/
Теги: математика
Текст
памятка
поступающему
F вВУЗ 1
Г МАТЕМАТИКА j
СИМВОЛЫ И ОБОЗНАЧЕНИЯ
1. а &А — а принадлежит А.
3. А СВ — Д-подмножество В.
5. А СВ — объединение множеств.
7. — существует.
9,-^а G А — для всякого а из А.
11. А =» В — из А следует В.
п
13. S a j =3] + а2 + ...+ ап,
i- 1
2. а е А — а не принадлежит А.
4. 6— пустое множество.
6. А П В — пересечение множеств
8.^ — не существует.
10. 00 — "бесконечность".
12. А ** В — А эквивалентно В.
п
14. П a i=ax а2 ... ап.
1=1
15. е= lim (1+ —)л =2,718281828... основание натурального лога-
П-* о»
рифма. п
16. Факториал С л! = п (п — 1) (п — 2)... 3 • 2 • 1 = П К (пС N).
< к = 1
(0! = 1
ЧИСЛА
N — множество натуральных чисел 1,2, 3,..., п,... .
Z — множество целых чисел 0, ±1, ±2, ..., ±п, ... .
Q — множество рациональных чисел (вида p/q, р, q GZ, q ^0}.
I — множество иррациональных чисел .... ±у/2~,±\^е, тг, ....
R — множество действительных (вещественных)чисел, R =QU/.
Числовая ось =* -•—1—1—'—>—1-।--•------a G R
-2-10 12 3 ..... п ...
ЧИСЛОВЫЕ ПРОМЕЖУТКИ
Интервал: а < х < b "" "•.е ] а, О [.
а. о
Отрезок: а < х < b —---хС[а,Ь].
а о
(а<х<Ь----------». ХЕ]р,Ь\
Полуинтервал: ///////z/ _ xC[a,b[,
d. (j
Луч: a =Cx <+ oo / / 7 7 xC[a, +°°[; (x>a)
cl
— °°<x ZZZ/ZZZZz - XG] - д]. (X < b}
1
ДРОБИ
S— = а : b — обыкновенная дробь (a, b G Z, Ь ¥= 0),
а • W п — десятичная дробь (п G /V). 0,01 = 1 % — процент
10л
А -2— — А + —--смешанная дробь (a, A, b G N}.
ь ь
Основное свойство S— —(с G R, с Ф 0) — = если a d ~ Ь с
b be * b a
1 3 + c = a ± c 7 a . c = 3 J c q 3 • c — 4 5 &
b b b b d b d b d b c
4 .Л . m= m . _ 5. _a_ m —a— , ¥= 0).
b b b d b‘ m
СТЕПЕНИ
Для a G Я, a > 0, n G Л/:
а п - а • а • а... • а а° = 1 я~п = 1
--------- J4 1 ч а 7Г •
п множителей----------------а
а -- основание, п — показатель степени.
1-а'”-а'’=а'п+'’. 2.^- = ат~". з. (а • b • с)" =а". Ь". с",
а
4. {ат)п = ат ‘ п 5. (-— }п - а” б { э )-л_ , Ь ,л
Ь ьл ь а
(а > 0; b > 0; с > 0; т, п G Я; а, b, с G Я).
КОРНИ
X — арифметический корень л-ой степени из числа а
(х = Я/а =а1/л, а >0, а G Я, п G/V), если Xп = а и х>0.
Для а <0 Va*определен только для нечетных л>0 (3, 5,... 2к—1...)
1|Я/Г=а1/л. 2.jV^= а т/п. 3j'’^jrI=Va,r’.
2
4= am. 5) .
9 b У b
7^)Vvf = г,^г=э^ 8jv^= (V^m
(a,b,cG.R, a>Q, b>0, c>Q, n,kQNf n>1,m£Z).
ЛОГАРИФМЫ f ‘ Д fi,
X — логарифм (x = bge b} числа b > 0 по основанию a > 0 (a #= 1),
если a x =b.
a^b = b
1) I о ge 1 «= 0. 2| bga a « 1 .^Jogahc° bga |b| + bga Id), (6c > 0).
foge “ bge IЫ - bga | c|, (be > 0). bga if =n • bga b
6)bga 4b = -^*>gab. 1)Ъдат 6” =-% toge b. $ bga„ b =
=-f tog8 b. Q)togab^ to^nb". ^bgah = -~^-. 1i;bgeh =
= bgc b • bgac. 12^ bga b = . 13^ bgj 0 h = Ig b.
1^togeb^bb.
МОДУЛЬ (АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА)
fa, если a > 0, (э <= R}
I а 1 \ , если a < О,
1.1 а | > 0. 2. | а | =|-a|.3. \ab\ = | a || b\. 4. I I - ЬФ 0.
/? (b |
5,|a|2 = a2^|a2|.6da+»|<|al+!hb7.HaS-!d!<|a-
— h|. 8. |a — Ь| <|a I + !h| . 9. I la I - !h| | <| a +6|.
10. |a | <Ди|6| <fi=> la+bi <A+BZ \ab\ <AB.
ФОРМУЛЫ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ
l) (a + 6)2 = (a +6) (a +b} =a 2+ 2a b + b2.
2) (a - h)2 = (a - b} (a- b) ~a2~2a b + b2. з|(а + 6) (a - 6)^аЗ=--42 -
3
4уа3+Ь3 = (a + b) (a2-ab +b2) ,5Ja3-Ь3 = (а - b) (a2+ab + b2)
6j{a + b}3 = (a + b){a + b}2 = а 3+ За2Ь+’5а|6+’35Й + />3.
7. (а — Ь}3 ~ (а - Ь)(а- 6)2 = а3-За 2Ь+ ЗаЬ2- Ь3.
8. (а + д)4=а4 + 4а 3Ь+ 6а 2Ь2 + 4аЬ3+ Ь4.
ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ
1. (v^~— \/б)2 = а — + Ь. 2. (у/а + y/b}2 = а + 2yfab + b.
3. (л/а-— у/&Г[\Ja + y/b\~a — b. 4. (a — by/c} (a + by/c\~-a2 —b2c.
_ a (1 + \/5T - a _ a (x/b + \/c) 1П a _
— 1 . У. 1 1 _ 'j_11 1 — ~~ ................. . 1U. .....1 .... _ ““
1 — b . sfb"- b—c \]b^\[c~
b2 — c
a^.^+3^ ..
.. " " r a
b ± c
4
e&s oL
Sim.
HA
th?
2ГЗнаки sin at cosot tg a ctg a
тригонометрических 0 < a < -J- +
функций It . . < ct < It — — —
n < a < -4~ — —
It M < a < 2it - + —
3. Значения тригонометрических функций для некоторых углов.
Радианы 0 it 1Г 6 4 It 3 It 2 1t 3 n 2 2n
Г радусы 0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360°
sin а 0 _L iZl 2 2 1 0 -1 0
cos a 1 & ^2 2 2 1 2 0 -1 0 1
tg а 0 1 — 0 — 0
ctg ct — >/§" 1 0 — 0 —
ФОРМУЛЫ ПРИВЕДЕНИЯ
1. sin (-2-± a) = cos a. 2. cos (~-±a) = Tsin a. 3. tg (~± a) =
= + ctg a. 4. ctg ± a) = T tg a. 5. s in (я ± a) = Ts in a.
6. cos (я ± a) = —cos a. 7. tg (я ± a) = ± tg a. 8. ctg (я ± a) = ± ctg a.
9. sin (^±a) = —cosa. 10. cos (4^±a) = ±sina.
11. tg (2z. + a) = + ctga. 12.ctg (-2j-±a) = *tga.
ОСНОВНЫЕ ТОЖДЕСТВА
1. s in2 a + cos2 a = 1. 2. tg a = s'n-a— (a -5- + я n |. 3. ctg a =
cosot *
= со?» (а^ял).4. tg а ctg a = 1.5. sec a = c^s (a#= -J- + nn 1.
6. cosec a =~— (a =#= я л). 7. 1 + tg2a = —t— (a #= + я n).
sin a cos ct 2
8.1+ctg2a =----1— (а/ял|. (nSZ)
Sin3 a
5
ФОРМУЛЫ ДЛЯ СУММЫ И РАЗНОСТИ АРГУМЕНТОВ
l.sin (а±/3) = sin а • cos Р ± cos а sin/3.2. cos (<х±Р) = cosacos/3+
+ sin a sin /3. 3. tg (a ± /3) = - ± -g-— . . 4. ctg (a±/3) =
1 T tga tg 0
_ ctg a ctg p т 1
ctg 0 ± ctg a
Области определения правых и левых частей могут не совпадать.
