МАТЕМАТИКА
МИДЛЕНДСКИЙ
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЙ
УЧЕБНИК
Перевод с английского
Г. Г. МЛСЛОВОЙ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «ПРОСВЕЩЕНИЕ»
Москва 1971

51
Μ 57
2—2—2
81-71~

ПРЕДИСЛОВИЕ
Научно-технический прогресс, проникновение математических
методов практически во все области деятельности человека,
большие возможности школьной математики для общего развития
учащихся предъявляют новые требования к содержанию курса ма-»
тематики и методам обучения математике в средней школе. В
настоящее время работы по совершенствованию школьного
математического образования ведутся во многих странах. В них активное
участие принимают ученые-математики, учителя, педагоги,
психологи. Создается большое число проектов. С одним из них мы и
хотим познакомить читателя.
В 1960 г. группой учителей-энтузиастов под руководством
известного педагога С. Хоупа был создан так называемый Мидленд-
ский экспериментальный проект (Midlands Mathematical Experiment,
сокращенно ММЕ). Его целью была разработка программы по
математике и создание на ее основе и с учетом современных
требований к методам преподавания математики учебника для учащихся
I—V классов грамматической школы Англии1 (возраст учащихся
11—16 лет), готовящихся к сдаче экзамена на получение общего
аттестата образования на обычном уровне (General Certificate of
Education, ordinary level, GCE (0)). Однако авторы проекта
считают, что по этим же, но несколько упрощенным материалам
учащиеся могут готовиться и к экзамену на получение свидетельства о
среднем образовании (Certificate of Secondary Education, CSE).
Данная книга является переводом учебных материалов мидленд-
ского проекта, составленных в основном С. Хоупом, изданных в
1963—1965 гг. и представляющих по замыслу авторов проекта
полный курс математики для указанной выше категории учащихся.
При составлении курса математики авторы исходили из того,
что в школе учащиеся должны научиться ориентироваться в слож-
В грамматической школе Англии обучается около 15—20% окончивших
начальную школу; целью ее является, главным образом, подготовка к поступлению
в высшие учебные заведения.
3

ных ситуациях, возникающих в современной жизни. Это может
быть достигнуто только при расширении его содержания, так как
круг ситуаций, который может быть рассмотрен на основе
традиционного курса, весьма узок и беден. В связи с этим в учебнике
широко представлены новые для школы разделы — векторная
алгебра, геометрические преобразования, арифметика вычетов,
системы счисления, алгебра матриц, булева алгебра, понятия
математической логики, понятие о принципах действия ЭВМ, элементы
теории вероятностей и математической статистики, элементы
математического анализа (включая и понятие дифференциального
уравнения). Все это позволяет значительно разнообразить
рассматриваемые примеры, широко привлекать материал из смежных
предметов школьного курса, а также материал, взятый из жизни
(прогнозирование и пр.).
Специальное внимание уделяется простейшим сведениям из
теории множеств, систематически используемым на протяжении
всего курса математики и позволяющим установить единый
подход к изучению многих вопросов программы.
Формирование важнейших математических понятий
осуществляется весьма последовательно, серьезное внимание уделяется
пропедевтике новых понятий. Их содержание раскрывается на
примерах конкретного, в большинстве случаев физического
содержания. Расширение и углубление понятий проводится на
протяжении всего курса; это достигается своеобразным концентризмом
программы, вследствие чего к изучению ряда тем возвращаются
даже в рамках одного учебного года.
Интересно, например, проследить систему работы над
формированием понятия вектора. Оно рассматривается в восьми главах.
Вначале дети знакомятся со странами света, упражняются в
решении простейших навигационных задач —прокладывают курс
кораблей и самолетов (по карте и по описанию маршрута), решают
задачи, в которых движение по ломаной заменяется движением по ее
замыкающей (подготовка к введению операции сложения векторов).
Позже вводится понятие направленного отрезка и вектора
(множество равных и одинаково направленных отрезков), рассматриваются
действия над векторами, включая и скалярное умножение
векторов. К этому времени учащиеся уже знакомы с представлением
вектора как упорядоченного набора чисел, поэтому вектор на
плоскости записывается и как упорядоченная пара чисел. В
заключение дается доказательство с использованием понятия вектора ряда
теорем планиметрии, известных учащимся из предыдущего
материала. Таким образом, учащиеся получают представление о
возможности нового подхода к построению курса геометрии. Изложение
стереометрии строится с использованием понятия вектора.
В учебнике значительно усилена роль упражнений. Авторы
решительно отказались от использования упражнений только для
закрепления уже введенных понятий. Большинство понятий вво-
4

дится при решении простых, доступных для понимания учащимися
задач, сюжеты которых относятся к самым различным областям
деятельности человека.
Большое внимание уделяется тому, чтобы учащиеся сами
«открывали» свойства фигур и связи между понятиями. С этой целью
в учебник включено большое число упражнений, выполняя
которые учащиеся подводятся к нужным заключениям. Весьма часто
в тексте учебника ученикам предлагается обосновать сделанный
ими вывод, объяснить полученный результат, вспомнить
аналогичную ранее рассматривавшуюся ситуацию, высказать
предположение о существовании определенных закономерностей, проверить
эти предположения.
Уровень строгости изложения материала в целом невысок.
Большое место отводится чисто интуитивным догадкам и заключениям
на основе несложных экспериментов. Однако авторы не стремятся
к строгости изложения, цепочки выводов обычно коротки и связаны
с непосредственным опытом учащихся. Лишь в старших классах πο-ν
степенно выявляются и уточняются посылки и допускается более'
длительное формальное развитие теории, основанное, впрочем, на
целом ряде принимаемых без доказательства и предварительно не
сформулированных допущений.
Специальное внимание уделено обучению учащихся решению
задач. Авторы считают, что эта работа не может эффективно
проводиться на основе рассмотрения с учащимися большого числа
однотипных задач, часто требующих громоздких вычислений. В
классе должны рассматриваться различные задачи; чрезвычайно
важно, чтобы различные способы решений задач сравнивались и
сопоставлялись, чтобы внимание учащихся привлекалось к новым
проблемам, возникающим в связи с решением некоторых задач.
Большое внимание авторы придают занимательности сюжетов,
которая нередко достигается постановкой задач с практическим
содержанием.
Вдумчивый ученик, изучивший предлагаемый в учебнике
материал, будет знать много, приобретет определенные умения и
навыки, научится рассуждать, анализировать факты.
Учебник не свободен от недостатков, иногда и весьма
существенных. Отсутствие последовательного изложения материала,
увлечение концентризмом безусловно приводит к нарушению
цельности рассматриваемых вопросов. Рассредоточенные по различным
упражнениям замечания, свойства, теоремы, нередко явно
несформулированные, вряд ли сорганизуют знания учащихся в
стройную систему. Лишь очень квалифицированный учитель сумеет
это сделать. Некоторые методические приемы изложения материала
не могут быть приняты нашей школой.
Несмотря на введение элементов теории множеств и
математической логики, язык учебника в целом остался традиционным, а в
ряде случаев допускает и неоднозначное толкование.
5

Несмотря на эти недостатки, нельзя не отметить интересную
работу, выполненную авторами по подбору интересных и весьма
разнообразных задач из жизни и связанных с применением «новой»
математики. Особенно это относится к разделам, не вошедшим в
нашу новую программу: элементы теории вероятностей и статистики,
алгебра вычетов по целому модулю, алгебра квадратных матриц
второго и третьего порядков и ее применение к геометрическим
преобразованиям, применение элементов логики, теории множеств,
диаграмм Венна к релейноконтактным схемам, коммерческим и
другим расчетам, элементы линейного программирования и пр.
Ознакомление со всем этим материалом, а также с общим
подходом к проблеме совершенствования математического
образования учащихся 11—16 лет и уровнем требований к их теоретической
и практической подготовке, несомненно, представит интерес для
значительного круга читателей.
При переводе учебника сохранено содержание почти всего
материала, исключен лишь текст, имеющий второстепенное значение
и предназначенный для дополнительного чтения, а также
упражнения, содержание которых далеко от нашего читателя, а в
некоторых случаях и непонятно. Устранены некоторые некорректности
и неточности. Однако всех их избежать не удалось, так как в этом
случае пришлось бы фактически переписывать учебник заново.
В переводе сохранена традиционная английская система мер, как
правило, в тех случаях, когда она существенно используется при
объяснении нового материала (например, при изучении
различных систем счисления) или характеризует уровень требований к
вычислительным навыкам учащихся. В конце книги приведены
соответствующие таблицы мер.
Маслова Г. Г.
Ш

Глава 1. НАВИГАЦИЯ
Историки немного могут сказать о том, как люди начали строить
корабли и плавать по морю. Но мы можем себе представить, как
человек перешел от плавания на бревне вниз по течению к
постройке плота, а затем и к постройке первой лодки с веслами.
Позднее начались поездки вдоль берегов морей с использованием
наземных ориентиров. Изобретение парусов и овладение техникой
их управления явились следующим шагом в развитии
мореходства. Но не всегда можно было полагаться на ветер, поэтому
даже при длительных путешествиях от весел не отказывались
(галеры).
Постепенно продолжительность и дальность морских поездок
увеличивались. Возникла проблема определения положения
корабля в открытом море и прокладывания курсов вдали от берегов.
Египтяне первыми составили карту побережья Средиземного
моря. Были осуществлены первые поездки от устья Нила в
Грецию и Рим. Курс кораблей стали прокладывать по Солнцу и по
звездам. Изобретение компаса во многом упростило ориентирование
в море.
Значительно позже, около 200 лет до нашего летосчисления,
появились понятия широты и долготы. Были созданы
инструменты, аналогичные современным секстанту и хронометру, с помощью
которых определялось положение корабля. Требовавшиеся для
этого вычисления были несложными и занимали очень мало
времени. Те же самые принципы используются в авианавигации и
в настоящее время. А так как скорости современных самолетов очень
велики, то на многих из них установлены электронные
вычислительные машины.
Рассмотрим модель одного из важных навигационных
инструментов — компаса. Сложим лист бумаги, на котором начерчена
окружность, так, чтобы линия сгиба проходила через центр О
окружности. Таким образом, полная окружность, содержащая 360°,
будет разделена на две части, каждая из которых содержит 180°.
Сложим лист так, чтобы получить четыре прямых угла, каждый
7

no 90°. Четыре полученных сгиба образуют четыре основных
направления на компасе, их мы обозначим начальными буквами
названий стран света: С, В, Ю, 3.
Упражнения
1. Сколько градусов содержится в угле, равном: а) одному
прямому углу; б) — прямого угла; в) полному углу;
з
г) — полного угла?
2. Для каждого приведенного ниже случая сделайте чертеж,
иллюстрирующий ваши действия:
а) Сначала вы смотрели на север, затем повернулись на
половину полного оборота вправо. В каком направлении вы смотрите
теперь?
б) Сначала вы смотрели на восток, затем повернулись на
полный оборот вправо. В каком направлении вы смотрите теперь?
в) Сначала вы смотрели на север, затем вы повернулись на
четверть полного оборота вправо. В каком направлении вы смотрите
теперь?
Сначала я смотрел на
ЮГ
запад
запад
юг
юг
север
восток
восток
восток
запад
север
Затем повернулся
налево
налево
направо
направо
налево
налево
направо
налево
направо
налево
налево
на
1 I
~2 полного оборота
1
"4" » »
1
Τ * *
ι
-j » »
3
Τ * *
з
"4" » »
3
4
3
Τ * *
1 Ι
τ * *
ι
Ύ » »
ι
Теперь я смотрю на
8

к
СЗ ч
j -■ у
юз
уСВ
С i
юв
ю
Рис. 1.
Рис. 2.
3. На какой угол вам нужно повернуться с тем, чтобы
независимо от направления поворота (влево или вправо) вы вновь
оказались бы в прежнем положении?
4. Заполните последний столбец таблицы (см. стр. 8) и
выполните чертеж для каждого задания.
Сложим наш «компас» так, чтобы получить дополнительно еще
четыре линии, образующие углы в 45° с прямыми С—Ю и 3—В.
Обозначим эти линии в направлении движения часовой стрелки от
линии С через СВ, ЮВ, ЮЗ й СЗ. Таким образом мы получим
восемь направлений, каждое из которых образует углы в 45° (— пол-
8
ного оборота) с соседними направлениями.
Положите транспортир на «компас» так, чтобы его базисная
линия совпала с прямой С—Ю (рис. 1). Для измерения углов с
началом отсчета от направления на север (точки С) мы будем
пользоваться внешней шкалой транспортира, а для измерения углов с
началом отсчета от направления Ю — его внутренней шкалой. Мы
видим, что угол А на рисунке 2 приближенно равен 120°. Для его
измерения мы должны использовать внутреннюю шкалу.
Изготовьте самостоятельно модель «компаса» на листе кальки.
Упражнения
1. Сколько градусов содержится в угле, равном: а) —; б) —;
8 8
13 7
в) ~; г) -г-; д) — части полного поворота?
2. Начертите углы, соответствующие: а) — полного поворота;
7 4
(л\ 3
о; — полного поворота; в) — полного поворота.
3. Начертите угол в 45°, 135°, 225°, 270°.

4. Какой угол образуют стрелки часов, если они стоят против
чисел 12 и 3? 2 и 6? 7 и 11? 12 и 1? 12 и 9? 1 и 8? 2 и 10?
5. Заполните последний столбец таблицы и сделайте чертеж для
каждого задания:
Сначала я смотрел на
север
юг
север
запад
восток
север
юг
восток
север
восток
юг
восток
юг
север
запад
Затем повернулся
налево
налево
направо
направо
налево
налево
направо
налево
налево
налево
направо
направо
налево
направо
налево
на
1
8
1
8
1
8
1
8
5
8
1
4
7
со |оо
со |оо
1
2
оо|сл
3
8
3
8
5
8
3
8
полного
»
»
»
»
»
»
»
»
»
»
»
»
»
»
оборота
»
»
»
»
»
»
»
»
»
»
»
*
»
»
Теперь я смотрю на
На какой угол (в градусах) вы должны были бы повернуться
из положения лицом к северу в положение, указанное в последнем
столбце таблицы, если считать, что вы всегда поворачиваетесь
вправо?
Теперь посмотрите на карту (рис. 3), на которой изображены
три острова. Масштаб карты: 1 см — 1 км1. На карте обозначены
1 Масштаб карты уменьшен в 2 раза.
10

г
—
J
7
/
■ ι
^
^
^
,/'
/
ν
V
^
γ·
-^>
р.
г
S
(
^
^
«\
^
^
...
/
ρ
*.
1
)
/
г
.л
г.
/
\
_
V
\
ι
/
)
Рис. 3 Рис. 4.
порты Л, β, С и т. д. Мы можем из порта С плыть прямо в порт Е,
можно поступить и так — проплыть 2 км на восток, а затем 2,5 км
на юг. Возможны и другие курсы. Например, для того чтобы
попасть в порт F из порта Л, мы могли бы проплыть 2 км на север,
1,5 км на восток, 9 км на юго-восток, около 3 км на север.
Запишите какие-нибудь два курса между каждыми двумя
портами. Попросите товарища вас проверить, а вы проверьте, как он
выполнил задание.
Рассмотрим теперь курс корабля, идущего из порта О (рис. 4)
в порт Л, а затем в порт В. Приняв, что расстояние на карте в 1 см1
соответствует расстоянию в 1 кму можно сказать, что курс задан
так: 3,2 км на северо-восток и 2,5 км на юг. Запишите курс ОСВ.
Запишите этими способами курсы от точки О до всех точек,
отмеченных вами на листе клетчатой бумаги.
Упражнения
В предлагаемых упражнениях удобно пользоваться клетчатой
бумагой.
1. Отметьте некоторую точку О. Проведите из точки О прямые,
образующие с направлением на север следующие углы2:
а) 20°; б) 30°; в) 55°; г) 90°; д) 100°; е) 120°;
ж) 180°; з) 135°; и) 45°; к) 270°; л) 315°; м) 330°.
1 Масштаб карты уменьшен в 2 раза.
Эти углы называотся азимутом. Азимут земного предмета — угол между
плоскостью меридчана этой точки и вертикальной плоскостью, проходящей
через данную точку; отсчитывается в направлении вращения часовой стрелки
от линии Ю — С.
Π

2. Отметьте некоторую точку О. Начертите прямые, образующие
углы:
а) 10° в направлении к востоку от направления на север;
б) 10° в направлении к северу от направления на восток;
в) 30° в направлении к югу от направления на восток;
г) 10° в направлении к северу от направления на запад;
д) 10° в направлении к западу от направления на юг;
е) 10° в направлении к югу от направления на запад;
ж) 30° в направлении к югу от направления на восток;
з) 10° в направлении на восток от северного направления.
На географической карте выберите 10 городов и запишите
расстояние и направление курсов между ними. Сверьте свои работы
с работами ваших товарищей.
Возьмите карту, на которой нанесены авиалинии. Дайте
инструкцию летчику для полета по 2—3 маршрутам.
Упражнения
Начертите в соответствующем масштабе следующие курсы и в
каждом случае измерьте до десятых долей см расстояния между
начальной и конечной точками:
1. 4 км на восток; 3 км на северо-восток.
В следующих упражнениях курсы заданы расстоянием и
азимутом:
2. 2 км, 0°; 4 км, 90°; 3 км} 120°.
3. 2 км, 90°; 3 км} 120°; 2 км, 180°.
4. 2 км, 180°; 3 км, 210°; 4 км, 90°.
5. 3 км, 30°; 3 км, 180°; 2 км, 90°.
6. 3 км, 30°; 3 км, 310°; 2 км, 190°.
7. 3 км, 90'; 2 км, 70°; 2 км, 270°.
8. 3 км, 280°; 2 км, 10°; 3 км, 340°.
Упражнения
1. Самолет вылетает из пункта L, летит 200 миль по азимуту
70° и приземляется в пункте 5. Затем летит 400 миль по азимуту
140° и приземляется в пункте 5. По какому азимуту ему следовало
бы лететь из пункта L непосредственно в пункт 5? Какое
расстояние пролетел бы самолет в этом случае?
2. Пароход идет из порта А на юго-восток 50 км и
останавливается в порту С. Затем он идет 100 км на запад, поворачивает на
юг и, пройдя 100 км, входит в порт В. Каково кратчайшее
расстояние между портами А и В?
3. Самолет летит 200 км по азимуту 90°, затем 200 км по азимуту
215°. По какому азимуту самолет должен будет возвратиться
непосредственно в пункт отправления? Какое расстояние он пролетит?
12

4. Самолет взлетает с аэродрома А и, пролетев 200 км на восток,
приземляется в аэропорту В. Затем он летит на юг на аэродром С,
меняет курс и направляется на северо-запад к пункту Л.
Найдите расстояние между аэродромами В и С и аэродромами С и А.
Какой угол составляют направления АВ и АС?
5. Самолет взлетает с аэродрома А и летит на восток к
аэродрому В. Затем он летит на юг в пункт С. Чтобы попасть опять в пункт
А у он должен пролететь 200 км на северо-запад. Найдите
расстояние между пунктами А и В и пунктами В и С.
6. Самолет взлетает с аэродрома Л, летит на восток в пункт В
и затем, пролетев 200 км на юг, приземляется в пункте С. Для
того чтобы возвратиться на аэродром Л, он должен лететь на северо-
запад. Каково расстояние между пунктами Л и В и пунктами С и
Л?
7. Самолет пролетает 200 км по азимуту 60° из пункта Л в
пункт В. Затем, летя по азимуту 110°, прилетает в пункт С и
возвращается в пункт Л по азимуту 260°. Каковы расстояния АС и
ВС?
8. Самолет летит из Лондона в Цюрих, затем в Вену и, наконец,
в Белград и возвращается в Лондон. Представьте себе, что вы
штурман, задайте пилоту курс для каждого участка полета.
9. Самолет летит из Бирмингама в Лондон, затем в Париж и
Рим и возвращается через те же пункты. Укажите пилоту
направление полета на каждом участке.
Глава 2. СИСТЕМЫ ЕДИНИЦ
Вы, конечно, помните таблицу мер, которую учили в начальной
школе. Вы ее найдете на обложке ученической тетради. Если на
вашей тетради ее нет, найдите такую таблицу и наклейте ее в
тетрадь.
1. Запишите: а) 10 предметов, которые вы можете купить на
рубль; б) 20 предметов, которые вы можете купить на 3 рубля.
2. Какое известное вам расстояние равно 1 м; 1 дм\ 100 м\ 1 км?
3. Сколько дней в неделе? Сколько дней в месяце? Сколько дней
в году?
4. Сколько вы весите? Скольким трехкилограммовым пакетам
муки это соответствует? Сравните свой вес с весом собаки,
коровы, кошки, слона.
5. Выполните следующие примеры на сложение1:
ш. п. ф. ш. ф. у. ст, ф.
а) .38 ,3 8 ,3 8 ,38 j 3 8
29 ^2 9 ~*~2 9 "^гЭ ^29
1 Расшифровка сокращений дана на стр. 411.
13

я. ф. гал. кв. нед. дйй
б) .3 2 , 3 2 , 3 5
^2_2 ~*~ 2 2 ~*~ ] 4
В упражнениях 5, а) использованы одни и те же цифры, а
ответы разные. Почему? В упражнениях 5,6) мы не можем составить
задачи, используя все цифры из упражнения 5,а). Почему? В чем
заключается правило сложения именованных чисел?
Теперь посмотрите на пример:
,3 8
+ 2 9
Верен ли ответ? Почему? Если я утверждаю, что ответ верен,
то какие величины (см. упражнение 5, а) складывались?
Упражнения
1. Выполните сложение:
1) 3
2
ш.
2) 3
4
4
8
п.
6
8
ф. у.
3) 2 9
3 8
ст. ф.
4) 4 8
5 9
ф. ш.
5) 6 7
3 9
л. ф.
6) 2 2
3 2
гал.
7) 3
2
нед.
8) 4
2
кв.
3
2
ДНИ
5
4
2. Проставьте наименование единиц измерений в следующих
упражнениях на сложение:
1),29 3) , 2 9 5), 22 7) , 3 4
"*~3 8 ^3 8 "^2 2 ~*~2 6
6 7 6 1 5 1 6 3
2) ,2 9 4) ,2 9 6) ,1 11 8) , 3 4
^3 8 ~^3 8 """l И 2__6
63 65 30 62
3. Выполните вычитание:
час. мин.
3) _ 4 8 5) _ 4 7 7) _ 5 30
1 45
1)
2)
2
1
ш.
3
2
7
8
п.
6
8
ф.
4
3
ф.
со со
У·
8
9
ш.
СО 00
ст. ф.
5) 4 7
2 9
гал. кв.
6) 3 1
1 3
я. ф.
4) _6 8 6) _ 3 1 8) _4 1
- - 12
И

4. В упражнениях на вычитание проставьте единицы измерений:
1) 3 1 3) _4 2 5) 3 1 7)
-~1 2 2 9 1 2
12 17 1 11
2) 4 2 4) _4 2 6) _2 3 8)
~2 9 2 9 1 6
15 19 4 11
5. Выполните умножение:
ф. у. ф. ш. кв. п.
1) 3 4 3) 3 4 5) 3 4 7) 2 1
5 5 5 4
5
2
2
3
1
5
7
6
0
1
ш. п. ст. ф. гал. кв. я. ф.
2) 3 4 4) 3 4 6) 2 1 8) 2 1
5 5 4 4
6. В упражнениях на умножение проставьте наименования
единиц измерения:
1)χ2 7 3)χ2 7 5)χ2 1 7) χ 2 9
9 12 9 8 9 0 15 3
2) χ 2 7 4) χ 2 7 6) χ 2 1 8) χ 1 6
ίθΤ 10" б 9~~Г Т~0
7. В следующих упражнениях проставьте единицы измерений:
1) ν 3 6
Х 5
17 6
2) 7 4 | 6
1 4
3) 7 4 | 6
1 2
4) 7 4 | 6
1 3
5) 3
7
6) 3
6
4
2
0
6
4
2
7,+!
3
8) ,1
3
2
1
1
2
3
2
7
8
3
1
1
0
7 2
При сложении именованных чисел мы объединяем более мелкие
меры в более крупные. Семь дней образуют неделю, 60 минут —
один час и т. д.
Обычно используется десятичная система счисления и
десятичная система мер: десять миллиметров — один сантиметр, десять
сантиметров — один дециметр, десять дециметров — один метр и
т. д.
15

Такое «укрупнение мер» очень удобно. Представьте себе, что
нужно было бы измерить расстояние между двумя пунктами в
сантиметрах или взвесить 10 т груза с помощью гири весом в 1 г\
В этой главе мы будем пользоваться различными основаниями
счисления.
Основания счисления
Если мы соотнесем образование групп с пальцами одной руки,
то получим основание счисления, равное пяти (преимущество этой
системы в том, что рука может явиться готовым наглядным
пособием для счета, — система счисления называется пятеричной).
Назовем такую группу из пяти элементов условно «а» (или
любым другим подходящим именем). Тогда число 23 при основании
счисления пять читается: «два а три».
При основании пять При основании десять
24 (2 - 5) + 4 14
43 (4 · 5) + 3 23
Составьте еще шесть аналогичных примеров, но помните, для
записи числа в пятеричной системе можно использовать только
цифры 0,1, 2, 3,4.
Составьте таблицы сложения и умножения чисел, записанных
в пятеричной системе счисления:
•
0
1
2
3
4
0
0
0
0
0
0
1
0
1
2
3
4
2
0
2
4
11
13
3
0
3
11
14
22
4
0
4
13
22
31
+
0
1
2
3
4
0
0
1
2
3
4
1
1
2
3
4
10
2
2
3
4
10
11
3
3
4
10
11
12
4
4
10
11
12
13
У пражнения
1. Рассмотрите с учителем:
1) характерные свойства таблиц, например их симметрию,
коммутативность операций;
2) использование таблиц при вычитании и делении;
3) правило сложения чисел, записанных в пятеричной системе.
Каково правило сложения при переходе через α-группу из пяти
единиц (по аналогии с правилом сложения при переходе через
десяток в десятичной системе счисления)?
Запишите трехзначное число в пятеричной системе счисления.
Чему равно это число в десятичной системе?
Как будет записано число в пятеричной системе счисления,
содержащее пять пятерок?
16

Рассмотрите умножение числа на число, равное основанию
счисления. Почему мы в этом, случае приписываем к умножаемому
числу О?
2. Запишите числа 125; 305; 435; 245; 1025; 1235' в десятичной
системе.
3. Вычислите (все числа записаны в пятеричной системе):
1) ,23
А
2) 4-23
+ 23
3) 4-21
^24
4) 12
4
5) 22
3
6) 43
34
7) 41
23
8) , 123
^ 23
9) , 432
~*~143
10) ,224
"^ 221
И) 142
24
12) 323
144
13) у 31
А 3
14) v 32
А
15) v 33
Х10
16) v 32
Х|3
17) v 134
а 4
18) v 134
Αϊ
19)" ν 134
Х 24
20) 411 3
21) 103 12
22) 134 I 4
23) 1124 |_4_
24) 1221 | 3
Восьмеричная арифметика
В качестве наглядного пособия при изучении восьмеричной
арифметики мы можем использовать руки без больших пальцев.
Применяя подход, описанный выше, составьте таблицы
сложения и умножения при основании восемь.
Упражнения
1. Запишите числа 138, 278, 1038, 1118, 1238 в десятичной
системе счисления.
2. Вычислите (все числа записаны в восьмеричной системе):
1) 4-23
+ 35
2) 4.34
^44
3) ,56
-г77
4) , 132
"г246
5) , 237
"^ 541
6)
7)
8)
9)
Ю)
,345
+ 157
36
7
44
27
143
25
324
117
11) 425
157
12) 452
167
13) v 26
А
14) v 46
Л 3
15) у 44
Х 4
16) у 37
Х 4
17) v 127
-А
18) v 135
Х_5
19) v 123
А 22
20) v 134
А 31
21) 16|_2_
22) 176|7
23) 170 14
24) 702 [3
Знак «5» указывает, что число записано в пятеричной системе счисления.
17

Двоичная арифметика
Запишите в двоичной системе несколько последовательных
чисел (начиная с нуля), обратите внимание на закономерность
чередования цифр в разрядах. Какую закономерность вы ожидаете для
других оснований?
Обратите внимание на простоту таблиц сложения и умножения.
Упражнения
1. Запишите числа от 1 до 16 в двоичной системе.
2. Выполните умножение чисел, записанных в двоичной
системе:
1) 1101 · 11; 3) 111 - И; 5) ПО 101 · 1010;
2) 1101 · ПО; 4) И 111 · 1010; 6) 101 ПО · 101.
3. Запишите ответы к упражнению 2 в десятичной системе.
Вычислительные машины
Обсудите использование двоичной системы счисления в
вычислительных машинах (включая представление букв алфавита в
двоичной системе).
Если возможно, изготовьте модель вычислительной машины с
электролампами (рис. 5). Лампы ввинчиваются в патроны от
карманного фонаря, выключатели кнопочного типа.
При нажатии кнопки Sx зажигается лампа Въ соответствующая
единице первого разряда.
При нажатии кнопки 52 зажигается лампа Б2, соответствующая
числу два в десятичной системе счисления, и т. д.
Сложение на вычислительной машине.
Сложить числа И и 101 (числа 3 и 5 в десятичной системе).
Пусть на машине уже установлено число 101 (лампы Вг и В3
горят).
1) Нажмите кнопку Sx; если лампа В± потухнет, нажмите
кнопку 52 и т. д.;
2) нажмите кнопку S2; если лампа В2 потухнет, нажмите
кнопку S3, и т. д.
Подумайте, как составить инструкцию для работы на машине.
Рис. 5.
18

Упражнения
1. а) Запишите число 100, данное в десятичной системе; в
двоичной; пятеричной; восьмеричной и двенадцатеричной системах;
б) запишите число 81, данное в десятичной системе, в системах
счисления указанных в задании а).
2. Какая система счисления используется в регистрационных
номерах автомобилей?
3. Запишите программу выполнения вычитания на пятилампо-
вой двоичной вычислительной машине. Каково максимальное
значение вычитаемого?
4. Сколько ламп потребуется для ламповой вычислительной
машины, в которой должны проводиться вычисления с числами
вплоть до 100 (число 100 в десятичной системе счисления)?
5. В электронные вычислительные машины числа вводятся с
помощью перфокарт, в которых отверстия пробиты рядами по
ширине карты. Наличие или отсутствие отверстия определяется числом
единиц (1 или 0) данного разряда в записи числа в двоичной
системе. Машина должна производить действия с четырехзначными
числами в десятичной системе счисления. Сколько отверстий
должно быть пробито для записи самого большого числа, которое мо
жет быть введено в машину?
6. Выясните все, что вы можете, относительно вычислительных
машин и возможности их применения.
Упражнения (рассматриваются только целые числа)
1. Сумма двух чисел равна 12. Покажите на графике все
возможные слагаемые, считая, что отрезок длиной 1 см соответствует
единице.
2. Сумма двух чисел не меньше 10. Покажите на графике все
возможные пары этих чисел.
3. Приняв за единицу отрезок длиной 1 мм, покажите на
графике все пары чисел, произведение которых равно 48. Какую
закономерность вы заметили на графике?
Теперь отметьте на графике все пары чисел, произведение
которых меньше 48. Где по-вашему находятся точки, соответствующие
парам чисел, произведение которых больше чем 48?
Десятичная арифметика
Рассмотрите десятичную систему счисления. Обратите
внимание на позиционное значение цифр. Составьте таблицы сложения
и умножения. Рассмотрите связанные с этим закономерности,
например:
N + Μ = И (или любому числу);
Ν + Μ = 36 (или любому числу).
19

Дайте графическую иллюстрацию этим зависимостям. Начертите
графики, соответствующие таблицам умножения, обратив
внимание на увеличение наклона графика при увеличении множителя.
Палочки Непера. Изготовьте набор палочек и рассмотрите их
применение.
Абак. Он может быть сделан очень просто на листе бумаги с
вычерченными на нем прямыми линиями для обозначения
последовательных разрядов (единицы, десятки, сотни и т. д.). Для счета
могут быть использованы спички, камешки или даже кусочки
бумаги.
Абак может быть использован при различных системах
счисления.
Простейшая модель двоичного сумматора. Модель представляет
собой доску с отверстиями, расположенными в узлах нанесенной
на ней квадратной сетки; каждое отверстие в горизонтальном ряду
соответствует определенному разряду в изображении числа. В
отверстия вставляются штифты, указывающие наличие в
изображении числа единицы соответствующего разряда. Если штифт
отсутствует, значит, в изображении этого числа на месте
соответствующего разряда стоит 0.
При сложении чисел соответствующие разряды записываются
друг под другом. Если в столбце оказывается два штифта (при
сложении двух чисел), они снимаются, а один из штифтов вставляется
в свободное отверстие ближайшего левого столбца. Умножение
может рассматриваться как повторное сложение, деление — как
повторное вычитание.
Двоичный «сумматор». Двоичная система счисления может быть
легко понята на модели — обычной руке. Каждому пальцу руки
можно приписать соответствующий разряд (а не считать, что
каждый палец представляет единицу). Пусть большой палец будет «один»,
указательный — «два», средний — «четыре», безымянный ,—
«восемь» и мизинец — «шестнадцать». Число единиц 0 или 1 того или
иного разряда в записи числа определится в зависимости от того,
поднят или опущен соответствующий палец.
Так, поднятые средний и большой пальцы при опущенных
остальных обозначают число 101 (т. е. 5 в десятичной системе).
Поднятый только один мизинец обозначает число 10 000 (16 в
десятичной системе).
Глава 3. ДРОБИ
1. В верхней части листа клетчатой бумаги начертите
прямоугольник длиной 6 см и шириной 0,5 см. Поставьте у левого его
края 0, а у правого 1.
Под этим прямоугольником начертите точно такой же
прямоугольник, так чтобы они имели общую горизонтальную сторону.
20

Продолжайте причерчивать равные прямоугольники, пока их не
станет 12. Эти прямоугольники образуют квадрат.
Теперь разделите прямоугольники, начиная со второго, так:
второй прямоугольник разделите пополам по его длине, третий
треугольник разделите на три части, следующий — на четыре
части и т. д.
Какова длина одной двенадцатой части прямоугольника?
2. Сколько четвертей содержится в одной половине?
Используйте ваш чертеж для упрощения следующих выражений:
1) 1 + 1;
2 4
2)1 + 1-
4 6
3)1+ ±.
12 6
4)1 + 1.
2 + 3'
5)1 + 1.
6 + 2 '
6)1 + 1.
3 + 4'
7)1 + 1
3 12
8)1+1
5 2
3. Составьте десять примеров на сложение, которые могут быть
решены с помощью вашего чертежа. Предложите эти примеры
соседу по парте.
4. Составьте десять примеров на вычитание, которые могут
быть решены с помощью вашего чертежа.
5. На вашем чертеже изображено 12 прямоугольников
размера 6 · — см каждый. Все прямоугольники, начиная со
второго, разделены вертикальной чертой на 2, 3, 4, ...
прямоугольника.
1) В каждом прямоугольнике, начиная со второго, отметьте
правую верхнюю вершину первого левого прямоугольника; отметьте и
правую верхнюю вершину первого (большого) многоугольника.
Вы, вероятно, заметили, что отмеченные вами точки лежат на
некоторой кривой. Начертите ее.
Может быть, вы «видите» кривые, на которых лежат правые
верхние вершины других прямоугольников? Начертите их.
2) Возле каждой из отмеченных вами точек первой кривой
напишите число, показывающее, какую часть длины большого
прямоугольника составляет длина первого малого левого
прямоугольника; длину большого прямоугольника примите равной 1.
а) Можете ли вы построить плавную кривую, проходящую через
точки с отметками -, -1 .>
2 4
б) На верхнем основании какого прямоугольника лежит точка
с отметкой -L?
8*
в) Какова отметка точки, лежащей на этой кривой и
принадлежащей правой верхней вершине шестого прямоугольника (считая
21

6. Выпишите числа, обозначающие правые верхние вершины
каждого прямоугольника по правилу, аналогичному правилу
задания 5 (2); каждую строку начните с числа нуль:
0
0
0
1
2
1 2.
3 3
1
1
1
Какие числа будут в 15-й строке? в 24-й строке? в 30-й строке?
7. Каковы правила сложения и вычитания дробей? На основе
1,1 1 1
этих правил выполните действия: —|—; .
8 6 8
Упражнения 1
1.
2.
3.
4.
2 3
-L + -U
4-3 5-3
3-2 4-2
2·α 3·α
5.
6.
7.
8.
4 · α 3 · α
2.α 3 · α
-*- + -*-.
5 · α 4 · α
3 · α 5 · α
9.
10.
11.
12.
7
5·α
5
3 · α
5
3. α
4
5·α
, 2
1 ο
3 · α
3
2 · α
2
5 · α
1
2· α
Примечание. Выражение (З · α) записывается
сокращенно: За (читается: три а). Аналогично выражение (2 · Ь)
сокращенно записывается: 2 Ь. Мы можем записать За + 26, но до тех
пор, пока мы не будем знать численное значение а и Ь> мы
не можем найти значение выражения За + 26.
Упражнения 2
Упростить
1. а а
2 ~~ 7'
2. а а
~2"~~"5 *
3. 4 __J*_
5а За'
4. £_ 1
5а 2а"
5. 2_1
46 6 *
6. 1__±
36 26'
7. !_±
26 46'
8· 1 1
4а 2а'
9.
10.
11.
12.
5 _2
6с Зс'
3 3
2с 4с'
2 2
Зс 9с'
1 1
2а 4а'
13.
14.
15.
16.
1 _ 1
аб сб
3 3
аб сб
\ + L
ab ас
1 + 1
ab cb
22

Упражнения 3
1.
2.
3.
α . а
а , Ь
а , b
4.
5.
6.
α 6
α __J_
5 3*
3 6
7. ±_£
3 б'
8· JL_±
3α 36'
9.1_A
3α 36'
Ответы к упражнениям 2
1.
2.
3.
4.
α
"б "
За
10'
2
15а'
_3__
10а'
5. _L
126'
6. i
6b'
7. 1
4b'
8. i
4а'
9. _L
6c*
ίο. л
Ac'
11. ±
9c '
12. 1
4a'
13. g — a
abc
14. 3i7 — 3a
abc
15. c + a
абс
16. 2c + 2a
aoc
Некоторые задачи (для обсуждения)
1. Мальчик поймал в пруду четыре рыбки. Одна из них была
золотая, остальные — плотва. Можете ли вы сказать что-нибудь
относительно рыб в пруду?
2. Четыре мальчика поймали в пруду 120 рыбок. Двадцать из
них оказались золотыми, а остальные — плотва. Можете ли вы
что-либо сказать о рыбах в пруду?
3. Все 15-летние девочки школы собрались в одной из комнат.
Их оказалось 120. Первыми ушли 40 девочек, среди них 8 носили
очки. Можете ли вы что-нибудь сказать о всех 120 девочках? Дайте
обоснование вашему ответу.
4. Биолог хотел узнать количество рыбы в пруду. Он поймал из
этого пруда 108 рыб, отметил их и выпустил обратно в пруд. Через
некоторое время он поймал 144 рыбы, 48 из них оказались уже
отмеченными им. Биолог выполнил небольшие вычисления и сказал,
сколько, по его мнению, рыб в пруду. Какие вычисления он
произвел? Как по-вашему, был ли он прав?
5. Садовник, слышавший о биологе (см. задачу 4), решил
определить число ужей в саду. Он поймал 12 ужей, отметил их и
выпустил. Примерно через неделю он поставил в саду капканы,
в которые попало 24 ужа, четыре из них оказались меченными,
^какому выводу пришел садовник? Был ли он прав? Не забудьте
0 ъяснить, почему вы так думаете. Можете ли вы предложить
23

ЬОм
\3дание
В
Рис. 6
лучший способ
определения числа ужей?
6. Как бы могли вы
определить число растений
на школьном участке?
Предположим, что
учитель биологии захотел
узнать, какое число
растений определенного вида
растет на участке. Какой
метод вы
рекомендовали бы?
7. Найдите в газетах примеры заключений, основанных на
принципах, использованных в задачах 1 — 6, и расскажите о них
учителю.
Высота здания. При одном из способов измерения высоты
здания чертежный треугольник помещают так, как это указано на
рисунке 6. Что вы можете сказать о расстоянии АВ и высоте
здания? Какова высота здания, если АВ = 40 м?
Выполните следующие упражнения (рис. 6):
1. Предположим, что высота треугольника равна 3 м,
вание 4 м. Какова высота здания, если АВ равно 40 м?
верьте, выполнив чертеж в масштабе.
2. Предположим, что основание треугольника равно
высота его 4 м. Каково расстояние АВ, если высота здания равна
48 м?
3. Найдите высоту здания, если основание треугольника равно
2 м, высота 6 м и АВ 25 м. Проверьте по чертежу, выполнив его в
масштабе.
4. Предположим, что треугольник установлен на шесте
высотой 2м, основание треугольника равно 25 см, а высота 15 см.
Найдите высоту здания, если шест находится от него на расстоянии
10 м. Что вы должны сделать с основанием треугольника, прежде
чем будете измерять расстояние АВ?
5. Треугольник из задачи 4 используется для измерения здания
высотой 10 м. Где должен быть установлен шест, с тем чтобы
прямая, проведенная вдоль гипотенузы, прошла через самую высокую
точку здания, если эта точка находится на фасаде здания, а шест
установлен перед фасадом?
6. Треугольник из задачи 4 заменен треугольником с высотой
12 см и основанием 30 см. Какова высота здания, если шест удален
от здания на 20 м?
7. Высота здания 25 м, треугольник с основанием 12 см,
помещенный на шест высотой 1,5 м, находится на расстоянии 25 м
от здания. Какова высота треугольника?
8. Вы можете измерить высоту здания с помощью любого
имеющегося у вас чертежного треугольника. Можно изготовить и кар-
ос но-
Про-
5 м, а
24

тонный треугольник. Измерьте высоту вашего дома и нескольких
деревьев.
9. Для измерения высоты башни был взят прямоугольный
треугольник с катетами 20 см и 10 см. Вначале треугольник был
установлен так, как это указано на рисунке 6. Затем треугольник
установили так, чтобы его сторона в 10 см стала горизонтальной и его
пришлось переместить на 30 м ближе к зданию. Какова высота
здания?
Глава 4. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ
Какие линии называются параллельными? Приведите как
можно больше примеров параллельных прямых. Их вы найдете в
классе, в тетради — всюду.
Начертите два множества параллельных прямых (рис. 7).
Какова форма каждой ячейки, т. е." фигуры ABCD?
Являются ли другие фигуры, образованные этими двумя
множествами параллельных прямых, также параллелограммами?
Назовем параллелограмм ABCD параллелограммом размера 1.
Сколько таких параллелограммов в фигуре PQRS? Можете ли вы
определить, сколько параллелограммов всех размеров содержится в
параллелограмме PQRS?
Теперь начертите на этом же чертеже третье множество
параллельных прямых (рис. 8), при этом образуется сетка
треугольников. Назовем треугольник ADC треугольником размера 1,
треугольник AEF треугольником размера 2, треугольник AGH
треугольником размера 3 и т. д. Сколько треугольников размера 1
содержится в треугольнике размера 2? размера 3? размера 4?
размера 5?
Видите ли вы закономерность в этих числах? Попробуйте найти
правило, по которому вы сможете найти число треугольников
размера 1 в треугольнике любого следующего размера.
Можете ли вы сказать, сколько треугольников каждого из
размеров содержится в треугольнике ASR? Это нелегкая задача, тем
Рис 7. Рис. 8.
25

более ее интересно решить. Попробуйте для этого сделать таблицу,
показывающую, сколько треугольников каждого размера «стоит»
/\ (или «висит» *\~у ) на отрезках DCy EF, GH и т. д.
Можете ли вы обобщить ваш результат для треугольников
больших, чем треугольник ASR. Здесь есть некоторая закономерность,
но, чтобы ее обнаружить, вы должны быть очень внимательны.
Может быть, вы сможете увидеть и другие фигуры, образующие
«сетку»? Напишите названия всех этих фигур и сделайте рисунок
каждой из них. Сколько треугольников размера 1 содержится ь
каждой из них? Попытайтесь найти способ определения числа
треугольников в каждой из фигур без фактического их счета.
Теперь закрасьте все равные между собой углы, используя для
равных углов (всего будет шесть неравных углов) свой цвет. Что
вы замечаете? Чему равна сумма всех углов с вершиной в точке G?
Можете ли вы сказать, чему равна сумма углов треугольника ADC?
Теперь скрепите три полоски из картона так, как это указано на
рисунке 9. Как вы можете проверить, параллельны ли прямые,
условно изображаемые двумя полосками?
Можете ли вы использовать для этого транспортир? Какие углы
вы бы измерили? Почему?
Есть ли какая-либо другая пара углов, которую вы могли бы
с этой целью измерить? Некоторые пары одного вида, другие —
другого. Попросите учителя сказать вам, как называются
различные пары углов. Запишите эти названия и выучите их. Они
пригодятся вам в дальнейшем.
Какие из пар прямых, приведенных на рисунке 10,
параллельны? Для каждого случая вычислите угол χ и проверьте ваш
результат, измерив угол χ (чертеж должен быть выполнен
аккуратно).
Рис. 9. Рис. 10.
26

«0°\
x°
5
8.
40
x°/\
/У
io°
\x*
\
νΖ°
зо\
ж
\l
11.
u°
ψ/,
γ/ζ
30%\so
yo\
1°
ьо\
\z°
6. \
/\r
/so\
9· / \
/?fl° y\
JfW 7°
/2. / N.
/70° 2θ\
^
—
^—%—
—^
26°\w
Τ
Рис. 11.
Рис. 12.
Для каждого из заданий 5—15 (рис. 11) нужно выполнить
чертеж, однако большая точность здесь не требуется: вы должны
вычислить величины углов х, у, ζ и т. д. Там, где вы можете, дайте
обоснование каждому этапу вычислений.
Покажите, что сумма углов треугольника равна 180°.
Глава 5. ОКРУЖНОСТЬ
Замечания для учителя. Для этой серии
упражнений требуется значительное число кругов радиуса от 3 до 4 см.
Окружность должна быть разделена на 36 равных частей.
Потребуется 12 кругов для упражнений, рассматриваемых в
Разделе Л, 10 кругов для упражнений, рассматриваемых в разде-
ле В, и 6 кругов для упражнений, рассматриваемых в разделе С.
27

Материал данной главы предусматривает работу,
развлекательную по форме, но в процессе ее выполнения закладывается
значительное число полезных идей, которые затем будут развиты;
к ним относятся: преобразования и их обозначения, отображение
множества на самое себя, циклические множества и арифметика
вычетов, вписанные углы, центральные углы.
А. Для выполнения упражнений приготовьте 12 кругов
радиуса 3 — 4 см. Окружность каждого круга должна быть разделена
на 12 частей и части обозначены 1, 2, 3, ..., 12, как на циферблате
часов.
1. Соедините точку 1 с точкой 2, 2 с 3, 3 с 4 и т. д. Точка η
соединяется с точкой η + 1 (помните: 1 час следует за 12 час).
Назовите эту закономерность: η ~> η + I1.
2. Теперь повторите задание 1, соединяя точки таким
образом: 1 с 3; 3 с 5 и т. д., т. е. η -> η + 2.
3. Повторите задание 1, соединяя точки в такой
последовательности: 1 с 4; 4 с 7 и т. д., т. е. η -> η + 3.
4. Повторите задание 1, соединяя точки в такой
последовательности: 1 с 5; 5 с 9 и т. д., т. е. η -> η + 4.
5. Повторите задание 1, соединяя последовательно точки 1 с 6;
6 с 11; 11 + 5 = 16, но точки 16 у нас нет! После точки 12 идет
точка 1, поэтому 11 с 4; 4 с 9 и т. д., т. е. η -+ η + 5.
6. Повторите задание 1, соединяя точки по следующему
правилу: η -> η + 6.
7. η -> η + 7.
8. η -> η + 8.
9. η -> η + 9.
10. η -> η + 10.
11. η-+η + 11.
Проверьте порядок, в котором вы соединяли точки в заданиях
7—И1.
12. η -> η + 12. Это особое преобразование. Что в нем
особенного?
13. Какой вывод вы делаете из рассмотрения полученных вами
фигур? Составьте в тетради таблицу, в которой по вертикали
указана каждая из закономерностей (η -> η + ?), а по горизонтали —
ответы на каждый из приведенных ниже вопросов (14—22).
14. В каком случае вам кажется, что обход совершается в
направлении против часовой стрелки? Почему?
15. Сколько полных оборотов совершается при построении
каждой из фигур? Помните, что построение начинается с отметки 1.
16. Если вы идете вдоль отрезков каждой из фигур, на какой
угол вы поворачиваетесь (в направлении по часовой стрелке) в
каждой вершине?
17. Сколько вершин имеет фигура?
Построение всегда начинается с отметки 1.
28

18. Умножьте полученные в заданиях 16 и 17 результаты на
360. Почему на 360?
19. Умножьте результат, полученный в задании 15, на 360
Почему на 360?
Заметили ли вы что-либо относительно результатов, получен
ных вами в заданиях 18 и 19? Что? Запишите, почему вы считаете
что так и должно быть.
20. а) Каждая из закономерностей имеет свой «базисный» шаг
Каждый из этих шагов определяет угол с центром в вершине кру
га. Измерьте этот угол (в направлении по часовой стрелке).
б) Соедините оба конца базисного шага с любой другой точкой
на остальной части окружности. Измерьте образовавшийся угол
(в направлении по часовой стрелке). Сравните ваши ответы с
ответами к упражнению 20, а). Что вы заметили?
21. а) Чему равна сумма внутренних углов каждого из
многоугольников (рассматриваются углы с вершинами, лежащими на
окружности)?
б) Разделите результат, полученный в задании 21, а) на 180°
и сравните частное с ответом к упражнению 17. Что вы заметили?
Для каких из закономерностей это не имеет места? Видите ли вы
почему?
22. Закрасьте полученные многоугольники. Выпишите углы,
которые, как вам кажется, равны. Попробуйте доказать их равенство.
23. Теперь возьмите еще круг и соедините точку 4 с каждой из
остальных точек. То же сделайте с точкой 7. Закрасьте полученный
многоугольник. Измерьте его углы. Сделайте как можно больше
выводов из рассмотрения этого многоугольника.
В. Возьмите теперь круги, окружность которых разделена на
36 частей и точки занумерованы: 1, 2, 3, ..., 36.
1. Соедините точки 1 -> 9; 9 -> 17; 17 ->- 25 и т. д. Общий вид
правила соединения точек: η ->- η + 8 (построение начинается с
точки с отметкой 1). Точка 33 должна бы. быть соединена с точкой 41,
но точки 41 нет: мы видим, 33 -> 5 и т. д. Окончательно
полученная фигура представляет собой график отображения циклического
множества (1, 2, 3, ..., 36) на самого себя. Почему это отображение
называется циклическим?
Выполните аналогичные построения, соединяя точки в
следующем порядке
и т. д
и т. д
и т. д
и т. д
и т. д.
и т. д.
и т. д.
и т. д.
и т. д.,
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
1-8;
1-11;
1-12;
1-7;
1 - 10;
1 - 13;
1 - 15;
1 - 18;
1 -> 19;
8-15
11 —^ 21
12 - 23
7-т> 13
10 - 19
13 -25
15-29
18 - 35
19- 1
т. е.
т. е.
т. е.
т. „е.
т. е.
т. е.
т. е.
т. е.
т. е.
η -> η + 7.
η -> η + 10.
η ->- η + 11.
η -> η + 6.
η -> η + 9.
η ->■ η + 12.
η -> η + 14.
η -> η + 17.
η -> η + 18.
29

11. Некоторые из этих преобразований являются конечными
отображениями циклического множества на самое себя. Другие
бесконечные. Можете ли вы сказать почему? Что еще вы можете
заключить из выполненных вами чертежей?
12. Сколько полных оборотов по часовой стрелке вы сделали в
каждом случае (задания 1—10)? Если бы вы обошли контур каждой
из фигур, на какой угол вам пришлось повернуться? .
13. В заданиях 1—10 определите число градусов дуги,
стягиваемой хордой.
14. Закрасьте полученные вами многоугольники и выпишите
равные, по вашему мнению углы. Почему они равны?
15. Чему равна сумма углов при вершинах многоугольников
в упражнениях 1—10?
С. 1. Разделите окружность на 36 равных частей и обозначьте
точки, как и раньше: 1, 2, 3, ..., 36. Соедините точки 1 -> 2; 2 -> 4;
3 -> 6; ...; η -> 2/г. Обратите внимание, что вы должны обойти
круг дважды. Для дальнейшего полезно составить таблицу
начальных и конечных точек:
а 1 2 3 4 ... 35 36
b 2 4 6 8 ... 34 36
2. Выполните аналогичное задание, соединяя точки по
правилу η -+ 2п + 1. Сравните результаты заданий 1 и 2.
3. Выполните задание, аналогичное заданию 1, соединяя точки
по правилу η -> Зп.
4. Выполните задание, аналогичное заданию 1, соединяя точки
по правилу η -> Ъп + 2. Сравните этот результат с полученным в
предыдущем задании.
5. Выполните задание, аналогичное заданию 1, соединяя точки
по правилу η -> 4п.
Полученные ломаные подчиняются некоторым правилам.
Можете ли вы их найти?
Проверьте ваше предположение, применив его к окружности,
разделенной на 72 части, для преобразований η -> 4я и η -> 5п.
Спросите учителя, как называются полученные вами фигуры.
Что вы можете сказать о преобразовании η ->- kn?
Глава 6. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ
В начальной школе вы украшали классные комнаты к Новому
году, подвешивая к потолку разноцветные бумажные звезды на
легких деревянных планках. Так как во всех помещениях воздух
находится в движении, то эти звезды обычно медленно вращаются.
Такие украшения называются подвижными. Эта же идея часто ис-
30

о
Рис. 13.
Рис. 14.
пользуется в рекламе: движение привлекает внимание, и мы
запоминаем рекламируемый товар.
Давайте рассмотрим одно из украшений, изготовленное из
круга, двух треугольников и планки. Мы можем разместить эти
фигуры на планке разными способами. Пусть при размещении,
указанном на рисунке 13, круг уравновешивается двумя
треугольниками.
хОДы знаем, что это будет тогда, когда вес круга равен сумме
весов треугольников. Мы можем сказать, что круг эквивалентен двум
треугольникам.
Обозначив вес круга через /С, а вес треугольника через Г,
можно написать:
К = τ + Τ, или К = 27\
Знак равенства здесь означает, что круг по весу равен двум
треугольникам. Поэтому возможно заменить в подвижных
украшениях круг двумя треугольниками. Равновесие при такой замене
не нарушится.
Пусть квадрат D уравновешивается кругом и треугольником
(рис. 14).
Символически это записывается так: D = К + Т.
Мы можем заменить круг двумя треугольниками (рис. 15),
тогда получим:
D = 2Т + Т,
D = 37\
Рис. 15.
Рис. 16.
31

Пусть квадрат D
уравновешивается двумя треугольниками Τ и
стержнем В (рис. 16):
D = 2Т + В.
Заменяя квадрат тремя
треугольниками, мы найдем (рис. 17а):
D = ЗТ.
Рис. 17а). Справа у нас два треугольника и
стержень, слева три треугольника.
Поэтому вес стержня должен быть равен весу треугольника.
Символически это записывается так:
D = 2Г + 5,
ЗГ = 2Ύ + В,
Г = В.
Упражнения
1. Скопируйте рисунок 176) и вместо вопросительных знаков
начертите фигуры, уравновешивающие фигуры, указанные на
чертеже. Может быть, вы сможете найти несколько решений?
В случае, если вы не сможете подобрать фигуры из уже данных,
придумайте свои.
Под каждым чертежом напишите условие равновесия.
2. Ниже приведено несколько утверждений, записанных в
символической форме:
D = 3T;D = 2Т + В + T;D + Т = В + К + T;D + В = 2К;
В + 2Т = D; К + В + К = D + K\D + D = Τ + Β + К + К;
D + B+T+K + D = D+D+D; K + B+T+T = D = B +
+ T;K + B + T = D + K + B;B+D+D + B + K + 2T =
= 2D + К + В + К + В; B + K + D = B + 2T + B.
Для каждого из них сделайте чертеж и укажите, истинно или
ложно высказанное утверждение. Помните, что для некоторых из
них вы можете дать несколько иллюстраций (см. рис. 17в).
Может быть, вы сумеете изменить неверные утверждения так,
чтобы они стали верными (добавить фигуру или несколько фигур
по одной или по обе стороны подвеса)?
3. После уравновешивания подвеса фигурами А, В> С и D
оказалось, что
А = В + 2С,
5 = C + D.
Сделайте чертежи, соответствующие этим уравнениям.
32

2
m
? ? ?
3.
О
Γλ
Orb
? ?
Рис. 175).
Δ Δ
Рис. 17β).
33

Можете ли вы уравновесить фигуру Л, помещая по другую
сторону подвеса только фигуры С и D? Дайте графическую
иллюстрацию вашим выводам.
Покажите графически истинность следующих высказываний:
ЗС + D = В + 2С;
А + В = ЗС + D + В;
А + С+ D = 2B + 2C;
2А + В + С + D = 35 + ЗС + D.
Под каждым чертежом напишите объяснение. Эта работа должна
быть выполнена таким образом:
3C + D = А.
Мы знаем, что В^= С + D и Л = β + 2С, поэтому, заменяя
в выражении А = В + 2С В через С + D, получим:
А = С + D + 2С\
А = 3C + D.
Пусть А у В и С — такие числа, что
А + β = С,
напишите, как вы нашли бы А по заданным В и С.
Пусть D — другое число, такое, что
D = В + 2С.
Как бы вы нашли D по заданным Л и β?
Теперь вес фигур мы будем задавать числами. Предположим, что
рычаг имеет такой малый вес, что его можно не учитывать (рис.
18, а). Каково значение χ (рис. 18, а)? Для равновесия рычага это
значение должно быть равным 4:
х = 4.
На рисунке 18, б) χ должен быть равен 2:
χ + 4 = 6, откуда χ = 2.
а) ^ б)
34

Упражнения
1. Найдите значения χ на рисунках 19. К каждому рисунку
дайте символическую запись, как это было сделано в последнем
разобранном выше упражнении.
2. Решите следующие уравнения:
12 = 4*;
by = 15;
7х = 21;
8х = 14 + х;
б* = 25 + х;
7х = 35 + 2л-;
4£> = 25 — 6;
2л; = 3;
2у = 4 — у.
3. Пусть х, у и ζ — такие три числа, что 4л: + Зу = 18г.
Найдите несколько троек чисел х, у и г, удовлетворяющих этому
уравнению.
4. 2* = 9 + у. Напишите формулу для вычисления χ по
заданному значению у. Выразите 4х через у. Выразите 8# через у.
Выразите Зх через у.
5. 8х = 4у. Запишите 10 равенств, удовлетворяющихся теми
же значениями χ и у, что и заданное уравнение.
<£>
©
©
6) l*J
Рис. 19.
О
35

6. Дано уравнение:
χ _ 5
Напишите еще 10 уравнений, корни которых равнялись бы кор
ням данного уравнения.
7. Дано уравнение 2х = 9 + у. Заполните таблицу:
X
У
5
1
5
1
9 1
Глава 7. СГИБАНИЕ ЛИСТА БУМАГИ. ПЯТИУГОЛЬНИК
1. Сложите пополам лист бумаги и разрежьте его по отрезку А В
(рис. 20). Прежде чем развернуть лист, скажите, какой формы
будет разрез. Разверните лист и проверьте, были ли вы правы (во время
работы всегда старайтесь представить себе результат до того, как
вы развернете лист бумаги).
Вновь сложите лист по той же линии сгиба и булавкой
отметьте на обеих сторонах бумаги точки РиР' (точка Ρ — на верхней
части листа и точка Р'— на нижней частр листа). Разверните лист
и проведите отрезок РР\ Что вы можете сказать относительно
отрезка РР'?
Вновь сложите лист и вырежьте, как это показано на
рисунке 20 (заштрихованная фигура), любую фигуру. Можете ли вы
представить себе, какая фигура получится после того, как вы
распрямите лист бумаги? Верно ли было ваше предположение?
Как часть фигуры на одной половине сложенного листа связана
с фигурой на другой половине? Знаете ли вы, как называются
такие фигуры? Запишите названия предметов, обладающих этим
свойством. Что вы можете сказать о вашей одежде, буквах алфавита
(но будьте внимательны)? Что вы можете сказать о буквах 5, Ν, Ζ?
Симметричны ли они относительно какэй-либо прямой? Видите
ли вы, как связаны между собой части этих букв? Спросите учителя,
какие виды симметрии существуют.
Теперь опять сложите бумагу и сделайте
надрез по линии ХВ. Какой формы фигуру вы
получите, когда развернете лист бумаги?
Получил ли кто-нибудь из вашего класса другую
фигуру? Как называется полученная вами фи-
Рис. 20. гура?
36

Разверните фигуру АВХВ' (В\—точка на второй половине
аиста). Что вы можете сказать о треугольниках АВХ и АВ'Х? Об
отрезках ХВ и ХВ'? АВ и АВ'? ВВ' и АХ? Чем является отрезок
ХА для угла ВХВ'? для угла ВАВ'? Запишите свойства
четырехугольника на самом четырехугольнике и наклейте его в тетрадь.
Как провести перпендикуляр к данной прямой через данную
точку, если эта точка: а) лежит на прямой; б) не лежит на прямой?
Как построить прямой угол?
Что мы имеем в виду, говоря о делении угла пополам? Как вы
можете разделить угол пополам? Начертите треугольник и
разделите пополам один из его углов, сгибая бумагу, другой угол
разделите с помощью зеркала и третий угол — с циркулем и линейкой.
2. Возьмите новый лист бумаги, сложите его пополам, затем
сложите еще раз так, чтобы он разделился на четыре части.
Обозначьте точку пересечения линий сгиба через О. Разрежьте сложенный
лист по прямой РХ так, чтобы отрезок ОХ был бы больше отрезка
ОР (рис. 21).
Какой формы будет отрезанная фигура, если вы ее развернете?
Почему? Разверните лист и проверьте себя. Что вы можете сказать
о сторонах полученного четырехугольника? Почему это так? Эта
фигура называется ромбом. Что вы можете сказать о его
диагоналях? о его углах? Перечислите все свойства ромба.
Для того чтобы получить квадрат, мы должны разрезать
сложенный вчетверо лист бумаги по отрезку АВ (рис. 21). Как
должен быть начерчен отрезок АВ? Почему тогда получится
квадрат?
Можете ли вы разрезать (один разрез!) сложенный вчетверо
лист бумаги так, чтобы получить прямоугольник? параллелограмм?
Объясните это. Какого вида симметрией обладают эти фигуры? Чем
являются оси симметрии в вырезанных вами четырехугольниках?
3. а) Лист бумаги сложен пополам. АВ — линия сгиба. Затем
лист бумаги складывается еще раз так, чтобы LAOB был острым
и разрезается по отрезку XPY (рис. 22).
Какую фигуру вы получите, когда развернете лист? Проверьте,
правы ли вы. Что вы можете сказать о сторонах, диагоналях,
углах этой фигуры?
б) Сложите лист так же, как в задании а). Пусть линия разреза
XPY будет перпендикулярна отрезку ОВ. Какая фигура
* ах О Ρ
Рис. 2L Рис. 22.
37

получится? Почему она отличается от
ранее вырезанной? Какой симметрией
обладает эта фигура? Что вы можете сказать о ее
углах?
в) Повторите упражнение а), но пусть
угол АОВ будет прямым. Какой теперь вы
получите многоугольник? Какими симмет-
риями он обладает?
г) Запишите свойства вырезанных вами четырехугольников.
Как влияет на форму фигуры изменение длин ее диагоналей?
Вырежьте и наклейте на лист бумаги фигуры с разными длинами
отрезка ХОР.
Как симметрия влияет на свойства углов четырехугольника?
4. Сложите вчетверо лист бумаги и затем перегните пополам
прямой угол у точки О — точки пересечения линий сгиба (рис. 23).
Во сколько раз сложен лист бумаги у точки О?
Сделайте разрез по отрезку XY. Сколько сторон будет иметь
многоугольник? Такой многоугольник называется
восьмиугольником. Какова сумма его внутренних углов? Как бы вы начертили
отрезок XY, чтобы получить правильный восьмиугольник?
Объясните почему.
Как бы вы провели отрезок XY, чтобы получить
восьмиугольную звезду? Объясните.
Как бы вы провели отрезок XY, чтобы получить
четырехугольник? Почему? j
Каковы свойства правильного восьмиугольника? Какой
симметрией он обладает?
5. Можете ли вы сказать, во сколько раз должен быть сложен
лист бумаги, для того чтобы из него можно было вырезать
десятиугольник? Каким должен быть угол, образованный линиями сгиба
у точки их пересечения — точки О? Предположим, что мы
разрезали по отрезку XY, сложенный соответствующим образом лист
бумаги и получили десятиугольник.
Какова сумма внутренних углов треугольника OXY?
Какова сумма углов всех десяти треугольников OXY?
Какова сумма всех углов с вершиной в точке О?
Какова сумма всех внутренних углов десятиугольника? Каков
угол между двумя смежными сторонами правильного
десятиугольника?
6. Какой угол образуют две смежные стороны правильного
/г-угольника? Чему равна сумма внутренних углов я-угольника?
7. Вырежьте из бумаги четыре равных и достаточно больших
остроугольных треугольника. Возьмите один из этих
треугольников и аккуратно разделите пополам все его углы (сгибанием
бумаги). Такие линии называются биссектрисами углов. Что вы
заметили относительно биссектрис? Почему расстояния от точки
пересечения линий сгиба до сторон угла равны?
,2Ю
за

Теперь попытайтесь обосновать, почему ва- а 8
ше предположение относительно точки пересе- Г
чения биссектрис углов треугольника справед- |
ливо. |
8. Возьмите другой треугольник
(обозначьте его вершины Л, В и С) и сложите его А[
так, чтобы линия сгиба проходила через сере- 0]
дину стороны АВ и образовала с ней прямой
угол. Повторите то же для сторон ВС и СА. Ρ ' „
Что вы заметили? Почему любая точка, лежа- рис 24
щая на первой линии сгиба, одинаково удалена
от вершин Л и 5? Докажите, что ваше
заключение относительно точки пересечения линий сгиба справедливо
для всех треугольников.
9. Возьмите следующий треугольник. Сгибанием листа
найдите середины сторон, но не складывайте лист. Теперь согните
треугольник так, чтобы линии сгиба проходили через середины
каждых двух сторон. Что вы заметили?
10. Четвертый треугольник согните по прямым,
перпендикулярным его сторонам и проходящим через противоположные
вершины. Что вы заметили относительно пересечения линий сгиба?
Попросите учителя назвать линии, которые вы проводили в
упражнениях 1—10, и их точки пересечения.
11. Аккуратно положите все четыре треугольника друг на
друга. Сделайте прокол через все треугольники в точке
пересечения прямых верхнего треугольника. Затем положите верхний
треугольник вниз и проделайте ту же операцию с треугольниками
и т. д. На одном из треугольников рассмотрите точки-проколы.
Совпадают ли они? Заметили ли вы что-нибудь интересное
относительно этих точек?
В каком треугольнике все точки-проколы совпали бы? Почему
вы так думаете?
12. Найдите при помощи сгибания треугольников все свойства:
а) равнобедренного треугольника; б) равностороннего
треугольника.
Пятиугольник. Возьмите полоску бумаги шириной примерно
2 см. Завяжите на ней узел и тщательно его расправьте. Узел
примет форму пятиугольника.
Теперь возьмите лист бумаги размером 7— на 10 см. Сложите
его пополам, как указано на рисунке 24, затем так, чтобы
вершина А попала в середину отрезка Ρ Q — точку М; сложите
фигуру так, чтобы полученная новая линия сгиба пошла по прямой ОМ.
Наконец, перегните фигуру по отрезку ОМ. Угол с вершиной в
точке О очень близок к 36°. Разрежьте полученную фигуру так,
чтобы получить десятиугольник, пятиугольник, пятиконечную звез-
ДУ· Как это сделать?
39

Глава 8. ЛОГАРИФМЫ ПРИ ОСНОВАНИИ 2
Мы знаем, что 2 · 2 · 2 = 8; 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32.
Сколько раз множитель 2 входит в произведение 8 · 32?
8 · 32 = (2 · 2 · 2) · (2 · 2 · 2 · 2 · 2),
таким образом, произведение 8 · 32 содержит восемь множителей 2.
Теперь вы можете указать способ перемножения чисел,
каждое из которых есть произведение одинаковых множителей 2.
Основание 2
Логарифм
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
п
12
13
14
15
Число
2
4
8
16
32
64
128
256
512
1024
2048
4096
8192
16 384
32 768
Логарифм
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
Число
65 536
131 072
262 144
524 288
1 048 576
2 097 152
4 194 304
8 388 608
16 777 216
33 554 432
67 108 864
134 217 728
268 435 456
536 870 912
1 073 741 824
Логарифм — это число, показывающее, сколько множителей
2 содержит данное число (данное число не должно содержать
множителей, отличных от 2). Проверьте приведенную выше
таблицу.
1. Чему равен логарифм 64? Запишите число 64 в виде
произведения чисел 2. Запишите число 16 как произведение чисел 2.
Сколько раз входит множитель 2 в произведение 64 и 16?
Найдите в таблице число, соответствующее этому логарифму.
Найдите, пользуясь таблицей логарифмов, произведения:
2. 8 · 256.
3. 64 · 64.
При умножении вы складываете логарифмы. В следующих
упражнениях используйте логарифмы для вычисления произведения
и частного:
4. 1024 · 16 384. 6. 4096 · 16 388.
5. 512 - 32 768. 7. 524 288 · 512.
40

8. 4096 · 262 144. 18. Ю24 · 16384
9. 256 · 256 · 256. 8388608
10. 4096 : 512. 19. 16384 · 524288
П. 67 108 864 : 524 288. 134217728
12. 268 435 456 : 262 144. 20. 4194304 · 524288
13. 131 072 : 8192. 16777216
14. 33 554 432 : 2 097 152. 21. 536870912 · 262144
15. 1 048 576 : 2048. 8388608
16. 4 194 304 : 16 384. 22. 4194304 · 131072
17. 134 217 728 : 32 768. ' 2097152 . 8192 '
Число 2 · 2 · 2 может быть записано как 23. Число 3, стоящее
справа сверху, указывает число сомножителей. Это и есть логарифм
числа 8 при основании 2.
Вычислить, пользуясь таблицей на странице 40:
23. 16 384 · 16 384. 27. 81922.
24. 512 · 512 · 512 · 512. 28. 2563.
25. 128 · 128 · 128 · 128. 29. 64^
26. 32δ = 32 · 32 · 32 · 32 · 32. 30. )Λθ24.
Вычисления удобно записывать следующим образом:
+ 32
32
\ogN
5 (складываем)
5
10
или так как мы складываем log 32 + log 32, то log 322 = 2 log 32.
Если любое число условно обозначить квадратом П. то
logn2 = 2 log D.
Предположим, что нам известно, что квадрат некоторого числа
равен 256:
D2 = 256.
Мы хотим найти это число. Оно будет равно ]/ 256.
Но 2 logD = logD8, тогда
log D = -ι logD2.
logD = j log D2 = 1 log 256 = j · 8 = 4.
Так как log 256 = 8, то
logD
Отсюда D = 16
41

Вычислить, пользуясь таблицей на странице 40:
31. 1/4096.
32. 1/262144.
33. 1/67108864.
34. 1/2048-8192.
35. 1/(32768 · 2097152).
36. 1/(512-4096-32768).
37. . /128 · 2048
К 8192 *
38. |/32768.
39. f262144.
40. |/5Ϊ2.
41. |/16777216.
42. ^(8388608- 1024).
43. |/33554432:8192.
44. 20482.
45. 85.
46. 1284.
47. 256°.
48. 4 194 304°.
49. 810
50. 414.
Еще о показателе степени
Запись З5 означает, что число 3 берется сомножителем 5 раз,
т. е. З5 = 3 · 3 · 3 · 3 · 3, а З3 = 3 · 3 · 3, тогда З5 З3 означает,
что число 3 берется сомножителем 8 раз: З8.
При умножении чисел мы складываем их логарифмы, если
основания логарифмов этих чисел одинаковы. А как разделить одно
число на другое, зная логарифмы этих чисел, например З5 : З3?
З5 : З3 =
3·3-3- 3· 3
3-3-3
= 3-3 =
Таким образом, для деления двух чисел, являющихся степенями
одного и того же основания, мы вычитаем их показатели степеней.
2δ .2ο = 2Δ+α_
Предположим, мы поставим — в каждую из рамок Δ и □, тогда
1_ 1
22 - 2Г = 21 = 2.
2 т2
Аналогично запишем Π · D =D =D1=D-D
Результат будет верен при любом числе N.
№ = y~N,
4?
=vu.

Запишите следующие йьфажёййй К£к Цепень некоторого числе
или как произведение степеней двух чисел:
51. 210 · 28.
52. 2е · 25.
53. Τ : 23.
54. 29 : 27.
55. 24 : 23.
56. 24 : 24.
57. 25 : 28.
58. 26 · 28.
59. 29 : 27.
60. 210 : 2.
61. 24 · 22.
62. 212 · 28 : 214.
63. З5 · З8.
64. 57 · 5s.
65. 58 : 5Э.
66. 428 : 4".
67. 122 : 2г.
68. (З8 · З8 · 39):(37-38
69. З6 · 45 · З5 ·
70. З2 · 43 · 42
71. КЗ4 · 3е.
72. К410 · 4е.
73. ι/34 · З8.
74. |/"415.
75. VW*.
76. КЗ2 · 42.
89. Какое наибольшее число может
ни СП
«И У Г
90. Запишите как
4.
• З5.
быть
можно больше чисел с ι
'•З5).
77. ]/22 · З2.
78. |/"(52 · З2).
79. V2i · З4.
80. /24 · 2е.
81. (24)4.
82. (З3)4.
83. (24)3.
84. (23)4.
85. (56)7.
86. >/Т3.
87. Vx\
88. Ух2 · у2.
записано тремя циф-
помощью трех цифр 2,
3, 4. Какое из этих чисел наибольшее?
Глава 9. ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ
Разделим какое-либо число, например 4000, на 10,
полученное частное опять разделим на 10 и т. д.
тысячи
4
сотни
0^
4
десятки
0
0
4
единицы
0
0
0
4
(10
|10
|10
|Ю
Почему цифра 4 «перемещается» слева направо каждый раз,
когда мы делим число на 10? Как бы вы пересчитали 4000 счетных
палочек, располагая их при счете так, чтобы ваш результат было
бы легко проверить?
Если бы мы продолжили деление на 10, то должны были бы
раздробить 4 единицы на удобные доли. Сначала мы имели 4 связки
по 1000, затем раздробили их в 40 связок по 100 и затем получили
4 связки по 100. Мы повторяли этот процесс раздробления связок
До тех пор, пока не получили 4 единицы. Каждый раз мы раздроб-
43

Ляли одну связку в 10 более мелких. Подойдя к 4 единицам, МЫ
раздробим каждую единицу в 10 десятых ее долей, всего таких
долей будет 40.
единицы
4
десятые
0
сотые
0
4
тысячные
|Ю
НО
Десятая доля раздробляется в 10 сотых, сотая — в 10
тысячных и т. д.
Рассмотрим еще пример: 1111 : 2:
τ
тысячи
1
1
с
сотни
1
0
1
1
д
десятки
1
1
0
1
1
е
единицы
1
1
0
д
десятые
с
сотые
12
5555
1
о
Рассматривая эту таблицу, вы увидите, что на каждом этапе
деления мы раздробляем число в десятые доли.
Мы можем записать ответ так:
сдед
1111 :2= 5555
Но обычно мы не пишем буквы с, д, е, д. Как тогда показать,
какая из цифр 5 относится к разряду единиц?
Если бы мы жили 200 или 300 лет назад, мы написали бы ответ
так: 555<°> 51 . Такая запись использовалась голландцем Стевином,
открывшим ряд принципов механики.
Выполнить деление, дав ответ в десятичных дробях:
1. 57 : 5. 5. 26 : 8. 9. 23 : 5.
2. 27 : 2. 6. 27 : 8. 10. 24 : 5.
3. 27 : 4. 7. 21 : 5. 11. 50 : 20
4. 25 : 4. 8. 22 : 5. 12. 51 : 20
17. Выразите в десятичных дробях:
1 1-13 5 15 4
2 ' 4 * 8 * 8 ' 8 * 10* 10' 5 '
7 е 1 f 7 , 23 . 241 . 3 . 3
20* 25' 25' 100' 100* 10* 100'
2_
5
7
100
13. 32 :
14. 44 :
15. 17:
16. 19 :
1 5Э
• 1872
9 юооо
25.
25.
16.
16..
20*
44

18. Выразите в обыкновенных дробях:
0,1; 0,4; 0,3; 0,25; 0,75; 0,07; 0,75; 0,64; 0,125; 0,375; 0,625;
0,875; 0,55; 0,05; 0,025.
19. а) — = 0,25. Выразите в десятичных дробях:
111 1
40 400 4000 40000
б) — = 0,0625. Выразите в десятичных дробях:
10. Ю0# Ш00# 10000. 1 1
16' 16 ' 16 ' 16 ' 160' 1600*
20. На сетке квадратов со стороной 1 см начертите
прямоугольник размером 2 X 5 см. Сколько квадратов со стороной — см
содержится в этом прямоугольнике? Какую часть площади
прямоугольника составляет площадь квадрата со стороной 1 см?
Закрасьте 0,2 площади прямоугольника, закрасьте 0,02; 0,25;
0,0002; 0,0655 части площади прямоугольника.
21. При измерении отрезка линейкой оказалось, что его длина
заключена между 2,1 и 2,2 см. Какова может быть его истинная
длина?
22. Штрихи на шкале измерительного инструмента находятся
на расстоянии десятых долей единицы измерения, шкала
рассматривается через увеличительное стекло.Как вы определите показания
инструмента, если указатель находится в каждом из положений
Л, 5, С (рис. 25)? Какое число соответствует положению
указателя, находящемуся между отметками шкалы 2,0 и 2,1 и на
одинаковом расстоянии от них? Какое число соответствует
положению указателя, находящемуся на равном расстоянии от отметок
2,1 и 2,2?
23. Библиотекарь должен зарегистрировать пять книг: Л, β,
С, D и Е. Эти книги должны стоять между книгами,
зарегистрированными под номерами 529,1 и 529,2. Какие номера он им даст?
Какие номера он даст еще 10 книгам, которые должны находиться
между книгами В и С?
24. Как записывается десятичной
дробью дробь —? Что обнаружи- ?,о ?,г 2,2
о
вается при выполнении деления?
Почему? Такие дроби называются
периодическими дробями. Обычно мы
первую повторяющуюся цифру
заключаем в скобки: 0,3333... = 0, (3). Рис. 25.
I
Ι ι
1
Ι ι '
А В
45

Найдите периодические дроби, которыми Выражаются дроби
Σ λ λ
3 ' 9 ' 6 '
25. Представьте дробь — в виде десятичной дроби. Это тоже
периодическая дробь, но здесь повторяются две цифры:
- = 0,09090909... = 0, (09).
0 „.123456
Запишите в виде периодической дроби —; — ; —; — ; — ; —.
Заметили ли вы какое-нибудь правило расположения цифр?
Другой способ обращения обыкновенной дроби — в
десятичную:
14
28
56 сложите
112
и т. д.
0,14285712 и т. д.
Можете ли вы его объяснить?
Первые две цифры периода десятичной дроби, в которую
обращается обыкновенная дробь —, будут 07 и остаток 9, таким обра-
1о
зом:
07
63
567 | сложите
5103
45927
413343
0,0769230 и т. д.
Можете ли вы объяснить, почему так получается и когда нужно
прекратить деление?
Этот способ не может быть использован для обращения всех
дробей в десятичные.
26. 1) Выразите в рублях:
53 руб. 27 коп.; 64 руб. 7 коп.;
65 руб. 91 коп.; 42 руб. 28 коп.
2) Выразите в рублях и копейках суммы, данные в рублях:
3,33; 4,72; 5,07; 6,01.
27. Сложите: 1) 2,9 руб.; 4,85 руб. и 2,71 руб.;
46

2) 6,85 руб.; 9,71 руб. и 4,85 руб.;
3) 4,72 руб.; 5,08 руб. и 6,2 руб.
28. 1) Найдите стоимость двадцати
предметов, цена каждого из которых
равна 0,17 руб.
2) Найдите стоимость 47 магнитов,
каждый из которых стоит 1,25 руб.
29. Измерьте длину 12 различных предметов в дециметрах с
точностью до сотых. Выразите ваши результаты в сантиметрах,
метрах, километрах, миллиметрах.
30. Килограмм равен приближенно 2,2 фунта. Начертите
график перевода веса до 11 фунтов в килограммы. Пользуясь этим
графиком, найдите вес в граммах грузов в — фунта; - фунта;
5 фунтов; 2 — фунта; 7,4 фунта; 9,2 фунта. С помощью графика
определите, какой вес в граммах вы должны купить, если вам надо
купить: 1) около — фунта масла; 2) около — фунта кофе; 3) около
2 4
1 фунта сахара; 4) около 5 фунтов картофеля.
31. Метр равен приближенно 39,37 дюйма. Начертите график
для перевода длин до 12 футов в метры. Найдите по графику свой
рост в сантиметрах; длину ступни в сантиметрах (измерьте в
дюймах и сантиметрах и проверьте точность построения вашего
графика).
32. Мальчик измерил линейкой длину своей книги и записал
5,835 см. Почему нельзя было так записать результат?
33. Найдите время в секундах, за которое маятник совершит
10 полных колебаний. Чему равно время одного полного
колебания?
Измерьте время в секундах, в течение которого маятник
совершит 20 полных колебаний. Чему равно время одного полного
колебания?
Есть ли разница в обоих результатах? Ожидали ли вы это?
Объясните, почему.
34. Измерьте с точностью до миллиметра толщину 100 листов
книги. Чему равна толщина одного листа?
35. Для измерения толщины хлопчатобумажной нити
намотайте ее на линейку (рис. 26) так, чтобы оказался закрытым участок
шкалы длиной 1 см (между витками не должно быть просвета).
Чему равна толщина нити? Удобен ли этот способ?
36. Используя способ, описанный в задаче 35, найдите
толщину бечевки, диаметр медной проволоки и т. д.
37. Способом, описанным в задаче 35, найдите толщину волоса
(его удобно намотать на тонкую вязальную спицу).
38. Узнайте, какой прибор называется микрометром, для чего
он применяется.
47

Умножение десятичных дробей
Внимательно рассмотрите следующие примеры:
0,1 -0,1 = 1.1 = — = 0,01;
10 10 100
0,1 -0,01 =1. — = — = 0,001;
10 100 1000
0,1 -0,001 =1.-1. = —ί— = 0,0001;
10 1000 10000
0,01 · 0,01 = = -1— = 0,00001;
100 100 100000
2,3. 1,5 = - · - = ?iii5 = 3,45.
10 10 100
1. 2,4 · 2,7 = — · —. Сколько цифр после запятой будет в ответе?
10 10 ΨΚ У
по 97^
- 2. 2,3 · 2,75 = — · —. Сколько цифр после запятой в ответе?
10 100 W
3. Найдите число цифр после запятой в произведении:
а) 1,6 · 2,3; г) 1,171
б) 1,16· 2,1; д) 0,21 ·
в) 1,17 - 2,31; е) 0,33 ·
4. Выполните умножение:
2 · 0,3; 0,2 · 0,3;
0,3 · 0,4; 0,5 · 0,6;
3,17 · 0,8; 3,17 - 0,08;
0,11 · 0,06; 1,1 · 1,2;
0,12 · 0,12.
5. Вычислите (в квадратных сантиметрах) площади
прямоугольников со сторонами 1,5 X 1,5 см; 1,3 X 2,1 см; 1,7 X 2,4 см.
Начертите эти прямоугольники на клетчатой бумаге (сторона
клетки — см) и проверьте ответ подсчетом числа квадратов.
6. Выполните умножение в упражнении 3.
7. Медный стержень длиной 100 см удлиняется на 0,002 см
при нагреве на ГС. Какова будет длина стержня, если его
температура повысится на 14,6° С?
8. 1 куб. см ртути весит 13,6 г. Каким будет вес 9,5 куб. см
ртути?
Деление десятичных дробей
2^3 = 2,3. 10 _ 23 _ 23· £^Ё 2,3. 10 = 23 = - - -
0,1 0,1-10 1 ' 0,2 ~~ 0,2- 10 ~~ 2 ~~ ''
2,3 ___ 2,3. 100 __230 ,j-
0,02 ~" 0,02- 100 ~~ 2 ~~
48
2,31;
1,1;
4;
0,02
0,17
1,1 ·
1,2·
• 3;
•0,3;
0,6;
0,9;
ж) 0,17
з) 0,14
и) 0,09
0,02 ·
2,2·
0,11 ·
1,2·
• 4,3;
• 0,4;
• 0,08.
0,3;
0,3;
■0,6;
0,12;

3349 __ j97e Выполните следующие упражнения:
17
а) 334,9. в) 33,49. д) 0,3349. 3,349.
1,7 ' 0,17' 0,17 ' ' 1700'
6)3349. г) 33,49. е) 3,349. з) 33,49
170' 0,017' 0,017' 170
2. Вычислите:
7,2:0,9; 1,89:0,9; 2,71 : 0,4;
1,44: 1,2; 3,6:0,6; 3,6:0,04;
3,6:9; 48: 1,6; 0,48:0,16;
0,48:0,016; 15,6: 1,2; 0,156 : 0,12;
1,96:0,7; 0,42:0,25; 14,2 : 2,5.
4,9 : 1,6;
3. Медный стержень удлиняется на 0,32 мм при нагреве на Г С.
На сколько поднялась температура, если удлинение стержня
оказалось равным 2,72 см} Ответ дайте с точностью до десятых градуса.
4. Переведите 38 дюймов в сантиметры, считая, что 1 дюйм
равен 2,54 см. Сколько квадратных сантиметров содержится в
квадратном ярде, если 1 ярд равен 0,915 м?
5. Какое давление больше: 1 фунт/кв. фут или 1 г/кв. см?
6. 0°С соответствует 32°F. Как вы переведете градусы Фаренгейта
в градусы Цельсия? Переведите 98,5°F в градусы Цельсия.
Переведите ЮГ F в градусы Цельсия.
Извлечение квадратного корня
Нам нужно найти квадратный корень из 6, т. е. такое число ху
которое будучи возведено в квадрат будет равно 6.
Предположим, что χ = 2:
2-2 = 4; 6:2 = 3.
Число х, таким образом, больше двух и меньше трех, χ
находится между 2 и 3, предположим, 2,5:
6 : 2,5 = 2,4.
Таким образом, значение χ заключено между 2,4 и 2,5;
предположим, χ = 2,45:
6 : 2,45 = 2,457,
т. е. значение χ находится между 2,45 и 2,457. Число 2,45 можно
считать уже хорошим приближением.
Пользуясь этим методом, найдите с точностью до двух
десятичных знаков 1/К); у5; ]/3; /2.
49

Постройте график χ —У N для значений N от 0 до 10. На оси
N за единицу масштаба примите отрезок в 1 см, а на оси χ —
отрезок в 2 см.
Пользуясь графиком, найдите ]/!$; ]/3,7; "[/7,6.
Глава 10. ПЕРВЫЕ СВЕДЕНИЯ О МНОЖЕСТВАХ
Вопросы для обсуждения в классе
1. Как мы называем существа с шестью ногами?
2. Как мы называем существа с четырьмя ногами?
3. Как мы называем существа, которые могут жить на воде
или суше?
4. Существа с восемью ногами (членистоногие) называются арт-
роподами. Укажите два элемента множества артроподов.
5. Назовите шесть элементов множества существ с шестью
ногами. 1#!у
6. Л — множество животных, которые могут жить на суше.
W — множество животных, которые могут жить в воде. Назовите
три элемента множества Wy не являющиеся элементами множества
Л. Назовите три элемента множества Л, которые являются также
элементами множества W.
7. Назовите три элемента множества млекопитающих Λί.
Назовите два элемента множества Λί, являющиеся элементами
множества W, но не множества Л (задание 6). Назовите элемент
множества Л, являющийся одновременно и элементом множеств W и Λί.
8. F — {все существа, могущие летать},
N = {насекомые},
В = {птицы},
Л = {двуногие существа}.
Назовите два элемента множества F, являющиеся и элементами
множества N или 5.
Назовите два элемента множества Fy являющиеся элементами
множества Л. Назовите элемент множества N, являющийся элементом
множества Л. Назовите элемент множества Fy не являющийся
элементом множества N или В.
9. Каково множество учащихся вашего класса,
принадлежащих к следующим множествам:
В = {брюнеты},
Л = {голубоглазые},
С = {блондины},
D = {кареглазые}.
Какие ученики принадлежат множествам Л и В?
50

Какие ученики принадлежат множествам i и С?
Какие ученики принадлежат множествам А и D?
10. Назовите элементы множества учащихся вашего класса, чьи
фамилии начинаются с буквы А? с буквы 5?... с буквы Я?
Какие из этих множеств пустые? Какое из этих множеств
содержит наибольшее число элементов?
Назовите элементы множества учащихся, чьи имена начинаются с
буквы А? ... с буквы Я? Какие из этих множеств пустые?
К каким двум множествам принадлежите вы? Какие еще
учащиеся принадлежат этим же множествам?
11. Дан список группы учащихся:
Петр Иванов,
Владимир Красин,
Андрей Карпов,
Григорий Абов,
Наташа Тенина,
Оля Дунаева,
Аня Арапова,
Семен Дуров,
Елена Корень,
Зина Дулова,
Валерий Сухов,
Федор Федин,
Софья Елина,
Дмитрий Крупов,
Михаил Уваров,
Олег Мишин,
Зоя Фенина,
Вера Минаева,
Дина Новикова,
Анатолий Усов,
Степан Терентьев.
Запишите следующие множества:
Д
девочки}, Μ — {мальчики},
Λψ = {
Бф =
Кф = i
ДФ = \
тф = \
Η φ =
£ф = \
Фф= {
Уф= {
Щ= <
фамилия
[ *
1 *
»
»
[ »
»
»
»
»
начинается с буквы Л},
»
»
»
»
»
»
»
»
»
Б},
К},
Д),
Т},
Н),
Е),
Ф),
У),
» М).
Выпишите фамилии учащихся, чьи имена начинаются с буквы А
(назовите это множество Аи) и т. д. для каждой буквы алфавита.
Какие учащиеся принадлежат множествам:
а) М и Ми;
б) Ди и Дф;
в) Ри и Мф;
г) Д и Ди;
Д) Д и Лф;
е) Д, ДИ) Дф;
ж) Д, Аи, Лф?
12. Выпишите все элементы множеств:
а) {д:| χ — учащиеся вашего класса, чьи имена начинаются с
буквы Д};
о) {х \х — месяц года, название которого начинается с буквы
И);
51

