Космическая газодинамика - Горбацкий В.Г.

Автор: Горбацкий В.Г.

Теги: солнечная система физика механика астрономия астрофизика газодинамика

Год: 1977

Похожие

Модель космоса. Том 1. Физические условия в космическом пространстве

Околоземная астрономия. Том 1. Терскол

Звезды и звездные системы

Международная байкальскаямолодежная научная школа по фундаментальной физике. Труды XVII Конференции молодых ученых «Взаимодействие полей и излучения с веществом»

Текст

//РОБЛЕМЫ
ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ
АСТРОФИЗИКИ
Космическая
газодинамика

ПРОБЛЕМЫ
ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ
АСТРОФИЗИКИ
Редакционная коллегия:
В. А. АМБАРЦУМЯН, Э. Р. МУСТЕЛЬ,
А. В. СЕВЕРНЫЙ, В. В. СОБОЛЕВ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1977

В. Г. ГОРБАЦКИЙ
КОСМИЧЕСКАЯ
ГАЗОДИНАМИКА
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1977

524
Г 67
УДК 523
Космическая газодинамика. Горбацкий
В. Г., Главная редакция физико-математической ли-
литературы издательства «Наука», М., 1977, 360 стр.
Космическая газодинамика является ныне одним
из важнейших разделов теоретической астрофизики,
что, однако, еще недостаточно отражено в монографи-
монографической и учебной литературе. Цель монографии — дать
астрономам и специалистам в смежных областях пред-
представление о возможностях применения газодинами-
газодинамических методов в астрофизике и о разработанных
при помощи этих методов моделях явлений, происхо-
происходящих в звездах и межзвездной среде.
Книга рассчитана на аспирантов и научных раиит-
ников — астрономов, физиков, механиков. Может
быть использована студентами.
Табл. 3, шгл. 19, библ. 360.
Виталий Герасимович Горбацкий
КОСМИЧЕСКАЯ ГАЗОДИНАМИКА
(Серия: «Проблемы теоретической астрофизики»)
М., 1977 г., 360 стр. с илл.
Редактор И. Г. Вирко
Техн. редактор Н. В. Кошелева
Корректоры Е. А. Белицкая, Я. Д. Дорохова
Сдано в набор 03.02.1977 г. Подписано к печати 14.06.1977 г,
Бумага 84X108V32. Физ. печ. л. 11,25. Условн. печ. л.18,9.
Уч.-изд. л. 18,48. Тираж 2300 экз. Т-08488. Цена книги 2 р. 10 к.
Заказ № 2016
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
2-я типография издательства «Наука»,
Москва, Шубинский пер., 10
20605—093 Главная редакция
физико-математической литературы
¦ ¦ ¦ ¦ ,п п ТГ "V MXM.\\J НАС*.* V/^.LC* X U^VUllUIl «J* Ж* Д.
053 @2)-77 издательства «Наука», 1977

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 7
Глава 1. Основные понятия газодинамики 9
§ 1. Некоторые сведения из статистической физики ... 9
§ 2. Уравнения газовой динамики 15
§ 3. Движение газа в присутствии магнитного поля;
уравнения магнитной газодинамики 28
§ 4. Плоское изэнтропическое движение газа 36
§ 5. Стационарные ударные волны 42
§ 6.• Автомодельность движения и метод
автомодельных решений # 52
Глава 2. Газодинамическая устойчивость 59
§ 1. Понятие об устойчивости и методы ее исследования 59
§ 2. Устойчивость равновесных газовых конфигураций 73
§ 3. Гравитационная неустойчивость 86
§ 4. Неустойчивости Рэлея — Тейлора и Кельвина —
Гельмгольца 93
§ 5. Устойчивость ударных волн * . 101
Глава 3. Турбулентность, конвективная и тепловая
неустойчивости 107
§ 1. Турбулентное движение и методы его исследования 108
§ 2. Роль турбулентности в генерации космических
магнитных полей • 123
§ 3. Конвективная неустойчивость в космических
условиях 134
§ 4. Турбулентная конвекция и перенос энергии
конвекцией " 149
§ 5. Тепловая неустойчивость 155
Глава 4. Газодинамика межзвездной среды 165
§ 1. Влияние тепловой неустойчивости на структуру
межзвездного газа 166
§ 2. Движение межзвездной среды 175
§ 3. Столкновения облаков и структура межзвездных
ударных волн . 182
§ 4. Вспышка сверхновой как точечный взрыв в
межзвездной среде -. . . . ~. 194
§ 5. Ионизационные фронты 205

ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 5. Движения газа в звездах 218
§ 1. Строение конвективной зоны звезды и конвекция в
звездных атмосферах 219
§ 2. Колебания звезд 230
§ 3. Взрывы в звездах 244
§ 4. Ударные волны во внешних областях звезд и
звездных оболочках 257
§ 5. Разлет газа с поверхности звезды; звездный ветер 277
Глава 6. Течения во вращающихся звездах и в тесных
двойных системах 291
§ 1. Влияние вращения на состояние звезды 292
§ 2. Динамика оболочек звезд типа Be 305
§ 3. Динамические приливы в тесных двойных системах 314
§ 4. Турбулентные струи и дискообразные оболочки в
тесных двойных системах 324
§ 5. Нестационарная конвекция и энергетическая
неустойчивость компонент тесных двойных систем . . . 335
Литература 342
Предметный указатель ... 359

ПРЕДИСЛОВИЕ
По мере того, как астрофизики переходили от интер-
интерпретации фотометрических и спектральных наблюдений
к разработке динамических и эволюционных схем и моде-
моделей процессов, происходящих в звездах и Туманностях,
роль газодинамических методов в астрофизике быстро
возрастала. Теперь космическая газодинамика является
наряду с теорией переноса излучения одним из важнейших
разделов теоретической астрофизики. Однако в монограг
фической и учебной литературе этот факт еще не отражен
в надлежащей мере. Хотя имеющиеся книги по космиче-
космической газодинамике, получившие широкую известность и
сыгравшие видную роль в ознакомлении астрофизиков
с газодинамическими методами, и не утратили своей цен-
ценности, но, будучи изданными более десяти лет назад;,
они не включают многих важных результатов. Кроме того,
в них излагаются главным образом вопросы динамики
межзвездной среды и лишь в малой степени затрагивается
динамика газовых конфигураций и звездных оболочек.
Эти обстоятельства оправдывают, как нам кажется, появ-
появление еще одной монографии, посвященной преимущест-
преимущественно динамике звезд и звездных оболочек.
Специфические условия, с которыми приходихся иметь
дело в космической газодинамике, — огромные простран-
пространственные и временные масштабы явлений, высокие ско-
скорости, изменения температуры и плотности в очень широ-
широких пределах, важная роль гравитационных и магнитных
полей,— определяют ее особенности по сравнению с обыч-
обычной «земной» газодинамикой. Точное аналитическое ре-
решение задач здесь большей частью невозможно. Поэтому
приходится применять приближенные методы, причем
характер приближений определяется указанными осот
бенностями космических явлений. В астрофизике редко
удается использовать результаты лабораторных экспери-
экспериментов. Таким образом, космическая газодинамика ока-
оказывается слабо связанной с обычной газодинамикой.

8 ПРЕДИСЛОВИЕ
Поскольку университетскими программами изучение астро-
номами газодинамики не предусмотрено, в книге приводятся
необходимые сведения по этому предмету.
В данной монографии, как и в ранее изданных книгах
серии, внимание обращается главным образом на выяс-
выяснение физической сущности астрофизических явлений и
на получение количественных характеристик наблюдае-
наблюдаемых процессов. Поэтому, естественно, приходится уделять
значительное место данным наблюдений. Однако они при-
приводятся не настолько подробно, чтобы книга могла слу-
служить справочником. Не следует ее рассматривать и как
систематический курс по одному из разделов теоретиче-
теоретической астрофизики. Книга задумана как обзорная моно-
монография, цель которой — дать астрономам и специалистам
в смежных дисциплинах представление о возможностях
применения газодинамических методов в астрофизике и
о разработанных при помощи этих методов моделях яв-
явлений», происходящих в звездах и межзвездной среде.
Круг применения газодинамических методов в астро-
астрономии очень велик. При сравнительно небольшом объеме
книги в вей не нашлось места для многих важных проблем,
в частности, Газодинамики релятивистских объектов,
протозвезд и г^лак^ик*. Это обстоятельство частично обу-
обусловлено интересами автора, работающего в области изу-
изучения звезд и околозвездной среды. Поскольку указанные
проблемы находятся в стадии интенсивной разработки,
надо полагать, что они в свое время будут достаточно
освещены в монографической литературе.
Несколько слов о содержании книги. В первых трех
главах излагаются главным образом методы космической
газодинамики, в остальных — результаты применения их в
исследованиях межзвездной среды и звезд. Специальных
разделов, посвященных газодинамике Солнца, нет, но, по-
поскольку оно является типичной звездой, многие воцросы,
относящиеся к движениям газа в солнечной оболочке, в той
или иной мере затронуты. Последняя глава в большей мере,
чем другие, связана с работами автора. Многие из исследо-
исследований, описываемых в ней, и некоторые из излагаемых в
главе 5, выполнены автором.и его сотрудниками на ка-
кафедре астрофизики Ленинградского университета.
В. Г, Гарбацкий

Глава 1
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГАЗОДИНАМИКИ
Целью данной главы является краткое описание мате-
математического аппарата газодинамики. Для тех, кому не
пришлось с ним познакомиться ранее, эта глава дает
возможность освоить методы решения специфических
задач космической газодинамики. В ней же рассмотрены
наиболее простые с математической точки зрения и хоро-
хорошо изученные течения. В последнем параграфе излагается
метод решения, широко применяемый как в задачах
обычной газодинамики, так и в исследованиях космических
объектов.
§ 1. Некоторые сведения
из статистической физики
Изучение движений газа, составляющее предмет га-
газовой динамики, более сложно, чем исследование движе-
движений несжимаемой жидкости как в математическом отно-
отношении, так и с физической стороны. Газ отличается от
других видов сплошной среды способностью сильно ме-
менять свою плотность и внутреннюю энергию при измене-
изменениях занимаемого им объема. Необходимость определения
плотности газа в зависимости от состояния его движения
увеличивает число искомых функций, а значит, растут и
математические трудности при решении соответствующих
задач. G другой стороны, при исследовании неравновес-
неравновесных состояний достаточно разреженного газа часто бывает
нужно рассматривать, совместно с макроскопическими
движениями, и элементарные микропроцессы. Поэтому
приходится сочетать два подхода к газу. С точки зрения
классической гидродинамики тело, состоящее из газа,
рассматривается как континуальное множество точек,

10 ОСНОВНЫЕ ПОДЯТИЯ ГАЗОДИНАМИКИ ГГл. 1
а согласно кинетической теории это тело представляет
собой систему из очень большого количества частиц.
Рассмотрим с точки зрения статистической физики
вопрос о величинах, определяющих состояние газа.
Будем считать систему (тело) замкнутой, т. е. пренебрежем
взаимодействием ее с другими телами, а также примем,
что макроскопическая скорость тела равна нулю. Тогда
энергия системы (движения и взаимодействия составляю-
составляющих ее частиц) Е является интегралом движения. Элемен-
Элементарный объем газа (в дальнейшем часто называемый ча-
частицей газа или просто частицей) также содержит очень
большое количество частиц и может рассматриваться
как малая система, или подсистема, взаимодействующая
с другими подсистемами. Когда макроскопические вели-
величины, характеризующие систему-, с очень большой точ-
точностью равны своим средним, то ее называют находящейся
в термодинамическом равновесии. В этом случае значение
производной от Е по энтропии S одинаково для всех под-
подсистем:
Величину Т называют температурой. В статистической
физике энтропия вводится как безразмерная величина
и Т имеет размерность энергии. При измерении Т в гра-
градусах Кельвина нужно использовать переводный множи-
множитель к = 1,38- 1(Г16 эрг-град'1 (постоянная Больцмана)
и записывать вместо A.1)
ж'ш- М
Состояние газа определяется значениями его плотно-
плотности р и температуры в каждом элементарном объеме. При
термодинамическом равновесии значение р, как и Г,
одинаково для всех таких объемов («частиц»). Состояние
тела зависит также от внешних условий, в частности, от
объема тела V. Поскольку масса тела не меняется, для
характеристики его состояния можно использовать V и 5,
а энергию считать функцией этих величин:
Е = E(V, S).
Если изменение состояния замкнутой системы сопро-
сопровождается возрастанием энтропии, то обратный процесс,

§ i] НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Ц
приводящий к исходному значению энтропии, невозмо-
невозможен, так как он противоречил бы второму закону термо-
термодинамики. В том случае, когда изменение состояния про-
происходит без изменения энтропии, процесс является обра-
тимым»
Если тело, представляющее собой часть замкнутой
системы, не подвергается никаким воздействиям, кроме
изменения внешних условий, то его называют теплоизо-»
дированным. В тех случаях, когда внешние условия ме-
меняются достаточно медленно, энтропия тела остается
постоянной. Тогда процесс изменедия состояния тела
называют адиабатическим. В соответствии со сказанным
выше, адиабатический процесс обратим.
Газ действует на границу занимаемого им объема.-
, действующая на элемент этой поверхности ds, равна
*---S-. ад
где г — радиус-вектор элемента. Средняя (по времени)
величина силы, действующей на единицу площади, назы-
называется давлением (р). Если процесс адиабатический, то,
как можно показать, среднее значение силы равно произ-
производной от энергии, вычисленной при постоянном значении
энтропии. Поэтому, учитывая, что -к— = ds, из A.3) имеем
где индекс S показывает, что производная берется при по-
постоянном значении энтропии. Так как производная в ра-
равенстве A.1) вычисляется при постоянной величине У,
то оно может быть записано в виде
г== / дЕ
и вместе с A.4) дает известное термодинамическое тожде-
тождество
dE = TdS - pdV. A.5)
Слагаемое pdV описывает изменение энергии газа
вследствие работы, производимой им против внешних сил
Щ>и расширении. Работа dR, совершаемая при сжатии

12 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГАЗОДИНАМИКИ [Гл. 1
тела, считается положительной:
dR = —pdV. A.6)
Величина
TdS = dQ A.7)
представляет собой изменение энергии, обусловленное
получением ее от внешних тел или отдачей (количество
полученного или отданного тепла). Таким образом,
dE = dQ + dR. A.8)
Следует иметь в виду, что величины dQ и dR не являются
полными дифференциалами.
В процессе, происходящем без изменения объема- (изо-
хорическом), dQ = dE. Если же в течение процесса оста-
етсй постоянным давление (изобарический процесс), то
dQ = d{E + pV). A.9)
Функция i = Е + pV называется энтальпией (теплосо-
(теплосодержанием). Для теплоизолированного тела i = cons^t.
Энтальпия в изобарическом процессе играет ту же роль,
*гго Энергия Е в изохори^еском.
Зависимость давления от плотности и температуры,
называемая уравнением состояния газа, при решении за-
зада^ о движении газа считается известной. В большинстве
случаев газ, составляющий космические объекты, можно
считать идеальным и использовать соответствующее урав-
уравнение состояния
р = ^рГ. A.10)
Здесь R* = 8,31 «Ю7 эрг'град-1* моль*1 — газовая по-
постоянная и (л — молекулярный вес. Величины i?* и к
связаны условием Д* = Ак, где А = 6,0-1023 — число
Авогадро.
Приведем. выражения теплоемкостей для идеального
газа. Как известно^ теплоемкостью называется количество
тепла* необходимое для того, чтобы температура тела уве-
увеличилась на единицу. Отсюда для теплоемкости при по-
постоянном объеме су и при постоянном давлении ср имеем
/ dQ \ $Е I QQ\ fa ы л л ч
Cv = (тГ)у = W Cp=" \-w)p = W ' <1Л1>

§, Ц НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 43
При посредстве A.11), используя A.5) и выражение A.10),
дающее величину удельного объема V = 1/р, находим
разность удельных теплоемкостей ср — су. Обозначая
отношение ср/су через у% получаем
l R* v R* /л ,«,
cv-^rr-jT' Cp==T=T—• (U2)
В статистической физике выводится следующее выра-
выражение удельной энтропии идеального газа, измеряемой,
как вто обычно делается в термодинамике и газодинамике,
в единицах Л*:
s = cv In pV v + const. AЛ 3)
Из A.13) получается, в частности, зависимость между
давлением и плотностью для адиабатического процесса:
р=А(з)р\ A.14)
Величина A(s) называется энтропийной константой.
Если достаточно большое тело считать замкнутой си-
системой, а его элементарные объемы также рассматривать
как отдельные тела («частицы»), то понятия температуры,
плотности и давления для каждой из частиц следуют из
введенных выше определений. При больших, по сравне-
сравнению с размерами частицы, характерных масштабах тела
величины Г, р и р можно считать функциями точки. Эн-
Энтропия в указанном смысле также является функцией
точки. Адиабатичность процесса, происходящего с боль-
большим телом, означает, что в каждой частице S — const.
При условии, что величина S не только не меняется с >
временем, но и одинакова во всех точках тела, процесс
называют изэнтропическим.
Газ, находящийся в равновесном состоянии, даже при
наличии внешних полей характеризуется максвелловским
распределением частиц по скоростям поступательного
движения. Температура газа является параметром рас-
распределения. Число частиц, скорости которых заключены
в интервале от v до v + dv, обозначаемое п (v)dv, равно:
п(v) dv « AjiN/-gJj^YV™2^ V2dl?i A;15)
где т — масса частицы и N — общее число частиц в си-
системе.

14 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГАЗОДИНАМИКИ [Гл. 1
Система, выведенная каким-либо образом из равновес-
равновесного состояния, возвращается в прежнее состояние, если
ее энергия и энтропия не изменились, либо переходит
в другое равновесное состояние,- Время, за которое уста-
устанавливается равновесие, называется временем релакса-
релаксации. Если характерное время изменения факторов, обу-
обусловливающих переход в другое состояние, велико по
сравнению с временем релаксации, то такой переход можно
рассматривать как прохождение системы через последо-
последовательность равновесных состояний. В том случае, когда
указанное условие не выполняется, нужно рассматривать
кинетику процесса, используя общее уравнение кинети-
кинетической теории (уравнение Больцмана), определяющее ско-
скорость изменения функции распределения частиц в фазовом
пространстве.
Для установления максвелловского распределения ча-
частиц по скоростям требуется, чтобы каждая частица ис-
испытала несколько столкновений с другими частицами.
Обычно время между последовательными столкновениями
очень мало по сравнению с временным разрешением при
цаблюдениях и поэтому понятием температуры можно
пользоваться почти всегда, даже при исследовании нерав-
неравновесных состояний. В этих случаях говорят о кинетиче-
кинетической температуре.
Газ может состоять из частиц нескольких видов.
В состоянии термодинамического равновесия температура
для всех видов частиц одинакова. Если такая система не
находится в состоянии равновесия, то можно говорить
о температуре частиц каждого вида, поскольку для них
максвелловское распределение устанавливается .достаточ-
.достаточно быстро. Так, в частности, употребляют понятие ионной
температуры, электронной температуры и т. п. В тех слу-
случаях, когда скорость обмена энергией между частицами
разных видов мала по сравнению со скоростью обмена
для одинаковых частиц, возможны неравновесные состоя-
состояния с разным значением температуры для различных
видов, частиц.
В системе может присутствовать и излучение (фотон-
(фотонный газ). В состоянии ^ержодинаммтесного равновесия
плотность его соответствует излучению абсолютно чер-
черного тела с температурой, равной температуре газа.
При отсутствии равновесия такого соответствия может

§ 2] УРАВНЕНИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ 15
и не быть и для исследования релаксации к равновесному
состоянию необходимо рассматривать элементарные про-
процессы взаимодействия между излучением и веществом.
Понятие температуры вводится для характеристики
распределения частиц не только по степеням свободы,
соответствующим поступательному движению, но также
и для других степеней свободы. Так, говорят, о колеба-
колебательной и вращательной температурах. В состоянии тер-
термодинамического равновесия они равны кинетической
температуре.
Внешние факторы могут создавать в газе градиенты
плотности, давления и температуры. Примером подобной
системы служит земная атмосфера, поскольку на состав-
составляющий ее газ действует гравитационное поле Земли.
Такая система не находится в состоянии термодинамиче-
термодинамического равновесия, но в тех случаях, когда отдельные ма-
малые объемы газа не обмениваются энергией и их можно
считать находящимися в термодинамическом равновесии,
говорят о состоянии локального термодинамического рав-
равновесия всей системы.
При наличии в теле градиентов давления, плотности
или температуры, не компенсируемых внешними полями,
происходит смещение различных частей тела по отноше-
отношению друг к другу — механическое равновесие системы
нарушается. При таком нарушении она может переходить
в какое-то другое состояние механического равновесия
за время, называемое временем механической релаксации,
в отличие от времени энергетической или тепловой релак-
релаксации, о котором говорилось выше.
Затронутые в этом параграфе вопросы подробно рас-
рассмотрены в книге Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшица A964),
а взаимодействие газа с излучением — в монографии
В. В. Иванова A969).
§ 2. Уравнения газовой динамики
Система уравнений газовой динамики представляет
собой законы сохранения массы, потока импульса и энер-
энергии, записанные в дифференциальной форме:
а) Уравнение неразрывности. Выделим в газе произ-
произвольный объем V и запишем изменение содержащейся
в нем массы. Оно равно ее потоку через поверхность 2,

f6 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГАЗОДИНАМИКИ
ограничивающую объем:
(У) (S)
Здесь через vn обозначена проекция вектора скорости на
внешнюю нормаль к поверхности 2. Применим формулу
Гаусса — Остроградского, которая записывается при по-
помощи известного оператора Гамильтона V,
*-*?+'?+*-*-• AЛ7)
в следующем виде:
PvndZ=\\\v(9v)dV. A.18)
(У)
При посредстве A.18) получаем
y = 0- AЛ9)
Так как A.19) выполняется для произвольного объема
F, то
-|L.+ V(pv) = O. A.20)
Полученное уравнение неразрывности выражает факт
отсутствия в среде источников или стоков вещества, т. е.
закон сохранения массы в частице. В нем не содержится
указаний на специфические свойства газа, т. е. на взаимо-
взаимодействие составляющих газ атомов или молекул. Поэтому
A.20) справедливо для сплошной среды любого вида.
Если сжимаемостью среды пренебречь и считать поэтому
плотность постоянной, то из A.20) имеем соотношение
(Vv) = 0, A.21)
выполнение которого является и достаточным условием
несжимаемости.
б) Уравнение движения. Это уравнение получается
путем применения второго закона Ньютона к единице
объема жидкости:
f>4f=F- С1-22)

§2] УРАВНЕНИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ 17
Величина F включает в себя градиент давления,
а также силы, обусловленные присутствием силовых по-
полей, и силу, вызванную внутренним трением (вязкостью)
/^вязк. Среди внешних полей главную роль обычно играет
тяготение (потенциал которого обозначим через ф#),
а также, в случае, когда газ представляет собой плазму,
и магнитное поле. Последнее создает силу Лоренца, дей-
действующую на движущиеся заряды. Обозначим суммарную
силу, действующую со стороны магнитного поля, через
Fu. Тогда
F = -Vp - pVq>, + FM + JPBfl3K. A.23)
Величина dv/dt в A.22) относится к некоторому выде-
выделенному заранее единичному объему, скорость которого
зависит только от времени. Во многих случаях удобнее
рассматривать уравнение, в котором скорость связывает-
связывается с фиксированными точками пространства: v =
= v (x, у, z; t). Так как изменение скорости данного
элементарного объема со временем вызвано изменением
как времени, так и координат частицы, то полное прира-
приращение скорости, соответствующее приращению At, равно
Av *= -«—Ах + -з— Ау + —г— Az + O(At). A.24)
ox oy az \ / \ /
Учитывая, что
?. ».-#' *--?-. t1-25)
из A.24) имеем
*» 4r+-sL»*+-SNv + 4r-'v (i-26)
di dt s dx х х dy v л dz z v ;
С помощью оператора V сумма последних трех слагае-
слагаемых в A.26) записывается в виде
и> соответственно,
dv dv

18 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГАЗОДИНАМИКИ [Гл. 1
Уравнение движения A.23), записанное в форме
р * *ь 1 р ¦ р
называется уравнением в эйлеровых координатах. Оно
описывает перенос количества движения в газе. Вводя
тензор потока импульса, компонента которого П^ при
отсутствии магнитного поля и вязкости имеет вид
И** = 9ЩЩ + p8ik (i, к = 1, 2, 3), A.29)
где
1, i=ft,
уравнение A.28) записываем в форме (считая FM = О,
^ — 0)
-Р^ С*-1.2,3). A.30)
Компонента П^ тензора потока импульса равна коли-
количеству движения, связанного с компонентой скорости
в направлении i, переносимому за единицу времени через
единичную площадку в направлении компоненты &*). Урав-
Уравнение A.30) выражает поэтому тот очевидный факт, что при
указанных условиях изменение количества движения в
данном объеме может быть вызвано только внесением его
в объем через ограничивающую поверхность и работой
внешних сил.
Вывод уравнений газовой динамики A.20) и A.28)
использованным выше способом (феноменологически) при-
пригоден лишь для течений среды, имеющей достаточно
высокую плотность, а также в предположении статисти-
статистического равновесия в каждом из элементарных объемов,
содержащем большое число частиц. При несоблюдении
этих условий нужно применять кинетическую теорию
газов. Макроскопические величины, характеризующие
газ, представляют собой результат усреднения соответ-
соответствующих микроскопических величин, характеризующих
частицы, составляющие газ. Усреднение производится
*) В уравнении A.30) и в дальнейшем всюду в этой книге ис-
используется условие суммирования по повторяющемуся индексу.

§ 2] УРАВНЕНИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ 19*
с помощью функции распределения частиц по координа-
координатам и скоростям, которая определяется уравнением Больц-
мана. Уравнения газовой динамики получаются как мо-
моменты уравнения Больцмана. Такой вывод уравнений
можно найти, -например, в монографии Чепмена и Кау-
линга A960).
в) Закон сохранения энергии. Уравнение, замыкающее
систему уравнений A.20) и A.28), получается из термоди-
термодинамического тождества A.5). Оно имеет вид
dE__ dQ W 131
и означает, что изменение энергии частицы газа может быть
вызвано только притоком тепла к ней (или оттоком от
нее) и работой, совершаемой газом при его расширении.
Величина dQ/dt может зависеть от ряда факторов. Во-пер-
Во-первых, в ней должно быть учтено количество тепла, выделяе-
выделяемого в гаае в результате диссипативных процессов. Во-
вторых, следует принять во внимание обмен энергией
данного элемента с другими элементами и внешними те-
телами. В астрофизике особенно важным является обмен
энергией в форме излучения. В-третьих, в плазме приток
энергии может быть обусловлен выделением джоулева
тепла. Конкретная форма зависимости dQ/dt от всех этих
факторов при решения той или иной задачи должна быть
известной. Тогда, поскольку энергия Е является извест-
известной фушцией температуры и плотности, а температура
выражается через р и р при помощи уравнедия состояния
газа, остается всего пять неизвестных функций точки и
времени: vX9 vy, vz, p, p.
Для их определения имеем систему из пяти нелиней-
нелинейных уравнений: A.20), A.30), A.31) в частных производ-
производных. Аналитическое решение этой системы удается осу-
осуществить только в очень ограниченном числе случаев.
Если мы имеем дело с движениями, при которых про-
происходят лишь малые изменения величин, описывающих
состояние газа, то систему уравнений газодинамики можно
линеаризовать. Процесс линеаризации подробнее будет
рассмотрен в гл. 2, а здесь ограничимся частным случаем
плоского адиабатического движения при отсутствии тяго-
тяготения. Решение линеаризованных уравнений позволит
Установить некоторые важные свойства газа.

