/
Автор: Вунш Г.
Теги: алгебра математика математический анализ теория систем стохастические системы
Год: 1978
Текст
CiiC’j ем
Герхард Вунш
ТЕОРИЯ СИСТЕМ
Перевод с немецкого и дополнение
Т. Э. КРЕНКЕЛЯ
ДООСКРА «СОВЕТСКОЕ РАДИО» 197§
ББК 22.18
В 89
УДК 912.9712
Вунш Г.
В 89 Теория систем: Пер. с нем. Т. Э. Кренкеля.—
М., «Сов. радио», 1978. — 288 с., ил.
В пер.: 1 р. 20 к.
Книга посвящена математической теории систем. Приводятся
основные понятия современной алгебры, рассматриваются детермини-
рованные и стохастические системы.
Книга рассчитана на научных работников и инженеров, аспиран-
тов и студентов вузов.
30501-073
В 046(01)-78
76-78
ББК 22.18
6Ф0.1
Редакция кибернетической литературы
SYSTEMTHEORIE
DR.-ING. HABIL. GERHARD WUNSCH
PROFESSOR AN DER TECHNISCHEN
UNIVERSITAT DRESDEN
AKADEMISCHE VERLAGSGESELLSCHAFT
GEEST & PORTIG K--G. LEIPZIG, 1975
©Перевод на русский язык и дополнение. Издательство «Советское
радио», 1978 г.
Оглавление
Предисловие переводчика....................................... 5
Предисловие к советскому изданию............................ 7
Предисловие................................................ 8
Глава 1.
Введение......................................................11
1.1. Основные математические понятия .....................11
1.1.1. Множества и операции над множествами (И)
— 1.1.2. Отношения и операции (16)
1.2. Основные понятия теории системы е ж 29
1.2.1. Входные и выходные величины. Переменные состояния
(29) 1.2.2. Классы систем (37)
Г лава 2.
Основные уравнения детерминированных систем .... 43 .
2.1. Системы с непрерывным временем ..... ^ 43
2.1.1. Операторы переходов и выходов (43) 2.1.2. Непрерыв-
ные системы (50) 2.1.3. Линейные, системы (51) 2.1.4. Непре-
рывные линейные системы (69) 2.1.5. Инвариантные во вре-
мени системы (77)
2.2. Системы с дискретным временем........................83
2.2.1. Операторы переходов и выходов (83) 2.2.2. Инвариант-
ная во времени линейная система (96)
Г лава 3.
Линейные детерминированные системы...........................103
3.1. Основные понятия алгебры I s . в . . 103
3.1.1. Группы (103) 2.1.2. Кольца (108) 3.1.3. Поля (109)
3.1.4. Поля частных (111)
3.2. Основные понятия алгебры II.........................115
3.2.1. Фактор группы (115) 3.2.2. Кольца классов вычетов
(120) 3.2.3. Кольца главных идеалов (122) 3.2.4. Конечные
поля (1Я6)
3.3. Системы с дискретным временем II....................131
3.3.1. Основные уравнения (131) 3.3.2. Вынужденные движе-
ния (142) 3.3.3. Свободные движения (148) 3.3.4. Системы
с пространственной структурой (162)
3.4. Системы с непрерывным временем ....... 177
3.4.1. Системы без пространственной структуры (177)
3.4.2. Системы с пространственной структурой (190)
3
Глава 4.
Линейные стохастические системы............................204
4.1. Системы с дискретным временем.....................204
4.1.1. Основные определения (204) 4. Г.2. Свойства системы
(219) 4.1.3. Линейная система (227)
4.2. Системы с непрерывным временем....................238
4.2.1. Дискретные процессы (238) 4.2.2. Непрерывные про-
цессы (241)
Дополнение.................................................261
Решетчатые системы и связанные с ними мультипли-
кативные базисы . . *...................... 261
Список обозначений важнейших символов . . . . . . 281
1. Множества (281) 2. Отношения (282) 3. Операции (284)
Список литературы..........................................285
Список дополнительной литературы...........................285
Список литературы к дополнению.............................286
Предметный указатель.......................................287
Предисловие переводчика
Книга профессора Г. Вунша, известного специалиста
по теории информационных систем, автора вышедших
в РДР книг «Основные понятия алгебры», «Системный
анализ» и «Теория систем и обработка информации»,
является введением в математическую теорию систем и
конечных автоматов.
В последние десятилетия быстрыми темпами разви-
ваются отрасли техники, связанные с электронными вы-
числительными машинами, средствами передачи, хране-
ния и переработки информации в системах связи, радио-
локации,- ‘ в акустических и геофизических системах.
Работа в каждой из этих отраслей требует довольно
глубокого знания современной алгебры. Изучение по-
следней, таким образом, стало необходимо для специа-
листов по прикладной математике, инженеров и всех
исследователей, которые занимаются перечисленными
вопросами и ищут алгоритмическое решение возникаю-
щих в этих областях задач с помощью специализирован-
ных конечных автоматов (процессоров), универсальных
ЭВМ и (или) вычислительных систем.
В связи с этим в научно-технической литературе
возникло новое направление — прикладная алгебра, ко-
торая, во-первых, служит учебным целям, знакомя чита-
телей с основными понятиями современной алгебры, и,
во-вторых, занимается алгебраической и алгоритмиче-
ской формализацией технических задач. Установление
взаимосвязи между структурами, возникающими в обла-
сти техники и в области математических знаний, и явля-
ется, собственно, наиболее существенной задачей для
инженера, занятого построением и завершением инже-
нерной теории, лежащей в основе данной области техни-
ческих знаний.
Эта задача .является и наиболее сложной, так как
далеко не всегда инженеру удается найти разработан-
ную математическую модель, «подходящую» для реше-
ния стоящих перед ним задач. Естественно также, что
5
Инженеру часто приходится модифицировать те матема-
тические структуры, которые он берет на вооружение,
чтобы их «согласовать» или «подогнать» под исследуе-
мую техническую структуру (систему) для обеспечения
адекватности. Очевидно, что при установлении такого
соответствия невозможно указать абсолютный критерий
его выбора или однозначно задать пути его нахожде-
ния.
Техника плюс математика еще не дает оправданную
техническую теорию, в лучшем случае при этом мы име-
ем технику с математическими декорациями или, что
еще хуже, технику, затерявшуюся в математических де-
корациях.
В связи с этим уместно привести высказывание из-
вестного советского алгебраиста А. Г. Куроша, относя-
щееся к развитию самих структур современной алгебры:
«В соответствии с общими тенденциями современной
науки (например, физики) новые объекты изучения, но-
вые теории будут появляться здесь (в общей алгебре —
Прим, ред.) не с перерывами в десятилетия, а все чаще
и чаще. Остановить этот процесс невозможно, пытаться
это делать — неразумно. Можно лишь направлять этот
процесс. Именно в такой аксиоматической науке, как об-
щая алгебра, не нужно большого ума для того, чтобы
создавать новые объекты изучения. Труднее их оправ-
дать».
Таким образом, в ближайшее время мы будем сви-
детелями и участниками дальнейшего прогресса указан-
ных выше технических областей и одновременного про-
гресса современной алгебры.
Следует особо подчеркнуть, что хорошо обоснованная
й плодотворная техническая наука отличается разумным
взаимным проникновением физико-технических и мате-
матических идей и понятий, при котором1 становится
невозможным разрыв между ее математическим и тех-
ническим содержанием.
Предлагаемая книга восполняет существующий в на-
стоящий момент пробел в научно-технической литерату-
ре по прикладной алгебре. Она посвящена в основном
алгебраической теории линейных систем и конечных
автоматов и содержит различные концепции, результаты,
методы и приложения современной алгебры в этой обла-
сти, изложенные в математически строгой и ясной мане-
ре. Особый интерес представляют параграфы, посвящен-
6
ные системам с пространственной структурой (в частно-
сти, решетчатым системам и клеточным автоматам), и
гл. 4, посвященная линейным стохастическим системам.
Книга предназначена для студентов старших курсов
технических вузов, аспирантов и научно-технических ра-
ботников, желающих более глубоко изучить основы со-
временной алгебры и познакомиться с применением ее
основных понятий и структур при исследовании техни-
ческих систем.
Предисловие к советскому изданию
Как и любая другая наука, теория систем служит
для познания и описания, на основании определенных
идей и методов, существующего аспекта окружающего
реального мира. При этом в теории систем широко ис-
пользуется применяемый в физике и математике аксио-
матически-дедуктивный метод. Так же как и в физике,
в теории систем стремятся при рассмотрении трудноопи-
сываемых сложных систем явлений (процессов) разло-
жить их на возможно более простые и слабо связанные
между собой подсистемы, анализ и математическое опи-
сание которых — при ограничении только существенными
явлениями, происходящими в подсистемах, — как пра-
вило, уже не представляет существенных затруднений
Однако в то время как классическая физика и приклад-
ные технические науки, развиваемые на ее основе, рас-
сматривают отдельные компоненты явлений и конкрет-
ный математический закон, лежащий в основе их взаи-
модействия, теория систем целиком посвящена описанию
внешней структуры (формальному образу) взаимосвязи
рассматриваемых явлений. Качественно различные про-
цессы (например, из области физики, экономики, биоло-
гии) не различаются при условии, что они описываются
одними и теми же математическими закономерностями.
Но имеется, однако, еще одно методическое отличие
от классических физических и технических наук: в тео-
рии систем при рассмотрении каждого комплекса явле-
ний (природы) принципиально используется одна и та
же основная схема, что, естественно, приводит к более
-высокой степени абстракции, а также к чрезвычайному
единообразию и сравнимости описания (технических,
экономических, физических) процессов.
7
Из этих нескольких замечаний о содержании и сути
теории систем уже ясно, что системно-теоретический спо-
соб рассмотрения процессов окружающего нас реального
мира ставит перед математикой новые задачи, разреше-
ние которых в относительно самостоятельной форме
ищут в «математической теории систем». Высокая сте-
пень формализации, достигаемая теорией систем на этом
пути с помощью современной алгебры и функционального
анализа, делает возможным обобщение различных идей
и методов, возникающих в некоторых областях научного
познания, а также способствует лучшему их пониманию
и применимости. То, что теория систем — в противопо-
ложность классическим фундаментальным наукам (за
исключением современной математики) — в значитель-
ной мере абстрагируется от всякого семантического со-
держания рассматриваемых ею объектов, способствует
наведению мостов между специальными научными ди-
сциплинами (число их все увеличивается) и в значитель-
ной степени служит введению единообразия, логическо-
му упрощению и обозримости научных знаний.
Автор сердечно благодарит Т. Э. Кренкеля за тру-
доемкую работу, связанную с переводом этой книги на
русский язык, и особенно за его любезное согласие до-
полнить ее собственным интересным приложением.
Дрезден, 28.8.77 Г. Вунш
Предисловие
Понятие «Теория систем» было предложено К. Купф-
мюллером. Теория систем объединяет определенный круг
явлений, связанных с передачей информации в виде
электрических колебаний (тока или напряжения) по ли-
ниям связи (например, по кабелям или через четырех-
полюсники) .
Существенно новым при таком рассмотрении пове-
дения электрических систем передачи было то, что все
описание сводилось к описанию входного воздействия
(причины, входа) и выходного результата (действия, вы-
хода), а взаимодействие входа и выхода определялось
математически с помощью характеристических величин
линии передачи или системы передачи (передаточных
характеристик, параметров системы).
В качестве входных и выходных величин в дальней-
шем будем рассматривать такие величины, которые можно
представить в виде функций действительного пере-
менного (временных функций). Взаимосвязь этих вели-
чин в простейшем случае линейных систем можно пред-
ставить в виде интегрального преобразования (интегра-
ла Дюамеля). Плодотворность такого подхода к теории
систем прежде всего заключается в том, что преобра-
зования Фурье или Лапласа входных или выходных ве-
личин, определяются в наиболее простом и физически
легко интерпретируемом виде и связывают легко изме-
римые параметры системы.
Методы теории систем были в значительной мере
усовершенствованы и с успехом стали применяться для
случая, когда входные и выходные величины являются
случайными. Полученные в этой области результаты
обычно сводятся к «статистической теории систем».
Однако существенное расширение теории систем
произошло относительно недавно в связи с введением
понятия «переменная состояния». Современная теория
«пространства состояний» включает старую теорию в ка-
честве частного случая, которая по-новому называется
теорией «нулевого состояния» системы.
Независимо от теории аналоговых систем (систем
с непрерывным временем и несчетным множеством со-
стояний) до последнего времени самостоятельно разви-
валась теория систем с дискретным временем и со счет-
ным или конечным множеством состояний (теория авто-
матов). В этой теории понятие пространства состояний
играет основную, центральную роль, и благодаря такому
подходу становится возможным рассматривать аналого-
вые системы и автоматы с единой точки зрения. Кроме
того, существенно, что при этом безразлично, рассматри-
вается детерминированная или стохастическая система.
Следует подчеркнуть, что такой метод изложения теории
систем, объединяющий идеи, определения и пути реше-
ния, дает огромный методический выигрыш в препода-
вании данного предмета.
Данная книга в первую очередь преследует цель из-
ложить такой подход с единых позиций и не претендует
на математическую строгость. Следует отметить, что
в рассматриваемой системе понятий возможно описание
9
йе только систем, в которых входные и выходные вели-
чины зависят лишь от времени (системы с чисто вре-
менной шкалой), но и систем с пространственно-времен-
ной шкалой (решетчатые системы, системы с однород-
ными слоями).
Каждую реальную систему целесообразно описывать
с помощью операторов F и G (оператор переходов и
оператор выходов) или с помощью связанных с ними
отображений fug (функция переходов и выходов). Об-
ласть определения этих отображений состоит (в простей-
шем случае) всегда из двух основных множеств (наде-
ленных или не наделенных алгебраической или тополо-
гической структурой): множества состояний и множества
букв или слов. В стохастических системах эти ото-
бражения сами являются стохастическими операторами
(соответствиями), а в случае систем с пространственно-
временной шкалой появляется дополнительная зависи-
мость от пространственных координат.
Само собой разумеется, что при указанной выше на-
правленности книги автор не мог при рассмотрении от-
дельных классов систем углубляться в подробности, не
изменяя существенно объема работы. Везде, где изла-
гаются общие теоретические положения, рассматри-
ваются только линейные системы. Одновременно в каж-
дом пункте изложения теории систем однозначно ука-
зывается на связи со специальными и хорошо изученны-
ми разделами. По содержанию и форме изложения
данная книга представляет собой нечто среднее между
чисто математическим изложением основ абстрактной
теории систем (см. книги Калмана [25] и Заде [20, 21])
и специальными курсами автоматического регулирова-
ния, посвященными отдельным классам технических си-
стем.
Книга рассчитана на читателей, хорошо знакомых
с простейшими классами технических систем и обладаю-
щих некоторыми знаниями по теории систем в объеме
курсов, читаемых в высших технических училищах и
технических вузах.
Не могу не выразить глубокую благодарность всем
коллегам и товарищам по работе, которые в той или
иной форме способствовали написанию этой книги, осо-
бенно моим коллегам профессорам Ланге, Вошни и Фею.
Дрезден, осень 1973 Г. Вунш
Глава 1
ВВЕДЕНИЕ
1.1. Основные математические
понятия
1.1.1. МНОЖЕСТВА И ОПЕРАЦИИ
НАД МНОЖЕСТВАМИ
1.1.1.1. Обзор. Как и всякая другая научная дисцип-
лина, теория систем прошла длительный период развития.
Она возникла в связи со специальными вопросами, ка-
сающимися общего технического прогресса. И если пер-
вые новые идеи этой теории были связаны с появлением
новых задач передачи информации, то вскоре оказалось,
что проблемы техники автоматического регулирования
также могут быть решены с помощью теории систем.
С введением новых понятий, в частности понятия состоя-
ния, область применения теории систем в последнее вре-
мя значительно расширилась, и сейчас бывшие относи-
тельно самостоятельными теории об общих свойствах
цифровых систем (автоматов) и других, еще более об-
щих структурах, совершенно естественно включаются
в общую схему понятий теории систем.
Разумеется, данное развитие не было бы возможно
без сравнительно глубокого процесса абстракции. Наря-
ду с понятиями математического анализа (действитель-
ного и комплексного переменного) для описания и объ-
яснения выявляемых зависимостей сейчас необходимо
использовать понятия функционального анализа и, в пер-
вую очередь, алгебраические понятия.
Прежде чем попытаться в самых общих чертах опи-
сать в § 1.2 основную проблематику теории систем, т. е.
теории о свойствах динамических систем, нужно подгото-
вить минимум необходимых математических понятий,
чтобы иметь прочную языковую и смысловую основу для
двух первых основных разделов (§ 1.1). Данная мате-
11
мэтическая подготовка будет продолжена в гл. 3. Даль- I
нейшие вспомогательные сведения приводятся в соот-
ветствующих местах текста (см. [5]).
В § 1.2 на примере простых схем введены основные
понятия теории систем, после чего даны некоторые обоб-
щения понятий теории систем. ,
В заключение в общих чертах приводится классифи-
кация систем, которая одновременно дает определенное
представление об идеях, развиваемых в последующих
параграфах, и является кратким изложением всего пре-
дыдущего материала.
1.1.1.2. Множества. Множеством называется однознач-
но заданное (путем определения условий, признаков и -
- свойств) объединение предметов, данных опыта или объ-
ектов мышления.
Мы говорим, например, о множестве целых чисел,
о множестве точек круга, о множестве книг в библиоте-
ке. Последнее множество является конечным, два дру-
гих— бесконечными. Если предмет т принадлежит мно-
жеству М, то т есть элемент М, что обозначается
теМ. (1)
В противном случае мы пишем т^М(т не является
элементом М). Если 9(,58, ...—условия, определяющие
Af, то мы записываем
М={т\%, 58, ...}. (2а)
Например,
M={m|meC и Re(m)=0}*>, (26)
если М обозначает множество чисто мнимых чисел (С-
множество комплексных чисел, Re-действительная
часть). Конечные множества определяются также путем
указания их элементов:
Л4={/П1, mz, ..., тп} (За)
или
M={mv,v(=7„}; 7„ = {1,2,...,п}. (36)
Последнее обозначение может быть также использовано 3
и в случае бесконечных множеств при соответствующем |
выборе множества индексов 1п- В частном случае 1
{m}czM, т^М. |
*> Множество всех т, для которых теС и Re(m)=0. J
12 1
Следует отметить, что из каждой рассматриваемой
зависимости видно, обозначает ли zneM - постоянный
элемент из М или это переменная, которая может обо-
значать тот или иной элемент из М.
Пустое множество («множество», возникающее при
невыполнении условий Я, 9, ... ни для одного объекта)
обозначается 0. Если М есть множество N или
M<=N, (4)
то из теМ всегда следует m^N. Например, нату-
ральные числа 1,2,... являются подмножеством целых
чисел ..., —2, —1, 0, 1, 2, ... Если Mcz>N и NcM, та
мы записываем M=N, в противном случае M=£N. В пер-
вом случае М и N обозначают равные множества, во
втором случае — неравные множества. Всегда справед-
ливо MczAf, 0сМ.
Элементы множества могут сами являться множест-
вами. Такие множества называются системами мно-
жеств, которые принято обозначать
M = {Afv, (5)
Объединив системы множеств, получим семейства мно-
жеств
m={Mv, vG/„} (6)
и т. д.
Особое значение представляет степень множества
9(М). Оно состоит из множества всех подмножеств дан-
ного множества М. По определению, к элементам этой
системы множеств 9(Af) относятся также пустое мно-
жество 0 и само множество М: 0czM, Мс=.М.
1.1.1.3. Основные операции над множествами. Из дан-
ных множеств М и N при помощи определенных опера-
ций можно образовать новые множества, в частности,
.^объединение множеств М (J N\ пересечение 'множеств
М Р| N; и разность множеств
M(JN состоит из всех элементов, принадлежащих по
меньшей мере одному из множеств М и N, М Q ЛГ — из
всех элементов, относящихся одновременно к обоим мно-
жествам М и N.
*) Эти операции читаются следующим образом:
М (J объединяется с'ЛГ;
MlfYN]: М пересекается~с ДО;
М\ДО : М минус ДО.
13
Af\ N охватывает все элементы, относящиеся к М, но
не к ЛГ. На рис. 1 изображены указанные выше конст-
рукции множеств с помощью графических схем (диа-
грамм множеств). Если М A N=0 (отсутствуют общие
элементы у М и N), то М и N называются непересекаю-
щимися (не имеющими общих элементов).
Для операций (J, Q и |\ выполняются определенные
правила, например: (М |JW) QT=(Af f) Р) (J (N Q Р).
а — объединение;
М MDN N
5)
М M\N N
в)
Рис. 1. Диаграммы множеств:
б — пересечение; в — разность; г — прямое произведение.
Таким образом, по отношению к пересечению мно-
жеств образование объединения множеств является ди-
стрибутивным. Операция Q пересечения по отношению
к операции (J также является дистрибутивной, в чем
легко убедиться на основании рассмотрения диаграмм
множеств.
Следует также заметить, что U и Q ассоциативны,
например,
(JW, и М.) и и и Afj.
Поэтому можно кратко писать
3
М, U ^2 U или U
У=1
Объединение и пересечение множеств можно приме-
нять и к бесконечному числу множеств, что обознача-
ется
V V
Особую важность для всего последующего изложе-
ния представляет еще одна конструкция множеств: пря-
мое (декартово) произведение множеств М и N. Для
этого прямого произведения записывают
MXN. (7)
14
й понимают под этим множество, состоящее йз упорядо-
ченных пар элементов (т, п) *>, а именно множество всех
возможных пар (т, я) с т^М и n^N.
Соответственно Af,X AfaX • • • X Мп — множество всех
упорядоченных я-ок (ягр тл, с элементами
(v=l, 2, я), т. е. всех возможных объединений
по я элементов т* из я (различных) множеств с уче-
том их порядка следования (см. рис. 1, г).
В качестве примера приведем декартово произведе-
ние двух конечных множеств:
{а, &}Х{1, 2, 3}={(а, 1), (а, 2), (а, 3),
(b, 1), (Ь, 2), (Ь, 3)}.
В частности, можно рассматривать декартово произ-
ведение я одинаковых множеств. Тогда пишем просто
Мп вместо МХМХ.. .ХМ. Мп называется декартовой
степенью множества (Af — основание, я — показатель
степени).
1.1.1.4. Логические символы. Особые условные обозна-
чения для наиболее часто встречающихся логических
соотношений применяются не только с целью более крат-
кого описания, но в первую очередь, для более четкого
выделения логической структуры содержания.
Когда высказывание S является следствием высказы-
вания 91, то записывают
«=>»; (8а)
если 21 и 33 имеют равносильное содержание (высказы-
вания, утверждения), записывают
(86)
Тогда исходя из указанного выше можно записать
{m} С Af 7И
или (что легко проверить)
MQN и
Л1Х^={(т, п)\т^М и n^N}, S(Af) = {AZ|#cAf}.
В общем случае (m, n)=f=(n, т) (но {/и, п}={п, т}).
15
1.1.2. ОТНОШЕНИЯ И ОПЕРАЦИИ
1.1.2.1. Отношение. Между элементами т множества
М могут существовать определенные взаимосвязи (отно-
шения). Если, например, Л1—N является множеством на-
туральных чисел 1, 2, 3, ..., то взаимосвязь или отно-
шение «т есть делитель п» возможна для определенных
пар элементов (т, п) из МХЛ4 (например, для пар
(2. 4), (3, 6), (3, 9), а для других нет (например, (4, 5)).
Таким образом, упорядоченные пары элементов (т, п),
для которых выполняется заданное отношение а, обра-
зуют подмножество МХМ. Отсюда получаем общее
определение: подмножество МхМ есть (или опреде-
ляет) (бинарное) отношение а на множестве М: о—
—(МХМ), а(МХМ). находится в отношении о
с т^еМ, если (mi, m2) является элементом подмножест-
ва (МХМ), из МхМ определенного о:
mtamg <=4> (mp ms) G (Л4 X М)„. (9а)
Соответствующие определения справедливы и в слу-
чае многоместных отношений, которые задаются подмно-
жествами МХ'МХ.М=М3 или в общем случае Мп (я-
местные отношения).
Отношения могут иметь различные общие свойства.
Мы говорим:
, 1) о рефлексивно, если mom выполняется для всех
т&М;
2) а симметрично, если из miu/na всегда следует
maomi; - (96)
3) о транзитивно, если из mioma и m2omi всегда
следует miom3;
4) а тождественно, если из тцат^ и maami всегда
следует mi=ma.
Например, отношение с: на степени множества S3(M)
(М—любое множество) рефлексивно, а на множестве
действительных- чисел< («меньше чем») транзитивно и
^(«меньше или равно») тождественно.
Отношения могут быть) первоначально выражены
языковыми средствами (... «есть делитель» ...; ...
«меньше чем»...), но это не является обязательным.
Каждому, выраженному языковыми средствами отноше-
нию а на М ставится в соответствие подмножество из
Мп. Всякое подмножество из Мп представляет отноше-
16
ние а на М, независимо от того, может ли быть ДЛИ d
найдено языковое выражение или нет.
Не идентично формулируемые в разговорной речи
отношения могут быть идентичными, а именно тогда,
когда соответствующие подмножества Мп одинаковы.
Так как множество всех подмножеств Мп конечно (при
конечном М), то и в множестве М существует только
конечное множество различных «-местных отношений.
В бинарном отношении, заданном на М, все т&М,
стоящие в элементах из МхМ на первом месте, образу-
ют область определения ®(<у) отношения а. Соответст-
>кг
а)
Рис. 2. Граф отношения:
а — ветвь; б — в — дерево.
венно все элементы, стоящие в (т, п) на втором месте,
образуют область значений St (о) отношения о*>. При
определенных обстоятельствах отношение а является
специальным типа MiXM^ (Mi, M^czM, М1(']Мг=0).
Тогда отношение о можно рассматривать как отношение
на {Л, В} (AfidA, Мг<=-В) (см. подразд. 1.1.2.4). В бо-
лее общем случае:
1.1.2.2. Граф отношения. Так как бинарное отношение
о на множестве М характеризуется подмножеством MX
ХМ, то можно дать следующее геометрическое изобра-
жение а.
Каждому элементу /пу из М ставят в соответствие
точку А, (узел) на плоскости и соединяют kr с ks на-
правленным отрезком (ветвью) в том случае, если (kr,
ka)е(МхМ) (рис. 2,а).
Образованное таким образом геометрическое изобра-
жение называется графом отношения о. Каждому отно-
шению о на конечном множестве соответствует такой
(направленный) граф.
'*> Вместо 8 (о), SR (а) пишут короче: 8а, Яа,
2—619 17
Число ветвей, связанных с одним узлом, называется
степенью узла. Различают внутреннюю степень (число
ветвей, входящих в узел) и внешнюю (число ветвей,
выходящих из узла).
Дуга есть последовательность ветвей (ko, ki),
(kt, kt), ,.., (kn-i,kn), где ko (исходный узел) имеет
внешнюю степень 1 и внутреннюю степень 0, a kn (ко-
нечный узел) —внутреннюю степень 1 и внешнюю сте-
пень 0. Все остальные
узлы имеют внешнюю и
м внутреннюю степень, рав-
НУЮ 1 (рис. 2,6).
Циклом называется
fZ- ' \ ) дуга, у которой начало и
Г конец совпадают.
м м 1 Дерево — есть система
{ МЛ 1’ 2r- nj~ дуг с общим (и только
' общим) конечным узлом,
Рис. з. Разбиение на классы. называемым корнем дере-
ва (рис. 2,в).
Граф называется однозначным справа (граф отобра-
жения или состояния), если все его узлы имеют по край-
ней мере внешнюю степень, равную 1. Таким образом,
дуги и циклы всегда однозначны справа, но и другие
подграфы могут также обладать этим свойством (напри-
мер, деревья).
1.1.2.3. Отношение эквивалентности, и порядка. Отно-
шения, обладающие одновременно тремя первыми свой-
ствами, приведенными в (9,6), называются отношениями
эквивалентности и обозначаются знаком—.
Если на множестве М определено отношение экви-
валентности о=^, то элементы М можно однозначно
подразделить на непересекающиеся классы (подмно-
жества М) таким образом, что два элемента mi и тг
будут принадлежать к общему классу -(классу эквива-
лентности) именно тогда, когда они эквивалентны, т. е.
когда И наоборот, каждое подразделение на
классы {М,} множества М (любое разложение М на не-
пересекающиеся подмножества М, при условии |J М,=
=Л1) определяет отношение эквивалентности на М (при
котором пары (mi, mt), принадлежащие одному и тому
же классу, эквивалентны) (рис. 3).
Если, например, на множестве натуральных чисел N задано
и пг имеют одинаковый остаток при делении на a(nlt
18
ti2 , a&N), то <т=~ есть отношение эквивалентности на N. Классы
эквивалентности Mt, например, при а=3 имеют вид
Имеем
Af1 = {3, 6, 9, 12,
Л12 = {1, 4, 7, 10, ...},
Л4, = {2, 5, 8, И, ...}.
м3 = м2(}м3 = 0-,
M3\JM2\JM3 = N.
Отношения, для которых одновременно выполняются
1-, 2- и 4-е условия (96), называются отношениями по-
рядка (условное обозначение <(). Например,
есть отношения порядка на множестве действительных
чисел R.
Отношения эквивалентности и порядка принадлежат
к основным отношениям математики и ее применений
(и характеризуются, как и всякое отношение, подмно-
жествами МхМ).
1.1.2.4. Отображение. Наряду с отношениями эквива-
лентности и порядка особо важное значение имеет отно-
шение «отображение», или «функция».
Отношение а на Л! называется отображением (функ-
цией) *), если из marii и топг всегда следует nt=n2. Та-
ким образом, каждому т^М всегда может быть постав-
лен в соответствие самое большее только один элемент
п1=п2=п или (т, nt) и (т, ЛаНл^Пг) в-случае отобра-
жения никогда одновременно не являются элементами
(МХМ)' сМхМ; другими словами, (МхМ)а— одно-
значно справа (см. подразд. 1.1.2.2). n(=ni=n2) назы-
вают образом т, т — прообразом п. В качестве услов-
ного обозначения отношения принимается знак->и вме-
сто man или (М\М)а—{(т, л)}а = а записывают
т —и или {(т, п)}^,— —*. (10а)
Вместо (10а) можно также записать
fm—n или f(m)=n и (т, f(m))}j=^<_f(m)>, (106)
где отображение обозначается через f, g, ... Множество
всех прообразов, принадлежащих М, образует область
определения (область оригиналов) ?3(f)=AfD, а мно-
*) Иногда говорят также «преобразование» или «однозначное
справа отношение».
2* 19
жество всех образов отображения-»-образует область
изображений (область образов) 8l(f)=Mw (рис. 4).
В общем случае MDczM, MwczA1(Md,
и
С) 0 *
Важнейшим случаем является МО=М-, здесь речь
идет об отображении f из М в М, что обозначается
(11)
Если также Afw=M, то мы имеем отображение из М на
М (сюръективное отображение)
Рис. 4. Взаимно-однозначные отношения ((отображения):
а — область определения и область значений; б — образ — прообраз.
Возможно, что в некотором отображении не только
каждому элементу из MD в точности соответствует один
элемент из Mw, но и, наоборот, каждому элементу из
Mw поставлен в соответствие ровно один элемент из MD
как прообраз (и без того как минимум один элемент из
Мл соответствует каждому элементу из ЛЛу)- Тогда ото-
бражение на М называется взаимно-однозначным, и,
в частности, инъективным, если MD=Af, и биективным
(М<—>М), если При этом следует учитывать,
что в бесконечных множествах возможно взаимно-одно-
значное отображение множества М на одно из его (соб-
ственных) подмножеств .
Например, при записи у=х2 множество действитель-
ных чисел из интервала [0, 1/2] взаимно-однозначно
отображается на подмножество Afi=[O, 1 /4] из М—
=[0, 1/2] (при этом у=х2 является инъективным ото-
бражением из М в М).
Множества, взаимно-однозначно (или, точнее, биек-
тивно) отображаемые друг на друга, называются равно-
20
мощными. Например, из вышеприведенного видно, что
множество [0, 1/4] равномощно множеству [0, 1/2].
В частном случае может быть MoQ,Mu7 = 0. Тогда
MD и Mw можно рассматривать как самостоятельные
множества М и N, и, следовательно, можно говорить
о взаимно-однозначном отображении множества М на
множество N или множества М на множество N'
если W вложено в N' (Nc.Nf, рис. 5). К этому
случаю также можно применить понятия «инъективный»
и «биективный». В общем случае f: M-+-N есть некоторое
частное подмножество из MXN, а именно некоторое
однозначное справа подмножество (M/N)...
а — отображения «из ... в»; б — инъективное отображение; в — биективное
отображение.
Пусть f: M-+N есть отображение из М в W и g : Мг+
другое отображение из MiaiM в N. Если
совпадает с M-*~N на Afi, т. е. f(m)=g(m) для
всех m^Mi, то g’.M^N называется ограничением
f: >M-+iN на множестве Mic:Af и обозначается g : Mi->-
-+N=f\Mi.
Соответственно для одноэлементного множества {/п}С
f Г{т} = f | tn (tn G Af)
совпадает с одноэлементным множеством {(tn, п))сг/ИХ
XiW или, что одно и то же, с парой элементов (т, п)^
&МхМл где n—f(tn). f|Afi как специальные отно-
шения также являются подмножествами МХМ, и, на-
против,
естественно, являются только подмножествами N({n}cz
ajN^z^n^N). Это обстоятельство следует особенно учи-
тывать при анализе взаимосвязей в теории систем (см.
подразд. 1.2.1.2).
21
Очень важное значение для теории систем имеет объ-
единение отображений.
Пусть s
и
Af.fl4 = 0«
Тогда отображение g'M^ (J Мг —► N,
в котором g\Ml=g1, g\Mt — g2, называется объединени-
ем gigz отображений 'gi и g2.
К вопросу объединения отображений и другим, свя-
занным с этим проблемами, мы еще вернемся в после-
дующих разделах (подразд. 2.1.1.3). .
В заключение назовем еще один, особенно важный
для теории систем класс отображений: интегральные
преобразования
F(p)^^f(x)h(x,p)dx^p^y
(X)
Здесь речь идет об отображениях отображений, т. е.
о соответствиях типа
{(X. - Х2)} {(У, - У2)}: {(X, - Xe)} X Л - Yt,
где Xi, Хг, У1 и У2 обозначают (взаимосвязанные) под-
множества множества действительных или комплексных
чисел.
Наиболее важным интегральным преобразованием
является преобразование Лапласа
F (р) = f f (х) e~pxdx=L < f(x) > (Л (x, p) = e~xp),
6
f: R->R (непрерывная) с комплексной переменной p=
=o+/(B (<j=Re{p}<0) в ядре преобразования h(x, p)
й родственное ему преобразование Фурье
F (®) = р (х) e~la,xdx (h (х, р) = e-/<eJC),
22
$: (непрерывная), которое при /(х)=0 и х<6 мож-
но записать в виде
J f (х) e~lMdx= L<f(x)>P = iw.
Например, что легко вычислить,
Л<х>=1//Л L<sinax>=a/(psH-a2),
т. е. выполняется
(х Х)х(=я “* Jr-,
(x->sinax)xe^(p- •
1.1.2.5. Алгебраическая структура*). Множества М и
N'=B можно выбирать совершенно произвольно; напри-
мер, Af может означать декартово произведение АхА.
Тогда вместо М-+В получаем с помощью
АХА-+В (12)
отображение, при котором упорядоченным парам эле-
ментов (аь а2) (аь а2еЛ) из АхЛ ставят в соответствие
элементы b из В: (ai, аг)-*-Ь; f(ai, аг)=Ь. Другими при-
мерами отображений являются отображения типа
АХ^ХВ^^> Ап-^В**>. (13)
Такие отображения декартовых произведений в мно-
жества называются алгебраическими операциями на
множествах А, В, ... Если R есть множество действи-
тельных чисел, то Rn-»-R совпадает с понятием «функция
от п независимых переменных» ***>.
Совместно с одной или несколькими операциями
(отображениями типа (13)) множества А, В, ... образу-
ют алгебраические структуры.
♦) В отечественной математической литературе принято более
общее понятие — алгебраическая система, введенное А. И. Маль-
цевым (см. «Математическая энциклопедия», т. 1).
«Алгебраическая система — множество с определенными на нем
операциями и отношениями. Алгебраическая система принадлежит
к числу основных математических структур и имеет глубоко раз-
работанную общую теорию, сформировавшуюся в начале 50-х г.
XX в. на грани между алгеброй и математической логикой». (Прим,
перев.)
“> Включая случай п=1 (А—>Л).
***> Следует иметь в виду, что и операции являются (специаль-
ными) отношениями.
23
В простейшем случае алгебраическая структура со-
стоит из одного единственного множества А и одной.
бинарной операции типа А XА->А *>.
Тогда^вместо (а„ ал)—►a,(a‘GA, v= 1,2,3) обычно
записываются, о at=а, (или и т. п.). При этом о
есть символ алгебраической операции. Для A=R, напри-
мер, о может означать операцию «сложение» (о—+)
или «умножение» (о=-). Сама алгебраическая структура
(носитель системы А+.операция о) обозначается симво-
лом (А, о).
Другой пример алгебраической структуры —
(83(Л4), (J) (степень множества с операцией объедине-
ния).
Если алгебраическая операция о, кроме того, удов-
летворяет некоторым общим условиям (например, вы-
полнение закона ассоциативности {at о аг) оа«=
=aio (агоаз), коммутативного закона fiti о <22=0200:1), то
соответствующие структуры (А, о) имеют принятые
в алгебре специальные названия (полугруппа, группа
и т. д., -см. § 3).
Полугруппу мы получаем, например, в том случае,
если (кроме о, &ЕЕА =>ооА) операция о является
ассоциативной.
В качестве элементарного и наиболее важного при-
мера рассмотрим множество Ф={А->А) всех отображе-
ний <р:А->-А множества А в себя. Так как носитель
алгебраической структуры можно выбирать произвольно,
то в качестве элементов он может также содержать и
отображения в себя некоторого множества
(А -г А=(А X А)_ С А Х;А подразд. 1.1.2.4).
Определим в Ф={А->А}={ф} операцию фкфг (умно-
жение) отображений <pi и <р2 как (ф1-ф2)а=ф1(ф2, a)-
При этом речь идет о последовательном выполнении ото-
бражений: сначала с помощью <рг элемент а&А отобра-
жается в <р2а=6&А, затем b с помощью <pi отображается
в ф16==с. Таким образом, из чиеФ и фг^Ф получаем
новое отображение фгфгеФ. В общем случае фгф2
является некоммутативной операцией (фгфг^фг'фО, но
ассоциативной:
?, •(?••?«) s(?i •?«)•?«•
♦> Не учитывая еще более простой случай: А—>А (Л—
24
Ассоциативность доказывается следующим образом:
?>(?!- ?3) а=[(ф2 • ?,)«]=ф, [?2 (?sa)] = (?,•?,) ?,а.
Если для всех аеА q>a=a, то <р=йре— тождественное
(нейтральное) отображение.
Таким образом, совместно с произведением отобра-
жений множество всех отображений <р: А->А образует
полугруппу (с нейтральным элементом <ре). Таким же
образом множество всех конечных последовательностей
(слов) Оь аг, ..., ап из А образует по отношению к опе-
рации объединения слов полугруппу.
В заключение заметим, что операцию о на А можно
перенести на множество {А-*-А}:
(Ti-?2)a=?ia • ?2а.
Как правило, таким образом задаются все алгебраиче-
ские структуры, элементами носителя которых являются
отображения.
Исходя из этих простейших структур, путем введения
дальнейших операций или (носителей) множеств, мы
переходим к новым алгебраическим фундаментальным
структурам (кольца, поля, векторные пространства
и т. д., см. § 3). I
Вее эти алгебраические структуры задаются аксио-
матически, в том смысле, что основные свойства опре-
деляемых операций считаются выполненными.
Например, мы получаем определение векторного пространства
(линейного пространства), когда выполняются следующие условия:
1) задано множество V с элементами v2, v$,... (векторы)
и бинарная операция (VX^—сложение -|-), которая каждым
двум элементам Vy v2 из V ставит в соответствие некоторый тре-
тий элемент из V: 0]-|-<»2=®з;
2) (oi+»2)4^s^i+(»2+»3);
3)
4) уравнение »1-|-^=^+У1==^2 имеет единственное решение: г=
=02—сч;
5) задана операция умножения на скалярную величину (VX
XR—>V), которая каждому действительному числу <zeR и каж-
дому Vi^V ставит в соответствие некоторый t/2eV:
vra=a-o1S=v2;
6) выполняются соотношения
«г (<z2,o)a=(«i«2) -v,
(ai-pxs) • 0=ai • v-pa2 • v,
a-(»1+о2)=<х-»1+а-»2,
l-v=v.
25
Если для структуры (V, -|-) выполняются только первые четы-
ре условия, то говорят о коммутативной группе, т. е. элементы век-
торного пространства, согласно определению, являются всегда эле-
ментами группы.
1.1.2.6. Топологическая структура. Особое значение
среди отображений типа АХА-+А имеют отображения
типа ЛхЛ->Я+ (где R+—множество неотрицательных
действительных чисел).
Мы говорим, что множество А образует метрическое
пространство, когда каждому элементу («1, а2) из АхА
ставится в соответствие элемент r==p(ai, аг) из R+,
обладающий следующими свойствами:
1) р(ар а2) = 0 только тогда, когда а1=а2;
2) р(а„ а2) = р(аг, а,); (14)
3) р (а„ а,) + р (а2, а3) > р (ata3).
Множество действительных чисел R с р(п, г2) =
=|Г1—г2| (п, r2^R), очевидно, образует метрическое
пространство. р(а±, а2) называется расстоянием между
элементами at, аг, принадлежащими А, или метрикой
метрического пространства, образованного А совместно
с р((Л, р)). Множество всех элементов а из М, которые
удовлетворяют неравенству р(а, ai)^.k (at фиксирова-
но), образует окрестность ai.
Метрические пространства являются частным случа-
ем значительно более общей структуры, а именно топо-
логического пространства. Вообще о топологическом
пространстве говорят в тех случаях, когда можно ка-
ким-либо образом задать «расстояние» и «окрестность»,
с помощью которых, как будет показано в дальнейшем,
можно определить понятие предела.
Если поставить в соответствие каждому натуральному
числу 1,2, 3, ... некоторый элемент Л (отображение
N—-Л), то получается последовательность а,, а2, а.......
... — (a) (av G Л). Такая последовательность сходится
к пределу a G А когда р (av, а) стремится к нулю при
стремлении v к бесконечности:
Р (а,, а) —► 0 при v — оо*>. (15а)
•) Так как в предельном переходе речь идет об особой форме
соответствия, то в этом случае мы также применяем символ ото-
бражения.
В этбм случае Записывают также
av—^a (при V —оо) или lima„=a (156)
v->oo
и называют последовательность (а) сходящейся. В этом
случае справедливо следующее утверждение: при выборе
произвольного е>0 всегда можно указать такое Уо>0
(которое должно звисеть от е), что
Р (а , а ) < е для всех v, р. >Nt. (16)
У
Обратное не всегда верно. Если для некоторой последо-
вательности (а) элементов а, из А выполняется (16), то,
возможно, не существует а^А, для которого выполняет-
ся (15а).
Зададим, например, в множестве рациональных чисел
R, последовательность ^1 -f- -^у j, которая, очевидно,
удовлетворяет условию (16). Однако при этом не су-
ществует никакого рационального числа Го, обладающе-
го свойством
р[(1 + -7"У > -г«]—”0 ПРИ v-*9°>
так как
limfl-|--^-) =e^R0.
V->OO \ r /
Последовательность (av) из А, обладающая свойством
(16), называется сходящейся в себе (фундаментальной
последовательностью, последовательностью Коши). Если
сходящаяся в себе последовательность (а) из А являет-
ся сходящейся (т. е. а,—при v—»оо; av, а^А), то
пространство (Л, р) называется полным (относительно мет-
рики р).
Рассмотрим еще отображение метрического простран-
ства (Л1, pi) в метрическое пространство (Л2, рг):
Л, -Л2
или а2 = f (a,) (a, G Лр а>г G Л2).
Отображение f называется равномерно непрерывным,
когда для каждого е>0 можно найти б>0 такое, что
27
Для всех ai, a'i^A с pi (ai, a\) <b, справедливо также
Р.1Ш)- / (a'.)] <e.
При равномерно непрерывном отображении Л,—«-Д
сходящаяся в себе последовательность (а) из А, отоб-
ражается также в сходящуюся в себе последователь-
ность (f(av)_H3 Л,.
Топологические структуры могут быть одновременно
и алгебраическими структурами, и в этих случаях ме-
трика подобных структур косвенным образом определя-
ется в алгебраических понятиях.
Пусть, например, V — носитель некоторого конечномерного век-
торного пространства, т. е. каждый oeV представим в виде
п
о = 2 еХ (е,е V).
Vsal
(17)
где п не может быть выбрано меньшим. В этом случае метрику
можно вводить через определение скалярного произведения
010» = 2 (18а)
при помощи и ° и =1/ 2 < 18б>
нормы (длины вектора), которая, очевидно, обладает следующими
свойствами:
О ||Р.И>Он ||о|| = 0,
только когда oj=0;
2) II 0,1+ о» У<II01II + II о» II;
3) ||г-о|| = |г| ||о|| (гSR). (19)
Тогда
G (»1> »»)= II »i — о2 II = |/ 2 — °2)2’ (ЭД
Уаяв!
очевидно, является метрикой в V.
Введение нормы возможно даже и в том случае, когда век-
торное пространство является бесконечномерным (когда нельзя
представить все векторы из V в виде (17)) и, следовательно, нель-
зя определить скалярное произведение в виде (18).
Например, V=C, множество всех непрерывных действительно-
значных функций f, определенных на интервале [О, 1], со сложе-
нием (вычитанием) fi+ft и умножением r»f, определенным обыч-
28
Иым образом:
(fi±f2) (x)=fi(х)±Ь(х); (г-/) (x)=r-/(x);
reR, xe[O, 1] (подразд. 11Л Jt5),
также является векторным пространством. В качестве нормы этого
пространства можно выбрать
|| f II = max | f(x) | . (21а)
Тогда метрика определяется как
Р (А> A) = II Л — A II = max | Д:(х)Н «(X) | . (216)
0^л<1
В случае если функции f не являются непрерывными на интер-
вале /, то
Р (А. /») = sup | h (х) — А (х) I = IIА — АII (21в)
вляется метрикой и соответственно sup | / (х | •— нормой.
На этом закончим предварительное рассмотрение общих мате-
матических основ теории систем. Более полное и глубокое изло-
жение затронутых вопросов можно найти в [5, 7, 19].
1.2. Основные понятия теории системы
1.2.1. ВХОДНЫЕ И ВЫХОДНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ.
ПЕРЕМЕННЫЕ СОСТОЯНИЯ
1.2.1.1. Динамическая система. Понятие динамической
системы в зависимости от постановки задачи и практи-
ческих требований может приобретать более широкое
или более узкое значение.
В технике под динамической системой в первую оче-
редь понимаются взаимодействие физических величин
х, у, г, ..., eR*\ возникающих в технических устрой-
ствах и приборах и рассматриваемых с определенной
точки зрения.
В качестве простейшего примера рассмотрим элек-
трическую цепь (четырехполюсник) (рис. 6). Между
пятью существующими в этой цепи физическими вели-
чинами, четырьмя напряжениями ui„ Uz, uR и uL и то-
*> х, у, z,..— переменные из множества действительных чи-
сел R (снабженные физической размерностью).
29
ком I существуют следующие Зависимости:
иц = %1’
ut = uL, uL — Hdi/dt). (22)
При этом предполагается, что индуктивность L и сопро-
тивление R постоянны, т. е. не зависят от тока, напря-
жения и времени t.
С учетом электротехнических применений данной це-
пи введенные в этом примере физические величины (пе-
ременные системы) подразделя-
ются на:
а — заданную величину щ
(причина, входная величина);
иг б — величину, предназначен-
ную для некоторой цели ы2 (дей-
ствие, выходная величина);
„ _ „ в — величины, участвующие в
(электрическая система), преобразовании щ >в и2: проме-
жуточные величины Ид, uL, i (вну-
тренние переменные системы).
В более общих случаях динамическая система может
иметь большее число входных и выходных величин
(внешних переменных системы), которые совместно
с внутренними переменными системы являются функция-
ми времени. В качестве примера приведем задачу управ-
ления полетом ракеты. Входными величинами в этом
случае являются положение рулей и расход топлива,
а выходными величинами — координаты ракеты и ее ско-
рость.
Основной задачей теории систем является вскрытие
зависимостей между входными и выходными величинами
некоторой динамической системы в наиболее общем, не
зависящем от привлечения специальных свойств системы,
связанных с ее реализацией (элементная баЗа, структура
взаимосвязей отдельных элементов и т. д.) виде.
1.2.1.2. Переменные состояния. Входные ' величины
в качестве причины определяют изменения во времени
всех переменных системы и, в частности, всех выходных
величин. Значение этих величин в определенный, задан-
ный момент времени t в общем случае зависит от изме-
нения во времени входных величин на интервале (—оо,
/), т. е. значения внутренних переменных системы и ее
выходных величин, как правило, определяются всей
30
предысторией изменения входных величин. В случае
если предшествующая данному моменту времени эволю-
ция входных величин известна не полностью (изменение
входных величин известно только в интервале [/о, Л
(/о<О, предшествующем моменту времени О, то может
оказаться, что в общем случае этой информации будет
недостаточно для определения значений внутренних пе-
ременных системы и выходных величин в настоящий мо-
мент времени. Однако в том случае, когда имеется до-
полнительная информация о значениях определенных пе-
ременных системы в момент времени /о, значения вну-
тренних и выходных величин снова могут быть опреде-
лены полностью. Таким образом, отсутствие информации
об изменении входных величин на интервале (—оо, /0)
можно скомпенсировать тем, что известно значение неко-
торой переменной систему в момент времени /«. Такие
переменные системы называются переменными состоя-
ниями. Проиллюстрируем эти основные для всей теории
систем положения, на примере двух реальных систем.
Например, для цепи, изображенной на рис. 6 и опи-
сываемой системой уравнений (22), для £^4=0 имеем
Г 1 -1 1 --1
i(/)= i(O)+-^-j\('t)eL dt e L
L Q
(23a)
(236)
Если входная величина «1(0 на интервале [0, fi]=/
непрерывна, то, например, переменная системы i(t) для
каждого момента времени t^I однозначно определяется
по значению тока i(t) в момент времени t=Q и по вход-
ной величине Ui(т) для ОгСт<£ независимо от того, при-
нимали различные входные величины (или какие-либо
другие переменные системы) значения отличныехот ну-
левых при /<0, или нет. Воздействие, оказываемое «i(it)
на систему до момента времени t=0, например на изме-
нение i(t) для £>0, можно, очевидно, учесть только
в одном значении тока в момент времени /=0: значение
i(0), образно выражаясь, содержит в себе всю предысто-
рию эволюции системы.
То же самое относится и к выходной величине: «2 (О
для любого момента времени t^I также определяется
через значение I в момент времени t=0 и Ui(r) для 0^
31
Приведенные выше соображения, облаченные
в символическую форму, задают для цепи, изображенной
на рис. 6, однозначные отображения*)
(24а)
(О < *),
К'(0), (246)
Из этих свойств (24) следует, что ток i является
переменной состояния цепи, изображенной на рис. 6.
Мы должны уже сейчас обратить внимание на то, что, несмот-
ря на одинаковое написание, «1(т) с математической точки зрения
обозначает понятие, отличное, например, от i(0), i(t) или «2 (О-
Если отвлечься от физических размерностей, то Ui(t) обозначает
отображение (функцию) некоторого интервала, принадлежащего
множеству действительных чисел R, в R. Если интервал обозначить
как 7, то Ui(r)cz/XR; наоборот, i(0), »(/), u$(t) являются эле-
ментами из R (которые, однако, соответствуют строго определен-
ным моментам времени). Это обстоятельство мы в дальнейшем
также будем учитывать при помощи соответствующего изменения
символических обозначений (см. 2.1.1.). Здесь же еще раз под-
черкнем, что, как следует из предыдущего, например, символиче-
ское обозначение {(т, )} или {(т, ц(т))} лучше передает
смысл функции — в данном случае и(х).
В более общих случаях динамической системе соот-
ветствует более одной переменной состояния, т. е. (24а)
выглядит следующим образом:
[?’ (0), z*(0), ..., г” (0); х(т)] — z* (/) (25а)
|г’(0), z‘(0), ...,г"(0); x($]^zn(f)
(0<г<0,
а вместо (246) имеем
[г*(0), z’(0), ...,z”(0); х(т)] — y(t) (О<х<0, (256)
где через х обозначается единственная входная величи-
на, единственная выходная величина обозначается через
у, а переменные состояния обозначаются: г1, г2, ..., гп.
Рассмотрим динамическую систему, изображенную на
рис. 7.
*) В данном случае безразлично, записываем мы или
32
Физические величины F (сила), v (скорость массы
/п), х (отклонение пружины с постоянной упругости k),
z (смещение массы) и а (угловое перемещение ролика
радиуса г) связаны между собой следующими уравне-
ниями:
F = k(x — г), v=A
F = /n^-, а = А (26)
Если рассматривать х как входную, а а как выход-
ную величину системы, взаимосвязь между ними для
Рис. 7. Механическая система.