в) {х\х — европейское государство, название которого
начинается с буквы Ш};
г) {х\х —учитель математики вашей школы};
д) {х\х — учитель физики вашей школы};
е) {х\х —ученик вашего класса, играющий в какой-либо
школьной команде};
ж) {х | χ — число, меньшее 10 и делящееся на 3};
3) {(*ι У)| х> У — такие числа, что χ · у = 12};
и) {х | χ + 3 = 2х — 3};
к) {х\\ χ — 4 = 4 — х).
Диаграммы Венна
Может случиться, что множества А и В имеют общие элементы.
Например, обозначим (для учащихся вашего класса):
Μ — множество всех учащихся,
А — множество учащихся с голубыми глазами,
β — множество учащихся, родившихся в августе. Некоторые из
учащихся могут принадлежать одновременно множествам А и В—
те, у кого голубые глаза, и которые родились в августе (рис. 27).
Поэтому, если каждое множество изобразить условно кругом, как
это делал Венн (1886—1924), английский математик, то эти круги
пересекутся (рис. 30). Множество учащихся, принадлежащих
множествам Л и 5 одновременно, мы будем называть пересечением
множеств А и В и кратко записывать: А {] В. Все учащиеся с
голубыми глазами или те, которые родились в августе, составляют
объединение множеств А и В (рис. 29), символически это записывается
так: А [} В.
Упражнения
1. Скопируйте чертеж, данный на рисунке 30, и заштрихуйте
множества А [) В я A \J В карандашами разного цвета.
2. Треугольники А и В изображают два множества. Скопируйте
чертеж, данный на рисунке 31, и заштрихуйте множества А[\В\
A U В· A U В - А П В.
3. Скопируйте чертеж, данный на рисунке 32, и заштрихуйте
множества Ρ η Q; Ρ U Q; Ρ — Ρ Π Q\ Q — Ρ П Q; Ρ U Q - Ρ;
Ρ U Q - Q.
4. Скопируйте чертеж, данный на рисунке 33, и заштрихуйте
множества:
а) A U D; А {] (А [) D); 4) (А [} G) П (В [} G);
б) 1) (A U D) П (D U В); 5) А [) D [} Е;
2) A U £; 6) F U D U Ε;
3) В U G; 7) (A U D [) Е) (] (F\JD[)E).
52

Рис. 27.
Рис. 28.
АПв=0={}
АПВ = В
AUB =А
Рис. 29.
Рис. 30.
Рис. 31.
Рис. 32.
Рис. 33.
53

Рис. 34.
Рис. 35.
Рис. 36.
5. Скопируйте чертеж, данный на рисунке 34, и заштрихуйте:
а) Л U В; г) В f] С;
б) Л П β; Д) A U В U С;
в) Л П С; е) Л П β Π С.
6. Скопируйте чертеж, данный на рисунке 35, и заштрихуйте:
а) U — Л;
б) Л П β;
в) U - (Л П В);
г) Л U β;
д) 1/-(ЛиД);
е) (U-(A U ^)) U (А(]В).
7. Два круга А и В пересекаются внутри прямоугольника С
(рис. 36). Проставленные числа соответствуют числу элементов
соответствующих множеств. Каково число элементов в
множествах:
а) Л U В;
б) Л П В;
в) (Л U В) - (Л П В);
г) С - (Л U В)*
А) С-(А П В);
е) С -(Л U ^ U И П β)?
Обозначения:
ξ означает «является элементом» или «принадлежит»,
rf означает «не является элементом» или «не принадлежит»,
0 или { } — пустое множество,
U — универсальное множество, т. е. множество всех элементов,
о которых мы можем говорить.
Множество обозначается прописной буквой и кратко записывается:
S = { χ \х — удовлетворяет таким-то условиям},
5 — множество элементов, не принадлежащих множеству 5.
Упражнения
1. Дайте обычные собирательные имена коровам, овцам, рыбам,
пчелам, львам.
2. Режиссер телевидения планирует 30-минутную передачу.
Он хочет в эти 30 мин показать комедию, исполнителей эстрадных
54

песен и дать рекламные объявления. Составьте все возможные
программы, считая, что длительность каждой передачи должна быть
кратной 5 мин.
3. По результатам некоторого опроса была составлена следующая
таблица:
Отзывы
Мужчины
Женщины
Мальчики
Девочки
Нравится
очень
1
6
5
8
слегка
3
8
6
6
Не нравится
слегка
6
4
2
1
очень
9
1
3
2
Μ — мужчины, Ж — женщины, В — взрослые, Л — нравится,
Η — не нравится, О — очень.
Сколько человек (Р) относятся к следующим категориям:
а) ΡζΛί; ΡζΒ; Р£Л;
б) ΡζΟΛ ΡζΒ1 ;
в) Ρ 6 В\ Ρ ζ Л\ Ρ ζ Ο;
г) Ρ 6 Λί; __
д) из кого состоит множество {Р\Р ζ Λί}?
е) Ρ ζ Ж; Ρ ζ Ο; Ρ ζ Л?
4. Сколько человек принадлежит следующим множествам (см.
задание 3):
а) М U Ж;
в) Μ U Ж U В;
Д) Μ U Л;
ж) Ж U В;
и) Ж U В U Я;
л) MUMUi3U WUO;
н) Λί — θ;
π) Ж - β;
с) (Л1 U Ж) U 5 U Η U
Упражнения
S, = {Л, 5, С, D),
52 = {А, В, С},
53 = {А, В},
54 = {А, С, D, Е},
55 = {А, В, С, £},
56
S,
б) Λί U Ж U В;
г) Λ1 U Л;
е) Μ [) Л [) О;
з) Ж U В U Я;
к) Μ U 5;
м) ((жи^)и^)и((Жий)илио;
о) Ж - В;
ρ) (Λί υ Λί) и л и О;
0.
= {fi,D,£}, Sn= 0,
= {А, В, D, Е}, Sl2 = {A},
= {А, В, Е}, S13 = {£>},
= {А, В, D, С, Е}, Su = {Ε},
= {В}, Su = {В, Ε)
1 β означает «не В%,
55

Запишите множества:
1. St П Sy
2. S2 U St.
3. S2 П S8.
4. S2 U S8.
5. S5 U S8.
6. s5 и s7.
7. SeU Su.
8. S6 U S12.
9. S6 U S8.
10. S8 U S8.
11. Sl0 U S14.
12. S3 U SM.
13. S2 П S«.
14. S2 U S15.
15. Sl8 П S8.
16. S10U S12 U S14.
i7. sx ns5n s8.
18. S,f]S6nS15.
19. S2 П S5fl515.
20. (S8 П S.) U S8.
21. (S2 U Se) П S,.
22. S„ П S8.
23. (S15U Se) П S„.
24. (S4 П S5) U S8.
25. (S4 US5) П S9.
26. (S12 U S13U S14)n
η (s15u s8).
27. S2 U S3 U S4.
28. (S, П S8) U S8.
29. (S4 П S7) П S5.
30. (sx nse)n(s7ns3).
(Sx П S4) U (Si П S8).
31. а) Покажите, что
Si П (S4US8)
б) Покажите, что
s15u (s4ns6) = (s15 и s4) η (s15u s6)
32. На рисунке 37 найдите:
1) DH П GE\
2) GE Π Λβ;
3) Δ ABC П Δ FGtf;
4) Δ LBI П Δ ^Gtf;
5) Δ ZJ3/ U Δ FGH;
6) Δ Л5С П Δ GFH;
7) Δ Л5С U Δ GFH;
8) G£ П Δ Л5С.
33. Начертите треугольник. Обозначьте множество точек
сторон треугольника через Р. Множество внутренних точек
треугольника обозначьте через Л. Начертите прямую (множество точек этой
прямой обозначьте L), удовлетворяющую следующим условиям
(для каждого случая сделайте отдельный чертеж):
1) Ρ Π L — пустое
множество;
\ф 2) А П L — пустое
множество;
3) А П L —непустое
множество;
4) Ρ Π L — содержит
только одну точку;
А
В
Рис. 37.
Рис. 38.
56

Ъ) Ρ {] L — содержит две точки;
6) Ρ Π £ — содержит более двух точек.
34. Три множества Л, В и С изображены тремя
прямоугольниками, имеющими общие части (рис. 38). Дайте графическую
иллюстрацию и заштрихуйте соответствующую область для каждого
из случаев:
1) А
2) А
3) В
4) А
5) А
6) А
Л В;
П С;
П С;
U (В П О;
П θ П С;
-И η β);
Упражнения
7) θ - (Б П Q;
8) С - (В П С);
9) Β υ μ η Q;
10) С υ -(Λ П 5);
11) (Л η β) П (В Л Q;
12) (Л υ β) П (5 U Q;
13) (Л η β) υ (β η ο.
Запишите следующие множества:
1. Sx = {множество натуральных чисел, меньших 5}.
2. S2 = {множество четных чисел, заключенных между 20 и 30}.
3. S3 = {множество четных чисел, заключенных между 19 и 31}.
4. S4 = {множество пар натуральных чисел, сумма которых
равна 15}.
5. 55 = {множество пар натуральных чисел, сумма которых
заключена между 11 и 21}.
6. S6 = {множество пар чисел, каждое из которых меньше 10 и
разность между которыми равна 3}.
7. S7 = {множество простых чисел, меньших 60}.
8. S8 = {множество чисел, делящихся на 3 и меньших 36}.
9. S9 = {множество чисел, кратных 7 и меньших 50}.
10. Sl0= {множество делителей числа 6}.
11. Su= {множество делителей числа 12}.
12. S12= {множество простых делителей числа 12}.
13. S13= {множество простых делителей числа 18}.
14. S14= {множество простых делителей числа 36}.
15. S15= {множество простых делителей числа 24}.
16. Sla U Sl0. 19. S12 U S18.
17. Su П S10. 20. S13 П S16.
18. S12 Π S13. 21. S13 (J S15.
22. Объясните смысл упражнений 16—19 и 21.
23. Выпишите элементы следующих множеств:
А = {множество простых делителей числа 25},
В = {множество простых делителей числа 60},
С = {множество простых делителей числа 48},
D = {множество простых делителей числа 16},
Ε = {множество простых делителей числа 28},
F = {множество простых делителей числа 15},
G = {множество простых делителей числа 35).
57

Выпишите элементы следующих множеств (см. задание 23):
24. А [} В.
25. А [\ В.
26. A U F.
27. А П F.
28. A U θϋ^·
29. FUG.
30. F [\ G.
31. £ (J G.
32. £ П G.
Упражнения
33. β П G.
34. Β U G.
35. CU/7·
36. С П Ζ7·
37. D П F.
38. Du^·
39. D U £ U
40. D П £ П
4). DU(£n
/=".
Ζ7.
G).
42. Β U Λ
43. 5 Π Ζ7·
44. Β Π С П Ε.
45. (β U ΰ) П С
46. С Π Su.
47. С (J S14.
48. S12 П Su.
49. S13 Π С.
50. Sn[) С.
1. Сколько автобусов должно быть на линии длиной 2 км для
обеспечения 20-минутного интервала их движения, если средняя
скорость автобуса равна 10 км в час?
2. Сколько автобусов должно быть на линии длиной 4 км для
обеспечения 20-минутного интервала их движения, если средняя
скорость автобуса 10 км в час?
3. Сколько автобусов должно быть на линии длиной 6 км для
обеспечения 20-минутного интервала их движения, если средняя
скорость автобуса 10 км в час?
4. Сколько автобусов должно быть на линии длиной 8 км для
обеспечения 20-минутного интервала их движения, если средняя
скорость автобуса 10 км в час?
5. Сколько автобусов требуется на линии при средней скорости
их движения 10 км в час и интервале движения 15 мин, если длина
линии равна: а) 2 км; б) 4 км; в) 6 км; г) 8 км?
6. Сколько понадобится автобусов (см. условие их движения
в задаче 5), если средняя скорость автобуса равна: 1) 20 км в час;
2) 30 км в час?
7. Интервал движения автобусов в обоих направлениях на
линии длиной 4 км равен 15 мин, а на остальном участке длиной
6 км — 30 мин. Средняя скорость движения на участке в 4 км
равна 10 км в час, а на участке длиной в 6 км — 30 км в час. На
каждой из конечных станций автобус стоит 15мин. Сколько, по-вашему,
нужно автобусов для всей линии? Объясните, как вы пришли к
этому выводу.
Изображение множеств на числовой прямой
Рассмотрим значения ху удовлетворяющие неравенству 1 < χ <
< 3. Мы можем записать это множество так:
А = {х | 1 < χ < 3}
и изобразить его графически, как это сделано на рисунке 39.
58

Η 1 l·—
Ο ι 2
Рис. 39
"; Значениц χ
Изобразите графически множество В = {х | 0 < χ < 2} (см.
рис. 40). Покажите на этом же рисунке пересечение и объединение
множеств А и В. Запишите результат.
1. Если Л = {х| 1 < χ < 5} и 5 = {х| 3 < χ < 7}, то каковы
множества А {) В η A \J В? Запишите множества А fi В и Л U #>
если: а) а: — целое число; б) χ может быть, а может и не быть
целым числом.
Дайте графическую иллюстрацию множеств А, В, А [) В н
А {] В.
2. А = {х|2 < χ < 5}, 5 = {χ|1 < χ < 4 1} .
Запишите множества Л U ^ и Л П ^ и дайте графическую
иллюстрацию этим множествам.
3. А = {х\4 < χ < 6}, В = {л:16 < χ < 8}. Запишите
множества A U В и А П β.
4. Л = {л: I л: < 4}, 5 = {л: | л: > 3}. Запишите множества
A U ^ и Л П θ-
5. Л = {л:Iл: < 1}, Я = {х|х >-Ц. Запишите множество
Л П θ-
6# х — целое число, меньшее семи и большее трех. Каково
множество возможных значений х?
7. У меня несколько монет, таких, что общая сумма денег не
больше, чем 10 коп., и не меньше, чем 3 коп. Какие у меня монеты?
8. Хамелеон Л может вытянуть язык, чтобы поймать насекомое,
на расстояние 14 см. Другой хамелеон В сидит на той же ветке на
расстоянии 22 см от первого. Ведя отсчет от места нахождения
хамелеона Л, определите множество точек, находящихся в
пределах досягаемости хамелеона Л. Определите множество точек,
находящихся в пределах досягаемости хамелеона 5. Как вы могли бы
более наглядно описать множество Л Π -β?
9. Длина прямоугольника χ см, а его высота (2 — х) см. Каково
множество допустимых значений х> Каково множество значений
Г Г Τ -1
| 1 1 J
Рис. 4<λ
59

площадей прямоугольников, стороны которых удовлетворяют этим
условиям?
10. Длина прямоугольника (х — 1) см, а его высота (5 — х) см.
Каково множество допустимых значений х? Каково множество
возможных значений площадей таких прямоугольников?
11. Высота треугольника (10—2х) см, а его основание (2х—2) см.
Каково множество допустимых значений х? Каково множество
допустимых значений площадей этих треугольников?
12. Начертите диаграммы Венна для множеств:
1) A U В; 6) Л П С - (Л П В Л С);
2) Л П В; 7) (В П А) [) (В (] С);
3) Л U β U С; 8) В П (A (J О;
4) Л П β П С; 9) (В U А) (] (В [) С);
5) А П В - (А П В П О; 10) В [) (Л (] С).
13. Что вы заметили в заданиях 7—10 упражнения 12?
14. Л и S — некоторые множества. Почему множество А + В,
вообще говоря, не то же самое, что множество А [} В? Когда Л +
+В = Л U β?
15. Покажите, что
Л1^ = Л + 5 — ЛГ^;
A[}B\JC=A + B + C — А[\В — В[)С—С[\А +
+ А П В П С.
16. В классе 45 девочек, каждая из которых или блондинка, или
голубоглазая, или блондинка с голубыми глазами. 30 девочек —
блондинки, у 25 — голубые глаза. Сколько девочек блондинок с
голубыми глазами?
17. Из 100 учащихся, изучающих французский и немецкий
языки, 85 изучают французский, 45 — немецкий. Сколько человек
изучают оба языка?
18. Из 90 учащихся, выбравших в качестве дополнительных
предметов рисование и ручной труд, 60 занимаются только
рисованием, а 30 — и рисованием, и ручным трудом. Сколько учащихся
занимается только рисованием? только ручным трудом?
19. В классе 30 учащихся, изучающих дополнительно физику
и химию. Известно, что 10 человек изучают оба предмета, а 25 —
физику. Сколько человек изучает химию?
20. Из учащихся одного класса, выбравших для изучения
историю и немецкий язык, 30 человек изучают историю и 25 —
немецкий. Сколько в классе учеников, если:
а) уроки немецкого языка и истории в расписании поставлены
в одно и то же время;
6) уроки немецкого языка и истории не совпадают, а 15
учеников изучают оба эти предмета?
21. Все учащиеся школы изучают французский, немецкий или
оба языка. Если из общего числа в 200 учащихся 150 изучают
60

французский, а 130 — немецкий, то сколько человек изучает оба
языка?
22. В школьном буфете продаются только плитки нуги и
сдобные булки с изюмом. Однажды продавец заметил, что ученики,
приходя в буфет, покупают или одну плитку нуги, или булку,
или одну плитку и одну булку. Он продал 4 дюжины плиток нуги,
δ дюжин булочек и заметил, что только 15 мальчиков купили и то
и ДРУгое· Сколько человек он обслужил?
23. Пятьдесят учеников ответили на 7 вопросов. Число
положительных ответов дано в таблице:
Любите ли вы английский? 20
Любите ли вы математику? 25
Любите ли вы игры? 24
Любите ли вы английский и математику? 7
Любите ли вы английский, математику, игры? 2
Любите ли вы математику и игры? 6
Любите ли вы игры и английский? 8
Обозначьте через А множество учащихся, которые любят
английский язык, через Μ множество учащихся, которые любят
математику, через И множество учащихся, которые любят игры.
Найдите число элементов каждого из следующих множеств:
1) Л П Λί; 4) А П И П Λί; 7) A [J M;
2) Μ П И; 5) А П Μ — (А П И ΠΛί); 8) Μ [) И;
3) А П И; 6) А П И — (А П И П Λί); 9) И [) Μ.
Запишите словами информацию, содержащуюся в заданиях
5) —9). Начертите диаграммы Венна и для каждого множества 1) —9)
укажите соответствующее число элементов.
24. Двое опросили 100 человек, каждому было задано 6
вопросов. Результаты опроса — ответы «да» — сведены в таблицу:
Вопросы
Любите вы мороженое?
Любите вы шоколадное мороженое?
Любите вы двухцветное мороженое?
Любите вы и простое, и двухцветное мороженое?
Любите вы и простое, и шоколадное мороженое?
Любите вы и шоколадное, и двухцветное мороженое?
I
опрашивающий
80
75
85
65
62
63
II
опрашивающий
83
84
76
80
75 !
74
1) Сколько из опрошенных первым интервьюером не любит
мороженого вообще?
Обозначьте множество людей, которым нравится простое
мороженое, через Р.
Обозначьте множество людей, которым нравится шоколадное
мороженое, через С.
61

Обозначьте множество людей, которым нравится двухцветное
мороженое, через Т.
Найдите число элементов каждого из следующих множеств:
a)PUC; b)PU^; д)Р(]Т; ж)Р[]С[]Т',
б) CUT; г)РПС; е)С[]Т; з)Р[)С(]Т.
Начертите соответствующие диаграммы Венна.
2) Работа второго интервьюера была признана плохой.
Почему? Начертите диаграмму Венна и изобразите на ней всю
возможную информацию.
25. Для выяснения вкусов учащихся было опрошено 100 человек
и получена следующая информация (указано число ответов «Да»):
Нравится ли тебе только продукт Л? 10
Нравится ли тебе только продукт 5? 25
Нравится ли тебе только продукт С? 20
Нравятся ли тебе оба продукта, А и В? 40
Нравятся ли тебе оба продукта, В и С? 20
Нравятся ли тебе оба продукта, С и Л? 50
Нравятся ли тебе все три продукта, Л, β и С? 10
Сколько человек любит продукты А и В, но не С?
Сколько человек любит продукты В и С, но не А?
Сколько человек любит продукты С и Л, но не В?
Глава 11. СЛОЖЕНИЕ ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
Некоторая жидкость охлаждается в сосуде со скоростью 5° С
в минуту. Допустим, что в начале эксперимента ее температура
была 25° С. Заполните таблицу:
Время в мин 0 1 2 3 4 5
Температура в ° С 25 20.
Что случится через 5 мин? Если жидкость не замерзнет, то ее
температура будет продолжать падать с той же скоростью, что и в
начале опыта. Через 6 мин температура станет равной 5° ниже нуля.
Мы можем сказать, что температура равна —5° С (в холодную зиму
слышать, что температура ниже нуля, довольно обычно).
Заполните таблицу и определите, какой станет температура
жидкости через 8 мин, полагая, что скорость охлаждения не меняется:
Время в мин 6 7 8
Температура —5
°С
Начертите график зависимости температуры жидкости от
времени, считая, что отрезку в 2 см соответствует время в 2 мин и
изменение температуры на 5°. Горизонтальную ось, ось времени,
расположите несколько ниже середины листа*
62

♦ <§-
*6 -
4. L,-
<■?-
0
-2 -
-4 -
-6-
-δ-
*/5
+ '<?
+ 8
♦4
-6
-S
-tfl
-ю|
Рис.
Г **
г Η
♦ύ
♦2
^
-«[
-б\
-8[
42.
Рис. 41.
Обозначим температуру в градусах Цельсия через Τ и время
в минутах через /. При /, равном нулю (начало эксперимента) Т=25°.
С увеличением t температура Τ уменьшается, поэтому из 25°
следует вычитать некоторую величину. Через 1 мин температура Τ
станет равной 20°, через 2 мин 15°.
Поэтому для данного графика (рис. 41)
Τ = 25—5/.
Проверьте при t = 3:
Τ = 25—5 · 3 = 25 —15 = 10° (С).
Упражнения
1. Скорость, мяча, брошенного вертикально вверх, каждую
секунду уменьшается на 10 м. Предположим, что мяч брошен вверх
с начальной скоростью 12 м/сек. Через 1 сек его скорость будет
9 м/сек. Через 2 сек его скорость будет равна 6 м/сек. Через сколько
секунд его скорость будет равна нулю? Что будет потом?
2. По данным упражнения 1 начертите график изменения
скорости мяча в зависимости от времени. Ось времени выберите
горизонтальной (1 см—\ сек) и начертите ее несколько ниже середины
листа клетчатой бумаги. Масштаб по вертикальной оси: 1 см —
5 м/сек.
3. Прочтите скорость (по графику), соответствующую времени в
6 сек. В каком направлении движется мяч? Как направление
движения отражается на графике? Какова будет скорость мяча через
8 сек? Как по-вашему, где в этот момент будет находиться мяч?
Прибор для сложения чисел. На листе
клетчатой бумаги начертите три вертикальные шкалы, равноудаленные
друг от друга (рис. 42). На шкалах А и С длина единичного отрезка
63

~"~ -5 -U -3 ~2 -f О +1 + 2 + 3 * <+ *■ 5
Рис. 43.
пусть будет равна 1 см, на шкале В отрезок в 1 см пусть будет
соответствовать 2 едивицам.
Мы можем использовать этот чертеж как счетный прибор для
нахождения суммы В по двум слагаемым А и С (В = А + С).
Предположим, что А равно 6, а С равно 2. Приложите край
линейки к точке 6 на шкале А и точке 2 на шкале С. Сумму этих
чисел, число 8, вы прочтете на шкале В.
Заполните пропуски в таблице, используя для вычислений
чертеж на рисунке 42.
4.
А
В
С
А
В
С
244 657505 5. А
В
424 434650 С
2 6 6 6 6 7. А ■
446 10 3275 В
8 5 7 С
5
8
-2
4 -
7 6
4 3
5—2 -
-3 —4
5
8
-5
4-
4 4 8
10 2 6 12 12
2 5
4 —3 6—4
_6 —5 2 —4
Какие операции выполняются на этом приборе?
8. А 4—4—4 4—4—6 —5 —7 —6 —5
5—2—2 2 2 —8—3—2 —6 —4
9. Л —5 —2 0—6
5 2—2—8 —4 —10 —6 0 0
С —3 —3 —6 —4
Каковы законы сложения и вычитания отрицательных чисел?
10. Вычислите:
(-8) + (-6); 6 - (-8); 6 - 8; 7 - (-2); (-7) - (-2);
(_8) + (_1) _ 4 - (-5);
(_7) _ (_8) _ 1; (_9) - Ю - (-11);
(_7) — (—8) —2 + 3; 5 — 9; —9 + 5; — 8 — 10;
(—9) + 5—10; -8 — 5 + 12; —7 + 8 — 9; —9 + 9 — 9;
—9 — 5 — 4; 9 — 5 — 7 + 8; —1 — 1 — 1 — 1;
—2—1+2 — 1; N — Ν; —Ν — N; — N — (-N);
-N(-N) + N; -х + у; у - х + (-*);
—у —у — у; —у + (—у) + у;
- (-у) - (-у); - (-у) - (-У) - (-у) - (у)·
г -ι
' ' ' ' ' ' ' ' ' ι ■
-5 -и -з -2 -/ 0 *■/ +2 +3 +й *3
Рис. 44.
64

» ' ■ ' ' ' ι » ι ι ι rm
-5 -4 -J -2 -1 0 + J -2 +3 + <* О
Рис. 45.
11. Решите следующие уравнения:
х + 3 - 0; 3 + χ = 5; 3 — χ = — 2;
х-3 = 0; 5·3 + χ=1; Зх = — 6;
3 - * = 2; * + 4 = 6; χ — 7 — (—х) = 5.
Проведем числовую прямую (рис. 43). Для каждого числа
справа от нуля (положительного числа) имеется соответствующее число
слева от нуля (отрицательное число).
На положительной части прямой при движении вдоль нее
слева направо числа увеличиваются. Верно ли это для отрицательной
части прямой? Если это верно, то —1 больше, чем —3, и —4
больше, чем —8.
Рассмотрим предложение:
{х | 0 < χ < 4, х — целое}.
Мы можем изобразить его графически следующим образом (рис. 44):
χ должен заключаться между 0 и 4, но он не может быть равным
0 или 4, поэтому χ может быть равен 1, 2 или 3.
Пусть {х\ — 2 < л: < 2, х — целое}.
В этом случае χ может быть равным —2 и +2 (рис. 45), поэтому χ
может быть —2, —1, 0, 1, 2.
Так как число χ + 2 заключено между —2 и +2 (рис. 46), то
число χ должно находиться между числами —4 и 0, т. е. число*
принадлежит множеству {—4, —3, —2, —1,0}.
12. Запишите множество целых значений дс, удовлетворяющих
следующим условиям:
0 < χ < 4; —2 < 2х < 10; 0 < 1 — 2х < 9;
—1 < jc <2; — 6 < 2х < 6; 0 < 1 + 2х < 9;
—3 < χ < 3; 3 < 2х + 1 < 15; — 5 < 3 — 2х < 5;
0 < χ — 1 < 3; — 3 < 2х + 1 < 10; 0 < χ + 1 < 3;
— 5 < χ + 1 < 0; — 5< 2х — 1 < 9; —10< 2х < 4;
0 < 2х < 10; — 15 < 2х + 3 < 15; —9 < 2х — 3 < 7.
13. Для каждого из заданий 12 дайте иллюстрацию на числовой
прямой, на которой отрезок в 1 см соответствует единице.
I I I I l·
-5 -4 -J -2 -I 0 +1 +2 +3 +<* +5
Рис. 46.
65

14. Для каждой из данных последовательностей укажите одно
из возможных ее продолжений, записав 5 следующих членов:
1, ...
-3, . . .
-2, . . .
ю,
9,
-14,
п,
-п,
- 1,
1,
1,
7,
5,
-ю,
6,
-6,
-4,
-1,
-1,
4,
1,
-6,
1,
-1,
-7,
-з,
0,
-1,
-1, -2,
Выразите через η п-й член последовательности.
15. На взаимно перпендикулярных осях выберите один и тот
же масштаб отрезок в 0,5 см соответствует единице и изобразите
множества точек, отмечая их одним цветом:
Л = {(-7, -7), (-6,-6), (-3, -3), (0, 0), (1, 1), (2,2), (3,3)},
В = {(-7,5), (-6, -4), (-3, -1), (0,2), (1,3), (2,4), (3,5)},
С = {(-7, -9), (-6, -8), (-3, -5), (0, -2), (1, -1), (2,0), (3,1)}.
Что вы заметили относительно этих множеств точек?
Попытайтесь найти этому объяснение. Попробуйте найти правило, по
которому вы можете найти другие точки каждого из множеств.
D = {(x, y)|y + * = 0},
Ε = {(*, У)\У + х = 2}.
Чем отличаются множества D и Ε от множеств Л, В и С?
Глава 12. ВОСТОЧНОЕ И СЕВЕРНОЕ НАПРАВЛЕНИЯ
300
Пример. Самолет летит 400 км на север от пункта С, затем 300 км
на запад до пункта В (рис. 47). Найдите расстояние между
пунктами С и θ и направление СВ.
По выполненному в масштабе чертежу находим, что СВ = 500 км,
a Z ВС А приближенно равен 37°. Таким образом, расстояние
между пунктами В и С равно 500 кму а курс будет
С 37°3 или 323°.
Мы могли бы кратко записать условие
задачи, если бы обозначили курс СВ как (400 С,
300 В), где запись (400 С, 300 В) должна читаться:
400 км на север и 300 км на восток. Теперь
попробуйте решить следующие задачи:
Задачи 1—10 должны решаться
графически — выполнением чертежей в масштабе на
клетчатой бумаге.
400
66

1. Найдите курс, соответствующий 3 км на восток, 4 км на север.
2. Найдите курс, соответствующий 5 км на восток, 12 км на север.
3. Найдите курс, соответствующий 4 км на север и 4 км
на юг.
4. Нанесите курс, соответствующий 4 яж на север и 6 км на юг.
5. Нанесите маршрут автомобиля в пустыне, водитель
которого так записал его курс: (ЗВ, 4С) + (5В, 12С) + (43, 4С).
Как далеко находится автомобиль от пункта отправления?
Какой путь прошел автомобиль?
В заданиях 6—10 укажите расстояния в км от пункта
отправления до пункта назначения, если движение возможно только в
четырех направлениях: на север или юг, на восток или запад.
Каково расстояние между этими пунктами?
6. (ЗВ, 4С) + (23, 1С) + (13, ЗЮ) + (23, 4Ю).
7. (2В, ЗС) + (IB, 2C) + (13, 1С).
8. (ЗВ, 4Ю) + (43, ЗЮ) + (5В, 12С).
9. (1В, 1С) + (IB, ОС) + (OB, 4C) + (43, ЗЮ).
10. (2В, 2С) + (2В, 2С) + (2В, 2С).
Как бы вы нашли конечный пункт маршрута, не выполняя
промежуточных построений? Используйте этот метод при выполнении
заданий 11—16.
11. (2В, 1С) + (2В, 1С) + (23, 1Ю), + (23, 1Ю).
12. (4В, ЗС) + (4В, ЗС) + (23, 5Ю).
13. (2В, ЗС) + (43, 6Ю) + (2В, ЗС).
14. (2В, ЗС) + (4В, 6Ю) + (2В, ЗС).
15. (4В, 6С) + (43, 6Ю).
16. (2В, 1С) + (23, 1С) + (23, 1С).
Декартовы координаты
Математики используют более краткие обозначения для записи
(4В, ЗС). Они называют направления на восток и север
положительными, направления на запад и юг являются, следовательно,
отрицательными. Таким образом, записи сокращаются:
(4В, ЗС) = (4, 3),
(53, 2С)=(-5, 2),
(1В, 4Ю) = (1, -4).
Эта система указания направления была впервые использована
известным математиком XVII в. Декартом. Он также изобрел
координатную геометрию, о которой вы услышите позже в школе.
На рисунке 48 мы видим, что курс FDWYQ может быть записан
так: (2В, 2Ю) + (1В, 2Ю) + (23, 2Ю) + (13, 2С). В декартовых
координатах он будет: (+2, —2) + (+1, —2) + (—2, —2) + (—1,
+2).
67

Упражнения
Запишите, используя
оба вида записей,
следующие курсы (рис. 48):
а) QEFDC;
б) QEFDWYQ;
в) QYWC;
г) QBA;
Д) QBGH;
е) OBGTSV;
ж) QFMIK;
з) QHYST;
и) QYCDIWVSTGHQ;
к) QHGBQ.
Эквивалентные курсы.
Обратитесь вновь к
рисунку 48 и запишите курсы
jET7 и SV. Замечаете ли
вы что-нибудь
относительно этих курсов? Для
следования по любому из них
должна быть дана одна и та же инструкция — у них одни и те же
длина и направление. Такие курсы называют эквивалентными.
На рисунке 48 найдите еще пары эквивалентных курсов.
А
ь
в
G
s
R
У
h
^
а
н\
У
\
/
/
с
S
L
Ρ
\
\
/
(*
\
д
W
У
V
^
А
У
У
ч^
ч
τ
Μ
/
ν
\
\
N
к
Р
ΤΊ
Рис. 48.
Векторы
Итак, курс характеризуется длиной и направлением. В
математике такие величины называются векторами.
Курс между пунктами Л и С мы будем теперь записывать так:
АС, или а\ стрелка над АС указывает начало и конец курса. На
рисунке 49 АС = а = (4,3).
Сложение векторов. Самолет летит по курсу а из пункта О в
пункт Л, а затем по курсу b в пункт В, а = (3,4), b = (1,2) (рис. 50).
Пилот мог бы лететь прямо из пункта О в пункт В:
ОВ = ОА+ АВ, или ОВ = ?+ ΐ= (3,4) + (1,2),
следовательно,
а + b = ОВ = (4,6).
Сравните это со сложением курсов, рассмотренных в начале
главы.
68

Рис. 51.
Вычитание векторов. Предположим, что вы стоите в точке О, на
середине дороги между пунктами Л и В (рис. 51). Путь из О в Л
—> —>
будет изображаться вектором ОА или, скажем, а, путь из О в В —
вектором ОВ = Ь. Имеется ли связь между этими двумя векторами
а и 6? Мы видим, что вектор а имеет ту же длину, что и вектор 6,
но их направления противоположны.
Мы записываем это так: Ь = — а.
Рисунок 52 иллюстрирует сложение и вычитание векторов, не
лежащих на одной прямой.
—> —>- —> —у —*■ —>
Если ОА = an АВ = 6, то для сложения векторов Л.6 и О А мы
должны начертить вектор b с началом в точке Л. Для того чтобы
вычесть вектор АВ из вектора ОЛ, мы должны начертить
вектор b с началом в точке Л, имеющего направление, противополож-
-*-
ное направлению вектора Ь.
—>- -> —>- —>» _► _>
Таким образом, ОВ = а + b и OS' = α — 6.
Пример. Найти координаты вектора е —7» если е = (4,3), / =
= (2,1) (рис. 53).
t-7=(4,3)-(2,l).
1-7"= (2,2).
Рис. 53.
69

Упражнения
1. а) Т= (2,1); d= (4,7); ^= (5,5);
t=(3,5); Г= (6,1); t = (0,8);
"с =(1,6); Г=(4,9); 1 = (6,0).
Найдите координаты векторов:
l)"a + rf; 3) iT+/f 5) fl"+ftT 7)<Г+*Г
2) t +t; 4) c~+ £ 6) 6 + & 8) ΤΓ +1.
Проверьте ваши результаты построением,
б) На отдельном листе клетчатой бумаги постройте следующие
векторы:
l)J-£ 3)ζ-ξ б) Г-J 7)/~5
2) / _t; 4) Τ— % 6) "6 — % 8)7—^
2. Даны векторы:
£= (1,2); 7= (2,3); Г= (3,4); ^= (0,1);
Т= (1,1); ^=(2,4); Т=(3,6); /Г= (6,10).
Постройте эти векторы, а также векторы:
1) а"+Т; 4) 2~^=~2 + о| 7) 2b\ 10) Г+ /Г
2) t— бГ 5) ЗоГ 8) з£ И) Г— *·
3)f— e; 6) 2d; 9) 4Ь;
Что вы заметили в полученных результатах?
~± —у
В упражнениях 3 — 6 а = (2,1) и Ь = (1,3). Единица длины
равна 100 о*.
3. Самолет летит по курсу а из пункта А в пункт 5, а затем из
—у
пункта В в пункт С по курсу Ь. Нанесите маршрут. Каково
расстояние между пунктами Л и С?
4. Самолет летит по курсу 2а из пункта А в пункт В, затем из
пункта В в пункт С по курсу 26. Нанесите маршрут. Каково
расстояние от пункта А до пункта С? Сравните вектор АС в этом
задании с вектором АС в задании 3.
-^-
5. Самолет летит по курсу 2а из пункта А в пункт 5, затем из
—у
пункта 5 в пункт С по курсу 26, и, наконец, из пункта С в пункт D
по курсу а. Нанесите маршрут. Каково расстояние от пункта А до
пункта D?
70

6. Β Δ ABC AB = с, ВС = a, CA = b. Найдите векторы а +
+ t+ Ζ ΒΑ, CB, AC.
7. Β Δ ABC AB =~c, AC = Ί>. Чему равны векторы ВС? СВ?
Векторная геометрия
В этом разделе мы будем использовать векторы для
установления некоторых геометрических свойств плоских фигур.
Пример 1. Пусть А В = Ъ, точка Μ — середина отрезка А В
-> —> —»- -►
(рис. 54). Выразите векторы AM, MB, BM через вектор Ъ.
Прежде всего начертим заданный вектор АВ = Ь. Точка Μ —
середина отрезка AB. AM —вектор, имеющий то же направление,
—у —у
что и вектор Ь, но длина его равна половине длины вектора Ь:
AM = -b.
2
Аналогично MB = — b. Это, очевидно, справедливо, так как
АВ = AM + MB и АВ = - М- 1 "S = "&.
2 2
Вектор 5Λί имеет ту же длину, что и вектор МБ, но
противоположно ему направлен. Таким образом,
ВМ = — УИВ = —-ι"?.
2
Пример 2. На рисунке 55 четырехугольник О ABC —
параллелограмм, О А = а, ОС = с. Точка Μ — середина отрезка ОС.
Выразите векторы АВ, ВС, ОМ, AM, BM через векторы а и с.
Какие свойства параллелограмма вы знаете?
Векторы АВ и ОС имеют одинаковую длину и направление.
Таким образом, из равенства ОС = с следует, что АВ = с.
Векторы ВС и О А имеют одинаковую длину, но
противоположное направление, следовательно, О А = а и ВС =— а.
\Ь lb
2 _, 2
Μ Β
Рис. 54. Рис. 55.
71

* 1 -*
Точка Μ—середина отрезка ОС, таким образом, ОМ = — с.
Вектор AM эквивалентен сумме векторов АО + ОМ:
AM = —а + — с = — с — а.
2 2
Вектор В Μ эквивалентен сумме векторов ВС + СМ:
ВМ = ВС + СМ.
Так как ВС = —о" и МС = ОМ = ~ ^ то
βΜ= — α — (- с \ = — α — -с.
«--(Р)
2
Упражнения
1. На рисунке 56 изображены параллельные отрезки равной
длины. Выразите векторы CD, EF, FE через вектор а.
->■ —*- ->>
2. Выразите вектор С4 (рис. 57) через векторы а не. Как вы-
--> —> —*
ражается вектор В А через векторы си 6? Как выражается вектор
->· -> —у
С В через векторы а н Ь?
—>.—>. —>. —>.
3. Что вы можете сказать о векторах SC и Л#, β Л и CD (рис.
+ -> _> —^
58)? Выразите векторы 5С и ЛС через векторы а и 6.
4. Выразите векторы ОС, ЛВ, ВЛ, ЛС, СА через векторы a, bud
(рис. 59).
5. Выразите вектор с через векторы а и b (рис. 60). Выразите
вектор 05 через векторы α и Ь.
6. Выразите векторы ОС, OD, DC через векторы α и & (рис. 61).
—*■ —> —»- —>■
7. На рисунке 62 покажите, что с + d = а + 26.
8. Выразите векторы Л С, УИС и ОМ (рис. 63) через векторы α и 6.
9. Выразите векторы ВС, МС, ОС и ΟΛί через векторы α и b (рис. 64).
10. На рисунке 65 SM = МС. Выразите векторы AM иОМче-
—> —ν
рез векторы а и Ь.
11. На рисунке 66 СМ = MB, выразите векторы MB, MD, AM
через векторы aw b. Что вы можете сказать о треугольниках ЛУИС
и DMB?
12. На рисунке 67 РВ = 2РС, выразите векторы ВР, DP, DA
через векторы α и 6. Сделали ли вы какой-нибудь вывод?
72

♦β
Рис. 56.
Рис. 57.
Рис. 59.
2b
О ζ Α
Рис. 60.
ЗЪ
1
0 ь
^^ —-—
Рис.
ΐ
62.
"Ί
—■—..
73

Упражнения
1. На рисунке 68 точки L, Μ и N — середины отрезков ВС, АС
и Л S, соответственно А В = с, АС = Ь.
а) Выразите векторы ΝΜ и SC через векторы бис. Что вы мо-
жете сказать о векторах NM и 5 С?
б) Выразите векторы BN, LC, CM, LM и NL через векторы а
—ν
и 6.
в) Что вы можете сказать о фигурах NMLB, NAML, NLCM?
г) Что вы можете сказать о треугольниках ANM, BNLy NML,
MLC?
д) Что вы можете сказать о треугольниках ANM и ABC?
2. На рисунке 69 СА = а, СВ = Ъ.
—> —>- -^- ->
1) Выразите векторы СМ и Л5 через векторы а и 6, если точка
УИ — середина отрезка АВ;
ι ~+ -> -►
2) Л Ρ = — Л 5. Выразите вектор С Ρ через векторы α и 6.
U
3) Лф =— АВ. Выразите векторы PQ и CQ через векторы
о
α и Ь.
4) # ζ ЛС, Л/? = — АС. Выразите векторы BR и RP через век-
ό
торы я и Ь. Что вы можете сказать относительно отрезков RP и ОВ?
5) S £ АС у AS = — АС. Выразите векторы BS и SQ через
векторы а и й. Что вы можете сказать относительно отрезков SQ и СВ?
6) Г ζ ЯС, ЯГ = - ВС. Выразите векторы AT, TQ, TR, TS
ό
через векторы а и Ь. Что вы можете сказать относительно отрезков
RT, TR, АВ?
7) V £ ВС, BV = - 5С. Выразите векторы AV, SV, RV, VP, VQ
через векторы α и 6. Что вы можете сказать относительно отрезков
SV и VP?
3. 0ЛС5 — параллелограмм, ОА = а, Об = 6. Выразите
векторы ЛС, ВС, АВ, ОС, ВА через векторы аи Ь.
4. О ЛСВ — ромбоид, в котором О А = а, ОВ ~ Ь, АС = с.
AM = МБ.
—> —*> —> —> -»■-»■ ->
Выразите векторы £С, ОС, АВ и ЛУИ через векторы а, бис.
74

A b ш С
2b
Рис. 64.
3b δ 2b
Рис. 66.
2b
\
V
„β
_»»■
Ρ
С
2b
*y
Рис. 67.
b
в
с
Рис. 70.
Рис. 71.
75

5. OABCDE — правильный шестиугольник, О А = а, ВА =
=* 6, ОЕ = с: (рис. 70). Выразите через векторы a, b η с векторы:
1) ВС; 3) DE; Упростите: 5) 1 —~а; 7) ~с—а—~Ь;
2) CD; 4) 5D. 6) ίΤ—сГ; 8)1— ~с — ~а.
6. ABCD — квадрат, в котором АВ = b, Л1> = d, M —
середина отрезка CD, Ν — середина отрезка ВС. Покажите, что
ΜΝ || BD.
7. В треугольнике ABC точка L лежит на стороне ВА и BL =
= 31Л, точка Μ лежит на стороне С А и СМ = ЗМЛ. Покажите,
что ML || 5С.
Указание. Полагая, что АВ = 6, ЛС = с, выразите
->■ -> -> —>
векторы ML н ВС через векторы бис.
8. В треугольнике ЛБС (рис. 71) точка L лежит на стороне АВ
и AL = 2LB, точка Μ лежит на стороне АС и ЛУИ = 2МС.
Найдите длину отрезка LM. Точки Ρ и Q являются соответственно
серединами отрезков LM и ВС. Найдите длины отрезков АР и AQ.
Какой из этого можно сделать вывод?
9. В треугольнике ABC точки L и Μ — соответственно средины
отрезков АВ и АС. Точка N лежит на отрезке LM и LN = 2NMy
точка Ρ лежит на отрезке ВС и ВР = 2РС. Найдите длины отрезков
АР и AN. Какой из этого можно сделать вывод?
10. В треугольнике ABC точки L и Μ — соответственно
середины отрезков АВ и АС. Точка W лежит на отрезке LMy LN =
= 3 Ν Μ; точка Ρ лежит на отрезке ВС, В Ρ = ЪРС. Покажите,
что точка Ρ лежит на прямой AN.
11. Точки L, Μ и Ρ — середины сторон АВ, АС и ВС
треугольника ABC. Покажите, что отрезок АР пересекает отрезок ML в
его середине.
Глава 13. ПЛОЩАДИ
С помощью четырех штифтов, доски с отверстиями1 в узлах,
нанесенной на доску сетки и эластичных шнуров образуйте как
можно больше различных фигур.
Приняв площадь квадрата, вершины которого расположены в
ближайших друг к другу отверстиях доски, за единицу площади,
найдите площади построенных вами фигур.
На странице 25 дана сетка из треугольников. На плотном листе
бумаги нанесите аналогичную сетку из разносторонних
треугольников и прикрепите лист бумаги к доске. Выделите на этой сетке
несколько треугольников и найдите их площади, приняв
наименьший треугольник за единицу площади.
1 Доска, аналогичная доске А. П. Карасева.
76

a 4
α) δ)
ч
/с;
Рис. 72.
Почему площадь квадрата выбрана за единицу площади? Для
каких фигур лучше использовать сетку треугольников, а не
квадратов?
1. На кальке нанесите сетку квадратов со стороной, равной
— дюйма. Положите кальку на фигуры, изображенные на
рисунках 72 и 73, и подсчитайте число квадратов, заключенных внутри
контуров фигур.
Сколько квадратов со стороной 0,5 дюйма содержит квадрат со
стороной 1 дюйм (здесь и ниже рассматриваются случаи, когда
квадраты покрывают всю плоскость или ее часть и не перекрывают друг
друга)?
Какую часть квадратного дюйма составляет квадрат со стороной
— дюйма?
4
Какую часть квадратного дюйма составляет квадрат со
стороной — дюйма?
2. На сколько квадратов площадью в 1 кв. см можно разделить
прямоугольник размером 3 · 4 см? 5 · 6 см? а · Ъ см? χ · у см?
h · Ъ см? Ъ · h см?
77

3.' Начертите прямоугольник со сторонами 1 — см и \ см*
Разделите его на квадраты со стороной 1 см. Сколько всего будет таких
квадратов?
4. Каковы размеры прямоугольника на рисунке 74? Сколько
полных квадратов он содержит? Сколько квадратов вы можете из
него вырезать? Чему равна площадь маленького квадрата в правом
нижнем углу? Какова площадь всего прямоугольника?
5. Использовав метод решения задачи 4, найдите площадь:
1) прямоугольника размером 3 — · 1 — см; 2) квадрата со стороной
2—см; 3) квадрата со стороной 1 —см.
6. Площадь прямоугольника, изображенного на рисунке 75,
равна 20 — кв. см. Найдите х.
7. Найдите площади прямоугольников размера:
а) 5 — · 2 — см;
} 2 2
б) 3 · 41 см;
ч ι Ι ι 1
в) 1-— · 1 — см;
7 3 3
ч*3 22
г)6т.-™;
д) 4,2 . 3,7 см.
8. Начертите фигуру, показывающую, что площадь
прямоугольного треугольника равна половине площади соответствующего
прямоугольника.
Вычислите площади прямоугольных треугольников, у которых:
а) основание 2 см, высота 3 см; б) основание 3 см, высота 2 см;
в) основание 1 — см, высота 2 см; г) основание 2 см, высота 1 -~см;
Ч 1 1 1 3
д) основание 1 — см, высота 1 — см.
4 4
9. Почему все треугольники, имеющие равные основания и
равные высоты, имеют равные площади?
1дм
1дм
1дм и
ь см
Рис. 74.
Рис. 75.
78

2 см С\ 1см\Е 2 см F\ 1см №
Рис. 76.
Найдите площади треугольников на рисунке 76 (всего 8
треугольников).
10. Вырежьте из плотной бумаги 10 квадратов со стороной 10 см.
Будем считать, что они изображают квадраты со стороной х. Тогда
площадь каждого из них равна х2.
11. Вырежьте из плотной бумаги 20 прямоугольников со
сторонами 10 еж и 3 см. Будем считать, что они изображают
прямоугольники со сторонами χ и 1. Иными словами, площадь каждого из них
равна х. Вырежьте еще 20 квадратов со стороной 3 см. Будем
считать, что каждый из них имеет площадь, равную единице.
Из этих фигур составьте прямоугольник, площадь которого была
бы равна х2 + х. Какова его длина? ширина?
Итак, для вычисления площади прямоугольника мы должны
перемножить длины его смежных сторон:
χ (х + 1) = х2 + х.
Пользуясь этим же методом, найдите стороны прямоугольников,
площади которых равны:
1) х2 + 2х\ 6)
2) 2х2 + Зх; 7)
3) 2х2 + 2х; 8)
4) х2 + 2х+ 1; 9)
5) х2 + 4х + 4; 10)
4х2 + 4х+ 1; 11)
х2 + Ъх + 6; 12)
х2 + 6х + 9;
4х2 + 8х + 3; 14)
х2 + 8х+ 16; 15)
х2 + 9х +20;
х2 + 9х+Ы;
13) х2 + 6х + 9\
2х2 + 5х+1;
4х2+ 16х+15.
12. Запишите в виде многочлена:
1) (х + 1) (х + 2);
2) (х + 3) (х + 1);
3) 2х(х + 2);
4) χ (2х + 3);
5) (х + 3) (х + 2);
6) (х + 3) (2х + 1);
7)(2х + 1)(Зх + 4);
8) (х + у)2;
9) (а + Ь)2;
10) (а + 26)2.
13. Найдите площадь фигуры на рисунке 77, а). Вырежьте
фигуру и разделите ее на две части по прямой АВ. Составьте из них
прямоугольник. Каковы его размеры?
Фигура на рисунке 77, б) представляет квадрат со стороной ау
из которого вырезан квадрат со стороной 6. Чему равен отрезок х?
79

5см й
а) Рис. 77. б)
Методом, указанным в первой части задачи, вы можете составить из
незаштрихованной части прямоугольник. Каковы его размеры?
Чему равна его площадь?
Полученная вами формула:
а* — Ь2 = (а+ Ь) {а — Ь)
очень важна. Вычислить с ее помощью значения выражений:
142 _ Ю2. 252 — 72; 132 — 52; 132 — 122;
52 _ з2; 152 — 142; 92 — 82; 252 — 172.
52 _42; 72 — 52; 992 — I2;
Какие из полученных чисел являются полными квадратами
каких-либо натуральных чисел?
Упражнения
1. Начертите на кальке сетку квадратов со стороной — см
(палетку) и найдите с ее помощью площадь какой-либо страны на
карте. Полученный результат проверьте по справочнику.
2. Землемер должен вычислить участок, изображенный на
рисунке 78. Он проводит отрезок АВ и измеряет расстояния от точек
С, Д Ε и F до АВ (его иногда называют базисной прямой). Числа у
отрезка АВ указывают расстояния между точками V, W> Xy Y и В
и точкой А в метрах. Аккуратно выполните чертеж в тетради в
масштабе: 1см — 20 м. Найдите площадь участка, пользуясь
палеткой, изготовленной к заданию 1.
3. Модель на рисунке 79 изготовлена из плотного картона. ΧΥ—
прорезь шириной около 0,5 см, UV — полоска почтовой
открытки шириной 1 2 см. Прямоугольник ABCD начерчен на
открытке, часть прорези ΧΥ служит его стороной АВ. Ρ и Q — скрепки
для бумаги, укрепленные на полоске UV на расстоянии, равном DC.
Полоска UV может перемещаться вдоль прорези XY. Эластичный
80

шнур проходит с лицевой стороны прибора по контуру DPQC,
концы его продеты в отверстия D и С и соединены (с небольшим
натяжением) на обратной стороне прибора.
Как изменяется форма четырехугольника PQCD при
перемещении отрезка PQ вдоль прямой XY?
4. Модель на рисунке 80 изготовлена из плотного картона,
верхний и нижний края модели сделаны более жесткими. АХ я
BY — параллельные отрезки; четырехугольник ABCD —
прямоугольник. Эластичный шнур (на рисунке изображен двойной
линией) может занимать различные положения, т. е. отрезок PQR
подвижен.
При каких условиях отрезок PQR образуетфигурыРО(2и QCR
равной площади? Чему равна площадь четырехугольника APRB,
если точка Q — середина отрезка DC? Какова в этом случае длина
отрезка PD?
На рисунке 81 показана аналогичная модель, АР = a, BR =
= 6. Отрезок PR начерчен на картоне, отрезок DQC, образуемый
петлей эластичного шнура, может изменять свое положение и длину.
При каком положении отрезка DQC площади четырехугольников
ABCD и ABRP будут равны? Чему будет равен в этом случае
отрезок PD?
Вычислите площадь четырехугольника XYWZ (рис. 82) и
подсчитайте площадь фигуры, указанной в упражнении 2. Точность
результата проверьте с помощью палетки.
5. На модели, изображенной на рисунке 83, шнуры образуют
подвижные отрезки PRQ и XZY. Как найти площадь
четырехугольника ADCBy преобразовав его в прямоугольник? Чему равен в
этом случае отрезок RZ?
6. В каком случае площадь четырехугольника ABCD будет
равна площади треугольника ABV (рис. 84)? Скажите, почему площадь
четырехугольника ABCD вычисляется по формуле:
sabcd=™±kDc.
7. Объясните, почему площадь фигуры, изображенной на
рисунке 85, вычисляется по формуле:
8. Найдите площадь фигуры, изображенной на рисунке 85, если:
1) а = 6 см, b = 5 см, h = 4 см; 3) а = 2,4 см, b = 3,6 см,
ft = 1,8 см;
2) а = 5 см, b = 3 см, h = 3 см; 4) а = 1,3 см, 6 = 1,6 см,
ft = 1,6 см.
9. Найдите площади параллелограммов, изображенных на
рисунке 86 (размеры даны в см\
81

Рис. 79.
Рис. 80.
Рис. 81.
TV
w
Рис. 82.
1 \Р А
X
Ι β Q\
0
\
χ/
)i
Ρ с I
Рис. 83.
82

Рис. 84.
Рис. 85
Рис. 86.
Рис. 88,
Рис. 89.
83

Теорема Пифагора, а) Перечертите
фигуру, изображенную на рисунке 87,
где четырехугольник ADFH — квадрат.
Что вы можете сказать о
четырехугольнике BEGC?
Чему равна площадь квадрата ADFH,
если а — 3 см, 6 = 4 см?
Чему равна площадь треугольника
ABC? Чему равна площадь квадрата
С BEG?
Рис 90. Чему равна площадь квадрата CBEG,
если а = 5 сму 6 = 3 см?
Чему равна площадь квадрата BEGC, если а = 4 см, Ь = 2 еж?
Чему равна площадь квадрата BEGC, если α = 25 см, 6 = 3 еж?
Всегда ли фигура BEGC — квадрат? Почему?
б) На рисунке 87:
1) а = 4, с = 5. Найдите 6; 4) 6 = 7, с = 25. Найдите а;
2) α = 5, 6 = 12. Найдите с; 5) α = 24, с=25. Найдите 6.
3) а = 3, с = 5. Найдите 6;
в) Покажите, что в прямоугольном треугольнике ABC площадь
квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей
квадратов, построенных на катетах.
Упражнения
1. На рисунке 88 показана двускатная крыша. Какова длина
ската? Выполните чертеж в масштабе.
2. Мачта высотой 6 м удерживается оттяжками длиной 6,5 м,
прикрепленными к вершине мачты. Каково расстояние между
основанием мачты и концами оттяжек на земле?
3. Высота передней стены сарая 5 ж, а задней стены 6 м,
расстояние между стенами 4 м. Крыша выступает над стенами на 12 см
(рис. 89). Какова длина наклонного края крыши?
4. На клетчатой бумаге начертите две взаимно
перпендикулярные оси. За единицу длины по обеим осям примите отрезок в 1 см.
Начертите окружность радиуса 5 единиц с центром в точке О
(рис. 90).
1) Найдите ОХ, если РХ = 4.
2) Найдите РХ, если OXj= 2.
3) Как найти значение У у для значений у, удовлетворяющих
неравенству 0 < у < 25? Для какой области значений у вы
получите наиболее точные значения Υ у?
5. На листе клетчатой бумаги начерчена окружность радиуса г
с центром в начале координат; χ и у — координаты точки
окружности. Какое уравнение связывает х, у и г?
84

Это уравнение дает возможность, зная радиус окружности и
одну из координат точки окружности, найти другую ее координату.
Поэтому это уравнение может рассматриваться как уравнение
окружности.
6. Центр окружности радиуса 5 находится в точке (1, 0).
Напишите уравнение этой окружности.
7. Коза привязана к колу А веревкой длиной 15 ж и к колу S,
находящемуся на расстоянии 24 м от кола Ау веревкой длиной тоже
15 м. Покажите (сделайте чертеж), на какой площади может пастись
коза. При помощи квадратной сетки на кальке измерьте эту площадь.
Каково максимальное расстояние dy на которое коза может
удалиться от прямой АВ? Вычислите d и проверьте результат измерением
по чертежу.
Глава 14. ЛОГАРИФМЫ
В главе 8 уже были рассмотрены логарифмы при основании 2.
Прочтите эту главу еще раз и вычислите;
1) 8192 · 2048; 4) |/"16777216;
2) 67 108 864 : 1 048 576; 5) 3|/"2097152.
3) 1283;
Попробуйте теперь выполнить следующие упражнения:
1) З10· З5; 2) З9 : 3е; 3) 10 101°.
Из предыдущего вы уже знаете, что:
при умножении степеней с одинаковыми основаниями их
логарифмы складываются;
при делении степеней с одинаковыми основаниями их логарифмы
вычитаются;
при извлечении квадратного корня из степени логарифм числа
делится на 2.
Ранее мы пользовались логарифмами при умножении, делении и
извлечении квадратного корня из чисел, являющихся целыми
степенями числа 2. Но мы можем использовать логарифмы для
выполнения действий над числами, не являющимися целыми степенями
числа 2.
Основание 2
Число 1 2 4 8 16 32
Логарифм 0 12 3 4 б
log2 2=1, log2 4 = 2. Так как 3 находится между 2 и 4 и
логарифмы увеличиваются с увеличением числа, мы можем ожидать, что
85

log2 3 находится между числами 1 и 2. Аналогично log2 11 должен
бы находиться между числами 3 и 4.
Мы можем подтвердить это примером: 22 да 1,414, таким
образом, log2 1,414 да — = 0,5, т. е. находится между 0 и 1.
Начертите график у = log2 χ. Пусть отрезок длиной 1 см
соответствует 10 единицам по оси χ и отрезок, равный 2 сму соответствует
единице по оси у. Найдите по графику:
1) log2 3; 2) log2 6; 3) log2 7; 4) log2 28; 5) log2 21.
Проверьте, что
log23 + log27 = loga 21;
log2 3 + log2 6 - iog2 18;
log2 5 + log2 7 = log2 35 (вам, может быть, нужно продолжить
построенный график).
Логарифмы при основании 10
Наша система счисления имеет основание 10. Поэтому
естественно использовать логарифмы при основании 10 как стандартные
логарифмы.
Составим таблицу логарифмов:
10° = 1; lg10l = 0; lg10 10 = 1;
1_
102 = /ЮлгЗЛб; lg10 3,16^0,5;
teuVUbaiy; V^l6= 1,78.
4
Отсюда lg10 1,78 да 0,25,
1,78 . 3,16= 5,62,
т. е. lg10 5,62 = lg10 1,78+ lg10 3,16 = 0,25+ 0,5 = 0,75.
Таким образом, мы имеем начало таблицы:
Основание 10
Число 1 1,78 3,16 5,62 10
Логарифмы 0 0,25 0,5 0,75 1
Мы можем использовать эти значения для того, чтобы начертить
график у = lg10 χ и по этому графику найти логарифмы чисел от
1 до 10.
Например, lg102 да 0,3 и lg106 да 0,77.
Найдем lg1020. Мы замечаем, что 20 = 2 · 10 и, таким образом,
при основании 10 получим:
lgio20 = lg102 + ]g1010 да 0,3 + 1 = 1,3.
Аналогично
lg 200 = lg 100 + log 2 да 2,3,
lg 2000 = lg 1000 + lg 2 да 3,3.
86

Еще пример:
lg 1,78 «0,25,
lg 17,8 « 1,25 (=lg 10 + lg 1,78),
lg 178 да 2,25 (= lg 100 + lg 1,78).
Итак, имея таблицу логарифмов чисел от 1 до 10 при основании
10, можно найти логарифм любого числа. Эти таблицы уже давно
составлены, и учитель покажет, как ими пользоваться.
По таблицам логарифмов найдите логарифмы чисел:
а) 2,34; 4,91; 5,72; 8,63; 9,12;
6)23,4; 491; 57,2; 86 300; 9120.
Зная логарифм числа, можно найти и само число. Для этого
пользуются таблицами антилогарифмов.
Например, пусть мы хотим найти число, логарифм которого
равен 3,75. Тогда дробная часть логарифма 0,75 дает нам цифры ответа:
562. В таблицах не проставлена десятичная запятая, так как все ими
пользующиеся знают, что первая цифра — цифра единиц. Отсюда
антилогарифм числа 0,75 есть 5,62. Целая часть заданного
логарифма (число 3) говорит нам, что число 5,62 должно быть умножено
на 103:
5,62 - 103 = 5620.
Теперь найдите число по следующим их логарифмам:
а) 0,263; 0,563; 0,783; 0,899;
б> 2,263; 1,563; 3,783; 4,899.
Основание 10
Число 1 1,259 1,585 1,995 2,512 3,162 3,981...
Логарифмы 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6...
Пример. Пользуясь логарифмами, вычислите:
1,995-3,981 : 3,162= А
Числа
1 ,995
X
3,981
3,162
А
Их
логарифмы
0,3
0,6
0,9
0,5
0,4
сложить
вычесть
А = 2,512
87

Вычислите с помощью таблиц логарифмов и антилогарифмов:
1. 1,259 · 3,162.
2. 3,162 · 3,162.
3. 1,585 · 5,012.
4. 6,310 · 1,995.
5. 7,943:3,162.
6. 5,012 : 1,585.
7. 2,512 · 5,012:3,162.
8. (6,310·7,943):(1,585·2,512).
9. (5,012 · 6,310 · 7,943) :
: (3,981 · 1,259).
10. |/2,512.
11.
К6.310
12.
13.
14.
15.
У3,981.
У"1,585 · 3,981.
V 1,995 · 5,012.
125,9 · 31,62.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
631 · 19,95.
158,5 : 5,012.
199,5 · 39,81 :
У"39,81.
У631.
79,43.
3)/"7,943.
3|Л63,10 ·
3]/3,981.
23,3 · 59,6.
29,7 · 9,81.
233 · 5,96 : 981.
59,81 · 213 : 783.
499 · 297:891.
5160 · 2010 : 50Э.
499 · 2970 . 5,86
9,87 · 67500 "
Предположим, нужно вычислить частное
1,955:3,162.
Ясно, что частное будет меньше единицы. А логарифмов чисел,
меньших единицы, мы еще не знаем. Как поступить?
Обратите внимание, как мы попытаемся избежать этого
осложнения:
1,955 1 19,95 - ^, 19,95 . ,...
-— = — = Ε. Обозначим —— = А, А > 1,
3,162 10 3,162 3,162
и вычислим вначале А:
Числа
. 19,95
|· 3,162
IgA
Их
логарифмы
1,3
0,5
0,8
вычесть
6,310,
Ε = - ■ А = 0,6310.
10
88

Вычислите, применяя этот же метод:
1. 2,512 : 5,012. 5. 316,2 : 2512.
2. 0,1259 : 3,162. 6. 98,1 : 124.
3. 6,310 : 31,62. 7. 131,0 : 2190.
4. °'5012·6'310. 8. 136 · 159 : »
7,943
Г л а в а 15. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ ОБСУЖДЕНИЯ
1. Цена трех сортов конфет, пользующихся наибольшим
спросом, равна соответственно 2, 3 и 4 шиллингам за коробку.
Покупатели обычно берут 1, 2, 3, 4, . . . 20 коробок. Как можно быстро
определять стоимость покупки?
Один из продавцов строит точки по данным прейскуранта (вес—
цена). А почему бы ему не провести плавную кривую через
отмеченные точки? Можно ли так поступить? Почему? Начертите эту
кривую. Затем начертите другой график, считая, что конфеты каждого
сорта могут быть проданы в количествах, кратных ста граммам.
2. Вычертите график, пользуясь которым можно было бы
быстро подсчитать стоимость покупок, если коробки каждого сорта
конфет, о которых говорилось в предыдущей задаче, стоят
соответственно 3 шиллинга 4 пенса, 6 шиллингов 3 пенса и 8 шиллингов
4 пенса.
3. В магазине скобяных изделий проволока продается на вес.
Продавец, желая ускорить расчеты с покупателями, которым
нужно приобрести проволоку определенной длины (с точностью до 0,1 м),
начертил график зависимости веса куска проволоки от его длины
(1 м проволоки весит 250 г). Начертите этот график.
4. Посмотрите на термометр1 и подумайте, как перевести
градусы Цельсия в градусы Фаренгейта. Начертите график.
5. Начертите график для перевода дюймов в сантиметры. Вы
можете найти данные, необходимые для построения графика,
измеряя длины от 1 дюйма до 10 дюймов в сантиметрах и дюймах.
6. Я хочу купить несколько предметов (не более десяти) по
цене 20 коп. за каждый предмет. Постройте график, по которому
можно было бы сразу найти стоимость всей покупки.
Как будет выглядеть график, если бы: а) я покупал слонов?
б) я покупал материал, который продается только метрами? в) я
платил за проезд в такси?
7. Фирма пригласила математика помочь установить цену
некоторого товара. Математик изучил сбыт этого товара в различных
1 Для выполнения задания нужны два термометра: со шкалами в градусах
Цельсия и Фаренгейта.
89

районах страны и пришел к выводу, что количество проданного
товара в год при разных ценах на товар примерно соответствует
данным, приведенным в 'следующей таблице:
Количество проданного товара
(в тыс. шт.)
1 Цена (в пенсах)
100
1
90
2
80
3
70
4
60
5
50
6
40
7
30
8
20
9
10 '
10 |
Подсчитайте стоимость проданного товара в каждом случае.
Начертите график зависимости количества проданного товара от его цены
и график зависимости общей стоимости проданного товара от его цены.
Какой совет дал математик? Если бы вы были представителем фирмы,
какие бы вы еще обсудили с ним вопросы?
8. По странному совпадению этот же математик был приглашен
в футбольный клуб для консультации относительно размера
входной платы. После изучения отчетов клуба он составил таблицу,
аналогичную таблице, данной в задаче 7, но цены входных билетов
в ней были даны в шиллингах. Начертите графики, аналогичные
графикам в задаче 7, и обсудите полученные результаты с точки
зрения казначея клуба и комитета поддержки футбольного клуба.
9. Некоторый сплав при повышении температуры на 1° С
удлиняется на 1 дюйм на ярд длины. Начертите график зависимости
удлинения от температуры при ее повышении от 1 до 50°. Проверьте,
может ли быть такое удлинение (найдите в энциклопедии статью о
расширении металлов).
10. Какого типа задачи приводят к зависимости, график
которой — прямая линия? Что определяет в задачах наклон графика?
Как вы можете выбрать масштаб на осях, для того чтобы наклон
линии графика увеличился? Как вы можете сделать график более
пологим?
Глава 16. ПРИБЛИЖЕННАЯ ОЦЕНКА
Часто при решении задачи необходимо найти грубо
приближенный ответ.
Предположим, например, что мы хотим определить количество
удобрений, которое необходимо купить для участка размером 56 X
Х78 Mf если известно, что на 1 кв. м должно приходиться 160 г
удобрений. На практике мы не вычисляли бы точно площадь участка.
Необходимое количество мы нашли бы примерно так (знак «^»
означает «приближенно равно»):
56 - 78 те 60 · 80 = 4800;
4800 · 160 г = 768000 г те 7,7 ц.
90

Если бы мы подсчитали результат точно, то получили бы:
56.78.160 =69888 ( }
1000 . 100 ^'
Таким образом, при приближенном подсчете мы заказали бы
удобрений почти на 0,7 ц больше, чем фактически требуется. На
практике это, однако, не имеет значения, так как из-за
неизбежных потерь и неравномерного распределения удобрений на участке
их обычно требуется больше. А остаток может быть использован
и на другой год.
Но предположим, что поле имеет размер 560 X 780 м, тогда
количество удобрений было бы приближенно равно 768 ц, и его
излишки составили бы примерно 70 ц. Это количество, очевидно, слишком
велико.
Если бы поле имело размер 52 X 78 му то тогда приближенно
потребовалось бы 50 · 80 · 160 (г) « 6,4 (ц) удобрений, т. е. на 0,1 ц
меньше требуемого (проверьте).
Отсюда видно, что оценка должна учитывать характер задачи,
величину результата и величину погрешности (будет ли она
слишком велика или достаточно мала).
Оценка ответа часто полезна для проверки вычислений. Пусть,
например, в результате деления 4,15 на 0,217 получен ответ 191,2.
Проверка 4 : 0,2 = 20 показывает, что была допущена ошибка в
постановке запятой. Ответ должен быть 19,12.
Найдите приближенные результаты:
1. 5,16- 2,19. 12. 0,072 : 0,56.
2. 21,3 · 0,24. 13. 5,19.2,81
3. 19,2 · 7,8.
4. 0,123 - 9,17.
5. 2,19 . 3,17.
6. 0,219 · 0,058,
7. 27 : 13.
8. 49,7 : 2,46.
9. 2,81 : 5,16.
10. 3,72 : 0,819.
11. 0,72 :0,09.
18. Найдите с точностью до одного фунта стерлингов общую
сумму затрат, составленную из следующих сумм: 2 фунта 9 шиллингов
6 пенсов, 11 шиллингов 7 пенсов, 15 шиллингов 2 пенса, 1 фунт
3 шиллинга 7 пенсов.
19. Найдите приближенную стоимость 23 ц некоторого товара,
если центнер его стоит 32 шиллинга 6 пенсов.
14.
15.
16.
17.
7,65
0,16. 3,97
10,81
9,17- 3,6
4,78- 2,32
3,142 - 2,89 - 2,89.
3,142- 3-2,983
91

Задачи для обсуждения
20. Сколько центнеров весят все ученики
вашего класса вместе.
21. Найдите сумму лет всех учащихся
класса.
22. Подсчитайте количество продуктов
для приготовления завтрака учащимся
вашего класса, если завтрак состоит из: а) рыбы,
вареного картофеля, моркови, рисового пудинга;
б) тушеного мяса, вареного картофеля,
капусты, бисквита и заварного крема;
в) рыбы, жареного картофеля и зеленого горошка.
23. Найдите количество досок, необходимое для изготовления
каждым учеником вашего класса каркаса для стула высотой 30 см
и основанием 30 X 30 см. Стул должен иметь четыре ножки (рис. 91).
24. Определите, сколько материала необходимо для того, чтобы
сшить белую блузу каждому ученику из вашего класса.
Рис. 91.
Глава 17. ЛОГАРИФМЫ
Мы уже познакомились с использованием таблиц логарифмов
при умножении и делении чисел, которые всегда были больше
единицы.
Пользуясь таблицей
N
log N
103
1000
3
ΙΟ2
100
2
ΙΟ1
10
1
100
1
0
мы можем записать:
log 1000 = 3;
log 100 = log — = log· 1000 — log 10 = 3 — 1 = 2;
log 10 = log — = log 100 — log 10 = 2 — 1 = 1;
log 1 = log -
log 10 — log 10 = 1 — 1 = 0.
Теперь обратите внимание на следующее:
log 0,1 = log — = log 1 — log 10 = 0 — 1 =
92

log 0,01= log — = log 1 — log 100 = 0 — 2 = — 2.
Таким образом,
log 0,1 = —1, log 0,01 = —2 и т. д.
Мы можем прийти к этому выводу и другим путем:
1000 = 103; 100 = 1000 : 10 = 103: 101 = 103"1 = 102;
10 = 100 : 10 = 102 : 101 = 102'1 = 101;
1 = ю : 10 = 101 : 101 = 101"1 = 10°;
0,1 = 1 : Ю = 10° : 101 = 10°-1 = 10-1 и т. д.
Следовательно,
log 0,232 = log (0,1 . 2,32) = log 0,1 + log 2,32 = —1 +
+ 0,3655;
log 0,567 = log (0,1 . 5,67) = log 0,1 + log 5,67 =—1 + 0,7536.
Мы могли бы каждое из этих чисел записать как отрицательное
число, но при вычислениях удобнее записывать отрицательную
часть логарифма десятичной дроби в виде целого числа.
Таким образом, если log N = —2 + 0,7536, то N = 0,01 X
χ 5,67 = 0,0567.
Итак, число отрицательных единиц в целой части логарифма
равно числу нулей (включая и нуль целых) до первой значащей
цифры в изображении числа, а положительная часть логарифма
(число, меньшее единицы) определяет последовательность цифр в
записи этого числа.
Для экономии места математики используют сокращенную
запись: знак «минус» пишут над числом (читается: столько-то
отрицательных единиц), например:
log 0,232 = Т,3655 = — 1 + 0,3655;
log 0,567 = 1_,7536 = —1 + 0,7536;
log 0,0567 = 2,7536 = —2 + 0,7536.
Примеры.
1. Найти log 0,482.
Мы знаем, что 0,482 = 0,1 · 4,82. Логарифм числа 4,82 мы
можем найти по таблице. Он равен 0,6830; log 0,1 (так как 0,1=—)
равен — 1.
Отсюда log 0,482 = 7,6830.
2. log 0,0036_7 «= log (0,001 - 3,67) = 3,5647.
3. logN = 1,573. Найти Ν.
Целая часть логарифма числа N отрицательна и равна — 1. Это
значит, что число N больше 0, но меньше 1. Последовательность цифр
в числе находим по таблицам антилогарифмов: 0,573 — это
логарифм числа 3,741. Отсюда N = 0,1 · 3,741 = 0,3741.
93

4. logJV == 3,892. Найти N.
log Ν = 3 + 0,892;
Ν - 0,001 Χ 7,798 = 0,007798.
Теперь попробуйте самостоятельно выполнить следующие
упражнения:
1. Найти логарифмы чисел:
а) 0,216; 0,0216; 0,00216; 0,000216;
б)· 0,372; 0,00498; 0,0782; 0,0000976; 8,87.
2. Найти числа по их заданным логарифмам:
а) U872; 2,872; 5,872; 4,872; 0,872;
б) 1,976; 3,495; 2,761; 1,849; 1,219; 2,758; 2,619.
Есть несколько правил для нахождения отрицательной части
логарифмов по его числу. Внимательно посмотрите на следующие
две строки:
N 1,0 0,1 0Д)1 0,001 0,0001, 0,00001, 0,000001
log N 0 1 2 3 4 5 6
Можете ли вы найти правило перехода от чисел одной строки к
числам другой?
Обычно поступают так:
а) Подсчитывают число нулей в числе между запятой и первой
его цифрой, отличной от нуля; число отрицательных единиц на
единицу больше этого числа.
б) Подсчитывают число знаков, на которое нужно перенести
запятую вправо, чтобы получить число, равное единице или большее
единицы.
Умножение
Примеры
1. 0,217 . 0,415 = N.
Числа
0,217
0,415
N
Логарифмы чисел
Г,3365
1,6180
2~,9545
N=0,09005
Складывая дробные части,
получим 0,9545. Складывая целые
(отрицательные) части, получим 2.
Результат будет 2,9545.
94

2. 0,317 - 0,415 = jV.
Числа
0,317
0,415
Ν
Логарифмы чисел
Τ,5011
Т,6180
Г,1191
N=0,1315 j
Складывая дробные части,
получим 1,1191, запишите: 0,1191.
Складывая целые части, получим:
2 + 1 = Г.
3. 2,310-0,415 = #.
Числа
2,31
0,615
N
Логарифмы чисел
0,3636
1,7889
0,1525
N = 1 ,421
Здесь мы имеем 0 + 1 + 1,1525;
1 + 1=0. Таким образом,
\ogN = 0,1525.
Упражнения
1. 0,312 · 0,241.
2. 0,546 · 0,217.
3. 0,781 · 0,682.
4. 0,0781 · 0,682.
5. 3,59 · 0,217.
6. 5,79 · 0,0317.
Деление
7. 52,1 · 0,047
8. 3,94 · 2,05.
1. 0,415: 0,217 = N.
Числа
0,415
0,217
Логарифмы чисел
Г,6180
1 ,3365
log N = 0,2815
N= 1,912
Вычтите дробные части:
0,6180 — 0,3365 = 0,2815.
Вычтите целые части:
Г— Т = Т+ 1 = 0.
95

2. 0,217: 0,415 = N.
Числа
0,217
0,415
Логарифмы чисел ,
Г,3365
1,6180
log Ν = Γ,7185
Ν = 0,5230
Обратите внимание, что 0,3365 меньше, чем 0,6180, но в ответе
мы должны сохранить положительной дробную часть логарифма.
Это может быть сделано следующим образом:
0,3365 — 0,6180 = Τ + 1,3365 — 0,6180 = Τ + 0,7185.
Таким образом, целая часть логарифма будет 1, log N = 1,7185,
N = 0,5230.
3. 4,15: 0,217 = N.
Числа
4,15
0,217
/V
Логарифмы чисел
0,6180
1 ,3365
1,2815
N= 19,12
I 1
4. 2,17: 4,15 = N.
Числа
2,17
4,15
N
Логарифмы чисел
0,3365
0,6180
1 J185
N = 0,523
96

Упражнения
1. 0,728 : 0,312. 7. 0,0921 : 0,631. 13. (0,612)2.
2. 0,0843 : 0,412. 8. 9,76 : 19,2. 14. (0,816)3.
3. 0,614 : 0,259. 9. 0,716 : 8,47. 1(- 3.0,548
4. 0,0792:0,361. 10. 0,012 : 8,216. 0,964 *
5. 0,259 : 0,614. 11. 0,584 - 0,584. 1β 7,12.0,64
6. 0,312 : 0,728. 12. 0,584 · 0,584 . 0,584. \\j '
Квадратный корень
Пример. 1/0,318.
log 0,318 = 1,5024;
log /(Щ8~ = — · log 0,318 =
= 1 ·Τ,5024 =
2^
_ 2 + 1,5024 _
2
= Г+0,7512 = Г, 7512;
У(Щ8 = 0,5639.
Упражнения
1. /0J12. 3. /0,0212. 5. /0ДП6. 7. /2,916.0,123.
2. /0,816. 4. /0,000167. 6. /0,412.
Сверьте полученные результаты с данными таблицы квадратных
корней.
Глава 18. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ЛИНЕЙКА
Начертите график функции у = log χ для 1 < χ < 10.
Значения логарифмов чисел возьмите из таблиц логарифмов.
Масштаб выберите следующим образом: единица по оси χ пусть соот*
ветствует отрезку в I см, единица по оси у — 10 еж. Значение χ бе*
рите с интервалом 0,5 (рис. 92).
Пользуясь этим графиком, вы сможете изготовить логарифма*
ческую шкалу следующим образом. Возьмите полоску плотной
бумаги с прямолинейным краем. Отметьте у одного конца полоски
точку и обозначьте ее 1,0. Затем приложите полоску так, чтобы
точка с пометкой 1,0 совпала с точкой Μ графика (рис. 92), а ее
прямолинейный край был бы параллелен оси ΟΥ. На полоске от*
метьте точку, соответствующую точке Ву и обозначьте ее 2,0. Пов*
97

Uj
ο
со
t/i
1,0
0,9
0,8
0,7
χ0,6
3 0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
Ι
-
-
-
-
_
_AJ
График t/= lgl0x
ξ/
Ε
D
с/
В
' м
ν\
Ρ
α
R
s
Lil
/^
υ
ν
—^»
10 χ
^Логарифмическая шкала
Рис. 92.
торите аналогичную операцию с отрезками NC, PD, QE, RF, SG,
ТН, UI, VJ. Полученная на полоске шкала называется
логарифмической шкалой. Если теперь вы проведете через отметки прямые,
перпендикулярные краю полоски, и разрежете полоску по ее
средней линии, то полученные две полоски с отметками 1,0; 2,0; 3,0;
. . .; 10,0 образуют простейшую логарифмическую линейку.
Длина отрезка АВ соответствует log 2. Следовательно, расстояние
между отметками 1,0 и 2,0 пропорционально log 2. Аналогично
расстояние между отметками 1,0 и 3,0 пропорционально log 3. Если мы
сложим длины этих отрезков (рис. 93), то общая длина отрезка
будет: log 2 + log 3 = log (2 · 3) = log 6. Проверьте это на
вашей логарифмической линейке.
Попробуйте на линейке разделить 6 на 3.
Теперь посмотрите на настоящую логарифмическую линейку
длиной 25 см. Вы часто будете пользоваться ею при вычис*
111
1{5 __ 2\0 _ 2\5
"ЛГ ?1о "Hi э!о зЬ *1о *Ь bio sb б(
Τ Т'" · -
Рис. 93»

лениях. Но помните: логарифмическая линейка дает только первые
1(3—4) цифры ответа. Порядок числа определите сами.
На лицевой стороне логарифмической линейки имеется четыре
шкалы: две вверху и две внизу. Шкалы В и С нанесены на движке,
причем на шкале В отложены логарифмы чисел от 1 до 100, а на
шкале С — логарифмы чисел от 1 до 10. Таким образом, длина
шкалы В от пометки 1 до пометки 10 равна половине длины шкалы С
между теми же пометками. (Почему?) На корпусе линейки шкалы
A kD соответствуют шкалам В и С. Шкалы С и D более растянуты
и, следовательно, дают более высокую степень точности, чем шкалы
А и В; эти две шкалы используются нами для умножения и деления.
Примеры.
1. 2,65- 3,15.
Последовательность действий
1. Установите визир на пометку 2,65 на шкале D.
2. Переместите шалу С так, чтобы пометка 1,0 на ней совпала
с волоском визира (т. е. с пометкой 2,65 шкалы D).
3. Установите визир на пометке 3,15 шкалы С.
4. Прочтите число на шкале D, указываемое визиром
(произведение 2,65 · 3,15 читается как 835). Грубая оценка произведения
2,65 · 3,15 дает 6, таким образом, мы можем записать: 2,65 · 3,15 =
= 8,35.
2. 2,65 · 6,35. Попробуем применить ту же программу.
Программа
1. Установите волосок визира на отметке 2, 65 шкалы D.
2. Переместите шкалу С так, чтобы отметка 1,0 на ней совпала
с волоском визира.
3. Передвиньте визир на отметку 6,35 шкалы Си... ничего не
выходит! Визир оказывается не на линейке.
Программа не подходит. Но если мы передвинем шкалу С так,
чтобы с отметкой 2,65 шкалы D совпала отметка 10,0 шкалы С,
а затем переместим визир на отметку 6,35 шкалы С, то мы получим
ответ 168 (рис. 94). Грубая оценка произведения (2-6 = 12)
показывает, что 2,65 · 6,35 = 16,8.
6,35
U\
1,68
2,65
Рис. 94.
99

Почему мы должны были так поступить?
Длина отрезка XY пропорциональна log 2,65;
Длина отрезка UV пропорциональна log 10 — log 6,35.
В данном случае мы вычитаем UV из XY, поэтому мы получаем:
log 2,65 — (log 10 — log6,35) =
«= log 2,65 + log 6,35 — log 10 =
= log (2,65 - 6,35 - 10-1).
Множитель 10 определяет только положение запятой в числе,
а не порядок цифр.
Программа умножения (М · N)
1. Установите визир на отметку Μ на шкале D.
2. Переместите шкалу С так, чтобы отметка ее 1,0 совпала с
волоском визира.
3. Переместите, если это возможно, визир так, чтобы его волосок
совпал с отметкой N шкалы С. Если это оказывается невозможным,
то передвиньте шкалу С так, чтобы ее отметка 10,0 совпала с
отметкой Μ на шкале D, а затем уже переместите визир до совпадения
его волоска с отметкой N шкалы С.
4. Отметка шкалы D, указываемая волоском визира, даст
цифры произведения Μ - N.
5. Прикиньте возможный результат произведения Μ - N и в
соответствии с этим определите число цифр в целой части; поставьте
десятичную запятую в полученном по линейке результате.
Упражнения
1. 1,56 ■ 2,5.
2. 2,42 · 3,22.
3. 4,15 - 2,17.
4. 5,45 - 2,92.
5. 4,65 - 2,64.
Ответы
1. 3,90. 6. 23,8. 11. 7700.
2. 7,80. 7. 1690. 12. 19.8.
3. 9,00. 8. 338. 13. 0,00985.
4. 15,9. 9. 1000. 14. 33,6.
5. 12,7. 10. 1830. 15. 61,8.
Деление осуществляется вычитанием логарифмов или длин.
Пример. 7,25 : 4,65.
Программа
1. Установите визир на отметке 7,25 шкалы D.
2. Передвиньте шкалу С так, чтобы ее отметка 4,65 совпала с
волоском визира.
6. 3,86 - 6,15.
7. 72,1 · 23,4.
8. 52,9 · 6,38.
9. 479 · 21.
10. 67,3 · 27,2.
11. 84,1 . 91,5.
12. 62,7 - 0,315.
13. 0,0123 - 0,78
14. 3,142 - 10,7.
15. 3,142 - 19,65.
100

3. Передвиньте визир на отметку 1,0 или, если это невозможно,
на отметку 10,0 шкалы С.
4. Прочтите отметку на шкале D, соответствующую положению
визира (156).
5. Оцените приближенно ответ.
6. Поставьте соответственно этому запятую в ответе.
Пример. 7,25 : 4,65 = 1,56.
Упражнения
1. 2,5 : 1,56. 4. 12,92 : 3,96. 7. 41,3 : 0,37.
2. 3,42 : 2,42. 5. 5,83 : 7,91. 8. 0,23 : 0,56.
3. 4,15 : 2,17. 6. 1090 : 321. 9. 7,91 : 8,65.
Ответы
1. 1,6. 4. 3,26. 7. 111,6.
2. 1,41. 5. 0,725. 8. 0,411.
3. 1,91. 6. 3,39. 9. 0,915.
Если нам надо разделить на одно и то же число несколько чисел,
то вычисления иногда можно упростить — мы можем прочесть все
частные при одном и том же положении визира, например:
3,61 : 2,7; 4,91:2,7; 1,86 : 2,7.
Программа
1. Установить отметку 2,7 шкалы С против отметки 1 шкалы D.
2. Прочтите ответы на шкале D, расположенные под отметками
3,61 и 4,91 шкалы С.
3. Для нахождения частного 1,86 : 2,7 мы должны установить
отметку 2,7 шкалы С против отметки 10 шкалы D и затем уже
прочесть ответ над отметкой 1,86 шкалы С.
Умножение и деление
Пример. 3,61.2,78
8,92-4,17
Программа
1. Установите визир на отметке 3,61 шкалы D.
2. Не меняя положения визира, установите отметку 8,92 шкалы
С против волоска визира.
3. Передвиньте визир на отметку 2,78 шкалы С.
4. Переместите шкалу С так, чтобы ее отметка 4,17 совпала с
волоском визира.
5. Передвиньте визир на крайнюю отметку шкалы С (в
данном случае на отметку 10).
6. Прочтите ответ (251) на шкале D.
101

7. Сделайте грубую прикидку ожидаемого результата:
(3 · 3): (9 · 4) = -i = 0,25.
4
8. Запишите ответ: 0,251.
Упражнения
1. 5,95» 2,64 2. 44,9» 0,86
7,75- 3,88 ' 75,5- 3,54*
Запомните: с помощью логарифмической линейки нельзя
складывать числа.
Теперь самостоятельно исследуйте вопрос, как выполняется
умножение на шкалах А и В. Проверьте себя на примерах,
приведенных выше.
Квадратные корни.
Пример. У7. Поставьте волосок визира на отметку 7 шкалы Л.
Прочитайте ответ на шкале D (2,646).
Квадраты чисел. Поставьте визир на соответствующую отметку
шкалы D. Ответ прочтите на шкале А.
Глава 19. ОТНОШЕНИЕ
Рассмотрите фигуры а—ж на рисунке 95.
Какую дробь представляет каждая из заштрихованных фигур?
Почему вы так считаете?
Теперь рассмотрите фигуру, данную на рисунке 95, ж. Каково
соотношение между площадями фигур: (2) и (1)? (3) и (1)? (4) и (1)?
Фигуры (2), (3), (4) тем или иным образом представляют —. Если
мы площади одной из фигур (2), (3), (4) поставим в соответствие
единицу, тогда площадь фигуры (1) будет соответствовать, двум.
Мы говорим, что на рисунке а) отношение длины короткой
полосы к длине длинной полосы равно 1 к 2, или 1 : 2, или просто — .
Мы можем также сказать, что отношение длинной полосы к корот-
2
кой равно 2 к 1, или 2:1, или просто —.
Два объекта А я В относятся так, как относятся их меры, а (мера
A)ub (мера В)у т. е. находятся в отношении а : Ь, или —. Отношение
b
меры В к мере А равно отношению b к a: b : α, или —.
α
103

a)
6)
W/////////A
ш
ι
гз
δ)
ΖΖΖΖΖΖΖΖΖ2ΖΖΖΛ
г)
е)
ш)
ш
Ζάϊ
11
г)
Рис. 95.
ш
3)
W
V7,
ΪΔ
4
ΖΛ
Для каждой из фигур а—ж (рис. 95) запишите словами тот
факт, что отношение площади одной фигуры к площади другой
равно 1: 2.
На рисунке 95, ж мы видим, что в каждом случае отношение рав-
з
но —, но так как 6 равно 2 · 3, то мы можем записать отношение
в более простой форме: у*
Предположим, что — = —, т. е. отношение А к В равно отно-
В 32
шению 16 к 32. Чему равно отношение В к Л? Какова простейшая
форма отношения —? Назовите восемь пар чисел, находящихся
В
в таком же отношении.
Упражнения
1. Назовите восемь пар чисел, отношение которых равно:
а) 1. б) 28. В) 24. г) 12. Д) ±t
56'
36'
36*
9
103

2. Перепишите в тетрадь, заполнив пропуски:
а) 2_==^==_==Ш = Ш = 24= β
3 ~" 12 100'
б) 1==^.==_=:±==_==^=! .
2 ~~ "" 8 "" 32 "~~ 100'
!*)! = ! = _=:- = - = _·
4 36 16 24 100'
~5*~~ 15 ~~45~~ 50 """ 60 ~~ 75 _ Too'
д) 3_ = __27== ^ _ _ — &0 #
5 ~ 15 _ "" 50 ~~ ~* 80 ~ '
*)^ = - = - = - = - = - = - = --1=-:
32 16 8 4 2 1 J^ J_'
2 4
Ж) i==_=_==_==_==__.
27 9 3 2 i_ * '
3 9
3) 8. _ _ = 1.
4 1
И) A = _L = _ = _.
10 1 100'
K) l^i = _<
3 1 '
л) ± = 1 _ _
7 1 "
Вопросы для обсуждения
3. Задано некоторое множество точек:
А = {(2, 1), (4, 2), (6, 3), . . .}.
Поставьте пропущенные координаты точек, принадлежащих это·
му множеству:
{(-, 5), (-, 1±), (-, 2-i), (7, -), (-у)}.
Изобразите эти точки на графике (0 < χ < 12, 0 < у < 8).
За единицу масштаба по обеим осям примите отрезок в 1 см.
Что собой представляет множество А? Как можно узнать, является
ли некоторая точка, координаты которой даны, элементом
заданного множества?
4. Пусть задано множество точек В:
В = {(3, 2), (6, 4), (12, 8), . . .}.
Ниже даны точки, принадлежащие этому множеству.
Проставьте пропущенные координаты:
(1, _). (-, 1), (_, 6), (9, -). (х, -) .
104

Изобразите точки этого множества на графике (0 < χ < 12; 0 <
< у < 8). За единицу масштаба на обеих осях примите отрезок
длиной 1 см.
Что собой представляет это множество? Как вы определите,
принадлежит ли некоторая точка данному множеству?
5. Как расположены точки множества А относительно точек
множества В? Постройте точку с координатами (4,1). Где она
находится на графике? Постройте точку с координатами (3,4). Где она
находится на графике? Постройте точку с координатами (9,5). Где
она находится на графике?
6. Теперь попробуйте на основе упражнений 3,4 и 5 сделать
вывод относительно графического метода сравнения дробей и
отношений.
7. Найдите все дроби ^ (0 < χ < 12), для которых χ η у —
X
ν 1
целые числа и такие, что — < —.
х 2
8. Напишите все дроби вида -^-, если χ и у — целые числа,
X
О <х < 12 и - <—.
у ^ 3
9. Начертите прямоугольную систему координат, приняв за
единичный отрезок по обеим осям отрезок длиной 1 см, 0 < χ < 12,
О < у < 12.
х 3
а) Постройте точки (х, у), для которых — = —.
У 4
Выпишите все дроби ~ (х и у — целые числа), для которых
У
χ 3
— меньше, чем —.
У 4
χ 1
б) Постройте точки (ху у), для которых — = —.
У 3
χ 1
Выпишите все дроби, для которых — <—, χ и у — целые
У 3
числа.
в) Выпишите все дроби — (х и у — целые числа),
удовлетворяющие неравенствам:
3 \у 4
10. Составьте самостоятельно упражнение, аналогичное
упражнению 9, и запишите полученные результаты.
11. Предположим, я получил 20 баллов из 50 возможных.
Сколько я получил бы баллов, если максимальное их число равнялось
бы:
а) 100; б) 25, в) 10; г) 40?
105

12. Предположим, я получил 60 баллов из 80 возможных, сколько
я получил бы баллов, если их максимальное число равнялось бы:
а) 40; б) 20; в) 100; г) 60?
13. Джон получил 45 баллов по истории, Мери 55, Джейн 20
и Джим 60 из максимально возможных 75 баллов. В сводке должны
быть проставлены баллы, соответствующие не 75, а 15 возможным
баллам. Какое число баллов должно быть проставлено в этом
случае для каждого?
Упражнения
1. Максимальный балл на экзамене был 40. Полученные
учащимися баллы были затем пересчитаны из расчета, что максимальное
число баллов за экзамен равно 50. Какое теперь число будет
соответствовать оценке в 8 баллов? в 32 балла? Обозначим число
баллов, полученных при условии, что максимальное число баллов 40,
через Ry а число баллов, полученных при том же качестве
выполненной работы из 50 возможных,— через Р. Начертите график
зависимости R от Р.
На основе графика заполните таблицу:
R 0 15 20 25 35 28 29 38 35 40
Ρ 0 50
(Вы увидите, что на каждой из осей удобно выбрать масштаб,
при котором отрезок длиной 2 см соответствует 10 баллам.
Значения R откладывайте на оси у> а значения Ρ — на оси х.)
Пользуясь логарифмической линейкой, найдите отношение R к Ρ
в каждом случае. Как по-вашему, какой будет результат? Почему?
Какова формула, связывающая R и Р?
2. На листе клетчатой бумаги (будет достаточно страницы)
начертите оси Ох и Оу, 0<у<4,0<#<7. Пусть отрезок в 2 см
будет соответствовать единице на каждой из осей. Соедините точку
Р6 (6, 4) с началом координат О (0, 0). Пусть точка Q6 имеет
координаты (6, 0), Проведите прямые х = 19 х= 2, п
х=3, х=4у х=5, точки пересечения этих
прямых с прямой ОР6 обозначим соответственно Ρί9
Q5 (Рис 96)
а с осью х— Qu Q2, Q3,
106

Измерьте отрезки OP, OQ , PQ для каждого из треугольников
OPQ и составьте таблицу:
ОР
OQ
QP
QP/OQ
QP/OP
OQ/OP
1
2
3
4
5
6
Что вы заметили в последних трех строчках? Ожидали ли вы
это? Почему? Какие отношения будут всегда равны?
«ОР — прямая умножения». В каком смысле верно это
высказывание?
3. а) Измерьте по возможности точнее отрезки АС, СВ, А В
(рис. 97) и заполните таблицу:
1
2
з
4
5
6
АС
СВ
АВ
АС
СВ
1
АС
АВ
т
СВ
АВ
η
107

Что вы заметили в последних трех столбцах: /, т, п?
б) Измерьте отрезки О A, OB, AB (рис. 97) и заполните таблицу:
ОА
ОВ
АВ
ОА:АВ
ОВ:АВ
0 А :ОВ
1
2
3
4
5
6
Ρ
Я
г
Что вы заметили относительно последних трех строчек: р, q и г ?
4. Ток /, проходящий через сопротивление, и показания V
вольтметра, соединенного параллельно с этим сопротивлением, даны в
таблице:
/ 0 0,5 1,1 2,0 2,6 3,1 3,7 4
V 0 1,0 2,2 4,0 5,2 6,2 7,4 8
Откладывая значения тока на горизонтальной оси, а
напряжения — на вертикальной оси, постройте график зависимости V —/.
Каково ваше заключение? Как может быть записана формула,
выражающая напряжение V через ток /?
5. Найдите длины окружностей и диаметры шести различных
кругов с диаметрами от 2 до 12 см. Измерения проводите рулеткой
(могут быть использованы монеты, консервные банки, чашки,
блюдца, тарелки). Полученные результаты сведите в таблицу:
D
С
Диаметр
Длина
окружности
Начертите график зависимости С otD, выбрав масштаб
следующим образом: за единицу длины по горизонтальной оси D примите
отрезок, равный 2 см, а за единицу длины по вертикальной оси С
примите отрезок, равный 1 см. Что вы заметили особенного в гра-
108

фике? Что вы можете сказать об отношении С к D? Почему вы
думаете, что ваши результаты только приближенные?
Вы должны были бы ожидать этот результат, так как все
круги имеют одинаковую форму; поэтому вы могли бы предположить,
что при удвоении диаметра длина окружности тоже удвоится.
Длина окружности единичного диаметра обозначается греческой
буквой π, начальной буквой слова «периметр» (perimetros).
Запишите формулу для длины окружности, используя символы
С, π и D.
Если R — радиус окружности, то как должна быть записана
формула для вычисления длины окружности через π и R? π =
= 3,1415926. . ., значение π может быть вычислено с большим
числом десятичных знаков.
В большинстве случаев значение π может быть взято равным
3 -ί-, или 3,14.
7 '
6. Диаметр велосипедного колеса равен 70 см. Найдите длину
его окружности. Сколько оборотов сделает колесо на расстоянии
в 1 км? Сколько оборотов сделает колесо в течение 1 мин, если
скорость велосипедиста равна 7 м/сек?
7. Запишите формулу, выражающую диаметр D окружности
через ее длину С.
8. Пользуясь логарифмической линейкой, заполните таблицу:
Радиус окружности (в см)
Диаметр окружности (в см)
Длина окружности (в см)
3
2.1
4,6
7,6
8,9
7,6
9. Орбиту Земли приближенно можно считать окружностью
радиуса 150 млн. км. Определите с точностью до двух значащих
цифр путь Земли, проходимый ею в течение года. С той же точностью
определите расстояние, которое проходит Земля за 1 день, за 1 час,
за полчаса (если нужно, используйте логарифмическую линейку).
10. Астронавт находится на орбите примерно на расстоянии
1500 км от поверхности Земли. Какова его скорость, если полный
виток вокруг Земли он завершает в течение 2 ч? Радиус Земли
примите равным 6400 км.
11. Несколько разновесов W поочередно подвешиваются на
эластичной подвеске, и в каждом случае записывается удлинение
подвески. Результаты замеров сведены в таблицу:
W (в кг) 1 2 3 4 5 6
χ (в см) 1,7 3,5 5,2 7,0 9,0 10
109

χ β Начертите график зависимо-
-0 ' ста х от W. Какой вывод вы
можете сделать из
рассмотрения этого графика? Чему равно
отношение W к х? Почему
координаты некоторых точек вашего
графика не точно соответствуют
этому отношению? Как вы можете выразить W через х?
12. Легкий и прочный стержень АВ (рис. 98) подвешен на
шнуре в точке С. На одном конце стержня подвешена чаша. В точке X
подвешено кольцо. Если кольцо находится в точке О, то стержень
вместе с чашей находятся в равновесии, но если на чашу положен
вес W, то для сохранения равновесия кольцо должно быть
передвинуто в точку X. ОХ — х см. Результаты опыта сведены в
следующую таблицу:
W (в кг) 0 1 2 3 4 5 6
х (в см) 0 2 4 6 8 10 12
Начертите график зависимости х от W. Что вы замечаете? Чему
равно отношение W к х? Какова формула, выражающая зависимость
х от W?
Рассмотренный выше пример — иллюстрация принципа
устройства римского безмена. Проведите такой же эксперимент сами и
посмотрите, получите ли вы аналогичный результат. Для
эксперимента вы можете использовать деревянную планку АВ, подвесив ее
на вешалке или на палке от щетки, лежащей на двух стульях.
Чаша весов может быть изготовлена из жестяной крышки.
Упражнения
1. Найдите масштаб, в котором выполнена какая-либо модель
автомобиля; найдите описание самого автомобиля и сравните их
размеры. Вы можете проверить, находятся ли соответствующие
размеры автомобиля и его модели в одном и том же отношении; это
можно сделать, нанеся на график размеры (длины) соответствующих
деталей.
Найдите еще какие-либо модели, которые вы можете
рассмотреть таким же образом.
Г
110
Рис. 99.