ФОРМУЛЫ ПОЛОВИННОГО АРГУМЕНТА
1. sin -2_= ± . 2. cos -2-= ±,
3 tg Л ~ + 'J 1 — cos a _ sin а _ 1 — cos а
2 1 + cos a 1 + cos a sin a
4 ctg a = + -J1 + cos ° = s'n a — 1 ^cosa
2 1 — cos a 1 — cos a sin a
Знак "+" или " выбирается в зависимости от "расположения" угла
области определения правых и левых частей могут не совпадать.
ФОРМУЛЫ КРАТНЫХ АРГУМЕНТОВ
1. sin 2 a = 2 sin а cos a = -3- -9 a—. 2. cos 2 a=cos2a — sin2a =
1 + tg2 a
= 2 cos2a —1 = 1 — 2 sin2a = - ~ t9>- a . 3. tg 2 a = —— =
1 + tg2 a' 1 — tg2 a
= ----2-----. 4. ctg 2 a = -£19-..°!-J. = .119 “ zl19L<?. .
ctg a — tg a 2 ctg a 2
5. sin 3 a = 3 sin a — 4 sin3 a. 6. cos 3 a =4 cos3 a — 3 cos a.
7. tg 3 a =.3tg?-tg2a 8. ctg 3 a =-^9> ~ 3 ^9 а .
1—3 tg2 a 3 ctg2 a — 1
Области определения правых и левых частей могут не совпадать.
СТЕПЕНИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
. .2 _ 1 — cos2a п 2 _ 1 + cos2a
1. sin^ a =-----. 2. cos a =---------------.
_ .3 3 sin a—sin 3 a л _з_______3 cosa + cos 3 a
3. smJ a= --------------- . 4. cos a=------------------
6
ФОРМУЛЫ СУММЫ И РАЗНОСТИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ
ФУНКЦИЙ
1, sin a +sin 0 = 2 sin -а-+.-й.. cos —2.. 2. sin a — sin 0 =
2 2
= 2 cos sin — ~ . 3. cos a +cos 0=2 cos X
X cos . 4. cos a — cos 0 = —2 sin sin .S-zJL..
2 _ ___ 2 2
5. cos a ± sin a =y/2 sin (—±ж) — -\/2 cos (~+ctf).
4 4
6. A • cos a+B sin a=\Z42 + 82 - sin (a + 0), A2 + B2 * 0
sin 0 =—дкму , cos 0 - ——. 7. tg a ± tg 0 =
x/'a2 + вг
= -sin ±_2J—., g. ctg a ± ctg 0 = ± .... 9, tg a + ctg/3 =
cos a • cos /3 sin a • sin 0
= S2?A2--.0 > _ . io. ctg a ~ tg 0 = -£2112L±_21_ .
cosa -sin/? sin a • cos в
ПРОИЗВЕДЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
1. sin a- sin 0 = -J- [cos (a-0) -cos (a +0) ]. 2. cos a- cos 0 =
=^-[cos la- 0) + cos (a + 0) ]. 3. sin a • cos 0 = [sin (a- (3) +
+ sin (a +/?)]. 4. cos a • sin/? =-^-[sin (a +/?) - sin (a - 0)].
5. tg a • tg 0 = JILL'S*- . 6. ctg a • ctg 0 .
ctg a + ctg 0 ° а tg a + tg 0
7 sin (a +/?) sin (a ~0) = co 2/? — cos2a. 8. cos la + 0 } cos (a-0J =
= cos2/? - sin2a.
ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
у =f (х) — функция, определенная на множестве D(/}, если каждому
xGО(у) ставится в соответствие единственное значение ув£ (у)
(х — аргумент, D (у) — область определения, £ (у) — область значений
функции).
f (х) — четная, если VxG О (у), —xG D(y), f (х) =f (—х)
f (х) — нечетная, если ¥хG D (у), —хG D (у), f (—х) =— f (х)
f (х) — периодическая с периодом 7"(7"¥= 0), ecnnVxG О(у)
f(x± Л =f(x).
7
ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ y=kx+b
4v/ri --1 — условие перпендикулярности прямых.
5. D(y) =]-«,+«> [ .6. £(/) =]-оо/ + оо[ .
у= Ь=»
КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ у=ах2+Ьх+с, а Ф 0.
Дискриминант D= 62-4ас. Корни X] = Х2 = zb. + \D .
2 а 2 а
Если D > 0, то %] < х2 при а > 0 и Х] > х2 при а < 0.
Если D = 0, T0Xj = х2 = -b/2a . Если D< 0, Toxt 2 е ф.
8
[ —*— t +oo ( если a > о,
4a
] -oo _ia_£----] если a < 0.
4a J
2.
*1 +*2 = -f-
Xtx2 = f-
— теорема Виета.
3. ax2 + bx + c = a (x— ) (x- x2).
4.ax2+6x + c=:a (x+ )2 + 4э-с~——
2a 4a
5. Знаки квадратичной функции
9
6. Решения типовых задач
ах*+ Ьх + + с<0 ах*+ Ьх + + с< 0 а х2 + b х + + с— 0 ах?+ Ьх + 4- 0 а х2 + b х + + с>0
а>0 О<0 xG ф xG ф хе ф xG ]-оо xG + °°[
а>0 5=0 х&ф _ ь * 2а х=_А. 2а х G ] — <» + оо [ xG + °° [
а >0 5>0 хе ]хь х2 [ xe[xi,x2] x=XjU Ux=x2 Х1М*2, 4-о© £ xGJ-oo, xs[U]x2, + «»[
а<0 D< 0 хе]-°о, +о°[ хе]-°° +°°[ xG ф xG ф хе ф
а<0 0=0 хе ~ 2Т[и и]~2а”' + оо[ xG]-°o, тоо[ X- 2а X- te- la х&ф
а<0 О>0 хе Ми]*ь +°°[ хе x2]U[xi, + °° [ x=XjUx= = х2 xG[x2, Xt] хе]х2, xs[
10
СТЕПЕННЫЕ ФУНКЦИИ / = х01
f (-х) = f (х).
f (-х) = -f (х).
2. у = х~п = 1/хп (n€ N)
D(y) = 0[U]0,+ «>[,
Е (у) = ]0, +°°[,
f (-х) = f (х).
D(y} = О [U]0, + °° [,
Е (у) = О [U] О, + °° [,
Z(-x) = -f (х).
11
ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ у=ах (а>0,а¥=1)
ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ у= loga х (а>О,а¥= 1)
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
D(y} = ]- 00 ,+ °®[,
£ (у) = [-1, +1]Z Т= 2я =>sinx- sin(x+ 2пк) ,kG.Z.
12
DM :x^-^-+ttk, kGZ, f(-x) = -f(x),
£M = +“>[, T~ ir=»tgx= tg (x+irkj, kGZ.
DM -.х^тгк, k&Z, f(~x}=-f{x}.
EM = T~ 7r=>ctgx= ctg (x+ vk}, kG.Z.
13
ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
arcsin х
1. у = arcsin х
X
W) = [-1,+1],
£(у) = [""f
f (—x) = ~f[x},
у - arcsin x о x~ sin y,
{y € E (y)).
arccos x
у = arcctg x
2. у = arccos x
D{y} = [-1, +1],
E{y] = [0, tt],
arccos (-x) = Tt - arccos x,
у ~ arccos x x = cos у
(y&E[y}).
3. у = arctg x
у ~ arctg x
D[y) = +°°[,
E (0 ~ "'/iL.-
f = -r (x)
у = arctg x x = tg у
(ySEly}}.
4. / = arcctg x
D{y} = l-°°, +°°[,
E(y} = ]0, f[,
arcctg (—x) = rr - arcctg x,
у - arcctg x x = ctg у
(/ e £(/)).
U
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ГРАФИКОВ
15
УРАВНЕНИЯ
1. Равенство 7t (х) = f2 (х) — уравнение с одной переменной х.
2. х=х,- — корни, (решения) уравнения, если fx (х,) = f2 = 1,
2, .... n. 3. D = D(f{) — область допустимых значений (ОДЗ)
переменной. 4. Уравнения (х) = f2 (х) ngt (х) = д2 (х) эквивалент-
ны («), если множества их корней совпадают.
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ УРАВНЕНИЙ
1. fx (х) = f2 (х) «• (х) + f3 (х) = f2 (х) + f3 (х), если
D(fi) OD(f2) &D(f3).2.fi (х) =f2 (х) + 73 (х) ^ft (x) -f2 (x) =
= f3 (x) fi (x) - f3 (x) = f2 (x). 3. fi (x) =
= f2 (x) » a fi (x) = a f2 (x), a G R, a ¥= 0. 4.
= 0 VxG ОДЗ о
fi (x) =0,
f2 M =0,
;fnn =0.
c f (x)
5.--------
g M
f\ (X) f2 (x)... fn (x) =
7 (x) = o,
g (*) Ф 0.
