/
Теги: алгебра
ISBN: 5-02-002533-Х
Текст
ФЕДЕРАЛЬНАЯ ЦЕЛЕВАЯ ПРОГРАММА
«ГОСУДАРСТВЕННАЯ ПОДДЕРЖКА ИНТЕГРАЦИИ
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
И ФУНДАМЕНТАЛЬНОЙ НАУКИ
НА 1997-2000 ГОДЫ»
РОССИЙСКАЯ
АКАДЕМИЯ НАУК
УРАЛЬСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ
ИНСТИТУТ
МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ
В. А. Белоногов
ЗАДАЧНИК
по
ТЕОРИИ ГРУПП
Рекомендовано
Министерством образования Российской Федерации
в качестве учебного пособия
для студентов высших учебных заведений,
обучающихся по специальности «Математика»
МОСКВА
«НАУКА»
2000
УДК 512
ББК 22.144
Б 43
Издание осуществлено при финансовой поддержке
Федеральной целевой программы
“Государственная поддержка интеграции
высшего образования и фундаментальной науки
на 1997-2000 годы"
Белоногов В.А.
Задачник по теории групп. - М.: Наука, 2000. - 239 с.
ISBN 5-02-002533-Х
Книга содержит большое число задач по различным разделам теории групп с
изложением (без доказательств) основных результатов. Преимущественное вни-
мание уделено теории конечных групп. Автор надеется, что решение предлагае-
мых задач будет способствовать более глубокому проникновению в теорию.
Для студентов, аспирантов н научных работников, интересующихся теорией
групп в, в частности, для специализирующихся по теории групп.
Без объявления
ISBN 5-02-002533-Х
© Центр "Интеграция", 2000 год
Содержание
Предисловие.................................................... 4
Предварительные обозначения.................................... 5
| 1, Определение группы. Изоморфизм............................ 7
I 2. Подгруппы и смежные классы ............................... 18
* 3. Элементы и порождающие множества группы.................. 26
б 4. Нормальные подгруппы и гомоморфизмы ..................... 36
б 5. Сопряжённость............................................ 45
б 6. Кольца, и группы матриц.................................. 55
б 7. Симметрические и знакопеременные группы ................. 67
б 8. Группы перестановок. Представления перестановками........ 75
й 9. Факторизации групп....................................... 84
й 10. Си ловские подгруппы.................................... 91
fill. Автоморфизмы и эндоморфизмы ............................ 99
й 12. Коммутаторы и коммутант................................ 107
б 13. Ряды подгрупп. Разрешимые и нильпотентные группы....... 113
б 14. Прямые и центральные произведения...................... 122
ft 15. Полупрямые произведения и сплетения .................. 135
§ 16. Свободные группы и определяющие соотношения ........... 142
§ 17. Конечные р-группы...................................... 151
§ 18. Автоморфизмы р-групп. Действия групп на р-группах...... 161
б 19. Линейные группы ....................................... 167
§ 20. л-разрешимые и тс-скованные группы. Теорема Шура-Цассенхау-
за .......................................................... 176
§ 21. Перенос и нормальные p-дополнения. Слияние р-элементов. 183
§ 22. Представления и характеры конечных групп............... 190
§ 23. Разные задачи.......................................... 210
Ответы и подсказки .......................................... 218
Список обозначений и терминов................................ 231
Литература................................................... 239
Предисловие
Эта книга есть сборник задач по различным раз-
делам теории групп.
В начале каждого параграфа имеется небольшое
введение, в котором приводятся основные понятия и обо-
значения, встречающиеся в формулировках задач. Неко-
торые термины объясняются в задачах. Формулировка за-
дачи либо содержит задание типа "найти...", "вычислить...",
"описать..." и т. п., либо представляет собой некоторое ут-
верждение. В последнем случае предполагается, что чита-
тель должен это утверждение доказать.
Среди задач встречаются некоторые утверждения из
теории. Они имеют метку "(Т)" или "(Теорема...)". Пред-
полагается, что читатель уже знаком с ними по учебникам
(хотя некоторые утверждения можно попробовать дока-
зать самостоятельно); цель здесь - напомнить теорему,
которая будет применяться при решении следующих за ней
задач. Большинство задач относится к теории конечных
групп. Автор надеется, что решение предлагаемых задач
будет способствовать более глубокому проникновению в
теорию.
В конце книги приведен список основных учебников
по теории групп (наиболее полными из них являются [16] и
[15]), некоторых монографий по отдельным разделам этой
теории, затронутым в книге, и сборников задач ([7], [8],
[12], [13], [18]).
Автор заранее благодарен всем читателям, которые
пришлют советы по совершенствованию книги или сооб-
щат о замеченных недостатках. Сообщения можно послать
по электронной почте (e-mail: belonogov@imm.uran.ru) или
по адресу: 620219, г. Екатеринбург, ГСП-384, ул. С. Кова-
левской, 16, Институт математики и механики УрО РАН,
Белоногову В. А.
Предварительные обозначения
Знаки е , С, П, U, \, 0 имеют обычный теоретико-множе-
ственный смысл.
U — знак объединения попарно непересекающихся множеств.
IА I - мощность множества А.
{«!,..., ап] - множество элементов а1г..., а„.
{al,..., а„] - множество (щ,..., а„] мощности п (т. е. с л, * д, при
I *])
{... I...) - множество всех... таких, что....
А :=В — А есть обозначение для В (читается: А по определению
равно В).
АхВ:= {(л, b) I а е А, b е В) - декартово произведение множеств
А и В.
f:A—>B — другая запись для/, если/- функция (отображение) из
А в В, т. е. тройка (А, В, Г), где А и В - множества, Г С А х В и для лю-
бого а е А существует точно один элемент be В такой, что (л, Ь) е Г
(А - область отправления, В - область прибытия и Г - график функ-
ции).
Если /- функция из А в В, а е А и С С А, то
/(д) или af — образ а при/,
ЛО := {/(с) Ice С),
{сЛсе С},
/ 1с — ограничение / на С.
(А —> В I а н> ...) - функция из А в В, сопоставляющая каждому а из
А элемент....
а ь*... (д е А) - функция (А —> В I д >->...), когда В ясно из контекста.
N — множество всех натуральных чисел.
Z, Q, R, С - множества (начиная с § 6 - кольца) всех целых, всех
рациональных, всех вещественных и всех комплексных чисел соот-
ветственно.
Для целых чисел тип:
(т, и) — наибольший общий делитель тип,
[т, и] - наименьшее общее кратное тип,
т I и означает, что т делит п,
л(п) — множество всех простых делителей числа п.
Всюду, где не оговорено противное,
(р есть функция Эйлера, т. е. функция из N в N с ф(л) = I [т е
е {1,... , л) I (/л, л) = 1} I.
- число, равное 1 при i = j и равное 0 при i j (i и j - любые
объекты).
Если а е С, то
I а I - модуль а,
а — число, комплектно сопряжённое с а.
Перечёркнутый знак бинарного отношения обозначает отрицание
этого отношения.
Знак <=> заменяет выражение "если и только если”.
Ссылка на k-й пункт задачи т.п обозначается через т.п (к).
Обозначения и термины, вводимые в параграфах, собраны (в том
порядке, в котором они появляются в тексте) в "Списке обозначений и
терминов" в конце книги.
§ 1. Определение группы. Изоморфизм
Закон f, который каждой паре х, у элементов множества М сопо-
ставляет некоторый элемент из М (обозначаемый через xfy), назы-
вается бинарной операцией на М.
Множество М с бинарной операцией * на М называется группой,
если:
1) операция * ассоциативна, т. е. (а * Ь) * с = а * (Ь * с) для любых
элементов а, Ь, с из М\
2) вМ существует по крайней мере один нейтральный элемент,
г. е. элемент е такой, что е * а = а для любого элемента а из М\
3) для некоторого фиксированного нейтрального элемента е из М и
для любого элемента а из М в М существует элемент, симметричный
элементу а, т. е. элемент х такой, что х * а - е.
Таким образом, группа - это пара (М, *), где М - некоторое мно-
жество, а * - бинарная операция на М со свойствами 1}-3). Эти свойства
называют аксиомами группы. В группе имеется только один нейтраль-
ный элемент и единственный симметричный элемент любому её эле-
менту (см. задачу 1.1).
Мощность I М I множества М группы G = (Л/, *) называется по-
рядком группы G и обозначается через I G I. Если эта мощность ко-
нечна, то группа называется конечной, в противном случае - беско-
нечной.
Группа (М, *) называется абелевой или коммутативной, если
любые два элемента х и у из М перестановочны, т. е. х * у = у * х.
Элементы и подмножества множества М называют (допуская воль-
ность речи) элементами и подмножествами группы G = (Л/, *) и пишут
к е G и X С G вместо х е М и X С М соответственно. Утверждение
"(Л/, *) — группа” выражают также словами: "М есть группа относи-
тельно операции *''.
При изложении теории групп обычно пользуются мультиплика-
тивным обозначением групповой операции: операцию называют умно-
жением и обозначают знаком - (который соглашаются при желании
опускать), нейтральный элемент называют единичным элементом, или
единицей, и обозначают обычно цифрой 1, а элемент, симметричный
элементу х, называют обратным кхи обозначают через х~1. Иногда
используют аддитивное обозначение: операцию называют сложением
и обозначают знаком +, нейтральный элемент называют нулевым
элементом, или нулем, н обозначают цифрой 0, а элемент, симмет-
ричный элементу х, называют противоположным элементу х и обо-
значают через -х.
В дальнейшем всюду, где не оговорено противное, принята муль-
типликативная запись групповой операции. Согласно задаче 1.1 л1 =
.= 1х = х и xr* = х~*х = 1 для всех элементов х группы.
Пусть а — элемент группы. Для любого целого числа п определяет-
ся n-ая степень ап элемента а : а0 = 1, ам = а'а при i >Q,an = (а-")”1 при
п < 0. Элемент а называется элементом конечного порядка или перио-
дическим элементом, если ап = 1 для некоторого натурального п. Наи-
меньшее п с этим свойством называется порядком (или периодом) эле-
мента а и обозначается через о(а). Если ап Ф 1 при любом натуральном
п, то а называют элементом бесконечного порядка (или непериоди-
ческим элементом) и пишут о(а) = «>. Элемент порядка 2 называется
инволюцией. Если G состоит из степеней одного своего элемента а, то
G называется циклической группой (порождённой элементом а).
Изоморфизмом группы G - (М, ) в группу И = (N, *) называется
взаимно однозначное отображение ф из М в N такое, что
ф(аЬ) = ф(а) * ф(й) для любых а,ЬизМ.
Любое отображение М в N называют также отображением G вН.
Если существует изоморфизм G на Н, то группы G иН называют
изоморфными и пишут G — Н. Если ф - изоморфизм G в Н, то, оче-
видно, ф переводит единицу группы G в единицу группы Н и ф(/г') =
= ф(#)-1 для всех g е G. Конечные группы G кН могут быть заданы
таблицами умножения (см. 1.30). Очевидно, взаимно однозначное
отображение ф из G на Н является изоморфизмом тогда и только тогда,
когда при замене в таблице умножения группы G каждого элемента
g е G элементом ф(#) получается таблица умножения группы Н.
Важную роль в теории групп играют группы перестановок.
Перестановкой множества X (или перестановкой элементов множест-
ва X) называется взаимно однозначное отображение множества X на
себя. Операция последовательного выполнения перестановок назы-
вается умножением перестановок. Группа вида (Н, •), где Н - некоторое
множество перестановок множества X, а - - умножение перестановок
из Н, называется группой перестановок множества X. Если Н состоит
из всех перестановок множества X, то (Н, ) - группа (1.23). Она на-
зывается симметрической группой множества X и обозначается через
Sx, а при X = {1,... , п), где п е N, также через Sn. Перестановка f
конечного множества из п элементов xlt..., хп обозначается через
( Х1 Хп
^Ч/Сч) - f(xn)J
По теореме Кэли (1.28) каждая группа изоморфна некоторой группе
перестановок. Использование перестановок позволяет, в частности при
проверке того, что некоторая пара (X, ) есть группа, избежать
проверки ассоциативности (см. 1.29, 1.30).
В задачах этого параграфа рассматриваются некоторые конкрет-
ные абелевы группы С+, R+, Q+, Z+, С, R', Q’, Z„ и одномерный тор
(1.13,1.14,1.19, 1.17), а также обобщенно диэдральные группы D(A)
(1.46) и общие линейные группы GL„(C) (1.48). В задаче 1.32 вводится
конструкция внешнего прямого произведения групп, позволяющая по
заданным группам G йН построить новую группу G X Н более
сложного строения.
Множество с ассоциативной бинарной операцией называется полу-
группой (см. 1.52-1.54).
1.1. (Т) Пусть G = (Л/, *) - группа. Тогда:
1) G имеет точно один нейтральный элемент е, причем а * е = а для
нсех а е М;
2) для любого а е М в М существует точно один элемент х, сим-
метричный а, причем а * х = е.
1.2. (Т) Пусть а, Ь, с — элементы группы. Если ас = Ьс или с а = cb, то
и = b (т. е. в группе законны сокращения справа и слева).
1.3. В определении группы вместо существования "левой единицы"
и "левых обратных” можно потребовать существование "правой еди-
ницы" и "правых обратных". Более точно:
множество М с ассоциативной операцией • является группой тогда и
। олько тогда, когда М имеет элемент е такой, что
а) ае = а для всех а е М,
б) для любого а е М существует элемент х е М такой, что ах~е.
1.4. Для множества М с ассоциативной операцией равносильны
условия:
(1) (Л/, •) — группа;
(2) для каждой пары а, b элементов из М каждое из уравнений
<н - b и ха = b имеет единственное решение в Л/;
(3) для каждой пары а, Ь элементов из М каждое из уравнений
= Ьйха = b имеет по крайней мере одно решение в М.
(Пара (Л/, •), для которой верно условие (2), называется квази-
группой. Таким образом, группа — это квазигруппа с ассоциативной
< шсрацией.)
1.5. Пусть М - множество и • - ассоциативная операция на нём.
Равносильны условия:
(1) (М, -)- группа;
(2) существует отображение (р из М в М такое, что (аф(а))Ь = b =
= Ь(аф(а)) для всех а,ЬеМ.
1.6. Пусть и * - бинарные алгебраические операции, определен-
ные на множествах М nN соответственно. Пусть ф - взаимно однознач-
ное отображение MnaN такое, что
ф(ху) = ф(х) * ф(у) для всех х, у е М.
Тогда если одна из пар (Л/, ) и (N, *) является группой, то группой
является и другая, а ф есть изоморфизм (Л/, ) на (N, *).
1.7. Пусть G = (М, ) - группа и а е М. Определим на М новую би-
нарную операцию♦ по правилу:
х * у = хау (х, у е М).
Тогда (Л/, *) — группа и (Л/, *) — (М, ).
1.8. Пусть (Л/, ) - группа, а а и Р - отображения из М в М. Опре-
делим на М операцию * правилом: х * у = а(х)Р(у) для всех х, у е М.
Равносильны условия:
(1) (Л/, *) - группа;
(2) существуютa,be М такие, что
a(g) = ga и P(j?) = bg для всех geM.
1.9. 1) Пусть G = (Л/, ) - группа и<р:МхМ-> М - функция с раз-
деляющимися переменными (т. е. существуют функции а и Р из М в М
такие, что <р(х, у) = а(х)Р(у) для всех х, у е М). Если пара (Л/, <р) является
группой, то существует ае М такой, что <р(х, у) = хау для всех х, у е М и
(Л/, <р) = (Л/, •).
2) Пусть G = (М, ) - группа и Ф — множество всех функций из
М х М в М с разделяющимися переменными. Тогда по множеству Ф
можно ("забыв" операцию •) восстановить группу G с точностью до
изоморфизма (т. е. построить группу, изоморфную G). (В.К. Ионин)
1.10. Пусть на множестве М определены две алгебраические опе-
рации и * такие, что
х • у = у * х для всех х и у из М.
Тогда если одна из пар (Л/, -) и (Л/, *) - группа, то группой является и
вторая, причём (Л/, ) — (М, *).
1.11. Пусть М - множество с ассоциативной операцией такой, что
для любого а е М вМ существуют элементы е и х такие, что еа = ае = а
и ха = ах = е. Будет ли (Л/, ) группой?
1.12. Пусть - - ассоциативная бинарная операция на множестве М.
1) Равносильны условия:
(А) (Л/, •) - группа;
(Б) существует отображение/множества М на себя такое, что
а)/2 - тождественное отображение М наМ (/2(w) =/(/(ш))
при т е М),
6)f(x • У) =f(y) f(x) для всех х, у е М,
в) существует элемент ев М такой, что/(х)х = е для всех хе М
и еМ = М.
2) Утверждение 1) станет ложным, если из (Б) убрать условие
еМ-М.
1.13. Пусть М - множество всех комплексных, всех вещественных
или всех рациональных чисел, а + и - обычные операции сложения и
умножения в М.
1) (Л/, +) - абелева группа (обозначаемая через С+, R+ и Q+
соответственно).
2) (М\ (0), •) - абелева группа (группа С‘, R' или Q‘ соответст-
венно).
3) Указать все элементы конечного порядка в группах С+ и С’.
1.14. Множество всех целых чисел с операцией сложения является
циклической группой. Она обозначается через Z+.
1.15. Является ли группой:
а) множество всех положительных вещественных чисел с опера-
цией умножения;
б) множество всех положительных рациональных чисел с опера-
цией умножения;
в) множество всех целых чисел с операцией вычитания;
г) множество всех ненулевых рациональных чисел с операцией
деления;
д) множество N всех натуральных чисел с операцией * такой, что
а * h есть максимум чисел а и Ь;
е) множество Л/тхп(С) всех комплексных т х n-матриц (т, п е N) с
операцией сложения матриц;
6) множество всех направленных отрезков трёхмерного простран-
ства, исходящих из одной точки, с операцией сложения по правилу
йараллелограмма?
1.16. 1) Мультипликативная группа всех положительных вещест-
венных чисел (см. 1.15, а)) изоморфна группе R+.
2) Мультипликативная группа всех положительных рациональных
чисел (см. 1.15, б)) не изоморфна группе Q+.
1.17.1) Группами являются:
а) множество всех комплексных чисел, имеющих единичный
модуль, с операцией умножения;
б) полуинтервал [0, 1) в R с операцией * такой, что а * b есть
дробная часть числа а + Ь.
2) Группы пунктов а) и б) изоморфны.
(Всякая изоморфная им группа называется одномерным тором.)
1.18. Пусть М — множество всех вещественных чисел х с I х I < 1.
Определим на М операцию Ф следующим образом:
хФу =
х + у,
X + у - 1,
х+у + 1,
если -1 < х + у < 1,
если х + у > 1,
если х + у<-1.
1) (М, Ф) - группа.
2) (Л/, Ф) не является одномерным тором (1.17).
1.19. Для любого натурального числа п множество всех комп-
лексных корней степени п из единицы (т. е. множество (z'" I т е {О,
2га z Л Л х
... — ( 2л . . 2л А - „
1,.. . , и - 1)|, где zn=e п =cos — + ism— ) с обычной операцией
\ п nJ
умножения комплексных чисел есть циклическая группа порядка п.
(Эта группа обозначается через Z,,.)
1.20. Произвольная циклическая группа изоморфна либо Z+, либо
Z„ для некоторого и е N.
1.21. Любая группа порядка, не превосходящего трёх, является
циклической.
1.22. Множество К = [е, а, Ь, с} является группой относительно
операции •, заданной следующей "таблицей умножения":
е а Ь с
е а b с е а Ь с а е с Ь b с е а с Ь а е
Эта группа абелева, но не циклическая. Вычислить порядки всех её
элементов.
1.23. (Т) Пусть X — множество и и е N.
1) Множество всех перестановок множества X с операцией умно-
жения перестановок есть группа (симметрическая группа S%).
2) Если IXI = n, то Sx — Sn (в частности, I Sx I = nV).
3) При IXI > 3 группа Sx неабелева.
1.24. При любом n e N указать подмножество в S„, которое относи-
к-льно операции умножения перестановок является циклической груп-
пой порядка л.
1.25. 1) Для каждой из групп S2 и S3 выписать все элементы и опре-
делить их порядки.
2) Записать таблицу умножения группы S3.
, „т „ 1 Х-1 1 X
1.26. Шесть функции х нх,хн------, х н>--,х >—>— ,х н>---,
1-х х х х-1
t н 1 —х из множества М всех вещественных чисел, отличных от 0 и 1,
h М образуют группу относительно операции композиции функций
(/j?(x) = Установить её изоморфизм с группой S3.
1.27. Конечное множество А перестановок является группой отно-
сительно операции умножения перестановок, если произведение любой
пары элементов из А принадлежит А.
1.28. (Теорема Кэли) Пусть G - произвольная группа. Для любого
>лемента g е G обозначим через <ps отображение из G в G, опре-
деляемое правилом: <ps(/i) = h- g (fee G). Тогда:
1) <ps - перестановка множества элементов группы G;
2) множество (ф? I# е G} с операцией умножения перестановок
сеть группа (подгруппа в Sc); обозначим её через /?с;
3) отображение g фк (g е G) есть изоморфизм G на RG.
1.29. Пусть - бинарная алгебраическая операция на множестве М.
Каждому элементу а из М поставим в соответствие отображение фо:
М —> М, положив <рй(А>) = Ьа для fee М. Равносильны условия:
(1) (А/, )-группа;
(2) а) для любого а е М <рй является перестановкой,
б) фя * ф/, для любых различных а, b из М,
в) множество {фа I а е М | относительно операции умножения
перестановок является группой.
1.30. Пусть на множестве М, состоящем из п элементов хь ... , х„,
< шределена бинарная операция с помощью таблицы умножения:
Xi х2 ... хп
xt хь х,2 ... х,п
х2 Х21 х2_, ... х2л
ХИ|*п, *п2 ... ХПп
( г. е. х,х; = х,., где - одно из чисел 1,..., п).
Равносильны условия:
(1) пара (М, •) является группой;
(2) справедливы утверждения:
а) при любом i е {1,...,п} отображение ос, = Q 2
есть перестановка (другими словами, каждый элемент из М встречается
в каждом столбце таблицы),
б) множество А = {ОС],... , ос„} состоит из п элементов (т. е. в таб-
лице нет равных столбцов),
в) произведение любой пары элементов из А лежит в А.
1.31. Если элементы хь ... ,х„, образуют группу, таблица умноже-
ния которой дана в задаче 1.30, то 2п элементов хь ... , х„, уь ..., у„ об-
разуют группу относительно операции, заданной следующей таблицей:
X] хп У\ - Уп
*1 Хп - ч я, - у1п Ущ - У„„
У1 Уп У1, - У1„ Уи, - Уп„ *1> - х1„
1.32. (Т) Пусть А и В - произвольные группы (с мультиплика-
тивным обозначением групповой операции).
1) Множество всех пар (а, Ь), где ае АиЬе В, с умножением
(a, Ь)(а, b') = (аа, bb’)
является группой. (Она обозначается через А х В и называется (внеш-
ним) прямым произведением групп А и В.)
2) АхВ— ВхА.
3)АхВ — Aj х В], если А — А] и В — В\ (А] и В\ - группы).
1.33. Группа (М, ) задачи 1.22 изоморфна группе Z2 х Z2. (Всякая
группа, изоморфная Z2 х Z2, называется четверной группой.)
1.34. Z2 х Z3 — Z5.
1.35. Всякая группа порядка 4 изоморфна либо Z4, либо Z2 х Z2.
1.36. В любой неабелевой группе имеется по крайней мере 6 эле-
ментов.
1.37. Существует неабелева группа любого порядка, делящегося
ни 6.
1.38. Если G = (Л/, ) - группа, заданная таблицей умножения из 1.30,
то группа задачи 1.31 изоморфна группе G х Z2.
1.39. Пусть т, п е N. Построить группу перестановок т + п эле-
ментов, изоморфную группе Sm х S„.
1.40. Пусть М = (2аЗЛ la, be Z| и • - обычная операция умножения
на М.
1) (Л/, ) - группа.
2) (Л/, ) = Z+x Z+.
1.41. С = А х Т, где А — мультипликативная группа всех положи-
тельных вещественных чисел (1.15, а)), а Т - одномерный тор
(1.17).
1.42. Обобщить понятие внешнего прямого произведения групп
(1.32) на случай любого конечного числа множителей.
1.43. Пусть G = (Л/, +), где М - множество всех бесконечных
последовательностей (ан а2, •••) целых чисел, а + - операция на М,
< шределяемая равенством
{ax,a2,...) + {bx,b2,...) = {ai + b},a2+b2,...).
Тогда G — группа.
1.44. Пусть М - некоторое множество и В(М) - множество всех его
подмножеств. Введем на В(М) операцию △ по правилу:
ДЛВ = (ДиВ)\(ДПВ) (А,ВеВ(М)).
(ЛАВ называется симметрической разностью множеств А и В.)
1) (В(Л/), △) - абелева группа.
2) Решить уравнения ЛЛХ = В и ХЛЛ = В в группе (В(М), △) (X -
неизвестное).
3) Порядок любого неединичного элемента в (В(М), △) равен 2.
1.45. Являются ли группами пары (В(М), U), (В(М), О) и (В(Л/),\)?
1.46. Пусть А - группа. Положим D(A) := (Л/, •), где
М = {(а,е)1ае А, е = ±1),
а операция • определяется правилом:
(а,, Е]) (а2, е2 ) = (aj«21, Е]Е2).
1) D(A) является группой тогда и только тогда, когда А абелева.
(Группа, изоморфная группе D(A) для некоторой абелевой группы А,
называется обобщённо диэдральной группой.)
2) Если А - абелева группа, то D(A) = А+ U А_, где А+ = {(а, 1) I а е
е А),А_ = {(а,-1)1ае А}, причём А+относительно ограничения на нём
операции • есть группа, изоморфная А, а А_ состоит из инволюций.
3) Каждый элемент обобщённо диэдральной группы есть либо
инволюция, либо произведение двух инволюций.
4) Группа D(A) абелева тогда и только тогда, когда каждый
неединичный элемент группы А является инволюцией.
5) Если А и В — абелевы группы и А — В, то D(A) — D(B).
1.47. 1) Множество всех пар (а, Ь) таких, что а е R и b е R\{0), с
операцией
(а1,Ь1)(а2,й2) = (л1 +l¥i2,bib2)
является группой. Обозначим её через G.
2) Найти в G два подмножества, каждое из которых относительно
ограничения на нём операции - есть группа, причём одна из них
изоморфна группе R+, а другая - группе R’.
3) Указать в G все инволюции. Имеет ли G элементы конечного
порядка, большего двух?
1.48. 1) Пусть ле N и М - множество всех (л х л)-матриц с эле-
ментами из множества R всех вещественных чисел, имеющих ненуле-
вой (соответственно, единичный) определитель. Тогда М с обычной
операцией умножения матриц является группой (группы GE„(R) и
SE„(R) соответственно).
2) Утверждение 1) останется верным, если в нём заменить R мно-
жеством С всех комплексных чисел (группы GL„(C) и SE„(C) соот-
ветственно).
1.49. При любом л > 2 группы GL„(R), SG„(R), GL„(C) и SL„(C)
неабелевы.
1.50. Пусть а е R и Ма - множество всех ненулевых матриц вида
(лу X)’
где х, у е R. При каких а Ма является группой относительно операции
умножения матриц?
1.51. Является ли группой множество всех симметрических матриц
из GL„(C) (п > 2) относительно операции умножения матриц?
1.52. Множество с ассоциативной бинарной операцией называется
полугруппой. Так же, как и для групп, вводится понятие изоморфизма
полугрупп.
1) Если М - произвольное множество и * - операция на М, заданная
правилом х * у - у, то (Л/, *) - полугруппа.
2) Для любого множества М пары (В(Л/), U) и (В(М), А), где В(М)
определено в 1.44, являются полугруппами. Будут ли они изоморф-
ными?
1. 53. Каждая конечная полугруппа содержит идемпотент, т. е.
элемент а такой, что а2 = а.
Д.54. Каково максимальное число попарно неизоморфных
полугрупп порядка 2?
§ 2. Подгруппы и смежные классы
Если Н = (X, *) и G = (Л/, •) - группы такие, что 1) X С М и
2) х * у = х • у для любых элементов х и у из X, то говорят, что Н есть
подгруппа группы G, и пишут H<G. Говорят также, что X образует
подгруппу в G, или, допуская вольность речи, что X есть подгруппа
группы G, и пишут X < G (что, обычно, не вызывает недоразумений,
так как операция на X ясна из указания группы G). Подгруппу {1}, со-
стоящую из одного лишь единичного элемента, называют единичной и
обозначают цифрой 1, или, полагаясь на контекст, через 1. Множество
всех степеней любого элемента а группы G также является подгруппой
в G (2.5), которая обозначается через {а). Если Н <GnH*G, то
говорят, что Н — истинная подгруппа в G и пишут Н < G. Если 1 < Н <
< G, то Н называется собственной (или нетривиальной) подгруппой в
G. Подгруппа Н группы G называется максимальной в G, если Н есть
истинная подгруппа в G и не является истинной подгруппой никакой
истинной подгруппы группы G. Говорят, что подгруппы А и В взаимно
просты, если А П В = 1.
Если Н — подгруппа группы G и g е G, то подмножество Hg :=
:= {hg I h e H} называется правым смежным классом G по Н. Мно-
жество всех правых смежных классов группы G по подгруппе Н обоз-
начается через G : Н, а его мощность I G : Н I называется индексом
подгруппы Н в группе G. Подмножество группы G, содержащее точно
один элемент из каждого правого смежного класса по Н, называется
правой системой вычетов G по Н. Аналогично определяются левые
смежные классы gH и левая система вычетов по Н. Отметим, что
правый смежный класс Hg есть в то же время левый смежный класс
g(g~xHg) по подгруппе g~xHg (см. 2.18). Подгруппы вида g~'Hg называ-
ются сопряжёнными с Н в G и будут специально рассматриваться в § 5.
Множества вида HgK, где НъК- подгруппы группы G и g е G,
называются двойными смежными классами G по (Н, К).
Под произведением IA 11В I мощностей множеств А и В понимается
мощность их декартова произведения А х В, а неравенство
IА I < IВ I означает, что существует взаимно однозначное отображение
А в В. Говорят, что IА I делит IВ I, если IВ I = IА II С I для некоторого
множества С.
Для любых подмножеств А и В группы G определяются под-
множества:
АВ := {ablae A, be В} — произведение Ли В,
А~1 := {а-11 а е А}, Ап :=А---Д при п е N.
п раз
Понятие подполугруппы полугруппы определяется подобно поня-
тию подгруппы.
В задачах этого параграфа вводятся: группа кватернионов Qg
(2.29) и кваз ациклическая группа Z „ (2.56).
р
2.1. Если Н < G, то
1) единица группы Н является единицей группы G;
2) элемент, обратный к элементу h е Н в Н, является обратным
к h в G.
2.2. Пусть X — подмножество группы G. Равносильны условия:
(1)X<G;
(2) XX U X-1 С X (т. е. ху е X для любых х, у е X иг1 е X для
каждого х е X);
(3) XX-1 С X;
(4) Х-'Х С X;
(5) Хх = X для любого х е X;
(6) хХ = X для любого хе X.
2.3. Пусть X - подмножество группы G такое, что XX С X (т. е.
X - подполугруппа в G).
1) Если X конечно или состоит из периодических элементов, то
X<G.
2) В общем случае X может не быть подгруппой в G.
2.4. Пересечение любого множества подгрупп группы G является
подгруппой в G.
2.5. Пусть g - элемент группы G и (#):={#"' I m е Z}.
1) (g) - (циклическая) подгруппа в G.
2) Если Н < (g) и т - наименьшее натуральное число такое, что
gm е /7, то Н = (ят).
3) Если o(g) = пе N, то (g) = {1, g,..., gn~l |.
2.6. Может ли бесконечная группа иметь лишь конечное число
подгрупп?
2.7. Пусть G- группа,g е G и o(g) =пф°°.
1) Если gm = 1, то т I п.
2) Если к - целое число, то o(gk) = —-—.
(и,£)
2.8. Пусть G = (а) - конечная циклическая группа порядка пик,
те I.
1) {ат) = (a(m-n)).
2) ак е {ат) <=> (т, л) I к.
3) Описать множество всех подгрупп группы G. Заметить, что:
а) для любого делителя т числа л группа G имеет точно одну
подгруппу порядка т;
б) число всех подгрупп группы G совпадает с числом всех
делителей числа л.
4) Указать все максимальные подгруппы группы G и их число.
2.9. (Теорема Лагранжа) Пусть Н <G n{Hgj li е J} - множество
всех правых смежных классов G по Н (Hg; Ф Hg, при i Ф j). Тогда:
l)G=j Hgi,
iej
2) IG I = IH11 G : H\, в частности, если G - конечная группа, то IЯI
делит IG I.
2.10. Получить аналог утверждения 2.9, рассмотрев левые смежные
классы вместо правых.
2.11. Порядок элемента конечной группы делит порядок этой
группы.
2.12. Группа простого порядка является циклической.
2.13. Определить все подгруппы каждой из групп: Z4, Z2 к Z2, Z6, Sy
2.14. Останется ли верным утверждение 1) из 2.3 (хотя бы в случае
конечной группы G), если условие XX С X заменить условием "произве-
дение любой пары различных элементов из X принадлежит Х"1
2.15. Определить все подгруппы группы Z+ и их индексы. Указать
её максимальные подгруппы. Заметить, что для любого к е N группа
Z+ имеет точно одну подгруппу индекса к.
2.16. Группа Z+ имеет собственные подгруппы и изоморфна каждой
из них.
Имеются ли другие группы с этим свойством?
2.17. 1) В циклической группе нет двух подгрупп с равными индек-
сами.
2) Указать систему вычетов {g) по {gm} (т е Z).
2.18. 1) Если Н < G ng е G, то g~'Hg := {g~'hg I h e H} <G.
(Подгруппы вида g~lHg называются сопряжёнными с H в G.)
2) Сопряжённые подгруппы изоморфны и имеют равные индексы
bG.
3) Привести пример группы G и её подгруппы Н в случаях, когда
а) Н имеет несовпадающие с ней сопряжённые подгруппы,
б) Н не имеет несовпадающих с ней сопряжённых подгрупп.
2.19. Пусть А и В — подгруппы группы G. Равносильны условия:
(1) АВ С ВА;
(2)АВ = ВА;
(3) АВ < G.
2.20. (Закон Дедекинда) Пусть А, В, Н - подгруппы группы G
такие, что G = АВ wA<H<G. Тогда Н = А(В П Н).
2.21. Пусть А и В - множества периодических элементов группы G
и АВА С А. Тогда АВ и ВА — подгруппы в G, а А есть левый смежный
класс по ВА и правый смежный класс по АВ.
2.22. Пусть А и В - конечные подмножества группы G. Равно-
сильны условия:
(1)ДВД С Д;
(2) А < G и В С А.
2.23. Может ли какая-либо группа быть теоретико-множественным
объединением двух своих истинных подгрупп?
2.24. Пусть Л, B,C,D- подгруппы группы G такие, что
A U В = С U D.
Тогда
либо (Д, В) = (С, О),
либо левая и правая части равенства — подгруппы в G (и тогда левая
часть совпадает с А или В, а правая — с С или D).
2.25. Пусть группа G имеет подгруппы А и В такие, что разность
б\Д UB состоит из конечного числа ^-элементов.
1) Группа G конечна.
2) IА П В I делит к и к > 1(Д \Д П В)(В\А П В)1.
3) Какова группа G при к е {1,2)?
2.26. Определить все группы, которые
а) не имеют собственных подгрупп,
б) имеют точно одну собственную подгруппу,
в) имеют точно две собственные подгруппы,
г) имеют точно три собственные подгруппы.
2.27. Определить конечные группы, имеющие
а) точно одну максимальную подгруппу,
б) точно две максимальные подгруппы.
2.28. Пусть п - натуральное число и М - множество всех лхл-мат-
риц, составленных из чисел 0 и 1, в любой строке и любом столбце
которых имеется точно одна единица. Тогда М - подгруппа в GLn(C),
изоморфная симметрической группе S„.
«
2.29. Восемь матриц
оА .( о .fo П
4-1 0> о>
где i2 = -1, образуют подгруппу группы GL2(C). (Эта группа обозна-
чается через Qg, а всякая изоморфная ей группа называется группой
кватернионов.)
2.30. Пусть М = (1, -1, i,j, k, -i, —j, -к] (здесь знак " служит лишь
различительным знаком при задании некоторых элементов) и -
бинарная операция на М, заданная таблицей:
1 -1 i j к —i -j -k
1 1 -1 i j к -i ~j -k
-1 -1 1 -i -j -к i j к
i i —i -1 к -j 1 -k j
j j -j -k -1 i к 1 —I
к к -k j —i -1 i 1
-i —i i 1 -k j -1 к -j
-j -j j к 1 —i -k -1 i
-к -к к -j i 1 j —i -1
1) (Л/, •) - группа, изоморфная Qg.
2) Определить порядки всех элементов этой группы и все её
подгруппы.
2.31. Пусть А и В - подгруппы группы G.
1) Если Ag С Bh для некоторых g,he G,toA<B.
2) Если А] и В] - объединения некоторых множеств правых смеж-
ных классов по подгруппам Л и В соответственно, то А, П Bt есть объ-
единение некоторого множества правых смежных классов по А П В.
2.32. Пусть М - подмножество группы G. Равносильны условия:
(1) для любого ge G либо gM = М, либо gM П Л/ = 0;
(2) ММ-'М = М;
(3) М есть смежный класс по некоторой подгруппе из G.
2.33. Если множество М периодических элементов группы G та-
ково, что Мп = М для некоторого л > 2, то Мп~А <G и М — смежный
класс по Мп~1.
2.34. Пусть М - подмножество группы G. Тогда множество Н :=
:= е G I Mg = М] является подгруппой в G, причём МН = М и если
I МI конечен, то IНI делит IМI.
2.35. Если подмножество М группы G является объединением
некоторого множества левых смежных классов по подгруппе /7, и
одновременно является объединением некоторого множества левых
смежных классов по подгруппе Нг, то G является объединением неко-
торого множества левых смежных классов по подгруппе (Ни Я2)-
2.36. Для конечных подмножеств А и В группы G равносильны
условия:
(1) I АВ I = IА I;
(2) А является объединением нескольких левых смежных классов
по подгруппе (ВВ~}).
2.37. Если М - конечное подмножество группы G, то
П Мт' и ("| т~1М- подгруппы в G.
теМ теМ
2.38. Пусть Н <G и g е G. Равносильны условия:
(l)gHgCH,
(2)HUgH<G.
2.39. Если группа G является объединением конечного числа смеж-
ных классов по подгруппам /7Ь ... ,Н„(пе N), то по крайней мере одна
из этих подгрупп Н, имеет конечный индекс в G.
2.40. Произведение А] ... А„ подмножеств А], ... , А„ группы G
называется точным произведением и обозначается через А, °... ° Ап.
если каждый элемент х из А ] ... А„ имеет единственную запись вида л =
= О] ... ап, где а, е А,- (1 < i < л).
1) Если А < G, то равенство G =A°S (соответственно, G = So А)
равносильно утверждению, что S есть некоторая правая (соответ-
ственно, левая) система вычетов G по А.
2) Произведение подгрупп А и В является точным тогда и только
тогда, когда А П В — 1.
3) Произведение конечных подмножество А1(..., А„ группы G явля-
ется точным тогда и только тогда, когда I А] ... А„ I = I А] I... I А„ I.
4) (А°В)°С = А°(В°С), т.е. если АВС = (А«В)оС, то АВС =
= А о (В о С), и обратно; при этом АВС = А° В ° С.
5) Если А = А] о.-c Дп, В - В\о-о Вт и АВ = А ° В, то АВ =
= А] о... о Ап о В] о--.о Вт.
6) х(А ° В)у = (хА) ° (By) при любых х, у е G.
2.41. Пусть <р — изоморфизм группы G в группу Н и А < В < G. Тогда
Дф < Н и I В1? : I = IВ : А I.
2.42. Z+ х Z+ ¥= Z+.
2.43. Пусть A<B<G. Показать, что из G = .$']« В и В =
= S2° A (S| QG,S2Q G) следует G = (Sp S2) ° А. В частности, I G : A I =
= IG:BIIB:AI.
2.44. Пусть А и В - подгруппы группы G.
1) Если А = 5 о (А Г1 В), то АВ = So В.
2) Если АВ = 5 о В и 5 С А, то A =S о (А П В).
3) Если А мВ конечны, то
2.45. Если А и В - подгруппы G, то из А = (А Г) В) ° 5| и В =
= (А П В) ° S2 следует, что АВ = (А П В) о ° S2).
Получить аналог этого утверждения для левых систем вычетов,
2.46. 1) Пусть Н — подгруппа конечного индекса п группы G. Тогда
для любой подгруппы А из G индекс IА : А П Н I также конечен и не
превосходит п. При этом I А: А П Н I = п тогда и только тогда, когда
AH = G.
2) Если А, В, С — подгруппы группы G иА<В, то1ВПС:АГ1С1<
<\В :А1.
2.47. Если подгруппы АиВ имеют конечные индексы в группе G,
то их пересечение А П В также имеет конечный индекс в G, причём
I G : А П В I < I G : А 1-1 G : В I.
Равенство здесь имеет место тогда и только тогда, когда G = АВ.
2.48. Если А! < А < G и В] < В < G, то
IA ПВ:А] OBJ <IA rAJIBrB, I
2.49. Пусть Н — подгруппа группы G и G = Н ° Т, где Т с G. Если
ТТ с Т, то Т-подгруппа в G.
2.50. Пусть G — группа и Г - левый смежный класс группы G по
некоторой ее неединичной подгруппе. Предположим, что Т при замене
любого его элемента любым элементом из G\T снова будет смежным
классом группы G. Найти строение G.
2.51. Пусть А и В - подгруппы группы G. Тогда различные двойные
смежные классы AgB (g е G) попарно не пересекаются.
2.52. Пусть AjgBj С AhB, где Аь В1; А, В - подгруппы и g, h -
элементы группы G. Верно ли, что Aj < А и В] < В?
2.53. Пусть А и В - подгруппы группы G и g g G.
1) AgB =A°S, где 5CGhI5I = IB:BD g'Ag I.
2) AgB = T°B, где T C G и I Tl = IA : gBg~' П A I.
3) Если AgtB,..., Ag„B - все двойные смежные классы G по (А, В),
то
IG : А I = £1 В: В П ft1 Ag,J.
i=l
2.54. Пусть H и К - подгруппы конечных и равных между собой
порядков в группе G (в частности, может быть Н = К). Тогда G имеет
подмножество 5 такое, что
G = H°S = S°K,
т. е. существует общая система представителей левого разложения G
по Я и правого разложения G по К.
2.55. Не всегда из G = Н ° S, где Н < G и 5 С G, следует, что G=S°H
(даже для конечной группы G).
2.56. 1) Множество всех элементов группы С , порядки которых
есть степени данного простого числа р, является в ней подгруппой. (Эта
группа обозначается через Z^„, а всякая изоморфная ей группа
называется квазациклической р-группой (или группой типа р°°).)
2)Z =UZ,..
3) Z „ есть бесконечная группа, все истинные подгруппы которой
конечны.
4) Имеет ли группа Z „ максимальные подгруппы?
2.57. Пусть в группе G даны подгруппы Н\, ...Н„, ... , состав-
ляющие возрастающую последовательность, т. е. такие, что Нп С.
для любого л = 1,2,.... Тогда IJ Нп также является подгруппой в G.
п=1
2.58. Какие из следующих групп являются объединением воз-
растающей последовательности своих истинных подрупп: Z+, Q+,Z „,
группа с конечным порождающим множеством, подгруппа группы С’,
состоящая из всех её периодических элементов?
2.59. В группе Q+ каждая подгруппа является либо бесконечной
циклической группой, либо объединением возрастающей последова-
тельности бесконечных циклических групп.
2.60. Группа Q+ не имеет истинных подгрупп конечного индекса.
Имеются ли в Q+ максимальные подгруппы?
§ 3. Элементы
и порождающие множества группы
Пусть X - подмножество группы G. Пересечение всех подгрупп
группы G, содержащих X, есть подгруппа в G (3.1), которая назы-
вается подгруппой, порождённой множеством X, и обозначается через
(X). Очевидно, (0) = {1} и (X) = (X-1), где Х~1 = {х-11 х е X}. Если
G = (X), то говорят, что X есть порождающее множество группы G,
или, что G порождается множеством X, или, что G порождается
элементами множества X. Если X = (а, Ь,...) или X =Х\ U Х2 U , то
вместо (X) пишут {а, Ь, ...) или (Хь Х2, ...) соответственно. (Это не
противоречит введенному в § 1 обозначению (g) ввиду 3.1).
При изучении группы важным является выявление перестано-
вочности определённых её элементов. В связи с этим рассматриваются
следующие подгруппы (3.18):
Cg(&) := (х е Gl XS = _ централизатор элемента g bG (g е G), и
Z(G) := Cc(g) - центр группы G.
geG
Пусть л - множество простых чисел. Элемент группы называется
п-элементом, если он имеет конечный порядок, все простые делители
которого лежат в л. Группа, состоящая из л-элементов, называется
n-группой. При л = {/?} в этих терминах вместо л пишется р. p-элемен-
ты при любом простом р называются примерными элементами.
Важными подгруппами конечной группы G являются её силовские под-
группы. Если ра - наивысшая степень простого числа р, делящая IG I, и
а е N, то любая подгруппа из G порядка р° называется её силовской
р-подгруппой. В 3.8 утверждается, что конечная абелева группа имеет
силовскую р-подгруппу для любого простого р, делящего её порядок.
(Такие подгруппы существуют в любой конечной группе; см. 5.17 и
10.1.) Неединичная абелева группа, все неединичные элементы
которой имеют простой порядок р, называется элементарной абелевой
р-группой. Положим
Е?л := Zp x...xZp (р — простое число, п е N).
л раз
Напомним, что o(g) обозначает порядок элемента g группы.
В задачах этого параграфа вводятся диэдральные группы D2n и
(3.42, 3.43) и группа р-ичных дробей Q(p) (3.61). Появляются здесь
также элементы вида x~}gx, где g, х е G, называемые сопряжёнными
с g в G. (Систематическому рассмотрению сопряжённых элементов по-
священ § 5.)
3.1. Если X - подмножество группы G, то
(X) = (l.xj ...хЛ1х,е X иг1,5= 1,2,...}.
3.2. Группа имеет порождающее множество мощности 1 если и
только если она - циклическая.
3.3. 1) Пусть п g N, g g G и o(g) = п. Если т g N и (m, л) = 1, то
существует t G N такое, что gml = g и, следовательно, mt = l(mod ri).
2) Пусть т, п g N. Тогда существуют целые числа х и у такие, что
(те, ri) = хт + уп.
3.4. Пусть G = {а) - циклическая группа (а е G)wH<G.
1) Если Н = {а"\ а”2,...), где (те,, тег,...} С Z, то Н = {сё1), где d есть
наибольший общий делитель чисел те,, те2.
2) {ак) Г) {а1) = (a(WI) при любых к, I g Z, где [Л, /] = I kl \l(k, I)
(наименьшее общее кратное к и /).
3) Указать все элементы, каждый из которых порождает G.
Заметить, что если I G I = л, то число таких элементов равно ф(л), где
ф - функция Эйлера (т.е. ф(л) = I {те G N I те < л, (те, л) = 1} I).
4) Если I G : НI = те, то всякий порождающий элемент группы Н яв-
ляется те-ой степенью некоторого порождающего элемента группы G.
5) Выписать все элементы группы G, не являющиеся квадратами
никаких элементов из G.
3.5. Если группа имеет периодическую подгруппу конечного индек-
са, то она сама периодическая.
3.6. Пусть л - множество простых чисел и G - абелева группа,
порождённая некоторым множеством л-элементов.
1) G есть л-группа.
2) Если G конечна, то все простые делители её порядка лежат в л.
3) Показать, что для неабелевой группы G утверждение 1) может
быть неверным.
3.7. Пусть а - элемент некоторой группы G, порядок которого ра-
вен тел, где (те, л) = 1. Тогда в G существует точно одна пара элементов
g, h такая, что
a = gh = hg, o(g) = m, o{h) = n,
причём g и h являются степенями элемента а и {а) = {g){h).
3.8. Пусть G - конечная абелева группа.
1) Если IG I = тп, где (иг, л) = 1, то G имеет точно одну подгруппу М
порядка т и точно одну подгруппу N порядка п. При этом G = MN.
2) Если I G I = р°'... р°‘, где р^,..., ps- различные простые числа и
a, е N, то G = Р] ... Ps, где Р,- - (единственная) подгруппа порядкар“'
(силовская р,-подгруппа) в G (i = 1,..., .v).
3) Записать разложение группы G в произведение её силовских
подгрупп Р, (как в 2)) для G е {Z30, Z6I, Zl0 X Z^}.
4) G имеет элемент, порядок которого делится на порядок любого
элемента из G.
3.9. 1) Привести пример конечной группы G и её истинной под-
группы Н таких, что G \ Н не содержит элементов простого порядка.
2) Существует ли конечная группа G с истинной подгруппой Н та-
кой, что G \ Н не содержит примарных элементов (т. е. элементов,
порядок которых есть степень простого числа)?
3.10. Группа 53 порождается двумя элементами а и Ь, удовлетво-
ряющими соотношениям (равенствам)
а2 = 1, ZP = 1, (ah)2 = 1.
3.11. В группе S4 рассмотрим элементы
(1 2 3 4> (1 2 3 4>
а= , Ь = \
{2 3 4 1) 1,4 3 2 1)
1) (a)(h) - силовская 2-подгруппа в S4.
2) Указать некоторую силовскую 3-подгруппу в S4.
3) Группа S4 порождается двумя элементами х и у, удовлетворяю-
щими соотношениям
л4=1, у3=1, (ху)2=1.
3.12. Какие из следующих отображений являются взаимно одно-
значными отображениями из G на G для любой группы G?
Ost-^g-’ (ge G).
2) g g2 (g e G).
3) g ag (ge G) при фиксированном a e G.
4)gH cr'ga (g e G) при фиксированном a e G.
Какие из этих отображений являются изоморфизмами: а) любой
группы G, б) любой абелевой группы G?
3.13. 1) В конечной группе чётного порядка всегда есть инволюция.
Более того, число её инволюций нечётно.
2) В любой конечной группе число элементов порядка п при каж-
дом л > 2 чётно.
3.14. Если все неединичные элементы группы G имеют порядок 2,
то эта группа абелева.
3.15. Конечная элементарная абелева р-группа, где р - простое
число, изоморфна £ „ для некоторого п е N.
3.16. Найти число подгрупп порядка рт в группе Е „ (т < л).
3.17. Пусть G — группа нечётного порядка.
1) Каждый её элемент является квадратом некоторого элемента.
2) Пусть а — некоторый фиксированный элемент из G. Тогда
каждый элемент g из G единственным образом представляется в
виде:
g = хах, где хе G.
3.18. Пусть а е G и X С G. Тогда множество
Сс(Х) := {ge Glxg = gx для всех х g X]
есть подгруппа в G. В частности, CG(a) и Z(G) - подгруппы в G.
3.19. Может ли Z(G) быть максимальной подгруппой в G?
3.20. Если Н < G, то CG(CG(CG(//))) = Сс(Н).
3.21. Найти централизаторы элементов:
fl 0> fl -П
а)-х = 1 _1и3' = 1о t в группе GL2(C),
'1 0 О'
б) Z = 0 1 0 в группе GL3(C)
J 0 1,
3.22. Пусть А и В — конечные подмножества группы G. Тогда
X IBDCG(a)l= X UnCG(fe)l.
ggA beB
3.23. Пусть ф - изоморфизм группы G на группу Н.
1)Z(G)4> = Z(H).
2) Сс(Аг)ф = С/у(Хф) для любого подмножества X из G.
3. 24.1) Группа SL2(G) имеет точно одну инволюцию.
2) Найти все инволюции группы GL2(C).
3.25. Пусть а и b - элементы группы G.
1) о(а) = о(<г’).
2) Если h = g~}ag для некоторого g g G (т. е. h сопряжён сев G), то
о(а) = о(Ь).
3) o(ab) = o(ba).
4) Если группа G имеет только одну инволюцию t, то t е Z(G).
3.26. 1) Пусть а, Ь, с - инволюции некоторой группы. Тогда все
элементы группы, получающиеся из произведения abc перестановкой
множителей, имеют равные порядки.
2) Для произвольных элементов а, Ь, с группы может быть o(abc) *
Ф o(cba). (Рассмотреть группу S4.)
3.27. Пусть G = {а, Ь), где ar'ba = й”1 и b~lab = о-1. Тогда а4 = b4 = 1.
Если при этом а Ф 1 Ф Ь, то G изоморфна Z2 х Z2 или Q8.
3.28. Если х, у - неединичные периодические элементы группы G
такие, что лг’ух = у1, то хотя бы один из элементов х и у имеет чётный
порядок.
3.29. Пусть G = {а, Ь) и bab = а, то a2 g Z(G).
3.30. Если a, be G, а4 = fe4 = 1 иЬа = а2/?2, то ab = (Ьа)2 и (ba)5 = 1.
3.31. Если a, be G иЬа = а2/?2, то
1) ba2 = а2п(Ьа2)Ь2п при любом целом л,
2) а2 и Ь2 имеют равные порядки,
3) аЬ4 и а4Ь имеют равные порядки.
3.32. Если а и Ь - элементы группы такие, что Ьа = а4Ь\ то «(а4/?) =
= о(а2Ь3).
3.33. Если a, b е G иЬа = amb" (т, п е Z), то элементы атЬ"~2, а’"~2Ьп
и ab~' имеют равные порядки.
3.34. Если a, be G, cfi = 1 и ba = а4Ь, то а3 = 1 и ab = Ьа.
3.35. Пусть а и Ь - периодические элементы группы и л е N.
1) Если ап = h", то [л, о(а)] = [л, o(fe)].
2) Если о(а) = ра и o(Z?) = р₽, где р — простое число и а, р е N, и если
ап = Ь" Ф 1, то о(а) = o(h).
3.36. Если А и В - подгруппы группы G и В $£ А, то {В \ А) = В.
3.37. Пусть G - группа, в которой среди любых трёх элеменов
найдутся два перестановочных между собой. Тогда G абелева.
3.38. Пусть А и В - истинные подгруппы (циклической) группы G
такие, что любой элемент из G, не порождающий G, лежит в A U В.
Какова G?
3.39. Каждая группа имеет порождающее множество, порядки эле-
ментов которого либо все конечны, либо все бесконечны.
3.40. Пусть Н <G, teG\Hn r'ht = h'1 для всех he Н.
1) Н абелева и (Н, t) = H(t).
2) Если t - инволюция, то {Н, t) — D(H).
(Р(Н) - обобщённо диэдральная группа, определённая в 1.46.)
3.41. Пусть Н < G и G \ Н состоит из инволюций. Тогда Н абелева и
либо G - элементарная абелева 2-группа,
либо IG : Я1 = 2 и G == О(Н)-
3.42. Пусть G := D(Z„), где п е N и п > 2.
1) G есть группа порядка 2п. (Эта группа обозначается через О2,„ а
всякая изоморфная ей группа называется диэдральной группой порядка
2л.)
2) G имеет циклическую подгруппу (а) порядка л и G \ {а} состоит
из инволюций.
3) D4 — Z2 х Z2.
4) При л > 2 группа О2„ неабелева.
5)О8*С8-
3.43. Положим, £>„, := £>(Z+). (Всякая группа, изоморфная группе /-С,
называется бесконечной диэдральной группой.)
Тогда G имеет бесконечную циклическую подгруппу (а) индекса 2 и
G \(а) состоит из инволюций.
3.44. Для группы G и натурального числа л > 2 следующие условия
равносильны (a, h, х,ye G):
(1) G = {а, Ь), где о(а) = о(Ь) = 2 и o(ab) = л;
(2) G = (х, у), где о(х) = 2, о(у) = п,х* у и х’ух = у4;
(3) G = О2„.
3.45. Следующие условия группы G равносильны:
(1) G = {а, Ь), где о(а) = о(Ь) — 2 и o(ab) = <*>;
(2) G = (х, у), где о(х) = 2, о(у) = <*> и х'ух = у-1;
(3) G -
3.46. Найти центры групп D2„ и D^.
3.47. Следующие подгруппы группы S4 является диэдральными:
/р 2 3 4W1 2 3 4Y
1) \[г 1 3 4/ [з 4 1 2jt
/р 2 3 4W1 2 3 4V
2) \^2 1 3 4/ [2 4 3 1 [
Указать их порядки.
3.48. Следующие условия группы G равносильны:
(1) G порождается двумя инволюциями;
(2) G - диэдральная группа (конечная или бесконечная).
3.49. Если G - группа порядка 2р, где р - простое число, то G изо-
морфна Z2p ИЛИ Djp-
3.50. Существуют ли группы, содержащие точно две инволюции?
3.51. Группа кватернионов Qg (2.29) порождается двумя элементами
i и j, которые связаны соотношениями:
i4 = 1, J4 = 1, i2=J2,
3.52. Пусть G = {х, у), где элементы х и у удовлетворяют соотно-
шениям:
X4 =1, у4 = 1, х2 = у2-, ху = у'х.
Тогда справедливо одно из следующих утверждений о строении G:
1)х = у = 1 и G = 1;
2) х - 1, о(у) = 2 и G = {у} — Z2;
3) о(х) = 2, у - 1 и G = (х) ' Z2;
4) о(х) = о(у) = 2 и G — О4;
5) о(х) = о(у) = 4 и G = Qg.
3.53. Какова группа G, которая порождается любыми двумя своими
неединичными элементами?
3.54. Пусть любые два неединичных элемента конечной группы G
порождают циклическую подгруппу. Какова G?
3.55. Пусть любые два неединичных элемента конечной группы G
порождают циклическую или диэдральную подгруппу. Какова G?
3.56. Если G — конечно порождённая (т. е. порождённая конечным
подмножеством) группа, то каждое её порождающее множество
содержит конечное подмножество, порождающее G.
3.57. На примере группы £>„, х Z2, показать, что
а) произведение двух неединичных периодических элементов груп-
пы может быть как периодическим, так и непериодическим элементом;
б) произведение двух непериодических элементов может быть как
периодическим, так и непериодическим элементом;
в) произведение неединичного периодического и непериодического
элементов (в любом порядке) может быть как периодическим, так и
непериодическим элементом.
Имеется ли такая "свобода" быть периодическим или непериоди-
ческим элементом для произведения элементов в абелевых группах?