20 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГАЗОДИНАМИКИ [Гл. i
Пусть в газе, характеризующемся постоянными в про-
пространстве значениями плотности р •= рд и давления/? = р0
и движущемся в направлении оси Ох со скоростью у0,
происходит некоторое возмущение, приводящее к малым
изменениям величин р, р и у, Подставим в уравнения
движения и неразрывности
dv . dv I dp /л ООч
вместо р, р hi; величины
Р = Ро + Р'> Р = Ро + Р'> ^ = ^о + v', A.34)
и пренебрегая в получающихся уравнениях малыми выс-
высших порядков по отношению к р', р\ v\ у0, находим
ду 1 dp' dv' dp' (i orv
Поскольку, по предположению, изменение давления
и плотности в газе происходит адиабатически, то с точ-
точностью до малых высших порядков по отношению к р'
имеем
Для коэффициента при р' из уравнения A.14) получаем
Ж = с\ A.37)
\ dp JS Y Ро
При посредстве A.37) из A.35) получаются уравнения
которые показывают, что малое возмущение распростра-
распространяется по газу со скоростью с, определяемой по A.37).
Эта величина, называемая скоростью звука, при помощи
уравнения состояния газа A.10) записывается в таком
виде:
с= I/ у-?-Т . A.39)

I 21 УРАВНЕНИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ 21
Нетрудно видеть^ что она порядка средней квадратич-
квадратичной скорости движения частиц, составляющих газ, что
вполне понятно, так как передача возмущения по газу
производится этими частицами. Величина с в земной
атмосфере, состоящей в основном из молекул азота и имею-
имеющей температуру 300 °К, равна 330 м/сек. В водороде при
f = 104 °К величина с составляет около 10 км/сек.
Общее решение уравйений A.38) имеет вид
где /i и /2 — произвольные функции, определяемые из на-
начальных условий. Решение A.40) показывает, что малое
возмущение, называемое звуковой волной, распростра-
распространяется, вообще говоря, в обе стороны от места своего воз-
возникновения со скоростью с относительно газа. Если возму-
возмущение распространяется только в одну сторону, напри-
например, под действием поршня, вдвигающегося в трубу,—
то говорят о простой волне.
Звуковая волна является продольной. Сжатие газа
в каждой точке сменяется расширением, при котором
энергия от данного элемента газа переходит к следующему.
Можно показать, что средняя энергия, переносимая зву-
звуковой волной, в расчете на единицу объема пропорциональ-
пропорциональна средней величине квадрата скорости газа:
A.41)
Из соотношений A.40) следует, что
P' = ±p.f, A-42)
где знак выбирается в зависимости от направления рас-
распространения возмущения. Из A.42) вытекает, что если
Движения газа происходят со скоростью, малой по сравне-
сравнению с с, то вызываемые такими движениями изменения
плотности малы по сравнению с начальной плотностью.
В подобных случаях газ приближенно можно рассматри-
рассматривать как несжимаемую жидкость.

22 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГАЗОДИНАМИКИ [Гл. 1
Уравнения движения A.28) при FM = 0 и -Р7ВЯзк = 0
можно записать несколько иначе, используя соотношение
v = [[Vv] v] + \ Vv\ A.43)
Вводя вектор, называемый вихрем скорости,
Й = [Vv], A.44)
получаем A.28) в виде
*L + [Qv] + _<_ w = _ 1JL _ v9g. A.45)
L + [Qv] + __
При Q = 0 поле скоростей называется безвихревым, или
потенциальным, так как в этом случае существует потен-
потенциал скорости i|) (x, z/, z\ t), т. е. такая функция, что
При й^=0 в каждой точке жидкости имеет место враще-
вращение с угловой скоростью, равной | Q"| /2.
При условии постоянства плотности и пренебрежении
сжимаемостью из A.45) путем векторного умножения
на V получается
+ [V[Gt>]] 0. A.47)
Из A.47) видно, что если Й = 0, то и-^т- = 0» х. е. потен-
потенциальное движение само по себе не может превратиться
в вихревое. Поле скоростей при потенциальном течении
несжимаемой жидкости полностью описывается системой
уравнений
[Vv] = 0, (Vv) = 0 A.48)
при соответствующих граничных условиях.
Линией тока называется кривая, касательная к кото-
которой в каждой точке совпадает с направлением скорости
движения газа в этой точке. Вдоль линий тока при стацио-
стационарном движении выполняется так называемое уравнение
Бернулли. Чтобы получить его, можно использовать урав-
уравнение A.45) при -~ = 0, A.20) при —?- = 0 и уравнение,
определяющее изменение удельной внутренней энергии г

§ 2] УРАВНЕНИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ 23
за счет работы сил давления в адиабатическом случае:
i-. A.49)
Умножая уравнение
{QV] +-1- w = _ ZL_ Vqv A.50)
на v скалярно и учитывая A.49) и условия
V(pv) = 0, (v [Qt>]) = 0, A.51)
получаем
( {4 JL }) = 0. A.52)
Соотношение A.52) означает, что вдоль линии тока
_У2 _|—Р_ _|_ ф^ _[_ 8 _ const. A.53)
Уравнение Бернулли A.53) показывает, что вдоль
линии тока сохраняется энергия единицы массы газа.
При изучении локальных процессов, таких, например,
как излучение или поглощение энергии, уравнения в эй-
эйлеровой форме неудобны, поскольку приходится исследо-
исследовать движение данной частицы, свойства газа в которой
двляются определяющими. В такиха случаях используют
уравнения в лагранжевых координатах. . Они удобны
главным образом при изучении одномерных движений.
Рассматриваемую частицу газа нужно как-то выделить
среди остальных, «пометить». Такая «метка» и является
лагранжевой координатой. В случае плоского движения
за лагранжеву координату можно принять массу вещества,
находящегося между данной частицей и некоторой фикси-
фиксированной. Эта величина не меняется при движении. Для
сферически-симметричных движений, когда «частицей»
является шаровой слой радиуса г, за лагранжеву коорди-
координату принимают массу, заключенную в шаре радиуса г.
Зависимость между эйлеровой координатой (х в случае
плоского движения и г для сферически-симметричного)
и лагранжевой координатой т записывается следующим

24 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГАЗОДИНАМИКИ [Гл. 1
образом:
X Г
/71 - 5 р (х\ t) dx'; 771= 5 4яг'2р (г', t) dr'. A.54)
xi 0
Здесь хг — координата некоторой фиксированной точки.
Величины у, р и р для точки с данным значением tti за-
зависят лишь от времени.
Скорость v (m, t) точки с лагранжевой координатой т
дх(т, t) I dr(m. *) \ тт
равна —Kdt (или —v ' ; J. Поэтому уравнение нераз-
неразрывности следует из A.54) в виде
Ш
для плоского и сферического случаев соответственно.
Обозначения частных производных от скорости ис-
используются для того, чтобы подчеркнуть зависимость от
лагранжевой координаты. Величина тп сохраняет для
данной частицы одно и то же значение и производная
др/дпг определяет скорость изменения давления при пе-
переходе от данной частицы к соседним.
Уравнения движения записываются в форме
dt dm
A.56)
соответственно для плоской и сферической симметрии.
Уравнение, определяющее изменение удельной энер-
энергии е в частице, совпадает с A.31), записанным для еди-
единицы массы газа:
При условии, что плотность среды в начальный момент
во всех точках одинакова (р = р0), в качестве лагранже-
лагранжевой переменной можна принять эйлерову координату.
точки в начальный момент. Обозначая эту лагранжеву
координату через \ для плоского случая и г0 для сфериче-
сферического, имеем
A.58)

§ 2] УРАВНЕНИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ 25
Для плоского движения система уравнений неразрыв-
неразрывности и движения записывается так:,
а»«,*) __ п д\Т/ dv(Z,t) _ 1 dp , -q.
d\ -Po dt ' dt ~ "7 a? ' l '
а для сферически-симметричного случая
l d{r4) _ a(~) dv _ l r2 aP ,, fim
r2 ar0 ~Po at ' a* ~ "p7" ar0 • ^'DV)
После решения системы, записанной в лагранжевых ко-
координатах, переход к эйлеровым (х или г) осуществляется
по соответствующей из следующих формул:
t t
х (m, t) — \ v (m, t) dt -\- хъ r (m, t) = \ v (m, t) dt. A.61)
о о
В случае плоского движения переход можно осущест-
осуществить также и при помощи уравнения неразрывности:
A.62)
0 гг'.',
Если движение адиабатическое, система уравнений в ла-
лагранжевых координатах существенно проще, чем в эйле-
эйлеровых. В плоском случае остается всего два уравнения
первого порядка.
В общем уравнении A.28) содержатся два члена, струк-
структура которых еще не выяснялась. Здесь будет рассматри-
рассматриваться только выражение для силы вязкости, а исследо-
исследование вида FM производится в следующем параграфе.
В сплошной среде при относительном смещении сосед-
соседних ее слоев возникают силы, препятствующие этому сме-
смещению. Внутренняя сила, приходящаяся на единицу
площади, называется напряжением. Сила является век-
векторной величиной и зависит от ориентации сечения.
Поэтому напряжения описываются тензором второго
ранга. Тензор напряжений имеет вид
A.63)

26 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГАЗОДИНАМИКИ [Гл. 1
Здесь, например, оху представляет собой силу вдоль
оси Ох, действующую на единичную площадку, перпен-
перпендикулярную к оси Оу. Тензор напряжений должен быть
симметричным, так как в противном случае (при Gtj Ф Gjt)
на элементарный объем (кубик) действовал бы крутящий
момент, равный (Оц — Оц) х ребро кубика и ничем не
уравновешиваемый.
Пусть ап — сила, действующая на единичный элемент
поверхности с нормалью п. Проекция этой силы на ось
Ох выражается через компоненты тензора напряжений
следующим образом:
(га, х) + оху cos (га, у) + gxz cos (га, z). A.64)
Аналогичный вид имеют выражения для оуп и azn.
Выражение для 2^Вязк получается с помощью тензора
напряжений. Пусть в теле выделен произвольный объем V,
ограниченный поверхностью 2. Внутренняя сила (дейст-
(действующая на объем) должна уравновешиваться поверхност-
поверхностными силами. Поэтому для компоненты Ft силы, дейст-
действующей на единичный объем, имеем:
A.65)
Преобразуя поверхностный интеграл в интеграл по объе-
объему, находим, в силу произвольности объема F,
Из данных эксперимента известно, что величина на-
напряжения пропорциональна градиенту скорости движе-
движения. Исходя из этого и учитывая симметрию тензора на-
напряжений, для компонент тензора принимают следующее
выражение:
где т) — коэффициент вязкости и связь между г) и т)' опрег
делена ниже.
Вторым слагаемым в A.67), не равным нулю только для
сжимаемой жидкости, учитывается возможность отличия
давления в движущемся газе от давления в неподвиж-

§ 2] УРАВНЕНИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ 27
ном газе. Обычно принимают, что сумма нормальных
напряжений, действующих на поверхность кубика с реб-
ребром, равным единице, равна нулю:
<*хх + <*уу + azz = 0. A.68)
Из A.68) получается, что
Величина -РВязк, входящая в уравнение A.28), на основе
A.66), A.67) и A.69) определяется формулой
4"
При г) = const и отсутствии магнитного поля получаем
из A.28), при помощи A.70), так называемое уравнение
Навье—Стокса:
J
L + (VV) v=-!*—V<ti + vV*v + -J- V (Vn), A.71)
где v = rj/p — коэффициент кинематической вязкости,
имеющий размерность [v] = см2-сек~\ Вязкость газа
обусловлена переносом количества движения от слоя,
движущегося с большей скоростью, к слоям с меньшей
скоростью. Поэтому при наличии вязкости в выражение
тензора потока импульса A.29) добавляется слагаемое,
соответствующее переносу импульса вязкостью:
П^ == pviVk + p8ik — aik. A.72)
Если в уравнении A.30) использовать в качестве Uik
выражение A.72), то поручатся уравнения Навье—Стокса.
В астрофизических объектах перенос импульса, обу-
обусловленный молекулярной вязкостью, обычно не играет
существенной роли. Гораздо более важным оказывается
перенос количества движения в результате так называе-
называемой турбулентной вязкости, о которой в гл. 3 говорится
подробно. С учетом турбулентной вязкости приходится
решать уравнения, по форме совпадающие с A.71), но для
соответствующим образом осредненного движения. При
этом величину v не всегда можно считать одинаковой во
всем течении*

28 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГАЗОДИНАМИКИ [Гл. 1
§ 3. Движение газа в присутствии магнитного поля;
уравнения магнитной газодинамики
Между движением электропроводящей жидкости при
наличии магнитного поля и изменениями поля существует
тесная взаимосвязь. Пондеромоторные силы, возникающие
в движущейся жидкости, влияют на ее движение, а по-
последнее в свою очередь сказывается на поле.
В газодинамическом приближении плазма считается
непрерывной средой и движение отдельных частиц не рас-
рассматривается. Поэтому движение плазмы, как и обычного
газа, можно характеризовать макроскопическими ско-
скоростью v, плотностью р и давлением р. Кроме того, входя-
входящая в уравнение движения величина пондеромоторной
силы зависит от плотности тока j в плазме. Если плазма
состоит из электронов, концентрация которых пе и макро-
макроскопическая скорость ve, и ионов только одного типа
с зарядом Ze, концентрацией щ и скоростью г>!,то v, j и р
определяются следующим образом (Спитцер A965)):
v = —(щт&х + nemeve), A.73)
j = e(niZV{ — neve), A-74)
p = щтх + neme. A-75)
Уравнение движения, которое может быть получено
строго путем нахождения моментов кинетического урав-
уравнения для частиц каждого сорта, имеет вид (без учета
вязкости) *)
dv = 1
" dt с
где Н — напряженность магнитного поля. Уравнение
неразрывности сохраняет прежнюю форму. Еще одно
уравнение дает закон сохранения энергии. Что касается
величины j, то она связана со скоростью при посредстве
закона Ома:
A.77)
*)[3десь и в других формулах, описывающих электромагнитные
явления, с означает скорость света. Совпадение с обозначением'
скорости звука не должно приводить к недоразумениям.

§ 3] ДВИЖЕНИЕ ГАЗА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ 29
В A.77) .?7 означает напряженность электрического поля
и (Те — проводимость. Величины Ей И определяются си-
системой всего трех уравнений Максвелла:
^i + .f^, A,78)
-±-°§-t A.79)
(V25T) = 0. A.80)
Вследствие электрической лейтральности газа в астро-
астрофизических условиях
(VJB) = 0. A.81)
При скорости v <^ с и характерном размере L системы,
таком, что I <^ L < ct, где t — характерное время дви-
движения и I — длина свободного пробега частицы, членом,
соответствующим току смещения, можно прецебречь и
использовать AЛ8) в виде
lEj. A.82)
По порядку величины
На основе оценки / для различных астрофизических
объектов можно получить, что | V\ \ ^> | V\ \ — | ve |. Ма-
Макроскопическая скорость плазмы определяется в основ-
основном движением ионов, так как т\ ^> иге.
В A.77) не учтено изменение плотности тока со време-
временем. Это допустимо, так как при больших характерных
размерах L величина j не может быстро меняться. Однако
иногда изменение тока со временем приходится учитывать.
Преобразуем теперь выражение пондеромоторной силы
в уравнении A.76). Используя A.82), а также соотношение
[[VJBT] Н] « (J3TV) Н L VH\ A.84)
находим

30 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГАЗОДИНАМИКИ [Гл, i
1 Н%
Слагаемое — V -g— определяет градиент магнитного дав-
давления, а член -^— (J5TV) Н учитывает силу натяжения
вдоль магнитных силовых линий. В случае статических
конфигураций газа (когда v = 0) магнитные силы должны
уравновешиваться градиентом газового давления и полем
тяготения.
Из A.77), A.79) и A.82) получается уравнение, опре-
определяющее изменение поля в движущемся газе со време-
временем:
Учитывая A.80) и известное выражение для двойного
векторного произведения, преобразуем A.86) к виду
A-87)
Физический смысл выражения A.87) становится ясным,
если учесть, что уравнение A.79), из которого оно полу-
получено, выражает закон электромагнитной индукции. В.со-
В.соответствии с этим законом циркуляция по замкнутому
контуру определяется скоростью изменения магнитного
потока через площадь, ограниченную контуром. Вслед-
Вследствие движения среды контур изменяется. Взаимосвязь
изменений контура и напряженности поля со временем и
описывается уравнением A.87). Первое слагаемое в пра-
правой части A.87) определяет диффузию магнитного поля
при конечной проводимости. Диффузия поля означает
диссипацию магнитной энергии в тепло. Если проводи-
проводимость велика, и, значит столкновения между электронами
и ионами происходят редко, то диссипация поля занимает
большое время. Изменение поля в этом случае обусловлено
главным образом движением газа,
Проводимость для слабо ионизованной плазмы, где
определяющими являются столкновения электронов с ней-
нейтральными атомами концентрации тга, равна
о^^-^-Т;1», A.88)
где . (?еа — сечение столкновений электрона с атомом,
сложным образом зависящее от Ге.

§ 3] ДВИЖЕНИЕ ГАЗА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ 31
В случае полностью ионизованной плазмы существен-
существенную роль в определении величины проводимости играют
далекие взаимодействия, и выражение ае имеет вид
2.108 з,
ti'Xv /77/2 /Л QQ\
Zj 111 Л
где Z — заряд ионов, a In Л — так называемый кулонов-
ский логарифм, учитывающий далекие взаимодействия
(обычно In А ж 10). Так как эффективное сечение для
столкновений электронов с ионами на несколько порядков
превосходит сечение столкновений с атомами, то формула
A.88) применима только при очень низкой степени иони-
ионизации (—^-<^ 10
Когда в плазме электронная температура значительно
превосходит ионную, появляется так называемое аномаль-
аномальное сопротивление. При достижении некоторого критиче-
критического значения напряженности электрического поля
Е возрастание,/ с увеличением Е происходит медленнее,
чем следует из закона Ома A.77). Этот факт объясняется
тем, что движущиеся электроны теряют энергию не только
при столкновениях с атомами и ионами, но также возбуж-
возбуждают ионно-звуковые волны, представляющие собой один
из видов колебаний плазмы (подробнее см. С. А. Каплан,
В. Ы, Цытович A972)). Эффект аномального сопротивле-
сопротивления оказывается существенным для ряда явлений, проис-
происходящих в космической плазме.
Данные о величине ае для различных астрофизических
объектов вместе со значениями их характерного размера L
приводятся в табл. 1.
Скорость диссипации поля характеризуется временем
?<ь за которое оно распространяется из области, первона-
первоначально им занимаемой, на расстояние ее размера L:
*d~-^?^. A.90)
В соответствии с данными табл. 1 это время практи-
практически для всех объектов существенно превосходит про-
продолжительность их существования, благодаря главным об-
Разом большой протяженности. Для солнечных пятен оно
порядка 300 лет, для звезды класса А около 108 лет.

32
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГАЗОДИНАМИКИ*
[Гл. 1
Таблица 1
Объект
ев ев
т
rp o\r
1 g, J\.
L, CM
(ед. GGSE)
50
Ю21
1Q10
10*
10»
10*
10"
1013
2-106
10»
5.103
10»
1012
ion
Ю13
10?
1013
Отношение второго слагаемого правой части уравне-
,Л ОГ7Ч АЛО VL
ния A.87) к первому порядка —^—, где v — характер-
характерная скорость движения. Величина v $5 105 см/сеп и поэто-
поэтому
с*
A.91)
В тех случаях, когда играет роль аномальное сопротив-
сопротивление, условие A.91) может не выполняться. Обычно же
диффузией поля в астрофизических условиях пренебре-
пренебрегают и используют уравнение
-^==[V|>Jff]], A.92)
показывающее, что изменение поля полностью определя"
ется движением вещества. Оно замыкает систему уравне-
уравнений магнитной газодинамики. Общее число уравнений
в этой системе,— восемь,— равно теперь числу неизвест-
неизвестных: v, p, р и JT.
Из A.92) вытекает очень важное свойство «вморожен-
ности» поля в вещество. Раскрывая двойное векторное
произведение и учитывая A.80), получаем
-^ + (vV) Н = (HV) v — H(Vv). A.93)
Подставляя в A.93) величину (V#), определяемую
уравнением неразрывности A.20), записываемым в форме

§ 3] ДВИЖЕНИЕ РАЗА Ё МАГНИТНОМ ПОЙЁ 33
имеем
(Ь а-95)
Соотношение A.95) показывает, что при движении газа
в направлении, перпендикулярном к магнитному полю,
отношение Н/р остается постоянным вдоль линий тока,
т. е. поле движется вместе с веществом. Силовые линии
как бы «приклеены» к частицам газа. В этом случае
поле называют «вмороженным». Из A.95), как можно по-
показать, следует сохранение магнитного потока через по-
поверхность, охватываемую любым замкнутым контуром,
движущимся вместе с газом.
Физически состояние вмороженности поля обусловле-
обусловлено тем, что при движении в магнитном поле вещества
с очень большой проводимостью индуцируется сильное
электрическое, поле, препятствующее изменениям магнит-
магнитного потока.
Так как Н ~ р, то при движении газа поперек поля
напряженность поля меняется пропорционально р, а маг-
магнитное давление ~р2. При движении контура вдоль поля
магнитный поток, естественно, не изменяется. Поэтому
при сжатии газа вдоль поля напряженность поля и маг-
магнитное давление не меняются.
При изотропном сжатии газа, занимающего, например,
объем шара радиуса R, площадь сечений, перпендикуляр-
перпендикулярных к полю, меняется пропорционально i?2-n поэтому
в силу сохранения магнитного потока Н ~ R~2. Плотность
газа внутри шара р ~ 7?~3 и, следовательно,
#~Р2'°, Рм~р4'8. A.96)
При движении проводящего газа в магнитном поле
энергия поля не изменяется. Магнитная энергия, содер-
содержащаяся в объеме F, выражается известной формулой:
^ H4V. A.97)
(У)

34 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГАЗОДИНАМИКИ [Гл. 1
и отсюда, учитывая A.87), находим
(V)
Второе слагаемое в правой части преобразуется, при по-
помощи A.82), к форме
[ ^dV, A.99)
(V) (V)
откуда видно, что оно определяет потери энергии вследст-
вии выделения джоулева тепла. Первое же слагаемое
в A.98), которое может быть представлено в виде
(V)
= \{vV€-)dV-'ir \ (v(HV)H)dV, A,100)
(V) (V")
определяет величину работы, совершаемой газом при дви-
движении его в магнитном поле против сил магнитного дав-
давления и сил натяжения магнитных силовых линий. Если
это слагаемое положительно, кинетическая энергия газа
уменьшается, а энергия магцдтного поля за счет этого
возрастает. Когда первое слагаемое отрицательно, то часть
энергии поля преобразуется в кинетическую энергию газа.
Рассмотрим теперь вопрос о распространении малых
возмущений в газе, находящемся в магнитном поле.
Силовые линии поля сопротивляются изгибанию и в этом
отношении напоминают натянутые струны. Эта аналогия
простирается и далее, поскольку, как сейчас будет пока-
показано, вдоль силовых линий при возмущениях распростра-
распространяются поперечные волны. Исследование проводится путем
линеаризации уравнений магнитной газодинамики, ана-
аналогичной выполненной в § 2.
Если в первоначально покоившейся жидкости с плот-
плотностью р0 и ве = оо, находившейся в однородном магнит-
магнитном поле 2Г0, произошло возмущение скорости, равное

13]
ДВИЖЕНИЕ ГАЗА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
35
v\ то оно вызывает возмущение и других величин, соот-
соответственно равное р', р' яТг. Линеаризованная путем отбра-
отбрасывания малых членов высшего порядка по сравнению
с каждой из указанных величин система записывается
так:
РО-
РОdt
dh
A.101)
A.102)
A.103)
При Но = 0 из A.101) и A.102) получается система урав-
уравнений, рассмотренная выше (см. A.35)), из которой было
установлено существование звуковых волн и определена
их скорость.
В присутствии магнитного поля движения газа под
действием малого возмущения более сложные. Для выяс-
выяснения характера этих движений будем считать, что все
возмущения (t/, р', р', h) представляются плоской вол-
волной, т. е. пропорциональны величине ei(fcr-co<\ где к —
волновой вектор и со — круговая частота. Если выбрать
систему координат так, чтобы направление Oz совпало
с &, а вектор Но, составляющий угол ф0 с fe, находился
в плоскости z/Oz, то при учете адиабатичности возмущений
из A.101)—A.103) получается следующая система:
(dpovx + -^ khx cos cpo = 0,
+ -^ khy cos ф0 = 0,
4^khv sin Фо = °
(uhx + Hokvx cos фо = 0,
cofey + IIokvy cos фо — Hokvz sin ф0 = 0,
= 0, cop^' — fepo^z = 0, (Vfo) =¦ 0,
A.104)
где через v'x, v'v, v'z, p', hV9 hv, hz обозначены амплитуды
соответствующих волн. После их исключения из системы

36 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГАЗОДИНАМИКИ [Гл. 1
A.104) имеем соотношение
(<4 — a2cos2cp0) [схт — ст (а2 + с2) + а2с2 cos2 ф0] = 0,
A.105)
где обозначено
Кубическое относительно с™ уравнение A.105) имеет
три корня:
с2П1=а2соз2ф0, A.107)
Ст^ = -L [а2 + СЧ ± /(а2 + с2J_4а26'2СО82ф0]. A.108)
Это означает возможность распространения в газе при на-
наличии магнитного поля волн трех видов:
1. Волны с фазовой скоростью, равной a cos ф0. Эти
волны, называемые магнитогидродинамическими или аль-
веновскими, являются поперечными и могут быть пред-
представлены как колебания магнитных силовых линий вместе
с газом, в который они вморожены. Групповая скорость
волны направлена вдоль поля.
2. Быстрые магнитозвуковые волны, фазовая скорость
которых получается при знаке плюс у корня в выраже-
выражении A.108).
3. Медленные магнитозвуковые волны с фазовой ско-
скоростью, определяемой формулой A.108) при знаке минус.
Магнитозвуковые волны являются продольными и
похожи на обычные звуковые с той разницей, что в их
движении играет роль не только газовое, но и магнитное
давление.
Подробное описание свойств альвеновских и магнито-
звуковых волн, так же как и других видов колебаний
в плазме, относящееся, по существу, к физике плазмы,
можно найти в ряде книг, в частности, Д. А. Франк-Каме-
нецкого A968) и С. А. Каплана и В. Н. Цытовича A972).
§ 4. Плоское изэнтропическое движение газа
В неподвижном газе малое возмущение распространя-
распространяется со скоростью звука с. Если газ движется как целое
с некоторой скоростью i?0, то возмущение распространя-
распространяется со скоростью v0 + с вправо и со скоростью v0 — с

§4]
ПЛОСКОЕ ИЗЭНТРОПИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ГАЗА
37
ft.
влево (в неподвижной системе координат). Такое движение
означает снос возмущения потоком. Этим простым сообра-
соображением пользуются для преобразования уравнений га-
газодинамики, облегчающего в ряде случаев их решение.
Одним из важных течений, которое можно исследовать
при помощи преобразованных уравнений, является плос-
плоское изэнтропическое тече-
течение газа.
Плоское течение характе-
характеризуется функциями v (#, t)
и р {х, t) (илир (#, t)). Пусть
при х = х0 в момент t0 воз-
возникает малое возмущение
скорости i/ (x0, t0) и давления
р' (^(и *о)- В достаточной бли-
близости от точки (#0, t0) на плос-
плоскости (#, t) можно считать
v (я, t) да v (х0, t0) и р (х, t) да
ж р (#0, t0). Вправо от точ-
точки (х0, t0) распространяется
возмущение со скоростью v (х0, t0) + с (х0, t0), а влево —
возмущение со скоростью v (х0, t0) — с (х0, t0). Так как
vts.c меняются от точки к точке, то и скорости распростра-
распространения этих возмущений не остаются постоянными^
Линии на плоскости (#, ?), вдоль которых происходит
распространение возмущений, называются характеристи-
характеристиками (рис. 1). Уравнения их таковы:
Рис. 1. Графическое представ-
представление характеристик в задаче
о плоском изэнтропическом
течении газа.
—-
= v — с
((^-характеристика), A.109)
((^-характеристика). A.110)
Если движение не изэнтропично, а лишь адиабатично,
то энтропия в частице может испытывать возмуще-
возмущение. Однако это возмущение остается связанным с час-
частицей и перемещается вдоль линий тока. Поэтому
Уравнение
-JL = v (Со-характеристика)
A.111)
соответствует линии, вдоль которой распространяются
возмущения энтропии.

