/
Текст
М) 1111Ц1111а.1Ы1ое образовательное учреж дение
вь инею профессионального образования
I 1>.1н ри1Н>\р| ская академия современного искусства» (институт)
В. В. Долгоруков
Табличные методы
для классической логики высказываний
и классической логики предикатов
Муниципальное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Екатеринбургская академия современного искусства»
(институт)
В. В. Долгоруков
Табличные методы
для классической логики высказываний
и классической логики предикатов
Учебно-методические материалы к курсу
«Логика и теория аргументации»
Екатеринбург
2008
Долгоруков В.В. Табличные методы для классической логики высказы-
ваний и классической лотки предикатов: Учебно-методические материалы к
курсу «Логика и теория ар|уменгации» /11од ред. канд. филос. наук А. Г. Кислова. -
Екатеринбург: Изд-во Екатеринбург, акад. совр. иск-ва, 2008. - 23 с.
© Екатеринбургская академия
современного искусства, 2008
Используя таблицы Бета,
мы действуем в лучина традициях Шерлока Холмса.
Я. Хинтикка. Шерлок Холмс против современной логики1
Аналитические таблицы
для классической логики высказываний
Аналитические таблицы (таблицы Бета) являются удобным инструмен-
том для распознавания тавтологий, тождественно-ложных формул, поиска
контрмодели (опровержения) и установления логического следования. Метод
изобрели независимо друг от друга Э. Бет (Е. ВеШ, 1908-1964) и Я. Хинтикка
(I. НтОкка, 1929); используемая в данной работе разновидность таблиц осно-
вана на идеях Р. Смаллиана (К. БтиПуап, 1919).
По своей сути аналитические таблицы представляют собой обобщение
метода приведения к абсурду. Метод приведения к абсурду не позволяет дока-
зать общезначимость формулы, если приходится рассматривать несколько ва-
риантов оценки переменных. Аналитические таблицы позволяют это сделать.
Хотя в логике высказываний всегда можно построить таблицу истинности, и
другие методы кажутся избыточными, аналитические таблицы в подавляющем
большинстве случаев оказываются намного эффективнее.
Рассмотрим суть метода на примере. Докажем, что формула рV—р являет-
ся тавтологией. Допустим обратное. Предположим, что она бывает ложной:
р^!р = ЛОЖЬ,
дизъюнкция может быть ложной только тогда, когда ложны оба состав-
ляющие её высказывания. То есть:
Р = ЛОЖЬ И -1Р =ложь,
если отрицание р ложно, значит р истинно.
Получается противоречие:
р=ложь и р=истина
1 Хинтикка Я., Хинтикка М. Шерлок Холмс против современной логики: к теории поиска информации с по-
мощью вопросов // Язык и моделирование социального взаимодействия. М„ 1987. С. 278.
Следовательно, не существует случая, когда формула рV-^р может быть
ложной, следовательно, она является тавтологией. Табличные методы пред-
ставляют собой формализацию такого типа рассуждений. Таблица, доказываю-
щая общезначимость рV- -пр, выглядит так: Рр\/—>р Рр- рр-1 р X
Р - ложь. Т - истина, X - означает, что обнаружено противоречие.
Главный принцип построения таблицы заключается в переходе от сложных
формул к более простым. Переход должен происходить по одному из следующих пра-
вил (правила естественным образом связаны с семантикой связок):
[Та] Г, ТАлВ Г, ТА, ТВ [Ел] и ралв Ь. РА I Ь. РВ
ПМ Е, ТАVВ Ь, ТА I Ь, ТВ [1М Ь, РАуВ Ц РА, РВ
[Т->] Ь, ТА—»В Ь, РА | к, ТВ [Г—>] Г, РА—>В Ь, ТА, РВ
|Т|] Ь, ТА|В к, РА | Ь, РВ [Г 1 ] к, РА|В к, ТА,ТВ
[Т|] ь, тлХв Ц ГА, РВ [Г1] к, раХв Ь. ТА, | Е. ТВ
[Т=] Ц ТА=В Ь, ТА, ТВ | Ц РА, РВ [Г=] и ра=в Г, ТА, РВ 1 Е, РА,ТВ
[Ту] Е, ТАуВ Ь. ТА, РВ I Ь, РА, ТВ [Гу] Ь, РАуВ Ь, ТА, ТВ I ЦРЛ.РВ
[Т-,] Ь, Т—.А Е, РА [Г-.] Ь, Р-,А и та
А, В обозначают формулы логики высказываний, Ь - множество формул
Например, если строка состоит из следующих формул: Тр, Т(дуг)—
Тдл(г |$), то применения правила [Та] выглядит так:
[Та] Тр, Т(дуг)—>8, Тдл(г | 8)_____
Тр, Т(дуг)^8, Тд, Тг | 8
В данном случае А=д, В=(г|$), Ь=Тр, Т(дуг)^8.
Если выбрать для работы формулу Т(дуг)—>8, то применение правила
[Т->] к этой же строке будет выглядеть так:
[Т—>]Тр, Т(дуг)—>8, Тдл(г | 8)_____
Тр, Тдл(г | 8), Едуг | Тр, Тдл(г | 8), Т8
Здесь А=(дуг). В=8. Ь=Тр. Тдл(г | 8). В этом примере происходит разделе-
ние таблицы на два столбца (две подтаблицы). Такой случай будет называться
ветвлением. После каждого применения правила, список формул Е нужно пе-
реписать в оба столбца.
1. Доказательство общезначимости формулы логики высказываний
табличными методами
Рассмотрим, доказательство общезначимости формулы
(рлд)—э(длр).Таблицу будем оформлять по такой схеме:
[применяемое правило] список формул
[применяемое правило] новый список формул и т.д.
Для ясности некоторые действия будут снабжаться комментариями, по-
мещаемыми прямо внутри таблицы между знаками II... И.
VI |=(рлд)->(цлр)
[Г—>] Г (рлд)—>(цлр) // Предположим, что формула может быть ложной. Главный
знак —применяем правило [Р—>] //
[Та] Т рАд, Рдлр // работаем с формулой Трлц, оставшуюся формулу переписываем И
[Ел] Тр, Тд, Рдлр И применение правила [Ел] делит таблицу на два столбца; оставшие-
ся формулы Тр, Тд переписываем в оба столбца, Уцуходит елевый столбец, Рр - в правый И
Тр, Тд. Ед Тр, Тд, Ер
X X
X означает, что столбец содержит противоречие (одну и ту же формулу с
оценками Р и Т), такой столбец называется замкнутым. Таблица считается
замкнутой, если замкнуты все её столбцы.