2. Был найден сохранившийся
скелет доисторического
животного. Его высота до плеча оказалась
равной 4 м, а кость плеча
оказалась длиной 1,3 м. Какой высоты
было бы животное того же вида,
если бы у него высота до плеча
оказалась равной 1 м?
3. На берегу был найден
обломок раковины, изображенный в
натуральную величину на
рисунке 99. Определите длину всей
раковины1.
4. На рисунке 100 изображена
девочка ростом 1,3 м, стоящая
возле башни. Чему равна высота
башни?
5. Вырежьте из газет и
журналов фотографии, на которых
изображены люди, стоящие возле
зданий. Считая, что средний рост
мужчины равен 170 см и средний Рис. юо.
рост женщины равен 160 сму
определите высоту зданий. Сделайте
то же, приняв, что рост мужчины равен 2 м и рост женщины
равен 165 см.
6. Я заплатил за капусту 1 шиллинг 6 пенсов при стоимости
одного фунта капусты 6 пенсов. Сможете ли вы узнать, сколько я
купил капусты?
7. 5 фунтов картофеля стоят 1 шиллинг. Сколько я заплатил бы
за 14 фунтов?
8. Дюжина роз стоит 7 шиллингов 6 пенсов. Сколько нужно
заплатить за 15 роз?
9. План дома начерчен в масштабе: 8 м в 1 см. Каков истинный
размер комнаты, если на плане ее размеры равны 1— см и 1— см?
10. Два метра стального троса весят 4,63 кг. Какова длина троса
в мотке весом 50 кг?
11. Два метра стального троса весят 6,4 кг. Какова длина троса,
если его вес равен 1 ц?
12. Один погонный метр трубы диаметром 18 мм весит 3,2 кг.
Сколько весит труба такого же диаметра длиной 1,6 м?
13. Команда рыболовецкого судна делит улов на 60 частей.
Каждый член команды получает 2 части, помощник капитана получает
1 В этой задаче предполагается, что форма раковины хорошо известна детям.
Ш
л

16 частей, капитан получает 30 частей. Сколько получит каждый
на судне, если стоимость улова составляет 240 фунтов стерлингов?
Сколько человек команды на судне?
14. Фунт яблок стоит 1 шиллинг 6 пенсов, 3 яблока весят
примерно 1 фунт. Сколько стоят 12 яблок? 28 яблок? 34 яблока?
15. 1) Расстояние в 120 км было пройдено за 4 ч. Какова была
средняя скорость движения?
За сколько времени при той же средней скорости было бы
пройдено 60 км? 80 км?
2) Как по-вашему, можно ли проехать в центре города
расстояние в 1 км за 1,5 мин?
16. Оркестр, состоящий из 120 музыкантов, играет симфонию
в течение 40 мин. Сколько минут будут играть эту же симфонию
40 музыкантов?
17. Месячный билет, дающий право проезда между двумя
станциями, стоит 1 руб. Сколько будет стоить такой же билет сроком
на 3 месяца?
18. Некто получил за работу, выполненную им за 6 ч, 28 руб.
Сколько по-вашему он получит за сорокачасовую рабочую неделю?
19. Кокон шелкопряда весит около 0,05 г и дает в среднем 450 ж
шелковой нити. Сколько метров шелковой нити дадут коконы
общим весом 100 г?
На основании этих данных может быть получена единица веса
кокона на 1 м нити/деньер:
, 0,05 г 1
1 деньер = - = г м.
г 4Я0 м QOOO
450 м 9000
20. Измерьте диаметры вязальных спиц различных размеров,
результаты сведите в таблицу;
Размер спицы:
Диаметр спицы:
Имеется ли соответствие между размером и диаметром спиц?
(Попробуйте дать графическое изображение.)
21. Размер шляпы определяется диаметром окружности, по
которой шляпа касается головы. Найдите точно ваш размер шляпы.
Соответствует ли этому размеру шляпа, которую вы носите?
Объясните полученный результат, если теоретический размер не
совпадает с фактическим размером.
22· Переведите 1 милю в час в футы в секунду. Проверьте,
справедливо ли следующее правило:
«Для перевода миль в час в футы в секунду надо умножить число
22
миль в час на — ». Как вы переведете футы в секунду в мили в
15
час?
23. Галлон бензина стоит 5 шиллингов. Переведите эту
стоимость в франки за литр. Метрические эквиваленты вы найдете на
Ш

странице 411 данной книги, а курс франков — в газете (при
вычислениях используйте логарифмическую линейку).
24. Рецепт для изготовления кекса на 12 человек: 120 г
маргарина, 120 г сахару, 120 г муки и 2 яйца. Этого количества
достаточно на 12 человек. Сколько нужно маргарина, сахара, муки и яиц,
чтобы приготовить кекс на:
а) 48 человек; в) 42 человека;
б) 60 человек; г) 57 человек?
Подумайте внимательно над ответами заданий в) и г).
Плотность
25. Плотность железа равна 7 800 кг/м3. Каков объем тонны
железа?
26. Плотность населения выражается в числе людей на
квадратный километр. Найдите плотность населения Великобритании,
считая, что ее площадь составляет примерно 240 000 кв. км:
Год
1911
1931
1951
1961
Население (в млн.)
42,1
46,0
50,2
52,7
Мужчины (в млн.)
20,4
22,1
24,1
25,5
Женщины (в млн.)
21,7
24,0
26,1
27,2
Постройте график плотности населения. Какое заключение
вы можете сделать? Пользуясь построенным вами графиком,
определите плотность населения в 1984 и 1999 гг. и сравните
полученные данные с официальным прогнозом роста населения до 57,4
и 60,1 млн. в 1984 и 1999 гг. соответственно.
27. На основании данных в задаче 26 найдите отношение числа
мужчин к числу женщин для каждого года. Результаты запишите
в виде десятичной дроби. Чему равно в среднем это отношение?
Увеличивается ли относительное число женщин?
28. Плотность золота составляет 19 300 кг/м3.
а) Найдите вес золотого стержня размером 3 · 2 · 12 см.
б) Каков объем слитка золота в 100 кг? Дайте размеры бруска
золота, весящего 100 кг.
29. Кубический метр алюминия весит 2700 кг. Сколько весит
кубический сантиметр алюминия?
30. Кубический метр ртути весит 13,6 т. Сколько весил бы столб
ртути высотой 760 мм9 основание которого равно 1 кв. мм?
Спросите учителя физики, что это означает?
31. Кубический метр оружейной стали, содержащей 84 части меди
и 16 частей олова, весит 7550 кг. Один кубический метр олова
весит 7290 кг. Определите на основании этих данных, какие части,
113

весовые или объемные, указаны в задаче. На основании вашего от*
вета найдите плотность меди.
32. Кубический метр листового олова весит 7290 кг. Плоская
крыша размером 16-30 куб. м покрыта листовым оловом
толщиной 1,8 см. Сколько олова было израсходовано?
33. Земля делает полный оборот (360°) около своей оси за 24
часа. На какой угол она повернется за 3 часа?
34. Разность в долготе двух городов составляет 30°. Какова
разность поясного времени для этих городов?
Глава 20. ВЕКТОРЫ
В главе 12 вы узнали некоторые свойства направленных отрезков,
там мы сказали, что эти отрезки называются векторами. Давайте
теперь подведем итоги тому, что нам было известно:
а) Вектор может быть представлен двумя способами (рис. 101):
1) как отрезок, имеющий определенное направление и длину,
АВ;
2) как упорядоченная пара чисел (аи а2).
б) Векторы можно складывать (рис. 102)
а + b = с.
Если мы представим вектор а как упорядоченную пару чисел
(«!, а2), вектор b как упорядоченную пару (biy b2) и вектор с как
упорядоченную пару (ciy с2), то
(ai9 а2) + (£?!, Ь2) = (си с2).
в) Векторы, изображаемые одинаково направленными и равной
длины отрезками, равны (рис. 103):
АВ = CD = а = (аи а2),
г) АВ = —ВА; а — а = 0; (aif а2) + (—аи — а2) ■= 0.
Рис. 102
114

Q *.
Рис. 103.
ь,
г
a*
В
b
S^
a
lb
A
o2
Ιόι
a?\
Рис. 104.
ь2
О q, ь, Ρ
Рис. 105:
д) Если т — число, отличное от нуля, то та — вектор,
параллельный вектору ау длина его в т раз больше длины вектора а
(рис. 104).
Таким образом, если АВ = а, ВС = а, то АС = 2а.
е) Порядок, в котором производится сложение векторов, не
влияет на результат:
а + Ъ = Ь + а.
В самом деле, если мы представим векторы как упорядоченные
пары чисел, то а + Ь = (аи а2) + (Ьи Ь2) = (а{ + Ьи а2 +
+ Ь2) = (&1 + αϊ, Ь2 + а2) = Ь + а.
Этот факт иллюстрируется на рисунке 105. Для того чтобы из
точки О попасть в точку С, мы можем идти:
а) вдоль вектора О А, а затем вдоль вектора АС;
V —V
б) вдоль вектора 05, а затем вдоль вектора ВС;
в) на север по OQ, а затем на восток вдоль вектора QC;
г) на восток вдоль вектора ОР, а затем на север вдоль вектора
PC.
Скорости
Человек стоит на платформе, которая может перемещаться в
направлении Ох (рис. 106) с постоянной скоростью. Предположим,
что платформа движется со скоростью 2 м/сек. Через t сек она
переместится в направлении Ох на расстояние χ м. Предположим
теперь, что одновременно с началом движения платформы по
платформе начинает двигаться и человек — в направлении Оу — со
скоростью 1 м/сек. Через t сек он пройдет по платформе у м.
115

Через 1 сек после начала движения платформа переместится на
2 м, а человек пройдет по платформе 1 м, через 2 сек
перемещения составят 4 и 2 ж, соответственно,
Заполните таблицу:
/ (в сек) 0 1 2 3 4 5 6 7
а: (в ж)
у (в ж)
Мы можем изобразить происходящее графически (рис. 107),
считая, что на обеих осях отрезок в 1 еж соответствует перемещению
в 1 м. Тогда абсциссы χ точек будут показывать удаление
человека от оси Оу.
Что вы заметили относительно точек (х, у)? Что изображает
прямая PQ на рисунке 107?
Вспомните теорему Пифагора (рис. 108): а2 + Ь2 = с2.
Найдите длину отрезка ОР (рис. 107).
Представьте себе, что вы с большой высоты смотрите на
платформу с человеком и что платформа настолько прозрачна, что вы
ее практически не видите, но рельс Ох и ось Оу отчетливо видны
на земле. Вам будет казаться, что человек идет от точки О по
прямой и за каждую секунду проходит в направлении ОР
расстояние, равное ]/"5 м. Это — скорость человека относительно
земли; она слагается из двух скоростей, одной — в направлении Ох,
равной 2 м/сек, и другой — в направлении Оу и равной 1 м/сек.
Прямая, по которой, как кажется наблюдателю, идет человек,
называется траекторией его движения относительно земли.
Для нахождения скорости человека относительно земли (рис. 109)
сложим вектор и (изображающий скорость, равную 2 м/сек и
параллельную оси Ох) и вектор (изображающий скорость в 1 м/сек,
направленную параллельно оси Оу). Результирующая, или сум-
-*■ —>
ма векторов и + у, будет скоростью человека относительно земли.
Вы можете изготовить модель разобранной нами задачи из
деталей «конструктора» (рис. 110). При перемещении тележки нить
сматывается с одной оси и наматывается на другую, перемещая при
этом планку. Если вы толкнете тележку, укрепленную на классной
доске, то наблюдателю, стоящему перед доской, будет казаться, что
планка движется по диагонали доски. Если вы закрепите кусочек
мела резиновым шнуром или проволокой на планке, то он
вычертит на доске наклонную прямую.
Простой опыт с человеком, идущим по движущейся платформе,
аналогичен движению корабля, курс которого перпендикулярен
течению. Предположим, что скорость течения направлена на восток
и равна 6 узлам, а корабль держит курс на север и развивает
скорость 8 узлов. Если капитан не знает о течении, ему будет
казаться, что корабль движется на север со скоростью 8 узлов. Какова
116

Рис. 106.
Η
ось I
нить I
ось I
и
Рис. ПО.
117

море
__ * 6 у)ПОО
»
18 узлов
1 J корабль
V
Рис. 11L
t
с
Рис. 112.
^
1
5
0
ι >^1
v^9
С
Рис. 113.
скорость корабля относительно движения и в каком направлении
он действительно движется (рис. 111)?
Мы изобразили течение вектором с> длина которого равна 6
единицам, направленным на восток, а собственную скорость корабля
вектором s, длина которого равна 8 единицам (рис. 112). Скорость
g корабля относительно земли будет равна: g = s + с (рис. 113).
Найдем скорость корабля относительно земли.
1-й способ: "Ус = (6,0), тогда "| = (0,8) + (6,0) = (6,8), и
—>
скорость g по теореме Пифагора будет:
~g = ]/62 + 82 = УШ = 10 (узлов).
(Найдите, чему равен узел, узнайте, почему на кораблях и
самолетах часто в качестве единицы скорости используют узел.)
2-й способ. Изобразите векторы s и g в масштабе
(рис. 113), тогда скорость движения корабля относительно
земли (истинная скорость) будет изображаться вектором OG.
Истинная скорость корабля будет равна 10 узлам в час, т.е. больше
собственной скорости корабля (относительно воды), направление
ее будет составлять 37° (к востоку) с направлением на север.
Упражнения
1. Скорость западного ветра равна 24 км в час, собственная
скорость самолета равна 60 км в час. Компас показывает, что самолет
летит на север. Каков действительно курс самолета и какова его
скорость относительно земли?
2. На некотором участке морское течение, скорость которого
8 узлов, имеет направление NW. Собственная скорость корабля 6
узлов, курс корабля по компасу NE. Каковы курс и скорость
корабля относительно земли?
3. Корабль идет по компасу на север со скоростью 24 узла.
Скорость течения в этом месте равна 10 узлам и направлена на запад.
Каковы скорость и направление движения корабля относительно
земли?
118

4. Течение направлено на юг, и его скорость равна 12 узлам.
От берега, линия которого совпадает с направлением меридиана,
отплывает катер, держащий курс на восток и движущийся со
скоростью 15 узлов. На сколько он удалится от берега через 3 часа?
Каково будет его положение относительно порта отправления?
5. Корабль покидает порт, о котором говорилось в задаче 4,
и держит курс на северо-восток, скорость его равна 15 узлам. На
сколько он удалится от порта за 3 часа? Найдите его положение
относительно порта?
6. Найдите расстояние между кораблями, о которых говорилось
в задачах 4 и 5, через 2 ч после того, как они одновременно покинут
порт?
7. Собственная скорость самолета равна 80 км в час, скорость
южного ветра равна 30 км в час. Какова истинная скорость
самолета относительно земли (величина скорости и направление), если
по показаниям компаса он летит:
а) на восток; г) на северо-запад;
б) на запад; д) на юго-запад;
в) на северо-восток; е) на юго-восток?
Равновесие
К крючкам Л и 5 на классной доске прикреплены эластичные
шнуры О А и ОВ (рис. 114). В точке О к ним привязан шнур ОС, к
концу С которого привязан груз весом 8 кг. Шнур ОВ
горизонтален, шнур ОС вертикален. Ρ и Q — показания двух пружинных
динамометров, измеряющих натяжения шнуров О А и ОВ. Почему
эта система находится в равновесии? Натяжение шнура ОВ
должно было бы заставить узел О переместиться вправо или же дать ему
возможность переместиться вниз и налево. Под влиянием
натяжения шнура (под действием силы Q) узел О может переместиться
влево или вверх и вправо. Под
действием груза узел мог бы
опуститься. Таким
образом, шнур АО
одновременно тянет узел О влево и
вверх так, что
результирующая этих сил
направлена вдоль шнура О А.
Другими словами, мы
можем заменить шнур АО
двумя шнурами,
вертикальным и
горизонтальным. Натяжение
вертикального шнура будет
равно 8 кг и направлено вверх,
а натяжение горизонталь- Рис. 114.
И?

ного шнура будет равно натяжению шнура ОВ, но направлено в
противоположную сторону.
Проведите такой эксперимент и составьте таблицу по данным
Р, Q и W, регулируя положение шнуров каждый раз так, чтобы
шнур ОВ занимал горизонтальное положение.
В одном из таких экспериментов были получены следующие
данные:
W (кг) 8 8 8 12 5 24
Q (кг) 6 13,8 8 5 12 7
Ρ (кг) 10 16 11,3 13 13 25
(Мы пишем 8 кг веса для силы, с тем чтобы подчеркнуть, что она
эквивалентна силе, с которой земля притягивает тело с массой
8 кг.) Не забудьте, что направление вектора W вертикально, а
Q — горизонтально. Рассмотрим данные первого столбца (8, 6, 10).
Начертите вертикальный отрезок О А длиной 8 единиц (рис. 115),
он будет соответствовать (по величине и направлению) силе W.
Начертите горизонтальный вектор ВО длиной 6 единиц, он будет
соответствовать силе Q.
Соедините точки Л и β и измерьте полученный отрезок.
Длина его окажется равной 10 единицам, а его направление —
параллельным прямой АО (рис. 114). Обратите внимание на то, как
поставлены стрелки, указывающие направления сил. В данном
случае они направлены по контуру треугольника в направлении
движения часовой стрелки, и сумма векторов, соответствующих
рассматриваемым трем силам, равна, таким образом, нулю. Это
математический способ выражения того факта, что три силы
уравновешивают друг друга.
Проверьте, что для результатов других опытов, приведенных
в таблице, а также и по данным ваших опытов три силы,
находящиеся в равновесии, изображаются векторами, образующими
треугольник.
Интересно следующее: предположим, тело весом L кг,
находящееся на наклонной плоскости с идеально гладкой поверхностью,
удерживается на ней шнуром, проходящим через ролик, ко
второму концу которого подвешен груз в W кг (рис. 116). Сила Р,
6
V
ч*
W
рис. 115.
рис. 117. Рис. на
120

с которой плоскость действует на тело, направлена
перпендикулярно к ее поверхности и «не дает телу пройти через нее». Тело L
находится, таким образом, в равновесии под действием трех сил: силы
Р, перпендикулярной к плоскости, силы W, параллельной
плоскости, и силы L, направленной вертикально вниз (рис. 117).
Поэтому мы должны уметь разложить силу L на две силы, одна из
которых уравновешивает силу Ρ (в противном случае тело
поднялось бы в направлении действия силы Р), а другая —
уравновешивает силу W (в противном случае тело двигалось бы вверх по
наклонной плоскости).
Таким образом, мы можем начертить треугольник сил (рис. 118).
Ясно, что сила W меньше силы L. Это позволяет нам поднимать
тяжелые грузы при помощи небольших сил. Некоторые археологи
считают, что египтяне использовали этот принцип для поднятия
тяжелых камней при постройке пирамид.
У пражнения
А. Найдите вес W или L каждого из следующих случаев
(рис. 119):
кг
1. L = 10,
2. L = 4,
3. L = 8,
4. W = 0,
5. W = 4,
6. W = 8,
Б. Заполните и
Q
1. 5
2. 6
3. 6
4.
5. 7
6.
W
4
6
8
Упражнения
θ =
θ =
θ =
θ =
θ =
θ =
ропусю
Ρ
12
9
30°,
37°,
45°,
60°,
37°,
24°,
ι (рис.
θ
120°
135°
150°
кг
W
W
W
L
L
L
12С
Рис. 119.
30 е
Рис. 120.
1. Человек может плыть в неподвижной воде со скоростью 1 м/сек.
Скорость течения реки, ширина которой 100 му равна 0,6 м/сек.
Как далеко отнесет течением человека, если он будет плыть прямо
к противоположному берегу?
2. Человек, о котором говорилось в задаче 1, переплыв реку,
решил вернуться к тому месту, откуда он поплыл, и пошел по
берегу вверх по течению до того места, откуда, по его мнению,
121

Рис. 121.
нужно было бы плыть обратно. Где, по-вашему,
должно находиться это место?
3. Человек, который может плыть со
скоростью 1 м/сек в неподвижной воде, плывет
вверх по реке, скорость течения которой
равна 0,8 м/се&. За сколько времени он проплывает
100 м? Сколько времени ему придется плыть
обратно, чтобы попасть в исходную точку?
4. Самолет, диаметр фюзеляжа которого
равен 3 му летит со скоростью 10 м/сек. Во
время полета в самолет попадает пуля, летящая
700 м/сек перпендикулярно траектории движения
сколько будет смещено выходное отверстие пули
отверстия, через которое пуля вошла.
со скоростью
самолета. На
относительно
5. Самолет летит на юг со скоростью 300 км в час, его сносит
восточный ветер, скорость которого равна 20 км в час. Какова
скорость самолета относительно земли?
Какова будет скорость, если самолет летит на юго-восток? на
юго-запад?
Каков должен быть курс самолета, чтобы относительно земли
он летел строго на юг?
6. Груз весом 10 кг подвешен к свободному концу
горизонтальной балки ОВ (рис. 121), шарнирно укрепленной на вертикальной
стене АВ. Конец О балки поддерживается тросом О А.
Угол АОВ равен 30°. Найти длину балки ОВ и расстояние АВ,
если длина троса ОА равна 2 м. Каково натяжение каната ОА?
Повторение
Мы можем представить вектор в виде отрезка, имеющего
заданные длину и направление; вектор может быть задан двумя
числами — его проекциями на оси Ох и Оу.
Таким образом, вектор PQ
(рис. 122) представляет собой
вектор длиной 5 единиц, образующий
угол θ с осью Ox, PQ = (4,3) =
= PR+RQ, где PR составляющая
вектора Ρ Quo оси Ox, a PQ — его
составляющая по оси Оу. Пара (4, 3)
является упорядоченной парой,
так как здесь порядок чисел 4 и
3 имеет существенное значение;
пара (3, 4) задает вектор, проекция
которого на ось Ох равна 3
единицам и на ось Оу 4 единицам. Рис. 122.
V,
χ
О
\
V
5/
Р< Г
/ Ц
У
ι
Q
3
R
X
122

Упражнения
1. На клетчатой бумаге начертите оси Ох и 0уу приняв за
единичный отрезок, равный 1 см —7 < χ < 7, —7 < у < 7.
Начертите векторы: 05 = (3, 4); ВС = (2,3); СЛ = (1,7); AD =
= (—5, 3). Координаты точки О (О, О).
а) Каковы координаты точек 5, С, Ли D?
б) Вычислите по теореме Пифагора длину каждого вектора и
проверьте результат измерением.
в) Найдите угол, образуемый каждым вектором с осью Ох
(запомните: углы, измеряемые от оси Ох в направлении,
противоположном направлению движения часовой стрелки, называются
положительными. Углы, измеряемые от оси Ох в направлении
движения часовой стрелки, называются отрицательными).
2. Используя оси координат для задачи 1, постройте векторы:
а) вектор ОР длиной 2 единицы, образующий с осью Ох угол
в 120°;
б) вектор РО длиной 3 единицы, образующий с осью Ох угол
в 45°; _
в) вектор QR длиной 5 единиц, образующий с осью Ох угол в
30°;
г) вектор RS длиной 6 единиц, образующий с осью Ох угол в
60°.
Каждый вектор запишите в виде упорядоченной пары чисел.
3. На осях координат для задачи 1 постройте векторы:
OL = (3,4); ОМ = (2,3); ON = (1, — 7); OD = (— 5, 3).
Найдите суммы векторов:
а) OL + ОМ\ в) ОМ + ON; д) ON + OD;
б) ОМ + OL; r)ON + ОМ; е) OD + ΟΝ.__
Вектор ОР определяется равенством: OP = OL + ОМ +
+ ΟΝ +ЪЪ.
Запишите этот вектор: а) как упорядоченную пару чисел;
б) как вектор определенной длины, образующий некоторый угол
с осью Ох.
Измерьте длину вектора OD из задачи 1, сравните ее с длиной
вектора ОР. Можете ли вы сделать какой-либо вывод?
4. Постройте векторы:
ОН = (2, - 3); ОК = (3, 1); OS = (- 3, 4); 0ί/=(—4, —5).
123

C(a,<b„o2*b2)
A(aito2is
JBlb%.b,l
Рис. 123.
Отметьте на чертеже векторы:
oh + Ък\т + όϊ^δκ + os\
ОН + OU; OU + OK; OS + OU.
5. Начертите векторы:
OE = (3, - 1); EF = (2, 3);
__ FG= (^5,-5);
ОТ = (2, 3); OV = (— 5, — 5).
Найдите суммы: OE + ОТ; OE + ОТ + OV. Какой вывод вы
можете сделать?
Часто векторы удобнее записывать в виде упорядоченных
пар чисел, при такой записи значительно упрощаются вычисления.
Помните: если ОА + ОВ = ОС и ОА = (аъ а2), 05 =
"= (Ьъ Ь2>), то 0С= (аъ + Ьъ а2 + Ьа)
и четырехугольник ОАСВ является параллелограммом (рис. 123):
ОА = ВС; ОВ = Л С;
Αβ = (6χ — аь 62 — а2);
£Л = (ах — Ьи а2 — 62).
Глава 21. КОСИНУС УГЛА
Рассмотрим теперь все векторы ОР единичной длины с началом
в точке О (рис. 124). Пусть точка Ρ находится на окружности
единичного радиуса. Вектор О Ρ может быть
представлен как упорядоченная пара
(х, у). Начертите на клетчатой
бумаге окружность радиуса 2 см, которую
мы и примем за окружность единичного
радиуса, т. е. за единицу длины мы
принимаем отрезок, равный 2 см.
Точки Ρ являются множеством
точек окружности единичного радиуса:
{(*,У)|*2 + У2 = 1},
ОР = θΤ+ ХР = (*, у).
124

Упражнения
1. Запишите вектор О А как упорядоченную пару чисел. Какой
—> -^
угол образует вектор О А с осью Ох?
Запишите вектор ОВ как упорядоченную пару чисел. Какой
угол образует вектор ОВ с осью Ох?
Запишите вектор ОС как упорядоченную пару чисел. Какой
угол образует вектор ОС с осью Ох?
Запишите вектор 0D как упорядоченную пару чисел. Какой
угол образует вектор 0D с осью Ох?
2. Как изменяется значение | О/? | = л: при перемещении точки
Ρ из точки А в точку В? из точки В в точку С? из точки С в точку D?
из точки D в точку А?
Чему равен Z. ROPy если χ = 0,5? Покажите еще угол, для
которого χ = 0,5.
Чему равен Ζ. /?ОР, если χ = 0,87?
Найдите угол ROP, если известно, что 0° < Ζ. /?ОР < 90° и:
а) χ = 0,3; б) χ = 0,7; в) χ = 0,4; г) χ = 0,8; д) χ =
= 0,2.
Вектор OR является мерой угла ROP (длина вектора ОР,
| ОР |, равна единице).
3. 0° < Z. ROP < 180°. Найдите значение угла ROPy если:
а) χ = — 0,3; б) χ = — 0,7; в) χ = —0,4; г) χ = —0,8;
Д) х = — 0,2.
Как вы могли бы найти эти углы, зная решение задачи 2?
Попробуйте найти зависимость между числом χ и углом ХОР.
4. В таблице приведены значения углов с точностью до десятых
градуса. Пользуясь этой таблицей, проверьте полученные вами
ответы в задаче 2.
X
£ROP
0
90°
0,1
84° ,3
0,2
78° ,5
0,3
72° ,5
0,4
66° ,4
0,5
60°
0,6
53°, 1
0,7
45° ,6
0,8
36° ,9
0,9
25° ,8
а) Как изменяется величина угла ROP при увеличении х:
1) от 0 до 1; 2) от —1 до 0?
б) Как изменяется величина χ при увеличении угла ROP:
1) от 0° до 90°; 2) от 90° до 180°?
в) Почему ни при каком значении угла ROP величина χ не
будет больше 1?
125

г) Почему ни при каком значении угла ROP величина χ не
будет меньше — 1?
5. Пользуясь данными задачи 4, начертите угол, равный:
а) 53°, 1 (проверьте транспортиром); б) 60° (проверьте
транспортиром).
6. На клетчатой бумаге начертите оси Ох и Оу, приняв за
единичный отрезок на обеих осях отрезок, равный 4 сму 0 < χ < 3;
0 < у < 3.
а) Начертите вектор ОА единичной длины, образующий угол
72°,5 с осью Ох. (При построении углов используйте таблицу из
задания 4.) Запишите вектор ОА как упорядоченную пару чисел.
Затем начертите вектор ОВ длиной 2 единицы, образующий с осью
Ох угол 72°,5. Запишите вектор ОВ как упорядоченную пару чисел.
Начертите вектор ОС длиной 3 единицы, образующий с осью
Ох угол 72°,5. Запишите вектор ОС как упорядоченную пару
чисел.
Что вы заметили относительно упорядоченных пар чисел,
соответствующих векторам О А, ОВ, ОС?
б) Начертите векторы OL (единичной длины), ОМ (длиной 2
единицы), ON (длиной 3 единицы), каждый из которых образует
с осью Ох угол 53°. Запишите каждый из векторов как
упорядоченную пару чисел. Заметили ли вы что-нибудь относительно
этих чисел?
в) Составляющая χ вектора OD длиной 3 единицы равна 0,9.
Какой угол образует вектор OD с осью Ох?
Составляющая χ вектора OF единичной длины равна 0,9.
Какой угол образует вектор OF с осью Ох?
г) Составляющая χ вектора ОР единичной длины равна 0,6.
Какой угол образует вектор ОР с осью Ох?
Составляющая χ вектора OQ, длина которого 2 единицы, равна
0,6. Какой угол составляет вектор OQ с осью Ох?
Составляющая χ вектора ОР длиной 3 равна 0,6. Какой угол
образует вектор О Ρ с осью Ох?
7. а) В треугольнике ОРХ ОР = 1 м, L ОРХ = 90°, LOPX=
= 78°,5. Найти длину стороны ОХ.
б) В треугольнике ОРХ ОР= 2 м, £PXO=90°t /.РОХ=78°,5.
Найти длину стороны ОХ.
в) В треугольнике ОРХ ОР = 10 ж, LPXO =90°, ЮРХ =
= 78°,5. Найти длину стороны ОХ.
126

г) В треугольнике ОРХ ОР = 7 м, L РХО = 90°, Ζ ΟΡΧ =
=78°,5. Найти сторону ОХ.
8. В треугольнике ОРХ /_РХО = 90°. Найти vmn ПРУ. pp.™·
угол ОРХ, если:
а) ОР = 1 ж, РХ = 0,7 ж;
б) ОР = Ю м, РХ = 7 м;
в) ОР = 7 *, РХ = 4,9 м;
г) ОР = 5 ж, РХ = 3,5 л<.
9.
В треугольнике ОРХ Δ. РХО = 90°. Найти угол ОРХ, если:
а) ОР = 5 м, РХ = 1 ж;
б) ОР = 8 ж, РХ = 2,4 ж;
в) ОР = 30 м, РХ = 2,4 л;
г) ОР = 60 м, РХ = 42 ж;
д) ОР = 45 ж, РХ = 18 ж
если:
10. В треугольнике ОРХ Z.PXO=90°. Найти отрезок РХ,
а) ОР = 5 ж, Ζ ОРХ = 72°,6; в) ОР = 20 м, ЮРХ = 78°,5;
б) ОР = 8 ж, Ζ ОРХ = 53°, 1; г) ОР = 45 ж, Ζ ОРХ - 45°,6.
Рассмотрим теперь, что произойдет, если, не изменяя угол Θ,
мы будем увеличивать длину отрезка О Ρ (рис. 125). При
увеличении отрезка ОР в 2 раза отрезок ОХ также увеличивается в 2
раза. При увеличении отрезка ОР в f раз отрезок ОХ также
увеличивается в / раз. Отсюда мы можем сделать следующий вывод: при
ОХ .
постоянном угле отношение — равно абсциссе χ точки
пересечения отрезка ОР (или его продолжения) с окружностью единичного
круга.
ОХ
Отношение — называется косинусом угла Θ, кратко записы-
ОР
вается так: cos θ.
cos θ
ΟΧ
OP
Рис. 125 <
прцлвжаший катет
Рис. 126,
127

В треугольнике ХОР Ζ_ Χ = 90° (рис. 125),
ОХ = χ= О Ρ (cos θ) = h (cos θ).
Значения cos θ для различных углов θ сведены в таблицы.
В любом прямоугольном треугольнике (рис. 126)
cos θ = прилежащий катет
гипотенуза
Постройте график функции у = cos θ для
0° < θ < 90°.
Упражнения
1. Трос, крепящий мачту длиной 8 м, составляет с горизонтом
угол в 55°. На каком расстоянии от основания мачты укреплен на
земле трос?
2. Башня высотой 40 м образует угол в 86° с горизонтом. На
каком расстоянии от основания башни находится проекция ее
вершины?
3. Лестница длиной 2 м прислонена к стене так, что основание
лестницы удалено от основания стены на 0,6 м. Каков угол наклона
лестницы к земле?
4. Дерево удерживается в вертикальном положении шестом
длиной 4 Mf образующим с горизонтом угол в 68°. На каком
расстоянии от основания дерева находится основание шеста?
5. Основания двух опор строительных козел (длиной 3 м
каждая) удалены друг от друга на расстояние 11,7 м. Найти угол,
образуемый опорой с поверхностью земли.
6. Угол при основании равнобедренного треугольника равен
43°, боковая его сторона равна 3 м. Найти основание треугольника.
7. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 8 см,
его основание равно 12,44 см. Найти углы треугольника (ответ дать
с точностью до Г).
8. Найдите углы W и Ζ и стороны двух прямоугольных
треугольников (рис. 127).
9. Два параллельных края прямоугольной доски расположены
горизонтально, а два других, длиной 1,1 ж каждый, образуют с го-
Лучи
Солнца
Рис. 127.
Рис. 128.
128

ризонтом угол в 37°. Какова ширина тени, отбрасываемой доской,
если солнце находится в зените (рис. 128)?
10. Найдите стороны прямоугольника, диагонали которого,
длиной 14 см каждая, пересекаются под углом 64°.
Возвратимся к окружности единичного радиуса; напоминаем,
что cos θ = χ.
11. Найдите числовые значения:
а) 1) cos 10°, 4) cos 90°, 7) cos 170°, 10) cos 250°,
2) cos 30°, 5) cos 120°, 8) cos 180°, 11) cos 270°,
3) cos 50°, 6) cos 150°, 9) cos 200°, 12) cos 300°;
б) 1) cos (— 10°), 3) cos (— 150°), 5) cos (— 340°).
2) cos (— 30°), 4) cos (— 280°),
12. Постройте графики следующих функций:
а) у = cos χ для 0° < χ < 360°;
б) у = cos χ для — 180° < χ < 180°;
в) у = cos (χ + 90°);
г) у = cos 2х для 0° < χ < 180°;
д) у = cos Зх для 0° < χ < 120°;
е) у = cos (χ + 30°) для — 180° < χ < 180°;
ж) у = cos (χ + 60°) для — 180° < χ < 180°.
Что вы можете сказать о форме графиков?
Глава 22. МНОЖЕСТВА И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ
Сложение и вычитание
Основой всей арифметики, которую мы изучаем, является
понятие множества натуральных чисел 1, 2, 3, 4, 5, ..., обозначаемое
Ζ. Мы можем сложить два элемента (два числа) этого множества,
результат (сумма) также будет элементом множества Ζ:
3 + 5 = 8 = 5 + 3.
Вообще, если η ζ Ζ и т ζ Ζ, то
{п + т) ζ Ζ
и т + η = η + т — коммутативный закон.
Предположим теперь, что ищется значение χ (χ — натуральное
число), удовлетворяющее уравнению η + х = т.
129

Всегда ли существует значение х, удовлетворяющее равенству
η + χ = m? Найдите, если это возможно, значение χ (χ ζ Ζ),
удовлетворяющее следующим равенствам:
1. 3 + х = 6. 6. 17 + х= 24. 11.
2. 4 + χ = 7. 7. 6 + χ = 3. 12.
3. 15 + χ = 18. 8. 24 + χ = 20. 13.
4. 23 + χ = 41. 9. 31 + χ = 27. 14.
5. 31 + χ = 37. 10. 5 + χ = 6. 15.
Что вы можете сказать относительно тип, если существует
такое χ ζ Ζ, что т + χ = η?
Что вы можете сказать относительно тип, если не существует
такого χ ζ Ζ, что т + χ = η?
Обозначим через Ζ+ множество {0, 1, 2, 3, ...}.
5 + *
7 + χ
21 + χ
19 + χ
19 + *
= 4.
= П.
= 19.
= 27.
= 17.
Упражнения
Найти х,
1. Х + 3 =
2. χ + 3 =
3. л; — 3 =
У 6
= 5.
= 3.
= 7.
z\
4.
5.
6.
удовлетворяющие
χ — 6 = 7. 7.
6 — л; = 2. 8.
6 — у = 1. 9.
следующим раве нствам:
56 — у = 27.
х —49 = 81.
6 — х = 4.
Введем еще один символ для обозначения следует ==> (знак
импликации). Рассмотрим уравнение:
6 — х — у = 4.
Если χ 6 Ζ+ и у ζ Ζ+, то
6— х — у = 4=Фб — x = 4 + y=»6 = 4 + y + x=>
=»2 = у + л:=Фу + л: = 2.
В этом случае мы получим следующее множество решений:
{(Х = О, у = 2), (х = 1, у = 1), (х = 2, у = 0)}.
Найдите множество решений следующих уравнений, в которых
х, У 6 Ζ+:
1. χ + у = 3. 4. 4 — * = у + 2. 7. 9 — χ — у = 8.
2. 3 — л; = у. 5. 7 — χ — у = 0. 8. χ + у = 0.
3. 3 —х = у+1. 6. 8 — х — у = 8. 9.x + х + х +
+ χ = 12.
Если α ζ Ζ+, то выражению α · χ мы можем приписать смысл,
соответствующий нашей практике в арифметике.
Пример. Зх = χ + χ + χ (потому что здесь три х)\ Ох = 0;
5х = х + х + х + х + х.
Если χ £ Ζ+, то уравнение Зх + 5 = 14 имеет решение:
Зх + 5 = 14 => Зх = 9 => л: + х +х = 9 => χ = 3.
Если у f Z+, то уравнение 4у + 5 = 14 не имеет решения,
так как 4х + 5 = 14=>4у = 9=Фу + у + у + у =» 9; и невоз-
130

можно найти значение у, удовлетворяющее равенству у + у + у +
_1_ у = 9; в самом деле,
0 + 0 + 0 + 0= 0<9;
1 + 1 + 1 + 1 = 4 < 9;
2 + 2 + 2 + 2= 8<9;
3 + 3 + 3 + 3= 12 > 9.
4у > 9 для у > 3; 4у < 9 для у < 3.
У пражнения
Решить следующие уравнения, если χ £ Ζ+:
1. Зх + 2 = 12. 4. 21 — Ъх = 6. 7. 5х
2. Зх — 2 = 7. 5. 28 — χ = Зх — 8. 8. 5х
3. Ъх — 7 = 13. 6. 2х — 7 = 4.
Множество целых чисел у
Если мы хотим, чтобы уравнение вида а + χ = b всегда имело
решение, нам необходимо, кроме натуральных чисел и нуля,
ввести новые числа. В главе 11 мы уже рассматривали свойства
отрицательных чисел. Обозначим через J множество целых чисел:
J = {..., - 3, -2, -1, 0, (+1), (+2), (+3), ...}.
Подмножество {0, (+1), (+2), (+3), ...} множества / ведет себя
относительно операции сложения так же, как и множество Z+, так
как мы согласились под операцией сложения для чисел этого
подмножества понимать ту же операцию, что и операцию сложения в
множестве Z+, поэтому мы можем записать:
J = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}.
Множество / имеет следующие свойства:
если α £ J и b 6 «/, то а+Ь=Ь + а = сис ζ /;
если а £ J u b £ «/, то а — b = d и d ζ Jy например:
3-4 = -1; 3+ (-4) = -1; -3-4 = -7; (-3) - (-4) = 1.
Вычислить:
1. 13 — 7. 5. 9 — (—9) -9. 8. (—9) + 9.
2. 23 — 24. 6. 9 — ( —9). 9. 0 + (—7).
3. (—18) — 7. 7. 9 + (— 9). 10. 10 —(—8).
4. ( -18) - ( -7).
Если χ ζ J, то решением уравнения 3 4- х = 2 будет χ = — 1,
Найти х, у и г, если л;, у, г, ζ У:
1.4 + *= 5. 4. 8 — х = — 2. 7.3 = * —4.
2. 5 + χ = 4. 5. 9 — у = — 7. 8. 7 = 4 — z.
3. 35 + у = 7. 6. 7 - 9 = х. 9. 7 — х— (— 4)=— 4.
7=11.
6 = х + 9.
131

Можно ли составить уравнение вида и + χ = m, не имеющее
решения на множестве У?
Предположим, что χ £ У, тогда мы можем записать короче:
χ + χ + χ = Зх, где 3 ( Ζ+ и χ 6 У.
Аналогично — χ — χ — χ = — Зх, где 3 ζ Ζ+ и — χ ζ У.
—Зх кажется естественной записью 3 (— х), так как мы
вычитаем χ 3 раза. Важно заметить, что уравнение Зх = 4 не имеет
решения на множестве У. Почему?
Решите следующие уравнения, считая, что х, у ζ У, установив
вначале возможность решения уравнений:
1. Зх + 4 = 13. 5. Зх — 6 = 4х — 7. 9. χ — 9 = Зх—2.
2. Зу + 9 = 0. 6. 2у — 14 = 7 — 5у. 10. 5х + 7 =
= Зх — 3.
3. 2г + 7 = z + 5. 7. Зх — 8 = 6 — χ. 11. 4х — 8 =
= 7х — 3.
4. Зх + 6=5х+14. 8. 5х — 7 = 2х — 8. 12. 5х—6 = 4 — 6х.
Рассмотрим теперь выражение
означает, что указанное в нем действие должно быть
выполнено в первую очередь.
Мы можем записать (χ 6 У):
Если мы опустим знак
то получим:
CZ-Т> + Ск-О + Q- О = x-l+x-1+л;—1 =3л: -3.
Если, например, χ = — 2, тогда
з<^~Т> = з <£г -р = 3<2^>ri-3) + (-3W-3)= -9
з*-з=зСЕ2>-зг сЕ1Г>+^Х>+СЕ2^-3 = -б-з=-9
Таким образом, при х=— 2 мы можем найти значение выражения
3Ql - О двумя способами, приводящими к одному и тому же
результату.
132

Упражнения
χ==_2, у=+3, г = 0, α=— 5, 6=+6. Найдите двумя
способами, рассмотренными выше, числовые значения следующих
выражений:
1. 5С£ЕХ> 2· зс^ЗХ^ 3* ь(£}д \*}
7. Χ + 2 (g + Q 8· V + 3Cjj^£^>
9. ?а + СргВ^> +2 C*JjL>
10. 2C* + 2y^> + Cg + g> + 5<5 ~+ £)
11 3<^fT7^+4(^Jv^) + 2Cg_jfJ^)
Будем считать известным, что с - <g~~ О = * ~ а ~ь-
А как преобразовать выражение с - (сГ-^ьУ -
Оно означает, что сначала надо вычесть b из а, а затем полученный
результат вычесть из с. Каков же будет результат?
без знака
Как записать выражение с - qT- Z?_
Начертите числовую прямую и обозначьте на ней точки,
соответствующие числам множества J (рис. 129):
вектор ОС изображает число с\
вектор СА изображает число а\
вектор А В изображает число Ь.
Таким образом, вектор СВ изображает число <1F^X
довательно, вектор ОВ изображет число с - С5- Zf
и, сле-
-2 -1
σ-δ
Рис. 129.
1 Автор проводит доказательство для случаев a, bt с>0, а > 6, с > а —Ь
{прим. перев.).
133

Внимательно рассмотрите чертеж:
ОВ = 6Ь + όλ + АВ = ОС — АС + АВ = с — а + Ь.
Отсюда с — С*Г- ΪΓ) = с - а + b
Решим эту же задачу, но с реальными предметами.
Пусть в некотором ящике имеется с предметов. Мы хотим
вынуть из него а — b предметов. Поступим следующим образом:
поместим внутрь этого ящика маленький ящик и переложим в него из
большого ящика а предметов. Затем из маленького ящика
переложим в большой b предметов. В маленьком ящике останется а — b
предметов. Теперь вынем из большого ящика маленький, в котором
находится C&-/Q предметов. Тогда в большом ящике останется
предметов.
Давайте теперь попробуем обойтись без маленького ящика.
Вынем из большого ящика а предметов и затем положим в него
обратно b предметов (почему?). Это может быть записано в виде
с — а + Ь.
Помните, мы требуем, чтобы операции на множестве J были бы
идентичны аналогичным операциям на множестве Z+. Наша модель
показывает, что с - Сй—Ь^ = с-а+д
Рассмотрим теперь третий способ упрощения выражения с —
- (а - Ь).
Пусть с - ($ - Ю ш ύ гАе d ζ J. Отсюда
=» с * d + Ca^F^>
** с = d + о - ό
^ с - о = d - b
^ с - о ±b ^ d
Вместо «опустить знак <^~™^> » обычно говорят: «упростить
выражение».

Упражнения
Упростите, где возможно (освободитесь от знака « <^_^> »),
Проверьте ваши ответы для упражнений 1—4, сравнив
численные значения заданных и полученных выражений при:
Умножение и деление
Из обычной арифметики мы знаем, что понимается под
выражением а · ft, α ζ Ζ+, b 6 Ζ+. Результат всегда принадлежит
множеству Z+. Произведение а · Ъ записывается короче: ab.
135

Для операции умножения имеет место коммутативный закон:
а · b = b · α.
Найдите значения х> если:
а) 5х = 5; в) 4* = 12; д) 6* = 0.
б) ах = а; г) 6* = 726;
На множестве Ζ+ деление имеет уже известный нам смысл:
24 : 6 = 4, так как 4 · 6 = 24.
Но деление не всегда выполнимо, например, выражение 24 : 5
не имеет смысла, так как нет такого χ £Ζ+, чтобы 5х = 24.
Решите, если это возможно, следующие уравнения: (χ ζ Ζ+):
1. 5л: = 10.
2. 15л: = 45.
3· — = 36.
6
4· £ = зо.
5. 4* = 12
7
6. 71 = 14
4
7· 71 = 28.
6
8· 1? = 12.
9
9·^=ιο.
3
10. 7х = 29
6
Положительные рациональные числа F1 дроби
При попытке решить уравнение 2х = 1 мы видим, что на
множестве Ζ+ нет числа, которое обратило бы данное уравнение в
тождество. Мы должны «изобрести» новое множество чисел, назовем
его Т7^1, замкнутое относительно деления, т. е. такое, что если
α £ /7+, b 6 F+, то уравнение ах = b всегда имеет решение и χ 6 F+.
Это множество F+ должно содержать множество Z+ как
подмножество, так как мы уже знаем решения некоторых из уравнений
вида ах = b; a, b £Z+.
В действительности, мы уже знаем множество /г+, это
множество дробей:
F+ = (^-|mez+, n£Z\.
(Почему мы не можем записать, что η 6 Ζ+?)
Наша цель показать, как множество Ζ+ становится
подмножеством множества F+.
Мы должны сейчас точно сказать, что мы понимаем под символом
«==», используемым в записи а = b\ a, b £F+.
1 Обозначения Z+ и F+ плохо согласованы друг с другом (прим» перевод.).
136

3 12
Мы говорим, что дроби — и — равны, так как
4 16
3 = 4*:
X =
12
3
— и
4
= 16л: => χ
___ 12
~~ 16*
3 = 4Х:
Таким образом, дробь — удовлетворяет тому же уравнению, что
16
и дробь -, и поэтому - = -.
4 1о 4
12 4-3
Зная, что — = , можем провести аналогичные рассуждения
16 4 · 4
л о 6 9 15 21 75 ^ л
относительно дробей — ,—,—,—, — и, вообще, любого числа,
F 8 12' 20 28 100
к · 3
записанного в виде —, k 6 Z+.
k · 4
k · 3
Любые два числа вида —, k ζ Ζ+ равны, так как они удов-
k · 4
летворяют уравнению 3 = 4*.
6 9
Например, — = —. Обратите внимание, что 6 · 12 = 8 · 9.
Это приводит нас к следующему определению равенства двух
дробей а и Ь:
а = Ь,
Π
Я п Я
если существуют такие числа h и k, что
In Г#}*· h> т' * Р- Я* Z
В частности, если
ρ т
— = —, то ρ = т
1 1 н
в множестве Ζ+.
Отсюда мы можем записать: ρ = — и, таким образом, Ζ+
содержится в /7+.
Примечание. Запись дроби в виде — делается ради удоб-
п
ства. Мы могли бы записать эту дробь в виде (т, я), так как дробь
является упорядоченной парой чисел: — Φ— (если т =£ η).
η т
Запишите десять дробей, равных следующим дробям:
1. 1 2. 1 3. 15 4. 1 5. 1
3 ' 5 ' 2 ' 1 ' 3 '
137

6. ι
2 '
7. 14
2 '
8. _2
14*
9. 1
Iе
ίο. _ι_
100*
11. 25.
100*
12. 20.
100*
13. _8_
1000
14. J.25
1000
15. 375_
1000*
16. _2*Ю
1000*
17. 75_
100*
18. J50
100*
19. J375
1000*
20. 100
100*
21. J0
100*
22. 12
24*
23. ^0
100*
24. J5^
100'
25. *У^
хг
26. *^
л;г
27.25*
5y *
28. 5^
- 4α6
Умножение в множестве F+ определяется следующим образом:
если^-, £ ζ/τ+,το"-.£ = 2£.
па η а по
и 5 7 35
Например, -·- = -.
6 11 66
Если даны три дроби —, —, — , то
η q b
ИЛИ
Например,
или
т ρ а __ т ра тра
η q b n qb nqb
m ρ a _mp a_ mpa
nqb nq b nqb
3 " 7 " 13 _ 3 " 91 273'
2 5 11 10 11 10-11 110
3 7 13 21 13 21 . 13 273
Каждая дробь является произведением двух дробей:
HL — HL *
η \ η '
Например,
A = jL._L. J_ = JL. _L. ±=±.±
4 1 " 4 " 4 1 " 4 ' 1 1 " Г
Сокращение дробей
Предположим, мы хотим перемножить дроби — и — , например,
а р
4 " 7;
т па т 1 па 1 _ т_ па _1_ m л 1 __ тя
ар 1 α 1 ρ 1 α ρ * 1 1 ρ ρ*
138

1 1 = 1 .1 .JL.-L = iL.JL. JL = J. JL. JLe JL
4 " 7 "" 1 " 4 " 1 " 7 1 " 4 " 7 1 " 1 " 7 7*
Упростите следующие выражения, выполнив все промежуточные
преобразования;
1.1.1 5· JL.iL.i-. 15 9-*у.?1
4*5" 4 " б " 9 " 13" α&'*2 #
2. 1,1 6. _L.!£ 10· 5ί. JL
4 " 1 ' 8 " 21 ' 3? ' 20'
3. 15. ϋ 7. И2 86 П. 9х 8_
35 " 27' 43 " 56' 24 " χ '
4. 28.91 8.abtad 12. 9*у 8г
13* 36* cd' be' 24г " 27У
Деление дробей
Деля дробь — на дробь ~, мы ищем такую дробь 1, что — X
η q У q
у η
2 5 χ 5 χ
Запись — : — означает: «Найдите такую дробь —, чтобы— · — =
~~ 3 >>#
Мы могли бы решить эту задачу таким образом:
5 χ 2 ^ 1 5 л: 2 1, ^ч
= — => — = (почему?) =>
7 у 3 5 7 у 3 б V У
__^ 1 χ 2 1
1 у 3 5^
=ь1.1.± = 1.1.1=ь
1 " 7 " у 3 5 1
=>!.£ = !.!=*
\ у 3 6
=4-1 = А . 1 =ьL —11
.у 3 5 j/ 15'
Проверим, удовлетворяет ли найденное значение — уравнению
1,±^1 У
7 у Я 3
_5 И = J_. JL^i-
7 " 15 1 " 3 = 3 '
следовательно, если
1 .± = 1
7 ' у ~~ 3 '
ТО
1—1 1
у ~~ 3 " 5 '
139

В общем случае
Я У η Ρ Я У η ρ
т 1
η ρ
-JS Χ
Я У
ρ χ
Я У
_ т 1 _
λ ρ
χ т
7.
8.
9.
22
7
22
7
1
10
χ
У
χ
У
λ:
^
11
1
44
35
1
8
1 (7 У η ρ \
ч J_ _£_ m (7 ^
1 у л р
у л (у
Иными словами, делимое надо умножить на число, обратное
делителю.
Выполните следующие упражнения:
*· А . £.=; Α 4· Α .Λ = Α
3 у 7 ' 3 " у 6 *
2· А. .£. = A 5· А. Л = А
3 " у 7 ' 5 " у 25'
3· А. Л = А бс^^_з5
2 " j/ ~~ 7 ' 5 ' у ~~~ 18*
В частности, если т £Ζ+ κ α ζΖ+, то
т χ та ^ χ _ а
Т'7~Т 7~Т'
Все дроби вида — , т £Ζ+, ведут себя так относительно
умножения и деления, как ведет себя число т ξΖ+ относительно
умножения (и деления, если оно выполнимо).
Множество чисел Ζ+ относительно операций · и : (умножения и
деления) включается в множество F+ относительно тех же операций.
В связи с этим мы не будем делать различия между числами т и
— (т 6 Ζ+, — £ F+) при решении задач в множестве F+.
Следовательно, запись α ζ F+ может относиться как к дроби
- (т £F+, η ζ F+), так и к числу Р = (- ζ F+, Ρ£Ζ+). Это
η Ι
приводит
1.
2.
или
3.
Зл:
5х_
з
Ъх _
3 ~
4х
9 "
к экономии
= 5=»х =
= 7=»5л: =
3
= !=>-£ =
8 9
[ В
_5_
3 '
:7-
7
5
7
" 8
записях,
3=фл; =
например
7-3
_^ 7-3
5
4
_ 7
~~ 8 "
1.,
4
63
32'
140

Решите уравнения:
1. 2χ __ 4
3 ~~ 5 "
2. 3* _ _8
7 21'
3. 5*__25
9 18'
4. 42* __ 35
5 ~" 14'
5. 25х_9
100
6. зз, = 55
100
Сложение и вычитание на множестве /~+
Мы создали структуру (/7+, ·, :) так, что структура (Z+, ·, :)
входит в структуру (F+, ·, :). Дополнительно нужно определить
структуру в (F+, +, —) так, чтобы структура (Z+, +, —) включилась
бы в структуру (F+, + , —).
Мы должны определить сложение в множестве F+ так, чтобы
(/л, η 6 Ζ+)
Т + Г Г"' ш
например,
11 1 '
Считая это очевидным, как определить сложение в случае
т , η
г
Ρ Я
Вспомните, как вы поступали при сложении дробей с
одинаковыми знаменателями:
JL-u ?. = 3 + 2 = JL
7 7 7 ~~ 7 '
Итак, мы расширяем определение сложения:
πι , η т + η - «. /п\
h — = -z— т, η, ρζ Ζ+. (2)
ρ ρ ρ
Заметьте, что (1) является частным случаем (2), когда ρ = 1.
Теперь остается рассмотреть общий случай.
т . η _ mq ,ηρ ___ mq + ηρ
Ρ Я РЯ ЯР ЯР
(по определению сложения). Например:
1. £ £ = 3^2 , 1ΐ5 _ 3-7 + 2-5 __ 21 + 10 _ JH
57~~5.77.7~" 5-7 ~" 35 ~~ 35'
2· 1. 4- А — 3' 12 , 5- 4 _ 36 20 __ 36 + 20 __ 56 _ 7j_8 __ _7_
4 12 "" 4 . 12 + 12 . 4 ~~ 48 48 ~~* 48 ~~ 48 ~" 6 . 8 "" 6 '
3. 3_2__3-6 , 2 - α _ 36 + 2а
a b a · Ь b · a ab
4. i , 1_^ ι ??__ 36 +6α
a b ab ba ab
HI

Упражнения
Упростите:
а
2.2 +
X
з. 1 +
X
4.1 +
X
5. i ,
5*
6. 4*
+
7. 2α
5 "t"
Решите
3
2. 2_*
3
3. 2х
5
6
_5_
У '
7_
.У '
j>_
За;'
χ
7"
уравнения:
22. 1 | 1
b—а с— α
^г'+ О ОТ - О 23. _А_ j_ _У
- + -
^._л: = 0.
{=»·
4. 2*
3 3 5
1 = о.
3
5· 2L.
2
6. 3*.
2
л:
~3~'
2х
3'
7. 5*
6
8. 4*
5
9. 5*.
12
л:
"з"
2*
" 3
_1_
4
_5^
7'
J_
15'
л:
Т"
Умножение положительных и отрицательных чисел
Мы определили операции сложения и вычитания на множестве
J так, что структура (Z+, +, —) включается в структуру (У, +, —).
Попробуем теперь найти такое определение умножению и делению
на множестве У, чтобы структура (Z+, ·, :), включалась в
структуру (J, ·, О-
Если a, b ζ Z+, то:
1) α · 5 = с, с ( Ζ+, например, 3-2 = 6;
2) а · 6 = 6 · а » 3-2 = 2-3;
'-Q*b+Q *С
3* 4+Зхб.
4) α · 0 = 0 »
Мы хотим, чтобы множество Ζ+ было бы подмножеством
/+={0, 1,2,3, ...,}.
Для этого мы определим для a, b ζ Ζ+:
1) а · b = с, с 6 Z+, например (+ 3) · (+2) = (+ 6);
2) а · b = b · α . » (+ 3) - (+ 2) = (+ 2) - (+ 3);
142

4) a · О = 0, например, (+ 516) -0 = 0.
Теперь остается сказать, что мы подразумеваем под этим, если
а, Ь, с ξ У.
Здесь можно поступить по-разному:
1-й метод1
Рассмотрим а = 1+3)χ <^5Т+И]) . Ясно, что а =(+ 3) · (+2) =
= (+ 6). Теперь мы хотим, чтобы закон (3) всегда имел
место, т. е. чтобы
а = (+ 3) - (+ 5) + (+ 3) - ( - 3) = (+ 15) + (+ 3) · (- 3).
Но как найти числовое значение выражения (+ 3) · (— 3)?
Отсюда (+ 15) + (+ 3) · (- 3) = (+ 6) или (+ 3) - (— 3) =
= (+ 6) - (+ 15) = (- 9).
Следовательно, если мы хотим, чтобы закон (3) имел место и
в множестве У, то должно выполняться равенство
(+ 3) · (- 3) = (- 9).
Попробуем теперь выполнить умножение других чисел,
например, (+ 4) и (— 2):
(+4) * <^)Т^5Т) = (+4]х (+3) β (+12)
1+^* (^2)Τ^5Τ) = (+4)χ(-2) + (+4)* (+5)
= (+*)* (-21+(+20)
Отсюда
(+ 4) · (- 2) + (+ 20) = (+ 12) «* (+ 4) · (- 2) =
= (+ 12) - (+ 20) => (+ 4) · (_ 2) = (- 8).
Упражнения
Попробуйте найти произведение положительных и
отрицательных чисел в следующих упражнениях:
1 Приведенные здесь четыре метода имеют целью лишь психологически
оправдать правила знаков (прим. перевод.).
143

Можете ли вы сформулировать правила для отыскания
произведения (+ а) (— 6), где a, b ζ Ζ+?
2-й метод
Составьте таблицу умножения чисел множества J+:
+ 3
+ 2
+ 1
0
0
0
0
0
+ 3
+ 2
+ 1
0
+ 6
+ 4
+ 2
0
+ 9
+ 6
+ 3
0
X | 0 +1 +2 +3 т
Обратите внимание на строку Л, в которой даны произведения
(+ 2) - ш, где т 6 J+.
Запишите ее в обратном порядке, указав над соответствующим
произведением значения т:
(т) +3 +2 +1 О
(А) +6 +4 +2 О
Укажите два-три числа из множества У+, стоящие после числа 0:
а) в последовательности т; б) в последовательности А.
Продолженная таблица будет, очевидно, иметь вид:
(т) +3 +2 +1 0 —1 —2 — 3, ... а
(А) +6 +4 +2 0 —2 —\ — 6, ... — 2а
На основании этого мы можем составить таблицу умножения
для т · п, т ζ У, η ζ J+ и для η · т (почему?).
η
+3
+2
+ 1
0
я
—9
—6
—3
0
—3
В
—6
—4
-2
0
—2
—3
—2
— 1
0
—1
0
0
0
0
0
+3
+ 2
+ 1
0
+ 1
+6
+ 4
+ 2
0
+2
+9
+6
+3
0
+3
т
144

Обратите внимание на столбец В. В нем даны произведения
п. (—2). Перепишите столбец В в строку, указав над элементами
столбца соответствующие значения п:
(п) + 3 +2 +1 О
(В) — 6 —4 — 2 О
Продолжая таблицу, получим:
(п) +3 +2 1 0—1 —2 —3 — 4 ...
(В) — 6 — 4 —2 0 +2 +4+6+8...
Теперь мы можем закончить таблицу умножения:
X
3
2
1
0
— 1
— 2
— 3
—3
—9
—6
—3
0
+ 3
+ 6
+ 9
—2
—6
—4
—2
0
+ 2
+ 4
+ 6
—I
—3
—2
—1
0
+ 1
+ 2
+ 3
0
0
0
0
0
0
0
0
+ 1
+3
+2
+ 1
0
— 1
— 2
— 3
+2
+6
+4
+2
0
— 2
— 4
— 6
+3
+9
+6
+3
0
— 3
— 6
— 9
Отсюда ясно, что умножение должно быть определено
следующим образом:
(отрицательное число) · (положительное число) ==
отрицательное число;
(отрицательное число) · (отрицательное число) =
положительное число;
(положительное число) · (отрицательное число) =
отрицательное число;
(положительное число) · (положительное число) =
положительное число.
Упражнения
Проверьте; что о * Cbj^jT} =а*о + а*с для следующих
значений а, Ь и с:
1) а = — 3, b = — 2, с = + 5;
2) а = - 3, b = + 2, с = - 5;
145

3) a = (+ 3), b = (- 2), с = (- 5);
4) α = (+ 3), 6 = (- 5), с = (+ 2);
5) α=(-3), 6 = (-5), с =(-2).
3-й метод1
Рассмотрим числа α, 6, с и d на множестве Z+:
Положим, с = 0, тогда с — d равно 0 — d, которое ведет себя
как (— d) на множестве/. Аналогично, положив а = 0, получим,
что а — Ь = — 6, где (— 6) — число, принадлежащее множеству У.
Если с = 0, α = 0, то
(_d).(+6)=0 + 0— о — d-& = — d . 6.
Легко проверить, что свойства операции умножения совпадают
с ранее изученными законами арифметики.
4-й метод
На листе клетчатой бумаги начертите оси Ох и Оу, приняв за
единичный отрезок на оси Ох отрезок в 2 см и на оси Оу отрезок
в 0,5 см (рис. 130). Начертите прямую LL' и нанесите на ней шкалу
т, как это показано на рисунке.
Прикрепите лист к доске и вбейте в точке О небольшой гвоздь
или булавку. Для «изображения» прямых используйте эластичный
шнур. «Проведите» прямую О А через точку с отметкой «4» на
шкале т. Для точки G χ = 2, у = 8; для точки Η χ = 3, у = 12.
Вы, вероятно, видите, что этот график можно использовать для
нахождения произведений положительных чисел.
Попробуйте найти с помощью построенного прибора следующие
произведения:
1. 4-3. 3. 4.3-. 5. 6-2. 7. 6 ·-.
2 2
2. 4-2-. 4. 2-2. 6. 6- 1-.
2 2
Попробуем найти произведение (— 4) · 3.
1 Выбор различных масштабов на осях нельзя считать удачным (прим.
перевод.).
146

**ίΥ Lr'*
Точка Η' лежит на прямой ОВ, её координаты: χ = 3 и у
= — 12:
(_ 4) . 3 = (- 12).
Упражнения
При помощи графика найдите произведения:
1. (-2).3.
3. (— 2) · 3-,
ν ' 2
1
2. (—2) · 2 1. 4. (-6) · 1 1.
V 7 2 V 2
5. (— 6) · - .
4 2
β. (—6) · 2l .
V 2
Ясно, что на этом приборе результат умножения положительного
числа на отрицательное будет всегда отрицательным числом.
Для умножения отрицательного числа на положительное,
скажем на 4, мы должны продолжить отрезок АО за точку О (к точке
Л'). Теперь мы можем прочесть результат умножения любого чис-
147

ла на 4: (— 3) · 4 = — 12 (точка /С). Точно так же для умножения
отрицательного числа на отрицательное, например (— 4) · (— 2),
мы должны продолжить прямую ОВ за точку 0(к точке В'),
например (— 4) · (— 2) = (8) (точка Р).
Теперь попробуйте выполнить деление на этом приборе
самостоятельно.
Наш прибор ясно показывает, что:
1) (положительное число) · (положительное число) =
положительное число;
2) (положительное число) · (отрицательное число) =
отрицательное число;
3) (отрицательное число) · (положительное число) =
отрицательное число;
4) (отрицательное число) · (отрицательное число) =
положительное число.
Более того, наш прибор показывает, что те же правила имеют
место и для дробей, т. е. мы расширили множество У до множества
положительных и отрицательных дробей.
Множество рациональных чисел
Точно так же, как мы расширили множество Z+ до множества
F+, можно расширить множество J до множества F относительно
операций сложения и умножения. Вы, конечно, помните, что
множество Z+ является подмножеством множества У, множество F+ —
подмножеством множества F, а множество У — подмножеством
множества F.
Правила, принятые нами для умножения и сложения на
множествах У и F, означают, что для всех практических целей нам не
нужно вводить чисел вида + а, так как число + а ведет себя точно
так же, как и число а. Но и мы должны быть особо внимательны
при действиях с числами вида — а.
Читателю, быть может, интересно попытаться расширить
структуру (F+, -Ь, ·) так, чтобы структура (У, +, ·) включалась в
структуру (F\ +, ·).
Множество всех положительных и отрицательных дробей и нуля
называется множеством рациональных чисел.
Одних рациональных чисел не достаточно для решения всех
задач, но с их помощью могут быть записаны решения
уравнений вида ах + Ь = с (а ф 0).
Однако уже такое уравнение,как х2 =2, неразрешимо в множестве
рациональных чисел. Говорят: «х = ]/" 2». Но можем ли мы точно
вычислить значение У 2? Предположим, что мы получили решение
уравнения х2 = 2 в виде дроби: χ = — , т. е. χ — рациональное
я
число. Докажем, что это невозможно.
148

Мы можем считать, что целые числа ρ и q не имеют общих
делителей, т. е. что дробь — несократима. В противном случае мы
я
предварительно сократили бы дробь — . Так как — — корень
я я
уравнения х2 = 2, то L· . L· =- 2; откуда р2 = 2q2.
Я Я
Таким образом, ρ должно делиться на 2. Тогда мы можем
записать:
ρ = 2s и 4s2 = 2q2 => 2s2 = q2.
Следовательно, q должно делиться на 2. Это означает, что и р, и q
делятся на 2. Но мы предположили, что дробь — несократима!
Я
Дробь — не может быть одновременно и сократимой, и несократи-
я __
мой, следовательно, значение ]/~2 не может быть записано в виде
дроби ~. Таким образом, для решения уравнения х2= 2 мы дол-
я
жны «изобрести» еще некоторые числа, так называемые
алгебраические иррациональные числа.
Далее, среди рациональных чисел нет числа х,
удовлетворяющего уравнению х2 = — 1. Для решения этой задачи мы
«изобретаем» комплексные числа.
Имеются и другие числа, не являющиеся алгебраическими. Они
называются трансцендентными и не являются корнями
алгебраических уравнений с целыми коэффициентами. Примером
трансцендентного числа является число π, отношение длины
окружности к ее диаметру. Только в последние 100 лет математикам
удалось доказать, что число π является трансцендентным.
То, что число }/~2 иррационально, знали еще греки. Пифагор
считал, что для решения всех задач достаточно чисел множества
F+, и говорят, что, когда один из его учеников обнаружил
иррациональность числа ]/~2, каждый в его школе поклялся хранить
тайну. Приведенное выше доказательство иррациональности числа
1/2"принадлежит Евклиду.
Множество всех рациональных, алгебраических,
иррациональных и трансцендентных чисел называется множеством
действительных чисел.
Примеры
1. Решить уравнение: —+— = 5 — —.
о О о
Решение. ** + ^ = A_?f =»
3 5 1 5
149

Hk,9x__75 6* I
15 15 ~~ 15 15 ~'
>10jc + 9л: = 75 — 6х=
>19jc =75 — 6*=Ф
>19* + 6x = 75=Ф
>25х = 75=>
>х= 3 =Ф
При л: = 3, j + -
5 —^
5
JL-L — — — 4- — — 1?
35~~1+5~~5
25-
]9
5 '
Следовательно, χ = 3 удовлетворяет этому уравнению, т. е.
χ = 3 является его решением.
2. Решить уравнение: 3
3 * + 5 2
Решение.
* + 5
8
jc+1 _
2 —
*+1
1 8 1
. 24 л: + 5
12 jg+1.
8 8 6 6
=>57 — 3* = 44 — 4x==>
=>-Зл; + 4* = 44 — 57=
=>* = — 13=».
При χ = — 13
* + 5
18
— 13 + 5
8
= 3-
(-8)
8
3 —(— 1) = 3+ 1
о *+*^о (~13)+1^о
tl!3 = 2 — (— 2) = 2 + 2 = 4.
6 ν / ι
6 6
Следовательно, χ = — 13 является решением уравнения
150

Упражнения
Решите уравнения:
1. 12 = 5х.
2. 2х + 7 = 0.
3. 9 d - О = θ
А; 9 С> + Г> = 12
5. - = 2.
4
л 5 3
о. — = —.
2х 4
7. 2* = 3,8.
8. 1* = 0,7.
2
9. 1=1,4.
10. 1,4* = 2,8.
11. 1,6* + 3,1 =
6,5.
13. л: — — = 7.
4
14. — _ ϋ = 6.
2 5
15. 2х + - = 20.
3
16. - +1 = о.
6 2
17. χ + 1 = 5 - .
6 4
18. 1,7л: + 1,5 = 0,6х 4- 7,0.
19. 3 — i=^ = 0.
20. 1 — ^±ί = 0.
4
2i. j Cjl_lO_ ^Ojl£^=0
22. l-f = |
23.1 + }=li.
χ 7 14
12. 1,2* + 4,5 = 0,9. 24. f СГГ5^=1<^Т?
Дополнительные упражнения
1. Решите следующие уравнения и укажите, к какому из
множеств Z+, У, F+, F принадлежит решение:
151

2. Найдите множество решений следующих систем неравенств
и дайте графическую иллюстрацию полученным результатам:
а) 2х — 5у < 10, χ > 0, у < 0;
б) χ < 0, у < 0, 2х + Зу < 6;
в) 5у — 4х > 20, * < 0, у > 0.
3. На основе измерения давления газа при различной
температуре и постоянном объеме газа была выведена формула:
Ρ = 3 (Τ + 273°).
Каково значение Ρ при Т= 0? Каково значение Τ при Ρ = 0?
4. У меня в банке 10 фунтов. Я дал Джону чек на χ фунтов,
Джиму — чек на (л: + 10) фунтов, Джейну — два чека по (л: — 5)
фунтов каждый. В результате я превысил кредит на 10 фунтов.
Сколько денег получил Джон?
5. Разделите 67 фунтов между Артуром, Бертом, и Колином
так, чтобы у Артура было на 15 фунтов больше, чем у Берта, а у
Берта — на 8 фунтов больше, чем у Колина.
6. Мой дед завещал половину своего состояния моему отцу,
четверть — мне и моей сестре. Он также оставил 100 фунтов
8
экономке. Какое наследство он оставил?
7. Мой друг, математик, вспомил, что в 1920 г. его брат был
на 16 лет старше его. Разность его возраста и возраста его сестры
(ей было 5лет) была равна возрасту его двоюродного брата. В 1920 г.
сумма лет этого двоюродного брата и удвоенного числа лет его
брата равнялась 39. Найдите год рождения моего друга.
8. Налог при покупке автомобиля составляет 25% его
стоимости. Какова стоимость автомобиля, если за него было уплачено
350 фунтов?
9. Первоначальный уровень воды в резервуаре был 10 м.
Каждый час он повышался на у ж. В другом резервуаре уровень воды,
первоначально составляющий 16 му повышался на 2у м в час.
Найдите скорость повышения уровня воды в первом резервуаре,
если через 2 ч уровень воды в обоих резервуарах оказался
одинаковым. Объясните смысл полученного ответа,
10. Велосипедист проезжает χ км со скоростью 20 км в час; на
обратном пути его скорость составляет 18 км в час. Весь путь был
им пройден за 5 ч. Найдите х.
11. У А 2 шиллинга, у В 1 шиллинг 3 пенса. После того как Л
дает В χ пенсов, у В оказывается денег в 2 раза меньше, чем у А.
Найдите χ и объясните полученный вами ответ.
12. Наибольший угол треугольника в 3 раза больше
наименьшего. Средний по величине угол равен 52°. Найдите наименьший
угол.
152

13. Для перевода градусов по Фаренгейту в градусы Цельсия
мы используем формулу
С = - (F — 32)°.
Найдите С, если: 1) F = 10; 2) F = — 180°; 3) F = 3°,
Найдите F, если: 1) С = — 15°; 2) С = 20°; 3) С = — 200°.
Выведите формулу, выражающую F через С.
14. Мотоциклист проехал по загородному шоссе χ км со средней
скоростью 50 км в час и (150—л;) км по городу со средней скоростью
8 км в час. Сколько километров он проехал по шоссе, если вся
поездка заняла у него 2,5 ч?
15. Продажная цена телевизионной установки составляет Ρ
фунтов. При распродаже цена была снижена на 2 шиллинга с
каждого фунта. Какова была первоначальная цена, если на
распродаже телевизор был продан за 72 фунта?
16. Некоторая сумма состоит из одинакового числа шиллингов
и флоринов1. Если бы она состояла только из шестипенсовых
монет, то их число равнялось бы 36, Найдите эту сумму.
17. Знаменатель дроби в 3 раза меньше удвоенного числителя.
Если бы числитель был уменьшен на единицу, то дробь равнялась
2
бы —. Найдите заданную дробь.
о
18. Воздушный шар каждые— часа снижается на 10 м. Другой
воздушный шар каждые — часа снижается на 30 ж. В момент
начала наблюдений первый шар находится на высоте 300 му а
второй — на высоте 90 м. Когда шары будут находиться на
одинаковой высоте относительно земли?
19. Мальчик в полтора раза старше своей сестры, 4 года назад
он был старше ее в 2 раза. Сколько им лет сейчас?
20. Разность между произведением двух последовательных
целых чисел и квадратом меньшего из них равна 8. Чему равно это
число?
21. Гипотенуза прямоугольного треугольника и его катеты
равны соответственно (х + 5), 60 и χ см. Найдите х.
Упражнения
1. Длина прямоугольного участка в 3 раза больше его
ширины. Для того чтобы обойти этот участок, я должен пройти 360 м.
Найдите ширину участка.
2. Сумма углов выпуклого многоугольника составляет (2п — 4)
прямого угла. Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник,
если сумма его внутренних углов составляет 36 прямых углов?
Что вы можете сказать относительно выпуклого многоугольника,
1 1 флорин=2 шиллингам, 1 шиллинг=12 пенсам.
153

если сумма его внутренних углов равна 49 прямым углам? Может
ли сумма внутренних углов выпуклого многоугольника
выражаться нечетным числом прямых углов?
3. Эйлер установил, что числа ребер Е, вершин V и граней F
многогранника связаны формулой: F + V = Ε + 2.
а) Сколько ребер имеет многогранник, у которого 12 граней
и 10 вершин?
б) Найдите Vy если F = 4 и Ε = 6,
в) Найдите F, если Ε = 30 и V = 12,
г) Найдите F, если Ε = 12 и V = 8.
д) Что вы можете сказать о многограннике, у которого F = 3?
е) Что вы можете сказать о многограннике, у которого V = 3?
ж) Что вы можете сказать о многограннике, у которого Е= 4?
з) Что вы можете сказать о многограннике, у которого Ε = 5?
и) Найдите F и V, если Ε = 6.
к) Каковы возможные значения F и К, если Ε = 7?
4. В 12 ч дня солнце занимает наивысшее положение. Солнце
восходит и садится в χ час. Найдите х.
5. Каково направление, если оно может быть указано как х°
или (х° — 30°)?
6. В школе мальчиков на 43 меньше, чем девочек. Сколько в
школе мальчиков, если общее число учащихся равно 315?
7. Разделите 10 шиллингов между двумя мальчиками так, чтобы
у одного оказалось в 2 раза больше денег, чем у другого.
8. Сумма одной пятой некоторого числа и восьми равна сумме
одной седьмой этого числа и десяти. Найдите это число.
9. Человек гребет против течения и движется со скоростью
3 км/ч, возвращается он со скоростью 4 км/ч. Найдите пройденное
им расстояние, если весь путь он прошел за 3 — ч.
10. Средняя скорость пассажирского поезда 25 км в час, он
отправляется с некоторой станции на — ч ранее, чем эту станцию
проходит скорый поезд, средняя скорость которого 40 км в час.
На каком расстоянии от станций второй поезд догонит первый?
Неопределенные уравнения
Рассмотрим уравнение
Зх + 2у = 8, χ ζ Ζ+, ν ζ Ζ+
Дадим у некоторое значение и найдем из уравнения
соответствующее ему значение х: у = 0, Зх = 8 =ф χ (£ Ζ+, что
противоречит нашему условию.
При у = 1, Зх = 6=> χ = 2 ζ Ζ+,
При у = 2, Зх = 4, и нет значений χ ζ Ζ+, удовлетворяющих
этому уравнению.
154

