой статьи является статья 3.4.
3.4. Некоторые проблемы, связанные с плоскими мозаиками. Даже
доказательство указанного на с. 229 результата Ханта и Хиршхорна
все еще не опубликовано, и желающие могут попробовать отыскать
новые выпуклые пятиугольники, являющиеся прототипами мо-
ноэдрической мозаики. 18-я проблема Гильберта сопровождается
в указанном на с. 252 комментированном издании гильбертовых проб-
лем обстоятельной статьей знаменитого Дж. Милнора, известного
нашим читателям по переводам многочисленных книг и статей.
В русском издании «Проблем Гильберта» эту проблему комментирует
Б« Н. Делоне, которого, мне кажется, вполне можно считать одним
481
из классиков всей теории разбиений или мозаик. Продолжениями
темы настоящей статьи являются работы Грюнбаума и Шепарда [42}
(две последние из которых — обстоятельные обзоры, включенные
в том, посвященный юбилею Г. С. М. Коксетера) и особенно назван-
ная на с. 252 книга тех же авторов. (По поводу содержащихся в статье
ссылок на графику М. К- Эшера см. комментарий к следующей
статье.)
3.5. Ангелы и демоны. Произведения известного голландского
«математического графика» Мориса Корнелиуса Эшера воспроизво-
дились в нашей печати неоднократно (в частности, в журналах
«Квант» и «Знание — сила»); однако из посвященной ему литературы
можно указать лишь маленькую книжку [43]. Продолжением цити-
руемых Коксетером статей Кроува, посвященных математическому
анализу африканского искусства, является статья [44] (ср. также
[45]). Упомянутая в тексте модель Пуанкаре плоской неевклидовой
геометрии подробно описана в первой из книг |30] (и в десятках дру-
гих книг и статей); к содержанию настоящей статьи ближе всего
§8. гл. 15 названной на с. 267 книги «Введение в геометрию*
Г. С М. Коксетера (Кокстерз).
4.2. Могут ли кубы избежать встречи лицом к лицу? У читателя
этой статьи предполагаются минимальные сведения по теории срав-
нений — много меньшие, чем даются любым курсом теории чисел
(см. [14]).
4.3. Упаковка зеркальных пентакубов. По поводу (впервые пере-
численных составителем настоящего сборника Д. А. Кларнером) 29
типов пентакубов см. с. 128—129 книги [381.
4.4. Моя жизиь среди пол им и но. Настоящая статья тесно связана
с книгой С. Голомба [38]; однако, строго говоря, знание этой книги
не обязательно для понимания статьи. (См. также работу Кларнера
[46], примыкающую к теме настоящей статьи.) В отдельных своих
разделах статья 4.4 имеет также точки соприкосновения со статьей
6.2 и с указанной в конце нее литературой.
5. Задачи и забавы
5.1. Исчезновение. Шутка Д. Е. Кнута пародирует известную
математическую головоломку, связанную с исчезновением предме-
тов (или фигур). В старых изданиях книг Я-И- Перельмана подроб-
но описывается соответствующая игрушка, представляющая собой
подвижный круг, на периферии которого располагались 13 китайцев
в богатых восточных одеждах; тела китайцев частично помещались
внутрь круга, а частично располагались вне его; при определенном
повороте круга один китаец исчезал. Ныне — увы! — из продажи
исчезла сама игрушка, а из книг — ее описание. По поводу матема-
тического содержания этой головоломки (достаточно точно, кстати
сказать, воспроизведенного автором) см., например, с. 240 и 530—531
книги Кордемского [2} или с. 243—244 книги Еленьского 12},
5.2. Неевклидова гармонии. Эта статья может смутить читателя,
ибо она вдохновлена не творчеством Гарднера, а скорее упомянутой
в сборнике талантливой, но далекой от Гарднера по духу и стилю
462
книгой физика Дугласа Ф. Хофштаттера «Эшер, Гёдель, Бах», а
также знаменитым (и увенчанным Нобелевской премией) романом
швейцарца Германа Гессе «Игра в бисер» (М.: Худлит, 1969). (Компо-
зитора Баха знают все; о художнике М. К- Эшере много говорится
в статьях 3.4 и 3.5 настоящей книги; по поводу результатов выдаю-
щегося американского (ранее австрийского) логика Курта Гёделя см.
книги [47] и особенно статью [48].)
«Постулаты Евклида», разумеется, копируют подлинные посту-
латы Евклида [49], так же как его «теорема»—теорему о сумме углов
треугольника. (В 4-м постулате Евклида и в его теореме обыгрывает-
ся многозначность слова «тритон» — одновременно музыкального
термина, названия семейства хвостатых земноводных — саламандр
и морского божества греческой мифологии.) Исторический Джиро-
ламо Саккери {1667—1733) один из предшественников неевклидовой
геометрии (см., например, {50]). «Золотой интервал» пифагорей-
цев — это, безусловно, золотое сечение (ср. [97]). Вера пифагорейцев
во всемогущество натуральных чисел, управляющих гармонией Все-
ленной, нашла своеобразное отражение в часто цитируемой и паро-
дируемой Кимом фразе немецкого математика XIX в. Л. Кронекера:
«Бог сотворил натуральные числа; все остальное — дело рук челове-
ческих». Здесь Кронекер имел в виду возможность построен и я. всех
дальнейших числовых систем, исходя из натуральных чисел (см.