То есть для того, чтобы доказать общезначимость формулы А, нужно до-
казать, что таблица, начинающаяся с РА (предположения о ложности А) явля-
ется замкнутой.
V2 |=(рлд)|(рТя)
[Е|] Р(рлц)|(рХц) НПреоположим, что существует набор значений, на котором формула
опровергается. Главный так |, оценка формулы Р. Поэтому действуем по правилу [Р|] //
[Та] Т(рлд), Т(р^д) Пу нас две формул, никакого предпочтения ни одной из них отдать
нельзя. Выбираем любую и работаем с ней, остальную переписываем. Выберем Т(рлц), дей-
ствуем по правилу [Тл] //
[тТ]Тр, Тф т(РгЧ) //работаем с оставшейся формулой, по правилу [ ТТ] //
Тр, Тд, Гр, Ед
X
УЗ |=(р=д)- >((р эд)л(д^р))
[Г->] Р(р=д)-»((р—>д)л(д->р))
[Гл] Т(р=д), Р((р—>д)л(д—>р))
[Г—>] Т(р=д), Гр—>д_________
[Т=] Т(р=д), Тр, Ед_________
Тр,Тд ,Тр, Рд Гр,Ед,Тр, Рд
X I X
[Г—>] Т(р=д),Ед—>р________
[Т=]Т(р=д), Тд, Гр________
Тр,Тд,Тд, Ер Ер,Ед, Тд, Рр
X
X
У4 |=( (длг л1ли)-^( 8 лр а у)) \/( длг а1ап)
[Гу]Р((дАГА1Ац)^(8лрАу))у(длгА(Аи)_______________
[Г—>]Р((дАГл1ли)-^(8Арлу)), Р(дАГА1ли)___________
Т(дАГА{АИ), Р 8АрАУ, Р(дАГА1ли) //необязательно до-
ходить до атомарных формул, в данном случае противоре-
чие порождает достаточно большая формула //
X
Доказательство общезначимости последней формулы методом аналитических
таблиц состоит всего из 3 строк, таблица истинности состояла бы из 27-128 (в фор-
муле 7 переменных) строк. Аналитические таблицы, в подавляющем большинстве
случаев (за исключением формул, в которых много эквивалентностей и строгих
дизъюнкций), оказываются намного удобнее, чем таблицы истинности.
2, Доказательство тождественно-ложной формулы
Доказательство тождественно-ложной формулы происходит по аналогич-
ной схеме: доказывается, что предположение об истинности формулы приводит
к противоречию:
У5(р^д)лрл-1д|=
[Тл] Т(р-»ц)лрл—1С] // предположим, что существует набор значений, на котором фор-
мула является истинной//
[Т-.]Т(р^д), Тр,т-Ч//убираем отрицание//
[Т—>]Т(р—>д>, Гр, Ед
Ер, Тр, Рц Тд, Тр, Рд
X X
3. Варианты оформления таблицы
Очень часто, удобно не переписывать все формулы встречающиеся в
строке, а пользоваться сокращенной записью, где после черты появляются
только новые формулы, пропускать применение правил по снятию отрицания и
т.д. Такую таблицу всегда можно восстановить до полной.
*6 |= -.Мр=с|)у(((г|д)^(рлг))л(с|^.-,р))
[Еу], [Г-,] Р —1ГУ(р=д)у(((г|д)—>(рлг))л(д^—.р1)
[Ел] Тг, Рр=д, Р((г|д)->(рлг))л(д->-.| э)
[Е—>]Тг, Рр=д, Р(г|д)—>(рлг) Тг, Ер=с], Р ц—>—>р
[Т|]Тг,Рр=д, Т(г|д), Ерлг [Е=]Тд,Ер
Ег X [Ел]Ед Тр. Ед X ГЧ,Тр X
[Е=]Ер [Е=]Ег X
Тр, Ед X Ер,Тд X
4. Построение контрмодели
Если таблица не замкнута (хотя бы один столбец не содержит противоре-
чия), то тем самым найдена контрмодель, оценка значений переменных, на ко-
торых формула является ложной:
У7|=(г^рМр^д)у(рл(гуд))
[Еу] Е (1\1р)у(рх1д)у(рл(гуд))
[ЕХ] Р(гч1р), Р(рх1д), Р(рл(гуд)
[КТ] Тг [еХ] тР
[Гл]Тр [Га]ТЧ [Ел]Тр [Гл]Тд
Ер [Гу]Ргуд Ер [ру]Ргуд Ер [Гу]Егуд Ер [Еу]Егуд
X X X
Ег, Рд Рг, Рд Ег, Ед Ег, Ед
X X X
Несмотря на то, что некоторые столбцы замкнуты, таблица целиком не
является замкнутой. Следовательно, формула не является общезначимой.
Формула опровергается на наборе значений р=Т, г=Р, д=Р из шестого
столбца или г=Т. д=Т. р=Р из третьего столбца.
5. Доказательство логического следования
Из списка формул А1, ... , Ап следует В (А1, ... , Ап|= В), если и только
если таблица, начинающаяся со строки ТА1, ..., ТАп, РВ, является замкнутой.
У8-,р. я|г. —1Г—»р|= -,Ч
[Т-,], [К—] Т^р, Тд|г, Т-|Г—>р, Р—>д
[Т|] Ер, Тд Тд|г, ТЧг->р,______
Рд [Т->], [Г—] Рг
X Тг Тр
X X
6. Порядок работы с формулами
Во многих случаях возникает вопрос о том. с какой формулой в строке
начать работать первой. Следует руководствоваться такой стратегией:
- выбрать формулу, которая сразу же приводит к замыканию;
- выбрать формулу, которая не приводит к ветвлению таблицы;
- из оставшихся формул выбрать наиболее простую.