£>0 можно выразить в виде
_____________________ t ____
z (t) = у J X (г) sin у (/ —Т)
О
+ z(0)cos +v(0)/^-sin/Af, (27a)
v(0=^-. (276)
a(0=(4-)z(0. (27b)
Очевидно, что значения z(t), v(t) и «(/) определяют-
ся через х(т), z(0) и о(0). Таким образом, по аналогии
с (25) имеют место отображения
[г(0), 1/(0); х(г)]-г(0,
(0<-с<0 (28а)
[г(0), о(0); х(т)]-*п(0 ,
и
[г (0), v (0); х (т)] а (/) (0 <т < /). (286
3—619 33
Переменные системы z и v представляют собой пере-
менные состояния для системы, изображенной на рис. 7.
1.2.1.3. Основные уравнения. Из физического содер-
жания соотношений (25) следует, что, когда входная ве-
личина определена на более общем интервале [f0, t\ вме-
сто zv(0) (v= 1, 2, и), следует ввести =^0,
Например, в (256) наряду с тем, что zv(0)(v=l, 2, ..., п) и
х (т)(0 <" О определяют величину у (0, ее значения можно опреде-
лить и. по zv (/0) (*-#0) и х (х) (*•<*£</)• Эта взаимосвязь не за-
висит от сдвига по временной оси.
В качестве примера рассмотрим еще раз цепь, изображенную
на рис. 6, описываемую уравнениями (22). Решение на интервале
[/о, 0, в соответствии со сделанными предположениями, имеет
вид
t
j “i (0
/о
i (о = »Уо) + 4:e-WI)
u2(t) — Ldi/dt. (29)
После введения вектора состояния *)
z1
Z2
z= .
Zn
(25) можно записать более кратко:
[z(Q, — z(0
[z (А>), х(т)]-> y(f}
(30a)
(306)
или, что то же самое:
z(0=fIz(/#), х(т)]
(fo<^<t) (ЗОв)
И0^=°МА>)> *(т)]
Уравнения (30) представляют глобальные основные
уравнения динамической системы (с одной входной и
♦) zv обозначает у-ю координату вектора состояний.
34
одной выходной величина-
ми и конечным числом пе-
ременных состояния). Из
них следует, что из вну-
тренних величин некото-
рой динамической систе-
мы выбираются п вели-
чин z*, г2, .zn (пере-
Рис. 8. Система с многими вхо-
дами и выходами (векторная си-
стема) .
менных состояния) таким
образом, что выполняется следующее: для всех моментов
времени /о и />/о при произвольном характере измене-
ния входной величины х(т) на интервале
z’ (f) (v = 1, 2, ..., п) и у (t) являются функциями х(т) и
г’Л(/0) (|л= 1, 2, ..., п) (и только функциями этих величин).
В случае большего числа входных и выходных величин
в уравнениях (30) вместо функций х (т) и у (t) записыва-
ются векторы (т) и р (t), так как в этом более общем
случае г входных величин х*1 (т) и s выходных величин
у1 (т), так же, как и в (30а), записываются в виде век-
торов. Более подробно (ЗОв) при этом записываются для
в виде (рис. 8)
= .... z’(Q; х‘(^), Z(t)] (р=1, 2, ...,п),
/(0 =0^(0. •••.г"(О: х‘(г),...,хг(т)1 (* =
= 1,2. ...vs). (30г)
F и G обозначают определенные специальные отображе-
ния, осуществляемые данной системой, с определенны-
ми (хотя это рис. 8 и не изображается) областями опре-
делений и значений.
В случае цепи, изображенной на рис. 6, с учетом (29), (опера-
тор) записываем:
Р{...) =
. С .. е'*'1’ ' Л (31а)
На месте многоточий записываем величины, не зависящие от
функционирования системы и\ (т), фо), to, t и т. д., как задано
в (29):
F [i (/о), «1 0)] =
t
i Go) + "77 е—z° «i (т)
/о
(316)
3*
35
1.2.1.4. Алфавит состояний. Понятие состояния можно
представить в геометрическом виде.
Если речь идет о системе только с тремя переменны-
ми состояния (z1, z2 и z3), то смысл первого соотношения
в (306) можно очень наглядно проиллюстрировать с по-
мощью геометрической модели.
Так как в соответствии с (ЗОа) z’ обозначают коор-
динаты трехмерного вектора, то в момент времени t=to
имеем фиксированный вектор z(fo), проведенный из на-
Рис. 9. Траектория состояния:
а — трехмерное пространство состояний; б — координаты состояния и входная
величина.
чала координат и определяющий некоторую фиксирован-
ную точку в пространстве (рис. 9,а). Ситуация справед-
лива также и для любой точки временного интервала
f=r>lfo, т. е. z(t) описывает как функцию времени неко-
торую пространственную кривую с начальной точкой
z(/o) и конечной точкой z(t), когда т изменяется в интер-
вале t^x^t. Для каждого фиксированного т значение
z(-r) задает состояние динамической системы в момент
времени i=x. Множество Z3 всех векторов z образует
алфавит состояний динамической системы*).
Первое соотношение в (306) теперь можно описать
следующим образом: если динамическая система нахо-
дилась в состоянии z(t0) (начальное состояние), то в ре-
зультате воздействия на нее входной величины х(т),
определенной на интервале она переходит в со-
стояние z(f) (конечное состояние). При этом z=
=z(t) описывает некоторую кривую в алфавите состоя-
*) Z3 (в общем случае Z”) называется пространством состоя-
ний.
36
ний (пространстве состояний, см. рис. 9,6), которая на-
зывается траекторией состояния системы.
Подобная интерпретация возможна также и в случае
большего числа входных и выходных величин. Кроме
того, приведенные рассуждения остаются справедливы-
ми, когда динамическая система имеет большее (или
меньшее) число переменных состояния.
Следует также отметить, что в основных уравнениях
(30) всегда предполагается Физически это означа-
ет, что из состояния системы в данный момент времени
z(/o) можно сделать заключения о поведении системы
только в последующие моменты времени. Таким обра-
зом,'в общем случае не предполагается, что по заданным
z(fo) и х(т) можно также определить и z(t) при t<to
Иными словами, если известно конечное со-
стояние z(f0) и, кроме того, х(т) на интервале
то начальное состояние системы z(t) остается неопреде-
ленным. Те же рассуждения справедливы и для выход-
ной величины y(t).
Будущее поведение некоторой динамической системы
зависит от всей ее предшествующей эволюции в той ме-
ре, насколько эта предыстория в общих чертах влияет
на начальное состояние. Таким образом, динамические
системы по определению не обязательно являются обра-
тимыми системами.
1.2.2. КЛАССЫ СИСТЕМ
1.2.2.1. Алфавиты и отображения. На примере простей-
ших электрических и и электромеханических схем (1.2.1)
были введены и подробно объяснены основные понятия
теории систем, такие как понятия входной и выходной
величин и переменных состояния. Теперь займемся фор-
мально математическим и алгебраическим анализом
структуры систем с более строгой точки зрения, пресле-
дуя цель создания основы для теоретической (и практи-
ческой) классификации систем.
Исходя из основных уравнений динамической систе-
мы (30г) (теперь записанных уже в векторной форме)
z(Q = F[z(/0), г СО],
(/.>0 (32)
^(Zl) = G[z(Z0), tjC)]
37
можно установить, что для всестороннего описания ди-
намической системы должно быть задано три основных
множества:
1) множество X значений входных величин х (вход-
ной алфавит);
2) множество Y значений выходных величин у (вы-
ходной алфавит);
3) множество Z значений переменных состояния z
(алфавит состояний).
Вектор z(fo), принадлежащий алфавиту-состояний, и
соответственно z(/i) тогда являются элементами «-крат-
ного декартова произведения ZxZxZx.. .xZ=Zn,
а именно «-мерного алфавита состояний системы. Соот-
ветственно для s выходных величин у1 (f4) алфавитный
вектор p(Zi) является элементом s-кратного декартова
произведения выходного алфавита Ys, который соответ-
ственно называется s-мерным выходным алфавитом си-
стемы.
До сих пор предполагалось, что X=7=Z=R. Для
того чтобы получить более общее определение системы,
под множествами X, Y и Z следует понимать множества
более общего вида. При таком подходе входная вели-
чина х’(?) (fo^t<7i) или как говорят, входное слово
из X уже определяется как отображение некоторого
интервала /=[М, tfi) действительной временной оси R
или в более общем случае множества 7<и=/Р) Т®, где
временная шкала Г0 представляет собой произвольное
подмножество из R, в множество X:
Х^-.Т^Х, /=[/„/,)• (33)
Т01 называется интервалом наблюдения величин системы.
х' (т), естественно, является координатой вектора J (?)
входных величин xj(t), х2(т), ..., хг(т), который мы так-
же будем называть входным словом, принадлежащим
Хг. Если через
$ = (34)
обозначить множество всех отображений всех множеств
Toi в декартово произведение Хг (или в некоторое под-
множество этого множества), то соотношения (32) мож-
но записать как отображения вида
Г: Z" X ЭЕZ",
G:ZnXX — Ys. (35)
38
При этом опять предполагается, что входной алфавит
Хг системы ^-мерный, выходной алфавит У3 s-мерный и
алфавит состояний системы n-мерный (см. рис. 8). Есте-
ственно, не следует понимать (35) таким образом, что
такое отображение имеет 'место в реальных системах
данного класса. Этот момент будет подробно разобран
ниже.
1.2.2.2. Классификация систем. Динамические системы,
встречающиеся в практике, описываются математически-
ми моделями, которые получаются из (35) или за счет
уточнения входящих в них выражений, или за счет их
обобщения.
Принимая во внимание требования практики, дина-
мические системы различаются по следующим свойст-
вам: а) по виду временной шкалы Т°; б) по виду мно-
жеств (алфавитов) X, У, Z и в) по типу отображений
F, G.
а) Если Т°—R, то система принадлежит к классу си-
стем с непрерывным временем. Наше рассмотрение про-
стейших примеров началось именно с таких систем (см.
рис. 6 и 7).
Системы с дискретным временем возникают в том
случае, когда T°=R заменяется на множество G целых
чисел. При этом вместо непрерывных функций т(т) име-
ем «дискретные» функции i(vTo) (v=m, m + 1, ..., п>1),
т. е. последовательности или слова
<Х, 5m+i •••> ,’=vT0(7’.eR)>
которые с теоретико-множественной точки зрения озна-
чают то же самое, что (см. разд. 1.1.2.4)
{(/п, r(m)), (m-f- l,?(m+ 1)), ..., (n— 1, ?(n— 1))}
(vsvT,, v=m, ..., n—1).
Если нас интересуют значения z(/i) только в дискрет-
ные моменты времени ti=vT0, то первое уравнение из
(32) записывается в виде
= f Jm, •••> ?„_i]
(n=m-\- 1, m-j-2, ...) (36а)
и, в частности, для п=/п-|-1 (в более подробной записи)
z(m-|-l) = F[z(m); (tn, v(tn))] = f fz(m), 5 (m), tn]
(m^G). (366)
39
Соответствующим образом можно записать и второе
уравнение из (32) ( § 2.2).
(366) представляет собой отображение типа ZnXXrx
ХТ°—*Zn, т. е. в более простой форме по сравнению
с (36а) или (35). Так как (36а) можно получить из
(366), то дискретные системы предпочтительнее описы-
вать с помощью (локальных) основных уравнений (366).
Как будет показано ниже, такое упрощенное описание
систем возможно и для других классов систем
(разд. 2.1.2).
б) Если множества X, У, Z бесконечны (в частности,
X=y=Z=R), то система называется системой с беско-
нечным алфавитом. Однако в современной технике об-
работки данных особое значение имеют системы с конеч-
ными алфавитами, в частности, с дискретным временем,
которые называются автоматами. В этом случае отобра-
жения F и G задаются таблицами соответствий (§ 2.2.).
Кроме мощности множества X, У и Z можно разли-
чать по внутренним алгебраическим и топологическим
структурам: X, У, Z могут выступать в качестве носи-
телей групп, колец, полей, векторных пространств, ме-
трических пространств и т. д. В дальнейшем изложении
этому обстоятельству будет уделено большое внимание.
в) Наконец, отображения F и G могут наделяться
специальными свойствами: например, можно говорить
(их еще следует определить) о линейных, инвариантных
во времени, непрерывных и других отображениях.
Например, F в (32) называется линейным (точнее,
аддитивным), когда справедливо (для соответствующих
алгебраических структур) соотношение
HMU+zUQ. 5, W+f, (*)]=
=7 [z. (*.)> г. W1+р k* &), « (37)
Системы, отображающие функции которых F (и G)
обладают такими свойствами, рассмотрены в данной
книге особенно подробно.
Наиболее важные свойства отображений рассмотре-
ны более детально в § 2 (рис. 10).
Между названными основными типами динамических
систем есть множество промежуточных типов динамиче-
ских систем (например, с конечными алфавитами X и У
и бесконечным алфавитом Z), которые представляют не
только теоретический, но и практический интерес. Одна-
40
ко в рамках общего ведения в теорию систем, которое
представляет настоящая книга, подобные системы под-
робно не рассматриваются.
В заключение следует сказать кратко о двух обоб-
щениях понятия системы, которые более подробно опи-
саны в § 3 и 4.
Первое обобщение имеет дело с расширением поня-
тия временной шкалы Т° до более общего понятия про-
странственно-временной шкалы RmxT° (₽c:R, m=\, 2,
входной
алфавит
выходной
алфавит
Рис. 10. Схема отображений детерминированной системы.
3). Вместо отображения (366) в этом случае имеет ме-
сто более общее отображение (г—n=s=l)
z(r,/+l)=f[<z(r.)>(0, <x(rI)>(/),M]*)fGG; (38)
г, t.,
которое можно записать в другом виде:
f: {Rm—Z} X {Rm — X}X XT°)^z,
где Xi&Rm и t^Rm являются геометрическими
точками на плоскости (/п=2) или точками во внутрен-
них областях некоторых пространственных фигур (т=
=3). На этом пути получается математическая модель
решетчатых структур, которые имеют большое значение
в первую очередь в технике хранения информации и
биокибернетике. Классификация обычных систем с чисто
временной шкалой (яг=0) переносится на этот случай
без каких-либо изменений.
Во втором обобщении детерминированные отобра-
жения F и G заменяются стохастическими (случайными)
*> В более общем случае вместо скалярных величин г, х могут
быть записаны векторы г, г.
41
отображениями. При этом входные, выходные величины,
а также переменные состояния могут принимать свои
значения только с определенными вероятностями.
Например, для дискретных систем с конечными алфа-
витами вместо (366) имеем выражение вида
P(z(tn-\- 1), z(tri), f(/n), tn) = p, (39)
которое означает следующее: вероятность того, что в мо-
мент времени t=mTo состояние z(tn) и входной вектор
i(m), имея определенные значения, в момент времени
t=(m+l)To приведут систему в состояние z(m4-l),
равна р (O^psgU).
И в этом случае специальные свойства функции Р
отображают поведение наиболее важных классов стоха-
стических систем: например, вместо (39) в частном слу-
чае можно записать
P(z(m-|-1), z(m), г (tn), tn) = P(z(tn), f (tn), tn) (40)
(§ 4).
Эта теория, в частности, охватывает стохастические
автоматы и все структуры, рассматриваемые в статисти-
ческой теории систем.
Более полный и исчерпывающий теоретический ана-
лиз понятия состояния можно найти в [20].
Глава 2
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИСТЕМ
2.1 Системы с непрерывным временем
2.1.1. ОПЕРАТОРЫ ПЕРЕХОДОВ И ВЫХОДОВ
2.1.1.1. Введение. В настоящей главе более подробно
рассмотрены некоторые классы систем, которые были
в первом приближении описаны в разд. 1.2.2.2. Линей-
ные, непрерывные системы, инвариантные во времени,
рассматриваются в относительно простой и математиче-
ски не самой общей форме. В основном изложение по-
священо выводу основных уравнений такого класса си-
стем и получению некоторых основных свойств систем,
исходя из этих уравнений.
В качестве наиболее наглядной и целесообразной мо-
дели динамической системы можно указать схемы, кото-
рые можно реализовать также и техническими средства-
ми. Схемы приводятся для каждого класса рассматри-
ваемых систем.
Названные выше системы рассматриваются как си-
стемы с непрерывным временем и бесконечными алфави-
тами, а именно с алфавитами X=K=Z=R. После этого
довольно легко можно перейти к системам с дискретным
временем как с бесконечными, так и с произвольными
конечными алфавитами.
На первый план всегда выдвигается физический
аспект теории, а алгебраический или в более общем
случае структурно-математический аспект теории систем
играет вспомогательную роль.
Таким образом, гл. 2 дает основное представление
о важнейших классах детерминированных систем и их
основных свойствах.
Начиная с гл. 3 в основном излагается теория ли-
нейных систем и для них проводится подробный анализ.
43
2.1.1.2. Обозначения и терминология. Дополним рас-
смотрение основных уравнений динамических систем,
уточнив обозначения и способы записи этих уравнений.
В соотношениях (1.30) z (Q, z(/) и «/(^обозначали оп-
ределенные значения величин z и у в момент времени
или/(гС^Кп, «/(^~R); наоборот, x(t) является функцией
-R}) из интервала (/0=С т </) =/. Однако это
обстоятельство при принятой до сих пор форме записи
недостаточно очевидно. Поэтому в теории динамических
систем договорились величины х, у, г, ..., рассматривае-
мые в отдельные определенные моменты времени t, всег-
да обозначать через x(t), y(t), z(f), ... Функции, имеющие
в качестве аргумента время из интервала на-
оборот, обозначаются как xt^, yt°f, zt<>t (или также через
<л(/)>, <«/(/)> и т. д.). Если х/о/1 представляет со-
бой временную функцию (входную величину), то значение
функции xtti в момент времени х (/0<т </t) обозначается
через 9lxz. | т=х(т). Временная функция, которая согла-
суется с xtfi на интервале [т^,) <т1</1), т. е.
функция х , ограниченная интервалом [Vi), обозначает-
ся таким же образом при помощи символа xt t | [хот,) =
= XXoV
Соответствующие обозначения приняты для выход-
ных величин и для переменных состояний (см. подразд.
1.1.2.4).
Например, z(x) = 3lzM |т является некоторым фикси-
рованным вектором состояния, принадлежащим траекто-
рии изменения состояния z^, a z^ | (%,т1) = гТо.ч обозна-
чает часть траектории изменения состояния (изображен-
ной пространственной кривой).
В дальнейшем величины xt t, yt t, zt . и др. кратко
будем обозначать х, у, z в тех случаях, когда положение
интервала определения не представляет интереса в свя-
зи с рассматриваемыми вопросами или остается неиз-
менным на протяжении всего изложения.
В соответствии со сказанным основные уравнения
(1.30в) динамической системы можно теперь записать
44
t
I
в виде
z(/1) = F[z(Q, x,J;
y(^) = G[z(Q, xzJ;
(zGR"> УGR. xG{T*R}, xZo/i = x |[*.,/,)); (la)
F называется оператором переходов, a G оператором
выходов динамической системы. Более точная характери-
стика этих операторов и является одной из основных
задач теории систем.
F и G можно привести в еще более короткой записи
z' = F(z, х, #„/,), (1б)
y = G(z, х,
где z обозначает начальное, а т! — конечное состояния.
В некоторых случаях целесообразно рассматривать
выходные величины не для фиксированного момента вре-
мени t, а одновременно на всем интервале
В этом случае, кроме х, выходная величина у также
представляется как функция т на интервале и
вместо второго соотношения из (1а) можно записать
(=)
Следует всегда четко различать хЦ), y(t), ... и др. и
понятия х<о<1, у<о<1, ..., ... следует интерпрети-
ровать как величины, определенные в момент времени t,
и обращаться с ними как с числами (характеризующими
некоторые измеряемые величины), а не как с упорядо-
ченными парами элементов (t, х), (t, у) и т. д.
Величины x/(>fi, у/(Л, ... и др. являются множествами
упорядоченных пар элементов (т, х), (т, у), ... и т. д.
(см. подразд. 1.1.2.4).
В дальнейшем рассмотрении, в соответствии с (1а),
предполагается, что входное и выходное пространства
одномерны.
2.1.1.3. Основные свойства. Пусть на данную динами-
ческую систему с отображениями F и G воздействует
входная величина х, неизвестная точно до момента вре-
мени t=to. Если по результатам измерений становится
известно, что х во временном интервале опи-
45
сывается временной функцией х/(Л и что вектор состоя-
ния в начальной точке временного интервала to прини-
мает значение z(/0), то можно вычислить значение, кото-
рое принимает вектор состояния и выходная величина
к конечной точке интервала к: (уравн. 1а, рис. 11):
z(/l) = F[z(Q, X/J,
#(Q=G[z(/,), x<oJ. (2a)
В любой другой момент времени, принадлежащий за-
данному интервалу, вектор состояния и выходная вели-
Рис. 11. Объединение слов:
о — входное слово; б — слово со-
стояний.
чина принимают значения
z(O = F)z(/o), х/Л],
^) = G[z(Q,xJ. (26)
Здесь xt t обозначает наблюдаемое изменение входной
величины на интервале |/0, t), т. е. функцию xtah, ограни-
ченную интервалом tx).
Экспериментатор, который начинает свои измерения
х и z начиная с момента времени t^t^, естественно,
должен получить те же значения z и у в момент време-
ни t = tx. При значении z(/), имеющем место в момент
времени I, в соответствии с (26) и при наличии функции
х( t, ограниченной интервалом \t, tx), которая обозначает-
ся как xtt, получаем так же, как и в (2а), (см. рис. 11):
z(/,)==F[z(Z), x, J = F{F[z(/.), xj, x„J (За)
46
И y(f,)=G[z(O, x,J=G {F[z (/,), xzJ, x„J_, (36)
где учитывается, как и в предыдущем, уравнение (26).
Чтобы упростить формулы, будем обозначать функции
xz< и xffi, определенные на смежных интервалах ^0, t)
и [Л /,), через х, и х2. Через х,х2 обозначим объединен-
ную функцию на интервале [/0, /,), которая на интервале
[/0, t) совпадает с х^, а на интервале [/, Q соответст-
венно с xtt (см. рис. 11).
Определенные таким образом xtt и xtt можно рас-
сматривать как самостоятельные, ограниченные элементы
из {Г0—>R}, объединение которых дает функцию х^ =
=х/1(Хх(/1. В момент времени т, таким образом, функ-
ция х = х,х2 принимает значения
Xi при
х2 при (4)
С учетом сформулированных в (3) свойств отображе-
ний и с учетом (2а) можно записать:
оператор переходов
F (z„, х,х2) = F [F (z0, х2), х2], (5а)
оператор выходов
G (z„ x,xa)=G [F(z„ х,), х2]. (56)
Таким же образом легко получить для (1в)
Н (z0, Х]Х2) =Н (z0, х,) Н [F (z0, х,), х2], (5в)
где z (t0) кратко обозначается z0, и в соответствии с (4)
у/(Лможно записать в виде ytJyfh или у,у2 (yv=ylf ytt==
=у»Л<*<Л).
При помощи (5) выражаются наиболее общие свойства
соотношений между входными и выходными величина-
ми, реализуемых динамической системой.
Рассмотрим соотношение (5а) на примере схемы,
изображенной на рис. 6.
47
Из (1.2,3а) следует (и0/ = ы1(т) в интервале [0, ^), что
i(Q = Fp(O),uoJ = 1(0) 4
В промежуточной точке мы также имеем (0 </</,)
»(0 = Г[1-(0),ио/1=р(0)+-^|и1(г)еЛ 'dx е L*.
L о
(66)
Из предыдущих соотношений следует, что
‘(0>+-М
5-.
ы, (т)е dx-|-
i(/1) = F[l(O),uo<uJ =
Из (1.29) следует, что последняя строка (7) представ-
ляет наиболее общий вид отображения F (F в (6а) —
это частный случай при 1=0). Следовательно, можно
положить
i(l,) = F[i(0), uoZufJ = F [i(/), uzJ = F[F(i(0), uj. u>„J,
что и требовалось показать.
2.1.1.4. Нулевое состояние. Рассмотрим теперь один
предельный случай.
48
Как было показано в приведенных выше примерах, все
элементы z“ вектора состояний z, в частности, в (1.30а)
могут равняться нулю. В этом случае
А
z = z(Q= • = о(/„) (или и) (8)
. и
называется нулевым состоянием динамической системы,
представимым нулевым вектором о. Входная величинах,
идентично равная нулю на интервале [Wi), называется
нулевой входной величиной и обозначается
Ч(=°(Л (и™ °)' (9>
Уже приведенные в разд. 1.2.1 примеры указывают на
то, что в общем случае
F(z(Q, О), F(o, х), (10а)
а также
G(z(/.), О), G(o, х) ' (106)
отличны от нулевого вектора или нулевой величины.
Однако для заданного момента времени t=to опреде-
ленное состояние
(v=l, 2, ..., k)
может при всех удовлетворять
<П>
Такое состояние называется стационарным. Как пра-
вило, г== о является стационарным состоянием (см. рис.6).
Заметим еще, что F(z(Q, 0<f) и G(z(Q, Of<) явля-
ются функциями от и z(Q:
OVi) = F,(z(Q, t„ О,
t„ it). (12a)
4—619
49
Это уже очевидно из уравнений, описывающих рис. 6.
С учетом (1.316), например,
0/oJ=i(f.)e . =
=M(U. tt, о-
Для обоих других выражений F и G в (10) можно, не
боясь путаницы, положить
(126)
G (»’ X^.)=G2(XW1)
или также
F(o, xt<>t) = F\(t„ tt, x),
(12в)
G(o. xVl) = G*.(*.^. x).
2.1.2. НЕПРЕРЫВНЫЕ СИСТЕМЫ
2.1.2.1. Непрерывные отображения. Кроме введенных
выше в (2.5) основных свойств, многие динамические
системы или классы динамических систем обладают
определенными свойствами, связанными с непрерыв-
ностью, которые отражают в определенном смысле не-
прерывность отображений (2.1). Очень часто отображе-
ния F и G, связанные с некоторой определенной систе-
мой, являются непрерывными в следующем смысле:
Пусть х/оЛ и две входные величины и z(Q = z
« z'(/0)=2=z', два начальных состояния одной и той же
динамической системы (с операторами F и G). Тогда раз-
личие между
z = F(z0, х) и z' = F(z'o, х')
лли
y==G'(z„, х) и y' = G(z'a, х')
•тем меньше, чем меньше х = х/(Л и х' = х(,оГ1,а также ze
и z', отличаются друг от друга.
То же самое справедливо в (1в) и по отношению
к Ум.’
50
Таким образом, незначительно отличающиеся вход-
ные величины и начальные состояния в наиболее важ-
ных случаях приводят к незначительно отличающимся
выходным величинам и конечным состояниям.
Например, для схемы (см. рис. 6), описываемой (1.23а), для
двух входных величин и\ и и'\ и двух состояний i(0) и i'(0)
(0 == R (°) —
4» 1 -г'Г т'
— i'(0)]e L +-£-е L j [и, (t) —a', (-c)J eL du
6
и, следовательно,
t
| i (t) - i' (t) I < I i (0) i’ (0) I + 4- JI «1W - «'1 WI dz.
0
Поэтому | i (t) — ir (t) I <e при
t
I (0)| <-|- и (13a)
0
Следовательно, если два начальных состояния и две входные ве-
личины мало отличаются в смысле (13а) друг от друга, то тоже
самое справедливо и для соответствующих конечных состояний.
С другой стороны, для выходной величины u2(t) в соответствии
с (1.236) имеем
я2 (0 = tii (0 — Яе L
If - х
Z (°) + “ I (т) zL
6
Для двух входных величин и двух состояни! получаем
(0 — (/) = Hi (0 — (0 —
— — t Р —— /Г — т
-Яе L (Z(O)-Z'(O))-—е L J (ttl (т) ~ (т)) eL dz
о
и, следовательно,
(01 <1 «1 (0-и'1 (01 +
t
+ Я I i (0) — i' (0) I + 4" J | «1 (t) — «'1 (t) I du.
Следовательно, таким же образом, как и для i (t),
|«,(0-В'2 (0 I <е.
4*
51
при j
f I
|/(0)-Г(0)1<з^. Jl«iСО-«'. b) l^<^-
О I
I «1 (О — (О 1<4"- <135) *
'Таким образом, разность между двумя выходными величинами
и2(/) и u'2(t) можно сделать сколь угодно малой, если, кроме
приведенных в (13а) условий, выполняется еще условие j
I«1(0-«'1(0 к-у, I
,т. е. входные величины должны в правом конце интервала при- .
нимать одинаковые значения. Это требование для переменной со- |
стояния i(t) не является необходимым.
В следующем разделе мы обобщим сформулированные в рас-
смотренном примере соотношения (при этом следует учитывать, что '
второе условие в (136) выполняется, а третье выполняется для ‘
всех т из (0, /)).
Исходя из относительно узкого класса систем Ко,
описываемых обыкновенными линейными дифференци-
альными уравнениями (с постоянными коэффициента-
ми), можно прийти к выводу, что по крайней мере си-
стемы этого класса можно описать системой уравнений
£ида
z(O = F[z(f.), xfJ,
y{f) = G\z(tt), xj,
zGV^GR, xG{T»-*R}, (14)
jB которых отображения обладают свойствами (5а). i
(Однако так как в систему уравнений (14) входят толь-
ко некоторые и притом простейшие свойства класса /Cd ;
(например, непрерывность отображений F и G совер- !
чшенно не учитывается), то класс реализуемых систем,
удовлетворяющих (14), очевидно, шире класса /Cd-
В том случае, когда хотят ограничиться специальными
классами систем, например системами с непрерывными |
«отображениями F и G, то, очевидно, что система урав-
нений (14) обладает чрезмерной общностью. Можно
заключить, что не только возможность описания систе- j
мы линейными дифференциальными уравнениями имеет
.следствием непрерывность системы (как показывает
приведенный выше пример), но и, наоборот, из опре-
$2
деленных свойств непрерывности отображений F и G
следует, что описываемая ими система характеризуется
дифференциальными уравнениями.
Рассмотрим еще раз пример, соответствующий рис. 7. Из (1.28)
следует (форма записи соответствующим образом изменена):
хо^]>
у(1) = а (0 = Gt [z(0), v (0); x0J = G [z(0), x0J, (15a)
С другой стороны, из (1.26) следует:
(dz \
dt \ / v (t) \
. = / h . 1=
dv I I k x k , I
~dt)
_ ffll— > V(t), —] \= , (^) „). (156>
j/(0 = a(/)=y- z = g[i(t), —].
Сравнение (15a) c (156) приводит к выводу, что, по крайней
мере, для систехМ класса ^D вместо (14) проще записывать диффе-
ренциальные уравнения вида
^- = /[z(0, х(0],
y(0 = gk(0> *(0Ь
(16)
Этот вопрос далее рассмотрен подробнее.
2.1.2.2. Функции переходов и выходов. Мы показали,
что систему (14) можно свести к системе дифференци-
альных уравнений, достаточно только наложить на F,
G и элементы x = xZq/i множества X входных величин
определенные условия, связанные с непрерывностью.
Пусть x = xZo,i — некоторая непрерывная функция, за-
данная на интервале [/0, t,) и
отображение F[z(/0), xzJ
(z(QGR", х/оХ=х/Л1[^, г)
(рис. 12) дифференцируемо как функция т: < х
Тогда, учитывая (5) и
f*tat — х/0;,11*»» 0\
\xh = M[/' ’)/
z(f)=F [z (Q, х
(17a)
53
находим
>=lim FW'>’*m1-F^)>M (х>г>), (176)
at ъ — 1-
>=lim □;<'> (,>0. (17в)
Далее предполагается, что предел (17в) существует
также и в левом конце интервала t0:
Рис. 12. Ограничение слова. Рис. 13. Постоянное сло-
во.
Если, в частности, предположить, что х/(Л— постоян-
ная функция х t t = (xa)w имеющая значение ха в [/„ t,)
(рис. 13), то в этом случае F в (18) полностью опреде-
ляется через z(Q, ха, ta и Ч(*.)<0, = (*<>)'О):
Р [z (*.), (х.) J = f, [z (ta), ха, ta, г]. (19)
В этом случае и частное, стоящее под знаком предела
в (18), также является функцией только этих величин
и, следовательно, его предел согласно (18) зависит
только от z(to), Хо и t0:
F [z(/0), (xa)t J Z(Q /ПЛ\
hm -----------—f--------------= z'* = f z(Q, xa, . (20)
Мы хотим показать, что при дополнительных пред-
положениях о непрерывности более общий предел
(176) так же, как и производная от z(t), зависит толь-
ко от z(t), x(t) и t.
54
С учетом (20), (17в) и хн= (х(/))<х, x(t) — 91xfx|/
(рис. 13) получаем
.. F [z(l), (x(/))fx]-z(0
hm -----------—-t----------=f z(0, x(t), / (21)
и, таким образом, соответственно (176) и (21)
dA-f[z(t), x(t), /] =
F[z(0, xM]-z(0 F[z(0, (x(0W-z(0
= iim----------------lim -----------*-----=
x_^+0 T 1 x->/4*0 T 1
^lim I ^(O.xJ-F[z(O,x(Q)fx]l
^/+o[ J v '
Предположим теперь, что выполняются следующие
предположения о непрерывности:
IIF [z(0, xj- F[z(0, (x(0)Jlz<Uxfx-
- ^(O)hILO- 0- (23)
Здесь норма ||.. .||z понимается в смысле (1.20), норма
II-.-Их — в смысле (1.216). Константа К не должна за-
висеть от т. С учетом (22) и (23) получаем вследствие
(19)
F[z(t), xM]-f [z(0, (x(0)fJ
Jim --------------:-------- <-
<limK||xM — (x(0)ft|L=
(24)
=Klim lmax|x(£) — x(/)|]=0.
Но при этом выражение, стоящее в квадратных скобках
в (22), равно нулю (см. (1.19)), и мы получаем
^=f[z(t), х(0, И- (25)
55
Таким же образом получаем при том же смысле сим-
волов х^, (х(0)/о,, К ит. д.
' = x/oJ=limG[z(0, xj =
= IMG [z (0, x J - G [z(0, (x(0 | J} +
+ lim G [z (0, (x (0) J = g [z (0, x (0, 0, (26)
Т-И-1-0
где G[z(0), xZoJ (для непрерывной x<ofi) непрерывна как
функция т по t (t„ < т < 0) и выполняется
||G[z(0, xJ-G[z(0, х(0)м]’|г<КЦхи-
-(•*(0Ш- (27)
Таким образом, если F, G и х удовлетворяют опре-
деленным условиям непрерывности, то справедливы ло-
кальные основные уравнения
^- = f[z(0, х(0, 0, (28а)
H0 = g[z(0, х(0, 0. (286)
f[z(0, х(0, 0 называется функцией переходов, a g[z(0,
х(0, 0 — функцией выходов динамической системы,
описываемой уравнениями (28).
Отметим еще, что локальные уравнения (28) с ма-
тематической точки зрения проще в том смысле, что f
и g являются обычными функциями действительного
переменного, в то время как F и G операторы.
В развернутом виде уравнения (28) записываются
в виде системы дифференциальных уравнений
^-=f.[^(0,^(0..................z"(0; х(0, 0,
^-=0[2*(0, z\t), ..., г"(0; х(0, 0
^=f„[z*(0, z2(0, ..., z«(0; x(0, 0 (29a)
56
и для (286)
но, •••, X(t), 0. (296)
Из (24) вытекает, что к определенной траектории
в алфавите состояний, заданной с помощью х и z(/0).
всегда можно провести касательную (геометрический
смысл—рис. 14).
Система, описываемая уравнениями вида (28а) и
(286), называется непрерывной системой. В общем слу-
чае dz/dt и у(t) являются не только функциями z и х,
но могут также в явном виде зависеть от t.
Рис. 14. Траектория со-
стояния с касательным
вектором.
xYt)
x"ft)
yfihtp[x'ft),
Рис. 15. Структурная
схема системной опера-
ции (отображения).
То, что в (15) переменные состояния z и v и выходная вели- -
чина а не зависят в действительности от каждой из величин г, vt
х, t (как в общем случае), объясняется простотой примера. Уже
для рис. 6 вместо (1.22) имеем систему уравнений
И1==«^ + «Р aR=R(t)i,
d
u2^uL, ul = -^-(L (i) i). (30a)
в том случае, когда омическое сопротивление R зависит от /, а ин-
дуктивность L зависит от L После несложных преобразований
уравнения (30а) можно привести к системе уравнений вида (28):
di ut — R(i)-i
di L (i) + (dL/di)
«2=«1—R(t) -i=g(i, «ь t). (306)
Таким образом, при рассмотрении электрических цепей, содер-
жащих нелинейные (L—L(i)) и переменные во времени (R~R(t))
элементы, для них можно записывать уравнения в самой общей
форме (28). Следовательно, форма записи системы уравнений (28)
не является слишком общей для практики.
57
2.1.2.3. Модель системы. Основные уравнения неко-
торой, в общем случае непрерывной, динамической си-
стемы можно представить в виде схемы (моделирова-
ния), которая в общих чертах отражает структуру
системы уравнений (29) и таким образом служит изо-
бражением общей структуры некоторой непрерывной
системы.
Такая схема моделирования получается вследствие
того, что операции, выполняемые системой, разлагаются
на элементарные. Каждая такая операция представ-
Рис. 16. Элементарные операции:
а — интегрирование; б — отображение, умножение, возведение в степень; в —
сложение (вычитание); г — отображение, умножение; д — задержка.
ляется в виде прямоугольника (операторного блока),
с одной стороны которого указаны входы для входных
величин, а с другой — выходы для выходных величин,
получающиеся из входных величин в результате вы-
полнения над ними элементарных операций.
В общем случае может быть, что нескольким входным
величинам x'tt) соответствует одна выходная величина.
Если обозначить соответствующую операцию (соответ-
ствующий оператор) через if, то можно записать
И0=Ж(0. х*(0. •••> *"(*)] (31)
и графически представить это соотношение, как показа-
но на рис. 15.
В случае, если речь идет о вполне определенной опе-
рации (интегрирование, сложение, умножение и т. д.), то
вместо общего символа ф используется символ соответ-
ствующей операции.
58
На рис. 16 изображены некоторые часто встречаю-
щиеся элементарные операции. Операции сложения и
вычитания в порядке исключения изображаются в виде
круга. Следует также отметить, что в (31) возможен
случай, когда xn(t)—t (рис. 17).
Как правило, величина х встречается в схеме на
входных и выходных .сторонах различных блоков. Гра-
фически это изображается в виде соответствующих ли-
ний, соединяющих отдельные блоки. Например, для ото-
бражения
У1 = 1Ах1, л2),
(32)
У* = К(х', J?)
соответствующая схема приведена на рис. 18.
x2W
Рис. 17. Общая системная операция. Рис. 18. Выполнение ос-
новных операций.
Рис. 19. Модель непрерывной динамической системы.
После этих предварительных замечаний можно лег-
ко перейти к моделированию общей системы уравнений
v-e уравнение из (29а) совместно с (296) можно
смоделировать с учетом сказанного выше в виде схемы,
59
изображенной на рис. 19. Если для каждого v (v=
= 1, 2, ..., п) нарисовать такую схему и соответствую-
щим образом связать многократно появляющиеся вели-
чины, то можно получить универсальную модель неко-
торой непрерывной динамической системы. Для случая
п=2 такая связь операционных блоков подробно изо-
бражена на рис. 20.
Рис.- 20. Модель при и=2 (непрерывная динамическая система) -
Рис. 21. Пример непрерывной
динамической системы.
В качестве примера на рис. 21 приведена схема,
соответствующая (15). Так как речь идет о сравнитель-
но несложной системе с двумя переменными состоя-
ниями, то рассматриваемая схема является частным
случаем схемы более общей непрерывной системы
с двумя переменными состояниями, изображенной на
рис. 20 (ср. рис. 20 и 21).
60
2.1.3. ЛИНЕЙНЫЕ системы
2.1.З.1. Основные свойства. Линейные системы пред-
ставляют наиболее важный класс динамических систем.
Динамическая система называется линейной, когда ее
основные уравнения (1а) обладают следующими двумя
свойствами, описываемыми уравнениями:
1-е свойство', пусть х' = х't t и х" = х^— входные
величины, z'0 = z'(/,) и z^ =z"(/0)— начальные состоя-
ния. Тогда выполняются следующие соотношения
((х'-|-х") — входная величина, (z'o-|-z"o) —начальное
состояние):
z(0=-F(z'„ + z'', х' + х”) =
= F(z'o, x') + F(z'', х"),
z/(/)=G(z'04-z'', х' + х") =
= G(z'o, x') + G(z", x"). (33a)
2-е свойство-, пусть x и kx— входные величины, z0
и kzo — начальные состояния. Тогда выполняются следу-
ющие соотношения (z0 = z (Q, x — xt°t):
г (t) = F(kz,, kx) = kF(z0, x), (336)
i/(0 = G(^z,, kx) = kG(z„, x).
k обозначает некоторую константу (££R).
Например, схемы, приведенные на рис. 6 и 7, являются линей-
ными системами. Проведем доказательство этого положения для
рис. 6. Из (29) следует
Р [i' (*.) + i" (<.). «'i (*) + и", (г)] =
(Q + i" (t 1 _R to * R x ] o)+ye L ° I [a'i (x)+ «”i (t)] eL di X to 1 -г'» С т x 1 ~r i' (Q + e L \ u't (t) eL di e L to
61
= F [*' Vi), W, (г)] +F [»" (/,), и", (г)].
Аналогично можно доказать справедливость соотношения
F [М (/,), to. (t)] = kF [f (/,), в. (г)].
В случае линейных систем соответствующими свойства-
ми должно обладать и уравнение (1в).
Если ввести упорядоченную пару элементов (zo, х),
которую назовем положением системы и обозначим
s=(z0, х), (34)
и ввести операции
s' + S" = (z'0> х') + (<, х") =
= (Л + ^'« х' + х")
(s' = (z'„ х'), s" = (z'', х")) (35а)
и
As=A(zox) = (Azo, Ах), (356)
то свойство линейности динамической системы, описан-
ное в (33), станет еще более наглядным
F (s' + s") = F (s') + F (s"), F(ks)=kF (s),
G(s' + s") = G(s') + G(s"), G(As) = AG(s). (36)
Системы, которые удовлетворяют только условию
(33а), называются аддитивными, а системы, удовлетво-
ряющие только условию (336), — однородными. Следо-
вательно, линейные системы являются одновременно и
аддитивными, и однородными. Знак сложения, стоящий
между двумя функциями или векторами, следует пони-
мать в обычном смысле, так же как и умножение на
константу А (см. подразд. 1.1.2.5).
2.1.3.2. Свободные состояния. Если в соответствии
с (33а) положить
(ze, x) = (z0,O) + (u, х), (37)
то из приведенных выше определений следует, что
основные уравнения аддитивной (и в первую очередь
линейной) системы можно записать следующим образом
62
o-f-z=z, O+x=x):
z = F(z„ x)=F(z0, O) + F(d, x) = z,4-zt,
y=6(z„, x)=G(za, O)H-G(d, x)=yt+yt. (38a)
С учетом (12) в подразд. 2.1.1.4 можно записать (z,=
= z(Q, x = xv):
z2 = z8(0 = F(o, x) = F2(x),
z1 = z1(/) = F(z0> О) = Л(г0. 0>
Уг=& (0 = G («>> x) = Gs (x),
У> = У> (0<=G (z.> O)=G, (z„ t,, f). (386)
Следовательно, в аддитивных системах (и, в частности,
в линейных) конечное состояние z(t) разлагается на сум-
му двух конечных состояний zt (/) и z2 (f). Конечное состо-
яние z2(/) достигается в том случае, когда в начальный
момент времени t=t„ входная величина х = х/(>/ воздейст-
вует не на рассматриваемое начальное состояние системы
ze = z(Q, а на систему, находящуюся в нулевом состоя-
нии о. Zi — z^t) представляет конечное состояние, кото-
рое получается в результате воздействия нулевой вход-
ной величины Of< на заданное начальное состояние си-
стемы z(Q. Такие’же рассуждения справедливы и по
отношению к выходной величине y(t) или же для выход-
ной величины ytt из (11) (подразд. 2.1.1). z,(/) называется
свободным состоянием (состояние при нулевых входах),
a z2(Z) — вынужденным состоянием (вызванным х) аддитив-
ной или линейной системы.
Соответственно у\ (t) называется свободной выходной
величиной, а у2(4)—вынужденной выходной величиной.
Следовательно, если рассматриваемая динамическая
система является линейной, то в (38) имеем
F^z'. + ^z'', kix'-\-k2x") = F[k1z't, ^x'J-J-
+ ^[Мо"» x')]4-F[M<, x")] =
= V(z'„ xO + V^o’’ x")> (39)
в частности, (z'e = z" = o)
F(u, k1x' + klx'r)=klF(j>, x') + V(«>. *")
или с учетом (386)
Ft fox', ktx")=k'Ft (x') + ktFt (x"). (40a)
63
Соответствующие соотношения выполняются вследствие
(39) для F,, Ga и G„ где опять вместо xtt или z(/0) пи-
шем кратко х или z,:
+ 0 = АЛ(г'о, A,, O + VMV 0>
G2 (kX + Лах")=kfi2 (x') 4-ЛД (x"),
G.^z'. + ^z" t., = t., o +
+ *A(<> tt, t). (406)
В линейных системах, как следует из сказанного выше,
всегда
F(e, О) = 0 и G(e, О) = 0 или и.
2.1.3.3. Свободные матрицы переходов и выходов.
Используя свойства (40), мы хотели бы преобразовать
уравнения (38). Для этого свяжем векторы zj и zo
с ортогональным базисом (ёь ё2, ..., ёп) следующим
образом:
п
.|Х.
(41)
0'
о
Как следствие получим
вое представление:
из (38) и (40) следующее но-
Z1(O=2^(O^ = F(zo, t„, t)^=
р.=1
= Л (42)
1 р.= 1 J ,гх=1
64
Если связать с базисом (eti ________ еп) также и векторы
zl‘=F, К t„, /], то, учитывая
п
ЛК. *1=3 %(*«. t)ev, (38) и (42), (43)
v=l
Л _
2.(*)=Зг;(*К = Л(2„ *.,/) =
V=1
П П П П
= S (*.)2 <%>(*.. *) =3 3 ? (*,) у.. *)
|ДЛ01 Vk>1 У=1 р,= 1
Сравнивая отдельные координаты, получаем
п
гИ*)=Зг,‘(*.)Ф,3*.. 0 (v=I. 2...........п), (44а)
JJLsssl
что можно записать в матричном виде следующим обра-
зом:
1 V/ \ /Фи vo0 Ф12 (^0> 0 • • • Ф1/1 V0> 0
321 (0 । /Ф21 (^о» 0 Фаа^о» 0 • • • Фал Ро> 0
М*) =
2», (0
1Фл1(^> 0 Флг(^о> 0 • • • Флл G<p 0
Z4Q
(446)
\zn (Q
Таким же образом для //Д/) получаем выражение
п
и аналогично (43)
°, К- *..*)=К (*«.
(45а)
(456)
6S
5-619
Если система имеет несколько выходных величин
У1, Уа, Уа, то (45а) можно записать аналогично (446):
1у\ (0 \
у\ (О
• 4»ln(f0, Ж
Фц (*.. О Фп (<«. О • • •
(*.. О «Ргг (io. О • • • ф2я (io. О
У*1 \
*2(U
(45в)
Матрица
ф=(%,(^ 0)=ф&. О
(46)
в (446) называется свободной матрицей переходов или
фундаментальной матрицей*); она переводит состояние
z(f0) в состояние z(i), причем при нулевых входных ве-
личинах, что очевидно из (38а).
Матрица
T=(TR(i0,/))=Т(^,0 (47а)
или
п=’(*. *)' ад.. о. • • - о)=ад. о (476)
в (45) называется свободной матрицей выходов линей-
ной системы, так как Т (совместно с начальными со-
стояниями) определяет выходные величины (результат)
при нулевых входных величинах.
Если объединить понятия, введенные в (38), (44) и
(45), то получим следующие основные уравнения линей-
ной динамической системы:
z (t) = z,r(0 + z'(t) = F'(zo,FO/^)'-|-
+F(o. М=Ф(А>. 0z(M+Ft(x#e<),
f(0=f,(0+^W=G(x.. <U+
+G(D, хм)=ад, Oz(/.)+G(xw). (48)
*> Более распространен термин «переходная матрица со^тря-
ния». (Прим, перев.)
€6
В этйх уравнениях © (/„ /) и Ф (/„ i) определяются йО
(46) и (476),
2.1.3.4. Смысл элементов и Т . Как следует из
r*v г**
сказанного выше, смысл этих величин можно опреде-
лить непосредственно. Если в (44а) продифференциро-
вать
г^)^^.), z2(f.), .... г"(/.)1
по г*ь(/ф), то получим
dZ|(.9„ —ф (/ /). (49а)
Таким же образом из (45а) следует
djhUL—yr (/, А (496)
dz^t0) '
Таким образом, ©v|x(/e, 0 определяет, как изменяется
конечное состояние (/) при начальном состоянии ги(£,)
и фиксированных моментах времени t,
п
(dzs(Q=0 при s^j*). (50)
Такое же значение имеет и (496).
Геометрический смысл следует непосредственно из
(43), а именно:
Л К» = = t). (51)
Таким образом, ©V(X(^,> /). можно определить как проекцию
вектора состояния F(e^, 0/о/)> который получается из спе-
циального вектора состояния е* (базисный вектор состоя-
ния алфавита состояний) в моменты времени от t, до t
при нулевых значениях входных величин, на направление
базисного вектора состояния ег Для случая трехмерно-
го пространства состояний все сказанное выше можно
изобразить наглядно (рис. 22).
5* 67
В соответствии с этим из (44а) следует
< о.
z’(/,) = 0 при v^p., (52)
Л^) = 1,
когда в Z] (/) только элемент & (t„) = 1 отличается от
нуля.
Такой же геометрический смырл имеют и элементы
V'*’ t) и Ч^а, t) из (45).
Рис. 22. Иллюстрация к пере-
ходной матрице линейной си-
стемы.
В качестве примера рассмотрим фундаментальную матрицу ли-
нейной системы (см. рис. 7). Из (1.27) следует
o(t) = — z(0) + v(0)cos (53a)
Следовательно,
В этом примере Ф(/о, 0 не за-висит от t0, поэтому выбираем /(г=0.
Если все же учитывать t0, то вместо (1.27) получим
+ z (ta) cos yf (t — /„) + v (f„) sin (/ — /,), (54)
68
и фундаментальная матрица Ф(/о, /) получается, из (53) прй за-
мене t на (/—^о). В данном случае <D(/0, t) является функцией
(/—/0). При дальнейшем рассмотрении мы увидим, что это обстоя-
тельство не обязательно выполняется для всех линейных динами-
ческих систем.
Следует отметить, что для линейных систем оператор
переходов F распадается на два оператора: Ф и F2.
То же самое относится и к G.
2.1.4. НЕПРЕРЫВНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
2Л .4.1. Основные уравнения. Очень часто динамиче-
ские системы являются и линейными, и непрерывными.
С учетом (17в), (33) и (48) при выполнении предпо-
ложений о непрерывности из подразд. 2.1.2.2 получаем
dz r (О, z(0
--77-= iim -----------т------=
dt т_>Ц-0 т *
f [z(0, 0Zx]+F[o, xj—z(0
= lim ----------------г----------=
x->f+O T *
= ,ta lim
7->/+o
= lim ф(*’ T)~E-z(/)-f- lim =
^/+o v/l^/+0 '-t
= A(/)z(0 + B(0x(0. (55)
E — единичная матрица, а матрица A (t) определяется как
A (!) = ((Af, (/))=( (4™, )); (56)
g __l 1 при p=v;
**’ I 0 при v.
В (f) — матрица-столбец (вектор) с элементами Bv (/), за-
висящими только от t. Так как из подразд. 2.1.2.2 имеем
= - -=Ф(0, 1. *1=В(0 (57)
69
(зависимость от о = »(/), 91 —^=1 и t) и вследствие
X \1)
того, что о = const и 1 = const, элементы матрицы за-
висят только от t.
Таким же образом аналогично (26) и (48) получаем
у it)— lim G[z(f), xj = lim G[z(t), О J
-|- Hm Gb, x J = lim W (t, t)z (/)-]-
7gjx(0=C(0z(0+D(/)x(0.
(58)
В этом случае
И
С(0 = ((С„)) = (( lim Тц(/, г)))
D(0=HmG[i>> •
х-»/+о L
(59а)
(596)
В случае, когда выходных величин несколько (s>l),
как легко показать, (58) обобщается:
p(0=C(0z(f) + D(0x(0. (60)
Если в (58)jD(£) является функцией t, C(t)—матри-
цей-строкой, то в (60) D(/)—вектор с s элементами,
а С(/) — матрица с s строками и п столбцами.
В координатном виде (55) и (58) записывают как
(основные уравнения непрерывной линейной системы,
вид 1).
п
T=S (W). (v=l. 2,...,п)
|Хх=з1
П
y(t)=2 C^{t) + D[t)x(t).
Эта система уравнения наглядно изображена на
рис. 23. Так как линейная непрерывная система являет-
ся частным случаем непрерывной системы, то и ее схема
представляет собой частный случай более общей схемы
(ср. рис. 19 и 23).