152]). Пародирование в статье известных парадоксов Зенона Элей-
ского (начало V в. до н. э.) и критянина Эпименида (высказывание:
«Все критяне — лжецы» — см. разд. 13 книги [53]) является очевид-
ным. Относительно теорем Гёделя см. 147, 48].
Большие затруднения может вызвать у читателя раздел о «Неев-
клиде», под которым понимается австрийский композитор и теоретик
музыки Арнольд Шёнберг, глава «новой венской школы». В начале
20-х годов Шёнберг разработал так называемую 12-тоновую систему
музыкальной композиции, или додекафонию (об этом см. [57]).
(Шёнберг в известной мере послужил прототипом образа компо-
зитора Адриана Леверкюна — главного героя знаменитого романа
Т. Манна «Доктор Фаустус»). С открытием додекафонии связана
фраза Шёнберга, произнесенная им в июле 1921 г.: «Сегодня я от-
крыл нечто, что утвердит превосходство немецкой музыки на сле-
дующие 100 лет». Конец посвященного «Неевклиду» раздела, разу-
меется, является пародийным откликом на создание теории относи-
тельности и новейшие теории пространства-времени.
Последний раздел статьи, связанный с теорией относительности
А. Эйнштейна, канторовской теорией множеств (причем автор обы-
грывает канторовские термины: кардинальные и ординальные числа)
и решением так называемой проблемы четырех красок американцами
К- Аппелем и В. Хакеном (см., например, [55]), не вызовет, вероят-
но, затруднений у читателя.
5.3. Магические кубооктаэдры. Диаграмма Шлегеля много-
гранника получается при отображении веек его гранен на одну
какую-либо грань с помощью, например, центрального проециро-
вания из подходяще выбранной точки вне многогранника. В ка-
честве литературы здесь можно указать, пожалуй, лишь названную
на с. 491 книгу Коксетера о правильных многогранниках.
5.4. Игры, графы, галереи. Теорему Хватала о картинной гале-
рее любопытно сопоставить с теоремой Красносельского, дающей не-
Ш
обходимое и достаточное условие того, что в галерее можно обойтись
одним сторожем (см. с. 35 книги [56]). По поводу теоремы о том, что
рациональное число У п, где п — целое, само обязательно является
целым, см., например, книгу Нивена [52].
5.5. Занимательное столоверчение. См. введение к комментариям
к гл. 1 настоящей книги и указанную там литературу по теории игр.
Алгоритм решения при п=4, приведенный М. Гарднером в мар-
товском номере ЗаепхШс Агпепсап за 1979 г., о котором говорится
в статье, сводится к следующему:
1. Ощупать стаканы, расположенные на концах любой диагона-
ли. Если они оба не обращены вверх дном, перевести их в это поло-
жение. Если колокольчик не зазвенит, то приступить к операции 2.
2. Повернуть стол и ощупать стаканы в любых двух соседних
гнездах. Если они оба обращены вверх дном, оставить их в прежнем
положении. В противном случае перевернуть вверх дном тот из двух
стаканов, который был обращен вниз дном. Если колокольчик не
зазвенит, то это означает, что три стакана теперь обращены вверх
дном и один стакан обращен вниз дном.
3. Повернуть стол и ощупать стаканы, расположенные на концах
любой диагонали. Если один из ощупываемых стаканов обращен
вниз дном, перевернуть его — и тогда зазвенит колокольчик. Если
оба стакана обращены вверх дном, перевернуть один из них так, что-
бы стаканы расположились по схеме:
Вверх (дном) Вниз
Вверх Вниз
4. Повернуть стол и перевернуть стаканы в любых двух сосед-
них гнездах. Если до этого они были оба перевернуты дном в одну
сторону, то колокольчик зазвенит. В противном случае стаканы
расположатся по схеме
Вверх (дном) Вниз
Вниз Вверх
5. Повернуть стол и перевернуть стаканы на концах любой диа-
гонали. Колокольчик зазвенит.
6. Числа и теория кодирования
6.1. Сверхъестественные числа. 6.3. Коды, исправляющие
ошибки, и криптография. Эти две статьи связаны с теорией
информации, о которой см., например, [57]; в частности, статья 6.1
имеет некоторые точки соприкосновения с гл. III названной книги.
В связи со статьей 6.1 могут представлять интерес также статьи [58].
По поводу статьи 6.3 (возможно, наиболее трудной в сборнике)
можно указать рассчитанную на школьников книгу [59], принадле-
жащую к неоднократно упоминавшейся выше серии «Новая матема-
тическая библиотечка», а также существующую на русском языке
литературу по теории кодирования ([35] на с. 471 или книги [61]).
6.2. Как и что считают специалисты по теории графов. Эта отно-
сящаяся к теории графов (см. [60]) статья теснее всего связана с ука-
занными в конце статьи (с. 431) и переведенными на русский язык
книгами [6, 7]. По поводу упоминаемых в статье чисел Каталана
см. также [62].
484
Дополнительная литература
1. Шуберт Г. Математические развлечения и игры.— Одесса:
Матезис, 1923; Ковалевский Г. Избранные главы из математи-
ческой теории игр.— Пгр.: Научное книгоиздательство, 1924;
Арене В. Математические игры и развлечения.— Л.— М.: Пет-
роград, 1924.