3.58. В одномерном торе (см. 1.17)
а) любое конечное множество периодических элементов порож-
дает конечную подгруппу,
б) каждая конечная подгруппа циклическая,
в) для каждого натурального числа п существует одна и только
одна подгруппа порядка п.
3.59. Пусть а, b е С+. Тогда либо {а) Г) (h) = (0), либо (a, h) -
циклическая группа.
3.60. 1) Любое конечное множество элементов группы Q+ по-
рождает циклическую подгруппу.
2) Пересечение любых двух неединичных подгрупп группы Q+ есть
также неединичная подгруппа.
3) Группа Q+ порождается элементами вида где р - простое
число и л е N.
4) Q+ =/1, 1
\2! 3!
л!
3.61. Для любого простого числа р обозначим через Q(p) мно-
_ - т
жество всех р-ичных дробей, т. е. чисел вида —, где т и п целые
Рп
числа.
1) Z+ < Q(p) < Q+.
2) Q(P) = (-
\Р
Р1
3) Если подгруппа Н из(Др) содержит несократимые дроби — и
Р‘
—, где a, b, i, j е N, то Н содержит также дробь-4^, где <1 — (а, Ь).
Р
Р'
4) Определить все подгруппы группы Q(p). Показать, что
каждая её истинная нециклическая подгруппа имеет вид £Q(p)
к JL-
Р' Р1'"" Р’
.) , где Ле N и (к, р).= 1, и изоморфна всей группе
Q(p). Каков индекс I Q(p): £Q(p) I?
5) Указать максимальные подгруппы группы Q(p).
6) Q(p) Q(q) при p*q(q- простое число).
3.62. Пусть а и b - элементы абелевой группы без кручения (т. е.
(»сз элементов конечного порядка).
1) Если а” = Ь", где ле N, то а = h.
2) Если а” = If, где {т, п} С N, то {а, Ь) - циклическая группа.
И. А. Белоногов 33
3.63. Пусть G - бесконечная абелева группа, каждая собственная
подгруппа которой имеет в ней конечный индекс. Тогда G — цикли-
ческая группа.
3.64. Пусть группа G имеет элементы аиЬ конечных порядков т и
п такие, что ab = ha.
1) Если (т, л) = 1, то о(аЬ) = тп и {a, b) = {ah).
_ . . , , ... тп пт
2) Если (т, п) = а > 1, то o(ab) делит-и делится на —у.
d d
3) Показать на примерах, что в случае 2) o(ab) может быть равен
тп _ тп тп тп
-ур, может быть равен — и может отличаться и от и от — •
d d* d
4) Если (а) Г) {b) = 1, то o(ab) = •
5) В группе (а, Ь) всегда есть элемент порядка ~ •
6) Если т = ра и п = р₽, где р - простое число и а < Р, то o(ah) = р₽.
3.65. Пусть а - элемент, а Н — подгруппа некоторой группы.
Порядок элемента а относительно подгруппы Н, обозначаемый сим-
волом о(а; Н), определяется следующим образом: если среди степеней
ап(п — 1) элемента а есть содержащиеся в Н иа' - наименьшая среди
них, то о(а; Н) = г, если же ни одна степень e"(/i 1) не содержится в Н,
то о(а; Н) = оо.
Доказать следующие утверждения:
1) если о(а; Н) = г е N, то
а) (аг) = (а) П Н,
б) г = |(а) : <а> П Я |,
в) о(аП; Н) = --для всех л е Z;
(г, л)
2) если о(а) конечен, то о(а; Н) | о(а)\
3) о(а\ = тогда и только тогда, когда о(а) = °о и (а) Г) Я = 1;
4) из Н < К s G следует, что о(а; К) | о(а; Н) (если о(а; Я) конечен);
5) если ат е Я (т е N), то т делится на о(а; Н).
3.66. Если a, be G, о(а) = a, о(Ь) = Р, о(а;(Ь)) = аь o(Zr, (а)) = рь то
1)-4;
О| Р1
2) если = а', то а, = (а, г);
3) если Ь$1 = а' и ab = Ьа, то
(а,Р,+г)
3.67. Пусть a, be G. Определить o(h), o(ah) и | {а, h) |, если
1) о(а) = 12, b7 = a9, ab = Ьа;
2) о(а) = 20, /?4 = а6, ah = ha.
3.68. Пусть т, п е N.
1) Определить порядки всех элементов группы Z„, х Z„.
2) Z„, х Z„ = Zm„ если и только если (т, л) = 1.
§ 4. Нормальные подгруппы
и гомоморфизмы
Если Н - подгруппа группы G и Hg = gH для всех g е G, то говорят,
что Н — нормальная подгруппа группы G и пишут Н < G. Другими
словами, Н нормальна в G, если она совпадает с любой сопряжённой с
ней подгруппой g~xHg. Запись Н < G означает, что Н< G и Н Ф G.
Группа называется простой, если она не единична и не имеет соб-
ственных нормальных подгрупп. Минимальной нормальной подгруп-
пой группы G называется неединичная нормальная подгруппа из G, не
содержащая других неединичных нормальных подгрупп группы G.
Если А и В - подгруппы группы G такие, что 1) G = АВ,
2) А П В = 1, 3) А < G и 4) В < G, то пишут
G = А х В и говорят, что группа G есть (внутреннее) прямое
произведение подгрупп А и В. Хотя знак х употребляют также и при
обозначении внешнего прямого произведения (см. 1.32), из контекста
обычно бывает ясно, какое прямое произведение подразумевается.
Если для подгрупп Ан В выполнены условия 1)3), то пишут
G = А X В и говорят, что группа G есть полупрямое произведение А
и В с нормальным множителем А. Для подмножества М группы G
подмножество
NC(M) :=(ge G | Mg = gM} есть подгруппа в G, называемая
нормализатором М в G, причём для любой подгруппы Н из G NG(H)
есть наибольшая среди подгрупп N группы G таких, что Н < N (4.10).
Важнейшим свойством нормальной подгруппы Н группы G яв-
ляется то, что множество всех смежных классов gH (g е G) относи-
тельно операции умножения подмножеств является группой (4.19). Эта
группа обозначается через G/Н и называется фактор-группой группы
G по Н. Понятие фактор-группы тесно связано (см. 4.33) с понятием
гомоморфизма.
Отображение <р группы G в группу Н называется гомоморфизмом,
если
<p(afe) = <p(a)<p(Z?) для всех a, he G
(и в G, и в Н групповая операция обозначена точкой). Наряду с обозна-
чением <p(g) для образа элемента g часто используется обозначение g^.
С гомоморфизмом ф группы G в группу Н связаны:
<p(G) := {<p(g) |ge G) - образ гомоморфизма <p (подгруппа в H),
Ker(ty) := (g e G | <p(g) = 1) - ядро <p (нормальная подгруппа в G).
Вместо <p(G) пишут также &?.
Говорят, что Н есть собственный гомоморфный образ группы G,
если существует гомоморфизм <р G на // такой, что 1 < Кег(<р) < G.
Гомоморфизм <р группы G в группу Н называется эпиморфизмом, если
<p(G) = Н, мономорфизмом, если <р — изоморфизм, и тривиальным го-
моморфизмом, если <p(G) = 1. Фактор-группа подгруппы группы G на-
зывается её секцией.
Наличие в группе собственных нормальных подгрупп часто позво-
ляет применить индукцию при доказательстве утверждений о конечной
группе.
Если Н — абелева группа с операцией +, то множество М всех го-
моморфизмов из G в Н с операцией
(а + P)(g) = oc(g) + P(g) (а, Р е М, g е G)
является группой (4.62), которая обозначается через Hom(G, И).
Далее будет использоваться знак — < (единственное произведение
бинарных отношений, встречающееся в этой книге), а именно, запись
А — < В означает, что А изоморфна подгруппе группы В.
4.1. Если N < G, то для любой подгруппы А из G
{A. N) = AN = NA uN С\ А <1 А.
4.2. Если G - конечная группа, N <1 G, g е G и (<>(g), | G : N |) = I, то
g е N.
4.3. Подгруппа индекса 2 любой группы нормальна в ней.
4.4. Пусть И < G и 5 - некоторая правая система вычетов G по Н
(т.е. G =Н ° S). Равносильны условия:
' (1)/7 < G,
(2) g~'hg е Н для любых g е G и he Н,
(3) s~lhs е Н для любых se Suhe И.
4.5. Если Д < G и В, < В < G, то Д, П В, < А А В.
v fl 2 3 4) fl 2 3 4А
4.6. Пусть N := (a, h), где а =4 и h = -
У \2 1 4 3J (З 4 I 2j
элементы группы Л'4.
1)Л' = (о)х(В) = Е4.
2) S4 имеет подгруппу S, изоморфную 53, такую что 54 - NS.
3) N < .$4 и, следовательно, S4 = NX S.
4) ,S4 имеет точно одну (нормальную) подгруппу индекса 2 (это -
знакопеременная группа А4 в терминах §7).
4.7. Пусть N < G и W содержит произведение ab некоторых эле-
ментов а и b из G. Тогда N содержит элементы атЬт и Ьтат при любом
целом т.
4.8. Для группы G и её подгруппы Н следующие условия равно-
сильны:
1)H<G;
2) всякий раз, когда Н содержит произведение ab каких-либо эле-
ментов а и b группы G, Н содержит также произведение а2& квадратов
этих элементов.
4.9. Пусть G - конечная группа и G = АВ, где А и В - подгруппы
взаимно простых порядков. Тогда для любой нормальной подгруппы N
из G справедливо равенство N = (А Г) N)(B П N).
4.10. Пусть М - подмножество группы G.
1) NG(M) := {g g G I Mg = gM]) есть подгруппа группы G (норма-
лизатор M в G).
2) Если Н < G, то NG(H) есть единственный максималный элемент
во множестве всех подгрупп N группы G таких, что И<N.
3) Cg(M)< Ng(M). В частности, если Н< G, то CG(H) < G.
4.11. Пусть М - максимальная подгруппа группы G. Тогда для
любой подгруппы А из G либо Z(A) С М, либо Z(Af) П А < G.
4.12. Если А < В < G, то NG(B\A) = NG(A) П NG(B).
4.13. Привести пример группы G и её подмножества М таких, что
NC(M)=1.
4.14. Если G = А х В - прямое произведение подгрупп А и В, то
каждый элемент из А перестановочен с каждым элементом из В.
4. 15.1) Если G = А х В - прямое произведение подгрупп А и В, то G
изоморфна внешнему прямому произведению групп А и В.
2) Если Н = Ах В — внешнее прямое произведение групп А и В, то
Н - прямое произведение своих подгрупп А и В таких, что А — А и
В —В.
4.16. Пусть а и b - перестановочные элементы конечных взаимно
простых порядков группы G. Тогда
О (ab) = {а} х (В),
2) CG(ab) = CG(a) П Сс(Ь),
3) Nc«ab)) = Nc((a))nNc((b)).
4.17. Пусть G = (а) х {Ь}, где о(а) = o(b) = п е N, и Н = {ah, a~'h).
Тогда Н = G, если п нечётно, и | G : Н | =2, если п чётно.
4.18. Для подгруппы Н группы G равносильны условия:
(1) множество всех левых смежных классов по Н совпадает с
множеством всех правых смежных классов по Н\
(2) каждая левая система вычетов G по Н является правой системой
вычетов G по Н;
(3)H<G.
4.19. (Т) Пусть Н < G и - множество всех левых смежных классов
G по Н. Равносильны условия:
(1) 3£ является группой относительно операции умножения
подмножеств,
(2) Н < G.
4.20. Утверждение 4.19 останется верным, если в нём слово "левых”
заменить словом "правых".
4.21. Пусть Е - единичная подгруппа группы G. Верно ли, что
G/E = G?
4.22. Пусть 'X - некоторое множество непустых подмножеств
группы G, являющееся группой относительно операции умножения
подмножеств группы G.
1) Если X содержит конечное подмножество из G или же группа
G периодическая, то X является фактор-группой некоторой подгруппы
из G.
2) Заключение пункта 1), вообще говоря, неверно, если все под
множества группы G, содержащиеся в 'X, бесконечны, и группа G не
периодическая (рассмотреть группу Z+).
4.23. Пусть Н - подгруппа группы R+. Для любого he Н определим
подмножество К/, = (х е R+ I х > й). Тогда множество {Kh I he Н} с
операцией сложения подмножеств есть группа, изоморфная Н. При
этом ни одно из подмножеств Kh (й е Н) не является подгруппой в R+.
4.24. Пусть Н и К - подгруппы группы G.
1) Если множество © всех двойных смежных классов HgK группы
G по {Н, К) является группой относительно операции умножения под-
множеств, то НК < G и © = GIHK (в частности, HgK = gHK для всех
8 е G).
2) Из НК < G не следует, что HgK = gHK для всех g е G. (Рас-
смотреть подгруппу А4 из 54, см. 4.6.)
4.25. (Т) Пусть N < G иА <G. Тогда AN <G,AC\ Л/< Л и
AN/N = А/А П N.
Более того, если 5 С А, то: AN = S ° N с=> А = S ° (ЛА N).
4.26. Пусть G[ и G2 - группы и Л/, < Gj при i е {1, 2}. Тогда Nx X
х N2 G] х G2 и
(G, х GJIM х N2) = (G/Л/,) х (G//V2).
4.27. Пусть N и К- нормальные подгруппы группы G. Тогда
N П К< G и G/N П К =< (GIN) х (G/K).
4.28. Пусть N и К - нормальные подгруппы группы G такие, что
Л/П/С=1.
1) Если GIN и G/К абелевы, то и G абелева.
2) Если GIN и G/K - л-группы, где л — множество простых чисел,
то и G - л-группа.
4.29. Пусть и * - бинарные операции на множествах X и Y соот-
ветственно и<р— отображение X на Y такое, что
ф(Л |Л-2) = ф(Х])*ф(х2) для всех jq, л2 е G.
Если (X, ) - группа, то (К, *) - группа.
Верно ли обратное утверждение?
4.30. Отображение ф группы G в группу Н есть гомоморфизм если
и только если ((g, ф(#)) I g е G} есть подгруппа в группе GxH.
4.31. Пусть ф — гомоморфизм группы G в абелеву группу Н. Тогда
отображение
6: = (G х G Н I (g},g2) фО^ЖЯгГ1)
есть гомоморфизм.
4.32. Пусть ф - гомоморфизм группы G, а А и В - сё подмножества.
Тогда
1)(А UB/i’ = /VPUB<i’,
2) (АВ)<р = .AWP,
3) (А, В)ч> = (4<р, №>.
4.33. (Теорема о гомоморфизмах)
1) Пусть N < G. Тогда отображение а с ga = gN (g е G) является
гомоморфизмом G на G/N. (а называется естественным гомоморфиз-
мом из G на G/N.)
2) Пусть ф - гомоморфизм группы G в группу Н. Тогда
Ker(<p) < G и G/Ker(<p) — G4’.
Более того, ф = ар, где а - естественный гомоморфизм G на G/Ker(<p),
а Д - некоторый изоморфизм G/Ker(tp) на GV.
4.34. (Т) Пусть N < G, Ж = {Н I N < Н < G) и А. В е Ж.
1) Отображение л : A i-> A/N (А е S£) есть взаимно однозначаное
отображение на множество всех подгрупп из G/N.
2)А*Г\Вп = (А П В)*.
3) (А", В"> = (А, В>".
4) IG": A"l = I G : А\.
5) А < G « А" < G", и при А < G С"/А" = G/A.
4.35. Пусть ф - гомоморфизм группы G с ядром N, а А и В - её под-
множества.
1) (А П В)ч> < А<р П Bf = (AN Cl BN)*.
2) NG(Ar < Nc9 (Аф) = Nc(ANf.
3)CG(A)<P<C (А<р) = П N(;(aNf.
Привести примеры строгих включений в пунктах 1)-3).
4.36. Пусть ф - гомоморфизм группы G и g е G. Если o(g) < то
о(Х’<р) делит o(g).
4.37. Усилить утверждение 4.2 следующим образом. Пусть g пе-
риодический элемент и N - нормальная подгруппа конечного индекса
группы G. Если (<Xg), I G : /VI) = 1. то g е N.
4.38. Пусть ф - гомоморфизм группы G и А < В < G.
1) А«р < Вч>, и I : А<₽ I делит I В : AI.
2) Если А < В, то В41/ Av = ВЛ'<?г(ф)/АЛ'<?г(ф) В/А.
4.39. Пусть G = (а)Х (Ь) — D-}„, т. е. о(а) = п, о(Ь) = 2 и bah = а~}.
1) Определить все нормальные подгруппы в G, доказав, что
а) все подгруппы из (а} нормальны в G;
б) если G имеет собственные нормальные подгруппы, не содер-
жащиеся в (а), то п чётно, таких подгрупп - точно две, и обе они со-
держат (о2).
2) Определить все (с точностью до изоморфизма) гомоморфные
образы группы О2п.
4.40. Определить все нормальные подгруппы и все (с точностью до
изоморфизма) гомоморфные образы группы DTC.
4.41. В группах Се и Z2 х каждая подгруппа нормальна. Опре-
делить все их гомоморфные образы.
4.42. Группа Z4 х (2и имеет ненормальную подгруппу.
4.43. 1) Указать две неизоморфные группы G с G/Z(G) — О8.
2) Не существует группы G с G/Z(G) — <28.
4.44. Группа Z?„ изоморфна любой своей собственной фактор-
группе.
4.45. Указать неединичную группу G такую, что G/Z(G) == G.
4.46. Пусть Nf < G] и N2 < G2.
1) Если = N2 и Gj/Ni — G-JN-ъ то будет ли G) — G2?
2) Если G] — G2 vlN]—N2, то будет ли Gi /Nt — G-JN-p.
3) Если Gj — G2 и Gi /Л/] — G-JN^ то будет ли N] — N2?
4.47. Группа G является объединением (теоретико-множествен-
ным) трёх своих истинных подгрупп А, В, С тогда и только тогда, когда
она имеет нормальную подгруппу N такую, что фактор-группа G/N
является четверной группой (т. е. иозморфна £4). Более того, если две
из этих трёх подгрупп абелевы, то и третья подгруппа абелева. При-
вести пример такой группы G в случае, когда А П В П С Ф 1.
4.48. Пусть группа G такова, что в каждом её чстырёхэлементном
подмножестве имеются два подмножества, состоящие из двух переста-
новочных элементов. Тогда G абелева.
4.49. Следующие условия группы G равносильны:
(1) среди любых четырёх элементов группы G имеются два пере-
становочных;
(2) либо G - абелева группа, либо G/Z(G) — Е4.
4.50. Пусть в группе G централизатор любого элемента либо равен
G, либо является её максимальной подгруппой. Тогда группа G/Z(G)
есть объединение некоторого множества попарно взаимно простых
абелевых подгрупп (в таком случае говорят, что группа G/Z(G)
обладает абелевым расщеплением).
4.51. Пусть М - максимальная подгруппа группы G и М < G. Тогда
I G : МI - простое число.
4.52. Пусть М - максимальная подгруппа группы G, не содержащая
неединичных нормальных подгрупп из G.
1) Если 1 < N < G, то CG(N) есть либо единичная, либо минималь-
ная нормальная подгруппа в G.
2) Существует не более одной неединичной абелевой нормальной
подгруппы в G.
3) Существует не более двух различных минимальных нормальных
подгрупп в G.
4) Если А и В - различные минимальные нормальные подгруппы
G, то
a)G = AXM = BXM,
б)А = Сс(В)иВ = Сс(А),
в) А, В и АВ А М - изоморфные неабелевы группы.
4.53. Пусть Н/К viL/M - две секции группы G. Говорят, что Н/К
покрывает ЫМ, если (Н A L)M = ЬиК A LCM. Равносильны условия:
(1) Н/К покрывает L/M;
(2) существует система представителей смежных классов L по М,
содержащаяся в Н, и всякая система представителей смежных классов L
по М, содержащаяся в Н, содержится в некоторой системе предста-
вителей смежных классов Н по К.
4.54. Пусть Н/К покрывает L/М. Тогда отображение хКн.хМ
(хе Н П L) является гомоморфизмом группы (Н A L)K/K на L/М с
ядром (И А М)К/К ("естественный гомоморфизм покрытия").
4.55. Отображение х t—> det(x) является гомоморфизмом группы
GLn(C) на группу С . Каково ядро этого гомоморфизма?
4.56. 1)C7R' R+.
2) Q(p)/Z* — Z,„.
3) Q+ / где Np — подгруппа группы Q+, состоящая из всех
чисел, знаменатели которых взаимно просты с р.
4.57. Пусть U обозначает мультипликативную группу всех ком-
плексных чисел с модулем, равным 1 (одномерный тор).
l)R+/Z+ = U.
2) UIZ„ = U.
3) C/Z„ = С.
4) С/R’ = U.
4.58. Пусть п е N и Нп - подмножество из С, состоящее из всех
чисел, лежащих на п лучах, исходящих от нуля под равными углами,
причём один из этих лучей совпадает с положительной действительной
полуосью. Тогда Нп< С' и C’/W„ — U.
4.59. Отображение группы Q", сопоставлящее числу 2'—, где
(I, т, п) С Z и т, п нечётны, есть гомоморфизм группы Q" на
группу Z+.
4.60. Указать все пары (т, п) целых чисел, при которых отобра-
жение
х 1-> mx" (х е Q -)
является гомоморфизмом группы Q’.
4.61. Для каждой из групп Q+, Z+, R‘ и Q’ проверить, может ли
она быть гомоморфно отображена на конечную неединичную группу.
4.62. Пусть G и Н - группы. Если группа Н абелева с операцией +,
то множество М всех гомоморфизмов из G в Н является абелевой
группой относительно операции +:
(а + Р)(£) = а(#) + р(х) (а, р е М, я е G)
(группа Hom(G,H)).
4.63. Пусть А = («> и В = (/?) - циклические группы. Тогда
Нот(А. В) - (с), где
о(Ь\
о{с) = 1,
если <>(й) = °°,
если о(а) < «>, о(Ь) = «>,
(о(а), о(Ь)). если о(а) < <*>, о(Ь)
4.64. Найти группы Hom(G, Н) в случаях, когда (G. Н) есть одна из
пар
a)(Z+,Q+),
6)(Z„,Q+),
в) (Q+, Z„) (и е N).
4.65. 1) Если ф - гомоморфизм Q+ в С+, то ф(б/) - <у<р( 1) для всех q е
е Q+
2) Найти Hom(Q+, Z+) и Hom(Q+, Q+).
§ 5. Сопряжённость
Элементы а и b группы G называются сопряжёнными в G, если
имеется элемент g в G такой, что g~iag = b. Элемент g~lag обозначается
также через ag. Множество
aG :={ag\geG]
называется классом сопряжённых элементов группы G (содержащим
элемент а). Любой элемент группы содержится, очевидно, точно в
одном её классе сопряжённых элементов. В частности, для конечной
группы G справедливо так называемое классовое равенство:
I GI = I q I + ... + I С* I,
где С|...Ск - все классы сопряжённых элементов группы G. С его
помощью может быть доказана очень важная
первая теорема Силова: в любой конечной группе G для любого
простого числа р существует силовская р-подгруппа (т. е. подгруппа,
порядок которой есть наивысшая степень/?, делящая IG I). Путь
доказательства этой теоремы предложен в задаче 5.17.
Обзэединение любого множества классов сопряжённых элементов
группы G называется нормальным подмножеством bG. Очевидно,
нормальность подмножества X в G равносильна каждому из условий:
a) Xg = gX для всех g е G и б) WG(X) = G. Следовательно, если // < G и
Н - нормальное подмножество в G, то Н < G.
Если Н <G, то (нормальная) подгруппа
HG Hg называется сердцевиной подгруппы Н в G.
reG
Для подмножества X и Y и элемента а группы G определяют:
Ха := (Г I х е X} - множество, сопряжённое с X в G;
{X)G := {X* I g е G} — класс сопряжённых подмножеств группы G
(содержащий X);
XY := U-' IxeX.ye Г}-
5.1. Для любого g е G отображение х xg (л е G) есть изо-
морфизм G на G.
5.2. Пусть А и В - подмножества труппы G и g g G.
1) (4 UB)* = Ал' UB*.
2) (АПВ)8 = А* ПВ*.
3) (А \ В)* = А* \ В*.
4) (АВ)* = А*В*.
5) (А“')« =(А«)-'.
6) (А>«=(А«>.
7) NB(A)*~NBg(A*).
8) CB(A)*~CBg(A*).
9) Если A<B<G, то IB® : A* l = IB: AI.
5.3. Если А и В - нормальные подмножества группы G, то таковы
же и A UB, АП В, А \ В, АВ, А-1, (А>, NB(A), СВ(А).
5.4. Объединение всех конечных классов сопряжённых элементов
группы является её (нормальной) подгруппой.
5.5. (Т) Пусть G - группа, а е G иХ с G. Тогда
1) laG I = IG:Cg(o)I,
2) l{X}G 1 = 1 G: NG(X)l.
5.6. Определить все классы сопряжённых элементов каждой из
групп О6,
5.7. Пусть ab ft], аь Ь2 - элементы группы G такие, что л, сопряжён
с h] и о2 сопряжён с Ь2. Будет ли а}а2 сопряжён с bfofl
5.8. Каковы конечные группы, имеющие точно два класса сопря-
жённых элементов? (См. также 5.46.)
5.9. Пусть G - конечная группа, в которой объединение любого
множества классов сопряжённых элементов, содержащее 1, является
(нормальной) подгруппой. Какова G?
5.10. Пусть G - конечная группа nd- наибольший общий делитель
порядков классов сопряженных элементов группы G, состоящих более
чем из одного элемента. Тогда d делит I Z(G) I.
5.11. Если G - конечная неабелева группа, то по крайней мере два
её класса сопряжённых элементов содержатся в G\Z(G).
5.12. Пусть G - труппа порядка р", где р - простое число и п g N.
1)Z(G)> 1.
2) Если М - максимальная подгруппа группы G, то М <1G и
1М1=рп1.
3) Если Н < G, то Н <
5.13. Группа порядка р2, где р - любое простое число, есть либо
циклическая группа, либо прямое произведение двух циклических под-
групп порядка р.
5.14. Пусть G - неабелева группа порядка р3, где р - простое число.
Найти
1) I Z(G)I,
2) число классов сопряжённых элементов в G.
5.15. Предположим, что известны порядок конечной группы G и
число г решений (х, у) уравнения ху = ух в группе G. Можно ли найти
число классов сопряжённых элементов группы G?
5.16. Если Л/ < G и I /VI < о°, то IG: CG(N) I < оо.
5.17. Доказать первую теорему Силова, проделав следующее.
Пусть G - группа наименьшего порядка без силовских р-подгрупп. По-
казать, что
I) если // < G, то р делит I G : Н I;
2) G не имеет неединичных нормальных р-подгрупп;
3) р делит I Z(G) I;
4) пункты 2) и 3) противоречат друг другу ввиду 3.8.
5.18. Пусть G - конечная группа и р - простое число. Если
некоторая силовская р-подгруппа Р группы G нормальная в G. то Р
совпадает с множеством всех p-элементов из G, и, в частности, Р есть
единственная силовская р-подгруппа в G.
5.19. Пусть G - конечная группа, имеющая точно 3 класса со-
пряжённых элементов. Тогда либо G — Z3, либо G — .V3.
5.20. Пусть G - конечная группа такая, что для любых двух её
подгрупп А и В из "I А I делит I В I" следует "А < В". Какова G?
5.21. Пусть G - конечная группа порядка п. Равносильны условия:
1) для любого делителя т числа п уравнение х”‘ = 1 имеет не более
т решений в группе G;
2) для любого делителя т числа п группа G имеет точно одну
подгруппу порядка т:
3) G циклическая.
5.22. Если Н < G, то Hq (= f) Н&) <]G. Если I G : Н I < то
8 е G
I G : HG I < оо.
5.23. Если А и В - подгруппы в G, то Ас О Вс = (А П В)с.
5.24. Пусть Н - л-подгруппа конечного индекса группы G. Тогда G
является л-группой если и только если I G : Н I - л-число (т. е. нату-
ральное число, все простые делители которого лежат в л).
5.25. Утверждение 2.54 останется верным, если в нём слово "по-
рядков" заменить словом "индексов". А именно, если Н и К - подгруппы
конечных и равных между собой индексов в группе G, то G имеет
подмножество $ такое, что G = H°S = So К.
5.26. Конечная группа не может быть теоретико-множественным
объединением своих истинных подгрупп, сопряжённых между собой в
этой группе.
5.27. Конечная группа, в которой все максимальные подгруппы
сопряжены между собой, является циклической группой порядка
где р — простое число и а е N U {0}.
5.28. Если G — конечная группа и G = «|CUaf U...Ua^, то G =
= (fl|, а2,..., ап) (fl],..., fln- элементы группы G).
5.29. Пусть G - конечная группа, порядок любой собственной
подгруппы которой есть простое число. Какова G? (Дать необходимое
и достаточное условие.)
5.30. Описать конечные группы, имеющие не более четырёх клас-
сов сопряжённых подгрупп.
5.31. Пусть конечная группа G имеет точно три максимальные
подгруппы, причём их пересечение равно 1. Какова G?
5.32. Пусть G - конечная группа и Н < G.
1) Если G\H есть класс сопряжённых элементов в G, то Н -
абелева группа нечётного порядка и G — D(H).
2) Пусть G\H содержится в некотором классе сопряжённых
элементов группы G. Какова G?
5.33. Пусть Н < G и \G: Н \ = п<оо.
1) Для любого geG gc С\Н есть объединение не более чем п
классов сопряжённых элементов подгруппы Н.
2) Если группа G имеет конечное число к классов сопряжённых
элементов, то подгруппа Н также имеет конечное число классов со-
пряжённых элементов и это число не превосходит к I G : Н I.
5.34. Пусть А - подгруппа индекса 2 группы G (нормальная в G по
4.3). Тогда для любого ае А либо а('-ал, либо aG=aAUbA, где
ЬеА, аА *ЬА и laA l = lbA I.
5.35. Пусть ф - гомоморфизм группы G, де G, а А и В - подгруп-
пы G.
1) (Я0)9 =(g,₽)G<₽-
2) Если Ап В сопряжены в G, то А4* и В41 сопряжены вСф.
3) В случае, когда Ап В содержат ядро ф, верно утверждение, об-
ратное к 2).
5.36. Пусть G - конечная группа и Н с G.
1) При любом гомоморфизме ф группы G.
I {//ф)с<₽ I делит I {H\G I.
2) Если Н < G и Н <1 G, то
I {Нел N Н делит l{W|Gl.
5.37. Пусть G - конечная группа N G, A’ е G, G = G / N и ё = gN.
1) lgG l = l/;l/lgGnX/VI.
з) <। c (g)।<। c ।.
IC^g)! G
5.38. Пусть G — конечная группа, ф - её гомоморфизм с ядром N и
8G G.
1) Если g е N \ {!}, то I CG<p (g*₽) I < I Cc(g) । •
2) Если C„(g) = l, to CG9(^) = CG(^==CG(g).
5.39. Пусть H G и ф - естественный гомоморфизм G на G/C(;{H).
1)Если2(Н) = 1,тоС (Hv)= 1 и HV^H.
2) Если группа G конечна, то из /Уф — Н следует, что Z(H) - 1.
5.40. Пусть А, В - подмножества группы G и АС В.
1) AgCBg и Bg\AgC(B\A)g.
Привести пример строгого включения в последнем соотношении.
2) Равносильны условия:
(a) (B\A)G=BG\AG;
(б) Ag О BGA (в этом случае говорят, что А сильно замкнуто в
В относительно G).
5.41. Пусть А и В - подгруппы группы G, ни одна из которых не
содержится в другой, и пусть g е NC(A U В). Тогда
либо g € /VC(A) П Ng(B),
либо = В и В* = А.
Каков индекс I NC(A U В): NC(A) П JVC(B) I ?
5.42. Пусть G = <o.h) (a,b € G).
1) Если {а} < G, то b~xab = as для некоторого целого числа s.
2)Если хотя бы.один из элементов anb периодический, то верно
утверждение, обратное к 1).
5.43. Пусть а и b - периодические элементы группы, h~'ab = а1 и
о(Ь) = 5. Каков о(а)?
5.44. Пусть tr'ab = as, где аиЬ — периодические элементы группы
порядка а и Р соответственно и л — целое число.
1) = 1 (mod а).
2) (Р,<р(а)) * 1 при ab * Ьа.
(ф - функция Эйлера.)
5.45. Пусть G - периодическая группа и р - наименьший из по-
рядков её неединичных элементов.
1) Элемент порядка р группы G не может быть сопряжён в G со
своей степенью, отличной от него.
2) Каждая нормальная подгруппа порядка р группы G содержится в
Z(G).
5.46. Циклические группы порядка 2 — единственные периоди-
ческие группы, имеющие точно два класса сопряжённых элементов.
5.47. Пусть а - периодический элемент группы G. Тогда
1) aG n(fl> = flWc(<o>),
2) I aG П (a) I делит I aG I,
3) I aG П (a) I делит ф(о(о)).
5.48. Пусть aeG, o(a) = n и \aG 1= j (и, j g N). Если (j, ф(и)) = 1,
то никакие две степени элемента а не сопряжены в G.
5.49. Пусть t- инволюция группы G, = где H—S3,
и Q:=(t)x{a), где а - инволюция из Н. Тогда I NG(Q) । = 4m, где
те {1,2,3}.
5.50. Пусть А < В <, G и В конечна. Предположим, что В содержит
подгруппу, сопряжённую с А в G, но не в В. Пусть ЭС - множество всех
таких подгрупп в В и j- наибольший общий делитель индексов
IА: А П А| I, где А] е ЭС. Тогда IВ : А I делится на j.
5.51. Пусть А и В - подгруппы конечной группы G, а - число под-
групп, сопряжённых с А и содержащихся в В, а Р - число подгрупп, со-
пряжённых с В и содержащих А. Тогда
al7Vc(A)l = pi7Vc(B)l.
5.52. Если Н £G,ge G и gH - нормальное подмножество в G, то
H<G.
5.53. Если М- нормальное подмножество в G, то (х е GI gMQ М\ -
нормальное подмножество в G и (# е GI gM = M}^G.
5.54. Если объединение нескольких левых смежных классов группы
G по некоторой её неединичной подгруппе есть истинное нормальное
подмножество в G, то группа G непроста.
5.55. Пусть Н - собственная подгруппа G. Если квадрат М' := ММ
некоторого смежного класса М группы G по /7 содержит нормальное
подмножество./ из G, то
H(JJ~')<G.
В частности, если J <£ {!), то группа G непроста.
5.56. Пусть М - любое подмножество группы G и Н < NG(M).
Тогда
(М\ Н)^{М,Н) = {М)Н.
5.57. Пусть G = (М), где М - нормальное подмножество из G, и Н -
произвольная подгруппа в G. Тогда {М \ H)^G.
5.58. Пусть М — подмножество группы G.
1)
2) Не всегда (Л/).
5.59. Пусть М - класс сопряжённых элементов группы G и G = (Л/).
1) G = {M\ Н) для любой истинной подгруппы Н из G.
2) Если М = Л/, U М2, то либо G = (Mt), либо G = (М2).
5.60. Пусть G — простая неабелева группа и М - её минимальное
порождающее подмножество (т. е. G = (М), но С^(М{) при с М).
Тогда Nu(M) = 0.
5.61. Пусть М - нормальное подмножество группы G и п е N. Тогда
I (М): (Mtt) I делит п. (Мп := М... М.)
п раз
5.62. Пусть anb - элементы группы G. Описать все пары (аи Ь})
элементов из G такие, что
a|fe] =ab и =Ьа.
Верно ли, что число всех таких пар (а\, bt) равно! CG(ab) I ?
5.63. Для элементов a, b, ah bt группы G равносильны условия:
(1) а\Ь\ сопряжён в G с ab, а Ь\а} сопряжён в G с Ьа;
(2) существуют элементы х и у в G такие, что а\ = х~хау и />| = у~хЬх.
5.64. Пусть {o,ft}CG. Равносильны условия:
(1) а1 = Ь2;
(2) b = са, где с е CG(a2) и са — с-1.
5.65. Пусть G = {а, Ь), где a, b е G *Ь. Тогда
{а2} С Z(G) и Glia2) - диэдральная группа.
5.66. 1) В группе G bz(Q) множество G всех матриц вида
^0 (a,PeQ, a * 0) является подгруппой.
2) В группе G найти элемент а, который сопряжён в G с любой
своей степенью о"' при т * 0.
3) В группе G найти подгруппу, которая сопряжена в G с любой
своей собственной подгруппой.
5.67. В периодической группе никакая подгруппа не может быть
сопряжена со своей собственной подгруппой.
5.68. Пусть A<B<G, geG и AgGB. Будет ли IВ: Ag I = IВ: А11
5.69. В группе GL(2, Q) найти подгруппу G и элемент а такие, что
1) G - группа без кручения (т. е. порядки всех её неединичных
элементов бесконечны),
2) (a)<G,
3) {а) Z(G) (следовательно, а сопряжён в G с а”1).
(Таким образом, утверждение 5.45 не переносится на "случай
р = <*>".)
5.70. Пусть А - абелева группа и G = О(А) - обобщённо диэдраль-
ная группа. Тогда G имеет нормальную подгруппу Aj индекса 2 такую,
что
1) А,==А;
2) G \ А] (смежный класс по At) состоит из инволюций;
3)G = Aj X (г), где г-любой элемент из G\ А];
4) если Н 5 £>(А), то
либо Н < А| и тогда H^G,
либо \Н: НН At 1 = 2 и //=О(НПА]).
Найти Z(G) и CG(r) для t е G \ А
5.71. Пусть G = - группа диэдра порядка 2л, т. е. G = («)(/>), где
<>(а) = л, о{Ь) = 2, и b lab = а'. Определить
a) Cf;(«), CG(h) и Z(G),
б) все классы сопряжённых элементов в G,
в) все классы сопряжённых подгрупп в G (указать представители
классов) и отметить нормальные подгруппы.
5.72. Пусть г - число классов сопряжённых элементов группы /)7и.
Тогда
— (л + 3), если л нечётно.
— п + 3, если л чётно.
.2
5.73. 1) Для любого натурального п > 3 существует конечная не-
абелева группа, содержащая точно п классов сопряжённых элементов.
2) Для любого п g N существует конечная неабелева группа, со-
держащая точно п классов сопряжённых ненормальных подгрупп.
5.74. При каких значениях п
а) группа D-^ является прямым произведением двух собственных
подгрупп,
б) в группе Din все инволюции сопряжены между собой,
b)Z(D2„) = 1?
5.75. В группе D„ найти все классы сопряжённых элементов и все
нормальные подгруппы.
5.76. Следующие условия группы G равносильны:
(1) G порождается двумя сопряжёнными инволюциями;
(2) G = D2n для некоторого нечётного п.
5.77. Следующие условия группы G равносильны:
(1) G порождается двумя несопряжёнными инволюциями;
(2) либо G== D2„ для некоторого чётного п, либо G—D„.
5.78. Пусть А < G. Равносильны условия:
(1) G = А X {Ь), где о(Ь) = 2 и = от1 для каждого ае А;
(2) А абелева и G—D(A).
5.79. Пусть G - конечная группа, имеющая подгруппу А такую, что
все элементы в G \ А - инволюции. Тогда либо G — абелева группа, все
неединичные элементы которой - инволюции, либо подгруппа А абе-
лева и G — D(A).
§ 6. Кольца, и группы матриц
При изучении групп оказываются полезными и другие ал-
гебраические системы, в частности кольца. Кольцо - это тройка
К = (Л/, +, •), где (М, +) - абелева группа, • - ассоциативная операция на
М и пара (+, •) дистрибутивна, т. е. a(h + с) =ab + ас и (b + с)а = ha + са
для любых элементов, a, h, с из М. Первая операция называется сло-
жением, а вторая - умножением, хотя вместо + и • используются и
другие знаки. При этом группа (Л/, +) обозначается через К+ и на
зывается аддитивной группой кольца К. Если кольцо К имеет единицу
(т. е. элемент 1 такой, что 1 • х = х • 1 = х для всех х из М), то множество
всех обратимых элементов из М (т. е. элементов а, для которых
уравнения ха = ах = I разрешимы в М) с операцией умножения есть
группа, которая называется мультипликативной группой кольца К и
обозначается через К' (см. 6.1). В частности, каждый обра тимый
элемент а из К имее т точно один обратный элемен т, который обо
значается через а '. Если a, he К \|()| и ah - О, то каждый из jjicmchtob
а и h называется делителем нуля в К.
Кольцо К = (М. +, ) называе тся полем, сели (Л/ \ |()|, ) группа
Характеристикой поля К называется число chai (К), равное нулю, если
и I Ф О для всех ne N (1 единица поля), и равное наименьшему из
чисел ne N с п 1 = 0 в противном случае.
Гомоморфизмом кольца R в кольцо К называется отображение
f-.R-^K такое, что
f(x + у) = /(х) + f{y) и f{xy) = f{x)f(y) для всех х, у е R.
Множество Ker(j) = (г е R \f(r) = О) называется ядром гомоморфизма /.
Идеалом кольца R называется его подкольцо / такое, что rl U lr С I
для каждого г е R. Подобно понятию фактор-группы вводи гея попятне
фактор-колъца R/1 кольца R по идеалу I (см. 6.55).
Определение подкольца подобно определению подгруппы.
Перечислим обозначения некоторых групп и колец, которые
вводятся в задачах этого параграфа:
С - поле всех комплексных чисел,
R — поле всех вещественных чисел,
Q — поле всех рациональных чисел,
Z - кольцо всех целых чисел,
Z„ - кольцо вычетов по модулю п (п е N),
Н - кольцо кватернионов,
Мп(К) - кольцо всех (п х н)-матриц над кольцом К,
GLn(K) := Мп(К) - общая линейная группа степени п над К,
SL„(K) - специальная линейная группа степени п над К',
Diag„(K), Т„(К), UT„(K), О „(К) - диагональная, треугольная, уни-
треугольная, ортогональная подгруппа в GLn(K). Последние шесть обо-
значений предполагают, что К - коммутативное кольцо с единицей и
п е N (см. 6.21, 6.31). (Имеются и другие обозначения этих групп:
GL(n, К), SL(n, К) и т.п.)
Матрица х е Мп(К) называется скалярной, если х = ке, где к € К и
е - единичная матрица. Важными элементами группы GLn(K) являются
матрицы
ty{a) (элементарные трансвекции) (см. 6.47). Для любой матрицы х
положим:
Ху — элемент, лежащий в z-й строке и j-м столбце в х, и
хт - матрица, траспонированная к х.
Мы предполагаем, что читатель знаком с основами линейной ал-
гебры. Напомним некоторые определения. Векторное пространство
над полем F - это множество V с операциями сложения (и + v е V для
и, v е V) и умножения на скаляр (fv g V для fe Fnve V) такими, что:
1) V- абелева группа по сложению; 2)f(u + v)=fu + fv. (j\ + f2)v = j\u +
+ fiv J ЗНАЛ)1, =/i(/2l')» 11,= о для любых и, ve V; f, f,f2e F;
1 - единица поля F. Размерность пространства V (т. е. мощность его
базы (или базиса)) обозначается через dim(V), а отображение a: V -> V
называется линейным оператором на V (или эндоморфизмом V), если
(и +и )“ = иа +и “ и (fv )“ = fv “ при и, v е V wf е F. Множество всех
линейных операторов V относительно операций сложения и умноже-
ния (у a+P = v “ +v Р и v = (р а)Р) есть кольцо, которое обозначается
через End(V). Положим, GlfV) :=End(V)' (другое обозначение: Aut(Vf).
Пусть В = (ц.....о„) - упорядоченная база V. Матрицей оператора а
относительно В называется матрица ав, составленная из коэффи-
циентов разложения векторов о“,... ,о “ по базе В, а именно, если
v “ = fiv I + ••• + finvгде fy g F, (i = I,...,n),
TO
fl I — /1Я
Каждое векторное пространство размерности п над полем F, оче-
видно, изоморфно векторному пространству V(n, F), состоящему из
всех последовательностей длины п с элементами из F и с операциями,
определяемыми покомпонентно.
Алгеброй над полем F называется множество М с бинарными опе-
рациями умножения и сложения и с операцией умножения на элементы
из F, которое относительно первых двух операций является кольцом, а
относительно двух последних - векторным пространством, причём
flab) = (fa)b = a(fb) для всех/е F и a, be М.
В задачах этого параграфа вводятся понятия группового кольца
(6.70), групповой алгебры (6.71) и прямой суммы колец (6.64).
6.1. (Т) Пусть К - кольцо с единицей.
1) К имеет точно одну единицу.
2) Множество всех обратимых элементов кольца К есть группа
относительно операции умножения (группа К').
3) Если а, х, у - элементы из К такие, что ха = 1 = ау, то элемент а
обратим и х = у = от1 (обратный элемент к а в группе К').
6.2. Пусть М - множество всех комплексных, всех вещественных
или всех рациональных чисел. Тогда М с обычными операциями
сложения и умножения чисел есть поле (поля С, R и Q).
6.3. I) Множество всех целых чисел с обычными операциями сло-
жения и умножения есть кольцо (кольцо Z).
2) Указать все подкольца в Z. Заметить, что существуют кольца
без единицы.
3) Найти все подмножества в Z, которые отпосизельпо операции
умножения являются группами.
6.4. Подмножество I. кольца К является подкольцом в К тогда п
только тогда, когда (/,, +) < К' и /. замкнуто относительно операции
умножения.
6.5. Пусть р- простое число и М = <--
a,b е Z и р пе дел из1 b
Тогда М есть подкольцо в Q (кольцо p-целых рациональных чисел).
6.6. Пусть {fl|,... ,о„) - подгруппа порядка п > 1 мультипликативной
группы некоторого поля. Тогда а} +... + ап =0.
6.7. Пусть т, п е N, е - первообразный корень степени л из 1 в
2то'
— 2л 2л
кольце С (например, £ = г" =cos— +1 sin —), т I п и т < п. Тогда
п п
' =0.
m , ..2 m
6.8. При любом кольце К множество К |л| всех многочленов f (х)
над К (т. е. с коэффициентами из К) с обычными операциями сложения
и умножения многочленов есть кольцо.
6.9. Многочлен х” - 1 делится на многочлен хт - 1 в кольце К[х]
тогда и только тогда, когда т I п.
6.10. Если F - поле, то любой многочлен степени п (п е N) над F
имеет в поле F не более п корней.
6.11. Пусть п - натуральное число.
1) Множество всех классов вычетов по модулю п с операциями
сложения и умножения классов есть кольцо. (Классы вычетов по
модулю п можно записать в виде [0], [1],..., [л - 1], где [/] - множество
всех целых чисел, имеющих при делении на п остаток i; тогда [i] + [/] =
= [Jt], где к - остаток от деления на п числа i + j, и [(][/] = [s], s - остаток
от деления на п числа у.) 4
(Это кольцо обозначается через Z„ и называется кольцом вычетов
по модулю л.)
2) Z„+ = Z„.
6.12. 1) Записать таблицы сложения и умножения элементов коль-
ца Z„ для каждого и 5 8. В каждом случае указать делители нуля и об-
ратимые элементы. Показать, что Zg — Z2 х Z2.
2) ZI6 = Z4 х Z2.
6.13. При подходящем л e N найти многочленах) степени 2 над Z„
такой,что
1)Дх) имеет более двух корней в Zn,
2) f(x) = (х - л)(х - Ь) - (х - с)(х - J) * (х - л)(х - с), где
{а,Ь] Г){с,d] = 0 (a,b,с,deln).
6.14. Обратимый элемент кольца не является в нём делителем
нуля.
6.15. В конечном кольце с единицей каждый ненулевой элемент
либо обратим, либо является делителем нуля.
6.16. Пусть [а] е Z„ (а е Z).
l)[«]eZ„ « («,п)=1.
2) Порядок группы Z'„ равен <р(«), где <р - функция Эйлера.
6.17. Пусть k, т, пе N иа е Z. Рассмотрев мультипликативную
группу Z’„ кольца Z„, доказать следующие утверждения:
1) Если ак = 1 (mod ri) и а"' = 1 (mod ri), то а{к'т} = 1 (mod ri),
2) (Теорема Эйлера) Если (a,ri) = 1, то a4*"’ s I (mod ri).
6.18. Кольцо Z„ является полем тогда и только тогда, когда п -
простое число.
6.19. Через F4 обозначим тройку (М, +, •), где М = (0, 1, х, у),
а + и • - операции на М, заданные с помощью таблиц:
+ 0 1 х у
0 I X У 0 1 х у 1 0 у х х у 0 1 у х 1 0
0 1 X У
0 0 0 0 0
I 0 1 х У
X 0 X У I
У 0 У 1 X
1) F4 - поле.
2) Любое поле из четырёх элементов изоморфно полю F4.
6.20. Конечная подгруппа мультипликативной группы поля - цик-
лическая. В частности, мультипликативная группа конечного поля -
циклическая.
6.21. (Т) Пусть п е N и К - кольцо.
1) Множество всех (и х и)-матриц над К с обычными операциями
сложения и умножения матриц есть кольцо (кольцо
2) Пусть К коммутивно и имеет единицу. Тогда
a) GLn(K):= М„(К\ = {х g Mn(K)\det(x)e К'},
б) множество (xeM„(tf)ldez(x) = 1} есть подгруппа в GL„(K)
(группа SL„(K));
в) при любом п > 2 группы GLn(K) и SLn(K) неабелевы.
6.22. Пусть К - коммутативное кольцо с единицей и G множество
(а b\ 2 , 2 .
I над К с а . Будет ли G подгруппой в
GL2(tf)?
6.23. Пусть К - коммутативное кольцо с единицей и а е К. Тогда
множество Ga всех невырожденных (т. е. с ненулевым определителем)
матриц вида
х Н
«у х)’
где х, у е К, является группой относительно операции умножения
матриц.
6.24. Пусть g - нескалярная матрица из GL2(K), где К - ком-
мутативное кольцо с единицей, их е М2(К). Равносильны условия:
(1)X£ = gx\
(2) х - k\g + k2e, где kt, k2 e К и e - единичная матрица
6.25. 1) Выписать все элементы-кольца A/2(Z2).
2) В кольце A/2(Z2) найти подкольцо из четырёх элементов, яв-
ляющееся полем.
3) G£2(Z2) = SL2(Z2) = S3.
6.26.1) Определить порядки групп GL2(Z2) и SL2(Z2).
2) В группе G = SL2(Z2) найти подгруппу Q, изоморфную группе Qg
(2.29), и показать, что G = QX А, где А — Z3.
6.27. Подгруппа группы GL2(C), порождённая матрицами
где i2 = -1, изоморфна Qg.
6.28 .1) Пусть п - натуральное число, п > 2. Тогда подгруппа группы
GL2(C), порождённая матрицами
где а - примитивный корень степени п из единицы, изоморфна груп-
пе £>2п.
2) В группе GL2(C) найти подгруппу, изоморфную группе D„.
6.29. В группе GL„(K) при п > 1 существует по крайней мере п
подгрупп, изоморфных GL„_](K). Аналогичное утверждение справедли-
во и для группы SLn(K).
6.30. В группе GL„(K) для любой пары натуральных чисел (л, /)
таких, что s + t<n, существует подгруппа, изоморфная GLS(K) х GL,(K).
6.31. Пусть К — коммутативное кольцо с единицей 1. Подгруппами
группы GL„(K) являются следующие её подмножества:
а) множество всех диагональных матриц (диагональная подгруппа
Diag„(K))\
б) множество всех матриц с нулевым углом над главной диаго-
налью (треугольная подгруппа Т„(К));
в) множество всех матриц из Т„(К) с единицами на главной диа-
гонали (унитреугольная подгруппа UT„(K))\
г) множество всех ортогональных матриц, т. е. матриц а таких, что
аат = е, где ат - матрица, транспонированная к а, а е - единичная
матрица (ортогональная подгруппа О„(К))\
д) множество всех матриц, у которых в каждой строке и в каждом
столбце на одном месте стоит единица, а на остальных - нули (группа,
изоморфная симметрической группе 5„).
6.32. GL„(K) = SL„(K)X А, где А = К'.
6.33. Тп(К) = UT„(K)X Diag„(K).
6.34. Если А - подгруппа группы GLn(K), то множество всех матриц,
транспонированных к матрицам из А, образует подгруппу в GL„(K),
изоморфную подгруппе А.
6.35. Пусть М - множество всех матриц вида где a,he Ъп,
л > 2, и а е (1, -1}. Тогда М является подгруппой в GL2(Z„), изоморф-
ной группе D2n.
6.36. Пусть Т - множество всех выражений вида
(*) х, + x2i + x3j + х4А,
где (Л|, х2, х3, х4} С R, a i,j, к - некоторые три элемента, не входя-
щие в R. Введем в Т операции + и • следующим образом:
(л, + x2i + x3j + х4А) + (у, + y2i + y3j + у4к) =
= (х, + у,) + (х2 + у2 )i + (х3 + у3) j + (х4 + у4 )к,
а умножение получается распространением по дистрибутивности на Т
следующих соотношений:
1х = х! = х для всех хе Т, i2 = j2 = к2 = -1,
у = -ji = к, jk = ~kj = i, ki = -ik = j.
Для каждого элемента x вида (*) определим сопряжённый элемент
х = х, — ix2 — jx3 — кх4 и модуль I х I = Vxx = ^х2 + х2 + х, + х4 .
1) Н := (Т, +, ) - кольцо (называемое кольцом кватернионов).
2) Каждый ненулевой элемент из Т обратим.
3) ху = у х для всех х, у е Т.
4) Множество всеххg 7’clxl= I сеть подгруппа в II (группа еди
личных кватернионов). Определить порядка всех её элсмспгов п псе её
подгруппы.
6.37. Множество (I, -1, i. i. j. j, к, -А) есть подгруппа в II',
изоморфная группе кватернионов (2.29).
6.38. 1) Группа Н' имеет точно один элемент порядка 2.
2) Множество всех элементов порядка 4 из Н’ совпадает с
множеством всех чисто мнимых кватернионов (т. е. элементов вида
xi + yi + zk) с единичным модулем.
6.39 В кольце М2(Н) найти матрицу х такую, что det(x) * 0, по х нс
обратима. Таким образом, в случае некоммутативного кольца К ут-
верждение 2а) в 6.21 неверно.
6.40. Пусть К - кольцо и а е М„(К). Тогда СМп{К}(а)
= (х е М„(К) \ха = ах} — подкольцо в М„(К) (называемое централи-
затором а в
6.41. Пусть К - кольцо с единицей 1. Найти централизатор:
а) матрицы х = в М2(К),
б) матрицы у = Р в М4(К).
6.42. Пусть К - кольцо.
1) Множество всех матриц вида
а ЬУ
—Ь а)
с a, be К есть подкольцо в М2(К). Обозначим его через S.
2) $ коммутативно если и только если К коммутативно.
3) Если К С R и 1 еК, то S - поле.
4) Если К = R, то S — С.
5) Если К = Z2, то S - кольцо из четырех элементов, которое не
изоморфно Z4 и не является полем.
6) Если К = Z3, то S — поле из 9 элементов.
6.43. Пусть S - кольцо из предыдущей задачи при К = С.
1) S состоит из всех линейных комбинаций с вещественными коэф-
фициентами матриц
-Г’ ОА _(i ОЛ О П _( О Л
1 J’ а-[о ij’ °/ °/
2) S - коммутативное кольцо (и, в частности, не изоморфно Н).
3) Определить подгруппу в S’, порождённую матрицами а, Ь, с. По-
казать, что она изоморфна группе Z4 х Z2.
6.44. Множество всех матриц вида
а
-Ь
/Л
_ I, где {a, Z>} С С, есть
а 1
подкольцо в Л/2(С), изоморфное кольцу Н.
6.45. Пусть а - диагональная матрица из GL„(C) и все элементы её
главной диагонали различны между собой. Найти централизатор а в
группе GLn(C).
6.46. Найти централизатор матрицы
-1
О
О
О 0^
-1 0
0 1J
в GL3(C).
6.47. Пусть G = GLn(K), где К - коммутативное кольцо с единицей и
и > 1. Пусть е — единичная п х n-матрица и e(i, j) - пх и-матрица,
содержащая на (i,j)-om месте единицу, а на остальных местах нули
С {1,..., и}). Положим
tjj(a) :=e + ae(i,j) и J,(a) := e + (a-l)e(i,i) (ae K,i * j)
(матрицы tij{a) при a * 0 называются элементарными трансвекциями.)
1) Найти централизаторы в GLn(K) матрица Гу( 1) и 4(°0 при a* 1.
2) Центр группы G состоит из всех её скалярных матриц (т. е. мат-
риц вида сне, где а е Кие- единичная матрица).
3) Центр группы SL„(K) состоит из всех её скалярных матриц.
6.48. Найти централизатор подгруппы Diag„(K) группе GLn(K).
6.49. (Т) Пусть К - поле и л > 1. Примем обозначения из 6.47.
1) К) = <г,у (ос), 4(13)1 a, ₽€*, i*j),
2)SLn(K) = {tij(a)\aeK, i*j).
6.50. Пусть F = (M, +, ) - поле. Определим в M новую операцию *
по правилу: a*h = a + h +ah. Тогда (М \ (—1}. *) - группа, изоморфная
группе F.
6.51. Пусть К = (М, +, ) - произвольное кольцо. Введём в М опе-
рацию ° по правилу:
a°h = a + h-ah для всех a.h& М
(° называется присоединённым умножением в кольце К).
1) (Единственным) нейтральным элементом относительно ° в М
является нуль кольца К.
2) Множество всех элементов из М, обратимых относительно one
рации °, является группой относительно °. Опа называется присо
единённой группой кольца К.
3) Найти присоединённые группы колец Z и Q.
6.52. 1) В кольце М2(С) указать бесконечное множество вырожден-
ных матриц, которое относительно операции умножения матриц яв-
ляется группой.
2) Существует ли в М2(С) подмножество М такое, что (М, ) -
группа и М содержит как вырожденные, так и невырожденные мат-
рицы?
6.53. Множество всех матриц вида
(а аЛ
а)
с а е С является подполем кольца М2(С). Установить его изоморфизм с
полем С.
6.54. Идеал кольца R, отличный от R, не содержит обратимых
элементов из R.
6.55. (Т) Пусть I - идеал кольца R. Множество всех подмножеств из
R вида г + /, где г е R, является кольцом относительно операций сло-
жения и умножения, определяемых правилами:
(х + Г) + (у + Г) = (х + у) + / и (х + /)(у + Г) =ху +1.
(Это кольцо обозначается через R/I и называется фактор-кольцом R
по Г).
