Автор: Фунс Л.
Теги: медицинские науки математика монография физико-математическая литература издательство мир абелевы группы
Год: 1970
Текст
INFINITE ABELIAN GROUPS
Ldszl6 Fuchs
Tulane University
New Orleans, Louisiana
VOLUME I
Academic Press
New York and London
1970
Л. Фунс
БЕСКОНЕЧНЫЕ
АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ
т. 1
Перевод с английского
А. п. мишиной
Издательство «Мир»
Москва 1974
УДК 619.443
Известный математик Ласло Фукс уже знаком советскому
читателю по русскому переводу его книги «Частично упорядо-
упорядоченные алгебраические системы» («Мир», 1965)- Его новая двух-
двухтомная монография посвящена абелевым группам. Первый том вклю-
включает в себя все основополагающие результаты теории, а также ее
гомологический аспект. В нем поставлено 50 нерешенных проб-
проблем. Книга заполняет существенный пробел в математической
литературе по этому вопросу на русском языке. От читателя не
требуется специальных знаний, что позволяет использовать книгу
и для первого знакомства с общей алгеброй.
Книга полезна каждому математику, работающему в теории
групп, теории модулей и колец, топологии, гомологической
алгебре.
Редакция литературы по математическим наукам
20203 386
Ф ——- 20—73 © Перевод на русский язык, «Мир», 1974
Предисловие к русскому изданию
Уже давно сложилась несколько парадоксальная ситуация, когда
теория абелевых групп лишь формально является частью теории групп.
Как методы, так и результаты, относящиеся к абелевым группам, как
правило, не связаны с общей теорией групп. Первым формальным
актом, фиксирующим такое положение, можно считать выход в 1954 г.
небольшой книги И. Капланского «Бесконечные абелевы группы»
(в 1969 г. появилось второе издание). С другой стороны, как отмечал
в свое время А. Г. Курош, «около 1952 г. в теории абелевых групп раз-
развернулась активная работа венгерских алгебраистов, а в 1958 г. вышла
богатая содержанием книга Фукса». Здесь А. Г. Курош имел в виду
первое издание монографии, представляемой ныне вниманию русского
читателя.
Трудно переоценить влияние, оказанное на развитие теории абеле-
абелевых групп вышеупомянутой книгой. Будучи своеобразной энциклопе-
энциклопедией этой теории, она, кроме того, содержала большое число проблем,
с решением которых связана деятельность многих специалистов. Но
есть и другая книга, оказавшая на становление современной теории
абелевых групп решающее влияние, это — «Гомологическая алгебра»
Картана и Эйленберга, вышедшая в 1956 г. (русский перевод в 1960 г.).
Бурное развитие теории модулей и проникновение в математику
теоретико-категорного мышления, последовавшие за появлением этой
монографии, нашли глубокое отражение в теории абелевых групп.
Достигло полной отчетливости сознание, что абелева группа — это
модуль над кольцом целых чисел. В частности, отсюда следует, что для
абелевой группы справедливы все результаты общей теории модулей.
Таким образом, одним из важных направлений в теории абелевых
групп является углубление теоретико-модульных результатов, исполь-
использующее специфику кольца целых чисел. (Сказанное, конечно, не отри-
отрицает обратного влияния, нашедшего свое отражение, например, в мо-
монографии А. П. Мишиной и Л. А. Скорнякова «Абелевы группы и мо-
модули».)
Эта тенденция, ярко проявившаяся в литературе последнего десяти-
десятилетия, заставила Фукса написать, по существу, новую книгу. Почти
сохранилось заглавие («Бесконечные абелевы группы» вместо «Абеле-
«Абелевы группы»), остались'прежними названия глав (за исключением двух).
Но уже в первой главе можно видеть параграфы «Отображения и диаг-
диаграммы», «Модули», «Категории абелевых групп», «Функторные под-
Предисловие к русскому изданию
группы...». И такие гомологически звучащие названия пронизывают
всю книгу. Так, во второй главе имеем «Коуниверсальныи и универсаль-
универсальный квадраты», в четвертой — «Инъективные группы», в пятой —
«Сервантно точные последовательности», в седьмой — «Сервантно суще-
существенные расширения», в восьмой — «Точные последовательности для
Нот», в девятой — «Функтор Pext», в десятой — «Точные последова-
последовательности для функтора Тог». Таким образом, открыто признается,
что теория абелевых групп является частью теории модулей, и можно
надеяться, что это пойдет на пользу обоим направлениям.
Важно подчеркнуть, что, нарядив теорию в новую одежду, автор
сумел сохранить основные достоинства своей первой книги — доступ-
доступность изложения, многочисленные упражнения, интересные проблемы.
Уже и в первом томе как специалисты по абелевым группам и моду-
модулям, так и «потребители» этих теорий найдут много интересного и
полезного. А после осуществления перевода второго тома (L. Fuchs
«Infinite abelian groups», v. II, Academic Press, 1973) советский чи-
читатель будет располагать весьма полной энциклопедией по теории
абелевых групп. Заметим еще, что новейшие достижения теории
абелевых групп отражены в обзорах А. П. Мишиной («Итоги науки.
Алгебра. Топология. Геометрия. 1965», М., 1967, стр. 9—44; «Итоги
науки и техники. Алгебра. Топология. Геометрия», т. 10, М., 1972,
стр. 5—45).
Л. А. Скорняков
Предисловие
Теория абелевых групп — это ветвь алгебры, в которой рассмат-
рассматриваются коммутативные группы. Любопытно, что она до некоторой
степени не зависит от общей теории групп: ее основные идеи и методы
имеют лишь незначительное сходство с некоммутативным случаем,
и есть основания полагать, что не существует другого условия, которое
имело бы большее значение для групповой структуры, чем коммутатив-
коммутативность.
Настоящая книга посвящена теории абелевых групп. Изучение тео-
теории абелевых групп целесообразно по двум основным причинам:
во-первых, из-за красоты результатов — среди них находятся некото-
некоторые из лучших примеров того, что называется алгебраической струк-
структурной теорией; во-вторых, потому, что это один из основных побуди-
побудителей новых исследований по теории модулей (например, для всякой
теоремы об абелевых группах можно поставить вопрос: для модулей
над какими кольцами верен этот результат?); имеются и другие области
математики, в которых широкое применение теории абелевых групп
может быть очень плодотворным (строение групп гомологии и т. д.).
Первоначальным намерением автора было подготовить второе изда-
издание его книги «Абелевы группы» (Будапешт, 1958). Однако скоро стало
очевидным, что в последнее десятилетие теория абелевых групп разви-
развивалась слишком быстро, чтобы можно было ограничиться простым пере-
пересмотром издания, и поэтому была написана совсем новая книга, отра-
отражающая новый аспект теории. Некоторые темы (структура подгрупп,
разложение в прямую сумму подсистем и т. д.), которые рассматрива-
рассматривались в книге «Абелевы группы», здесь не будут затрагиваться.
Две параллельные задачи этой книги — ознакомить подготовлен-
подготовленных студентов с теорией абелевых групп и дать молодому алгебраисту
обзор материала (в разумном объеме), который может послужить осно-
основой для исследований по абелевым группам. Изложение никоим обра-
образом не претендует на исчерпывающий характер или даже на то, чтобы
дать полное представление о современном состоянии теории — это
было бы сизифовым трудом, так как теория абелевых групп стала край-
крайне обширной и продолжает расти практически изо дня в день. Но то,
что автор рассматривает как основную часть сегодняшней теории абе-
абелевых групп, он пытался изложить по возможности полно, чтобы
читатель мог получить достаточно сведений о центральных идеях,
основных результатах и главнейших методах теории. Чтобы помочь
8 Предисловие
в этом читателю, текст сопровождается многочисленными упражнения-
упражнениями; некоторые из них являются просто упражнениями, другие дают
дополнительные сведения по теории, содержат различные добавления.
Упражнения используются лишь в других упражнениях, но читателю
рекомендуется попробовать выполнить некоторые из них, чтобы лучше
осмыслить теорию. От читателя не требуется никаких предварительных
знаний, кроме элементов абстрактной алгебры, теории множеств и
топологии, но требуется определенная математическая зрелость.
Выбор материала неизбежно несколько субъективен. Главный упор
делается на структурные проблемы; должное место отводится гомоло-
гомологическим вопросам и некоторым топологическим рассмотрениям. Была
сделана серьезная попытка унифицировать методы, упростить изложе-
изложение и сделать его по возможности независимым. Автор пытался избе-
избежать излишней абстрактности или технической сложности изложения.
Из-за этого в книгу не вошли некоторые важные результаты, а изло-
изложение (в тех местах, где это неизбежно вызвало бы потерю ясности или
множество технических осложнений) велось не в максимально возмож-
возможной общности.
В томе 1 излагаются основы теории абелевых групп, а также ее
гомологический аспект, в то время как том 2 посвящен структур-
структурной теории и приложениям. В каждом томе имеется библиография,
содержащая те работы по абелевым группам, на которые имеются ссыл-
ссылки в тексте. Автор старался везде указывать, кому принадлежит тот
или иной результат. В некоторых случаях, однако (особенно в упражне-
упражнениях), было почти невозможно приписать идеи их первооткрывателям.
В конце каждой главы приводятся комментарии, указываются дальней-
дальнейшие пути, по которым шло исследование, упоминаются некоторые
дополнительные результаты и обобщения, в частности на модули, кото-
которые могут заинтересовать читателя. Приведены также нерешенные про-
проблемы, которые автор считал интересными.
Система ссылок внутри книги достаточно ясна. Конец доказатель-
доказательства отмечается символом в. Задачи, которые по той или иной
причине казались автору трудными, часто отмечены звездочкой, как,
впрочем, и некоторые разделы, которые начинающий читатель может
счесть разумным пропустить.
Автор многим обязан специалистам по теории групп за сделанные
ими замечания; всех их автор искренне благодарит. Особенно он благо-
благодарен Шарлю за многочисленные полезные советы. Автор хотел бы
выразить свою признательность математическим отделениям универси-
университетов в Майами (Корэл Гейбл, Флорида) и в Тулейне (Новый Орлеан,
Луизиана) за их помощь в подготовке рукописи, а также издательству
«Academic Press» за публикацию этой книги в своей замечательной
серии «Pure and Applied Mathematics».
Л. Фукс
Глава I
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
Основная цель этой вводной главы — ознакомить читателя с терминологией
и основными фактами, касающимися абелевых групп, которые будут часто исполь-
использоваться в дальнейшем. Некоторые доказательства мы пропустим, так как они
стандартны и их можно найти в любых руководствах по алгебре или теории
групп. Здесь кратко будут рассмотрены основные типы групп и их важнейшие
свойства. Мы введем ряд обозначений, что позволит в дальнейшем избежать мно-
множества повторений. Отображения, диаграммы, категории и функторы также
будут здесь рассматриваться; они играют важную роль в нашем изложении.
Будет также дан обзор некоторых из важнейших топологий в абелевых группах.
Читатель, не слишком близко знакомый с излагаемым предметом, должен
прочесть эту главу особенно внимательно.
§ 1. Определения
Абелевы группы, как и другие алгебраические системы, определя-
определяются на множествах. Но в теории абелевых групп отдельные теоретико-
множественные особенности множеств, на которых определены группы,
по-видимому, играют значительно более важную роль, чем в других
частях алгебры. Поэтому нам часто придется использовать кардиналь-
кардинальные и порядковые числа и некоторые результаты теории множеств.
Тем не менее мы не будем рассматривать теоретико-множественных
основ теории абелевых групп. Мы примем аксиомы Гёделя — Бернея
теории множеств, включая аксиому выбора, которую мы будем главным
образом использовать в эквивалентной форме, называемой леммой
Цорна.
Пусть Р — частично упорядоченное множество, т. е. множество
с бинарным отношением <!, обладающее следующими свойствами:
а^а; если а < 6 и i < а, то а = fc; если а^Ь и b ^ с, то а^с
для любых а, Ь, с ? Р. Подмножество С множества Р называется
цепью, если при а, Ъ 6 С всегда или а^. Ь, или Ъ ^ а. Элемент и ? Р
называется верхней границей подмножества С, если с ^ и для всех с ?
6 С. Говорят, что множество Р индуктивно, если каждая цепь из Р
имеет в Р верхнюю границу. Элемент v 6 Р называется максимальным
в Р, если из v <! а, где а ? Р, вытекает а = v.
Лемма Цорнд. Если частично упорядоченное множество индуктивно,
то оно содержит максимальный элемент.
Всякий раз, когда это будет нужно, мы будем предполагать также
выполненной гипотезу континуума; этот факт будет всегда специаль-
специально оговариваться.
10 Гл. I. Предварительные сведения
Термины класс и множество будут употребляться в их обычном
для теории множеств смысле. Мы будем говорить «семейство» или «сис-
«система», если не исключается повторное использование одного и того же
элемента. Будут употребляться обычные условные обозначения теории
множеств [см. список обозначений на стр. 326], за исключением того,
что мы будем писать а: а>-+ Ь, если а — функция, которая отображает
элемент а некоторого класса [множества] А в элемент Ь класса [мно-
[множества] В, в то время как а: А -*- В будет означать, что а — функция,
отображающая класс [множество] А в класс [множество] В.
Слово «группа» везде будет обозначать аддитивно записанную абе-
леву [т. е. коммутативную] группу. Это значит, что под группой пони-
понимается множество А, где любой паре элементов а, Ь 6 А поставлен
в соответствие элемент а + Ь из А, называемый суммой элементов
а и Ь\ существует такой элемент 0 ? А, нуль, что а + 0 = а для каждо-
каждого а 6 А; для всякого а ? А существует х ? А со свойством а + х = 0,
причем элемент х = —а называется обратным к элементу а; наконец,
выполняются законы ассоциативности и коммутативности:
(а + Ь) + с = а + (Ь + с), а+Ь=Ь+а
для любых а, Ь, с ? А.
Заметим, что группа никогда не бывает пустым множеством, так
как она содержит нуль, и что в равенстве а + b — с любые два из эле-
элементов а, Ь, с однозначно определяют третий элемент. Закон ассоциа-
ассоциативности позволяет писать сумму более чем двух элементов без скобок,
а в силу коммутативности члены суммы можно переставлять. Для крат-
краткости пишут а — Ь вместо а + (—Ь)\ таким образом, — а — b есть
обратный элемент для а + Ь. Сумма а + ... + а [п слагаемых]
сокращенно записывается в виде па, а —а —... —а [п слагаемых] —
в виде (— п) а или —па. Сумма без членов равна нулю; в соответствии
с этим 0а = 0 для всех а 6 А [заметим, что мы одинаковым образом
обозначаем целое число 0 и элемент группы 0]. Элемент па, где п —
целое число, называется кратным элементу а.
Мы будем обозначать одним и тем же символом группу и можество
ее элементов. Порядком группы А назовем мощность | А \ множества
ее элементов. Если мощность | А | конечна [счетна], группа А называет-
называется конечной [счетной].
Подмножество В группы А называется подгруппой, если элементы
множества В образуют группу при том же правиле сложения, что и в Л.
Если группа А конечна, то по теореме Лагранжа \ В \ — делитель
| Л |. Подгруппа группы А всегда содержит нуль группы А, и непустое
подмножество В группы А является подгруппой тогда и только тогда,
когда из a, b 6 В следует, что а + b ? В, и из а 6 В следует, что
— а ? В, или, проще, тогда и только тогда, когда из a, b 6 В вытекает
включение а — Ъ 6 В. Тривиальные подгруппы группы А — это сама
группа А и подгруппа, состоящая только из нуля; последняя подгруп-
подгруппа тоже будет обозначаться через 0, так как это не может вызвать недо-
недоразумений. Подгруппа группы А, отличная от А, называется собствен-
§ 1. Определения 11
ной подгруппой группы А. Мы будем писать В ^ А [В а А], если
В — подгруппа [собственная подгруппа] группы А.
Если В s А и а 6 Л, то множество а+В = {а-\-Ь\Ь^В}
называется смежным классом группы А по подгруппе В. Напомним, что
1) Ь и-*- а + b — взаимно однозначное соответствие между В
и а + В;
2) элементы аъ а2 ? А лежат в одном смежном классе по под-
подгруппе В тогда и только тогда, когда ах — а2 6 В\ в этом случае можно
писать ах = а2 mod В и говорить, что аг и а2 конгруэнтны по модулю В;
3) два смежных класса или совпадают, или не пересекаются;
4) А является теоретико-множественным объединением попарно
не пересекающихся смежных классов группы А по подгруппе В.
Элемент смежного класса называется представителем этого смеж-
смежного класса. Множество, состоящее из представителей, выбранных
ровно по одному из каждого смежного класса по подгруппе В, назы-
называется полной системой представителей смежных классов по подгруппе
В. Его мощность, т. е. мощность множества различных смежных клас-
классов по подгруппе В, называется индексом подгруппы В в группе А
и обозначается через \ А : В \. Индекс может быть конечным или беско-
бесконечным; в первом случае говорят, что В — подгруппа конечного индек-
индекса в А. Если группа А конечна, то | А : В \ = | А | : | В \.
Смежные классы группы А по подгруппе В образуют группу А/В,
известную под названием факторгруппы группы А по подгруппе В.
В А/В сумма двух элементов Съ С2 [которые являются смежными клас-
классами группы А по подгруппе В] определяется как смежный класс С,
содержащий множество {ct + с2 | сх ? Съ сг ? Сг}; на самом деле это
множество само является смежным классом и, таким образом, совпада-
совпадает с С. Нулевым элементом в А/В служит подгруппа В [рассматривае-
[рассматриваемая как смежный класс], а обратным к смежному классу Со — смежный
класс —Со = { —с | с ? Со}. Если В Ф 0, то А/В называется собст-
собственной факторгруппой группы А.
Мы часто будем использовать естественное взаимно однозначное
соответствие между подгруппами факторгруппы А* = А/В и подгруп-
подгруппами группы А, содержащими подгруппу В. Элементы из А, входящие
в элементы [т. е. смежные классы группы А) некоторой подгруппы С*
группы А*, образуют такую подгруппу С, что BsCslC Другой
стороны, если В = С s Л, то смежные классы группы А по подгруппе
В, содержащие хотя бы один элемент из С, образуют подгруппу С*
группы А*. Этим путем устанавливается соответствие между С и С*,
причем С* = С/В. Заметим, что | С* | = | С : В |, а | А* : С* | =
= \А:С\.
Теоретико-множественное пересечение В {] С двух подгрупп В, С
группы А снова является подгруппой группы А. Более общо, если
Bt—семейство подгрупп группы Л, то пересечение этих подгрупп
В = П Bt также является подгруппой в Л. Условимся считать, что
В = А, если i пробегает пустое множество.
12 Гл. I. Предварительные сведения
Если S — подмножество в А, то символом {S > будем обозначать
подгруппу группы А, порожденную множеством S, т. е. пересечение
всех подгрупп группы А, содержащих 5. Если S состоит из элементов
щ (i 6 /)» то будем также писать
<S> =(..., at, . . . >j6j
или просто (S>= (ai)izi. Подгруппа <S> состоит из всех сумм вида
пгаг + . . . + nkak [называемых линейными комбинациями элемен-
элементов ах, . . ., ah], где at ? S, /г* — целые числа, k — неотрицательное
целое число. Если S пусто, то {S > = 0. Если (S > = А, то будем гово-
говорить, что S — система образующих группы А, а элементы из S —
образующие группы А. Будем называть группу конечно порожденной,
если она имеет конечную систему образующих. Заметим, что E > и S
имеют одинаковую мощность, кроме случая, когда 5 конечно; в этом
случае подгруппа (S) конечна или счетна.
Если В и С — подгруппы группы А, то подгруппа {В, С), которую
они порождают, состоит из всех элементов группы А вида b + с,
где b 6 В, с + С. Поэтому мы можем написать (В, С) = В + С.
Для, быть может, бесконечного набора подгрупп Bi группы А порож-
порожденная ими подгруппа В состоит из всевозможных конечных сумм
Ьи + • • • Л-bi., где bi. принадлежит некоторой подгруппе Вг,\
в этом случае мы будем писать 6 = 2j Bt
Группа <а> называется циклической группой, порожденной эле-
элементом а. Порядок группы (а) называется также порядком элемента а
и обозначается через о (а). Таким образом, порядок о (а) — это или
положительное целое число, или символ оо. Если о (а) = сю, то все
кратные па элемента а (п = 0, ±1, ±2, . . .) различны, и ими
исчерпывается группа (а >, а если о (а) = т — положительное целое
число, то 0, а, . . ., (т— \) а — это различные элементы группы
{а >, и га — sa тогда и только тогда, когда т \ г — s.
Если каждый элемент группы А имеет конечный порядок, то А
называется периодической группой, а если все элементы группы А,
кроме нуля, имеют бесконечный порядок, то А называется группой
без кручения, Смешанные группы содержат как ненулевые элементы
конечного порядка, так и элементы бесконечного порядка. Примар-
ной группой, или р-группой, называется группа, порядки элементов
которой являются степенями фиксированного простого числа р.
Теорема 1.1. Множество Т всех элементов конечного порядка группы
А является подгруппой группы А. При этом Т — периодическая группа,
а факторгруппа А/Т — группа без кручения.
Так как 0 6 Т, множество Т не пусто. Если a, b ?Т, т. е. та = 0
и nb = 0 для некоторых положительных целых чисел т, п, то тп (а —
— Ь) = 0 и, таким образом, а — b 6 Т, т. е. Т — подгруппа. Чтобы
показать, что А/Т — группа без кручения, предположим, что смежный
класс а + Т имеет конечный порядок, т. е. m (a + Т)^Т при неко-
§ 1. Определения 13
тором т > 0. Тогда та ?Т и существует такое п. > 0, что м (та) = 0.
Следовательно, элемент а имеет конечный порядок, а? Тиа-\- Т = Т —
нуль группы А/Т. в
Подгруппу Т мы будем называть максимальной периодической под-
подгруппой или периодической частью группы Л и обозначать через Т (А).
Заметим, что если В — периодическая подгруппа группы Л.тоВдГ,
а если С s Л и Л/С — группа без кручения, то Т s С.
Для группы Л и целого числа п > 0 положим
пА = (па | а 6 Л}
и
Л [и] = {а | а ? Л, па = 0}.
Таким образом, g ? пА в том и только в том случае, когда уравнение
пх = g имеет решение х в Л, и g ? Л [я] тогда и только тогда, когда
о (g) | п. Очевидно, пА и Л [я] — подгруппы группы Л.
Если а — элемент порядка pk, где р — простое число, то будем
называть число k экспонентойэлемента а и писать е (а) = k. Если а 6 Л,
то наибольшее неотрицательное целое число г, для которого уравнение
ргх = а имеет решение х ? Л, назовем р-высотой пр (а) элемента а.
Если уравнение ргх = а имеет решение при любом г, то а называется
элементом бесконечной р-высоты, пр (а) = оо. Нуль имеет бесконечную
высоту по любому простому числу. Если из контекста будет ясно,
о каком простом числе р идет речь, то будем называть hv (а) просто
высотой элемента а и писать h (a).
Цоколем S (Л) группы Л называется множество всех таких элемен-
элементов а 6 Л, что о (а) — число, не делящееся на квадрат. S (Л) — под-
подгруппа группы Л;.она является нулевой тогда и только тогда, когда
А — группа без кручения, и совпадает с Л тогда и только тогда, когда
Л — элементарная группа в том смысле, что всякий элемент из Л имеет
порядок, не делящийся на квадрат. Для р-группы Л имеем S (Л) =
= Л [р].
Множество всех подгрупп группы Л частично упорядочено относи-
относительно включения. Более того, оно является структурой, где В {] С
и В + С (для подгрупп В, С группы Л) играют роль структурных опе-
операций «inf» и «sup». Эта структура L (Л) обладает максимальным и ми-
минимальным элементами (ими являются Л и 0 соответственно) и удовлет-
удовлетворяет модулярному закону: если В, С, D — подгруппы группы Л и
В = D, то
В + (С П D) = (В + С) П D
В самом деле, включение s очевидно, и нужно только доказать, что
всякий элемент d б (В + С) [\ D лежит в подгруппе, стоящей в левой
¦части равенства. Пусть d = Ь + с, где Ь 6 В, с ? С; тогда d — Ь = с
принадлежит D и С. Следовательно, с ? С () D и d = b + c?B +
+(С П D), что и требовалось.
14 Гл. I. Предварительные сведения
Упражнения
1. Доказать, что конечная группа Л содержит элемент порядка р
тогда и только тогда, когда р делит порядок группы Л.
2. Если В<=А, \В |< | А [ и мощность \А [ бесконечна, то
\А1В\=\А\.
3. Пусть В, С — подгруппы группы А, СдВи индекс | В : С \
конечен. Тогда для любого подмножества S группы А подгруппа (S, СУ
имеет конечный индекс в (S, В), причем этот индекс делит \ В : С \.
4. (а) (Скотт) Пусть Bt (i ? /) — подгруппы группы А и В — их
пересечение. Тогда индекс | А : В | не больше, чем произведение индек-
индексов \A:Bi |, I 6 /•
(б) Пересечение конечного числа подгрупп конечного индекса имеет
конечный индекс.
5. Пусть В, С — подгруппы группы А.
(а) Для любого а ? А смежные классы а-\-Втл.а-\-{В + С) пере-
пересекаются с одними и теми же смежными классами по подгруппе С.
(б) Смежный класс по подгруппе В содержит \ В : (В f\ С) \ попарно
не конгруэнтных по модулю С элементов.
6 (Оре). Группа А имеет общую систему представителей смежных
классов по подгруппам В я С тогда и только тогда, когда
\В:(В {]С)\=\С:(В (]С)\.
[Указание: для доказательства необходимости использовать упр. 5;
для доказательства достаточности разбить множество смежных классов
по подгруппе В на блоки по модулю В + С и установить взаимно одно-
однозначное соответствие внутри блоков.]
7* (Маккой).
(а) Если В, C,G — подгруппы группы A nG содержится в теорети-
теоретико-множественном объединении В [} С, то или GsB, или G ^ С.
[Указание: если b 6 (В П G)\C, то из с 6 С П G вытекает b + с 6
6 В П G, с 6 В П G.]
(б) Для теоретико-множественного объединения трех подгрупп ана-
аналогичное утвеждение уже не имеет места.
(в) Если подгруппа Gsi содержится в теоретико-множественном
объединении подгрупп Вх, . . ., Вп группы Л, но не содержится в объ-
объединении каких-либо п — 1 из подгрупп Bt, то
mG = Bt П • • • П Вп ПРИ некотором целом т > 0.
[Указание: провести рассуждение, аналогичное рассуждению в лем-
лемме 7.3, см. ниже.1
8. Пусть ВсДи пусть 5 — подмножество группы Л, не пересе-
пересекающееся с подгруппой В. Тогда существует такая подгруппа С группы
Л, что 1) В s С; 2) С не пересекается с S; 3) если Ccz.C = Л, то под-
подгруппа С пересекается с S.
§ 2. Отображения и диаграммы 15
9. Пусть В, X —подгруппы группы А. Существует такая подгруп-
подгруппа С группы А, что 1) В = С, 2) В (~| X = С (\ X, 3) если СсС'с
с А, то В(]Х с=С'П*.
10 (Хонда Ш). Если Вд Л и т — целое положительное число, то
пусть
т~хВ = {а | а ? Л, та ? В}.
Доказать, что (а) т~хВ — подгруппа; (б) т~Ю — А 1т);
(в) т'1 (тВ) = В + А [т]\ (г) т (щ-1В) = В[\тА\ (д) /л (п-хВ) =
= (тп)-хВ.
11. Доказать «неравенство треугольника» для высот
hp (а+ Ь) > min (hp (a), hp (b)),
а также тот факт, что при hp (а) ф hv (b) здесь имеет место равенство.
12. Если группа А содержит элементы бесконечного порядка, то
множество всех элементов бесконечного порядка из А порождает А.
13. Если В^А, то Т(В) = Т(А)Г\В и S (В) = S (А)(]В.
14. Т (пА) — пТ (А) для любого целого числа п > 0.
15. Если В, С, D — подгруппы группы А, то
В + (С ПО) ? (В + С) Л (В +D).
Найти примеры, где имеют место строгие включения.
§ 2. Отображения и диаграммы
Пусть А и В — произвольные группы. Отображение
а: А-+ В
(часто обозначаемое через А-*- В) — это функция, которая ставит в со-
соответствие каждому элементу а ? А однозначно определенный элемент
b 6 В, ol; a>-+ b. Элемент b называется образом элемента а при ото-
отображении а, и записывается это так: b = а (а) или просто b = aa.
Группа А называется областью определения [или просто областью]
отображения а, группа В — его областью значений [или кообластью].
Отображение а : А -*¦ В называется гомоморфизмом [группы А в груп-
группу BJ, если оно сохраняет сложение, т. е.
a, (fli -f- #2) = ссй! -\- сса2
для всех аг, а2 ? А. Если нет нужды как-то обозначать гомоморфизм,
можно просто писать А-*- В.
Со всяким гомоморфизмом а: А -*¦ В связаны две подгруппы: Кег а = А
и Imag=B. Ядро гомоморфизма а, Кег а, — это множество всех эле-
элементов а ? А, для которых аа = 0, тогда как образ гомоморфизма а,
jl6 Гл. I. Предварительные сведения
Im а, состоит из всех таких b 6 В, что для некоторого а ? А имеет
место аа = Ь. Вместо Im а можно писать аЛ. Если Im a = В, то гомо-
гомоморфизм а называется сюръективным; мы будем также говорить, что
¦а — эпиморфизм. Если Кег а = 0, то а называется инъективным
гомоморфизмом, или мономорфизмом. Если Im а = В и Кег а = О,
то а —взаимно однозначное соответствие между А и В [т. е. а биектив-
биективно]; в этом случае а называется изоморфизмом. Группы А и В назы-
называются изоморфными [обозначение А ^ В], если существует изомор-
изоморфизм а : А -*- В; в этом случае обратное отображение а : В -*- А
существует и также является изоморфизмом. Как обычно в алгебре, мы
не делаем различия между изоморфными группами, кроме случая,
когда они — различные подгруппы одной и той же большей группы.
Если G является подгруппой одновременно в группе Лив группе В
и гомоморфизм а : А -*¦ В оставляет элементы из G на месте, то а назы-
называется гомоморфизмом над G.
Гомоморфизм с образом 0 называется нулевым гомоморфизмом; он
обозначается через 0. Если Л ? В, то отображение, которое сопостав-
сопоставляет каждому элементу а ? А его самого, можно рассматривать как
гомоморфизм группы А в группу В; он называется инъекцией [или
вложением]. Инъекция 0->-Л—единственный гомоморфизм группы 0
в А. Если а: А -*¦ В и С s А, то ограничение а | С отображения а
на С имеет в качестве области определения группу С, в качестве обла-
области значений — группу В и совпадает с а на С
Пусть а:Л->ВиР:Б-»-С — гомоморфизмы; здесь область зна-
значений гомоморфизма а совпадает с областью определения гомоморфиз-
гомоморфизма р. Составное отображение А -*• В -> С, называемое произведением
гомоморфизмов а и р и обозначаемое через р о а или просто р<х [обрати-
[обратите внимание на порядок сомножителей!], снова является гомоморфиз-
гомоморфизмом. Напомним, что Ра действует согласно правилу
(Ра) а = Р (аа)
для всех а ? А. Если определены произведения Ра и уР. то имеет
место закон ассоциативности
у (Р«) = (yP)«.
Легко убедиться, что на а можно сокращать справа [т. е. из Ра = уа
обязательно вытекает р = у] тогда и только тогда, когда а — эпимор-
эпиморфизм, и на а можно сокращать слева [т. е. из ар = ау обязательно
вытекает р = у] тогда и только тогда, когда а — мономорфизм. Произве-
Произведение двух эпиморфизмов [мономорфизмов] снова является эпиморфиз-
эпиморфизмом [мономорфизмом].
Гомоморфное отображение группы А в себя называется эндоморфиз-
эндоморфизмом, изоморфное отображение группы А на себя называется автомор-
автоморфизмом. Тождественный автоморфизм 1А группы А удовлетворяет
условиям
1Аа = а, Р1А = Р,
§ 2. Отображения и диаграммы 17
если только произведения, стоящие слева, определены. Подгруппа В
группы А, которая отображается в себя при всяком эндоморфизме
[автоморфизме] группы А, называется вполне характеристической г)
[характеристической] подгруппой группы А.
Пусть а: А -*¦ В — эпиморфизм, и пусть Кег а = /С. Полный
прообраз а~1Ь = {а \ а ? А, аа = Ь} элемента Ь 6 В является смеж-
смежным классом а + К в А. Отсюда следует, что индуцированное эпимор-
эпиморфизмом а отображение а + К •-*¦ out [которое не зависит от конкретного
выбора представителя а смежного класса] представляет собой изомор-
изоморфизм между AIK и В. Таким же образом произвольный гомоморфизм
а: А -*• В индуцирует изоморфизм между группами А /Кег аи Im а.
Отображение а *-*¦ а + К называется каноническим или естественным
эпиморфизмом группы А на А/К,. Если С = В s А, то \А индуцирует
эпиморфизм а + С>-*-а + В группы А/С на А/В.
Если гомоморфизмы а, р имеют одну и ту же область определения
А и одну и ту же область значений В, то можно определить их сумму
а + р, положив
(а + Р) а = аа + Р#
для всякого а 6 А. Легко проверить, что а + 3: А -*¦ В — также
гомоморфизм, причем
а + р = р + а, а + 0 =
(а + Р) + V = « + (Р + Y).
(а + Р) V = «V + Р?» б (а + Р) = ба -f- бр
если только суммы и произведения определены
Последовательность групп А\ и гомоморфизмов «j
(k>2)
называется точной, если
I ш (Xf = Кег Kj-t-i, t = 1, . . ., к — 1.
а
В частности, последовательность 0 ->¦ А —» В точна тогда и только
тогда, когда а — мономорфизм, а последовательность В —> С->- 0 точна
тогда и только тогда, когда Р — эпиморфизм. Точность последователь-
а
ности 0 -*¦ А —> В -*- 0 эквивалентна тому, что а — изоморфизм.
Точная последовательность вида
*¦) Фукс называет такие подгруппы fully invariant Прим. перев.
2 Л. Фуко
18 Гл. I. Предварительные сведения
называется короткой точной последовательностью; здесь а — такое
вложение группы А в В, что р" — эпиморфизм с ядром Iin а. [Заметим,
что в этом случае группу А можно отождествить с подгруппой Im a
группы В, а группу С—с факторгруппой В/А.]
Грубо говоря, диаграмма групп и гомоморфизмов состоит из про-
прописных букв, обозначающих группы, и стрелок между некоторыми
парами прописных букв, изображающих гомоморфизмы между ука-
указанными группами. Диаграмма называется коммутативной, если мы
получаем один и тот же составной гомоморфизм каждый раз, когда
следуем от одной группы к другой по направлению стрелок вдоль раз-
разных путей в диаграмме. Например, диаграмма
Г"
коммутативна в точности тогда, когда совпадают гомоморфизмы р*ц
и ц'а группы А в группу В' и гомоморфизмы yv и v'p группы В в груп-
группу С; тогда отсюда вытекает совпадение гомоморфизмов yv\i, v'$\i,
v ц.'а. В диаграммах тождественное отображение часто будет обозна-
обозначаться знаком равенства, например
Эта диаграмма по существу совпадает с диаграммой
А I г
Если она коммутативна, мы скажем, что у проводится через В-*- С.
Следующие две леммы довольно элементарны.
Лемма 2.1. Диаграмму
G
A)
с точной строкой можно вложить в коммутативную диаграмму
§ 2. Отображения и диаграммы
19
тогда и только тогда, когда рт| = 0. При этом гомоморфизм <р: G -> А
определяется однозначно.
Если нужный нам гомоморфизм ср существует, то из равенства
ц —- аф вытекает, что p4j = Раф = 0ф = 0. Следовательно, условие
леммы необходимо. Обратно, если в диаграмме A) prj = 0, то Im т] s
<= Кег р. В силу точности нижней строки Кег Р = Im a, a а — моно-
мономорфизм; следовательно, определено отображение ф = а^ группы G
в А. Легко показать, что это гомоморфизм, делающий диаграмму B)
коммутативной. Если (p':G-*-A—другое отображение с теми же
свойствами, то аф' = т] == аф, откуда ф' = ф, так как а — мономор-
мономорфизм. |
Для экономии места в дальнейшем диаграммы A) и B) будут заме-
заменяться одной диаграммой
таким образом, пунктирные стрелки будут обозначать гомоморфизмы,
которые должны быть «восполнены».
Лемма 2.2. Диаграмма
А
C)
с точной строкой может быть пополнена гомоморфизмом ц>: С -*¦ G
так, чтобы получилась коммутативная диаграмма, тогда и только
тогда, когда тух = 0. При этом гомоморфизм ф определяется однозначно.
Если нужный нам гомоморфизм ф существует, то т^ = фР, т^а =
= фРа = фО = 0, и необходимость доказана. Обратно, предположим,
что ца — 0, и определим ф: С -*• G так: пусть фс = чф, если для
Ь ? В выполнено равенство РЬ = с. Это определение корректно, так
как если Ь' 6 В тоже удовлетворяет условию РЬ' = с, то Ь' — b ?
6 Кег p = Imas Кег л и, следовательно, г\Ь' = г\Ь. Легко видеть,
2*
20
Гл. 1. Предварительные сведения
что ср — гомоморфизм, превращающий диаграмму C) в коммутатив-
коммутативную. Наконец, если для ср': С-*- G тоже выполнено равенство q> P —
= г), то ф'Р = фР, и из того, что Р — эпиморфизм, получаем ф' = ф. и
В доказательстве следующей леммы мы используем «диаграммный
поиск».
Лемма 2.3 E-лемма). Пусть
— коммутативная диаграмма с точными строками. Тогда
(а) если yf— эпиморфизм, а у2, у4 — мономорфизмы, то у3 —
мономорфизм;
(б) если у5 — мономорфизм, а у2, у4 — эпиморфизмы, то у3 — эпи-
эпиморфизм;
(в) если уг — эпиморфизм:, уъ — мономорфизм, уа, у4 — изоморфиз-
изоморфизмы, то у3 — изоморфизм.
Предположим, что выполнены условия пункта (а), и пусть а3 6
6 Кег уз-В силу коммутативности третьего квадрата у4а3а3 = &3у3а3 =
= 0, откуда а3а3 = 0, так как у4 — мономорфизм. В силу того, что
верхняя строка точна, существует такой элемент а2 6 А2, что а2а2 =а3,
а в силу коммутативности второго квадрата р2уаа2 = у3а2а2 = у3а3 ='
= 0. Нижняя строка точна, поэтому р\&! = у2а2 для некоторого Ъх 6
6 Въ а так как уа — эпиморфизм, у^ = Ьх для некоторого at 6 Av
Таким образом, Уга^ = ^у^ = Р^х = у2аг, откуда а^ = аъ так
как у2 — мономорфизм. Это означает, что а3 = а2а2 = а2а1а1 = 0,
т. е. уз — мономорфизм.
Пусть теперь выполнены условия пункта (б), и пусть Ь3 ? Bs.
Отображение у4 — эпиморфизм, поэтому р363 = у4а4 для некоторого
а4 € Ai. Следовательно, у8а4а4 = Р4У4«4 = Р4Рз6з = 0, т. е. а4а4 = 0,
так как у3 — мономорфизм. Верхняя строка диаграммы точна, поэтому
а3а3 = а4 для некоторого а3 6 А3, откуда р3у3а3 = у4а3а3 = у4а4 =
= Р3Ь3. Точность нижней строки и то, что у2 — эпиморфизм, дают
равенство ^2b2 = y3a3 — b3 для некоторого элемента Ь2 6 В и у2а2 =fc2
для некоторого а2 ? А2. Отсюда у3а2а2 = РгУг^г = Узй3 — b3, b3 =
= Уз («з — ot,2a2) 6 Im у3, т. е. у3 — эпиморфизм.
Объединяя пункты (а) и (б), получаем (в). я
Приведем еще одну важную лемму несколько другого характера.
Ее доказательство — опять обычный диаграммный поиск.
§ 2. Отображения и диаграммы 21
Лвмма 2.4 C X 3-лемма). Предположим, что диаграмма
0 0 0
о-»
0->
к
О-»-
1
4|
л
Л,
1
0
>- t>2 •
1
1
\
«3 д Рв
у В3 >
1
I
0
\
> с,-
>0
Ь
- С2->0
1
¦ с3 ->
{
0
-0
коммутативна, а все три ее столбца точны. Тогда если первые две или
последние две строки точны, то оставшаяся строка тоже точна.
Мы докажем только, что из точности двух первых строк вытекает
точность последней строки. Доказательство второй части леммы (кото-
(которое проводится двойственным образом) предоставляется читателю.
Пусть а3 6 Кег а3. Так как Х2 — эпиморфизм, то %гаг = а3 для
некоторого а2 6 А2. Из \12а2а2 = а3^2аг = 0 и точности среднего столб-
столбца вытекает существование такого bt 6 Blt что ^bx = a2a2. Из соотно-
соотношения VjP^! = Рг^А = Ргагаг = 0 мы получаем (^ = 0, так как
vx — мономорфизм. Отсюда и из точности первой строки получается,
что ttjuj = bt для некоторого аг 6 Ах. Следовательно, а2а2 = ц^х =
= ^а^ = агХ^. Таким образом, так как аа — мономорфизм, а2 =
= Я^, откуда а3 = ^2^2 = ^i<Zi = 0, т. е. а3 — мономорфизм.
Так как Рз«з^2 = Рз^гЯг = ^^Рг^а = 0 и Х2 — эпиморфизм, то
имеет место р3а3 = 0. Чтобы показать, что Кег р3 s Im <x3, возьмем
Ъ3 6 Кег р3. Мы знаем, что для некоторого Ь2 6 В2 справедливо равен-
равенство цф2 = Ь3. Отсюда v2p2b2 = РзЩ&г = 0. В силу точности третьего
столбца существует такой элемент сг 6 Clt что v^ = $2b2. Из точности
первой строки вытекает, что Р1Ь1 = сх для некоторого Ьх ? В1} откуда
Рг (Ьг — M-i^i) = Рг^г — viPi^i = 0- Рассматривая вторую строку,
получаем, что существует а2 6 А2, для которого а2Д2 = Ь2 — ц^,
откуда а3Х2а2 = \х,2а2а2 = цф2 = b\, т. е. Ь3 б Im а3.
Наконец, из соотношения Im р*3 э Im рзИ-а — ^т V2P2 = Сз выте-
вытекает, что р3 — эпиморфизм. |
Напомним теоремы об изоморфизмах Э. Нётер, которые будут часто
использоваться.
1) Если В, С — подгруппы группы А и С s В, то
Л/Б s
22 Гл. I. Предварительные сведения __
причем при естественном изоморфизме а-\- В отображается на смеж-
смежный класс, содержащий а + С (а ? А).
2) Если В, С — подгруппы группы Л, то
((])( ),
где естественный изоморфизм — это отображение ср: Ъ + (В П С) >-»¦
*-*¦ Ь + С (Ь 6 В). [Этот изоморфизм ф делает коммутативной диа-
диаграмму
О -»- В (] С ->- В ->¦ В/(В П С) -*. О
111»
О -v С -> В+С->(В+С)/С^ О
где первые два вертикальных отображения — вложения.]
Упражнения
1. Пусть а: А -*¦ В, р: В ->- С. Доказать, что
(а) Кег Ра = Кег а, причем если р — мономорфизм, то имеет
место равенство.
(б) Im Pa s Im р, причем если а — эпиморфизм, то выполняется
равенство.
2. Пусть снова а: А -»¦ В, Р: В ->- С.
(а) Если Ра — мономорфизм, то а — мономорфизм [но Р может не
быть мономорфизмом].
(б) Если Ра — эпиморфизм, то р — эпиморфизм [но а может не быть
эпиморфизмом].
3. Для всякого гомоморфизма а: А -> В существует точная после-
последовательность
0->- Кега->- А —^-> В -*-B/Ima-vO.
4. Если ц —умножение на натуральное число т, а р —вложение,
то последовательность
0—>А[т] —^-> Л —^-» тЛ ->- 0
точна.
5. Пусть а: Л -»- В и В' s В.
(а) Если положить а~^В' = {а | а б Л, аа € В'}, то а (а^В') = В'.
(б) Если А' е Л, то Л' е а (аЛ'), причем равенство в общем слу-
случае места не имеет.
6. Если 0-*¦ А-*¦ В -*¦ С -*¦ 0 — точная последовательность
и В' ? В, то существуют такие подгруппы Л'е Л, С е С, что точна
последовательность 0-> Л' -*¦ В' -*¦ С -*- 0, где а' = а ] Л', 6' =
= р | В'.
§ 2. Отображения и диаграммы 23
7.
В
диаграмме
0
А
г
а
V
> В
<
U
1
с точной нижней строкой на место пунктирной стрелки можно поста-
поставить такой гомоморфизм, что диаграмма станет коммутативной
тогда и только тогда, когда Im rja ? Im у. При этом ср определяется
однозначно.
8. Сформулировать и доказать утверждение, двойственное упр. 7
[все стрелки повернуть в обратную сторону].
9. Гомоморфизм А -*¦ А', превращающий диаграмму
1
0-^А'^В'^С'^О
с точными строками в коммутативную, существует тогда и только
тогда, когда существует гомоморфизм С^-С, превращающий эту
диаграмму в коммутативную.
10. Пусть а, р — два гомоморфизма А -*¦ В. Пусть, далее, суще-
существуют такая группа К и такой гомоморфизм у: К-*- А, что ау = $у
и если для у': К -*• А справедливо равенство ay' = Pv\ то можно най-
найти единственный гомоморфизм ср: К' -*¦ К со свойством у' = уу. Дока-
Доказать, что у — мономорфизм и Im у = Ker (a — Р).
11. Пусть В, С — такие подгруппы группы А, что А = В + С,
и пусть Р: В -*• X, у: С -> X — гомоморфизмы в одну и ту же группу X.
Тогда гомоморфизм а: А -> X, такой, что а|В = рисс|С = 7»
существует в том и только в том случае, когда $\В[~)С — у\В(~]С.
12. Доказать вторую часть леммы 2.4.
13. Для всякого натурального числа т и любой вполне характери-
характеристической подгруппы В группы А подгруппы тВ и В [т] являются
вполне характеристическими в А.
14. Вполне характеристическая подгруппа вполне характеристичес-
характеристической подгруппы группы А сама является вполне характеристической
в А.
15. (а) Если В — вполне характеристическая подгруппа группы
А и i\ — эндоморфизм группы А, то отображение а-{- В *-* у\а-\- В —
эндоморфизм группы A IB.
(б) Если В — вполне характеристическая подгруппа группы А
и С/В — вполне характеристическая подгруппа группы А/В, то С —
вполне характеристическая подгруппа группы Л.
16. (а) Если Bi (i ? /) — вполне характеристические [характеристи-
[характеристические] подгруппы группы А, то подгруппы П Bt и 2 Bi также вполне
характеристические [характеристические].
24 Гл. I. Предварительные сведения
(б) Если S — подмножество группы А, то существует единственная
минимальная вполне характеристическая [характеристическая] под-
подгруппа группы А, содержащая S. Она совпадает с {. . ., q>S, . . .),
где ф пробегает множество всех эндоморфизмов [автоморфизмов]
группы А.
17. Если В — вполне характеристическая [характеристическая]
подгруппа группы А и S — подмножество в А, причем В П 5 = 0,
то существует такая вполне характеристическая [характеристическая]
подгруппа С группы А, что 1) В s С, 2) С f| 5 = 0, 3) если С" —
вполне характеристическая [характеристическая] подгруппа группы
А и СсС, то С П S^0-
18. Пусть т] — эндоморфизм группы А и т — натуральное число.
Тогда nr1 Ker ti = Кег тт|,
§ 3. Важнейшие типы групп
Циклические группы. Эти группы были определены как группы,
которые могут быть порождены одним элементом, т. е. это группы вида
<а>.
Если А — (а) — бесконечная циклическая группа, то она изоморф-
изоморфна аддитивной группе Z целых рациональных чисел 0, ±1, ±2, . . .
[изоморфизм задается соответствием па *-*¦ п], т. е. все бесконечные
циклические группы изоморфны между собой; мы их будем обозначать
одним и тем же символом Z. Так же как и а, элемент —а порождает
группу А, но никакой другой элемент па уже группу А не порождает.
Конечная циклическая группа А — (а) порядка т состоит из эле-
элементов 0, а, 2а, . . ., (т — 1) а. Так как та = 0, мы действуем здесь
точно так же, как с целыми числами по модулю т; таким образом, груп-
группа А изоморфна аддитивной группе Z (т) классов вычетов по модулю т.
Следовательно, все конечные циклические группы одного и того же
порядка т изоморфны между собой; мы будем их обозначать через
Z(m).
Пусть опять А = (а) — циклическая группа конечного порядка
т. Тогда наряду с а каждый элемент ka, где (к, т) — 1, также порожда-
порождает А. В самом деле, если п — натуральное число и п (ka) = 0, то
т | nk, откуда в силу условия на k получаем, что т \ п. Это означает,
что о (ka) = т и, следовательно, {ka) — <а>. Обратно, если ka порож-
порождает (а), то о (ka) = т, и если (k, т) — d, то md~xka = kdrxma — 0,
откуда о (ka) ^ tnd'1, т. е. d = 1. Следовательно, {ka) = (а) тогда
и только тогда, когда (k, т) = 1. Отсюда вытекает, что группа Z (т)
может быть порождена одним элементом ф (т) способами, где ф —
функция Эйлера.
В связи с принятым нами обозначением для циклических групп всегда нуж-
нужно иметь в виду, что ни Z, ни Z (т) не является абстрактной группой: в то вре-
время как невозможно указать какое-нибудь различие между двумя образую-
образующими абстрактной бесконечной циклической группы или Ф (т) образующими
^ § 3. Важнейшие типы групп 25
абстрактной циклической группы порядка т, Z и Z (т) имеют отличные от дру-
других образующие элементы, а именно 1 и класс вычетов, определяемый числом 1,
соответственно. [Это окажется существенным при рассмотрении некоторых есте-
естественных изоморфизмов.]
Подгруппы циклических групп также являются циклическими
группами. Чтобы проверить это, возьмем ненулевую подгруппу В
группы (а) и обозначим через п наименьшее натуральное число, для
которого па ? В. Тогда все кратные элемента па будут лежать в В,
и если sa 6 В для некоторого целого числа s = qn -f r (О ^ г < п),
то из включения га = sa — q (па) 6 В получим, что г = О, откуда В =
= (па). Если а'имеет конечный порядок т, то п \ т. В самом деле, если
и, v — такие целые числа, что ти + nv = (т, п), то (т, п) а = тиа -\-
+ nva = v (па) 6 В, откуда п ^ (т, п). Для различных делителей
п (> 0) числа т подгруппы (па) различны; таким образом, группа
Z (т) имеет столько подгрупп, сколько делителей имеет число т. Заме-
Заметим, что из двух подгрупп группы Z (т) одна содержит другую тогда
и только тогда, когда делитель числа т, соответствующий первой под-
подгруппе, делит делитель числа т, соответствующий второй подгруппе.
Если элемент а имеет бесконечный порядок, то и па (п > 0) имеет бес-
бесконечный порядок, и всякая ненулевая подгруппа группы Z бесконеч-
бесконечная циклическая. Подгруппа (па) имеет индекс п в группе (а), и это
единственная подгруппа индекса п.
Пусть А — (а) и В = (па), где п> 0 —делитель порядка эле-
элемента а, если этот порядок конечен. Тогда факторгруппа A IB может
быть порождена смежным классом а + В, который, очевидно, имеет
порядок п; таким образом, A IB ^ Z-(«). Следовательно, все собствен-
собственные факторгруппы [эпиморфные образы] циклической группы являют-
являются конечными циклическими группами.
КрцикличЕскиЕ группы. Циклическая группа может быть охаракте-
охарактеризована как группа А, содержащая такой элемент а, что всякий гомо-
гомоморфизм ф: В -*¦ А; где а 6 Im <p, является эпиморфизмом. Дуализи-
Дуализируя это понятие, назовем группу С коциклической, если существует
такой элемент с ? С, что всякий гомоморфизм q>: С -*• В, где
с $ Кег ф, является мономорфизмом. В этом случае элемент с называет-
называется нообразующим группы С. Так как всякая подгруппа служит ядром
некоторого гомоморфизма, кообразующий элемент с должен принадле-
принадлежать всем ненулевым подгруппам группы С. Следовательно, пересече-
пересечение всех ненулевых подгрупп коциклической группы С отлично от ну-
нуля; это пересечение — наименьшая ненулевая подгруппа группы С.
Обратно, если группа обладает наименьшей ненулевой подгруппой,
то эта группа коциклическая, а всякий ненулевой элемент ее наимень-
наименьшей подгруппы — кообразующий.
Циклическая группа (а), имеющая порядок, равный степени ph про-
простого числа р, является коциклической, а всякий ее элемент порядка
р — кообразующий. Это следует из того простого факта, что
Ola (рк-га) с: ... с <ра>]с (а)
26 Гл. I. Предварительные сведения
— это все подгруппы группы (а). Коциклическая группа другого типа
была найдена Прюфером [1].
Пусть р— простое число. Корни степени рп из единицы, где я про-
пробегает все неотрицательные целые числа, образуют бесконечную
мультипликативную группу; в соответствии с принятым нами соглаше-
соглашением перейдем к аддитивной записи. Получится группа, называемая
квазициклической или группой типа р°° [обозначение Z (р°°)], которую
можно определить следующим образом: она порождается элементами
clt съ . . ., сп, . . ., где
рсх = 0, рс% = с1( . . ., рсп+1 = с„, .... A)
Здесь о (сп) = рп и всякий элемент из Z (р°°) кратен некоторому эле-
элементу с„.
Чтобы показать, что Z (р°°) — коциклическая группа, возьмем
собственную подгруппу В группы Z (р°°). Существует образующий
сп+1 с наименьшим индексом п + 1, не принадлежащий В. Мы утвер-
утверждаем, что В = {сп > (если п = 0, то В = 0). Очевидно, сп 6 В. Далее,
всякий элемент b ?В может быть записан в виде b = kcm при некото-
некоторых k и /л, причем можно предполагать, что k не делится на р. Если
г, s — такие целые числа, что kr + pms = 1, то ст = krcm + PmsCm =
= rb в В, отуда т^.п, b ?{сп >, т. е. действительно В = (сп >. Следо-
Следовательно, все собственные подгруппы группы Z (р00) — конечные цик-
циклические группы порядка рп(п = 0, 1,2, . . .). Эти подгруппы обра-
образуют цепь по отношению включения
Ос: (сх) а ... с (сп) с: . . .,
так как для заданного п существует одна и только одна подгруппа
порядка рп, а именно та, которая порождается элементом сп.
Теорема 3.1. Группа С является коциклтеской тогда и только тог-
тогда, когда С ^ Z (/г), где k — 1, 2, ... или оо..
Пусть с 6 С — кообразующий элемент группы С. Тогда (с > —наи-
—наименьшая ненулевая подгруппа группы С, откуда следует, что порядок
элемента с равен простому числу р. Так как с лежит в каждой ненуле-
ненулевой подгруппе группы С, то С не может содержать ни элементов беско-
бесконечного порядка, ни элементов, порядки которых делятся на простые
числа, отличные от р. Следовательно, С есть р-группа. Дальше дока-
доказательство будем вести по индукции. Предположим, что группа С со-
содержит не более одной подгруппы Сп порядка рп, причем эта подгруппа
циклическая, С„ = (сп). Если А, В — подгруппы группы С порядка
рп+1 и а 6 А\Сп, b 6 В\Сп, то из a, b § Сп вытекает, что о (а) =
= pn+1 = о (b). Отсюда pa = rcn, pb = scn для некоторых целых чисел
г, s, взаимно простых с р. Если г', s' таковы, что гг' == 1 = ss' mod pn,
то г', s' взаимно просты ери для а' — г'a, b' = s'b имеем (а' > = (а),
pa' = cn, W > = (b), pb' = сп. Поэтому р (а' — Ь') =0, а' — Ь' =
= tcn при некотором целом /, т. е. а' = Ь' + tpb', b' = а' — tpa',
§ 3. Важнейшие типы групп 27
откуда вытекает, что элементы а' и Ъ' порождают одну и ту же цикли-
циклическую группу (а') = (Ь' >. Следовательно, А — (а) = (Ь) = В,
и группа С — объединение конечной или бесконечной возрастающей
цепи подгрупп порядков рп, т. е. С имеет вид Z (ph). B
Очевидно, все квазициклические группы, соответствующие одному
и тому же простому числу р, изоморфны между собой. Так как подгруп-
подгруппы группы Z (р°°) имеют вид Z {ph), то легко видеть, что ненулевые
факторгруппы группы Z (р°°) снова являются группами вида Z (р00).
Группа всех корней из единицы, т. е. группа всех вращений окруж-
окружности, имеющих конечный порядок, очевидно, содержит в качестве
подгруппы группу Z (р00) при любом простом р. Кроме того, эта группа
обладает тем замечательным свойством, что она локально циклическая,
т. е. в ней все конечно порожденные подгруппы циклические. Она
содержит в качестве подгрупп все конечные циклические группы.
Рациональные группы. Рациональные числа относительно сложения
образуют группу, которая называется полной рациональной группой
и обозначается через Q. Как и группа Z (р°°), группа Q может быть так-
также получена как объединение бесконечной возрастающей цепи цикли-
циклических групп
Z= <1> с B! -^с . . . с Ш -*><= . . .
Таким образом, группа Q обладает системой образующих с1( ...
. . ., сп, . . ., где
2с2 = clt Зс3 = с2, . . ., (п + 1) сп+1 = сп, ... B)
Легко видеть, что группа Q также является локально циклической:
всякая ее конечная система элементов содержится в некоторой подгруп-
подгруппе (п!); поэтому подгруппа, порожденная этими элементами, служит
подгруппой циклической группы и, следовательно, сама циклическая.
Группа Q содержит много собственных подгрупп, не обладающих
конечными системами образующих, например подгруппу Qp всех раци-
рациональных чисел, знаменатели которых взаимно просты с р, или под-
подгруппу Q(p> всех рациональных чисел, знаменатели которых — степе-
степени р. Подгруппы группы Q, называемые рациональными группами,
играют фундаментальную роль в теории групп без кручения.
Всякая собственная факторгруппа Q/A группы Q [т. е. такая, что
А Ф 0] является, очевидно, периодической группой, так как некоторое
кратное любого рационального числа лежит в Л. В частности, фактор-
факторгруппа Q/Z изоморфна группе С всех корней из единицы, причем изо-
изоморфизм индуцируется эпиморфизмом г >-*¦ е2ип [где г ?Q, i = V — 1.
е — основание натурального логарифма] группы Q на группу С, ядром
которого служит Z. Вообще Q/ ir) & Q/Z для любого рационального
числа г ф 0, a Q/Qp a; Z (р^).
28 Гл. I. Предварительные сведения
Целые /?-адические числа. Целые р-адические числа находят широ-
широкое применение в различных ветвях теории абелевых групп. Укажем
один из способов их введения.
Пусть р — простое число, a Qp — кольцо рациональных чисел,
знаменатели которых взаимно просты с р. Ненулевые идеалы кольца
Qp являются главными идеалами, порожденными числами рк, где k =
= О, 1, ... [т. е. Qp — кольцо дискретного нормирования]. Если
рассматривать идеалы (ph) как фундаментальную систему окрестностей
нуля, то Qp превратится в топологическое кольцо, и можно будет
образовать пополнение QJ кольца Qp в этой топологии [процесс
пополнения для случая групп подробно описан в § 13]. QJ также явля-
является кольцом, идеалы которого имеют вид (ph), k = 0, 1, . . ., при-
причем это кольцо полно [в том смысле, что любая последовательность
Коши в Qp сходится] в топологии, определяемой его идеалами.
Элементы кольца QJ могут быть представлены в следующем виде.
Пусть {^0, tlt . . ., tp-x} — полная система представителей смежных
классов кольца Qp по идеалу pQp, скажем {0, 1, . . ., р — 1}; тогда
{р\, phtv . . ., phtp-i} — полная система представителей смежных
классов кольца phQp по идеалу ph+1Qp. Пусть я 6 QJ, и пусть ап 6
6 Qp — последовательность, сходящаяся к я. В силу определения
последовательности Коши почти все элементы ап [т. е. все, кроме, быть
может, конечного числа] принадлежат одному смежному классу по иде-
идеалу р Qp, например смежному классу с представителем s0. Почти все
разности ап — s0, принадлежащие рО.р, лежат в одном смежном классе
кольца pQp по идеалу р2О.Р, например в смежном классе с предста-
представителем pst. Продолжая так же дальше, мы получаем, что я однозначно
определяет последовательность s0, &rf), s2p2, .... Поставим элементу
я в соответствие формальный бесконечный рядв0 + sxp + s2pa + . . . .
Частичные суммы этого ряда
bn = So + sxp + . . . + snpn (n = 1, 2, . . .)
образуют в Qp последовательность Коши, которая сходится в О.*,
к я, так как я — Ьп 6 phQ$> (при п >• к). Из единственности пределов
следует, что таким путем различным элементам из Q? окажутся постав-
поставленными в соответствие различные ряды. А так как каждый ряд s0 -(-
+ Sip + s^2 + • • • с коэффициентами из фиксированной системы
представителей определяет элемент из Qp, то мы можем отождествить
элементы я кольца QJ с формальными рядами s0 + SiP + s2pz + . . .
с коэффициентами из {t0, tlt . . ., tp-x} или лучше из {0, 1, . . ., р —
— 1} и написать
n=so + s1p+ .+Snpn+... (sn = 0, 1, . ., р — 1) C)
Получающееся так кольцо Qp является коммутативной областью
целостности [где под областью целостности понимается кольцо без
делителей нуля] и называется кольцом целых р-адических чисел; его
мощность совпадает с мощностью континуума.
§ 3. Важнейшие типы групп 29
Заметим, что если р = г0 + ггр + ... + гпрп + . . . (гп = О,
1, . . ., р — 1) — другое целое р-адическое число, то сумма я -(- Р =
= <7о + ЯлР + ¦ • • + ЯпРп + • • • и произведение яр = q'9 + q[p +...
. . . + q'npn + . . . определяются так: q0 = s0 + r0 — fe0P> <7n = sn + rn+
-I- Л„-1 — knp, q'o = soro — rnop, q'n = sorn + s^n-x + . . . + snr0 +
+ nin-i — mnp (/г=1,2,...), где целые числа &0> kn, m0, mn одно-
однозначно определяются тем условием, что все числа qn и q'n лежат между
О и р — 1. Что же касается вычитания и деления, то заметим, что про-
противоположным к числу я = snpn + sn+iPn+1 + • • • (sn Ф 0) является
число — я — (р — sn) рп + (р — sn+1 — 1) pn+1 + . . ., а обратный
элемент я~г для элемента C) существует тогда и только тогда, когда
s0 ф 0; его можно найти методом неопределенных коэффициентов.
Аддитивную группу кольца Q? мы дальше будем обозначать сим-
символом /п.
Упражнения
1. Простая (абелева) группа изоморфна Z (р) для некоторого просто-
простого числа р.
2. Группа А обладает композиционным рядом тогда и только тогда,
когда она конечна.
3. (а) Подгруппа М группы А называется максимальной, если из
МсА и М ? ВсА следует М = В. Показать, что подгруппа М
является максимальной тогда и только тогда, когда ее индекс в А —
простое число.
(б) Доказать, что группы Z (р°°) и Q не имеют максимальных под-
подгрупп; группы Z (pk) (k = 1, 2, . . .) и Jp имеют ровно по одной мак-
максимальной подгруп-пе; группа Z имеет бесконечно много максимальных
подгрупп.
4. (а) Пересечение всех максимальных подгрупп группы А одного
и того же простого индекса р совпадает с рА.
(б) Подгруппа Фраттини группы А [т. е. пересечение всех макси-
максимальных подгрупп группы А] совпадает с пересечением подгрупп рА,
где р пробегает все простые числа.
(в) Каковы подгруппы Фраттини групп Z (/г), Z, Z (р00), Q, Qp, JV7
5. Доказать, что ни группа Z (р°°), ни группа Q не являются конеч-
конечно порожденными.
6. (а) Показать, что группа всех корней из единицы локально цик-
циклическая.
(б) Всякая подгруппа и всякая факторгруппа локально цикличе-
циклической группы является локально циклической.
7. Доказать, что
Q/Qp ~ Z,-(p°°), Q^IZ ~ Z (р-), Jp/phJp ~ Z (pk),
где k = 1, 2, . . . .
30 Гл. 1. Предварительные сведения
8 (Редей). Если группа А содержит подгруппы, изоморфные Z (ph),
где р — фиксированное простое число, а к = 1, 2, . . . , но никакая
собственная подгруппа группы А этим свойством уже не обладает, то
А зё Z (р°°). [Указание: проверить, что рА — А, и выбрать образую-
образующие.]
9. Если для подгрупп В, С циклической группы А справедливо
А/В ^ А/С, то В и С совпадают.
10. (а) Доказать, что целое р-адическое число я вида C) является
р-адической единицей тогда и только тогда, когда s0 Ф 0.
(б) Поле частных кольца Q? состоит из всех элементов вида яр~",
где я ? Qp, n — неотрицательное целое число.
§ 4. Модули
Большая часть теорем об абелевых группах может быть перенесена
(с соответствующими изменениями) на унитарные модули над областью
главных идеалов R с единицей, и все может быть перенесено на модули
(причем без изменения доказательств), если R обладает тем дополни-
дополнительным свойством, что все факторкольца R/(a), где 0 ф а ? R,
конечны. Однако значительно более тонкий вопрос — найти естествен-
естественные границы, в которых справедлива данная теорема теории абелевых
групп, т. е. описать класс колец, для модулей над которыми эта теоре-
теорема имеет место. Проблемы, подобные этой, находятся за пределами рас-
рассматриваемых нами сейчас вопросов, и поэтому мы ограничимся изучени-
изучением только абелевых групп, т. е. модулей над кольцом Z целых чисел.
Но иногда нам придется рассматривать модули, так как бывает есте-
естественнее проводить рассуждения для них. Поэтому напомним опреде-
определение модулей.
Пусть R — ассоциативное кольцо, М — абелева группа и
1) любому элементу afR и любому а 6 М сопоставлен эле-
элемент из М, называемый произведением элементов а и а и обозначаемый
через aa;
2) (оф) а = a (Pa) для всех а, р ? R и а 6 М;
3) а (а + Ь) = аа + а& Для всех a g R, а , Ь 6 М;
4) (а + Р) cl — аа + ра для всех а, Р 6 R. а 6 М.
В этом случае говорят, что М — левый R-модуль или левый модуль
над R. Если R обладает единичным элементом е, то в большинстве
случаев предполагается, что е действует на М как единичный оператор:
5) га = а для всех а ? М.
Такие R-модули М называются унитарными. В дальнейшем мы
будем рассматривать только унитарные R-модули, причем кольцо R
всегда будет предполагаться коммутативным; в этом случае можно не
делать различия между левыми и правыми R-модулями. [В замечаниях
модули являются унитарными левыми модулями.]
Напомним, что подмодуль N R-модуля М определяется как под-
подмножество модуля М, являющееся R-модулем относительно тех же
операций, т. е. подмодуль — это подгруппа в М со свойством aN e N
§ 4. Модули 31
для всех a ? R. В этом случае факторгруппу MIN можно пре-
превратить в R-модуль, называемый фактормодулем, если положить
а (а + N) = аа + N для всех смежных классов а + N и а ? R.
Для R-модулей М, N групповой гомоморфизм <р: М -*¦ N назы-
называется R-гомоморфизмом, если выполнено равенство
ср (оса) = а ер (а)
для всех а 6 М, а ? R. Что такое R-изоморфизм и т. д., ясно.
Если а — элемент R-модуля М, то порядком о (а) элемента а назы-
называется множество всех его аннуляторов в кольце R:
о (а) =-{о 6 R \аа = 0}.
Таким образом, о (а) — левый идеал в R. Если о (а) = 0, то это соот-
соответствует бесконечному порядку элемента в группах.
Пример 1. Если R — кольцо Z целых чисел, то всякую абелеву группу
А можно рассматривать как Z-модуль при естественном определении умножения
числа я ? Z на элемент а ? А, т. е. когда па — это п-кратное элемента а.
Пример 2. Если R — это кольцо О.р рациональных чисел, знаменатели
которых взаимно просты с р, то р-группу А можно естественным образом пре-
превратить в Qp-модуль. Именно, если (и, р) = 1, то для любого а ? А произведение
п~га — однозначно определенный элемент из (а). В самом деле, если г, s — такие
целые числа, что пг -\- о (a) s = 1, то а = пга + о (о) sa = nra, откуда п'1 а =
= га (причем легко видеть, что в А никакой элемент, отличный от га, не дает
при умножении на п элемент а).
Пример 3. Аналогично получается, что всякую р-группу А можно есте-
естественным образом превратить в Qp-модуль; если я = s0 + stp + • • •
. . . + snpn + . . . f Op и элемент а ? А имеет порядок рп, то
па = (s0 + sip + . . . + «„.IP") a,
где элемент в правой части равенства не изменится, если мы возьмем частичную
сумму ряда л с большим числом членов.
Заметим, что во всех наших примерах подмодули и R-гомоморфизмы —
это просто подгруппы и групповые гомоморфизмы.
Модули над кольцом Q* называются также р-адическими модулями.
Упражнения
1. Циклический R-модуль, порожденный элементом а, R-изомор-
фен R-модулю Rio (a).
2. Если R — область главных идеалов, М есть R-модуль, а, Ь 6 М
и о (а) = (а) Ф 0, о (Ь) = (Р) ф 0, то о (с + Ь) = (у), где у — дели-
делитель ар (а, Р)'1 и кратное оф (а, Р)~2.
3. Пусть R — коммутативная область целостности и М есть R-мо-
R-модуль. Тогда элементы а 6 М, для которых о (а) ф 0, образуют подмо-
подмодуль N модуля М, причем в фактормодуле M/N все ненулевые элемен-
элементы имеют порядок 0.
4. Пусть N — подмодуль R-модуля М. Доказать, что о (а) е
s о (а + N), где о (а + N) — порядок смежного класса а + N
в МШ.
32 Гл. I. Предварительные сведения
5. Если R = Z/ (т), где т — натуральное число, то для всякого
элемента а любого R-модуля та = 0.
6. Если ф: R' ->- R — кольцевой гомоморфизм, переводящий
единицу кольца R' в единицу кольца R, то всякий R-модуль М мож-
можно превратить в R'-модуль, полагая а'а = ср (а') а для всех а' ? R',
а 6 М.
7. Всякий Q-модуль является группой без кручения.
§ 5. Категории абелевых групп
В теории] абелевых групп часто бывает удобно вести изложение
в терминах категорий. Вообще, во многих случаях категории и функ-
функторы, видимо, являются подходящими обобщающими понятиями.
Поэтому введем категории и рассмотрим некоторые важнейшие свя-
связанные с ними понятия.
Категории не являются алгебраическими системами в обычном смысле сло-
слова, т. е. это не обязательно множества с алгебраическими операциями. Катего-
Категории даже не обязаны быть множествами, они только «классы». От предположения,
что имеется множество, нужно освободиться потому, что, например, мы часто
рассматриваем все абелевы группы, а это не множество. [Поэтому удобно исполь-
использовать аксиомы Геделя — Бернея из теории множеств, где допускаются и мно-
множества, и классы. Если мы хотим избежать использования классов, то нужно
ограничиться рассмотрением абелевых групп, множества элементов которых
принадлежат некоторому «универсальному» множеству в смысле Гротендика.]
Категорией % называется класс объектов А, В, С,. . . и морфизмов
«1 P. Y. • • ч удовлетворяющий следующим аксиомам:
1. С любой упорядоченной парой А, В объектов из % связано мно-
множество Map (А, В) морфизмов из*?, причем так, что всякий морфизм
из Чо принадлежит точно одному множеству Map (А, В). Если а 6 &
лежит в Map (А, В), то будем писать а: А' -*• В и называть а отобра-
отображением объекта А в В, А — областью определения, В — областью зна-
значений морфизма а.
2. С морфизмами а 6 Map (А, В) и 0 ? Map E, С) связан един-
единственный элемент из Map (А, С), называемый их произведением (Joe.
3. Если произведения определены, то имеет место ассоциативность
7 (Р«) = (YP) «.
4. Для каждого Л 6 ^ существует такой морфизм 1А 6 Map (А, А),
называемый единичным морфизмом объекта А, что 1Аа = аирЧА =
= Р всякий раз, когда это поизведение имеет смысл.
- Легко непосредственно проверить, что 1А однозначно определяется
объектом А; в самом деле, если iA 6 Map (А, А) обладает таким же
свойством, то произведение] lAiA равно и 1А и iA. Называя морфизм
i 6 ^ единицей, когда ia = а и pi = р, если только произведения
определены, получаем, что существует взаимно однозначное соответ-
соответствие между объектами А и единицами 1А категории С6. Поэтому кате-
категории могут быть также определены только в терминах морфизмов.
^ § 5. Категории абелевых групп 33
Существует много примеров категорий: множества с отображениями
в качестве морфизмов, не обязательно коммутативные группы или коль-
кольца с гомоморфизмами в качестве морфизмов, R-модули с R-гомоморфиз-
R-гомоморфизмами, топологические пространства с непрерывными отображениями
и т. д. Для нас наиболее важным примером является категория А всех
абелевых групп, где объекты — абелевы группы, а морфизмы — их
гомоморфные отображения. Очевидно, периодические (абелевы) груп-
группы, р-группы, группы без кручения и т. п. также образуют категории,
если в качестве морфизмов брать гомоморфизмы. [Вообще, если объек-
объекты некоторой категории — группы, то всегда подразумевается, если
не оговорено противное, что морфизмы категории — это гомоморфизмы
одних групп категории в другие.]
Точно так же, как о гомоморфизмах для алгебраических систем,
можно говорить о функторах для категорий. Если % и 3) — категории,
то ковариантный функтор
[из категории % в категорию 35] ставит в соответствие каждому объек-
объекту A ? % объект F (А) ? 35, а каждому морфизму а: А -*¦ В в % —
морфизм F (а) : F (А) -»- F (В) в 35, причем так, что выполнены усло-
условия
1) если определено произведение Ра, где а, Р 6 $, то [F ф) F (а)
определено в 3) и]
F (Ра) = F ф) F (а);
2) F переводит единицу объекта Л б^в единицу объекта F (Л) 6 <2\
т. е. для всех Л ^
Таким образом, ковариантный функтор сохраняет области определения,
области значений, произведения и единицы. Тождественный функ-
функтор Е, определяемый равенствами Е (А) = А, Е (а) = а для всех
А, а ? 'ё, является ковариантным функтором из категории % в нее же.
Контравариантный функтор G: % ->- 3) определяется аналогично,
но с обращением стрелок, т. е. G сопоставляет каждому объекту А 6 ^
объект G (А) 6 35 и каждому морфизму а: А -> В из % морфизм
G (a): G (В) -*• G (А) из 35, причем выполняются равенства
G фа) = G (a) G (p), GAA) = 1OM).
Просто термин «функтор» будет обычно обозначать ковариантный
функтор.
Если F — функтор из категории % в категорию 35, a G — функтор
из категории 35 в категорию Щ, то композиция GF — это функтор
из « в Ш [где GF (А) = G (F (А)) и GF (a) = G (F (а)) для всех А,
а ? Щ. Очевидно, функтор GF ковариантен, если F и G одновременно
ко- или контравариантны, и контравариантен, если один из функторов
F, G ко-, а второй контравариантен.
3 Л. Фукс
34 Гл. I. Предварительные сведения
Нам придется рассматривать функторы от нескольких аргументов,
ковариантные по некоторым из этих аргументов и контравариантные
по остальным. Если, например, %, 3), % — категории, то бифунктор
F из % х 3)вЩ, ковариантный на $ и контравариантный на 3), сопо-
сопоставляет каждой паре объектов (С, D), где С 6 %, D ? 3), объект
F (С, D) 6 if, а каждой паре морфизмов а: А ->¦ С, Р: В -*¦ D
(а 6 «, Р 6 3>) — морфизм F (а, Р): F (A, D) -> F (С, В), причем
так, что
F (Y«, бр) = F (у, Р) F (а, б) и F AС, 1Л) = 1F(C, D), A)
если только уа, бр определены. Если зафиксировать D ? 3), -ю С >-+
и-* F (С, D) и a t-f F (a, 1D) даст ковариантный функтор из 4S в S,
а для фиксированного С 6 ^ получится, что D »->• F (С, D), Р •-»•
ь-»- Т7 AС, Р) — контравариантный функтор из 3> в %. Заметим, что
в силу соотношений A) диаграмма
(, D)
F(A,D) ^* F(C,D)
F(a, ln) У
F(A, В) =+ F(C, B)
коммутативна.
Можно привести очень много примеров функторов. Наиболее важ-
важными в теории абелевых групп являются те функторы, которые ставят
в соответствие группе ее подгруппу или факторгруппу [они рассмат-
рассматриваются в следующем параграфе], а также функторы Horn, Ext,
<g> и Тог [определяемые в гл. VIII — X]. Следующий пример носит
другой характер.
Пусть ЗГ — категория, в которой объекты — это последовательности [А]:
«1 «2
А\ —> Аъ —*¦ At групп и гомоморфизмов, где c^at = 0, а морфизмы —
тройки [Yi, Y21 Yal групповых гомоморфизмов yi'. At-*- Bj, для которых диа-
диаграмма
oci од
Г Л1 * Л л > А \ А п
[В]: B1^
коммутативна. Можно непосредственно проверить, что ЗГ — действительно
категория.
Определим следующим образом функтор гомологии Н из категории ST в ка-
категорию <?. Для \А\^ЗГ пусть Я [А] = Ker a^Im аи а Н \yit y2, Ysl :
Н [А] -*• Н [В] пусть будет гомоморфизмом
<р: а + Im «i >—*• Уг& + Im Pi (a 6 Ker a2).
Очевидно, что A) если о 6 Ker а.г, то уг о. 6 Кег р2; B) если а, а' 6 Ker a2
и а — о' 6 Im aiF то Y2fl — Y2a' ^ Im Pi» C) ф сохраняет операцию сложения.
Непосредственно проверяется, что Н удовлетворяет условиям 1), 2), входящим
в определение ковариантного функтора.
§ 5. Категории абелевых групп 35
Один из основных вопросов, касающихся функторов, — установить,
как они ведут себя по отношению к подгруппам и факторгруппам. Это
удобно сделать в терминах точных последовательностей. Если F —
ковариантный функтор из категории Л в категорию Л [вместо Л мож-
можно брать ее подкатегории] и 0 ->- Л Д- В -Л- С -»- О — точная последо-
последовательность, то функтор F называется точным слева или справа, если
точна последовательность
или последовательность
соответственно; если функтор Оточен и слева, и справа, он называется
точным. Для контравариантного функтора F указанные последова-
последовательности заменяются последовательностями
соответственно. Подфункторы тождественного функтора [см. следую-
следующий параграф] всегда точны слева, а факторфункторы точны справа.
Пусть F и G — ковариантные функторы из категории 'ё в катего-
категорию 3). Естественным преобразованием Ф: F-+G называется функ-
функция, ставящая в соответствие каждому объекту А 6 % морфизм
Фа: F (А) -*¦ G (А) из 3 таким образом, что для любого морфизма
а: А ->¦ В категории % диаграмма (в 3))
коммутативна. В этом случае срА называется естественным морфизмом
между F (А) и G (А). Естественный характер некоторых гомоморфизмов
и изоморфизмов крайне важен. Если срА является изоморфизмом для
всякого А 6 $, то Ф называется естественной эквивалентностью.
В теории абелевых групп приходится сталкиваться почти исключи-
исключительно с аддитивными функторами, т. е. такими функторами F, что
F (а + р) = F (а) + F (Р)
для всех тех а, р ? Л, для которых а + р определено. Для аддитивно-
аддитивного функтора F из категории Л в категорию Л получается, что F @) =
= 0, где 0 обозначает нулевую группу или нулевой гомоморфизм, а так-
также F (па) = nF (а) для любого п 6 Z.
3*
3C Гл. I. Предварительные сведения
Функторы из одной категории в другую подробно изучаются в го-
гомологической алгебре; см. книги Картана и Эйленберга [1] и Маклейна
[3].
Упражнения
1. Доказать, что для любого кольца R левые R-модули (как объек-
объекты) и R-гомоморфизмы (как морфизмы) образуют категорию.
2. Доказать, что следующая система является категорией: объекты —
коммутативные диаграммы вида
Л, > А2
где At — группы, морфизмы — четверки (yv 72. 7з. Y4) групповых
гомоморфизмов, такие, что все квадраты, возникающие между B)
и другим объектом, являются коммутативными.
3. Категория с одним объектом является по существу полугруппой
[морфизмов] с единицей.
4. Категория %' называется подкатегорией категории $, если
1) все объекты из %' являются объектами категории %; 2) Мар^ (А, В),
где А, В 6 ^', есть подмножество множества Мар^(Л, В); 3) про-
произведение двух морфизмов из %' совпадает с их произведением как
морфизмов из *ё; 4) для любого объекта А ? %' морфизм 1Д один и тот
же в %' и в "ё. Доказать, что /: А >-* А, а ь-* а (для А, а ? <$')
есть функтор из %' в $.
5. Пусть $lf ^ — две категории. Их произведением. (ё1 X ^2
называется категория, состоящая из объектов (Alt Л2), где At ? %и
и морфизмов (alt a2): {Аъ Аг) ->¦ EЬ В2), где at g $г, в которой
произведение фи р2) (ах, а2) определено тогда и только тогда, когда
определены произведения Рхах и р2а2, причем в этом случае оно равно
($iav Р*гаг)- Доказать, что это действительно категория.
6. Проверить, что определенный выше функтор гомологии является
функтором.
7. Произведение естественных преобразований является естествен-
естественным преобразованием.
§ 6. Функторные подгруппы и факторгруппы
Некоторые из наиболее важных функторов в теории абелевых групп
ставят в соответствие группе А ее подгруппу или факторгруппу.
Рассмотрим вкратце этот тип функторов.
Для начала приведем несколько примеров таких функторов.
Функторные свойства в них можно проверить непосредственно.
§ 6. Функторные подгруппы и факторгруппы 37
Пример 1. Функтор Т: А -*¦ .58 из категории <& в категорию М всех
периодических групп, где Т (А) для A ? <6 — периодическая часть группы А,
а Г (а) для а: А -»- В из Л — ограничение а | Т (А): Т (А) -*¦ Т (В)
Пример 2. Если взять цоколь S (А) группы А вместо ее периодической
части, то тоже получится функтор S: <Ж -*¦ 3 [где S (а) = о | S (Л)].
Пример 3. Функтор Мп: <Ж ->«??, где я — натуральное число, который
ст.шит в соответствие группе А ее подгруппу пА, а гомоморфизму а: А -*¦ В —
индуцированный гомоморфизм а | пА: пА -*¦ пВ.
Пример 4. Пусть ^tn — категория п-ограниченных групп, т. е. таких
групп G, что яС = 0. Мы получим функтор Л -*¦ е&п, если поставим в соответ-
соответствие группе А подгруппу А [п], а гомоморфизму а: А -*¦ В — его ограничение
а | А [п].
Пример 5. Если % — категория групп без кручения, то функтором
из «*? в % является функция, ставящая в соответствие группе А 6 <Л факторгруп-
факторгруппу А/Т (А) и гомоморфизму а: А -*¦ В из ^ — индуцированный гомоморфизм
а*: а + Т (А) >-*¦ аа + Т (В) группы А/Т (А) в В/Т (В) [отображение а* не за-
зависит от выбора элемента а в определяемом им смежном классе по подгруппе
Т (А)].
Пример 6. Мы получим функтор <А -*¦ «*?п, если положим А >-*¦ А/пА
для всех А 6 di и а >-*¦ а* для всех а:А ->- В из J4, где а* — индуцированный
гомоморфизм а + пА *-*¦ аа + пВ.
Вообще, предположим, что нам дана функция F, ставящая в соот-
соответствие каждой группе А ? Л такую ее подгруппу F (А),
F (А) <= А,
что если а: А -*¦ В — гомоморфизм группы А в группу В, то
aF (A) s F (В), т. е. ограничение а \ F (А) отображает F (А) в F (В).
Тогда если положить
F(a) = a\F (A),
то F будет функтором Jk-+-A. Мы будем называть F {А) функторной
подгруппой группы А. [Заметим, что функторная подгруппа возникает
всегда в связи с функтором F из категории Л в категорию А или в ее
подкатегорию; следовательно, она должна быть определена для всех
А 6 Л, даже если в частном случае мы рассматриваем только одну
группу Л.] Примеры 1—4 показывают, что Т (A), S (А), п (А),
А[п] — функторные подгруппы группы А.
Предположим теперь, что F* — функция, ставящая в соответствие
каждой группе A ?jt такую факторгруппу А/А*, что если а : А -»- В —
гомоморфизм, то
а + А*у-+аа + Б*
— гомоморфизм группьГЛ/Л* в В/В*. Тогда легко проверить, что ото-
отображение F*\ Jk -*¦ А обладает функторными свойствами. F* (А) =
= А/А* мы будем называть функторной факторгруппой группы А.
Примеры 5 и 6 показывают, что А/Т (Л) и А/пА — функторные фактор-
факторгруппы группы Л.
Между функторными подгруппами и функторными факторгруппа-
факторгруппами существует тесная связь.
38 Гл. I. Предварительные сведения
Теорема 6.1. F( А) является функторной подгруппой группы А тогда
и только тогда, когда AIF (А) = F* (А) есть функторная факторгруп-
факторгруппа группы А.
Если а: А -*• В — гомоморфизм, то а*: а + А* *-*¦ аа + В*
является гомоморфизмом А /А* -*¦ BIB* в точности тогда, когда аа 6
? В* для любого а 6 А*. Но это эквивалентно условию a A* s В*
для функторных подгрупп F (А) = A*, F (В) = В*. я
Укажем два довольно общих метода получения функторных под-
подгрупп и функторных факторгрупп. В силу предыдущей теоремы суще-
существует естественное взаимно однозначное соответствие между класса-
классами функторных подгрупп и функторных факторгрупп; поэтому можно
сосредоточить внимание только на функторных подгруппах.
Пусть Ж — класс групп X. С каждой группой А ^Л свяжем две
подгруппы:
Уж (Л) = П Кег ф, где ц>:А-
ф
где $:Х-+
Таким образом, ср пробегает все гомоморфизмы группы А в группы
класса X, а я)) пробегает все гомоморфизмы групп из 3? в группу А.
Предложение 6.2. Vg " ^3?> г^е класс % фиксирован, являются
функторами из категории Jk в категорию А.
Пусть а: А -> В и ф: В -*~ X 6 X. Тогда фа — гомоморфизм
группы А в группу X, причем, очевидно, V% (A) s ПКег фа, если
ф
Ф пробегает все гомоморфизмы В -*¦ X 6 Ж. Отсюда следует, что а
отображает У# (А) в П К.ег ф = Уж (В). Следовательно, Уж есть
ф
функтор Jt -± Л. Чтобы доказать то же для W%, предположим снача-
сначала, что а: А -> В иф: Х-*- А. для некоторого X 6 Ж. Тогда аг|э: X ->
-*- В и, очевидно, 2 *т Щ — ^ЗЕ (^)- ^т° показывает, что №# (Л) =
= 2 I1111!' отображается посредством а в ЦРЖ E). a
Приведем примеры функторов Уж и №ж.
а) Пусть 35 состоит из всех циклических групп простого порядка р. Тогда
УХ W — подгруппа Фраттини группы А [см. упр. 4 в § 3], a W% (Л) = S (Л)—
цоколь группы А.
б) Если 36 состоит из всех конечных циклических групп, то Vj (Л) — так
называемая ульмовская подгруппа группы Л, которую мы будем обозначать через
U (Л) или Л1. В этом случае W% (Л) — это Т (А).
в) Пусть теперь Ж содержит только одну группу Z (m). Тогда V$ (A) =
= тА [это будет следовать из A7.2)], а №# (Л) = Л [т].
§ 6. Функторные подгруппы и факторгруппы 39
г) Если Ж — снова класс, состоящий из одного элемента, а именно X =
= {Q}, то, как будет следовать из теорем гл. IV, Kg (A) = T (A), a W$ (A) =
= D (А) — максимальная делимая подгруппа группы А.
Если Fi и Fa — такие функторы Л -»- Ж что /^ (Л) = F2 И) s
s Л для любой группы А 6 А, то будем писать
и называть i^ подфунктором функтора Fa. Отношение ^ между функ-
функторами заданного типа определяет частичный порядок в классе ер этих
функторов. ер обладает максимальным элементом Е, которым является
тождественный функтор Е (А) = А, и минимальным элементом О,
которым служит нулевой функтор О (А) = 0. По очевидным причинам
мы будем называть класс ер классом подфункторов тождественного
функтора. Если F 6 jf, то функтор F* [определенный в теореме 6.1]
называется факторфунктором тождественного функтора.
В ер отношение ^ на самом деле задает структурный порядок.
Действительно, если Flt F2 ? jf, то отображения
А -* F1 (A)[\F2 (А) и А ~ Fx (A) + F2 (A)
порождают подфункторы тождественного функтора, представляющие
собой inf (Flt F2) и sup (Flt F2). Эти подфункторы можно обозначить
соответственно через Fx Д F2 и Fx \J F2. Кроме того, если Ft (i 6 /)
— некоторое семейство функторов из ер, то формулы
определяют, как легко проверить, inf и sup этого семейства.
Кроме теоретико-структурных операций, можно естественным обра-
образом ввести в ер умножение: для Flt F2 6 & полагаем (F-^F^ (A) =
= ^i (^г (^))» т- е- произведение Р^Рг функторов Fx и Рг понимается
в обычном смысле. Очевидно, FXF2 6 2Р'•
Если дан подфунктор F тождественного функтора, то следующим
образом с помощью трансфинитной индукции определим для поряд-
порядковых чисел а итерированные функторы Fa. Положим F0 = Е,
и пусть
_ рра,
Для предельного порядкового числа о" положим
= A
Р<0
[Очевидно, F° (а) для^любого а: А -> В является ограничением а
на Fa (А).] Если, например, F— это функтор V% из примера а), то Fa,
где со — первое предельное порядковое число, — это функтор U
из примера б).
40 Гл. 1. Предварительные сведения
В дальнейшем будет играть очень важную роль ульмовская под-
подгруппа U (А) группы А, введенная в примере б). Другое ее определе-
определение таково:
U (А) = П пА.
п
Эквивалентность этого определения с данным в примере б) вытекает
из результатов гл. III. Точнее, U (А) называется первой ульмовской
подгруппой группы Л, в то время как <т-й итерированный функтор
U0 (А) = Аа дает сг-ю ульмовскую подгруппу группы А. Факторгруппа
U° (А)Ш<>+1 (А) = Uо (А) = Аа (с = 0, 1, 2, . . .)
называется а-м ульмовским фактором группы А; в частности, А /А1 =
— Ао — нулевой ульмовский фактор группы А. Об ульмовских под-
подгруппах и ульмовских факторах см. § 37.
Заметим, что если Fv F%— подфункторы тождественного функтора,
причем Fi ^ F2, то вложения <рА: Fx (А) -> F2 (А) дают естественное
преобразование Ф: Fj -*¦ F2, а соответствующие им отображения
Ф*а: AlF-i {А) ->¦ A/F2 (А) определяют естественное преобразование
Ф*: FX ->- П.
Упражнения
1. Доказать, что для подфункторов F, G, Н тождественного функ-
функтора справедливы соотношения (FG) Н = F (GH), FG ^ F Д G,
а если F < Я, то F V (G А Н) = (F V G) Д Н.
2. Если Т, S —функторы из примеров 1 и 2, то Т2 — Т, S2 = S,
TS = ST = S.
3. Для подфунктора F тождественного функтора из С = А вытека-
вытекает, что
F (С)я=С () F (А) и (F (А) + СIС <= F (А/С).
4. Пусть Ж и SJ —два класса групп.
(а) Если $sS5, то Ущ-СУзе и W%*CW%.
(б) Всегда
5. Если $ —некоторый класс групп, то через Ж8 и Жд обозначим
соответственно класс всех подгрупп и класс всех факторгрупп групп
из $. Тогда
6. Если f—подфунктор тождественного функтора, а р, о—поряд-
о—порядковые числа, то FpFa = Fa+p.
7. Для любого класса групп Ж и любой пары р, а порядковых чисел,
где р ^ о, при всяком А ^Л выполнены соотношения
§ 7. Топологии в группах 41
8. Пусть Fo, где а пробегает все порядковые числа, меньшие неко-
некоторого т, — подфункторы тождественного функтора. Определить бес-
бесконечное произведение . . . Fa ¦ • . F^q (ct ¦< т) и показать, что эта
тоже подфунктор тождественного функтора.
9.* Используя понятие прямой суммы (см. § 8), проверить для под-
функтора F тождественного функтора формулу
Показать, что для прямых произведений аналогичное равенство уже
не имеет места.
§ 7. Топологии в группах
Топология в абелевых группах может быть введена различными
путями, естественными в том или другом смысле. Получающиеся топо-
топологии не обязательно хаусдорфовы; в некоторых из них даже груп-
групповая операция не непрерывна. Важность топологий в абелевых груп-
группах будет видна из дальнейшего изложения.
Наиболее существенными среди топологий, которые мы здесь рас-
рассмотрим, являются линейные топологии. Это такие топологии, что
имеется база [фундаментальная система] окрестностей нуля, состоя-
состоящая из подгрупп, причем смежные классы по этим подгруппам обра-
образуют базу открытых множеств. Чтобы сформулировать наше опреде-
определение в достаточно общем виде, возьмем дуальный идеал (т. е. фильтр)
D в структуре L (А) всех подгрупп группы А и объявим подгруппы О
группы А, лежащие в D, базой открытых окрестностей нуля. Тогда
смежные классы а + I/ (I/ ? D) будут базой открытых множеств эле-
элемента а. Так как пересечение двух смежных классов {ах + иг) П (а2 -Ь
+ иг) или пусто, или является смежным классом по подгруппе
Ui П U2, a U1 П U2 6 D при Ui, U2 6 D, то все открытые множества
будут объединениями смежных классов а + U, где U 6 D. Непрерыв-
Непрерывность групповых операций очевидна в силу простого замечания, что
из включения х — у 6 а + U следует (л; + И) — (у + U) s a + U.
Возникающую таким образом топологию мы назовем D-топологией
группы А. Очевидно, она хаусдорфова тогда и только тогда, когда
П U = О
и дискретна тогда и только тогда, когда 0 6 D.
В некоторых случаях рассматривается топология, удовлетворяю-
удовлетворяющая первой аксиоме счетности, т. е. такая, что существует счетная база
открытых окрестностей нуля. Если Ult U2, • • •, Un, ... — такая
система окрестностей, то Ux, иг (") U*, • • -. U\ П • • • П Un, • • • —
42 Гл. I. Предварительные сведения
тоже; таким образом, в данном случае мы можем без ограничения
общности считать последовательность убывающей.
Открытая подгруппа В обязательно замкнута. В самом деле, ее
дополнением в группе служит объединение смежных классов а -\- В
(a $ В); эти смежные классы — открытые множества, и тем же свой-
свойством обладает их объединение. Следовательно, подгруппы U ? D
одновременно открыты и замкнуты. Отсюда получается
Предложение 7.1. Если D — дуальный идеал структуры L (А)
всех подгрупп группы А и D-топология группы А хаусдорфова, то отно-
относительно этой топологии А является 0-мерной топологической груп-
группой, щ
Важное значение имеют следующие частные случаи.
1. Z-адическая топология, где базу окрестностей нуля образуют
подгруппы пА (п 6 Z, п Ф 0). Это D-топология, где D состоит из всех
подгрупп (/дА, для которых в A/U порядки элементов ограничены
в совокупности х). Z-топология является хаусдорфовой тогда и только
тогда, когда
п
т. е. первая ульмовская подгруппа U (А) группы А нулевая. Эта топо-
топология дискретна тогда и только тогда, когда пА = 0 для некоторого
п, т. е. группа А — ограниченная. Легко видеть, что замыкание
В~ подгруппы В задается формулой
В"=П (В + пА),
и подгруппа В замкнута тогда и только тогда, когда первая ульмов-
ульмовская подгруппа группы А/В равна нулю.
2. р-адическая топология, где базу окрестностей нуля образуют
лишь подгруппы phA (k = 0, 1, 2, . . .). [Здесь дуальный идеал D —
это множество всех подгрупп [/gi, для которых A/U — ограничен-
ограниченные р-группы.] Справедлив следующий простой результат.
Теорема 7.2. Для группы А эквивалентны условия:
а) р-адическая топология группы А хаусдорфова;
б) А не содержит ненулевых элементов бесконечной р-высоты;
в) || а || = ехр (— hp {а)) является нормой на группе Л (а б А);
г) б (а, Ь) = || а — b || служит метрикой на группе A {a, b 6 А),
определяющей р-адическую топологию.
Так как р-адическая топология группы А хаусдорфова тогда и толь-
только тогда, когда п PhA = 0, эквивалентность условий а) и б) очевидна.
Из б) следует, что пр (а) = с» равносильно тому, что а = 0; учитывая
также неравенство hv (a + ft) > min (hp (a), hp (b)), получаем, что:
*) Группы, в которых порядки элементов ограничены в совокупности, мы
будем в дальнейшем называть ограниченными. — Прим. перев.
§ 7. Топологии в группах 43
1) || а || > 0 для любого а 6 Л, 2) || а || = 0 тогда и только тогда, когда
а = 0; 3) || а + b || < max (|| а ||, || Ь ||) для всех а, & 6 Л. Таким обра-
образом, || а || — норма на группе А. Чтобы показать, что из в) вытекает г),
заметим, что из свойств нормы следует, что б (а, Ь) — \\ а — b \\ —
метрика на А, при которой база открытых множеств состоит из внутрен-
внутренностей шаров радиуса е (е > 0), т. е. из множеств {Ь 6 А | б (а, Ь) <
< ехр (— k + 1)} = а + /?^4. Таким образом, из в) следует г), а из г)
очевидным образом вытекает а). 9
В р-группе А Z-адическая и р-адическая топологии совпадают.
В самом деле, если А есть ^-группа и (т, р) — 1, то тЛ = Л. Это
простое следствие из того, что было показано в примере 2 из § 4.
3. Прюферова топология, которая определяется с помощью дуаль-
дуального идеала D, состоящего из всех подгрупп [/еЛ, для которых
в факторгруппе AIU выполнено условие минимальности (см. § 25).
Это всегда хаусдорфова топология, в которой все подгруппы замкнуты.
4. Топология конечных индексов, где базу окрестностей нуля состав-
составляют подгруппы U группы А, имеющие конечный индекс. Эта тополо-
топология является хаусдорфовой тогда и только тогда, когда первая ульмов-
ская подгруппа группы А является нулевой. Она грубее, чем Z-ади-
Z-адическая и прюферова топологии.
Другой общий метод превращения группы А в топологическое про-
пространство состоит в том, что подгруппы S группы Л, принадлежащие
некоторому множеству @, объявляются замкнутыми, а смежные классы
а + S {а ? А) рассматриваются как подбаза замкнутых множеств в Л.
В этом случае легко видеть, что отображения
х*-+ х + а, х*-* —х
(для каждого а ? Л) являются непрерывными и открытыми. Однако
в общем случае сложение не является непрерывным одновременно
по обоим переменным. Следовательно, Л оказывается [так называемой
полутопологической, но] нетопологической группой в этой топологии,
которую мы будем называть замкнутой <&-топологией. Чтобы охарак-
охарактеризовать случаи, когда Л — топологическая группа, докажем снача-
сначала лемму.
Лемма 7.3 (Нейман Б.). Пусть Бъ . . ., Sn — такие подгруппы
группы А, что А является теоретико-множественным объединением
конечного числа смежных классов
А = (fl! + Si) U • • • U (On + Sn) (a, 6 Л). A)
Тогда одна из подгрупп Slt . . ., Sn имеет в А конечный индекс.
Предположим, что представление A) несократимо в том смысле, что
ни один из смежных классов at 4- St не содержится в объединении
остальных. Если все St совпадают, то St имеет в Л индекс п. Пусть
среди подгрупп Slt . . ., Sn имеется k !> 2 различных, и пусть для
случая k — 1 различных подгрупп S; утверждение уже доказано.
Пусть подгруппы Si, . . ., Sm отличны от Sm+1 = ... = Sn(m< n).
44 Гл. I. Предварительные сведения
В силу несократимости некоторый смежный класс х + Sn не содержит
n in
ся в U (fli + Si), поэтому x-\-Sn = U {at + St). Но тогда
i=m+l 1=1
mm m
A= U (a. + S,) I) U (flm+i-дг + aj + Si) II... I) U (an-
и в этом выражении участвует только k — 1 различных подгрупп
Si, . . ., Sm, так что утверждение леммы следует из индуктивного
предположения. а
Следующий результат показывает, что если топология на группе
А, полученная с помощью множества @ замкнутых подгрупп, превра-
превращает А в топологическую группу, то это линейная топология, опреде-
определяемая замкнутыми подгруппами из @, имеющими конечный индекс
[эти подгруппы — открытые множества!]. В приводимой ниже теореме
топология не обязательно хаусдорфова.
Предложение 7.4 (Корнер). Пусть @ — множество подгрупп S
группы А, и пусть <Sf состоит из всех S 6 @>, имеющих конечный индекс
в А. Тогда А является топологической группой относительно замкнутой
^-топологии в том и только в том случае, когда это замкнутая <&f-mo-
пология [т. е. линейная топология, получающаяся путем объявления
подгрупп S 6 @/ открытыми].
Требует доказательства только необходимость условия. Пусть А —
топологическая группа относительно замкнутой ©-топологии. Если
дано открытое множество V = А\(а + Т) {а ? А, Т 6 @). содержа-
содержащее 0, то имеется такая открытая окрестность нуля U, что U — U ? V.
Можно написать
U = A\\J (at + St),
i=i
где ctitA, St?<g, так как всякое открытое множество является
объединением открытых множеств этого вида. Так как 06^, то
п
Из U — U ^V для любого u^U имеем u — aAU,
п
поэтому «6 U
i=i
А = Д (а, + St) U U (a + ui + St). B)
Пусть подгруппы Si, . . ., Sm имеют конечный индекс, а подгруппы
Sm+i> • • •, Sn — бесконечный индекс в А; по лемме 7.3 1 < m < п.
Подгруппа S = Sx П • • • П Sm снова имеет конечный индекс в А.
Докажем, что S = V. В самом деле, если это не выполнено, возьмем
b ?S П (а+ Т). Тогда для t = 1, . . ., m получим а, + St = Ъ +
§ 7. Топологии в группах 45
+ ui + Si, причем эти множества не пересекаются с S, так как 0 6 U.
Беря пересечение правой части равенства B) с S и заменяя а на Ь,
получаем
5= U [(аг + 5г)П5] U U
i=m+l i=ro+l
Здесь непустые пересечения являются смежными классами по подгруп-
подгруппам S П Si< поэтому в силу леммы 7.3 некоторая подгруппа S П S],
где т -\- 1 ^ j^ п, имеет конечный индекс в S. Тогда S A S/, а значит
и 5;, имеет конечный индекс в Л. Полученное противоречие доказывает,
что SsV. Таким образом, все открытые множества V вида А \ (а +Т)
(Т б <3) содержат конечное пересечение Sx [") • • • Sm, где Si 6 @/.
откуда следует требуемый результат, щ
В силу предложения 7.4 мы можем не рассматривать замкнутые
©-топологии, если будем требовать непрерывность групповой опера-
операции.