6. f (x]g (x) = f (x) ф (x) f (x) [g (x) - (x) ] = 0. 7. fx (x) = f2 (x) =>
~f2in (x) = f*n (X). 8. fl (x) = f2 (x) « 1 (X) = f$n~ ’ (x).
9.7, (x) =f2 (x) => fi (x)g(x) = f2 (x)g (x), если D(f,) П D (f2 ) G.D (g).
10. fx (x) = f2 (x) fx (x)g (x) = f2 [x)g (x), если V x€ D(fr) П D(f2 )
g (x) ¥= 0. 11. fi (x) = f2 (x) о (x) , если
g ( x) g (x)
VxGZXf,) П D(f2) g (x) #=0.
1. Линейное уравнение
a ix+ bi - a 2x + b2
( ьг — bt ,
x — -------, a i a 2,
a , — a 2
xG. ф, a i =a 2, bi b2,
xG R, a i —a 2, bi —b2-
2. Квадратное уравнение ах2+Ъх+с-0.
-4ас>0У
4 2а
< = х2 =-----— , Ь2 - 4а с = 0,
2а
*1,2 € ф, Ь2 - 4а с < 0. -----
X! +х2 ---------*1*2 = — . О
а а
16
3. Биквадратное уравнение ах3 4 + b х2 + с— 0.
, /— Ъ + — 4а с _ + /— й - Уй1 - 4а с
Jf1/2 -V 2э - 2а
xs + х2 + х3 + х4 = 0, х1х2х3Х4 =
4. Иррациональные уравнения (п G N)
„ ______ п ,------ ( f (х) > 0, _ ,___ Г
2лУ f (х) = 2V<Р (*) ** 1 (<Р Й >0) 2%/f (х) = <р (х) о < </> (х) > 0,
С f (х) ~ <Р М - ( f (х) = tp (х)2п.
2n~Vf(x) = 2n~\Z7(x) «*f(x) = <р(х)о
2n-V^w = ‘рй ** = <p(x)2n~1
5. Показательные уравнения
f (*) = a * I*1 -»f (x) =ip (x).
'>0'а*П 2)aZW=6o
f (х) ~ Ьд Ь, 6 > 0, а ¥= 1,
х€ ф, а = 1,6 ¥= 1,
х& D(f), а = 6 = 1.
6. Логарифмические уравнения
( f (х) = ab
1) loga f (х) =b « j f w > о ' 2) loga f (x) = |Oga (x) *> V W > 0,
(a >0, a^1)‘ (a>0,a¥=1> 4<p(x)>0)
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
. _ J I a | > 1 oXG ф1
1. sinx-a I |a| <1 =>x= (~1)*arcsina +irk,
где — ~ < arcs in a < - ,kEZ.
(I a | >1 =>x S ф,
2.cosx-a ^pa | <1 =>x= ±arccosa + 2TrXr,
0 < arccos a < тг, к G Z.
2
3
4
5
3. tgx=a ox = arctg a + тг к, 4. ctgx= a =*x = arcctg a + ir k,
arctga G k£Z, a G Я. arcctga G ]0, я[, k&Z, a e R.
17
a s?n x —a cos x = a
0 x = rt к x = _E_+ rr/c
1 x = -~-+2irk x = 2it к
-1 x ~ + 2it к x = rr *• 2it к
1 2 + 7 к x—t 2it к
_ _L 2 , ,,Л+1 n , , x = (—1) -— + и к 6 x = t + 2tt к
x = (-1)*Л_ + nk x = ± ~~+ 2tr к 6
2 x= (-1)*+1Л_+гг* x= ±ДЛ + 2я* 6
yj2 2 x = (—1)*-~+ я к 4 x = ± ~ +2ir к 4
x~ ( —1) —т— + irk 4 X= ± -2д. + 2я* 4
a tgx =a ctgx ~ a
0 x= it к X~-~^~+ 7Г к
1 x = -’2— + irk 4 №-~4- nk 4
-1 x = —J-+ it к 4 X~~L + ъ к 4
V§" x—_-4- _ it . . x = -g-+ irk
x = —~+ it к x=^~ + -лк 6
x=~- + it к X= —+Я*
~^r x=—2-+ ttk О x~^~Jtvk
18
7. a sinx+6cosx=0 <=> tgx =—~=>х = л к + arctg (— ~) ,k&Z.
8. a sin 2x + b sinxcosx + ccos2x = 0 a tg2x + b tgx + c =0 =>
j *t 2 ~ л- к + arctg 62 - 4a c > 0, a, b, с Ф 0.
[x G Ф, b2 —4a c < 0.
9. a sin x + b cos x=c =>2a sin -~cos + b cos* —£ — b sin2 —
-c(cos2-~ + sin2-—) =0«> (6 + c) tg2~-2a tg + (c - b) =0'*
\x~2-rtк + 2arctg , a2+b2 >c2, ЬФ-с,
I b '>• c
x-2rrk + 2arctg -~y ,a2+b2 = с2, b + -c,
I х-2-п к + 2arctg , x = тг + 2тг A:, b ~—c, a 0,
j 2 a
[хСф , a2 + b2<c2.
10o P (sinx± cosx, sinxcos x) ~0 =*P (t, t2) =0=>ti2,
где P l.u, v) — многочлен, t = sinx +cosx, t2 - 1 ±1 sin x cosx.
НЕКОТОРЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
1. (sinx + cosx)2 — 1+sin2x. 2.cos4x — sin4x = cos2x— sin2x = cos2x
о __________4__1 + cos52x sin’2x _ 3+cos4x
3. Sill Л + COS X—• — 1 ---------- ---—— — s
2 2 4
4. cos6x+ sin6x= -J— (5 + 3cos4xj = —J- (1 + 3cos22x).
8 4
5. cos6x — sin6x = -J- (15cos2x + cos6x).
16
6. cos8x— sin8x= -i-cos2x (3 + cos4x).
4
7, sin x± cos №\/2 sin (x ± -2-). 8. sin x ± v'S'cos x = 2:sin (x ± .
4 3
9. v^sin x+ cosx= 2 sin (x±~).
b
НЕРАВЕНСТВА
1. Соотношения вида f (x) > g (x), f W < g (x), f (x) > g (x),
f (x) (x) — неравенства с переменной.
2. Множество F CD If) QD(g) — решение неравенства f lx) <g (x),
если V xk € F f (x*) < g (x^.) — верное числовое неравенство.
19
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ НЕРАВЕНСТВ
1. f (х) > д (х) f (х| - д (х) > 0 д (х) - f W < 0.
2. f (х) > д (х) о a f (х) > а д (х), если а > 0.
3. f (х) >д W **-f М < -д W •
4. f (х) >д W a f (х) < а д (х) , если а < 0.
5. f (х) >д (х) f (х) +д> W >д W + д> М, если D{f)C\Dlg) = D{g>).
6. fix) >д (х) о<-i—, если VxGZ)(f)nD(^) f(x) >0,
д (х)
д (х) >0.
7. f (х) >д W ** f (х) -<р (х) >д М -д) (х), если¥х£ D(f) О Dig)
д> (х) > о.
8. Г(х) >д (х) ^fl^> g^,neN, ecnn^xG D(f) (^Dlg)
fix) >0,gW >0.
9. f(x) >g(x) ><7%)+1, ^G/V.
Ю f <x) > о О рй > o, (jff (x) <0,
’ ff (*) (g (x) > o, [g lx) <0.
11 (x) ^-q (x) <0. , , J~f (x) > 0.
9 (x) (gr (x) > 0, (g(x)<o.
’2-'M’M>o<,^S>o.'u{sW<S;
ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
____ (x) > 0,
1. 2\/f (x) < g (x) -=»( g (x) > 0,
p (x) <glx)2n.
ln<= /V) 1
2.2"^>ям ={’!:!> °- и {»«=“’.
Xflx)>g{x)-
In&N).
20
3.2 n+\- fM >д (X) *>ш> д М 2 л+1 •
(Яел/)
4.2л+У7м"< д (х) о f (х) < д (х)2л+1.
(nG л/)
ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
1,af (х) >а9 (х) о
f (х) > д (х) при а > 1,
f (х) < д (х) при 0< а < 1.
2.afM
> b*
"f (х) > loga Ь, а> 1,6 > О,
f (х) < logab,0<a< 1, Ь > О,
%GZ)(f), а>0,6<0.
ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА
If (х) >д (аг) ,
1. О < а < 1 loga f (х) < 1ода д (х) «Н д (х) > 0
f (х) <д (х),
2- а > 1 log f (х) < log д (х) *=»•( п
а а f(x) >0.