38 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГАЗОДИНАМИКИ [Гл. i
Уравнения неразрывности и движения при условии
адиабатичности нетрудно преобразовать таким образом,
чтобы в них входили производные от функций v и р только
вдоль характеристик. Для величины р=р (р, S) имеем
dt \ dp )s dt ^ \ dS )p dt * I
Второе слагаемое в правой части A.112) в силу изэнтропич-
ности (адиабатичности) равно нулю и поэтому
С другой стороны, р =s р (х, t) и
Подставляя A.113) при учете A.114) в уравнение нераз-
неразрывности, долучаем
сР dt ^ с9 w дх ^" дх v
Уравнение неразрывности, совместно с уравнением дви-
движения
$*_ + и — = LJ*L , A.116)
дает
При верхнем знаке (плюс) A.117) представляет собой
уравнение, описывающее изменение вдоль С+-характери-
С+-характеристики, и может быть записано в виде
dv+~dp=O. A.118)
При нижнем звуке (минус) — это уравнение вдоль ^-ха-
^-характеристики
dv—-Ldp = O. A.119)
Таким образом, в плоском одномерном адиабатическом
течении вдоль характеристик С+ и С_ распространяется

§ 4] ПЛОСКОЕ ИЗЭНТРОПИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ГАЗА 39
постоянное значение величин
^Г (вдоль С+), A.120)
J. = у- ^ (вдоль CJ. A.121)
Эти величины, называемые инвариантами Римана, пред-
представляют собой, по существу, новые переменные. Особен-
Особенно просто выражаются инварианты /+ и J__ при изэнтро-
пическом течении, когда произведение рр~"< не зависит
ни от координат, ни от времени.
Так как
у, A.122)
то
2c^ = 1yiU- AЛ23)
Поэтому уравнение движения A.117) в этом случае запи-
записывается в виде
-sr+^irH т-= 0- A.124)
dt • дх у"-1
Используя A.124), вместо A.120) и A.121) получаем
/^^-^i-c. A.126)
Эти формулы позволяют простым образом выразить
v я с через инварианты. Использование постоянства/+
и/, вдоль характеристик дает приближенный метод чис-
численного решения уравнений газодинамики в случае
плоского изэнтропического течения — так называемый
метод характеристик. Он изложен в ряде книг, в частно-
частности в монографии И. А. Климишина A972). Однако
в астрофизических исследованиях этот метод вследствие
Ряда ограничений, обусловливаемых им при постановке
задачи, применялся сравнительно редко.
Как было отмечено выше, возмущение, распростра-
распространяющееся по газу в одну сторону, называется простой

40 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГАЗОДИНАМИКИ ЁГл. 1
волной. Это нестационарное одномерное изэнтропическое
течение, обладающее тем свойством, что все величины,
характеризующие газ (у, р, с), являются функцией одной
из них, например, v.
В случае простой волны один из инвариантов остается
постоянным во всем течении все время. Когда газ зани-
занимает всю полуплоскость ?>0, это видно непосредственно.
Если заданы такие начальные распределения v и с, что,
например, / (ж, 0) = const, то, так как через каждую
точку верхней полуплоскости проходит (^..-характеристи-
(^..-характеристика, это же значение /_ будет во всех точках. Для движе-
движения газа в ограниченном пространстве доказательство
указанного утверждения сложнее (см., например,
Я. Б. Зельдович и Ю. П. Райзер A966)).
Постоянство величины /_ (х, t) (или /+ (#, t)) во всем
течении дает возможность получить решение задачи
о движении газа при распространении по нему простой
волны.
Пусть
2 « const; A.427)
тогда A.124) записывается в следующей форме:
Решение A.128) имеет вид
v = F[x-{v + c)t], A.129)
где F — произвольная функция. Решая A.129) относи-
относительно х, находим
х = (v + c)t + f(v). A.130)
Поскольку в A.130) входит только одна функция, это вы-
выражение представляет особенное решение уравнений плос-
плоского изэнтропического течения газа. Функция / (v) опре-
определяется из начальных условий. При / (v) = 0 скорость v
и другие величины, характеризующие течение, зависят
не от х и t в отдельности, а от отношения xlt. В таком
движении сохраняется форма зависимости i?, p и р от коор-
координаты, а со временем меняется лишь масштаб профиля.
Поэтому оно называется автомодельным.

§ 4] ПЛОСКОЕ ИЗЭНТРОПИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ГАЗА 41
Указанным методом получено, в частности, решение
задачи о расширении плоского слоя газа в пустоту. Оно
нашло важные применения в астрофизике, о которых
будет сказано в соответствующем разделе (гл. 5). Здесь же
приведем лишь решение для идеализированного случая
расширения бесконечного однородного слоя при отсут-
отсутствии тяготения.
Выберем систему координат таким образом, чтобы в не-
невозмущенном состоянии весь газ находился справа от
начала координат (х > 0). Пусть в момент t = 0 начи-
начинается движение газа влево — в область с х <L 0. От гра-
границы раздела х = 0 в противоположную сторону распро-
распространяется волна разрежения. Координата волны опреде-
определяется уравнением A.130). Скорость звука в невозмущен-
невозмущенном газе равна с0.
Величины v и с в начальный момент (при t = 0) на
границе (при #=0) не определены. Из условия: при t = 0
х = 0 получаем / (г) = 0 и поэтому
х = (i; + c)t. A.131)
Поскольку волна разрежения распространяется вправо,
то /_ = const и, следовательно,
A.132)
Из соотношений A.131) и A.132) определяются зависимо-
зависимости v и с от х и t:
На фронте волны разрежения с = с0, v = 0, так как
в любой момент фронт соприкасается с невозмущенным
газом. Скорость течения растет с удалением от фронта и
Достигает наибольшего значения при с = 0. Это значе-
1>Пред равно
—^Й- A-134)
Плотность газа в этой точке равна нулю, но-~-^=0. Для
одноатомного4 газа (у = 5/3) УПреД=—Зс0. В той точке, где
скорость разлета максимальна, внутренняя энергия рав-

42
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГАЗОДИНАМИКИ
[Гл. 1
trio
на нулю. В процессе расширения в вакуум внутренняя
энергия покоящегося газа переходит в кинетическую
энергию разлетающегося газа, причем непрерывно про-
происходит перераспределение
энергии в слое, так что зна-
значения уисв разлетающемся
газе зависят от отношения
xlt линейно. Графически за-
зависимости v (х) же (х) для
некоторого момента времени
(при у = 5/3) представлены
на рис. 2.
В том случае, когда слой
конечен, волна разрежения,
дойдя до границы, отражает-
отражается и движение приобретает
более сложный характер. Подробное исследование дви-
движения газа под действием отраженной волны приведено
в книге К. П. Станюковича A971).
Волна
—>•
разрешения
О
х
Рис. 2. Профили величин v ж с
при разлете плоского беско-
бесконечного слоя газа в вакуум.
§ 5. Стационарные ударные волны
Достаточно быстрое и сильное повышение давления
в газе приводит к образованию поверхности разрыва,
на которой скачком возрастают давление и плотность.
Такое уплотнение, называемое ударной волной, распро-
распространяется по газу со сверхзвуковой скоростью. Ударные
волны, очень часто возникающие в звездах и межзвездной
среде, являются весьма эффективным средством переноса
энергии. При прохождении по газу ударной волны он
нагревается и существенно меняет свою скорость. Эти об-
обстоятельства делают возможным наблюдение ударных
волн в астрофизических условиях.
Математически образование разрыва обусловлено не-
нелинейностью уравнений газодинамики. Чтобы это проде-
продемонстрировать, найдем в простейшем случае плоского
движения скорость распространения конечного возму-
возмущения давления. Изменение давления связано с измене-
изменением плотности, которая в свою очередь согласно урав-
уравнению неразрывности зависит от скорости. Так как
р = р (v), то р — р (у). Учитывая этот факт, уравнецие

§ б! СТАЦИОНАРНЫЕ УДАРНЫЕ ВОЛНЫ Ц
движения
dv . dv „ 1 др
dt +v дх - ^~~W
записываем в виде
?+(»+т *)?-«• AЛ35>
Скорость v является функцией t и, значит, при каждом
данном значении массовой скорости vx величина х является
неявной функцией от t. Поэтому
до
I дх\ _ <Н_
д
дх
где f-gr) _ представляет собой скорость распространения
по газу величины массовой скорости vx. Если волна про-
простая,— скажем, возникшая под действием вдвигаемого
в трубу с газом поршня,— и движется вправо, то инва-
инвариант /_ на плоскости (х, t) постоянен и, следовательно,
-^ = рс. A.137)
Из A.136) тогда находим, что
Таким образом, скорость распространения величины vx
зависит от интенсивности самой этой величины, что и яв-
является следствием нелинейности A.32). Физически это
обусловлено зависимостью скорости звука от температу-
температуры. При адиабатическом сжатии температура газа воз-
возрастает по сравнению с ее значением в невозмущенном
газе. Так как по нагретому газу возмущение распро-
распространяется быстрее, то профиль скорости становится асим-
асимметричным. Точки смещаются тем сильнее, чем выше они
находятся над осью (рис. 3). Крутизна касательной,
определяемая величиной dvldx, увеличивается до тех пор,
пока не достигается значение dv/dx = оо. Дальнейшее
искажение профиля скорости невозможно, так как оно

44 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГАЗОДИНАМИКИ 1Тл. 1
привело бы к неоднозначности величины скорости газа
в данной точке.
Слой, в котором градиенты газодинамических величин
очень велики, называется ударным фронтом. Если не учи-
учитывать элементарных процессов (т. е. в газодинамическом
приближении), его нужно считать поверхностью разрыва
х
Рис, 3. Схема образования ударного фронта.
По обе стороны от фронта уравнения газодинамики при-
применимы. Заметим, что для возникновения ударного фрон-
фронта не требуется, чтобы движение газа было обязательно
сверхзвуковым (v j> с), а нужно лишь, чтобы возмущение
состояния газа было достаточно сильным.
Ударная волна называется стационарной, если вели-
величины скачков характеристик газа — давления, скорости,
плотности — на разрыве не меняются со временем. Это
оказывается возможным, когда действие причины, вы-
вызвавшей появление волны, одинаково в течение долгого
времени.
В случае, когда параметры невозмущенного газа (перед
волной) известны и, задан скачок давления на волне, ско-
скорость волны, а также скорость и плотность газа за фронтом
определяются из условий сохранения массы, потока им-
импульса и потока энергии при переходе через разрыв.
Будем считать движение плоским и скорость газа
перпендикулярной к плоскости разрыва. Так как скорость
стационарной волны постоянна, то можно выбрать систе-
систему координат, связанную с ее фронтом. Величины, харак-
характеризующие состояние невозмущенного газа, обозначаем
индексом «1», а соответствующие величины за фронтом —
индексом «2».
На самом деле ударная волна представляет собой слой
газа малой, но конечной толщины, и градиенты в ней ко-

§ S] СТАЦИОНАРНЫЕ УДАРНЫЕ ВОЛНЫ 4$
нечны. О процессах, происходящих внутри слоя, говорит-
говорится ниже, а здесь примем, что характеристики газа вне его
не меняются. Если между поверхностями, ограничи-
ограничивающими слой, нет стоков вещества, импульса и энергии,
то на граничных поверхностях потоки соответствующих
величин одинаковы. Поэтому имеем условия:
РЛ = Р2*>2, A.139)
Pi + Pivl = Р2 + Р2*4 A.140)
-y-j vi = (P2S2 + Pz + P2 -y-J Щ, A.141)
где 8 — удельная внутренняя энергия. При учете A.139)
вместо A.141) можно написать равенство:
т- AЛ42)
Если волна распространяется по неподвижному газу,
то скорость ее равна v±, а скорость газа после прохождения
волны составляет vt — v2. В системе A.139), A.140), A.142)
неизвестными являются величины v±1 p2, у2.
Из A.139) и A.140) нетрудно найти, что
-!;.-]/ (p. - pi) (тг -¦?
При использовании A.142), а также известного выражения
для внутренней энергии газа
путем несложных преобразований получается зависимость
между величинами ръ р2, рх и р2, называемая ударной
адиабатой *),
(А
Pi (y + i)Pi+(y-l)P* ^
Отношение давлений определяет силу ударной волны.
Для очень сильной волны {pjp\ ->¦ оо) соотношение
A.145) дает (при у = 5/3) р2 == 4рх.
*) Это соотношение навивают также адиабатой Гюгонио.

46 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГАЗОДИНАМИКИ 1Гл. 1
Таким образом, плотность газа при сжатии его ударной
волной может возрасти не более, чем вчетверо, Это объяс-
объясняется увеличением сопротивления газа сжатию, вы-
вызванным повышением его температуры при прохождении
волны. Действительно, из уравнения состояния газа и
A.145) получается, что
Здесь fxx и (х2 — молекулярный вес газа до и после
прохождения волны соответственно. Для сильной волны,
когда р± <О2,
Это означает, что нагрев газа волной пропорционален си-
силе волны. Полученный вывод очень важен для астрофи-
астрофизики, так как чаще всего присутствие ударных волн в кос-
космических объектах может быть обнаружено по свечению
газа за фронтом.
Скорость, с которой газ втекает в волну, равная ско-
скорости D распространения волны по неподвижному газу,
получается из A.139) и A.140):
A.148)
В случае сильной ударной волны p2^>Pv P2 — 4рх и
таким образом, температура газа за фронтом зависит толь-
только от скорости волны.
Если считать Pi<^.p^ т. е. пренебрегать внутренней
энергией невозмущенного газа по сравнению с энергией,
переносимой волной, то находим
vx — v2 = —Vi A.150)

§ 5] СТАЦИОНАРНЫЕ УДАРНЫЕ ВОЛНЫ 47
Так как в правой части этого соотношения стоит удель-
удельная тепловая энергия газа за фронтом волны, то оно вы-
выражает факт равнораспределения кинетической и тепло-
тепловой энергии. Половина энергии, переносимой стационар-
стационарной ударной волной, переходит в кинетическую энергию,
а другая половина — в теплоту. Для того чтобы волна
оставалась стационарной, затраты ею энергии на нагре-
нагревание газа должны компенсироваться работой, совершае-
совершаемой внешними силами, например, давлением поршня, вдви-
вдвигаемого в трубу с газом. Если такой компенсации нет, то
волна затухает — скорость ее уменьшается.
Использовав выражение для скорости звука в идеаль-
идеальном газе, нетрудно найти, что при р2^> Pi выполняются
условия
Vi>ci, v2<Ci, A.152)
означающие, что Еолна распространяется по невозмущен-
невозмущенному газу со сверхзвуковой скоростью, а скорость газа
за фронтом — дозвуковая.
Энтропия газа после прохождения по нему ударной
волны возрастает. В этом можно убедиться, использовав
выражение A.13) для энтропии идеального газа:
A.153)
При P2^>Pi разность s2_—sx ]> 0. Возрастание энт-
энтропии газа обусловлено преобразованием внутри фронта
волны части энергии упорядоченного,— направленного,—
движения газа в тепловую энергию.
В волне происходят диссипативпые процессы, связан-
связанные с вязкостью и теплопроводностью газа, т. е. с обменом
энергией между частицами. Поэтому исследование процес-
процессов, происходящих внутри фронта, требует применения
методов кинетической теории газов.
При расчете структуры фронта ударной волны необхо-
необходимы значения функций и констант, определяющих взаи-
взаимодействие частиц между собой и с излучением. Далеко
не для всех газов со сложным составом такая информация
имеется. Для одноатомных газов расчеты наиболее про-
просты. В одной из первых работ по расчету структуры фрон-
фронта волны, распространяющейся по нейтральному газу
(Мотт-Смитт A951)), функция распределения частиц

48 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГАЗОДИНАМИКИ [Гл. i
внутри фронта представлялась как сумма двух максвел-
ловских распределений, а частицы, из которых состоит
газ,моделировались упругими шариками. Решение уравне-
уравнения Больцмана показало, что потеря энергии частицами,
врывающимися в холодный газ, происходит на расстоя-
расстоянии нескольких длин свободного пробега частицы /. Эта
величина определяется, как известно, формулой
где (?ст — эффективное газокинетическое сечение столк-
столкновения между частицами и п — концентрация частиц.
Тем же методом Тидманом A958) была изучена струк-
структура фронта ударной волны в полностью ионизованном
водороде. В этом случае, представляющем значительный
интерес для астрофизики, важную роль играет различие
в характере взаимодействия между ионами и электро-
электронами и между одинаковыми частицами. Как известно,
ионы и электроны из-за различия в массах обмениваются
энергией значительно медленнее, чем одинаковые части-
частицы. Поэтому фронт ударной-волны оказывается состоящим
из нескольких областей. В первой, наиболее узкой обла-
области ионного удара происходит обмен энергией между
ионами путем кулоновских взаимодействий. Длина сво-
свободного пробега вычисляется при учете далеких прохож-
прохождений (об аналогичном расчете см. в § 3), а вычисленная
толщина слоя, где совершается обмен энергией, порядка
удвоенной длины свободного пробега. Что касается элект-
электронного газа, для которого предполагается максвеллов-
ское распределение скоростей, то приобретение им энергии
от ионов и установление равновесия с ионным тазом зани-
занимают большее время и соответствующая область во фрон-
фронте гораздо протяженнее, чем область ионного удара. Мак-
Макроскопическая скорость электронного газа, поскольку
он увлекается ионами, такая же, как и у ионного газа,
даже если температуры газов различны.
В структуре ударных волн, распространяющихся в до-
достаточно разреженной плазме, существенную роль могут
играть различные виды плазменных неустойчивостей.
Подробное описание соответствующих явлений, относя-
относящихся, по существу, к физике плазмы, можно найти на-

§ 5] СТАЦИОНАРНЫЕ УДАРНЫЕ ВОЛНЫ 49
пример, в монографии С. А. Каплана и В. Н. Цытовича
A972).
Структура фронта в частично ионизованном газе более
сложна. Для условий межзвездной среды она обсуждает-
обсуждается в гл. 4, а для оболочек звезд — в гл. 5.
Из сказанного следует, что толщина фронта ударной
волны определяется столкновениями между частицами,
и для той области, где в основном происходит преобразо-
преобразование энергии поступательного движения в тепловую, тол-
толщина составляет несколько длин свободного пробега ча-
частицы. В сильных ударных волнах, где газ нагревается
до высокой температуры, важную роль играет лучистая
теплопроводность. В таких случаях характерный размер
определяется средней длиной пробега фотона, которая по-
порядка х (х — объемный коэффициент поглощения). Излу-
Излучение не только влияет на состояние газа внутри фронта
и за ним, но может также прогревать газ перед фронтом,
влияя тем самым на условия распространения волны. При
сильном излучении из-за фронта скачок становится менее
резким — «размывается». Влияние прогрева газа излуче-
излучением на структуру волны подробно рассматривается в
книге Я. Б. Зельдовича и Ю. П. Райзера A966). Действие
излучения на структуру фронта и его движение для астро-
астрофизических условий описано в книге И. А. Климишина
A972), где приведена и библиография по этому вопросу.
Во многих случаях излучение нагретого волной газа
выходит из среды практически без поглощения. Тогда го-
говорят об ударных волнах с высвечиванием. Высвечивание
приводит к охлаждению газа и, следовательно, к умень-
уменьшению его сопротивления сжатию. Поэтому при данной
силе скачка в волне с высвечиванием достигается большая
степень сжатия газа, что следует из уравнения адиабаты
Гюгонио A.145). Возможны и другие виды стока энергии
в волне, например, при затрате энергии на ионизацию.
Они также способствуют возрастанию степени сжатия газа
за фронтом.
Рассматривая движение стационарной ударной волны
при наличии стоков энергии, уравнение A.142) следует
видоизменить, записав его, так:

50 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГАЗОДИНАМИКИ [Гл. 1
где q — сток энергии, рассчитанный на единицу массы.
Тогда уравнение ударной адиабаты принимает такой вид:
.PL = p±J±. 4- 2?Р2 . A.156)
Из A.156) и вытекает отмеченная выше возможность боль-
большего сжатия газа ударной волной при q ^> 0. Влияние
расхода энергии на ионизацию играет сравнительно ма-
малую роль в изменении отношения p2/pi- Так, для волны,
распространяющейся в чистом водороде, сток энергии за
счет изменения степени ионизации от хг до х* составляет
(С. А. Каплан A958))
o. AЛ57)
где hv0 — энергия ионизации атома водорода с основного
уровня, что приводит в случае сильной волны (p2^>Pi)
к выражению
A.158)
Сжатие возрастает при Г2>2-105°К не более чем на 20 —
30%. Высвечивание же может приводить к увеличению
р2/рх в сильных волнах в десятки раз.
При высвечивании меняется плотность газа, а скорость
потери энергии газом зависит от плотности и степени ио-
ионизации атомов, составляющих газ. Поэтому расчет струк-
структуры ударных воли с высвечиванием представляет сложную
задачу. Для решения ее в случае стационарной волны
к уравнениям сохранения потоков массы, импульса и
энергии следует добавить уравнения, определяющие из-
изменение степени ионизации и скорость потери энергии
в зависимости от состояния газа. Ряд результатов расче-
расчетов, относящихся к движению стационарных волн с вы-
высвечиванием, приведен в книге С. А. Каплана A958).
Возможны случаи, в частности, при движении ударных
волн в межзвездной среде, когда высвечивание настолько
интенсивно, что температура по обе стороны от фронта
(в который включена и область высвечивания) оказывает-
оказывается одинаковой и равной температуре невозмущенного га-

jj 51 СТАЦИОНАРНЫЕ УДАРНЫЕ ВОЛНЫ 51
за. Плотность и давление за фронтом, естественно, являют-
являются более высокими. Такие волны называются изотермичес-
изотермическими. Об их расчетах также говорится в указанной книге
С. А. Каплана.
Если под фронтом ударной волны понимать слой, со-
содержащий все области релаксации, включая лучистую,
то толщина этого слоя может оказаться сравнимой с раз-
размерами системы. Тогда само понятие фронта становится
неотчетливым. Поэтому под фронтом ударной волны часто
подразумевается лишь область вязкой диссипации, где
происходит переход от упорядоченного движения атомов
к хаотическому. Излучение из этой зоны не настолько ве-
велико, чтобы эффекты высвечивания сказались на движе-
движении волны.
Если давление за фронтом волны и плотность в среде,
по которой она распространяется, меняются достаточно
медленно, то волну приближенно можно считать стацио-
стационарной. В таких случаях структура фронта не зависит от
того, что происходит в далеких от него точках. Когда от-
отношение pjpx меняется быстро, переменной является и
скорость волны. При распространении волны по среде с
переменной плотностью- скорость ее также меняется. Ве-
Величины р2, р2 и v2 при этом определяются, как и для ста-
стационарной волны, из условий сохранения на фронте, но
эти величины характеризуют состояние газа лишь непос-
непосредственно у фронта. Распределение же газодинамических
характеристик в захваченной волной области находится
путем решения уравнений газодинамики, для которых ус-
условия сохранения играют роль граничных условий, а удар-
ударный фронт рассматривается как поверхность разрыва.
Для сильной ударной волны (р2 2> р±) граничные ус-
условия обычно записываются в следующем виде:
f У«=7ТТР> AЛ59)
где D — скорость волны. Для слабых волн эти условия
имеют несколько более сложную форму.
Присутствие магнитного поля в среде существенно ска-
сказывается на характере распространения ударной волны.
Подробно влияние поля на движение волны рассматри-
рассматривается в гл. 4 (§ 3) в связи с описанием свойств ударных
волн в межзвездном газе.