7. Задания для самостоятельной работы
Т.Табличными методами проверить общезначимость следующих формул:
1. (р<1д)|(длр)
2. (рлдМр|д)
3. р->(д^р)
4. (рл—1р)—
5. р->(с^-,с|)
6. с,^(р—>р)
7. -|(руя)= (-,р л —.с])
8. -.(-.ру-чр^ (Р л ч)
9. ->(рлд)=(—,р\/—,С|)
10,—>(—>рл-1я)=( р\/я)
П.(р-»Ч)=(-1Ч->-|р)
12.(-я~>-1р)=(р->ч)
1з.(р-^->чНч^-1р)
14.(^ч >р)=(^р-><])
15.(рлд)=(с]лр)
16 .(рл(длг))=((рлс|)лг)
17 .(рл^г)Н(рлцМрлг))
18.(р\/ц)=(д\/р)
19.^^Г))=(^яМ)
20.(рV(^Л^))=((рV^)л(рV^))
21.(рлд)=-1(р->-1я)
22.(р-»яЖ-^ч)
24.(р->яМ-'Р'уЧ)
25.р=(рл(-1р\^я))
26.р=(рV(-,рля))
XI. (рля)=(рл( -4^]))
28.^я>^(->рля))
29.(^я)л(ру-1Я)) = Р
30.((рля)V(рл-.я))=Р
31.((р-»я)^Р)->Р
32 .(р у (ЯАг))-Х(руя)л(руг))
33 .(р л (я I г)) = (( р-> 4) I (р -> г))
34 .(р | (ч л г)) = ((р -> ч) -> (Р --О)
35 .(р -»(ч | г)) = (ч -> (р | г))
36 .(ручМ^ч)л(р | ч))
37 .(ру(чуг)Х(руч)уг)
38 .((ч>1г)4фН(г->р) I (ч-»р))
З9 .(р 4- (ч | г)) -> (р | (ч г))
4О .(р X (р | р))| (р I (р | р))
41 . (р = (ч = г))->((р->ч) л (ч~>г) л (г->р))
42 .((рлч)у(г^))=((рлчл(1\к)М(р | ч)л(гу.ч)))
43 .(рл^(ьк)))| ((р—>(г^))л(р | ч))
44.1(р=ч)л(-1р->(р'к))]^((Ч^)->Ч)
45 .(ручНр=Ч)
46 . (ру(С1у1))=((р=ч)=г)
47 .«ч=р)|(гур))|(руч)
48.|(-1ру(члг))л(г^(ч^р))к|(члг)ур]
49 .((рлч)|(гл5)) = ((р| чМф))
5П.(^ч)1-(гл8))=((рх1ч)А(г>и))
51 .(рл(1Мчл8)))|(р—>(гл(ч—>-1$)))
52.(чуг)|((члг)у(ч4<г))
53.(чл(г-^8))у((ч^г)л(8->-1Ч))
II. Табличными методами определить, выполняется ли следование:
1. (рлч)-^г, р^^г) |= р->г
2. (рлг)->(чл8) |= (р->ч)у(г->8)
3. (рлг)—>(ЧД8) |= (г^чМР^8)
4. р->(Ч^г), рУ8, гТч, |= 8
5. р^(ч^г)|=(рлч)—>г
6. р^Ч’ Р^г кр-»(ЧАГ)
7. р—>г, с|^г |= (р\^с[)—>г
8. (р=я)=г|= ру(чуг)
9- Р> Р^Ч1=Ч
1 ().р^с|,—.руг Нч471'
I 1 ^г,—11|=С]
12^ч, р-»г, Ц—>г|=г
13.1 —>р, ((((р^ч)л-й-)-^-.8)->г)->1, ф р
14 .р—>ч, 4—>г |=р—>г
•5.|=р=р
1б .р=ч|=Ч=Р
17 .р=ч, Ч=г 1=Р=Г
III. Табличными методами определить, какие из формул являются тожде-
ственно-ложными, а какие выполнимыми:
I. —1(г—>8)л((рл(ч—>г))—>8)лр
2. (<чл(г—>р))—>8)а-—1(—18—>(4—>г))
3. -^((ч^>(га8))л(ч~>(г|8))
4. (чу(|^р))Ф(чл(гХр))
5. (р-1(глч))л((рФг)Ф(рЦ))
6. ((ч^гМр->8))л-1(ч-»8)л-1(р->г)
7. ^(глч))4'(->рл-1г)
8. (чVФл^))Ф-|(-^ч_^^)
9. ((члг)л(р|8)М(8|р)^(глч))
10. Р'Ь(р|р)
11 .(рV^)л-,(^^р)
12. рл(с|^-,р)лч
13^(члг)у((Ч'1'Г)л(рФ8))ур
14. рл( чу( глр) )л-.( ч >—'Г)
15. (р=ч)л—1(р^ч)
16. (ч—>г)л(гФ—14)
IV. а) Найти логически эквивалентную формулу, состоящую только из |,
для формул: —|р, р'^ц, рлц, р-эц, рх1ц, р=ц, руд (Пример: -пр |=| р|р. табличными
методами нужно доказать, что -пр |= р|р и р|р |= -пр).
Ь) Найти логически эквивалентную формулу, состоящую только из >1, для
формул: -пр, р\/д, рлд, р^д, р|д, р=д, руд.
Аналитические таблицы для классической логики предикатов
Применительно к логике высказываний аналитические таблицы не явля-
ются незаменимым средством (в крайнем случае, всегда можно построить таб-
лицу истинности). В логике предикатов такая возможность отсутствует (пред-
метная область может быть бесконечной), поэтому именно логика предикатов
позволяет оценить табличные методы по достоинству. Здесь большое значение
имеет порядок работы с формулами и умение прогнозировать поведение табли-
цы, так как плохая стратегия может не привести к желаемому результату (если
столбец не замыкается, это не означает, что он никогда не замкнется, возмож-
но, следует использовать более умелый подход).
Заметим, что некоторые общезначимые формулы из логики предикатов
могут быть доказаны только при помощи правил пропозициональной логики.
У9|= -Л/х8(х^х8(х)
[ЕМ Р-пХ/х8(хМ/х8(х)
[г-п] Р—1Х/х8(х), РУх8(х)
ТХ/х8(х), РУх8(х)
X
Но так бывает далеко не всегда (к примеру, Х/х(8(х^—18(х)) является общезна-
чимой формулой, но это не доказуемо исключительно средствами логики высказы-
ваний), поэтому требуются новые правила - специфические для логики предикатов:
[ТУ] [ТВ]
Е,ТУхФ(х) Е,ТЗхФ(х)
Е.ТУхФ(х). ТФ(а/х) Е,ТФ(а*/х)
[ЕМ
Ь,РУхФ(х)
ЕРФ(а*/х)
[ЕВ]
Е,РЗхФ(х)
Е,РЗхФ(х). РФ(а/х)
Здесь Ф(а/х) означает результат замены всех вхождений переменой х на
константу а (подстановку).