70
Из сравнения с (28) можно установить, что функция
переходов f и функция выходов g принимают вид
f[z(fl, x{t), fl = A(flz(fl + B(flx(fl (61а)
и
g [z (fl, х (fl, fl=С (fl z (fl + D (fl х (t). (616)
В данном случае функцию (векторную) переходов f не-
прерывной системы можно описать п.г функциями (fl
и п функциями В, (fl. Точнее, п функций /„(г1, г*,... .z",
х, fl (n-j-2) переменных заменяются n(n-|-l) функциями
одной переменной.
Рис. 23. Модель линейной непрерывной системы.
Подобные же рассуждения имеют место и для функ-
ции выходов g непрерывной системы.
2.1.4.2. Интеграл Дюамеля, переходная функция.
В подразд. 2.1.3.3 в предположении линейности было
получено матричное представление для Zi(fl и y\(t).
Если динамическая система, кроме того, является и не-
прерывной, то аналогичное представление можно полу-
чить И ДЛЯ Z2(fl И у2 (fl .
Для этого аппроксимируем в (48) х^ в интервале
[fl> fl последовательностью функций вида х^ t f (рис.24):
X* , =/ в *»+«> 1 =
s •<»+! ( о при всех ПрОЧИХ из J
71
v=0, 1, 2, ...n—1; f„+I>/
t=tn-, x(Q = SRxM|f,
(62)
Мы предполагаем, что xfo< в [/„, t) непрерывна и суще-
ствует предел lira x(y)=x(t— 0). Тогда
о
п—1 п—1
*\.=2 <.<.+,=2 (бз»>
VcsxO V=0
Рис. 24. Аппроксимация слова.
Sts>
-------------I
I
I
I
I
,___________ц
t
। I
Рис. 25. Переключательная
функция.
есть приближение для х, „ где (1), t задается в виде
, =()-'» к. ч.).
<♦’ '»+! I 0 ПрИ всех прочих t из [/,, /)
(v=0, 1,.„ ,п— 1). (636)
Мы полагаем (рис. 25)
8<..<.+l=s<.-s<,+,(v=0’1............"~2>’ (64а)
где — переключательная функция
S =s =( 1 в Р”
I 0 при всех прочих t из [4> О
(v = 0, 1, 2,, п—1). (646)
72
Из (65а) следует, что на интервале [/„ t}
п—2
х*^=2 x(O(4_W+x(/»-*)4-1- (65)
VssbO
Так как s( =s< на интервале (/,, t) равняется нулю, то
последнее слагаемое содержит только sz . G учетом
(386), (65) и (40) получаем
zi (0 = ? И» х4<1 ~ F» (х/0<)= 1х\< 4“ (x«ot х*м)1 ~
"/1—2
3 +
.v—OJ
1/1—2
44z:=3 x WIF* "" F* ( sb+?l +
VssO
)+*.. (66)
n-l
где в соответствии с предыдущим
(67а)
Положим
s,;=o,.,,i,.,; 1,(676)
и, принимая во внимание (5), (4), (646), (Па) и (386),
получим
= O^1M)=F[F(<>, О/Л), 1м] =
=fl». 1M]=F(M = «»(*,» t) (v=0, 1, 2,...,n-1)
(68a)
где из (23)
llm('.. 011г=1|Л(1,.,)Л.=Р(», (,.,)-
-F(», O,t()||,<X||l(i,_OM||,«-(,)=K(«-Q (686)
и, таким образом,
tn (/,, — О, 0 = 0 при t^t. (69)
73
Очевидно, чФо m(iv, i)=z™ (i) является состоянием,
в которое переходит нулевое состояние при воздействии
с момента времени до /. Совместно с (68а) полу-
чаем для (66)
л—2
2* (0=2 *(О1т(0’ 0—“»(0+р OH-*(0»-i)«(0»-i.0+
v»0
л—2
+ z.=2 x(Q
Va.0
m (<„ 0 — m (f,+I, 0
(0+i~ 0)
('•+,- 0 +
+ l>..
+ )»(«..„ 0+z_. (70)
Исходя из условий, наложенных на F, предполагаем,
что ш(т, 0 в [/о, 0 непрерывно дифференцируема по т.
Тогда
m (<ж, f)-m(Q, <)_ant (т> о
0+1 — 0 &с
(v=0, 1,...,п —2). (71а)
Учитывая (70) и (71а), можно записать
л—2
’(')=-£ *(<,> ,('.+> - '.> +
VsssO
+%(/—0)m(/ — 0, 04-z*.» (716)
где
(72а)
И
Z(»)t=X(tn_rym(fn_n 0 -x(t- 0) m (/-0, t). (726)
Покажем, что при n—*eo и |/v+1—/J-»O(v = O, 1, 2,...,
n — 1) z*f стремится к нулю.
74
Из свойств нормы следует
II z*. II, < II z, II + II z'011 + II <2) ||, (73)
где
II2, II = ||(х<о/) - Ft (х*0/) |1 < К || х<о< - х*^ || (t - /.), (74а)
II 4° 1| < 3 | х (tj || % || (<,+1 - Q, (746)
v=0
II 2(? || = || х (/„_,)m 0 - х (< -0) m (/ —О, 0 ||. (74в)
Предположим, что = откуда выполняется
||г<2)П<е при (75)
« г, ,, , дт(т, О
В пв, гп-1]--------- равномерно-непрерывна и поэтому
1°.,11<8 при 1^4-1— М<8. (v=0, 1, 2, . . п — 2),
откуда следует
II 2е,0 II <е SUP I •« СО I (* — <•) при | <v+1 — М <81
(у = О, 1, 2.....п — 2)._ (76)
Далее с учетом сказанного выше x/o/|[fo, /'„-J в р0, /'n-i
равномерно-непрерывна:
II ze || < К (t — /0) sup | х (%) — х* (т) | =
t^<t
= K(t —10) sup [sup I x (t) — X (tv) I,
sup I x (t) — X (t —.0) I] </C (t — e
при I /,+1 — M <82, 11 — f',_i I <8,
(v = 0, 1.....n — 2). (77)
Совместно учитывая (75) — (77), получаем
l|z\|l2<e [1 + sup I X (T) I (t - Q +K(f-MJ
t^<t
при
|^+1-M<min[8, 8j, 82, 8,]
(v = 0, 1, 2, . . ., n— 1), (78)
что и требовалось показать.
75
Таким образом, выражение (716) при п-»оо и (—
— |-»0 при учете (69) стремится к
= ° dx. (79)
/о
Точно так же при соответствующих предположениях
получаем
t
t>-dz-\-x(t — Q)w(t — Q, t), (80)
I 6/T
^0
где w (t, t) по аналогии с (68a) задается как
W=G(i>, lj=w(x, t). (81)
Так как в (80) w(t—0, t) в отличие от ш(/—0, t), не
обязательно стремится к нулю, то в общем случае не
следует пренебрегать выражением x(t)w(t—0, t).
Интегралы, появляющиеся в (79) и (80), называются
интегралами Дюамеля динамической системы. С их по-
мощью можно определить для любой входной величины xtat
переход системы из нулевого состояния o=o(to) в ко-
нечное состояние z=zi=zi(/0), если известно, как систе-
ма переходит из нулевого состояния в конечное при воз-
действии переключательной функции sx.
Полные основные уравнения в этой форме с учетом
(48) принимают вид (основные уравнения для непрерыв-
ной линейной системы, вид II):
t
z(0=®W)z(/.)- Jx(T)^_0^( (82а)
^0
• t
у(0 = Т&, 0z(Q-р(г)*5Ц^-Л +
/о
+ *(/ —0)и>(/ —0, 0. (826)
где
Ш(г, /) = F(0, 1J,
(82в)
w(x, 0=G(i>, 1J.
76
Ш называется переходной функцией состояния некоторой
непрерывной линейной системы, а ее элементы т’—пере-
ходными функциями переменных состояний. Аналогично
w=*w(r, t) называется переходной функцией выходной
величины у.
При помощи (82) операторы F и G можно преобразо-
вать в операторы Ф, ЧТ, Г(о, 1Х<) и G(o, lxf).
2.1.5. ИНВАРИАНТНЫЕ ВО ВРЕМЕНИ СИСТЕМЫ
2.1.5.1. Эквивалентные системные величины. Еще раз
обратимся к общим основным уравнениям динамической
системы из разд. 2.1.1. Там введены следующие выраже-
ния для отображений, выполняемых системой:
Z(^1) = ^(Z(U> Х<„/,)> Xfof, ’
^t)=G(Z(f.), х<Л). (83)
Абстрагированные из практических задач модели систем
часто обладают свойством инвариантности во времени.
Для однозначного описания такой инвариантности во
Рис. 26. Оператор сдвига:
а — входное слово; б — состояние.
времени введем оператор сдвига Vх, действие которого
на входную (или выходную) величину заключается
в сдвиге временной оси (рис. 26).
Если через Т обозначить интервал /,), то
= /GR,
=Vх - X) = (v7„ - X),
IvXt - {(Л X) I (t - X, x) G тп -Л}] (84)
77
обозначает „сдвинутую" на входную величину с новым
интервалом определения
Две входные величины х^ и xt,t,, для которых су-
ществует оператор сдвига, такой, что
^х<о/1 = х<>оГ1, . (85а)
называются эквивалентными и обозначаются
*^*^'*>- <85б>
Под инвариантной во времени системой (или стацио-
нарной) понимается система, основные уравнения кото-
рой обладают следующими свойствами:
F(z(/0), xWi)=F(z(F,), х^,),
x<o<i)=G(z(Fo), xt,et>), (86a)
когда
-a. XU,~X/V',’ z(*.) = z(f.) (866)
или, в других обозначениях, когда для A=F или G
(рис. 26) выполняется
УЛ(г(*,), х<о<1) = Л(7хг(^), v’x^J. (86в)
Инвариантные во времени системы дают один и тот же
отклик на эквивалентные входные величины (независи-
мый от сдвига по времени).
В качестве примера еще раз рассмотрим схему (см. рис. 6) и
решение относительно тока i(t) (1.29).
В этом случае (в несколько иной записи)
= Г (i(Q, ulw)=p(Q+ r^e L х
С Т” 1
X I (т) е cbt е . (87)
to
*> Следует заметить, что здесь речь идет об отношении эквива-
лентности (см. подразд. 1.1.2.3).
78
ЁслНХприменйть оператор F к входной величине ^i^r, ц.т> сдвину-
той на Т, то, учитывая, что
«1 СО = - Т) (h + т </ +JT),
[ 1---Т’(<о+П
<НЛ=||^.+Жте
Н-Г R -1
f iZMe^lx
W J
iXie ‘‘ • (8в)
Здесь£через ux (т—|Г) обозначается входная величина, эквивалент-
ная их (г):
U1 f0+T, t+т = И1 (т Л •
Из (88) следует при замене пределов интегрирования
bK + 7)=F(/(f0+$Z),
иИо4-т, /4-т) —
Г 1 “Т^’Г 4 х' I —г(#-'в)
-=М(<. + О+Т"е d-e е . (89),
L t0 J
Если согласно (86), кроме того, i (tQ + 7) = i (Q, то с учетом (89)'
и (87) также
i(t + T) = i(t)
и
(to + Т), vrx’5] = FJ/ (t,), х<о/].
2.1.5.2. Непрерывные и линейные системы. Если ин-
вариантные во времени системы являются, кроме того, и
непрерывными, то соответствующие основные уравнения
упрощаются.
В выводе, приведенном в разд. 2.1.2, можно исполь-
зовать (86) в соотношении (19) (рис. 27):
W (*.М=^(°). WД1 =
= /.(2(0), Х„ 0, T-/e) = /.(z(/.), Х.,0, т-/.),
так как z(O)=z(/o). В системах, инвариантных во вре-
мени, /1 зависит от т—t0. Поэтому и в остальных произ-
водных из разд. 2.1.2 (соотношения с (20) по (28)) ис-
чезает зависимость от t, и мы получаем в качестве
основных уравнений для инвариантной во времени не-
прерывной следующую систему уравнений:
-g-=f[z(O, х(/)],
«/(0=^(0, х(0]. (905)
79
Для линейных систем осйойнЫе уравнения упрощают-
ся соответствующим образом. В (386) можно положить
(zo> 0=Л(2.» 0> A>) = ^\(zo> —^о)>
Gi(z., i)=Qt(zt, 0. ^-/0) = Gt(z.. t-Q, (906)
что легко доказывается. Поэтому основные уравнения
(48) этого раздела переходят в основные уравнения
инвариантных во времени линейных систем
Z(0 = ®(/-QZ(/e) + Fa(xZo<) (Ф(/-*.) = Ф(0, t-t.)),
y(0 = W(/-^)Z(Q + G2(X/(>/) (Т(/-/о) = Т(О, /-*.)),
(91)
Рис. 27. Аппроксимация
слова (при инвариантности
во времени).
Наконец, основные уравнения для непрерывной ли-
нейной системы при одновременном выполнении инвари-
антности во времени принимают вид (разд. 2.1.4)
п
р.=1
п
C^V+Dx®. (92)
|Х=1
Коэффициенты В*, и D при сделанных предполо-
жениях не зависят от времени. То же самое справедливо
"и для уравнений (90), если заметить, что в (55) и (58)
фигурируют величины Ф и Y, которые для инвариант-
-ных во времени систем не зависят от времени t:
Ф « т) =Ф (0, x—t), Т (/, т) =Т (0, т—/).
В качестве иллюстрации к (92) обратимся еще раз
к схеме (см. рис. 7), описываемой уравнениями (156).
80
Ёсли снова рассмотреть производную, вхйдйщую
в интеграл Дюамеля (разд. 2.1.4) при учете инвариант-
ности во времени, та в (82) заменяем
ш(т, t) на ш(/ — т)=т(О, t — т)
и '
w(t, t) на ®(/—t)=w(0, t — -t)
Z (/) = Ф (t - /.) z (/.) + J X (г) d'>
to
t
у (О,=ЧГ (t-tt) 2 (/.) 4- j x(x) ^=±dx-\-x (/-0) w(+ 0);
^0
m(/)=F(0, l.<), w(/)=G(o, 1J. (93a)
В системе с несколькими выходными величинами полу-
чаем так же, как и выше, для z
t
z(/) = O(/-/.)z(/.) + j^-W(/—с)е(г)Л, (936)
6)
где W называется переходной матрицей системы.
Из (92) можно заключить, что с
-^=Az(0 + Bx(0=/[z(0, х(01,
y(t)^Cz(t) + Dx(t)=:g[z(t), х(0]
и (90а) функция переходов f(z(/), x(t)) непрерывной, ли-
нейной и инвариантной во времени системы представ-
ляется в виде матрицы А с п* постоянными элементами
AV)Jl и одной матрицей-столбцом Вся элементами. Функ-
ция выходов g таких систем представляется с помощью
матрицы-строки С с постоянными элементами и кон-
стантой D.
Еще раз обратимся к рис. 7. Из уравнений (15) получаем
6—619
81
Поэтому к данном случае
Естественно, что не в каждом случае D=0. Например, для
рис. 6 вследствие (1.22)
di______R_ ui_
dt L *+ L »
и2 = —/?/ + «!
и, следовательно,
C=(—Я), D=l.
В менее специальных классах систем операторы F
и G характеризуются уже не так просто. Например, в (93)
F=(z(/„), представляется в виде матрицы Ф с эле-
ментами вида —te) и интегрального оператора, ко-
торый действует на и F(j>, 10>/_х). Отображение,
задаваемое оператором F(z((,), х/(), только тогда счи-
тается полностью заданным, когда известно отображение
(переходная функция) F(p, 10 /) и, кроме того, заданы п*
функций Ф^. _
Рассмотрим еще раз пример из разд. 2.1.1, соответствующий
рис. 6. Из (1.19) для названной системы следует
/? . t R , R *
1 Г С I * 1 L *
^(0, lo/) = Te Je rfx=^-(l—е ) = т(0.
о
1
Таким образом, т (t — г) = (1 — е )
и
R
(М)
82
При нулевом начальном условии i(M из (93) и (94) в соответ-
ствии с (1.29)
.... 1 f /X -Т< \ 1 Г f /Ч Т А
I Ui (т) е dx =» е 1 их (т) е at.
/о
Более полные сведения о системах с непрерывным временем мож-
но найти в [2, 16].
2.2. Системы с дискретным временем
2.2.1. ОПЕРАТОРЫ ПЕРЕХОДОВ И ВЫХОДОВ
2.2.1.1. Классы систем. Во всех рассмотренных до сих
пор системах входные и выходные величины представ-
ляли непрерывные (или кусочно-непрерывные) функции
на интервале [f0, t\). С математической точки зрения
речь шла, таким образом, при рассмотрении этих вели-
чин всегда о (непрерывных) отображениях некоторого
интервала действительных чисел в множество действи-
тельных чисел. То же самое относилось и к переменным
состояниям, и к координатам векторов состояния. Таким
образом, множество состояний системы имело мощность
континуума (несчетное множество).
В данной главе рассматривается важный класс ди-
намических систем, входные и выходные величины кото-
рых уже не являются непрерывными функциями в ука-
занном выше смысле, а представляют собой последова-
тельности (с целочисленным индексом ♦>)
х == xmn=<^хт, лгот+1,..., хя_,хч=х(уТ)(tv<=vT),
(95)
элементы которых х, принимают значения из множества
действительных чисел или из какого-либо иного, воз-
можно, даже конечного множества.
При этом целесообразно рассматривать последова-
тельности как функции с дискретной областью определе-
ния, т. е. как функции, определенные на конечных от-
резках бесконечной последовательности равноудаленных
*’ Так как t уже не принадлежит [f0> fl, то и п не принадлежит
[т, п).
6* 83
точек на временной оси ... vT, (v + l)T, ... или на мно-
жестве целых чисел. Область значений при этом также
является числовым множеством (действительные числа,
целые числа), но может быть и произвольным, конеч-
ным множеством (рис. 28). Фиксированный интервал
времени Т называется временем такта системы.
х(бТ) х(7Т)^Т)
st
Г]7фп Т Н
S 7 в 9 10 11 12 V
а)
Рис. 28. Слово конечной системы (дискретное время):
а — дискретное время; б — дискретное время и конечный алфавит.
п п п
I т 2Т ЗТ 4Т 5Т 6Т t
а)
Рис. 29. Цифровая система:
а — импульсная последовательность; б — система.
Множество сменяющих друг друга состояний системы
также будем теперь представлять как функцию с диск-
ретной областью определения, областью значений кото-
рой является множество действительных или целых чи-
сел, но в общем случае может быть и любое конечное
множество.
Системы такого класса называются системами
с дискретным временем, или цифровыми системами.
Все рассмотренные до сих пор системы принадлежали
к системам с непрерывным временем или, иначе, к ана-
логовым системам.
К системам с дискретным временем принадлежат,
например, релейные схемы, вычислительные машины,
телетайп, и многие другие системы передачи информа-
ции.
В качестве примера последовательности, принимаю-
щей значения из конечного множества, можно привести
передачу сигналов с помощью двоичного кода (рис. 29).
84
В моменты времени Т, 2Т, ЗТ, ... в катушке прием-
ного магнита протекает ток i=io=£O или i=0. Таким
образом, входная величина приемного телеграфного
аппарата представляет собой последовательность
X----^тп+1’••• ’-^п-1
(96а)
где
x,= {i0 или 0} в моменты t4 = vT. (966)
Следовательно, х в (96а) представляет собой последо-
вательность, члены которой принадлежат двухэлемент-
ному множеству {0, io}.
Существуют также системы, которые занимают про-
межуточное положение между непрерывными системами
и системами с дискретным временем.
Такие системы, например, могут иметь в качестве
входных и выходных величин последовательности,
а в качестве переменных состояния — непрерывные вре-
менные функции или наоборот (входные и выходные ве-
личины являются непрерывными функциями, а перемен-
ные состояния последовательностями). Системы первого
вида называются импульсными и имеют многообразные
применения.
Важным является и случай, когда входные и выход-
ные величины имеют различный характер, например при
аналого-цифровом преобразовании, когда на входе
имеется непрерывная величина, а на выходе последова-
тельность.
Очевидно, что число существующих классов систем
еще более увеличится, если предыдущие соображения
перенести на системы, обладающие свойствами линей-
ности и инвариантности во времени, как это было сде-
лано при непрерывном времени. Следовательно, даль-
нейшее изложение общей теории динамических систем
с дискретным временем должно обладать достаточной
общностью, чтобы охватить в виде специальных случаев
все классы систем, описанные выше.
2.2.1.2. Основные уравнения. От динамической си-
стемы с непрерывным временем можно перейти к по-
добной же системе с дискретным временем (по крайней
мере, с математической точки зрения), рассматривая
соответствующие отображения не на множестве дейст-
вительных чисел, а на множестве целых чисел. Так как
85
отображения в области целых чисел являются также
и отображениями в области действительных чисел, то
системы с дискретным временем представляют собой
частный случай систем с непрерывным временем.
Результаты разд. 2.1.1—2.1.5 (в той степени, в ко-
торой они описывают свойства отображений, связанные
с общими свойствами динамических систем с непрерыв-
ным временем) можно перенести на системы с дискрет-
ным временем.
Вместо основных уравнений
z(f)=F(z(Q, х/о/), y(t)=G(z(tt), xj (97)
для системы с непрерывным имеем теперь уравнения временем (разд. 2.1.1)
z/i = ^*'(zrn» ^mn)’ (98а)
Уп — ^ ^тп)‘ (986)
Здесь т и п обозначают целочисленные индексы. Далее
^тп—хт+1,... , xv— X(vT) (98в)
есть последовательность (с целочисленным индексом) и
z„==(z*„, г‘„.............zn'n), z\ = z(nT) (98г)
упорядоченная n'-ка. уп есть выходная величина в мо-
мент времени t = nT (см. разд. 2.2.2).
В соответствии с (98а) функционирование цифровой
системы происходит таким же образом, как и функцио-
нирование аналоговой системы по следующей схеме:
в момент времени t=mT система находится в со-
стоянии zjn=z(/nT). Входная величина (последователь-
ность) хтп—<хт, Хт+1, .... Xn-1> (xv =x/vT)) перево-
дит это начальное состояние за (п—т) шагов через про-
межуточные состояния Ztn+i, zm+2, ... в конечное состоя-
ние zn=z(nT), начиная с первого шага в момент времени
t—(mT) и кончая последним шагом в момент времени
t=(n—1)Т (рис. 30). При этом на каждом шаге на вы-
ходе ПОЯВЛЯЮТСЯ выходные величины Ут+l, Ут+2, Уп-
Следует отметить, что последовательности xmn опре-
деляются как отображения из G*\ т. е. как элементы
86
Множества,
{/p)G—X} (ЗДа)
(X — произвольное множество, I — интервал из R) и пред-
ставляются как
{И. хт), (/«+ 1, xm+1), 1, О G)X%.
(996)
Шаг
1
2
3
п-т
Рис. 30. Рабочая схема цифровой системы.
Наоборот, отдельные^элементы xv последовательности хтп
являются элементами X:
xv£=X (v=m, m-j- 1,..., п — 1). (99в).
Величины хл = х(пТ) из(98в), /=/(иТ) из (98г) и
уп=у(пТ) из (986) представляют собой элементы опре-
деленных заданных множеств, что обозначим
ZGZ, yn^Y. (100)
*) G обозначает в данной книге множество целых чисел, так
как обычно применяемый символ z занят для обозначения про-
странства состояний. (Прим, перев.)
87
Как y>ke упдмийалось выше (разд. 1.2.2), 'входной алфа-
вит обозначается через X, выходной алфавит через У,
а алфавит состояний как Zv. Множество n'-ок, которое
образуют г’, когда они независимо друг от друга про-
бегают множества Z, обозначим
з' = X Z, = Z, х^х • - X с 2^(Z с Z) (101)
V=sl
и назовем векторным алфавитом состояний системы.
Входная величина хтп системы называется соответст-
xJ/5 = о, °°, д
Рис. 31. Конечный алфавит:
а — слово; б — состояние.
венно разд. 1.2.2 входным словом, принадлежащим вход-
ному алфавиту X.
В частном случае, как это уже было {при рассмотре-
нии аналоговых систем, X, Y и все Z, представляют
собой множество действительных чисел R, что обозначим
X = y=Zv=R. (102)
Тогда xmn — последовательность действительных чисел,
Уп — действительное число, a zm с геометрической точки
зрения — точка (вектор) в «'-мерном пространстве (со-
стояний) R'n.
В качестве иллюстрации рассмотрим следующий пример (рис. 31):
входной алфавит: Х={а, Ь, с},
выходной алфавит У={а, Р),
векторный алфавит состояний (двумерное пространство состоя-
ний с 6 состояниями)
Z,=-{1, 2, 3}, Z2 = {1, 2),
2iXZ2={(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 2)}CZ!,
входное слово Хз.^аза^зОв&гСв-
88
Некоторая система может иметь и бесконечный алфавит, на-
пример входной и выходной алфавит системы может совпадать
с множеством целых чисел X=K=G={... — 3, —2, —1, 0, 1,
2, 3, ..и векторный алфавит состояний в виде декартова произ-
ведения множества целых чисел (трехмерное пространство состоя- •
ний) '
GXGXG = G3 =
= {...(-1,-1,-1), (0,-1,-1), (1,-1,-1)
(— 1, о, — 1), (О, О, — 1), (1, О, — 1)
(-1, 1,-1), (0, 1,-1), (1, 1,-1)...
. . . (— 1, — 1, 0), (0, — 1, 0), (1, — 1, 0)
(—1, О, 0), (0, О, 0), (1, 0, 0)
(—1, 1, 0) (0, 1, 0), (1, 1, 0). . .
...(-1,-1, 1), (0,-1, 1), (1,-1, 1)
(— 1, 0, 1), (0, 0, 1), (1, 0, 1)
(-1, 1, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 1)...}.
2.2.1.3. Функции переходов и выходов. Для систем
с дискретным временем остается неизменным основное
свойство отображений F и G. Совершенно так же, как
и в (1.5), для оператора переходов F и оператора вы-
ходов G
F(zm, xmnxnp) = F[F (zm, хтп), xnp], (103a)
6(zOT, xmnxnp) == G [F (zm, xm„), x„p], (1036)
где
== XmnXnp^m+i’ ••• • ••• » (104a)
обозначает последовательность, получающуюся в ре-
зультате объединения двух следующих одна за другой
последовательностей:
Х-тп==< ••• > Хп-i
хлр = хп,..., Хр_ j (1046)
(см. разд. 1.2.1).
Приведенные в (103) основные свойства операторов
системы F и G следует проанализировать более по-
дробно.
89
Положим в (103) п=р—1, при этом получим
X-mp)^F(zm, ^т, р-i^p-t, р)==
= F[F(zm, х^.,), хр_1>р]. (105)
Таким же образом (при замене р на р— 1)
(2т’ %т, р-1) == [F(zm, %т, р-г)> Xp_t, р-1]
и т. д. При подстановке всех этих выражений одного
за другим в (105) получаем
F (Хщ’ Хотр) ==
= F{F[F(F... F(zn,
^т9 ш+1) • ••)’ ^р-2,р-1 b Хр-.,р}. (106)
Таким образом, отображение zp=F[zm, хт, р] можно
также найти в результате выполнения следующих вы-
числений:
1) F(zm, Хт_т-н)- Zm+i’
2) F(zm+t, Xfn+i’ m+z)— 2m+z>
I 1) (2m+? ’ ^m+v, m+’+l)
p — m) F(Zp_lt xp_1>p) = zp. (107)
To же самое относится и ко второму уравнению (см.
(ЮЗ))
О(zm, xmp) = G(zm, xm>p_1xp_ltP)=G[F(zm, [xm> p-i),
Xp-i p]=G(Zp-i. Xp-i,p)- (ЮЗ)
Здесь Zp—i определяется из первых p—tn—1 уравнений
(107).
Отображения типа {(последовательность, состоя-
ние) -^состояние или выходная величина} таким образом
могут быть сведены к отображениям типа {(элемент
последовательности, состояние)-^состояние или выход-
ная величина}.
' Если положить еще (х, v+1 = {(v, xv)}, (996))
F(z.« xViV+1)==f(zv, xv, v); G(zv, xs v+1) = g(z„ xv, v),
(109)
то отображения F и G будут полностью заданными, когда
9Q
йрй йсёх х&С, zgS* и vGEG существуют отображений
f(z, х, v) = z', g(z, х, v)=y(z'&', УЕ-Y), (ИО)
т. е. на произведении З'Х^Х^ пространств 3', / и G
заданы два отображения
f:3'X^XG-3'; ^:3'X^XG-r. (Ill)
Отображение f(z, х, v) называется функцией переходов,
а отображение g (z, х, v) — функцией выходов дискрет-
ной системы.
Так как F(zv, xv v+1) зависит от состояния zvG3', одно-
го единственного элемента последовательности х^Х из
х», »+i и момента времени t = vT, когда система нахо-
дится в состоянии zv и на вход подается буква х„, то
функция переходов есть функция трех заданных пере-
менных (и только этих переменных).
То же самое справедливо и для G(zv, xv J. Эти за-
ключительные соображения следуют из самого смысла
общих символов F(zm, хтп) и G (zn, хтп). Уже из этих
выражений следует, что, например, F (zm, xmn) зависит
не только от элемента zmG3' и элементов хт, хт+1,...,
хп.^Х, но также и от индексов этих величин (из zm=
—Zm+S и xr=xr+s (r=m, т-\-1,..., п) не обязательно
следует F(zn, xmn) = F(zm+s, xm+s>a+t), (см. (996)).
Более подробно (109) и (ПО) можно записать в виде
m+i == fi (^ /п» % nv ••• > %т » ^)»
m+i == fz ги’ т> ги» ••• > %т » ^)>
= z3m,.... Z; xm, т) (112а)
ц Ут+i g (% т> 2 mt % т> ’ %т’ ^т’ (1126)
2.2.1.4. Модель системы. Схема цифровой системы,
соответствующая (112), приведена на рис. 32. Она яв-
ляется моделью v-ro уравнения из (112) и изображает
состояние системы в момент времени р,Т на шаге с но-
мером ц.—т+1 (ср. с рис. 30).
91
Йа входных шинах функциональных блоков в этот
момент времени (лТ появляются величины и z'^
••• • 2"'- Они без временных задержек преобразуются
в величину z’+P которая задерживается в линии задержки
на время длительности такта Т и в момент времени t =
— (р-+1)Т появляется на выходе блока задержки и на
Рис. 33. Цифровая система (я=2).
входе функциональных блоков /\(..., р.). Одновременно
поступает х^+р что опять (в момент времени t =
=(|л+ 1) Т) приводит к формированию z’+2. Величина z’+2
опять задерживается на время Т и т. д.
На схеме (см. рис. 32) следует еще привести функ-
циональную схему второго соотношения из (109), работа
92
которой ясна из предыдущего без каких-либо дополни-
тельных пояснений.
На рис. 33 изображена полностью модель цифровой
системы с двумерным вектором состояния (система
с двумя переменными состояниями). Эти. переменные со-
стояния z1 и z2 могут принадлежать как бесконечному,
так и конечному пространству состояний, например:
3z* -z2
х», |х) = —b_iLsin[a(|x+l)I(Z\=l);
г*и+1=/.(г‘и, |*) =
=(^-г;)-е^[3+(|*+1)Г,
-V H)=(zt^+</-Vz+6(,‘+6)’ <113>
где Z1=Z2=X==y=R, т. е. все алфавиты представлены
в виде множества действительных чисел.
Если все алфавиты системы в совокупности являются
конечными, то при этом мы получаем другой вид пред-
ставления цифровой динамической системы.
Рассмотрим более подробно пример из подразд. 2.2.1.2 (см
рис. 31). Так как речь идет о конечных алфавитах, то в этом слу-
чае функция переходов f(z, х, v) и функция выходов g(z, х, v)
могут быть заданы в виде таблиц, например,
Z(z, X, v): g(z, х, v):
а ь С а b с
(1.1) (2.1) (2.2) (3.2) СЫ) р р а
(1.2) (1.2) (1.2) (1.2) (1.2) р а а
(2.1) (2.2) (3.1) (2,2) (2.1) а а ' р
(2,2) (1.1) (1.1) (1.1) (2.2) ₽ р р
(3.1) (3.1) (3.1) (1.1) (3.1) а а р
(3.2) (3.2) (3.2) (3,2) (3.2) а р а
Здесь, например, f[(2, 1), 6]—(3, II), и g[(2, !). 6]=а. В данном
примере мы предполагаем, что f и g не зависят от времени, так как
в противном случае для каждого момента времени, т. е. для каж-
дого t—vT, следовало бы иметь другие таблицы переходов и вы-
ходов.
93
Работа некоторой дискретной системы с кбнечйымй
алфавитами становится особенно наглядной при пред-
ставлении ее в виде графа системы. При этом каждому
состоянию zv сановится в соответствие вершина графа
Р, на плоскости и вершины Pv и Рц связываются направ-
ленной дугой со стрелкой, направленной в сторону Р^
• --------------------•
Рис. 34. Граф состояния.
Д» ХдХрХщ |уиУр#и> Рр
Zo . Zjt
Рис. 35. Пример (граф состояния).
при условии, что Р„ переходит в Р^ при воздействии
буквы х&Х (рис. 34). Буква xs, переводящая Р„ в Р^
записывается рядом со стрелкой совместно с выходной
буквой yt=g(z^ xs). Так как вектор состояния z, может
быть переведен в состояние z^ с помощью многих вход-
ных букв, например буквами хи, х„, xw, и при этом по-
лучаем различные выходы, например
y0—g(z„, Лр); yw=g(z,, xw),
то каждая дуга направленного графа в общем случае
характеризуется двумя n-ками символов (в данном при-
мере тройками (хи, xv, xw) и (уи, yv, У«>), см. рис. 34).
94
На рис. 35 приведен граф, соответствующий описан-
ным выше таблицам переходов и выходов.
Приведем еще несколько примеров, которые непосредственно
следуют из графа и описывают переходы и выходы системы при
воздействии заданных слов:
1) начальное состояние: z0=(2,1)
Входное слово а Ь а ь с с а Ь
Вектор состояния (2,1) (2,2) (1,1) (2,1) (3,1) (1,1) (3,2) (3,2) (3,2) Конеч- ное со- стоя- ние
Выходное слово а р ₽ а ₽ а а Р
2) начальное состояние: zo==(l, 1)
Входное слово а а а а а а а а
Вектор (1,1) состоя- ния (2,1) (2,2) (1,1) (2,1) (2,2) (1,1) (2,1) (2,2) Конеч- ное со- стоя- ние
Выходное слово Р а р ₽ а р р а
3) начальное состояние: z0=(l, 1)
Входное слово а ъ а Ь а Ь а Ъ
Вектор состоя- ния (1,1) (2,1) (3,1) (3,1) (3,1) (3,1) (3,1) (3,1) (3,1) Конеч- ное со- стоя- ние
Выходное состояние Р а а а а а а а
95
В первом случае система, попав в состояние (3,2), уже не вы-
ходит из него, хотя выходные величины при этом могут быть раз-
личными. Во втором случае постоянное повторение буквы а приво
дит к некоторой периодической последовательности состояний и
выходных букв. В последнем примере периодическое входное слово
приводит к постоянному повторению одного и того же состояния
и выхода.
Операторы F и G, соответствующие f и gt при подаче на вход
трех слов, каждое из восьми букв, описываются следующим обра-
зом:
F[(2,1), (а, 6, а... 6)] —(3,2),
/4(1,1), (а, а, а... а)]=(2,2),
Е[(1,1), (а, Ь, а,..., Ь)]=(3,1);
G[(2,1), (а, Ь, а... &)]=!₽,
G[(l, 1), (а, а, а,..., а)]==а,
G[(l, 1), (а, 6, а,..., Ь)]=а,
а оператор Я, определенный в подразд. 2ЛЛ.2 и соответственно
перенесенный на случай дискретной системы, описывается как
Я[(2, 1), (а, Ь, а...Ь)]==(а, ₽, ₽, а, р, а, а, р),
Я[(1,1), (а, а, а,..., а)]=(р, а, р, р, а, р, р, а),
Я[(1,1), (я, Ь, а,..., 6)]=(р, а, а, а, а, а, а, а).
2.2.2. ИНВАРИАНТНАЯ ВО ВРЕМЕНИ
ЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА
2.2.2.1. Автоматы. Перенесем теперь понятия, связан-
ные с инвариантностью во времени, на системы с диск-
ретным временем.
Совершенно аналогично тому, как было определено
в разд. 2.1.5, назовем две последовательности хтп и
Хгз эквивалентными и обозначим
Xmn ~ Xrs, (114)
когда для любого целого числа k справедливо, что при
замене индекса v последовательности xwn на xwn и
xrs идентичны. Таким образом, эквивалентные последо-
вательности состоят из одних и тех же элементов, сле-
дующих в одном и том же порядке, и их индексация
отличается только на некоторое постоянное целое число.
Система с дискретным временем называется инвари-
антной во времени (или стационарной), когда из
Х/п/г *Гз
zm—zr
(115а)
(1156)
.96
следует
^тп) F Xrs)f
@ (^nv Xmn)=G (Zr> XrS).
(115в)
Для систем этого класса всегда справедливы следующие
соотношения:
F (^о’ *о, n-tnh
@ (^/п> Xznn) = G (zo, Хо, n-tnh
Хр, п-т), (^®)
т. е. всегда можно предполагать, что последовательность
начинается с индекса 0. Физически это означает, что
результат отображений F и G при заданном начальном
состоянии не зависит от момента времени, в который
начинается поступление входной последовательности.
Системы, обладающие такой инвариантностью, назы-
ваются автоматами. К классу автоматов принадлежат
почти рее системы обработки данных, в том числе ЭВМ.
При рассмотрении таких систем речь в первую очередь
идет об автоматах с конечным входным и выходным
алфавитом (X и У— конечные множества) и с конечным
алфавитом состояний (конечные автоматы).
Согласно (109) теперь
f(Z»’ Xv, у+1)=Г(2.> X,i) = f(2!„ Х„),
G(z,. X,,,+1) = G(Z.’ *..) = g(zo> •*.) (117)
функции переходов и выходов f и g являются функ-
циями только z и х: z'=f(z, х), y=g(z, х).
Если поставить в соответствие подаче n-й буквы
хеХ шаг и такт п (что обозначается х=х(П)), то авто-
мат (117) можно также описать системой уравнений
z(»+i) = Hz(»)’ •*(>))’
^(»+1) Л'(»Л
(118а)
z(v) обозначает состояние на такте (шаге) v и y(v+I) вы-
ходную величину на такте (v+1). Физический смысл
уравнений (118) согласуется с приведенной выше интер-
претацией основных уравнений (98) (см. рис. 30).
7—619 97
Очень часто индексацию в (118а) вообще опускают
и пишут
z'=f(z, х) (z', zG3', х&Х),
y=g(z, х) (у&Г). (1186)
При этом в теории автоматов существует физическая
интерпретация, несколько отличающаяся от приведен-
ной выше. Уравнения (1186) получают следующую
интерпретацию (переход от к z/(v) в (118а)):
z(»+i)==f (z(»)’ Л(»))>
!/(,> = £(z(„> •*<„)» (118в)
т. е. а) состояние и входные буквы на такте v опреде-
ляют состояние на такте (v+1) и б) состояние и вход-
ные буквы на такте v определяют выходные буквы на
этом же такте (см. рис. 30).
Следует, однако, заметить, что эта разница в физи-
ческой интерпретации уравнений (118) при дальнейшем
формальном рассмотрении не играет никакой роли.
Если уравнения (117) способствуют лучшему пони-
манию или являются целесообразными или необходи-
мыми при рассмотрении прикладных задач, то следует
придерживаться (118а).
В качестве примера рассмотрим еще один простей-
ший автомат с двумя состояниями.
Функции, характеризующие автомат (118), задаются в виде
(z=z)
' Z'=f(Z, х),
y=g(z, х),
2=Х=У={0, 1),
где
f(x, z):
1 g(x, z): z 4 0 0 1
1 0 0
1 1 0 1
Например, f(0, 1)=1, g(l,0)=0 и т. д. Элементы 0,1 алфавита
{0, 1} могут соответствовать коротким импульсам напряжения и,
а именно:
1 прямоугольный импульс амплитуды и = UQ в момент времени t =
= vT,
0 прямоугольный импульс амплитуды и = 0 в момент времени t—^T,
98
При этом функции / и g реализуются схемами, представленным^
на рис. 36, а именно: f(z, х) реализуется схемой а, функция
g(z, х) — схемой б). На выходе g схемы б импульс напряжения
появляется только в том случае, когда на обоих входах z и х
поданы импульсы напряжения. На выходе схемы а импульс не по-
является только в случае, когда оба входа не возбуждены.
Рис. 36. Цифровые схемы:
а — схема ИЛИ; б — схема И.
Рис. 37. Цифровая система (автомат).
Если включить совместно эти реализации f и g и учесть те-
кущее время в виде длительности такта t—T, то мы получим авто-
мат, изображенный на рис. 37 и соответствующий рис. 33. Обозна-
чены пунктирной линией блоки f и g — это схемы (рис. 36). При
подаче на вход последовательности
х=0, 0, 1, 0, 1, О,...
и начальном состоянии z=0 получаем следующую последователь-
ность состояний и выходных букв:
На рис. 38 приведен соответствующий граф системы.
7*
99
2.2.2.2. Линейные системы. В основных уравнениях,
приведенных в подразд. 2.2.1.2 и 2.2.1.3, не было учтено,
что, между элементами входного, выходного и алфавита
состояний могут существовать определенные взаимосвя-
зи (отношения).
Например, если элемент входного алфавита х яв-
ляется действительным числом, то такие элементы
можно складывать, умножать, брать модуль и т. д. (см.
например, (113)). При учете таких соотношений между
элементами (например, х\ может быть суммой х2 и х3)
относительно отображений F и G можно сделать более
содержательные предположения.
Рис. 38. Граф автомата, изо-
браженного на рис. 37.
В дальнейшем будем предполагать, что алфавиты
системы X, Y и Z представляют собой множество дейст-
вительных чисел R.
Особенно важен случай, когда отображения (98) ли-
нейные, т. е. выполняются условия (ср. с разд. 2.1.3)
^тга)==* ®тп) ^тп)9
xmn) = G(zm, Om„)4-G(Dm, x„n), (119)
где om— нулевое состояние и отп обозначает нулевую
входную последовательность (ср. с разд. 2.1.2), состоя-
щую только из нулей.
В частности, для некоторой одноэлементной последо-
вательности (п=т+1) в полной аналогии с разд. 2.1.3,
имеем
т+1) Ч~
= (^и.* ^т, т+1)==
т г* 9 9
р.=1
= 2 2 6 А» (т) + • 2 =
|JL==1 V=1 V = 1
= 2 2<-4.,('")+^- 2гА(т)= 2е.<+, <‘2О)
v=l р.=1 1 v=l
100
или для отдельных координат
<+1 =
И=1
и также
Ут+1 = 3 С>(/и) С + D (т) хт.
V— 1
(121а)
(1216)
Рис. 39. Линейная цифровая система (инвариантная во времени).
В матричной форме основные уравнения линейной
дискретной системы записываются проще:
zm+1?=A(m)zm + B(m)xm^=f (zm, хт> т),
ym+i = C(m)zm^rD(m)xn=g(zn, хт, т). (121в)
Очевидно, что функция переходов f(Zm, хт, гп) за-
дается матрицами А(т) и В(т), а функция выходов
задается C(/n) nD(m).
Из всего сказанного следует, что инвариантные во
времени линейные дискретные системы, т. е. линейные
автоматы, имеют следующие основные уравнения
(рис. 39):
^(m+i) Azjm)-|-Bxjm) = f (z^), X(m)), (122а)
У{т+1> ==3CZ(m) -|- Z?X(m) = g (Z(m), X(OTj).
101
В этих уравнениях Матрицы А, В, С и О не зависят ОТ
времени (от индекса т) и, следовательно, не зависят
от времени и соответствующие функции переходов и вы-
ходов.
В случае, когда система имеет несколько входов или
выходов, вместо (122а) имеем
z(m-j- 1) — Az(m)-|-Bj(m),
р (m —l)==Cz(m)4-Dj (m) (или = р(т)), (1226)
где записано z(m) вместо z(m) (что во многих случаях
целесообразнее).
Для линейных дискретных систем также существует
представление, аналогичное представлению (82) в виде
сумм Дюамеля, но здесь мы не касаемся этого более
подробно.
Следует также отметить, что понятие линейных
дискретных систем или линейных автоматов можно
перенести и на случай конечных алфавитов в той мере,
в которой эти алфавиты обладают сходными алгебраи-
ческими свойствами (аксиомы поля) с множеством дей-
ствительных чисел R. Таким образом, мы приходим
к понятию конечных линейных автоматов (или систем),
которые подробно рассматриваются в гл. 3.
В качестве введения в теорию автоматов можно
предложить [14, 15] и особенно [9].
Глава 3
ЛИНЕЙНЫЕ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ
СИСТЕМЫ
3.1. Основные понятия алгебры 1
3.1.1. ГРУППЫ
3.1.1.1. Введение. Теория линейных систем с многих
точек зрения представляет собой образец и исходное
положение для теоретических исследований в других
разделах общей теории систем. Поскольку в гл. 1 и 2
приведен общий обзор теории систем и изложены наи-
более важные основные понятия и факты, касающиеся
детерминированных систем, то здесь мы более детально
рассмотрим и проанализируем класс линейных детерми-
нированных систем. Так как нас в первую очередь инте-
ресует то общее, что объединяет закономерности, суще-
ствующие в отдельных подклассах линейных систем, мы
не сможем обойтись без абстрактных математических
понятий, естественным образом соответствующих описы-
ваемому кругу задач.
С этой точки зрения, естественно, с особым ударе-
нием на применение в теории систем, необходимыми
здесь являются в первую очередь простейшие понятия
и определения алгебры (элементы теории групп, колец
и полей) и в некоторых -случаях функционального ана-
лиза. Вспомогательные сведения из алгебры кратко из-
ложены в § 3.1 и 3.2. При этом предполагается, что чи-
татель, интересующийся системнотеоретическими вопро-
сами, уже в известной мере обладает практикой алге-
браического мышления (см., например, [5]). Соответст-
вующие доказательства приводятся в сокращенном
виде.
Теории систем с дискретным временем и конечными
алфавитами посвящен в основном § 3.3, который содер-
ЮЗ
Жит также основные понятия теории систем с простран-
ственно-временной структурой.
В § 3.4 рассматриваются некоторые задачи, связан-
ные с линейными детерминированными системами с не-
прерывным временем, а также некоторые вопросы обоб-
щения этой теории в отношении систем с пространст-
венной структурой.
3.1.1.2. Определения. Множество (непустое) А неко-
торых объектов а (чисел, функций, векторов, элементов
электрических схем и т. д.) называется группой, когда
выполняются следующие условия:
I. На А задана операция о (сложение, умножение,
переключение коммутирующих схем и т. д.), которая
каждой упорядоченной паре элементов (аь аг) из А
(т. е. паре элементов а\ и а2 из А с учетом порядка сле-
дования) ставит «в соответствие некоторый элемент а3 из
А, что обозначается как aioa2 (АхА—>А, разд. 1.1.1):
(a,, a2)-*a3 = a1oa2(a1, a2, a3&4);
II. Для любых элементов ai, а, а3 из А выполняется
условие ассоциативности
(a1oa2)oa3=a1o(a2oa3) (16)
(поэтому кратко можно писать ^о^оЯд).
III. Уравнения
xoaj = a2,
(1в)
CL^ О А» 1 • а2
для любых а\ (и а2 из А (с элементами из А) разреши-
мы, т. е. для произвольных элементов а^А и а2еА
всегда существует такой элемент Х\^А, что справедли-
во равенство %ioai=a2, так же как для элемента x2gA
выполняется равенство сцох2=а2;
Условие. I) представляет собой свойство замкнуто-
сти относительно операции (воздействие операции на
элементы, принадлежащие А, не выводит за пределы
А); II) характеризует ассоциативный закон, связанный
с воздействием операции на элементы А, а III) выра-
жает предположение обратимости групповой операции
(см. подразд. 3.1.1.5),
Ю4
Еслй Для Мйо^еётва А и ойерацйй о, заданной на А,
выполняются только первые два условия, то говорят
о полугруппе (см. разд. 1.1.2).
Как в полугруппе, так и в группе для о может вы-
полняться коммутативный закон
010 02=^2 0^1. (1г)
В этом ’случае полугруппа или группа называется абе-
левой или коммутативной.
Символически обозначим (полу) группу как @=
=(А, о), где А является носителем (полу) группы,
о (полу) групповой операцией и а^А элементом носи-
теля.
Простейшими примерами абелевых групп являются:
а) множество —1, +1 относительно умножения;
б) множество ..., —2, —1, О, 1, 2, ... целых чисел
относительно сложения;
)в) множество {ф} всех отображений ф (взаимоодно-
значных отображений) некоторого множества М в себя
(на себя) образует относительно произведения отобра-
жений (см. разд. 1.1.2) полугруппу (группу).
3.1.1.3. Следствия. Обсудим некоторые следствия, вы-
текающие из условий I—III.
V. Всякая группа имеет точно один нейтральный эле-
мент е, т. е. в любом носителе группы А существует один
элемент е, обладающий свойством:
для всех с^А выполняется
еос=сое=с. (2а)
В приведенных выше примерах нейтральным элементом
является 1 (пример а)), 0 (пример б)) и тождествен-
ное отображение (пример в)).
Доказательство: пусть а^А и а<^А и по условию III:
aoai=a! и a\ob=a2. Тогда из условия II: а о ai о Ь=а о a2=ai о Ь=
=02- Поэтому аос=с для всех сеА. Таким же образом соа'=с
для всех сеА. Отсюда следует а о а'=а' и а о а'=а и поэтому а=
=а'—е (относительно единственности см. VIII).
VI. Для каждого элемента группы а^А существует
точно один обратный элемент такой что
а-1 о а=а о а~х—е. (26)
В примере б) обратным для п, является —п (п — целое
число).
105
Доказа1еЛьсФво: Йо условию Ш Ь о а=е. Тогда а о b о d—
=а, поэтому из V также а о Ь=е. Отсюда и из Ь' о а=е следует
Ь' о а о b=b=b' о е=Ь’=а~{.
VII. Решения xoai=a2 и aiox=a2 определяются
однозначно.
Если Xi является решением xoai=a2, то любое другое решение
х2 совпадает с Х\. То же самое справедливо для второго уравнения
О1ОХ— а2 в (1в). Это следует из того, что xt о а1==а2=х2 о аь и
отсюда Xi о «1 о о «1 о a-h или xi=x2. Такое же доказатель-
ство и для «1 о х=а2.
Так как агоа~' и а~'о as решения (1в), то они являются
и единственными решениями.
Для полугрупп справедливо также следующее:
VIII. Полугруппы могут иметь нейтральный элемент
е, 'который определяется однозначно. Из аое'=а и
е"оа=а следует е"ое'=е" и е"<ое'=е', поэтому е"=е'.
IX. Если элемент полугруппы с нейтральным элемен-
том имеет обратный, то он определяется однозначно.
Пусть b и Ь' — элементы, обратные а, отсюда b'=b'oe=
=b' oaob=eob=b.
3.1.1.4. Правила вычислений. Для групповой операции
выполняются следующие правила:
1. (ао6)-*=6-1оа-1. (За)
Тогда (b~lоа~')o(aob)—b~lо[о-1 oaob\-=b~*ob=e.
2. (а-*)-*=а; е~1=е. (36)
Из (а'‘)'*а_‘=е и (26) следует (а~1)~1=а. Второе соот
ношение следует из (2а) и (26).
3. В случае многократного применения групповой
операции (например, [(01002)0(03004)005]) результат
полностью определяется последовательностью элементов
носителя, над которыми производится операция. При
вычислении можно не писать скобки (в приведенном
примере просто писать 01002003004005) или же рас-
ставлять их в произвольном порядке (например,
[oio (а2оаз)] о (04005)).
Это правило является обобщением (16).
В случае абелевых групп дополнительно к сказанно-
му выше можно менять также и порядок следования
элементов av.
4. Если записать /г-кратное применение групповой
операции aoaooo ... 00 к одному и тому же элементу
106
носителя как ап, то при этом (частный случай прави-
ла 3)
апоат=ап+т; {ап)т=апт{а'^а)
(п> т — 1, 2, 3,...). (4а)
5. Если определить
а-'’=(а-*)" (n= 1, 2, 3,...), (46)
а* = е, (4в)
то легко показать, что правило 4 выполняется для всех
целых показателей степени.
3.1.1.5. Абелевы - группы. Понятно, что обозначение
групповой операции можно выбрать совершенно произ-
вольно. Для абелевых групп целесообразно использовать
следующую символику и терминологию (см. следующий
раздел):
Название
+ вместо о 0 „ е —а „ а~' сложение нулевой элемент противоположный элемент
(5а)
Правила вычислений для таких абелевых групп (моду-
лей), записанных аддитивно, получаются просто за счет
аддитивной записи правил, приведенных в подразд.
3.1.1.4. Например, введенную в разд. 3.1.1.3 комбиниро-
ванную операцию
_ а2оа~’ можно записать в виде аг-{-(—а,) или более
Д кратко
со
X 6. а2 + (—aj—Л2 —(56)
Знаком «—» обозначается новая операция — вычита-
ние*). Это операция, обратная «сложению, и по опреде-
лению для каждой пары элементов (аь аг) из А вво-
дится операция, обратная « + », результат выполнения
которой есть решение уравнения а,\+х=а,2.
Таким образом, в данном случае обычные понятия
суммы, -слагаемого, разности и др. используются таким
же образом, как и в арифметике.
*) Вычитание является производной операцией, образуемой из
комбинации операций «сложение» и «образование противополож-
ного элемента».