При у = 3, Ъх = 2. Нет значений χ ζ Ζ+, удовлетворяющих
этому уравнению.
При у = 4, Зл; = 0=>л; = 0 ζ Ζ+.
При у = 5, Зл; = 10. Нет значений χξΖ*, удовлетворяющих
этому уравнению.
Множеством решения данного уравнения является множество:
{(х = 2, у = 1), (х = 0, у = 4)}.
Найдите множества решений следующих уравнений (х, у ζ Ζ+):
1.
2.
3.
4.
5.
Зл; + у = 7.
4х + 3у = П.
х + у = 7.
2л; + у = 10.
5л; — у = 9.
6. 2л; — у = 2.
7. л; — 2у = 0.
8. χ + 2у = 11.
9. 4л; — Зу = 0.
10. 2л; — Зу = 1.
11. 2х + 5у = 9
12. Зл; — 2у = 1.
13. 5л; — Зу = 3.
14. Ъх — Зу = 11,
15. Зл; = 2у + 4.
Общий метод решения неопределенных уравнений
Рассмотрим уравнение 2х + 5у = 9, л;, у 6 Ζ+.
Мы пытаемся преобразовать уравнение так, чтобы все его члены
было удобно разделить на 2, коэффициент первого члена:
2х + 5у = 9 =>
=^2х + 4у + у = 8 + 1=>
=»2л; + 4у + у — 1 = 8=Ф
=Фх + 2у + •^=-1 = 4
2
Если у 6 Ζ+, то у — 1=2/7, где ρ ζ Ζ+. Мы можем поэтому в
полученное уравнение вместо у подставить 2р + 1:
х + 2(2Р+1) + ^+1)-1 =4.
=>л; + 4р + 2 + /? = 4=>
=Фх + 5/7 = 2=>
=Фх =2 — 5/7.
Если χ ζ Ζ+, то /7 может быть равным только 0. Тогда χ = 2,
у = 2/7 + 1 = 1.
Таким образом, χ = 2, у = 1 является единственным решением
уравнения Ъх + 2у = 8.
Пример. 5л; + 12у = 152, х, у ζ Ζ+. (Ι)
Попробуем преобразовать это уравнение так, чтобы все его
члены разделились на 5, коэффициент первого члена:
Ъх + 10у + 2у = 150 + 2;
Ъх + 10у + (2у — 2) = 150. (2)
155

Так как χ, у £ Ζ+, то обозначим 2у — 2 через 5р.
2у = 5р + 2 и p = ^zl.
5
Уравнение (2) принимает вид:
χ + (5/7 + 2) + /? = 30=>
=Φχ + 6/7 + 2 = 30=>
=Φχ = 28 — 6р.
/7 может принимать значения:
/701234
χ 28 22 16 10 4
у 1 * 6 * 11
где * означает числа, не принадлежащие множеству Ζ+. Таким
образом, множеством решений уравнения 5лг+12у=152 будет:
{(х = 28, у = 1), (х = 16, у = 6), (х = 4, у = 11)}.
1. Найдите множество решений уравнений:
а) Зх + 8у = 49; б) 5х + 2у = 53; в) Ах + 9у = 38
при условии, что х, у ί Ζ+.
2. За билет на спектакль каждый взрослый заплатил 5
шиллингов, каждый ребенок 2 шиллинга. Общая сумма составила 45
шиллингов, и взрослых оказалось больше, чем детей. Сколько
взрослых и детей было на спектакле?
Г л а в а 23. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Сложите вчетверо лист клетчатой бумаги и на каждой части
начертите оси, приняв за единичный отрезок на каждой оси отрезок
в 1 см: 0 < χ < 6, 0 < у < 8.
Постройте на графике точки по заданным их координатам и
соедините эти точки отрезками в указанном порядке:
f = {(1,0), (2,1), (1,1), (1,5; 2) (1,5; 3), (2,5), (2,6), (5,6), (5,1),
(4,0)};
Ε = {(2,5;4), (2,5; 4,5), (3;4,5), (3;4)};
Μ = {(1,5;2), (3;2)}.
Полученная фигура напоминает очертания лица. Предположим,
мы хотим изменить форму лица, «трансформировать» его. Введем
обозначения:
(*· У) — точка на лице, (х\ у') — точка на «новом» лице.
156

1. Условимся, что у' всегда составляет —у, а х' остается
равным х:
х' = х,
у -1,
Примеры
а) Пусть некоторая точка имеет координаты (1,0), т. е. χ = 1,
и = 0, тогда
*' = 1,
у' = 0.
Образом точки (1,0) будет точка (1,0).
б) Дана точка (3,4), т. е. χ = 3, у = 4, тогда
х' = 3,
у' = 2.
Образом точки (3,4) будет точка (3,2).
Найдите образы множеств F, Ε и Μ при преобразовании
= ху у' = —- у и постройте эти точки. Каков результат?
2. Предположим, что мы выбрали лреобразование
х' = — xf
2
у' =у.
Найдите образы множеств Fy Ε и УИ при этом преобразовании и
постройте соответствующие точки на новом чертеже. Каков
результат этого преобразования?
3. Найдите образы множеств /\ Ε и Μ при преобразовании
х'= — Ху
2
Постройте полученные точки на новом чертеже. Каков результат
этого преобразования?
4. Найдите образы множеств Fy Ε и Μ при преобразовании
х' = — Ху
у' = у.
Начертите оси координат (—6< х<0, 0<у<8)и постройте
полученные точки. Каков результат этого преобразования?
5. Начертите оси координат (—4 < χ < 5, — 3 < у < 4) на
четверти листа клетчатой бумаги. Постройте точки множества Т:
Τ ={(-1,0), (1,3), (2,2), (3, 1), (4,0)}
157

и соедините их последовательно. Найдите координаты образов
точек множества Τ при следующих преобразованиях:
а) х' = х, б) х' = χ + 1, в) х' = χ -\ у,
у' = - \ у; у' = у; у' = у,
и постройте точки на том же чертеже. Для каждого
преобразования возьмите карандаш другого цвета. Каков результат
каждого из преобразований?
6. На листе клетчатой бумаги постройте точки множеств Еу
F и Μ (см. стр. 156). За единичный отрезок по обеим осям примите
отрезок, равный 1 см> 0 < χ < 14, 0 < у < 18. Вычислите
координаты точек, являющихся образами точек множеств Е, F и Μ при
преобразовании
*' = 2*+~у,
у' = 1 χ + 2у,
постройте образы точек множеств Е, F и Μ и соедините точки в том
же порядке. Каков результат этого преобразования?
Преобразования, рассмотренные выше, относятся к линейным
преобразованиям, переводящим одно множество точек в другое.
Некоторые из этих преобразований сохраняют форму
преобразуемой фигуры, но изменяют ее размеры. Скажите, какие из
рассмотренных выше преобразований сохраняют форму, но изменяют
размеры фигур.
Некоторые преобразования изменяют положение множеств
точек относительно осей координат, но сохраняют форму фигуры и
расстояние между ее точками. Какие из рассмотренных
преобразований относятся к таким преобразованиям?
7. Начертите оси координат: (— 8 < χ < 8, — 7 < у < 7).
Начертите квадрат, вершины которого принадлежат множеству
S = {(0, 0), (0,3), (3,3), (3,0)}.
Найдите образы точек множества S при преобразованиях:
а) х' = х, б) χ' = χ + у, в) χ' = χ + у,
У' = х — У;
V' = х + У; У' = У\ г) х' = χ — у,
у' = χ + у.
Постройте точки новых множеств и соедините точки каждого
множества в том же порядке, в котором соединены вершины
квадрата. Как изменилась заданная фигура? Найдите площадь каждой
полученной фигуры. Какие элементы сохраняются при каждом
преобразовании? Какие элементы не сохраняются?
158

Проверьте ваши предположения, выполнив аналогичное
задание для точек множества Р:
Ρ = {(0, 0), (1,2), (3,3), (4,0)}.
Матрицы
Линейные преобразования часто записываются более кратко.
Например, преобразование
х' = 2х + Зу,
у' = Ах + 5у
может быть записано в виде
(/И")©· или даже короче [I i}
Заметьте, что коэффициенты при χ записываются в первом
столбце, а коэффициенты при у — во втором.
Символ /2 3\ называется матрицей. Так как эта матрица
Μ
имеет одинаковое число строк и столбцов, то она называется
квадратной (записывается: «2 χ 2» матрица — 2 строки и 2 столбца).
1. Запишите в виде матрицы следующие преобразования:
а) х' = 2х + Зу,
у' = 4х — 5у;
б) х' = 2х — Зу,
у' = 4х — 5у;
в) х' = χ + у,
у' = χ — у;
г) х' = 2х — у,
у' = х + у;
д) х' = χ — 2у,
у = χ - 2у;
е) *' = х,
у' = * + у;
ж) *' = х,
у' = У;
з) х' = — х,
у' = Х + У;
и) х' = х — 2у,
У' = у — 2х.
2. Запишите преобразование плоскости ху в плоскость х'у'
(выразите х' и у' через χ и у), определяемое следующими
матрицами:
"(ί Ϊ) "(а I) ДМ? ')
6)(! "Ι) г,й ~ί) e)(i ?)
3. Преобразование, заданное матрицей, запишите в виде: х'=ах+
+ by, у' = ex + dy:
а,(Г?) В,П Ϊ) Д,П -")
6,(_? J) r)(! ~i) e,L°rJ)
4. Найдите образы треугольника с вершинами {(0,0), (0,3), (4,4)}
при преобразованиях, указанных в задании 3.
159

(.
5. Начертите треугольник Τ с вершинами в точках (0,0), (2,0),
(4,4).
а) Найдите образ 7\ заданного треугольника при преобразовании
J -!).
б) Найдите образ Тг прообраза 7\ при преобразовании /1 0\
Ό —\)
в) Найдите образ Т3 прообраза Тг при преобразовании /1 0\
Ιο -ι)
г) Найдите образ Tk прообраза Т3 при преобразовании /— 1 0\
I 0 I)
Обсудите полученные результаты.
6. Начертите треугольник Τ с вершинами (0,0), (3,0), (3,3).
а) Найдите образ Тг треугольника Τ при преобразовании 0 1\
11 0)
б) Найдите образ Т2 треугольника Тг при преобразовании
π ?)
в) Найдите образ Т3 прообраза Т2 при преобразовании
(-Ϊ 'Ό)
г) Найдите образ Г4 прообраза Т3 при преобразовании /1 0\
lo -ij
д) Найдите образ Г5 прообраза Г4 при преобразовании /0 1\
U 0}
е) Найдите образ Гв прообраза Т5 при преобразовании /— 1 0\
I 0 I)
ж) Найдите образ Т1 прообраза Те при преобразовании (2 — 1\
(1 0)
Обсудите полученные вами результаты.
Глава 24. СИНУС УГЛА
Начертите окружность единичного радиуса с центром О в
начале координат. Координаты вектора ОР (точка Ρ находится на
окружности) равны χ и у. ОР = 1. χ = cos /-XOP. Координатах
определяет угол, образованный вектором ОР с положительным
направлением оси Ох. Координата у также определяет этот угол.
Для всех векторов ОР, имеющих одно и то же направление, т. е.
ХР
образующих один и тот же угол ХОР с осью Ох, отношение —
ХР
является постоянным. Отношение у = — называется синусом
160

Рис. 131.
угла и записывается (рис. 131) следующим образом: sin Z_ ХОР =
' op
Пример. Найти высоту треугольника (рис. 132).
Решение.
sin 35°
РХ = h
OP 100*
По таблице находим, что sin 35° = 0,574, откуда
— = 0,574, h = 100 · 0,574 = 57,4.
100
Высота треугольника равна 57,4 фута.
Упражнения
1. Найдите неизвестные стороны и углы следующих
треугольников (рис. 133):
(а)
(б)
(в)
(г)
(Д)
(е)
(ж)
(з)
(и)
(к)
(л)
(м)
(н)
ОХ
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
■>
ОР
8
12
10
10
9
8
7
9
11
10
16
12
ХР
5
7
9
?
?
?
?
?
?
?
5
6
5
/-РОХ
?
?
?
27°
48°
63°
37°
?
?
?
?
?
■>
/-ХРО
?
?
?
?
'?
?
?
30°
50°
70°
?
?
?
2. Найдите отрезки AD, ВС я площадь треугольника ABC
(рис. 134).
3. По размерам, данным на рисунке 135, найдите отрезки AD,
£DAC, BD,DC uZDAC.
161

4. По размерам, данным на рисунке 136, найдите х, уу а и Ь.
5. По размерам, данным на рисунке 137, найдите х.
6. Вектор ОА длиной ρ составляет угол θ с осью Ох.
Записать вектор ОА как упорядоченную пару чисел, если: а) ρ = 10,
θ = 20°; б) ρ = 8, θ = 37°; в) ρ = 5, θ = 67°.
7. Найдите высоту равнобедренного треугольника, угол при
основании которого равен 50°, а боковая сторона равна 4 см.
Найдите основание треугольника. Какова площадь этого
треугольника?
8. Правильный пятиугольник вписан в окружность радиуса
10 см. Под каким углом видна из центра окружности каждая из его
сторон? Найдите длину стороны и периметр пятиугольника.
9. Правильный шестиугольник вписан в окружность радиуса
10 см. Найдите длину его стороны. Чему равен периметр этого
шестиугольника?
10. В окружность радиуса 10 см вписан правильный
десятиугольник. Найдите его сторону и периметр.
И. В окружность радиуса 10 см вписан правильный двадцати-
угольник. Найдите его сторону и периметр.
Заметили ли вы в задачах 8—11 что-нибудь относительно
периметров каждого из многоугольников? Чему равна длина
окружности (приближенно)?
Рис 137.
162

Упражнения (для обсуждения)
1. Найдите значения:
а) sin 10°; г) sin 90°; ж) sin 180°; к) sin 270°;
б) sin 30°; д) sin 120°; з) sin 240°; л) sin 330°;
в) sin 60°; е) sin 150°; и) sin 260°; м) sin 360°.
2. Найдите значения:
а) sin (— 10°); в) sin (— 80°); д) sin (— 150°); ж) sin {— 300°) .
б) sin (— 30°); г) sin (— 90°); е) sin (- 270°);
3. Найдите возможные значения ху если sin χ = 0,5, а угол χ
удовлетворяет следующим условиям:
а) 0° < χ < 90°; в) 0° < χ < 360°;
б) 0° < χ < 180°; г) — 180° < χ < 180°.
4. Найдите возможные значения х, если cos χ = 0,5 и угол χ
удовлетворяет следующим условиям:
а) 0° < χ < 90°; в) 0° < χ < 360°;
б) 0° < χ < 180°; г) — 180° < χ < 180°.
5. Постройте график функции у = sin х> если 0° < χ < 360°.
Постройте график функции у = sin χ, если — 180° < χ < 360°.
Постройте график функции у = sin (χ + 30°), если 0° < χ <
< 360°.
Постройте график функции у = sin (χ + 60°), если 0° < χ <
< 360°.
Постройте график функции у = sin (χ + 90°), если 0° < χ <
< 360°.
Постройте график функции у = 2х, если 0° < χ < 360°.
Постройте график функции у = sin За:, если 0° < χ < 360°.
Какие выводы вы можете сделать?
Глава 25. КРУГ
Все круги имеют одну и ту же форму, поэтому длина
окружности радиуса г равна 2л/·, где 2π — длина окружности единичного
радиуса.
π = 3, 141592... ^ 3,1416 ^3-^3.
7
Вы всегда можете записать несколько первых цифр числа π,
запомнив предложение:
«Кто и шутя и скоро пожелает «пи» узнать — число уж знает»
3, 1415 8 2 6 525
163

Рис. 138.
δ
Рис. 139.
4 сектора
8 секторов
16 секторов
32 сектора
Рис. 141.
164

Число, обратное π, —, также легко запомнить:
π
1 - 0,3183.
л
Теперь мы попытаемся найти формулу для вычисления площади
круга. На листе бумаги начертите четыре круга радиуса 2 см.
Первый круг разделите на 4, второй—на 8, третий — на 16 (рис. 138 —
140) и четвертый — на 32 равных сектора.
Вырежьте каждый круг, а затем разрежьте его на секторы.
Секторы каждого круга наклейте в тетрадь так, как это указано на
рисунке 141.
Вы видите, что при увеличении числа секторов, на которые вы
делили круг, наклеенные в тетрадь фигуры все более
приближаются по форме к прямоугольнику. Если бы мы могли продолжать этот
процесс бесконечно, мы получили бы прямоугольник длиной,
равной половине длины окружности круга, и высотой, равной ее
радиусу. Можно ли фактически получить такой прямоугольник?
Таким образом, площадь круга равна: пг · г = пг2.
Обратите внимание, что η в формуле площади круга — то же
самое, что и π в формуле длины окружности.
Упражнения
Найдите площади кругов, радиусы которых равны:
1. 3- см; 7 см; 28 см; 14 см; 10,5 см (π « 3 -Μ .
2. 1,72; 3,4; 5,6; 7,2; 8,3; 9,7 м (используйте логарифмическую
линейку, π ж 3,14).
3. 1;2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 м (л ж 3,14).
4. Постройте график зависимости площади круга от его
радиуса. Данные возьмите из задачи 3 (отрезок в 1 см соответствует
площади в 20 кв. см, отрезок в 1 см — единице длины радиуса).
5. Постройте график зависимости площади круга от квадрата
его радиуса. Данные возьмите из задачи 3.
6. Найдите площадь, заключенную между двумя
концентрическими окружностями радиусов:
а) 4 см и 6 см; б) 9 см и 19 см; в) г см и R см.
Дополнительные задания
1. В середине листа тетради начертите окружность радиуса
5 еж и проведите ее диаметр, параллельный вертикальному краю
страницы. Разделите диаметр на 10 равных частей. Точки деления
внутри окружности обозначьте Pv P2, Р3, ..., Р9. Затем через
каждую из этих точек проведите перпендикуляры к диаметру, обо-
165

значьте точки их пересечения с окружностью соответственно Qb
Q2» ---ι Q9 и постройте окружности с центрами в каждой из точек Ρ
и радиусами PnQn(n = 1, 2, ..., 9). Обсудите полученный
результат. При увеличении числа делений фигура будет приближаться к
эллипсу.
2. Начертите в середине чистой страницы окружность радиуса
5 см и проведите ее вертикальный диаметр. Верхний его конец
обозначьте О. Разделите окружность на глаз на 10 равных частей,
начиная от точки О. Точки деления внутри окружности обозначьте
через Pl9 Р2, Р3, ··· · Приняв каждую из точек Рп (п = 1,2, ..., 9)
за центр окружности, постройте окружности радиусами РпО.
Какую фигуру вы получили? Не видели ли вы в швейной машине
фигуру, похожую на эту?
Эта фигура называется кардиоидой.
3. Начертите в середине листа тетради окружность радиуса
5 см и проведите ее горизонтальный диаметр, разделите его на
10 равных частей, точки деления внутри окружности обозначьте
Ри Р*> Л*> ···· Через точки Ръ Р2, Р3, ··· проведите
перпендикуляры, точки их пересечения с верхней полуокружностью обозначьте
через Ql9 Q2, Q3, .., а с нижней полуокружностью — через Rl9
/?2> #з> ···> соответственно. Постройте окружности с центрами в
точках Ql9 Q2, Q3, ..., Q9 радиусами QxPl9 Q2P2f ··> Q9P9
соответственно.
Постройте окружности с центрами в точках Rl9 R2, ..., R9
радиусами /?iPi, R2P2, ..., R9P9 соответственно.
Сделайте вывод о полученном результате. Эта фигура называется
нефроидом.
Закрасьте каждую из полученных в задачах 1—3 фигуру. Что
вы заметили относительно этих фигур?
Глава 26. ОБЪЕМ
1. Представьте себе, что на рисунке 142 изображена фигура из
кубиков. Сколько кубиков в нижнем ряду? Сколько всего рядов?
Сколько всего кубиков в этой фигуре?
Какова площадь основания, если ребро каждого кубика равно:
а) 1 см; б) 2 см; в) 0,5 см?
Пространство, занимаемое телом, называется его объемом.
Пространство, занимаемое кубом, ребро которого равно 1 см,
называется кубическим сантиметром.
г) Чему равен объем фигуры, данной на рисунке 142, если ребро
каждого куба равно 1 см?
д) Чему равен объем этой фигуры, если ребро каждого куба
равно 2 см? Чему будут равны в этом случае площадь основания и
высота? Чему равна площадь грани ОАВС? Чему равно ребро OD?
166

■
Рис. 143.
2. Из кирпичей, имеющих форму куба, построена башня.
Основание башни, изображенное на рисунке 143, разделено на квадраты,
стороны которых равны ребрам кубов. Сколько кирпичей пошло на
постройку башни, если ее высота составляет 12 кирпичей?
Чему равны площадь основания, высота и объем башни, если
сторона каждого куба равна: а) 1 см\ б) 2 см; в) — см?
3. Если фигура, данная на рисунке 142, рассечена по
плоскости ABED у то каков будет объем каждой из фигур, если ребра
кубов равны: а) 1 см; б) 2 см; в) — см?
Убедитесь, что в каждом из приведенных выше случаев объем
башни равен числу единичных кубов в основании, умноженному на
число рядов единичных кубов.
4. Чему равен объем прямой треугольной призмы,
изображенной на рисунке 144?
5. Чему равен объем прямоугольной коробки длиной 9 см,
шириной 7 — см и высотой 12 см?
6. Башня высотой 3 м имеет площадь основания 28 кв. м. Чему
равен ее объем?
7. а) Сколько кубических сантиметров в кубическом метре?
б) Сколько кубических метров в кубическом сантиметре?
Рис. 144,
Рис. 145.
167

8. Основание ящика, изображенного на рисунке 145,
представляет собой четырехугольник, в котором АО \\ ВС. Сторона ОС
перпендикулярна стороне О А. Боковые стенки ящика
вертикальны.
Найдите площадь основания и объем ящика, если:
1) ОА = 2л€,
2) ОА = 24 см,
3) ОА = 1 ж,
4) ОА = 45 ж,
ВС = 1,3ж,
ВС = 13 еж,
5С = 0,5 ж,
5С = 20 ж,
ОС = 1 ж,
ОС = 1,2 еж,
ОС = 0,5 ж,
ОС = 2 ж,
OD = 0,9 ж;
OD = 6 еж;
OD = 1,5 ж;
OD = 15 ж.
9. Плавательный бассейн имеет глубину 2,5 ж с одной его
стороны и 1 ж — с другой (рис. 146). Длина его составляет 50 ж, ширина
25 ж. Каков объем этого бассейна в кубических метрах?
Сколько галлонов воды (6 — галлона = 1 куб. фут) потребу-
4
ется для наполнения бассейна?
10. С помощью логарифмической линейки найдите объемы
ящиков в кубических метрах по заданным их размерам (в см):
Высота
Ширина
Длина
3,2
2,6
1,7
5,9
1,8
2,9
9,6
8,7
3,9
15,9
27,3
38,4
11. Найдите объемы прямых круговых цилиндров (рис. 147) по
заданным их размерам (в см):
Радиус основания г
7
4
1,3
Высота h
6
10
5,4
Объем цилиндра или прямоугольного ящика равен произведению
площади основания на высоту.
125 м
2,5м
Рис. 146.
Рис. 147.
168

12. Заполните таблицу, составленную для прямоугольного
параллелепипеда (используя, если это нужно, логарифмическую линейку):
1 Длина
3 см
4 см
|5,6 см
8,9 м
Ширина
3 СМ
4 см
7,8 см
9,8 ^
Высота
6 СМ
6 СМ
9,8 м
Площадь
основания
12 кв. см
9,8 кв. м.
106 кв. м.
Объем
144 куб. см 1
96 куб. см !
157 куб. м
1960 κί/б. ж.
13. Заполните пропуски в таблице, составленной для прямого
цилиндра. Используйте, если это будет нужно, логарифическую
линейку:
Радиус основания
(в см)
Площадь основания
1 (в кв. см)
Высота (в см)
Объем (в куб. см)
а
7
8
б
22
10
в
4,6
9,6
г
5,9
137
д
8,7
596
е
9,8
76,4
Напишите формулу объема цилиндра.
14. Найдите объем треугольной призмы, если:
а) ее высота равна 10 см, а площадь основания — 6 кв. см;
б) ее высота равна 10 см, а в основании лежит прямоугольный
треугольник с катетами, равными 4 см и 7 см;
в) ее высота равна 8 см, а в основании лежит равносторонний
треугольник со стороной 10 см;
г) ее высота равна 9 см, а в основании лежит треугольник со
сторонами 10, 10 и 9 см;
169

о
Рис. 148. Рис. 149.
д) ее высота равна 7 сму а в основании лежит треугольник со
сторонами 13, 13 и 10 см;
е) ее высота равна 20 см, а в основании лежит равносторонний
треугольник со стороной 20 см.
15. Сделайте модель пирамиды (рис. 148) из соломинок. Можно
использовать один из следующих методов крепления трубок: а)
пропуская через них тонкую проволоку; б) пропуская через них
эластичную нить.
16. Из тонких трубок изготовьте еще две пирахмиды (рис. 149)
высотой 4 см, в основании которых лежат квадраты площадью по
8 кв. см. Треугольник АСВ (рис. 149) прямоугольный и АС =
= СВ = х.
По теореме Пифагора АС2 + СВ2 = АВ2,
χ2 + χ2 ^ 16>
*» = 8 - СВ2.
В Δ ОСВ ОВ2 = ОС2 + СВ2,
ОВ2 = 4 + 8 = 12,
ОВ =1/02^3,46 (см).
Таким образом, для построения каждой пирамиды нужно взять
четыре трубки длиной по 8 еж и четыре трубки длиной по 6,9еж.
Какую форму имеет каждая боковая грань пирамиды?
Из этих двух пирамид и четырех трубок длиной по 8 см изгоювь-
те модель куба (рис. 150).
Сколько пирамид высотой 4 см в этом кубе? Чему равен объем
куба? Чему равен объем каждой пирамиды? Изготовьте модели
шести таких пирамид из тонкого картона и сложите их так, чтобы
они образовали куб. Ребра в основании куба склейте бумажными
полосками. Бумажные полоски сохранят подвижность пирамид.
Какую другую фигуру вы можете получить из этого куба?
170

17. В основании пирамиды лежит квадрат со стороной Ь
единиц. Высота пирамиды равна — Ь. Чему равен ее объем?
18. Представьте себе, что башня сделана из тонких
прямоугольных листов (рис. 151). Можно ли сдвинуть листы так, чтобы
башня приняла положение, указанное на рисунке 152?
Естественно, что объемы обеих башен равны, так как каждая из них
содержит одно и то же число листов; один и тот же лист находится
на одном и том же расстоянии от основания. Вы можете повторить
это же со стопкой книг. Предположим, что мы имеем некоторую
пространственную фигуру, верхняя и нижняя грани которой
плоские и параллельны друг другу. Мы можем разрезать ее на тонкие
слои, параллельные основанию, и переместить их так, как это
указано на рисунке 152. Объем нового тела (хотя оно и будет другой
формы по сравнению с исходным) будет таким же, что и объем
прежнего тела. Мы можем теперь обобщить результат: тела, имеющие
равные основания, лежащие в параллельных плоскостях, имеют
равные объемы, если их параллельные сечения, равноудаленные
от плоскости основания, имеют равные площади. В частности,
пирамиды с равными основаниями и равными высотами имеют равные
объемы.
19. Рассмотрите две треугольные пирамиды (тетраэдры, рис. 153).
Вычислите ребра АВ и ВС пирамиды, изображенной на рисунке
153, если LBOA = /_ВОС.
Объем любой пирамиды равен — произведения площади осно-
о
вания на высоту.
OD^ijI (рис. 154). *
:. 150. Рис. 151. Рис. 152.
171

β
12
О)
Рис. 153.
Площадь треугольника О АС = — · 5 · —
Уть
2
25/3^
(рис. 154).
2 2 4
Объем пирамиды а) равен 25 J/1} куб. ед.
20. Найдите объем пирамиды, если:
а) площадь ее основания равна 7 кв. см, а высота 9 см;
б) в основании пирамиды лежит прямоугольник размером 8 · 6 см,
а высота пирамиды равна 14 см;
в) в основании ее лежит прямоугольный треугольник с
катетами, равными 5 см и 12 см; высота пирамиды равна 19 см;
г) в основании пирамиды лежит равносторонний треугольник
со стороной 20 см; высота пирамиды равна 4,7 см;
д) в основании пирамиды лежит прямоугольник со сторонами
5.6 см и 7,2 см; высота пирамиды равна
6.7 см.
21. Каждое из боковых ребер
пирамиды, в основании которой лежит
квадрат со стороной 10 см, равно 13 см.
Найти: а) площадь боковой
поверхности; б) высоту пирамиды; в) объем
пирамиды.
22. В основании пирамиды лежит
квадрат со стороной 8 см каждое из
боковых ребер пирамиды равно 10 см.
Найти высоту пирамиды и ее объем.
Рис. 154. Вычисления проведите на
логарифмической линейке.
23. Найдите объем конуса, если: а) его высота равна 8 см, а
радиус основания равен 6 см; б) его высота равна 10 см, а радиус
основания равен 5,3 см\ в) его высота равна Л, а радиус основания равен
г см.
172

Г лава 27. ФОРМА И РАЗМЕР. ПЛОСКИЕ ФИГУРЫ
1. Ниже в таблице приведены размеры в см (высоты и
основания) трех множеств А, В и С прямоугольников. Заполните таблицу,
вычислив периметр и площади этих прямоугольников.
Множество А
Высота
Основание
Периметр
Площадь
1
2
1
1
2
Ί
3
2
4
2-1
Z 2
5
3
6
όΎ
7
4
8
Множество В
Высота
Основание
Периметр
Площадь
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
8
8
Множество С
Высота
Основание
Периметр
Площадь
2
1
4
2
6
3
8
4
10
5
12
6
14
7
16
8
173

а) Какому условию удовлетворяет прямоугольник,
принадлежащий одному из множеств Л, В или С? Назовите еще три
прямоугольника, являющихся элементами каждого из множеств. Если
это возможно, назовите: прямоугольник, являющийся элементом
каждого из трех множеств; и прямоугольник, являющийся
элементом только двух множеств. В каждом случае скажите, почему вы
выбрали именно этот прямоугольник (или почему вы не смогли
указать ни одного прямоугольника).
• б) Начертите оси Ох и Оу; 0 < χ < 8; 0 < у < 16. За
единичный отрезок примите отрезок, равный 1 см. Начертите графики
зависимости между основанием и высотой прямоугольников из
множеств Л, 5 и С. Что вы заметили относительно этих графиков?
Показывают ли эти графики существование какой-либо связи
между множествами Л, В и С?
в) Начертите оси Ох и Оу; 0 < χ < 8; 0 < у < 50.
Единичный отрезок на оси Ох примите равным 1 см. Пусть отрезок
в 2 см соответствует 10 единичным отрезкам оси Оу. Для каждого
из множеств Л, В и С начертите график зависимости периметра
прямоугольника от его основания. Запишите результаты ваших
наблюдений.
г) Начертите оси Ох и Оу; 0 < χ < 8;0 < у < 140. Единичный
отрезок на оси Ох примите равным 1 см; 20 единичных отрезков
оси Оу пусть будут равны 0,5см. Для каждого из множеств Л, В и С
начертите график зависимости площадей прямоугольников от их
оснований. Запишите ваши выводы относительно этих
прямоугольников, их площадей и графиков.
д) Что общего в этих трех сериях графиков?
е) Найдите площадь и периметр одного из прямоугольников
каждого из множеств А, В, С, имеющего: 1) высоту Нем; 2)
основание В см.
2. В таблице приведены высота и основание (в см)
прямоугольников, принадлежащих некоторому множеству:
Высота
Основание
Периметр
Площадь
2
10
3
9
4
8
5
7
6
6
7
5
8
4
9
3
10
2
Вычислите периметры и площади прямоугольников. Начертите
графики:
174

па
«о
5
0_
23^56789 Ю
Основание прямоугольники
Рис. 155.
а) высота — основание; б)
периметр — основание; в)
площадь — основание (1 см —
5 кв. см).
Сделайте вывод относительно
ваших графиков. Какому
условию удовлетворяет каждый
элемент заданного множества
прямоугольников?
Предположим, у вас есть 24 ж
проволоки, которой вы можете
огородить участок
прямоугольной формы. Каковы должны
быть стороны прямоугольника,
чтобы его площадь была
наибольшей?
Вырежьте 9 прямоугольников разной формы, но одной площади
и попросите 10 человек выбрать из них такой, форма которого им
больше всего нравится.
Ваш учитель соберет у вас данные и покажет, как строить
гистограмму — столбчатую диаграмму, высота каждого столбика
которой соответствует числу человек, указавших прямоугольник
определенного вида (рис. 155). Начертите эту гистограмму в тетради.
3. Имеется множество прямоугольников, периметр которых
равен 36 см. Найдите площади прямоугольников,
принадлежащих этому множеству, основания которых равны 2, 4, 6, 8, ...,
16 см. Постройте график зависимости площади от основания.
Сделайте вывод относительно полученного вами графика.
4. В таблице приведены высоты и основания (измеренные в
одних и тех же единицах) нескольких прямоугольников:
Высота
Основание
Периметр
Площадь
2
12
3
8
4
6
6
4
8
3
12
2
Найдите их периметры и площади. Постройте график
зависимости высоты от основания. Что вы заметили? Постройте график
зависимости площади от основания. Сделайте свои замечания
относительно вида графика. Можно ли объяснить вид графика
особенностью данных прямоугольников?
J75

5. Каждый прямоугольник из некоторого множества
прямоугольников имеет площадь 36 кв. см. Найдите периметры
прямоугольников, принадлежащих этому множеству, основания которых
равны 2, 4, 6, 9, 12, 18 см. Постройте графики зависимости высоты
прямоугольника от его основания и зависимости периметра
прямоугольника от его основания.
Сделайте вывод относительно вида этих графиков.
6. Найдите простой способ построения треугольников,
элементы которых даны в таблице:
Основание (а)
Высота (ha)
Сторона (с)
Сторона (Ь)
Периметр
Площадь
1
1,5
1,0
2
2
2,25
1,5
3
3
3,0
2,0
4
4
3,75
2,5
5
5
4,5
3,0
6
6
5,25
3,5
7
7
6,0
4,0
8
На основании этих данных вычислите периметр и площадь
каждого треугольника. Постройте графики зависимости: а) периметра
треугольника от его основания и б) площади треугольника от его
основания. Какое заключение вы можете сделать?
Почему вы можете провести плавную кривую через полученные
точки графика? Что вы можете сказать об этом множестве
треугольников? Укажите размеры четырех каких-либо других
треугольников, принадлежащих этому же множеству.
Каково отношение площадей треугольников 1
и 3? 2 и 5? 2 и 7? 3 и 7?
Сделайте вывод об отношении площадей
треугольников, принадлежащих данному
множеству.
7. Сколько равносторонних треугольников со
стороной 1 см (рис. 156) вы можете уложить на
1см равносторонний треугольник со стороной а) 2 см,
Рис. 156. б) 3 см, в) 4 см без перекрытий и просветов?
176

Распространите ваш вывод на любой равносторонний
треугольник.
Каково отношение площадей двух равносторонних
треугольников со сторонами: а) 2 см и 4 см; б) 6 см и 12 см?
8. Сколько квадратов со стороной 1 см уложится в квадрате со
стороной: а) 2 см; б) 3 см; в) 4 см?
Сделайте обобщение ваших выводов. Каково отношение
площадей квадратов со сторонами: а) 2 см и 4= см; б) 3 см и 6 см;
в) 3 см и 12 см; г) χ см и у см?
9. Сколько ромбов, изображенных на рисунке 157, уложится
в ромбе такой же формы со стороной: а) 2 см; б) 3 см; в) 4см? Чему
равно отношение площадей ромбов, имеющих одну и ту же форму,
со сторонами, равными: ^) 2 см и б) 4 см?
10. Сколько трапеций с размерами, данными на рисунке 158,
уложится в трапеции такой же формы с верхним основанием,
равным 2 см; 4 см; 9 см?
Чему равно отношение площадей трапеций такой формы,
меньшие основания которых равны: а) 2 еж и 4 см; б) χ см и у см?
И. Каково отношение площадей кругов радиусов: а) I см и
2 см; 6) 2 см и 4 см; в) 1 см и R см?
12. Во сколько раз больше потребуется краски для покрытия
прямоугольника, если его линейные размеры будут удвоены по
сравнению с заданными?
13. Цена ковра определяется его площадью. Как изменится
цена ковра, если все его линейные размеры уменьшатся в 2 раза?
14. Для некоторого участка нужно 2 кг удобрений. Сколько
потребуется удобрений для участка той же формы, но со сторонами,
в 2 раза большими, чем еюроны первого участка?
15. Для засева некоторого участка прямоугольной формы
требуется 5 ц пшеницы. Сколько пшеницы потребуется для засева
участка такой же формы, но со сторонами, вдвое большими первого?
16. Потери на испарение жидкости, находящейся в открытом
прямоугольном сосуде, пропорциональны поверхности испарения.
Как повлияет на испарение увеличение всех линейных размеров
сосуда в 2 раза? уменьшение всех линейных размеров сосуда в 2
раза? уменьшение всех размеров сосуда в 3 раза?
177

Глава 28. ФОРМЫ И РАЗМЕР. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ФИГУРЫ
1. Задача для обсуждения. В таблице приведены внутренние
размеры (в см) прямоугольных ящиков без крышек:
Ширина
Длина
Высота
Площадь поверхности
Объем
1
2
1,5
2
4
3,0
3
6
4,5
4
8
6,0
5
10
7,5
6
12
9,0
7
14
10,5
8
16
12,0
Заполните таблицу, найдя объем каждого ящика, площади его
основания и боковых стенок.
а) Постройте три графика: длина — ширина, высота—ширина,
высота — длина (за единичные отрезки на обеих осях примите
отрезок, равный 1 см). Что вы можете сказать об этих графиках?
Какому условию должны удовлетворять размеры какого-либо другого
ящика, чтобы он принадлежал заданному множеству ящиков?
1) Чему равны длина и высота ящика, если его ширина равна
W см?
2) Чему равны ширина и высота ящика, если его длина равна
L см?
3) Чему равны ширина и длина ящика, если его высота равна
Я см?
б) Покажите, что площади основания и боковых стенок ящика,
длина которого равна L, ширина W и высота Я, равны:
2 (L + W) Я + LW = (W + 2Я) L + 2WH = W (L + 2Я) +
+ 2LH.
Выразите .внутреннюю поверхность S ящика только: 1)
через W; 2) через L; 3) через Я. Что вы заметили в каждом из этих
случаев?
Приняв, что отрезок в 2 см соответствует площади в 100 кв. см,
а отрезок в 1 см соответствует длине в 2 см, постройте три графика
зависимостей: S — W\ S — L, S — Я. Каково уравнение каждого
из графиков?
Сделайте вывод относительно поверхности ящиков, имеющих
одинаковую форму.
17$

в) Найдите объем V ящика длиной L см, шириной W см и
высотой Η см. Используя результаты задания а), выразите объем
только: 1) через W; 2) через L; 3) через Н. Что вы заметили в каждом
случае?
Приняв, что отрезок в 2 см соответствует объему в 200 куб. см,
а отрезок в 1 см соответствует длине в 1 см, постройте три графика
у — W, V — L, V — Н. Каково уравнение каждого из графиков?
Сделайте вывод относительно объемов ящиков, имеющих одну
и ту же форму.
г) Проверьте ваши выводы для заданий б) и в), рассмотрев
поверхности и объемы различных кубов.
2. Как изменятся поверхность и объем куба, если все его
размеры удвоить?
Как изменятся поверхность и объем куба, если все его размеры
утроить?
Как изменятся поверхность и объем куба, если все его размеры
уменьшить в 2 раза?
Как изменятся поверхность и объем куба, если все его размеры
уменьшить в 3 раза?
3. Все шары имеют одинаковую форму. Пусть объем шара
радиуса 1 см равен V куб. см и его поверхность равна А кв. см. Чему
равны объемы и поверхности шаров радиусов: а) 2 см; б) 3 см;
в) 4 см; г) 5 см; д) 0,5 см; е) — см; ж) — см?
4 5
4. Запишите ваш вес. Каким был бы ваш вес, если бы все ваши
линейные размеры удвоились? утроились? уменьшились в 2 раза?
Как изменилась бы в каждом из этих случаев поверхность тела?
5. Объем пищи, которую может принять человек за один раз,
не может быть больше объема его пищеварительного тракта.
Каким стал максимальный объем этой пищи, если бы все линейные
размеры человека удвоились? утроились? уменьшились в 2 раза?
Что случилось бы в каждом из этих случаев с поверхностью
пищеварительного тракта?
Поверхность пищеварительного тракта определяет количество
питательных веществ, всасываемых из пищи. Что вы думаете о
проблеме питания карликов и великанов?
Почему вблизи Южного полюса живут более крупные, а не
более мелкие экземпляры пингвинов?
Как изменился бы вес птицы, если бы ее линейные размеры
удвоились? утроились? уменьшились в 2 раза?
Как изменилась бы поверхность крыла, если бы линейные
размеры птицы удвоились? утроились? уменьшились в 2 раза?
уменьшились в 3 раза?
6. Вернитесь к заданию 4 и обсудите проблемы питания самых
мелких млекопитающих, например землеройки, которая раза в 2
меньше мыши, предполагая, что питание мыши обеспечивает ее
нормальное существование.
179

7. Прочность детали конструкции определяется площадью ее
поперечного сечения; детали, несущие большую нагрузку, имеют
большее поперечное сечение.
а) Что случилось бы с человеком, если бы все его линейные
размеры увеличились в одно и то же число раз?
б) Какие проблемы возникнут перед скульптором, если он
захочет сделать большую мраморную копию маленькой мраморной
скульптуры? Какое решение он должен принять?
8. Какие проблемы возникают перед авиаконструктором, если
он хочет создать большой самолет на основе характеристик
небольшой модели?
9. Что произойдет с объемом сосуда, если его линейные размеры
будут удвоены? Что произойдет с площадью его основания? Пусть
вода, полностью наполняющая некоторый сосуд, закипает через
Μ мин. Через сколько минут можно ожидать, что вода закипит в
сосуде, линейные размеры которого в 2 раза больше, чем у
первого сосуда (приток тепла на единицу объема каждого из сосудов
принять постоянным).
10. Имеется несколько цилиндрических сосудов одинаковой
формы. Их диаметры 4 дюйма, 6 дюймов, 8 дюймов, 10 дюймов.
Меньший сосуд наполнен водой до краев. Вода в нем закипает через
3 мин. Как вы думаете, через сколько минут закипит вода в
других сосудах, если: а) вода будет заполнять их полностью; б)уро-
вень воды в них будет таким же, что и в меньшем сосуде?
И. На приготовление куска мяса длиной 7 см и диаметром 5 см
идет 30 мин. За сколько времени по-вашему, будет готов кусок
мяса длиной 14 см и диаметром 10 см?
Сравните ваше предположение с данными из поваренной
книги. Можете ли вы объяснить расхождение результатов? Количество
тепла, поступающего через единицу площади поверхности, примите
постоянным.
12. Узнайте, за сколько времени испечется фруктовый пирог
в форме диаметром 12 см (тепло поступает со всех сторон
равномерно). Предположим, что вторая форма имеетдиаметр24сжи выше
первой в 2 раза. Во сколько раз увеличится поверхность нагрева?
Во сколько раз увеличится объем? Во сколько раз, по-вашему,
теоретически увеличится время, за которое будет испечен пирог из
того же теста?
Сравните это время с тем, которое вам укажут дома, и
объясните разницу (если она будет) между теоретическим и
практическим временем.
Измерьте поверхности (основания и боковые стенки) нагрева
форм диаметром 12 см и 20 см. Вычислите объем каждой формы. Во
сколько раз дольше будет печься пирог в большей форме? Сравните
полученный вами результат с данными поваренной книги. Если
данные будут различны, объясните причину этого (при
вычислениях используйте логарифмическую линейку).
180

13. Чему, по-вашему, будет равно отношение поверхностей двух
кусков грудинки весом 1 кг и 8 кг? Каково будет отношение
времени, необходимого для их приготовления? Сравните с данными
поваренной книги и объясните разницу.
14. Два шара имеют объемы 27 куб. см и 8 куб. см. Каково
отношение их диаметров? их поверхностей? Какое отношение это имеет
к дождевым каплям?
15. Два ящика одной и той же формы имеют объем 125 куб. см
и 64 куб. см. Чему равно отношение их длин? Чему равно
отношение их поверхностей?
16. Диаметры двух кожаных мячей равны 15 см и 12 см.
Во сколько раз больше кожи пошло на изготовление большего
мяча?
17. Два мяча для регби имеют длину в 20 см и 30 см. Во сколько
раз больше кожи пошло на изготовление большего мяча?
18. Объемы двух шарикоподшипников равны 0,125 куб. см и
0,64 куб. см. Каково отношение их диаметров?
19. Ниже в таблице приведены размеры (в см) ящиков из
некоторого множества прямоугольных закрытых ящиков, торцы
которых представляют собой квадраты.
Сторона квадрата
Длина ящика
Поверхность
Объем
2
36
3
16
4
9
6
4
12
1
Заполните таблицу. Какому условию должны удовлетворять
ящики, торцы которых имеют форму квадрата, чтобы они
принадлежали данному множеству? Найдите размеры ящика длиной24еж,
принадлежащего этому множеству.
1) Постройте график зависимости длины ящика от стороны
квадрата (отрезок оси Ох длиной 1 см соответствует стороне
квадрата в 1 еж, отрезок оси Оу длиной 1 см соответствует 5 см
длины. Что вы можете сказать об этом графике? Используйте его для
проверки размеров ящика длиной 12 см, указанного в условии
задачи. Какова длина ящика, принадлежащего заданному
множеству, если известно, что одна из его граней представляет собой
квадрат со стороной:
а) 8 см; б) 1 см; в) 14 см; г) а см?
181

τ
ι
«5
LpL
Ι ί
μ
ι
^1
"πΊ
ι
I
Ч"г г
Рис. 159.
2) Постройте график зависимости
поверхности ящика от стороны его
квадратной грани (отрезок длиной
1 см соответствует 1 см длины ребра,
а отрезок длиной 1 см — площади в
50 кв. см). Что вы можете сказать
об этом графике? Объясните, как его
может использовать тот, кто должен
упаковать заданное количество
порошкообразного материала в
картонные ящики рассматриваемой формы
3) Постройте график зависимости поверхности ящика от его
длины. Что вы можете сказать по поводу этого графика? Сравните вид
полученного графика и вид графика в задании 2).
20. Из развертки, данной на рисунке 159 (размеры даны в
сантиметрах), изготовлена коробка. Найдите ее объем в зависимости
от значения х. При вычислении используйте логарифмическую
линейку. Результаты внесите в таблицу.
X
Длина коробки
Ширина коробки
Объем коробки
1
2
3 | 4
б
6
7
8
9
10
Постройте график зависимости объема коробки от величины х.
Что вы можете сказать об этом графике? При каком значении χ
коробка имеет наибольший объем?
Г л а в а 29. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СКОРОСТИ
И ВРЕМЕНИ
Скорость автомобиля 4 м/сек. Сколько метров он пройдет за
1 сек; 2 сек; 3 сек; t сек?
Сколько метров пройдет автомобиль за 1 сек; 2 сек; Зсек; tceK,
если его скорость равна ν м/сек?
Пусть путь, пройденный за t сек автомобилем, движущимся со
скоростью υ м/секу равен Dm - D = υ · t.
Площадь прямоугольника длиной υ м и шириной t>M равна:
D (кв. м) = ν · t (кв. м).
182

Поэтому мы можем использовать t
площадь прямоугольника для нахож- fl* . ■ Ί*η—ι—■—|—ι—·—ι
дения пути, пройденного автомоби- I ——————————
лем, движущимся с заданной ско- J ——————————
ростью. Действительно, если мы име- 1111111111
ем картонный прямоугольник шири- tlllllllllll
ной 4 единицы, на котором нанесена В У
сетка единичных квадратов, как это рис. 160.
указано на рисунке 160, то
эластичный шнур, двигаясь вдоль
прямоугольника параллельно отрезку АВ, образует прямоугольник
AXYB, площадь которого (числоединичных квадратов) будет
соответствовать расстоянию, пройденному автомобилем за время Л X
при скорости АВ. Расстояние D, пройденное автомобилем за
3 сек, будет равно:
D = 4 · 3 = 12 (ж).
Если бы сторона квадрата соответствовала скорости в 10 м'сек
и времени в 1 сек, то площадь каждого квадрата соответствовала бы
расстоянию в 10 м; при t = 5 сек (АХ = 5 единицам) пройденный
путь согласно нашей модели был бы равен 4 · 5 · 10 = 200 (м), так
как прямоугольник содержит 4 · 5 единичных квадратов, а площадь
каждого квадрата соответствует расстоянию в 10 м.
D D
Заметьте: D = vt, t = —, ν = — .
Упражнения
На клетчатой бумаге начертите прямоугольник, площадь
которого соответствует расстоянию, пройденному за данный
промежуток времени при заданной скорости движения
(четкосформулируйте, чему соответствует каждая сторона единичного квадрата):
Скорость Время Скорость Время
1. 4 км в час 3 ч 4. 5 км в час 3 ч
2. 3 км в час Ъч 5. 10 км в час 4 ч
3. 5 км в час 2 ч 6. 60 км в час 10 ч
Графиком «скорость—время» для автомобиля, движущегося со
скоростью 10 км в час, будет горизонтальная прямая, таккакско^-
рость в любой момент времени равна 10 км в час. Пройденный
путь равен площади прямоугольника ΟΑΥΧ (рис. 161).
Предположим, что автомобиль начал двигаться после
остановки; показания его спидометра, замеренные с интервалом в 1 сек,
сведены в таблицу:
Время (в сек) 0 12 3 4
Скорость (в м/сек) 0 12 3 4
183

to
г
μ у
\χ
Τ I I I I/
/ν
Ι/Π IJ
Рис. 161.
/ 2 3 4 t
Рис. 162.
Построим теперь график «скорость—время» (рис. 162) для этого
случая.
Высота каждого квадрата соответствует скорости в 1 м/сек, а
основание квадрата — времени в 1 сек. Площадь каждого
квадрата, таким образом, представляет расстояние в 1 м.
Графиком зависимости «скорость — время» в этом случае
будет прямая линия. Расстояние, пройденное автомобилем,
вычисляется как площадь фигуры под этой прямой. Площадь треугольника
О АХ равна: — · 4 · 4 = 8. Каждый квадрат соответствует
расстоянию в 1 м; таким образом, путь, пройденный автомобилем,
равен 8 м.
Пример. При движении автомобиля были записаны следующие
показания спидометра:
Время (веек) 0 12 3 4 5 6 7 8
Скорость (в м/сек) 0 12 17 24 27 25 16 6 0
Движение автомобиля было плавным. Сколько метров прошел
автомобиль?
Прежде всего начертим
график «скорость—время».
Примем, что отрезок в 1 см
по горизонтали
соответствует времени в 1 сек, а
отрезок в 2 см по вертикали —
скорости в 10 м/сек.
Клетчатая бумага разделена на
квадраты со сторонами 1 см,
таким образом, площадь
одного квадрата соответствует
расстоянию в 10 ж (рис.
163).
v\
10
25
го
/5
W
5
О
\
I
( ;
) ι
) ι
Ри
с. 1
63.
7 1
ϊ 7
184

Для определения пути, пройденного автомобилем, подсчитаем
число квадратов под кривой, а затем уже вычислим искомый путь.
Постройте график, подсчитайте число квадратов и проверьте,
что длина пройденного пути заключена между 1 и 320 м. Точно
найти пройденный путь вы не сможете, так как в этом случае нуж*
но было бы точно подсчитать площади соответствующих частей
квадратов.
Рассмотрим график на рисунке 163. Сначала скорость
автомобиля увеличивается до 27 м/сек, а затем уменьшается до нуля —
автомобиль останавливается. В то время когда скорость
увеличивается, мы говорим, что автомобиль движется с ускорением, при
уменьшении скорости мы говорим, что автомобиль движется с
замедлением.
Упражнения
1. На основании показаний спидометра троллейбуса, данных
в таблице, найдите путь, какой прошел троллейбус:
Время (в мин)
Скорость (в м/мин)
0
0
1
7
2
14
3
20
4
20
5
20
6
14
7
10
8
10
9
5
10
0
2. По данным таблицы начертите график «скорость — время»
для автомобиля и найдите путь, какой он прошел:
Время (в мин)
Скорость (в
м/мин)
0
0
1
10
2
20
3
30
4
30
5
25
6
20
7
20
8
15
9
10
10
5
11
0
Как изменялась скорость автомобиля?
3. По данным таблицы начертите график зависимости скорости
полета самолета от времени:
Время (в
мин)
Скорость
(в км/ч)
0
1
5
100
10
200
15
300
20
350
25
350
30
350
35
325
40
300
45
250
50
200
55
100
60
0
185

Как изменялась скорость самолета? Какое расстояние он
пролетел?
4. Пусть отрезок в 1 см соответствует времени в 1 ч и отрезок в
2 см — скорости в 5 км в час. Какое расстояние соответствует
квадрату со стороной 10 см?
По данным таблицы начертите график зависимости скорости от
времени:
Время (в ч)
Скорость (в км/ч)
0
0
1
9
2
16
3
21
4
24
5
25
6
24
7
21
8
16
9
9
10
0
Как изменяется ускорение в зависимости от времени?
5. Расход воды через плотину может быть измерен в куб. м в
минуту. Для графика зависимости расхода воды от времени
выбран следующий масштаб: отрезок в 2 см соответствует расходу в
10 куб. м в минуту и отрезок в 1 см соответствует времени в 1 мин.
Какой объем воды соответствует квадрату со стороной — кв. см?
Начертите график, выражающий зависимость расхода воды от
времени, и найдите общий объем воды, протекающей через плотину:
Время (в мин)
Расход (куб. м
в мин)
0
0
1
14
2
24
3
30
4
32
5
30
6
24
7
14
8
0
Глава 30. ПРОЦЕНТЫ
Говорят, что в XV в., когда в Италии процветало торговое
судоходство, купцы давали капитанам судов товары для продажи в
иностранных портах. На полученные деньги капитаны покупали
другие товары и продавали их в Италии. Таким образом, купец мог
дать в Италии капитану товаров на 10 000 дукатов, а получить от
него после его возвращения 12 000 дукатов. Купец, сравнивая
прибыли, получаемые после различных поездок, мог бы заметить,
что в этом случае он получает прибыль в 2000 дукатов на каждые
10 000 вложенных. В другом случае он мог передать на другой
корабль товаров, например, на 40 000 дукатов и получить прибыль
в 7600 дукатов. Для того чтобы сопоставить прибыль, полученную
в обоих случаях, купцы вычисляли прибыль, полученную на
каждые 100 дукатов:
186

1-я поездка
2-я поездка
Вложенный
капитал
10 000
40 000
Общая
прибыль
2 000
76 000
Прибыль на
100 дукатов
20
19
Как видно из таблицы, во втором случае прибыль меньше,
чем в первом.
Позже итальянские купцы начали всегда пересчитывать
прибыль на 100 дукатов и записывать ее таким образом: «20 per cento»
(т. е. 20 на сотню), сокращенно они писали: «20 рс», при быстрой
записи «рс» было похоже на «%». Этот знак и стал стандартным
символом, означающим первоначально «на сотню».
«20% от 500 рублей означает 20 рублей на каждую сотню из
500 рублей».
Поэтому
20% от 500 = 20 X —= 20 X 5 = 100.
100
100% — 1; 1% —это 0,01.
50% — «50 на каждую сотню» = —.
J 100 2
Уже с XV в. проценты использовались как стандартная форма
записи некоторых отношений.
Во многих задачах более удобно выражать проценты как дроби.
Например, 10% от 92 легче записать как— от 92, т. е. 9,2.
Упражнения
Найдите:
1. 20% от 300.
2. 2% от 300.
3. 100% от 300
4. 1% от 300.
5. 5% от 260.
6. 5% от 50.
1
11. 75% от 440.
7. 12—% от 100. 12. 50% от 720.
2
8. 62—% от 100. 13. 65% от 910.
2
9. 37—% от 96.
2
Ю. 33—% от 270. 15. 80% от 255.
3
14. 40% от 870.
Все эти вычисления легко выполняются на логарифмической
линейке.
Пример. 43% от 3,87 = I3 ° п" 166
100
3,87 = fog = 1>66.
187

Упражнения
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Вычислить:
1. 23% от
2. 47,5%
- 29,5.
от 278.
Упражнения
Запишите
1%.
100%.
50%.
75%.
25%.
20 %.
Запишите
1-1.
2
2.1
4 '
з. 1
8 '
4-1
20*
3. 37% от 3,97.
4. 5,2% от 9,612
в виде обыкновенной дроби:
7. 80 %.
8. 40%.
9. 33-ί-%.
3
13.66-%. 18.
3
14. 37,5%. 19.
15. 62,5%. 20.
10. 121 %. 16. 2-1%. 21.
2 2
11. 87,5%.
12. 60%.
17. 7-!-%. 22.
2
5. 13,7% от 27,8.
6. 2,91 % от 46,5.
6%.
2
3%.
3-%.
2
15%.
: каждую из дробей в виде процентов:
5.1 9.1 13. 1 17. 0,05.
10' 3 ' 8 '
6. 1 Ю. 1 14. 1 18. 0,37.
5 ' 40' 16'
7.1 11.1 15.1 19.0,27.
5' 8* 16*
8. 1 12. 1 16. 1 20. 0,85.
4 ' 5 ' 80'
Упражнения
23. 45%.
24. 5%.
25. 10%.
26. 42—%.
2
27. 125%.
21. 0,75.
22. 0,64.
23. 0,125.
1. Кокс содержит 5% воды (по весу). Сколько воды (по весу)
находится в 1 т кокса? Каков вес сухого кокса?
2. За контрольную работу по английскому языку (по
правописанию) ученик получил оценку 96%, всего он написал 50 слов.
Сколько слов написал ученик верно?
3. Мокрая веревка на 0,6% короче своей первоначальной
длины. Какова длина мокрой веревки, если ее первоначальная длина
равна 100 м?
4. На уроке отсутствовало 20% учеников. Сколько учеников
отсутствовало, если в классе по списку их 35?
5. 1 галлон молока весит примерно 10 фунтов. Это молоко
содержит 4,2% жира. Сколько жира (по весу) в галлоне молока?
188

6. Заем в 8 фунтов стерлингов дан из расчета 12—% годовых.
Сколько это составляет в год?
7. На некотором участке хотят повысить урожай зерна на 25%.
В этом году на нем было собрано 20 т зерна. Сколько зерна
предполагается собрать с этого участка в будущем году?
8. В школе 300 учащихся, 55% из них мальчики. Сколько
девочек и мальчиков учится в школе?
9. В некотором городе живут англичане, уэльсцы, шотландцы и
ирландцы. Из общего числа жителей города 57% составляют
англичане, 37% — уэльсцы, 2% — шотландцы. Сколько процентов
составляют ирландцы?
10. Каждый из учащихся в классе должен изучать или
французский, или немецкий язык. Можно изучать и оба языка. 60%
учащихся учат только французский язык, 28% только немецкий.
Сколько процентов учащихся изучает два языка?
11. Все учащиеся в классе учат математику или латынь.
Некоторые учат и математику, и латынь — таких 25%. 40% учащихся
изучают только латынь. Сколько учащихся изучает только
математику?
12. Ниже в таблице приведено рекомендуемое в средней школе
распределение времени для учащихся:
1 2
в школе — 33—%; свободное время — 16—%;
ό ό
на сон — 37—%; на еду и пр. — 12—%.
Найдите распределение этого же времени в часах.
13. Вычислите в шиллингах и пенсах суммы, составляющие от
1 фунта следующие числа процентов: а) 50%; б) 20%;
в) 25%; г) 33-%; д) 12—%; е) 16-%; ж) 6-%;
3 2 3 4
з) 2-?-%; и) 66-%; к) 87-Ь/о.
7 2 3 2
14. Годовая арендная плата составляет 10% стоимости дома.
Чему равна арендная плата, если дом стоит 3000 фунтов?
15. Затраты на питание составляют 20% дохода семьи. Сколько
идет на питание, если недельный доход семьи составляет: а) 20
фунтов; б) 24 фунта.
16. Магазин продает товары со скидкой в 5%, если за покупку
платят наличными. Какую сумму составляет скидка, если товара
было куплено на: а) 15 шиллингов; б) 2 фунта 10 шиллингов;
в) 5 фунтов 7 шиллингов 6 пенсов; г) 63 фунта 8 шиллингов;
д) 7 шиллингов 6 пенсов?
Результат вычислите с точностью до 0,5 пенса. В каждом
случае вычислите фактическую сумму, уплаченную за покупку.
189

17. Ниже приведен расход семьи из четырех человек с
недельным доходом в 20 фунтов стерлингов:
плата за квартиру — 3 фунта;
отопление — 1 фунт 10 шиллингов;
питание — 10 фунтов;
развлечение — 3 фунта;
сбережения — 1 фунт 10 шиллингов;
пр. расходы — 1 фунт.
Выразите в процентах от общей суммы каждую статью расхода.
18. Сколько времени (в часах и процентах) вы: а) находитесь в
школе; б) готовите домашние задания; в) завтракаете, обедаете,
ужинаете; г) играете; д) спите?
19. Посмотрите программу передач за понедельник. Найдите,
сколько времени приходится на: а) все радиопередачи в целом;
б) музыку; в) театральные передачи; г) передачу последних
известий; д) передачу для школьников.
Выразите время передач б) — д) в процентах от общего времени
передачи а). Сделайте то же для программы передач на субботу.
Сравните передачи в понедельник и субботу. К какому заключению
вы пришли?
20. Проанализируйте так же, как и в задании 3, две программы
радиопередач на среду.
21. Проценты по займу в 8 фунтов составляют 5 шиллингов.
Сколько это процентов?
22. Некоторый процент от суммы в 2 фунта 10 шиллингов
составляет 3 шиллинга. Сколько это процентов?
Секторные диаграммы
В случаях, когда некоторое количество рассматривается как
сумма нескольких слагаемых, часто удобно соотношение этих
частей представить в виде секторной диаграммы.
Рассмотрим такой пример. Некто ежемесячно расходует
определенную сумму денег следующим
образом: 50% на покупку одежды, 25% — на
покупку пластинок, 25% — на
развлечения. Секторная диаграмма, изображающая
эти расходы, строится так (рис. 164):
1) чертится круг некоторого радиуса;
2) расходы на одежду составляют
половину всей суммы. Разделим круг
пополам, проведя его диаметр (можно
рассуждать и так: 50% от 360° = 180°.
Таким образом, центральный угол сектора
должен составить 180°);
Рис. 164. 3) расходы на Покупку пластинок со-
190

ставляют 25% всей суммы; 25% от 360° = 90°. Построим сектор,
центральный угол которого равен 90°;
4) проверьте, что оставшийся сектор соответствует расходам
на развлечение.
Упражнения
По условиям заданий постройте секторные диаграммы:
1. Мальчик потратил 33—% всех своих денег на конфеты, 50% —
о
на пластинки с записью популярной музыки, а остаток — на
различные развлечения.
2. В радиопрограмме, передающейся с 6 ч до 10 ч вечера, 25%
времени занято передачей музыки, 33—% — драматической пере-
о
дачей, остальное время — передачей новостей.
3. Расписание уроков в школе составлено так, что в
течение недели 20% времени уделяется изучению математики, 20% —
английскому языку, 10% — физическому воспитанию,
12—% —французскому языку, 12— %— работе в мастерских,
5% — пению, 10% — естествознанию. Остальное время — на
уроки истории и географии.
4. Представьте в виде секторной диаграммы распределение
времени в радиопрограмме или в программе телевизионных передач
за один день.
5. Представьте в виде секторной диаграммы время на изучение
каждого из предметов в течение недели в вашем классе.
6. Представьте в виде секторной диаграммы распределение
вашего времени: сколько времени вы проводите в школе, готовите
домашние задания, занимаетесь спортом и т. д.
7. Узнайте, что такое столбчатые диаграммы, и постройте их
по данным заданий 1—6.
Дополнительные упражнения на проценты
1. Один человек сказал: «В этом году урожай картофеля у нас
больше, чем в прошлом году, на 15%. В этом году мы собрали 46 г».
Сколько тонн было собрано в прошлом году?
2. Найдите, сколько процентов от каждой полосы составляет
ее заштрихованная часть (рис. 165).
3. Известно, что в одной из школ 20% от общего числа в 600
учащихся носят очки. Сколько, по-вашему, будет учеников в очках
среди: а) первых 20 учеников, вышедших из зала, где собрались
все школьники; б) 20 учащихся, выбранных наугад, из всех
учащихся школы; в) 20 учащихся одного класса; г) группы
школьников, ушедших домой после окончания уроков (эта группа состав-
191

лена следующим образом: в нее
вошел тот, кто ушел из школы
первым, тридцать первым,
шестьдесят первым и т. д.)?
Предположим, в школе 20
классов и в каждом классе по 30
учеников. Во всех ли классах, по-
вашему, одно и то же число уча-
Рис 1б5 щихся в очках?
4. Предположим, что
измерение считается достаточно точным,
если результат измерения отличается от истинной величины на 2%
в ту или иную сторону. Какова должна быть точность измерения,
если измеряется: а) длина в метрах; б) вес в тоннах?
5. Точность одного из способов измерения высоты здания 5%.
В результате измерения оказалось, что высота здания равна 25 м.
Какова истинная высота здания?
6. Инспектор нашел, что в магазине при продаже тканей
пользовались «ярдом», длина которого была меньше нормальной на
-- дюйма. Сколько это составляет процентов от ярда? Какова ошиб-
4
ка (в %) при измерении этим «ярдом» длины в 2 ярда?
7. При продаже масла на автозаправочной станции
пользовались сосудом емкостью 1 кварта. Выяснилось, что после каждой
заливки в сосуде оставалось 10% масла. Сколько масла фактически
заливалось в машину?
8. Гарантированная точность замера расхода воды водомером
составляет 2%. Какова максимально возможная ошибка, если по
показаниям водомера расход воды составил 535 куб, м в минуту.
9. Некто обещает узнать ваш вес с точностью до 5%. Какую
максимальную ошибку он может допустить (в кг)?
10. Оцените (на глаз) ширину этой страницы, а затем измерьте
ее. Какова была погрешность (в процентах) вашей оценки?
П. Оцените (на глаз) высоту вашей комнаты, а затем измерьте
ее. Какова была погрешность вашей оценки?
Глава 31. АЛГЕБРА РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ.
РАСПРЕДЕЛИТЕЛЬНЫЙ ЗАКОН
При изучении множества рациональных чисел F мы рассмотрели
четыре операции (+, —, · , :) и установили следующие законы:
Если а, Ь, с, ..., ζ F, то
а + (Ь + с) = (а + Ь) + с и а · (Ь · с) =* (а · Ь) · с
(ассоциативный закон),
α +0 = аиа· 1 = а
^
"Р
192

Уравнения а + χ = с и b · у = с (Ь φ 0) удовлетворяются одним
и только одним значением χ и у, и мы пишем:
χ = с — α и у = с : ft.
До сих пор операции сложения и умножения мы рассматривали
отдельно. Для операций сложения и умножения мы имеем
распределительный закон:
а · (6 + с) = а · b + а - с.
Из этого закона следует:
а · (6 — с) = α · δ — α · с.
Кроме этих законов, для рациональных чисел справедлив
коммутативный закон:
а + b = b + а и а - b = b - а.
Алгебра, в которой выполняется коммутативный закон,
называется коммутативной алгеброй.
Заметьте, что:
а — b Φ b — а и а : b Φ b : а, если а Ф b.
Распределительный закон
Прежде всего рассмотрим геометрическую модель. Вырежем 6
квадратов со стороной 10 см, 10 прямоугольников со сторонами
10 см и I см и 20 квадратов со стороной 1 см. Мы будем изображать
выражение х2 квадратом со стороной 10 см, выражение χ —
прямоугольником со сторонами 10 еж и \ см и I — квадратом со
стороной 1 см.
Примеры
1. Выражение х2 + Ъх + 6 может быть представлено в виде
фигуры, состоящей из квадрата со стороной χ (χ2), пяти
прямоугольников (х) и шести единичных квадратов со стороной 1 см (1).
Интересно, что эти квадраты и прямоугольники мы можем уложить
в виде прямоугольника со сторонами (χ + 3) и (х + 2), как это
показано на рисунке 166. Площадь
этого прямоугольника равна (х+3) (х+2),
таким образом:
х2 + Ъх + 6 = (х + 3) (х + 2).
2. Аналогично мы можем записать
(рис. 167):
χ2 + χ = χ (х + 1).
Объясните.
3. Рассмотрим теперь выражение
χ2 — х- Геометрически мы можем пред- Рис. 166.
X2
1 Л
I X
X
1
1
X
1
1
X
1
1
7 Заказ № 736
193

ί.
m > ■■■■ ι» fc
W/////M////M,
i
I I
Рис. 167. Рис. 168.
ставить это как результат вычитания из квадрата х2
прямоугольника х. На нашей модели мы наложим прямоугольник χ на
квадрат х2, как это указано на рисунке 168. Оставшийся
прямоугольник х2 — χ имеет стороны χ — 1 и х:
х2 — χ = χ (х — 1).
4. χ* — 2х + 1. Из квадрата х2 и единичного квадрата мы
должны вычесть два прямоугольника х. На рисунке 169 дана
геометрическая интерпретация этих операций. В результате получаем
Рис. 169.
квадрат со стороной х— \у т. е. выражение х2 — 2х + 1
разлагается на множители χ — 1 и χ — 1:
Х2 _ 2х + 1 = (х — 1) (х — 1).
Упражнения
Пользуясь изготовленными вами квадратами и
прямоугольниками, найдите множители, на которые разлагаются следующие
выражения:
194

1 χ2 + Зх + 2. 4. χ2 + 6χ + 8. 7. 4χ2 + 8χ + 3.
2 2*2 + 3χ + 1. 5. 2χ2 + Ъх + 3. 8. 2χ2 + 5* +2.
3. χ2 + 8χ + 15. 6. 2χ2 + 7χ + 3. 9. 3χ2 + 10* + 3.
Найдите множители, на которые разлагаются следующие
выражения:
10. х2 + 4х + 4. 13. х2 + 2х + 6.
11. 4х2 + χ + 4. 14. Ъх2 + Зх + 1.
12. 5х2 + 6х+ 1.
Разложите на множители следующие выражения (используйте
ваши модели):
15. х2 — 3х + 2. 17. х2 — 8х + 15. 19. 2х2 — Ъх +3.
16. 2х2 — Зх + 1. 18. 2х2 — 7х + 3. 20. х2 — 6х + 8.
Геометрическая модель очень полезна, но, конечно, не всегда
удобна. Что очень важно: она помогает понять структуру процесса.
Примеры. Разложить на множители:
а) х2 + 8х + 15. Нам, очевидно, нужно как-то расположить
восемь прямоугольников χ вокруг квадрата х2у с тем чтобы в этой
фигуре остались незаполненными 15 единичных квадратов. Уложив
на эти незаполненные места квадраты со стороной 1 см, мы
должны получить прямоугольник. Таким образом, мы можем поставить
вопрос: какие два числа, сумма которых равна 8, дают в
произведении 15?
б) х2 — 8х + 15. Мы спрашиваем: какие два числа, сумма
которых равна — 8, дают в произведении 15?
Попробуем найти ответ:
а) х2 + 8х + 15 = б) х2 — 8х + 15 =
= х2 + Зх + Ъх + 15 = = х2 — Зх — Ъх + 15 =
= χ (х + 3) + 5 (х + 3) = = χ (х — 3) — 5 (х — 3) =
(распределительный закон) (распределительный закон)
= (х + 5) (х + 3) = (х — 5) (х — 3)
в) Разложить на множители: 2х2 + Ъх + 3.
Здесь 5 прямоугольников площадью χ кв. ед. должны быть
расположены около двух квадратов площадью х2 каждый так, чтобы
образовалась фигура, представляющая собой прямоугольник, из
которого «вынут» прямоугольник площадью 3 кв. ед.
(Вспомогательный вопрос: «Какие два числа, сумма которых равна 5, дают в
произведении 6?»)
2х2 + Ъх + 3 = 2х2 + Зх + 2х + 3 = χ (2х + 3) + (2х + 3) =
(применяем распределительный закон):
= (х + 1) (2х + 3).
г) Разложить на множители:
2*2 — Ъх + 3 = 2*2 — Зх — 2х + 3 = (х — 1) (2х — 3).
195

Упражнения
(Зх — 2) (χ + 2).
(Зх + 1) (2х + 3).
(χ + 1) (χ + 2) (χ + 3).
(χ — 1) χ (χ + 1).
(χ — 2) (χ— 1) χ.
(χ + 1) (χ + 3) (χ + 5).
(2χ + 1)(2χ—1)(2χ —3).
Найдите произведение:
1. (χ +l)(x + 2). 8.
2. (2χ + 1) (χ + 2). 9.
3. (2χ — 1) (χ + 2). 10.
4. (χ— 1) (χ —2). Π.
5. (χ + 1) (χ — 2). 12.
6. (χ — 1) (χ + 2). 13.
7. (2χ — 1) (χ — 2). 14.
Упражнения
1. Вычислите:
3-2 — 5- 1 =
4 · 3 — 6- 2 =
5-4 — 7-3 =
Напишите еще три выражения, составленные по аналогичному
закону. Каковы будут численные значения этих выражений?
Рассмотрим общий случай. Обозначим первый множитель
первого произведения через N + 2. Запишите все выражение.
Каково, по , вашему, будет значение этого выражения?
Упростите записанное вами выражение и покажите, что ваше
предположение справедливо.
2. Выполните предыдущее задание, если первые три выражения
будут:
4 · 2 — 7 · 1 =
5- 3 — 8- 2 =
6- 4 — 9 · 3 =
3. Выполните задание 1, если первые три выражения будут:
2. 2 —3 · 1 =
3 — 4
4-5
2 =
3 =
4. Выполните задание 1 для следующих выражений:
4 · 4 —7 · 1 =
5- 5 — 8- 2 =
6 · 6 — 9 · 3 =
5. Вычислите'
2.6 — 4-3 =
3- 7 — 5· 4 =
4. 8 — 6· 5 =
Запишите следующие три выражения, составленные по
подмеченному вами закону, и найдите их численное значение.
196

Исследуйте последовательность шести полученных вами
выражений. Могли бы вы предсказать результат без выполнения
вычислений?
Чему равно значение выражения
ЮО · 104 — 102 · 101?
Проверьте.
Запишите аналогичное выражение, начинающееся с числа п.
Каким должно быть его численное значение? Докажите.
6. Вычислите значение выражения
(п + 1) (п + 2) - п(п + 3)
при η = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Попытайтесь найти закон, по которому
могут быть найдены численные значения выражений.
7. Выполните задание из упражнения 6, если выражения,
численные значения которых вам нужно найти, будут:
(п + 2) (п + 2) - (п + 3) (п+1);
(п + 4) (п + 2) - (п + 2) (п + 3);
(2п + 1) (2п + 3) - (4л + 1) (п + 2);
(п + 7) (п + 1) - (п + 3) (п + 2);
(п + 3) (п + 2) — (п - 1) (п - 4).
8. Разложите на множители трехчлен х2 + 5х + 6.
Разложите на множители числа: а) 156; б) 10 506;
в) 1 005 006.
Каковы множители числа 156 при основании 6? при основании
7? при основании 8? при основании 12? при любом основании,
большем 6?
9. Разложите на множители выражение 2л:2 + Ъх + 2.
Разложите на множители числа 2526, 2527, 2528, 252^ .
10. Разложите на множители выражение х2 — 4* + 3. На
основании этого оцените следующие произведения: а) 37 · 39;
б) 47 · 49; в) 97 . 99; г) 997 . 999.
11. Разложите на множители выражение х2 + 2х + 1. На
основании этого оцените значение: а) 212; б) 412; в) 422; г) 1012.
12. Покажите, что треугольник, стороны которого равны а2 —
— б2, а2 + Ь2 и 2а6, прямоугольный.
Многочлены относительно х
Выражение, представляющее собой сумму степеней переменной
х, называется многочленом (полиномом). Многочленами являются,
например, следующие выражения:
х2 + 2х + 1; х3 + Зх2 + χ + 1; 1 + 5* — б*2 + х4;
2х + 3; 1 + 2*2 + х3 хъ — б*2 + χ — 8
1 Запись 252в означает, что 252—изображение числа в шестеричной системе
счисления.
197

Показателем многочлена называется наивысший показатель
степени х. Каковы степени многочленов, приведенных выше?
Очень интересно рассмотреть действия над многочленами, так
как в некоторых отношениях они напоминают числа. Многочлены
представляют еще интерес и потому, что многие зависимости могут
быть выражены с их помощью.
Умножение
Пусть нам нужно перемножить два многочлена
х3 + Зх2 — 2х + 1 и 2*— 1.
Iх*
2
2
X3
1
6
—1
5
X2
3
—4
—3
—7
X
—2
2
2
2
4
1
1
—1
0
—1
—1
Итак,
(х9 + Зх2 — 2х + 1) (2х — 1) = 2х* + бх3 — 7хг + 4х — 1.
Как вы видите, принцип умножения такой же, как и при
умножении чисел. Только нужно быть очень внимательными к знакам!
Упражнения
1. (х2 + 2х + 1) (х + 1) (х + 1.
2. (х3 + Зх2 + 3х+ I) (х+ 1).
3. (х8 + Зх2 + 2х + 1) (х2 + 2х + 4).
4. (х3 + х2 + 1) (х2 + 1).
5. (х3 + Зх2 + Зх + 3) (Зх + 4).
6. (х*+ х2 + 4х— 1) (хг — 3).
7. (х3 — 2хг — 1) (2х — 3).
8. (хг + х + 1) (х — 1).
9. (χ3 + χ2 + χ + 1) (х — 1).
10. (χ4 + χ3 + χ2 + χ + 1) (х — 1).
11. Можете ли вы сделать какой-либо вывод из трех
последних упражнений?
12. Запишите результат деления двучлена х1— 1 на χ — 1.
198

13. Многочлен четвертой степени умножен на многочлен
третьей степени. Какова степень полученного многочлена?
14. Какова степень многочлена, полученного в результате
перемножения многочленов пятой и седьмой степеней?
Деление
Пусть нам нужно выполнить деление многочленов:
(хь _ За;2 — 18а; — 2) : (х — 2).
л;5 χ4 *3 χ2 χ 1
1 2 4 5—8
χ 0 0—3 —18 —2
х 1
1 —2
1 -2
2 0
2 —4
4 -3
4 8
5 —18
5 —10
-8 -2
—8 16
— 18
Отсюда
(χ*—3χ* — 18* — 2) : (х — 2) = л:4 + 2х3 + 4л:2 + 5х — 8 и в
остатке — 18.
Упражнения
Выполните деление и укажите остаток:
1. (х* + Зх2 + 3* + 1) : (х + 1).
2. (* - 1) : (* + 1).
3. (х*+ х3 — л: — 1) : (х — 1).
4. (Зл:3 — 2л:2 + х + 4) : (2х — 1).
5. (4л:3 — Зх2 + 6) : (2х + 3).
6. (бх4— 7л:2 + 8л: — 6) : (χ2 + χ + 1).
7. Какова степень многочлена, являющегося частным от
деления многочлена десятой степени на многочлен шестой степени?
8. Выполните действия:
1) (а + б)2; 3)(а+6 + с; d)2,
2) (а + Ъ + с)2; 4)(a+b + c + d + e)2.
Подметили ли вы правило возвышения многочлена в степень?
199

Разложение на множители
Обычно разложить многочлен на множители не очень легко. Но
если данный многочлен делится на (л: — а) без остатка, то при под-
становке в него вместо χ значения а многочлен обращается в
нуль. Почему? Верно и обратное.
Пример. Пусть у = х4 — 1.
Подставив вместо χ значения х= 1, получим, что у = 0.
Следовательно, двучлен л:4— 1 делится на двучлен χ— 1 без остатка.
Почему?
Аналогично можно убедиться, что двучлен х4 — 1 делится и на
двучлен χ + 1 · Покажите это.
х4 — 1 = (л; — 1) (л: + 1) (л:2 + 1).
Попробуйте разложить на множители следующие многочлены,
подобрав числа, при подстановке которых вместо χ многочлен
обращается в нуль:
1. х3 — 2х2 — χ — 2. 2. jc3 — Зл: — 2. 3. х3 + 4х2 + χ — 6.
4. Найдите значение многочлена х3 + Ъх2 + χ — 2 при χ = 0
и при χ — 1. Объяснив, почему при некотором значении χ
0 < χ < 1, значение многочлена равно нулю?
Здесь есть над чем подумать!
б.Выполните действия:
(1 + χ)ΐ; (1 + х)3;
(1 + *)2; (1 + х)К
Можете ли вы найти закономерность, которой подчиняются
коэффициенты полученных многочленов? Она была известна в Китае
еще в XIII в. и вновь была открыта Паскалем. (Узнайте все, что
вы сможете, о Паскале.)
Пользуясь найденным вами правилом, выпишите результаты
возведения в степень:
(1 + *)5; (1 + х)6.
Проверьте результат, выполнив умножение.
Теперь, используя выведенные вами формулы, найдите с
точностью до 0,001 значения выражений (1 + х)2 и (1 + х)3 при χ =
= 0,1, χ = 0,01, χ = 0,001.
Подумайте, как найти приближенное значение выражений
(1 + х)2, (1 + х)3, (1 + л:)4 при малых х.
Вычислите:
И2, И3, И4, И5, И6, IF, И8, И9, И10, ...
Какое значение вы будете давать х?
200

Глава 32. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
Предположим, что даны два вектора а и Ь. Мы уже знаем, что
эти векторы можно складывать и вычитать. При этом сложение и
вычитание векторов во многом похожи на сложение и вычитание
чисел. В обычной алгебре мы складываем две величины, например
χ и у : х + у. Мы можем и перемножить два числа, например
χ и у : х · у.
В данной главе мы попытаемся ввести такой смысл умножения
векторов, который окажется полезным в ряде приложений, т. е.
мы определим смысл умножения векторов таким образом, чтобы
результаты, полученные на основе определения, были бы разумны
и могли бы быть применены на практике.
Под векторами можно понимать направленные величины,
подчиняющиеся известным законам сложения. Числа являются
скалярными величинами или просто скалярами.
Длиной вектора является число (или скаляр). Если г = (х, у)
есть вектор длиной г, то по теореме Пифагора г2 = х2 + у2. Мы
видим между г2 и г2 достаточно сходства, чтобы предположить,
что произведение вектора самого на себя должно равняться
квадрату его длины1 (а эта величина является скаляром). Это
произведение называется скалярным, оно является числом, а не вектором.
Мы пишем:
а2 = \а |2 = а2,
где а — длина вектора, а.
Для чисел мы имеем: аЪ = Ьа,
а (Ь + с) = (Ь + с) а = а · Ъ + а · с.
Вспомните, что последнее правило (распределительный закон)
дает нам возможность преобразовывать такие выражения, как,
например,
(а + Ь)2 = (а+ Ь)(а+ 6) =
= (а + Ь) а + (а + b) b = (распределительный закон)
= а (а + b) + b (а + Ь) — (коммутативный закон)
= а2 + ab + Ьа + Ь2 = а2 + 2ab + Ь2,
(а — 6)2=(а — Ь) (а— Ь) = (а — Ь) а — (а — b) b =
= а2 — 2ab + Ь2.
Такой же возможности мы хотим достичь и при действиях над
векторами.
1 Усмотренное автором сходство не может являться для учащихся
достаточно убедительным (прим. перевод.).
201

Для обозначения скалярного
произведения двух векторов мы будем
использовать символ:
а · 6,
он читается: вектор а, умноженный на
вектор Ь.
Термин «произведение» в
векторной алгебре не имеет того же смысла, что в арифметике, так
как вектор не число.
Мы хотим определить скалярное произведение а · Ь так, чтобы
можно было использовать обычные правила арифметики. В
частности, мы хотим, чтобы выполнялись следующие законы:
1) а · Ь = b · а — коммутативный закон;
2) а (Ь + с) = а · Ъ + а · с — распределительный закон;
3) а · а = а2,
а2 — квадрат длины вектора, и следовательно, мы можем,
например, записать:
(а + Ь)2 = (а + Ь) · (а+Ь) = а2 + 2а - b + Ь2 = а2+ 2а- Ь + б2;
(а—ЬУ = (а — 1) · (а— Ь) = а2 — 2а- I + 6а= о2 — 25 · 6 + б2.
4) а - mb = та - Ьу
так, например,
α.(26) = 2(α· 6).
Рассмотрим равнобедренный треугольник Л5С (рис. 170), в
котором ЛС = АВ; АО ±_ СВ и, следовательно, СО = ОВ.
Пусть ОА = а, 05 = by ОС = — 6(СО = 6) и
ВЛ = — 6 + α = α— 6,
СЛ2 = £ + ζγ = α· + ft· + 2α · 6
(сейчас мы пишем так потому, что нам такая запись кажется
удобной),
ВА2 = (а — I)2 = а2 + 12 — 2а · Ь.
Но СА2 = ВА2 (треугольник равнобедренный). Отсюда
а2 + I2 + 2а · Ь = а2 + 6* — 2а- by
4а · Ь = О,
а · S = 0.
Мы знаем, что α =£ 0 и 6 =£ 0. Отсюда мы можем сделать
предположение, что произведение а · b = 0 потому, что а ±_ Ь.
202

Проверим, согласуется ли это с нашим требованием, чтобы
скалярное произведение вектора а = (х, у) самого на себя было равно
*2 + -у2.
Пусть ι и /' — единичные векторы осей Ох и Оу, соответственно,
Г= (1,0), j = (0,1);
а = xi + у/; а · а = (χι + у/) (xi + у/) = χΨ + yxj · 1+
+ xyi'j+y2f2j
Ho i2 = 1, /2 = 1, так как /и/ — единичные векторы}
i · / = 0» / * * = 0, так как / J_ /, отсюда
а · а = х2 + у2 = а2.
Теперь мы можем сформулировать определение скалярного
произведения а · 6, удовлетворяющее всем нашим требованиям.
Предположим, а = а$ + а2\ = (au а2),
b = bit + b2j = (6lf 62)
и / и / — единичные векторы взаимно перпендикулярных осей,
т. е. i2 = /2 = 1; / · / = 0 = / · lf
тогда
а · b = (dii + a2j) (bti + b^j) ■» αφ^2 + αφ4\ +
+ a2bii · i + α2 b^2 = at bt + a2b2.
На основании этого определим скалярное произведение а · Ь:
а · 6 = at bi + а2 b2\ a · b = 0 => α46ι + α2&2 = 0.
Покажите, построив векторы, что
dibi + a2b2 = 0 => а ±_ b.
Примеры.
а) а =(3,2); b = (4, 1);
α - 6 = (3 - 4) + (2 · 1) = 12 + 2 = 14;
б)/=(1,0); /=(0, 1);
Г- /*= 1-0 + 0- 1 = 0 + 0 = 0;
в) а = (-3, 2); 6 =(-4, -1);
α · 6 = (— 3) · (— 4) + 2 · (— 1) = 12 — 2 = 10;
г) а= (3,2); 6 = (4,1); а + Ь = (7,3);
« — гГ= <— 1, 1);
(а + Ь) · (а — Ь) = 7 · (— 1) + 3 · 1=—7 + 3=* — 4;
(а _ б)2 = З2 + 22 - (42 + I2) = 13 — 17 = — 4.
203

Теперь попробуйте выполнить следующие упражнения:
1. а = (2,1); Ь = (1.2); с = (- 3, - 1); d = (2, - 3); е = (4,0).
Вычислите:
а) а · Ь;
б) а · с;
в) Ъ + с;
г) а · (Ь +
д) с · а";
с);
е) е ·
ж) 1
з) с ·
и) с
к) β
α;
■d,
el
• α;
•J;
л) (α + &) ·
μ) α2;
Η) с»;
0) <ί»;
π) e\
■ (с + d);
2. Покажите, вычислив скалярное произведение, что
(а + Ь) · (а — Ь) = 0, если а = (5,12) и 6 = (12,5).
Дайте графическую иллюстрацию.
3. Точки Ρ и Q заданы своими координатами: Ρ = (5,0), Q =
—>
== (4,3). Запишите вектор PQ как упорядоченную пару чисел.
Найдите координаты середины отрезка PQ, точки М. Покажите, что
ОМ · PQ = 0 (точка 0 — начало координат).
4. Покажите, что прямая, имеющая направление (— 3, 2),
перпендикулярна прямой, имеющей направление (2,3).
5. Прямая, имеющая направление (1, —3), перпендикулярна
прямой, имеющей направление (ш, 2). Найдите значение т.
6. Прямая с направлением (2, т) перпендикулярна прямой,
направление которой равно (— 1, —2). Найдите т.
7. Найдите условие, при котором прямые с направлениями
(1, mj) и (1, т2) образуют два множества взаимно
перпендикулярных прямых.
8. Покажите (построив точки), что множество точек (jc, у),
удовлетворяющее условию (х, у) =λ(1, 2), где λ — переменная
лежит на прямой, проходящей через начало координат.
Каково условие того, что прямая
{χ, у\ (χ, у) = μ (Л Щ
перпендикулярна прямым первого множества?
9. i, /, k — три взаимно перпендикулярных единичных вектора
(например, лежащие на ребрах прямоугольного ящика, исходящих
из одной вершины). Что вы можете сказать о произведениях: i2,
ί\ k\ Л /\ Ь l k- Г?
10. i, /, k — три взаимно перпендикулярных вектора.
Покажите, что векторы а = Ы + 5/ + 2k и Ь = 2i + 2/ — 8k
взаимно перпендикулярны.
204

11. Упростите выражения:
а) (а +Ь)(2с + d); г) (а + 6) · (а — 26) - (а + Ь) (а — 6);
б) (и + v) -Ja + 6~); д) (d+ b + с)2;
в) (а + Ь)(а — 26); е) (6 — а)2 + (6 + а)*.
12. Даны три вектора а = (аъ а2), 6 = (6Ь 62), с = (clf с2)·
Покажите, что если мы определим а · 6 = а^ + а262, то
α · (6 + с) = а · 6 + а · с.
13. В треугольнике ABC перпендикуляры, проведенные через
вершины В и С к противоположным сторонам, пересекаются в
точке Я и пересекают противоположные стороны соответственно в
точках Ε и F. НВ = Ь\ НС = с\ НА = а.
Выразите векторы АВ, BCf CA через векторы а, 6 и с.
Покажите, что: 1) 6 · с = а · с; 2) b · а = Ъ · с. Отсюда
выведите, что векторы НА и ВС взаимно перпендикулярны.
Сформулируйте полученный результат.
14. Покажите, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны.
15. Покажите, что в бумажном змее (рис. 171) а · с = 6 · d;
b · с = а · d.
Найдите скалярное произведение векторов—диагоналей и
покажите, что они перпендикулярны. Найдите другое
доказательство перпендикулярности диагоналей, использующее
симметричность этой фигуры.
16. В произвольном треугольнике ABC ВС = а, СА = 6,
АВ = с. Покажите, что а2 = б2 · с2 + 26 · с.
Го
Рис. 171. Рис. 172.
205

a +d
17. В прямоугольном
треугольнике ABC Ζ. В = 90°, ВС = α,
СЛ = by АВ = су где а, Ь и с —
длины сторон ВСу СА и АВ.
Покажите, используя понятие
скалярного произведения, что
Ь* = а2 + с2.
18. Задача для обсуждения.
В трапеции ОАСВ (рис. 172)
АС || ОВ и 2АС = ОВ. Точка
D принадлежит стороне ВСУ
Соединим точки А и В и точки О и D. Мы хо-
Рис. 173.
CD=—CB.
3 __ __
тим исследовать скалярное произведение А В · OD. Положим, что
О А = Су АС = ау тогда ОВ = 2ау
СВ = —а —с + 2а = а—'с,
CD =— (α — с). Чему равен вектор BD?
о
OD = ОА + АС + CD = с + а +
АВ = АО + ОВ.= —с + 2а = 2а-
— (а — с)=—а Н с.
3 ν ' 3 3
Отсюда АВ · OD = (2а —с) · (—а"+ —с).
ό ό
Покажите, что последнее выражение может быть приведено к
2
виду —(4а2 — с2).
о
При каком условии отрезки АВ и CD будут взаимно
перпендикулярны?
Какой формы будет при этом треугольник ОАВ?
Что вы можете сказать относительно отрезков AD и DB?
Что вы можете сказать относительно треугольника АОВу если
отрезок АВ перпендикулярен отрезку OD?
Каково уравнение, связывающее величины α, χ и у, если
АВ _L OD и с = (х, у), а - (а, 0)?
Исследуйте аналогичным образом перпендикулярность
отрезков ОС и AD на рисунке 173 и укажите особенности изображенной
на нем фигуры при условии, что отрезки ОС и AD
перпендикулярны.
206