6.56. Пусть ф - гомоморфизм кольца К в кольцо К’.
1) Ф(0) = О’, где 0 и 0’ - нули колец К и К’ соответственно.
2) Если К имеет единицу, то ф(1) = Г, где 1 и 1’ - единицы в К и К’
соответственно.
6.57. Пусть R - кольцо с единицей 1 и ф - гомоморфизм кольца R в
кольцо К такой, что ф(1) есть единица в К.
1) Ограничение ф гоморфизма ф на R' есть гомоморфизм группы R'
в К'.
2) Как связаны Кег(<р) и А'ег(ф)?
6.58. Определить все идеалы и все фактор-кольца кольца Z. Верно
ли, что при любом п е N Zn есть фактор-кольцо кольца Z?
6.59. Пусть т, п е N и т I п. Тогда отображение
ф: [a]„l->fa]m ([«]„eZ„, aeZ)
есть (корректно определённый) гомоморфизм кольца Z„ на кольцо Zm.
([a]m - класс вычетов по модулю т, содержащий а.)
Указать ЛГег(ф).
6.60. Кольцо 1„ (п > 1) для любого делителя к числа п имеет точно
один идеал мощности к.
6.61. Пусть / - идеал кольца R с единицей и / * R. Показать, что
существует гомоморфизм группы GLn(R) на группу GLn(R/F), и найти его
ядро.
6.62. В группе G = GL1(^^1) указать р-подгруппу N такую, что
G/N^GL2(Zp).
6.63. Пусть р — простое число и R - кольцо p-целых рациональных
чисел (см. 6.5). Тогда pR - идеал в R и R/pR — Т,р.
6.64. 1) Пусть А и В - кольца. Тогда множество всех пар (а, Ь), где
а е АиЬ е В, с операциями (аь ht) + (а2, b2) + («i + а2, bt + b2) и
(a,, bt)(a2, b2) = (а\а2), (Ьх Ь2) есть кольцо (которое называется
(внешней) прямой суммой колец АиВи обозначается через А Ф В).
2) Кольцо К = А Ф В имеет подкольца А и В такие, что
А — А, В ~ В, К = А + В, А Г) В = {0} и ab = 0 для всех а е А
и ЬеВ (тогда А и В - идеалы в К).
6.65. Описать кольцо Z2 ®Z2. Определить его мультипликатив-
ную группу и все его подкольца и идеалы.
6.66. Если V - векторное пространство размерности л над полем F и
В - его упорядоченная база, то отображение анои (а е End(V)) (см.
введение к § 6) есть изоморфизм кольца End(V) на кольцо М(п, F), а его
ограничение
iB: анав (а е Аш(У))
- изоморфизм группы GL(V) на группу GL„(F) (естественный изо-
морфизм GL(V) на GL(n, F)).
6.67. Пусть А и В — упорядоченные базы векторного пространства
V, записанные в виде столбцов, и а е GL(V). Тогда ав = ТаАТ 1, где
Т - матрица перехода от А к В.
6.68. Пусть V и W - векторные пространства над полем F с упо-
рядоченными базами А и В соответственно. Тогда для ае GB(V) и
Р е GL((V) равносильны условия:
(1)осЛ = ав;
(2) Р = у-1ау, где у - (единственный) изоморфизм из V па W, пере-
водящий А в В.
6.69. (Теорема Машке) Пусть G - конечная группа, F - поле и
char(F) не делит IG I.
1) Пусть G - подгруппа группы GLn(F), состоящая из матриц вида
е") << = '.........................|С|>-
где а,, Ь,, с, — матрицы размеров m х т, (п - т) х т, (п - т) х (п - т)
и о - нулевая т х (п - ш)-матрица (1 < т < и). Тогда отображение
<Р = *-•“»( о (, = 1’ •" ’IGI)
сеть гомоморфизм из G в GL„(F), матрица s := X g'g^ невырождена и
«eG
s~iGs = G4’.
3. В. А. Белоногов 65
2) Пусть G S GL(V), где V =* V(n, F). Если V имеет G-инвариантное
подпространство U (UR = U для всех g е G), то V имеет также G-ин-
вариантное подпространство W такое, что V = U + Ми U Г) W = (0)
(т. е. V есть прямая сумма подпространств U nV).
6.70. Пусть F - кольцо и G - группа. Множество всех формальных
сумм вида У. fgg, где fg е F, с операциями
geG
X fgg+ X hgg= X (fg+hg)g,
geG geG geG
= Z fghxSx = Z Z fgyhy g
g.xeG geG \yeG t
(fg,hg,f eF) является кольцом. (Оно обозначается через FG и назы-
вается групповым кольцом группы G над F.)
6.71. Пусть F - поле. Тогда групповое кольцо FG вместе с опера-
цией умножения на скаляр, заданной правилом
с \
л z fgg = Z СО
k«eG у geG
(fg,hg,feF), является алгеброй над F (и называется групповой ал-
геброй группы G над полем F).
6.72. Пусть G — группа и К - кольцо с единицей. Если G - имеет не-
единичный элемент конечного порядка, то кольцо KG имеет делители
нуля.
§ 7. Симметрические
и знакопеременные группы
Симметрическая группа Sx произвольного множества X опреде-
лена в § 1. Наряду с обозначением Дх) для образа элемента х при
перестановке/мы будем использовать также запись х/
Пусть X — конечное множество мощности п. Циклом длины т
(2 < т < и) в группе Sx называется перестановка вида
pl *2 - *т-1 Хт У1 ••• Уи-т^
1*2 ... Хт X, у, ... Уп_т)'
Краткая её запись - (Х|... xm)(yi)... (у„^) или, когда множество X ясно
из контекста, просто (х, ... х„) (вместо пробелов между символами
здесь допускается ставить запятые). Цикл длины 2 называется
транспозицией. Циклы (х, ... хт) и (z, ... z,) называются независимыми,
если (хн ... , хт} Г) (zb ... , zs} =0. Единичную перестановку часто
называют циклом длины I и обозначают через (х,)(х2)... (*„), а также
через (х,) при любом i е (1, ... , п}. Если х* = х, где хе X и g е Sx. то
говорят, что х есть неподвижная точка перестановки
Пусть g е Sx и g = ... gm - разложение g в произведение попарно
независимых циклов. Циклы gt ... gm называются циклическими
компонентами перестановки g. Пусть It,... , 1т- длины этих циклов,
записанные в неубывающем порядке, и г - число неподвижных точек
перестановки g(r> 0). Последовательность(!,...,!, назы-
г раз
вается (циклическим) типом перестановки g.
Пусть Х= ‘{Х],...,хп}, п > 2. Рассмотрим многочлен
А(Х|,...,х„) = П (х,-х,)
(произведение по всем парам (i,j) чисел из (1,..., и) таких, что i < j).
Множество всех линейных множителей этого многочлена находится во
взаимно однозначном соответствии с множеством SP всех двуэлемент-
ных подмножеств множества X. Пусть g е Sx. Отображение g инду-
цирует перестановку элементов множества SP. Поэтому
&(xf....х«) = £Д(х,....х„).
где е = ±1. Перестановка g называется чётной, если е= 1, и нечётной,
если Е = — 1. Е называют знаком перестановки g и обозначают через
sign(g). Множество всех чётных перестановок из Sx является под-
группой в Sx (7.20), которая обозначается через Ах и называется
знакопеременной группой множества X. Таким образом, Ах есть группа
симметрий многочлена △(*!,... ,х„) в смысле определения из 7.53. При
X = {1,..., л} она обозначается через Ап. При и = 1 единственная пере-
становка из S„ считается чётной, т.е. Aj = Sp
В задаче 7.30 вводятся подгруппы Юнга группы Sx.
7.1. (Т) Пусть X - конечное множество.
1) Любые два независимых цикла из Sx перестановочны.
2) Каждая неединичная перестановка из Sx однозначно с точностью
до порядка множителей представляется в виде произведения попарно
независимых циклов.
3) Если g - перестановка типа (Л1Ь ... , /и,) из Sx, то o(g) = Н.О.К.
(mi,..., ms) - наименьшее общее кратное чисел mt,... ,т„.
7.2. 1) Выписать все элементы группы S4 (в циклических обозна-
чениях) и определить их порядки.
2) Подсчитать число циклических подгрупп каждого порядка в S4.
7.3. Определить наибольший из порядков элементов группы S„ для
каждого п < 10.
7.4.1) Группа S„ имеет не менее (и - 1)! элементов порядка п.
2) Если а е S„ и о(а) есть степень простого числа, то о(а) < п.
7.5. Пусть ле N и т = р“'... p°s, где р, - различные простые числа
и а; е N. Равносильны условия:
(1) группа S„ имеет элемент порядка т,
(2) р“'+ ... + pass<n.
7.6. Сколько элементов порядка л имеет группа S„, когда л = 2р Ф 4
или л = р™, где р - простое число и т е N.
7.7. Пусть а - цикл длины т из S„ и k - натуральное число. Каков
циклический тип перестановки а*?
7.8. Если все циклические компоненты перестановки g имеют одну
и ту же длину, то g является степенью некоторого цикла.
7.9. Число всех подгрупп группы S„, которые порождены циклом
(П~1)! z Z \ Z «
длины п, равно--------- (следовательно, <р(и) делит (п - 1)! при любом
<р(л)
ле N).
7.10. Пусть а е 5„, и любая его степень «*, отличная от единицы, не
имеет неподвижных точек. Тогда порядок а делит п.
7.11. Справедливы следующие соотношения для перестановок
из S„:
i) ('1'2 •••'«>) = (W2 ) ('1'3 ) • • • ('|'m ).
2) (у) = (*<)(*/)(*') при ke{i,j],
3) (vX») = (ДО) при к * j,
4) (1/)(кГ) = (ijk)(ilk) при {i.j} Г) {*,/) = 0,
5) (ijky1 = (kji),
6) (ijk)~l(ijl)(ijk) = (jkl),
7) если z = (12 ... n), to z~'(ij)z = (i + I j + 1) при i < n, j < n и
z~\in)z = (i + 11).
7.12. При любом n > 2:
1)S„ = ((12), (13),..., (1л)),
2)5„ = ((12),(23),...,(л-1л)>,
3)S„ = ((12), (12 ... л)> = <(12), (23 ... л)).
7.13. Если а и b - транспозиции группы ,S'„, то <>(ab) < 3.
7.14. Пусть a = («,, ... , ak) и b = (6,.bt) независимые циклы
(к, I e N). ВычислитьаЬ(аь bt).
7.15. Пусть z = (л, ... я*) и 1 < i < j < к. Вычислить произведения:
z(a,ay), (fl,fl,)z и
7.16. Вычислить следующие произведения циклов (к, I,me N):
1)(а,,... ,ак,Ьь ... ,bi,ct,... ,cm)(ai,b},ci)-
2)(at,... ,ак, bb ... ,bhcl.cm)(fli, blt .
7.17. 1) Каждая перестановка симметрической группы S„ есть
произведение двух циклов.
2) Для любой перестановки х, имеющей t неподвижных точек, и
любого целого s с 0 < s < t существует цикл z такой, что xz есть цикл
длины n-s.
7.18. Пусть g, h е S„.
1) sign(gh) = sign(g) sign(h).
2) Если h - транспозиция, то знаки перестановок g и gh проти-
воположны.
3)Если (zt,,z,)-циклический тип g, то sign(g) = (-1)', где
r = E (Z, - !)•
4) sign(g) = П О'-О/П (Ю)-«(О)-
i<j i<j
7.19. Пусть 2 < IX К о».
1) Каждая перестановка из Sx является произведением нескольких
транспозиций из Sx.
2) Чётная перестановка из Sx не может быть произведением
нечётного числа транспозиций.
3) Нечётная перестановка не может быть произведением чётного
числа транспозиций.
7.20. (Т) Пусть IXI = и е N.
1) Множество всех чётных перестановок множества X есть
подгруппа группы Sx (знакопеременная группа Ах).
2) Ах — А„.
3) Если п > 2, то I Ап I = и!/2 (т. е. I S„ : Ап I = 2).
7.21. 1) Выписать все элементы группы А4 и определить их
порядки.
2) Определить все подгруппы группы А4. Заметить, что группа А4
не имеет подгрупп порядка 6. Следовательно, теорема, обратная теоре-
ме Лагранжа, не верна.
3) Группа А4 порождается двумя элементами а и Ь, удовлет-
воряющими соотношениям
а3 =1, Ь3 = 1, (ah)2 = 1.
7.22. Каков наибольший из порядков элементов группы А„ при
каждом п < 10?
7.23. При п > 3 группа А„ порождается всеми тройными циклами
из5„.
7.24. Пусть к е N, к нечетно и 3 < к < п. Тогда А„ порождается всеми
циклами длины к из S„.
7.25. При любом п > 3:
1)А„ = ((123), (124).(12и)>,
2) А„ = ((123), (123 ... и)) при нечётном и,
3) А„ = ((123), (23 ... и)) при чётном п.
7.26. При любом л > 2 группа А„ содержит подгруппу, изоморфную
группе Sn_2-
7.27. Инверсией перестановки feS„ называется пара (i.j) такая,
что I < / < j < п nftj) > flj). Пусть 1(f) - число инверсий/. Тогда
/чётна <=> 1(f) чётно.
7.28. Определить число инверсий перестановки (1k) группы S„
(1 < к < л).
7.29. Пусть Y С X, SX(Y) := {g € Sx I yg e Y для всех
у € У) (глобальный стабилизатор Y в$х) и N := (g е Sxly«=y
для всех у € У} (поточечный стабилизатор Y в Sx). Тогда
N < SX(Y) < Sx и SX(Y)/N=* SY.
7.30. Пусть (Xi, ... , XJ - разбиение множества X, т. е. X =
к
X,U---U^* (A:eN). Подгруппа S(Xt,..., X*) :=П Sx(Xt), где Sx(X,) -
i=i
глобальный стабилизатор X, в Sx (7.29), называется подгруппой Юнга
группы Sx, соответствующей данному разбиению.
1)5(Х,....X*)=SX1 x...xSXj.
2) Подгруппа в Sx, сопряжённая с подгруппой Юнга группы Sx,
является подгруппой Юнга в Sx.
3) Пусть п = л1 + ... + пк, где п,,... , пк е N. Каково число подгрупп
Юнга группы 5„, изоморфных .Ь’П| х... х Snj ?
7.31. Две перестановки из группы Sx, где IX I < «о, сопряжены в Хх
тогда и только тогда, когда они имеют одинаковый (циклический) тип.
Именно, если а и g - элементы из Sx и
а = (хи ...xlmi )(х21 ...xlm2 )...(xki...xkmii),
то
аК=(х^... х«т| )(х£... х^„2)... (х^... х^к).
7.32. Пусть g е Sn и т е Z. Тогда элементы g и gm сопряжены в S„
если и только если (o(g), т) = 1.
7.33. При и > 4 в централизаторе любой инволюции группы S„
имеется более одной инволюции.
7.34. 1) В группе Sn каждый элемент сопряжён со своим обратным
элементом. Для цикла а = (1 ... т) указать элемент g такой, что
ag = йг1.
2) При п > 4 каждый неединичный элемент g группы S„
а) содержится в диэдральной подгруппе порядка 2o(g),
б) является произведением двух инволюций.
7.35. Централизатор инволюции (12) в группе S„(n > 2) совпадает с
подгруппой Юнга S(( 1,2), {3,..., n|) = S„({1,2|) (см. 7.29).
7.36. При п >3 Z(Sn) = l.
7.37. Если а - цикл длины п в группе S„, то
CSli (а) = (а) и I а5" I = (л -1)!.
7.38. Пусть а и b - циклы в S„ такие, что ab = Ьа. Тогда либо а и b
независимы, либо (а) = (fe).
7.39 .1) В группе S4 найти централизатор инволюции (12)(34).
2) Найти I CSn (а) I, где а = (12)(34)... (и - 1, и), при любом чётном и.
7.40. Пусть g - перестановка типа (zlt ... , zs) из S„. Для любого
i = 1, 2, ... , п обозначим через c(i) кратность числа i в последова-
тельности (zj,..., z,). Тогда
lQB(g)l= п cG‘)!ic(i)
1=1
и, следовательно, I gG I = пМ П
i=i
7.41. Найти все классы сопряжённых элементов групп S4 и S5 (для
каждого класса указать одного представителя, порядок элементов
класса и порядок класса).
7.42. Пусть а - перестановка циклического типа (zi,... , zm) из А„.
1) aS’CA„, причём либо as" = аА", либо as" - объединение двух
равномощных классов сопряжённых элементов группы Ап.
S А
2) а " * а " тогда и только тогда, когда все г,- нечётны и попарно
различны.
7.43. Пусть х и у - два цикла длины к в А„, где к<п-2ип>5. Тогда
хи у сопряжены в А„.
7.44. Найти все классы сопряжённых элементов групп А4 и As.
7. 45.1) Группа А$ простая.
2) Группа S5 имеет точно одну собственную нормальную под-
группу, а именно - А$.
7.46. (Т) Пусть п е N и п > 5.
1) Группа А„ простая.
2) А„ - единственная собственная нормальная подгруппа в S„.
7.47. В группе As
1) все инволюции сопряжены;
2) централизатор инволюции изоморфен Z2 х Z2;
3) имеется подгруппа порядка 4, совпадающая со своим центра-
лизатором.
7.48. Группа Л5 порождается двумя элементами а и Ь, удовлет-
воряющими соотношениям
а5=1, № = 1, (ab)2=l.
7.49. В группе Л5
1) найти все классы сопряжённых элементов,
2) определить строение максимальных подгрупп.
7.50. В группе Л6
1) все инволюции сопряжены;
2) централизатор инволюции изоморфен DK;
3) имеется циклическая подгруппа порядка 4, совпадающая со
своим централизатором.
7.51. При каких значениях п в группе А„ все инволюции сопряжены?
7.52. В группе А7 найти подгруппу вида ВХ А, где А = 54 и В =» Z3,
причем А не нормальна в АВ.
7.53. Пусть/(х,,... ,хп) - многочлен от переменных из множества
X = (х,, ... , х„} с комплексными коэффициентами и S - множество всех
перестановок у е Sxтаких, что/С^х,),... , у(х„)) =fixt,... , х„). Тогда S -
подгруппа в Sx (называемая группа симметрий многочлена fix... , х„)).
Найти группу симметрий каждого из следующих многочленов (и -
наибольший из встречающихся индексов):
х2 +2х2 + х3,
(х, +х2)(х, + х3)(х2 + х3),
(х, — х2 )(х, — х3 )(х2 — х3),
Х1Х2+Х3Х4,
Х1Х2 - Х3х4,
(х, + х2)(х3 + х4),
(X, + х2 - х3 - х4)2,
(х, - х2 )(х, - х3 Хх, - Х4 )(х2 - х3 )(х2 - х4 )(х3 - х4),
(xtx2 - x3x4)2 + (x,x3 -X2x4)2,
(x,x2 —X3X4)2 +(X|X3 -x2x4)2,
2 2 2 2
X1 X2 + X3X4 + X1 x3 + X2X4»
x2 + 2x2 + x3 + 2x4,
(X, - x2 )(x2 - x3 )(x3 - x4 )(x4 - X!),
X|X3 + x2x4x5.
7.54. При любом натуральном л группа симметрий многочле-
2 2 2 2 2
на х,х2 +х2х3 +х3х4 +х4х5 + ... + хпх( есть циклическая группа поряд-
ка л.
§ 8. Группы перестановок.
Представления перестановками
Группа перестановок множества X - это подгруппа симметри-
ческой группы (равносильное определение дано в § 1). IX I назы-
вается степенью этой группы. При рассмотрении групп элементы из
X часто называют точками.
Пусть G < Sx, х е X и Y С X. Положим:
Gx := (g е GIх* = х) — стабилизаторх в G;
Gy := {# е G I yg = у для всех у е У} - поточечный стабилизатор
YnG-
G(K) := (j? е G I yg e Y для всех у e У} - глобальный стабилизатор
Y в G (все эти стабилизаторы - подгруппы в G (см. 8.1));
Xе := (х« I g е G | - орбита группы G, содержащая х (очевидно, ч то
орбиты группы G попарно не пересекаются и объединение всех ей
орбит есть X);
Fix(g) (хе X I х* = х| - множество неподвижных точек
перестановки g;
Fix(H) := (хе XI х* = х для всех Ле Н} при Н С Sx.
Стабилизатором двух точек х и у в G называется пересечение
Gx И Gy. Группа G называется транзитивной, если она имеет точно
одну орбиту (т. е. для любых х, у из X существует g е G такой, что х* =
= у). Нетранзитивную группу называют интранзитивной. Пусть У -
подмножество из X. Говорят, что группа G действует на Y, если Y есть
объединение нескольких орбит группы G.
Пусть G < Sx. Группа G называется регулярной (на X), если она
транзитивна и Gx = 1 для любого х е X. Для любого k е N группа G
называется к-транзитивной (или к-кратно транзитивной), если для
любых последовательностей (Х],... , хк) и (у,,... , у<), составленных из к
элементов множества X, существует элемент g е G такой, что х? = у,
при i=l,, к.
Пусть if := (Х|, ... , Хт| - разбиение множества X, т.е. X =
= X, U... U Хт. Говорят, что if есть система импримитивности груп-
пы G на X, если е if для всех Y е if и g е G. Системы импримитивно-
сти ({х}1 х е X) и (X) называются тривиальными. Группа перестано-
вок называется импримитивной, если она транзитивна и обладает не-
тривиальной системой импримитивности. Транзитивная, но не импри-
митивная, группа называется примитивной.
Пусть G - произвольная группа и & - гомоморфизм группы G в
симметрическую группу Sx. В этом случае говорят, что ?? есть пред-
ставление группы G перестановками множества X или что G
действует на X посредством Слова "посредством SP" опускают,
если из контекста ясно, о каком 9* идёт речь; при этом орбиты группы
SP(G) называют орбитами группы G. 1X1 называется степенью
представления 9*. Представление 9* называется точным, если Кег&) =
= 1, и транзитивным, если SP(G) транзитивна. (Иногда действием
группы G на множестве X называется отображение из X х G в X с
(х, g) х9^, где 9* - некоторое представление G -> Sx.) Следующие два
вида представлений применяются особенно часто.
Пусть X — некоторое множество элементов или подмножеств
группыGnH < G.
1) Если для любого he Н отображение SP(/i):х 1-»хЛ(хе X) есть
перестановка множества X (т.е. Xh = X), то отображение SP: h 1-» ??(/()
(h е И) является гомоморфизмом Н в Sx (см. 8.25). В этом случае
говорят, что SP есть представление Н на X сдвигами или что Н
действует на X сдвигами.
2) Если для любого he Н отображение &(Л): хн ? (х е X) есть
перестановка множества X (т. е. ХЛ = X), то отображение 9.: h i-> 9,(h)
(Л е И) является гомоморфизмом из Н в Sx (см. 8.25). В этом случае
говорят, что 21 есть представление Н на X сопряжениями или что Н
действует на X сопряжениями.
Пусть G <SxnH< SY. Говорят, что GhH подобны (или изоморфны
как группы перестановок), если существуют взаимно однозначное
отображение /из X на У и изоморфизм <р из G на Н такие, что
/(х8) = /(х)ф(8) для всех х е X и g е G
(т. е. G и Н изоморфны и действуют "одинаково" на своих множествах
точек).
Представления перестановками si : G —> SXH$h : G —> Sy назы-
ваются эквивалентными, если существует взаимно однозначное
отображение/из А' на У такое, 4Tof~lsi(g)f= ®(g) для всех g е G.
Пусть W - обычное 1-мерное (прямая), 2-мерное (плоскость) или
3-мерное эвклидово пространство. Перестановка множества W, кото-
рая не изменяет расстояние между точками, называется движением
(или изометрией) пространства W. Множество всех движений W с
операцией умножения движений (как перестановок) является группой
(8.44). Она называется эвклидовой группой размерности п, где п —
размерность W, и обозначается через Е(и). Пусть F - некоторая фигура
(т. е. любое множество точек) из W. Множество всех движений W,
совмещающих фигуру F с собой, образует подгруппу в Е(и) (8.44). Она
называется группой симметрий фигуры F в W.
8.1. Пусть G - группа перестановок множества X, х е X и Y С X.
1) Gx (стабилизатор х в G), Gy (поточечный стабилизатор Y в G) и
G(Y) (глобальный стабилизатор У в G) - подгруппы в G.
2) П G, = l.
хеХ
3) Gr < G(K), и G(Y)/Gy изоморфна подгруппе из Sy. Если G = Sx,
то G(Y)/Gy Sy.
8.2. (Т) Пусть G 5 Sx и х € X. Тогда
1)1х°1 = 1С:Сх1;
2) если группа G транзитивна, то IGI = IXI • I Gx I;
3) если g е G, то Gg = g~lGxg.
8.3. Пусть G < Sn и g - p-элемент из G для некоторого простого
числа р, не делящего и. Тогда р не делит I Fix(g) I.
8.4. Пусть G - транзитивная группа перестановок множества X.
х е Х,иН <G.
1) И транзитивна (на X) <=> GtH = G.
2) Н регулярна <=> GXH — G иС, П Н = 1.
3) Если Н регулярна, то I Н I = IX I.
8.5. Пусть G < SX,N^G и N регулярна (на X). Тогда G = N X G,
для всех хе X.
8.6. Пусть G - абелева транзитивная подгруппа в Sx.
1) G регулярна.
2) G - максимальная абелева подгруппа в Sx.
8.7. Центр неабелевой группы перестановок не транзитивен.
8.8. Если А — циклическая транзитивная подгруппа из Sn, то А = {а),
где а - цикл длины п.
8.9. Пусть G - конечная транзитивная подгруппа в Sx и х е X. Тогда
/Vc(Gjf) действует транзитивно на множестве Fix(Gx).
8.10. Каждая транзитивная подгруппа группы Sn содержит не менее
и - 1 перестановок, не имеющих неподвижных точек.
8.11. (Лемма Бернсайда) Если G < Sx и t - число её орбит, то
11 Gl= X IFix(g)l.
«eG
8.12. Пусть G - абелева группа перестановок, имеющих к орбит, и
пусть /и,,..., тк — мощности этих орбит. Тогда
Н.О.К.(т1,...,mk)<lG\< ...тк,
где левая часть обозначает наименьшее общее краткое чисел
Ш|,..., тк.
8.13. Пусть G - транзитивная подгруппа группы Sx их е X.
1) Если Gx < Н < G и В := хн, то [Bg I g е G) есть система
импримитивности группы G.
2) G примитивна <=> Gx - максимальная подгруппа в G.
8.14. Пусть Н - подгруппа транзитивной группы перестановок G.
Тогда если Н транзитивна, регулярна или примитивна, то любая
сопряжённая с ней подгруппа № (g е G) также транзитивна, регулярна
или примитивна соответственно.
8.15. Пусть р - простое число. Тогда любая транзитивная подгруппа
группы Sp примитивна.
8.16. Пусть G = ( (13), (1 2 3 4))- подгруппа из S4. Показать, что
группа G импримитивна и указать её стабилизаторы точек и системы
импримитивности.
8.17. Указать все (с точностью до сопряжённости, см. 8.14) транзи-
тивные, регулярные и примитивные подгруппы в S4.
8.18. 1) Группа S„ «-транзитивна.
2) Группа А„ (п — 2)-транзитивна.
3) Указать все (п - 1)-транзитивные подгруппы в 5„.
8.19. Пусть G - транзитивная подгруппа из Sx, хе X и к е N.
Равносильны условия:
(1) G (к + 1)-транзитивна;
(2) Gx действует ^-транзитивно на множестве Х\(х|.
8.20. Если G - ^-транзитивная подгрупа в S„, то IGI делится на
п(п-1)...(п-к+ 1).
8.21. Указать все (п - 2)-транзитивные подгруппы в S„.
8.22. Каждая 2-транзитивная группа перестановок примитивна.
8.23. Если G < Sx, G примитивна и 1 < N < G, то N транзитивна.
8.24. Пусть G < Sx и Н < SY. Равносильны условия:
(1)G подобна Н;
(2) существует взаимно однозначное отображение/из X на У такое,
что отображение g t-*f~lgf (g е G) является взаимно однозначным
отображением G на И.
8.25. Доказать утверждения 1) и 2), сформулированные во введении
к этому параграфу.
8.26. (Т) Пусть G = (X, •) - группа.
1) При любом g е G отображение Rg : = (X —» X | х н» xg) есть
перестановка, а отображение
Sftc := (G —> Sx I g н» Rg)
есть регулярное представление группы G перестановками (которое
называется (правым) регулярным представлением группы G).
В частности, SftG(G) “ G (теорема Кэли, 1.28).
2) При любом g е G Lg:=(X —> X | х i-> е Sx и отображение
^g:=(G->Sx I Я Lg)
есть регулярное представление группы G перестановками (которое
называется левым регулярным представлением группы G).
3) Представления 91g и эквивалентны.
4) CSx (<3lc (G)) = ££C(G) и CSx (££g(G)) = 9iG(G).
8.27. (Т) Пусть H<GnX- множество всех правых смежных клас-
сов G по Н.
1) При любом g е G Rn.g'= (X -> X | Wr н> Hig (t е G)) g Sx и
отображение
^G,H := К» ^x I g l—* ^ii.g)
есть транзитивное представление группы G перестановками (которое
называется представлением группы G перестановками смежных клас-
сов по Н).
Указать стабилизаторы точек группы SftG// (G) и Ker(Wl(j ц).
2) Пусть К < G. Тогда
^G,Hэквивалентно91g ,К НиКсопряжены вG.
3) Каждое транзитивное представление группы G эквивалентно
представлению SftG g для некоторой подгруппы К из G. Более того,
если G < Sx, то G подобна 9(Gk(G), где К = Gx для некоторого х е X.
8.28. 1) Пусть Н := (a,h), где а = (12345) и h = (2354). Тогда Н -
2-транзитивная подгруппа порядка 20 в S5 и К := (a, h2) - транзитивная
подгруппа порядка 10 в А<>.
2) Используя 1), найти в S6 транзитивную подгруппу, изоморфную
S5, а в Аб - транзитивную подгруппу, изоморфную Д5.
8.29. Пусть H<.GviX = (Н}с - класс подгрупп, сопряжённых с Н.
1) При любом g е G Cg := (X -> X | Н' н» //'« (t е G)) е Sx и
отображение
С$с.н •= (6 —» Sx | g Cg)
есть транзитивное представление группы G перестановками.
2) эквивалентно представлению ^g.ng(hy
8.30. Пусть Н - истинная подгруппа конечного индекса л группы G.
1) GIHg В частности, | GIHg | делит л! и | Н : HG I делит
(л-1)!
л!
2) Если группа G проста, то |G| делит
8.31. При л * 4
а) группа S„ не имеет истинных подгрупп индекса, меньшего л,
отличных от А„;
б) группа А„ не имеет истинных подгрупп индекса, меньшего л.
8.32 Пусть л* 1 ихе {1,... , л}.
1) (^п)л ~ максимальная подгруппа в S„.
2) (А„)х - максимальная подгруппа в А„.
8.33. Конечная группа перестановок, содержащая нечётную пере-
становку, имеет нормальную подгруппу индекса 2.
8.34. Если конечная группа G содержит подгруппу Н простого
индекса р и HG = 1, то
а) р является наибольшим простым делителем порядка G,
б) р2 не делит | G |,
в) С(^Р) = Р для любой силовской р-подгрупы Р из G.
8.35. Группа, имеющая подгруппу индекса 2,3 и 4, непроста.
8.36. Если группа G имеет подгруппу индекса 5 или 6 и содержит
элемент порядка большего чем 6, то G непроста.
8.37. Группа G непроста, если она имеет подгруппу Н и элемент а
такие, что
1) |G:/7| =7, о(а)>12;
2) | G : Н | = 8, о(а) > 15;
3) |G:/7|=9, о(«)> 20;
4) | G : Н | = 10, о(а) > 30;
5) | G : Н | = л, о(а) =р> л, где р- простое число и л g N.
8.38. 1) Если группа G порядка hf имеет подгруппу Н порядка h и
если/ S р, где р - наименьший простой делитель h, то Н < G.
2) Обобщить утверждение 1) на случай периодической группы G.
8.39. Пусть G - конечная группа, !?? - её регулярное представле-
ние перестановками и g - элемент порядка п из G. Тогда '.’/*(8) есть
произведение независимых циклов, каждый из которых имеет дли-
ну л.
8.40. Пусть G - группа чётного порядка и её силовская 2-подгруппа
Р циклическая. Тогда G имеет нормальную подгруппу N такую, что
G = N ХР.
8.41. Пусть G = АВ, где А и В - подгруппы bG, ДГ)В = 1и | А | =2п
с нечётным п. Тогда G имеет нормальную подгруппу индекса 2.
8.42. Пусть G = АВ, где А и В - подгрушшы в G, и | А П В | нечётен.
Предположим, что силовская 2-подгруппа Т подгруппы А циклическая.
Тогда G имеет нормальную подгруппу N такую, что G- N ХТ.
8.43. Если IGI = , где m <2р и р - простое число (т. п е N), то G
имеет нормальную подгруппу порядка р" нли р" ’.
8.44. Пусть п е 11, 2, 3], W - обычное п-мерное эвклидово про
странство и F — некоторая фигура в нём (т. е. любое множество точек
из W).
1) Множество всех движений W с операцией умножения движений
(как перестановок) является группой (группа Е(я)).
2) Множество всех движений W, совмещающих фигуру /' с собой,
есть подгруппа в Е(л) {группа симметрий фигуры F в И).
8.45. 1) Определить элементы группы Е(1), которые а) составляют
на месте по крайней мере две точки, б) оставляют на месте точно одну
точку, в) не оставляют на месте ни одной точки.
2) Группа Е(1) состоит из всех отображений вида х н> х + а (сдви-
гов) и х н> -х + а, где a g R, если отождествить (введением координат)
прямую с множеством R всех вещественных чисел.
3) Указать в Е(1) регулярную подгруппу.
4) Е(1) == D(R+).
8.46. Каковы группы симметрий следующих фигур на прямой:
1) точка,
2) отрезок [a, ft],
3) интервал (a, ft]?
8.47.1) Множество всех отображений вида х н» ах + Ь, где a, be R и
а * О, есть подгруппа в SR {аффинная группа прямой), изоморфная
группе из 1.46 и имеющая в качестве подгруппы группу Е(1).
2) В группе пункта 1) указать регулярную нормальную под-
группу.
8. 48.1) Найти стабилизатор двух точек в группе Е(2).
2) Найти стабилизатор GA произвольной точки А в Е(2) (показав,
что для любого he GA существует поворот г с центром в точке А
такой, что hr1 оставляет на месте две точки). Доказать, что GA =* D(T),
где Т - одномерный тор (1.17). Каковы орбиты группы GA1
3) Множество всех сдвигов плоскости есть регулярная подгруппа
R(2) =* R* х R* в Е(2) и Е(2) = R(2) X GA, где А - произвольная точка
плоскости.
8.49. Рассмотрим на плоскости некоторую прямоугольную систему
координат и каждую точку (х,у) представим себе как комплексное
число z = х + iy. Тогда поворот около точки О на угол ф против часовой
стрелки может быть задан формулой zH»e'<₽z, симметрия относи-
тельно оси Ох - формулой z н z и сдвиг плоскости на вектор ОМ, где
М = {а, Ь), - формулой z н» z + с, где с = а + ih.
1) При этом соглашении каждое движение плоскости задаётся
одной из формул:
zн»e'*₽z + с и zh e,<₽z + с,
где 0 < ф < 2л и с е С (z g С).
2) Найти все периодические элементы группы Е(2).
8.50. Пусть F - плоская фигура конечного диаметра с центром
тяжести О. Известно, что группа симметрий фигуры F может состоять
лишь из поворотов около точки О и из отражений относительно
прямых, проходящих через О.
1) Множество всех поворотов фигуры F около точки О есть под-
группа в Е(2) (называемая группой вращений фигуры F). Эта группа
всегда абелева.
2) Пусть S - группа симметрий и А - группа вращений фигуры F.
Тогда либо S=A, либо S — D(A).
8.51. 1) Группа симметрий правильного «-угольника изоморфна
группе D2n.
2) Группа симметрий окружности изоморфна группе D(T), гдеТ-
одномерный тор (1.17).
8.52. Найти группы вращений и группы симметрий следующих
фигур на плоскости:
1) равносторонний треугольник,
2) равнобедренный треугольник (не равносторонний),
3) квадрат,
4) прямоугольник (не квадрат),
5) ромб (не квадрат),
6) параллелограмм (не ромб),
7) отрезок прямой,
8) прямая,
9) пара параллельных прямых,
10) луч (полупрямая).
8.53. На плоскости построить фигуру, группой симметрий которой
являлась бы:
а) циклическая группа Z„ (п > 1),
б) нециклическая группа порядка 4,
в) группа, изоморфная 53.
8.54. Рассмотрим следующие фигуры в пространстве: тетраэдр,
куб, октаэдр.
1) Группы симметрий последних двух фигур изоморфны (а при
подходящем расположении этих фигур в пространстве - просто сов-
падают).
2) В группе симметрий каждой из данных фигур множество всех
вращений около прямых, проходящих через их центр симметрии, есть
подгруппа, называемая группой вращений фигуры. Найти группы
вращений всех трёх фигур и установить их изоморфность группам Л4,
Л’4, S4 соответственно.
8.55. п-угольным диэдром называется фигура в пространстве,
состоящая из правильной «-угольной пирамиды и её зеркального
отражения от плоскости основания (« > 3). Показать, что группа
вращений «-угольного диэдра, отличного от октаэдра, изоморфна
группе D2„.
§ 9. Факторизации групп
Факторизацией группы называется её представление в виде произ-
ведения нескольких собственных подгрупп. Чаще других рассматрива-
ются бинарные факторизации, т. е. факторизации с двумя множителя-
ми. Точнее: бинарная факторизация группы G - это множество {А, В)
собственных подгрупп из G такое, что G = АВ (= ВА). Если G = АВ, где
A<G,B<GhA Г) В = 1, то говорят, что подгруппа В является до-
полнением в G подгруппы А (и А является дополнением в G подгруп-
пы В). Подгруппа из G, имеющая дополнение в G, называется допол-
няемой в G.
Группа G называется группой Фробениуса, если
a) G имеет подгруппу Н такую, что Н Г) Нх - 1 для всех хе G\H
(следовательно, NG(H) = И);
б) G имеет (нормальную) подгруппу N такую, что G =N ХН.
Подгруппа N называется её ядром (или нормальным множителем), а
подгруппа Н — её дополнительным множителем. Знаменитая теорема
Фробениуса (см. § 22) утверждает, что в случае конечной группы G
условие б) вытекает из условия а). В задаче 9.49 предлагав гея доказать
один её частный случай.
Запись Н <G означает, что Н - максимальная подгруппа группы G.
9.1. Привести пример группы, которая
а) не имеет ни одной бинарной факторизации (верно ли, что по-
рядок любой такой группы есть простое число?),
б) имеет точно одну бинарную факторизацию,
в) имеет точно три бинарных факторизации.
9.2. Указать все бинарные факторизации групп QK и DK.
9.3. Описать бинарные факторизации группы Z„ при любом п е N.
Указать все дополняемые подгруппы в Z„.
9.4. Пусть G = АВ, где А и В - подгруппы группы G.
1) Если А* — подгруппа, сопряжённая с А, и В* - подгруппа, сопря-
жённая с В, то G = А*В*; причём если А Г) В = 1, то А* Г) В* = 1.
2) Если подмножество 4] из Л сопряжено в G с некоторым под-
множеством Bi из В, то оно сопряжено также с некоторым подмно-
жеством из А Г) В.
9.5. Для каждой из групп £>6, Dl0, Dw, А4 указать все бинарные
факторизации с точностью до замены множителя сопряжённой ему
подгруппой.
9.6. Никакая группа не может быть произведением двух своих
истинных сопряжённых подгрупп.
9.7. Пусть Н - подгруппа индекса т в конечной группе G. Если т не
превосходит наименьшего простого делителя порядка Н, то Н < G.
9.8. Пусть G = АВ, где G - конечная группа и А, В - её собственные
подгруппы. Предположим, что | А | pq, где р - наименьший простой
делитель | А |, a q - наименьший простой делитель | В |. Тогда либо
Лу,(В) = В, либо В < G.
9.9. Пусть А, В, С - подмножества группы G.
I) Пусть А перестановочно с В к С. Тогда А перестановочно с
(В, С). Будет ли также А перестановочно с В П С?
2) А(В U С) = АВ U АС.
3) (В U С)А = ВА U СА.
4) Равенства 2) и 3) перестанут быть верными, если в них знак U
заменить знаком Г).
9.10. Пусть А и В - подгруппы группы G. Равносильны условия:
(I) АВ <, G;
(2) АВ=ВА;
(3) для любых а е А и b е В ЛЬ П Ви Ф 0.
9.11. Если G = АВ, где А и В - подгруппы группы G, то
| А : А П В | = | G : В | .
9.12. Пусть А, В, С - подгруппы группы G такие, что G = АВ = АС.
Будет ли тогда G = А(В Г) С)?
9.13. Найти группу G, имеющую подмножества А и В такие, что
1) АВ - подгруппа в G, но В А не является подгруппой в G,
2) | АВ | * | ВА |.
9.14. Пусть Н„ Н2, - подгруппы группы такие, что Н|Л/2#з =
= Н2Н,Н] = /73Л//7, при некоторых i,j, s, t из (1, 2, 3}. Тогда Н\Н2Н3 -
подгруппа в G.
9.15. Пусть А, В, С - подгруппы группы G, причём каждая из них
содержится в произведении (в некотором порядке) двух других. Тогда
АВ=ВС = СА <,G.
9.16. Определить все группы порядка 12, являющиеся произведени-
ем двух подгрупп порядка 6.
9.17. (Продолжение задачи 2.25). Пусть группа G имеет подгруппы
А и В такие, что | G \ (A U В) | =3. Тогда G изоморфна одной из групп:
Зе, Dg, Eg, Z2 х Z4, Dg, Е4 х Z3, Z2 х D6.
9.18. Пусть М - нормальное подмножество группы G. Если М =
= Ml и М2 и...и Мп, то <М> = <Л/,) (М2> - <Мп}-
9.19. Предыдущее утверждение останется верным, если вместо
нормальности подмножества М потребовать лишь выполнимость
условия: MMj С MtM для всех i е {1,..., л).
9.20. Если нормальное подмножество М подгруппы G состоит из
конечного числа периодических элементов, то подгруппа {М) конечна.
9.21 Если некоторая подгруппа группы G имеет лишь конечное
число п сопряжённых подгрупп: Нъ Н2, ... , Нп - то их произведение
Н]Н2 .. Н„ (в любом порядке) есть нормальная подгруппа в G.
9.22. Пусть G = АВ, A <G, В < G, a g Z(A), b g Z(B). Тогда aGbG =
= (ah)G.
9.23. Пусть G = AB, где А и В - собственные подгруппы группы G,
А Г) В = 1, и пусть Z(G) = {«Д, а2Ь2,... , aafta,...}, где аа G А, Ьае В.
1) Множества А, :={«,, а2,... , аа,... | и Bt := b2,... , ha, ...| -
абелевы подгруппы в G.
2)(AI,B1)=AI xBi = Z(G)A} = Z(G)Bi.
3) Если Z(A) = Z(B) = 1, to |Z(G)|2< |G|.
9.24. Пусть А и В - подгруппы конечной группы G. Тогда
1) | АВ | = | А | |В |/1А П В |;
2) | (А, В) | = [|А|,|В|](/д,1в),где1Л = | {А, В): А |, iB = | <А. В>:
:В|;
3) I <Л,В> I >
IАI IBI > 1<А,В>1
IAABI " (iA,iB) ’
9.25. Пусть А и В - подгруппы со взаимно простыми индексами в
конечной группе G. Тогда
G = АВ и IGI = [IAI, 1В1].
9.26. Пусть А и В - подгруппы конечной группы G, такие, что IGI =
= [1А1,1В1]. Тогда G = АВ и индексы подгрупп А и В в группе G взаимно
просты.
9.27. Если в произвольной группе G индексы двух ее подгрупп А и
В конечны и взаимно просты, то G = АВ.
9.28. Пусть Н и К - классы сопряжённых элементов группы G
(может быть, совпадающие).
1) Произведение НК есть нормальное подмножество в G.
2) Если элемент g из НК имеет конечное число I записей его в виде
произведения элемента из /7 на элемент из К, то каждый сопряжённый
с g элемент имеет то же самое число I записей его в виде произведения
элемента из Н на элемент из К.
3) Если порядки 1/71 и 1Л1 классов НъК конечны и взаимно просты,
то НК есть класс сопряжённых элементов группы G, причем 1/7ЛГ1 делит
1/711ЛП.
9.29. Пусть М - подмножество и Н - подгруппа группы G. Равно-
сильны условия:
(I) \M*\ge G) = {Mh\he /7);
(2)G = Ng(M)H.
9.30. Пусть G = ANG(M), где А < G и М С G. Тогда G имеет нормаль
ную подгруппу N такую, что
М С N С (А, М)
9.31. Пусть С = АВ, где A <G иВ <G, и выполнено какое-либо из
следующих условий:
1) А нормализует некоторую неединичную подгруппу из В,
2) А П В содержит неединичную подгруппу, нормальную в В,
3)СД(В)*1.
Тогда группа G непроста.
9.32. Пусть G = АВ, где А и В- подгруппы в G, и А() < А G. Пред-
положим, что числа IG : В\ и 1А01 конечны и взаимно просты. Тогда
<A(f)CB.
9.33. Пусть М - подмножество, а А и В - подгруппы группы G.
Следующие условия равносильны:
(1) {Ма 1ае А| = В);
(2) (А, В) = AN = BN, где N = N^B)(M).
9.34. Обобщить закон Дедекинда (см. 2.20) следующим образом:
Если А и В - произвольные подмножества группы G и А - под-
группа группы G, содержащая А, то
АВСА=А(ВС А) и
А А ВА = (А) А В)А.
9.35. В группе А4 найти неперестановочные подгруппы А иВ
такие, что А4 =АВА.
9.36. Пусть G = АВА, где А и В - подгруппы из G, и пусть А £ А £ G.
Тогда А = А(В Г) А)А.
9.37. Пусть А, В, С - подгруппы некоторой группы такие, что АС =
= ВС.
1) AD = BD < G, где D = В)(С) (в частности, N(A ву(С) * 1, если
А*В).
2) Существует подгруппа С! в С такая, что АС, = ВС, G.
9.38. Пусть А() С А £ G иВ() С В < G.
1) АоВ() А А А В = (Ао А В)(В0 А А).
2) Если А() перестановочно с Во, то А0А В перестановочно с А А.
9.39. Пусть G=AB, где A<G, B<G, и А() < А,
Если Ад = B^Aq для некоторых х, у е G, то А${, = В„А,,.
9.40. Пусть А, В, Н - подгруппы группы G и G = АВ. Не всегда
Н = (А А Н)(В А Н) (даже если Н < G).
9.41. Пусть А, Ви Н - подгруппы группы G и G =АВ = (А А В)Н.
Тогда
Н = (А А Н)(В А Н).
9.42. Пусть G = АВ, где А G и В < G. Если хотя бы одна из групп А
и В периодическая или А А В конечна, то
/VG(A А В) = Na(A A B)Nb(A А В).
9.43. Пусть G = АВ, где А, В - подгруппы изС, ААВ=1иН<
£ Л/В(А). Тогда
Ng(H) = Na(H)Nb(H).
9.44. Пусть G = АВ, где A<GhB<G,hN< G. Равносильны
условия:
(\)AN Ci BN = (A A B)N;
(2) N = (A A iV)(B A N).
9.45. Пусть G = АВ, где а) Л и В - периодические подгруппы группы
G и б) порядок любого элемента из А взаимно прост с порядком лю-
бого элемента из В. Тогда для любой нормальной подгруппы N группы
G справедливо равенство
N = (AnN\BCiN).
Показать, что это равенство может быть неверным, если нарушено
одно из условий а) и б).
9.46. Обобщить задачу 9.45 следующим образом. Пусть G = АВ, где
А и В - подгруппы группы G и N < G. Если А/А П N и B/BC\N -
периодические группы и порядок любого элемента одной из них
взаимно прост с порядком любого элемента другой, то
N = (A Cl N^BCiN).
9.47. Пусть G = АВ, где A S G и В G, и G() = (л0, Во), где Ло < А
и В0<В.
1) Если хотя бы одна из групп А и В периодическая или G() конечна,
то
/Vg(G0) = ^(G())Wb(G0).
2) Если группы А и В периодические и порядок любого элемента
из А взаимно прост с порядком любого элемента из В, то
с0 = (лпс0)(впс0).
9.48. Пусть А, В, Н - подгруппы группы G. Показать (па примере
группы >S4), что из АВ = ВА не следует, что (Л A//)(/Jfl//) =
= (В П Н$А П Н) (даже при G = АВ).
9.49. Пусть G - конечная группа, удовлетворяющая следующим
условиям:
a) G имеет подгруппу Н такую, что Н Г) Xх = 1 для всех
х g G \ Н(следовательно, NC(H) = Н);
б) G имеет подгруппу N такую, ч?о G = HN иН Г) N = 1.
Тогда N < G и, следовательно, G т группа Фробениуса с ядром N
и дополнительным множителем Н. Более того, /V - единственная под-
группа в G со свойством б).
9.50. Пусть G = АВ - конечная группа, А и В - собственные под-
группы в G, Л <• G, Л дедекиндова (т. е. все её подгруппы нормальны
к ней), В <G, АГ\В = \ и Лс=1. Тогда G - группа Фробениуса с ядром
В и дополнительным множителем А.
9.51. При каких п е N диэдральная группа £>2л является группой
Фробениуса?
9.52. Привести пример бесконечной группы Фробениуса.
9.53. Пусть G - АВ > ЛВ,, где А<биВ|<В<С.
1) Если В] <• В, то ДВ| <• G.
2) Если АВ1 <• G, то будет ли В1 <• В?
9.54. Пусть А S G мН = (AglА*"}, где gt..gn - элементы
из G. Пусть В* - максимальный элемент во множестве всех подгрупп В
из Gтаких, что
1)АВ*6и
2) А’В = ВА’ для всех t е [Jg,H.
1 = 1
Тогда ^;(В*)2//.
9.55. Пусть A<H<GiiB*- максимальная среди подгрупп В из G
таких, что
1) AB&G и
2) AhB = BAh для всех Ле Н.
Тогда ^(в*)Э(л").
9.56. (Лемма Кегеля) Пусть А и В - подгруппы группы G такие, что
АВ Ф G и Ах В = ВАК для всех g е. G. Тогда G имеет нормальную
подгруппу, содержащую А или В.
9.57. Пусть А < В < G, G - конечная группа иЛл’В = ВАК для всех
g g G. Тогда существуют подгруппы N},..., Nk (к 6 N) в G такие, что
/V, < ... < Nk < G и А < N, <В.
9.58. Если каждая подгруппа простого порядка р группы G допол-
няема в G, то G не имеет циклических подгрупп порядка р2.
9.59. Пусть А — конечная подгруппа группы G. Если каждая под-
группа простого порядка из А дополняема в G, то и А дополняема в G.
(Ю. М. Горчаков)
9.60. Пусть G = где о(а) = о(Ь) = 4 и а2 =Ь2. Тогда
1) ah e|a,a-lJ;
2) либо G = (а) х {ah) — Z4 х Z2, либо G — Qs.
§ 10. Силовские подгруппы
В этом параграфе:
G - конечная группа,
р - простое число и
р' - множество всех простых чисел, отличных от р.
Если ра - наибольшая степень числа р, делящая IGI (а € N U (0}),
то любая подгруппа порядка ра из G называется
р-силовской подгруппой группы G. Множество всех р-силовских
подгрупп группы G обозначается через Sylp(G).
Силовская подгруппа группы G - это р-силовская подгруппа из G
для некоторого простого р, делящего IGL Таким образом, выражение
"Р - силовская р-подгруппа в G" означает "Р - р-силовская подгруппа в
G при р, делящем IGI". Множество всех силовских подгрупп группы G
обозначается через Sy 1(G). Пересечение двух силовских р-подгрупп G
называется максимальным р-силовским пересечением в G, если оно не
содержится в большем пересечении двух силовских р-подгрупп из G.
Gp(G) означает наибольшую нормальную р-подгруппу группы (1.
л(С) обозначает множество всех простых делителей порядка G.
Согласно теореме Силова (см. 10.1, 10.2) n(G) совпадает с множеством
всех простых делителей порядков элементов G. В частности, G ест ь
р'-группа <=> порядок G взаимно прост ср. Группа G называется
примарной, если ln(G)l < 1, и бипримарной, если ln(G)l = 2.
Пусть л - множество простых чисел.
п-число - это натуральное число, все простые делители которого
принадлежат л. Группа называется
п-замкнутой, если множество всех ее л-элементов является в ней
подгруппой. {р|-замкнутая группа называется p-замкнутой. Конечная
группа p-замкнута в точности тогда, когда она имеет нормальную
р-силовскую подгруппу (см. 10.3). Подгруппа Н конечной группы
G называется
холловой. подгруппой в G, если | Н | и | G: Н | взаимно просты, и
п-холловой, если она-холлова л-подгруппа и |G:W| есть
л'-число. Заметим, что выражения "л-холлова подгруппа” и "холлова
л-подгруппа" имеют разный смысл.
10.1. (Теорема Силова) Пусть G - конечная группа и р - простое
число.
1) G имеет р-силовские подгруппы. Пусть Р - одна из них.
2) Каждая р-подгруппа группы G содержится в некоторой под-
группе, сопряжённой с Р.
3) Все р-силовские погруппы из G сопряжены в G и
|Sy/p(G)| = |G:^(P)|»l (^р)-
10.2. Пусть л - множество простых чисел. Группа G является
л-группой если и только если | G | есть л-число.
10.3. Пусть Н - холлова подгруппа группы G.
1) Н *3 G « И - единственная подгруппа порядка \Н\ в G.
В частности, G р-замкнута <=> G имеет нормальную р-силовскую
подгруппу.
2) Если H<K<G,roH<G.
3) Если Н G и К =s G, то
а) | Н [делит | К |<=> Н<К,
в) | К | делит | Н | <=> К<Н.
10.4. Пусть Р - р-подгруппа в G.
1) Если Р < 5 g Sylp(G), то Р< NS(P) .
2) РeSylp(G)e$ РeSylp(NG(P)).
10.5. Пусть Р 6 Sylp(G) и N <1G. Тогда
1) NDPeSylp(N),
2) PN/N g Sylp(G/N),
3)Nc(P)N/N = Ng/n(PN/N).
10.6. Пусть Н - подгруппа группы G.
1) Из Ре Sylp(G) не следует, что НГ\Ре Sylp(H).
2) Может ли силовская подгруппа из G содержать две силовские
подгруппы из Н1
3) Если силовская р-подгруппа Р подгруппы Н содержится в под-
группе К, сопряжённой с Н, то Н и К сопряжены элементом из/VG(P).
10.7. Если Рg Sylp(G) и NG(P)< И <G, то
1)NG(H) = H,
2) | G: Н\ = 1 (mod р).
10.8. Пусть N < G и P\ e Sylp(N).
1) (Аргумент Фраттини) G = N • Ng(Pi).
2) Если /VG(fj) < H <G, to |G: /7|н 1 (mod p). В частности,
содержит некоторую р-силовскую подгруппу группы G.
10.9. Пусть S - некоторая р-подгруппа группы Сиг - число всех
р-силовских подгрупп из G, содержащих S. Тогда г я 1 (mod р).
10.10. Пусть к — число всех элементов простого порядка р в конеч-
ной группе G. Тогда к в -1 (mod р).
10.11. Пусть Р € Sylp(G) и п = | G: Р |. Если ни один отличный от 1 и
п делитель числа п не сравним с 1 по модулю р, то либо Р < G, либо Р
максимальна в G.
10.12. Сколько элементов порядка 7 содержит простая группа по-
рядка 168?
10.13. Пусть р и q - различные простые числа.
1) Каждая группа порядка pq или pq2 имеет нормальную силов-
скую подгруппу.
2) Если | G | = pq2 np\q~ I, то G имеет подгруппу порядка pq.
3) Если plq - 1. то существует неабелева группа порядка pq.
4) Сколько максимальных подгрупп имеет группа порядка pq!
10.14. Любая группа порядка 22 • 52, 2' 52.23 7, 22 72, 3’ 5, 54 7,
7 1113 или 22 • 7 • 23 имеет нормальную силовскую подгруппу.
10.15. Пусть G - группа порядка paqh, где р и q- различные про-
стые числа и a, h g N. Если ни один собственный делитель числа q1’ не
сравним с 1 по модулю р, то группа G имеет нормальную подгруппу
порядка ра или pa~lqh.
10.16. Пусть | G | = рап, где (р, и) = 1 (а, п g N), р - простое число и
a, be N. Предположим, что
а) ни один собственный делитель числа п не сравним с 1 по
модулю р,
б) G имеет подгруппу Н порядка п.
Тогда либо группа G p-замкнута, либо Н примарна и Op(G)H <1G.
10.17.1 ) Группа порядка 10 000 непроста.
2) Каждая группа порядка 2 • 52 • 7 или 3 • 7 • 19 имеет нормальную
силовскую 7-подгруппу.
10.18. Не существует простых групп порядка 30, 380, 495, 520, 546.
Указать как можно больше порядков нормальных подгрупп в каждом
случае. В частности, показать, что любая группа порядка 30 имеет
нормальные подгруппы порядков 3,5 и 15.
10.19. Описать конечные группы, которые порождаются любыми
тремя своими неединичными элементами.
10.20. Если в конечной группе G для любого делителя т порядка G
уравнение хт = 1 имеет не больше т решений, то группа G цикли-
ческая.
10.21. Пусть G - конечная группа, в которой для любых двух под-
групп АиВизАПВ = 1 следует Г) = 1. Тогда в труппе G
все силовские подгруппы нормальны, а все её элементы простых
порядков содержатся в Z(G).
10.22. Конечная неабелева группа, имеющая три класса сопряжён-
ных элементов, мощности которых попарно взаимно просты, непроста.
(С. А. Чунихин, 1930)
10.23. Пусть Sylp(G) = {Р,,.... Р„} и | Pj: Pj П Pj | > pd при i Ф j. Тогда
10.24. Пусть G - группа порядка рап,р- простое число, (р, и) = 1
и п Ф1 (mod рк} для некоторого к, где 1 < к < а. Тогда G имеет либо
нормальную р-силовскую подгруппу, либо подгруппу, порядок которой
п — It 4-1
делится на р и на некоторое простое число, отличное от р.