107
3.1.2. КОЛЬЦА
З. 1.2.1. Определение. Абелева группа @=(А, +) на-
зывается 'кольцом, когда «а А, кроме сложения «+»,
определена еще вторая, замкнутая относительно А и
ассоциативная операция (умножение),, которая дистри-
бутивна относительно сложения.
Следовательно, кольцо — это множество А, наделен-
ное двумя операциями + н • (сложением и умноже-
нием) , обозначаемое
Я=(Л, +, •), (6)
в котором выполняются 'следующие аксиомы:
1) А совместно с +' образует абелеву группу (адди-
тивная группа кольца);
2) А совместно с • образует полугруппу (мульти-
пликативная полугруппа кольца);
3) • дистрибутивно относительно +:
(a1+«2)-as = («.-as) + (Oi-as). (7)
а, (а.+а2) = (а, • а,) + (а, • аг).
В случае (коммутативности умножения
4) ai-a2=a2-ai
кольцо Э1 (называется коммутативным.
Приведем примеры колец:
а) целые числа с обычным образом определенными операциями
сложения (1-я операция) и умножения (2-я операция);
б) квадратные матрицы n-го порядка (с действительными чис-
лами в качестве элементов матрицы) с обычными операциями ело
жения и умножения матриц.
Наиболее интересные для нас примеры колец полиномов и
степенных рядов подробно рассмотрены в § 3.3 и 3.4.
3. 1.2.2. Следствия. 1. Правила. Дистрибутивный
закон 'выполняется и для вычитания:
ai • (а2—a3)=(ai -а2) — (арОз),
(а2—аз)-°1=(а2-а1) —(аз-fli): (8)
Например, первое правило 'следует из ар (а2—л3) +
+ai-a3=ai[(a2—a3)+a3]=al-a2. Таким же образом
можно доказать >и второе правило.
Подобным образом доказывается и
ai • (—а2)=(—ai) • о2=— (ai• о2),
аг а2=(—ai) • (—а2). (9)
108
2. Делитель нуля. Если 0 — нейтральный эле-
мент относительно сложения, то для всех аеА выполня-
ется
5) а-0=0-а=0. (10)
Это следует из (8) для а2=а3 и (5) для ai=a2. Урав-
нение (а, 0 задано)
а-х=0 или х-а=0,
таким образом, всегда имеет решение х=0. Если а=0,
то в этом случае каждый элемент А является решени-
ем. Но и в случае а^О могут существовать, кроме х=0,
различные отличные от 0 решения x—at, х=а2, .... Они
называются соответственно правыми или левыми дели-
телями нуля кольца (см. разд. 3.3.1). Для коммутатив-
ных колец, естественно, оба эти определения совпадают.
Кольцо без делителей нуля — это кольцо, в котором из
01-02=0 всегда следует, что элемент Oi или а2 — нуле-
вой. Из числа колец с делителями нуля примером может
служить кольцо квадратных матриц n-го порядка.
Коммутативное кольцо без делителей нуля называ-
ется областью целостности.
3. Единичный элемент, обратный эле-
мент. Кольцо может иметь нейтральный элемент и по
отношению ко 2-й операции (в его мультипликативной
полугруппе), который называется единичным элементом
и обозначается символом 1 (разд. 3.1.1; VIII):
6) а'1=1-а=а для всех а^А. (11)
Единичный элемент (в случае его существования) опре-
деляется однозначно (подразд. 3.1.1.3).
При наличии единичного элемента для каждого а^А
можно однозначным образом определить обратный эле-
мент, обозначаемый как а-1 (по отношению к умноже-
нию (подразд. 3.1.1.3)). Не для каждого аеА можно
найти обратный элемент (при существовании единично-
го элемента по отношению к умножению), например, не
существует элемента, обратного нулевому (так как
О-1 *0=0 и не равен единичному).
3.1.3. поля
З.1.З.1. Определение. Кольцо не образует группы по
отношению к обеим операциям (сложению и умноже-
нию). Поэтому а-х=Ь и Х’а=Ь для а=0 или неразре-
шимы (Ь^О), или разрешимы неоднозначно (&==0).
109
Кольцо называется телом, когда (мультипликативная
полугруппа кольца на носителе А \ {0} образует груп-
пу. Если, кроме этого, умножение коммутативно, то го-
ворят о поле. Содержащаяся в (Л, +, •) частичная
структура
(А\{0}(.) (12)
называется мультипликативной группой кольца. В этой
группе, разумеется, содержится единичный элемент а=1
и для каждого а£А\{0} можно найти обратный элемент
а~*о4\{0} (подразд. 3.1.1.2).
Примером поля могут служить рациональные, дейст-
вительные или комплексные числа с операциями сложе-
ния и умножения. Поле не обязательно .должно содер-
жать бесконечно много элементов (например, поле дей-
ствительных чисел).
Поле образуют целые числа, сравнимые ио модулю р (р— про-
стое число); например, множество Af={0, 1, 2 р—1} с опера-
циями
a-f-6) J(a + b)r/7,
> = целочисленному остатку от < ,
a-b I [(а-Ь):р.
Например, р=7; 5—1-6=4, так как 111:7=1 остаток 4, 6x5=2, так
как 30: 7=4 остаток 2. Таким конечным полям посвящены § 3.3 и
разд. 3.2.4.
3.1.3. Следствия. Из изложенного выше следует:
1) тело не имеет (правых или левых) делителей
нуля; так как из а-&=0 и а=^0 следует ar1-at-6=0=6
и поэтому а=0 в случае 6^0;
2) тело имеет только один единичный элемент, ко-
торый совпадает с единичным элементом мультиплика-
тивной группы кольца. , Если 1 — единичный элемент
мультипликативной группы, т. е.
a-l = 1-a=a(aO4\{0}),
то с учетом (10) 0-1=1-0=0;
3) уравнения а-х=Ь, х-а=Ь однозначно разрешимы
в теле для а=£0, так как они однозначно разрешимы
для 6=/=0 (групповое 'свойство), в для 6=0 вследствие
пункта I) существует только решение х=0.
Решения этих уравнений обозначаются как х=
=а~1‘Ь и х=6-ог*. В случае поля эти решения совпада-
ют. При этом пишут
a-1-6=6-a-’=6/a (а=^0) (13)
но
и называют Определенную таким образом операцию де-
лением. Так вводится операция,. обратная умножению
(см. подразд. 3.1.1.5).
Исходя из рассмотренных основных алгебраических
структур, добавляя к ним другие операции или отноше-
ния, получают другие алгебраические системы.
Как уже объяснялось в разд. 1.1.2, структура линей-
ного пространства (векторного пространства) получает-
ся за счет того, что совместно с абелевой группой (А,
+ ) рассматривается область операторов (В, +, •)
(вторая алгебраическая система), имеющая структуру
поля и между элементами А и В вводится соответствие,
как показано в подразд. 1.1.2.5, п. 6.
Дополнительно предполагается, что каждый элемент
аеЛ можно записать в виде
2 e b, (Ьу(=В, е^А)
(где п — размерность пространства), тем самым мы
определяем n-мерное векторное пространство с базисом
(в1, вз, . . ., &п) •
Особенно важный класс векторных пространств об-
разуют векторные пространства с нормой, которая не-
посредственно получается из определения скалярного
произведения (подразд. 1.2.1.6).
Однако в настоящей книге лишь вскользь рассматри-
ваются векторные пространства, и поэтому мы не будем
углубляться в их изучение.
Ниже рассмотрим еще один важный для исследова-
ния систем конструктивный принцип: образование поля
отношений из элементов области целостности.
3.1.4. ПОЛЯ ЧАСТНЫХ
3.1.4.1. Определение. В основу конструкции кладется
область целостности 91= (Л, +, •) и рассматривается
декартово произведение ЛхЛ=Л2, за исключением эле-
ментов типа (а, 0) *>. Это множество обозначается как
[ЛхЛ]={(аь а2)}'.
Два элемента (ai, а2), (bi, b2) из [ЛхЛ] считаются
эквивалентными, если aib2=a2b\ (подразд. 1.1.2.1):
(«»> «2)МЙ1> Ьг)^=^ахЬг = а2Ьг (14)
♦) Эти элементы должны быть удалены из АхА, чтобы отно-
шение (14) было бы отношением эквивалентности.
Ш
Таким образом, элементы [ЛхЛ] разбиваются на
классы эквивалентных элементов ((14) задает отноше-
ние эквивалентности, см, подразд. 1.1.2.2.). Класс (под-
множество [ЛхЛ]), содержащий элемент (яь я2), обо-
значается через (яь а2). Таким образом, (аь а2) слу-
жит представителем класса (яь а2). Далее обе опера-
ции + и •, определенные на Л, используются для за-
дания соответствующих двух операций (+ и •) на
{(ai, а2)} следующим образом:
(ai, at)H-(6,, 52) = (яД-|-аД, яД) (15а)
(я., я^Д, 62)=(яД, а2Ь2). (156)
Важно то, что определенные таким образом на {(яь я2)}
операции .не зависят от выбора .представителей класса,
т. е. если
(я„ я2)^(я\, я'2), Д, b2)^(b\, Ь'2), (16а)
то
[(Яр я,)+Д, М~[(а\. а'2ШЬ\, У2)] (166)
и
(Яр a2) (bv ь2)^(а\, а'2)(Ь\, V2\ (16в)
что легко можно проверить. Везде, естественно, яь я2,
&2 являются элементами А.
При помощи простых вычислений можно непосред-
ственно показать, что множество {(яь я2)} совместно
с определенными в (15) операциями образует поле. Та-
кое -поле, которое ставится в соответствие (однознач-
ное) каждой области целостности Я, называется полем
частных Я. Само название «поле частных» происходит
от специальной формы записи соотношений (15), при
которой эквивалентными считаются не элементы из де-
картова произведения, а пары дробей из R, т. е. когда
вместо (яь я2) в том же самом смысле записывают
Я1/я2:
ai I ____ aib2 + bra2 (17а)
а2 ' Ь2 а2Ь2 ’ ' '
— 4к===“ф“ (——единичный элементУ (176)
а2 Ь2 а2Ь2 \с ” J
112
З.1.4.2. Изоморфизм. Так как со специальными эле-
ментами типа (ba, &)e({(ai, az)}, +, •) вычисления
производятся так же, как с элементами ае(А, +, •),
то, например, из (15) вследствие (Ьа, Ь)=(са, с), полу-
чаем
(bat, b)-\-(bat, b)=(bbai-\-bbai, bb)—
= (ЬЬ(а^аг), bb) = (^a.+o,), b)> (18)
Рис. 40. Иллюстрация к полю отношений.
и элементы типа (ba, b)~-^-^{(at, а2)} структурно не
отличаются от элементов а&А (рис. 40):
(taT&) = -y=a. (19)
Множество {(Яр а2)}а всех элементов (Ьа, Ь) из
{(а,, а2)} образует совместно с операциями, определен-
ными в {(др а2)}, структуру, изоморфную (А, •), т. е.
с биективными отображениями А<—*{(ар а2)}а
са cb
— «—> d. —
с с
и для любого с^А справедливо
са cb
с ~с~
<—>ab.
8—619
113
В общем случае Две (однотипные) алгебраические си-
стемы (Л, о,>|< ) и (Л', о', >)?') называются изоморфны-
ми и обозначаются как
(Л, о, *)^(Л', о', *'), (20)
когда между Л и Л' существует биективное соответст-
вие, т. е. из
<р(я)=а', <p(b)=b' (21а)
следует
<Р (а о b) = <р (а) о' <р (6) =а' o' V,
<р(а^)=<р (а) '<}>(£>)= а'^'Ь'. (216^
При этом, так как с одной стороны {(ар а2)}аС
Q{(ap а,)}, а с другой также
({(^7Ма> +• -)«(А +, •)’ (22)
говорят, что (Л, +, •) изоморфно погружена в ({(аь
«2), +', •). Первоначально заданная область целостно-
сти, таким образом, содержится (изоморфно) в соответ-
ствующем ей поле частных.
В качестве наиболее известного примера приведен-
ной выше конструкции может быть поле рациональных
чисел. Оно является полем частных, областью целост-
ности которой является кольцо целых чисел. Другие при-
меры полей частных приводятся в § 3.3.
Подобным же образом коммутативные полугруппы
с правилом сокращения (из aox=box^a=b) могут
быть погружены в абелевы группы.
Такое погружение алгебраических систем имеет боль-
шое значение для теории систем, так как с помощью
этого метода становится возможным достаточно простое
описание операторов системы F я G.
Всегда следует иметь в виду, что пространства X, Y
и Z не обладают алгебраической структурой, в то время
как алфавиты X, Y и Z являются носителями алгебраи-
ческих систем. В случае бесконечномерных пространств
отображение, осуществляемое системой X—►/, может
быть непосредственно наделено не алгебраическими опе-
рациями (например, табличными правилами в случае
конечномерных систем), а лишь посредством комбина-
ций «элементарных отображений» XXX—>-Х, XxZ—>-Z
114
и т. д. Следует отметить, что множество отображений
{X—+-У} достаточно большой мощности (соответствую-
щей мощности технически реализуемых отображений)
с математической точки зрения описывается достаточно
подробно, когда пространства X и У имеют достаточно
сложную алгебраическую структуру, т. е. служат носи-
телями большого числа алгебраических операций.
Как области целостности расширяются до полей, уже
показано выше.
Рассмотрим другие способы получения новых алге-
браических систем из заданных. Как и в рассмотренном
выше случае, в основе этих построений лежат разбиения
на 'классы заданного носителя системы А, с той лишь
разницей, что теперь на классы разбивается не декар-
тово 'произведение АхА, а сам носитель А (построение
фактор-структур).
3.2. Основные понятия алгебры 11
3.2.1. ФАКТОР-ГРУППЫ
3.2.1.1. Подгруппы. Если ®=(А, о)—группа и элемен-
ты некоторого подмножества А7 из А образуют относи-
тельно групповой операции о, определенной на А, груп-
пу, то
&'=(А', о) (23)
называется подгруппой @=(А, о). Очевидно, что ® и
®' имеют один и тот же нейтральный элемент е.
Например, группа целых чисел (с операцией сложе-
ния) образует подгруппу группы действительных чисел.
Если ®\=(А\, о)-—еще одна подгруппа <3, то под
пересечением @'('|®I=(A'QA'I, о) понимается некоторая
подгруппа ®. В общем случае (это легко показать) пе-
ресечение любого числа подгрупп некоторой~ группы
является подгруппой.
Пересечение всех подгрупп, содержащее элемент ае
еА, называется подгруппой @а=(А(а), о) с образую-
щей а. Она обладает, очевидно, следующими свойст-
вами.
Если ©,а=3(А'(а), о)-какая-либо другая подгруп-
па ®, содержащая а, то A(a)czA'(a), т. ё. кратко: @ас
8* 115
cz@'o (@o — «наименьшая» группа,содержащая а). Соот-
ветственно определяются подгруппы, которые имеют сво-
ими образующими несколько элементов некоторой
группы.
Подгруппа @ с образующей а состоит из всех целых
степеней а:
®а = ({..., а~*, а~1, е, а', аа,...}, о) (а’=е). (24)
Доказательство. ®а должна как группа содер-
жать по крайней мере все степени а (подразд. 3.1.1.2):
({..., а"1, е, а1,...}, о)С®а- С другой стороны, ({..., а"1,
е, а1,...}, о) образуют группу, содержащую а:®аС({...,
а"*, е, а1,...}. о). Следовательно, выполняется (24).
Группы (подгруппы), порожденные одним-единст-
венным элементом, называются циклическими. Цикли-
ческие группы, очевидно, являются абелевыми.
В случае циклических групп имеются две возможно-
сти: все элементы носителя а” отличны друг от друга
или же среди них есть совпадающие. В последнем слу-
чае имеются по меньшей мере два одинаковых элемен-
та, например ah=ah (h>k). Тогда ah~h=e (fi—&>0).
Если п — наименьшее положительное целое число, для
которого также
ап=е (п>0), (25)
то все степени а°=е, а1, а2, ..., ап~{ отличны друг от
друга и, следовательно, из ar=as (0^s<ir<n) вытекает
аг-«=е при г—s<.n вследствие предположения о п.п
называется порядком элемента группы а.
Все степени а содержатся в множестве {е, а, а2, ...
..., ап-1}. Для каждого целого числа т существует
представление m=qn+r (0^r<n; г—остаток от деле-
ния т на n; q — целое число) и с учетом (4) и (25):
am = aqn+r _ aqnar _ = =
Носитель группы в таком случае состоит из конечного
множества элементов е, а, а2, ..., ап~1.
П'рим'ер: корни n-й степени из единицы 1=е (fe = 0, 1,
2,........ п—1) относительно умножения комплексных чисел
(рис. 41).
З.2.1.2. Классы смежности. Если ®'=(А', о)—под-
группа ®=(Л, о) и аеЛ, то множество {аоа'}=аоА'с.
агЛ всех произведений а на элементы а', принадлежа-
116
щие А', образует левый класс смежности подгруппы в'.
Таким же образом определяется правый класс смежно-
сти Д'о а подгруппы ®'. В случае абелевых групп пра-
вый класс смежности совпадает с левым классом смеж-
ности подгруппы &' (рис. 42). Так как ее Д', то ае
епо Д'.
Ниже рассматриваются только левые классы смеж-
ности (для правых классов смежности выполняются та-
кие же соотношения).
Рис. 41. Циклическая группа.
ооА
Рис. 42.
Класс смежно-
сти.
, то а и b
Справедливо следующее:
1) если a~*ob — элемент
одному и тому же классу смежности с о Д' и наоборот
(сеД).
Доказательство. Из a~lob<=A' или а~1 о Ь=а'(а'^А')
следует Ь=аоа'. Если лес о Д', т. е. а=с о a'i(a'ieA'), то Ь=
—с о (a'i о а') ес о А. Из а, Ь& о А' следует: а=с о а', Z>=c о а'\ (а',
аЛеД') а-1 о b=af~1 ог'осо о а^еД'.
Рассмотрим 'множество {а о А7} всех смежных клас-
сов а о А' (аеА). Справедливо следующее утверждение:
2) каждый элемент а из А принадлежит одному из
классов смежности @7.
Доказательство. аеаоД', так как ееД'. Из аеЬоД*
следует, что а—Ь о а'(а'^А') или 6=аоа'-1, или Ь—а о a'i
=a'i^A'). Предположение boAf=^aoAf означает: существует а'2е
—А', такой, что b о а'2=а о (а'2 о а'2) а о Д', что несправедливо.
Следовательно, а о А'—Ь о Д'.
Из 2) следует, что
(ао A')Q(6o А') = 0 (ао А'^Ьо А') и U(aoA') = A, т. е.
классы смежности образуют разбиение на классы А/А7
группы А* Каждый класс можно представить любым из
117
его элементов, и в этом случае мы пишем а вместо а о А'
или ЬоА' (а^аоА'=>ЬоА'). При этом а=Ь означает
то же самое, что и a~lobeA' ('Сравните рис. 43 и 3).
В частности, е=а’=А' и аоа'=а при а'^А';
3) все классы смежности содержат (в случае конеч-
ного Л) одинаковое количество т элементов. Если п —
количество элементов носителя группы А (порядок груп-
пы), то
; Я порядок (А, о) = ® f, ,_fi.
т "порядок_(Л', о) =,<$>’ '
называется индексом подгруппы в группе ®. Очевид-
но, что i равняется числу элементов в Л/ А'.
Рис. 43. Фактор-группа
(класс смежности).
Если рассматривать циклическую подгруппу ®а с об-
разующей а, то в этом случае' (для конечных групп)
порядок ®а совпадает с порядком а, т. е. порядок т
некоторого элемента группы а является делителем по-
рядка п самой группы: n=i-m.
В каждой конечной группе с п элементами из этого
следует »
ап=е (для всех аеЛ) (27)
и из сказанного выше с учетом n=i-/n (т — порядок а,
i — целое число) следует a" = a‘ '”=(am)z = ef = ^.,.
3.2.1.3. Фактор-группы. Если для некоторой подгруп-
пы ®' при всех аеЛ выполняется аоЛ'=Л'оа, то ®'=
= (Л', о) называется нормальным делителем. Таким
образом, в другой записи для нормального делителя вы-
полняется а о а’=а' оа= а.
Для абелевых групп каждая подгруппа является нормальным
делителем. ___.
118
Для КЛйссоб смежности нёкотороГо йорМально^о Делителя мож-
но с помощью
а о 5=а о b (28)
определить отображение, которое не зависит от выбора представи-
телей классов а и Ь.
Данное отображение классов образует группу — фактор-группу
©/©^(А/А7, о) группы ® по подгруппе ®'.
Рис. 44. Абелева группа (классы смежности).
3.2.1.4. Абелевы группы. Для аддитивно записывае-
мых абелевых групп (модулей) ®=(А, +) и ®'—(А',
+ ) классы смежности и нормальные делители записы-
ваются в виде а+А' вместо aoAz. Если а и b принад-
лежат одному и тому же классу смежности, то а—
еА', и наряду с а=Б пишут также
a=b (mod А') или a=b(Az) (29а)
и говорят, что а конгруэнтно 6 по модулю А'.
В качестве примера рассмотрим сложение целых чисел. Множе-
ство целых чисел, кратных а(па, а — целое число, а=0, +1, ±2,...)
или же подмножество
А' = 0 = {..., —а — а, —а, 0, а, а-[-а, а-}- а + а, -•-}
= {... , —2а, —а, 0, а, 2а, За, ...}
образует нормальный ®а (циклическую подгруппу порядка оо с об-
разующим элементом а). Соответственно классы вычетов являются
следующими множествами целых чисел (Ь — целое число, рис. 44):
Ь + А' = А' + 6_=6 = {... — 2а + Ь, —а + Ь, Ь, а + Ь,
2а+Ь, За + Ь,...} (6 = 0, 1, 2, ... , а—1).
Справедливо А'-]-па=А' и если b—с=па<=А', то А'-\-Ь—А'-[-с. Для
двух элементов с и d из A'-\-b=b выполняется с—d=(na-[-b)—
— (ma~yb)==(n—m)a(=A', т. е.
c=d(A'), А'={па} (и=0, ±1, ±2,...). (296)
c—d есть кратное а. В этом случае вместо (29) кратко записывают
с = d (a)$=F$d ({па}).
119
Для суммы двух класов смежности A'-f-6i и А'4-62 получаем за-
пись
+ bs = {... > —а + 61 + bt, bt -f- b2, а + 6i 4* 62,
2а + 6j + 62,...} = 6t + 62-
3.2.2. КОЛЬЦА КЛАССОВ ВЫЧЕТОВ
З.2.2.1. Идеалы. Кольцо 91'= (А', + , •) называется
подкольцом кольца 91=(А, +', •) при условии, что А'а
<=А и Ж' (совместно с операциями, определенными на
А) образует кольцо. Это именно так при условии, что
1) (А7, +) есть подгруппа (А, +) и
2) при а, Ь^А' также а-Ь^А'.
Если в дополнение к 2) потребовать, чтобы
2') при а^А' и Ь&А выполнялось а-Ь и b-а^А’, то
8tz называется идеалом кольца 91= (А, +, • ). Таким об-
разом, идеалы — это подкольца, для которых выполня-
ются условия 1) и 2') (и, конечно, идеалы являются
нормальными делителями) . Аналогично (см. разд. 3.2.1)
справедливы следующие положения: пересечение беско-
нечного числа идеалов является идеалом, идеал, порож-
денный элементом аеА, есть пересечение всех идеалов,
содержащих а, и обозначается как 91о=(А(а), +, •).
Такой идеал называется главным и в случае коммута-
тивных колец состоит из всех элементов вида а-Ь+'па:
91в = ({...а-&+па...}, -Ь •) (6GA). (30а)
Если в 91 имеется единичный элемент 1, то вследствие
a b-\-na=a-b-\-n{\’a)=a-(b-\-n\) = ab, (b^A) (ЗОб)
вместо (30а) просто записывают
91а=({...а.6...}, +•) (6GA).
Следовательно, в коммутативном кольце с единич-
ным элементом идеал, порожденный а (главный идеал),
состоит из 'всех кратных (из всех произведений а с од-
ним из элементов А). Простыми примерами главных
идеалов в коммутативных кольцах служат:
1) нулевой идеал 91о=(А(О), -) = ({0}, +', •.);
2) единичный идеал 9li=(A(l), +, -)=91 (для коль-
ца с единичным элементом);
.3) 9tm= ({... —2m, — tn, 0, tn, 2т, ...} +, •) в коль-
це целых чисел G (разд. 3.2.1,г).
120
3.2.2.2. Кольца классов вычетов. По определению
подразд. 3.2.2.1 идеал одновременно является нормаль-
ным делителем, т. е. задает разбиение А на классы —
на классы вычетов а. Множество А/А'={а} полученных
таким образом классов вычетов образует кольцо (коль-
цо классов вычетов SR/9T) при условии, что на {а} за-
даются следующие две алгебраические операции:
1) сложение, соответствующее 'сложению классов
смежности для групп
a-\-b=a-\-b\
2) умножение
ab=ab, (31)
где через а и b обозначены классы вычетов, содержа-
щие элементы а и Ь.
Умножение, определенное таким образом (так же,
как и сложение),' не зависит от выбора элементов клас-
сов а^а и b^b. Поэтому так как ai и Ь\ принадлежат
а и Ь, то ai—a+a' и bi=b+a" (а', а"еА') и, следо-
вательно,
al-bl=(a-j-a')(b-l~a'')=ab-l-a-a'' -]-a'-b-j-a'-a" =
— a-b-$-a-a''-j-a'-b-^-a'-a''=ab-}-o==a-b=a’b,
так как по определению идеала а-а"-]-а'-Ь-}-а' -а” =
=0+0 + 0'.
Как уже было показано в подразд. 3.2.1.3, классы
вычетов относительно операции сложения образуют груп-
пу. Ассоциативность умножения немедленно 'следует из
(31). Так же легко показать, что эти операции дестри-
бутивны:
(a-j-b)c = (a-^b)-c=(a-j-b)-c=a-c-[-b-c=a'C-j-
-]~b-c=a-c-^-b-c.
Таким же образом доказывается дистрибутивность
относительно умножения слева. Очевидно, что кольцо
классов вычетов 9?/Э1Л коммутативно (см. (31)) при
условии, что коммутативно кольцо
121
3.2.3. КОЛЬЦА ГЛАВНЫХ ИДЕАЛОВ
3.2.3.1. Кольцо целых чисел. Как уже было описано
выше, целые числа G (с операциями сложения и умно-
жения) образуют кольцо — именно кольцо без делите-
лей нуля (область целостности) с единичным элемен-
том.
В этом кольце G определен следующий алгоритм де-
ления:
каждым двум элементам кольца (целым числам) а
и b соответствует однозначное представление
a=±bq+r
(32а)
с целыми числами q (частное) и г (остаток), где
(326)
Например,
Osgr< | b |.
а b а = bq + г
30 7 30=7.44-2, 0<2< 7|
—35 8 -35=8-(-5)4-5, 0<5< 8|
20 —6 20=(—б).(—3)4-2, 0<2< -6|
6 3 6=3-2, 0<0< |3
Если в (32а) Ь=£0 задано, то каждому aeG соот-
ветствует ге{0, 1, 2 |д|—1}=G&. Два числа Яь а2
из G, которым соответствует одинаковый гебь, называ-
ются конгруэнтными по модулю Ь, что обозначается
как
ai=a2 (mod 6). (33а)
Можно также записать
^,=«2 (mod &)<==> (33g)
или (см. подразд. 3.2.1.4)
a.^aJmodfcXr^a, —аг=&<7,(<7Р qt, q3&i).
В частности, для каждого целого числа a=bq+r вслед-
ствие (32а)
a=ar (mod&), (ЗЗв)
123
В приведенных примерах
30=2 (mod 7), — 35=5 (mod 8),
20=2 (mod (—6)) (=2 mod 6),
6 = (mod3).
3.2.3.2. Кольцо полиномов. Пусть 8t=0, +, •) —про-
извольное кольцо. Образуем с помощью элементов а,
из А новый математический объект, полином
п
(а^А, n(=N), (34а)
v=0
где х” представляет свободный математический символ
(он не обязательно принадлежит SI или какому-либо дру-
гому множеству, наделенному алгебраической структу-
рой), который вводится для удобного определения опе-
раций в множестве F всех полиномов f над кольцом Я.
Вместо (34а) применяется также следующая форма за-
писи полинома:
<a„ а„ ..., а„>=2
У==0
= <«,, a,, аг,..., ап, 0, 0, ...> (ап^=0). (346)
Два полинома ft и f2 называются «равными» (f1==f2),
если они содержат одинаковые члены без учета членов
с нулевыми коэффициентами.
Введем в F две операции: сложение
Л(х)+Л(х)=3 «4-О ^=2 (35а)
v=0 v=0
и умножение
/И \
л(*)•/,(*)= s (з ^=2 d^. (356)
ри=О 'у=0 / p,=sO
Эти правила действий формально совпадают с соответ-
ствующими правилами сложения и умножения для це-
лых рациональных функций (над R).
123
При этом множество F преобразуется fi носитель не*
которого нового кольца, а именно кольца полиномов
Ш[х].
Нулевым элементом этого кольца служит нулевой
полином
fo=0x°+0x* + ... =<0, 0, ...>,
где 0 обозначает нулевой элемент 91.
Степенью [f (х)] некоторого отличного от нуля (от
нулевою полинома) полинома f(x) называется наиболь-
шее число v, для которого av отличен от нуля. Этот
называется старшим коэффициентом f(x).
Полином нулевой степени имеет вид
f (х)=d'X* — (36)
его кратко можно также записать как а„ (без скобок)
так что действия над (а0) из F осу-
ществляются так же, как над Оо из 91. Нулевой полином
также можно кратко записать как O:fo=(O, 0, ...) =
=(0)=0.
Если кольцо 91 имеет единичный элемент, то единич-
ный полином (единичный элемент) записывается как
/1(х)=1х’=(1)=1. (37)
Справедливо также следующее утверждение: если 91
есть область целостности, то областью целостности яв-
ляется также и ад.,
Понятно, что 91 [х] коммутативно при условии, что
коммутативно 91. Это непосредственно следует -из (256).
Так же легко показать, что из и 'всегда сле-
дует, что frfe^O, т. е. fi.f2=0 возможно только при
условии, что fi=0 или /2=0 (или оба полинома нуле-
вые) .
В кольцах многочленов 91 [х] над некоторым полем
действует, такой же алгоритм деления *>, как и <в коль-
це целых чисел:
каждым двум элементам кольца (полиномам) fi(x)
и f2(x)=0 соответствует однозначное представление
в виде
f. (х)=h (х) <7 (х) + г (х) (f, (х) 0), (38а)
*) Алгоритм Евклида. (Прим, перев.)
124
где полиномы q(x) и г(х) соответствуют частному и
остатку и
о< к (•*)]< [/.(*)]. (386)
Например, (при av, для
f, (х)=а3х’+а2х’ + а,
h (х)=&2х*+М
вследствие того, что
(а,х’+а^х2+а): (Ьгх2 -[- 61х)=-^- х+^
а'г
а\х2-\-а
a'tbi
---ь—х
&2
имеет место представление
а8х,+а8х2+а=(V*+M) (& * + X") “ х-
h " h -Л—
я г
Каждому полиному f\(x)^F при заданном полиноме
/г(х)еГ однозначно соответствует полином г(х). Два
полинома fi(x) и f'i(x) называются конгруэнтными по
модулю f2(x), если они при делении имеют один и тот
же остаточный полином г (х)
ft (х) = (х) [mod f2 (х)J w=(*) <7 W + г (х)>
I f,l(x)=fs(x)<7'(x) + r(x).
<==> fl (х) — f \ (х) = ft (х) q” (х).
В частности, (ср. с (ЗЗв))
fi (x)=r (х) [mod f2 (х)[ (f, (х) = f2 (х) q (х) + г (х)).
125
Таким образом, в приведенном выше примере
а3х3 + +а— - х [mod _р х].
3.2.3.3. Кольца главных идеалов. Введенные выше ча-
стные примеры колец являются областями целостности
с единичным элементом.
Как уже было показано в разд. 3.2.2, в таких коль-
цах все кратные некоторого элемента образуют главный
идеал, порожденный этим элементом.
В кольце целых чисел, например, {... пЗ ...} =
={..., —6, —3, 0, 3, 6 ...} являются носителем главно-
го идеала, порожденного 3 (или —3). В кольце же по-
линомов 5Я[х], например, полиномы
{... (ao+'aix)ft(x) ...; Л(х)е81[х]}
образуют носитель главного идеала, порожденного по-
линомом f(x)=ao+aix.
Мы покажем, что в приведенных выше кольцах G и
Э?[х] каждый идеал является главным. Поэтому G и
Э?[х] являются кольцами главных идеалов, т. е. принад-
лежат классу областей целостности с единичным эле-
ментом, в которых каждый идеал главный.
Рассмотрим кольцо G. Пусть G' — некоторый идеал из G. Если
G' — нулевой идеал (0, +» ’) > то 6' — главный идеал. В противном
случае в G'=(4, -Ц •) имеется отличный от нуля элемент а<=А и,
следовательно, также и —а (Л является носителем группы), а или
—а положительно, а b — наименьшее положительное число из А.
Если также се Л, то (по алгоритму деления)
c=bq-\-r (0<г<&). , (39)
Но если с и b принадлежат G' (они являются элементами Л), то
G' принадлежат и bq, и с—bq (разд. 3.2.2), а по (39) и г. Но r<Zb
и из (39) следует, что г=0, и поэтому b есть наименьший поло-
жительный элемент идеала. Следовательно, c—bq, т. е. все сеЛ,
кратные b и G', есть главный идеал.
Таким же образом доказывается, что Э?[х] есть коль-
цо главных идеалов. Для этого в предыдущем доказа-
тельстве вместо наименьшего положительного числа ис-
пользуется полином наименьшей степени. -
3.2.4. КОНЕЧНЫЕ ПОЛЯ
З.2.4.1. Кольцо целых чисел, сравнимых по модулю 'т.
В кольце целых чисел G все кратные ... —2m, —m, О,
m, 2m, ... некоторого целого числа m^G образуютиде-
126
ал, а именно главный идеал 91т. Структура классов вы-
четов 91'С элементами носителя (см. рис. 44)
a—{a+km}; А=0, ±4, ±2, ...; 0^а<|т|, (40)
такими что
0 = {...—2т, —т, 0, т, 2т; Зт, ...}={0-{-Л/п}
1 = {...1—2т, 1—т, 1, 1Ц-т, l-J-2/n,...} —{1-|-Ат},
2={...2— 2т, 2 — т, 2, 2-\-т, 2-}-2т, ...} = {2-\-km}
т—1 — {...(т—1) — 2т, (т—1) — т, т—1, т—1-|-
-\-т, ,..} = {(«— 1)-km},
является (с операциями, введенными в разд. 3.2.2) со-
гласно разд. 3.2.2 кольцом, причем кольцом, коммута-
тивным без делителей нуля (область целостности) с еди-
ничным элементом (обозначаемым 1). Класс вычетов
т——т идентичен 0, класс вычетов —1 идентичен т—1
и т. д.
В соответствии с разд. 3.2.2 для двух элементов а и
Ъ, 'Принадлежащих {0, 1, ..., т—1},.имеем
a-\-b—a-\-b={a-\-b-\-km}, ={mq-\-ct-\-km},
=A<\-[-Wm}, (0<cI<|m|; Л' = 0, ± 1, ±2,...).
(41а)
По (32а) приравниваем a+b=mq+ci, т. е. с учетом
(ЗЭв)
(а+16) (modm)=Ci (или a + b—Ci (mod/и))
и поэтому
а+6=(а-|-&) (mod т). (416)
Таким образом, класс вычетов а + Ь (соответствующий
классам а и Ъ— класс вычетов с;=а+Ь) получается за
счет того, что складываются представители a=Repa и
b=aRep& классов а и 5 по модулю т (образуя таким
образом (а+&) (modffi) и тем самым совершается пе-
реход к'классу c1 = (a-\-b)(modm) = {cl-\-k’m}:
(Repа+Rep5)modm=Rер (а+5). (42)
То же самое справедливо и по отношению к умно-
жению. Правило
(a-b) (mod т)—С;
127
дает переход от представителей а и b 'классов а и Ь
к представителям c=(a-b) (mod tri) класса вычетов с—
=а-Ъ.
Следовательно, операции, вводимые по отношению
к классам вычетов Stffim, формально совпадают со сло-
жением и умножением целых чисел по модулю т (т. е.
классы вычетов 9i/91т и целые числа со сложением и
умножением по модулю Ш являются изоморфными струк-
турами). Как уже упоминалось выше, эти структуры
являются областями целостности с единичным элемен-
том.
3.2.4.2. Кольцо полиномов, сравнимых по модулю
т(х). Предыдущие рассуждения можно перенести на
кольцо полиномов 91 [х] с коэффициентами из некото-
рого поля. 9? [х] так же, как G — область целостности
с единичным элементом, и в обоих кольцах определен
алгоритм деления (такие кольца называются евклидо-
выми кольцами).
Бели m(x)eF — некоторый заданный полином, то
множество полиномов
tf(x)/m(x)} (f(x)ef), (43)
где f(x) —произвольный полином из множества F всех
полиномов над полем 91, образует (главный) идеал
[х] кольца Э? [х].
Следовательно, произвольный класс вычетов можно
представить в виде
а (х) = {а (х) + f (х) • щ (х)}, f(x)GF. (44)
где степень а (х) eF меньше степени т (х):
[а(х)]<[/п(х)].
Совершенно так же, как в подразд. 3.2.3.2,
а (х)+b (х) = (а (х) -ф- b (х)) (mod т (х)),
а(х)• Ь(х) = (а(х)• b(x)) (mod т(х)), (45)
где через а(х), Ь(х) так же, как и раньше, обознача-
ются представители классов а(х), &(х). Структура клас-
сов вычетов, определенная с помощью т(х), опять фор-
мально совпадает со сложением и умножением поли-
номов над 91 по модулю заданного полинома т(х) (изо-
128
морфные структуры). Таким образом, мы опять полу-
чаем область целостности с единичным элементом (см.,
подразд. 3.2.3.2). Это кольцо обозначается - как
81 [х]
3.2.4.3. Конечные поля (поля Галуа). Область целост-
ности целых чисел, сравнимых по модулю т(х), конеч-
на, но в общем случае не является полем. То же самое
относится и к области целостности полиномов, сравни-
мых по модулю над некоторым (конечным) полем.
Для теории линейных систем важно знать те усло-
вия, при которых эти кольца становятся полями, а имен-
но, конечными полями.
Для выяснения этого вопроса введем два новых поня-
тия для области целостности 91=(Л, +, •) с единичным
элементом: - ...
а) элемент а, принадлежащий 91=(Л, +, •), назо-
вем единицей и обозначим в, когда он имеет в Л обрат- ~
ный элемент а~1 (а-а-1=1).
Например, в кольце целых чисел такими единицами
являются е=+1 и 8=—1: 1-1=1, (—1)(—1)=1;
б) отличный от 0 и е элемент из 81= (Л, +', •) назы-
вается неразложимым, когда из а=6-с(6, сеЛ) всегда
следует 6=8 (или с=в), т. е. b или с обладают обрат-
ным элементом.
В кольце целых чисел, например, неразложимыми
являются простые числа, а в кольце полиномов над по-
лем Я — неприводимые полиномы.
Справедливо следующее: в кольце главных идеалов
91= (Л, +, •) кольцо 'классов вычетов 8t/9to (91а— глав-
ный идеал с образующим элементом а) только в том
случае является полем, когда а — неразложимый эле-
мент (простое число, неприводимый полином).
Справедливость приведенного утверждения следует
из двух общих теорем.
1. В коммутативном кольце 91 с единичным элемен-
том (и, следовательно, в кольце главных идеалов) 91/81'
является полем только в том случае, когда 91' — макси-
мальный 'идеал.
Идеал 31' = (А',' -]-, •) коммутативного кольца 31 =
= (Л, •) называется максимальным (3l,=9l(OT]), когда
А является единственным носителем идеала, включающим
в себя А! нетривиальным образом»
9—619 129
Доказательство. 91/91' есть поле, когда х-а ==
разрешимо.
Если 9Г=91[т]=(Л[т], +, •) максимальный идеал, то в этом слу-
чае, так как aQA^, идеалом, носитель которого нетривиальным обра-
зом включает и а, может быть только 9Ь=(Л, +, .). При этом,
так как множество {с} всех элементов c — ar+da (a'e4[mp dZzA)
является носителем идеала, включающего в себя A^mj и а, обозна-
чаемого Л' (что легко можно доказать), то 91' и 91 совпадают ({с}=Л)
и, следовательно, b = a'l-f-dia c^G-Л), откуда следует
Ь =а\ + <Z1a = d1-a.
Следовательно, x=di есть решение х/а=Ъ (причем единственное ре-
шение).
Обратно, если 9?/$'— поле, то х/а=5 для й=/=0 (0==Л) разре-
шимо. Отсюда следует х-а—Ь^А' при всех Л', х, Ь&А. Пусть
91'1= (Л'i, +, •)—идеал, содержащий Л', так что х-а—и
пусть аеЛ'ь При этом также x-a&A'i и, следовательно, также бе
еЛ'ь Так как b — произвольный элемент из Л, то, следовательно,
ЛХ1=Л или 9?'1=9?, т. е. максимальный идеал.
2. Идеал Яа=|(Л(а), +1, •) кольца главных идеалов
только в том случае является (максимальным, когда об-
разующий элемент а неразложим.
Доказательство. Пусть Л (а) — максимальный идеал. Из
Л(а)сЛ(б) (Л(б)#=Л) следует Л(а)=Л(б), поэтому а=6-г и 6=
=a-s. Получаем a=a-s-r, или s •/•=!, или г=8. Следовательно, а
неразложим.
Если а неразложим и Л(а)с=Л(б), то a=b-s(s&A) с 6=8 или
s=e. В первом случае Л(6)=Л(е)=Л, во втором Л(а)=Л(6) и,
следовательно, Л (а) максимальный идеал, когда дополнительно мы
еще замечаем, что из a=b-s следует Л(а)с=Л(6) и поэтому из
а=Ье или из 8=1-8 следует А(а)=А(Ь) и Л(е)=Л(1)=Л соответ-
ственно.
Таким образом, -сложение «и умножение целых чисел
по модулю простого числа р приводит к определению
поля, а именно, конечного поля с р элементами.
Такие поля называются полями Галуа и «обознача-
ются как GF(p).
В (соответствии со сказанным сложение «и умноже-
ние полиномов над -полем GF(p) по модулю некоторого
неприводимого полинома т(х) степени k также приво-
дит к некоторому конечному полю. Такие поля обознача-
ются соответственно GF(ph), где рк опять обозначает
число элементов носителя поля.
Известно, что все конечные поля, содержащие рк эле-
ментов, изоморфны некоторому полю Галуа GF(pk).
В качестве дополнительной литературы для более
глубокого изучения теории конечных полей можно ука-
зать [19].
130
3.3. Системы с дискретным временем
3.3.1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
3.3.1.1. Уравнения системы. В основном здесь исполь-
зованы результаты, полученные в § 2.2. Если при этом
рассматривать простейший 'случай инвариантных повре-
мени систем, то мы придем к линейным системам, ко-
торые описаны уравнениями системы (см. гл. 2,— (122)),
соответствующими линейным автоматам:
z(ot-|- 1) = Az(ot)-|-Bj(ot),
(46а)
р (т)=Cz (от) Of (tn).
Здесь в соответствии с замечанием, сделанным в разде-
ле 2.2.2, записываем Р(от) вместо р(от-|-1).
Далее предполагаем, что z(ot), г (от), р(ют)—векто-
ры, а А, В, С, D — матрицы с элементами, принадле-
жащими конечному полю GF(pr)=W (разд. 3.2.4):
и
А = (ау.^пХп' - В =
С=(ci*v )*хл’ В = (d^ )йх/>
(<V d^GFQf)). (46в)
Аргументы векторов обозначают номер такта, а ин-
дексы ixj — формат матрицы (число строкXчисло столб-
цов). Если X входной, Y выходной, a Z алфавит со-
*) Такая запись соответствует линейному автомату Мили.
{Прим, перев.)
9* 131
стояний, to
X=y=Z==GF(//) = Wr (p— простое число) (46г)
и
х’ (т) G X, у* (m)g£Y и z’ (tn) G Z.
Уравнения (46a), записанные в координатной форме,
имеют вид
п
zl‘(m4-l)=3 a^z'(m) +
V»1
+2V»(i‘=1’2..........«)• (47)
V’H G*=1’ 2’-’ ">*
Vsssl Vel
Бели на линейные конечные автоматы, описываемые
уравнениями (46), (47), подать бесконечную векторную
последовательность (входное олово из X1)
F=<?(0), ?(1), ?j(2), ..•> = <? И)>; (48а)
то на выходе мы получим бесконечную последователь-
ность (выходное слово из Yk)
P=<i>(0), j> (1), ...> =]<₽(m)>; j> (m) G Yfc. (486)
Одновременно с этим вектор состояний z(m) пробегает
некоторую последовательность (слов состояний) z=
=<z(0), z(l), . ,.>=<z(m)> из zn, где z(0) есть за-
данное начальное состояние. Следует заметить, что, на-
пример, I можно рассматривать не только как вектор-
ную последовательность, но также и как вектор после-
довательностей
<х* (0), х‘ (1), х* (2), ...>
<х*(0), х/(!),...>
132
Все зависит от того, рассматривается ли зависимость от
номера такта- т или от номера входа v.
Если через X обозначить множество всех входных
слов ?, а через §) множество всех выходных слов §)> т0
очевидно, что линейный автомат осуществляет некоторое
отображение X в g), которое полностью определяется ма-
трицами системы А, В, С. D и начальным состоянием
z(0). Характеризацией этого отображения мы займемся
в последующих разделах.
Рис. 45. Многомерная система.
Для получения простого математического представле-
ния этого отображения мы будем предполагать, что слова
<w(/n)> [w(m)=xv' (т), уЦт), ги(/п)] из W (IF = Х, Y,
Z), так же как и элементы из IF, являются элементами
поля 91. При этом г, р и z становятся элементами неко-
торого векторного пространства над 91, которое является
полем частных, принадлежащим W.
3.3.1.2. Отношения слов. При поступлении на вход
слова I на v-м входе (рис. 45) появляется слово
х’=<х’('»)> = <* (0), x’(l), x”(2), ...>;
(49)
xv(h)GA'=IF.
х’ —w есть слово с элементами, принадлежащими IF.
То же самое относится к у’ = <//’(0), у1(1), ...> hz’=
=<Z(0), z’(l)....>.
Пусть W — множество всех слов w=<w(0), w(l), ...
.. .>=<w(tn) >. Условимся, что слова, содержащие,
начиная с некоторого определенного индекса, только
нули, т. е. последовательности типа
w=<u>(0), а»(1), ..., w(s), 0, 0, 0, ...>,
будут записываться кратко как
w=<w(0), а,(1), ..., w(s)>.
(50а)
(506)
133
Определим в W две операции (сложение и умножение):
Пусть w1 = <a>1(m)> и w2 = <,w2(m)> два элемента
из W, тогда
<х (т)> 4- <», (т) > = О (т)>,
w (т) = wt (т) -|- w2 (tri) (т = 0, 1,...), (51а)
<О), (<п)> <®2 (т)> = О (т)>,
т
w (т) =2 (5)w* (т—s)= (m) Wa (т)
s=0
(m=0, 1,...). (516)
Более подробно <w(/n)> из (516) можно записать как
О (m)>=<wl (0) w2 (0), и\ (0) w2 (1) + w, (1) w2 (0),
w, (0) w2 (2) + w, (1) (1) + w, (2) w2 (0), ...>.
Словам w=<®(m)> целесообразно поставить в со-
ответствие формально образованные выражения (ом.
разд. 3.2.3)
w*= 2 ® (т) Ст. (52а)
т=0
Для слов типа (50) можно записать
w*=2 w(m)Zm . (526)
m»0
вместо
w* = w(0) + w(l)C4-w(2) C2+... + w(s)Cs +
-|-oe+1 + .... (52в)
При такой записи очевидно, что элементы (буквы) слов,
образованных в результате -сложения или умножения
(51), «служат коэффициентами сум-м и произведений со-
ответствующих «степенных рядов» по В то время как
w(m) являются элементами поля GF(pr), £ -служит чи-
сто вычислительным символом, -с которым только фор-
мально можно обращаться так же, как с переменной
степенного ряда, например, над R.
134
00
Выражение 2 10(/и)Сот обозначает то же самое, что
ги=О
О(т)>=О(0), w(l), о>(2), ...>. Имеет смысл кроме
множества W всех w рассматривать множество W* всех
w*. между которыми существует взаимооднозначное ото-
бражение
W<—>W* (53а)
или
0(0), t0(2), ...> = w-—►w*=w(0)4-
+ w(l)C4-t0(2)C,4-.... (536)
Для последнего выражения существует более компактная
запись
£оо
• w*=rst0'=Tw= 2 (54а)
а само выражение w* называется зет-преобразованием
(£— трансформанта) w. Обратное преобразование в со-
ответствии с (54) можно записать (см. подразд.
1.1.2.1)
w=7'_,w*=<t0(O), t0(l), .. .>'=<t0(s)>
(s=0, 1, 2, ...). (546)
Легко убедиться в том, что для операций, введенных
в (50), приведенная выше символика позволяет запи-
сать:
Т (w, + wt)=Twt + Tw,=w*, 4- w*,,
T’ (wIw2)=TwtTw, = w*1w*s. (55)
В левой части этих выражений операции + и • понима-
ются в смысле (51), а в правой — в смысле соответст-
вующих операций для степенных рядов (например,
над R).
С введенными операциям# +' и • W или W* образу-
ет область целостности (разд. 3.1.2 или 3.2.3).
Очевидно, что структура (W, +) представляет собой
абелеву группу с нейтральным элементом
135
0=<0, О, О, ...> (нулевая последовательность).
Тогда (W, +, •) будет коммутативным кольцом, в ко-
тором умножение ассоциативно, коммутативно и, кроме
того, дистрибутивно относительно сложения:
w1(w, w»)=(w1ws) w8i Wt-W2 = W2WI,
(w8-}-w2)* w3c= w2 • w2-j~ w2 • w,. (56)
Соответственно то же самое справедливо и в отно-
шении структуры (W*, +, •), в которой роль нейтраль-
ного элемента играет нулевой полином
0=0+0£+0£2+ ...
Справедливость этих высказываний легко проверяется
непосредственными вычислениями.
Важно отметить, что кольцо (W, +, •) не имеет де-
лителей нуля (разд. 3.1.2), т. е. из wpw^O следует, что
Wi или w2 имеет по крайней мере хотя бы один эле-
мент, отличный от нуля. Бели о>1(г) или w2(s)—пер-
вый отличный слева от нуля элемент, то справедливо
w,-w2=<0, О,..., О, «,/(/•)>/(«)• •••>¥’о-
То же самое справедливо и в (W* •).
„ Область целостности (W, •) может быть погру-
жена в соответствующее поле частных ({[WXWJA > +»
•) (разд. 3.1.4). Элементами носителя {[WXW]Z}~ яв-
ляются отношения слов
w,___ <а>! (0), а>, (1). ••> /е7ч
w2 “ <w2'(0), аь (1). •••> ‘ V 4
В поле отношений 2В*~, соответствующем (W*, •)»
вместо (57) записывают
(58)
w*2 00 тw2
При этом
w,-<«> (Q),«> (!) «>12),..•••>=<a,(0), (59)
Wi
w*,У, «*(m) рт „
—=y] »wr.
m«=0
136
где w, и w*i — произвольные элементы из (W, +> -)=2В
и (W*, +, )=23* (разд. 3.1.4).
Если в приведенном выше смысле записать
то становится очевидным, что поля и изоморфны
и из (55), (60) и разд. 3.1.4 следует, что
Т ( W1 W', \ _ т Wi-W'i _ Т (Wi-W'i) /gl
\ w2 w't J 7’(w2w'2) ' '
_ rw.-Tw', _ w*,-< _ w«, wj*
TVifTvi'2 W*2-W2* W*2 w”
= T W‘ ,7 w'i
W2 W'2 •
Таким же образом доказывается
т^+лк^=т^4-т-«^-. (616)
w2 1 w'2 J w2 1 w'2 ' '
3.3.1.3. Зет-преобразование. Для зет-преобразования
2 ю* <w)
Т -------- (62)
w2 °0 7
2 »2 И) V"
m=0
существуют простые и удобные правила для его прак-
тического осуществления. Некоторые из них мы приво-
дим ниже.
Пусть
w=<w(0), w(l), w(2), ...>=<w(m)> (63a)
и
Tw:=T<w(m)>=w*, w = r",w*=<w(m)>. (636)
Образуем новые последовательности
w“" = <jp1 (m)>; vt = w(m — n)(w(a)=Q для <к^0) (64a)
= <0, 0, .... 0, w(0), ®e>.(l), w(2), ...>
n
w+n=<ot(m)>; vt(m)==w(m-\-n)==
=<w(n), w(n-|-l), w(n-|-2), ...>. (646)
137
Тогда справедливо
I. Tw~n= J o(/n)Cm=
=0+0C4-0C4-... +w(0)CB + a»(l)Cn+* + ...=
= (0+ОС-I- OC-j-... + ОС"’ ’ + 1СВ 4- ОС+'Ч-...) X
X 2 ® (т) С"^ С" • Tw, (65а)
m—Q
если положить, что
Св=0-|-ОС+ОС8+...-1-ОСп-‘+1Сп+ОСв+‘-|-... (656)
В общем случае для упрощения выражений вида
(65а) можно записывать
со k
2 w(m)Cm+n или 2 t®(w)COT+B (w(/n)=0 для /п>Л),
/ПавО /ПявО
не опасаясь сложности интерпретации. Далее с учетом
(59) и (65а, б)
П.