2. Доморяд А. П. Математические игры и развлечения.— М.:
Физматгиз, 1961; Кордемский Б. А. Математическая смекалка.—
М.: Наука, 1965; Игнатьев Е. И. В царстве смекалки.— М.:
Наука, 1982; Еленьский Щ. По следам Пифагора.— М.: Дет-
гиз. 1961.
.3. Залгаллер В., Залгаллер С. Венгерский шарнирный кубик.—
«Квант», 1980, № 12, с. 17—21; Дубровский В. Алгоритм.вол-
шебного кубика.;— «Квант», 1982, № 7, с. 22—25; он же. Матема-
тика волшебного кубика.— «Квант», 1982, №8, с. 22—27 и 48;
Нт1ге Ш. Оег ип^апзсЬе 2аиЬеглуйгГе1.— Вег1т, Оепт.5сЬег
Уег1а& с!ег Ш^зепзсЬаКеп, 1982; КиЫк Е. Му сиЬе.— Реп§шп
Воокз, 1981.
.4. Венцель Е. С. Элементы теории игр.— М.: Физматгиз, .1961;
Вильяме Дж- Д. Совершенный стратег.— М.: Советское радио,
1960; Мак-Кинси Дж. Введение в теорию игр.— М.: Физмат-
гиз, 1960; Кофман А., Фор Р. Займемся исследованием опера-
ций (гл. 10).— М-: Мир, 1966; Боненбласт Р. Ф. Теория игр.—
В кн.: Современная математика для инженеров (под ред.
Э. Ф. Беккенбаха).—М.: ИЛ, 1959, с. 216—236.
5. Кемени Дж., Снелл Дж., Томпсон Дж. Введение в конечную
• математику (гл. VI).— М.: Мир, 1964.
6. Нейман Дж., Моргенштерн О. Теория игр и экономическое по-
ведение.— М.: Наука, 1970.
7. Матричные игры (под ред. Н. Н. Воробьева).— М.: Физмат-
гиз, 1961.
8. Оре.О. Графы и их применения.— М.: Мир, 1965; Уилсон Р.
Введение в теорию графов.— М.: Мир, 1977; Болтянский В. Г.
Топология графов.— «Квант», 1981, № 6, с 5—10; он же. Плос-
кие графы.—«Квант», 1981, №7, с. 11—16.
9. Яглом А. М., Яглом И. М. Неэлементарные задачи в элемен-
тарном изложении (задачи 128—129).— М.: Гостехиздат, 1954;
Яглом И. М. Две игры со спичками.— «Квант», 1971, №2, с.
41—45.
10. Воробьев Н. Н. Числа Фибоначчи.—М.: Наука, 1978; Марку-
шевич А. И. Возвратные последовательности.— М.: Наука,
1975.
11. Беррондо М. Занимательные задачи (гл. 7, задача №7).— М.:
Мир, 1982; Орлов А. Ставь на минус! — «Квант», 1977, № 3,
с. 41—45; Арнольд И. В. Об одном свойстве числа т=(}^5+1)/2.—
Мат. просвещение (старая серия), вып. 8, 1936, с. 16—24; Со-
хе1ег Н. 5. М. ТНе §оЫеп зесИоп, РЬуЫах15 апё ШуИюГРз
• §ате.— $спр1а Ма1Ьета11са, 19, 1953, р. 135—143.
12. Соппе1 I. О. А ^епегаИгаНоп оГ ШуИюГГз &ате.— СапасПапМа1п.
Ви11е1т, 2, 1959, р. 181—190; Ргаепке1 А. 5., ВогозН I. А #епе-
* гаПгаШп оГ-ШуИюГГз &ате.— Лоигпа1 о? СотЫпа1опа1 Тпео-
гу, 15, 1973, р. 175—191; Ргаепке! А. 5. Но\у 1о Ьеа! уоиг Шу1-
486
Ьо!Г5 ^атез орропеп! оп (Ьгее гоипс!5.— Атепсап Ма1Ь. Моп-
1Ыу, 89, №6, 1982, р. 353—361.
13. Гик Е. Я- Математика на шахматной доске.— М.: Наука, 1976.
14. Виноградов И. М. Основы теории чисел.— М.: Наука, 1981;
Бухштаб А. А. Теория чисел.— М.: Просвещение, 1966; Ар-
нольд И. В. Теория чисел.— М.: Учпедгиз, 1939.
15. Гнеденко Б. В., Хинчин А. Я- Элементарное введение в теорию
вероятностей.— М.: Наука, 1962; Мостеллер Ф., Рурка Р., То-
мас Д. О. Вероятность.—М.: Мир, 1969; Колбертсон Дж. Т.
Математика и логика цифровых устройств (гл. III).— М.: Про-
свещение, 1965.
16. Колмогоров А. Н., Журбенко И. Г., Прохоров А. В. Введение
в теорию вероятности.— М.: Наука, 1982; Дынкин Е. Б., Ус-
пенский В. А. Математические беседы (раздел 3).— М.— Л.:
Гостехиздат, 1952.
17. Шклярский Д. СХ, Ченцов Н. Н., Яглом И. М. Геометрические
неравенства и задачи на максимум и минимум.— М.: Наука,
1970; они же. Геометрические оценки и задачи из комбинатор-
ной геометрии.— М.: Наука, 1974.
18. Яглом И. М. Проблема тринадцати шаров.— Киев: Вища шко-
ла 1975.