10.25. Обобщить 10.23 следующим образом.
Пусть Н - подгруппа порядка h группы G, п = | NC(H) |, и г - наи-
меньшее общее кратное порядков пересечений Н с сопряжёнными
с ней подгруппами, отличными от неё.
l)|G|en
2)|{Я}С| = 1
J h
mod y-z--г
(h2,nr)
3) Если H - максимальная или холлова подгруппа в G, то
| {W}G | = 1 ~
10.26. Пусть H<.K<,G, где G - конечная группа, Н - нормальная
холлова подгруппа в К и | G: К | < р, где р - наименьшее число в п(Н).
Тогда И <G.
10.27. Пусть G - группа порядка 24. Тогда
либо G - 3-замкнута,
либо G - 2-замкнута и G/Z(G) — А4,
либо GaS4.
10.28. Определить все силовские подгруппы группы S4 и их попар-
ные пересечения.
10.29. Группа S4 имеет точно 3 класса максимальных подгрупп:
1) А4 (нормальная подгруппа),
2) три силовские 2-подгруппы, изоморфные D& (не нормальные),
3)4 подгруппы, изоморфные 53 (не нормальные).
10.30. Число подгрупп порядка р в группе Sp равно (р -2)1. Сле-
довательно, (р - 2)! s 1 (mod р).
10.31. Пусть Р g Sylp(S„). Тогда | Р| = ра, где а = £"=,
10.32. Пусть | G | = рап, где (р, п) = 1, (а, л| cN ил>1. Если
O„(G) = I, то а < ——
,л ’ р-1
а при р = 2 даже а < п - 1.
10.33. Сколько максимальных подгрупп имеет каждая из следую-
щих групп:
a) D(, х ,
б) О6хО6?
10.34. Пусть Р- подгруппа группы G = GLn(Zp) (п е N), состоящая
из всех ей нижних унитреугольных матриц (6.31 (в)). Тогда Р е Sylp(G).
10.35. Используя разложение группы на двойные смежные классы,
но без применения теорем Силова, доказать следующее утверждение.
Если G - конечная группа, Н < G и Р g Sylp(G), то существует элемент
ge G такой, что Н Г) Рк g Sylp(H).
10.36. Дать доказательство существования в конечной группе си-
ловских подгрупп, используя 10.34 и 10.35.
10.37. Пусть G = АВ, где А G и В £ G.
1) Существует р-силовская подгруппа РвА и р-силовская под-
группа Q в В такие, что PQ g Sylp(G).
2) Если А । - нормальная р-подгруппа из А и В, — нормальная
р-подгруппа из В, то (А,, В, j - р-группа.
10.38. Если G = А х В, где А и В - подгруппы в G, и Р е Sylp(G), то
APClBP =Р.
10.39. Пусть Gj и G2 - конечные группы, G, имеет р-силовских
подгрупп, G2 имеет р-силовских подгрупп. Сколько р-силовских
подгрупп имеет группа G, х G2?
10.40. Пусть G - непримарная группа, М <• G и Р е Sylp(M). Если Р
не содержится в максимальных подгруппах группы G, отличных от М,
то Ре Sylp(G) и <9p(G)gSylp(Mc). (Напомним, что Мс = Г|Л/К.)
#eG
10.41. Пусть Р eSylp{G). Тогда любые два элемента из CG(P), со-
пряжённые в G, сопряжены в NG(P).
10.42. Пусть PeSylp(G) и х - p-элемент из G. Если х переста-
новочен с Z(P), то х централизует Z(P).
10.43. Пусть PbQ- силовские р-подгруппы группы G. Если
A <Z(P) и А < Q, то A <Z(Q).
10.44. Пусть а - p-элемент группы G и |G: CG(a)| = р“, где
a g N U {0}. Тогда а е Op(G).
10.45. 1) Пусть Р g Sylp(G), a 7J и Р2 - нормальные подгруппы из Р.
Если 7J и Р2 сопряжены в G, то Р/Р} — Р/Р2.
2) Утверждение 1) перестанет быть верным, если условие
сопряжённости Pt и Р2 заменить в нём условием 7J == Р2.
10.46. Пусть Р g Sylp(G), к — число классов сопряжённых элементов
в G и к’ - число таких классов, состоящих из р'-элементов. Тогда
к < | Р|Г.
10.47. Если пересечение любых двух силовских р-подгрупп группы
G равно 1, то централизатор в G любого неединичного р-элемента
р-замкнут.
10.48. Пусть Р и Q - различные силовские р-подгруппы группы G
такие, что Р П Q является максимальным р-силовским пересечением
в G (т. е. Р П Q не содержится в качестве истинной подгруппы в пере-
сечении двух различных р-силовских подгрупп из G).
1) /УДРПС) и Nq(PQQ) - различные р-силовские подгруппы в
АС(Р П Q) (в частности, NC(P П Q) не является p-замкнутой группой).
2) СР(Р П С) и Cq(P Г) Q) -р-силовские подгруппы из Сс(Р Г) Q).
3) Ри Q сопряжены элементом из NC(P П Q).
10.49. Пусть N - нормальная р' -подгруппа группы G. Тогда пересе-
чение любых двух р-силовских подгрупп группы G/N имеет вид DNIN,
где D - пересечение некоторых двух р-силовских подгрупп из G.
10.50. 1) Пусть N - пересечение всех максимальных подгрупп груп-
пы G, порядки которых делятся на р. Тогда /V р-замкнута.
2) Пусть Ф (G) - пересечение всех максимальных подгрупп группы
G. Тогда каждая силовская подгруппа из Ф (G) нормальна в ней.
10.51. Пусть Н - ненормальная подгруппа группы G и Р - макси -
мальная среди р-подгрупп, содержащихся в пересечениях двух под-
групп, сопряжённых с Н. Тогда NG(P) не лежит ни в одной из под-
групп, сопряжённых с Н. (G. Pazderski, 1964)
10.52. Пусть G =НК, где Н и К - подгруппы в G, | Н | < | К | и
К <1G. Тогда существуют xeG\ NG(K) и силовская подгруппа /’ в
К П Кх такие, что NG(P) не содержится ни в подгруппах, сопряжён-
ных с Н, ни в подгруппах, сопряжённых с К.
10.53. Конечная группа G, содержащая точно два класса сопряжён-
ных максимальных подгрупп, бипримарна. А именно,
1) если Н и К - представители этих классов, то их индексы в G
взаимно просты, и
2) G = Р X Q, где Р и Q - примарные группы взаимно простых
порядков и Q циклическая. (G. Pazderski, 1964)
10.54. Если N - нормальная р' -подгруппа группы G и Р- некоторая
р-подгруппа из G, то
1) Ng/n(PN/N) = Nc(P)N/N,
2) Cg/n(PN/N) = Cg(P)N/N.
10.55. Пусть N - нормальная р'-подгруппа группы G.
1) Число классов сопряжённых р-элементов в G/N равно числу
классов сопряжённых р-эле ментов в G.
4. В. А. Белоногов
97
2) Если х - p-элемент из G, то Cg/n(xN) = Cg(x)N/N и, следова-
тельно, | Cg/n(xN) | = | CG(x) |/| CN(x) |.
10.56. Пусть A<PeSylp(G). Тогда | {4}Л'с(Р) | = Sylp^~^ ।,
где а - число подгрупп, сопряжённых с А и содержащихся в Р, а Р -
число силовских р-подгрупп из G, содержащих в А.
10.57. Пусть Р е Sylp(G) и х е Р. Тогда
|Сс(х)| = пшх |СР(0|.
у lePOx
10.58. Пусть Р е Sylp(G), z е Z(P) и
|гсПРПР«|<р для всех geG\NG(P).
Тогда z принадлежит центру каждой силовской р-подгруппы из G,
в которой он содержится.
10.59. Подгруппа X конечной группы G называется р-сигнали-
затором в G, если | X|и |G: /VG(X)| _ р'-числа (т. е. X есть р'-под-
группа, нормализуемая некоторой силовской р-подгруппой из G).
Если в конечных группах А и В нет неединичных р-сигнали-
заторов, то их нет и в группе А х В.
10.60. Пусть H<G.. Если Н перестановочна с каждой силовской
подгруппой группы G и NC(H) содержит каждую силовскую подгруппу
из G, имеющую неединичное пересечение с Н, то Н < G. (И обратно.)
10.61. Если подгруппа Н группы G перестановочна с каждой силов-
ской подгруппой из G и каждая силовская подгруппа из Н нормальна
в некоторой силовской подгруппе из G, то Н <3 G. (И обратно.)
10.62. Пусть Н <G и Н перестановочна с каждой силовской под-
группой из G. Тогда Ng(H)>H и каждое простое число, делящее
| G:Н |, делит | NG(H): Н |.
10.63. Пусть G- транзитивная подгруппа в 5„, PeSylp(G) и
Рх g Sylp(H), где Н - стабилизатор некоторой точки в G. Тогда NG(P)
действует транзитивно на Fix(P) h/Vg(7J) действует транзитивно на
Fix(f\).
§ 11. Автоморфизмы и эндоморфизмы
Гомоморфное отображение группы в себя называется ее эндомор-
физмом, а изоморфное отображение группы на себя - её автомор-
физмом. Множества всех эндоморфизмов и всех автоморфизмов дай-
ной группы G обозначаются соответственно через EndfG) и Aut(G).
Ясно, что Aut(G) является подгруппой симметрической группы Sc. При
любом geG отображение
i(g):xi-> g~'xg(xeG)
есть автоморфизм группы G, называемой её внутренним авто-
морфизмом, соответствующим элементу g (вместо i пишут i(; при не-
обходимости указать группу). Все внутренние автоморфизмы группы G
образуют нормальную подгруппу Inn(G) в группе Aut (G), которая
изоморфна G/Z(G) (11.16) и называется группой внутренних авто-
морфизмов группы G. Фактор группа Owr(G): = Aut (G) I Inn(G) назы-
вается группой внешних автоморфизмов группы G.
Группа G называется совершенной, если Aut(G) = lnn(G) и Z(G) = I.
Автоморфизм <р группы G называется регулярным, если он остав-
ляет на месте один лишь единичный элемент из G.
Пусть Н — подгруппа группы G и <р g End(G). Говорят, что Н (р-ин
вариантна, или (p-допустима, или допустима относительно <р, если
< Н. Если = Н, то, очевидно, <р|я g End(H) (эндоморфизм Н,
индуцированный эндоморфизмом <р); а если к тому же Н <3 G, то <р оп-
ределяет естественным путем некоторый эндоморфизм группы G/H
(см. 11.22). Подгруппа Н называется А-инвариантной, или А-допус-
тимой, где А < Aut(G), если она а-инвариантна при любом a g А. Если
Н допустима относительно всех автоморфизмов группы G, то Н назы-
вается характеристической подгруппой в G. Группа, не имеющая ха-
рактеристических подгрупп, называется характеристически про-
стой.
Эндоморфизм а группы G называется нормальным, если он пере-
становочен с любым внутренним автоморфизмом. Таким обра-
зом, CAul(Gj(lnn(G)) есть множество всех нормальных автоморфиз-
мов G.
Если А - абелева группа, то множество End(A) является кольцом
относительно операций:
ф + у: а н> аУ • av, ф • у: а н> (д’’)*
(ф, ф е End(A), ае А) (см. 11.5).
Подобно случаю групп определяются автоморфизмы и эндо-
морфизмы кольца К и группа Aut(IC).
Пусть Я - некоторое множество, G - группа и ф - отображение из
Я в End(G). Торда тройка (G, Я, ср) называется операторной группой
или Q-группой. Говорят также, что G есть Л-группа, считая, что её
определяющее отображение ф держится в уме (ясно из контекста), и
пишут g“ вместо для g е G и ш е Я. Пусть G - Я-группа (с опре-
деляющим отображением ф). Если Н :S G и Hw £ И (т. е. //*<“) £ Н) для
всех со е Я, то говорят, что Н есть ^.-подгруппа в G или что Н есть
Л-допустимая подгруппа в G. Если N - нормальная Я-подгруппа в G,
то фактор-группа G/N считается Я-группой с определяющим отобра-
жением ф: со I—> (gN ь» g°>N) (со € Я, g е G). Гомоморфизм а Я-группы
G в Я-группу Н называется Q-гомоморфизмом, если
gtoa _ gam для всех g е Q и СО € Я.
Пусть Homa(G, Н) - множество всех Я-гомоморфизмов из G в Н.
Результаты о Я-группах имеют наиболее важные применения в
случае, когда Я есть группа и ф - гомоморфизм из Я в Aut(G).
В случае, когда А < Aut(G), X С G и ЛЙ М < G, используются
обозначения:
СА(Х) := {а е А 1ха = х для всех хе X};
Ca(M/N) := {а е A I (mN)a = mN для всех т е М};
NA(X):= {ае А IХ« = Х};
Cg(A) := {ge G I = g для всех а е Л}.
Если CA(Y) = А, где Y есть X или М/N, то говорят, что А центра-
лизует Y.
11.1. Какие из следующих отображений ф группы С* в себя яв-
ляются эндоморфизмами и, в частности, автоморфизмами? Найти
Хег(ф) и (С*)*.
1) ф : z I—> zn, где п — натуральное число. Найти также образы под-
групп U и Н„ из С, определённых в задачах 4.57 и 4.58.
zn
2)ф:гн> —,гдепе N.
3) ф : z = а + hi i-> z = а - Ы (a mb- действительные числа).
4) ф: z i-> cz, где с — фиксированный элемент из С.
5) ф: z i-> I z I.
6) ф: zH z-1.
11.2. Какие из следующих отображений <р группы С* в себя яв-
ляются эндоморфизмами и, в частности, автоморфизмами? Найти
Хст(ф) и (С+уР
1) <р: z = а + bi I-» z = а - bi (a, b е R).
2) ф: zHft'z (вещественная частьz).
3) ф: z I—> z", где п - целое число.
4) ф: z I—> иг, где п - целое число.
5) фх: z i-> zx, где х - фиксированный элемент из С*.
11.3. Пусть G-группа, ае Aut(G) иХ £ G.
1) Cg(X)“= Сс(Х«).
2)N^X)a=N^).
3) Класс подмножеств группы G, сопряжённых с X в G, а переводит
в класс подмножеств группы G, сопряжённых с Х“ в G.
11.4. Если N < G и ае Aut(G), то G/N — GINa.
11.5. Для абелевой группы А множество End(A) является кольцом
относительно операций:
ф + ф: а I-»• flV и ф ф: (ф, фе End(A), ае А).
При этом Aut(A) = End(A)'.
11.6. Пусть К - кольцо.
1) Для каждого х е К определим отображение ах из К в К по пра-
вилу осЛ(у) = ух. Тогда (ал1 х е X} есть подкольцо в End(K+), изоморф-
ное К.
2) Если К - кольцо с единицей, то группа Aut(K+) имеет подгруппу,
изоморфную К'.
11.7. Справедливы следующие изоморфизмы колец и групп:
a) £hd(Z+) — Z и Xttf(Z+) = Z (= Z2),
6)End( Z*) = Z и Aut(Z*) ~ Z„ (ne N),
в) £hd(Q+) — Q и Aut(Q+) — Q‘.
11 .8.1) Aut(Z„) - абелева группа порядка ф(п) (п е N).
2) Найти (с точностью до изоморфизма) группы Aut(Z„) при п < 15.
3) Если Р — , где р - простое число, р > 2 и п е N, то I Aut(P) I =
= р"“1(р - 1) и отображение а:гнх1+р(хе Р) порождает силовскую
р-подгруппу в Aut(P).
11.9. Если Н - подгруппа циклической группы G, то Aut(H) =
= {a I w I а е Aut(G)}, т. е. каждый автоморфизм группы Н индуцируется
некоторым автоморфизмом группы G.
11 .10.1) Aut(Z^) - абелева группа.
2) В группе Aut(Z^„) при р > 2 нет элементов порядка р.
3) Единственным неединичным 2-элементом группы Aut(Z2„) яв-
ляется инвертирующий автоморфизм (х н> хг1).
11.11. Перечислить все эндоморфизмы группы Е4. Для каждого из
них указать его ядро и образ. Доказать, что Aut(E4) =“ S3.
11.12. Пусть G = (x>x<y).
1) Для любой пары элементов а, b из G существует точно один
эндоморфизм <р группы G такой, что ф(х) = а и ф(у) = Ь.
2) Если I (х) I = I (у) I, то формула х"У н» ynxm+n (m, и е Z) правильно
задаёт отображение <р группы G в себя, и ф е Aut(G). Найти порядок <р,
если I (х) I = I (у) I = 4.
11 .13. Пусть т, п е N.
1)£W(Z+ x„.xZ+.) — Mn(Z) и Ant(Z+ x.„xZ+) — GL„(Z).
п раз n раз
2) End(Z+m x... x Z+n) ~ Mn(Zm) и Aut ( Z^ x... x Z* ) = GL„(Zm).
п раз n раз
11.14. Если E - элементарная абелева группа порядка р" (т. е. Е —
— Б?,,), где р - простое число, то
Aut(E) = GL„(Zp) и I Aut(E) I = (р" - 1)(р" - р)... (р" - рп~').
11.15. Найти все эндоморфизмы группы S3. Определить их ядра и
образы. Доказать, что группа S3 совершенна.
11.16. (Т) 1) Для каждого geG отображение
i(g):x^g~lxg (хе G)
есть автоморфизм группы G.
2) Если g € G и ф е Aut(G), то i(gV) = Ф~'«(5)ф.
3) Inn(G) := [i(g) I g e G}< Aut(G) и lnn(G) = G/Z(G).
11.17. Отображение ф:хнх_| является автоморфизмом груп-
пы G тогда и только тогда, когда G абелева.
11.18. Группа автоморфизмов любой конечной абелевой группы
порядка > 2 имеет чётный порядок.
11.19. Если Xnr(G) - циклическая группа, то группа G абелева.
11.20. Найти все конечные группы G, для которых Aut(G) = 1.
11.21. Пусть Н - характеристическая подгруппа группы G. Тогда
Лиг(О/СЛи,(С)(//) == <Диг(/7).
11.22. (Т) Пусть ср е End(G) nN - ф-допустимая нормальная под-
группа в G.
1) Отображение ф : gN н> g^N (g е G) есть эндоморфизм группы
G/N (говорят, что ф индуцирован эндоморфизмом ф).
2) Если ф € Aut(G), тоф € Aut(G/N).
3) Если N - характеристическая подгруппа в G, то отображение
у: ф н>ф (ф € Aut(G)) есть гомоморфизм из Aut(G) в Aut(G/N) и Кег(у) =
= CAutfiffilN).
11.23. 1) Если Н S G, то фактор-группа Nc(H)/CG(H) изоморфна
подгруппе из Aut(H) (и называется автомизатором Н в G).
2) Если G < X, то Aut(G) имеет подгруппу, изоморфную X/CrfG).
11.24. Пусть G = D2„ (п > 2).
1) Aut(G) —Z^ X Z„ (в частности, I Aut(G) I = пф(м)).
2) Если п нечётно, что Aut(G)\Inn(G) не имеет инволюций.
3)Лиг(О4) =D6.
4) Лиг(О8) = D8.
5) X«r(D„)» D„.
11.25. AuttQfd — ^4-
11.26. Определить ЛнЦЛ4).
11.27. Если G - р-группа и G > Н — Zp х Zp, то IG : CG(H) I < р.
11.28. Если М nN - нормальные подгруппы группы G и М > N, то
GICc(MIN) изоморфна подгруппе из Am(MIN).
11.29. 1) Если G = {ах.ат), то I End(G) I < IG lm.
2) Для конечной группы G порядка п I End(G) I ^л1082".
11.30. Если G = А х В, тде (I A I, IВ I) = 1, то Aut(G) = Aut(A) х Aut(B).
11.31. Пусть G изоморфна прямому произведению п экземпляров
некоторой группы Н.
Тотда Aut(G) имеет подгруппу S такую, что S = Sn и S П Inn(G) = 1.
11.32. Если G = Нх х ... х Нп, где Нъ ... , Нп - характеристические
подгруппы группы G, то
Лиг(С) “ Aut(Hx) х... xAut(Hn).
11.33. Неединичная абелева группа нечётного порядка имеет точно
один регулярный автоморфизм порядка 2.
11.34. Пусть G — конечная группа, обладающая регулярным авто-
морфизмом 5 порядка 2. Тогда
1) G - абелева группа нечётного порядка,
2) 5 отображает каждый элемент группы G в обратный.
11.35. Z(G) и Ф(б) - характеристические подгруппы группы G.
(Ф(б) - пересечение всех максимальных подгрупп из G.)
11.36. Конечная элементарная абелева группа характеристически
проста.
11.37. Пусть А £ В £ G, где АиВ- характеристические подгруппы в
G. Показать, что
1) не всегда А характеристична в В,
2) не всегда В/A характеристична в G/A.
11.38. Если ф € Aut(G), N<G и централизует N, то
g^g-' е Cc(/V) для всех g е G
(т.е. ф централизует GICg(N)).
11.39. Пусть G = АВ, A^G, Сц(А) = 1, ф е Aut(G), ф централизует А
и нормализует В. Тогда ф = 1.
11.40. Пусть а - неединичный периодический автоморфизм пе-
риодической группы G, N < G и а индуцирует тождественные авто-
морфизмы на N и G/N. Тогда существует элемент х Ф 1 в N такой, что
о(х) делит о(а).
11.41. 1) CAut(G)(Inn(Gy) = CAul(G){GIZ{Gy). (Автоморфизм а группы G
часто называют центральным, если g“Z(G) = gZ(G) для всех g е G.
Следовательно, утверждение задачи можно сформулировать так: авто-
морфизм группы G является нормальным тогда и только тогда, когда
он является центральным.)
2) Если Z(G) = 1, то Z(A«r(G)) = 1.
11.42. Если G - конечная простая неабелева группа, то Aut(G) -
совершенная группа.
11.43. Если Н - совершенная группа и Н < G, то G = Н х С, где
C£G.
11.44. Построить (бесконечную) группу G, имеющую эндоморфизм
а с Ker(a) = 1, не являющийся автоморфизмом.
11.45. Пусть G =АхВ =АхС. Определим отображение ф : G -> G
следующим образом. Каждый элемент g из G единственным образом
представляется в виде g = ab, где а е А вЬ е В; при этом b имеет
единственное представление в виде h = й|С, где ах е А и с е С. Поло-
жим gv = ар Определим, далее, отображение а : g (g’T'g группы G в
себя. Показать, что
1) ф € End(G), nG* = BH Z(G),
2) а е Aut(G), Аа=А,Ва = С.
11.46. Пусть А и В - группы, а - гомоморфизм А в В и р - гомо-
морфизм В в А. Если ар € Aut(A), то В = Ker(p) X Аа.
11.47. Пусть G - периодическая группа, п - целое число и а„ -
отображение g н» gn (g е G).
1) Если группа G абелева, то
ал е Aur(G) <=> (o(g), n) = 1 для всех geG.
2) Если пе |-1,2,3| и а„е Aut(G), то группа G абелева.
11.48. Пусть n e Z. Группа G называется п-абелевой, если
х"у" = (ху)п для всех х, у е G,
т. е. отображение а„ : g н> gn (g е G) есть эндоморфизм G.
1) n-абелева группа является ит-абелевой при любом т е N.
2) В n-абелевой группе любой л(п)-элемент перестановочен с
любым л(п)'-элементом. (л(п) - множество всех простых чисел, деля-
щих и, а л(п)’- его дополнение во множестве всех простых чисел.)
11.49. Если G - группа нечётного порядка, а е Aut(G) и а(а) = 2, то
G = G] С„1,гдеС| = (g е G lga = g},G_] = (ge G lga = g '|.
11.50. Пусть G - конечная группа, a e Aui(G) и o(a) = p - простое
число. Если a оставляет на месте каждый класс сопряжённых элемен-
тов группы G, то р I IG I.
11.51. Пусть G - абелева группа и А - конечная подгруппа из Aut(G)
такая, что отображение ф : g i-> g1 л1 (g e G) есть автоморфизм группы
G. (Согласно 11.47 это условие будет выполнено, если G - периоди-
ческая группа и (o(g), IА I) = 1 для всех geG.) Обратный автоморфизм
ф-1 обозначим через и положим
1) 0 е End(G).
2) 0a = a0 = 0 для всех a е Aut(G) и О2 = 0.
3)G=Gextfer(0).
4)Ge = CG(A).
5) Ker (0) = С1-6 = {g_|g® I g e G}. (H. Fitting)
11.52. Если a - нормальный эндоморфизм группы G, то отобра-
жение -1 + a: g i—> g_,ga (g e G) есть эндоморфизм G.
11.53. Пусть G viH - Q-изоморфные 12-группы. Тогда CQ(G) =
= Ca{H).
11.54. Если Л/А] и В1В\ -G-изоморфные G-допустимые секции
группы G (т. е. имеется изоморфизм из А/А\ иа В/В\ такой, что ф(аМ]) =
= для всех а е А и g € G), то CrfA/AO = CrfB/Bi).
§ 12. Коммутаторы и коммутант
Если а и b - элементы группы G, то элемент [а, В] := сгЧг'аЬ назы-
вается их коммутатором. Очевидно, элементы а и b перестановочны
тогда и только тогда, когда их коммутатор [а, Ь] равен единице. Под-
группа, порождённая всевозможными коммутаторами элементов из G,
называется коммутантом группы G и обозначается через С. Если А и
В - подмножества группы G, то группа ([а, b]\ae А,Ье В) называется
взаимным коммутантом АчВи обозначается через [Л, В]. При любом
п > 3 для элементов хь ..., хп из G полагают
(х,,... ,х„] := [[х,,..., хл_|],хп].
Для А < Aut(G) нН <G положим
\Н, Л] := IЛ е Н,ае А).
12.1. (Т) Для любых элементов а, Ь, с группы справедливы следую-
щие соотношения:
1) [а, b]~J = [В, а],
2) (а, В_|1 = [В,а]Л
3) [а-|,Ь] = [Ь,а]а
4) [а, bc\ = [a, b][ah, с] = [а, cj[a, В]',
5) [ab, с] = [В, (/'Да, с] = [a, c]ft[B, с],
6) [а, В] = [В1, ab],
7) тождество Витта: [[а, В-1], c]ft [[В, с-1], а]г [[с, аг1], b]a = 1.
12.2. Пусть ф - гомоморфизм группы G,a,b- её элементы и А, В -
её подмножества.
1) [а, В]* = [а* В*] и (G')<₽ = (Gv)'.
2) Лч> и В’ поэлементно перестановочны <=> [А, В] С Кег (ф).
3) Группа G^ абелева <=> G’ С Кег (ф).
4) G’— характеристическая подгруппа в G.
12.3. (Лемма о трёх подгруппах) Пусть А, В и С - подгруппы груп-
пы G. Тогда равенство единице любых двух из подгрупп [[А, В], С], [[В,
С], А], [[С, А], В] влечёт равенство единице и третьей.
12.4. Если А и В - подгруппы группы G такие, что [А, В] С Z(G), то
[А, ВТ = [А', В] = 1.
123. Пусть H<,G.
l)WCZ(G)tt[tf, G]=l.
2) H < G « [H, G] С H.
3)H<Gn G/H абелева « G' С H.
12.6. [a, G] = [G, a] < G для любого элемента а группы G.
12.7. Если G - конечная группа, то | G : С15 IG : [a, G] I I Сс(а) I
для любого а е G.
12.8. Если класс сопряжённых неединичных элементов группы G
содержится в смежном классе по некоторой собственной подгруппе из
G, то группа G непроста.
12.9. Пусть М - подмножество группы G и а е G. Если М и Ма -
нормальные подмножества в G, то М есть объединение смежных клас-
сов по [a, G).
12.10. Пусть А и В - подмножества группы G.
1) [АВ, G] = [Л, G][B, G].
2) Если А и В - нормальные подмножества в G, то [Л, В] = [(Л), (В)].
3) Если [Л, В] С N< G, то [(Л), <В>] С N.
12.11. Если М С G, то MG'- нормальное подмножество в G. В част-
ности, если Н < G, то HG'< G.
12.12. Для любых a, be G и любого и е N a~nbr"(ab)n е С.
12.13. Для любой последовательности (gp..., g„) элементов группы
G (л е N) и любой перестановки п е Sn элементы g, ... gn и ... #л(п)
лежат в одном смежном классе по G'.
12.14. Пусть G = (А, В), где А и В - подгруппы в G. Тогда
1)H,B]<G,
2)A[A,B]<GhB[A,B]<G,
3)G=AB[A,B],
4)G' = AB'[A,B].
12.15. Если G = (a, h), где а и b - элементы из G, то G' = [(a), (B)].
12.16. Пусть G - периодическая группа, H < G и M С G. Равно-
сильны условия:
(1)«2 [Н, М]',
(2) Н □ [Н, <Л4>],
(3) Н < {Н, М).
12.17. Коммутант прямого произведения двух групп равен прямому
произведению коммутантов этих групп.
12.18. Найти коммутаторы и коммутант каждой из групп: S-$, Q^, D2n
nD„.
12.19. В группе S„ справедливы следующие соотношения для цик-
лов, в которых разные буквы обозначают разные числа:
1) [(«/ к), (ij 01 = (у) (кГ),
2) [(«j к), (I I/)] = (fl) (jk),
3) [(/ j к), (i I m)] = [(i/), GO] = (ОД-
1220. Найти коммутанты групп А4 и 84-
12.21. (Т) S'„ = (А„у = А„ для всех п > 5.
12.22. Каждый элемент группы As есть коммутатор.
12.23. Справедливы следующие коммутаторные соотношения в
группе GL„(F), где F - поле (обозначения см. в § 6):
1) f/*(P)] = СзОДР) при различных i,j, к,
2) [г,/а), diagfti,..., Р„)] •
12.24. (Т) Пусть F — поле и п е N.
1) SL„(F)’ - SL(n, F), если I FI > 3 или n > 2.
2) GL„(F)' = SI.„(F), если I FI > 2 или n > 2.
12.25. Найти коммутанты групп Sl.2(L2) (= GZ.2(Z2)) и ST2(Z3).
12.26. Как следует из 12.21, существуют конечные группы, совпа-
дающие со своим коммутантом (например, группа Л5). Найдите ошибку
в следующем рассуждении, где доказывается противоположное ут-
верждение.
Пусть G - группа, порождённая конечным числом элементов
g!,..., g„. Тогда каждый элемент g группы G может быть записан в виде
g = фОй,... , gn), где (p(g!,... , gn) - линейная комбинация элементов
— > 8п (т.е. произведение их в любом порядке и с любым количест-
вом повторений). Пусть порядок элемента g, равен /и, (Z = 1,... , п).
Теперь пусть аь ..., а„ - набор комплексных чисел, отличных от 1 и
таких, что а”' = 1, и Н = {ах,... , а„) (подгруппа в С ). Тогда
отображение из G в Н, заданное формулой
Ц: g = ф(«ь - . gn) » <P«Xi, - , а„),
есть гомоморфизм, так как из х = (p(gh ..., gn) и у = V(gj.gn) следует,
что ц: ху = qXg..g„)V(g...... g„) i—> (p(ab ..., a„)y(a.. a„) = p(x)p(y).
Так как элементы g, отображаются не на 1, то Кег (ср) < G, а так как
группа Н абелева, то по 12.2 С С Кег (ф). Таким образом, G' < G.
12.27. Пусть a, he G.
1) [a, b] = [a, cb] = [da, b] при любых с е Сс(а) и d € Св(Ь).
2) Верны ли равенства [a, b] = [a, be] = [ad, 6] при тех же с и d ?
12.28. Пусть G - конечная группа такая, что I G : Z(G) I2 < IСI.
Тогда С имеет элементы, не являющиеся коммутаторами.
12.29. Пусть G - конечная группа и Л - максимальный среди
порядков её классов сопряжённых элементов. Тогда число / различных
коммутаторов группы G удовлетворяет неравенству h I Л2.
12 .30.1) Если< G иЛ'П С'= 1,тоЛ'С Z(G) иZ(GIN) = Z(G)IN.
2) Всякая минимальная нормальная подгруппа группы G содержит-
ся либо в С, либо в Z(G).
12.31 . Пусть G = (X), X С G, и N < G. Если коммутатор любых
двух элементов из X лежит в N, то С С N.
12.32 . Пусть g е G и [G, g] С Z(G).
1) Отображение х н> [х, g] (g е G) есть гомоморфизм G на [G, g] с
ядром Cc(g). В частности, GICCi(g) = [G, g].
2) Не всегда G/[G, g] = Cc(g).
12.33 . Пусть G - конечная группа, Л - её абелева нормальная под-
группа и g е G. Тогда отображение ф : a н> [g, а] (а е Л) есть гомо-
морфизм А на [g, Л] с ядром CA(g). В частности,
[g,A]=g-|gA и 1Л l = ICA(g)l • I [g,A] I.
12.34 . Если коммутатор [с, h] перестановочен с элементом а, то
1) [ап, Ь] = [я, h]n при любом целом п,
2) если элемент а периодический, то элемент [я, Л] также периоди-
ческий, причём порядок [я, h] делит порядок я.
12.35 . Если [я, Ь] перестановочен с а и с Ь, то
1) [ят, hn] = [я, b]m" для всех т, п е Z,
п(п-1)
2) (яЛ)" = я"Л"[Ь,я] 2 для всех n е N.
3)(я,Ь>’ = ([я,Ь]>.
12.36 . Если [a, b, b] е Z((a, 6», то [a, b"] = [а, Ь]п[а, Ь, Ьр2' при
любом п > 2.
12.37 . Если х, у € G и х2 = 1, то [[х, у], х] = [у, х]2.
12.38 . Если G = G’, то Z(G/Z(G)) = 1.
12.39 . Если N < G и [W, G1 = 1, то C/Xg) G для любого geG.
12.40 . Пусть G = AXBtiAi^A. Если В централизует Ар то [А, В] £
G СМ
12.41 . Если G = АХ В, то G' = (А П G') X (В П G') и В П G' = В'.
12.42 . Пусть К - нормальная подгруппа группы G такая, что
К П Z(G) = 1. Тогда для любой нормальной подгруппы N из G, взаимно
простой с К, KN / N П Z(G / /V) = 1.
12.43 . Если ае G и (a)<G, то Cc(a)DG'.
12.44 . Если А и В - нормальные подгруппы группы G и А/В -
циклическая группа, то NG(aB)< G для любого а е А.
12.45 . Если коммутант группы G абелев, то
[[а, В], с] [[Л, с], а] [[с, а], Л] = 1 для всех a, b, с е G.
12.46 . Если Р е Sy/p(G), то G = G'Ng(P).
12.47 . Если G - конечная группа и G' = р, где р - простое
число, то
1) для любого простого q такого, что q> р, каждая «/-силовская
подгруппа группы G нормальна в ней;
2) если р - наименьший простой делитель порядка G, то |gG| е {1, р|
для всех geG.
12.48 . Группа, у которой нормализаторы некоторых двух её силов-
ских подгрупп имеют взаимно простые порядки, совпадает со своим
коммутантом.
12.49 . Пусть G = АВ, где А и В - подгруппы группы G, а е А и пусть
А' П [а. В] = 1. Тогда CG {а) = СА (а)Св(а).
12.50 . Если а - нормальный (или, что равносильно по 11.41,
центральный) автоморфизм группы G, то а действует тождественно на
G'.
12.51 . Если A<,Aut(G), то [G, Л] - Л-инвариантная нормальная
подгруппа в G.
12.52 . Если N< G, а е Aut(G) и NQCG(ct), то Л/£Сс([б,а]).
12.53 . Пусть 7V< G и А Aut(G). Если А централизует W и GIN,
то а централизует GIZ(N) (т. е. [G, A]CZ(7V)) и А - абелева группа.
12.54 . Если G - конечная абелева группа, А - подгруппа из Aut(G)
и (|А|, |G|) = 1, то G = CG(A) X [G, А]. (Н. Zassenhaus)
§ 13. Ряды подгрупп.
Разрешимые и нильпотентные группы
Рядом подгрупп группы G называется конечная последователь-
ность G0,Gl,...,Gn подгрупп из G такая, что G,£GI+1 для всех
i е {0,-1}, Go = 1 и G„ = G. Такой ряд записывают в виде
1 = GO^G,^ ... ^G„=G (1)
или в виде
G = Gn> ... >G,>GO = 1 (2)
(обычно изменяя нумерацию подгрупп на противоположную). Число п
называется длиной ряда (1). Пусть / : = {0, ... ,п - I}. Ряд (1) называется:
субнормальным, если G,- < G,+1 для всех i е /;
нормальным, если Gf < G для всех i е /;
композиционным, если G, - максимальная нормальная подгруппа
в G,+1 для всех I е /;
главным, если G, - максимальная нормальная в G подгруппа из G,+1
для всех i е /;
центральным, если G, <G и G,+1/G, CZ(G/G,) (т.е. |G,G,tl[CG,)
для всех i е /.
Если (1) есть субнормальный ряд, то фактор-группы Gi+iIGt
называются его факторами, а индексы |G;+I : G,| - индексами ряда.
Подгруппу Н группы G, являющуюся членом некоторого её субнор-
мального ряда, называют субнормальной подгруппой группы G и
пишут: G.
Обнаружение в группе субнормального или (лучше) нормального
ряда, факторы которого хорошо изучены, даёт важную информацию
о строении группы.
Группа G называется:
разрешимой, если она имеет нормальный ряд вида (I) с абелевыми
факторами G^/G/i = 0,1, ... ,п-1) (наименьшая из длин таких рядов
называется её ступенью (разрешимости));
сверхразрешимой, если она имеет нормальный ряд с циклическими
факторами;
нильпотентной, если она имеет центральный ряд (минимальная из
длин таких рядов называется её классом (нильпотентности)). Очевидно,
нильпотентная группа является разрешимой.
Пусть G - произвольная группа им- целое неотрицательное чис-
ло. Подгруппы G(n) (п-й коммутант группы G), Zn(G) (п-й центр G)
и L„(G) (п-й централ G) определяются индуктивно следующим образом
(ieN):
G(0) = G, G(i+I) = (G(i))';
Zo(G) = 1, Z,+1(G)/Z,(G) = Z(G/Z,(G));
Li(G) = G, L1+1(G) = [£,XG),G].
Очевидно,
G(0)>G(1)>...; Z0(G)^Z1(G)^...; L1(G)^I2(G)^... .
Подгруппа H(G): = (J Z,(G) (другое обозначение: Z«,(G)) называ-
ло
ется гиперцентром группы G. Группа G называется расширением
группы А посредством группы В, если она имеет нормальную под-
группу Nтакую, что N—A и G/N—B.
. Важными подгруппами конечной группы G являются:
разрешимый радикал S(G) группы G - подгруппа, порождённая
всеми разрешимыми нормальными подгруппами из G;
подгруппа Фиттинга F(G) группы G - подгруппа, порождённая
всеми нильпотентными нормальными подгруппами из G.
Подгруппа Фраттини Ф(С) группы G есть, по определению,
пересечение всех максимальных подгрупп группы G, если таковые
существуют, и сама группа G в противном случае.
Говорят, что ряд (1) является уплотнением некоторого другого
ряда, если последний получается из ряда (1) выбрасыванием некото-
рого множества членов. Два субнормальных ряда группы называются
изоморфными, если они имеют равные длины и между их факторами
существует взаимно однозначное соответствие, при котором соответ-
ственные факторы изоморфны.
Пусть 0 - элемент или подгруппа из Aut(G). Ряд (1) называется
©-инвариантным (или ©-допустимым), если все члены этого ряда
0-инвариантны. Говорят, что 0 централизует, или стабилизирует,
субнормальный ряд (1), если этот ряд ©-инвариантен и 0 централизует
каждый его фактор (т.е. [G,+1,O] CG,).
exp(G) обозначает наименьшее общее кратное порядков элементов
конечной группы G.
В заключение отметим два важных результата о конечных раз-
решимых группах, хотя не предполагается их использование при реше-
нии задач этого параграфа.
р“<7₽-теорема Бернсайда (см. § 22). Каждая группа порядка paq$,
1деpuq-различные простые числа, разрешима.
Теорема Фейта-Томпсона (см. [14]). Конечные группы нечётного
порядка разрешимы.
13.1. (Т) Пусть G - группа с субнормальным рядом
1 = G(I <Gj £...£G„ =G.
1) Если H 5 G, то ряд
1 =//0 £ Hj £...£//„ = Я, где Н^С^Н,
является субнормальным рядом группы Н, причём фактор
изоморфеи подгруппе из GM/Gi (i = 0, ... ,и).
2) Если ф - гомоморфизм группы G, то ряд
l = G* <G? <...<G* = G*
есть субнормальный ряд группы G^, причём G,^ / G? - гомоморфный
образ группы G(+|/G,- (< = 0, ... ,п).
13.2. (Теорема Шрайера) Любые два субнормальных (соответст-
венно, нормальных) ряда группы имеют изоморфные субнормальные
(соответственно, нормальные) уплотнения.
13.3. (Теорема Жордана-Гёльдера) Любые два композиционных
(соответственно, главных) ряда группы изоморфны.
13.4. Если группа G имеет сечение, изоморфное простой группе .S',
то в любом нормальном ряду группы G существует фактор, имеющий
сечение, изоморфное S.
13.5. Пусть группа G имеет композиционный ряд G = Gj > ... >
> Gs = 1 такой, что ни один из факторов G, / Gl+I, где i < к, не изоморфен
ни одному из факторовGjIG^x при k<,j<s (1 < к < j). Тогда Gk <G.
13.6. Пусть G - периодическая группа и а - её периодический
автоморфизм такой, что
1) л(о(а)) П n(G) = 0,
2) а стабилизирует некоторый нормальный ряд группы G.
То1да а = 1.
13.7. Каждый фактор главного ряда конечной разрешимой группы
есть элементарная абелева р-группа для некоторого простого числа р.
В частности, любая минимальная нормальная подгруппа такой груп-
пы - элементарная абелева.
13.8. (Т) 1) Подгруппы и фактор-группы разрешимой группы раз-
решимы.
2) Если N< G и группы N и G/N разрешимы, то G разрешима.
3) G есть разрешимая группа ступени п если и только если G(n) = 1,
но G(n-1) * 1. (В этом случае ряд G > G(1) > ... > G(n) = 1 называется рядом
коммутантов группы G.)
13.9. 1) Если в G существует последовательность 1 = Д, Л,
<,А2£... нормальных подгрупп такая, что Ам IAt QZ(GIпри
i=l,2, ... (такую последовательность называют возрастающей цен-
тральной цепью группы G), то Л, С Z,(G) для всех i.
2) Если в G существует последовательность G ...
нормальных подгрупп такая, что В,/Д+1 СДС/Д-+1) при i = 1,2, ...
(такую последовательность называют убывающей центральной цепью
группы G), то В; D L;(G) для всех i.
3) Если у - гомоморфизм группы G, то Zj(Gy) QZ^G)1 и
L,(G7) D Li(G)l для всех ie N.
13.10. (Т) Для группы G равносильны условия:
(1) G - нильпотентная группа класса п;
(2)Z„(G) = G, но Z„_,(G)<G;
(3)L„+I(G)=1, но L„(G)>L
13.11. (Т) Пусть G - нильпотентная группа.
1) Подгруппы и фактор-группы группы G нильпотентны.
2) Если 1 < N< G, то [TV, G] < N и N П Z(G) >1.
13.12. Если А и В - нормальные подгруппы конечной нильпотент-
ной группы G и А < В, то существует ряд нормальных подгрупп груп-
пы G, связывающий А и В.
13.13. Конечная р-группа нильпотентна при любом простом
числе р.
13.14. (Т) Для конечной группы G равносильны условия:
(1) G нильпотентна;
(2) все силовские подгруппы из G нормальны в G;
(3) Ng(H) > Н для любой истинной подгруппы Н из G;
(4) каждая максимальная подгруппа из G нормальна в G.
13.15. Группы S2, S3, А4, S4, Qg и Dg разрешимы. Для каждой груп-
пы G этого списка выписать подгруппы GW,Z,(G) и L,(G) (i е N), а
также все главные и композиционные ряды. Какие из этих групп
нильпотентны?
13.16. Пусть G изоморфна D2n или D„, а именно, G = {а) X (Ь), где
о(Ь) = 2 и аь = а~'. Определить подгруппы G(i), Z,(G) и L,(G) для всех
i е N. В каких случаях G нильпотентна?
13.17. Пусть G =AX(b) = D(A), где А — Z2-. а именно А =
= U <ая>. О(ап) = 2п.
П=1
1) Определить подгруппы G(i), Z,(G), Lt(G) (/ е N) и //(G).
2) G/ZflG)=> G для всех i € N.
3) G не нильпотентна, но все её истинные подгруппы нильпо-
тентны.
4) А - единственная максимальная подгруппа в G (и, следователь-
но, Ф(С) = А).
13.18. Группы Ап и Sn неразрешимы при п > 5.
13.19. Каждая группа порядка, меньшего 60, разрешима.
13.20. Пусть р, q, г - различные простые числа. Конечная группа G
разрешима в каждом из следующих случаев:
•) |G| —pqh, где be N;
2)|G|=pV:
3)|G| =pqr.
13.21. Если |G|< 200 и |G|e {60,120,168,180}, to G разрешима.
13.22. He существует простых групп порядков 120 и 180.
13.23. Если а и h - элементы группы G такие, что ab = Ьта и
ha = ahn, где |m,n|CZ, то группа {a, h) разрешима и её коммутант
цикличен.
13.24. В разрешимой группе G не существует истинных нормальных
подгрупп N таких, что G = NG'.
13.25. Разрешимая группа, имеющая конечное число классов
сопряжённых элементов, конечна.
13.26. Пусть G - периодическая разрешимая группа. Тогда сущест-
вует множество п простых чисел такое, что
1) G = Сп, где GK обозначает подгруппу из G, порождённую всеми
её л-элементами;
2) из G = GT, где т - множество простых чисел, следует, что TD л.
13 .27.1) В любой конечной группе индекс её максимальной под-
группы делит некоторый индекс главного ряда группы.
2) В конечной разрешимой группе индекс максимальной подгруппы
равен некоторому индексу главного ряда группы.
13.28. Холлова подгруппа конечной разрешимой группы G макси-
мальна в G если и только если её индекс равен некоторому индексу
главного ряда G.
13.29. Пусть G - группа такая, что G(n) = G(n+1) для некоторого
п € N. Тогда GIG^ разрешима и G^ содержится в каждой нормальной
подгруппе N такой, что GIN разрешима.
13.30. Если h е Z^G), то
1) Л централизует G',
2) [Я1, g] = [Я, g]4 s для любого g е G и целого s.
13.31. Циклическая нормальная подгруппа произвольной группы G
всегда централизует коммутант G' этой группы.
13.32. Произведение любого множества циклических нормальных
подгрупп группы G является нильпотентной группой класса 2.
13.33. Для группы G следующие условия равносильны:
(1) G есть нильпотентная группа класса < 2;
(2) G'CZ(G);
(3) [ab, с] = [а, с] [Ъ, с] для любых a, b, с е G;
(4) [а, Ьс] = [а, Ь] [а, с] для любых a,b,ce G;
(5) [[с, Ь], с] = [а, [А>, с]] для любых a, b, с е G;
(6) [в, Ь, с] = [«, с, h] для любых a,b,ce G.
13.34. Пусть a, b, с е G и т, п, г, s е N. Если [а, Ь] = с перестаново-
чен с а и Ь, то
1) {а, Ь) есть нильпотентная группа класса 2 и {а, Ь)' = (с),
2) (ab)n =апЬпс~гП{П~'\
4) («V.rt’MS'./.k'f'lT"".
13.35. Пусть G - нильпотентная группа класса 2 и a, b е G.
1) Любые два сопряжённых элемента группы G перестановочны.
2) Cc(a)<G и G/CG(a) = [fl,G].
3) [an, b] = [a, bn] = [а, b]" для любого п € N.
4) Если exp(G/Z(G)) конечна, то она делится на exp(G').
13.36. Если 1 = Ао < Ai < ... < А„ = G - центральный ряд конечной
группы G, то exp(Ai+l/A,) делит exp(A,/Ai_l) для всех i = 1,..., п.
1337. В нильпотентной группе класса 2 для любых двух элемен-
тов а и b элементы ab, а2Ь2, а3Ь\... попарно перестановочны.
13.38. Доказать, что в нильпотентной группе класса 3 коммутант
абелев.
13.39. Пусть Н SG и каждая истинная подгруппа из Н содержится
в некоторой максимальной подгруппе из Н. Тогда Ф(Я)сСФ(С).
В частности, если //< G, то Ф(Я)СФ(С).
13.40. Если G - нильпотентная группа и GIG’ циклическая, то G
циклическая.
13.41. В нильпотентной группе G всегда G' < Ф(С).
13.42. Пусть G - конечная группа. Тогда Ф(О) нильпотентна. Более
того, если N<G и /У/Л/ПФ(С) нильпотентна, то и N нильпотентна.
13.43. В конечной нильпотентной группе G коммутант фактор
группы G/Z(G) имеет меньший порядок, чем коммутант G.
13.44. Конечная группа G нильпотентна тогда и только тогда, когда
каждая её собственная нильпотентная подгруппа содержится в
собственной нормальной подгруппе G.
13.45. 1) Подгруппы и фактор-группы сверхразрешимой группы
сверхразрешимы.
2) Расширение сверхразрешимой группы посредством сверхразре-
шимой группы может не быть сверхразрешимой группой.
13.46. В конечной сверхразрешимой группе р-силовская подгруппа
по наибольшему простому делителю р порядка группы нормальна.
13.47. Пусть G - конечная группа с нормальной подгруппой N -
-P^Q, где Р и Q - примарные подгруппы взаимно простых порядков,
причём Р - минимальная нормальная подгруппа в G. Тогда либо Q< G,
либо G = РХ Ng(Q).
13.48. Конечная сверхразрешимая группа G имеет подгруппу по-
рядка т для любого т, делящего |G|.
13.49. Пусть G - конечная группа.
1) Разрешимый радикал S(G) группы G есть разрешимая нормаль-
ная подгруппа в G.
2) Подгруппа Фиттинга F(G) группы G есть нильпотентная нор-
мальная подгруппа в G.
13.50. (Т) В конечной разрешимой группе G Cg(F(G))G F(G).
13.51. Пусть G - конечная разрешимая группа и а - автоморфизм
группы G такой, что (о(а), |G|) = 1. Тогда если а централизует F(G), то
а= 1.
13.52. Пусть G - разрешимая группа и Z(G) < G. Тогда Z(G) < F(G).
13.53. Если А и В - конечные группы и (|Д|, |В|) = 1, то
Н(А X В)=Н(А) X Н(В).
13.54. Если G = G', то H(G) = Z(G).
13.55. Пусть G - конечная группа. Тогда H(G) есть пересечение
всех нормальных подгрупп N группы G таких, что Z(G!N) = 1.
13.56. Пусть К < G и i е N.
1) /CnZ,(G)CZ,(/C) и К ГУ H(G)QH(K).
2) Если КIК ГУ Zi(G) нильпотентна, то К нильпотентна.
3) Если G конечна и К/KOZ^G) p-замкнута, то К р-замкнута
(р - простое число).
13.57. Если К - нильпотентная подгруппа группы G, то KH(G)
нильпотентна.
13.58. Пусть G - группа с конечным гиперцентром, /V< G и
Л/ < /7(G). Тогда H(G/N) = H(G)/N.
13.59. Гиперцентр конечной группы G есть пересечение всех
максимальных нильпотентных подгрупп группы G.
13.60. В конечной группе G гиперцентр 77(G) есть пересечение
нормализаторов всех силовских подгрупп группы G.
13.61. Нормальная р-подгруппа Р конечной группы G содержится
в H(G) тогда и только тогда, когда она централизует любой р'-эле-
мент G (т. е. когда |G: CG(P)| = ра, а > 0).
13.62. Если G — конечная группа, то n(//(G)) = n(Z(G)).
13.63. Пусть G - произвольная группа. Обобщить предыдущее
утверждение, доказав, что если H(G) имеет элемент некоторого про-
стого порядка р, то Z(G) тоже имеет элемент порядка р.
13.64. Пусть G = АВ, где А и В - абелевы подгруппы в G.
1)|4,B]=G'.
2) [a,b]e,fc| = [а,Ь]ь,а‘ для любых a, at е A t b,bt е В.
3) G' - абелева группа (т. е. G - разрешимая группа ступени £ 2).
(N. Ito, 1955)
13 .65.1)Если Я<< G и К<< G, то HC\K<<G.
2) Если Н< G и G, то НК<< G.
3) Если группа G конечна, Н<< G и G, то К.
13.66. 1) Каждая подгруппа нильпотентной группы субнормальна
в ней.
2) Конечная группа нильпотентна тогда и только тогда, когда каж-
дая её подгруппа субнормальна в ней.
13.67. Пусть G - конечная группа и М. - множество всех её несуб-
нормальных подгрупп. Предположим, что М. непусто (т.е. G не нилыю-
тентна по 13.66), и пусть d — наибольший общий делитель и к - наи-
меньшее общее кратное порядков всех элементов из М. Тогда если
d > I или к < |G|, то группа G разрешима. Более того, в первом случае G
имеет силовскую нормальную подгруппу Р с нильпотентной фактор-
группой GIP, а во втором - холлову нильпотентную нормальную
подгруппу Н с фактор-группойG!Н— Ре. Syl(G).
13.68. Пусть G - конечная группа и Н <G. Если среди порядков
несубнормальных подгрупп группы G, содержащих Н, имеется не более
трёх различных, то существует субнормальный ряд l< /7<...<G, все
факторы которого, за исключением первого, абелевы.
13.69. Пусть pi,... ,pi - различные простые числа. Говорят, что
конечная группа G обладает силовским рядом типа (р,, ..., р,), если G
имеет нормальный ряд 1 = Go < G( < ... < Gt = G такой, что для любого
i е {1,...,/} | G, / G,_, | есть степеньр,.
Пусть конечная группа G имеет холловы подгруппы А и В равных
порядков. Если А и В имеют силовские ряды одного и того же типа,
то Л и В сопряжены в G.
13.70. В конечной группе любые две холловы нильпотентные под-
группы равных порядков сопряжены. (Н. Wielandt)
§ 14. Прямые и центральные произведения
Пусть G],..., G„ - подгруппы группы G. Говорят, что G есть прямое
произведение подгрупп Gj,..., G„, и пишут: G =. Gj х ... х G„ или G =
п
= х Gt, если
i=i
1) G, “3 G для любого i € {1,..., и},
2)G = G1°...°GB.
Условие 2) означает, что G есть точное произведение подгрупп
G|,... , G„ (см. 2.40), т. е. любой элемент g из G имеет одно и только
одно представление в виде g = gt, ... , gn, где gj е G„ и, в частности,
G| ... Gw Г1 G, = 1 при i е {2,..., и). Прямое произведение двух под-
групп, определённое в § 4, - частный случай этого общего понятия.
Пусть теперь Gb ..., G„ - произвольные группы. Прямым произ-
ведением групп Gj,..., G„ называется множество всех последователь-
ностей (g),..., gn), где gj е G при i е (1,..., и), с операцией
(£1, - >£«)(£{. ••• .Sn) = (S1«i'. - ,gng'n),
очевидно являющееся группой (частный случай см. в 1.32).
Прямое произведение подгрупп часто называют внутренним пря-
мым произведением, а прямое произведение групп — внешним прямым
произведением. Для обозначения прямого произведения групп
п
G],..., G„ также используют записи G] х ... х G„ и х G,, условливаясь,
i=i
что они обозначают внутреннее прямое произведение только если в
контексте явно указано, что все множители G, - подгруппы в Gj х
х ... х G„. В противном случае они обозначают внешнее прямое произ-
ведение. Последнее мы будем иногда обозначать через GjX... xGn.
Прямое произведение бесконечного числа множителей (внутреннее и
внешнее) и более общая конструкция декартова произведения приво-
дятся в задачах 14.62,14.63,14.66.
В случае, когда используют аддитивное обозначение групповой
операции, вместо "прямое произведение" говорят "прямая сумма".
Если G = G, х... х G„, то для любого i е {1,..., и) отображение
«ь» g — ...1) (geGi)
есть, очевидно, изоморфизм G, на подгруппу G, := {glgeG,} из G
(точнее вместо g писать #(()1 поскольку может быть g е Gj при j * i,
но обычно полагаются на контекст). Эти изоморфизмы устанавливают
естественную связь между внешним и внутренним прямыми произве-
дениями (см. 14.14), позволяющую переформулировать утверждения об
одном из них в утверждения о втором (примеры такой перефор-
мулировки указаны в 14.16,14.18,14.19).
Группа G называется (внутренним) центральным произведением
своих подгрупп G] G„ (запись: G] *... * G„), если G = ( Gj,... , Gn )
и [G,-, GJ = 1 при । * j. В этом случае, очевидно, G,- П Gy С Z(G). Легко
заметить (см. также 14.30), что группа G = А * В изоморфна фактор-
группе группы А х В.
Пусть А и В - произвольные группы и <р - изоморфизм некото-
рой подгруппы А] из Z(A) на подгруппу Bi из Z(B). Тогда N := {(а,
ф(а)_,)1ае AJ <1 Ах В (см. 14.27), и группа А х BIN называется
(внешним) центральным произведением групп А и В относительно ф,
или (^-центральным произведением А и В (с объединёнными подгруп-
пами А| и В]), и обозначается через А *ф В.
Пусть G = G, х ... х G„. Отображение л,: g = (g,,..., gn) я, (к е G)
называется проектированием G в G,, а образ Я"' любой подгруппы Н
из G называется проекцией (или компонентой) Н в G, относительно
данного прямого разложения. Аналогично определяются проекции
подгрупп внутреннего прямого произведения. Подгруппа Н из G,
проекция которой на любой множитель G, равна G,, называется
подпрямым произведением групп Gj,... , G„. В 14.40 рассматривается
конструкция, позволяющая классифицировать все подпрямые произ-
ведения двух групп.
14.1. Пусть G - периодическая абелева группа, Н < G и g е G.
1) Если а е gH, то о(а; И) = o(g~, Н).
2) Если о(я; Н) = пнН = (Aj)x...x(Am), где o(g) I о(Л;) для всех
i (т 2. 1), то в смежном классе gH имеется элемент а порядка п и,
следовательно, (g, Н) = (fl ) х //.
14.2. Конечная абелева группа G является прямым произведением
нескольких своих неединичных циклических подгрупп:
(*) G = (в|) х... х (am> (meN).
14.3. Разложение вида (*) конечной абелевой группы G может быть
выбрано так, что
(**) 1(а,)1 делит I(а,+1)1 при l<i<m-l
(и тогда порядок любого элемента из G делит о(ат)).