Tw+B=T<w(n), w(n-|- 1), ®(n-|-2), ..•>=
_ a»(n)C«+ai(n+1)?п+> + ш(п + 2)С«+г+... _
Ся
(00 /1—1
yj w(m)Cm—J} w(m)^m
m=*zQ /пявО
=-^-Tw—w(m)Cm. (65b)
m»0
Справедливы также следующие правила (ср. с (52)):
Ш.
TSw»=STw’, <65г>
V=1 Vaal
IV.
Т (aw)=aTvt (65д)
138
При
а=<а, О, О, О, .. .>=а*,
1=<1, О, О, . ..>'=1* (единичный элемент). (65е)
Важное для дальнейшего правило формулируется сле-
дующим образом (ср. с (55)):
V.
T<wn>=-r^r (w(n)=wn). (65ж)
Оно получается из
(1—Cw)-T<w',>=(l—Cw)2 а)тСт=1.
/л==0
Наконец, из (51) следует
VI.
Т < 2 w. (s) (m—s)> = Т <а>, (ш)> • Т <w, (т)>=
3=0
= Т <10, (m) 4с w2 (m)>. (65з)
Приведенные правила легко можно обобщить в векторы
и матрицы.
Бели
/<»* (т)>\
m = <m(ffi)>=| : |,
\ <«/’(«)>/
то под Тт, естественно, понимается выражение
(О’ (т)>\
I
(и)>
/Т <о»* (/и)>\
= 1 |=т*. (66)
\Г <w® (т)>/
Отсюда следует
Тт~п=СпТт (67)
139
в предположении, что (£п) — матрица означает то же
самое, что и умножение матрицы на скаляр (матрицы
«ад R).
Соответственно обобщаются и остальные правила
действий над словами.
3.3.1.4. Решение основных уравнений. Используя
приведенные правила, из (47) следует, при условии, что
zv (т) и х*(т) понимаются как буквы некоторого слова
(элементы последовательности):
п , I
(68а)
V=1 У=1
(р=1, 2,..., п).
Уравнение (68а) получим, если заметить, что, напри-
мер, Т<х(/и)> получается в результате «умножения»
х(т) на £”* и последующего суммирования по т.
В матричном виде получаем (после соответствующе-
го умножения на £ (656))
z* — z (0) = CAz* + СВу*. (686)
В этой записи элементы всех векторов и матриц и эле-
мент £ принадлежат полю отношений 24* Допустимые
преобразования выражения (686), следовательно, опре-
деляются правилами вычислений для полей и матриц
над полями, которые известны в обычной теории матриц
(матрицы над R).
Далее из (686) получаем
(Е — СЛ) z*=4Bj* — z(0), (68в)
где Е т—обозначение единичной матрицы. Из (68в) сле-
дует _
z*=(Е — СА)- ЧВ? + (Е — £А)" ‘ z (0). (69)
Таким образом, найдено решение в области изображе-
ний ^-преобразования. Коэффициенты I* и z(0) являют-
ся матрицами с рациональными элементами по перемен-
ной £, кроме того,
(E-CA)-=1E-J^-, (70)
140
где (Е—£A)adJ —матрица алгебраических дополнений
матрицы (Е—£А). Тогда (69) преобразуется к виду
— «Г-МО) . (71а)
= A*z (0).
Каждый элемент А* или В* имеет вид
2 а,Г
----• (716)
2 W
Перевести (71а) в область оригиналов можно различ-
ными способами, которые рассмотрены ниже.
Сейчас приведем только один из возможных методов
обращения. В соответствии с (65)
(Е — САН=2 (2
т=0
откуда следует
(Е —СА)«2 АтСш=Е,
т«=0
в чем легко убедиться непосредственно.
Из (72) следует, что
2 АтГ =Т<Am> = (а].С’)). (73)
m=0 \ \v=0 / J
Из (67) следует с учетом (68), (69) и (72)
Т Cz (m)>=Т <bm> СВ?п + Т <Am> z (0) =
=Т <Ат> -.ТВ <f(m — 1 )> -f- Т <к'п> z (0).
И с помощью обратного преобразования получаем (ср.
с (65з))
г (т) = 2 Ат“’В? (у — 1) + Amz (0)
141
т—1 __
= Amz(O) + S (v), (74a)
v=0
после того как с обеих сторон опущены скобки <>.
Следовательно, для выходного 'вектора из (46а) полу-
чаем
— m—i — _
p(m) = CA"’z(0)+2 CAm—1Bf(v)4-Df(m) =
v=0
= P (m)-pp(m)
(m—0, 1, 2,...; Am=0 (m<0)). (746)
Таким образом, выходкой вектор состоит из двух от-
дельных векторов: свободного движения
V (m) = CAmz (0) (75а)
и вынужденного движения
Р (т) = 3 CA'”-’-1Bi'(v) + D?(m). (756)
>=о
Очевидно, что p(m) = p* (т) при J —0 ир7/п)=р(т) при
z(0) = 0.
3.3.2. ВЫНУЖДЕННЫЕ ДВИЖЕНИЯ
3.3.2.1. Передаточная матрица. Осуществляя преобра-
зование второго уравнения из (46а), получаем
p = Cz*+Dp, (76а)
откуда с учетом (69) и (72) для вынужденного движе-
ния имеем
р =С (Е — СА)-1 CBp-f- Ср=
= [С (Е — С А) -1 СВ + D] р=
= [C7<Am>CB + C]p. (766)
Коэффициент
Н*5=С(Е —СА)-’СВ + Г =CT<A'n>CB + D (77а)
142
называется передаточной матрицей линейного' автомата.
Справедливо следующее:
Р*=Н*?, р (т)=£ Н (т — v) j (v). (776)
S) z
В соответствии с (716) Н* можно всегда представить
в виде некоторой матрицы с рациональными элемента-
ми по переменной £:
/ S
H*=((h*llv)), hV=U=2----------
\ 2 ЬУ
\ v=0 /
(78а)
Вследствие (72) или (77) h*^, однако, должны быть пред-
ставлены в виде
hV=S (786)
что легко получить, сравнивая оба представления Н* в
(67а). Таким образом, всегда являются элемен-
тами первоначально заданной области целостности
(W, +, •).
_ Мы еще вернемся к рассмотрению взаимосвязи обо-
их представлений.
С учетом двух последних уравнений получаем
п
У*“=2 (79а)
и, в частности, (ср. с (65з))
т .
У*'=h*rt • Xе, t/** (m) = 2 hA (m — v) (v), (796)
wO
при условии, что все входные последовательности, кроме
Е-й, выбираются х'*=0*.
Выражение
н**
(80)
143
называется передаточной функцией между g-м входом
и ц.-м выходом (рис. 46). Она может быть получена не-
посредственно при специальном выборе
х^З^С=^ = 1. (81)
v=0
Из (796) получаем
^=^«=1 <82>
а
Рис. 46. Иллюстрация к
понятию передаточной
функции.
Рис. 47. Импульсная характеристика:
л — к определению импульсной характеристики; б — область оригиналов и
область изображений; в — элементарные системы.
Это означает, что передаточная функция h*^ естьС-транс-
форманта у11’ выходного слова yv'=<2yv'(Q), ...>
на р.-м'®'выходе при поступлении единичного слова (еди-
ничного* импульса)
1=<1, 0, 0, 0, ...> (83)
на В-й вход (рис. 47). Слово из области^оригиналов,
соответствующее h*rt, называется импульсной характе-
ристикой. Следовательно, элементы передаточной ма-
трицы некоторого данного автомата можно экспе-
риментально определить с помощью испытательного
144
слова (83), они являются характеристическими величи-
нами системы (подразд. 3.3.3.4).
3.3.2.2. Импульсная характеристика. Как уже отме
чалось, передаточную функцию h* можно представить
в виде рациональной функции или в виде степенного ря-
да по переменной Перейдем теперь к более подробно-
му рассмотрению свойств h*^;. Из (77а) следует
H*=CCT<Am> B + D
\т=0 /
=2 CAmBC’+‘ + D =
flfaeO
= Н, + НЛ+2 HJ”, (84а)
- : т»2
где
H. = D, Hj = CB, Hm = CAm-,B (846)
и
Hm<==>H(m). (84в)
Матрицы Hm не могут быть совершенно различными,
так как над конечным полем W существует только ко-
нечное число отличных друг от друга матриц А. В по-
следовательности
А, А2, А’, ..Ат, .
должен существовать некоторый показатель k, для ко-
торого
Aft=A8(s^fe),
откуда следует
As+l,r=As, T—k—s (v=0, 1, 2,...) . (85)
и, учитывая (84),
ffs+vr=CAs+’r-,B = CA’-,B = H,. (86)
145
10—619
Поэтому выражение (84а) трансформируется к виду
00 s—1 $+Г—1 $+2Г—1
н*=2 и,г=2",!’+ 3 н,с+ 2 н,г+...=
УявО УявО ynrf-f-Г
S—1 s-fr-T— 1 $4-Т— 1
=2н,с+ s н,г+ег 2 н,+гг+...=
У=0 yes Уа$
=2 н»с' S *Hv с о+сг+с2Г+?г+.••) =
УиаО vnaS
S+Г—1
S м-
=2Н.С’+ "'г • w
у—0 4
При этом элементы Н* приобретают общую форму
$+г—1
s_, 2
hV = S ----= (88a)
x-o 4
s+T— 1
2
где
•4-r-i
e= s
X»s
s+T—1
(Л) Cx
l-?r
ли’(л)С(14-Сг+С2Г+...).
(886)
Следовательно, импульсная характеристика в общем
случае всегда состоит из непериодической части
h<V = <Л*’ (0), (1)...(s -1)> =Т-Х?‘ (89а)
и некоторой периодической части
h™=<lT(s), /П*+1)....» ^’(®+T-l)>=
(896)
146
В простейшем случае имеем только один вход или выход:
y*=h*-x* (см. рис. 47). Переход от передаточной функ-
ции в виде
S °у
h* = ^-----(6t=1) (90)
S ЬУ
v=0
к h осуществляется с помощью деления полиномов. Об-
ратный переход от h к h‘ осуществляется, когда после-
довательности h=h<1)+h<2) ставится в соответствие сум-
Рис. 48. Регистр сдвига.
ма h* (88). При этом, как и выше, Ы1) непериодическая,
a h<2> — периодическая часть h.
3.3.2.3. Модели. В случае, если линейный автомат
с одним входом и одним выходом имеет импульсную ха-
рактеристику
h = h<*> + h<*) = </i(O), ...,/i(s—1)>4-<Л(«), ...
...А(« + Т-1)>,
где hl1) соответствует непериодической, a h<2> периодиче-
ской части (88), то его, очевидно, можно реализовать
с помощью сдвигового регистра (рис. 48). Горизонталь-
но расположенные элементы представляют собой линию
задержки (запоминающие устройства, элементы сдвига),
элементы которой задерживают каждую поступающую
на их вход букву на такт времени Т автомата. Элемен-
ты, обозначенные Л(0), Л(1), h.(2), ..., являются устрой-
ствами умножения, которые преобразуют каждую бук-
ву х в h(v)x (рис. 48).
Другая модель линейной системы изображена на
рис. 49.
10* 147
Если через lF*v обозначить выход v-ro элемента за-
держки, то,при подаче единичного слова 1 (см. (83) и
рис. 47, в) получаем
y*=h*=(a. + W*0)
=fa + CaI-»,h*+CW*,)
= («. + to. - ^h*+СЧ - C‘&,h* + C*W*2)
=КЛ» 4" 4 4~ 4" • • • 4~ ^ak —
-(^4-^4--4-^4)h*].
Рис. 49. Линейный автомат.
Но это означает, что
k
S
h#=,=o------------------------(&#=1)
2 w
v=0
3.3.3. СВОБОДНЫЕ ДВИЖЕНИЯ
З.З.З.1. Циклы. Из (69) и (76а) следует, что свобод-
ные движения описываются в области изображений как
F*=Cz*=C(E —CA)-*z(O) (91а)
или в области оригиналов (см. (72) — (746))
f(m) = CAmz(O)=Cz(m), (916)
где
z (т) ₽-= Amz (0) (91 в)
118
Следовательно, эволюция ?(m) при отсутствии внешне-
го воздействия с точностью до постоянного преобразо-
вания С совпадает с z(m). Поэтому в дальнейшем до-
статочно рассматривать только выражение (91в).
Из (91в) следует
z (m +1) = AAmz (0) = Az (m). (92)
Это означает, что состояние z(/n+l) получается из со-
стояния z(m) в результате умножения на А. Если z' и
z" — два произвольных состояния автомата, то либо
справедливо, что z"—Az', либо условие не выполняется.
Рис. 50. Граф состояний.
Если через 3 обозначается пространство состояний (мно-
жество всех состояний (системы), то множество (3 X 3),
всех (z', z"), для которых выполняется условие Az'= z",
образует подмножество 3X3. Конечное подмножество (ЗХ
Х3)о может быть поставлено во взаимооднозначное соот-
ветствие графу, который получается, если каждое состоя-
ние автомата изображается в виде вершины (точки) на
плоскости, а две вершины г' и г" связываются стрелкой
(дугой), направленной от г' к г" при условии, что z"=Az'
(рис. 50). Случай z'==z" изображается в полученном та-
ким образом графе состояний автомата в виде петли.
Так как каждое состояние г' может перейти только в од-
но-единственное вполне определенное состояние z", то
из каждой вершины выходит по крайней мере одна дуга
(конечно, их может быть и больше). Если существует
показатель k такой, что А*=А«(з^Л) (разд. 3.3.2), то
для любого ze3
A*z = Asz=A*-sAsz
149
или
z' = A*_4'z'.
Из сказанного следует: существуют так называемые ци-
клические состояния, для которых выполняется соотно-
шение
ATz=z. (93)
Наименьшее Т, для которого выполняется условие (93),
называется периодом циклического состояния z. Соот-
ветствующая последовательность вершин графа
z, Az„ A2z, ..., Ar-Iz(7’=l, 2, 3, ...) (94)
(вместе с соответствующими дугами) образует цик^ дли-
ны Т (цикл с Т дугами), рис. 51. Очевидно, что совмест-
но с z циклическим состоянием с периодом Т является
также и Asz(s=l, 2, Т—1).
Цикл может иметь период Т=1 (петля) и наиболь-
ший период Af, где N равно числу состояний автомата.
Из сказанного, однако, не следует, что для каждого
состояния z можно задать Т, так чтобы выполнялось
условие (93). Для таких нециклических состояний усло-
вие (93) не выполняется и, следовательно,
Arz=^= z
для всех Т=1, 2, 3, ... Это, конечно, не исключает того
случая, когда последовательности, соответствующей не-
циклическому состоянию z
z, Az, A*z, ...,
могут принадлежать циклические состояния zv=Avz. Та-
ким образом, все состояния некоторого линейного авто-
мата в соответствии со сказанным выше можно подраз-
делить на два класса: циклические и нециклические.
3.3.3.2. Деревья. Как’показано выше, состояние Avz
является циклическим, если z циклическое (т. е. Avz и z
имеют одинаковые периоды). Если z—нециклическое со-
стояние, то нециклическими могут быть также состоя-
ния Avz при v== 1, 2, 3, ..., г. Если Ar+1z=zr+1—первое
циклическое состояние в последовательности Avz (т. е.
имеется k такое, что выполняется условие Ak = As и в
указанной последовательности существует, по крайней
150
мере, одно циклическое состояние) и, кроме того, един-
ственное, то в Аггг+1=гД"1 должно быть T=l: Azr+I=
= zr+v
Но тогда также Aszr+l = zr+i для всех s,> 1 (рис. 52).
Такая последовательность вершин
z, Az, ..., Arz; Ar+vz=Arz
вместе с соответствующими дугами называется деревом
с корнем Zr+i. В частности, корнем дерева может быть
Zr4-i=0 нулевое состояние авто-
мата. Такие деревья называют- , у* 2
ся нулевыми деревьями. f
3.3.3.3. Регулярные и ниль- < * j J Чх
потентные автоматы. Опишем i ж
условия, при которых все со- Рис. 52. Дерево с корнем,
стояния автомата являются
циклическими или нециклическими. Справедливы сле-
дующие положения:
а) если А невырожденная, т. е. |А|#=0, то все со-
стояния соответствующего автомата циклические;
. б) если А нильпотентна, т. е. Аг=0 при некотором
натуральном Т, то все состояния автомата до нулевого
состояния (которое всегда циклическое с периодом Т=
=1) нециклические.
В первом случае граф состояний автомата состоит
только из циклов, а во втором — только из нулевых де-
ревьев.
Проведем доказательство положений а) и б).
а) Если А невырожденная, то невырожденными будут и все сте-
пени A*(v=l, 2, 3, ...) и все произведения степеней А'|А|1=А’+,‘.
Степени А” образуют некоторую группу, а именно, циклическую под-
группу группы всех невырожденных А над полем GF(P)
(разд. 3.1.1). Поэтому существует m такое, что АШ=Е, и поэтому
вследствие Amz=z z— циклическое состояние, что и требовалось
доказать.
б) Если Аг=0, то можно без уменьшения общности предпо-
ложить, что Т — наименьший показатель, для которого выполня-
ется Ат=0. Понятно, что при этом
Arz =о.
Предположим,_что A5z = z. При s^T это возможно только при усло-
вии, что z = о. Если з<Г, то из предположения
Ar-sA^z = Ar~^z
151
и свойства'А следует
Аг sAsz = Arz = о.
С учетом условия, предшествующего последнему, выполняется также
Аг—sz = о,
что невозможно для z ф о, так как Т по предположению наименьшее
натуральное число, для которого Аг = 0. ,
Следовательно, ни при каком s не выполняется Asz = z (за
исключением z = о) и поэтому z нециклическое {состояние.
Рис. 54. Нециклические
состояния.
Циклическое состояние z в случае а) принадлежит,
естественно, некоторому циклу, который, кроме того,
является вполне определенным, т. е. каждое состояние
этого цикла переходит точно в состояние Az=z" и полу-
чается точно из некоторого состояния A-1z=z'.
Граф состояний в таких случаях состоит из некото-
рого множества изолированных друг от друга циклов
(рис. 53). Такие автоматы называются регулярными.
В случае б) каждое нециклическое состояние при-
надлежит некоторому нулевому дереву (рис. 54). При
этом .нулевые деревья, принадлежащие нециклическим
состояниям, могут частично совпадать.
Совокупность нулевых деревьев некоторого нильпо-
тентного автомата называется полным нулевым дере-
вом. Такое дерево может быть образовано , с помощью
зеркальной симметрии относительно некоторого основ-
ного «ствола» (рис. 55).
Автоматы описанного выше типа называются ниль-
потентными линейными автоматами.
В то время как в регулярных автоматах каждое со-
стояние периодически повторяется, в нильпотентном
автомате любое состояние переходит в нулевое (рис. 56).
152
3.3.3.4. Граф состояний. Рассмотрим самый общий слу-
чай, когда А не является ни невырожденной, ни ниль-
потентной.
Из структурной теории матриц известно, что каждая
такая матрица А (над некоторым полем) с помощью
некоторого преобразования подобия
А*=РАР-’, |Р|¥=0 (95)
Рис. 55. Полное нулевое черево. Рис. 56. Нильпо-
тентный автомат.
может быть приведена к естественной нормальной форме
А*
/А, о\
\0 AJ’
(96)
где Ао нильпотентная, a Ai—невырожденная подма-
трицы.
Как Ао, так и А, состоят в свою очередь из так на-
зываемых сопровождающих матриц Bv
/в,
А., А, —
В2
(97а)
в„/
где Bv в общем случае имеет вид
О 1 0 0 0. .. О I
00100... 0
00 ...... 01
Л*0 .......avfcy—1
(976)
153
Все подматрицы с «,о=7^О относятся к матрице А„ а ос-
тальные (в этом случае в последней строке стоят только
нули) относятся к матрице Ао.
Введем в уравнения системы (46а) новые перемен-'
ные состояния z* как
z*=Pz. (98)
Тогда при учете z = P"’z* и (46а) получаем
Р-1 z* (m -Н )'= АР" ‘z* (m)+Вт (m),
z* (m + 1)=PAP- ‘z* (m) + PBf (m),
а для второго уравнения системы (46а)
f (m) =СР- ’z* (m)+D? (m).
G учетом (95) и
PB = B* CP-’=C* (99)
для преобразованной системы получаем
z* (m + 1)=A*z* (т) + B*f (m),
р (m)=C*z* (m)+ Di(tn). (100)
Решение уравнений преобразованной системы совершен-
но идентично решению уравнений исходной системы.
Следовательно, из (746) имеем
р (т) = 2С*А*т—‘B*f (m) + r^(m)C*A*mz* (0)=
V
=sСР- ‘ (РАР- Т-’-1 РВ? (т) 4- D£(т)+
V
4-СР-1 (PAP-,)m Pz(0) =
=2СР-,РА'”~’-1Р-,РВ? (т)4-Г?(т)4-
4-CP-,PA'nP-*Pz(0)=
CAm—’BF(m) 4-Г.? (m) -f-CAmz (0).
154
В частности, для двух автоматов с передаточными ма-
трицами Н* и H*t
и₽Н*=Н*,<==>А = ₽-%₽, В = В1РС=С1Р, D = DV
В случае, если мы не различаем автоматы, которые на
одни и те же входные слова отвечают одними и теми же
выходными словами, автоматы, описываемые (46а) и
(100), эквивалентны. Чтобы отличить (100) от (46а),
будем называть их нормальной формой уравнений со- /
стояния.
При дальнейшем анализе свободных колебаний в ли-
нейных автоматах ограничимся рассмотрением только
нормальной формы (100).
Если z'— начальное состояние, то с учетом (96) че-
рез т шагов оно перейдет в
__Мо Zz'A /Amoz'o\ мл].
(0 aJ (z'J \.A'n,z,1/‘
z'o и z\ в этой записи представляют «подходящее» раз-
биение вектора z', соответствующее гиперматрице А*:
Z, = (o’)+(z'.)=Z,“’+ZV °02)
Рассмотрим множество ЗДвсех векторов z'а. Тогда в со-
ответствии с (101)
A*ff,z'a = (A”,2'j (103а)
и соответственно для каждого состояния типа z'g из мно-
жества 3g
A*"z'=( ° Y (ЮЗб)
₽ \ А"1, г\ J '
Из формулы (103а), где Ао нильпотентна и подразд.
3.3.3.3 следует, что все состояния z'o, т. е. z'a нецикли-
ческие. Все состояния z'„ т. е. все состояния z'9, на-
против, в соответствии со сказанным выше (подразд.
3.3.3.3.) являются циклическими.
Состояния z'g образуют систему изолированных цик-
лов, а za — некоторое полное нулевое дерево.
155
Укажем следующее обстоятельство: каждое цикличе
ское состояние z'9 является корнем некоторого графа,
изоморфного полному нулевому дереву.
Под изоморфными графами, мы, естественно, понима-
ем два графа G и G' при условии, что множество К вер-
шин k графа G идентично множеству К' вершин k' гра-
фа G' и между ними установлено взаимооднозначное
отображение
Рис. 57. Изоморфные графы.
так что двум смежным вершинам k\, k2 из К соответ-
ствуют смежные же вершины в К' (рис. 57):
(*„*Л<—(*'„*',).
Пусть
z' =(М=Ь (Ю4а)
обозначает вполне определенное циклическое состояние
из’множества Зр и
=*’ (Ю4б)
произвольное нециклическое состояние полного нулево-
го дерева, которое после v шагов переводится в нулевое
состояние (см. рис. 56):
Ajz'0, = £ (105)
Мы ставим каждому ^состоянию в, из 3, во взаимоодно-
значное соответствие некоторое новое состояние а\ из 3
при помощи
— (z'*\ ( г'* \
4»=V°/v b/~Zv'
156
Таким образом, множество Зь всех av ставится во взаи-
мооднозначное соответствие множеству 3& С 3 всех zv.
Множество 36 образует даже дерево, изоморфное пол-
ному нулевому дереву, так как, кроме За< —-3g и
av*~—>-zv, существует^соответствие
__/A'jZ'o \ / А'дХ'о \\
’-Д 0 А-ЛЛсаГ1)-1 ьу ЧСАТ)-’ Ч
такое что имеет^место соответствие
/rfr \ / т" \
IZ*I ( г в I
V 0 Д-Г "^(А’-1)-1 b /
или
“,-Г—
Теперь уже легко показать, что b — корень дерева,
заданного с помощью Зг-- Для этого требуется только
дополнительно вычислить, ЧТО ДЛЯ Z ИЗ 36
(А')Ч=Ь,
Это действительно так:]
г = Мо 0\ ( z'o, \ /AJz'oA^/ 0 а'
’ ^0 ai; Да;)-1 ъ) \ ь J \ь J
Таким образом, полностью представлена общая
структура графов состояний линейных автоматов. Из
сказанного следует, что графы состояний некоторого ли-
нейного автомата можно получить «выращиванием» из
каждого циклического состояния J (вершины) полного
нулевого дерева (рис. 58).
Для. завершения приведенного выше доказательства
этого положения следует еще заметить, что подобные
матрицы обладают изоморфными графами, так что А*
и А обладают изоморфными графами состояний.
Это следует из следующего рассуждения.
Мы отображаем пространство состояний 3 вслед-
ствие
z, -—► Z' = Pz,, |Р| ={= 0,
взаимооднозначно на само себя. Пусть za — состояние
157
А-графа, z', — соответствующее состояние в А*-графе.
Тогда справедливо
A*z', = РАР-1 (Pzv) = Р (Azv)
или
z',+1ss=Pzv+l.
Если zv и z'v, таким образом, поставлены друг другу
в соответствие, то тоже самое справедливо и для сле-
дующих состояний zv+1 и z\+1, что и требовалость пока-
зать.
Г—I I—1 Г~1 I—I 1—। ।—I • •
\и.н.д\ |оЛ \пнЛ\ \плвЛ \пмд] \т1.н.д.\
А у
Рис. 58. Полный граф состояний (п. н.д. — полное нулевое дерево).
3.3.3.5. Пример. В качестве дополнения к общему рас-
смотрению линейных автоматов приведем еще следую-
щий пример.
Пусть автомат задан уравнениями
/г*(«+1)Х /1 24 /г* WU.Z 2 X
\z2 (т]+ 1)/ \0 1/ \z2 (m) / \ 1 / ' '
у(т)=К1 2) (2*^] + 2х(т).
\z* \П1) /
Через 0, 1, 2 обозначим элементы GF(3) с таблице ело*
жения и умножения
+ 0 1 2 0 1 2
0 0 1 2 0 0 0 0
1 1 2 0 1 0 1 2
2 2 0 1 2 0 2 1
О есть нулевой элемент, а 1 — единичный элемент трех
элементного поля.
158
Для определения выходного слова у необходимо
в соответствии с (746) знать, что
(1 9\т
I .
О 1/
Имеем
А*=А = Р 2\ А’ —Р *1 А‘ = Р °\ А4 = А‘, ...
ко 1/ ко 1/ ко 1/
В общем случае (см. (85))
Am+3’ = A'n(/n=l, 2, .... v = 0,1,2, ...)
и в соответствии с (746) свободное движение Гопределя-
етсярсак
а по (77) вынужденное движение’имеетТвид^В
> «Л
у»(/и)=2 Н(т — v)x(v).
v=0
При этом из (84)
Hs=H(s) = CAs-*B(s>l), •
HS = D (s=0)
и вследствие периодичности А (с периодом Т=3)
Я4+а=СА»+’-‘В=СА«-‘В=Яв.
Рассмотрим вынужденное движение. В рассматриваемом
примере
Я. = Д = 2,
Я1==СВ = (1 2)( 2 )=1,
Я2’='(1 2)f* 2') рЦ = О,
4 ' ' ко 1/ к 1 /
Я, = (1 2)Р 1Н2)=2,
। 3 ' 7 ко 1/ к 1 /
«.=(! 2)(J °)(*)=1=Н„
Я,=Я,
159
Следовательно, импульсная характеристика имеет вид
Н = <Я„> = <2|1, О, 2|1,0,2|...>
и в соответствии с (87) для передаточной функции полу-
чаем
Н*=2+К4-0С*+2С‘+ !£*+...=
— 9_13 + 2?,-2 + ?
— 1 ——1 _$з-
При подаче на вход слова
,<x(/n)>=(2, 1, 1, 0, 3, ...)
на выходе появится последовательность следующих
букв:
/(0)=Я(0)х(0)=2-2=1,
/(1)=Н(1)х(0)+Я(0)х(1)= 1-2 + 2.1 = 1,
г/*(2)=Н(2)х(0) + Я(1)х(1) + Я(0)х(2) =
, =0-2+ 1 • 1 +2-1 =0
Убедимся, что из_Н* снова можно получить Н:
(2+Q:(l -C)=2+ U+2C+...
2—2С*
? + ?’
. с-е
2С‘ + С4
Свободное движение имеет девять возможных состоя-
ний:
/Н = (1 2)А'"(27<2' )
\ * (0) )
С
160
Для начальных состояний zj, ..z9 получаем соответ
ственно следующие выходные слова:
z, ==0: <010,...>, z3: <0,1,2[О, ...>,
z3:(l, 0, 211,...), z7: (2(2, ...>,
z3: <2,0,112, ...>, z8: <0,2,110, ...>,
z4: <1 ] 1, ...>, z9:<1,2,0|1,...>.
z5:<2, 1,012, ...>,
Рис. 59. Граф состояний (пример):
а — граф системы; б — реализация системы.
Состояния пробегают только циклы, так как А невы-
рожденная. Для некоторых начальных состояний полу-
чаем:
<z,|zI,...>, <z„z,,z9|z3, ...>,
<z8,z8,z3|z2,...>, <z4|z4, ...>,
‘-CZj, 2>s, z8 I z8, • ••>» *Czg, zs’ I zs> •••>
<TZ«, Z9, Z3 | Ze ...>, k^Z^Zj, Z. | Z9, ...^»
<z,lz„ ...>.
Граф состояний системы распадается соответственно это-
му на пять циклов, а именно: <zi>, <г^>' и <z7>
и
<Z8> zs, z5>, <z3, z„, z9>.
На рис. 59 приведен граф состояний вместе с соответст-
вующей моделью системы. Zi, Z4 и z^ являются стацио-
нарными состояниями системы, а все остальные состоя-
ния нестационарные (нестабильные).
Ц-=619 161
3.3.4. СИСТЕМЫ С ПРОСТРАНСТВЕННОЙ
СТРУКТУРОЙ
3.3.4.1. Основные уравнения. Рассмотренные до сих
пор системы отличались тем, что пространство X вход-
ных величин х (входных слов) содержало только эле-
менты вида
?:T^X(TcR),
(107)
т. е. отображения множества моментов времени Tc:R
в алфавит X. То же самое было справедливо для про-
странства Y выходных величин у и пространства состоя-
ний Z.
В более общем случае вместо (107) возможно рас-
смотрение отображения типа
{Rn—*X} (п= 1,2,3; R’CR"). (108)
где Rn представляет подмножество R". Элементы 1=
=(«, v, w), принадлежащие R3, могут, например, пред-
ставлять точки в трехмерном пространстве с координа-
тами ueR, neR, (рис. 60). Соответственно (и,
v)^R2 обозначает точку, лежа-
Рис. 60. Трехмерное про-
странство.
щую на плоскости, a u^R — точ-
ку на прямой.
Более общие выражения для
отображений можно использовать
и в случае или T-+Z.
Таким образом, в рассмотре-
ние вводятся динамические си-
стемы, локальное поведение ко-
торых в самом общем случае
(п=3) зависит от пространствен-
ных координат (и, v, w) и време-
ни t. В таких системах в со-
ответствии с (108) множество X обычных элементов,
представляющих алфавит, заменяется более общим мно-
жеством (я=1, 2, 3) отображений Rn-^X (функ-
ций в пространстве, на плоскости или прямой). Системы
подобного типа будем называть системами с простран-
ственной структурой, или, более кратко, пространствен-
ными (динамическими) системами.
162
Ёсли й"=Х6,(п=1,2, 3) является подмножеством
v«=l
пространства G’, то говорят о клеточных структурах*)
(системы с дискретным пространством, рис. 61). В с^.у-
п
чае, если /?" = \ Rs, то говорят о системах с непре-
V=al
рывным пространством (рис. 60). При этом G, обознача-
ет интервал G Г) (/,,/”) множества целых6 a R, — интер-
вал р, , Г2) множества действительных чисел.
Рис. 61. Клеточная
структура.
Рис. 62. Однородный
слой.
Промежуточное положение между системами с не-
прерывным и дискретным пространством занимают
структуры с однородными слоями, для которых Rn име-
ет вид RfXRaXG (рис. 62).
Системы, которые существуют в природе и особенно
биологические системы (при соответствующем упроще-
нии) , можно рассматривать как решетчатые (клеточные)
системы или как системы с однородными слоями.
Отображение (108) можно записать также
•) Термин «клеточная структура» введен Дж. фон Нейманом
в связи с моделями самовоспроизведения [31]. В отечественной
литературе по теории систем принят также термин «решетчатые
системы». (Прим, перев.)
11* 163
й Соответственно в явном виде после введения незави-
симых переменных
?:<х(70>={(^*(М))}ф
\ * fcz ' J
Под
?:<x(F)>(0 (109а)
понимается отображение 7?П->Х в момент времени I..
В дискретном случае (дискретное пространство, ди-
скретное время) отображение типа (108) обозначается
также
<х(7,/)> или <x(7)X/)(7gG,/GG), (1096)
а решетчатая система (с дискретным временем) задает-
ся следующими общими основными уравнениями:
z (i, t)=F [<z (r.)> (t,), <x (7V T)>, 7],
?(i,0=G|<2W>(Q, <x(7.,(t)>7r]
(t,< T < t, t„ X, t G G,7, 7, G G"). (110a)
Каждая точка решетки такой системы является носите-
лем одной определенной входной и выходной величины и
одной переменной состояния. В общем случае х, у и
z могут быть векторами.
Для f=sfo+1 из (110а), в частности, следует
г(7,/. + 1) = F[<z(7,)>(/„), <х(71(г)>,7],
Н7Л+1)=С[<2(й>&), фММ (ПОб)
или при замене i/(t, £0-|— 1) на y(r,t) и t„ на t (см.
разд. 2.2.2):
2(7,<+i)=f[<z(^)>(0, <4)>(f),
H7,/)=g[<z(7,)X0. <Х7.)Х0, (Hia)
При переходе от (1106) к (111а) следует постоянно
иметь в виду-, что
<х (7„ т) > = {(7„ -с, X (7„ г))}
164
й поэтому длй z=it следует записывать
<х(Г,, т)>1=<(= {(Г„ t„ л(Г„ /.))) =
=(*.. {(Г» х(г”/,))))=
= У., <х &)>&))
(см. аналогичные рассуждения в разд. 2.1.2 и 2.2.1).
Соотношения (111а) являются локальными основны-
ми уравнениями решетчатых систем с дискретным вре-
менем.' /, как и выше, называется функцией переходов,
a g— функцией выходов системы. В (111а) в соответст-
вии с (109)
<x\t)>(t)(E{Rn^X},
<г(й>(0е{Я"-^}, (Шб)
и поэтому функция переходов f и функция выходов g
являются отображениями вида
ZJXf/r-XJX^X^—Z, (111в)
g:{Rn—Z}X{R"—'V}X^nX7”—У- (ШИ
В случае, когда множество R" точек ’в пространстве
г стягивается в одну точку {г4}, отображение (111в) при-
нимает вид
f: {{Г.} - Z)X{ {Го} -> Х}Х{Гв} X Т" - Z,
так что первое основное уравнение, описывающее пере-
ходы в пространстве состояний (zeZ, хеХ, /еТ°)
f [Г», z), (Г„ х), (Г„, = ft, (z, х, t) = z,
соответствует обычной дискретной системе. То же самое
справедливо для уравнения (111г). Поэтому (110а) сле-
дует рассматривать как естественное, пространственное
обобщение «точечных» дискретных систем.
3.3.4.2. Стационарные, однородные и линейные систе-
мы. Решетчатая система называется стационарной, когда
в (110а) справедливы соотношения (ср. с разд. 2.1.5)
Vх <х (Г„ = <Х (г;,* — ^)>, Vх <г (Г.)>(/.) =
=vx<z(UX*.-H). (И2)
165
те же самые соотношения выполняются и дЛя 6 [ •, •, г].
Система называется однородной, когда (pG/?")
+ <х(\Н-р,г)>,т] =
= F«Z(7o)>(Q, <лг^,г)>,7+р] (ИЗ
и то же самое выполняется для уравнения, соответствую-
щего (?[•» •, •].
При выполнении условия стационарности (112) (при
т=—to) уравнения (111а) не зависят от t (ср. с разд.
2.1.5), так что
f=/[O(7,)X0. <х(7,)> (0,7],
g=g[<z(7.)>(0, О(7,)Х0Л (И4)
а из (113) в (Ша) для любого фиксированного t вы-
полняется условие
(7. = 7,— р,7 = 7, — р, р = — г),
f К* (7.+"о > (0. <* (7,+0> (0, о, о =
= f[<z(7.)X0, <x^)>{t),t,t\. (115)
Аналогичное выражение имеет место и для g[-, •, •].
Чтобы иметь возможность определить линейность не-
которой системы, предположим, что X, У и Z являются
носителями поля. Тогда, например, в последовательно-
сти (п=3)
/?’—►Аг=<х(г)>=<х(0, 0,0), ...,х(и, v, w), ...>•
(и, о, ю£О) (116)
все элементы последовательности являются одновремен-
но элементами некоторого поля и можно определить
(ср. с разд. 1.1.2)
<А (7)> + <Х (7)> = <..., (х, 4- хг) (и, V, W), ... > —
(Н7а)
сложение и
x<xt («)>=<..., (xxt)(u,v, да), ...>(xgX) —
(И7б)
166
умножение на скалярную величину, так что
(1<х(?)>},+) (П8а)
является абелевой группой, а совместно с умножением
на скалярную величину образует векторное пространст-
во (разд. 1.1.2).
Такие же определения справедливы и для соответст-
вующих элементов пространства состояний.
Так как элементы <x(t)> (f) также принадлежат
то для них не надо вводить никаких новых
определений. Для <х(т, т)> аналогично определяется
(ср. с разд. 1.1.2)
<х> (7, т)> + <хг (М)> = <(х, + х2) (7,«)>,
Л<х(7,г)>=<(йх)(7,т)>. (1186)
Пространственная система в соответствии с обобще-
нием определения, введенного в разд. 2.3.3, называется
линейной, когда справедливо выражение
F [Л. <г. (7.)> (t,) + kt <zt (rj> (f.), Л, <x, (4, *)> +
+К <x2 (г?, т)>, rj=kJ [<z7(r0) (/.)_>, <x, (7„ t)>7] -f-
+ kJ [<z2 (7,)> (#.),- <x2 (7„ T)>,7] (119)
и когда для отображения G справедливо такое же усло-
вие.
Под
<2 (7)>(Q = <0 (7)> (Ц = <0> (/.) (120)
мы понимаем пространственное нулевое состояние, т. е.
z(rj=O для всех t^Rn и
а под
<х(м)>«<0(7л)> (121)
нулевую входную величину, т. е.
х(г,т)=0 для всех t^Rn и всех tG/,
что совместно с (119) дает
F [<* (7>)> (4). <х (7„ *)>', 7] =
=F [<2 (7.)> (/ф), <0 (7.J)>,7)>,7] + (122)
+/?[<0>(f,),<x(rv г)>, Г].
167
Соответствующее уравнение справедливо и для G.
Введем следующие новые определения:
<2 (<)>(#.)=<о,о,.... z(F2) q, о, о, ...>=
«2
=*£, М<о, 0, 0, .... 1 (72Л), о, о, ...> ==
=z(72,/0)<S(7#-72)>(Q, (123)
где
8(70-72) = Р (124)
(О для г„^г2.
Тогда, используя (122) и учитывая, что
<г(?.)>&)=2 <z_(r;)>(/.)=
- Гг
(X»)
=32(7л)<5(70-72)>(/.),
(«а)
(125)
получаем выражение
F [<z(7.)XQ,<0(71, х)>,-7]=
=3 2 ы F К8 &—'»)> (*«)• <° 6’ ==
(tt)
= 2 2(М.М(72,7,/#), (126)
Нг)
которое для 4-1 (ср. с выводом (111а)) дает
Л<«(\-Ф(и. <0(7„ г)>,7]=
= f [<8 (Г. - *г)> (О. О *Л1 =
=Л(^,7,/#). (127)
Такое же выражение, после проведения соответствую-
щих рассуждений, получаем и для второго слагаемого
в (122), так что дискретная линейная пространственная
система в общем виде описывается следующим^ основ-
16?
ныМИ уравнениями:
z(t,<+ 1)=2 ^(r»»r’O г(г»»*) + 2^(г»>с>0х(г„0,
(ts) fe)
^(г,0=3 С(г„1!,/)г(М) + 3 £>(г., г,/)л(г„/)
(7) _ (ъ)
(чея*). (128)
3.3.4.3. Изотропность и ограниченная связь с окрест-
ностью. Особенно простыми уравнения, описывающие
пространственные системы, становятся тогда, когда эти
системы являются стационарными, однородными, линей-
ными и, кроме того, рассматриваются в изотропных про-
странственных областях. При учете соотношений (112),
(115) и (127) (стационарность, однородность и линей-
ность систем) вместо (128) получаем
z(i,/4-1)^=2 Л(72, M)z(f2,04-2B(w,0-«(^0=
(r2) (гг)
=S Л(Г, — r?o,O)2(Ft,/)+3 B(Ft—7,0,0)x(F,0=
(t2) fo)
=3 л('*—(129a)
(7) (7)
И соответственно при этих же предположениях
у («. о=2 с г>2 о +S D х(&)-
М (i2)
(1296)
Некоторая система S рассматриваемого класса на-
зывается изотропной, когда ее коэффициенты Л, В, С и
D не зависят от направления в пространстве, например
Л=(7,-г)=Л'(|17,-г||)= А (130)
ffr2—х|Г
т. е. А зависит только от расстояния || г2 — 7[|. Она на-
зывается, кроме того, системой с ограниченной связью
169
_ с окрестностью, когда выполняется усЛойне
V да =° для н~1-пг>/«
|Н2"—41
(mGG), (131)
которое справедливо также и для В, С и D, входящих
в (129). При этом под ||га — г || понимается расстояние
между г, и г, определенное как
II ё. - ЙГ=I(«t - «)’ + (»«- f)a + («Ь - w)T (132)
Рис. 63. Плоская клеточная структура.
Для т=1 или т=0, например, при всех сделанных
нами выше предположениях в случае двумерного прост-
ранства =(и,о) мы получаем (рис. 63)
z (и, 1) =
Atz(u,v-{- 1,/)
4-Дг(и— 1,о, /) Aaz (и, о,/)
-|~Л12(ы-]-l,o,f)-)-^z(u,o—l,f) (133)
-|-В4х(и, о, О,
у (и, о, t)=C„z (и, о, Г) + D„x (и, о, /).
170
3.3.4.4. Одномерная.решетчатая система*). Использу-
ем теперь развитую выше общую теорию для исследо-
вания простейшего случая одномерной решетчатой си-
стемы (рис. 64). Из (133) получаем для п=1 (для А)
или и=0 (для В, рис. 65).
z(M-f- 1)=Дг(« — 1,0+Дг(и»0+Л2(и+ М) +
4-В.х(«,0,
y(u,t)^=Cnz(u,t)^Dtx(u,t). (134)
и+1
О 1
Рис. 64. Одномерная клеточная структура.
Рис. 65.. Ячейка структуры.
^-преобразование по отношению к пространственной пе-
ременной и приводит (ср. с разд. 3.3.1) к следующему
выражению для первого уравнения:
г t +1)=(С„, 0 + Дz (С„, 0 +
+ Д +в (Са>
•> Пространственная система с одной дискретной простран-
ственной переменной. (Прим, перев.)
171
а последующее ^-преобразование по отношению к вре-
мени t приводит к выражению
*М)
+A2(C„,Q+A-I^
<^-+вЛ(СвЛ).
После группировки получаем
(-^ АСВ— 4> ^“)z==
^y^-+Box(CB,Q (135а)
или обозначая
г (Cu,Q = z**, x(CB,Q = x**,
Z(5U,0) z(0,Kt)
________Ваи**________I___________________
_L .у А L АГ А Л* '
—Av*u—А,— <. j. —At4u — А„— «.
(1356)
Для упрощения предполагаем, что
г(0,0=0 для t=0, 1, 2,,...,
г(и, 0) = 0 для и=0, 1, 2,...
При этом второе слагаемое в (1356) равняется нулю и
для г=2 (£„,£,) в области изображений получаем решение
z**=-------?-Д°—------j—г- (x**=x(CB,Q. (136)
1 — 5/ + А + г1 ]
Справедливы следующие выражения (см. разд. 3. 3. 1):
Т-’ = t- 1)>,
172
откуда
So
=В. 2 х^и) (ЛЛ+Д+^-у-*1-* =
р.=0
=BtX^,0 (/ = !) =
=В.х(СаО)(АС„+Л((+-^-)+В.х(Св1) (/=2) =
=В.Х (С„0) +А+Х"У 4-
+ В#х(С„, 1) <ЛА +А + ^+Вох(Си, 2) (f==3)
Отсюда следует
z(u, l)=Btx(u, 0),
г (и, 2) =ВДх (и — 1,0) 4~ВДх (и, 0) 4~
+B.Ax(«+l,O)+Box(u, 1),
z (и, 3) =В„А\х (и — 2, 0) + 2ВДЛ,х (и — 1, 0)4-
+В;(Л\ + 2Л\)х(и,0) +
+ 2ВДЛ,х (и + 1, 0) +В0Л\х (и + 2,0) +
+ В Д х (и - 1, 1) + В Д х (и, 1) 4-
4~ В0Л1х (и 4- 1, 1) 4~ Влх (ц, 2) (137а)
В общем случае справедливы следующие выражения:
(лА4-л04-^-у-*‘+’ =
___________ VI ---------р»-- 1)! ДП1+ПЗ ДПьГЪ—Пъ
(«14-^2 4-«3=0
Z(U,/)=B.J у] л;*-х
р,=0 («14-«2 4-«з=О
ХА^х[и— n,4-ns, р>],
y(u,f)=Ctz(u,f)-\-Dtx(u,ff. (1376
173
На рис. 66 изображена полная схема одномерной решет-
чатой системы. Кроме того, предполагается, что
, (О для />0,
,Х(и, 0 = {
(х0 для u = k и t = 0.
(138)
Тогда согласно (137а), если учитывать только перемен-
ные состояния, отличные от нуля, получаем (рис. 67)
z(k, 1)=Вох„
г(Л-1, 2)=z(^+l, 2) = В0ЛЛ.
z(k, 2)=В,Л,х,,
z (k 2, 3) 1_ д д» „. z {k — 1, 3)
z(^ + 2, 3)J ’ 1 ”г(А4-1, 3)
|=2В,Л,х.;
z{k, 3)=В#(Л\ + 2Лг,)х0.
Если в момент времени /=0 все узлы решетки находятся
в нулевом состоянии и в узел k в момент времени /=0
вводится буква Хо входного алфавита, то в этом случае
«возмущение состояний» распространяется по всей ре-
шетке из узла u—k. В общем случае с учетом (1376)
в случае выполнения (138) эти изменения состояний
определяются по формуле
В этой сумме отсутствуют все слагаемые, для которых
и—rii + n^k.
174
3.3.4.5. Передаточная функция и импульсная харак-
теристика. Преобразуем второе ураввенве в (134)
y**=Ctz**+D.x**,
с учетом (136) к виду
СМ
1 — (М + А + "F"
или
у!!
X**
1 — К/ f А^и + А + г 1
^De = H**(^ Q. (139)
Здесь, как и для систем без пространственной струк*
туры, Н*(£и, называется (пространственно-времен-
-------------------------------------------------w
-------------------------------------------------1=2
ВдА2х0
BgAiXg
ВдХд
ВдАдХд
BgAjXg
ВдА^Хд
2ВдАдА]Хд
2BgAgA]Xo
к~2 к-1 к к+1 . к+2
Рис. 67. Изменение состояния клеточной структуры.
ной) передаточной функцией системы. %>t) можно
записать в более общей форме
н* (L С \_ a2i^2u^t + “1ЛЛ 4" aoi£f + акЛ« г 14Ch
~ + ₽ю?и • * 7
Оригиналом, соответствующим Н*(Си, &)> является им-
пульсная характеристика
- ft(«,0 = T-1T-,H*(CH,Q,
175
Которую можно получить йз (140) при помощи деления
многочленов J
И» V
./г([х, v) = <. (141а)
Очевидно, что /г(ц, v) является реакцией системы на
испытательный сигнал
(О для u-f-v^fcO.
Более сложные одномерные решетчатые системы можно
получить либо за счет введения ячеек с несколькими со-
стояниями (переход от z к векторам z), либо таким со-
Рис. 68. Слоистая клеточная
структура.
единением цепочек ячеек друг с другом, при котором вы-
ходные величины одного «слоя» служат входными вели-
чинами следующего (рис. 68). При этом соответствую-
щие передаточные функции (140) перемножаются:
H*(U^)=nH*r(Cu) С<). (1416)
jv==O
Таким же образом можно исследовать системы с про-
странственной структурой в случае двух и трех прост-
ранственных переменных. Для этого необходимо только
ввести ^-преобразование для формальных степенных ря-
дов от нескольких переменных и определить соответст-
вующие правила такого преобразования. Однако по-
скольку подобное рассмотрение увело бы нас далеко
в сторону от изложения основных принципов теории си-
стем, то мы ограничимся лишь замечанием о характере
ограниченной связи с окрестностью в случае пространст-
венных решетчатых систем с двумя или тремя простран-
176
ствеййЫМи йеремеййыми. В этом случае решетка совСеМ
не обязательно должна быть прямоугольной; она может
быть треугольной или кафельного типа (рис. 69). Так
_ как при изготовлении и использовании решетчатых си-
стем важно иметь непересекающиеся соединения, то по-
нятно, что топологическая структура решетчатой систе-
мы приобретает практический смысл. Но мы не будем
здесь более подробно входить в графотеоретические во-
просы, связанные с этими задачами. На рис. 69 показа-
Рис. 69. Характер связей клеточных структур:
а —шесть соседних клеток (узлов); б — три соседних клетки (узла).
ны только два варианта возможного соединения узлов
с соседними без пересечений; на рис. 69,а у каждого
узла имеется шесть ближайших соседей в указанном
смысле, а на рис. 69,6 — только три.
Указанные связи учитываются в приведенной выше
теории в виде соответствующего индексирования узлов
системы; например, для рис. 69,а вместо (133) получа-
ем уравнение вида
z(ut v, t)—
' Atz (и— 1, о-|- 1, f)-|-Az(u-b 1» » + 1, /) +
+Дг(и—2, у, f)-]-Aez(u, v, /)4-Дг(и-|-2, v, /)-|-
.-{-Л^и— 1, о— 1, 0-|~Дг(и4~ 1» ° — Ь
3.4. Системы с непрерывным временем
3.4.1. СИСТЕМЫ БЕЗ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ
СТРУКТУРЫ
3.4.1.1. Уравнения системы. Согласно разд. 2.1.5 инва-
риантные во времени непрерывные линейные система
(именно только такие системы и будут рассматриваться
12—619 177
ййМй подробно) 'описываются уравнениями (см. (2А2))
^-=Az(0 + Bj(/),
j>(0 = Bz(/)4-C?(f), (142)
где f, р и z обозначают векторы, а А, В, С, D — посто-
янные матрицы над R.
Решение (142) становится особенно простым и по-
нятным, когда (подобно тому, как это было проделано
для систем с дискретным временем) вводятся соответ-
ствующие _поля отношений для слов или функций х’, у,
hz” ИЗ J, р и Z.
Если X обозначить множество непрерывных, диффе-
ренцируемых на [0, оо) функций
х = <х(/)>, _
то X с операциями
х. + х»=< xt (Z) >+< х, (0)>=< •*»(*)+(О >.
t
X, • X, = < X, (/) > • <Х, (/)>=< f X, (г) X, (t — г) dx >=
= < X, (О* X, (/)>
(143а)
представляет собой область целостности (доказательст-
во этого факта здесь не приводится, см. [1]). Под
мы понимаем, как обычно, сложение значе-
ний функций (подразд. 1.1.2.5)
-M0+-M*)=(x1 + xt)(f), (1436)
которое задается сложением в поле R. Умножение зна-
чений (задаваемое умножением в R)
х,хг=< х, (0 > < xt (0 > = < х, (0 х8 (/) > =
=<(х,х8)(/)> (143в)
следует четко отличать от кольцевого умножения, опре-
деленного в (143а). Элементы соответствующего поля
отношений обозначаются как (см. разд. 3.3.16)
<;;«> =^-е{[ххх],}_ (Ш)
178
и
^-=хФ==ф>х1 = х2х,
Л2 А1
З.4.1.2. Правила вычислений. Приведем некоторые
правила вычислений. Примем
]1-единичный элемент ({[ХХХ]г}~, ~Ь ')1>
X, — > = q = -р s(0=l Для /S=0*>, (145)
s(t)
Рис. 70. Переключатель-
ная функция.