52 основные понятия газодинамики tfn. i
§ 6. Автомодельность движения
и метод автомодельных решений
Решение системы нелинейных дифференциальных урав-
уравнений газовой динамики даже в простейших случаях свя-
связано с большими трудностями. Для таких задач предложен
ряд численных методов. Те из них, которые применяются
в космической газодинамике, описаны в книге И. А. Кли-
мишина A972) и здесь их излагать нецелесообразно. При-
Применение аналитических методов оказывается возможным
сравнительно редко. Из них наиболее употребительным
является так называемый метод автомодельных решений,
по существу, представляющий известный способ разделе-
разделения переменных в уравнениях в частных производных. В
тех случаях, когда такое разделение выполнимо, дело сво-
сводится к решению одного или нескольких обыкновенных
дифференциальных уравнений, а эта задача гораздо проще.
Метод автомодельных решений используется обычно
в задачах об одномерных движениях газа, т. е. для тече-
течений, обладающих плоской, сферической или цилиндри-
цилиндрической симметрией. Система уравнений газовой динамики
в простейшем случае адиабатического движения без учета
вязкости, тяготения и электромагнитных сил записывает-
записывается для всех указанных видов симметрии в следующем
виде:
T + !r + *T- + (iV-1>T-=0 (
dt l дг l у дг х у дг ' ч
-i-^px-vj + П1пУ) = 0, A.162)
где N — 1, 2, 3 для плоской, цилиндрической и сферичес-
сферической симметрии соответственно. Эти уравнения являются
математическим выражением законов, связывающих фи-
физические величины, обладающие определенными размер-
размерностями. Численные значения таких величин зависят от
выбора единиц измерения — масштабов. Достаточные ус-
условия, при выполнении которых в системе переменные раз-
разделяются, находятся из анализа, основанного на теории
размерности. Прежде чем устанавливать эти условия, вы-

§ 6] АВТОМОДЕЛЬНОСТЬ ДВИЖЕНИЯ §3
пишем дифференциальные уравнения, к которым сводится
задача после разделения переменных.
Преобразуем систему A.160) — A.162) таким образом,
чтобы вместо независимых переменных г я t в ней содер-
содержались t и безразмерная переменная ?, где
Б-ТГ' A-163)
а Л — некоторая, пока неизвестная функция времени,
имеющая размерность длины. Поскольку | — безразмер-
безразмерная величина, то любая функция от ? также не зависит
от принятых масштабов rut. Что же касается неизвест-
неизвестных функций р (г, t), v (г, t) и с1 (г, t), то их запишем в ви-
виде произведений:
p(r, 0 = /i@ G (?)> A.164)
v(r, t) =-j-tf(g), A.165)
C2(r? f)e iiz(g). A.166)
Функции G, U ж Z называются представителями соответ-
соответствующих величин.
После подстановки функций, выраженных этими фор-
формулами, в A.160) и A.161) при учете A.163) находим
= 0, A.167)
ТП тт ¦ \тт л к /1 dlnU л ъ dlnG
+т-+т-шх = °- <1Лв8>
В этих уравнениях не остается явных функций времени,
т. е. переменные разделяются, если выполняются усло-
условия:
-j--t = const, -^ t = const. A.169)
Из A.169) следуют выражения для R и Д:
R = At", Д = В&, A.170)

54 ОСНОВНЫЕ ПОЙЯТИЯ ГАЗОДИНАМИКИ [Гл. 1
где Л, В, а, р — постоянные. Можно показать, что при
выполнении условий A.169) в уравнении A.162) также не
будет содержаться величин, в явном виде зависящих от
времени. Таким образом представление R (t) и /х (t) в ви-
виде степенных функций является необходимым и достаточ-
достаточным условием разделения переменных в системе A.160) —
A.162).
Величины А я В имеют следующие размерности:
[А] = см-сек~«; [В] = е-см^-сек'^. A.171)
Очевидно, что они должны быть связаны с теми пара
метрами, которые по условиям задачи являются опреде-
определяющими, например, начальная плотность среды, задан-
заданная энергия процесса вызвавшего движение и т. п.
Функция /х (t) и R (t) имеют простой физический смысл.
Они являются масштабными множителями, определяющи-
определяющими профили газодинамических величин, характеризую-
характеризующих состояние газа. Записывая A,164) — A,166) с по-
помощью выражений A.170), имеем:
р(г, t) =Bt*G(t), A.172)
v(r, t) =At^lU(l), A.173)
C2 (r? t) = AH^-^Z (g). A.174)
Из этих соотношений можно видеть, что от времени явно
зависят только масштабы функций р, v и с2, т. е. значения
функции от ? при переходе от одного момента времени
к другому меняются в одинаковое число раз. Распределе-
Распределение р, и и с2 по пространственной координате г также ме-
меняется, но, зная функции G (?), V (?) и Z (?), можно найти
зависимости плотности, скорости газа и- скорости звука
от г в,любой момент времени. Смысл понятия автомодель-
автомодельности и заключается в том, что при движении сохраняется
форма профилей газодинамических характеристик.
Заметим, что рассмотренное в § 4 течение газа при его
расширении в вакуум является частным случаем авто-
автомодельного движения. Для него а = 1, |3 — 0.
Еще отчетливее то обстоятельство, что профили газо-
газодинамических характеристик при движении остаются по-
подобными самим себе, видно, если масштабные множители

16]
АВТОМО ДЕЛЬНОСТЬ ДВИЖЕНИЯ
55
выразить через посредство R:
л оР &>п /t\ (Л Л 7^\
р *~-'Л (jt ус,), ^i.l/Oj
A.176)
A.177)
При изменении R профили растягиваются (сжимаются)
вдоль оси* абсцисс и оси ординат (рис. 4).
Начальные и граничные условия газодинамической за-
задачи содержат значения искомых функций, а также фик-
фиксированные значения коорди-
пат. Они также преобразуются
к безразмерной форме и дают,
тем самым, соответствующие ус-
условия для системы обыкновен-
обыкновенных дифференциальных урав-
уравнений.
Помимо указанного способа
введения безразмерной пере-
переменной | ее можно определить
и иным путем, полагая, напри-
например, (К. П. Станюкович A971))
Рис. 4. Схематическое пред-
представление изменения про-
профиля плотности при авто-
автомодельном движении.
A.178)
и аналогично для v и с2. Тогда переменные в уравнениях
A.160) — A.162) также разделяются.
Переменные можно разделить и в уравнениях, описы-
описывающих движение в однородном поле тяготения (g =
= const), если положить а = 2 в A.170), а иногда зада-
задача оказывается автомодельной и при учете самогравитации
газа (К. П. Станюкович A971)).
Как можно видеть из сказанного, характерной особен-
особенностью автомодельной задачи является возможность обра-
образования такой безразмерной переменной !¦ из г и t, что ре-
решение уравнений газодинамики при заданных начальных
и граничных условиях будет иметь вид A.164) — A.166).
Достаточные условия того, что та или иная конкретная
задача автомодельна, были впервые установлены Л. И. Се-
Довым A945). Основные прлощения ртой теории, а также

56 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГАЗОДИНАМИКИ [Гл. 1
многочисленные применения ее для решения газодинами-
газодинамических задач различного характера, в частности, астро-
астрофизических, даны в книгах Л. И. Седова A965) и Э. А. Ди-
бая и С. А. Каплана A976).
Применение теории размерности к вопросу об уста-
установлении достаточных условий автомоделъности движений
базируется на так называемой П-теореме, доказательство
которой можно найти в первой из указанных книг.
Смысл ее заключается в следующем. Пусть имеется не-
некоторая размерная величина а, являющаяся функцией
других размерных величин:
a =f(av a2,. . ., ап), A.179)
и пусть первые I из них имеют независимые размерности.
Как можно показать, формулы размерности должны иметь
вид степенных многочленов, поэтому независимость озна-
означает невозможность представления любой из размерно-
размерностей [dj] (/ = 1,. . ., I) через многочлены от размерностей
[аг] (i = 1,. . ., Z, i =#=/)• Тогда A.179) равносильно ра-
равенству
П = /A,1,...,!, Пь ..., Пп_г), A.180)
I раз
где
П = — A.181)
— безразмерная величина и П1?. . ., Пп_г — другие без-
безразмерные комбинации из аъ. . ., ап. Равенство A.180)
и выражает П-теорему, согласно которой связь между
п + 1 размерных величин, из которых I имеют независи-
независимые размерности, может быть выражена соотношением
между п + 1 — I безразмерными комбинациями из дан-
данных п + 1 размерных величин. Это соотношение не за-
зависит от выбора единиц измерения и позволяет всякую за-
зависимость между размерными величинами выразить в ви-
виде соотношения между некоторыми безразмерными вели-
величинами. Из A.180) следует, в частности, что при I = п
величина а с точностью до численного множителя опре-
определяется соображениями размерности.
Обратимся теперь к. уравнениям газовой динамики
A.160) — A.162). Они содержат пять размерных величин;

i 6l АВТОМОДБЛЬНОСТЬ ДВИЖЕНИЯ 5t
г, t, p, v, с2, из них три с независимыми размерностями,
например, г, ?, р. Кроме того, при постановке задачи за-
задается ряд характерных для нее величин — определяющих
параметров. Хотя бы один из этих параметров должен со-
содержать размерность массы, так как [р] = г-см~3. Пусть
размерность этого параметра, обозначаемого через а,
такая:
[a] = г-смксек*. A.182)
Допустим, имеется еще только один параметр Ъ с незави-
независимой от а размерностью:
[b] = г-смт-секп. A.183)
Функции р, v и с2 зависят от г, t, а и Ь:
Р = Ф1 (r> t, a, &),
v = ф2 (г, t, а, 6), A.184)
с2 = ф3 (г, t, а, Ъ).
Каждое из равенств A.184) представляет собой соотноше-
соотношение между пятью размерными величинами, из которых три
имеют независимые размерности. По П-теореме каждое из
этих равенств должно выражаться как соотношение ме-
между всего двумя безразмерными величинами и, следова-
следовательно, величины г и t не могут входить в безразмерные
соотношения раздельно, а должны образовывать вместе
с а и & безразмерную комбинацию |:
"-
Функции р, у и с2 представляются в виде
A.186)
Таким образом, наличие в задаче всего двух опреде-
определяющих параметров с независимыми размерностями яв-
является достаточным условием ее автомодельное™. Если

58 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГАЗОДИНАМИКИ {Гл. 1
в задаче число определяющих параметров с независимыми
размерностями больше двух, то величины г и t входят
в безразмерные соотношения-, получающиеся из A.184),
раздельно, в виде Нг0 и t/t0. Такая задача не автомо-
дельна.
За параметр а часто принимают величину плотности не-
невозмущенного газа р0. Тогда к = —3, s = 0 и
р = P(XG(?), и = -^Ud), . с2 = -Jz(g), A.187)
где
6=--Чг- A.188)
Размерность величины А, выражаемой при посредстве
определяющих параметров, зависит только' от [г] и [t].
В тех случаях, когда размерность параметра Ъ не со-
содержит размерности массы, переменная \ определяется
без помощи а:
Примером подобной автомодельной задачи может слу-
служить рассмотренная в § 4 задача о расширении газа в ва-
вакуум. В ней определяющими параметрами служат плот-
плотность невозмущенного газа р0 и скорость звука в нем
с0, а переменная | определяется так:
|=J-. A.190)
При наличии в задаче двух и только двух определяю-
определяющих параметров с независимыми размерностями ее отно-
относят к первому типу. Задачи, в которых имеется лишь один
параметр (в его размерность входит размерность массы),
относятся ко второму типу. Для них величина | также при-
принимается в виде A.188), но показатель степени а опреде-
определяется особым способом, который будет описан и исполь-
использован для конкретной задачи в гл. 5 (§ 4).

Глава 2
ГАЗОДИНАМИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ
Проблема устойчивости очень важна для космической
газодинамики. Различные виды неустойчивости оказывают-
оказываются определяющими в образовании структуры космических
объектов, процессах переноса энергии и эволюции звезд
и туманностей. В данной главе описываются главным
образом методы исследования устойчивости. О результа-
результатах применения их к конкретным объектам говорится в со-
соответствующих разделах (гл. 4—6). Много места уделено
вириальному методу, обладающему большой общностью и
позволяющему, в частности, изучать устойчивость быст-
быстро вращающихся объектов. Виды неустойчивости, обу-
обусловленные присутствием поля тяготения, также рассмат-
рассматриваются по возможности детально — в той степени, ко-
которая допускается объемом книги. Устойчивость стати-
статических конфигураций изучалась астрофизиками больше,
чем устойчивость течений, и это обстоятельство пашло
отражение в данной главе.
§ 1, Понятие об устойчивости
и методы ее исследования
Всякая физическая система испытывает воздействие
со стороны других, внешних по отношению к ней объек-
объектов. Если внешние воздействия (возмущения) не приводят
к изменениям состояния системы, то такое состояние счи-
считают устойчивым. Точнее, состояние системы называется
асимптотически устойчивым, если при любом достаточно
малом его возмущении отклонение от этого состояния ос-
остается малым и с течением времени стремится к нулю. Схе-
Схематически такое состояние можно представить рис. 5, а.
В противном случае, т. е. при возрастании отклонений со
временем, состояние называют неустойчивым (рис. 5, б).

150 ГАЗОДИНАМИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ [Гл, 2
В тех случаях, когда отклонение, возникшее в резуль-
результате малого возмущения, оставаясь малым, к нулю не стре-
стремится, состояние называют устойчивым по Ляпунову.
Состояние механической системы, состоящей из N
материальных точек, определяется положением точки
а) 5)
Рис- 5. Иллюстрация устойчивого (а), неустойчивого (б) и метаста-
бильного (в) состояний.
в 67У-мерном фазовом пространстве. Устойчивому состоя-
состоянию соответствует точка равновесия в фазовом простран-
пространстве. Это означает, что когда состояние системы под дей-
действием малых возмущений изменяется, траектория в фа-
фазовом пространстве, соответствующая изменению состоя-
состояния системы, всегда будет сходиться в указанную точку
равновесия. Поскольку исследование устойчивости сво-
сводится к изучению фазовых траекторий, то в этом отношении
нет принципиальной разницы между статическими и дви-
движущимися системами. Исследование производится при
посредстве канонических уравнений механики.
Другой метод исследования устойчивости механичес-
механических систем основывается на хорошо известном необходи-
необходимом и достаточном условии того, что состояние консерва-
консервативной системы было равновесным. В таком состоянии
величина полной потенциальной энергии ФПолн» опредег
ляемой соотношением
— (Т) , О^ Т /9 А \
полн — ^ л ййвр^ ? \^« *-)
должна иметь абсолютный минимум. В B.1) Ф означает
потенциальную энергию, QBp — угловая скорость вра-
вращения и / — момент инерции системы.
Механическая система описывается конечным (или счет-
счетным) множеством обобщенных координат. Газовая среда
рассматривается как континуальное множество. Указан-
Указанный выше подход к исследованию устойчивости газовых
систем вызывает поэтому сложности. Состояние проблемы

§ 1] ПОНЯТИЕ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ 61
отражено в статье Леду A958), где обстоятельно изложен
вопрос об устойчивости газовых конфигураций. Вообще
говоря, проблема устойчивости статических конфигураций
жидкости или газа отличается по своему характеру от
проблемы устойчивости движений. Однако в обоих слу-
случаях можно применять метод малых возмущений, суще-
существо которого описывается ниже. Что касается энергети-
энергетического метода исследования устойчивости, то при его при-
применении к газовым конфигурациям необходимо учитывать
термодинамические факторы — возможность изменения
энергии при изменении объема.
При движениях газа и в статических газовых конфи-
конфигурациях возникают неустойчивости особого вида, не
имеющие аналогий у механических систем. К ним отно-
относятся, в частности, турбулентная неустойчивость, конвек-
конвективная неустойчивость и тепловая неустойчивость. Эти
формы неустойчивости играют очень большую роль в аст-
астрофизике и рассмотрены отдельно в гл. 3. Некоторые из
других, специфически газодинамических и часто встречаю-
встречающихся в астрофизике видов неустойчивости описываются
ниже. Исчерпывающее (по состоянию на-1960 г.) изложе-
изложение методов и результатов исследования устойчивости
течений и конфигураций жидкости и газа дано в книге
Чандрасекхара A961). Различные виды неустойчивости
несжимаемой жидкости рассмотрены в книге А. С. Momma
и А. М. Яглома A966). Вместе с обзорами Леду A958)
и В. А. Антонова A975) указанные книги дают весьма пол-
полное представление о предмете и поэтому здесь можно огра-
ограничиться лишь очень кратким описанием широко извест-
известных методов и сконцентрировать внимание на более новых
результатах.
Сущность метода малых возмущений состоит в исполь-
использовании линеаризованной системы уравнений газодина-
газодинамики (с присоединяемыми к ней другими, например, урав-
уравнением теплопроводности). Вместо входящих в эти урав-
уравнения величин v, р, р, II и других в них подставляются
соответственно v0 + г/, ро + р', РоЛ-р', Л о + Ь, и т. п.
Индексом «О» обозначены величины, характеризующие не-
невозмущенное состояние и считающиеся известными,
a v, р', p', h принимаются настолько малыми, что их квад-
квадратами в получающихся уравнениях можно пренебречь.
В образованной таким образом системе уравнений, линей-

62 ГАЗОДИНАМИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ 1Гл. 2
ных относительно ?/, р',р', h, коэффициенты зависят от
координат и времени через посредство известных функций
v0, р0, р0, Но. Если изучается устойчивость в данной эйле-
эйлеровой точке и невозмущенное движение стационарно, то
коэффициенты в получающейся системе —постоянные
величины.
Линеаризованная система однородна, так как у нее
есть нулевое решение:
V' = 0, р' = 0, р* = 0, h = 0. B.2)
Общее решение такой системы представляет собой ли-
линейную комбинацию функций вида произведения е~ы
(а — комплексная величина) на функцию точки:
(
р' (х, у, z; t) = e~ia% (я, у, z), 2 3
У (х, у, z; t) = е~1°% (х, у, z), ^ *
h (х, у, z; t) = e-iEtfb (x, у, z).
В тех случаях, когда коэффициенты системы не зависят
от каких-либо координат, число аргументов у функций /$
меньше: Например, в сферически-симметричном движе-
движении коэффициенты в уравнениях не зависят от Ф и ф и
поэтому решение можно искать в виде
v' (х, у, z; t) = в*(^+^^0/1(а§ kif kf) (г), B.4)
и аналогично для р', р\ h.
Величина а зависит от значений кх и &2, характеризую-
характеризующих пространственный масштаб возмущений по ft и ф
соответственно. Функции /х, /2, /3, /4 находятся путем ре-
решения системы линейных дифференциальных уравнений
в частных производных, получающихся после подстановки
B.3) в линеаризованную систему.
Алгебраическая система относително производных от
искомых функций должна иметь решение и, следователь-
следовательно, определитель такой системы должен быть равен нулю.
Это условие дает характеристическое (дисперсионное),
уравнение, из которого находится величина а.
Если все корни дисперсионного уравнения имеют от-
отрицательную мнимую часть
B.5)

§ i] ПОНЯТИЕ OB УСТОЙЧИВОСТИ 63
то система устойчива относительно малых возмущений,
поскольку все величины еъкг уменьшаются с течением вре-
времени, т. е. значения v',p',p', h стремятся к нулю. При ус-
условии же, что хотя бы у одного из корней характерист-
ческого уравнения мнимая часть положительна (Ьг > 0),
система неустойчива. Скорость роста возмущений опреде-
определяется так называемым инкрементом роста, равным bjl.
Когда при каком-либо значении к afc^0 и6к>0,
то в системе происходят колебания с экспоненциально ра-
растущей амплитудой и такую неустойчивость называют ко-
колебательной. Если же при всех к Ьк=0, то система устой-
устойчива по Ляпунову и для суждений об ее окончательном
состоянии требуется более детальное исследование.
Состояние системы, устойчивое относительно беско-
бесконечно малых возмущений, может оказаться неустойчивым
в отношении возмущений конечной амплитуды. Такое со-
состояние называется метастабильным (см. рис. 5, в). Воз-
Возможно также, что в результате любого — конечного или
бесконечно малого — возмущения состояние системы ме-
меняется, но вызванные возмущением отклонения от началь-
начального состояния не меняются со временем. Тогда говорят
о состоянии нейтрального равновесия.
Из неустойчивого состояния в результате возмущений
система может перейти в устойчивое состояние или в со-
состояние колебаний с конечной амплитудой. Если неустой-
неустойчивость проявляется лишь в малой части в остальном ус-
устойчивой системы, такую неустойчивость называют ло-
локальной.
Линейная теория устойчивости (метод малых возму-
возмущений) имеет ограниченное значение. Она не дает возмож-
возможности объяснить ряд экспериментальных фактов газоди-
газодинамики и непригодна, когда приходится иметь дело с ко-
конечными возмущениями. В этих случаях бывает полезен
энергетический метод исследования устойчивости, впервые
использованный Рейнольдсом в 1891 г. при изучении тече-
течений. Суть метода можно разъяснить на примере вязкой
несжимаемой жидкости в конечном объеме. Пусть на основ-
основное течение, характеризующееся скоростью v0 (#, у, z; t),
накладывается конечное возмущение v' (x, у, z; t).
Поскольку величина v0 + v' должна, как и v0, удов-
удовлетворять уравнению Навье — Стокса и уравнению

64 ГАЗОДИНАМИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ Ifti. 2
неразрывности, то получаем
-~—Ь (v'V) v0 + (v0V) v' + (t/V) г?' = -—1-л?W, B.6)
(V v') = 0. B.7)
Уравнение B.6) отличается от соответствующего слу-
случая бесконечно малых возмущений присутствием слагае-
слагаемого (i/V) v'. Предположим, что на границе данного объ-
объема V величина vr = 0 (например, имеется твердая стенка).
Тогда путем умножения B.6) скалярно на v' и интегриро-
интегрирования по объему V при учете B.7) получается равенство:
4- V*dV = - [ ((v'V) vQv') dV -
(V) (V)
(V)
Величина, стоящая слева, определяет изменение ки-
кинетической энергии вследствие возмущений. Первым сла-
слагаемым правой части описывается обмен энергией между
основным течением и полем возмущений, вторым учиты-
учитывается диссипация энергии вследствие вязкости (он всегда
отрицателен). Будет ли кинетическая энергия возмуще-
возмущений расти или уменьшаться, зависит от обменного члена,
знак и величина которого определяются конкретным ха-
характером течения.
Связь движений различных масштабов выявляется
в нелинейности уравнений движения. Пусть движение
состоит из движений двух масштабов и v = v± + и2.
Тогда произведение (uV) v, входящее в уравнение движе-
движения, включает слагаемые (i^V) v% и {v<fl) vv что указы-
указывает на связь движений и возможность перехода энергии
от движений одного масштаба к движениям другого мас-
масштаба. Более вероятен переход энергии от больших мас-
масштабов к меньшим, так как в соответствии с общими прин-
принципами статистической физики должно происходить дро-
дробление энергии и распределение ее по большему числу сте-
степеней свободы. Именно это происходит при турбулизации
течения (см. гл. 3). Поэтому уравнение B.8) оказывается
очень полезным для выяснения условий перехода лами-
ламинарного течения в турбулентное.

§ ll ЙОНЯТЙЕ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ 65
При исследовании устойчивости состояний газовых си-
систем основываются на указанном выше положении о мини-
минимуме полной потенциальной энергии в устойчивом состоя-
состоянии, используя так называемый вариационный принцип,
или применяют теорему о вириале и ее обобщения.
Рассмотрим сначала вариационный принцип. Состоя-
Состояние системы является неустойчивым, если при каком-
либо малом его возмущении изменение энергии отрицатель-
отрицательно, т. е. она освобождается. Таким образом, исследование
устойчивости сводится к определению знака приращения
энергии при любом заданном изменении состояния. Изме-
Изменение состояния определяется вариациями параметров,
от которых это состояние зависит.
Формулировка вариационного принципа, применимая
к конфигурациям сжимаемой жидкости при наличии маг-
магнитного поля (Волтьер A958)), предусматривает суще-
существование семи интегралов движения системы уравнений
магнитной газодинамики с добавлением уравнения Пуас-
Пуассона
= inGp. B.9)
Устойчивое состояние соответствует условному минимуму
потенциальной энергии при выполнении условия
8Е + jj afil{ = 0, B.10)
где б означает вариацию, Е — энергия системы, at —
лагранжевы множители и 1{ — интегралы движения:
/1= [(A[VA])dV; /2= $ [Hv]dV;
(У) (V)
/3= I p([ir]v)dV; /4= [.p{[jr]v)dV; B.11)
(У) (V)
h= I p([kr)v)dV; h = J pdV.
(V) (V)
Здесь г, j, к — орты, А — вектор-потенциал и V — объем,
занимаемый системой. Решение указанной экстремальной
задачи дало соотношения, определяющие равновесную
конфигурацию. О них будет сказано в следующем пара-
параграфе.

66 ГАЗОДИНАМИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ?Гл,
При изучении устойчивости сферических или близкил
к ним газовых конфигураций, представляющих звезды,
часто оказывается, что они колебательно-неустойчивы,
причем в отношении не только радиальных, но и не-
нерадиальных колебаний. Для таких конфигураций Чандра-
секхар A964) предложил обобщенный вариационный
принцип, при помощи которого можно исследовать их ко-
колебательную неустойчивость. Для его формулировки рас-
рассмотрим уравнение движения элемента в конфигурации,
выведенной из состояния гидростатического равновесия.
Уравнение равновесия имеет следующий вид:
^ B.12)
dr - р dr '
В результате малого возмущения § (г, t) вида
B.13)
элемент, радиус-вектор которого г, движется, и это дви-
движение описывается уравнением:
При указанной форме возмущения и учете его малости,
из B.14) получается соотношение:
^=-4б?-^%+р46(р- BЛ5)
где б означает эйлеровы возмущения соответствующих ве-
величин, вызванные возмущением § (г, t). Уравнение нераз-
неразрывности дает
«Р = - (Vpl), B.16)
а из условия адиабатичности движения находим
Соотношение B.14) имеет место для любой частоты а,
определяемой характеристическим уравнением. Пусть
?(*) — собственный вектор, соответствующий частоте а(Х).
Путем умножения B.15), записанного для а^\ на %Т\
интегрирования по всему объему F, занимаемому газом

§ 1] ПОНЯТИЕ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ 67
(при условии исчезновения р и 5;? на его границе), ис-
использования соотношений B.16) и B.17) и выражения для
потенциала тяготения
,-^Зт^, B.18)
(to
получается выражение, из которого следует, что
5 p§(X)§(Wtfr = 0. B.19)
(to
При % = \л имеем следующее соотношение, выражающее
собой обобщенный вариационный принцип (индекс опу-
опущен):
\
(V)
1 } r2p dr dr л л \r — r \ v
(V) (V)
В правую часть этого соотношения при наличии маг-
магнитного поля следует добавить вариацию энергии магнит-
магнитного поля 8WM (Ковец A966)):
Ш" = -5Г \
[(HV) ^]2 -
~2JT (JHTV) | (VI) + (I [|V (JSTV) H])} W. B.21)
Применяется вариационный принцип следующим обра-
образом. Задается смещение ?• (г, ?) (пробная функция), напри-
например, в форме линейной функции от координат:
", . B.22)
где коэффициенты Хц играют роль вариационных пара-
параметров. Величина а2, определяемая по B.20), должна быть
стационарной по отношению к вариациям собственного
вектора \. Принимаем, что 8а2 = 0 для произвольных ва-
вариаций величин Xft. Тогда соотношение B.20) должно
дать систему уравнений относительно величин Х& Ус-
Условие разрешимости этой системы приводит к характери-
характеристическому уравнению, из которого определяется Я.