Скалярное произведение направленных отрезков
Мы только что условились, как вычислять скалярное
произведение векторов а и Ьу заданных как упорядоченные пары. Теперь
возникает другой вопрос: что означает скалярное произведение
а · 6, если векторы а и Ь заданы своими длинами и направлениями?
Вначале рассмотрим случай, когда векторы а и b имеют одно
и то же направление: а = au; b = bu, где и — единичный вектор:
а - b = аи · bu = abu2 = ab.
Скалярное произведение параллельных векторов равно
произведению их длин.
Предположим, что и = (х, у) — некоторый единичный вектор,
а / — единичный вектор, параллельный оси ОХ:
и · i = (ху у) · (1,0) = х.
Если вектор и образует угол θ с осью ОХ, то χ = cos θ, так как
длина вектора и равна 1 (рис. 174). Если а = аи, то
а · i = аи · i = a cos θ.
Примечание. Положительное значение угла θ отсчиты-
вается от оси ОХ против движения часовой стрелки. Если на
плоскости даны два вектора а и 6, то мы всегда можем выбрать оси так,
чтобы ось Ох совпала бы с одним из них, например с вектором а.
Тогда мы можем положить:
Ь = W,
а · b = аи · Ы = abu · i = abx = аб cos θ. *
Таким образом, скалярное произведение может быть вычислено
двумя способами.
Пусть заданы два вектора а и b : а = (аъ а2), b = (blf b2)-
—ν -*■
Вектор а составляет угол θ с вектором b (рис. 175). Тогда
а · b = ab cos θ.
*-β
Рис. 175.
207

Рис. 177.
Так как cos θ = cos (— θ), то
а · b = b · a.
Примеры.
1. Вектор а длиной 3 единицы составляет угол в 30° с вектором
6, длина которого равна 4 единицам:
а · Ь = 3 · 4 cos 30° = 12 · 0,866 = 10,392 « 10,4.
2. Вектор а длиной 3 единицы составляет угол в 45° с вектором
b длиной 2 единицы (рис. 176).
Для выполнения условия, при котором мы определили
скалярное произведение а · 6, векторы а иЬ должны исходить из точки 0.
Таким образом, нам нужно найти угол между векторами а и 6,
равный, как видно из рисунка 176, 135°.
а. ь= 3 · 2 · cos 135° = — 3 · 2 cos 45° «
— 6 · 0,7071 = 4,2426:
4,24.
3. Найдите проекцию вектора а на вектор 6, если длина
вектора а, составляющего с вектором b угол в 50°, равна 10 единицам
(рис. 177).
Единичный вектор, параллельный вектору 6, обозначим через υ,
тогда
а · ν = a cos 50° = 10 cos 50° ж 10 - 0,6428 « 6,43.
4. Обобщение теоремы Пифагора. В
треугольнике ABC ВС = а, СА = Ьч
АВ = с, /- ABC = В (рис. 178). Пока,
зать, что
ft2 = а2 + С2 _ 2ас Cos В.
Положим, В А = с, В& = а, СА = 6.
Тогда 6 = с — α и, следовательно,
208

b2 = (с — a)2 = (с — а) (с — a) = с* + a2 - 2c · α = с2 +
-fa2 — 2яс cos 5.
Упражнения
1. В треугольнике ЛБС, а = 4, & = 3, cos С = —. Найдите с.
4
2. В треугольнике ABC, а = 2, с = 5, cos Б = Найдите 6.
5
3. В треугольнике ЛБС, a = 3, 6 = 4, с = 2. Найдите углы Л,
β и С.
4. В треугольнике ABC, a = 4, с = 5, Ζ. fi = 60°. Найдите 6.
5. В треугольнике ЛБС, a = 3, 6 = 7, Ζ- С = 120°. Найдите с.
6. В треугольнике ЛБС, a = 5, 6 = 2, Δ-С = 135°. Найдите с.
7. В трапеции ОЛСБ ОЛ =4, 05 = 3, ВС = 2, А. АОВ =
= 60°. Найдите сторону ЛС.
Указание. Обозначьте CL4 = а, 05 = 6, ЛС = £6.
Покажите, что ВС = а + kb — 6. Найдите БС2.
8. В четырехугольнике ОАСВ ОА = а, ОВ = 6, ВС = с, ОА =
= 3 см, ОВ = 5 еж, ВС = 4: см, Z. ЛОБ = 60°, Ζ ОБС = 53°Г.
Найдите сторону Л С.
9. В треугольнике ЛБС точка Μ является серединой стороны
ВС, MB = 6, МЛ = а. Покажите, что ЛБ2 + ВС2 = 2 (МБ2 +
+ МА2). _ _ __ _
10. В треугольнике ЛБС СБ = а, СА = 6. Почему из условия
a · 6 > 0 следует, что угол С острый? Что вы можете сказать
относительно величины а · 6, если угол С тупой?
11. В треугольнике АОВ Z. АОВ = 90°. Точки Ρ и Q делят
сторону Л Б на три равные части. Покажите, что OP2 + OQ2 =
= —АВ2.
9
12. В равностороннем треугольнике ABC на продолжении
стороны ВС отложен отрезок CD, равный ВС. Докажите, что AD2 =
= 3 АВ2.
13. В треугольнике ABC АВ = AC, CD — его высота.
Докажите, что ВС2 = 2 АВ - BD.
14. Основание ВС треугольника ABC разделено точками X и Υ
на три равные части. Докажите, что АХ2 + ΑΥ2 + 4ΧΥ2 = АВ2 +
+ АС2. (Указание. Обозначьте АВ = 6, АС = с и выразите
векторы АХ, AY, XY через 6 и с.)
15. В тетраэдре О ABC ОА = а, ОБ = 6, ОС = с. Покажите,
что вектор ОА перпендикулярен вектору ВС, если ОС JL АВ и
ОБ X АС (рис. 179).
209

16. В треугольнике ABC CF и ВЕ~
высоты. Покажите, что А В · AF = АС · Л£ =
Ь · с, если Л£ = b и ЛС = с.
17. В четырехугольнике ABCD точки л; и
*/ — середины сторон АС и SD. Докажите,
что
ЛБ2 + 5С2 + CD2 + DA2
= AC2 + BD2 + 4лу2.
Глава 33. МНОЖЕСТВА И НЕРАВЕНСТВА
Сложите вчетверо лист клетчатой бумаги (20 · 25 см) так,
чтобы образовалось четыре прямоугольника, и на каждой из восьми
частей (лист имеет две стороны) начертите взаимно
перпендикулярные оси Ох и Оу, приняв за единицу масштаба отрезок длиной 1 сму
— 3 < л; < 4; — 4 < у < 4.
Задания (для обсуждения).
1. Постройте точки множества Lt:
а) Lx = {(*, у)} | у = χ, χ ζ { - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, 4}}.
Что вы заметили относительно элементов этого множества?
Изобразите все элементы множества Llf для которых — 3 < χ < 4,
х £ J\
б) L2 = {(χ, у)\у = χ + 1};
в) L3 = {(χ, у) I у = χ + 2};
г) L4 = {(χ, y)\y = χ— 1};
д) L5 = {(χ, у) I у = χ — 2}.
Что вы заметили относительно прямых Ll9 L2, L3, L4, L5?
Заметьте, что L± = {(χ, у) I у = χ} = {(χ, у)| у — χ = 0} = {(χ, χ)}.
Запишите три возможных способа записи каждого из множеств
^2> ^3> ^4> ^5*
Постройте точки (ху у). Как располагаются эти точки, если:
а) {(х, у) I у > *}; {(х, у) | у < *};
б) {(х, у)\у — х>1}; {(х, у)\х — у< 1}; {(х; у) | у — χ < 1};
в) {(х, у) | у — χ > — 1}; {(х, у)\х — у< 1}; {(х, у) \ χ — у > 1};
{(*, У) I У - χ < - 1};
г) {(х, у)\у-х>-2}; {(х, у) | у - χ < — 2}; {(*, у) | χ - у <
< ~ 2}; {(х, у) μ - у < 2}?
210

2. На новой части листа начертите системы координат и
укажите на них следующие множества точек:
а) S, = {(х, у)\х + у = 0};
б) S2 = {(χ, у) | χ + у = 1};
в) S3 = {(χ, у) | χ + у = 2};
г) S4 = {(χ, у) |дг + у + 1 = 0};
д) S5 = {(χ, у) | χ + у + 2 = 0}.
Что вы заметили относительно этих множеств точек? Как
расположены следующие множества точек:
а) {(х, У)
б) {(х, У)
в) {(х, У)
х + У < 0}; {(х, у)
χ + у < 1}; {(*, у)
X + У > 0};
* + у > 1};
* + у > — 1}; {(*, у) | χ + у < - 1};
г) {(х, у) | χ + у > - 2}; {(*, у) | χ + у < - 2}?
Как бы вы описали множество точек (х, у): {(х, у) | χ + у > 1}?
3. Начертите новые системы координат и
„ а) закрасьте синим карандашом множество точек
В = {(х, у) | χ + у < 2};
б) желтым карандашом закрасьте множество точек
Υ = {(χ, у) I у < χ}.
Каким цветом оказалось окрашенным множество S == В (] У?
Пусть X = {(х, у)|л:>0} и Т = B[\Y{\X. Запишите
множество Τ в виде Τ = {(χ, у) | ...}.
4. Начертите оси координат и изобразите графически
следующие множества точек:
У = 2х};
У = 2х + 1};
у = 2х + 2};
у = 2х - 1};
П = {'(*. У)|У = 2х-2}.
Изобразите на графике следующие множества точек:
а) {(х, у) | у - 2х < 0}; {(х, у) | у - 2х > 0}; {(х, у) | 2х - у >
>0)};
б) {(х, у) | у - 2х < 1}; {(х, у)\у-2х> 1};
< - 1}; {(х, у) | 2х - у > - 1};
в) {(*. У)| У - 2х < 2}; {(х, у)| у - 2х > 2};
< - 2}; Ux, у)| 2х - у > - 2};
г) {(*■ у) I у - 2х < - 1}; {(х, у) | 2х - у < 1};
-2х>-1}; {(χ, у)|2х-у > 1};
Д) {(*■ У) | У - 2х < - 2}; {(х, у) | 2х - у < 2}; {(х, у) | у -
— 2х > — 2}; {(х, у) | 2х — у > 2}.
е) Изобразите на графике множества точек {(х, у)| у = 2х + 10};
{(х, У) I У — 2х < 10)?
Vi = {(х, У)
V» = {(х, у)
V3 = {(х, у)
V* = {(х, У)
{(х, у) | 2х - у <
{(х, у)| 2х - у <
{(х, У) | У —
211

ж) Изобразите графически множество точек {(х, у) | г/ = 2л:
— 10}; множество точек {(х, у) \ у — 2х < 10}? Множество точек
{(х, у) | 2х - у < 10}.
5. Что является графическим изображением следующих
множеств?
а) {(*, У) | У = Зх}; г) {(χ, у) | у = 6х};
б) {(*, У) | У = 4х}; д) {(*, у) | у = тх}?
в) {(х, у) | У = 5х};
Назовите по две точки из каждого множества. Как бы вы
могли использовать эти точки, для того чтобы быстро дать
графическую иллюстрацию этих множеств?
Говорят, что прямая делит плоскость на две полуплоскости.
В последующих примерах полуплоскость не включает прямую,
ее ограничивающую.
Множество {(ху у) \ у = тх} может быть представлено в виде
прямой. Уравнением прямой будет у = тх. Очень часто мы
сокращенно говорим «прямая у = тх» вместо «прямая, уравнение
которой равно у = тх».
6. Что является графической интерпретацией следующих
множеств:
а) {(*, У) I V < Зх}; {(х, у) | у > Зх};
б) {(*, У) I У < 5х}; {(х, у) | у > Ъх}\
в) {(х, У) | У < тх}; {(х, у) | у > тх}\
г) {(х, у) | Зх > у}; {(х, у) | Зх > у};
д) {(х, у) | χ > у}; {(х, у)\х< У}?
7. Что является графической интерпретацией следующих
множеств:
Д) {(*, у) | у = 5л: — 2};
е) {(х, У) | У = 6х — 6};
ж) {(х, V) | у = 6х + 10};
з) {(х, У) | У = 2х - 6)}?
Назовите по две точки из каждого множества.
Какому условию удовлетворяет множество точек,
принадлежащих следующим полуплоскостям, точки которых расположены:
1) ниже точек множества а);
2) выше точек множества г);
з) ниже точек множества ж);
4) выше точек множества в);
5) выше точек множества е).
Что представляет собой множество точек, являющееся
объединением множеств точек нижней полуплоскости и множеств:
1) б; 2) в); 3) ж); 4) з)?
Выводы
1. Множество точек {(х, у) | у = тх} изображается прямой,
проходящей через начало координат.
а) {(х,
б) {(X,
в) {(х,
г) <(*,
у\ у = Зх + 1};
у) | у = Зх + 2}
у) | у = Зх - 2}
у) | у = 5х + 2}
212

2. Множество точек {(χ, у) | у= тх + с} изображается прямой,
параллельной прямой у = тх и проходящей через точку (0, с).
3. Множество точек {(х, у) | у + тх= 0} изображается прямой,
проходящей через начало координат.
4. Сформулируйте эти три утверждения в виде одного общего
предложения.
5. Множество точек {(х, у)\у>тх) изображается
полуплоскостью, лежащей выше прямой у = тх.
6. Множество точек {( ху у) \ у < тх} изображается
полуплоскостью, расположенной ниже прямой у = тх.
7. Множество точек {(х, у) \ у — тх > 0} изображается
полуплоскостью, расположенной выше прямой у = тх.
8. Множество точек {(х, у)\ тх—у > 0} изображается
полуплоскостью, находящейся ниже прямой у = тх.
Множества точек {(х, у) | у = тх + с} изображаются
прямыми, параллельными прямой {(*, у) | у = тх}.
Упражнения
1. Изобразите графически следующие множества параллельных
прямых:
а) {(х, у)\у = х + с, с ζ (1, 2, 3)};
б) {(*, У) \У = х + с, с ζ (- 1, - 2, - 3}.
2. Изобразите графически следующие множества параллельных
прямых:
а) {(х, у\у + х = с, с ζ (1, 2, 3)};
б) {(*, У) \У + х = су с ζ (- 1, - 2, - 3)}.
3. Изобразите графически следующие множества параллельных
прямых:
а) {(*, У) | У = 2* + с, с ζ (- 2, - 1, 0, 1, 2)};
б) {(х, У) | У + 2х = с, с ζ (- 2, - 1, 0, 1, 2)}.
4. Изобразите графически следующие множества параллельных
прямых:
а) {(х, у) 12у = χ + с, с ξ (-2, -1 , 0, 1, 2)};
б) {(х, у) |2у + χ = с, с 6 (- 2, - 1, 0, 1, 2)}.
Области на плоскости
При выполнении построений используйте такие же листы
бумаги с начерченными на них осями координат, что и в предыдущем
разделе.
Окрасьте в разные цвета каждое из множеств точек:
а) {(х, у) \х з>. 0, у > 0}; в) {(х, у) \ χ < 0, у < 0};
б) {(х, у) | χ < 0, у > 0}; г) {(*, у) | χ > 0, у < 0}.
213

2. Закрасьте отдельными цветами графики следующих множеств:
1) {(х, у) |х> О, у < х} = А;
2) {(*, У)|*>0; у >-i-x} = 5;
3) А П В.
3. S - {(х, у) \х > 0, у > χ}; Τ = {(χ, у) | χ > О, у < 2*}
Закрасьте множество S Π 7".
4. S = {(χ, у) | л; < 0, у < х}; Г = {(х, у) | χ < 0, у > 2*}.
Закрасьте множество S Π Т.
5. Л = {(х, у) |х > 0, у + л: > 0}; В = {(х, у) | χ > 0, у < х}.
Закрасьте множество Л Π δ.
6. D = {(χ, у) |у > 0, у + χ > 0}; С = {(χ, у) |у >0, у > х}.
Закрасьте множество D Π С.
7. Ρ = {(χ, у) |у > 0, у + χ > 0}; Q = {(х, у) |у > 2, л; > 0}.
Закрасьте множество Ρ Π Q.
8. Закрасьте следующие множества:
а) V = {(х, у)
б) S = {(х, у)
О < χ < 3, 0 < у < 2};
— 2 < χ < 0, 0 < у < 2};
в) {(х, У)|0 <х< 2}П{(*, У) | 0 <у < -2}.
9. А = {(х, у) |х >0, у > -ух}; β = {(χ, у) |х > 0, у < 2х};
С = {(х, У) |у < 3. Закрасьте множество Л f|5 f)C.
10. Ρ = {(χ, у) |х > 0, у > 0}. Q = {(х, у) |2х + у < 4}.
Закрасьте область, соответствующую множеству Ρ fl Q·
Для следующих упражнений сложите лист бумаги вчетверо и
на каждой из восьми частей листа начертите оси Ох и Оу так,
чтобы 0 < χ < 7; 0 < у < 8.
11. Закрасьте множества А = {(х, у) | χ > 0, у > 0, Зх+5у <
< 15}; 5 = {(χ, у) \х > 0, у > 0, 5х + Зу < 15}. Закрасьте область,
соответствующую множеству А П В.
12. Ρ = {(χ, у) |х > 0, у > 0, 2х + у < 6}; Q = {(х, у) | χ >
> 0, у > 0, χ + 2у < 6}. Закрасьте область, соответствующую
множеству Ρ Π Q.
Укажите области
#! = {(*, У)|* + У= 1}5
#2 = {(х, У) I х + У = 2};
#з = {(х, У)\х + У = 3};
#4 = {(х, У) | х + У = 4};
#5 = {(*> У) I * + У = 5};
/?6 = {(*, У) U + У = 6}.
Для каких пар чисел (х, у) сумма χ + у будет наибольшей, если
а) (х> У) ^ ^; б) (ху у) ζ (??Каково значение χ + у в этой точке?
Множество Ρ f) Q называется многоугольным множеством.
Найдите значение χ + у в каждой из его вершин.
214

13. Λί = {(л:, у) \х > 0; у > 0, χ + у < 4};
# = {(а:, у) |* > 0, у > 0; Зле -f у < 6}. Заштрихуйте область
/И П N. Укажите графическую интерпретацию множеств:
Lt = {(х, У) I У + 2* = 2}; L4= {(χ, у) |у + 2х = 5)};
Ь2 = {(*, У) [ У + 2* = 3}; L5= {(л;, у)|у + 2х = 6}.
ί*={(*. У) | У + 2л: = 4};
Найдите значение у + 2лс в каждой из вершин многоугольного
множества Μ Π ЛЛ Для каких значений (*, у) ξ Λί Г) # величина
у + 2х будет наибольшей? Чему будет равна сумма у + 2х в этой
точке?
14. Р' = {(*, у) |χ > 0, у > 0, 2* + у > 6}; Q'={(x, у)| χ >
> 0, у > 0; χ -\- 2у > 6}. Заштрихуйте область Ρ' f) Q'·
а) Каково значение (лс, у) ζ Ρ' {] Q', для которого л: + у
принимает минимальное значение? Чему оно равно?
б) Для какого значения (лс, у) ζ Ρ' Π Q' значение у + л:
наибольшее? Каково значение у + χ в этой точке?
в) Для какой точки (х, у) ζ Ρ' f) Q' значение у + 2*
наименьшее? Чему равно значение у + 2х в этой точке?
г) Для каких точек (лс, у) ζ Ρ' Π Q' значение у — л: является
минимальным? максимальным?
15. Вернитесь к графику задания 13.
а) Для каких значений χ и у, (лс, у) ζ Λί Π W, значение
выражения у -j- Зле является наибольшим?
б) Для каких значений χ и у, (х, у) ζ Λί Π Ν, значение В =
= у — λ: является наибольшим?
в) Для каких значений χ и у, (лс, у) ζ Λί Π Ν> значение С = у —
— χ является минимальным?
г) Для каких значений χ и у, (х, у) ζ Λί Π Ν> значение D =
= 2y + Зле является максимальным?
д) Для каких значений χ и у, (х, у) ζ Λί Π Ν, значение Ε =
== 2у + Зле является минимальным?
Найдите значения Л, β, С, D и £ в каждой вершине
многоугольного множества Λί Π W.
16. Найдите значения χ и у так, чтобы значение Q = χ + у
было максимальным на множестве {(х, у,) \х > 0, у > 0, лс+ Зу < 9,
2х + у < 8}.
17. а) Найдите значения лс и у, при которых выражение R=x +
+ 2у имеет максимальное значение на множестве
{(*, У) | х > 0, у > 0, у < 3, 3* + 2у < 15}.
б) Исследуйте значение S = χ — Зу в каждой вершине
многоугольного множества, определенного в задании а).
Укажите область значения выражения S, а также его
максимальное и минимальное значения, если: S < 0; S > 0; S > 0.
18. Условия χ > 0, у > 0, χ > 2, у > 3, 3* 4- 2у < 15
определяют многоугольное множество S. Найдите значение Ρ = 4,ν +
215

+ у в каждой из вершин множества S. Укажите максимальное и
минимальное значения Ρ для (я, у) из множества S.
19. Условия χ > О, V > 0, Зл; < у, Зл; + 2у < 15 определяют
многоугольное множество Т. Найдите значения Ρ = 4х + у в
каждой из вершин множества Т. Какое значение Ρ будет
максимальным? минимальным?
20. Условия 2 < χ < 6, 1 < у < 4 определяют
многоугольное множество /?. Найдите значения:
'a) W = 4у + *; б) S = л: + у; в) D = л: + 2у; в каждой
из вершин множества R. Найдите максимальные и минимальные
значения W, S, D.
21. Условия 1<у<4, л; + у > 4, лс<5 определяют
многоугольное множество U. Найдите максимальные и минимальные
(если они имеются) значения:
а) D = χ + 2у; в) W = Зх + 2у; д) F = у — х;
б) S = л: + У; г) Ε = χ — у; ejί Я = 2у — χ
для точек области U.
Для решения каждой из следующих задач вам нужно пол-листа
клетчатой бумаги, на котором начерчены оси координат. Отрезок
в 1 см соответствует единице длины, 0 < χ < 8, 0 < у < 14.
22. Изобразите графически элементы множества:
5 = {(*, У) \х > 0, у > 0, у—х< 5; Зу+х<27, 2у+7х<56}.
Назовите вершины выпуклого многоугольного множества S.
Почему множество S называется выпуклым?
а) В какой вершине значение Ρ = χ + у является наибольшим?
Чему равно значение Ρ в остальных вершинах многоугольника?
б) В какой вершине значение Q = 2х + у является максималь -
ным?
Чему равно значение Q в каждой из остальных вершин
многоугольника?
в) Чему равно значение R = 2х — у в каждой вершине
многоугольника?
г) Что вы можете сказать относительно значений выражений: Р\
Q; R для значений л: и у, принадлежащих следующим множествам:
1) {(*, У)|3<*<8; 7<у<7, Зу + * = 27};
2) {(х, У) 0 < χ < 3; 5 < у < 8, у = χ + 5};
3) \(х, У) I 7 < χ < 8; 0 < у < 7, Зу + 2х = 27}.
23. Дайте графическую иллюстрацию множеству
5 = {(х, У) |*>0; у>0, у<4*, Зу<2*-|-10, у + χ < 10, 8у > *}.
Обозначьте через О, А, В и С — вершины многоугольного
множества^ направлении обхода его контура против часовой
стрелки, начиная с точки О = (0, 0).
а) В какой вершине значение выражения Ρ = χ -(- у
наибольшее? Чему равно значение Ρ в остальных вершинах?
216

б) В какой вершине значение выражения Q = 2х + у
максимальное? Чему равно значение Q в остальных вершинах?
в) В какой вершине значение выражения R = 2х — у
максимальное? Чему равно значение R в других вершинах?
В примерах, приведенных выше, выражения Р, Q и R
называются линейными функциями χ и у. Почему?
Можете ли вы сделать вывод о линейной функции,
определенной на выпуклом многоугольном множестве?
Г л а в а 34. МНОЖЕСТВА ИСТИННОСТИ
Материал этой главы предназначен в основном для обсуждения.
1. Рассмотрим совершенно фантастическое утверждение:
«Каждому человеку нужно по крайней мере 3 фунта мяса и рыбы
в неделю. Небольшой собаке нужно по крайней мере 2 фунта
мяса в неделю, а кошке по крайней мере 2 фунта рыбы в неделю».
Если мы будем откладывать количество мяса и количество рыбы,
потребляемое в неделю, на оси Ох и оси Оу соответственно, тогда
каждое из утверждений может быть представлено множеством
точек (рис. 180). Количество фунтов мяса и рыбы, потребляемое
человеком в неделю, дается формулой
Μ + F > 3.
ОАВ — «запретная» область, так как для нее
т. е. меньше необходимой для человека нормы.
Область справа от прямой CL дает возможное недельное
потребление рыбы кошкой, F > 2.
Область выше DR дает возможное недельное потребление мяса
собакой, Μ > 2.
Область
Μ + F < 3,
Есть еще область, S Ρ Γ, для
которой Μ + F > 3, Μ < 2,
F <2. Диета, характеризуемая
точками этой области, дает
возможность выжить человеку (но
не кошке и не собаке).
St
2 J b
Рис. 180.
5 Ρύ/ύαίφ)
Популярная "чТь/ка
Рис 181,
217

Внимательно рассмотрите диаграмму, укажите, для каких областей
истинны следующие утверждения, и объясните. Почему вы так
думаете?
а) Человек может держать и кошку, и собаку, не увеличивая
количества покупаемого им в неделю мяса и рыбы.
б) Иногда можно держать собаку, не увеличивая количества
покупаемого мяса.
в) Иногда можно держать кошку, не увеличивая количества
покупаемой рыбы.
г) Иногда можно держать собаку и уменьшить при этом
количество покупаемой рыбы.
2. Семья хочет купить χ пластинок легкой музыки и у
пластинок классической музыки. Пластинка легкой музыки стоит 5
шиллингов, пластинка классической музыки стоит 20 шиллингов.
Членам семьи нравится только 6 пластинок легкой музыки и 6
пластинок классической музыки, эти пластинки они готовы
купить.
а) Покажите на графике, что семья не может купить более чем
6 пластинок легкой и 6 пластинок классической музыки (рис. 181).
б) Покажите на графике, что семья не может потратить на
покупку пластинок больше, чем 75 шиллингов.
Пластинки каких серий они могут выбрать для покупки?
Каково возможное число пластинок каждой серии?
в) Покажите на графике множество решений этой задачи в
предположении, что в семье решили купить пластинок легкой
музыки в 2 раза больше числа пластинок классической музыки.
г) Какими способами может быть осуществлена покупка и
сколько денег будет израсходовано в каждом случае?
3. В сказочном государстве Парадокс в здании банка не
разрешалось иметь больше 80 долларов. Наказание за кражу денег в
банке не могло превышать 100 дней тюремного заключения, штраф,
наложенный на вора, не мог превышать 80 фунтов. Полиция
всегда находила похитителей, хотя они и редко возвращали украденные
деньги.
а) Откладывая на оси Ох штраф (отрезок в 1 см соответствует
штрафу в 10 фунтов) и на оси у число дней заключения (отрезок
в 1 см соответствует 10 дням), изобразите возможные приговоры.
б) Был принят такой закон: «Все приговоры должны
выноситься в термине «единица». Максимальное число единиц приговора
равно 120. Единица составляет или штраф в 1 фунт, или 1 день
заключения. Платить штраф, или отбывать наказание в тюрьме,
или и то и другое предлагается решить самому осужденному.
Измените ваш чертеж в соответствии с этим законом. Каково
наименьшее число дней должен пробыть в тюрьме осужденный,
получивший максимальное наказание, если он имел достаточно
денег для уплаты максимального штрафа? Каким будет
минимальный штраф, который придется уплатить осужденному, получив-
218

шему максимальное наказание, если он предпочтет находиться в
тюрьме максимальное число дней?
в) Так как многие воры имели достаточно денег для уплаты
штрафа и не хотели отбывать наказания в тюрьме в течение
длительного срока, то вскоре был принят новый закон: «Срок
заключения в днях должен был по крайней мере в 9 раз превышать
сумму в фунтах, на которую штраф превышает 50 фунтов».
Дайте графическую иллюстрацию возможных приговоров.
Каков минимальный срок тюремного заключения? Каков
максимальный срок заключения?
4. Найдите графически положительные целые значения χ и у,
удовлетворяющие условиям: их сумма должна быть меньше 14,
5 у > 2х> 2х + у > 14, каждое из чисел χ и у меньше 6. Масштаб
на обеих осях выберите одинаковым: I см — 1 единица.
5. Человек захотел иметь на своем участке уток и кур, но
участок был мал, поэтому общее число птицы он решил ограничить
десятью. Специалист ему сказал, что для того, чтобы иметь
достаточно яиц, он должен купить по крайней мере 4 курицы и 3 утки.
Жена его тоже хотела, чтобы кур было больше, чем уток.
Начертите множество всевозможных решений этой задачи.
Считая, что в среднем курица несет 5 яиц в неделю, а утка
4 яйца, определите, сколько и какой птицы должен был купить
человек, чтобы иметь максимально возможное число яиц в неделю.
Нахождение максимума или минимума линейной формы ах +
+ Ьу + с в точке, принадлежащей выпуклому множеству точек,
называется линейным программированием.
Линейное программирование
1. На двух предприятиях, I и II, ведутся работы по
производству двух моделей автомобилей, модели А и модели 5. Причем по
ряду причин эта работа выполняется на каждом предприятии в
течение не более чем 30 ч в неделю. Предприятие I производит
части для модели А за 10 ч и части для модели В за 5 ч. На
предприятии II сборка модели А проводится за 5 ч, а модели В за 10 ч.
Прибыль при продаже модели А составляет 200 фунтов, а модели В 300
фунтов. Сколько моделей каждого типа (хну) следует производить
каждую неделю для получения максимального дохода?
Прежде всего давайте ясно запишем всю имеющуюся
информацию:
Модель А
Модель В
Предприятие I
10
5
Предприятие II
5
10
Прибыль
200
300
Число
моделей '
X 1
у 1
I
219

Общая прибыль 200* + ЗООу.
Так как предприятие I работает
не более 30 ч в неделю, то 10* +
+ Ъу < 30 =Ф 2х + у < 6.
Так как предприятие II работает
не более 30 ч в неделю, то 5х +
+ 10у < 30 =>х + 2у < 6.
Так как продукция не может
выражаться отрицательным числом, то
χ > 0 и у >0.
Таким образом, множество всех
возможных вариантов числа
изделий (х, у) может быть представлено
в виде следующего многоугольного
множества (л* и у— натуральные числа):
S = {(х, у) \х > 0, у > 0, 2х + у < 6, χ + 2у < 6}
(рис. 182). Координаты вершин А, В н С равны ОиЗ, 2и2, ЗиО
соответственно. В одной из этих точек выражение 200* + ЗООу
принимает наибольшее значение. Подстановка значений
координат точек Ау В и С в выражение 200 χ + ЗООу показывает, что
этой точкой является точка В. Таким образом, наиболее выгодно
производить каждую неделю две машины модели А и две машины
модели В.
Приведенный выше пример весьма искусственный. Измените его
условие так, чтобы он больше соответствовал действительности.
2. Из дерева и листового железа изготавливаются игрушки двух
типов, партиями по 100 штук каждого типа. На игрушку нужно:
Дерево Мет алл
Тип I 2 куб. дм 0,1 кг
Тип II 1 куб. дм 0,3 кг
На складе имеется 150 куб. м древесины и 70 кг металла,
прибыль от продажи игрушки I типа составляет 20 коп., а II типа —
30 коп. Какое число партий игрушек каждого типа должно
изготавливаться для получения максимальной прибыли?
3. На фабрике производятся обычная и улучшенная модели
одного и того же изделия. Для производства каждой модели
оборудование используется следующим образом:
Обычная модель
Улучшенная модель
Машина I
3 ч
1 ч
Машина II
1 Ч
3 Ч
220
Рис. 182.

Машины работают не более 12 ч в сутки. Прибыль от обычной
модели составляет 3 руб. и от улучшенной модели — 6 руб.
Сколько требуется производить каждой модели для получения
максимальной прибыли?
4. Агротехнический эксперимент требует, чтобы на некоторый
участок было внесено по крайней мере 30 фунтов фосфатных и 8
фунтов азотных удобрений. В лаборатории остались от прежних
опытов 10-фунтовые мешки удобрений от поставщиков А и В.
Минимальное количество требуемых химикатов от этих поставщиков
приведено в таблице:
Фосфаты
Нейраты
Стоимость 10-
килограммового
мешка
Поставщик А
3 кг
1 кг
30 коп.
Поставщик В
5 кг
1 кг
40 коп.
Удобрения смешаны с песком, который нейтрален, но дает
возможность равномерно распределить удобрения. Вместе с тем
должно быть гарантировано соблюдение норм внесения удобрений.
Сколько мешков от каждого поставщика должно быть взято для
выполнения указанных выше требований. Каков будет общий вес
мешков, доставленных на участок?
Г л а в а 35. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Мы умеем задавать точки как упорядоченные пары чисел (х, у).
Эти упорядоченные пары чисел могут быть использованы для
описания геометрических фигур. Например:
а) Упорядоченное множество точек
П = {(1, 1); (- 1, 1), (-1, -1), (1, - 1)}
дает нам вершины квадрата A1B1C1D1 (рис. 183).
б) Упорядоченное множество точек
является множеством вершин равностороннего треугольника А2В2С2
(рис. 184).
в) Упорядоченное множество точек
*= {(1,2), (-1,2), (-1,-2), (1,2)}
является множеством вершин прямоугольника Л3, В3, С3, D,
(рис. 185).
221

/
--И,
I
I
1
i
—.i0i
Рис. 183.
\
i."-?'
Рис. J84.
vl
ftr-
C^~-f
Ί*
/ λ
.·=: I
ft
Рис. 185.
Рис. 186.
(-χ, у)
^,w
о
χ
Рис. 187.
222

Вырежьте из картона модели этих фигур и напишите на
каждой стороне модели у ее вершин соответствующие буквы. Масштаб
по осям Ох и Оу возьмите одинаковым (2 см — 1 единица).
Эти фигуры вы можете перемещать в различных направлениях,
вращать в их собственных плоскостях, иными словами,
производить над ними операции, в результате чего меняется их
ориентация (посмотрите в словаре это слово). Сейчас мы рассмотрим
несколько алгебраических методов преобразования координат вершин
этих фигур в координаты, соответствующие новому
положению вершин моделей, после того как над ними были произведены
некоторые операции.
Для удобства на каждой фигуре мы отметим вершину А так,
чтобы было легче проследить изменение положения (рис. 186)
фигур.
Рассмотрим теперь операцию, заключающуюся в
повороте фигуры относительно оси Оу (рис. 187).
Точка (х, у) перейдет в точку (—х, у). Координата у не
изменится, у координаты χ знак изменится на противоположный. Это мы
можем сформулировать следующим образом: преобразование F
переводит точку (х, у) в точку (х\ у'), где х' = —jt, у' = у,
и записать в виде матрицы:
Э - (Ί
(Я-'(Э-(-А?)
Пример.
а) F \~Л = \j) и F преобразует точку (3,7) в точку (—-3,7);
б) F I 5) = ( л) и F преобразует точку (5, — 4) в точку
(-5, - 4);
в) F ( д) = (д) и F преобразует точку (—3, 4) в точку (3, 4);
г) F ( д) = ( д J и F преобразует точку (—3, —4) в точку
(3, -4).
Точку {х'у') называют образом точки (я, у) в преобразовании.
Действие/7 на множество точек записывается как FZ> например,
если Ζ = {(0,1), (1,1), (0, - 1), (1, - 1)}, то FZ = {(0,1), (-1,1),
(0, - 1), (_ 1,-1)} (рис. 188).
Результат преобразования F, выполненного над множеством
Ζ, дан на рисунке 188. Вообще говоря, FZ может быть
изображено на том же чертеже.
Замечание. Преобразование может быть использовано
для отображения плоскости самой в себя или для отображения
координатной плоскости на другую координатную плоскость.
223

VI
h'
ή' \
1
a'
0 X
cf
Рис. 188.
FZ
Преобразование F переводит точку (χ, 0) в точку (— jc, 0) и
точку (0, у) в точку (0, у) и, таким образом, не меняет абсолютного
значения координат χ и у.
Упражнения (для обсуждения)
Разделите лист бумаги на четыре части.
1. Найдите множество точек F\Z\. Нанесите точки множеств Π
и ^П на отдельные системы осей и обозначьте точки. Сверьте
полученные результаты с физической моделью квадрата.
2. Найдите множество FA- Нанесите точки множеств Δ и ^Δ на
отдельные системы осей.
3. Найдите множество Ζ7*. Нанесите точки множеств * и Ζ7*
на отдельные системы осей. Почему, по вашему, это преобразование
названо F?
4. Обозначьте ^П через □'· Найдите множество F П'·
5. Обозначьте F Δ через Δ'. Найдите множество F А'.
6. Обозначьте F* через *'. Найдите множество /V.
Предположим, что некоторое множество точек подвергалось
преобразованию F 2 раза, мы можем записать: F(F\Z\) = FO' =
= /72П- Три последовательно примененных преобразования мы
можем условно записать в виде F3 и т. д. Таким образом,
F2 D = D,
/73 D = /7 . /72 D = /7П;
/Г5 D = /Г . /Г2 . /72 D = /7/72 D = р^
Последний ее можно записать короче: F5 = FQ.
7. Чему равно Т74? F7? F» ? Я4? Я00? Л01? /™?
/72л-1р /72/2 + 2р
/72/2+1?
224

Рассмотрим теперь преобразование Т:
/Л =т(А = (ο_?)(ί) = (_Λ таким образом, точка (х, у) в
результате преобразования Τ переходит в точку (х, —у).
Упражнения
1. Найдите: а) Т (*); б) г(<); в) т(_^); г) Ц); д) тЦ).
2. Найдите множество точек ΤΠ· Изобразите графически Π и ГЦ.
3. Найдите множество точек Тд. Изобразите графически Δ
и ΓΔ.
4. Найдите множество точек Г*. Изобразите графически * и
Г*.
5. Найдите множество точек ΤΖ. Изобразите графически Ζ
и ΤΖ.
6. Пользуясь изготовленными вами моделями, найдите, каким
движениям соответствуют преобразования ТП, ТА, Г*. В каком
случае фигура после преобразования Τ не совпадает сама с собой?
Почему? Когда преобразование Τ переводит фигуру в самое себя?
7. Переведет ли преобразование Τ правильный
шестиугольник в самого себя, если две его вершины лежат на оси Ох? если
одна вершина и середина противоположной стороны лежат на оси Ох?
8. Занимательная задача. Китайский компас. Вырежьте из
картона правильный восьмиугольник ABCDEFGH со стороной
2 см. Начертите его диагональ АЕ и поставьте на ней стрелку
в направлении от А к Е. Переверните фигуру, на ее обратной стороне
проведите диагональ GC и поставьте на ней стрелку в направлении
от G к С.· Возьмите многоугольник большим и указательным
пальцами за вершины А и Ε так, чтобы его плоскость была вертикальной,
а стрелка АЕ была направлена вниз. В таком положении должен
находиться многоугольник, когда вы идете на юг. Если вы хотите
идти на восток, т. е. повернуть налево, поверните многоугольник
соответствующим образом. Попробуйте сделать так!
Изучите, как надо пользоваться компасом, если держать
большим и указательным пальцами другие пары противоположных
вершин.
9. Обозначим через TF результат применения сначала
преобразования Fy a затем преобразования Т. Найдите множество точек
TFQ. Постройте точки Π и
ТУ7ΠΙΟ. Найдите множества точек FT Π· Постройте точки множеств
Π и FTn-
И. Найдите 7Т7*. Постройте * и TF *.
12. Какая операция с вашими картонными фигурами
соответствует FT? TF? Эти операции одни и те же для всех фигур?
13. Найдите Г/72П и F2T[J. Какая операция с моделями
соответствует этим преобразованиям?
225

14. Найдите множества Г/72* и F2 Г*. Какая операция с
моделями им соответствует?
15. Найдите множества Г2/7Π и FT2[J. Какая операция с
моделями им соответствует?
16. Найдите множества Г2/7* и FT2*. Какая операция с
моделями им соответствует?
17. Найдите множества Г2/72П и/72Г2П- Какая операция с
моделями им соответствует?
18. Приведенная ниже таблица показывает результат
преобразования точек. Сначала применяется преобразование, стоящее в
левом столбце, а затем преобразование, указанное в верхней строке:
Это
преобразование
выполняется
первым
F
Т2
F
I
Τ
Τ
F2
F
T2
Τ
Это преобразование
выполняется вторым
Двукратное применение преобразования F переводит
множество самое в себя. Другими словами, образ точки оказывается
идентичным самой точке. Преобразование, переводящее точку самое в
себя, называется тождественным преобразованием и обозначается
буквой /. Поэтому в левой верхней клетке таблицы и стоит буква /.
Аналогично F2T = Т.
19. Закончите таблицу, данную в задании 18, используя для
этого множество □·
Преобразование R
Рассмотрим теперь преобразование
(?н (;нг?)(№).
Точку (х, у) преобразование R переводит в точку (—у, х).
Например:
(3,2) -* (-2,3); (2,3) -* (-3,2);
(-2,3)- (- 3, -2); (2, - 3) - (3,2) и т. д.
1. Найдите множество RZ. Постройте точки множеств Ζ и
RZ и отметьте соответствующие точки пунктиром.
2. Найдите множество R\J. Постройте точки множеств Π и
R[J и отметьте соответствующие точки пунктиром.
3. Найдите множество RA. Постройте точки множеств Δ
и RA и отметьте соответствующие точки пунктиром.
226

4. Найдите множество R *. Постройте точки * и /?*,
соответствующие точки отметьте пунктиром.
5. Какие из преобразований R □, RA и R* переводят
множества самих в себя? Почему это имеет место для одних множеств
и не имеет место для других? Какие операции с картонными
моделями соответствуют преобразованию R. Почему оно называется R?
6. Найдите Я2П, Я3П, Я4П, Я5П-
7. Найдите /?2*, R3* /?4* Rb* и постройте все эти множества
на одном чертеже. Какие из преобразований R2R3R^Rb являются
тождественными преобразованиями /?
8. Заполните таблицу:
Это второе
преобразование
Первое
преобразование
/
/
R
Я2
R3
R
R2
R3
Почему нет необходимости включать в эту таблицу
преобразования R^R'0 и т. д.? Какие операции с картонными моделями
соответствуют преобразованиям R2R3Ri?
9. Найдите FR\Z\. Найдите RF\J- Получили ли вы одно и
то же множество?
10. Постройте: а) FR2 Q; б) FR3n; в) TFR\J; г) TF[J\
д) /?3D-
Можете ли вы получить эти положения квадрата, выполнив
только одну операцию?
У пражнения
1. Начертите треугольник О ВС, зная координаты его вершин:
В = (5,5); С = (0,5); О = (0,0). Найдите образы О', В', С точек
О, В, С, применив следующие преобразования, и постройте все
полученные треугольники на одном чертеже, закрасив их в
разные цвета:
в) χ' = χ — 4; д) χ' = χ + 2;
У = у + 2; у' = у - 6.
г) *' = х — 4;
У' = у-6;
а) х' = — х;
У' = У,
б) х' = л: + 2;
/ - У + 3;
Каков эффект каждого из преобразований?
Что это говорит о длинах ОВ и ОС? Найдите ВС2 и В'С2. Равны
ли эти величины (за единицу масштаба по обеим осям примите
отрезок в 1 см: — 7 < χ < 7; — 8 < у < 8)?
227

2. Начертите треугольник ОВС из задания 1 и найдите
образы О1', В' и С точек О, В и С после выполнения над ними
следующих преобразований:
a) jc'^Ei.^. б) x'=li_^. в) /^Зх 4у.
5 5' 55' 55'
У~ δ + δ' У~ 5+7· y-J~J-
Начертите все полученные треугольники на одном чертеже и
закрасьте их разным цветом.
Какой эффект преобразований? Проверьте в каждом случае,
выполняется ли равенство х'2 + у'2 = х2 + у2. Что вы можете
сказать относительно длин ОВ и ОС? Найдите ВС2 и В'С'2 и
покажите, что эти величины равны.
3. Начертите треугольник ОВС из задания 1. Найдите
образы точек О', В' и С после следующих преобразований точек О,
β и С (полученные треугольники постройте на одном чертеже и
окрасьте их различными цветами):
а) /==_Зх_^У. б) ^/=:3ί 4у. Β)Λ;/==4ί Зу
5 5' δ "^ δ ' δ "^ δ'
, — 4х . Зу , 4* Зу ,3* 4у
У 5 5 ^ δ δ ^ δ δ
Каков эффект этих преобразований? Проверьте в каждом
случае равенство х'2 + у'2 = х2 + у2. Найдите ВС2 и ВС'2. Равны
ли эти величины?
4. Начертите треугольник ОВС из задания 1. Найдите и
постройте образ О'В'С треугольника ОВС, полученный в
результате преобразования.
ν'-Α+Ζ
Вычислите длины ОВ', ОС, С В'. Что вы заметили относительно
треугольника 0'В'С">
5. Множество точек (х, 2х) лежит на прямой, уравнение
которой у = 2х. Найдите образы этого множества точек после
следующих преобразований:
а) х' = у; б) χ' = χ + у ; в) х' = 2х + Зу;
у' = х; у' = χ — у; у' = Зх — 2у.
Покажите, что каждое из преобразований переводит заданную так
же прямую в прямую. Найдите уравнения этих прямых.
6. Покажите, что преобразование
х» = Зх + 2у,
у' - Юх + Зу
переводит точки прямой у = 4х в точки прямой у' = 2х'.
228

В какие прямые переводит это преобразование прямые:
а) у = х\ б) у = 5*; в) у = 6х; г) у = тх?
7. Покажите, что преобразование
*' = χ + у,
у' = Зх + 8у
переводит точки прямой у = 4х в точки прямой у' = 7л:'. В какие
прямые переводят это преобразование следующие прямые:
а) у = χ? б) у = 7х; в) у = Зх; г) у = 2х + 3?
8. Покажите, что преобразование
х' = χ + Зу,
У' =У
переводит прямоугольник, основание которого лежит на оси Ох,
в параллелограмм с той же высотой и заключенный между теми
же параллельными прямыми. Найдите образы прямых:
а) у=х +1; б) у= 1 — х\ в) у = 2х + 1; г) у = 1 —За:,
подвергшихся этому же преобразованию.
9. Покажите, что точка Ρ = (1, 2) лежит на прямых у = 2х
и у = лс + 1. Найдите образ этой точки и прямых, подвергшихся
преобразованию
х' = χ + 2у,
у' = 2* + у,
проверьте, лежит ли точка Р' на образах заданных прямых.
Г л а в а 36. ВЕРОЯТНОСТЬ И РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
Замечание для учителя. При изучении этой главы
рекомендуется широко использовать результаты
индивидуальных испытаний (если каждый из учащихся проведет по 10
испытаний, общее число испытаний будет весьма значительным).
Опыт 1
Бросьте 48 раз игральную кость и составьте таблицу, в
которой было бы указано число выпаданий каждого из чисел: 1,2, 3,
4, 5 и 6.
Число очков
Число выпаданий
1
2
3
4
5
6
229

На основании данных таблицы постройте столбчатую
диаграмму. Высота каждого столбца должна быть пропорциональна числу
выпаданий определенного числа очков. Ширина столбцов
одинакова. Основания их лежат на одной прямой и примыкают друг
к другу. Такая диаграмма называется гистограммой.
Можете ли вы сказать, не строя гистограммы, какой она будет
формы? Почему?
Число наступления каждого из событий называется частотой
события.
Опыт 2
Выньте из хорошо перетасованной колоды карт наугад одну
карту. Повторите этот опыт 48 раз, тщательно тасуя каждый раз
карты. Запишите, сколько раз вы вынули карту трефовой,
червонной, бубновой и пиковой масти. Составьте таблицу:
Частота
Трефа
Черва
Бубна
Пика
Какой вывод вы делаете? Что вы ожидали?
. Какова частота появления красной масти? черной масти?
Согласуется ли полученная частота с тем, что вы ожидали?
Вероятность
Отношение частоты появления некоторого события (например,
появления карт красной масти) к общему числу событий (к
общему числу вынутых карт) называется вероятностью события.
Мы должны были бы ожидать, что из каждых двух попыток
одна завершится получением красной масти. Это называется
теоретической вероятностью. Мы пишем:
Ρ (красная масть) = — = 0,5;
Ρ (черная масть) = — = 0,5;
Ρ (красная масть) + Ρ (черная масть) = 1.
Вероятность, равная единице, означает, что данное случайное
событие обязательно произойдет. Вероятность, равная нулю,
означает, что данное случайное событие не произойдет.
Если число возможных случайных событий вполне
определенно, то сумма их вероятностей равна 1. Почему?
230

Отсюда, если
Ρ (случайное событие произойдет) = р,
то Ρ (случайное событие не произойдет) =1 — р.
При бросании игральной кости можно ожидать, что вероятность
выпадения любого числа от 1 до 6 одна и та же:
Ρ (появление числа 6) = — ^ 0,167;
Ρ (появление числа 4)
;0,167.
Сравните теоретическую вероятность с вероятностями,
найденными вами в опытах 1 и 2 экспериментально.
Опыт 3
а) Бросьте одновременно две игральные кости. Подсчитайте
сумму очков, полученную при одновременном бросании двух
костей. Повторите опыт 60 раз и составьте таблицу:
Сумма очков
Частота появления
события
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
По этим данным начертите гистограмму и кратко ее опишите.
Какова вероятность того, что сумма очков при одновременном
бросании двух игральных костей будет равна 6? 4? 12? 7? 10? 3?
Посчитайте теоретическую вероятность
появления каждой суммы. Постройте
график.
б) Теоретическая вероятность.
Таблица слева показывает все
возможные случаи получения суммы числа очков
от 2 до 12 при одновременном бросании
двух игральных костей.
Каковы теоретические вероятности Ρ
(сумма очков равна 2)? Ρ (сумма очков
равна 3)? , . . . , Ρ (сумма очков равна 12)?
Начертите график зависимости Ρ
(сумма очков равна Ν) от N.
Сравните с результатами вашего
опыта.
Как, по-вашему, влияет ли число
испытаний на экспериментально
полученную вероятность некоторого события?
Объясните.
6
5
4
3
2
1
7
6
5
4
3
2
1
8
7
6
5
4
3
2
9
8
7
6
5
4
3
10
9
8
7
6
5
4
11
10
9
8
7
6
5
12
И
10
9
8
7
6
231

Опыт 4
Повторите опыт 3, но на этот раз подсчитывайте не сумму
чисел на гранях игральных костей, а их произведение. Обсудите
причину расхождения между значениями теоретической и
экспериментальной вероятностей в этом случае.
Опыт 5
Из твердого картона приготовьте два правильных
восьмиугольника со стороной 2,5 см. Каждый восьмиугольник разделите на
8 равных частей, как это указано на рисунке 189, и обозначьте
их. Вставьте короткий карандаш в центр каждого
восьмиугольника так, чтобы получился волчок. Вернитесь к опыту 3, но
теперь роль игральной кости будет выполнять волчок.
Подсчитайте сумму очков на треугольниках, основания которых будут
находиться на столе, после того как волчок остановится.
Объясните расхождение между теоретической вероятностью и
полученной вами экспериментальной вероятностью. Связано ли
это с конструкцией вашего волчка?
Опыт 6
Теперь вы будете проводить опыты с восьмиугольником,
изготовленным следующим образом (рис. 190) из твердого картона:
постройте восемь лучей, исходящих из одной точки и образующих
со смежными лучами угол в 45°. На двух смежных лучах от их
общей вершины отложите отрезки, равные 1 — дюйма,'а на
остальных лучах — отрезки, равные 1 — дюйма. Соедините
последовательно полученные на лучах точки и аккуратно вырежьте
восьмиугольник. Пронумеруйте треугольники так, как это показано
на рисунке 190, и сделайте волчок, как и в опыте 5.
Рис. 189. Рис. 190.
232

а) Пустите волчок 100 раз и составьте таблицу частоты
появления каждого из чисел от 1 до 8. Вычислите экспериментальную
вероятность появления каждого из чисел. Начертите
гистограмму появления чисел от 1 до 8. Что вы можете сказать о полученных
вами результатах?
б) Для вычисления теоретической вероятности появления
каждого из чисел подсчитайте отношение площади каждого
треугольника к площади восьмиугольника. Почему? Сравните таким
образом подсчитанную теоретическую вероятность с
экспериментальной.
Опыт 7
а) Возьмите две колоды карт, выньте из них валетов, дам и
королей, хорошо перетасуйте оставшиеся карты и положите их рядом.
Из каждой колоды одновременно возьмите по одной карте и
подсчитайте общую сумму очков. Повторите опыт 100 раз, каждый раз
возвращая карты в колоды и тщательно их тасуя. Составьте
таблицу частоты получения соответствующей суммы очков и
подсчитайте вероятность получения каждой из сумм.
Начертите гистограмму частот и график вероятностей.
б) Вычислите теоретические вероятности получения каждой
суммы очков, подсчитав все возможные суммы каждого из чисел
1, 2, 3, . .'., 10 с каждым из чисел 1, 2, 3, . . ., 10 (см. опытЗ).
Постройте график теоретической вероятности на графике
вероятности, полученной экспериментальным путем.
Дайте объяснение полученным результатам.
Опыт 8
Повторите опыт 7а с двумя колодами карт, но из одной из них
выньте еще и тузы, и все карты пиковой и червонной масти.
Сравните экспериментально полученные вероятности с
теоретическими вероятностями, найденными в опыте 7. Для получения
надежного результата желательно проведение большого числа
испытаний (порядка 1000 испытаний).
Опыт 9
Повторите опыт 8, но из одной колоды удалите не все карты
червонной и пиковой масти, а только шестерки, семерки,
восьмерки, девятки и десятки этих мастей.
Объясните, почему таблица на рисунке 191 позволяет
подсчитать теоретическую вероятность. Перепишите в тетрадь
таблицу, заполните ее и вычислите вероятности. Расширьте таблицу
так, чтобы в нее могли быть внесены данные по каждой из первой
и второй колод, т. е. чтобы она имела 40 X 30 входов.
Сравните теоретические вероятности каждой из таблиц.
Сравните теоретические вероятности с вероятностями,
полученными экспериментально.
233

15
ц
3
2
7
70
9
8
7
6
5
k
3
2
7
1
2
3
Ц
5
6
7
8
9
10
'
/
\
2
3
4
5
6
7
8
9
70 j
1-я колода
Рис. 191.
Так как мы определили вероятность как отношение числа
благоприятных исходов к общему числу испытаний, то мы можем,
зная вероятность события и общее число испытаний, найти число
благоприятных исходов. Так, например, теоретическая
вероятность появления герба при бросании монеты равна 0,5.
Следовательно, мы должны ожидать, что при подбрасывании монеты
100 раз в 0,5 · 100 = 50 случаях будет выпадать герб.
Эксперимент показывает, что точность предсказания увеличивается с
увеличением числа испытаний.
Упражнения
1. Бросаются две игральные кости. Какова вероятность того,
что сумма очков окажется равной 7? Предположим, что эти кости
были брошены (одновременно) 1000 раз. Во скольких случаях вы
ожидаете, что общая сумма очков будет равна 7? (Вернитесь к
опыту 3 и подсчитайте общее число случаев, когда сумма очков
будет равна 7.) Предположим, что правильно угадавший сумму
очков при бросании двух игральных костей получает приз. Какую
бы вы назвали сумму, если бы хотели выиграть приз?
2. Предположим, что цифры 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 написаны в
произвольном порядке так, что появление любой цифры имеет од-
234

ну и ту же вероятность. Чему равна эта вероятность? Проверьте,
что сумма вероятностей равна 1.
3. Конструктор прибора, предназначенного для отрезания
проволоки определенной длины, замеряет длину каждого из 200
отрезанных кусков и составляет таблицу частоты появления куска
определенной длины:
Длина в дюймах
Частота
1 ,85
1,90
3
1,95
32
2,00
68
2,05
65
2,10
28
2,15
4
Частоты записываются так для того, чтобы подчеркнуть, что
длины кусков проволоки находятся в указанных диапазонах, но
могут быть равны меньшей из указанных длин. Так, например,
из этой таблицы следует, что длина 68 кусков проволоки
находится в пределах 1,95 < L < 2,00.
Почему, по-вашему, конструктор составил таблицу таким
образом?
На основе таблицы начертите гистограмму. Как связана
вероятность с площадью гистограммы?
а) Какова вероятность того, что длина L куска проволоки,
отрезанного на этом приспособлении, будет удовлетворять
неравенству: 1,95 < 1< 2,05?
б) Какова вероятность того, что длина куска проволоки будет
удовлетворять условию 2,10 < L <; 2,15?
в) Какую гарантию может дать конструктор заказчику, условия
которого таковы: длины кусков могут быть больше или равны
1,95 дюйма, но меньше 2,05 дюйма?
г) Каково число бракованных кусков проволоки может
ожидать заказчик из общего числа в 2000 кусков, если бракованными
считаются куски, длина которых находится вне указанных в
задании (в) пределах?
д) На сколько уменьшится число бракованных кусков
проволоки, если куски длиной большей, чем 2,05 дюйма, могут быть
исправлены.
4. Начертите таблицу частот размеров ботинок учащихся
вашего класса. Магазин заказал 1000 пар ботинок для мальчиков
(или девочек) вашего возраста. Сколько ботинок каждого размера
должно было быть заказано, если считать, что полученное вами
распределение частоты справедливо и в этом случае? Какова
вероятность того, что заказчик попросит наиболее употребительный
размер? наименее употребительный размер?
5. Какова вероятность того, что из колоды карт наугад будут
вынуты подряд семь карт червонной масти? (Вынутая карта
каждый раз возвращается в колоду.) Какова вероятность того, что из
235

колоды будет вынута семерка (любой масти)? Объясните, какой
результат вы ожидаете при: а) одной попытке; б) 10 попытках; в) 100
попытках.
6. Перечислите все возможные исходы при одновременном
бросании двух монет. Какова вероятность выпадания герба? Лицевой
стороны монеты? герба и лицевой стороны? Во скольких случаях
из 500 одновременных бросаний двух монет вы рассчитываете на
появление герба и лицевой стороны монеты?
7. Перечислите все возможные случаи при одновременном
подбрасывании трех монет. Какова вероятность появления трех
гербов? двух гербов и лицевой стороны монеты? герба и двух лицевых
сторон монеты?
8. Считая, что рождение мальчика или девочки —
равновероятное событие, скажите, во скольких семьях из 1000 семей, в
каждой из которых по два ребенка, будут только девочки?
9. Взято наугад 3000 семей, в каждой из которых три ребенка.
Во скольких семьях будет: а) две девочки и один мальчик? б) два
мальчика и одна девочка?
10. Каков возможный состав семьи, состоящей из родителей и
четырех детей? Какова вероятность того, что в семье будет: а) два
мальчика и две девочки? б) три мальчика и одна девочка? в)
четыре мальчика?
11. Одновременно бросается две игральные кости. Одна из
них — куб, на гранях которого нанесены числа от 1 до 6, вторая —
правильный восьмигранник (каждая грань кости —
равносторонний треугольник), на гранях которого нанесены числа от 1 до 8.
При каждом бросании подсчитывается сумма очков на верхних
гранях костей.
Какова вероятность того, что сумма очков будет равна:
а) 7; б) 10; в) 12; г) 15?
12. Десять фишек с номерами от 1 до 10 кладутся в один мешок,
а десять других с такими же номерами — в другой.
Одновременно вынимается по одной фишке из каждого мешка.
Какова вероятность того, что сумма номеров фишек будет равна:
а) 5; б) 15; в) 11; г) 9; д) 10; е) 1?
13. Выполните задание предыдущего упражнения при условии,
что в каждом мешке находится по 11 фишек с номерами от 1 до 11.
14. Выполните задание упражнения 12 при условии, что в
каждом мешке находится по 8 фишек с номерами от 1 до 8.
15. Выполните задание упражнения 12 при условии, что в
каждом мешке находится по 9 фишек с номерами от 1 до 9.
16. Выполните задание упражнения 12 при условии, что в
каждом мешке находится по 12 фишек с номерами от 1 до 12.
17. На основе результатов, полученных при выполнении
заданий 13—18, попытайтесь вывести общий закон.
236

18. Средний приплод животных равен четырем. Появление
особей женского и мужского пола равновероятно. Каково
наиболее часто встречающееся число особей мужского пола в
приплоде?
19. а) Если считать, что в футбольном матче для команды
равновероятен выигрыш, проигрыш и ничья, то какова
вероятность ничьей?
б) Перечислите все возможные исходы двух футбольных
матчей. Какова вероятность двух ничьих?
в) Перечислите все возможные исходы трех футбольных
матчей. Какова вероятность трех ничьих?
г) На основе решения предыдущих задач попытайтесь
предсказать вероятность того, что все четыре матча закончатся вничью.
Дайте обоснование вашему заключению.
д) Каковы возможные результаты восьми матчей? Сколько из
них приводят к восьми ничьим? Какова вероятность того, что все
восемь матчей закончатся вничью?
20. а) Человек поднимается в лифте очень высокого здания.
Вероятность того, что он выйдет на некотором этаже из лифта
или останется в нем, одинакова. Какова вероятность того, что он
выйдет на определенном этаже примерно в середине здания?
б) Двое поднимаются в лифте. Какова вероятность того, что
один из них останется в лифте, если: (1) заранее указан тот, кто
должен остаться; (2) не имеет значения, кто из них останется?
в) Трое поднимаются в лифте. Какова вероятность того, что:
1) все трое останутся в лифте; 2) один человек выйдет из лифта?
г) Четверо едут в лифте. Какова вероятность того, что: 1) двое
выйдут из лифта; 2) по крайней мере двое выйдут из лифта?
Глава 37. СРАВНЕНИЯ
Введение: арифметика
часов.
Рассмотрим циферблат «часов», на
котором изображены числа от 1 до 8
(рис. 192). Мы можем ввести правило
сложения этих чисел, зная, что их у
нас только восемь: 1, 2, 3, 4, 5, 6,
7 и 8.
При сложении, например, чисел 2
и 4 «присчитаем» к числу 2 четыре
раза по единице, получим:
Рис. 192.
2 + 4 = 6.
237

Теперь, пользуясь этим способом, найдите следующие суммы:
1.1+5. 4. 5 + 3. 7. 5 + 4. 10. 8 + 4. 13. 8 + 4.
2. 3 + 4. 5. 7 + 1. 8. 3 + 6. 11. 5 + 7. 14. 7 +5.
3. 2 + 5. 6. 2 + 6. 9. 7 + 7. 12. 8 + 6. 15. 7 +8.
Каков результат прибавления числа 8 к любому числу?
Какой результат вы получите, если прибавите любое число
к числу 8?
Число 8 называется нейтральным элементом множества G8 =
={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} относительно операции сложения,
определенной выше. Почему, по-вашему, число 8 называется нейтральным
элементом? Какое число является нейтральным элементом
относительно сложения в обычной арифметике?
Для выполнения операции вычитания мы будем «отсчитывать»
от уменьшаемого соответствующее число единиц по циферблату
часов в направлении, противоположном направлению отсчета при
сложении:
5 — 3 = 2.
Выполните вычитание:
1.8 — 3. 5. 7 — 7. 9. 5 — 6. 13. 5 — 8. 16. 8 — 5.
2.7 — 4. 6.8 — 8. 10.1—3. 14.7 — 8. 17.7 — 3.
3.6 — 5. 7.4 — 5. 11.3—1. 15.8 — 7. 18.3 — 7.
4. 6 —6. 8. 4 —8. 12. 3 — 8.
19. Если α ζ G8 и b 6 G8, то а + Ь ζ G8. Верно ли это
утверждение?
20. Верно ли, что а — b 6 G8 и Ь — а £ G8, если α £ G8,
b 6 G8? "
21. Играет ли число 8 относительно операции вычитания
такую же роль, что и нейтральный элемент в обычной арифметике?
Рассмотрим теперь сумму
3 + 4 + 7.
Мы можем найти результат разными способами, например:
а) сначала найти сумму 3 + 4, а затем к полученному результату
прибавить 7. Каков будет результат?
б) Сначала найти сумму 4 + 7 и прибавить результат к 3.
Каков будет результат?
Будет ли в нашей арифметике всегда выполняться равенство
а + (Ь + с) = (а + Ь) + с?
Справедливо ли равенство
а — (Ь — с) = (а — Ь) + с
для всех значений a, b и су принадлежащих множеству G8?
Подумайте, как «арифметика часов» соответствует «алгебре
углов»?
Как наиболее быстро вычислить следующие суммы:
а) 7 + 7 + 7; б) 5 + 3 + 4 + 2 + 1; в) 7 + 6 + 7 + 5?
238

Арифметика вычетов
Арифметика часов — один из примеров раздела математики,
называемого арифметикой вычетов, мы говорим:
7 + 5 = 4 (modulo 8).
Если мы имеем дело с арифметикой по модулю 8, тогда все числа,
дающие при делении на 8 один и тот же остаток, называются
сравнимым по модулю 8. Так, числа
7, 15, 23, 31, 47, 63
при делении на 8 дают остаток 7. Они сравнимы по модулю.
Вообще,
а = Ъ (modulo m),
если числа а и Ь при делении на т дают один и тот же остаток.
В частности, т == 0 (modulo m). Каждый модуль определяет
множество целых чисел {0, 1, 2, ..., (т — 1)}, которому принадлежат
все числа, являющиеся результатом сложения и вычитания
любых чисел, целых по модулю т:
Пусть 8 = 0 (modulo m).
Мы уже знаем, что число 8 является нейтральным элементом
относительно сложения и ведет себя точно так же, как число 0 в
обычной арифметике: в арифметике модулей нейтральный элемент
относительно сложения обозначается «0»:
0 — 6 = 8 — 6 = 2 (modulo 8),
7 + 7= 14 = 6 (modulo 8).
Обычно выражение «modulo 8» записывают сокращенно: mod. 8.
Упражнения
Выполните действия:
1. 7 — 3 (mod 8). 7. 3 — 12 (mod 13).
2. 2 — 4 (mod 5). 8. 3 — 7 (mod 9).
3. 10 + 8 (mod 12). 9. 5 — 7 (mod 9).
4. 6 + 6 + 6 + 6 (mod 7). 10. 5 — 7 (mod 10).
5. 7 + 8 — 9 + 1 (mod 10). 11. 5 — 7 (mod 12).
6. 2 + 9 + 4 (mod 11). 12. 3 + 3 + 3 + 3 + 3—
__4__4__4 + 2 (mod 5).
Решите уравнения:
1. 5 = χ + 2 (mod 7). - 3. 2 + 5 = χ + 3 (mod 6).
2. 3 = χ + 4 (mod 5). 4. χ + 5 = 2χ + 6 (mod 7).
Для чисел, сравнимых по модулю, всегда выполняются
следующие правила:
239

1) если Gm = {О, 1, 2, ..., (m — 1)} и α 6 Gm, b £ Gm, то
2) a + (b + c) = {a + b) + c;
3) a + m == a, m = 0;
4) для каждого α может быть найдено такое 6, что a + 6 = 0;
5) всегда можно найти такое х, что а + χ = b\
6) а + b = b + а.
Умножение
Если а и b—целые числа из множества G т= {0, 1, 2, . . . (т—
— 1)},' тогда, вообще говоря, произведение ab будет целым числом,
не принадлежащим множеству Gm, но мы можем найти остаток
с от деления ab на т и записать:
где с ζ
Gm-
Упражнения
а) Найдите значение
1. 4
2. 3
3. 3
4. 5
5. 9
3 (mod 7).
7 (mod 8).
■ 8 (mod 9).
4 · 3 (mod 7).
9 (mod 12).
ab =
= с (mod
m),
произведений:
6.
7.
8.
9.
10.
4 · ί
10·
10 ·
20 ·
2 · >■
8 (mod 11).
10 (mod 9).
10 -10 (mod 9).
30 (mod 9).
4 (mod 6).
б) Составьте таблицы умножения целых чисел:
1) по модулю 2; 4) по модулю 5; 6) по модулю 8;
2) по модулю 3; 5) по модулю 6; 7) по модулю 12.
3) по модулю 4;
в) Пользуясь таблицами задания (б), найдите значение х>
если:
1. 2х == 1 (mod 3). 5. 2 χ == 4 (mod 12). 9. 4х = 2 (mod 8).
2. Зх = 4 (mod 5). 6. 2x = 4 (mod 8). 10. 2x = 4 (mod 5).
3. 4л; = 2 (mod 6). 7. 4x = 2 (mod 12), 11. 2x = 4 (mod 7).
4. 3x = 0 (mod 12). 8. 4x = 2 (mod 7).
Признак делимости
Так как 10я = 1 (mod 9), то любое число будет сравнимо по
модулю 9 с суммой его цифр; в самом деле,
1234 = 1000 -f 200 + 30 + 4 =
εεξ 1 Η- 2 + 3 + 4 (mod 9) =
s 1 (mod 9).
240

Таким образом, остаток от деления числа на 9 равен остатку от
деления на 9 суммы его цифр. Арифметика модулей дает нам
простой прием проверки делимости числа на 9.
Упражнения
1. Не производя деления, найдите остатки от деления на 9
следующих чисел:
а) 2341; в) 272 727; д) 47 182; ж) 31 216 781;
б) 37 139; г) 36 123; е) 59 171; з) 4 412 718.
Какие из этих чисел делятся на 9?
2. Покажите, что если N = a (mod 3), то
(сумма цифр числа N) = a (mod 3).
Проверьте, делятся ли на 3 следующие числа:
а) 12 361; б) 231 672; в) 413 217; г) 2 172 351.
3. Покажите, что если N кратно 5, то N = α (mod 5) и поэтому
число должно оканчиваться цифрой 0 или 5.
4. Покажите, что 10^ = 1 (mod 11), если N четное, и 10^ = 10
(mod 11), если N — нечетное число. Это свойство дает возможность
определить, делится ли число на 11.
Предположим, нам надо определить, делится ли на 11 число
К = 3 712 346.
Это число может быть записано как сумма двух чисел:
30 10 306 + 702 040.
При делении числа К на 11 первое слагаемое дает остаток,
равный 6 + 3 + 1 + 3, т. е. 13. Второе слагаемое дает остаток
10 (4 + 2 + 7) = 130. Отсюда
• /( = 10 χ 13 + 1 χ 13 (mod 11) =
s 11 χ 13 (mod 11) =
з0 (mod И).
Таким образом, число К делится на 11. Это правило обычно
формулируется так: число делится на 11, если разность суммы
цифр, стоящих на нечетных местах, и суммы цифр, стоящих на
четных местах, равна нулю или кратна 11.
Найдите остаток от деления на 11 каждого из следующих чисел
и установите, какие из этих чисел кратны 11:
а) 571 296; б) 312 422; в) 1 111 111;
г) 41 917 227; д) 2 191 372; е) 49 273 218.
241

Сложение
Мы говорим, что множество G вместе с определенной в нем
операцией сложения по модулю образует группу, если выполняются
следующие условия (а, 6, с, d, £ G):
1. а + b (mod m) £ Gm.
2. a + (b + c) = {a + b) + с (mod m).
3. a + 0 == a (mod m).
4. Всегда можно найти такое единственное число χ ζ Gm, что
а + χ = 0 (mod m).
Группа называется коммутативной, если
а + b ξ= b + a (mod m).
Образует ли множество целых чисел {. . ., —2, — 1, 0, 1, ...}
группу относительно операции сложения? Образует ли
множество целых чисел {0, 1, 2, ...} группу относительно операции
сложения? Какие условия в этом случае не выполняются?
Умножение
Исключив из множества Gm нуль, получим новое множество G'm.
Образует ли множество G' т группу относительно операции
умножения?
2. a (be) ~ (ab) с (mod m).
3. а · 1 == a (mod m).
Эти три условия аналогичны первым трем условиям,
определяющим группу относительно сложения.
Но всегда ли можно найти такое единственное число χ f C'm,
чтобы для каждого α ζ G'm ax ~ 1 (mod m)?
Из таблицы умножения вы можете увидеть, что*ответ на этот
вопрос утвердительный, если модуль т равен 3, 5, 7, . . ., и
отрицательный, если модуль т равен 4, 6, 8, 12, . . .
Вообще, ответ на этот вопрос будет «да», если т — простое
число, и «нет», если т — число составное.
Таким образом, если т — простое число, то множество G'm
с операцией умножения по модулю т образуют группу; если т —
число составное, то множество G'т относительно операции
умножения по модулю т группы не образует.
Образует ли множество целых чисел, которому не
принадлежит нуль, группу относительно умножения?
242

Циклические подгруппы
(не обязательный материал)
1. Рассмотрим множества G5 = {0, 1, 2, 3, 4} и G'5 = { 1, 2,
3, 4} и натуральные степени каждого из этих элементов.
22 = 4, 23 = 3, 24 = 1, 25 = 2, ..., (mod 5).
Множество G'5 образовано степенями числа 2.
З2 = 4, З3 ^2; З4 ^ 1, . . ., (mod 5).
Множество G'5 образовано степенями числа 3.
42 = 1, 43 = 4, 44 = 16 » 1, 45 = 4, . . ., (mod 5).
Степени числа 4 образуют множество {1, 4}, которое
является подмножеством множества G'5.
Подмножества, образуемые степенями элемента некоторого
множества, образуют группу относительно операции умножения
по модулю т. Это подмножество называется циклической
подгруппой, порожденной данным элементом. Множество {1,4} —
циклическая подгруппа
X
1
4
1 4
1 4
4 1
Покажите, что таблица умножения подчиняется условиям,
установленным для групп относительно умножения по модулю 5.
Число элементов в группе называют порядком группы.
Порядок группы Gg равен четырем. Множество чисел 4" (mod 5)
содержит два элемента. Множество чисел Зп (mod 5) содержит четыре
элемента.
2. Рассмотрим множество G7 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Запишите
множество G'7. Запишите множества:
2п (mod 7); 3" (mod 7); 4я (mod 7);
5" (mod 7); 6" (mod 7).
Покажите, что каждое из этих множеств является
подмножеством множества G'7 и что порядки таким образом
образованных циклических подгрупп являются множителями числа 6.
Найдите значения:
I6 (mod 7); 26 (mod 7); З6 (mod 7); 4* (mod 7);
56 (mod 7); 6« (mod 7).
3. Найдите циклические подгруппы множества G'n и
покажите, что для каждого α ζ G'n: 1) α10 ξξ= 1 (mod 11); 2) порядок
подгруппы, образованный а, является множителем числа 10.
243

Найденные нами результаты приводят к следующему выводу:
если число ρ простое и α ζ G'py тогда а р~х = 1 (mod ρ) и ап (mod p)
является циклической подгруппой порядка k\ k — делитель
числа ρ — 1 и ak == 1 (mod p).
Приложение
Рассмотрим разложение дроби — , ρ ζ G', в десятичную
Ρ р
дробь.
ΙΟ''-1 = 1 (mod p).
Таким образом, если мы произведем деление на ρ, ρ—1 раз,
то цифры в десятичном разложении дроби — будут повторяться.
Ρ
Число 10 образует циклическую подгруппу G порядка, скажем,
k и 10* = 1 (mod p).
Отсюда цифры в разложении будут повторяться группами по
k цифр в каждой (период периодической дроби). Например:
а) —;' 101 = 1 (mod 3), поэтому в десятичном разложении
ό
числа — будет только одна повторяющаяся цифра;
ό
<■■
101 = 3 (mod 7); 104= 60 = 4 (mod 7);
Ю2 = 30 = 2 (mod 7); 105= 40 = 5 (mod 7);
Ю3 = 20 = 6 (mod 7); 10е = 50 = 1 (mod 7).
Следовательно, десятичное представление дроби — будет
содержать повторяющиеся группы из шести цифр;
в) J-; 10* = 26 (mod 37); 103 - 1 (mod 37).
Отсюда период десятичного разложения дроби — содержит три
цифры.
Упражнения
Найти периоды десятичного разложения следующих дробей:
,.±. 2.1. 3.-L. 4.1.
11 13 101 17
Приложение к геометрии
1. Мы представляли точку как упорядоченную пару чисел
(х, у). Предположим, что χ — целое, а у ζ G5, т. е. множество
значений у конечно. Покажите, как это может быть интерпрети-
244

ровано на цилиндре, изготовленном из проволочной сетки с
квадратными ячейками.
Что будет собой представлять множество точек (х, у)
{(х, у)\х — целое, у ζ G5, x = у}?
Как бы вы изменили условия, которым должны удовлетворять
значения χ и у с тем, чтобы точки (х, у) образовали поверхность
цилиндра?
2. Сколько точек (х, у) вы можете найти, если χ ζ G3 и у ζ
ζ G3? Отметьте их на нанесенной на клетчатой бумаге сетке 3χ3.
Как бы вы поступили, если вам нужно было бы представить
пространственный образ, определяемый этими точками?
Прямая определяется как множество точек {(х, тх + с)}\
сколько прямых вида {(х, тх)} вы можете начертить на бумаге?
Сколько прямых вида {(х, тх + с) с > 0} вы можете построить?
3. Выполните упражнение 2 для случая, когда χ ζ Gs и
У 6 G5.
4. Опишите поверхность, которой принадлежат точки (х, у),
если χ ζ G3 и у £ G5. Сколько существует таких поверхностей?
5. Как бы вы задали точку, принадлежащую сфере?
Глава 38. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ
Пусть два числа χ и у связаны двумя уравнениями:
2χ + у = 5;
χ + у = 3.
О)
(2)
Угадайте, при каких значениях χ и у каждое из уравнений
обращается в верное равенство?
Найдем теперь способ реЬения этих уравнений и определим
значения χ и у, одновременно обращающие уравнения в верные
равенства, иными словами, найдем способ решения системы уравнений.
На небольших листках бумаги напишите: х, у, 1. Каждая
надпись должна быть сделана на отдельном листке. Положите
листки так, как это показано на таблице:
(2)
О) I И 1*1| 1у1 II Ш Ш Ш Ш 1М| *х + у= 5
И 171 1И ΙΗ μΐ
χ + y-
Если мы уберем по одному листку χ и у из строки (1), то, как
следует из уравнения (2), мы должны бы убрать из этой строки
и три листка 1: χ + у = 3. Тогда таблица может быть продолже-
245

на так (в правой части таблицы дано символическое описание
уравнений с помощью листков бумаги, в левой части — описание
того, что мы делаем с уравнениями):
(3) = (1) -(2)
(4) = (2)
(3)
(5) = (4) - (3)
§
И Μ
Щ '
и\
ш ш
Ш Щ Щ
Ш Ш
ΰΐ
х= 2
х + У= 3
х= 2
Таким образом, решением системы уравнений будет:
χ = 2 и у = 1.
Убедитесь^ подставляя значения χ и ~у в уравнения (1) и
(2), что найденное вами решение верное.
Теперь попробуйте проследить, что, собственно,
происходило при решении системы уравнений:
О)
(2)
W Μ
W
W
ЕМ
Ιει
W
l_vl
Ш
\У\ \У\
ш
ы
ш щ
\У\\
щ
ы
ш г
\\Т\ Г
1! 1 L
1пт г
] L
.
ш
И 111 111 111
] Ш
0 Ш
.|
2х + Зу = 5
л: + 2_у = 3
* + .у= 2
а; + 2у = 3
а: + ^/= 2
,у= ι
л:= 1
у=\
Проверьте, является ли χ = 1 и у=1 решением заданной
системы.
Упражнения
Решите указанным выше методом, записывая каждый из
этапов решения, следующие системы уравнений:
1. (х + 2у= 6;
\х + у = 4.
2. (2х + Зу = 7;
\jc + 2у = 4.
3. }3х + 2у = 7;
\2* + у = 4.
4. |3jc + у = 6;
\х + у = 4.
246

Рассмотрим систему:
| 2х + у = 7;
\ χ + 2у = 5.
(1)
(2)
Представим ее в виде:
О)
(2)
1*1 1*1
1*1
\У\
Ы \У\
1И 1М 1М
1 111 1М Ш
III HI HI HI
HI 111
2x + у = 7
χ + 2y = 5
Нам нужно вычесть (2) из (1), но число листков с надписью
у в уравнении (1) меньше, чем число листков с той же надписью
в уравнении (2).
Мы знаем, что у — 2у = —у. Поэтому поступим так: на
обратной стороне листка с надписью у напишем —у. Операция
вычитания у нас всегда будет соответствовать перевороту листка,
на обратной стороне которого записано выражение,
противоположное выражению, записанному на его лицевой стороне.
(3) = (1) - (2)
(4) = (2)
1*1
>У\
\У\ \У\
HI
HI HI HI HI ΠΙ
χ— y= 2
χ + 2y = 5
Примечание. При вычитании (3) из (4) мы, помня, что
— (— У) — У, переворачиваем листок с надписью —у, на обороте
листка написано у
(5) = (3)
(6) = (4) - (3)
1*1
I-.VI
\у\ \у\ \у\
HI IH
1U Ш
х— у= 2
3_у= 3
Из (6) следует, что у равен 1, поэтому
(7) = (5)
(8) = (6) : 3
-У\
\У\
ϊϊι
χ —у = 2
У= 1
Теперь сложим (3) и (8)
(9) = (3) + (8)
(10) = (8)
If!
, помня,
ш
что- у — у
ш ш ш
ш
= 0:
х= 3
у=1
Проверьте, удовлетворяют ли значения χ = 3 и у
уравнениям.
1 данным
247

Мы могли бы решить систему и следующим образом:
О)
(2)
(3) = (1) + (2)
(4) = (2)
(5) = (3) : 3
(6) = (4)
(7) = (5)
(8) = (6) _ (5)
(9) = (7) _ (8)
(10) = (8)
ни
й
\х\ \х\ \х\
и
и
й
§
й
\£\
\У\ \У\ \
\У\ Ы\У\
\У\ \У\
Ь>\\
l3iUl
SI
\~У\
\у\
IM |1| Ι' 1М |1| Ц| Ш
1М IU IM 14 41
||i| IM HI IM |1| Щ IM
IM IM Ml IM IH
|[i| IM HI IM Ш
шшягш
|шшщщ щ
ШШШШ
Ш
1ШШШ
1ш
2х + у=7
х+ 2у = 5
Зх+3у= 12
* + 2у = 5
х + у= 4
х+2у= 5
х-\- у= 4
j/= 1
| х= 3
у=\_
Теперь рассмотрим систему
2х — у
х + У
= 5;
= 4.
Решение.
(1)
(2)
(3) = (1) + (2)
(4) = (2)
(5) = (3) : 3
(6) = (4)
(7) = (5)
(8) = (6) - (5)
μ| μι
й
S
й
й
й
l-vl 1
\У\\
171
ш!
\У\\
IM IM IM IM IM
1 шшшш
шшшшшшшшш
1шшшш
1ШШШ
1шшшш
шшш
й
2х—у= 5
х + у= 4
Зх= 9
х + у= 4
х= 3
х + у= 4
л;= 3
У=1
248

Упражнения
Решите следующие системы уравнений, символически
записывая каждый этап решения:
1. (Зх + 2у = 5; 3. (х + у = 2; 5. (Зх + у = 10;
\ х + Зу = 4. \х — у = 1. \ х —2у = 1.
2. (2х + у = 6; 4. (х + 2у = 6; 6. /2л: — у = 5;
\* + Зу = 8. \х — у = 0. · \х —2у=1.
Следует заметить, что часто этот метод решения систем
уравнений трудно осуществим. В самом деле, пусть нам дана система:
Пример 1.
20л; + Зу = 63;
13х + 2у = 41.
При ее решении пришлось бы использовать большое число
листков бумаги. Поэтому вместо листков бумаги мы будем
записывать в таблице их число:
(1)
(2)
(3) = (1) - (2)
(4) = (2)
(5) = (3)
(6) = (4) _ 2 . (3)
(7) = (5) + 7 . (6)
(8) = - (6)
X
20
13
7
13
7
—1
0
+ 1
У
3
2
1
2
1 '
0
1
0
N
63
41
22
41
22
—3
* 1
+3
Символическая запись
20л; + Зу = 63
13х+2у=41
• I
7 χ + у = 22
13х+2у=41
7х + у=22
—χ = 3
*= 3
Решение, χ = 3; у = 1.
Пример 2.
Зх + 2у = 90;
5χ + Зу = 140.
249

(1)
(2)
(3) = (1)
(4) = (2) - (1)
(5) = (3) - 2 · (4)
(6) = (4)
(7) = - (5)
(8) = (6) + 2 · 5
χ
3
5
3
2
—1
2
1
0
У
2
3
2
1
0
1
0
1
Ν
90
140
90
50
— 10
50
10
30
Символическая запись
За; + 2у= 90
5а; + Зу= 140
Зх + 2у = 90
2а; + у = 50
—д: = —10
2а; + у = 50
χ = Ю
у - 30
Решение: χ =
Упражнения
Решите системы:
1. (2* + у= 11;
1 * + у = 7 .
2. (Зх + 2у = 10;
\ χ + 2у = 6.
3. (5х — у = 17;
\4дс + у = 19.
4. {Зх + 4у= 21;
\3х + у = 15.
5. {Зх + 2у = 34;
\2x + y = 21.
10;
6.
7.
8.
9.
10.
у = 30.
(7х — 8у = 12;
\5д: — 7у = 6.
\2х + у = 5;
t х + у = 2.
<3х + 2у = 5;
|д: + 2у = —1.
\Ъх — у = 17;
|4х — у = 14.
|* + у = 3;
\х — у = 7.
11.
12.
13.
14.
15.
ί5χ + 6 у= 38;
\6х + 5у = 39.
J* + у = 5;
\х — у = 2.
1х + 2у = 4;
\х — у = 3.
|3ж + 2у = 6;
I д: + 2у = 3.
/Зж + 4у = 3;
\3х + у = 4.
Иногда мы можем упростить некоторые из рассуждений.
Например, решая систему
(Зх + 2у = 6;
\ χ + 2у = 3,
мы замечаем, что оба ее уравнения содержат член 2у, вычитая
почленно, получим:
2х = 3;
3
X = —.
2
Для нахождения у подставим значение χ во второе уравнение:
-| + 2у = 3; 2у = -1; у = ±.
250

Проверку делаем по первому уравнению. (Почему мы не используем
первое уравнение?)
Скажите, какие из приведенных выше систем могут быть так
решены?
Метод подстановки
Иногда встречаются системы, аналогичные приведенным ниже:
\Ъх + 8у = 23; (1)
у = QX _ 17. (2)
Во втором уравнении у выражен через х. Мы могли бы,
конечно, записать уравнения в виде
5х + 8у = 23;
_6х + у = —17
и затем решить систему так, как мы решали системы раньше. Но
можно поступить и иначе: подставим в уравнение (1) вместо у
равное ему выражение 6* — 17;
5х + 8(6х — 17) = 23;
Ъх + 48 — 136 = 23;
53л; = 159; χ = 3.
Подставляя значение χ в уравнение (2), получим:
у = 6 · 3 — 17 = 18 — 17 = 1.
Для проверки подставляем значения χ = 3 и у = 1 в первое
уравнение. Почему не во второе уравнение?
Упражнения
Решите методом подстановки:
1. (Зх + 4у = 7; 3. (2х + 7у = 7;
[у = Зх — 2. \х = 5у — 5.
2. /6jc — 5у = 3; 4. |5у — 7* = 13;
\у = Зл: — 6. \у = Зх + 1.
Решения уравнений, содержащих дроби
Примеры.
l-jf+У-З;
251

0)
(2)
(3) = 2 · (1)
(4) = (2)
(5) = (3)
(6) = (4) - (3)
(7) = (5)
(8)= (6): (-γ)
(9) = (7) - 2 . (8)
(Ю) = (8)
χ
1
2
1
1
1
1
0
1
0
1
0
У
1
1
2
2
1
2
2
3
2
2
1
0
1
Ν Ι
3
5
6
5
6
-И
6
2
3
2
3
2.
3 , 7
— х -\—у = —;
4 2^ 4
* з'
У = τ
1
—
5
л:
1
—
4
V =
3
—.
10
1 О)
(2)
(3) = (1): |-
(4) = (2): j
(Б)-(З)
(6) = (4)-(3)
(7) = (5)
23
(8) = (6) :-f2-
(9) = (7) ~ у (8)
(10)= (8)
X
3
4
1
5
1
1
1
0
1
0
1
0
У
1
2
1
4
1 4 2
2 ' 3 ^ 3
4
"" 5
2
3
5 2 23
4 3~ 12
2
3
1
0
1
N
7
4
3
10
7 4 7
4*3-3
3 5 3
10 * 1 - 2
7
3
3 7 5
2 — 3 6
7
3
5 —12 10
~~ 6 ' 23 =23
7 2 10 161—20 141
3 3 ' 23~ 69 " 69
10
23 |
252