Пример подстановки:
Ф(х) = 8(х) а (2(Ь,х) а К(а,х)
Ф(а/х) = 8(а) л Ф(Ь) а К(а,а)
а* означает, что константа должна быть новой (не встречаться ни в самой
формуле Ф, ни в формулах из Ь). такая подстановка называется подстановкой с
ограничением.
Правила [ЕУ] и [ТЗ] предполагают подстановку с ограничением.
Пример применения правила [ЕУ]:
[ЕУ] Т8(Ь),РУхК(х,а)
Т8(Ь). РК(с.а).
вместо х нужно обязательно подставить новую константу.
Если бы ограничений на данные правила не существовало, то доказуе-
мыми были бы формулы 8(а)-эУх8(х) (если один объект обладает некоторым
свойством, то этим свойством обладают все объекты: т.е. если Фердинанд сдал
логику на пять, следовательно, все сдали логику на пять) и Зх8(х)—>8(а) (если
существует объект, это не означает, что это данный конкретный объект; т.е.
кто-то ограбил банк, следовательно, это Владимир Ильич).
Всегда следует использовать новую константу, если мы работаем с
правилом [РХ/] или [ТЗ]. В остальных случаях константа может быть любой.
Поэтому если возникает выбор, с какой из формул начать работать, то сначала
следует выбрать ту, в которой используется правило с ограничением ([РУ] или
[ТЗ]), а потом действовать по остальным правилам.
Докажем, что формула Р—|Зх8(х)^Ух—|8(х) является тавтологией.
V10 —|3х8(х)—»Ух—>8(х)
[Е—»] Р-|Зх8(х)-эУх—.8(х)___________________________________________
[Т—] Т—«Зх8(х), РУх—.8(х)__________________________________________
[ЕV] РЗх8(х), РУх—18(х) II следует выбрать И___________________
ЁЁ-0РЗх8(х), Г—|8(а)________________________________________________
[ЕЗ] Р3х8(х) ,Т8(а) //в формулу Е3х8(х) можно подставить любую константу//
Р3х8(х), Е8(а),Т8(а)
В принципе, правильной будет считаться и такая таблица:
V11^=—,3х8(х)—>Ух--|8(х)
[ЕЯ] Р3х8(х), РУх—|8(х) // начнём работать с формулой Р3х8х //
[РУ] Р3х8(х), Р8(а), РУх—>8(х) // РУх—18(х) не имеем право
подставить а, ставим другую константу - Ь //_______________
[РЗ] Р3х8(х), Р8(а), Р-п8(Ь) // теперь ещё раз работаем с форму-
лой Р3х8(х), если подставить - а или с (всё кроме Ь). то получается
такой результат... И__________
[ГЗ] Р3х8(х), Р8(а), Р-,8(Ь), Е8(сГИ ... если не подставить Ь.
то столбец никогда не замкнётся, поэтому подставляем Ь //__
[Г-,] Р3х8(х), Р8(а), Р-18(Ь), Р8(с), Г8(Ь)________________
Р3х8(х). Р8(а). Т8(Ь), Р8(с), Р8(Ь)
X
*12|= Уу8(у)->8(Ь)
[Г—»]РХ/у8(у)—>8(Ь)
//предположим, что формула опровержима, дальше действуем как в
логике высказываний по правилу [Р—>] //____________________
[РУ]ТУу8(у), Р8(Ь)
//действуем по правилу [ТУ], убираем кванторную приставку и в ос-
тавшейся части заменяем переменную у на любую константу (заме-
тим, что целесообразно заменить на константу Ь )//_________
Т8(Ь), Р8(Ь) И полученное противоречие Т8(Ь), Р8(Ь) позволяет
замкнуть таблицу И
X
V 13|= УхК(а.х)—>ЗхЩ х.х)
[Р—>] РУхК(а,х)-^ЗхК(х,х)_____________
[ТУ] ТУхК(а,х), РЗхК(х,х)_____________
[ГЗ] ТК(а,а), ТУхК(а,х), РЗхЩх,х)
РК(а,а), ТК(а,а), ТУхК(а.х). РЗхЩх.х)
X
Точно так же, как и в таблицах для логики высказываний, можно исполь-
зовать сокращённый способ записи. Только нужно помнить, что правила [РУ],
[ТЗ] могут быть применены к одной и той же формуле один раз. Сокращенный
способ записи таблицы может выглядеть так:
V 14|=УхУу(2(х,у)—»Уг(2(г,2)
[Г—>] РУхУу(^(х,у)->Уг<3(г,2)
[РУ] ТУхУу(}(х,у),РУгО(2.2)
// действуем по правилу [РУ] //_
______________________Р<3(а,а)
_________ТУу(3(а,у)_____________
Тр(а,а)
У15|=Х/х$(х>-13х—18(х)
[Г=] РУх8(х)=—.Зх—18(х) //работаем с каждым столбцом в от-
дельности И
[Г-1] ТУх8(х), Р-Зх-,8(х) [Т—,] РУх8(х), Т-.3-!х8(х)
[ТЗ] ТУх8(х), ТЗх—|8(х) // выбираем формулу, в которой используется правило с ограни- чением И [ЕУ] РУх8(х), Р3х-.8(х) И имеем право поставить константу а. так как правило предполагает, что константа должна быть новой отно- сительно столбца (не обязательно но- вой для всей таблицы) И
[Т-,] ТУх8(х), Тт8(а ) [ГЗ] Г8(а), Р3х->8(х)
[ТУ] ТУх8(х), Г8(а) [Е-1] Р8(а), Р3х-.8(х), Г-,8(а)
ТУх8(х), Р8(а), Т8(а) X Р8(а), Р3х-,8(х), Т8(а) X
У1фУхЗу(8(х)лР(у))->(Ух8(х)лЗуР(у))
[Е->] РУхЗу(8(х)лР(у))-^(Ух8(х)лЗуР(у))
[Гл] ТУхЗу(8(х)лР(у)), Р(Ух8(х)лЗуР(у))
[ГУ] ТУхЗу(8(х)лР(у)), РУх8(х) [ТУ] ТУхЗу(8(х)лР(у)),РЗуР(у)
[ТУ] ТУхЗу(8(х)лР(у)), Г8(а) [ТЗ] ТЗу(8(а)лР(у)), ТУхЗу(8(х)лР(у)),РЗуР(у)
[ТЗ] ТУхЗу(8(х)лР(у)), Р8(а), ТЗу(8(а)лР(у)) [Тл] Т8(а)лР(Ь), ТУхЗу(8(х)лР(у)),РЗуР(у)
[Тл] Т8(а)лР(Ь), ТУхЗу(8(х)лР(у», Р8(а) [ГЗ]Т8(а), ТР(Ь), ТУхЗу(8(х)лР(у)),РЗуР(у)
Т8(а), ТР(Ь), ТУхЗу(8(х)лР(у)). Р8(а) X Т8(а), ТР(Ь), ГР(Ь). ТУхЗу(8(х)лР(у», РЗуР(у) X
>1Т|=ЗхУу-1К(х,у) V (УхУу(К(х,у)—>ЗхК(у,х))
[Гу] Р ЗхУу-|К(х,у) у УхУу(К(х,у)^ЗгК(у,г))________________________________
[ЕУ], [ГУ] РЗхУу—1К(х,у), РУхУу(Н(х,уМЗгК(у,7))____________________________
[Е—>] ГК(а,Ь)—>ЗгК(Ь,г), РЗхУу-|К(х,у), РУхУу(К(х,у)-»ЗгК(у,х))____________
[ГЗ] ТК(а,Ь), ГЗгК(Ь,г), РЗхУу-.К(х,у), РУхУу(К(х,у)->ЗгК(у,г))____________
[ГУ] ГУу—1К(Ь,у), ТК(а,Ь), РЗгЕ(Ь,г),~РЗхУу-.К(х,у), РУхУу(К(х,у)-»ЗгК(у,2))
[Г—.] -пКСКс), РУу—|К(Ь,у), ТК(а,Ь), РЗхК(Ь,х), РЗхУу-.К(х,у),
РУхУу(К(х,у)-^3/К(у,2))____________________________________________________
[ГЗ] ТК(Ь,с), РУу->К(Ь,у), ТК(а,Ь), РЗхН(Ь,2). РЗхУу-пК(х,у).