68 ГАЗОДИНАМИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ [Гл. 2
Получаемые таким путем значения % — —ш являются
не точными, но «лучшими» из совместимых с данной проб-
пробной функцией §(?% *)• Оптимальный выбор этой функции
производится на основе точного решения более простых
задач.
Расширение вариационного принципа на случай вра-
вращающихся конфигураций было сделано в работе Линден-
Белла и Острайкера A967). Вместо эйлеровых вариаций
уравнений движения ими были использованы лагранжевы
вариации. Эйлерова вариация величины Q (r, t) опреде-
определяется соотношением
8Q = Q(r, t)-Q0(r, t), B.23)
тогда как лагранжева вариация получается при возмущен-
возмущенном значении Q (r, t), равном Q (г + |, t), где J- — воз-
возмущение. Путем исключения вариаций из уравнений дви-
движения, неразрывности и адиабатичности получено харак-
характеристическое уравнение в виде
- в*А- A) + аВ- (|) + С-(?) = 0, B.24)
где точкой обозначено действие оператора на переменную
I, А и С — вещественные эрмитовы операторы (А — по-
положительно определенный), В — чисто мнимый эрмитов
оператор. Достаточное условие устойчивости заключает-
заключается в том, что С должно быть положительно определенным
оператором.
Вариационный принцип в применений к вращающим-
вращающимся «конфигурациям дал квадратное уравнение для ст.
Это обусловлено разделением спектра, соответствующего
данной сферической гармонике, на две последовательно-
последовательности мод (см. гл. 5, § 2). Одна последовательность являет-
является такой, что в крайнем случае отсутствия вращения соот-
соответствует чисто радиальным колебаниям (р-моды), кбгда
(О, Ф), U =- U = 0- B-25)
Другая последовательность соответствует поперечным ко
лебаниям (^-моды по терминологии Каулинга A942)) и

§ 1] ПОНЯТИЕ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ 69
для них
? =
Z(Z + 1)r dr " B.26)
В B.25) и B.26) через Y™(#, ср) обозначена сферичес-
сферическая функция порядка Z, a i|) (г) и % (г) — некоторые ради-
радиальные функции.
Рассмотрим теперь другую форму энергетического ме-
метода исследования устойчивости, основанную на исполь-
использовании известной теоремы о вириале, доказанной А. Пу-
Пуанкаре в 1885 г. Согласно этой теореме для системы из N
материальных точек, взаимодействующих по закону все-
всемирного тяготения, имеет место равенство
~ж = 2^+ф' <2-27>
где W и Ф — кинетическая и потенциальная энергии
системы соответственно и / — момент инерции системы
относительно начала координат. Величина Ф определяет-
определяется формулой:
-^Ц. B.28)
4\{ ,|
г=1
В стационарной системе -т^ = 0 и, следовательно,
2W + Ф = 0. B.29)
В B.27) под W подразумевается сумма энергий макроско-
макроскопических (И^макр) и тепловых (Жгепл) движений. Газовая
система, вообще говоря, обладает еще энергией других
микроскопических движений — вращения и колебаний
молекул. Энергия теплового движения в расчете на одну
частицу составляет ЗкТ/2, а общая энергия микроско-
микроскопических движений ikT/2, где г — число взаимодей-
взаимодействующих степеней свободы. Так как (у — 1) i = 2, то
отношение энергии микроскопических движений РГ

70 ГАЗОДИНАМИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ [Гл. 2
к тепловой равно
B.30)
При учете B.30), а также при наличии магнитного поля,
вместо B.27) получается (Чандрасекхар, Ферми A953)):
4 3 G - 1) ^микр + WM + Ф, B.31)
где WM — энергия магнитного поля, определяемая фор-
формулой A.97).
Теорема о вириале, выражающая некоторое интеграль-
интегральное соотношение, которое должно выполняться в состоя-
состоянии равновесия, дает возможность сформулировать не-
необходимое условие устойчивости статической системы
(при И^макр = 0). Полная энергия системы равна
E = WMEK9 + O + WM. B.32)
Если Е > 0, то, так каЬк И^икр >0и
имеем при 7 > 4/3
4" ж > а > °> щ- >2at +()
Таким образом, при i?>0 момент инерции системы
возрастает со временем и, следовательно, система распа-
распадается. Для устойчивости состояния системы необходимо,
чтобы полная энергия в этом состоянии была отрицатель-
отрицательной. Это условие не является достаточным, так как, вооб-
вообще говоря, при Е <С 0 система также может быть и неустой-
неустойчивой, способной переходить в состояние с еще меньшей
энергией.
Для исследования устойчивости различных конфигу-
конфигураций, в частности, несферических вращающихся систем
весьма эффективным оказывается вириальный метод, раз-
разработанный Чандрасекхаром и его сотрудниками и деталь-
детально описанный в его книге A973). Этот метод заключается
в использовании, наряду с B.29), ряда других интеграль-
интегральных соо-твдщении, которые должны выполняться в со-

§ 1] ПОНЯТИЕ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ?1
стоянии равновесия. Такие соотношения, получаются пу-
путчем нахождения последовательных моментов уравнений
движения.
Пусть распределение плотности в среде определяется
функцией р (?»). Скалярный момент инерции относительно
начала координат
$ p(r)\r\2dr B.35)
(to
представляет собой след тензора инерции 1г$:
1ц= \ pxwdr. B.36)
(V)
Аналогично вводится тензор кинетической энергии
W» = 4~ \ 9ViVj dr, B.37)
следом которого является кинетическая энергия системы:
W==~t\ P\v\*dr.
(V)
В вириальном методе используется тензорный потен-
потенциал, определяемый формулой
ЧЧ,(г) =~G[p (г') Ъ-^-"** dr'. B.38)
(.V)
След (рц (г) — это обычный потенциал <pg (r), находимый
по формуле B.18). Тензор потенциальной энергии
B.39)
(V)
имеет в качестве следа потенциальную энергию Ф.
Моменты второго порядка от уравнений движения, за-
записанных без учета вязкости и магнитных сил,
M-1.2,3), B.40)

72 ГАЗОДИНАМИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ [Гл. Ъ
при условии равенства нулю давления на границе облас-
области V дают следующие тензорные соотношения:
~ГТ = №ц + Фи + VI, B.41)
где
J B,42)
Теорема о вириале B.27) непосредственно следует из
B.41). Для стационарного состояния получается шесть
интегральных соотношений:
— б^П. B.43)
Аналогичным образом находятся моменты третьего по-
порядка от B.40), дающие соотношения между тензорами
третьего ранга 1цъ W^ и др.
Вириальные соотношения записываются также и для
равномерно вращающихся систем и этим определяется
значение вириального метода для исследования устойчи-
устойчивости вращающихся конфигураций. Так, в этом случав)
при угловой скорости Йвр, вместо B.41) можно найти
следующие интегральные соотношения:
+ 2eilmQBVm I pvprfr - 0. 'B.44)
(У)
Если относительные движения во вращающейся системе
координат отсутствуют, то при выборе оси xs вдоль век-
вектора fiBp соотношение B.44) принимает вид
Ф{1 + Qlv (/<, - 6u/8i) = - б^П. B.45)
Следствия из B.45) и вириальных соотношений третье-
третьего порядка, используемые при исследовании устойчиво-
устойчивости вращающихся конфигураций, приведены в упомя-
той книге Чандрасекхара. Там же даны их применения
к исследованию устойчивости фигур равновесия вращаю-
вращающейся несжимаемой жидкости.
Когда система, находящаяся в равновесии, испытывает
некоторое лагранжево возмущение |, то вириальные со-
соотношения B.43), B.44) варьируются. Если % имеет вид

? 23 УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСНЫХ КОНФИГУРАЦИЙ 73
B.22) и является достаточно малым, то вариации этих
и других вириальных соотношений дают систему линей-
линейных уравнений но отношению к неизвестным Х& Из ус-
условия разрепшмости этих уравнений определяется значе-
значение а, являющееся приближенной величиной собствен-
собственной частоты колебаний системы (наилучшим приближе-
приближением). Таким образом, для,пробных функций вида B.22)
вариационный и вириальный методы приводят к идентич-
идентичным результатам и, следовательно, являются эквивалент-
эквивалентными. Однако, поскольку в вириальном методе ограничи-
ограничиваются конечным числом моментов уравнения движения,
юн применим только для конечного числа обертонов (сфе-
(сферически-гармоничного возмущения), тогда как использо-
использование соотношения B.20) позволяет изучить все моды
сферически-симметричных конфигураций. Если же кон-
конфигурация значительно отклоняется от сферической сим-
симметрии, то необходимо при исследовании устойчивости
ее состояния употребить вириальный метод. Естественно,
для его применения следует знать распределение плотно-
плотности и давления в равновесной конфигурации.
Применению вириального и других методов к исследо-
исследованиям газовых конфигураций посвящен следующий па-
параграф.
§ 2. Устойчивость равновесных
газовых конфигураций
Рассмотрим вначале простейший случай, когда устой-
устойчивость сферической конфигурации исследуется в пред-
предположении адиаб*атичности и гомологичности изменений
ее состояния. Гомологичность означает, что простран-
пространственные распределения параметров газа остаются подоб^
ными самим себе. Решение такой задачи, впервые изучав^
шейся Лейном в 1870 г.,подробно описано в книге Д. А,
Франк-Каменецкого A959) и здесь можно ограничиться
лишь кратким изложением результатов.
В данном случае удобно пользоваться методом малых
возмущений и использовать уравнение B.14). Так как
сферической симметрии

74 ГАЗОДИНАМИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ [Гл. 2
г
где 3Rr = \4jtr2pdr — масса, заключенная в сфере радиу-
о
са г, то уравнение B.14) записывается в виде
Вместо r (t) вводится координата r/R = r\ (R — пе-
переменный радиус звезды), которая в силу предполагае-
предполагаемой гомологичности изменений остается для данного эле-
элемента постоянной. Поскольку все пространственные поля
остаются себе подобными, то выражения для давления
и плотности могут быть представлены в такой форме:
р(Щ) = рс (*) A ft), B.48)
р(г,*)=Рс(*)/«(т|). B.49)
где рс (t) и рс (t) — значения соответствующих величин
в центре звезды. Характер движения зависит от условий
в одной точке (она не обязательно должна совпадать с
центром конфигурации) и поэтому такую модель можно
назвать «сосредоточенной». Из B.47) при учете B.48")
получается обыкновенное дифференциальное уравнение:
где Xi и Й — функции т|.
Для нахождения связи рс с R можно использовать со-
соотношения A.13) — A.14), которые дают:
B.51)
Если выполняется условие
f- = 0, B.52)
то конфигурацию называют находящейся в состоянии теп-
теплового равновесия. При выполнении B.52) и условия
|? 0 B.53)
считают, что данная система находится в состоянии пол-
полного термодинамического равновесия. Когда при выдод-

§ 2] УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСНЫХ КОНФИГУРАЦИЙ 75
нении B.53) условие B.52) не выполняется, то говорят, что
конфигурация находится в состоянии механического рав-
равновесия. Известным положением астрофизики (см., на-,
пример, В. В. Соболев A975)) является то, что время ус-
установления механического равновесия звезды гораздо
меньше, чем время установления теплового равновесия,
определяемое продолжительностью диффузии излучения
из недр звезды. Поэтому отклонения от механического
равновесия целесообразно изучать независимо от наличия
теплового равновесия, т. е. использовать B.50) при по-
постоянном значении энтропии.
Устойчивость механического равновесия в предполо-
предположении о гомологичности изменений определяется ре-
решением уравнения B.50). Вводя вместо R переменную
у = R/Ro, где Ro — радиус равновесной конфигурации,
записываем B.50) в виде
dt? ""
где
71 П V. 71„ П ifif
B.55)
а индексом нуль отмечены величины, соответствующие со-
состоянию равновесия. При учете уравнения неразрывности
и условия B.52) получаем
B.56)
Считая отклонения от механического равновесия малым,
т. е. полагая
.У = 1 + 6 B.57)
и пренебрегая величинами порядка выше первого, по от-
отношению к ?, находим
-g. = _aSCV-4H. B.58)
Из B.58) следует, что при у >4/3 состояние газовой кон-
конфигурации является колебательно-неустойчивым. Буду-
Будучи выведенной из состояния равновесия, система соверша-
совершает гармонические колебания относительно этого состояния

?6 ГАЗОДИНАМИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ 1Гл. 2
с частотой, равной
0 = а0 /3? — 4v B.59)
Если у <; 4/3, то величина ? содержит слагаемое вида аеы,
где Ъ вещественно и положительно. В этом случае состоя-
состояние неустойчивое и конфигурация распадается за время
порядка Oq1*
К аналогичным выводам об устойчивости сферической
конфигурации приводит и теорема о вириале. При отсут-
отсутствии макроскопических движений получаем из B.33),
полагая d4/dt2 = 0 и учитывая B.32),
Из B.60) видно, что если PFM< [Ф|, то Е <. 0 лишь
при у J> 4/3. Когда у <. 4/3, i? ]> 0 и необходимое условие
устойчивости системы не выполняется. Присутствие до-
достаточно сильного (WM ^> | Ф |) магнитного поля делает кон-
конфигурацию неустойчивой и при у ^> 4/3. Физически это
обусловлено давлением магнитного поля, способствующим
расширению конфигурации.
Оценим напряженность поля, при которой оно решаю-
решающим образом влияет на устойчивость. Примем, что конфи-
конфигурация является политропой индекса тг. Тогда, учиты-
учитывая известное выражение Ф для политропного шара,
где ЗЛ и i?—масса и радиус шара соответственно, нахо-
находим, что магнитная энергия превышает потенциальную,
если среднее (по всей конфигурации) значение напряжен-
напряженности Н удовлетворяет неравенству
08-§- B.62)
(i? и SR в солнечных единицах, Н — в гауссах).
В случае, например, красного гиганта критическое
вначение Н составляет около 102 гс, а для белого карлика
превышает 1011 ее.
Необходимое условие устойчивости сферической кон-
конфигурации получено при помощи теоремы о вириале гораз-
гораздо более простым путем, чем методом малых возмущений,

§ 21 УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСНЫХ КОНФИГУРАЦИЙ ffi
и без ограничивающего предположения о гомологичности
изменений. Это демонстрирует преимущества вириального
метода. Однако, в столь простой форме он дает только кри-
критерий устойчивости и не позволяет получить частоты ко-
колебаний. Поэтому для невращающихся или медленно
вращающихся конфигураций широко используется метод
малых возмущений. Если же форма конфигурации силь-
сильно отклоняется от сферической, применение метода ма-
лых возмущений сопряжено с очень большими математи-
математическими трудностями.
Дальнейшие исследования устойчивости газовых ша-
шаров имели целью учесть влияние различных факторов,
например, переменности у, неадиабатичности (освобожде-
(освобождения энергии в звезде), присутствия излучения, вращения,
магнитного поля и др. Влияние вращения на устойчивость
сферических конфигураций рассматривалось, в частно-
частности, А. Б. Северным A945). В обстоятельной работе
А. Б. Северного A948) методом малых возмущений изучено
влияние изменений эффективного показателя адиабаты
внутри звезды на ее устойчивость. Построена диаграмма
устойчивости шара на плоскости (рт, Щ (рт — средняя
плотность) и показано, что неустойчивость растет с уве-
увеличением массы. Помимо этого, в указанной работе рас-
рассмотрена устойчивость газовых шаров в отношении нера-
нерадиальных колебаний при сферически-гармонических воз-
возмущениях и обнаружено, что они колебательно-неустой-
колебательно-неустойчивы для возмущений с I =• 1 (I — порядок гармоники),
причем медленное вращение приводит к возрастанию не-
неустойчивости. К аналогичному выводу позже пришел
Чандрасекхар A964), использовав обобщенный вариа-
вариационный принцип.
Как полученные А. Б. Северным, так и последующие
результаты исследований влияния переменности у и неа-
диабатичности на устойчивость сферических газовых кон-
конфигураций изложены в статье Леду A958). Кратко они
сводятся к следующему. Если зависимость энерговыде-
энерговыделения от плотности и температуры имеет вид
B.63)
а коэффициент поглощения выражается формулой
н = щртГп, B.64)

?8 ГАЗОДИНАМИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ttfji. 2
то при у ^> 4/3 условие вековой устойчивости заключается
в выполнении неравенства
3^ + v > п — Зт B.65)
в каждой точке конфигурации. Записанное для всей кон-
конфигурации условие устойчивости имеет форму
rc — Зиь)д, B.65')
где усреднение в левой части производится по внутренней
области (именно там выделяется энергия), а (п — Зиг)д —
значение, соответствующее поверхностным областям. Так
как для термоядерных реакций v обычно велико, то не-
неравенства B.65) и B.65') должны выполняться в реаль-
реальных звездах.
Время затухания возмущений вследствие неадиаба-
тичности, связанной с диссипацией энергии (расходом на
излучение), определяется формулой
j (Зу — 4) cvT dm
где L (R) — светимость, а интегрирование производится
по всей звезде. В B.66) не учтено влияние переменности
химического состава внутри звезды.
Влияние непостоянства у на частоту фундаментальной
моды колебаний а0 может быть определено при помощи
формулы
(У)
Здесь 8р0 — лагранжева вариация давления, соответствую-
соответствующая возмущению ?0 и связанная с вариацией плотности
соотношением
^о Y Ро
При |0 ^> 0 имеем — (бр0) > 0.

§ 2] УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСНЫХ КОНФИГУРАЦИЙ 79
Вопрос о том, как сказывается магнитное поле на ус-
устойчивости статической конфигурации, ^ был рассмотрен
Волтьером A958). Применив вариационный принцип
B.10), он получил в качестве одного из условий равнове-
равновесия (в предположении несжимаемости), при магнитной
энергии, превосходящей тепловую, равенство, которому
должно удовлетворять поле:
[VH] = aiT, B.68)
где а — постоянная величина. Такое поле называют бес-
бессиловым, так как при движении в нем заряженной части-
частицы лоренцова сила равна нулю. Исследование С. А. Кап-
ланом A959) свойств бессиловых полей показало, что
вероятность встретить их мала. Этот вывод подтвержден
Вентзелом A960), доказавшим, что бессиловые поля яв-
являются неустойчивыми. До настоящего времени нет убе-
убедительных данных о присутствии бессиловых полей в ре-
реальных космических объектах.
Устойчивость газового политропного шара при одно-
одновременном присутствии полоидального и тороидального
полей рассматривались Треханом и Уберои A972) при
посредстве обобщенного вариационного принципа. Они
подтвердили известный уже ранее (см., например, Леду
A958)) общий вывод об уменьшении частоты радиальных
колебаний в присутствии магнитного поля. Физически
это . связано с действием магнитного давления, которое
уменьшает эффективную силу тяготения и, следователь-
следовательно, приводит к возрастанию периода колебаний.
Применив вариационный принцип, Вентзел A960)
нашел, что самогравитирующие конфигурации могут силь-
сильно деформироваться полоидальными полями, а тороидаль-
тороидальные поля уменьшают деформацию. Вращение, также де-
деформирующее конфигурацию, при малых напряженностях
поля действует независимо от него.
В тех случаях, когда вращение или магнитное поле
заметно сказываются на равновесном состоянии, прежде
чем исследовать устойчивость конфигураций, необходимо
предварительно найти структуру равновесной конфигу-
конфигурации при учете указанных факторов. Ю. В. Вандакуро-
вым A968) была получена система уравнений, определяю-
определяющих равновесие вращающегося газового шара при наличцр

80 ГАЗОДИНАМИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ [Гл. 2
сильного магнитного поля, энергия которого сравнима
с кинетической энергией вращения. За малый параметр %
принято отношение центробежной силы на экваторе к силе
тяготения. Определены с точностью до величины порядка
% отклонения от равновесного распределения давления и
потенциала, обусловленные вращением и магнитным по-
полем. Найдены также, с той же точностью, выражения для
изменения энтропии и энергии конфигурации. Как в этой,
так и в других работах о равновесии вращающихся кон-
конфигураций (Роксбург, Штриттматтер A966)), не учитыва-
учитывалась меридиональная циркуляция, возникающая при
вращении.
Очень важным для теории звездной эволюции и проб-
проблемы происхождения тесных двойных систем является ис-
исследование устойчивости быстро вращающихся конфигу-
конфигураций. Когда центробежное ускорение на экваторе wdKB
сравнимо с ускорением тяготения ъитят, фигура равновесия
сильно отличается от сферической. Определяющим пара-
параметром для таких конфигураций является отношение
Р. Оно должно быть меньшим единицы, т. е.
B.69)
так как в противном случае возникает ротационная не-
неустойчивость, заключающаяся в истечении вещества в эк-
экваториальной плоскости.
Более простой является проблема структуры и устой-
устойчивости вращающихся конфигураций несжимаемой жид-
жидкости. История этой проблемы и ее современное состоя-
состояние весьма полно освещены в книгах Джинса A929),
В. А. Крата A950), Чандрасекхара A973) и других.
Вкратце они сводятся к следующему. Незначительная при
медленном вращении сплюснутость увеличивается с
возрастанием параметра %:
и сферическая вначале фигура равновесия деформируется
в сфероид. При значениях х < 0,225 возможны как малые,
так и большие значения эксцентриситета. При % ж 0,187
от ^тор последовательности фигур, называемых сфероида-

§ 2J УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСНЫХ КОНФИГУРАЦИЙ 81
ми Маклорена, ответвляется последовательность трехос-
трехосных эллипсоидов Якоби. Как было обнаружено Пуанка-
Пуанкаре, на последовательности эллипсоидов Якоби существует
точка бифуркации, в которой они нейтральны по отноше-
отношению к смещению, соответствующему третьей зональной гар-
гармонике. В ней ответвляется последовательность груше-
грушевидных фигур равновесия (рис. 6). Этот факт лег в основу
Рис. 6. Сечение грушевидной фигуры равновесия.
гипотезы о происхождении двойных звезд путем превра-
превращения быстро вращающегося тела в грушевидную конфи-
конфигурацию и последующего распада ее на два отдельных те-
тела (Дарвин A906)). Впоследствии Ляпуновым было до-
доказано, что грушевидные фигуры равновесия неустойчивы
и поэтому указанная гипотеза потеряла привлекательность
для большинства астрофизиков. Однако при этом упуска-
упускалась из вида возможность катастрофического деления
быстро вращающегося тела, о которой говорил еще Джине
A929).
В шестидесятых годах было установлено, что вращение
реальных звездных конфигураций может быть неоднород-
неоднородным (угловая скоррсть растет с приближением к центру),
а также, что в процессе своей эволюции звезда сжимает-
сжимается и, следовательно, ее угловая скорость возрастает.
Учитывая последнее обстоятельство, Роксбург A966а)
выдвинул гипотезу об образовании тесных двойных систем
типа W UMa путем деления протозвезды, в процессе сжа-
сжатия увеличивающей угловую скорость. С другой стороны,
В. Г. Горбацкий A9756) предположил, что системы ука-
указанного типа образуются в результате ротационной не^
устойчивости ядра проэволюционировавшей звезды (на
стадии красного гиганта). Возможность такого процесса
подтверждается многими наблюдательными данными, но

82 ГАЗОДИНАМИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ [Гл. 2
точнее исследование процесса деления и образования двой-
двойной системы пока провести не удается. Об этой проблеме
еще будет сказано в гл. 6.
Как уже отмечалось выше, при изучении устойчивости
быстро вращающейся конфигурации должна быть извест-
известна ее структура. В частности, необходимо знать распре-
распределение угловой скорости. Расчет моделей неоднородно
вращающихся звезд и других конфигураций, например,
газовых дисков, связан с большими трудностями, в зна-
значительной мере обусловленными недостаточным знанием
механизмов обмена вращательным моментом между раз-
различными областями конфигурации. Современное состоя-
состояние этого вопроса описано в статье Фрике и Киппенхана
A972) и он подробно обсуждается в гл. 6. В настоящее вре-
время расчеты структуры неоднородно вращающейся сжимае-
сжимаемой конфигурации имеются лишь для моделей, соответ-
соответствующих белым карликам. Устойчивость этих моделей
изучалась Тессулом и Острайкером A968, 1969) вириаль-
ным методом. Об этих работах скажем здесь подробнее.
Ранее было найдено, что однородно вращающиеся по-
литропные шары со значительным уплотнением к центру
(показатель политропы п > 0,8) динамически устойчивы,
пока отношение кинетической энергии вращения W к по-
W
тенциальной
При пробной функции, взятой в виде B.22), где Хц —
девять постоянных, для однородных и однородно вращаю-
вращающихся конфигураций вириальные уравнения второго' по-
порядка дают точное значение собственной частоты колеба-
колебаний. Можно полагать, что для сжимаемой конфигурации
с центральной конденсацией получаемая таким путем ве-
величина а будет близкой к точному значению.
Угловая скорость fiBP предполагается зависящей толь-
только от расстояния до оси вращения, так как было показано
(Голдрейч, Шуберт A967)), что это является необходимым
условием устойчивости относительно локальных возму-
возмущений в звезде без магнитного поля. Принимая направ-
направление оси Ох3 совпадающим с Йвр, имеем
vi (r) = Qtfcu B-71)
/о -1 о\
00. B.72)
\о о о/

§ 21 устойчивость равйовесйых Конфигураций 83
Из вириального уравнения B.45) при указанном вы-
выборе пробной функции | (г, t) получается система:
§ 2ioXik §
(v) (v)
+ Xik \ pQ%xkxk dr
(v)
= - XksWsk; у + буХ^Р, B.73)
где
J ^dr, B.74)
(v) fr
|Ь- S (T-l)pdr. B.75)
(v)
Условие разрешимости системы B.73) дает характе-
характеристическое уравнение, из которого находится частота а.
Для быстро вращающегося белого карлика
B.76)
J12
где
J
<Овр> = (v) 9 B.77)
(V)
и <й1р> — таким же способом усредненное значение квад-
квадрата угловой скорости.
При отсутствии вращения из B.76) получаются моды
колебаний
а* = *-АШ., B.78)
соответствующие гармоникам второго порядка (I = 2,
т = ± 2) и называемые кельвиновскими по аналогии с
модами, найденными Кельвином для нерадиальных коле-
колебаний несжимаемой сферы.
Когда
<°'-р>--Т5Г-'. B-79)

84 Газодинамическая устойчивость [Гл. 2
то а = 0. Существование нейтральной моды в случае од-
однородно-вращающейся несжимаемой жидкости дри Q? =
= - ™*ы указывает на возможность ответвления в этой
точке от последовательности эллипсоидов Маклорена по-
последовательности эллипсоидов Якоби (Чандрасекхар
A973)). По-видимому, такая возможность имеется и в слу-
случае сжимаемых конфигураций. При достаточно большой
кинетической энергии вращения осесиммет-
ричные сжимаемые конфигурации становятся нейтрально
устойчивыми относительно не осесимметричных возмуще-
возмущений, что соответствует точке ответвления трехосных кон-
конфигураций.
Если
<&!р>> f12;12 +4-<Q"p>2» B-80)
то для одного из значений а будет Im а>0и конфигура-
конфигурация колебательно-неустойчива. Вычисления показали, что
^12; 12 > 0 и поэтому такая неустойчивость наступает лишь
при достаточно большой величине <йвР>, соответствующей
значению отношения г-^-г да 0,26. Периоды колебаний сос-
составляют 10—15 сек.
Как известно, масса очень быстро вращающегося бе-
белого карлика может быть больше чандрасекхаровского
предела. Для всех моделей белых карликов с большими
массами отношение т-^-. <[0,26 и они должны быть колеба-
колебательно-устойчивыми. Что же касается моделей однородно-
вращающихся белых карликов, то для них отношение
И7|Ф| очень мало и поэтому они тоже колебательно-ус-
колебательно-устойчивы.
Указанные критические значения отношения W/\ Ф |
оказываются не очень чувствительными к изменениям по-
показателя политропы п.
Устойчивость быстро и однородно-вращающегося белого
карлика с учетом поправок за счет ОТО рассматривалась
В. С. Имшенником и 3. Ф. Сеидовым A970). Они обнару-
обнаружили, что при скорости вращения, близкой к предельной,
период колебаний уменьшается почти втрое (с 1,8 сек до
0,5 сек).