Упражнения
1.
f + V-3;
χ +1-5.
1 χ + 2у = 7.
3.
л: = —;
69
4. (Λ + Ζ:
13 2
{ 3 2
5. f * , .У .
3 2"
Ι 4л:
т—У =
Ι 3 2
ji._2. -
[ 3 2
У =
= 4;
= 5.
= 3;
= 0.
= 5;
= 1.
23'
7.
8.
9. Ι
<
I 3 2
[23
Ι 3 2
Ι * у .
Ι 3 2
3 4
- + ^ =
5 2
1
" 3 '
1
~ 2 '
2
" з;
1
6
= 4;
= 1.
Задачи
1. Температура в F° no Фаренгейту переводится в температуру
С° по Цельсию по формуле С = aF + b\ 32° F соответствует 0° С,
212° F соответствует 100° С. Определить постоянные а и Ъ.
2. После выставления оценок на экзамене по истории
оказалось, что наивысшая оценка 45 баллов, а низшая 25 баллов.
Учитель решил пересчитать все оценки по формуле
N = аМ + Ь,
где Μ — число баллов в старой системе оценок, N — число
баллов в новой системе оценок, так чтобы наивысшая оценка стала
80 баллов, а наинизшая 40 баллов. Найдите значения а и Ь.
3. Возраст мальчика в годах равен утроенному возрасту его
собаки в месяцах. Через год возраст собаки в месяцах будет на
1 больше, чем возраст мальчика в годах. Сколько лет мальчику
сейчас?
4. Разорившийся фермер объяснил кредиторам свои операции
по покупке и продаже следующим образом: «Я потратил 890 фунтов
на покупку коров, по 80 фунтов каждая, и овец, по 6 фунтов
каждая, но затем я вынужден был их продать на следующей
неделе за 805 фунтов. Каждая корова была продана за 70 фунтов,
а овца за 7 фунтов». Сколько было куплено коров и овец?
253

5. Отец собирает монеты в 6 и 3 пенсов и знает, сколько монет в
3 и 6 пенсов (отдельно) у него имеется. Мать сказала, что она взяла
из этих денег 8 монет и оплатила ими счет в 3 шиллинга 3 пенса.
Сколько монет каждого достоинства она взяла?
6. Периметр прямоугольника равен 56 см. Напишите формулу для
вычисления периметра, если ширина прямоугольника равна L см,
а длина В см. Какова его площадь? Запишите формулу для
вычисления площади прямоугольника, полученного из данного при
уменьшении его площади на 12 кв. см. Каково будет выражение для
определения площади прямоугольника, если это уменьшение
площади произошло в результате увеличения длины на 2 см и
уменьшения ширины на 2 см? Найдите длину и ширину данного
прямоугольника.
7. Лебедка поднимает груз в L кг, если вес противовеса на
рычаге составляет W кг; L и Ψ связаны уравнением
L = aW + Ь.
Найдите α и 6, если при L = 20; W= 5 и при L = 30; W= 10.
з
8. Сумма двух весов L и Μ равна 20 кг; известно, что Μ = — L.
5
Найдите L и Μ в кг.
9. Рассеянный профессор так описывал свою поездку: «Помню,
что между пунктами А и В я ехал со средней скоростью 30 км
в час, а между пунктами В и С со средней скоростью 20 км в час.
Весь путь от А до С, составляющий 20 км, я проехал за 50 мин. Но
я совершенно не помню расстояний между пунктами А и В и
пунктами В и С. Можете ли вы помочь профессору?
10. На одной фабрике производятся части для двух машин
моделей А и В, а на второй фабрике производится сборка этих
машин. Детали машины модели А изготовляются на первой фабрике
в течение 10 ч, детали машины модели В за Ъч. На второй фабрике
модель А собирается за 5 ч, а модель В за 10 ч. Каждая из этих
фабрик на эту работу затрачивает по 30 ч в неделю. Сколько машин
каждой модели производится в течение недели?
Решение уравнений с коэффициентами,
выраженными в десятичных дробях
На практике мы часто встречаемся с уравнениями,
коэффициенты которых выражены в десятичных дробях. В этих случаях
логарифмическая линейка значительно упрощает вычисления.
Пример 1.
1,35х + 2,98у = 4,71;
3,71* + 1,84у = 9,23.
254

(1)
(2)
(3) = (1) : 1 ,35
(4)= (2): 3,71
(5) = (3)
(6) = (4) - (3)
(7) = (5)
(8)= (6):-1,75
(9) = (7)
(10) = (8) · 2,20
(11) =(9) -(10)
(12) =(8)
χ
1,35
3,71
1
1
1
0
1
0
1
0
1
0
У
2,98
1,84
2,20
0,45
2,20
-1,75
2,20
1
2,20
2,20
0
1
Ν
4,71
9,23
3,48
2,48 j
3,48
—1 ,00
3,48
0,57
3,48
1,25
2,23
0,57
Решение, х = 2,23; у = 0,57.
Проверка (на логарифмической линейке):
1,35 - 2,23 = 3,01; 3,71 - 2,23 = 8,26;
2,98 - 0,57 = 1,70; 1,84 - 0,57 = 1,05;
1,35* + 2,98у = 4,71; 3,71* + 1,84у = 9,31.
Легко видеть, что результат проверки второго уравнения не
совсем согласуется с заданным уравнением. Ошибка возникает в
результате ошибок округления при вычислении на логарифмической
линейке. Для уменьшения ошибки используют пятизначные и
семизначные таблицы логарифмов, вычислительные машины. Но нужно
помнить, что ответ не может быть более точен, чем исходные
приближенные данные. Поэтому ответы, полученные в результате
решения систем уравнений с приближенными коэффициентами,
должны быть, если это нужно, округлены.
Пример 2.
2,95х —4,18у = 3,12;
3,41* + 2,91у = 5,67.
255

χ
2,95
3,41
1
1
1
0
1
0
1
0
1
0
У
—4,18
2,91
—1,43
0,94
—1,43
—2,37
—1,43
1
—1,43
—1 ,43
0
1
Ν
3,12
5,67
1,06
1,66
1,06
—0,60
1,06
0,25
1,06
—0,36
1,42
0,25
I
Запишите решение системы.
Сделайте проверку.
Упражнения
1. /1,7* + 3,5у = 7,2;
\2,6х + 9,1у = 6,3.
2. j8Jx + 2,ly = 8,3;
\2,7х+ 1,9у = 4,2.
5,8л; — 4,3у = 2,7;
2,9* + 3,8у = 5,8.
|4,2х-3,7у = 2,1;
\9,1х— 1,2у = 5,3.
Задачи
1. В эксперименте по нахождению абсолютного нуля объем
некоторого количества газа поддерживается постоянным, а
температура газа меняется. Замеры температуры и давления газа проводятся
одновременно. Предполагается, что температура и давление
связаны следующей формулой:
Τ = аР + Ь.
При Τ = 20° С Ρ = 30,8 см рт. ст.,
при Τ = 80° С Ρ = 37,1 см рт. ст.
Найдите значения а и Ь. Чему равна температура при давлении,
равном нулю?
256

2. Кусок провода подвешен вертикально. При нагрузке
свободного конца провода некоторым весом провод растягивается.
Увеличение длины провода называется его удлинением. Вес груза W
и удлинение Ε связаны законом:
Ε = aW + b.
Определите постоянные α и 6, если при весе W = 8 кг Ε = 1 см
и при W = 24 кг Ε = 4,1 еж. На сколько удлинится провод под
действием своего собственного веса?
3. В эксперименте по определению постоянных в формуле
у = ах + Ь
было найдено, что при у — 1,63 χ = 2,71 и при у = 4,71 χ — 3,81.
Определите а и 6.
4. Мальчика послали купить — фунта чаю и 1 фунт кофе, общая
стоимость покупки составляет 9 шиллингов 10 пенсов. По ошибке
мальчик купил 1 фунт чаю и — фунта кофе и заплатил за все 9
шиллингов 2 пенса. Обозначьте стоимость фунта чая через χ и фунта
кофе через у и выразите условие задачи в виде системы двух
уравнений, а затем найдите цену чая и кофе.
5. Числа лет Джона и Джека относятся как 15 : 8, через десять
лет отношение их лет станет равным 5 : 3. Сколько лет Джону и
Джеку сейчас?
6. В книжном магазине дешевое издание книги стоило 2
шиллинга, обычное издание 3 шиллинга 6 пенсов, а иллюстрированное
издание 6 шиллингов. Было продано всего 215 экземпляров этой
книги на сумму 32 фунта 6 шиллингов 6 пенсов, причем иллюстри-
1
рованные издания составляли — от числа книг дешевого издания.
ό
Сколько экземпляров каждого из изданий было продано?
7. Плата за электроэнергию состоит из некоторой постоянной
суммы в а шиллингов и суммы в Ъ пенсов, зависящей от числа
установок. При расходе электроэнергии в 100 единиц плата за
электроэнергию составляет 11 шиллингов 3 пенса, если же израсходовать
240 единиц, то общая сумма составит 1 фунт. Найдите а и Ь.
Глава 39. ВЕКТОРЫ, ОТНОШЕНИЕ, ИНЦИДЕНТНОСТЬ
—> -*-
Если А и В — две точки прямой АВ и вектор АВ = а, то
вектор 2а параллелен вектору АВ (или а). Если АС = 2а, то вектор
АС лежит на прямой АВ и АВ = ВС.
9 Заказ № 736 257

Вообще, если k —число, то ka — вектор, параллельный вектору
а. Следовательно, если ka = hb, то мы можем заключить, что вектор
а параллелен вектору 6. А если вектор а не параллелен вектору 6?
Тогда векторы ka и hb равны только в случае, если каждый из них
равен нулю; таким образом, из условий ka= hb и а Ц. b следует, что
k = О и h = 0.
Теорема. Если ka = hb, то:
1) или вектор а параллелен вектору Ь;
2) или k = 0, h = 0.
Пример 1.
На рисунке 193 ВС
Тогда В А —а — Ь,
§д=±-(а- Ь),-
Отсюда
ОС= Ь +
СА, OD = DB, ОА = а, ОВ = 6.
-L (а — Ь) = !"£—±"£.
2 2 2
ОС = ЛОС,
OD = — 6,
2
AD = -i- & — а,
2
ЛЪ = * ad,
OG = ОЛ+ i4G,
hOC = a+ kAD;
h(-La + ±b) = a + k (-1 6 - α),
β (-1. ft + k - 1)
1
1
h
Рис. 193.
Рис. 194.
258

Так как векторы а и Ь имеют разное направление, это равенство
справедливо только в случае, если
-Lft + k - ι = о (1)
И
J_ k — J- ft - 0. (2)
2 2 W
Из (2) ft = ft, таким образом, — Л + ft — 1=0,
jiiL = ι ь — 2 — a,
2 3
Отсюда OG = — ОС и Л(Г=— Л/λ
3 3
Теорема дает нам способ нахождения отношения отрезков.
Пример 2.
Точки Еу F являются серединами сторон АС и СВ
параллелограмма ОАСВ (рис. 194). Требуется найти отношения —- и —.
Обозначим: ОА = а, ОВ = Ь.
Тогда ВС = а, ЛС = £ ДР = -а, АЕ = —6, CF = — 1 ^
2 2 2
OF = a + —by AF = AC+CF = 6* £
2 2
OD = kOE, AD = hAF.
Отсюда OD = * (α -f — b) = ОА + AD = α + ft(6 - α).
ft (α+-6) = α + ft(6 — 1 α);
a(k + — h— l)=6(ft— — ft).
Так как векторы α и 6 не параллельны, то
ft+ -±-А-1 =0, (1)
ft — -i- ft = 0. (2)
2
Из (2) ft = 2ft, и поэтому 2ft + — ft — 1 = 0=Ф
2 5
ft = 2ft = -i .
259

Итак 0D = --0Е, °D 4
5 DE 1
DF 3
ЛЬ = 2 л* л/) 2
1. Пусть отрезки BG и О А на рисунке 193 пересекаются в точке Ε
u о BG ОЕ т,
Найдите отношения — и —. Из этого сделайте вывод относительно
GE ЕЛ
медиан треугольника.
2. Четырехугольник О ABC — параллелограмм. Точки Ε и F,
принадлежащие отрезкам АС и СВ, соответственно, таковы, что
АЕ=2ЕС и CF= 2FB. Отрезки AF и ОЕ пересекаются в точке D.
тт о OD AD
Найдите отношения — и —.
ОЕ AF
3. В трапеции О ABC АВ = 2а и ОС = а. Отрезки АС и ОВ
пересекаются в точке D. Найдите отношения — и —.
DB DC
4. В трапеции ОЛБС АВ = а, ОС = 2а, О А = 6. Точки Я и
У7 — середины отрезков АВ и БС. (а) Найдите отношение, в котором
отрезок ОЕ делит отрезок Л С. (б) Найдите отношение, в котором
отрезок OF делит отрезок АС. (в) В каком отношении отрезок ЕС
делит отрезок AF? отрезок AF делит отрезок ЕС?
5. Найдите отношения, указанные в предыдущей задаче, при
условии, что АЕ = 2ЕВ.
6. В четырехугольнике О ABC ОА = 2СВ = а. Точка F
является серединой отрезка АВ, отрезки CF и ОВ пересекаются в точ-
η π u CD
ке D. Найдите отношение —.
DF
7. В треугольнике ABC точка Ρ является серединой отрезка ВС
и принадлежащая отрезку С А точка Q такова, что CQ = 2QA.
Отрезки АР и BQ пересекаются в точке О. (а) Найдите: (I) отношение
АО : ОР; (II) отношение ВО : OQ. (б) Найдите отношение AR : RB
при условии, что отрезки СО и АВ пересекаются в точке R. (в)
Найдите значение произведения
БР CQ AR
рс' qa' rb'
8. В треугольнике ABC точка Ρ лежит на отрезке ВС и точка
Q — на отрезке Л С, причем БР = 2РС, 2CQ - QA Отрезки ЛР
и BQ пересекаются в точке О. (а) Найдите: (I) отношение АО : 0Р\
(II) отношение 50 : 0Q. (б) Найдите отношение AR : /?β при ус-
260

ловии, что отрезки СО и АВ
пересекаются в точке R. (в) Найдите
значение произведения
ВР CQ AR
PC' QA* RB'
9. Прямая PQR пересекает
стороны АВ, АС и ВС треугольника Рис. 195.
ABC (или их продолжения) в точках
Р, Q и R, соответственно; АР = РВ, AQ = 2АС. Найдите
отношение BR : RC. Найдите также значение произведения
АР BR CQ
Ρ в' Re' QA'
10. Прямая PQR пересекает стороны треугольника ABC (или
их продолжения) в точках Р, Q и R; АР = 2РВ, 2AQ = ЗАС.
Найдите отношение BR : RC. Найдите значение произведения
АР BR CQ
РВ' RC' QA'
11. В четырехугольнике О ABC ОА = а, ОВ = Ь, ОС = с\
а) Найдите положение вектора ОС, где точка С — центр
тяжести треугольника ОАВ.
б) Найдите положение вектора 00', где точка О' — центр
тяжести треугольника ABC.
в) Найдите отношения CG : GC, OG : 00', если точка G
является точкой пересечения отрезков СС и 00'.
г) Покажите, что отрезки, соединяющие центры тяжести
каждой из граней и противоположную этой грани вершину,
пересекаются в точке, делящей все отрезки в одном и том же отношении.
12. На рисунке 195 ОА = а, ОС = 2а, ОВ =6, СЮ = 36.
Найдите отношения Л Ρ : PD, В Ρ : PC
13. Точки Μ и jV—середины сторон АВ и CD
параллелограмма ABCD. Найдите отношения, в которых отрезки DM и ВЫ
делятся диагональю АС. Найдите также отношение трех отрезков,
образованных на диагонали АС.
14. Сторона АВ параллелограмма ABCD делится точкой Μ
так, что AM = 2ВМ. Найдите отношение, в котором диагональ АС
делит отрезок DM. Найдите также отношение, в котором отрезок
DM делит диагональ АС. Является ли отношение, полученное в
задаче 13, частным случаем найденного вами отношения?
15. Прямая, параллельная основанию треугольника, отсекает
от него трапецию. Докажите, что прямая, проходящая через
вершину треугольника и точку пересечения диагоналей трапеции,
проходит через середину основания треугольника.
261

Глава 40. ТАНГЕНС УГЛА
Касательная к окружности единичного радиуса с центром в
точке О пересекает ось Ох в точке Τ (рис. 196):
ХР = sin θ, ΟΧ = cos θ.
Длина отрезка РТ называется тангенсом угла, мы пишем: РТ=
= tg θ. Когда θ = 0°, точка Ρ совпадает с точкой Л, и так как
касательная к окружности пересекает ось Ох в точке Л, то tg 0° = 0
(помните, что касательная к окружности в данной точке
перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания).
С увеличением угла θ точка Τ скользит вдоль оси Ох так, что
длина отрезка РТ касательной увеличивается. Когда точка Ρ
совпадает с точкой Б, длина отрезка Ρ Τ становится бесконечной.
Начертите окружность единичного радиуса и отметьте на ней
положение точки Ρ для θ = 0°, 15°, 30°, 45°, 60°, 75°, 90°.
Начертите касательную РГдля каждого угла и измерьте ее. Начертите
график tg θ для 0° < θ < 90°. Мы можем найти величину тангенса
углов, как угодно близких к 90°, однако мы не можем найти значение
тангенса угла, равного 90°, tg 90° не существует.
Если мы согласимся считать направление РТ положительным,
как это показано на рисунке 196, а направление PS —
отрицательным, то при 90° < θ < 180° значение tg θ будет отрицательным.
Учитывая это соглашение и уже полученные данные, начертите
график у = tg θ для 0° < θ < 180°. Справа от отметки 90°, т. е.
когда угол θ немного больше 90°, значение тангенса отрицательно
и очень велико по абсолютной величине. Для углов, близких к 90°,
но меньших 90°, значение тангенса положительно и очень велико
по абсолютной величине. Точка θ = 90° является, таким образом,
точкой разрыва. На графике разрыв функции при θ = 90°
показывается вертикальной штриховой прямой (эта прямая в данном
случае является асимптотой). Теперь постройте график у = tg Θ для
0° < θ < 360° (проведите штриховые вертикальные линии в
точках разрыва). На этом же
графике начертите графики у = cos θ и
у = sin θ. Укажите особенности
всех трех графиков.
Рассмотрим теперь окружность
радиуса г; при θ = 0° касательная
к окружности, проходящая через
точку /?, пересечет ось Ох в точке
Q (рис. 197),
OR = r, /?Q = rtg θ,
ι α #Q · η RQ {л OR
tg θ = — , sin θ = — , cos θ = — ,
6 OR OQ OQ
Рис. 196.
262

ια RQ RQ
отсюда tg9 = ^ = ^
OR _ sinO
OQ ~~ cos θ *
Значения тангенсов углов приведены в таблице.
Примеры.
На рисунке 198
tg25°
X
То'
отсюда χ = 10 · tg 25° = 10 - 0,4663 = 4,663 « 4,66 (три
значащие цифры). Эта модель может быть использована для
нахождения высоты некоторой точки F на стене BF, если известны (или
можно измерить) расстояние от точки О до основания стены и ZL FOB.
Эта модель может быть использована для измерения высоты Солнца
по длине тени, отбрасываемой шестом. В этом случае мы измеряем
FB
высоту шеста BF и длину тени ВО. Отношение — является тан-
ов
генсом высоты Солнца (высота Солнца, Z_ FOB, измеряется в
градусах).
i
Упражнения
1. В прямоугольном треугольнике ABC Ζ- Β = 90б, АВ = 10,
Ζ. А =- 30°. Найдите сторону ВС.
2. Приведенная ниже таблица составлена для прямоугольных
треугольников ABC. Перепишите таблицу и заполните пропуски
(при вычислениях, где это нужно, пользуйтесь логарифмической
линейкой):
I АВ
1 ВС
1 А
1 в
1 с
2
90°
30°
12
45°
90°
10
50°
90°
10
30°
90°
5,8
90°
40°
5,8
40°
90°
10
60°
90°
12
70°
90° !
263

3. Для измерения высоты трубы BF (рис. 198) из точки О,
находящейся на расстоянии 30 м от основания В трубы BF,
измерили угол FOB. Найдите высоту трубы, если Z_ FOB = 30°.
4. Трос закреплен в двух точках, на вершине флагштока и на
земле — на колышке, находящемся в 7 ж от основания флагштока.
Трос образует угол 60° с горизонтом. Найдите высоту флагштока.
5. Флагшток установлен на вершине башни. Угол возвышения
вершины флагштока, измеренный на земле из точки, удаленной на
12 м от основания башни, равен 65°. Угол возвышения вершины
башни, измеренный из той же точки, равен 50°. Найдите высоту
башни и длину флагштока.
6. Точки А и С отмечены на земле и лежат на одной прямой с
точкой В, находящейся у основания башни. Угол возвышения
вершины башни, измеренный из точки Л, равен 26°34\ Угол
возвышения вершины башни, измеренный из точки С, равен 36°52'.
Вычислите высоту вершины башни над землей, если расстояние АС
равно 50 футам.
7. Применив метод, использованный в задаче 6, найдитетасоту
наивысшей точки какого-либо здания.
8. Как бы вы использовали прибор, изображенный на
рисунке 199, для измерения угла возвышения?
Сделайте такой прибор и измерьте высоту трубы вашего дома.
9. На рисунке 200 А В = 20. Найдите длины отрезков 05, О А,
ОС и угол АСВ. Сделайте верный чертеж.
10. Основание равнобедренного треугольника равно 10 дюймам.
Угол при основании треугольника равен 50°. Найдите высоту и
площадь этого треугольника.
11. В равнобедренном треугольнике ABC А В = АС, А = 50°,
ВС = 20 см. Найдите его высоту, стороны АВ и АС и площадь.
12. Хорда окружности равна 20 см, ей соответствует
центральный угол, равный' 100°. Найдите радиус окружности.
13. На рисунке 201 изображена часть карты с линиями
уровня. ВСА —дорога. Масштаб карты: 2 см — 1 км. Найдите длины
отрезков АС и СВ. Вычислите подъем дороги на участках ВС и С А.
14. Найдите угол, образуемый прямой у = Зх с осью Ох. Най-
Рис. 199. Рис. 200.
264

дите угол, образуемый прямой у =—
с осью Ох. Проверьте, что эти
1
-X
3
прямые
перпендикулярны.
15. Найдите углы, образуемые
прямыми у = 2х +- 1, у = 1 —-ху 2у = 1 — χ с
осью Ох. Какие из этих прямых взаимно
перпендикулярны? Найдите угол,
образуемый первыми двумя прямыми.
16. Найдите точку пересечения прямых
у = 2х+ 1 и у = χ + 3. Какой угол
образуют эти прямые?
17. Найдите угол между прямыми у =
= 2х + 1 и у = 2,2* + 1.
18. Начертите окружность единичного
радиуса с центром в точке О. Радиусы OR
и ОР образуют угол Θ: Z.POR = Θ.
Отрезок РХ перпендикулярен радиусу OR. Касательная РТ к
окружности (Р — точка касания) пересекает продолжение радиуса OR в
точке Т. Найдите отрезки РХ и РТ, выразите дугу PR через угол
9ттА
Θ. Докажите, что sin θ < —- < tg θ.
Рис. 201.
Γ л а в а 41. ВЕКТОРЫ И МАТРИЦЫ
Векторы
1. Миссис Джонс заказала 2 фунта масла, 1 фунт бекона,
4фунта сахару, 3 фунта смальца и должна была уплатить 4 шиллинга
за фунт масла, 3 шиллинга за фунт бекона, 2 шиллинга за 2 фунта
сахару, 1 фунт 6 пенсов за фунт смальца.
Найдите стоимость заказа.
2. Бакалейщик, получив заказы, записал их в виде тиблицы:
Смит
Джонс
Браун
Масло
2 фунта
4 фунта
3 фунта
Бекон
1 фунт
2 фунта
1 фунт
Смалец
2 фунта
2 фунта
1 фунт
Сколько заказано масла, бекона и смальца?
265

3. Оптовщик получил от магазинов такие заказы (в фунтах):
Магазин
А
В
С
Копченая
рыба
10
5
20
Пикша
14
7
28
Треска
28
7
56
Камбала
Сельдь
5 10
7 2
14 14
Сколько рыбы каждого сорта было заказано?
Для сокращения времени на подсчеты каждый заказчик
записывает заказ в порядке, указанном в таблице. Например, магазин
А посылает заказ в виде (10, 14, 28, 5, 10). Запишите в таком же
виде заказы магазинов В и С. Что случится, если числа будут
записаны в другом порядке?
Назовем, как это делается в математике, выражение (10, 14,
28, 5, 10) вектором. Заметьте, здесь очень важен порядок записи
чисел!
Как складывать заказы — векторы от каждого магазина? Это
нужно, чтобы узнать, сколько заказано рыбы каждого сорта.
Что общего между этими векторами и векторами, о которых вы
узнали раньше?
4. Найдите векторы, эквивалентные следующим:
а) (2, 3, 7, 8) + (1, 9, 1, 2) + (2, 0, 1, 2);
б) (1, 0, 1, 2) + (2, 1, 1, 0) + (3, 8, 2, 2);
в) (4, 2, 7, 8)-(1, 2, 1, 2);
г) (9,8, 7, 6)-(3, 7, 1, 2)+ (2, 1,8,2).
5. Оптовик (см. задачу 3) продает рыбу по такой цене:
копченая рыба
пикша
треска
камбала
сельдь
1 шиллинг за фунт,
3 шиллинга за фунт,
1 шиллинг за фунт,
3 шиллинга за фунт,
1 шиллинг за фунт.
Сколько должен заплатить за заказ каждый магазин?
Так как цены на рыбу менялись часто, то решили записывать
цены (в шиллингах) в столбец в том же порядке, что и в заказе.
Таким образом, для магазина А была составлена запись:
Магазин
(10
14 28
Ю)
Как кассир найдет общую сумму заказа?
266

Математики отвечают на этот вопрос так: «Умножив вектор -
строку на вектор-столбец». (Как это связано со скалярным
произведением двух векторов?)
Что означает 5 -(2, 3, 1, 4)?
6. Умножьте каждый вектор-строку на вектор-столбец:
а) (3, 2, 1, 0); 1) /3\ 2)/3\ 3)/3\
б) (2, 4, 2, 0); 2 4 8
в) (1 шиллинг, 2 шиллинга 6 пенсов; 13/ 16/ 13/
1 шиллинг 8 пенсов; 1 шиллинг 3 пенса); Ч- W чг
г) (3 шиллинга 4 пенса; 2 шиллинга 6 пенсов;
3 шиллинга 4 пенса; 5 шиллингов).
Результат каждого из заданий в) и г) выразите в фунтах,
шиллингах и пенсах.
7. Что вы можете сказать о числе «элементов» в векторе-строке
и векторе-столбце, если вы знаете, что они должны быть
перемножены?
В упражнениях, приведенных ниже, умножьте каждый вектор-
строку на каждый вектор-столбец, если это возможно. Почему вы
считаете, что в некоторых случаях умножение невыполнимо?
а) (1, 2, 3); 1) /1\
б) (2, 1); 2
в) (1,-1, 2, 3); \3/
г) (1, - 1, 2, 0)
2) φ 3)
1
ί-l
2
> 0
^ 3
Вопросы для обсуждения
Векторы — упорядоченные множества элементов (выражающие
величины, числа и пр.); векторы могут складываться и вычитаться.
Рассмотрите следующие множества элементов:
а) ножи, вилки и ложки, положенные у каждого прибора в кафе;
б) чашки, блюдца и тарелки двух размеров, продающиеся в
магазинах;
в) продукты, необходимые для изготовления кекса;
г) заказ в бакалее;
д) диета больного в клинике;
е) питательность продуктов, составляющих завтрак, обед или
ужин;
ж) количество (вес) химикатов, необходимых для проведения
опыта на уроке химии;
з) количество (вес) химикатов, необходимых на весь учебный год
для проведения экспериментов на уроках химии в одном классе;
и) количество досок, необходимых для проведения уроков по
столярному делу при условии, что каждом ученику будет дано
отдельное задание.
267

Для каждого из этих примеров установите, что нужно было бы
сделать (или не нужно); умножить вектор на число или умножить
вектор-строку на вектор-столбец.
Векторы могут быть записаны в строку или в столбец, в каждом
из этих случаев должно быть задано правило сложения
соответствующих элементов (составляющих) векторов.
С этой точки зрения множество квадратных трехчленов есть
множество векторов1, например:
(2х2 + Зх + 2) + (х2 — 4* + 1) = Зх2 + χ + 3.
Действительно, мы обращаемся с упорядоченным множеством
коэффициентов трехчленов как с векторами.
Могут ли приведенные ниже множества рассматриваться как
векторы? Приведите числовые примеры:
а) множество многочленов вида {ах + Ь}\
б) множество многочленов вида {ах2 + Ьх + с};
в) множество многочленов вида {ах3 + Ьх3 + сх + d).
Векторы и матрицы
Каждая из четырех домашних хозяек заказала чай, бекон, яйца
и масло;—фунта чаю стоит 1 шиллинг 6 пенсов; 2-фунтовый пакет
сахара стоит 1 шиллинг 8 пенсов; фунт бекона стоит 5 шиллингов,
дюжина яиц стоит 4 шиллинга, фунт мяса стоит 4 шиллинга.
Заказ в магазин поступил в виде:
Gmht
1 фунт чаю
4 фунта сахару
1 фунт бекона
1 3 дюжины яиц
2 фунта масла
Джонс
-т- фунта чаю
2 фунта сахару
-п" фунта бекона
1 дюжина яиц
1 -ψ фунта масла
Браун
1-п- фунта чаю
6 фунтов сахару
2 фунта бекона
2 дюжины яиц
3 фунта масла
Уэллс
1 1
-о" фунта чаю
2 фунта сахару
-о- фунта бекона
1
-к дюжины яиц
~2 фунта масла
Составьте счет для каждого заказа и найдите общую стоимость
всех заказов.
Бакалейщик положил рядом все заказы и заметил, что он может
упростить расчеты, переписав на один лист все заказы, как это сде-
1 Векторы, образующие аддитивную группу, называют векторами,
образующими векторное пространство, если имеет смысл умножение вектора на
действительное число.
268

лано в таблице, где фамилии заказчиков обозначены буквами, и
поместив рядом прейскурант:
Чай
1ш.6п.
Сахар
1ш.8п.
Бекон
5 ш.
Яйца
4 ш.
Масло
4 ш.
С Д Б У
/ 4 3 6 2 чай
/2131 \ сахар
1 1 о 1 *
1 — 2
2 2
3 12 —
бекон
яйца
\ 2 1— 3 —у масло
2 2
Такой порядок записи позволяет легко выписывать счета:
С
34 ш. 4 п.
Д
18 ш. 8 п.
Б
44 ш.
У
11 ш. 2 п.
Вектор-строка
Однако вскоре оказалось, что схему записи можно еще более
усовершенствовать.
С
д
Б
У
/4 2 1
/ a 1-L
V
2 2
Матрица
1ш. 6п. Чай \
1ш. 8п. Сахар '
5ш. Бекон
4ш. Яйца
4ш. Масло
Вектор-столбец
/34ш. 4п. \
/ 18ш. 8п. \
; 44ш.
\ 11ш. 2п. /
Вектор-столбец
Эта схема оказалась более удобной. Здесь использована
математическая система: таблица, в которой указано количество
заказанных различными людьми товаров, называется матрицей, перечень
цен — вектором. Если цены записаны горизонтально — вектор
называется вектором-строкой, при вертикальной их записи вектор
называется вектором-столбцом. Бакалейщик перемножил матрицу
и вектор:
269

1. Вектор-строка X матрицу = вектор-строка (умножение слева).
Поэтому матрица должна иметь столько строк, сколько элементов
и меет вектор -строка.
2. МатрицаХвектор-столбец=вектор-столбец(умножение справа).
Поэтому матрица должна иметь столько столбцов, сколько
элементов имеет вектор-столбец.
3. Вектор-строка всегда записывается слева от матрицы.
Вектор-столбец всегда записывается справа от матрицы.
Упражнения
1. Четверть фунта чаю стоит 2 шиллинга, двухфунтовый пакет
сахару стоит 2 шиллинга, фунт масла стоит 5 шиллингов. Запишите
это в виде а) вектора-строки; б) вектора-столбца.
С. заказал — фунта чаю, 4 фунта сахару, 2 фунта масла.
з
Д. заказал — фунта чаю, 6 фунтов сахару, 4 фунта масла. За-
4
пишите это а) как матрицу для перемножения ее с вектором-строкой;
б) как матрицу для перемножения ее с вектором-столбцом.
Найдите вектор стоимости покупок этих лиц: 1) умножением
матрицы на вектор-строку а); 2) умножением матрицы б) на вектор-
столбец (б).
2. Найдите вектор стоимости для следующих случаев:
а) Смит Джонс Робине Уэллс
(2 ш., 1 ш., 3 ш.) /2112
112 2
3 2 11
б) / Смит
/ Джонс
I Робине
^ Уэллс
в) /Смит
/ Джонс
I Робине
\ Уэллс
ХБраун
Смит Браун Джонс Картер
(1 ш., 2 ш., 1ш., 2ш.) /2 0 1 Г
12 12
\0 2 11
\3 4 1 V
270

3. Выполните умножение:
а) (2, 1, 1)/1 1\ з) (2, 3)(1 0 1\
б)(1
в,(!
г)(!
Д) (4, 2) / 1 1
1-1 1
(Ι ϊ) (1
ж) (2, 1) /1 1
1 2
4. На уроке домоводства девочки пекут пироги по таким
рецептам:
Мука Масло Яйца Молоко Сахар Вишня
а) бисквит 5 унций — 4 шт. — 5 унций —
б) булочки 8 унций 1 унция — 4 унции —- —
в) вишневый
пирог 8 унций 4 унции 2 шт. 2 унции 4 унции 4 унции
г) ромовая
баба 6 унций 4 унции 2 шт. 2 унции 4 унции —
4 девочки должны испечь бисквит, 5 девочек — булочки, 3
девочки— вишневый пирог, 2 девочки — ромовую бабу.
271

Составьте соответствующие вектор-строку и матрицу и найдите
вектор-строку, элементами которого являются количества каждого
из продуктов (муки, масла, яиц, молока, сахара, вишен),
необходимого для урока. Найдите цену каждого из продуктов, а затем
стоимость каждого компонента и общую стоимость продуктов (для
упрощения подсчетов не учитывается стоимость продуктов,
идущих в небольших количествах — соль и пр.).
Придумайте сами аналогичные примеры, но с более
правдоподобными рецептами.
5. В одном кафе блюда Л, 5, С и D готовились по таким
рецептам:
Мясо Яйца
А 4 унции
В 4 унции
С —
D 4 унции
1
2
1
Картофель
12 унций
12 унций
8 унций
8 унций
Рыба
Капуста
4 унции
унции
унции
Горох
2 унции
4 унции
2 унции
Группа из 20 человек заказала в кафе 4 блюда Л, 5—В, 5 — С
и 6 — D. Составьте вектор-строку и матрицу для нахождения
вектора, элементами которого является количество каждого из продуктов.
Узнайте цены продуктов и запишите их в виде вектора-столбца.
Используйте полученные вами результаты для определения
стоимости продуктов для изготовления а) каждого блюда; б) всех блюд.
Приложения преобразований
Мы уже видели, что точка (лс, у) может быть переведена в точку
(хи yi) в результате, например, такого преобразования:
Xi = 2х + у,
Vi = х + У-
Мы можем записать:
2 1
1 1
В этом случае каждый раз, когда мы хотим найти образ точки
(х, у), мы должны выполнить матричное умножение. Таким образом,
преобразование выражается с помощью матрицы. Это фиксирует
внимание на числа, определяющие преобразование, и мы говорим о
матрице как о преобразовании.
Образ точки (1, 3) в этом преобразовании определяется так:
272 -

Примечание. Координаты точки записываются в виде
вектора-столбца или вектора-строки; в самом деле, если мы хотим
построить точку по ее координатам, нам безразлично, как они
записаны, важно только знать, какое из чисел-координата х, а какое —
координата у.
Упражнения
1. Постройте четырехугольник по заданным его вершинам:
(О, 0), (2, 1), (0, 2), (2, 3) (отрезок в 1 см примите за единичный
отрезок). Закрасьте его.
Постройте и закрасьте образы четырехугольника, полученные
в результате преобразований, заданных матрицами:
"(; _?г(-?;)в) (_?-j) r>(-J?)rt(; ?)
Как каждое из преобразований изменяет форму
четырехугольника?
2. В новой системе координат (масштаб выберите тот же, что
и в задании 1) постройте четырехугольник по координатам его
вершин: {(0, 1), (1, 1), (1, 2), (1, 1)}, соединив эти точки в заданном
порядке. Постройте карандашами различных цветов
четырехугольники, вершины которых получены в результате следующих
преобразований вершин заданного четырехугольника:
а) (о2 ?) * (! -1) в) (_? -1) r) (Л) * (! !)
3. Постройте треугольник по заданным его вершинам: {(0, 0),
(5, 0), (5, 5).} Найдите образы этого треугольника, полученные в
результате следующих преобразований:
а) / А П б) /1 4\ в) /1 ЗД г) /_£ ±\
in :j U л
\ 5 5/ \5 5/ \5 5/ \ 5 5/
4. Постройте множества точек
и А = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)}
В = {(0, 3), (1, 2), (2, 1), (3, 0)}.
Что вы заметили?
Найдите образы множеств точек А и В, [полученные "в результате
преобразований:
"(о-2) б,П Л) Β)(ί =1) "Μ =D
Обсудите эффект различных преобразований.
5. Найдите образы множеств точек
Ц = {(*, 2л:)}; L2 = {(χ, χ)},
273

полученных в результате преобразований:
а)(! ?) %304) в)(! I) Г)(П)
Что вы заметили в каждом случае?
6. Найдите образы множеств точек
Li = {(*, У) | У = х + 1} и L2 = {(*, у) | χ + у = 1},
полученные в результате преобразований, указанных в задании 5.
7. Что представляет собой множество точек {(*, тх)}?
Найдите образы этого множества, определяемые преобразованиями:
а) (? 2) 6> (! I) в) g J) r) β ί)
8. Найдите образы множеств точек
1(*'~ίγ)}; ί(Χι 0)}; {(х> эд}·
определяемые преобразованием /2 4\. Какой результат вы
получили? [О 3/
9. Докажите, что преобразование
(?5)
переводит прямую L = {(*, тх)} в прямую, найдите уравнение этой
прямой.
10. Докажите, что преобразование
переводит прямую L= {(*, тх + с)} в прямую; найдите уравнение
этой прямой.
11. Найдите образы множеств
1) {(*, 1, 1)}; 2) {(х, ху 1)}; 3) {(χ, Ι, χ)}
в результате преобразований
а) /1—1 0\ б) / 1 3 2\ в) /1 0 0\ г) /1 2 1\
101 —1 21 010 242
V2 1 1/ V 2 —1 1/ \0 0 1/ U3 1/
Матрицы
Рассмотрим преобразование
х' = atx + bty + CiZ,
у' = агх + Ьгу + сгг.
274

Мы можем записать это так:
[y'J \a2 b2 c2j \zj
Это преобразование отображает множество {(χ, у, г)} на
множество {(*', у')}.
Аналогичный пример мы встречали при рассмотрении вектора
стоимости, например при подсчете стоимости заказов.
Смалец Масло Сыр
Смит 2 4 1 (фунтов)
Джонс 1 3 2 (фунтов)
Фунт сыра стоит 2 шиллинга, фунт масла — 4 шиллинга, фунт
сыра— 4 шиллинга. Для нахождения вектора, выражающего
стоимость товаров, купленных этими заказчиками, мы умножаем матрицу
(Μι)
на вектор цен
'2Ν
ч4;
и получаем вектор стоимости:
/4 + 16 + 4\ /24\.
[2 + 12 + 8) - V22J.
Примеры, аналогичные этим, приводят нас к понятию матрицы,
содержащей т строк и η столбцов.
Ясно, что если матрицы имеют η столбцов, то вектор-столбец
должен иметь η элементов.
G)
- п столбцов-
т строк
\п элементов
матрица т χ η вектор-столбец
Аналогично матрица т X пу воздействующая на вектор-строку,
должна иметь столько строк, сколько элементов содержит вектор-
строка.
275

Упражнения
1. Найдите образы векторов:
" (?) ' U) " (i)" (D
подвергшихся преобразованиям:
а) /1 —1 1\ б) /2 0 1\ в) (0 —1 2\
\1 О 2J U 2 0) [0 1 — 2J
2. Найдите результат воздействия преобразований:
а> (? !) б) (! D B) (~i Ϊ)
на образы, полученные в задании 1.
Глава 42. СТАТИСТИКА
Статистика имеет две основные задачи. Одна из них связана с
«описательной статистикой» — с представлением полученных в
результате отдельных наблюдений данных с тем, чтобы эти данные
могли быть использованы для ответа на некоторые вопросы,
касающиеся характера этой измеряемой величины. Вторая задача связана
с использованием теории вероятностей для получения выводов при
ограниченном числе данных об интересующей нас величине.
1. В таблице приведены среднемесячные температуры,
замеренные в нескольких городах за год.
Изобразим среднюю температуру каждого месяца в виде
начерченного на оси времени прямоугольника с основанием 1 см и
высотой, пропорциональной температуре. Отрицательную температуру
будем изображать прямоугольником, расположенным ниже оси
времени. В каких единицах измеряется температура воздуха?
Начертите график температур для каждого из шести городов.
Расскажите, как меняется температура в каждом городе, и
объясните причину этого.
Лондон
Нью-Йорк
Кэйптаун
Москва
Гамбург
Эдинбург
Июль
16,3
23,2
11,9
16,4
14,2
13,0
Август
15,9
22,6
12,3
14,8
14,6
13,3
Сентябрь
13,8
18,2
13,6
10,8
12,3
11,5
Октябрь
11J 1
14,2
15,3
6,4
10,1
10,3
Ноябрь
6,7
6,4
16,7
1,4
3,9
5,1
Декабрь
2,8
—0,4
19,6
—7,4
—2,0
3,1
276

2. Посмотрите, связаны ли между собой температуры любых
двух городов?
а) Начертите ось температур перпендикулярно оси времени.
Масштаб на этой оси выберите так, чтобы отрезок в 1 см
соответствовал 10 градусам. На этой оси отметьте точки от —5 до 25.
Постройте точки, соответствующие температурам в Нью-Йорке и
Лондоне для каждого месяца. Что вы заметили относительно
расположения этих точек?
б) Постройте график для сравнения температур в Лондоне и
Кейптауне. Что вы заметили относительно расположения точек
графика в этом случае? В чем заключается различие между
расположением точек на этом графике и графике из задания (а)?
Объясните.
Аналогичные графики используются для выяснения, имеется
ли связь между двумя множествами полученных данных. Конечно,
прежде всего, необходимо быть уверенным, что связь между этими
величинами возможна. Такая связь называется корреляцией. Чем
ближе лежат точки к прямой, тем лучше корреляция. Чем больше
разброс точек, тем несовершенней корреляция. Если прямая у =
= тх почти параллельна прямой корреляции, мы говорим, что
корреляция положительна, если т положительно, и отрицательна,
если т отрицательно. Как вы можете определить, положительна или
отрицательна корреляция? Какой из графиков, а) или б),
показывает положительную корреляцию, какой — отрицательную
корреляцию?
в) Рассмотрите корреляцию между среднемесячной
температурой в Москве и в Эдинбурге.
г) Рассмотрите корреляцию между среднемесячной
температурой в Гамбурге и Кэйптауне.
д) Выберите какие-либо два города, корреляцию между
среднемесячной температурой для которых вы еще не рассматривали, и
выясните, существует ли связь между температурами в этих городах.
Закончите таблицу (вычисления выполните на логарифмической
линейке).
Постройте график, иллюстрирующий 1) изменение
(в 1951—1959 гг.) числа подавших заявления о допуске к
экзаменам; 2) изменение в течение того же периода числа ус-
Январь
— м
— 1,5
22,0
—15,9
— 6,0
1 0,1
Февраль
0,4
— 2,2
20,2
-10,0
— 4,8
— 0,1
Март
6,9
5,3
19,6
—9,4
2,5
5,8
Апрель
9,7
11,2
15,7
3,9
7,8
7,4
Май
11,6
15,9
14,0
—
12,1
9,4
Июнь
15,9
21,6
13,0
13,5
16,0
12,8 ,
277^

Год
Число подавших заявление о
допуске к экзамену
Число сдавших экзамен
Число сдавших экзамен в
процентах к общему числу
подавших заявление
1951
74
43
1953
98
59
1955
104
63
1957
ИЗ
68
1959
145
85
. в 10
) тыс.
пешно сдавших экзамены; 3) изменение в течение того же периода
числа сдавдшх экзамен по отношению к числу подавших заявления
о допуске к экзаменам (в %). Увеличьте в два раза масштаб на оси,
на которой откладывается число подавших заявления о допуске к
экзаменам, и вновь постройте график. Уменьшите в два раза масштаб
на оси, на которой откладывается число сдавших экзамены в
процентах и вновь постройте график. Каково влияние выбора масштаба
на вид графика? Может ли выбор масштаба повлиять на выводы,
которые вы можете сделать на основании рассмотрения графика?
Год
Число сдавших экзамены за
среднюю школу (в тыс.)
Число получивших водительские
права (в 10 тыс.)
1952
49
25
1953
59
23
1954
60
31
1955
63
35
1956
65
39
1957
68
42
1958
75
45
1959
85
50
Начертите график корреляции между этими двумя событиями.
Обсудите полученные результаты. Можете ли высказать какое-либо
заключение? Почему?
Распределе н ия
1. а) Начертите гистограмму размера обуви учащихся вашего
класса.
б) Начертите гистограмму весов учащихся вашего класса.
Построить гистограмму для задания а) нетрудно — число номеров
ботинок конечно. Гистограмму б) построить сложнее, так как веса
учащихся различны. Кроме того, каждый вес оказывается
приближенным. Пусть, например, мальчик весит 59, 4 кг. На практике это
278

часто означает, что вес мальчика больше 59,3 кг и меньше 59,5 кг.
Пусть у двух мальчиков записан одинаковый вес. Фактически их
вес может быть различным (конечно, разница в весе будет невелика).
Предположим, что в классе составлена таблица веса (в фунтах)
всех учеников одного класса:
87
83
90
107
77
83
84
93
121
88
98
108
80
89
99
92
95
100
99
88
98
102
97
91
108
106
102
ПО
93
107
103
109
96
ИЗ
104
93
101
114
98
94
Сколько всего мальчиков в классе? Каков наибольший вес?
Каков наименьший вес? Проверьте, что разность между этими весами
равна 44 фунтам. Если мы хотим построить гистограмму для
изображения распределения веса, нам нужно начертить 44 столбца. Мы
можем уменьшить число столбцов, если будем считать, что два
мальчика имеют один и тот же вес, если их веса находятся в заданном
(или выбранном) интервале (разряде). Число мальчиков, чьи веса
лежат в этом интервале, называется частотой1, соответствующей
данному интервалу.
Перепишите в тетрадь и заполните следующие таблицы:
Интервал
75— 77
78— 80
81— 83
84— 86
87— 89
90— 92
93— 95
96— 98
99—101
102—104
105—107
108—110
111—113
114—116
117—119
120—122
Частота
Интервал
75— 84
85- 94
95—104
105—114
115—124
Частота
По данным каждой из таблиц начертите гистограммы. Что
общего у этих гистограмм? В чем их различие?
1 Здесь авторы обозначают термином «частота» понятие, смысл которого
отличен от общепринятого.
279
Интервал
75— 79
80— 84
85— 89
90— 94
95— 99
100—104
105—109
110—114
115—119
120—125
Частота

Какова вероятность того, что мальчик из этого класса будет
весить меньше 90 фунтов? больше 100 фунтов? что вес его будет
заключен между 85 и 95 фунтами?
Как бы вы описали распределение весов учеников класса?
Какой вес встречается наиболее часто?
Выполните аналогичное задание, узнав вес каждого учащегося
вашего класса.
2. Вы никогда не видали человека, о котором я сейчас
думаю. Попробуйте угадать его вес (в фунтах), если это — женщина
35 лет.
Составьте таблицу распределения веса учащихся вашего класса
и постройте соответствующую гистограмму (интервал примите
равным 5 фунтам). Опишите полученное вами распределение.
3. Измерьте длину 100 ваших шагов и 100 шагов ваших
товарищей из класса. Составьте таблицу частоты и, выбрав подходящий
размер интервалов, постройте гистограмму. Опишите полученное
вами распределение.
4. Составьте таблицу частоты времени, которое затрачивают
ученики вашего класса на дорогу от дома до школы, выбрав
подходящий размер интервалов, начертите гистограмму и опишите
полученное распределение. Медиана — это средний по величине
результат наблюдений или измерений, записанных в порядке их
возрастания или убывания. Найдите медианы для каждого
распределения из заданий 1, 2, 3 и 4. Как бы вы поступили, если число
наблюдений оказалось нечетным? Если число наблюдений — четно?
Добавляет ли понятие медианы что-либо к уже заданному описанию
распределения?
Среднее арифметическое
Для вычисления среднего арифметического нескольких чисел
надо сложить все числа и полученную сумму разделить на число
слагаемых.
Упражнения
1. Найдите среднее арифметическое чисел 1, 3, 5, 7, 2.
2. Найдите среднее арифметическое чисел 1, 3, 3, 2, 5, 5, 7, 1.
3. Найдите среднее арифметическое чисел 5, 5, 5, 5, 5, 10.
4. Найдите среднее арифметическое чисел 5, 6, 4, 5, 6, 4, 5.
5. В нижней части листа клетчатой бумаги начертите
горизонтальную прямую I и по одну сторону этой прямой проведите к ней 6
перпендикуляров на равном расстоянии друг от друга. Отложите на
этих перпендикулярах отрезки, равные 2,2 см, 2,4 см, 2,7 см, 2,2 см,
1,9 см, 1,8 см. По эту же сторону от прямой I проведите
штриховую прямую АВ, параллельную прямой I и удаленную от нее на
расстояние 2 см.
280

Вычислите сумму отрезков, отложенных на перпендикулярах
и находящихся выше прямой АВУ и сумму отрезков, лежащих
ниже прямой АВ. Как вы можете использовать эти данные для
вычисления средней длины отрезков, построенных в начале
задания?
6. Решите задачу 5, если отрезки перпендикуляров равны:
а) 4,7; 3,9; 3,6; 4,2; 4,1; 5,0; 3,5 дюйма;
б) 2,8; 3,7; 4,2; 4,5; 3,9; 4,0; 4,9 дюйма;
в) 3,7; 3,7; 3,7; 4,4; 4,4; 4,2 дюйма.
7. Используйте прием, описанный в задаче 5, для нахождения
среднего арифметического следующих чисел:
а) 27, 30, 35, 28, 32, 27, 26, 30, 31, 33;
б) 21, 19, 26, 27, 29, 30, 22, 23, 24, 25.
8. Вычисление среднего арифметического большого числа
наблюдений.
Значение
случайной
величины
4
5
6
7
8
9
10
f — частота
3
2
1
4
5
2
1
D — девиация
—3
—2
—1
0
+ 1
+2
+3
W +
+5
+4
+3
W-
—9
—4
—1
— 14
Внимательно изучите таблицу и попробуйте понять, как были
проведены вычисления.
Говорят, что число 7 является математическим ожиданием
результата. Пользуясь найденным правилом, найдите среднее
арифметическое следующих чисел:
а) Значение случайной
величины 2,1 2,3 2,5 2,7 2,9
частота 2 6 8 3 1
б) Значение случайной
величины 31,3 31,5 31,7 31,9 32,1 32,3 32,5
частота 12 2 8 9 6 2
в) Значение случайной
величины 1,21 1,22 1,23 1,24 1,25 1,26 1,27
частота 2 5 17 19 4 2 1
281

9. Самостоятельная работа в классе. Класс делится на группы
по два человека, каждой группе дается две картофелины. Клубни
картофеля должны быть различны по величине (крупные и мелкие).
Каждая группа учащихся измеряет «длину», «ширину» и «высоту»
картофелин в трех взаимно перпендикулярных направлениях.
Затем данные сводятся в таблицу (предварительно выбираются
интервалы размеров). Найдите среднее арифметическое для каждого из
трех измерений. Взвесьте клубни и подсчитайте средний вес
клубня картофеля.
Начертите гистограммы для каждой из четырех серий данных
и обсудите полученные результаты.
10. Подсчитайте среднее число семян сорных растений в
каждом из 100 пакетов цветочных семян:
Число семян сорных растений 0 1 2 3456789
Число пакетов 3 17 26 17 18 10 3 5 — 1
11. Среднее арифметическое десяти чисел равно 8, каким будет
новое среднее арифметическое, если к этим числам будут добавлены
числа 8 и 9?
12. Самостоятельная работа в классе.
Возьмите колоду из 52 карт. Из колоды вынимается одновременно
4 карты. Каждое испытание характеризуется вполне
определенным числом — суммой очков, соответствующих вынутым картой
определенной масти. Эти очки получаются следующим образом: к
числу карт определенной масти, за исключением карт трефовой
масти, приписывается некоторое число очков — к числу бубновых
карт — десять, к числу червонных — двадцать, к"числу пиковых —
тридцать. Например, 3 карты трефовой масти дают 3 очка; 3 карты
бубновой масти дают 13 очков; 3 карты червонной масти дают 23
очка; 3 карты пиковой масти дают 33 очка.
а) Выньте из колоды 4 карты и найдите среднее арифметическое
общего числа очков. Повторите этот опыт 10 раз, каждый раз
тасуя карты.
б) Найдите среднее арифметическое десяти средних
арифметических. Начертите гистограмму средних арифметических числа
очков при вытягивании 4 карт каждым из учеников класса и
гистограмму средних арифметических 10 средних арифметических.
Прокомментируйте полученные результаты.
Какова вероятность того, что среднее арифметическое общего
числа очков вынутых 4 карт находится между 14 и 24? Между 0 и
10? Между 10 и 20? Между 20 и 30?
Описание распределения
Первой характеристикой, которую мы можем использовать для
описания распределения, является среднее арифметическое.
282

Рассмотрите следующую таблицу роста ста школьников:
Высота (в дюймах)
49—50
51
52
53
54
| 55
| 56
57
58
! 59
60
61
62
1
Частота
1
1
2
4
6
5
18
22
15
12
7
5
2
Кумулятивная частота
1
2
4
8
14
19
37
59
74
86
93
98
100
Объясните смысл термина «кумулятивная» частота.
Подсчитайте среднее арифметическое. Начертите гистограмму
частоты распределения и отметьте на ней положение среднего
арифметического.
Модой называется результат (измерения или наблюдения),
наиболее часто повторяющийся в серии наблюдений. В нашем случае —
это высота в 57 дюймов.
Сравните значение среднего арифметического и моды. Когда,
по-вашему, целесообразно пользоваться модой?
Пусть результаты некоторых наблюдений расположены в
возрастающем или убывающем порядке. Величина, равноудаленная от
наибольшего и наименьшего из данных наблюдений, называется
медианой. Так, в нашем примере медиана будет находиться между
ростом 50-го и 51-го мальчиков. Таким образом, мы изобретаем
некоторого «фиктивного» (50— -го ) мальчика!
Начертите две взаимно перпендикулярные оси. На
горизонтальной оси будем откладывать рост мальчиков (от 50 до 62 дюймов),
на вертикальной — кумулятивную частоту (от 0 до 100). Постройте
соответствующие точки и соедините их последовательно отрезками.
Теперь вам легко будет найти высоту 50 го мальчика.
Сравните медиану, моду и среднее арифметическое в нашем
примере. Как бы вы могли использовать медиану? (Например, если
неизвестны наименьший и наибольший результаты наблюдений или
измерений; если вы изучаете какую-то характеристику, например
рост некоторой группы людей по данным измерения этой
характеристики у некоторого числа представителей группы и пр.)
283

Важной характеристикой распределения результатов
наблюдений (или измерений) является амплитуда, т. е. разность между
наибольшим и наименьшим результатами наблюдений. В только что
рассмотренном нами примере амплитуда равнялась 62—49 = 13
дюймам. Проверьте.
Для характеристики распределения иногда полезно знать
разность между значением изучаемой величины Q3, меньше которой —
75% результатов, и значением Ql9 меньше которой 25% результатов
измерений.
В таблице роста число Qx соответствует кумулятивной частоте,
равной 25%, а число Q3—75%. Обе эти величины легко могут быть
прочитаны по графику кумулятивной частоты.
Упражнение
По распределениям, заданным в упражнениях 9 и 10 (стр.
282), найдите их медиану и моду, постройте многоугольники
кумулятивных частот.
Глава 43. МАТРИЦЫ
Произведение матриц
Рассмотрим последовательное применение двух линейных
преобразований Τ hS. Пусть преобразование Τ определяется матрицей
.3 4J,
тогда образом точки (х, у) будет точка (хъ уг):
хЛ = /1 2\ (х\_(х + 2у\. όΊ = Та.
yj 13 Ч \у) ~ \3х + 4у)'
Применим к точке хъ ух преобразование S, характеризующееся
матрицей:
Тогда
(х2\ _ (2 3\ (х\ <С= Sat
W ~ U Ч Ы
Таким образом, в результате преобразования Τ мы получим:
х) 1х + 2у \ (хл
yj~'\3x + 4yj [yj,
284

и в результате применения преобразования S:
(2х1 + Зух \ = /2 (х + 2у) + 3 (3* + 4у) \ =
V *ι + 4yt ) [(χ + 2y) + 4 (Зх + 4у) j
-(ίϊΐ!8!)-$ щн™·
Это может быть записано таким образом:
2 3\ /1 2\ /*\_/Ю 164 (х\ или: S {Та) = М(х\
1 4) [Z 4) Ы 1,13 18J \у) [у)
Матрица
10 16
13 18
характеризует линейное преобразование, являющееся результатом
двух последовательных линейных преобразований Τ nS.
Таким образом, зная матрицы преобразований Τ hS, можно
сразу написать матрицу двух последовательных преобразований Τ hS.
Эта операция называется умножением матриц.
Каково же в общем виде правило умножения матриц?
Для отыскания правила умножения матриц рассмотрим
следующий пример:
/2 3\ (а Ь\ (х\(2 3\ (ах + Ьу\ (2(ах + by) + 3 (сх + dy)\
\4 5) [с а) [у) \4 5) [сх + dy) Щах + by) + 5 (сх + dy))
_ ((2а + Зс) χ + (26 + 3d) у
\(4а + 5с) χ + (46 + 5d) у
_ (2а + 3с 26 + 3d) (х\
= \4а + 5с 46 + 5d) [у)
Таким образом, каждый элемент матрицы-произведения
представляет собой скалярное произведение соответствующего вектора
строки первой матрицы на соответствующий вектор-столбец второй
матрицы.
Схема умножения может быть представлена в таком виде.
(=)(И) = (#)
Пример.
1) /2 3\ /1 6\ = /2 + 6 12 + 3\ / 8 15\
U 5j U 1/ \4 + Ю 24 + 5) [14 29 j
2) /1 6\ /2 3W2 + 24 3 + 30\ /26 33\
[2 I) U 5) U+4 6 + 5 j" [8 П)
Как вы видите, в этих двух примерах множители одинаковы,
но порядок их различен. Результаты перемножения матриц также
различны.
285

Отсюда мы делаем вывод, что умножение матриц
некоммутативно. Справедлив ли для матриц сочетательный закон умножения?
Проверим это на примере. Пусть
(АВ)С =
А (ВС) =
(.!
15
29
~ 28 +
8+15
14 + 29
2 3
4 5
9
15
16 + 45
28 + 87
?)(! I
40 + 21
80 + 35
; 61
; 115;
2 3V7
4 5ДЗ
23 61
43 115,
/23 61\
Д43 115/
Таким образом, мы получили, что (АВ) С = А (ВС). Это,
конечно, не формальное доказательство того, что всегда (АВ)С = А
(ВС). Составьте сами три примера для проверки сочетательного
закона умножения матриц. Что вы получили?
В будущем вы узнаете, что сочетательный закон всегда имеет
место для умножения матриц η-го порядка.
Напишите матрицы, элементами которых являются только
числа —1, 0 или 1. Найдите произведения каждой пары матриц.
Какие из этих двух матриц дают в произведении:
а> (J ?) б) (? ί) в) (8 S) г) (8 J) д) Π _?)·
е) В каком случае произведение равно одной из
матриц-множителей?
Упражнения
1. Каков результат умножения любой матрицы
1а £Лна мат-/1 0\^
[с d) рицу 1,0 \)'
■>β
Вычислите:
Ж J)
б)/3
ш
г>1
ж)
!)(-!
н)/1
Р) (с
4
-2
3'
5,
—3
5
—2
2V1 2^
ιΑο ij
a\lc 0
010 d
—1
3 3
.2 4
—3
д)
з)
л)
1
з
е,(23
— V
(П)(
0)(ί
4 -3»
5 4}
ίΚί "Ι)
и)/-1
м) /7
In
π)/1
Ιο
.)
-ί)
Ι ϊ)
SU "Ι)
6\
=! _!)(_!
?)(i ?)
/с а\/с 0\
[b 0Д0 rfj
286

Что вы заметили в примерах г), д), е), з), к), л), м)? Найдите
матрицу-множитель, если:
(5'ίΧ==ΗΠ
3· А = (о Из)* Покажите> что Л2 = Л . Л = Л.
4. Л = [3 —2\ Покажите, что Л2 = / = (* °).
5. 5 = f * _JV Покажите, что β2 = / = (l J
6. С = f J_J+4 Покажите, что С2 = / = (J J'
7. Покажите, что Л/ = /Л для любой матрицы А = 1а ^).
8'Л = (с S) Ml J) С = (« Д· Найдите ЛБ, fiC,
(ЛВ)С, А (ВС). К какому выводу вы приходите?
••'-(J ?) Mi о) М8 ?) И8 ί
D = /o о\ £ /ι ι\ Ρ_ιι Οι „_η ι
(! ?) °-(!
.1 o/ - vo ι; · \\ ι) " \ι о
я = /о η 7 /ο o\ ^ = /i ι\ ,_/ι ο
Λί
ι ι/ U ι/ \o o) U о
(8 !) Hi !) °-(8 8) '-(? J'
Найдите:
а) две матрицы, ни один из элементов которых не равен нулю,
дающих в произведении матрицу О = I® z/\
б) результат умножения любой матрицы на /;
в) две матрицы X и Y, для которых XY = YX;
г) результат умножения матрицы на 0;
д) матрицу X, для которой X2 = X;
е) матрицу X, для которой X2 == 0.
Замечания.
"»»'-(*?) *=(8 8
Легко видеть, что Л/ = /, АО = О. Таким образом, матрица /
ведет себя так, как единица в обычной алгебре. Поэтому матрица /
называется единичной матрицей. Матрица О ведет себя как нуль.
287

Она называется нуль-матрицей. В обычной алгебре, если А2 = /,
то А = zb /. В матричной алгебре существует большое число
различных матриц, удовлетворяющих уравнению А2 = /.
Сложение матриц
В обычной алгебре наряду с операцией умножения существует
и операция сложения. Попытаемся найти способ сложения матриц.
Снова обратимся к преобразованиям. В результате преобразования
вектора мы получаем вектор. Как складывать векторы, мы знаем.
Пример.
Пусть (χλ = (2 1\ /*\ (хЛ = (5 6\ (х
КУг) V3 4) \у) \у2) [7 8) [у
Тогда (й)+(й)=(1 i)(i)+(? S)0-
-(2х + у \ , (Ьх + 6у\ = ((2х + у) +(5х + 6у)\
[Зх +4у)-*-[7х + Ьу) \(Ъх -f 4у) + (7х + 8y)j
= 1(2 + 5)х + (1 + 6)у\ = /(2 + 5) (1 + 6)
1(3 + 7)х + (4 + 8)yj 1(3 + 7) (4 + 8)/ \у)
Отсюда мы приходим к такому правилу сложения квадратных
матриц:
а Ъ\,П т\ = На + I) (Ь + т)
с аГ\п р) \(с + п) (с + р)
Примечание. Так как а-\-Ь= Ъ + а, то сложение матриц
операция коммутативная.
Примеры.
2· β IK 2Н2 в
α Ь\ , /с Ь\_ц/а ίΛ=/3α 3b
с dy\c d) ' U d) \Sc 3d
На основании последнего примера мы принимаем такое правило:
если η — число, то
nla b\.= lna nb\
\с а) \пс па)
Таким образом, мы можем написать:
\ 7) (is i)-fo 32°)-» β ?) = 32'-
288

Упражнения
1. Найдете матрицу, эквивалентную каждому из следующих
выражений:
0)(? 1)ΗΊ οΚ Ϊ)
6)2 U 1)-»й !К(§ I
в,(? ?)+(~o2-M ?
r)(? o2)(? SM? SHG ?
2. Покажите, что при Л = /2 1
\0 3
Л2 — ЪА + 6/ = 0 =
(2 °о)
3. Покажите, что при В = / 1 1
1-1 2
β2 — 25 + 3/ = 0 = /О О
10 О
4. Покажите, что при
1) Л (S + С) = АВ + АС;
2) А (В + С) Φ (В + С) А.
5. Покажите, что для любых трех матриц Л, В и С всегда
выполняются соотношения:
А (В + С) = АВ + АС;
(В + С) А = ВА + СА.
Дистрибутивный закон
Упражнения 4 и 5 дают основание полагать, что умножение
матриц подчиняется дистрибутивному закону при условии, что при
умножении двух матриц умножение справа не то же, что умножение
слева. Это дает нам возможность выполнять преобразования
выражений, содержащих матрицы.
Примечание. Бессмысленно говорить о А ; В, где А и В —
матрицы.
289

Примеры.
1) (Л + 2В) (Л + ЗВ) = А (А + ЗВ) + 2В (А + ЗВ) = А2 +
+ ЗАВ + 2АВ + 6β2. Дальнейшее преобразование невозможно,
так как А В ч± В А;
2) (А —В) (А— 2В) = А (А — 2В) — В {А — 25) = А2 —
— 2АВ — ВА + 2В2;
3) (А —Г) (А— 31) = А (А — 31) - I (А — 31) = А2 —
- ЗА! - ΙΑ + ЗЛ = А2 — ЗА — А + 3/ - Л2 —4Л + 3/.
Упражнения
1. Покажите, что (А — I) (А + I) = А2 — I.
2. Упростите:
а) (А + В)2 г) (Л + /)2; ж) (Л - ЗВ) (А + В);
б) (Л - В)2 д) (Л + 3/) (Л - 21); з) (Л + θ) (Л - β).
в) (Л - /)2; е) (Л + 2В) (Л +3S);
3. Упростите:
а) (2Л — /) (Л — 3/); в) (Л + 3/) (Л — 3/);
б) (Л + 2/) (Л - /); г) (Л - 5/) (Л + 2/).
4. Разложите на множители:
а) Л2 + 5Л + 6/; г) Л2 — ЪА + 61; ж) А2 — 4Л - 5/;
б) А2 — 9/; д) Л2 — 5Л + 41; з) В2 — 2В + 31.
в) Л2 + 6Л + 57; е) Л2 — 6Л + 57;
5. Упростите:
а) (Л + В) (Л + 2Я);
б) (Л + ЗВ) (Л — 35);
в) (2Л + В) (Л + 2В).
6. Разложите на множители:
а) А2 + ВА+ ЗАВ + ЗВ2; г) 7Л2 + TAB + ΒΑ + Β2;
б) А2 — ВА+ 2АВ — 2В2; д) Л2 + TAB + ΒΑ + ТВ2.
в) 6Л2 + ЗВА + 2АВ + В2;
7. Покажите, что при Л = ( i* ^)
А2 + ЪА + 67 = φ,
где φ — нулевая матрица. .
8. A = 3E + 2FnE + F = I
а) Покажите, что Ε = А — 27 и F = 37 — Л.
Пусть Л = [ j ~), тогда Л2 — 5Л + 6/ = φ. Докажите
б) Покажите, что из предыдущих условий следует, что EF =
= О, Е2 — Е, F2 = F, найдите матрицы Ε и F.
290

в) Покажите, что А2 = 9£ + 4/\ Л3 - 27£ + 8F.
9. Л = 2Е + F; Ε + F = I.
а) Покажите, что Ε — А — / и F = 21 — А.
Покажите, что А2 — ЗА +21 = φ, если Л = (^ J
б) Покажите, что из предыдущих условий следует, что Е2 =
= Е, F2 = F, EF = φ; найдите Ε к F.
в) Покажите, что А2 = 4Е + F, А3 = 8Е + F.
Характеристическое уравнение
Квадратная и обратная матрицы. Предположим, что А =(а ^),
тогда
л 2 = (а Ь\(а b\_ (a2 + be ab + db\(a2 + be b(a + d)\
[с d) [с d) \ca + cd cb + d2) [c(a + d) cb + d2)'
Преобразуем этот результат так, чтобы выражение (а + d)
входило в каждый элемент матрицы:
Δ2 = (a(a + d) + (be — ad) b (a + d) \
\c(a + d) d(a + d) +cb — ad));
A2 = (a (a + d) b (a + d) _ (ad — be 0 \
[c (a + d) d(a + d) \0 ad — be))
-<« + *>£ *)-Δ/.
где Δ = ad — be — выражение, называемое определителем
матрицы Л. Отсюда А2 = (а + d) А — Δ/, или А2 — (а + d) A +
Δ/ = φ.
Последнее уравнение называется характеристическим
уравнением матрицы, а + d — сумма элементов главной диагонали,
φ — нулевая матрица: {~ ~ ]
Примечание, а) При а + d = О, А2 = — Δ/ и
преобразование А2 переводит некоторую фигуру в фигуру, ей подобную,
б) При Δ = О А2 = (а + d) А.
Примеры.
1. Матрица А = № ~) порождает следующее характеристичес-
тогда
кое уравнение:
А2 — ЪА + 6/ = φ, или А2 = ЪА — 61;
Л3 = ЪА2 — 6Л = 5 (ЪА — 6/) — 6Л = 19Л — 30/.
лз = ίο /3 0\_ /30 0\ _ /57-30 0 \ _ /27 0\
11 2) [0 30/ ~ U9 38—ЗОУ 1,19 18/
291

Таким образом, характеристическое уравнение может быть
использовано для сокращения арифметических вычислений при
нахождении степени матрицы.
Из характеристического уравнения мы можем найти значение
матрицы б, для которой В А — I (докажите, что из условия В А =
■= / следует, что АВ = /).
В (А2 — 5Л + 6/ ) = φ;
ΒΑ2 — ЪВА + 65/ = φ;
(ΒΑ) Л — 5 (ΒΑ) + 65 = φ;
А — 5/ + 65 = φ; (ΒΑ = /) .
Отсюда 65 = 5/ — А = /5 0\ /3 OW 2 0\.
[О 5) [I 2)~[-\ 3)'
Β _ 1 ί 2 0
6\-ι з;·
Β — матрица, «анулирующая» преобразование Л; матрица,
обратная матрице Л, записывается как А'1 (почему мы приняли такой
символ?). Проверьте:
(? 2)GHiS> K-? §) (!!)=-i (Г2)=(47>
2. Матрица А = η V\ порождает уравнение А2 — 6А +
+ 2/ = φ.
А2 = 6Л — 2! = 6/3 7\ _ /2 0\ _ /16 42\.
\1 3) [0 2)~\6 16 j*
дз = 6Л2 _ 2Д = 6 (6А — 2/) — 2Л = 34Л — 12/ = 34 (3 7\—
А'1 (А2 — 6Л + 21) = φ;
А — 6/ + 2А-1 = φ;
*ι-'-«-*-β?)-(?ϊ)-(_?-ϊ
3. Матрица Л = (а *) порождает характеристическое урав-
(а + d) А + Δ/ = φ.
Л"1 (Л2 — (а + d) Л + Δ/) = φ;
Л — (a + d)I + АА'1 = <р;
АЛ-Х= (а + d) / — Л = φ;
Δ Л~!= /(α + d) 0 \ /с 6W d —Ь\
О (а + d) [с d) \—с а)·
12 ON /90 238\.
0 12] \34 90 j'
292

ПриА^ОЛ-1^ — ( а °\ Это выражение стоит запомнить.
При Δ = 0 матрица Л-1 не может быть определена, и мы говорим,
что матрица Л особая, а ей обратная матрица не существует.
4. Матрица Л = I I порождает уравнение А2 —
6 6 1
6 6
6 6 6 \ 6 6 V 6 \зб 6/ 36
= 13л-^/.
36 36
Выполнять вычисления этим способом значительно проще, чем
вычислять Л3 непосредственным умножением.
Α-1.ΐ + λΑ-ι=ψ>
О О
lA'1 = --1-А =
6 б
Упражнения
1. Найдите характеристические уравнения матриц:
а) (ί "ί) °> (? з5) д) (J ?) ж) (i ί)
6) (! ί) r) (I S) e> (? i) 3) (I ?)
С помощью характеристических уравнений найдите значения
М3, /И"1 и Λ14 для каждой матрицы.
2. Для каждой из следующих матриц запишите а) ее
определитель; б) матрицу, ей обратную (если она существует):
293

1) /2 1\. 2) /5 2\. 3) /5 -2\. 4) /6 1\
[2 3)' [5 2)' [5 2)' [7 2[
3. Образуют ли матрицы некоммутативную группу
относительно умножения?
Система уравнений
Система уравнений
fix — 2y = 11;
\2х + 7у = 20
может быть записана следующим образом:
Умножив обе части равенства на обратную матрицу
^5 —2Г1 1/7 2\
получим:
(25-1Ж
ва на обратнун
) 39 [—2 5)
(ί) = 39(-2 5)(2θ)=39ΐ
77 + 40 \ 1/117
22 + 100/ 391 88/'
откуда
39 39
Как видите, использование матриц позволило довольно просто
решить систему уравнений.
Упражнения
Решите системы уравнений:
1. \2х + у = 7; 4. fix + 8у = 9; 7. fix — 7у = —8;
\2х + Зу = 11. \3х + 5у = 7. \3х — 4у = 6.
2. /5* — 2у = 6; 5. (4х + 7у = 18; 8. /5х + 2у = — 6;
\5* + 2у = 44. \5х + 9у = 17. \—4х + у = -8.
3. /5х + 3у = 8; 6. /Зл: + 4у = 11;
\9х + 5у = 11. (2л; + Зу = 9.
Приложения
Предположим, что мы хотим предсказать результаты выборов.
Для этого мы можем опросить группу избирателей и узнать, за кого
они собираются голосовать. Через некоторое время проведем
вторичный опрос. Предположим, что при втором опросе были получены
294

следующие данные: — избирателей, пожелавших ранее голосовать
за консерваторов, решили голосовать за лейбористов, а — тех,
5
кто ранее собирался голосовать за лейбористов, решили голосовать
за консерваторов (для простоты мы считаем, что .каждый
избиратель при опросе отвечает только «да» или «нет». Ответы «не знаю»
не принимаются). Эти данные можно записать в виде таблицы:
Коне. Лейб.
1 1]
10 5 | будут голосовать
JL i-l за
10 5
консерваторов
лейбористов
Пусть в результате первого опроса оказалось, что 40%
опрошенных решили голосовать за консерваторов, а 60% — за
лейбористов. Тогда результат второго опроса может быть записан таким
образом:
коне.
52 /лейб.
Предположим, что матрица, характеризующая изменение
точки зрения избирателей, постоянна. Тогда можно «предсказать»
результат третьего опроса:
Четвертый опрос дал бы результат:
'9 Г
Пятый опрос дал бы такой результат:
Ί ±\/б7,Б
10 5 w
h ΊΓ/\ 42,5
295

Из последовательности
/40\ /48\ /53, 6\ /57, 5\ /60, 25\
\О0)' \52)у \4в, 4J' Ц2, 5/ 139, 75j' '*'
можно сделать, по-видимому, вывод, что результат выборов будет
противоположен результатам первого опроса.
Метод, аналогичный только что рассмотренному, нередко
используется при анализе ряда ситуаций.
Рассмотрим теперь случай, когда, кроме ответов «да» и «нет»,
допускается ответ «не знаю».
Предположим, что при первом опросе 40% избирателей сказали,
что они будут голосовать за консерваторов, 40% — за лейбористов,
а 20% избирателей ответили, что они еще не пришли к решению.
Предположим, далее, что второй опрос показал изменение в
настроениях избирателей, характеризующееся следующей матрицей:
коне, либер. не решили
10
1
5
1
V0
1
10
4
5
10
^
1
10
4
V
консерваторы
лейбористы
' не решили
Заметьте, что сумма чисел в каждом столбце равна 1. Почему?
Таким образом, второй опрос дает следующее распределение
голосов:
/I 1 1\
1 ю ю ю V
11 1 \\
5 5 10 ||
- - ι /'
\10 10 5 /
/40 \
40 1
127
/34
42
ν24
Если считать, как и в первом случае, что изменейия в
настроениях избирателей сохраняются от опроса к опросу, то мы получим
следующую последовательность распределения голосов при
опросах;
к
л
Η
Вычислите 4-й и 5-й члены последовательности.
Каково ваше предположение относительно окончательного
результата выборов?
296

Упражнения
1. Несколько человек были дважды опрошены по одному и тому
же вопросу. По результатам этих опросов была составлена
матрица, характеризующая изменение точки зрения за период между
двумя опросами:
Да
Нет
в)
Результаты первого опроса, предположим, даны следующим
вектором:
а) Да
Нет
/40\ б) /
а) /40
160
в)
Исследуйте вероятный конечный результат в каждом случае.
2. Используйте характеристическое уравнение задания 1 для
проверки выполненного вами умножения матриц.
3. Найдите вероятный результат в задании 1, если бы
заданная матрица имела вид:
а) «Да»
«Нет»! — — —
«Не знаю» \ —
б)
/1 1 1\
4
J_
2
V3 4 Ч
результат первого опроса был представлен вектором:
40
40 |.
20
Глава 44. ЭЛЕМЕНТЫ ЛОГИКИ И ДИАГРАММЫ ВЕННА
1. Начертите диаграммы Венна, иллюстрирующие все
возможные случаи объединения множеств А и В.
2. Обозначьте множество всех теплокровных существ через W.
Рассмотрите высказывание: «Все собаки теплокровные». Как вы
начертили бы диаграмму Венна, представляющую множество W и
297

множество D всех собак? Обозначьте множество всех рыб через F
и множество всех живых существ через С. Считая, что все рыбы
имеют холодную кровь, начертите диаграмму Венна для
множеств С, W, D и F. Пользуясь вашей диаграммой, укажите еще
несколько истинных высказываний (дайте обоснование истинности
утверждений).
3. Предположим, что приведенные ниже высказывания истинны:
«Вся хорошая музыка классическая».
«Вся джазовая музыка хорошая».
Обозначьте множество всех музыкальных произведений через Λί,
множество всех хороших музыкальных произведений через G,
множество классических произведений через С и множество
джазовых произведений через Р. Начертите диаграмму Венна для
приведенных выше высказываний. Приведите еще высказывания,
истинность которых следует из истинности этих высказываний.
Объясните.
Следует ли из истинности указанных выше высказываний
истинность высказывания «Некоторые из произведений джазовой
музыки являются классическими?» Истинно ли высказывание
«Вся классическая музыка легкая»? Приведите обоснование
ответа.
4. Используя метод решения предыдущей задачи, определите
в каждом задании истинность заключения, считая истинными
первые высказывания. Для каждого задания начертите диаграмму
Венна.
а) «Все музыканты играют на инструментах».
«Некоторые математики — музыканты».
Следовательно, некоторые математики играют на музыкальных
инструментах.
б) «Все рыбы живут в воде».
«Все рыбы имеют жабры».
«Киты живут в воде».
Следовательно, киты имеют жабры.
в) «Некоторые животные больших размеров».
«Некоторые животные дикие».
Следовательно, некоторые дикие животные больших размеров.
г) «В темноте все кошки серы».
«Некоторые кошки белые».
Следовательно, некоторые белые кошки в темноте кажутся
серыми.
д) «Некоторые дикие животные едят мясо».
«Кролики — дикие животные».
Следовательно, кролики едят мясо.
е) «Дувр находится в Ланкашире».
«Ланкашир находится в Уэльсе».
* Следовательно, Дувр находится в Уэльсе.
ж) «Все черные коровы — буйволицы».
298

«Некоторые белые коровы — буйволицы».
Следовательно, некоторые белые коровы черные,
з) «Некоторые треугольники равнобедренные».
«Некоторые треугольники разносторонние».
Следовательно, некоторые равнобедренные треугольники
разносторонние,
и) «Все здоровые люди много ходят».
«Все люди, много ходящие, носят хорошую обувь».
«Все разумные люди носят хорошую обувь».
«Все разумные люди здоровы».
5. Начертите диаграммы Венна для следующих высказываний и,
считая эти высказывания истинными, составьте вывод из этих
посылок.
а) «Все мальчики носят короткие брюки».
«Некоторые мальчики выглядят смешно в коротких брюках».
б) «Некоторые рыжие имеют плохой характер».
«Некоторые рыжие быстро сгорают на солнце».
в) «Все англичане говорят по-английски».
«Люди, говорящие по-английски, живут в странах британского
содружества».
г) «Все священники носят круглые воротнички»:
«Все собаки носят ошейники».
д) «Все ценные картины прекрасны».
«Некоторые старые картины ценны».
е) «Все четные числа делятся на 2».
«3 — четное число».
ж) «Все четные числа делятся на 2».
«Некоторые четные числа делятся на 3».
«Некоторые четные числа делятся на 5».
з) «Все иокширцы суровы».
«Некоторые англичане — иокширцы».
и) «Все хорошие регбисты из Уэльса».
«Некоторые англичане играют на арфе».
«Некоторые уэльсцы играют на арфе».
«Некоторые англичане хорошо играют в регби».
Глава 45. АЛГЕБРА БУЛЯ
Предположим, имеется довольно сложная система водопровода с
большим числом кранов. Как мы могли бы ее упростить?
Рассмотрим системы, изображенные на рисунках 202 и 203 Со-
сотояния системы мы можем представить в виде таблицы, в которой
через F обозначено наличие в ней потока воды, а через О — его
отсутствие;
299

а) Параллельное соединение
труб
б) Последовательное
соединение труб
А
F
F
1 о
0
в
F
0
F
0
Состояние
системы
F
F
F
0
А
F
F
0
0
в
F
0
F
0
Состояние
системы
F
0
0
0
(см. рис. 202)
(см. рис. 203)
В каждой таблице представлены различные комбинации
положения кранов Л и В. Из таблицы а) следует, что при параллельном
соединении труб вода не идет через систему (рис. 202) только тогда,
когда оба крана закрыты. Из таблицы б) следует, что при
последовательном соединении труб вода идет только тогда, когда оба крана
открыты (рис. 203). Такие таблицы называются таблицами
истинности. Как мы могли бы упростить каждую систему? Для каких
целей следовало бы принять каждую из систем?
Теперь подумайте, что происходит в трубах водяной системы
при параллельном их соединении. При открытом кране А имеем:
F + F = F.
Из таблицы а) мы видим, что для описания состояния системы с
параллельным соединением труб удобно использовать понятие
суммы, если только условиться, что F + F = F. Система будет
характеризоваться значением суммы А + В.
Аналогично, если условиться, что F · F = F, то для описания
состояния системы с последовательным соединением труб удобно
использовать понятие произведения А и В. Обычно вместо
символа «F» используется 1 (единица). Состояние системы,
соответствующее отсутствию в ней потока, характеризуется числом 0. Таким
образом, А и В могут принимать значения 1 и 0.
Значения суммы А+В находится по обычным законам
арифметики, но только мы должны помнить, что
1 + 1 = 1.
Рис. 202.
300

Рис. 204.
Исследуем связь между рисунком 204 и выражением (или
функцией)
(А + В) · (С + D) · Е.
а) При открытых кранах Л, С и Ε и закрытых остальных кранах
система может быть представлена в виде:
А = 1, С = 1, £ = 1, В = 0, D = 0,
(1 + 0) · (1 + 0) · 1 = 1.
Следовательно, вода через систему проходит.
б) Если А = 0, В = 0, С = 1, D = 1, Ε = 1, то
(0 + 0) · (1 + 1) · 1 = 0 · 1 · 1 = 0.
Следовательно, вода через систему не проходит.
Все возможные состояния системы, включающей два крана,
приведены в следующих двух таблицах:
1+
0
1
0
0
1
1
1
1
•
0
0 0
1
0
1
0
1
А + В А- В
Упражнения
1. Найдите выражения (или функции), описывающие состояние
систем, данных на рисунке 205.
2. Найдите числовые значения выражений или функций,
полученных в предыдущей задаче:
а) для системы 1) А = 1, 5 = 0, 0=1,0=1, А = 1,
5 = 0, С = 1, D = 0;
б) для системы 2) А = 1, В = 1, С = 1, А = 0, 5=1,
С = 1, Л = 5 = С = 0;
301

Рис. 205.
в) для системы 3) А = 1, В = 1, С = 1; А = 0, В = 0, С = 1;
Л = 5 = 1, С= 0;
г) для системы 4) А = 1, S = 0, С = 0, D = 1, £ - 0, F = 0,
G- 1;
Л = С, 5 = 0, С = 1, D = 1, Ε = U F = О,
G = 0.
3. Начертите схемы систем, характеризующихся следующими
выражениями (или функциями):
а) А + В · С; г) (А + В · С) - (D + Ε · F);
б) (Л + 5) · С; д) (А+В). (С + D) + (E+F) · (F+G).
в) (Л + В) · (С + D);
Электрические цепи
Все, что мы сделали ранее, может быть применено к
электрическим цепям, если вместо труб мы будем рассматривать проводники,
а вместо кранов — переключатели. В такой форме инженеры по
электронике используют математическую модель для
конструирования различных цепей и электронных вычислительных машин.
Электрические цепи более интересны для нас, так как такие
приборы легче сконструировать для использования их в
классе, чем водяную систему. Иногда мы используем клапаны или
переключатели, сконструированные так, что в системе два или
большее их число одновременно включены или выключены. Тогда мы
обозначаем их одной буквой. Так, например, схема на рисунке
206, может быть представлена в виде выражения (х + у) · ху так
как переключатели χ одновременно включаются или выключаются.
302

Таблица истинности для этой цепи:
X
0
0
1
1
у
0
1
0
1
х+ У
0
1
1
1
(х + у) · χ
0
0
1
1
<*>
Рис. 206.
<D—
Таким образом, (х + у) · χ всегда имеет то же значение, что и х.
Поэтому мы можем записать:
(х + у) · χ = х.
Знак равенства означает, что цепь, характеризуемая функциями
(х+у) · х и х, дает один и тот же результат.
Проверьте двумя способами (анализом самой цепи и
составлением таблицы истинности), что для всех значений χ выполняются
равенства
X + X = X.
Иногда два переключателя устанавливают так, что при
выключенном одном второй всегда включен, и наоборот. Обозначим
такие переключатели χ и х'. Таблица истинности таких
переключателей будет:
X
0
1
Χ' ι
1
0
Рис. 207.
Покажите, что χ · χ' = 0, χ + χ' = 1.
Заметьте, что (χ')' — χ.
Замечание. Исследуйте связь между двоичной
арифметикой и таблицами истинности.
На рисунке 207 изображено устройство, называемое
переключателем цепи, с двумя переключателями х, одновременно
включенными или выключенными, и двумя переключателями х', положение
которых всегда противоположно положению переключателей х.
Рубильник S — двухполюсный. Точки, обозначенные через Г, пред-
303

L__5.
У У
—· ·
у' у'
-· ·
си
5
-у_|
-х'-
Рис. 208.
-Ч5Н
назначены для подсоединения к
цепи приборов. Средние точки Τ назы-
В) ваются входными, а боковые пары—
выходными,
(в) — электролампа -||
батарея. Подсоединение устройства к цепи показано на рисунке 208,
здесь же дана схема цепи. Мы можем представить контур в
алгебраической форме: ,
(х + У') · *'.
При числовом значении этого выражения, равном 1, лампочка будет
гореть.
Составим таблицу истинности:
X
о
0
1
1
У
0
1
0
1
х'
1
1
0
0
У'
1
0
1
0
х+ У'
1
0
1
1
(х+у') · χ'
1 1
0
0
0
Видно, что лампа горит только при выключенных переключателях
χ и у.
Покажите, составив таблицы истинности, что
1. χ · {х' + у) --= χ · у 3. (х + у)' = х' · у'
2. χ + х' · у = χ + у 4. (х · у)' = х' + у'
Теперь проверьте вашу таблицу по электросхеме.
Конструирование цепей
Таблица 1
X
0
1 °
1
1
У
0
1
0
1
Xе
1
1
0
0
У'
1
0
1
0
ху
0
0
0
1
х'у
0
1
0
0
ху'
0
0
1
0
х'У
Х 1
0
0
0
304

В таблице истинности показаны все возможные значения х, у,
х',У', ХУ, *'У> ху'> х'У'· λ
Последние 4 столбца очень интересны: заметьте положение ι
в каждом из них. Это позволяет нам составить функцию,
соответствующую двум независимым переключателям и принимающую
заданное множество значений истинности.
Пример. Функция С задана таблицей:
X
δ
0
1
1
У
0
1
0
| 1
с
1
1
0
ι |
Мы видим, что функция С принимает значение, равное 1, в первой,
второй и четвертой строках. Мы можем получить этот результат,
складывая χ у' (1 в первом ряду), χ у (1 во втором ряду) и ху (1 в^чет-
вертом ряду). Таким образом, цепь, характеризуемая функцией С,
будет:
х'у' + х'у + ху.
Предположим, что мы хотим составить цепь для зала, в котором
центральный свет должен включаться или выключаться
выключателем, находящимся в начале и конце зала. Составляем таблицу:
Переключатель
в начале зала
X
0
0
1
1
Переключатель
в конце зала
У
0
1
0
ι 1
Свет,
L
1
0
0
1
Задача теперь заключается в том, чтобы составить функцию L для
такой системы установки переключателей, при которой функция,
принимает значения, приведенные в последнем столбце таблицы.
Метод 1. Используйте таблицу 1 : L = χ у' + XV-
Метод 2. χ + у' может принимать значение 1 или 0;
х' + у может принимать значение 0 или 1.
Мы хотим, чтобы свет был зажжен, если эти выражения
одновременно принимают значение 1. Это может быть достигнуто в случае
(х + У) ' (*' + У),
что соответствует схеме на рисунке 209.
305

-</'-
Рис. 209.
После перемножения получим:
хх + χ у' + ху + уу' = χ у' + ху {хх = 0, уу' = 0).
Примечание, лс'у'+ху — цепь, полученная на основе
таблицы 1.
Соберите цепь по полученной схеме и проверьте, что в каждом
случае вы получаете желаемый результат. Начертите таблицу,
аналогичную таблице 1, для трех переключателей х, у, г.
1. По таблице истинности найдите функции для каждой цепи
и начертите цепи, соответствующие этим функциям:
а)
X
0
0
1
1
У
0
1
0
1
А
1
1
0
0
в
0
1
1
1
с
1
1
1
0 |
D
1
0
1
1
б)
X
0
0
0
0
1
1
1
1
У
0
0
1
1
0
0
1
1
г
0
1
0
1
0
1
0
1
L
1
1
1
0
0
0
1
1
Μ
1
0
1
0
1
1
1
1
N
1
0
1
1
1
0
1
1
J
Ρ
1
1
0
1
1
1
0
0
2. Составьте схему, позволяющую включать освещение зала
любым из трех выключателей.
Алгебра Буля
Алгебра, которой мы только что пользовались, — пример
булевой алгебры. Давайте посмотрим, что мы имели:
Правило 1. Переменная может принимать значение 0
или 1.
306