СХЕМЫ РЕШЕНИЙ ТИПОВЫХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ
! Л <*р И <¥> — ф If! =tp Ф id ><p ф id ><p ф
+ —д> < f < д> Ф V<-p. -¥> ф Г- д> fa > 0, [f =—>pUf=<p. Ф V=_|p- V=<p f < —<p Uf> ip f < —<p*Jf
м <м ф m ф IH =M - ± id |f| >M Ф
^<д>2 Х(/М< о If- X f=lpUf=-¥> *2 л2 t (/-¥>) X X(f+<p) > 0 f2><p2 (f- ¥>> X X(f+^)> 0
21
_4 <p 4 \/f= 4> 4 y/T>p R— 4
+ р>0, < f> 0, (у<¥>2. V Гу>> 0, 1 f> o, [f<¥>2. 0, l/=<A Ф j¥><0,up>0 [f>0. ]f>p2 p<0,up>0, ]f>0 jf>p2
e 4 _ •\/f< _ 4 . y/f- 4 \/f^
0<f <¥> |?>о, 0<f Ф /f>0, V ff =v>> V>0 (или >p >0) Ц- f>p>Q Ф (?>¥», [p > 0. f>p>Q Ф P><P, > 0.
logyf<0 i°g/<o l°9/= 0 fogf > 0 log/>0
Г(7-ПХ J X(¥>-1)< 0, I f>o. V-DX У >0, <p > 0, # 1. Ф 7= L <P>0, p ф 1. - + '(f-1)X Kip- n>G f> 0, P>0. .^*1. ‘(f-nx , X.(p - 1»0, ‘ f>o, p>Q.
'oQy fi < < i°gv f2 .... Ф r log fi< < log f2 Ф y iog./i=- = 109/2 4 log fi > >^f2 iQQji > > log f 2 Ф *
(4~ f2)X X (</>-D<0, • fi>0, fi >0, [y>> 0. f 2)x X(y>-1}<0, . fs>0, f2>0, ¥>>0, p=£ 1. • Ф >1= fl. fi>0 (или ' ft >0}, <^>0, y¥=1. f(fi-f2)X Х(^-П>0, , fi > 0, ' f2> 0, ¥>>0, ,y> #= 1. '(fi- f2IX X4p-1J>0, 4 f 1 > 0, ft >0, ¥>>o.
ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Производная функции у = f (х) в точке х — у' = f (х) e lim =
= lim *«>- '<*> . Д**°ДХ
Дх-»О Дх
22
Геометрический смысл: tga^f’lxg)
И - Ио =f'Uo) (х- х0) -
уравнение касательной к
кривой у =f (х) в точке (х0, у0).
И - Ио =~~”Г & ~ хо>~
f (х0)
уравнение нормали к
кривой y=f(x) в точке (х0, Ио) •
ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ
1,с* =0 (с = const). 2. (х“)' = аха 1 *>х -1, ~т »
Ь/г)' =—-—. 3. (а*)' =а* Ina. 4. (ех)' = е*.
2-Тх
5. (log х)' =—. 6. (Inx)' =-L. 7. (sin х)' = cosx.
а X In а X
8. (cosx)' =—sinx. 9. (tgx)' =---------—. 10. (ctgx)' =-----
cos’ x sm’x
11. (arcsinx)' - 12 (arccos x)' =-------==^=.
Vi - X2 V1 ~x
13. (arctgx)' 14- (arcctg x)'
ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
Если и- и (x) ,v- v (x) ~ дифференцируемые функции, с = const. то
1. (су) ’ =су'. 2. (у± у) ’ =и ± у’. 3. (уу)' — u'v + у’у.
4. (Х_)'
V V V V
5. и= f (м),У= У(х)^И^ ^f'uu'x
23
ПРОГРЕССИИ
Арифметическая
Г еометрическая
Арифметическая прогрессия
£а — числовая последователь-
ность^, а2, ап,п G N,
такая, что Vn> 1 а „ = а„ + d
п п— 1
(</ — разность)
Геометрическая прогрессия
£б — числовая последователь-
ность bif b2,Ьп,n&N,
такая, что 6] Ф 0 и Vn> 1
t>n - bn_^ q (q — знаменатель).
1-аЯ+1 = an + d-
'bn^bn<b
2. a = - (n> 1).
n 2
3. a n ~ a t + (n — 1) d.
4. a n = a k + d (n — A:), К At <n —
5. a = — n~-£_
n 2
1 1.
6. a+a=a.+a.
л m к p
если n + m = k + p.
l.ai=an-d(n— 1).
!4 = ‘.-A« <">”
3.4„ = btq”-'.
4. bn~ bkqn k, KAr«Cn — 1.
5.<6 =b„ kdk, 1<Аг<л- 1.
n п— к
Q-bn^k = b^-
ьn_mbnJtm,
1 n — 1.
^bnbm=bkbp-
если n + m~ k + p.
a a,
B.d= ------- (n> 1).
n — 1
a n — a .
9. n= -JL—L+ 1.
d
10-5„= Э1 +Э2 +••• +a n-
9.$n- bl +b2 +...+ bn.
10- Ch 1 ~ Qn -f
Sn= l-Q
Ihtn, <7 = 1.
n e - 2a ( + d (n — 1)
12 S„---------5--------n 12. S = lim S =
13. S — S. i ~ a. + a, . +...+a — . . .
n *-1 k * + 1 n еслиО<|д| <
bt
1 - q '
1.
a, + a
= -^2 Д-. (n-k+ 1),
1<A-<n. (n,k,m,p&N}
{n, k,m,p& N}
24
ПЛАН ИМЕТРИЯ
ПРОИЗВОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК
с
с — длины сторон ДА5С; р = —-—~----
полупериметр; S — площадь; R и г —
радиусы вписанной и описанной
окружностей; h тд —
длины высоты, медианы и
биссектрисы, проведенной
к стороне а .
в
а
Теорема синусов
а _ b _ с
sin A sin в sin С
Теорема косинусов
а1 = Ь1 + с2 —2bc cos А
S =
= 2Я
Формула Герона
S = y/pip — а) \р — Ь} (р— с)
S =р г; S = а Ъ с / 4/?
Via ha ’ S — Via b sin C-,
D
В
ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ЛИНИИ И ТОЧКИ
В ТРЕУГОЛЬНИКЕ
C
БИССЕКТРИСЫ
О — центр вписанной
окружности г - S/p
А Свойство биссектрисы угла треугольника
AD/DB = АС/ВС
МЕДИАНЫ
О — центр тяжести
треугольника
ОК/ОВ = QM/OC = ON/OA^/t.
т а = 7т^2+2с2-а2
M
ПЕРПЕНДИКУЛЯРЫ,
ПРОВЕДЕННЫЕ ЧЕРЕЗ
СЕРЕДИНЫ СТОРОН
— центр описанной д = a be
окружности 4$
25
A
c
b
a
ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК
а и b — катеты; с — гипотенуза; ас и Ьс- проекции
катетов на гипотенузу
а2 + Ь2 = с2 — теорема Пифагора
S=1/2a6 $=1/2сй г = а + ь=с „
е 2
/?=с/2 й2 = ab а2 = с a b2-cb
а - с sin А = с cos В = b tg А = b ctgS
Ь = С-С^е.4
в
В
ПРОИЗВОЛЬНЫЙ ВЫПУКЛЫЙ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК
26
В
РОМБ
di 1 d2 S= a- ha
S = a2sin A S = */2
i
r= hg /2 dl + d2 - 4a2
О — центр вписанной
окружности
ПАРАЛЛЕЛОГРАММ
а иЬ — длины смежных сторон
параллелограмма ABCD;
А - величина угла между
этими сторонами; hg — высота,
опущенная на сторону а ;
di — d2 — длины диагоналей;
S — площадь параллелограмма
/?в = b sin A S = а • hg
S=abs'mA S =1/2 didjSin
d2 = а 2 + b2 - 2а b cos A d2 + d2 - 2 (a2 + b2)
ТРАПЕЦИЯ
а и b — основания; с и d — боко-
вые стороны; h —высота;
di и d2 — длины диагоналей;
/ — средняя линия; у — угол •
между диагоналями; S — площадь
» э b л __ в b I л _ d« d л •
/ = —-— S = — ---h S = -j- • sin
Если а + Ь- с + d, то в Описать окружность можно
трапецию можно вписать только в том случае, если
окружность с — d
27
ОКРУЖНОСТЬ, КРУГ
г - радиус окружности; С = 2яг
С - длина окружности; _ 2
S - площадь круга S - яг
СЕКТОР, СЕГМЕНТ
г — радиус окружности;
/ — длина дуги, ограничивающей
сектор; S — площадь сектора;
п° — градусная мера централь-
ного угла; а — радианная мера
центрального угла
/ = 'пГ n<> = f. a $ = g л°
180° 360°
= 72г2а
С = — С —с
сегм^*ГД/8 АОВ! ^АОВ
СТЕРЕОМЕТРИЯ
ПРОИЗВОЛЬНАЯ ПРИЗМА
/ — боковое ребро; Р — пери-
метр основания; S — площадь
основания; Н — высота;
^сеч ~ пеРиметР перпендику-
лярного сечения; $бок —
площадь боковой поверхности;
V — объем; $сеч — площадь
перпендикулярного сечения
/ V = S • Н ^бок ^сеч ’ !