Следуя Шарлю [4], введем понятие функторных топологий. Предпо-
Предположим, что на всякой группе А 6 <& определена топология t (A),
при которой А является топологической группой. Назовем t =
= {t (А) | А 6 <&} функпгорной топологией, если всякий гомоморфизм
в Jb непрерывен. В этом смысле Z-адическая, р-адическая, прюферова
топологии и топология конечных индексов являются функторными.
Более общий способ получения функторной топологии состоит в том,
что выбирается класс $ групп и в качестве подбазы открытых окрест-
окрестностей нуля в А берутся подгруппы Ker q>, где q>: A -*- X 6 X. Это дает
линейную топологию на А, которая является хаусдорфовой, если гомо-
гомоморфизмов ф достаточно много в том смысле, что для всякого а ? А,
афО, существуют такие X 6 X и ср: А -*• X, что фа Ф 0.
Для ориентации читателя приведем теперь результат, показывающий, что
во всякой бесконечной абелевой группе можно ввести недискретную хаусдорфову
топологию. Этот результат важен в теоретическом отношении, но использоваться
не будет.
Теорема 7.5 (Кертес и Селе [1]). Каждая бесконечная абелева группа может
быть превращена в недискретную хаусдорфову топологическую группу.
В доказательстве нам понадобятся некоторые простые результаты, которые
будут доказаны только позже.
Пусть А — бесконечная группа. Прюферова топология превращает А в то-
топологическую группу. Эта топология дискретна тогда и только тогда, когда
в самой группе А выполнено условие минимальности. В этом случае по теореме
25.1 А содержит подгруппу типа р°°. Вложение группы Z(pao) в группу комплекс-
комплексных чисел г, где | г | = 1, индуцирует в Z (/)«>) недискретную хаусдорфову
топологию, и с помощью этого получается недискретная топология на А. ¦ |
Упражнения
1. Во всякой топологической группе А подгруппа А [п] замкнута.
2. (а) Доказать, что всякий гомоморфизм групп непрерывен в р-ади-
ческой топологии, в прюферовой топологии и в топологии конечных
индексов.
46 Гл. I. Предварительные сведения
(б) В Z-адической, р-адической, прюферовой топологиях и в топо-
топологии конечных индексов всякий эпиморфизм является открытым
отображением.
(в) Z-адическая топология на подгруппе группы А тоньше, чем
топология, индуцированная на ней Z-адической топологией группы А.
3. (а) Доказать, что Z-адическая и р-адическая топологии на группе
А совпадают, если qA = А для любого простого числа q ф р.
(б) Пусть р и q — различные простые числа. На каких группах
р-адическая и ^-адическая топологии совпадают?
4. В р-адической топологии группа Jp компактна.
5. Показать, что всякая линейная топология является D-топологи-
ей для некоторого дуального идеала D структуры подгрупп.
6. Пусть В — подгруппа топологической группы А. Доказать, что
(а) если подгруппа В замкнута, то естественное отображение
А -> А/В является открытым непрерывным гомоморфизмом [напомним,
что в А/В окрестностями служат образы окрестностей в группе А];
(б) группа А/В дискретна тогда и только тогда, когда подгруппа В
открыта;
(в) если а: А -*- С — открытый непрерывный эпиморфизм, то имеет
место топологический изоморфизм AI Кег а зё С.
7. Замкнутая подгруппа В группы А является нигде не плотной
[т. е. такой, что множество А \В плотно] тогда и только тогда, когда
В — не открытая подгруппа.
8. Пусть на группе А введена линейная топохогия. Подгруппа В
замкнута тогда и только тогда, когда В — пересечение открытых под-
подгрупп группы А.
9. Если В и С — замкнутые подгруппы группы А, на которой опре-
определена линейная топология, то подгруппа В + С не обязательно
замкнута.
10. (а) Подгруппа В плотна в D-топологии группы А тогда и только
тогда, когда В + U = А для любой подгруппы U ? D.
(б)* Подгруппа В группы А плотна в Z-адической топологии [или
в топологии конечных индексов] тогда и только тогда, когда А/В —
делимая группа (см. § 20).
П.* Недискретная линейная хаусдорфова топология может быть
определена на группе тогда и только тогда, когда в этой группе не вы-
выполнено условие минимальности.
12.* Каждая бесконечная группа допускает инвариантную метрику.
[Указание: это эквивалентно тому, что существует недискретная
топология, удовлетворяющая первой аксиоме счетности; если а имеет
бесконечный порядок, взять Bпа) в качестве базы; если группа обла-
обладает бесконечным цоколем, взять в качестве базы бесконечную убы-
убывающую цепочку типа со с нулевым пересечением; если группа содержит
подгруппу вида Z (р°°), провести такое же рассуждение, как в теореме
7.5.1
Замечания 47
Замечания
Коммутативные группы названы абелевыми в честь норвежского математика
Нильса Хенрика Абеля A802—1829), который изучал алгебраические уравнения
с коммутативными группами Галуа. Фактически конечная коммутативная струк-
структура, подобная группе, рассматривалась Гауссом в 1801 году в связи с квадратич-
квадратичными формами_[им было доказано существование разложения вида, указанного
в теореме 8.4]." Но только в последнем десятилетии XIX века началось более
или менее систематическое изучение конечных абелевых групп. Затем в теории
групп произошел отказ от ограничения конечности, и Леви в Habilitationsschrift
[1] приступил к изучению бесконечных абелевых групп. И Леви, и несколько
позже Прюфер [в своих эпохальных статьях [1], [2], [3]] ограничивались счет-
счетными группами, но на самом деле в большей части доказательств счетность
не использовалась. Начиная с 30-х годов этого века абелевы группы стали при-
привлекать серьезное внимание. Особенно значительными были работы Бэра,
Куликова и Селе. В конце 50-х годов большое влияние на развитие теории абеле-
абелевых групп стал оказывать гомологический подход.
Теорема 1.1 достаточно элементарна, но очень важна. В силу этой теоремы
структурная теория абелевых групп расщепляется на теорию периодических
групп, теорию групп без кручения и исследование того, как такие группы склеи-
склеиваются, образуя смешанные группы. Проследить историю теоремы 1.1 трудно.
Можно заметить, что эта теорема не обобщается на случай произвольных моду-
модулей. Если называть «периодическими» элементы а из R-модуля М, для которых
о (а) ф 0, то в общем случае не будет верным, что периодические элементы обра-
образуют подмодуль. Однако известно, что кольцо R обладает тем свойством, что
во всяком R-модуле М периодические элементы образуют подмодуль Т, такой,
что М/Т — модуль без кручения , тогда и только тогда, когда R — левая область
Оре [т. е. область целостности, в которой выполнено левое условие Оре:
Li П L 2 Ф 0 для любых двух ненулевых левых идеалов Ц, Ц кольца К].
Другое определение «периодичности» см. в работе Хаттори [Hattori A., Nagoya
Math. J., 17, 147—158 (I960)]. Диксон [Dickson S., Trans. Amer. Math. Soc, 121,
223—235 A966)] дает систематическое изложение того, что он называет «теорией
кручения» в абелевых категориях. См. также работу Маранды [Maranda J., Trans.
Amer. Math. Soc, 110, 98—135 A964)], где рассматриваются периодические пре-
радикалы.
Проблема 1. Перечислить функторные подгруппы в важней-
важнейших подкатегориях категории Л.
Проблема 2. Описать функторные линейные топологии для
различных категорий абелевых групп [элементарных групп, ограни-
ограниченных групп, периодических групп и т. д.].
Глава II
ПРЯМЫЕ СУММЫ
Понятие прямой суммы в теории абелевых групп крайне важно. Это обуслов-
обусловлено двумя факторами. Во-первых, если группа разлагается в прямую сумму, ее
можно изучать, исследуя компоненты в прямой сумме, которые во многих слу-
случаях устроены проще, чем сама группа. Во-вторых, можно строить новые группы,
беря прямые суммы уже известных групп. Мы увидим ниже, что почти все струк-
структурные теоремы об абелевых группах включают в себя, явно или неявно, неко-
некоторое прямое разложение.
Существуют два способа введения прямых сумм, а именно можно рассмат-
рассматривать внутреннюю и внешнюю прямую сумму. Здесь будут рассматриваться оба
эти понятия и их основные свойства. Внешнее определение приводит к полным
прямым суммам, называемым прямыми произведениями, которые тоже будут для
нас чрезвычайно важны. Мы исследуем также универсальный и коуниверсаль-
ный квадраты.
Далее, мы дадим определение прямого и обратного предела, которые теперь
играют все возрастающую роль в теории абелевых групп. Нам часто придется
использовать их в различных вопросах.
В последнем параграфе этой главы речь будет идти о пополнениях относи-
относительно линейной топологии.
§ 8. Прямые суммы и прямые произведения
Пусть В, С — подгруппы группы А со свойствами:
1) В + С = А;
2) В П С = 0.
В этом случае мы будем называть группу А [внутренней] прямой сум-
суммой ее подгрупп В, С и писать
А = В ф С.
Условие 1) означает, что всякий элемент а ? А может быть записан
в виде а = Ъ + с (Ь 6 В, с 6 С), а из условия 2) вытекает, что эта
запись единственна. В самом деле, если а = Ь + с = Ь' + с' (Ь' 6 В,
с' 6 С), то Ъ — Ь' = с' — с 6 В П С = 0. С другой стороны, из един-
единственности записи а = b + с следует, что не существует ненулевого
элемента Ь + 0 = 0 + с, лежащего одновременно в б и в С.
Если выполнено условие 2), будем говорить, что подгруппы В
я С не пересекаются. Это не согласуется с соответствующим теоретико-
множественным понятием, но недоразумений не вызовет.
Пусть Bi (i ? /) — семейство подгрупп группы А, удовлетворяю-
удовлетворяющих условиям:
1) 2 &1 — А 1Т> е- все подгруппы Bt вместе порождают группу А];
§ 8. Прямые суммы и прямые произведения 49
2) для любого i 6 /
}фг
Тогда говорят, что группа А —прямая сумма своих подгрупп Ви
и пишут
ИЛИ
А = Вг ф ... фВ„,
если / = {1, . . ., п). Здесь опять каждый элемент а 6 А может быть
записан единственным образом в виде а = bt + ... + 6;, где ft; т^
Ф 0 —элементы из различных компонент В( (/ = 1, ...,&,?!> 0).
Так как каждый элемент группы 2 Яг содержится в подгруппе, порож-
порожденной конечным числом подгрупп Bit условие 2) можно заменить
по виду более слабым условием
Bt П (Bh + . . . + Bih) = 0,
где ij Ф i, k — натуральное число.
Пусть а?А = В®С, и пусть а = Ь + с, где b 6 В, с 6 С. Непо-
Непосредственно видно, что отображения
п: а *-*¦ b и Q: а *-*¦ с
являются эпиморфизмами группы Л на Б и С соответственно. Так как
nb = Ь, пс = 0, 0с = с, Qb = 0 и па + 9а = а, эпиморфизмы я, 9
группы А обладают свойствами
яа = я, 9а = 0, 9я = л9 = 0, я + 9 = 1А. A)
Если всякий идемпотентныи эндоморфизм называть проекцией и назы-
называть ортогональными эндоморфизмы, произведение которых [в любом
порядке] равно нулю, то A) будет означать, что прямое разложение
А — В ф С определяет две ортогональные проекции группы А, сумма
которых равна \А. Обратно, всякие два эндоморфизма я, 0 группы А,
удовлетворяющие условиям A), дают прямое разложение
А= пА ф 9 А.
В самом деле, из идемпотентности и ортогональности я и 0 вытекает,
что элемент, лежащий одновременно в я А и 9Л, должен при я и 0
переходить в себя и в 0, так что пА П 0Л = 0, а в силу того, что я +
+ 0 = 1А, имеет место пА + 0Л = А.
4 л. Фукс
50 Гл. II. Прямые суммы
Даже если А — прямая сумма нескольких [больше двух] подгрупп,
Л = ф Bit это разложение может быть описано в терминах попарно
ортогональных проекций. Здесь i-n проекция nt: A -»- Bt ставит в соот-
соответствие элементу а — bi{ + ... + bih элемент bt из Bt [причем,,
конечно, может быть bt = 0]. Тогда
Г 0 при 1ф},
а) JiiUj = < .
' { Я( при i = /;
б) для любого элемента а ? А почти все элементы nta равны нулю,
а их сумма совпадает с а. Обратно, если nt (i ? /) — множество эндо-
эндоморфизмов группы А, удовлетворяющих условиям а), б), то А, как:
легко проверить, есть прямая сумма подгрупп ntA.
Подгруппа В группы А называется прямым слагаемым группы А,
если существует такая подгруппа Cs/1, что А = В ф С. В этом слу-
случае С называется дополнительным прямым слагаемым или просто
дополнением подгруппы В в Л.
Приведем некоторые основные свойства прямых сумм.
а) Если А = В ф С, то С ^ А/В. Таким образом, дополнение
подгруппы В в группе А определено однозначно с точностью до изо-
изоморфизма.
б) Если А = В ® С и G — подгруппа группы А, содержащая В, то
G = В ® (G П Q.
в) Если а?А = ВфС и а = b + с (Ь 6 В, с б С), то о(а) —
наименьшее общее кратное чисел о(Ь) и о(с).
г) Если А = ф Bi и Ct s Bt для каждого i, то 2 С; = ф Q.
Это собственная подгруппа группы А, если С; cz Bt хотя бы при
одном i.
д) Если Л = ф Bh где каждая группа Bt является прямой сум-
суммой, Bt = ф Bjj. т0
Последнее разложение называется продолжением исходного разложе-
разложения группы А.
е) Если А = ф ф Bt], то А = © Вг, где Вг = ф 5^.
i j i }
Два прямых разложения группы А, А = ф Bt и Л = ф С,-, назы-
i i
ваются изоморфными, если между слагаемыми 5г и С/ можно устано-
установить взаимно однозначное соответствие, при котором соответствующие
друг другу группы будут изоморфными.
а Р
Точную последовательность 0—>-Б->-Л->С-*-0 будем называть
расщепляющейся, если Im а — прямое слагаемое группы Л.
§ 8. Прямые суммы и прямые произведения 51
Теперь дадим определение внешней прямой суммы. Пусть даны
группы В и С. Мы хотим получить группу А, которая является прямой
суммой двух таких своих подгрупп В' и С", что В' ^ В, С ^ С. Мно-
Множество всех пар {Ь, с), где b 6 В, с ? С, образует группу А, если считать
{bi, сх) = (Ь2, с2) тогда и только тогда, когда Ьу = Ьг, сх = с2,
Фи cj + (Ь2, с2) = (bt + Ь2, сх + с2).
(Соответствия b*-+¦ (b, 0) и су-*- @, ?) представляют собой изоморфизмы
между группами В, С я подгруппами В', С группы А. Имеет место
равенство А = В' ф С. Если считать Б, С отождествленными с В',
С" с помощью указанных выше изоморфизмов, то можно написать А =
-= В ф С и назвать Л [внешней] прямой суммой групп fi и С.
Пусть ?[ (t 6 /) —множество групп. Вектором (. . ., &ь . ..) над
этим множеством групп Bt называется вектор, i-я координата которого
при каждом i 6 / —это некоторый элемент bt 6 Bt. Такой вектор мож-
можно также интерпретировать как функцию /, определенную на мно-
множестве / и такую, что / @ = bt ^ Bt для каждого i 6 /• Равенство
и сложение векторов определяются покоординатно [т. е. для функ-
функций — поточечно]. Таким путем множество всех векторов превращает-
превращается в группу С, называемую прямым произведением [декартовой суммой
или полной прямой суммой] групп Bt:
Соответствие
р,: &,•—(.. ., 0, Ь„ 0, . . . ),
где bt стоит на i-m месте и 0 — на всех остальных местах, является изо-
изоморфизмом между труппой Bt и подгруппой В\ группы С. Легко
видеть, что группы В\ (i 6 /) порождают внутри С группу А всех век-
векторов (. . ., bt, . . .), у которых bt = 0 почти для всех i ? I, причем А
является прямой суммой подгрупп В[. Группа А также называется
[внешней] прямой суммой групп Bt, A = ®Bt. Очевидно, А — С
тогда и только тогда, когда множество / конечно.
Мы предоставляем читателю показать, что как прямая сумма, так
и прямое произведение однозначно с точностью до изоморфизма
определяются множеством компонент Bt.
Если А — группа и m — кардинальное число, то через ф А будем
m
обозначать прямую сумму m групп, изоморфных А, а через [J^=^ra
m
— прямое произведение m таких групп. Аналогично через А1 будем
обозначать прямое произведение групп, изоморфных группе А и за-
занумерованных с помощью индексов из множества /. Очевидно, А1—
это группа всех функций, определенных на множестве / и принимаю-
принимающих значения в группе А, причем А1^ Л'1'.
4*
52 Гл. П. Прямые суммы
Внешние прямые суммы и прямые произведения могут быть также
описаны в терминах систем гомоморфизмов. Функции
рв : b ь-> (Ь, 0), рс : с у-* @, с),
Пв '• Ф, с) *-*¦ Ь, пс : F, с) I—*. с
являются гомоморфизмами, указанными на диаграмме
яв "с
и называемыми [координатными] вложениями и проекциями соот-
соответственно. Они удовлетворяют соотношениям
ЯвРв = 1в. лсРс = 1с. яврс7 = Лсрд = 0, рвлв -}- рсяс = \в$с>
Вообще, прямая сумма [прямое произведение] групп Вг (i 6 /) опре-
определяет для каждого i g / вложение р; и проекцию лг,
В; -4 ф 5г -i В, (В, 4ПВ,4. В(),
где рД- =¦. (..., 0, bh 0, ...), я,- (..., ^, ..., />,•, ...) = й,, удовлет-
удовлетворяющие условиям
1в при / = /,
б) если множество / конечно, / = {1, . . ., п}, и В = Вх ф ...
. . . © В„, то рл + . . . + рпя„ = 13.
Если / бесконечно, то для прямой суммы вместо условия б) получаем
б') каждый элемент b 6 © Bt записывается в виде конечной суммы
b = рйяг1 b + . . . + Ptn ЩпЬ,
а для прямого произведения получаем
б") если дано множество элементов {Ьг}, где ровно одно bt принадле-
принадлежит Bi для всякого i ? /, то существует единственный элемент
b 6 Д Ви для которого ntb — bt при каждом i.
Следующие два результата выявляют полезные общие свойства
прямых сумм и прямых произведений.
Теорема 8.1. Пусть <рг: Bt ->• Л —гомоморфизмы, i ? I. Тогда
в диаграммах
/ (»6/), B)
/
§ 8. Прямые суммы и прямые произведения 53
где pi — вложения, на место пунктирной стрелки может быть постав-
поставлен однозначно определенный гомоморфизм -ф [не зависящий от /] так,
что все диаграммы превратятся в коммутативные.
Запишем элемент Ъ 6 ®5* в виде Ь — р&ф + . . . + Ph^hb [где
пг — соответствующие проекции ] и положим tyb = ф1па& + . . .
...+ ЩлкЬ. Легко видеть, что г|) — гомоморфизм в группу А, для кото-
которого typibi = cpjitjpibj = (ftbi. Он единствен, так как если гомоморфизм
г|)': ф ?*->¦ А также превращает диаграммы B) в коммутативные, то
¦Ц)— t|/ переводит все элементы ргЬ» в нуль, т. е. переводит все элемен-
элементы b 6 © Bt в нуль, откуда г|э —о|/ = 0. щ
Теорема 8.2. Пусть ц>(: А -*¦ Bt— гомоморфизмы, i 6 /. Тогда
существует единственный гомоморфизм \р, превращающий все диаграммы
ос о
C)
в коммутативные; здесь nt—проекции.
Для а 6 А положим \ра равным тому единственному элементу b 6
€ П ^г> Для которого Я;& = цца [см. б")]. Очевидно, г|з является гомо-
гомоморфизмом, причем лгг|5 = фг для каждого i. Он единствен, так как
если \|)' — гомоморфизм с тем же свойством, то яг (ф — \()') а = 0
для каждого i и, таким образом, элемент (ф —1|/) a 6 II Вг имеет толь-
только нулевые координаты. Это означает, что (г|з — т|/) а = 0 для всякого
а 6 Л, т. е. г|э — гр' = 0. a .
Введем следующие обозначения. Если Ai и Bt (i ? I) — группы
и at: Ai -*- Bt — гомоморфизмы, то существуют такие однозначно
определенные гомоморфизмы
a: A=®At -> B=®Bt и а*: Л* = []Л, -^ В* = ПВ/.
i i
ЧТО
п1ар1 = а.1 = п\а*р1 и я^арг = 0 = я^а*рг (t =/=/),
где рг — вложения групп Аи щ — проекции на группы Bt. Именно, а
[соответственно а*] переводит i-ю координату а4 в t-ю координату
а4аг. Эти гомоморфизмы будем обозначать так:
а=фа( и а* = [1аг.
54 Гл. II. Прямые суммы
Для группы G введем два отображения: диагональное отображение
Ac: G -*¦ Ц G (число компонент может быть каким угодно), где
Ac: g >-+(-.., g g, • • ¦) (g€G),
и кодиагональное отображение Vg: Ф G-+G, где
VG: (...,gi, ...)-* Sg« (gi?G).
г
В тех случаях, когда это не сможет вызвать недоразумений, индекс G
мы будем опускать.
Лемма 8.3. Если диаграмма в лемме 2.4 имеет точные строки и
столбцы и коммутативна, то следующие последовательности точны:
Так как Кг и а2 — мономорфизмы, то и а2К — мономорфизм.
Кроме того, (\х2 Ф Рг) A«2^i = 0, так как |J2a2 = 0 и ^^ъК =
= ц2На1 = 0- Если элемент Ь2 ? В2 принадлежит Кег (|л2 ф Р2) Л,
то \i2b2 = 0 и Р2^2 = 0- Можно найти такой элемент Ьх 6 Въ что
f^i^i = Ь2. Здесь &! 6 Im ax, поскольку Pji»! = 0, как следует из соот-
соотношений \Ji1b1 — РаИ-i^i = Ра^2 = 0- Поэтому Ь2 ? Im ц,хах = Ima^.
Точность второй последовательности доказывается аналогично. и
Если а — (..., bh . . .) 6 Ц В*, то назовем носителем элемента а
множество
s (а) - {i € / \Ь1ф 0}.
Если К — идеал булевой алгебры В всех подмножеств из /, то назовем
^-прямой суммой групп В; подмножество группы И Bi, состоящее
из векторов а с носителем s (a) 6 К. Так как s (аг — а2) s s (ax) U s (a2),
то К-прямая сумма является подгруппой группы Ц Вг; мы будем обо-
обозначать ее через
©к Bt.
Если, в частности, К состоит из всех конечных подмножеств множества
/, то получается прямая сумма, если же К = В, то получается прямое
произведение групп Bt.
Среди подгрупп прямого произведения можно выделить важный
тип подгрупп, часто встречающийся в алгебре. Подгруппу G прямого
произведения А = [\Bt назовем подпрямой суммой групп Bit если для
каждого i отображение я; | G: G —у Bt является эпиморфизмом. Это
означает, что для каждого i ? I и любого bt ? Bt в G содержится век-
вектор (. . ., bt, . . .), t'-я координата которого совпадает с bt. В этом
§ 8. Прямые суммы и прямые произведения 55
случае Bi не обязательно является подгруппой группы G; группа Bt —
эпиморфный образ группы G при отображении nt\ G = %. Очевидно,
П Кег т)г == 0.
i
Обратно, если Ki (i € /) — такое семейство подгрупп группы G,
что П Kt = 0, то G окажется подпрямой суммой факторгрупп G//C*,
если отождествить G с ее образом при мономорфизме
В прямом произведении групп содержится много различных под-
подпрямых сумм. Полного описания таких подпрямых сумм пока не най-
найдено, кроме случая подпрямых сумм двух групп.
Предположим, что группы В, С отображаются с помощью эпимор-
эпиморфизмов р\ у на группу Р. Элементы (Ь, с) ? В ф С, где $Ь = ус, обра-
образуют подгруппу А группы В ф С. Легко видеть, что А является под-
подпрямой суммой групп В я С. Обратно, если А — подпрямая сумма
групп В и С, то элементы Ь ? В, где (Ь, 0) 6 А, образуют подгруппу
Во s В, а элементы с 6 С, где @, с) 6 Л, образуют подгруппу Cos С.
Можно непосредственно проверить, что соответствие
где (й, с) ? Л, является изоморфизмом между группами В/Во и С1С0.
Теперь группа А состоит в точности из тех пар (Ь, с) {Ь 6 В, с 6 С),
для которых естественные эпиморфизмы В -*¦ В/Во, С -> С/Со отобра-
отображают & и с на соответствующие друг другу смежные классы. Это пока-
показывает, что все подпрямые суммы двух групп В, С получаются с по-
помощью способа, описанного в начале этого абзаца. Группы Во, Со назы-
называются ядрами подпрямой суммы. В общем случае подпрямая сумма
не определяется ядрами, она зависит также от выбора эпиморфизмов
р\ у- Если рассматривать Во, Со как подгруппы группы А, то будут
иметь место следующие изоморфизмы:
А/(Во © Со) » В/Во s& С/Со, А/Во ^ С, А/Со е* В.
Одним из наиболее важных приложений понятия прямой суммы
служит следующая теорема.
Теорема 8.4. Периодическая группа А является прямой суммой
р-групп Ар, принадлежащих различным простым числам р. Группы Ар
однозначно определяются группой А.
Пусть Ар состоит из всех элементов a g А, порядок которых равен
степени простого числа р. Из условия Об Ар следует, что Ар не пусто.
Если а, Ъ б Ар, т. е. если рта = pnb = 0 для некоторых целых чисел
т, п > 0, то ртах <т- п> (а — Ь) = 0, а — b 6 Ар и, следовательно,
56 Гл. II. Прямые суммы
Ар — подгруппа. В группе АР1 + . . . + APk всякий элемент аннули-
аннулируется произведением степеней простых чисел рь . . ., pft, поэтому
АР Л (АР1 + . . . + АРк) = О,
если рФPi, ...,pft. Следовательно, подгруппы Ар порождают в А
прямую сумму © Ар. Покажем, что всякий элемент а 6 Л лежит
р
в этой прямой сумме. Пусть о{а) = т — ру ... pj*, где р* — различ-
различные простые числа. Числа m.i = mpTrt (t=l, ..., п) в союкупности
взаимно просты, следовательно, существуют такие целые числа
s^ ..., sn, что Simi + ... -f snmn = 1. Отсюда а — Simia + ... + snmna,
где mta?APl [так как pj'm(fl = me = 0] и, таким образом, a^APi+...
Л- Л i— tVi A
V
Если А = ф Вр — какое-то разложение группы А в прямую сумму
р
р-групп Вр, где р — различные простые числа, то, как следует из опре-
определения подгрупп Ар, для любого р имеет место включение Вр s Ap.
Так как подгруппы Вр и Ар порождают прямые суммы, каждая из кото-
которых равна группе А, то обязательно Вр — Ар для каждого р. в
Подгруппы Ар называются р-компонентами группы А. Как видно
из их определения, они являются вполне характеристическими под-
подгруппами группы А. Если группа А — не периодическая, то можно
назвать ее р-компонентой р-компоненту ее периодической части Т (А)
[даже если эта р-компонента не служит прямым слагаемым для груп-
группы А]. В силу теоремы 8.4 теория периодических групп в основном сво-
сводится к теории примарных групп.
Пример 1. Пусть т = р\1... рг? — каноническое разложение натураль-
натурального числа т. Тогда компоненты группы Z (т) [как подгруппы циклической
группы] сами являются циклическими группами, а произведение их порядков
равно т. Следовательно,
Пример 2. Группа QlZ всех корней из единицы является периодической
группой, р-компонента которой, очевидно, состоит из всех корней из единицы
степени рп (п = 1, 2, . . .). Это означает, что р-компонента группы QIZ имеет
вид Z (р °°). Следовательно,
В заключение докажем следующий результат.
Теорема 8.5. Элементарная р-группа является прямой суммой цик-
циклических групп порядка р.
§ 8. Прямые суммы и прямые произведения 57
Покажем, что элементарную р-группу Л можно естественным обра-
образом рассматривать как векторное пространство над полем FP из р-
элементов. В самом деле, ра = О для любого а 6 Л и, следовательно,
для п, т ? Z равенство па = та справедливо тогда и только тогда»,
когда п el m mod p, т. е. когда пит являются представителями одного-
и того же элемента из FP- Справедливость аксиом векторного простран-
пространства проверяется непосредственно. Следовательно, Л как векторное
пространство над полем Fp имеет базис {at }i?i. Но тогда Л = ф <аг >. ¦
Пример 3. Пусть m — бесконечное кардинальное число. Тогда
Z (P)m = Ф Z (р).
2>tl
В самом деле, по теореме 8.5 группа Z (p)m является прямой суммой групп Z (р),.
а мощность этой группы, очевидно, равна рт = 2т.
Упражнения
1. Если m = pj1 ... рг^, то Л/тЛ —прямая сумма групп A\prjA.
(t=l, ..., k).
2. (а) Если Л — прямая сумма [прямое произведение] групп.
Bt (i ? /) и С* — подгруппа в Бг, а С — прямая сумма [прямое про-
произведение] групп Сь то С — такая подгруппа группы Л, что А/С —
прямая сумма [прямое произведение] факторгрупп BilCt.
г/ R
(б) Если точны последовательности 0—> Л;—>Б;—>Cj—>0 (t'6/),.
то точны и последовательности
3. Группа Л является прямой суммой своих подгрупп At
тогда и только тогда, когда
2М| = Л и П Л? = 0, где Л?= 2 ^;-
i i зФг
4. (а) Прямая сумма /з-групп [периодических групп] сама является
р-группой [периодической группой].
(б) Определить, когда прямое произведение периодических групп,
снова является периодической группой.
5. (а) Если G — подгруппа группы Л = В ф С, то G является под-
прямой суммой групп В П (G + С) и (В + G) П С.
(б) Если G — подпрямая сумма групп В и С, то B + G — ВфС —
G + C
58 Гл. II. Прямые суммы
6. Пусть А = В ® С=гВ ф (е At). Тогда для Ct = (В + Л) П
О С имеем В ф С,- = В ф ^г и С = ф Сг.
г
7. (а) Пусть G — подгруппа прямой суммы В ф С. Тогда существу-
существуют такие подгруппы Въ В2 группы В и такие подгруппы Сь С2 группы
С, что В2 ? В1( С2 S Сь Bj ©Cj — минимальная прямая сумма,
содержащая G, а Ва ф С2 — максимальная прямая сумма, содержа-
содержащаяся в G, с компонентами в В и С.
(б) Установить изоморфизмы
8 (Уокер Э. [1]). (а) Пусть Л = В ф С = В* фС*. Тогда
Б + В* - В ф <V- В* ф С?, где Сх = С П (В + 5*), С* = С* (]
П (В + В*)-
(б) Из А = В ф С = В* ф С* следует В/ (В П В*) а С?,
В*/(В П В*) ^ Сх.
9 (Лонстра). Назовем подпрямую сумму G групп At (i 6 /) специ-
специальной, если существуют такая группа F и такие эпиморфизмы
<хг: At -v F (t 6 /). что G состоит из всех векторов (. . . , аи ...
¦ ¦-, aj, . . .) бПЛг, где . . .= а,а} = . . . = а^ = . . . .
(а) Показать, что при | / | ^ 3 не всякая подпрямая сумма является
специальной.
(б) Если множество / конечно, то подпрямая сумма G является
специальной тогда и только тогда, когда все отображения g -j-
+ ( Ф Кег аь) у-*- njg + Кег а;- [где пу. G -*• Aj — координатная про-
проекция] являются изоморфизмами между G/ф Кег at и А /Кег а; для
каждого / 6 /.
10. (а) Подпрямая сумма групп Z (рт) и Z (рп) [при целых п !>
> т > 0] с ядрами Z (pm-fe) и Z (pn~h) изоморфна Z (рп) ф Z (/?'"-").
(б) Подпрямая сумма групп Z (/э°°) и Z {р°°) с ядрами Z (pm)
и Z (/)") (п > т) изоморфна Z (р°°) ф Z (рт).
(в) Всякая подпрямая сумма циклической группы и квазицикличе-
квазициклической группы является прямой суммой.
11. Существуют неизоморфные подпрямые суммы групп В =
= Z О?2) ф Z (/?4) и С = Z (р3) ф Z (р5) с ядрами Во = Z (р) ф
©Z(p3) и C0 = Z(p2) @2{р*).
12. Назовем группу Л подпрямо неразложимой, если в каждом
представлении группы А в виде подпрямой суммы групп Ai одна из ко-
координатных проекций А -> At является изоморфизмом. Показать, что
группа А подпрямо неразложима тогда и только тогда, когда она
коциклическая.
13. Пусть В, (i 6 /) —периодические подгруппы группы А. Под-
Подгруппа, порожденная подгруппами Bh является их прямой суммой
тогда и только тогда, когда подгруппа, порожденная цоколями
S (В;), является прямой суммой этих цоколей.
§ 9. Прямые слагаемые 59
14. Пусть В, С — подгруппы группы А и В ф С — их внешняя
прямая сумма. Доказать существование точной последовательности
О-»-В П C->B®C->fl + C->0.
15. Пусть группа А содержит две последовательности подгрупп
Bt Вп, . . . и Cj С„, . . ., где
С, = А, Сп = Вп © Cn+i (/г=1,2,...)
и
.Доказать, что А — подпрямая сумма групп Вп, содержащая их прямую
сумму.
16. Пусть G — подгруппа прямого произведения А =* [J At>
обладающая тем свойством, что вместе с элементом g она содержит и все
элементы из А, имеющие тот же носитель. Тогда если все группы Ai
имеют порядок > 3, то G есть К-прямая сумма.
17. (Длаб [2]). Доказать, что подгруппа Фраттини прямой суммы
равна прямой сумме подгрупп Фраттини слагаемых.
18. Если F — подгруппа Фраттини р-группы А, то AIF является
прямой суммой циклических групп порядка р. [На произвольные груп-
группы это обобщить нельзя; группа А = [[ Z (р) — противоречащий
пример.]
§ 9. Прямые слагаемые
Мы назвали подгруппу В группы А прямым слагаемым в случае,
когда
А = В © С для некоторой подгруппы С <=, А.
Для проекций л: А -*¦ В, 9: Д ->- С выполняются условия A) из
§ 8. Сосредоточим теперь наше внимание на прямом слагаемом В.
[Следует отметить, что одно В в общем случае не определяет я одно-
однозначно; но оно определяет л, если С тоже известно.] Справедлива сле-
следующая полезная лемма.
Лемма 9.1. Если существует проекция я группы А на ее подгруппу В,
то В служит для А прямым слагаемым.
Отображение 0= \А — я является эндоморфизмом группы А,
удовлетворяющим условиям A) из § 8. Следовательно, А = В © ОЛ.
Здесь QA есть не что иное, как ядро гомоморфизма я. ш
Почти тривиальным критерием того, что подгруппа В (s А) —
прямое слагаемое группы А, является наличие в смежных классах
группы А по подгруппе В таких представителей, что они составляют
подгруппу С ( ? А). Именно, тогда В + С = А и В fl С = 0, т. е.
А = В ф С. Менее тривиальным критерием является
Предложение 9.2. Для подгруппы В группы А эквивалентны следую-
следующие условия [р: В -> А — вложение]:
60 Гл. II. Прямые суммы
а) В — прямое слагаемое группы А;
б) существует коммутативная диаграмма
в) если
— коммутативная диаграмма с точными строками, то существует
такой гомоморфизм ф: V-+B, что верхний треугольник коммута-
коммутативен.
Предполагая выполненным условие а), докажем сначала, что выпол-
выполнено в). Если справедливы предположения пункта в) и я: А -*- В —
проекция, то для ср = па имеем cpv = яа? = ярр = р\ Предположим
теперь, что выполнено в), и возьмем U — В, V — А, 7 = Р. а = 1д
и {J = \в. Тогда сразу получится б). Наконец, если имеет место б),
то я — проекция группы Л на Б и лемма 9.1 дает условие а). ¦
Заметим что б) означает, что тождественный автоморфизм под-
подгруппы В можно продолжить до эндоморфизма группы А в В.
В дальнейшем нам понадобятся следующие леммы.
Лемма 9.3. Если А = В ® С и G — вполне характеристическая
подгруппа группы А, то
С=(ОП 5)е(ОП С).
Пусть я, 9 — проекции, связанные с прямым разложением А =
= В ф С. Так как G — вполне характеристическая подгруппа, я<?
и 0G — подгруппы группы G. Далее, из включений nG ?= В и 8G s С
следует, что nG П 6G = 0, a g = я# + Qg (g 6 G) дает G = nG + 0G,
так что G = nG ф GG. Очевидно, яО s G f] 5 и 0G s G П С, откуда
обязательно nG = G fl В и 8G = G fl С. ¦
Лемма 9.4 (Капланский [1]). Если факторгруппа А/В является
прямой суммой,
A/B=®(At/B)
г
и подгруппа В служит прямым слагаемым для каждой группы Аи ска-
скажем Ai — В ф Си то подгруппа В служит прямым слагаемым, для
группы А,
A = B®{®Ci).
г
Очевидно, подгруппа В и подгруппы Ct вместе порождают группу
А. Предположим, что Ь + сх + ... + сп = 0 для некоторых эле-
элементов Ъ 6 В и С) 6 С) (j = 1) • • •» п). Переходя к факторгруппе по В,
§ 9. Прямые слагаемые 61
получаем (сг + В) + ... + (сп + В) —В. Так как с} + В 6 Л/В, то
сх + 5 = ... = сп + В = В. Следовательно, с} ? В для каждого /
и, таким образом, с;- 6 В Л Ct = 0. Но тогда также 6=0. Следова-
Следовательно, подгруппа, порожденная подгруппами В и Ct, является их пря-
прямой суммой. |
Если В — прямое слагаемое группы Л, то дополнение к В в А оп-
определено однозначно с точностью до изоморфизма, но оно далеко не
единственно как подгруппа. Следующий результат показывает,
что из одного дополнения к В легко получить все остальные.
Лемма 9.5. Пусть А = В ф С — прямое разложение с проекциями
я, 8. Если разложению А = В © Сг соответствуют проекции nlt
Qv то
ях = я + лфО, 0Х = 0 — ясрЭ A)
для некоторого эндоморфизма ср группы А. Обратно, если эндоморфизмы
згъ 0j имеют вид A), где ф — некоторый эндоморфизм группы А, то
А = В © 0ХЛ.
Если проекции я^ 0t связаны с разложением Л = В ф Съ то по-
положим ф = 0 — 9Х. Очевидно, В s Ker ф, поэтому ф = фя + ф0 =
= ф0. Если а = b + с = Ьх + съ где b, br 6 В, с 6 С, ct6 Съ то фа =
= с — сх = Ьх — Ь 6 В, откуда яф = ф. Поэтому 0Х = 0 — ф =
= 0 — яф0 иях= 1Л — 02 = я + 0 — 01 = я + пф9. Обратно, если
щ, 0Х имеют вид A), то ях + 0Х = 1А, n, = nx, 0* =0Х и я^ =
= 0!Я!= 0, т. е. Л=я^ ф 0^. Здесь Im пх<=\т я и яхБ = яВ =
= В, следовательно, лгА = В. ¦
Теорема 9.6 (Гретцер и Шмидт). Если В—прямое слагаемое груп-
группы А, то пересечение С всех дополнений С к подгруппе В в группе А есть
максимальная вполне характеристическая подгруппа группы А, не пе-
пересекающаяся с В.
Пусть разложению Л = В ф С соответствуют проекции я, 0,
и пусть ф — эндоморфизм группы Л. По лемме 9.5 Сг = @ — яф0) Л
есть снова дополнение к В, поэтому для элемента с 6 С имеем
@ — яф0) с = с и 0с = с [так как одновременно с 6 Ct и с 6 С]. Отсю-
Отсюда яфс = 0. Это показывает, что фс 6 С, а так как С было произволь-
произвольным дополнением к В, мы получаем, что фс ^ С, т.е. С — вполне харак-
характеристическая подгруппа группы Л. Очевидно, В |~1 С = 0. Если X —
какая-то вполне характеристическая подгруппа группы Л со свойством
В П X = 0, то в силу леммы 9.3 X = (X П В) ф (X П С) = X f] С.
Следовательно, ХеС и XsC. ш
Следствие 9.7. Дополнение к прямому слагаемому группы А является
единственным тогда и только тогда, когда оно — вполне характери-
характеристическая подгруппа группы А. и
Если нужно показать, что подгруппа В группы А служит для Л
прямым слагаемым, то в большинстве случаев невозможно непосред-
62 Гл. II. Прямые суммы
ственно найти проекцию А -*¦ В. Тогда пробуют найти дополнение С
к подгруппе В среди подгрупп G группы А, удовлетворяющих условию
G П В = 0.
Назовем В-высокой подгруппой (Ирвин и Уокер [1]) подгруппу
Я группы А, для которой
Я П В = 0 и Я' П В Ф 0 при Я с= Я' <= А.
Это означает, что Я — максимальная подгруппа, не пересекающаяся
с В. Тогда, в частности, Н + В — Н ® В. Существование В-высоких
подгрупп для любой подгруппы В гарантируется леммой Цорна. Более
того, подгруппу Я можно выбрать так, что она будет содержать задан-
заданную подгруппу G группы А, обладающую свойством G |~| В = 0.
В самом деле, множество всех подгрупп группы А, содержащих G и не
пересекающихся с В, не пусто и индуктивно, следовательно, оно со-
содержит максимальный член Я.
Дополнение С подгруппы В в А, очевидно, является 5-высокой под-
подгруппой; более того, в силу теоремы 9.6 оно должно содержать всякую-
вполне характеристическую подгруппу X группы А со свойством
X П В = 0. В некоторых случаях построение дополнения к подгруппе
В состоит в выборе В-высокой подгруппы, содержащей такую под-
подгруппу X [см., например, доказательство предложения 27.1].
Докажем теперь две леммы технического характера.
Лемма 9.8. Если В — подгруппа группы А и С является В-высокой
подгруппой в А, то из включений а 6 А, ра?С [р — простое число]
следует, что а ? В ф С s A.
Если a d С, то доказывать нечего. Если а $ С, то подгруппа (С, а>
содержит, согласно выбору подгруппы С, элемент b 6 В, Ь ф 0, т. е.
b = с + ka для некоторого с в С и целого числа k. Здесь (k, р) = 1,
так как ра 6 С и В П С = 0. Следовательно, rk + sp — 1 для некото-
некоторых целых чисел г, s, и, таким образом, а = г (ka) + s (pa) = г (b — с) +
+ s (pa) e В © С. а
Лемма 9.9 (Гретцер). Пусть группы А, В, С — такие же, как в лем-
лемме 9.8. Тогда А = В ф С в том и только в том случае, когда из равен-
равенства pa = b + с (а 6 A, b 6 В, с ? С) непременно следует pb = b
для некоторого Ь' 6 В.
Если А = В ф С и а = Ь' + с' (Ь' ? В, с' 6 С), то pa = /Ж' +
+ рс' = b + с дает pb' = Ь. Обратно, если из равенства pa = b + с
всегда следует pb — b для некоторого Ь' 6 В, то a — Ь' удовлетворяет
условиям предыдущей леммы и, следовательно, a — b' ? В ® С,
а в В ® С. Это означает, что факторгруппа А/(В ф С) не содержит
элементов простого порядка, т. е. является группой без кручения. Но
если х — произвольный элемент группы А, не лежащий в В ф С, то
пересечение (С, х) (] В содержит ненулевой элемент с" + lx = b" для
некоторого с" 6 С и целого числа I. Тогда / ф 0, так как В П С = 0,
§ 9. Прямые слагаемые 63
поэтому из включения lx=b" — c" 6 В © С следует, что А/ (В (В С) —
периодическая группа. Таким образом, А = В © С. а
Подгруппа G группы А называется абсолютным прямым слагаемым
группы А, если А = G © Н для любой G-высокой подгруппы Н
группы А. Абсолютные прямые слагаемые — явление редкое; они
описываются в упражнении 8.
В заключение приведем следующий результат.
Предложение 9.10 (Капланский [3], Уокер К. [1]). Пусть А —
прямая сумма групп Л, (t 6 /), где каждая группа Лг имеет мощность
не больше ю для фиксированного бесконечного кардинального числа nt.
Тогда всякое прямое слагаемое группы А также является прямой суммой
групп мощности <! т.
Пусть А — В ©С. Рассмотрим прямое слагаемое А]. Если {}^
— система образующих группы А} и ah — bk + ch (bk 6 В, ck 6 С),
то каждый элемент bh и каждый элемент ch имеют лишь конечное число
ненулевых координат в прямой сумме А = ф At. Поэтому если собрать
г
все Ait содержащие хотя бы одну ненулевую координату некоторого
элемента Ъъ. или ch (k б К), и взять их сумму в А, то, очевидно, полу-
получится прямое слагаемое А] группы А мощности ^ m . Выбирая в А\
некоторую систему образующих и повторяя прежний процесс для А]
вместо А], получим прямое слагаемое А) группы А снова мощности
^ m и т. д. Объединение возрастающей последовательности Л;- s
? А] ? A) s. . . является таким прямым слагаемым Aj группы Л,
что
|Л?|<т и А1 = (В П Л?) © (С П 4*)-
Теперь определим следующим образом вполне упорядоченную
возрастающую последовательность подгрупп Sa группы Л. Положим
50 = 0. Если Sa уже определена для некоторого порядкового числа
о и So ?= А, то выберем какую-нибудь группу Aj, не лежащую в Sa,
и положим Sa+i = Sa + Л*. Если о — предельное порядковое число,
то положим Sa = U 5р. Очевидно, что для некоторого порядкового
Р<ст
числа т, мощность которого не превосходит | Л |, будет иметь место
равенство 5Т = Л. Ясно также, что Sa+l/Sa имеет мощность <: т,
каждая группа 50 является прямой суммой некоторых из групп Лг
и Sa =EA Sa) Ф (С 0 So) для каждого <т< т. Далее, B'f| Sa —
прямое слагаемое группы Sa, которая сама является прямым слагае-
слагаемым группы Л; следовательно, Bf\ Sa —прямое слагаемое группы
В A Sa+i; пусть^ В П Sa+i —(В f] Sa) © Ва . Из наличия изо-
изоморфизма
Ва ~ (В П Sa+l)/(B П So+i П So) ас [Se + (В П 50+1)l/5aeSc+1/S0
следует, что |В0|<т. Подгруппа, порожденная подгруппами Во,
является их прямой суммой, так как если bOl+ • • • +bar — ^, причем.
€4 Гл. II. Прямые суммы
<г4 < ... < ат (bas 6 В„3), то из включений bOi+ ...+ V-i 6 В {] SOr,
bor€B<,r следует, что й„г = 0. Так как В является суммой подгрупп Ва,
то утверждение доказано. а
Заметим, что если Л — прямая сумма конечных групп, то каждое
прямое слагаемое группы Л обладает тем же свойством. Это — про-
простое следствие теорем 15.2 и 18.1.
Упражнения
1. Если В, С — такие подгруппы группы Л, что В (") С = 0 и
(В -J- QIC — прямое слагаемое группы А/С, то А = В® С" для
некоторой подгруппы С э С.
2. Распространить лемму 9.3 на бесконечные прямые суммы.
3. Пусть В — прямое слагаемое группы А, и пусть nt пробегает зсе
проекции группы А на В. Показать, что эти проекции пг образуют
полугруппу относительно умножения, где n^j = я^. Кроме того,
проекции 1 — nt образуют полугруппу, где A — яг) A— aj) = I— nt.
4. Назовем подгруппу G группы А инвариантной относительно
проекций, если всякая проекция я группы А на прямое слагаемое ото-
отображает подгруппу G в себя.
(а) Показать, что подгруппа G инвариантна относительно проекций
тогда и только тогда, когда nG = G(] nA для любой проекции я.
(б) Пересечение подгрупп, инвариантных относительно проекций,
и подгруппа, порожденная такими подгруппами, являются подгруп-
подгруппами, инвариантными относительно проекций.
(в) Лемма 9.3 справедлива для подгрупп, инвариантных относи-
относительно проекций.
(г) Прямые слагаемые, инвариантные относительно проекций,
являются вполне характеристическими подгруппами.
5 (Куликов [4]). Прямое разложение А — © At имеет общее про-
продолжение с любым прямым разложением группы А тогда и только
тогда, когда каждая подгруппа At инвариантна относительно проекций.
6 (Фукс [5]). Пусть В = А, и пусть С есть В-высокая подгруппа.
Тогда Л* = В ф С е А удовлетворяет условиям
(а) А/А* — периодическая группа;
(б)* (А/А*) [р] s [(pA + C) 0 В]/рВ для любого простого числа р.
7 Если В — подгруппа группы Л и В ^ /г,, то для любой В-высо-
кой подгруппы С группы Л факторгруппа А1(В ф С) изоморфна под-
подгруппе группы Z (р°°).
8*. (Фукс [5]). Прямое слагаемое В группы Л является абсолютным
прямым слагаемым тогда и только тогда, когда или В — делимая
группа [см. § 20], или А/В — периодическая группа, р-компонента
которой обращается в нуль при умножении на ph, если В\рВ содер-
содержит элемент порядка ph.
9. ..Если Л = ВфС = В1®Си? — абсолютное прямое слагае-
слагаемое группы А, то Z?! также является абсолютным прямым слагаемым.
10*. Найти все абсолютные прямые слагаемые ограниченной
группы.
§ 10. Коуниверсальный и универсальный квадраты 65
11 (Ирвин и Уокер Ш). Пусть А = ф At и Bt s At. Если Ct есть
i
Бг-высокая подгруппа группы At (для каждого i), то ф Ct есть
ф Bj-высокая подгруппа группы А.
12 (Энокс [1]). Пусть А есть р-группа, и пусть А = В ф С =
= Вх ф Сх —два таких ее прямых разложения, что В [р] — Вг [р].
Тогда А = В @ Сг = Вх ® С. [Указание: для доказательства того, что
при а?С справедливо а 6 В ф Сх, использовать индукцию по порядку
элемента а.]
§ 10. Коуниверсальный и универсальный квадраты
Используя прямые суммы, можно доказать две теоремы существо-
существования для некоторых типов диаграмм. Полезно иметь их в своем рас-
распоряжении.
Теорема 10.1. Если даны гомоморфизмы а: А -*¦ С и р": В -»¦ С,
то существуют такая группа G, определенная однозначно с точностью
до изоморфизма, и такие гомоморфизмы у: G->- А, 6: G ->- В, что
1) диаграмма
сЛл
?> —¦*¦ С
коммутативна и 2) если
G'-^A
у v ' /
в Ас
— коммутативная диаграмма, то существует однозначно определен-
определенный гомоморфизм ср: G' -*¦ G со свойствами уц> = у' и 8ср = б'.
Коммутативная диаграмма A), удовлетворяющая условию 2), назы-
называется коуниверсальным квадратом.
Если даны гомоморфизмы а, р\ то возьмем в качестве G подгруппу
прямой суммы А ф В, состоящую из всех пар (а, Ь), где аа = $Ь,
и пусть
¦у: (а, Ь) *-*¦ а, 8: (а, Ь) *-*¦ Ь
— соответствующие проекции. Тогда диаграмма A) будет, очевидно,
коммутативной. Предположим, что B) — коммутативная диаграмма,
и определим ср: G' ^>-G таким образом, что cpg' = (y'g', 8'g') для
g' 6 G'; здесь (y'g', b'g') 6 G, так как сху' = 08'. Очевидно, yyg' =
= y'g-' и 8cpg' = 6'g' для любого g' 6 G', т. е. ср обладает требуемыми
5 Л. Фукс
66 Гл. II. Прямые суммы
свойствами. Легко видеть, чтб
Кег у = @, Кег р) и Кег б = (Кег а, 0). C)
Поэтому если для q>': G' -*¦ G также выполнены равенства уф' — у*
и бф' = б', то у (ф — ф') = 0 = б (ф — ф') и, следовательно, Im (ф —
— ф') s Кег у A Кег 6 = 0. Это показывает, что ф — ф' = 0, т. е.
гомоморфизм ф единствен.
Докажем единственность группы G. Рассмотрим группу G~, обла-
обладающую теми же свойствами, что и_ G; соответствующие отображения
в диаграмме A) обозначим через у: G -*¦ А и б: G -> В. Тогда мы бу-
будем иметь однозначно определенны^гомоморфизмы ф: G -»- G и ср: G -*¦
-> G со свойствами уф = у, бф = б и уф = у, бф = б. Отсюда уфф =
= у и бфф = б, т. е. фф : G -> G сохраняет неизменными и Л-коорди-
наты, и 5-координаты, откуда" фф = 1с-_По предложению 9.2 q>G =
= фф(ф<3) — прямое слагаемое группы G, т. е. G = cpG © X. Так
как в свойстве 2) мы имели для всякой группы G' единственное отобра-
отображение G' -*- G, то X должно быть равно нулю. Следовательно, ф~ —
изоморфизм, щ
Следующий результат двойствен предыдущей теореме.
Теорема 10.2. Предположим, что заданы гомоморфизмы а: С->- А
и Р: С -*¦ В. Тогда существуют такая единственная с точностью
до изоморфизма группа G и такие два гомоморфизма у: А -*- G,
6: В -> G, что 1) диаграмма
коммутативна и 2) для всякой коммутативной диаграммы
°\ „ I-- E)
В— -+G'
существует единственный гомоморфизм ф: G-+G' со свойствами
ФУ = у' и фб = б'.
Коммутативная диаграмма D), обладающая свойством 2), назы-
называется универсальным квадратом.
Исходя из гомоморфизмов а, р, определим G как факторгруппу груп-
группы А ф В по подгруппе Я элементов вида {ас, —Рс), где с 6 С, и пусть
у: а н*(а, 0) + Н, 6: & .-* @, 6) + Я
§ 10. Коуниверсальный и универсальный квадраты 67
— отображения, индуцированные вложениями. Тогда уас — брс для
каждого с 6 С и диаграмма D) коммутативна. Если E) — коммутатив-
коммутативная диаграмма, то определим ср: G -*-G' таким образом, что ср: (а, Ь)+
+ #•-*¦ у'а + S'ft. Легко видеть, что это отображение не зависит
от представителя (а, Ь) смежного класса и что щ = у', срб = б'.
Единственность гомоморфизма ср вытекает из того простого факта, что
Im у и Im б порождают G, и поэтому если cp'v = у', ф'^ = б' для неко-
некоторого ср': G-> G', то из равенства (ср — ср') у = 0 = (ср —. ср') б
следует, что ср — ср' отображает все G в 0. Единственность группы G до-
доказывается с помощью рассуждений, аналогичных проведенным в кон-
конце доказательства предыдущей теоремы. ¦
В дальнейшем будут полезны следующие замечания, касающиеся
коуниверсальных и универсальных квадратов.
а) Если в коуниверсальном квадрате A) гомоморфизм а является
мономорфизмом, то и б — мономорфизм. Если а — эпиморфизм, то
б — тоже эпиморфизм.
Так как группа G определена однозначно с точностью до изоморфиз-
изоморфизма и, кроме того, как показано в последней части доказательства тео-
теоремы 10.1, однозначно с точностью до изоморфизма определены также
Im б и Кег б, то утверждение достаточно доказать для группы G, по-
построенной в доказательстве теоремы 10.1. Тот факт, что из равенства
Кег а = 0 следует Кег 6 = 0, сразу вытекает из соотношений C).
Если а — эпиморфизм, то для всякого b 6 В существует такой эле-
элемент а ? А, что аа = fib, и, таким образом, б — также эпиморфизм.
б) Если в универсальном квадрате D) гомоморфизм а является моно-
мономорфизмом, то и б — мономорфизм, а если а — эпиморфизм, то б —
также эпиморфизм.
Опять достаточно доказать это для G и б, определенных в доказатель-
доказательстве теоремы 10.2. Ядро Кег б состоит из всех b ? В, для которых суще-
существует такой элемент с ? С, что ас = 0 и —0с = Ь. Следовательно,
Кег 6 = 0, если Кег а = 0. Если а — эпиморфизм, то для каждого
а 6 А существует такой элемент с 6 С, что ас = а, и, таким образом,
б отображает b + Рс на (а,Ь) + Н = @, b + Рс) + Н. Следовательно,
б — эпиморфизм.
Упражнения
1. Построить коуниверсальные квадраты для 5 = 0 [для А = В]
в диаграмме A).
2. Построить универсальные квадраты для 5 = 0 [для А = 5]
в диаграмме D).
3. Если С = 0 в коуниверсальном квадрате A), то G эё А © 5.
4. Если С = 0 в универсальном квадрате D), то G =1 А ф 5.
5*. Пусть задано множество гомоморфизмов at: Ai~*-C в одну
и ту же группу С. Доказать утверждение, обобщающее теорему 10.1.
6. Выполнить аналог упражнения 5 для теоремы 10.2.
5*
68 Гл. II. Прямые суммы
7. Если в диаграмме
Л4 —»¦ Л2 -* А3
1 1 I
54 —> Вг —> В3
каждый квадрат является коуниверсальным и А3-*- В3— мономор-
мономорфизм, то внешний прямоугольник —также коуниверсальный квадрат.
8. Сформулировать и доказать утверждение, двойственное утвер-
утверждению упражнения 7, для универсальных квадратов.
§ 11. Прямые пределы
Понятие прямого предела возникло в топологии, но оно оказалось
очень полезным и в алгебре.
Пусть {At} — система групп, занумерованных с помощью индек-
индексов, составляющих частично упорядоченное множество /, которое
является направленным в том смысле, что для любых i, / 6 / суще-
существует такое k 6 /. что /</г и / ^ k. Предположим, что для каждой
пары индексов i, / 6 /, где i ^ /, задан гомоморфизм
причем выполнены условия:
1) п\ является тождественным отображением группы At при любом
i € /;
2) если t</<^, то nh.n\ — n\.
В этом случае система
A={At (iei); я# A)
называется прямым спектром.
Составим прямую сумму ®At = A групп из прямого спектра А
и возьмем ее подгруппу В, порожденную всеми элементами из А вида
at-n\at
Прямым (или инъективным) пределом или просто пределом прямого
спектра А называется факторгруппа А/В:
Нтг At = А/В = Л,.
Отметим некоторые элементарные свойства прямых пределов,
а) Подгруппа В состоит из всех элементов
a = ait+...+ain (аг€^().
для которых в множестве I существует такое ?>ii, ..., in, что
§ 11. Прямые пределы 69
Так как образующие a = at — n{at группы В обладают этим свой-
свойством (а именно я|аг — я^(я>аг) = 0), то им обладают и все элементы
из В. Обратное сразу следует из равенства
аи + ...+ain — n\ait— ...—n\nain =
= (ач - п\,°Я,) + • • • + (chn - п\па1п) е В.
б) Существуют такие гомоморфизмы
nil At -*¦ A, (i ? /),
что коммутативны все диаграммы
5
В самом деле, этим условиям удовлетворяют гомоморфизмы
nt : аг I-»- at + б. Через nt мы всегда будем обозначать именно эти
гомоморфизмы. Мы будем называть их каноническими [это название
оправдано вследствие теоремы 11.1].
в) Каждый элемент аш 6 Л, представим в виде at + 5» где а4 6 Л^
для некоторого i ? I.
Пусть a = ait-\-...-{-ain, где aim?Aim. Выберем в / некоторый
элемент i>i'i, ..., in- Тогда а— Зя|иа1п»б5 и, следовательно,
где a2 = Sn{maim.
г) Группы Im л; (? 6 /) в совокупности покрывают Л#.
Это следует из п. в) и определения гомоморфизмов яг.
д) ?с/ш Я(аг = 0 для некоторого at ? At, то в I существует такое
j !> i, что я|аг = 0.
По определению яг имеем at 6 б- Утверждение вытекает теперь из
а). Отсюда получаем:
е) Если каждый гомоморфизм л1 является мономорфизмом, то и все
я г — мономорфизмы.
ж) Если каждый гомоморфизм п\ есть эпиморфизм, то и каждый
гомоморфизм яг — эпиморфизм.
Возьмем элемент аф?А# и запишем его в виде я/а/ при некото-
некотором /?/ [см. г)]. Для данного nt существует такое &?/, что i, /<&.
Очевидно, nja] = nb.nh.u]. По предположению для некоторого ai?At
выполнено я^а% = nh.aj. Поэтому att=nhnhiaj = nhi&ai = ntai, откуда
видно, что каждый элемент аш? Л» содержится в 1тяг.
70 Гл. II. Прямые суммы
3) Если К. — кофинальная подсистема в I, то
Y\mKAj ^ lim/ Л*.
В самом деле, если первой из этих групп является A'IB', то, как
легко видеть, а} -\- В'у-* as + В (/ 6 К) есть изоморфное отображение
группы А'/В' на А/В.
В следующей теореме выявляется свойство универсальности прямых
пределов.
Теорема 11.1. Предел Аш прямого спектра A) обладает следующим
свойством: если G — группа и даны гомоморфизмы ot: Ai-*-G, для ко-
которых диаграммы
А: >А; ,о\
Кй ()
коммутативны, то существует один и только один такой гомо-
гомоморфизм а: Л» -»- G, что все диаграммы
коммутативны. Группа Аш вместе с гомоморфизмами nt определяется
этим свойством однозначно с точностью до изоморфизма.
Если элемент а» 6 А* представлен в виде at + В (аг 6 At), то поло-
положим аа» = а\аг. Из коммутативности диаграммы C) следует, что образ
элемента а« не зависит от выбора индекса i 6 /, поэтому а является
отображением Л» ->- G. Очевидно, а сохраняет операцию сложения,
следовательно, это гомоморфизм, обладающий свойством ст4аг =
= оа* = atai, т. е. диаграмма D) коммутативна. Если о': A^-^G
тоже делает все диаграммы вида D) коммутативными, то (а — a') nt =
= 0 для каждого i 6 Л т. е. а — а' переводит любую подгруппу Im jx(
в 0. По п. г) а — а'= 0, и единственность гомоморфизма а доказана.
Чтобы доказать последнее утверждение теоремы, предположим, что
группа Ло и гомоморфизмы т4: At -*¦ Ао обладают свойством, установ-
установленным для Л» и я*. По доказанному мы имеем такой однозначно опре-
определенный гомоморфизм а: Л* -> Ло, что тг = ant, a по предположе-
предположению, сделанному относительно Ло, имеем такой гомоморфизм
сг0: Ло ->- Л*, что nt = aoxt. Отсюда получаем, что яг = а0 алг (и xt =
= aa0Xi). Следовательно, о0о является тождественным отображе-
отображением на всех Im nt, т. е. и на Л«. Поэтому оАш служит для группы Ло
§ 11. Прямые пределы 71
прямым слагаемым. Из единственности гомоморфизма Ао -*¦ G для
любой группы G вытекает, что оАт = Ао. Таким образом, а — изо-
изоморфизм между группами Л, и Ао. щ
Пример 1. Пусть А — произвольная группа и Ai (i 6 /) — система
всех ее конечно порожденных подгрупп, причем множество / частично упорядо-
упорядочено таким образом, что i < / тогда и только тогда, когда А( — подгруппа груп-
группы А). Пусть я' — естественное вложение At -*- Aj (i ^ /). Тогда А =
= {Ai (i 6 /); п\) является прямым спектром, а
lim/ Ai = Л* — А,
причем изоморфизм р: А -*¦ А» канонический: он действует так, что а н-*¦ а-\- В
[где а б А рассматривается как элемент из некоторой подгруппы At\. Действи-
Действительно, если Gi — естественное вложение At -*¦ А ист:Л*-»-у4 — однознач-
однозначно определенный гомоморфизм с тем свойством, что ащ = aj [см. теорему 11.1],
то из коммутативности малых треугольников в диаграмме
мы заключаем, что большой треугольник коммутативен. Так как Im о4 покрыва-
покрывают группу А, a Im щ покрывают Л», отсюда следует, что р и о взаимно обратны.
Пример 2. Пусть А — прямая сумма: А = фС<( и пусть множество
индексов / как-то линейно упорядочено. Положим At = Ф Ch, и пусть
"/'• At-*- Ai — вложения (для / < /). Тогда
limj At si A.
Доказательство этого факта проходит так же, как в примере 1.
Пример 3. Пусть Сп = (сп> — циклическая группа порядка рп (п =
= 1, 2, . . . ), и пусть я%+1: Сп ->¦ Сп+1 таково, что я#+1с„ = /?cn+i.
Тогда для любых т, п, где т < п, можно единственным образом опре-
определить отображения я#,: Ст-*-Сп так, что будут выполняться условия 1) и 2).
Теперь
limn Cn as Z (р«).
Доказательство этого предоставляется читателю.
Рассмотрим гомоморфизмы между прямыми пределами, которые
индуцируются гомоморфизмами между соответствующими прямыми
спектрами. Если
А = {Лг (/€/); к[) и B = {Bt (iei); p|}
— два прямых спектра с одной и той же системой индексов /, то гомо-
гомоморфизмом
Ф : Л-> В
72 Гл. //. Прямые суммы
называется такая система гомоморфизмов ф = {ср(: Л(->- Bj (t 6 Г)},
что диаграммы
А
Аг
коммутативны.
Теорема 11.2. Если А и В— прямые спектры и ц>: Л -*• В—
гомоморфизм, то существует однозначно определенный гомоморфизм
Ф«: Л* = lim At ->- 5» == lim Bt,
для которого диаграммы
я,
At —-+ А.
|»! L ('€/) E)
Bt — U 5,
коммутативны [nit рг — канонические гомоморфизмы]. Гомоморфизм
Ф* является эпиморфизмом [мономорфизмом], если все ф( — эпимор-
эпиморфизмы [мономорфизмы].
Так как отображения ргфг: Ai-^-Bm удовлетворяют условию
Р;Ф^л;| = р;р{фе = ptcpt для каждой пары индексов i ^ /, то из теоре-
теоремы 11.1 следует, что существует такой однозначно определенный
гомоморфизм ф»: Л#-> 5„, что р4ф{ = ф„я(. Это доказывает первое
утверждение. Если все ф* — эпиморфизмы, то подгруппы Im p( =
= 1тргфг в совокупности покрывают Вш, и поэтому ф* —эпи-
—эпиморфизм. Если все фг — мономорфизмы, то пусть а 6 Кег ф„. Для
некоторого i справедливо равенство а — лгаг, где ai 6 At. Следователь-
Следовательно, Pifptut = Ф.Ягйг = Ф»а = 0, откуда, согласно п. д), pWi^i—
= 0 для некоторого / !> i. Так как р^ф{ = ф;я{ и ф^ — мономорфизм,
то n\ai = 0, т. е. ягаг = 0 и а = 0. Это означает, что ф„ — мономор-
мономорфизм. ¦
Интересна следующая интерпретация теоремы 11.2. Если дано направленное
множество /, то рассмотрим категорию 2>t всех прямых спектров абелевых групп,
занумерованных с помощью индексов из /, с определенными выше гомоморфиз-
гомоморфизмами. Тогда функция L», ставящая в соответствие прямому спектру А его пре-
предел А„, а гомоморфизму <р: А -*¦ В гомоморфизм qv. А*-»- В», будет в силу тео-
теоремы 11.2 функтором из категории 2Sj в категорию <#. Учитывая это, мы можем
рассматривать ф„ как естественное отображение прямых пределов.
В заключение рассмотрим три прямых спектра: спектры А, В,
определенные выше, и спектр С = {Ct (i 6 /); о}}, каждому из кото-
которых соответствует одно и то же множество индексов /. Если ф: А ->- В
§11. Прямые пределы 73
и г|з: В -*¦ С — такие гомоморфизмы между этими прямыми спектрами,
что для каждого i последовательность
точна, то мы будем говорить, что точна последовательность
Имеет место
Теорема П.З. Если А, В, С — такие прямые спектры групп, что
F) — точная последовательность, то точна также последовательность
ф* . ф*
—>* —>¦ —^
где ф„, ¦$„ —индуцированные отображения [см. предыдущую теорему].
По теореме 11.2 диаграмма
ф* *j
коммутативна. Если а 6 А*, то л(аг = а для некоторого i g / и, таким
образом, 'фффц.а = г|з»ффл4аг = гр,„ргфга( = (Тгг|)гфга2 = 0. Пусть Ь 6
6Keri|v Для некоторого элемента bt ? Bt имеем рг6; = Ь, откуда
o$ibt = %Pibt = %b = 0. Поэтому otyibt = 0 для некоторого / >-1
и, следовательно, tyjp{bi = сг|г|5гЬг = 0. Верхняя строка в последней
диаграмме точна, поэтому существует такой элемент ау 6 Л/, что
(fjOj = р'6*. Полагая а = зтуЯ/, получим ф^я = ф^я^О/ = руфуй^ =
= Р./Р^&г = Р<Ь< = й, т. е. ft 6 Im ф#. Следовательно, нижняя строка
точна. |
Если применить второе утверждение теоремы 11.2 и теорему 11.3
к случаю, когда фг — мономорфизм, a ijjf — эпиморфизм, то получится
Следствие 11.4. Если А, В, С — прямые спектры из предыдущей
теоремы и последовательность
0 > At —Ц. Bi —-U- Ci > 0
точна для любого i?l, то индуцированная последовательность
для прямых пределов
0 > А„ —% ?„ —^ С, > 0
также точна. ¦
74 Гл. II. Прямые суммы
Менее аккуратно, но более ярко это утверждение можно выразить так: пря-
прямой предел точных последовательностей точен. [Другими словами функтор
<3« : Zi^-jt точен.]
Упражнения
1. (а) Пусть Л„ ^ Z (п = 1, 2, . . .), и пусть jiJJ+1: Л„ -> Ап+1 —
умножение на п. Доказать, что
lim An s* Q.
(б) Группа является локально циклической тогда и только тогда,
когда она — прямой предел циклических групп.
2. Если Л«, — предел прямого спектра А = {At (i 6 /); п|}, то
для любого натурального числа т группа тА^ является пределом пря-
прямого спектра {mAt (i 6 /); п\ | mAt}.
3. (а) Если Л* — предел прямого спектра А = {At (i 6 /); щ}
и а 6 А„, то существует такое i 6 / и такой элемент аг ? Аи что ntat =
= а и о (аг) = о (а).
(б)* Если а: G -*¦ Л», где G — конечно порожденная группа, то су-
существует такое i 6 / и такое at: G-> Ait что а = я4аг. [Указание:
см. теорему 15.5.]
4. Прямой предел периодических групп [групп без кручения] снова
является периодической группой [группой без кручения].
5. Пусть А = {At (i € /); п\} — прямой спектр с пределом Л»
и л/: Ai -*- Л* — канонические отображения. Положим Лте = Ат
ия" = nh где i < оо для всех t 6 /• Доказать, что
А' = {Л, (t е / U {оо}); 4}
— прямой спектр с пределом Ат.
6. Если А = {Л, (t 6 /); nj} и В = {Bt (i 6 /); р{} — прямые
спектры групп, то
{At в Вг (i 6 /); п{ е Р?}
— снова прямой спектр, предел которого является прямой суммой
прямых пределов спектров А и В.
7. Привести пример, показывающий, что прямой предел расщепля-
расщепляющихся точных последовательностей может не расщепляться. [См.
следствие 29.5. Почему это не противоречит упражнению 6?]
8. Показать, что прямой предел длинных точных последователь-
последовательностей также точен.
9. Где ошибка в следующих рассуждениях? Используя пример 3
на стр. 71, получаем, что последовательность 0 -> Z (р°°) -у Z (р°°) -*•
-> Z (р°°) -*¦ 0 можно рассматривать как прямой предел точных после-
последовательностей 0 -*¦ Z (рп) -*- Z (р2п) -»- Z (рп) -> 0, поэтому в силу
следствия 11.4 она должна быть точной.
10. Показать на примере, что подфунктор F тождественного
функтора может не коммутировать с прямыми пределами.
§ 12. Обратные пределы 75
§ 12. Обратные пределы
Рассмотрим теперь обратные пределы; они в некотором смысле двой-
двойственны прямым пределам.
Предположим, что At (i 6 /) — система групп, где снова индексы
пробегают направленное множество 7, и что для любой пары индексов
i, j 6 Л где i sgl /, дан гомоморфизм
причем
1) щ — тождественное отображение группы Л( для любого i 6 1\
2) для всех i < / <! k из / имеет место п{п^ = п\. Тогда система
А = {At (i € /); ni}
называется обратным спектром. Обратным [или проективным] пре-
пределом или просто пределом обратного спектра
А* = limj/lj
называется подмножество прямого произведения А = Ц At, состоящее
из всех векторов а =(..., at, . . .), для которых
п\а} = at (i < /).
А* является подгруппой группы А, так как если а,а'?А*, то для
координат этих элементов выполнены равенства л'о/ = ai, п\щ = а\,
откуда п\ (п] — a'j) = ai — а\, т. е. а — а' 6 А*.
Важно отметить'следующие простые факты, касающиеся обратных
пределов.
а) Существуют такие гомоморфизмы
что все диаграммы
А*
коммутативны.
В самом деле, nt: a*-+ at [т. е. ограничение j-й координатной про-
проекции группы \\Аг на Л*] удовлетворяет этому условию. Гомоморфиз-
Гомоморфизмы я; мы будем называть каноническими.
б) Если каждый гомоморфизм п\ — мономорфизм, то все щ — моно-
мономорфизмы.
76 Гл. //. Прямые суммы
Предположим, что п\ — мономорфизм, и пусть щ а = 0 для неко-
некоторого а 6 A*, i б /. Если дано / ? /, возьмем такое k 6 /, что i, j ^ k.
Теперь n?nfta = nta = 0, поэтому, в силу наших предположений
пка = 0. Отсюда п}а = n!}nka = 0 для каждого /, т. е. а = 0.
в) Если К — кофинальная подсистема в /, то
Для а' ? НткЛь еП^ существует такой однозначно определен-
ный элемент а 6 \'\mjAt, что &-е координаты элементов а' я а при лю-
любом k ? /С совпадают. Если положить а =(..., аг, . . .)» гДе аг =
= ntflft (t ^ ^), то a'i-»- а будет изоморфизмом между данными двумя
обратными пределами.
г) А * является пересечением ядер некоторых эндоморфизмов группы
Пусть (i, j) — пара элементов из /, где / >• i. Ей соответствует эндо-
эндоморфизм прямого произведения [J А%
6 и,!) (• • •. аи . . ., а}, . . .) .-* (. . ., 0, at — п\а}, 0, . . .),
где, самое большее, i-я координата отлична от нуля. Если мы сравним
это с определением обратного предела, то станет ясно, что
А*= П Кег0(Ш,
(i. 3)
где (i, /) пробегает все пары указанного выше вида.
д) Если все группы в обратном спектре А = {At (i ? I); n{) явля-
являются {хаусдорфовыми) топологическими группами, а все п{ — непре-
непрерывные гомоморфизмы, то обратный предел А* есть замкнутая под-
подгруппа группы Ц А% {если считать эту группу снабженной топологией
произведения], а канонические гомоморфизмы nt: A* -*• А% непрерывны.
Если элемент (. . ., аи . . .) € Q At не лежит в обратном пределе
Л*, то в множестве / существуют такие элементы i < /, что at ф я|а/.
В силу хаусдорфовости в At можно найти такие непересекающиеся
открытые подмножества U, V, что at 6 U, я| aj g V. Теперь множество
всех элементов (. . ., bt, . . .) 6 {[At, где bt 6 U, n{b} 6 V, является
открытым подмножеством в ЦАг, содержащим (...., ait . . .) и не
пересекающимся с А*. Последнее утверждение следует из непрерыв-
непрерывности координатных проекции.
Справедливо утверждение, двойственное теореме 11.1.
Теорема 12.1. Обратный предел А* обратного спектра А —
= {At (i 6 /); я^} обладает следующим свойством: если G — группа
§ 12 Обратные пределы 77
и at: G -*¦ At — гомоморфизмы, для которых диаграммы
коммутативны, то существует единственный гомоморфизм в: G -> А*,
для которого коммутативны все диаграммы
[л; — канонический гомоморфизм]. Это свойство определяет А* и nt
однозначно с точностью до изоморфизма.
Для элемента g 6 G положим og = (. . ., atg, . . .) € ГМг- В силу
коммутативности диаграммы B) og ? А*. Следовательно, о: G^>~ A*—
гомоморфизм, для которого otg = ntog, откуда. вытекает коммутатив-
коммутативность диаграммы C). Если гомоморфизм о': G -*¦ А* также превраща-
превращает все диаграммы C) в коммутативные, то nt (о — а') = 0 для каждого
i. Следовательно, при g 6 G каждая координата элемента (a — a') g
равна нулю, т. е. a — о' — 0.
Чтобы доказать второе утверждение, предположим, что Ао и ото-
отображения tj: А о -»- Ai обладают свойством, сформулированным в пер-
первом утверждении теоремы. Тогда существуют такие однозначно опре-
определенные гомоморфизмы а: Ао -»- А* и а0: А* -*¦ Ао, что nto = тг
и Т(СТ0 — nt- Отсюда заключаем, что nt = ягаа0 для каждого i и, сле-
следовательно, aoQ —тождественное отображение группы Л*. Это озна-
означает, что а0А* —прямое слагаемое группы Ао- Из единственности ото-
отображения G-*- Ао для любой группы G получаем, что в0А* = Ао,
т. е. а0 — изоморфизм. а
Пример 1. Пусть
— прямое произведение групп Sj. Обозначим через J совокупность всех конеч-
конечных подмножеств а множества индексов /, где а ^ ($ означает «а — подмноже-
подмножество в Р». Для а 6 / пусть Аа = ф Bt, и для а < Р пусть я? — проектирование
i?ot
•Лр -»- Ла [т. е. отбрасывание координат с индексами из Р, но не из а]. Тогда
з? А.
Чтобы это доказать, обозначим через ла канонические отображения из диаграм-
диаграммы A), а через aa — проекции А -*¦ Ла. По теореме 12.1 существует однозначно
определенный гомоморфизм о:А-+А*, для которого яаст = аа. Если аа =
= 0 при некотором а ? А, то стаа = яааа = 0 для всех а ? / и, таким образом,
78 Гл. II. Прямые суммы
а = 0, т. е. а — мономорфизм. Если а* = (..., аа, . . .) ? А*, то пусть аа =
= btl + . . . + bik {bt С В;), где а = {t4 ift}. В силу выбора л?,если j, ? р„
то ц-я координата элемента ар равна bii. Поэтому а* определяет элемент
(. . ., blt . . .) ? А. Из определения гомоморфизма а, данного в доказательстве
теоремы 12.1, сразу следует, что а (. . ., &;, . . .) = а*. Таким образом, а —
эпиморфизм, т. е. изоморфизм.
Пример 2. Пусть Сп = (с„) — циклическая группа порядка рп (п =
= 1, 2, . . .), и пусть отображение я?+1: Cn+i -*- С„ таково, что яЯ+'сп+1 = сп-
Тогда ясно, что такое я?" (т > п). Теперь {Сп (п = 1, 2, . . .); п%\— обратный
спектр и
C*=limnCn<sJp.
Если лп — каноническое отображение С* -*¦ Сп и если ап: Ур ->- Сп таково, что
агН = сп 0 ^ ^р)> то существует такой однозначно определенный гомоморфизм
a: Jp -*- С*, что лпа = ап. Так как никакой отличный от нуля элемент из Jp
не может лежать во всех ядрах Кег ап, то Кега=0. Если с = (с[, . . .,
. . .,с'п,. . . ) б С*, где с'п= kncn (kn 6 Z), то в силу выбора гомоморфизма я?+1
имеем kn+i = kn mod рп и существует такое целое /?-адическое число т, что т =
= kn mod рп для каждого га. Таким образом, апт = с'п, и ст — эпиморфизм.
Пример 3. Пусть Лг (( ? /) — подгруппы группы А и Л<» = П^г-
Будем считать, что i < оо для всех j 6 / и что i ^ / при i, / G /. если Л^ с At,
и пусть п\ — естественное вложение А] -*¦ Л;. Тогда
— обратный спектр с пределом Лоо. В самом деле, А* — lim Л; состоит из всех
векторов из JJ At, координаты которых являются одним и тем же элементом
из Аоо. Этот пример показывает, что пересечения можно рассматривать как обрат-
обратные пределы.
Понятие гомоморфизма для обратных спектров можно определить
аналогично тому, как это делалось для прямых спектров. Пусть
А = { At (i 6 /); 4} и В = {В, (i 6 /); Р1}
— обратные спектры, элементы которых занумерованы с помощью
одного и того же направленного множества индексов /. Гомоморфиз-
Гомоморфизмом ф: А-> В называется множество гомоморфизмов {<рг: At -*¦
-*¦ Bt (i 6 /)}, удовлетворяющее тому условию, что диаграммы
4
At
U
i J I
в, _U в,
коммутативны.
Теорема 12.2. Если ф: Л -»- В — гомоморфизм между обратными
спектрами А, В, то существует такой однозначно определенный гомо-
§ 12. Обратные пределы 79
морфизм
Ф*: A* = \imIAt -*Я* = Нт7?„
ч/по для любого t?/ диаграмма
я,
л* —U л,
*¦ I | ф< E)
5* > Я,
коммутативна [nt, pt — канонические отображения]. Если каждый
гомоморфизм ф; — мономорфизм, то и ср* — мономорфизм.
Гомоморфизмы ф; [t 6 /1 индуцируют гомоморфизм
Из коммутативности диаграммы D) следует, что если а =
= (..., аг, . . .) 6 Л*> то образ элемента а при ^р содержится в В*.
Поэтому можно определить ф*: А* ->¦ В* как ограничение ф на А*.
При таком ф* имеем фглга = (ptat — ргя|)*а, т. е. диаграмма E) ком-
коммутативна. Если гомоморфизм ф0: А* -*¦ В* превращает E) в комму-
коммутативную диаграмму при каждом i, то рг (ф* — ф0) = 0 для любого i,
т. е. все координаты элемента (ф* — ф0) а равны нулю при любом
а 6 А *. Следовательно, ф* — ф0 = 0.
Если каждый гомоморфизм ф*—мономорфизм и ф* а ~ 0 для неко-
некоторого а 6 А *, то фгя;а = р*ф*а = 0, откуда nta = 0 для любого
/?/, т. е. а = 0. я "
Для фиксированного направленного множества / рассмотрим категорию Cfi
всех обратных спектров, занумерованных с помощью элементов из /, с гомомор-
гомоморфизмами, определенными так же, как перед теоремой 12.2. Функция L*, ставя-
ставящая в соответствие обратному спектру Л его обратный предел А*, & гомоморфизм
му ф: А -*¦ В — гомоморфизм ф": А* -*¦ В*, является, как легко видеть из тео-
теоремы 12.2, функтором из категории Ji в категорию <d- Следовательно, мы мо-
можем назвать ф* естественным гомоморфизмом между обратными пределами.
Для обратного предела точных последовательностей результат
получается слабее, чем для прямых пределов.
ТЕорЕма 12.3. Пусть
а={а, (ten; я{}, в={в, (ie[i); p{},c={ct (itiy, <§
— обратные спектры с одним и тем же множеством индексов 1
и ф: А -*¦ В, i|>: В ->- С — такие гомоморфизмы, что последова-
последовательность
80 Гл. II. Прямые суммы
точна [т. е. для каждого i точна последовательность
О > At -!U Bt —U Ci].
Тогда для обратных пределов имеет место точная последо-
последовательность
О > А* -?-» В* —!> С*,
где ф *, г)з * —отображения, описанные в теореме 12.2.
Точность на Л* — это как раз второе утверждение теоремы 12.2.
Из определения ф*, г|з* ясно, что 1|з*ф* = 0. Если я^, ph at — канони-
канонические отображения, то диаграмма
коммутативна. Чтобы доказать, что ее верхняя строка точна на В *,
возьмем b 6 Кег гр *. В силу того, что ^фф = а$*Ь = 0, и точности
нижней строки при каждом i 6 / существует at 6 At, для которого
= ?ib. При у > i имеем 9jnja^ = р!ф;О/ = pipyb = Ptb
\
i
откуда п\а} = at, так как фг — мономорфизм. Мы заключаем, что а =
= (..., а(, . . ., п], . . .) 6 А *. Для этого элемента а имеем р»ф*а ==
= ф;я(а = ф(а4 = ptb при каждом i, откуда ф*а = &.¦
Заметим, что в силу теоремы 12.3 функтор] L*: /j -»¦ jf является] точным
слева.
Приводимое ниже1 упражнение 6 показывает, что теорему 12.3
нельзя усилить, приписав в конце рассматриваемых там точных после-
последовательностей -»- 0.
Упражнения
1. Пусть Ап ^ Z (п) = (а„>) и при п\т пусть я™: Лт-^ЛП—
гомоморфизм, отображающий ат на а„. Тогда {Л„(п 6 I)', пп)—об-
пп)—обратный спектр [множество / частично упорядочено с помощью отноше-
отношения делимости], обратным пределом которого является Ц Jp.
v
2. Пусть An^Z(px) и я?+1: Ап+1 -»- Лге — умножение на р. Тогда
обратным пределом является группа всех р-адических чисел.
3. Если A = {At (iel); n{} и B = {Bt (iei); pf}-обратные
спектры, то
§ 13. Полнота и пополнения 8JL
— также обратный спектр, а его обратный предел равен прямой сумме
обратных пределов спектров А и В.
4. Обратный предел групп без кручения является группой без кру-
кручения, но обратный предел периодических групп может быть ненулевой
группой без кручения.
5. Если в обратном спектре {At (t 6 /); "U все отображения п\
являются изоморфизмами, то и все nt — изоморфизмы.
6. Пусть Ап = Z и Лп = lz для любых натуральных чисел п
и т О п). Пусть Вп —Z (рп), а р™ переводит 1 из Z (рт) в 1 из Z (рп).
Показать, что
(а) {Л„; я™} и {Вп; р™} — такие обратные спектры, что ср = {ср„},
где фп: Ап -*~ Вп — канонические отображения, является эпимор-
эпиморфизмом, но
(б) индуцированный гомоморфизм ср* между обратными пределами
этих спектров — не эпиморфизме
7. Показать, что обратный предел расщепляющихся точных после-
последовательностей не обязан быть расщепляющейся точной последователь-
последовательностью.
8. Пусть А = {At (i 6 /); п{} —обратный спектр с пределом А*
и я(: А* -*- At—канонические отображения. Положим Л» = А*,
пТ = nt, К. оо для всех i 6 !• Показать, что
А' = {At (t е I U {°°}); п{)
— обратный спектр с тем же пределом А*.
§ 13. Полнота и пополнения
Для нас будут иметь большое значение абелевы группы, полные
в некоторой топологии. Поэтому в этом параграфе мы рассмотрим пол-
полноту и процессы пополнения. Все рассматриваемые здесь топологии
являются линейными.
Пусть на группе А линейная топология определена с помощью
дуального идеала D структуры L (Л). Занумеруем подгруппы U из D
с помощью множества индексов / и будем считать i ^ / для t, / б Л
если Ui Э Uj. Тогда / как частично упорядоченное множество будет
дуально изоморфно D, т. е. / будет направленным множеством.
Как обычно, сетью в группе А назовем любое множество {ajiej
элементов at 6 А, занумерованных с помощью множества индексов /;
другими словами, сеть есть функция, определенная на множестве /,
со значениями в группе А. Говорят, что сеть {а*}гдг сходится к пределу
а 6 Л, если для любого i ? I существует такой индекс / 6 Л что ah —
— а 6 Ut как только k !> /. Если группа Л хаусдорфова в заданной
топологии, то пределы определены однозначно; но если группа Л не
хаусдорфова, то пределы определены однозначно только по модулю
6 Л. Фуко
82 Гл. II. Прямые суммы
П ?/;. Можно применить классическое доказательство и получить, что
подгруппа В группы А замкнута тогда и только тогда, когда она содер-
содержит пределы сходящихся сетей, элементы которых лежат в В.
Очевидно, если сеть {at}t?i сходится, то и всякая ее кофинальная
подсеть сходится и имеет тот же предел. Чтобы упростить рассуждения,
мы преимущественно будем рассматривать сети {&*};?/ , где для любо-
любого i ? / имеет место включение bh — а 6 Ui при всех k ^ i [т. е. в опре-
определении сходимости можно выбрать / = i]. Такие сети мы будем назы-
называть чисто сходящимися.
Сеть {ai}i?i называется сетью Коши, если для любого заданного
индекса i ? / существует такой индекс / 6 /, что
ah — ah' 6 Ut, если k, k' > /.
Так как в данном случае Ui — подгруппа, то из ah — а}, ak> — at ?
6 Vi уже вытекает ah — ah> 6 Ui. Таким образом, чтобы установить,
что {с;} — сеть Коши, достаточно знать, что ah — at 6 Ut для всех
k ^ /. Очевидно, всякая кофинальная подсеть сети Коши снова являет-
является сетью Коши, и если кофинальная подсеть сети Коши сходится, то
и вся сеть сходится к тому же пределу. Мы будем рассматривать сети
Коши {bi}i?i, чистые в том смысле, что для любого i g / справедливо
включение
bh — bt 6 Ut, если k >¦ i.
Если чистая сеть Коши {Ь(Ье* сходится к пределу Ъ, то она чисто
сходится к Ь. В самом деле, если Ь) — b ? Ui при некотором /, которое
можно считать >> /, то из Ь} — bt 6 Ut вытекает bt — b 6 Ui, и поэтому
включение bh — bt 6 Ut {k >> i) дает bh — b 6 Ui для всех k !> i.
Группа А называется полной в заданной топологии, если она хау-
сдорфова и если всякая сеть Коши в группе А имеет в А предел.
Можно получить эквивалентное этому определение, если ограничиться
чистыми сетями Коши. [Заметим, что в отличие от многих авторов мы
определили полноту только для хаусдорфовых пространств.] Имеет
место довольно простое
Предложение 13.1. Пусть группа А полна в некоторой топологии.
Подгруппа группы. А замкнута тогда и только тогда, когда она полна
в индуцированной в ней топологии.
Доказательство этого можно найти, например, в книге Келли
«Общая топология» («Наука», М.,1968). а
В следующем утверждении существенно предположение счетности.
Предложение 13.2. Если В — замкнутая подгруппа полной группы
А, удовлетворяющей первой аксиоме счетности, то факторгруппа
А/В полна в индуцированной топологии.
По предположению существует такая база {Um}m окрестностей
нуля в А, что Ux э U2 э . ¦ • и П Um = 0. Группы U~m = (Um + В)/В
т
(т — 1, 2, . . .) образуют базу окрестностей нуля в А/В. Пусть
§ 13. Полнота и пополнения 83
<2] + В, . . ., ат + В, ... —последовательность Коши в группе AIBt
которую без ограничения общности можно считать чистой, т. е. такойг
что ап+1 — ат + В s Um + B для любого т. Положим сг = ах и пред-
предположим, что элементы съ . . ., ст 6 А уже выбраны так, что
ct 6 at + В и с; — С;_! ? Ut-Ъ i = 2, . . ., т. Тогда ат+1 — ст =
= ит + Ьт для некоторых ит 6 t/m, fcm 6 В. Положим ст+1 =
= ат+1 — fem ? am+i + В и получим ст+1 — ст ? f/m. Таким образомг
существует последовательность {ст}т со свойствами ст 6 от + #
и ст+1 — ст 6 t/m при любом т. Другими словами, с помощью задан-
заданной последовательности Коши {ат -\- В} группы A IB можно получить
последовательность Коши {ст} в группе А. Если а?А—предел
последовательности {ст}, то а = а + В — предел последовательности
{ат + В}. Так как В — замкнутая подгруппа группы А, то группа
А/В хаусдорфова. а
Пусть Л, (t 6 J) — семейство групп, в каждой из которых введена
линейная топология, скажем, определенная с помощью дуального
идеала Dt структуры L (At). Пусть G = \\ At — прямое произведение
этих групп, а nt есть ^-я координатная проекция, я(: G-> At. Напом-
Напомним, что топологией произведения на G называется топология, при кото-
которой подбазой окрестностей нуля служит множество всех подгрупп
n^Ut, где Ut 6 D,, /6 J. Это опять линейная топология, а щ — не-
непрерывные открытые гомоморфизмы.
На прямом произведении \\At можно также определить другую-
топологию, которая для нас будет особенно важной. Без ограничения
общности можно предположить, что в каждой группе At база окрестно-
окрестностей нуля занумерована с помощью одного и того же множества индек-
индексов /: в группе At имеем базу окрестностей нуля {Utt}i?i. [Заметим,
что из / !> i в / следует Uti э Ut] для каждого /, но может быть Uu =
= Ut] при i Ф j.] Блочной топологией на группе G = [\At называется
топология с базой окрестностей нуля, состоящей из подгрупп
llUtt = Ut (i € /)•
t
Эта топология линейна; она хаусдорфова в точности тогда, когда все
группы At хаусдорфовы, и удовлетворяет первой аксиоме счетности,
если первой аксиоме счетности удовлетворяют все группы At- Наличие
включения U* s nj1 Uti [для каждого /] показывает, что блочная
топология тоньше [т. е. для нее существует больше открытых множеств],
чем топология произведения. Поэтому отображения nt снова непрерыв-
непрерывны и открыты.
Заметим, что блочная топология может зависеть от способа нумера-
нумерации подгрупп Uu.
Важным частным случаем является тот, когда все группы At снаб-
снабжены Z-адической [р-адической] топологией. Тогда блочная топология'
в \\Аt является также Z-'адической [уС?-адической] топологией.
Блочная топология имеет то преимущество, что в прямом произве-
произведении мы можем использовать то же множество / для нумерации эле-
6*
84 Гл. II. Прямые суммы
ментов сетей. Элементарный подсчет показывает, что в блочной тополо-
топологии группы G = П At проекция {ntgt}iZi (чистой) сети Коши {g*}i?i
группы G является [чистой] сетью Коши в Аи и сеть {gjigr является
чистой сетью Коши, если для каждого t 6 J множество {ntgi}iSi есть
чистая сеть Коши в At.
Предложение 13.3. Прямое произведение полно в блочной топологии
тогда и только тогда, когда каждая его компонента полна.
Пусть группа G = [J At полна в блочной топологии, и пусть
{я*}ге/ —сеть Коши в группе At. Тогда {р(а4}4?1 — сеть Коши
в G [pt обозначает t-e координатное вложение]. Пусть эта сеть имеет
пределом элемент g- 6 G. Тогда, очевидно, ntg—предел сети {at}.
Обратно, предположим, что группы At полны, и пусть {gi}m — чистая
сеть Коши в G. Если at 6 At является пределом сети Коши {ntgt}i^i
и если элемент g ? G таков, что ntg — at, то, как непосредственно вид-
видно, g есть предел сети {#;},?/¦ ¦
Если все группы At снабжены Z-адической [р-адической] тополо-
топологией, то получаем
Следствие 13.4. Прямое произведение групп полно в Z-адической
[р-адической] топологии тогда и только тогда, когда каждая его компо-
компонента полна в своей Z-адической [р-адической\ топологии. н
В оставшейся части этого параграфа остановимся на вопросе о вло-
вложении группы А, в которой определена линейная топология, в полную
группу А. Рассмотрим два метода, один из них основан на сетях Коши,
другой — на обратных пределах.
Пусть А — топологическая [не обязательно хаусдорфова] группа
и {Ut}i?i — база окрестностей нуля в ней. Сеть {at}i^j из А можно
отождествить с элементом прямого произведения G = А1, если устано-
установить естественное соответствие
{«/}<?/ >-*¦(..., at, .. .).
Чтобы не создавать ненужных осложнений, мы ограничимся чистыми
сетями Коши; это можно сделать, не нарушая общности. Легко прове-
проверить, что чистые сети Коши группы А составляют подгруппу С группы
G, а сети, чисто сходящиеся к нулю, составляют подгруппу ? в С.
Непосредственно видно, что Е — замкнутая подгруппа группы С,
если на С определена топология произведения или блочная топология.
Следовательно, А = CIE — хаусдорфова топологическая группа
в каждой из соответствующих индуцированных топологий.
Лемма 13.5. Топология произведения и блочная топология группы А1
индуцируют^на А одну и ту же топологию.
Так как эти две топологии сравнимы между собой, то достаточно
показать, что для любой окрестности U* в блочной топологии суще-
§ 13. Полнота и пополнения 85
ствует окрестность njlUh в топологии произведения, для которой имеет
место включение
(С Г\п?ик) + Е?=(С П Ш) + Е.
В силу модулярного закона для этого достаточно показать, что
С n rtUh = W + Е.
Если {аг};ег — чистая сеть Коши, содержащаяся в пТ1 Ui, то не
только аь 6 Uu но и ау 6 Ut при всех / > i. Поэтому {аг}г?/ 6 Ut + E.m
Очевидным следствием этой леммы является то, что база окрестно-
окрестностей нуля в группе Л может быть получена путем взятия подгрупп Ut
группы А, состоящих из всех таких чистых сетей Коши {щ}^, что
o-i 6 Ut для всех /.
Отображение
\i : а у-+ (. . ., а а, . . .) + Е
группы А в группу А, очевидно, является непрерывным открытым
гомоморфизмом. Кроме того, если группа А хаусдорфова, то ц — топо-
топологический изоморфизм между группами А и (гЛ, если в \iA рассмат-
рассматривать индуцированную топологию группы А [эта топология на груп-
группе А описана в лемме 13.51.
Теорема 13.6. Группа А полна, а цЛ — ее плотная подгруппа.
Если даны элемент (. . ., аи . . .) + Е 6 Л и окрестность U*
нуля группы G, то, очевидно, элемент \каг лежит в ?/*-окрестности
элемента (. . ., аь ...) + ?. Следовательно, подгруппа |лЛ плотна
в Л, и поэтому, чтобы доказать полноту группы А, нам нужно только
проверить, что сети Коши из ц,Л сходятся к элементам из Л. Чистая
сеть Коши из (гЛ имеет вид {[хаг};е/ , где {аг}г?/ —чистая сеть
Коши в Л. Можно непосредственно проверить, что (. . ., ah . . .) +
+ Е — предел в Л для сети {\x,at}i?i. ш
Другой способ построения пополнений использует обратные пре-
пределы. Исходя снова из системы окрестностей нуля {?/г}геь полагаем
Ct — A/Ui и для / ^ i из / рассматриваем гомоморфизмы n\:Cj -> С;,
где п\ (а + Uj) = а ¦{¦ Ui. Тогда получается обратный спектр С =
= {Ci (i 6 /); л'}, обратный предел которого обозначаем через С. За-
Заметим, что группы Ct берутся с дискретной топологией, а в группе С
берется топология, индуцированная топологией произведения на груп-
группе \\ Ci. Таким образом, база {V*}i=r окрестностей нуля в С состоит
из подгрупп С П я!1 0 [п; обозначает t'-ю координатную проекцию].
Очевидно, отображение
a :a н* (. . ., a+Ut, . . .) 6 С
является непрерывным и открытым гомоморфизмом.
"86 Гл. II. Прямые суммы
Предложение 13.7. Существует естественное отображение
X: А -*¦ С, являющееся топологическим изоморфизмом со свойством
1\х = а.
Если {a(}tjj — чистая сеть Коши, представляющая элемент из А,
то возьмем
X: (. . ., at, . ¦ •) +?->(. . ., at + U ).
Тогда Im X лежит в С, так как п\ (а} + Uj) — а} + Ui — at + Ut
лри / >-i. Если (. . ., at + Uh ¦ ¦ ¦) 6 С, то {fljij/ —чистая сеть
Коши, а другой выбор представителей смежных классов по подгруп-
подгруппам Ui дает тот же смежный класс по подгруппе Е. Тот факт, что X ото-
отображает окрестности на окрестности, очевиден. Также очевидно, что
},ц = а. Л
Так как мы хотим говорить о группе А ^ С как о пополнении груп-
.пы А, необходимо иметь теорему единственности. Она будет вытекать
из следующего свойства универсальности группы А.
Теорема 13.8. Если дан непрерывный гомоморфизм ср группы А в пол-
.ную группу G, то существует и однозначно определен такой, непрерыв-
непрерывный гомоморфизм ф: А -*¦ G, что ф|д, = ср.
Пусть {ajigj — сеть Коши в А, имеющая предел а 6 А. Тогда
из непрерывности гомоморфизма ср следует, что {cpfl;};e/ — сеть Коши
в G. Если g ? G — ее предел, то единственная возможность определить
непрерывное отображение ср — это положить ср: а к-»- g. Остальные
•части утверждения очевидны. а
Из теоремы 13.8 следует, что группа А определена однозначно с точ-
точностью до топологического изоморфизма. Кроме того, |v. A ->- А —
естественное отображение, так как если a : А -*¦ В — непрерывный
гомоморфизм, то коммутативна диаграмма
А
i
А
а
а
»
>•
в
IX'
t
• В
где смысл ц' очевиден, а a — гомоморфизм, существование которого
установлено в теореме 13.8.
Упражнения
1. Доказать, что группа \уА [|я определено в тексте] топологически
изоморфна группе AIU, где U — пересечение всех открытых подгрупп
группы А.
2. Всякая компактная группа является полной.
Замечания 87
3. Обратный предел полных групп является полной группой.
4. Если группа А имеет базу окрестностей нуля, состоящую из под-
подгрупп конечного индекса, то пополнение группы А компактно.
5- Найти пополнение группы Z в /?-адической [и в Z-адической]
топологии.
6* (Лефшец). Группа А называется линейно компактной, если в ней
определена такая хаусдорфова линейная топология, что если С,- —
замкнутые подгруппы группы А и всякое конечное множество смеж-
смежных классов a.j + Cj {a} 6 А) имеет непустое пересечение, то пересече-
пересечение всех классов а} \- Cj также не пусто. Доказать следующие утверж-
утверждения:
(а) в приведенном определении слово «замкнутые» может быть
заменено словом «открытые»;
(б) если группа А линейно компактна и а: А ->- В — непрерыв-
непрерывный эпиморфизм, то группа В линейно компактна;
(в) если группа А линейно компактна, то этим же свойством обла-
обладает всякая ее замкнутая подгруппа;
(г) прямые произведения и обратные пределы линейно компактных
групп сами линейно компактны [в топологии произведения];
(д) линейно компактные группы линейно компактны и во всякой
более грубой топологии.
7*. (а) Всякая линейно компактная группа является полной.
(б) Группа линейно компактна в дискретной топологии тогда и толь-
только тогда, когда в ней выполнено условие минимальности для подгрупп.
(в) Привести пример полной группы, не являющейся линейно ком-
компактной, и пример линейно компактной группы, не являющейся ком-
компактной.
Замечания
Большинство результатов главы II могло быть сформулировано в более
общем виде для определенных категорий. Систематическое изложение этих вопро-
вопросов можно найти у Митчелла [Mitchell В., Theory of Categories, 1965].
В теоремах 8.1,8.2, 11.1 и 12.1 отмечены свойства универсальности [и коуни-
версальности] рассматриваемых понятий. Универсальность определенных объек-
объектов важна в общей теории категорий.
Теорема 8.4 о разложении в прямую сумму примарных групп является одной
из основных; в случае конечных групп наличие такого разложения характеризует
нильпотентные группы. Матлис [Matlis E., Trans. Amer. Math. Soc, 125 A966),
147—179] рассматривал такие коммутативные области целостности R, что вся-
всякий периодический R-модуль М является прямой суммой подмодулей Мр(
где для каждого а ? Мр порядок о (а) содержится точно в одном максимальном
идеале Р кольца R. Он доказал, что R обладает этим свойством тогда и только
тогда, когда в R каждый ненулевой идеал содержится лишь в конечном числе
максимальных идеалов, а всякий ненулевой простой идеал — точно в одном
максимальном идеале.
В отличие от теоремы 8.4 теорему 8.5 легко перенести на произвольные
модули: если модуль является объединением простых подмодулей, то он равен
прямой сумме простых модулей [он тогда называется полупростым модулем].