14.4. Пусть конечная абелева группа G имеет разложение (*) со
свойством (**) и разложение G = (bf)х...х (Ьп) с подобным свойством.
Тогда m = и и I (а,) I = I (fe;) I для всех I.
Какова группа G, имеющая единственное разложение вида (*) со
свойством (**)?
14.5. Пусть n*(G) обозначает число элементов порядка к в группе G.
1) Перечислить все ненулевые значения nk(G) для каждой из
следующих групп G:
2-2 X Z4, Z2 X %2 х Z4, Zj X Z4, Zp х Z^2 х Z^j и Z^m x ZpK,
где p - простое число и т, п е N.
2) Для каждой из групп, перечисленных в пункте 1), найти число
циклических подгрупп каждого порядка.
14.6. Для произвольных конечных абелевых групп А и В рав-
носильны условия (в обозначениях из 14.5):
(1) щ.(А) = пк(В) для всех к е N;
(2) А = В.
14.7. Пусть G - прямое произведение к циклических подгрупп
порядка т {к, те N). Определить число всех циклических подгрупп
порядка т в G.
14.8. В группе G = Zp х Z^3, где р - простое число, указать элемент
порядка р2, который не содержится ни в каком прямом множителе
группы G.
14.9. Пусть l,m,ne N.
1) Zt — ZmxZn & I = тпи (т,п) = 1.
2) Zm xZn х Zd, где к = [ш,и] и d = (m,n).
14.10. (T) Абелева группа, порождённая конечным числом п эле-
ментов, является прямым произведением не более чем п циклических
подгрупп.
14.11. Z+ х... х Z+ — Z * х... х Z+ <=> m = n.
m раз n раз
14.12. Пусть А, В, С - конечно порождённые абелевы группы такие,
что А х С — В х С. Тогда А — В. (См. также 14.65.)
14.13. Группа Q+ не является прямой суммой двух собственных
подгрупп.
14.14. 1) Если G = G] x ... x G„ - прямое произведение подгрупп
Gj,..., G„ группы G, то G =Gt x... x G„.
2) Если G = G, x... x G„, to G = G,x...xGn и G^G, для всех
i e {1,..., nJ. (Подгруппы G, определены во введении к § 14.)
14.15. Пусть Gj,..., G„ - нормальные подгруппы в G.
1) Если G=G]X... xG„, то при любых различных i и j
(Gi,Gj} = Gl'xGj (и, следовательно, gigj = gjgi для любых gte G,h
gj е Gj).
2) Если G = Gj... Gn и {Gt,Gj) = GtxGj для любых различных i и
j, то будет ли G = GfX... х Gh?
14.16. Пусть О - перестановка множества {1,.... л).
1) Если G = G] х ... х G„, где Gb ... , Gn - подгруппы из G, то G =
= Go(1)x...xGo(B).
2)GIx...xGn==Go(I)x...xGo(n).
14.17. Пусть G = G, х ... х G„.
l)Z(G) = Z(G,)x...xZ(Gn).
2)G' = G’i x ... xG„.
3) Если группа G конечна, то
Ф(С) = Ф(С1)х...хФ(С„),
Op(G) = Op(G|) x ... x Op(G„) для любого простого числа р.
14.18. 1) Для нормальных подгрупп А, В, С группы G равносильны
условия:
(a) G = (А х В) x С;
(б) G =4 х (В х С);
(в) G = А х В х С.
2) Для любых групп А, В, С (АхВ)хС = Ах(ВхС)~ АхВхС.
14.19. 1) Если G = А х В и g = (а, В) (а е A, he В), то Cc(g) =
= Сл(а)хСв(В).
2) Если G = Ах В, A<G, В <G и g = ah с а е A, h е В, то CG(g) =
= CA(.a)xCe(h).
14.20. Если группа А имеет г классов сопряжённых элементов, а
группа В — s классов сопряжённых элементов, то группа А х В имеет
г • s классов сопряжённых элементов.
14.21. Пусть G =АхВ,А\ТлА2 - подгруппы в А, В, и В2 - подгруппы
в В.
1)(А1хВ,)П(А2хВ2) = (А| ПА2)х(В, ПВг).
2)(А]ХВ|, А^В^ ~{Ai,A2}x{B\,B2).
3) Если А, < А и В1^ В, тоА1хВ1^АхВиАх Bl А ] х В i —
~ A/A^B/Bf.
14.22. Пусть G = А х В, где А и В - периодические группы с л(А) П
Г1 л(В) = 0 и H<G.
1)// = (АП//)х(ВП//).
2) /VG(W) = Na(A П Я) х NB(A П «)•
3) А и В - характеристические подгруппы в G.
4) Anr(G) “ Aut(A) х Aut(B).
5) Если группа А имеет классов сопряжённых подгрупп (из них щ
нормальных в А), а группа В - s2 классов сопряжённых подгрупп (из них
п2 нормальных в В), то Ах В имеет s\s2 классов сопряжённых подгрупп
(из них нормальных в А х В).
6) Привести пример группы G = А х В с периодическими группами
А, Вис л(А) П л(В) * 0, для которой утверждения 1)-5) не верны.
14.23. Пусть G = Gj х ... х G„.
1) Если ср — гомоморфизм из некоторой группы X в G, то су-
ществуют гомоморфизмы а,: X —> G, (i = 1,... , п) такие, что ф(х) =
= («1 (х),..., а„(х)) при х е X и Ker(a) = Ker(af) Г)... П Кег(си.п).
2) Если у, есть гомоморфизм G, на некоторую группу /7, при
i е {1,..., и), то отображение
У («к •••.&,) 1-> (Yi(»i). -Л(«»)) (ten ••• ,gn)e G)
есть гомоморфизм группы G в группу Н = Нх х ... х Нп с ядром Кег(у) =
= Ker(yt) х ... х Кег(у„).
14.24. Пусть G = Gj х ... х Gn.
1) Auf(G) имеет подгруппу А, изоморфную группе Auf(G|)x ...
... х Aut(G„).
2) Если G,- характеристична в G для всех i е {1,..., и}, то A«r(G) =
— Au^GO х ... х Aut(Gn).
3) Если Gj =... = G„, то Aut(H) имеет подгруппу S такую, что S — S„
и (S, А ) = A X S (А -как 1)).
14.25. Пусть G = А х А, где А — абелева группа. Пусть А] := {(а,
1) I а е А) и А2 := {(1, а) I а е А) (так что G = А] х А2).
1) Для любого ф е Аш(А) множество Mv := {(а, ф(а)) I а е А} есть
подгруппа bGhG=AixMv = A2x М^.
2) Каждая подгруппа К группы G такая, что G = А] х К = А2 х К
совпадает с подгруппой Л/ф при некотором ф е АиЦА).
14.26. Пусть G = А х В, А, < А, В\ < В, I Aj I = I В{ I и <p - взаимно
однозначное отображение из А] на В}. Пусть
Л/ф “{(ОрЧКа,))!^ е А,}.
1) Л/ф < G « ср - изоморфизм.
2) Л/ф <1 G « ф - изоморфизм, А] < Z(A) и Bl < Z(B).
3) Если Л/ф <3 G, то G/My есть центральное произведение двух
подгрупп, изоморфных А и В, а именно, если е - естественный изо-
морфизм G на G/Мф то
Ge=Ae*BE, Ае“А, ?=В, АЕ ПВЕ = Af = ВЕ= А,, АЕ/АЕП
ПВе=А/А1, ВЕ/АЕ ПВ®»В!Д; причём(щ, 1)е = (1, ф^)-1)® для всех
<21 € А]. (Здесь Х:={(х,1)1х€Х] дляХ£А и У:= {(1,у)1уе У} для
У С В.)
14.27. (Т) Пусть G = А х В, Aj < Z(A), В\ < Z(B), А, = В| иф -
некоторый изоморфизм А] на В\. Положим
\ ф(аГ')1 eAj).
Тогда G и если е - естественный изоморфизм G на G/Nv, то
выполняется заключение пункта 3) предыдущей задачи с заменой в нем
последнего равенства равенством (а,, 1)® = (1, ф(<2|))®.
(Согласно определению из введения к § 14, G® называется ^-цент-
ральным произведением Ап В, что записывается так: G£ = А *ф В.)
14.28. Пусть G],..., G„ - подгруппы группы G. Рассмотрим группу
D := G, х... х Gn (= Gj х... х Gn согласно 14.14) и отображение
л :=(£>—> GI(g,,... ,gn) g,
1) n(G, ) = G, .
2) л есть гомоморфизм <=> [Gf, Gy] = 1 для всех i,j с i * j.
3)n(D) = G«G = G! ... Gn,
14.29. При условии предыдущей задачи равносильны утверждения:
(1) л есть гомоморфизм из D на G (и, значит, G = DIKer{Tt))\
(2) существует гомоморфизм у из D на G такой, что y(G, ) = G, и
Ker(y) DG, =1 для всех i е {1,..., и);
(3)G = G1*...*Gn.
14.30. Если G = А * В, где А, В < G, то А П В С Z(G) и G — А *ф В, где
ф - тождественное отображение А П В на себя.
14.31. Пусть А, В и G - группы. Равносильны условия:
(1) G = А*В - (внутреннее) центральное произведение подгрупп
А и В, где А — А и В— В;
(2) G А *9В - (внешнее) центральное произведение групп А и В
для некоторого изоморфизма ср подгруппы из Z(A) на подгруппу из
Z(B);
(3) существует гомоморфизм у из А х В на G такой, что Кег(у) П
П А = 1 = tfer( у) П В.
14.32. Пусть А и В - группы и <р - изоморфизм некоторой под-
группы Aj из Z(A) на подгруппу Bj из Z(B).
1)А*фВ“В*ф_1А.
2) Если А конечна, то А *ф В “ А <=> В] = В.
3) Если центры групп А и В циклические и у - любой изоморфизм
А( на Bit то будут ли А *м В = А *ф В?
14.33. Пусть G = Zpt Z₽,, где р - простое число, {Л, 1} С N, и <р -
изоморфизм между подгруппами порядка р" записанных множителей.
Тогда G = Z , х Z если к > I.
р р
14.34. Пусть G, = А *ф. В (i = 1,2), где
А = (а)р3 х {х)р2, В = {Ь)ру х (у)р2,
= <«1 >Р * <*i Bi = <bi >Р х <У1 >Р
2 2
(р - простое число, at = ар , х}=хр, bx=bp , yf=yp)9
ф!н> bv X) i—> у„
ср2 raj t-> у,, х, bv
Тогда
G, = Z , xZ , xZ , xZ„.
р р р р
G2 — Zpy х Zp3 х Zp x Zp.
14.35. Пусть А и В - группы, Ai < Z(A), B} < Z(B) и A| — B}.
Предположим, что каждый автоморфизм группы А( индуцируется не-
которым автоморфизмом группы А (или каждый автоморфизм В| ин-
дуцируется автоморфизмом В). Тогда
А*фВ^А*фВ
для любых изоморфизмов ср и v из А] на Bt.
14.36. Пусть Gt,... ,G„ - группы, Zt S Z(Gj) и Z,- = Z\ для всех i €
€ {1,..., n|. Тогда существуют группа H = H\* ... * Н„, где Я,- < Н, и изо-
" в
морфизмы Р, из G, на Н, (I е 11,..., и}) такие, что Я, П Hj = Г\Нк=
к=1
для всех i, j е {1,..., л) с i Фj.
14.37. Пусть G=A*BhH-C*D - внутренние центральные
произведения такие, что
A^C~Z4m (meN), и IАПВ1 = 1СП£>1 = 2.
Тогда G Н.
14.38. Пусть G = AxB, A£G, В £G яН £G. Если компонента И
в А (относительно данного прямого разложения) совпадает с А, то
ЯП А< А.
14.39. Пусть Я - подпрямое произведение групп А я В (т.е.
Я - подгруппа из А х В, компоненты которой в А я В совпадают с
АяВ соответственно). Положим X := {(х, 1)1 хе X) для X С А и
Y := {(1,у)1 у е У) для У С В.
1) Существуют (единственно определённые) подгруппы Ао в А и Во
в В такие, что Я Г1А = Ад и Я Г1 В= Во.
2) Aq< A, Bq <3 А и Aq*Bq<A*B.
3) HIAq^B и Н1В0 — А.
4) HIAqKBq^AIAq^BIBq.
5) Существует изоморфизм у из AIAq на Bl Bq такой, что
H = {(a,b)e AxBI(oA0)v =ЬВ0].
6) I Я1 = 1 All Bq l = IAo IIBI.
14.40. Пусть А и В - произвольные группы с изоморфными фактор-
группами AIAq “ B/Bq. Тогда для любого изоморфизма <|/ из А/Ад на В/Во
множество
:={(a,fe)e AxBI(aA0)v =ЬВ0]
есть подпрямое произведение групп А и В. При этом
Ну П А = Ад, Ну ПВ = Во в обозначениях из 14.39. Кроме того,
Ну / Ад х Во — А! Ад.
(Группа Ну называется у^-подпрямым произведением групп АяВ
(с объединёнными фактор-группами А/А] и В/Вх).)
5. В. А. Белоногов 129
14.41. Пусть G - Х|/-подпрямое произведение групп Z k и Z ,, где
р р
р - простое число, {1, 1} С N, и у - изоморфизм между фактор-
группами порядка р" этих групп. Тогда G — Z * х Z^,_„, если к > I.
14.42. Найти все подпрямые произведения групп А и В в следующих
случаях:
а) А — Z4, В — 2^;
6)A=Z4, B = Z6;
в)АиВ-конечные группы взаимно простых порядков;
r)A=Z9, B = D6;
д) А = Z4, В = Zz х Zq.
14.43. Если М nN - нормальные подгруппы группы G, то G/М П W
изоморфна подпрямому произведению групп GIM и GIN.
14.44. Пусть G = АВС, где А, В, С - нормальные подгруппы в G, и
пусть N = АВ П АС П ВС. Тогда
G / N = AN / NxBN IN xCN IN.
14.45. Пусть G = (Gj I ie /), где G, < G и / = {1,... , и). Положим
Nj = {G? I j e / \ {«}) при i e l и N =p| Nh Тогда
Г€/
G/N= % GjN/N.
i=I
14.46. Если группа порождается конечным множеством своих ми-
нимальных нормальных подгрупп, то она является прямым произ-
ведением некоторых из этих подгрупп.
14.47. Подгруппа конечной группы G, порождённая всеми её ми-
нимальными нормальными подгруппами, называется цоколем группы
G и обозначается через Soc(G). Доказать, что любая нормальная
подгруппа из G, содержащаяся в Soc(G), является прямым произве-
дением некоторого множества минимальных нормальных подгрупп
группы G.
14.48. Следующие условия конечной группы G равносильны:
(1) для любой нормальной подгруппы N группы G в G имеется
подгруппа М такая, что G=N'*.M\
(2) G = Soc(G)-,
(3) G является прямым произведением нескольких простых нор-
мальных подгрупп.
14.49. Минимальная подгруппа конечной группы G является пря-
мым произведением нескольких простых групп, сопряжённых между
собой в G.
14.50. Если G - конечная группа и (gG) Ф G для всех g е G, то
G'*G.
14.51. (Т) Конечная группа G автоморфно проста (т. е. не имеет
собственных характеристических подгрупп) тогда и только тогда, когда
она является прямым произведением некоторого множества изо-
морфных простых подгрупп.
14.52. Пусть р - простое число. Найти все нормальные и все
характеристические подгруппы каждой из следующих групп:
1) &5 *Zpt
2) Aj xZp xZp,
3) А5 ХА5 xZp.
14.53. Пусть G = Gj x ... x G„ - прямое произведение подгрупп G,.
Тогда если N <1G и N' = N, то N = (W П Gj) x... x (N П G„).
14.54. Пусть G = Gi x ... x G„ - прямое произведение конечных
простых подгрупп Gh среди которых имеется точно т абелевых.
1) Если т < 1, то каждая неединичная нормальная подгруппа
группы G является прямым произведением некоторого множества
подгрупп Gj.
2) Дать описание всех нормальных и всех характеристических под-
групп группы G при любом т.
14.55. Пусть G - группа и Н С G х G. Равносильны условия:
(I)//<GxGh// = G;
(2) существуют эндоморфизмы аи 0 группы G с Кег (а.) Г1 ЛГег(0) = 1
и «0* 1 такие, что Н = {(<x(g), 0(g)) I g € G).
14.56. Пусть G - группа и a, 0, у, 5 — её эндоморфизмы такие, что
Ker(a) П Кег(0) = 1, Кег(у) П Ker(8) = 1. Положим Gap =
= {(a(g), 0(g)) Ige G) и Gt>5 = {(y(g), 5(g)) I g e GJ (согласно предыду-
щей задаче это подгруппы из G х G, изоморфные G). Равносильны
условия:
(О = Gy6;
(2) существует автоморфизм ср группы G такой, что a = <ру и 0 = <р5.
14.57 . Описать все подгруппы, изоморфные А5, в группе А5 х А5.
Показать, что число их равно I Aut (As) I + 2. Обобщить результат на
случай любой простой группы G.
14.58 . Пусть G - Q-группа и G = х Gf, где G,- - Q-простая (т. е. не
i=i
имеющая собственных нормальных Q-подгрупп) Q-подгруппа в G.
Пусть Sj - прямое произведение всех множителей G,, которые Q-изо-
морфны G|. Тогда любая нормальная Q-подгруппа Н из G, Q-изо-
морфная GIt содержится в
14.59 . (Теорема Крулля-Ремака-Шмидта). Пусть G - Q-rpynna,
удовлетворяющая условиям минимальности и максимальности для
Q-подгрупп (см. определение в конце задачи). Пусть
G = G] х... х Gm = Н] х... х Нп,
где Gj и Hj - неединичные Неразложимые в прямое произведение
Q-подгрупп Q-подгруппы из G. Тогда ж - л и существует нормальный
Q-автоморфизм а группы G такой, что при подходящей перенумерации
подгрупп Hj для любого i € {1,..., ж)
G = Gj х... хG,_, х Н{ х ...х и G“= ty.
(Говорят, что Q-группа удовлетворяет условию минимальности
(условию максимальности) для Q-подгрупп, если во всяком множестве
ее Q-подгрупп имеется минимальный (соответственно, максимальный)
по включению элемент.)
14.60 . Пусть А и В - подгруппы группы G и G = А х В. Пусть а -
некоторый гомоморфизм группы А в Z(B) и С :={аа“ I а е А). Тогда G =
= С х В, причём С = А <=> Кег[о.) = А (т. е. а тривиален).
14.61 . (Т) Пусть G - группа с условиями максимальности и мини-
мальности для нормальных подгрупп и Gb ..., Gm, Hf,..., Н„ - её нееди-
ничные неразложимые в прямое произведение подгруппы.
1) Пусть G = Gt х ... х Gm = Ht х ... х Н„. Тогда т = п и существует
нормальный автоморфизм а группы G такой, что при подходящей
перенумерации подгрупп /7,- будет G“ = Я, (и, следовательно, G- = Н-
по 12.50).
2) Пусть G = G] х ... х Gm. Равносильны условия:
(а) любое разложение G в прямое произведение неединичных не-
разложимых подгрупп получается из данного перестановкой множи-
телей;
(б) при любых различных i и j из {1, ... , ж}. не существует не-
тривиальных гомоморфизмов из G, в Z(Gj) (для конечной группы G это
означает, что (I G, / G-1, I Z(Gy) I) = 1).
14.62 . Пусть {G, lie/}- некоторое множество подгрупп группы G.
Говорят, что G есть прямое произведение подгрупп Gt с i е / (запись:
G = xGj), если Gj <G для всех ie I я каждый элемент из G
id
однозначно, с точностью до порядка множителей, записывается в виде
произведения конечного числа элементов, взятых из некоторых под-
групп G,-.
1) Если I /1 = и е N и |G, I i е /} = {Hj, ..., Н„}, то G = х G, <=> G =
= Hf х ... х Нп.
2) Равносильны условия:
(a) G = х G,;
tel
(б) G = (G/l i еГ) и для любого конечного подмножества J из
/(Gj1 i g J) =x G/.
id
3) Если G = x G:, to Z(G) = x Z(G;) и G* = x G\.
Id Id id
14.63 . Пусть I - множество и каждому ie I сопоставлена некоторая
группа G,- (может быть G, = Gj при i * j). Обозначим через М - мно-
жество всех функций/из / в U G, таких, что
id
a) fit) е G, для всех i е I и
б)/0 * 1 лишь для конечного множества индексов i из /.
Определим на М умножение по правилу
(ГJ?)(O =Л0^(0 (йеМ).
1) (Л/, •) - группа. (Эта группа обозначается через х G, и называет-
»е/
ся (внешним) прямым произведением групп G, с ie /.)
2) Если / = {1,..., и), то х G, — Gj х ... х G„. Можно ли здесь вместо
id
знака — поставить знак = ?
3) Существует множество подгрупп {G, lie/} группы G = х G,
ге/
такое, что G, < G, G, = G, для всех i е 1,mG = х G, .
ге/
4) Если G = х G;, то для любого se Sj отображение s :/н» s'fife
id
е G) есть автоморфизм группы G =f(.s~l(i))).
14.64 . Пусть {Gj I i e /} и {//,1 j € J) - множества групп.
1) Если I = J Hj для всех i e /, to x G; = x H,.
id id 1
2) Если l П J = 0, to| x G, ]x| x H, |= x G,, где G. = H. при
\ie/ ) \ieJ s) ielUJ
i e J.
14.65 . Пусть G = (M, +), где M — множество всех бесконечных
последовательностей (аь a2, ...) целых чисел, а + - операция на М,
определяемая равенством
(«I, а2, ...) + (bj, b2,...) = («j + hj, а2 + Ь2,...).
1)G-группа.
2)GxZ+ = G.
3)GxG«G.
(Следовательно, изАхВ—АхСне следует, что В = С.)
14.66 . Пусть 7 и G, - как в 14.63 и пусть F — множество всех функций
f из I в IJG,- таких, что /(i) е G,- для всех i е /. Определим на F
№1
операцию • по правилу (f-g)(i) =/(0g(0 (6 g е М)- Тогда (F, -) - группа, а
х G, -efi подгруппа.
(Группа (F, •) обозначается через х б. и называется декартовым
iel
произведением групп G, с i € 7.)
§ 15. Полупрямые произведения
и сплетения
Согласно определению из § 4, запись G = А X В означает, что
группа G является полупрямым произведением своих подгрупп А и В,
т.е. G=AB, А <СтАГ\В = \.
Пусть А и В - произвольные группы и <р - гомоморфизм группы В в
группу Auf(A). Тогда множество А х В с операцией
(ai,biXo2,b2)= (a,a?fcl ’Л62)
является группой (см. 15.1). Она обозначается через
А ХфВ и называется полупрямым произведением групп А и В
(относительно ср). Положим й := (а, 1) для а е А и b := (1, Ь) для he В.
Отображения iA : а н> а(а е А) и iB : b i-> b (b f В) (являющиеся
изоморфизмами по 15.2) называются каноническими вложениями
групп А и В в G.
Пусть G - группа и Н = G XjjAutiG), где id- тождественный
изоморфизм Aut(G) на Aut(G). Группа, получающаяся из И заменой
каждого элемента (g, 1) элементом g (g е G) и каждого элемента (1, «)
элементом а (а е А), обозначается через
Hol(G) и называется голоморфом группы G.
Пусть А, В- группы, X — множество и - гомоморфизм из В в сим -
метрическую группу Sx. Пусть Н := х А (внешнее прямое произве-
леХ
дение I XI экземпляров группы А; элементами его являются всевозмож-
ные функции Л из X в А такие, что Л(х) * 1 только для конечного числа
элементов х е X). Согласно 14.63, существует изоморфизм 6 из Sx в
Aut(H) такой, что O(.v): Л s~'h (s_,A(x) = h(s~l(x))). (В случае, когда
Х = {1,..., л), элементы из Н записываются в виде последовательностей
h = (at,... ,а„)с а, еА и O(.v): (а,.а„) (а<|(1),...,а_1(п)).) Тогд
композиция SP© есть гомоморфизм из В в Aut(H), и группа
A lg>B :=/7 Хд^В называется сплетением группы А с помощью
группы В относительно SP или, короче, &-сплетением А с В. Если в
этом определении взять Н := х А, то полученная группа
— хеХ
A lg>B := Н У^В называется декартовым SP-сплетением А с В. В
обоих случаях группа Н называется базой рассматриваемого сплетения.
Вместо А 1д>В пишется:
Ai В, если В S Sx и SP - тождественное отображение В в Sx, и
пишется:
АirB, если SP - правое регулярное представление В (впрочем, часто
индекс г здесь опускают, если В не задана как группа перестановок
какого-либо множества). Подобные сокращения используются и при
записи декартова сплетения.
Пусть А и В - подгруппы группыGwH= {AG}. Говорят, что G есть
(внутреннее) сплетение подгруппы А с подгруппой В, и пишут:
G = Ai'В, - если G = HXBw.H есть прямое произведение всех под-
групп группы G, сопряжённых с А в G (т. е. Н = К> где ЗС = {A )G).
Напомним (см. § 9), что группа G называется группой Фробениуса,
если G = NXH, N< G, HSGu Н f) №= 1 для всех g е G \ Н; N
называется ядром и Н - дополнительным множителей группы G.
15.1. Объект АХфВ, определённый во введении к этому па-
раграфу, действительно является группой.
15.2. Пусть G = А Хф В - пол упрямое произведение групп А и В.
Положим а = (а, 1) для а е А и b = (1, Ь) для fee В.
1) Отображения iA : а а (а е А) и iB : Ь н> Ь (Ь е В) являются
изоморфизмами групп А и В на некоторые подгруппы А и В из G
соответственно. ,___
2)G = А X В и = аф</>) для всех а е А и Ь е В.
15.3. Пусть А и В - группы. Равносильны условия:
(1) G = Aj X В], где А, = А иВ| — В;
(2) G — А В для некоторого гомоморфизма ср.
15.4. Пусть G = АХ В.
1) feG ПВ = fe® для любого fee В.
2) Любые два элемента из В, сопряжённые в G, сопряжены в В.
3) Сд(а) = В П В“ для любого а е А.
4) Утверждения 1) - 3), вообще говоря, не верны в случае, когда
G=AB, А < G, но А П В * 1.
15.5. Пусть G = АХ В, be В и В, С В.
l)CG(fe) = C/fe)XCB(fe).
2)Сс(В1) = Сл(В1)ХСв(В1).
3)W=W*W.
15.6. Пусть G - конечная группа Фробениуса с ядром W и допол-
нительным множителем Н.
1) Сс(Л) С Н для всякого he Н \ {1}.
2)N = (G\//G) U {1}.
3) Cg(«) С N для всякого п е 7V\ {1}.
15.7. Пусть G = WX Н. Равносильны условия:
(1) G - группа Фробениуса с ядром /V;
(2) ни один неединичный элемент из W не перестановочен ни с
одним неединичным элементом из Н.
15.8. Пусть G = АХ В, А - абелева минимальная нормальная под-
группа в G и BG = 1.
1) А - единственная минимальная нормальная подгруппа в G.
2) Cz(B)(a) = 1 для всех а е А\ {1).
3) Если Z(B) * 1, то А X Z(B) - группа Фробениуса с ядром А.
15.9. Определить все (с точностью до изоморфизма) полупрямые
произведения вида 2+Хф Z+.
15.10. Определить голоморфы следующих групп:
DZ2,
2)Z3,
3) Z2 х Z2.
4) Z+.
15.11. Hol(S3) — $3.
15.12. Если G - совершенная группа (т. e. Aut(G) = lnn(G) и Z(G) = 1).
to Hol(G) — GxG.
15.13. Следующие условия группы G равносильны:
(1) G - совершенная группа;
(2) всякий раз, когда G есть нормальная подгруппа какой-либо
группы X, будет X = G х Cx(G).
15.14. Пусть Н = {(a, g) \ g е G, а е Aut(G)} с операцией
(«1. й)(а2, £2) = 82)
Тогда Н — Hol(G).
15.15. Пусть Н := Hol(G) = G ХА, где А = Aut(G).
DC„(G)={gi(g)-,lgeG}^G.
2) G /nn(G) = GCH(G) = CH(G) X /nn(G) и H = CH(G) X /nn(G).
3) Z(H) = C„(A) = {g e Z(G)\ ga = g}.
15.16. Пусть Н := Hol(G) = G ХА, где А = Aur(G).
l)/V„(A)=Z(W)xA.
2)Ch(A)=Z(H)xZ(A).
3)^A)/C„(A) = /nn(A).
15.17. Если G = AXB и CB(A) = 1, то G изоморфна подгруппе из
Hol(A), содержащей подгруппу А.
15.18. Пусть G - конечная группа, Z(G) = 1 и AuT(G) = 1 ХК, где
/ = Inn(G). Рассмотрим гомоморф G: HdKG) = GX(I ХК). Тогда GXK=^
=*1 ХК.
15.19. Пусть G = А X В, причём В действует на А точно (т. е.
СВ(А) = 1) и неприводимо (т. е. в А нет собственных В-инвариантных
подгрупп). Тогда если каждая подгруппа простого порядка из В нор-
мальна в В, то G - группа Фробениуса с ядром А.
15.20. Пусть G нН- группы, G = А X В, а - гомоморфизм А —> Н и
Р - гомоморфизм В -» Н. Предположим, что а(аЛ) = а(а) для всех а е А
и b е В. Тогда отображение
у: ab а(а)Р(Л) (а е А, b е В)
является гомоморфизмом G -> Н <=> [а(А), 0(B)] = 1.
15.21. Пусть А и В - группы, А । < Z(A), Bt < Z(B) и ср - изоморфизм
А, на В,. Предположим, что существует гомоморфизм у: А —> Aut(B)
такой, что у(А0) = 1 и у(А) действует тождественно на В|.
1) В группе G = В Ху А множество
/V=l(ai,<p«'))laie А,|
есть нормальная подгруппа.
2) Для любого X С G обозначим через X образ X при естественном
гомоморфизме G на G/N. Тогда
G=BA, В = В, А=А, B<G, BClA<Z(G), AnB — Aj — Bj—N.
(Имея в виду аналогию с полупрямым и центральным произведениями,
группу G можно назвать полуцентральным (точнее ((ср, у))-полуцент-
ральным) произведением групп В и А.)
15.22. Построить полуцентральное произведение двух групп, изо-
морфное группе кватернионов Q8.
15.23. Пусть G = А I В, где В < S„ (п е /V). Тогда существуют под-
группы А|,... , Ап в G и изоморфизм Ь ь-> Ъ из В в G такие, что G =
" h
= НХ В, где Н = х А, , и А, = Аад для всех i.
15.24. Пусть G = Alg> В, где SP - гомоморфизм из В в Sx, я Н - база G
(следовательно, G = НХд>о В, где G — изоморфизм из Sx вН,
определённый во введении к § 15). Пусть iH и iB - канонические
вложения групп Н и В в G (т.е. ОДЛ) = Й = (Л, 1), iB(b) = Б = (1, Ь)),
H:=iH(H) и B:=iB(B). Для любого хе X положим
Ах := {А е ИI Л(у) = 1 для всех у е X \ {х}}.
1) Ал S Н и Ах “ А для всех хе X.
2) Н = х Ах.
хеХ
3) G-H X В и Ал = A9ibyxy для всех хе X.
15.25. Пусть G, А, В - группы и п е N. Равносильны условия:
(1)G = (А] х... х АП)ХВЬ где А ~ A] <G, В “Bj SG и {А].Ап} =
= (A] }G (равносильно: G =А1К В] и1{А1)с1 = и);
(2) G “ А 1д> В, где SP = - представление В на смежных классах
по некоторой её подгруппе F индекса п.
15.26. Пусть G, А, В - группы и SP - изоморфизм из В в Sx.
1)А ЪрВ = А х В <=> IXI = 1.
2) Если А, В и X конечны, то I А В I = IА А ВI.
3) Указать все тройки А, В, для которых группа А В абелева.
15.27. Пусть G = Zn 1S2 (= Zn Z2), где n - нечётное число. Тогда
G = Zn х О2п.
15.28. l)Z2lrZ2==D8.
2) Определить строение группы Z2(rZ3. Указать все её нормаль-
ные подгруппы.
15.29. Пусть G = Z4?S2.
1) G имеет элемент х такой, что Crfx) = (х).
2) Найти Z(G).
15.30. Пусть т,пе N, М - множество всех диагональных матриц из
GL(n, С), порядок которых делит т, a S — множество всех матриц-
перестановок из GL(n, С) (S == S„). Тогда {М, S) — Z„l S„.
15.31. Пусть G = Sm„, где т, п е N. Тогда G имеет подгруппу,
изоморфную Sm 1 Sn.
15.32. Пусть G - группа, К - кольцо с единицей и KG - групповое
кольцо G над К (см. § 6). Тогда группа GL(n, KG) имеет подгруппу,
изоморфную G ( S„.
15.33. Пусть G - группа и п - натуральное число. Тогда в группе
Aut(G х... х G) имеется подгруппа, изоморфная Aut(G)i S„.
п раз
15.34. Пусть G имеет подгруппы А и Н такие, что IG : Н\ = 2 и Н =
= А х А«, где g е G \ Н и g2 g Z(H). Тогда существует инволюция
t е G\H такая, что G = А Г (г) (=* A? S2).
15.35. Z2 J <(12)(3)> - (Z2? S2) х Z2 ((12)(3) е S3).
15.36. Если А - группа и В i S(X, У) (подгруппа Юнга группы Sx(jr,
см. 7.30), то
AiB — (A iBx)x(A iBr),
гдеВх:= и Вг := {Blr lb е В) £Sr.
15.37. Если Ai £ А, В^В.Ф - гомоморфизм В в Sx и SP] = SP I В), то
Aj В\ — < AJg> В.
15.38. Если А] < А и В, < В, то A] В] ==< А?г В.
15.39. Пусть G = Ai В, где А - абелева группа и В < S„. Пусть Н -
база этого сплетения (Н = А х... х А).
п раз
1) Hi := {(<2i,..., а„) g /710] ... а„ = 1} есть В-допустимая подгруппа в
Н, изоморфная Ах...х А.
п-1 раз
2) Если А' < А] < А, то /7 имеет В-допустимую подгруппу, изо-
морфную (А х... х А) х А].
п-1 раз
15.40. Каков центр сплетения G i 5Л?
15.41. Пусть G = A irB, А*1,Н- база в G и D := {/е НI Дх) = const
для хе В). По 15.24, G=H X В, где Н и В :=<в(В). Пусть
1) Если 1 < N < G, то N Г) Н 1.
2) Сс(В) = Ь и Z(G) = Z(D).
3) Если ехр(А) = ти ехр(В) = и (т, и е N), то exp(G) = тп.
15.42. Пусть G = AirB, Н - база в G, К := {/е Н I П/W е
к := iH(K) иВ .= i^B). Тогда G' =КВ'.
15.43. Если G = А ?г В, где А Ф 1 и В бесконечна, то Z(G) = 1.
15.44. Если А и В - р-группы (р - простое число), то
а) А В - р-группа,
б) А В - р-группа <=> порядки элементов трупы А ограничены в
совокупности.
15.45. Группа ZJr Z „ является р-группой и имеет единичный
у р
центр. (Сравните с 5.12.)
15.46. Пусть G = Z+ lr Z+. Тогда G изоморфна подгруппе
1 П (а О'
О 1Г1о 1
из GL^R),
где а - трансцендентное число.
§ 16. Свободные группы
и определяющие соотношения
Пусть G - группа с порождающим множеством X. Говорят, что G
порождается множеством X свободно или что G есть свободная
группа со свободным порождающим множеством X, если G обладает
следующим "свойством универсальности": каждая функция а из X
в произвольную группу Н может быть продолжена до гомоморфиз-
ма из G в Н. (Такое продолжение у единственно: у(х1'”1 •... • х”л) =
уСчГ1 ...у(хп)тп = <х(х1)'П| •...a(xn)m'1 при хь .... хп g X и ...
..., т„ 6 Z.) Мощность множества X называется рангом этой свободной
группы (относительно X). Более общим является понятие "группы с
порождающим множеством X и определяющим множеством соотно-
шений R". Для его определения необходимо ввести ряд понятий и, в
частности, уточнить выражение "соотношение между элементами мно-
жества X". В этом параграфе
X есть некоторое множество.
Предположим, что X непусто, и положим X] = {(х, 1) I х g X) и Х_и =
= {(х, -1) I х g X}. Очевидно, X, Г) X, = 0. Слово над X, или, короче,
Х-слово, - это пустая (обозначаемая через 1) или конечная последова-
тельность элементов изХ1 U Х_р
((хь £,), (х2, £2),..., (х„, £„)) (1)
(х, g X, £;б {1, -1}). Число п называется длиной слова (1); длина
пустого слова равна 0. Обычно слово (1) записывают в виде
хГ«х^...хяЕ", (2)
причем вместо х1 пишут также просто х. В дальнейшем мы используем
условную запись слова в виде (2), возвращаясь при необходимости к
записи (1) (такая необходимость возникнет, если некоторые элементы
из X записаны как слова вида (2) над X в некоторой группе; см., на-
пример, задачу 16.26). Для непустых слов а = хЕ1... хЕ” и b = у®1... у„л
(х;, у,еХ; £„8,6 {1,-1}) положим ab:=xf'... x^yf1... у%П (слово дли-
ны т + л), а~х :=х~Ел... xfE1, а также la = al = а, I-1 = 1, ап := а... а при
п раз
ле Nиab = b~lab.
Пусть W - произвольное (может быть пустое) множество слов над
X и S = {хх"1, х"*х I х е X}. Слова а и b над X называются W-экви-
валентными (запись: a ~w b), если b можно получить из а посредством
конечного числа вставок и удалений каких-либо слов из W U S (т. е.
если существует последовательность Х-слов а^,..., ап такая, что = а,
а„ = Ь, и для любых двух соседних членов последовательности су-
ществуют слова и и к такие, что один из них равен uv, а другой - uzv для
некоторого z е W U S).
Запись вида и = v, где и и v - Х-слова, называется соотношением
над X, или Х-соотношением (или соотношением между элементами
множества X). Пусть R = {uf = vt I i e /} - некоторое множество Х-соот-
ношений. Говорят, что Х-соотиошение и = v выводится из R (или
является следствием соотношений множества R), если слово uir1
IF-эквивалентно пустому слову, где W = {и,ц! I i е /}. Множества
Х-соотношений R\ и R2 называются эквивалентными (запись: R\ - R2),
если каждое соотношение любого из них выводится из соотношений
другого. Соотношения и г2 называются эквивалентными (запись:
ri~r2), если {и) - {г2}.
Пусть теперь X - подмножество группы G. Значением слова (2)
(или (1)) в группе G называется элемент xf1 -х22 —-х®л группы G
(здесь xf' - степень элемента х, в G); значением пустого слова счи-
тается единичный элемент группы G. Скажем, что соотношение и = и
выполнено (или справедливо) в группе G, если значения слов и и и в G
равны. Говорят, что множество R соотношений над X есть определяю-
щее множество соотношений группы G над X, и пишут
G = (X\R), если
DG = (Х>,
2) соотношения из R выполнены в G, и
3) каждое Х-соотношение, выполненное в G, выводится из R.
Такая группа G обладает важным свойством "Я-универсальности",
подобным свойству универсальности свободной группы (см. 16.20,
16.21). Далее
'W(X) обозначает множество всех Х-слов,
91(Х) - множество всех Х-соотношений и
°WR := {«(Ц* lie /) для /? = {и, = ц-1 i е /) С 91(Х).
Пусть W С CW(X). Очевидно, отношение ~w рефлексивно, симмет-
рично и транзитивно. Все Х-слова, W-эквивалентные Х-слову а, обра-
зуют класс [а]^ ^-эквивалентных Х-слов. Множество всех классов
Неэквивалентных Х-слов относительно операции, заданной правилом
[a]w[£]w = [ab]w, является группой (16.1), которая обозначается через
(XII ИО, а также через
(XIIR), когда W = °WR при R С 91(Х). В последнем случае вместо ~w
и [а]^ пишут также -й и [а]й соответственно. (Группу (X II ИО иногда
обозначают через Grp(X: W).) Если G = (XI F), где X C G и R С 91(Х), то
G = (X IIR) (16.19).
При пустом W Неэквивалентность называют просто эквивалент-
ностью и вместо ~w и [<а]ц/ пишут соответственно - и [а]. Оказывается
(см. 16.2), что группа (X II 0) свободно порождается множеством
{[х] I х е X} и в каждом её классе [а] содержится точно одно несокра-
тимое слово (слово называется сократимым, если в нём рядом стоят
два символа х и х~1 (в любом порядке) для некоторого х е X). Так как
отображение х [х] (х е X) взаимно однозначно, то можно рассмот-
реть группу
F(X), получающуюся из (XII0) заменой каждого элемента [х] при
х е X элементом х (без изменения других элементов). Тогда F(X) есть
свободная группа со свободным порождающим множеством X (16.3).
При X = {х!....хт] и W = {w1( ... , wn) вместо (X II IV) пишут:
(xt, ... ,хт II ... , w„); подобно поступают при записи выражений
(X II R) и G = (X I R). Заметим, что запись G = (хр ... , xm I гь ..., гл) не
предполагает, что хь..., хт попарно различны.
Если G = (XIIS), где S' - множество слов или соотношений над X, то
говорят, что (X, S) есть порождающее представление или генетический
код группы G.
Если ц — функция, в область определения которой входит X, и w -
Х-слово, то мХм) обозначает слово, получающееся из w заменой каждого
элемента х е X элементом х*1, и
ИЛИ) = {„Ли) | G WJ для W С ТГ(Х),
/?(и) ;= {и<и) = t/и) | (и = и) е Я) 'для R С 91(Х).
16 .1. Пусть X - произвольное множество и W - множество Х-слов.
1) Равенством = [abJw операция умножения классов
W-эквивалентных Х-слов определяется правильно (т. е. определение не
зависит от выбора представителей класса).
2) Множество всех классов W-эквивалентных Х-слов с операцией
умножения классов (определённой в 1)) - группа (группа (XII W)).
16 .2. (Т) Пусть G := (XII0).
1) Отображение |1 :хн [х] (хе X) есть взаимно однозначное ото-
бражение из X в G.
2) В каждом классе [и] (и е TV(X)) имеется точно одно несокра-
тимое слово. (В частности, I [и] Г) (X U X_i) I < 1 при и е 'W(X).)
3) G - свободная группа со свободным порождающим множеством
ХИ = {[х] I X G X}.
16 .3. Пусть F(X) - группа, определённая во введении к § 16 (опреде-
ление корректно ввиду 16.2(1)) и пусть й означает значение слова
ие °№(Х)вР(Х),т.е.и = xf1 xp •...х®л, если и =xf’xj2... х*л (x, e X,
E< = ±1)- __
1)F(X) = {a I и e ТУ(Х)}, й = и <=>[и] = [1/], й-v = ии для всех и,
v е W0-
2) Отображение й н> [и] (й е F(X), и е 1У(Х)) есть (правильно
определенный) изоморфизм из F(X) на (XII0)).
3) F(X) есть свободная группа со свободным порождающим мно-
жеством X.
4) Всякая свободная группа со свободным порождающим мно-
жеством Y таким, что I YI = IXI, изоморфна F(X). В частности, любые
две свободные группы одного и того же ранга изоморфны.
16.4.1) Если IXI = 1, то F(X) - бесконечная циклическая группа.
2) Если IXI > 1, то группа F(X) неабелева.
16.5. Пусть W С TV (X)). Тогда (X II W ) изоморфна фактор-группе
группы (XII0 ). А именно отображение
Y: [и] н> [«к ([«] е (XII0), и е W))
есть гомоморфизм из (XII 0)) на (XII W), причём
Хег(у) = {[и]I и е [!]„} = ({[и-] I w е W}<xll0>).
16.6. Если п - целое число и п Ф 0, то ( а II ап) - циклическая группа
порядка I п I. Доказать это, а) пользуясь только определением группы
(XIIIV), б) с помощью 16.5.
16.7. ( a. h II ahcr^h-1) - прямое произведение двух бесконечных
циклических групп.
16.8. Какова группа (a, h II a3, б2, аба-1)?
16.9. Пусть R С 91(Х)) и G = (X II R). Тогда для любого Х-соот-
ношения и = v из R в группе G верно равенство [и]й = [к ]й (т.е. [а]^ =
16.10. Группа ( a, b II ab = bak, ha = ab1), где кя I - неединичные
натуральные числа, конечна.
16.11. Пусть R С 91(Х) и и, v е °WQC). Равносильны условия:
(1) соотношение и = v выводится из R;
2)[«]r = [v]s.
16.12. Пусть и, v,s,te ТУ(Х).
1) Соотношение us = vt выводится из соотношений и = и и j = t.
2) Соотношение и = и выводится из любого множества Х-соот-
ношений.
16.13. Пусть и, v,s,te TVCX). Равносильны условия:
(l)u= v ~s = t\
(2) [wJw = [f Jw <=> Ми = Mw Д™ любого W C °W\X).
16.14. Пусть и, v, s,te ‘W’CX).
1)и = v ~uv~l = 1.
2) и = v ~v=u.
3)u = l~«-, = l.
4)« = v ~sut = svt.
5)uv =t-usS~xv —t.
6) sus~l = 1 ~ и = 1.
7) uv = 1 - vu = 1.
16.15. Пусть /?i и /?2 — множества Х-соотношений.
1) Если /?2 выводится из Rlt то (XII /?! U /?2) = (% II ^1).
2) Л] - /?2 « IIЯ1) = & И ^2>-
16.16. Пусть G = (X). Тогда существует множество R Х-соотно-
шений такое, что G = (XIR).
16.17. Пусть G = (X, •) - группа. Тогда G = (XIR), где R - множество
всех соотношений вида ху = z, где х, у, z g X и х • у = z.
16.18. Пусть G = (X) и 7? — некоторое множествоХ-соотношений,
выполненных в G. Равносильны условия.
(1) G = <Х I /?>;
(2) каждому элементу g из G можно поставить в соответствие
Х-слово w(g) так, что
a) g есть значение слова w(g) в G,
б) и^х6) = Xе при х gX и £ = ±1,
в) для любых g, he G соотношение w(g)w(h) = w(gh) выводится
из R.
16.19. Пусть 7? С 9l(X).
1) Если G = (XI 7?) (X С G), то G = (XII /?), а именно отображение
ф: = «XIIR) -> GI [п]й н> uG(u g cW(X)),
где uG — значение в G слова и в G, есть (правильно определенный)
изоморфизм из (XIIR) на G.
2) Если G = (XII /?), то G = (XVIRM), где у: = (X -> GI х н> [х]й).
16.20. Пусть G = (X IIR), где R С 2ft(X). Тогда для любого отобра-
жения ц из X в произвольную группу И такого, что все соотношения из
R&> выполнены в Н, существует гомоморфизм у из G в Н такой, что
[х]д = для всех х е X {свойство R-универсальности группы G =
= <ХНЛ».
16.21. Пусть G = (X I /?), где R С 91(Х), и р. - отображение из X в
некоторую группу Н. Равносильны условия:
(1)|_1 может быть продолжено до гомоморфизма из G в Н;
(2) соотношения из Z?^ выполнены в Н (в этом случае говорят, что
"ц сохраняет соотношения из R" или, что "ц согласовано с R”).
{Свойство R-универсальности группы G = (XI /?).)
16.22. Пусть G = (X I R) - конечная группа. Если существует
взаимно однозначное отображение ф: X —> G такое, что G = (Xf) и
соотношения из RW выполнены в G, то G = (Х*₽ I R^} и ф можно
продолжить до автоморфизма группы G.
16.23. Пусть/? U {г} С Sft(X). Равносильны условия:
(1) соотношение г выводится из /?;
(2) для любого отображения ц из X в произвольную группу Н из
того, что соотношения из /?ц выполнены в Н, следует, что Н1 выполнено
в//.
16.24. Показать, что соотношение а2 = 1 не является следствием
соотношений о4 = 1 и ah = ha3.
16.25. {a, h II ahah~l) - неабелево полупрямое произведение двух
бесконечных циклических групп.
16.26. Пусть G = {а) = Z3 {a е G).
1) G = {а I а3 = 1).
2)G*{a,a~l 1а3 = 1).
3) G = {а, а-11 а3 = 1, {{а, 1), (сг',1)) = 1). (Последнее соотношение
нельзя записать в виде aa~l = 1, так как ввиду принятого нами согла-
шения об условной записи слов в форме (2) оно будет истолковано как
тривиальное соотношение {{а, 1), {а,-!)) = 1.)
16.27. (Теорема Дика) Пусть G = (XII И) и Н = (X II W U И/,>, где W
и М2! — множества Х-слов. Тогда H — GIN, где N = {wf) и
={[w1]lvlw1 еИП-
16.28. Группа {a, b II а3 = 1) имеет фактор-группу, изоморфную
группе Z3 х Z+.
16.29. Пустьт, ne N.
1) {a, b II o'", b", a~lb~lab) Zn.
2) {a, b II o'", b”) - бесконечная группа, если win 1.
16.30. Если ф - гомоморфизм группы G = (X IR), то будет ли
G*P = (Х*» I /?«₽>)?
16.31. Пусть W С 1Г(Х) и у - отображение X на некоторое мно-
жество XV. Тогда (X* IIWW) - гомоморфный образ группы (X Н W).
Если ф взаимно однозначно, то (X* II ЦЛчО) == (XIIIV).
16.32. Пусть R £ 91(Х) и G - группа. Равносильны условия:
(1) существует отображение ф из X в G такое, что G « <Х*) и
соотношения из RM выполнены в G;
(2) G изоморфна фактор-группе группы (XIIR).
16.33. 1) С8 = (a, b II a~xba = b~\ b~lab = ст1) == (а, ЬПа4 = 1, Ь2 = а2,
bab~l = сг1).
2) Какова группа {a, b II а4 = b4 = 1, b~lab = о-1)?
16.3 4.1) = {a, b II a2, fe2) = {с, d II с2, r'dcd).
2)О2„ = {a, b\\an = 1,fe2 = 1,b~'ab = аг1).
16.35. Какова группа {a, b II a2, b5, crlbah~2)?
16.36. Пусть р - простое число. Какова группа G = (а, Ь, сПаР = ЬР =
= с2 = l,ab= Ьа, са = Ьс)1
16.37. Q+ = <аь а2,..., ... Ila2 = at, = а2, а" = a„_lt ...).
16.38. Q(p) = (aha2, ...,а„,... Ila£ = ah a^=a2.= an,...}.
16.39. = (a,, a2,..„ an,... II af = 1, af = Д|,...,<+| = «„,...).
16.40. Пусть R C 9l(X), w g °W(X) и у « X. Тогда <X U {у} IIR U {y =
= w}) = (XIIR).
16.41. Пусть R C Sft(X) и из R выводится соотношение x = u, где
x g X и и g TVXXX {%}). Тогда (XIIR) — (X\ {%} II R\), где R\ получается из
R заменой в каждом соотношении из R элемента х словом и.
16.42. Пусть G = (XIR) и Y — подмножество из X такое, что каждый
элемент у из У является значением в G некоторого слова wy над Х\ Y.
Тогда G = (Х\У I /?]), где Rt - множество всех соотношений, полу-
чающихся заменой в соотношениях из R каждого элемента у из У
словом wy.
16.43. {a, b, с II Ь2, (be)2) == (x,y,z II y2, z2).
16.44. (a, b, с II b~lcb = a,c~xac = h, a~xha = c) — (a, b II aba = bah).
16.45. Какова группа (a, h, c, d\\ah = c, he = d, cd = a,da = h)?
16.46. 1) 53 = (a, btta3 = 1, b2 = 1, (ab)2 = 1) — (x, у II x2, y2, (xy)3) —
“ {r,fnf2,frfr~2).
2) A4 “ (a, b II a3 = 1, b3 = 1, (ab)2 = 1) =* (c, d II c3 = 1, d2 = 1,
(cd)3 = l).
3) S4 = (a, ill a4 = 1, Ь3 = 1. (ab? = 1).
4) A$ =* (a, b II as = 1, b3 = 1, (ab)2 =1).
16.47. В группе G = (a, b I a~lba = Ь2) элементы а и b имеют
бесконечные порядки.
16.48. Пусть G = (a, b\ ат = 1, ft" = 1, hab~l = as), где {m, n, 5} C N.
Тогда o(ft) = n, o(a) = (m,sn-l)HG = (a)>^ (b).
16.49. Определить порядки групп G = (a, ft II a3 = ft3 = 1, ba = a2h2) и
H = {a,h II a3 = ft6 = 1, ha = a2h2).
16.5 0.1) Если a4 = ft4 = 1 и ba = a2^, to aft = (ba)2 и (ha)5 = 1.
2) (a, ft II a4 = ft4 = 1, ba = a2h2) — (c, d II c4 = d5 = 1, de = cd2 ).
Каков порядок групп пункта 2)?
16.51. Доказать, что
(a,ftlla5 =ft5 =1, ba = a2b2) — (c,Jllc5 = J11 = 1, dc = cd3),
и определить порядок группы.
16.52. 1) В каждом из следующих случаев найти фактор-группу
группы G по её подгруппе Н (предварительно доказав, что Н < G) и
определить порядки групп G и Н:
a) G = (a, b \ а* = 1, а2 = (abj2 = Ь2), Н = (а2);
б) G = (a, ft, с I а2т = Ь2 = (aft)2 = с2 = 1, ас = са, be = cb),
Н = (am, с), (т g N);
в) G = (a, ft I a~lba = ft-1), /7 = (а2);
г) G = (a, ft I а2 = ft2), Н = (а2).
2) Группы пунктов в) и г) изоморфны.
16.53. Пусть G = (a, ft, с, d I а2 = ft2 = с3 = d3 = 1, а-1са = d, ab = ha,
cd = de, trlch = c2, b~ldb = d2). Тогда
l)G = «c)x(d))X«a)x(ft)j,
2) (c) x (d ) - минимальная нормальная подгруппа в G.
16.54. Пусть G = {a, b, с I а3 = b3 = 1, с = b~'a~lba, ас = са, be = cb).
Тогда о(а) = o(fe) = о(с) = 3 и G = «а) х (с))Х (b) = ((h) х (с)) X (а).
16.55. 1) Если группа G порождается конечным множеством X, то в
любом её порождающем множестве имеется конечное подмножество,
также порождающее G.
2) Если G = (X IR), где множество R конечно, то в любом ее опре-
деляющем множестве Х-соотношений содержится конечное подмно-
жество, также являющееся определяющим множеством Х-соотно-
шений группы G.
16.56. В группе Q+ указать подгруппу, изоморфную группе G =
= <{а„ I и е Z) II {а„ =а„+|| п е Z}). Показать, что
1) G = U (ап) и (а„) < <ал+1> для всех п е N;
neZ
2) отображение ф: а„+1 на (и е Z) продолжается (единственным
образом) до автоморфизма ф группы G;
3) в подгруппе GX (ф) из Hol (G) подгруппы (а„) (и g Z) сопряжены
между собой.
16.57. Пусть G = Е({х, у)) и М = {xn ух"1 ne Z, п > 0). Тогда (М) =
= (М II 0). Следовательно, среди подгрупп свободной группы ранга 2
имеются свободные группы счётного (а значит, и любого конечного)
ранга.
§ 17. Конечные р-группы
Всюду в этом параграфе р обозначает простое число, Р - конечную
р-группу, а т, п - натуральные числа.
Если g - элемент порядка л, то циклическую группу (g) будем
обозначать также через {g)„. Следующие обозначении стандартны.
cl(P) - класс нильпотентности Р.
d(P) - минимальное число порождающих (порядок минимального
порождающего множества) группы Р.
т(Р) — ранг Р, т.е. наибольшее из натуральных чисел п таких, что Р
содержит элементарную абелеву подгруппу порядка рп.
rs(P) - секционный ранг Р, т. е. тах{т(Н1К) \К<Н<,Р}.
Q-i^Py. = (g е Р I gp =1). Подгруппа Qj(P) называется нижним
слоем группы Р.
Vi(P) = {gp' I ge Р).
Если а - наибольший из порядков абелевых подгрупп в Р, то
.й(Р): = {A IА <Р, А'= 1,1А I = «),
,/(Р): = (А I А е .^(Р)) - подгруппа Томпсона группы Р.
SCN (Р) - множество всех максимальных абелевых нормальных
подгрупп из Р, или, что то же самое, множество самоценрализаторных
(т.е. совпадающих со своим централизатором в Р) нормальных
подгрупп из Р.
SCNk(P): = |А е SCN(P) I те(А) > *}.
р-группа Р называется:
регулярной, если для любых х, у g Р (хуУ = xPyPcf... при неко-
торых С],..., ст е (х, у)';
специальной, если либо она - элементарная абелева, либо Ф(Р) =
= Р' = Z(P) Для некоторого и е N;
экстраспециальной, если она неабелева специальная р-группа, у
которой 1Z(P)) = р;
группой максимального класса, если её порядок есть р", где и > 2, и
класс равен п - 1.
Пусть п > 3, х = е2™1р и у = е2к,1р так, что Z^„ = (х) и Zp = (у), и
пусть ф — некоторый гомоморфизм из Zp в Aut (Z „). Положим
МрП : = (х)Хф(у), где (р(у): хнл1+? (л 2 3). Всякая изоморфная
Л/^п группа Н называется полуабелевой или модулярной группой и,
очевидно, имеет вид: Н = {а)рп X {Ь)р, где аь =а1+р
Если р = 2 и п > 4, то:
SD2n := {х)2п (у)2, где <р(у): х х-1+2 ; всякая изоморфная ей
группа называется полудиэдральной группой порядка 2л.
О2п'.= {а,Ь\\аг = В4 = 1, а2 =Ь2, аь^а~х) (л 2 3); всякая
изоморфная ей группа называется кватернионной группой (или обоб-
щённой группой кватернионов) порядка 2".
£(р): = {a,b,c\\ap = bp = d3=\,ac = ab,bc = Ь)(р>2).
Неабелева группа, все собственные подгруппы которой абелевы,
называется группой Миллера-Морено, а неабелева группа, все
подтруппы которой нормальны в ней, называется гамильтоновой.
А ♦ В обозначает центральное произведение 2-групп А я В с
объединёнными центральными подгруппами порядка 2 в случае, когда
и А и В имеют лишь по одной такой подгруппе (в этом случае А * В
определено однозначно по 14.27).
17 .1.1) Всякая конечная р-группа нильпотентна.
2)ЕслиР & N *1,то Z(P) Г] N*ln[P,N]<N.
3) Группы порядков р и р2 абелевы.
17 .2. (Г) Пусть Р - группа порядка р".
1)Ф(Р)=Р'15^Р).