19. Серпинский В. Пифагоровы треугольники.—*М.: Учпедгиз,
1959.
20. Болтянский В. Г., Ефремович В. А. Наглядная топология.—
М.: Наука, 1982; они же. Очерк основных идей топологии.—
Мат. просвещение (новая серия), вып. 2, 1957, с. 3—34; вып. 3,
1958, с. 6—40; вып. 4, 1959, с. 27—52; вып. 6, 1961, с. 1 07—138;
Александров П. С, Ефремович В. А. О простейших понятиях со-
временной топологии.— М.— Л.; ОНТИ, 1935; они же. Очерк ос-
новных понятий топологии.~-М.—-Л.: ОНТИ, 1936; Гильберт Д.,
Кон-Фоссен С Наглядная геометрия (гл. VI).— М.: Наука,
198; Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика? (гл. V).—
М.: Просвещение, 1967; Ефремович В. А. Основные топологи-
ческие понятия.— В кн.: Энциклопедия элементарной матема-
тики (ЭЭМ), кн. V (Геометрия).—М.: Наука, 1966, с. 476—556.
21. Амеба... в пиджаке.— «Квант», 1981, № 3. с. 14—15; Фукс Д. Б.,
Фоменко А. Т., Гутенмахер В. Л. Гомотопическая топология
(рис. на с. 89, правая галерея).— М.: Изд-во МГУ, 1969.
22. Ашкинузе В. Г. Многоугольники и многогранники.— В кн.:
ЭЭМ, кн. IV (Геометрия).—М.: Физматгиз, 1963, с. 382—447.
23. Адамар Ж- Элементарная геометрия (ч. 1—2).—М.: Учпедгиз,
1957—1958; Перепелкин Д. И. Курс элементарной геометрии
(ч. I—II).—М.—Л.: Гостехиздат, 1948—1949.
24. Шклярский Д. О., Ченцов Н. Н. Яглом И. М. Избранные тео-
ремы и задачи элементарной математики (ч. 3: геометрия (сте-
реометрия), разд. 2).— М.: Гостехиздат, 1954.
25. Александров А. Д. Выпуклые многогранники.— М.— Л.: Гос-
техиздат, 1950.
26. СоппеПу Ц. А соип!егехатр1е 1о 1Ье пр<Шу соп]ис1иге 1ог
ро1уЬейга.— РиЫ. Ма1Ь., ШЕЕ, 47, 1978, р. 333—338.
27. Зллгаллер В. Непрерывно изгибаемый многогранник.— «Квант»,
1978, №9, с. 13—19.
486
28. Болтянский В. Г. Равновеликие и равносоставленные фигуры.—
М.: Гостехиздат, 1956.
29. Картеси Ф. Введение в конечные геометрии.— М.: Наука, 1980;
Яглом И. М. Математические структуры и математическое мо-
делирование (§4).—М.: Сов. радио, 1980.
30. Яглом И. М. Геометрические преобразования II.— М.: Гостех-
издат, 1956; Вольберг О. А. Основные идеи проективной гео-
метрии.— М.: Учпедгиз, 1949; Яглом И. М., Атанасян Л. С
Геометрические преобразования.— В кн.: ЭЭМ, кн. IV, с. 49—
158.
31. Кавальери Б. Геометрия, изложенная новым способом при по-
мощи неделимых непрерывного.— М — Л.: Гостехиздат, 1940.
32. Делоне Б. Н., Житомирский А. К. Задачи по геометрии.— М.:
Физматгиз, 1959.
33. Коксетер Г. С М., Грейтцер С. Л. Новые встречи с геометри-
ей.— М.: Наука, 1978; Бакельман И. Я- Инверсия.—М.: Нау-
ка, 1966.
34. Фейеш Тот Л. Расположения на плоскости, на сфере и в прост-
ранстве.— М.: Физматгиз, 1958; Роджерс К. Укладки и покры-
тия.— М.: Мир, 1968; Барановский Е. П. Упаковки, покры-
тия и некоторые другие расположения в пространствах постоян-
ной кривизны.— В кн.: Алгебра. Геометрия. Топология. 1967.
М.: ВИНИТИ АН СССР, 1969, с. 189—225.
35. Хадвигер Г., Дебруннер Г. Комбинаторная геометрия плос-
кости.—М.: Наука, 1965; Болтянский В. Г., Гохберг И. Ц.
Разбиение фигур на меньшие части.— М.: Наука, 1971; они же.
Теоремы и задачи комбинаторной геометрии.— М.: Наука,
1965; Данцер Л., Грюнбаум Б., Кли В. Теорема Хелли и ее при-
менения.— М.: Мир, 1968; Грюнбаум Б. Этюды по комбинатор-
ной геометрии и по теории выпуклых тел.— М.: Наука, 1971;
Яглом И. М. О комбинаторной геометрии.—М.: Знание, 1971;
Болтянский В. Г. Комбинаторная геометрия.— В кн.: Алгебра.
Геометрия. Топология—М.: ВИНИТИ АН СССР, 1981, с.
209—274.
36. Яглом И. М. Как разрезать квадрат? — М.: Наука, 1968.
37. Яглом И. М. Элементарная геометрия прежде и теперь.— М.:
Знание, 1972; Уа#1от I. М. Е1етеп*агу беотеггу, Тпеп апс!