равный на [0, оо] величине 1. Тогда с учетом (143) (рис. 70)
имеем
xq=(p(x)^=x.A-=i±=-|-. (146)
о
Далее, если записать единичный элемент 1 в виде 1=
=<б(/)>, а через a=<x(f)>обозначать не-
которую постоянную функцию со значением а, то
ах = <ах (0 >=< ax(ty> •< 8 (t) > =
=Kax(t—•c)8(l)dA=<a8(O>-<x(O>=a-x, (147a)
где принято, что
<д8(0>=а.
В частном случае х из (445) следует
<a>=-L.<fl8(O>=4-a,
“ г
(1476)
(148)
♦> Xi играет роль оператора интегрирования в операторном ис-
числении Минусинского. Более подробно см. [1]. (Прим, перев.)
12* 179
т. е.
а=<а8(0>=<а>р=ар.
Из (147) следует
ах = <ал(/)> = а-х=а-р-х. (149а)
С помощью (149а) умножение значений произвольной
функции х на произвольную постоянную функцию а вы-
ражается через умножение в поле R. Аналогично для
матриц
yH=<^(Z)>:=S<v’(0>=2a|t,-xv =
так что
F=<A?(/)>=A-? (1496)
Таким же образом получаем
<АВ(0> = А-В(/). (149в)
Если в (146) подставить функцию, продифференциро-
ванную по t
х = х'1 = <х'1(0>,
то получаем
2^.= <^»(0> ==<л.1(/) _ Л1(0) >=< Х1(/)< Л1(0)>
или, используя (148) и х вместо хр
<х'(0 >=р х-р <х(0)> = р х — х(0). (150)
Применение последнего правила к < eoZ > дает
<(ео/)'>=<аеа<>=р-<ео<> —-р-<«(0>=
= р<еа/>— 1.
С учетом (149а) получаем далее
а-<е°*> = р-< еа< _>— 1
или
<ео/> = -г^-(а=<а8(0»- (151)
1г **
180
В общем случае для матриц
<»’(0>={SA--J=Lr)=(AjA-X
vszsl
x-i^jr)=(ASA''-;r)<AeA'>- (152а>
р==0
G другой стороны, также
<Ф'(/)> = р.<еА'>—Е, (1526)
где Е — единичная матрица
1
1
Е =
1
Из (152а) и (149в) следует
р<еА/> — Е=< ДеА'>=А<еА*>
или по'аналогии с (151а)
<еА<>=(р —А)-’ = (рЕ —А)-1. (153)
3.4.1.3. Решение основных уравнений. Применение
приведенных выше правил к первому уравнению в (142)
р.2’-г70)=За^+£^.Х* (154)
Н- V-
или после соответствующего преобразования
Р ’-2^'/=2^хЧг’(0)(*=1<2, ...)
F I*
181
или
(р —A)-z = B-f 4-z(0).
(155)
Здесь р обозначает матрицу с элементами р поля отно-
шений на главных диагоналях. Если р—А невырожден-
ная, то из (155) следует
z==(p-A)-‘B.j + (p-A)-*z(O) =
=<eA,?>-B-f+<eA,>-z(0) =
еА< >-<Bf > + <eA/>-z(0) (156)
или
t
z (0 = [ e AxB? (t — t) dz 4- eA'z (0). (157)
6
Сравнивая полученное выражение с (2.93), легко увидеть,
что
еА/=Ф(0 (158)
является фундаментальной матрицей в смысле разд.
2.1.5 и
eAZB=-^-W=s<D(f)B, (159а)
так что
/1 \
W=[ feATck |B-|-W(0) = A-,(eA/E)B + W(0) =
\о /
=А-*(Ф(0 — E)B-{-W(0) (1596)
есть переходная матрица инвариантной во времени, не-
прерывной, линейной системы.
Из уравнений (142) с учетом (157) и (158) получаем
для вектора выходных величин
t _ _
р (/) = С J Ф 0) В? (t — Т) dz + СФ (/) z (0) + Df (t). (159в)
о
Свободное движение (у=0) представляется в виде
р,(0=СФ(Сг(0), (160а)
182
а вынужденное движение (x’(0)=i>) в вйДё
t _ _
р3 (<) =С j Ф (х) Bj (/ — г) tfc + D? (/). (1606)
Передаточная матрица по аналогии с разд. 3.3 пред*
ставляется в виде выражения (см. (72а}, (142) и (156))
Н = С(р — А)"1 ВН-Р (161)
с P=C-z4-D'J = H-5,
где z — состояние, получаемое _из нулевого состояния
z (0) =о вследствие воздействия I.
Теории инвариантных во времени, непрерывных, ли-
нейных систем посвящено такое количество литературы
[2, 16, 20, 21, 27, 28], что мы не считаем целесообраз-
ным дальнейшее изложение деталей.
З.4.1.4. Передаточная функция. Из (161) следует, что
элементы передаточной матрицы Н являются рациональ-
ными функциями от переменной р:
н=я,(р))),
k
3I
М»)-т—.
2 bs-ps «-0
SasO
(6.=1).
Таким образом, для
j=(0, 0, .... х\ 0, ..., 0)
выполняется fah(р)-х’, у*' =h • 1 =h ,
т. e. Ь^Др) — есть отображение, осуществляемое систе-
мой при подаче единичного элемента на клемму v входа
и съеме выходной величины с клеммы ц, при том Что на
все остальные клеммы входов поступает нулевой эле-
мент.
Физическая реализация такого единичного элемента
может представлять собой очень короткий по длитель-
183
йобти импульс с большой амплитудой. Таким образом
(рис. 71),
М0=
для 0<f<п,
О для /<0 и
Рис. 71. Система с непрерывным временем:
а — d-импульс в пространстве; б — одномерный импульс.
Ю
и, следовательно,
=“г f*(*“’)f х(’)*=
n
где 8->0 при n->-oo. Следовательно, при умножении на
<вп(/)>'слово <х(/)> остается (приблизительно) не-
изменным, т. е. <6п(0> есть аппроксимация 1-элемен-
та поля отношений.
Интерпретация (р) как элемента первоначально рас-
сматриваемого кольца функций (перевод Ь^(р) в область
оригиналов) достигается с помощью (151а), когда знаме-
184
натель может быть разложен на линейные множители:
ьц,(р)=пг=2----&<°)-
П (р—с®)
S=1
При этом получаем
k
МР>=(34е''')=<М0>.
Для того чтобы система была устойчивой (h^s (t) —► 0 при
/-►оо), все cs должны принимать отрицательные значе-
Рис. 72. Линейная система (модель).
ния. В более общих случаях таблицы для правил пре-
образований и соотношений отображения должны быть
расширены, чтобы обеспечить подобный перевод hu, (р
в<^(0>-
Модель системы, соответствующая h)lv(p), определя-
ется таким же образом, как и в случае линейных авто-
матов, и изображена на рис. 72.- В соответствии с ри-
сунком y1‘=y=ae-|- w„.
На входе последней интегрирующей цепи должно быть
p-wo, так как в соответствии с (146) интегрирование со-
ответствует делению на р. Далее, учитывая p-w0=
185
=x-ai+wi—hi-у, находим
У=а.+v "* ” Т‘61 у + Т’w‘-
Устраняя таким образом выходные величины интеграто-
ров, шаг за шагом получаем
v=a-I-—Ч-—-I- -I-—— (—-I——4- 4-^Av
или
Sa’V s
v«0 _veO
Схемы моделей, изображенные на рис. 23 и 72, конечно,
не являются единственно возможными. Например, дру-
Рис. 73. Линейная система (LRC-реализация).
гая модель может быть построена, когда передаточная
функция h,x, (р) разлагается на элементарные дроби.
Существуют также и более простые модели, не со-
держащие интеграторов. В теории линейных электриче-
ских цепей показывается, каким образом передаточные
функции Ьц,(р) можно реализовать на /?£С-цепях [4].
В качестве примера рассмотрим передаточную функ-
цию
“цЛР/ 12р» + 42р2 + 38р + 6»
которая реализуется четырехполюсником (рис. 73) при
условии, что все элементы цепи принимают-указанные
на рисунке значения. Все величины сопротивлений МО-
186
гут быть умножены на Л0[й] (Яо любое), а всё величи-
ны емкостей — на I/woRok], где ®о— некоторая произ-
вольная круговая частота.
З.4.1.5. Системы с гармоническим возбуждением. Из
приведенного выше соотношения
y“=4,xv
t
следует с учетом (143а)
поскольку
члр)«=<^(о>»
- , х*(Р)=<х’(/)>.
Мы уже ранее предполагали, что для
< х’ (0 > = < 8 (0 >=< lim 8„ (/) >
/2->ОО
имеет место соотношение <ур’'(0> = ,СА1и(<)>, т.' е.
</*(/)>• является импульсной реакцией системы отно-
сительно клемм v и р.
Предположим теперь, что
< х” (0 > = < X cos (mtt 4- <р) > =
*------------ГЫ*
= <Re{^P’e/<e»z}>,
т. е. на v-й вход подается гармоническое возбуждение
(косинусное) с амплитудой круговой частотой ®0 и уг-
лом нулевой фазы <р. Из этого предположения следует
У* (0=%, J (t — т) cos (®.t 4- <р) d* =
6
t
=| (’)Re {e^e-/ve/<p} * =
=Re feeA?* J (t) e-^dJ.
187
Если положить (предполагая существование, подразд
1.1.2.4)
J О') =Н^ (jm,),
о
то таким же образом мы получаем преобразование Фурье
< (0 >, и, записывая комплексную амплитуду в виде
видим, что
(Л (0 = Re е'-' Г Н„ ? Л„(.) е”'-*
отсюда асимптотически при /—*оо
9"WU„=Re =Re{/‘e'-'}.
Отсюда следует Y^=X^H т. е. комплексная ам-
плитуда р--го выхода равна произведению комплексной
амплитуды v-ro входа на преобразование Фурье импульс-
ной характеристики < (f) >.
В более общем случае на вход может подаваться воз-
буждение вида
< х (0 >=< cos (<оо/ + Т) >=< Re eft<}>
(A = °. + /< XL^X^.
В этом случае, как легко показать;
₽.=«.+/%. «.>о.
G другой стороны, мы показали общую применимость со-
отношения
f=Vx’-
которое для гармонического возбуждения х’=-<^,Х
Xe*,eweft>B с учетом (151а) переходит в
188
Так как h^(i) при t—>оо стремится к Нулю (устойчивая
система), то при t—»оо
- У'коо = (А) ел<> = <Kj
Поэтому также
т. е. справедливо следующее важное соотношение:
ь^(Р)1Р^0=^(А)-
Рис. 74. Гармоническое возбуждение системы.
Таким образом, передаточная функция Ь^Др), определяе-
мая как элемент поля отношений, имеет очень простой
физический смысл: эта функция при подстановке р —<• pt
совпадает с отношением И (pt) комплексных амплитуд
Yp и А-* при гармоническом возбуждении. Так же легко
можно показать, что отношение преобразований Лапласа
Ly* и Lxv для у* и х*
00
f У^ (?) е~роХ<1ъ
Н, (пх=0________________Гр(Р.) L^{t)
°? Х,(Л)“£х’(0
J х’ (г) е Ро\/-с
о
совпадает с передаточной функцией Н^(рл) (рис. 74,
см. подразд. 1.1.2.4).
189
Эти и подобные вопросы теорий линейных систем
с непрерывным временем являются исходной точкой
современной теории систем и подробно рассматривают-
ся в литературе [2—4].
Следует только еще отметить, что указанная взаимо-
связь между полями отношений и преобразованием Лап-
ласа является чрезвычайно важной с точки зрения при-
менений и физической интерпретации математических
зависимостей [1]. В
Рис. 75. Диаграмма по-
люсов и нулей.
связи со сказанным элемент поля
отношений р следует рассматри-
вать как комплексную перемен-
ную р0> входящую как параметр
интегрирования в интеграл Лап-
ласа.
Преобразования Лапласа за-
данных временных функций явля-
ются функциями комплексной ча-
стоты, а именно, регулярными
функциями при Re{p0}>0 [2, 3].
В частности, для рациональных изображений, которые
с точностью до постоянного множителя определяются
расположением их полюсов и нулей, теория систем обыч-
но наглядно изображается с помощью диаграммы полю-
сов и нулей (рис. 75). Для преобразований Лапласа
£<х(/)>=Х(ро) заданных функций <*(/)> сущест-
вуют обширные таблицы и много правил вычисления.
В качестве примера приведем соответствия, используе-
мые ниже:
00
4<х(г)^=х(у7.);
jt«W —&2
J
1 Q-b
2 -L л2
t
(7,-функция Бесселя, t>b).
3.42. СИСТЕМЫ С ПРОСТРАНСТВЕННОЙ
СТРУКТУРОЙ
З.4.2.1. Основные уравнения. Для систем, действую-
щих в пространстве и времени, мы также будем исполь-
зовать уравнения'системы типа (110а) с той лишь раз-
190
। ницей, что теперь /о, т, t так же, как и t, to, ti, являются
элементами из R, а х, у, г отображениями, определен-
ными на R:
г(7, 0=^|<г©>Ю. <х^, т)>, 7],
У (7 0=б[<г(7)Х*.)> <х(7„ т)>, Г]
(*.<*< О- (162)
Так же, как и в (119), мы предполагаем, что система
линейная и поэтому, как и в (122), получаем
z(7, 0=21(7 0 + га(7, t)
г, (7 t) = F [<г (7в)> (Q, <0 (7„ г)>, г] =
=F,[<z(70)>(f.), 7, t9, q,
' г, (7 0=/7I<0>(Q. <xfc, T)>, 7] =
=F8[<x(7„ X)>, 4. (163a)
<z(re)>(/.) есть некоторая функция пространственных
переменных-, которая в момент времени t=t9 задает про-
странственное распределение состояния системы; <^x(tlt
т)>—это входная величина, зависящая от пространст-
венных переменных и времени (пространственное вход-
ное слово).
F и G считаются непрерывными в той степени, в ка-
кой предельные переходы, описываемые ниже, оказыва-
ются выполнимыми. В частности, F и G должны обла-
дать свойствами отображений, которые подробно обсуж-
дались в подразд. 2.1.1.3 и которые для пространствен-
ных систем принимают вид
^[<г(7)Х^)> <х('~ t)>Vi <x(7. ’)>м.» 3 =
' =Г[<г*(70)>(Л), <х(7р г)><1<я,г1 (1636)
И
<3 [<г (7>)XQ. «)>м, <х(7„ x)>Wj, rj=
^G[<z»(7,)>(Q, <x(fv г)>/1<я, q. (163B)
191
L
Здесь <г* (/,) задается с помощью
Z*(?,/I) = F[<2(7,)>(f.), <Х(^, г)>^, ?]. (163г)
<2*(«»)>(<i) получается из z^(r, /,) при переходе к мно-
жеству всех соответствий г'—*z* (в момент времени
Через <0>(/,), как и раньше, обозначается нулевое
состояние (z=0 для всех, г в момент времени /,), а
через <0(г, т)^> обозначается нулевая входная величина
(х=0 для всех г и всех t из интервала Ана-
логичное разложение имеет место и для у (г, t) в (162).
В соответствии с (125) мы полагаем dVa=d«t'foi!dto!!.
<г (F.)> = jjj z tt) <8 (t\ — r0)> dVt
=lim 2 zfo> ^)>
rt-*0O j— x
(ъ)
и получаем с учетом (163), используя свойство линей-
ности (119)
zi(F, 0= Jjjz(t2, U>(Z.), M,,qdV2=
= Ир.(^’ *«• 0^»- (164)
Интеграл распространяется на всю область пространст-
ва, на которой определена система. Для введенной
функции А выполняется
A(Tt, г7 tt, 0 = Л|<8(*2--^)>(*<>). F *,» (165)
и (см. рис. 71, а)
8 (г)=lira 87 (г)=
Vn=unvnwn, Un=vn=wn=-^. (166)
В случае инвариантности во времени, так же как и
в подразд. 2.1.5.2, получаем вместо (164)
z, (t, t) = J J j z (72, f.) A (tv — (167a)
!0 для r V„,
для FgV„;
192
г,(r, f) = ff {*(*.. /,)Л(гг-г, t-t9)dV2 (1676)
в случае предположения о пространственной однород-
ности.
Для дальнейшего преобразования (164) предположим,
что z(t2> tt) в окрестности 72 = г может быть разложено
в ряд. Учитывая, что г (г, /0) = г(и, v, w, t„), получаем
г(72, /0)=г(г? Q + -^(«2 — «)+-^-(»2 — »)+'
+Йт + 2 Ж - “) ~ +
+2»-0)8+
+ 2 »)(W2 —“’) + & (W2 —“’)’+•••• (168)
При этом (164) принимает вид
Zi(t, t) = z(i, /0)Л(rt, г t„ t)dV2-\-
+тгЧЛл(--'И">-“>л/-+---==
=z(7, t„ t) (7, t„ 0+-..
Если к обеим частям прибавить г2(г, /), то
г (£ 0 - г (Г? Q Л*, (7 ft, t) - 1 z +
/» 0_|-[_ Mt. to)_ (i69a)
‘ da t — t9 ~ ~ t —1„ v 1
и в пределе при t—-t9
^-=^z+A^+A ^+л,^+Лп-Й-+
dt 0 1 1 du 1 2 dv 1 3 dw 1 11 du2 1
_|_9Д дЧ 4-9Л дгг -I-Л ^-4-2Л I
dudv dedaH 22 dv2 dvdw
+ - <1696>
13—619
193
если соответствующий предел существует. В (169) z и
коэффициенты дифференциального "уравнения зависят от
г и t
z=z(t, t), Л,=Л,(7, t),... (170)
При учете (167) легко проверить, что для систем, инва-
риантных во времени, выражения, стоящие в (170), не
зависят от /, а для систем, обладающих пространствен-
ной однородностью, — и от г.
Утверждение о существовании пределов Ло, Ль
Л2, ..., приведенное в (169), может быть оправдано, как
показано ниже.
Из физических соображений в (163) полагаем
limF;[<z(F.)>(f.),'7, t9, t]=z(7, /.), (171)
где z(r, Q должно быть одним из значений заданного
пространственного начального состояния <г (rj> (/„).
Кроме того, в (165)
Л(72, 7 f)=F,««(r1 — U>(^),r, t„, q =
= 8 (г, - М.) + е (72, I, /0, t), (172а)
где в(r2, г, /0, /)—>0 при t—*t9. Поэтому
J J J Шг = 1 +\ (7, 4, /) = 1 +< (7 f.) (f—
(s,-*0 при {\Т2б)
Сравнение с приведенными в (169) производными ука-
зывает на то, что предположение о существовании
Л (t, t) допустимо. Таким же образом получаем с уче-
том (172а), например, для
WI = j J J («г — “) 8 (7г — 7, /0) dV2 +
+ Ш<“2 — «)е«/К2==° + е2(7, t9, t) =
= 0 + *',(*. +
что подтверждает существование также и Л, и т. д. Для
lim^-Я- К173)
г — г»
194
можно получить представление, аналогичное полученному
для zt (г? О-
Далее заметим, что вследствие (171) и (163) z2(r, Q
при t-*t„ стремится к нулю, и поэтому (173) может иметь
конечный предел. Вследствие (163) это предельное значе-
ние может зависеть только от и г (ср. с со-
ответствующими соображениями из разд. 2.1.2):
lim^=F*t[<X(7l)>(Q, 7,/.]. (174)
~1о
Поэтому формально J имеет totJ же вид, что и Ft
в (163) для случая /=/0. Рассуждая так же, как и при
(163), получаем
р2 ГО (М> &)> = X (7 /.) JJJ В (72, 7, tt) dVt +
+^Т^ШВ(7г’ 7 + (175а)
где полагаем
S(F2, г; Q = f*2[<S(F2-U>(Q, £ fj. (1756)
Совместно с (169) и (175) имеем
т
^-=Л.г(г, () + £ (Л^+Л,^+Л,^‘г(7, Ч +
Л=1
т
+ О(*> 0+ Л(г’ 0 (176а)
&==1
и аналогично для y(t):
т
y(l) = C.2(Z o + + <) +
A==l
т
+ D.x(i, () + y(D,^+D,A+fl,A.yx(F, 0. (176б)
Л=1
При этом, например, ArAs = Ars(i, t) = Asr(tt); соответ-
ственно и для других коэффициентов в (176). Кроме того,
Ast^=Ats, Bfi=Bfll,... и т. д.
13* 195
Следует заметить, что в предыдущих рассуждениях
мы всегда находили предел при только справа.
Однако в (169а) осуществление предельного перехода
по отношению к z(r, t) все же не является частной про-
изводной z по t, так как при этом еще требуется су-
ществование левого предельного значения. Так же как
ив (2.17), но с учетом (1636) в более общем виде
fdz\ _ i;m f [<z <&>)> <x(ti. t)M, > .
\dt Jt=ti tr+ti <2 — ^1
- f[<zfa)> <X (7,x)>Vi ,7]
__ iim P [<z* (?(,)> (G), 0(7,, *)><,<,> rj~ —z* (r, <,)
^2—G
где z* (r, tt)=F [<z (7e)> (tt), <x (7„ х)>/Л, 7],
так что при учете свойств отображения F вполне оправ-
дано принять правое предельное значение разностного
отношения по z в качестве производной.
3.4.2.2. Интенсивность связи с окрестностью, изотроп-
ность. В основных уравнениях (176) остается открытым
вопрос, при каких условиях правые части являются ко-
нечными суммами с заданным числом слагаемых. Для
пояснения этого обстоятельства приведем необходимые
рассуждения.
Вследствие (172а) имеем
ИтЛ(7г, 7 t, /.) = 3(7—7, tt).
Поэтому естественно принять, что система обладает
свойством
(r<==>(u, V, W), V2, ИУ2)
Hrn^ JJJГ~ Л 1^=° <177а)
7^
(также и для В, С и D) для любых
= ДиХДиХД w, ДЯ = (Я — 8, Я-|-8), Я==и, v, w
и соответственно при любом 6>0. Тогда при г>2 и ко-
нечной пространственной области при [ («2—м) + (»2—
196
—t») + (a>2—o’)]r=[.. .]r выполняется неравенство
I t2$F8
r2Sva r2 C vs
r2eFs
При t — t* вследствие (177)
lim | ^-L- JJ J\...\rAdV, | < 38Г‘2К < s (178 )
ДЛЯ
8 <e [3K]-<r-s> (8<l,r>2)
и при этом еще предполагается существование
(179а>
t2SF8
(также и для В, С, D). Поэтому в достаточно малых
областях вследствие (172а) Л>0 и вследствие (177а)
предел К. в (179) совпадает с суммой коэффициентов,
3
ПОЯВЛЯЮЩИХСЯ В (1696) 2
р.» v= 1
ШI-W=K- 0796>
8^8
При указанных условиях (177а) и (179) в (176), следо-
вательно, нужно положить т—2, т. е. уравнения системы
(176) содержат в правой части частные производные по
пространственным переменным не| выше второго по-
рядка.
Коэффициенты Av и (а также Bv, В^,...) целесо-
образно называть интенсивностями связей. Чем сильнее
состояние г (г,/) в точке г зависит от состояний z(r„ /),
принадлежащих окрестности г (г,/), тем, очевидно, больше
значения |Л„1, |Л |,... и тем большее значение прини-
мает верхний индекс суммирования в (176).
197
Если указанный верхний индекс суммирования т
в (176) обозначить как порядок связи с окрестностью,
то динамические системы в обычном смысле слова (т. е.
системы без пространственной структуры) можно на-
звать динамическими системами 0-го порядка. Как мож-
но показать, то, что не дают изотропные (линейные)
системы’ 1-го порядка, можно получить с помощью си-
стемы 2-го порядка, которая относится к наиболее важ-
ным пространственным системам.
При указанных выше । условиях на связь с окрестно-
стьк>Х(177а) и (179) существуют по^болыпей мере 4X10
отличных от нуля ^интенсивностей связи А^, В*,... и Л
В,В общем случае они являются функциями про-
странственных переменных и времени. Только для ста-
ционарных и однородных систем интенсивности связи
являются константами.
Если, кроме того, пространственная система еще и
изотропна, то интенсивности связи Я„, Bv, Cv и £>v, а
также „смешанные" интенсивности А^, В равняют-
ся нулю. Основные уравнения инвариантной во времени,
линейной, однородной и изотропной пространственной
системы принимают следующий вид' (учитываем, что
Яц=Л22=Лзз И т. д.) :
=Д>2 Н- Д1 А2+В„х -|- ВпДх,
у (1) = С,г СаДг 4- Dtx 4- ВпДх.
Через Д обозначается оператор Лапласа
. _ д2___________________। д2__. д2
ди2 ‘ dv2 " да»2 ’
(180а)
(1806)
(181)
Верность приведенного утверждения для систем на-
званного класса следует из следующего отношения (ср.
с (1776)):
lim 7^77 JJJ [<«» — «) + (°2 — v) 4- К — да)]* X
ХЛ(|г2-г|, /-/.)<// =
SA (*=1)>
2А„ <*=2>-
•И*
198
Например, для слагаемого Л*2 — (Л12-|-е) (t— 4) (е — О
при t—►/„) выполняется
Л*„ = У1 J —°)ЛХ
ил Vi Wi
X (V («2 — «)*+(»! — о)’ + К — W)*» t — *,) dUtdvjlWb =
= [ J (»»—t»)cfo2Jw2 J (ы2 — u)A (...)dut=0,
Va Ufa Ua
так как подынтегральная функция как функция м2 нечет-
ная. Также
Л12 = Пт^-=0.
‘о
С другой стороны, например,
Л*п = (м2 —и)2Л(/~, t — Qdujfo£wt
4
инвариантна по отношению к подстановке «2->»2, Ог-*«2
или U2->®2, Wz-^~U2, т. е. Лц=Л22=Лзз и по этой же причи-
не Вц=В22=В33 и т. д.
3.4.2.3. Одномерная система. Изложенная выше об-
щая теория пространственных динамических систем с не-
прерывным временем теперь будет применена для про-
стейшего случая одномерной (пространственной) инва-
риантной во времени и изотропной системы, описывае-
мой основными уравнениями
i=Az+A,g+B.x (В„=0),
у=С,г-1С,,'^,+О,х (DU=O) (182)
все коэффициенты не зависят от г и f).
Если здесь также использовать метод, введенный
в разд. 3.4.1, то для первого уравнения (182) (z=
=z(u, t), х=х(и, t)), символически обозначив переход
от z(u, /) к z как Tt<z(u, t)>=z=Z(u, р) и соответст-
венно для <х(и, /)>’ как Х(и, р), получаем
z-p^Xz + A.-g-H-B.x; z = Z(u, p) = 7'f<z>,
X = JV (u, р) = 7\<х>, (183)
199
где для упрощения полагаем z(u, 0)=0. В (183) z их,
однако, еще являются функциями от и. При проведении
подобного же преобразования *> по отношению к про-
странственной переменной получаем
Z.p=A,Z + 4lS8Z + B.X, (184)
где так же, как и выше,
<Х (и, р)>= Х= X (s, p);<Z (u, р) > =Z=Z(s, р)=(185)
= T„<Y> =П<2>
и (в отличие от производной по /) -^- = s*Z.
При этом мы снова предполагаем, что <г(0, t)>\ а так-
же ,<(г'(0, <)>' равняются нулю.
Из (184) следует
7_ _ М
Р-(Л„+Л„82) •
Таким образом,
Z(s, t)=BaX (s, t)*g(s, t)=B9 fX(s, t-x)g(s, *)(k,
6
где
gr(s, t) = Tt р_(л,+ Лп8’) 8^s’
и
Jf(s, P)= p_(^o + j4uSS) = -
~ /Г-КдГ+Лпб» /р + КлГ+ лП82 ‘ <187)
При этом полагаем
g(s, P) = g.(s. , (188)
где, кроме того,
)ЛЛ. + Л1182=А1. (189)
*) Преобразования Лапласа по пространственной переменной и.
Вопросы, связанные с решением уравнений в частных производных
с помощью операционного исчисления по двум переменным, под-
робно рассматриваются в [1, 29]. Соответствующие таблицы при-
ведены в [30]. (Прим, перев.)
200
Из поДразд. 3.4.1.5
77,^(s.Vp)=J^3^e4/ T~lgt(s, p)<fc, (196)
где
*<’• p) = p-l7.f4L- (191)
И
пу—1 / \__ е 1 . 6 1 sh
Ti ёЛ^ Р) = -2лг+-2лГ=—• (192)
Из (188) поэтому следует
7,rI^(s./p) = 7'<-1g(s, р)=»
00 zzl!
, „ f ’ « sh м ,
= g(s, 0=J 2Ий?/2 e A, dx>
откуда получаем
g(u, 0=J2K^/3/2 тй1~^~ах (193)
и с учетом результатов подразд. 3.4.1.5 имеем
h (и, f) =
1 8ЬКЯ(, + Л1182 t
Гл0+лП82
__T'-l Sh КAi Va2 + s2 t / |/Л \
“ Ka?K<x2 + s2 \ r aJ~
a ,r VA^yZt+tfr V~VZt
— a j’—1 e_________________ e_____________
2КДц “ aKa! + s! aK...
VA
— 2Я„
?2Л—
201
Следовательно, в отдельных w-интерйалах получаем
h (и, /) =
(-/Лн/<«</Ян0,
О при УAut<Cu, u<—yAtif.
Из (192) тогда следует
(194а)
00 Т2
g («> t) = j ^372-е 4/ h (и> ’)
и, наконец,
t
г (и, t)=Bt C[x(u, t—i)dt.
(1946)
(194b)
Мы предполагаем, что
при />0 по отношению к
в точке с координатой u=«i
пространственной переменной
Рис. 76. Одномерная простран-
ственная система (пример).
задано импульсное возбуждение х(и, f)—8(u—Ui, t).
Тогда из (194в) с учетом того, что
х(и, t — t) = Jx(X, t — i)g(u — l. t)d2 =
u
— uu t — t)g(u — x)dl=g(u — ut, t)
получаем для г (и, t) более простое выражение
t
г(и, g (и —ut, t)dv. ~ (195а)
202
Рассмотрим еще более точно зависимость g(u, t) от
пространственной координаты и времени, которая опре-
деляется в основном h(u, t). На рис. 76 на плоскости
(«, 0 выделена область, в которой Л (и, t) или h (u—Ui,t)
отлична'от нуля (см. (194а)). Таким образом,
h(u— ult f) =
^0 приl^11,
= 0 при
F Ац
и для (1946) получаем более точное выражение
00 X2
g(w —»„ 0= ^3/2 j хе Й (« — «!, ’)^. (1956)
К4ц
Глава 4
ЛИНЕЙНЫЕ СТОХАСТИЧЕСКИЕ
СИСТЕМЫ
4.1. Системы с дискретным временем
4.1.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
4.1.1.1. Введение. В главе теория детерминированных
систем расширяется таким образом, что становится воз-
можным описать также системы со случайными входными
словами и состояниями. Вводимая здесь классифика-
' ция связывает, например, понятия и определения, отно-
сящиеся к стохастическим автоматам, с соответствующи-
ми понятиями и определениями, встречающимися в клас-
сической статистической теории систем в случае линей-
ных систем с детерминированными состояниями. Вообще
детерминированные системы рассматриваются как част-
ный случай стохастических автоматов.
В пределах настоящего достаточно общего введения
невозможно подробно анализировать некоторые важные
с точки зрения техники стохастические системы. После
— изложения основных понятий и введения классификации
систем мы подробно будем рассматривать только линей-
ные системы, но за этим довольно ясно видны контуры
общей теории стохастических систем.
После рассмотрения основных понятий теории ве-
роятностей § 4.1 анализируется теория систем с дискрет-
ным временем, а ее расширение для систем с непрерыв-
ным временем рассматривается в § 4.2.
4.1.1.2. Резюме. Кратко повторим то, что было сказано
о детерминированных системах и что потребуется в даль-
нейшем. Поведение динамической системы S (в простей-
шем случае) описывается с помощью вектора состояния
z, входного слова xfo< = <x(t) и выходной величины
204
у в виде (разд. 2.1.1)
2«)=Г[г(у, xJ=F[z(y, <х(г)>(.,|.
j(/) = O[z(/,), x,.,| = O(z(f.), <x(t)>w|, (la)
где z (?) или z (t„)—состояние в момент времени t или
<, t,xt°t есть (непрерывное) входное слово в интервале t„ <
и y(t)—значение выходного слова в момент времени
t-z(t) является элементом алфавита состояний z, а y(t)—
элементом алфавита выходов У. При это.м х, t есть отоб-
ражение интервала [?0, J) временной оси (множества
действительных чисел) T'=R в алфавит входов Х'.х^
(EX, x/(><G{7”—X}. F — оператор переходов, a G —
оператор выходов динамической системы.
Основные свойства приведенных выше отображений
выражаются в следующем (разд. 2.1.1):
F[z, x,xt|=F{F [z, xj, x2},
G[z, x,x2]=G{F[z, xj, x2}. (16)
При этом x1=x/o/i определено в <*</,, а х2 =
= х(< —в ?,<1г<?2. Таким образом, х2х2 является функ-
цией х^, которая получается при объединении xtt
и x<iZj (см. разд. 2.1.1).
Если отображения непрерывные, то из приведенных
соотношений следует (см. разд. 2.1.2):
>=f[z(O. и.
y(t) = g[z(t)> x{t), /].
x(f) есть значение х<о/а=х/о< х/ /а = х1х2 в момент вре-
мени t(tQ^it<j.2), f — функция переходов, a g— функция
выходов системы. При достаточной непрерывности ото-
бражений F и f или G и g могут быть поставлены во
взаимнооднозначное соответствие.
Более подробно рассмотрены два частных случая ди-
намической системы S.
a) S линейная (разд. 2.1.3).
Тогда
z (/) = F [z (/„), O/(J F [о, xfoJ (и — нулевое состояние),
#(?)=G[z(?,). OfofJ + G[o» х/#<](0— нулевой сигнал)
205
или в случае непрерывности
•§-=A(0z(0+B(0x(0,
y(t) = C(t)z(t)-\-D(t)x(t).
б) S дискретная, т. е. отображение [fo, t)-*~X заменя-
ется отображением Т°-*-Х, где То есть интервал (отре-
зок) последовательности целых чисел:
г=оп[^:о-
Приведенные выше соотношения и свойства, естест-
венно, сохраняются. Мы только записываем хгоп=
=<x(s)>mn вместо Xt't и zm=z(m) вместо z(f):
z(n) = F[z(m), xm„] = F[z(m), <x(s)>mn],
(y(n) или) y(n— l)=G[z(m), x,J =
= G[z(m), <x(s)>m„](/n, n GG).
Теперь xmn является дискретной функцией, т. е. последо-
вательностью (словом)
^mn=<x(m), x(m4-l),... ,х(п — l)>=<x(s)>m„,
элементы которой x(s) поставлены в соответствие мо-
ментам времени t=sT:x(s)=x(sT). Т есть шаг после-
довательности (временной интервал между отдельными
элементами последовательности xmn), z(/n) есть состоя-
ние в момент времени тТ :z(m)=z (mT). То же относит-
ся и к у(т).
В случае, когда отображения F и G инвариантны во
времени, S называется автоматом, в частности, линей-
ным автоматом, когда операторы F и G линейны в соот-
ветствии с определением а).
Ниже на основе теории детерминированных систем
сформулированы основные уравнения теории стохастиче-
ских систем. В случае автоматов соответствующие вы-
ражения будут получены как частный случай.
4.1.1.З. Основные понятия теории вероятностей. При-
ведем простейшие основные факты теории вероятностей
в объеме, необходимом для изложения элементов теории
стохастических систем [5].
Основным понятием теории вероятностей является
элементарное событие о, которое представляет собой
206
элемент множества Q (множества элементарных собы-
тий) всех элементарных событий.
Пример. При бросании игральной кости £2 состоит из (ко-
нечного) множества граней кости <0i=i (i=l, 2,..., 6); очко ©<=/
является элементарным событием.
Подмножество А пространства элементарных собы-
тий Q представляет собой случайное событие Л, которое
происходит при условии, что ф принадлежит А. £2 назы-
вается достоверным событием, а 0— невозможным со-
бытием.
Пример. Случайное событие «четное число очков» наступает,
когда происходят элементарные события coj, ец, «в- Л={®2, «•«,
<в6}<=й есть случайное событие «четное число очков».
Если £2 конечно, то множество 8(Л) всех подмно-
жеств £2 образует пространство событий (поле событий).
В более общем случае пространство событий Е состоит
из таких подмножеств. S(Л), для которых требу-
ется, чтобы из ЛеЕ следовала принадлежность Етакже
Л=£2 \ Л и из Л<еЕ (i=l, 2, 3, ,,.) следовало
СО
иЛ^Е (а-алгебра).
1=0
При этом также
^nA=(AUA)GE
и
Если Л и В — случайные события, то (см. разд. 1.1.1)
Л IJ ВфггфЛ —|—В G Е — объединение или сумма,
Л П В^==>ЛВ G Е — пересечение или произведение^
Л\В£==фЛ—В ЕЕ Е— разность событий Л и В-Л =
= £2\Л(=Е есть событие, дополнительное к событию Л.
Приведенные выше составные события наступают, когда
наступление элементарного события <» (в результате
опыта) принадлежит этим событиям:
Л-|~В<х=фЛ или В наступает (т^А или ®G®)>
Л8<=г>Л и В наступает (св(ЕЕЛ и шЕВ),
Л —В<=:фЛ, но В не наступает (<в^Л и ®^=В),
Л<==>Л не наступает (<о^Л).
Если ЛВ=0, то Л и В несовместные события. Эле-
ментарные события ©<£==£{«>} всегда несовместны.
207
Каждому случайному событию А соответствует ве-
роятность Р(Л)е[0, 1]. При этом
Р(Л)=Р(«м=Л)
есть вероятность, с которой наступающее элементарное
событие со является элементом Лей. Если для каждого
события ЛеЕ существует вероятность Р(Л), такая
что
Р(й) = 1, P(^Al\=^P(Al)(AlAl=0>
\t J 1
то на Е задана вероятностная мера Р. Из этого следует
Р(Л)<Р(В) при ЛСВ; Р(0) = О; Р(1Л) = 1— Р(Л).
Вероятностная мера на й={®,, ©,, ®J, например,
может быть задана как P{®t} = l/4, Р{®2}=1/2, Р {»,}==
= 1/4, Р{®„ ©2} = 3/4, Р{®|, <о,}=-1-, Р{ш2, <в,} = 3/4,
Р(й)=1 и на й={®п ©,,...} в более общем случае
как Р(®/1Э ®.a,...)=2(l/2)i,.
Если проводится п одинаковых ОПЫТОВ И В «А из них
наступает событие Л, то пд/п (относительная частотаЛ)
есть экспериментально полученное приближенное значе-
ние Р(Л): Па/П'~,р{А).
Пример. При 600-кратном бросании правильной игральной
кости цифра i (i=l, 2,..., 6; Д событие А,) выпадает приблизи-
тельно 100 раз (все события равновероятны):
(пл./я) ~ (1/6).
Если А' и В — случайные события, то можно ввести относи-
тельную частоту А по отношению к В
пАВ_пАв/п Р (АВ)
пв пв/п Р(В)
Р(А\В).
Через пдв и пв обозначим число наступлений событий
АВ и В в п опытах. Р(А]В) обозначает вероятность Л
при условии В.
Пример. При 100-кратном бросании игральной кости 25 раз
выпала цифра, меньшая 3 (событие А); 20 раз — четная цифра
(событие В) и 10 раз —цифра 2 (событие АВ).
208
Тогда
"л 25). 1 "в 20 1
п 100^ 4 п ~'100~ 5
пАВ 10 1
пв ~20’=-2- 'Ч-^>(Л|£)-
В общем случае, как в приведенном выше примере,
Р(Л|В)^Р(Л). Если же Р(А\В)—Р(А), то события А
и В независимые. В этом случае, очевидно, Р(АВ) =
Рис. 77. Основное множество (пространство событий):
а — множество AiXAz; б — множество ЛХЙз-
Иногда целесообразно рассматривать совместно не-
сколько1 пространств элементарных событий Qv(v=
= 1, 2,..., п). При этом получаем й=й1Х|®аХ”-Х!^п—
некоторое новое, л-мерное (прямое произведение) про-
странство с элементарными событиями
(«>.. ш2,... ,®„)(®,ей,).
Если конечны, то Каждое подмножество Й есть (много-
мерное) случайное событие, в частности, каждое под-
множество типа (рис. 77)
а=л,хАХАХ-ХА(АСй,)
есть случайное событие. Именно
AXAX--XA=(AX^X-X^J
(й,ХАХй,Х.-.Хй„) ...(Q,x^X-XA)=
== Л1 А2... Ап,
14—619
209
где /
A=(Q,xa.X-ХАХ-
Вероятность наступления АХАХ»” ХА равна ве-
18 ls
роятности наступления А. V А X ••• ХД» при Ak—Qk
для например
Р(Л,)=Р(А)=Р(ЛХО.ХО.Х»..ХЦ,)=
=S S - S р(А X Ы X К} X... X К})>
<О2 «з «>д
Р(АХА)=Р(АА)=
=Р(ДХ^Х..-Хйв)(^ХАХйзХ...Хйп)=
=Р(ДХАХй,Х-Хйя)=
=2... S Р (А X А X {«».} X... X W).
“« шя
Обычно записывают вместе Av, ДЛ,^, и т’ д’ пР0СТ0
А> Ар.»”. и т. Д-> н0 ПРИ этом следует помнить, что все
А* есть частные события многомерного события Л, X
ХЛ2Х-..ХА> в частности, например, Av ft А^ 0,
в то время как пересечение Л¥ и А^ (рассматриваемых
как одномерные множества) есть пустое множество.
Из сказанного выше следует, что
р (Л, | д) (2, | А) =
И
Р(АХА)=Р(А)Р(А)
выполняются при условии, что Л, и Д независимы.
Пример. При одновременном бросании двух игральных костей
пространство элементарных событий Q X Q(Q={®i,..сое}) со-
держит 36 равновероятных элементарных событий (со<, coj) с веро-
ятностями 1/36. Событие «общее число очков равно 4», например,
совпадает со случайным событием 44={f((db <о3), (®2, <02), («з, ^i)}»
имеющим вероятность Р(Л4)=3/36, а событие «на первой играль-
ной кости выпала цифра 2» представляется множеством
{(«2> (<О2, <О2), ... , (Oj, <Oe)} = {<О2} X2 С /3((С»2}Х2) =
= ^({“2})= 1/6-
210
Так же находятся остальные вероятности дляД = («Общее число
очков Д>): \
А Д А А Д Аг Я7 Ай А До Д1 Да
р 1/36 2/36 2/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36
Р(В|{®.}) =
= ©1), , (<ov, <ов)} обозначает событие „число очков
на первой кости равно v“, а = {(wi» %)» ••• » (^в» %)} со-
бытие „число очков на второй кости равно р.“. Отсюда P({cov}) =
= ^({%}) = 6/36 =1/6 и
Р «®») Р ({“р.}) = "б" • -б-= 'зб'>
откуда
р «®,}Х{®Д) = Р К®,» ®и)1 = i,
и, следовательно, {<ov}X2 и ЗХ{®Д являются независимыми собы-
иями, что очевидно также и из условий опыта.
Пусть ф — некоторое (детерминированное) отображе-
ние Й1 в Й2 (рис. 78):
ф:й,— Й2
и Всй2, тогда при G Qt ({со,} Q й,)
1 при ф(ш1)^В,
О при ф(<о,)(£В.
Мы будем говорить о стохастическом отображение
: й,^—>й2, [когда ЧГ само представляет случайное
соответствие, т. е. когда каждое элементарное событие
(Bi, принадлежащее Й1, с некоторой определенной веро-
ятностью отображается в Вагй2:
р(В|{<»1})=рВш.е[0,
Таким образом, стохастический оператор : й,-^—>й2
(стохастическое отображение) задается с помощью неко-
торого множества условных вероятностей, определенных
на й2 (для каждого фиксированного «цеЙ! задается
определенная вероятность P(-|{<ni})). Из предыдущего
следует
Р(ВI {о» }) = —
k п />(2,х {«>,})>
когда на Й1ХЙ2 задана вероятностная мера.
14* 211
Если й2 состоит из целых или действительных чисел
и ф есть некоторое отображение Й1 в G дли R со свой-
ством / -
Лх = {<о1(®1ей1 и 1}'(»>1)<x}GE(xgG(R)),
то £=ф(®1) называется случайной величиной с обла-
стью значений G или R.
Событие Ах совпадает с событием £<х:
Р(Ах)=Р(£<х).
Р&<х) есть некоторая функция xeR(G), а именно
функция распределения F(x)=P(g<x) случайной ве-
Рис. 78. Отображения:
а — детерминированное отображение; б — стохастическое отображение.
личины £. Очевидно, что F(—оо)=0 и
Г(4-оо)=1
и F(x1)<F(x2) при хх<хг (рис. 79). Функция f(x) в
У f (x)dx=F(x)
—-оо
называется плотностью распределения вероятностей
(или, короче, плотностью вероятности) случайной вели-
чины £ (см. рис. 76).
Вероятность того, что £ принадлежит интервалу [х,
х+Дх), определяется как
Р(х<С< х-|-Дх) = J f(x)<Zx=F(x-|-Дх)— F(x).
X
В частности;
P(C = x) = F(x+0)-F(x).
Для дискретной случайной величины '(Р(С=х,) = д^:0)
справедливо (рис. 80)
F^(x-{-Дх) —F(x)=*[ Р’/0 при Х = (v=1,21
( 0 в других случаях.
212
В случае непрерывной случайной величины
limF(x-f-Ax) — F(x) = 0
Д*->0
и
limF(x+.Ax)-F(x)
Дх->0
=Нх)=<.
При одновременном рассмотрении нескольких случай-
ных величин они объединяются в случайный вектор
Рис. 79. Функция распределения:
а — непрерывное распределение; б — функция плотности.
Рис. 80. Дискретное распределение.
Для такой многомерной случайной величины %=
= (£1, £п) выполняются аналогичные соотношения:
Р (Cj Xj.Cj -^21 ••• » == F С^з» ’ ^л)
*1 Xi хп
=: у у ... f (х4, х2, ••• * ^л) dx3... dxn»
—ОО —00 —00
Условная функция распределения Г(Х1|хг) определяет-
ся следующим образом:
F (xt | х2) = Р (С, < х, | С2 = xs).
Соответственно, например,
Р (Xj, xs, х31 x4,Xj) =Р (Ci X,, С2 <C. -^2’^3 < -X31 C4=x4,
C,=x,).
213
Для непрерывных случайных величин справедливо
X
J f (*а, dxt
F(x,|x2)=^---------------
j f (*1, Хг) dxx
и
Xi Хя Хъ
У У У / (х,, х2, ••• » х^ dxidx^ixs
F(xt, х2, х,|х4, х)=^~^----------------------------.
У У У f (Х>, Х2, ... t Xj) dx,</x2dxa
—oo —oo —oo
Если £— некоторая случайная величина со значения-
ми х, то можно ввести новую случайную величину т),
значения которой г/=<р(х) являются (детерминирован-
ной) функцией значений х величины t,: г)=<р(£) (у=
=<р(х)).
чЕсли в более общем случае ^=<р(С), например,
= Q («/.=?! (*i. хг)),
^а —Ta (^1> ^а) (Уг —‘Та •*-*))
и /с(х„ х2) — плотность вероятности двумерной случай-
ной величины (С„ Q, то
Ц (Уг, У г) = k (?Г‘ (У г, Уг), <У» У^
v 1г’
В частности, при ?) = <р (?)
?,Ь)=Мт-(9)||ж .
^=У
Выражение
=2 х»р = S х» +°)—F
в случае дискретной случайной величины £ определяет
математическое ожидание (или среднее значение) Е(£).
В более общем случае (для непрерывной случайной ве-
214
ЛИЧИНЫ 4)
т. = f x^-dx = f xf (x) dx=E (5).
* fc J ЙЛ J
—00 —00
Математическое ожидание для r]=q>(5)=^ в соответст-
вии со сказанным выше определяется как
00
Е (С) —Е (ц) = J уЦ (у) dy =
—00
00 00
— J x?f№~l(y}]d~^dy= J x*ft(x) dx.
—00 —00
В случае
+00
Нм = E[ф(С)]=E (С—m<)2= j (x—mt)2 f (x) dx
—00
обозначает дисперсию (меру рассеивания) С относительно
математического ожидания /пс=Е(5). Математическое
ожидание
Н«=Е & — mJ (Са — mJ =
= j S (*« — (*» — т J f > xjdxtdxt
—00 —00
есть ковариация («степень зависимости») случайной ве-
личины от случайной величины 5г-
Если 5, кроме того, зависит от времени t (teG или
f<=R), то записывают 5=5(0, и такая переменная назы-
вается случайным процессом с дискретным (teG) или
непрерывным (teR) временем. В более общем случае
5(0=(5‘(/), 5П(О) обозначает случайный вектор-
ный процесс.
Понятия, введенные для случайной величины, можно
перенести и на случай случайного процесса. При этом
среднее значение
Е[С(О]=/пс(О
уже будет функцией времени t, так же как и корреляци-
онная функция
215
п
С f • • •» • • • > dx.... dxn.
/1 —х,... ,tn — т)= С
Если тс(/)_не зависит от времени и выполняется усло-
вие —tt, O)=sc(t), to процесс C(0 на-
зывается стационарным в широком смысле. Для процесса,
стационарного в узком смысле, функция распределения
F (х„ хг,..., Xnjtt,
=P[C(Q<x„ C(/t)<x„...,С(/„)<х„]
инвариантна по отношению к сдвигу во времени
F (xlt Хг, ... , Хп, tlt ... , tn)—F(xi9 x2,..., xn;
Xi x
—00 —00
Преобразование Фурье корреляционной функции st(t)
стационарного процесса обозначается как * St (®) и назы-
вается спектральной плотностью (энергетическим спек-
тром) стационарного случайного процесса:
+0°
St(®)= Jst(T)e“ZOTtZ-t. ;
—00
Sc(a>) является легко технически измеримой характери-
стикой процесса. В заключение напомним, что математи-
ческое ожидание ехр/АС(/) называется характеристиче-
ской функцией и обозначаетЪя как /):
<pt(Z, t) = E [exp/%£(/)]= J elUf(x, t)dx. ‘
—00
Выполняются следующие соотношения (дифференциро-
вание проводится по Л):
МО, 0«1, ;
+0° I
<р'’с (0, /) = J jxf (х, f) dx=jn\(t). ।
—00
В общем случае для случайного вектора С (/)=(С (/,),..., *
С(/„)) характеристическая функция определяется как i
? (^i> •••, Ал» ^1» •••»—
216
+oo +oo S Xv
== J *•* J e f •** ’ t*’ *** ’ **•
—00 —00
Для суммы
m
C(0=SM0
V-=l
независимых процессов справедливо
m
Фс(я, t)—JJ?cv (^> 0
V=1
И
f (x, t) = ft (x, t) 4: /, (x, t) * f3 (x, t) *... * f„(x, t).
Например,
Л(х, /) H(x, t)= J f,(x—0)f2(0)(/0.
—00
4.1.1.4. Меры вероятности. Предположение о том,
что каждому состоянию z(/,) и каждому входному слову
t детерминированно ставится в соответствие некото-
рое вполне определенное состояние
Z(ft) = F[Z(4), FVJ, (2а)
не следует рассматривать как раз и навсегда заданное.
То же самое относится и к выходным буквам
p(f,)=G[Z(f.), fj. (26)
F и G в общем случае являются случайными соответст-
виями. Кроме того, очень часто неизвестно, какие значе-
ния принимает в момент времени ил0
г (to) и $(ti) в момент времени t0 или fb т. е. появление
букв г(t), z(t), $(t) или (что лучше соответствует суще-
ству дела) наступление элементарных событий может
произойти лишь с некоторой достоверностью и в данном
случае можно определить или задать только вероятности
этих или связанных с ними случайных событий.
217
Задача настоящей главы состоит в том, чтобы обоб-
щить математическую модель, разработанную для де-
терминированных систем таким образом, чтобы динами-
ческие системы с недетерминированными входными и
выходными словами и состояниями (стохастические дина-
мические системы) охватывали детерминированные си-
стемы в качестве частного случая. Эта задача с матема-
тической точки зрения легче осуществима для систем
с дискретным временем по сравнению с системами с не-
прерывным временем. Поэтому в соответствующих урав-
нениях (2а) и (26) мы перейдем к рассмотрению ди-
скретного случая, а именно к отображениям (т, nsG)
z(n)=F[z(/n), Fmn],
p(n) = G[z(m), tmn], (За)
= (5) ...n— 1) (
из подразд. 4.1.1.2. Кроме того, в § 4.1 и разд. 4.2.1 мы
предполагаем, что входной и выходной алфавиты и
алфавит состояний рассматриваемых динамических си-
стем являются конечными или счетными, что в еще боль-
шей мере упрощает йзложение теории. На языке теории
вероятностей уравнения (За) означает следующее
(ср. с подразд. 4.1.1.3):
P(z(л) | z(m), Jm„) = ! 1 ПРИ z(и)=F(z(m), ?~„), (4)
I 0 в прочих случаях.
При этом согласно подразд. 4.1.1.3 через Р(х\у, г) мы
обозначаем вероятность наступления элементарного со-
бытия х в случае наступления у, z (вероятность х при
условии наступления у, г). Таким образом, выражение,
стоящее слева в (4), обозначает вероятность того, что си-
стема в момент времени t=nT попадает в состояние
z(n) при условии, что в момент времени t—mT (началь-
ный момент времени) она находилась в состоянии z(m)
и что в моменты времени t=mT, (т+\)Т, ..., (и—1)Т
на ее вход поступали буквы l(m), x(m-f-l), ..., i(n—1).