2) Р/Ф(Р) — Е d для некоторого d g N.
р
3) d(P) = d. Более того, подмножество X из Р есть минимальное
порождающее множество группы Р если и только если X = {jq,..., и
Р/Ф(Р) = (ж,) х... х (xd ), где xi: = х,Ф(Р) е Р/Ф(Р).
17.3.1) Если Н<,Р, то Ф(Н) £ Ф(Р).
2) Если Р/Р’ - циклическая группа, то Р - циклическая группа.
17.4. Пусть Р - 2-группа.
1)Ф(Р)=и1(Р).
2) Если Р = АВ, где А <, Р и В < Р, то Ф(Р) = Ф(А)Ф(В)[А, В].
17.5. Если N < Р, то
1) d(P/N) < d(P),
2) d(P/N) = d(P) <^>N< Ф(Р).
17.6. Пусть N< Р. Равносильны условия:
(1) P\N не имеет элементов порядка ^р"1;
(2)£ЦР)СМ
(3)Qm(P) = Qm(/V).
17.7. Если Р = (х, у) Ф (х) (х, у е Р), то (х, ху) < Р.
17.8. Пусть Р - неабелева группа порядка р3.
1) Р - экстраспециальная группа.
2) Xя = хР' для любогох е P\Z(P).
3) Если р = 2, то Р изоморфна D% или С8.
4) Если р > 2 и exp (Р) = р, то Р “ Е(р) и, следовательно,
Р = «а>р X <z)p) X (b)p, где аь = az, z* = z.
5) Если р > 2 и ехр(Р) > р, то Р .
6) =“ Се-
7) Для групп пунктов 3)-5) выписать все максимальные подтруппы,
все нормальные подгруппы, ПНР) и U t(P).
17 .9.1) Если IРI = рп, то cl(P) 5 п - 1.
2) Если cl(P) = п - 1 (т. е. Р - группа максимального класса), то
IZ(P)l=p.
3) Если I Р' I =рт, то cl(P) т + 1.
17.10. Если cl(P) = с и ехр (Р1Р‘) = р™, то exp (Р) < pF*.
17.11. 1) Если Р абелева, то d(P) = т(Р) - rs(P).
2) r5(P) = max{d(H) \Н<Р}.
3) Если N <1 Р, то,
a) d(P)<d(P/N) + d(N),
б) те(Р) < т(Р/К) + w(/V),
B)rs(P)<rs(P/N)+rs(N).
17.12. Если IP/P1 = р3 и Р'- циклический, то rs(P) 3.
17.13. Пусть Р = (а, Ь), где о(а) = 8, Ь2 = а4 и аь = а-1, т.е. Р — С16.
Найти:
l)Z(P), Р', Ф(Р),
2) порядки элементов и классы сопряжённых элементов в Р,
3) все максимальные подгруппы в Р,
4) все нормальные подгруппы и все (с точностью до изоморфизма)
гомоморфные образы группы Р,
5)c/(P),/n(P),rs(P).
17.14. Пусть Р = (а)^ {Ь)4, h~lab = сгх.
1)Р' = {а2).
2) Z(P) = Ф(Р) = ПНР) = (а2) х (Ь2).
3) Указать максимальные подгруппы в Р.
4) (a2ft2) - единственная максимальная циклическая подгруппа
порядка 2 в Р и, следовательно, характеристична в Р.
5) Р/{а2Ь2) = Q&
17.15. Пусть Р - группа порядка р4, порождённая элементами а и b
такими, что о(а) = о(Ь) - р2, иаь = а1*7’. Определить:
l)Z(P), Р'ис/(Р),
2) все максимальные подгруппы и Ф(Р),
3)Л1(Р).
17.16. Неабелева метациклическая группа порядка р4 при р > 2
изоморфна либо группе , либо группе из предыдущей задачи.
17.17. (Т) Группа порядков р”, обладающая циклической подгруп-
пой индекса р, изоморфна одной из групп: Zp„ (и > 1), Zp„_i xZp
(п £ 2), М (п £ 3), D (п > 3), Q (п £ 3), SD (п £ 4).
Р L L L
17.18. Для группы Р = (a)p„.t х {Ь)р найти:
а) все максимальные подгруппы и Ф(Р),
б) все нециклические подгруппы,
в)ПДР)(1£|£л-1).
Доказать, что подгруппа (арП~2) характеристична в Р.
17.19. Пусть Р — М?„, п > 3 и рп Ф 8, а именно пусть Р =
= <«>рл-| х W- г«е =«1+₽"2 •
\}P'={ap"^^Zp.
2)®(P)=Z(P) = (aP) = Z„_2.
р
3)с1(Р) = 2.
4) Р имеет точно р + 1 максимальных подгрупп: {аР) х (ft) и (aft7), где
j6 {0,...,р-1}.
5) П,(Р) = {ар , ft) для всех i е (1,..., п - 1}.
6) Для любого х е Р \Z(P) Cg(x) = (х) Z(P) и х/> = хР'.
17.20. Пусть Р - группа диэдра £>2„, п > 3, т.е. Р = (a)2„_i X (ft)2 и
аь = а-1.
1) Z(P) = (а2" 2) и P/Z(P) = D2„_,
2) cl(P) = n — 1, т. e. P - группа максимального класса.
3) Р'= Ф(Р) = (a2).
4) Р имеет точно три максимальные подгруппы:
(a), (а2) X (ft)= D2nA и (а2) X (aft)= D2„_,.
5) Все элементы из Р\ (а) имеют порядок 2.
6) Элементы порядка 2 составляют 3 класса сопряжённых эле-
лл-2
ментов с представителями а , b и ah, причём
(а2"2)р={а2"2},
hf‘ = h(a2),CP(h)=Z(P)x(h),
(ab)p = ab(a2), СДаЬ) = Z(P) х (ab).
1) Максимальные подгруппы и подгруппы из (а) являются единст-
венными нормальными подгруппами в Р.
8) Любые две несопряжённые инволюции, не входящие в ДР),
порождают Р.
9) Р имеет точно 2 класса сопряжённых четверных подгрупп с
представителями То = ДР) х(Ь)иТ} = ДР) х (аЬ).
10) Для любой четверной подгруппы Т\ С^Т) -Т и Np(T) =
= <Т.
11) Определить т(Р) и rs(P).
17.21. Пусть Р = С2„ (и > 3), т. е. Р = <a>2„_, ф)4, а2"2 =Ь2 и ah = а
Провести исследование строения группы Р по типу задачи 17.20.
В частности, показать, что:
Р имеет единственную инволюцию;
Р/ДР) — d2„_^
cl(P) = п - 1 (т. е. Р - группа максимального класса);
Р имеет точно три максимальные подгруппы:
(a), (a2)(h)^Q2„„ (a2)(ah)^Q2„, ;
Р\ (а) состоит из двух классов сопряжённых элементов порядка 4;
m(P)=l,rs(P) = 2.
17.22. Пусть Р — SD , а именно Р = (а) , (fe)2, где ah = а 1 к2
(п>4).
1)ДР)= {а2" 2)2 nP/Z(P)~ D^.
2) cl(P) = п - 1 (Р- группа максимального класса).
3) Р'= Ф(Р) = (а2) - циклическая группа порядка 2"-2.
4) Р имеет точно 3 максимальные подгруппы:
(a), (a2) X{h)~ D2„_,a{a2)(ah)~ C2„-.
5) Qi(P) - диэдральная группа порядка 2Л-1.
6) N < Р <=> N < Р или N < Р'.
7) Найти все (с точностью до изоморфизма) гомоморфные образы
группы Р.
8) Р\ (а) состоит из элементов порядков 2 и 4.
9) Найти централизаторы элементов и классы сопряжённых
элементов группы Р. Показать, что Р имеет 2 класса сопряжённых
инволюций и 2 класса сопряжённых элементов порядка 4.
10) Р имеет 1 класс четверных подгрупп и 1 класс кватернионных
подгрупп порядка 8. Если V - четверная или кватернионная подгруппа в
Р, то Ср(У) = Z(V) и I Np(V): VI = 2.
11) Если D - диэдральная подгруппа порядка 2т £ 8 из Р, то мак-
симальная циклическая подгруппа из D содержится в (а).
12) Определить т(Р) и rs(P).
17.23. Определить все конечные р-группы, имеющие только Цик-
лические максимальные Подгруппы.
17.24. Определить все конечные р-группы, имеющие точно одну
нециклическую максимальную подгруппу.
17.25. Пусть Р - неабелева р-группа. Если Р имеет две абелевы
максимальные подгруппы, то Р имеет точно р + 1 абелеву макси-
мальную подгруппу и cl(P) = 2.
17.26. Если Р имеет абелеву подгруппу индекса р2, то Р имеет
нормальную абелеву подгруппу индекса р2. (J. L. Alperin)
17.27. Какие из неабелевых групп задачи 17.17 имеют лишь абе-
левы максимальные подгруппы?
17.28. Следующие условия конечной р-группы Р равносильны:
(1 ) Р - неабелева группа, все собственные подгруппы которой
абелевы (т. е. Р - группа Миллера-Морено);
2) IG : Z(P)I = р2 и Z(P) = Ф(Р);
3) Р = {а, Ь) для некоторых a, be Ри\Р'\=р.
17.29. Конечная р-группа Р является группой Миллера—Морено
тогда и только тогда, когда она одного из следующих типов:
а) группа кватернионов
б){a)pm+i X (Ь)рП, аь=а1+Рт-,
в) ((о) т х (Д>) * (b) „, ab = az, z* = z, и > т > 1. (L. Redei, 1947)
р и р
1730. Для групп Р Миллера-Морено типов б) и в) из 17.29 найти
Z(P), Р’, Ф(Р), Oi(P) и все максимальные подгруппы в Р. В каких
случаях Qi(P) С Z(P)?
17.31. Пусть Р - конечная р-группа такая, что Сс(а) = CG(am) для
любого элемента a g Р и любой его степени ат * 1, то Р есть или
абелева группа, или группа экспоненты р. (Л. С. Казарин)
17.32. Если Р/Z (Р) имеет циклическую подгруппу индекса р, то
PIZ (Р) изоморфна Б?! или D^.
17.33. Пусть Р/Z (Р) “ Е4. Тогда либо Р - группа Миллера-Морено,
либо Р -Z (Р)*Т, где Т “ Qg или Г “ И обратно.
17.34. Пусть Р - конечная 2-группа. Тогда для любой инволюции
j е P\Z (Р) CP(J) ие является группой максимального класса.
17.35. Не существует конечной группы, все максимальные подгруп-
пы которой кватернионные.
17.36. (Т) Пусть Р — группа порядка р".
1) Если Р имеет лишь одну подгруппу порядка р, то Р - цикли-
ческая или кватернионная.
2) Если Р имеет лишь одну подгруппу порядка р”', где 1 < m < и, то
Р — циклическая.
17.37. Пусть G - конечная группа, 1 < Н < G и // < (х) Для всех
X g G\H. Тогда либо G - циклическая р-группа (р > 2), либо G — Q и
\Н\ = 2.
17.38. (Т) Пусть G - конечная гамильтонова группа (т. с. пеабелева
группа, все подгруппы которой нормальны в ней). Тогда G - нильпо-
тентная группа чётного порядка, в которой силовские подгруппы
нечётных порядков абелевы, а силовская 2-подгруппа изоморфна Qg
или Qg х Е2„ при m £ 1. И обратно.
17.39. 1) Группа М?п при Рп Ф 8 имеет точно один класс ненор-
мальных сопряжённых подгрупп.
2) Определить число классов ненормальных сопряжённых под-
групп в каждой из групп: С16, Qg х Z4, Qg * Z4, Dg и D16.
17.40. Пусть P = Z2„ J Z2 c n > 2, т. e. P = ({a)2„ x (fe)2„ X <c)2 и
cf = b. Положим, a, = a2 , bt=b2 , z ~ aibl (= (ab)2 = (a~}b)2 ).
1) 1Р1 = 22л+1, exp(P) = 2n+l.
3) cl(P) = n + 1.
4) P'= {a~lb)2„, P/P'^Z2nxZ2.
5) Ф(Р) = (a2) x {ab) = (a2) x (a~lb).
6) P имеет точно три максимальные подгруппы: = (а) х (Ь), М2 =
= «а2) х (а6))Х (с) и М3 = (а2) (ас).
1) Р имеет точно 3 класса сопряжённых инволюций: {z}, {at, b\} и
= Р'с.
8) Т: = (ai) X {а^ =*ЕциТ< Р.
9) Tj: = (z) х (с) “ Е4 и все четверные подгруппы из Р, отличные
от Т, сопряжены с ТР
10) Каждый элемент из Р\МХ сопряжён в Р с элементом из {а)с,
элементы из {а}с попарно не сопряжены в Р, и (а1с)р = (а'с)^ = Р'а'с
(i е Z). o(afc) = 2о(а!) = 2^/(2”, i).
11) Р \ М! имеет точно один класс dG элементов порядка 4, где
d = aic.
12) Р'(с) “О2„+1.
13) Q: = P'{d) = C2„+1, Q = {dp) < P hQ - единственная подгруппа
из P, изоморфная C2„+1.
14)Q(P) = TChP/Q1(P) = Z2„_,
15) P - Q{ac), (ac)2 = ab.
16) M2 = Z(P)Q^Z2n *C2„+1.
17) Если Q < H < P, то H = Z{H)Q и T < H.
18) Если H - неабелева подгруппа из P, то Z(H) < Z(P).
19) Если X A A < P, где X — нециклическая подгруппа из Р и А -
циклическая подгруппа порядка 2" из Р,то Р = ХХА.
20) т(Р) = 2 и rs(P) = 3.
17.41. Пусть Р — одна из групп DK х Z2, Qu х Z2, nDK* Z4. Найти:
a) I PI и exp (P),
6) Z(P), P', Ф(Р),
в) все максимальные подгруппы в Р,
г) все инволюции и Qi(P),
д) m(P) и/S(P).
В каких случаях Р специальна или экстраспециальна?
17.42. Ре (Л8 х D8, D8 х Qh, 08 х С8). Найти Z(P), Р', Ф(Р),
максимальные подгруппы и число элементов каждого порядка в Р,
Qi(P), d(P), т(Р) и rs(P). Сколько подгрупп, изоморфных Е2„{Р}
имеет Р.
17.43. Пусть I Р I = 16 и т(Р) = 3. Тогда Р - группа одного из
следующих типов:
1) р = «а>2 х <*>2Х <с>4, ас = b, If = а;
1) Р — Z2 к ©8.
В обоих случаях найти Z(P), Р', Ф(Р), максимальные подгруппы и П,(Р).
17.44. Если Н = {a, h) < Р(а. b е Р) и |Р. Н] = Н' ~ Zp, то G = НС(;(Н).
(В. А. Шериев, 1967)
17.45. (Т) Группа порядка р” является экстраспециальной группой
тогда и только тогда, когда она является центральным произведением с
объединёнными центрами нескольких неабелевых групп порядка р3 (и
тогда п = 2г + 1, где г - число множителей).
17.46.1) ©8 • ^4 “ Се • ^4-
2) ©и * ©8 “ Ой * Се-
17.47. 1) Доказать, что ©8 » ©8 + ©8 » прояснив строение этих
групп. А именно, для каждой группы Р е {©8 * ©8, ©8 * Ок) найти:
a) IРI и ехр(Р),
б) ИР), Р',Ф(Р),
в) все максимальные подгруппы в Р,
г) все инволюции и ПДР),
д) т(Р) и rs(P).
2) Группа Р = ©8 * ©к имеет подгруппы Q и Е такие, что Р = QfE,
Q = QuhE^ Е4.
3) Группа Р = ©8 * DK не имеет факторизации пункта 2). Более
того, каждая четверная подгруппа из Р содержит /(/').
17.48. Группа Р = ©и * ©8 * ©8 может быть представлена в виде
Р = Е X V, где Е— Е1(, и V — Еп.
17.49. 1) Каждая абелева р-группа регулярна.
2) р-группа класса 2 при р > 2 регулярна.
3) Конечная 2-группа регулярна тогда и только тогда, когда она
абелева.
17.50. Пусть Р - регулярная р-группа. Тогда для любого п е N и
любых х1(... ,хтЕ Р
(х, ... хт)р" = xf... xfitf ... , где ti е (х^... ,хт)\ к е N.
Л
17.51. Пусть Н = (х|,..., х„), п > 1 и р|(х, ) f 1. Тогда не существует
i=i
группы G такой, что G/Z(G) — Н.
17.52. Если Z(P) и Z(P/U!(Z(P))) - циклические группы, то и группа
Р циклическая.
17.53. Пусть Р = Е X (х), где Е = £8и о(х) = 2. Тогда I £/>(•*)! 4.
17.54. Пусть Р = Е X (х), где Е =* Е^„ (л > 1) и о(х) = 2. Тогда
l)Q(x) □[*,£],
2) I С£(х) I >2 2 .
17.55. Граница для I С^х) I в предыдущей задаче является точной,
т. е. для любого п й 1 существует группа Р = Е X (х) такая, что
[—j
Е-Е2Л,«« = 2и1С£(л)1=2 2
17.56. Для конечной р-группы Р и натурального числа к равйо-
сильны условия:
1) SC/V^P) * 0;
2) Р - имеет нормальную подгруппу, изоморфную Е?к.
17.57. Если Р - 2-группа и SCNj(P) * 0 то для любой инволюции
t из Р будет SCNitCpfX)) Ф 0.
17.58. Пусть Р имеет нормальную подгруппу, изоморфную Е8 (т. е.
SCN^(P) Ф 0). Тогда каждая нормальная подгруппа из Р, изоморф-
ная Е4, содержится в некоторой нормальной в Р подгруппе, изо-
морфной Е8.
17 .59.1) Если J(P) <Н<Р, то.1(H) = J(P).
2) J(P) характеристична в любой подгруппе из Р, в которой она
содержится.
3) Какие из подгрупп Z(P), Р’, Ф(Р), П,(Р) и U t(P) обладают свой-
ством 2) на месте J(P)^
17.60. Пусть Р е Syli(Hol(Es)). Тогда:
1) Р = Е XD, где Е — Eg и D — Е>8;
2)ДР) = Е16.
§ 18. Автоморфизмы р-групп.
Действия групп на р-группах
В этом параграфе р есть простое число, Р - конечная р-группа и т,
п - натуральные числа. Обозначения и термины, связанные с р-груп-
пами, объяснены в § 17.
18.1. Пусть Н — характеристическая подгруппа группы G.
1) Отображение <р: а н» а1н (а е Aut(G)) есть гомоморфизм из
Aitf(G) в Aut(H) с ядром ЛГег(<р) = СЛиГ(С)(/7). Следовательно,
Aut{G)l CAul(G)(H) = Aut(H).
2) Отображение у: а: t->d (а е Aut(G)), где а: gll gaH при
geG, есть гомоморфизм Aut(G) —> Aut(GIH) с ядром К>г(ф) =
- Саш(с/Р1Н) (={а g Aut(G) I ga е gH для всех ge G |). Следовательно,
Aut(G)/CAul(G/H/G) — <Aut(G/H).
18.2. (Т) Пусть Р — группа порядка р" и <7 = <1(Р).
1) Существует гомоморфизм
у: Аи«Р) -4 АиЦР/Ф(Р)) = GMZ,,).
ядро которого есть р-группа. А именно
у: а н>а(а е Ащ(Р)), где а : ^Ф(Р) к» #аФ(Р),
и, следовательно, Кег (у) = СЛи,(/>)(Р/Ф(Р)).
2) 1СЛ1Яр>>(Р/Ф(Р))1 делит pd<n-rf> и
\Aut (Р)1 делитpd(n~d\pd -1) (pd - р) ... (pd - pd~').
18.3. (Т) Пусть А - р-подгруппа из Aut (Р).
1)А~^Ащ(Р/Ф(Р)).
2) Р = [Р, А]С/>(А) и [Р, А] = [[Р, А], А].
3) Если Р абелева, то Р = [Р, А] х СР(А).
4) Если А централизует некоторый субнормальный ряд группы Р,
то А = 1.
18.4. Пусть G = {а)рЯ X (b)m, где р не делит т. Тогда либо(6)<С,
либо Сс(Ь) = (Ь).
18.5. (Т) Если Р - абелева группа, А - р'-подгруппа из Aut(P) и А
централизует Q](P), то А = 1.
18.6. Пусть G = Р X Н, где Р € Sylp(G), и Ng(H) < G. Тогда Р =
= [Р,Н]* СР(Н), где • - знак внутреннего центрального произведения
(см. § 14), и Я < [Р, Я] X Я.
18.7. Пусть G я Р X (ЯХ (г)) - конечная группа, где Р - р-подгруппа,
Я - р'-подгруппа иг- инволюция в G. Предположим, что t центра-
лизует или инвертирует Р. Тогда [Я, г] централизует Р.
18.8. (Т) Пусть Р = (х) = Zpn.
1) Aut (Р) - абелева группа порядкар"_,(Р ~ !)•
2) Если р > 2, то группа Aut(P) циклическая и её силовская р-под-
группа порождена автоморфизмом а, где х” = х|+р.
3) Если р = 2 и п > 2, то Aut(P) = (a)2„_2 х ф)2, где х° = х5 и х₽ = х~’.
4) Какова группа СЛ11,(Л(Р/Ф(Р))?
18.9. Hol (Zpn) ~Z\ X Z „, где = xy при x e Z+„ и у g Z „.
' p p p p
18.10. Если G = (a)i69 X (fe)15, to G = ((a) X (№)) x (fe3).
18.11. Если P — Z2„ x Z2„ и m > n, to Aui(P) - 2-группа.
18.12. Какова группа Aui(Z4 x Z2)?
18.13. Пусть P = (a)2m x (b)2 и m > 2. Тогда I Aut(P) I = 2m+1 и
Aut(P) = («<х)2И_2 хф)2) X <T»<6>2,
где (a, b)a = (a5, b), (a, />)₽ = (ab, b), (a, by> = (a, a2m_| b), (a, b)6 = (cr1, b).
При этом
= a, p7 = a2™ Зр и (a)x<p)x(8) = САш{Р}(Пх(РУ).
18.14. Если P — Zmx...xZm, to Aut(P) — GL„(Z m) (cm. 6.20).
p p p
и раз
(Прямое произведение нескольких циклических групп равных поряд-
ков называется гомоциклической группой.)
18.15. ПустьР = (а1)рП х... х (ап)рП .
1) Р = (ЩХ]) х ... X (flnX^) ДЛЯ любых Xi € Ф(Р).
2) Число последовательностей (Ь\,..., Ьп) элементов из Р таких, что
Р = (ft,) х ... х (h„), равно I GL„(p) I • I Ф(Р) I".
3) Aut (Р)1С - GLn(Zp), где С: = СЛн,(Р)(Р/Ф(Р)), и I С I = I Ф(Р) I" =
_ ^(m-l)n2
18.16. Пусть Р = (а)4 х (ft)4 и А = AuttP).
1) Отображение <р с (а, ft)’ = (ab, ab~x) не может быть продолжено
до автоморфизма группы Р.
2)1А1 = 25-3.
3) А имеея силовскую 2-подгруппу
r: = «a)2x(p)2)X«Y)4X(5)2),
где (a, b)a = (а-1, ft), (а, ft)₽ = (а, ft-1), (а, by = (Ь, аЬ2), (а, ft)8 = (ft, а). При
этом (у)Х (8) =* D8, otf = а8 = Р, р* = Р8 = а.
4) О2(А) = (а) х <р> х <Т2> х W = СЛю1(Р)(Р/Ф(Р)) = САи^(Ф(Р)).
5)T^EAi Z2.
6) А = О2(А)Х S. где S — S3.
18.17. 1) Aut(D2„)- 2-группа при п > 3, а именно, Aut(D2„)
- Wo/(Z2„).
2)Аш(Л8) = О8.
18.18. 1) Aut(Q2„) - 2-группа при п > 3,
2)Aut(Qn) = 54.
18.19. Пусть Р — Du х Z2.
1) I Aut(P) I = 26 = 64.
2)OMf(P) = D8xZ2.
3) В Aut{P) имеется подгруппа E, изоморфная E16 и содержащая
подгруппу СЛи,(/,)(Р/Ф(Р))~ Е8.
18.20. Пусть Р = Се х Z2.
1) IAw(P) 1 = 2б-3.
2) Силовская 2-подгруппа из Aut(P) имеет вид Е XF, где Е = Е1(< и
№Е4.
18.21. Пусть Р — Мрп (полуабелева группа). Тогда Aui(P) разре-
шима, а именно Aut(P)/Op(Aut(P)) = < Zp_t х Z^.
В частности, Aut(M 2-группа.
р
18.22. Пусть Р = Е(р), т. е. Р = ({а}р х (z)p) X (ft)p, р > 2, z g Z(P) и
ab = az. Тогда Aut(P) Hol(E 2).
18.23. Пусть G = Е X ((х)„ X (т)2), где Е =* Е-р, и (х)Х (т) “ с
нечётным п. Пусть (х) действует регулярно на Е (т.е. Е(х) - группа
Фробениуса с ядром Е). Тогда I С£(т) I = IЕ 11/2 и все инволюции из
Е{х)\Е сопряжены с т в Е{т).
18.24. Пусть G = FX А, Р € Sylp(G)wBiP. Если А централизует
подгруппы В и Ср{В), то А централизует Р.
18.25. (А хВ-лемма Томпсона) Пусть А хВ < АШ(Р), А -р-группа,
В - р-группа. Если А централизует Ср(В), то А = 1.
18.26. Пусть Р,А,В- подгруппы конечной группы G такие, что
P<G, Ри В- р-группы, А = С?(А) и [А, В] = 1. Тогда если (СР(В),А] = 1,
то[Р,А] = 1.
18.27. ПустьВ<Р < G, Р-р-группа и СР(В) С В. Тогда Op(CG(B)) С
CCG(B).
18.28. Пусть G = Р X R, где Р е Sylp(G). Если R централизует PIZ(P)
(т. е. [В, В] С Z(B)), то Р = [В, В] х СР(В).
18.29. Пусть G = ТХ S, где ISI = 3 и Т изоморфна одной из групп Z4,
Е4, Q&’ D& Тогда либо G = Тх S, либо Т = [Г, $].
18.30. Hol(Q$) = QX{EX S), где С = & Е = Е4, S = S3, Е X S = S4
и QX Е = С8 * 08.
18.31. Пусть G = £)Х В, где Q е Sylz(G) и Q — Q^i (п > 3). Тогда если
С£(0 =1 (т.е. В действует точно на Q), то либо В = 1, либо G — SL (2,3).
18.32. Пусть Р — D8 * D8 {— С8 * С8).
1) Р имеет точно две подгруппы, изоморфных С8.
2) I Aut (В)1 = 27 • 3 и Aut (Р)Цпп (В) Z,.
3) Пусть В - подгруппа порядка 3 из Aut(P), действующая без
неподвижных точек (полурегулярно) на P/Z(P). Тогда любые две инво-
люции из Р, сопряжённые относительно В, перестановочны.
18.33. Пусть Р — Оя* С8.
1) Р не имеет подгруппы, изоморфной Е8.
2) Р имеет автоморфизм порядка 5.
3) Существует точно одно нетривиальное расщепляемое расши-
рение Р с помощью Z5.
18.34. Пусть Р = Нх х ... хНп, где W, == D2m (n, me N,т > 3). Пусть
ZO/,)^,).
1) Каждый элемент из Аш(Р) индуцирует перестановку на мно-
жестве {Zj, .... zn|.
2)[ае Aut(P) lz“ = ztпри i s {1,... n| | есть 2-подгруппа в Aut(P).
18.35. (T) Пусть р > 2 и А - р'-подгрунпа из Aut (Р). Если А центра-
лизует Qi(P), то А = 1.
18.36. В группе GL^Zp) нет подгрупп, изоморфных Е8.
18.37. Пусть G = PXE, где Р - р-группа, р > 2, и Е “ E2n, п £ 3. Если
Cf(P) = 1, то Е нормализует некоторый элемент из SCN^P).
18.38. Пусть р > 2 и Р = {a, b, с Но'2 = Ьр3 = ср* = 1, ba = b'*pi,
сь = с'+р , <f = ai+P). Тогда:
1) Р = (а) ° (Ь) ° (с) и, следовательно, IР I = р9;
2) Z(P) = Ф(Р) = (o') х {ЬР} х (ср);
3)Р' = (аР)х0Р2)х(сР3);
4) Aut(P) — р-группа.
(М. В. Хорошевский)
18.39. (Теорема Гашютца) Пусть Р - р-грунна, М < Р и у -
гомоморфизм Р в Z(M) с ядром М.
1) Отображение а : xi->xx’>' (х е Р) есть автоморфизм порядка р
группы Р.
2) Если Z(/W) С Z(P), то а - внешний автоморфизм.
3) Если I РI > р, то р 11 Out(P) I.
18.40. Из теоремы Машке о матрицах (6.69) вывести следующие
утверждения.
1) (Теорема Машке для групп) Пусть Р — Е?„ и А - р'-нодгруппа из
Aut(P). Тогда для любой A-допустимой подгруппы Р\ из Р в Р имеется А-
допустимая подгруппа Р2 такая, что Р= Р] х Р2.
2) Пусть G =Р X Н, где Р = Е?п нН - р-группа. Тогда для любой
нормальной в G подгруппы Pt из Р в Р имеется нормальная в G
подгруппа Р2 такая, что Р = Р1 х Р2.
18.41. Пусть G = КХ А - конечная группа, (I К I, IА I) = 1 и пусть
К = L х М - прямое произведение своих подгрупп L и М, причём
L А-инвариантна. Тогда К = Lx М\, где М\ - А-инвариантная под-
группа в К. (В. Д. Мазуров, 1992)
18.42. Пусть G - сверхразрешимая группа и Р - нормальная
элементарная абелева подгруппа порядка р" в G. Тогда G!Cc{P)
165
изоморфна подгруппе треугольной группы T„(Zp) (см. § 6). В частности,
каждаяр-подгруппа в GICc(P) изоморфна подгруппе из Zp\ х...х Zp,.
п
18.43. Если G = Р X Н - сверхразрешимая группа, Р е Sy^tG) и
СН(Р) = 1.то подгруппа Н абелева.
18.44. Пусть G = Е X D, где Е — Е?г, D=« D2?, р и q - простые
нечётные числа и q]p-l. Предположим, что Е не имеет D-
инвариантных подгрупп порядка р. Тогда G = АВ, где А - подгруппа
порядка pqnB=* Z^
1845. Пусть G = НоЦЕ?).
l)G = EKH,rf^E=‘E9nH=‘GL^3).
2) В G нет элементов порядка 9.
3) G имеет точно три класса сопряжённых элементов порядка 3.
4) G имеет точно два класса сопряжённых элементов порядка 6.
18.46. Определить строение группы Xin(Z4 ? Z2).
18.47. Изучить группу Aut(D(Zi х Z4)).
§ 19. Линейные группы
Первичные понятия и обозначения, связанные с матрицами и
линейными группами, введены в § 6.
В данном параграфе F - некоторое поле, q - степень простого
числа, F, - поле из q элементов, р - простое число и т, п е N.
Пусть V = V(n, F) - векторное пространство размерности я над
полем F и
GL(V) - группа всех обратимых линейных операторов иа V. Как
отмечалось в § 6, для любой упорядоченной базы В пространства V
существует "естественный" изоморфизм iB из GL(V) на GLn(F), со-
поставляющий оператору его матрицу в базе В. Положим det(a) =
= det(iB(a)) (определение не зависит от выбора В) и
SL(V) := |ае GL(V) I det(c£) = 1) (подгруппа в GL(V)).
Пусть Z := Z(GL„(F)). Определим группы:
PGL„(F) := GLn(F)/Z - проективная общая линейная группа степе-
ни п над F,
PSLn(F) := SLn(F) Z/Z (— SLn(F)IZ(SLn(F))) — проективная специаль-
ная линейная группа степени п над F. Подобно определяются группы
PGL(V) и PSL(V).
Одномерные подпространства из V — V(n, F) называются прямыми,
а подпространства размерности п - 1 - гиперплоскостями в V.
В группе GL„(F) имеются подгруппы Tn(F), UT„(F) и Diagn(F)
(треугольная, унитреугольная и диагональная подгруппы; см. § 6).
При F = F, пишут GL„(q), SL„(q), PGL„(q), PSL„(q), T„(q), UT„(q) и
Diagn(q) вместо GL„(F), S£n(F), FG£„(F), PSLn(F), Tn(F), UT„(F) и Diagn(F)
соответственно. Иногда PSLn(q) обозначают через L„(,q).
Напомним определения некоторых матриц, введённые в § 6:
е„ — единичная п х я-матрица;
о - нулевая матрица ясного из контекста размера;
при фиксированном п:
:= еп + /<?(«, У), где e(i,j) -пх «-матрица, в которой на (i, у)-ом
месте стоит/, а на остальных местах - нули;
di(f) := еп + (/ - 1) e(i, i).
В задачах вводятся аффинные группы AGLn(F) (19.47), симплек-
тические группы Sp2n(F) (19.41) и унитарные группы U(n), GUn(q)
(19.45,19.46). В 19.1 повторены некоторые задачи из § 6 и § 12.
19.1. (Т) Пусть п г 2 и F - поле.
1) Если V - векторное пространство размерности п над полем F, то
GL(V) = GL„(F).
2) GL„(F) = SLn(F) X А, где A = F".
3)Z(GLn(F»={fen\fe F'} — F".
4) Z(SLn(F)) = Z{GLn{F)) A SL„{F).
5)SLn(F) = {tiJ(a)\ae F,i*j).
6) GLn(F) = (t,y(a), dt ф) I a, p g F, p * 0, / * j).
7) GLn(F)’ = SLn(F), если I Fl > 2 или n > 2.
8) SLn(F)' = SL„(F), если I Fl > 3 или л > 2.
19.2. Пусть G = GL„{F), D = Diagn(F) и Mon„{F) - множество всех
мономиальневых матриц из G, т. е. матриц, содержащих в каждой стро-
ке и каждом столбце точно один ненулевой элемент.
1)D =»F'x...xF'.
2) /VC(D) = Monn(F) = D X H =* F I Sn, где W ~ S„.
19.3. (T) 1) I GLn{q) I = - 1)^1 - 1) ... (q - 1), I Z(GL„(9)) I =
= 9-1.
2) I SL„(q) I = I PGLn(q) I = I GL„(q)) \/(q - 1).
3) I PSL„(q) I = I SL„(q)Vk, где к = I Z(SL„(q)) l = (n,q- 1).
19.4. Пусть G = GL„(fl), S = SLn(q) и F = UTn(q), где q есть степень p.
1) F есть силовская р-подгруппа в G и в S.
2) A'g(F) = T„(q) = РХ D, где D = Diagn(q) = Zq^ x... x Zq_t .
3) WS(P) = P X D„ где Di = D A S = Zq_, x ...x Zq_j .
4)Cg(P)=Z(P)xZ(G).
19 .5.1) Кольцо Мп(д) имеет подкольцо, изоморфное полю F?„.
2) Группа GLn(q) имеет циклическую подгруппу порядка qn - 1.
(Всякая такая подгруппа называется циклом Зингера в GLn(q).)
19.6. Пусть V ~ V(2, F,), q = рт, G = G£(V), S = SUV) и пусть и,
w е V\{0}. Положим Р(п) := {# g G I & = п).
l)P(u)eSylp(G).
2) P(v) = P(w) <=> F9v = F^w.
3) Sylp{G) = (P(v) I vg V\{0| I, I Sylp(G) 1 = 9+1.
4) Nc(P{v)) = (s g G I = F,v| = T2(9).
5) P(v) A P(w) = 1, если P(v) * P(w).
19.7. Пусть V =* V(n, F) и L - множество всех прямых (т. е. одно-
мерных подпространств) из V.
1) Для любого х g PSL(V) отображение о/ Fv Ft/ (= Fv* для
любого g е х) есть (правильно определённая) перестановка множест-
ва L.
2) Группа PSL(V) действует 2-транзитивно на L (с помощью отобра-
жения х н» о>).
3) EoihF = F,, toIL I = (9я — 1)/(9-1).
19.8. Пусть g е GL(V). где V - V(n, F).
1) Если g оставляет на месте каждую прямую из V, то g е Z(GL(V))-
2) Пусть к е (2..я - 1} и g оставляет на месте все ^-мерные под-
пространства из V. Каков оператор g?
19.9. Оператор t из GL(V) называется трансвекцией пространст-
ва V, если существует гиперплоскость W в V такая, что w' = w для всех
we Wmv'-ve W для всех v € W (т.е. t централизует ряд {0| < W+ < V*).
1) Существует упорядоченная база В в V, в которой матрица
трансвекции t имеет вид tB = Znl(l).
2) Все трансвекции группы GL(V) сопряжены в ней.
3) При я > 2 все трансвекции группы GL(V) сопряжены в SL(V).
19.10. (Т) 1) Группа PSL„(F) проста, если она не есть F.S’L2(2) или
FSL2(3).
2) Пусть N <3 GLn(F). Если I F I > 3 или п > 2, то либо N < Z(GL,,(F)),
либо N > SLn(F).
19.11. GL2(2) = SL2(2) = FSL2(2) = S3.
19 .12.1) GL2(3) = SL(2, 3) X (а), где o(a) = 2.
2) SL2(2) = Q X (b), где Q = ft и o(fe) = 3.
3) Z := Z(GL2(3)) = Z(SL2(3)) = Z2.
4) PSL2(3) - A4.
5) FGL2(3) == S4.
6) Пересечение двух различных силовских 2-подгрупп из GL2(3)
равно G2(GL2(3)) = Q.
Силовские 2-подгруппы в GL2(3) полудиэдральные.
8) CGL2(3)(a) = (а) х Z — Е4 {а - элемент со свойством пункта 1)).
9) CGL1 ={b)xZ-Z6(b- элемент со свойством пункта 2)).
10) Сколько классов сопряжённых инволюций в группе GL2(3)?
11) GL2(3) - разрешимая группа 2-длины 2.
19.13.1) GL2(4) = 5L2(4) х (а), где о(а) = 3.
2)5L2(4) = A5.
19.14. Группы GLjCZ*) и GL^Z^Z^) разрешимы. Указать их поря-
док, ряд коммутантов, центр и фактор-группу по центру.
19 .15.1) G£2(5) = SL2(5)X (а), где о(а) = 4.
2) I Z(GL2(5)) 1=4,1 Z(XL2(5)) I = 2.
3) Каковы подгруппы UT2(5) и Т2(5)?
4) Силовская 2-подгруппа в SjL2(5) изоморфна Qg.
5) SL2(5) = АВ, где А ~ ХЬ^З), В =* Z3 и (А, а} = А X (а}.
6) PSL2<5) = А5.
1) PGL£5) =* S5.
19.16 . Пусть G = SL2(5).
1) Определить число классов сопряженных элементов в G. Для
каждого класса указать некоторый его представитель (элемент, класса)
g и найти CG(g) и 15е I.
2) Определить все классы сопряжённых подгрупп группы G. А
именно, для каждого класса указать некоторый его представитель Н и
найти Ng(H) и мощность класса.
3) Указать все максимальные подгруппы в G.
19.17 . Определить строение централизаторов следующих элемен-
тов в группе GL2(q):
fl
«1= L с
^0 aj
fl 0>1
р2 = с а Ф 0.
Iй 1J
19.18 . Пусть G = GL2(F).
fO П
1) Если g = е G, то
cg(S) = х + fry] е G I x> У e - абелева группа.
2) Централизатор в G любого её нецентрального элемента абелев.
19.19 . Пусть G = GL2(F), где F - поле.
1) Определить все инволюции в G.
2) Подсчитать число инволюций в G в случае, когда F = F?.
19.20 . Если char(F) * 2, то
1) группа XL2(F) имеет точно одну инволюцию,
2) группа GL2(F) не имеет конечных простых неабелевых подгрупп
чётного порядка (простых неабелевых групп нечётного порядка не
существует по теореме Фейта-Томпсона, см. § 13).
19.21 . Пусть G = SLi(q).
1)IG ! = <?(<?- 1)(<7+1).
2) G имеет элементарную абелеву подгруппу порядка q и цикли-
ческие подгруппы порядков q - 1 и q + 1.
3) Силовские подгруппы нечётного порядка, отличного от q, в
группе G — циклические.
19.22 . Пусть q = рт и р * 2.
1) Группа SLi(q) имеет кватернионную силовскую 2-подгруппу.
2) Группа PSLfai) имеет диэдральную силовскую 2-подгруппу.
3) Группа GL&q) не имеет подгрупп, изоморфных Eg.
19.23 . В каждой из групп G е (/’GL2(p'")> PSL2(pm)} указать неко-
торую силовскую р-подгруппу Р и её нормализатор NG(P). Определить
число силовских р-подгрупп. Показать, что С^Р) = Р.
19.24 . Пусть G = PSL&T), Р е Syl2(G), Q € Syl3(G) и R е Sy/7(G).
DMe)“S3.
2) NG(R) - неабелева группа порядка 21.
3) G имеет подгруппу, изоморфную S4.
4)NG(T) = T.
5) G имеет точно 2 класса сопряжённых четверных подгрупп.
6) G имеет точно 2 класса сопряжённых подгрупп, изоморфных 54.
7) Описать все максимальные подгруппы в G. Указать их число.
19 .25. (Т) Если q2 1 (mod 5), то группа PSL2(q) имеет подгруппу,
изоморфную PSL2(5).
19 .26. PSL2(9) = А6.
19 .27.1) I GL3(q) I = - 1)(^ - 1)(<? - 1).
2) Найти централизатор трансвекции g = Г3, (1) в группе GL3(q).
3) Найти Z(UT3(q)).
19.28. Пусть G = 5£3(3) и т = diag(\, -1, -1) (инволюция).
1) Со(т) =
fa О ОА
О b с а(Ье - cd) = 1 = 0^(3).
О d е)
2) Силовская 3-подгруппа в SL3(3) неабелева.
19.29. Пусть G = SL3(q), q - нечётно и т = diag(-l, -1, 1) - инволю-
ция в G.
1) CG(t) = GL2(q).
2) Пусть <р - естественный гомоморфизм G на G/Z(G). Тогда
Сг9 (тф) = CG(T)/Z, где IZI = (3, q - 1).
О
19.30. Пусть G = GL3(q) и Н = (а) х (Ь), где а = diag(a, а, 1) и
b = diag(l, Р, Р) с {а, PJC F9\{0,1). Найти CG{H) и Сс(Н) A SL3(q).
19.31. Пусть G = GL3(q), где q = 2", и g = r3i(l).
1) cg(/) = UT3{q)X D, где D =Z?., xZ^. _
2) Если g - образ g при естественном гомоморфизме G —>G, где
G :=G/Z(G) = PGL3(<?), to Ctfg) ~ Cc(g)/C&i) A Z(G) и C^(g) =
= Q X (a)^, где Q == UT3(q) (Z(Q) - E,).
f e, о
19.32. Пусть G = SL^q), где q = 2m, и t =
kc2 e2J
1) t- инволюция В G.
2) Cc(r) = A X В, где A = E^ и В — SL2(q).
19.33. ПустьG = GLn(q),n = r + s, {r,s) C Nh
x-rxs-матрица над
Тогда Ar v - элементарная абелева подгруппа порядка qrs в G.
19.34. Пусть G = SLn(q), q нечётно, и
t = diag(-\,... ,-1,1,... ,1) (к чётно).
А: раз
Тогда Cg(0 есть расширение нормальной подгруппы /V, изоморфной
SLk(q) х SL^q), с помощью Zq_\.
19.35. Найти централизатор С инволюции r„i(l) в группе G =
= SL„(2m). Показать, что I О3(С) I = 2m(2n-3) и Z(O2(C)) — Е2„. Какова
группа С/О1(С)?
19.36. Пусть G = GL„(F), где F - поле характеристики 2, и t - ин-
волюция из G. Тогда множество всех матриц вида/(г + е„) + е„, где/g F,
есть подгруппа в G. Каково её строение?
19.37. Пусть F — поле характеристики, отличной от 2, и G - под-
группа из GLn(F), состоящая из всех мономиальневых матриц с вхож-
дениями 0, 1,-1.
1) G = D X S, где D - подгруппа из Diagn(F), изоморфная Е2„, и
S^S„.
2) Определить строение подгруппы (D, а), где
fO
О
О
V
1 0 • •• 0
0 1 • - 0 0 (aeS)
0 0 • •• 0 1
0 0 • •• 0 oj
(а получается из единичной матрицы перестановкой первой строки на
последнее место).
19.38. Пусть К - коммутативное кольцо с единицей. Для любой
матрицы а е Мп(К) в группе GLn(JC) положим
G^):=(geGL„(K)lga^ = a).
(При необходимости указать кольцо К пишут G(K, а) вместо G(a).)
Доказать, что G(a) - подгруппа в GLn{K).
19.39. Описать подгруппы А := G(a) и В := G(b) группы GL2(F) (F -
(О П (О А
поле), где а = I О J И = 11 1) ^СМ' ^Оказать’ в частности,
что
1) А = SL2(F), если char(F) = 2,иА — D(F’), если char(F) Ф 2;
2) В — F+, если char{F) = 2, и В = F", если char(F) Ф 2.
19.40. Определить подгруппы G(a) и G(b) в группе GL2(F), где
fl 0> fO П
а = и b =
о oJ (0 0
19.41. Пусть К - коммутативное кольцо с единицей, п е N и
fO
а = . Подгруппа G(a) группы GL2n(K) (см. 19.38) называется
0 )
симплектической группой степени 2п над К и обозначается через
Sp2n(K) или через Sp^q), если К = F?.
l)Sp2(2)~S3.
2)Sp2(q)=SL2(q).
3) $р2п(Ю) — Sp2(n+i)W-
19.42. S>4(2)-S6.
19.43. Пусть/: V х V —> F - билинейная форма на V = V(2n, F) такая,
ЧТО/>,у) =J,"=1(X,yn+i-Xn+,y/) ДЛЯ X =(Xj, ... ,х2„) и у = (уь ... ,у2п).
Положим
G(f) := (g е GL(V) \f&,y*) =Дх, у)|.
1) G(f) - подгруппа в GL(V) (группа формы, f).
2) G(f) == Sp2n(F).
19.44. На векторном пространстве V = V(2, F) рассмотрим били-
нейную форму f(x, у) = Х]У] + xty2 (х = (х,, х2) и у = (>], у2)_ переменные
векторы из V).
1) Из fix, у) = 0 не следует /(у, х) = 0.
2) Каково строение группы G:={g е GUV) I/(х«, у») =f(x, у)}.?
19 .45.1) Подмножество t/(n) := (g € GF„(C) I g-1 = gT} группы
GL„(C) ((g)y =&]) является в ней подгруппой, которая называется
комплексной унитарной группой степени л).
2) SU(n) := {g е G(n) I det(g) = 1} < U(ri) и U(n)/SU(n) == T, где T-
одномерный тор (1.17).
19.46. Пусть a - автоморфизм поля F и ае Mn(F). Положим
G(a, a) := (я е GL„(F) I ^а(я“)т= a)
(здесь g°- - матрица c (j?a),7 = (&,)“).
1) G(a, a) - подгруппа в GL„(F).
2) Пусть F = F^2 • Тогда отображение :x i-> x : = x4 (x e F) есть
автоморфизм поля F и, следовательно,
GGn(<?) := U e GL^) I g’1 = g r| = С(еп,~ )
— подгруппа в GLn(F 2) (которая называется общей унитарной груп-
пой степени п над F9) (другое её обозначение: GU(n, q1)).
19.47. Аффинным преобразованием пространства V = V(n, F) назы-
вается отображение вида tgJU : х i-> xg + и(х е V), где g е G£( V) и и е V.
1) Множество AGL„(F) {tg J g e GL(V), v e V} образует под-
группу в Sv (аффинная группа пространства V).
2) AGL„(F) = Г X G, где Г ~ V* и G ~ GL(V).
19.48. 1) Пусть Н := |(^.) e GLn(F) I an = 1, a12 = a13 = ... = aIn = 0).
Тогда H < GLn(F) нН = AGLn_i(F).
2) Найти подгруппу, изоморфную AG£n_i(F), в группе SLn(F).
19.49. Группу AGL„(F) при F= F? обозначают через AGL„(q).
1) AGL(1,2)=- S2.
2) AGL(l, 3) = S3.
3)AGL(1,4) = A4.
4) AGL(2,2) ^S4.
19.50. Пусть G = GL„(F) Hg e G.
1) Если поле F алгебраически замкнуто, то g сопряжена в G с
матрицей вида
где eF,
причём/'0'’ = 1 для всех /, если <>(g) конечен; в частности, G = (J Тй,
gsG
где Т = Tn(F) (сравните с 5.26).
2) Если F - любое поле характеристики р, то элемент вида а из 1)
является p-элементом если и только если/i =... =/„ = 1.
<р(/п)‘
—-------- классов
19.51. Пусть F - алгебраически замкнутое поле, g - элемент
конечного порядка m группы G = GLn(F) и char(F) не делит т.
1) g сопряжён в G с диагональной матрицей.
2) {g} содержит представителей по крайней мере
сопряжённых элементов порядка т группы G.
19.52. Если а - матрица конечного порядка
det(a) = ±1.
п
из G£„(R), то
19 .53.1) PGLn{C) = PSL„(C).
2) PGL„(R) — PSLn(R) <=> n нечётно.
3) При n > 1 FG£„(Q) =# FS£n(Q).
- . , 1 <1 1 A (IO)
19.54. Пусть G = {a, b)<GL2(C), гдеа = -^1 I, = l I
1 .43 „
(0 = — + i—^~. Тогда G изоморфна центральному произведению
5£2(3) * Z4 с объединёнными подгруппами порядка 2.
19.55. 1) Если g - элемент конечного порядка в GL2(Z), то o(g) €
е |1,2,3,4,6|.
2) Для каждого те {1, 2, 3, 4, 6) указать элемент порядка т в
GL2(Z).
W.S6.l)SI2(Z) = /(} “J.Q,
2)CZ,(Z) = ^ °) (° УУ
§ 20. тг-разрешимые и я-скованные группы.
Теорема Шура-Цассенхауза
В этом параграфе буква G обозначает конечную группу, р - прос-
тое число, ал- некоторое множество простых чисел за единственным
исключением: Л(Я) обозначает множество всех простых делителей по-
рядка конечной группы Н;
л' - множество всех простых чисел, не входящих в л;
On(G) - наибольшая нормальная л-подгруппа из G;
Oit.it'(G) “ полный прообраз в G подгруппы ОЯ'(С/ОП(С));
O"(G) - наибольшая нормальная подгруппа из G, фактор-группа по
которой есть л-группа (равносильно: подгруппа, порождённая всеми
л'-элементами из G).
Группа G называется:
п-отделимой (соответственно, п-разрешимои), если она имеет
нормальный ряд, каждый фактор которого есть либо л-группа (соот-
ветственно, разрешимая л-группа), либо л-группа;
п-разложимой, если она является прямым произведением л-групны
и л-группы;
п-скованной, если в группе G := GIOn(G) выполнено условие:
C5(G„(G))CG„(G)).
Для л-отделимой группы G строится п-ряд
1 = P0(G) < M0(G) <1 ^(G) < M^G) < ... < //(G) < MZ(G) = G
следующим образом: M^Gy/P^G) = OK-(GIPi(G)) (i = 0, 1, ... , /), a
P-(G)/Mm(G) = ОК(С/М^(С)) (i = 1,..., /). Число l называется п-длиной
группы G и обозначается через lK(G).
В случае, когда л = {р|, во всех этих терминах ставится р вместо л.
Пусть H<G. Говорят, что
Н есть подгруппа Картера группы G, если Н нильпотентна и
/vG(W) = w;
Н абнормальна в G, если (Н, №) э g для любого g е G;
Н пронормалъна в G, если Н и № сопряжены в (Н, /7») для любого
«е G;
Н есть Tl-подгруппа в G, если Н П № = 1 для всех g е G \ NG(H).
Отметим, что из теоремы Фейта-Томпсона о разрешимости групп
нечётного порядка (см. § 13) вытекает следующий факт:
каждая конечная л-отделимая группа является л-разрешимой или
л-разрешимой.
20.1. (Теорема Шура-Цассенхауза) Пусть G имеет нормальную
холлову подгруппу N.
1) В G существует дополнение к N (т. е. G = N X Н, где Н < G).
2) Если хотя бы одна из групп N и G/N разрешима, то все допол-
нения к N в G сопряжены в G.
(По теореме Фейта-Томпсона о разрешимости групп нечётного
порядка одна из групп N и GIN всегда разрешима.)
20.2. (Т) 1) Конечная л-отделимая группа имеет л-холлову и л-хол-
лову подгруппы.
2) Если G - конечная л-разрешимая группа, то
а) все л-холловы подгруппы из G сопряжены в G;
б) все л-холловы подгруппы из G сопряжены в G;
в) каждая л-подгруппа группы G содержится в некоторой л-хол-
ловой подгруппе из G;
г) каждая л'-подгрупна группы G содержится в некоторой
л'-холловой подгруппе из G.
20.3. Конечная л-отделимая группа имеет (р, ц\-холлову подгруппу
при любых ре л и q е л'.
20.4. Пусть N < G и л := n(N).
1) Любые два л-элемента из G, лежащие в одном смежном классе
но N, сопряжены элементом из N.
2) Число классов сопряжённых л-элементов в G равно числу клас-
сов сопряжённых л-элементов в G/N.
3) Если х - п-элемент из G, то CarSxN) = CG(x) NIN.
20.5. Пусть G - конечная группа, Н G и <р - гомоморфизм группы
G такой, что (I Н I, I Ker(<p) I) = 1 и хотя бы одна из групп Н и Кег(<р)
разрешима. Тогда
1)^с9(Нф) = ^(//)ф,
2)Сс9(Нф) = Сс(Юф.
20.6. Пусть А и В - подгруппы группы G такие, что (А, В) = А X В и
(I A I, IВ I) = 1. Тогда Cg(AB/A) = CG(B)A.
20.7. (Т) Конечная л-отделимая группа л-скованна. В частности,
конечная р-разрешимая группа р-скованна.
20.8. Равносильны условия:
(1) группа G р-скованна,
(2) группа GIOp'(G) р-скованна,
(3) CG(S)cOp.p(G) для некоторой р-силовской подгруппы S из
(4) Cc(S) с Gp< p(G) для каждой р-силовской подгруппы S из
OP’,P(G).
20.9. Пусть а - какое-либо из следующих свойств группы: л-замк-
нутостъ, л-отделимость, я-разрешимость.
1) Свойство а наследуется подгруппами и фактор-группами'(т. е.
все подгруппы фактор-группы группы, обладающей свойством а,
обладают свойством а).
2) Свойство л-скованности (даже при л = {р}) не наследуется ни
подгруппами, ни фактор-группами.
20.10. Пусть G = Н X A, (I Н I, IА I) = 1 и хотя бы одна из подгрупп Н,
А разрешима. Тогда Н = [Н, A]CW(A). Если, кроме того, Н абелева, то
А/= [//, А] х CW(A).
20.11. (Т) Пусть А - л'-группа автоморфизмов л-группы G и одна из
групп А и G разрешима. Пусть р g n(G).
1) G имеет А-инвариантную силовскую р-подгруппу.
2) Любые две А-инвариантные силовские р-подгруппы группы G
сопряжены элементом из Сс(А).
3) Каждая А-инвариантная р-подгруппа группы G содержится в
некоторой А-инвариантной силовской р-подгрунне группы G.
20.12. Пусть А - л'-группа автоморфизмов л-группы G, причём А
или G разрешима. Пусть Р - А-инвариантная силовская р-подгруппа из
G. Тогда СР(А) - силовская р-подгруппа в CG(A).
20.13. Пусть G = НХ A, (I Н I, IА I) = 1 и хотя бы одна из подгрупп Н
и А разрешима.
1) Если А оставляет на месте смежный класс из Н по некоторой её
А-инвариантной подгруппе, то А оставляет на месте некоторый эле-
мент из этого смежного класса.
2) Если А оставляет неподвижным некоторый класс сопряжённых
элементов группы Н, то А оставляет на месте некоторый элемент
этого класса.
20.14. Если N < G и G/N разрешима, то в G существует разрешимая
подгруппа А такая, что G = AN.
20.15. Если Р € Syl(G), то Р £ Ф(С) и, значит, Л(С/Ф(С)) = n(G).
20.16. Обобщить пункт 1) теоремы Шура-Цассенхауза (20.1),
доказав следующее утверждение.
Если N < G, то G имеет подгруппу Н такую, что
G = HN, п(Н) = n(G/N) и Н П NQ Ф(Н)
(в частности, Н П W нильпотентна).
20.17. ПустьN^GnN содержится в подгруппах А и В из G.
Равносильны условия:
(1) (IA/7VI, IWI) = 1;
(2) существуют подгруппы А\ и Bt такие, что А = AtN, В = B\N и
(IA, I,IBt I) = 1.
20 .18.1) Если С/Ф(б) л-замкнута, то и G Л-замкнута.
2) Если С/Ф(С) л-разложима, то и G л-разложима.
20.19. Пусть N < G и GIN — лгзамкнутая л-группа, где Л] С л. Тогда
существует незамкнутая л-подгруппа К в G такая, что G = KN.
20.20. Пусть N <G,N - л-разрешима и Н - л-холлова или л'-холло-
ва подгруппа в N.
1)Н пронормальна в G.
2) G = N NG(H).
20.21. Если подгруппа Н пронормальна в группе G, то
G = {Hg)Ng(H) и Ng(H) абнормальна в G.
20.22. Для подгруппы А группы G равносильны условия:
(1) А абнормальна в G;
(2) Если А < Н G, то NG(H) = Н и А не содержится в двух
подгруппах, сопряжённых с Н.
20.23. Пусть N < G и Н < G.
1) Если N<H, то: Н/N абнормальна в GIN <=> Н абнормальна в G.
2) Если Н абнормальна в HN и HN абнормальна в G, то Н абнор-
мальна в G.
20.24. Пусть N < G и W - р-группа. Если K/N - подгруппа Картера
группы G/N, то К = NKlt где - подгруппа Картера группы G.
20.25. (Т) Пусть G - разрешимая группа.
1) G имеет подгруппу Картера и все её подгруппы Картера сопря-
жены в ней.
2) Если С - подгруппа Картера группы G, то:
а) С абнормальна в G;
б) если N < G и G/N нильпотентна, то G = NC.
20.26. Для каждой из групп S4, СТгО), D2n и найти 2-длину и
подгруппы Картера.
20.27. Если Н - холлова подгруппа конечной разрешимой груп-
пы G, то G = Ng(H)G'.