Ыо^.— В кн.: <Зеоте1пс Ует (ТЬе Сохе1ег Рез^сЬпМ; ес1. С. Эа-
У13, В. ОгйпЪашп, Р. А. Зпегк).— N. У.: Зрппвег, 1981, р.
253—270.
38. Голомб С. В. Полимино.— М.: Мир, 1975.
39. Линдгрен Г. Занимательные задачи на разрезание.— М.: Мир,
1977.
40. Как разбить квадрат? — «Квант», 1979, № 11, с. 21 (и задняя
сторона обложки журнала); Редепсо Р. Л. ^иапгц* Кес1агц*-
1ез апс! 5яиагез"(А Н1з1опса1 Кеу1*ету \уИп АппоЫес! ШЬПо&гар-
Ьу).— В кн.: ОгарЬ ТЬеогу апс! КеЫес! Тор1с$; ес1. 5. А. Воп-
с!у, V. 5. МшЧу (том, посвященный 60-летию проф. У. Т. Тат-
та).— N. V.: Асас1егшс Ргезз, 1979, р. 173—196.
41. Штейнгауз Г. Математический калейдоскоп.— М.: Наука, 1981;
Колмогоров А. Н. Паркеты из правильных многоугольников.—
«Квант», 1970, № 3, с. 24—27.
42. СгипЬаит В., ЗЬерпагс! О. К- РаНегпз оп 1Ье 2-зрпеге.— Ма*
467
хЬетаИка, 28, 1981, р. 1—35; они же. ТЬе (Ьеогешз о* Е'икг
апо! ЕЬегЬагс! !ог 111!п^з о? 1Ье р!апе.— Ке5и11а1е (1ег Ма1Ьета-
Нк, 5, 1982 р. 19—44; Эапгег Ь, СгйпЬаит В., ЗЬерЬагё О. С
Сап а11 Шез оГ а 1Шп§ Ьауе Пуе-Го1д зуттехгу? — Атепсап
Ма1Ь. Моп1Ыу, 89, 1982, р. 568—585; СгйпЬаит В., МШег
Л. С Р. ЗНерЬагс! О. С ШНогт 1Шп§з \\Ип Ьо11о\у Шез.— ТЬе
Сеоте1лс Ует (см. 137]), р. 17—64; СгйпЬаит В., 5ЬерЬагс1
С. С. 5рЬепса1 Шт^з \уНЬ 1гап$]'1ш{у ргорег^ез.— Там же,
р. 67—98.
43. Левитан К- Геометрическая рапсодия.— М.: Знание, 1976.
44. Сгоие О. Ш. ТЬе Сеоте1гу о! АГпсап Аг1 III. ТЬе 8токт§ Р1-
рез оГ Ве^Ьо.— ТЬе Сеотегпс Ует (см. [37]), р. 177—189.
45. Белов Н. В. Средневековая мавританская орнаментика в рам-
ках групп симметрии.— «Кристаллография», 1, вып. 5, 1956,
с. 610—613.
46. Клэрнер Д. А. Покрытия прямоугольников конгруэнтными
/г-мино.— В кн.: [38], с. 192—203.
47. Успенский В. Г. Теорема Гёделя о неполноте.— М.: Наука,-
1981; Бирюков Б. В., Тростников В. Н. Жар холодных чисел
и пафос бесстрастной логики.— М.: Знание, 1977; Манин Ю. И.
Доказуемое и недоказуемое.— М.: Советское радио, 1979; он
же. Вычислимое и невычислимое.— М.: Советское радио, 1980.
48. Манин Ю. И. Теорема Гёделя.— «Природа», 1975, № 12, с. 80—
87.
49. Евклид. Начала, кн. I—VI.— М.— Л.: Гостехиздат, 1948.
50. Розенфельд Б. А. История неевклидовой геометрии.— М.: Нау-
ка, 1976.
51. Пидоу Д. Геометрия и искусство.—М.:Мир, 1979;Тимердинг Г. Е.
Золотое сечение.— Пгр.: Научное книгоиздательство, 1924.
52. Нивен А. Числа рациональные и иррациональные.— М.: Мир,
1966; Блох А. Ш. Числовые системы.— Минск: Вышейшая шко-
ла, 1982; Феферман С. Числовые системы.— М.: Наука, 1971.
53. Байиф Ж--К- Логические задачи.— М.: Мир, 1983.
54. Когоутек Ц. Техника композиции в музыке XX в.— М.: Музы-
ка, 1976.
55. Яглом И'. М. Четырех красок достаточно.— «Природа», 1977,_
№ 6, с. 20—25; Белага Э. Г. Математика на географической кар-
те, или рассказ о том, как решалась проблема четырех красок.—
В кн.: Мини-геометрии.— М.: Знание, 1977, с. 5—22.
56. Яглом И. М., Болтянский В. Г. Выпуклые фигуры.— М.— Л.:
Гостехиздат, 1951.
57. Яглом А. М., Яглом И. М. Вероятность и информация.— М.:
Наука, 1973.
58. Колмогоров А. Н. Три подхода к определению понятия «коли-
чество информации».— Проблемы передачи информации, 1, № 1,
1965, с. 3—11; он же. К логическим основам теории информа-
ции и теории вероятностей.— Там же, 5, № 3, 1969, с. 3—7;
Звонкий А. К-, Левин Л. А. Сложность конечных объектов и
обоснование понятия информации и случайности с помощью
теории алгоритмов.— Успехи математических наук, 25, вып. 6,
,1970, с. 85—127.