28
7x0 7) ‘ !,е * —:L_'" г V '
^С-uJtC -е<?'
’ ./ Г л Al t - с
ПРЯМОЙ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД
ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД
ABCD — параллелограмм
V = S-I
ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ
ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД
5бок 2 (а+ 6)-с
V = а Ьс = а2 + Ь2 + с2
КУБ
ABCD — квадрат
5бок = 4а2 v=*3
d= а^З
29
ЦИЛИНДР
R — радиус основания;
SgoK — площадь боковой поверхности;
Sn — площадь полной поверхности;
V — объем
5бок = 2itRH S^2irR{R + H\
V = п R2 Н
КОНУС
S6o« = 7r/f/ Sn = vR(R + l)
V — -1- tiR2 H ... j7/-''
ШАР, ШАРОВОЙ СЕКТОР
S — площадь поверхности шара;
R — радиус шара;
h — высота сегмента;
V — объем
S = 4тгН2
V = Л-Tt R3 \/ = -2-irR2 h
з 3
$ ПРОИЗВОЛЬНАЯ ПИРАМИДА
S -- площадь основания;
Н — высота; V — объем;
5бок — площадь боковой по-
верхности; а — угол между
боковой гранью и плоскостью
основания; 3 — угол между
боковым ребром и плоскостью
основания; / — апофема;
Р — периметр основания
30
ПРАВИЛЬНАЯ ПИРАМИДА
ПРАВИЛЬНАЯ УСЕЧЕННАЯ ПИРАМИДА
$1 и $2 — площади оснований;
h — высота; v — объем;
/ — апофема; Pj иР2 — пери-
метры оснований
v=~-h (5г +VSrS2 +S2)
31
Памятка содержит основные сведения, необходимые абитуриентам при
подготовке к вступительным экзаменам в ВУЗ.
Приведены краткие определения, наиболее употребимые формулы,
приемы решения типовых задач.
Содержание
Числа................................................. 1
Дроби. Степени. Корни................................. 2
Логарифмы. Модуль. Формулы сокращенного умножения; . . 3
Иррациональные выражения.............................. 4
Формулы тригонометрии................................. 4
Основные элементарные функции......................... 7
Преобразования графиков;............................. 15
Уравнения. Преобразования уравнений.................. 16
Тригонометрические уравнения......................... 17
Неравенства.......................................... 19
Схемы решения типовых уравнений и неравенств......... 21
Элементы математического анализа..................... 22
Прогрессии........................................... 24
Планиметрия.......................................... 25
Стереометрия........................................ 28
© Составители: Урубков А.Р.,
Голубев. В.И., Замарайкина А.А.
Москва 1991
Подписано в печать 17.04.91. Тираж 385 000 экз.
(100 001—200 000 экз.). Цена 95 коп. Заказ 1077.
Отпечатано в типографии ордена Трудового Красного
Знамени издательско-полиграфического объединения
ЦК ВЛКСМ «Молодая гвардия» Адрес ИПО: 103030,
Москва, Сущевская, 21.
'Лп/мнм 2/,
dhv
14. соотношения елементиа «imuvmma ч*м« щ
Прямоугольный треугольник
Обозначения: а, b — катеты; с — гипотенуза;
s — площадь
а* + 6’=с»; а+3 = 90°; S=-£-;
it
, ; т; a b a b
С я= у «4- Ь* ~ " —• = = ....=s » I' — ’
r sin а cos а cosp cosp
а = р/‘с‘ — Ь* = с sin а =• с cos 3 = b tg а = b ctg 3;
Ь = у с1 —а* = с sin 3 == с cos а — a tg 3 = a ctg а;
_ аЬ а* Ь* , с* с’ , „
5 » ——- = —ctg а = --г- tg а = sin а-cos а = —7- sin 2а =
2 2 2 2 4
sin а = cos 3 — — ; sin 3 = cos а = — ; tg а — ~ ; tg 3 — —
с с о а
Равнобедренный треугольник
Обозначения: а — боковые стороны; с — осно-
вание; а — углы при основании; у — угол при вер-
шине; Лв и he — высоты на сторону а и основание с;
Р—периметр; S — площадь
V ус
у =180°— 2а; а — 90°—; cos а = sin;
’ 2 2 2а
а = с = с = ha = hc = ТЛй2-!-/—У2 •
= 2 cos а „ , у sin у у г с'П 2 J ’
2sln-j- cos-Ь \ ’
v ^а У
с = 2а sinT =2acosa = 4nfS-=—= 2ЛС tg;
. у сЛс с т /~ , / с \2
ft_ — a sin у = с sin а = с cos-Jr — v а’ — | —-1 ;
° 2 а а V \2/
12, Круговые (обратные тригонометрические) функции
Круговыми (обратными тригонометрическими) функциями от х называю
величины у, определяемые равенствами;
Произведение функций двух углов
y = arcsin x (арксинус). если X *= sin у.
y= arccos x (арккосинус). > х = cos у;
у = arctg x (арктангенс). > х “= tg g;
у ~ arcctg x (арккотангенс). > X — ctg у.
, , „ cos (а — p) — cos (а 4- 3) .
si n а • si n 3 =-----------------------------
2
Здесь у в рад
Главные значения круговых функций (обозначаются: arcsin х, arccos х
arctg х, arcctg х) ограничены пределами;
cos а . cos p =
cos (а — Р) + cos (« + fl)
2
~ < arcsin х < 4- у ; arctg х < +
cos а-sin 3
sin <а 4- 3) — sin (а — 3) .
2
О < arccos х < + я; 0 < arcctg х < 4- я.
, „ . ,, tga4- tgP . . _ n .a „ _ ctga4- ctg3
tg ’ g ,J ctg a 4-ctg p' g ‘ gP tga4-tgp
13. Основные формулы тригонометрии
tgactgp =
tga 4- ctg p
tgP4-ctga '
Функции одного угла1
Соотношение функций одного угла:
. . . , si n а 1
si п’ a 4- cos’ a = 1; -= tg a = —---:
cos a ctga
tg a _ _ _ 1 =_______
Ki 4-ctg’a cosec a
ctg a_______1 w
Ki + tg* a + ctg* a sec a
Kl ~~ cos* a
cos a
sin a = K1 — cos’ a =
cos a == f/1 — sin» a
Ki + tg* a
1
1
sin a
tga == _______
Ki — sin* a
}f sec* a — 1;
— К*~«*п*а
~ sin a
. cos a
ctg a = —-=5====^
у i~ cos* a
Функции двойных н тро
= У cosec’ a — 1.
йиых углов
sin 2a = 2 sin a cos a = r4~r-r—;
1 4- tg* a ’
cos 2a ® cos* a — sin’ a = 1 — 2 sin* a = 2 cos* a — 1 = .--5 a ;
1 4- tg»a’
tg2a = _L^______________
1 — tg’a ctga— tga
ctg* a — 1 ctg a — tg a
2
ctg 2a---- -----
2 ctg a
sin 3a 3 sin a — 4 sin» a;
“ l-3tg*a ’
2
cos 3a = 4 cos* a — 3 cos a:
ctg to-
функции половинных углов
. a if I — cos a Kf +«In a — Kl — sin a
slnT= у ---§-------------------;
cos -2- w. У1 +^ostt. Kl +j»in«+ri -sing.
Разности квадратов функций двух углов
sin’ a — sin* 3 = cos* 3 — cos* a = sin (a 4- 3) sin (a — 3);
cos’ a — sin’ 3 = cos’ 3 — sin’ a — cos (a 4- 3) cos (a — 3).
Суммы и разности функций углов
треугольника (а, 3. V)
а + 3 + Vе 180°
sin а 4- sin 3 4- sin у «= 4 cos -2- cos cos — ;
4 4 *
a В v
sin a 4- sin 3 — sin у = 4 sin -у sin y- cos -y;
cosa4- cosp 4- cos у = 4 sin -2- sin sin -^-4- 1;
cos a 4- cos 3 — cos у = 4 cos ~ cos -2- sin -5- — 1;
tga 4- tg 3 4- tgy = tga tgp tg?;
ctg— 4-ctg4-ctg= ctg -2-ctg -A ctg-y ;
4 4 4 4 4 4
ctga-ctg 3 4- ctga-ctg у 4- ctg 3-ctg у = 1;
cos* a 4- cos* 3 + cos* у == 1 — 2 cos a- cos 3- cos y;
s|n* a 4- sin* 3 4- sin’ у = 2 4- 2 cos a -cos 3-cos y;
’ Перед виеком радикала должен быть поставлен знак «плюс» или «минусу
в зависимости ох того, з какой четверти находится угол.
sin* a 4- з|п* 3 — sin* у = 2 sin a- sin З-соз у.
a st n a 1 — cos a f /” 1 — cos a
2 1+ cos a sin a у 1 4-cos a’
. a sin a 14-cos a f /"1 4- cos a
2 “ I — cos a sina = V 1 — cos a *
Суммы и разности функций одного угла
sin a 4- cos a » Vt 4- sin 2a = Vi sin (45® 4-«) e Vi cos (45® — a)j
sin a — cos a = — /1 — sin 2a;
cos a — sin a = Vl — sin ia = Vi sin (45® — a) = Vi cos (45® 4* a)|
2
tg a 4- ctg a -= 2— ; tg a-ctg a =.-2 ctg 2aj
ctga — tg a ь= 2 ctg2a.