20.28. Пусть G - разрешимая группа, Н < G и I G:H 1=р - простое
число. Тогда G!HC =* S Hol(Zp) (в частности, GIHC - сверхразрешимая
группа).
20.29. В конечной разрешимой неединичной группе G существует
истинная нормальная подгруппа, индекс которой не превосходит ин-
декса любой истинной подгруппы из G.
20.30. В конечной разрешимой группе две максимальные под-
группы Н и К сопряжены тогда и только тогда, когда HG = KG.
20.31. Пусть G - конечная разрешимая группа и N < G. Тогда G
имеет максимальную подгруппу М с MG = N тогда и только тогда, когда
выполнены следующие два условия:
1) G/N имеет единственную минимальную нормальную подгруппу
K/N,
2) K/N = Op(G/N) для некоторого р е n(G//V)-
20.32. Пусть G - конечная разрешимая подгруппа и пусть силовская
2-подгруппа в G является обобщённо диэдральной группой. Какова
2-длина G?
20.33. Пусть G = (ТХ К) X (а)2, где Т- 2-группа, К - 2-группа и
t° = г1 для всех t € Т. Тогда GIO(G) - 2-замкнута.
20.34. В разрешимой группе G для любой её истинной нормальной
подгруппы N произведение G'N - также истинная нормальная под-
группа в G.
20.35. Пусть G - конечная разрешимая группа и O2(G) - цикли-
ческая группа. Тогда либо G - 2-группа, либо O(G) * 1.
20.36. Пусть G - конечная л-скованная (в частности, л-разрешимая)
группа и On.(G) = 1. Тогда
G/Oj^G) —НЮ-^Н), где H<Aut(OJG)).
20.37. Пусть G - p-скованная группа, Р € Sylp(G) и Р нециклическая.
Тогда Р П Ор. p(G) нециклическая.
20.38. Пусть G — конечная р-разрешимая группа и пусть любые две
различные силовские р-подгруппы из G порождают группу р-длины 1.
Тогда G имеет р-длину 1.
20.39. Пусть G - конечная р-разрешимая группа, у которой каждая
бипримарная подгруппа имеет p-длину S1. Тогда p-длина группы G £ 1.
20.40. Если р-разрешимая группа G имеет абелевы силовские
р-подгруппы, то её p-длина S 1.
20.41. 1) Произведение всех л-замкнутых нормальных подгрупп
группы G есть Оп.„-(G).
2) Чему равно произведение всех л-разложимых нормальных под-
групп из группы G?
20.42.1)Если Onje(G) <H<G,-ro Оп„.(G) <Опп-(Н).
2) Если Н < G, то ОКК-(Н) < OKK-(G).
20.43. Пусть Р - силовская р-подгруппа из Ор. p(G). Если подгруппа
Н := Ор- p(G)CG(P) р-скованна, то и G р-скованна (и Н =Ор- p(G)).
20.44. Пусть Cc(Op(G))c; Op(G) (т. е. группа G р-скованна и
G;,-(G) = 1), Р е Sylp(G) и А - абелева подгруппа из Р, сильно замкнутая
в Р относительно G (т. е. Ас Г1 Р £ А). Тогда А < G.
20.45. Пусть Р - р-подгруппа из G нР, e Sylp(PCG(P)). Тогда
WG(Pi) - р-скованная группа. Более того, если Р2 - произвольная
р-подгруппа из G, содержащая Р}, то NG(P2> р-скованна.
20.46. Пусть G - p-скованная группа и Р - её р-подгруппа. Тогда
Op-(NG(Py)^Op,(G).
20.47. 1) Если G - п-отделимая группа и К := On(G) х On-(G), то
Cg(K)q К.
2) Привести пример л-отделимой группы G, в которой ни одна из
подгрупп CG(On(G)) иСс(Оя,(G)) не содержится в On(G) х On-(G).
20.48. ПустьN <G,Nq Ф(О и O„,(G) = 1, то OK,(G/N) = 1.
20.49. Если в конечной р-разрешимой группе G р-силовская под-
группа максимальна и неединична, то G бипримарна.
20.50. Пусть группа G л-разрешима и некоторая её максимальная
подгруппа является л-группой. Тогда G разрешима.
20.51. Если конечная группа G л-разрешима и её л-холлова под-
группа Н является прямым множителем некоторой максимальной под-
группы М группы G, то либо G л'-замкнута, либо М = Н х On-(G) и
индекс IG : МI при марен.
20.52. Следующие условия конечной группы G равносильны:
(1) каждая максимальная подгруппа группы G содержит одну из
подгрупп O*(G) и □"'(G);
(2)G = O„(G)xO^(G).
20.53. Пусть G = Р X И, где Р е Sy/(G).
1) Ф(С) = Ф(Р) х (Ф(/7) П Нс). В частности, Ф(Р) = Ф(С) Г) Р\
2) ЕслиН<М <G, roM$G&NG(H) G М;
3)cx{M\H<M<G, M£G} = ®(P)NC(H).
м
20.54. Пусть группа G имеет подгруппы А нВ такие, что G = АВА, и
пусть р е л(Д)\л(В). Если G р-разрешима, то Sylp(A) С Sylp(G).
20.55. Пусть Н - Т/-подгруппа конечной группы G, N < G, (I Н I,
IN I) = 1 и Н или N разрешима. Тогда HN/N - Г/-подгруппа в G/N.
20.56. Пусть G = АВ, где А < G и В < G. Тогда для любого а е А
такого, что (<?(а), IВ I ) = 1, CG(a) = Сл(а)Св(а).
20.57. Пусть G - конечная п-разрешимая или л'-разрешимая группа
и Н - её ненормальная л-холлова Г/-подгруппа. Тогда в G имеется
секция, являющаяся группой Фробениуса с дополнительным множи-
телем, изоморфным Н.
§ 21. Перенос н нормальные р-дополнения.
Слияние р-элементов
Рассмотрим разложение группы G по подгруппе Н конечного ин-
декса п:
G = HyiUHy2U...UHy„. (1)
Каждый элемент х группы G можно тогда записать в виде х = hyit где
h е И, и элементы h и у{ определяются элементом х однозначно. Эле-
мент h ("Я-часть элемента х") обозначим через т](х). Пусть К - не-
которая подгруппа из Н, содержащая коммутант Н. Отображение из G
в абелеву группу G/К, заданное формулой
£ /СП Л(*,£) («gG),
i=l
называется переносом G в Н/К и обозначается через VG_»;//K, а при
К=Н'~ просто через VC_*H.
Обозначение вида Vx->yiz всегда предполагает, что X группа,
У - её подгруппа конечного индекса и У' < Z < У.
Пусть А С Р < G. Говорят, что
А слабо замкнуто в Р относительно G, если при любом g е G из
Ag С Р следует, что 4* = 4; и
А сильно замкнуто в Р относительно G, если 4е П Р С 4. Эти
понятия используются, главным образом, в случае, когда Р - силовская
подгруппа конечной группы G.
Если хе Ре Sylp(G), где G — конечная группа, то элемент х на-
зывается экстремальным в Р (относительно G), если I СР(х) I = I CG(x) 1р
(т. е. если СР(х) е Sy^C^x))).
Конечная группа называется:
р-нильпотентной, если она р-замкнута (т. е. имеет нормальное р-
дополнение);
р-нормальной, если центр любой её силовской р-подгруппы явля-
ется центром любой другой силовской р-подгруппы, его содержащей;
группой Шмидта-, если она не нильпотентна, но все её истинные
подгруппы нильпотентны.
В этом параграфе:
р - простое число,
Cl(X) — множество всех классов сопряжённых элементов группы X,
G — конечная группа в тех задачах, в которых встречается выра-
жение "Sylp(G)".
21.1. (Т) Пусть Н - подгруппа конечного индекса группы G и
Н'<К<Н.
1) Отображение УС_>Н1К, определённое во введении, не зависит от
выбора представителей у, смежных классов в (1).
2) Vg-^hik есть гомоморфизм из G в HI К.
21.2. (Т) Пусть Н - подгруппа конечного индекса группы G и g 6 G.
1) Существуют элементы хь ..., х, в G такие, что
a) G = U'=i (Нх{ U Hx,g U... U Нх#я‘;
б) rij = ©(x^xf1; Н) (т. е. x^^ xf1 - наименьшая натуральная
степень элемента х$х[1, входящая в /7);
в) щ + ... + п, = IG : НI.
(В частности, при любом I множество {Их,, Hx,g, ... .Ях,#"1-1} есть ор-
бита элемента g при его действии умножениями справа на множестве
G : Н правых смежных классов по Н. Назовём его g-орбитой на G : Н.
t — число g-орбит.)
2) Если X],..., х( - элементы со свойством пункта 1) и Н’ < К < Н, то
К П xi8n‘xi '•
i=i
21.3. Пусть Н - холлова подгруппа конечной группы G. Через
FG(H) обозначим подгруппу, порождённую всеми коммутаторами вида
[Л, g], где Ле Н и g е G, содержащимися в Н.
1) Если V = (Н'<К< Н), то
G = Ker(V)H и V(G) = V(W).
2) Ker(VG^H) ПН=СПН= FG(H).
3)Ker(VG_,H) = С\{К< Hl GIK- абелева л(Я)-группа}.
21.4. Пусть G - конечная группа, Р е Syl2(G) пМ <Р. Тогда
а) либо каждая инволюция из Р сопряжена с некоторой инво-
люцией из М,
б) либо G имеет нормальную подгруппу индекса 2.
21.5. Пусть Р е Sylp{G), Р = ВХ(а) (В <G, а g G) и aG П Р С Ва.
Тогда в G существует нормальное дополнение Я к (a): G = N X {а).
21.6. Ядро переноса Vg_>hik всегда содержит Н', но не всегда со-
держит К.
21.7. Пусть Р е Sylp(G) и А, В - нормальные подмножества из Р,
сопряжённые в группе G. Тогда А и В сопряжены в NG(P).
21.8. (Теорема Бернсайда о нормальном p-дополнении) Если си-
лонекая подгруппа Р конечной группы G лежит в центре NG(P), то G
имеет нормальную подгруппуNтакую, чтоG=NXH.
21.9. Группа порядка 23 • р2 при любом простом р > 3 имеет нор-
мальную силовскую подгруппу.
21.10. Доказать следующее обобщение теоремы Бернсайда. Если
холлова подгруппа Н конечной группы G входит в центр NG(H), то G
имеет нормальную подгруппу N такую, что G = NXH.
21.11. Пусть Р е Sy/2(G). Тогда группа G имеет нормальное 2-до-
полнение в каждом из следующих случаев:
1) Р - циклическая группа,
2) Р — Z2„ х Z2, где т > 1.
21.12. Если Р = (а) е Sylp(G)(ае Р) и (р- 1,1 NG(P) I) = 1, то G имеет
нормальное р-дополнение.
21.13. Если все силовские подгруппы конечной группы G цикли-
ческие, то G разрешима, причём F(G) и GIF(G) циклические.
21.14. Пусть Р е Sylp(G), Р абелева и Р A Z(Ng(P)) # 1, то G имеет
нормальную подгруппу индекса р.
21.15. Если конечная группа G имеет абелеву силовскую р-под-
группу типа (П|, п2,..., пД где «| > п2 > ... > пк (к > 2), и если (р - 1,
I Ng(P) I) = 1, то G имеет нормальную подгруппу индекса р.
21.16. Пусть Р е Sylp(G), Р - абелева и (а) - неединичная характе-
ристическая подгруппа в Р такая, что а не сопряжён в G ни с какой
своей степенью, отличной от а. Тогда в G существует нормальная
подгруппа индекса р. Если при этом Р циклическая, то G имеет
нормальное р-дополнение.
21.17. Пусть Н - подгруппа конечной группы G такая, что
Н А Hg = 1 для всехgeG\H. Пусть V := Vg^h-
1) Я - холлова подгруппа в G.
2) V(h) = H'h для всех he Н и, следовательно, G = Ker(V)H и
Ker(V) С\ Н = Н‘.
3) Если Н разрешима, то G имеет нормальную подгруппу N такую,
что G = NX Н. (Частный случай теоремы Фробениуса из § 22.)
21.18. Пусть Н - разрешимая холлова подгруппа конечной груп-
пы G. Если Н взаимно проста со своими сопряжёнными, отличными от
неё, и является прямым множителем в своём нормализаторе, то G
имеет нормальную подгруппу N такую, что G=NXH.
21.19. Пусть G — конечная группа, имеющая абелеву максимальную
подгруппу А.
1) В G существует нормальная подгруппа N такая, что
G=AN и A DN = Ag.
2) G разрешима.
21.20. Пусть G - конечная группа с абелевой силовской р-под-
группой Р, где р > 2, и К< G. Если Q|(P) < Р П К < Ф(Р), то G р-рлз-
решима.
21.21. Пусть G — конечная группа с циклической силовской р-под-
группой. Тогда если G имеет нормальную подгруппу К такую, что р
делит IКI и I G/KI, то G р-разрешима.
21.22. (Т) Пусть Р е Sylp(G).
1) (1-я теорема Грюна)
РП/Сег(Гс_,Р) = РП6' = (РП^(Р)', PCl(Pg)'lgGG).
2) (2-я теорема Грюна) Если конечная группа G р-нормальна, то
наибольшие р-фактор-группы групп G и NG(Z(P)) изоморфны.
21.23. Пусть Р е Syl2(G) и Р ^М2„ ,т>4 (т.е.Р = (а)2И_1 X {Ь}2, где
b~'ab = а1+2 ). Тогда группа G имеет нормальное 2-дополнение.
21.24. Пусть Р е Sylp(G), Р абелева и N := NC(P).
1) Р П С = Р П N' и Р = (Р П ЛГ) х (Р П Z(/V)).
2) Наибольшая р-фактор-группа группы G изоморфна Р П Z(N).
21.25. Пусть Р - неединичная р-подгруппа конечной группы G.
Если Р е Sylp(G), то равносильны условия:
(1) NG(P)!CG(P) - р-группа,
(2) Ng(P) р-нилыютентна.
Сохранится ли равносильность этих условий, если Р не является
силовской подгруппой?
21.26. (Теорема Фробениуса о нормальном p-дополнении) Пусть
Р е Sylp(G). Равносильны условия:
(1) для любой подгруппы А из Р Ng(A)/C(£A) есть р-группа,
(2) для любой неединичной подгруппы А из Р NC(A) р-нильпо-
тентна,
(3) G р-нильпотентна.
21.27. Пусть G - группа Шмидта.
1) G р-нильпотентна для некоторого р е n(G).
2) G имеет примарное нормальное p-дополнение и, следовательно,
G = Р A Q, где IР I =р°, IQ I = q&, р, q - различные простые числа,
а, Ре N.
3) Р - (а) - циклическая группа.
21.28. Конечная группа, все максимальные подгруппы которой
р-нильпотентны, либо сама р-нильпотентна, либо является группой
Шмидта.
21.29. Конечная группа, все максимальные подгруппы которой
р-разложимы, либо сама р-разложима, либо является группой Шмидта.
21.30. Пусть G — конечная группа, имеющая нильпотентную п-хол-
лову подгруппу Н. Тогда каждая л-подгруппа группы G содержится в
некоторой подгруппе, сопряжённой с Н. (Н. Wielandt, 1954)
21.31. Если силовская р-подгруппа конечной группы G содержится
в нормальной подгруппе N группы G такой, что все максимальные
подгруппы группы G, не содержащие N, р-нильпотентны, то группа
GIOp(G) р-нильпотентна.
21.32. (Теорема Томпсона о нормальном p-дополнении) Пусть
Р е Sylp(G), где р > 2. Равносильны условия:
(1) для любой характеристической подгруппы А в Р NG(A)/CG{A)
есть р-группа;
(2) для любой неединичной характеристической подгруппы А из Р
NC(A) р-нильпотентна;
(3) группа G р-нильпотентна.
21.33. Пусть р - нечётное простое число и G - конечная группа.
Если в G любая максимальная подгруппа р-нильпотентна или нор-
мальна в G, то G - р-разрешимая группа р-длины < 2.
21.34. Пусть G имеет минимальную нормальную подгруппу N
такую, что N £ Ф(С) и все максимальные подгруппы из G, не содержа-
щие N, р-нильпотентны. Предположим, что либо р > 2, либо р = 2 и
силовские 2-подгруппы из N дедекиндовы. Тогда N нильпотентна и
G - р-разрешимая группа р-длины < 2.
21.35. Пусть К <H^GvlV-перенос G в Н/К. Пусть g е G и
к
G = U HyjCG(g)
1=1
(у, е G, к е N). Тогда
к
V(g) = К П yigmiyr', где m4- = I CG(g): CG(g) П Ну‘ I.
i=l
21.36. Пусть Н’ <K<H<Gnige G. Пусть X = (jq.х,} -
множество элементов х,е G со свойством 1) задачи21.2. Для хе X
положим х[$] := xgn* х-1 , где пх = ofxgjr1; W), и для С е С1(Н)
Xc:={xeXlx[g]eC),
con(C) := К fj x[g] (con(C) = К при Xc = 0).
xeXc
Тогда по пункту 2) задачи 21.2
vg^hi од = * П *[£1 = П соп(С).
хеХ СеСКН)
Пусть С = ан е С1(H) (а е И).
\)соп(С)=Ка*с\
2) Если o(g) конечен, то для любого х е Хс:
а) пх = q
o(g).
о(а)’
б)Хс=ХПЯхСс(^);
в) HxCG(g4) есть объединение некоторого числа г g-орбит
на G : Н, каждая из которых имеет мощность q-,
г)1Хс1 = г =
I CG(a) I
\CH(a)\q
(Schiefelbusch, 1975)
21.37. Если Р е Sylp(G), то каждый элемент из Р сопряжён в G с
некоторым экстремальным элементом из Р (т. е. с элементом b таким,
что Cp(b) е Sylp(CG(b))).
21.38. Пусть Р е Sylp(G), P'<K^PthV - перенос G в PIK. Пусть а -
элемент порядкар из Р\КтлсР С\Р =а^ U ... U af. Пустьat,..., аг-все
экстремальные элементы среди at,..., Тогда
V(a) = /СП «Г. гДе m = I Сс(а) 1р,.
1=1
(D. Goldschmidt)
21.39. Пусть Р е Sy/p(G), Р’<К<Ряа- элемент порядка р из Р\К.
Предположим, что aG U К содержит все элементы Ь порядка р из Р
такие, что СР{Ь) = Ср(а). Тогда G имеет нормальную подгруппу ин-
декса р.
21.40. Если А С В < G, то подгруппа (AG П В) слабо замкнута в В
относительно G.
2141. Пусть A G В S G и Н £ G.
1) Если А сильно замкнуто в В относительно G, то A A Н сильно
замкнуто в В А Н относительно Н.
2) Привести пример, в котором А слабо замкнуто в В относительно
G, но А П Н не является слабо замкнутым в В П Н относительно Hv
21.42. Пусть A QB<G.
1) Если А слабо замкнуто в В относительно G, то (А) слабо
замкнута в В относительно G.
2) Привести пример, в котором А сильно замкнуто в В относи-
тельно G, но (А) не является сильно замкнутой в В относительно G.
21.43. Пусть G - конечная группа, Р, < Р е Sylp(&) и А - ха-
рактеристическая подгруппа в Р\. Если любые два элемента из Р
сопряжены элементом из Ng(Pi) (в этом случае говорят, что NG(Pt)
контролирует слияние элементов в Р), то А сильно замкнута в Р
относительно G.
21.44. Пусть Р е Sylp(G) и А - слабо замкнутая подгруппа в Р
относительно G.
1) А слабо замкнута в любой силовской р-подгруппе из G, в
которой она содержится.
2) Любые два А-инвариантных подмножества из Р сопряжены в
/Vg(A).
3) Если А С Z(P), то А сильно замкнута в Р относительно G.
21.45. Пусть G - конечная группа, хе Р е Sylp(G) и пустьх лежит в
центре любой силовской р-подгруппы из G, в которой он содержится.
Тогда (х° А Р) сильно замкнута в Р относительно G.
§ 22. Представления
и характеры конечных групп
Всюду в этом параграфе G - конечная группа, F - поле и р -
простое число.
Представлением группы G над полем F называется гомоморфизм
этой группы в группу GLn(F) или в группу GL(V), где V - векторное
пространство размерности п над F, п > 1. Число п называется степенью
этого представления и обозначается через deg(sl). Представления в
группу GLn(F) называются матричными, а представления в GL(V) -
операторными. Представления обозначаются далее рукописными
прописными буквами латинского алфавита. Представление si назы-
вается точным, если его ядро Ker(sl) — единичная подгруппа.
Пусть V = V(n, F)niB- естественный изоморфизм GL(V) на GL„(F),
определённый в §6 (В - упорядоченная база в V и iB: a i-> ав, где ав -
матрица оператора а в базе В). Если si - операторное представление
G GL(V), то композиция М = sliB есть матричное представление
G GLn(F) (M(g) = sl(g)B для всех g е G). Оно называется матричной
интерпретацией представления si, a si (= MiB) — операторной
интерпретацией представления М. Прилагательные "матричная" и
"операторная" здесь могут быть опущены.
Представления si и группы G над полем F называются экви-
валентными (запись: si ~ S6), если либо si есть интерпретация (матрич-
ная или операторная) представления l3i, либо si и - интерпретации
одного представления. Все представления G над F разбиваются на
непересекающиеся классы эквивалентных представлений (22.3).
Прилагательные, относящиеся к представлениям, — неприводимое,
разложимое, регулярное, индуцированное и некоторые другие -
определяются ниже лишь для матричных или лишь для операторных
представлений; считается, что они относятся и к их интерпретациям.
Представление si : G -> GL(V) называется приводимым, если V
имеет собственное (т. е. отличное от {0} и V) лй(С)-инвариантное
подпространство, и разложимым, если V = V! Ф У2, гДе V] и V2 -
собственные лй(С)-инвариантные подпространства в V. Если U и V -
si (С)-инвариантные подпространства в V и U D W, то можно
определить фактор slu/w : G -> GL(U/W) представления si, положив
: u + Mi4(x) + VF (g e G, m e G) (cm. 22.9). Разложимое пред-
ставление является прямой суммой некоторых представлений меньшей
степени; см. определение в задаче 22.6. Конструкция тензорного про-
изведения двух представлений приводится в 22.7.
Характером представления $0. группы G над полем F называется
функция xrf из G в F с x^g) = следИ(я)) при g е G. (Xrf(g) = X.M(g) =
degM
= X •^(g)a Для любой матричной интерпретации Ж представле-
i=I
НИЯ si.)
Единичное представление G над F есть представление группы G в
G£(l, F) или в G£(V), где V “ V(1, F), при котором каждому geG
ставится в соответствие единичная матрица или, соответственно, еди-
ничный оператор.
Пусть FG - групповая алгебра группы G над полем F (см. §6).
Z(FG) := (z е FG I zx = xz для всех x e FG} называется центром FG.
Для X C G положим X := X xeFG.
хеХ
Регулярным представлением группы G над F называется пред-
ставление, эквивалентное представлению RegGJ?: G GL(F[G]) с
RegGF(x): X fggx= X fig.
geG geG geG ®
Пусть M. - матричное представление G GLn(jF). Координатными
функциями представления M называются функции
Му: g н> M.(g)y (geG), где i.j е
Множество всех функций из G в F с операциями <р, + <р2: g •->
•-> <Pi(g) + <р2(^),/<Р • g*~> fi?(g) (<P. <Pi, <P2-функции, fe F) есть вектор-
ное F-пространство над F (размерности IGI). Обозначим его через
(G —> F). Пусть GF(G F)- подпространство в (G —> F), состоящее из
всех классовых функций, т. е. функций, постоянных на каждом классе
сопряжённых элементов группы G.
Представление конечной группы G над полем F называется обык-
новенным, если char (F) не делит IGI, и модулярным в противном
случае.
Характером группы G называется характер любого представления
G над С. Характер неприводимого представления G над С называется
неприводимым характером группы G. Степень и ядро представления,
имеющего характер х, называются соответственно степенью (обозна-
чение: deg(x)) и ядром (Кег(уУ) характера X- Классовые функции из G в
С называется классовыми функциями группы G. Разность двух харак-
теров группы G называется обобщенным характером группы G.
Характер единичного представления G над С называется главным
характером группы G и обозначается через 1с. Пусть
Irr(G) - множество всех неприводимых характеров группы G;
CF(G) := CF(G С). Для а, 0 е CF(G) определяются скалярное
произведение
(a,0)G:=-^- X а(£)0(я)
1 Ь 1 geG
и произведение
a0:gi->a(£)0(g) (geG),
Irr(a) := (х e /rr(G) I (a, X)g *0) и WE) := [Irr(g) I £ eE}.
Если {C],, С*} - множество всех классов сопряжённых элемен-
тов группы G, gj е С; и /rr(G) = {Xi.Х*)> то (* х 4)-матрица X с
Ху = хХ&) называется таблицей характеров группы G.
Запись £>C|G означает, что D есть нормальное подмножество
группы G.
Пусть £>C|G, Ф С lrr(G) и у е CF(G). D-срезкой функции у
называется классовая функция
.о [0 при g е G \ D,
v|D при geG (^е )»
Ф)д := {<р|0 I <р е Ф}. Очевидно, - линейный оператор пространства
CF(G), CF(G)|°— подпространство в CF(G), состоящее из всех клас-
совых функций, исчезающих на G\D, и CF(G) =CF(G)|^ Ф CF(G)|°
Говорят, что D и Ф взаимодействуют (запись D ф), если D-
срезка <р|0 любого характера <р нз Ф является линейной комбинацией
характеров из Ф: <р|° = X a<p,v е С-
еФ
D-блоком группы G называется минимальное (по включению)
непустое подмножество из Irr(G), взаимодействующее с О, а Ф-блоком
группы G - минимальное непустое нормальное подмножество из G,
взаимодействующее с Ф.
Если X - таблица характеров группы G, ФС Irr(G) и £>C|G, то
Х(Ф, D) обозначает подматрицу из X, лежащую на пересечении строк,
соответствующих характерам из Ф, и столбцов, соответствующих
элементам из D. В случае, когда D и Ф взаимодействуют, матрица Х(Ф,
D) называется активным фрагментом таблицы характеров X группы
G, или, для краткости, активным фрагментом группы G.
Важные понятия индуцированного представления и индуцирован-
ной классовой функции группы (связанные с некоторой её подгруппой)
вводятся в задачах 22.77 и 22.78.
22.1 . Пусть jM. i и М,2 - матричные представления группы G над F.
Равносильны условия:
(1) Ж] и М.2 - матричные интерпретации одного операторного
представления (т. е. Ж) = Л^);
(2) существует обратимая матрица S над F такая, что
S’1 Ж, (g)s = Jtl2(g) для всех g е G.
22.2 . Пусть st] : G -> GL(V]) и sA2 : G -> GL(V2) - операторные
представления группы G. Равносильны условия:
(l)sti и sl2 - операторные интерпретации одного матричного
представления (т.е. si] =» з12У,
(2) существует изоморфизм с из V\ на V2 такой, что
G-’sti(g) О = sl^g) для всех g е G.
22.3 . Все представления группы G над данным полем F разбива-
ются на непересекающиеся классы эквивалентных представлений
(si - <=> si и лежат в одном классе).
22.4 . Если st и - эквивалентные представления группы G, то
1) Ker(si) = Кег(®у,
2) sl(G) = ®(G).
22.5 . 1) Эквивалентные представления группы G имеют равные
характеры.
2) Характер любого представления группы G является классовой
функцией.
22.6 . Пусть st), ... , st„ - операторные и .Л/t,, ... , М.п - матричные
представления группы G над полем F.
1) Если st,: G —» GL(V,) (i = 1, ... , ri) и V - внешняя прямая сумма
пространств Vj,..., V„, то функция st: G —> GL(V) с
(п,,..., =(njs4(x),..., а^(к)) длявcexge G
есть представление G над F (st = st) Ф ... Ф sA.„ — прямая сумма
представленийstb ... , st„).
2) Функция М. такая, что
О
M.(g) =
для всех g е G,
есть представление G над F (J4. = Ф ... Ф Ж„).
3) Если stj =Ж,(1 < i < ri), то st) Ф ... Ф st„ = Ж] Ф ... Ф М^.
22.7 . (Т) Для матриц а е Mm(F) и fe е M„(F) через а® Ь обозначается
их кронекерово произведение, т.е. матрица, получающаяся из матрицы
а заменой элементов а,у клетками а-,р.
Пусть si и - матричные представления группы G степеней тип
над F. Определим функцию
si (#)®2Й(#) (geG).
1) sA ®9й - представление группы G над F степени тп (называемое
тензором (или прямым) произведением представлений sA и *ЗЬ).
2) Если - матричные представления G над F, sA ** si, и
2Й=»2Й1, то si ®2Й ®
22Л. Для представлений si и ® из 22.7 Xrf0a = Х^Ха-
22.9. Пусть si - представление G GL(V), a U и\¥ — sA(G)-ro-
пустимые подпространства в V.
1) Отображение sAulw (см. введение к § 22) правильно определено и
действительно является представлением группы G.
2) s&u+wiw а dluiunw-
22.10. Представление si группы G приводимо тогда и только тогда,
когда оно эквивалентно матричному представлению М такому, что для
некоторого натурального т < deg(sl)
тхт
ад"1в(«)
О
С(«) Jдля всех 8 е
G.
22.11. Пусть si и - представления группы G и Н< G. Тогда
1) если si ~ то sl\H ~ 2Й1Н;
2) если Si приводимо, то silw приводимо;
3) если sl разложимо, то sllH разложимо.
22.12. Пусть М. - матричное представление G -ь GL„(F). Определим
функцию М* по правилу
(т — транспортирование). Тогда
1) - представление группы G;
2) ХЖЛ£) = ХЖ(£“') («eG);
3) неприводимо <=> М. неприводимо.
(Представление называется контрградиентным к Ж.)
22.13. (Лемма Шура) Пусть si : G -> GL(V) и ® : G -> GL(W) -
неприводимые операторные представления группы G над полем F и
пусть о - гомоморфизм из V в W такой, что
я1(#)о = oSS(j?) Для всех g е G.
Тогда либо 0 = 0 (т. е. O(V) = {0}), либо о - изоморфизм и, следователь-
но, si == S6.
22.14. Показать, что матричная формулировка леммы Шура
(22.13) такова: если М : G -> GLm(F)nN : G -> GL^F) - неприво-
димые матричные представления группы G над полем F, s е A/„Kn(F) и
M(g)s = sX(g) для всех g е G,
то либо s = o (нулевая матрица), либо т = п и s обратима.
22.15. (Т) Если - неприводимое представление группы G над
полем, то центр группы §E(G) - циклический.
22.16. Пусть - неприводимое представление G -> GLn(F), где F —
алгебраически замкнутое поле. Тогда всякая матрица из Mn(F), пере-
становочная с каждой матрицей из 3£(G), является скалярной.
22.17. Пусть F - алгебраически замкнутое поле.
1) Все неприводимые представления абелевой группы над F имеют
степень 1.
2) Если - неприводимое представление G над F, то
deg(%) = 1 <=> Ker(%) D G'.
22.18. Подпространство 5(Ж) пространства (G —> F) всех функций
из G в F, порождённое всеми координатными функциями матричного
представления М, называется пространством координатных функций
представления М..
1) Пространства координатных функций эквивалентных матрич-
ных представлений совпадают.
2) Если Sft - матричное регулярное представление группы G над
полем F, то S(Sft) = (G —> F).
22.19. (Критерий неприводимости Бернсайда) Пусть G - конечная
группа и М. - представление G -> GL(n, F) над алгебраически замк-
нутым полем F. Равносильны условия:
(1) Ж неприводимо;
(2) множество всех координатных функций М.^ представления М.
состоит нз п2 элементов и линейно независимо;
(3) F[jtt(G)] = М(п, F), т.е. jtt(G) содержит п2 линейно независимых
(над F) матриц.
22.20. Пусть F - алгебраически замкнутое поле и G = G] х G2. Если
при «= 1,2 St,- - неприводимое матричное представление группы G над F
такое, что G,- С Ker (St,), то представление St,®St2 группы G неприво-
димо.
22.21. (Теорема Фробениуса-Шура) Пусть St],... , St*- попарно не
эквивалентные неприводимые представления группы G над алгебраи-
чески замкнутым полем F.
1) Если представления Stb ... , St* матричные, то множество Т =
= {(§t,)J(.,( I i е s,-, Г,- е {1,... , deg<£,}} всех координатных функ-
ций этих представлений линейно независимо над F, причём
*
ITI = £ (degSt,-)2 < IGI.
i=i
2) Характеры представлений St],... , St* попарно различны и
линейно независимы.
22.22. (Т) Пусть 3? и - неприводимые матричные представления
группы G над полем F.
1) Если St не эквивалентно Ч/, то
X %(g)ifU(j!~l)ki= 0 Для любых возможных i, j, k, I.
geG
2) Если поле F алгебраически замкнуто, то
deg(St) X для любых возможных i, j, k, I.
g^G
22.23. Всякое обыкновенное представление конечной группы G
эквивалентно прямой сумме неприводимых представлений группы G
над тем же полем.
22.24. (Т) Пусть G - конечная группа и F - алгебраически
замкнутое поле такое, что char (F) не делит IGI.
1) Число классов неприводимых представлений группы G над F
равно числу к классов сопряжённых элементов группы G.
2) Пусть > X* _ все различные характеры неприводимых
представлений G над F (число их равно к по 22.21(2)) и gj,... , gk -
представители всех классов сопряжённых элементов в G. Тогда
X ХЛ^Х/Г1) = IGI Sy
geG
(первое соотношение ортогональности) и
к .
X ^teffi)X,(^,)=IGG(gm)ISm„
i=l
(второе соотношение ортогональности).
22.25. Пусть F - алгебраически замкнутое поле характеристики 0.
1) Два представления G над полем F эквивалентны если и только
если их характеры равны.
2) Конечные подгруппы Л и В из GLn(F) сопряжены в GL„(F) если
и только если существует изоморфизм у из Л на В такой, что след
а = след у(а) для всех а е А.
22.26. (Т) Пусть х - характер группы G (т. е. характер некоторого
представления G над С) и g е G.
1) Существует представление Э? группы G над С с характером х
такое, что <%(g) = diag(Et,, е%(1>), где = 1. В частности х(&) =
= е, + ... + £*(,).
2)1х(я)1<Х(1)-
3)Х(«"')=Х(«)-
4) Кег(Х) = {« е GI x(B) = Х(0}
5)Z*:={geG\ IXG?)I =/(!)} < G и Zz/Ker(X) < Z(G/Xer(x)).
Если x e Irr(G), то Z*/ Kerfy)=Z(G I Ker(y))-
22.27. Характер X группы G является гомоморфизмом если и толь-
ко если Х(1) = 1- (Характер степени 1 называется линейным харак-
тером.)
2) Число линейных характеров группы G равно индексу IG : G1
коммутанта G' группы G.
22.28. 1) Построить таблицы характеров групп Z3, S3, Dg и
2) Заметить, что (неизоморфные) группы Dg и имеют одина-
ковые таблицы характеров (при подходящем упорядочении классов
сопряжённых элементов н неприводимых характеров).
22.29. £ X(x£)X(£)=igi~T для любых xeG и xe/rr(G).
geG X(D
22.30. Если X - таблица характеров группы G и #,,... ,gk- пред-
ставители всех классов сопряжённых элементов G, то
_ к
ldef(X)l2 = n ICG(&)I.
i=i
22.31. Скалярное произведение (a, P)G :=—— £ a(g)P(g) в про-
IGI geG
странстве CF(G) обладает следующими свойствами:
(a, p)G = (p,a)G, (a + p,y)G=(a,y)G+(P, y)G,
(са, P)G = с(а,P)G, (a, cP)G = с(а,P)G
(а, Р, у е CF(G); с е С).
22.32. 1) lrr(G) - ортонормированная база пространства CF(G), т. е.
CF(G) = Ф^/гкоСХ и (Х> V)g = 8z,v Для во» X>VG Irr(G).
2) Если а е CF(G), то а = £ («, Х)(,Х-
Ze/rr(G)
22.33. 1) Функция а е CF(G) является характером группы G если и
только если а = £ ахХ> где е N U |0| и не все ах равны 0.
Xefrr(G)
2) Характер X группы G неприводим если и только если (%, x)g = 1-
3)Если х и V ~ характеры группы G, то Кег(х + у) =
= Кег{)0 Л Fer(y).
22.34. Пусть х - характер группы G.
D(X»X)g^X(1)2-
2) Когда (х, Х)с = Х<1)2?
22.35. 1) Произведение нескольких характеров группы также есть
характер этой группы.
2) Если х, X е lrr(G) и Х(1) = 1, то хХ е lrr(G).
3) Условие Х(1) = 1 в предыдущем утверждении не может быть
опущено.
22.36. Пусть р - характер регулярного представления группы G над
С (регулярный характер G).
1) р(1) = IGI и р(#) = 0 при g е G\ (1}.
2)Р= Z Х(1)Х-
Xefrr(G)
3) П Хег(х) = 1.
Ze/rr(G)
22.37. 1) Элементы х и у группы G сопряжены в G если и только
если х(х) = ХСу) Для всех х е /n(G).
2) Элемент х группы G сопряжён в G со своим обратным (такой
элемент называется вещественным в G) если и только если х(х) е R
для всех х е Irr(G).
22.38. Пусть 6 е CF(G). Классовая функция 0:#i—>0(g) (g е G) на-
зывается комплексно сопряжённой с 6.
1) Если х - характер группы G, то х - характер G.
2) Если 6 е lrr(G), тох е Irr(G).
22.39. По таблице характеров группы G можно определить: IGI,
порядки централизаторов элементов, порядки классов сопряжённых
элементов, а также Z(G) и G' как объединения определенных классов
сопряжённых элементов.
22.40. (Т) Алгебраическим числом (целым алгебраическим числом)
называется элемент из С, являющийся корнем уравнения вида
хп +а1х"_| + ... + а„ =0, где neN и все а,-- рациональные (соот-
ветственно, целые) числа. Пусть Q - множество всех алгебраических
чисел, Z - множество всех целых алгебраических чисел.
1) Q — подполе в С.
2) Z - подкольцо в Q.
3)ZDQ = Z.
22.41. (Т) Пусть % е Irr(G), Э? - (неприводимое) представление
группы G над С с характеромх и со* - отображение из Z(CG) в С такое,
что сох (gG
|gc|x(g)
х(0
при g е G.
1) X W = (#G) где & ~ единичная матрица или единичный
оператор.
2) сох — алгебраический гомоморфизм из Z(CG) в С, т. е. такое
линейное отображение, что roz(z1z2) = <oz(z1)<oz(z2) Для любых zt,
z2eZ(CG).
3) (0z (&G) - целое алгебраическое число при любом geG.
4) X(1)I|G|-
22.42. Если х е /rr(G) и х(1) = 2, то группа G непроста.
22.43. Пусть х е /rr(G).
1) X(zg) = для всех z е Z(G) и g е G, причём - корень
XI1) Х(!)
степени o(z) из единицы.
2) X|Z(G) = Х(1) К где X е /rr(Z(G)).
3)x(1)2^|G:Z(G)|.
22 .44.1) Z(FG) - подалгебра в FG.
2) Z(FG) = FC] Ф... Ф FCk, где С},..., Ск - все классы сопряжённых
элементов группы G.
3) Существуют целые неотрицательные числа hym такие, что для
всех i, j е {1,..., &}
___ к
cic} = YhijmCm.
m = l
4) Пусть char(F) = 0. Если g € Ст, то hijm есть число всех записей
вида g = gjgj, где gt 6 С, и gj 6 С; .
5) При F=С числа hym могут быть определены по таблице харак-
теров группы G:
_|&G||sG| v x(ft)xfe)xU)
ijm |G| xJr(G) x(l)
22.45. В групповой алгебре FG в случае, когда c/iar(F)||G|, найти
элемент х такой, что х 0 и хг = 0.
22.46. Пусть X - характер группы G и Н < G. Если х|н е то
Xe/rr(G).
22.47. Пусть х - точный характер группы G и Н < G. Тогда Н абе-
лева если и только если каждая неприводимая часть характера х|л
линейна.
22.48. Пусть W < G, X е Zrr(G) и х|н = хОА> где (линейный) ха-
рактер Н. Тогда [G, Н] с Fer(x)-
22.49. Пусть Н < G. Равносильны условия:
1) WcZ(G);
2) для любого хе lrr(G) существует X е Zrr(G) такой, что
Х|н = хОА-
22.50. Пусть х и V _ характеры группы G.
1) (XV. XV)G (х, X)G •
2) Когда в 1) имеет место равенство?
22.51. Пусть х - характер группы G и Ж - представление группы G
над С с характером X- Определим функцию det % равенством
(det хХ#) - det(^,(g)). Тогда det % есть (правильно определенный) линей-
ный характер группы G.
22.52. Пусть х - характер группы G и g - инволюция из G.
1) х(«) 6 z и x(g) = X(l) (mod 2).
2) Либо x(g) = х(0 (mod 4), либо G имеет нормальную подгруппу
индекса 2.
22.53. Пусть G - конечная группа, в которой все элементы просто-
го порядка р сопряжены, Е - некоторая элементарная абелева р-под-
группа в G и X 6 frr(G). Тогда
1) если g 6 G и o(g) = р, то x(g) = х(1) (mod | Е |);
2) если х * 1g и Х(1) - то G непроста или | G | = р = 2.
22.54. Пусть х 6 Irr{G).
1) | x(G) | = 1 (т. е. все значения характера х равны) <=> X = 1g
2) jx(G) 11 = 2 |G: Mx)| = 2 (и Z(G) = {1. -1}).
22.55. Пусть H<G, neNH<p(l)>n для всех (pe Irr(H) \ {1H}.
Тогда для любого x e Irr(G) либо x(l) - либо Kerfy) э H.
22.56. Пусть x - характер группы G.
1) Если H < G, то Хх(^)е Z.
.ЛеН
2) Если Н - объединение нескольких подгрупп группы G, то
IxWeZ.
йеН
3) Если g е G и Н = 11 < т < o(g), (т, o(g)) = 1}, то е Z.
1 1 heH
22.57. Если | G | нечётен, то любой неглавный неприводимый ха-
рактер х группы G не является вещественно значимым (т. е. X * X)-
(W. Bumside)
22.58. Если G - группа нечётного порядка и к — число классов со-
пряжённых элементов в G, то | G | = к (mod 16). (W. Bumside)
22.59. (Т) Пусть х - характер группы G и а е Anr(Q(co)), где со -
первообразный корень степени | G | из единицы.
1) Функция х° -g i-> X(g)° (s е G) - также характер G.
2) х° е Irr(G) «Xе Irr(G).
(Характер х° называется алгебраически сопряжённым с Х-)
3) Если х е Q(co) и ха = х для всех а е Anr(Q(w)), то х е Q.
22.60. Пусть G, х и со - как в 22.59.
1) Anr(Q(co)) = |а„ | ие{1,... ,|G||, (и, |G|)= 1J, где автоморфизм
ап определяется равенством со“л =со". В частности, | Anr(Q(co)) | =
= <p(|G|).
2) х“" («) = х(я") Для всех 8 6 G и всех а„ из 1).
22.61. Пусть g е G. Равносильны условия:
(1) х(«) е Q для всех х 6 /rr(G);
(2) g сопряжён в G с любым элементом вида gm, где т 6 N
22.62. Все элементы таблицы характеров симметричной группы
Sn - целые числа.
22.63. Пусть х ё Irr(G). Если х - единственный характер из Irr(G)
степени х(1), то x(G) £ Z.
22 .64.1) Пусть g е G иг - число пар (х, у) элементов из G таких,
что^= [х,у]. Тогда r = |G| X .
Xefrr(G)XO)
2) Если g - коммутатор в G, и е N и (и, o(g)) = 1, то g" - ком-
мутатор в G.
22.65. Пусть g еG,X:={xeG|(x) = (g)} их- характер группы G.
Предположим, что х(&) * 0- Тогда
П|х«|2>1 и е|х«|2^|х|,
хеХ хеХ
причём левые части этих неравенств — целые числа.
22.66. Пусть G - конечная группа, х е Irr(G) и1- число элементов
g из G таких, что Х(&) = 0.
1)/>Х(1)2-1.
2)/ = 0«х(1)=1-
22.67. (Теорема Бернсайда) Если g е G и gG = ра, где р - простое
число и а е N, то группа G непроста.
22.68. ( ра р^1-теорема Бернсайда) Каждая группа порядка paqb,
гдеp.q- различные простые числа и a, b е N, разрешима.
22.69. (Т) Пусть N < G. Положим,
lrr\G | /V) := {х е /zr(G) | Кег % а /V}.
1) Существует взаимно однозначное отображение х •“* X' из
Irr[G | Л/) на Irr(G/N) такое, что %'(gN) = x(g) = Х(#и) = X(«g) Для все
geG и пев.
2) W = П КегХ.
jre/rr(G| N)
22.70. Пусть N < G и g е G. Положим Ф := Irr(G) \ !rr(G | /V).
i>|Q(s)|-|ca„(g/tf)|= X|z(s)|2.
Хе®
2) Если Cw(g) = 1, то I CG(g)| = | GG/N(gN) | и x(g) = 0 для всех х е Ф.
22.71. Пусть G = А х В. Для классовых функций а и Р групп А и В
соответственно через а х р обозначим (классовую) функцию из G в С
такую, что (а х р)(яА>) = а(а)Р(Л) для всех а е А и be В.
1) /rr(G) = {а х р|а е/гг(Д), реЛт(В)}.
2) Если а и Р — обобщённые характеры А и В соответственно, то
а х р - обобщённый характер G.
22.72. Пусть А = («j ) х... х (ап) - конечная абелева группа.
1) Множество lrr(A) с операцией умножения классовых функций
есть группа. (Она обозначается через А и называется группой харак-
теров группы А.)
2) Пусть Е,- - некоторый первообразный корень степени о(а, ) из
единицы в поле С. Каждому элементу а = of1 ... asnn группы А поставим
в соответствие функцию уа\А^>С с Xa(oi' •••ал")= ei|Z| — ел",п
(5, , г, eZ). Тогда
/гг(А) = {хо|аеА}.
3) Отображение а 1-> Ха (а е есть изоморфизм группы А на
группу А.
4) Если В < А, то отображение а 1-> а|в (а е А) есть гомоморфизм
А на В с ядром
BL := Irr(A | В) (= {а е А | а(В) = 1}).
5) Отображение B—>Bl(B<A) есть взаимно однозначное отобра-
жение множества всех подгрупп группы А на множество всех под-
групп группы А. \
22.73. Построить таблицы характеров групп Z4, Е4, А4 и S4.
22.74. Пусть G i-> - представление группы G перестановками
конечного множества П. Характером представления & называется
функция
X»-g^
|i е Q | i9^ - i| (g e G).
1) Xg. - характер группы G.
2) (Xs^gIg = m, где m - число орбит группы SP(G).
22.75. Пусть G = ,..., £„} - группа порядка и. Рассмотрим пред-
ставление
" -f” "I (geG)
1$ gig - g g„gj v ’
группы G перестановками множества G. По 22.74, Xg> = У. azX> Hie
Ze/rr(G)
az e N U{0}. Выразить через значения характера X- Полученный
результат сформулировать как свойство таблицы характеров
группы G.
22.76. Пусть Н < G, {Нхх,..., Нхп } — множество всех смежных клас-
сов G по Н и {//j,..., Нт] - множество всех подгрупп, сопряжённых
с Н в G. Тогда отображения
:::
a:8W(s'H,g ...
являются представлениями группы G перестановками, причём
у MJgCn"l|CG(g)l и v f x_|gGn^(W)||Cc(g)|
X»(g) |Н| и Xa(g)
22.77. (Т) Пусть Н <G и Т = (г,,..., tm) - система вычетов G по Н,
т. е. такая последовательность элементов группы G, что G =
= Htt U ... U Htm. Для любого представления sl:H —> GLn(F) определим
функцию slG :G GLnm(F) такую, что slG(g) состоит из т2 клеток
степени и и клетка с координатами (i,j) есть где si' (х) = si (х)
при х g Н и sl'(x) = Опхп при х е G \ Н.
1) slG есть (правильно определённое) представление G над F.
Говорят, что siG индуцировано представлением si (относитель-
но Г), а также что slG - индуцированное представление группы G.
(Если Т ясно из контекста, то слова "относительно Т" здесь опускают
и пишут sAg вместо sAG).
2) siG » si д для любой системы вычетов R группы G по Н.
22.78. (Т) Пусть Н <G и Т = ,..., tm) - система вычетов G по Н.
Для любой классовой функции Е, е CF(H F) определим функцию
_ m . ,.
где £,'(х) = £(х) при х е Н и £'(х) = 0 при х е G \ Н.
1) £g есть классовая функция из G в F и не зависит от выбора
системы вычетов Т.
Говорят, что функция £g индуцирована функцией £, а также что
£G — индуцированная классовая функция группы G.
2) £G(g) = 0, если gG Г1/7 = 0.
3)Если H<K<G, то (^)G =^G.
4) = L/Л? Для любых из F и ......из
<i=i ) , = \
CF(H -> F).
5) Если char(F) не делит | Н |, то
Л)’Л X 4-(^-')=lW J Вд.
|«|леС |“| xegC ПН
22.79. 1) Если si - представление подгруппы Н группы G, то
2) Если £ - характер подгруппы Н группы G, то £G - характер
группы G (индуцированный характер группы G).
22.80. Пусть H<G,T - система вычетов G по И и si — матричное
представление Н над полем F.
1) Как связаны ядра представлений si и si^- ?
2) Если si - регулярное представление Н над F, то Si ? - регулярное
представление G над F.
3) Если si « S8 Ф <€, то slf =» SiB^ Ф Чо?.
4) Если £ е CF(H -> F) и у 6 CF(G —> F), то £Gy = (£у|я)°.
22.81. Пусть H<G и рн — регулярный характер Н. Тогда
(Ph)G = Pg ~ регулярный характер группы G. В частности = pG.
22.82. (Закон взаимности Фробениуса) Пусть Н < G, Е, е CF(H)
и е CF(G). Тогда
(sc,v)g=MA-
22.83. Пусть G - абелева группа и H<G. Тогда каждый непри-
водимый характер Н является ограничением на Н некоторого не-
приводимого характера G.
22.84. Пусть А < В < G. Тогда (1л )G - (1B)G - характер группы G.
22.85. Пусть Н <G и Е, - классовая функция из G в С с £(g) =
= |{(/i,x)eHxG | h = gA}|. Тогда £ = |Н11g.
22.86. (Т) Пусть Т - 77-подмножество конечной группы G и
И = N(j(T). Тогда G имеет точно одну нормальную подгруппу N такую,
что
G = NHnHF\N = (Н\Т).
При этом N = G \ (Н \ {Н \ T))G. (В. А. Белоногов, 1978)
22.87. Из 22.86 вывести следующую теорему Фробениуса. Пусть
Н <G и Н C\Hg = 1 для всех g е G \ Н. Тогда G имеет точно одну
нормальную подгруппу N такую, что G = НХ N. Более того,
W = G\(H\1)g.
22.88. Пусть Но < Н < G и
HCiHg qH0UH$ для всех geG \ Н.
Тогда G имеет точно одну нормальную подгруппу N такую, что G = HN
и Н С\ N = Но. При этом N — G \ (И \ H0)G.
22.89. Пусть G*l,geG Irr(G). Тогда
22.90. Пусть D С| G и Ф G In\G).
1)Если Ф - D-блок группы G, то либо/гг(ф|р) = 0 (и тогда
|Ф| = 1), либо /гг(ф|°) = Ф.
2) Если Ф|р С С[Ф] + Су, где у е Irr(G), то либо D *—7 Ф, либо
Й^Ф11{у}.
22.91. (Т) Пусть G — конечная группа D С| G и Ф С Irt\G). Положим
D~ := G \ D и Ф” := Irr(G) \ Ф. Следующие условия равносильны:
(l)D^-z Ф;
(2) Z<P(<0 %(d) = 0 для всех (у, %) е Ф х Ф ;
deD
(3) Z <p(d) <p(g) = 0 для всех (d, g) g D x D~;
<реф
(4) ТТЛ Z Z<Po(<0 <p(d) <p(4>) = <Po(4>) Для всех (<p0, d0) e Ф x D.
| I deD феФ
(В. А. Белоногов, 1984)
22.92. Пусть G,D иФ - как в предыдущей задаче. Равносильны
условия:
(1) D ^—7 Ф;
(2) Г ^Ф;
(3) D <—7 Ф";
(4) D-1 := {гГ11е £>} <-7 Ф;
(5) D -^Ф:={ф|(реФ}.
22.93. Пусть D, D, ,D2 - нормальные подмножества из G, а Ф,
Ф,, Ф2 - подмножества из Irr(G).
1)Если D] гФ и П2^-^Ф, то О}С\О2^—7Ф, D] UD2'^-7 Ф
и D] \ D2 z—7 Ф.
2) Если О •^Ф] и О^-^Ф2,то D^-^Ф] ПФ2, z0j С1Ф2 и
D^—7 Ф, \ Ф2.
22.94. Пусть А = А'(Ф,О)- активный фрагмент группы
G (ф С Zrr(G), О C|G).
1) 1G е Ф <=> А имеет строку (1,..., 1).
2) 1G О <=> А имеет ненулевой столбец, состоящий из веществен-
ных неотрицательных чисел (тогда А имеет столбец, состоящий из
степеней характеров из Ф).
3) Если в А вычеркнуть нулевую строку или нулевой столбец, то
получится снова активный фрагмент группы G.
Х(Ф,О) =
3
22.95. Пусть D Ф и
1 П
О 1
-1 0 •
-1 oj
1) Показать, что 1 е D и найти порядки централизаторов всех эле-
ментов из D в группе G.
2) Доказать, что G — А5.
22.96. Пусть X- таблица характеров группы G, DC|G и
Ф С Irr{G)', D~ := G \ D и Ф“ := /rr(G) \ Ф. Пусть Х(Ф, D) имеет г стол-
бцов, которым соответствуют элементы dt,..., dt соответственно, и
т = ^(|ссЦ)|,...,|ссЦ)|)_'.
Равносильны условия:
(1)0 Ф и ранг Х(Ф, D) = V,
(2) Х(Ф, О)* Х(Ф, О) = Г';
(3) Х(ф", о) = О.
22.97. Пусть выполнено условие предыдущей задачи. Равносильны
условия:
1) О Ф и ранг Х(Ф, О) =| Ф |;
2) Х(Ф, О)7’Х(Ф, О)* = Е;
3) Х(Ф,О“) = О.
22.98. Если О ‘—г Ф и матрица Х(Ф, О) - квадратная невырожден-
ная (о с| G, Ф С /rr(G)j, то О = G и Ф = lrr(G).
22.99. Равносильны условия:
(1) G имеет активный фрагмент
'1 ... Г
j ••• L
размеров s х i;
(2) G имеет нормальную подгруппу Н такую, что |G:H| = s,
H^G' и Н состоит из t классов сопряжённых элеметов группы G.
22.100. Равносильны условия:
(1) G имеет активный фрагмент, состоящий из t равных положи-
тельныхвещественных столбцов;
(2) G имеет нормальную подгруппу, состоящую из t классов сопря-
жённых элементов группы G.
8. В. А. Белоногов
§ 23. Разные задачи
В этом параграфе
р - простое число и
п - множество простых чисел.
pd-группой называется группа, содержащая неединичный р-эле-
мент.
nd-группа — это группа, содержащая неединичный Л-элемент.
Очевидно, конечная группа является Jtd-группой если и только если её
порядок делится на простое число из п.
Группы равных порядков называются изоордными. Если Н <G, то
множество всех подгрупп из G, изоордных Н, называется классом
изоордных подгрупп группы G (с представителем Н). Классы сопря-
жённых подгрупп называются посто классами подгрупп. Максимальная
подгруппа максимальной подгруппы группы G называется 2-макси-
мальной подгруппой в G.
Группой типа А называется ненильпотентная //-замкнутая группа
порядка pq^, где pviq- различные простые числа и 8 - показатель q по
модулю р (т. е. 8 — наименьшее из натуральных чисел т таких, что
qm = 1 (mod р)).
Напомним, что группа Шмидта - это ненильпотентная группа, все
собственные подгруппы которой нильпотентны, а группа Миллера-
Морено — это неабелева группа, все собственные подгруппы которой
абелевы.
23.1. Пусть Р — минимальная нормальная подгруппа группы G по-
рядка р“ (р - простое число, а ае N) и Р<£ Z(G). Тогда а < | G:Р|; бо-
лее точно: а < min хс.
леР\{1}' 1
23.2. Пусть Р — минимальная нормальная подгруппа порядка р“
(р - простое число, а > 1) группы G. Если существует простое число
q*p, не делящее а и делящее |g:7Vw(p)| для любой собственной
подгруппы Р из Р, то а есть показатель числа р по модулю q.
23.3. Конечная группа, имеющая максимальную подгруппу просто-
го порядка р, есть или группа порядка pq, где q - простое число, или
группа типа А.
23.4. Конечная непростая группа имеет пару максимальных под-
групп взаимно простых порядков тогда и только тогда, когда она имеет
порядок pq, где pnq- различные простые числа, или есть группа
типа Л.
23.5. Если G - группа Шмидта, то:
1) G = (a)pO / С, где |2| = 9^>Р - различные простые числа,
а, Р е N;
2) каждая максимальная подгруппа группы G либо совпадает с
(а₽) X е» либо сопряжена с {а) X Ф(0)-
3)0(G) = Z(G) = («^X Ф(С);
4) 1С/Ф(С)1 = 9®. где 8 — показатель q по модулю р;
5) G' = e;
6)0' = Ф(2). (О. Ю. Шмидт, 1924)
23.6. Группа Шмидта является группой Миллера-Морено если и
только если её ненормальная силовская подгруппа максимальна в ней.
23.7. Следующие условия конечной группы G равносильны:
(1) G есть группа Шмидта и одновременно группа Фробениуса;
(2) G - группа типа А.
23.8. Пусть G - конечная группа и р - простое число.
1) G нильпотентна <=> G не имеет подгрупп Шмидта <=> все бипри-
марные подгруппы в G нильпотентны.
2) G р-нильпотентна <=> G не имеет р-замкнутых pd-подгрупп
Шмидта <=> все бипримарные подгруппы в G р-нильпотентны.
3) G р-разложима <=> G не имеет pd-подгрупп Шмидта <=> все
бипримарные подгруппы в G р-разложимы.
23.9. Пусть G - конечная группа, каждая собственная подгруппа
которой, порождённая двумя элементами, р-нильпотентна. Тогда G
р-нильпотентна.