Полупростые модули характеризуются тем условием, что всякий их подмодуль
выделяется прямым слагаемым.
88 Гл. II. Прямые суммы
Проблема 3. (а) (Ирвин) Для каких подгрупп В группы А
все В-высокие подгруппы изоморфны между собой?
(б) Тот же вопрос для 5-высоких подгрупп, содержащих максималь-
максимальную вполне характеристическую подгруппу группы А, не пересекаю-
пересекающуюся с В.
Проблема 4. Указать верхнюю границу для числа неизоморф-
неизоморфных В-высоких подгрупп группы А, в частности в случае, когда
В = А1.
Проблема 5. Исследовать группы, каждая бесконечная под-
подгруппа В которых может быть вложена в прямое слагаемое мощности
|В|.
См. Ирвин и Ричмен [1].
Проблема 6. Какие классы абелевых групп замкнуты а) отно-
относительно взятия подгрупп и прямых пределов? б) относительно эпи-
морфных образов и прямых пределов?
Примером здесь служат локально циклические группы. Естественно, ана-
аналогичные вопросы могут быть поставлены и относительно других операций на
классах; ср. § 18, упражнение 7.
Проблема 7 (Шарль). Описать функторные подгруппы, ком-
коммутирующие с прямыми произведениями [или с обратными пределами].
Проблема 8. Какие группы могут оказаться полными в неко-
некоторой метрической (линейной) топологии?
В связи с этим вопросом см. § 39.
Глава III
ПРЯМЫЕ СУММЫ ЦИКЛИЧЕСКИХ ГРУПП
В этой главе мы начинаем изучение важных классов абелевых групп. Снача-
Сначала мы коснемся прямых сумм циклических групп. Их значение объясняется тем,
что они легко могут быть охарактеризованы с помощью достаточно хороших
инвариантов; исследование же других классов абелевых групп основано до неко-
некоторой степени на том, что мы знаем о прямых суммах циклических групп.
Первый параграф посвящен свободным группам и краткому изложению
вопроса, как задать группу образующими и определяющими соотношениями.
Затем описываются конечно порожденные группы; на так называемую Основную
теорему о них имеются ссылки в различных ветвях математики. Для бесконечно
порожденных групп можно установить критерии, при которых группа разлагает-
разлагается в прямую сумму циклических групп; однако, ими удобно пользоваться только
в случае периодических групп. Один из наиболее используемых результатов
заключается в том, что класс прямых сумм циклических групп замкнут относи-
относительно перехода к подгруппам.
Всякая абелева группа А содержит подгруппы, являющиеся прямыми сум-
суммами циклических групп. Те из этих подгрупп, которые в некотором смысле мак-
максимальны, определяют кардинальные числа, зависящие только от группы А.
Это ведет к понятию рангов, которые являются очень полезными инвариантами
для группы А.
§ 14. Свободные абелевы группы. Определяющие
соотношения
Свободной абелевой группой называется прямая сумма бесконечных
циклических групп. Если эти циклические группы порождаются эле-
элементами xt ({ ? /), то свободная группа имеет вид
Таким образом, группа F состоит из всех конечных линейных комби-
комбинаций
ё = rti*ff + • • • + nk*ik, A)
где элементы х<, . . ., xt все различны, ttj — отличные от нуля целые
числа, k — неотрицательное целое число. В силу определения прямых
сумм две линейные комбинации вида A) являются равными элемента-
элементами группы F тогда и только тогда, когда они отличаются, самое боль-
большее, порядком, в котором идут слагаемые. Сложение двух линейных
комбинаций проводится формально, путем сложения коэффициентов
90 Гл. Ill. Прямые суммы циклических групп
при одинаковых элементах Xi. Очевидно, мы могли бы также опреде-
определить группу F, исходя из непустого множества
X = {*,}*/
символов хи называемого системой свободных образующих, и затем беря
в качестве F совокупность всех формальных выражений вида A), где
равенство и сложение определяются указанным выше образом. Ввиду
этого группа F называется также свободной группой, построенной
на множестве X.
Очевидно, свободная группа F определяется однозначно с точностью
до изоморфизма мощностью m множества индексов /. Таким образом,
мы вправе писать Fm, если дана свободная группа с m свободными
образующими. Имеет место следующий простой результат.
Предложение 14.1. Свободные группы Fm и Fn, где т, п — кар-
кардинальные числа, изоморфны тогда и только тогда, когда m == п.
Достаточно проверить только необходимость этого условия. Пусть
р — простое число и F — свободная группа с m свободными образую-
образующими xt. Так как каждый элемент g ? F однозначно записывается в виде
A), ясно, что g 6 pF тогда и только тогда, когда одновременно выпол-
выполнено р | nlt . . ., р | nh. Следовательно, FlpF как векторное простран-
пространство над простым полем характеристики р имеет базис {xt + pF}
и размерность т. Так как размерность — инвариант векторных про-
пространств, утверждение доказано. а
Отсюда следует, что существует взаимно однозначное соответствие
между неизоморфными свободными группами и кардинальными числа-
числами. Если m — кардинальное число, соответствующее свободной группе
F, то F называется группой ранга т. Ранг свободной группы F опре-
определен однозначно.
Следующий результат представляет собой одно из основных свойств
свободных групп.
Теорема 14.2. Множество X = {лгг}ге/ образующих группы F
является системой свободных образующих [и, следовательно, F является
свободной группой] тогда и только тогда, когда всякое отображение
Ф множества X в группу А может быть продолжено до (ровно одного)
гомоморфизма ty: F -*~ А.
Пусть X — система свободных образующих группы F. Если
<р: xt ->¦ at — отображение множества X в группу А, то возьмем
•ф: F -*¦ А, где
*i + +nX) = nai + + nhaik.
¦ф («i*ii + • • • +nkXih) = n1ail + . . . + nhai
В силу единственности записи вида A) отображение г|з определено кор-
корректно. Легко проверить, что оно сохраняет операцию сложения.
Обратно, предположим, что подмножество X группы F обладает ука-
§ 14. Свободные абелевы группы. Определяющие соотношения 91
занным в формулировке теоремы свойством. Пусть G — свободная
группа с системой свободных образующих {#;};?/ , где / — то же мно-
множество индексов, что и в системе X. По предположению отображение
ср: xt >-*¦ yt (i 6 1) можно продолжить до гомоморфизма \|з: F -*¦ G,
который не может быть нечем иным, как отображениемг|з: пхх\^ + . . .
... + nkxik *-*¦ rtjf/i, + • • • + nhyik. Ясно, что г|з — изоморфизм. ¦
В частности, отображая множество X на систему образующих
группы А, мы получаем следующий результат.
Следствие 14.3. Всякая группа, имеющая не более m образующих,
является эпиморфным образом группы Fm. a
Если m — бесконечное кардинальное число, то группа Fm содер-
содержит 2т подмножеств и, следовательно, имеет не более 2т подгрупп
и факторгрупп. Отсюда получается, что существует не более 2т по-
попарно не изоморфных групп мощности ^ т.
Приведем одно элементарное и часто используемое свойство свобод-
свободных групп.
Теорема 14.4. Если В — такая подгруппа группы А, что А/В —
свободная группа, то В служит для А прямым слагаемым.
По лемме 9.4 достаточно проверить это для случая, когда А/В —
бесконечная циклическая группа, скажем, А/В = {а* >. Выберем
в группе А элемент а ? а *. Тогда смежные классы па * (п = О,
± 1, ±2, . . .) по подгруппе б будут иметь в качестве представителей
элементы па из циклической подгруппы (а). Отсюда А = В ф (а). в
Следующая теорема дает полную информацию о строении подгрупп
свободных групп.
Теорема 14.5. Подгруппа свободной группы сама является свободной
группой.
Пусть F = ф <й; > — свободная группа, и пусть множество индек-
сов / некоторым образом вполне упорядочено. Пусть, кроме того, / —
это множество порядковых чисел, меньших порядкового числа т. Для
о ^ т положим Fa = ф (ар >. Если G — подгруппа группы F,
Р«т
то положим Ga = G П Fa. Очевидно, Ga = Ga+i П Fa, так что
Go+i/Ga = (Ga+i + Fa)IFo- Последняя факторгруппа является под-
подгруппой ГруППЫ Fa+i/Fa = (па >, ПОЭТОМу ИЛИ Ga+i = Ga, ИЛИ
Ga+JGa — бесконечная циклическая группа. По теореме 14.4
Ga+i = Ga ф Фа) ДЛЯ НеКОТОрОГО Ьа 6 Ga+l [еСЛИ Go+i = Ga, ТО
ba = 0]. Отсюда следует, что элементы Ьа порождают прямую сумму
ф фа)- Она должна совпадать с группой G, так как G — объединение
подгрупп Ga. и
Существует понятие, тесно связанное со свободой, которое в случае
абелевых групп эквивалентно ей [но для произвольных модулей это
уже не так].
92 Гл. III. Прямые суммы циклических групп
Назовем группу G проективной, если каждая диаграмма
G
с точной строкой может быть дополнена до коммутативной некоторым
гомоморфизмом г|з: G-*- В. Так как здесь группу С можно отождествить
с факторгруппой группы В, то проективность группы G можно вы-
выразить иначе так: всякий гомоморфизм группы G в факторгруппу
произвольной группы В можно провести через В. Имеет место
Теорема 14.6 (Маклейн [1]). Группа проективна тогда и только
тогда, когда она — свободная группа.
Пусть Р: В -*• С — эпиморфизм, F — свободная группа, <р: F -*- С.
Для всякого Xi из системы свободных образующих \xi}i^i группы F
выберем такой элемент bi 6 В, что Рйг = щь\ это возможно, так как
Р — эпиморфизм. В силу теоремы 14.2 соответствие xt •-*• bt (i ? /) мож-
можно продолжить до гомоморфизма ф : F -*¦ В. Для него выполнено
равенство Pi|> = ср. Следовательно, группа F проективна.
Пусть G — проективная группа и f>:F -*¦ G — эпиморфное отобра-
отображение свободной группы F на G. Тогда существует такой гомоморфизм
¦ф: G->-F, что fk|) = 1G. Следовательно, г|? — мономорфное отобра-
отображение на прямое слагаемое группы F, т. е. группа G изоморфна пря-
прямому слагаемому группы F. По теореме 14.5 G — свободная группа. н
В силу следствия 14.3 для всякой группы А существует точная
последовательность
0-+H-+F-+A-+0,
где F, а тогда по теореме 14.5 и Я, — свободная группа. Эта точная
последовательность называется свободной или проективной резольвен-
резольвентой группы А.
Результаты этого параграфа имеют многочисленные следствия;
действительно, мы увидим, что на них часто приходится ссылаться.
Эти результаты обобщались в различных направлениях. Для нас
будет важен случай модулей над кольцом целых р-адических чисел.
Поэтому сформулируем следующую теорему.
Теорема 14.7. Результаты 14.1 — 14.6 останутся справедливыми,
если заменить абелевы группы р-адическими модулями.
В самом деле, проходят те же доказательства [с очевидными изме-
изменениями], в
Результаты настоящего параграфа позволяют определить группу
в терминах образующих и определяющих соотношений. Хотя этот
g 14. Свободны абелевые группы. Определяющие соотношения 9!$
метод хорошо известен из общей теории групп, мы немного поговорим
о нем здесь.
Пусть А — группа с системой образующих {ajigi. и пусть
r\: F ~> А — эпиморфное -отображение свободной группы F = Ф <*j)
на группу А, где r\xt = at. Очевидно, Кег г\ состоит из всех элементов
тххч + . . . + mhXih ?.F(tni€ Z), для которых т^, + • • •
... +mhaih =0 в группе А. [Равенства такого типа называются опре-
определяющими соотношениями относительно системы образующих
{ot}t?i группы А.] Ввиду этого группу А можно определить так:
А = <О| (/ € /); mnati + . . . + m]haih = 0 (/ 6 /) >. B)
причем под такой записью понимается, что А = FIH, где F — свобод-
свободная группа, порожденная свободными образующими xt (i g /), а Я —
подгруппа группы F, порожденная элементами т^ xt + . . . + m]kxih
из F (/ 6 J), соответствующими левым частям определяющих соотно-
соотношений. Это определение является стандартным. Выражение B) назы-
называется представлением группы А в виде факторгруппы свободной груп-
группы [но нужно помнить, что одна и та же группа в виде факторгруппы
свободной группы может быть представлена многими способами].
Учитывая то, что по теореме 14.5 подгруппа Н есть свободная груп-
группа, можно написать Я = ф (yh), где каждый элемент yh имеет вид
fc?K
причем при фиксированном k почти все коэффициенты nhl равны нулю.
Таким образом, представление А = F/H определяет конечнострочную
матрицу
• llnwIUe*, Ki (nki e Z) C)
с независимыми строками. Обратно, всякой конечнострочной матрице
с независимыми строками очевидным образом соответствует группа А.
Так как группа может быть представлена в виде факторгруппы F/H
свободной группы F различными способами и так как F и Я могут
по-разному разлагаться в прямую сумму циклических групп, то
различные матрицы вида C) могут получаться и с помощью изоморф-
изоморфных групп. Одна из основных связанных с этим проблем — установить,
когда две матрицы определяют изоморфные группы. Условия для этого
найти не трудно, но эти условия не помогают решить вопрос об изо-
изоморфизме и пока не имеют практических приложений.
Упражнения
1. Система образующих группы Fm, где m — натуральное число,
является системой свободных образующих тогда и только тогда, когда
она содержит ровно т элементов.
2. Доказать следующее утверждение, обратное теореме 14.4 :
если F — такая группа, что аз В ^ А я А/В ^ F вытекает, что В —
прямое слагаемое группы Л, то F — свободная группа.
94 Гл. III. Прямые суммы циклических групп
3 (Кертес [2]). Группа F является свободной, если она изоморфна
подгруппе любой группы G, для которой существует эпиморфизм G-+-F.
4 (Капланский [2]). (а) Пусть F—свободная группа, G— ее под-
подгруппа, Н — ее прямое слагаемое. Тогда G [\ Н — прямое слагаемое
группы G. [Указание: G/(Gfl H) — свободная группа.]
(б) Пересечение конечного числа прямых слагаемых свободной
группы само является прямым слагаемым.
5. Если F — свободная группа и т): F -*¦ А — эпиморфное отобра-
отображение группы F на конечно порожденную группу А, то существует
такое прямое разложение F = Fr ф F2, что Fx — конечно порожден-
порожденная группа, a f 2 Е Кегт).
6. Если группа А задана системой образующих и определяющих
соотношнений, а группа В задана подсистемой этой системы образую-
образующих и определяющих соотношений, то существует естественный гомо-
гомоморфизм В -> А, при котором образующие группы В переходят в себя,
но рассматриваются теперь как элементы группы А.
7. Пусть группа А задана системой образующих и определяющих
соотношений, и пусть образующие можно разбить на два класса
{bi}t?i и {cj}j?j так, что всякое заданное определяющее соотноше-
соотношение содержит или только элементы Ьи или только элементы cj. Тогда
А = В ф С, где подгруппа В порождается элементами bi, а подгруппа
С — элементами с}.
8. Для всякой системы образующих группы существует такая систе-
система определяющих соотношений относительно этих образующих, что
никакое соотношение не может быть отброшено. [Указание: исполь-
использовать теорему 14.5.]
9. Пусть F — свободная группа, G — подгруппа группы F
и А —такая группа, что всякий гомоморфизм ср: G-*- А может быть
продолжен до некоторого гомоморфизма г|з: F -*- А. Доказать, что тогда
то же выполняется для любого эпиморфного образа группы А.
10. Пусть В — подгруппа группы А и т^: Fi~>-В, r\2: Fz ->-
->- А/В — эпиморфизмы, где Flt F2 — свободные группы. Тогда
существует такой эпиморфизм ч\: Ft ф F2^~ А, что r\ | Fx = %
и rig- + В = Thg для g б F2.
11. Пусть Ап (п = 0, ±1, ±2, . . .) — произвольные группы.
Доказать, что существуют такие свободные группы F(n) и такая после-
последовательность
что aaan_j = 0 и Ker an/Im an_j ^ Ап для любого п.
12. Провести подробно доказательство теоремы 14.7.
§ 15. Конечно порожденные группы
В дальнейшем будет полезна следующая лемма.
Лемма 15.1. Пусть А есть р-группа, содержащая элемент g мак-
максимального порядка pk. Тогда (g) — прямое слагаемое группы А.
§ 15. Конечно порожденные группы 95
Предположим, что В есть <#>-высокая подгруппа группы А. Чтобы
доказать, что А = (g) ф В, вспомним лемму 9.9 и покажем, что
из pa = mg + b (a ? A, b 6 В, т 6 Z) вытекает р \ т. В силу макси-
максимальности порядка элемента g имеем рР-'1 mg -\- ph~l b — pha = 0.
Поэтому рк~г mg = 0 и т должно делиться на р. в
Теперь мы можем перейти к первой в истории теории групп соб-
собственно структурной теореме.
Теорема 15.2 (Фробениус и Штикельбергер [1]). Конечная группа
является прямой суммой конечного числа циклических групп, имеющих
порядки, равные степеням простых чисел.
В силу теоремы 8.4 мы можем ограничиться рассмотрением р-групп.
Если А Ф 0 — конечная р-группа, то выбираем элемент а ? А мак-
максимального порядка ph. По предыдущей лемме А — {а) ф В для неко-
некоторой подгруппы В группы А. Так как порядок подгруппы В меньше
порядка группы А, то доказательство получается с помощью простой
индукции. ¦
Выяснив, как устроены конечные группы, перейдем к конечно
порожденным группам. Докажем две вспомогательные леммы.
Лемма 15.3 (Радо [1]). Если А — (ах, . . ., ah) и целые числа
пъ . . ., пи удовлетворяют условию {пх, . . ., nh) = 1, то в группе А
существуют такие элементы Ьъ . . ., bh, что
А = <6i, . . ., bh), причем Ьх = п^ -+- . . . + nhah.
Если я = | «! | + ... + I tik I = 1, то bx = ± at для некоторо-
некоторого i, и утверждение тривиально. Предположим, что п > 1, и применим
индукцию по п. Теперь хотя бы два числа nt отличны от нуля. Пусть
I «1 I > I «г I > 0. Тогда или | пх + пг |< | пх \, или | пх — п2 |<
< | пх |, поэтому | rti ± «2 I + I «г I + • • ¦ + I nh |< п для одного
из двух знаков. В силу того, что (пх ± п2, п2, . . ., nh) = 1, и в силу
предположения индукции
А = (аъ а2, . . ., ah) = (аъ а2 =f аъ а3, . . ., ah) =
= (bj, b2, . . ., bh)y
где
h = («i ± /г2) a-i + «2 (^2 =F ax) -f n3a3 + . . . -f nhah =
Если группа А является прямой суммой циклических групп
<аг> (i 6 /). то будем говорить, что {а^щ — базис группы А.
Лемма 15.4. Пусть Н Ф 0 — подгруппа свободной группы F ран-
ранга п. Тогда существуют такие базисы ах, . . ., ап группы F и Ьъ . . ., Ь„.
группы Н, что
bt = ttiiui (t = 1, .... п),
96 Гл. III. Прямые суммы циклических групп
где mt — неотрицательные целые числа и
ть-х [ mt (i = 2, .... я).
Возьмем сначала базис сх, . . ., сп группы F, обладающий следую-
следующим свойством минимальности: в подгруппе Я имеется элемент Ьх =
= kxcx + . . . + kncn с минимальным положительным коэффициентом
kx, т. е. с таким, что для другого базиса группы F, или для другого
упорядочения элементов съ . . ., сп, или для других элементов из под-
подгруппы Я первый коэффициент, если он положителен, всегда не мень-
меньше kx. Тогда kx\kt{i= I, .... п), так как если kt = qtkx + rt @ <
<s гг < kx), то можно написать b\ = kxax + ггсг + . . . -\- гпсп, где
ах = сх + цгсг + . . . + qncn, с2, . . ., сп — базис группы F. В силу
выбора базиса сх, . . ., сп должно быть г2 = ... = г„ = 0. Такие же
рассуждения показывают, что если b = S& +...-{- sncn 6 Н, то
sx ~ qkx для некоторого целого числа q. Отсюда Ъ — qbr ? (с2 > ф ...
... ® (сп). Мы заключаем, что F == (ах> ф <с2) ф ... ф (сп>
и Я = F]_ > ф Яц, где &! = kxai и Ях s <с2) ф . . . ф (сп >. Простая
индукция по п показывает, что существуют базисы а1( . . ., ап груп-
группы F и blt . . ., bn группы Я, для которых bt — т^.
Чтобы доказать последнее утверждение леммы, покажем, что
/nx I m2. Пусть /п2 = qmx + г @ ^ г •< т^. Заменим элемент базиса ах
элементом а = ах -\- qa2. В новом базисе а, а2, . . ., а„ элемент
^i + b2 g Я имеет вид 6Х + Ь2 = '"i0! + (^i + г) а2 — тха +
+ га2. В силу минимальности числа mt = kx здесь обязательно г = O.i
Основным результатом, касающимся конечно порожденных групп,
является следующая замечательная теорема.
Теорема 15.5. Для группы А эквивалентны следующие условия'.
\) А — конечно пороокденная группа;
2) А — прямая сумма конечного числа циклических групп;
3) в группе А выполнено условие максимальности для подгрупп.
Из условия 1) вытекает условие 2). Так как это основная часть тео-
теоремы, мы дадим для этой импликации два независимых доказательства.
Первое из них основывается на лемме 15.3. Предположим, что А —
конечно порожденная группа и что каждая ее система образующих
содержит не менее k элементов. Выберем систему из k образующих
ах, . . ., ah, в которой, например, элемент ах имеет наименьший воз-
возможный порядок в том смысле, что никакая другая система из k обра-
образующих группы А не содержит элемента меньшего порядка. В силу
выбора числа k имеем о (ах) > 1. Можно сделать индуктивное предпо-
предположение, что В = (а2, . . ., а^> — прямая сумма циклических групп.
Следовательно, достаточно показать, что А = {ах) ф В, а это сразу
получится, если мы покажем, что <aa > f) В = 0. Предположим,
что тхах = тгаг + . . . + mhak Ф0, 0<.тх<о (ах). Положим
(тх, . . ., mk) = m, и пусть mt = тщ. Тогда (пх nk) = 1,
и из леммы 15.3 получается, что {ах, . . ., ah) = (bx, . . ., bk), где
§ 15. Конечно порожденные группы 97
Ьх = — пгах + пгаг + . . . -f- nkah. Здесь mbx = О, т. е. о (bj < о ^
а это противоречит выбору элемента av
Во втором доказательстве используется лемма 15.4. Если группа
А порождается п элементами, то по следствию 14.3 A s* FIH, где F —
свободная группа ранга п. Если выбрать в F и в Н базисы так, как это
сделано в лемме 15.4, то получится, что
А е* <а1>/(т1% > ф . . . ф (ап I(тпап).
Таким образом, А —прямая сумма циклических групп. Если здесь
/П; = 0, то t-e прямое слагаемое — бесконечная циклическая группа,
в противном случае оно — циклическая группа порядка mt.
Из условия 2) вытекает условие 3). Пусть А = <аг> ® ...
• . . ф (ап). Если п = 1, то А — циклическая группа и всякая ее
ненулевая подгруппа имеет конечный индекс. Таким образом, условие
максимальности для подгрупп выполнено. Сделаем теперь индуктивное
предположение, что условие максимальности для подгрупп выполнено
в группе В = (пх) 0 ... ф (an-i>. Если Q g Q е . . . — воз-
возрастающая последовательность подгрупп группы А, то В (~) С\ s
s В П ^ - • • • — возрастающая последовательность подгрупп
группы В. Таким образом, начиная с некоторого индекса k, все
пересечения В (~| Ст совпадают [с пересечением В f) Ch]. Для т > k
CJ(B П СО = CJ(Bk П Cm) ~ (B + Cn)IB «= A'/B,
где А/В S? (an> — циклическая группа. Следовательно, в возрастаю-
возрастающей последовательности CJ (В [") СО — Ck+1/(B П СО s . . ., начи-
начиная с некоторого индекса к -\- I, все группы совпадают между собой,
откуда Ch+l = CVh+i = . . . .
Наконец, из условия 3) вытекает 1). Пусть в группе А выполнено
условие максимальности для подгрупп. Множество всех конечно
порожденных подгрупп группы А не пусто, поэтому в А существует
максимальная конечно порожденная подгруппа G. Для любого эле-
элемента а 6 А подгруппа (G, а) также является конечно порожденной.
Следовательно, G — (G, а) к G — А. ¦
Заметим, что из теоремы 15.5 вытекает следующий факт: подгруп-
подгруппы конечно порожденных групп сами являются конечно порожденными.
Естественно поставить вопрос о единственности разложения конеч-
конечно порожденной группы в прямую сумму циклических групп. Если
порядок конечной циклической группы делится хотя бы на два различ-
различных простых числа, то ее можно разложить в прямую сумму групп,
порядки которых — степени простых чисел, поэтому, желая получить
в каком-то виде теорему единственности, мы должны будем ограничить-
ограничиться рассмотрением разложений в прямые суммы циклических групп,
порядки которых бесконечны или являются степенями простых чисел.
Тогда единственность [с точностью до изоморфизма] будет простым
следствием следующей теоремы, дающей описание подгрупп конечно
порожденной группы.
7 Л» Фукс
98 Гл. III. Прямые суммы циклических групп
Теорема 15.6. Пусть В — подгруппа конечно порожденной группы
А. Тогда
1) число s бесконечных циклических групп в разложении подгруппы В
в прямую сумму циклических групп не больше числа г бесконечных цик-
циклических групп в разложении группы А;
2) если рг> !>...]> ргь > 1 —порядки циклических р-групп
[р фиксировано] в разложении группы А в прямую сумму циклических
групп бесконечного порядка и порядков, равных степеням простых чисел,
а р'1 > . . . > р'т > 1 — аналогичные числа для подгруппы В, то-
? !> т и /-j !> Sj, i = 1, . . ., m;
3) если С — прямая сумма циклических групп, порядки которых удо-
удовлетворяют условиям 1) и 2), то группа С изоморфна подгруппе
группы А.
Из равенства Т (В) = В f] T (А) следует, что BIT (В) ^
=* (В + Т (А))/Т (А) = А/Т (А). Группы В/Т (В) и А/Т (А) — пря-
прямые суммы s и г бесконечных циклических групп соответственно. Поэто-
Поэтому для доказательства утверждения 1) достаточно рассмотреть слу-
случай, когда А — группа без кручения. В этом случае А и В — свобод-
свободные группы соответственно рангов г и s. По лемме 15.4 группа В имеет
базис, состоящий не более, чем из стольких элементов, сколько их в не-
некотором базисе группы А. Отсюда и из предложения 14.1 получа-
получаем s <; г.
Чтобы доказать утверждение 2), заметим сначала, что | А [р] \ =
== /Л а | В [р] | = /Л откуда, очевидно, k >- m. Предположим теперь,
что гг !> slt . . ., Ti-X !> Sj_!, но rt < st для некоторого i. Тогда jo-ком-
понента группы р*1 А — прямая сумма циклических групп порядков
pu~Ti, . . ., pTi-i-ri, а р-компонента группы рг'В — прямая сумма
циклических групп порядков /Л~г' , . . ., р"*~Гг , . . ., откуда
| (pTiA) [р] | = р1-1 < р1 < | (рг'В) [р] |, чего не может быть.
Утверждение 3) очевидно. а
При В = Л теорема 15.6 дает единственность порядков циклических
групп в разложениях группы А в прямые суммы циклических групп
бесконечного порядка и порядков, равных степеням простых чисел.
[Но нужно подчеркнуть, что эти циклические группы не являются одно-
однозначно определенными подмножествами группы А.] Эти порядки назы-
называются инвариантами группы А. Например, инвариантами группы
A=Z®Z®Z(p)@Z (р2) 0 Z (<72) служат оо, то, р, р2, q*. В этом
случае мы будем также говорить, что А — группа типа (оо, то, р,
Р3. Л-
Таким образом, каждой конечно порожденной группе А мы сопоста-
сопоставили конечную систему, состоящую из символов то и степеней простых
чисел, — систему инвариантов группы А. При этом не только инвари-
инварианты однозначно определяются группой, но и, наоборот, они опреде-
определяют группу, т. е. две конечно порожденные группы обязательно изо-
§ 15. Конечно порожденные группы 99
морфны, если эти группы обладают одной и той же системой инвариан-
инвариантов. Этот факт обычно выражают, говоря, что имеется полная система
инвариантов. Кроме того, указанные инварианты независимы в том
смысле, что для всякой конечной системы символов оо и степеней
простых чисел существует конечно порожденная группа, система инва-
инвариантов которой совпадает с заданной системой.
Описание класса групп посредством инвариантов — это одна из основных
целей теории групп. В большинстве случаев инварианты являются натуральными,
кардинальными или порядковыми числами, но они могут быть и матрицами опре-
определенного характера и т. д. Инварианты должны быть легко описываемыми вели-
величинами и, как показывает их название, должны однозначно определяться груп-
группами; они достаточно хороши, если по инвариантам легко установить, изоморф-
изоморфны ли группы. Системы инвариантов для конечно порожденных групп являются
наиболее хорошими, и они послужили классической моделью для структурных
теорем в алгебре.
Точнее, структурная теорема для класса алгебраических систем состоит
в нахождении полной [и, может быть, независимой] системы инвариантов и ме-
метода построения исходной алгебраической системы по ее инвариантам. В случае
конечно порожденных групп этот метод состоит в том, что строится прямая сумма
циклических групп, порядки которых — заданные инварианты.
Теорема 15.5 допускает различные обобщения на случай модулей.
Для наших целей достаточно будет рассмотреть модули над кольцом
целых р-адических чисел.
Теорема 15.7. Для модулей над кольцом целых р-адических чисел
справедливы утверждения 15.3 — 15.6.
На этот случай непосредственно переносятся доказательства, при-
приведенные выше. ¦
Упражнения
1. (а) Группа конечна, если она имеет лишь конечное число
подгрупп.
(б) Группа конечна, если в ней выполнены условие максимально-
максимальности и условие минимальности для подгрупп.
2. Конечная группа А является циклической тогда и только тогда,
когда | А [р] | < р для любого простого числа р.
3. Число неизоморфных групп порядка т = р,1 ... р** равно
Р (/"i) . . . Р (rh), где Р (г) — количество способов разложения числа
г в сумму положительных слагаемых.
4. Пусть С (т) — мультипликативная группа классов вычетов
чисел, взаимно простых с т = р[1 ... prkk, по модулю т.
(а) С (т) является прямым произведением групп С (р/'), i = 1, ...
..., k;
(б) С (р ) — циклическая группа, если р — нечетное простое
число;
(в) С D) — циклическая группа, а С B") при п !> 3 имеет тип
B>2„.2).
7*
100 Гл. III. Прямые суммы циклических групп
(г) всякая конечная группа изоморфна подгруппе некоторой группы
С{т).
5. Если число т делит порядок группы А, то группа А имеет
подгруппы и факторгруппы порядка т.
6. Доказать утверждение 1) теоремы 15.6 для случая, когда В —
не подгруппа, а факторгруппа группы А. Верно ли для факторгрупп
утверждение 2)?
. 7. Если А, В — такие конечные группы, что для любого целого
числа т они содержат одинаковое число элементов порядка т, то
А ** В.
8. Для любых конечных групп А, В существует такая группа С,
что А я В имеют прямые слагаемые, изоморфные группе С, и всякая
группа, изоморфная одновременно прямым слагаемым групп А и В,
изоморфна прямому слагаемому группы С.
9. Пусть группа А имеет инварианты ph, . . ., р*(яраз). Под-
Подгруппа В группы А служит для А прямым слагаемым тогда и только
тогда, когда каждый инвариант группы В равен рй.
10 (Селе [1]). Пусть В — подгруппа конечной р-группы А. Под-
Подгруппа В служит для А прямым слагаемым тогда и только тогда,
когда существуют такие прямые разложения А — Ах Ф ... Ф Ат,
В = Вг@ ... Ф Вт, что Bt s Ai (i — 1, . . ., fn) и каждый инва-
инвариант групп At и Bt равен р1.
11. Система образующих at, . . ., ah конечной группы А служит
базисом для А тогда и только тогда, когда произведение о (пх) . . ,
... о (ah) принимает минимальное значение [которое должно быть
равно | A |].iv ¦.-...
12. Установить существование базиса glt . . ., gr конечной груп-
группы А, удовлетворяющего условиям делимости о (gx) | о (gz) | . . .
• • • I о (gr), и доказать, что во всех таких базисах группы А порядки
°(gi), ¦ ¦ •- °(ёг) одинаковы.
13 (Биркгоф [1]). Пусть А = (а^'Ф . . . Ф <а„ >, где о (а,) = /Л
гх >• . . . >-/¦„. Назовем элементы b = s^ + . . . + snan и с =
= txai + • • • + tn^n ортогональными, если
i
Показать, что.элементы группы А, ортогональные ко всем элементам
подгруппы Вг образуют такую подгруппу С, что | В |« | С \ = \ А |.
14. (а) Подгруппы и факторгруппы элементарных групп сами
являются элементарными группами.
(б) Элементарная группа Е порядка рТ содержит
(рг- 1) (р1-1- 1) ... (pr-'+1- 1)/(р- 1) (р2- 1) ... (р'~ 1)
подгрупп порядка
(в) В Е имеется (рг—1) (р'"—1) ... (р—1)/(р—1)г композицион-
композиционных рядов.
(г) Найти число различных базисов группы Е.
ff 16. Линейная независимость и ранг 10Ь
15. (Фробениус). В конечной р-группе А число подгрупп фикси-
фиксированного порядка [делящего | А |] сравнимо с 1 по модулю р.
16. (а) Сумма всех элементов конечной группы А равна нулю,
за исключением случая, когда в А содержится ровно один элемент а
порядка 2 [тогда сумма элементов равна а].
(б) Вывести из (а) сравнение Вильсона (р — 1)! == —1 mod p.
17. Для конечно порожденной группы А, имеющей инварианты
оо, . . ., рк, . . ., ql, определить минимальное число элементов в систе-
системе образующих группы А.
18 (Капланский [2]). Если А — бесконечная группа, все ненуле-
ненулевые подгруппы которой изоморфны А, то A ez Z.
19 (Федоров [1]). Бесконечная группа является циклической тогда
и только тогда, когда все ее ненулевые подгруппы имеют конечный
индекс.
20. Если в А/В и в В выполнено условие максимальности для
подгрупп, то оно выполнено и в группе А.
21. Любая система образующих конечно порожденной группы
содержит конечную систему образующих ^
22. Если F = {хг > Ф. ... Ф 1хп> — свободная группа ранга п
и G = (t/i > Ф ... Ф (уп> — ее подгруппа того же ранга, в которой
п
У1= 2 rt)Xj A=1, ..., л),
j=l ¦
то порядок факторгруппы FIG равен абсолютной величине определите-
определителя матрицы || Гц ||.
23. Мощность множества попарно не изоморфных конечно поро-
порожденных [конечных] групп счетна. . <
24 (Кон [1], Хонда [2], Уокер Э. Ш). Пусть Л = В©С=СФЯИ
где В, С — изоморфные между собой конечно порожденные группы.
Тогда G а* Н. [Указание: предположим, что вф Н; если В е& Z,
то G = Z Ф (G П Щ', если группа В — (Ь) имеет порядок ph
и р""Ч? $ Н, то А = В 0 Н, а если р*~Ч 6 Я, С = {с) и ph~lc б G,
то А = (Ь + с)® G = (Ь + с) © НЛ
25 (Уокер Э. Ш). Доказать изоморфизм прямых разложений
конечно порожденной группы, пользуясь упражнением 24.
26. (а) Если А, В — конечно порожденные группы, каждая из
которых изоморфна подгруппе другой, то А ^ В.
(б) То же с заменой слова «подгруппа» словом «факторгруппа».
§ 16. Линейная независимость и ранг
Если нужно выбрать базис в прямой сумме циклических групп,
удобно иметь в распоряжении понятие линейной независимости.
В абелевых группах это понятие может быть определено двумя неэкви-
неэквивалентными способами. Здесь мы примем способ, дающий нетривиаль-
нетривиальный результат для периодических групп и потому более полезный для
наших целей [см. Селе [2]].
102 Гл. III. Прямые суммы циклических групп
Система {alt . . ., а^} ненулевых элементов группы А называется
линейно независимой или просто независимой, если из равенства
ЯхОх +¦¦..+ nhah = 0 (Л|€2) A)
всегда вытекает, что
«!«! = . . . = nhah = 0.
Точнее, это означает, что nt = 0, если о (аг) = оо, и о (at) | пи если
порядок о (а;) элемента а; конечен. Система элементов называется
зависимой, если она не независима. [Заметим, что (в отличие от век-
векторных пространств) в общем случае не верно, что один из элементов
зависимой системы можно представить в виде линейной комбинации
остальных элементов.]
Бесконечная система L = {аг}г?1 элементов группы А называется
независимой, если в L всякая конечная подсистема независима. Таким
образом, независимость по определению является свойством конечного
характера. Независимая система не может содержать равных элемен-
элементов, поэтому она является множеством.
Лемма 16.1. Система L = {йгЬе/ независима тогда и только тогда,
когда подгруппа, ею, порожденная, является прямой суммой цикличе-
циклических групп (at), i 6 /.
Если система L независима, то для любого i ? / пересечение под-
подгруппы (ai) с подгруппой, порожденной всеми элементами а; из L,
где j ф i, обязательно равно нулю. Следовательно, (L) — прямая
сумма групп (at), i ? /. Обратно, если (L > = ф (at >, то 0 можно
записать в виде n1ail -f . . . -f- nkat = 0, где ilt . . ., ih — различ-
различные элементы из /, лишь тривиальным образом: п^^ = . . . = Ohaift =
= 0. Но это означает, что система L независима. ш
Говорят, что элемент g 6 А зависит от подмножества L группы А,
если существует отношение зависимости
0 ф ng = пхах + . . . 4- nhah, B)
где at € L, n, ni — целые числа. Подмножество К группы А называет-
называется зависящим от L, если каждый элемент g 6 К зависит от L. Если
К зависит от L и L зависит от К, то подмножества К и L называются
эквивалентными.
Независимая система М элементов группы А называется макси-
максимальной, если в Л не существует независимой системы, строго содер-
содержащей М. Таким образом, если g ? А, gф0, то {M, g} — уже не
независимая система, и g зависит от М. Ясно, что любые две макси-
максимальные независимые системы элементов группы А эквивалентны.
По лемме Цорна всякую независимую систему элементов группы А
можно расширить до максимальной. Более того, если исходная неза-
независимая система содержала только элементы бесконечного порядка
и порядков, равных степеням простых чисел, то это же свойство мож-
§ 16. Линейная независимость и ранг 103
но предполагать выполненным в максимальной независимой системе.
В самом деле, в независимой системе всякий элемент а конечного
порядка можно заменить, не нарушая независимости системы, произ-
произвольным кратным тафО, в частности таким, порядок которого —
степень простого числа.
Подгруппа Е группы А называется существенной, если Е [) В фО
для любой ненулевой подгруппы В группы А. [Очевидно, достаточно,
чтобы это выполнялось для циклических подгрупп В.] В этом случае
говорят, что группа А есть существенное расширение группы Е.
Например, существенной подгруппой периодической группы является
•ее цоколь. Имеет место следующий простой результат.
Лемма 16.2. Независимая система М элементов группы А
максимальна тогда и только тогда, когда (М) — существенная под-
подгруппа группы А. Всякая максимальная независимая система элементов
существенной подгруппы группы А является максимальной независимой
системой и в А.
Так как элемент g ? А зависит от М тогда и только тогда, когда
Ш) П (g) Ф0, то первая часть леммы очевидна. Если Е — сущест-
существенная подгруппа группы А и М — максимальная независимая систе-
система в Е, то возьмем произвольный элемент g ? A, g=?0. Существует
ненулевой элемент h 6 Е П (g), h = mg. Так как h зависит от М,
то и g зависит. я
Рангом г (А) группы А называется мощность ее максимальной
независимой системы, содержащей только элементы бесконечного
порядка или порядка, равного степени простого числа. Если мы огра-
ограничимся элементами бесконечного порядка группы А, т. е. выберем
независимую систему, состоящую только из элементов бесконечного
порядка и максимальную по отношению к этому свойству, то мощность
такой системы будет называться рангом без кручения г0 (А) группы А.
Аналогично определяется р-ранг гр (А) группы А: вместо элементов
бесконечного порядка используются элементы, порядки которых
являются степенями фиксированного простого числа р. Из этих опре-
определений ясно, что для всякой группы А справедливо следующее
равенство:
/•(Л) = го(Л) + 2гр(Л), C)
р
где р пробегает все простые числа. Очевидно, условие г (А) = 0
равносильно тому, что А = 0.
Основная теорема о рангах формулируется следующим образом.
Теорема 16.3. Ранги г (Л), г0 (А), гр (А)[ группы А являются
инвариантами этой группы.
В силу формулы C) достаточно проверить инвариантность г0 (А)
и гр (А).
104 Гл. III. Прямые суммы циклических групп
Доказательство инвариантности ранга без кручения г0 сведется
к рассмотрению случая групп без кручения, если мы покажем, что
г0 (А) = г (А/Т), где Т — периодическая часть группы А. Если
элементы alt . . ., а^ ? А независимы и имеют бесконечный порядок,
а для смежных классов а? = at + Т выполнено равенство п^* + . . .
. . . + ttftflfc = 0*, то n&i + . . . -f ifcflft = b 6 Т. Умножение на
m = о (Ь) дает тпфу + . . . + mnhah = 0, откуда тпг = 0, щ — 0,
i = 1, . . ., k. Следовательно,, {а*, . . ., at} — независимая система
элементов группы A IT. Обратно, если а*, . . ., а* — независимая
система элементов группы А/Т, то из соотношения п^ -+••••
...-+- nhah = 0 получаем п-^ + . . . + nha% = 0, откуда щ = 0.
для каждого i. Этим доказано, что г0 (А) = г (А/Т), что и требовалось.
Чтобы доказать инвариантность ранга г (А) для группы без кру-
кручения А, выберем в А максимальную независимую систему L =.
= {a<bei. Для g 6 A, g ф 0, имеет место равенство ng = п^ + • • •
. . . + пка1кФ0. Если связать с элементом g систему {ilt . . ., ih;
п, nlt . . ., Пъ), состоящую из конечного числа индексов и целых
чисел, отличных от нуля, то никакой другой элемент g' 6 А не будет
связан с той же системой, так как если элементы g и g' определяют одну
и ту же систему, то п (g' — g) = 0 и g' = g. Следовательно, мощность
А не превышает мощности множества всех систем {ilt . . ., ih;
п, пъ . . ., nk), откуда ] А | < | / | х0 = г (А) • н0. Так как, очевид-
очевидно, г (А) ^ | А |, то отсюда получаем, что г (А) = | А |, если ранг
г (А) бесконечен. Если группа А обладает конечной максимальной
независимой системой {аъ . . ., ak} и {Ьъ . . ., bi} — какая-то неза-
независимая система элементов группы А, то вторая система зависит
от- первой. Следовательно, для некоторого целого числа т > 0 имеем
mbt 6 toi. • • м flit), i = 1, .-..,/• Таким образом, (m^) Ф . . .
... ф (mbi) — подгруппа группы (аг) Ф ... Ф <ah), и по теоре-
теореме 15.6 справедливо неравенство I ^ k. Мы заключаем, что всякая-,
независимая система в группе А содержит не более k элементов,
и поэтому всякая максимальная независимая система состоит из k
элементов. Таким образом, ранг без кручения г0 (А) — инвариант для
любой группы А.
Обратимся к рангам гр (А). Ясно, что гр (А) = г (Тр), где Тр
есть р-компонента группы А. Следовательно, нам нужно только
доказать инвариантность ранга г (А) для /?-группы А.
Если А есть р-группа и S (А) = А [р\ — ее цоколь, то г (А) —
= г (S (А)). В самом деле, система элементов {alt . . ., ah} группы А
независима тогда и только тогда, когда независима система
{р1^, . . ., рЫк^аъ}, где mi — e (at). Поэтому нужно установить
только однозначную определенность г (S (А)). Так как S (А) естест-
естественным образом является векторным пространством над полем Fp
из р элементов и независимость в нашем смысле совпадает с незави-
независимостью в векторном пространстве, то получается, что г (S (А)) —
это в точности размерность векторного пространства S (А), а она опре-
определяется однозначно. :
§ 16. Линейная независимость и ранг 10S
Из последней части доказательства мы в силу леммы 16.1 получаем
Следствие 16.4. В элементарной р-группе всякая максимальная
независимая система служит базисом. ш
Ясно, как определить независимость и ранг для модулей над.
кольцом целых р-адических чисел. Заметим, что в этом случае ^-ранги
для простых чисел q Ф р тривиальны, так что можно ограничиться,
рассмотрением рангов без кручения и р-рангов для одного р. Как
и в теореме 16.3, получается, что это инварианты модуля.
Упражнения
1. Подгруппы В% (i ? /) группы А порождают в А подгруппу,
являющуюся их прямой суммой, тогда и только тогда, когда неза-
независимо каждое множество L — {?>*};?/, где bt (?=0) — элемент под-
подгруппы Bt.
2. Если К — независимая, a L — максимальная независимая
система элементов группы А, причем L содержит только элементы
бесконечного порядка или порядка, равного степени простого числа,
то в группе А существует максимальная независимая система элемен-
элементов, содержащая К и содержащаяся в K\]L.
3. Пусть В — подгруппа группы А. Показать, что
(а) г(В)^г (А); .
(б) г (А)< г (В) + г (А/В);
(в) возможен случай, когда г (А) < г (А/В);
(г) ro(A) = ro(B)+-ro(A/B).
. 4. Если Bt(i(zl) — такие подгруппы группы А, что А—^Вг,.
то г (Л)<2Г (Bt)> причем если сумма прямая, то имеет место равен-
i
ство.
5. Группа А является локально циклической тогда и только тогда,
когда г0 (А) + max rp (Л)< 1.
р
6. (а) Группа А не содержит подгрупп, разложимых в прямую-
сумму двух их собственных подгрупп, тогда и только тогда, когда.
г (А) < 1.
(б) г (А) ^ 1 тогда и только тогда, когда группа А изоморфна«
подгруппе группы Q или подгруппе некоторой группы Z (р°°).
7. Если В1г . . ., Вп— такие подгруппы группы А, что фактор-
факторгруппы AIBi имеют конечные ранги, то факторгруппа AI(BX f) • • • П Вп)
также имеет конечный ранг.
8. Группа бесконечного ранга ш содержит в точности 2т различ-
различных подгрупп.
9. Если Е — существенная подгруппа группы А и В ^ А, то>
Е П В — существенная подгруппа группы В.
10. Подгруппа В группы А является существенной тогда и только-
тогда, когда S (А) Е В и А/В — периодическая группа.
106 Гл. III. Прямые суммы циклических групп
11. Существенные подгруппы группы А образуют в структуре
L (А) дуальный идеал. Он является главным тогда и только тогда,
когда А — периодическая группа.
12. Для всякой подгруппы В группы А существует максимальная
подгруппа группы А, являющаяся существенным расширением под-
подгруппы В.
13. (а) Ранг р-группы, рассматриваемой как Z-модуль, совпадает
¦с рангом этой же группы, рассматриваемой как QJ-модуль.
(б) Группа Jp, рассматриваемая как абелева группа, имеет ранг
2N°, а рассматриваемая как QJ-модуль, имеет ранг 1.
§ 17. Прямые суммы циклических р-групп
Пусть А — прямая сумма циклических р-групп. Тогда, очевидно,
группа А не содержит ненулевых элементов бесконечной высоты.
Ниже мы на примере увидим, что отсутствие элементов бесконечной
высоты еще не означает, что р-группа является прямой суммой цикли-
циклических групп. Важно иметь критерии, позволяющие установить, когда
заданная р-группа разложима в прямую сумму циклических групп.
Теорема 17.1 (Куликов [1]). р-группа А является прямой
¦суммой циклических групп тогда и только тогда, когда А есть объеди-
объединение возрастающей последовательности подгрупп
Л1сЛ2е...дЛ„?..., 0^=Л A)
п=1
где высоты отличных от нуля элементов, входящих в Ап, меньше фик-
фиксированного числа kn.
Если А — прямая сумма циклических групп, то для каждого п
соберем в ее разложении циклические прямые слагаемые одного
и того же порядка рп и обозначим их прямую сумму через Вп. Очевид-
Очевидно, подгруппы Ап = Вх ф ... ® Вп будут удовлетворять условию
¦теоремы при kn = п.
Для доказательства достаточности предположим, что подгруппы Ап
группы А удовлетворяют нужным условиям. Так как мы можем доба-
добавить 0 в начале цепи A) и так как можно повторять одно и то же Ап
конечное число раз, то, очевидно, без ограничения общности можно
предположить, что kn = п, т. е. что Ап f] рпА — О для каждого п.
Рассмотрим все цепи
х <= С2 = . . . = Сп = ...
Oj g с2 ? . . . с
подгрупп Сп группы А, для которых
1) Ап^Сп и 2)
Сп рМ=О
при всех п. Будем говорить, что цепь подгрупп С„ меньше или равна
цепи подгрупп Вп, если Сп s Bn для любого п. Тогда множество всех
.цепей со свойствами 1) и 2) окажется индуктивным, и из леммы Цорна
§ 17. Прямые суммы циклических р-групп 107
будет следовать, что существует цепь Gx^ G2 ^ , . . s Gn ? ...
со свойствами 1), 2) [где Сп заменено на Gn], максимальная в рас-
рассматриваемом сейчас смысле. Очевидно, \JGn = А.
Выберем для каждого п максимальную независимую систему Ln
элементов подгруппы Gn [р] П рп~М и обозначим через L объединение
всех множеств Ln (п — 1, 2, . . .). Для любого ct ? L и mt — h (ct)
выберем такой элемент at ? А, что рт<аг = с*. Мы утверждаем, что
подгруппа А' = (. . ., аи ...) = © (at) совпадает с А.
Во-первых, покажем, что (L) = А [р]. В силу следствия 16.4
(Ln) = Gn lp] П рп~гА. Так как все отличные от нуля элементы из
(Ln) имеют высоту п— 1, то подгруппы (Ln) порождают подгруппу,
являющуюся их прямой суммой, т. е. (L) = © (Ln). Предположим,
п
что каждый элемент а ? А [р], лежащий в Gr, принадлежит (L) [для
jr = 1 это, очевидно, выполнено], и пусть b 6 Gr+i [p]\Gv Из b (? GT
следует, что (Gr, b) f] prA Ф 0. Пусть O=?g-\-kb = c? prA, где
? 6 Gr- Можно считать, что k — 1 [так как иначе мы можем умножить
взятый элемент на k', где kk' = 1 mod p]. Здесь с 6 Gr+i и h (с) ^> г;
поэтому в силу условия 2) о (с) = р и h (с) = г. Отсюда с 6 (^r+i).
Далее, из равенства pg = рс — pb = 0, включения g 6 GT и индук-
индуктивного предположения получаем, что g ? (L), откуда b = c — g%_
f <L> и (L) = Л [р].
Предположим, что уже доказано, что всякий элемент а ? Л поряд-
порядка <рп принадлежит Л', и пусть элемент Ъ 6 Л имеет порядок pn+1,
где л ]> 1. Как показано в предыдущем абзаце, рп6 6 (?) и, следова-
следовательно, pnb = m^! + . . . + mkch для некоторых сг ? L. Пусть эле-
элементы съ . . ., с} имеют высоту >• п, а элементы C/+i, . . ., cft —
высоту ^ п — 1. Если записать /пгсг = pnm\ai для i = 1, ...,/, то
получится
рп (Ь — т\а± — ... — m'jaj) = m]+1cJ+1 + . . . + mhck ? Cn_i.
Из условия 2) следует, что элемент 6 — mjai — ... — т]а} имеет
порядок <1 рп, т. е. лежит в Л', откуда b 6 Л'. я
Отсюда следуют два важных результата.
Теорема 17.2 (Прюфер [2], Бэр [1]). Ограниченная группа
является прямой суммой циклических групп.
Если Л — ограниченная группа, то ее р-компоненты — тоже огра-
ограниченные группы. Если в цепи A) выбрать в качестве каждого члена
одну и ту же р-компоненту группы Л, то из теоремы 17.1 получится,
что эта /^-компонента — прямая сумма циклических групп. а
Теорема 17.3 (Прюфер [1]). Счетная р-группа является прямой
суммой циклических групп тогда и только тогда, когда она не содер-
содержит отличных от нуля элементов бесконечной высоты.
Проверки требует только достаточность. Пусть Л — счетная
/7-группа без элементов бесконечной высоты и {а^, . . ., ап, . . .} —
108 Гл. Ill- Прямые суммы циклических групп
некоторая ее система образующих. Тогда группа А является объеди-
объединением возрастающей последовательности своих конечных подгрупп
Ап = {fii. • • ., ап) (п = 1, 2, . . .). высоты элементов в которых
тривиальным образом ограничены. Остается применить теорему 17.1. ш
Следующий пример, построенный А. Г. Курошем [2], показывает,
что требование счетности в теореме 17.3 существенно. Пусть А —
периодическая часть прямого произведения циклических групп
Z (р), Z (р2), . . ., Z (рп), .... Тогда А есть р-группа мощности
континуума без элементов бесконечной высоты. Предположим, что
А = © Ап, где Ап — прямая сумма циклических групп одного и того
п
же порядка рп. Цоколи Sn = Ф At [p] с возрастанием п образуют убы-
вающую цепочку, причем Sn состоит в точности из тех элементов из
5Х = А [р], которые имеют высоту ^-п— 1. Очевидно, элемент
а=(ЬиЬг Ьп, ...)el\Z(pn), где bn?Z{pn),
п
имеет высоту ]> п — 1 только при bj = ... = bn _x = 0. Это пока-
показывает, что каждая факторгруппа SJSn+1 (п = 1, 2, . . .) имеет поря-
порядок р. В силу того, что Ап \р] &: SJSn+i, мы заключаем, что группы
Ап конечны, т. е. группа А счетна. Полученное противоречие показы-
показывает, что группа А не является прямой суммой циклических групп.
Если группа А разложима в прямую сумму циклических р-групп,
то она может обладать многими такими прямыми разложениями.
Но если рассматривать только порядки компонент, то здесь имеет
место единственность.
Теорема 17.4. Любые два разложения группы в прямую сумму
циклических групп бесконечногс порядка и порядков, раеных степеням
простых чисел, изоморфны.
Пусть Sn — подгруппа группы S = А [р], состоящая из элемен-
элементов высоты ^-п— 1. Если А — прямая сумма циклических р-групп,
то Sn — прямая сумма цоколей всех прямых слагаемых порядка >-р".
Следовательно, факторгруппа SJSn+i изоморфна прямой сумме цоко-
цоколей прямых слагаемых порядка рп в разложении группы А. Мы полу-
получаем, что число прямых слагаемых порядка рп в разложении группы А
в прямую сумму циклических групп равно рангу группы Sn/Sn+i-
Подгруппы Sn определялись независимо от прямых разложений,
поэтому мощность трп множества прямых слагаемых порядка рп
в любом разложении группы А в прямую сумму циклических р-групп
одинакова.
Так как число ю0 прямых слагаемых вида Z в разложении группы А
в прямую сумму циклических групп равно г0 (А), то из теоремы 16.3
мы получаем, что т0 также однозначно определяется группой А. и
§ 17. Прямые суммы циклических р-групп 109
Предыдущая теорема утверждает, что для прямых сумм цикличе-
циклических групп Z и Z (рп) мощности т0 и тр« являются инвариантами.
Для прямых сумм циклических групп это полная и независимая
система инвариантов.
Упражнения
1. (а) Группа Л является элементарной тогда и только тогда,
когда каждая подгруппа группы А — прямое слагаемое.
(б) Группа А является элементарной тогда и только тогда, когда
она — периодическая группа, подгруппа Фраттини которой нулевая.
(в) Группа А элементарна тогда и только тогда, когда она является
своей единственной существенной подгруппой.
2. Подгруппа А [п] всегда есть прямая сумма циклических групп.
3. Если А — прямая сумма конечных циклических групп, то
А/тА йё А [т] для любого целого числа т > 0.
4. Пусть В — прямое произведение m групп, изоморфных группе
Z (ph), где ph фиксировано, и Л — прямое произведение п групп,
изоморфных В. Тогда А — прямая сумма групп, изоморфных Z (pft).
Определить мощность множества прямых слагаемых в этом разложе-
разложении.
5. Описать группы, в которых
(а) всякая максимальная независимая система элементов является
базисом;
(б) всякая система образующих содержит базис.
6. Для р-групп доказать теорему 17.2 следующим образом: выбрать
независимую систему элементов максимального порядка ph, расширять
ее последовательно элементами порядков ph-\ . . ., р так, что на
каждом шаге будет получаться независимая система, которую нельзя
дальше расширить, и доказать, что полученная в результате система
элементов — базис.
7 (Селе [3]). Пусть А есть ограниченная р-группа и рг — макси-
максимальный порядок элементов из А. Тогда а ? (рТ1о (а)) А для любого
элемента а 6 А в том и только в том случае, когда А — прямая
сумма циклических групп одного и того же порядка рг.
8 (Длаб [4]). (а) Если А есть ограниченная р-группа и S =
= (ai}iei — такая система элементов группы А, что at + pA (i ? /) —
система образующих для факторгруппы Alp А, то S порождает А.
(б) Всякая система образующих ограниченной р-группы содержит
минимальную систему образующих.
(в) Для неограниченных р-групп утверждение (б) уже места не
имеет.
9* (Дьедонне [2]). Обобщить теорему 17.1 следующим образом:
если G есть р-группа, содержащая такую подгруппу Л, что GIA —
прямая сумма циклических групп и Л — объединение возрастающей
последовательности подгрупп Л„, в каждой из которых высоты эле-
элементов, взятые в G, ограничены, то G — прямая сумма циклических
групп.
ПО Гл. III. Прямые суммы циклических групп
10. Доказать теорему 17.3 следующим образом: взять максималь-
максимальную независимую систему элементов съ . . ., сп, ... в цоколе и рас-
рассмотреть все элементы Ь, для которых phb = тхсг + . . . + тпсп,
tnncn Ф 0, при фиксированном п; выбрать среди них для каждого
п элемент Ъп максимального порядка и доказать, что blt . . ., bn, . . .—
базис.
П. Пусть А, В— прямые суммы циклических групп.
(а) Из А Ф А ^ В Ф В вытекает А ?* В.
(б) Из А ® ... Ф А Ф ,,.^ВФ ... Ф В ф ... не следует
A se В, даже если А, В — группы с конечным числом образующих.
12. Пусть А — прямая сумма счетного множества циклических
групп порядка р2, и пусть В = А Ф Z (р). Показать, что группы
А и В не изоморфны, но обе они как абстрактные группы имеют одно
и то же множество подгрупп и одно и то же множество факторгрупп.
13. Пусть А = Ai Ф ... Ф Ah, где At — прямая сумма mt групп,,
изоморфных группе Z (pl), i — 1, . . ., k. Описать структуры под-
подгрупп и факторгрупп группы А.
00
14. (а) Пусть G = ф Z (р ). Доказать, что всякая счетная р-груп-
па является эпиморфным образом группы G.
(б) Всякая р-группа мощности m является эпиморфным образом
прямой суммы m групп, изоморфных группе G из пункта (а).
§ 18. Подгруппы прямых сумм циклических групп
Мы видели, что подгруппы свободных групп свободны, а из теоре-
теоремы 17.3 тривиальным образом следует, что подгруппы счетных прямых
сумм циклических р-групп сами являются прямыми суммами цикличе-
циклических групп. Это — частные случаи следующего общего результата.
Теорема 18.1 (Куликов [2]). Подгруппы прямых сумм цикличе-
циклических групп сами являются прямыми суммами циклических групп.
Пусть сначала А — прямая сумма циклических р-групп, и пусть
Bgl Тогда А является объединением возрастающей цепи At s ...
. . .еЛ„ s. . . своих подгрупп, где в подгруппе Ап высоты элементов
ограничены, например, числом kn. Очевидно, подгруппа В является
объединением возрастающей цепи
Вг <= ... = Вп ? . . ., где Вп = В П Л„,
и высоты элементов из Вп, взятые в группе В, не превосходят kn.
По теореме 17.1 группа В — прямая сумма циклических групп. От-
Отсюда следует, что наша теорема справедлива для периодических
групп.
Пусть А — произвольная прямая сумма циклических групп.
Если Т — ее периодическая часть, то В П Т — периодическая часть
§ 18. Подгруппы прямых сумм циклических групп П1
подгруппы В группы А. Теперь В/[В [) Т) ^ (В + ТIТ ? А/Т, где
А/Т — свободная группа. По теореме 14.5 группа В/{В П Т) свободна,
и, таким образом, из теоремы 14.4 следует, что В = (В Л Т) Ф С
для некоторой свободной подгруппы С группы В. Согласно доказан-
доказанному в предыдущем абзаце, В [\ Т — прямая сумма циклических
р-гсупп. Следовательно, В — прямая сумма циклических групп. ш
Следствие 18.2 (Куликов [2]). Любые два прямых разложения
группы, являющейся прямой суммой циклических групп, обладают изо-
изоморфными продолжениями.
В силу теоремы 18.1 каждое прямое слагаемое нашей группы есть
прямая сумма циклических групп. Если заменить каждое прямое
слагаемое прямой суммой циклических групп бесконечного порядка
или порядков, равных степеням простых чисел, то мы получим про-
продолжения исходных разложений, которые изоморфны по теореме 17.4. в
При определенных условиях мы можем заключить, что группа А
является прямой суммой циклических групп, если подгруппа груп-
группы А — прямая сумма циклических групп.
Предложение 18.3 (Фукс [1], Мостовский и Сонсяда [1]).
Если В — такая подгруппа группы А, что В — прямая сумма цикли-
циклических групп и AIB — ограниченная группа, то А — прямая сумма
циклических групп.
По условию пА = В s А для некоторого целого числа п. Из тео-
теоремы 18.1 вытекает, что пА — прямая сумма циклических групп. Таким
образом, достаточно доказать, что А — прямая сумма циклических
групп, если рА — прямая сумма циклических групп для некоторого
простого числа р.
Пусть рА = Ф (bt), где о (bi) — бесконечность или степень про-
стого числа для каждого i 6 /• Выберем такие элементы at 6 А, что
pat = bt для i 6 /, причем at 6 (bt), если порядок о (bi) взаимно прост
с р. Независимую систему {аг},?1 расширим с помощью множества
{cj}j?j до максимальной независимой системы элементов {at, Cj)i,}
группы А. Мы утверждаем, что А — прямая сумма циклических
групп (аг> и (cj). Нам нужно только показать, что каждый элемент
а 6 А лежит в этой прямой сумме. Очевидно, ра = пф^ + • • •
. . . + nhbk = р («хй! + • • • + nhah) и, таким образом, а' — а —
— пгах — ... — nkak лежит в цоколе группы А. Так как а' зависит
от {at, Cj}t,j и потому выражается в виде линейной комбинации эле-
элементов аи Cj, то это же имеет место для элемента а. ш
Из предложения 18.3 легко вывести
Следствие 18.4 (Куликов [2]). Всякая группа А является объеди-
объединением возрастающей последовательности Ах е . . . с ^ с , . .
своих подгрупп, где каждая подгруппа Ап — прямая сумма цикличе-
циклических групп.
112 Гл. III. Прямые суммы циклических групп
Через Лх обозначим подгруппу, порожденную максимальной неза-
независимой системой элементов группы Л. Если для некоторого п под-
подгруппа Л„_! уже определена, то положим Л„ = л~Мп_х =
= {а ? А | па 6 <4n-i}- Из выбора подгруппы Лх следует, что объеди-
объединение \jAn по всем п совпадает с Л, а из предложения 18.3 последова-
последовательно получается, что Л„ — прямая сумма циклических групп. ш
Результаты этого параграфа непосредственно переносятся на
р-адические модули.
Упражнения
1. Пусть Л есть р-группа. Периодическая часть прямого произве
дения [\А, где число компонент бесконечно, является прямой суммой
циклических групп тогда и только тогда, когда в группе Л порядки
элементов ограничены в совокупности.
2. Если В и А/В — прямые суммы циклических групп и в группе
А/В элементы конечного порядка имеют ограниченные в совокупности
порядки элементов, то Л — прямая сумма циклических групп.
3 (Селе [5]). Пусть
Л = (а0, alt . . ., ап, . . . ; а0 = щс^. = ...== тпап = . . . >,
где тп — натуральные числа. Группа Л является прямой суммой
циклических групп тогда и только тогда, когда система {тп}п огра-
ограниченная.
4. Пусть Л = В + С, где В а С — прямые суммы циклических
групп. Тогда группа Л не обязательно является прямой суммой цикли-
циклических групп.
5. Связать инварианты прямой суммы циклических групп с инва-
инвариантами ее подгрупп.
6. Доказать теорему 18.1 для модулей над кольцом целых р-ади-
ческих чисел.
7. Примитивным классом, или многообразием, групп называется
класс групп, замкнутый относительно взятия подгрупп, факторгрупп
и прямых произведений.
(а) Доказать, что примитивные классы абелевых групп исчерпы-
исчерпываются следующими классами: 1) все абелевы группы; 2) все абелевы
группы, n-кратное любого элемента которых равно нулю, где п —
произвольное, но фиксированное натуральное число.
(б) Показать, что наименьшее многообразие, содержащее группу Z
[или 2 (га)],— это многообразие, указанное в п. 1) [в п. 2)].
§ 19. Счетные свободные группы
Теорема Л. Я. Куликова 17.1 дает удобное необходимое и достаточ-
достаточное условие для того, чтобы периодическая группа была прямой
суммой циклических групп. Но для произвольных групп удовлетво-
удовлетворительного условия для этого пока не найдено. Известные критерии
§ 19. Счетные свободные группы 113
касаются выбранного множества элементов, именно базиса группы,
и их гораздо лучше рассматривать как условия, при которых задан-
заданное или выбранное подмножество является или не является базисом.
Критерии существования базиса можно найти у Фукса в [1] или [7J.
Однако в случае счетных групп без кручения полезный критерий
существует.
Теорема 19.1 (Понтрягин [1]). Счетная группа без кручения
является свободной тогда и только тогда, когда каждая ее подгруппа
конечного ранга свободна. Это эквивалентно тому, что для любого
целого числа п подгруппы ранга ^п удовлетворяют условию максималь-
максимальности.
В силу теоремы 14.5 необходимость очевидна. Чтобы доказать
достаточность, предположим, что А = {ах, . . ., ап, . . .) — счетная
группа без кручения, каждая подгруппа которой, имеющая конечный
ранг, свободна. Обозначим через Ап множество, состоящее из всех
элементов а ? А, зависящих от {ах, . . ., ап}, и нуля. Тогда Ап
будет подгруппой ранга <; п. Очевидно, г (Ап+1) < г (Ап) -\- 1, поэто-
поэтому или группа А имеет конечный ранг [в этом случае утверждение
тривиально], или существует такая подпоследовательность Вп после-
последовательности групп Ап, что г (Вп) = п и А — объединение возрастаю-
возрастающей цепи 0 = Во с= Вх с: В2 с ... с= Вп cz ... . Теперь Вп+1/Вп—
группа без кручения [так как А1Ап — без кручения] ранга 1 с конеч-
конечным числом образующих. Следовательно, Вп+1/Вп s* Z. Из теоремы 14.4
получаем, что Вп+Х = Вп ф ibn+x) для некоторого Ьп+1. Это означает,
что элементы blt . . ., bn, ... порождают прямую сумму ф (Ьп),
п
откуда 'А == ф (Ьп).
п
Эквивалентность первой и второй формулировки вытекает из тео-
теоремы 15.5. B
Следует заметить, что для групп больших мощностей предыдущая
теорема уже не верна. Это вытекает из следующей теоремы, которая
имеет и самостоятельный интерес.
Пусть Na — кардинальное число. Будем называть группу ха-сво-
бодной, если все ее подгруппы мощности < ха свободны.
Теорема 19.2 (Бэр [2], Шпекер [1]). Прямое произведение бес-
бесконечного множества бесконечных циклических групп является несво-
несвободной, но не свободной группой.
Пусть А = П (at >, где множество / бесконечно и (аг > se Z для
каждого t. Докажем сначала, что всякое конечное множество эле-
элементов {bv . . ., bm) c= А может быть вложено в конечно порожден-
порожденное прямое слагаемое группы А. Если т = 1 и Ьг Ф 0, то пусть Ьх =
= (. . ., щаи . . .), где П; 6 Z. Если существует такое / ? /, что
] nj | = 1, то А — (&i > Ф Aj, где Aj состоит из всех элементов группы
8 Л. Фукс
114 Гл. III. Прямые суммы циклических групп
Л, /-я координата которых равна нулю. Если минимум п всех чисел
| П{ |, где щ Ф 0. больше 1, то пусть щ = qtn + rt @ < rt < п).
Возьмем элементы сх = (. . ., цгаи . . .), с% = (. . ., /-@,-, . . .) груп-
группы А. Тогда будет Ьг = ncj + с2. Существует такое /, что | ^ | = 1
и /у = 0, поэтому Л == <ct > © А}, где с2 6 AJt причем для коэффициен-
коэффициентов элемента с2 выполнено \rt |< п. По индуктивному предположе-
предположению группа А] обладает конечно порожденным прямым слагаемым В',
содержащим с2, и, таким образом, <сх) ф В' — прямое слагаемое
группы А, содержащее Ъх. Пусть теперь т> 1, и пусть группа А
обладает таким конечно порожденным прямым слагаемым В, что
Ьъ . . ., Ьт-! 6 В. Мы можем дополнительно предположить, что А =
= В ф С, где С — прямое произведение почти всех подгрупп (at).
Полагая bm = b -{- с (Ь_? В, с ? С) и вкладывая элемент с в конечно
порожденное прямое слагаемое С группы С, получаем, что В (В С —
конечно порожденное прямое слагаемое группы А, содержащее bt, ...
. . ., bm-
Если теперь G — счетная подгруппа группы Л, то максимальная
независимая система элементов подгруппы О группы G конечного ранга
содержится в конечно порожденном прямом слагаемом В группы Л.
Так как А/В — группа без кручения, то G' s В. Из теоремы 19.1
следует, что G — свободная группа. Следовательно, группа А являет-
является х1-свободной.
Если бы группа А была свободной, то и все подгруппы группы А
были бы свободными, поэтому нам достаточно найти несвободную
оо
подгруппу Я группы Л. Пусть Я — подгруппа группы Л' = [] {at),
г=1
состоящая из всех таких элементов b = (п^, . . ., п^а,-, . . .), что
для любого натурального числа т и фиксированного простого числа р
почти все коэффициенты nt делятся на рт. Очевидно, подгруппа Я
имеет мощность континуума и содержит ф (а; >. Так как всякий смеж-
смежный класс группы Я по подгруппе рН содержит некоторый элемент
из Ф<аД то HIpH имеет счетную мощность. Сравнение мощностей
групп Я и HIpH показывает, что группа Я не может быть свобод-
свободной. а
Отсюда непосредственно получается
Следствие 19.3 (Штейн). Всякая счетная группа А может быть
представлена в виде
А = N Ф F,
где F — свободная группа, а группа N не имеет свободных фактор-
факторгрупп. Подгруппа N определяется группой А однозначно.
Пусть /V — пересечение ядер всех гомоморфизмов тр A-*- Z. Тогда
группа AIN изоморфна подгруппе прямого произведения бесконечных
циклических групп и, следовательно, по теореме 19.2 свободна.
В силу теоремы 14.4 N служит для Л прямым слагаемым. Единствен-
Единственность подгруппы JV вытекает из замечания, что если М — какое-то
Замечания 115
прямое слагаемое группы А, не имеющее свободных факторгрупп,
то его проекция на F по теореме 14.5 должна быть нулевой, откуда
Упражнения
1. Счетная группа является прямой суммой циклических групп
тогда и только тогда, когда всякую ее конечную систему элементов
можно вложить в прямое слагаемое с конечным числом образующих.
2 (Селе [3]). Пусть L — {at}i?i — система образующих группы А,
в которой каждый элемент аг имеет или бесконечный порядок, или
порядок, равный степени простого числа. Система L служит базисом
для А, если всякая конечная подсистема аъ . . ., ah элементов из L
удовлетворяет такому условию: если (аъ . . ., ah) = {bx, . . ., bh),
где о (bt) = оо или рг, то
min (о (d), .... о (ац)) < min (о (ft,), . . ., о (bh)).
3. Подмножество {ajjgi группы без кручения А является базисом
группы А тогда и только тогда, когда оно — такая минимальная
система образующих, что если элемент а 6 А зависит от конечного
подмножества {аъ . . ., а&}, то a 6 (Дц • • •> «&)•
4. Доказать то же утверждение с заменой слов «минимальная
система образующих» словами «максимальная независимая система».
5. (а) Пересечение прямых слагаемых счетной свободной группы
само является прямым слагаемым. [Указание: сравнить с упражне-
упражнением 4 из § 14; применить теорему 19.2 к факторгруппе по пересе-
пересечению.]
(б) Для свободной группы мощности континуума это уже не так.
6. При любом задании группы ZN» образующими и определяющи-
определяющими соотношениями ' получается несчетное множество определяющих
соотношений.
7. Для любого кардинального числа m >- 2N° существуют
^-свободные, но не свободные группы мощности т.
Замечания
Существование свободных объектов в категории всех абелевых групп играет
фундаментальную роль. Хотя в гомологической алгебре особенно важна проек-
проективность, в теории абелевых групп, видимо, большую роль играет свобода. К сча-
счастью, для абелевых групп свобода и проективность — эквивалентные понятия.
Для модулей проективные объекты — это в точности прямые слагаемые свобод-
свободных модулей. Они свободны над локальными кольцами [см. Капланский [3]],
а также над кольцами полиномов от конечного числа не коммутирующих между
собой переменных с коэффициентами из коммутативного поля [см. Cohen P.,
J. Algebra, 1 A964), 47—69].
Теорема 14.5 справедлива для модулей над областями главных левых идеа-
идеалов. Подмодули проективных модулей сами проективны тогда и только тогда,
когда кольцо наследственно слева, т. е. все левые идеалы проективны. Предло-
Предложение 14.1 справедливо для модулей над коммутативными кольцами, а также при
предположении, что хотя бы одно из кардинальных чисел m, n бесконечно.
8*
116 Гл. III. Прямые суммы циклических групп
Однако, существуют такие кольца R, что все ненулевые свободные R-модули
с конечными системами образующих изоморфны.
Быть может, полезно отметить, что любой R-модуль свободен тогда и только
тогда, когда R — поле, и любой /?-модуль проективен в точности тогда, когда
R — полупростое артиново кольцо.
Модуль М называется квазипроективным, если для всякого эпиморфизма
Р: М -*¦ N и всякого гомоморфизма q>: М -*¦ N существует такой эндоморфизм
if> модуля М, что {Ц> = ф. Квазипроективные модули изучались By и Джансом
[Wu L., Jans P., ///. J. Math., 11 A967), 439—448]. Абелева группа квазипро-
ективна в точности тогда, когда она или свободна, или является периодической
группой, каждая р-компонента которой — прямая сумма циклических групп
одного и того же порядка рп; см. работу Фукса и Рангасвами [Fuchs L., Rangas-
wamy К., Bull. Soc Math. France, 98, № 1 A970), 5—8].
Существует много обобщений результатов § 15. Капланский [Kaplansky I.,
/. Indian Math. Soc, 24 A960), 279—281] доказал, что для коммутативных обла-
областей целостности R периодические части всех конечно порожденных R-модулей
служат прямыми слагаемыми в точности тогда, когда R — прюферово кольцо.
Матлис [Matlis E., Trans. Amer. Math. Soc, 125 A966), 147—179] получил значи-
значительные результаты, касающиеся описания коммутативных областей целостно-
целостности, над которыми периодические модули с конечным числом образующих раз-
разлагаются в прямую сумму циклических модулей. Считая R коммутативным
«ётеровым кольцом, А. И. Узков [Мат. сб., 62 A963), 469—475] показал, что вся-
тсий конечно порожденный R-модуль является прямой суммой циклических моду-
модулей тогда и только тогда, когда R — кольцо главных идеалов.
Если кольцо не является нётеровым слева, конечно порожденные модули
¦отличаются от конечно связанных модулей [где предполагается также конечность
множества определяющих соотношений]. С этими последними модулями иметь
дело несколько легче, и справедливо, что всякий модуль является прямым пре-
пределом конечно связанных модулей. Всякий конечно связанный R-модуль разла-
разлагается в прямую сумму циклических модулей тогда и только тогда, когда R —
кольцо элементарных делителей, т. е. всякая матрица над R приводится к диа-
диагональному виду путем умножения слева и справа на унимодулярные матрицы
[Kaplansky I., Trans. Amer. Math. Soc, 66 A949), 464—491]. В этом случае
справедлива лемма 15.4.
До сих пор мало изучались бесконечные прямые суммы циклических моду-
модулей, даже не была решена проблема единственности разложения. Одна из трудно-
трудностей здесь заключается в том факте, что максимальные независимые системы уже
не дают инвариантов для модулей, исключение составляют модули над весьма
узким классом колец [см. Kertesz A., Ada Sci. Math. Szeged, 21 A960), 260—269,
и Fuchs L., Annales Univ. Sci. Budapest, 6 A963), 71—78].
Проблема 9. Охарактеризовать группы, в которых пересе-
пересечение двух прямых слагаемых снова является прямым слагаемым.
См. упражнение 4 из § 14 и упражнение 5 из § 19.
Проблема 10. Для каких порядковых чисел а существуют
«о-свободные, но не хст+1-свободные группы?
Проблема 11. Исследовать К-прямые суммы циклических
групп.
Глава IV
ДЕЛИМЫЕ ГРУППЫ
Эта глава посвящена одному из важнейших классов абелевых групп: дели-
делимым группам. Делимые группы распознаются очень легко. Они обладают мно-
многими специальными свойствами, которые являются для них характеристически-
характеристическими. Одним из наиболее выдающихся свойств этих групп является то, что они
совпадают с инъективными группами, которые определяются двойственно проек-
проективным группам; таким образом, эти группы служат прямыми слагаемыми для
всякой группы, их содержащей. Строение делимых групп полностью описано,
так что теория делимых групп настолько удовлетворительна, насколько это
может быть при современном состоянии алгебры.
Конец этой главы касается замечательной двойственности между условиями
максимальности и минимальности.
§ 20. Делимость
Так как умножение элементов группы на целые числа имеет смысл,
естественно ввести делимость элементов группы на целые числа.
Мы скажем, что элемент а группы А делится на натуральное чис-
число п (это обозначается так: п\а ), если уравнение
пх = а (аеА) A)
имеет решение в группе А. Это означает, что группа А содержит такой
элемент Ь, что х — b — решение уравнения A). Очевидно, существо-
существование решения уравнения A) эквивалентно тому, что а?пА.
Укажем некоторые простейшие следствия из этого определения.
а) Если х = b — решение уравнения A), то множество всех эле-
элементов смежного класса Ь + А [я] — это множество всех решений
уравнения A).
б) Если А — группа без кручения, то уравнение A) имеет не
более одного решения.
в) Если (я, о (а)) = 1, то уравнение A) всегда имеет решение.
В самом деле, если г, s — такие целые числа, что пг -[- о (a) s = 1,
то для х — га выполнены равенства пх = пга = пга + о (a) sa = a.
г) Если т | а и п \ а, то [т, п] \ а. Пусть г, s — такие целые числа,
что mr + ns = d = (m, п), и пусть для элементов Ь,с ? Л выполняются
соотношения тЬ = а, пс = а. Тогда [т, п] (rc+sb) = rand'1 (rc+sb) =
= md^ra + nd'ha = a.
д) Если n | а и п | b, то п | а ± b.
е) Если A — В ® С, топ |a = & + c (b ? В, с?С) тогда и только
тогда, когда п | b и п \ с. То же верно для бесконечных прямых сумм
и прямых произведений.
118 Гл. IV. Делимые группы
ж) Для любого гомоморфизма а: А -*• В из того, что п \ а в груп-
группе А, вытекает, что п \ аа в группе В.
з) Если р — простое число, то ph \ а тогда и только тогда, когда
k <hp (a).
Группа D называется делимой, если п | а для всех а 6 D и всех
натуральных чисел п. Таким образом, D — делимая группа тогда
и только тогда, когда nD =D для любого натурального п. Группы Q,
Z (j0°°), Q/Z служат примерами делимых групп, но прямая сумма цик-
циклических групп делимой группой не является [если только она не
нулевая].
Группа D называется р-делимой, если pkD = D для любого нату-
натурального числа k. Так как pkD = р . . . pD, то, очевидно, р-дели-
мость следует из равенства pD = D. Последнее равенство эквивалент-
эквивалентно тому, что каждый элемент группы D делится на р.
A) Группа является делимой тогда и только тогда, когда она р-де-
лима для любого простого числа р.
Если pD = D для каждого простого числа р и п = р1 . . . рг,
то nD = р1 . . . prD — D. Следовательно, делимость эквивалентна
тому, что каждый элемент группы имеет бесконечную р-высоту для
любого простого числа р.
Б) р-группа делима тогда и только тогда, когда она р-делима.
В силу п. в) для р-группы D всегда справедливо равенство qD = D,
где q — простое число, отличное от р.
B) Если в р-группе D всякий элемент порядка р имеет бесконечную
высоту, то D — делимая группа.
Пусть элемент а 6 D имеет порядок рп. Докажем индукцией по п,
что р | а. Для п = 1 это следует из условия. Предположим, что п > 1
и что для элементов порядка <рп все уже доказано. По предположе-
предположению элемент рп~1а имеет бесконечную высоту, поэтому рп~1а = pnb
для некоторого b ?D. Так как о (а — pb) ^ рп~г, то р \ а — pb,
откуда р | а.
Г) Любой эпиморфный образ делимой группы является делимой
группой.
Это следует из п. ж).
Д) Прямая сумма и прямое произведение являются делимыми
группами тогда и только тогда, когда каждая компонента — делимая
группа.
Это вытекает из п. е).
Е) Если Dt (i € /) — делимые подгруппы группы А, то и
делимая подгруппа.
Это очевидно в силу свойства д).
§ 21. Инъективные группы 119
Упражнения.
1. Группа делима тогда и только тогда, когда в ней нет максималь-
максимальных подгрупп [т. е. когда она совпадает со своей подгруппой Фратти-
ни].
2. Группа делима тогда и только тогда, когда она не имеет ненуле-
ненулевых конечных эпиморфных образов.
3. Аддитивная группа любого поля характеристики 0 делима.
4. Факторгруппа Jp/Z делима.
5. Если подгруппа В группы А является р-делимой и факторгруп-
факторгруппа А/В также р-делима, то А есть р-делимая группа.
6. Пусть А — прямое произведение, В — прямая сумма групп
Вп (п = 1, 2, . . .). Тогда A IB — делимая группа в том и только в том
случае, когда для любого простого числа р при почти всех п справед-
справедливо рВп = Вп.
7. Если L = {cti}i?t — максимальная независимая система эле-
элементов группы D и п | at для каждого i 6 / и любого натурального
числа п, то D — делимая группа.
§ 21. Инъективные группы
Инъективные группы двойственны проективным группам; они
определяются путем дуализации определения проективности.
Группа D называется инъективной, если для любой диаграммы
О > А —-> В
b
с точной строкой существует гомоморфизм у\: В -> D, превращающий
эту диаграмму в коммутативную. Если отождествить А и аА, то инъек-
тивность группы D можно интерпретировать как возможность продол-
продолжить любой гомоморфизм ?: A ->?> до гомоморфизма группы В, содер-
содержащей А, в группу D.
Наша основная цель состоит в том, чтобы показать, что инъек-
инъективные группы — это в точности делимые группы. Этот результат
получается в теоремах 21.1 и 24.5.
Теорема 21.1 (Бэр [3]). Делимые группы инъективны.
Пусть D — делимая группа, и пусть дана диаграмма A), где груп-
группу А мы будем рассматривать как подгруппу группы В. Рассмотрим
все группы G, лежащие между А и В, А = G = В, для которых суще-
существует продолжение 0: G -*¦ D гомоморфизма ?. Частично упорядочим
множество пар (G, 0), полагая (G, 0) < (G', 0'), если G ^ G' и 0 —
ограничение гомоморфизма 0': G' -»- D на G. Множество этих пар не
120 Гл. IV. Делимые группы
пусто, так как ему принадлежит пара (А, %), и индуктивно, так как
всякая цепь (Gt, 0() (/ 6 /) имеет верхнюю грань, а именно (G, 0),
где G =UGj, a 0: G->D совпадает с 0г на Gt. По лемме Цорна в рас-
рассматриваемом множестве существует максимальная пара (Go, Эо). Если
СосВ и для элемента b 6 B\G0 имеет место включение nb 6 Со при
некотором п > 0, то возьмем минимальное п с этим свойством и пред-
предположим, что nb = g 6 Go. В силу делимости группы D для некоторого
х 6 D имеем ял: = eog. Легко проверить, что отображение
с + гб i-+ 90с + гх (с € Go, 0 < г < п) B)
является гомоморфизмом группы (Go, b) в группу D. Если nb § Go
при п Ф О, то формула B) дает гомоморфизм группы <G0, Ь)ъ группу D
при произвольном x?D [на г тогда ограничений не накладывается].
Следовательно, предположение, что Go с; В, противоречит максималь-
максимальности пары (Go, 0О), т. е. Go = В и 00 = г\. л
Теперь мы в состоянии показать, что делимые подгруппы выде-
выделяются прямыми слагаемыми.
Теорема 21.2 (Бэр [3]). Делимая подгруппа D группы А служит
для А прямым слагаемым, т.е. А = D Ф С для некоторой подгруппы С
группы А. Эту подгруппу С можно выбрать так, что она будет содер-
содержать заранее заданную подгруппу В группы А, для которой D [} В = 0.
По теореме 21.1 для естественного вложения a: D -*- А и тождест-
тождественного отображения lD:D-*-D существует такой гомоморфизм
r\:A-*-D, что диаграмма
D
коммутативна. Предложение 9.2 показывает, что А = D Ф Кегг).
Если для подгруппы В s А имеет место равенство D П В = О,
то D + В = D Ф В и существует гомоморфизм |: D Ф B-+D,
совпадающий с тождественным на D и нулевой на В. Если в предыду-
предыдущем абзаце заменить 1D на \, то получится, что A =D Ф Кегт],
где 5 s Kert]. H
Вторая часть этой теоремы утверждает, что делимая группа
является абсолютным прямым слагаемым.
Если дана группа А, то рассмотрим в ней подгруппу D, порожден-
порожденную всеми делимыми подгруппами группы А. По свойству Е) из § 20
D — делимая группа. Таким образом, это — максимальная делимая
подгруппа группы А. Очевидно, подгруппа D является вполне харак-
характеристической в А. В силу теоремы Бэра А = D Ф С, где, очевидно,
С — редуцированная группа в том смысле, что она не имеет ненулевых
делимых подгрупп. Мы, следовательно, получаем:
§ 21. Инъективные группы 121
Теорема 21.3. Всякая группа А является прямой суммой делимой,
группы D и редуцированной группы С,
A=D@ С.
Подгруппа D группы А здесь определена однозначно, подгруппа С —
однозначно с точностью до изоморфизма.
Последнее утверждение вытекает из того, что если D — максималь-
максимальная делимая подгруппа группы А и А = D' ® С, где D' — делимая,
а С' — редуцированная подгруппа, то по лемме 9.3 D = (D П D') ©•
Ф (D П С1'). Здесь D Л С = О как прямое слагаемое делимой группы,
содержащееся в редуцированной группе, поэтому D |~| D' = D,
D gD', т. е. D = D'. а
Последняя теорема сводит проблему описания строения абелевых
групп к проблеме описания строения делимых и редуцированных
групп.
Упражнения
1. Пусть Е — существенная подгруппа делимой группы D. Пока-
Показать, что всякий автоморфизм группы Е продолжается до автомор-
автоморфизма группы D.
2. Если А — группа без кручения, то ее максимальная делимая
подгруппа является первой ульмовской подгруппой группы А.
3. Группа С обладает тем свойством, что любая ненулевая группа
может быть гомоморфно отображена на ненулевую подгруппу группы С,
тогда и только тогда, когда Q/Z — прямое слагаемое группы С.
4 (Селпал [1]). Если все ненулевые факторгруппы группы А изо-
изоморфны Л, то А ^ Z (ph), где или k = 1, или k = оо.
5. Прямая сумма и прямое произведение групп являются редуци-
редуцированными группами тогда и только тогда, когда каждая компонен-
компонента — редуцированная группа.
6. Привести пример убывающей цепи делимых подгрупп, пересе-
пересечение которых не является делимой подгруппой. [Указание: в прямой
сумме счетного числа изоморфных между собой групп Z (р°°) построить
убывающую последовательность делимых подгрупп, пересечение кото-
которых имеет порядок р.]
7. Доказать теорему 21.2 так: выбрать D-высокую подгруппу
и применить лемму 9.9.
8. (а) (Уокер Э. [2]) Всякая группа без кручения бесконечного
ранга является подпрямой суммой групп, изоморфных группе Q.
(б) Неограниченная р-группа является подпрямой суммой квази-
квазициклических групп.
9. Прямой предел инъективных групп является инъективной груп-
группой.
122 Гл. IV. Делимые группы
§ 22. Системы уравнений
В силу определения делимых групп в делимой группе D все «линей-
«линейные» уравнения вида пх = а 6 D, где п — натуральное число, имеют
решение. Мы докажем значительно более сильное утверждение, что
в делимых группах имеют также решение все согласованные системы
линейных уравнений.
Системой уравнений над группой А называется совокупность
уравнений
где tiij — целые числа, причем если i фиксировано, то Пц = 0 для
всех /, кроме, самое большее, конечного числа. Здесь {jty}jgj — мно-
множество неизвестных, а /, J — множества индексов произвольной
мощности.
xj = gj?A (/ 6 J)
называется решением системы A), если система A) удовлетворяется
при замене xj элементами gj. Очевидно, решение можно рассматривать
как элемент (• ¦ ¦, gj, • • .) прямого произведения AJ.
Для разрешимости системы A) тривиальным необходимым усло-
условием является то, что система A) должна быть согласованной в том
смысле, что если линейная комбинация левых частей уравнений обра-
обращается в нуль, то она остается равной нулю и при замене левых частей
уравнений соответствующими правыми частями. Следуя Кертесу [3],
мы дадим другую, более глубокую интерпретацию согласованности
и разрешимости системы уравнений.
Левую часть уравнения системы A) можно рассматривать как
элемент свободной группы X, построенной на множестве неизвестных
{xj}j?j. Пусть Y — подгруппа группы X, порожденная всеми левыми
частями fi (х) = 2 nuxj уравнений системы A). Соответствие
i
М*)-*а» ('€/) B)
порождает гомоморфизм x\:Y-*-A тогда и только тогда, когда всякая
линейная комбинация элементов ft (x), равная нулю, отображается в О,
т. е. когда система A) является согласованной в указанном выше
смысле. В соответствии с этим мы будем называть систему A) согласо-
согласованной, если отображение B) продолжается до гомоморфизма i\: Y-*~ A.
Согласованную систему A) удобно рассматривать как пару (У, г\),
где Y — подгруппа свободной группы X, множество свободных обра-
образующих которой совпадает с множеством неизвестных, а г\ — гомо-
гомоморфизм группы У в группу А. Очевидно, две системы уравнений
определяют одну и ту же пару (У, ц) тогда и только тогда, когда
уравнения каждой из этих систем являются линейными комбинациями
§ 22. Системы уравнений 123
уравнений другой системы. В этом случае, очевидно, множества реше-
решений обеих систем совпадают.
Легко показать, что X] = gj (j 6 J) является решением системы A)
тогда и только тогда, когда отображение
xj -* g, a 6 j) C)
продолжается до гомоморфизма %: X -*¦ А, ограничение которого на У
дает ц. Таким образом, система (У, т)) разрешима в точности тогда,
когда существует гомоморфизм %, при котором диаграмма
коммутативна; здесь р — естественное вложение. Кроме того, гомо-
гомоморфизмы % и решения системы (У, ц) находятся во взаимно однознач-
однозначном соответствии, поэтому решение системы (У, г\) можно обозначить
через (X, х).
Теперь мы можем доказать следующее:
Теорема 22.1 (Гачайи [1]). Всякая согласованная система урав-
уравнений над группой А допускает решение в А тогда и только тогда,
когда А — делимая группа.
Так как одно уравнение пх = а, где п ф 0, является согласован-
согласованной системой, то необходимость очевидна. Переходя к доказательству
достаточности, возьмем согласованную систему уравнений (У, ti) над
делимой группой А. По теореме 21.1 гомоморфизм ц можно продол-
продолжить до гомоморфизма %:Х-+~А. Следовательно, решение сущест-
существует. а
Так как согласованность — это свойство конечного характера,
то сразу получается
Следствие 22.2 (Гачайи [1]). Система уравнений над делимой груп-
группой D разрешима в D тогда и только тогда, когда каждая ее конеч-
конечная подсистема имеет решение в D. ш
В связи с системами уравнений важно упомянуть следующий
результат.
Предложение 22.3 (Гачайи [2], Бальцежик [1]). Подгруппа В груп-
группы А служит для А прямым слагаемым тогда и только тогда, когда
всякая система уравнений над В, имеющая решение в группе А, имеет
решение и в В.
Если В — прямое слагаемое группы А, т. е. А = В ф С, то ком-
компоненты в В решения из А, очевидно, удовлетворяют системе урав-
уравнений над В.
124 Гл. IV. Делимые группы
Обратно, предположим, что всякая система уравнений над В,
имеющая решение в группе А, имеет решение и в Б. В каждом смеж-
смежном классе и группы А по подгруппе В выберем по представителю
а (и) ? А и рассмотрим систему уравнений
хи -У xv — хи+и = а (и) + a(v) — а (и + v) ? В для всех и, v ? А/В.
По предположению она имеет решение хи = b (и) ? В. Тогда а (и) —
— Ь (и) — представители смежных классов и 6 А/В, образующие под-
подгруппу в группе А. Следовательно, В служит для А прямым слагае-
слагаемым. |
Упражнения
1. Если система уравнений над делимой группой D имеет решение
в группе, содержащей D, то она имеет решение и в D.
2. Система уравнений над группой А является согласованной тог-
тогда и только тогда, когда она имеет решение в некоторой группе,
содержащей А. [Указание: для доказательства достаточности рас-
рассмотреть универсальный квадрат для tj: У ->¦ А и вложения р: У -*~ X.]
3. Всякая система уравнений над делимой группой содержит
максимальную разрешимую подсистему.
4. (а) Однородная система уравнений (У, 0) над произвольной
группой А допускает нетривиальное решение тогда и только тогда,
когда существует ненулевой гомоморфизм <р: XIY-*¦ А. Нетривиаль-
Нетривиальные решения и эти гомоморфизмы ср находятся во взаимно однознач-
однозначном соответствии.
(б) Однородная система п уравнений с п + 1 неизвестными имеет
нетривиальное решение во всякой ненулевой группе.
5. Доказать, что
*i — рх2 = 1, хг — р2х3 =1, . . ., хп — рпхп+1 = 1, ...
[для любого простого числа р] — система уравнений над Z, которая
не имеет решения в группе Z, хотя всякая ее конечная подсистема
имеет в этой группе решение.
§ 23. Строение делимых групп
Группы Z (р°°) и Q были нашими первыми примерами делимых
групп. Теорема о строении делимых групп показывает, что все дели-
делимые группы исчерпываются прямыми суммами групп Z (р°°) и Q.
Теорема 23.1. Всякая делимая группа D является прямой суммой
квазициклических групп и групп, изоморфных полной рациональной
группе. Мощности множеств компонент Z (р°°) [для каждого р] и Q
составляют полную и независимую систему инвариантов группы D.
Очевидно, периодическая часть Т группы D — делимая группа.
Из теоремы 21.2 следует, что D = Т © Е, где Е — группа без круче-
кручения, очевидно, снова делимая. Если р-компоненту группы Т обозна-
§ 23. Строение делимых групп 125
чить через Тр, то получим
?>=©ТР© Е,
V
и достаточно показать, что Тр — прямая сумма групп Z (р°°), а Е —
прямая сумма групп Q.
Выберем в цоколе группы Тр максимальную независимую систему
элементов {at}i^i. В силу делимости в группе Тр для каждого i суще-
существует такая бесконечная последовательность элементов aix, . . .
. . ., aln, . . . , что atl = аи раип+1 = ain, п = 1, 2 Отсюда
мы заключаем, что каждый элемент щ может быть вложен в подгруппу
At ^ё Z (р°°) группы Тр, именно, At = (ап, . . ., а1п, . . .). Так как
<аг> — цоколь группы At и элементы at (i 6 /) независимы, то под-
подгруппы At порождают в группе Тр подгруппу А, являющуюся их
прямой суммой: А = Ф At. Группа А является делимой подгруппой,
т. е. прямым слагаемым группы Тр. Но Л содержит цоколь группы Тр,
поэтому А — Тр, и Тр — прямая сумма групп Z (р°°).
Выберем максимальную независимую систему элементов {bj}j^j
в группе Е. Так как Е — делимая группа без кручения, то при лю-
любом положительном л 6 Z существует ровно один элемент х 6 Е, для
которого пх = bj. Это означает, что каждый элемент Ъ} может быть
вложен в подгруппу В] ^ Q группы Е. Так как {bj} — независимая
система элементов, то подгруппы В} порождают в Е подгруппу В,
являющуюся их прямой суммой: В = (В В]. Эта подгруппа — прямое
Ш
слагаемое группы Е, содержащее максимальную независимую систему
элементов из Е, поэтому В = Е, и Е — прямая сумма групп, изоморф-
изоморфных группе Q.
Число прямых слагаемых, изоморфных Z (р°°) или Q, в разложении
группы D в прямую сумму групп Z (р°°) и Q, очевидно, равно соответ-
соответственно рангу гр (D) или рангу r0 (D). По теореме 16.3 эти ранги
однозначно определяются группой D. Они образуют полную систему
инвариантов, так как если даны rp (D) и r0 (D), то мы можем по ним
однозначно восстановить группу D, взяв прямую сумму rp (D) групп,
изоморфных Z (р°°), для каждого р и r0 (D) групп, изоморфных Q.
Независимость этих инвариантов очевидна. а
Итак, для делимой группы D имеет место разложение
?>=* е Q® ф[ © Z(p°)\.
го Ф) р rp(D)
В силу теорем 21.3 и 23.1 проблема описания строения абелевых
групп сводится к случаю редуцированных групп.
Пример 1. Если G — аддитивная группа всех действительных чисел,
то С? — делимая группа без кручения мощности континуума. Следовательно,
G = ф Q, где с — мощность континуума.
126 Гл. IV. Делимые группы
Пример 2. Пусть
где р пробегает все различные простые числа. Тогда р-компонентой группы К
служит Z (р°°), а так как К имеет мощность континуума, то
Поэтому группа К изоморфна группе действительных чисел, рассматриваемых
по модулю 1.
Пример 3. Пусть m — бесконечное кардинальное число. Тогда
m = ®(z(P°°)®(?)-
В самом деле, это — делимая группа с цоколем мощности 2т, содержащая
2т независимых элементов бесконечного порядка.
Упражнения
1. Делимые периодические группы изоморфны тогда и только тог-
тогда, когда их цоколи изоморфны.
2. Если А, В—делимые группы, каждая из которых содержит
подгруппу, изоморфную другой группе, то А ^ В.
3. Если А — делимая группа и А Ф А & В ® В, то A s* В.
4. Если А — бесконечная группа, все собственные подгруппы
которой конечны, то А ^ Z (р°°) для некоторого р.
5. Группа А является редуцированной тогда и только тогда, когда
группа Q не имеет ненулевых гомоморфных образов в А.
6. р-группа является редуцированной тогда и только тогда, когда
ее циклические подгруппы удовлетворяют условию максимальности.
7. Пусть D — прямое произведение m групп, изоморфных (Q/Z)n.
Определить строение группы D.
8 (Селе [4]). Группа не содержит двух различных изоморфных
между собой подгрупп тогда и только тогда, когда она изоморфна
подгруппе группы Q/Z.
9 (Кертес [1]). Пусть А есть р-группа, в которой элементы конеч-
конечной высоты имеют высоту <Lm для целого числа т > 0. Тогда А —
прямая сумма коциклических групп. [Указание: ртА—делимая
группа.]
10. Показать, что любые два прямых разложения делимой группы
имеют изоморфные продолжения.
П. Группа А называется квазиинъективной, если всякий гомомор-
гомоморфизм любой подгруппы группы А в группу А можно продолжить
до эндоморфизма группы А. Доказать, что всякая квазиинъективная
группа или инъективна, или является периодической группой, р-ком-
поненты которой — прямые суммы изоморфных между собой цикли-
циклических групп.
§ 24. Делимая оболочка 127
§ 24. Делимая оболочка
Свободные группы в некотором смысле универсальны, именно,
всякая группа является эпиморфным образом некоторой свободной
группы. Следующий результат показывает, что делимые группы уни-
универсальны в двойственном смысле.
Теорема 24.1. Всякую группу можно вложить в качестве под-
подгруппы в делимую группу.
Бесконечную циклическую группу Z, очевидно, можно вложить
в делимую группу, именно в группу Q. Следовательно, всякая свобод-
свободная группа F вложима в прямую сумму групп, изоморфных Q, т. е.
в делимую группу. Если А — произвольная группа, то можно напи-
написать A s? FIN, где F — соответствующая свободная группа. Если
вложить группу F в делимую группу D, то группа А окажется изо-
изоморфной подгруппе FIN делимой группы DIN. ш
Эту теорему можно улучшить, установив существование минималь-
минимальной делимой группы, содержащей заданную группу. Начнем со сле-
следующих лемм.
Лемма 24.2. Подгруппа В группы А является существенной тог-
тогда и только тогда, когда гомоморфизм а: А —*- G в произвольную груп-
группу G обязательно является мономорфизмом, если а \ В: В -> G —
мономорфизм.
Если В — существенная подгруппа группы А и а | В — моно-
мономорфизм, то Кег а П В = Кег (а | В) = 0, откуда Кег а = 0. Обрат-
Обратно, если В — не существенная подгруппа и подгруппа С ф 0 группы А
такова, что С (] В '= 0, то канонический эпиморфизм а: А -*¦ А/С
не является мономорфизмом, хотя а | В — мономорфизм. a
Для заданной группы А делимая группа Е, содержащая А, назы-
называется минимальной делимой группой, если в Е нет собственных дели-
делимых подгрупп, содержащих А.
Лемма 24.3. Делимая группа Е, содержащая группу А, является
минимальной делимой группой тогда и только тогда, когда А —
существенная подгруппа группы Е.
Если Е — не минимальная делимая группа и D — собственная
делимая подгруппа группы Е, содержащая А, то можно написать
Е = D Ф С, где С ф 0. Так как А П С = D П С --= 0, то группа А
не является существенной подгруппой группы Е. Обратно, если А —
не существенная подгруппа группы Е, то в Е существует такая цикли-
циклическая подгруппа С= (с)ФО, что А ("I С = 0. Без ограничения
общности можно предположить, что о (с) = оо или о (с) = ph. Тогда
подгруппу С можно вложить в такую подгруппу В группы Е, что
В ?ё Q или В s Z (р°°). По теореме 21.2 Е = D Ф В для некоторой
128 Гл. IV. Делимые группы
подгруппы D, содержащей А. Следовательно, группа Е — не мини-
минимальная. ¦
Теорема 24.4 (Куликов [2]). Всякая делимая группа, подгруппой
которой является группа А, содержит минимальную делимую группу,
содержащую А. Любые две минимальные делимые группы, содержа-
содержащие А, изоморфны над А.