РУхУу(К(х,у)—>32К(у,/))____________________________________________________
ГК(Ь,с), ТК(Ь,с), РУу—|Н(Ь,у), ТК(а,Ь), РЗхК(Ь,2), РЗхУу->К(х,у),
РУхУу(К(х,у)—>3/К(у,г)) //результат подстановки в РЗхК(Ь,х)//
X
У18|=3х3у(—1К(х,у)лУ2(К(х,г)уК(2,у)))—»ЗуК(у,у)
[Г—»] Р3х3у(—1К(х,у)лУ2(К(х,г)уК.(г,у)))—>ЗуК(у,у)_____________________
[ТЗ], [ТЗ] Т3х3у(—|К(х,у)лУг(К(х,г)уК(2,у))), РЗуК(у,у)________________
[Та], [Т—.] Т—Д^(а,Ь)лУг(К(а,г)уК(г,Ь))
[ТУ] РК(а,Ь), ТУг(К(а,г)уК(г,Ь))_______________________________________
[Ту ] ТК(а,а)уЩа,Ь)____________________________________________________
[ГЗ] ТК(а,а) /7 [РЭ] применяется к формулу РЗуК(у,у) из второй строки // ТК(а.Ь)
РК(а,а) । X
X
У19Ух8(х)лЗуР(у)|=:УхЗу(8(х)лР(у))
Т(Ух8(х)лЗуР(у)), РУхЗу(8(х)лР(у))_________________________________________
[ТЗ] ТУх8(х),ТЗуР(у), РУхЗу(8(х)лР(у))_____________________________________
[РУ] ТУх8(х), ТР(а), РУхЗу(8(х)лР(у))______________________________________
[РЗ] ТУх8(х), ТР(а), РЗу(8ЬлР(у))__________________________________________
[Рл] Р(8(Ь)лР(а)), ТУх8(х), ТР(а), РЗу(8ЬлР(у))____________________________
[ТУ] Г8(Ь) ,ТУх8(х), ТР(аГ РР(а), ТУх8(х), ТР(а), РЗу(8(Ь)лР(у))
РЗу(8(Ь)лР(у)) X
Т8(Ь), Р8(Ь),ТУх8(х), ТР(а),
РЗу(8(Ь)лР(у))
X
У20 (= ЗхЗу(—>К( х .у )лУг(К(х,2 )уК(г,у)))—>ЗуК(у,у)
[Г—>] Р ЗхЗу(—1К(х,у)лУг(К(х,2)уК(г,у)))—>ЗуК(у,у)__________________________
[ТЗ], [ТЗ]ТЗхЗу(—1К(х,у)лУг(К(х,г)уК(2,у))), РЗуК(у,у)______________________
[Та], [Т—.] Т-.К(а,Ь)лУг(К(а,г)уК(2,Ь))_____________________________________
[ТУ] РК(а,Ь), ТУг(К(а,2)уК(г,Ь))____________________________________________
[Ту] ТК(а,а)уК(а,Ь)_________________________________________________________
[ГЗ] ТК(а,а) // применяем правило [ЕЭ] формуле РЭуК(у,у) из второй строки // ТН(а,Ь)
РК(а.а) " X
X
У21 УхУу((К(х,у)^—1К(у,х))А(<2(х,у)—>К(х,у)))—>Ух—1(2(х,х)
[Г—>] Р УхУу((И(х,у)->-1к(у.х))л(К(х,у)-»Сч)(х,у)))^Ух^(х,х)
[ГУ] ТУхУу((К(х,у)—»—1К(у,х))л(К(х,у)—><3(х,у))), РУх—1<3(х,х)
[ГУ], [ГУ]______________________________________Р-Х3(а,а)
[Тл] Т(К(а,а)—>—К(а,а))л(д(а,а)—»К(а,а))________________________
[Т->] Т(К(а,а)^-1К(а,а)), Т((3(а,а)^К(а,а))______________________
ЕО(а,а) [Т->] ТК(а,а)
X РК(а,а) [Т-,] Т-,К(а.а)
X ЕК(а,а)
X
У22 [=[УхЗуК(х.у) л УхУу(К(х,у) -> К(у,х)) л УхУуУх((К(х,у) л К(у,х))
К(х,х))] —>УхК(х,х)//
[Г->] [УхЗуК(х,у) л УхУу(К(х,у) -» К(у,х)) л УхУуУх((Щх,у) л К(у,х))
К(х,х))] -»УхК(х,х)//______________________________________________________________
[Та], [Та] Т[УхЗуЩх,у) л УхУу(К(х,у) -н> К(у,х)) л УхУуУх((К(х,у) а К(у,г)) ->
К.(х,х))], РУхК(х,х)//дважт)ь/ применяем правило [Та] //___________________________
[ЕУ]ТУхЗуК(х,у), ТУхУу(К(х,у) -> К(у,х)), ТУхУуУх((К(х,у) л К(у.х)) ->
К(х,х)), РУхВ,(х,х)//в этой строке встречаются формулы только двух типов - [ТУ] или