23.10. Конечная непримарная группа имеет бипримарную pd-под-
группу для любого простого числа р, делящего её порядок.
23.11. Для конечной непримарной группы G равносильны усло-
вия:
(1) G не имеет собственных бипримарных подгрупп;
(2) все собственные подгруппы группы G примарны;
(3) G есть группа типа А или группа порядка pq, где р тл q — различ-
ные простые числа.
23.12. Описать конечные ненильпотентные pd-группы, в которых
все собственные pd-подгруппы нильпотентны (группы типа Sp по
С. А. Чунихину, 1938).
23.13. Пусть G - конечная группа, все бипримарные подгруппы
(чйтного порядка) которой 2-замкнуты. Тогда G 2-замкнута.
23.14. Пусть G - конечная группа и нормализатор в G любой под-
группы нечётного порядка имеет нечётный порядок.Тогда группа G
2-замкнута.
23.15. Пусть G - бипримарная prf-rpynna, все собственные подгруп-
пы которой p-замкнуты. Определить строение G.
23.16. Пусть G - конечная группа, все подгруппы которой, порож-
дённые двумя элементами, 2-замкнуты. Тогда G 2-замкнута.
23.17. Всякая конечная группа, порядок которой делится более чем
на два различных простых числа, порождается своими бипримарными
подгруппами. Описать конечные группы, не порождающиеся своими
собственными бипримарными подгруппами.
23.18. Для конечной не Л-замкнутой группы G равносильны
условия:
(1) все максимальные подгруппы группы G л-замкнуты и С/Ф(С)
непроста;
(2) G — группа Шмидта.
23.19. Каковы конечные непростые группы с единственным клас-
сом непримарных собственных подгрупп?
23.20. Пусть А, В и С - подгруппы конечной группы G.
1) Если А субнормальна в В, то А П С субнормальна в В П С.
2) Если АиВ субнормальны в G, то и ( А, В} субнормальна в G.
23.21. Следующие условия конечной группы G равносильны:
(1) все циклические подгруппы группы G субнормальны в ней;
(2) все подгруппы группы G субнормальны в ней;
(3) G нильпотентна.
23.22. Для конечной ненильпотентной группы G равносильны
условия:
(1) все 2-максимальные подгруппы из G субнормальны в G;
(2) G - группа Миллера-Морено.
23.23. Следующие условия конечной группы G равносильны:
(1) G имеет точно один класс несубнормальных изоордных под-
групп;
(2) G - непримарная группа Миллера-Морено.
23.24. Пусть G - конечная группа и р - простое число. Бели G
имеет лишь один класс несубиормальных изоордных pd-подгрупп, то G
разрешима.
23.25. Пусть G - конечная группа, имеющая точно два класса изо-
ордных несубнормальных подгрупп. Тогда каждая максимальная под-
группа группы G является нильпотентной группой или группой Милле-
ра-Морено.
23.26. Пусть G — конечная группа и п - множество простых чисел.
Следующие условия равносильны:
(1) каждая л-подгруппа из G субнормальна в G;
(2) G имеет нормальную нильпотентную л-холлову подгруппу.
23.27. Пусть G конечная группа и л - множество простых чисел.
Следующие условия равносильны:
(1) G имеет точно один класс изоордных несубнормальных л-под-
групп;
(2) G — группа одного из следующих двух типов:
а) л(С) П л = {р}, G имеет ненормальную циклическую силов-
скую подгруппу р-подгруппу (a) n{ap)<G.
б) л(С) П л = {р, q], р/ q и G имеет нормальную л-холлову
подгруппу Н, являющейся группой Миллера-Морено.
23.28. Описать конечные группы, у которых всякая собственная
подгруппа, содержащая центр группы, нильпотентна.
23.29. Найти все конечные группы G такие, что для любых трех её
собственных подгрупп А, Ви С из АС = ВС и С]) (А,В) следует, что
А=В.
23.30. Найти все конечные группы, в которых для любых трёх её
подгрупп А, В, С будет АС П ВС = (А П В)С.
23.31. Если в конечной группе G любые два примарных элемента
одинаковых порядков перестановочны, то группа G абелева.
23.32. Если в конечной группе все подгруппы Шмидта нормальны,
то она разрешима.
23.33. Пусть N - нормальная подгруппа конечной группы G.
1) Каждая бипримарная подгруппа группы GIN является образом
(при естественном гомоморфизме G на GIN) некоторой бипримарной
подгруппы группы G.
2) Подгруппа Шмвдта группы GIN может не быть образом подгруп-
пы Шмидта группы G (построить такие G и N).
23.34. Следующие условия конечной ненильпотентной группы G
равносильны:
(1) каждая подгруппа группы G либо субнормальна в G, либо совпа-
дает со своим нормализатором;
(2)G = N X (а) а, где/VG((a)) = (а> и п₽б Z(G).
р
23.35. Описать конечные группы, в которых
а) нормализатор любой неединичной циклической подгруппы цик-
лический,
б) нормализатор любой неединичной абелевой подгруппы абелев,
в) нормализатор любой неединичной нильпотентной подгруппы
нильпотеитен.
23.36. Конечная группа, в которой нормализатор любой ненор-
мальной нильпотентной подгруппы нильпотеитен, является расшире-
нием нильпотентной группы с помощью нильпотентной группы.
23.37. В конечной непримарной группе G любая непримарная под-
группа нормальна тогда и только тогда, когда выполнено одно из сле-
дующих условий:
(1) G дедекиндова,
(2) G = Р A Q,P - дедекиндова р-группа, |С| = д$, где р ид - раз-
личные простые числа, и
либо Р= 1,
либо G - группа Фробениуса с ядром Q и Р - показатель д по
модулю р.
23.38. Конечная группа, в которой любые два сопряжённых эле-
мента перестановочны, нильпотентна.
23.39. Описать строение конечной группы G, в которой любые два
элемента порождают подгруппу, порядок которой либо - простое чис-
ло, либо - произведение двух простых множителей (одинаковых или
различных).
23.40. Определить все конечные группы G, в которых для любого
истинного делителя п порядка G в G существует элемент порядка п.
23.41. Пусть G - конечная группа, Н < G и любые два элемента
из G \Н сопряжены в G. Показать, что группа G разрешима и описать
ей строение.
23.42. Пусть G - конечная группа, Р е Sylp(G) и OP(G) = 1. Если
а) ни один собственный делитель числа п := |G: Р] не сравним с 1 по
модулю р, и
б) п W 1 (mod р2),
то G - группа типа А.
23.43. Конечная группа, в которой каждая истинная иенильпотент-
ная подгруппа отлична от своего нормализатора, разрешима.
23.44. Пусть силовская подгруппа Р группы G перестановочна с
каждой максимальной подгруппой из G. Тогда Р< G.
23.45. Пусть силовская подгруппа Р группы G перестановочна с
каждой 2-максимальной подгруппой группы G. Тогда либо P<G,
либо G - группа Миллера-Морено.
23.46. Пусть G имеет максимальную подгруппу с единичной сердце-
виной и все такие подгруппы
а) р-разложимы или
б) р-нильпотентны и р > 2.
Доказать, что G р-разрешима и найти её р-длину.
(G. Pazdersky, 1964)
23.47. Пусть G имеет максимальную подгруппу с единичной сердце-
виной и все такие подгруппы 2-нильпотентны. Если силовская 2-под-
группа в G есть дедекиндова группа или группа Миллера-Морено, то G
2-разрешима. Найти её 2-длину.
23.48. Описать конечные группы, в которых пересечение любых
двух неинцидентных собственных подгрупп является максимальной
подгруппой каждой из них. (Две подгруппы называются инциден-
тными, если одна из них содержится в другой).
23.49. Определить все конечные группы, имеющие
а) точно 3 класса сопряжённых элементов,
б) точно 4 класса сопряжённых элементов.
23.50. Пусть G - конечная группа, в которой не все инволюции
сопряжены. Тогда существует инволюция t в G такая, что |G|<|CG(t)|3
(R. Brauer)
23.51. В конечной группе чётного порядка число классов сопря-
жённых 2-центральных инволюций нечётно. (2-центральный элемент
группы - это элемент из центра некоторой 2-силовской подгруппы
этой группы.)
23.52. Пусть G = АВ, где G - конечная группа. А и В - её абелевы
подгруппы и (|А|,|В|) = 1. Тогда/VC(A) и/VG(B) имеют нормальные
дополнения в G. А именно, G = [А, Вс] X WgC^) = (Я Ас] X NG(B).
(Н. А. Романовская, 1989)
23.53. Пусть Pg Sylp(G), хе Р, и Х:=хс£Р,
1) Существует Q е Sylp(G) такая, что X П Р П 'Q.
2) Среди всех Q со свойством пункта 1) зафиксируем такую, для
которой |ХПРПО| максимален, и положим D = (X П Р П Q). Тогда
a) Nxnp(D)£D, ^ne(D)$D;
б) {х, у) не является р-группой для любых х 6 Nxnp(D) \ D и
У е NXGiq(D) В.
23.54. (Теорема Бэра-Судзуки) Для p-элемента х группы G равно-
сильны условия:
(1)хе Op(G);
(2) {х, х«) есть р-группа для любого g е G.
23.55. Пусть G =АВ, где G - конечная группа и А, В - её подгруппы.
Пусть р - простое число. Тогда Ор(А) П Ор(В) < Op(G) и (Ор(А), ОР{В))
- р-группа. (Л. С. Казарин)
23.56. Пусть G - конечная группа и К < G.
1) Если NC(K) = К, то H(G) С К. (H(G) - гиперцентр G.)
2) G' П H(G) С Ф(С).
23.57. Пусть G = А X В ФА X В и |В| = 3. Тогда
1)еслиA-E^ioG^ А4;
2) если А = С8, то G = SL2(3).
В обоих случаях [А, В] = А.
23.58. Пусть А и В - различные нормальные подгруппы группы G,
каждая из которых изоморфна А4 или SL2(3). Тогда
либо О2(А) = Ог(В) и (А, В) =* А X Z3 — В X Z3,
либо [А, В] = 1.
23.59. Пусть А и. В - нормальные л-подгруппы группы G, где
л = {р. </J, и каждая из них есть «/-замкнутая группа Шмидта. Тогда
либо Л П В является силовской «/-подгруппой и в Л, и в В,
либо [А, В] С Op(Z(AB)).
23.60. Пусть Т — примарная 77-подгруппа конечной группы G и
N^G. Тогда
либо [2V, 7] G N П Т,
либо |2V|>|7’|.
23.61. Пусть r(G) - наибольший общий делитель порядков классов
сопряжённых ненормальных подгрупп конечной группы G (число
П. И. Трофимова).
1) Если r(G) > 1 и G не нильпотентна, то t(G) - простое число.
2) Если t(G) > 1 и G нильпотентна, то точно одна силовская под-
группа в G не дедекиндова (и r(G) делит её порядок).
3) Найти r(G) для группы G = О16.
23.62. Пусть G - конечная группа и T(G) - наибольший общий дели-
тель чисел \Н I 77g| для всех ненормальных подгрупп Н из G.
1) Если x(G) > 1, то T(G) - простое число.
2)f(G)=p <=> G — PAD, где Ре Sylp(G), D - дедекиндова, и Р не
дедекиндова, если Р< G.
Ответы и подсказки
Здесь
т, л - натуральные числа,
р - простое число и, за исключением § 19,
q - простое число, отличное от р.
§1
1.1. (См. [11], § 1 и § 2; [16], 1.1.3.) 1): Будем использовать мульти-
пликативное обозначение операции. Пусть е и е\ - нейтральные эле-
менты в G и а е G. Тогда (используйте аксиомы группы) существуют
х, у е G с ха = е и ух = е, и тогда а = еа = (ух)а = у(ха) = уе, откуда
ах = (уе)х = у(ех) ~ух = е. Таким образом,
из ха = е следует ах = е для всех а, х е G. (а)
Так как е, е\ - нейтральные элементы, то eet = е\ и ete = е. Но из
последнего равенства по (а) ее\ = е. Следовательно, е = е\.
Наконец, а - еа = (ха)е - (а)(ах)а = а(ха) — ае.
2): Если ха = е = za, то по (а) ах = е = az. Следовательно, х = ех =
= (ха)х = х(ах) = x(az) = (xa)z = ez = z.
1.9. 2): Не зная операцию •, но зная Ф, можно отметить в нём все
"групповые" функции, т. е. функции <р такие, что (Л/, <р) - группа. Это
можно сделать проверкой условий:
1) ф(ф(х, У), z) = ф(х, <р(у, z)) для всех х, у, z е Л/,
2) существует е е М такой, что <р(е, х) = х для всех хе М,
3) для каждого х е М существует у е М такой, что <р(х, у) = е.
Такие функции в Ф есть: такова, например, функция <р(х, у) = ху (хотя
сейчас она нам не известна). Но для любой такой функции (р соглас-
но 1) (М, <р) “ G.
1.11. Нет.
1.15. а): да, б): да, в): нет, г): нет, д): нет, е): да, ё): да.
1.44.2):Х = А АВ.
1.45. Не являются.
1.47.2): {(а, 1) I а е R] и {(0, b) I b е RX{0] ].
3): {(а, —1) I a е R] - множество всех инволюций в G. G не имеет
элементов конечного порядка, большего двух.
1.50. Л/х- группа <=> X. < 0.
1.51. Нет.
1.52. 2): Да.
1.54. 4.
§2
2.6. Нет.
2.8. 4): М — максимальная подгруппа в G о М = (ар), где р - простое
число.
2.13. В Z4 - 3 подгруппы, в Z2 X Z2 - 5 подгрупп, в 2* - 4 подгруппы,
в S3 - 5 подгрупп.
2.14. Нет.
2.15. ((и) I п 6 N) - множество всех подгрупп в Z+, IZ+: (л)1 = п.
М — максимальная подгруппа в Z* <=> М = (р), где р — простое число.
2.16. Каждая группа с указанным свойством изоморфна Z*.
2.17. 2): Системой вычетов является множество {1, g,..., gd~'}, где
d = |m|, если o(g) = <», и d = (|m|, o(g)), если o(g) < «.
2.18. 3): a): G = 53, Itfl = 2; 6): G = S3, |H| = 3.
2.23. Нет.
2.25. 3): При к = 1 G изоморфна Z2 (если AGB или A D В) или
Z2 X Z2. При к = 2 G либо изоморфна Z3, Z4, Z2 X Z2, Zft или S3, либо есть
нециклическая группа порядка 8.
2.26. a): G = 1 или G — Zp, б): G — ZpT,
в): G —Z^ или G — Zpq-,
г): G — Zp4 или Z2 X Z2.
2.27. a): G — б): G — Z^nqn.
2.30. 2): о(-1) = 2, o(i) = o(j) = о(к) = 4. Все подгруппы: {11, (1), {j).
(k>,Qs.
2.39. Примените индукцию по п.
2.50. G и Т обладают указанным свойством <=> в G все неединичные
элементы - инволюции и |Т| = 2.
2.52. Нет.
2.56. Нет.
2.58. Вторая, третья и четвёртая группы.
2.60. Q+ не имеет максимальных подгрупп.
§3
3.4. 3): Элементы а и а-1 при о(а) = элементы ак с (к, о(а)) = 1 при
о(а) < оо.
5): При о(а) = оо - это все нечётные степени а; при нечётном о(а)
в (а) нет неквадратов; при о (а) = 2к все не квадраты составляют
множество {а, а3,... ,а2*-1}.
3.8. 3): Z30 = Z2Z3ZS; Z6t = Z61; Zl0 X Z60 = ABC, где A - Z2 X Z4,
В » Z3, C « Z5 X Z5.
3.11.2):
fl 2 3 4W1 2 3 4\
[2 3 1 4/(з 1 2 4/
3.12. Взаимно однозначные отображения: 1), 3), 4). a): 4), б): 1), 4).
3.16.
(/>" -imp"-1 -i)...(p"-w*1 -1)
3.19. Нет.
3.21.
< •
CG(x) = 2) I a’d e c ' <°>} “ c’x c •
где a, b, с e C, h * 0.
3.38. G - циклическая л-группа с|л| = 2.
3.46. |Z(D4„)| = 2 при «> 1, Z(DJ= 1.
3.47. 8; 6.
3.53. G =* Zp или IGI = 4.
3.54. G - циклическая группа.
3.55. G - циклическая, диэдральная или элементарная абелева
2-группа.
3.56. Решение. Пусть G = {at,... ,a„)nG = (М), где М С G. Тогда
для любого /е {1,... ,n]at- есть произведение конечного числа эле-
ментов из М U М-1, т. е. п, е (М,), где М, С М и Поэтому
G С «мо,..., <м„» = (м, и... и м„>.
3.57. В абелевой группе произведение двух элементов имеет конеч-
ный порядок <=> порядки множителей конечны.
3.61. 4): |Q(p):A^(p)| = к. 5): М - максимальная подгруппа в
Q(p) <=> М = ^Q(p), где q - простое число uq^p.
3.68. о((а, £>)) = (о(л), оф)].
§4
4.7. Пусть ab е N. Тогда последовательно получаем: ba = (ab)a е N,
a2b2 = (ab • Ьа)а е N, Ь2а2 ~ (а2Ь2)° е N и т. д., откуда апЬ” и Ь”ап
принадлежат N для всех п > 0. Если же т = -п, где п > 0, то
ambm =(bV)~leN в bmam -(anbny' gN.
4.13. G = D6 □ М = (а, Ь), где о(а) = 2 и о(Ь) = 3.
4.21. Нет.
4.25. Покажите, что отображение (Л / А П N —» AN/NI а(А П N) н»
ь» aN) правильно определено и является изоморфизмом.
4.29. Обратное утверждение не верно.
435. Рассмотрите группы £4 и D8.
439.2): 1, Z2 и D^n, где т I п.
4.40. Все гомоморфные образы: 1,2^, при т > 1 и £>„.
4.43.1): <21б. Di6.
4.45. D(Z2~).
4.46.1): Нет. 2): Нет. 3): Нет.
4.55.5Л„(С). '
4.65.2): 0 и Q+.
§5
5.6. Число классов сопряжённых элементов равно 4, 5, 5 соответ-
ственно.
5.8. Группы порядка 2.
5.9. |G] = 2.
5.14.1 ): р, 2): р2 + р - 1.
5.15. Да, это число равно r/|G|.
5.19. Используйте классовое равенство (см. введение к § 5) и 5.5(1).
5.20. G - циклическая группа.
5.29. |G| равен р2 или pq.
530. G имеет точно 4 класса сопряжённых подгрупп <=> G » Zpi или
|G] =pq.
5.31. G изоморфна Е4 или Zpqr, где р, q, г - различные простые
числа.
532.2): G=D(H).
5.40.1): Возьмите G = S3.
5.41. Индекс £ 2.
5.49. Решение. CG(t) = {b) XQ, где Н = (b) X (а). Пусть х е NG(Q).
Тогда txerWc(G)G {t, а, т}и по 5.5(1) wj:=kWc<e>l = l/Vc(C): CWc(e)(OI=
= । Ng(Q) : Ng(Q) A CG(t)I = I Ng{Q) : QI, откуда I NG(Q) I = IQI m = 4m.
5.58. 2): Возьмите G = S3.
5.62. Да.
5.68. Нет: G^GL^Q), b =
= (b). Тогда 1 = IВ :Agl *IВ: A«l = 2.
5.69. G: = {a, b}, где a = К П и b =
2Г
5.70. Cc(t) = A2x(f), где A2 :={aeA la2 =1). Z(G) равен A2 при
A2 < А и равен G при A2 = A.
5.71. б): При n = 2* + l:(lj, {a, a"'}, {ak, a~k}, (a}b. При n = 2k:
(11, {а, a~}), |a(/>1), (a2)h, {a2)ab.
в): Представители всех классов сопряжённых подгрупп: 1) при
нечётном п: (ат) при /п1л и G (нормальные), (ат) X (Ь) при /л1л и т *1
(ненормальные); 2): при чётном п: (ат) при mln, (а2)Х {Ь}, (а2) X {ab) и
G (нормальные), (ат) X {Ь} и (ат) Х(аЬ) при mln и т>2
(ненормальные).
5.73. а): См. 5.72. б): G = D^n, где р - нечётное простое число.
5.74. а): п = 2(2к — 1), ке N. б), в): п нечётно.
5.75.1) {1}, {ат, а~т} прите N,(a2)fe, (a2)ab.
2) 11}, (am) т е N, (а2) X (b), (а2) X {ab) и G.
§6
6.3. 2): JtZ с к е N U {0}. 3): {0}, {1), {1,-1) (=Z’).
6.13. Z6[x]3x2 + х = (х - 0)(х +1) = (х - 2)(х - 3) * (х - 0)(х - 2).
6.15. Пусть К состоит из п элементов аь ..., а„. Для а е К \ {0}
следует рассмотреть последовательности aat,... ,аа„. и ata,..., апа и
учесть наличие единицы в К.
6.20. Решение. Пусть H<F' и I Н1<о°. Так как И абелева, то, по
3.8(4), Н имеет элемент h порядка п такого, что все элементы из Н
удовлетворяют уравнению х” = 1. Следовательно, по 6.10,1Н1 < п. Но Н
имеет подгруппу (Л) порядка и и, значит, Н = (h).
6.22. Да.
6.41.a):|^fc
б>: {(с d)| A,B,C,DeCM2(K^.
6.45.Diag„(C).
(a b
а b
с d
с d 0
<0 0
6.46. <
eG^O.eeC' .
6.45. Diagn(K).
6.51.3 ): ({0,21, °) при К = г и (Q)\ {!}, °) при Д' -Q.
6.52.2 ): Нет.
6.57.2 ): Ker(<p) = R' Г)(1 + Ker(<f>)).
6.58. Да.
6.59. Л"ег(ф) = «Z„ = {[0]„, [2т]„,...,[(Л- 1)/п]„}, где k = п!т.
6.61. Ядро равно GL,, (R) Ci(e+M„ (I)), где е - единичная матрица.
6.62. N = е + Л/2(/)» где е - единичная матрица и / = plrf.
6.65. Это кольцо К состоит из элементов б:= (0, 0), а: = (0, 1),
£>:=(!, 0) и 1: = (1, L). Подкольца: {б}, (O.aJ, {б. b}, {6.1J, К. Идеалы:
{б}, {б, а}, {б, £-}, К.
§7
7.2. Число циклических подгрупп порядка 2, 3 и 4 равно 9, 4 и 5,
соответственно.
7.3. 6 при л е {5, 6|, 12 при л = 7, 15 при и = 8, 20 при и = 9, 30 при
л= 10.
7.6. (л-1)!.
7.7. ак есть произведение (т, к) циклов равной длины.
7.14. (а,... akhf ... bi).
7.28. 2*-3.
7.39. 2): (и/2)!2"/2.
7.49. I): 5 классов сопряжённых элементов (элементы порядка 5
образуют 2 класса).
2): В А5 - 3 класса сопряжённых максимальных подгрупп: 4
подгруппы, изоморфных Д4; 10 подгрупп, изоморфных О6; 6 подгрупп,
изоморфных О10.
7.51. 4 < п < 7.
7.52. ((1234) (56), (12) (56), (567)).
§8
8.11. По условию X есть объединение t орбит xf,... ,xf. Пусть М: =
= ((x,g)lxeX,geG и хк = х}. Тогда X IFw(R)I = IA/I= X 16х1 =
geG
леХ
IGI . с . IGI
= Х ,7Т67 = ЛС|-
8.17. Нетранзитивные: подгруппы порядков 1, 2, 3, ненормальные
четверные подгруппы и стабилизаторы точек (“S3); регулярные: цик-
лические группы порядка 4 и нормальная четверная подгруппа; прими-
тивные: А4; импримитивные: силовские 2-подгруппы и нормальная
четверная подгруппа.
8.18. 3): S4.
8.21. SnnAn.
8.41. Расссмотрите представление группы G на смежных классах по
В. Как выглядит образ инволюции из А при этом представлении?
8.46. 1): {1, где а - инверсия относительно данной точки.
2): {1, fi}=‘Z2, где р - инверсия относительно середины отрезка [а, Ь].
3): 1.
8.48 .1): 2^. 2): Орбиты - окружности.
8.52. Группы симметрии изоморфны соответственно: S3, Z2, D8, £4,
Е4,1, Е4, Z2 х D(T), Z2 х D(T) (Г - одномерный тор), Z^
§9
9.1. а): Z₽„, леК. б): Z6. в): Е4.
9.2. Число бинарных факторизаций в Qs - 3, в D8 - 11.
9.3. 1): {Z*. Z/}, где к, I - собственные делители п и [&,/] = л. 2): Z*,
где к\п и (к, п/к) = 1.
9.5. D6 = <«>3<Ь>2; Dl0 = <«>5<Ь>2; D30 = (fl>15(6>2 = <«3>(<«5><h>) =
= {a5)({a3)(b))({a5){b)—D6, «O3>(fe)=Dl0); A4=E(a), где E—E4.
9.12. Нет: G = E4.
9.13. G = D6.
9.40. Возьмите G = E4.
9.51. л нечётно.
9.52.
§ 10
10.6. 1): Рассмотрите группу S3. 2): Нет.
10.9. Рассмотрите действие группы S сопряжениями на множестве
Sylp(G).
10.12.48.
10.13. 4): 2, если G - циклическая, и 1 + q, если G - нециклическая.
10.19. G изоморфна одной из групп: Zp, Z4, 2*, Z^, E4, E9, S3.
10.33. a): 6,6): 21.
10.39. Л1Л2.
10.45.2): Рассмотрите группу £)g x Z2.
§11
11.1. 1) - 3) и 5) - 6): <p - эндоморфизм. (ф - автоморфизм только в
3) и 6)) 4): ф - эндоморфизм <=> х = 1.
11.2. 1), 2), 4), 5): ф - эндоморфизм, (ф - автоморфизм только в 1),
4) и в 5) прих*0).
11.7. По 11.6 End(K+) имеет подкольцо Л = {ах I х е К}, изоморфное
кольцу К. а по 11.5 Aut(K+) = End(K+). Следовательно, для указанных
колец достаточно показать, что End(K+) С А.
а): Пусть К = Z. Тогда К+ = (g) - бесконечная циклическая группа.
Если <р е End(K+), то ф($) = mg для некоторого т е Z. Следовательно,
<p:xi-»mx (хе К*), т.е. <р = ост. Таким образом, &id(K+)cA.
ПЛ. 2) : 1, Zj, Zj, Z4, Zj, Z6> £4, Z6> Z4.
11.12.2): 6.
11.20. IGI£ 2.
11.24. Пусть Z>2R ^{a)n{b}2. Тогда для любого автоморфизма а
этой группы будет а(а) = аЬ‘, где 0^/^л-1, и a(b) = bi, где
0 £ j £ и -1 и (/, л) = 1. Отсюда легко следуют 1) и 2).
11.26. $4.
11.37.1): Рассмотрите группу G = Z^ х А4.
2): Рассмотрите группу G = Dg.
11.44 . Используйте 1.43.
§12
12.18 .1^1=3, iegl=2, D4n—Z„, D^-Z^, ID„:DLI=4 и
D'„ —Z+. В любой из этих групп каждый элемент коммутанта является
коммутатором.
12.20. а;= £4, S'=A4.
12.25. SL2(Z2)'=^, 81^)'=* Qg.
12.26. Решение. Определение Ц некорректно, так как представ-
ление элемента g в виде g = ф(§( неоднозначно.
12.27. 2): Нет. Рассмотрите группу О16.
12.32. 2): Нет. Рассмотрите группу Qg.
§13
13.15. G = А4 : L;(G) = G'= Ел для всех z>2, G" = l, Z, (G) = 1 для
всех i > 1; G не нильпотентна; 1 < С < G - единственный композицион-
ный ряд и единственный главный ряд группы G.
G = S4:G' = A4, G"=£4, G"' = l, Z;(G)=1 для всех z2>l, L,(G) =
= G' для всех z > 2; G не нильпотентна; 1 < G" <G' <G - единственный
композиционный ряд и единственный главный ряд.
Qg имеет 3 композиционных ряда, которые все - главные.
Dg имеет 7 композиционных рядов, из них 3 - главные.
13.16. Пусть G = {a)y X {b}2, где yeNU{o°}, аь=а~'. Во всех
случаях G’ = (a2 \ G" = 1.
1) Если у - нечётное число, то Z,(G) = 1 для всех 1,
L;(G) = G' = {а) для всех i S 2.
2) Если у = 2* (к е N), то Z,(G) = (а2*'') при 1 < i < к - 1, Zt(G) = G;
L,(G) = (а2* ') для всех i > 2 (= 1 при i > к + 1).
3)Если у=2кт, к£ 1, т нечётно, т>1, то Z,(G) = (а2 т) при
ISiSk, Z,= {am)=H(G) при il>k;Li(G) = (a2‘~'} при 2£i£k+l,
1ц(С)=(а2*) при i^k+1.
Если Y=°°. т. е. G»£L. то Zi(G') = l при i£ 1; L,(G)= (а2< *) для
всех i £ 2.
13.17. G' = A, G" = 1, Z,(G)={а,) для всех i 2 1, Н(А) = L, (G) = А
для всех I £ 2.
13.18. Следует из 7.46.
§14
14.5. 1): Пусть л, :=л,(С). Для G = Zj xZ4 л2 =3,л4 =4. Для G =
= Zj х Zj х Z4 л2 = 7, и4 = 8. Для G = Z, х Z4 л2 = 1< л4 = 2, л3 = 2, п6 = 2,
п12 = 4. Для G = ZpxZ?2x Zp3 np = p3 -1, np2 = р3(р2 -1), «рз =
= р5(р-1). Для G = Zp„ хZp„ cm<n npi = p2‘~2(p2 -1) при 1 < i < m и
(если m < n) npm¥j = p2m+j~} (p -1) при 1 < j < n - m.
2): Число циклических подгрупп порядка i в G равно nf(G)/<p(i).
14.15 .2): Нет. Рассмотрите группу Е4.
14.22 .6): Рассмотрите группу Е4.
14.42. Пусть G - подпрямое произведение А и В, отличное от Ах В.
а): При А = (а) н В = (b) G = ((1,1), {a, b), (а2,1), a3, b) ] — Z4. б): Z4 х
х Z3. в): G не существует, г): G не существует, д): Три группы,
изоморфные Z4 х Zq.
14.54. Пусть Gj,..., G„_m неабелевы и А = Gn_m+) х...х Gn (абелева
группа). Тогда любая нормальная подгруппа из G есть прямое произ-
ведение некоторых из подгрупп Gj, ... , G„_m и подгруппы из А (и
обратно).
14.63. 2): Нет: первое произведение, в отличие от второго, - неупо-
рядоченное.
§15
15.9. 1) Z+xZ+; 2)G = (a) X (fe>, (fl)x(fe2)^Z+xZ+ и G/{b2}^
15.10. 1): ^Zj, 2): = D6, 3):-S4; 4):^D„.
15.26. 3): G абелева <=> А и В абелевы и либо А = 1, либо Кег&) =
= В.
15.28. 2): С = «Л|)2х(п2>2х<Лз>2) X (<fe>3 X <с>2), где {b}{c}^S3.
Силовская 2-подгруппа в G изоморфна О8 х Z2.
15.29. 2): G = «п}4 х (b}4) X {с)2, ac=b. Z(G) = {ab} ~ Z4.
1S.40. Z(G I S„) =
jaeZ(G) ^Z(G).
§16
16.8. »Zj.
16.30. Нет. Рассмотрите гомоморфизм группы G = Z* на Zq.
16.33. 2): Эта группа изоморфна {а}4 X <p(Z>)4, где <р(£): а .
16.35. =Z2.
16.36. G=Zp i S2.
16.45. =Z5.
16.49.1G 1=12, I H 1=24.
16.50.2): 20.
16.51.55.
16.52.1 ): G/H изоморфна одной из следующих групп, а): £4. б): D2m,
в): г): О„.
§ 17
17.13 .1): (о4), {а2}, (а2). 2): Все элементы из Р\{а) имеют порядок
4. Классы сопряжённых элементов в Р: (1), {о4}, (а2, а6), (а, а7), {а3,
а5}, (а2)Ь, (a2}b3. 3)-.{a},{a2}{b}—Qi,{a2}{ab}—Qi. 4): 7 нормальных
подгрупп. Гомоморфные образы: 1, 2^, £4, Dg, Р. 5): 3,1,2.
17.14 .3): (а) х(Ь2>, {а2>х (Ь),{а2} у {ab).
17.15. Ф(Р) = Q, (Р) = (ар > х {Ьр >.
17.18. а): Р имеет точнор + 1 максимальных подгрупп: (ab1) (ie
е {1,...,р-1}) и (ар)х(Ь).
в): Q,(P) = (np" ' )х(Ь).
17.20. И): 2, 2.
17.22. Следует из 1) и 17.20.12): 2,2.
17.23. Z „ при л > 0, Е 2» Оя-
р р
17.24. Z „ х Z„ при п > 2, М „ при рп * 8.
р р р
17.27. Dg, Q8, Mp„(rG>3).
17.30. Q, (P) G Z(P) <=> m > 1 и n > 1.
17.41. в): Группа P = Qg * Z4 имеет точно 7 максимальных подгрупп:
3 подгруппы, изоморфных Dg, 3 подгруппы, изоморфных Z4 х Z2, и
подгруппу изоморфную Qg. т(Р) = 2, rs(P) = 3.
17.47. Группа Р = Dg * Dg имеет 10 максимальных подгрупп,
изоморфных Dg*Z4(=*Qg*Z4), и 5 максимальных подгрупп,
изоморфных Qg х Zjj т(Р) = 2, rs(P) = 4.
Группа Р = Dg * Qs имеет 6 максимальных подгрупп, изоморфных
Qg*Zt и 9 максимальных подгрупп, изоморфных Dg х т(Р) = 3,
г,(Р) = 4.
§18
18.5. См. [15,5.2.4].
18.8. 4): Если С - искомая подгруппа, то при р = 2 С = Aut(P), а при
р > 2 С = (а), где а - автоморфизм порядка р"_| такой, чтох“ = х|+р.
18.12. — Dg.
18.35. См. [15,5.3.10].
18.40.1) : Доопределите Рдо векторного пространства над Zp.
§ 19
19.8. g - скалярная.
19.14. Порядки групп: 72, 36.
19.16. 3): G имеет точно 3 класса максимальных подгрупп: 5 2-зам-
кнутых подгрупп порядка 24, 10 3-замкнутых подгрупп порядка 12,
6 5-замкнутых подгрупп порядка 20.
19.17. Diag2{q), UT2(q) х Z(G).
19.19. 2): Число инволюций равно q2 - 1 при чётном q и равно q2 +
+ <7 + 1 при нечётном q.
19.23. Число силовых р-подгрупп равно р™ + 1.
19.27. 2): XD, где D-^x^. 3): (l3u(a)l aeF,}.
19.30. Сс(Н) = Diag8(q), С6(Н)П SL^-Z^ xZ^,.
19.35. — GLn^{q).
19.36. = /+.
19.55. Используйте 19.51(1).
§20
20.1. См. [15,6.2.1] или [16,1. 18.1 и 1.18.2].
20.2. См. [15, гл. 6] или [16, гл. VI].
20.26. 2-длина равна 2, 2,2, 1 соответственно. Подгруппы Картера:
в первых трех группах - силовские 2-подгруппы; в группе D„ -
подгруппы порядка 2.
20.32. (2(G) <2.
20.41. 2): Gn(G)xG„,(G).
20.47. 2): G=A4xS3.
§ 21
21.6. Рассмотрите группу £>g.
21.25. Не сохранится: рассмотрите группу х Д5.
2141.2 ): G = S4, В = (а)4Х {b)2 eSy^G), А = {а), Н = А4.
21.42. 2): G - S4, В = <а)4 X (b)2 eSyl2(G), А = {а, а~‘}.
§22
22.28.
1 .V3
е = — + (—
1
1
1
1
1
1
-1
-1
1
1
<2
1
-1
1
-1
1
1
1
е
ё
е
е
2
2
1
1
1
22.29. Примените 22.22.
22.34. Гт. т! = тНУ2 <=>7(11 = 1.
1 1 '
-1 1 ,
0 -1J
1 '
-1
-1
1 ,
22.35. Рассмотрите таблицу характеров группы S3 (22.28).
22.44. 5): К обеим частям равенства пункта 3) примените функцию
cdz из 22.41. Обе части полученного равенства умножьте на X(l)X(gm) и
просуммируйте по х e/rr(G), используя 22.24.
22.50. 2): Равенство имеет место <=> у е Irr(G), Irrifyy С lrr(G) и
iMx)vi==Mx)-
22.65. С помощью 22.59 докажите, что %(Х) = {х(#)“1« g Aitf(Q(co)))
и что отсюда следует первое неравенство. Второе неравенство следует
из первого и того факта, что среднее арифметическое нескольких
вещественных чисел не меньше их среднего геометрического.
22.71. Примените 22.33 и 14.20.
к
22.75. = X Х(&)> гДе gp •••,§* - представители всех классов со-
1=1
пряженных элементов группы G. Сумма всех элементов любой строки
таблицы характеров — целое неотрицательное число.
22.80. 1): Кег(^т) = Ker(tA)G.
23.2. Используйте 3.16.
23.3. Используйте 23.1 и 23.2.
23.5. 1): Это - 21.28. 2): G имеет максимальную подгруппу вида М =
= {а} х £)|, где Ci - Q> причём М - единственная максимальная подгруп-
па в G, содержащая (а). Следовательно, Од содержит каждую {а)-
инвариантную подгруппу из Q и, в частности, Qt □ Ф(0. Обратное
включение следует из теоремы Машке (18.40). 4): Используйте 23.3.
6): Достаточно рассмотреть случай, когда Q абелева. Предположим,
что Ф(2) * 1. Тогда £2(0 UU (0 £ Ф(0 £ Z(G). Покажите, что t :=
= [#, а] имеет порядок q и, следовательно, te Z(G). Но тогда g2-gt,
g“2 =gt2,...,g-gaV = #tp, откуда tp = 1, что противоречиво. 1
23.8. Используйте 23.5 и 21.27.
23.12. Либо G - группа Шмидта, либо G — Zp х S, где S - р-группа
Шмидта.
23.15. G либо p-замкнута, либо - р-замкнутая группа Шмидта.
23.19. Если G не нильпотентна и не группа Шмидта, то либо
G - (п)р2 Л Q, где (л₽) Л Q - группа типа А, либо G - {а)р Л Q, где I QI =
= pq22’ и (а) Л Ф(0 и С/Ф(С) - группы типа А порядка pqh.
23.28. G = Z(G)S, где S - подгруппа Шмидта.
23.29. Циклические группы порядка р" или pq.
23.30. Циклические группы.
23.33. 2):G = DI8,№Z3.
23.35. а): Циклические группы, б): Абелевы группы, в): Ниль-
потентные группы.
23.39. Циклические группы порядка р2 или pq, группа Фробениуса
{а)р Л Q с ядром Q, каждая неединичная подгруппа которого имеет
простой порядок и нормальна в G.
23.40. Циклические группы, р-группы с циклической максимальной
подгруппой, группы Миллера-Морено с нормальной силовской
подгруппой простого порядка.
23.41. G = D(A), где IAI нечётен.
23.46. Используйте 21.28,21.34 и 21.34. /2(0 < 2.
23.47. Используйте 21.22,21.26 и 21.31(2). /2(G) < 2.
23.48. Либо IGI = pq, либоG изоморфнаZ „, Е 2 или Qs.
р р
23.49. a): G изоморфна Z3 или 53. б): G изоморфна Z4, £4, А4 или DI0.
23.50. См. [15,9.1.6].
23.52. Используйте 13.64,20.7 и 20.10.
23.54. Используйте 23.53.
Список обозначений н терминов
§1
бинарная &1ерация 7
группа?
нейТ|ОЗДЙ'мемеит 7
симметричный элемент 7
порядок группы 7
абелева или коммутативная груп-
па?
единичный элемент или единица
группы 7
обратный элемент 7
нулевой элемент или нуль вбелевой
группы 8
противоположный элемент абелевой
группы 8
степень элемента 8
периодический элемент 8
порядок или период элемента 8
инволюция 8
циклическая группа 8
изоморфизм групп 8
перестановка множества 8
группа перестановок 8
симметрическая группе Sx 8
полугруппа 9
квазигруппа 9
группы С*-, R\ Q+ 11
группы C,R',Q' 11
одномерный тор 12
группа Zn 12
таблица умножения группы 12
теорема Кэли 13
(внешнее) прямое произведение
групп 14
четверная группа 14
группа D(A) 16
обобщённо диэдральная группа 16
группы G£„(R), 5Xn(R), GL„(C),
a„(C) 16
идемпотент 17
§2
подгруппа 18
единичная подгруппа 18
(а) 18
истинная подгруппа 18
собственная или нетривиальная
подгруппа 18
максимальная подгруппа 18
взаимно простые подгруппы 18
Hg, правый смежный класс 18
G:W18
IG :Н118
индекс подгруппы 18
правая система вычетов группы по
подгруппе 18
сопряжённые подгруппы 18
двойные смежные классы 18
1Л 1<1«1 18
IА I делит IНI 18
подполугруппа 19
теоремв Лвгрвнжа 20
звкон Дедекиндв 21
группе кватернионов 22
точное произведение подмножеств
группы 23
группа 25
квазициклическая р-группа 25
группе типа ff° 25
§3
порождающее множество группы 26
CJg)26
централизатор элемента 26
Z(G)26
центр группы 26
л-элемент 26
л-группа 26
р-элемент 26
р-группа 26
примерный элемент 26
силовская р -подгруппа 26
элементарная абелева р-группа 26
сопряжённые элементы 26
D2n 26
диэдрвльная группе 26
группа Do,, 26
бесконечная диэдральная группа 26
группа р-ичных дробей Q(p) 26
порядок элемента относительно
подгруппы 34
о(а; Н) 34
S4
нормальная подгруппа 36
Н < G 36
минимальная нормальная под-
группа 36
простая группа 36
(внутреннее) прямое произведение 36
полупрямое произведение подгрупп
NJM) := {g е С IMg = gM} 36
нормализатор подмножестве в
группе 36
GIH36
фактор-группа 36
гомоморфизм группы 36
образ гомоморфизме 37
Кег(ф) 37
ядро гомоморфизма 37
собственный гомоморфный обрез 37
эпиморфизм 37
мономорфизм 37
тривиальный гомоморфизм 37
секция группы 37
Hom(G, /7)37
= <37
теорема о гомоморфизмах 40
естественный гомоморфизм 40
§5
сопряжённые элементы 45
aG 45
класс сопряжённых элементов 45
первая теорема Силовв 45
нормальное подмножество группы 45
сердцевина подгруппы 45
сопряжённые подмножества 45
№ 45
класс сопряжённых подмножеств 45
(X)G45
XY 45
сильно замкнутое подмножество
подгруппы 50
§6
кольцо 55
К* 55
аддитивная группа кольца 55
единица кольца 55
обратимый элемент кольца 55
К 55
мультипликативная группа кольца 55
делитель нуля 55 /
поле 55
характеристика поля 55
chai\K) 55
гомоморфизм кольцв 55
идеал кольца 55
фактор-кольцо 55
подкольцо 55
скалярнвя мвтрицв 56
векторное прострвнство 56
J/MV) 56
линейный опервтор 56
эндоморфизм векторного
пространства 56
мвтрицв операторе 56
мвтрнцв ав 56
Цп,/') 56
алгебра 57
поля С, R.Q57
кольцо Z 57
кольцо p-целых рациональных
чисел 57
кольцо К[л] 57
кольцо Z„ 58
кольцо вычетов по модулю и 58
кольцо Л7„(К) 59
группа GL„(K) 59
группа SLn(fC) 59
диагональная подгруппа 60
Diag„(K)) 60
Т„(Ю) 60
треугольная подгруппа 60
ЦТ„(Ю) 60
уннтреугольная подгруппа 60
ортогональная подгруппа О „(К)) 60
кольцо кватернионов 61
кольцо Н 61
трансвекции 63
присоединённая группой кольца 63
прямая сумма колец 65
>в 65
естественный изоморфизм GL(V) на
GL„(F) 65
теорема Машке 65
прямая сумма подпространств 66
FG66
групповое кольцо 66
групповая алгебра 66
§7
цикл (длины т) 67
транспозиция 67
независимые циклы 67
цикл длины 1 67
циклические компоненты
перестановки 67
(циклический) тип перестановки 67
нечётная перестановка 68
чётная перестановка 68
знак перестановки 68
signtg) 68
знакопеременная группа 68
Ах 68
А„ 68
инверсия перестановки 71
глобальный стабилизатор 71
поточечный стабилизатор 71
подгруппа Юнга 71
группа симметрий многочлена 73
§8
группа перестановок 75
степень группы перестановок 75
стабилизатор точки 75
поточечный стабилизатор 75
глобальный стабилизатор 75
орбита группы 75
Fix(g) 75
стабилизатор двух точек 75
транзитивная группа 75
интранзитивная группа 75
группа действует на множестве 75
регулярная группа 75
^-транзитивная группа 75
к- кратно транзитивная группа 75
разбиение множества 75
система импримитивности 75
импримитивная группа 76
примитивная группа 76
представление группы
перестановками 76
группа действует на множестве
посредством гомоморфизма 76
степень представления
перестановками 76
точное представление группы
перестановками 76
транзитивное представление группы
перестановками 76
представление группы сдвигами 76
группа действует сдвигами 76
группа действует сопряжениями 76
подобные группы перестановок 76
эквивалентные представления
перестановками 76
движение пространства 76
изометрия пространства 76
эвклидовв группа Е(«) 76
группа симметрий фигуры 77
(правое) регулярное представление
группы 79
левое регулярное представление
группы 79
представление группы
перестановками смежных клас-
сов 79
аффинная группа прямой 82
группа вращений фигуры 83
«-угольный диэдр 83
§9
факторизация группы 84
бинарная факторизация группы 84
дополнение подгруппы 84
группа Фробениуса 84
ядро группы Фробениуса 84
дополнительный множитель группы
Фробениуса 84
нормальный множитель группы
Фробениуса 84
дедекиндова группа 89
лемма Кегеля 90
§10
р-силовская подгруппа 91
силовская подгруппа 91
Sylp(G) 91
максимальное р-силовское
пересечение 91
Op(G) 91
примерная группа 91
бипримарная группа 91'
я-число91
л-замкнутая группа 91
р-замкнутая группа 91
хол лова подгруппа 91
Л-холлова подгруппа 91
теорема Силова 92
аргумент Фраттини 93
р-снгнализатор 98
§11
эндоморфизм группы 99
автоморфизм группы 99
£W(G)99
группа Аш (G) 99
внутренний автоморфизм группы 99
/лот (G) 99
группа внутренних автоморфизмов
группы 99
группе внешних автоморфизмов
группы 99
O«z(G)99
совершенная группа 99
регулярный автоморфизм 99
ф-инварнантная подгруппа 99
<р-допустимая подгруппа 99
индуцированный эндоморфизм 99
характеристическая подгруппа 99
характеристически простая группа 99
нормальный автоморфизм 99
кольцо End(A) 100
автоморфизм кольца 100
операторная группа 100
£2-группа 100
определяющее отображение £2-
группы 100
£2-подгруппа 100
£2-допустимая подгруппа 100
£2-гомоморфизм 100
Нот^С.Н) 100
Ca(M!N) 100
индуцированный эндоморфизм
фактор-группы 103
автомизатор подгруппы в группе 103
центральный автоморфизм 104
л-абелева группа 105
§12
коммутатор 107
коммутант 107
G' 107
взаимный коммутант 107
[4, fl] 107
лемма о трех подгруппах 107
§13
ряд подгрупп 113
субнормальный ряд 113
нормальный ряд 113
композиционный ряд 113
главный ряд 113
центральный ряд 113
факторы ряда 113
индексы ряда 113
субнормальная подгруппа 113
Н <<G 113
разрешимая группа 113
ступень разрешимости группы 113
сверхрвзрешнмая группа 113
нильпотентная группа 114
класс нильпотентности группы 114
G<n) 114
п-й коммутант группы 114
Z„(G) 114
п-й центр группы 114
4(0114
п-й централ группы 114
гиперцентр группы 114
MG) 114
4(C) 114
расширение группы 114
разрешимый радикал 5(G) груп-
пы 114
S(G) 114
подгруппа Фиттинга 114
ДО) 114
подгруппа Фраттини 114
Ф(О 114
уплотнение ряда 114
изоморфные ряды 114
в-инвариантный ряд группы 114
©-допустимый ряд группы 114
автоморфизм стабилизирует ряд 114
автоморфизм централизует ряд 114
exp(G) 114
теорема Фейта-Томпсона 115
теорема Шрайерв 115
теорема Жордана-Гельдера 115
ряд коммутантов 116
возрастающая центральная цепь 116
убывающая центральная цепь 116
силовский ряд группы 121
S14
прямое произведение подгрупп 122
Gi х... х G„ 122
XG; 122
i=l
прямое произведение групп 122
внутреннее прямое произведение 122
внешнее прямое произведение 122
G,x...xG„ 122
прямое произведение бесконечного
числа множителей 122
декартово произведение групп 122
прямая сумма 122
центральное произведение под-
групп 123
центральное произведение групп 123
<р-центральное произведение
групп 123
123
проектирование относительно
данного прямого разложения
группы 123
проекция подгруппы 123
компонента подгруппы 123
подпрямое произведение групп 123
V-подпрямое произведение групп 129
подпрямое произведение групп с
объединенными фактор-груп-
пами 129
цоколь группы 130
Soc(G) 130
теорема Крулля-Ремака-Шмидта 132
условие минимальности 132
условие максимальности 132
X G, 133
X G, 134
ге/
SU(n) 134
§15
А\В 135
декартово произведение групп 135
полупрямое произведение групп 135
канонические вложения множителей
полупрямого произведения 135
Hol(G) 135
голоморф группы 135
сплетение групп 135
^-сплетение групп 135
Al#B 135
декартово сплетение групп 135
аТ9В 135
база сплетения 135
4?В136
сплетение подгрупп 136
4?'В 136
полуцентральное произведение 138
§16
свободная группа 142
свободное порождающее множество
группы 142
ранг свободной группы 142
слово над алфавитом X 142
Х-слово 142
длина слова 142
эквивалентные слова 143
a~wb 143
соотношение над X 143
Х-соотношенне 143
выводимость соотношения 143
следствие соотношений 143
эквивалентность соотношений 143
значение слова в группе 143
соотношение выполнено в
группе 143
соотношение справедливо в
группе 143
определяющее множество
соотношений 143
G = (XI/?> 143
W)143
НИХ) 143
Щ 143
[fllw 143
(XIIИ0 143
(XII/?) 143
~я 143
№ 143
Grp(X: ИО 144 -144 [a] 144 сократимое слово 144 F(X) 144 (xl,...,xm II wj w„) 144 порождающее представление группы 144 генетический код группы 144 теорема Дика 147 теорема Гашютца 165 теорема Машке для групп 165 §19 GL(V) 167 det(a) 167 SUV) 167 PGLn(F) 167 проективная общая линейная группа 167
S17 <g)n 151 с/(Р) 151 d(P) 151 т(Р) 151 ранг р-группы 151 rs(P) 151 секционный ранг р-группы 151 Щ,(£) 151 нижний слой р-группы 151 <5,(Р) 151 ЖР) 151 ДР) 151 подгруппа Томпсонв 151 SCN(P) 151 SCNm(P) 151 регулярная р-группа 151 специальная р-группа 151 экстрвспециальная р-группа 151 р-группа максимального класса 151 W „ 152 полуабелева р-группа 152 модулярная р-группа 152 SD2„ 152 полудиэдральная группа 152 С2Л 152 кватернионная группа 152 обобщённая группа кватернио- нов 152 PSL„(F) 167 проективная специальная линейная группа 167 прямая 167 гиперплоскость 167 PG£(V) 167 PSUV) 167 G£„(<7) 167 SL„(?) 167 PGLn(q) 167 PSLn(q) 167 W 167 UTn{q) 167 Diag„(q) 167 L„(q) 167 цикл Зингера 168 трансвекция 169 симплектическвя группа 173 Sp2„(K) 173 группа формы /174 комплексная унитарная группа 174 U(ri) 174 SU(ri) 174 GU„(q) 174 общая унитарная группа 174 GU(n, q2) 174 аффинное преобразование векторного пространства 174 AGLn(F) 174 аффинная группа 174 AGUn, q) 174
£(р) 152 группа Миллера-Морено 152 гамильтонова группа 152 А *В 152 §20 п(Н) 176
§18 гомоциклическая группа 162 А хБ-лемма Томпсона 164 л' 176 On(G) 176 On>Jt.(G) 176 O*(G) 176
я-отделимая группа 176
я-разрешимая группа 176
я-разложнмая группа 176
я-скованная группа 176
я-длина группы 176
/„(G) 176
подгруппа Картера 176
абнормальная подгруппа 176
пронормальная подгруппа 176
77-подгруппа 176
теорема Шура-Цассенхауза 177
§21
перенос G в Н/К 183
vx-twz 183
слабо замкнутое подмножество 183
сильно замкнутое подмножество 183
экстремальный элемент 183
р-нильпотентная группа 183
р-нормальная группа 183
группа Шмидта 183
СЦХ) 184
теорема Бернсайда о нормальном
р-дополнении 185
1-я теорема Грюна 186
2-я теорема Грюна 186
теорема Фробениуса о нормальном
р-дополнении 186
теорема Томпсона о нормальном
р-дополнении 187
§22
представление группы над полем 190
степень представления 190
матричное представление 190
операторное представление 190
точное представление 190
матричная интерпретация
представления 190
операторная интерпретация
представления 190
эквивалентные представления 190
А = В190
классы эквивалентных
представлений 190
приводимое представление 190
разложимое представление 190
фактор представления 190
Аилу 190
характер представления 191
Хл 191
единичное представление 191
Z(FG) 191
регулярное представление 191
^eScf 191
координатные функции
представления 191
классовые функции группы 191
обыкновенное представление 191
модулярное представление 191
характер группы 191
неприводимый характер группы 191
степень характера 191
ядро характера 191
классовые функции группы 191
обобщенный характер группы 191
главный характер 192
/rr(G) 192
CF(G) 192
скалярное произведение 192
таблица характеров 192
D-срезка 192
VId 192
взаимодействие 192
D ^-7 Ф 192
D-блок группы 192
Ф-блок группы 192
активный фрагмент таблицы
характеров 192
активный фрагмент группы 192
индуцированное представление 192
индуцированная классовая фун-
кция 192
прямая сумма представлений 192
А( Ф...ФАП 193
тензорное произведение
представлений 194
А 0 В 194
194
контрградиентное представление 194
лемма Шура 195
пространство координатных
функций 195
критерий неприводимости Берн-
сайда 195
теорема Фробениуса-Шура 196
первое соотношение
ортогональности 196
второе соотношение
ортогональности 196
линейный характер 197
регулярный характер группы 198
вещественный элемент группы 198
комплексно сопряжённые классовые
функции 198
алгебраическое число 199
целое алгебраическое число 199
Q 199
Z 199
det% 200
алгебраически сопряжённые
характеры 201
теорема Бернсайда 202
р^Р-теорема Бернсайда 203
группа характеров 203
характер представления
перестановками 204
индуцированное представление 205
индуцированная классовая
функция 205
индуцированный характер 206
звкон взаимности Фробениуса 206
теоремв Фробениуса 206
S23
р</-группа 210
Jtrf-rpynna 210
изоордные группы 210
класс изоордных подгрупп 210
класс подгрупп 210
2-максимальная подгруппа 210
группа типа Л 210
группа Миллера-Морено 210
инцидентные подгруппы 215
теорема Бэра-Судзуки 216
Литература
1. Белоногов В. А., Фомин А. Н. Матричные представления в теории
конечных групп. М.: Наука, 1976.126 с.
• 2. Белоногов В. А. Представления и характеры в теории конечных групп.
Свердловск: УрО РАН, 1990.379 с.
' 3. Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. М.: Наука,
1977.239 с.
4. Кострикин А. И. Введение в алгебру. М.: Наука, 1977.495 с.
5. Курош А. Г. Теория групп. 3-е изд. М.: Наука. 1967.648 с.
6. Кэртис Ч., Райнер И. Теория представлений конечных групп и ассо-
циативных алгебр. М.: Наука, 1969. 668 с.
• 7. Ляпин Е. С., Айзенштат А. Я.,Лесохин М. М. Упражнения по теории
групп. М.: Наука, 1967. 264 с.
' 8. Сборник задач по алгебре / Под ред. А. И. Кострикнна. М.: Наука, 1987.
351 с.
9. Супруненко Д. А. Группы матриц. М.: Наукв, 1972. 351 с.
10. Холл М. Теория групп. М.: Изд-во иностр, лит., 1963. 468 с.
• 11. Шмидт О. Ю. Абстрактная теория групп Ц Шмидт О.Ю. Избранные
труды: Математика. М.: Изд-во АН СССР, 1959. С. 17-175.
12. Burn R. Р. Groups: A path to geometry. N.Y.: Cambridge Univ. Press, 1991.
249 c.
13. Dixon J. D. Problems in group theory. N.Y.: Braisdell, 1973. 176 c.
14. Feit W„ Thompson J. G. Solvability of groups of odd order Ц Pacif. J. Math.
1963. Vol. 13. P. 775-1029.
15. Gorenstein D. Finite groups. N.Y.: Harper and Row, 1968. 527 c.
* 16. Huppert B. Endliche Gruppen. I.B.: Springer, 1967.793 c.
17. Isaacs 1. M. Character theory of finite groups. N.Y.: Acad, press, 1976. 303 c.
18. Neumann P. M„ Stoy G. A., Thompson E. C. Groups and geometry. Oxford:
Oxford Univ, press, 1994. 254 c.
Белоногов Вячеслав Александрович
ЗАДАЧНИК ПО ТЕОРИИ ГРУПП
Учебное нособне
Зав. редакцией А.А. Фролова
Редактор Т.А. Никитина
Художественный редактор Г.М. Коровина
Технический редактор О.В. Аредова
Корректоры Г.В. Дубовицкая,
Т.Н. Шеповалова
Набор и верстка выполнены в издательстве
иа компьютерной технике
ЛР № 020297 от 23.06.1997
Подписано к печати 27.06.2000
Формат 60x90 1/16. Гарнитура Таймс
Печать офсетная
Усл. печ. л. 15.0. Усл. кр.-отт. 15,0. Уч.-нзд. л. 14,82
Тираж 1000 экз. Тнп. зак. 500
Издательство "Наука"
117864 ГСП-7, Москва В-485, Профсоюзная ул., 90
ППП "Типография "Наука"
121099, Москва, Шубнискнй пер., 6