§ 21 УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСНЫХ КОНФИГУРАЦИЙ 85
Одним из существенных обстоятельств, влияющих на
устойчивость однородного вращения звезды, является
неоднородность химического состава в ней. Ю. В. Ванда-
куров A972) нашел необходимое условие устойчивости
однородного вращения, заключающееся в совпадении
поверхностей постоянного молекулярного веса с изоба-
изобарическими или изотермическими поверхностями.
В реальных звездных моделях с быстрым вращением
меридиональная циркуляция и вязкость должны приво-
приводить к перераспределению углового момента внутри звез-
звезды. Вследствие такого перераспределения у достаточно
быстро вращающихся конфигураций возможно образова-
образование дискообразной структуры. Изучение устойчивости
газовых дисков является весьма актуальной задачей
также в связи с изучением структуры Галактики. Так как
возникающая в диске неустойчивость тесно связана с са-
самогравитацией, то о ней уместнее говорить в следующем
параграфе.
Рукав галактики часто моделируется цилиндрической
газовой конфигурацией. Подобная же модель использу-
используется при изучении газовых колец. В связи с этим понадо-
понадобилось исследовать устойчивость газовых цилиндров.
Необходимое условие устойчивости получается путем
применения теоремы о вириале, которая для бесконечного
цилиндра записывается, согласно Чандрасекхару и Ферми
A953), в виде
4- -g- = 2И^макр + 3 (у - 1) WmKp + 2WM - GM\ B.81)
где I is. M — момент инерции и масса соответственно, рас-
рассчитанные на единицу длины цилиндра,
м
/= jj г2dm, B.82)
о
а г — расстояние точки от оси цилиндра.
Величина И^макр — энергия радиальных движений —
определяется формулой
м
7 " Ч° 1т. B.83)

86 ГАЗОДИНАМИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ №л. ±
Так как И^акр >0и РГМикр > 0, то условие устойчивости
имеет вид
/Ж<2л/ё"Лр, B.84)
где Rj— радиус цилиндра, р — плотность газа в нем,
и У"кГг — среднеквадратичное по цилиндру значение на-
напряженности поля. Магнитное поле препятствует сжатию
цилиндра. Применяя неравенство B.84) к галактическому
рукаву, следует учитывать тяготение находящихся в нем
звезд и поэтому заменять величину р на ]/^ppi, где рх —
полная плотность вещества в рукаве. Численные оценки
показали, что поля напряженностью в несколько микро-
микрогаусс эффективно препятствуют сжатию рукава под дей-
действием самогравитации. Существуют и другие точки зре-
зрения на причины наблюдаемой устойчивости рукавов (см.
Паркер A972b)). В частности, на состоянии рукава долж-
должны существенно сказываться его неоднородность, хаоти-
хаотические движения газовых масс и давление космических
лучей.
Цилиндрическая конфигурация, устойчивая по отно.-
шению к радиальным возмущениям, может стать неустой-
неустойчивой при возмущениях формы ее поверхности. Под дей-
действием самогравитации вначале однородный цилиндр
должен распадаться на части. Размеры частей и время
распада зависят от напряженности поля и плотности.
Краткое изложение состояния проблемы устойчивости
цилиндрических конфигураций показывает, что 'она еще
далека от решения. Эффекты сжимаемости могут прояв-
проявляться в неожиданной форме. Так, Острайкер A964) об-
обнаружил, что у газового цилиндра наряду с колебатель-
колебательными существуют моды, соответствующие конвективной
неустойчивости.
§ 3. Гравитационная неустойчивость
Рассматривая неустойчивость газовых конфигураций,
приходилось учитывать влияние гравитационного поля,
т. е. говорить, по существу, о гравитационной неустой-
неустойчивости. Здесь этот термин употребляется в более узком
смысле, а именно, он подразумевает неустойчивость диф-
диффузной массы газа (более или менее однородной), которая

§ 3] ГРАВИТАЦИОННАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ 87
под действием собственного поля тяготения может распа-
распадаться на отдельные конденсации. Задача об устойчивости
относительно малых возмущений равновесия самограви-
тирующей бесконечной покоящейся газовой среды была
решена Джинсом A929) в предположении однородности
газа и без учета других полей и диссипативных эффектов *).
Путем линеаризации уравнений движения, неразрывности
и Пуассона получается следующая система относительно
малых возмущений v\ p' и ф;
Ро -%- + c2Vp' + РоУф^ = 0, B.85)
4f + Po(^') = O, B.86)
- 4яСр' = 0. B.87)
В B.85) использовано соотношение, связывающее возму-
возмущения р' и р', верное не только в предположении об адиа-
батичности, но и в более общем случае:
р' = с2р'. B.88)
Величина р0 в B:85) и B.86) означает плотность невоз-
невозмущенного газа.
Задавая возмущение в простейшей форме плоской
волны
v\ p', q>?~ **<**¦«'>, B.89)
имеем из B.85) — B.87):
— iop0v' + сЧкр' + Poikipg = 0,
— iap' + poikv' = 0, B.90)
_ lc*y'g — 4яСр/ = 0.
Характеристическое уравнение, находимое из условия,
что систем \ ' ^
имеет вид
у
что система разрешима относительно амплитуд v\ p',
а2 = к2с2 — 4яСро, B.91)
*) Принимаемое начальное состояние самогравитирующей среды
(v = 0, р = const) не соответствует никакому решению системы
газодинамических уравнений и поэтому такая постановка задачи
не является корректной. Тем не менее получаемый результат дос-
достаточно хорошо описывает условия, при которых в среде возникает
неустойчивости,

88 ГАЗОДИНАМИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ [Гл. 2
Из B.91) находится фазовая скорость возмущения:
B-92)
Когда 4nGp0 <^к2с2, то фазовая скорость распространения
возмущения близка к с и групповая скорость почти рав-
равна фазовой. С возрастанием отношения AnGpJk2 скорость
распространения возмущения уменьшается. Это объясня-
объясняется замедлением передающих возмущение частиц под дей-
действием тяготения. Влияние гравитационного поля тем
сильнее, чем больше длина волны возмущения Я. При
значении Я, приближающемуся к А
фазовая скорость стремится к нулю, а групповая — бес-
бесконечно возрастает. Если же тяготение настолько велико,
что 4я6?р0 ^> к2с2, то а2 < 0 и одно из значений а обладает
положительной мнимой частью. В таком случае среда
оказывается неустойчивой. Возбуждаемые в газе колеба-
колебания быстро затухают и он распадается на сгустки с разме-
размерами порядка Якрит-
Критерий Джинса заключается в неравенстве
B.94)
определяющем длины волн таких возмущений, по отно-
отношению к которым среда неустойчива. Если X < ЯкрИт,
соответствующее возмущение должно распространяться,
не приводя к заметным изменениям плотности.
Малое возмущение произвольного вида можно предста-
представить интегралом Фурье и, таким образом, свести задачу
о его влиянии на среду к изучению действия возмущений
вида B.89). Следовательно, критерий B.94) не зависит от
формы возмущения.
Критерий Джинса, примененный к межзвездной среде,
в которой р0 ж 10~24 г-см~3 и с « 105 см/сек, показывает,
что она неустойчива относительно возмущений с очень
большой длиной волны X > 1021 см, и сгустки, на которые
среда распадается вследствие неустойчивости, должные
иметь массу порядка 1038—1039 г.

§ Ъ) ^ГРАВИТАЦИОННАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ 39
Важная роль гравитационной неустойчивости для
космогонии стимулировала ряд работ, в которых изуча-
изучалось влияние на критерий Джинса различных факторов.
Так, Чандрасекхар A961) нашел, что при твердотельном
вращении среды величина ЯКрит остается той же самой,
кроме случая, когда возмущение перпендикулярно к век-
вектору угловой скорости. йВр- В этом случае вместо B.94)
получается
-—. B.95)
Силы Кориолиса оказывают стабилизирующее действие,
уменьшая инкремент. При дифференциальном вращении
критическая длина волны ЯкрИт зависит от конкретного
характера движения и формы возмущения. При учете вяз-
вязкости и теплопроводности, критерий неустойчивости одно-
однородной среды получается в том же виде B.94), но в этой
формуле под с следует понимать изотермическую скорость
звука.
Замена бесконечной среды плоскопараллельным слоем
приводит к следующему видоизменению критерия Джинса
для возмущений, распространяющихся вдоль слоя:
В связи с тем, что в межзвездной среде имеется магнит-
магнитное поле, во многих работах изучалось влияние поля на фор-
форму критерия гравитационной неустойчивости. Соответствую-
Соответствующая литература приводится в статье А. Г. Пахольчика
A962) и в книге С. Б. Пикельнера A967). В случае бес-
бесконечной среды, находящейся в однородном поле, для
возмущений, не перпендикулярных к полю, вид критерия
B.94) не меняется. Если же возмущение перпендикуляр-
перпендикулярно к полю, то вместо B.94) получается следующее неравен-
неравенство:
B.96)
где а — альвеновская скорость. При конечной проводи-
проводимости среды критерий B.94) остается верным для возму-
возмущений любого вида.

90 Газодинамическая устойчивость Lfri. 2
При определенных условиях магнитное поле увеличи-
увеличивает устойчивость однородной среды. Это имеет место,
з частности, для дифференциально вращающихся систем
с тороидальным полем (А. Г. Пахольчик A962)).
Так как предположения, при которых выведен крите-
критерий Джинса, об однородности и бесконечности среды,
а также о малости возмущений, плохо соответствуют реаль-
реальным ситуациям, представляющим интерес для космого-
космогонии, рядом авторов исследовалась гравитационная неус-
неустойчивость при отказе от указанных предположений. Было
рассмотрено также влияние на устойчивость межзвезд-
межзвездного газа неоднородности, обусловленной присутствием
звезд (Бертотти и Кавальери A969)).
В связи с проблемой образования звезд много внима-
внимания уделялось изучению устойчивости среды, занимаю-
занимающей сферический объем (Хантер A964), Хоредт A970)).
Газ под действием тяготения должен спадаться к центру
сферы (коллапсировать). Его способность противостоять
коллапсу и находиться в равновесии зависит от скорости
теплоотдачи. Если излучение энергии, освобождающейся
при сжатии газа, происходит достаточно быстро, то тял
готение преодолевает силу, обусловленную градиентом
давления, и газ продолжает сжиматься. При этом, как
показывают вычисления, возможна фрагментация газа
и образование конденсаций в результате гравитационной
неустойчивости. Физической причиной неустойчивости
является, по-видимому, ускорение освобождения грави-
гравитационной энергии при образовании конденсаций. Кри-
Критерий неустойчивости B.94) в этом случае видоизменяется.
Он обобщен также для случая среды, занимающей сфери-
сферический объем и при этом расширяющейся и вращающейся
(Бёрд A969)).
Приближенное решение задачи о гравитационной не-
неустойчивости под действием конечных возмущений рас-
расширяющегося газа в пренебрежении давлением
(Я. Б. Зельдович A970)) привело к интересному выводу.
Оказалось, что возникающие в результате неустойчивости
конденсации имеют форму дисков. На эволюции каждого
диска сильно сказывается образующаяся при гравита-
гравитационном сжатии ударная волна.
Другой, более традиционный подход к задаче о грави-
гравитационной неустойчивости по отношению к конечным воз-

I 3] ГРАВИТАЦИОННАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ 91
мущениям использован в работах Ж. Тессул и Пелье
A972) и Ж. Тессул и М. Тессул A972). Ими рассмотрена
одномерная бесконечная однородная среда с начальной
плотностью р0. Уравнения неразрывности и движения за-
записываются в лагранжевой форме:
дх 1 дР дх 9 qR
где а — начальная координата данной точки и х (a, t) —
ее эйлерова координата. Флуктуация плотности р — р0
связана с ускорением тяготения g уравнением Пуассона,
которое в данном случае предстарляется в виде
^-в-_4яе(р_рв)^_. B.99)
В предположении адиабатичности движения из B.97) и
B.98) получается уравнение
¦S—4?[-И-?-П+». <2100>
где с0 = [у —- — скорость звука в невозмущенном газе.
\ Ро /
Дифференцирование B.100) при учете B.99) дает следую-
следующее уравнение, записанное в безразмерных переменных:
¦5—-
где
Уравнение B.101) решалось при следующих начальных
условиях:
т = 0, и = 1, ~ = е sin fcz, BЛ03)
содержащих параметры г я к.

92 ГАЗОДИНАМИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ 1!Гл. 2
Решение линеаризованного уравнения (при е<^1 и
1) имеет вид
и F, t) = 1 + -±- sin 2я?. sin orot, B.104)
где Оо = fe2 — 1. Если 8 очень мало и & ^> 1, то длина
волны возмущения меньше значения Якрит, определяемого
по B.94), и возмущения со временем не растут. Численное
решение B.101) при не очень малом 8 (^0,2), к = 2 и
у = б/3 показало, что возмущения не являются строго
периодическими в пространстве и нелинейные эффекты
растут со временем. Приближенно характер нелинейности
выяснен путем исследования аналитического решения
уравнения B.101), полученного разложением по парамет-
параметру 8 с точностью до членов второго порядка малости вклю-
включительно. Оно продемонстрировало, что существование
устойчивых решений возможно только, если к удовлет-
удовлетворяет условию
к > 1 + -|L (у + 1) (у + 2). B.105).
Когда у <С 2, нелинейность приводит к небольшому уве-
увеличению критической длины волны, за которой нет устой-
устойчивых движений. Этот эффект пренебрежимо мал при | е | ^
^ 0, 1.
Если &^С1, нелинейность очень существенно ска-
сказывается на движении, происходит раскачка колебаний,
причем тем сильнее, чем больше 8.
Из приведенного решения нелинейной задачи выте-
вытекает, что критерий B.94) применим и в случае конечных
возмущений, так как критическая длина волны ЯКрИт ока-
оказывается близкой к определяемой из соотношения B.91).
Хотя подобное исследование для трехмерного случая
произвести трудно, можно полагать, что благодаря не-
нелинейной связи между пространственными движениями
и для него указанный вывод остается в силе.
Конденсации, возникающие вследствие гравитацион-
гравитационной неустойчивости, называют волнами плотности. Если
среда представляет собой вращающийся газовый диск, то
возникающие в нем волны плотности имеют вид спиралей.
С волнами плотности связывают образование спиральной
структуры у галактик.

§ 4] НЕУСТОЙЧИВОСТЬ РЭЛЕЯ — ТЕЙЛОРА 93
Обзор проблем, возникающих в связи с такими пред-
представлениями о происхождении спиральных ветвей, со-
содержится в статье С. А. Каплана и СБ. Пикельнера
A974).
§ 4. Неустойчивости Рэлея — Тейлора
и Кельвина — Гельмгольца
Конфигурация, состоящая из двух плоскопараллель-
плоскопараллельных слоев жидкости неодинаковой плотности и находя-
находящаяся в поле тяжести, является неустойчивой, когда более
плотная жидкость находится сверху (т. е. ускорение тя-
тяготения направлено от тяжелой к легкой жидкости).
В этом случае говорят о неустойчивости Рэлея — Тейлора
(Р — Т). Как показали недавние исследования, неустой-
неустойчивость этого вида играет важную роль в динамике звезд-
звездных оболочек и межзвездной среды.
Физический смысл неустойчивости Р — Т очень про-
простой. Если в неоднородной жидкости градиент плотности
противоположен направлению силы тяжести, то при сме-
смещении элемента, например, «вниз», он окажется в слоях
с меньшей, чем у него, плотностью, и поэтому будет про-
продолжать движение в ту же сторону. Таким образом, эта
система всегда является неустойчивой. Подобные сообра-
соображения применимы и для сжимаемой жидкости, хотя кри-
критерий неустойчивости в этом случае сложнее.
При синусоидальном возмущении !• плоской границы
между двумя слоями жидкости с плотностью рв («верхняя»)
и рн («нижняя»)
l~e4kx-ot) B.106)
в предположении о том, что по обе стороны от граничной
поверхности движение безвихревое, получается (Лемб
A947)) следующее выражение для а2:
где g — ускорение силы тяжести, считаемое положитель-
положительным. Когда рв > рн, то существует такое <ть что
Im ax ^> 0 и, следовательно, имеет место неустойчивость.
Она возникает всегда при ускорении, направленном
в сторону более легкой жидкости, причем ускорение

94 ГАЗОДИНАМИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ [Гл. 2
не обязательно должно быть гравитационным, а может
иметь и иной характер.
В системе из двух несжимаемых жидкостей при нали-
наличии однородного магнитного поля Н, параллельного по-
поверхности раздела, вместо B.107) получается (Талуор
A959)):
РР к J* т_ B108)
2* Р + Р V '
а = к J
Рн + Рв 2* Рв + Р
Из B.108) следует, что при достаточно большом значении
&, т. е. для возмущений с малой длиной. волны, присут-
присутствие поля делает границу, раздела устойчивой. Ее иск-
искривлению препятствует натяжение магнитных силовых
линий. При к < к%, где
2л(РРн)^ B-109)
поверхность неустойчива. Таким образом, магнитное поле
может препятствовать развитию неустойчивости Р — Т
в случае несжимаемых жидкостей. При учете сжимаемости
результат получается иным.
Устойчивость более сложной системы — слоя сжимае-
сжимаемой жидкости с непрерывно меняющейся плотностью, на-
находящейся в однородном магнитном поле, перпендикуляр-
перпендикулярном к полю тяготения, рассмотрел Паркер A966). При
этом, имея в виду применение результатов к условиям
Галактики, он учитывал также давление космических лу-
лучей Р. Считая направление оси Oz противоположным
направлению g, уравнение равновесия записываем в виде
Решение этого уравнения получено в предположении, что
~ = ар, Р = рр, p = 9vl, B.111)
где аир — некоторые постоянные, a vz — средняя ско-
скорость в направлении оси Oz. При помощи этого решения
находится шкала высот d (расстояние вдоль оси Oz, на
ротором пдотность изменяется в е раз):

§ 43 Неустойчивость рэлея — тёйлора 95
Критерий устойчивости системы относительно малых
возмущений магнитного поля вида
8 А = f (kz)e^x-at\ B.113)
где А — вектор-потенциал, получен обычным способом —
линеаризацией системы и решением находимого для нее
характеристического уравнения. При этом принималось,
что
¦Н-тт-' -ТГ-0- BЛ14)
Последнее равенство записывается потому, что тяготение
не сказывается на газе космических лучей, а скорость их
велика по сравнению со скоростью распространения воз-
возмущений. Величина g считается не зависящей от z. Воз-
Возмущения должны обращаться в нуль у основания слоя и
оставаться конечными при z->oo.
Условие возникновения неустойчивости при указан-
указанных условиях имеет вид
( s^) U*, B.115)
где
#=-]?-, t~Imcf B.116)
аи — тепловая скорость. Условие нейтральной устойчи-
устойчивости получается из B.115), когда полагают U = 0. Если
при этом a = 0, Р = 0 и у > 1, то неравенство B.115)
невозможно и, следовательно, в отсутствие поля и косми-
космических лучей система устойчива. В присутствии достаточ-
достаточно сильного магнитного поля и при наличии космических
лучей система становится неустойчивой. Если у ^ 1, газ
неустойчив сам по себе.
Неустойчивость выражается в скатывании тяжелого
газа вниз вдоль изгибающихся силовых линий поля. Это
приводит к еще большему изгибанию силовых линий.
Вместе с тем, когда газ «стекает», то он облегчает те обла-
области, где силовые линии выпуклы — области под действием

96 Газодинамическая устойчивость [Гл.
магнитного давления расширяются вверх и силовые ли-
линии изгибаются в ту. же сторону (рис. 7). Что касается
космических лучей, то поскольку их давление вдоль си-
силовой линии предполагается неизменным, они способст-
способствуют углублению впадин и усилению выпуклостей.
К аналогичным выводам о неустойчивости Р — Т при-
пришел С. Б. Пикельнер A965), рассматривая равновесие
\Сила
\щятести
Холодный
гпз
Рис. 7. Схематическое представление неустойчивости Рэлея —
Тейлора при наличии магнитного поля.
в галактическом рукаве вблизи нейтральной повехности
поля Галактики.
Неустойчивость Р — Т приводит к накоплению газа
во «впадинах» поля. Когда газ достаточно сожмется, в нем
может развиться гравитационная неустойчивость и про-
происходить конденсация.
Развитие неустойчивости Р—Т при отсутствии поля
происходит путем «отекания» более тяжелой жидкости в
виде языков, вклинивающихся в жидкость, расположен-
расположенную ниже. На поверхности раздела между текущей и
неподвижной жидкостями имеет место тангенциальный
разрыв.
Тангенциальные разрывы скорости встречаются в
астрофизических условиях довольно часто. Вопрос об
устойчивости тангенциальных разрывов в сжимаемой
жидкости рассмотрен сравнительно подробно также и
потому, что впервые в данной книге мы встречаемся с не-
неустойчивостью течения, а не статической конфигурации.
Неустойчивость такого течения носит название неустой-
неустойчивости Кельвина — Гельмгольца (К — Г). Она детально

§ 4] НЕУСТОЙЧИВОСТЬ РЭЛЕЯ — ТЕЙЛОРА 97
описана в книге Чандрасекхара A961)у а обзор более позд-
поздних исследований сделан Джервином A968), изложению
которого мы будем здесь следовать.
Выберем систему координат таким образом, чтобы
поверхность раздела между движущейся и неподвижной
жидкостями совпадала с плоскостью yOz. Газ в области
я^> 0 течет со скоростью v0 в направлении оси Oz, а при
х < 0 — покоится. Невозмущенное значение плотности
обозначим р0 и давления — р0. Вязкость, тяготение и маг-
магнитное поле не учитываются.
Обозначая через v^, p'2y р'2 возмущения соответствую-
соответствующих величин в движущемся газе, записываем линеаризо-
линеаризованные уравнения движения и неразрывности в таком
виде:
^ т? 0. B.118)
Из условия адиабатичности движения
-^-(pp-v)=O B.119)
можно получить уравнение:
где с — скорость звука в невозмущенном газе.
Зададим синусоидальное возмущение | на поверхности
раздела
t^exv{i(kvy + kzz—at)}. B.121)
Тогда для возмущений v'%, pa и р'г имеем соответственно:
iikyy + kzz-ot)}, B.122)
Р; ~ exp {i {kyy + kzz - at)}, B.123)
p't = / (х) ёхр {i (kvy + Kz - at)}. B.124)

98 ГАЗОДИНАМИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ [Гл. 2
При помощи B 117), B.118), B.122) и B.123) из B.120)
получаем
a'* id + C2V2 id = __ G>*v id _ C2V V2 id B 125)
где обозначено
о1 = a - Ay;e. B.126)
Из B.125) следует, что при учете B.124), уравнение,
определяющее / (х):
~ °> *• = *& + Й, B.127)
решение которого имеет вид
_-^-, B.128)
и поэтому
Ръ = А ехр {-?2я + i {kyy + kzz - a*)}. B.129)
Так как возмущение не должно возрастать с удалением
от поверхности раздела, то если д2 вещественно, то оно и
положительно, а если ^ комплексно, то Re q2 > 0.
Полагая в уравнениях B.117), B.118) и B.120) v0 = 0,
аналогичным образом получаем выражения для возмуще-
возмущения давления р[ в неподвижном газе:
pi = В ехр {qxx + i (kyy^+ kzz — at)}, B.130)
где qx = у к2 ^- также положительно или Re qx > 0.
В случае чисто мнимого gr2 или qx возмущение не стре-
стремится к нулю при удалении от поверхности раздела и по-
поэтому соответствующее значение а не согласуется с гра-
граничными условиями.
При х = 0
«** = -5Г " tog. 4с = -^ + Уо -§- = - йгг B.131У
Членом i;0 -^- во втором из этих выражений учитывается
изменение скорости течения, вызванное малым угловым

§ 4] НЕУСТОЙЧИВОСТЬ РЭЛЕЯ — ТЕЙЛОРА 99
отклонением потока, когда он вынужден пересекать соз-
созданную возмущением «рябь» на границе между жидко-
-СТЯМИ.
По уравнению B.117)
и, следовательно, при учете B.131),
Аналогично находим
4?---Ю5. B.134)
При х = 0 р[ = р'2 и поэтому, исключая \ из B.133).
и B.134), находим характеристическое уравнение:
°'2qi + o*q2 = 0. B.135)
Соответствующее уравнение для несжимаемой жидкости
получается отсюда при qx = q2 = 1 (с —>¦ оо):
0'2 + а2 = 0. B.136)
Его решение имеет вид
o = -±-kzvo(l±i), B.137)
показывающий, что тангенциальный разрыв в несжимае-
несжимаемой жидкости всегда неустойчив. В случае газа, как по-
показывает анализ уравнения B.135), разрыв может быть
устойчивым по отношению к возмущениям, составляющим
достаточно малый угол со скоростью z;0.
Введем безразмерную фазовую скорость % и эффек-
эффективное число Маха М соотношениями:
тг-х. тЧг = -гС0^ = м <2Л38>
В этих обозначениях характеристическое уравнение за-
записывается таким образом:
Х2[1 - (% - МJ11/2 = -(х - МJA - х2I'2. B.139)

100 ГАЗОДИНАМИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ [Гл. 2
Исследование уравнения B.139) приводит к выводу, что
при М > Мкрит = 1^8 возможно существование волн,
соответствующих % ~ 1, % ж М — 1 и некоторому про-
промежуточному значению %. При М —>-1^8 + 0 оба корня
приближаются к промежуточному. Когда М < 1^8, ука-
указанные корни превращаются в комплексные сопряженные
и система является неустойчивой по отношению к одной
из мод.
Значение М становится меньше Мкрит, когда угол Ф
достаточно велик. Поэтому относительно возмущений,
у которых волновой вектор составляет достаточно малый
угол со скоростью потока, возможна устойчивость. Од-
Однако, поскольку всегда существуют неустойчивые моды
(соответствующие достаточно большим углам Ф), танген-
тангенциальный разрыв в рассмотренных условиях неустой-
неустойчив и поэтому распадается. Вязкость оказывает стабили-
стабилизирующее действие на разрыв.
Исследование неустойчивости - К — Г при наличии
магнитного поля выполнено Паркером A964) для различ-
различных моделей, представляющих астрофизический интерес.
В случае полубесконечных областей при поле, параллель-
параллельном направлению скорости vQ, Паркером найдено следую-
следующее условие неустойчивости:
где а означает альвеновскую скорость.
При различии в плотностях обеих жидкостей и наличии
поля условия неустойчивости имеют сложный вид. Для
несжимаемых жидкостей, занимающих области — оо <
<<#<0 и>0<#<сх> соответственно, условие неустой-
неустойчивости выглядит таким образом
vl>^-(al + ml), B141)
где а- = ps/pof Ро и Ps — плотность в движущейся и покоя-
покоящейся' жидкости соответственно, а0 и as — соответствую-
соответствующие значения альвеновской скорости
Когда поле ±айр~авлейа параллельно скорости движе-
движения газа и толщина 2d движущегося слоя конечна, то су-
существуют две моДь!, могущие привести к неустойчивости

§ 5] УСТОЙЧИВОСТЬ УДАРНЫХ ВОЛЯ Ю1
Первая из них неустойчива, если
а1ЬЫ.1?о> U + ath/ciVao-Ь aaJthAd), B.142)
и называется «сосисочной» («sausage»), поскольку вслед-
вследствие неустойчивости увеличивается ширина потока при
неизменном положении центральной линии. Вторая мода,
называ~емая «змеевидной» * («serpentine»), неустойчива,
если
acth/cd.z;o>-^-(l + acthkd)(al + aal cthkd). B.143)
Ширина потока в этом случае сохраняется, но он стано-
становится синусоидально искривленным.
Наиболее благоприятные условия для развития не-
устойчивости существуют, когда а ж 1 и-^-^2й. При
v0 ж 10 а все возмущения с длиной, волны, удовлетворяю-
удовлетворяющей указанному неравенству, приводят к неустойчиво-
стям обоих видов. Время роста неустойчивости порядка
времени, за которое пробегается длина волны. Поэтому в
случае широких потоков в солнечной короне действие не-
неустойчивости ограничивается поверхностными слоями
§ 5. Устойчивость ударных волн
В предыдущем параграфе рассматривалась задача об
условиях устойчивости тангенциальных разрывов отно-
относительно малых возмущений. Аналогично можно изучать
устойчивость произвольного разрыва, в частности, пер-
перпендикулярных и наклонных ударных волн. Такие ис-
исследования производились многократно и с их резуль-
результатами можно познакомиться по книгам Л. Д. Ландау
и Е. М. Лифшица A953), С. А. Каплана A958), Э. Ан-
Андерсона A968), по обзору Р. Э. Половина A960) и другим
источникам. Тем не менее, поскольку ударные волны
встречаются в космических объектах очень часто и ряд
важных задач относительно их распространения все еще
не решен, здесь стоит изложить основные представления
об устойчивости ударных волн. Сначала рассмотрим
йолну при отсутствии магнитного поля.
Ударную волну называют устойчивой, если при дос-
достаточно малых возмущениях ее форма не меняется и воз-