Пусть D делимая группа, содержащая группу А. Делимые под-
подгруппы группы D, имеющие с А нулевое пересечение, образуют индук-
индуктивное множество, поэтому в этом множестве существует максималь-
максимальный член М. По теореме 21.2 имеем D = М Ф Е, где А Е Е. Очевид-
Очевидно, Е — делимая группа, а из максимальности подгруппы М следует,
что Е не может содержать собственных прямых слагаемых и, таким
образом, собственных делимых подгрупп, все еще содержащих А.
Следовательно, Е — минимальная делимая подгруппа, содержащая А.
Если Еъ Ег — две минимальные делимые группы, содержащие
группу Л, то в силу теоремы 21.1 тождественный автоморфизм 1А
группы А можно продолжить до гомоморфизма г\: Ег-*- Е2. Так как
¦цЕх — делимая группа, содержащая А, то ч\ — эпиморфизм. По лем-
лемме 24.3 группа А — существенная подгруппа группы Et, а так как
11 | А — 1А, то из леммы 24.2 следует, что ii — мономорфизм. Следо-
Следовательно, tj является изоморфизмом между группами ?2 и Е2, остав-
оставляющим каждый элемент группы А на месте. а
В силу последней теоремы минимальную делимую группу Е,
содержащую группу А, мы вправе назвать делимой оболочкой [или
инъективной оболочкой] группы А. Очевидно, из леммы 24.3 следует,
что
г0 (Е) = г0 (А) и гр (Е) = Тр (А) для любого простого числа р.
Таким образом, строение делимой оболочки группы А полностью опре-
определяется рангами группы А.
Результаты этого параграфа позволяют доказать утверждения,
обратные теоремам 21.1 и 21.2.
Теорема 24.5. Для группы D эквивалентны следующие условия:
1) D — делимая группа;
2) D — инъективная группа;
3) D служит прямым слагаемым для всякой содержащей ее группы.
Нужно только проверить, что из условия 3) следует 1). Вложим
группу D в делимую группу Е. Из условия 3) вытекает, что D служит
для Е прямым слагаемым. Следовательно, имеет место условие 1). а
Точную последовательность
где D [и, следовательно, D']—делимая группа, существование кото-
которой для любой группы А обеспечивается теоремой 24.1, иногда бывает
удобно называть делимой или инъективной резольвентой группы А.
§ 24. Делимая ободочка 129
Наконец, приведем еще одну теорему, главным образом потому,
что ее можно теперь^доказать и в ее доказательстве используются
делимые группы. Будет удобно иметь ее для ссылок.
Предложение 24.6, Если С — такая подгруппа группы В, что
факторгруппа В/С изоморфна подгруппе Н группы G, то существует
такая содержащая В группа А, что А/С ^ G.
Пусть D — делимая группа, содержащая группу В. Тогда D/C
содержит В/С, и если В/С нельзя расширить внутри группы D/C
до группы, изоморфной G, то мы всегда можем найти такую делимую
группу Е, что в D/C ф Е такое расширение возможно. Если группа
А/С изоморфна G и содержит В/С s* Н, то A (s D ф Е) — группа
с нужным свойством. в
То, о чем шла речь в предложении 24.6, можно представить в виде
коммутативной диаграммы
о-> с->в -> я -+о
где строки точны, а вертикальные отображения — вложения.
Упражнения
1. Пусть А — группа без кручения, Е — множество всех пар (а, т),
где а 6 А, т — натуральное число и
(а, т) — (Ь, п) тогда и только тогда, когда mb = па.
Пусть, далее,
(а, т) + (Ь, п) = (па + тЬ, тп).
Показать, что Е — минимальная делимая группа, содержащая образ
мономорфизма а у* (а, 1) (а?А).
2. Делимая оболочка группы А является делимой оболочкой под-
подгруппы В группы А тогда и только тогда, когда В — существенная
подгруппа группы А.
3. (а) Делимая группа D, содержащая группу А, минимальна
в точности тогда, когда D/A — периодическая группа и А содержит
цоколь группы D.
(б) Если D —делимая оболочка р-делимой группы А, то фактор-
факторгруппа D/A имеет нулевую ^-компоненту.
4 (Кертес [2]). (а) Если группа А является эндоморфным образом
всякой группы, содержащей А, то А—делимая группа.
(б) Если группа А служит прямым слагаемым для всякой содержа-
содержащей ее группы, эндоморфным образом которой она является, то Л —
делимая группа.
9 Л. Фукс
130 Гл. IV. Делимые группы
5 (Кертес [2]). Пусть А —такая группа, что если А —эндоморф-
ный образ группы В, то В содержит прямое слагаемое, изоморфное
группе А. Показать, что А — прямая сумма делимой группы и сво-
свободной группы.
6. Если группа А служит прямым слагаемым для всякой такой
содержащей ее группы G, что GIA — квазициклическая группа, то
А — делимая группа.
7 (Длаб [2]). Всякая группа служит подгруппой Фраттини для
некоторой группы.
8* (Шарль [2], Кхаббаз [2]). Подгруппа А делимой группы D
является пересечением делимых подгрупп группы D тогда и только
тогда, когда А \р] = D [р] влечет рА = А для любого простого числа р.
9. Пусть Ап (« = 0, ±1, ±2, . . .)—счетная система групп.
Проверить, что существуют такие делимые группы Dn и такая после-
последовательность
что «„а,,-! = 0 и Кег ап/1т ап^ ^ Ап для любого п.
10 (Селе [2]). Назовем элемент а 6 А алгебраическим над подгруп-
подгруппой В группы Л, если а=0 или (а) (~| В Ф 0. Если каждый элемент а 6 А
является алгебраическим над В, то назовем группу А алгебраической
над В.
(а) Группа А является алгебраической над В тогда и только тог-
тогда, когда В — существенная подгруппа группы А.
(б) Группа А есть максимальное алгебраическое расширение
группы В [т. е. никакая группа, содержащая А в качестве собствен-
собственной подгруппы, уже не является алгебраическим расширением груп-
группы В] тогда и только тогда, когда А — делимая оболочка группы В.
11 (Селе [2]). (а) Если В s А, то в группе А существует алгебраи-
алгебраическое расширение С подгруппы В, максимальное среди всех алгебраи-
алгебраических расширений подгруппы В в А.
(б) Используя п. (а) и упражнение 10, доказать, что всякая дели-
делимая группа, содержащая группу В, содержит делимую оболочку
группы В.
12 (Уокер Э. [4]). Группа G называется п-расширением группы А,
если G — такое существенное расширение группы А, что А = nG.
(а) Если G есть n-расширение группы А, то существует делимая
оболочка D группы А, содержащая G.
(б) Если G и G' являются «-расширениями группы А и GsC,
то G == G'.
(в) Доказать, что для любой заданной группы А существует
«-расширение, доказав предварительно, что (D/A) [п] = G/A определяет
такую группу G, что пд = А.
(г) Любые два «-расширения группы А изоморфны над А.
(д) Всякая группа Н, для которой пН — А, содержит «-расшире-
«-расширение группы А.
§ 25. Конечно копорожденные группы 131
§ 25. Конечно копорожденные группы
Отмеченная нами двойственность между свободными и делимыми
группами порождает понятие, двойственное понятию конечно порож-
порожденной группы.
Система L элементов группы А называется системой кообразующих,
если для любой группы В всякий гомоморфизм ср: А -*¦ В, для которого
L П Кег ф = 0 или =0, является мономорфизмом. Это, очевидно,
эквивалентно тому, что всякая ненулевая подгруппа группы А содер-
содержит ненулевой элемент из L. Ясно, что подгруппа (L) должна быть
существенной подгруппой группы А, и существенная подгруппа всегда
является системой кообразующих. То, что было сказано, когда вводи-
вводилось понятие коциклических групп (в§3), показывает, что кообразую-
щие двойственны образующим.
Группа называется конечно копорожденной, если она обладает
конечной системой кообразующих. Следующий результат является
аналогом теоремы 15.5 и выявляет замечательную двойственность
между условием максимальности и условием минимальности.
Теорема 25.1 (Курош [1], Яхья [1]). Для группы А эквивалентны
следующие условия:
1) А — конечно копорожденная группа;
2) А — существенное расширение конечной группы;
3) А — прямая сумма конечного числа коциклических групп;
4) подгруппы группы А удовлетворяют условию минимальности.
Пусть выполнено условие 1), и пусть L — конечная система кообра-
кообразующих группы А. В группе А нет элементов бесконечного порядка,
так как иначе в циклической группе, порожденной элементом бесконеч-
бесконечного порядка, можно было бы выбрать ненулевую подгруппу, не содер-
содержащую ни одного отличного от нуля элемента из L. Следовательно,
L — конечная система элементов конечных порядков, откуда (L) —
конечная подгруппа. Так как А —существенное расширение подгруп-
подгруппы <L>, то отсюда вытекает 2).
Пусть теперь выполнено условие 2), т. е. А — существенное рас-
расширение конечной подгруппы В. Очевидно, А является периодиче-
периодической группой с конечным числом р-компонент, и, чтобы доказать 3),
мы можем предположить, что А к В — это р-группы. Так как А [р] =
= В [р]— конечная группа, то для фиксированного элемента а 6 А
уравнение рх — а может иметь не более конечного числа решений
в группе А. Если h (а) = оо, то решения хи . . ., xh не могут все
иметь конечную высоту, так как если для элемента у 6 А выполнено
равенство рпу — а, то рп~гу — это один из элементов хи . . ., xh.
Следовательно, начав с элемента а ? А [р] бесконечной высоты,
мы можем построить квазициклическую подгруппу группы А. Объеди-
Объединение D всех квазициклических подгрупп группы А является делимой
подгруппой, поэтому Л = D © С. Так как С [р] — конечная группа,
9*
132 Гл. IV. Делимые группы
то существует (конечный) максимум т высот ее элементов, и, таким
образом, р т+1С = 0. Следовательно, А — прямая сумма коцикличе-
ских групп, где число слагаемых конечно в силу конечности цоколя
группы А.
Покажем теперь, что из 3) следует 4). Если г (А) = 1, т. е. А =
= Z (р"), где 1 ^ k ^ оо, то . утверждение очевидно. Для г (А) =
= п > 1 доказательство проведем по индукции. Предположим, что
в" группах ранга <!rt— 1 условие минимальности выполнено. Пусть
А = Z (рк) Ф В, где г (В) = п — 1, и пусть Gi^G^s ... — убы-
убывающая последовательность подгрупп группы А. Тогда Bf) 4 -
э В П Ga э ... и, начиная с некоторого номера т, имеем В П Gm =
= 5 П Gm+i ==.... Из соотношений
G,-/(fi П Gm) = Gj/(B П G,)-S? (Д + G,)/? = А/В = Z (ph) (i > m)
следует, что группы Gil(B П Gm), а тогда и группы Gt, начиная с неко-
некоторого индекса, совпадают. Этим условие 4) доказано.
Наконец, предположим, что выполнено условие 4). Группа А не
содержит элементов бесконечного порядка, так как если а — такой
элемент, то Bпа) (п = 0, 1, 2, . . .) —строго убывающая последо-
последовательность подгрупп группы А. Так как цоколь группы А не может
быть бесконечной прямой суммой, то S (Л) — конечная подгруппа.
Следовательно, группа А обладает конечной системой кообразую-
щих. а
Заметим, что из эквивалентности условий 1) и 4) следует, что фактор-
факторгруппы конечно копорожденных групп являются конечно копорож-
денными группами. Отметим также, что условие 2) эквивалентно конеч-
конечности цоколя.
В заключение докажем следующий простой результат.
Предложение 25.2. Пусть аъ . . ., ап — конечное множество
ненулевых элементов группы А и М — подгруппа группы А, максималь-
максимальная относительно того свойства, что она не содержит ни одного
из элементов аъ . . ., ап. Тогда в факторгруппе А/М выполнено усло-
условие минимальности для подгрупп. Если п = 1, то AIM — коцикли-
ческая группа.
Всякая подгруппа группы А, строго содержащая М, содержит
хотя бы один из элементов alt . . ., ап. Другими словами, всякая
ненулевая подгруппа группы AIM содержит один из элементов аг +
+ М, . . ., а„ + М, т. е. аг + М, . . ., ап + М — система кообра-
зующих группы AIM. Остается применить предыдущую теорему. и
Заметим, что из предложения 25.2 вытекает, что всякая группа
является хаусдорфовой в прюферовой топологии.
Упражнения.
1. Подпрямая сумма конечного числа групп с условием минималь-
минимальности удовлетворяет условию минимальности.
Замечания 133
2. Если в подгруппе В группы Лив факторгруппе А/В выполнено
условие минимальности, то оно выполнено и в группе А.
3. В р-группе условие минимальности выполнено тогда и только
тогда, когда ее ранг конечен.
4. Если г\ — эндоморфизм группы с условием минимальности
и Кег т| = 0, то т] — автоморфизм.
5. Определить строение групп, содержащих не более конечного
числа элементов любого фиксированного порядка.
6. (а) Охарактеризовать группы, в которых множество конечно
порожденных подгрупп удовлетворяет условию минимальности.
(б) Двойственно этому, описать группы, в которых множество
подгрупп с условием минимальности удовлетворяет условию макси-
максимальности.
7. Множество эндоморфных образов группы удовлетворяет усло-
условию минимальности тогда и только тогда, когда группа является
прямой суммой конечного числа групп Q и Z (ph) (k = 1, 2, . . ., об).
[Указание: рассмотреть подгруппы пА.]
8. Множество вполне характеристических подгрупп группы удов-
удовлетворяет условию минимальности тогда и только тогда, когда группа
является прямой суммой групп Q, групп Z (р°°) для конечного числа
различных простых чисел р и групп Z (ph), где ph\ m для фиксиро-
фиксированного т.
Замечания
Инъективность и существование инъективных оболочек были открыты Бэром
[3]. Он доказал также, что для инъективности R-модуля М необходимо и доста-
достаточно, чтобы каждый гомоморфизм любого левого идеала L кольца R в М про-
продолжался до R-гомоморфизма R ->- Af. Это свойство продолжаемости, где в ка-
качестве L берутся только главные левые идеалы кольца R, есть, может быть,
наиболее подходящий способ определить делимость R-модуля М. Тогда сразу
получается, что инъективный модуль обязательно является делимым. Для моду-
модулей над коммутативными областями целостности R эквивалентность инъективно-
инъективности и делимости характеризует дедекиндовы кольца [см. Картан и Эйленберг [1]].
Для модулей без кручения над областями Оре из делимости всегда вытекает инъ-
инъективность.
Эпиморфные образы инъективных R-модулей сами инъективны тогда и толь-
только тогда, когда кольцо R наследственно слева. Важно заметить, что коммутатив-
коммутативная область целостности наследственна в точности тогда, когда она — дедекин-
дово кольцо.
Результаты § 22 верны вообще для инъективных модулей. Заметим, что полу-
полупростые артиновы кольца [регулярные кольца в смысле фон Неймана] характе-
характеризуются тем свойством, что все модули над ними инъективны [делимы].
Легко показать, что над кольцами, нётеровыми слева, всякий модуль имеет
максимальный инъективный подмодуль. Он не обязательно однозначно опреде-
определен, кроме случая, когда кольцо, кроме того, наследственно слева. Матлис [Mat-
lis E., Pacif. J. Math., 8 A958), 511—528] и Папп [Рарр Z., Publicationes Math.
Debrecen, 6 A959), 311—327] доказали, что всякий инъективный модуль над
нётеровым слева кольцом R является прямой суммой неразложимых модулей.
Если, кроме того, кольцо R коммутативно, то неразложимые R-модули находят-
находятся во взаимно однозначном соответствии с простыми идеалами Р кольца R, имен-
именно, они служат инъективными оболочками для R/P [при R = Z нужно брать
Р = @) или Р = (р)]; см. Матлис [там же]. Замечательным фактом является то
134 Гл. IV. Делимые группы
что прямые суммы (и прямые пределы) инъективных модулей снова инъективны
тогда и только тогда, когда кольцо нётерово слева. Это было отмечено Матлисом
и Паппом.
Проблема 12. Какие группы а) инъективны, б) проективны
над своими кольцами эндоморфизмов? в) Найти проективную, инъек-
тивную и слабую размерность группы над ее кольцом эндоморфизмов.
См.: Douglas A. and Farahat H., Monatshefte Math., 69 A965),
294—305, и Richman F. and Walker E., Math. Z., 89 A965), 77—81.
Глава V
СЕРВАНТНЫЕ ПОДГРУППЫ
Понятие сервантной подгруппы было введено Прюфером [2]. В настоящее
время оно стало одним из важнейших в теории абелевых групп. Сервантные под-
подгруппы являются промежуточными между просто подгруппами и прямыми слага-
слагаемыми; они отражают то, как подгруппа вложена в группу. Понятие сервантной
подгруппы является достаточно общим, что обеспечивает существование доста-
достаточного запаса сервантных подгрупп, и вместе с тем сервантные подгруппы обла-
обладают многими хорошими свойствами. Значение сервантных подгрупп заключает-
заключается также в той методологической роли, которую они играют при доказательстве
существования прямых слагаемых; именно, легко устанавливается существование
сервантных подгрупп того или иного типа, и имеются различные критерии, при
выполнении которых некоторые сервантные подгруппы выделяются прямыми
слагаемыми.
Если рассматривать только такие точные последовательности, какие мы
будем называть сервантно точными, то возникает новое замечательное понятие
сервантной инъективности [которое будет рассматриваться в гл. VII].
§ 26. Сервантность
Подгруппа G группы А называется сервантной, если уравнение
nx = g?G, имеющее решение во всей группе А, имеет решение и в G.
Это означает, что подгруппа G сервантна в А, если из п | g в группе А
вытекает п | g в G. Так как п | g в группе G эквивалентно тому, что
g € nG, то подгруппа G сервантна в группе А тогда и только тогда,
когда
nG = G П пА для любого п 6 Z. A)
Если в группах А и G введена Z-адическая топология, то из A),
очевидно, вытекает, что для сервантной подгруппы относитель-
относительная Z-адическая топология и ее собственная Z-адическая топология
совпадают.
Естественным обобщением понятия сервантности является понятие
р-сервантности. Подгруппа G группы А называется р-сервантной
(р — простое число), если
pkG = G[\ph A, k = 1,2, .. ., B)
или, другими словами, если р-высоты элементов из G одинаковы в G
и в Л. Для р-сервантных подгрупп относительные р-адические топо-
топологии совпадают с их собственными р-адическими топологиями.
Если G является р-сервантной подгруппой группы А при каждом
простом числе р, то G сервантна в Л. В самом деле, если п = р[1 . . .
136 Гл. V. Сервантные подгруппы
. . . p^k — каноническое разложение числа п, то
nG = prtlG П ... П #<?=(<? П Р?А) П ... П (О П PrfA) =
= Gfl (P?A[) ... npJM)=Gnni*.
Приведем теперь некоторые основные факты, касающиеся сер-
вантных подгрупп:
а) Всякое прямое слагаемое является сервантной подгруппой, О
и Л — (тривиальные) сервантные подгруппы группы Л.
б) Периодическая часть смешанной группы и ее р-компоненты
являются сервантными подгруппами [но не обязательно — прямыми
слагаемыми].
в) Подгруппы групп Q и Z (р°°) не имеют нетривиальных сервант-
ных подгрупп.
г) Если AIG — группа без кручения, то G — сервантная подгруп-'
па группы А. В самом деле, из па — g ? G (п Ф 0) для а 6 А вытекает
а ей.
д) В группах без кручения пересечения сервантных подгрупп снова
сервантны.
Действительно, уравнение пх = g имеет не более одного решения.
Поэтому если это уравнение имеет решение в группе А, то его един-
единственное решение принадлежит каждой сервантной подгруппе, содер-
содержащей элемент g.
Ввиду этого в группе без кручения А для всякого подмножества S
существует минимальная сервантная подгруппа, содержащая S,
именно пересечение <5>* всех сервантных подгрупп группы А, содер-
содержащих 5. Эта подгруппа называется сервантной подгруппой, порож-
порожденной множеством S. Легко проверить, что <S>» представляет собой
множество всех элементов группы А, зависящих от S.
е) Сервантность является индуктивным свойством.
Пусть Gx ? . , . s G( s ... — цепочка сервантных подгрупп Gt
группы Л, и пусть G — объединение этих подгрупп. Если уравнение
пх = g.?G имеет решение в группе Л и у — такой индекс, что g 6 GJt
то уравнение пх = g имеет решение в Gj, а значит и в G.
Аналогично доказывается, что р-сервантность — индуктивное
свойство.
ж) р-сервантная р-подгруппа всегда сервантна.
Это сразу следует из равенства qG = G, верного для любой р-груп-
пы G и любого простого числа цф р.
з) Если А есть р-группа и элементы порядка р ее подгруппы G
имеют одинаковую высоту в G и в А, то G — сервантная подгруппа
группы А.
Чтобы доказать, что любой элемент g 6 G имеет в G и в Л одинако-
одинаковую высоту, применим индукцию по е (g) = п. Для е (g) = 1 это выпол-
выполнено по условию. Пусть это верно для элементов экспоненты <п,
где п !> 2. Если е (g) — п и для некоторого а 6 Л выполнено равен-
равенство pha = g, то по индуктивному предположению pk+1h — pg для
§ 26. Сервантность 137
некоторого Л 6 G. Здесь phh — g или равно 0, или имеет порядок р,
причем рк (h — a) = phh — g. По предположению pkg' = phh — g
для некоторого g' 6 G. Отсюда pk (ft — g') = g. Таким образом, высо-
высота элемента g ? G в группе G не меньше, чем в Л.
и) Если А есть р-группа, G — ее сервантная подгруппа и G [р] =
= А [/?], то G = А.
Докажем снова индукцией по е (а) = п, что каждый элемент а ? А
лежит в G. Предположим, что е (а) = п !> 2. Тогда из включения
рп~1а ^ А [р] — G [р] следует в силу сервантности подгруппы G,
что pn-1g = рп~га для некоторого g ? G. Здесь е (g — а) ^ п — 1,
поэтому, согласно индуктивному предположению, g — а 6 G, откуда
а 6 С?.
Мы будем часто пользоваться следующей леммой:
Лемма 26.1 (Прюфер [2]). Пусть В, С —[такие подгруппы группы
А, что С s В = А. Тогда
1) если подгруппа С сервантна в В, а подгруппа В сервантна в А,
то подгруппа С сервантна в А;
2) если подгруппа В сервантна в А, то подгруппа В/С сервантна
в А/С;
3) если подгруппа С сервантна в А и подгруппа В/С сервантна
в А/С, то подгруппа В сервантна в А.
При предположениях п. 1)
пС = С П пВ = С П (В П пА) = (С П В) П пА = С П пА
для любого п > 0, что доказывает сервантность подгруппы С в Л.
Утверждение 2) вытекает из равенств
п (В/С) = (пВ + С)/С = ((В П пЛ) + С)/С = (В П М + С))/С =
= (В/С) П л (А/С).
Предположим, что выполнены условия п. 3), и пусть па — Ь 6 В
для некоторого а 6 Л и некоторого п > 0. Тогда п (а + С) = Ь + С,
и по предположению для некоторого Ь' 6 В имеет место равенство
п (Ь' + С) = 6 + С. Из пЬ' = Ь + с (с 6 С) получаем п (Ъ' — а) = с.
Следовательно, пс' = с для некоторого с' 6 С Наконец, п (Ь' — с') =
= Ь, где &' —с' ? В, что завершает доказательство. ш
В силу утверждений 2) и 3) естественное соответствие между
подгруппами группы А/С и подгруппами группы А, содержащими
сервантную подгруппу С, сохраняет сервантность.
Результатом другого рода является
ПрЕдложениЕ 26.2 (Селе). Всякую бесконечную подгруппу можно
вложить в сервантную подгруппу той же мощности, а всякую конеч-
конечную подгруппу — в счетную сервантную подгруппу.
Пусть В — подгруппа группы А, и пусть | В | = т. Рассмотрим
все уравнения пх = Ь 6 В, имеющие решение в группе Л. Для всякого
такого уравнения добавим к В решение ап, ь 6 А и получим подгруппу
138 Гл. V. Сервантные подгруппы
Вг группы Л, в которой все такие уравнения над В имеют решение
[т. е. подгруппа Вх порождается подгруппой В и всеми этими элемен-
элементами ап,ъ\- Затем повторим этот процесс, заменив В на Въ и получим
подгруппу Вг, в которой имеют решение все уравнения с правой частью
из Blt имеющие решение в группе Л. Объединение G подгрупп Bt
(i = 1, 2, . . .) является сервантной подгруппой группы А, так как
уравнение пх = g 6 G имеет решение в Bi+1, если g 6Вг, и это уравне-
уравнение имеет решение в группе А. Очевидно, | G | <; т*0, и обе части
предложения 26.2 доказаны. и
Для групп без кручения предложение 26.2 может быть усилено:
в этом случае любую подгруппу можно вложить в сервантную подгруп-
подгруппу того же ранга, именно в сервантную подгруппу, ею порожденную.
Можно определить сервантность для р-адических модулей, заменив
в A) натуральные числа п целыми р-адическими числами. Так как
умножение на единицы не меняет подмодули в целом, то нужно рас-
рассматривать только степени р. Поэтому для р-адических модулей опре-
определение сервантности [и /?-сервантности] задается условием 2).
Упражнения
1. Если G П Н и G + Я — сервантные подгруппы группы А,
то G и Н — также сервантные подгруппы.
2. (а) Ни пересечение, ни объединение прямых слагаемых не обя-
обязано быть сервантной подгруппой.
(б) Если G — сервантная подгруппа каждой группы, входящей
в цепь . . . = В| = ... , то подгруппа G сервантна в U Bt.
3. К-прямая сумма групп сервантна в их прямом произведении.
4. Если подгруппа G сервантна в группе А, то подгруппа nG
сервантна в пА.
5. Если Т — периодическая часть группы А я G — сервантная
подгруппа в Л, то подгруппа Т + G сервантна в А.
6. Если G — сервантная подгруппа группы А, то
(а) G1 = G П Л1 (G1, Л1 — первые ульмовские подгруппы);
(б) (G + А1)/А1 — сервантная подгруппа группы А/А1;
(в) если G = А1, то G — делимая группа.
7. Привести пример несервантной подгруппы, Z-адическая топо-
топология в которой совпадает с относительной Z-адической топологией.
8. Единственной существенной сервантной подгруппой группы А
является сама группа А.
9. Данная группа сервантна во всякой содержащей ее группе
тогда и только тогда, когда она — делимая группа.
10. Если в счетной р-группе А элементы бесконечной высоты обра-
образуют сервантную подгруппу, то Л — прямая сумма коциклических
групп. [Указание: см. упражнение 6 (в) и теоремы 17.3 и 23.1.]
11. Для всякой сервантной подгруппы В группы Л существует
такая вполне упорядоченная возрастающая цепочка
В = Во с= Вх сг . . . с Ва с= . . . с: Вх = А (а < т)
§ 27. Ограниченные сервантные подгруппы 139
сервантных подгрупп группы Л, что для любого сг< т факторгруппа
Ba+JBa счетна и Во = U Вр, если сг — предельное порядковое число.
<
Р<СТ
12 (Ирвин Ш). Пусть Л1 — первая ульмовская подгруппа группы
Л и Я является Л1-высокой подгруппой в А. Доказать, что
(а) подгруппа Я сервантна в Л. [Указание: выбрать минималь-
минимальное п, для которого равенство рпа = h 6 Я выполняется при неко-
некотором а € А, но не выполняется ни при каком а 6 Я, и рассмотреть
А1Г\<рп~1а, Н)Л
(б) AIH — делимая группа.
(в) AIH — делимая оболочка группы (Л1 © НIН ^ Л1.
13. (а) (Шарль [3], Ирвин [1]) Пусть Л есть р-группа и В — бес-
бесконечная подгруппа группы Л, не содержащая элементов бесконеч-
бесконечной высоты. Тогда существует такая сервантная подгруппа С груп-
группы Л, что 1) BsC, 2) | В | = | С |, 3) подгруппа С не содержит
элементов бесконечной высоты. [Указание: см. упр. 12.]
(б) (Ирвин и Уокер [1]) Доказать утверждение (а) для произволь-
произвольных групп.
14. Доказать аналог предложения 24.6, заменив везде слово
«подгруппа» словами «сервантная подгруппа».
§ 27. Ограниченные сервантные подгруппы
Результаты этого параграфа имеют исключительное значение: они,
вероятно, являются наиболее часто цитируемыми в теории р-групп.
Предложение 27.1 (Селе [6]). Предположим, что подгруппа В
группы А является прямой суммой циклических групп одного и того
же порядка ph. Тогда эквивалентны следующие утверждения:
а) В — сервантная [р-сервантная] подгруппа группы А;
б) для В выполнено равенство В ("I phA — 0;
в) В — прямое слагаемое группы Л.
Если В есть р-сервантная подгруппа группы Л, то В Л ртА =
= рт В для любого целого числа т > 0, в частности для т = k,
когда phB = 0. Следовательно, из п. а) вытекает б). Пусть выполнено
условие б), и пусть С — такая В-высокая подгруппа группы Л, что
phA s С. Если для некоторого а 6 Л имеет место равенство ра =
= b + с (ЬеВ, се С), то pha = р*-Ч> + р*-»с, откуда р""^ = 0,
так как pha 6 С. Из предположения относительно строения группы В
следует, что существует такой элемент Ь'1 6 В, что pb' = Ь. Теперь
простое использование леммы 9.9 и того факта, что qB = В для всех
простых чисел q Ф р, показывает, что Л = В © С, т. е. выполнено в).
Тот факт, что из в) следует а), очевиден. ш
Следствие 27.2 (Куликов [1]). Всякий элемент порядка р и конеч-
конечной высоты можно вложить в конечное циклическое прямое слагаемое
группы.
140 Гл. V. Сервантные подгруппы
Пусть элемент а 6 А имеет порядок р и высоту k < оо, и пусть
pkb = а. Тогда (Ь) — сервантная подгруппа конечного порядка,
и можно применить предложение 27.1. Л
Следствие 27.3 (Куликов [1]). Если группа содержит элементы
конечного порядка, то она обладает нециклическим прямым слагае-
слагаемым.
Если для некоторого р группа содержит подгруппу Z (р°°), то эта
подгруппа выделяется прямым слагаемым. Если группа не содержит
подгрупп вида Z (р°°), но содержит элементы порядка р, то она содер-
содержит и элемент порядка р конечной высоты [см. § 20, В)]. Остается
применить следствие 27.2. а
Следствие 27.4 (Куликов [1]). Прямо неразложимые группы
являются или группами без кручения, или коциклическими группами, g
Покажем теперь, что сервантные подгруппы определенных типов
обязательно выделяются прямыми слагаемыми.
Теорема 27.5 (Куликов [1]). Всякая ограниченная сервантная
подгруппа является прямым слагаемым.
Если В — ограниченная группа, то в силу теоремы 17.2 можно
написать В = Вг Ф С, где Вг — прямая сумма циклических групп
одного и того же порядка ph, а в С наименьшая верхняя грань порядков
элементов меньше соответствующей грани для группы В. Если В —
сервантная подгруппа группы Л, то и подгруппа В± сервантна в А,
и из предложения 27.1 следует, что А = Вг ® Ах. Отсюда В = Вх © Clt
где С2 = В П ^sC. Здесь Сг — сервантная подгруппа группы Alt
и по индуктивному предположению Сх — прямое слагаемое группы Аг.
Следовательно, В — прямое слагаемое группы А. %
Следствие 27.6. Всякая конечно копорожденная сервантная под-
подгруппа выделяется прямым слагаемым. R
Из теоремы 27.5 можно также вывести следующий полезный резуль-
результат.
ТиоремА 27.7 (Кхаббаз [1]). Для любого простого числа р и нату-
натурального п всякая рпА-высокая подгруппа группы А слижит для А
прямым слагаемым.
Пусть В есть рМ-высокая подгруппа группы А. Тогда рпВ s
сВ (] рпА = 0, т. е. В—ограниченная р-группа. Проверим, что В —
сервантная подгруппа группы А. Для этого покажем,, что В f) pM s
s pkB при любом целом k > 0. Для k = 0 это выполняется тривиальным
образом. Применим индукцию по k. Если Ь = рч+1аФ0 (b?B, а?А),
то по лемме 9.8 pha 6 рпА ф В, т. е. pha — pnc-\-d для некоторых
с6A, d?B. Так как рпа?рпА, то &<я—I. Поэтому d = pha—рпс
принадлежит подгруппе В {] phA, которая равна phB в силу индуктив-
индуктивного предположения. Следовательно, b = ph+1a = рч+1с + pd дает
_ § 27. Ограниченные сервантные подгруппы 141_
b = pd(zpk+1B. Таким образом, В—ограниченная сервантная подгруппа
группы А. Остается применить теорему 27.5. а
Следствие 27.8 (Эрдели [1]). р-подгруппу В группы А можно вло-
вложить в ограниченное прямое слагаемое группы А тогда и только тогда,
когда высоты отличных от нуля элементов группы В [взятые в груп-
группе А] ограничены.
Так как необходимость очевидна, предположим, что т — верхняя
грань высот элементов в В. Выберем рт+г А -высокую подгруппу С
группы А, для которой BsC, и применим предыдущую теорему.
Тогда получится, что С — ограниченное прямое слагаемое, содержа-
содержащее подгруппу В. я
Следствие 27.9. Элемент а, порядок которого — степень простого
числа, принадлежит конечному прямому слагаемому группы тогда
и только тогда, когда подгруппа <а> не содержит отличных от нуля
элементов бесконечной высоты.
Нужно проверить только достаточность условия. Если элемент а
¦обладает указанными свойствами, то положим В = {а), применим след-
следствие 27.8 и вложим В в ограниченное прямое слагаемое С группы А.
Подгруппа В содержится в конечном прямом слагаемом группы С,
так как С — прямая сумма циклических групп. ш
Закончим этот параграф следующей характеризацией сервантности.
Теорема 27.10. Для подгруппы В группы А эквивалентны следую-
следующие условия:
1) подгруппа В сервантна в А;
2) В/пВ — прямое слагаемое группы AlnB для любого п > 0;
3) если С = В и В/С — конечно копорожденная группа, то В/С —
прямое слагаемое группы А/С.
Если выполнено 1), то из п. 2) леммы 26.1 получается, что В/пВ —
сервантная подгруппа группы А/пВ, так что 2) сразу следует из тео-
теоремы 27.5. Предположим, что выполнено условие 2), и пусть С —
подгруппа со свойством, указанным в п. 3). Очевидно, можно огра-
ограничиться случаем, когда группа В/С редуцированная, что равносиль-
равносильно конечности В/С [см. теорему 25.1]. Тогда существует целое число
п > 0, для которого пВ = С, и по предположению В/пВ — прямое
слагаемое группы А/пВ. Здесь С/пВ содержится в В/пВ. Переходя
к факторгруппе по С, получаем, что В/С — прямое слагаемое для А/С.
Пусть, наконец, выполнено условие 3). Если уравнение пх = Ъ ? В
имеет решение в группе Л, но не имеет решения в В, то Ъ (? пВ. Пусть
С — подгруппа группы В, содержащая пВ и максимальная среди
подгрупп, не содержащих Ь. Тогда по предложению 25.2 В/С —
коциклическая группа. По предположению В/С — прямое слагаемое
группы А/С. Так как Ь -+¦ С (ФС) делится на п, а п (В/С) = 0, полу-
получаем противоречие. Этим доказано, что выполнено условие 1). ш
142 Гл. V. Сервантные подгруппы
Очевидно, в п. 3) требование конечной копорождаемости может
быть заменено требованием конечности.
Ясно, как нужно изменить указанные выше условия, чтобы оха-
охарактеризовать не сервантность, а р-сервантность.
Упражнения
1. Если редуцированная р-группа содержит элементы сколь угод-
угодно больших порядков, то она обладает также циклическими прямыми
слагаемыми сколь угодно больших порядков.
2. Прямые суммы неразложимых р-групп могут быть охарактери-
охарактеризованы с помощью инвариантов, являющихся кардинальными числами.
3. Всякое прямое слагаемое прямой суммы неразложимых р-групп
само является прямой суммой неразложимых групп.
4 (Куликов [1]). Любые два прямых разложения группы, являю-
являющейся прямой суммой неразложимых р-групп, обладают изоморфными
продолжениями.
5. Если А — ограниченная группа и В — подгруппа группы А [р],
то А обладает таким прямым слагаемым С, что С [р] = В.
6. Описать группы, в которых любая подгруппа сервантна.
7. Назовем группу сервантно простой, если она не имеет нетри-
нетривиальных сервантных подгрупп. Доказать, что группа является сер-
сервантно простой тогда и только тогда, когда она изоморфна подгруппе
групп Q или Z (р00).
8. (а) В группе выполняется условие максимальности [минималь-
[минимальности] для сервантных подгрупп тогда и только тогда, когда эта груп-
группа имеет конечный ранг.
(б) В группе А конечного ранга г всякая (не содержащая повто-
повторений) цепь сервантных подгрупп может быть вложена в максималь-
максимальную цепь с этим свойством, и максимальная цепь сервантных подгрупп
имеет длину г.
9 (Де Гроот [1]). Если А и В — прямые суммы коциклических_
групп и каждая из них изоморфна сервантной подгруппе другой,
то А s* В. [Указание: для редуцированных групп А, В вести рассуж-
рассуждение как в теореме 17.4.]
10 (Уокер Э. [4]). Если Ап — максимальная «-ограниченная сер-
вантная подгруппа группы А, то А = Ап ® А* для некоторой под-
подгруппы An группы А, служащей «-расширением для группы пА
(см. § 24, упр. 12).
11 (Катлер [1], Уокер Э. [4]). Если для групп Л и В при некотором
натуральном п имеет место пА зё пВ, то существуют такие группы
А' и В', что
пА' = пВ' = о и лел'^ве в'.
[Указание: взять в качестве А', В' максимальные я-ограниченные
сервантные подгруппы групп В и А соответственно.]
12. Если G — сервантная подгруппа группы А = В © С, причем
G П С является существенной подгруппой и в С, и в G, то А = В Ф G.
§ 28. Факторгруппы по сервантным подгруппам 143
§ 28. Факторгруппы по сервантным подгруппам
До сих пор мы имели дело с условиями, при которых сервантные
подгруппы выделяются прямыми слагаемыми, связанными с самими
сервантными подгруппами. Теперь будут рассматриваться условия,
преследующие ту же цель, но связанные с тем, как сервантная под-
подгруппа вложена в группу.
Начнем со следующей часто используемой характеризации сер-
вантности.
Теорема 28.1 (Прюфер [2]). Подгруппа В группы А сервантна
тогда и только тогда, когда каждый смежный класс группы А по
подгруппе В содержит элемент того же порядка, что и этот смеж-
смежный класс.
Пусть В — сервантная подгруппа группы А, и пусть а* ? А/В.
Если о (а*) — оо, то любой представитель смежного класса а* имеет
бесконечный порядок. Если о (а*) = п < оо, то для любого предста-
представителя g 6 а* имеем ng ? В. Из сервантности получаем, что пЬ — ng
для некоторого Ъ 6 В. Элемент а = g— Ь 6 а* имеет порядок s^n,
т. е. порядок п. Обратно, если выполнено сформулированное в теоре-
теореме условие и ng = b ? В для некоторого g 6 А, то выберем в смежном
классе g + В представитель а, имеющий порядок, равный порядку
этого смежного класса. Тогда па = 0 и для элемента g — а € В выпол-
выполнено равенство п (g — а) = b. a
Следующая теорема является основным результатом этого пара-
параграфа .
Теорема 28.2 (Куликов [11). Если В — сервантная подгруппа груп-
группы А и А/В — прямая сумма циклических групп, то В служит для А
прямым слагаемым.
В силу леммы 9.4 можно ограничиться случаем, когда А/В — цикли-
циклическая группа, скажем, порожденная элементом а*. Ввиду теоремы 28.1
можно выбрать представитель а ? а* того же порядка, что и а*.
Тогда элементы подгруппы (а) составят полную систему представи-
представителей смежных классов группы А по подгруппе В. Отсюда А =
= В © (а). ¦
Следствие 28.3. Если подгруппа В сервантна в А и А/В — конечно-
порожденная группа, то В — прямое слагаемое группы А. ш
Справедливо следующее утверждение, двойственное теореме 27.10..
Теорема 28.4. Для подгруппы В группы А эквивалентны условия:
1) подгруппа В сервантна в А;
2) подгруппа В служит прямым слагаемым для п~гВ при любом
п>0;
3) если С — группа, лежащая между В и А, и С/В — конечно*
порожденная группа, то В служит для С прямым слагаемым.
144 Гл. V. Сервантные подгруппы
Если подгруппа В сервантна в А, то по теоремам 17.2 и 28.2 усло-
условие 2) вытекает из ограниченности^группы (п~'-В)/В. Чтобы доказать,
что из 2) следует 3), мы можем в силу теоремы 14.4 ограничиться
случаем, когда С/В — конечная группа. Тогда С s п~гВ для неко-
некоторого я, и 3) непосредственно получается из 2). Так как из 3) следует,
что каждый смежный класс группы А по подгруппе В содержит эле-
элемент того же порядка, что и этот смежный класс, то условие 1) непосред-
непосредственно вытекает из теоремы 28.1. я
Сервантные подгруппы В были определены в терминах разрешимо-
разрешимости уравнений пх = b 6йБ, разрешимых во всей группе. Предложе-
Предложение 22.3 показывает, что для произвольных систем уравнений это
места не имеет. Однако если мы ограничимся системами, содержащими
лишь конечное число неизвестных, то получим следующий результат.
Теорема 28.5 (Прюфер [3]). Если система уравнений
над сервантной подгруппой В группы А, содержащая конечное число т
неизвестных, имеет решение в группе А, то она имеет решение и в В.
Пусть X] = п) (j = 1, . . ., т) — решение данной системы урав-
уравнений в группе А. В силу теоремы 28.4, п. 3), подгруппа В служит
прямым слагаемым для подгруппы (В, av . . ., ат) = С, т. е. С =
= В Ф Bi. Компоненты ^элементов а/ в прямом слагаемом В дают
решение, лежащее в В. щ
Очевидно, что эта теорема характеризует сервантные подгруппы.
Легко также показать, что все результаты этого параграфа верны
для р-адических модулей.
Упражнения
1. Подгруппа В сервантна в группе А тогда и только тогда, когда
п-1В = В + я-10 для каждого п > 0.
2. Если В — сервантная подгруппа группы А, то
(А/В) [п] s А [пУВ [я] для любого л.
3 (Куликов [3]). Если А — В -V С я В {] С — сервантная подгруп-
подгруппа группы В, то А [п] — В [я] + С [я] для любого я.
4 (Куликов [3]). Если а —элемент наименьшего порядка в опре-
деляемом'им смежном классе а+ рА и если о (а) Ф оо, то (а) служит
прямым слагаемым для группы А.
5. Периодическая группа обладает ненулевой циклической фак-
факторгруппой тогда и только тогда, когда она имеет ненулевое цикли-
циклическое прямое слагаемое.
, 6. Доказать утверждения 28.1—28.5 для р-адических модулей
§ 29. Сереантно точные последовательности 145
§ 29. Сервант но точные последовательности
Короткая точная последовательность
0->дДвЛс->0 A)
называется сереантно точной, если Ima — сервантная подгруппа
группы В. Данная точная последовательность называется р-сервантно
точной, если Ima есть р-сервантная подгруппа группы В.
Для простоты в следующей теореме мы будем обозначать одной
и той же буквой заданный гомоморфизм и все гомоморфизмы, им
индуцированные.
Теорема 29.1. Для точной последовательности A) каждое из сле-
следующих условий эквивалентно тому, что последовательность A) сер-
сереантно точна:
а) последовательность 0 -*¦ пА —*¦ пВ —> пС -*¦ О точна при
любом п;
б) последовательность О -*¦ А [п] —> В [п] —> С [я] -*¦ О точна
при любом п;
а р
в) последовательность О -*- А/пА —*• В/пВ —> С/пС -*¦ 0 точна
при любом п;
г) последовательность 0 -»- А/А [п] Д- В/В [п] —* С/С [п] ->- О
точна при любом п.
Тот факт, что композиция аир каждый раз дает 0, очевиден. Если
последовательность A) точна, то в п. а) отображение a — мономор-
мономорфизм, р — эпиморфизм. Ядром отображения Р из а) является под-
подгруппа аА П пВ, которая равна а (пА) тогда и только тогда, когда
A) —сервантно точная последовательность.
В п. б) отображение а всегда является мономорфизмом, а р —
эпиморфизм при любом п в точности тогда, когда каждый элемент
группы С, имеющий порядок п, является образом элемента порядка п
из В; это по теореме 28.1 эквивалентно сервантности. Так как a —
мономорфизм, Кег Р = аА П В [п] = аА [п].
Остальное следует из уже доказанного и из 3 X 3-леммы.и
Замечание 1. Нам понадобится тот факт, что если последо-
последовательность A) сервантно точна, то последовательность в п. б) рас-
расщепляется. Ввиду теоремы 27.5 достаточно показать, что последова-
последовательность из п. б) сервантно точна. Доказательство не сложно и предо-
предоставляется читателю [см. упр. 1].
Замечание 2. Если ограничиться случаем п = ph, где простое
число р фиксировано, а k¦— 1, 2, . . ., то теорема 29.1 даст условия
для р-сервантности.
Следующие две теоремы дают характеризацию сервантно точных
последовательностей, использующую гомологические свойства.
10 Л. Фукс
146 Гл. V. Сервантные подгруппы
Теорема 29.2. Точная последовательность A) сервантно точна
тогда и только тогда, когда каждая коциклическая группа G инъек-
тивна относительно последовательности A), т. е. для всякой коцикли-
ческой группы G диаграмма
G
может быть вложена в коммутативную диаграмму при соответст-
соответствующем выборе гомоморфизма ар: В -*• G.
Легко показать, что конечная прямая сумма Gx Ф . . . ® Gm
инъективна относительно последовательности A) тогда и только
тогда, когда каждая группа Gt инъективна относительно этой последо-
последовательности. Поэтому группу G можно считать конечно копорожден-
ной. Далее, ясно, что достаточно рассмотреть случай, когда ср — эпи-
эпиморфизм. Тогда существование гомоморфизма ар эквивалентно возмож-
возможности продолжить изоморфизм Л/Кег ср ^ G до гомоморфизма
В/а Кег ср -v G, т. е. эквивалентно тому, что а (Л/Ker ср) — прямое
слагаемое группы В/а Кег ср. Теперь остается применить теорему 27.10.в
Если провести двойственные рассуждения и использовать теоре-
теорему 28.4, то получится двойственный результат.
Теорема 29.3. Необходимым и достаточным условием для того*
чтобы точная последовательность A) была сервантно точной, являет-
является проективность относительно последовательности A) любой цикли-
циклической группы G, т. е. условие, что для любой циклической группы G
и любого гомоморфизма ср: G -*¦ С существует гомоморфизм op: G -*¦ В,
при котором становится коммутативной диаграмма
G
V
Посмотрим теперь, как ведут себя сервантно точные последова-
последовательности по отношению к прямым пределам.
Теорема 29.4. Если
A = {Ai(iei);n{}; В - {В, (I е /); р!} и С = {С, («€/); о{}
— прямые спектры групп и ср: А -> В, ар: В -»- С — такие гомомор-
гомоморфизмы между ними, что для любого t 6 / последовательность
О -> At —U В, —!> С; -v О
§ 29. Сервантно точные последовательности 147
сервантно точна, то индуцированная последовательность прямых
пределов
также сервантно точна.
По следствию 11.4 достаточно проверить сервантность подгруппы
Ф«Л« в группе Вш. Пусть для элементов а ? Л*, b ?ВШ при некотором п
выполнено равенство nb = ф#а. Тогда существуют такое i ? / и такие
элементы at 6 Аи bt 6 Bit что а = ягаь b = р(Ьг для канонических
отображений я(:Л;—>-Л#, р;:Б^->Б#. В силу коммутативности
диаграммы E) из § 11 р,л&; = ф*лгаг = Ргфга*, откуда Р;(пйг— ф*а4) =
= 0 и р? (nbt — (ptui) = 0 для некоторого / !> t. Поэтому npfii =
а так как р{6г g В^, я/аг б Aj и последовательность
Фу
О -*~ Aj —>- В/ -»- С) -> 0 сервантно точна, то получается, что для
некоторого элемента gj 6 Aj справедливо q>]tigj = Ф^Яг- Применяя (>]
и замечая, что р^фу = ф„л;, получаем /гф*^ = ф#а, где^ =
Иными словами, предыдущая теорема утверждает, что прямой
предел сервантно точных последовательностей является сервантно
точной последовательностью.
Следствие 29.5 (Яхья [1]). Всякая сервантно точная последова-
последовательность является прямым пределом расщепляющихся точных после-
последовательностей.
Пусть О-»- Л Л- В Д-С->0 — сервантно точная последователь-
последовательность и {Су}(?/ — семейство всех конечно порожденных подгрупп
группы С, где i ^ / означает, что С,- s Cj. Если ah Ct -> Cj — инъек-
инъекции при i ^ j, то С — предел прямого спектра С = {Ct (i g /); о[}.
Очевидно, группа В — предел прямого спектра В = {Bt =
= ty^Ct (i 6 /); р?}. где р/ — вложения Bt -> Bj. Если А =
= {At = Л; Jif = 1л}| то ф и г|э индуцируют такие гомоморфизмы
ф|
^. -> В и В -> С, что для любого t последовательность 0 -> At —*•
-> 5j —»¦ С; ->- 0 сервантно точна [фг, -фг — соответствующие ограни-
ограничения гомоморфизмов ф и г|>]. Наша исходная последовательность —
прямой предел этих сервантно точных последовательностей, а они
расщепляются в силу теоремы 28.4. а
Последнее следствие можно использовать для доказательства тео-
теоремы довольно общего характера.
Теорема 29.6 (Яхья Ш). Пусть F — ковариантный аддитивный
функтор из категории d в категорию 4, коммутирующий с опера-
операцией взятия прямых пределов. Если
ю*
148 Гл. V. Сервантные подгруппы
—сервантно точная последовательность, то и последовательность
O-+F{A) -^U F(B) -^ F(C) ->»0 B)
сервантно точна.
В силу следствия 29.5 данную сервантно точную последователь-
последовательность можно представить в виде прямого предела расщепляющихся
4>i Ч>(
точных последовательностей 0-> At —*¦ Bt —» Ct -*¦ 0. В силу кова-
ковариантности и аддитивности функтора F индуцированные последова-
последовательности
0 -+ F (At) —-U F (В,) —-U F (С,) -»- 0 C)
точны и расщепляются. Кроме того, функтор F коммутирует с пря-
прямыми пределами, поэтому прямым пределом последовательностей C)
служит B). Остается применить теорему 29.4. ш
Упражнения
1. Доказать, что если последовательность A) сервантно точна,
то последовательности а), б), в), г) из теоремы 29.1 также сервантно
точны при любом п. Кроме того, за исключением последовательности
а), все они расщепляются.
2. Привести непосредственное доказательство эквивалентности
утверждения в) [и свойства г)] с сервантностью.
3. Пусть A) — сервантно точная последовательность. Показать,
что последовательность 0 -*¦ А1 -*¦ В1 -*¦ С1 -*¦ 0 первых ульмовских
подгрупп и последовательность 0 -> Ло->- Во^>- С о-*- 0 нулевых
ульмовских факторов могут не быть точными; но если одна из них
точна, то вторая — тоже.
4. Пусть Щ — класс точных последовательностей и Gt (i 6 /) —
семейство групп, где мощность множества индексов / произвольна.
Каждая группа Gt инъективна относительно любой последователь-
последовательности из класса % тогда и только тогда, когда это же имеет место для
прямого произведения [|Gj.
5. Справедливо утверждение, двойственное упражнению 4 [где
инъективность заменена проективностью и прямое произведение —
прямой суммой].
6. При обозначениях теоремы 29.4 пусть <р: А -*¦ В — такой гомо-
гомоморфизм, что подгруппа фгЛ4 сервантна в Bt для каждого i ? /. Пока-
Показать, что подгруппа Ф*Л# сервантна в В„.
7. Пусть 0 ->- А ->¦ В -*¦ С-»- 0 — точная последовательность обрат-
обратных спектров, причем 0->-.Лг->-Вг->-Сг-*-0 — сервантно точная
последовательность при каждом i [см. теорему 12.3]. Доказать, что
последовательность 0-»-Л*->Б*-»-С*-»-0 может не быть сервантно
точной. [Указание: § 21, упр. 6.]
8 (Яхья [1]). Пусть F — аддитивный функтор из категории Л X . . .
... X Л (т раз) в категорию Л, ковариантный по каждому из
# 30. Сервантная проективность и инъективность 149
аргументов. Если F коммутирует с прямыми пределами и последо-
последовательности
0^ Ah—^+Bh — h->Ch-+0 (A=l,...,m)
сервантно точны, то последовательность
О-»- %F(Blt ...,Ah, ...,Вт) Л F(BU ...,Bm) Л
-V F(CU ...,Ст) -»- 0
сервантно точна. Здесь
и r\ =
§ 30. Сервантная проективность и сервантная
инъективность
В теоремах 29.2 и 29.3 сервантно точные последовательности,
характеризовались теми свойствами, что относительно них коцикли-
ческие группы были инъективными, а циклические группы — проек-
проективными. Теперь, исходя из класса сервантно точных последователь-
последовательностей, мы хотим найти все группы, которые соответственно инъек-
тивны или проективны относительно всех последовательностей этого
класса.
Группа X называется сервантно проективной, если она проективна
относительно класса сервантно точных последовательностей, т. е. если
каждая диаграмма
X
/\
У * (О
с сервантно точной строкой может быть пополнена соответствующим
гомоморфизмом г|): X -*¦ В так, что получится коммутативная диаграм-
диаграмма. Для описания сервантно проективных групп нам понадобится
следующая лемма.
Лемма ЗОЛ. Для любой группы А существуют такая прямая сумма
циклических групп X = ф (Xi > и такой гомоморфизм г\: X -*¦ А, что
Кег г\ — сервантная подгруппа группы X.
Пусть {<2j};e/ — множество всех элементов группы А, и пусть
Ai = (at >. Для каждого элемента at возьмем группу {xt >, изоморфную
группе At, и положим X = © 0с(). Вложения \\t: (xt)-^-A, где
150 Гл. V. Сервантные подгруппы
r\iXi = au порождают эпиморфизм
ядро которого обозначим через /С. Нужно проверить, что К — сер-
вантная подгруппа группы X. Пусть пх = b ? К для некоторого
х ? X. Если r\x = at ? А, то из цхг — at имеем х — xt 6 К- Так как
nat — т) (пх) = r\b = 0 и о (х,-) = о (а(), то пх( — 0, откуда п (х — х;) =
= Ь. ¦
Теорема 30.2 (Маранда [1]). Группа сервантно проективна тогда
и только тогда, когда она — прямая сумма циклических групп.
Пусть X — прямая сумма циклических групп, т. е. X = ф (xt >,
и пусть в диаграмме A) строка сервантно точна. Из теоремы 29.3
следует, что для каждого i существует такой элемент bt 6 В, что РЬ4 =
= фхг и о (bi) = о (фХ(). Определим гомоморфизм г|): X -*¦ В так,
чтобы он продолжал соответствие хг *-* bt; учитывая условия на
порядки элементов и строение группы X, получаем, что это возможно.
Очевидно, что гомоморфизм г|) превращает диаграмму A) в коммута-
коммутативную.
Обратно, пусть группа X сервантно проективна. По лемме 30.1
существует диаграмма
X
I ^ п
с сервантно точной строкой, где G — прямая сумма циклических
групп. По предположению можно найти такой гомоморфизм г)): X -*¦ G,
что г)ф = \х. Следовательно, г|з — инъекция на прямое слагаемое
группы G. Применение теоремы 18.1 дает, что X — также прямая
сумма циклических групп, щ
Переходя к двойственному случаю, назовем группу У сервантно
инъективной, если всякая диаграмма
ф / B)
1 / *
с сервантно точной строкой может быть вложена в коммутативную
диаграмму при соответствующем выборе гомоморфизма г[з: В -*¦ Y.
Докажем предварительно лемму, двойственную лемме ЗОЛ.
Лемма 30.3 (Лось [1]). Всякую группу можно вложить в качестве
сервантно й подгруппы в прямое произведение коциклических групп.
,$ 30. Сервантная проективность и инъективность 151
Пусть Bt (i 6 /) — семейство всех нециклических факторгрупп
данной группы Л, и пусть В — Ц Bt. Эпиморфизмы т^: А -> Bt
индуцируют гомоморфизм
Так как для каждого элемента а 6 А, аф?>, существует такой гомо-
гомоморфизм r\i, что а не лежит в его ядре [см. предложение 25.2], то л\
является мономорфизмом. Чтобы доказать сервантность подгруппы
Im т] в В, предположим, что а ? А, а$рпА, и выберем в А подгруппу М,
максимальную относительно свойств рпА ? М и а$М. Тогда по
предложению 25.2 AIM будет коциклической группой, и из включе-
включения рпА s M мы получим, что AIM = Z (ph), где й<! п. Так как
А/М = Bi для некоторого i и элемент а + М имеет в группе AIM
высоту <; &— 1, то включение х\а ?рпВ невозможней
Следующая теорема, двойственная теореме 30.2, описывает сер-
сервантно инъективные группы.
Теорема 30.4. Группа сервантно инъективна тогда и только
тогда, когда она — прямое слагаемое прямого произведения коцикли-
ческих групп.
Пусть Y — прямое слагаемое прямого произведения G = \\Gi,
где все Gt — коциклические группы. Пусть яь рг — координатные
проекции и инъекции, связанные с этим прямым произведением,
и пусть п: G —> Y, p: Y -> G таковы, что яр = 1У. Если в диаграмме B)
строка сервантно точна, то по теореме 29.2 для каждого i существует
такое отображение г|зг: В -> Git что я(рф = \pta. Отображения 1|зг
порождают отображение г|) = [ДгЫ Д: В -*• G, где яггр = 1]зг. Отсюда
ягрф = ягг|хх для каждого t, т. е. pep = г|за. Следовательно, <р = ярф =
= яг|)а и яг|з: В -*¦ Y — искомый гомоморфизм.
Предположим теперь, что группа Y сервантно инъективна. По лем-
лемме 30.3 существует сервантно точная последовательность 0 -> Y —*¦
-*~ G-*~ Н -*• 0, где G — прямое произведение коциклических групп.
В силу сервантной инъективности, тождественное отображение Y -*¦ Y
можно продолжить до отображения G-+-Y, откуда следует, что груп-
группа У изоморфна прямому слагаемому группы G. щ
Сервантно инъективные группы играют важную роль с различных
точек зрения. Их теория излагается в гл. VII.
В свете теорем 30.2 и 30.4 утверждения лемм 30.1 и 30.3 получают другую
интерпретацию. Именно, в лемме 30.1 устанавливается, что всякую группу А
можно вложить в сервантно точную последовательность
0-»-G-*X-*-i4-»-0, C)
где X — сервантно проективная группа [это является полным аналогом того
хорошо известного факта, что любую группу можно вложить в точную последо-
последовательность C), где X — проективная группа]. Коротко можно сказать, что
152 Гл. V. Сервантные подгруппы
«имеется достаточно сервантно проективных объектов». Аналогично, если дана
группа А, то лемма 30.3 обеспечивает существование сервантно точной последо-
последовательности
0->- A -+Y-+H-+0, D)
где группа Y сервантно инъективна [это аналог теоремы 24.1]. Коротко, «имеется
достаточно сервантно инъективных объектов».
Упражнения
1. Показать, что в доказательстве леммы 30.1 достаточно взять
подгруппы Аг — (а*) только для множества {ai},^! образующих груп-
группы Л, а в доказательстве леммы 30.3 можно ограничиться теми груп-
группами Bt, для которых в Ker r\t не лежит некоторый элемент множества
кообразующих группы А.
2. Привести пример группы, служащей прямым слагаемым для
прямого произведения коциклических групп, но не являющейся пря-
прямым произведением коциклических групп. [Указание: группа целых
р-адических чисел.]
3. Охарактеризовать р-сервантно проективные группы. Имеется ли
достаточно р-сервантно проективных объектов?
4. Охарактеризовать р-сервантно инъективные группы. Существу-
Существует ли достаточно р-сервантно инъективных объектов?
5. Гомоморфизм а: А -*¦ В называется сервантным, если Ker a —
сервантная подгруппа группы А и Irao — сервантная подгруппа
группы В. Показать, что класс всех абелевых групп с сервантными
гомоморфизмами в качестве морфизмов является категорией с доста-
достаточным числом проективных и инъективных объектов.
6. Доказать утверждение, аналогичное упражнению 11 из § 14,
для сервантно проективных групп №> и сервантных гомоморфизмов ап.
7. Доказать утверждение упражнения 9 из § 24 для сервантно
инъективных групп Dn и сервантных гомоморфизмов ап.
§ 31*. Обобщения сервантности
При изучении сервантных подгрупп мы встретились с многими
свойствами сервантности, значение которых станет яснее в следующих
главах. Ввиду все возрастающего значения сервантных подгрупп
в последнее время уделялось много внимания различным обобщениям
этого понятия.
Эти обобщения шли в двух основных направлениях. Первое из них
основано на том простом замечании, что при некоторых «ограничениях
конечности» сервантные подгруппы ведут себя как прямые слагаемые.
Следовательно, если эти условия конечности заменить другими под-
подходящими условиями, то возникнут понятия, аналогичные сервант-
сервантности. Второе направление возникло, когда было замечено, что в груп-
группе расширений сервантные расширения образуют важную функторную
подгруппу, именно первую ульмовскую подгруппу [см. теорему 53.3],
и оказалось, что другой выбор функторных подгрупп ведет к новому
§ 31*. Обобщения сервантности 153
типу сервантности. В этой главе мы рассмотрим (в довольно общем;
виде) обобщения понятия сервантности только первого типа, основан-
основанные на идеях К- Уокер [1].
Как в § 6, начнем с непустого класса Ж групп X. С каждой груп-
группой Л ? Jk свяжем следующим образом два семейства подгрупп груп-
группы Л:
А2 = {Кег Ф | <р: А -ч- X 6 $}
и
1А = {Imap |ф: Х^А, X 6$}.
Очевидно, А ? д<?, 0 ? ЖА, поэтому семейства АЖ и $А не пусты.
Ясно также, что семейства ЖА являются функторными в том смысле,,
что для любого гомоморфизма а: А -*¦ В образ аЖА лежит в <?в>
а множества АХ обладают свойством типа непрерывности: для любой
подгруппы В' ? ВЖ существует такая подгруппа А' 6 аЖ, что аЛ' =
= В .
Соответствие Ж»: Л t-f ХА {А^Л) следующим образом определяет
Ж„-сервантность. Подгруппа G группы Л называется Ж„-сервантной
в Л, если G служит прямым слагаемым для любой подгруппы В груп-
группы А, содержащей G и такой, что BIG б Xa/g- Если Ж — класс всех
конечно порожденных [или класс всех циклических] групп, то-
ЭЕ* -сервантность совпадает с обычной сервантностью.
Ясно, что для любого класса X прямые слагаемые являются
Ж*-сервантными подгруппами и что если подгруппа G является Ж#-сер-
вантной в Л, то она Э6#-сервантна и во всякой группе, лежащей между
G и Л. В этой общей ситуации справедлив также аналог леммы 26.1.
Лемма 31.1 (Уокер К- Ш). Пусть В, С — такие подгруппы груп-
группы А, что С = В s Л. Тогда
1) если подгруппа С является Жш-сервантной в В, а подгруппа В
является ?+-сервантной в А, то С есть ~$.„-сервантная подгруппа
группы Л;
2) если подгруппа В является Жш-сервантной в Л, то В/С есть
Ж#-сервантная подгруппа группы А/С;
3) если подгруппа С является Ж^-сервантной в А, а подгруппа В/С
является Ж„-сервантной в А/С, то В есть Х^-сервантная подгруппа-
группы А.
Предположим, что подгруппа С является #„-сервантной в В,
а подгруппа В является Ж,-сервантной в Л, и пусть С ? G s Л,
где GIC 6 Яа/с, т. е. существует эпиморфизм г|з: X -> G/C для некото-
некоторого X 6ЭЕ. Если выполнить последовательно я|) и естественный эпи-
эпиморфизм G/C -*• (G + В)/В, то получится, что (G + В)/В 6 ?а/в,
откуда G + В = В © Н для некоторой подгруппы Н s Л. Пусть В —
образ подгруппы G при проектировании на В. Тогда имеем эпиморфизм>
G/C^-B'/C, показывающий, что В'1С 6 %в/с- Отсюда В' = С © /С
для некоторой подгруппы /С- Получаем, что G Е 5' Ф #= С Ф /С Ф Я"
154 Гл. V. Сервантные подгруппы
и, таким образом, G = С Ф [G Г) (К Ф Я)], т. е. С есть $»-сервант-
ная подгруппа группы Л.
Чтобы доказать 2), предположим,! что подгруппа В является
Зе.-сервантной в Л, и пусть Я/С<= G/C^ А/С, где (G/C)/(B/C) s* GIB—
эпиморфный образ группы X ? 3?. Тогда В — прямое слагаемое груп-
группы G и В/С — прямое слагаемое группы G/C. Этим утверждение 2)
доказано.
Наконец, предположим, что выполнены условия п. 3), и пусть
BgCgA, где GIB 6 $а/в. Так как G/B г* (G/C)/(B/C), то В/С
служит для G/C прямым слагаемым, т. е. G/C = В/С Ф Я/С. Второе
слагаемое здесь изоморфно G/B, поэтому в силу Х#-сервантности С в Л
имеем Я = С Ф К для некоторой подгруппы /(дЯ. Следовательно,
в + к = в + с + /с = в.+ я = g и вп/с = вляп.к =
= С П /С = 0, откуда G = В Ф К- Итак, утверждение 3) доказано. ¦
Легко видеть, что не все результаты, полученные для сервантно-
сти, переносятся на случай Ж*-сервантности. Например, в общем
случае Ж„-сервантность — не индуктивное свойство.
Точная последовательность
0-^лЛвЛс^О A)
называется Ш^-сервантно точной, если аЛ есть ЗР»-сервантная под-
подгруппа группы В. Группы, проективные [инъективные] относительно
всех Ж#-сервантно точных последовательностей, называются
Ж*-сервантно проективными I Ш^-сервантно инъективными].
Теорема 31.2 (Уокер КЛП). Для любой группы А и любого множества
групп Ж существует эпиморфизм ср: G->- Л, где G есть Ж*-сервантно
проективная группа, а Кег ср является Жф-сервантной подгруппой
группы G.
Группа Ъш-сервантно проективна тогда и только тогда, когда
она — прямое слагаемое прямой суммы бесконечных циклических групп
и факторгрупп групп из множества X.
Если У — факторгруппа группы X € ЭЕ, последовательность A)
36#-сервантно точна и r\: Y-*¦ С, то гомоморфизм tj можно провести
через В -* С, так как а А — прямое слагаемое группы §~\Y. Следо-
Следовательно, группа У является ЗЕ*-сервантно проективной; Ж*-сервант-
но проективно также всякое прямое слагаемое прямой суммы
Э?«-сервантно проективных групп. Этим доказана достаточность во вто-
второй части теоремы.
Чтобы доказать первое утверждение теоремы, для любой группы
At 6 $А выберем такой мономорфизм ср*: Yt-*- А, что Yt —фактор-
—факторгруппа некоторой группы Xt 6 Ж и Im срг = At. Эти мономорфизмы срг
вместе с эпиморфизмом ср0: F -*• А, где F — проективная группа,
порождают эпиморфизм
ф = у(ффг фф0): G= ®Yt®F -> Л.
i i
§ 31*. Обобщения сервантности 155
В силу доказанного в предыдущем абзаце группа G является
ЭЕ»-сервантно проективной. Пусть К = Кег ф, и пусть /Cs H^G, где
HI К € %g/k- В силу того что GIK = А, для некоторого / существует
эпиморфизм о: Я->У; с ядром Кег о = К, для которого коммута-
коммутативна диаграмма
Н —-+G
ф Ь
Y) > А
здесь X: Н ->-G 1и позже (г: /С -> Я] — естественное вложение. Если
р^: Yj-*~G — инъекция, то для X — р;-о: Н -+ G выполнено
<р {X — Р]О) == ф^ — ФР^ == ф^1 — Ф;^ == О-
Следовательно, существует такой гомоморфизм т: Я ->- К. = Кег ф,
что X\ix = X — pja и, таким образом, X[ix\i = Хц — pjO[i — Х\л — pfi —
= Я,ц,. Здесь X\i — мономорфизм, поэтому х\и = 1К, и /С — прямое
слагаемое группы Н, т. е. AT есть Ж»-сервантная подгруппа группы G.
Обращаясь к доказательству необходимости во втором утвержде-
утверждении, предположим, что Н есть Х#-сервантно проективная группа.
По доказанному существует Ж„-сервантно точная последовательность
Q-*-K-*-G-*-H-*-§, где G — прямая сумма свободной группы
и факторгрупп групп из множества Ж. В силу предположения, сделан-
сделанного относительно группы Я, тождественное отображение 1Я можно
провести через G->H, откуда G ^ К © Н.ш
Теперь легко сформулировать двойственное понятие „3:-сервантно-
„3:-сервантности, даваемое соответствием ,38: А>-+-А"$.. Подгруппа G называется
JSl-сервантной в А, если GIB является прямым слагаемым группы AIB
для любой такой подгруппы В группы G, что GIB ? д/в%- Заметим,
что обычная сервантность соответствует выбору в качестве X класса
всех коциклических групп. Можно проверить, что для Д-сервант-
Д-сервантности справедливы утверждения леммы 31.1 и утверждения, двойст-
двойственные теореме 31.2. Доказательство этого предоставляется читателю.
Существенно отметить два важных частных случая.
Пусть $ (tn) — класс всех групп, мощность которых меньше фик-
фиксированного бесконечного кардинального числа т. Тогда Ж (т)#-сер-
вантность подгруппы G в группе А означает, что G служит прямым
слагаемым для любой группы В, где G Е В s Л и |B/GJ<m.
В этом случае подгруппа G называется просто т-сервантной в А
(Гачайи [2]). Ясно, что если ю > п, то из m-сервантности следует
n-сервантность, а х0-сервантность эквивалентна обычной сервант-
сервантности.
Легко указать хо-сервантную подгруппу, не являющуюся
Xi-сервантной. Например, если F — свободная группа и FIH s& Q,
156 Гл. V. Сервантные подгруппы
то Н является х0-сервантной, но не х^сервантной подгруппой. При-
Примером х^сервантной подгруппы, не выделяющейся прямым слагае-
слагаемым, служит подгруппа Н свободной группы F, для которой F/H —
прямое произведение счетного числа бесконечных циклических групп.
Это вытекает из теоремы 19.2, где было показано, что FIH есть
^-свободная, но не свободная группа.
Вторым важным частным случаем является тот, когда Ж— класс
всех циклических групп простых порядков. В этом случае подгруп-
подгруппа G есть ,Ж-сервантная подгруппа группы А, если из В с G и GIB ё?
^ Z (р) следует, что GIB служит прямым слагаемым для группы А/В.
Нетрудно заметить, что это эквивалентно тому, что G/pG служит пря-
прямым слагаемым для AlpG при любом р, а это, в свою очередь, эквива-
эквивалентно тому, что
pG = G П рА при любом простом р.
Если это имеет место, то подгруппа G называется чистой подгруппой
группы А [другой термин: слабо сервантная подгруппа]. Это понятие
изучал Хонда [1].
Упражнения
1. Для „Ж-сервантности доказать утверждения леммы 31.1 и утверж-
утверждения, двойственные теореме 31.2.
2. Установить связь между Жт- и §)„-сервантностью и между
»?- и «,§)-сервантностыо в случае, когда класс X содержится в клас-
классе JP.
3. Показать, что Ж»-сервантность [„Ж-сервантность] не изменится»
если заменить класс Ж классом всех факторгрупп [всех подгрупп!
групп из класса Ж.
4 (Уокер К- Ш). Если кардинальное число m имеет вид ш =
= xo+i 1Т- е- не является предельным кардинальным числом1, то
группа m-сервантно проективна в точности тогда, когда она — пря-
прямая сумма групп мощности <т. [Указание: см. теорему 31.2 и пред-
предложение 9.10.]
5. Подгруппа G является m-сервантной подгруппой группы А
тогда и только тогда, когда всякая система уравнений над G с мно-
множеством неизвестных мощности <ш разрешима в G, если она имеет
решение в группе А. [Указание: см. теорему 28.5.]
6. Если для порядкового числа а определить р"А, как в § 37,
то для любой m-сервантной подгруппы G группы А и любого поряд-
порядкового числа а мощности < m будет иметь место равенство
p°G = Gfl p°A.
[Указание: индукцией по а доказать, что а ? р°А эквивалентно разре-
разрешимости определенной системы уравнений, содержащей не более | о (
неизвестных.]
7. Подгруппу В группы А можно вложить в хо-сервантную под-
подгруппу мощности ^ | В |*Ч где р =* а — 1 или р = а в зависимости
§31*. Обобщения сервантности 157
•от того, является а непридельным или предельным порядковым
числом. [Указание: провести рассуждение, как в предложении 26.2,
и использовать упр. 5.]
8. Неразложимая группа без кручения мощности больше ха+1
содержит ха-сервантную подгруппу, которая не выделяется прямым
слагаемым. [Указание: см. упр. 7; предположить, что выполнена
обобщенная гипотеза континуума.]
9. Доказать предложение 9.2 в) для m-сервантной подгруппы В
группы Л при предположении, что | V : U | < ю, и показать, что это
характеризует ш-сервантность.
10 (Хонда [1]). (а) Привести пример чистой, но не сервантной
подгруппы.
(б) В группах без кручения чистота и сервантность эквивалентны.
(в) Чистота является индуктивным свойством. *
11. Если подгруппа В чиста в группе А и либо В, либо А/В —
элементарная р-группа, то В — прямое слагаемое группы А.
12 (Хонда [1]). (а) Если В = А и С (еЛ) есть В-высокая подгруп-
подгруппа группы А, то С — чистая подгруппа в А.
(б) Подгруппа В группы А служит для А абсолютным прямым сла-
слагаемым тогда и только тогда, когда для всякой чистой подгруппы С
группы А, не пересекающейся с В, подгруппа В + С снова чиста в А.
13. Группа не содержит нетривиальных чистых подгрупп тогда
и только тогда, когда ее ранг ^1.
14 (Длаб [1]). Пусть группа А имеет конечный ранг. Подгруппа В
группы А является чистой тогда и только тогда, когда г (В) +
(A/B) lA)
() l)
15. Описать чисто проективные и чисто инъективные группы.
16. (а) Пусть Е — делимая оболочка группы А. Подгруппа В
чиста в А тогда и только тогда, когда В = А П D для некоторой дели-
делимой подгруппы D группы Е.
(б) Утверждение (а) не верно, если Е не является минимальной
делимой группой, содержащей группу А.
17. Всякую подгруппу В группы А можно вложить в чистую под-
подгруппу группы А, являющуюся минимальной чистой подгруппой,
содержащей В. [Указание: см. упр. 16.]
18. Группа бесконечного ранга т содержит 2х чистых подгрупп.
[Указание: использовать максимальную независимую систему эле-
элементов и упр. 17.]
19 (Рангасвами [2]). Подгруппа G группы А является пересечением
чистых подгрупп группы А тогда и только тогда, когда А [р] не содер-
содержится в G, если (A/G) [р] ф 0.
20 (а) (Куликов [3]). Вр-группеЛ подгруппа С называется изотип-
ной, если
р°С = С П Р°А для любого порядкового числа а.
Попытаться доказать лемму 31.1 для изотипных подгрупп.
158 Гл. V. Сервантные подгруппы
(б) (Ирвин и Уокер [2]). Показать, что подгруппа С изотипна в груп-
группе А тогда и только тогда, когда
(р°С) [р] = С П (раА) [р] для любого а.
Замечания
Замечание, что сервантность можно обобщать в двух существенно различ-
различных направлениях [учитывающих свойства, перечисленные в § 27 и 28 соответ-
соответственно], послужило отправным пунктом работы К- Уокер [1]. Получающиеся
обобщения сервантности она назвала соответственно Ж-косервантностыо и
и Ж-сервантностью. Другие авторы для определения сервантности подмодуля-
/V в модуле М используют другие свойства, например aN = N [} аМ для любо-
любого а 6 R или LN = А/ П LM для всякого левого [правого или двустороннего}
идеала L кольца R.
Естественным способом введения понятия сервантности для модулей являет-
является использование следствия 29.5. Прежде всего заметим, что для точной последо-
последовательности R-модулей 0-*-N-*-M-*-P-*-0 эквивалентны следующие
условия:
а) данная точная последовательность есть прямой предел расщепляющихся
точных последовательностей;
б) всякий конечно связанный R-модуль проективен относительно дан-
данной точной последовательности;
в) всякая конечная система уравнений над Л/, разрешимая в М, имеет реше-
решение в N;
г) для всякого правого R-модуля / индуцированная последовательность
О-+J ®R N ^>-J ®R M->-J ®R Р-»-О
точна [см. теорему 60.4];
д) индуцированная последовательность
0 -*¦ Homz (Р, Q/Z) -> Homz (M, Q/Z)-+ Homz (N, Q/Z) -* 0
точна и расщепляется.
В терминах п. г) сервантность определялась Коном [Cohn P., Math. Z., 71
B959), 380—398]; пока это наиболее используемое определение. При этом
определении все точные последовательности R-модулей сервантно точны тогда
и только тогда, когда кольцо R регулярно в смысле фон Неймана.
Заметим, что сервантные подмодули инъективных модулей не обязаны быть-
инъективными; они инъективны тогда и только тогда, когда кольцо нётерово'
слева.
Сервантность можно также рассматривать с точки зрения гомологической
алгебры. В этой связи наиболее интересны работа Нунке [3] и общая теория
сервантности Штенштрёма [Stenstrom В., J. Algebra, 8 A968), 352—361].
Сервантная проективность и сервантная инъективность приобретают смысл,
как только введено понятие сервантности. Для соответствующих вариантов этого
понятия доказываются лемма 30.1 и теорема 30.2; см., например, Фильдхаус
[Fieldhouse D., Queen's Preprint Series, № 14 A967)]. Комментарии, касающиеся
сервантной инъективности, будут даны в замечаниях к гл. VII. Теорема 27.5
может быть распространена на «ограниченные» квазиинъективные модули, см.
Фукс [Fuchs L., Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa].
Проблема 13. Найти условия на подгруппу группы А, при
которых она является пересечением конечного числа сервантных
[/7-сервантных] подгрупп группы А.
О бесконечных пересечениях в р-группах см. Меджиббен [1].
Замечания
Проблема 14. Исследовать сервантно высокие подгруппы
[т. е. максимальные не пересекающиеся с данной подгруппой среди
сервантных подгрупп].
Проблема 15. а) Если F — подфунктор тождественного функ-
функтора, то назовем F-сервантно точной такую точную последовательность
0-»-у4->В-»-С-*-0, что индуцированная последовательность 0-*•
-»- F (A) -*~ F (В) -*~ F (С) -> 0 точна. Построить теорию F-сервант-
ности.
б) Сделать двойственную вещь для F* (А) = AIF (А).
Проблема 16. Найти условия, которые нужно наложить на
классы групп I и J), чтобы были эквивалентными а) Ж«,- и g^-cep-
вантность; б) „Ж- и „3)-сервантность; в) ЭЕ„- и „§)-сервантность.
Проблема 17. а) Изучить свойства квазисервантно инъек-
тивных групп [т. е. таких групп А, что всякий гомоморфизм G-> A,
где G — сервантная подгруппа группы А, индуцируется эндоморфиз-
эндоморфизмом группы А].
б) Двойственная проблема для квазисервантно проективных групп.
Проблема 18. Для каких порядковых чисел а существуют
ко-сервантные подгруппы, не являющиеся хст+1-сервантными?
Ответ положителен, если сг— непридельное порядковое число, не превосхо-
превосходящее первое недостижимое порядковое число.
Проблема 19. Найти условия на изотипную подгруппу р-груп-
пы, при которых она выделяется прямым слагаемым.
Проблема 20. Найти мощность множества а) всех [неизо-
[неизоморфных] изотипных подгрупп /ьгруппы; б) всех ка-сервантных
подгрупп.
Глава VI
БАЗИСНЫЕ ПОДГРУППЫ
Как мы знаем, редуцированные группы не всегда разлагаются в прямую
сумму циклических групп. Но всякая группа содержит прямые суммы цикличес-
ских групп, и если мы возьмем наиболее широкие подгруппы, являющиеся пря-
прямыми суммами циклических групп бесконечного порядка и порядков, равных
степеням простых чисел, то, как показывает рассмотрение рангов, получим неко-
некоторую слабую единственность. Для р-групп Л. Я- Куликов [2] отметил важность
наиболее широких сервантных подгрупп, являющихся прямыми суммами цикли-
циклических групп. Такие подгруппы оказались инвариантами р-групп, и теория
р-групп в значительной мере основывается на знании того, как эти так называе-
называемые базисные подгруппы располагаются в самих группах.
Оказалось, что некоторые результаты теории базисных подгрупп могут быть
распространены на произвольные группы: для любого простого числа р можно
определить р-базисные подгруппы, где в определении число р играет особую роль.
Мы увидим, что эти р-базисные подгруппы полезны в различных случаях, осо-
особенно в следующих главах.
§ 32. р-базисные подгруппы"
Пусть А — произвольная группа и р — фиксированное простое
число. Система {ai}^i элементов группы А, не содержащая 0, назы-
называется р-независимой, если для любой конечной подсистемы аъ . . ., ah
и любого натурального числа г из
nteZ) A)
следует
рт\щ (f = l, . k). B)
Таким образом, по определению р-независимость носит конечный
характер. Следовательно, всякая р-независимая система элементов
группы А может быть расширена до максимальной.
Заметим, что любая р-нгзависимая система обязательно независима.
В самом деле, если элементы ах, . . ., ah являются р-независимыми
и щаг + . . . + nkak = 0, причем Щй1 Ф 0, то для любого г имеет
место A) и, следовательно, B), откуда щ — 0. Полученное противоре-
противоречие доказывает независимость системы.
Заметим также, что р-независимая система содержит только
элементы бесконечного порядка и порядков, равных степеням данного
простого числа р. Действительно, если элемент а имеет конечный
порядок m и входит в р-независимую систему, ар* — максимальная
§ 32. р-базисные подгруппы 161
степень числа р, делящая т, то р"а принадлежит любой подгруппе
рТА, откуда или pr \ р8 для всякого г, или р'а = 0.
Проверим теперь справедливость следующей леммы технического
характера.
Лемма 32.1 (Фукс [9]). Подгруппа, порожденная р-независимой
системой элементов группы А, р-сервантна в А.
Если независимая система элементов, содержащая только элементы
бесконечного порядка и порядков, равных степеням простого числа р,
порождает р-сервантную подгруппу, то эта система элементов р-не-
зависима.
Пусть С — подгруппа, порожденная р-независимой системой {а;};еу.
Предположим, что с ? С П ргА, т. е. с = пхах + . . . + nhah € Р А,
где ntai ф 0. В силу ^-независимости существуют такие целые числа
mit что щ = ргти откуда с = рТ (тхах + .... + mhah) ? ргС. Следо-
Следовательно, С есть р-сервантная подгруппа группы А.
Чтобы проверить справедливость второго утверждения, предпо-
предположим, что {at}i?i — независимая система элементов группы А,
в которой порядок каждого элемента равен оо или степени заданного
простого числа р. Положим
Ш
По предположению С есть р-сервантная подгруппа. Если пхах + . . .
. . . + nhah 6 ргА и щах ф 0, то из р-сервантности подгруппы С сле-
следует, что naai + . . . + nhah = pr (т^ + . . . + mhah) для неко-
некоторых целых чисел mt. В силу независимости ntai = pTmiai, i = 1, ...
. . ., k. Из предположения относительно порядков элементов at имеем
Рг I «м
Мы подошли к определению р-базисных подгрупп. Подгруппа В
группы А называется р-базисной, если выполнены следующие три
условия:
1) подгруппа В является прямой суммой циклических р-групп
и бесконечных циклических групп;
2) В есть р-сервантная подгруппа группы Л;
3) факторгруппа А/В является р-делимой группой.
[Мы подчеркиваем, что р везде обозначает одно и то же фиксиро-
фиксированное простое число.] Согласно этому определению, подгруппа В
обладает базисом, который называется р-базисом группы А.
Если на группе А определена р-адическая топология, то из усло-
условий 1)—3) следует, что группа В хаусдорфова в своей р-адической
топологии, которая совпадает с топологией, индуцированной р-ади-
р-адической топологией группы А, и что подгруппа В плотна в А [см.
Калужнин [1]]. Очевидно, группа А служит сама для себя р-базисной
подгруппой тогда и только тогда, когда для группы А выполнено
условие 1), а 0 является р-базисной подгруппой тогда и только тогда,
когда А есть р-делимая группа.
И Л. Фукс
162 Гл. VI. Базисные подгруппы
Лемма 32.2. Система элементов {щ}^ служит р-базисом для
группы А в точности тогда, когда она является максимальной р-неза-
висимой системой в А.
В силу определения р-базиса и сделанного выше курсивом заме-
замечания нам нужно рассмотреть только элементы бесконечного порядка
и порядков, равных степеням числа р.
Предположим сначала, что {ai}^! есть р-базис. Из леммы 32.1
и условий 1), 2) получаем, что система {а;}гег является р-независимой.
Из 3) следует, что для любого ненулевого элемента g ? А имеет место
соотношение вида g + пхах + . . . + nhak ?pA. Поэтому если рас-
расширить систему {аЛгех путем добавления к ней элемента g, то полу-
получится уже не р-независимая система.
Обратно, пусть {ajigi — максимальная р-независимая система
элементов группы А. Тогда она независима, и условие 1), очевидно,
выполняется. Из леммы 32.1 вытекает условие 2). Чтобы доказать 3),
предположим, что элемент g ф О лежит в Л и что о (g) = р*. В силу
максимальности системы {#*};?/ имеет место некоторое соотношение
вида nog + п1а1 + . . . + nkak 6 ргА, где nog?= О, ntat ф 0 при
1 = 1, . . ., k и pr t П] для некоторого / @ ^ / ^ k). В силу р-неза-
висимости элементов at, очевидно, рг \ п0. Пусть п0 = р"т0, О ^ s < г,
(т0, р) = 1. Тогда пхах + . . . + nhah 6 р'А, откуда щ — pamt для
соответствующих целых чисел mt (i = 1, . . ., k). Таким образом,
р" (mog + rnxax + . . . + mhah) = prb
для некоторого b 6 А и р" (mog — pr~8b + mxax + . . . + mhah) = 0.
Предположим, что мы уже доказали делимость элементов из А на
число р по модулю В = (..., аи . . .) в случае, когда их порядок
есть степень числа р, меньшая р*. Тогда получается, что mog — pr~'b +
+ тгах + . . . + mhak + В, т. е. и mog + В, делится на р [так как,
поскольку nog ф 0, s< t]. Так как (т0, р) = 1, то элемент g + В
также делится на р, т. е. по индукции получаем, что каждый элемент
группы А, имеющий конечный порядок, делится на р по модулю В.
Если элемент g имеет бесконечный порядок, то, рассуждая таким же
образом, мы покажем, что mog + В, т. е. и g + В, делится на р. ш
Теорема 32.3 (Фукс [9]). Всякая группа для любого простого
числа р содержит р-базисные подгруппы.
В группе существует максимальная р-независимая система. По
предыдущей лемме она порождает р-базисную подгруппу. ш
В § 35 мы увидим, что группа может содержать много р-базисных
подгрупп, но в теореме 35.2 будет доказано, что все они изоморфны
между собой.
Пусть В есть р-базисная подгруппа группы А. Соберем в разло-
разложении группы В циклические прямые слагаемые одного и того же
порядка и образуем их прямую сумму. Тогда мы получим
в = в0 © вх е ... ф вп е ... , C)
§ 32. р-базисные подгруппы 163
где
Во = © Z, Bn = @ Z (рп) (л = 1, 2, . . .)• D)
Для всякого п >- 1 подгруппа Вх Ф . . . Ф Вп является р-сервант-
ной, а следовательно, сервантной в А. Так как это ограниченная
группа, то в силу теоремы 27.5 она служит для А прямым слагаемым:
А = Вх Ф . . . Ф Вп Ф Ап. E)
Однако подгруппа Во в общем случае не является прямым слагаемым
группы А. Мы покажем, что подгруппы Ап группы Л, входящие в E),
могут быть выбраны так, что
Ап = Вп+1® Ап+1 (л= 1,2, . . .)•
Более того, справедлив следующий результат:
Теорема 32.4 (Бэр; Бойер [1]). Предположим, что В — под-
подгруппа группы А, для которой выполнены равенства C) и D). Под-
Подгруппа В является р-базисной подгруппой группы А тогда и только
тогда, когда
а) Б о есть р-сервантная подгруппа группы А и
б) если В? = Во ф Вп+1 ф Вп+2 ф ..., то
) (« = 1,2,...).
Для р-базисной подгруппы В условие а), очевидно, выполнено.
В силу условия 3) всякий элемент а (Е А имеет вид a = b + png (b 6 В,
g?A), где п—любое, поэтому подгруппы Ви...,Вп, В? и рпА
вместе порождают группу А. Если элемент а ? В* + рМ принадлежит
также Bi ф ... ф В„, то запишем a — c + pnh (с 6 В*, п?А). Тогда
рпп?В и, более того, рпп?Вп, что следует из р-сервантности под-
подгруппы В в группе А и строения группы В. Отсюда а^В* f] (В4 ® ...
... фВ„) = 0, и б) выполнено.
Обратно, если подгруппа В удовлетворяет условиям а) и б), то,
прежде всего, условие 1) выполнено тривиальным образом. Из а) сле-
следует, что подгруппа Во является р-сервантной в В* + рпА, а из б) выте-
вытекает, что Вг Ф . . . ф В„ Ф Во есть р-сервантная подгруппа группы А.
Но тогда и подгруппа В как объединение возрастающей последова-
последовательности р-сервантных подгрупп группы А р-сервантна в А. Наконец,
для доказательства условия 3) запишем элемент а ? А в виде а =
= Ьг+ . . . +bn + c + png, где b, 6 В,, сева, g?A. Тогда
а + В = png + В = рп (g + В) и 3) выполнено.
Упражнения
1 (Куликов [2]). р-группа А является прямой суммой циклических
групп тогда и только тогда, когда она содержит такую р-независимую
систему элементов S, что
11*
164 Гл. VI. Базисные подгруппы
2. (а) р-базисной подгруппой группы Jp является подгруппа Z.
(б) Показать, что подгруппа Во в равенстве C) может не быть пря-
прямым слагаемым группы А.
3. (а) Если Bt есть р-базисная подгруппа группы At при i ? /, то
Bi является р-базисной подгруппой группы ®At.
(б) В каких случаях QBt служит р-базисной подгруппой для
Л
4. Если В есть р-базисная подгруппа группы А, то пВ является
р-базисной подгруппой группы пА при любом п > 0.
5. р-базис группы А порождает базис группы Alp А. Если А —
группа без кручения, то любой базис группы А/рА получается из не-
некоторого р-базиса группы А.
6. Подгруппа С группы А является р-сервантной в Л в точности
тогда, когда р-базисная подгруппа группы С есть р-сервантная под-
подгруппа группы А.
7. Всякая р-базисная подгруппа р-сервантной подгруппы группы А
служит прямым слагаемым для некоторой р-базисной подгруппы
группы А.
8. Подгруппы В„ + рпА (п = 1, 2, . . .) из теоремы 32.4 являют-
являются абсолютными прямыми слагаемыми группы А.
9 (Шарль). Показать, что рпА — существенная подгруппа группы
В*п + рпА.
§ 33. Базисные подгруппы /7-групп
Сконцентрируем теперь наше внимание на р-группах, где р-базис-
ные подгруппы особенно важны. Если А есть р-группа и q — простое
число, отличное от р, то, очевидно, группа А имеет лишь одну ^-базис-
^-базисную подгруппу, а именно 0. Поэтому не вызовет затруднений, если
в случае р-групп мы будем называть р-базисные подгруппы просто
базисными (Куликов [2]).
Иногда бывает также удобно говорить о базисной подгруппе перио-
периодической группы А. Под этим подразумевается прямая сумма фВр
подгрупп Вр, являющихся базисными в р-компонентах группы А.
Таким образом, базисная подгруппа В периодической группы А опре-
определяется следующими условиями:
1) В — прямая сумма циклических групп, порядки которых —
степени простых чисел;
2) В — сервантная подгруппа группы А;
3) А/В — делимая группа.
Важное значение имеет следующий пример Л. Я. Куликова [2].
Пример. Пусть Вп — прямая сумма циклических групп одного
и того же порядка рп и А — периодическая часть прямого произведе-
оо
ния групп Вп (п — 1, 2, . . .). Тогда прямая сумма В = ф Вп являет-
71=1
ся базисной подгруппой группы А. Напомним, что группа А состоит
§ 33. Базисные подгруппы р-групп ¦ 165
из всех таких векторов а = (Ьи . . ., Ьп, . . .). где Ьп 6 Вп, что суще-
существует целое число k, для которого pkbn = О при любом п, а подгруп-
подгруппа В состоит из всех элементов а 6 А, в которых Ьп = 0 почти для
каждого п. Условия 1) и 2) выполняются очевидным образом, поэтому
достаточно доказать, что каждый элемент а 6 А делится на р по моду-
модулю В. Так как phbn = 0, то элемент а — (Ьг + • • ¦ + bh) —
= (О, . . ., О, bh+1, bh+2, ¦ ¦ .) обязательно делится на р, потому что
р | bh+i в группе Bh+i (i = 1, 2, . . .)¦
Следующий метод нахождения базисной подгруппы в /j-группе А
показывает, что здесь существует интересная связь с цоколем А [р].
Для любого я !> 0 обозначим через Sn цоколь подгруппы рпА. Так как
50 э Si = , . . э Sn = ... и каждое 5„ — элементарная /з-груп-
па, то существуют такие подгруппы Рп (п = 1, 2, . . .), что
Sn = Pn+1 © Sn+i (n = 0, 1, . . .).
Очевидно, ненулевые элементы из />n+i имеют в группе А высоту п.
Запишем
Рп+1= Ф(Сп+М>
i
и выберем такие элементы ап+и t ? Л, что pnan+i, г = сп+1, г. Пусть
Вп+1 = ф (an+i, i). Мы утверждаем, что В = 2^п — базисная под-
подгруппа группы А. Очевидно, В = @Вп, поэтому условие 1) выполнено.
Далее, подгруппа В сервантна в А, так как элементы из В [р] —
= Ф Вп [р] = ф Рп имеют в Б и в Л одинаковую высоту. Наконец,
А/В — делимая группа, так как если а 6 50 = Л Ф • • • Ф Л.+1 Ф
ф Sn+i и а = аг + а2 (а4 6 Pi Ф • • • Ф Ai+i. я« 6 Sn+1), то
а + В = а2 -f- В, откуда следует, что элемент а делится на рп по мо-
модулю В, т. е. а + Б имеет в группе А/В бесконечную высоту. Из сер-
вантности подгруппы В в А вытекает, что в каждом смежном классе
порядка р из А/В можно выбрать представитель, имеющий порядок р
в группе А [см. теорему 28.1]. Поэтому делимость группы А/В следует
из п. В) § 20. Это дает доказательство достаточности в следующей
теореме:
Теорема 33.1 (Шарль [1]). Пусть В = ф Вп, где Вп — прямая
п=1
сумма групп Z (рп), есть подгруппа р-группы А. Подгруппа В служит
для А базисной подгруппой тогда и только тогда, когда
Sn = Вп+1 [р] ф Sn+l A)
для любого п^-0.
Для доказательства необходимости предположим, что В — базис-
базисная подгруппа группы А. Тогда для подгруппы Ап = В„ + рпА, оче-
очевидно, будет выполнено рпА = рпАп [см. теорему 32.4], откуда Sn =
= (рпА) [р] = Ап [р]. Если бы здесь было строгое включение, то,
166 Гл. VI. Базисные подгруппы
выбрав элемент а ? Ап [р] высоты г < п, мы могли бы написать а =
= Ь* + png (b* 6 Bl, g? А), где h (b*) = г. Из равенства pb* +
+ pn+1g = 0 получилось бы, что h (pb*) ^ n -\- 1, что невозможно
при /t (ft*) = r < n в прямой сумме 5* циклических групп порядка
!>р"+1. Следовательно, 5„ = Л„ [р], и из разложения Л„ =
= Вп+1 ф Лп+1 сразу вытекает A). в
Другая полезная характеризация базисных подгрупп такова:
оо
Теорема 33.2 (Селе [7]). Подгруппа В = ф Вп, где Вп — пря-
п=1
мая сумма групп Z (рп), служит базисной подгруппой для р-группы А
тогда и только тогда, когда при любом целом п > 0 подгруппа
В,ф ... ф Вп является максимальным рп-ограниченным прямым
слагаемым [или, что эквивалентно, рпА — высокой подгруппой] груп-
группы А.
Если В — базисная подгруппа группы А, то Ап [р] не содержит
элементов порядка р и высоты < п, поэтому Ап не имеет прямых
слагаемых порядка <! рп [см. доказательства теоремы 33.1 и следст-
следствия 27.2]. Обратно, если подгруппа В удовлетворяет данным условиям,
то 1) и 2), очевидно, выполняются. Если бы факторгруппа А/В не была
делимой, то по следствию 27.2 она обладала бы прямым слагаемым
С/В = (с*) =« Z (рт). По теореме 28.2 тогда С = В ф (с) (с ? с*),
и для группы С тоже справедливы условия 1) и 2). Но Вх ф . . .
... ф Вт ф (с) есть рт-ограниченная сервантная подгруппа, т. е.
прямое слагаемое группы А, строго содержащее 5Х ф ... ф Вт.
Противоречие.
Эквивалентность условия, заключенного в скобки, с тем, что было
доказано, непосредственно следует из теоремы 27.7. а
Последний результат позволяет найти базисную подгруппу в пря-
прямом произведении /?-групп.
Следствие 33.3. Пусть А—периодическая часть прямого произ-
произведения Д Ai, где Ai являются р-группами, и пусть
Bt= © Bin, где Bin = ®Z(pn),
n=l
—базисная подгруппа группы At (i^I)- Тогда
В= ф В„, где Вп = ЦВ1п,
n=l i
—базисная подгруппа группы А.
Для любого п имеет место разложение At — Вц ф ... ф Вы ф Л*п,
где подгруппа А*п не имеет циклических прямых слагаемых порядка
<рп. Ясно, что A = Bt ф ... ф Вп ф Ant где Л„ —периодическая
§ 33. Базисные подгруппы р-групп 167
часть группы П^*п> и что Л* не имеет циклических прямых слагае-
слагаемых порядка <р". Остается применить теорему 33.2. а
Следующая теорема характеризует подгруппы базисных подгрупп.
Очевидно ее сходство с теоремой Л. Я. Куликова 17.1.
Теорема 33.4 (Ковач [1]). Если А есть р-группа, то подгруппа С
группы А содержится в базисной подгруппе группы А тогда и только
тогда, когда С является объединением возрастающей цепи подгрупп
где высоты элементов изСп [взятые в группе А] ограничены при любом п.
Если подгруппа С может быть вложена в базисную под-
оо
группу В = ф Вп, где Вп = ©Z (рп), то подгруппы С„ =
п=1
= С П (Bi ® . . . © Вп) удовлетворяют нужному условию.
Чтобы доказать достаточность, можно без ограничения общности
предположить, что Сп f) рпА = 0 при любом п. Возьмем возрастаю-
возрастающие цепи G( s G2 s . . . Е Gn E ... подгрупп группы А, для
которых выполнены условия
а) Сп с= Gn, б) Gn П РПА = О
при любом п. Если в множестве всех таких цепей обычным образом
ввести отношение частичного порядка [см. доказательство теоре-
теоремы 17.1], то по лемме Цорна получится, что существует цепь, макси-
максимальная в нашем смысле. Не вызовет осложнений, если мы обозна-
обозначим ее члены снова через Gn (п = 1, 2, . . .). Мы утверждаем, что
оо
В = U Gn — базисная подгруппа группы А.
п=1
Основной этап доказательства этого факта состоит в том, чтобы
показать, что Gn является р"Л-высокой подгруппой группы А. Пред-
Предположим, напротив, что для некоторого элемента а ? А, где a$Gn,
pa 6 Gn, имеет место равенство (Gn, а) (~| рпА = 0. Так как цепь,
состоящая из подгрупп Gn, максимальна, то существует такое первое
число т !> п + 1, что (Gm, а) пересекается с ртА, скажем а + gm—
=,pmb^O (gm б Gm, be А). Теперь pa + pgm - pm+1b ? Gm f)
П ртА = 0, откуда pgm = —pa 6 Gn. Ho gm$ Gn, так как иначе
a + gm = Pmb 6 (Gn, a) D /?M = 0. Возьмем такой индекс k, что
?m 6 Gn+k\Gn+k-i, тогда 1 < & < m — п. Так как Gn+ft_j — макси-
максимальная подгруппа со свойством б) внутри Gn+k, то {Gn+h-l} gm) пере-
пересекается с pn+h~1A, скажем gn+h-i + gm = p"+h~1c =7^ 0 для некото-
некоторых элементов gn+fe-i 6 Gn+h-! и с 6 А. Отсюда
a —gn+h-i = РтЬ - рп+к-гс Е (Gn+k-!, а) {] рп+к"М = 0,
так как п -\- k — 1 <; т и в силу выбора числа т. Следовательно,
а 6 Gn+h_ic: Gm и (Gm, a) = Gm не пересекается с ртА.
168 Гл. IV. Базисные подгруппы
Так как Gn есть рМ-высокая подгруппа группы А, то Gn служит
для А прямым слагаемым [см. теорему 27.7]. Следовательно, Gn+j =
= Gn ф Вп+1 для некоторой подгруппы J3n+i группы А. Остальное
сразу следует из теоремы 33.2. ш
Если начать с Сп = 0 при всех я, то последнее доказательство даст другой
способ построения базисных подгрупп.
Существование базисных подгрупп в р-группах можно интерпрети-
интерпретировать следующим образом: каждая р-группа А может быть построена
с помощью сервантной подгруппы В, являющейся прямой суммой
циклических групп, и делимой факторгруппы А/В. Так как подгруп-
подгруппа В имеет базис, а факторгруппа А/В — прямая сумма групп, изо-
изоморфных группе Z (р°°) [т. е. А/В также имеет систему образующих,
которую легко описать], то естественно объединить эти системы обра-
образующих и таким путем получить систему образующих группы А.
Запишем
В= ф <aj) и A/B=®CJ, где Cf = Z(p").
Если прямое слагаемое Cf порождается смежными классами с*1( . . .
. . ., cjn, ... по подгруппе В, для которых pcfi = 0, pc^n+i =
= с*„ (п — 1, 2, . . .), то в силу сервантности подгруппы В в группе А
можно выбрать элементы Cjn ? cjn того же порядка, что и с%. Тогда
получится следующая система соотношений:
= 0, рС),п+\ = с}п — Ь1п (п > 1; bin e i5), B)
где элемент bjn должен иметь порядок <р™, так как о (с1п) = р".