]-CDJ
\ и 1
Правило 2. Для любого χ
имеется такое х\ что χ всегда имеет
значение, «противоположное» значению х.
Правило 3. х+х=х; χ · х=х;
1 + χ = 1; хх = 0; χ + χ' = 1.
Составив таблицу истинности, мы
можем показать, что всегда верно
следующее:
* · у = у · *! * + у = у + *;
* · (у + г) = * · у + χ' ζ> у
* * (* + У) = * + * · у = (х + у) - у; Рис. 210.
х + (у . г) = (Х + У) · (х + г);
*·(*' + у) = * · у;
* + (*' · у) = χ + у;
(х + у)7 = χ · у';
(х . у)' = χ' + у'.
Пять последних тождеств не имеют места в обычной алгебре.
Остальные могли бы быть выведены на основе обычной алгебры.
Алгебру Буля можно использовать для упрощения цепей.
Пример. Цепь на рисунке 210 может быть записана как
С = (х + У) У' + (х + У).
Упрощая это выражение, получим:
С = ху' + уу' + χ + у = ху' + χ + у =
= (х + У) + х = х + V,
(ху' + у) + χ
или
С = (χ + у) (у' + 1) = χ + у.
Таким образом, заданная цепь может быть заменена более простой
с двумя параллельно включенными переключателями. Проверьте,
что обе эти цепи имеют одну и ту же таблицу истинности.
Упражнения
1. Запишите булеву функцию для каждого контура, найдите
упрощенную эквивалентную функцию, составьте для них таблицы
истинности и начертите упрощенную эквивалентную цепь. Наконец,
соберите цепи по обеим схемам и проверьте полученные вами
результаты (рис. 211).
2. Упростите полученные вами в упражнении 1 на странице
306 булевы функции для цепей 1 и 2.
3. На основе решения упражнения 1 покажите, как составить
цепь с тремя двуполюсными рубильниками так, чтобы свет мог бы
включаться или выключаться любым из трех рубильников.
307

o)\
я
-y'-
6)
ι X
у 1
1 λ
— у—
у 1
г]_
\ у 1
д)
-у—'
-У"
-х —
-ζ —
е)
"β—ι
-β—1
з)
Рис. 211.
-с-
-А-
Υ-Β-
L— с—i
ι—А»-
I—c,_j
л) (А+ВУА'+ВА;
м) (А+В+СУ+ВС;
н)(А+В+С)(А'+В'+С);
о) (ABC) · {А'В'С'У
4. Упростите или найдите эквивалентное выражение для
следующих булевых функций:
а) (А + В)А; е) (А + β)';
б) (А + В)А'\ ж) А(А+В)' А';
в) (А+В+С)(А'+В'); з) (А+В+СУ;
г) (А + В) С; и) (АВСУ; Θ;
д) (AB+Q.(A'B'+Q; к) (Л' + β')';
п) (ВС + А) + (С + В'С + ВА) · (В + С) · В + (Л'+ А).
5. Начертите схемы чцепей для каждой функции из
упражнения 4.
6. Начертите схему цепи из трех переключателей
электродвигателя, при которой электродвигатель включался бы только при
одновременном нажатии любых двух переключателей.
7. Начертите схему цепи из трех переключателей для
электродвигателя, который включался бы только при нажатии всех трех
переключателей.
8. Составьте схему, которой могли бы пользоваться трое судей
соревнований. Контрольная лампа должна загораться только в
случае, если двое или трое судей ставят переключатель в
положение «Включено».
308

Счетная машина
1. Предположим, мы хотим составить цепь для сложения
однозначных двоичных чисел X и У; X и Υ могут принимать значение
О или 1. Мы можем получить четыре возможных результата:
X 0 1 0 1
Г 0 0 1 1
+
S2S{
о2 о1 о2 o4 о2 «bj о2 «bj
о о
О 1
О 1
1 О
SiS2— лампы зажигающиеся, если один или оба выключателя χ
и у включены.
Составим таблицу истинности, которой и будем пользоваться
для составления цепи. Из таблицы мы видим, что
S2 = XY
X
0
0
1
1
Υ
0
1
0
1
s2
0
0
0
1
Sj
0
1
1
0
S, = ΧΎ + XV
Пользуясь таблицей, начертите схему для двух цепей,
питающихся от одной батареи, и проверьте, что она может служить
двоичным сумматором.
2. Для сложения двузначного и однозначного чисел нам нужно
рассмотреть все возможные значения, которые могут принимать
Χ, Υ и W:
Χ Υ
W
+
£>3 &2 $1
X, У, W — переключатели, их положение характеризуется
числами 0 и 1, состояние ламп S3, S2, S{ также характеризуется числами
О и 1. Рассмотрите все случаи (в том числе случай 00 + 0) и
составьте таблицу, аналогичную приведенной выше. По
составленной таблице зарисуйте соответствующие цепи.
Логика
Булева алгебра может быть применена и к логике. Рассмотрите
высказывание «Джон пойдет». Обозначим это высказывание через
/. Через /' обозначим высказывание «Джон не пойдет». Обозначим
через Μ высказывание «Мария пойдет». Если высказывание Μ
309

истинно, будем приписывать ему значение, равное единице: Μ =
=-- 1; если высказывание Μ ложно, будем считать, что Μ = 0.
а) Рассмотрим теперь высказывание X:
X = «Джон пойдет только тогда, когда пойдет Мария». Это
высказывание будет истинным (будет иметь значение, равное 1)
только тогда, когда (одновременно) значения истинности / и Μ равны
1. Если / и Μ одновременно или хотя бы одно из них равно 0,
тогда высказывание X ложно (его значение равно 0). Таким образом,
высказывание X может быть выражено как произведение I - М.
б) Выражению / · Μ может быть дан и другой смысл:
рассмотрим истинность высказывания Υ:
Υ — «Джон пойдет, и Мария пойдет».
Высказывание Υ будет истинным только в случае / = 1 и Μ — 1.
Если I и Μ одновременно равно нулю, тогда и Υ равен 0.
в) Теперь рассмотрим высказывание S:
S = «или Джон пойдет, или Мария пойдет».
Оно может быть истинным, если или / = 1, или Μ = 1. Оно
будет ложным, только если / = 0 и Μ = 0. Выражение I + Μ
удовлетворяет этим условиям. Если выражение I + Μ
подчиняется законам булевой алгебры, то S должно быть истинными в
случае, если / = 1 и Μ = 1.
/
0
о
1
1
м
0
1
0
1
l + M= s\
0
1
1
1
Сравните это с языком обычной жизни.
Примечание. Если XY = 1, то X = Υ = 1. Если ΧΥ =
= 0, то или X = 0, или Υ = 0, или X = Υ = 0.
Вопросы для обсуждения
1. Запишите, какой смысл может быть дан выражениям:
Μ + /; ΜΙ; Λί' + /; ΜΙ'; Μ + Λί\
2. Составьте таблицы истинности для булевых функций в
упражнении 1.
3. Рассмотрите высказывание «Математика легкая, если только
учитель не скучный». Обозначьте высказывание «Математика лег-
310

кая» через М> высказывание «учитель скучный» через Т. Какое
из следующих уравнений соответствует заданному высказыванию?
Объясните почему.
Μ + Г = 1; Μ' + Τ = 1; Μ + Τ = 1; Μ + Г = 0;
Μ + Τ = 0; Μ · Г - 1; Λί · Г = 1; ЛГ · Γ = 0;
Λί · Г = 0.
4. Запишите, используя булеву алгебру, следующие
высказывания:
а) «Вычислений боятся, если учитель скучный»;
б) «Математика легкая только в случае, когда вычислений не
боятся».
5. «На школьном вечере танцев я видел Георга и Петра,
которые пришли с Катей и Марией». Обозначьте высказывание «Георг
пригласил Катю танцевать» через Гк и т. д. Выясните числовые
значения каждой из функций:
а) Гк+ /V, в) Гк + Пк\ д) Пк + 1ГК\ ж) Гк + П'к.
б) Пк + Пк; г) Гк П'м; е) Пк · П'к;
в. Георг, Петр и Билл пригласили на танцы Анну, Катю и
Марию. Каждый из мальчиков пригласил одну издевочек. После
танцев мне сказали: «Георг пригласил Анну» (Гл), «Петр не
пригласил Анну» (Я'л); «Билл не пригласил Марию» (Б'м)- Только
одно из этих высказываний истинно.
1) Найдите значение истинности (дайте обоснование)
следующих выражений:
а) ГА + ГА; е) ГАПАБМ; и) ГА + ПА + БА,
б) ПА + ΠΑι ж) ГАПА; к) ГАП'ЛБМ + Г'АП'АБМ;
*)Би + В'м1 *)ГМБ'М; л)(ГА + ГАУ.
г) ГА + П'А + Бм;
Д) ГАПА + П'АБ'М + ГАБ"М;
2) Упростите, используя булеву алгебру, следующие
выражения:
а) (ГА + ГА) (ПА + ПА);
б) (ГА + ПА+ БА) (ГАПАБМ + ГАПАБМ).
3) На основе результатов упражнений (и) и (к) найдите
значение П'АБМ.
4) Каковы значения истинности ГА, П''А, Б'м и Бм?
Воспользуйтесь результатом упражнения 3).
Теперь вы можете сказать, кто кого пригласил на танцы.
311

7. В клубе некоторые его члены избираются для работы в трех
комиссиях Л, 5 и С. Избранные могут уже сами решить, в какой
из комиссий они будут работать. При этом должно выполняться
следующее условие: выбранные могут работать или одновременно
в комиссиях А и В, или в комиссии С, или одновременно во всех
трех комиссиях.
Почему А + В + С = 1? Выразите это правило булевой
функцией F. Упростите произведение (А + В + С) F. Какой вывод вы
делаете?
8. Дядя Билл собирается на крикетный матч. Он обещает взять
fc собой или Джона, или Боба. Он обещает Петру, что он или
возьмет его, или не возьмет Боба.
а) Если он выполнит все свои обещания и возьмет с собой
только одного мальчика, можете ли вы сказать кого?
б) Если он решит взять трех мальчиков, какое обещание (или
никакое) он нарушит?
Г л а в а 46. ПРЕДЕЛЫ, РЯДЫ И ИНТЕГРАЛЫ
Обсуждение
1. Возьмите полоску бумаги длиной примерно 15 см и
шириной 1 см. Сложите ее пополам (АВ на рис. 212), затем правую часть
(ВО) сложите еще раз пополам, и так повторите несколько раз:
АВ = -, ВС = -, CD =-, ...
2 4 8
Теперь попробуйте определить, чему равна сумма—1 Ь Ь
2 4 8
+ ... Это выражение называется бесконечным рядом.
Какая часть полоски останется, если в сумме 1 + — +
2 4 8
+ ... последний член будет равен —? —?
32 128
Предположим, что Sn = ^~+7 + ^ + ··· + ^.
Какой длины станет полоска, если мы отрежем от нее часть
длиною Sn?
§■ τ-ТТ? Каково значение 1 — Sn? Почему
sn+ 1 >sn?
Задумайте сколь угодно малое
число. Объясните, как бы вы полу-
PhL. 212. чили разность 1—Sn, меньшую, чем
312

это число. Можете ли вы выбрать η так, чтобы 1 — Sn = О?
Этот процесс называется «нахождение предела Sn при п,
стремящемся к бесконечности», и мы записываем:
limSn = 1.
П -* оо
Заметьте, что мы можем утверждать, что предел Sn равен
единице, так как мы можем всегда сделать разность 1 —Sn меньшей,
чем любое выбранное вами число.
2. Найдите lim —. Объясните, как вы пришли к этому резуль·
П -* оо 2
тату.
3. Найдите lim —. Объясните, как вы получили этот результат.
П -* со П
4. Найдите lim ^-1-. Оъясните, как вы получили этот результат.
5. Вычислите: a) lim (/2+1)3; б) lim (n+ 1)2; в) lim (/г + 1)4;
,1 - *. /г3 П - оо П2 η -* оо П*
г) lim — , если а — натуральное число, большее 1; если а = 1.
η - оо ап
6. Рассмотрите бесконечный ряд
± + ±+±-4-
Как вы думаете, имеет ли этот ряд сумму?
Возьмите полоску бумаги длиной 9 см и шириной 1 см.
Сложите ее втрое. Затем, сгибая бумагу, разделите среднюю часть еще
на 3 части. Какую часть первоначальной полоски составляет
каждая из полученных частей? Разделите среднюю часть полоски еще
на три части. Какую теперь часть полоски вы получили?
Пусть Sn = — + — + — + ... + —.
J 3 9 27 3"
Вычислите: Si,S2,S3,S4. Почему Sn + \ >Sn? Чему равны
выражения: 1—2S3? (посмотрите на вашу полоску бумаги) 1—2S4?
1 - 2S5? 1 - 2Sn?
Задумайте сколь угодно малое число. Объясните, как вы
можете выбрать η так, чтобы 1 — 2Sn было меньше, чем это число.
Найдите lim (1 — 2SJ. Найдите lim Sn.
П -*" оо η -*" оо
7. Начертите полоску длиной 5 см и шириной 1 см. Если эта
фигура является половиной более длинной полосы L, то чему равна
длина полосы L?
Отметьте точки, удаленные на — L от обоих концов начерчен-
5
ной вами полосы. Назовите эти точки Αι и Вх. Пусть точки Л2 и В2
на отрезке А{В{ такие, что А{А2 = —L, Β2Β{ = — L. Точки
А3 и В3 такие, что А2А3 = — L, В3В2 = — L.
6 ό 2 3 125 3 125
313

Чему, по-вашему, будет равна сумма ряда
1 + 1 + ...?
5 25
Пусть S„ = — + — + ... f — .
п 5 25 5я
Объясните, почему Sn+i > Sn.
Чему равно значение 2S3? 2S4? 2S5?
Объясните, как бы вы могли найти η так, чтобы разность 2Sn
была бы меньше заданного сколь угодно малого числа?
Найдите lim Sn.
Найдите lim (
Π -* оо \ 2
8. Итак
-!■ + -!-
2 4
J- + -L
3 9
λ + 1
5 25
-2S„).
, мы получили:
+i + -
+έ + -
+ ά + ·
• = i;
1
•~ 2 '
_ 1
" ~ 4
Что вы можете сказать о следующих суммах:
а) 1 + 1 + 1 + ...; б) 1 + 1 + ...; в) 1 + 1 +.
; 4 16Т64 ' 6 ^ 36 ^ 7 7 49
Эти ряды называются сходящимися.
9. Предположим, что:
Sn = 1 + л* + х2 + ... + х"'1 (сколько всего
членов?)
xSn = x + x2 + ...+ хп'1 + хп
«Ьп Xоп = 1 X
(l—x)Sn = \—xn
с _ 1 хп
1-х 1 — χ
Если х< 1, то lim хп = 0. Чему равен HmSn?
Уяражяеияя
Используя метод, рассмотренный в упражнении 9, найдите
следующие суммы:
314

1. 2+ 4+ 8+ ... + 128. 3. 1 + - + — + ... + —
10 100 ΙΟ6*
2. 1 + — + — +...+ —. 4. 1 +-+ — + ...+ —.
3 9 3s 10 ΙΟ2 ΙΟ10
Найдите п-н член, сумму η членов и сумму ряда:
8. -+ — + — + ...
10 100 1000
9. 1+1 + 15 + ...
5 25 ^
ίο. ι + A+JL + ...
4 ' 16п
10. Рассмотрите следующие примеры:
а) 1
1 — 1
1-1 + 1
1—1+1—1
5, = 1 - 1 + 1
Можете ли вы сказать, имеют ли ряды (а), (б) и (в) суммы?
Такие ряды называются расходящимися.
11. Легенда говорит, что изобретателю шахмат было
предложено самому назвать себе награду. Он попросил, чтобы на первый
квадрат шахматной доски было положено 2 зерна, на второй 4
зерна, на третий 8 зерен и т. д. до 64-го квадрата. Сколько
примерно зерен он попросил? Много это или мало?
12. Мяч бросают с высоты 4 м. После каждого падения мяч
поднимается на высоту, составляющую половину высоты его
последнего падения. На сколько поднялся он после первого удара о
землю? после второго удара? Каков общий путь мяча от начала
его движения до момента его второго удара о землю? до момента
его третьего удара о землю? Как высоко он поднимется после
третьего удара о землю? Какое расстояние пройдет мяч от начала
движения до момента его пятого удара о землю? Каков общий путь
мяча?
13. Найдите общий путь, пройденный мячом, брошенным с
высоты 3 му если после каждого удара о землю он поднимается на —
о
высоты предшествующего падения.
14. Найдите общий путь, пройденный мячом, брошенным с вы-
2
соты 7 му если после каждого удара о землю он поднимается на —
5
высоты предшествующего падения.
315
5. 1 + А + А + ...
^3 9
6. - + — +...
10 100
7-1 + Го + 4 + -
б) 1 + 2 + 22 + 23 + ...
в) 1 + 1 + 1+ -+ ...
' 2 2 2
-1 + ... + 1

Сумма степеней
Сумма первых η натуральных чисел
Рассмотрим ряд:
St (л) = 1 + 2 + ... + п.
Мы можем эту же сумму записать в виде:
Si (п) = п+(п— 1) + ... + 2+1.
Складывая, получим:
2St (η) = {η + 1) + {η + 1) + ... + {η + 1) - η {η + 1);
Объясните, почему для всех η > 1
Почему
±n±ir>2SJJn)> 1?
Найдите
lim^H
&
Л7
А
А
А
I
Сумма квадратов первых η натуральных чисел
Мы хотим оценить сумму
S2(n) = 12 + 22 + 32+ ... + ла.
Представим себе η призм, высота
каждой из них равна 1, а в
основании лежат квадраты, стороны
которых принимают все значения
натуральных чисел от 1 до п. Нам надо
определить общий объем этих призм,
для этого уложим их в ступенчатую
пирамиду (определим' ее высоту, рис.
213) и представим себе, что на нее
«надета» пирамида, в основании
которой лежит квадрат. Чему равна
высота этой пирамиды? чему
равна площадь ее основания? ее объем?
Чему равен объем пирамиды,
обозначенной штриховой линией? (рис.
Рис.213. 213) площадь ее основания?
ж
ι
К
316

Объясните, почему
Почему
3 2V ; 3
lim
5«(л).
Заметьте, что мы нашли этот предел, не зная формулы для
вычисления S2 (n).
Сумма кубов первых η чисел
Мы хотим оценить сумму S3 (n):
S3(n) = 1 + 23+ 33+ ... + η3.
Рассмотрите рисунок 214. Обратите внимание на то, как
разрезан каждый куб, начиная со второго. Объясните, почему мы можем
быть уверены, что
\п(п+\)У
S3(n)=(l+2 + 3 + ...+n)* =
Исходя из этого, покажите,
что lJL±uL>S,in)>f.
Найдите предел
lim
S3(n)
Π -> со Л*
Заметьте, что
п - ос п2 2
Π -> оо Л3 3
П - оо Л4 4
Кажется естественным предположить, что
η-, оо л"'*1 m+1
0
^ζτη L _κ 2
Ι "^ I I ^^ I
; 2
Рис. 214.
317

Рис. 215.
(мы можем доказать это методом
индукции на основе неравенства для Sn,
приведенного выше). Результат
может быть получен, даже если мы не
знаем формулы для вычисления Sm(n).
Приложения
Интеграл
Предположим, что мы хотим
найти площадь Л, заключенную между
кривой у = х2, осью Ох и прямой
χ = а (рис. 215)1; говорят: «площадь
под кривой у = х2».
Начертите кривую у = х2 для
О < χ < 2 и найдите площадь
фигуры под кривой, подсчитав число
единичных квадратов, заключенных внутри контура фигуры.
Теперь найдем площадь фигуры другим способом: разделим
отрезок оси Ох от точки О до точки а на 8 равных частей, и через
полученные точки деления проведем перпендикуляры к оси Ох до их
пересечения с кривой у = χ2.
Таким образом, фигура, площадь которой мы ищем, разделилась
на 8 полос равной ширины. Так, полоса UVYX имеет ширину UX =
= --и высоту UV=(— а)2. Полоса почти такая, как прямоугольник
о 8
UXWV (отличается на треугольник VWY).
Таким образом, полная площадь а фигуры будет приближенно
равна:
•+т
4а\а
+
_о/5а\з
AL(8) = a^Sz(7),
+
Мы знаем, что
Отсюда
Sa(7)
|>52(7)>|.
1
приближенно равно — :
^(8) «у.
1 Обратите внимание на необходимость более точного построения графика
(прим. перев.).
318

Если разделить аналогичным образом фигуру на η частей, где
η будет достаточно велико, то полоски окажутся очень узкими и
треугольники VWY> дающие ошибку метода, будут весьма малы:
площадь А фигуры будет приближенно равна:
A^AL(n) = ^{1* + 2» + ... + (п-т = i-S,(n- 1).
ь л3 п3
При достаточно большом η ошибка метода будет невелика, и при
η -> оо будем иметь:
lim — ' = —.
Я - со Л3 3
Отсюда
\imAL(n)=±a2 = А.
П -* оо 3
Мы
it П
пишем: Л = lim Г (полоски) = Г лс2^л:, где dx — ширина
П ■* о» J J
О О
полосок, S обозначает слово «сумма», а знак f —«элегантная»
форма S, обозначающая, что мы берем предел суммы, когда ширина
полоски «бесконечно мала». При таком обозначении
а
(Vdx=-a8.
о
Заметьте; площадь под кривой от χ = а до χ = Ъ
Ь а
Г хЧх— ^x2dx
о о
записывается:
ь
\x2dx.
а
Упражнения
2—2 О
Найдите: 1. { х2 dx. 3. Г х2 dx. 5. Г х2 dx.
0 0—2
2 2 3
2. Г х2 dx. 4. J1 x2 dx. 6. f jc2 dx.
1 -2 -2
319

Дополнительные задачи (необязательный материал).
7. Найдите площадь фигуры под кривой (рис. 215), заменяя
площадь полосок UVYX приближенно площадью
прямоугольников с основанием UX и высотой XY. Обозначьте площадь всех
таких полосок через Аи (п) и покажите, что:
I) Ли (п) = ^S2 (η); 2)я1пп Аи(п) = { я3;
AL(n)n<A<Att(n)\
J_ ^ ^2(^~- *) < JL <- S2Jn) / \ П I
3 л3 а3 л3 3
8. Вычислить интеграл: Г я3 dx.
о
Построим график функции у = х3 для 0 < χ < at и разобьем
фигуру под кривой, как и ранее, на η вертикальных полосок.
Покажите, что сумма площадей полосок приближенно равна
^{13 + 2з+з3 + ... + (Аг--1)3}.
η'
Отсюда покажите, что:
а Ь
1) Г jc3 dx = -^; 2) ί> Λ
О а
9. Покажите, что
а
а6
\ xdx =:
J 2
о
Заметьте, что
а а а
1) Г^* = -|; 2) Г*2Л = у; 3) ϊχ3άχ = —.
0 0 0
Вычислите:
а а а а
а) f jc4 dr, б) Г jc5djc; в) f хЧх\ г) f x°dx.
оооо
Внимательно изучите решение следующих двух примеров:
1 III
а) Uax2 + bx + с) dx = Г шсМ* + [bxdx + Г cdjc =
о ооо
=а\хЧх + b^xdx + с jd* = — + — + cl,
о
320

Ill III
6) f (αχ2 + bx + с) dx = Uax2 + bx + с) dx
ι о
— f (αχ2 + bx + с) · d*=...
Упражнения
Вычислите следующие интегралы:
2 5 4 2
1. (х8&. 4. \dx. 7. jV + jc — 1) dx. 10. JV+ \)dx.
0 0 1 1
3 3 5 3
2. jx3 dx. 5. Ux2+l)dx. 8. j(2*2 + χ) dx. 11. f (x3 +*2+
2 0 2 2
+ l)d*.
2 3 2
3. (xMk. 6. f(*a+l)dx. 9. \(x3 + x) dx.
0 2 2
Примечание. Площадь под графиком зависимости
скорости от времени численно равна пройденному пути.
12. Тело движется так, что через χ сек его скорость равна
16 χ м/сек. Найдите путь, пройденный телом за 2 сек.
13. Тело движется так, что его скорость через / сек равна
16/ м/сек. Найдите путь, пройденный телом за 4 сек.
14. Тело движется так, что через / сек его скорость равна 64 —
—16 / м/сек. Найдите путь, который прошло тело за / сек. Через
сколько времени оно вернется в начальную точку? (Заметьте, в
начальной точке расстояние равно нулю.) Объясните, что происходит
во время движения тела? Когда
скорость тела будет равна нулю
и как далеко оно будет в этот
момент от начальной точки? Что
случится после этого?
Объем шара
На рисунке 216 изображен
шар, точка О — центр шара, оси
Ох и Оу взаимно перпендикулярны.
Шар разбит, как это указано на
рисунке, на слои толщиной dx
каждый. Объем слоя,
находящегося на расстоянии χ от центра,
приближенно равен π (г2 — х2) · dx.
Рис. 216.
И Заказ № 736
321

Отсюда объем пол у шар а равен
г г
Г π (г2 — χ2) άχ = π Г (г2 — х2) dx = π (r2x — —У - - яг8.
о ·
Отсюда объем шара равен /-яг3.
Упражнения
1. Пользуясь логарифмической линейкой, найдите объем шара
радиуса:
а) 3 см; б) 6 см; в) 2,1 еж; г) 2,91 еж.
2. Найдите радиус шара, если его объем равен:
а) 88 куб. см; б) 1000 куб. см; в) 99,9 куб. см.
Вопросы для обсуждения
3. В деревянном шаре диаметра 2 см вдоль него просверлено
отверстие диаметра 0,5 см. Найдите объем высверленного
материала.
4. Свинцовый дверной стопор представляет собой часть шара
диаметра 18 сму отсеченную плоскостью на расстоянии 10 см от
центра шара. Каков объем стопора?
5. 9 дверном стопоре (задача 4) вдоль его оси симметрии
просверлено дтверстие диаметра 1 см. Каков объем стопора? Найдите
его вес^если известно, что плотность свинца равна 11,34 г/см3.
Г л а в а 47. СВОЙСТВА ОКРУЖНОСТИ
Симметрию окружности С = {(х, у) \ х2 + у2 = г2} можно
показать, используя геометрические преобразования.
а) Преобразование вращения
R0 =- ( е s ] , где с = cos θ, s = sin θ
переводит точку {х, у), принадлежащую окружности С, в точку
(хс + ys, ус — xs), также принадлежащую этой окружности.
б) Отражение
(1 3
относительно прямой, проходящей через начало координат и об-
322

разующей угол θ с осью Ох, преобразует данную окружность С
в окружность того же радиуса и с тем же центром.
в) Преобразование симметрии относительно точки О
также переводит заданную окружность в окружность того же
радиуса и с тем же центром.
г) Отражение относительно прямой χ = О
"'-(-4 Ϊ)
преобразует заданную окружность в окружность того же радиуса
и с тем же центром.
Таким образом, окружность имеет центр симметрии и
симметрична относительно любого ее диаметра. Отсюда следует, что (так
как хорда, перпендикулярная диаметру, при преобразовании
симметрии относительно этого диаметра переходит сама в себя)
диаметр, перпендикулярный хорде окружности, делит эту хорду
пополам.
Упражнения
1. Покажите, что параллельные хорды окружности являются
основаниями равнобедренной трапеции.
2. Покажите, что равные хорды отсекают от окружности
равные дуги.
3. Диаметр AD окружности с центром в точке О пересекает
хорду LM, ему перпендикулярную, в точке С.
Доказать, что AL = AM.
4. АС и BD — равные хорды, хорды АВ и CD пересекаются
в точке Р. Покажите, что PC = РВУ РА = PD.
5. Покажите, что общие касательные к двум окружностям
пересекаются на прямой, проходящей через центры этих
окружностей.
Какие еще свойства общих
касательных вы можете вывести из
этой фигуры?
Свойство хорды. На рисунке 217
изображена окружность радиуса ас а
центром О. Точка Ρ лежит вне
окружности, ОР = dw ОР= ct. PRQ —
—». -> —> -> -> —>
секущая, PR = r, OR = a> a =d +
->
+ г, отсюда _ Рис. 217.
"a2 = (t+ 7)2 = d» + 2d· T+ r*t
3?3

или
г2 + 2dr + (d2 — а2) = 0.
(г может быть или PR, или PQ).
Уравнение может быть записано в скалярной форме:
г2 + Ыг cos θ + (d2 — а2) = 0,
(Ζ. RPO =
положим,
= θ).
что PR -= /
Пусть / и т — возможные значения г;
и PQ = т, тогда уравнение
(г — 0 (г — т) = 0
равносильно предыдущему уравнению. Иными словами, уравнения
г2 — г (Z + т) + 1т = 0
и
г2 + 2dr cos θ + (d2 — α2) = 0
— разные формы одного и того же уравнения.
Отсюда lm = d2 — α2,
т. е. произведение PR · PQ = d2 — α2 не зависит от угла θ и
постоянно для любой прямой, проходящей через заданную точку Ρ
и пересекающей окружность.
Если точки Ρ и Q совпадают, то PRQ — касательная к
окружности, тогда I = т = t, где t — длина касательной РТ, и t2 =
= d2 — а2, т. е. Z. ОРТ == 90°.
Таким образом, касательная и радиус, проведенный в точку
касания, взаимно перпендикулярны. Заметьте, что через точку Р,
лежащую внутри окружности, провести касательную к окружности
нельзя, но соотношение PR - PQ == d2 — α2 остается
справедливым, хотя d<a. Отрицательное значение разности d2 — а2
показывает, что точки R и Q находятся по разные стороны от точки Р.
Отразим фигуру относительно прямой
ОР. Легко видеть, что через точку Ρ
проходят две касательные к окружности. Эти
касательные равны и образуют с прямой
J* ОР равные углы.
Рис. 218.
Рис. 219.
324

Упражнения
1. Закончите таблицу, составленную для фигуры, данной на
рисунке 217.
OR
OP
PR
PQ
PT
3
5
3
4
5
2
5
13
10
12
20
5
Примеры для обсуждения
2. На рисунке 218 показан прибор, изготовленный из
цилиндрической жестяной банки ABCD. Через центр ее верхнего
основания проходит тонкий карандаш Р, плотно входящий в отверстие
деревянной пластины. Прибор предназначен для измерения
радиуса сферической поверхности. Если точки D, Q и С находятся
на горизонтальной плоскости, то отметка X находится на уровне
верхней плоскости планки. Найдите радиус сферы, если диаметр
банки равен 8 см, а расстояние XY равно 1 см.
3. Найдите формулу для вычисления расстояния до видимого
горизонта с высоты h метров.
Теорема. Центральный угол равен удвоенному вписанному
углу, опирающемуся на ту же дугу.
1. а) Доказать, что LDOB = 2Z-DAB (рис. 219). ABD —
полуокружность с центром в точке О. Так как АО = OBt то
Z. ОАВ = Z. ОБА = α и Z. BOD = /1 ОАВ + Δ. ОВА = 2а.
Отсюда Z. DOB = 2/L DAB.
б) Доказать, что 2 Z. ВАС = Z_ BOC (рис. 220).
Проведем диаметр AOD, тогда
2Z-BAD = Δ.ΒΟΩ;
2/LDAC = Δ. DOC;
2 (Ζ. BAD + Ζ- DAC) = L· BOD + £. DOC;
2 Z_ ВАС = Ζ. SOC.
2. Доказать, что 2 Ζ. ВАС = Ζ. 50С (рис. 221). Достаючно
провести доказательство для единичной окружности (почему?).
325

Рис. 220.
Рис. 221.
Обозначим /LAOX через Θ, тогда координаты точки А,
лежащей на окружности, будут С и S, где С = cos θ, S — sin θ.
Обозначим Ζ. СОХ через φ, тогда С = (С1( d), где
d = cos φ, Si = sin φ и В = (— Ct, Si);
AB = (— d — C, St —S); If? = (Ci — C, Si —S);
\AB\2 = (- d - C)2 + (Si - S)2 = (d + C)2 + (S, - S)2 =
= (Ci + Si) + (C2 + S2) + 2Cd — 2SSi = 2 + 2CCt - 2SSt.
Аналогично
|ЛС|2 = 2 — 2 Cd — 2SSi.
Отсюда
|ASja · |IC|2 = 4 (1 + CCi—SSt) (1 — Cd —SSJ =
= 4 [(1 — SSi)2 — C2rf] = 4 1(1 — SSi)2 — (1 — S2) (1 —
— S?)] = 4 [1 — 2SSi + S2Si — 1 + S2 + Si —S2S?] =
- 4 [(S2 — 2SSi + S?) =4 (S, — S)a.
Отсюда |ЛВ| · | ЛС | = 2 (St — S).
AS . AC = [- (d + C), (St-S)] · [(d - C), (Sl-S)] =-
= _ (C? — C2) + (Sl—S)2 = — С? + C2 + S? + 52 —
2SSt = Si — 1 + 5? + 1 — 2SSt
= 2Si(S,-S).
2S, — 2SSi =
„ AB ■ AC c
Отсюда — —— = oi.
\AB\-\AC\
Ho cos Z_ СОК = St.
326

Таким образом, угол, образованный хордами АВ и АС, равен
углу, образованному радиусами YO и ОС, т. е.
L· ВАС = /- YOC = — Z. ВОСу
2
что имеет место для всех положений точки А на окружности.
Примечание. Доказательство приведено с целью
иллюстрации возможности использования понятия скалярного
произведения для доказательства теорем.
Модель. Приколите к классной доске диск, изображающий
окружность, так, чтобы он мог свободно вращаться около центра О.
Укрепите в точке А на границе диска булавку и две булавки в
точках В и С — на доске, но достаточно близко к диску. Натяните
между точками Л, В, О и Μ шнур. При вращении диска вам будет
хорошо видно, что величина угля Д4с — не изменяется.
Упражнения
1. На каждой из фигур на рисунке 222 найдите величины углов,
обозначенных буквами х, у и ζ.
Рис. 222.
327

2. Докажите, что в четырехугольнике,
вписанном в окружность, сумма
противоположных углов равна 180°.
3. Используя результат задания 2,
найдите значения хну на каждой из
фигур на рисунке 223.
4. Предположите, что вы шкипер
судна, и попытайтесь выйти в открытое мо-
^^^^JomepjjH^^E^ pe, минуя песчаную балку (см. карту на
рисунке 224).
Как вы используете свойство
вписанных углов, опирающихся на одну и ту
же дугу?
Рис. 224,
Глава 48. ФУНКЦИЯ у = ах2+Ьх + с
а) Рассмотрим функцию
у = г* + 4х + 3.
Мы можем записать правую часть как
у = г* + 4х + 4 — 1 = (х + 2)2 — 1.
Таким образом, значение у зависит от значения χ + 2.
Наименьшее значение у принимает при χ + 2 = 0 или л:=—2. Оно
равно — 1.
Мы можем также записать:
у = х2 + 4х + 3 - (х + 1) (х + 3).
328

Теперь составим таблицу:
X
х+ 3
х+ 1
У
χ < — 3
—
—
+
х = — г
0
—
0
— 3 < χ < — 1
+
—
—
χ = — I
+
0
0
*> — ι
+
+
+
Область изменения χ разделена, таким образом, на 3 области,
— оо < χ < — 3, 3 ^ χ < — 1, — 1 <х<оо. Минимальное
значение у принимает в «центре» средней области, при χ = — 2.
График функции у = х2 + 4х + 3 симметричен относительно
прямой χ = — 2.
Начертите (приближенно) этот график.
б) Повторите это же для функций:
1) у = χ* _ 4х + 3; 3) у = х2 — 2х — 3;
2) у = χ2 + 4х — 5; 4) у - х2 + 4х 4- 4.
Почему функция изменяет знак, проходя через нулевое
значение?
Функция у = х2
а) Рассмотрим преобразование /1 0\
\0 а),
примененное к функции у = х2:
х' ->х\
у'^ау,
и мы получаем новую кривую ау = х2. Начертите кривые ау = х2
для a=U 2, 3 (единичный отрезок на оси Оу примите равным — см)
Начертите кривые ау = х2 для а = — ; а = 0; а = ; а= —1;
4 4
а = — 2. Каково влияние α на график функции ау = х2?
б) Примените преобразование трансляции:
Χι = х + а
У1 = у;
к функции у = х2.
Функция примет вид:
У1 = (*ι — я)2·
329

Начертите графики этой функции для а = 1, 2, 0, — 1, —2.
в) Примените преобразование трансляции:
Χι = χ + а
У ι = У + Ь;
к функции у = х2.
Функция принимает вид:
yi — Ъ = (*ι — а)2 или у! = (*! — а)2 + Ъ.
1. Считая α = 0, начертите графики этой функции при Ъ = 1,2,
-1,-2.
2. Начертите график функции у = (xt — α)2 + b при α = 1,
6=1.
3. Начертите график функции yt = (x4 — а)2 + b при α = — 1,
6 = — 1.
• 4. Начертите оси координат. Положите на чертеж кальку. На
ней начертите график функции у = х2. Теперь переместите
относительно осей координат кальку так, чтобы вы получили график
функции у = (х— I)2 — 1. Для каких значений χ значение у равно
нулю? Чему равно наименьшее значение у? Перечертите график
в вашу тетрадь и заполните следующую таблицу:
X
знак у
χ < 0
х = 0
0 < χ < 2
х=*2
х> 2
Составьте аналогичные таблицы для графиков функций:
1) у = (д: _ 2)г — 1
2) у = (х — 2)2 + 1
3) у = (х + 2)г - 1
4) у=(х + 2)2+ 1;
5) у = г2 — 4х + 3;
6) у = *г + 4* — 5.
у = (* + &)* -f с — б2.
Функция х2 + 2Ьх + с
Мы можем написать функцию
у = хг + 2Ьх + с
в виде
Например, функция
у = я2 + 6х + 5
может быть записана в виде
у = (х + 3)г + 5 — θ = (χ + 3)а — 4.
330
0)
(2)

Какое преобразование должно быть применено к функции у=
= х2 для того, чтобы получить функцию (1)? Каково наименьшее
значение у? Для каких значений χ у = О?
Для ответа на последний вопрос мы поступим таким образом:
(*+3)2 = 4=>(x + 3)= + 2,
таким образом, или χ + 3 = 2, или χ + 3 = — 2, ι
х = — 1, или χ = — 5.
Отсюда χ2 + 6х + 5 = 0 при * = — 1 или при χ = — 5.
Эти значения называются нулями функции у — х2 + 6х + 5 или
корнями уравнения х2 + 6х + 5 = 0.
Найдите нули функций и значения х, для которых значения
функции положительны.
1. у = г* + 6х + 7.
2. у = χ2 _ 6х + 5.
3. у = х2 + 6х— 16.
4. у = *2 + 8* + 12.
5. у = х2 + 12* + 11.
6. у = χ2— 12* + И-
7. у = х2 + 5л; + 4.
8. у = χ2 + 5х — 6.
Функция у = ал:2 + &л: + с
Мы хотим преобразовать эту функцию в функцию yi=kxi2.
Положим, что у= yi + β; χ =^4 +α, тогда
У1+ β=Φι+α)2 + 6(*4 +α) + с;
у4 + β = ах\+ Χι (2α α +fc)+aa2+6a+c.
При 2яа + ft = 0, т. е. α = , член, содержащий х ь
обращается в нуль.
Если и свободный член равен нулю:
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
У =
У =
У =
У =
У =
У =
У =
У =
л2 — 5х — 6.
л2 — 5* + 4.
л-2 + 7х + 12.
л2 — 7х + 12
16 — 6* + г5.
8 + 7х — х2.
6 — 5л; — л2.
л2 + 26л- + с.
т. е.
Μϊ?Μϊγ)+<·
β = ϋ__£>2 = 4ас — Ь2
4а 2а 4а
то мы приходим к функции:
У! = ах\.
331

Таким образом, перенос χ = Χι + α; у = у ι +■ β при α = — и
β = ас~~— преобразует функцию у = ах2+Ьх + с в функцию
4а
у4 = αχ?. Это дает нам возможность найти значения χ при
заданном значении у:
4ас — Ь1
. Ь / у — — Ь
X -\ = ± "1 / 4а ИЛИ X =
2а I/ 2а
а
}
±у-
4ау — (4ас — Ь2) π Λ
—± ^ i- . При у = О
— & , 1 /δ2 — 4ас
X = ·
J/"6-"
2а — Г 2а
Пример, у = 2х2 + 6х + I (здесь а = 2, 6 = 6, с = 1).
Положим, у = у! + β; χ = *ι + а,
тогда у4 + β =2 (*! +α)2 + 6 (xt+a) + 1,
или у! + β = 2χΪ + Χι (4α + 6) + 2α2 + 6α + 1.
Если заданная функция преобразуется в функцию вида
y1=2*LTO α = -| = -{; β = 2(-})2+6(-{] + 1 =
e±_9+i=_i
2 2
И
У1 = У + γ и χι = χ + J-.
т. е.
*+} = ±
Жв_4 + ^+7
2 - 2
Приу=1 х -§-±1^+1. 1-±|- Зилиа
При у
332
^ 3,1/7 3+V7 3—у 7
= 0 а:=· ±-— = —— или -—.

При у < χ не может принимать действительных значений.
з 7
При 2у + 7 = 0 χ = , т. е. при у = χ имеет только
Ζ с
одно значение:
— — = 2х2 + 6.x + 1 или 2х2 + 6х + — = 0;
2 2
х2 + f + { = 0;
(х + 1)· = 0;
, + | = 0.
Л!ы шворим, что χ = является кратным корнем функции
у = 2х2 + 6х+ 1.
Симметричность графика показывает, что это значение у —
минимальное значение функции.
Для удобства положим нули функции у = 2х2 -+- 6х +■ 1
равными Г! и г2. Тогда заданную функцию мы можем записать в виде:
у= 2(х — Ti) .(x —Га).
Изучение поведения функции (ее нули, области положительных
и отрицательных значений) мы можем провести, рассматривая это
уравнение.
Упражнения
1. Найдите значения х, для которых функция
у = χ2 + χ — 1
принимает значение у = 0, 1,2. При каких значениях у χ
принимает действительные значения?
2. Найдите значения х, для которых функция
у = Зх2 + 6х + 1
принимает значения у = 0, у = — 1, у = — 2. При каком
значении у χ принимает кратные значения? При каких значениях у
значения χ действительны?
3. Найдите значения х, для которых функция
у = 2х2 — 2х — 1
принимает значения у = 0; у = 2; у = — 1. Найдите наименьшее
значение функции.
333

4. Найдите, для каких значений χ приведенные ниже функции
принимают значения:
у = 0; у = 2; у = — 1:
а) у = Зх2 — Ьх — 1; в) у = х2 — χ — 2.
б) у = л;2 — 2х — 5;
При каких значениях у χ принимает действительные значения?
5. Найдите наибольшие значения функций:
а) у = 1 — χ — х2; в) у = 5 — 2х — х2.
б) у « 3 — 2х — 2х2;
Задачи
1. Пусть х, бис — катеты и гипотенуза прямоугольного
треугольника. Запишите для этого треугольника теорему Пифагора.
Найдите стороны треугольника, если Ь = х + 7яс = х-{-8.
2. Диагональ квадрата равна 7 единицам, его сторона — (х + 2)
единиц. Найдите значение χ с точностью до десятых.
3. Диагональ прямоугольника равна (х + 5) единицам, его
стороны — χ и (х — 1) единицам. Найдите площадь прямоугольника.
4. Диагональ прямоугольника равна у единицам, его стороны
2 и (х — 1) единиц. Для каких значений у существует такой
прямоугольник?
5. Прямоугольная лужайка шириной 7 м и длиной 10 м
окружена дорожкой шириной χ м. Площадь дорожки 16 кв. м.
Найдите ее ширину.
6. Решите уравнение
-2 *-+ι=ο.
1 + χ 1-х
7. х одинаковых предметов стоят 10 шиллингов; (3 + х)
одинаковых предметов, каждый из которых на 2 шиллинга дешевле
первых, также стоят 10 шиллингов. Какова цена дешевого предмета?
8. Человек летом проехал расстояние в 100 км с некоторой
средней скоростью. Это же путешествие он повторил зимой,
средняя его скорость оказалась на 10 км в час меньше летней. В связи
с этим время поездки у него увеличилось на 0,5 ч. Найдите его
среднюю летнюю скорость.
9. Расстояние в 2 км в юру было пройдено на велосипеде на
5 мин дольше, чем расстояние в 4 км под гору. Найдите среднюю
скорость под гору, если она на 10 км в час больше средней скорости
в гору.
10. Начертите график функции у = Зх — х2. За единичный
отрезок на обеих осях координат возьмите отрезок, равный 2 см;
— 0,5 < χ < 3,5. По графику найдите (1) корни уравнения
Зл: — х2 — 1 = 0; 2) область значений х, для которых Зх — х2>—.
334

П. Покажите, что произведение четырех последовательных
целых чисел, увеличенное на 1, является точным квадратом.
Найдите эти числа, если указанная сумма является квадратом числа 41.
12. В трапеции одно из оснований в 4 раза более другого,
непараллельные стороны трапеции равны. Периметр трапеции равен
20 см, расстояние между параллельными сторонами равно 4 см.
Найдите стороны трапеции.
Глава 49. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Площадь фигуры
1. Рассмотрим воздействие преобразования
(χλ = (2 \\ (х
Ух) ~ U 2; \у} (1)
на точки квадрата с вершинами {(0,0), (1,0), (1,1), (0,1)}.
Постройте этот квадрат и четырехугольник, полученный в
результате преобразования (1). За единицу масштаба по обеим осям
примите отрезок в \ см.
Как найти площадь многоугольника?
Проверьте ваше предположение, построив четырехугольники с
вершинами:
а) {(0,0), (0,2), (2,1), (0,1)};
б) {(0, 0), (0,2) , (2,2), (2,3), (0,2)};
в) {(0,0), (0,-1), (-1, -2), (-1,0)},
и вычислив их площади и площади четырехугольников, полученных
в результате преобразования (1).
При вычислении этих площадей удобно вначале найти площади
прямоугольников.
Упражнения
1. Определите, как изменится площадь единичного квадрата
а) {(0,0), (1,0), (1,1), (0,1)};
б) {(а, 6), (а + 1, 6), (а + 1, Ъ + 1), (а, Ъ + 1)}
после преобразовани й:
3) /2 0\; 4) /1 0-
νθ I) [0 2
'»(ί -1}
5> (l \J
2> β !
6) (! 1
335

2. Постройте множество точек Л и их образы в преобразовании
(2 Г
0Λ
(U
если:
а) Л = {(0,2), (2,1), (0,1)};
б) А = {(0,1), (-1,0), (0, -1), (1,0)}.
Как изменились в результате этого пребразования площади
фигур?
3. Найдите площади образов единичного квадрата,
подвергшегося следующим преобразованиям:
а) (а 0\; в) (а Ь\; д)
Ιο ι) [о о)
б) (а 0\; г) 0 Ь); е)
[0 d) [с 0)
Из этих примеров мы видим, что преобразование с матрицей
(а Ь\ увеличивает площадь новой фигуры в (ad — be) раз. Если
[с d) ad=bcy то матрица преобразует заданную фигуру в фигуру
с нулевой площадью. Такие матрицы называют особыми, (ad — be)
называется детерминантом или определителем матрицы. При
(ad — be) = άζ 1 площадь фигуры не изменяется.
ж)
з)
Площадь эллипса
1. Множество точек {(ху у) \х2 + у2 = 4} представляет собой
окружность с центром в точке (0, 0) радиуса 2. Площадь круга,
ограниченного этой окружностью, равна 4я.
Предположим, что мы подвергнем круг преобразованию
Рис. 225.
0 \ т. е.
2
\ У = — У
Площадь полученной фигуры
будет равна половине площади
круга, а именно 2π.
{(*> У)\х2 + У2 = 4}-+{(Х', /|
*'■ + 4у/2 = 4}.
На рисунке 225 выполнено это
преобразование — каждая
ордината уменьшена в два раза. Как
называется полученная фигура?
336

2. Преобразуйте окружность {(χ, у) χ2 + у2 = 25} с
помощью матрицы:
Ί 0\
,· ι)·
Постройте заданную и полученную фигуры. Отметьте точки
(4,0) и (— 4,0). С помощью шнура длиной 16 единиц проверьте,
что фигура является эллипсом. Чему равна его площадь?
Какова длина большей и меньшей осей этого эллипса?
3. Найдите образ круга {(х, у) \ х2 + у2 = а2} после
преобразования
/1 0
и
Выведите, что площадь эллипса равна nab.
4. Исследуйте множество матриц
Η ί).
где а — целое число; α £ {...., — 2, — 1, 0, 1, 2, ...}.
Найдите SaSb, SbSa. Найдите SX9 если SaSx = /. Найдите
S,, где ρ = α".
Площадь под прямоугольной гиперболой
Начертите график у = — для 0 < χ < 6 (единичный отрезок
по обеим осям примите равным 2 еж), Предположим, что точка
Ρ с координатами (х9 —) принадлежит этому графику. Какой об-
X
раз этой точки после преобразования
Ik 0>
н°>
Как изменится площадь единичного квадрата после преобразования Г?
Пусть R (1,1) и Ρ (χ, —) — точки на кривой у = —, L (1, 0)
* χ
и Л1 (л:, 0) — точки на оси Ох. Эти точки после преобразования Τ
преобразуются в точки R', Р', L' и М'.
Преобразование Τ сохраняет площадь фигуры. Отсюда
площадь А (х) фигуры, ограниченной дугой кривой у = — и
X
отрезками RLy LM и MP, равна площади фигуры, ограниченной
337

кривой у'= — и отрезками R'L'',
χ'
VΜ' и Ρ'Μ'. Но из рисунка 226 мы
видим, что сами фигуры различны,
т. е.
Α (χ) = A (kx) — A (k)
или
A (kx) = A (k) + А (х),
А (1) = 0.
В частности, А (А?2) = 2Л (k).
Отсюда площадь под кривой
является основой счетного
приспособления, которое может быть
использовано для выполнения умножения
при помощи операции сложения.
Проверьте (подсчитывая для определения площади А (х) число
единичных квадратов), что
А (4) = 2Л (2);
А (6) = А (2) + А (3).
Найдите в вашей книге таблицу логарифмов, которая дает
значения А (х) для различных значений х.
ИНВАРИАНТЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
Некоторые преобразования, сохраняющие площади фигур
1. Мы видели, что для преобразований la fj\, не
изменяющих площадь фигуры, ad — be = + 1.
Действительно, при этом преобразовании вершины единичного
квадрата, {(0, 0), (0, 1), (1, 1,), (1, 0)} преобразуются в вершины
параллелограмма {(0,0), (а, с)у (а + Ь, с + d), (6, d)}.
При с = 0 и а = I квадрат преобразуется в параллелограмм,
одно из оснований которого находится на оси Ох.
При а = 0 и с = 1 квадрат преобразуется в параллелограмм
с основанием на оси Оу.
Преобразования, сохраняющие расстояние
между двумя точками. Изометрия
Ясно, что эти преобразования заключаются только в
перемещении фигур без их изменения.
Нам нужно найти условия, при которых преобразование
сохраняет расстояние между любыми двумя точками (хъ ух) и (лг2, у2)
таким же, что и расстояние между их прообразами.
338

Пусть преобразование определяется матрицей
(с I
Если преобразование сохраняет все расстояния, тогда
сохраняется и площадь, таким образом, определитель матрицы будет
равен + 1 или — 1. (Если определитель равен — 1, фигура будет
«перевернутой».)
(О, 1) —вектор единичной длины с началом в начале координат.
(1, 0) — вектор единичной длины с началом в начале
координат.
(0,1) -(6, d); (1,0) -(α, с).
Отсюда b2 + d2 = 1, (1)
а2 + с2= 1. (2)
А так как расстояние между точками (1,0) и (0,1) равно У 2 единиц,
то
(Ь - a)2 + (d- с)2 = 2,
или
Ь2 — 2ab + a2 + d2 — 2dc + с2 = 2. (3)
Преобразуя (3) с использованием (1) и (2), получим:
CL С
аЪ + dc = 0, или ab = — dc, или — = — —.
d Ь
Случай 1. Вращение.
ad — be = 1. Положим, а = kd и с = — Ыг,
тогда k2d2 + d2 = 1 \
^2 + k2b2 = 1 J из (1) и (2)
. => 1 _ k2 = 0,
откуда k = ± 1.
Мы замечаем, что при k2= 1 α2= d2 и с2 = Ъ2. При а2 = d2
а=±аис=+Ь.
Следовательно, имеются две возможности:
(а — с\ ία с\
[с а), [с —а),
Вторая матрица не подходит, так как ее определитель равен — 1.
При с = ± d = —г, Ь = н= а = -рг получим:
или
339

или
или
Следовательно, если ad— be = 1, тогда преобразование,
сохраняющее расстояние, имеет вид
(' Ί>
где а2 + с2 = 1.
Вместо а я с могут быть взяты числа cos θ и sin θ, так как
cos2 θ + sin2 θ = 1. Отсюда матрица преобразования будет:
/cos θ — sin θ\ или / cos θ sin θ \
\sin θ cos Q) \— sin θ cos θ )
Мы замечаем, что если образом точки Ρ является точка Р', то
ОР = ОР', следовательно, точки Ρ и Р' лежат на одной
окружности.
Такое преобразование называется преобразованием вращения.
Упражнения
1. Проверьте построением и измерением, что квадрат
'_3_ — 4\ {(0, 5), (5,5), (5,0), (0,0)} с помощью преобразования
5 5 \ поворачивается на некоторый угол.
5 5
2. На какой угол осуществляется поворот единичного вектора
(0,1) в результате следующих преобразований:
а)/± =з\ 6)/Vl 1
]/2" 2 / \ 2 2
в) У± =1\ г)
Ϋ2 V2
1 1
/2" Ϋ2
3. Перемножив матрицы
/cos θ — sin θ\ /cos θ
\sin θ cos θ) и \,sin θ
cos θ — sin θ
cos θ
340

покажите, что
cos 2 θ = cos2 θ—sin2 θ,
sin 2Θ = 2 sin θ cos θ.
4. Перемножив матрицы
/cos θ — sin θ\ /cos φ — sin φ\
\sin θ cos θ/ \sin φ cos φ/,
покажите, что
cos (θ + φ) = cos θ cos φ — sin θ sin φ,
sin (θ + φ) = sin θ cos φ + cos θ sin φ.
5. Запишите матрицу преобразования, осуществляющего
поворот плоскости относительно начала координат 1) на угол Θ,
2) на угол — Θ. Умножением двух матриц подтвердите, что
cos2 θ + sin2 θ = 1.
6. Покажите, что степени матрицы
образуют группу 8-го порядка. Можете ли вы обойтись без
умножения матриц?
Случай 2. Симметрия
ad — be — — 1.
Рассмотрим матрицу преобразования 1а *?), оставляющего
неизменным расстояние, определитель которой равен — 1. Наш
опыт свидетельствует, что при ad — cb = — 1 фигура изменяется.
Далее, а2 + с2 = 1,
b2 + d2= 1,
аЪ + dc = 0 или
Положим, что — = ky тогда
d
а = kd, с = — bk\
k2d2 + b2k2 = 1;
b2 + d2 = 1;
^2 — 1=0.
Следовательно, k2 = l=> k = ± 1, а и d будут иметь
противоположные знаки, если b и с имеют одинаковые знаки. Отсюда
а = — d, b = с.
341
а с
1 1'

Y\
\ °
lP(c,s)
/\м
//\ρ'μ
ί^ΛΘ-Φ \Α
/ *
/хг+уг=1
Условие k2 = 1 переводит данную
матрицу в матрицу
С 4
Рис. 227.
sin θ
-COS θ
Полагая а = cos θ, с = sin θ,
получим:
/cos θ sin θ\
\sin θ —cos θ/
преобразование, сохраняющее
расстояние и «переворачивающее»
фигуру.
Преобразование отображает
множество точек {(с, s) | с2 + s2 =
= 1} на множество {(cl9 Sj) | сг2 +
+ sx2 = 1}:
= Ic cos θ + s sin θ\
[с sin θ — s cos θ J
(a-
/cos θ
\sin θ
Если с = cos φ и s = sin φ, то
сх = cos φ cos θ + sin φ sin θ = cos (θ — φ);
sx = cos φ sin θ — sin φ cos θ = sin (θ — φ).
На рисунке 227 Ζ_ АОР = φ, Ζ. ЛОР7 = θ — φ, Ζ. ΡΌΡ =
= φ — (θ — φ) = 2φ — θ. Пусть ОМ — биссектриса Ζ. POP,
тогда
Ζ MOP = φ — - и Ζ ΡΌΛί = φ — -, Ζ ЛОМ = -
γ 2 γ 2 2·
Отсюда Ρ и Ρ' — точки, симметричные относительно оси (Ш, об-
θ θ
разующей угол — с осью ОХ. Так как Δ. ΑΟΜ равен — для
всех положений точки Р, то матрица
cos θ sin θ
sin θ — cos θ
определяет преобразование, отражающее плоскость относительно
прямой у = χ tg —, образующей угол — с осью Ох.
Упражнения
1. Постройте треугольник с вершинами (0,0), (0,5), (10,5) и
найдите его образ в преобразованиях
±\ б) /2 ±\
5 \ ' / 5 5
5
342

Поясните полученный результат.
2. Постройте прямую {(х> у) \ χ = у} и найдите ее образ в
преобразованиях:
б) (к |Ν
Проверьте (с помощью транспортира и по таблицам), что ось
θ 4
симметрии ОМ образует угол — с осью Ох, если: a) cos θ = —;
6)COs9 = A (рис.227).
7 13
3. Какое из преобразований
Ά А'
.5 5
^-1 4 з I или ~~
7 —7
является вращением, а какое — симметрией? Вычислите АВ и В А
и дайте геометрическую интерпретацию результату.
4. Какое действие оказывают преобразования
Л= \ „ В=
Вычислите АВ и β Л и дайте геометрическую интерпретацию
результату.
5. Покажите, что В2 = 1, если
«-it ί
Дайте геометрическую интерпретацию результату.
6. Покажите, что при
а< J β-Ι-Ι
5 5 / \ 5 5
преобразование АВ является вращением.
343

7. Одна из осей симметрии (Г) составляет угол в 30° с осью Ох.
Другая ось симметрии (т) составляет с осью Ох угол в 15°.
Начертите единичную окружность с центром О, точку ее пересечения с
осью Ох обозначьте через А. Покажите, что две последовательные
симметрии относительно осей I и т эквивалентны вращению
окружности на некоторый угол. Найдите этот угол.
8. Решите задачу 7 при условии, что заданные углы равны:
а) 40° и 10°; б) 50° и 20°; в) θ° и φ°.
9. Установите на транспортире в вертикальном положении два
шарнирно соединенных друг с другом зеркала (ось шарнира
должна проходить через центр транспортира). Исследуйте те углы между
плоскостями зеркал, которые «поворачивают» фигуру на 360°.
Преобразования, сохраняющие направление
1. Мы хотим изучить преобразования, сохраняющие углы
наклона прямых {(х, у) | у — тх} для всех т, т. е.
la b)(x\( _*L\ BCex
\с dj\mxj\ mx J
отсюда
ах + Ьтх = х'
сх + dmx = тх'
или
ах 4- Ьтх χ' ν а 4- bm 1 ^ , 9 , , ,ч Λ
—— == =Ф ——— = — =Ф Ьт2 + т (а — d) — с = 0.
сх + dmx тх' с + dm m
И это должно быть верным для всех т. Отсюда
с = 0, Ь = 0 и а = d.
Преобразование, сохраняющее направление всех векторов, будет
(о 9-«(А 41-"·
Определитель этого преобразования равен а2. Отсюда площадь
фигуры, подвергшейся этому преобразованию, увеличивается в а2
раз, а все линейные размеры увеличиваются в а раз. Все углы
сохраняют свои размеры, в результате этого образ имеет ту
же форму, что и прообраз, иными словами, соответственные
стороны имеют одно и то же отношение, а соответственные углы равны.
Упражнения
1. Постройте фигуру по ее вершинам (0,0), (1,0), (1,2), (2,4),
(0,2) (порядок соединения вершин существен). Найдите образ этой
фигуры в результате преобразований:
344

< ft Ч\ ϊ\ < Ir
Проверьте, что сходственные стороны параллельны. Чему
равна площадь каждого из образов?
2. Постройте фигуру по заданным ее вершинам (порядок
соединения вершин существен):
(0,0), (-1,0), (-1,1), (1,2), (2,0).
а) Найдите ее образ в результате преобразования
-*—cs s
б) Постройте образы заданной фигуры в преобразованиях ВА
и С А, если
5=1 1 1)иС=11
5 Ъ J \ 5
Чему равна площадь каждого образа?
Направления, сохраняемые в преобразованиях
Предположим, что для некоторых т прямая {(ху у) \ у = тх}
посредством преобразования (а *| переводится в прямую
{(*', У') I У' = тх'}.
Тогда la b\l χ \ = / χ'
\с d)\mx) \mx'
или
ах +6 тх = х'\ для всех χ и х'.
сх + dmx = χ')
Из этих уравнений получаем:
m = —, или Ьт2 + т(а — d)— с = 0.
с -\- dm m
Так как этому уравнению удовлетворяет, вообще говоря, два
значения ту то каждое преобразование сохраняет направление двух
векторов, называемых характеристичными.
345

Примеры.
Ч-l 1}
Отсюда 2х + тх = х\
— 6х + 7тх = тх\
т2 — Ът + 6 = 0, или (т — 2) (т — 3) = О,
тогда т = 2, т = 3.
Таким образом, при этом преобразовании сохраняется направление
прямых у = 2х и у = Зх. Заметьте, что определитель матрицы
равен 14 + 6 = 20, т. е. площадь образа некоторой фигуры в 20 раз
больше площади этой фигуры; длины отрезков не сохраняются.
2·(=β i>
Здесь — 2х + тх = х'\
— 6х + Ътх = тх\
откуда — 2х + тх = х' и 3 (— 2х + тх) = тх'. Таким образом,
получаем только одно значение ту а именно т = 3. Определитель
матрицы равен 0, и матрица отражает все точки плоскости на
прямую у = Зх.
3-(=? -1)
Здесь — Ъх + 4тх = х'\
— χ — тх = тх',
откуда
4m2-4m+l = 0, или (2т — I)2 = 0; т = ~.
Сохраняется только одно направление. Определитель матрицы
равен 9, таким образом, площадь фигуры, полученная в результате
преобразования, в 9 раз больше площади заданной фигуры.
Исследуйте влияние этого преобразования на фигуру, вершины
которой являются элементами множества {(0,0), (2,0), (2,1), (3,2)}.
Г л а в а 50. ОТНОШЕНИЕ, ПРОИЗВОДНАЯ,
СКОРОСТЬ ИЗМЕНЕНИЯ
График отношения
Начертите фигуру (рис. 228) на клетчатой бумаге, за единичный
отрезок на каждой оси примите отрезок длиной 1 см. Каждая
прямая изображает множество чисел. Обозначим множество чисел
на оси Ох через Х9 на оси Оу через Y. Эта фигура дает нам возмож-
346

ность установить соответствие между числами множеств X и Υ и
упорядоченными парами чисел из этих множеств. Приложите край
линейки к точке Ρ и прочтите соответствующие отметки на осях
Перепишите таблицу и заполните пропуски:
X
У
—2
—1
0
0
1
2
2
0,6
0,7
2,8
1
—3,2
Какое отношение вы установили между числами χ и у?
Это отношение «отображает множество X на множество Υ».
Попробуйте найти отношение, определяющее отображение множества X
на множество Υ при различных взаимных положениях осей Ох, Оу
и точки Р. Рассмотрите по крайней мере три примера.
Давайте теперь вернемся к первому отображению, графически
представленному на рисунке 229. Точки А и В множества X
преобразуются в точки Л' и 5' множества Υ.
Говорят, что АВ есть окрестность точки 1 ζ Χ, обозначение
Ьх. А'В' — соответствующая окрестность на множестве Υ. Но
1
2 А
°\
"Η
~3 I
4 см
О
X
4 См
♦ •Р
-3
-4
Рис. 228.
347

3
в'
2
Δ'
ΐ
0
Υ
Α
0
Κ
Β
Рис. 229.
ответствующие окрестности
Спишите таблицу и заполните ее:
х= I.
1 -> 2, таким образом, А'В' —
окрестность точки 2. С помощью
линейки начертите окрестности (равной
длины) точек 1, 2, 0, — 1,-2
множества X и найдите соответствующие
окрестности на множестве Υ. Что вы
заметили относительно окрестностей
на множестве У? Что происходит с
окрестностью на множестве Υ при
увеличении значений х?
Рассмотрите различные
возможные окрестности точки 1 ζ Χ и им со-
на множестве Υ.
ι Ьх
Ьу
1,0
0,8
0,4
0,2
0,1
0,05
Что вы заметили? Отношение
δ*
характеризует среднее
изменение); на единицу изменения χ при χ = 1.
Составьте аналогичные таблицы для χ = 2 и χ = — 1.
δχ
Найдите для каждого случая. Что вы заметили?
6у
Декартовы координаты
Если мы построим пары (ху у), полученные в результате
установленного выше отношения, на системе взаимно
перпендикулярных осей Ох и Оу, мы получим декартовый график, изображенный
на рисунке 229. Попробуйте найти смысл выражения — на
Грабя
фике.
Еще об отношениях
Начертите на кальке прямую. Вы будете пользоваться ею вместо
линейки (это делается для того, чтобы не портить книгу),
На рисунке 230 можно найти отношение элементов множеств
X и Υ.
348

Перепишите и закончите таблицу:
X
У
—3
—2
—1
0
0
1
2
3
Перепишите и закончите таблицу окрестностей для χ = 1:
б,
Ьу
Ьу
I ьх
1,0
0,5
0,2
0,1
Составьте аналогичную таблицу для χ = 2, χ = — 1, χ =--■ 2.
Что вы заметили для различных значений -—-?
ох
Теперь составьте таблицу окрестности для χ = 0, беря:
а) окрестность нуля только для положительных значений х\
б) окрестность нуля только для отрицательных значений х\
множестбоХ
Рис. 230.
349

в) окрестность, содержащую неположительные, и
отрицательные значения х.
Что вы можете сказать относительно полученных вами значений
отношений —— ?
Теперь постройте график этого отношения в декартовой
системе координат, беря значения координат точек (х, у) из
таблицы.
Примечание. Здесь ось Ох — прямая, а не ломаная.
Сравните этот график с полученными вами значениями и
попробуйте найти объяснение.
Наконец, на клетчатой бумаге постройте два примера
«ломаного» множества X. В первом из них пусть вершина ломаной
находится в точке χ = 1. Найдите значения — в точке χ = 1 при зна-
δχ
чениях х} близких к 1 (меньших 1, больших 1, меньших и
больших 1).
Производная
Подведем итог сказанному выше.
Если мы имеем отображение М, переводящее множество X в
множество Υ (запись: «М : X -*· Υ»), то в случае, когда каждому
χ £ X соответствует одно и только одно значение у f F,
отображение Μ называется функцией.
Множество X называют областью определения функции
множество Υ называют областью существования или областью значений
функции.
Отображение, график которого дан на рисунке 231, является
примером функции (почему?), но эта функция не имеет функции,
ей обратной (почему?). При χ ζ Χ, у есть наибольшее целое
число, меньшее или равное х. Это записывается так: у = [χ].
Начертите в декартовой системе координат график функции у = [х].
Заметьте, что каждая окрестность Υ (Υ — множество целых чисел),
полученная из множества X, равна нулю.
Для заданного значения х, -^ = 0, за исключением целых
ол;
значений х. Начертите график у = [л:] в декартовой
-2-10 ι г *
Рис. 231.
350

О 0 Ρ
Рис. 232.
системе координат. Как такой график может быть связан со счетчи-
,ком такси? с платой за посылку?
При заданном χ ζ X каждой окрестности х> δχ, соответствует
окрестность 6у из множества Υ.
Давайте теперь рассмотрим отображение F : X -» Υ, где F (х) =
= х2. Начнем с области определения X (на прямой X (рис. 232)
щкала нанесена). Возьмите узкую полоску бумаги для изображения
множества X или скопируйте область определения функции на
кальку (рис. 232). Обратите внимание: чтобы получить F (х) =
= F (— χ), мы поворачиваем ось Ох на 180°: если у ζ Υ, то у > 0,
так как х2 > 0 для всех х. Вы найдете удобным взять отрезок ОР
достаточно большим. Для нанесения шкалы на прямую Υ
приложите линейку к Рх и отметьте х2 = у на Υ. Нанесите
шкалу на прямую Yy беря значение χ для отрезка 0 < χ < 2 через
каждые 0,1. Значения у = х2 найдите на логарифмической
линейке.
Теперь, беря значения бд: и 8у из полученного графика,
заполните следующую таблицу для χ = 1,5:
ft*
fty
by
J δ*
1.0
0,8
0,6
0,2
0,1
Какие вы можете сделать замечания по этой таблице? Как будет
изменяться -^, если мы будем продолжать уменьшать 6х?
351

Составьте аналогичную таблицу для χ = Ι, χ = 2, χ = — 1,
χ = 0. Этот процесс показывает нам, как определить изменение
дх
отношения — при бх-> 0. Положите теперь, что δχ— это интервал
6у
между (х и x+h), dx=h. Тогда соответствующая область бу будет:
8у = (χ + К)2 — χ*— 2hx + ft2;
δχ h
Ясно, что при уменьшении ft значение отношения —
приближается к 2х. Записывается это так:
h -о δ*
Чтобы сделать запись короче, условились вместо Игл — писать:
л -о Ьх
— и выражение — называть производной.
άχ άχ
Заметьте, что мы могли поступить и так.
Положить δχ равным интервалу между χ — k и χ + ft, тогда
δχ = ft + k;
by = (x + ft)2 — {x — k)2 = 2xh + 2xk + ft2 — k2=
= 2x (ft + k) + (ft + k) (ft — k)\
-^ = 2x + (ft — k) и ^ = 2x,
ox dx
так как (ft — k) —> 0 при ft -> 0, & -> 0 одновременно.
Проверьте по каждой из составленных вами таблиц
окрестностей для функции F: χ -> х2 справедливость равенства
dx
Помните, что — дает скорость изменений у на единицу изме-
dx
нения χ в точке X. Обычно значение отношения — различно
dx
для каждой точки X. ,
Пример. Предположим, мы уронили каплю чернил на
промокательную бумагу. Круглое пятно на ней будет увеличиваться. Мы
хотим знать скорость, с которой увеличивается пятно в зависимости
от радиуса пятна.
Множество X состоит из значений радиуса, который
увеличивается от нуля до некоторого значения х. Множество Υ состоит из
значения площадей пятен, соответствующих значениям его радиуса.
Обозначим переменный радиус пятна через г, его площадь —
через яг2 = Л. Возьмем некоторую окрестность бг на множестве X:
6r = (r + h) — r = ft.
352

Соответствующая окрестность на множестве Υ будет равна:
δΑ = п(г + И)2 — nr2 = n[(r + h)2 — гг1 = nh (2r + К);
*d = «*!*±*). = „(2r + A);
δ/* Λ
ясно, что— = lim — = 2ш*.
Л" 6r - О ОГ
dA
Например, при г — 2 см — = 4π (/се. еж);
dA
при г = 1 см — = 2π (/се. еж).
Упражнения
1. Найдите —:
а) у = χ + 1; г) у = х3 + х2; е) у = х2 + 5х\
б) у = х2 + 2; д) у - 16х2; ж) у = х2 + Ъх + 6.
в) у = х2 + х;
2. Найдите — для функции у = — (х принимает все значения,
dx χ
кроме χ = 0. Почему?). Найдите значения у и — при χ = 2;
, 1
при χ = 1; при χ = —.
3. Небольшое тело сферической формы помещено в раствор
некоторого вещества, которое, выделяясь из раствора, равномерно
покрывает поверхность этого тела. Найдите скорость, с которой
увеличивается поверхность этого тела. Найдите скорость, с которой
увеличивается его объем при радиусе, равном 1 см.
4. Расстояние, пройденное свободно падающим шаром за t сек
после начала его падения, определяется формулой d = 16/2
футов. Найдите скорость, с которой увеличивается расстояние,
пройденное телом, в зависимости от времени его падения, при t = 1 сек;
t = 4 сек.
5. Угол при вершине полого конуса равен 90°. Конус
перевернули и заполнили водой до высоты Л. Покажите, что в этом случае
объем V воды, содержащейся в конусе, определяется формулой V =
= — π/ι3.
3
Какова скорость увеличения объема воды в момент, когда высота
уровня воды равна 1 см?
6. Найдите — функции у = —
dx χ2'
853

Формулы для справок
у = const,
у = х,
У = х\
у = *3,
1 _,
у = — = х\
X
X2
7=°;
d*
*У ι.
d* '
dx
^ = Зл-2;
dx
ufy _ — 1 _
dx x2
dy _ — 2 _
dx л:3
— χ-2;
— 2л:-3
Эти результаты могут быть сведены в следующее правило:
при у = хп — = пл^ !{
Примеры
при у = ах2 + Ьх + с
dy
Q = 2ax + b.
dx
1. у = Зх3 + 5*2 + 7х; ^ = 9х2 + Юх + 7.
dx
2. y = * — ^з+2(==л:_хз + 2^1); *!= 1_з*2-А.
л: dx: л:2
Упражнения
Найдите производные следующих функций:
1. х\
2. Xs.
3. х4.
4.1.
X
5.J-.
X2
6. X + 1.
а:
7. 2*2+*.
8. х3+ Зл;2.
9. л:3— Зл:2.
10. 2л: —7л;2.
11. 3*4+2л:2-
12. 5х5— 5л; +
1
X
X
13.1 + -1.
χ х2
лл . 1 1
14. χ Η .
χ χ2
15. л:2 + 2л; + 1.
16. *» + JL + i.
X
17. 19л:2+2л: + х3.
18. 5л<-6х2+х —-
354

19. 1 +x-\-x2+x*. 22. x2+x + ±. 25. χ4 X-+x\
X X2
20. 1-χ + ί-Λ 23. л;2+5л: ί. 26.- ί.
21. 1—1 + —. 24. хь+х*—χ+— 27.—— α;2.
яг2 *2 * χζ
Задачи на движение
Расстояние, пройденное телом, увеличивается с увеличением
времени движения. За малый промежуток времени δί
пройденное расстояние увеличивается на 8s.6t и 8s представляют собой
окрестности соответствующих значений t и s. Мы определяем скорость
в некоторой точке как предел отношения при 6^ -> 0:
— = ν = hm — .
dt ы - о о/
Скорость изменения скорости в данной точке называется
ускорением.
Ускорение обозначается .
к at
Пусть, например, движущееся тело за время / проходит
расстояние
s = 3 — t + 2/2 + /3 м.
В течение первой секунды своего движения тело пройдет
s=3 — 1+2+1 = 5 м.
Скорость тела, движущегося по заданному закону:
ff£= v = о — 1 + 4/ + З/2.
at
Следовательно, через одну секунду тело будет двигаться со
скоростью
ν = — 1 + 4 + 3 = 6 м/сек.
Ускорение, т. е. скорость изменения скорости, будет равно:
-* = 4 + «,
at
т. е. через секунду после начала движения ускорение тела будет
равно:
dv
4 + 6= 10 м/сек\
dt
355

Если скорость отрицательна, тело движется в направлении,
обратном положительному направлению.
Упражнения
1. Тело за первые t сек своего движения проходит расстояние
s = 8/ + t2.
Найти его скорость и ускорение через t сек движения.
2. Камень брошен вверх со скоростью 18 м/сек. Через / сек он
достиг высоты
Η = № — Ш2.
Найдите скорость камня через / сек после начала движения; через
1 сек; через 2 сек. Объясните последний результат, что случится с
камнем?
3. Механический молот скользит по вертикальным
направляющим. За t сек он поднимается из нижнего положения s = 0 на s м.
Закон движения молота:
s = 36 — 2t2.
а) Какова его скорость через t сек после начала движения;
через 4 сек; через 9 сек; через 12 сек? Каждый из трех последних
результатов объясните.
б) Какова максимальная высота подъема молота? Какова
скорость молота в этой точке?
в) Какова скорость молота в момент достижения наинизшего
положения? За сколько секунд он достигнет этого положения?
4. Стальной шарик катится по наклонной плоскости. Путь,
пройденный им за первые / сек после начала движения, дается
формулой:
Какова его скорость через 1 сек после начала движения? В течение
какого времени он пройдет расстояние в 4 ж? Какова будет в этот
момент его скорость? Какое ускорение имеет шарик через 1 сек
после начала движения; через 3 сек?
5. Для машины, движущейся со скоростью 30 м/секу
тормозной путь определяется формулой:
s = 30/ — Ш2,
где / — время торможения в секундах. В течение какого времени
осуществляется торможение? Сколько метров двигалась машина до
полной ее остановки?
6. Площадь А чернильного пятна увеличивается так, что А =
= t9 + 2t2. Найдите скорость, с которой увеличивается площадь
чернильного пятна при t = 1.
356

7. Тело за 1 сек проходит путь s, определяемый формулой:
S ~~ 3 2
Какова скорость тела через t сек после начала движения?
Докажите, что тело по крайней мере дважды находится в
состоянии покоя. Найдите ускорение в момент, когда скорость тела
равна нулю.
8. Тело за t сек проходит расстояние s, определяемое формулой:
2Р з;2 -,
s = 5ί.
3 2
Через сколько секунд после начала движения тело окажется
в состоянии покоя? Для каких значений t тело движется к
начальной точке?
Угловой коэффициент касательной к кривой
На рисунке 233 дан график функции у = / (х) в декартовой
системе координат. При х=а и у =6 окрестность δχ точки χ = α,
δχ = h соответствует окрестности точки у = ft, бу = /г.
Ясно, что
δ χ
A_^^tgQP/? = tgO
h PR &^ S
При уменьшении бл; точка /? приближается к точке Ρ и прямая PQ
вращается около точки Р. В предельном положении точка Q
сливается с точкой Ρ и прямая PQ оказывается касательной к кривой
в точке Р, образуя угол Θ' с осью Ох. Тогда мы имеем:
δ* -> о Ьх
f -tge.
Значение — в точке л; = а называют угловым коэффициентом
ах
кривой. Угол Θ' называют углом
наклона касательной к кривой в
точке Р.
Этот смысл производной очень
важен:
1. Он позволяет найти угол
наклона касательной к кривой в
данной точке, иными словами,
метод построения касательной к
кривой по заданной точке касания.
2. Он позволяет найти
производную функцию у = f (x) по ее
графику в декартовой системе
координат. В этом случае нам нужно
начертить касательную к линии Рис. 233.
Υ
btk
b
/
4
1
-J
у
Ρ
__..**_.._
L
Q
R
■ м»
°l
a+h
357

графика в заданной точке Ρ (приближенно, используя линейку
или зеркало, для построения нормали к кривой) и затем измерить
угол наклона касательной к оси Ох, или вычислить тангенс этого
угла как отношение соответствующих отрезков, измеренных по
чертежу, или найти его по таблице.
Уравнение касательной
На рисунке 234 прямая АХ — касательная к кривой у ·-= f (χ) в
точке Р. В точке Ρ — = tg θ. Мы хотим найти уравнение, связы-
dx
вающее координаты точки X, (х, у), лежащей на касательной.
Из треугольника XPR имеем:
откуда
χ — а
= т>
или
у — Ъ = т (χ — α).
Примеры.
1. Найти уравнение касательной к кривой у = х2 в точке (2,4):
у = χ2;
*> = 2х.
ах
При χ
= 2^
ах
Следовательно, у — 4 = 4 (х — 2) ■ искомое уравнение будет:
у = 4х — 4.
2. Найти уравнение
касательной к кривой
_j& χ*
У~~ 2 3
в точке кривой с координатой
χ = 6. В какой точке кривой
касательная, проведенная через
эту точку, будет параллельна
оси Ох?
dy
dx
3*2
2
2х
' 3 '
358

При х = 6
^=54-4 = 50;
dx
y = ^!_u= 108—12 = 96.
y 2 3
Отсюда уравнение касательной при χ = 6 будет:
у _ 96 = 50 (χ — 6)
у _ 96 = 50* — 300
у = 50* — 300 + 96,
у = 50л; — 204.
Касательная будет параллельна оси Ох, если ее угловой
коэффициент будет равен нулю. В этой точке
d± = ?ί! _ — — η·
d* ~~ 2 3 " '
т. e. χ = 0 или χ = —
9*
Таким образом, в точках (0,0) и (—, ] касательная к
заданной кривой будет параллельна оси Ох.
3. Во время эксперимента измерялось расстояние s,
пройденное тележкой за время /. Данные измерений были сведены в
следующую таблицу:
t (сек)
s (м)
0
0
1
0,2
2
0,6
3
1,2
4
2,0
5
3,4
6
5,5
Найдите скорость при t = 3.
Прежде всего чертим график соответствия между t и s (рис. 235).
Теперь нам надо найти тангенс угла наклона касательной к
вычерченной нами кривой при / = 3. Здесь можно поступить по-разному,
все эти способы приближенные и дают различную точность.
а) Мы можем составить таблицу значений — и определить —
δχ dx'
Сделайте это.
б) Можно приближенно построить (с помощью одной линейки)
касательную кривой в точке Р. Угол наклона касательной к оси
OR
времени находим, вычисляя отношение — (см. рис. 235).
«*«^ = 0,7.
PR 2
359

VI
I 5\
ь\
J
2
J ι
\ 0
1 1
I 2
8,
T\~
I 3
и
•r
/\ /
'
I ^
r
I β
Ί—~э^
Ι λ
Рис. 235.
Вы можете получить другой результат. Почему?
в) Л и β — точки на кривой, находящиеся на «равных временах»
от точки Р. Приближенно будем считать, что А В параллельно PQ>
Найдите тангенс угла наклона прямой АВ к оси /:
2,0-0,6=М
2 2
г) Вы можете построить касательную более точно следующим
образом: поместите заркало в точке Ρ так, чтобы казалось, что
кривая «входит» в зеркало без излома. Проведите через край
зеркала прямую и проведите через точку Ρ перпендикуляр к
начерченной нами прямой. Это и будет искомая касательная.
Упражнения
1. В таблице приведены расстояния, пройденные каждым из
трех тел за время t. Начертите графики «расстояние—время» для
каждого тела а), 6), в) и найдите скорости тел при t = 10,
t = 25, / = 40.
/ 5
10
15 20 25 30 35 40 45 50.
a) s 10,5
б) s 11,3
в) s 12,8
11,0
12,8
16,3
11,6
14,5
20,8
12,2
16,4
26,5
12,8
18,5
33,9
13,5
21,0
43,2
14,2
23,7
55,2
34,9
26,9
70,4
15,6
30,4
89,6
16,4;
34,4;
114,7
360

2. В эксперименте с тележкой были получены следующие
данные:
Расстояние в см
Время (в сек)
0
0
10
20
3,17 4,48
30 40
5,48
6,33
50
7,07
60
7,75
70
8,37
80
8,94 |
Постройте график «расстояние — время» и найдите скорость
тележки через 4,6 и 8 сек после начала ее движения.
3. В эксперименте были получены следующие результаты:
Время (в сек)
Расстояние (в м)
0
0
10
20
1 ,76 4 ,00
1 30
5,44
40
6,58
50
7,40
60
8,13
70
80
8 ,75 9,29
Постройте график «расстояние — время» и найдите скорости при
t = 25 сек, 45 сек, 65 сек, 85 сек.
Объясните полученные вами результаты.
Максимальные и минимальные значения функции
На рисунке 236 приведен график функции у = / (л;),
вычерченный в декартовых координатах. На каком интервале эта функция
возрастающая? На каком интервале эта функция убывающая? Чему
равен тангенс угла наклона касательных к кривой, проведенных
через точки А, В и С?
Положителен или отрицателен угол наклона касательной к
кривой, если точка касания находится между точками А и β? Почему?
Точки А и С называют точками максимума функции у = f (χ);
точку В называют точкой минимума функции у = f (х).
г<*У
В точке максимума — ^= 0,
ки максимума. cix dx
Сформулируйте
соответствующие условия для точки минимума.
Примеры.
Найдите максимальные и
минимальные значения функции
Xs 5λ'2
-- > 0 справа и — <0 слева от точ-
dx
у = 1
6х + 4
Решение.
dy
~ = х1 — 5* + 6.
dx
Рис. 236.
361

Условие максимума или минимума -L = 0. Таким образом, для
dx
максимальных или минимальных значений у
х2 — Ъх + 6 = 0 =Ф (х — 3) (х — 2) - 0=Ф
>х — 3 = 0 или χ — 2
>х = 3 или л: = 2.
0=
Для определения того, какая из этих точек является точкой
максимума, а какая — точкой минимума, составим таблицу:
X
dy
dx
< 2
+
2
0
> 2
—
3
0
>з
+
8 20
Отсюда при χ = 2 значение у максимальное, у = (- 12+4 =
о Ζ
-82·
при л; = 3 значение у минимальное,
у = 27_4_5 +4 = 81.
* 3 2 2
1. Найдите наименьшее значение функции у = х2 — 5л: + 2.
2. Найдите наибольшее значение функции у = 5х — х2.
3. Найдите наибольшее значение функции у = 2 + χ — χ2.
4. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции у =
= .*_*!+2*.
3 2 ^
5. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции у =
___*з г>
~~ 3 2
6. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции у =
~~Т_ 2
7. Некоторое тело движется прямолинейно по закону а (/) =
= t2 — 2/, где a (f) — ускорение в м/сек2у ί — время в секундах.
В какой момент времени ускорение будет наименьшим? Какова
величина наименьшего ускорения?
8. Тело движется прямолинейно по закону s (ή = t — /2, где
s (t) — путь в метрах, / — время в секундах. В какой момент
времени скорость тела будет равна нулю? Опишите движение этого тела.
2х.
362

fZ /2
9. Тело движется прямолинейно по закону s (t) = 2t,
о Ζ
где s (/) — путь в метрах, t — время в секундах. В какой
момент времени скорость тела будет равна нулю? Объясните
полученный результат.
10. Из прямоугольного листа жести размером 8 χ 3 дм по его
углам вырезаны квадраты со стороной χ см и из полученного куска
согнута открытая коробка. Выразите объем коробки через χ и
покажите, что наибольший ее объем равен 7 — куб. дм.
11. Объем прямого кругового конуса вычисляется по формуле
V = , где г — радиус основания, п — высота конуса
о
(г и Л даны в одних и тех же линейных единицах). Каков наибольший
объем конуса, если h = 6 — г?
Глава 51. ИНТЕГРИРОВАНИЕ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
До сих пор мы вычисляли интегралы суммированием площадей.
Попробуем найти более быстрый способ вычисления интегралов.
t
Рассмотрим график функции / (х) (рис. 237). Пусть А (/) = Г / (х) dx—
а
площадь фигуры, ограниченной кривой y=f(x) прямыми х=а и x=t
и осью Ох. Является ли значение А функцией О Рассмотрите
площадь А в окрестности точки х:
f (χ) δχ — площадь прямоугольника, меньшая, чем δ А;
f (χ + δχ) δχ — площадь прямоугольника, большая, чем δ А;
!(χ)δχ<δΑ<[(χ + δχ)δχ
или
/ (х) < ^ < / (х + δ χ).
οχ
Так как δχ
■ 0, To^^^f(x + 6x)
ox ax
ливо, если кривая не непрерывна?)
Отсюда — = / (х).
ох
Естественно, возникает предположение,
что интегрирование — операция,
обратная дифференцированию. В самом деле,
пусть, например, f(x) = Зх2.
Продифференцируем выражение я3, получим:
Зя2. Следовательно, А (х) = хъ. Но
если мы продифференцируем выражение
/ (х) (будет ли это справед-
fy*ft*l
363

хъ + С, где С — постоянная, то мы тоже получим Зя2. Таким
образом, мы получаем общее решение:
А {х) = я3 + С.
Функция А (х) называется первообразной функцией для
функции у = / (л:).
Найдем функцию A (t) для нашего задания:
/ t а
А (/) = j Зх2 dx= Г 3*2 dx — j* ЪхЧх (почему?) = [х3 + С]х = , —
о о
— fv3l
Вообще, для того чтобы найти [χη dx, первообразную для функции
у = хп, мы должны найти функцию, производная которой равнялась
бы хп.
Таким образом,
χη dx = -± -L С,
t
и определенный интеграл (V1 άχ вычисляется по формуле:
а
t
[xndx = Г— \- с\ —
J |л + 1 _|л:=/
+ С
Пример
jv
2 + 3;е — 2)Ле = Г— + — — 2х
2 = /А + з^_4
ι \3 2
ι+ι_2μ± +6-4-1-1 + 2 = ^.
3 2
3 2
Упражнения
Вычислите определенные интегралы:
1. { x3dx.
ι
о
2. fdx.
ι
1 2
5. Г (1 — χ) dx. 9. Г (л* — Зл2) dx.
о о
-2
1
3 2
4. (*(л;3+2л;)<1к. 8. Г*8 Же.
* l·
6. Г (л:2 — х) dx. 10. f л: dx.
3. J (χ2+ χ) dx. 7. j χ2dx \\. Ux I)
dx.
ι
1
12. (x+ \fdx.
b
364

Начертите от руки в декартовой системе координат графики
приведенных ниже функций и найдите с помощью интегрирования
площади, заключенные между линией графика и осью Ох (заметьте,
что площадь выражается положительным числом, однако интеграл
от функции на интервале, на котором график расположен ниже
оси Ох, отрицателен):
13. (х — 1) (х + 1). 17. х2 — Зх + 2.
14. (χ — 1) (χ -|- 1) χ. 18. (х —1)(х — 2) (х + 1).
15. (1 — х) (1 + х). 19. (х — 1) (х + 1) (х + 2).
16. х2 — Ъх + 6.
20. Найдите площадь фигуры, заключенной между кривой
у = 5л: — х2 и прямой у = 5.
21. Для каких значений χ функция у = (х — 1) (л: — 2)
принимает отрицательные значения? Найдите площадь фигуры,
заключенной между кривой и осью Ох.
22. Найдите площадь фигуры, заключенной между кривой у =
Ъх + х2 и прямой у = 0.
23. Найдите площадь фигуры, ограниченной кривой у = Зх —
— х2 и прямой у = 2.
24. Найдите площадь фигуры, ограниченной кривой у = х2 и
прямыми χ = 4 и χ = 0. Найдите площадь фигуры, ограниченной
кривой у = я2 и прямой у = 4.
25. Найдите площадь фигуры, ограниченной кривой у = х2 —
— Зя, прямой у = — 2 и осью Ох.
Глава 52. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИИ
Системы уравнений
Рассмотрим решение системы уравнений
(0,3jc + 0,5у + 0,2г = 1,1;
0,4* — 0,7у + 0,9г = 2,3;
10,2л:+ 0,8у — 0,1* = 1,4.
Внимательно рассмотрите приведенную схему решения системы
(стр. 366). Отсюда χ = 78,04; у = —24,07; г = —51 (с точностью,
допускаемой логарифмической линейкой).
Проверьте: 0,3* + 0,5у + 0,2г - 23,41 — 12,04 — 10,2 =1,17.
Примечание. Некоторая неточность и должна была
ожидаться из-за погрешностей вычисления при использовании
логарифмической линейки.
365