5Г Яшкоу А. Е1етеп1агу Сгурхапа1у515.— N. У.: 5т#ег, 1968.
61». Берж К- Теория графов и ее применения.— М.: ИЛ, 1962; Оре О.
488
Теория графов.— М.: Наука, 1968; Зыков А. А. Теория конеч-
ных графов I.— Новосибирск: Наука, 1969; Белов В. В., Во-
робьев Е. М. Шаталов В. Е.— Теория графов.— М.: Высшая
школа, 1976; Теория графов (под ред. В. В. Алексеева, Г. П. Гав-
рилова, А. А. Са пожен ко).—М.: Мир, 1974; З^иоМез т ОгарЬ
ТЬеогу I, II (ее!. О. К- Ри1кег$оп).— Тле Ма1петаИса1 А$$ос1а-
1юп о^ Атепса, 1975.
61. Питерсон У., Уэлдон Э. Коды, исправляющие ошибки.— М.:
Мир, 1976; Берлекэми Э. Алгебраическая теория кодирования.—
М.: Мир, 1971; Касами Т., Токура Н., Ивадари Е., Инагаки Я-
Теория кодирования.— М.: Мир, 1978.
62. Ширшов А. Об одной комбинаторной задаче.— «Квант», 1979,
№9, с. 19—20 и 32.
Об авторах сборника
Ричард К. Гай. Профессор университета Калгари (Канада),
специалист по теории игр.
Н. де Г. Брейн. Профессор имеющего высокую репутацию Тех-
нического университета в Эйндховене (Нидерланды), занимается
теорией игр.
Клод Берж. Профессор Парижского университета, специалист
по ряду направлений современной прикладной математики. На рус-'
ский язык переведена его книга по теории графов (см. [60]) и «Об-
щая теория игр нескольких лиц» (М.: Физматгиз, 1961).
Джим Бойс. Преподаватель Станфордского университета в Ка-
лифорнии (США), ученик еще одного из авторов сборника Дональ-
да Э. Кнута.
Ади Шамир, Рональд Р. Райвест и Леонард М. Адельман — вы-
сокоавторитетные специалисты по теории кодирования и теории
информации из знаменитого Массачусетского технологического
института (Кембридж близ Бостона, США), в котором некогда пре-
подавали создатель теории информации Клод Шеннон и «отец ки-
бернетики» Норберт Винер.
Вашех Хватал. Профессор широко известного Университета
Макгилла (англоязычный университет в Монреале, столице фран-
коязычной провинции Квебек в Канаде), специализируется в об-
ласти теории игр.
Дэвид Верен гут. Профессор небольшого университета шт. Нью-
Йорк в Бингхэмптоне занимается прикладной математикой, в ча-
стности применениями теории случайных (вероятностных) процессов.
Соломон В. Голомб. Высокоавторитетный специалист по теории
информации, теории кодирования и математической статистике,
профессор небольшого, но пользующегося высокой репутацией
Южнокалифорнийского университета в Лос-Анджелесе. О нем мож-
но прочитать в предисловии к переводу его книги «Полимино»
(см. [38]).
Герберт Тэйлор. По профессии тополог, является профессором
того же Южнокалифорнийского университета, что и С. Голомб.
Роберт Коннелли. Профессор одного из старейших в США Кор-
неллского университета в г. Итака (шт. Нью-Йорк). Наибольшим
достижением этого сравнительно молодого ученого, пожалуй, сле-
дует считать результат, о котором он рассказывает в своей статье
(см. комментарий* к ней).
489
Стефан Барр. Профессор университета г. Нью-Йорка, матема-
тическое отделение которого в последние годы приобретает высо-
кую репутацию; занимается проблемами комбинаторной геомет-
рии в широком понимании этого термина (ср. с. 479—480).
Говард Иве. Профессор университета шт. Мэн (США), известен
как выдающийся педагог, автор многих весьма популярных книг
(на первое место из них, пожалуй, надо поставить «Введение в осно-
вания и основные концепции математики») (Н. Еуез, С. V. Мечузогп.
Ап 1п1го(1ис1юп 1о Ше Роипс1а1юп5 апо! РипёатепЫ Сопсер1з о?
МаШетаНсз. N. У.: НоН, КтеЬаг1 агн! ШтзЬп, 1961).
Леон Банков. Постоянный сотрудник Американского журнала
Тпе Атепсап МаШетаИса! Моп1Ь1у, рассчитанного на широкий
круг читателей; хорошо известен всем любителям элементарной
геометрии.
Р. Л. Грэхэм. Специалист по прикладной математике и опти-
мизационным проблемам, работает в известной фирме «Белл теле-
фон лабораторис», где К- Шеннон работал в период создания им
теории информации.
Уильям Т. Татт. Ведущий специалист по теории графов и по
комбинаторике университета Ватерлоо (Канада). Окончил Кем-
бриджский университет как химик; изменил специальность, увлек-
шись задачей о разрезании прямоугольника на попарно-неравные
квадраты, о которой говорится в его статье и в комментариях к ней.
Имеет много важных результатов в теории графов; является осно-
вателем и редактором первого большого международного журнала
по комбинаторике тоигпа1 оГ СотЫпа1опа1 ТНеогу. (60-летию Тат-
та был посвящен сборник, упоминаемый на с. 487 под номером [40];
он открывается статьями о научной деятельности юбиляра.)