Систему элементов {аг, c^Jigj, jgj, n=i, 2,- •• мы будем называть
квазибазисом группы А. Эта терминология оправдывается следующим
результатом:
Предложение 33.5 (Фукс [2]). Если {at, Cjn}—квазибазис
р-группы А, то любой элемент а ? А можно записать в виде
а = SiC-j + • • • + smaim + hci(ni + . . . + /rcJrV C)
где st и tj — целые числа, ни одно tj не делится на р и индексы iu . . .
. . ., im, так же как и индексы /,, . . ., /г, все различны. Запись C)
единственна в том смысле, что в ней однозначно определены члены sat
и tcjn.
Пусть а?А. Выразим сначала смежный класс а* — а + В через
с}п: a* = tlcfini +...+trcfrnr, где ни одно t?Z не делится на р.
Тогда члены tc*n и, таким образом, tcjn определяются элементом а
однозначно. Если выразить элемент а—tiCjini—...—tTCj n в виде
линейной комбинации базисных элементов а; группы В, то полу-
получится равенство C), где sat опять определены однозначно, так как
В — прямая сумма циклических групп. ш
§ 33. Базисные подгруппы р-групп 169
С помощью квазибазиса р-группа может быть определена довольно
простым образом, так как определяющие соотношения, относящиеся
к образующим {аи с,-}, будут иметь вид ртаг = 0 и B), где элементы
bjn заменены линейными комбинациями образующих аг.
Упражнения
1 (Бурбаки [1]). Назовем систему элементов {ajjgi группы А
сервантно независимой, если она независима и порождает сервантную
подгруппу группы А. Доказать, что
(а) система {at} сервантно независима тогда и только тогда, когда
из mb = «1% -(-... + nkah вытекает tijOtj — tnn'jaj (j — 1, . . ., k);
(б) всякую сервантно независимую систему можно вложить в мак-
максимальную;
(в) сервантно независимая система S элементов р-группы А являет-
является максимальной тогда и только тогда, когда A/ (S > — делимая группа;
(г) максимальная сервантно независимая система элементов слу-
служит базисом для некоторой базисной подгруппы р-группы А.
2. Если базисная подгруппа В р-группы А является характери-
характеристической подгруппой группы А, то или В = А, или В = 0.
3. (а) Всякая счетная подгруппа р-группы А без элементов бес-
бесконечной высоты содержится в базисной подгруппе группы А.
(б) Если отбросить требование счетности, утверждение перестанет
быть верным.
4. (а) Пусть D — делимая группа, содержащая р-группу А,
и В= ф {cci > — базисная подгруппа группы А. Вложить каждую
подгруппу (at) в квазициклическую подгруппу Di группы D и пока-
показать, что Е = А + 2^г — минимальная делимая группа, содер-
i
жащая группу А.
(б) Использовать пункт (а) для доказательства того, что всякую
р-группу можно вложить в минимальную делимую группу.
5 (Ирвин [1]). Если А есть р-группа, то всякая ^-высокая под-
подгруппа группы А содержит базисную подгруппу группы А. {Указание:
см. § 26, упр. 12.]
6. Дать определение чисто независимой системы элементов [см.
упр. 1] и доказать, что
(а) всякую чисто независимую систему можно вложить в макси-
максимальную;
(б) любой элемент цоколя факторгруппы по подгруппе, порожден-
порожденной максимальной чисто независимой системой элементов, делится
на любое простое число;
(в) максимальная чисто независимая система элементов р-группы
может не быть сервантно независимой.
7. Если группа А имеет нулевую р-компоненту, то группа А/В
обладает тем же свойством для любой р-базисной подгруппы В груп-
группы А.
170 Гл. VI. Базисные подгруппы
§ 34. Дальнейшие результаты о р-базисных подгруппах
В этом параграфе мы докажем ряд полезных результатов, касаю-
касающихся р-базисных подгрупп. Большая часть из них была получена
Л. Я- Куликовым для р-групп, но результаты немедленно переносятся
на общий случай.
Везде в этом параграфе А будет обозначать произвольную группу,
В — ее р-базисную подгруппу.
A) А = В + рпА для любого целого п ^ 0.
Это непосредственно следует из р-делимости группы А/В.
Б) В/рпВ з* А/рпА для любого целого п !> 0.
В силу А) и второй теоремы об изоморфизме А/рпА =
= (В + рпА)/рпА ss В/(В П РпА). Здесь В (~| рпА = рпВ, так как
подгруппа В является р-сервантной в группе А.
B) рпА1рпВ 2& А/В для любого целого п > 0.
Доказательство то же, что и в предыдущем случае.
Г) Если В' есть р-базисная подгруппа р-базисной подгруппы В
группы А, то В' является р-базисной подгруппой группы А.
Нетривиальным является только доказательство того, что А/В'
есть р-делимая группа. Но это следует из р-делимости групп А/В
и В/В'.
Д) Если С есть р-сервантная подгруппа группы А, то группа А/С
является р-делимой тогда и только тогда, когда некоторая [более того,
любая] р-базисная подгруппа группы С служит р-базисной подгруппой
для группы А.
Если А/С есть р-делимая группа, а В является р-базисной под-
подгруппой группы С, то непосредственно проверяется, что В есть
^-базисная подгруппа группы А. Обратно, если подгруппа С содержит
р-базисную подгруппу В группы А, то А/С — эпиморфный образ
р-делимой группы А/В.
Е) Пусть Ао = А/А1 — нулевой ульмовский фактор группы А.
Тогда если В есть р-базисная подгруппа группы А, то ее образ Во при
естественном эпиморфизме ср: А -*- Ао является р-базисной подгруп-
подгруппой группы А о, причем ф индуцирует изоморфизм между В и Во.
Так как элементы из А1 делятся на любую степень числа р, то
В Г) А1 = 0. Поэтому ф | В — изоморфизм группы В и некоторой под-
подгруппы Во группы Ао; в частности, Во — прямая сумма цикличе-
циклических групп бесконечного порядка и порядков, равных степеням чис-
числа р. Если {ai}i?I — базис группы В, то {(fai}ai — базис группы Во,
который должен быть р-независимым в группе Ао, так как если
л1фа1 + . . . + nk<pah 6 РГАО и /ггсраг ф 0, то п^ + . . . + nhah ?
¦€ РТА, откуда pr \ nt (i = 1, . . ., k). Поэтому Во есть р-сервантная
подгруппа группы Ао [см. лемму 32.1]. Наконец, факторгруп-
факторгруппа А0/Во является р-делимой группой, так как она изоморфна
§ 34. Дальнейшие результаты о р-баэисных подгруппах 1_71
()( + А1)/А1] =* А/(В + А1), а эта группа — эпиморфный
образ группы А/В.
Ж) Пусть С есть р-сервантная подгруппа группы А, {щ} есть
р-базис группы С и {Щ} есть р-базис группы А/С = Л*. Если для любо-
любого } элемент Ь} ? А — представитель смежного класса Ь*, имеющий
тот же порядок, что и Ь*, то {аг, bj} есть р-базис группы А.
Порядки элементов Ь* равны степеням числа р или бесконечны,
поэтому р-сервантность подгруппы С в группе А обеспечивает суще-
существование элементов bj 6 А с нужным свойством. Чтобы доказать
/^-независимость системы {аи bj}, предположим, что
n±ai + • • • + nsaa + mJi + . . . + rtitbt = prg (g 6 A),
причем все слагаемые отличны от нуля. Переходя к факторгруппе
по подгруппе С, получаем тф* + • • • + mtb* = prg*, где слагае-
слагаемые также отличны от нуля, откуда pr \ т} при каждом /. Отсюда
получаем Пуах -)-•••+ Ws«s = prh для некоторого А 6 Л, и, таким
образом, рг | яг при любом i, что доказывает р-независимость систе-
системы {ah bj}. Для любого элемента а ? А имеет место соотношение
a -f- m^i -j- ¦ • • + tnibi — с + pg, где с 6 С, g ? А, а для элемента с
справедливо соотношение с + п^ -\- . . . + tikah = pd, где d 6 С.
Следовательно, элемент а в сумме с некоторой линейной комбинацией
элементов at и bj дает элемент из рА, откуда вытекает, что {ah bj} —
максимальная р-независимая система элементов.
Отсюда следует, что при тех же предположениях р-базисная под-
подгруппа группы А изоморфна прямой сумме р-базисных подгрупп групп
С и А/С.
3) При некоторых довольно общих условиях эндоморфизмы груп-
группы вполне определяются их действием на р-базисную подгруппу.
Предложение 34.1. Пусть группа А не содержит ненулевых
р-делимых подгрупп, и пусть В есть р-базисная подгруппа группы А.
Если %, ц — эндоморфизмы группы А, индуцирующие одно и то же
отображение на В, то % = х\.
Ядро эндоморфизма % — т^ содержит В, поэтому Im (% — ri) —
эпиморфный образ группы А /В. Следовательно, Im (х — ц) есть
р-делимая подгруппа группы Л, т. е. 0. м
И) Для р-групп справедлива
Теорема 34.2 (Фукс [4]). Если G — эпиморфный образ р-груп-
пы А, то всякая базисная подгруппа группы G является эпиморфным
образом любой базисной подгруппы группы А.
Пусть В и С—базисные подгруппы групп Л и G соответственно.
Ограничение эпиморфизма <р: Л -*¦ G на р'^А является эпиморфизмом
<fn- pnA ->- pnG, индуцирующим эпиморфизм cpj: pnA/pn+1A -*¦
->- pnG/pn+1G. Как в п. Б), получаем, что pnA/pn+lA sz pnB/pn+1B
172 Гл. VI. Базисные подгруппы
и pnG/pn+1G s* рпС/рп+1С. Заметим, что рпВ/рп+1В — прямая сумма
групп порядка р, где число слагаемых равно числу слагаемых
в группе В, имеющих порядок >р"+\ и то же верно для группы С
Из существования эпиморфизма рпВ/рп+1В ->¦ рпС/рп+1С вытекает
соответствующее неравенство для мощностей множеств компонент
порядка >pn+1 в В и С, п = 0, 1, ... . Учитывая, что В и С—
прямые суммы циклических групп, получаем, что существует эпи-
эпиморфизм В -»- С. ¦
В частности, если прямая сумма циклических групп является эпи-
морфным образом р-группы А, то та же прямая сумма — эпиморф-
ный образ базисной подгруппы группы А (Селе [7]).
К) Следующая теорема дает оценку сверху мощности группы,
использующую ее р-базисные подгруппы.
Теорема 34.3. Если А — редуцированная группа и Вр для каж-
каждого простого числа р — ее р-базисная подгруппа, то
р
Пусть В — подгруппа группы А, порожденная всеми подгруппами
Вр [по одной для каждого р]. Тогда группа A IB является р-делимой
при каждом р, т. е. делимой, и можно написать А/В — © (Ct/B), где
i
CilB s* Q или Ct/B =ё Z (р°°). Если CJB ^ Q, то существуют такие
элементы си, . . ., cin, ... 6 Ct, что cin = (n + 1) ct, n+1 + Ь1п для
некоторых bin 6 В. Если бы при i Ф j последовательности Ьц, . . .
. . ., bin, ... и bjU . . ., bjn, ¦ ¦ ¦ совпадали, то элементы
Cin — Cjn = (rt + 1) (Сi, n+i — С], n+1) (П = 1, 2, . . .)
порождали бы в группе А подгруппу, изоморфную группе Q, что про-
противоречило бы редуцированности группы А. Следовательно, число
групп, изоморфных Q, среди групп CJB не превосходит мощности
множества последовательностей Ьц, . . ., bin, . . . элементов из В,
а эта мощность, очевидно, равна | В |^°. То же справедливо для числа
групп CJB, изоморфных Z (р°°). Теперь нужная оценка получается
из того, что | В | ^ 2 I ^р 1> причем принимается во внимание, что
р
подгруппа В может быть конечной только в случае, когда группа А
конечна. а
Для р-групп мы, в частности, имеем
Следствие 34.4 (Куликов [3]). Если В — базисная подгруппа
редуцированной р-группы А, то
| Л |< | Б |ко. щ
Заметим, что может быть | В | < | А \ и одновременно \ А\ — \ В |Ко.
В самом деле, если А — периодическая часть прямого произведения циклических
групп Z (рп) (п = 1, 2, . . .), то подгруппа В счетна, а группа А имеет мощность
континуума [см. пример в § 33].
§ 34. Дальнейшие результаты о р-базисных подгруппах 173
Следствие 34.5. Для редуцированной группы А и ее нулевого
ульмовского фактора Ло справедливо неравенство
\А |< | Ао |ко.
Сохраняя обозначения теоремы 34.3, мы из п. Е) получаем, что
2 I Вр | ^ | Ло |. Объединение этого с теоремой 34.3 дает требуемое
р
неравенство. в
Тот факт, что оценка сверху мощности группы А может быть дана
с помощью ее нулевого ульмовского фактора, является замечательным
результатом.
Упражнения
1. Если В есть р-базисная подгруппа группы Л, то
(а) рпА — рпВ + pn+hA для любых неотрицательных целых чисел
п, k;
(б) PnB/pn+hB^pnA/pn+hA при п и k>0.
2. Если В есть р-базисная подгруппа группы А, то
(а) (А/В)[р]^А[р]/В[р];
(б) (рпА/рпВ) [р] ~ (рпА) [р]/ (рпВ) [р] для любого л>0;
(в) (рпА) [р] = (рпВ) [р] + (рп+1А) [р] для любого п > 0;
(г) (рп+1В) [р] = (рпВ) [р] П (Р"+М)[р] для любого п>0;
(д) (рпВ) [р]/(рп+15) [р] « (рМ) [р]/ (р"+М) [р]
для любого п^О.
3. Какие из свойств (а) — (д) в упр. 2 останутся справедливыми,
если везде заменить [р] на [pk], где k ^- 2?
4. Привести пример редуцированной группы Л и нетривиальной
подгруппы В в ней; являющейся р-базисной подгруппой группы А
при любом простом р.
5. Не всякий гомоморфизм базисной подгруппы р-группы А
в группу А можно продолжить до эндоморфизма группы А.
6. Пусть 0->-Л->О->С->-0 есть р-сервантная точная последо-
последовательность, и пусть подгруппы Ар, Ср являются р-базисными под-
подгруппами соответственно групп Л и С. Существует такая р-базисная
подгруппа Вр группы G, что последовательность 0 -»- Ар -*• Вр -*•
-*- Ср ->- 0, где отображения индуцированные, точна и расщепляется.
[Указание: см. п. Ж).]
7. Обобщить теорему 34.2 на случай р-базисных подгрупп произ-
произвольных групп. [Указание: см. вторую часть доказательства теоре-
теоремы 35.2.]
8. Если F — подгруппа Фраттини редуцированной группы Л, то
| Л |< | AIF |*о.
9 (Уокер Э. [3]). Доказать следующее обобщение теоремы 34.3:
если Л — редуцированная группа и В — такая подгруппа группы Л,
что А/В — делимая группа, то |Л|<|Б|хо.
174 Гл. VI. Базисные подгруппы
§ 35. Различные /^-базисные подгруппы
Прежде всего мы покажем, что группа, вообще говоря, содержит
много различных р-базисных подгрупп.
оо
Лемма 35.1. Пусть А = ф (ah), где или о (ah) = рп*,
«1 < . . . < nh < . . ., или о (ah) = оо для любого k. Тогда группа А
содержит р-базисную подгруппу В, отличную от А.
Положим
где в случае, когда все элементы а& имеют бесконечный порядок,
nt < . . . < nh < . . . — произвольная возрастающая последова-
последовательность натуральных чисел. Легко показать, что {bfc}fe=1, 2, . . .
есть р-независимая система и что подгруппа В, порожденная элемен-
элементами bk, не содержит av. Так как, очевидно, А/В есть р-делимая груп-
группа [именно, группа, изоморфная Z (р°°) или Q(P)], то В есть р-базис-
ная подгруппа группы А. в
Начав с группы А, как описано в лемме, мы получим р-базисную
подгруппу В, которая будет удовлетворять тем же условиям, что
и группа Л, и, таким образом, будет содержать р-базисную подгруппу
В2 с: В. Продолжая так же дальше, мы получим бесконечную строго
убывающую цепочку
А =з В zd В2 => . . . =э Вп =э . . .,
в которой в силу п. Г) § 34 все группы Вп будутр-базисными подгруп-
подгруппами группы А. Тем не менее имеет место
Теорема 35.2 (Куликов [2], Фукс [9]). Для заданного простого
числа р все р-базисные подгруппы данной группы изоморфны.
Пусть В = 0 В», где Во = ® Z, Вп = ©Z (рп) при п > 1,
71=0
есть р-базисная подгруппа группы А. Мощность множества слагае-
слагаемых Z (рп), входящих в разложение группы Вп, равна мощности мно-
множества слагаемых Z (рп), входящих в разложение группы BlphB, для
любого k > п. Из утверждения Б) § 34 мы знаем, что BlphB ^ A/phA.
Следовательно, эта мощность не зависит от специального выбора
р-базисной подгруппы В группы А.
Чтобы доказать единственность с точностью до изоморфизма под-
подгруппы Во, установим сначала справедливость равенства
рВо = Во П (ТР + рА), A)
где Тр есть р-компонента группы А. Включением очевидно. Пусть
bo € Во П (ТР + рА), bo = с + ра, где с 6 Тр, а б Л. Существует
$ 35. Различные р-базисные подгруппы 175
число п, для которого pnb0 = рп+1а ? Во П Рп+1А = рп+1В0, т. е.
pnb0 = Рп+1Ь при некотором b ? Во. В силу того, что Бо — группа
без кручения, b0 = pb d рВ0, что доказывает A). Далее,
= В0/\В0 р (Г, + рЛI s* (Во + Гр + рЛ)/(Гл + рА) =
здесь мы использовали тот факт, что Во + Тр + рА э 5 + рА = А.
Мы приходим к заключению, что ранг группы Во, который, очевидно,
равен рангу группы В0/рВ0, не зависит от конкретного выбора под-
подгруппы Во. и
Предыдущая теорема показывает, что р-базисная подгруппа В,
рассматриваемая как абстрактная группа, является инвариантом
группы А. Это дает систему {т0, т^ . . ., тп, . . .} кардинальных
чисел, являющихся инвариантами группы А; именно,
В= ф В», где Во= ©Z, Bn=®Z(pn) при п>1.
n=° m0 т„
Таким образом, со всякой группой А и любым простым числом р
можно связать счетную систему кардинальных чисел, которые являют-
являются инвариантами группы А [но это не полная система инвариантов].
Естественно возникает вопрос, каковы те группы, которые содер-
содержат лишь одну р-базисную подгруппу. Их немного.
Теорема 35.3. Группа А содержит в точности одну р-базисную
подгруппу тогда и только тогда, когда она имеет один из следующих
видов:
а) А есть р-делимая группа;
б) А = В © С, где В — ограниченная р-группа, а С есть р-дели-
р-делимая группа, не содержащая элементов порядка р;
в) А = В ф С, где В — ограниченная р-группа, а С — свободная
группа конечного ранга.
Предположим, что группа А имеет только одну р-базисную под-
подгруппу В'. Тогда подгруппа В' не может иметь прямого слагаемого,
являющегося свободной группой бесконечного ранга или неограни-
неограниченной р-группой, так как иначе в силу леммы 35.1 и п. Д) § 34 мы
получим противоречие с единственностью В'. Следовательно, В' =
= Во ф Въ где Во — свободная группа конечного ранга, а 54 —
ограниченная р-группа. Если Во = В1 = 0, то получается а). Если
Во = 0, но Bi Ф 0, то В' = Bi служит для группы А прямым слагае-
слагаемым [как ограниченная сервантная подгруппа], т. е. А — В' ф С.
Здесь С есть р-делимая группа, не содержащая элементов порядка р,
так как если 0 ф с 6 С [р] и Ь — один из базисных элементов группы
В', то элемент b можно заменить на b + с и получится р-базисная
подгруппа, отличная от В'. Наконец, если Во ф 0, то В' не может
строго содержаться в А, так как иначе можно заменить базисный
176 Гл. VI. Базисные подгруппы
элемент b группы Во элементом Ь + рс, где элемент с ? А не зависит
от В', и получить другую р-базисную подгруппу. Этим необходимость
условий а), б), в) доказана.
Если выполнено условие а), то 0 — единственная р-базисная под-
подгруппа группы А. В случае б) подгруппа В является р-базисной в А,
и по теореме 35.2 всякая р-базисная подгруппа В' группы А должна
содержаться в р-компоненте В группы А. Далее, BIB' = О как огра-
ограниченная р-делимая группа. Следовательно, В — единственная
р-базисная подгруппа группы А. Наконец, если А — группа типа в),
то она сама является своей р-базисной подгруппой. Если В' — какая-
то р-базисная подгруппа группы А, то для соответствующего п группа
рп (А/В') = А/В' является эпиморфным образом конечно порожден-
порожденной группы С. Следовательно, А/В' = 0 и В' = А. ш
Следствие 35.4 (Куликов [2]). р-группа обладает единствен-
единственной базисной подгруппой тогда и только тогда, когда она или делимая,
или ограниченная группа. ш
Понятие базисной подгруппы может быть довольно очевидным
образом распространено на р-адические модули. Так как все р-адиче-
ские модули ^-делимы для простых чисел q Ф р, то только р-базисные
подмодули могут дать что-нибудь нетривиальное. В р-адическом моду-
модуле А базисный подмодуль Б определяется точно так же, как базисная
подгруппа в § 33, только условие 1) заменяется условием
Г) В есть прямая сумма циклических р-адических модулей,
т. е. В имеет компоненты Jp или Z (pft), 6 = 1,2, .... Читатель может
для себя проверить, что для р-адических модулей верны утвержде-
утверждения 32.1—32.3 и теорема 35.2. Для удобства сформулируем это
в следующем виде.
Теорема 35.5. Всякий р-адический модуль содержит базисные
подмодули, которые все изоморфны между собой, щ
В оставшейся части этого параграфа мы ограничимся рассмотре-
рассмотрением р-групп.
Пусть А — неограниченная редуцированная р-группа. Если В —
базисная подгруппа группы А, то она неограниченная и поэтому
содержит базисные подгруппы, отличные от В [см. лемму 35.1]. Поэто-
Поэтому, вообще, А/В не является инвариантом группы А даже в случае,
когда А — прямая сумма циклических р-групп неограниченных
порядков. Так как А/В — прямая сумма групп Z (р°°), то г (А/В)
уже характеризует группу А/В, а так как всякое непустое множество
кардинальных чисел содержит минимальный элемент, то мы можем
выбрать базисную подгруппу Ви группы А, для которой ранг г (Л/Ви)
минимален. Такая подгруппа Ви называется верхней базисной под-
подгруппой группы А. Хотя для верхних базисных подгрупп Ви группы А
и подгруппа Ва и факторгруппа А/Ви определены однозначно с точ-
§ 35. Различные р-базисные подгруппы 177
ностью до изоморфизма, подгруппа Ви как подмножество не един-
единственна. Более того, если ранг г (А/Ви) бесконечен, то верхняя базис-
базисная подгруппа содержит другую верхнюю базисную подгруппу.
Следующий пример показывает, что для редуцированных групп А
возможно г {А/Ви) — 1.
Пример (Прюфер [2]). Пусть группа А = (а0, av . . ., ап, . . .)
задана определяющими соотношениями]
ра0 = 0, pai = с0, р*а2 = а0, . . ., рпап = а0, . . . .
Тогда о (ап) <! рп+1. Если С — Z (р°°) определено как в A) из § 3,
то ап *-*¦ cn+i (п — О, 1, 2, . . .) порождает эпиморфизм А -*¦ С, откуда
о (ап) — рп+1. Так как элемент а0 ф О имеет бесконечную высоту, то
группа А не может быть прямой суммой циклических групп. Заме-
Заметим, что всякий элемент а 6 А можно записать в виде а — toao +
+ txav + . . . + tnan, где 0 < tt < pl (i = 1, . . ., n) и 0 < t0 < p.
Если здесь tnan Ф 0 (n ]> 1), то отображение а0, . . ., ап_4 (-»• О,
flm *-* ст (для /га !> я) продолжается до эпиморфизма q>: Л -> С, где
фа ф 0. Это показывает, что а = 0 только при /оао = . . . = tnan =
= 0. Теперь легко показать, что группа А редуцированная и что
аг — раг, . . ., ап — pan+i, . . . есть р-базис группы А. Подгруппа
В, им порожденная, является верхней базисной подгруппой, так как,
очевидно, А/В оё Z (р°°). Таким образом, г (А/В) — 1, что и требо-
требовалось.
Для рангов г (А/В) факторгрупп А/В по базисным подгруппам В
существует верхняя граница, а именно г (А). Следовательно, для
г (А/В) существует наименьшая верхняя граница. Она легко описы-
описывается. Назовем финальным рангом (Селе [7]) р-группы А минимум
кардинальных чисел г (рМ), п = 1, 2, . . .,
Vmr(A) = mlr(pnA).
п
В силу п. В) § 34, г (А/В) = г (рМ/р"В)<г (рпА), откуда следует,
что г (А/В) ^ fin г (А). Назовем базисную подгруппу Bi группы А
нижней базисной подгруппой, если r(A/Bt) = fin r (Л). Существова-
Существование нижних базисных подгрупп устанавливается в следующей теореме.
Теорема 35.6 (Фукс [2]). В р-группе всякая базисная подгруппа
содержит нижнюю базисную подгруппу.
Если А есть р-группа и fin r (А) конечен, то для любой базисной
подгруппы В группы А имеем fin r (В) ^ fin г (А) и fin г (В) = 0,
так как В — прямая сумма циклических групп. Это означает, что
группа В ограниченная. Тогда всякая базисная подгруппа группы
А ограниченная и поэтому нижняя.
Предположим теперь, что fin r (А) бесконечен. Если базисная
подгруппа В группы А не нижняя, то г (А/В) < fin г (А), и из п. В)
§ 34 получаем
г (рпА/рпВ) < fin г (А) < г (рМ).
12 Л. Фукс
178 Гл. VI. Базисные подгруппы ,
Отсюда г (рпВ) = г (рпА). Из этого равенства вытекает, что мощность
множества циклических прямых слагаемых <aj > порядка > р™ в груп-
группе В не меньше fin r (А) для любого п. Поэтому группу В можно
представить в виде прямой суммы групп С/, где каждая группа С/ —
прямая сумма циклических групп, порядки которых не ограничены
в совокупности, и / пробегает множество индексов мощности fin г (А).
Применяя лемму 35.1, получаем, что каждая группа Cj содержит
базисную подгруппу В} cz С/. Прямая сумма В' всех этих подгрупп
Bj, очевидно, является базисной подгруппой группы В и, следова-
следовательно, группы А. Базисная подгруппа В' нижняя, так как по по-
построению г (А/В') > г {BIB') = % г (Cj/Bj) > fin r (A). ,
Упражнения
1. Показать, что в р-группе А = В © С, где В — конечная груп-
группа, С — делимая группа конечного ранга т, число различных базис-
базисных подгрупп равно | В |т.
2. Охарактеризовать группы с конечным числом р-базисных под-
подгрупп.
3 (Кхаббаз и Уокер [1], Хилл [1]). Если А есть р-группа с беско-
бесконечным числом различных базисных подгрупп В, то мощность множе-
множества различных базисных подгрупп группы А равна \ А \ 'в'.
4. Для любой базисной подгруппы В в р-группе А справедливо
неравенство г (А/В) > г (А1), где А1 — первая ульмовская подгруппа
группы А.
5. Для заданного кардинального числа m построить редуцирован-
редуцированную р-группу А, в которой г {AIBU) = m, если Ви — верхняя базис-
базисная подгруппа группы А.
.... оо
6. Если А — периодическая часть группы Ц Z (рп), то всякая
базисная подгруппа группы А является одновременно нижней и верх-
верхней.
7. Если п — такое кардинальное число, что г (А/Ви) ^ n <i
^ г (A/Bi) для верхней базисной подгруппы Ви и нижней базисной
подгруппы Bi в р-группе А, то группа А обладает базисной подгруп-
подгруппой В, для которой г (А/В) = п.
8 (Скотт [1]). (а) Пусть А есть р-группа бесконечного ранга т.
Тогда А обладает эпиморфным образом, изоморфным © С, где груп-
тп
па С — или квазициклическая, или группа порядка р. [Указание:
рассмотреть A/Bt или Alp А.]
(б) Существует 2т различных подгрупп G группы А, для которых
A/G ^ ©С.
m
9. (а) Пересечение всех базисных подгрупп р-группы А совпадает
или с А, или с 0.
§ 36. Базисные подгруппы как эндоморфные образы 179
(б) Если А есть р-группа, обладающая такой базисной подгруп-
подгруппой В, что г (В) ^ fin r (А), то группа А содержит две непересекаю-
непересекающиеся базисные подгруппы.
(в) (Митчелл и Митчелл [1]) Если \ А | = fin г (Л), то группа А
содержит две непересекающиеся базисные подгруппы.
10. Если А есть р-группа и т — бесконечное кардинальное чис-
число, то fin r (А) >• m тогда и только тогда, когда группа А содержит
подгруппу, изоморфную
©G, где G= ё Z(pn).
т n=1
11 (Фукс [3]). Любую р-группу А можно представить в виде А =
= А' © А", где А'—ограниченная группа и г (А") = fin г (А").
[Указание: если fin г (А) = г (ртА) и В = ®В„, где Вп = ф Z (рп),
есть базисная подгруппа группы А, то положить А' = Бх ф ...
. . . © Вт.]
12. Описать все р-группы, в которых всякая максимальная р-не-
зависимая система элементов является максимальной независимой.
13. Доказать аналог теоремы 35.3 для р-адических модулей.
§ 36. Базисные подгруппы как эндоморфные образы
В этом параграфе мы сосредоточим внимание на р-группах Л и их
базисных подгруппах В.
Если группа А редуцированная, то, как показано в предложе-
предложении 34.1, всякий эндоморфизм группы А определяется его действием
на В. Другое интересное свойство базисных подгрупп было найдено
Селе.
Теорема 36.1 (Селе [7]). Базисная подгруппа р-группы А является
эндоморфным образом группы А.
00
Пусть В = ф Вп, где Вп = ©Z (рп),— базисная подгруппа груп-
п=1
пы А. Если fin г (В) — г (ртВ), то для этого т можно написать раз-
разложение В = fij ф . . . © Вт © Вт- Циклические слагаемые (at)
группы Вт имеют порядок >р™. Используем их для построения ото-
отображения /: (а*> ь-*- (а.]) множества Ф прямых слагаемых в фикси-
фиксированном разложении группы Вт в себя. Отображение / определяем
так, что
1) / — взаимно однозначное соответствие межде ф и подмноже-
подмножеством ф' из Ф;
2) если /: (аг>»~».(аД где е (at) = kt, е (а3) = kj, то kj^2kt.
Выбор числа т обеспечивает то, что для любого k~^m множество ф
содержит fin г (Б) слагаемых (at) порядка !>ph, поэтому нужное
12*
180 Гл. VI. Базисные подгруппы
отображение / существует. Определим теперь отображение е подмно-
подмножества из В следующим образом:
а) ее = а, если а € Вг ф ... © Вт;
б) га} = аи если (aj) ? ©' и /: <а4) •->> (aj);
в) еа; = 0, если (а3) $ ©'.
Очевидно, отображение е индуцирует однозначно определенный эндо-
эндоморфизм группы В на себя, который мы опять обозначим через е.
Полученное отображение следующим образом продолжим до эндомор-
эндоморфизма ц: А -*• В. Если элемент а 6 А имеет порядок рг, то напи-
напишем А = Bi © . . . ф Вп ф Ап (п > 2r, я. > m), a = ft + с, ft 6
€ #! Ф ¦ • • © 5п. с 6 Лп. и положим х\а — eft. Это определение
не зависит от выбора п Q>2r, m), так как компонента элемента а
в прямом слагаемом В„ разложения Bt ф ... ф б« © Лв делится
на ps~r и поэтому переводится отображением 8 в 0, если s ^- 2r, s^-
>• т. Тот факт, что т) переводит сумму элементов в сумму их образов,
очевиден. Следовательно, ц — эндоморфное отображение группы А
на подгруппу В. в
Следствие 3&2. ?сл« прямая сумма С циклических групп является
сервантной подгруппой р-группы А, то С — эндоморфный образ груп-
группы А.
Базис группы С является р-независимым в А, поэтому его можно
расширить до р-базиса группы А. По теореме 36.1 подгруппа В, по-
порожденная этим р-базисом, служит эндоморфным образом для груп-
группы А. Но тогда и подгруппа С как прямое слагаемое группы В —
эндоморфный образ группы А.
Упражнения
1 (Селе [7]). Всякая р-группа мощности <! m [где m — бесконеч-
бесконечное кардинальное число] является эпиморфным образом р-группы А
тогда и только тогда, когда m ^ fin r (В), где В — базисная под-
подгруппа группы А.
2. Пусть А — группа без кручения. Ее р-базисная подгруппа В
является эндоморфным образом группы А тогда и только тогда, когда
А имеет прямое слагаемое, являющееся свободной группой ранга
г (В).
3. При каких условиях базисный подмодуль р-адического модуля
А является эндоморфным образом модуля Л? [Указание: см. упр.2.]
4. Установить необходимое и достаточное условие для существо-
существования эпиморфизма В -> А, где В — базисная подгруппа р-группы А.
§ 37. Последовательность Ульма
Мы уже ввели в рассмотрение ульмовские подгруппы и ульмовские
факторы [см. § 6], но мы пока еще не касались некоторых важных
результатов, с ними связанных. Из этих результатов в дальнейшем
§ 37. Последовательность Ульма 181
изложении будет выведен ряд следствий, в то же время они проливают
некоторый свет на строение групп вообще. Так как сейчас мы
в состоянии установить наиболее важные свойства последовательности
Ульма, мы рассмотрим этот важный инвариант группы.
Напомним, что если а — порядковое число, то о-я ульмовская
подгруппа Аа группы А определялась индуктивно следующим обра-
образом: А0 = А, Аа+1 = П пАс и> если а — предельное порядковое чис-
п
ло, Аа = П Ар- Ульмовской длиной и (А) группы А называется
наименьшее порядковое число т, для которого Ах+1 = Ах. Очевидно,
такое т существует и не превосходит \ А \. Ясно также, что Ах —
максимальная делимая подгруппа группы А. Поэтому, если ограни-
ограничиться редуцированными группами А, что можно сделать без потери
общности, то будет иметь место Ах = 0 и мы получим вполне упоря-
упорядоченную убывающую цепь подгрупп группы А:
А = А0 =з А1 => А2 ... => Аа => Aa+i => ... гэ Ах = 0.
Для всякого о < т возьмем факторгруппу Аа = А°/Аа+1, кото-
которую мы назвали сг-м ульмовским фактором группы А. Тогда вполне
упорядоченная последовательность
Ло, Аи .... Ла, ... (с < т)
будет называться последовательностью Ульма группы А. Ясно, что
это инвариант группы А.
Очевидно, для редуцированной группы А условие и (А) = 1 эквивалентно
хаусдорфовости в Z-адической топологии. В примере из § 35 группа имеет уль-
мовскую длину 2. Ниже мы увидим, что любое порядковое число является уль-
ульмовской длиной некоторой группы.
Иногда бывает полезно иметь в распоряжении следующие обозна-
обозначения. Для порядкового числа о определим подгруппу р°А так:
р°А = А,
= р (р°А)
и р°А= [) ррА, если а — предельное порядковое число. Наименьшее
р<<т
порядковое число т, для которого px+iA = pxA, называется р-длиной
группы А; очевидно, рхА — максимальная р-делимая подгруппа
группы А.
Заметим, что для любого порядкового числа а имеет место
равенство
А" = П РША.
v
В связи с рассмотрением подгрупп р"А мы введем понятие обобщен-
обобщенной р-высоты hp(a) элемента а 6 А. Если дан элемент а$рхА,
то существует единственное порядковое число о, для которого
182 Гл. VI. Базисные подгруппы
а?раА\ра+хА; мы полагаем
А*(а) = а.
Если а?рхА, то мы считаем А?(а) = т. Очевидно, это более тон-
тонкое понятие, чем понятие р-высоты Лр(а), введенное в гл. 1. Именно,
hp(a)~hp(a), если р-высота hv{a) конечна, но Ар1 (а) позволяет
делать различие и между элементами бесконечной высоты. Легко про-
проверить, что для любых а, ЬА
1) J)l
) J(pM()+
2) h$(a + b)>mm(h*(a), ЩЬ))\
3) если hp(a)t?hp(b), то в п. 2) имеет место равенство;
4) если А = А' ф А" и а ? A', b 6 А", то также в пункте 2) имеет
место равенство;
5) Щ не убывает при гомоморфизме.
Очень большое значение имеют инварианты Ульма — Капланского
группы А. Если р — фиксированное простое число, то а-м инвариан-
инвариантом Ульма — Капланского группы А называется кардинальное число
МЛ) = г((рМ)[р]/(р°+М)[р])
[для упрощения обозначений мы пропускаем значок р]. При a < со
эти инварианты характеризуют базисную подгруппу группы А, если А
есть р-группа [см. упр. 9].
Обратимся к ульмовской последовательности. Прежде всего дока-
докажем лемму.
Лемма 37.1. Пусть а: А -+• В — эпиморфизм, для которого
Ker a содержит только элементы обобщенной р-высоты, ]>о\ Тогда
AJ (aa) = A} (a),
если hp (a) < а.
В силу свойства 5) в случае, когда hp (a) < а, нужно проверить
только выполнение неравенства AJ(aa)</ip(a). Предположим сначала,
что hp (aa) < а и что требуемое неравенство справедливо для любого
элемента а' с меньшей обобщенной р-высотой hp (aa') [заметим, что если
Ap(aa) = 0, то в силу свойства 5) доказывать нечего]. Если Ap(aa) =
= р+1, то существует такой элемент а'6 Л, что Ар(аа') = р
и аа = раа'. Отсюда а = ра' + х, где л;б Кегос. Из свойств 1) и 2)
имеем Ap(a)>min(AP'(a')+ I, a) и, таким образом, в силу индуктив-
индуктивного предположения hp (а) > р + 1 = hp (aa). Если AJ (aa) = p — пре-
предельное порядковое число, то для всякого р' < р и любого целого
числа я>0 существует такое а'6 А, что Ap(aa')>p' и aa = pnaa'.
Как и выше, получаем Лр(а)>р' + «. откуда Щ,(а)>р = Щ(аа).
Аналогично можно показать, что предположение Ap(aa)>a дает
Ар(а)>сг, что противоречит условию. Л
Эта лемма имеет то важное следствие, что в ульмовском факторе
Аа каждый ненулевой элемент имеет конечную р-высоту хотя бы для
§ 37. Последовательность Ульма 183
одного простого числа р. В самом деле, по лемме 37.1 каждый элемент
из А0, не лежащий в Ло+1, при естественном эпиморфизме А" -*¦
-*¦ Ас/Аа+1 = Аа отображается на элемент той же р-высоты для каж-
каждого простого числа р.
Лемма 37.2. Если р-компонента группы Аа при некотором а
ограничена, то Ло+1 есть р-делимая группа.
Пусть рп — верхняя граница порядков элементов р-компоненты
группы Ас- Тогда любое уравнение рх = а 6 Ла+1 имеет в группе Ло+1
решение, так как по определению группы Ло+1 уравнение pn+1t/ = a
имеет решение в Аа и рпу = х ? Аа+1. ш
Лемма 37.3. Все ульмовские факторы Аа группы А, за исключе-
исключением, быть может, последнего, если он существует, имеют хотя бы
одну неограниченную р-компоненту.
Если все р-компоненты фактора Аа ограничены, то по лемме 37.2
группа Аа+1 делима, откуда Аа — последний ульмовский фактор, щ
Лемма 37.4. Для любого порядкового числа а последовательность
Аа, Aa+i, . . . является последовательностью Ульма группы Аа,
а последовательность Ао, Аи ..., Ар, ... (р<ст) — последова-
последовательностью Ульма группы А/Аа.
Первое утверждение очевидно. Чтобы доказать второе утвержде-
утверждение, заметим, что естественное отображение tj: A -** А1А° = С сохра-
сохраняет в силу леммы 37.1 обобщенные р-высоты, если они меньше wtf.
Отсюда следует, что А» для любого р ^ а является полным прообра-
прообразом подгруппы Ср и, таким образом,
Ар = Лр/Лр+1 ел (А91А°I(А*-%1А°) е& Cp/Cp+i = Ср
при р<<7. а
Лемма 37.5. Пусть А = ф At — прямая сумма. Тогда для
ульмовских факторов Аа группы А имеет место разложение Аа =
= Ф Aia, где Aia есть а-й ульмовский фактор группы Ah если в <
< и (At), и Aia = 0 в противном случае. То же верно для прямого
произведения.
Из свойства 4) легко вывести, что для а-х ульмовских подгрупп
имеет место Л° = ®А°, откуда сразу следует нужное утверждение, щ
Основным результатом, касающимся последовательности Ульма,
является следующая теорема [доказанная для р-групп Л. Я- Кули-
Куликовым [3] и Фуксом [2]].
Теорема 37.6. Пусть А — редуцированная группа и Ао,
Аъ . . ., Аа, ... (а < т) — последовательность Ульма группы
1_84 Гл. VI. Базисные подгруппы
А. Обозначим через Аа, р и Ва, р соответственно р-компоненту и
р-базисную подгруппу группы Аа. Тогда
а) первая ульмовская подгруппа группы Аа равна нулю для любого
о < т;
б) 0<S<THal<HI<o<n<IJn(otMn|;
в) 2 Ма|^1А>|Ко для любого 0<<р«<т;
г) г (Ва+1, р) < f in г (Аа, р) для любого а + 1 < т и любого простого
числа р;
Д) 2 \Во. р\<\Вр. р П Ар, pf° для любого 0<р<т и любого
P<o<t
простого числа р.
Утверждение а) очевидно по определению группы Аа. В б) первое
неравенство следует из того, что А= U (Л°\ЛС+1) и \Аа\ =
= |Л<г/Лсг+1|<|Л<т\у4а+1|. Для доказательства второго неравенства
предположим сначала, что х — п — натуральное число. Тогда
т
Если т>со, то, полагая min| Л„ | = | Ат\, получаем
П<A)
| Л | = | А/Ат | | Ат | = | Ло | | Лх | . . . | ЛтЧ | | А
Применяя следствие 34.5 к группе Л"\ нулевым ульмовским фактором
которой является группа Ат, получаем
I Ат |< | Ат | «о < | Лт | | Лт+1 | ....
откуда следует вторая часть утверждения б).
Неравенство в) получается сразу, так как для группы Лр в силу б)
и следствия 34.5 справедливо
Для доказательства пункта г) запишем Ba+i, p = ф (at). В силу
леммы 37.4 группа Аа+1 является первой ульмовской подгруппой
группы Л°/Лст+2. Поэтому для каждого /г>0 уравнение рпх — а1
имеет решение xt в Аа/Аа+2. Докажем, что для различных индексов
ii, ..., ih элементы х^, ..., Х\ независимы по модулю Лст+ . В самом
деле, иначе miXu+ ... +mhxih = c? Ла+1 = Л0+1/Лст+2, где без огра-
ограничения общности можно предполагать, что mj = pn~1m'jt (m), р) = 1,
/ = 1, ..., k. Тогда рс-- т[агх + ... + т'ка1к 6Ва+и р, что противоречит
р-сервантности подгруппы 5ст+1, р в группе Aa+i. Отсюда получается,
что группа Л„, р содержит независимую систему элементов порядка р"
не меньшей мощности, чем ранг группы Ba+i, p. Это сразу дает г).
§ 37. Последовательность Ульма 185
Докажем утверждение п. д). Из п. Е) § 34 вытекает, что под-
подгруппа Ва, р изоморфна р-базисной подгруппе группы Аа. Так как
эта последняя р-сервантна в А", то ее элементы содержатся
в р°)М(э Аа), но не в р^+^А. Поэтому она пересекается с
по нулю и для любого а выполняется неравенство
Отсюда
S \Bo.p\< S
р<О<Т p«J<T
где последнее неравенство — частный случай первой части б). Если
сформулировать теорему 34.3 для групп, не содержащих ненулевых
р-делимых подгрупп, то получится, что
Теперь п. г) дает 15р+1, р | < | Ар, р |, откуда в силу следствия 34.4
Упражнения
1. Если С — подгруппа редуцированной группы А, то С° ^ Аа
для любого порядкового числа а и и (С) ^ и (А). Кроме того, раС s
^ раА для любого а.
2. Факторгруппа группы А может иметь ульмовскую длину, боль-
большую ульмовской длины группы А, даже если она взята по сервантной
подгруппе.
3. Если А — такая группа, как в лемме 37.5, то и (А) — это наи-
наименьшее порядковое число т, для которого и (At) <! т при каждом /.
4. Пусть С — подгруппа группы Аа, причем А и А/С — редуци-
редуцированные группы и А 1С имеет ульмовскую длину <л. Тогда С = Аа.
5. Если С — такая подгруппа группы А, что С/(Аа П С) —дели-
—делимая группа, то Се Аа.
6. Определить инварианты Ульма — Капланского для группы
из примера § 35.
7. Пусть А есть р-группа, Аа — ее а-я ульмовская подгруппа.
Показать, что существует такой эпиморфизм А -*¦ С, что Ср sz А„
при р < а, а группа Са изоморфна базисной подгруппе группы Аа.
[Указание: объединить теорему 36.1 и лемму 37.1.]
8. Если А — ФЛг, то для инвариантов Ульма — Капланского
справедливо равенство
186 Гл. VI. Базисные подгруппы
9. Если А есть р-группа и fn(A) = mn (я О), то для любой
базисной подгруппы В группы Л выполнено
mn
[Указание: § 34, упр. 2 (д).]
10. Если А есть р-группа, то ее инварианты Ульма — Капланского
вполне определяют базисные подгруппы ' ульмовских подгрупп и
ульмовских факторов группы А.
11*. Показать, что для любой группы G существует группа А,
первая ульмовская подгруппа которой изоморфна труппе G. [Указа-
[Указание: если группа G циклическая и равна (а0), применить такое же
построение, как в примере § 35, чтобы превратить а0 в элемент бес-
бесконечной р-высоты: перейти к прямым суммам циклических групп;
в случае произвольной группы G использовать р-базис группы G для
каждого р.]
Замечания
В гл. VI существенно используется материал двух работ: статьи Л. Я. Кули-
Куликова [2], где впервые были введены базисные подгруппы р-групп и было доказа-
доказано много, различных фактов о них, и статьи автора (Фукс [9]), который устано-
установил, что определенный способ введения базисных подгрупп годится в общем слу-
случае, если зафиксировано простое число р, и что возникающие так р-базисные
подгруппы все еще обладают большинством хороших свойств базисных подгрупп
р-групп. Основное различие состоит в том, что прекрасная теорема Селе [т. е. тео-
теорема 36.1] перестает быть верной в общем случае. Куликов [3] рассматривал
также базисные подмодули модулей над двумя кольцами: кольцом целых р-адичес-
ких чисел и кольцом рациональных чисел со знаменателями, взаимно простыми с
р. До сих пор в общем случае р-базисные подмодули не исследовались.
Ульмовские подгруппы и последовательности были введены Ульмом [1] для
р-групп. Их значение для теории р-групп нельзя переоценить [см. гл. XII]. Для
произвольных абелевых групп эти понятия не получали полного признания до тех
пор, пока не оказалось, что ульмовские факторы копериодических групп
алгебраически компактны [см. теорему 64.3]. Построение групп с заданными по-
последовательностями Ульма будет рассмотрено во втором томе.
Проблема 21. Когда подгруппа группы Л а) содержится в
р-базисной подгруппе группы Л? б) не пересекается с некоторой р-ба-
зисной подгруппой?
В примерном случае ответ на вопрос а) дает теорема 33.4.
Проблема 22. Найти условия, которые нужно наложить на
сервантную подгруппу, чтобы она была эндоморфным образом груп-
группы.
Для р-групп достаточным условием является представимость подгруппы в виде
прямой суммы счетных групп [это вытекает из следствия 36.2].
Глава VII
АЛГЕБРАИЧЕСКИ КОМПАКТНЫЕ ГРУППЫ
В гл. IV мы видели, что группа служит прямым слагаемым для любой содер-
содержащей ее группы тогда и только тогда, когда она делима. Эта глава посвящена
изучению групп, служащих прямыми слагаемыми для любых групп, содержащих
их в качестве сервантных подгрупп.
Эти группы, известные под названием алгебраически компактных групп, обла-
обладают многими замечательными свойствами, являющимися для них характеристи-
характеристическими. Не все эти свойства носят теоретико-групповой характер; природа некото-
некоторых из них является топологической или гомологической. Оказывается, что алгебра-
алгебраически компактные группы тождественны сервантно инъективным группам, введен-
введенным в § 30. Центральное место в этой главе займет структурная теорема, дающая
для алгебраически компактных групп полную и независимую систему инвариан-
инвариантов, состоящую из кардинальных чисел. Читатель сможет заметить, что во мно-
многих отношениях теория алгебраически компактных групп параллельна теории де-
делимых групп—факт, впервые отмеченный Марандой [1].
В дальнейших главах мы часто будем встречаться с алгебраически компактны-
компактными группами.
§ 38. Алгебраическая компактность
Группа А называется алгебраически компактной, если она выде-
выделяется прямым слагаемым из всякой группы G, содержащей ее в каче-
качестве сервантной подгруппы. По теореме 21.2 все делимые группы алгеб-
алгебраически компактны, а по теореме 27.5 алгебраически компактны все
ограниченные группы. В частности, коциклические группы алгебраи-
алгебраически компактны.
Непосредственно получается, что прямое слагаемое алгебраически
компактной группы снова алгебраически компактно и что группа
алгебраически компактна тогда и только тогда, когда ее редуцирован-
редуцированная часть алгебраически компактна.
Удобно начать с результата, дающего различные характеризации
алгебраически компактных групп. Эквивалентность утверждений а)
и в) из теоремы 38.1 уже была отмечена в теореме 30.4.
Теорема 38.1. Следующие условия для группы А эквивалентны:
а) группа А сервантно инъективна;
б) группа А алгебраически компактна;
в) группа А — прямое слагаемое прямого произведения коцикличе-
ских групп;
г) группа А в алгебраическом смысле является прямым слагаемым
группы, допускающей компактную топологию;
д) если всякая конечная подсистема системы уравнений над А имеет
решение в группе А, то и вся система уравнений разрешима в А.
188 Гл. VII. Алгебраически компактные группы
Доказательство будем вести по циклу. Предположим сначала, что
выполнено условие а), и пусть А — сервантная подгруппа группы G.
Из наличия сервантно точной последовательности 0 -*¦ А -> G -*¦
-> GIA -*¦ 0 и из условия а) мы получаем, что тождественное отобра-
отображение 1А: А -*¦ А можно продолжить до гомоморфизма G-*- А. Следо-
Следовательно, А — прямое слагаемое группы G, что доказывает б).
Предположим теперь, что выполнено условие б). По лемме 30.3
группу А можно вложить в качестве сервантной подгруппы в прямое
произведение коциклических групп. Следовательно, из п. б) выте-
вытекает в).
Предположим, что выполнено в). Так как прямое произведение
компактных групп само компактно в топологии произведения и так
как свойство быть прямым слагаемым транзитивно, то свойство г) бу-
будет доказано, если мы покажем, что им обладают коциклические груп-
группы. Но это очевидно, так как группа Z (pk) (k < оо) компактна в ди-
дискретной топологии, а группа Z (р°°) — прямое слагаемое группы
действительных чисел, взятых по модулю 1 [которая является, как
хорошо известно, компактной группой].
Чтобы вывести д) из г), возьмем систему уравнений
%ntixj = at (а, б Л, /6 0. 0)
где ntj — целые числа, которые при фиксированном i почти все равны
нулю, и предположим, что всякая ее конечная подсистема имеет в груп-
группе А решение. По условию г) существует такая группа В, что группа
А ф В — С допускает компактную топологию. Систему уравнений A)
мы можем рассматривать как систему уравнений над группой С.
Решение t-ro уравнения системы A) можно рассматривать как эле-
элемент (. . ., С), . . .) группы CJ = С, где элементы х} = .су (/ б J)
удовлетворяют i-му уравнению. Таким образом, множество всех реше-
решений 1-го уравнения является подмножеством Xt компактного про-
пространства С. Кроме того, подмножество Xt замкнуто, так как оно
определяется уравнением. Предположение, что всякая конечная под-
подсистема системы A) разрешима, дает то, что всякое конечное подмно-
подмножество множества всех Х± имеет непустое пересечение. В силу ком-
компактности пространства С пересечение f) Xt всех подмножеств Xt
не пусто, поэтому всякая система уравнений A) допускает решение в С.
Компоненты этого решения в прямом слагаемом А группы С дают
решение в группе А.
Наконец, предположим, что выполнено условие д). Пусть 0->
-*- В -*• С -> С/В -*¦ 0 — сервантно точная последовательность и
ч\: В ->¦ А — гомоморфизм. Пусть с/ (/ б J) — система образующих
группы С по модулю В и
§ 38. Алгебраическая компактность 189
— все соотношения между элементами cj и элементами группы В.
Рассмотрим систему уравнений
2ад = чМбЛ) се/)- B)
Конечная подсистема системы B) содержит явно лишь конечное число
неизвестных х^, . . ., Xjk. В силу сервантности подгруппа В выде-
выделяется прямым слагаемым) из подгруппы В' = {В, Cjt, . . ., Cjft>,
т. е. В' = В ф С [см. теорему 28.4], и образы компонент в В эле-
элементов Cjx, . . ., Cjk при гомоморфизме т] дают решение в группе А.
Следовательно, система B) удовлетворяет предположениям п. д). Мы
заключаем, что в группе А существует решение xj — aj всей систе-
системы B). Соответствие cj>-*aj порождает продолжение гомоморфизма г|
до гомоморфизма С —*¦ А. Следовательно, выполнено условие а). ¦
Для редуцированной группы А условие в) может быть усилено.
Следствие 38.2. Редуцированная алгебраически компактная груп-
группа является прямым слагаемым прямого произведения циклических
р-групп.
Если А — редуцированная алгебраически компактная группа, то
для некоторой группы В имеем А ф В = С = Q ф С2, где d —
прямое произведение циклических групп Z (ph), а С2 — прямое про-
произведение квазициклических групп. Очевидно, Сг является макси-
максимальной делимой подгруппой группы С. В силу того, что, следова-
следовательно, С2 — вполне характеристическая подгруппа, С2 = (А ( С2) ф
ф {В П С2) [см. лемму 9.3]. Первое слагаемое здесь должно быть нуле-
нулевым. Поэтому С2 s В и А ф (В/С2) з* С1# ¦
В частности, для первой ульмовской подгруппы редуцированной
алгебраически компактной группы А имеем А1 = 0.
Для удобства ссылок сформулируем следующее простое след-
следствие п. в) и г).
Следствие 38.3. Прямое произведение групп алгебраически ком-
компактно тогда и только тогда, когда каждая компонента алгебраиче-
алгебраически компактна. Л
Объединяя лемму 30.3 с нашей теоремой, получаем
Следствие 38.4. Всякую группу можно вложить в качестве сер-
вантной подгруппы в алгебраически компактную группу. Л
Усиление этого результата см. в теореме 41.7.
Нам понадобится следующая более слабая форма определения
алгебраически компактных групп.
Предложение 38.5 (Сонсяда). Группа А алгебраически компакт-
компактна тогда и только тогда, когда А служит прямым слагаемым для вся-
190 Гл. VII. Алгебраически компактные группы
кой такой группы G, что А — сервантная подгруппа группы G, а
факторгруппа G/A изоморфна группе Q или некоторой группе Z (р°°1.
Нужно проверить только достаточность условия. Предположим,
что группа А обладает указанным свойством. Тогда группа А должна
выделяться прямым слагаемым из всякой группы G, где она — сер-
сервантная подгруппа и G/A — делимая группа. В самом деле, это выте-
вытекает из наших предположений, леммы 9.4 и теоремы 23.1. Рассмотрим,
далее, случай, когда А — сервантная подгруппа группы G и GIA —
периодическая группа. Если В/А — базисная подгруппа группы GIA,
то из теоремы 28.2 имеем В — А © В' для некоторой подгруппы
В'еВ. Теперь GIB s (G/A)/(В/А) — делимая группа, поэтому
GIB' содержит В/В' ^ Л в качестве сервантной подгруппы [подгруп-
[подгруппа В сервантна в G], факторгруппа по которой делима. Следователь-
Следовательно, GIB' = BIB' © GIB' для некоторой подгруппы С ^ G. Так как
G = B + G' = A + B' + G' = A + G' и Л П G' = (Л П В) П G' =
= А П (В П С) = Л П В' = 0, то G = А © G'.
Если G/A — группа без кручения, то по предложению 24.6 суще-
существует такая группа Я, что G s H и HI A — делимая группа без кру-
кручения. По первой части настоящего доказательства группа Л служит
прямым слагаемым для группы Н, а тогда и для группы G. Наконец,
если GIA — произвольная группа и Т/А — ее периодическая часть,
то Л служит прямым слагаемым для группы Т, т. е. Т = Л © Т\
а так как TIT' s* A — прямое слагаемое группы GIT', то G = А © G'
для некоторой подгруппы G' S G. ¦
Упражнения
1. Доказать, что группа Z не алгебраически компактна. Вообще,
свободные группы не алгебраически компактны, за исключением
нулевой группы.
2. Прямое произведение групп, изоморфных группе целых /з-ади-
ческих чисел, является алгебраически компактной группой.
3. Если А — алгебраически компактная группа и В — сервантная
подгруппа группы Л, то Л IB — алгебраически компактная группа.
[Указание: использовать предложение 24.6 и лемму 26.1.]
4. Доказать, что группа Л алгебраически компактна, если она
инъективна относительно класса сервантно точных последовательно-
последовательностей 0->B->-C-»-D-»-0, где D—счетная группа. [Указание:
использовать теорему 38.1 и предложение 38.5.]
5. Группа Л алгебраически компактна, если она удовлетворяет
условию д) из теоремы 38.1 для систем уравнений со счетным числом
неизвестных.
6. Группу можно вложить в качестве сервантной подгруппы в реду-
редуцированную алгебраически компактную группу тогда и только тогда,
когда ее первая ульмовская подгруппа нулевая.
§ 39. Полные группы 191
7. Если А — алгебраически компактная группа, то ее первая
ульмовская подгруппа совпадает с ее максимальной делимой под-
подгруппой.
8. Всякая группа изоморфна сервантной подгруппе группы, допу-
допускающей компактную топологию.
9. Группа А не обязана быть алгебраически компактной, когда ее
подгруппа С и факторгруппа А/С алгебраически компактны. [Указа-
[Указание: вложить нулевой ульмовский фактор группы примера из § 35
в редуцированную алгебраически компактную группу (упр. 6), при-
применить предложение 24.6 и упр. 7; ср. с копериодическими группами.1
10. Всякая линейно компактная группа алгебраически компактна.
[Указание: проверить, что выполнено условие д), как в доказатель-
доказательстве теоремы 38.1; решения t-ro уравнения образуют смежный класс
по замкнутой подгруппе; см. § 13, упр. 6.]
[§ 39. Полные группы
В этом параграфе мы более детально рассмотрим группы, полные
в их Z-адической или р-адической топологии. Это не новый класс
групп; именно, мы увидим, что редуцированные алгебраически ком-
компактные группы и только они полны в их Z-адической топологии.
Все группы, дискретные в их Z-адической топологии [т. е. огра-
ограниченные группы], очевидно, являются полными. Дальнейшие примеры
полных групп получатся, к?к подсказывает следствие 13.4, если брать
прямые слагаемые прямых произведений полных групп.
Основным результатом, касающимся полных групп, является
следующая теорема, в основном полученная Капланским [2].
Теорема 39.1. Группа полна в Z-адической топологии тогда
и только тогда, когда она — редуцированная алгебраически компактная
группа.
Предположим сначала, что А — редуцированная алгебраически
компактная группа. Из следствия 38.2 мы знаем, что она служит пря-
прямым слагаемым для прямого произведения циклических групп Z (ph).
Так как каждая группа Z (ph) полна в своей Z-адической топологии,
то повторное применение следствия 13.4 показывает, что группа А
полна в своей Z-адической топологии.
Предположим теперь, что группа А полна в своей Z-адической
топологии. Тогда группа А хаусдорфова и, следовательно, редуци-
редуцированная. Пусть группа G содержит группу А в качестве сервантной
подгруппы, причем G/A — делимая группа. Для завершения доказа-
доказательства нам нужно только показать, что А служит для G прямым
слагаемым [см. предложение 38.5]. Если группа G хаусдорфова в своей
Z-адической топологии, то в силу плотности подгруппы А в G каждый
элемент g 6 G является пределом некоторой последовательности эле-
элементов из А. Так как относительная топология в А совпадает с Z-ади-
Z-адической топологией группы А, то эта последовательность является
192 Гл. VII. Алгебраически компактные группы
последовательностью Коши в группе А, откуда g ? А и А = G. Если
группа G не хаусдорфова, то группа GIG1 хаусдорфова и содержит
(А + Gl)lGl а- А в качестве сервантной подгруппы [заметим, что
А П G1 = 0]. Из того, что уже было показано, вытекает, что А + G1 =
= G, т. е. G = А ф G1. м
Замечание. Часть теоремы 39.1, касающуюся необходимости,
можно немного усилить, заметив, что группа А полна в Z-адической
топологии, если она полна в некоторой [хаусдорфовой] топологии,
более грубой, чем Z-адическая топология. В самом деле, пусть аи ...
. . ., ап, . . . — последовательность Коши в Z-адической топологии,
где, как можно предполагать, для любого п имеет место равенство
о-п — an+i — и! gn [ПРИ некотором gn 6 А]. Положим
bnk = gn + (П + 1) gn+l + ... + (П + 1) . . - (П + k) gn+h.
Тогда последовательность Ьп0, . . ., bnk, . . . будет снова последова-
последовательностью Коши в Z-адической топологии, так как k\ \ (п + 1) . . .
... (п + Щ, и мы будем иметь а„ = n\bnh + an+ft+i для любых п и k.
Всякая последовательность Коши в Z-адической топологии является
последовательностью Коши в более грубой топологии, поэтому при
k -*¦ оо получим ап = и! Ьп + а, где а и Ьп — пределы соответственно
последовательностей {ап} и {Ьпь}- Следовательно, a — ап?п\А
и элемент а служит пределом последовательности {ап} также в Z-ади-
Z-адической топологии.
Так как Z-адическая топология группы А индуцирует топологию
на подгруппе В, более грубую, чем Z-адическая топология группы В,
то из теоремы 39.1, нашего замечания, предложения 13.1 и предло-
предложения 13.2 получаем
Следствие 39.2. Если А — редуцированная алгебраически ком-
компактная группа и В — такая ее подгруппа, что (А/ВI = 0, то В
и А/В — редуцированные алгебраически компактные группы. ш
Следующий факт заслуживает особого упоминания.
Следствие 39.3. Если 9 — эндоморфизм полной группы А, то
Кег 9 и Im 0 — полные группы.
Положим В = КегЭ, применим теорему 39.2 и заметим, что
А /Кег 0 — полная группа в силу предложения 13.2. а
Особый интерес представляет следующий результат.
Предложение 39.4. Обратный предел редуцированных алгебраи-
алгебраически компактных групп является редуцированной алгебраически ком-
компактной группой. В частности, Jp — алгебраически компактная
группа.
В силу п. д) § 12 обратный предел является замкнутой подгруппой
прямого произведения в топологии произведения и, следовательно,
в блочной топологии. В силу предположений и следствия 38.3 прямое
§ 39. Полные группы 193
произведение является редуцированной алгебраически компактной
группой. Остается применить следствие 39.2. а
Рассмотрим теперь вопрос о вложении группы Л в ее Z-адическое
пополнение А. Как мы видели в § 13, это может быть осуществлено
или с помощью последовательностей Коши, или с помощью обратных
пределов.
Теорема 39.5. Для любой группы А группа
/ч
A = limn А/пА
является полной. Каноническое отображение \х: а •-»¦(..., а +
+ пА, . . -\?А имеет ядро А1, цА —сервантная подгруппа груп-
группы А и A/\iA — делимая группа.
Так как группы А/пА ограниченные и, следовательно, алгебраиче-
алгебраически компактные, то первая часть теоремы вытекает из предложения 39.4.
Очевидно, \х,а = 0 дает а 6 пА для любого п, откуда Кег \i = A1.
Если для элемента й = (..., ап + пА, . . .) (ап ? А) выполнено ра-
равенство тй = \ка при некотором а 6 А, то тап — а ? пА для каждого
п, в частности для п = т, откуда а 6 тА, что дает сервантность^ под-
подгруппы [iA в группе А. Чтобы доказать делимость группы A/\iA,
достаточно показать, что индуцированная топология в группе А
совпадает с Z-адической топологией, так как тогда из плотности под-
подгруппы цА в группе А сразу будет следовать делимость А/цА.
Поскольку группы А/пА ограниченные и, следовательно, дискрет-
дискретные, то окрестностями нуля в группе А служат Un = лйЮ, где яп
есть п-я координатная проекция А -*¦ А/пА. Покажем, что Un = пА.
Так как включение пА^ Un очевидно, предположим, что й 6 Un,
т. е. й = (. . ., ат + тА, . . .), где ап = 0. Для любого т сущест-
существует такой элемент ст 6 А, что a(m+1)in — ат\ п = т\пст. Положим
Ьг = 0 и bm+i = Ьт + т\ст при т > 1. Тогда по индукции полу-
получится ат\п = nbm для каждого т ^ 1, и & = (..., Ьт -\- т\А, . . .) 6
€ А. Для этого элемента b выполнено равенство пЬ = а, откуда Un S
S пА. ¦
Следствие 39.6. р-базисная подгруппа группы А для любого про-
простого числа р при каноническом отображении \i изоморфно отобра-
отображается на р-баэисную подгруппу группы А.
Так как Кег |л = А1, то из п. Е) § 34 следует, что ц дает изоморф-
изоморфное отображение р-базисной подгруппы группы А на р-базисную под-
подгруппу группы \уА. Так как Л/цЛ — делимая группа, а \iA — сервант-
сервантная подгруппа группы А, то остается: применить утверждение Д)
§ 34. и
Важность канонического отображения ц: А -*¦ А заключается
в том, что оно функторное [что оправдывает его название].
13 Л. Фукс
194 Гл. VII. Алгебраически компактные группы.
Предложение 39.7. Гомоморфизм а: А ->¦ В индуцирует един-
единственный гомоморфизм а: А-+ В, для которого диаграмма
коммутативна [вертикальные отображения — канонические].
Доказательство дано в замечании, сделанном после теоремы 13.8. »
Группа А [единственная с точностью до непрерывного изоморфизма,,
см. § 13] называется Z-адическим пополнением группы А. В силу
предложения 39.7 соответствие А >-*¦ А, а у-*- а является функтором
из категории Л в категорию полных групп.
Как показано в теореме 39.5, пополнение группы может быть осу-
осуществлено путем использования обратных пределов. Пользуясь этим,.'
мы покажем, что при взятии пополнения сервантно точные последо-
последовательности переходят в расщепляющиеся последовательности.
а р
Теорема 39.8. Пусть 0-*-Л->?->С->0 — сервантно точная
последовательность. Тогда последовательность
точна и расщепляется.
Если заданная последовательность сервантно точна, то в силу
теоремы 29.1 индуцированные последовательности 0-*-А/пА-*-
-*¦ В/пВ -*¦ С/пС -*• 0 точны для всех п. Из теорем 39.5 и 12.3 сле-
следует, что для доказательства точности последовательности B) доста-
достаточно проверить, что р* — эпиморфизм. Здесь Imps С, и из следст-.
вия 39.2 вытекает полнота группы Im p\ Так как Im р" содержит образ
группы С при каноническом отображении, плотный в группе С, то
обязательно Im p" = С. Остается доказать сервантность подгруппы
Imas А в группе В. Отображение а + Л1 *-*¦ аа + В1 переводит
А/А1 в сервантную подгруппу группы BIB1. Отсюда и из того, что.
подгруппа \В сервантна в В, следует, что vaA — сервантная под-
подгруппа группы В. Так как va = ац. [см. A)] и аЛ/а(хЛ — делимая
группа, то подгруппа а.А сервантна в В. ш
В оставшейся части этого параграфа мы займемся прямыми раз-
разложениями полных групп. Прежде всего, справедлива
Теорема 39.9. Предположим, что полная группа А содержится
в прямой сумме ф С( таких групп Ct, что С\ = 0 для каждого i. Тогда
§ 39. Полные группы 195
существует такое целое число п > О, что подгруппа пА содержится
в прямой сумме конечного числа групп Ct.
Если это не так, то существует строго возрастающая последова-
последовательность натуральных чисел пи . . ., njt . . ., где nt\nj+i, и суще-
существуют такие группы Bj, каждая из которых есть прямая сумма конеч-
конечного числа групп С(, что эти Bj порождают в ©Сг подгруппу, являю-
являющуюся их прямой суммой, и
Mfl'e Bh^njA[\ © Bh 0 = 1,2, ...)•
h=l h=l
Пусть п) — элемент, входящий в правую часть, но не лежащий в ле-
левой части; тогда элемент а3-г имеет нулевую компоненту в В}, а эле-
элемент aj — ненулевую. Поэтому последовательность Коши аг, ...
. . ., а/, . . . 6 А не может иметь предела в ®Сг.и
Следствие 39.10. Если А = ф Ct — прямое разложение полной
группы А, то все Ct — полные группы и существует такое целое число
п > 0, что nCi — 0 для почти всех i ? I.
Первое утверждение вытекает из следствия 13.4, второе — непо-
непосредственно из теоремы 39.9.и
Упражнения
1. Пусть т > 0 — целое число. Показать, что группа А является
полной тогда и только тогда, когда тА — полная группа.
2 (Капланский [2]). Если С — сервантная подгруппа полной
группы Л, то замыкание подгруппы С в Л служит для А прямым
слагаемым.
3. Описать Z-адические пополнения следующих групп:
2, QP, Q(p\ © Z(pn), ©Z(p).
n=l p
4. Z-адическое пополнение прямого произведения является пря-
прямым произведением Z-адических пополнений компонент.
б. (а) Показать, что р-адическое пополнение группы А изоморфно
AlphA.
(б) Доказать, что р-адическое пополнение всегда является /э-ади-
ческим модулем.
(в) Если группа А полна в своей р-адической топологии, то qA =
= А для любого простого числа цФ р.
6. Доказать предложение 39.7 и теорему 39.8 для р-адических
пополнений [заменив сервантную точность р-сервантной точностью].
7. Пусть В = ®Вп, где Вп = © Z (рп). Показать, что если В* -
п
= \\ Вп и С/В — максимальная делимая подгруппа группы В*/В*
п
то С есть р-адическое пополнение группы В.
13*
196 Гл. VII. Алгебраически компактные группы
8. Если группа А полна в своей р-адической топологии, а В есть
р-базисная подгруппа группы А, то всякий гомоморфизм В-*• А
однозначно продолжается до эндоморфизма группы А.
9. Если В — базисный подмодуль р-адического модуля А, то
всякое конечно порожденное прямое слагаемое модуля В служит пря-
прямым слагаемым и для А.
10. Доказать, что ни J = Ц Jp, ни Ц Z (р) не является прямой
р р
суммой бесконечного числа ненулевых подгрупп.
11. Пусть At (i ? /) — алгебраически компактные группы. Найти
необходимое и достаточное условие, при котором ®At — алгебраиче
i
ски компактная группа.
12. Обратный предел нередуцированных алгебраически компакт-
компактных групп не обязан быть алгебраически компактной группой. [Ука-
[Указание: используя идею упр. 6 из § 21, получить в качестве обратного
предела неограниченную р-группу.]
13 (Фукс [13]). Обратный предел групп с условием минимальности
является алгебраически компактной группой. [Указание: § 13, упр. 6,
7, и § 38, упр. 10.]
§ 40. Строение алгебраически компактных групп
Мы рассмотрели ряд важных свойств алгебраически компактных
групп и подошли теперь к структурной теореме для этих групп. Так
как строение делимых групп может быть описано с помощью инвари-
инвариантов, являющихся кардинальными числами, то, не теряя общно-
общности, можно ограничиться в наших рассуждениях редуцированным
случаем.
Дальнейшее упрощение возможно ввиду следующего предложения.
Предложение 40.1 (Капланский [2]). Редуцированная группа А
алгебраически компактна тогда и только тогда, когда она имеет вид
Л = \\АР, A)
v
где каждая группа Ар полна в своей р-адической топологии [произведе-
[произведение берется по всем различным простым числам р]. Группы Ар одно-
однозначно определяются группой А.
Предположим сначала, что группа А алгебраически компактна,
и пусть А ф В = С — прямое произведение циклических р-групп
[см. следствие 38.2]. Соберем слагаемые Z (ph), относящиеся к одному
и тому же простому числу р, и образуем их прямое произведение Ср.
Это подгруппа группы С, причем, очевидно, С = Ц Ср. Подгруппы Ср
р
являются вполне характеристическими в С, поэтому в силу леммы 9.3
$ 40. Строение алгебраически компактных групп 197
имеем Ср = Ар © Вр, где Ар = А Г) Ср, Вр = В П Ср. Таким обра-
образом, С = [[ Ар ф [] Вр. Очевидно, подгруппы Лр при переменном р
р р
порождают в группе А подгруппу Ао, являющуюся их прямой сум-
суммой. Если рассматривать группу С как топологическую группу
с Z-адической топологией, то ясно, что замыкание в С подгруппы Ао
должно содержать Ц Ар, так как [J Ар/А0 — делимая группа. Так как
р р
В1 = О, то подгруппа А замкнута в С, откуда получаем включение
П/4Р? А. Аналогично получаем, что [J Bp s В. Следовательно,
v v
А = [J Ар, В = {] Вр. Как прямое слагаемое полной группы группа
Р V
Ар должна быть полной в своей Z-адической топологии, которая здесь
совпадает с р-адической топологией, так как Z-адическая и р-адиче-
ская топологии на группе Z (ph) совпадают.
Обратно, пусть Ар — группа, полная в своей р-адической тополо-
топологии. Тогда группу Ар можно следующим естественным образом пре-
превратить в модуль над кольцом О.р целых р-адических чисел. Пусть
а 6 Ар и я = s0 + Sip + . . . + snpn + . . . 6 Op- Последователь-
Последовательность
sQa, (s0 + Stf) a, . . ., (so + sip + . . . + snpn) a, ...
является последовательностью Коши в группе Ар, следовательно,
она сходится в Ар к пределу, и мы определяем па как этот предел.
Легко проверить, что таким путем группа Ар действительно превра-
превращается в унитарный Qp-модуль. Отсюда получается, что qAp = Ар
для всех простых чисел q -ф р, т. е. что Z-адическая топология в груп-
группе Ар совпадает с р-адической. По теореме 39.1 группа Ар алгебраи-
алгебраически компактна, а-из следствия 38.3 вытекает, что прямое произведе-
произведение А групп Ар алгебраически компактно.
Наконец, единственность компонент Ар в разложении A) сразу
следует из соотношения
ЛР= П ЯкА (*=1, 2, ...),
чфр
где q опять обозначает простые числа. Это — следствие соотношений
qAp = Ар (q ф р) и [") PhAP = 0. ш
h
Группа Ар из предыдущей теоремы называется р-адической компо-
компонентой группы А. Это р-адическая алгебраически компактная группа
в том смысле, что она полна в своей р-адической топологии. Как
показывает предыдущее доказательство, эта группа должна быть
р-адическим модулем. Он может быть полностью охарактеризован
с помощью базисных подгрупп [см. следующую теорему].
Теорема 40.2. Существует взаимно однозначное соответствие
между р-адическими алгебраически компактными группами Ар и пря-
198 Гл. VII. Алгебраически компактные группы
мыми суммами Вр циклических р-адических модулей: если дана группа
Ар, то мы ставим ей в соответствие ее базисный подмодуль Вр; задан-
заданной группе Вр мы ставим в соответствие ее р-адическое пополнение.
Из теоремы 35.5 сразу следует, что соответствие Ар >-*¦ Вр, где Ар
есть р-адический модуль, Вр — его базисный подмодуль, является
однозначным [Вр мы теперь рассматриваем как абстрактную группу].
С другой стороны, пополнение В прямой суммы В циклических р-ади-
ческих модулей в р-адической топологии существует и определено
однозначно с точностью до изоморфизма. Группа Ё алгебраически
компактна [см. теорему 39.1]. Если отождествить группу В с ее обра-
образом в В при естественном вложении, то достаточно просто сослаться
на следствие 39.6, чтобы получить, что В — базисная подгруппа груп-
группы В. Отсюда мы заключаем, что если послед i ч; тельно выполнить
отображение Вр >-*¦ Ар и отображение Ар \-*- Вр, то мы получим исход-
исходную прямую сумму циклических р-адических модулей.
Нам остается проверить, что две р-адические алгебраически ком-
компактные группы Ар и А'р с изоморфными базисными подмодулями Вр
изоморфны. Начнем с диаграммы
О -»ВР —> Ар —> Ар/Вр -> О
/ip
где строка сервантно точна и р — вложение Вр -*• Ар. В силу того,
что группа Ар сервантно инъективна, существует гомоморфизм
ф: Ар -*¦ А'р, превращающий эту диаграмму в коммутативную. Аналогич-
Аналогично получается гомоморфизм ij>: A'p -*• Ар, продолжающий вложение
Вр ->• Ар. Отсюда имеем грф: Ар -> Ар, причем ограничение этого
гомоморфизма на Вр является тождественным отображением. Следова-
Следовательно, по предложению 34.1 грф = \Лр. Аналогично (pip является
тождественным отображением группы А'р на себя, откуда Ар ss А'р. ш
Ввиду приведенной выше теоремы р-адические алгебраически ком-
компактные группы Ар могут быть охарактеризованы теми же системами
инвариантов, что и их базисные подмодули Вр, а именно мощностями
т0 и ть (k = 1, 2, . . .) множеств компонент в прямом разложении
модуля Вр, изоморфных соответственно Jp и Z (pft). Эта счетная систе-
система кардинальных чисел является полной независимой системой инва-
инвариантов группы Ар, зная которую, мы можем восстановить группу
Ар, взяв сначала соответствующую прямую сумму и затем р-адиче-
ское пополнение:
группа Ар изоморфна р-адическому пополнению группы
оо
Ф1 (Ь ?Ь (D 7 Irfi\
«р \ХУ 417 \Jy ?¦* \fJ )*
§ 40. Строение алгебраически компактных групп 199
Если А — произвольная алгебраически компактная группа, то инва-
инварианты ее максимальной делимой подгруппы вместе с инвариантами ее
,р-адических компонент Ар образуют полную независимую систему
инвариантов группы А. Поэтому мы вправе утверждать, что строение
алгебраически компактных групп известно.
Пример 1. Пусть m — бесконечное кардинальное число. Тогда
группа J™ изоморфна р-адическому пополнению группы ф Jp.
2m
Действительно, это р-адическая алгебраически компактная группа без круче-
кручения, базисный подмодуль которой имеет тот же ранг, что и J™/pJ™ s* Z (p)m.
Пример 2. Пусть mh (k = 1, 2, . . .) — какие-то кардинальные числа.
Тогда
00
группа JT [® Z(ph)\ изоморфна р-адическому пополнению группы
*=1 mft
®p®
m *=» mft
где m = [J Щ. В самом деле, группа А, о которой идет речь, является р-адиче-
ской алгебраически компактной группой, базисный подмодуль которой по след-
следствию 33.3 имеет указанную периодическую часть. Очевидно, Alp A as ГТ ф Z (р),
причем элементам периодической части группы А в этом прямом произведении
соответствуют элементы из прямой суммы. Из доказательства теоремы 35.2 полу-
получается, что m = П 1%.
Из предыдущей теоремы мы теперь можем вывести следующие
простые, но важные следствия.
Следствие 40.3'. Если редуцированная алгебраически компактная
группа является периодической, то она ограниченная.
В разложение A) такой группы А может входить лишь конечное
число групп Ар Ф 0. По теореме 40.2 каждая группа Ар является
/>-адическим пополнением прямой суммы Вр циклических р-групп.
Легко проверить, что это пополнение всегда содержит элементы бес-
бесконечного порядка, кроме случая, когда Вр — ограниченные группы
и, таким образом, Вр = Ар. ш
Следствие 40.4 (Капланский [2]). Всякая ненулевая редуциро-
редуцированная алгебраически компактная группа обладает прямым слагае-
слагаемым, изоморфным группе Jp или Z (ph) (k = 1,2, . . .) при некотором р.
Если группа А Ф 0 алгебраически компактная и редуцированная
и р—такое простое число, что Ар Ф 0 [см. предложение 40.1], то
базисный подмодуль Вр группы Ар отличен от нуля и, следовательно,
имеет прямое слагаемое указанного типа. Это прямое слагаемое сер-
вантно в Л и алгебраически компактно, поэтому оно служит прямым
слагаемым и для группы А. щ
200 Гл. VII. Алгебраически компактные группы
Отсюда получается, что неразложимыми алгебраически компакт-
компактными группами являются Jp, Q и подгруппы групп Z (р°°)[что группа
Jp неразложима, будет также показано в гл. XIII].
Упражнения
1. Всякая редуцированная алгебраически компактная группа
является унитарным модулем над кольцом Д QJ.
р
2. Если для каждого простого числа р группа Ар полна в своей
р-адической топологии, то в группе А = Д Лр топология произведе-
произведения и блочная топология совпадают.
3. (а) Счетная алгебраически компактная группа является прямой
суммой делимой группы и ограниченной группы.
(б) Не существует счетных редуцированных алгебраически ком-
компактных групп без кручения.
4. Определить инварианты следующей алгебраически компактной
группы:
00
[ [J Z(ph)]m ф Jp (m, n — бесконечные кардинальные числа).
5. Если Л и Л' — алгебраически компактные группы, каждая
из которых изоморфна сервантной подгруппе другой, то Л s A'.
6. Если А — такая алгебраически компактная группа, что
А ф Jp эё А' ф Jp, то А s= А .
7. Если группа А алгебраически компактна и А ф А ^ А' ф А',
то A sz A'.
8 (Мадер [1]). Редуцированная алгебраически компактная группа
А является Z-адическим пополнением прямой суммы циклических
групп тогда и только тогда, когда ранг факторгруппы А/[рА + Т (А)]
не зависит от простого числа р.
§ 41. Сервантно существенные расширения
Удивительное сходство между делимыми и алгебраически компакт-
компактными группами можно проследить дальше, если рассмотреть аналог
делимой оболочки.
Сначала введем следующее понятие. Пусть G — сервантная под-
подгруппа группы А и /( (G, А) — множество всех таких подгрупп Н s A,
что
1) СП Я = 0
и
2) (G + НIН — сервантная подгруппа группы AIH.
Так как G + Н является прямой суммой подгрупп G и Н, то усло-
условие 2) равносильно тому, что если уравнение пх— g + h (g б G, h 6 H)
имеет решение в группе Л, то в группе G существует решение уравне-
уравнения пу = g. Следовательно, К (G, А) содержит вместе с Н также все
§ 41. Сервантно существенные расширения 201
подгруппы группы Я. Из предположения, что подгруппа G сервантна
в Л, вытекает, что 0 ? К (G, Л), т. е. что множество К (G, А) не пусто-
Следуя Маранде [1], назовем группу А сервантно существенным
расширением ее подгруппы G, если подгруппа G сервантна в Л и
К. (G, А) состоит только из нуля. Это равносильно тому, что подгруп-
подгруппа G сервантна в Л и всякий гомоморфизм ср группы Л, индуцирующий
мономорфизм на подгруппе G, для которого q>G — сервантная под-
подгруппа группы фЛ, является мономорфизмом. Аналогия с существен-
существенными расширениями очевидна.
Начнем с некоторых лемм.
Лемма 41.1 (Маранда П1). Если G— сервантная подгруппа груп-
группы Л, то существует гомоморфизм ф группы Л, индуцирующий моно-
мономорфизм на подгруппе G и такой, что фЛ — сервантно существенное-
расширение подгруппы фС
Множество К (G, Л) подгрупп Я группы А индуктивно. В самом
деле, если {Я;}^ — цепь в К (G, Л) и Я — объединение этой цепи,
то условие 1) очевидно, и если уравнение пх = g + h (g ? G, Л б Я)
разрешимо в группе Л, то для некоторого i имеем h ? Ht ? К (G, А),
откуда следует, что уравнение пу — g разрешимо в G, т. е. Я (Ё:
6 К (G, Л). По лемме Цорна К (G, Л) содержит максимальный эле-
элемент В. Пусть ф: Л -*- Л/Б — канонический эпиморфизм. Тогда
Ф | G — мономорфизм и yG = (G + В) IB — сервантная подгруппа,
группы фЛ = А/В. В силу максимальности подгруппы В K(<pG> фЛ) =
= {0}. ¦
Лемма 41.2. Пусть группы At(i^I) составляют цепь и А —
объединение этой цепи. Если каждая группа At является сервантно-
существенным расширением группы G, то группа А обладает тем же
свойством.
Непосредственно ясно, что если подгруппа G сервантна в каждой
группе Ait то она сервантна и в Л. Если бы некоторая подгруппа Я ф 0'
лежала в К (G, Л), то для некоторого i было бы Я П Л4 =й= 0, причем
Н П At ^ К (G, Лг), что невозможно, щ
Лемма 41.3 (Маранда [1]). Если С — сервантно существенное-
расширение группы G и А — алгебраически компактная группа, содер-
содержащая группу G в качестве сервантной подгруппы, то тождественное
отображение группы G на себя можно продолжить до мономорфизма
группы С в группу А.
Так как последовательность 0-*- G-*- С сервантно точна, а груп-
группа А сервантно инъективна, то существует гомоморфизм ф: С -*¦ А,
индуцирующий тождественное отображение на группе G. Так как
G — сервантная подгруппа в Л и, следовательно, в ц>С, то ф должно
быть мономорфизмом. а
202 Гл. VII. Алгебраически компактные группы
Назовем группу А максимальным сервантно существенным расши-
расширением группы G, если А — сервантно существенное расширение
группы G и если никакая группа А', где A cz А', уже не является
сервантно существенным расширением группы G. Существование
таких максимальных расширений легко установить:
Предложение 41.4 (Маранда [1]). Всякое ервантно существен-
существенное расширение группы G содержится в максимальном сервантно суще-
существенном расширении.
Пусть Со — сервантно существенное расширение группы G. Пред-
Предположим, что не существует максимального сервантно существенного
расширения группы G, содержащего Со. Ввиду леммы 41.2 это озна-
означает, что для любого порядкового числа о существует такая вполне
упорядоченная строго возрастающая цепочка групп
что для всякого р <: а группа Ср является сервантно существенным
расширением группы G. Пусть А — алгебраически компактная группа,
-содержащая группу G в качестве сервантной подгруппы. В силу лем-
леммы 41.3 должен существовать мономорфизм Са-*-А. Но это, очевид-
очевидно, невозможно, если мощность а больше мощности группы А. ш
Максимальные сервантно существенные расширения легко описы-
описываются:
Предложение 41.5. Максимальное сервантно существенное рас-
расширение группы G является минимальной алгебраически компактной
-группой, содержащей группу G в качестве сервантной подгруппы.
Пусть А — максимальное сервантно существенное расширение
группы G и В — группа, содержащая группу А в качестве сервантной
подгруппы. По лемме 41.1 существует гомоморфизм <р группы В,
индуцирующий мономорфизм на подгруппе G и такой, что уВ — сер-
сервантно существенное расширение группы <pG. Отсюда cpG — сервант-
ная подгруппа группы <рЛ и, как следует из определения сервантно
существенного расширения, ф — мономорфизм на группе А. Таким
-образом, группа срЛ е* А служит максимальным сервантно существен-
существенным расширением для группы <pG s G. Отсюда <рВ = фЛ, и если про-
произвести ф, а затем отображение, обратное отображению <р| А, то мы
получим проекцию В на А. Следовательно, А—прямое слагаемое
группы В, т. е. А — алгебраически компактная группа.
Если А' — такая алгебраически компактная группа, что Gs Л'е
е А, то по лемме 41.3 существует мономорфизм ty: A -*¦ А', индуци-
индуцирующий тождественное отображение на группе G. Очевидно, г|)Л снова
является максимальным сервантно существенным расширением груп-
группы G, поэтому из ¦фЛ s А' = А получаем я|зЛ = А. Следовательно,
А' — А, и группа А минимальна, щ
§ 41. Сервантно существенные расширения 203
Предложение 41.6. Минимальная алгебраически компактная
группа, содержащая группу G в качестве сервантной подгруппы, являет-
является максимальным сервантно существенным расширением группы G.
Если А — минимальная алгебраически компактная группа, содер-
содержащая группу G в качестве сервантной подгруппы, и В — максималь-
максимальное сервантно существенное расширение группы G, то в силу лем-
леммы 41.3 существует мономорфизм <р: В-*-А, совпадающий на груп-
группе G с тождественным отображением. По предложению 41.5 срБ явля-
является, очевидно, алгебраически компактной группой, содержащей груп-
группу G, поэтому ф5 = А в силу минимальности группы А. щ
Теперь мы подошли к основному результату этого параграфа.
Теорема 41.7 (Маранда [1]). Для любой группы G существует
минимальная алгебраически компактная группа А, содержащая груп-
группу G в качестве сервантной подгруппы. Группа А является максималь-
максимальным сервантно существенным расширением группы G и определяется
-однозначно с точностью до изоморфизма над G.
Если дана группа G, то по предложению 41.4 существует макси-
максимальное сервантно существенное расширение А группы G. Теперь
первые два утверждения теоремы вытекают из предложений 41.5
и 41.6.
Пусть А и А' — две минимальные алгебраически компактные
.группы, содержащие группу G в качестве сервантной подгруппы.
В силу леммы 41.3 тождественное отображение группы G можно про-
продолжить до мономорфизма q>: A -*- А'. Здесь фЛ является минималь-
минимальной алгебраически компактной группой, содержащей q>G = G в каче-
качестве сервантной подгруппы, поэтому фЛ = А' и ф — изоморфизм. и
Минимальную алгебраически компактную группу, содержащую
заданную группу G в качестве сервантной подгруппы, мы будем назы-
называть сервантно инъективной оболочкой группы G. Последняя часть
предыдущей теоремы показывает, что всякая алгебраически компактная
группа, содержащая группу G в качестве сервантной подгруппы, содер-
содержит сервантно инъективную оболочку группы G.
Полезен следующий результат.
Лемма 41.8. Алгебраически компактная группа А, содержащая
группу G в качестве сервантной подгруппы, является сервантно инъек-
инъективной оболочкой группы G тогда и только тогда, когда выполнены
следующие условия:
1) максимальная делимая подгруппа D группы А служит инъек-
инъективной оболочкой для G1;
2) AIG — делимая группа.
Предположим сначала, что А служит сервантно инъективной обо-
оболочкой группы G. Пусть А = D Ф С, где D —делимая, С— реду-
204 Гл. VII. Алгебраически компактные группы
цированная группа. В силу сервантности подгруппы G в А
Gi = П nG = П (G П пА) = G П Л1 = G П D.
Если бы группа D не была инъективной оболочкой подгруппы G1, то
можно было бы написать D — D4 Ф D2, где (?gDi и D2 ^ 0. Здесь
D2? К (G, Л), чего не может быть. Если AIG — не делимая группа,
то пусть E/G = (A/GI с Л/G. Очевидно, Dg ?, поэтому ? =
= D © (С П Е). Из С/(С П ?) » (С + ?)/? = ЛАЕ ^ (A/G)/(E/G)
вытекает, что С [\ Е — замкнутая подгруппа полной группы С;
поэтому С[\Е — полная группа. Но тогда Е — алгебраически ком-
компактная группа, строго содержащаяся в А. Этим условие 2) доказано.
Докажем достаточность. Предположим, что выполнены условия 1)
и 2). В силу замечания, сделанного перед леммой, группа А содержит
сервантно инъективную оболочку Е группы G, т. е. Gs?s Л.Из пер-
первой части доказательства мы знаем, что EIG — делимая группа, поэ-
поэтому Е — сервантная подгруппа группы А, т. е. Е служит для груп-
группы А прямым слагаемым, А = Е Ф Ео. В силу условия 2) Ео — дели-
делимая группа, т. е. Ео^ D, поэтому из того, что Ео П G = 0, и из усло-
условия 1) вытекает ?0 = 0. ¦
Теперь легко охарактеризовать сервантно инъективную оболочку
заданной группы G.
Теорема 41.9. Сервантно инъектшная оболочка группы G изо-
изоморфна прямой сумме инъективной оболочки группы G1 и пополнения
G группы G.
Пусть D — инъективная оболочка группы G1, и пусть <р: G-+-D —
продолжение вложения G1-»^.1 Если ц: G-+G—каноническое
отображение, то гомоморфизм (ф © ц) A: G-+D Ф G, очевидно,
является мономорфизмом, а из сервантности подгруппы \iG в группе G
следует, что Im (ф Ф (г) А — сервантная подгруппа группы D ф G.
Применяя теорему 39.5 и лемму 41.8, получаем нужное утверждение. ш
Напомним, что делимая оболочка группы G1 определяется рангами
группы G1, а пополнение G определяется р-базисными подгруппами
группы G. Следовательно, эти инварианты характеризуют сервантно
инъективную оболочку группы G.
Упражнения
1. Пусть G — сервантная подгруппа группы А, и пусть Н 6
€ К (G, А). Тогда если ЮН 6 К ((О + Н)/Н, AIH), то К 6 К (G, А).
2. Доказать, что Н 6 К (G, А), если подгруппа Я содержится
в первой ульмовской подгруппе А1 группы А и Н Г) G = 0.
3. Пусть А есть р-группа и В — ее базисная подгруппа. Тогда
К (В, А) совпадает с множеством всех подгрупп группы Л1.
4. Пусть С — алгебраически компактная группа, содержащая
группу G в качестве сервантной подгруппы. Доказать, что сервантно-
§ 42* Дополнительные сведения об алгебраически компактных группах 205
инъективная оболочка А группы G, лежащая в группе С, выделяется
в С прямым слагаемым.
5. Пусть В — сервантно существенное расширение группы С
и Л — сервантно инъективная оболочка группы В. Доказать, что А
служит сервантно инъективной оболочкой и для группы С. [Указа-
[Указание: группа А содержит такую сервантно инъективную оболочку А'
группы С, что Bs Л'; А = А' Ф А", где А" — делимая группа;
из леммы 41.8 следует, что А" = 0.]
6. Если В — сервантно существенное расширение группы С, то
В/С — делимая группа. [Указание: см. лемму 41.8 и упр. 5.]
7. Сервантно существенное расширение сервантно существенного
расширения является сервантно существенным расширением. [Ука-
[Указание: см. упр. 5.]
8. Пусть С — сервантная подгруппа группы В и В — сервантная
подгруппа группы А, причем А — сервантно существенное расшире-
расширение группы С. Тогда В — сервантно существенное расширение груп-
группы С а А — сервантно существенное расширение группы В.
9. Охарактеризовать сервантно инъективную оболочку группы
примера § 35.
10. Если At — сервантно инъективная оболочка группы Gi (i 6 /)»
то |J At не обязательно является сервантно инъективной оболочкой
группы [] Gt.
§ 42*. Дополнительные сведения об алгебраически
компактных группах
В последующем изложении нам часто будут встречаться алгебраи-
алгебраически компактные группы. Знание их строения даст нам возможность
получить лучшее представление о строении некоторых групп. Имеется
ряд результатов, касающихся алгебраически компактных групп,
которые не относятся непосредственно к нашему дальнейшему изло-
изложению. Так как их важно отметить, мы изложим их в этом параграфе.
Первый из приводимых здесь результатов показывает, что алгеб-
алгебраически компактные группы часто встречаются среди факторгрупп
прямых произведений.
Пусть Gi (i 6 /) — семейство групп, где множество индексов /
произвольно, и пусть К — идеал булевой алгебры I всех подмножеств
из /. Пусть, далее, К* есть сг-идеал, порожденный идеалом К, т. е.
К* состоит из всех подмножеств объединений счетного числа членов
из К [легко видеть, что эти члены из К. можно предполагать попарно
не пересекающимися]. Мы будем интересоваться К- и К*-прямыми
суммами групп Gi.
Теорема 42.1 (Фукс [11]). Если К и К* определены как выше, то
факторгруппа
А = ®K*Gi/®KGi A)
алгебраически компактна.
206 Гл. VII. Алгебраически компактные группы
Отбрасывая тривиальный случай, предположим, что К=^К*.
Из предложения 38.5 и теоремы 38.1 следует, что нам достаточно уста-
установить разрешимость в группе А системы уравнений
S n,hxh = aj (aj б А; / = 1, 2, ...) B>
со счетным числом неизвестных и уравнений, каждая конечная подси-
подсистема которой имеет решение в А. Выберем сначала представители
Щ € п), где п] ? Фк*Ог. и рассмотрим множество индексов
6 = U s(aj);
так как все носители s (а}) принадлежат К*, то, очевидно, ? 6 К*»
Если | ? К, то xh = 0 является решением. Поэтому предположим, что
| $ К. По условию подсистема Bт) системы B), состоящая из первых
т уравнений системы B), имеет решение в группе А. Приписывая
значение 0 неизвестным, не входящим явно в Bт), мы получим для
каждого т значения xh =H(k, m) ? А, удовлетворяющие первым т
уравнениям системы B).
Перейдем к системе уравнений
bj ] (;к|; /=1, 2, ...) C)
и выберем какие-нибудь представители g(k, m) €g(k, m) в группе
®K»Gi, причем в качестве представителя смежного класса 0 возьмем 0.
Система (Зт), состоящая из первых т уравнений системы C), может
не удовлетворяться значениями xh = g (k, m), но множество ?m индек-
индексов i f /, для которых 1-е компоненты элементов 2 tijkg (k, rri) и а^
[как элементов из ©k^GJ при /=1,2, . . ., т различны, обязательно
является членом идеала К. Исходя из множеств %lt . . ., ?m, ... ? К,
определим последовательно множества Со» (д. • • •. Cm, • • • 6 К
так, чтобы они попарно не пересекались и чтобы было
• • • U Cm-l), • • •
и, кроме того,
U Cm = SUllU...U5mU... •
m=0
Это легко сделать.
Для завершения доказательства положим gh = (. . ., gki, . . .),
где gkt есть /-я компонента элемента g (k, т), если / ? Cm, и ?А< = О
в противном случае. Тогда, очевидно, gk ? ©k«Gj- Так как i-e ком-
компоненты элементов S^ft^ft и а/ ПРИ ' 6 Cm совпадают, если /<1 /п, то
h
_
ясно, что Xk — gk — решение всей системы B).
§ 42*. Дополнительные сведения об алгебраически компактных группах 207
Если множество индексов / счетно и К — идеал, состоящий из
всех конечных подмножеств из /, то К* = I, и мы получаем интерес-
интересный частный случай теоремы 42.1:
Следствие 42.2 (Хуляницкий [3]). Для любого счетного семей-
семейства групп Gn {п = 1, 2, . . .) факторгруппа
II п/ е n
п=1 п=1
алгебраически компактна. и
Об инвариантах этой факторгруппы см. в работе Големы и Хуляницкого [II.
Довольно интересным свойством алгебраически компактных групп
является существование в них обобщенных пределов [факт, обнаружен-
обнаруженный Лосем [3]].
Пусть «а — бесконечное кардинальное число, <о0 — первое поряд-
порядковое число мощности на- Последовательности а0, ах, . . ., ар, ...
(р <; <о0) элементов группы А будем коротко обозначать через {ар}р<1Ло.
Ограничимся вполне упорядоченными последовательностями одного
и того же типа а>а.
Мы скажем, что группа А допускает аа-пределы, если каждой
последовательности {ар}р«ос элементов группы А сопоставлен одно-
однозначно определенный элемент а ? А, обозначаемый через
а — (o0-lim cp,
причем
1) coCT-lim (ар + Ьр) = coa-lim ар + а>а-\ш Ьр;
2) «vlim ар = а, если ар = а для всех р < со„;
3) (O0-lim ар = соа-Нш Ьр, если ар = Ьр при р > р0 для некоторого
фиксированного р0 < Щ*
Другими словами, о>а-предел аддитивен, сопоставляет константу
последовательности констант и является одним и тем же для после-
последовательностей, которые, начиная с некоторого места, совпадают.
Несмотря на эти естественные предположения, определение может
показаться на первый взгляд несколько странным, так как требуется,
чтобы все последовательности типа со0 имели соа-предел. Как можно
ожидать, это дает хаусдорфову топологию только в тривиальном
случае, когда А = 0. Но, с другой стороны, это понятие представ-
представляется интересным в свете следующей теоремы.
Теорема 42.3 (Лось [3]). Если группа А допускает щ-предеш, то
она алгебраически компактна. Если группа А алгебраически компакт-
компактна, то она допускает щ-пределы при любом а.
Как видно из определения, существование со0-пределов равносиль-
равносильно существованию такого гомоморфизма
208 Гл. VII. Алгебраически компактные группы
прямого произведения счетного числа групп, изоморфных группе Л,
в группу Л, что
¦ц (а, . . ., а, . . .) = а и к\ (ФА) = 0.
Следовательно, можно рассматривать г\ как гомоморфизм группы
А* = Л*°/ФЛ в группу А. Пусть 6: а >-*¦ (а, . . ., а, . . .) + (ФЛ) —
диагональное отображение группы А в группу А*. Очевидно, Ьц —
эндоморфизм группы А*, оставляющий каждый элемент из 6А на
месте. Значит, 6Л эё А —прямое слагаемое группы Л*. Из следст-
следствия 42.2 мы знаем, что Л* — алгебраически компактная группа, отку-
откуда группа Л также алгебраически компактна.
Обратно, пусть Л — алгебраически компактная группа, а —
порядковое число и G = {J Л/ФЛ, где в прямом произведении и в пря-
прямой сумме взято на групп, изоморфных группе Л. Диагональное отобра-
отображение б: Л -*- G [где Ьа = (а, . . ., а, . . .) + (®А)] является моно-
мономорфизмом, причем, очевидно, 6Л — сервантная подгруппа группы
<3. В силу алгебраической компактности группы 6Л имеем G = 6Л Ф Н
для некоторой подгруппы Н<= G. Если дана какая-то со0-последова-
тельность {ар}р<о) , то ее можно рассматривать как элемент из Ак",
а бЛ-компонента определяемого ею в G смежного класса дает соа-пре-
дел в А. ш
Следует заметить, что ©„-пределы могут быть определены в груп-
группе Л не единственным образом. В самом деле, последняя часть дока-
доказательства показывает, что при любом выборе подгруппы Я можно
определить «„-пределы.
Упражнения
1. Группа алгебраически компактна тогда и только тогда, когда
она служит прямым слагаемым для группы вида ДС/Фб, где число
компонент счетно.
2. Доказать, что всякую группу G можно вложить в качестве сер-
вантной подгруппы в алгебраически компактную группу путем взятия
диагонали в Ц G/(BG [число компонент счетно].
3. Если дана группа G, то существует алгебраически компактная
группа мощности ^ | G |No, содержащая группу G в качестве сервант-
ной подгруппы.
4. Пусть Gn (/г = 1, 2, . . .) — такие редуцированные группы, что
не существует натурального числа т, для которого mGn — 0 при почти
всех п. Доказать, что группа I]Gn/® Gn не редуцированная.
п п
5 (Баумслаг и Блэкберн [1]). Если Gn (п = 1, 2, . . .) — редуци-
редуцированные группы, то ©О„ служит прямым слагаемым для [J Gn тогда
п п
и только тогда, когда mGn = 0 для некоторого т>0и почти всех п.
[Указание: для доказательства необходимости использовать упр. 4.]