102 ГАЗОДИНАМИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ [Гл. 2
мущения течения также остаются малыми. При наруше-
нарушении устойчивости волна может распасться на несколько
устойчивых ударных волн или возникает течение дру-
другого вида.
Пусть возмущение плоской ударной волны возникает
в результате падения на нее звуковой волны заданной
амплитуды. От возмущенного фронта могут расходиться
звуковые волны, причем каждой из них соответствует оп-
определенная амплитуда. Кроме того, возникает возмуще-
возмущение энтропии в волне, уносимое потоком. На фронте удар-
ударной волны должны выполняться законы сохранения пото-
потоков массы, импульса и энергии. Из них можно однозначно
найти амплитуду уходящей волны, если она одна. Эти же
условия определяют возмущение фронта и амплитуду
энтропийной волны. Если скорость ударной волны по
отношению к невозмущенному газу сверхзвуковая, а от-
относительно газа за фронтом дозвуковая, т. е.
*>i > cv v2 < c2, B.144)
то вперед звуковая волна распространяться не может
При нарушении первого из условий B.144) с фронта воз-
возможно излучение большего числа волн. При этом волна
оказывается неустойчивой, так как она самопроизвольно
излучает энергию в форме звуковой волны (или волн).
Если же v2 S> С2 и vi >> cii T0 энергия падающей волны на-
накапливается. Следовательно, условия B.144) являются
необходимыми для того, чтобы ударная волна была устой-
устойчивой. Как было показано в гл. 1 (§ 6), они выполняются
для стационарных ударных волн. При изучении танген-
тангенциальных разрывов (§ 4) было установлено, что при воз-
возмущении от такого разрыва расходятся две звуковые вол-
волны и он оказывается неустойчивым.
Достаточные условия устойчивости ударной волны бы-
были установлены С. П. Дьяковым A954). Метод их полу-
получения заключается в следующем. На плоскости разрыва
бесконечной протяженности вдоль оси Ох (при у — 0)
задается синусоидальное возмущение вида
6 = U exp {i (kzz - at)}. B.145)
В-результате возникают возмущения удельной, энтропии
6s, давления бр, удельного объема 8V и скорости 6v,

§ 5] УСТОЙЧИВОСТЬ УДАРНЫХ ВОЛН 103
причем
6s, dp, 6F, 8v ~ exp {i (Azz - at)} • exp {f (kv y)}. B.146)
Из уравнения сохранения энергии
-?- + *тг-о BЛ47)
следует, что
— б) & = 0. B.148)
Это означает существование решений двух видов. Если
kyvy — а = 0, 65 ^ 0, B.149)
то из уравнения движения
t + ^t = fv6p <2-150>
вытекает, что
[V б*/1)] ф 0. B.151)
Соответствующее решение (обозначаемое индексом «1»)
представляет энтропийно-вихревые волны, переносящие
энтропию и вихрь скорости. Во втором случае, когда
kyVy — а ф 0, 8s = 0, B.152)
из уравнения B.150) и условия неразрывности
получается другое решение (обозначаемое индексом
б^<2> = —?l- 6F<2>. B.154)
Это соотношение показывает, что решение второго вида
соответствует звуковым волнам.
Далее, возмущения представляются в виде суммы ре-
решений, соответствующих обоим типам волн, например:
8v = б*/1) + 8v&. B.155)
Величины би, 8р и 6У должны удовлетворять уравне-
уравнениям B.150), B.153), B.154) и условиям сохранения на
разрыве. Используя получающиеся соотношения между
брB), б^1), 6vB), бУ^), 6У<2> и в(8рЫ = 0) и исключив

104 ГАЗОДИНАМИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ [Гл. 2
из них все величины, кроме s, можно получить характе-
характеристическое уравнение в виде
B.156)
где / — поток массы через разрыв, vx — значение невоз-
невозмущенной скорости газа до фронта, v2 — скорость за фрон-
том, l^—L — велцчина производной, взятой вдоль адиа-
адиабаты Гюгонио, и к2 =¦ к\ + к\.
Исследование уравнения B.156) приводит к условиям
при выполнении одного из которых Im о > 0 и, следова-
следовательно, ударная волна неустойчива. Для волн в идеальном
газе при отсутствии стоков энергии за фронтом неравен-
неравенства B.157) не выполняются и, следовательно, такие вол-
волны устойчивы. Условия B.157) показывают, что волна
неустойчива, когда с ростом давления плотность умень-
уменьшается или растет недостаточно быстро. Такая ситуация
в астрофизических условиях обычно не встречается.
Волны, которые сопровождаются высвечиванием газа
за фронтом, причем настолько сильным, что их можно
считать изотермическими, оказываются устойчивыми
(С. А. Каплан A958)). Однако когда в газе происходит
еток энергии путем излучения, возможно (Скалафурис
A969)) возникновение неустойчивости другого вида —
тепловой (гл. 3), которая сказывается и на движении вол-
волны. Это обстоятельство бывает существенным для ударных
волн, распространяющихся в межзвездной среде и оболоч-
оболочках звезд (Мафсон A974), Стейн A975)), и о нем будет под-
подробно сказано в соответствующих разделах книги.
До сих пор речь шла об устойчивости ударных волн,
распространяющихся в однородной среде. Точное иссле-
исследование устойчивости волны, движущейся по среде пере-
переменной плотности, связано с очень большими математи-
математическими трудностями и до сих пор не произведено. В ра-
работе Л. Э. Гуревича и А. А. Румянцева A970) сделана
попытка подойти к вопросу с качественной стороны, ис-

§ 5] УСТОЙЧИВОСТЬ УДАРНЫХ ВОЛВ Ю5
пользовав наглядные соображения. Действительно, ка-
кажется почти очевидным, что ударная волна при движении
по среде с убывающей плотностью неустойчива» Если
вследствие возмущения какой-либо участок волны выд-
выдвигается вперед по сравнению с другими, то его скорость
станет больше, чем у соседних областей фронта, и возму-
возмущение должно продолжать расти. Это обстоятельство было
отмечено еще ранее в работе Скалафуриса A969), исследо-
исследовавшего распространение ударной волны по атмосфере
звезды. Как им было найдено, тяготение стабилизирузт
слабые волны, но если число Маха превосходит 1,3, волна
обязательно теряет устойчивость.
Вывод о неустойчивости ударной волны при рас-
распространении ее в сторону убывания плотности среды
нельзя считать окончательным. Во-первых, он противо-
противоречит данным многих экспериментов, указывающих на
высокую степень устойчивости ударных волн, и резуль-
результатам астрофизических наблюдений, демонстрирующих
существование устойчивых ударных волн. Во-вторых,
в работе Л. Э. Гуревича и А. А. Румянцева этот вывод по-
получен математически недостаточно строго, поскольку
предполагалось, что возмущения 5р, bv и скорости волны
6D независимы, а это ниоткуда не следует, и вопрос о раз-
развитии возмущений нуждается в специальном исследовании.
При изучении газомагнитных разрывов нужно поль-
пользоваться полной системой уравнений магнитной газоди-
газодинамики. В этих случаях возможно существование энтро-
энтропийных, медленных магнитозвуковых, быстрых маг-
нитозвуковых и альвеновских волн. Число допустимых
расходящихся волн возрастает, как и число условий на раз-
разрыве. Типы газомагнитных- разрывов были рассмотрены
в работе С. И. Сыроватского A953). В наиболее простом
случае волны, распространяющейся перпендикулярно к
однородному магнитному полю, необходимые условия
устойчивости («эволюционности») имеют вид (см., напри-
например, Р. Э. Половин, (I960))
(cm-)! < v-i < %; v-2 < (cmJJ < аг B.158)
и
«i < (ст+J < ад «2 < ^+2 < (сте+J. B.159)
Здесь через ст_ и ст+ обозначены скорость медленной и
быстрой магнитозвуковой волн соответственно, а — аль-

106 ГАЗОДИНАМИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ Гл. 2
веновская скорость и индексы «1» и «2» означают скорость
до и после разрыва соответственно. Условие B.158) со-
соответствует ударным волнам, называемым медленными,
а B.159) относится к быстрым волнам.
Сложный вопрос об устойчивости наклонных ударных
волн детально обсуждается в книге Э. Андерсона A968).
Вообще говоря, их устойчивость может зависеть от ряда
факторов — угла наклона ударной волны, типа волны,
вызывающей возмущение, направления ее волнового век-
гора — и общего решения задачи дать не удается. Отме-
Отметим, что в той же книге доказывается важное утверждение,
согласно которому выводы об устойчивости относительно
малых- нормальных возмущений остаются в силе и при
любых малых возмущениях.

Г л а в а 3
ТУРБУЛЕНТНОСТЬ,
КОНВЕКТИВНАЯ Я ТЕПЛОВАЯ
НЕУСТОЙЧИВОСТИ
Большие масштабы движений» газа в астрофизических
объектах при относительно малой его вязкости приводят
к возникновению особого вида неустойчивости движения—
турбулентности. Перенос количества движения тур-
турбулентностью играет важную роль в звездах и звездных
оболочках. Генерация магнитных полей в межзвездной
среде согласно распространенным теориям обусловлена
турбулентными движениями. Общие понятия о законо-
закономерностях турбулентного движения излагаются в первом
параграфе, а вопрос о возможности генерации им магнит-
магнитных полей — в следующем.
Перенос энергии конвекцией оказывается в большой
мере определяющим строение звезд типа Солнца и более
поздних спектральных классов. Особенно важным явля-
является исследование конвективного переноса для понимания
структуры внешних слоев Солнца и природы происходя-
происходящих в них явлений.
Основные особенности конвективных движений в ли-
линейном приближении описываются в третьем параграфе,
а в четвертом рассматриваются нелинейные процессы пе-
переноса энергии конвекцией.
С конвекцией тесно связан еще один специфический
вид неустойчивости — тепловая неустойчивость. Она при-
приводит к возникновению в газе сильных неоднородностей
и является одним из главных факторов, определяющих
наблюдаемую структуру межзвездной среды.
Теории тепловой неустойчивости посвящен питый па-
параграф.

108 ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [Гл. 3
§ !• Турбулентное движение
и методы его исследования
В отличие от ламинарного движения,— спокойного,
меняющегося лишь при изменении внешних условий
или действующих сил,— при турбулентном движении
происходит непрерывное и немонотонное- изменение газо-
газодинамических величин в любой точке потока.
Условия перехода ламинарного течения в турбулент-
турбулентное определяются на основе эксперимента. При обтекании
бесконечного круглого цилиндра плоскопараллельным
потоком несжимаемой жидкости турбулентность возни-
возникает при определенном критическом значении скорости,
которое связано с величиной диаметра цилиндра d и коэф-
коэффициента вязкости v. Установить эту связь можно, ис-
использовав уравнение движения A.71) (при (Vcpg)=O,
(V v) = 0) в безразмерных координатах, когда за единицу
длины принято d, а за единицу скорости — скорость пото-
потока v0 на бесконечном расстоянии от цилиндра (там, где
возмущающее действие цилиндра на поток не сказывает-
сказывается) Из него получается тем же путем, что и A.47), урав-
уравнение» для вихря Q:
где через Re обозначен безразмерный параметр, называе-
называемый числом Рейнольдса:
Re = JlL . C.2)
Так как уравнение C.1) имеет стационарное решение
при любом значении Re, то характер течения зависит
только от величины Re и эксперимент дает то критическое
значение ReKpiIT, при котором движение становится тур-
турбулентным.
Число Рейнольдса определяет отношение инерцион-
инерционных членов в уравнении движения к членам, учитываю-
учитывающим вязкость. Силы инерции способствуют возникнове-
возникновению неоднородностей в газе, так как приводят к сближе-
сближению различных его объемов. Действие силы внутреннего
трения направлено на выравнивание скоростей. При боль-
большой вязкости и соответственно малом числе Re сущест-

§ 1]
ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ
109
Таблица 2
Наименование
объекта
Облако
в области Н I
Область НИ
Планетарная
туманность
Оболочка неста-
нестационарной звезды
Корона звезды
Фотосфера
Внутренняя
область звезды
Характерная
длина, см
Ю18—J 019
1017—Ю18
1016—1017
Юн—10^2
10Ю_Ю11
1010—ЮН.
109—1010
Характерная
скорость,
см'сек
10е
Юб
10е
iO7—Ю8
107—Ю8
105—106
105—106
V,
см2-сек--1
3-1018
Юм
10Ю
106—1Q7
1017
Ю—103
1—10
Re
10*—105
104—105
1012—1013
Юн—Ю13
1—10
ЮЮ—1014
1013—Ю15
венных неоднородностей не возникает. Из эксперимента
для ReKpHT получается значение порядка 103—104.
В табл. 2 приведены величины Re в различных астро-
астрофизических объектах. При. ее оценках использованы
приближенные формулы, определяющие кинематическую
вязкость:
а) для полностью ионизованного водорода (Спитцер
A965)):
грЫ2
р In Л
C.3)
где In Л — кулоновский логарифм ига — концентрация
атомов. Обычно принимают. In Л » 10;
, б) для слабо ионизованного (п+ ^ 10~4тг)
газа:
;1018
C.4)
Таким образом, из данных табл. 2 следует, что почти
во всех часто встречающихся объектах, за исключением
корон звезд, движения не должны быть ламинарными.
Однако не во всех случаях можно.говорить о турбулент-
турбулентности в точном смысле этого слова, так как в турбулент-
турбулентном движении имеют место определенные статистические
закономерности. Не всякое хаотическое движение газа
является турбулентным.

110 ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [Гл. 3
При наличии развитой турбулентности величины, оп-
определяющие состояние газа — скорость, плотность, дав-
давление, в каждом элементе газа меняются случайным обра-
образом. В таких случаях употребляют выражение «турбулент-
«турбулентные пульсации». Эти пульсации случайны, но между ними
существует статистическая связь. Поэтому при изуче-
изучении турбулентности используется теория случайных про-
процессов. Если же изменения параметров газа в элементе
происходят не чисто случайным образом, то движение
уже нельзя называть турбулентным в газодинамическом
смысле. Это обстоятельство имеет смысл подчеркнуть,
так как в астрофизике термином «турбулентные» иногда
определяют любые хаотические движения.
Одна из важнейших особенностей турбулентного тече-
течения — перенос количества движения в жидкости вслед-
вследствие взаимодействия турбулентных пульсаций — выяв-
выявляется при усреднении уравнений движений. Усреднение
производится при выполнении некоторых условий, назы-
называемых условиями Рейнольдса (см., например, А. С. Мо-
нин и А. М. Яглом A966)).
Ограничимся при усреднении случаем несжимаемой
жидкости. Разность между истинным значением компо-
компоненты скорости vt и средним ее значением <i;$> дает пуль-
сационную компоненту
C.5)
После усреднения уравнений движения
P-lT + P(«*)!;J = -l*j- + TiV4;i (*=1.2.3) C.6)
при учете уравнения неразрывности
dv.
•4- = ° C-7>
получаем следующую систему уравнений Рейнольдса для
величин
d(p/v.\) я
3
»-J<?L + 1,V<Pi>. C.8)
поп. • ' % N '

§ 1] ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ
Эти уравнения совпадают с системой A.30) (при Vq>g =
= 0), если в качестве тензора потока импульса принять
величину Uik:
П** = р <^i> <^> + 8ik </>> - «crifc> - т«), C.9)
где
I C.10)
означает так называемый тензор напряжений Рейнольдса.
Из C.9) следует, что перенос количества движения в
турбулентном потоке происходит также в результате вза-
взаимодействия пульсаций скорости. На этом основании вво-
вводят понятие турбулентной вязкости, для которой вели-
величина, соответствующая коэффициенту кинематической
вязкости, определяется следующим образом:
^^. C.11)
к
Размерность |>туРб] = см2-сек'1 та же, что и коэффициента
молекулярной вязкости.
Величины г!/*, входящие в C.9), являются новыми
неизвестными, и, следовательно, система уравнений C.8)
оказывается незамкнутой. Это обстоятельство составляет
главную трудность в теоретических исследованиях тур-
турбулентности.
Одним из способов замыкания системы является ис-
использование эмпирических соотношений или общих физи-
физических соображений. Соответствующие теории называют-
называются по л у эмпирическими. В качестве примера подобного
подхода, имеющего значение и для астрофизики, рассмот-
рассмотрим решение задачи о турбулентном течении несжимае-
несжимаемой жидкости между двумя параллельными плоскостями,
одна из которых покоится, а другая движется со скоро-
скоростью v0. При выборе плоскости уОх так, чтобы она сов-
совпадала с неподвижной плоскостью, и направления оси Ох
совпадающим с направлением скорости v0, система C.8)
сводится к одному уравнению,

112 ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [Гл. 3
где т| — коэффициент молекулярной динамической вяз-
вязкости. Напряжение трения т (z)
хМ--=г\Ц^-р(ихи2> C.13)
согласно C.12) оказывается постоянным вдоль оси Oz
и равным напряжению т0 на неподвижной плоскости.
Течение на расстоянии z от неподвижной плоскости
может зависеть только от этой величины z, t0, v и р, при-
причем вследствие независимости zhvot массы скорость те-
течения, поскольку ее размерность не содержит символа
массы, должна зависеть лишь от отношения то/р. Так как
р2-1 = [у2] = см2.сек~\ C.14)
то можно ввести параметр v% такой, что
4™- C-15)
Из v%, v и z составляется лишь одна безразмерная комби-
комбинация v+z/v. Поэтому
() (ЗЛ6)
Течение определяется молекулярной вязкостью лишь при
z<^— ,a приz5>— закон изменения (vx)> с высотой не
должен зависеть от v, так как турбулентная вязкость на
достаточно больших расстояниях от неподвижной плос-
плоскости играет преобладающую роль. Из v^ и z составляется
лишь одна комбинация с размерностью градиента скоро-
скорости и, следовательно,
откуда получается
<vx (z)> = v^K (In z - In z0). C.18)
Такая форма зависимости скорости жидкости от высоты
хорошо согласуется с экспериментами, из которых опре-
определяются величина К = 2,4—2,5 и z0 (ж30 — ].
В полуэмпирических теориях турбулентности очень
часто используется понятие «длина перемешивания»,

§ 1] ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ ИЗ
введенное Прандтлем в 1925 г. по аналогии с длиной сво-
свободного пробега молекул. Предполагается, что в среде
существуют «турбулентные элементы», каждый из кото-
которых проходит в среднем путь I. Между коэффициентом
vTyp6> определяемым по C.11), и I имеет место зависимость
вида
vTyp6 =--= <?и> C.19)
по аналогии с формулой
VMon = <*молМмол>. C.20)
Если принять, что
C.21)
то для величины vTyP6 получается выражение
C.22)
где I характеризует некоторый средний путь перемешива-
перемешивания. Обычно считают, что длина пути перемешивания для
турбулентного элемента равна его размеру» Проходя этот
путь, элемент теряет свою индивидуальность, «растворя-
«растворяется», передавая количество движения и энергию другим
элементам.
При статистическом описании турбулентной среды она
представляется совокупностью элементов (их также назы-
называют турбулентными вихрями) различных масштабов.
Элементу масштаба I сопоставляется волновое число
к = 2п/1. Наибольший масштаб турбулентного вихря L
по порядку величины соответствует размерам области,
охваченной турбулентностью. Наименьший из масштабов
10 определяется тем, что турбулентное движение возмож-
возможно только в достаточных больших объемах, где Re ^> 1.
Вязкость препятствует развитию турбулентности в мень-
меньших объемах, где энергия макроскопического движения
диссипирует, превращаясь в тепловую.
Так как энергия турбулентного движения непрерывно
диссипирует, в стационарном состоянии должен сущест-
существовать поток энергии к вихрям наименьшего масштаба.
Энергия источника, возбуждающего турбулентность, пе-
передается вихрям наибольшего масштаба L. В соответстг
вии со сказаннык должен существовать поток энергии

114 ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [Гл. 3
через иерархию вихрей, т. е. к вихрям со все меньшими
масштабами. Это означает дробление энергии по все боль-
большему числу степеней свободы.
Поток энергии через иерархию вихрей промежуточ-
промежуточного масштаба I
h<l<L C.23)
не должен зависеть ни от способа притока энергии, ни от
диссипации, определяемой молекулярной вязкостью.
Если пренебречь сжимаемостью, то его можно считать
зависящим лишь от масштаба вихря и соответствующего
значения турбулентной скорости и. Зависимость потока
энергии (е) через иерархию вихрей, рассчитанного на еди-
единицу массы и имеющего размерность
Ее] = см2*сек~\ C.24)
определяется из соображений размерности:
C.25)
,,3
В х стационарном состоянии 8 = const и из C.25) получа-
получается известный закон Колмогорова — зависимость ско-
скорости вихря от его масштаба:
и ~ Р'к C.26)
Внутренний масштаб турбулентйости определяется толь-
только величинами vM(W1 и е. Учитывая их размерности, находим
. C.27)
Нетрудно видеть, что для I x 10 величина Re порядка
единицы. Если для всей системы число Рейнольдса есть
ReL, где L — характерный масштаб, то число вихрей
наименьшего масштаба в этой системе порядка ReL4.
Таким образом, турбулентная жидкость соответствует
механической системе с очень большим [порядка Re9/«)
числом степеней свободы (Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц
A953))*).
Движения и диссипация кинетической энергии в сжи-
сжимаемой жидкости зависят от скорости звука с. Поэтому
*) Из данных экспериментов следует, что существенная дис-
диссипация турбулентной энергии в тепловую происходит уже в мас-
масштабах, превышающих значение lQ, находимое по C.27).

§ i] ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ Ц5
характер движения определяется не только величиной
Re, но и числом Маха М. При достаточно большой ско-
скорости движения, т. е. для вихрей больших масштабов,
диссипация энергии происходит также в ударных волнах.
Поскольку теория сверхзвуковой турбулентности пока не
развита, в астрофизике часто используются, в качестве
приближений, выражения C.25) и C.27).
В турбулентном газе при М <^ 1 диссипация энергии
происходит путем образования акустических волн. Мощ-
Мощность возникающего шума F (определенная при предполо-
предположениях о том, что турбулентность однородна и изотропна,
а звук возбуждается только в квадрулольном приближе-
приближении) в расчете на единицу массы равна (Лайтхилл A952))
F = 38вМ5. C.28)
Это выражение часто используется в астрофизике при
расчете нагрева внешних слоев звезды вследствие дисси-
диссипации механической энергии.
При М ^ 1 турбулентную среду можно рассматривать
как ансамбль турбулентных вихрей и ударных фронтов.
Попытки изучения такого ансамбля пока не привели к
значительным результатам (см., например, Хёрнер
A958)). Большие возможности для учета диссипации в
ударных волнах предоставляет спектральный метод,
о котором будет сказано несколько ниже, а сейчас рас-
рассмотрим корреляционный метод в теории турбулентности.
Так как все величины, характеризующие состояние
жидкости в данной точке, являются случайными функция-
функциями, то метод статистической теории турбулентности зак-
. лючается в составлении и решении уравнений, определяю-
определяющих функции распределения вероятностей скорости,
плотности и давления. Имея такие функции, можно нахо-
находить средние значения газодинамических характеристик,
которые обычно и являются определяемыми эксперимен-
экспериментально. При усреднении уравнений газодинамики полу-
получается система уравнений для моментов функции распре-
распределения. Обычно ограничиваются определением первых
моментов, поскольку функцию распределения найти не
удается.
При турбулентном движении, каждая из компонент
скорости в частице является случайной функцией време-
времени. Пусть vH (r, t) -— значение А-й компоненты скорости

116 ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [Гл. 3
(к— 1, 2, 3) в момент t в точке, определяемой вектором
г {х, у, z): Среднее по времени значение vk (r, t) определя-
определяется следующим образом:
Г/2
4 [ + f)dt'. C 29)
При условии, что vk (r, t) не зависит от времени, поле
случайной величины vk (r, t) называется стационарным.
Величина Вкк (г, tXi ?2)> определяемая формулой
'Вкк (г, tu t2) = vk (r, ^) vk (r, t2) =
= lim 4" ^ ^(^^1 + 0^(^^2 + 0^ C.30)
называется корреляционной функцией поля yte (r, i). Если
процесс стационарный, величина Bkli (т, t±1 t2) зависит
только от разности t2 — tv Можно ввести корреляционную
функцию пульсаций bkk(r, tv t2), которая для стацио-
стационарного процесса также зависит лишь от разности t2 — tx\
b*.v (г, tl912) = [vk {г, tj — vk (r)] [vk (r, t2) — vk (r)] =
= Bnirth-hy-lVbir)]** C.31)
Необходимое и достаточное условие стационарности поля
записывается в виде
г
lim 4" \ Ян (П *ь «1 + О Л' = [хдк И]2. C.32)
В турбулентном потоке существует связь между зна-
значениями скоростей в различных точках. Она описыва-
описывается моментами различных порядков от компонент поля
скоростей, получаемых при помощи функции распределе-
распределения вероятностей. Важную роль в теории играет тензор
двухточечных моментов второго порядка Btj (гг, r2; tx, t2),
компоненты которого получаются усреднением при помо-
помощи функции распределения р (vt (rx); Vj (r2)):
ьг2; tXi t2) = \vx (гь tx)Vj (r2i t2) p(vu Vj
)), C.33)

§ 1] ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ Ц7
Величины ВХ1, В22 и BS3 называют корреляционными
функциями (пространственными) для полей vx, v2 и vB
соответственно. Величина Bu(rx, v2, tx, t2) представляет
собой взаимную корреляционную функцию полей vk и vt.
Наряду с корреляционным тензором Вц вводят структур-
структурный тензор:
Ъц (гь т2\ *ь t2) =
= <{lVi{rl7 h) — Vi (ra, t2)] [Vj(rl9 tx) - Vj{r2, t2)]}) =
= Вц (гъ гг\ tu h) + Bi} (r2, r2; t2i tz) —
2; tu t2) — Bij (r2, гг; t2, h). C.34)
Этот тензор описывает корреляционные связи между
точками в меньших масштабах, чем тензор Вц. Если
В ц (гг, r2; tl9 t2) = В и (г2 - гг; tx, t2), C.35)
то турбулентность называется однородной, а в случае,
когда к тому же
В и (^ r2; tx, t2) = Вх) (| т2 - rx |; tl9 Ц), C.36)
она является и изотропной. При условии, что аналогич-
аналогичные соотношения имеют место для компонент тензора Ь^-,
но не для Btj, турбулентность называется локально од-
однородной и локально изотропной соответственно. В аст-
астрофизических условиях трудно ожидать присутствия одно-
однородной и изотропной турбулентности, поскольку для нее
требуется однородное распределение источников турбу-
лизации по всему объему объекта. Требования для осуще-
осуществления локально изотропной турбулентности менее же-
жесткие.
Путем нахождения моментов от уравнений движения
получаются уравнения относительно тензора Вц и тензо-
тензоров более высокого ранга, также представляющих собой
моменты полей скоростей. В случае, если турбулентность
локально изотропная, также можно найти уравнения,
в которые входит тензор Ъц и соответствующие структурные
тензоры более высокого ранга.
Как обычно, система моментных уравнений оказывается
незамкнутой, и для ее замыкания используются различные
предположения, о которых подробно говорится в моно-
монографии А. С. Монина и А. М. Яглома A966).