Степени функций одного угла
sin* a =
1 —cos 2a
2
. 1 4- cos 2a
cos* a = —!—;
3sina —sin3a . 3cosa4-cos3a
a ™ —......—..— 3 cos* a =... .---—)
, . cos 4a — 4 cos 2a 4- 3
sin* a =--------5-----!—;
О
. cos 4a 4- 4 cos 2a 4- 3
cos* a -----1—g---------5
О
. . 1 , 1 — cos ia . , 1 ,
,ga37^--1 Ctg‘aex-j^-1.
Функции суммы н разности двух углов
sin (a ± 3) = slna cos 3 ± cosa sln 3;
cos (a ± 3) = cos a-cos 3 4- slna-sin 3;
tg (« ± 3) = -.-g-a t.tg P -1 ctg (a + 3) = .
g< lTtga tg3 ’ CIg(a±p; ctg p± ctg a
С ум м ы и разности функций двух углов
, । . „ „ , a 4-'3 a — р
sina 4- sin 3 е= 2 sin--cos------1
• л л «4-3 a—3
COS a 4- cos 3 ее 2 COS-5-t- COS-T-i- 2
A A
sin a — sin 3 “ 2 cos - P sin — P ;
cos a — cos p = — 2 sin -£ - sin ;
tgg + tgB—^S*91 e*ga4-ctgB™si.n(0±g>
cosa cosp’ CIg « ± Cl« p - Жа^п > '
РАСЧЕТ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ И ФИГУР
10. Тригонометрические функции (определения и знаки приведения)
Синус sina=-^-.
„ ft
Косинус cosa= —.
„ , О
Тангенс tga = —.
о
b
Котангенс ctga = —.
„ с
Секанс seca = -r-.
о
с
Косеканс cosec a = —
Знаки функций и формулы приведения
Функция Угол ф
0-90° 1 8 180—270° 270-360° В -Н в -H £ 180° ± a в -H b СЧ
sin ф COS ф tg ф Ctg ф + + 1 1 1 ++ 1 1 1 + 1 1 - sin a - cos a : tga tctga + cos a T sin a --ctg a + tga + sin a — cos a ± tga ± ctga — cos a + sin a + ctga + tga
11. Значения тригонометрических функций для часто встречающихся углов
Углы Значения функций
в град в рад sin cos tg ctg
0 0 0 +1' 0
30 л “6 + 0,5 +0,866= + Хг +0,577= + ¥/ +1,732=+ /3
45 л ~4 + 0,707= 1 2 +1 +1
60 л т +0,866= + +0,5 +1,732= + /з 1Лз 40,577= 4
90 л т +1 0 ± * 0
120 2л т 40,866= + О -0,5 -1,732=- J/3 -0,577= - & 3
180 л 0 -1 0 ± «
270 ЗЯ 2 -1 0 ± а* 0
360 2л 0 +1 0 + “
Сведения из математики
39
Продолжение табл. 18
п — число частей; на которое была раз- делена окружность; i — порядковый ~ ап номер радиуса. Так, г, = ап _ га =6^- ... . Величины радиусов откла- дывают иа соответствующих лучах; по- лученные точки I, 11, III и т. д. будут точками гиперболической спирали
Y та// Ч F • w\t Й(МКи 6. Логарифмическая спираль получа- ется при движения по пряной таким образом, что ее расстояния от центра растут по геометрической прогрессии, а углы поворота прямой изменяются (возрастают) по закону арифметической прогрессии. Уравнение спирали r = ает^, где о — радиус спирали при q> = 0 и т > 0. По- люс спирали является асимптотической точкой, вокруг которой спираль опи- сывает ।бесконечное число оборотов, никогда ее не достигая. Для построения спирали следует за- даться величиной т, примем ее равной 0.5. Чтобы построить дугу спирали в промежутке от 0 до л, этот угол (т. е. ог 0 до л) делят на некоторое число равных частей, например шесть. Тогда угол для каждого радиуса опреде- ли ляется по формуле <р, = —,' где (—по- 1 6 рядковый -номер радиуса. Тогда г, = 0,5л( = ае 6 = а-1,3(, т. е. га = а-1,3"; п = = а-1,3«; г, = а-1,3« и т. д. Для графического определения вели- чин г,, г„ г, и т. д. на оси ОХ откла- дывают величину О А == о, а иа оси OY величину ОВ = 1,3а; А и В соединяют прямой, затем проводят прямую СВ', перпендикулярно к прямой 4J3; CD — перпендикулярно СВ; DE — перпенди- кулярно CD и т. д. Тогда отрезки СО, DO, ЕО и т. д. дадут искомые величины СО = а.1,3* = г,; ОО=а.|,3’= г, и т. д., которые и откладывают на соответ- ствующих лучах, получая точки /, II, III, IV и т. д. логарифмической спи- рали. Чтобы найти точки пересечения коор- динатных осей с продолжением спирали, точку I соединяют с точкой IV, затем проводят прямую Z—VIII перпендику- лярно I—IV, VIII—IX перпендику- лярно V111—I и т. д. Полученные точ- ки VIII, IX, X и т. д. будут тоже точ- ками логарифмической спирали. Угол а, образованный касательной с радиус- вектором, будет для всех точек постоян- ным и равным arcctg т.
ff С\д\< УгТг/ * ш Q
40
Общие сведения
Продолжение табл. 13
'7. Циклоида—кривая, описанная точ-
кой, лежащей на окружности, при ка-
чении-окружности по прямой без сколь-
жения. Уравнения циклоиды: х ==
= г(Ф — sin ф); и = г (1 — cos ф), где
г —радиус катящейся окружности;
Ф — угол, образуемый радиусом н осью
окружности.
На прямой 4J3 откладывают отрезок
АСх=яг, равный половине длины ка-
тящейся окружности. Дугу AD и пря-
мую АС делят на Ьдинаковое число
равных частей, например четыре. Из
полученных точек /, 2; 3. ... проводят
прямые, параллельные АС, а из точек
2', 3', ... проводят прямые, перпен-
дикулярные АС. От точек пересечения
одноименных прямых 2", 3" ... откла-
дывают отрезки 2”—Ц=а—2‘, 3“—П! =
— Ь — 3 и т. д.; полученные точки 7,
II, Ill, IV и т. д. будут точками цик-
лоиды.
19. Соотношения элементов плоских фигур
Прямоугольный треугольник
а‘ + Ь‘ — сЧ а+Р — 90»;
е = /а 4- Ь “ sjn а = соз а “ cos р = S|n р J
а = Ус' — b* с sin а = t сое В д» Ь tg а = 6 ctg В:
Ь я*Ус, — аг я> с sin В=» с cos а «• a tg В *• в ctg а;
Л «-,-$• -» v- ctg а = ~ tg а — £- sina cos а ~ з!п За Ус‘~~а‘;
sin а=»cos в «*-7! s,n В =соза=» —: tga tg В
Сведения ,из математики
41
Продолжение табл. 19
Равнобедренный прямоугольный треугольник
Обозначения: а —боковые стороны (ка-
теты)! с —основание (гипотенуза); а— углы
при основании; Лс — высота; R — ра-
диус описанной окружности; Р — пери-
метр; S — площадь.
/2 » 0,707с = Лс/2 == 1Л1йс;
с=а)г2 = 1,410 = 2Л„ = 2«; 4=4= £/2 = О,7О7а = R;
£ £
Р = 2а + с = 2,414с; S = 1 а* =1е* = Л*-
Равиобедреиный треугольник
f = 180“ — 2а;
Обозначения: -а — боковые стороны;
с —основание; а —углы при основании;
V т» угол при вершине; Ла в й£- высоты
йа сторону а н основание с; Р — периметр;
3 —площадь.