Замечания 209
6. Пусть Я — подгруппа группы П Git состоящая из элементов
со счетным носителем. Доказать, что HI@Gi служит прямым слагае-
слагаемым для I] GilQGi.
7 (Бальцежик [3]). Пусть А = [\Z/ ©Z, где число компонент счет-
счетно. Доказать, что
где Ар есть р-адическое пополнение группы © Jp и с = 2No. [Указа-
с
ние: элемент (slt . . ., т\ sm, . . .)-бП^ делится по модулю ©Z
на любое т; выбрать множество мощности с последовательностей
s1? . . ., sm, . . ., где sm равно 0 или 1 и любые две последовательности
отличаются друг от друга на счетном числе мест; таким же образом
доказать, что | А/рА | = с]
8. Пусть А — хаусдорфова топологическая группа, в которой
«0-пределы существуют и являются пределами в топологическом
смысле. Тогда А = 0.
Замечания
К открытию алгебраически компактных групп Капланского [2] привела
проблема описания алгебраического строения компактных абелевых групп. Он
сформулировал определение в терминах теоремы разложения 40.1 и доказал, что
все компактные группы являются алгебраически компактными [точный резуль-
результат см. в следствиях 47.3 и 47.4]. Лось [1], [21 шел по другому пути. Он рассмат-
рассматривал группы, обладающие свойством, взятым нами в качестве определения алге-
алгебраической компактности, и доказал, что эти группы и только они являются
прямыми слагаемыми компактных групп. Бальцежик [2] заметил, что классы
групп, изучавшиеся Капланским и Лосем, совпадают. Имеющая большое значе-
значение сервантная инъектйвность была открыта Марандой [1]. В § 38 излагаются
результаты Фукса [10].
Теория полных групп построена Капланским [2], который сообщает, что
в случае групп без кручения это сделано Флейшером.
Исходя из определения сервантности для модулей, не представляет труда
дать для них определение алгебраической компактности. Удивительным образом
оказывается, что, как показал Варфилд [Warfield R., Рас. J. Math., 28 A969),
699—720], для коновской сервантности имеет место теорема 38.1 [за исключени-
исключением п. в)]. Алгебраическая компактность над левым нётеровыми кольцом R
изучалась Фуксом (Fuchs L., Ind. J. Math., 9 A967), 357—374]; большинство
результатов справедливо для любого кольца R. Оказывается, что алгебраиче-
алгебраическая компактность расщепляется на различные m-компактности, зависящие
от мощности m множества неизвестных в теореме 38.1, д), но это различие исче-
исчезает, как только достигнута мощность | R | [таким образом, для счетного кольца
m-компактности совпадают при всех бесконечных т]. Об алгебраической ком-
компактности общих алгебраических систем см. Мицельский (Mycielski J., Coll.
Math., 13 A964), 1—9).
Один замечательный факт, подчеркивающий важность алгебраически ком-
компактных групп, видимо, не является широко известным: инъективный модуль М
над произвольным кольцом R обязательно алгебраически компактен как абелева
группа [если D — делимая оболочка аддитивной группы модуля М, то М — под-
подмодуль, а значит прямое слагаемое модуля Homz (R, D), который в силу теоремы
47.7 является алгебраически компактной группой].
14 л. Фукс
210 Гл. VII. Алгебраически компактные группы
Проблема 23. Пусть Ах, . . ., Ап, ... — бесконечные
циклические группы. Существует ли на группе [[ Ап такая топология,
что ФЛ„ — замкнутая подгруппа, а факторгруппа Ц Ап/ФАп ком-
компактна в индуцированной топологии?
Проблема 24. Охарактеризовать группы, являющиеся фак-
факторгруппами прямых произведений по прямым суммам.
Проблема 25. Описать строение ультрапроизведений.
Если Ai (i 6 /) — множество групп и К — простой идеал булевой алгебры
всех подмножеств множества /, то ультрапроизведение — это факторгруппа
прямого произведения J| Л( по К-прямой сумме фк At. Предполагаем, что
конечные подмножества множества / принадлежат К.
Проблема 26. Какие группы являются обратными пределами
групп, каждая из которых — конечная прямая сумма ограниченных
и'квазициклических групп?
См. § 39, упр. 13.
Проблема 27. Для заданного порядкового числа а ^- 1 найти
группы, выделяющиеся прямыми слагаемыми из всякой группы, где
они х„-сервантны.
Проблема 28. а) Найти условия, которые нужно наложить
на группу, чтобы она была (счетной) прямой суммой полных групп,
б) Охарактеризовать эти группы с помощью инвариантов.
Проблема 29. Какие алгебраически компактные группы могут
быть аддитивными группами инъективных модулей?
Глава VIII
ГРУППЫ ГОМОМОРФИЗМОВ
Эта глава посвящена изучению групп гомоморфизмов. Это означает, что
элементы групп — гомоморфизмы фиксированной группы А в фиксированную
группу С. Тот факт, что такие гомоморфизмы образуют группу Нот (А, С),
оказался исключительно глубоким. Оказалось, что группы гомоморфизмов
обладают многими замечательными свойствами и могут быть использованы
в различных случаях.
Наша первая задача — установить элементарные свойства групп гомомор-
гомоморфизмов и отметить, что они ведут себя как функторы. Неожиданным является
то, что в некоторых важных случаях группа Нот (А, С) алгебраически компакт-
компактна; например, это так, если А — периодическая группа или если С — алгебраи-"
чески компактная группа. В этих случаях можно определить инварианты группы
Нот (А, С) через инварианты групп А и С. В частности, если С — аддитивная
группа действительных чисел, рассматриваемых по модулю 1 [случай, когда
группа Нот (А, С), на которой введена некоторая топология, является группой
характеров группы А], то получающееся описание групп Нот (А, С) приводит
к полной характеризации строения компактных (абелевых) групп.
Наконец, мы коснемся теории двойственности Л. С. Понтрягина. Так как
мы не собираемся изучать эту теорию слишком подробно, мы ограничимся случа-
случаем, когда более глубокие результаты не нужны. В соответствии с этим мы рас-
рассмотрим двойственность между дискретными периодическими группами и 0-мер-
0-мерными компактными группами.
§ 43. Группы гомоморфизмов
В § 2 мы уже отметили, что если аир — гомоморфизмы группы А
в группу С, то их сумма а + Р, определяемая равенством
(а + Р) а = аа + ра (а ? А),
снова является гомоморфизмом группы А в группу С. Теперь не пред-
представляет труда проверить, что гомоморфизмы группы А в группу С
образуют абелеву группу [на самом деле — подгруппу группы СА].
Эту группу мы будем называть группой гомоморфизмов группы А
в группу С и обозначать через Нот (А, С). Нулем этой группы являет-
является тривиальный гомоморфизм группы А в группу С, обратный эле-
элемент —а для элемента а: А -> С переводит элемент а ? А в элемент
—аа 6 С.
Если А — С, то гомоморфизмы группы А в группу С являются
эндоморфизмами группы А, и группа Нот (А, А) = End А назы-
называется группой эндоморфизмов группы А. Группу End А можно пре-
превратить в кольцо, см. гл. XV.
14*
212 Гл. VIII. Группы гомоморфизмов
Пример 1. Если А = Z, то любой гомоморфизм a: Z -*¦ С вполне опре-
определяется элементом «1 = с F С), причем, очевидно, для каждого элемента с ? С
существует такой гомоморфизм a: Z -+- С, что а1 = с. Так как из al = cit
f$l = сг следует (a + P) 1 = Cj + сг, то соответствие a (-•¦ с, если al = c, ока-
оказывается естественным изоморфизмом между группой Нот (Z, С) и группой С,
т. е.
Нот (Z, С) з С.
Пример 2. Если А — Z (т), то опять каждый гомоморфизм a: Z (т) -*¦
-*¦ С характеризуется образом al = с образующего элемента 1, но здесь должно
выполняться условие тс = 0, т. е. с 6 С [т]. Обратно, всякое такое с позволяет
построить гомоморфизм а: 1 н-*- с, и, как в предыдущем примере, а ь->¦ с, где
al = с, является естественным изоморфизмом
Нот (Z (m), QsC [/л].
Пример 3. Пусть Л — квазициклическая группа, скажем А = <flj, . . .
. . :, dn, . . .), где pat = 0, pan+i = ап (я > 1), и пусть Л = С. Если т) —эндо-
—эндоморфизм группы А, то для каждого п справедливо Т|ап = knan, где /гп — целое
число @ < kn < />"). Теперь из fenan = цап = ¦»] (pan+i) = РЦап+1 = ftn+ian выте-
вытекает ftn = ^n+i mod pn, откуда следует, что последовательность ?1( . . ., fen, . . .
стремится к целому р-адическому числу п. Соответствие т) н-*- п между эндомор-
эндоморфизмами т) и целыми р-адическими числами я, как легко видеть, аддитивно. Если
эндоморфизмы t]i, т|г группы Л определяют одно и то же число л, то эндоморфизм
тц — тJ отображает каждый элемент ап в 0, т. е. r\t — тJ = 0. Если я = so+
-r Sip + • • • + Sji/7™ + • • • — какое-то целое р-адическое' число, то соответ-
соответствие ап н-* (s0 + SiP + ... + Sn-iP™-1) an [этот последний элемент можно
обозначить через лап] однозначно продолжается до такого эндоморфизма т) груп-
группы А, что г] н-*- я. Мы получаем
End Z (р°°) а Jp.
Пример 4. Пусть теперь А = Q(P) — группа рациональных чисел со зна-
знаменателями, являющимися степенями простого числа р, и пусть С = Z (р°°).
Если С = (cit . . ., с„, . . .). где ра — 0, pcn+i = сп (я > 1), и если мы усло-
условимся считать p~h сп = cn+h при ft > 1, то р-адическое число р= р1п [где я
есть р-адическая единица, / — целое число ] будет порождать такой гомоморфизм
yj; Q<.p) _>. 2. (р00), что р"пь-* р'ясп [заметим, что образы] чисел р~п ? С(Р)(л =
= 1,2, . . .) в Z (р00) вполне определяют гомоморфизм ц]. Из предыдущего при-
примера ясно, что различные р-адические числа р дадут различные гомоморфизмы,
и легко проверить, что каждый элемент группы Нот (Q(p>, Z (р00)) может быть
так получен. Следовательно, группа Нот (Q(p>), Z (р00)) изоморфна аддитивной
группе всех р-адических чисел, т. е.
Horn (Q<p>, Z (p°°))=s © Q, где с = 2Ко.
с
Пример 5. Если А = С = Jp — группа целых р-адических чисел, то,
очевидно, умножение на фиксированное целое р-адическое число я является
эндоморфизмом Ti (я) группы Jp, причем различные целые р-адические числа дают
различные эндоморфизмы, так как они по-разному действуют на элемент 1 6 Jp.
Если i — какой-то эндоморфизм группы Jp и ?1 = я 6 Jp, то g = r\ (я). Дей-
Действительно, тогда (I — т| (я)) 1 = 0, откуда (I — т) (я)) п = 0 для любого целого
рационального числа я 6 Jp, т. е. Z [как , подгруппа группы Jp] содержится
в ядре Кег (| —^ (я)). Так как JJZ — делимая группа, а группа /р редуциро-
редуцированная, то Ур/Кег A —Л (я)) = 0, откуда | = г\ (я), что и требовалось. Мы
получаем, что
End Jp ss 7p. ' •' /
§ 43. Группы гомоморфизмов 2\Ъ
Теперь приведем некоторые простые факты, касающиеся групп
гомоморфизмов.
A) Нот (А, С) = 0 в следующих случаях: 1) А —периодическая
группа, С — группа без кручения; 2) А является р-группой, С являет-
является ^-группой, где р, q — различные простые числа; 3) Л — делимая
группа, С — редуцированная группа.
Б) Если С [п] — О для некоторого целого числа \ п, то
Нош (Л, С) Ы] — 0 для любой группы А.
Пусть а ? Нот (А, С) и па = 0. Для любого элемента а ? А мы
имеем п (аа) = (па) а = 0, откуда в силу того, что С [п] = 0, полу-
получается аа — 0, т. е. а = 0.
B) Нот (Л, С) — группа без кручения, если С — группа без круче-
кручения.
Г) Если С — делимая группа без кручения, то Нот (Л, С) —
делимая группа без кручения.
Чтобы показать, что Нот (Л, С) —делимая группа, возьмем эле-
элемент а ? Нот (Л, С) и натуральное число п. Для любого а 6 А суще-
существует такой однозначно определенный элемент с 6 С, что пс = аа.
Следовательно, мы можем рассматривать отображение C: а*-*- с. Непо-
Непосредственно проверяется, что р1 — гомоморфизм, для которого /гр1 = а.
Аналогично получается: если С — группа, в которой однозначно
определено деление на простое число р, то в группе Нот (Л, С) деление
на р также однозначно определено.
Д) Если для некоторого целого числа п > 0 имеет место пА = А,
то Нот (Л, С) [п\ = 0.
Пусть а 6 Нот(Л, С) и па = 0. Представим элемент а ? Л в виде
nb = а, где b 6 Л. Тогда аа = a (nb) = (па) 6 = 0, откуда а = 0.
Е) Если А — делимая группа, то Нот (Л, С) — группа без кру-
кручения.
Ж) Если А — делимая группа без кручения, то это же имеет место
для группы Нот (Л, С).
Чтобы доказать делимость группы Нот (Л, С), возьмем элемент
а € Нот (Л, С) и натуральное число п. Если дано а 6 Л, то существует
единственный элемент b 6 Л, для которого nb = а. Можно проверить,
что отображение р*: a*-* ab является гомоморфизмом А-*- С, причем,
очевидно, пР = а.
Рассмотрим теперь, как ведет себя группа Нот (Л, С) относитель-
относительно прямых сумм и прямых произведений.
Теорема 43.1. Существует естественный изоморфизм
Нот ( ф At, С) =* П Нот (At, С).
214 Гл. VIII. Группы гомоморфизмов
Ограничение гомоморфизма а: ®Лг->-С на Аг—это гомомор-
гомоморфизм at: Ai-^C. Таким путем мы получаем отображение at-»-
^ (. . ., аи . . .) группы Нот (Ф Аи С) в группу [] Нот (Ait С),
которое, очевидно, является некоторым гомоморфизмом <р. Ясно, что
Ф переводит в @, . . ., О, . . .) только элемент a = 0, т. е. ф — моно-
мономорфизм. Так как любое множество {а{}г?1, где at ? Horn (Ah С),
определяет такой элемент a 6 Нот (ф Аи С), что at — a | At, то
Ф — эпиморфизм. и
Теорема 43.2. Существует естественный изоморфизм
Нот (Л, II С,) ей П Нот (Л, С»).
Если через nt обозначить i-ю координатную проекцию [\ Ci-*~ Cir
то каждый гомоморфизм a ?Horn (A, Д Ct) будет определять гомо-
гомоморфизмы я(а ? Нот (А, Сг). Точно так же, как в предыдущем дока-
доказательстве, получаем, что a >-*¦(..., яга, . . .) — изоморфизм групп
Horn (A, IJ С,) и П Нот (А, С,). ¦
Из этих теорем непосредственно вытекают приводимые ниже след-
следствия.
Следствие 43.3. Пусть А — прямая сумма циклических групп,
и пусть m и тр, k — мощности множеств прямых слагаемых в разло-
разложении группы А, изоморфных соответственно группам Z и Z (ph).
Тогда
Нот(Л,С)^ПС©П fj Ц C[ph]. Л
т р *=1 mp,h
СледствиЕ 43.4. Если А — периодическая группа с р-компонен-
тами Ар и Ср — это р-компоненты группы С, то
Нот (Л, С) ей П Нот (Лр> Ср). в
р
Заметим, что второе слагаемое в следствии 43.3 можно определить
точнее, если использовать следствие 33.3 и пример 2 из § 40.
Пример 6. Для любой группы А
Horn (A, Q) si П Q, где п = г0 (А),
п
В силу п. Г) строение группы Нот (A, Q) определяется с помощью простого тео-
теоретико-множественного подсчета. Пусть F — подгруппа, порожденная макси-
максимальной независимой системой элементов бесконечного порядка группы А. Тогда,
очевидно, между элементами групп Нот (A, Q) и Нот (F, Q) можно установить
взаимно однозначное соответствие. Группа Horn (F, Q) описывается с помощью
теоремы 43.1. Аналогичное рассуждение приводит к более общему результату:
Нот (Л, ф Q) s Ц [ф Q], где п=
ш л га
§ 44. Точные последовательности для Нот 215
Упражнения
1. (а) Доказать утверждения Б) и В), используя то, что
Нот (Л, С)<= СА.
(б) Доказать, что
|Нот(Л, С) |< \С |1А1.
2. Показать, что Нот (А, С) з* Нот (С, Л) и Нот (A, Q/Z) з* А,
если Л и С — конечные группы.
3. Если Л — группа без кручения, С — делимая группа, то
Нот (Л, С) —делимая группа.
4. Описать группу Нот (Л, Z (т)).
5. (а) Доказать, что если С — группа без кручения, то группа
Нот (Q, С) изоморфна максимальной делимой подгруппе группы С.
(б) Найти Horn (Q, С) для произвольной группы С.
6. Описать строение групп Нот (Q/Z, QIZ) и Нот (Jpt Z (р°°)).
7. (а) Если Л и С — нетривиальные р-группы, то или Нот (Л, С) Ф
ф О, или Нот (С, Л) Ф 0.
(б) Привести пример (ненулевых) групп без кручения Л, С, для
которых Нот (Л, С) = 0 = Нот (С, А).
8. Пусть Л и С — редуцированные алгебраически компактные
группы, Ар и Ср — их р-адические компоненты. Доказать, что имеет
место изоморфизм
Нот (Л, С) & Ц Нот (Ар, Ср).
v
9 (Левис [1]). Если для периодической группы Л выполнено
Нот (Л, С) 9* А при некоторой группе С, то Л — конечная группа.
[Указание: А — редуцированная группа; ее базисная подгруппа
конечна.]
10 (Левис [1]). Ранг группы Нот (Л, Z) не меньше п тогда и толь-
только тогда, когда группа Л обладает прямым слагаемым, являющимся
свободной группой ранга п. [Указание: индукция по п.]
11. (а) Если Л — периодическая группа, то теоретико-множествен-
теоретико-множественное объединение U Ima, где а пробегает всю группу Нот (Л, С),
является подгруппой группы С.
(б)* Это не всегда так, если А — группа без кручения. [Указание:
А — группа ранга >- 2, эндоморфизмы которой — умножения на це-
целые числа, а С = Л Ф Л.]
§ 44. Точные последовательности для Нот
В этом параграфе мы покажем, что Нот — функтор. Здесь в осно-
основе лежит понятие индуцированных гомоморфизмов групп гомомор-
гомоморфизмов, так что прежде всего мы введем это понятие.
Пусть а: А' ->- А и у: С -*¦ С—фиксированные гомоморфизмы.
Каждый гомоморфизму 6 Нот (Л, С) порождает гомоморфизм Л' ->- С,
являющийся результатом последовательного выполнения гомо-
216 Гл. VIII. Группы гомоморфизмов
морфизмов
Л л Л с Л с.
Соответствие т) *-*¦ ущ есть гомоморфизм группы Нот (Л, С) в группу
Нот (А', С), который обозначается через
Нот (а, у): Нот (А, С) ->¦ Нот (А', С)
и называется индуцированным гомоморфизмом; точнее, этот гомомор-
гомоморфизм индуцируется гомоморфизмами а и у, что отражено в нашем обо-
обозначении Нот (о, у). При А" —> А' -Д. А и С Д* С -^ С" легко
получается, что
Horn (aa', v'v) == Нот (а', у') Нот (а, у).
Ясно, что
Нот Aд, 1с). = 1 Нот (А, С).
Далее, функтор Нот (а, у), очевидно, аддитивен по а и у. Следова-
Следовательно, мы получаем такой результат:
Теорема 44.1. Нот есть аддитивный бифунктор из категории
А У. .Ж в категорию Л, контравариантный по первому и ковариант-
ный по второму аргументу. и
Иногда бывает удобно использовать для Нот (а, 1С) и Нот AА, у)
сокращенные обозначения, мы часто будем использовать соответ-
соответственно обозначения а* и уш, если это не сможет привести к недоразу-
недоразумению.
Следующий результат связывает Нот с пределами.
Теорема 44.2 (Картан и Эйленберг [1]). Пусть
А = {At (i e /); 4} и С = {Ch (k € К); Рь}
— прямой и обратный спектр групп соответственно, и пусть А =
= lim Au С — lim Ch), где каноническими отображениями являются
лг: At-> А и рй: С->• Ck. Тогда
Н = (Horn (At, Ch) ((i, k) <E / X К); Нот (nf, pi)}
есть обратный спектр групп, предел которого есть Нот (Л, С),
причем каноническими отображениями служат Нот (яг, рй).
Непосредственно проверяется, что Я — обратный спектр. Пусть
Н — его предел. В силу коммутативности диаграммы
Нот (А, С)
Нот (л,-, в j) \Нот(я/, pk) (t < j ', ft < I)
§ 44. Точные последовательности для Нот 217
из теоремы 12.1 получаем, что существует единственный гомомор-
гомоморфизм а, для которого коммутативны все диаграммы
Нот(л;
где aih — канонические отображения. Чтобы показать, что о — моно-
мономорфизм, возьмем i\ 6 Кег or. Тогда а^ат} = 0, т. е. рьФЧ —
= Нот (яь ph) г] = 0 при всех i, k. Следовательно, y\nt: At-*- С —
нулевой гомоморфизм, так как все k-e координаты — нули. Из равен-
равенства ил(Лг = А получаем, что х\ = 0. Любой элемент % 6 Н имеет вид
Ль Ch),
где координаты %lk удовлетворяют нужным условиям. Пусть ц: А—*-
-> С — такое отображение, что если а = яга(, то v\a ==
= (• • •>• Xih^i. • • •) бП^ь- ^erKO проверить, что г\а не зависит
от выбора элемента аг и что ц — гомоморфизм. Заметив, что oih% =
= Xih и огйат) = рьПЛ; = %ih, получаем ву\ = %. Это означает, что
о — эпиморфизм, т. е. изоморфизм. ¦
В качестве приложения полученного результата докажем
Предложение 44.3. Для любого кардинального числа m группа
Нот (Z 0*»), © Z (/>¦»))
изоморфна р-адическому пополнению группы © Ур.
tn
Так как Z (р00) = lim Z (рп), искомая группа гомоморфизмов
является в силу теоремы 44.2 обратным пределом групп
Нот (Z (рп), © Z (/?°°)) ?? ф Z (рп). Простое рассуждение показы-
tn m
вает, что отображение я + 1-го члена на п-й как раз переводит ком-
компоненту Z (pn+1) в соответствующую группу Z (р"). Следовательно,
обратный предел должен быть таким же, как для Glp G, где G =
= Ф Jp, а это — р-адическое пополнение группы G. ¦
m
Исключительно важным результатом, касающимся функтора Нот,
является существование для Нот двух точных последовательностей,
выражающих тот факт, что функтор Нот точен слева.
218 Гл. VIII. Группы гомоморфизмов
Теорема 44.4 (Картан и Эйленберг [1]). Пусть
О -> А —% В —-» С > О A)
— короткая точная последовательность. Тогда для любой группы G
индуцированные последовательности
О -> Нот (С, G) —*-* Нот {В, G) — *-> Нот {A, G), B)
О -+ Нот (G, Л) —^ Нот (G, В) ~-^*-> Нот (G, С) C)
/7ЮЧНЫ.
Чтобы доказать, что Р* — мономорфизм, предположим, что
Т): С -+¦ G — гомоморфизм, для которого 0 = р*т] = r\f>. Так как Р —
эпиморфизм, то г\ = 0. В силу того, что а*р* = (Ра)* = 0* = 0,
нам нужно еще только проверить справедливость включения Кег а*Е
S Imp*. Пусть г\ 6 Кег а*, т. е. ^а = 0. По лемме 2.2 существует
такой гомоморфизм % ? Нот (С, G), что %Р = ц. Поэтому последова-
последовательность B) точна.
Если г\ 6 Кег а„, т. е. ati = 0, то ч\ = 0, так как a — мономорфизм.
Имеем Р»аф = (Ра), = 0» = 0, поэтому достаточно доказать, что
любой элемент ц 6 Кег р# лежит в Ima». В силу леммы 2.1 из равен-
равенства 0 = р„,т| = $х\ следует, что существует % ? Нот (G, Л), для кото-
которого а% = т), т. е. т] g Im а„. Это доказывает точность последователь-
.ности C). ¦
Естественно возникает вопрос, какие условия нужно наложить
на группу G, чтобы последовательности B) и C) можно было допол-
дополнить в конце отображением -*¦ 0 и получить более длинные точные
последовательности. На этот вопрос легко дать полный ответ:
Предложение 44.5. Если дана группа G, то для любой точной
последовательности A) последовательность B) [соответственно после-
последовательность C)] с отображением -> 0 в конце точна тогда и только
тогда, когда G — делимая [свободная] группа.
Очевидно, а* является эпиморфизмом в точности тогда, когда для
любого \: А -*¦ G существует такой гомоморфизм t\: В -*¦ G, что ria =
= 1. Но это означает инъективность группы G. Утверждение, касаю-
касающееся последовательности C), получается двойственным образом. ¦
Прежде чем доказывать следующее предложение, нам нужно ска-
сказать несколько слов о том, какое действие на группу Нот (Л, С)
оказывают эндоморфизмы групп Л и С. Если а: Л-^-Лиу: С -> С —
эндоморфизмы, то индуцированные отображения а*: ц i-*- т^а и у*'
"Л •-* УП> очевидно, являются эндоморфизмами группы Нот (Л, С).
Для этих индуцированных эндоморфизмов выполняется
a*V* = Y*a*.
§ 44. Точные последовательности для Нот 219
как следует из закона ассоциативности (уп) а = у Cna)- Таким обра-
образом, эндоморфизмы групп Л и С индуцируют перестановочные эндо-
эндоморфизмы группы Нот (Л, С). Особенно интересен случай, когда эти
эндоморфизмы являются умножениями на целые числа.
Предложение 44.6. Если а и у — умножения на целое число п,
то а* «у» — умножения на то же число п.
Если а: а у-*- па (а ? Л), то при любом ц: А -*¦ С имеем (а*г\) а =
= г\аа = цпа = (т\) а, откуда а*т] = пц. Для v* утверждение дока-
доказывается! аналогично. в
В заключение мы докажем предложение, аналогичное теореме 44.4,
для сервантно точных последовательностей.
Предложение 44.7 (Фукс [9]). Если последовательность A) сер-
сервантно точна, то последовательности B) и C) также сервантно точны.
Чтобы проверить, что Im Р* есть р-сервантная подгруппа группы
Нот (В, G), возьмем ц 6 Нот (В, G) и % 6 Нот (С, G), для которых
рпц = хР- Тогда из включения Imag Ker хР = Кег рпх\ будем
иметь Im p"as Кегт). Согласно предположению и теореме 27.10,
существует прямое разложение
В/рп (аА) = аА1рп (аА) 0 В'1рп (<хЛ),
где В' — некоторая подгруппа группы В. Обозначив через я проек-
проекцию на второе слагаемое, положим <рй = т^'я (Ь + рпаА) [где
т)' (Ь + рпаА) = х\Ь\. Это даст нам гомоморфизм ср: В -*¦ G, для кото-
которого рпц> = рпц. Так как аЛ е Кег ф, то существует такое 0: С -*¦ G,
что ф = ЭР, и из рп @Р) = рпф = рпц = хР вытекает, что последо-
последовательность B) р-сервантно точна.
Обратимся к последовательности C). Пусть рпх\ = ах, где т|6
€ Нот (G, В), х 6 Нот (G, Л). Тогда рчц отображает группу G в аЛ,
a Ti отображает группу G в р~паЛ. В силу теоремы 28.4 группа аА
служит прямым слагаемым для р~ааА, т. е.
р-паА = аА 9 5',
где В' — некоторая подгруппа группы В. Если я — проекция
на первое слагаемое, то для ф = а^ят] 6 Horn (G, Л) выполнено
р"аср = ах, так как рпВ' = 0. Следовательно, C) есть р-сервантно
точная последовательность. а
Следующий результат является точным аналогом предложе-
предложения 44.5.
Предложение 44.8. Если группа G фиксирована, то для любой
сервантно точной последовательности A) последовательность B)
[последовательность C)] остается точной при добавлении в конце ото-
отображения -> 0 тогда и только тогда, когда группа G алгебраически
компактна [является прямой суммой циклических групп].
220 Гл. VIII. Группы гомоморфизмов
Так же как в доказательстве предложения 44.5, получается, что
сформулированное условие эквивалентно сервантной инъективности
[сервантной проективности]. а
Упражнения
1. Доказать, что End Jp sz Jp, используя изоморфизм
End Jp ~ limn Horn (/pt Z (pn)).
¦*—
2. Для кардинального числа m найти строение групп
Нот {Q/Z, © Q/Z) и Нот (Q/Z, \\QIZ).
т т
3. Описать строение групп Нот ($Q, ©Q) и Нот(ф/Р, @JP)
т nt mm
для любого кардинального числа т.
4. Найти Нот (Л, Jp) для произвольной группы Л.
5. Если группа Л или группа С является р-группой, то Нот (А, С)
есть р-адический модуль.
6. (а) Если а [соответственно у] — автоморфизм группы А [груп-
[группы С], то он индуцирует автоморфизм группы Нот (Л, С).
(б) Вывести из (а) утверждения Ж) и Г) из § 43.
7. Пусть а: Л ->- В — такой мономорфизм, что для любой группы
G индуцированное отображение а*: Нот (В, G) -*¦ Нот (Л, G) являет-
является эпиморфизмом. Показать, что аЛ служит для группы В прямым
слагаемым.
8. Пусть Р: В -*- С — эпиморфизм. Если для любой группы G
индуцированное отображение $„: Horn (G, В) -> Нот (G, С) является
эпиморфизмом, то последовательность 0 -> К.ег $ ->- В -> С ->¦ 0 рас-
расщепляется.
9. Если A) — такая точная последовательность, что последова-
последовательность B) [или последовательность C)] сервантно точна при любой
группе G, то A) — сервантно точная последовательность. [Указание:
взять G — В/рпаА или G = Z; в первом случае Нот (С, *) — сер-
вантная подгруппа группы Нот (В/рпаА, *), причем факторгруппа
по этой подгруппе ограниченная.]
10. Последовательность A) является сервантно точной тогда и
только тогда, когда для любой группы G = Z (пг) отображение а*
в последовательности B) [отображение Р* в последовательности C)] —
эпиморфизм.
11. Пусть 0 -> Л ->- В -*¦ С -*- 0 — точная последовательность.
Индуцированная последовательность
0 -> Нот (Г, Л) -> Нот (Т, В) -»- Нот (Г, С) -*- 0
точна для любой периодической группы Т тогда и только тогда, когда
последовательность периодических частей
0 -> Т (Л) -> Т (В) -> Т (С) -* 0
точна и расщепляется. [Указание: выбрать Т — Т (С).]
§ 45*. Некоторые подгруппы группы Нот
§ 45*. Некоторые подгруппы группы Нош
В различных исследованиях оказались полезными некоторые уси-
усиления теоремы 44.4. Если, как в предложении 44.7, предполагать
не только точность последовательности A), то при некоторых условиях
можно сказать больше об индуцированных последовательностях B),
C) § 44. Мы хотим дать довольно общий метод получения утвержде-
утверждений, более тонких, чем теорема 44.4. Изложение будет вестись в соот-
соответствии с работой автора (Фукс [12]).
Мы будем иметь дело с категорией А абелевых групп и с одним
из следующих двух типов категорий, получаемых с помощью А.
Во-первых, для каждого объекта А ? А выберем идеал Ц струк-
структуры L (А) всех подгрупп группы А [инвариантность этого выбора
при изоморфизме не предполагается]. Обозначим через (А, I) кате-
категорию, объекты которой — пары (А, 1А) для всех А ? А и морфиз-
мы которой —
а: (А, \А) -* (В, 1В), A)
где а: А -> В — групповой гомоморфизм, при котором
alA = {aA' |Л'61д}е1в,
т. е. подгруппы из \А отображаются на подгруппы из \в. Легко про-
проверить, что (А, I) действительно является категорией.
В отличие от обычного в теории категорий определения назовем
мономорфизмом отображение A), являющееся групповым мономор-
мономорфизмом и удовлетворяющее условию
.о1А = {аА П В' |в'б1в>.
Эпиморфизмом назовем отображение A), на которое можно сокращать
справа. Легко видеть, что это просто морфизм категории (А, I),
являющийся эпиморфизмом в обычном теоретико-групповом смысле.
Назовем последовательность
О -* (A, IA) -%. (В, 1В) —!U (С, 1С) -* О
точной или, эквивалентно этому, назовем последовательность
О —> А —>• В —> С —> 0 1-точной, если а и Р — соответственно
мономорфизм и эпиморфизм в категории (А, I).
Приведем некоторые примеры. В силу определения морфизмов
достаточно рассматривать объекты, а они характеризуются идеалом
1А. Идеал \А можно выбрать состоящим из 1) всех подгрупп груп-
группы А; 2) конечных или конечно (ко)порожденных подгрупп; 3) огра-
ограниченных или периодических подгрупп группы А; 4) ограниченных
или произвольных р-подгрупп; 5) подгрупп, мощность которых мень-
меньше бесконечного кардинального числа т; 6) подгрупп, являющихся
222 Гл. VIII. Группы гомоморфизмов
эпиморфными образами групп некоторого класса, замкнутого относи-
относительно взятия подгрупп и конечных прямых сумм; наконец, 7) в ка-
качестве объектов можно взять все пары (Л, 1Д), где A ?Л и 1А про-
пробегает все идеалы из L (А). Легко видеть, что I-точность в случаях
1) — 6) эквивалентна точности последовательности.
Выберем теперь в структуре L (А) дуальный идеал DA для каж-
каждого А ? Л и обозначим через (Л, D) категорию, состоящую из объек-
объектов (A, DA) для всех Л Ы и морфизмов
Ф: (A, DA)^(B, DB), B)
где ср: А ->- В — такой групповой гомоморфизм, что для любого В' ?
6 DB существует А' 6 DA, для которого фЛ'е В'. Другими словами,
если рассматривать группы с определенной на них D-топологией, то
морфизмы категории (Л, D)—это не что иное, как непрерывные
гомоморфизмы. Отсюда сразу следует, что (Л, D) — снова категория.
Теперь для определения мономорфизмов в категории D, D) мы
используем, двойственным образом, возможность сокращать слева,
т. е. назовем морфизм B) мономорфизмом, если это мономорфизм
в теоретико-групповом смысле. Морфизм ф назовем эпиморфизмом
категории (Л, D), если это групповой эпиморфизм, для которого
фЭА = DB. Ясно, как определить точность последовательности
О -+ (A, DA) Л (В, DB) Л (С, Во) -> О
и D-точность последовательности 0 —> А —*¦ В —*¦ С —> 0.
Можно привести много примеров категорий типа {Л, D). Каждый
из указанных выше примеров 1) — 6) даст пример категории (.4, D),
если заменить требование, наложенное на подгруппы, таким же тре-
требованием на соответствующие факторгруппы. Еще пример — аналог
примера 7). Наконец, в качестве DA можно взять дуальный идеал
всех существенных подгрупп группы А. Снова D-точность в примерах
1) — 6) означает просто точность, а в последнем примере она означает
слабо сервантную точность.
Вместо того, чтобы рассматривать группы морфизмов в категории
(Л, I) или (Л, D), мы обратимся к более важным подгруппам груп-
группы Нот.
Пусть А^Л и (С, \с) ?{Л, I). Рассмотрим все гомоморфизмы
х\: А -*¦ С (в категории Л), для которых
Imrieic C)
Если для гомоморфизма %: А-> С имеет место Imru^Ic, то из
Im (% — у\) s Im % + Im г| получаем, что множество всех гомомор-
гомоморфизмов, для которых выполнено условие C), является подгруппой
группы Нот (А, С). Эту подгруппу мы будем обозначать через
Нот (А, С 11).
§ 45*. Некоторые подгруппы группы Нот 223
Аналогично при (Л, DA) ? {Л, D) и С 6 i множество всех гомо-
гомоморфизмов %: А -> С (в категории А), для которых
Кег х 6 DA, D)
является подгруппой Нот (А | D, С) группы Нот (А, С). В самом деле,
если для %4: А -*• С также имеет место включение Кег %i ? Da, to
из Кег % П Кег Xi s Кег (% — %t) следует, что одновременно с х и Xi
также х — xi обладает свойством D).
Наконец,
Нот (А 1 D, С | I) = Нот (А, С 11) П Нот (Л I D, С),
очевидно, является множеством всех гомоморфизмов А -*- С, для
которых выполнено и C), и D).
Морфизмы а: (В, DB)-*-(A, DA) и <р: (С, 1с) -»¦ (О, 1В) индуци-
индуцируют гомоморфизм
Нот (о, ф): Нот (Л | D, С 11) -> Нот (В | D, D | I),
а именно, ti ь-»- фт)а. В самом деле, Im фч^ае Im фт) 6 ф'с cz I^, и если
для В'€ Ов выполнено аВ' = Кег -л 6 Da. то В'^Кетца^
Е Кег ф^а. В силу этого мы заключаем, что Horn (A \ D, С 11) —
аддитивный бифунктор из категории (Jt, D) X (Jb, I) в категорию^,
контравариантный по первому и ковариантный по второму аргументам.
В следующих теоремах мы для простоты положим Нот (а, 1) =
= а*, Нот A, ф) = ф,.
Теорема 45.1 (Фукс [12]). Если 0->лДвЛс->0 есть
И-точная последовательность, то для любой группы G и любой кате-
категории (А, I) индуцированная последовательность
О ->Hom(C|D;G|I) -^Hom(B|D, G11)-^t Нот (Л | D, G|I)
точна.
Тот факт, что р* — мономорфизм, непосредственно вытекает из тео-
теоремы 44.4. По той же причине а*р* = 0. Следовательно, достаточно
проверить справедливость включения Кег а* е Imp*. Пусть т) €
6 Кег а*. Тогда по теореме 44.4 существует такой гомоморфизм х 6
6 Нот (С, G), что хР = "П- Очевидно, 1т х = 1т Л 6 'о. а из того,
что Кег хз Р Кег Т1 и Кегт] ? DB, следует, что Кег X € Dc- Таким
образом, х € Нот (С \ D, G 11). a
Теорема 45.2 (Фукс [12]). Если 0->Л ДвЛс->0 есть
I-точная последовательность, то для любой группы G и любой катего-
категории {d, D) имеем точную последовательность
0 ->Hom(G|D, i4|I)^tHom(G|D, fi|I) -^ Hom(G|D, C\ I).
Как и в доказательстве теоремы 45.1, мы можем ограничиться
проверкой справедливости включения Кег р„? Im a#. Пусть rj 6
224 Гл. VIII. Группы гомоморфизмов
? Кег р„. В силу теоремы 44.4, для некоторого % ? Нот (G, А) выпол-
выполнено а% = х\. Так как а — мономорфизм, то Кег % = Кегт] ? Dg.
Очевидно, а1т% = 1тт1(Мв. поэтому Im % 6 1А. Таким образом,
X?Hom(G|D, A\ I). a
Займемся, наконец, представлением группы Нот (Л | D, С \ I)
в виде прямого предела.
Идеал 1с очевидным образом определяет прямой спектр
{Cj (i ? J); п\} подгрупп С* группы С: включение C;s Cj означает,
что i ^ /, а отображения я?: Ct-*- Cj — вложения. Аналогично DA
определяет обратный спектр {A/Ah (k 6 К)\ Рй} факторгрупп груп-
группы Л, где k ^ I тогда и только тогда, когда Л^э Лг, а отображения
РйГ A/Ai~>- AIAh индуцируются тождественным отображением груп-
группы Л, т. е. р^: а + Л( н-»¦ а + Ah. Легко проверить, что
{Horn (A/Ah, CO ((k, i) е К X J); Нот (рй, я!)}
— прямой спектр групп. Кроме того, справедливо
Предложение 45.3 (Фукс [12]). Существует естественный
изоморфизм
lim Horn (A/Ak, Ct) ^ Horn (Л | D, С 11).
Обозначим предел прямого спектра через Я, и пусть
ahi: Horn (A/Ah, Ct) -*~ Н — канонические гомоморфизмы, т. е.
Си Нот (рй, п{) = aft/ при i ^ /, ft ^ Л Так как я| — мономорфиз-
мономорфизмы, а pi — эпиморфизмы, то из теоремы 44.4 вытекает, что
Нот (рй, я|)—мономорфизмы. Следовательно, по п. е) § 11 ahi —
мономорфизмы. Для естественных гомоморфизмов ph: Л -»- AIAh и
вложений яг: Ci^>- С отображения
Нот (рй, Я|): Нот (A/Ak, С,) -»- Нот (Л | D, С | I)
таковы, что
Нот (рь я;) Нот (pL п{) = Нот (pft, яг) (i < /; ^ < /)•
Поэтому в силу теоремы 11.1 существует такой однозначно опреде-
определенный гомоморфизм а: Н -*~ Нот (Л | D, С \ I), что
Horn (pft, л,) = aafti. E)
Снова в силу теоремы 44.4 отображение, стоящее в левой части, являет-
является мономорфизмом. То же должно иметь место для о, так как если
элемент h 6 Н лежит в Кег а, то при h = омЦы [для некоторого
г\ы ? Нот (Л/Ли, С{)] получается Horn (pft, nt) y\ht = aahiy\hi =
= ah = 0, откуда t]ki = 0 и h = 0. Чтобы доказать, что a — эпимор-
эпиморфизм, примем во внимание то, что группы Нот (pft, я4) Нот (A/Ah, Ct)
__^ § 46. Группы гомоморфизмов периодических групп 225
исчерпывают вместе всю группу Нот (А | D, С \ I). Поэтому из E)
вытекает, что а — эпиморфизм и, следовательно, изоморфизм. Что
он — естественный, ясно из определения. а
Упражнения
1. Проверить справедливость утверждений, сформулированных
в приведенных выше примерах и касающихся I-точности и D-точности
последовательностей.
2. (Фукс [12]). Для категории (Jk, I) обозначим через Нопц (А, С)
множество всех морфизмов (Л, 1А) -*• (С, 1с). Доказать, что
(а) Ноли (А, С) — подгруппа группы Нот (А, С);
(б) Homi — точный слева функтор по обоим аргументам.
3 (Фукс [12]). Для категории (A, D) обозначим через Homo (А, С)
множество всех морфизмов (A, Da) -*• (С, Dc). Проверить справедли-
справедливость утверждений, аналогичных утверждениям (а) и (б) в упр. 2.
4. Пусть категория (Л, I) такова, что 1л состоит из всех подгрупп
группы А, принадлежащих некоторому классу групп X [замкнутому
относительно взятия прямых сумм, подгрупп и эпиморфных образов],
и пусть (Л, D) — категория, где DA состоит из всех подгрупп
А''? А, для которых А/А' ?$. Показать, что Нот (Л | D, С) =
= Нот (Л, С | I).
5. Привести примеры категорий (Л, I) и (Л, D), где
Нот (Л | D, С | I) перестановочен по обоим аргументам с взятием
бесконечных прямых сумм. [Указание: взять подгруппы конечного
порядка и конечного индекса соответственно.]
6. Пусть (А, I) — категория, где 1А состоит из всех ограничен-
ограниченных подгрупп группы Л. Если В — базисная подгруппа р-группы Л, то
(а) Нот (Л, С |,1) а Нот (В, С | I);
(б) Нот (В, С 11)—периодическая часть группы Нот (В, С);
(в) если Л = ®Ai, то Нот (Л, С \\) — периодическая часть
прямого произведения групп Нот (Л(, С | I).
7. Пусть {Л, I) — категория, где \А — все конечные подгруппы
группы Л. Пусть Л — периодическая или полная группа с р-компо-
нентами Лр. Доказать, что имеет место изоморфизм
Нот (Л, С\ 1)^0 Нот (Лр, С),
р
8* (Пирс [1]). Пусть Homs (Л, С) — группа всех малых гомомор-
гомоморфизмов р-группы Л в группу С [определение см. в следующем пара-
параграфе]. Доказать, что функтор Horns (*, С) переводит сервантно точ-
точную последовательность в точную последовательность.
§ 46. Группы гомоморфизмов периодических групп
Мы рассмотрели некоторые элементарные свойства функтора Нот,
а также точные последовательности для Нот. Перейдем теперь к опре-
определению строения группы Нот (Л, С) в некоторых случаях. Очевидно,
15 Л. Фукс
226 Гл. VIII. Группы гомоморфизмов
Нот (Л, С) зависит от заданных групп Л и С, а из изоморфизма
Нот (Z, C)s*C следует, что любая группа С может быть группой Нот.
Однако замечательно, что если А — периодическая группа, то
группа Нот (А, С) обязательно алгебраически компактна и, следова-
следовательно, можно надеяться охарактеризовать ее с помощью инвариантов
групп Л и С. В силу следствия 43.4 достаточно рассматривать р-груп-
пы.
Теорема 46.1 (Фукс [9], Харрисон [2]). Если группа А — периоди-
периодическая, то Нот (Л, С) — редуцированная алгебраически компактная
группа для любой группы С.
Первое доказательство. Докажем, что если Л есть
р-группа, то группа Нот (Л, С) полна в своей р-адической топологии
[см. предложение 40.1]. Чтобы доказать, что группа Я = Нот (Л, С)
хаусдорфова, предположим, что элемент ц ? Я делится на любую
степень числа р. Если элемент а ? Л имеет порядок ph, то пусть для
X 6 Н выполнено равенство ph% = r\. Тогда из r\a = phyja — %pha —
= 0 вытекает ri = 0. Пусть, далее, т^, . . ., т)п, . . .— последователь-
последовательность Коши в группе Я. Переходя, если нужно, к подпоследователь-
подпоследовательности, мы можем предположить, что эта последовательность чистая:
Лп+i — % € РпН Для любого п, т. е. rin+1 — г\п = рп%п, %п 6 Я. Поло-
Положим
Л = % + (ть — пО + • • • + Oln+i — ¦Пп) + • • •;
это гомоморфизм А-*- С, так как для элемента а 6 Л порядка ph
имеем (т!п+1 — г\п) а — 0 при всех п !> k, откуда следует, что т\а =
= ^а + (г\2 — щ) а + ... + On* — Цк-i) а определено корректно.
Кроме того,
Л — Лп = Oln+l — Чп) + (Лп+2 — Лп+l) + • • • =
= РП(%п + РЪп+1 +...).
где х„ -1- pXn+i + • • • снова принадлежит Я, т. е. у\ — i\n € рпН,
и Ti — предел данной последовательности Коши. Следовательно,
Я — полная группа.
Второе доказательство. Так как Л — периодическая
группа, она является прямым пределом своих конечных подгрупп At.
Тогда в силу теоремы 44.2 группа Нот (Л, С) — обратный предел
групп Нот (Л;, С), ограниченных ввиду следствия 43.3. Следова-
Следовательно, Нот (Л, С) — обратный предел редуцированных алгебраиче-
алгебраически компактных групп, и нужное утверждение следует из предложе-
предложения 39.4.и
Чтобы определить точнее строение группы Нот (Л, С) для перио-
периодической группы Л, мы можем, не теряя общности, ограничиться слу-
§ 46. Группы гомоморфизмов периодических групп 227
чаем, когда Л и С являются /з-группами. Пусть
В= фВ„, где Bn=@Z{pn), A)
n=i mn
— базисная подгруппа группы А, и пусть С — редуцированная груп-
группа. Точная последовательность 0 ->- В Д> А -+• А/В -*¦ О индуцирует
точную последовательность
О = Нот {А/В, С) -* Нот И, С) — *-+ Нот (В, С),
откуда следует, что Нот (А, С) можно рассматривать как подгруппу
группы Нот (В, С). Соответствующая факторгруппа является груп-
группой без кручения, так как если phr\ = %а, где % 6 Нот (А, С), ц ?
б Нот (В, С), то можно определить 8: А -»- С как 9а = %g + r\b,
если а 6 А и а = ph g + аЪ (g 6 А, Ь 6 В). Легко видеть, что 0
является гомоморфизмомх) и что 0а = т|. Отсюда следует, что
Нот (В, С)/а* Нот (А, С), —группа без кручения. В силу теоре-
теоремы 46.1 Нот (А, С) и Нот (В, С) — алгебраически компактные
группы. Поэтому получается
Нот {В, С) я* Нот (А, С) Ф X,
где X есть р-адическая алгебраически компактная группа без кру-
кручения.
Из следствия 43.3 мы имеем
Нот (В, С) ~ П ПС[рп].
Группы С [рп] являются прямыми суммами циклических групп поряд-
порядков ^рп, и то же верно для [\ С [/?"]. Инварианты этих групп можно
тп
оценить с помощью кардинальных инвариантов группы С, поэтому,
используя следствие 33.3, можно получить описание базисной под-
подгруппы V периодической части группы Нот (В, С). Группа
Нот (А, С) — прямая сумма р-адического пополнения V группы V
и р-адической алгебраически компактной группы без кручения У,
строение которой мы будем знать, как только определим строение ее
базисной подгруппы W.
Для доказательства основной леммы 46.3 нам понадобится сле-
следующая лемма, касающаяся теории множеств.
Лемма 46.2 (Пирс [1]). Пусть I — множество бесконечной мощ-
мощности тип — такое кардинальное число, что 0 < п ^ т. Тогда
существует множество {I}}j?j подмножеств из I со свойствами:
1) 11] | = п для каждого /;
2) | J | = тп;
х) Это верно, если группа С не содержит элементов бесконечной высоты.—
Прим. перев.
15*
228 Гл. VIII. Группы гомоморфизмов
3) подмножества I] независимы в том смысле, что если /0, /х,
. . ., /„—различные элементы множества {Ij}j?j, то /0 не содер-
содержится в объединении /х U ... \] 1п.
Следующее простое доказательство принадлежит Эрдешу и Хай-
налу.
Пусть К — множество мощности т. Его можно разложить на п
непересекающихся подмножеств Lt, каждое из которых имеет мощ-
мощность т. Очевидно, что если {/Q }i?j — семейство всех подмножеств
множества К, содержащих ровно один элемент из каждого Lh то это
семейство обладает свойствами 1) и 2), а свойство 3) заменено тем, что
подмножества Kj не содержатся одно в другом. Пусть теперь I] —
множество всех конечных подмножеств из Kj- Тогда множество
{Ij}iej обладает не только свойствами 1) и 2), но и свойством 3),
так как если ct 6 J0\It, i = 1, • . •, га, то {сь . . ., сп} ? V и
{cj, . . ., с„) $ /i U ... U 1п- Остается элементам заданного мно-
множества / поставить во взаимно однозначное соответствие конечные
подмножества из К- и
Теперь может быть доказана
Лемма 46.3 (Пирс [1]). Если А, С — редуцированные р-группы,
базисные подгруппы В, D которых имеют бесконечные финальные
ранги т, п, то базисная подгруппа W группы Y имеет ранг пт.
Рассуждение, подобное проведенному в начале доказательства тео-
теоремы 36.1, показывает, что от групп А я С можно отщепить ограни-
ограниченные прямые слагаемые так, что получится г (В) = m и г (D) = п.
Ограниченные прямые слагаемые не влияют на W, поэтому можно,
не нарушая общности, предположить, что г (В) = т, г (D) = п.
Из следствия 34.4 получаем оценку | С | <J | D | No, откуда
|Wr|<|Hom(A,C)|<|Hom(fl,C)|<|C||JI|<Z)Ke|B|=»um.
Следовательно, достаточно доказать, что в группе Нот (А, С) суще-
существует р-независимое множество S элементов бесконечного порядка,
для которого | 5 | = nm.
Основная идея доказательства — рассмотреть малые гомоморфиз-
гомоморфизмы ср: А-*¦ С, которые определяются условием
(*) для любого k !> 0 существует такое пф (k), что из
е (а) > лф (k) вытекает е (щ) < е (а) — k при всяком а б А.
Эти гомоморфизмы имеют то преимущество, что они полностью опре-
определяются своим ограничением на В, причем на В они могут быть
какими угодно. В самом деле, если <р — малый гомоморфизм группы А
в группу С и элемент а ? А имеет порядок pk, то выберем п — лф (k)
в соответствии с условием (*) и запишем а = png + b, где g 6 А,
b 6 В и е (png) <! е (а) [это можно сделать, так как подгруппа В сер-
§ 46. Группы гомоморфизмов периодических групп 229
вантна в Л]. Тогда из е (ф#) <! е (g) — k будет следовать, что рпщ —
= 0, т. е. фа = фй. Далее, если q/ — малый гомоморфизм группы В
в группу С, то, полагая фа = ф'&, мы получаем малый гомоморфизм
ф: А -> С [для которого пф (k) = nV' (k)]. Следовательно, малые гомо-
гомоморфизмы групп Л и 5 по существу совпадают.
Легко проверить, что малые гомоморфизмы группы Л в С образу-
образуют подгруппу Н группы Нот (Л, С). Факторгруппа Нот (Л, СIН
является группой без кручения, так как если ti ? Нот (Л, С)
и ргт] ? Н, то вместе с гомоморфизмом ргг\ гомоморфизм ti также удов-
удовлетворяет условию (*), где пц (k) = прГц (k + г). Следовательно, Н —
сервантная подгруппа группы Нот (Л, С), и достаточно найти нуж-
нужное нам множество S в подгруппе Н.
Рассмотрим два случая.
Случай I: n<m. Возьмем прямое слагаемое
А> = 0 (dn)
n=l
группы D, в котором 0 < е (d4) < ... < е (dn) < ..., и разложим
группу В следующим образом:
5= 0 Gn, где Gn= ф Фщ), B)
n=0 Kin
finr(Gn) = |/n| = m и e{bni)>2e{dn)>2n для п>1; множества
индексов 1п{п = 0, 1, 2, ...), конечно, не пересекаются. В 1п выберем
такие подмножества Inj (j?J), что
| Inj | = ш, | J | = nm = mm и 1П] независимы; C)
это возможно в силу леммы 46.2. Без ограничения общности можно
считать J одним и тем же для всех п. Определим гомоморфизмы
Ф^ В -*-D0 следующим образом:
Г dn, если i?Inj, п>1,
фу ni \ о в остальных случаях.
Эти гомоморфизмы фу являются малыми, так как е {dn) ^т-е {bnt),
и из е {bni) >¦ 2k вытекает неравенство е {q>]bnt) ^ e {bni) — k, откуда
легко следует, что условие (*) выполнено при пф {k) = 2k. Каждый
гомоморфизм фу имеет бесконечный порядок, так как dn 6 Im фу при
всех п. Гомоморфизмы фу являются /^-независимыми. Действительно,
если
Ф = /Иофо -+• /ихфх -{-... + /я4фв 6 ртН {trit ф 0),
то по C) существует индекс i0 ? In0, не лежащий в объединении /nlU ...
... U Ina. Для этого индекса i0 имеем щЬпг0 = dn, <?ibnt0 = . . .
. . . = 4>8bnio = 0, откуда 4>bnig = modn. Этот элемент должен принадле-
230 Гл. VIII. Группы гомоморфизмов
жать ргС, и из сервантности подгруппы Do следует, что pr \ т0. Ана-
Аналогично рТ | тъ . . ., ms, что доказывает р-независимость множества
S = {<f>j}j?j, имеющего мощность nm.
Случай II: n>m. Разложим группу D так:
D= Ф G;, где G'n = 0 (dnh), D)
n=l h
\К.п\ = ъ и e(dnh)>n. Выберем в множестве Кп такие подмножества
КыAеЦ, что
|/Спг 1 = ttt, |L| = nm и Kni независимы. E)
Пусть fni — отображение множества Kni в множество /„ из равенств B),
при котором всякое i б 1п является образом самое большее одного
элемента k?Kni и> если fntk — i, то 2е (dnh) ^ e (bnl). Ясно, что
такое fni существует при любых п, I. Для каждого / 6 L определим
гомоморфизм tyi'. В -*~ D следующим образом:
, если i = fnik,
0 в противном случае.
Как и выше, получается, что г|? Е — малый гомоморфизм бесконечного
порядка. Чтобы проверить, что множество S= {i|>i}iei, является
/7-независимым, предположим, что
¦ф = то% + m^Pi + . . . + msi|>« € РГН (mt ф 0).
f
Существует такое kQ 6 Кпо, что k0 $ Кщ U • • • U Kns- Для t0 = fnOko
мы имеем ty0bni0 — dn^,^xbnil) = . . . = г|58й„;0 =0. ИзгрЬп' = /п0с(п^0,
как и в случае I, получаем рт \ пг0 и аналогично рг | /пх, . . ., ms. Это
доказывает р-независимость множества S. ¦
Теперь мы в состоянии вывести основной результат. Введем сле-
следующие обозначения. Пусть A) — базисная подгруппа группы А и
D= ф Dn, где On= © Z(pn), F)
— базисная подгруппа группы С. Положим
m = imr(B), n = finr(D), p = finr(C). G)
Для кардинальных чисел u, b положим
ub, если и конечно,
Bb)u, если и бесконечно,
и заметим, что
Iй = © Z(pn).
d(U, b)
{
§ 46. Группы гомоморфизмов периодических групп 231
ТЕОРемл 46.4 (Пирс [1]). Пусть А и С — редуцированные р-группы.
Тогда Нот (А, С) есть р-адическая алгебраически компактная группа,
базисным подмодулем которой служит
Ф l®Z(pn))®[®JP],
n=1 tn *о
где при п > 1
оо оо
tB = d(mnf p+ S nk) + d( S «a, nn),
A=n h=n+l
а
to = d(m, n).
Очевидно, С [рп\ =Di ф ... ф Dn_t © ?„, где Еп — прямая сумма
00
-Р+ S nft групп, изоморфных Z(pn). Так как т„ — мощность множе-
ства прямых слагаемых, изоморфных Z(pn), в базисной подгруппе
периодической части группы [J Ц С [/?"], то, как показано в след-
n=i тп
ствии 33.3,
n h=n+1
оо
где \>п= 2 тп- Это дает доказательство нужной формулы для
fe=n+l
tn(rt>l), тогда как для т0 соответствующая формула получается
в лемме 46.3, где для нулевых m или п она тривиальна. ¦
В силу доказанной теоремы, алгебраическое строение группы
Нот (Л, С) может быть полностью описано, если А — периодическая,
С — редуцированная группа. Если группа С содержит подгруппы
вида Z (р°°), то строение группы Нот (А, С) получается на основании
теоремы 46.4 и упр. 8—10 из § 47.
Упражнения
1 (Пирс [1]). Показать, что условие (*) эквивалентно следующему
условию: для любого k !> О существует такое п, что из е (a) ^ k
и h (а) >• п следует щ = 0.
2. (а) Если ф — малый гомоморфизм группы Л, то
В + Кег ф = А
для любой базисной подгруппы В группы А.
(б) А1 д= Кег ф.
3. Пусть А = В Ф D, где В — ограниченная, D — делимая груп-
группа. Описать малые гомоморфизмы группы А в любую группу.
4 (Пирс [1]). (а) Гомоморфизм группы А в группу С, не являю-
являющийся малым, существует в каждом из следующих случаев: \) А —
232 Гл. VIII. Группы гомоморфизмов
неограниченная, С — нередуцированная группа; 2) Л — неограни-
неограниченная группа, С — группа, содержащая подгруппу, изоморфную
группе Л; 3) группа Л обладает неограниченной базисной подгруппой
и счетна, а группа С неограниченная.
(б) Все гомоморфизмы группы А в группу С являются малыми,
если 1) группа А имеет ограниченную базисную подгруппу, а груп-
группа С — редуцированная; 2) группа С — ограниченная.
5 (Пирс [1]). Пусть В — Ф <at > — базисная подгруппа группы Л,
и пусть для элементов ct ? С (i ? /) выполнено: 1) е (ct) ^ e (a();
2) для любого k >• О существует такое п, что если е (ct) >• п, то е (ct) ^
^ е (at) — k. Тогда существует однозначно определенный малый гомо-
гомоморфизм ф группы Л в группу С, при котором ф (at) — ct (i 6 /)•
6 (Пирс [1]). Пусть G — сервантная подгруппа р-группы Л. Всякий
малый гомоморфизм группы G в группу С можно продолжить до гомо-
гомоморфизма группы Л в С. [Указание: использовать упр. 5.]
7 (Пирс [1]). (а) Гомоморфизм ф является малым, если ртц> —
малый гомоморфизм при некотором т.
(б) Малый гомоморфизм группы ртА в группу ртС можно продол-
продолжить до малого гомоморфизма группы Л в группу С. [Указание: исполь-
использовать упр. 5.]
8. Пусть группы А, С — такие же, как в теореме 46.4. Найти
финальные ранги группы Нот (Л, С) и ее базисную подгруппу.
9. Пусть С — редуцированный р-адический модуль, и пусть груп-
группа Л имеет периодическую р-базисную подгруппу. Тогда Нот (А, С) ~
алгебраически компактная группа.
§ 47. Группы характеров
8 предыдущем параграфе мы рассматривали группы Нот (Л, С)
для периодических групп Л и редуцированных групп С. Наша сле-
следующая задача — исследовать случай, когда группа Л произвольна,
а группа С совпадает с аддитивной группой К действительных чисел,
рассматриваемых по модулю 1. В этом случае группа Нот (Л, К)
[снабженная соответствующей топологией] известна под названием
группы характеров Char Л группы Л. В настоящем параграфе мы
сосредоточим внимание на алгебраическом строении группы Char Л;
тот факт, что в ней определена топология, в большинстве случаев в § 47
использоваться не будет. Приводимые результаты дадут полную инфор-
информацию о строении групп характеров.
С алгебраической точки зрения группа К является просто прямым
произведением квазициклических групп, взятых по одной для каждого
простого числа р. Следовательно,
Char Л s& П Нот (Л, Z (р°°)).
р
Таким образом, достаточно рассмотреть группы Нот (Л, Z(p°°)).
§ 47. Группы характеров 233
Пусть
© Вп, где B0=®Z, 5n = ©Z(pn) при п>\,
п=0 % т„
есть р-базисная подгруппа группы А. В группе A /В ее р-компонента
имеет вид ф Z (р°°). To, что m не является инвариантом, не суще-
m
ственно, но можно сделать m однозначно определенным, если выбрать
в р-компоненте группы А нижнюю базисную подгруппу. Наконец,
пусть I—ранг без кручения группы А/В. [Полученные кардинальные
числа будут обозначаться через т0 (р), . . ., I (р), если их зависи-
зависимость от р будет существенна.] Следующая теорема дает полную инфор-
информацию о группах гомоморфизмов Нот (A, Z (р00)).
Теорема 47.1 (Фукс [8]). Для любой группы А
Нот(Л, Z(p°°))s*fl
т0 n=1 т„ т i^o
В силу предложений 44.5 и 44.7, если последовательность 0 -> В -*•
-*¦ А -*• А/В -*¦ 0 является р-сервантно точной,, то р-сервантно
точна индуцированная последовательность 0 -*• Нот (А/В, Z (р°°)) ->-
-*-Нот(Л, Z (р00)) -*- Нот (В, Z (р00)) -*¦ 0. По теореме 43.1
. Horn (В, Z (р~)) л И Нот (Вп, Z (р°°)) » Ц Z (р-) ф fj Д 2 (р").
»=0 П»о5 n=1 П»п
Если написать А/В = ф Z (р00) ф G, где G [р] = 0, то, так как
. ш
Нот (ф Z (p~), Z(р-)) ее ЦНот (Z (p°°), Z (p-)) s Д Ур,
т ш т
останется оценить группу Horn (G, Z (р00)). Пусть Н есть р-сервантная
подгруппа группы G, порожденная максимальной независимой систе-
системой элементов бесконечного порядка группы G. Подгруппа Н опре-
определена корректно, так как в группе G деление на р осуществляется
единственным образом, и, очевидно, Я ^ ф Q(P\ a G/Я — периоди-
периодическая группа с нулевой р-компонентой. Из точности последователь-
последовательности 0 -> Я -*¦ G ->- G/Я -»- 0 вытекает точность последовательности
О - Horn (GIH, Z (р°°)) -> Нот (G, Z (р°°)) -> Нот (Я, Z (р00)) -> О,
поэтому
Horn (G, Z (p°°)) s Нот (Я, Z (p00)) s Ц Hom'(Q(P', Z (р~)) ^ Д ( © Q)>
f I 2No
здесь использован пример 4 из § 43. Мы видим, что группа
Нот (А/В, Z (р00)) — прямая сумма делимой группы и р-адической
234 Гл. VIII. Группы гомоморфизмов
алгебраически компактной группы, поэтому из ее р-сервантности
в группе Нот (Л, Z (р°°)) вытекает, что она служит прямым слагаемым
для группы Нот (Л, Z (p°°)).i
Заметим, что группу в формуле A) можно задать в более явном
виде, если использовать примеры из § 23 и 40. Если мы найдем карди-
кардинальные числа т0, т„, т, J для каждого простого числа р, то группу
Char Л можно будет определить как прямое произведение групп A),
где р пробегает все простые числа.
Заметим еще, что первое и четвертое слагаемые в A) получаются
с помощью элементов бесконечного порядка, а два средних слагаемых—
с помощью элементов, порядки которых равны степеням числа р.
Таким образом, имеем
Следствие 47.2. Группа Char Л является редуцированной тогда
и только тогда, когда группа А периодическая, иявляется делимой груп-
группой тогда и только тогда, когда А — группа без кручения.щ
Вид группы A) показывает, что она алгебраически компактна. Это позволя-
позволяет получить тот известный факт, что группы характеров алгебраически ком-
компактны, не пользуясь глубокой теоремой о том, что группы характеров дискрет-
дискретных абелевых групп [с соответствующей топологией] —это в точности компакт-
компактные абелевы группы.
Естественно задать вопрос, при каких условиях алгебраически
компактная группа допускает компактную топологию, т. е. является
группой характеров. Эти условия нетрудно установить: они пред-
представляют собой неравенства для кардинальных чисел [см. упр. 5].
Но мы предпочитаем сформулировать нужные нам условия в более
простой форме, как это сделано в двух приводимых ниже следствиях.
Очевидно, кардинальные числа шп и ю можно выбрать произволь-
произвольно и независимо для каждого простого числа р. Поэтому мы имеем
Следствие 47.3 (Хуляницкий [21, Харрисон [1]). Редуцированная
группа является группой характеров некоторой (периодической) группы
тогда и только тогда, когда она — прямое произведение циклических
р-адических модулей [число р не обязано быть фиксированным].¦
Для делимых групп должно выполняться простое [неравенство:
Следствие 47.4 (Харрисон [1]). Ненулевая делимая группа есть
группа характеров некоторой группы (являющейся группой без круче-
кручения) тогда и только тогда, когда она имеет вид
где т>х0.
Р Хр
Если Л — группа без кручения, то ее ранг в приведенных выше
обозначениях равен m0 (p) -\- t (р). Это означает, что группа Char Л
будет иметь нужный вид, где хр = т0 (р), всегда, кроме случая, когда
I (р) = 0 для каждого р. Но в этом^ случае прибавление группы Q Q
N0
§ 47. Группы характеров 235
в качестве прямого слагаемого не меняет строения первого прямого
произведения. Обратно, если дана делимая группа указанного выше
вида, то простой подсчет показывает, что строение группы не изме-
изменится, если заменить г на г + 2 тр. т- е- можно предполагать, что
v
г ^- тр. Если А — прямая сумма т рациональных групп и*, причем
ровно для хр из них pGt ф Gt и для г из них pGi = Gt, то легко полу-
получить, что Char А имеет требуемый вид. ш
Другое достаточно важное следствие принадлежит Какутани.
Следствие 47.5. Группа характеров группы бесконечной мощности п
имеет мощность 2".
Легко доказать, что п равно сумме всех кардинальных чисел
nt0 (р), • • ., f (p), взятых для каждого р. Поэтому прямое произведе-
произведение групп вида A) должно иметь мощность 2n. a
Так как мощность множества неизоморфных групп мощности ^ п
не превосходит 2П (п >- хо)> то из следствия 47.5 ясно, что множество
неизоморфных компактных (абелевых) групп мощности ^ 2" имеет
мощность, не превосходящую 2". Кроме того, имеет место следующий
достаточно неожиданный факт [который также показывает, что, хотя
компактная топология накладывает значительные ограничения на
строение группы, само строение группы практически совсем не ока-
оказывает влияния на компактные топологии на группе]:
Теорема 47.6 (Фукс [8]). Для любого бесконечного кардинального
числа п существует 2П неизоморфных компактных групп мощности 2",
которые алгебраически все изоморфны между собой.
В доказательстве нам понадобится результат из главы XII. Именно,
существует 2" попарно неизоморфных р-групп мощности п, причем
их можно даже выбрать так, что они будут иметь изоморфные базисные
оо
подгруппы © ф Z (рп) и одинаковый финальный ранг п. По теоре-
п=1 п
ме 47.1 группы характеров этих групп изоморфны
D llZ(Pn)(Bl[JP.
n=1 n n
В силу теории двойственности Л. С. Понтрягина, они не изоморфны
как топологические группы [см. следующий параграф], g
Последнюю теорему можно сравнить с другим крайним случаем:
группа У?1 допускает лишь одну компактную топологию [топологию
конечных индексов]. В самом деле, теорема 47.1 показывает, что един-
единственной дискретной группой, группа характеров которой алгебраиче-
алгебраически изоморфна группе J™, является группа ®Z(p°°). [Мы предполо-
m
236 Гл. VIII. Группы гомоморфизмов
жили справедливой обобщенную гипотезу континуума, чтобы можно
было утверждать, что m определено однозначно.]
Методы, изложенные в этом параграфе, позволяют описать группы
гомоморфизмов в алгебраически компактные группы. Основным здесь
является такой результат:
Теорема 47.7 (Фукс [9]). Если группа С алгебраически компактна,
то для любой группы А группа Нот (А, С) также алгебраически ком-
компактна.
Из теоремы 38.1 мы знаем, что группа С служит прямым слагаемым
для прямого произведения коциклических групп. Следовательно,
Нот (А, С) — прямое слагаемое группы вида Q Нот (Л, С;), где
d — коциклические группы [см. теорему 43.2]. Если Ct — конечная
циклическая группа, скажем порядка рп, то Нот {A, Ct) является
^"-ограниченной, т. е. алгебраически компактной группой. Если
Ct — квазициклическая группа, то по теореме 47.1 группа Нот (Л, Ct)
также алгебраически компактна. Следовательно, Д Нот (Л, Сг) —
алгебраически компактная группа, и все доказано.¦
Как мы знаем, алгебраически компактные группы могут быть
охарактеризованы полными системами кардинальных инвариантов,
поэтому в силу теоремы 47.7 то же можно получить для группы
Нот (Л, С), где С — алгебраически компактная группа. При этом
инварианты группы Нот (Л, С) могут быть выражены через инвариан-
инварианты группы С и некоторые инварианты группы Л. Подробности см.
в упражнениях.
Упражнения
1. (а) Пусть С — алгебраически компактная группа, и пусть G —
сервантная подгруппа группы Л. Проверить, что имеет место изомор-
изоморфизм Нот (Л, С) as Нот (G, С) Ф Нот (A/G, С).
(б) Char Л ?* Char G © Char A/G.
2. Пусть Л, В — редуцированные р-группы. Указать необходимое
и достаточное условие для существования изоморфизма Char Л ?*
as Char В (в алгебраическом смысле).
3. (а) Аддитивная группа действительных чисел допускает беско-
бесконечно много компактных топологий, при которых она — топологиче-
топологическая группа. [Указание: Char (ф Q).]
п
(б) Для каких групп Л группа Char Л является делимой группой
без. кручения? Проверить для такой группы Char Л справедливость
утверждения (а).
4. Если Л — факторгруппа ^группы ZKo по прямой сумме ф Z, то
А = Char ®(Q®Q/Z).
No
[Указание: § 42, упр. 7.]
§ 48*. Двойственность 237
5. (Хуляницкий [1]). Ненулевая делимая группа
m р тр
допускает компактную топологию в точности тогда, когда выполне-
выполнены следующие условия:
1) m имеет вид 2", где п — бесконечное кардинальное число;
2) тр конечно или имеет вид 2пр, где пр — бесконечное карди-
кардинальное число;
3) m >• тр для любого р.
6. Если С — полная группа, то Нот (Л, С) является обратным
пределом ограниченных групп.
7. Если С есть р-адическая алгебраически компактная группа,
а В есть р-базисная подгруппа группы А, то Нот E, С) зё Нот (А, С).
8 (Пирс [1]). Если Ae*®Z{p°°), С ^ ф Z (р°°), то группа
m n
Нот (А, С) изоморфна р-адическому пополнению прямой суммы
d (m, п) групп, изоморфных группе Jv. [Указание: применить теоре*
му 44.4 к точной последовательности 0 -*¦ А [р] -*¦ А ?_> Л->0 и груп-
группе С]
9. Определить инварианты алгебраически компактной группы
Нот (В, С) в случае, когда В — прямая сумма циклических р-групп,
а С = ф Z (р°°).
п ¦
10. Пусть А — группа без кручения, и пусть С = ф Z (р00).
п
Определить строение группы Нот (А, С). [Указание: в группе А взять
р-базис]
. 11, Используя упражнения 7—10, определить инварианты группы
Нот, (Л, С) для алгебраически компактной группы С.
12 (Пирс [1]). Найти инварианты группы Нот (А, С) для произ-'
вольной р-группы А. [Указание: использовать теорему 46.4, упр. 8 и 9.]
§ 48". Двойственность между дискретными периодическими
и 0-мерными компактными группами
В этом параграфе мы продолжим изучение групп характеров абеле-
вых групп, но теперь мы будем учитывать и топологию. На самом деле
топология, определенная на группах характеров, играет очень суще-
существенную роль в удивительной двойственности между дискретными
и компактными абелевыми группами.
Теория двойственности в общем случае локально компактных абеле-
вых групп принадлежит Л. С. Понтрягину и ван Кампену и основы-
основывается на глубокой теореме, устанавливающей существование доста-
достаточного числа характеров для компактной группы. Более детальное
исследование доказательства двойственности показывает, однако, что
указанный результат не нужен, если ограничиться 0-мерными ком-
238 Гл. VIII. Группы гомоморфизмов
пактными группами и группами, двойственными им. Действительно,
в этом случае для установления двойственности достаточно довольна
простых топологических рассуждений. Наша цель — доказать двой-
двойственность в этом частном случае, т. е. двойственность между дискрет-
дискретными периодическими группами, с одной стороны, и вполне несвязны-
несвязными [т. е. 0-мерными] компактными группами — с другой. В этом
параграфе все топологические группы предполагаются хаусдорфовыми.
Во избежание постоянного повторения обозначений условимся
обозначать через К группу действительных чисел, рассматриваемых
по модулю 1, т. е. группу вращений окружности, с обычной тополо-
топологией, а через А* — группу всех непрерывных гомоморфизмов тополо-
топологической группы А в группу К, т. е. группу характеров группы А.
В группе А* введем компактно-открытую топологию, т. е. такую топо-
топологию, что фундаментальная система окрестностей нуля будет состоять
из всех множеств вида
U (С, е) = {х ? А* | %С с: Кг},
где Ке есть е-окрестность нуля в К, а С — компактное подмножества
группы А. При этом мы будем предполагать е настолько малым, что Ке
не содержит ненулевых подгрупп группы К-
Начнем с некоторых лемм, которые мы будем формулировать
и доказывать только применительно к нужному нам случаю, а не в пол-
полной общности. В доказательствах будем пользоваться известными
результатами о топологических группах.
а) Если А — дискретная периодическая группа, то А* есть 0-мер-
0-мерная компактная группа.
Функции /, определенные на группе А и принимающие значения
в К, образуют группу КА. Она компактна в топологии произведения,
так как группа К компактна. Для фиксированных элементов а, Ь 6 А
положим
Н (а, Ь) = {/ 6 КА I / (а + Ь) = f (a) + f (b)};
это замкнутое подмножество группы КА [так как оно определено с по-
помощью уравнения]. Очевидно, А* является пересечением множеств
Н (а, Ь), где a, b пробегают все элементы группы А. Следовательно,
подгруппа А* замкнута в КА и потому компактна в индуцированной
топологии. Доказательство компактности будет завершено, если мы
покажем, что эта топология совпадает с компактно-открытой тополо-
топологией на группе А*. Так как группа А дискретна, компактность озна-
означает конечность: С = {аъ . . ., ап}. Если V (С, е) — окрестность нуля
в КА, где координаты в компонентах, соответствующих элементам из С,
принадлежат Ке, то А* |~| V (С, е) = U (С, е). Так как окрестности
V (С, е) образуют фундаментальную систему окрестностей нуля в КА,
то отсюда получается компактность. Чтобы установить 0-мерность,
заметим, что без органичения общности можно считать С подгруппой
группы А, так как А — периодическая группа. Если е выбрано таким,
§ 48*. Двойственность 239
как указывалось раньше, то условие %С с Кг приводит к %С = 0.
Следовательно, U (С, е) = Ann С — аннулятор группы С, который
определяется так:
Ann С- (хбЛ* !хС = 0}.
Таким образом, группа А* обладает фундаментальной системой
окрестностей нуля, состоящей из подгрупп U (С, е). Эти подгруппы
являются открытыми и замкнутыми, поэтому А* есть 0-мерная группа.
б) Если А — дискретная периодическая группа и а ф 0 — элемент
группы А, то существует такой характер X группы А, что %а ф 0.
Если элемент с 6 К имеет порядок, равный порядку элемента а,
то отображение а*-*- с можно продолжить до гомоморфизма (а) -*- К-
Так как К — делимая группа, этот гомоморфизм продолжается до
гомоморфизма %: А -*¦ /(.
в) Если А — дискретная периодическая группа, а С — конечная
подгруппа группы А, то
С* ~ Л*/АппС.
Так как К — делимая группа, то всякий характер группы С
можно продолжить до характера группы А, т.е. отображение Л* ->¦ С*,
индуцированное вложением С^*-А, является эпиморфизмом. Ann С
состоит из всех % 6 А*, которые индуцируют на С нулевой характер,
т. е. Ann С — ядро гомоморфизма А*-*-С*.
г) Если G есть 0-мерная компактная группа, то топология в ней
линейна.
Пусть U — открыто-замкнутая окрестность нуля. Для любого
и 6 U существует такая окрестность нуля Wu, что и + Wu cz ?/,
и существует такая окрестность нуля УЦ(. что Vu + Vu a W?. Очевид-
Очевидно, окрестность U покрывается объединением U (и + Vu), поэтому
и
В силу компактности U существует такое конечное множество {и1}....
п
. . ., ип), что U (щ + К„.) содержит U. Если V = fl Vu., то
i=i * г '
U+V<=U(ut + Vu. + V)<=\J(ui + WUj) c= U.
Пусть W — окрестность нуля, для которой W = —W = U П V..
Тогда также W+W^U+V^U и в силу простой индукции-
W+W+... + W^U. Это показывает, что (W) = U. Так как
(W) является объединением открытых множеств W + . . . + W, то-
это открытая подгруппа, и утверждение доказано.
д) Если G — группа, на которой введена линейная топология, то-
гомоморфизм у: G-*¦ К. непрерывен тогда и только тогда, когда его.
ядро Кег у является открытым.
Если Кег у — открытое множество, то G/Ker у — дискретная груп-
группа, и гомоморфизм у, очевидно, непрерывен. Обратно, если гомомор-
240 Гл. VIII. Группы гомоморфизмов
физм у непрерывен, то v~1KE — открытое множество в G, поэтому
существует такая открытая подгруппа Н группы G, что Кегуэ Н.
Следовательно, Кег у — открытое множество.
е) Если G есть 0-мерная компактная группа, то G* — дискретная
периодическая группа.
Если у 6 G*, то из утверждений г) и д) видно, что Кег у — откры-
открытое множество. Поэтому группа G/Ker у дискретна. Она также компакт-
компактна и, следовательно, конечна. Таким образом, liny — конечная
подгруппа группы К, откуда пу = 0 для некоторого целого числа
п > 0. Это доказывает, что группа G* периодическая. Далее, U (G, е) =
= 0; следовательно, группа G* дискретна.
' ж) Если G есть 0-мерная компактная группа и g ф 0 — элемент
группы G, то существует такой элемент у ? G*, что yg?*0.
По утверждению г) существует открытая подгруппа Н группы G,
не содержащая элемент g. Факторгруппа GIH дискретна и компактна,
т. е. конечна. Остается применить б).
Утверждения б) и ж) выражают следующий факт: «группы А и G имеют доста-
достаточно много характеров). Это является важнейшим в теории двойственности.
Вторая группа характеров Л** = (Л*)* группы Л содержит
характеры а** группы А*, индуцированные элементами а 6 А следую-
следующим образом:
а** (%) = %а Для х 6 А*.
В силу определения сложения характеров а** действительно является
характером группы Л*, а каноническое отображение ф: а >-*¦ а** груп-
группы Л в группу Л**, очевидно, является гомоморфизмом.
з) Если А — дискретная периодическая группа, то каноническое
отображение ср: А-*- А** явлЛется изоморфизмом.
Докажем сначала, что ср — мономорфизм. Если а** = 0, то %а = 0
для всех х 6 Л*. В силу п. б) это может быть только при с = 0. Следо-
Следовательно, ф — мономорфизм.
Если группа Л конечна, то она является прямой суммой конечных
циклических групп. Так как Z (n)* ^ Z (п), то получаем Л е* А*.
Повторное применение этого рассуждения дает Л а- Л**. Следова-
Следовательно, для конечных групп Л отображение ф — изоморфизм.
Если Л — какая-то дискретная периодическая группа, то для
характера у: А* -*• К ядро Кег у должно быть открытым в силу
пп. а), г) ид). Следовательно, существует такая конечная подгруппа С
группы Л, что Ann С = Кег у [см. доказательство утверждения а) ].
Характер у индуцирует характер у группы Л*/Апп С s& С* [см. в)].
Так как группа С* конечна, то из уже доказанного мы знаем, что "у
индуцируется некоторым элементом с 6 С, т. е. у (%) = %с для всех
ХбС*. Теперь легко проверить, что у (%) = %с для всех % 6 Л*,
откуда следует, что у имеет вид у = с**. Следовательно, ф — эпимор-
эпиморфизм, т. е. изоморфизм.
§ 48*. Двойственность 241
и) Если G есть 0-мерная компактная группа, то каноническое
отображение г|х G -*• G** является топологическим изоморфизмом.
Тот факт, что i|j — мономорфизм, получается так же, как в п. з),
нужно только сослаться не на утверждение б), а на ж). Чтобы дока-
доказать, что -ф — непрерывное отображение, покажем, что если U —
фундаментальная окрестность нуля в G**, тог|) отображает некоторую
открытую подгруппу V группы G в U. По п. е) группа G* является
дискретной и периодической, поэтому в силу доказательства пункта а)
можно написать U = Ann С для некоторой конечной подгруппы
п
С = {Yi> • • •> Vn} группы G*. Положим V = fl Ker yj. По г) и д)
ядро Ker yj является открытым. Тем же свойством обладает V. Теперь
для элемента g ? V мы получаем g** (yj) = yjg = О, / = 1, . . ., п,
т. е. g** ? Ann С. Этим доказано, что гр отображает V в U, т. е. гр —
непрерывное отображение. Следовательно, г|) — топологический изо-
изоморфизм компактных групп G и i|)G.
Так как tyG — компактная группа, она замкнута в группе G**.
Теперь G**A|>G— снова 0-мерная компактная группа. Если она не
нулевая, то, применяя утверждение ж), получим, что существует
ненулевой характер т: G**/opG —*- К. Он индуцируется таким харак-
характером т: G** -*¦ К, что TipG = 0. Как было показано в дискретном
случае з), существует такое х: G* -*¦ К, что т = %**, т. е., другими
словами, т (у) — у (у) для всех у 6 G**. Возьмем у = g** (где g 6 G).
Тогда получится %g = g** (x) = т (g**) = 0. Отсюда % = 0 и т = 0,
что противоречит тому, что т =/= 0. Следовательно, i|)G = G**.
В итоге мы получаем:
Теорема 48.1 (Понтрягин [1]). Пусть А —дискретная периодиче-
периодическая [0-мерная компактная] группа. Тогда группа А* ее непрерывных
характеров является 0-мерной компактной [дискретной периодической]
группа й, а отображение а у-* а** группы А во вторую группу характе-
характеров А** — топологический изоморфизм. ш
Упражнения
1. Теорема 48.1 останется справедливой, если под характерами
понимать гомоморфные отображения в дискретную группу Q/Z.
2. Пусть At (i g /) —дискретные периодические группы, и пусть
на группе © At определена дискретная топология. Тогда группа
(© Ai)* топологически изоморфна группе [J А* с определенной на
ней топологией произведения.
3. Если G — компактная топологическая группа и Я — ее замк-
замкнутая подгруппа, то
(G/H)* ^ Ann Я.
16 Л. Фукс
242 Гл. VIII. Группы гомоморфизмов
4. Пусть G есть 0-мерная компактная группа.
(а) Z-адическая топология на группе G тоньше, чем заданная
топология.
(б) Для любого натурального числа п подгруппы nG и G [п] замк-
замкнуты.
5. Группа А компактна в своей Z-адической топологии тогда и толь-
только тогда, когда она полна в Z-адической топологии, а факторгруппа
А/рА конечна при любом простом р.
6. Если группа линейно компактна в своей Z-адической топологии,
то она компактна в этой топологии. [Указание: см. упр. 5.]
7. Группа А локально компактна в Z-адической топологии тогда
и только тогда, когда для некоторого п > 0 группа пА компактна
в Z-адической топологии.
$. Если группа А дискретна или компактна, то
Ann пА ^ А* [п] и Ann А [п] з* пА*.
9. Для любой компактной топологической группы С группа
Нот (А, С) может быть превращена в компактную топологическую
группу.
Замечания
Давно было известно, что гомоморфизмы одной абелевой группы в другую
образуют группу. Важность функтора Нот была установлена Эйленбергом
И Маклейном [1]; Нот как основной функтор широко изучался Картаном и Эй-
Эйленбергом [1].
Идея получить в теореме 44.4 больше, чем точность последовательностей B)
и C), когда от последовательности A) требуется не только точность, видимо, впер-
впервые появилась в работах автора (Фукс [8] и [9]). Различные другие обобщения
теорем 44.4 и 51.3 были даны Харрисоном и др. [1], Ирвином и др. [1], Пирсом [1]
и некоторыми другими авторами.
Алгебраическое строение группы Нот было известно в некоторых частных
случаях. Основные результаты здесь были получены Пирсом [1], который нашел
инварианты группы Нот (А, С) как алгебраически компактной группы для
случая периодической группы А. Для группы Char А то же было сделано ранее
автором (Фукс [8]); это несколько улучшило алгебраическое описание компакт-
компактных групп, полученное Хуляницким [1], [2] и Харрисоном [1]. [Прекрасное изло-
изложение теории компактных и локально компактных абелевых групп можно найти
в книге Хьюитта и Росса [Hewitt E. and Ross К. A., Abstract Harmonic Analysis,
vol. 1], где читатель найдет также дополнительные сведения о двойственности.]
Замечательная двойственность между дискретными и линейно компактными
р-адическими модулями была обнаружена Капланским [Kaplansky I., Proc.
Amer. Math. Soc, 4 A953), 213—219] и Шёнеборном [Schoneborn H., Math. Z.,
59 A954), 455—473, и 60 A954), 17—30]. Оказывается, что всякая линейно ком-
компактная абелева группа естественным образом является модулем над р-адичес-
ким пополнением кольца целых чисел [это кольцо есть прямое произведение
колец целых р-адических чисел, по одному для каждого простого числа р].
Строение линейно компактных абелевых групп может быть полностью описано.
Эти группы образуют класс, лежащий между алгебраически компактными
и компактными группами (см. Фукс [13]).
Проблема 30. Описать группу Нот (Л, С), в частности в слу-
случае, когда С — группа без кручения [ранга 1 или являющаяся прямой
суммой групп ранга 1].
Замечания 243
Группы без кручения ранга 1 описываются в главе XIII.
Проблема 31. Найти условия на группу, при которых она
имеет вид End А для некоторой группы А. Сколько среди этих групп А
может быть неизоморфных?
Заметим, что для периодических групп А теорема 46.4 дает решение про-
проблемы.
Проблема 32. Имеет ли группа Нот (А, С), где А — периоди-
периодическая группа, «естественную» компактную топологию?
Проблема 33. Какие классы абелевых групп А [подклассы
класса алгебраически компактных или копериодических групп] замк-
замкнуты относительно соответствий А -> Нот (G, А), где группа G может
быть произвольной?
Проблема 34 *). Существует ли такое множество X групп X,
что из Нот (А, X) s Нот (В, X) для любого X ? Ж вытекает, что
А **В?
Проблема 35. Для каких категорий {Л, I) и (Л, D) группы
Нот (А, С 11) и Нот (А | D, С) всегда алгебраически компактны,
когда А — периодическая группа?
Проблема 36. Исследовать множества эндоморфизмов группы
Нот (А, С), индуцированных соответственно эндоморфизмами групп
Л и С [общие элементы, централизаторы и т. д.].
Проблема 37. Можно ли для любого бесконечного кардиналь-
кардинального числа ю найти 2Ш неизоморфных компактных связных групп
мощности ^2 [алгебраически изоморфных между собой]?
*) Эту проблему отрицательно решил П. Хилл [Hill P., J. Algebra, 19 A971),
№ 3, 379—383]. — Прим. перев.
16*
Глава IX
ГРУППЫ РАСШИРЕНИЙ
Проблема расширения для абелевых групп [как частный случай общей тео-
теоретико-групповой проблемы, сформулированной Шрейером] состоит в нахожде-
нахождении группы по ее подгруппе и соответствующей факторгруппе. Классический
способ изучения расширений состоит в рассмотрении систем факторов. Важным
открытием, сделанным Бэром, было то, что расширения [при соответствующем
отношении эквивалентности] сами образуют группу: группу расширений Ext.
Основное содержание настоящей главы — изучение этой группы.
Эйленберг и Маклейн [1] отметили тесную связь между группами расшире-
расширений и группами гомоморфизмов. Это привело к интерпретации Ext как так назы-
называемого производного функтора от Нот и широко использовалось Картаном
и Эйленбергом [1]. Ext можно изучать различными путями; мы остановимся на
элегантном методе Маклейна [3].
Наша основная задача — установить теоретико-групповые свойства группы
Ext (С, А), ее зависимость от группЛ и С и ее связь с известными конструкциями.
Некоторые из интересующих нас проблем нельзя решить имеющимися у нас
методами, но мы можем получить достаточно большую информацию, касающую-
касающуюся общего случая и позволяющую решить проблему в большом числе частных слу-
случаев. Точные последовательности, связывающие Нот и Ext, их обобщения и тео-
теория копериодических групп — вот главное, о чем будет идти речь в этой главе.
§ 49. Расширения групп
Если даны группы Л и С, то проблема расширения состоит в нахо-
нахождении таких групп В, что В содержит подгруппу А', изоморфную
группе А, причем В/А' ^ С. Это может быть записано с помощью
короткой точной последовательности
где (д. — вложение, v — эпиморфизм с ядром \лА. В этом случае гово-
говорят, что группа В является расширением группы А при помощи груп-
группы С. Наша ближайшая задача — описать все расширения группы А
при помощи группы С. Это можно сделать различными путями. В дан-
данном параграфе мы будем описывать расширения, используя системы
факторов, в следующем — с помощью коротких точных последователь-
последовательностей.
Будем обозначать через а, Ь, . . . элементы группы А, через и, v,
w, ... — элементы группы С. Пусть g: С ->¦ В — функция предста-
представителей; это значит, что g (и) — представитель смежного класса и,
т. е. g (и) 6 v~x«. Каждый элемент Ь 6 В можно единственным обра-
образом записать в виде b = g (и) + ца, где а ? А. Очевидно, элементы
§ 49. Расширения групп 245
g (") + g (v) и g (и + v) принадлежат одному и тому же смежному
классу по подгруппе цА, поэтому существует такое / (ы, v) 6 А, что
g(u)+g(v)=g(u + v) + iif(u,v). A)
Таким образом, мы имеем функцию
/: С X С^А, B)
однозначно определенную расширением В и выбором представителей
g (и). Из законов коммутативности и ассоциативности в группе В
вытекают тождества
/ (и, v) = / (v, и), C)
/ (и, v)+f(u + o,w)=f(u,v + w)+f (v, w) D)
для любых и, v, w ? С. Если выбрать g @) = 0, то дополнительно
будем иметь
/ (и, 0) = / @, v) = 0 E)
для всех и, v 6 С. Функция B), удовлетворяющая условиям C) —
E), называется системой факторов [из группы С в группу А].
Предположим, наоборот, что даны две группы Л и С и дана систе-
система факторов B). Тогда мы можем построить группу В как множество
всех пар (и, а) 6 С X А с операцией (и, а) + (v, b) = (и + v, a + b +
+ / (и, v)). В самом деле, законы коммутативности и ассоциативности
будут следовать из C) и D), пара @, 0) будет играть роль нуля, пара
(—и, —а — f (—и, и)) — роль противоположного элемента для пары
(и, а) в В. Ясно, что при ц.: а>-*- @, a), v: (и, а)*-* и последовательность
точна, поэтому группа В является расширением группы А при помощи
группы С. Выбор представителей g (и) = (и, 0) приводит к заданной
системе факторов /. Следовательно, проблема расширения может быть
решена, если найти все системы факторов.
Одним из расширений группы А при помощи группы С является
прямая сумма С ® А. Мы ее будем также называть расщепляющимся
расширением. Если выбрать g (и) = и ? С, то / будет тождественным
нулем. Другой выбор представителей, например g (и) = и + (x/i (и),
где h (и) 6 А, даст систему факторов
f {и, v)=h(u) + h (v) -h(u + v). F)
Обратно, если А: С -*¦ А — любая функция, для которой h @) = 0,
то F) — такая система факторов, что пары (и, —h (и)) образуют допол-
дополнение к \iA в группе В, т. е. расширение расщепляется. Таким обра-
образом, расширение группы А при помощи группы С расщепляется в точ-
точности тогда, когда оно определено с помощью системы факторов /
вида F) [где, подчеркиваем, /г: С -*¦ А]; такая система факторов /
называется системой трансформаций.
246 Гл. IX. Группы расширений
Можно освободиться от зависимости расширения от заданной
функции g: С-*- В, если в множестве расширений ввести следующее
отношение эквивалентности. Если ^ и§8 — функции представителей
С -> В, то, очевидно, gt (u) — g2 (и) = \ih (и) для некоторой функции
Л: С->Л. Соответствующие системы факторов flt f2 удовлетворяют
условию
М«. v)-ft(u, v)=h{u)+h(v)-h(u + v). G)
В соответствии с этим назовем системы факторов flt f2: С X С -*¦ А
эквивалентными, если для некоторого h: С -*¦ А имеет место G). Рас-
Расширения Blt B2 группы А при помощи группы С, соответствующие
эквивалентным системам факторов} flt f2, изоморфны; изоморфизм
{5: (и, а)х *-*¦ (и, а + h (и)J между ними превращает диаграмму
Et: О -> А Л Я, Л С -> О
Е2: 0 -> А Л В2 Л С -»- О
(8)
в коммутативную. В этом случае сами расширения Ех и Ег называются
эквивалентными. Если диаграмма (8) коммутативна и ft: С -*• Bt —
функция представителей, то g2 — $gx: С ->- В2 — тоже функция пред-
представителей, а соответствующие системы факторов эквивалентны.
Поэтому существует взаимно однозначное соответствие между класса-
классами эквивалентных расширений группы А при помощи группы С и клас-
классами эквивалентных систем факторов /: С х С-*¦ А. В частности,
расширение эквивалентно расщепляющемуся расширению тогда
и только тогда, когда соответствующий ему класс эквивалентных систем
факторов есть класс систем трансформаций.
Если fx, f 2: С X С -»- А — системы факторов, то их сумма /х + /2,
определяемая равенством
01 + h) (И, V) = /а (U, V) + U (U, V),
снова является системой факторов, и то же верно для —fv Следова-
Следовательно, системы факторов из группы С в группу А образуют группу
Fact (С, А). Системы трансформаций, очевидно, образуют подгруппу
Trans (С, А) этой группы. Из сказанного выше следует, что существует
взаимно однозначное соответствие между классами эквивалентных
расширений группы А при помощи группы С и элементами фактор-
факторгруппы Fact (С, i4)/Trans (С, А). Эта факторгруппа называется груп-
группой расширений группы А при помощи группы С:
Ext (С, А) = Fact (С, 4)/Trans (С, А).
Другой метод изложения теории расширений основывается на том, что
расширение описывается с помошью группы А и некоторого представления груп-
группы С. Этот метод будет изложен в общих чертах в конце § 51.
§ 50. Расширения как короткие точные последовательности 247
Упражнения
1. Если рассматривать Нот (С, А) как подгруппу группы Ас\
где С = С\0 [см. § 43], то
Лс'/Нот (С, А) ^ Trans (С, А).
2. Система факторов из любой группы в делимую группу является
системой трансформаций. [Указание: см. теорему 22.1.1
3. Если А/В — делимая группа, то всякая система факторов из
группы С в группу А эквивалентна системе факторов из группы С
в подгруппу В группы А.
4. Если А ^ С as Z (р), то имеется два неизоморфных и [не менее]
р не эквивалентных расширений группы А при помощи группы С.
§ 50. Расширения как короткие точные последовательности
В предыдущем параграфе для описания расширений группы А
при помощи группы С мы использовали метод систем факторов. Другой
подход к этому вопросу основывается на использовании коротких
точных последовательностей. Как мы увидим, этот принципиально
новый подход приведет к получению большого числа полезных соот-
соотношений.
Если расширение В группы А при помощи группы С представлено
в виде точной последовательности
то можно попытаться построить категорию, объектами которой будут
короткие точные последовательности. Соответствующее определение
морфизма между двумя точными последовательностями довольно
очевидно: это тройка (а, р, у) групповых гомоморфизмов, для которых
диаграмма
Е-. О^А^В ЛС-vO
Е'\ 0 -^ А' -^ В' ^» С -> 0
имеет коммутативные квадраты. Легко показать, что таким путем
действительно получается категория %.
В соответствии с данным выше определением эквивалентных рас-
расширений мы скажем, что расширения Е и ?", где А = Л', С = С,
эквивалентны [обозначается Е = ?"], если существует морфизм AЛ, (},
1с), где р: В-*- В' — изоморфизм. На самом деле требование, чтобы
Р было изоморфизмом, может быть отброшено, так как это следует
уже из леммы 2.3.
248 Гл. IX. Группы расширений
Сначала мы будем изучать расширения, где группа А фиксирова-
фиксирована. Если у: С -*¦ С — произвольный гомоморфизм, то для расширения
Е в A) по теореме 10.1 существует коуниверсальный квадрат
В' Х- С
с соответствующими В', р и v'. Из п. (а) § 10 мы знаем, что v' — эпи-
эпиморфизм [так как v — эпиморфизм], а равенства C) из § 10 показывают,
что Kerv' ?й Kerv ^ А. Поэтому существует мономорфизм ц': А-*-
-»¦ В' [именно, ц'а = (\ш, 0) 6 В', если В'дВФ С], для которого
диаграмма
Еу: О-^А^В'-^-С'^О
Ц V
Jb. U —*- Л —> ?> —> О —>- U
с точными строками и коуниверсальным правым квадратом комму-
коммутативна. Верхняя строка является расширением группы А при помо-
помощи группы С", которое мы обозначили через Еу, чтобы отметить, что
оно получено с помощью расширения Е и гомоморфизма у. Заметим,
что у* = AА, р, у) — морфизм Еу —*¦ Е категории %.
Если диаграмма
Е°: 0-+А —'-+ В0 —-> С -> 0
1' 1'
Е: 0 -> А —-* В —-> С -> 0
имеет точные строки и коммутативна, то по теореме 10.1 существует
такой однозначно определенный гомоморфизм ф: В° ->- В', что v'q =
= v° и Рф = р°. Так как отображения ц>\1°, ц': А-> В' таковы, что
р (фц°) = p°[i° = fi = Р[х' и v' (фц°) = v0^0 = 0 = v'jj/. то из един-
единственности, полученной в теореме 10.1, вытекает, что ф(а° = ц'. Следо-
Следовательно, AЛ, ф, 1с) — морфизм расширения Е° в расширение Еу
и, таким образом, Е° = f-y- Эт° означает, что Еу определено одно-
однозначно с точностью до эквивалентности, а это, в свою очередь, дает
эквивалентности
Е\с = Е и ? (W') = (Еу) у'
V
для С"—> С —-> С. Отсюда ясна контравариантность функтора Е по С.
Зафиксируем теперь группу С и будем менять группу А. Для
гомоморфизма а: А -+ А' пусть В' определяется универсальным квад-
§ 50. Расширения как короткие точные последовательности 249
ратом
О -» А —^ В —v~> С -v О
I. I.
А' —-> В'
Здесь \i' — мономорфизм, так как ц, — мономорфизм [см. п. (б) § 10].
Кроме того, если рассматривать группу В' как факторгруппу группы
А ф В [как в доказательстве теоремы 10.2], то при v' ((а , Ь) + Н) =
= xb диаграмма
Е: 0 -*¦ А —-* В —-> С -> 0
Г . l'
аЕ- 0 -»- Л' —-^-» В' —^-> С -*¦ О
с точными строками будет коммутативной. Нижняя строка здесь —
расширение группы Л' при помощи группы С, которое мы обозначаем
через аЕ. При этом а„ = (а, р, 1С) — морфизм Е -*¦ аЕ категории %.
Если
Е: 0 ¦+ Л —^ В—-+ С -+ О
к
1
?0: 0 -* Л' —1+ Во -^-> С + 0
— коммутативная диаграмма с точными строками, то в силу теоре-
теоремы 10.2 существует такой однозначно определенный гомоморфизм
ф: В' -*• Во, что фР = Ро и ф|д/ = |д,0. Из (гоф) р = v0P0 = v =
= v'P и (уоф) yJ = 0 = v'^' получаем, что v^ = v'. Следовательно,
Aа'» ф. 1с) — это морфизм аЕ -*¦ Ео, и аЕ = Ео, т. е. расширение а?
определено однозначно с точностью до эквивалентности. Отсюда
\АЕ = Е и (act') E = а (а'Е)
для А —> А' —> А". Это доказывает ковариантность зависимости Е
от Л.
Если даны а: Л ->- Л' и y: С ->- С, то имеет место важный закон
ассоциативности
а (Еу) = (аЕ) у. B)
В самом деле, используя свойство коуниверсальности расширения
(аЕ) у, легко доказать существование морфизма (а, Р', 1): Еу-*~
250 Гл. IX. Группы расширений
-*¦ (аЕ) у и показать, что квадрат
Еу *¦ Е
(а, Р', 1) (а. Рг. 1)
, J; A.э. v) p
(а?) у *¦ <хЕ
коммутативен.
Прервем на минуту наше изложение и покажем, что расширения
Еу и аЕ легко могут быть описаны с помощью систем факторов, если
расширение Е задано системой факторов /: С X С-*- А. В силу опре-
определения расширения Еу при помощи коуниверсального квадрата систе-
системой факторов, соответствующей этому расширению, является компо-
композиция функций
С хС -1*СхС —-> А.
Это непосредственно следует из того, что В © С — расширение груп-
группы А при помощи группы С © С", задаваемое системой факторов
/ (ci + с[, с2 + c't) = f (clt cs) (ct 6 С, с\ 6 С"), а ограничение на В'
означает, что су = ус[, сг = yc't, т. е. система факторов — это
/ (Vci> Усд- Аналогично системой факторов, задающей расширение аЕ,
служит композиция функций
В самом деле, в точной последовательности аЕ группа В' — это
факторгруппа расширения А' © В группы А' © А при помощи груп-
группы С, задаваемого системой факторов / (сг, с2), рассматриваемой как
отображение С X С -> А' © А. Переходя к факторгруппе и используя
свойство универсальности, получаем, что В' как расширение группы А'
при помощи группы С задается системой факторов а/ (сх, с2).