Дорис Шаттшнайдер. Преподает в Моравском колледже (США);
в настоящее время является редактором американского научно-по-
пулярного математического журнала ЛЫНетаИсз Ма&агте.
Бранко Грюнбаум. Профессор Вашингтонского университета в
Сиэтле (США), безусловно, является ведущим специалистом в об-
ласти теории выпуклых тел, комбинаторной геометрии, теории мно-
гогранников и в родственных областях геометрии (см., например,
комментарий к статье 2.4). На русский язык переведены две его кни-
ги,: указанные под номером [35] на с. 487; из других книг наибольшей
известностью пользуется обширная монография «Выпуклые поли-
топы» (Сопуех Ро1у1орез. Ьспо!оп: 1п1егзс1епсе риЫ., 1967; полито-
пами называют многомерные многогранники).
Дж. К. Шепард. Профессор университета Восточной Англии
(Великобритания), ведущий специалист в теории многогранников.
Сенсацией в этой области явилась некогда книга: МсМиНеп Р.,
5Ьерпагс[ С С. Сопуех Ро1у1орез апс1 1пе 11ррег Воипс! Соп]ес1иге.
(СатЪпс!&е: Ш^егзНу Ргезз, 1971); эта книга входит в руководи-
мую проф. Шепардсм серию «Ьопс1оп Ма1ЬетаИса1 Зоаеху Ьес1и-
ге Мо1е 5епез»..(См. также: Грюнбаум Б., Шепард Г. К- Некоторые
замечания о работе В. П. Федотова по дискретной хроногеометрии.—>
Сибирский мат. журнал. 22, № 1, 1981, с. 220—226.)
Гарольд С. М. Коксетер (или Кокстер). Один из старейшин со-
временной геометрии профессор университета в Торонто, член Ка-
надской Академии наук и многих зарубежных академий. Хорошо
известен советскому читателю. Кроме указанных книг Коксетера
490
([3] и [5] на с. 267 и [33] на с. 487) на русский язык переведена его
«Действительная проективная плоскость» (М.: Физматгиз, 1959);
из непереведенных книг наибольшей известностью пользуются вы-
державшие ряд изданий «Неевклидова геометрия» [Ыоп-Еис11с1еап
Сеоте1гу. Тогоп1о, 11шуег8Йу Рге$з, 1965 (51Ь ей.)]- и особенно
«Правильные многогранники (политопы)» [Ке§и1аг Ро1у1орез. N. V.:
Боуег, 1973 (Згй ей.)]. Многие читатели, возможно, знают также,
что один из переведенных на русский язык томов книги «Группы
и алгебры Ли» Н. Бурбаки специально посвящен группам Кок-
сете ра.
Недавно в США был издан обширный том «ТЬе Сеоте1пс Ует»,
посвященный Коксетеру (см. с. 487—488, [37, 42, 44]).
Д. Дж. Гофман. Профессор Обернского университета (США),
специализируется в области оптимизационных задач.
Рафаэль М. Робинсон. Профессор престижного Калифорний-
ского университета в Беркли (США) широко известен своими ра-
ботами по теории дискретных групп, по дискретной геометрии и в род-
ственных областях математики.
К. Й. Боукзмп (Нидерланды). Видный специалист в области
использования ЭВМ для комбинаторных расчетов, работает там же,
где и де Брейн.
Дэвид А. Кларнер. Составитель сборника «Математический
цветник» работал в ряде университетов Голландии, Англии и США;
ныне является профессором того же университета, что и Беренгут.
Его научные интересы связаны с широко понимаемой комбинато-
рикой.
Дональд Э. Кнут. Профессор Станфордского университета, ав-
тор широко известного семитсмкого (!) «Искусства программиро-
вания для ЭВМ» (на русском языке пока имеются тт. 1—3, М.: Мир,
1976-1978).
Скотт Ким. Профессор Станфордского университета, в круг
его научных интересов входит теория игр.
Чарльз К. Тригг. Профессор Лос-Анджелесского колледжа в
США, ряд лет заведовал отделом задач журнала Ма1Ьета11С8 Ма-
^агте. Русскому читателю он лучше всего знаком по книге «Зада-
чи с изюминкой» (М.: Мир, 1975).
Росс Хонсберджер. Преподаватель уже упоминавшегося уни-
верситета Ватерлоо в К'анаде; наиболее широко известен как педа-
гог; большой популярностью пользуются, например, названные
на с. 349 и 350 его «Остроумные решения в математике» (Ы. У. Яап-
(1от Нои$е /Зт&ег, 1970; серия Ые\у Ма1пета1ка1 ЫЪгагу, вып. 23)
и «Математические жемчужины, I, II» (ТЬе Ма1Ь. А55оаа1юп о Г
Атепса, 1973, 1976; серия Е)о!ааш Ма1петаИса1 ЕхрозИюпз,
вып. 1-, 2).
Уильям Т. Лазер и Лайл Рэм шоу. Сотрудники Станфордского
университета, специализируются по теории игр.
Рональд Рид. Профессор университета Ватерлоо (Канада),
ведущий специалист по теории графов, хорошо известный всем ра-
ботающим в этой области.