с
с
л» - V И
ааш90°—4; cos а »sin ~ ==-г—;
2 2
ftg hc
sin’ «Ц
2й„
tga с в
с
’’TS.- 2 sin V =
V
'' с = 2а sin т,- “ 2а cos а =г-т—
о sjn а
V-
ha =• a s|n у = с shi«£ з с cos у
V ' с
h.« a sin а = a cos £ ®-z- ctg
с 4 ' £
Т
42
Общие сведения
Продолжение табл. 19
Р = 2а + с~ 2а fl +sin тП “• 2а <* + cos а) = «(1 4—7-7^
\ Л 1 \ СОЗ ОС /
S = £ |Л»« — — = i а’ sin V = J с* tg а =• аЛа- = chg
Равносторонний треугольник
Обозначения: а — сторона; ft — высота;
R, г — радиусы описанной и вписанной
окружностей; Р — периметр; S — площадь.
2 л— — —
О = -И з^ 1,155ft = R /3 = 1,7327? = 2г VI = 3,463г;
а = 60’; ft == ^ V3 == 0,866а =-| 7? = 1,57? = Зг;
7? =-j VI = 0,577а = | Л = 2г; г = ^ VI = 0.289а = ^ = ^.;
. р = За = 3,463ft = 5,1967? = 10.392г;
S = ^ V3 = 0,433а* = 0,577ft* = 1,2997?» = 5,196г»
4
Косоугольный треугольник
Обозначения: а, Ъ, с—стороны; а, 3,
у — противолежащие нм углы; 77, г — ра-
диусы описанной и вписаниой окружно-
стей; Р — периметр; р — полупериметр;
S — площадь.
Основные соотношении;
Ж^ = ’^Т“ яЙ’“2Л <теорема ««иусов):
Сведения из математика
43
Продолжение' табл. 19
а* = 6* + с* — Цс cos а (теорема косинусов); tga+B. а 4- Ь 8 2 —— = — (теорема тангенсов) а-6 tga-p S ab sin у = 2R’sJn asinf) sin у = гр = /р (р — а)(р — bfiP — с) * / Основные линии треугольника: Высота на сторону a; ha = b sin у = с sin 0; •а be cos -% Биссектриса угла а: 1„=—г—; ; О -у” С Медиана на сторону a: mo= ~ V61+-c14-26ccosa
Нахождение элементов косоугольного треугольника
Дано Формулы для нахождения, других элементов
а, а, 0 7 = 180° a 3; 0=aXna а sin у „ 1 . , е = __—L; $ = —aftsiny sina 2 г
а, ь; у -Ц± = 90°-| л а -р О л л л По иайдениым a 4-0 и а — р вычисляют а и (5; e=££?2V; s' absiny sina 2
Прямоугольник
Обозначения: а, Ь — стороны; d — диа-
гональ; R — радиус описанной окружно-
сти; а, 3— углы между сторонами и диа-
гоналями; Ф1, q>j — углы между диагона-
лями; Р — периметр; S— площадь.
а = 90° — 0=9О° — = <Pi = 20 = 180° — 2а = 180° — ф»;
44
I
Общие сведения
Продолжение табл.' 19
3 as 90* ос == 90* ф> = 2(Х аш 180* “ 2ф as 180л(pi!
tga-»-! tgp=-j; tg-|* = tgP=y; tg^ = tga=^;
a=° t/s" ~ ctg p “<*,lnP“<*cose = ^s«tga = j/"
ftssatga ««a ctg 3 =>rf cos 3 е d sin a» 1/ таттг “ VS tga?
d=Ya'+ b1 = c0‘ja “ S|„ g “ => cos g => K sin 2af
„ d a a b b y/~ S ~,
" = i = 2cos a = 2 sjn p “ 2 s|n a “ icosp “ r 2 sin 2a'
P =2(a + &) = 2a(l + tga) = 2a(i+ctg P)-2e У14-2sln2af
S»at>oa* tga =a* ctgP = -i <P sin <Pt d* sin 2a
Квадрат
Обозначения: a —сторона; g —диаго-
наль; R, r — радиусы описанной и вписан-
ной окружностей; Р — периметр; S — пло-
щадь.
а=^ /2 = -^- = Гг5=.кУ^ = 2г; d=a/2 = -^-Vr2 = /23 = 2й=2гУ'2!
r=| v~2 = | = -j- Vi «. г Уз;
r—a «..11Л2Я» — = R у Th
г = --7У2-т-.-^----J У2?
p = 4a=Sr «»3d V 2=4 V~§=4r Уз;
/ft pt
s »= a« == 4- » 4-. = 27?» == 4r>
л . io
Сведения из математики
45
Продолжение* табл. ГО .
Ромб
Обозначения: а — сторона; rf, и —
диагонали; h— высота; а и 3 — углы при
вершинах (углы между двагоиалями равны
90°); г — радиус вписанной окружности;
Р— периметр; S — площадь (при а > 99Q
dt < d>; при а < 90° dt > d3).
sina=sinfl = tg^=rf”;
a . • di
3=180° —a; sin| = cosf = ^;
л л ли £ a ।
a = —!L____*___-K~
2cos“ sina 2 sin £ У sina
л Л
h = a sin a = dt sin у = VS sin a>
<?i ——— « —= 2a cos-^ » 2a sln-& » d, ctg
. d О . £ £ £ -
sln2 cos2
d, = —«=> 2a sin-£ = 2a cos -| = dt tg %;
sinf cos| 2 2 4
г = — sin a = j did, sin ^5
p «. 4a = « 2 Kd‘ + d|S
cosy
S = ah = a«sin a= ± d‘t tg “ »у d,К4a’ - df = | dtd.
46
Общие сведения
Продолжение табл. 19
Правильный многоугольник
Обозначения) п — число сторон; ап —
а„ сторона; —радиус описанной окруж-
ности; гп — радиус вписанной окружности;
2ал — центральный угол; Р — периметр;
S — площадь.
360* 180* „„ •
2а„ = ——; а„ =-------; а. = 2Р sina. =»2г„ tga„<
п П п fl п п п п ® я»
ап гл
Rn= р=2nRnsin % “ ‘е«=лал!
S = 1 nR'i, sin 2а = nr*n tg ая — j па* ctgал
Таблица значений sina.
п
Л sinan n sin a. Я Л sina„ n sina„
5 0,5878 14 0,2225 35 0,0896 70 0,0449
6 0,5000 15 0Д079 40 0,0785 72 0.0436
7 0,4339 15 0,1951 45 0.0698 75 0,0419
8 0,3827 18 0,1737 50 0,0628 80 0,0393
9 ' 0.3420 20 0.1564 55 0,0571 85 0,0369
10 0,3090 25 0.1253 60 0,0523 90 0,0349
ti 0Д817 30 0.1045 64 0,0491 95 0,0331
12 0,2588 32 0,0980 65 0,0483 100 0,0314
Круг
Обозначения! R — радиус круга; D -
диаметр круга; Р — периметр (длина
окружности): S — площадь.
Я = £- = 0,1591Р = 1/ - = 0,5642/3}
ля г я
D = 2R = £ = 0.3183Р = 21/1«. 1,1284 ZS)
Я г Я
Р = 2лЯ — 6.2832R = aD = 3.14I6D = 2 V~iiS = 3.5449 / SJ
S= лЯ« = 3.|416й« =0.7854D« = 0.0796P’
4 4п
Све&ения из математики
47
Продолжение Табл. 19
Круговое кольцо / /О \ б Обозначении! D — наружный диаметр; -А/ /ХР t<SX\ W*'* R ~ дружный радиус; d — внутренний / i xLA"') диаметр; г — внутренний радиуе; d._ — I { / ill. СР 'l 1 / Г средний диаметр; г —средний радиус! \ \ у. * а —ширина кольца! а—площадь. a = R —r = l(D —d); fl-,r-|.e = r 4®, > vp £ D = d-i-2a**2d —d; d = D-2a=2d„n-Dt VP CP г = Я_в = Гср_| = 2гср-Д; rcp=4 <«+r> “ т(D+d)=R —f=r+f1 d. =-^ (D 4- <f) = R -j- г = D - о = <f -|- a; vp £ „ nDl nd1 j s = — 4- - nlR’-r’)- 2лсгср = ла4ср = = яа(/?4-г)«»лв (D — а) = ла (d4-a)
Параллелограмм, трапеция и другие плоские фигуры Обозначения: а, Ь, с, d ~ стороны четырехугольника: а, 3, у, в — углы при вершинах четырехугольинка; О, и О, - диагонали четырех- угольника; ф — угол между иими; р — полупериметр; Л — высота
Эскиз Фигура Периметр Р, площадь S и другие соотношения элементов фигур
V / /у LZ а Параллелограмм Р = 2(о + М; 3 = оЛ = а6 sin a = ab sin р; ft = & sin a; a = y; 3 = 6; a 4- p = v + 6=! 180’
с ь Н А. J S-— Л \ a Трапеция (т — сред- няя линия) P =a-f- (> + c + d: S = 0Д (a ft) ft = mh m = 0,5 (a 4-ft); ft = c sin a = d sin p
48 . Общие сведения '
Эскиз
Фигура.