Возвращаясь к коротким точным последовательностям, предполо-
предположим, что даны два расширения Е1 и Е2 группы А при помощи груп-
группы С. Как было показано в предыдущем параграфе, расширения груп-
группы А при помощи группы С [точнее, классы эквивалентных расшире-
расширений] образуют группу.
Чтобы описать групповую операцию на языке коротких точных
последовательностей, мы воспользуемся диагональным отображением
&g'- g"t—*- (g-, g) и кодиагональным отображением Vg'- (gi> gaI^!
группы д. Если под прямой суммой двух расширений
И< V»
El. U —> Sii > Di > Uj —*• U ^l = I, i)
понимать расширение
?/т\ /7 • Г\ ъ- Л СТь Л »v Rt Д^ R_
то будет иметь место
§ 50. Расширения как короткие точные последовательности 251
Предложение 50.1 (Маклейн [3]). Суммой двух расширений Elt Е2
группы А при помощи группы С служит расширение
Ег + Е2 = Va (?i © ?2) Ас. C)
Нужно проверить, что если ft: С X С ->• А —система факторов,
задающая расширение Et (i = 1, 2), то fx + f2 задает расширение
Va (Ei © Е2) Ас. Ясно, что (ft (c1( с2), /2 (с;, с;)), где cit c\ 6 С,— систе-
система факторов, задающая прямую сумму Ех ® ?2. а (Д (clt с2), /2 (с1(
с2)) — система факторов, задающая (Ег © ?2) Ас- Применение Va
дает систему факторов fx (clt с2) + /2 (с^ с2). н
Конечно, можно обойтись без всяких ссылок на системы факторов и вести
изложение только на языке коротких точных последовательностей. Если делать
так, то C) будет служить определением суммы расширений, а предложение 50.1
нужно будет заменить утверждением, что Et + ?2 на самом деле является расши-
расширением группы А при помощи группы С, остающимся в том же классе эквива-
эквивалентных расширении, когда ?i и ?2 заменяются эквивалентными расширениями,
и что классы эквивалентных расширений образуют группу относительно этой
операции. [Доказательство этого факта, не использующее систем факторов, см.
в книге Маклейна [3].]
Из сказанного выше о системах факторов, определяющих расшире-
расширения Еу и а?, теперь ясно, что для гомоморфизмов а: А -*¦ А' и у: С ->
-> С и расширений Ех, Е2, Е группы А при помощи группы С имеют
место следующие эквивалентности:
а (Ег + Е2) = *ЕХ + аЕъ (Ег + Ег) у = Е1У + Е2у, D)
(аа + а,) Е = ауЕ + «2?, Е (Yl + у,) s ??х + ^Y.- E)
Эквивалентности D) выражают тот факт, что а„: Е>-*аЕ ну*: Е\-+
у-*- Еу — это групповые гомоморфизмы
а.: Ext (С, A)'-*- Ext (С, А'), у*: Ext (С, А) -+¦ Ext (С, А),
а в E) утверждается, что (с^ + а2)ф = (ах), + (а2), и (yt + у2)* =
= V* + V*. т- е- соответствие
Ext: СхЛн-^Ext (С, А), у X
есть аддитивный бифунктор из категории Л X Л в категорию ^
[последнее равенство — это другая форма соотношения B)].
Теорема 50.2 (Эйленберг и Маклейн [1]). Ext является аддитивным
бифунктором из категории А X Л в категорию Л, контравариант-
ным по первому и ковариантным по второму аргументу. и
В соответствии с функторным обозначением для гомоморфизмов
мы будем также использовать обозначение
Ext (у, a): Ext (С, А) -+¦ Ext (С, А')
вместо Y*a» = а*У*- Это значит, что Ext (у, а) действует так:
Ext [у, а): Е у-+ аЕу.
262 Гл. IX. Группы расширений
Следует помнить, что если Е — расширение из диаграммы A),
то при у: С -*- С расширение Еу представляется последовательно-
последовательностью 0 -> А -^ В' Х- С -»- 0, где
в' = {(ь,с')\ьев,сг ec',vb = yc},
ц'а = (ца, 0), v' (ft, с') = с', F)
и при а: Л -*- Л' расширение сх? представляется последовательностью
0->Л' Д>В' Хс-^0, где
в' = {(а'; ь) + н\а'ел', ьев},
ц'а' = (a', 0) + Я, v' ((a', ft) + H)=vb {7>
и Я = {(aa, —ца) | а 6 Л}. Эти формулы для Еу и аЕ нам в даль-
дальнейшем понадобятся.
Упражнения
I. Охарактеризовать мономорфизмы и эпиморфизмы категории %
1т. е. морфизмы, на которые можно сокращать соответственно слева
и справа].
2 (Маклейн [3]). Если Е — расширение из диаграммы A), то рас-
расширения \iE и Ev расщепляются.
3 (Маклейн [3]). Если (а, р, у): Е -*¦ Е' — морфизм в категории Ш,
то аЕ = Е'у.
4. (а) Если а: А->- А' — эпиморфизм, то расширение аЕ [где Е
взято из диаграммы A)] эквивалентно расширению
0 -*¦ Л/Ker а -»¦ Bl\x Ker a -»- С -*• 0,
где отображения определены очевидным образом.
(б) Если у: С -*~ С — мономорфизм, то расширение Еу эквивалент-
эквивалентно расширению
0 -*¦ А -*¦ v Im у -*¦ Im у ->- 0.
5. Пусть а [соответственно у] — автоморфизм группы Л [груп-
[группы С]. Когда расширение аЕ [расширение Еу] эквивалентно расшире-
расширению Е из диаграммы A)?
§ 51. Точные последовательности для функтора Ext
Как мы видели в предыдущем параграфе, Ext является функтором
от обоих своих аргументов. Основным результатом настоящего пара-
параграфа является то, что этот функтор точен справа. Кроме того, точные
последовательности для Нот и Ext можно соединять в длинные точные
последовательности.
Если дано расширение
Е: 0->лЛбЛс->0, A)
§ 51. Точные последовательности для функтора Ext 253
представляющее элемент группы Ext (С, А), и дан гомоморфизм
r\: A-*-G, то, как мы знаем из предыдущего параграфа, ч\Е является
расширением группы G при помощи группы С, т. е. tj? представляет
элемент группы Ext (С, G). Этим путем мы получаем отображение
?*: Нош (Л, G)->Ext(C, G),
где
*?*: ч\ V-* т]?.
Аналогично гомоморфизм |: G -*¦ С позволяет из расширения Е полу-
получить расширение Е% группы А при помощи группы G. Это дает отобра-
отображение
?,: Hom(G, С) -> Ext (G, А),
где
?,: t~El.
Из соотношений E) § 50 непосредственно вытекает, что Е* и Е* —
гомоморфизмы. Они являются естественными, так как если ц>: G->
->- Н — какой-то гомоморфизм, то из (срц) Е = (р (г\Е) и Е (?ср) =
s (Е%) <р следует, что диаграммы
Нот (A, G) -*¦ Ext (С, G) Нот (Я, С) -+ Ext (Я, А)
I I I ¦ I
Нот (А,Н)-+ Ext (С, Н) Нот (G, С) -* Ext (G, Л),
где отображения определены очевидным образом, коммутативны.
Гомоморфизмы Е* и Ет называются связывающими гомоморфизмами
для короткой точной последовательности A). Теорема 51.3 оправды-
оправдывает это название.
Сначала докажем две леммы технического характера.
Лемма 51.1 (Маклейн [3]). Если
?..' 0 ->- А
— диаграмма с точной строкой, то гомоморфизм \: В -> G, для кото-
которого треугольник коммутативен, существует тогда и только тогда,
когда расширение г\Е расщепляется.
Если нужный гомоморфизм \ существует, то диаграмма
Е: 0 -> А --». В t—t. С -> 0
U
254 Гл. IX. Группы расширений
коммутативна. Следовательно, ее нижняя строка эквивалентна рас-
расширению х\Е. Обратно, если расширение r\E: 0-»-G-»-B'->-C->0
расщепляется, то последовательное выполнение отображения В -*¦ В'
и проекции В' -*-G дает отображение | с нужным свойством. ¦
Рассуждения, двойственные проведенным, дают результат, в точ-
точности двойственный предыдущей лемме:
Лемма 51.2. Если диаграмма
G
\/
имеет точную строку, то такой гомоморфизм \: G-*- В, что Р? = г\г
существует тогда и только тогда, когда расширение Е\\ расщеп-
расщепляется, в
Используя эти леммы, следующую теорему о точных последова-
последовательностях для Ext можно доказать с помощью непосредственного,
хотя и немного запутанного счета.
Теорема 51.3 (Картан и Эйленберг [1]). Если A) —точная после-
последовательность, то последовательности
О -*- Нот (С, G) -»- Нот (В, G) -+¦ Нот (A, G) ->
X Ext (С, G) ¦?¦ Ext (В, G) ^ Ext (Л, G) -> О B)
и
О -> Нот (G, А) -> Нот (G, В) -> Нот (G, С) ->
-5 Ext (G, Л) ^ Ext (G, В) h Ext (G, С) -* 0 C)
точны для любой группы G.
В силу теоремы 44.4 мы можем начать доказательство точности
последовательности B) с доказательства точности в члене Horn (A, G).
Нам нужно показать, что гомоморфизм i\: A -*- G продолжается до
гомоморфизма ?: B-+G тогда и только тогда, когда расширение
г\Е 6 Ext (С, G) расщепляется. Но это как раз утверждение леммы 51.1.
Следующий шаг доказательства — показать, что последовательность
B) точна в Ext (С, G). По лемме 51.2 расширение ?Р расщепляется,
поэтому для л 6 Нот (A, G) имеем $*Е*ц = цЕ$ = 0. Пусть
Ег: 0 -*¦ G -Д- Н -^> С -*- 0 6 Ext (С, G) таково, что Z^P расщепляется.
По лемме 51.2 существует такое |: В -> Я, что v| = р. Так как v?a =
= Pa = 0, то по лемме 2.1 существует г\: А -*¦ G, для которого цг\ =
= \а. Следовательно, (г\, |, 1с) отображает Е на Ех, т. е. Ех — х\Е.
§ 51. Точные последовательности для функтора Ext 255
Чтобы показать, что последовательность B) точна в Ext (В, G), заме-
заметим, что, очевидно, а*р* = (Ра)* =0* =0. Чтобы доказать, что,
наоборот, ядро содержится в образе, предположим, что для расшире-
расширения ?2:0->оДяДб->06 Ext (В, G) выполнено Ега = 0. В силу
леммы 51.2 существует такой гомоморфизм ?: А-+Н, что v? = a;
? — мономорфизм. Так как Pv? = Ра = 0, то существует такой гомо-
гомоморфизм X: Н1\А -*¦ С, что Pv = Ар, где р: Я ~> Н1\А — канонический
гомоморфизм. Следовательно, имеет место коммутативная диаграмма
?2: 0
в которой все три столбца и первые две строки точны. По 3 X 3-лемме
нижняя строка тогда тоже точна и представляет, таким образом, эле-
элемент из Ext (С, G), который отображается на Е2 при р*. Точность
последовательности B) в Ext (A, G) выражает тот факт, что каждое
расширение группы G при помощи группы А вкладывается в расши-
расширение группы G при помощи группы В; но это было показано в пред-
предложении 24.6.
Переходим к доказательству точности последовательности C).
В силу теоремы 44.4 и леммы 51.2 доказательство можно начать с точ-
точности в члене Ext (G, А). Если tj 6 Horn (G, С), то а„?„11 = аЕг\ = 0,
так как расширение аЕ в силу леммы 51.1 расщепляется. Предполо-
II V
жим, что для Ег: 0 -> А —* Н —> G->0? Ext (G, А) выполнено равен-
равенство аЕг = 0. Тогда по лемме 51.1 существует такой гомоморфизм
?: Н -*¦ В, что ?ц = а. Из Р||д, = Ра = 0 и леммы 2.2 вытекает суще-
существование такого r\: G^>~C, что ryv = pg. Следовательно, AА, |, т^)
отображает Е на Ег, т. е. Ег — Е<с\. Теперь покажем, что последова-
последовательность C) точна в Ext (G, В). В силу того, что Р»а* = (fla),, =
= 0* = 0, достаточно показать, что ядро содержится в образе. Пусть
для Е2- 0 -*¦ В -Д Н Д G -*- 0 ? Ext (G, В) выполнено Р?2 = 0. Тогда
по лемме 51.1 существует такой гомоморфизм I: H -*¦ С, что ?ц = р.
Из ?ца = 0 вытекает существование отображения %: А -*¦ Кег 5, для
256
Гл. IX. Группы расширений
которого рЯ, =
t, где р: Кег ? -*• И — вложение. Поэтому диаграмма
О
1
G-+0
Е2: 0
коммутативна и ее столбцы и две нижние строки точны. Согласно
3 х 3-лемме тогда и верхняя строка точна, т. е. является элементом
группы Ext (G, А), который при а» отображается на ?2- Наконец,
то, что Р* — эпиморфизм, снова следует из предложения 24.6.и
Точные последовательности B) и C) играют огромную роль, когда
приходится иметь дело с Нот и Ext. Они широко используются при
описании группы Ext, в частности в теории копериодических групп.
Они указывают на тесную связь между Нош и Ext [в значительной
мере используемую в гомологической алгебре].
Важно рассмотреть эту связь более подробно, так как она дает подход к изу-
Ф Ч>
чению функтора Ext. Пусть даны группы А, С, и пусть Ео : 0 -»- Я —> F —> С -*¦
—> 0 — свободная резольвента группы С, т. е. F и Я — свободные группы. Для
гомоморфизма t] : Н -*¦ А можно найти такую группу В и такой гомоморфизм
%: F -*¦ В, что диаграмма
Ео: О
будет коммутативной и будет иметь точную нижнюю строку. Теперь легко
видеть, что
Я? : Нот (Я, А) ~+ Ext (С, А)
— эпиморфизм, ядро которого состоит из всех гомоморфизмов т] : Я -*¦ А, кото-
которые могут быть продолжены до гомоморфизма F -*¦ А. Заметим, что если
= Ф (xi) нЯ=0 (у)), где w = 2 «Я*»
§ 52. Элементарные свойства группы Ext 257
ji ? Z, причем при фиксированном / почти все числа rtiji равны нулю], то рас-
расширением х\Еа группы А при помощи группы С является группа
Двум гомоморфизмам t\i, т)^ : Н -*¦ А соответствуют эквивалентные расширения
тогда и только тогда, когда t\i — т]2 продолжается до гомоморфизма F -*¦ А.
Упражнения
1. Группа G обладает тем свойством, что для любого эпиморфиз-
эпиморфизма Р: В -*¦ С индуцированное отображение р*: Ext (С, G) -*¦ Ext (В, G)
является мономорфизмом тогда и только тогда, когда G — делимая
группа.
2. Группа G является свободной тогда и только тогда, когда для
любого мономорфизма а: А -*¦ В отображение а„: Ext (G, А) ->-
-> Ext (G, В) — мономорфизм.
3. Пусть^ Р: В-*- С — эпиморфизм, и пусть Р*: Ext (С, G) ->
->-Ext (В, G)—мономорфизм при любой группе G. Тогда Кег р служит
прямым слагаемым для группы В.
4. Пусть а: А -*¦ В —такой мономорфизм, что а+: Ext (G, А) -*¦
-*• Ext (G, В) — мономорфизм для любой группы G. Показать, что
аА —• прямое слагаемое группы В.
5. Пусть 0->-#—> F —*¦ С-*-0 — свободная резольвента груп-
группы С. Доказать, что имеет место изоморфизм
Ext (С, A) s* Нот (П, Л)/<р* Нот (F, А).
6. Пусть А есть р-группа и 5 — ее базисная подгруппа. При
любой группе С группы Ext (С, А) и Ext (С, В) служат друг для друга
эпиморфными образами.
7. Доказать, что
Ext (Q, Z) ~ QKo.
[Указание: применить теорему 51.3 к последовательности 0->Z->
QQ/Z0]
8. Установить изоморфизм
Ext (Z (р»), Jp) si Jp.
§ 52. Элементарные свойства группы Ext
Цель этого параграфа — отметить ряд элементарных, но особенно
полезных свойств групп расширений. При этом мы часто будем поль-
пользоваться точными последовательностями, полученными в теореме 51.3.
Чтобы не прерывать наше изложение, сформулируем сначала про-
стую лемму. В соответствии со сказанным в § 50, если Е: 0 -> А —> В —>
-*~ С -*¦ 0 — расширение группы А при помощи группы С и а: Л -*¦ А,
17 Л. Фукс
258 Гл. IX. Группы расширений
у. С -»- С — эндоморфизмы групп А и С соответственно, то аЕ и Еу —
снова расширения группы А при помощи группы С. Отображения
а,: Е>-*аЕ и у*: Е*-*-Еу,
очевидно, являются эндоморфизмами группы Ext (С, А); мы будем
называть их индуцированными эндоморфизмами группы Ext. Форму-
Формулы (ах + аг), = Ю* + (а2)* и (а^а^),, = (а^, (а2). показы-
показывают, что кольцо эндоморфизмов группы А действует [как кольцо-
операторов] на Ext (С, А). Аналогично кольцо, двойственное кольцу
эндоморфизмов группы С, действует на Ext (С, А) как кольцо опера-
операторов, причем имеет место коммутативность: а#у* = у*а»- Следова-
Следовательно, Ext (С, А) является (унитарным) бимодулем над кольцами
эндоморфизмов групп Л и С, действующими соответственно слева
и справа. Наша лемма утверждает следующий замечательный факт:
Лемма 52.1. Умножение на целое число п в группе А или в группе С
индуцирует умножение на п в группе Ext (С, А). То же имеет место
для целых р-адических чисел.
Если <xlf . . ., ап — эндоморфизмы группы А, то (ах + . . .
• • •+ ап)* = (аО* + • • • + (ап)„. Так как, очевидно, 1А индуцирует
lExt(c,A),| то, выбрав аг = . . . = ап = \А, получаем требуемый
результат. Доказательство для случая группы С аналогично.
Умножение на целое р-адическое число я в группе А индуцирует
эндоморфизм я» группы Ext (С, А). Ясно, что таким путем целые
/з-адические числа действуют на Ext (С, А). Число я является пределом
последовательности nt ? Z (i — 1, 2, . . .) в р-адической топологии,
скажем р* | я — щ для каждого i. Следовательно, по доказанному
получается, что я# — предел умножений на nt. Таким образом, я*
можно отождествить с умножением на я. в
Начнем с двух довольно тривиальных замечаний.
A) Для группы С имеет место Ext (С, А) = 0 при любой группе А
тогда и только тогда, когда С — свободная группа.
Другими словами, для любой группы А расширение группы А
при помощи группы С расщепляется тогда и только тогда, когда С —
свободная группа. Достаточность этого условия эквивалентна утвер-
утверждению теоремы 14.4, а необходимость следует из теоремы 14.6.
Б) Для группы А имеет место равенство Ext (С, А) = 0 при любой
группе С тогда и только тогда, когда А — делимая группа.
Это другая формулировка того, что утверждения 1) и 3) теоре-
теоремы 24.5 эквивалентны.
B) Обратимся теперь к следующей теореме.
§ 52. Элементарные свойства группы Ext 259
Теорема 52.2. Существуют естественные изоморфизмы
Ext(®Ct,A)ez[[Ext(C,,A), A)
Ext (С, [I Л,) ~]^ Ext (С, A}). B)
Это можно доказать многими способами. Например, используем
теорему 51.3. Возьмем точные последовательности 0 -»- d -*¦ Ft ->
-*¦ Сi -> 0, где Ft — свободные группы. Эти последовательности инду-
индуцируют точную последовательность 0 -> ф Gt -*¦ ф /^ -> ф С* -*• 0.
Теперь мы имеем Нот (Ft, А) -»- Нот (Gb Л) -> Ext (Сг, А) -*¦
->Ext (Ft, A) = 0, где равенство справа получается в силу А). Это
дает индуцированные точные последовательности
ПHorn {Ft, A)-+RНот (Gt, A) -> ЦExt (С„ А) -+ 0,
ir i;/
Нот (ф Fh A) -+ Нот (ф Gt, А) -*¦ Ext (ф С„ Л) ->0,
где вертикальные изоморфизмы естественные [см. теорему 43.1].
Следовательно, существует естественный изоморфизм между
IJExt (С(, А) и Ext (ф Сь А). Доказательство" существования изомор-
изоморфизма B) проводится двойственным образом. а
Г) Для любой группы А и любого целого числа т
Ext (Z (m), A) ^ А/тА.
т
Последовательность 0 -> Z —» Z -> Z/mZ = Z (m) -+• 0 [где т —
умножение на числр т] точна. Отсюда, из теоремы 51.3 и того, что
Ext (Z, А) = 0, получаем, что точна последовательность Horn (Z, Л)-Д
->- Нот (Z, Л) -v Ext (Z (т), Л) -*¦ 0 [см. также предложение 44.6].
Так как существует естественный изоморфизм Нот (Z, Л) ^ Л, то
группа Ext (Z (m), Л) изоморфна группе Л/тЛ [причем это опять
естественный изоморфизм].
Заметим, что теорема 52.2 и п. Г) дают возможность найти группу
Ext (С, Л) в случае, когда С—прямая сумма циклических групп.
В этом случае Ext (С, А) — прямое произведение групп вида А/тА.
Д) Если тА = 0 или тС — 0 для некоторого целого числа т, то
т Ext (С, Л) - 0.
Это является очевидным следствием леммы 52.1.
Е) Для любого целого числа т
Ext (С, Z (m)) s Ext (С [/я], Z (т)).
Так как последовательность 0 -> С [т] -*¦ С ^- тС -*¦ 0 точна,
получаем индуцированную точную последовательность
Ext (тС, Z (т)) -v Ext (С, Z (m)) ->- Ext (С [т], Z (т)) -> 0.
17*
260 Га. IX. Группы расширений
В силу леммы 52.1 и п. Д) образ первого отображения здесь должен
быть нулевым, откуда получается требуемый изоморфизм.
Ж) Если тА = А для некоторого т, то т Ext (С, А) = Ext (С, Л).
ТП
В самом деле, из точности последовательности А—> А -*¦ 0 следует
точность последовательности Ext (С, А) —>Ext (С, Л)-*-0.
3) Автоморфизм а группы А индуцирует автоморфизм а„ группы
Ext (С, А).
Если а — автоморфизм, обратный а, то, очевидно, отображение
а, обратно а„.
В частности, получается, что из тА = А и А [т] = 0 вытекает
т Ext (С, Л) = Ext (С, А) и Ext (С, Л) [т] = 0.
И) Если С [т] = 0, то т Ext (С, Л) = Ext (С, А). В частности,
если С — группа без кручения, то Ext (С, Л) — делимая группа.
Из сделанного предположения вытекает, что последовательность
0-> С—>С точна. Значит, точна последовательность Ext (С, А) -^>
->Ext (С, Л) -> 0.
К) Пусть у — автоморфизм группы С. Тогда у* — автоморфизм
группы Ext (С, Л).
Если у — автоморфизм, обратный автоморфизму у, то отображе-
отображение у* обратно у*.
Отсюда следует, что если тС —С и С [т] = 0, то т Ext (С, А) =
= Ext (С, Л) и Ext (С, Л) [т] = 0. Если С — делимая группа без
кручения, то это же верно для группы Ext (С, Л).
Л) Если группа А является р-делимой, а С есть р-группа, то
Ext (С, Л) = 0.
Пусть D — делимая оболочка группы Л. Тогда D/A — периодиче-
периодическая группа, имеющая нулевую р-компоненту, откуда Нош (С, DIA) —
= 0. Теперь утверждение вытекает из точности последовательности
Нот (С, DIA) -> Ext (С, Л) -»- Ext (С, D) = 0.
М) Очень важна следующая теорема:
Теорема 52.3 (Эйленберг и Маклейн [1]). Если А—группа без
кручения, а С — периодическая группа, то
Ext (С, Л) <* Нот (С, DIA),
где D—делимая оболочка группы А. Следовательно, Ext (С, Л) —
редуцированная алгебраически компактная группа.
Возьмем точную последовательность 0 -*¦ A -*-D -+D/A -> 0, где
D — группа без кручения. Тогда мы получим точную последователь-
последовательность
0 = Нот (С, D) -*¦ Нот (С, DIA) -> Ext (С, Л) ->- Ext (С, D) = 0,
§ 52. Элементарные свойства группы Ext 2(Н
откуда следует требуемый изоморфизм. Второе утверждение теоремы
теперь сразу получается по теореме 46.1. щ
Если взять А — Z, то получится следующий интересный изо-
изоморфизм:
Следствие 52.4. Если С — периодическая группа, то
Ext (С, Z) s* Char С.
В самом деле, так как Q/Z — периодическая часть группы К [всех
действительных чисел, рассматриваемых по модулю II, то Нот (С,
QIZ) — это в точности Char С. а
Н) Если А — группа без кручения, р-базисная подгруппа которой
имеет ранг т, то группа Ext (Z (р°°), А) изоморфна р-адическому
пополнению группы ф Jv.
т
Обозначим р-базисную подгруппу группы А через В. Тогда 0 ->•
-v В -v А -*~ А/В -*-0 — точная последовательность, где А/В есть
р-делимая группа, имеющая нулевую р-компоненту, откуда следует,
что
Нот (Z (р°°), А/В) = О и Ext (Z (р»), А/В) = 0
[последнее в силу п. Л)]. Следовательно, точна последовательность
0-> Ext (Z (р00), В) -»- Ext (Z (р°°), Л)->0, т. е. Ext (Z (p°°), A) si
2* Ext (Z (p°°), B).t Здесь В — свободная группа ранга т, поэтому
ее делимой оболочкой является группа Ф Q, а факторгруппа делимой
m
оболочки по подгруппе В — это ф Q/Z. Применяя теорему 52.3 и пред-
m
ложение 44.3, получаем требуемый изоморфизм.
О) Если А — группа без кручения, то группа Ext (С, А) алгеброй-
чески компактна для любой группы С.
Имеем точную последовательность 0 ->- Т -*¦ С -*• С/Т -*¦ 0, где
Т — периодическая группа, С/Т — группа без кручения. Следова-
Следовательно, индуцированная последовательность
0 = Нот (Г, А) -> Ext (С/Т, А) -*¦ Ext (С, А) -»- Ext (Т, А) -> 0
точна. По И) имеем, что Ext (С/Т, А) — делимая группа, поэтому
эта последовательность расщепляется:
Ext (С, A) <g Ext (С/Т, А) Ф Ext (T, А).
В силу теоремы^ 52.3 второе слагаемое алгебраически компактно,
и утверждение доказано.
П) Если группа А алгебраически компактна, то Ext (С, А) —
редуцированная алгебраически компактная группа.
Без ограничения общности можно предполагать, что группа А
редуцированная. Тогда группа А служит прямым слагаемым для
прямого произведения циклических р-групп [см. следствие 38.2].
Так как при умножении на р" группа Ext (С, Z (рп)) обращается
262 Гл. IX. Группы расширений
в нуль [см. п. Д)], то эта группа является алгебраически компактной
и редуцированной. Как следует из теоремы 52.2, B), группа Ext (С, Л)
— прямое слагаемое прямого произведения таких групп. Таким
образом, по следствию 38.3 группа Ext (С, А) алгебраически компактна.
Упражнения
1. Если А и С — конечные группы, то ?xt (С, A) s* Horn (С, А).
2. Доказать, что если Ext (Q/Z, А) — О, то А — делимая группа.
[Указание: Ext (Q, А) = 0, а всякая группа является подгруппой
прямой суммы групп, изоморфных группам Q/Z и Q]
3. Если С — прямая сумма циклических групп, то Ext (С, А) —
редуцированная алгебраически компактная группа.
4. Пусть для редуцированной группы А и целого числа т > О
выполнено т Ext (С, А) — 0 при любой группе С. Доказать, что
тА = 0.
5. Если для некоторой группы А и числа т ? Z имеет место
т Ext (С, А) = Ext (С, Л) при любой группе С, то тА = А.
6. (а) Если для некоторой группы С и числа т ? Z справедливо
т Ext (С, А) = Ext (С, А) при любой группе А, то С lm] = 0.
(б) Если С — такая группа, что группа Ext (С, А) всегда является
делимой группой без кручения, то С — делимая группа без кручения.
7. Определить инварианты группы Ext (Q/Z, А) как алгебраически
компактной группы, если А — группа без кручения, в частности если
А — свободная группа.
8. Пусть С есть /7-группа, Л — группа без кручения. Каковы
инварианты группы Ext (С, Л) как алгебраически компактной группы?
[Указание: провести рассуждения, как в п. Н).]
9 (Нунке Ш). Показать, что из Нот (С, Z) = Ext (С, Z) = 0 выте-
вытекает С = 0. [Указание: доказать, что Ext (Т (С), Z) = Char Г (С) = 0
и Ext (C/tnC, Z) — 0; использовать упр. 7 § 51.]
10. Найти такие неизоморфные группы Съ Съ что Horn (Cx, Z) ^
е* Нот (С2, Z) и Ext (Cj, Z) ^ Ext (C2, Z).
11 (Нунке [2]). Если Л — периодическая группа, С — группа без
кручения, то группа Ext (С, Л) — или непериодическая, или равна 0.
[Указание: свести к р-группам Л, затем, используя теорему 36.1,—
к прямым суммам циклических групп; если группа А — неограни-
неограниченная, написать Л = © Л„, где Л — эпиморфный образ каждой
п
группы Л„, и, используя следствие 42.2, доказать существование эпи-
эпиморфизма Ext (С, Л)-> Ц Ext (С, Л„).]
12. Доказать, что если группа Л допускает компактную тополо-
топологию, то это же верно для группы Ext (С, Л), где С — любая группа.
13 (Бэр [4]). р Ext (С, Л) = Ext (С, Л) тогда и только тогда, когда
или С [р] = 0, или рА = А.
14. Доказать, что имеет место изоморфизм
Ext (Qp, Z)s±Z (p°°) e Q1
,N0
§ 53. Функтор Pext 263
[Указание: для оценки мощности использовать точную последователь-
последовательность 0 -»- Z -»- Qp ->- ® Z (q°°) -*- О, для нахождения периодической
q
части — точную последовательность 0 -> Qp -*¦ Q -*¦ Z (р°°) -*-0 и К).]
15. Доказать, что
Ext (Qp, Qp) = 0 и Ext (Q, Qp) s* QKo.
16. Проверить, что
Ext (/p, Z) s* Z (p«) © Q2 и Ext (Jp, Qp) e& Ext (Ур, Z).
17. Привести примеры, где
(а) С = lim Сь но Ext (С, Л) =/= lim Ext (Ct, А). [Указание: С —
группа без кручения, Ct — свободные группы.]
(б) А = lim At, но Ext (С, А) ф lim Ext (С, At). [Указание:
упр. 6 § 21.]
18. (а) (Нунке [1]) Естественное отображение группы Ext в обрат-
обратный предел в упр. 17 (а) является эпиморфизмом. [Указание: элемент
обратного предела определяет прямой спектр точных последователь-
последовательностей; взять его прямой предел.]
(б) Доказать то же для упр. 17 (б).
§ 53. Функтор Pext
Одним из наиболее удивительных фактов теории расширений групп
является то, что расширения, соответствующие сервантно точным
последовательностям, образуют подгруппу группы Ext, совпадающую
с ее первой ульмовской подгруппой. Это приводит к новому функтору
Pext, который будет изучаться в настоящем параграфе.
Начнем с двух довольно общих теорем; будут нужны только их
очень частные случаи.
Теорема 53.1 (Бэр [4], Фукс [7]). Пусть точная последовательность
Е:0^А—->В—-+С-+0 A)
представляет элемент группы Ext (С, А), и пусть а: А-*- А — эндо-
эндоморфизм. Тогда для индуцированного эндоморфизма а* группы Ext(C, A)
1) Е 6 Im а* в том и только в том случае, когда Im (x/Im [га слу-
служит прямым слагаемым для группы В/lm ца;
2) если Im а = А, то Е 6 Кег аш тогда и только тогда, когда
Im ц/(г Кег а служит прямым слагаемым для группы Bl\i Ker а.
Для доказательства утверждения 1) (см. Теллман [1]) возьмем
последовательности
О—>Ima—-^->Л * Im [x/Im \ла —>0
и
О —>¦ Кег a ——> А —-+ Im a -» 0,
264 Гл. IX. Группы расширений
которые, очевидно, точны, если отображения имеют естественный
смысл. Это дает точные последовательности
Ext (С, Im а) — ^U Ext (С, Л) —2-> Ext (С, Im ц/Im ца) -* 0, B)
Ext (С, Кег а) —% Ext (С, A) —^ Ext (С, Im а) -> 0. C)
Очевидно, а„ — ф„а„ и а„— эпиморфизм, поэтому Im а,» = Im <р,а„ =
= 1тфф = Кегг)),. В силу определения гомоморфизма %
¦ty,E = tyE: 0-> Im fx/Im ца-> 5/1т }га — ->С-*0,
где v' (b+lm \xa) = vb. Отсюда следует утверждение 1).
Для доказательства утверждения 2) заметим, что если 1та = Л,
то а = а, поэтому Кега„, = Кега„ = Imx*- Из 1) получаем, что усло-
условие Е 6 Im х* эквивалентно нужному условию. ш
Теорема 53.2 (Бэр [4]). Пусть Е — точная последовательность вида
A), и пусть у: С -*¦ С — эндоморфизм группы С. Тогда для индуциро-
индуцированного эндоморфизма 7* группы Ext (С, А)
1) Е 6 Im у* в том и только в том случае, когда Im \x, служит пря-
прямым слагаемым для группы V1 Кег у;
2) если Кег у — О, то Е 6 Кег у* тогда и только тогда, когда Im p. —
прямое слагаемое группы v Im у.
Доказательство утверждения 1) аналогично предыдущему. Возьмем
точные последовательности
и
0 -> Im у —~^С—-+ C/Im у -> 0
0-> Кег v —-^С —-^ Im у-> 0
и получим точные последовательности
Ext(C/Imv, Л)—^-> Ext (С, Л)— ^> Ext (liny, Л)-*0,
Ext(Imv, Л)—^UExt(C, Л)—^UExt(Kerv, A)-*¦(>.
Из того, что 7* = 7*Ф* и ср* — эпиморфизм, вытекает, что 1ту* =
= Im Y* = Кег %*. Здесь
*Е Е%: 0А
и утверждение 1) доказано. _
Если Кег у — 0, то у~— изоморфизм и у* — тоже изоморфизм. Сле-
Следовательно, Кег у* = Кег ф*. Так как
Ф*? = ?ф: 0—>Л—ц—>vImv—Иту—>0,
то утверждение 2) очевидно. ¦
$ 53. Функтор Pext 265-
Одним из следствий отсюда является
Теорема 53.3 (Нунке [1], Фукс [7]). Точная последовательность Е'
вида A) принадлежит п Ext (С, А) тогда и только тогда, когда
\iAIn\iA служит прямым слагаемым для группы В/пи А. Последова-
Последовательность Е принадлежит первой ульмовской подгруппе группы
Ext (С, А) тогда и только тогда, когда это сервантно точная после-
последовательность.
Если а — умножение на п в группе А, то лемма 52.1 утверждает,
что 1гаа« = л Ext (С, А). В теореме 53.1 было показано, что Е ?
6 п Ext (С, А) в точности тогда, когда nAln\iA служит прямым сла-
слагаемым для группы B/n\iA. Чтобы доказать вторую часть, достаточно
применить теорему 27.10. а
Таким образом, расширения Е группы А при помощи группы С,
пред ставимые сервантно точными последовательностями, образуют
подгруппу группы Ext (С, А). Мы будем называть ее группой сервант-
ных расширений группы А при помощи группы С и обозначать через
Pext (С, А) (Харрисон [1]). Приведенная выше теорема утверждает, что-
Pext (С, А) = Ext (С, ЛI = п л Ext (С, А).
п
[Легко проверить, что расширение, эквивалентное сервантному рас-
расширению, само является сервантным расширением.]
Используя Pext, можно переформулировать полученные ранее-
результаты.
Предложение 53.4. Группа А обладает свойством, что Pext (С, А) =
= 0 для любой группы С, тогда и только тогда, когда группа А
алгебраически компактна. Для группы С выполнено Pext (С, А) = О
при любой группе А тогда и только тогда, когда С — прямая сумма
циклических групп.
Первое утверждение вытекает из определения алгебраической
компактности, второе — из теоремы 30.2. ¦
Напомним, что Ext является функтором, а ульмовские подгруппы —
это функторные подгруппы, поэтому Pext — снова функтор. Если
а: А ->- А' и у: С -*- С — гомоморфизмы, то ограничение гомоморфиз-
гомоморфизма Ext (у, а) дает отображение
Pext (у, a): Pext (С, А) -> Pext (С, Л')-
Ввиду сказанного очевидно, что Pext есть аддитивный бифунктор
из категории Л X Л в категорию -Л; он контравариантен по первому
аргументу и ковариантен по второму. Чтобы установить, как он ведет-
себя по отношению к коротким точным последовательностям, докажем,
сначала следующие леммы.
266
Гл. IX. Группы расширений
Лемма 53.5 (Фукс [9]). Если A)—сервантно тонная последова-
последовательность, то образами индуцированных гомоморфизмов
v*: Ext (С, G) — Ext (В, G)
.и
IV- Ext (G, А) -»- Ext (G, В)
являются сервантные подгруппы.
Если дана верхняя строка следующей коммутативной диаграммы,
то можно последовательно получить ее остальные строки:
0->G-
t
¦К
t
'С
t
О F Ext (С, G))
»0 FImv*)
t t
F(vip)*Ext(C, G))
здесь i — вложение, а р: С [n] ->- В [n] — такое отображение, что
¦vip — вложение С[п] -*- С [р существует в силу теоремы 28.4]. Пред-
Предположим теперь, что вторая строка принадлежит п Ext (В, G). Это
означает в силу теоремы 53.2, п. 1), что третья строка расщепляется.
Отсюда следует, что нижняя строка расщепляется, поэтому снова
по теореме 53.2, п. 1), верхняя строка принадлежит п Ext (С, G). Мы
приходим к заключению, что вторая строка лежит в nlmv*, что
.доказывает сервантность подгруппы Im v* в группе Ext (В, G).
Второе утверждение доказывается аналогично, нужно только
использовать следующую коммутативную диаграмму:
О-
> Л >Н ->G->0 FExt (G, Л))
Г
В
0->В/пВ
I*
О
А/пА-
к -
I
К'
I
Н'
Ext (G,
53. Функтор Pext 267
где строки точны, я — естественное отображение и р: В/пВ -*¦ А/пА
таково, что рл(л: А -*¦ Л/пЛ — естественное отображение [р суще-
существует в силу предположений относительно последовательности A)].
Все рассуждения сохраняются прежними, только ссылку на теоре-
теорему 53.2, п. 1) нужно заменить ссылкой на теорему 53.1, п. 1). ¦
Лемма 53.6, Предположим, что последовательность A) представ-
представляет элемент из а-й ульмовской подгруппы Ext (С, А)" группы
Ext (С, А). Тогда для любой группы G образы связывающих гомомор-
гомоморфизмов
Е*: Нот (A, G) -> Ext (С, G),
Е,: Нот (G, С) -*- Ext (G, А)
являются подгруппами групп Ext (С, G)" и Ext (G, А)а соответствен-
соответственно. В частности, если A) — сервантно точная последовательность,
то Im E* «Im E* содержатся в первых ульмовских подгруппах соответ-
соответствующих групп.
Всякий гомоморфизм х\ 6 Нот (A, G) индуцирует отображение
"Л,: Ext (С, А) -*¦ Ext (С, G), переводящее последовательность A)
в нижнюю строку коммутативной диаграммы
Е: 0-+А—-+В —v->C-+0
1-
r\E:
Всякий гомоморфизм отображает а-ю ульмовскую подгруппу в а-ю
ульмовскую подгруппу, поэтому х\Е 6 Ext (С, G)°. Но нижняя стро-
строка — это как раз образ ц при Е*. Утверждение, касающееся ?,, дока-
доказывается двойственным образом, а последнее утверждение леммы
является простым следствием предыдущего, так как справедлива тео-
теорема 53.3. а
Вернемся к функтору Pext и докажем следующий аналог теоре-
теоремы 51.3.
%
Теорема 53.7 (Харрисон [1]). Если Е: 0->-Л -%¦ В Л-С-^-0 —
сервантно точная последовательность, то для любой группы G точны
следующие индуцированные последовательности:
О -> Нот (С, G) -» Нот (В, G) -> Нот (A, G) >
-+ Pext (С, G) —-> Pext (В, G) — *-> Pext (A, G) -> 0, D)
О -» Нот (G, А) -> Нот (G, В) -> Нот (G, С) -^->
->Pext(G, A)—^-*Pext(G, В)— ^->Pext(G, С) -»0. E)
268 Гл. IX. Группы расширений
В силу леммы 53.6 и сказанного выше о группе Pext ясно, что
последовательности D) и E) имеют смысл. Теорема 51.3 и лемма 53.5
показывают, что последовательность
0->Ext(C, G)/Im?*-^-*ExtE, G)—*-+Ext(A, G) -* 0
сервантно точна. Из лемм 53.6 и 37.1 видно, что (Ext (С, G)/Im Е*I =
= Ext (С, G)VIm Е*. Так как пересечение является обратным преде-
пределом, то точность последовательности D) будет доказана, если мы при-
применим теорему 12.3 и дополнительно докажем, что а* — эпиморфизм.
Пусть Ео: 0-*~H-+-F-+-B-*-0 — сервантно проективная резоль-
резольвента группы В. Тогда Ео&: 0-+H-+F'-*-A-*-0 — сервантно про-
проективная резольвента группы А. По уже доказанному имеет место
точная последовательность Нот (Я, G) -*¦ Pext (A, G) -> Pext (Ff, G) =
= 0. Поэтому первое отображение (Е^а)* =а*Е* является эпимор-
эпиморфизмом, откуда а* — также эпиморфизм. Точность последовательно-
последовательности E) проверяется аналогично, щ
Один частный случай заслуживает особого упоминания:
Следствие 53:8. Пусть А — такая группа, что А1 = 0. Тогда
Pext (Q/Z, А) ?* Нот (Q/Z, А/А),
где А есть Z-адическое пополнение группы А.
Начав с сервантно точной последовательности 0->Л->А-*-А/А-+- 0,
с помощью E) получаем точную последовательность
0 = Нот (Q/Z, А) -> Нот (Q/Z, A/A)-*- Pext (Q/Z, A) -v Pext (Q/Z, Л) = 0.
Последняя группа здесь равна нулю в силу алгебраической компакт-
компактности группы А. а
Это следствие можно обобщить [см. лемму 57.3].
Упражнения
1 (Бэр [4]). Пусть а: А -*¦ А—эпиморфизм. Тогда ядро Кег ат
индуцированного эндоморфизма а» группы Ext (С, А) является эпи-
морфным образом группы Ext (С, Кег а).
2 (Бэр [4]). Пусть а — такой эндоморфизм группы А, что Ext (С,
Кег а) = 0. Тогда ядро индуцированного эндоморфизма а» группы
Ext (С, А) изоморфно группе Нот (С, Л/аЛ)/г|„ Нот (С, А), где
х\ш индуцируется каноническим отображением т|: А -> А/аА. [Указа-
[Указание: а» в последовательности C) является изоморфизмом; продолжить
последовательность B) влево.]
3 (Бэр [4]). Пусть у: С -*¦ С — мономорфизм. Тогда ядро индуци-
индуцированного эндоморфизма у* группы Ext (С, А) является эпиморфным
образом группы Ext (C/Im у, А).
4. Расширение Е вида A) лежит в подгруппе Фраттини группы
Ext (С, А) тогда и только тогда, когда Im \i — слабо сервантная
подгруппа группы В.
§ 53. Функтор Poxt 269
5. Последовательность Е вида A) является р-сервантно точной
тогда и только тогда, когда она представляет элемент из рш Ext (С, А).
6. Показать, что имеют место естественные изоморфизмы
Pext (© Cit A) s& П Pext (С,, А),
Pext (С, П А,) <* Ц Pext (С, А,).
7. Пусть А — прямая сумма циклических р-групп и С — делимая
/?-группа. Доказать, что те расширения группы А при помощи груп-
группы С, в которых А — базисная подгруппа, образуют подгруппу
группы Ext (С, А). Определить строение этой подгруппы. [Указа-
[Указание: использовать следствие 53.8.]
8. Пусть 0-*-Л-»-В-*-С-»-0 — сервантно точная последователь-
последовательность, G — алгебраически компактная группа. Тогда последователь-
последовательность
О -> Ext (С, G) -»- Ext (В, G) -* Ext (Л, G) -»- О
точна и расщепляется. [Указание: использовать лемму 53.6, п. П)
§ 52 и лемму 53.5.]
9. Пусть 0->Л->5->-С->0 — сервантно точная последователь-
последовательность к F — прямая сумма циклических групп. Тогда последователь-
последовательность 0 ->- Ext (F, А) -> Ext (F, В) -*¦ Ext (F, С) -> 0 точна и расщеп-
расщепляется.
10. Последовательность 0-*-А~*-В-*-С-*-0 сервантно точна
тогда и только тогда, когда для любого т > 0 точна [или, что экви-
эквивалентно, сервантно точна] либо последовательность
0 -*- Ext (С, Z (т)) -*- Ext (В, Z (m)) -> Ext (A, Z (т)) -»- 0,
либо последовательность
0 -> Ext (Z (m), A) -> Ext (Z (m), В) -v Ext (Z (m), C) -> 0.
11. Пусть группа А алгебраически компактна, и пусть Т — перио-
периодическая часть группы С. Доказать, что имеет место естественный
изоморфизм Ext (С, А) зё Ext (T, А).
12. Пусть А — группа без кручения, и пусть Т — периодическая
часть группы С. Тогда Ext (С, А) ас ExtG\ Л)© Ext (С/Т, А).
13. Если А — группа без кручения, а С — периодическая группа
с базисной подгруппой В, то
Ext (С, A) s Ext (В, А) ф Ext (С/В, А).
Показать, что это позволяет оценить инварианты алгебраически ком-
компактной группы Ext (С, А).
14 (Бэр [41). (а) Пусть А — периодическая группа, а С — такая
группа без кручения, что факторгруппа С/рС конечна для некоторого
простого числа р. Тогда Ext (С, А) [р] = 0. [Указание: использовать
упражнение 2; показать, что всякий гомоморфизм С -*¦ А/рА индуци-
индуцируется некоторым гомоморфизмом %: С-*-А, для которого Im? —
конечная подгруппа базисной подгруппы группы А.]
270 Гл. IX. Группы расширений
(б) Пусть А — периодическая группа, С — группа без кручения
конечного ранга. Доказать, что Ext (С, А) — делимая группа без
кручения.
(в) При предположениях п. (б) либо Ext (С, А) = 0, либо
Ext {С,А) = Qn, где п >- к0. [Указание: использовать лемму 52.1.1
15. Если первая ульмовская подгруппа группы А равна нулю, то
Ext (Q, A) ^ Horn (Q, А/А).
§ 54. Копериодические группы
Понятие копериодической группы играет фундаментальную роль-
при изучении группы Ext. Это понятие было введено Харрисоном [1J
и независимо Нунке [1] и Фуксом [9].
Группа G называется копериодической, если
Ext (J, G) = 0
для любой группы без кручения /. Другими словами, группа G являет-
является копериодической, если всякое расширение группы G при помощи
группы без кручения расщепляется. Так как это означает, что копери-
одическая группа выделяется прямым слагаемым из всякой группы,
содержащей ее в качестве подгруппы, факторгруппа по которой
является группой без кручения, то очевидно, что все алгебраически
компактные группы являются копериодическими. Мы увидим, что
обратное места не имеет.
Всякую группу без кручения J можно вложить в точную последо-
последовательность 0 ->/->¦ ф Q, где взято достаточное число групп, изо-
изоморфных группе Q. По теореме 51.3 это дает точную последователь-
последовательность Ext (ф Q, G) =ё Ц Ext (Q, G) -*¦ Ext (/, G) -+¦ 0. Следователь-
Следовательно, для копериодичности группы G достаточно, чтобы было Ext (Q,G) =
= 0. Таким образом, копериодические группы можно также опреде-
определить как группы G, для которых
Ext (Q, G) = 0.
Из предложений 38.5 и 53.4 следует, что группа G алгебраически
компактна тогда и только тогда, когда Ext (Q, G) — 0 и Pext(Q/Z, G) =
= 0.
Уместно привести здесь ряд более или менее простых результатов»
касающихся копериодических групп.
А) Эпиморфный образ копериодической группы является копериоди-
копериодической группой.
Если G — копериодическая группа и G -*¦ Н -*¦ 0 — точная после-
последовательность, то точна последовательность 0 = Ext (Q, G) -*-
-*- Ext (Q, H) -> 0. Следовательно, Ext (Q, H) = 0, и группа Н
копериодическая.
§ 54. Копериодические группы 271
Б) Пусть G — редуцированная непериодическая группа. Подгруппа
Н группы G является копериодической тогда и только тогда, когда
GIH — редуцированная группа.
Точная последовательность 0 -> Я -*¦ G -*- GIH -*• 0 дает точную
последовательность
О = Нот (Q, G) -*- Нот (Q, GIH) -* Ext (Q, H) -v Ext (Q, G) = 0,.
поэтому Ext (Q, H) ^ Horn (Q, GIH). Вторая из этих групп равна
нулю тогда и только тогда, когда GIH — редуцированная группа.
В) Если G — редуцированная копериодическая группа, то для любо-
любого эндоморфизма 8 группы G как Кег Э, так и I m 6 — копериодические
группы.
Это непосредственно следует из пп. А) и Б).
Г) Если Н — подгруппа группы G, причем Н и GIH — копериодиче-
копериодические группы, то группа G копериодическая.
Снова из точности последовательности 0 -»- Я -*• G -> GIH -*¦ О
получаем, что последовательность 0 = Ext (Q, Я) -*¦ Ext (Q, G) -*-
-*¦ Ext (Q, G/Я) = 0 точна.
Д) Прямое произведение Д G; является копериодической группой
тогда и только тогда, когда каждое Gi — копериодическая группа.
Это сразу следует из того, что Ext (Q, \\Gt) se П Ext (Q, G().
г г
E) Обратный предел редуцированных копериодических групп являет-
является редуцированной копериодической группой.
Обратный предел G* редуцированных копер иодических групп
Gt — это подгруппа группы [J Gt. По Д) эта последняя группа являет-
является редуцированной и копериодической. Следовательно, в силу утверж-
утверждения Б) нам нужно только проверить, что факторгруппа ([[ Gt)lG*
является редуцированной группой. Напомним, что группа G* есть
пересечение ядер некоторых эндоморфизмов 0 группы Д Git и поэтому
^G;)/G* — подпрямая сумма групп ImG. Группы Im9 редуциро-
редуцированные, и все доказано.
Ж) Если G — копериодическая группа, то Нот (A, G) является
копериодической группой при любой группе А.
В силу теоремы 47.7 достаточно доказать это для редуцированных
групп G. Пусть 0-*-Я-»-Р-»-Л-*-0 — свободная резольвента груп-
группы А. Согласно теореме 44.4, последовательность 0->-Нот(Л, G)->-
->- Нот (F, G) -*¦ Нот (Я, G) точна. Средняя группа здесь является
прямым произведением групп, изоморфных группе G, поэтому она—
редуцированная копериодическая группа. Так как Нот (Я, G)— реду-
редуцированная группа, то остается применить п. Б).
Исключительно важно следующее утверждение.
¦272 Гл. IX. Группы расширений
3) Если G — редуцированная ко периодическая группа, то суще-
существует естественный изоморфизм
Ext (Q/Z, G) s& G.
Возьмем точную последовательность 0 -»- Z -*¦ Q -*• QIZ -*¦ О, кото-
которую мы в дальнейшем будем часто использовать. Она индуцирует
точную последовательность
О = Нот (Q, G) -> Нот (Z, G)^G^ Ext {Q/Z, G) -*- Ext (Q, G) = 0.
Связывающий гомоморфизм дает то, что нужно.
И) Редуцированная копериодическая группа G однозначно запи-
записывается в виде
где Gp для каждого простого числа р есть редуцированная копериодиче-
копериодическая группа, являющаяся р-адическим модулем.
В силу утверждения 3)] мы можем написать
G з* Ext (Q/Z, G) = Ext (© Z (p-), G) sa [\ Ext (Z (p~), G)
v v
Так как р-адические числа можно рассматривать как операторы, дей-
действующие на группе Z (р°°), то из леммы 52.1 получается, что Gp =
= Ext (Z (p°°), G) есть р-адический модуль. По Е) группа Gp копери-
копериодическая. Единственность разложения вытекает из того, что если
мы будем трансфинитно повторять процесс взятия пересечений f| nG,
где (п, р) = 1, то в конце мы получим Gp.
Теперь мы можем вывести ряд следствий, которые позволят нам
глубже проникнуть в природу копериодических групп, в частности,
найти точное соотношение между копериодическими и алгебраически
компактными группами.
Предложение 54.1. Группа является копериодической тогда и толь-
только тогда, когда она — эпиморфный образ алгебраически компактной
группы.
В силу утверждения А) достаточно доказать, что редуцированная
копериодическая группа G является эпиморфным образом некоторой
алгебраически компактной группы А. Группу G мы можем вложить
в точную последовательность 0 -> G -*- D -*- DIG -*¦ 0, где D — дели-
делимая группа. Это дает точную последовательность
Нот (Q/Z, DIG) -*- Ext (Q/Z, G) ->- Ext (Q/Z, D) = 0.
Здесь Нот (Q/Z, DIG) — алгебраически компактная группа [см.
теорему 46.1 или теорему 47.7], тогда как средняя группа в силу
утверждения 3) изоморфна группе G. Отсюда получается нужный
результат, щ
§ 54. Непериодические группы 273
Предложение 54.2 (Фукс [9]). Редуцированная копериодическая
группа алгебраически компактна тогда и только тогда, когда ее первая
ульмовская подгруппа равна нулю.
В силу одного из наших вводных замечаний копериодическая груп-
группа G алгебраически компактна в точности тогда, когда Pext (Q/Z, G) =
= 0. Теперь достаточно использовать утверждение 3) и теорему 53.3. ¦
Теорема 54.3 (Фукс [9]). Ульмовские подгруппы копериодических
групп являются копериодическими группами, а ульмовские факторы
копериодических групп алгебраически компактны.
Если GCT есть о-я ульмовская подгруппа копериодической группы G,
то G/Ga — редуцированная группа, и первое утверждение вытекает
из Б). В силу А) нулевой ульмовский фактор Ga/Ga+l группы Ga снова
является копериодической группой. Его первая ульмовская подгруппа
равна нулю, поэтому по предложению 54.2 он является алгебраически
компактной группой. 9
Если применить утверждение Г) конечное число раз, то получится
следующее утверждение [которое является частичным обращением
теоремы 54.3]: если группа G имеет конечную ульмовскую длину и все
ее ульмовские факторы алгебраически компактны, то G— копери-
копериодическая группа. Однако, если группа G имеет бесконечную ульмов-
ульмовскую длину, то она не обязана быть копериодической, даже если все
ее ульмовские факторы алгебраически компактны.
Следствие 54.4 (Харрисон [1], Нунке [1]). Периодическая группа
является копериодической тогда и только тогда, когда она — прямая
сумма делимой группы и ограниченной группы.
Первый ульмовский фактор периодической копериодической груп-
группы G есть редуцированная периодическая алгебраически компактная
группа, поэтому в силу следствия 40.3 он является ограниченной
группой. Если т — число, делящееся на порядки всех элементов этого
фактора, то mG s G1, откуда mG s nmG для любого п, т. e. mG — G1 —
делимая группа. Следовательно, группа G имеет нужный вид. Обрат-
Обратное очевидно. ¦
Следствие 54.5 (Фукс [9]). Группа без кручения является копериоди-
копериодической тогда и только тогда, когда она алгебраически компактна.
В силу единственности деления в группе без кручения G подгруппа
G1 должна быть делимой. Следовательно, всякая группа без кручения
G является прямой суммой делимой группы и группы, изоморфной
нулевому ульмовскому фактору Go. В силу п. Д) группа G является
копериодической тогда и только тогда, когда Go — копериодическая
группа. Но по предложению 54.2 копериодичность группы Go экви-
эквивалентна ее алгебраической компактности. а
18 Л. Фукс
274 Гл. IX. Группы расширений
Следующий результат является тривиальным следствием некоторо-
некоторого изоморфизма, получаемого в гомологической алгебре и устанавли-
устанавливающего некоторого рода ассоциативность для Ext. Наши сведения а
копериодических группах позволяют получить его, не используя
указанный изоморфизм:
Теорема 54.6. Для любых групп А и С группа Ext (С, А) является
копериодической.
Вложим группу А в точную последовательность 0 -> А -»¦ D -»-
-> DIA -*¦ 0, где D — делимая группа. Это даст точную последова-
последовательность
Нот (С, DIA) -> Ext (С, А) -»- Ext (С, D) = 0.
Так как DIA —делимая группа, то-из теоремы 47.7 вытекает, что-
первая группа здесь алгебраически компактна. Следовательно, груп-
группа Ext (С, А), как эпиморфный образ алгебраически компактной
группы, является копериодической. а
Этот результат дает способ получения копериодических групп:
можно просто брать группы Ext (С, А) для любых групп С и Л. Утвер-
Утверждение 3) показывает, что этот способ является наиболее общим в том
смысле, что все редуцированные копериодические группы могут быть
так получены. С другой стороны, теорема 54.6 также показывает, что
для того, чтобы получить большую информацию о строении группы
Ext, нужно более детально изучить копериодические группы вообще.
Упражнения
1. Пусть G — редуцированная копериодическая группа и Я —
ее подгруппа. Существует единственная минимальная копериодическая
подгруппа группы G, содержащая Н.
2. Показать, что утверждение В) перестает быть в общем случае
верным, если отбросить требование редуцированности.
3. Если G — копериодическая группа с ограниченной периодиче-
периодической частью, то группа G алгебраически компактна.
4. Счетная копериодическая группа является прямой суммой дели-
делимой группы и ограниченной группы.
5. Пусть G — ненулевая редуцированная копериодическая группа.
Тогда она обладает прямым слагаемым, являющимся циклическим
р-адическим модулем при некотором простом числе р.
6 (Ротман [1]). Редуцированная группа G является копериодиче-
копериодической тогда и только тогда, когда EIG — редуцированная группа для
любой редуцированной группы Е, содержащей группу G.
7*. Описать ульмовские факторы группы Horn (A, G) для редуци-
редуцированной копериодической группы G. [Указание: рассмотреть перио-
периодическую часть Т группы А и /^-базисные подгруппы группы А/Т.]
8. Доказать аналог теоремы 39.9 для редуцированных копериоди-
копериодических групп А.
§ 55. Строение копер иод ических групп 275
9. Доказать, что естественный гомоморфизм ц копериодической
группы G в ее Z-адическое пополнение G является эпиморфизмом.
10. Если D — делимая оболочка копериодической группы G
и?(дО) —делимая оболочка подгруппы G1, то E + G— алгебраиче-
алгебраически компактная группа, являющаяся сервантно инъективной оболоч-
оболочкой группы С
11. Пусть для группы А справедливо А1 = 0, и пусть А есть
Z-адическое пополнение группы Л. Показать, что нулевой ульмовский
фактор группы Ext (С, А) изоморфен группе Ext (С, А). [Указание:
последовательность 0 ->¦ А -> А ->¦ А/А ->¦ 0 сервантно точна и А/А —
делимая группа.]
12. Доказать, что для любой копериодической группы G существу-
существует такая копериодическая группа А, что А1 s* G. [Указание: исполь-
использовать упр. 11 из § 37 и предложение 24.6.]
13*. (а) Для заданного натурального числа п найти копериодиче-
скую группу ульмовской длины п. [Указание: использовать упр. 12.1
(б) Построить копериодическую группу ульмовской длины со.
[Указание: использовать обратный предел.]
14*. Существует группа ульмовской длины со, ульмовские факторы
которой алгебраически компактны, но которая не является коперио-
копериодической. [Указание: взять копериодическую группу G длины со
и построить нужную подгруппу внутри группы lim GIGn.\
<—
15. Доказать следствие 54.5 с помощью предложения 54.1 и упр. 3-
из § 38.
§ 55. Строение копериодических групп
Наша очередная задача — изложить теорию копериодических групп
во всей полноте. Хотя имеется несомненная аналогия между алгебраи-
алгебраически компактными и копериодическими группами [о которой будет
сказано в следующих параграфах], для копериодических групп не
существует общей структурной теоремы. Именно, оказывается, что
классификация периодических групп и классификация копериодиче-
копериодических групп — это по существу одно и то же, а, как мы увидим в гл. XII,
полная структурная теорема может быть дана только для некоторых
классов периодических групп, причем эти классы не слишком широки.
К основному результату нас подводят две важные леммы.
Лемма 55.1 (Харрисон [1]). Если Т — редуцированная периодиче-
периодическая группа, то периодическая часть группы Ext (Q/Z, Т) изоморфна
группе Т, а факторгруппа по ней — делимая группа без кручения..
Из точности последовательности 0 -v Z -> Q ->¦ Q/Z -*¦ 0 следует
точность последовательности
0 = Horn (Q, Т) -ч- Нот (Z, Т)^Т-+
-> Ext (Q/Z, T) ->* Ext (Q, T) -> Ext (Z, T) = 0.
276 Гл. IX. Группы расширений
Отсюда получается, что лемма будет доказана, если мы докажем, что
Ext (Q, Т) — делимая группа без кручения. Но это верно в силу
утверждения К) из § 52. Л
Лемма 55.2. Если Т — периодическая часть смешанной группы А, то
Ext (Q/Z, A) ~ Ext (Q/Z, T) e Ext (Q/Z, AIT).
Так как последовательность 0-+T-yA-+J->~0, где J = А/Т,
точна, то точна последовательность
О = Horn (Q/Z, J) -> Ext (Q/Z, T) -»
-> Ext (Q/Z, A) -> Ext (Q/Z, J) -> 0.
Из теоремы 52.3 мы знаем, что здесь последняя группа изоморфна
группе Нот (Q/Z, D/J), где D — делимая оболочка группы J. Следо-
Следовательно, группа Ext (Q/Z, J) является прямым произведением групп
Нот (Z (p°°), D/J), где р пробегает все простые числа. Предложение 44.3
показывает, что эти группы являются группами без кручения. Так
как Ext (Q/Z, T) по теореме 54.6 есть копериодическая группа, то
последняя точная последовательность расщепляется. Отсюда полу-
получаем требуемый изоморфизм.
Лемма 55.3. Для любой периодической группы С группа Ext (С, А)
является редуцированной.
Если С — периодическая группа, то существует сервантно точная
последовательность 0 -> Я -> F -*¦ С -*• 0, где F [и, таким образом, Я]—
прямая сумма конечных циклических групп [см. лемму 30.1]. Следова-
Следовательно, по теореме 53.7 имеем точную последовательность
0 -»- Нот (С, А) -> Нот (F, А) -+ Нот (Я, А) -*¦ Pext (С, А) -+ 0,
так как Pext (F, А) = 0 в силу предложения 53.4. Из теоремы 46.1
мы знаем, что группы Нот здесь являются редуцированными алгебра-
алгебраически компактными группами, поэтому в силу предложения 44.7
группа Нот (С, А) служит прямым слагаемым для группы Horn (F, А).
Отсюда получается точная последовательность 0 -*¦ G -*• Нот (Я, А)-*-
-*¦ Pext (С, А) -*¦ 0, где G и Нот (Я, А) — редуцированные алгебраи-
алгебраически компактные группы. Применяя теорему 51.3, получаем точную
последовательность
0 = Horn (Q, Нот (Я, А)) ->- Нот (Q, Pext (С, А)) -> Ext (Q, G) = 0.
Это показывает, что Pext (С, А) и, следовательно, Ext (С, А) —
редуцированная группа. ¦
Редуцированная копериодическая группа, не имеющая ненулевых
прямых слагаемых, являющихся группами без кручения, называется
урегулированной. Для случая, когда С = Q/Z и Л — периодическая
группа, лемму 55.3 можно усилить:
Лемма 55.4 (Харрисон [1]). Если Т—периодическая группа, то
Ext (Q/Z, T) — урегулированная копериодическая группа.
§ 55. Строение непериодических групп 277
По лемме 55.1 всякое прямое слагаемое без кручения группы
Ext (Q/Z, Т) должно быть делимой группой. Применение леммы 55.3
завершает доказательство. я
Теперь мы в состоянии проверить справедливость двух основных
результатов, касающихся строения копериодических групп.
Теорема 55.5 (Харрисон [1]). Пусть G — редуцированная коперио-
дическая группа иТ — ее периодическая часть. Тогда существует прямое
разложение
G = A®C, A)
где А — алгебраически компактная группа без кручения, а С ^
а< Ext (Q/Z, T) — урегулированная непериодическая группа. Группа С
является однозначно определенной подгруппой группы G.
Объединяя утверждение 3) из § 54 с леммой 55.2, получаем
G ~ Ext (Q/Z, G) ~ Ext (Q/Z, T) 0 Ext (Q/Z, G/T).
По лемме 55.4 первое слагаемое есть урегулированная копериодиче-
ская группа. Обозначим его через С. Второе слагаемое [обозначим его
через А] является в силу теоремы 52.3 и предложения 44.3 редуциро-
редуцированной алгебраически компактной группой без кручения. Единствен-
Единственность подгруппы С сразу следует из замечания, что подгруппа С
содержит Т, С/Т — делимая группа без кручения [см. лемму 55.1J
и, таким образом, С/Т — это в точности максимальная делимая под-
подгруппа группы G/T. |
Из теоремы 55.5 следует, что мы можем говорить о подгруппе С
как об урегулированной части редуцированной копериодической
группы G. Эта теорема имеет то важное следствие, что всякую копери-
одическую группу G можно разложить в прямую сумму трех групп:
g = А © сеd,
где D — максимальная делимая подгруппа группы G, С — урегули-
урегулированная копериодическая группа, А — редуцированная алгебраиче-
алгебраически компактная группа без кручения. Это разложение группы G
определено однозначно с точностью до изоморфизма, так как D и С ф
Ф?) — однозначно определенные подгруппы группы G. Мы знаем,
что группы А и D можно достаточно хорошим образом полностью
охарактеризовать с помощью инвариантов, являющихся кардиналь-
кардинальными числами. Следовательно, структурная проблема для копериоди-
копериодических групп сводится к случаю урегулированных копериодических
групп. В силу приводимой ниже замечательной теоремы структурная
проблема для этих последних групп оказывается эквивалентной такой
же проблеме для редуцированных периодических групп.
Теорема 55.6 (Харрисон [1]). Соответствие
Т ь* Ext (Q/Z, T) = G B)
278 Гл. IX. Группы расширений
дает, взаимно однозначное отображение класса редуцированных перио-
периодических групп Т на класс урегулированных копериодических групп G.
Отображение, обратное отображению B), является взятием периоди-
периодической части группы G.
Пусть Т — редуцированная периодическая группа. По лемме 55.4
группа G, получаемая при отображении B), является урегулированной
копериодической группой, периодическая часть которой в силу лем-
леммы 55.1 изоморфна группе Т. С другой стороны, пусть G — какая-то
урегулированная копериодическая группа и Г — ее периодическая
часть. Тогда имеет место разложение A), где А = О, так как группа G
урегулированная. Следовательно, G = С s± Ext (Q/Z, Т). ш
Эта теорема сопоставляет группе G те же инварианты, что и груп-
группе Ту поэтому ее можно считать [в более широком смысле] структурной
теоремой для урегулированных копериодических групп в тех случаях,
когда группа Т известна, в частности, когда группа Т счетна или
является прямой суммой счетных групп [см. гл. XII].
Упражнения
1. Пусть А — копериодическая группа, С — урегулированная ко-
копериодическая группа. Если тт. А -> С — гомоморфизм и 1тт| содер-
содержит периодическую часть группы С, то т\ — эпиморфизм.
2. Пусть А, С — урегулированные копериодические группы и S,
Т — их периодические части.
(а) Существует естественный изоморфизм
Нош (А, С) о* Нот (S, Г).
(б) Нот (А, С) — алгебраически компактная группа.
(в) Всякий гомоморфизм группы S в группу Т может быть един-
единственным образом продолжен до гомоморфизма группы А в группу С.
3. Пусть G — урегулированная копериодическая группа и Т —
ее периодическая часть. Соответствие at—*-a \Т является изоморфиз-
изоморфизмом между группами автоморфизмов групп G и Т.
4. Редуцированная копериодическая группа является урегулиро-
урегулированной тогда и только тогда, когда для каждого простого числа р
ее р-базисная подгруппа периодическая.
5. Если G — урегулированная копериодическая группа с перио-
периодической частью Т, то | G |< I T \*°.
6. Пусть G — урегулированная копериодическая группа и Т =
= Г[ Ф Г8 — прямое разложение ее периодической части. Тогда
существует такое прямое разложение G — Gt ® G2, что Т (G*) = Tt
(t = l,2).
7. Доказать лемму 55.3 для случая, когда С = Q/Z и Л — реду-
редуцированная группа, используя сервантно инъективную резольвенту
О ->- А -*- G -> GIA -*• 0 и, следовательно, получая изоморфизм
Pext (Q/Z, A) si Horn (Q/Z, GIA).
§ 56. Ульмовские факторы копер иод ических групп 279
8. Пусть G — урегулированная непериодическая группа и Т —
•ее периодическая часть. Показать, что или G — Т, или GIT — несчет-
несчетная группа. [Указание: существует эпиморфизм группы GIT se
^ Ext (Q, Т) на группу Нот (Q, tlT), где t есть Z-адическое попол-
пополнение группы Т.]
§ 56. Ульмовские факторы непериодических групп
Теорема 55.6 утверждает, что урегулированная копериодическая
труппа G вполне определяется своей периодической частью Т, поэтому
1уже известные и пока еще не открытые] инварианты группы G должны
выражаться в терминах группы Т. Напомним, что по теореме 54.3
ульмовские факторы группы G являются алгебраически компактными
группами, а алгебраически компактные группы могут быть описаны
с помощью инвариантов, являющихся кардинальными числами, так
что естественно поставить вопрос, как эти инварианты на самом деле
зависят от группы Т. Данный параграф посвящен этому вопросу.
При рассмотрении ульмовских факторов важную роль играет
следующий результат, который представляет собой некоторое усиле-
усиление теоремы, полученной Ирвином и др. [1].
Предложение 56.1. Пусть В — подгруппа а-й ульмовской подгруп-
подгруппы А" группы А, и пусть О-*- В—>А —>Л/5->- 0 — точная после-
последовательность. Тогда образ гомоморфизма a»: Ext (G, В) -*• Ext (G, А)
содержится в а-й ульмовской подгруппе Ext (G, А)а группы Ext (G, А)
и последовательность
О -» Нот (G, В) -н> Нот (G, А) -^ Нот (G, А/В) ->
-*Ext (G, В) —%Ext (G, Af—^Ext (G, Л/В)а->0
точна для любой группы G.
Пусть 0-^H^-F-^G-^O — свободная резольвента группы G.
Тогда из теоремы 51.3 получается, что имеет место следующая комму-
коммутативная диаграмма с точными строками:
Нот (Н, В) —% Ext (G, В) ~> Ext (F, В) = О
1 Ь
Нот (Я, А) — -s> Ext (G, A) -> Ext (F, Л) = О
[здесь ф и г|) — связывающие гомоморфизмы]. Наше первое утвержде-
утверждение состояло в том, что Ima, s Ext (G, A)°. Чтобы это доказать,
заметим, во-первых, что Ima# = Ima^cp = Innlx^. Группа Н сво-
свободна, поэтому Ima^ содержится в ст-й ульмовской подгруппе группы
Нот (Я, A) si IJ А, а эта подгруппа при г|з, очевидно, отображается
в a-ю ульмовскую подгруппу группы Ext (G, Л).
280 Гл. IX. Группы расширений
Так как гомоморфизм Р«: Ext (G, А) -*• Ext (G, А/В) отображает
cr-ю ульмовскую подгруппу в ст-ю ульмовскую подгруппу, нам остается
только доказать, что каждое расширение Е 6 Ext (G, А/В)а является
образом некоторого элемента Е' группы Ext (G, А)а. Из теоремы 51.3
мы знаем, что существует такое расширение ?' 6 Ext (G, А), что
($*?' = Е. Так как Кег р„ s Ext (G, Л)°, то теорема 37.1 показывает,
что никакой элемент, лежащий вне группы Ext (G, А)а, не может ото-
отобразиться в <т-ю ульмовскую подгруппу группы Im 6*. Следовательно,
Е' 6 Ext (G, Л)°. .
Следствие 56.2. При предположениях предложения 56.1 р-е ульмов-
ские факторы групп Ext (G, Л) u Ext (G, Л/В) изоморфны для любого
р<о\
Используя теорему 53.1 и предложение 56.1, получаем [например,
из 3 X 3-леммы], что факторгруппа Ext(G, Л)/Ext (G, А)а изоморфна
факторгруппе Ext (G, Л/5)/Ext (G, Л/5)а. Теперь утверждение
очевидно. ¦
В качестве первого шага установим связь между ульмовской дли-
длиной периодической группы Т и ульмовской длиной соответствующей
урегулированной копериодической группы G.
Предложение 56.3. Если Т — редуцированная периодическая группа
ульмовской длины а, то группа Ext (Q/Z, Т) = G имеет ульмовскую
длину а или о + 1, подгруппа G0 является группой без кручения и суще-
существует естественный изоморфизм
Ga si Horn (Q/Z, G/(G° + T)).
Так как Г e G, то ясно, что ульмовская длина группы G не может
быть меньше, а. Очевидно, G° Л Т = Т° = 0, поэтому G0 — группа
без кручения. По следствию 54.5 эта группа алгебраически компактна,
поэтому ее первая ульмовская подгруппа равна нулю, т. е. Ga+1 = 0.
Последовательность 0 -> Т -*¦ G/Ga ->- GI{Ga + T) -+¦ 0 точна, а
G/(Ga + Т) — делимая группа как эпиморфный образ группы G/T
[см. лемму 55.1]. Следовательно, по теореме 51.3 получаем точную
последовательность
0 -*- Horn (Q/Z, G/{G° + Т)) -*- Ext (Q/Z, T) е&
sa G -* Ext (Q/Z, G/C) s* G/G° -+¦ 0
[последний изоморфизм имеет место, так как GIG3 — редуцированная
копериодическая группа]. Отображение между двумя группами Ext
является естественным, поэтому из естественности изоморфизмов сле-
следует, что ядром этого отображения служит GP. Этим все доказано. ¦
В качестве следующего шага выведем формулу для ульмовских
подгрупп группы G [эта формула будет уточнена в предложении 56.5].
§ 56. Ульмовские факторы /апериодических групп 281
Предложение 56.4. Если Т — редуцированная периодическая груп-
группа, то для любого порядкового числа а
Ext (Q/Z, Т)" s& Ext (Q/Z, Т°) в Ext (Q/Z, Т/Т°)а. B)
По предложению 56.1 получаем точную последовательность 0->-
-*¦ Ext (Q/Z, V) -* Ext (Q/Z, T)° -> Ext (Q/Z, T/T°)° -> 0. Первая
группа здесь является непериодической, а последняя в силу предло-
предложения 56.3 — группой без кручения, поэтому последовательность
расщепляется. ¦
Предложение 56.5 (Харрисон [3]). Пусть Т — периодическая груп-
группа, а — порядковое число. Тогда
Ext (Q/Z. T/Ta)° s& Horn (Q/Z, Ha),
где Hg^fa-i/Ta-i [через 7*0_i обозначено Z-адическое пополнение
группы 7\r_j], если а — 1 существует, а если а — 1 не существует, то
На —это факторгруппа обратного предела La = lim T/T<> (p < а)
по его подгруппе Т/Та.
Применим предложение 56.4 ко — 1 и возьмем ульмовские под-
подгруппы. Тогда по предложению 56.3 мы получим Ext (Q/Z, Tf s*.
?* Ext (Q/Z, Г0I. Снова по предложению 56.4 последняя группа
изоморфна прямой сумме Ext (Q/Z, Т°) Ф Ext (Q/Z, Ta-xI, где второе
слагаемое изоморфно группе Нот (Q/Z, Ta-i/Ta-x) в силу след-
следствия 53.8. Учитывая то, что группа Ext (Q/Z, T°) является урегулиро-
урегулированной частью группы Ext (Q/Z, T)a, получаем нужный изоморфизм
для случая, когда ст — не предельное порядковое число.
Если а — предельное порядковое число, то имеем естественные
вложения группы TIV в lim Т/Т" и группы G/Ga в lim G/Gp (p < а),
что дает коммутативную диаграмму
0 -» Т/Т0 -+ lim Т/Тр -* La -> 0
0 -* G/G" -> lim G/Gp ~>Ka~>0
где строки точны, а вертикальные отображения [первое из них дей-
действует естественным образом, как следует из того, что Т/Т" -*¦
-*- (G° + T)IG° s G/G°] — мономорфизмы. Так как средняя группа
в нижней строке является редуцированной копериодической группой
[см. утверждение Е) § 54] и так как то же верно для группы GIG0,
то, согласно утверждению Б) § 54, группа Ка также должна быть
редуцированной. Следовательно, если перейти к факторгруппе по под-
подгруппе (G° + T)IGa, то получится, что делимая часть группы
(lim G/G>)/[(Ga + T)IGa\ содержится в образе группы lim TIT" в этой
группе, а он, очевидно, изоморфен La. Так как (G/Ga)/[(Ga + 7)/G°] ^
^ G/(Ga + Т), остается применить предложение 56.3. .
282 Гл. IX. Группы расширений
Итак, у нас накоплена обширная информация об ульмовских под-
подгруппах группы Ext (Q/Z, Т). Описание ульмовских факторов полу-
получается посредством следующей леммы.
Лемма 56.6. Если Т — периодическая группа и Т1 = 0, то
Ext (Q/Z, 7% е& Т,
где индекс при группе Ext обозначает ульмовский фактор группы Ext.
Из леммы 55.1 и предложения 56.3 следует, что периодическая
часть группы Ext (Q/Z, T)Q содержит группу Т в качестве подгруппы,
причем соответствующая факторгруппа является делимой группой.
Так как Т — сервантная подгруппа группы Ext (Q/Z, Т), то легко
видеть, что она остается сервантной и в Ext (Q/Z, Т)о, а по теореме 54.3
эта последняя группа является полной. Следовательно, Т — сервант-
сервантная и плотная подгруппа группы Ext (Q/Z, T)o, а эта группа должна
быть Z-адическим пополнением t группы Т. ¦
Теорема 56.7 (Харрисон [3]). Пусть Т — редуцированная периоди-
периодическая группа и а — порядковое число. Для а-го ульмовского фактора
группы Ext (Q/Z, T) имеет место соотношение
Ext (Q/Z, T)a at© Horn (Q/Z, Я„),
где группа На определена в предложении 56.5.
Нулевой ульмовский фактор группы G = Ext (Q/Z, T) изоморфен
нулевому ульмовскому фактору группы Ext (Q/Z, To), а этот послед-
последний изоморфен группе 10 [см. следствие 56.2 и лемму 56.6]. Из предло-
предложения 56.4 следует, что cr-й ульмовский фактор группы G изоморфен
прямой сумме нулевого ульмовского фактора группы Ext (Q/Z, Ta)
и группы, изоморфной в силу предложения 56.5 группе Horn (Q/Z, На).
По уже доказанному нулевой ульмовский фактор группы Ext (Q/Z, Ta)
изоморфен Z-адическому пополнению нулевого ульмовского фактора
Та ГРУППЫ V. щ
Упражнения
1. Доказать аналог предложения 56.1, где подгруппы Ха везде
заменены на раХ.
2. Для периодической группы Т эквивалентны следующие условия:
A) Ext (Q/Z, T) — алгебраически компактная группа;
B) Ext (QIZ, Т) ~ Т;
C) группа Т является периодической частью алгебраически ком-
компактной группы.
3. Пусть G — редуцированная копериодическая группа и Г —
ее периодическая часть. Первая ульмовская подгруппа G1 группы G
§ 57*. Приложения к группам Ext 283
является урегулированной копериодической группой тогда и только
тогда, когда (G1 + TjIG1 служит периодической частью для GIG1.
4. Построить копериодическую группу длины со, все ульмовские
подгруппы которой являются урегулированными.
5. Описать ульмовские факторы группы Ext (Q/Z, А), где А —
группа из примера § 35.
6. Если Т и 7" — периодические группы с изоморфными базисными
подгруппами, то нулевые ульмовские факторы групп Ext (Q/Z, T)
и Ext (QIZ, Т') изоморфны.
7. Построить неизоморфные редуцированные копериодические груп-
группы (длины 2), соответствующие ульмовские факторы которых изоморф-
изоморфны. [Указание: пусть В — прямая сумма групп Z (рп), п =_1, 2, . . .,
а Г — такая сервантная подгруппа периодической части В прямого
произведения групп Z (рп), что В с Т и \В:Т\=\Т:В\= 2К°;
доказать, что группы Ext (QIZ, В) и Ext (Q/Z, T) — искомые группы.]
§ 57*. Приложения к группам Ext
Изучение копериодических групп открывает путь к изучению
групп расширений. Основная проблема, конечно, состоит в нахожде-
нахождении строения группы Ext (С, А) в зависимости от строения групп А
и С. Мы знаем, что решение этой проблемы существенно зависит
от определения строения периодической части группы Ext (С, А).
Так как наши сведения о периодических группах в основном ограни-
ограничиваются случаем счетных групп [см. гл.XII], то дать точное описание
группы Ext в общем случае невозможно.
Первое, что мы сделаем, чтобы охарактеризовать группу Ext (С, А)
с помощью групп Л и С, будет состоять в нахождении инвариантов
ульмовских факторов этой группы. Это не трудно сделать для нулевого
ульмовского фактора, но для следующих ульмовских факторов соот-
соответствующие инварианты не известны.
Приводимая ниже лемма является основной.
Лемма 57.1 (Харрисон [3]). Если Е: 0->Л-»-5->-С->0 —
серваншно точная последовательность, то для любой группы G индуци-
индуцированные последовательности нулевых ульмовских факторов
О-> Ext (С, G)o -*¦Ext (В, G)o-*Ext (A, G)o-+0, A)
О -> Ext (G, Л)о -»- Ext (G, B)o ->» Ext (G, C)o -*- 0 B)
точны и расщепляются.
Из теоремы 51.3 вытекает точность последовательности О-*-
-> Ext (С, G)/Im Е* -> Ext (В, G)-*-Ex.t(A, G) -*¦ 0, из теоремы
53.7 — точность последовательности 0 -> Pext (С, G)/Im ?1* ->
-> Pext (В, G)-*- Pext (A, G) -> 0, поэтому точность последователь-
последовательности A) является простым следствием 3 X 3-леммы. В силу лем-
леммы 53.5 первая из указанных последовательностей сервантно точна,
284 Гл. IX. Группы расширений
поэтому последовательность A) также сервантно точна. Группы, вхо-
входящие в последовательность A), алгебраически компактны, поэтому
последовательность A) расщепляется. Утверждение, касающееся после-
последовательности B), доказывается аналогично. н
Доказанная лемма позволяет охарактеризовать нулевой ульмов-
ский фактор группы Ext (С, А) с помощью инвариантов групп А а С.
Теорема 57.2 (Маклейн [2], Харрисон [3]). Пусть А, С — произ-
произвольные группы, и пусть Т (А), Т (С) и Ть (А), Ть (С) обозначают
соответственно их периодические части и базисные подгруппы их
периодических частей. Тогда
Ext (С, А)о ~ Ext (Ть (С), Ть (А)) Ф Ext (Ть (С), А/Т (А)) Ф
е Ext (Т (С)/Тъ (С), Ть (А)У0 в Ext (Т (С)/Ть (С), А/Т (А)), C)
где все алгебраически компактные группы, входящие в правую часть,
могут быть описаны с помощью инвариантов групп А и С.
К сервантно точным последовательностям, возникающим в силу
наличия мономорфизмов Ть (А) ->¦ Т (Л), Т(А)-+А, применяем не-
несколько раз лемму 57.1 и то же делаем для группы С. Если вспомнить,
что Ext (J, ¦), где J — группа без кручения, является делимой группой
и Ext (*, D) — О, если D — делимая группа, то получится нужный
изоморфизм, только при каждой группе будет стоять индекс 0. Так
как группа Ть (С) является прямой суммой циклических групп, то
Pext (Ть (С), ¦) = 0, а также Pext (Г {С)/Ть (С), А/Т(А))= 0 в силу
теоремы 52.3. Отсюда получается требуемый изоморфизм.
Чтобы пояснить наше дополнительное утверждение, заметим, что
Ть (С) — прямая сумма циклических групп порядков рп, откуда
следует, что группа Ext (Ть (С), G) — прямое произведение групп
G/pnG. Кроме того, группа Т (С)/Ть (С) является прямой суммой групп
типа р°°, поэтому Ext (Т (С)/Ть (С), Ть (А))о — прямое произведение
р-адических пополнении групп Ть (А) [см. лемму 56.6], и то же самое
имеет место для последнего слагаемого в формуле C), как следует
из п. Н) § 52. в
Мы теперь хотим изучить группу Pext (С, А), т. е. первую ульмов-
скую подгруппу группы Ext (С, А). Все, что известно об этой группе,
содержится в теореме 57.4.
Лемма 57.3 (Харрисон [3]). Если группа А обладает свойством
А1 — 0, то имеет место точная последовательность
0 -> Pext (Со, А) -*- Pext (С, А) -> Нош (С1, А/А) -»- 0.
§ 57*. Приложения к группам Ext 285
Так как последовательность 0-*~С1->-С-*-С0-*-0 точна, а после-
последовательность 0 -*¦ А -*¦ А -> А/А -*¦ 0 [где А/А — делимая группа]
сервантно точна, то имеет место коммутативная диаграмма
О -> Нот (Со, А) Л Нот (С, А)
-I U
О -^ Нот (Со, А/А) Л Нот (С, А/А) ->Нот (С1, А/А) ->0
!¦ I
Pext (Со, А) -> Pext (С, А)
1 1
Pext (Со, А) = 0 Pext (С, Л) = О
где строки и столбцы точны в силу предложения 44.5 и теоремы 53.7
и две нижние группы обращаются в нуль в силу алгебраической ком-
компактности группы А. Первая ульмовская подгруппа группы А равна
нулю и, таким образом, всякий гомоморфизм С -*¦ А индуцируется
некоторым гомоморфизмом Со->-Л, т. е. х — изоморфизм. Следова-
Следовательно, верхняя строка останется точной, если мы припишем к ней
справа ->0. Мы также можем пополнить третью строку, добавив к ней
-> Нот (С1, Л/Л); этот гомоморфизм существует, так как группы
Pext (С, Л) и Нот (С1, А/А) являются эпиморфными образами группы
Нот (С, А/А) с ядрами 1т Я, и Im v, причем Im X = Im кя = Im vfi s
slmv. Точность .нужной нам последовательности теперь следует
из 3 X 3-леммы [в доказательстве леммы 2.4 отображения Хх и цх
могут не быть мономорфизмами], щ
Теорема 57.4 (Маклейн [2], Харрисон [3]). Для любых групп А и С
группа Pext (С, Л) содержит две такие подгруппы К (С, Л) s
<= L (С, А), что
Pext (С, A)IL (С, А) ас Нот (С1, Ао/Ао)
L (С, А)/К (С, А) ^ Pext (Со, Ло) в Ext (С1, Л1).
Если нулевой ульмовский фактор Со группы С является прямой суммой
циклических групп, то
К (С, А) = 0 и L (С, A) s& Ext (С1, Л1).
Возьмем точные последовательности О->С1-^С->Со->-О и 0->-
-*¦ A1 -v Л -*¦ Л о -> 0. Тогда в силу теоремы 51.3, предложения 56.1
?86 Гл. IX. Группы расширений
и леммы 57.3 мы получим коммутативную диаграмму
Ext (Со, Л1) —% Ext (С, А1) ->Ext (С1, Л1)-* О
1 . 1
РехЦС, А) > Pext(C, A)
i
O-»Pext(CO) Л) —-+ Port (С, Л) —v-> Horn (С1, Д/А)-»0
I I
о о
с точными строками и столбцами. Пусть К (С, Л) = 1т ра и L (С, Л) =
= Ker vA,. Тогда первый | изоморфизм очевиден.* Как в лемме 8.3,
получается, что L (С, А) = Im Р + Im б. Очевидно, /С (С, Л) s
s Im P fl Im S. Если л: 6 Im P ("| 1т б и, скажем, х = Ьу [где «/ €
6 Pext (Со, А)], то 0 = Хх = Хбг/ =цхг/ и хг/ = 0, (/ 6 1т у, т. е.
л; 6 Im6v = /С (С, Л). Таким образом, Im р П Im б = К (С, А).
Следовательно, L (С, АIК (С, Л) является прямой суммой группы
Im P/Im Ра ^ Ext (С1, Л1) и группы Im б/Im бу s* Pext (Со, Ло).
Если Со — прямая сумма циклических групп, то Pext (Со, *) = О,
сгкуда второе утверждение сразу следует. а
К сожалению, теорема 57.4 не может считаться удовлетворительной
по двум причинам. Во-первых, в этой теореме ничего не говорится
о подгруппе К. (С, Л). Во-вторых, даже если Со — прямая сумма
циклических групп и, таким образом, К (С, Л) = 0, у нас имеется
мало сведений о возникающей здесь точной последовательности
О -> Ext (С1, Л1) -> Pext (С, Л) -> Нот (С1, A^A0) -> О,
и описания первого ульмовского фактора группы Ext (С, Л) не полу-
получается. Если предположить, что С — редуцированная счетная перио-
периодическая группа [тогда все ее ульмовские факторы — прямые суммы
циклических групп в силу теоремы 17.3], то можно повторить рассуж-
рассуждения для групп Ext (С™, Лп) («=1,2, . . .) и получить последова-
последовательность алгебраически компактных факторгрупп вида C) и
Horn (Cn, An-JAn-i).
Упражнения
1. Пусть С есть /?-группа, а В есть р-базисная подгруппа группы Л.
Доказать, что
Ext (С, А)о 2* Ext (С, В)о.
§ 58. Свойства инъективности копериодических групп 287_
2. Группа Ext (С, Л)о является прямым слагаемым прямого про-
произведения групп вида А/рпА. [Указание: начать с сервантно проектив-
проективной резольвенты группы С, затем использовать лемму 57.1.]
3. Выразить в явном виде кардинальные инварианты группы
Ext (С, Л) о через инварианты групп Л и С, используя теорему 57.2.
4. (а) Пусть группы Л и С таковы, что Л1 = 0, а С1 — делимая
группа. Показать, что
Pext (С, Л) ^ Pext (Со, Л) © Нот (С1, А/А).
(б) (Харрисон [3]). Если С1 — делимая группа, то теорема 57.4
может быть упрощена следующим образом:
Pext (С, А)/К (С, А) ~ Pext (Со, Ль) © Ext (С1, Л1) © Нот (С1, А/А).
5. Определить кардинальные инварианты алгебраически компакт-
компактной группы Нот (С1, А/А) для периодической группы С.
6. Показать, что если С есть р-группа и Со — прямая сумма цик-
циклических групп, то группа Ext (С1, Л1) изоморфна некоторой группе,
лежащей между группами Ext (С, ЛJ и Ext (С, ЛI.
§ 58. Свойства инъективности копериодических групп
Напомним, что алгебраически компактные группы можно охарак-
охарактеризовать как группы, обладающие свойством инъективности по
отношению к классу сервантно точных последовательностей. Мы
хотим сейчас отметить, что копериодические группы могут быть оха-
охарактеризованы аналогичным образом. Кроме того, всякая группа
обладает «копериодической оболочкой».
Следующий результат уже известен нам в случае периодических
групп Л. Его доказательство в основном является повторением дока-
доказательства леммы 55.1.
Теорема 58.1. Всякую группу А можно вложить в копериодическую
группу G так, что G/A будет делимой группой без кручения. Если
группа А редуцированная, то группу G можно также выбрать реду-
редуцированной.
Очевидно, достаточно рассмотреть случай, когда группа Л реду-
редуцированная. Как в лемме 55.1, получаем точную последовательность.
О -> Л -> Ext (Q/Z, Л) -*• Ext (Q, Л) -> 0, где Ext (Q, Л) — делимая
группа без кручения. Если теперь положить G = Ext (Q/Z, Л), то
группа G будет редуцированной копериодической в силу теоремы 54.6-
и. леммы 55.3. Отсюда получается искомый результат. в
Назовем точную последовательность Е: 0-*-Л->-.в->-С->-0 пе-
периодически расщепляющейся, если расщепляется последовательность.
Ех, где т: Г->- С — вложение, а Т = Т (С) — периодическая часть.
288 Гл. IX. Группы расширений
группы С. Если С — группа без кручения или если последовательность
Е расщепляется, то Е тривиальным образом является периодически
расщепляющейся последовательностью.
Теорема 58.2. Группа G является копериодической тогда и только
тогда, когда она инъективна относительно периодически расщеп-
расщепляющихся точных последовательностей.
Предположим сначала, что группа G копериодическая. Если 0 -*¦
->Л->-В--»-С->0 — точная последовательность, где С — группа без
кручения, то из существования индуцированной точной последова-
последовательности Нот (В, G) ->- Нот (A, G)-*- Ext (С, G) = О следует, что
всякий гомоморфизм A -+¦ G продолжается до некоторого гомоморфиз-
гомоморфизма В ->- G, т. е. группа G инъективна относительно такой точной
последовательности. Если Е — какая-то периодически расщепляю-
расщепляющаяся точная последовательность и г\: А -*- G — гомоморфизм, то т)
можно продолжить до гомоморфизма %: B'->G, где В' — полный
прообраз периодической части Т группы С. Из точности последова-
последовательности 0 -*• В' -*• В -*¦ С/Т -*- 0 и доказанного выше следует, что
% продолжается до гомоморфизма группы В в группу G.
Обратно, пусть группа G инъективна относительно периодически
расщепляющихся точных последовательностей. По теореме 58.1 суще-
существует точная последовательность 0->G->-G*->-D->0, где G* —
копериодическая группа, a D — делимая группа без кручения. Так
как группа G инъективна относительно этой последовательности,
то G служит прямым слагаемым для группы G* и, следовательно,
является копериодической группой, щ
Существует простой способ, позволяющий внутри группы Ext (С, А)
найти те расширения группы А при помощи группы С, которые пред-
представляют периодически расщепляющиеся точные последовательности.
Предложение 58.3. Точная последовательность Е: 0 -*¦ А -*¦ В -*-
-*¦ С -*• 0 является периодически расщепляющейся тогда и только
тогда, когда она — элемент из максимальной делимой подгруппы
группы Ext (С, А).
Так как 0 -> Т -»- С -*- С/Т -> 0 [где Т == Т (С)] — точная после-
последовательность, то точна последовательность
Ext (CIT, А) -> Ext (С, Л) -»- Ext (T, А) -> 0.
Первая группа здесь является делимой в силу утверждения И) из § 52,
а по лемме 55.3 третья группа редуцированная. Точная последо-
последовательность Е является периодически расщепляющейся тогда и толь-
только тогда, когда она имеет нулевой образ в группе Ext (T, А), т. е.
когда она лежит в образе группы Ext (CIT, А). Но это как раз макси-
максимальная делимая подгруппа группы Ext (С, А). ш
Вследствие теоремы 58.2 теореме 58.1 можно дать другую интер-
интерпретацию. Именно, теорема 58.1 показывает, что для любой группы А
t § 58. Свойства йнъективкости копериодических групп 289'
существует периодически расщепляющаяся точная последовательность
О -*¦ А -*- G -*¦ GIA -> 0, где G [и G/A] — копериодическая группа,
т. е. существует «достаточно» объектов, инъективных относительно
периодически расщепляющихся точных последовательностей. Есте-
Естественно возникает вопрос о существовании минимальных инъективных
в этом смысле объектов. Для простоты ограничимся рассмотрением
редуцированных групп А. Положим
А' = Ext (Q/Z, А).
Из доказательства теоремы 58.1 видно, что существует естественный
мономорфизм [i: А-*-А', в силу чего, если нужно, группу А можно
отождествить с подгруппой группы А', причем такой, что А'/А —
делимая группа без кручения. В силу утверждения 3) из § 54 ясно,
что \i является изоморфизмом тогда и только тогда, когда группа А
копериодическая. Кроме того, А" = А" для любой группы А.
Лемма 58.4 (Ротман [1]). Пусть А и В —редуцированные группы.
Каждый гомоморфизм т): А -*¦ В можно единственным образом продол-
продолжить до гомоморфизма г\: Л'-> Б\
Из точности последовательности 0 -»¦ А —> А' -*¦ А'/А -*¦ 0 вытекает
точность последовательности
О = Нот (А'/А, В')-+Нот(А',
-*-Нот(Л, B')-+Ext(A'/A, В') = 0.
Так как отображение ц.* сюръективно, композиция отображений
А —*¦ В —* В' индуцируется некоторым гомоморфизмом if ? Нот (Л*, В')
[это следует также из теоремы 58.2}. Так как [i* — мономорфизм,
гомоморфизм т)' определен однозначно, щ
Заметим, что диаграмма
где вертикальные отображения являются естественными вложениями,
коммутативна.
Предложение 58.5. Если Е: О-*-А—>В —>С-*• 0 — периодически
расщепляющаяся точная последовательность редуцированных групп,
то последовательность
точна и расщепляется.
19 Л. Фукс
290 Гл. IX. Группы расширений
Точность последовательности Е' вытекает из точности последова-
последовательности Е и теоремы 51.3, п. C), где G = Q/Z. Расщепляемость
будет вытекать из теоремы 58.2, если мы покажем, что последователь-
последовательность Е' периодически расщепляющаяся. Имеет место диаграмма
Ext (С, А)
0 = Ext (С/С, Л')-* Ext (С, А') -^ Ext (С, Л')-»0
с точной строкой, где отмеченные отображения индуцируются есте-
естественными гомоморфизмами из коммутативной диаграммы
I
Е': 0-^Л*->В'->С*-^0
Последовательность Е' получается из последовательности Е путем
применения отображения \i+ и затем отображения, обратного изомор-
изоморфизму X*. Если Е принадлежит максимальной делимой подгруппе
группы Ext (С, А), то Е' принадлежит максимальной делимой под-
подгруппе группы Ext (С, А'). ш
Пусть А — редуцированная группа, и пусть G — такая редуци-
редуцированная копериодическая группа, что Л s G. Из предложения 58.5
мы имеем, что A' s G' = G, откуда следует, что А' — минимальная
редуцированная копериодическая группа, содержащая группу А,
причем А' содержится во всякой редуцированной копериодической
группе, содержащей группу А. Поэтому группу А' можно рассматри-
рассматривать как непериодическую оболочку группы А. Если А — не редуци-
редуцированная группа и D — ее максимальная делимая подгруппа, то
D Ф А' является копериодической оболочкой группы А. Очевидно,
копериодическая оболочка определена однозначно с точностью до изо-
изоморфизма над А.
Далеко идущие щобобения некоторых результатов этого параграфа были
получены Ирвином, К. Уокер и Э. Уокером [1] и особенно Нунке [3].
Упражнения
1. Доказать, что 0-»-Л-»-5->-С->-0 есть периодически рас-
расщепляющаяся точная последовательность тогда и только тогда, когда
индуцированная последовательность
0 -> Т (А) -> Т (В) -> Т (С) -> 0
периодических частей соответствующих групп точна и расщепляется.
2. (а) Доказать, что точная последовательность является периоди-
периодически расщепляющейся в точности тогда, когда относительно этой
последовательности периодические группы проективны.
Замечания 291
(б) Группа проективна относительно всех периодически расщеп-
расщепляющихся точных последовательностей тогда и только тогда, когда
она является прямой суммой свободной группы и периодической
группы.
3 (Ирвин, Уокер К. и Уокер Э. [1]). Доказать, что если последо-
последовательность 0~>-Л-»-5->-С->0 точна и расщепляется, то после-
последовательности D) и E) из теоремы 53.7, где Pext заменено максималь-
максимальной делимой подгруппой группы Ext, точны.
4. (а) Нулевой ульмовский фактор группы А' является пополне-
пополнением нулевого ульмовского фактора группы А. [Указание: см. теоре-
теорему 57.2.]
(б) Для последующих ульмовских факторов это уже не так.
5. Если A s G, где G — редуцированная копериодическая группа
и GIA — делимая группа без кручения, то группа G изоморфна над А
группе А'.
6. Проверить справедливость неравенства
| А' \<\А |*о.
7 (Меджиббен). Доказать теорему 58.1 для редуцированных групп А
так: рассмотреть все группы Н со свойствами 1) А ? Н, 2) | Н | ^
< | A |No, 3) HI А — делимая группа без кручения, 4) # — редуци-
редуцированная группа; выбрать среди этих групп максимальную.
8 (Рангасвами [1]). (а) При фиксированной группе А группа
Ext (С, А) является редуцированной для любой группы С тогда
и только тогда, когда А — копериодическая группа.
(б) При фиксированной группе С группа Ext (С, А) является
редуцированной для любой группы А тогда и только тогда, когда С —
прямая сумма свободной группы и периодической группы.
Замечания
Из четырех основных функторов, рассматриваемых в гомологической алге-
алгебре, наибольшее внимание теоретико-групповиков до сих пор привлекал функтор
Ext. Частично это объясняется тем, что всякая группа является некоторой груп-
группой Нот и некоторым тензорным произведением, а всякая периодическая группа
является некоторой группой Тог; класс же групп, которые могут быть группами
Ext, более ограничен [хотя всякая редуцированная периодическая группа может
быть периодической частью некоторой группы Ext]; при этом класс групп Ext
имеет ряд интересных свойств. Другая причина заключается в том, что некоторые
проблемы теории абелевых групп удобнее рассматривать, если сформулировать
их в терминах расширений.
Если R — произвольное кольцо, то для всякого п > 1 существует функтор
Ext^ , причем точные последовательности в теореме 51.3 становятся бесконечными
и содержат по три сходных члена для каждого п. Теорема 51.3 остается справед-
справедливой тогда и только тогда, когда кольцо R наследственно слева. Группа Ext
всегда абелева; она является R-модулем, если кольцо R коммутативно. Таким
образом, лемма 52.1 —это очень частный случай более общего утверждения
относительно действия кольца R на группу Ext.
Как уже отмечалось, копериодические группы были открыты независимо
Харрисоном [1], Нунке [1] и Фуксом [9]. Их название было введено Харрисоном,
19*
292 Гл. IX. Группы расширений
который при этом дополнительно предполагал, что они редуцированные. Он же
ввел функтор Pext и опубликовал теорему 53.7. Теорема 53.3 была доказана
'Нунке [1] для дедекиндовых колец. Тот основной факт, что группа Ext всегда
является копериодической, обычно выводится из наличия изоморфизма
Ext (A, Ext (В, С)) as Ext (Тог (А, В), С),
который имеет место в случае модулей над наследственными кольцами. Тот факт,
что группа Ext (С, А) редуцированная для периодических групп С, вытекает
из формулы
Ext (А, Нот (В, С)) © Нот (A, Ext (В, С)) as
as Ext (А ® В, С) ф Нот (Тог (А, В), С),
справедливой над коммутативными наследственными кольцами. Это следствия
из теоремы об универсальных коэффициентах. В тексте даны независимые дока-
доказательства.