[ТУ], предпочтительнее начать работать с формулой [РУ] (правило с ограничением) //_
[ТУ] ТУхЗуЩх,у), ТУхУу(К(х,у) -> К(у,х)), ТУхУуУг((К(х,у) а К(у,г)) ->
К(х,х)), ЕК(а,а) //выберем первую формулу для работы - ТУхЗуК(х,у) //______________
[ТЗ] ТУхЗуК(х,у), ТУхУу(К(х,у) -> К(у,х)), ТУхУуУг((К(х,у) а К(у,х)) ->
К(х,х)), РК(а,а), ТЗуК(а,у)//[ТЗ] подставляем новую константу, саму формулу уже не
переписываем //____________
[ТУ], [ТУ], [ТУ] ТУхЗуК(х,у), ТУхУу(К(х,у) -> К(у,х)), ТУхУуУг((К(х,у) а
К(у,х)) К(х,х)), ЕК(а,а), ТК(а,Ь) //убираем сразу три квантора из формулы
ТУхУуУг((К(х,у) л К(у,х)) К(х,г)) //
[Е->], [Га] (К(а,Ь)АК(Ь,а)) К(а,а)
РК(а,Ь) X [ТУ], [ТУ] РК(Ь,а) ТК(а,а) X
[Е—>] ТК(а,Ь) —» К(Ь,а) //результат подстановки в ТУхУу(К(х,у) —» К(у,х))//
РК(а.Ь) X ТК(Ь,а) X
V23^Vx^(x,x)VЗxЗу(К(x,у)л-^^(x,у))VЗxVу-|К(x,у)VЗxЗу(К(x,у)А-1К(у,x))VЗxЗу
Ях(0(х,у)лС(у,х)А-1(2(х,г))
[ЕV]РVx^(x,x)VЗxЯу(К(X,у)А—I^(x,у))VЗxVу-|К(X,у)VЗxЗу(К(x,у)А-1К(у,x)VЗxЗ
уЗг(д(х,у)л(3(у,7)А-<)(х,г))__________________________________________________
[ГУ]РУх<2(х,х), РЗхЗу(К(х,у)л—1р(х,у)), РЗхУу-|К(х,у), РЗхЗу(К(х,у)л-|К(у,х),
РЗхЗуЗг(<3(х,у)А(3(у,7)А—1<3(х,г))____________________________________________
[ГЗ] Р(3(а,а)_________________________________________________________________
[ЕУ] РХ/у—|К(а,у) //результат подстановки в РЗхХ/у—|К(х,х) //_________________
[ЕУ] Р—.К(а,Ь)
[Г-,] ТК(а,Ь)___________________________________________________________________
[Ел], [Е-1]Р(Р(а,Ь)Ад(Ь,а)А-1д(а,а) _________________________________________
[ЕВ], [ЕВ] РО(а,Ь) [ЕВ], [ЕВ] Р<Жа) ТР(а,а) X
[Ел], [Е—1] Р(В(Ь,а)л—|(}(а,Ь)) //резуль- тат подстановки в РЗхЗу(К(х,у)А—>Р(х,у))# [Ел], [Г-.] Р(К(а.Ь)л-,О(Ь.а)) //результат подстановки в РЗхЗу(К(х,у)л-1р(х,у)) //
ЕК(Ь,а) [Ел], [Е-Ч Р(К(а,Ь)л-.К(Ь,а)) //ре- зультат подстановки в РЗхЗу(К(х,у)л-1К(у,х)// Тр(а,Ь) 1 X РК(а,Ь) X ТО(Ь,а) X
РК(а,Ь) ТК(Ь,а) X X
Правила для логики предикатов с равенством и
функциональными символами
Ни в одном из ранее рассмотренных примеров не встречались функцио-
нальные символы и равенство. Изменим правила, так чтобы можно было рабо-
тать с такими формулами
[ТХЛ Р,ТХ/хФ(х) Ь,ТУхФ(х), ТФ(1/х) [ТВ] Ь,ТЗхФ(х) Ь.ТФ(а*/х)
[РУ] Ь,РУхФ(х) Ь,РФ(а*/х) [ЕВ] Ь,РЗхФ(х) Ь,РЗхФ(х), РФ(1/х)
Здесь г обозначает любой замкнутый терм (терм, в котором не встречаются
переменные).
Докажем, что формула Ух8(х)^>Ух8(Г(х)) является общезначимой.
>24|=Ух8(х)-»Ух8(Г(х))
[Г—>] Ух8(х)-н>Ух8(Г(х))
[ГУ] ТУх 8(х),
РУх8(Дх)) _____________
[ТУ] ТУх 8(х), Р8(Да)) //
применяем правило [ТУ] к
формуле ТУх 8(х), заменяем
х на Г(а) //___________
Т8(Г(а)),ТУх 8(х),
Р^Да))
X
Для логики предикатов с равенством дополнительно вводятся следующие
правила:
[Т=]
ь
Ь,
[=К]
Ь, ТФД),
Р, ТФ(1), Т( =Г,ТФ(Р)
[=ы
Р, ТФ(Г), Т(=Г
Р. ТФ(Г). Т1=р. ТФ(1)
Докажем, что формула УхУу(х=у^(8(х)=8(у))) является общезначимой.