Четырехугольник;
выпуклый (m—
линия, соединяю-
щая середины диа-
гоналей)-
вписанный в ок-
ружность радиу-
са R .
о вписанной ок-
ружностью радиу-
са г
Многоугольник лю-
бой
Сектор
(I — длина
a — хорда)
круговой
дуги;
Продолжеиие-табл. 19
Периметр Р, площадь S
и другие соотношения
элементов фигур
P^o~j-b~^-c~j-di
S = 0,50,01 sin ф =
= 0,25 (Ь14- d1 — a’ — c’) tg ф
a* 4-5* 4-c*4-d* —
= O3 4> Dt 4" tat3 j
S = O.5Z)iZ)j sin ф я»
я= 0,5 (ad 4- Ьс) sin а =
я» 0,5 (аЬ + cd) sin $ =
=»2R* sin a sin 3 sin Ф;
а + у = 3 + 5=180’
P=a4-b4-c4-d;
S=rp=(a 4-с)г = (Ь4-4)г
= 05D1Dtsin ф;
и 4- с — Ъ 4- d
P=a4-b-|-c4’^-f’
S at Sj -J-Sj -J- Sg <
S = 0.5/г «. я» 0,0087г«а;
ЯГ /
я агАГ
Сведения из математики 49
Продолжение табл; 19
Эскиз Фигура Периметр Р, площадь 3 и другие соотношения элементов фигур
1 / ' а \ 1т у^./2 \\ 7. Сегмент круговой (1 — длина дуги; а — хорда) S = 0,5 [Zr — а (г — й)] = .“4(w-s,na)
Г / Часть кольца круго- вого S = ’w/’cp 180s== ла , п, = 360° г = = 0,C0873a(R« —г’)
20. Длины хорд S при делении окружности диаметром d = I
на п равных частей
п S п S Л S п S п S Л S
3 4 5 6 7 3 9 10 Н 12 13 14 15 16. 17 0,86603 0,70711 0,58779 0,50000 0,43388 0,38268 0,34202 0,30902 0,28173 0,25882 0,23932 0422252 0,20791 0,19509 0,18375 18 19 20 21 22 28 24 25 26 27 28 29 30 31 32 83. 34 0,17365 0,16460 0,15643 0,14904 0,14232 0,13617 0,13053 0,12533 0,12054 0,11609 0,11196 0,10812 0,10453 0.10117 0,09802 0,09506 0,09227 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 0,08964 0.0871'6 0,08481 0,08258 0,08047 0,07846 0,07655 0,07473 0,07300 0,07134 0,06976 0,06824 0,06678 0,06540 0,96407 0.06279 0,06156 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 0.06038 0,05924 0,05814 0,05709 0,05607 0,05509 0,05414 0,05322 0,05234 0.05148 0,05065 0,04985 0,04907 0,04831 0,04758 0.04687 0,04618 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 0,04551 0,04487 0.04423 0.04362 0,04302 0,04244 0,04188 0,04132 0.04079 0,04027 0,03976 0.03926 0.03878 0.03830 0,03784 0,03739 0.03695 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 too 0.03652 0.03610 0,03568 0,03529 0,03490 0,03452 0.03414 0,03377 0.03341 0.03306 0,03272 0.03238 0,03205 0,03173 0,03141
Пример пользования таблицей. Требуется разделить окружность диа- метром 375 мм иа 36 равных частей. Для п = 36 находим 3 = 0,08716. Ве- личину хорды дли деления окружности заданного диаметра иа 36 частей находим _умиожеинем найденного в таблице значения 3 на диаметр: 0,08716x375 = 32,685 = 32,7 ММ;
50 Общие сведения
. f ' t 21. Поверхности и объемы тел
Призмы и пирамиды
Обозначения: a, b, с, d ... — стороны основания; h — высота; В — площадь
основания
Тело Эскиз Объем V, боковая Sg и полная Sn поверхности
Призма прямая: . любая (основа- ние любой много- угольник) Л 1 —1— 1 1 1 1 1 1 --•‘'Л .30° зо“г а V=Bh\ Sg я» h (а 4" Ь 4" И- •••) Зп = 2В + Зб
трехграиная (ос- нование треуголь- ник) — Sg»» (a -J- ь с) h; Sn = S6 + am m —высота на сторону а ос- нования
четырехгранная (основание квад- рат) — F — a*h; S6 = 4ah; sn=s6 + 2a’
шестигранная (основание — пра- вильный шести- угольник) - V = 2598c2ft; S6 = 6oft; Sn=5,196a«4-6aft
куб (а — ребро куба) - V=a>; Sn = 6a*
параллелепипед (основание пря- моугольник) - V = abh; S^VHa + b) Sa = S6+2ab
Сведения из математики
51
Продолжение табл. 21
Тело Эскиз Объем V, боковая Sg и полная Зп поверхности
. Призма наклонная /7 ~~71 /1~7 / / / / / / / / / / / / /Ч‘ / / / / / J---L J / S /У ti V=Bh = QcZ; S6 = PC); S„ = S-4-2B; п б 1 Р. в О, —периметр н пло- щадь перпендикулярного се- чения
Пирамида любая - V = ~ Bh
Пирамида правиль- ная? в основании квад- рат Л // // 1 //\ \\\л V^ja'h; S& = 2as; Sn = S6 + a«; s — апофема
а
в основании пра- вильный много- угольник (п — число углов) - V=4-aBh: Sfi=lasn; 0 u i s —апофема; Sn = Sg + J3
Пирамида правиль- ная усеченная 1 !/ д\\ у v = ~ (в1+в,+Увл); c P« + P« s6= J sn»s6+Bi+B2; Bt и в,— площади основа- ний: Pt н Pi — периметры оснований; s — апофема
52 ' Общие сведения.
Продолжение табл. 21
Тело Эскиз Объем V, боковая Sg и полная Sn поверхности
Тела вращения
Цилиндр круглый: прямой - nd* S6 = ndft;,, nd* sn = s6+V d —диаметр цилиндра; Л — высота
прямой усеченный • Г2 Г=яг> S6 = W(h1+ Лг); 5п = 5б + ПГХ
Труба цилиндриче- ская у = ^(D«-rf’>: s _л(Д«-^) п 2 ' -f- nh (D -|- d)
KI
г 1* 1.1
7
Конус круглый: прямой tllh U u V 12 ’ an“ 4 +—• - Udi S6= —
прямой усеченный d V =-^ nA(D‘ + Dd'+d«); S6 = ^-(D+<i); Sn = ”<D‘ + <i*)+?y(O + <n
Сведения из математика
53
Продолжение табл.
Тело Эскиз Объем V, боковая Sg и полная Sn поверхности
Шар — V =| лй* = | агЧ Sn=4jtr* = nD*; г--радиус шара; D— диа- метр шара
Шаровой сектор 1 » V = i яг«Л; О Sn = «r(2A4-a)
! •
Л
Шаровой сегмент' V = ~ яЛ(За‘ +-Л*К Sn = л (2rh + а*)
1
а
—
Шаровой слой - <• 1 \ \\л№г ' \ \>^ V — лЛ(За>Ч-3&Ч-й«); Sn = л (Mi 4-а« -+-&*)
ь
а 1 \ /
Тор - Г У = 2л,йг«; Sn=in’Rr
Я Вид
л т
• \ \ \
54
Общие сведения
СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕХНИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
И ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
22. Определение параметров движения
Формулы для определения параметров движения
Прямолиией- Обозначения: s — путь, м; t — время, с; о( — скорость,
ное м/с; о» — начальная скорость, м/с; а —ускорение, м/с2;
Движение» g —ускорение свободного падения, м/с*
равномерное s = vi; t — v = -|- = v = const)
равномерно ускоренное (о0 = 0)
vft at* v*
,__ 2s о, 2s о/
o = /2as = T=a/; 0 = T-- = —
равномерно ускоренное (pe^0)
равномерно замедленное
<(ро + рг) . ai‘. . °o-°t 2s .
2 ° 2' a v0 + vt’
si s at o-v( 2(o0Z-s)
О/ = о0-а/=7-7а/; o0 = vt-at=7-~. a---------— ---
Свободное падение •*
v.t gt'
S — ~2~ 2~’
v — gt
Вращательное Параметры: а, —угловой путь, пройденный радиусом
движение: за время /, рад; t — время, с; ы,— угловая скорость, i/c;
<Оо~ начальная угловая скорость, 1/с; е —угловое уско-
рение, i/с*; п — частота вращения, об/мин; о — линейная
скорость на радиусе г, м/с :
равномерное
пп a, 30a, a,
а, = <о/= —t; / = —= —- (,>=»__£; о> = о = const;
t 30 и пп t >