Н. Дж. Слозн. Ведущий специалист в области теории кодиро-
вания, работает в фирме «Белл телефон лабораторис». На рус-
ский язык переведена его книга [35] (см. с. 471).
Содержание
Предисловие редактора<• перевода . 5
От составителя 9
1. ИГРЫ ........ ... 11
Тай Р. /С- Сыграем в тупинз?, 11
де Брейн Н. Л Претцель — забава для одинокого матема-
тика 29
Берж К- Несколько замечаний по поводу одной задачи
из-игры в гекс . » : 41
Бойс Д. Эндшпиль в игре «кригсшпиль» 44
Шамир А.у Райвест Р. Л., Адельман Л. М. Покер без
карт 58
Хватал В. Дешево, дорого или по сходной цене? .... 66
Беренгат Д- Задача об одной игре в «классы», имеющей
случайный характер, или как добиться, чтобы Джонни
больше читал « ♦ . . . 75
2. ГЕОМЕТРИЯ ... 87
Голомб С. В. Венки из касающихся кругов . . 87
Тейлор Г. Как вывернуть велосипедную камеру . . 100
Конелли Р. Изгибаемые поверхности 105
Барр С Как сажать деревья 117
Иве Г. Нарежьте потоньше 130
Банков Л. Как Папп доказал свою теорему? . 143
3. МОЗАИКИ НА ПЛОСКОСТИ . . 181
Грэхэм Р. Л. Сплошные разбиения прямоугольников . . 153
Татт У. Г. Разбиения на равносторонние треугольники 161
Шаттшнайдер Д. Хвала любителям 181
Грюнбаум Б., Шепард Дж. Ч. Некоторые проблемы, свя-
занные с плоскими мозаиками 220
Коксетер Г. С М. Ангелы и демоны . . 253
4. МОЗАИКИ В ПРОСТРАНСТВЕ .... 208
Гофман Д. Дж. Задачи по упаковке и неравенства . . . 268
Робинсон Р. М. Могут ли кубы избежать встречи «лицом
к лицу»? 284
Баукэмп /С. Й. Упаковка зеркальных пентакубов 293
Кларнер Д. А. Моя жизнь среди полимино , , 303
492
5. ЗАДАЧИ И ЗАБАВЫ 329
Кнут Д. Э. Исчезновения .... 329
Ким С. Неевклидова гармония 330
Тригг Ч. К- Магические кубооктаэдры ... . 336
Хонсберджер Р. Игры, графы, галереи . , 341
Лааэер У. 7\, Рэмшоу Л. Занимательное столоверчение 355
6. ЧИСЛА И ТЕОРИЯ КОДИРОВАНИЯ 388
Кнут Д. Э. Сверхъестественные числа 388
Рид Р. Что и как считают специалисты по теории графов 408
Слоэн Н. Дж. А, Коды, исправляющие ошибки, и крипто-
графия 432
ПРИЛОЖЕНИЕ 473
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЦВЕТНИК
СБОРНИК СТАТЕЙ И ЗАДАЧ
Составитель и редактор Дэвид А. Кларнер
Научный редактор А. Н. Кондрашова
Мл. научный редактор М. А. Харузина
Художник Н. Н. Дронова
Художественный редактор Ю. Л. Максимов
Технический редактор М. А. Страшнова
Корректор А. Я- Шехтер
ИБ № 3663
Сдано в набор 03.01.83. Подписано к печати 12 07.83.
Формат 84Х1081/з*- Бумага типографская № 1. Гар-
нитура литературная. Печать высокая. Объем 7.75
бум. л. Усл. печ. л. 26,04. Усл. кр.-отт. 26.24.
Уч.-изд. л. 24,76. Изд. М« 12/2199. Тираж 30 000 экз.
Заказ № 1136. Цена 1 р. 30 к.
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
129820» Москва, И-110, ГСП, 1-й Рижский пер., 2
Ордена Октябрьской Революции
и ордена Трудового Красного Знамени
Первая Образцовая типография имени А. А. Жданова
Союзполиграфпрома
при Государственном комитете СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
Москва, М-54, Валовая, 28
В 1984 ГОДУ ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
в серии «В мире науки и техники»
ВЫПУСТИТ КНИГУ
ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ СТРУКТУРА МАТЕРИИ (под ред.
Дж. Малви). Перевод с английского.
Книга знакомит читателя с новейшими достижениями физики
элементарных частиц — переднего края современной физической
науки. В основу книги положен цикл научно-популярных лекций,
прочитанных , крупнейшими американскими и английскими физи-
ками (среди них два лауреата Нобелевской премии) в Оксфорд-
ском университете. Книга отличается живым, образным языком,
увлекательной, свободной манерой изложения, рассчитанной
на широкий круг читателей, интересующихся достижениями
современной науки.
В 1984 ГОДУ ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
ВЫПУСТИТ КНИГУ
М. КлаЙН. МАТЕМАТИКА. УТРАТА ОПРЕДЕЛЕННОСТИ.
Перевод с английского.
Книга крупного американского математика, профессора Нью-
Йоркского университета М. Клайна представляет собой достаточно
уникальное явление в научно-популярной литературе по матема-
тике. Ориентированная на широкий круг читателей с общенауч-
ными интересами, она посвящена не каким-то конкретным мате-
матическим проблемам, а в живой и интересной форме рассказы-
вает об истории развития и становления математики, ее сущности
как науки и о месте, занимаемом математикой в современном
мире.