У25 |=УхУу(х=у^(8(х)=8(у)))
[ГУ], [ГУ] РУхУу(х=у—>(8(х)=8(у)))________________________________________
[Г->] Р а=Ь—»(8(а)=8(Ь))
[Ен] Та=Ь, Р(8(а)=8(Ь))
[=К] Та=Ь .Т8(а). Р8(Ь) //применяем к формулам Та=Ь ,Т8(а) правило [=К] // [=Ц Та=Ь, Р8(а), Т8(Ь) //применяем к формулам Та=Ь ,Т8(Ь) правило |=Е] //
Та=Ь ,Т8(а), Р8(Ь) ,Т8(Ь) X Та=Ь, Р8(а), Т8(Ь), Т8(а) X
Задания для самостоятельной работы
I. Табличными методами проверить общезначимость следующих формул:
1. Зх8(х) = —|Ух—18(х)
2. Ух—18(х) = —>3х8(х)
3. Ух8(х) = —1Ях—18(х)
4. Зх-18(х) = —.Ух8(х)
5. —>(Ух8(х)аУх—|8(х))
6. Зх8(х^—13х8(х)
7. Ух(8(х^-,8(х))
8. —|3х(8(х)л-18(х))
9. Зх8(х)уУх->8(х)
10. Х/х—|8(х) | Зх8(х)
11. Ух8(х)=Уу8(у)
12. ЗгР(г,а)=ЗуР(у,а)
13. Ух8(х)—>8(а)
14.8(а)-^3х8(х)
15.Ух8(хМЗх8(х)
16. Х/хР(х)уЗу—1Р(у)
17. Ух8(х)^Ух-т-»8(х)
18. Ух(8(х)—»Р(х))—>( Ух8(х)->УхР(х))
19. (Ух8(х )лЗх-1Р(х))->Зх(8(х )л—Дх))
20. [Ух(8(х)-^Р(х))аУх(Р(х)->-п8(х))]-»->Зх8(х)
21. [ Ух(8(х)->Р(х)л8(а)]-»Р(а)
22.[Ух(8(х)^Р(х))лУх(8(х)^--Р(х))]-^Ух-|8(х)
23. [8(а)АХ/х(8(х)—»Р(х))аУх(8(х)—>О(х))]-*Зх(Р(х)л(2(х))
24. [Ух(8(х)->Р(х))аУх(Р(х)-^—|М(х))лУх((2(х)—>К(х))лУх(К(х)—»М(х))лЗ
х8(х)аЯхР(х)лЕ1х(2(х)лЗхЕ(х)]—>Ух(8(х)-^—|(2(х))
25. Ух(О(х)лР(х))=(УуС(у)лУхР((х)))
26.3х(Р(х)у8(х))=(Зу8(уУ^ЗгР(2))
27. Зх(8(х)лР(х))-^Зх8(х)аЗхР(х)
28. (Ух8(х^УхР(х))-»Ух(8(х^Р(х))
29.Яx(8(x)лР(x)М-IVx(-18(x)V-1Р(x))
30. Ух(8(х^Р(х))—>-|Зх(-|8(х)л-1Р(х) )
31. Зу Ух(8(хДР(у))—>( Х/х-18(х)лЗу-1Р(у))
32. Ух(8(х)лЗ(у)~|Р(у))—>ЗуУх—|(8(х)-^Р(у))
33. УхУу(2(х,у)=УуУх(2(х,у)
34. ЗхЗуК(х,у)=ЗуЗхК(х,у)
35. Зх УуК(х,у)-^УуЗхК(х,у)
36. УхУуН(х,у)^УхК(х,х)
37. ЗхК(х,х)—>ЗхЗуЕ(х,у)
38. УхК(х,х)^УхЗуК(х,у)
39. Зх УуК(х,у)^ЗхК(х.х)
40. Х/х(8(х)1Р(х))=(Зх8(х)ч13хР(х))
41. (Ух8(х)|УхР(х))=Зх(8(х)|Р(х))
42.3у(8(у^Р(у)МЗх8(х)>кЗхР(х))
43. ЗхЗуК(х,у)|Х/х—|К(х,у)
44. ЗхК(х,х)|УхУу-.К(х,у)
45. Ух(8(х)лЗуР(у))—>Ух8(х)лЗуР(у)
46. Ух(8(х)уЗуР(у))—>(Ух8(х^ЗуР(у))
47. Vx(8(x)V(Р(x)А^(x)))-^Vx(8(x)VР(x))АVу(8(у)V^(у))
48. Ух((8(х)лР(х)М0ха8(х))) V (Х/х8(х)-> Зх«2(х)>кР(х)))
49. Ух(8(хМР(х)чкр(х)))=(Х/х(Р(х)^8(х))А\/х(Р(х)—>8(х)))
50. \/х(Р(х)->(8(х)ч1Уу0(у)))|(Зх(Р(х)А8(х))-^Х/х(-1Р(х)АЗуР(у))
51. Ух(Р(х)-»8(х)^ (\/хР(х)лЗу—|8(у))
52. [Х/х(8(х)->О(х.а)) л8(Ь)]-> (}(Ъ.а)
53.Vx(8(x)VР(x))V[Vx(8(x)|Р(x))^Зx(8(x)^^Р(x))]
54. [Зx(8(x)VVу(Р(у)-^К(x))]-»Vу(Р(у)^Зx(8(x)VК(x)))
55. 3х(8(х)а(Р(х)|О(х))) V [Ух(8(х)-^Р(х))аУх(8(х)->О(х))]
56. 3хУу(8(у)^(Р(у)^р(х))) | [Зу(8(у)лР(у)МХ/х-18(х) | Зх->р(х))]
57. 3хУуЗг((Р(2)Ар(х)) | (8(х)лР(х))) [Зх(8(х) | Р(х)МХ/гР(г) | ЗхР(х))]
58.3хУу(8(у)АР(х)МЗхР(х)-»Зх-18(х))
59.Х/у(Р(у)^Зх(Р(х)А8(х))^УхЗу(Р(у)А(Р(х)->-,8(х)))
6О. Зг(8(г)А\/у(Р(у^Зх(2(х))) | (Зх8(х)^(УхР(х)хкЗхр(х)))
61. Зу((Р(у)А^(у))-^X/x8(x))V(VxР(x )а\/хР(х)аЗх—|8(х))
62. \/х(8(х)АК(х,а))—»(К(Ь,а)А8(с))
63. [Зх(8(х)лР(х))аЗх(8(х)а-|Р(х))]-^ЗхЗу(8(у)аР(х)л-1(8(х)а—|Р(у)))
64. ЗхЗуХ/гЗ\уК(х,у,г,\у) Х/хЗ\уЗуЗхК(х,у,г,\у)
65. Ух32УуЗ\уК(х.у.2,\у)^Х/уХ/хЗ\уЗхК(х,у,7.\у)
66. Х/х К(х,х) Х/хХ/у(К(х,у)-^Зг(К(х,х)АК(х,у)))