Существуют различные обобщения леммы 53.6 и теоремы 53.7. Важнейшее
из них относится к случаю, когда последовательность A) в § 53 представляет
элемент из SExt (С, А), где S — подфунктор тождественного функтора (см.
Нунке [3]). Другое обобщение, в духе § 45, см. в работе Фукса [12].
Копериодические модули над коммутативными областями целостности изу-
изучались Матлисом [Matlise E., Mem. Amer. Math. Soc., № 49 A964)]. О функторе
пополнения, соответствующем отображению G |-*> Ext (Q/Z, G), над дедекиндо-
выми кольцами см. работу Ротмана [1].
Проблема 38. Оценить число неизоморфных расширений
группы Л при помощи группы С в терминах групп Л и С.
Проблема 39. Определить инварианты делимой группы
Ext (С, А) для группы без кручения С.
Проблема 40. Описать строение группы Ext (С, А). В част-
частности, определить ульмовскую длину группы Ext (С, А).
П р о б л е М/Э 41. Охарактеризовать элементы группы Ext (С, А),
представляющие такие расширения G, что для некоторого заданного
порядкового числа о группа А лежит в о-й ульмовской подгруппе
группы G.
Проблема 42 (Бэр). Задать группу Ext (С, А) аксиоматически
как функцию групп Л и С.
Проблема 43. Как связаны между собой группы С и С", если
Ext (С, А) д* Ext (С', А) для любой группы А [или Ext (А, С) зл
¦^ Ext (Л, С) для любой группы Л]?
Проблема 44. Исследовать группы А со следующим свой-
свойством: если группа Л содержится в прямой сумме редуцированных
групп, то существует такое натуральное число п, что пА содержится
в прямой сумме конечного числа этих групп.
Заметим, что копериодические группы, периодически полные группы [см.
§ 67] и прямые произведения бесконечных циклических групп обладают этим
свойством [см. теорему 39.9].
Проблема 45. Построить теорию (счетных) прямых сумм
копериодических групп.
Проблема 46. Найти условия на класс групп, при которых
он является классом всех инъективных [проективных] объектов отно-
относительно некоторого класса точных последовательностей.
Глава X
ТЕНЗОРНЫЕ И ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
Существует другой основной бифунктор, значение которого сравнимо со зна-
значением функтора Нот: это тензорное произведение. Как будет видно из резуль-
результатов этой главы, тензорные произведения играют роль, в некотором смысле
двойственную роли групп гомоморфизмов.
Тензорные произведения определяются с помощью образующих и определяю-
определяющих соотношений. Они являются универсальными по отношению к билинейным
функциям, и это свойство делает их особенно важными. Точная последователь-
последовательность для тензорных произведений, которая будет получена в § 60, так же важна,
как точные последовательности для Нот. В то время как функтор Нот точен
слева, тензорное произведение оказывается точным справа; точность может быть
восстановлена, если использовать функтор Тог [периодическое произведение].
Если одна из групп периодическая, то тензорное произведение таких групп
можно полностью описать. В частности, тензорное произведение двух периоди-
периодических групп всегда есть прямая сумма циклических групп. Проблема выясне-
выяснения строения периодического произведения является более трудной, но в послед-
последнее время было получено много различных результатов о группе Тог.
§ 59. Тензорное произведение
Пусть А и С — произвольные группы и g — функция, определенная
на множестве Л X Си принимающая значения в некоторой группе G,
g: A X C-+G. A)
Функция g называется билинейной, если для любых элементов а,
аъ аг 6 А, с, с1у с2еС
g (аг + аъ с) = g (аг, с) + g (a2> с), B)
g (а, сх + са) = g (a, cj) + g (а, сг). C)
Отсюда сразу следует, что билинейная функция g удовлетворяет также
следующим условиям: g (а, 0) = 0 = g @, с), g (—а, с) = —g (а, с) =
== 8 (а> —с)> g («а. с) = ng (а, с) = g (а, пс) для любых элементов
а ? А, с 6 С и любого п 6 Z. Следовательно, если известны значения
функции g (ait Cj) для всех элементов ah с]у принадлежащих некоторым
системам образующих групп А я С соответственно, то значение g (а, с)
может быть определено для любых с 6 А, с в С.
Для заданных групп А, С определим так группу Л® С и били-
билинейную функцию е с областью определения А X С и с областью зна-
значений в А <8> С, чтобы функция е была наиболее общей билинейной
функцией в том смысле, что если A) — какая-то билинейная функция,
294 Гл. X. Тензорные и периодические произведения
то существует однозначно определенный гомоморфизм ср: А ® С -»- G,
для которого g = tpe. Другими словами, всякая билинейная функ-
функция A) должна «пропускаться через функцию е».
Пусть X — свободная группа, свободными образующими которой
являются все пары (а, с), где а ? А, с 6 С, и пусть Y — подгруппа
группы X, порожденная элементами вида
(аг + а2, с) — (alt с) — (а2, с) и (а, сг + с2) — (a, ct) — (а, с2) D)
для всех а, ах, а2 6 А, с, с1у с2 6 С. Положим
А ® С = XIY
и обозначим смежный класс (а, с) + Y через a <g> с. Таким образом,
А ® С состоит из всех конечных сумм и = 2 kt (at ® с(), где щ 6 А,
ct 6 С, kt 6 Z, причем выполняются правила [соответствующие обра-
образующим группы У]:
(аг + а2) ® с = их ® с + аг <g> с, E)
а ® {с\ + с2) = а ® с, + а ® с2. F)
Следовательно,
иа ® с = п (а ® с) — а ® пс
для любых а в А, с 6 С, «6Z. Мы видим, что элементы и ? А ® С
могут быть записаны в виде ы=2(аг®с0 (аг 6 ^, ct € Q. но,
вообще, элемент м записывается в таком виде многими различными
способами.
Заметим, что тензорное произведение A ®R С правого R-модуля А и левого
R-модуля С определяется аналогичным образом, но в факторгруппе Х/У [где
X — абелева группа, свободно порождаемая всеми парами (а, с)] подгруппа Y
порождается, кроме элементов вида D), также всеми элементами (аа, с) — (а, ас),
где a g А, с 6 С и а 6 R.
К сожалению, обозначение а® с не всегда вполне ясно, так как элемент
а ® с зависит также от групп А, С; поэтому всегда нужно пояснять, к какому
тензорному произведению элемент а ® с принадлежит [см. упр. 6].
В силу формул E) и F) отображение
е: (а, с)*-+ а ® с
есть билинейная функция А х С->- А ® С. Если A)—какая-то
билинейная функция, то докажем, что существует однозначно опре-
определенный гомоморфизм ср: А ® С -*¦ G, превращающий диаграмму
АХС-^А®С
/¦«р G)
G
в коммутативную. Если такой гомоморфизм ср существует, то, очевидно,
ср: а ® с *-*¦ g(ay с), так что ср обязательно определен однозначно
§ 59. Тензорное произведение 295
Но отображение a <g> с *-+• g (а, с) образующих группы А ® С в группу
G продолжается до гомоморфизма, так как образующие связаны
только соотношениями E), F) [и следствиями из них), которыми свя-
связаны и соответствующие образы, как показывают формулы B) и C).
Это завершает доказательство первой части следующей теоремы:
Теорема 59.1. Если дана пара групп А, С, то существуют такая
группа А ® С и такая билинейная функция
е: А X С -> А ® С,
что если g: А X С -*• G — какая-то билинейная функция, то имеется
единственный гомоморфизм <р: A <g) С-*- G, для которого диаграмма G)
коммутативна.
Указанное свойство определяет группу A (g> С однозначно с точ-
точностью до изоморфизма.
Чтобы доказать последнее утверждение, предположим, что группа
Я обладает таким же свойством, причем соответствующей билиней-
билинейной фунцией является функция h: А X С-*- Н. Тогда в силу доказан-
доказанного для группы А ® С существует такой гомоморфизм <р: А <8> С -»¦
-*¦ Н, что h — <ре, а по нашему предположению относительно группы Н
для некоторого гомоморфизма ij>: H -*¦ А ® С имеет место равенство
е = г|Л. Следовательно, е = арфе, h = cp\|5/t, a так как существует
только один гомоморфизм арф: А ® С ->¦ А ® С, для которого е =
— г|)фе, то грф = 1Л®с. и аналогично фгр = \н. 9
Группа А ® С называется тензорным произведением групп А
и С, а отображение е: (а, с)*-*- а® с называется тензорным отобра~
окением. В силу единственности, о которой идет речь в предыдущей
теореме, получается, что
А ® С с* С ® А,
причем естественный изоморфизм индуцируется соответствием а® с*-*-
»-»¦ с <8> а.
Чтобы ознакомиться с тензорными произведениями, установим
сначала ряд элементарных фактов. Следующая, почти тривиальная
лемма дает нам удобный метод получения свойств тензорных произ-
произведений.
Лемма 59.2. а) Если т \ а и п\ с, то тп \ а ® с; б) если та = О
и пс — 0, то (m, n) (a <g> с) = 0; в) если т\а и тс— 0, то а ® с = 0.
Если для элементов а0 6 А, с0 6 С выполнены соотношения та0 =
= а, пс0 = с, то тп (а0 <g> с0) = а ® с. Если s, t — такие целые числа,
что ms + nt = (т, п), то (т, п) (а ® с) = tnsa (g> с + a (g) n/c = 0.
Наконец, утверждение в) вытекает из того, что а ® с = та0 ® с =
= а0 ® /пс = 0. щ
А) ?сли либо группа А, либо группа С является р-делимой [делимой],
то A <g> С есть р-делимая [делимая] группа.
296 Гл. X. Тензорные и периодические произведения
Б) Для высот элементов справедливо
hp (а ® с) > hp (a) + hp (с).
В) Если либо группа А, либо группа С является р-группой [периоди-
[периодической группой], то А ® С есть р-группа [периодическая группа].
Г) Если А есть р-делимая группа, а С есть р-группа, то А ® С = О.
В частности, А ® С = 0, если А есть р-группа, а С есть <7-группа,
где р, q — различные простые числа. Кроме того, A <g> С = 0, если
А — делимая, а С — периодическая группа.
Д) Если при некотором т ? Z имеют место включения а ? тА
и с 6 С" [т], то а ® с — 0 в группе А ® С.
Е) ?сли /?г, (а) = оо, а С есть р-группа, то а ® с = 0 в группе
А ® С для любого элемента с 6 С.
Доказательства очевидны и могут быть предоставлены читателю.
Ж) Существует естественный изоморфизм
Z <8> С =* С.
Элементы группы Z (g) С могут быть приведены к виду 2 ("г ®
® с0 — 2 A ® nici) — 1 ® 2 /г«с* = 1 ® с для некоторого элемен-,
та с 6 С. Отображение ф: с*-+\ %> с является поэтому эпиморфизмов
группы С на группу Z® С. Очевидно, (т, с) *-*¦ тс есть билинейное
отображение Z х С -*¦ С, поэтому в силу теоремы 59.1 существует
такой гомоморфизм т|з: Z ® С-*- С, что ij;: I ® с i-»- с. Следовательно,;
отображения ф и ij; взаимно обратны. [Заметим, что отображение ф
является естественным, так как группа Z имеет особо выделенную
образующую.]
3) Для любого целого числа т существует естественный изоморфизм
Z{m)® С ^ С/тС.
Здесь снова ф: су-* 1 ® с является эпиморфизмом группы С на груп-
группу Z (яг) ® С. Так как 1 ® тс = яг <g> с = 0 ® с = 0, то тС ^'
Е Кег ф. Далее, (п, с) н-*-пс + ягС—это билинейное отображение
Z (т) х С -v С/ягС, индуцирующее такой эпиморфизм ф: Z (т) ®
® С -*- С/ягС, что!|)ф является каноническим отображением C-v С/ягС.,
Следовательно, Кег ф = тС.
В частности, Z (pr) ® Z (p*) ^ Z (р*), где / = min {r, s).
И) Пусть группы А и С являются прямыми суммами, А= ф А,,'
C=®Cj. Тогда
i.i
§ 59. Тензорное произведение 297
Очевидно, достаточно проверить, что Л <g> С ?* © (Лг ® С). Если
i
я{ — проекции, связанные с заданным прямым разложением груп-
группы Л, то функция g (а, с) = 2 (ща ® с), очевидно, является били-
билинейной функцией А X С-*- G = © (At <g> С), причем nta ® с 6 Л( ®
® С. Следовательно, существует однозначно определенный гомомор-
гомоморфизм ф: А ® С ->- G, для которого g (а, с) = фе (а, с), где е — тензор-
тензорное отображение А X С -*- А ® С. Гомоморфизм ф является эпимор-
эпиморфизмом, так как элементы nta <g> с порождают группу G. Функция
е (nta, с), определенная на i, x С, является билинейной, поэтому
при каждом i существует гомоморфизм арг: At ® С-*- Л.® С, для
которого а|3{ (nta <g) с) = е (я{а, с). Гомоморфизмы 1|)( дают гомомор-
гомоморфизм г|э: G ->- Л ® С, для которого i|jg (а, с) = г|з 2 (яга ® с) =
i
— S 'Ф» (nia <8> с) = 2 е (nta ® с) = е (а, с). Мы получаем, что ото-
i i
бражение г|> обратно отображению ф, следовательно, ф — мономор-
мономорфизм, т. е. изоморфизм.
Следствием утверждений И) и Ж) является то, что если Л и С —
свободные группы со свободными образующими {fljig/ и {c/}jgj
соответственно, то Л ® С — тоже свободная группа со свободными
образующими {at ® с}}, где i 6 /, / 6 J¦
К) Для любых трех групп А, В, С имеет место естественный
изоморфизм
ф: Нот (Л ® В, С) -*- Нот (Л, Нот (В, С)),
определяемый следующим образом: если ц: А ® В -*¦ С, то
[(фг1) а] (Ь) = л (а ® о) (а ? A, b ? В).
Очевидно, фт] сопоставляет элементу а 6 Л отображение (фл) а:
В ->¦ С, которое переводит элемент Ь 6 В в элемент т^ (а <g> ft) ? С.
Легко проверить, что (фт]) а — гомоморфизм. Точно так же, фт] — го-
гомоморфизм и ф: т) 1—»- фт] — гомоморфизм, и остается доказать, что
для ф существует обратное отображение г|з. Пусть %: Л ->¦ Нот (В, С).
Тогда (a, b)*-+ (%a) (b) есть билинейная функция g: A x В -*¦ С,
откуда следует, что существует однозначно определенный гомоморфизм
i\: А ® В ->¦ С, для которого ч\ (а ® Ъ) = (%а) (Ь). Легко видеть,
что отображение ф: % ^ т\ является обратным к ф.
Упражнения
1 (Уитней [1]). Пусть Л, С, G — аддитивные, но не обязательно
коммутативные группы, и пусть g: А X С -*- G — билинейная функ-
функция. Доказать, что
(а) значения g (а, с) порождают абелеву подгруппу G' группы G
[указание: рассмотреть g (at + аг, сг + с2)];
298 Гл. X. Тензорные и периодические произведения
(б) g (fli. с) = g (а2, с), если элементы % и а2 принадлежат одному
смежному классу по коммутанту группы Л;
(в) предположение коммутативности не накладывает ограничений
на билинейные функции.
2. Охарактеризовать группы С, для которых выполняется одно
из следующих условий:
(а) Л ® С si А для любой группы А;
(б) А ® С ?ё А/тА для фиксированного числа т и любой груп-
группы А;
(в) А ® С — делимая группа для любой группы А;
(г) А <8> С = О для любой периодической группы Л;
(д) А <8> С = 0 для любой р-группы Л;
(е) А ® С = 0 для любой делимой группы А;
(ж) Л <8> С — периодическая группа для любой группы Л.
3. Пусть элемент а ? Л таков, что а<8>с = 0вЛ(8>С для любой
периодической группы С и любого элемента с 6 С. Доказать, что
аеА1.
4. (а) Определить строение группы A <g> С, если Л — прямая
сумма циклических групп.
(б) Л ® С ^ Нот (Л, С), если Л и С — конечные группы.
5. Пусть группа Л обладает тем свойством, что для любой группы
С тензорное произведение Л ® С является прямой суммой фактор-
факторгрупп группы С. Показать, что Л — прямая сумма циклических
групп.
6. (а) Если А' ^ А и С с С, то отображение а' ® с' (?Л' ®
® С) н-»- (а' ® с') FЛ ® С) индуцирует гомоморфизм
ф: А' ® С ->- А ® С.
(б) Привести пример, когда ср — не мономорфизм. [Указание:
взять А' = Z (р), А = Z (р°°).]
п
7. (а) Если 5j (at ® С;) = 0 в группе Л ® С при некоторых at ?
? Л, с* 6 С", то существуют такие конечно порожденные подгруппы
п
Л' s Л, С'д С, что аг 6 Л', с, 6 С и 2 (а* ® сг) = 0 в группе
Л' ® С.
(б) Проверить справедливость утверждения, аналогичного утвер-
утверждению (а), где «= 0» заменено условием «имеет порядок т».
8. Определить полилинейные функции g: Лх X . . . X Л„ -*¦ G,
тензорное произведение Лх <g> . . .® Лл и тензорное отображение е.
Доказать аналог теоремы 59.1 и ассоциативность
(Лх ® Л2) ® Л3 ^ Лх ® Л2 ® Л3 ^ Л! <8> (Л2 <8> Л3).
9. Пусть В — подгруппа, порожденная всеми эпиморфными обра-
образами группы Л в группе С. Тогда существует эпиморфизм
Л <8) Нот (Л, С) -> В.
§ 60. Точные последовательности 299
10. Существует естественный гомоморфизм
А ®ПС*
который в общем случае не является изоморфизмом. [Указание: взять
А = Q, а в качестве Ct взять неограниченные периодические группы.]
§ 60. Точные последовательности для тензорных
произведений
В этом параграфе мы посмотрим, как тензорные произведения
ведут себя в качестве бифункторов. Поэтому наша первая задача —
определить для ® индуцированные гомоморфизмы.
Пусть а: А -> А' и у: С-*¦ С— гомоморфизмы. Отображение
(а, с) *-+ аа <g> ус из А X С в А' ® С, очевидно, является билинейным,
поэтому существует однозначно определенный гомоморфизм ср: A ®
® С-*- А' ® С", для которого <р (а ® с) = аа <g> ус. Введем обозна-
обозначение ф = а ® у. Тогда
(а ® у) (а <8> с) = аа ® ус (а ® с 6 ^ ® С, аа ® ус ? Л' <g> С).
Для упрощения обозначений мы будем иногда, если это не сможет
вызвать недоразумений, просто писать
а» = а ® 1с, 7# = 1а ® Y-
Легко непосредственно проверить, что выполняются правила
1 а ® 1с = 1 а®с, (а <8> V) (а' <2> У') = аа' ® w',
(a + at) ® v = a ® v + Ki ® у, а ® (Y + Vi) = a ® V + a ® Vi.
где a, a', alt 7, Y'» Yi — соответствующие гомоморфизмы. Поэтому
мы приходим к первой части следующего результата:
Теорема 60.1 (Картан и Эйленберг [1]). Тензорное произведение
является аддитивным бифунктором из категории Л X Л в катего-
категорию Л, ковариантным по обоим аргументам. Этот бифунктор ком-
коммутирует с прямыми пределами.
Чтобы доказать последнее утверждение, предположим, что Л =
= {At (t 6 /); я?} и С = {Cj Q 6 J); pj} — прямые спектры с преде-
пределами А и С соответственно. Система
{At ® С, ((/, /) 6 / X J); n\ ® pj}
снова является прямым спектром; пусть G — ее предел. Из суще-
существования канонических отображений nt: At-*- A, py. Cj-*-C следу-
следует существование таких гомоморфизмов
nt ® р/. At <g> С; -> А ® С,
300 Гл. X. Тензорные и периодические произведения
что Я1 ® р) = (nh ® р,) (я* ® pj.) (t < k; j < /). По теореме 11.1
существует однозначно определенный гомоморфизм a: G ->• А ® С,
для которого ста^ = яг ® pj при всех t, /, где ои: Аг % С} -*¦ G —
каноническое отображение. Мы утверждаем, что а — изоморфизм.
Если даны элементы а 6 А, с 6 С, то а — ягаг, с = pjCj для некоторых
o-i в At, Cj 6 Су и функция g (а, с) — аи (at ® с}) билинейна. Следо-
Следовательно, для некоторого гомоморфизма т: А ® С -> G выполнено
равенство т (а ® с) = g (а, с). Далее, a <g> с = (п4 ® ру) (аг <g) c^) =
= аа(у (а4 ® Су) = og (а, с) показывает, что а и т — взаимно обратные
отображения на образующих групп А ® С и G. ш
п
Следствием этой теоремы является тот факт, что если 2 (#г <8> ct)
обращается в нуль в группе А ® С, то существуют такие конечно
п
порожденные подгруппы А', С, что at ? A', ct ?С и 2 (а« <S> ct)
обращается в нуль уже в группе А' ® С. В самом деле, это вытекает
из теоремы 60.1 и утверждения в) из § 11.
Если мы хотим посмотреть, как ведут себя тензорные произведения
по отношению к коротким точным последовательностям, мы можем
в силу симметрии ограничиться тензорным умножением справа. Следу-
Следующий результат показывает, что функтор ® точен справа:
Теорема 60.2 (Картан и Эйленберг [1]). Если лДбЛс->-0-
точная последовательность и G — произвольная группа, то индуци-
индуцированная последовательность
А $ G — %>В <g> G—*-+C <g> G-»0
точна.
Из равенства р\х = 0 следует, что р*,,а„ = (ра), = 0. Нам нужно
только доказать, что гомоморфизм
ф: Н = (В ® G)/Ima»-*-C®G,
индуцированный гомоморфизмом $т, является изоморфизмом. Пусть
дан элемент с 6 С. Возьмем такой элемент b 6 В, что pb = с. Отобра-
Отображение (с, g) у-*- (b <g> g) + I m am 6 H, очевидно, определено корректно
и является билинейным, поэтому существует такой гомоморфизм
гр: С ® G->- Н, что гE (с <g> g) = (& ® g) + I m аф. Теперь ясно, что
Ф и ij) взаимно обратны на образующих. ¦
Повторно применяя последний результат, получаем, что если
Р: В -*¦ С и Р': 5' ->¦ С — эпиморфизмы, то р ® Р': 5 ® i5' -»- С ®
® С — снова эпиморфизм. Можно доказать несколько больше:
§ 60. Точные последовательности . ЗШ
Следствие 60.3. Если лЛяЛс^О и А' ^> В' Л С -> О -
точные последовательности, то последовательность
(А ® 5') © (В ® А') —-> В® В' —-% С ® С -» О,
где | = [V(a ® 1в') ф AВ ® а')], также точна.
Диаграмма
Л' >С®Л'
коммутативна и имеет точные строки и столбцы. Поэтому отображение
Р ® р = A ® Р') (Р ® 1) является эпиморфизмом, ядро которого
представляет собой объединение ядер Кег (р ® 1в-) и Кег AД ® р"),
как легко показать с помощью диаграммного поиска [см. лемму 8.3].
Это объединение совпадает с Im ?. а
По отношению к сервантно точным последовательностям тензорные
произведения ведут, себя лучше:
Теорема 60.4 (Фукс [9]). Если 0 -»- А ДвЛс->-0- сервантно
точная последовательность, то для любой группы G последовательность
0-*- А ® G ^-B ® G-^>C(g> G^-0 A)
сервантно точна.
Если G = Z, то это следует из утверждения Ж) § 59. Если G —
= Z (m), то последовательность A) сервантно точна в силу естественно-
естественного изоморфизма из пункта 3) § 59 и теоремы 29.1. Следовательно,
утверждение теоремы верно для любых конечно порожденных групп G,
так как тензорное умножение — аддитивный функтор. Если предста-
представить группу G в виде прямого предела ее конечно порожденных под-
подгрупп Gi, то прямым пределом сервантно точных последовательностей
Q-+-A<giGi-*-B®Gi-+C<g)Gt-+O в силу теоремы 29.4 будет
сервантно точная последовательность 0->Л®О->-5(8)О->-С(8)
(g>G->0. Непосредственные выкладки и теорема 11.2 показывают,
что отображениями здесь должны быть а ® 1G и Р <g> 1G. B
302
Гл. X. Тензорные и периодические произведения
Так же доказывается
Следствие 60.5. Если 0 -> Л —> В —=> С-> 0 есть р-сервантно точ-
точная последовательность, a G есть р-группа, /по A) — сервантно точная
последовательность.
В самом деле, если последовательность A) р-сервантно точна,
то она и сервантно точна, так как В ® G есть р-группа. ш
Повторно применяя теорему 60.4, получаем, что если А' и В' —
сервантные подгруппы групп А и В соответственно, то группу А' ® В'
фактически можно рассматривать как подгруппу группы А ® В [эта
подгруппа получается при естественном отображении а' ® Ь' FЛ' <g>
® В') >-*¦ а' ® V FЛ ® В)]. Другим случаем, когда это возможно,
является случай групп без кручения А, В. Это вытекает из следую-
следующей теоремы:
Теорема 60.6 (Дьедонне [1]). Если 0-> А Д- В Л- С ->- 0 — точная
последовательность и G — группа без кручения, то последовательность
A) точна.
Доказательство проводится в основном так же, как в теореме 60.4,
только теперь G — прямой предел [конечно порожденных] свободных
групп. Л
Отсюда получается, что тензорное произведение групп без круче-
кручения является группой без кручения.
Упражнения
1. (а) Если А — группа без кручения, то Q ® А — делимая обо-
оболочка группы А, причем а>-*- 1 (g> a — естественное вложение группы
А в Q <g> A.
(б) Так не получится, если А не есть группа без кручения.
2. Если а: А -> В —такой мономорфизм, что а ® \g' A ® G-*¦
-> В ® G является мономорфизмом для любой группы G, то I m а —
сервантная подгруппа группы В.
3. Последовательность 0->Л->5->-С->0 является сервантно
точной тогда и только тогда, когда для любого натурального числа т
индуцированная последовательность
0 -*¦ А ® Z (т) -*• В <g> Z (m) -*- С ® Z (т) -»- 0
точна.
4. Если А' и С — сервантные подгруппы групп А и С соответ-
соответственно, то при естественном вложении А' ® С в A <g> С получается
сервантная подгруппа группы А ® С.
5. Если всегда из точности последовательности 0->-Л-»-В->-С->-
->- 0 следует точность последовательности 0->-Л(8) G -*¦ В 0 G ->
->С® G-> 0, то G — группа без кручения.
§ 61. Строение тензорных произведений 303
6. Если а — эндоморфизм группы Л, a v — эндоморфизм группы
С, то а ® 1 и 1 ® у — эндоморфизмы группы А ® С, коммутирующие
между собой.
7. Если или А, или С есть р-адическая группа, то А ® С есть
р-адическая группа. Если я — целое р-адическое число, то л (а ® с) =
= яа ® с или я (а ® с) = а ® пс в зависимости от того, что имеет
смысл.
8. (а) Пусть А и С — группы без кручения и {аг}{?/, {c/}jgj—
их максимальные независимые системы элементов соответственно.
Показать, что {at <g> Cj}ltj — максимальная независимая система эле-
элементов группы A <S> С.
(б) Проверить равенство
г0 (А ® С) = г0 (Л) то (Q
для любых групп А я С.
9. (а) Пусть А, С — группы без кручения, и пусть р' | а ® с для
некоторых а 6 Л. с 6 С. Тогда существуют такие неотрицательные
целые числа г, s, что г + s = tn pr\a, p'\c. [Указание: см. упр. 8 (а).]
(б) Описать строение группы A (g) С в случае, когда Л, С — группы
без кручения ранга 1.
10. Найти строение следующих тензорных произведений: Jp <g> Q;
Jp <8> Jg, где p, q — произвольные простые числа; Jv ® С, где С —
периодическая группа.
11 (Хэд [1]). Если А — подгруппа группы В и G — редуцирован-
редуцированная группа, то канонический гомоморфизм А ® G ->- В ® G является
мономорфизмом тогда и только тогда, когда Л П РпВ = рМ всякий
раз, когда группа G имеет прямое слагаемое Z (рп).
12. Доказать теорему 60.4, используя теорему 29.6 и функтор
Л *-*¦ A <g) G, ок+о® 1G.
§ 61. Строение тензорных произведений
В заключение рассмотрим строение тензорных произведений в слу-
случае, когда один из множителей является периодической группой.
Здесь вопрос решается до конца.
Следующая теорема дает инструмент для фактического определения
строения тензорного произведения.
Теорема 61.1 (Фукс [9]). Если С есть р-группа, а В есть р-базисная
подгруппа группы Л, то имеет место естественный изоморфизм
А ® С ^ В ® С.
Возьмем р-сервантно точную последовательность 0 -*¦ В -*¦ А ->-
-v А/В -> 0. Тогда в силу следствия 60.5 мы получим точную после-
последовательность
0-vB® С->Л®С->- (А/В) ® С -»- 0.
304 Гл. X. Тензорные и периодические произведения
Здесь А/В есть р-делимая группа, а С есть р-группа, поэтому (А/В) ®
<g) С = 0, как видно из утверждения Г) § 59. Точность последователь-
последовательности 0 -> В ® С -*¦ А ® С -*¦ 0 равносильна утверждению теоремы. ш
Если В = ф {bi) — разложение р-базисной подгруппы в прямую
сумму циклических групп, то можно написать более точно: А ® С =
= ф {(bt) ® С), где слагаемые изоморфны или группе С, или группе
C/pkC в зависимости от того, будет ли (bt > бесконечной циклической
группой или циклической группой порядка ph.
Теорема 61.1 в действительности позволяет определить в явном
виде строение тензорного произведения А ® С для любой периодиче-
периодической группы С. Если Вр есть р-базисная подгруппа группы А, а Ср
есть р-компонента группы С, то
А ® С s* ф (Л ® Ср) з* ф (Вр ® Ср).
р р
Заметим, что полученный изоморфизм показывает, в частности, что
А®С?*Т(А)®С® (А/Т (А)) ® С
для любой периодической группы С. Справедлив также более общий
результат:
Теорема 61.2 (Харрисон [2]). Если В — серванпгная подгруппа
группы А и С — периодическая группа, то имеет место изоморфизм
Л(8>С^В(8)СФ (AIB) <g> С.
Очевидно, достаточно доказать это для р-групп С. Но если С
есть р-группа, то нужное утверждение непосредственно следует
из утверждения Ж) § 34 и предыдущей теоремы. в
Теорема 61.3 (Фукс [6], Харрисон [1]). Тензорное произведение
периодических групп является прямой суммой циклических групп.
Пусть А, С — периодические группы, и пусть В, D — базисные
подгруппы групп Л и С соответственно. Применяем дважды теоре-
теорему 61.1 и получаем, что Л ® С ^ В ® D. Здесь В и D — прямые
суммы циклических групп, поэтому в силу утверждений И) и 3) из § 59
то же должно иметь место для В ® D. Очевидно, можно дать явную
формулу для В ® D с помощью инвариантов групп В и D. а
О строении тензорных произведений групп без кручения известно
по существу очень мало. Главная проблема, с которой мы здесь стал-
сталкиваемся, состоит в нахождении достаточно хорошего способа постро-
построения тензорного произведения по его компонентам [так как наши
сведения о группах без кручения очень ограничены]. Но даже это
представляет непреодолимые трудности, если рассматривать общий
случай. Лучшее, что мы можем сделать,— это найти некоторые инва-
инварианты для группы А ® С.
§ 61. Строение тензорных произведений 305
Следствие 61.4. Если А и С — группы без кручения с р-базисными
подгруппами В и D соответственно, то А ® С — группа без круче-
кручения, р-базисная подгруппа которой изоморфна В (g> D.
По заключительному замечанию из § 60 группа А ® С является
группой без кручения. Точная последовательность 0 -*¦ В -»- А -»- А/В-*-
-*- 0 индуцирует точную последовательность
0 -> В ® С -> Л ® С ->¦ (Л/fi) <g> С -> О
[см. теорему 60.6]. Здесь (Л/5) <g> С есть р-делимая группа без круче-
кручения, т. е. р-базисные подгруппы группы В <g> С одновременно являют-
являются р-базисными подгруппами группы Л <g> С. Повторяя эти рассужде-
рассуждения, получаем, что В (g) D есть р-базисная подгруппа группы Л (g) С. ш
Приведем, наконец, результат, касающийся периодических частей
и частей без кручения произвольных тензорных произведений.
Теорема 61.5 (Фукс [9]). Для любых групп А, С имеют место изо-
изоморфизмы
Т(А®С)^[Т (Л) ® Г (С)] © \Т (Л) ® С/Т (С)] © [А/Т (Л) ® Г (С)]
(Л ® С)/Г (Л ® С) s Л/Г (Л) ® С/Г (С).
В силу следствия 60.3 ядро естественного эпиморфизма
А ® С-+ А/Т (Л) ® С/Г (С)
является подгруппой группы Л (g> С, порожденной подгруппами
Л (8> Г (С) и Г (Л) <g> С; как показывает теорема 60.4, эти последние
группы действительно можно отождествить естественным образом
с подгруппами группы Л ® С. В силу теоремы 61.2, очевидно, здесь
А ® Т (С) s& [Г (Л) (8) Г (С)] Ф [Л/Г (Л) ® Г (С)] и Г (Л) ® С ^
^ [Г (Л) ® Г (С)] © [Г (Л) ® С/Т (С)]. Эти группы являются пери-
периодическими, а их пересечение равно Г (Л) ® Т (С). Теперь утвержде-
утверждение теоремы очевидно. ш
Упражнения
1. Указать явно вид тензорного произведения двух р-групп,
базисные подгруппы которых заданы в явном виде.
2. Пусть А/Т (Л) — делимая группа. Доказать, что Л <g> С ^
^ Г (Л) <g) С для любой периодической группы С.
3. Редуцированная группа G является периодической тогда и толь-
только тогда, когда для любой сервантно точной последовательности 0 -»¦
->-Л->-5->С->0 имеет место соотношение В ® G з* (A <g> G) ©
ф (С <g) G). [Указание: выбрать в качестве В свободную группу и взять
C = Q.]
4. (а) Пусть Z (р°°) — подгруппа группы Л (g> С. Тогда или груп-
группа Л, или группа С содержит подгруппу Z (р°°).
(б) Установить условия, которым должны удовлетворять группы
Л и С, чтобы было Л ® С' s* Z (р00).
20 Л. Фукс
306 Гл. X. Тензорные и периодические произведения
5. (а) Для пары групп А, С изоморфизм А ® С ^ Z влечет за собой
A^Z^C.
(б) Доказать, что обе группы А и С свободны, если А ® С —
нетривиальная свободная группа. [Указание: Z ® С является под-
подгруппой.]
6. Если G — урегулированная непериодическая группа, то Q/Z (g>
® G = 0.
7. (а) Пусть Л —редуцированная алгебраически компактная груп-
группа без кручения. Тогда
А <* Нот (Q/Z, A ® Q/Z).
[Указание: подсчитать тензорное произведение.]
(б) А 2* Нот (Q/Z, A ® Q/Z) для Z-адического пополнения А
группы без кручения А.
8. Пусть А, С — неограниченные прямые суммы циклических
р-групп. Показать, что группа А ® С не является алгебраически
компактной. [Указание: рассмотреть базисную подгруппу.]
9. Пусть у групп А и С первые ульмовские подгруппы являются
нулевыми группами. Проверить, что имеет место изоморфизм (A <g>
® О" <* (А ® С)~.
10. Доказать, что ульмовская длина группы А ® С не может быть
больше ульмовской длины каждой из групп А и С. [Указание: из теоре-
теоремы 61.5 следует, что превышение может быть не больше, чем на еди-
единицу; показать, что тогда последний ульмовский фактор не может
быть группой без кручения.]
11 (Фукс [9]). Спариванием групп А, С в группу G называется били-
билинейная функция А X С -*¦ G. Показать, что спаривания образуют
группу, изоморфную группе Нот (А ® С, G), и описать строение
этой группы в случае, когда G — группа действительных чисел, рас-
рассматриваемых по модулю 1.
§ 62. Периодическое произведение
Мы видели, что в общем случае функтор Нот не переводит корот-
короткую точную последовательность снова в точную последовательность,
но точность может быть восстановлена, если ввести функтор Ext.
На самом деле теорема 51.3 показывает, что этого можно достигнуть,
если допустить к рассмотрению более длинные точные последователь-
последовательности. Можно ожидать, что существует функтор, который действует
так же по отношению к тензорному произведению. Именно этот функ-
функтор мы сейчас и рассмотрим.
Если даны группы Л и С, то их периодическим произведением
Тог (А, С) называется абелева группа, образующие которой — все
тройки (а, т, с), где а 6 А, с 6 С, т 6 Z (т > 0) и та = тс = 0,
§ 62. Периодическое произведение 307
а определяющие соотношения —
(щ-\-а2,т, с)=--(аит, с) + (а2, т, с), если тау = та2 = тс = 0,
(а, т, с{ + с2) ^(а, т, ct) + (a, m, с2), если ma = mci = mc2 = 0, A)
(а, тп, с) = (па, т, с), если тпа = тс = 0,
(а, тп, с) = (а, т, пс), если та= тпс= 0.
Таким образом, предполагается, что соотношения A) выполнены
всякий раз, когда правые части определены. В силу очевидной сим-
симметрии
Тог (А, С) s& Tor (С, А),
причем имеет место естественный изоморфизм (а, т, с)*-*, (с, т, а).
Из первых двух соотношений в системе A) вытекает, что @, т, с) =
= 0 — (а, т, 0) и (—а, т,с) = — (а, т, с) = (а, т, —с). Кроме того,
(па, т, с) = п (а, т, с) = (а, т, пс), если каждый из символов имеет
смысл. Очевидно, элементами группы Тог (А, С) являются конечные
суммы вида
2 (at, mh ct), где mfii = mlcl = 0.
i
Приведем теперь ряд элементарных следствий из определения.
A) Тог (А, С) всегда является периодической группой. Это
р-группа, если р-группой является А или С.
Б) Имеет место естественный изоморфизм
Тог (А, С) si Tor (T (A), T (С)).
В самом деле, в определении группы Тог учитываются только
элементы конечного порядка.
Утверждения А) и Б) оправдывают название «периодическое про-
произведение» и в то же время показывают, что мы ничего не теряем,
рассматривая только периодические группы. В частности, Тог (А, С) ==
= 0, если А или С — группа без кручения.
B) Если пА = 0, то п Тог (А, С) = 0 для любой группы С.
Очевидно, все образующие элементы группы Тог обращаются в нуль
при умножении на п.
Г) Если А есть р-группа, а С есть q-группа, где р, q — различные
простые числа, то Тог (А, С) =0.
В самом деле, в этом случае Тог (А, С) одновременно является
и /7-группой, и ^-группой.
Д) Тог коммутирует с прямыми суммами: если А — © Ait то
i
существует естественный изоморфизм
Тог (ф At, С) <=* ф Тог {At, С).
i i
20*
308 Гл. X. Тензорные и периодические произведения
Если (flii+ ••• +ciih, m, с) (й; 6 Ад — образующий элемент груп-
группы Тог (Л, С), то
т (ah + ... + aih) = 0 = тс.
Это равносильно тому, что tnatl = . . . = та> = тс = 0, поэтому
в группе Тог (Л, С) мы имеем (ан + . . . + a,ft, m, с) = (a4l, m, с) +
+ • • . + (a*ft, т, с). Очевидно, тройки вида (аи т, с), где а,- ? Л*,
при фиксированном t порождают подгруппу группы Тог (А, С), изо-
изоморфную группе Тог (А(, С). Эти подгруппы, взятые для всех t, порож-
порождают подгруппу, являющуюся их прямой суммой и совпадающую
с группой Тог (А, С).
Е) Если р-компоненты групп А и С обозначить через Ар и Ср,
то будет иметь место изоморфизм
Тог (А, С) s* © Тог (Ар, Ср).
р
Это легко получается из Г) и Д).
Чтобы исследовать, является ли Тог функтором, возьмем гомо-
гомоморфизмы a: A-*¦ А' и у: С -*¦ С. Совершенно очевидно, что если
(а, т, с) — образующий элемент группы Тог (А, С), то (аа, т, ус) —
образующий элемент группы Тог (А', С), а соответствие
(а, т, с) у-*- (аа, т, ус)
между образующими однозначно продолжается до гомоморфизма
Тог (a, v): Тог (А, С) -> Тог (А', С).
Как и следовало ожидать, для таких гомоморфизмов выполняются
обычные правила Tor (aa', 77') — Тог (а, у) Tor (a', у') для соответ-
соответствующих гомоморфизмов и Тог AА, 1с) = 1тог(л,о. т- е. Тог —
функтор. Таким образом, мы получаем первую часть следующего
результата:
Теорема 62.1 (Картан и Эйленберг [1]). Периодическое произведение
является аддитивным бифунктором из категории Л X Л в катего-
категорию Л, ковариантным по обоим аргументам. Он коммутирует с пря-
прямыми пределами.
Остается проверить справедливость второго утверждения. Пусть
А = {Л, (i 6 /); 4} и С = {Q (/ 6 J); Pj} — прямые спектры групп,
пределы которых мы обозначим соответственно через А и С. Легко
проверить, что {Tor (At, Cj) ((i, j) ? I X J); Тог (я?, р')} — прямой
спектр; пусть Т — его предел и пусть аа: Тог (Ait Cj) -*• Т — соот-
соответствующие канонические отображения. Канонические гомоморфиз-
гомоморфизмы я,-: At -> А, ру. Cj^>- С [для которых я; = яйя? (i ^ k) и pj =
= PiPJ (/ ^s 01 индуцируют гомоморфизмы
Тог (я;, р,): Тог (Ль Cj) -> Tor (Л, С),
§ 62. Периодическое произведение 309
для которых Tor (nt, pj) = Tor (itft, p,) Тог (я*, pp. Из теоремы 11.1
следует, что существует такой однозначно определенный гомоморфизм
а: Т-*¦ Тог (Л, С), что aatJ — Тог (ль р^). Чтобы показать, что а —
изоморфизм, возьмем элемент (а, /л, с) ? Тог (А, С), где, конечно,
та = тс = 0. Выберем такие индексы t, /, что а = лгаг, с = ppj
и, кроме того, mai = 0= tncj; это можно сделать, выбрав, если нужно,
большие индексы /, /. Так как Tor (nit pj): (a(, m, ?/)>->¦ (а, т, с), то
а — эпиморфизм. Если х ? Кег о, то oi}y — х для некоторых i, }
и у 6 Tor (At, С}). Теперь Tor (nt, р^ у — ооцу = ах — 0, откуда
следует существование таких индексов k >• i, / >- /, что Tor (n\, pj) «/ =
= 0. Применяя akl и замечая, что ойгТог(я^, nj) = a^, получаем,
что х = о(;г/ = 0. Следовательно, а — изоморфизм. ш
Ясно, что если а — эндоморфизм группы А, у — эндоморфизм
группы С, то Тог (а, у) — эндоморфизм группы Тог (А, С). Особенно
интересен случай, когда эндоморфизм является умножением на целое
число.
Ж) Умножение на целое число п в группе А [или в группе С] индуци-
индуцирует умножение на п в группе Тог (А, С).
Отображение а*-*- па индуцирует отображение (а, т, с) >-*¦
>-*¦ (па, т, с) = п (а, т, с), откуда все следует.
Вернемся теперь к определению группы Тог и докажем существо-
существование следующего изоморфизма:
3) Для любой группы С существует естественный изоморфизм
Tor (Z (m), С) s* С [ml.
Если с ?С [т], то A, т, с) является образующим элементом группы
Tor (Z (m), С). В силу соотношений A) отображение |: с н-»- A, т, с)
есть гомоморфизм С 1т] -*- Tor (Z (m), С). Равенство (k, n, с) =
— A, kn, с) = A, т, knm~rc) показывает, что всякий элемент группы
Tor (Z (т), С) можно привести к виду A, т, с), где с ? С 1т], поэтому
отображение 5 сюръективно. Очевидно, равенство A, т, с) =0 являет-
является следствием определяющих соотношений только при с = 0, поэто-
поэтому 1 — мономорфизм. Это доказывает наше утверждение.
Другим очень важным изоморфизмом является следующий изо-
изоморфизм, наличие которого, в частности, показывает, что всякая
периодическая группа является некоторой группой Тог.
И) Для любой группы С имеет место естественный изоморфизм
Tor (Q/Z, С)^Т (С).
Так как Q/Z — lim;n Z (m), где л?|: Z (m) -*¦ Z (п) [при т \ п] ~
вложения, то по теореме 62.1 группа Tor (Q/Z, С) является пределом
прямого спектра {Tor (Z (m), С) (т. б Z, т>0); Тог (я?,, 1С)}. В силу
утверждения 3) группы Tor (Z (т), С) можно заменить группами
С 1т]. Тогда, как легко проверить, Тог (Пщ, 1С) заменится вложением
310 Гл. X. Тензорные и периодические произведения
С 1т] -*• С [я]. Поэтому прямой предел будет просто объединением
всех подгрупп С [т.], т. е. будет периодической частью группы С.
К) Группа Tor (Z (р°°), С) изоморфна р-компоненте группы С.
Это следует из И) и Д).
Л) Для любых трех групп А, В, С имеет место изоморфизм
A <g> Tor {В, С) 0 Тог {А, В ® С) s*
а Тог (А, В) ® С Ф Тог (Л ® В, С).
Можно представить обе части как прямые пределы таких же групп,
где только А, В, С заменены их конечно порожденными подгруппами;
в самом деле, прямые суммы, тензорные произведения и периодиче;киз
произведения коммутируют с прямыми пределами. Следовательно,
достаточно проверить существование нужного изоморфизма для конеч-
конечно порожденных групп А, В, С. Такие группы являются прямыми
суммами циклических групп, поэтому все доказательство сводится
к случаю, когда А, В, С — циклические группы. Замечание, что
в нашу формулу группы А я С входят симметричным образом, умень-
уменьшает число случаев, которые нужно рассматривать.
Если А = Z, то группы, стоящие в обеих частях формулы, изоморф-
изоморфны группе Тог (В, С). Если В = Z, то группы, стоящие в обеих частях,
изоморфны группе Тог (А, С). Если А есть ^-группа, а В есть ^-груп-
па, где р, q — различные простые числа, то обе части равны нулю.
Единственный случай, который еще остается рассмотреть, это случай,
когда А, В и С — циклические ^-группы: А =• Z (ph), В = Z (р1),
С = Z (рт). Легко проверить, что в этом случае каждое из четырех
прямых слагаемых в нашей формуле изоморфно Z (рп), где п =
— min (k, I, m), и все доказано.
Упражнения
1. Доказать, что (а, т1 + тг, с) = (а, ти с) + (а, т2, с), если
члены, стоящие справа, имеют смысл.
2. Группа А является группой без кручения тогда и только тогда,
когда (а) Тог (А, С) = 0 для любой группы С [указание: использовать
следствие 27.3]; (б) Тог (Л, Л) = 0.
3. Описать группу Тог (Л, С) в случае, когда Л — прямая сумма
циклических групп.
4. Доказать, что если Л и С— ограниченные группы, то Тог (Л, С)^
^ Л 0 С. [Этот изоморфизм не является естественным.]
5. Проверить, что имеют место изоморфизмы
Тог (Л ® Z (т), С) эй Л ® Тог (Z (m), С)
и
Tor (Z (/я), Л) B) Tor (Z (т.), С) s Tor (Tor (Z (m), A), C).
6. Если для группы А при любой группе С выполнено соотношение
Тог (Л, С) ^Т (С), то А эй QIZ Ф Я, где Я — группа без кручения.
§ 63. Точные последовательности для функтора Тог ЗП
7. Если А и С — такие периодические группы, что Тог (Л, С) зё
^ Q/Z, то A se Q/Z ^ С.
8. Если G — урегулированная копериодическая группа, то
G з* Ext (Q/Z, Tor (Q/Z, G)).
9. Показать на примере, что Tor не коммутирует с прямыми про-
произведениями и обратными пределами, даже если везде подразумевать
периодические части групп. [Указание: взять A = \[Z(px).]
10. Привести пример, где группа п. Тог (А, С) не изоморфна группе
Тог (пА, С). [Указание: взять А = Z (р°°).1
П. Доказать, что
A <g> Tor (В, С) ^ Тог (Л ® В, С),
если Л — группа без кручения.
§ 63. Точные последовательности для функтора Тог
Цель данного параграфа — исследовать периодическое произведе-
произведение более подробно и показать, что функтор Тог точен слева, причем
Тог и ® связываются в длинную точную последовательность анало-
аналогично тому, как это имеет место для Нот и Ext.
Прежде чем начать рассмотрение точной последовательности для
функтора Тог, введем следующим образом связывающий гомоморфизм
между Тог и <S>. Пусть
Е: 0 -> А Л В Л С -* 0 A)
— короткая точная последовательность и (с, т, g) — образующий
элемент группы Тог (С, G), т. е. тс — mg = 0 (с 6 С, g 6 G, т в Z ,
т > 0). Существует такой элемент b 6 В, что $Ь = с, и существует
такой элемент а 6 Л, что аа = /пб [так как тс = 0]. Возьмем
?»: (с, m, g) ьн- а ® g. B)
Этим мы определяем отображение образующих группы Тог (С, G)
в множество образующих группы А ® G. В самом деле, a eg) g не зави-
зависит от выбора элементов b и а, так как если выбрать элементы Ь', а'
иначе, то будет Ь' = b + аа0 (а0 6 Л), аа' = оса + а (яга0), откуда
#'®? = a!(g),§r + та0 ® g, где /яа0 ® g = а0 ® mg = 0. Легко так-
также видеть, что при отображении Еш сохраняются определяющие соот-
соотношения A) из § 62, в том смысле, что если очевидным образом рас-
распространить отображение Еф на всю группу Тог (С, G), то равные
элементы группы Тог будут переходить в равные элементы группы
А ® G. Поэтому
Ет: Тог (С, G)-+ A ® G
312 Гл. X. Тензорные и периодические произведения
— гомоморфизм. Он является естественным, так как если ср: G-> H —
какой-то гомоморфизм, то диаграмма
Тог (С, G) > A&G
I I
Тог (С, Я) > А®Н
где отображения определены очевидным образом, коммутативна [в силу
того, что обоими способами элемент (с, m, g) переводится в элемент
а ® cpg]. Гомоморфизм Еш называется связывающим гомоморфизмом
[в силу симметрии функторов Тог и <g> относительно аргументов мы
имеем только один такой гомоморфизм]. Этот гомоморфизм исполь-
используется в следующей теореме.
Теорема 63.1 (Картан и Эйленберг [1]). Если последовательность Е
вида A) точна, то для любой группы G точна индуцированная после-
последовательность
О -* Tor (A, G) % Тог (В, G) h Tor (С, G) -+
-IL+A®G^B®G-^C®G >0. C)
Здесь а„, ^ — сокращенные обозначения отображений Тог (а, 1G),
Тог(р, 1С).
Напомним, что функторы Тог и <g> коммутируют с прямыми преде-
пределами и что прямой предел точных последовательностей является
точной последовательностью [это верно также для более длинных
точных последовательностей, так как прямые пределы сохраняют ядра
и образы]. Поэтому достаточно рассмотреть случай, когда G — конечно
порожденная группа. Используя разложимость группы G в прямую
сумму циклических групп, можно свести доказательство к случаям
G = Z и G = Z (т). Первый случай тривиален, так как тогда группы
Тог обращаются в нуль и последовательность C) превращается в после-
последовательность A). Во втором случае элементы групп Тог имеют вид
(х, т, 1), где тх — 0, а элементы тензорных произведений имеют вид
х ® 1, где х рассматривается по модулю тХ [X стоит вместо Л, В
или С]. Точность на двух последних местах вытекает из теоремы 60.2.
Очевидно, p^ot^ = (Р<х)# = 0. Кроме того, ?фр\ (Ь, т, 1) = Е# (с, т,
1) = а <2) 1=0, так как аа = mb = 0, и (a ® 1) Еш (с, т, 1) =
= (а ® 1) (а <g> 1) = аа ® 1=0, так как аа 6 тВ. Таким образом,
нам нужно только показать, что ядра содержатся в образах пред-
предшествующих групп, для первых четырех мест.
Пусть а„ (а, т, 1) = 0. Тогда (аа, т, 1) = 0, и аа = 0, а = 0,
т. е. ап — мономорфизм. Если Р„ (Ь, т, 1) = 0, то аналогично полу-
получаем рй = 0, и существует такой элемент а 6 А, что аа — b и, кроме
того, та = 0. Следовательно, а,, (а, т, 1) = (Ь, т, 1), откуда выте-
вытекает точность последовательности на втором месте. Если Еп (с, т, 1) =
= 0, то а <8) 1 =0 [в обозначениях формулы B)], т. е. а 6 гпА. Пишем
§ 63. Точные последовательности для функтора Тог 313
а = та' (а' 6 Л), т (Ь — оса') = 0 и получаем, что (Ь — оса', т, 1) ?
6 Тог (В, Z (т)), причем этот элемент отображается на элемент (с, т, 1).
Наконец, если (ос ® 1) (а ® 1) = 0, то оса = тЪ для некоторого Ь 6 В*
и для этого элемента b выполнено Еш (фЬ, т, 1) = a <g> 1. Это дока-
доказывает точность последовательности на А ® G. я
Первая часть последовательности C) показывает, что функтор
Тог точен слева. ф
Из доказанной сейчас теоремы следует, что если 0-^H^-F-^C-*-
-*-0 — точная последовательность, где F — свободная группа, то
последовательность 0 -*¦ Tor (A, C)^>-A®H^>-A®F-+A®C^>-
->- 0 точна. Поэтому группу Тог (Л, С) можно также определить как.
ядро отображения
1 ® ф: А ® Н-+ А ® F.
Такая интерпретация ведет к соответствующей системе образующих
и определяющих соотношений для группы Тог (А, С) [напомним,
что группы А ® Н и A <g) F являются прямыми суммами групп, изо-
изоморфных группе А].
Если последовательность A) является сервантно точной, то после-
последовательность C) распадается на две короткие точные последователь-
последовательности. Это сразу следует из теоремы 60.4. Кроме того, справедлива
ТЕОРемА 63.2 (Фукс [9]). Если последовательность A) сервантно
точна, то для любой группы G сервантно точна индуцированная
последовательность
0 -> Tor (A, G) -> Тог (В, С) -> Тог (С, G) -* 0.
В силу теорем 62.1 и 29.6 здесь доказывать нечего. я
Упражнения
1. Если Л', В' — сервантные подгруппы групп Л и В, то
Тог (Л', В') — сервантная подгруппа группы Тог (Л, В).
2. (а) Если G — такая группа, что последовательность 0 ->-
-*¦ Тог (Л, G) -*¦ Тог (В, G) -*¦ Тог (С, G) ->- 0 точна для любой точной
последовательности 0->-Л-»-В->С->0, то G — группа без кру-
кручения.
(б) Если предположить выполненным то же свойство, но только
для точных последовательностей Q-*-A-*-B-*-C-*-0 периодических
групп, то получится, что периодическая часть группы G — делимая
группа.
3. Если для точной последовательности 0->Л->-В-»-С->0 пос-
последовательность 0 -v Тог (Л, G) -> Тог (В, G) -> Тог (С, G) ->- 0 точна
при любой группе G [при любой группе G = Z (т)\, то исходная после-
последовательность сервантно точна.
4. Пусть Л и С являются р-группами.
(а) Применить дважды теорему 63.2 и найти базисную подгруппу
группы Тог (Л, С), если известны базисные подгруппы групп Л и С.
314 Гл. X. Тензорные и периодические произведения
(б) Показать, что в общем случае базисная подгруппа группы
Тог (А, С) не изоморфна периодическому произведению базисных
подгрупп групп А и С.
5. Пусть А — FJHk С = F2/H2, где Flt F2 — свободные группы.
Доказать, что
Tor (A,C)S6 [(F, ® Н2) П (#i <8>
где в правой части все группы рассматриваются как подгруппы группы
6 (Яхья [2]). Пусть г, п — такие целые числа, что 1 ^ г ^ п — 1.
Если даны п групп At, определить S? (Alt . . ., Ап) как группу, порож-
порожденную символами {ах, . . ., ап; т), где at ? Alt m 6 Z, m > 0 и tnat — О
для всех i, причем эти символы связаны соотношениями
'u ..., ап; т) =
^ (аь ..., а,, ..., а„; пг) + (аь ..., а\, .... а„; т),
аГ, Or+i, ¦ • •, а„; Лт) = (kau ¦-., kar, ar+l, ..., an; m)
всякий раз, когда члены, стоящие в правых частях, имеют смысл.
Доказать:
(а) S" является аддитивным функтором из категории.^ X ... X Л
в категорию Jb, ковариантным по каждому аргументу;
(б) S" коммутирует с прямыми пределами;
(в) Snn.x {Аи .. ., Ап) Si Tor (At Тог (Лп_2, Tor (An.lt An)) .. .).
7. Доказать закон ассоциативности для Тог:
Тог (Тог (А, В), С) з* Tor (A, Tor (В, С))
1изоморфизм естественный].
§ 64. Строение периодических произведений
Из изложенного в § 62 следует, что строение групп Тог (А, С)
может быть описано для произвольных групп А и С, если оно известно
для р-групп А и С. Поэтому мы в настоящем параграфе ограничимся
рассмотрением р-групп.
Везде дальше А и С будут р-группами. Следующий ряд лемм приве-
приведет нас к результату, который позволит находить базисные подгруппы
ульмовских факторов групп Тог (А, С).
Лемма 64.1 (Нунке [4]). Если р°А = 0 для некоторого порядкового
числа а, то
ра Тог (А, С) = 0 при любой группе С.
Существует точная последовательность 0 ->- С -*¦ © Z (/т00) с дос-
достаточно большим числом слагаемых в прямой сумме. Отсюда
§ 64. Строение периодических произведений 315
получается индуцированная точная последовательность
О -»- Тог (А, С) -+ Тог (А, Ф Z (р°°)) = ф Tor (A, Z (р°°)) зб ф А.
Из предположения р°А = 0 следует, что ра (фА) = 0, откуда полу-
получается нужное равенство. а
Лемма 64.2 (Нунке [4]). Для р-групп А, С и любого порядкового
числа а
Тог (рМ, р°С) = р° Тог (А, С).
Повторно применяя теорему 63.1, получаем, что группу
Тог (р"А, р°С) можно считать вложенной в Тог (Л, С) естественным
образом. Проверим сначала включение s. Пусть о = 1. Если (pa, ph,
рс) — образующий элемент группы Тог (рА, рС), то ph+1a = pk+1c = 0
и в группе Тог (А, С) мы имеем (pa, ph, рс) = (ра, ph+1, с) = р (а,
pk+1, с) 6 Р Тог (А, С). Теперь мы можем вести доказательство с помо-
помощью трансфинитной индукции. Если включение s имеет место для
некоторого порядкового числа а, то в силу уже доказанного
Тог (р°+1А, р°+*С) = р Тог (р°А, р°С) <= ро+4 Тог (А, С).
Предположим, что р — предельное порядковое число и что включение
уже доказано для всех ст<р. Тогда pMspM, pf>C<=paC, откуда
Tor(pM, ppQsTor(pM, p°C)spa Tor (Л, С) [последнее включение
мы предполагаем выполненным]. Отсюда
Тог (рРЛ, ppQ gflp" Tor (A,C) = p<> Tor (А, С).
о<р
Чтобы доказать обратное включение, рассмотрим коммутативную
диаграмму
0 ' О О
1 I I
О -* Тог (р°А , р°С) -» Тог (А , р°С) -> Тог (Л/рМ, р°С)
i I !
О —>• Тог (р°А , С) > Тог (Л , С) > Тог (А/рМ, С)
1 I I
О -> Тог (рМ , С/р°С) -> Тог (Л, С/р°С) -* Тог (Л/рМ, С/р°С)
в которой все строки и столбцы точны в силу теоремы 63.1. По
лемме 8.3 это дает точную последовательность
О -+ Тог (р°А, р°С) -^ Тог (Л, С) —> Тог (А/рМ, С) 0 Тог (Л, С/р°С).
По лемме 64.1 слагаемые обращаются в нуль при умножении на р°,
поэтому последний гомоморфизм имеет ядро, содержащее р°Тог (Л, С).
Это дает нужное включение = . ш
Лемма 64,3 (Нунке [4]). Для любого целого числа п
Тог (Л [р'Ч, С [/>»]) --= Тог (А, С) [р"].
316 Гл. X. Тензорные и периодические произведения
Умножение на рп в группе Л дает точную последовательность
О —> А [рп] —> А —* Л, откуда получается точная последовательность
О -> Тог (Л [рп], С) -> Тог (Л, С) ^ Тог (Л, С).
Отсюда имеем Тог (Л, С) [рп] = Кег рп = Тог (Л [рп], С). Меняя
ролями группы Л и С, с помощью тех же рассуждений получаем
требуемый результат. ш
Следующий результат позволяет определить важные структурные
инварианты группы Тог (Л, С), а именно ранг группы ра Тог (Л, С)
и инварианты Ульма— Капланского.
Теорема 64.4 (Нунке [4]). Пусть группы А, С являются р-группами
и а—порядковое число. Тогда
г (р°Тог (Л, С)) = г (рМ).г (р°С), A)
fa (Tor (Л, С)) = U (Л) fa (С) + /„ (Л) г (p°+iQ + г (р°+1А) U (Q • B)
Применяя леммы 64.2 и 64.3, мы получаем
(р° Тог (Л, С)) [р] = Тог ((рМ) [р], (р°С) [р]). C)
Здесь все группы являются прямыми суммами групп порядка р,
поэтому в силу утверждений Д) и 3) из § 62 группа, стоящая в правой
части, является прямой суммой г (р°А) -г (р°С) групп порядка р.
Этим доказано равенство A).
Чтобы доказать равенство B), напишем (р°А) [р] = (ра+1А) [р] ф G
и (раС) [р] = (pa+iC) [р] © Н, где по определению r(G) — fa(A)
и r(H) = fa(C). Из равенства C) следует
(р° Тог (Л, С)) [р] = Tor ((p°+M) [p], (p»+iC) [р]) ©
ф Tor (G, О^+'С) [р]) Ф Тог ((p°+M) [p], Я) ф Tor (G, Я).
Первое слагаемое правой части — это группа (ра+1 Тог (Л, С)) [р],
поэтому а-й инвариант Ульма — Капланского группы Тог (Л, С)
равен сумме рангов остальных слагаемых. Это выражено в форму-
ле B). Л
Следствие 64.5 (Нунке [4]). Если А и С—редуцированные периоди-
периодические группы, то ульмовская длина группы Тог (Л, С) равна минимуму
длин групп А и С.
Это непосредственно следует из равенства B). в
Как мы увидим в гл. XII, прямые суммы счетных р-групп
вполне определяются своими инвариантами Ульма — Капланского.
Следовательно, теорема 64.4 дает возможность полностью определить
периодическое произведение любых двух счетных групп или прямых
сумм счетных групп.
Замечания 317
Упражнения
1. Для о-х ульмовских подгрупп доказать равенство
Тог (Л, С)" = Тог (А", С°).
2. (а) Делимой частью группы Тог (А, С) служит периодическое
произведение максимальных делимых подгрупп групп Л и С.
(б) Если группа Тог (А, С) содержит подгруппу типа р°°, то и груп-
группа Л, и группа С также содержат подгруппы типа р°°.
3 (Нунке [4]). Показать, что базисные подгруппы группы Тог (А, С)
всегда имеют ту же мощность, что и сама группа Тог (А, С).
4 (Нунке [4]). Если А', А" — подгруппы группы А, то
Тог (А' Л А", С) = Тог (А', С) П Тог (А", С).
[Указание: составить коммутативный квадрат с этими группами и груп-
группой Тог (А, С).]
5 (Нунке [4]). Если дан элемент и ? Тог (А, С), то существуют такие
конечные подгруппы Аи = А и Си s С, что 1) и 6 Тог (Аи, Си);
2) если и 6 Тог (А', С") для некоторых подгрупп А' = А и С" s С,
то 4-^' и С, е С. [Указание: взять в качестве Аи и Си под-
подгруппы минимальных порядков со свойством 1).]
6. Пусть (a, ph, с) 6 Тог (А, С), где Л и С являются р-группами.
Доказать, что высота элемента (a, ph, с) равна минимуму высот эле-
элементов а и с в группах Л и С соответственно.
7*. (а) Пусть Л и С являются р-группами, причем группа С не содер-
содержит элементов бесконечной высоты. Если элемент а имеет порядок р
и бесконечную высоту, то отображение (а, р, с)*-*>с определяет изо-
изоморфизм между подгруппой группы Тог (Л, С) и группой С [/?], сохра-
сохраняющий высоты элементов.
(б) Пусть С — периодическая часть р-адического пополнения груп-
оо
пы В= ® Z (рп). Доказать, что всякая подгруппа группы С [р],
п=1
в которой высоты элементов [рассматриваемые в группе С] ограничены,
должна быть конечной, а группу С [р] нельзя вложить с помощью
изоморфизма, сохраняющего высоты, в прямую сумму циклических
групп.
(в) Используя (а) и (б), получить группу Тог (Л, С), в которой нет
элементов бесконечной высоты, но которая не является прямой суммой
циклических групп.
Замечания
Кронекеровское, или тензорное, произведение было с давних пор известно
в линейной алгебре. В теорию групп это понятие было введено Уитнеем [1]. Те-
Теперь тензорное произведение модулей, алгебр и т.д. играет фундаментальную
роль. Тог? используется не так широко. [Каждый функтор Тог„ встречается
в трех членах в бесконечной точной последовательности, заменяющей последо-
последовательность C) § 63 в общем случае.]
318 Гл. X. Тензорные и периодические произведения
В общем случае об алгебраической структуре тензорного или периодического
произведения модулей ничего не известно, за исключением некоторых тривиаль-
тривиальных вещей или результатов, полученных для очень частных случаев.
Хаттори [Hattori J. Math. Soc. Japan., 9 A957), 381—385] показал, что над
областями целостности R тензорное произведение R-модулей без кручения снова
является R-модулем без кручения тогда и только тогда, когда R — прюферово
кольцо.
Различные результаты были получены Для плоских модулей. R-модуль F
называется плоским, если всякая короткая точная последовательность правых
R-модулей дает точную последовательность абелевых групп при тензорном
умножении ее членов на модуль F над кольцом R. Это эквивалентно тому, что
Tor^ (M, F) = 0 для любого правого R-модуля М. Другую характеризацию
плоских модулей получил В. Е. Говоров [Сиб. мат. ж., 6 A965), 300—304];
он доказал, что плоские модули — это прямые пределы свободных модулей.
Ламбек [Lambek, Canad. Math. Bull. 7 A964), 237—243] доказал, что R-модуль
F является плоским тогда и только тогда, когда Homz (F, Q/Z) — инъективный
правый R-модуль. Над областями главных левых идеалов плоские модули —
это в точности модули без кручения. Все R-модули являются плоскими тогда
и только тогда, когда кольцо R регулярно в смысле фон Неймана.
Чрезвычайно важен изоморфизм, установленный в п. К) § 59; он выражает
тот факт, что тензорное произведение и Нот являются сопряженными.
Проблема 47. Определить строение тензорного произведения
A <g) С в случае, когда Л и С — группы без кручения [смешанные
группы].
Проблема 48. Какие периодические группы G могут быть
представлены в виде G ^ A <g>R С, где А и С — некоторые R-модули
с периодическими аддитивными группами?
Проблема 49. Описать [ульмовские факторы] группы
Тог (А, С) для р-групп А, С.
Проблема 50. Как связаны между собой группы А и А', если
Тог (А, С) ^ Тог (А', С) для любых редуцированных групп С? *)
!) Частичный ответ на этот вопрос дал П. Хилл [Hill P., J. Algebra, 19
A971), № 3, 379—383.].—Прим. перев.
Список литературы
Бальцежик (Balcerzyk S.)
1. Remark on a paper of S. Gacsalyi, Publ. Math. Debrecen, 4 A956), 357—358.
2. On algebraically compact groups of I. Kaplansky, Fund. Math., 44 A957),
91—93.
3. On factor groups of some subgroups of a complete direct sum of infinite cyclic
groups, Bull. Acad. Polon. ScL, 7 A959), 141 — 142.
Баумслаг, Блэкбурн (Baumslag G., Blackburn N.)
1. Direct summands of unrestricted direct sums of abelian groups, Arch. Math.,
10 A959), 403—408.
Биркгоф (Birkhoff G.)
1. Subgroups of abelian groups, Proc. London Math. Soc, 38 A934), 385—401.
Бойер (Boyer D. L.)
1. On the theory of p-basic subgroups of abelian groups, Topics in Abelian Groups,
323—330 (Chicago, Illinois, 1963).
Бурбаки (Bourbaki N.)
1. Algebre, Chap. VII, Modules sur les anneaux principaux, Paris, 1952. (Рус-
(Русский перевод: Бурбаки Н., Алгебра, «Наука», М., 1966.)
Бэр (Ваег R.)
1. Der Kern, eine charakteristische Untergruppe, Compositlo Math., 1 A934),
254—283.
2. Abelian groups without elements of finite order, Duke Math., J., 3 A937),
68—122.
3. Abelian groups that are direct summands of every containing abelian group.
Bull. Amer. Math. Soc, 46 A940), 800—806.
4. Die Torsionsuntergruppe einer abelschen Gruppe, Math. Ann., 135 A958),
219—234.
Гачайи (Gacsalyi S.)
1. On algebraically closed abelian groups, Publ. Math. Debrecen, 2 A952), 292—
296.
2. On pure subgroups and direct summands of abelian groups, Publ. Math. Debre-
Debrecen, 4 A955), 89—92.
Голема, Хуляницкий (Golema К., Hulanicki A.)
1. The structure of the factor group of the unrestricted sum by the restricted sum
of abelian groups, II, Fund. Math., 53 A963—1964), 177—185.
де Гроот (de Groot J.)
1. An isomorphism criterion for completely decomposable abelian groups, Math.
Ann., 132 A956), 328—332.
320 ' Список литературы
Грэтцер, Шмидт (Gratzer G., Schmidt E. Т.)
1. A note on a special type of fully invariant subgroups of abelian groups,
A tin. Univ. Sci. Budapest, 3—4 A961), 85—87
Дьедонне (Dieudonne J.)
1. Sur les produits tensoriels, Ann. Sci. Ecole Norm. Sup., 64 A948), 101 — 117.
2. Sur les p-groupes abeliens infinis, Portugal. Math., 11 A952), 1—5.
Длаб (Dlab V.)
1. D-Rang einer abelschen Gruppe, Casopis Pest. Mat., 82 A957), 314—334.
2. The Frattini subgroups of abelian groups, Czechoslovak. Math. J., 10 A960),
1 — 16.
3. On cyclic groups, Czechoslovak Math. J., 10 A960), 244—254.
4. On a characterization of primary abelian qroups of bounded order, J. Lond.
Math. Soc, 36 A961), 139-144.
Ирвин (Irwin J.)
1. High subgroups of abelian torsion groups, Pacific J. Math., 11 A961), 1375—
1384.
Ирвин, Ричмен (Irwin J. M., Richman F.)
1. Direct sums of countable groups and related concepts, J. Algebra, 2 A965),
443—450.
Ирвин, Уокер (Irwin J. M., Walker E. A.)
1. On W-high subgroups of-abelian groups, Pacific J. Math., 11 A961), 1363—
1374.
2. On isotype subgroups of abelian groups, Bull. Soc. Math. France, 89 A961),
451—460.
Ирвин, Уокер К., Уокер Э. (Irwin J. M.., Walker С. P., Walker E. A.)
1. On pa-pure sequences of abelian groups, Topics in Abelian Groups, 69—119
(Chicago, .Illinois, 1963).
Калужнин Л. А.
1. Sur lesgroupes abeliens primaires sans elements de hauteur infinie, C. R. Acad.
Sci. Paris, 225 A947), 713—715.
Капланский (Kaplansky I.)
1. Modules over Dedekind rings and valuation rings, Trans. Amer. Math. Soc,
72 A952), 327—340.
2. Infinite abelian groups, Univ. of Michigan Press, Ann. Arbor, Michigan, 1954.
3. Projective modules, Ann. of Math., 68 A958), 372—377.
Картан, Эйленберг (Cartan H., Eilenberg S.)
1. Homological Algebra, Princeton Univ. Press., Princeton, New Jersey, 1956.
(Русский перевод: Картан А., Эйленберг С, Гомологическая алгебра, ИЛ,
М., 1960.)
Катлер (Cutler D. С.)
1. Quasi-isomorphisms for infinite abelian p-groups, Pacific J. Math., 16 A966),
25-45.
Кертес (Kertesz A.)
1. On fully decomposable abelian torsion groups, Ada Math. Acad. Sci. Hungar.,
3 A952), 225—232.
2. On subgroups and homomorphic images, Publ. Math. Debrecen, 3 A953), 174—
179.
Список литературы 321
3. The general theory of linear equation systems over semisimple rings, Publ.
Math. Debrecen, 4 A955), 79—86.
Кертес, Селе (Kertesz A., Szele T.)
1. On the existence of non-discrete topologies in infinite abelian groups, Publ.
Math. Debrecen, 3 A953), 187—189.
Ковач (Kovfics L.)
1. On subgroups of the basic subgroup, Publ. Math. Debrecen, 5 A958), 261—264.
Кон (Cohn P. M.)
1. The complement of a finitely generated direct summand of an abelian group,
Proc. Amer. Math. Soc, 7 A956), 520—521.
Куликов Л. Я-
1. К теории абелевых групп произвольной мощности, Мат. сб., 9 A941), 165—
182.
2. К теории абелевых групп произвольной мощности, Мат. сб., 16 A945), 129—
162.
3. Обобщенные примерные группы, I, Труды ММО, 1 A952), 247—326; II, Труды
ММО, 2 A953), 85—167.
4. О прямых разложениях групп, Укр. матем. ж., 4 A952), 230—275, 347—372.
Курош А. Г.
1. Zur Zerlegung unendlicher Gruppen, Math. Ann., 106 A932), 107—113.
2. Теория групп, «Наука», М., 1967.
Кхаббаз (Khabbaz S. A.)
1. On a theorem of Charles and Erdelyi, Bull. Soc. Math. France, 89 A961), 103—
104.
2. The subgroups of a divisible group G which can be represented as intersections
of divisible subgroups of G, Pacific J. Math., 11 A961), 267—273.
Кхаббаз, Уокер Э. (Khabbaz S. A., Walker E. A.)
1. The number of basic subgroups of primary groups, Ada Math. Acad. Sci.
Hungar., 16 A964), 153—155.
Леви (Levi F. W.)
1. Abelsche Gruppen mit abzahlbaren Elementen, Habilitationsschrift, Leipzig,
1917.
Левис (Lewis P. E.)
1. Characters of abelian groups, Amer. J. Math., 64 A942), 81 — 105.
Лось (Los J.)
1. Abelian groups that are direct summands of every abelian group which contains
them as pure subgroups, Bull. Acad. Polon. ScL, 4 A956), 73, and Fund. Math.,
44 A957), 84-90.
2. Linear equations and pure subgroups, Bull. Acad. Polon. Sci., 7 A959), 13—18.
3. Generalized limits in algebraically compact groups, Bull. Acad. Polon. Sci.,
7 A959), 19-21. P
Мадер (Mader A.)
1. A characterization of completions of direct sums of cyclic groups, Bull. Acad.
Polon. Sci., 15 A967), 231—233.
Маклейн (Mac Lane S.)
1. Duality for groups, Bull. Amer. Math. Soc, 56 A950), 485—516.
2. Group extensions by primary abelian groups, Trans. Amer. Math. Soc, 95
A960), 1 —16.
21 Л Фукс
322 Список литературы
3. Homology, Academic Press, New York, 1963. (Русский перевод: Маклейн С,
Гомология, «Мир», М., 1964.)
Маранда (Maranda J. М.)
1. On pure subgroups of abelian groups, Arch. Math., 11 A960), 1—13.
Меджиббен (Megibben C.)
1. On subgroups of primary abelian groups, Publ. Math. Debrecen, 12 A965),
Митчел А., Митчел P. (Mitchell A. R., Mitchell R. W.)
1. Disjoint basic subgroups, Pacific J. Math., 23 A967), 119—127.
Мостовский, Сонсяда (Mostowski A. W., Sasiada E.)
1. On the bases of modules over a principal ideal ring, Bull. Acad. Polon. ScL,
3 A955), 477—478.
Нунке (Nunke R. J.)
1. Modules of extensions over Dedekind rings, ///. J. Math., 3 A959), 222—241.
2. A note on abelian group extensions, Pacific J. Math., 12 A962), 1401 — 1403.
3. Purity and subfunciors of the identity, Topics in Abelian Groups, 121 — 171
(Chicago, Illinois, 1963).
4. On the structure of Tor, I, Proc. Colloq. Abelian Groups, 115—124 (Budapest,
1964), II, Pacific J. Math., 22 A967), 453—464.
Пирс (Pierce R. S.)
1. Homomorphisms of primary abelian groups, Topics in Abelian Groups, 215—
310 (Chicago, Illinois, 1963).
Понтрягин Л. С.
1. The theory of topological commutative groups, Ann. of Math., 36 A934), 361—
388.
Прюфер (Prufer H.)
1. Unendliche abelsche Gruppen von Elementen endlicher Ordnung, Dissertation
Berlin, 1921.
2. Untersuchungen fiber die Zerlegbarkeit der abzahlbaren primaren abelschen
Gruppen, Math. Z., 17 A923), 35—61.
3. Theorie der abelschen Gruppen, I, Grundeigenschaften, Math. Z., 20 A924),
165—187; II, Ideale Gruppen, Math. Z., 22 A925), 222—249.
Радо (Rado R.)
1. A proof of the basis theorem for finitely generated abelian groups, /. London
Math. Soc, 26 A951), 74—75, 160.
Рангасвами (Rangaswamy К. М.)
1. Extension theory of abelian groups, Math. Stud., 32 A964), 11 — 16.
2. Characterisation of intersections of neat subgroups of abelian groups, J. Indian
Math. Soc, 29 A965), 31—36.
Ротман (Rotman J.)
1. A completion functor on modules and algebras, J. Algebra, 9 A968), 369—387.
Селе (Szele T.)
1. Uber die direkten Teiler der endlichen abelschen Gruppen, Comment. Math.
Helv., 22 A949), 117—124.
2. Ein Analogon der Korpertheorie fur abelsche Gruppen, /. Reine Angew. Math.,
188 A950), 167—192.
3. On direct sums of cyclic groups, Publ. Math. Debrecen, 2 A951), 76—78.
Список литературы 323
4. On groups with atomic layers, Ada Math. Acad. Sci. Hungar., 3 A952), 127—
129.
5. On direct sums of cyclic groups with one amalgamated subgroup, Publ. Math,
Debrecen, 2 A952), 302—307.
6. On direct decompositions of abelian groups, J. London Math. Sac, 28 A953).
247—250.
7. On the basic subgroups of abelian p-groups, Ada Math. Acad. Sd. Hungar.,
5 A954), 129—141.
Селпал (Szelpul I.)
1. Die abelschen Gruppen ohne eigentliche Homomorphismen, Ada Sci. Math.
Szeged, 13 A949), 51—53.
Скотт (Scott W. R.)
1. The number of subgroups of given index in nondenumerable abelian groups,
Proc. Amer. Math. Soc, 5 A954), 19—22.
Спекер (Specker E.)
1. Additive Gruppen von Folgen ganzer Zahlen, Portugal. Math. 9 A950), 131—
140.
Теллман (Tellman S. G.)
1. Images of induced endomorphisms in Ext (#, G), Ada Sci. Math. Szeged, 23
A962), 290—291.
Уитней (Whitney H.)
1. Tensor products of abelian groups, Duke Math. J., 4 A938), 495—520.
Ульм (Ulm H.)
1. Zur Theorie der abzahlbar-unendlichen abelschen Gruppen, Math. Ann., 107
A933), 774—803.
Уокер К. (Walker С. Р.)
1. Relative homological algebra and abelian groups, ///. J. Math., 10 A966),
186—209.
Уокер Э. (Walker E. A.)
1. Cancellation in direct sums of groups, Proc. Amer. Math. Soc, 7 A956), 898—
902.
2. Subdirect sums and infinite abelian groups, Pacific J. Math., 9 A959), 287—291.
3. Quotient groups of reduced abelian groups, Proc. Amer. Math. Soc, 12 A961),
91—92.
4. On rc-extensions of abelian groups, Ann. Univ. Sci. Budapest, 8 A965), 71—74.
Федоров Ю. Г.
1. О бесконечных группах, все нетривиальные подгруппы которых имеют
конечный индекс, УМН, 6 A951), 187—189.
Фробениус, Штикельбергер (Frobenius G.p Stickelberger L.)
1. tlber Gruppen von vertauschbaren Elementen, J. Reine Angew. Math., 86
A878), 217—262.
Фукс (Fuchs L.)
1. The direct sum of cyclic groups, Ada Math. Acad. Sci. Hungar., 3 A952), 177—
195.
2. On the structure of abelian p-groups, Ada Math. Acad. Sci. Hungar., 4 A953),
267—288.
21*
324 Список литературы
3. On a special kind of duality in group theory, II, Ada Math. Acad. Sci. Hungar.,
4 A953), 299-314.
4. On a property of basic subgroups, Ada Math. Acad. Sci. Hungar., 5 A954),
143—144.
5. On a useful lemma for abelian groups, Ada Sci. Math. (Szeged), 17 A956),
134—138.
6. t)ber das Tensorprodukt von Torsionsgruppen, Ada Sci. Math. (Szeged),
18 A957), 29—32.
7. Abelian groups, Publishing House of the Hungarian Academy of Science,
Budapest, 1958.
8. On character groups of discrete abelian groups, Ada Math. Acad. Sci. Hungar.,
10 A959), 133—140.
9. Notes on abelian groups, I, Ann. Univ. Sci. Budapest, 2 A959), 5—23; II,
Ada Math. Acad. Sci. Hungar., 11 A960), 117—125.
10. On algebraically compact abelian groups, /. Natur. Sci. and Math. 3 A963),
73—82.
11. Note on factor groups in complete direct sums, Bull. Acad. Polon.Sci., 11 A963),
39—40.
12. Some generalizations of the exact sequences concerning Horn and Ext, Proc.
Colloq. Abelian Groups, 57—76 (Budapest, 1964).
13. Note on linearly compact abelian groups, Л Austral. Math. Soc, 9 A969),
433—440.
Харрисон (Harrison D. K.)
1. Infinite abelian groups and homological methods, Ann. of Math., 69 A959),
366—391.
2. Two of the problems of L. Fuchs, Publ. Math. Debrecen, 7 A960), 316—319.
3. On the structure of Ext, Topics in Abelian Groups, 195—209 (Chicago, 111.,
1963).
Харрисон, Ирвин, Пирси, Уокер Э. (Harrison D. К., Irwin J. M., Peercy С. L.,
Walker E. A.)
1. High extensions of abelian groups, Ada Math. Acad. Sci. Hungar., 14 A963),
319—330.
Хед (Head T. J.)
1. A direct limit representation for abelian groups with an application to tensor
sequences, Ada Math. Acad. Sci. Hungar., 18 A967), 231—234.
Хилл (Hill P.)
1. Concerning the number of basic subgroups, Ada Math. Acad. Sci. Hungar.,
17 A966), 267—269.
Хонда (Honda K.)
1. Realism in the theory of abelian groups, I, Comment. Math. Univ. St. Paul,
5A956) 37—75, II, Comment. Math. Univ. St. Paul, 9 A961), 11—28; III,
Comment Math. Univ. St. Paul, 12 A964), 75—111.
2. From a theorem of Kulikov to a problem of Kaplansky, Comment. Math. Univ.
St. Paul, 6 A957), 43—48.
Хуляницкий (Hulanicki A.)
1. Algebraic characterization of abelian divisible groups which admit compact
topologies, Fund. Math., 44 A957), 192—197.
2. Algebraic structure of compact abelian groups, Bull. Acad. Polon. Set., 6 A958)
71—73.
3. The structure of the factor group of an unrestricted sum by the restricted sum
of abelian groups, Bull. Acad. Polon. Sci., 10 A962), 77—80.
Список литературы 325
Шарль (Charles В.)
1. Etude des groupes abeliens primaires de type ^co, Ann. Univ. Sarav. Sciences,
4, A955), 184—199.
2. Une caracterisation des intersections de sous-groupes divisibles, C. R. Acad.
Sci. Paris, 250 (I960), 256—257.
3. Etude sur les sous-groupes d'un groupe abelien, Bull. Soc. Math. France, 88
A960), 217—227.
4. Methodes topologiques en theorie des groupes abeliens, Proc. Colloq. Abelian
Groups, 29—42 (Budapest, 1964).
Эйленберг, Маклейн (Eilenberg S., Mac Lane S.)
1. Group extensions and homology, Ann. of Math., 43 A942), 757—831.
Энокс (Enochs E.)
1. Isomorphic refinements of decompositions of a primary group into closed
groups, Bull. Soc. Math. France, 91 A963), 63—75.
Эрдели (Erdelyi M.)
1. Direct summands of abelian torsion groups (Hungarian), Ada Univ. Debrecen,
2 A955), 145—149.
Яхья (Yahya S. M.)
1. P-pure exact sequences and the group of p-pure extensions Ann. Univ. Sci.
Budapest, 5 A962), 179—191.
2. Functors S? (At, At, ¦ ¦ ¦. An), J. Natur. Sci. and Math., 3 A963), 41—56.
Указатель обозначений
А,
Л
*,
а,
Ф,
Р,
т,
зе,
я
R,
А,
1,
6
"и
\
0
X
\А
со
«0.
B,C,G,H, ...
j,k, ...
I, m, n, p, q, ...
Р, у, S, г], р, л,
Т|), . . .
СТ, Т, . . .
п. г, ...
, i, '$,...
L, ...
В, С, ...
К, D, ...
! п
€Л|...}
Vе1
«о
группы или подмножества групп
множества индексов
целые числа (р, q — простые числа)
отображения, гомоморфизмы
порядковые числа
кардинальные числа
классы
категории
кольца, идеалы
прямые или обратные спектры
идеалы или дуальные идеалы в структуре
Теория множеств
является членом
содержится, строго содержится в
теоретико-множественное объединение, пересе-
пересечение
разность двух множеств
пустое множество
декартово произведение
множество всех а ?А со свойством ...
множество всех at, где i?I
мощность А
наименьшее бесконечное порядковое число
наименьшее и cr-е бесконечные кардинальные числа
Отображения
и-•• соответствие
-v отображение множеств или классов
а | А ограничение гомоморфизма а на подгруппе А
1Л тождественное отображение группы А
Кега ядро отображения а
Im а образ отображения а
©aj, [Ja( прямая сумма и прямое произведение отобра-
отображений at
AG, Vo диагональное и кодиагональное отображения
Указатель обозначений 327
Теория групп
о (а) порядок элемента а
е{а) экспонента элемента а
Ар (a), h (а), Л* (а) высота и обобщенная высота элемента а
п\а п делит а
{¦¦•), (•••)« подгруппа и сервантная подгруппа, порожден-
порожденные ...
| А : В | индекс подгруппы В в группе А
А/В факторгруппа
В + С, 2 Bi подгруппа, порожденная подгруппами В и С, В/
ф, © прямая сумма
m
IL IL А1 прямое произведение
m
©к К-прямая сумма
ss изоморфизм
пА множество всех элементов вида па, где а?А
А [п] множество всех элементов а?А, для которых
па = 0
п-1В множество всех а 6 А, для которых па?В
Т(А) периодическая часть группы А
S(A) цоколь группы А
U (А), А1 первая ульмовская подгруппа группы А
А", Ао сг-я ульмовская подгруппа и а-й ульмовский
фактор группы А
и (А) ульмовская длина группы А
fa (А) ¦ о-п инвариант Ульма — Кашинского группы А
г {А), го(А), гр{А) ранги группы А
fin г (Л) финальный ранг группы А
L(А) структура подгрупп группы А
Л пополнение группы А
А' копериодическое пополнение группы А
Конкретные группы, кольца
2 группа целых чисел, бесконечная циклическая
группа
Z (ш) циклическая группа порядка m
Z (р°°) квазициклическая группа
Q группа всех рациональных чисел
QP группа всех рациональных чисел со знаменате-
знаменателем, взаимно простым с р
Q(P) группа всех рациональных чисел со знаменате-
знаменателями, равными степеням числа р
JP группа целых р-адических чисел
328 Указатель обозначений
Z кольцо целых чисел
Q поле рациональных чисел
Qp кольцо рациональных чисел со знаменателями,
взаимно простыми с числом р
Qp кольцо целых р-адических чисел
J> категория абелевых групп
lim, lim прямой и обратный пределы
Нот . группа гомоморфизмов
Ext, Pext группа расширений, сервантных расширений
® тензорное произведение
Тог периодическое произведение
Char группа характеров
Предметный указатель
Абелева группа 10
Автоморфизм 16
Аддитивный функтор 35, 147, 148
Аксиома выбора 9
— счетности 41
Алгебраически компактная группа 187,
196, 202, 203, 270
Алгебраический элемент 130
Аннулятор 239
Базис 95
Базисная подгруппа 164, 174, 179
— — верхняя 176
— — нижняя 177
Базисный подмодуль 176
Биективное отображение 16
Билинейная функция 293
Бифунктор 34
Вектор 51
Верхняя граница подмножества 9
Вложение 16
Высота элемента 13 •
Гомоморфизм 15
— индуцированный 216
— канонический 69, 75
— малый 228
— над подгруппой 16
— нулевой 16
— прямых (обратных) спектров 71, 78
Группа 10
— алгебраическая над подгруппой 130
— алгебраически компактная 187, 196,
202, 203, 270
— без кручения 12, 113
— гомоморфизмов 211, 226
— действительных чисел по модулю 1
126, 232, 238
— делимая 118, 119, 124
— — минимальная 124
— инвариантная относительно проек-
проекций 64
— инъективная 119
— квазиинъективная 126
— квазициклическая 26, 71, 124, 212
Группа комплексных корней из едини-
единицы 27, 56
— конечная 10, 95
— конечно копорожденная 131
— конечно порожденная 12, 96
— копериодическая 270, 288
— — урегулированная 276
— коциклическая 25, 140, 146
— линейно компактная 87, 242
— локально циклическая 27
— 0-мерная 42, 238, 241
— ограниченная 37, 42, 107, 140
— периодическая 12, 55
— подпрямо неразложимая 58
— полная 82, 191
— полутопологическая 43
— примерная 12
— проективная 92
— расширений 246, 274
рациональная 27
— — полная 27, 124
— редуцированная 120
— сервантно инъективная 150, 187
— — проективная 149
— — простая 142
— сервантных расширений 265
— смешанная 12
— счетная 10, 107, 113
— типа р°° 26
(оо, оо, р, р\ (ft 98
— характеров 232, 238
— циклическая 12, 24, 56, 146
— элементарная 13, 56, 105
— эндоморфизмов 211
Декартова сумма 51
Делимая оболочка 128
— резольвента 128
Делимость 117, 133
Диагональное отображение 54
Диаграмма 18
Диаграммный поиск 20
Дополнение подгруппы 50, 61
Естественная эквивалентность 35
Естественное преобразование 35
330
Предметный указатель
Естественный гомоморфизм между об-
обратными пределами 79
— морфизм 35
— эпиморфизм 17
Зависимая система 102
Зависимость элемента от подмножества
102
Замкнутая а-топология 43
Изоморфизм 16
— прямых разложений 50
Изотипная подгруппа 157
Инварианты группы 98
— Ульма — Капланского 182
Индекс подгруппы 11
Индуктивное множество 9
Индуцированный гомоморфизм 216
— эндоморфизм 258
Инъективная оболочка 128
— резольвента 128
Инъективный гомоморфизм 16
— предел 68
Инъекция 16
Категория 32
— jt абелевых групп 33
— U, D) 222
— U, I) 221
Квазибазис 168
Класс 10
Коммутативная диаграмма 18
Компонента 49
Конгруэнтность 11
Кообласть 15
Кообразующий 25, 131
Координата вектора 51
Координатное вложение 52
Копериодическая оболочка 290
Коуниверсальный квадрат 65
Кратное элемента 10
Лемма Цорна 9
Линейная комбинация 12
Линейно независимая система 102
Многообразие 112
Множество 10
Модуль (левый) 30
— квазипроективный 116
— плоский 318
— унитарный 30
Модулярный закон 13
Мономорфизм 16, 221, 222
Морфизм 32, 221, 222
— единичный 32
— проводящийся через В -*¦ С 18
Направленное множество 68
Наследственное кольцо 115
Независимая система 102
— — максимальная 102
Независимые инварианты 99
Носитель элемента прямого произве-
произведения 54
Нуль 10
Область 15
— значений отображения 15
— — морфизма 32
— определения отображения 15
— — морфизма 32
— Оре 47
— целостности 28
Образующий 12, 93
Образ элемента 15
Обратный предел 75
— спектр 75
— элемент 10
Ограничение отображения 16
Определяющие соотношения 93
Ортогональные эндоморфизмы 49
Отношение зависимости 102
Отображение 15, 32
— биективное 16
— кодиагональное 54
Объект 32, 221, 222
Периодическая часть группы 13
Периодическое произведение 306
Подгруппа 10
— базисная 164, 174, 179
— вполне характеристическая 17, 60
— В-высокая 62
— изотипная 157
— инвариантная 64
— конечного индекса 11
— максимальная 29
— — делимая 120
периодическая 13
— непересекающаяся 48
— порожденная множеством 12
— сервантная 135, 141, 143
— — обобщенная 152
— собственная 10
— существенная 103
— тривиальная 10
— ульмовская 38, 40
— Фраттини 29
— функторная 37
— характеристическая 17
— чистая 156
Подкатегория 36
Подмодуль 30
Подпрямая сумма 54
— — специальная 58
Подфунктор 39
— тождественного функтора 39
Полилинейная функция 298
Предметный указатель
331
.Полная система инвариантов 99
Пополнение 86, 194
Порядок группы 10
— элемента 12, 31
Последовательность Ульма 181, 183,
184
Предел обратного спектра 75
— прямого спектра 68
— сети 81
Представитель смежного класса 11
— — — полная система 11
Примитивный класс 112
Продолжение прямого разложения 50
Проективная резольвента 92
Проективный предел 75
Проекция 49, 52, 59
Произведение гомоморфизмов 16
— категорий 36
— морфизмов 32
Прямая сумма 48, 49, 51, 71
— — внешняя 51
— — внутренняя 48, 49
— — полная 51
— — расширений 250
Прямое произведение групп 51, 77
— слагаемое 50, 59, 60
— — абсолютное 63
— — дополнительное 50
Прямой предел 68
— спектр 68
Ранг 90, 103
— без кручения 103
Расширение 244, 246
Расщепляющееся расширение 245
Решение уравнения 117, 122
•Свободная абелева группа 89
— построенная на множестве 90
— резольвента 92
¦Свободные образующие 90
•Связывающий гомоморфизм 253, 312
•Семейство 10
¦Сервантная подгруппа 135, 141, 143
— — обобщенная 152
порожденная множеством 136
¦Сервантно инъективная оболочка 203
— независимая система 169
— существенное расширение 201
— — — максимальное 202
— точная последовательность 145, 147
¦Сервантный гомоморфизм 152
Сеть 81
— Коши 82
— сходящаяся к пределу 81
— чистая 82
— чисто сходящаяся 82
Система 10
— инвариантов 99
Система образующих 12
— трансформаций 245
— уравнений над группой 122
— — совместная 122
— — согласованная 122
— факторов 245
Слабо сервантная подгруппа 151
Смежный класс 11
Сокращение слева 16
— справа 16
Спаривание 306
Структура подгрупп 13
Сумма гомоморфизмов 17
— элементов 10
Существенная подгруппа 103, 127
Существенное расширение 103
Сюръективный гомоморфизм 16
Тензорное отображение 295
— произведение 295, 299
Теоремы об изоморфизме 21
Тип группы 98
Тождественное отображение 16, 32
Тождественный функтор 33
Топологии 41, 45, 81
Топология блочная 83
— компактно-открытая 238
— конечных индексов 43
— линейная 41
— произведения 83
— прюферова 43
— функторная 45
Точная последовательность 17
— — короткая 18
— — периодически расщепляющаяся
287
прямых (обратных) спектров 73,
79, 80
— — расщепляющаяся 50, 147
Точный функтор 35
Трансформация 245
Ульмовская длина 181
Ульмовский фактор 40, 181
Ультрапроизведение 210
Универсальный квадрат 66
Урегулированная копериодическая
группа 276
— часть копериодической группы 277
Условие максимальности 96
— минимальности 131
Факторгруппа 11
— собственная 11
— функторная 37
Фактормодуль 31
Факторфунктор тождественного функ-
функтора 39
Финальный ранг 177
332
Предметный указатель
Функтор гомологии 34
— ковариантный 33
— контравариантный 33
— тождественный 33
Функция представителей 244
Цепь 9
Циклическая группа 12, 24, 56, 146
Цоколь 13
Частично упорядоченное множество 9
Чистая подгруппа 156
Эквивалентные подмножества 102
— расширения 246, 247
— системы факторов 246
Экспонента элемента 13
Элементарная группа 13, 56, 105
Эндоморфизм 16
Эпиморфизм 16, 221, 222
— канонический 17
Ядро 15
— подпрямой суммы 55
No-свободная группа 113
В-высокая подгруппа 62
D-топология 41
D-точная последовательность 222
I-точная последовательность 221
К-прямая сумма 54
Ш-сервантная подгруппа 155
га-ограниченная группа 37
га-расширение 130
шо-предел 207
р-адическая алгебраически компакт-
компактная группа 197
— компонента 197
— топология 42
р-адические числа (целые) 28, 29, 78,
212
р-адический модуль 31
р-базис 161
р-базисная подгруппа 161, 174
р-высота 13, 181
— обобщенная 181
р-группа 12, 106
р-делимость 118
р-длина 181
р-компонента группы 56
р-независимая система 160
р-ранг 103
р-сервантная подгруппа 135
р-сервантно точная последовательность
145
R-гомоморфизм 31
R-модуль 30
ЗЕ»-сервантная подгруппа 153
*Ж-сервантная подгруппа 155
Z-адическая топология 42, 135, 19L
Z-адическое пополнение 194
3 X 3-лемма 21
5-лемма 20
Оглавление
Предисловие к русскому изданию 5
Предисловие 7
ГЛАВА 1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ 9
§ 1. Определения 9
§ 2. Отображения и диаграммы 15
§ 3. Важнейшие типы групп 24
§ 4. Модули 30
§ 5. Категории абелевых групп
§ 6. Функторные подгруппы и факторгруппы 36
§ 7. Топологии в группах 41
Замечания 47
ГЛАВА П. ПРЯМЫЕ СУММЫ 48
§ 8. Прямые суммы и прямые произведения 48
§ 9. Прямые слагаемые 59
§ 10. Коуниверсальный и универсальный квадраты ... 65
§ 11. Прямые пределы 68
§ 12. Обратные пределы 75
§ 13. Полнота и пополнения 81
Замечания 87
ГЛАВА III. ПРЯМЫЕ СУММЫ ЦИКЛИЧЕСКИХ ГРУПП 89
§ 14. Свободные абелевы группы. Определяющие соотно-
соотношения 89
§ 15. Конечно порожденные группы 94
§ 16. Линейная независимость и ранг 101
§ 17. Прямые суммы циклических р-групп 106
§ 18. Подгруппы прямых сумм циклических групп ... ПО
§ 19. Счетные свободные группы 112
Замечания . . . • 115
ГЛАВА IV. ДЕЛИМЫЕ ГРУППЫ 117
§ 20. Делимость
§ 21. Инъективные группы 119
§ 22. Системы уравнений 122
§ 23. Строение делимых групп 124
§ 24. Делимая оболочка 127
§ 25. Конечно копорожденные группы 131
Замечания '33
334
Оглавление
ГЛАВА V. CEPBAHTHblEJ ПОДГРУППЫ 135-
§ 26. Сервантность 135
§ 27. Ограниченные сервантные подгруппы J39"
§ 28. Факторгруппы по сервантным подгруппам 14$
§ 29. Сервантно точные последовательности 145
§ 30. Сервантная проективность и сервантная инъективность 149-
§ 31*.Обобщения сервантности 152
Замечания 158
ГЛАВА VI. БАЗИСНЫЕ ПОДГРУППЫ 160
§ 32. р-базисные подгруппы 160
§ 33. Базисные подгруппы р-групп 164
§ 34. Дальнейшие результаты о р-базисных подгруппах 170
§ 35. Различные р-базисные подгруппы 174
§ 36. Базисные подгруппы как эндоморфные образы ... 179>
§ 37. Последовательность Ульма 180
Замечания 186-
ГЛАВА VII. АЛГЕБРАИЧЕСКИ КОМПАКТНЫЕ ГРУППЫ 187"
§ 38. Алгебраическая компактность 187
§ 39. Полные группы 191
§ 40. Строение алгебраически компактных групп 196-
§ 41. Сервантно существенные расширения 200
§ 42*.Дополнительные сведения об алгебраически компакт-
компактных группах 205
Замечания 209>
ГЛАВА VIII. ГРУППЫ ГОМОМОРФИЗМОВ 211
§ 43. Группы гомоморфизмов 211
§ 44. Точные последовательности для Нот 215
§ 45*.Некоторые подгруппы группы Нот 221
§ 46. Группы гомоморфизмов периодических групп .... 22&
§ 47. Группы характеров 232
§ 48*.Двойственность между дискретными периодическими
и 0-мерными компактными группами 237
Замечания 242
ГЛАВА IX. ГРУППЫ РАСШИРЕНИЙ 244
§ 49. Расширения групп . . . t 244
§ 50. Расширения как короткие точные последовательности 247
§ 51. Точные последовательности для функтора Ext . . . 252
§ 52. Элементарные свойства группы Ext 257
§ 53. Функтор Pext 263
§ 54. Копериодические группы 270
§ 55. Строение копериодических групп 275
§ 56. Ульмовские факторы копериодических групп . . . 279
§ 57*.Приложения к группам Ext 283
§ 58. Свойства инъективности копериодических групп . . . 287
Замечания 291
Оглавление 335
ГЛАВА X. ТЕНЗОРНЫЕ И ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 293
§ 59. Тензорное произведение 293
§ 60. Точные последовательности для тензорных произве-
произведений 299
§ 61. Строение тензорных произведений 303
§ 62. Периодическое произведение 306
§ 63. Точные последовательности для функтора Тог ... 311
§ 64. Строение периодических произведений 314
Замечания 317
Список литературы 319
Указатель обозначений 326
Предметный указатель 329
УВАЖАЕМЫЙ ЧИТАТЕЛЬ!
Ваши замечания о содержании кни-
книги, ее оформлении, качестве перевода
и другие просим присылать по адресу:
129820, Москва, И-110, 1-й Риж-
Рижский пер., д. 2, издательство «Мир».
Л. Фукс
БЕСКОНЕЧНЫЕ АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ
том 1
Редактор Г. М. Цукерман, Художник В. С. Акопов
[Художественный редактор В. И. Шаповалов. Технический редактор Л. П. Бирюкова
Сдано в набор 30/VIII 1973 г. Подписано к печати 9/1 1974 г.
Бумага Mi I 60x901/ie=10,5 бум. л. 21 усл. п. л.
•Уч.-изд. л. 21,77. Изд. № 1/6870. Цена 2 р. 39 к. Зак. 01166
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
Москва, 1-й Рижский пер., 2
Ордена Трудового Красного знамени Московская типография Л1 7
«Искра революции* Союзполиграфпрома при Государственном комитете
Совета Министров СССР по делам издательств, полиграфии
и книжной торговли
Москва, К-1, Трехпрудный пер., 9