В более общем случае для стохастической системы
P(z(ra)|z(m), Fm„)
уже не^ принимает для определенной тройки (z(n),
z(m), тпп) значение 1, а для всех остальных трех значе-
218
ние нуль. В случае стохастической системы каждой
тройке (z(n), z(m), tnn) соответствует некоторая опре-
деленная вероятность р или q. Понятно, что в этом слу-
чае (4£ обобщается таким образом, что каждому дан-
ному 1тп ЕЕ $ и z (m) (ЕЕ Z" соответствует выражение
(описывающее стохастическое отображение)
P(z(n)[z(m), ?m„)=pGP, 1]; 3 р=1. (5а)
z (n)€=z"
При этом для простоты рассмотрения, как уже упоми-
налось, мы предполагаем, что число возможных состоя-
ний системы z (множество элементов пространства со-
стояний z”) счетно (так же, как и X1). Естественно, что
при этом мы предполагаем, что на
znxznx%
задана некоторая вероятностная мера, которая может
также зависеть от времени, входящего в отображение
через уотя.
Проведенные рассуждения остаются верными и для
второго уравнения в (3). Для каждой заданной двойки
(z(m), imn)
Q(p(n)|z(m), im)=<7G[0, 1]; 2 <7=1. (56)
P (jip=Yk
При этом предполагается, что в простейшем случае вы-
ходной алфавит также счетен. Вместо отображений, опи-
сывающих систему (3), мы получаем систему условных
вероятностных мер (5а) и (56), которые точно так же,
как и отображения (3), можно задать или определить
для описания каждой конкретной системы (ср. с под-
разд. 4.1.1.2).
4.1.2. СВОЙСТВА СИСТЕМЫ
4.1.2.1. Основные свойства. Следующая задача состо-
ит в перенесении свойств отображений для детерминиро-
ванной системы на случай стохастической системы. Если
в детерминированной системе z(p) полностью определя-
ется по заданным inp и z(n) (рис. 81), т. е. z(p) не за-
висит ни от предыдущих состояний z(m), ни от преды-
дущих или будущих значений входных слов 1тп или
219
tpq
z(p) = FJz(n), i„p],
то в стохастических системах в приведенном выше смыс-
ле вместо (За) имеем
Р (z (р)|... z (m), ?mn, z (п), ?„р, ..) =
=P(z(p)\z(n),~tnp). (6а)
Таким же образом (36) заменяется на
Q (V (р) |... z (т), z(n), lpq,...) —
=P(p(p)[z(n),lp,). (66)
AzO”) |z(/z) kz(p)
°'" m и p 4
Tmn fnp Jp?
Рис. 81. Входное слово (изменение состояния).
Из этих первых основных свойств стохастической си-
стемы следует в соответствии с правилами теории ве-
роятностей (см. рис. 81)
P(z(p)|z(n), inp)=P(z(p)\z(m),lmn, z(n),lnp) =
_P(z(/>). z(m), z(n), f„p)
“ P(z(m),^mn, z(n), ?np)
или
P (z (p), z (tn), imn, z (n), ?„p) =
—P (z (p) I z (n), ?„p) P(z (m), fm„, z (n), F„p).
Из этого далее следует при суммировании по всем
элеметам пространства состояний z(n) (так как оно
предполагается счетным)
P(z(p), z(m), imn, tnp) =
= P(z(p)lz(n),f'„p)P(z(m), Гтп, z(n), Znp). (7)
z (n) &n
220
Но, кроме того,
P(z(p), z(m), ?m„, ?„р) =
= P(z(p)|z(m), imn, rnp)P(z(tn), i„p) (8)
И
P(z(ffl), 1mn, z(n), lnp) =
= P(z(n)\z (tn), imn, inp) p (z (tn), imn, iap) =
=P(z(ri)\z (tn), imn) P (z (tn), imn, inp), (9)
при учете (6a). Соотношения (8) и (9) позволяют выра-
зить (7) в виде
P(z(p)\z(tn),imn, inp) =
= 2 P(z(p)\-(n),inp)P(z(n)\z(tn), imn), (10a)
z (n) <=Zn
Это соотношение заменяет отображение (16) из
разд. 4.1.1, когда состояния системы так же, как и вход-
ные и выходные величины, являются недетерминирован-
ными. При тех же самых предположениях из (66) полу-
чаем выражение, аналогичное (10а), с тем только отли-
чием, что z(p) заменяется на р(р):
Q(P)(p)|z(m), ?яр) =
= S 0> (Р) I z(n), inp)P(z(ri)\z(m), imn), (106)
z (n) ezn
которое заменяет отображение (16) из разд. 4.1.1 для
случая стохастических систем.
Смысловое содержание соотношений (10) становится
еще более ясным, когда в предположении счетности
алфавитов системы мы индексируем векторы (векторные
элементы алфавитов) и переходим соответственно к сле-
дующей символике:
Р (z (п) \z(m), imn)=Ри Цтп),
(i, / = 1, 2, 3,...),
Q (j> (п) \z(tn), imn)=>qtl (imn)
или
Q (р (и — 1) | z (m), f^) = qu $mn). (11)
221
Очевидно, что ptj (хтп) обозначает вероятность, с кото-
рой вектор zi(tn)^Zn переходит в вектор Zy(n)G 2я. при
воздействии входной величины ртп во временном интервале
с mT(m^G) по nT(n^G). То же самое относится и
к Чц'Чц есть вероятность наступления в момент
времени (л — 1) Т (или пТ), когда на начальное состоя-
ние Zy (rri) G Z'1 в момент времени тТ на временном ин-
тервале от тТ Гдо пТ действует входная величина fm„
(ср. с разд. 2.2.2).
С учетом символических обозначений (11) можно за-
писать (10) в следующем виде:
Pik (Stnn^np) 2 Pjk (%np)> i (12а)
Яjk ($тп’ ^np) ==2 У № ^np)* I (126)
В матричном виде (12) записываются как Р =Р Р , * тр д тп* пр* Qmp:=" ^тп^пр* где Pfnn == ((Pp,V (?тл)) (13а) (136)
(щ v=l, 2, 3,...), (13в)
Q/пл — ((*7р.» (?тл))
соответствующие матрицы. В соотношениях (12) следуем
особо отметить, что, например, p,j(iTOn) зависят не толь-
ко от п—m элементов i(m), i(m+l) t(n—1) после-
довательности imn, но также и от индексов т и п (т. е.
от временного интервала [тТ, пТ], на котором опреде-
лена эта последовательность). Вместо Pij(rmn) поэтому,
собственно, было бы точнее записать
?(m+l),.... J (я — 1), m, nJ. (13г)
To же самое относится и к qij.
4.1.2.2. Переходная и выходная вероятности. Основ-
ные свойства вероятностных мер P(z(n) |z(m), rmn) и
<?(»(«—l)|z(m), tmn), которые выражаются соотноше-
222
ниями (10а) и (106), требуют более внимательного рас-
смотрения.
В (12а) положим п=р—1 и fm„f„p=^p>
Plk (~тп) := У, Pit fen. p-i) Pik (?p-i> p)'
/
Таким же образом (р заменяется на р— 1, Л на /)
Pij fem, р -1) ==2 Рч ^т’ Р~*) Plj ^р-г, p-t) (14)
I
И Т, Д.
Учтем, кроме того, что „+1 представляет собой од-
ноэлементную последовательность, состоящую из элемен-
та
(v), (15)
так что в приведенных выше предположениях получаем
Pik Ы Рр (р ~~ 2Я Ра &т, р-‘> =
/
=S рр (р — 2)1 S Рч I* ~~ 2>1 Рч p-J*
I i
где
Pit (?m, p-а) =2 Рч ^Р Аг Р~3^
Г '
и т. д. Если, кроме того, положить
Гтр=<?(«г)* ?(т4-1),..., ?(р—1)>, (16)
то при подстановке в последнюю формулу получаем
A*[?("i)> f (т + 1),..., ?(/?— 1)] =
=S РР t? ^Р~ W S Рч lf (р ~~ 2>1 х
I ‘ i
X^PrAiip—3)] - 3 Рч lf (m + W As [f («)]
г «
223
или после замены индексов суммирования
Ал[?И» *(т + ?(/’—!)] =
р—т
=32-3 П v+m-1h
ip-m V=1
(^=1, ip_m+l = ik) (17a)
где, кроме того, полагаем
+ m + v-1b (176)
Такие обозначения выбраны с тем, чтобы более четко
показать, что в выражении A/fc^H^A/O*» Ф Речь
идет о вероятности, с которой состояние Zi—z^k) пере-
ходит в состояние Zj=Zj (k-[- V), когда в момент време-
ни kT на систему воздействует буква fs=fs(A). Такой
же вывод аналогично проводится для второго соотноше-
ния в (10) и точно так же при п «= р — 1
<7/л(?р-1,р) = 9/л[Е(Р)1 (18)
получаем выражение (см. (126))
Яш &пр) =2 Ра р-*) 09a)
/
где первый множитель в правой части определяется из
(14), т. е. в (17а) р заменяется на р—1 и k на /
А/^».р-1)=А/(?Й........ ?(Р —2)) =
р—т—\
=22- 2 П <19б>
it it ip-m-i ’=1
Вероятностные меры Pij(£mi) и 7^(5^) стохастиче-
ской системы в соответствии с (17а) — (196) выражаются
через вероятностные меры
А/(5, 0 и <7/7(?, 0 (?GX“, ZGG). (20)
При этом Pij(t, t) обозначает вероятность, с которой
состояние Zi в момент времени tT переходит со-
стояние г, в момент времени £+1<==> (f+l)T, когда мо-
мент времени t на вход системы подается буква х сло-
ва I (последовательности).
224
Таким же образом через t) обозначается веро-
ятность, с которой состояние z< в момент времени t и
входная буква г в момент времени t приводят к появле-
нию выходных букв в момент времени t (или /+1)
(рис. 82).
Приведенные соотношения опять становятся более
понятными, когда мы переходим к матричной записи.'
Рис. 82. Схема стохастической
системы.
При этом получаем (непосредственно из (13))
р—1 п—1
Р-₽=П рм+.+П р(*> о (21а)
t^satn t^Btn
И
р—2 р—2
<и=П Р/,/+.ор->.р=П Р(?> (21б)
Ь—т f~m
где
р(Г, О'=((рг/(?ЛО).^(?> 0=((^(?» 0)- (22)
Таким образом, свойства стохастических систем опре-
деляются с помощью приведенных выше вероятностных
мер. Мы будем называть
?'(0- t\ = Pa^> 0
вероятностью переходов и
QfMOIMO. 5(0. 0=^(5. 0
вероятностью выходов стохастической системы со счет-
ными алфавитами в момент времени/. Вместо Р[. | .., /]
и Q [. | .., /] в дальнейшем будем писать Р* и Q*.
4.1.2.З. Определение. Из приведенных выше рассужде-
ний следует, что стохастическая динамическая система
с дискретным временем и конечным или счетным алфа-
витом может считаться заданной, когда заданы следую-
щие счетные множества и меры, определенные на них:
15—619 225
а) входной алфавит
б) выходной алфавит Yh(^Yk); i
в) алфавит состояний zn(zsZn); '
г) вероятностная мера Р*. (зависящая от време-
ни t), заданная на Z”XZnxXz;
д) вероятностная мера Q* (зависящая от времени /).
заданная на FhXZnxA’!.
Р* I Zp ?) = Рц (?> О =Р* [Z; (t + 1) I Zf (0, ? (01
(fGG) (23а)
есть вероятность переходов
Q#0>/|zp ?)=?„(?, 0=Q4M0IM0> ?(0] (*GG) (236)
есть вероятность выходов конечной стохастической си-
стемы с дискретным временем.
_При ? = <f(0, ? (*+ 1),.... ?(П>=Ь на ZnXZnX
X & задается вероятностная мера с помощью
Р (z* I W)=£ Р (z/1 pt’ <»* IM (24a)
I
и на' YkXZnX^^вероятностная мера задается как
Q О’* I zt у?) = 2 Р | Z/ ?) Q'' (V* I zz J). (246)
I
Таким образом, соответствующие вероятности задаются
за f—1+1 шагов.
Из подразд. 4.1.1.3 _
Р< I zi)== п.
1 'if *P“[Z"X{z}X{f}]
= Vi pt' k^)x{z}x{?}]
^[{z}X{f}]
z'ez"'
где
И{«}Х®1= S НМХ{*}ХЖ
z'ez«
Соответственно
o-r^’iz .1- V <1«ХИХ<Й1
«И |z, rj— 2j q'IWX®!
рек*
226
где
<mx{oi= s Q'lmxwxmi-
per*
Конечная стохастическая система называется инва-
риантной во времени, когда вероятности переходов и
вероятности выходов не зависят от времени t-.
p4z/Izp ?]=p[z/Izp =
Qr[Mzi- ?1 = Q[»/IZ/. ?!=?//(?)•
Такие системы называются вероятностными автоматами.
4.1.3. ЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА
4.1.З.1. Аддитивные и однородные системы. Как и
прежде, мы предполагаем, что алфавиты X, Z и У чаще
всего счетно бесконечны. Но теперь мы еще дополни-
J)
Рис. 83. Линейная стохастическая система:
а — аддитивность, система I; б — аддитивность, система II.
тельно предполагаем, что X1, Zn и Yk(X, Z и У) являют-
ся носителями абелевых групп, т. е., например, если
г.еА" х',). v«=l, 2), (25а)
то также
r,+?t=(...<+х\.(256)
Групповая операция в X1, Yk, Zn (и X, У, Z) обозна-
чается здесь символом нулевой элемент и.
На ZnXZnXXl и У*Х2"Х-^г заданы вероятностные
меры Pt и Q'. Через Р* (z' | z, f) определяется вероят-
15* 227
ность получения z' при заданном г и J (состояние z и
входные буквы 5) в момент времени t. Таким же обра-
зом интерпретируются Р* (z' | z, о) и Р* (z' | о, f) или
О1 (Р-| Z, 5), Q‘(Plz, 0) И Q' (р I и, Г).
В приведенных выше предположениях система назы-
вается аддитивной, когда распределения вероятностей
Р‘ (z' | z, J) и 0* (р | z, у) обладают следующими свойства-
ми (рис. 83):
^(z'|z14-z8> yI + ft)=3P'(z|z1, fJP^z' —z|zs,
z
Q'(p|z,z„ y,4-yt) =
Mz»’ <26)
P.
От аддитивной системы требуется (на рис. 83 она обо-
значена в виде прямоугольника с символом), чтобы ее
включение в схемы а и б на рисунке приводило к тому,
что общая схема вела бы себя одинаковым образом по
отношению к входным и выходным последователь-
ностям.
riycTbJQ/^lz,, у,, z2, у2)—условная вероятность вы-
ходной буквы р общей схемы, Q* (у | z, 5) — соответствую-
щая условная вероятность системы ф и (рр ра | z,, 5j,
z2, tj — условная вероятность, соответствующая выходам
Pi и р2; тогда для схемы а получаем
Q'l^lzp zt, 5S) (p | z, —]—z2, J,-Hi, 0’ ») =
Q^PlZi + z,, У,-Hi)-
С другой стороны, для схемы б, где
Q^Plz., z,, ?s)=Q<1[(»’i. ₽i)G4|Zi, у,, z2, 5j =
== 2 Q • (Pi» Рг1 zt, 5i, Zj, 5i) ==
(p„ Ps)e^
= 2 51, z2, 5i)Q,i(pJZi, 51, z2, 52) =
(Pt» Pa)s-^
= 2 (p* I z«’ Qr ।z»’
(p„ pi)syl
228
= 20* 0.12.. — fj.
₽.
при учете того, что th и t)2 можно рассматривать как не-
зависимые величины.
Из обоих приведенных выше условий следует также
условие линейности.
То же самое относится и к Pf(z'|z, 1).
а) б)
Рис. 84. Линейная стохастическая система:
а — однородность, система I; б — однородность, система II.
Если X1, Yk, Zn обладают групповой структурой, то
система называется однородной при условии, что выпол-
няются соотношения (рис. 84)
Pr(z'\uz, и$) = Р' 1 z,
Q'(p|«z, wj)=Q'(4-|Z’ 0 (27)
и для векторов i, J и скаляра и определено скалярное
произведение (подразд. 1.1.2.5). Предполагается, что
u^U и U является множеством, отличным от X, Y и Z
и наделенным структурой поля.
Система называется однородной, когда обе схемы,
изображенные на рис. 84, ведут себя одинаково, т. е.
когда, с одной стороны, выполняется (схема а)
Q\ (р | z, f, ы)=Q* (р | и, ъ, иу),
а с другой стороны (схема б)
Q\ (Р | z, у, и)=Qza [(u, р.) G А | z, у, а] =| z, у],
где А—{(и, pj|ttp,=p},
229
откуда следует (27). То же самое справедливо и для
P((z'| z, Т).
4.1.З.2. Линейность. Из приведенных определений для
аддитивной системы непосредственно следует
Р* (z' | z, г)=2 Р* (z. I г,- р) Р* (z' — z, | о, ?) =
Zo
=Р‘ (z' I Z, и) 1^Р‘ (z' | 0, f),
(01 z, ?) = 2 Q'Д I z°) W -I»’ ?)=
p.
=Q (p | z, 0)>|<Q (p | 0,f). (28a)
Правая часть представляет собой сокращенную запись
операции суммирования. Аддитивная система, которая
одновременно является однородной, называется линей-
ной. Для линейной системы с учетом (26), (27) и
п __ I _
z=2 <28б>
V=1 V=1
где ev — базисные векторы, имеем
Р' (z'|z,0)=P' (z')2 ё/,0) =
Vc=l
=Pl (z' [etz\0) >|< P' (z' |~etz2, 0)4cP' (z' | et, z2, 0)^... =
п л f Zf I — \
=* p* H-K °)-
»Li \ 2 I J
n
Смысл символа >|< очевиден из сказанного 'выше. Соот-
Vs=l
ветственно имеем
k ± f » \
qz(p|z,0)==-x-Q/ (
v=l \ z /
4 П / / Z' I \
P<(z'|,>,5)=^y
/mi \
<2'(₽ I ».?)!=* Q'H- (28b)
Vssal \X j /
230
С помощью соотношений (28) описываются специфи-
ческие свойства вероятностей переходов и выходов
P‘(z'|zr) и Qz(p/z, i) линейных стохастических систем
с дискретным временем и счетно-бесконечными алфави-
тами.
Обозначим
\=Л(г', z,/); }—B(z', ?,f),
v=l \ Z I / v=l I /
(29)
* Qe(-?-Uv.i>1=C(p,z,0; * Q'f-Vkev
и с учетом (28) из (29) получаем еще более простую и
понятную запись
Р1 (z' I z, ?) = 2 A (z„, z,t)B (z' — z,, J, 0 =
zo
=A (zr, z, Q-X-B (z', j>, i),
Q‘ (P | z, f)=2C(p„ z, 0 D (p — p., ?, t) =
P.
==C(p,z,0*D(p,M). (30)
В случае инвариантных во времени систем отсутст-
вует зависимость от времени /; при этом вероятности пе-
реходов и выходов (30) описывают линейные вероятно-
стные автоматы, при условии, что алфавиты содержат по
большей мере счетное число букв (и обладают структу-
рой группы и поля).
4.1.1.3. Стохастические функции переходов и выходов.
Приведенные выше рассуждения можно написать в не-
сколько иной символике, которая со многих точек зрения
лучше согласуется с понятиями теории детерминирован-
ных систем.
С этой целью вводим^стохастическую функцию пере-
ходов (z, f) и стохастическую функцию выходов
gj(z, f) (сравните подразд. 4.1.1.3):
z'=z(/+i)=L[z (о,? юл
J)=р(0=^[z(0,? (0.Ф (31)
231
Эти соотношения, справедливые для любой стохастиче-
ской системы, означают следующее:
1) для каждой пары (z, r)eZnXXz, фиксированной
в момент времени t, становится в соответствие в момент
времени t +1 некоторое z'eZ” с некоторой определенной
вероятностью, зависящей от (z, г) и t (условная вероят-
ность)
(32а)
z' = f~(z,?, f) наступает в момент времени /+1 с ве"
роятностыо Р* (z'|z, ?), соответствующей моменту времени
t;
2) для каждой пары (z, r)^ZnXXl, фиксированной
в момент времени t, становится в соответствие в момент
времени t некоторое те У* с некоторой определенной ве-
роятностью, зависящей от z, г и t (условная вероят-
ность)
Q‘(z,f)~Q'<•!*,?); (326)
p=£~(z, т, t) наступает в момент времени t с вероят-
ностью Q*(v|z, г), соответствующей моменту времени t.
Таким образом, Р*(«|, z, i) является элементом множе-
ства вероятностных мер, зависящих от t и определенных
на Zn, a Q*( • |z, г)—элемент множества вероятност-
ных мер, определенных на Yk. В соответствии с (26) мы
будем называть систему аддитивной, когда X1, Y* и Zn
обладают групповой структурой, и справедливы следую-
щие соотношения:
Р=р (0[Z (О, D, fl+[о, ? (fl, fl. (33)
Система называется линейной, когда X1, Zn являют-
ся носителями (счетных) групп и с учетом (286) соот-
ношения (33) принимают вид
п __ I _
z'=z(f+l) = 3 LI^,0,flz’4-2 L[0,evflxv=
Vs=l У=1
==A(0.z(0+B(fl.?(0,
n _ I _
p=p(0=3
V=1 V=1
= C(flz(04-D(0f(fl. (34)
232
В этих соотношениях А(^) = ((Ф^(/))),... задаются с по-
мощью стохастических соответствий (/) =
(СР- с аналогичными соотношениями в подразд.
2.1.3.3). ’
Ниже мы рассматриваем аддитивные * системы на
основе системы уравнений (33) и доказываем эквива-
лентность описаний системы с помощью (28а) и (33).
Для описания отображений f (г, у, t) и g (z, у, t) Pt (z'|z,
f) и Q* (o|z, f) задаются с помощью P* (zjzo, о), P* (z2|o, j),
Q* (Oi|z, о) и Q* (o2|o, z), так что соответствующие стохастические
отображения f (z, о, t), f (о, у, t) g (z, о, t) и g (о, f, t) ха-
рактеризуются с помощью вероятностных мер.
Мы предполагаем (первое уравнение в (33)), что события
Z1 = (z, о, О И Z2 = (о, у, О
являются независимыми, так что совместная вероятность Р'(гь z2)
для (zb z2)eZ" х Z" задается как
Р' (z„ z2) = Р' (z.) Р' (z2) = Р f(z,jz, о) Р* (Z2|o,f).
Так как z' = Zi + z2i опять, как и в (26),
P(z')= 2 P'(Z,)P'(Z,) =
Zt+z^z'
=2/’/(z»|z. О)pt (z'{— z.lo, 5) = P'(z'|z, j),
Zo
т. e. из 1-го уравнения (33) следует 1-е уравнение (28а). И, об-
ратно*, с учетом (32) и (33) формально следует (28а), что может
.быть легко доказано.
Подобные рассуждения можно провести для 2-го
уравнения в (33) при условии, что выполняются соотно-
шения (28а),и наоборот.
Таким образом, доказана эквивалентность (30) и (34).
Из 1-го уравнения (34) следует, например, что. вероятности
о), т. е. вероятностные меры для стохастических отобра-
жений f [7V, о, /]=z'v. Когда z'v-zv==z'\ независимы, то выпол-
няется
Р (г' | z (0, о, 0= 2 Р' <z”*) Р' W -Р
2>"v=z'
233
При условии, что задано начальное состояние системы, получаем
(z" \ /'/"
LrVprfi.
Z* J ( z'
Р' (zny) = p^LjL z>
Тогда снова получаем
P(Z'|Z(O, о, о= 2J
У, z" =г’
о
о)...
(7,r I \ Л /?' I \
I / 1 vz I /
что' и требовалось доказать. Такие же рассуждения справедливы
и для остальных трех вероятностей и отображений из (34).
4.1.З.4. Классификация систем. Классификацию стоха-
стических систем целесообразно проводить по аналогии
с классификацией детерминированных систем:
1. Инвариантные во времени системы (вероятност-
ные автоматы). Функции переходов и выходов ?,/)и
g~ (z, f, t) не зависят от времени:
L=LM, (35)
2. Детерминированные системы со стохастическими
входными данными.
Стохастические [операторы] и g~ переходят в де-
терминированные операторы (отображения, соответствия)
fug:
z'=f(z, f, 0; при z' = f(z, у,0,
P=g(z.f.O; Q\(P.z>f)=Q<(z,f) при p=g(z,f,O. (36)
z,f и P случайные (элементарные) события в Z", X1 и Yk.
3. Стохастические системы с детерминированными
входными данными. Эти системы формально описывают-
ся соотношениями (31). В случае, когда, например,
Р‘(г((+1)) задаются более общим выражением
Р* [Z (#+!)]= 2 я [2 (Н-1) I z (0- 5 (0F* (0.5X0].
xez^&ii
эти системы описываются соотношениями
pqz(f+i)l= 2 **М+Di«(O.j(0]H*(0i?(0J.
zeZ"
W01= S Q4»(0l*(0.5(0]<W))|J(0L (37)
zsZ«
234
Перенесение данной классификации на линейные систе-
мы приводит к появлению следующих важных классов
систем.
4а. Линейные вероятностные автоматы, описываемые
основными уравнениями
z(f4-l) = A.z(0 + B.f(0,
p(0=C-z(0 + D-f(0. (38а)
А, В, С, D — матрицы, элементами которых являются
случайные события.
46. Линейные детерминированные системы со стоха-
стическими входными данными описываются следующи-
ми основными уравнениями:
z(f+l)=A(0z(0 + B(0.?(0,
p(f)=C(0-z(0 + D(0.?(0. (386)
А, В, С, D — детерминированные матрицы (их элементы
есть функции t).
4в. Линейные стохастические системы с детермини-
рованными входными данными описываются основными
уравнениями
z(/+l)=A(0-z(0+B(0?(0.
p(O=C(0-z(0 + D(0?(0. (38в)
Здесь z и 9 — случайные, а г — детерминированные со-
бытия.
4.1.3.5. Решение основных уравнений. Решение
основных уравнений для линейных вероятностных авто-
матов имеет такой же вид, как и для соответствующих
уравнений детерминированных автоматов. Из (38а) по-
лучаем (ср. с (3.74))
t—1
z (0 = Azz (0) + 2 А/-’~1 В? (v) (t е G, v е G),
V=jO
t—1
р (0 ЧСА'г (0) + 2 CAf—1 Bf (V) + Df (0 =
v=0
= CA'z (0)+2 H (t - v) J (v), (39)
v«0
235
где
H(s) =
JCA’-’B (s= 1,2,3,...),
( to (s = 0).
Укажем на связи между линейными системами с ди-
скретным временем и кругом вопросов, обычно рассма-
триваемых в статистической теории систем.
Для этого предположим, что компоненты векторов
г, 9 и z являются элементами множества G целых чисел.
Если речь идет о детерминированной инвариантной во
времени системе со стохастическими входными данными
(детерминированных автоматах со стохастическими
входными данными), то для математического ожидания
9 (подразд. 4.1.1.3) имеем
E[H*)]=C^(0)]+3 H(f-v)E[?(v)l
v=0
ИЛИ
(m »(0) =СЛ' (/n/0)) + 2 Н (t - v) (m^(v)), (4Qa)
v=0
где математическое ожидание определяется для каждой
компоненты соответствующего вектора. Для получения
корреляционной матрицы (подразд. 4.1.1.3) запишем
('обозначает транспонированную матрицу)
[/ 1
2 г(ч)Н'(*.—ч) +
7]я0 J
+ [2 Я(4-7|)?01)1[з Г(ч)Н'(^-ч)
L JL'irp’O
236
। и, взяв математическое ожидание этого выражения, по-
лучим
((s (t „ (,)) =СЛ'- (($ (О,0))) А'^С' +
У*У
J ((52^(0,т)))Я'(4-ч) +
7)=г0
+ 3 Н (ft - Т)) ((^, (71,0)))XGC+ '
। 7)=0
t + S 2 H (f> - i) ((S „ „ Ob 0))) H' (t, - 0), (406)
И *)=o e=o
где s , s , s и s
zV*zv z'W %H'ZV x^x*
обозначают корреляционные и взаимно-корреляционные
функции дискретных процессов <z>, <г> и <у>.
I С помощью (406) устанавливается взаимосвязь между
корреляционными функциями входных и выходных про-
цессов системы.
При z (0) = о = const это выражение упрощается:
I «V,- '))) =2 2 н <' - ’) °» н' ('. - ”=
| ^=0 0®жО
; =S (41а)
QwcO
. Здесь дополнительно проведена замена переменных.
। Если <i> стационарен, то с учетом
I SX1V (* —ЧЛ —6) = sxlv (^—I —^ + 0.0) =
= 5ху.хЛ*г— h — Т) + 0)
* при больших значениях t\ и t2 выходной процесс также
ведет себя асимптотически как стационарный процесс и,
I следовательно, в этом случае при t\—t2=x получаем
'.))) = №Л.(’))) =
00 оо
=s S (*-ч+е)))Я'(0)- (416)
\ ^=0 0=0
237
Этим выражениям, часто применяемым в линейной
статистической теории систем (т. е. в теории гауссовских
процессов или корреляционной теории), можно придать
Другую форму, если перейти к так называемому дискрет-
ному энергетическому спектру
*(г) = 2 s($z-' (42а)
. Т=-оо
с помощью z-преобразования (42а). При этом из (416)
и (42а) получаем
«V,.W»= 2 2 "(4(2
р=0 в=0 \ \ т=—оо
00 00 / +00 \ \
х («)=s 2 Н (,) I 2 W Н' (в) =
nj=O 9=0 \ \ т=—оо / /
=2 Н (т)) г"’’
ч-0
ЯН'(в)г*=
е=о
(*)))#'* (4-)-
Здесь H*(z), как и ранее, обозначает передаточную ма-
трицу в смысле z-преобразования
ooj 4~оо
/7*(г)==2Я^г“’1= >3
Т)=0 к]=г—оо
где
Н С’)) = 0 при т)<0.
4.2. Системы с непрерывным временем
4.2.1. ДИСКРЕТНЫЕ ПРОЦЕССЫ
4.2.1.1. Основные свойства. Перейдем к перенесению
ране© установленных взаимосвязей на стохастические
системы с непрерывным временем. Чтобы при этом
обобщении подчеркнуть, что системы с дискретным вре-
менем являются частным случаем систем с непрерывным
238
временем, заметим, что вместо (5а) соответственно мож-
но записать
Р[С(п) = 21|Г(т)=гв; Г(т) = ?в1 (/п +1) =
= ?! 0(п—1) = ?„-!-«] И. (43)
где теперь £(/) и 0(/) обозначают случайные процессы
с непрерывным временем t и алфавитами X—Y=Z=G.
При этом t,(t) более точно представляет собой вектор-
ный случайный процесс, т. е. вектор, координаты (ком-
поненты) которого являются случайными процессами:
С(О=(Г(О, С’(0,...»Сл(0), F(0=(T(0.12(0..... НО).
При этом получаем естественное обобщение выра-
жения для вероятности (43) (/n>^n-i>^n-2 >Л>^о)
P[W=^I?(Q=*.; o’(0=f,. v=o, i.......п-i].
(44а) ,
Так же очевидно, что вместо (56) можно записать
QKW=4l^.)=z.;‘0(Q=fv v=0, 1..........п-1].
(446)
При этом выходная величина т](/) также является слу-
чайным процессом с непрерывным временем.
Основные свойства (6) обеих вероятностных мер не-
которой стохастической системы обобщаются соответст-
ственно следующим образом:
pic(M=zpi..№=zm, (ё(о=а
r(f„)=z„, (в(/и)=?и), •••]=
=PjC(/p) = zp|r(Q = z„ W)=U1
(v=m, m-|-1, п — 1, n-f-1. . • •» р— 1,
Т=А Р+1» •••»?—О - (45а)
и так же, как в (45а), (ср. рис. 78 и (6))
QM₽)=M...J=QM^)=M^)=zn, (6(9=?h)1.
(456)
239
Теперь мы введем обозначения согласно (11)
P[C(Q=Z/|C(f.)=Zi, (Й|4) = ?1д)]=А/[5, t] (46а)
= • • •> ?r-i). < = (4> • • ; 4))
И
Qh(Q=P/|C(U=«i, (0(91= ‘1 (466)
и получим аналогично (12) из предыдущего
Рл\&М=%Рц\^ 4L (47а)
I
4ik t.tj =2 Pii к 41 <7/* [£. M• (476)
/
? снова обозначает объединение соседних вектор-
, ных слов; то же относится и к t,t2 = t (ср. разд. 4.1.2).
4.2.1.2. Вероятности переходов и выходов. Для полу-
чения дальнейших выводов из (47) можно воспользо-
ваться рассуждениями, которые приводились в разд. 4.1.2.
Введенные в нем вероятности переходов и выходов за-
писываются в следующем обобщенном виде:
P[^i) = Z/|^e)=Z;> 0-(q=?]s=A/(?, t9, Q, (48a)
Q h (4)=Р/1C"W=2/. "0 (4)=?1 (?. h, *>)> (486)
где в правой части уравнений используется упрощенная
запись. При этом соотношения (17) и (19) в рассматрива-
емом случае (f=2(f0.?r-i)> t=(4» • • •, 4))
приобретают вид
W. ‘I -2 2 • • 2 П л,ч, (fv '•«> (49>
ii h v=° —
и с учетом (476) и —(5....... ?<-,)> ?s=Sr-i, 4 =
= (4» • • • > 4 —i)
<7ий. = 4-1. 41- (50а)
/
При этом
г—2
Зл/Р.. ‘.1=222 П лЛ+Д,.
J 1г-г'и'а
240
Переходя к матричным обозначениям, получаем аналогич-
но (21)
%=п‘р...<,+,=Пр^'.) <51а>
v=0 v=-0
И
г—2 г—2
«... =П Р<..<.+Л_„<Г=П рй.<51б>
v=0 * v=0
где :
(52а)
Q(5. Q = «M’ /,+1))). (526)
В (49) pij(r, to, ti) обозначает, что следует из приве-
денных рассуждений, вероятность перехода из состояния
Zj в момент времени t—to в состояние z3- в момент вре-
мени t=t\, когда в момент to на вход системы подается
буква г Вероятность получения выходной буквы р в мо-
мент t=ti при условии, что система в момент времени
t=t0 находилась в состоянии z< и на ее вход в момент
t=to была подана буква I, обозначается в (50) как
quit, to, Л) (рис. 85).
4.2.2. НЕПРЕРЫВНЫЕ ПРОЦЕССЫ .
4.2.2.1. Основные уравнения. В качестве последнего
шага обобщения остается еще отказаться от ограниче-
ния, связанйого со счетностью алфавита G, и перейти
к алфавитам X=K=Z==R. При этом, например, в (44а)
вместо вероятности P[£(fn)=zi| ...] будем- иметь ве-
роятность P[?(/n),<zi| ...], которая является соответст-
венно условной функцией распределения. То же относит-
ся и к (446), поэтому теперь вместо (44) рассматриваем
функции распределения (ср. с’рис. 82,6)
PR6<z.l^.)=z., 0(Q = f„ v=0, 1, ..., /1—1] =
=F(zI|z„ у; 0 (53а)
и
QhW<pK(>Q=z., ё(О=?¥, v=o,- 1, ..., n-i]=
I
=G(p| z.. f; t) (t=(f., it, ..., tn)). (536)
16—619 241
Под С < z, естественно, понимается
С<г” (v = l, 2, п),
где Г иг’ — есть координаты векторов Г и z. Таким же
образом и/, (v=l, 2, .... п—1, п) объединяются
в „векторы* rut. Функции распределения (45а) и (456)
Рис. 85. Случайный процесс (одномерный):
а — дискретный процесс; б — непрерывный процесс.
остаются неизменными и в том случае, когда на процес-
сы Г(0 и Г(0 накладываются дополнительные условия вне
интервала [#,, т. е.
F(z, |..z,, Т„ ..t)=F(z, |z„ t.), (54а)
•••; t)=G(D|z„ t.), t.=
= (t.. Q, (546)
когда координаты f вектора t — t, так же, как и коор-
динаты векторов z, и ?s(s=/=0), не принадлежат интерва-
лу Q- В частности, при этом выполняется}
F(г^ | z„ j,; ti)==^*fa I z«» ?•» 51» *), (55a)
где
t==t,t, := (/,, • • •, tj) (ttt . •
?»?1==(?»» • • •» ?e-i) (?«» • •» 5n-i)»
(6(Q=5,; v=0, .... 1, C((,)=z„
CV^Z,, (556)
и далее
. fa. z„ ?1;:
11 ?I’ eFfa.f..zi,5a;t)
(56a)
242
где
^уДг^У,
и, кроме того, например, при
$г=(х\, .... ?. = (?„ fs, fs)
полагаем
д __ д5. . . д____ дп...
^У,^У2 • • • ’ "^7 дх*1 • • -дхпх
Из (56а) следует
f(za, z., z-„ ?7; t)=f(2»|«i. ??> Q^(z., z,?,; t)
(57)
или после интегрирования по z,
— — +°° — —
Т? (ze, z„ Уо, yt, t) — F (z2 z,, y2, tj) 8/* (zo, y#, zt,
—00
t) dzx. (58)
8' обозначает в последнем соотношении дифференцирова-
ние по z0, То и у,.
В (58) слева
8'F(z2, ze, у,; t) = F (z21 z„, y„, yt; t)-8'F(z0, y,; t) =
= F(Zj|z0, у; 1)-8Т(г„ у] t), (59)
где
?. = ? = ?.?. (60)
и далее в (57) и (58)
8F(z„, у“„ zv у,; t)=-^-8,F(z0, i„, z„ у,; t), (61)
где 8' тоже обозначает дифференцирование по z0, у, и у,.
Из последнего соотношения с учетом (54) следует
8F(z„ у„, zn у,; t;)==-^- F(z,]z., 'у.; t,)8T(z„^„-yI; t).
(62)
16* 243
(566)
(56в)
Принимая во внимание (59) и (61), из (58) окончатель-
но получим основное соотношение
4-оо —
^(z2|z0, t)= j F(zt\zu t,)F(Z11z,,
—OO
F.;t0)rfzv (63)
В (63) под J... dzt, естественно, понимается n-мерное
интегрирование по переменным z\, z\, ..., z'\ (z,=
= (z\, ..., zni). Таким же образом из (466) получаем
G(P|z., t)= J G(PI zn tjJL-F^z,, tjdz,.
~°° (64)
Соотношения (63), (64) являются основными уравне-
ниями в теории стохастических систем с непрерывным
временем и алфавитами мощности континуум X—Y=Z=
=R.
4.2.2.2. Плотности вероятности переходов^ и выходов.
В частном случае из (63) следует при r=rori=r'rn-i
и zn вместо z2 так же, как при подстановке zn_b вмес-
то Zi
f(zjzo, ? tn) =
+s° d
== J (ZnlZn-i> ^П-l’ О (^-1 I zo»5^’
(?=P^n-2)‘
Если заменить n на n—1, получим
^(Zn-l|ZO, £ ^n-2» tn-i) =
~ J I Zn-2» ^/1-2^ P (Z/l-2 I Zo f/l-2)^Zrt-2
(F" =?'%-,)• (65a)
Из обоих соотношений следует
^*(znlzo» 1’ ^) =
244
J ?л-1» ) dz^i F (Zrt-11 zn-a?n-8’ t") X
Xzz (^-.i | ze, tn»1) dz/l.1dzn.2,
^«-2
где
?'=?%_3, ? = Гл-2)=?(в), ? = ^_з)
и
F (^n - 2 I Z0 > £ f/l-8’ ^n-2)==
= Jf(z„_8|x„_3> n^F(Z„.l|Z#>r,t„_,)dZ„_,
(?"=?(IV,f„-4).
Если продолжать выкладки таким же образом, то, оче-
видно, получим (t„ = t, F'f„_1 = f7 i' = (tn-u Q и т. д.)
+оо +00 +оо
-±-F(zn\ze, ?; t)= J j... Jx
—00 —00 —00
XXI dzv (z* ।Zv—i’ i’ p tv) dzt... dzn^lt (656)
Ve=l
Если дополнительно ввести условные плотности вероят-
ности f (г, | Zy_„ ?у_р ^_р t) как
zl ZV
^(Z»IZV—Р ^>—1’ Р 7) = J ••• Jf(z»lzv— Р ?»—Р
*,_р (65в)
то вместо (656) можно записать
f(z«|z., ?; t) =
= J- Jn f(zjzy_p ?v_p QdZ1...,dZ„_,. (65r)
245
Такое же соотношение можно вывести из (64). Для J —
?гл-1 на основании выведенного соотношения
—
G(j>|ze, S'Sn-i> t«)= j^(Plzn-i> ?л-р О QZn t X
Х^7 (Zn-1 I Z»» ? » tn-l)dZn-l'
С учетом (65a) получим
4-00 +oo
G(p|z„l, t)= f fo^z,.,, О.яг-Х
J J loz« -1
—00 —00
uz,n-2
ИЛИ
g (P I Zo, t, )= J... j я(₽|2п-1» £л-1» ^/1-1» ^n) X
—oo —oo
n—1
XfJ Hzjzv_p t^v tjdz^.dz^ (66a)
v=»l
где через
P _
Jg (VI z.» t; t) rfp = G (p I z„ ?; t) (666)
вводится условная плотьость вероятности g (р | z„ г; t).
Плотности вероятностя-
ми |М; h, О и g(P|z0, 5; t„, t,) (67)
по аналогии с соответствующими вероятностями в слу-
чае дискретной системы называются плотностью вероят-
ности переходов и плотностью вероятности выходов.
f(zi|z0, г; /о, ^i)Azi определяет вероятность, с кото-
рой £ в момент времени^ попадает в интервал [zb Zi+
+ AzJ при условии, что £ в момент времени t принимает
значение z0 и 0 в момент времени t принимает значение
г (рис. 86).
Через g (р | z0, f; /0, Др обозначаем соответственно
вероятность, с которой выходной вектор-процесс р в мо-
мент времени tx попадает в интервал (р, Н-Др) при
246
условии, что в момент времени t0 имело место состоя-
ние z0 и на входе в момент времени /0 процесс в имел
значение т.
4.2.2.3. Линейные системы. Если в соответствии с толь-
ко что приведенной интерпретацией плотности вероят-
ности f положить
P^JGAzJz.,?; Z1) = f(z1|z„ г; tt, QAz.-f-e
(•—►О при Az, —о),
то, очевидно, естественным обобщением (26) будет адди-
тивная система, характеризуемая f, когда для плотности
Рис. 86. Случайный процесс (трехмерный):
а — изменение состояния; J — изменение входной величины.
вероятности переходов (приближение) выполняется
^-•Pp^GAzjz.+z'., ?+Г; /.]-
% 1 .У P[g(G)sAz,Jz.,g; tt, it]
• Az„ ''
Azu *
хРК(оед(ж1-«и)|«г г;
(A(z,—zp)={z|z=z1 —гц, z,GAz„ z^GAz^})
или
/(ж4|ж.+г'Л + Г; t„ f,) =
= р(ж|*.. ?; Q f («1—ж Iz'.. s';
Q */(«.!«'.» f'.; Q- (68a)
247
Такое же соотношение можно записать в этом случае
и для плотности вероятности выходов
+ у+у'; tt,
= Jg (»|г., у; tt, —y', t^d'o^
= g(l>lz.» ?; t„ Q*gty\z\, y'; t„ Q. (686)
Система будет называться однородной аналогично
(27), при условии, что
/(z.lwz., uy; 1 У, t„ t^,
g(P|«*.» иу, f#, ti)=4-g(-~ | У. ft, (69)
Система с непрерывным временем будет линейной, ког-
да она одновременно является аддитивной и однород-
ной. В этом, наиболее важном с точки зрения техниче-
ских приложений, случае из (68) и (69) вытекают сле-
дующие основные уравнения:
f(z'lz, у, t, t')=f(z'\z, a; t, fj*/(z'|a, У; t, f), (70a)
g (P | z, ,y t, f) =g (p I z, a; t, t') £ (p 10. ?; O.
где
f(z'|z, a; t, t’)= *t(^ e, a; t, t'\±.
VZ1* и J
g(»>IZ, 0 = 4 g(-^
(Л=з1 у z“
g(p|0, f; t, t') = * s(-4r
1Х=зз1 \
°’ <706)
Полученные для линейных систем соотношения можно
сформулировать в значительно более ясной форме, если
использовать соответствующие характеристические функ-
248
ции ф, ф (подразд. 4.1.1.2). Тогда вместо (70а) получим
? (Л. | z, j; t, Г) = <р(Д,, t, t') <f (Л | о, f; t, f) = <p,<ps,
ф(Л]г, ?; t, Г)=ф(я|г, и; i, ОФ(Л|о, ?; t, f)=M.
(71а)
и вместо (706)
&=?(ф. о; t, О=П * (^К» * *> П=>П
|*=1 lAssl
z; t, О = П V *> Г) = П ?2»
|Л«з 1 |JL» 1
Ф1=Ф(^|г, o; t, О=П * *> О=П
|Л»1 |l*l
|s==<p(f|0, z; t, Г) = П ф (^lo, t, O = n
|Хжв1 |Лв1
' (716)
При этом, например,
_ +ой
?(Л|г, f; t, t')= JZ(z'|z, j; t, t^e'^dz', (72a)
где
1==(Л„ Л.,..., Л„), z' = (z'*..г"*),
I z=(ZIz,1>..., Jt„z'n). (726)
Таким же образом определяются и остальные характери-
стические функции, например,
+ 00
т,=Т(Лг. »; t. О=^0+». »; t, f)x
п 4“00
х е' (V2'> dz’ = П J f | е^, 0-, t, f) е1 (bz'> dz' =
|Джз1 —00
=П?(Ь,1|^, 0, t, О=ПфГ (73)
|Х»1 |Х»1
249
Рассмотрим математическое ожидание.
Из (72а) следует
—00
и при Л—-о
+оо 4-00
Г- р<2".........................
dz'1...dz,n—E (С(f) [z, f, f]=mr (z, j; t, f). (74a)
Выражение (74)—математическое ожидание v-й перемен-
ной Г вектора состояний С=Г(Г) в момент времени t’
при условии C=z и 0=г в момент времени t.
То же самое справедливо и по отношению к производ-
ным характеристических функций типа'(73).
Отсюда с учетом (74) из (71а) и (716) следует
где
Из (71)
Следовательно, из предыдущего вытекает при Я,—-о с уче-
том дополнительно
1шкр(Л| ...)= 1, lim«p (1а| ...)= 1,
250
что
п I
«=1 $=!
П I
— S о; **tyi + S е®; **=
5==1 $=1
Поэтому в другой системе записи получаем эквивалент-
ное соотношение
п I
Е |С- (О IZ, г, (] = 2 г\, (/, Г) +2 «. П
5=»1 $шв1
(v = 1,2,п), (75а)
где
= (756)
Очевидно, что, например, avs(t,f) обозначает матема-
тическое ожидание v-й компоненты вектора состойний
С’ в момент времени f, когда в момент времени t s-я ком-
понента вектора состояний принимает значение С*= 1
при условии, что вход системы не возбужден. Такое же
выражение справедливо и для второго соотношения
в (71а)
п I
Eh’(f)|Z,?,f] =2 ZTvs(/,f) + 2 Х%(М'),
S=1 S=sl
(v= 1, 2,.... £), (75в)
где
8vs(/,f)=£h’(f)]1>,^,^. (75г)
Величины avs, pvs, yvs, 8VS являются постоянными пара-
метрами (характеристиками системы) линейной стоха-
стической системы с непрерывным временем и алфави-
тами мощности континуум X=y=Z_R.
251
Нам предстоит определить безусловные математичес.
кие ожидания С и ц. Из (70а) получаем при учете зави-
симости от f и z
f(z';f)= J J f (z'|z, v,t,t')f(z, (z'\t>,v,t,t')dzdi.
—OO —00
Для соответствующей характеристической функции снова
имеем
? (I, V) = Y +J f (Z, у; О ? (I I Z, о; t, t') <t (110, ?; t, t’) dzdt
—OO —00
и с учетом (71a)
________ +oo 4-00
Т,(2Л;0
и при A—*0
c 4-o° 4-00
—00 —00
+ J J f (z, j; t) dz, di.
—00 —00 ’ x-*0
Из полученных выше соотношений, в частности, из (74)
и (71а) следует
4-оо +00 п
В(С(О]=У ... у/(2;О2^тг(е„0,ЛГ)^*...&я+
—00 —00 $«»1
+ J . . у t(l,fj'2iJdstn^^,es,t,t')d^...dxt —
—00 —00 $=®1
п +00 +°0
=2 J ••• У ^f(z-,t)dz'...dzn +
S=sl —00 —00
+2 м*.п Y
S~1 —00 —00
252
Но
+00 4-00
J ... J (76a)
--00 —00
И
T---Tx7df=£ ies(z)i (766)
—OO —00
есть математические ожидания Cs (0 и 0's (t), так что окон-
чательно получаем
s=l s=l
(v=l,2, ...n)
или в матричной форме
Е [Г(Г)] =1 (t, V) Е [СО] +1 (Л П Е [О (0J,
(77а)
где в соответствии с (74) и (75) полагаем
а (#, Г) = ((а„ (/, Г))) J(t, П = ((?w (t, f))). (77b)
Аналогично получаем
E h (f')J=у (t, t') E [COI + W О E [0 (01, (776)
где у и 8 — соответственно матрицы, образованные из
элементов y,s и 8ss.
Таким же образом можно найти также моменты бо-
лее высокого порядка (например, корреляционные функ-
ции), но на этом мы не будем останавливаться по-
дробно.
Следует еще заметить, что из (77а) можно вывести
дифференциальное уравнение для математического
ожидания C(f).
Если записать (77а) в виде*
%*(И=2%Л’ГИе (0+2МИт|» ®
1» IX
и совершить предельный переход при t—то получим
(при предположениях, в которые мы не входим более
253
подробно, ср. с разд. 2.1.2)
^JL=Savral.+S₽’“-“.- и
И н
или с учетом (77в)
S,= C*St + D"X,. (79)
Таким образом, математическое ожидание случайных
процессов в линейной системе удовлетворяет той же си-
стеме уравнений, что и значения функций в случае де-
терминированных процессов. Эти уравнения являются
лишь частным случаем более общих зависимостей, кото-
рые можно записать для плотностей вероятностей.про-
извольной системы.
Введением именно таких зависимостей мы и хотим
закончить рассмотрение стохастических систем и уже не
возвращаться к таким важным зависимостям, как, на-
пример, представление соответствующее (34);
<gL=A(0-C(0+B(0-m
at
.^(0=с(оГ(0+ь (00(f) (80)
основных уравнений стохастической системы с непре-
рывным временем [6].
4.2.2.4. Функции интенсивности. Из (65г) непосредст-
венно следует при п=2
f (z21 z<* So» 4) = J f (zo I zi> ?i*> Q X
Х№1Ч»ШЖ
откуда
f (Z2> Z0’ ^0» ^2) == ) f (Zt> $1» ^0» ^1) X
+00
X J f (Z2 I Zl> ^1> ^2) f (Z1 I Z0> £0» Л) ^Z1
—00
254
или
+оо
f (z2 I M,)= J f (?11 d?«X
—OO
+ 0O
X J f (z2| z„ J,; tt, Z2) f (Zj | z„ f#; tt, /,) dzt. (81)
—OO
Далее мы записываем tz=ti+А/ и переходим к пределу
при М—И). Так же, как и в разд. 2.1.2, мы приходим
к дифференциальному уравнению для f (zi |z0, io; to, Л)-
Из (81) непосредственно следует
#(za> М —lim z°’ f (z2|z0, gt; ft, t,)_
dti bt-м №
ПО 4-00
fteil-)^i f f(z2|..)f(z2.|-)^z1 —
—GO —00
— f(z21Z., Q
(82)
По причинам, которые становятся ясными ниже, умно-
жаем (82) на произвольную функцию S(zz), на кото-
рую накладываются только следующие требования
(z2=(z,2, ...» z«2):
S (z2) = 0 при z’ < и z?> ft,,
^^=0 при z’==a„ и z;=6„ (83)
a=(a„.... a„), b = (6,...., 6„) (v=l, 2,..., n).