0)
(2)
(3)
(4)=(1):0,3
(5) =(2): 0,4
(6)=(3):0,2
(4)
(7) = (5) - (4)
(8) = (6) - (4)
(4)
(9)= (7):-3,42
(10) = (8) : 2,33
(4)
(9)
(Π)= (ΐθ)_ (9)
(4)
(9)
(12) =(11): (-0,04)
(13)= 4—0,67 —(12)
(14)=(9)-(-0,46).(12)
(12)
(15) = (13) — 1,67.(13)
' (14)
(12)
X
0,3
0,4
0,2
1
1
1
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
У
0,5
—0,7
0,8
1,67
—1,75
4,0
1,67
—3,42
2,33
1 ,67
1
1
1,67
1
0
1,67
1
0
1,67
1
0
0
1
0
г
0,2
0,9
-0,1
0,67
2,25
—0,5
0,67
1 ,58
—1,17
0,67
—0,46
—0,50
0,67
—0,46
—0,04
0,67
—0,46
1
0
0
1
0
0
1
2,3
1,4
3,67
5,75
7,0
3,67
2,08
3,33
3,67
—0 ,61
1,43
3,67
—0,61 !
2,04
3,67
—0,61
-51
37,85
—24,07
—51
78,04
—24,07
-51
Упражнения
Найдите значения л:, у и г, удовлетворяющие системам
уравнений:
1. (0,1* + 0,2у + 0,3г = 0,45; 2. (2х + у — г = 8;
{0,2* — 0,1у — 0,3г = 0,36; \х — у — г = 1;
10,3* + 0,1у + 0,2г = 0,53. [х + 2у + 2г «= 10.
3. (1,1*+ 1,2у-2,1г = 3,2;
2,1у + 3,4у+ 1,22= 12,6;
(3,1* + 2,1у + 0,9г = 4,5.
Ответы дайте с двумя значащими цифрами.
366

Графический метод решения уравнений
1. Рассмотрим функцию
л-3
— Зх2 + 8х — 1.
Пусть нам нужно найти значения х, при которых значение у обраща-
ется в нуль. Решением уравнения Зх2 + 8х — 1=0 будут
о
а;3
абсциссы точек пересечения графика функции у = — —Злг +
ό
+ 8х — 1 с осью Ох.
Начертите график функции у
_
3
• Зх + 8л:—1 для значений
χ в интервале (0, 5), приняв за единичный отрезок по обеим осям
координат отрезок, равный 2 см. Найдите значения х, при которых
у = 0.
х2 3
2. Дана функция у = . Перечертите приведенную
* + 3
ниже таблицу и заполните в ней пропуски:
X
х2·
4
X
лГ+~3
1 у
—2
-1
0,25
1,5
-1,25
0
1
0,25
0,75
—0,5
2
1
0,6
0,4
3
На основании этой таблицы найдите, в каком интервале
значений/ значение у равно 0. Начертите оси координат, приняв за
единичный отрезок на оси Ох отрезок, равный 2 см, на оси Оу —
отрезок, равный 2 см.
х2 3
Постройте графики функций у =— и у= ——- и исполь
зуйте эти графики для решения уравнений:
3
х + 3
а) х2 (х + 3) = 12.
б) — =
4 * + 3
+ 1.
3. Покажите, что общий объем тела, составленного из цилиндра
высотой 12 см и радиусом основания, равным χ см, и полушара ра-
367

диуса χ см, сложенными своими основаниями, равен
(36 —
— 2х) куб. см. Приняв, что— ^1,05, заполните следующую таблицу:
X
лх2
-3-(36-2х)
1
2
3
4
5
Начертите график этой функции, считая, что отрезок в 2 см
соответствует объему в 100 куб. см и длине в 2 см. Найдите по графику
значение х, при котором объем будет равен 500 куб. см. Решите
уравнение х2 (36 — 2х) — 412 = 0.
4. Начертите графики функций у = 10 sin x° и у=— для
5
0 < χ < 90, приняв за единичный отрезок на оси Ох отрезок,
равный 0,1 см, и на оси Оу — отрезок, равный 2 см. Решите
графически уравнение:
10 sin х° = — (0 < χ
5 v
90).
5. Начертите графики функций у = 10 cos x° и у = — для
5
0 < χ < 90, приняв за единичный отрезок на оси Ох отрезок,
равный 1 см, и на оси Оу отрезок, равный 2 см. Решите графически
уравнения:
10 cos х° = — и
5
-= v2
X2 (6 — X) — 6.
6. Перечертите таблицу и заполните в ней пропуски:
X
6—X
X2
ι X2 (6—А) — 6
— 1
7
1
0
1
2
ι
1 ι !
3
3
9
21
4
5
6
0
36
—6 ,
Решите графически уравнения:
1) х2 (6 — jc) = 6; 2) х2 (6 — х) = 4,
приняв за единичный отрезок на оси χ отрезок в 2 см, а на оси у
отрезок в 0,4 см.
Начертите график функции у = Ъх и решите графически
уравнение:
xt (Q — x) =* 5х + 6.
368

Метод Ньютона Рафсона
Графический метод решения уравнений дает приближенный
ответ. Однако часто требуется большая точность. В ряде случаев
для достижения практически любой требуемой точности может быть
использован приближенный метод Ньютона Рафсона.
Предположим, что надо решить уравнение / (я) = 0.
На рисунке 238 показаны два случая пересечения линией
графика функции у = f (χ) оси Ох. Этот метод заключается в
следующем: мы выбираем некоторую точку А вблизи точки X, точки
пересечения линии графика с осью Ох; АР — ордината точки,
принадлежащей кривой и имеющей абсциссу, равную абсциссе точки А\
выберем точку β между точками X и А так, чтобы тангенс угла
наклона прямой Ρ В к оси χ выражался числом, «удобным» для
дальнейших вычислений (— = tg BPA).
На графике функции / (я) точке В соответствует точка Q · BQ —
ордината точки Q, обозначим ее yt. Зная, что абсцисса точки В рав-
ВА
на разности абсциссы точки А и произведения РА · —, мы
можем вычислить ординату BQ, использовав для этого уравнение
кривой. Проведем отрезок QC, параллельный отрезку РВ, и
вычислим абсциссу точки С.
Положим, Ρ = (х0, у0), Q = (Χι · yi), тогда
Xi = x0 — У0 tg APB.
Значение у ι вычисляется по уравнению кривой. Повторяя этот
процесс, мы можем найти значение хп, сколь угодно близкое к
значению корня уравнения f (χ) = 0. Соответствующее значение у
дает нам представление о точности, с которой найден корень.
Почему?
Рис 238
369

График у = х213-*)-1
tgBPA = %=±
Рис. 239.
Важно, что, если в процессе вычислений по этому методу даже
была допущена арифметическая ошибка, в конце вычислений мы
придем к правильному ответу. Попробуйте найти объяснение этому.
1. Проверьте, это этот метод дает результат при любом выборе
начальной точки А (см. рисунок 238).
2. Попробуйте начертить графики функций, для которых этот
метод непригоден.
Пример
На рисунке 239 начерчен график функции
у = г* (3 — χ) — 1 = Зх2 — х3 -
1.
Мы хотим найти значения х, при которых значения функции
обращаются в нуль. Найдите на графике приближенные значения трех
корней функции хи хъ хг.
370

Найдем более точно значение хг. Выберем ВА так, чтобы
tgBPA = —, тогда:
4
х4 = 1 - (-1 . 1) = о,75; У1 = 3 (0,75)2 - (0,75) 8 -
— 1 = 0,2656;
х2 = о,75 — (— . 0,266) = 0,684; у2 = 3 (0,684)2 — (0,684)3 —
4
— 1 = 0,0837;
х3 = 0,684 — (— · 0,0837) = 0,663; у3 = 3 (0,663)2 — (0,663)3 —
— 1 = 0,0274;
xk = 0,663 — 0,0068 = 0,6562; у4 = 3 (0,6562)2 — (0,6562)3—
— 1 = 0,0092;
хь = 0,6562 — 0,0023 = 0,6539; у5 = 0,0032;
хв = 0,6531; у6 = 0,0010.
Отсюда с точностью до трех значащих цифр х2 = 0,653.
Можете ли вы указать для данной задачи, как зависит от
значения tg BPA число шагов, необходимых для получения корня
уравнения?
Найдите теперь самостоятельно два остальных корня, xt и х3.
Для нахождения корня xt примите х0 = 0,75, tg LRM = —.
Упражнения
1. Пользуясь графиком, построенным нами к заданию 6
предыдущего упражнения, найдите корни уравнения 6х2 — х3 — 6 = 0.
2. Используя график, построенный нами к заданию 1
предыдущего упражнения, найдите корни уравнения х3 + Зх2 — 12 = 0.
3. Найдите с точностью до 0,001 корни уравнения 2х3—Зл;2+1=0.
4. Найдите с точностью до трех десятичных знаков корни
уравнения Зх2 — х3 — 2 = 0.
Приближенное решение квадратного уравнения
Предположим, мы хотим решить квадратное уравнение
*2 + χ — 1 = 0.
Мы можем переписать это уравнение в виде
х+ 1
при условии, конечно, чтох= —1 не является корнем данного
уравнения (и действительно, χ = — 1 не является корнем уравнения).
371

Предположим, что приближенным корнем уравнения (1) будет
число х0. Тогда более лучшим приближением к истинному значению
корня будет число хи определяемое по формуле
Примем, например, за приближенное значение корня уравнения (1)
число 1.
Xl~ 1 + 1 ~~ 2 '
Следующее приближение х2 найдем, используя полученное значение
Хо '
Т+1
; 0,67.
Продолжая, получим:
Номер
приближения
*о
1 +*о
1
λι ~ ι + ч
1
1
2
0,5
2
0,5
1,5
0,67
3
0,67
1,67
0,60
4
0,60
1 ,60
0,625
5
0,625
1 ,625
0.61921
6
0,6192
1 ,6192
0,6178
7
0,6178
1 ,6178
0,6182
Заметьте, что значения х0 и х^ сходятся к одному и тому же
значению 0,618 (с точностью до трех значащих цифр). Второй корень
уравнения находится следующим образом:
Почему?
— 1
0,618
= — 1,618.
Упражнения
Используя этот метод, найдите корни уравнений:
1. х2 + 2х — 1 = 0, 3. х2 + 2х — 2 = 0, 5. х2—Зх+1 =0,
2. х2 + Ъх — 1 = 0, 4. х2 — χ — 2 - 0, 6. 2х2+х—2=0.
1 Здесь была допущена ошибка, но она не повлияла на конечный результат:
«неверное» значение стало новым приближением корня уравнения.
372

Глава 53. ВЕРОЯТНОСТЬ
Мы определили две вероятности — теоретическую и
практическую1.
Например, теоретическая вероятность выпадения герба при
бросании монеты равна 0,5. Практически число выпадений герба в
результате нескольких бросаний не будет точно равно половине
числа испытаний. Но интуитивно мы понимаем, что при очень большом
числе испытаний мы получим результат, весьма близкий к
теоретическому.
Приведенная ниже таблица дает результаты трех групп
испытаний. В каждой группе испытаний монета бросалась 200 раз.
I
II
ΙΠ
Всего 600 испытании
Герб
103
98
99
300
Сторона,
обратная гербу
97
102
101
300
Вероят ность
выпадения
герба
0,5015
0,49
0,495
0,5
При большом числе испытаний значение практически полученной
вероятности приближается к значению теоретической вероятности.
Теоретическая вероятность наступления события Ε, Ρ (Ε) равна
отношению числа благоприятных событий η к числу всех событий:
Ρ (Ε) - -.
Ν
Если Ρ (Ε) = 1у то событие обязательно должно произойти,
например, если бы монета имела герб на каждой ее стороне, то при
бросании монеты всегда бы выпал герб. При Ρ (Ε) = 0 событие Ε
не может произойти.
Так как Ρ (Ε) = —, το Ν — η обозначает число событий, в ко-
торых событие Ε не наступает. Обозначим такие события через Е'.
Тогда Ρ (£') = fLzIL = ι —1 = ι —Ρ(Ε).
Пример
Предположим, что некоторая плоская область разделена точно
пополам. Естественно предположить, что при бросании «точки» на
Термин, не употребляемый в нашей литературе (прим. перев.).
373

эту поверхность вероятность попадания в любую из этих частей
равна.
Таким образом,
Р (£) = Ρ (Ε') = 1 - Ρ (Ε), т. е. Ρ (Ε) = 1.
Мы можем определить Ρ (Ε) и так:
ρ /ρ\ площадь половины поверхности
площадь всей поверхности
Следуя этому определению,
Р (попадания в точку) = площадь точки = Q
площадь всей поверхности
Таким образом, мы получили пример нулевой вероятности, однако
нельзя сказать, что само событие невозможно — мы можем попасть
в заданную точку, даже если бросим стрелу наугад.
Независимые события
Ранее мы видели, что если вероятность события А равна т,
а вероятность события В равна п, то вероятность наступления
событий А и В при двух испытаниях равна тп. Так, например, если
матч имеет три возможных исхода: выигрыш или проигрыш одной
из команд или ничья, то два матча уже могут иметь девять
различных исходов, а N матчей — 3^ различных исходов. Восемь матчей
могут дать 38= 6561 различных исходов. Вероятность верного
предсказания исхода этих матчей равна, таким образом,
— = 0,0001524.
6561
Упражнения
1. Известно, что день рождения В не совпадает с днем
рождения А. На какой из дней 1972 года может приходиться день
рождения А?
Каково возможное число комбинаций дней рождений А и В?
Какова вероятность того, что день рождения Л и β — один и тот
же? Какова вероятность того, что день рождения Л и β не один и
тот же?
2. Сколько возможно комбинаций дней рождений трех человек,
если известно, что их дни рождения не совпадают?
Какова вероятность того, что дни рождения трех человек не
совпадают? Какова вероятность того, что дни рождения трех
человек приходятся на один и тот же день? Какова вероятность того,
что по крайней мере у двух человек из этих трех дни рождения
совпадают?
374

3. Какова вероятность того, что из группы в четыре человека
по крайней мере у двух день рождения приходится на один и тот же
день?
4. Какова вероятность того, что из группы в 30 человек по
крайней мере у двух человек день рождения приходится на один и
тот же день?
5. Предлагается предсказать результат шести матчей. Сколько
попыток нужно сделать, чтобы быть уверенным, что по крайней мере
одно предсказание сбудется?
6. Предлагается предсказать результат восьми игр. Сколько
попыток нужно сделать, чтобы быть уверенным, что по крайней мере
одна из предсказанных последовательностей результатов 8 игр
оказалась верной?
Какова вероятность того, что из десяти предсказаний одно
будет верном? Какова вероятность того, что одно из 60
предсказаний будет верным?
7. В школе для учащихся первого класса решили закупить
спортивные куртки. Оказалось, что для одного из классов нужны куртки
следующих размеров:
Размер куртки 12 3 4 5
Число учащихся 1 8 12 6 3
На основе этих данных учитель заказал для учащихся
следующего года приема 120 курток. Сколько курток каждого размера
было заказано? Какова вероятность того, что ученик первого
класса носит куртку 3-го размера? Начертите гистограмму,
иллюстрирующую таблицу.
8. В ящике находится 12 красных и 8 коричневых носков.
Какова вероятность того, что из ящика наугад будет вынут: а)
красный носок; б) коричневый носок? Каково наименьшее число носков
должно быть вытянутым, чтобы среди них оказалась по крайней
мере пара носков одного цвета? Из ящика было вынуто четыре
носка; какова вероятность того, что среди них два носка одного цвета?
Какова вероятность того, что среди этих носков не будет двух пар
соответствующих цветов? (перечислите все возможные исходы).
Какова вероятность того, что эти четыре носка образуют две пары
носков?
9. Подсчитайте число букв алфавита в тексте задачи (число
гласных букв подсчитайте отдельно). Какова вероятность того, что на-
' угад выбранная буква из текста задачи окажется гласной?
Сравните полученный результат с вероятностью, полученной при подсчете
10 строк газетного текста.
10. Узнайте, какого размера ботинки носят учащиеся вашего
класса, и составьте задание, аналогичное заданию 7. Придумайте
еще 2 подобных примера, имеющих практическое значение.
Выполните их.
375

Больше чем одно событие
Предположим, что могут произойти два события — событие Μ
и событие N с вероятностью Ρ (Μ) = ρ и Ρ (Ν) = q соответственно.
Полезно уметь предсказать вероятность одновременного
наступления этих двух событий.
1. Наступление события Μ не зависит от наступления
события N. В этом случае события называются независимыми,
Ρ (Μ и Ν) = pq.
Пусть, например, двое, А и В, одновременно бросают игральную
кость. Найдем вероятность того, что каждый из них выбросит «6»:
Ρ (выпадение шестерки) при бросании А = Ρ (А)1 = —;
6
Ρ (выпадение шестерки) при бросании В = Ρ (В) = —.
6
Нам нужно найти вероятность того, что на обоих игральных костях
одновременно выпадет по шести очков, т. е. Ρ (А получит 6 очков
и В получит 6 очков) = Ρ (А и В). При одновременном бросании
двух игральных костей возможно 36 различных комбинаций числа
очков. И лишь одна комбинация будет представлять собой две
шестерки. Таким образом, вероятность
Ρ (А и В) = 1 =Р (А) ■ Ρ (В).
Предположим, что
Р(А)= ±, Ρ (Β)= 2·
Ν Μ
Тогда с каждым результатом из N испытаний, проводимым Л, мы можем
сопоставить каждое из Μ испытаний, проводимых В. Таким
образом, общее число возможных исходов будет Λ4Ν. Каждое из
благоприятных исходов, полученных Л, может быть сопоставлено с
каждым из благоприятных событий, полученных В. Таким образом,
общее число их будет равно тп. Отсюда
Ρ (А и В) =~ =-2-. — = Р(А).Р(В).
к ' ΝΜ Ν Μ к ' ν '
2. Наступление события А оказывает влияние на наступление
события В. В этом случае события называются зависимыми.
1) Событие В не наступает, если наступало событие А.
1 Здесь и далее авторы используют недостаточно четкое обозначение {прим.
перев.).
376

Выразим вероятность Ρ (А или В) через
вероятности Ρ (А) и Ρ (В). Совершенно ясно,
что если Ρ (А) = — и Ρ (В) = — , то собы-
N N
тия Л или β произойдут в η + т случаях из
N испытаний.
Отсюда мы имеем:
Ρ (А или В) = —— ==
ν Ν
= ! + Ξ=ρ(Α) + Ρ(Β). Рис· 240·
Ν Ν
Например, какова вероятность появления двух или шести очков
при одном бросании игральной косги?
Р(2)=|; Р(6)=1.
6 6
Так как одно событие исключает другое при одном бросании кости,
то
Ρ (два или шесть) = Ρ (два) + Ρ (шесть) = 1—
6 6
2) Может наступить событие А или событие 5, или
одновременно события А и В.
Таким образом, нам надо выразить вероятность
Ρ (только А или только В или А и В)
через вероятности Ρ (Л) и Ρ (В):
Ρ (А или В или А и В) = Ρ (А или В) + Ρ (А и В) =
= Ρ (А и не В)+Р (В и не А)+Р (А и В) = Ρ (А) · [1—Ρ (Б)] +
+ Ρ (5) · [1 - Ρ (Л)] + Р{А)· Р{В) = Ρ (А) + Ρ (В) - Ρ (Л)χ
Χ Ρ (θ).
Мы можем получить этот же результат и другим путем: рассмотрим
два множества событий Л и 5, представленных на диаграмме Венна
(рис. 240): квадрат соответствует наступлению события Л; круг—
наступлению события В. Событие Л — Л бросает игральную кость,
событие В — В бросает игральную кость. Часть квадрата, внешняя
по отношению к кругу, изображает случаи, когда Л получает
результат, отличный от результата В. Часть круга, внешняя по отношению
к квадрату, изображает случаи, когда результат В отличен от
результата Л. Пересечение круга и квадрата изображает те случаи,
когда А и В получают один и тот же результат, т. е. одно и то же
число очков.
Для части диаграммы, представляющей событие «Л и не 5»,
вероятность появления шести очков равна: Ρ (Л6) = — (квадрат).
377

Для части диаграммы, представляющей событие 6 «5 и не Л»,
вероятность появления шести очков при бросании кости В равна
Ρ (В6) = — (круг). Пересечение фигур соответствует одновремен-
6
ному получению Л и В по шести очков. Таким образом, если мы хотим
вычислить Ρ (Л6 или Bq или одновременно Л6 и В6), мы должны
найти
Ρ (Лв), Ρ (5β) и Ρ ([Л П В]6),
где Ρ ([Л Π B]Q)1 — вероятность выпадения шести очков
одновременно.
Принимая во внимание пересечение множеств А и В, получим:
Ρ ([A U В]6) = Ρ (Лв или BQ или одновременно Лв и 5в) =
= Р(Лв)+Р(Яв)-Р([Л Π 5]ь)='+1-|-| = ^.
(квадрат) (круг) (пересечение ° D о о оо
квадрата и круга)
Обратите внимание на аналогию между выражениями
η (А [} В) = п{А) + п{В) — п{А П В)
и
Ρ (A U В) = Ρ (Α) + Ρ (Β)-Ρ (А П β).
Читая выражение A (J В как «Л или 5 или одновременно Л и 5»
и выражение Л Π -β как «^ и 5», мы имеем для двух событий А и В:
Ρ (A U В) = Р(А) + Ρ (Β)-Ρ (Α Π β)
или
Ρ (Л или В или одновременно Л и 5) = Ρ (Л) + Ρ (5) —
-Ρ (Α). Ρ (Β).
Полученный выше результат может быть распространен и на
случай трех событий:
Ρ (A U В U С) = Р(А) + Р(В) + Ρ (С)-Ρ (А (] В)-
-Р(В(]0-Р(С(]Л) + Р(А(]В[]0
Упражнения
1. 1) В автомате имеется два колеса, по окружности которых
на равном расстоянии друг от друга нанесены числа 0,1,2, 3, 4 и
звездочка. После опускания в щель автомата монеты колеса могут быть
1 Смешаны символы теоретико-множественных и логических операций (прим.
перев.).
378

приведены во вращение рукояткой, при этом колеса вращаются
независимо. Считая равновероятными возможности и явления
любого числа или звездочек после остановки колес, найдите
вероятности:
а) появления звездочки на обоих колесах;
б) появление одного и того же числа на обоих колесах;
в) появление на колесах двух последовательных чисел.
2) Выполните упражнение 1), считая, что в автомате имеется три
колеса, по окружностям которых нанесены те же числа и звездочки.
2. Подсчитывается сумма очков при одновременном бросании
двух игральных костей. Какова вероятность того, что сумма очков
окажется равной или 7, или 12?
3. Дважды бросаются одновременно две игральные кости.
Какова вероятность того, что: а) сумма очков при первом бросании
окажется равной или 7, или 12; б) сумма очков при втором бросании
окажется равной или 5, или 8; в) произойдут одновременно события
а) и в)?
4. Двое независимо друг от друга работают по расшифровке
некоторого кода. Вероятность того, что один из них расшифрует код,
равна —, вероятность того, что второй расшифрует код, равна —#
Какова вероятность того, что код будет расшифрован? Как
изменится вероятность, если им будет разрешено работать вместе?
5. Трое пытаются расшифровать код, работая независимо друг
от друга. Вероятность расшифровки кода каждым из них равна —,
о
—, — соответственно. Какова вероятность того, что код будет рас-
4 5
шифрован?
6. 90% всходов были признаны здоровыми. Вероятность того,
что здоровое растение даст семена, равна 0,8. Вероятность того,
что больное растение даст семена, равна 0,2. Какова вероятность
того, что растение, выбранное наугад, даст семена? Какова
вероятность того, что из выбранного наугад семени будут получены
семена?
7. В пакете находятся семена, всхожесть которых равна 0,85.
Вероятность того, что растение зацветет, равна 0,9. Какова
вероятность того, что растение, выросшее из выбранного наугад семени,
зацветет?
8. В пакете находятся семена бобов, всхожесть которых равна
0,9. Вероятность того, что цветы бобов будут красного цвета,
равна 0,3. Какова вероятность того, что растение из выбранного наугад
семени будет иметь красные цветы?
9. У человека, играющего в покер, оказались на руках
червонные пятерка, шестерка, семерка и восьмерка и пиковая двойка. Он
может сбросить двойку и взять другую карту. Он хотел бы получить
четверку любой масти, или какую-нибудь карту червонной масти,
379

или девятку любой масти, или четверку или девятку червонной
масти. Какова вероятность получения любой карты червонной масти?
Какова вероятность получения четверки или девятки любой масти?
Какова вероятность получения четверки или девятки червонной
масти? Какова вероятность получения им любой из желаемой им
карты?
10. В барабан помещены 7 шаров, три из них — черные, два —
красные и два — белые. Барабан вращается, после его остановки
из него выпадают один за другим три шара. Найдите следующие
вероятности: Ρ (/(, К, V), Ρ (/С, Ч, К), Ρ (V, К, К). Порядок букв
указывает порядок, в котором шары следуют один за другим. Какова
вероятность того, что два из этих трех шаров будут красными, а
один — черный (здесь порядок, в котором появляются шары, не
имеет значения)? Какова вероятность того, что все шары будут
разного цвета?
11. Один из стрелков поражает цель 4 раза из пяти выстрелов,
второй — 7 раз из 10 выстрелов. Какова вероятность поражения
цели при одновременном выстреле стрелков?
12. Банкноты достоинством в 1 рубль, 3 рубля и 5 рублей
опущены в два ящика, в одном ящике находится три банкнота
достоинством в 1 рубль, пять банкнот по 3 рубля и два банкнота по 5 рублей .
Во втором ящике — три банкнота по 1 рублю, шесть — по 5 рублей
и два по 3 рубля. Вам разрешается вынуть один банкнот из любого
ящика. Какова вероятность того, что вы вынете 5-рублевый
банкнот?
13. В одном ящике находятся 5 красных и 3 черных шара, во
втором — 4 красных и 6 черных. Человек, не глядя, берет один шар
из первого ящика и перекладывает его во второй ящик. Какова
теперь вероятность того, что он вынет из второго ящика красный шар?
14. Иа 30 учащихся в классе 20 сказали, что они любят
математику, и 16, что им нравится английский язык. Сколько учеников
любят оба предмета? Какова вероятность того, что ученик этого
класса любит оба предмета? Проверьте, что
Ρ (A [J М) = Ρ (А) + Ρ (М) — Р (А П Μ).
Биномиальная вероятность
Человек метает копье. Предположим, что вероятность
поражения им цели равна р. Тогда вероятность того, что он не попадет в
цель, равна q = 1—р. Предположим, что копье бросается два раза.
Вероятность поражения цели в первом броске и промаха во втором
равна q р. Пусть бросание копья произведено 4 раза. Какова
вероятность поражения цели в обоих последних бросаниях?
Ρ (оба первых бросания были удачны) = р2;
Ρ (оба последних бросания были неудачны) = q2;
380

Ρ (оба первых бросания были удачны и оба последних —
неудачны) = р2·*?2. Вообще, вероятность того, что из η бросаний г
заданных (по номерам) бросаний будут удачными, равна prqn~r. Однако
обычно мы хотим знать больше: вероятность того, что любые г
бросаний из η попыток будут удачными. Для этого мы должны
рассмотреть различные возможности благоприятных исходов.
а) Предположим, было сделано два бросания:
Ρ (первый бросок — попадание, второй — промах) = pq.
Назовем это событие событием А;
Ρ (первый бросок — промах, второй — попадание) = р.
Назовем это событие событием В.
Тогда Ρ (А или В) = Ρ (Α) + Ρ (В) = pq + pq = 2pq.
б) Предположим, было сделано 3 бросания:
Ρ (попадание было только при первом бросании) = pq2 = Ρ (Α);
Ρ (попадание было только при втором бросании) = pq2 = Ρ (Β);
Ρ (попадание было только при третьем бросании) = pq2 = Ρ (С).
Ρ (Л, или В, или С) = 3 pq2,
так как события Л, В и С несовместимы.
Ρ (промах только при первом бросании) = p2q = Ρ (Ε);
Ρ (промах только при втором бросании) = p2q = Ρ (F);
Ρ (промах только при третьем бросании) = p2q = Ρ (G).
Ρ (Af или F, или G) = 3 p2q\
Ρ (два бросания удачны и одно неудачно) = 3 p2q.
в) Предположим, было сделано 4 бросания. Мы хотим найти
вероятность того, что любые два бросания были удачными, а два
другие—промахами. Очевидно, что вероятность двух попаданий и двух
промахов при определенном их порядке равна p2q2. Таким
образом, искомая вероятность равна
(числу возможных схем двух попаданий и двух промахов) χ
Хр2<72.
Запишем возможные схемы наступления этого события (р —
попадание, q — промах)
т. е. 6 возможностей (как бы вы могли использовать для этого дводч-
ную систему счисления?).
Отсюда Ρ (два попадания из 4 бросаний) = 6p2q2;
Ρ (два промаха из 4 бросаний) = 6р2 q2.
Для числа бросаний более четырех нам следовало бы найти более
простой способ определения числа событий, имеющих одинаковую
вероятность.
1-й способ.
Предположим, нам нужно выбрать две буквы из четырех: Л, 5,
С и D. Выбор первой буквы мы можем произвести четырьмя
различными способами, но для выбора второй у нас уже будет только три
возможности. Если для нас не безразлична последовательность букв,
381

то задача может быть решена 4-3= 12 способами. Если же
последовательность букв не имеет значения, то выбор двух букв
из четырех может быть осуществлен —— различными способами.
Соединения т элементов по η элементов в каждом, в которых
порядок букв не имеет значения, называются сочетаниями.
Соединения, в которых порядок букв имеет значение, называются
размещениями. Перестановками называются соединения и из т элементов
по т элементов в каждом.
Найдем, сколькими способами можно составить из четырех букв
соединения, содержащие по 3 буквы в каждом. Убедитесь, что число
сочетаний для этой задачи будет равно 4: '-. Число
1 · Δ · ό
размещений будет равно 24. Почему?
Число групп из трех букв, содержащих три буквы в каждой
группе, будет равно б (3 · 2 · 1, почему?).
Найдем число сочетаний, которые могут быть составлены из 8
букв и содержат по 5 букв в каждом соединении.
Число размещений будет равно: 8 · 7 · 6 · 5 · 4. Почему?
Число перестановок из 5 букв равно: 5 · 4 · 3 · 2 · 1.
Число сочетаний из 8 букв по 5 букв в каждом равно: '
О* 4·ό·Ζ*Ι
1 · 2 · 3 · 4 · 5 записывается короче: 5! (читается: «5 факториал»).
Of
Покажите, что число сочетаний из 8 букв по 5 равно: :
5! (8 — 5)!
Число сочетаний из 8 букв по 5 в каждом обозначается как (— ]
/^5 о * ПГ П(П— \)(П— 2) . ... . (П—-Г + 1) П\
или С: . Вообще, Сп = — - !—- =
8 1 .2.3·...-г ή (η — г)!
Заметьте: Сп~~пх = Л = Cj ; Сп = Сп~г.
2-й способ.
Пусть при бросании копья вероятность попадания равна р,
промаха—q, ρ + q = 1.
При бросании двух копий возможны два промаха, два
попадания, попадание и промах, промах и попадание. Вероятности этих
событий: q2, pq> qp и ρ2:
(q + ρ) (q + ρ) = q2 + pq + qp + p2.
Если нас интересует только сам факт хотя бы одного промаха
безотносительно, при каком из двух бросков он был совершен, мы
можем записать:
q2 + 2pq + р\
382

и вероятности двух промахов, одного попадания и одного промаха,
двух попаданий даются формулами:
q2, 2pgt p\
Для трех бросаний мы имеем такие возможности:
(д + р)(д + р) (д + р)= д3 + Зд2р + Здр2 + р\
Проверьте это умножением. Таким образом, вероятность только
одного попадания равна Зд2р. Вероятность одного или двух
попаданий равна Зд2р + Здр2.
Рассмотрим вероятности возможных исходов при трех бросаниях:
1-е бросание д р;
2-е бросание д2 2рд р2;
3-е бросание д3 Зд2р Здр2 р3.
Закон, с которым мы встречались и ранее, становится очевидным:
1-е бросание \д 1р;
2-е бросание \д2 2рд 1р2;
3-е бросание 1д3 Зд2р Зрд2 1 р3;
4-е бросание \ф 4д3р 6д2р2 4qp3 lp4.
Коэффициенты в этой таблице образуют так называемый
треугольник Паскаля. Выпишите эти коэффициенты, сохранив их
расположение, данное в таблице.
Теорема Бернулли
Если вероятность наступления некоторого события равна р,
то вероятность того, что из серии в η испытаний это событие
произойдет в г испытаниях, будет выражаться формулой:
СпРг{\- РУ-Г= —^— рг (1 _ р)-г.
\п — г)\ г\
Пример. Какова вероятность трех появлений герба при пяти
бросаниях монеты?
Решение.
1-й с π о с о б. η = 5, г'= 3, ρ = —, 1 — ρ = —.
Ρ (3 герба) = А (1\3 (±Г = ^Allllll. _L. _L _ А.
V * ' 2!3! V 2 / V 2 J 1-2.1.2.3 2» 22 16
2-й способ. Нам нужно найти коэффициент при г3//2 в
разложении^-}- Я)5, где г = вероятность выпадения герба, Η =
** J*
383

— вероятность выпадения другой стороны монеты. Треугольник
Паскаля дает нам:
1 1
1 2 1
13 3 1
14 6 4 1
1 5 10 10 5 1
Отсюда (г + Н)ь = ι*+ ЪпН + 10г3Я2 + 10/-Ή3 + 5г#4 + Я5,
Ρ (тРигерба)=10(1)3(1-1)а = 10.1.^ = А.
Пример. Человек производит 6 выстрелов по мишени,
представляющей горизонтальную прямую. Пять пуль попали выше прямой,
одна — ниже. Означает ли это что-нибудь?
Примите вероятность попадания выше прямой при
произвольном выстреле, равной —. Тогда вероятность непопадания выше
прямой равна —. Человек сделал 6 выстрелов, следовательно, Ρ
/с «ч ^5 1 1 1 3
(5 пуль легли выше прямой) = С„ · —- · — = 6- — =*= —.
\ J г / 6 2б 2 26 32
Проверьте этот результат, используя треугольник Паскаля.
Полученный выше результат показывает, что мы можем ожидать
5 попаданий выше прямой из 6 выстрелов в 3 случаях из 32, т. е.
примерно в одном случае из 11. Не дает ли это основание
предположить, что этот человек обычно попадает выше прямой? Не легче
ли было решить этот вопрос, если бы человек попал выше прямой
в 9 случаях из 10?
Пример. Три одинаковые монеты подбрасываются
одновременно 32 раза. В 25 случаях выпало 2 герба. Мошенничает ли
бросающий монету?
,2 J_ J_ = J5_
22 * 2 8 '
Ρ (2 герба) = С :3
Таким образом, появление двух гербов мы должны были бы ожидать
в— 32 случаях, т. е. в 12 случаях из 32. Однако это событие про-
8
изошло в 25 испытаниях, следовательно, мы могли бы подозревать
бросающего монеты в том, что он каким-то образом влияет на
результат.
Упражнения
1. Два брата входят в некоторую группу, состоящую из 10
человек. Из этой группы нужно выбрать двух представителей.
Сколькими способами может быть осуществлен этот выбор? Какова
вероятность того, что будут выбраны оба брата?
384

2. В среднем 5 дней из 15 оказываются дождливыми. Какова
вероятность того, что в указанный наугад день пойдет дождь?
Какова вероятность того, что в течение трех дней дождя не будет?
3. Бросается игральная кость. Какова вероятность того, что
ни в одном из шести бросаний не выпадет 6 очков?
4. Монета подбрасывается 5 раз. Какова вероятность, что в трех
случаях выпадет герб?
5. Монета подбрасывается 5 раз. Какова вероятность выпадения
герба в двух бросаниях?
4
6. Всхожесть некоторого сорта семян равна —. Посеяно 5
семян. Какова вероятность прорастания 4 семян? 5 семян?
Какова вероятность того, что ни одно из семян не прорастет?
7. Вероятность появления черного кролика в потомстве равна
—. Какова вероятность того, что из потомства в 6 кроликов 3 ока-
4
жутся черными? Какова вероятность того, что в этом потомстве
не окажется черных кроликов?
8. Вероятность того, что растение, выросшее из данного сорь
семян, даст белые цветы, равна —. Посеяно 8 семян. Какова вероят-
4
ность того, что два из растений дадут белые цветы?
9. Гарантируется, что 90% семян определенного, сорта
прорастет. Какова вероятность прорастания только одного семени из 10?
Какова вероятность прорастания только двух семян из 10
посеянных?
10. На основе исследования нескольких водоемов натуралист
4
пришел к выводу, что — всех тритонов в Англии — обыкновенные
5
тритоны. Другой натуралист нашел, что в одном пруде из восьми
выловленных тритонов обыкновенными оказались четыре тритона.
Может ли он оспаривать вывод первого натуралиста?
И. Стрелок стреляет по мишени, представляющей собой
вертикальную прямую. В 11 случаях из 12 он попадает справа от
прямой, один раз — слева от прямой. Считая попадание слева и
справа от прямой равновероятными событиями, найдите вероятность
такого результата. Можете ли вы сказать что-либо об этом стрелке?
12. Бросается игральная кость. Благоприятным событием
называется появление одного очка. Какова вероятность
наступления благоприятного события?
Кость бросается 4 раза. Какова вероятность: а) ненаступления
благоприятного события; б) одного благоприятного события; в) двух
благоприятных событий; г) трех благоприятных событий; д)
четырех благоприятных событий?
Кость бросается 81 раз. В скольких случаях вы могли бы
ожидать 0, 1, 2, 3, 4 благоприятных события? Начертите гистограмму.
385

13. Бросается 5 игральных костей. Появление 1 или 6 на
любой из них считается благоприятным событием. Найдите
вероятность получения 0, 1,2, 3, 4, 5 благоприятных событий при
одновременном бросании пяти костей. Предположим, что 5 костей
бросаются 486 раз. Начертите гистограмму ожидаемых частот появлений
О, 1,2, 3, 4, 5 благоприятных событий.
14. Вероятность появления в потомстве черного кролика
равна —. Найдите вероятность появления 0, 1, 2, 3, 4 черных кроли-
4
ков в потомстве из 4 кроликов. Какова ожидаемая частота
появления потомств с 0, 1, 2, 3, 4 черными кроликами из общего числа в
256 потомств, в каждом из которых четыре кролика? Начертите
гистограмму.
4
15. Всхожесть некоторого сорта семян равна —. 320 семян
этого сорта высеяно в четыре ряда, каждый ряд содержит по 80 семян.
Найдите вероятность прорастания 0, 1, 2, 3, 4 семян в ряду.
Какова ожидаемая частота появления рядов, содержащих 0, 1, 2, 3
и 4 растений? Начертите гистограмму, иллюстрирующую ваши
результаты.
Биномиальное распределение
Гистограммы, начерченные вами к упражнениям 12—15,
являются примерами биномиального распределения. Если
прямоугольники гистограммы вместо частот будут представлять вероятность
каждого из возможных событий, то эта вероятность будет
соответствовать одному из членов разложения
(Р + ЧУ,
где ρ — вероятность появления некоторого события, a q —
вероятность его непоявления.
Это распределение часто встречается в области генетики.
1. Некоторая тропическая рыба может быть серого или
золотого цвета. Цвет передается генами, находящимися в хромосомах. В
хромосомах мужской и женской особей имеется по одному гену, С
(серый цвет) или 3 (золотой цвет). Таким образом, каждое
оплодотворенное яйцо имеет два гена: СС, СЗ, 33. Если в наборе из двух
ген хотя бы один ген С, то рыба будет серого цвета. Золотой цвет
рыба будет иметь только, если в наборе ген оба гена — гены 3. В
хромосоме взрослой рыбы, имевшей набор генов СЗ, имеется только
один ген, С или 3.
На первой таблице представлен набор ген в потомстве от
родителей, имевших набор ген 33 и СС. Легко видеть, что в этом
случае все рыбы потомства серого цвета. На второй таблице
представлен набор ген в потомстве от родителей, имевших набор ген СЗ.
В этом потомстве золотыми будут только рыбы, набор ген у кото-
386

рых 33. Таким образом, мы можем считать, что примерно одна
четверть общего числа потомства в этом случае будет золотого цвета.
Составьте таблицу набора ген потомства от родителей с набором
ген ЗС и 33. Предположим, что в потомстве 304 рыбы. Сколько из
них будет золотого цвета?
Примечание. Ген С называется доминирующим.
2. Мендель обнаружил, что семена сладкого горошка имеют
разный цвет — желтый и зеленый. При скрещивании растений,
выращенных из желтых и зеленых горошин, он нашел, что желтый цвет
доминирует.
Как он это узнал?
Какая часть семян F2 от скрещивания двух растений Fit
являющихся в свою очередь результатом скрещивания растений,
выраженных из желтых и зеленых семян, будет желтого цвета?
Предположим, что все желтые семена из поколения F2 были
высажены в ряды, по 4 растения в каждом. Какова вероятность того,
что в одном ряду были высажены все чисто желтые семена (с
набором ген ЖЖ)? Какова вероятность того, что в ряду не будет ни
одного чисто желтого семени?
Перепишите в тетрадь и заполните следующую таблицу:
Число желтых семян в
ряду, имеющих набор ген
ЖЖ
Вероятность
4
3
2
1
0
3. Мендель также нашел, что гладкость поверхности семян
определяется соответствующими генами. Гладкие семена
преобладали. Таким образом, пыльца могла характеризоваться наличием
следующих ген (Г — гладкая поверхность семени, Μ — морщинистая
поверхность семян):
ЖГ ЖМ зГ зМ
Начертите 4X4 таблицу и покажите возможные комбинации
ген в потомстве от скрещивания этих растений.
Перечертите таблицу, приведенную ниже:
Гладкие
1 Морщинистые
Желтые
Зеленые
387

Проставьте в таблице соответствующие вероятности получения
семян одного из четырех возможных типов.
4. Среднее биномиального распределения. Предположим, что
бросается 4 монеты. Подсчитываем вероятности выпадения 0, 1,
2, 3, 4 гербов: ρ — вероятность выпадения герба, q — обратной
стороны монеты.
(р + qf = /74 + V<7 + 6/7 V + 4/7?3 + q* (/7= q = γ).
Монеты бросаются 16 раз.
Заполните следующую таблицу:
1
0
1
2
3
4
Число появления герба
Ожидаемая частота
Каково среднее число появления гербов при одном бросании?
В случае η бросаний четырех монет среднее число появления
герба будет: 1 (4ηρί + Ъп (4p3q) + 2п 6/7 V + η (4pq3 + ϋφ = 4/?4 +
+ 12/?3<7 + "l2/?V+4/?93 = 4/7 (ρ3 + 3p2q+3pq2+q*) = 4/7 (p+q)*=
= 4/7, так как р + q = 1.
5. Заполните следующую таблицу для случая, когда бросаются
пять монет:
Число появлений герба
Ρ
0
1
2
3
4
5
ρ — вероятность появления определенного числа гербов при
одновременном бросании 5 монет. Найдите теоретическое среднее числа
гербов, появляющихся при одном бросании в 32 испытаниях.
Используя разложение (р + q)b, покажите, что это среднее число
равно 5/7.
6. Скрещиваются растения из Fx поколения (см. упражнение 2),
полученные семена высеваются в 64 ряда, по 4 растения в
каждом. Пусть /7 — вероятности появления 0, 1, 2, 3, 4 желтых
растений в ряду из четырех растений.
Заполните таблицу:
Число желтых растений
Ρ
частота
0
1
2
3
4
зза

Обозначьте через Ж вероятность получения желтого растения
при скрещивании растений из поколения Fx\ проверьте, что
теоретическое среднее числа желтых растений .в ряду из 4 растений
равно 4 Ж. Проверку проведите, используя разложение (Ж + З)4.
7. Выполните задание 6 для случая 5 растений в ряду.
8. Выполните задание 6 для случая 6 растений в ряду.
Эти результаты показывают, что в случае биномиального
распределения при вероятности наступления некоторого события,
равной /?, среднее число событий в одном испытании равно пру где η —
число всех возможных исходов при одном испытании.
9. В некотором эксперименте в каждый из 320 сосудов было
помещено 5 насекомых. После кратковременного их окуривания было
подсчитано число насекомых, оставшихся в живых:
Число насекомых, оставшихся в живых
Число сосудов
0
81
1
122
2
88
3
21
4
6
5
2
Начертите гистограмму по результатам этого опыта, подсчитайте
число выживших насекомых. Какова вероятность того, что
насекомое выживет? Есть ли у вас какие-либо возражения против этого
подсчета вероятности?
Найдите среднее число выживших насекомых для каждого
сосуда.
Если считать распределение частот биномиальным и
вероятность ρ того, что насекомое выживет, постоянной, то среднее число
насекомых, выживших после окуривания, будет равно Ър (на один
сосуд). Равны ли вероятности, полученные этими двумя способами?
Определите теоретическое распределение, считая его
биномиальным. Сравните полученные данные с данными, полученными в
эксперименте, сделайте вывод. Согласуются ли полученные данные
с гипотезой, что вероятность того, что насекомые перенесут
окуривание, одна и та же для каждого сосуда?
10. Было исследовано 66 потомств мышей, в каждой из которых
было 4 мыши; результаты были сведены в таблицу:
Число мужских особей 0 12 3 4
Число потомств 8 23 22 10 3
Найдите среднее число мужских особей в потомстве. Считая
вероятность появления мужской особи в любом потомстве равной ру
высчитайте ее значения из среднего биномиального распределения
(4р) и найдите среднее. Найдите теоретическое биномиальное
распределение, пользуясь разложением (р + ^)4, для 66 потомств и
выясните, верно ли ваше предположение о том, что вероятность
появления мужской особи одна и та же для любого потомства.
389

Приложение 1
Алгебра множеств
Объединение и пересечение. Множество — это собрание
элементов, причем каждый элемент множества входит в него один и
только один раз, таким образом, {а, 6, с}— множество, {а, а, с} —
не множество.
Мы можем определить множество двумя способами —
перечислением всех его элементов или указанием правила, на основании
которого мы можем судить, является ли тот или иной объект
элементом множества.
Два множества, Л и Ву могут содержать некоторые элементы,
принадлежащие как к множеству Л, так и к множеству В. Такие
элементы, говорят, образуют множество, называемое пересечением
множеств А и В, А (] В, иными словами,
А П В ={х \х£Акх(:В}.А{}А^А\
{А П В) П С = А П (θ П С) = А П В (] С.
Множество элементов, состоящее из всех элементов множества А
и всех элементов множества В (ниь один элемент не включается
дважды), называется объединением множеств А и θ, А [} Ву
иными словами,
А[}В = {х\х£А или χ 6 5, или χ ζ А и
х 6 В}, А [) А = А;
А[}(В[)С) = (А[)В)1)С=А[}В[)С.
Если А [) В = В и А Л В = Af то говорят, что множество А
является подмножеством множества В, записывается: А с В, т. е.
если α £ Л, то и а 6 В.
Если ΑαΒκΒαΑ,Ύο множества А и В состоят из одних и
тех же элементов, и мы говорим, что А = В.
А = 5, если для каждого α αζΑ=Φα ζ В и для каждого Ь
Ъ 6 £=Ф6 6 А.
Покажите, что из условий А с: В и В а С следует, что А а С.
Покажите, что из условий А с: В и С a D следует, что А Л
(]CczB(]DnA\JCczB\jD.
Τ е о ρ е м а. А [) (В Л С) = (А [} В) f] (A U С).
Если χ ζ A U (В Л С)> тогда или χ ζ Л, или χ ζ (5 Л С),
или χ принадлежит и Л, и В (] С.
Если л: 6 Л, то χ 6 Л |J
LIB и χ 6 (Л U С).
Отсюда χ ζ (Л у β) Л И U С).
Если л; 6 (J3 Л С), то χ £θ
и χ ζ С. Отсюда л: ζ (А (] В)
и л: ζ (Л U С) и χ 6 (Л U β) Л
П (Л U Q.
390

Теорема. А (] (В [) С) = (Л (] В) [) (Л f] Q.
Доказательство этой теоремы представляем читателю.
Покажите, что (А {] В) f] (В Π Q = A f] В (] С.
Множество, не содержащее ни одного элемента, называется
пустым множеством, 0 или {}.
Если множества А и В не имеют общих элементов, то Л (] В =
= 0 . Множества могут быть изображены с помощью диаграмм Вен-
на. Диаграмма Венна изображает множества с помощью некоторой
замкнутой границы, заключающей элементы множества. Точки
границы не являются элементами этого множества.
Начертите диаграммы Венна, изображающие случаи
А (} В φ 0, А Л В = 0, А а В , В с: А.
Начертите диаграммы Венна, иллюстрирующие возможные
случаи при рассмотрении трех множеств: Л, В и С.
Дополнение множеств. Пусть множество U — всех
рассматриваемых элементов. Это множество называется универсальным.
Если A a U\ то множество всех элементов, не принадлежащих
множеству Л, обозначается Л. Множество Л называется
дополнением множества Л.
Изобразим универсальное множество прямоугольным листом
бумаги. Вырежем квадратное отверстие, которое будет изображать
множество Л, тогда множество Л будет изображаться оставшейся
частью листа. Возьмем такой же лист бумаги и вырежем в нем
отверстие произвольной формы. Пусть это отверстие изображает
множество В, оставшаяся часть листа представляет множество В.
Наложим один лист на другой. Получившееся отверстие (которое
может и не существовать) изображает пересечение множеств Л и В,
А П В. Остальная часть листа представляет (Л Π В), но ясно, что
эта же часть изображает и А [) В:
(ТТГВ) = A[}F.
Покажите, что (Л U В) = А []Ъ.
Примечание. А [\ В изображается бумагой двойной
толщины.
Теоремы. 1) (Л Π В) = A U &,
2) (Л U В) = А П В.
Доказательство. 1) Если χ ζ (Л Π В), то χ £ Л Π В.
Отсюда χ <£ Л, или χ <£ 5, или χ принадлежит одновременно Л~и В.
Следовательно, χ ζ Л U В1.
Теорему 2) докажите самостоятельно.
1 Обратная теорема не доказана (прим. перев.).
391

Пример. Л П (В ПС) = А (](В [} С) = (Л (] В) [) (Л (] С) =
= (Л U В) U (A U С).
Мера множества. Для получения меры множества т (S) мы
должны определить правило, по которому множеству ставится в
соответствие некоторое число. Так, например, если мы каждому
элементу множества поставим в соответствие число 1, то т (S) будет
представлять собой число элементов данного множества. Обозначим
это число η (А). Из определения А [) В следует, что
η (A U Я) = η (А) + п(В) — п(А П В).
Пусть S = {х\ h < χ < k}, мы можем определить т (S) = k — h.
Пусть С = {(*, у) | 0 < х2 + У2 < /*2}, мы можем определить т (С) =
= яг2.
η (A U B(j С) - л [(Л U В) U С] - η (Л U θ) + η (С) —
— п[(А [) В) Π С] = п(А)+п(В) + п (С) - я (А (] В) -
- η [{A U В) П С].
л[(Л U В) П С] = я [(Л П С U (θ U О] = η (А (] С) +
+ η (В (] Q - η [(А (] С) {] (В(] С)] = η (Α Π С) +
+ п(В П С)-η (А П В ПО.
Отсюда
я (Л U В U О = η (А) + η (В) + η (С) — η (А {] В) —
— п(ВПС)~п(С[]А) + п(А Π Β Π Q.
Приложение 2
Векторная геометрия
1. Мы полагаем следующее:
1) плоскость состоит из точек;
2) может быть выбрано множество точек, лежащих на прямой;
3) плоскость может быть отображена сама на себя в результате
преобразования осевой симметрии, оставляющей неподвижной эту
ось; все прямые, кроме оси симметрии, отображающиеся сами на
себя в этом преобразовании, называются прямыми,
перпендикулярными оси симметрии. Все прямые, перпендикулярные некоторой
прямой, называются параллельными прямыми.
2. В преобразовании симметрии длины отрезков сохраняются.
Если т — ось симметрии и Ρ — точка, не лежащая на ней, а
О — точка этой прямой, Р' — образ точки Ρ в преобразовании
симметрии, то РО = ОР'.
Пусть нам дана прямая 1У точка 0 ζ ly прямая т,
перпендикулярная прямой Ζ, и 0 ζ т. Мы можем выбрать некоторую точку Л,
принадлежащую, например, прямой /, и осуществить
преобразование симметрии относительно прямой т. Положим, что от-
392

резок О А имеет длину, равную I. Пусть Л'— образ точки А в
преобразовании симметрии и А'О = 1. Мы приписываем число 0 точке
О, число 1 точке А и число — 1 точке А'. Отразим прямую I
относительно перпендикуляра к прямой Z, проведенного через точку Л.
Образом точки О будет точка Л2, лежащая на прямой I, О А = АА2.
Мы приписываем число 2 точке А2 и число —2 образу точки Л2,
точке А2 в преобразовании симметрии относительно прямой.
Продолжая таким образом, мы можем определить множества точек {Лп}
и {Ап} на прямой /, а затем приписать число η точке Ап и число
— η точке А'п.
Теперь построим прямую hy перпендикулярную прямой 1У и
такую, что точка А являлась бы образом точки О при
преобразовании симметрии относительно прямой h (считается, что это может быть
выполнено с помощью зеркала или сгибанием листа бумаги). Пусть
Η = h Π /. Припишем точке Η число —, точке Н' соответствует
число . Поступая аналогичным образом, мы можем поставить
в соответствие точкам прямой I все двоично рациональные числа.
Рассматривая иррациональные числа как предел
последовательности рациональных чисел, мы можем поставить в соответствие
каждой точке прямой действительное число.
Примечание. Мы здесь принимаем, что точки на прямой
упорядочены.
3. Множество параллельных прямых может быть занумеровано
так, как это сделано в пункте 2, общий перпендикуляр к этим
прямым пересекает их в точках, соответствующих одному и тому же
числу.
Мы можем теперь представить плоскость, покрытую двумя
множествами перпендикулярных прямых, множеством X и
множеством Yy так, как это мы видим, например, на клетчатой бумаге.
Таким образом, каждая точка плоскости может быть определена
упорядоченной парой чисел (х, у), т. е. на множествах X и Υ
введены координаты χ и у. Мы можем также взять два
пересекающихся множества параллельных прямых, в этом случае мы
также можем определить каждую точку с помощью упорядоченной
пары чисел. Как это может быть сделано?
Пусть даны две точки (а, Ь) и (с, d), мы можем получить точку
{а + cf b + d). Как? Напишем:
(а, Ь) + {су d) = (a + c, b + d).
Аналогично
(а> Ь) — (су d) = (a — cy b — d),
(α, b) + [(с, d) + (e, /)] = [(α, b) + (cy d)] + (ef),
(0, 0) + (a, b) = (a, 6),
(a, b) + (-a, -b) = (0, 0),
(a, b) + (c, d) = (c, d) + (a, b).
393
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)

Таким образом, операция сложения является коммутативной.
Задание точек (0, 0), (1, 0) и (0, 1) определяет координаты всех точек
плоскости. Выражение
(а, Ь) + (а, Ь) = (2а, 2Ь)
приводит нас к обобщению: если k — действительное число, то
k (а, Ь) = (ka, кЬУ\
k (α, b) + h (a, b) = (k + h) (a, b)\ (6)
k (a, b) + k (c, d) = k [(a, b) + (c, d)] = k (a + с , b + d). (7)
4. Теперь опишем метод, с помощью которого мы можем
изменять координаты точек на плоскости или отображать точки одной
координатной плоскости на точки другой координатной плоскости.
Простейшее преобразование — перенос:
х' = χ + с,
у' =y + d.
Таким образом, точка (с, d) будет образом точки (0, 0). Множество
точек (или прямая) {(kay kb)} преобразуется в множество точек {{ka+
+ с, kb + d)}y также являющихся множеством точек прямой.
Общее линейное преобразование:
е;К 2) (;).
Координаты точек, являющихся образами точек (0,1), (1,0) и (0,0),
определяются по правилам (1) — (7) предыдущего пункта. Это
преобразование преобразует точку (0, 1) в точку (6, d), точку (1, 0)
в точку (а, с) и точку (0, 0) в точку (0, 0). Таким образом,
первоначально квадратная сетка преобразуется в сетку
параллелограммов. Почему?
5. Каждая точка А (ау Ь) вместе с началом координат
определяет направляющий отрезок, образованный множеством точек:
{(ka, kb)\0 <k<\}> обозначаемой ОА. Пусть точка А будет
фиксированной точкой плоскости. Пусть точка Ρ (χ, у) —
некоторая точка плоскости. Мы можем выбрать на плоскости бесчисленное
множество пар точек Ρ (ху у) и Q (х + а, у + Ь), таких, что
(х + а, у + Ь) - (х, у) = (а, Ь) - (0, 0).
Мы называем множество этих пар классом эквивалентности,
каждая пара точек этого класса эквивалентна паре {(0, 0), (а, Ь)}.
1 Непосредственное обобщение приведет здесь лишь к натуральным k (прим.
перев.).
394

Для сокращения записи мы пишем: О А = (а, Ь). Говорят, что
множество точек {(х + ka, у + kb) |0 < k < 1} определяет
направляющий отрезок Ρ Q. Для каждой точки Ρ мы можем записать
направляющий отрезок, эквивалентный вектору О А или (а, Ь)\ Поэтому
для описания эквивалентных векторов мы используем один символ,
а именно г, и говорим, что все эквивалентные векторы выражаются
одним символом, г. Каждый класс эквивалентности определяет
направление; направленный отрезок с началом в точке (0, 0) и концом
в точке (а, Ь) используется для описания всего класса
эквивалентности.
Предположим, А (а, Ь), В (с, d). Мы можем записать:
ОА ={£ (а, 6) Η 7, OB ={k (с, d)} =t(0 < k < 1).
Теперь (α, b)+(cy d)=(a + с, b+d)y точке С, и k {a, b)+k (с, d) =>
= lk(a + c), kjb + φ].
Мы имеем: ~ОС ={k (а + с), k (b + d); 0< k < 1} = Ζ
Мы пишем: О А + ОВ= ОС,
или г + s = t и s + r =t (рис. 241).
Из этой же фигуры следует, что
г + s = s + г.
Вектор (0, 0) называется нуль-вектором φ:
~г + φ = г.
Если г + г'= φ, то г' = (— а, — 6).
Множество символов, используемых для описания векторов,
образует коммутативную группу относительно сложения.
ЮА — вектор с началом в точке начала координат,
координаты его конца в k раз больше координат точки А. Если ОР = ЮА,
~+ k
то мы говорим, что точка Ρ делит вектор О А в отношении .
Если ОА = (а, Ь), то ЮА = {ka, kb) = &. В частности, если
Ом = — О А, тогда точка Μ — середина отрезка О А.
Теорема. Если Л и h—действительно числа и ka — hb, то
-»- —>-
или а || 6, или k = h = 0.
1 Точнее — направляющий отрезок, о котором идет речь, принадлежит
классу эквивалентности, называемому вектором ОА или (а, Ь) (прим. перев.).
395

Теорема о средней линии треугольника
Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника,
параллелен третьей стороне треугольника и равен ее половине.
Доказательство. Пусть О А
ау тогда ОС = — а
(рис. 242). Пусть 0>В=~Ьу тогда 0Ю = 1~6-
CD = OD —ОС = -~Ь — - <Г=- (Ь — а); АВ = ОВ — ОА =
2 2 4
= 6— а.
Откуда АВ = 2CD.
Так как ни ЛБ, ни CD не равны нулю, то вектор АВ параллелен
вектору CD. (Обратите внимание, что здесь интуитивно считается
известным понятие длины.)
Растяжение. Если стороны многоугольника рассматривать как
направленные отрезки а, 6, с, d,..., пу то многоугольник со сторонами
—> —*■- —> —ν -»-
to, £6, /ее,. to, . . , to будет иметь ту же форму, что и исходный. В
этих случаях мы говорим, что многоугольники подобны.
Преобразование
(к 0\
\0 к)
преобразует заданную фигуру в ей подобную.
6. Скалярное произведение
OA = f?= (a, b);
0~В = q=(c, d);
ОС = ?=(е, /).
Определим произведение двух векторов следующим образом:
θλ · OB = (а, Ь) · (с, d) = ас + bd,
396

результат — число. На основе этого определения покажите, что
р(ч + г) ^рд + рг, _^ _^ _*
Пусть ОВ = (1,0) и ОА = (а, 6), тогда ОВ - ОА = а (рис. 243).
Если угол между векторами О А и 05 равен Θ, то ОВ · О А = Ζ cos θ,
где Ζ — длина вектора О А (считая, что мы знаем, что такое
длина, мы могли бы использовать это равенство для
определения угла). Так как по определению ОА · ОА = а2 + б2, мы
принимаем как определение длины: длина вектора ОА = \0А\ =
= Va2 + Ь\
Это соответствует нашему опыту использования линейки. В
действительности мы приняли теорему Пифагора как одно из
допущений. Если, однако, мы не будем задавать слишком много вопросов
и скажем, что длина измеряется масштабной линейкой (это уже
физика), то из прямоугольника 0YAX (рис. 244) следует:
ОА = ОХ + OY,
где ОХ = (а, 0) и OY = (0, 6);
ОА · ОА = (ОХ + О?) · (ОХ + ОТ) = ОХ · {ОХ + ΟΥ) +
+ όΥ(^χ + όΥ) = δχ·όχ + 6χ·ογ +
+δγ . οχ + όγ- ου.
Так как вектор ОХ перпендикулярен вектору ОУ, то ОХ · ΟΥ =
= ОК - ОХ = 0.
ОХ . ОХ = а2, ОТ · ΟΥ = Ь2;
ΟΑ·ΟΑ = \ОА\2 = а2 + Ь2.
А(а,Ь1
Afa,bJ
О α χ
Рис. 243.
Рис. 244.

Рис. 245.
В более общем случае: еслиОЛ=а,
ОВ = Ϊ, ВА = 7(рис. 245), тогда
с = а — Ь\
? = (а — б)2;
^ = а» + "6» _ 206;
—►
с2 = а2 + б2 — 2 ab cos θ, где с — длина вектора kc.
7. Введение скалярного произведения завершает векторную
алгебру. Исследование свойств фигур выполняется в основном
тремя способами:
а) сложением векторов для установления параллельности
прямых;
б) исследованием равенства ka = hb для нахождения отношения,
в котором делят друг друга отрезки, или для доказательства
пересечения трех и более прямых;
в) использование скалярного произведения для определения длин
отрезков или величин углов.
8. Применение преобразований часто приводит к более
простому решению задач. Особенно часто могут быть использованы
преобразования симметрии и вращения, для которых часто нет
необходимости записывать матрицу преобразования. Ось симметрии
является инвариантной прямой для преобразования симметрии,
отображающей фигуру на самое себя. Преобразование
—1 О
О —1
представляет собой отражение фигуры относительно точки или
поворот ее на два прямых угла.
Приложение 3
1. Матрица
Алгебра матриц
'«!«.
1"2-
Ь±Ь2
называется прямоугольной матрицей, если число ее строк не
равно числу столбцов. Матрица может иметь только одну строку или
один столбец.
398

Квадратная матрица, число рядов которой равно п, называется
η Χ η матрицей. Матрица 2χ2 будет;
(с 5)
При сложении матриц складываются их соответственные элементы:
Нуль-матрица
(a b\ + (s t\ = la + s b + t
[с d I ~r [u ν [c + и d + ν
(S 2)-«
Матрицы образуют коммутативную группу относительно операции
сложения. Закончите анализ групповой структуры матриц.
2. Умножение матриц. Мы определим умножение матриц
следующим образом:
a b\ /s А __ fas + bu at + bv
с d) \u ν) \cs + du ct + dv
Единичная матрица:
й ?)-'■
Произведение матрицы-строки на матрицу-столбец определяется
как число:
(abed) ,s\ = as + bt + си + dv.
t
Произведение (матрица-столбец) (матрица-строка) не определено.
Произведение матрицы на вектор-столбец определяется следующим
образом:
fx\ гагх + Ьху + сгг\
у\ = 1а2х + b2y + c2z
\г) \а3х + b3y + c3z J
т. е. умножение производится так же, как и умножение матрицы-
строки на матрицу-столбец.
399
«1
а2
Л
Ьх
Ьг
h
С\
с2
Сз

Произведение вектора-строки на матрицу определяется следующим
образом:
(х, у, ζ)ίαχ а2 а3\ = (агх + bxy + cxz\ a2x + b2y + c2z;
b1 b2 b3 a3x + b3y + c3z).
\cl c2 c3J
Заметьте, что вектор-строка находится слева от матрицы, а вектор-
столбец — справа от нее. Если вектор-строка или вектор-столбец
не содержит достаточного числа элементов для умножения каждого
элемента столбца матрицы или строки матрицы, то умножение не
может быть выполнено
Если А, В и С — 2 X 2 матрицы, то
(АВ) С = А (ВС) = ABC;
А В — 2 X 2 матрица;
AI = А для всех А.
Если А = (а Ь\, то А2 = АА = (а Ь\(а Ь\ __,
[с d) [с d)[c d) ~
е (а2 + be ab + bd\ = (а (а + d) — Δ b {a + d) \
[ас + cd be + d2) [с (а + d) d (a + d) — Δ/,
где Δ = ad — be.
Отсюда A2 = (a + d) A — Δ/.
Если существует такая матрица Л-1, что АА'1 = I, то
ЛМ"1 = (a + d) АА-1 — АА'1
А = (а + d)I — АА'1
АЛ"1 = (a + d)I — A.
Следовательно, если Δ=^0, может быть найдена матрица Л""1.
Δ называется определителем матрицы.
ДЛ-1 = (а + d 0 \_(а b) = ( d —b
[θ а + d) [с d) \—с а
Если А = (а Ь\ ™ л-1 1 id —Ъ
(?
., то Л"1 = - .
d . ad—be \—с а
Покажите, что все матрицы 2 · 2, для которых Δ -φ 0,
образуют группу относительно умножения.
Уравнение Л2 — (а + d) А + Δ/ = φ называется
характеристическим уравнением матрицы.
Заметьте, если а + d = 0 и Δ = 0, тоЛ2 = (р, хотя каждый
элемент матрицы не обязательно равен нулю. Отсюда следует, что
имеется квадратный корень из φ, неравный φ. Аналогично если
а + d = 0 и А = —1, то
Л2 = /
и имеется квадратный корень из /, неравный /.
3. Векторные пространства. Мы определили вектор как
упорядоченный набор чисел, подчиняющихся определенным законам.
400

Множество векторов и законы, которым они подчиняются, образуют
векторное пространство.
Слово «упорядоченный» обозначает то, что эти числа мы
записываем так, что их порядок хорошо виден:
(a, b, с, d), /a\ (а Ь\
Первый вектор мы называем вектор-строка, второй —
вектор-столбец, а третий — матрица. Вектор может быть образован каким
угодно числом элементов. Мы будем в основном рассматривать
вектор из двух элементов.
Законы:
1) (а, Ь) + (с, d) = (а + с, Ь + d);
2) (а, Ь) + (0, 0) = (а, 6);
3) (а, Ь) + (-а, -Ь) = (0, 0);
4) (а, Ь) +[(с, d) + (е, /)] = [(а, Ь) + (с, d)\ + (e, /);
5) k (а, Ь) = (ka, kb)\
6) k (a, b) + k (с, d) = k [(a, b) + (c, d)\\
7) (k + m) (a, b) = k (a, b) + m (a, b).
Запишите законы для векторов, заданных в виде векторов-
столбцов. Заметьте, что каждое векторное пространство содержит
вектор (0, 0). Запишите законы для векторов, состоящих из трех
элементов.
Множество действительных чисел образует векторное
пространство. Размерность этого пространства равна 1, так как вектор
содержит только один элемент. Сравните его с множеством точек на
прямой, которым приписаны соответствующие числа.
Если (а, Ь) и (с, d) — векторы векторного пространства, то
каждый вектор пространства может быть записан в форме
h (a, b) + k (с, d),
где h и k — числа.
Если (a, b) = m (с, d), то каждый вектор пространства,
определяемый вектором (а, Ь) и вектором (с, d), является результатом
умножения вектора (а, Ь) на число. В этом случае векторное
пространство имеет размерность 1. В других случаях размерность
пространства равна двум.
Если (а, 6, с) — вектор, то пространство {k (a, 6, с)} также
имеет размерность единицу, так как оно определяется одним
параметром k.
Если векторы (а, 6, с) (/, т, п) — различные, то пространство
{k (α, by с) + h (/, /77, ή)} имеет размерность 2, если только векторы
(а, 6, с) и (Z, m, п) неколлинеарны.
401

В случае, если все три вектора (а, Ь, с), (/, т, п) и (р, ду г)
некомпланарны, то пространство \k (ау Ьу с) + h (/, m, n) + g (p, q, r)\
имеет размерность 3, если только (ру q, r) =^=s (ay by с) + t (ly my η).
Размерность пространства определяется числом линейно
независимых векторов, необходимых для образования этого
пространства.
4. Преобразования векторных пространств. Векторное
пространство может быть отображено на другое векторное
пространство при помощи преобразования:
(' ПНЙ,
которое может быть записано как
ах + by = х'\
сх + dy = у'\
1х'\ —образ (х\ в приведенном выше преобразовании.
[у) Ы
Мы можем записать это же преобразование и в таком виде:
(х, у) (а с\ = (*', у')
и интерпретировать их так, как это уже было сделано выше.
Пример. Если (х, у) отображается на (х', у') при помощи
матрицы, тогда
(*', у') = (х, у) la с\ (х'\ = ία Ь\ /х\
(х', у') (х'\ = (х, у) (а с) (а Ь) (х)
[y'j [b d) [с а) [у),
т. е.
(х')2 + (У')2 = (х, У) (а2 + с2 ab+ cd\ (χ\ =
[ab + cd b2 + d2) [yj
= (x, y) ((a2 + c2)x + (ab +cd)y\ =
\(ab + cd)x + (b2 + d2)y)
= χ [(a2 + c2) χ + (ab + cd) y\ + у [(ab + cd) χ + (b2 + d2) y] =
= (a2 + c2) x2 + 2 (ab + cd)xy + (b2 + d2) y*.
Если (я')2 + (у')2 = χ2 + у2 для всех χ и у, тогда
а2 + сг = 1, b2 + d2=l, ab+cd = 0,
эти равенства удовлетворяются при
а = cos θ, b = — sin θ и а — cos θ, b = sin θ,
с = sin θ, d = cos θ, с = sin θ, d — — cos θ
(ad — bc=\) (ad— be = — 1).
402

Это изометрии множества точек
{(*у); х2 + у2 = г*}
отображается само на себя.
Например, преобразование /—1 0\ является поворотом
I o-ij
на угол θ= 180°, преобразование/1 0\ осевая симметрия, в
lo-ij .
которой ось Ох является осью симметрии; преобразование /0 —1\
U о/
— поворот на угол 9=90°; преобразование /0 1\ —симметрия
U о)
относительно прямой у = х.
(Ъа + 2Ь + с — е
а + 26 + Ъс + 2d + 2е
b—c + 2d — e
2а + b + 2c + 4d—e
Такое умножение может быть использовано при определении
стоимости покупок.
2. Если (а Ь\ (х\ __ (и\ ах + by = и
\с d) \у) \v), т. е. сх + dy = υ, тогда
\У/ ad — be \—С α)\Ό) ad —be
_ — си + αυ
ad — be
является примером использования обратной матрицы при решении
систем уравнений.
Приложение 4
Примеры множеств
1. Назовите все элементы множеств:
Ρ = {χ Ι χ — простое число, меньшее 20};
Q = {л: j χ — нечетное число, меньшее 20};
R = {χ Ι χ — четное число, меньшее 20};
S = {χ | χ — делится на 3, χ < 20};
Τ = {a: j λ; — делится на 4, χ < 20}.
Перечислите все элементы следующих множеств:
Ρ U Q, R П Τ, Q П S, Q U S, # П Τ,
Q U 7\ (Ρ U S) П Г, Ρ П Τ. (Ρ Π Τ) U Я, (Я П Л U Ρ.
403

2. A = {л:I —1 < * < 3}; В = {x\ О < χ < 4}; С = {χ| —2<
< χ < 0)}. Найдите:
Л U Ву С \J В, А П С, В (] С, (A [J С) П В, A (J В [J С,
л П В Π С
Покажите, что
А Л (S U О = (Α Π β) U (А П О; (Л Π О U β = (Л U
U В) П (С U 5).
3. Начертите, диаграммы Венна, изображающие следующие
множества: A, A U β, Α Π β, (^U β)', (Л П β)', Л П β Π С,
Л U β U С, где А, В, С — любые множества.
4. Пользуясь данными упражнения 1, запишите:
п(Р) n(Q) n(R) n(S) η (Τ).
Найдите:
η (Ρ U Q), " (Q U Я); λ (Q U S) η (S U Τ).
Постройте диаграммы Венна для множеств Qy Sy T и укажите на
соответствующих частях диаграмм их элементы.
Проверьте формулу для η (Q \J S [} Τ).
5. Начертите диаграмму Венна, иллюстрирующую
подмножества множества параллелограммов (ромбы, квадраты,
прямоугольники).
6. На координатной плоскости изобразите множества:
{(х, у)| χ > 0, у > 0, χ + у < 1}; {(х, у) |х<2, х > 0, у < *};
{(*, у)| χ > 0, у > 0, χ < 2, χ + у < 4};
{(х, у)\х- > 0, 6 — Ъх + х2 = у < 0};
{(х, у)| у > χ2, χ < у2}.
7. Было опрошено 50 человек. 23 из них сказали, что им
нравится сорт X, 25 — что им нравится сорт У, а 19 — сорт Ζ. 11 человек
сказали, что им нравится и сорт X, и сорт У, 6 человек — что им
нравятся сорта X и Ζ, 8 — что им нравятся сорта Υ и Ζ, а двоим
нравились все сорта. Скольким не нравится ни один сорт?
8. Начертите диаграммы Венна и заштрихуйте области,
соответствующие следующим областям:
U = G[) S [) Fy G Π S Π Ζ7, (Г П S Π Λ G П S' Π Λ
G Π 5 П П С Л S' П Λ G'nSn^GnS'n Ζ7',
G' Π S' П Ζ7'·
9. Из 100 опрошенных студентов 24 человека не изучали ни один
из иностранных языков — немецкий, французский, испанский.
404

18 человек изучали испанский, 23 человека изучали немецкий и
испанский, 8 человек изучали немецкий и французский, 26 изучали
немецкий, 48 — французский, 8 — французский и испанский.
Сколько студентов изучало каждый из этих языков?
10. Начертите диаграммы Венна для множеств, указанных в
задании 9.
11. В = {Ρ Ε L J С A N}; С = {О W L}; D = {CANDY};
F = {FLAMJNGO).
Укажите элементы следующих множеств: В {] С, B[\Dy B{]D{]
П Л С П Л В U С U D, (В U Q П Л (С Л D) U В.
12. Перечислите все подмножества С в задании 11.
13. Найдите множество решений в натуральных числах
неравенства
0 < χ + 2у <6.
14. Найдите множества решений неравенства 3 — 2х — х2 > 0.
15. S = {х\ 6 — х —х2>0}; Τ ={χ| 3 + 2х — х2>0}.
Найти s η т.
Приложение 5
Упражнения по всему курсу
1. а = 2, Ъ = 9, с = 6, d = 7.
а) Найдите значение 1—;
Ь с
б) найдите значение х, если ах + Ь = с — d\
k /—
в) найдите значение ky если d = —у Ь.
а
2. А = {1, 2, 3, 4}; В = {х\ 2 < χ < 5};
С = {χ| 2χ = α, α ζ А}.
а) Найдите А Г) β; б) найдите А [} С; в) найдите А [) (В [) С);
г) найдите η (А [) С).
3. В треугольнике ОАВ D — точка на стороне АВУ точка Ε —
на стороне OD; ОА ="а, ОВ = 6, ЛО = 2 D5, ОЯ = 2£Ζ).
а) Выразить ЛО через а и 6;
б) выразить BE через α и 6;
в) выразить OD через а и 6;
г) векторы BE и ОЛ пересекаются в точке F, показать, что
9L — А
/М ~~ 3'
405

4. A = (3 — χ), В = (χ + 2).
а) Найдите значения х, для которых А > 0;
б) найдите значения х, для которых АВ = 0;
в) найдите значения х, для которых АВ > 0.
5. а = 137 (при основании 8), b = 221 (при основании 10), с =
= 111011 (при основании 2).
а) Чему равно число Ь при основании, равном двум?
б) Расположите данные числа в порядке их возрастания;
в) Запишите произведение чисел а и с в десятичной системе
счисления.
6. Запишите множество целых чисел, равных по модулю 7.
а) Найдите в целых числах все решения уравнения Зх + 1 ==
=E£0(mod 7).
б) Найдите в целых числах решение уравнения лс2+3==0 (mod 7).
г *-(1 I) *-β ?)
а) Найдите АВ; б) найдите В2; в) найдите А -1; г)
решите уравнения χ + 2у = 3, Зх + Ъу = — 1.
8. Учитель сказал: «30 учеников сдавали экзаменты по
английскому языку, математике и французскому языку. Двое сдали все
три экзамена. 14 сдали английский и математику, но
провалились по французскому языку, двое сдали только английский язык,
двое сдали только французский и 5 — только математику. 4
сдали английский и французский, но провалились по
математике».
а) Сколько сдали математику и французский, но провалились
по английскому?
б) Сколько учеников сдали математику?
в) Сколько учеников сдали экзамен по английскому?
9. Боковое ребро правильной пирамиды равно 13 дюймам,
сторона основания равна 10 дюймам. Найти площадь боковой грани.
Найти высоту и объем пирамиды.
10. х = 3,27, у = 4,91, ζ = 0,271:
а) найдите ху\ б) найдите yz\ в) найдите (х + у) : г.
11. Мистер Джонс заплатил за дом 3000 фунтов, мистер Смит
заплатил за свой дом 4000 фунтов. Затем мистер Джонс решил
продать свой дом за 3500 фунтов и купить у мистера Смита дом за
4750 фунтов. Какова прибыль (в %) мистера Смита? Если мистер
Смит для покупки нового дома занял 2500 фунтов и должен
платить ежегодно 6,5%, каков будет фактически размер его
платежа?
12. Вектор а длиной 3 единицы образует угол 75° с осью Ох,
вектор Ь длиной 4 единицы образует с осью Ох угол в 45°. Найдите
406

длины векторов а + b и а — Ьу i — единичный вектор,
параллельный оси Ох, найдите (а + Ь) · i и на основании этого угол между
векторами (а + Ь) и i.
13. Найдите максимальное и минимальное значения функции
у = Α*3 + —— Зх + 6.
у 3 2
14. Вычислите:
β 2
α) J (χ + 2) dx ; 6) J (χ + l)2 Же.
1 О
15. Решите, используя для вычислений логарифмическую
линейку:
5,3х + 2,7у = 1,99;
1,2л: + 4,6у= 7,88.
16. Собственная скорость самолета равна 250 узлам, курс 80°.
Направление ветра, скорость которого равна 40 узлам, — 325°.
Найдите скорость и направление движения самолета относительно
земли.
17. Пароход проплыл 5 км на северо-восток и затем 3 км по курсу
С 60°. Найдите графически положение корабля (расстояние и
направление) относительно порта отправления.
Ifi
18. Постройте график функции у = х2 -\ нанеся точки
X
с абсциссами χ = —, 1, 2, 3, 4. Примите за единичный отрезок
на оси Ох отрезок в 1 дюйм, на оси Оу — отрезок длиной 0,2 дюйма.
Используйте этот график для нахождения двух корней уравнения
х3 + 16 = 18 х. Для каких значений ху принимает минимальное
значение?
19. л _
(!i)-"-(?iy
а) Вычислите АВ\ б) вычислите А +В; в) вычислите В А.
г) Дан квадрат, противоположные вершины которого имеют
координаты (0, 0) и (1, 1). Начертите фигуры, полученные в
результате применения к квадрату преобразований АВ и В А.
20. Начертите множество точек:
{(*, У) \х > 0, у > 0, 2х + Зу < 18, 4у — Зх > 7}.
Для каких точек этого множества выражение χ + у принимает
минимальное и максимальное значения?
407

21. В соответствии с экспериментом требуется, чтобы на
некоторый участок земли было внесено 30 кг фосфатных и II кг азотных
удобрений. Удобрения поступают в упаковке от двух поставщиков,
А и В, которые гарантируют следующее количество удобрений в
каждой упаковке:
А (в кг) В (в кг)
Фосфаты 3 5
Нитриты 1 2
Стоимость мешка
удобрений 50 коп. 40 коп.
Сколько мешков удобрений от каждого поставщика требуется
смешать, с тем чтобы стоимость удобрений оказалась минимальной?
22. Начертите контур электрического счетного прибора для
вычитания однозначного двоичного числа из двузначного
двоичного числа YX.
23. Я хочу попасть в центр мишени (в точку пересечения
вертикальной и горизонтальной линий мишени). Считая
равновероятным попадание в любой из квадрантов мишени, найти вероятность
попадания в левый верхний квадрант. Какова вероятность того,
что из 4 выстрелов я три раза попаду в левый верхний квадрант?
24. Определяется число мальчиков и девочек в 100 семьях, в
каждой из которых 3 ребенка. В скольких семьях, по вашему, будет:
3 девочки; 2 девочки и один мальчик; 1 девочка и 2 мальчика;
3 мальчика?
25. В некотором эксперименте на определение всхожести семян
семена были высеяны по четыре в ряд и были получены следующие
результаты:
Число проросших семян в ряду 0 1 2 3 4
Число рядов 0 3 27 43 27
Найдите среднее число проросших семян в ряду (с точностью до
одного десятичного знака). Какова всхожесть семян?
26. ОАСВ — четырехугольник; ОА = а, ОВ = 6, ЛС = с.
-*. I -> -►
Что геометрически означает равенство: с — — (а + Ь)?
о
ВС пересекает О А в точке Е; покажите, что О А = А Е и ЗВС =
= 2 BE.
27. ABCD — четырехугольник, вписанный в круг; a, b, cy d
векторы единичной длины, расположенные на векторах АВ> AD,
CD и СВ соответственно. Покажите, что (а + с) - (b + d) = 0.
28. Угол между сторонами треугольника, равными 8 см и 9 сму
равен 75°. Найдите длину третьей стороны.
408

29. Вычертите электрическую цепь, соответствующую булевой
функции А + (А +В) · С + В · (С 'Л-А'). Упростите функцию
и начертите цепь, соответствующую упрощенной функции.
30. Три прямоугольника Л, В, С пересекаются. Их площади
равны 20, 10, 16 кв. см соответственно. Общая часть
прямоугольников А и В имеет площадь, равную 3 кв. см, площадь общей
части прямоугольников А и С равна 6 кв. см и площадь общей части
прямоугольников В и С равна 4 кв. см. Какова площадь части,
общей для всех трех треугольников, если общая площадь,
занимаемая этой фигурой, равна 35 кв. см?
31. Модели А и В изготовляются на трех машинах. Число
часов, затрачиваемое на каждой машине при изготовлении одной
модели, дано в таблице:
Модель А
Модель В
Машина 1
39
5
1
Машина 2
20
3
20
3
Машина 3
1
19
2
ι 1
Прибыль
20 руб.
30 руб.
Каждая машина работает не более 40 ч в неделю.
Какое число изделий каждой модели должно быть изготовлено за
неделю для получения максимальной прибыли?
32. Примите за истинные следующие утверждения:
а) все робкие существа — кролики;
б) некоторые студенты робкие;
в) некоторые робкие существа глухие.
Начертите диаграммы Венна и определите, какие из следующих
утверждений истинны:
а) некоторые из кроликов глухие;
б) некоторые студенты — кролики;
в) некоторые студенты — глухие кролики.
33. Решите систему уравнений:
(2,2* — 1,9у+ 0,3* = 2,1
l,lx + 2,9y —2,7z = 0
\3,lx — 2yly+_2,7z = 3,8.
34. Найдите образы вектора ОР> координаты точки Ρ равны
(3, 2), подвергнутого преобразованиям, определяемым
следующими матрицами:
Но 2) *-(-? ~°) с=(-'о Ϊ) H?~J)
Каковы ваши замечания относительно преобразований ЕМ, ME,
EMC, EMD?
409

35. В школе 100 учеников; 55 девушек; у 45 голубые глаза;
40 человек блондинов и из них 25 девушек блондинок; 15 человек
блондины с голубыми глазами; 20 девушек голубоглазых и 5
девушек блондинки с голубыми глазами. Найдите вероятность того,
что наугад выбранный по списку учащийся будет или девушкой,
или блондином, или голубоглазым.
36. ABCD — воздушный змей, АС — его ось симметрии, Z_ABC=
= 130°, Ζ. ВАС = χ, Δ. ВСА = у, Z. ABD = χ + у. Найдите
а: и у. Найдите длины отрезков BCf AC , BD , если АВ = 10 см.
37. Составьте матрицу, которая, действуя на вектор ОР
(координаты точки Ρ равны 3 и 4):
а) удваивает его длину;
б) поворачивает вектор ОР на 180° против часовой стрелки;
в) удваивает его длину и поворачивает вектор ОР на 45°.

Приложение
Система единиц, употребляемых в учебнике
Денежные единицы
1 фунт стерлингов (ф. ст.) = 20 шиллингам (ш);
1 шиллинг (ш) = 12 пенсам (п);
1 крона = 5 шиллингам.
Меры веса
1 стоун (ст) = 14 английским фунтам (ф);
1 английский фунт (ф) = 16 унций (у);
1 унция (у) = 28,3 г.
Меры длины
1 морская миля = 1,85 км\
1 миля (м) = 5280 футам (фт) =1,61 км;
1 ярд (я) = 3 футам;
1 фут (ф) = 12 дюймам (д) = 0,305 м;
1 дюйм (д) = 2,54 см;
1 (мерная) цепь = 20,1 м.
Меры вместимости
1 галлон (г) = 4 квартам (кв) = 4,55 л;
1 кварта (кв) = 2 пинтам (п);
1 пинта (п) = 0,568 л.

Оглавление
Предисловие 3
Глава 1. Навигация 7
Глава 2. Системы единиц 13
Глава 3. Дроби 20
Глава 4. Параллельные прямые 25
Глава 5. Окружность 27
Глава 6. Эквивалентность 30
Глава 7. Сгибание листа бумаги. Пятиугольник 36
Глава 8. Логарифмы при основании 2 40
Глава 9. Десятичные дроби 43
Глава 10. Первые сведения о множествах 50
Глава П. Сложение отрицательных чисел 62
Глава 12. Восточное и северное направления 66
Глава 13. Площади 76
Глава 14. Логарифмы 85
Глава 15. Некоторые вопросы для обсуждения 89
Глава 16. Приближенная оценка 90
Глава 17. Логарифмы 92
Глава 18. Логарифмическая линейка 97
Глава 19. Отношение 102
Глава 20. Векторы 114
Глава 21. Косинус угла 124
Глава 22. Множества и операции над ними 129
Глава 23. Введение в преобразования 156
Глава 24. Синус угла 160
Глава 25. Круг 163
Глава 26. Объем 166
Глава 27. Форма и размер. Плоские фигуры 173
Глава 28. Форма и размер. Пространственные фигуры 178
Глава 29. Математическая модель скорости и времени 182
Глава 30. Проценты 186
Глава 31. Алгебра рациональных чисел. Распределительный закон .... 192
Глава 32. Скалярное произведение 201
Глава 33. Множества и неравенства 210
412

Глава 34. Множества истинности 217
Глава 35. Преобразрвания 221
Глава 36. Вероятность и распределение 229
Глава 37. Сравнения 237
Глава 38. Решение систем уравнений 245
Глава 39. Векторы, отношение, инцидентность 257
Глава 40. Тангенс угла 262
Глава 41. Векторы и матрицы 265
Глава 42. Статистика 276
Глава 43. Матрицы 284
Глава 44. Элементы логики и диаграммы Венна 297
Глава 45. Алгебра Буля 299
Глава 46. Пределы, ряды и интегралы 312
Глава 47. Свойства окружности 322
Глава 48. Функция у = ах2-\- Ьх + с 328
Глава 49. Преобразования 335
Глава 50. Отношение, производная, скорость изменения 346
Глава 51. Интегрирование и дифференцирование 363
Глава 52. Решение уравнений 365
Глава 53. Вероятность 373

Математика. Мидлендский экспериментал ьный
Μ 57 учебник. Пер. с англ. Г. Г. Масловой. М.,
«Просвещение», 1971.
413 с. с илл.
Это экспериментальный учебник для учащихся (11-16-летнего
возраста) некоторых типов средних школ. В учебник включено значительное
число новых для традиционного преподавания вопросов.
В книге большое внимание уделяется развитию важнейших
математических понятий.
2-2-2 51 (075)
81-71

МАТЕМАТИКА
Мидлендский экспериментальный учебник
Переводчик Г. Г. Маслова
Редактор Л. А. Сидорова
Переплет художника И. Е. Сайко
Художественный редактор Е. Я. Карасик
Технические редакторы В, И Кориеева,
£. /С. Полукарова
Корректоры Л. Я. Михеева и Т. А. Кузнецова

Сдано в набор 15/111-1971 г. Подписано к печати
16/XI-1971 г. 60χ9071β. Бумага тип. № 2. Печ. л.
26,0. Уч.-изд. л. 22,52. Тираж 40 тыс. экз. (Пл.
1971 г. —№ 81)
Издательство «Просвещение» Комитета по печати
при Совете Министров РСФСР. Москва, 3-й проезд
Марьиной рощи, 41.
Саратовский ордена Трудового Красного Знамени
полиграфический комбинат Росглавполиграфпрома
Комитета по печати при Совете Министров РСФСР.
Саратов, ул. Чернышевского, 59. Заказ № 736.
Цена без переплета 1 р. 06 к. Переплет 20 к.

i