67. Х/хХ/у(К(х,у)—>К(у,х))—>Х/хХ/уХ/2((К(х,у)АК(х,2))-^3\у(К(у,^)лК(\у,х)))
68. [Х/хХ/у(К(х,у)-*К(у,х))лХ/хХ/уХ/х((К(х,у)лК(у,г))—>К(х,г))]^Х/хХ/уХ/х((
К(х,у)АК(х,х))-^К(у,х))
69. [Х/хХ/у(К.(х,у)—>К(у,х))лХ/хХ/у\/2((К(х,у)АК(х,х))—»К(у,х))]^Х/хХ/у((К(х,
у)АК(у.2))->К(х.г))
70. Х/хХ/у(К(х,у)^-|К(у,х))-^Х/х-|К(х,х)
71. [Ух-1К(х,х)аУхУуУ2((К(х,у)АЩу,2))-^К(х,2))]->УхУу(К(х,у)^-|К(у,х))
72. Зх—,К(х,х)^Зх—1Уу(К(х,у)лК(у,х))
73. [УхУуУг((К(х,у)АК(у,2))^-1К(х,2))]^Ух-1К(х,х)
74. [УхЗуК(х,у)АУхУу(К(х,у)^К(у,х))лУхУуУ2((К(х,у)АК(у,2))-^К(х,2))]
-^УхК(х.х)
75. [УхК(х,х)лУхУуУ2((К(х,у)лК(х.2))^К(у.2))]^УхУу(К(х,у)^К(у,х))
76. [УхК(х,х)
лУхУуУ2((К(х,у)лК(Х,2))—>К.(у,2))]-»УхУуУ2((К(х,у)АК(у,2))-^К(х,2))
77. УхК(х,х)—>УхУу(К(х,у)—>К(х,х))
78. УхУу(К(х,у) | К(у,х))^Ух-|К(х,х)
79. УхУу(К(х,у) | К(ул))=УхУу(К(х,у)->-!К(у,х))
80. УхУу(К(х.у^К(у.х))—»УхК(х,х)
81. Ух(8(х)-^Р(х))^УхУу((8(х)лК(х,у)М(Р(х)АК(х,у)))
82. (Ух(8(х)—>Р(х))аЗх(8(х)аО(х)))- >Зх(Р(х)лР(х))
83. [УхУуУ2(К(Х,у,2)—>К(Х,2,у))лУхУуУ2(К(Х,у,2)->К(/,х,у))| >
УхУуУг(К(х,у,2)^К(2,у,х))
84. [УхУу(К(х,у)->О(у,х))АУхУу(К(у,х)^К(х,у))]-^УхУу(Р(у,х)->(^(х,у))
85. (УхУу(К(х,у)—><2(у,х))лУхК(х,х))^Ух(2(х,х)
86. [УхУу((О(х,у)^К(х,у))А(К(у,х)—>8(х)))лХ/х\/у(К.(у,х)—>К(х,у))]
—>Ух\/у(<2(х,у)—»8(х))
87. Vx(8(x)лVу(^(x,у)))VЗx(8(x)^Зу-I^(x,у))
88. [УхУу(К(х,у)ур(х,у))АУхУу(Е(х,у)^Н(у,х))1 ^х(-Ч>(х,Ъ)->К(Ь,х))
89. Х/хЗуХ/х(8(хМРу|Р(а,х)))-^(Х/хРх—>(Зхр(а,х)-^Ух8(х)))
90. Ух(Р(х)^(8(х^Р(х)))-^[(Ух(8(х)-^К(хЪ))АХ/х(0(х)-^Е(х,а)))—>Х/х(Р(х)
-^ЗуЕ(х,у))
II. Определить, какие из формул являются тавтологиями, а какие опровер-
жимыми (для каждого случая привести доказательство):
1. УхЗуК(х,у)^ЗхХ/уК(у,х)
2. Х/х8(х)=Зх8(х)
3. | Ух(8(х^Р(х^О(х))л(8(а)^Е(Ь))А(Р(Ь)^К(с))лОс)-^К.(а))|^>ЗуК.(а)
4. Ух($(х)—>Р(х))—>(3х$(х)—>Зх(8(х)аР(х)))
5. Х/х(8(х)->(Р(2)а(3(2))->((ЗхР(х) | Зх(2(х))-У\/х-18(х))
6. Х/хЗу(8(у)лР(а,х))^(Зх8(х)лХ/хЗуР(х.х))
7. ЗхХ/у(8(у)—>Р(х))-»(Зх8(х)->ЗхР(х))
8. Зх\/уЗх(Р(г)л(2(х,г))-ХХ/хР(х)лЗхЗх<2(х,г))
9. [Х/хУу(К(х,у)—>-|(Хх,у))лЗх(2(х,х)]^Е1х-|К(х,х)
1О. Х/хЗуК(х,у) л Х/хХ/у(К(х,у)^-пК(у,х))лХ/хХ/уХ/г((К(х,у)лК(у,2))^К(х,2))
11 .(Х/хХ/у(К(х,у)-^О(у,х))лХ/хЗуК(х,у))-^Х/уЗхР(у,х)
12^хУу(0(х,у)->(УгК(х,г,у) А 0(у,х)))^Х/хУу\/2(К(х.2,у)-^(К(у.2,х) V
-|р(у,х)))
13.УхУу(К(х,у)^(2(х,у))А(Е1хХ/у-1О(х,у)->-1Х/хК(х,х))
14.[УхУу(К(Х,у)^Р(Х,у))АУхК(Х,Х)]-»УхХ/у32(0(х,2)А(3(2,у))
15. Ух(Р(х)-^^8(х))-^Х/хХ/у((8(у)аК(у,х))->(8(х)аВ(у,х)))
III. Табличными методами проверить общезначимость следующих формул:
1. Х/х(х=х)
2. Х/хХ/у(х=у у=х)
3. Х/хХ/уУг((х=у а у=г)—>х=2)
4. Зх8(Т(х))^Зх8(х)
5. Х/хХ/у(К(х,у)^-1К(у,х))-»Х/хХ/у((К(х,у)лК(у,х))—>х=у)
6. УхХ/у(х=у->(Г(х)=Г(у))
7. (Ух(8(Ь)лК(х,с))лЬ=а)-Ях(8(а)лК(х,с))
Литература и полезные ссылки
1. Антонова О.А. Табличные методы в логике. СПб., 2003.
2. Бочаров В.А., Маркин В.И. Основы логики. М., 2008.
3. Символическая логика: Учебник / Под ред. Я.А. Слинина, Э.Ф. Караваева,
А.И. Мигунова. СПб., 2005.
4. кар://\у\ум/.игп8и.с1е/1о§1к/(гее8/
5. 1Л1е Епс1п88, ТаЫеаих Гог РпъКогбег Ьо§1с