Отсюда следует]
ь
(sw^.=i
a
=2™4-| pteil-.)<tei JJf(z2|..)f(Z.|..)X
—00 —00 Cl
b 1
x S (z2) dz.dzt - p (z21..) S (z<) dzt . (84)
255
Не изменяя значения интеграла, мы производим в двой-
ном интеграле из (84) изменение порядка интегрирова-
ния по z( и z2 и после этого записываем
Ь Г+оо 6,
f Sdz^lim < f f (f, | ••)<*?. f f (z,1 zof,) X
J Af-*O > I J J ;
С учетом того, что
X
sjzj=s (za) + J - <) +
v«b1
+2£‘ш-гж-<)’
V |Д
где 2 S (••)(••)=Re обозначает остаточный член
» p
разложения, интеграл по z, в (85) записывается как
f f (zjz,, tt, /J)S(z,)dz,=S(zt) +
—OO ’♦
+E#+P(Z1|Z”f,; Zn
V=»l —OO
П П +00
y»l pL=l —00
+°0
X (s’ — za) — ss*) dz, + C f (z, ] zs, ft„ 4) Re dit. (8o) <
256
Для появляющегося в последнем выражении математи-
ческого ожидания (условного) мы полагаем
j... J f (z? I z„ f,; tt + ДО (г; — z’) dz\ ... cfe", =
(z2, ?I. о, до.
f..f/(zjz,, f,; 0. tt-]r^t)(z, — z,)(z^ — 2^)dz\...dzni =
J J Л £ 1 *
=m^(z2, 0. ДО (87)
и получаем после этого, как можно видеть из (85) и
(87), дополнительно переходя к пределу при At—>-0 (мы
предполагаем, что имеем право совершить этот предель-
ный переход под знаком интеграла)
Ь п Ь
J^S(zx)dzx=J]jf(zs|z0, 0. ОХ
a v«=l а
X-^rA(z2, z„ ?0; Qdz2 +
oz2
n n b
+4-j]EP(z‘,z” f’)x
V«=l |&nsl a
' <z” z” *•’ <88>
dz<pz§ и
В последнем соотношении будем полагать еще, что
A(z2> zo> ?о*> ^о» ^i)== J f (?i I х?о» ^i) (Z2^> ?i» ^i)
—00
J/(?l|2., ?0> ^«.О^р,(^2> ?1> О ^51»
(89а)
где а, и определены как
дт
а« (z»’ 0 = -^- Jf (г’ | z„ f,;
—ОО
/„ t' + ^fz' -^dS
25
17-Г-619
b* (Z„ f4, Л) = = lira ( (f (<» < I zt,
Д/->0 J
—oo —oo
л, /,+Л0(г;-г^«-2*)ЛХ- (896)
Кроме того, будем учитывать, что последнее слагаемое,
содержащее остаточный член Re, при Л/—И) стремится
к нулю, в предположении, что 6V|i существуют и, кроме
того, удовлетворяют известным свойствам непрерыв-
ности.
В результате из предположений (83) и правил инте-
грирования по частям для (88) имеем
ь
Г f (zs I z»» ?•» Q vv A/^zi =
J ^z2
a
b
J &z2
a
b
f’; *•’ tl}d^B^dzi==
a
b
= f If & Iz., t„ Q В ] S (z,) dz>. (90)
J dz^z^
a
Из (88) следует
Пп .
a7+E4[f(z,|z,,5,;
a v«l
n n 1
^ti/(z,|z- t,;',)SJ )S(zJdz-=°
«el pL=sl
или, так как S(zz) может быть выбрана произвольной
с точностью до выполнения условий (83),
|Z I..;,) а (2_! z_
* Sjdz?
258
ft й
^i)A(zi» z®> ?(P ^o> ^1)1 .~2~ "~Дул^Й~ № (Zg’ Zf’
V=1 Ц,= 1
$®’ ^1)^У|Д,(2*> Z®> ^®> ^1)1= O’ (91)
Таким образом, мы получили искомое дифференциаль-
ное уравнение для плотности вероятности переходов ди-
намической системы.
Однако в (91) Л, и не являются в прямом смы-
сле действительными характеристиками системы, таккак
в соответствии с (89а) в эти параметры входят также
свойства входных сигналов системы г. Истинные пара-
метры системы (или ее характеристики) тем не менее
определяются величинами av и b введенными в (896).
Их можно назвать функциями интенсивности изменения
состояния, так как из (896) следует, что они, как оче-
видно, являются мерой интенсивности, с которой состоя-
ние системы в момент времени t переходит в другое со-
стояние в момент времени t+dt.
Чтобы соотношение (91) имело место, изменение со-
стояния должно удовлетворять определенным условиям
непрерывности. В дополнение к (896) следует предполо-
жить, что для любого б>0 выполняется
li® "tz f f (^i | za, fn A/) dzt = 0
Д/->0 J
|Z1-Z2 |>5
и, кроме того,
lim J /(z’lz,, /, + 2W)(z; —?^)dz^ =
|Z1-Z2I^5
= MZ2, ?1. ^1).
IS W z^Zt’f,;
I 21— «2
12 У* —22
X(<—<)(<—< )^<=^(г2- t,).
В заключение следует отметить, что теперь становит-
ся понятной цель введения вспомогательной функции
17* 259
S(ze): с ее помощью становится возможным вводить ха-
рактеристики системы в виде математических ожиданий.
Дифференциальное уравнение (79) является не един-
ственно возможным. Можно показать, что также и
d/(z2|z0, io; /о» является линейной функцией част-
ных производных ОТ /(Z2IZ0, to; to, ti) no z’ и что обе
производные по временной переменной даже являются
линейными по функциям интенсивности а, и состоя-
ния и по соответственным образом определенным функ-
циям интенсивности входов.
Следует еще отметить, что в (81), как правило, мож-
но положить
f (?. К Q=f(?il?.; /,).
Т. Э. Кренкель
Дополнение
Решетчатые системы и связанные
с ними мультипликативные базисы
В книге Г. Вунша подробно рассматривается теория
линейных систем (как детерминированных, так и. стоха-
стических) с дискретным и непрерывным временем. Осо-
бенно подчеркивается роль, которую играют различные
алгебраические структуры и понятия (поля, кольца,
группы, изоморфизм) при описании линейных систем
с точки зрения пространства состояний.
Выходя за рамки круга вопросов, традиционного для
теории систем, автор книги уделил большое место прин-
ципиально новому моменту — понятию системы с про-
странственной структурой, которое описывается в разде-
ле 3.3.4 (случай дискретного времени) и в разделе 3.4.2
(случай непрерывного времени) в терминах простран-
ства состояний Z, пространства входных X и выходных У
сигналов, которые в этом случае являются функциями
одной или нескольких пространственных переменных.
Такое нововведение вполне своевременно, поскольку
в последнее время в связи с созданием современных си-
стем передачи, обработки и хранения информации зна-
чительное внимание уделяется цифровой обработке мно-
гомерных массивов данных. К этому кругу вопросов
относится цифровая обработка изображений и цифровая
голография, задачи, связанные с цифровым телевидением
И телефонией, построение каскадных кодов, обработка
метеоданных и геофизической информации, получаемой
со спутников или с групп датчиков, задачи, относящиеся
к обобщенному спектральному анализу сигналов на ко-
нечных интервалах [1] и связанные с ними задачи син-
теза дискретных устройств [2] и т. п.
В связи с указанным кругом задач особое значение
приобретают системы с дискретной пространственной и
временной структурой — решетчатые системы.
261
Учитывая все эти обстоятельства, в настоящем до-
полнении развиваются некоторые принципиальные поло-
жения общей теории цифровой обработки многомерны^
массивов данных (теории решетчатых систем), связан-
ные с применением привычного для многих инженеров
спектрального подхода в частном случае линейных ре-
шетчатых систем, заданных на периодической простран-
ственной решетке. При этом оставляют в стороне во-
просы пространственной и временной дискретизации и
многомерный цифровой массив рассматривается как за-
данный.
Предположение о конечности числа узлов простран-
ственной решетки может быть обосновано практически-
ми соображениями, связанными с обработкой многомер-
ных массивов данных на цифровой технике.
Решетчатые системы, применяемые при обработке
многомерных массивов, могут быть как стационарными
(например, при обработке неподвижного изображения),
когда обработка ведется только по пространственным
координатам, так и нестационарными (решетчатыми си-
стемами эволюционного типа или сводящимися к ним),
когда в процессе обработки непосредственно участвует
и временная переменная. В дальнейшем предполагается,
что в случае эволюционных решетчатых систем измене-
ние состояния происходит синхронно во всех узлах ре-
шетки.
Решетчатая система в широком смысле слова с ди-
скретным временем описывается локальными основными
уравнениями, приведенными в подразделе 3.3.4.1. (см.
формулу (111а)).
Под решетчатой системой в узком смысле слова по-
нимается система с дискретным временем, наделенная
пространственной структурой, уравнение состояния ко-
торой задается в следующем виде (см. подразд. 1.2.2.2):
z(r, /+l) = f[<z(r.)>(0, <х(г1)>(0, г,/], (1)
где feG, FosGn и rieGn являются узлами одномерной
(п=1), плоской (п—2) или пространственной решетки
(я=3).
Функция переходов f выражает состояние z^K(K —
некоторое поле) узла решетки г в момент времени fi+1
через состояние этого узла решетки и его непосредствен-
ных соседей в предыдущий момент времени.
262
Таким образом, решетчатая система описывается
тройкой <Х, Z, f>, где функция выходов совпадает
с функцией переходов, а выходной алфавит — с множе-
ством состояний.
Такое определение решетчатой системы полностью
включает в себя понятие разностных схем, применяемых
при решении задач математической физики методом се-
ток (решеток) [3, 4].
Особый интерес представляет класс линейных решет-
чатых систем с постоянными коэффициентами (не зави-
сящими от времени), уравнение состояния которых име-
ет вид (см. 129а)
г(г, /4-1)= a(r')z(r — г', /)4"
r'eG"
4- 3 *(г")лг(г —г", t). (2)
г"еб"
• —
Линейные решетчатые системы описываются уравне-
ниями в обычных разностях (при п=1) или уравнения-
ми в частных разностях (при п^>2) по пространствен-
ным переменным.
В случае линейных решетчатых систем с постоянны-
ми коэффициентами особенно удобно применить частот-
ный подход (метод Фурье), так как набор основных ре-
шений состоит из показательных функций.
Линейная решетчатая система называется инва-
риантной относительно группы переносов (трансляций),
носителем которой является сама решетка, если опера-
торы этой системы А и В коммутируют с оператором
трансляции Тг, т. е.
АТт=ТтА, ВТт=ТхВ. (3)
Задача нахождения состояния линейной решетчатой
системы в момент времени /+1 с помощью метода
Фурье становится особенно выгодной с точки зрения зна-
чительного сокращения объема используемой информа-
ции, а иногда и количества арифметических операций, ко-
гда сама система задается по n-мерной периодической
целочисленной пространственной решетке, которая имеет
в каждом из направлений т» узлов. Периодичность сво-
дится к тому, что функции, заданные на решетке (решет-
чатые функции), принимают одинаковые значения
265
в узлах, сравнимых по системе модулей {m)={mod Ш\,
mod т2,..mod тп}. Обозначим определенную таким
образом решетку через Gn>N, где Л(—/И1-т2- ... -тп.
Выберем на n-мерной решетке систему базисных векто-
ров {v,}, тогда любому параллельному переносу, совме-
щающему n-мерную периодическую решетку с собой, бу-
дет отвечать перемещение начала координат (0, 0, ..., 0)
в некоторый узел с целочисленными координатами (л,
г2, •••, Гп)- Иными словами, любой перенос можно опи-
сать вектором
r=^v14-r2v2 + ...4-rRvn> (4)
0<rf<w..
Совокупность таких .векторов совместно с операцией
сложения вектора образует группу трансляций. Легко
убедиться, что в случае n-мерной периодической решет-
ки группа трансляций конечна.и является абелевой. Из
теории групп известно, что любая конечная абелева
группа является прямой суммой циклических групп.
В случае n-мерной периодической решетки это утвержг
дение приобретает физическую наглядность, так как по-
рядки циклических групп совпадают с числом узлов ре-
шетки т,г в i-м направлении.
Любая трансляция на вектор может быть задана со-
ответствующим оператором трансляции
---Л='г?+'г?+-'??. (5)
где Ri— оператор единичного циклического правого
сдвига в i-м направлении.
Оператор Ri сдвигает числовой массив, заданный на
решетке на один слой вправо циклически, т. е. крайний
правый слой массива после сдвига попадает на место
первого, первый слой попадает на место второго и т. д.
Очевидно, что соответствующие операторы левого цик-
лического сдвига Ц связаны с операторами правого
сдвига следующими соотношениями:
(6)
Rt‘ обозначает ггкратное применение соответствующего
оператора сдвига, и очевидно, что для пчиерной перио-
Дйческой решёткй
L^i=/?^=£, (7)
где Е — тождественное преобразование. .
Введем понятие оператора пространственной частной
разности как
Di=Ri-E. (8)
Соответственно двукратное применение оператора Di
может быть записано в виде оператора
D^R^Ri+E. (9)
Принято записывать выражение для второй (и выше)
пространственной частной разности в симметричном виде
LiD2i=*Ri—2E+Li. (10)
Проиллюстрируем введенные выше понятия на при-
мере числового массива Z(r), заданного на решетке раз-
мерности 4X4, узлы которой пронумерованы так, как
показано ниже
37 11 15
26 10 14
1 5 9 13
0 4 8 12.
Воздействие на этот массив, скажем, оператора транс-
ляции Tio=^R2i+R22 сводится к циклическому сдвигу
исходного массива на два слоя вправо и на два Слоя
вверх, в результате получаем перемешанный исходный
массив в виде
9 13 15
8 12 0 4
11 15 3 7
10 14 2 6.
Приведем еще один пример воздействия на этот мас-
сив другого линейного оператора—разностного аналога
оператора Лацласа > который в терми-
нах введенных выше операторов сдвига и частных раз-
ностей с учетом периодических граничных условий мо-
265
>кет быть запйсан в СиМметричйом виде как
L,D\ 4- L2D\ =Lt-4E+Rt. (11)
l.
Сам оператор может быть записан в виде числового
массива
10 0 0
0 0 0 0
10 0 0
—4 1 0 1,
где числа обозначают уже не номера узлов, а указы-
вают на то, что следует совершить трансляцию исход-
ного массива на соответствующий вектор и умножить
полученный массив на число, стоящее в данном узле
оператора.
Из сказанного выше следует, что любая линейная
решетчатая система с постоянными коэффициентами,
заданная на л-мерной периодической решетке, пол- >
ностью описывается двумя операторами n-мерной цик-
лической свертки
Л= 3 а(г), В= 3 6 (г),
rsO"'N ге/У,,/1 |
а ее уравнение состояния имеетГвид ]
г(г, *+!)= 3 а(г')-г(г-г\Ю;+
г'еО"’N j
+ 3 b(r")-x(r — r”, f). (12> I
r”sG"’N
Рассмотрим формулу полной реакции линейной ре-
шетчатой системы (см. подразд. 3.3.1.4 (74а)). Эта фор-
мула может быть получена рекуррентно и имеет внешне
такой же вид, что и для систем без пространственной
структуры (л=0). Предположим, что
Ь(г)=О, reGn>w, но &(0)=1, ___
266
J
при этом уравнение состояния упрощается и принимает
вид
г(г,/-(-])= а(г')-2(г — г', 0-f-x(r, О» (13)
r'&3n‘N
а формула полной реакции решетчатой системы записы-
вается как
t
z(r, ^4-1)=Л/+’ г(г, 0)+2^-’^(г, *)• 04)
VmO
Эта формула показывает, что состояние решетчатой си-
стемы в момент времени <й+1 складывается из двух со-
ставляющих: свободного движения
Z(r, /+1)|своб=А*+1-2(г, 0), (15)
получаемого при х(г, 0=0 для всех ^0, и вынужден-
ного движения
Z(Г, f+l)|B»=S^-’.x(r, V), (16)
V-=0
получаемого при z(r, 0)=0. Для любого заданного вход-
ного массива x(r, 0 (/=0, 1, 2,и заданного началь-
ного состояния z(r, 0) эти составляющие могут быть
вычислены отдельно, а затем просуммированы.
Суть спектрального подхода к нахождению состояния
линейной решетчатой системы заключается в переходе
от многомерной циклической свертки к поточечному
умножению пространственных спектров соответствую-
щих числовых массивов, что возможно в соответствии
с теоремой о свертке, и обратном переходе из частотной
области в пространственную. При этом достигается опре-
деленное сокращение количества арифметических опера-
ций, что связано с заменой операции многомерной сверт-
ки массивов операцией прямого и обратного дискретного
преобразования Фурье на n-мерной решетке, осущест-
вляемого с помощью алгоритма быстрого преобразова-
ния Фурье (БПФ) [5, 6].
Обобщение дискретного преобразования Фурье на
случай n-мерной периодической решетки (n-мерный ко-
нечный ряд Фурье) получается следующим образом.
В пространстве пространственных частот выберем си-
стему базисных векторов {и,}, которые задают обратную
267
n-мерную периодическую решетку. Любой вектор обрат-
ной решетки может быть записан в виде
к=^и> + ^и*+- + ^яия, (17)
Орты прямой нием и обратной' решетки связаны соотношё-
При введенных обозначениях пространственные гармоники
имеют вид
{е-Ш-г;
где
к'г=2’(^
k2r2
т2
faп \
и соответственно формула для полной реакции линейной
решетчатой системы с использованием преобразования
Фурье принимает вид
а(г).е-,к-гУ+1
X£x(r, v) e 1кг
Г
где Л — пространственный спектр оператора свертки;
z (к, 0)—пространственный спектр состояния системы
в момент времени 0; Jf(k, v) — пространственный спектр
входного массива.
Полученная формула совпадает по внешнему виду
и по смыслу с такой же формулой, для^ состояния линей-
268
ной дискретной системы без пространственной структу-
ры (и=0) [7, 8].
Практическая реализация многомерного дискретного
преобразования Фурье на ЭВМ связана с определенны-
ми вычислительными трудностями, в основе которых ле-
жит то обстоятельство, что при этом мы оперируем мно-
гомерными массивами данных, а память ЭВМ и сами
вычисления проводятся последовательно (число за чис-
лом) .
В некоторых случаях оказывается более практичным
подход, использующий «вытягивание» многомерного
массива данных в цепочку, при этом в некотором смыс-
ле упрощается программирование (вследствие перехода
от многомерного преобразования Фурье к одномерному),
но теряется физическая наглядность, связанная с интер-
претацией пространственных частот.
В первом случае мы негласно используем понятия
тензорных преобразований, тогда как при работе с одно-
мерным массивом, полученным из многомерного, мы по-
лучаем возможность применить гораздо более нагляд-
ный матричный аппарат.
Во втором случае мы фактически переопределяем ли-
нейную решетчатую систему на одномерную решетку, но
при этом, естественно, изменяется понятие сдвига, опе-
ратора свертки и базиса ортонормированных функций.
Метод решетчатых систем, переопределенных на
одномерную решетку, широко используется при решении
уравнений в частных разностях с постоянными коэффи-
циентами и известен под названием метода «тензорных
произведений» [9]. Этот же метод может быть реализо-
ван и аппаратурно с помощью так называемых {mJ-це-
пей [1].
Для получения уравнения состояния линейной ре-
шетчатой системы, переопределенной на одномерную ре-
шетку, и последующего получения формулы ее полной
реакции и описания спектрального подхода к определе-
нию состояния решетчатой системы в момент времени
/+'! необходимо ввести новое понятие полициклического
сдвига на одномерной решетке [10], понятие оператора
полициклической свертки и заменить систему простран-
г —ik-n
ственных гармоник {е .} на ортонормированную
мультипликативную систему функций Виленкина — Кре-
стенсона (ВКФ) [1].
Система дискретных функций Виленкина — Крестен-
269-
сона представляет собой систему «элементарных гармо-
ник» на одномерной решетке и определяется типом сдви-
га на ней (функции Виленкина — Крестенсона являются
собственными функциями оператора полициклического
сдвига),
Каждому узлу решетки reG">x можно поставить во
взаимооднозначное соответствие /г-мерный кодовый
вектор
GnNBr<—>(rt, rt,, гпУ=г E^N.
Множество я-мерных кодовых векторов W совместно
с операцией поразрядного сложения по модулю т, обра-
зует конечную абелеву группу типа {т\, т2, ..., тп).
Операция сложения двух n-мерных кодовых векторов г
и г' обозначается как гфг'.
{т}
Легко проверить, что в указанном выше множестве
я-мерных, кодовых векторов N с операцией поразрядного
сложения по модулю т,- выполняются все аксиомы абе-
левой группы.
1-Сложение двух я-мерных кодовых векторов г и
г'е/V дает третий я-мерный кодовый вектор г", принад-
лежащий этому же множеству.
2. Операция поразрядного сложения по модулю яг(- ас-
социативна: (г ф г') ф г" = г ф (г' ф г").
3. Роль нулевого элемента группы играет нуль-вектор
гфО —Офг = г.
4. Для каждого вектора в множестве Af определен
обратный вектор г-1 = — г, так как гфг=0.
5. Сложение векторов г и г' коммутативно, т. е.
г@г' = г' фг.
Группа трансляций типа (mi, т2, ..., /пп) и соответ-
ствующая группа n-мерных кодовых векторов изоморф-
ны с точностью до порядка следования. Установим вза-
имооднозначное соответствие между элементами этих
групп с помощью некоторого регулярного процесса вы-
тягивания многомерной решетки Gn,N в одномерную
решетку N (этот процесс эквивалентен развертке мно-
гомерной решетки, которая начинается из нулевого узла
и на каждом шаге дает переход к одному из соседних
узлов решетки). Назовем этот процесс конкатенацией,
а обратный ему процесс (переход от одномерной решет-
ки N к многомерной решетке G N) деконкатенацией,
причем множество двумерных кодовых векторов упоря-
270
Дочейо лексикографически
тенация).
(лексикографическая койка-
3 3 3 11 15
2 2 6 10114
1 1 5 9 13
0 0 4 8 12
конкатенация
0 12 3
0
1
2
3
4
5
6
7
8
-> V2
00
01
02
03
10
11
12
13
20
31 I
32
33]
--------------1\Г*
деконкатенация
Введем понятие полициклического сдвига. Для этого
сначала рассмотрим тгмерное векторное пространство
Vi над полем С и зададим в нем стандартный базис
£ (П)— (^ОГ/^ОГ/ ••• •••
где
о
*г. г
r lri
при
При Г^=Гр
Оператор циклического правого сдвига в пространст-
ве Vi в стандартном базисе можно представить в ма-
тричном виде
(0 о ... 0 1\ rt
1 о ... о о\
о 1 ... о о I ,
о о ’ ’ ’ ’ Г о/
где Ri — матрица пцХпц, соответствующая единичному
циклическому правому сдвигу. Соответственно оператор
циклического сдвига Lii в матричном виде записывает-
ся как
0 1 0
0 о 1
ооо
j о о
(21)
271
. Определим оператор частичного правого полицикли-
ческого сдвига по разряду rt как
r't... 0)z(rt ... rt... r„) =
= z|rt, .... Гг — r't (mod/nJ, ..., r„], (22)
где z (r) — функция, заданная на одномерной решетке.
Оператор правого полициклического сдвига по всем
разрядам обозначается как 7? (r'i r'n) • Этот опе-
ратор действует на функцию z(r):
R(r\ ... ... r'n)z(rtrt... rt ... r„) = z(r©r') =
==z[G—r'^modm,), rt — r’t(modmj,..., rn—r'„(modm„)],
(23)
где © обозначает поразрядное вычитание по системе
модулей {т}. ,
Оператор частичного правого полициклического сдви-
га по разряду ri в стандартном базисе имеет вид
R(0 ... г, ... O)=E10£,0...0^0...0E„, (24)
а оператор полицклического сдвига
R(rt... rt,.. г„)=/??0^0 ...0<г0...0<".
(25)
где Ei — единичная матрица пцХпи; Rr*—оператор
циклического правого сдвига в пространстве 0 —
обозначение прямого (кронекерова или тензорного) про-
изведения матриц, например,
Таким образом, все операторы правых полициклических
сдвигов в стандартном базисе имеют вид матриц пере-
становки, т. е. матриц, имеющих в каждом столбце и
строке только одну единицу.
Рассмотрим, какие же функции Д(г) можно считать
элементарными гармониками на одномерной решетке N.
По аналогии с рядами Фурье следует исходить из опре-
272
ДеляюЩего уравнения элементарных гармоник
Я (г\ ... r't... r'n) fk (г)=X (Л. г') fk (г), (26)
где %(ik, г')—комплексное число, по модулю равное 1.
Следовательно, функции fk(r) инвариантны относитель-
но полициклического сдвига.
Из линейной алгебры известно, что для оператора
R (Г1... г,-..-. гп) можно найти N таких функций fh(r), ко-
торые называются собственными векторами оператора
полициклического сдвига, а числа % (Л, г') —собственны-
ми числами этого оператора.
Матрица циклического правого сдвига
стве V{ имеет собственные векторы f
R?
(гр
к1 ’
в простран-
которые яв-
ляются столбцами матрицы
-2 (т,—1)
sl ‘
\ .
.(27)
1
—(т.-1) —2(^—1) —(mz—1) (m.— 1)
1 ei ei • • * 8i
и собственные числа
. 2ic
X(Aorz) = e mi ‘Г^^.
Матрицу циклического сдвига можно привести к диаго-
нальному виду
W7‘/?pIFi = diag[(lM\ ... * )% (28)
где diag(...) — обозначение диагональной матрицы; IF"1—
матрица, обратная IF/=p==[X*(^/, г,)]. Через [X (kt, г»)]=
V пц
= [W~lRr(llFzp обозначим вектор-столбец, соответствую-
щий данной диагональной матрице.
Для оператора полициклического сдвига приведение
к диагональному виду проводится с помощью матрицы
IF=lFi 0IF20.. .0 Wn, где Wi — матрица вида IF,
соответствующая сдвигу по разряду г2.
18—619 273
Запишем вектор-столёец (%(£, r)j при r=const, k=
=0, 1, 2,..., N—1 с учетом свойства прямого произве-
дения матриц
(Л®В) (C®D) = 4C®BD
и представления оператора полициклического сдвига
т —1 v г .
%" ) "]}'=
®diag[(ls„s‘„
Л
е z=i
(29)
Любую функцию, принадлежащую базису ВКФ, мож-
но представить в виде произведения более простых функ-
ций— обобщенных функций Радемахера. Обобщенную
функцию Радемахера Radi можно определить через опе-
ратор частичного полициклического сдвига по разря-
ду
Radi = {E,®...®diag[(l«zs\ ... ...®Еп)‘ =
= [X(fc,0... 1,... 0)]. (30)
Из (29) и (30) очевидно, что
« .
[X (Л, г)] = JJ (Radz) 1. (31)
Собственные значения операторов полициклического
сдвига можно записать в виде матрицы
1Г-* = р==[Х(^ г)] при г,Л=0, 1,
Строки матрицы W~l образуют систему дискретных
функций ВКФ, являющуюся мультипликативной орто-
нормированной системой функций, определенных на
одномерной решетке N, и обладающую свойствами:
1) вместе с функциями х(Л, г) и %(k', г) система со-
держит и их произведение r)=%(k, г) 'x(k', г), где
274
2) вместе с каждой функцией %(&, г) система содер-
жит и функцию
Х(А',г)==г1-г = Х*(Л,г)> где А'фй=0;
3) выполняются два соотношения ортогональности
N—1
W-‘ = 4-5j ^(^'•)X(^,r)=8Jtt,;
r=tO
N-l
*<*’r)x*<*’ и=м
Л=0
4) | % (Л, г) |=1 при любых £ и г.
Любую решетчатую функцию z, заданную на одно-
мерной решетке N, можно разложить на гармоники
в базисе ВКФ, который определяет пару преобразо-
ваний
N—1
z=Wz = ^=y\z(r)7^(k,r}-,
S> (32)
N—\
z=W-^^=^z(r)7{k,r).
£=0
Из сказанного выше следует, что любая линейная
решетчатая система с постоянными коэффициентами, пе-
реопределенная с n-мерной периодической решетки на
одномерную решетку 7V, полностью описывается двумя
операторами полициклической свертки
л=2 а(г), в=2 б(г),
r^N rg=N
которые в стандартном базисе имеют вид полицикличе-
ских матриц, собственными векторами которых являют-
ся функции ВКФ.
Примером полициклической матрицы для числового
массива 4X4 может служить запись разностного анало-
га оператора Лапласа
18* 275
—4101 1—4 1 0 0 1—4 1 1 0 1-4 Е 0 Е
Е —4101 1—4 1 0 0 1—4 1 1 0 1—4 Е 0
0 Е —4101 1—4 1 0 0 1—4 1 1 0 1—4 Е
Е 0 Е —4101 1—4 1 0 0 1—4 1 1 0 1—4
Как видно из этого примера, в данной полициклической
матрице, кроме циклического сдвига по строкам в каж-
дой подматрице, происходит также одновременно цик-
лический сдвиг и самих подматриц.
Уравнение состояния линейной решетчатой системы,
переопределенной на одномерную решетку, имеет вид
г (г, 14- 1) = 3 а (г')• z (г @ г', 0 + S b (r”)-x(rQ г", t)
(33)
и в случае &(/•)= 0, r&N, &(0) = 1 упрощается к виду
г(г, 3 a(r')-z(rQr',f)-[-x(r,t). (34)
r'^N
При этом формула полной реакции решетчатой системы
записывается как
t
z(r,t-\- \)—'At+'-z(r, 0) +2 Л'-’.х^), (35)
v=0
где A — полициклическая матрица, и соответственно
формула для полной реакции линейной решетчатой си-
стемы с использованием преобразования Фурье в бази-
се ВКФ принимает вид _
276
Ar, '^(O •**(*. г)?*'
%
(r, 0) • Z*(&, r)-|-
¥wO T T
ХХ(к,г)^
2 A*+I •?(£, 0) 4- 2 Л'-’.л (k, v) I x
* *• »»o J
XX (k, r). (36)
Обратный переход к многомерному массиву после
спектрального анализа в базисе ВКФ может быть совер-
шен с помощью операции деконкатенации. Как мы ви-
дим, формулы (19) и (36) практически ничем не отли-
чаются, но в первой из них спектральный анализ прово-
дился с помощью пространственных комплексных экспо-
ненциальных гармоник на n-мерной решетке, во вто-
рой— на одномерной решетке с помощью вытянутых
«в цепочку» пространственных гармоник — функций
ВКФ.
Мы рассмотрели два возможных пути реализации
спектрального анализа решетчатых систем специального
вида (линейных, с постоянными во времени коэффициен-
тами, с периодическими граничными условиями, опреде-
ленными над полем комплексных чисел С). Очевидно,
что отказ от одного или нескольких указанных предпо-
ложений (возможно, в различных сочетаниях) приводит
I рассмотрению совершенно иных подклассов решетча-
тых систем, в которых спектральный анализ может
играть уже подчиненную роль или вовсе сводится на
нет, а на первый план выдвигаются совершенно иные
понятия и методы исследования.
Например, отказ от линейности, периодических гра-
ничных условий и ограничение состояний в каждом узле
(клетке) в конечном итоге приводит к понятию клеточ-
ного автомата и соответственно к задачам самовоспро-
изведения автоматов, а задание в каждом узле некото-
рого информационного множества и наделения его струк-
турой алгоритмической алгебры [11] приводит к понятию
однородной вычислительной системы.
277
Наконец, отказ от детерминированного характера
функции переходов f приводит к понятию стохастиче-
ских решетчатых систем и стохастических клеточных
автоматов,
В связи ео сказанным выше вряд ли имеет смысл
строго очерчивать возможные области применения ре-
шетчатых систем, так как спектр этих применений слиш-
ком велик.
Более точно обрисовать возможности применения ре-
шетчатых систем можно путем ограничения их классом
линейных систем, в которых выполняется теорема
о свертке (решетчатые системы сверточного типа) и,
следовательно, возможен гармонический анализ и синтез
по полным, ортогональным и мультипликативным бази-
сам, адекватным этим системам.
Например, известно, что в случае линейной решетча-
той системы с периодической пространственной структу-
рой, определенной над конечным полем GF(p) (полем
Галуа), система ортонормированных мультипликатив-
ных функций (в данном случае это функции Виленки-
на—Крестенсона—Галуа (ВКГ)) является полной толь-
ко при условии, что характеристика поля не делит по-
казатель группы трансляций <7=Н0К[ть ..., mn] [12,
13J. Теоретико-числовые преобразования [14] также
обладают мультипликативными базисами (ТЧП), одна-
ко только в смысле условий 1 и 3 (с. 274, 275), что
достаточно для сверточных систем. Естественно задать
вопрос: существуют ли мультипликативные базисы
(в определенном выше смысле), отличные от ВКФ, ВКГ
и ТЧП?
Отказ от мультипликативности или (и) ортогональ-
ности приводит к существенному расширению номенкла-
туры базисов; например, известны базисы, не обладаю-
щие свойством мультипликативности (базис ^-функций
[15], базис функций Хаара). Условие мультипликатив-
ности базисных функций является достаточным, но не
необходимым условием справедливости теоремы
о свертке.
С другой стороны, с каждым базисом связывается
определенный оператор сдвига и соответственно опера-
тор свертки линейной системы. Поэтому правомерны
вопросы: какие операторы сдвига соответствуют немуль-
типликативным базисам и какой вид принимают соот-
ветствующие операторы свертки?. В случае мультипли-
278
кйтйвных базисов (ВКФ и ВКГ) им соответствует полй-
циклический оператор сдвига, а операторы свертки име-
ют вид полициклических матриц над полем комплексных
чисел С или над конечным полем GF(p) соответст-
венно.
До сих пор не существует общего алгоритма нахож-
дения факторизации произвольных матриц, поэтому по-
явление каждого нового базиса дискретного преобразо-
вания ставит вопрос о нахождении (о существовании)
алгоритма типа БПФ для спектрального анализа с ис-
пользованием этого базиса (как было, например, в слу-
чае базиса ф-функций [15]).
Наконец, при переходе от многомерных массивов
к одномерным возникает вопрос о числе регулярных кон-
катенаций (способов обхода пространственной решетки
при фиксированной ориентации решетки и начале обхо-
да из нулевого узла), что связано с упорядочением ко-
довых векторов; это в свою очередь приводит к различ-
ным упорядочениям базисных функций, к различным
факторизациям матриц дискретных преобразований и
в конечном счете связано с выбором оптимального алго-
ритма дискретного преобразования с точки зрения эко-
номии памяти (или аппаратурных затрат) и быстро-
действия.
Теория решетчатых систем основывается на теории
функций и многочленов от нескольких комплексных или
действительных переменных и представляет собой циф-
ровую реализацию теории многомерных систем [16].
Решетчатая система может быть получена из соответ-
ствующей многомерной системы при помощи дискрети-
зации по пространственным и временным переменным
(при этом должны соблюдаться условия теоремы Ко-
тельникова, теоремы Лакса и т. п.). Квантование алфа-
витов многомерной системы приводит к клеточному авто-
мату.
Рассмотрение теории систем и сигналов на основе
теории решетчатых систем практически важно, так как
позволяет решать задачу выбора оптимального представ-
ления сигналов и систем (на цепочке, на неполной или
полной решетке, над тем или иным кольцом) с учетом
состава цифрового оборудования, предназначенного для
обработки, хранения и передачи информации, что в свою
очередь приводит к экономии объема этого оборудова-
279
йия и количества вычислительных операций при обра-
ботке сигналов.
Теория решетчатых систем может иметь многочислен-
ные применения в тех областях теории систем и сигна-
лов, где состояния систем и сигналы естественным обра-
зом возникают или задаются на решетках (многомерная
цифровая фильтрация, автоматическое регулирование
в системах с распределенными параметрами, цифровая
обработка изображения и цифровая голография, рас-
пределенные системы массового обслуживания, системы
обработки радиолокационных, гидроакустических и
сейсмических сигналов).
Список обозначений важнейших
символов
1. МНОЖЕСТВА
1.1. Множества 1-й ступени
А, В, С, ... 1
, „ , , > произвольные множества
{ai}. {а},... I
aif tel} (в случае индексации элементами множества Z);
«ь а2, • •ап} — конечные множества
«1, а2, Дз,.. •} — счетные множества
<[х |... комплекс условий...} „множество всех элементов х, для .
которых выполняется ... •
а, щ — элемент множества А или {а}
0 — пустое множество
Ль А2, • • • — подмножества множества А
{ф}, Ф, {А—*В} — множество отображений из А в В
1.2. Система множеств (множество множеств, множества 2-й
ступени)
А, В, С,... 1
г л , > произвольные системы множеств
{Л}. {Л},... J
Символы, приводимые ниже, те же самые, что и в случае множеств
1-й ступени, но вместо строчных букв (множеств) пишут прописные
буквы, а именно:
„множество всех множеств X, для которых выпол-
няется ...•
A, Ai — элемент системы множеств А или {А}.
S3 (А)—степень множества А (множество всех подмножеств
множества А)
А/ , {А/} подразделение А на классы (или отношение эквива-
лентности ~)
1.3. Семейства множеств (множество систем множеств, множе-
ства 3-й ступени)
{А/}, {А}, ...
€ произвольные семейства множеств
Символы, приводимые ниже, те же самые, что и в случае множеств
1-й ступени, но вместо строчных букв (множеств) пишут прописные
полужирные буквы (системы множеств), а именно:
{X | ...} — «множество всех X, для которых выполняется ...»
Д, Af — элемент семейства множеств или {А}
$1
1.4. Множества теории систем
7°, Т — подмножество R(TczR), временная шкала системы
/, М интервал, принадлежащий R (слева замкнутый, справа
открытый)
Тр Т [7° Г| р , Q] временной интервал, принадлежащий
Т®, интервал наблюдения
t — момент наблюдения (teT)
X, {%} — входной алфавит, х&Х входная буква
У, {0 — выходной алфавит, y^Y выходная буква
Z, {z} — алфавит состояний, zeZ буква алфавита состояний
х, {х} — множество входных слов (пространство входов) (х —
входное слово)
Y, {у} — множество выходных слов (пространство выходов)
(у — выходное слово)
Z, {г} — множество векторов состояния (пространство состоя-
ний) (z — вектор состояния)
3g = XI l i входной '
p = Ym m l-мерный выходной > алфавит
3 = Zn n I состояний
f, x =J . I £= ^//-мерная буква из Xt такое же значение
имеют I), у и z, z
Ж, {?}» {х} множество Z-мерных входных слов (/ мерное про-
странство входов)
Аналогичные обозначения применяются для пространства выходов
g) и пространства состояний 3
#nczRn— пространство системы (система с пространственной струк-
турой, neN)
5 г = (я1, а2.ип) S=Rn точка пространства
Jr=(a, v, w) при п = 3 (аналогично при п = 2 или 1)
п
In= X v ) п мерный интервал из R"
5=1
/я - X [ W X (при п = 3)
Rn = р| In пространственная область из Rn, простран-
ство наблюдения
2. ОТНОШЕНИЯ
2.1. Бинарные отношения
~ — отношение эквивалентности на А (подразделение А на
классы)
— отношение порядка на А (в частности, для действи-
тельных чисел)
Ф, —> — функциональное отношение (отображение Л в В)
Ф : А—*~В (вместо ф применяются также обозначения Д g, h,...)
ф: {(а, <р(а))}, аеЛ, ф(а)=ЬеВ
множество всех (а, Ь) из подмножества (Л X #) определенного ф
inj
у : А -► В инъективное отображение (взаимно-однозначное отобра-
жение Л в В
Ф : Л-<—— биективное отображение (взаимно-однозначное ото-
бражение Л на В)
Ad, Щф) —область определения, область оригиналов отобра-
жения ф : Л—*В
Bw, Я(ф) —область значений, область изображений отображе-
ния ф : Л—^В
(ф-1: — ф-1(6)={а|ф(а)=В}=Лб=прообраз 6, при ф : Л—*В.
2.2. Отношения в теории систем
х^^ ’ *т* х = ? * слово над алфавитом X; вместо х
применяются также обозначения <x(0>f t, <х(0>г или
<х(0>, х( )
В случае дискретного времени = вместо пишут
только k:
<*(*)>!»,. <X(k)>T, <X(k)>.
Для < х (k) также < х fy.), х (у. + 1)...х (v — 1) >.
Соответствующие обозначения применяются и для
—слово> ограниченное на Гц,,, С ’
QT^. То же самое для у и z
х 1—слово, ограниченное на (= (^, х(/и)). То же самое
для у и z
х (0 = к (0 €= X == 91 (х |0. То же самое для у и z
(* (*.))<|Л • = f: -* W е *) < М
постоянное отображение (х фиксированный элемент из X).
Аналогично для
XS i \
I Z-мерное слово над алфавитом X*.
Аналогично
для гь и z. i . Вместо г обозначают также
*|ЛГ*
х> и т- «•
283
Все прочие определения, данные длй х, переносятся аналогично
и на векторный случай:
. ? tvtv = t ш
F, f — оператор переходов, функция «переходов
G, g — оператор выходов, функция выходов .
<х(г, 0>т» <х(а, о, wt
<х (г, t)>, X (г), X (г)гх(г)^ и т. д.
пространственно-временное слово над
X = у : R3y^T -> X слово х,
зависящее от пространственных координат г == (а, о, w)
< х (г) > (/) = : R3 X {О -► X пространственное слово в мо-
мент времени t
<х (/) > (г) = у : {г} X Т X временное слово в точке г
3. ОПЕРАЦИИ
3.1. Структуры
Ц= (А, 0, *,...) — алгебраическая структура
е, О, 1 — нейтральный элемент (группы)
а-1 — обратный элемент
ч а — класс с элементом а
— изоморфизм
А /А' — носитель фактор-структуры
U/U' — фактор-структура
(pi -ф2 — композиция отображений
3.2. Операции в теории систем
XjX2 объединение слов хх = и х2 = х^з в х^з
VT оператор сдвига (временная трансляция слов)
А, В, С, D — матрицы уравнений состояния (конечномерные век-
торные пространства)
Ф — переходная матрица, фундаментальная матрица (векторное
пространство)
Т — матрица выходов
z(f) = F [z (t0) x^] глобальные уравнения состояния
р (f) = G [z (/0), х^] (аналоговые системы без пространственной
структуры)
z(m-H)=f [z(m), x(/n), т\—локальные уравнения состояния
9(zn)=i[z(^)> х(/п), /и] — (дискретные системы без простран-
ственной структуры)
Список литературы
1. Berg L. Einfuhrung in die Operatorenrechnung. Berlin, 1965.
2. Unbehauen R. Systemtheorie. Munchen, 1971.
3. Wunsch G. Systemtheorie der infomationstechnik. Leipzig, 1971.
4. Lange F. H. Signale und Systeme. Berlin, 1965.
5. Wunsch G. Systemanalyse. Berlin, 1969.
6. Bunke H. Gewohnliche Differentialgleichungen mit zufalligen Pa-
rameters Berlin, 1972.
7. Kammerer W. Einfuhrung in die mathematische methoden der ky-
bernetik. Berlin, 1971.
8. H. Винер. Кибернетика. 2-е изд. М., «Сов. радио», 1968.
9. Whitesitt J. Е. Boolesche Algebra und ihre Anwendungen. Brauns-
chweig, 1964.
10. Чинаев П. И. Самонастраивающиеся системы. Киев. «Наукова
думка», 1969.
11. Woschni Е. G. Mefidynamik. Leipzig, 1964.
12. Цыпкин Я. 3. Адаптация и обучение в автоматических системах.
М., «Наука», 1968.
13. Gossel М. Angewandte Automatentheorie. Berlin, 1972.
14. Sturz H., Cimander W. Automaten. Berlin, 1971.
15. Колдуэлл С. Логический синтез релейных устройств. М., ИЛ,
1962.
16. Деруссо П., Рой Р., Клоуз Ч. Пространство состояний в теории
управления. М., «Наука», 1970.
17. Scnlitt Н. Systemtheorie fur regellose Vorgange. Springer. Ver-
lag, 1960.
18. Lenk A. Elektromechanische Systeme. Berlin, 1971.
19. Vieregge H. Einfuhrung in die klassische Algebra. Berlin, 1972.
20. Заде Л., Дезоер Ч. Теория линейных систем. М., «Наука», 1970.
21. Zadeh L. A., Polak Е. System Theory. New York, 1969.
22. Kulikowski R., Wunsch G. Optimale und adaptive Prozesse in
Regelungssystemen. Berlin, 1973.
23. Vielhauer P. Passive lineare Netzwerke. Berlin, 1974.
24. Klein W. Grundzuge einer finiten Systemtheorie. — «AEU», 1974,
28, H. 2.
Список дополнительной
литературы
25. Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической тео-
рии систем. М., «Мир», 1971.
26. Алгебраическая теория автоматов, языков и подгрупп. Под ред.
М. Арбиба. М., «Статистика», 1975.
27. Директор С., Рорер Р. Введение в теорию систем. М., «Мир»,
J974.
285
Портер У. Современные основания общей теории систем. М.,
«Наука», 1971.
29. Диткин В. А., Прудников А. П. Операционное исчисление. М.,
«Высшая школа», 1975.
30. Диткин В. А., Прудников А. П. Операционное исчисление по
двум переменным и ег.о приложения. М., «Физматгиз», 1958.
31. Нейман Дж. Теория самовоспроизводящихся автоматов. М.,
«Мир», 1971.
Список литературы к дополнению
1. Трахтман А. М., Трахтман В. А. Основы теории дискретных сиг-
налов на конечных интервалах. М., «Сов. радио», 1975.
2. Карповский М. Г., Москалев Э. С. Спектральные методы ана-
лиза и синтеза дискретных устройств. Л., «Энергия», 1973.
3. Самарский А. А. Введение в теорию разностных схем. М., «Нау-
ка», 1977.
4. Годунов С. К., Рябенький В. С. Разностные схемы. М., «Наука»,
1977.
5. Cooley J. W., Tukey J. W. An algorithm for the machine calcula-
tion of complex Fourier series. — «Math. Comput.», 1965, v. 19,
№ 90.
6. Немчинов С. В. О применении метода сеток к решению краевых
задач для уравнений в частных производных с периодическими
краевыми условиями. — В кн.: Динамическая метеорология. Таш-
кент, «Наука», 1965.
7. Заде Л., Дезоер Ч. Теория линейных систем. М., «Наука», 1970.
8. Деруссо П., Рой Р., Клоуз Ч. Пространство состояний в теории
управления. М., «Наука», 1970.
9. Lynch R. Е., Rice J. R., Thomas D. Н. Tensor product analysis of
partial difference equations. — «Bull. Amer. Math. Soc.», 1964,
v. 70, pp. 378—384.
10. Кренкель T. Э. Спектральный анализ на конечных коммутатив-
ных группах. — «Радиотехника», 1975, № 6.
11. Глушков В. М., Цейтлин Г. Е., Ющенко Е. Л. Алгебры. Языки.
Программирование. Киев, «Наукова думка», 1974.
12. Nicholson Р. J. Algebraic theory of finite Fourier transforms.—
«J. Comput. Syst. Sci.», 1971, v. 5, № 5.
13. Лабунец В. Г., Ситников О. П. Гармонический анализ булевых
функций и функций k-значной логики над конечными полями. —
«Техническая кибернетика», 1975, № 1.
14. Агарвал Р., Баррас С. Теоретико-числовые преобразования для
быстрого вычисления цифровой свертки. — «ТИИЭР», 1975, *т. 63,
№ 4.
15. Трахтман В. А. Быстрое преобразование Фурье для широкого
класса систем ортогональных функций. — «Радиотехника и элек-
троника», 1976, № 5. •
16. Многомерные системы. ТИИЭР, 1977, № 6.
Предметный указатель
Абелева (коммутативная) полу-
группа 105
Абелевы группы 107, 118
Автоматы 96
— с двумя состояниями 98
— линейные 101
<— нильпотентные 151
— регулярные 151
Аддитивные системы 227
Аксиоматически — дедуктивный ме-
тод 7
Алгебраическая система 23
— структура 23
Алгебраические операции 23
Алфавит состояний 36
Ассоциативность 25
Векторное пространство 25
Векторный алфавит состояний 38
Вероятностная мера 208
Вероятность перехода 225
Ветвь графа 17
Внешняя и внутренняя степень узла
графа 18
Входное слово 38, 220
Вынужденная выходная величина 63
Вынужденные движения 142
Гармоническое возбуждение систе-
мы 189
Граф автомата 100
— отношения 17
— состояния 94, 149
Группа 24, 103
Декартова степень множества 15
Декартово произведение множеств
282
Деконкатенация 270
Делитель нуля 109
Дерево 18, 150
— с корнем 151
Деревья нулевые 151
Детерминированные системы 43
Диаграммы множеств 14
Динамические системы 29, 38, 39
----непрерывные 60
Достоверное событие 207
Дуга графа 17
Единичный элемент 109
Зет-преобразова>ние 137
Идеал 120
— максимальный 129
Изоморфизм ИЗ
Изоморфные графы 156
Изотропность 169, 196
Импульсная характеристика 144, 175
Инвариантные во времени системы
77, 96
Интегралы Дюамеля 9, 71
Интенсивность связи с окрестно-
стью 196
Интервал наблюдения величин си-
стемы 38
Классификация стохастических си-
стем 234
Классы систем 83
— смежности 116
Клеточная структура (решетчатые
Системы) 163, 177
---- слоистая 176
Клеточные автоматы 7
Конечные поля (поля Галуа) 129
Кольца 1Q§
— главных идеалов 126
— классов вычетов 121
Кольцо полиномов 123, 128
Конечный автомат 97
— алфавит 88
Конкатенация 270
Линейная клеточная структура 174
— решетчатая система 263
— система (ГКС-реализа1Ции) 186
— цифровая система (инвариантная
•во времени) 101
Линейные автоматы Мили 131
— системы 61, 79, 100, 185, 227
---детерминированные 103
--непрерывные 69
---стохастические 7, 204, 227
Логические символы 15
Матрицы сопровождающие 153
Меры вероятности 217
Метод тензорных произведений 269
Метрические пространства 26
Множества И, 12, 281
— , основные операции 13
— пересекающиеся 14
— равномощные 20
— специальные 282
— теории систем 282
Множество пустое 13
Модели Г47
Модель непрерывной динамической
системы 59
— системы 58, 71
— цифровой системы с двумерным
вектором состояния 93
Мультипликативная группа кольца
110
Мультипликативные базисы 278
Невозможное событие 207
Непрерывные отображения 50
— процессы 241
— системы 50, 57, 79
Нециклические состояния 152
Нормальная форма уравнений со-
стояния 155
Нулевая входная величина 49
Нулевое состояние 48
Обобщение дискретного преобразо-
вания Фурье на случай п-мерной
периодической решетки 267
Обобщенная функция Радемахера
274
Обозначения важнейших символов
281
Область изображений (область
образов) 20
— определения (область оригина-
лов) 19
Образ 19
Обратный элемент 109
Объединение множеств 14
— отображений 22
Одномерная клеточная структура
171
— система 199, 171, 199, 201
Однородные системы 227
Оператор выхода 10, 83
— переходов 10, 83
— полициклической свертки 269
— пространственной частной разно-
сти 265
$7 -
— частичного правого полицикличе-
ского сдвига 272
Операторы переходов и выходов 43
Операции 285
— над множествами 11
Относительная частота 208
Отношения 16, 283
— бинарные 283
— порядка 19
— слов 133
— эквивалентности и порядка 18
Отображение 19, 21, 212
Передаточная матрица 142
— функция 144, 175, 183
Передача сигналов с помощью
двоичного кода 8’4
Переключательная функция 178
Переменные состояния 9, 30
Пересечение множеств 14
Плоская клеточная структура 170
Поле частных 111
Положение системы 62
Подгруппы 115
Полициклический сдвиг на одно-
мерной решетке 269
Полное нулевое дерево (п. и. д.)
153, 158
Полный граф состояний 158
Полугруппа 24, 105
Последовательность, сходящаяся
в себе (фундаментальная, после-
довательность Коши) 27
Преобразование Лапласа 22
— (однозначное справа отношение)
19
— Фурье 22
Прообраз 19
Пространство полное 27 г,,
— состояний 9
Прямое (декартово) произведение
множеств 14
Регистор сдвига 147
Регулярные автоматы 151
— графы состояний 152
Решетчатые системы 261, 278
Свободная выходная величина 63
— матрица переходов (фундамен-
тальная переходная матрица со-
стояния) 66
Свободные состояния 62
Свободные движения 148
Свойство замкнутости относительно
операции
ИБ № 174
ГЕРХАРД ВУНШ
Теория систем
Перевод с немецкого и дополнение Т. Э. Кренкеля
Редактор Н. Я. Гутчина
Художественный редактор А. Н. Алтунин
Технический редактор И. В. Орлова
Корректор Л. А. Максимова
Сдано в набор 20.03.78. Подписано в печать 18.10.78
Формат 84Х108/за Бумага типографская № 2 Гарнитура литер. Печать высокая
Объем 15,12 усл. п. л.14,09 уч.-изд. л Тираж 10 000 экз. Зак. 619 Цена 1 р. 20 к.
Издательство «Советское радио, Москва, Главпочтамт, а/я 693
Московская типография № 10 «Союзполиграфпрома»
Государственного комитета Совета Министров СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
Москва, М-114, Шлюзовая н$б., 10.
Семейство множеств 13, 281
Система с многими входами и вы-
ходами (векторная) 35
— функций Виленкина — Крестен-
сона (ВКФ) 269
Системы с гармоническим возбуж-
дением 187
— с дискретным временем (им-
пульсные) 83, 131, 264
— , классификация 39
— множеств 13> 281
----с непрерывным временем
(аналоговые) 43, 177, 238
— с однородными слоями 10
— с пространственной структурой
7, 162, 190
— без пространственной структу-
ры 177
— решетчатые 7, 261
Случайный процесс (одномерный)
242
----(трехмерный) 247
Собственные векторы оператора
полициклического сдвига
Стационарные линейные системы
165
— однородные системы 165
Степень множества 13
— полинома 124
— узла 18
Стохастическая система 225, 238
Стохастические функции переходов
и выходов 231
Структуры 285
Схема отображений детерминиро-
ванной системы 41
Сюръективное отображение 20
Топологическая структура 26
Фактор — группа 118
Функции интенсивности 254
— переходов и выходов 53, 91, 11
Функциональная схема цифровой
системы 92
Функция (отображение) 19
Цикл 18, 148
Эквивалентность двух элементов
111
Эквивалентные системные величи-
ны 77
Элементарное событие 206
Ячейка структуры 171