118 ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [Гл. 3
Система уравнений для корреляционных (или струк-
структурных) тензоров получается в предположении о том, что
жидкость несжимаема. Когда сжимаемостью пренебречь
нельзя, корреляционный метод неприменим. В связи с
этим обстоятельством, а также трудностью физически
обоснованного замыкания системы указанный метод срав-
сравнительно мало использовался в астрофизике. Гораздо
шире возможности применения спектрального метода,
который позволяет яснее понять физическую сторону
явлений.
Спектральный метод основывается на возможности
аппроксимировать любую случайную функцию суммой
некоррелированных между собой гармонических случай-
случайных функций (см., например, Т. А. Агекян A974)).
В частности, случайная функция — скорость v (t) элемен-
элемента газа — представляется в виде интеграла Стилтьеса
оо
v(t)= jj e^'dZ(co), C.37)
—оо
где Z (со) — некоторая случайная комплексная функция,
удовлетворяющая условиям:
Z (со) = О,
dZ (со) dZ* (сох) = F (со) б (со - сох) dco dcoi. C.38)
Первое из этих условий выражает стационарность, а вто-
второе — статистическую независимость (звездочкой обозна-
обозначена комплексно сопряженная величина).
Так как среднее по времени значение кинетической
энергии, рассчитанной на единицу массы, пропорцио-
пропорционально значению корреляционной функции C.30) при
C.39)
то функция F (со), в соответствии с C.37) и C.38), выра-
выражает среднюю энергию, приходящуюся на единичный ин-
интервал частот со, и поэтому ее называют спектральной
плотностью.
Корреляционная функция

§ 1] ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ Ц9
представляет собой результат преобразования Фурье от
спектральной плотности:
B(t)= \ e^F(a))d(x), C.40)
—ОО
а обратное преобразование Фурье дает
. C.41)
Соответствующее понятие спектральной плотности вво-
вводится и для однородного процесса, причем роль величины
еш ИГрает eikr, где к — волновой вектор. Вместо интерва-
интервала частот со вводится пространство волновых векторов и
соответственно случайная функция Z (к). Произвольная
случайная функция координат v (r) представляется в виде
v (r) =^iftrdZ(fc), C.42)
где интеграл берется по всему пространству волновых
векторов. Корреляционная функция В (г') определяется
следующим образом:
В (г') = (v* (r) v (г + г')). C.43)
Она выражается интегралом Фурье от спектральной плот-
плотности F (к), вводимой равенством
dZ {кг) dZ (fca) = F (kN (k2 - кг) dktdk2. C.44)
Имеем
В (г) = j e^F (к) dk (dk = Исг dk2 dkd) C.45)
и соответственно
F (к) = -g^g- \ e~ikrB (r) dr (dr<j= dx dy dz). C.46)
Путем осреднения уравнений Навье — Стокса получа-
получаются уравнения для спектральной плотности. Они опи-
описывают, в частности, изменение со временем энергосодер-
энергосодержания в вихрях с различными волновыми числами.

120 ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [Гл. 3
Вместо величины F Gс) удобно ввести функию Е (| 7с \)
выражением
^ P1(k)dS(k), C.47)
где dS Gс) — элемент поверхности сферы радиуса \к\.
Так как Е (к) dk определяет энергию, приходящуюся на
интервал волновых чисел от к до к + dk, то
В@) = $ E(k)dk. C.48)
о
Для однородных и изотропных полей
оо
И
Е (fe, i) = Ank2F (/с, *). C.50)
При этих предположениях из уравнений Навье — Стокса
получается следующее уравнение для спектральной
функции F (к, t):
dF(?t] = Г (к, t) - 2vk*F (к, t), C.51)
где
Г (к, *) = - 2kF3 (kf t) C.52)
и F3 (к, t) — преобразование Фурье от Bln,n — двухто-
двухточечного момента третьего порядка функции v, равного
n = (vL (x)vN (x)vN (x + r)>.
Здесь vl — составляющая скорости вдоль вектора г, а
Vn — составляющая, перпендикулярная к этому вектору.
Из уравнения C.51) видно, как меняется спектр тур-
турбулентности с течением времени. Вторым слагаемым пра-
правой части учитывается диссипация энергии турбулент-
турбулентного движения под действием сил вязкости, а первое сла-
слагаемое описывает взаимодействие вихрей.
При изотропной турбулентности
О, C.53)

§ il ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ 121
что означает компенсацию потерь энергии у больших вих-
вихрей приобретением от них энергии малыми вихрями.
Так как непрерывно происходит диссипация кинети-
кинетической энергии в теплоту в вихрях наименьшего масштаба,
уравнение для стационарной турбулентности ( у = 0)
получается путем подстановки в правую часть члена,
описывающего поступление энергии е (к) от источников
турбулизации.
Как и всегда при осреднении нелинейных уравнений,
в данном случае неизвестных функций (F (/с, t) и Fs (к, t))
больше, чем уравнений, их определяющих. Поскольку
механизм обмена энергией между вихрями не выяснен,
для получения замкнутой системы предлагались различ-
различные гипотезы.
Умножив уравнение C.51) на 4я/с2 и проинтегрировав
сначала в. интервале [0, к], а затем от к до оо, находим
к к
-J^ Я (&', t)dkf = —W(fc, t) - 2v V k'2E(A/, t)dk', C.54)
о о
oo oo
-^\ Ё(k\ t)dV = W(fc, t) — 2v\ k'2E(k\ t)dk\ C.55)
и к
где через W (к, t) обозначено количество энергии, переда-
передаваемой от вихрей с волновыми числами, меньшими /с,
вихрям с волновыми числами, превосходящими к:
к оо
W (/с, \t) = ^ 8я/с/3Р3 (fc\ t) dk' = — J 8nk'sFs (k\ t) dk'. C.56)
о is
Рядом авторов предлагалось, на основе различных со-
соображений, выражение для «обменногб члена» W (к, t).
Отсылая за подробным изложением этих гипотез к моно-
монографии А. С. Монина и А. М. Яглома A946), заметим
лишь, что для значений /с, лежащих в интервале
^<*<^' C-57)
Ли ^0
все использовавшиеся выражения для W (к, t) дают так
называемый спектр Колмогорова — Обухова
Е (к) - Аг6'з C,58)

122 ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [Гл. 3
Эта зависимость следует непосредственно из соображений
размерности. В соответствии с предположением Колмого-
Колмогорова, при достаточном большом значении Re все харак-
характеристики вихрей в указанной области C.57) зависят лишь
от потока энергии 8. Таким образом, и Е (к) не должно за-
зависеть от иных величин, кроме 8. Поскольку [к] = см,
[г] = см2*сек~3, [Е (к)] = см3 • сек, то из этих величин
можно составить только одну безразмерную величину,
имеющую вид Е (&)е"'»- А:5/» и, значит, имеет место соот-
соотношение C.58).
В области, где доминирует вязкость, величина Е (к)
быстрее убывает с ростом к:
Е (к) ~ к. C.59)
Решение спектрального уравнения обычно осуществ-
осуществляется путем перехода к дифференциальному уравнению,
которое содержит в качестве неизвестной величины тур-
турбулентную вязкость.
После того как источники турбулизации прекращают
действие, происходит процесс постепенного превращения
кинетической энергии турбулентного движения в тепло-
теплоту — турбулентность вырождается. Шкала времени за-
затухания ?3ат Для вихря масштаба I в области C.57), сог-
согласно C.26),
*зат^~Г'\ C.60)
Поэтому движения сравнительно больших масштабов
продолжаются еще долго после выключения источников
турбулизации и существует поток энергии через иерархию
вихрей. Когда в самых больших вихрях сохраняется еще
много энергии, то, так как Re = ulLIv х соде!;, t ?x LIul,
скорость и масштаб наибольших из вихрей изменяются
со временем следующим образом:
uL~ *-V«, L~txl\ C.61)
На последней стадии, когда процесс определяется уже
лишь молекулярной вязкостью, из соображений размер-
размерности получается
C.62)

§ 2] РОЛЬ ТУРБУЛЕНТНОСТИ 123
На промежуточной стадии, когда энергия больших вих-
вихрей уже исчерпана, но в вихрях промежуточного масшта-
масштаба еще ее много,
uL ~ *-•/*, L ~ f k C.63)
Эти зависимости получены на основе так называемого ин-
инварианта Лойцянского — соотношения, показывающего
сохранение квадрата момента количества движения во
всей области, охваченной турбулентностью. Так как мо-
момент содержится главным образом в больших вихрях,
то можно считать, что
C.64)
и найти отсюда, при учете C.60), выражения C.63).
§ 2. Роль турбулентности
в генерации космических магнитных полей
Так как магнитное поле препятствует хаотическим
движениям поперёк поля в проводящем газе, то можно
ожидать увеличения устойчивости (стабилизации) движе-
движения при наличии достаточно сильного регулярного поля.
Исследование течений вязкой несжимаемой жидкости при
конечной проводимости в однородном магнитном поле ме-
методом малых возмущений (см. Каулинг A959)) подтверж-
подтверждает это обстоятельство.
В рассматриваемом случае устойчивость зависит от
величины коэффициента магнитной вязкости vM и соот-
соответствующего магнитного числа Рейнольдса ReM, опре-
определяемых выражениями
vM = -j^-, C.65)
C.66)
где v0 — характерная скорость и d — характерный мас-
масштаб течения. Число ReM характеризует относительную
величину членов, определяющих взаимодействие магнит-
магнитного, поля с полем скоростей, и диффузионного члена jb
уравнении A.87). При ве -> оо ReM ->¦ оо и диффузией
поля можно пренебрегать.

124 ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [Гл. 3
Устойчивость течения несжимаемой жидкости между
параллельными пластинами, находящимися на расстоя-
расстоянии Lo друг от друга, в случае, когда поле Но параллель-
параллельно пластинам, зависит от безразмерной величины SL0,
записываемой в виде
~_ReM, C.67)
где v^ — скорость невозмущенного движения и а — аль-
веновская скорость. При SL0 <^ 1 наличие поля не ска-
сказывается на устойчивости. Если же SL0^> 1, то крити-
критическое число ReKDnr, при котором наступает неустойчи-
неустойчивость, значительно больше, чем в отсутствие поля. При
движении поперек поля (направленного перпендикуляр-
перпендикулярно к пластинам) критическая величина числа Рейнольдса
зависит от безразмерной величины, называемой числом
Гартмана,
Число Гартмана характеризует отношение силы, дейст-
действующей на жидкость со стороны поля, к силе, обуслов-
обусловленной кинематической вязкостью. Оказывается, что
ReKpHT~Mr C.69)
и, следовательно, стабилизирующее действие поля рас-
растет пропорционально его напряженности.
В случае проводящей жидкости устойчивость зависит
от того, насколько быстро вещество может «просачивать-
«просачиваться» сквозь поле. Это отчетливо видно, если записать SL0
в виде
SL0^-4-, C.70)
v*vn
-где> г?д —г скорость диффузии поля. В астрофизически важ-
важных случаях проводимость очень велика и эффект «про-
-сатаваемости» обычно пренебрежимо мал. Поле тесно свя-
связано с -веществом, «вморожено» в него. В этих случаях не
приходится говорить о внешнем по отношению к газу по,-
ле. Вещество вместе с вмороженным в него магнитным по-

§ 2) РОЛЬ ТУРБУЛЕНТНОСТИ 125
лем представляет единую систему. Исследование условий
устойчивости газа с вмороженным в него полем при пол-
полном учете сжимаемости является очень ^трудной задачей
и пока не осуществлено.
Когда Re >> ReKpHT, то движение ж в присутствии маг-
магнитного поля турбулентное. При ае ->¦ оо хаотические
движения газа приводят к запутыванию вмороженных в
него магнитных силовых линий. Поэтому поле в турбу-
турбулентной среде также приобретает хаотический характер
и можно употреблять выражение «пудьсации магнитного
поля», а также использавать понятие среднекрадратич-
ной напряженности поля <#2>.
Запутывание силовых линий при определенных усло-
условиях должно ,приводить к возрастанию средней напря-
напряженности. При этом будет увеличиваться и магнитная
энергия за счет кинетической. Закон возрастания средней
напряженности поля со временем получается из условия
вмороженности, которое может быть записано в виде
Н ~р81, C.71)
где 81 — элемент силовой линии. Если линии удлиняются
равноймерно и плотность среды при этом не меняется, го
C.72)
и, следовательно,
^ = РЯ\ C.73)
Из C.73) получается, что средняя квадратная напряжен-
напряженность поля экспоненциально возрастает со временем:
<Я2> = (Я2,) №. C.74)
Изменения плотности могут играть существенную роль
в процессе усиления поля. Тем не менее обычно считают-,
что в межзвездном газе и в других случаях, когда мощно
пренебречь- гравитацией, запутывание поля происходит
таким же образом, как и в несжимаемой жидкости:
Характерное время нарастания доля (J норядка вре-
времени перемешивания Ни. Пока магнитная-эцергвд -сущест-
-существенно меньше, чем кинетическая, скорость запутывания
не зависит от напряженности. Более сильное поде сопро-

126 ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [Гл. 3
тивляется запутыванию линий, и в конечном счете воз-
возрастание средней напряженности поля должно прекра-
прекратиться. Широко распространено мнение о том, что в
турбулентной среде устанавливается равнораспределение
магнитной и кинетической энергий, т. е. имеет место
равенство
11. (ЗЛ5)
Равнораспределение возможно лишь в случае, когда вре-
время диссипации поля вследствие конечной проводимости
существенно превосходит характерное время «запутыва-
«запутывания», т. е. при условии
В межзвездной среде оно выполняется, но все же предпо-
предположение о равнораспределении энергии по всем масшта-
масштабам нельзя считать достаточно обоснованным. Возраста-
Возрастание поля из-за запутывания линий происходит главным
образом в малых масштабах. Построение теорди, описы-
описывающей процессы обмена энергией между жидкостью и
полем во всех масштабах, встречается с большими труд-
трудностями. Попытка развития такой теории была предпри-
предпринята С. А. Капланом A958). Он ввел, помимо спектраль-
спектральной функции Е (к) (формула C.47)), соответствующую ей
функцию G(k). Величина G (k)dk представляет собой ко-
количество магнитной энергии, рассчитанное на единицу
массы и содержащееся в вихрях с волновыми числами от к
до к + dk. Таким образом, получается система двух урав-
уравнений. Одно из них — это уравнение C.54), если в него
добавить члены, учитывающие переход кинетической
энергии в магнитную и диссипацию энергии в ударных
волнах, а другое — аналогичное уравнение для G (к).
Форма обменных и диссипативных членов постулируется
из физических соображений и, в частности, из соображе-
соображений размерности. Поэтому указанные уравнения не мо-
могут считаться: единственными, соответствующими истин-
истинной картине явления.
Уравнения сводятся к дифференциальным и после это-
этого решаются. Для стационарного случая существует

§ 2] РОЛЬ ТУРБУЛЕНТНОСТИ 127
решение вида
(^уЪ1 C.77)
где б — величина, зависящая от скорости диссипации энер-
энергии в ударных волнах. При отсутствии диссипации 8 =
= 4/3 и соотношение C.77) представляет обычный колмо-
горовский спектр. Если же происходит диссипация энер-
энергии в ударных волнах, величина б > 4/3 и, значит, спектр
более крутой. Это обстоятельство обусловлено тем, что
до вихрей с большими волновыми числами в этом случае
доходит меньше энергии.
При условии равнораспределения кинетической и маг-
магнитной энергий в вихрях всех масштабов зависимость G
от к должна быть аналогичной C.77). Однако, как отмече-
отмечено выше, нет оснований утверждать, что такое равнорасп-
равнораспределение существует.
Другое решение системы соответствует колмогоровско-
му спектру для Е (к) (при отсутствии диссипации в удар-
ударных волнах), а зависимость G (к) имеет вид
G (к) ~ ЙГЧ C.78)
Таким образом, в области больших волновых чисел кине-
кинетическая энергия вихрей того же порядка, что и магнит-
магнитная. С переходом к вихрям большего масштаба относи-
относительное содержание кинетической энергии в них возрас-
возрастает и магнитная энергия в самых больших вихрях
оказывается малой по сравнению с кинетической. По-види-
По-видимому, это решение лучше соответствует* действительной
картине газомагнитной турбулентности.
В вихрях наименьших масштабов происходит омиче-
омическая диссипация магнитной энергии наряду с вязкой дис-
диссипацией кинетической энергии. Наименьший масштаб
вихрей Zmin определяется из условия равенства по по-
порядку величины времени запутывания Ни времени дисси-
диссипации, определяемому по A.90):
<3-79>
Поскольку кинетическая энергия в вихрях больших
масштабов, поступившая от источника турбулизации, зна-
значительно превосходит магнитную, а переход кинетической

128
ТУРБУЛЕНТНОСТЬ
[Гл.. 3
энергии в магнитную происходит в меньших масштабах,
допустимо решать задачу о влиянии, поля скоростей на
магаитное поле приближенно, без учета обратного влияния
поля на движения. За счет механических движений мо-
может происходить рост напряженности поля. В этих слу-
случаях говорят о механизмах «динамо»-усиления поля. На
йих основано наиболее распространенное объяснение при-
присутствия достаточно сильных магнитных полей в косми-
космических объектах — звездах и
галактиках.
Рассмотрим подробнее воп-
вопрос об усилении поля механи-
механическими движениями. Они не
только приводят к увеличению
средней напряженности поля
в соответствии с C.74), но,
при определенных условиях,
способны усиливать и регуляр-
регулярные крупномасштабные поля,
В качестве способа усиления
поля обычно предполагается об-
Если частицы газа, располо-
расположенные вдоль силовой линии, своим движением прев-
превращают эту линию в «восьмерку» и затем «складывают»
(рис. 8), то напряженность поля в меньшем масштабе
возрастает. Таким образом, усиление поля достигается
не простым запутыванием, а более сложными движения-
ми. Можно показать, что «двумерное динамо», т. е. уси-
усиление крупномасштабных полей при двумерных движе-
движениях невозможно. Многие другие еимметричные движе-
движения также не приводят к усилению регулярного поля.
Что же касается усиления хаотдческого мелкомасштаб-
мелкомасштабного поля, то точной теории, описывающей его усиление,
до сих пор нет и приходится использовать общие сообра-
соображения. Одним из них является известная симметрия меж-
между преобразованными уравнениями магнитной газодина-
газодинамики. После введения переменных
Рис. 8. Схема усиления маг-
магнитного поля турбулентны-
турбулентными движениями (складыва-
(складывающаяся «восьмерка»).
разование «восьмерок».
= *>*--= > C.80)
уравнения, определяющие скорость движения v и нап-
напряженность поля Ж, в случае несжимаемой жидкости

§ 2] РОЛЬ ТУРБУЛЕНТНОСТИ 129
записываются в виде (см. Каулинг A959))
f
C.81)
где рс — сумма газового и магнитного давлений и
Vl = l+^L, v2 = ^L. C.82)
Начальные и граничные условия также записываются
в симметричной форме. Из аналогии C.81) с обычными
уравнениями движения жидкости был сделан вывод, что
величины Н/]/~4пр и v одного порядка и, следовательно,
должно иметь место равнораспределение кинетической
и магнитной энергий.
Другим доводом, подтверждающим, по мнению Бет-
челора A950), указанное равнораспределение, является
сходство между уравнениями для вихря скорости Й и для
12*. Первое из них имеет вид
J2L + (VV) Й - (QV) v = vV2fi, C.83)
а второе
Щ- + (vV) H - (J5TV) v = vMV2JT. C.84)
Предполагается, что если поле достаточно слабое, то вслед-
вследствие быстрого увлечения его вихревым движением маг-
магнитное поле быстро становится подобным полю вихря ско-
скорости. При vM < v диссипация магнитного поля в малых
вихрях меньше, чем диссипация кинетической энергии,
и поэтому магнитное поле может возрастать. Надо пола-
полагать, что связь между полем вихря скорости и магнитным
полем эффективно действует лишь в области достаточно
больших волновых чисел, где и устанавливается, как бы-
было отмечено выше, равнораспределение энергий путем
увеличения энергии поля.
При оценке этих и подобных соображений, основыва-
основывающихся на аналогии уравнений, нужно иметь в виду фи-
физическое различие поля скоростей и магнитного поля.

130 ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ?Гл. 3
Поле скоростей создается внешними источниками тур-
булизации, а магнитное поле от них непосредственно не
зависит. Поэтому можно думать, что усиление полей в об-
области малых масштабов происходит за счет образования
магнитных петель в тех масштабах, где связи между по-
полем скорости и магнитным не препятствует диссипация.
Кинетическая же энергия вихрей не вносит решающего
вклада в энергию магнитного поля и экспоненциального
роста поля не происходит. Хотя эти соображения весьма
качественные, они подтверждаются расчетами для некото-
некоторых частных случаев. Общего же решения проблемы по-
пока нет.
Перейдем теперь к проблеме усиления регулярного
поля. Оказывается, что если в среде со стохастическим
полем скоростей имеется первоначальное слабое магнит-
магнитное поле, то при условии, что поле скоростей гиротропно,
(t>Q) ф 0, C.85)
магнитное поле может усиливаться. Физически условие
C.85) означает, что такие пульсации скорости способны
закручивать магнитные нетли, превращая их в сложенные
восьмерки. Пусть поле Н в несжимаемой жидкости пред-
ставимо в виде
Н = Но + h, C.86)
где jH~0 — крупномасштабное однородное поле и h — маг-
магнитные пульсации такие, что <Jt> = 0. Из уравнения
§ C.87)
при ) h | <^ | Но | получается
^ C.88)
При помощи C.88) находится величина ([vh]y, которая
записывается в виде
<[vh]> = аДо, C.89)
где величина
оо
« = - 4- \ <(v V) № (OJ)> df C.90)

$ 2] РОЛЬ ТУРБУЛЕНТНОСТИ 131
выражается через посредство корреляционного тензора
Вц. Предполагая, что а слабо зависит от координат,
и учитывая, что <1Г> = SOi имеем после усреднения C.87)
= a [VJToJ + vMV*2T0. C.91)
Таким образом, при выполнении C.85) оказывается воз-
возможным усиление поля. Оно происходит через посредство
h. При наличии первоначального полоидального поля тур-
турбулентными движениями в первом приближении генери-
генерируется тороидальное поле, пропорциональное а [ЧН0].
Последнее же в свою очередь создает ноле того же харак-
характера, что и Но, т. е. а2 [V [VJ5T0]] ~ a2V2J3.
Описанный «ос-механизм» усиления поля был рассмот-
рассмотрен Штеенбеком и др. A966) для случая, когда ReM <^ 1,
что означает очень медленную диссипацию поля. В астро-
астрофизически интересных случаях ReM ^> 1 и приближений,
сделанных в указанной работе, оказывается недостаточно.
О дальнейших исследованиях в этом направлении сказа-
сказано в обзоре С. И. Вайнштейна и Я. Б. Зельдовича A972).
Обобщенное представление механизма динамо дано в
ряде работ Лерча A971). Основные уравнения теории
динамо в среде с хаотическими флуктуациями магнитного
поля и скорости записываются в виде
C.92)
#? = - 6Я? !g?- + e^ [ V Л oh, C.93)
где Hi и &Hi — i-я компонента регулярного и стохастиче-
стохастического поля соответственно, а 8v — поле турбулентных-
пульсаций скорости, причем
<6v> = 0, <б [VJT0]> = 0. C.94)
При условии, что среда бесконечная, однородная и нес-
несжимаемая, а также, что <#>j == 0 и
<F*6 [VЛо])> = ацВф C.95)
уравнения C.92) и C.93) дают а-механизм.
Условие C.95) означает, что лоренцовы силы, обус-
обусловленные турбулентными движениями, не имеют центра

132 ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [Гл. 3
симметрии и поэтому возникает электромагнитная сила,
генерирующая поле, совпадающее по направлению с пер-
первоначальным. Лерч A971) показал, что это эффект более
общего характера, чем даваемый а-механизмом, т. е. он
имеет место и для конечной среды при наличии крупно-
крупномасштабного поля скоростей и даже при изотропии поля
скоростей. В последнем случае турбулентная лоренцова
сила, выражаемая членом <Fг>6 [VH])>, вообще говоря,
не изотропна, поскольку не изотропна величина б [VjH],
пропорциональная [V [8v [VjET0]]]. Присутствие упоря-
упорядоченного поля Нq вносит «винтообразность» и в резуль-
результате оказывается, что крупномасштабное поле может уси-
усиливаться мелкомасштабной турбулентностью даже при
отсутствии крупномасштабных движений.
Усиление крупномасштабных полей а-механизмом воз-
возможно, если поле Но удовлетворяет неравенству
Hl €^- C-96)
При этом можт быть, что в области малых масштабов
Так, например, поле в галактическом диске может усили-
усиливаться за счет турбулентности, пока энергия крупномас-
крупномасштабных движений в Галактике существенно превосходит
магнитную энергию.
Вопрос об усилении поля в Галактике рассмотрен в ра-
работе С. И. Вайнштейна и А. А. Рузмайкина A971), опре-
определившими инкремент у нарастания поля самого крупно-
крупного масштаба. Для величины у получено выражение
где QBP — угловая скорость и z — расстояние от галак-
галактической плоскости. Оно дает на расстоянии, соответст-
соответствующем Солнцу, при uL х 5 км/сек, масштабе L = 100 пс
и полутолщине диска 400 пс время нарастания поля 2-Ю8
лет. Аналогичная величина для инкремента найдена Пар-
Паркером,A971) иным методом. Следует иметь в виду, что воп-
вопрос о турбулентности в галактическом диске пока не впол-

§ 2] РОЛЬ ТУРБУЛЕНТНОСТИ 133
не ясен и приведенный результат нельзя считать доказа-
доказательством того, что крупномасштабные поля в Галактике
возникли именно таким путем.
Во вращающихся звездах также может происходить
генерация магнитного поля различными механизмами ди-
динамо. Об этом подробнее говорится в гл. 6. Исследование
действия электромагнитной силы на турбулентный эле-
элемент показало, что при отсутствии вращения системы ве-
величина (HQ [VjETq]) -»- 0 с течением времени (см. С. И. Вайн-
штейн, Я. Б. Зельдович A972)). Это означает, что силы
уменьшаются. При наличии вращения и генерации круп-
крупномасштабного поля а-механизмом электромагнитные си-
силы уменьшают скорость генерации и делают возможным
такое установившееся состояние, при котором имеет мес-
место условие C.96). Таким образом, равнораспределение
энергий реализуется только в области больших волновых
чисел.
В процессах взаимодействия турбулентного поля ско-
скорости с магнитным полем существенная роль принадле-
принадлежит так называемой «топологической диссипации» поля
(Паркер A972а)). Она происходит в результате слияния
магнитных силовых линий с противоположными направ-
направлениями («перезамыкания»). При этом магнитная энер-
энергия превращается в джоулево тепло. Отношение времени
топологической диссипации поля к времени турбулентной
диссипации (в малых вихрях) определяется формулой
^дж-д » ??—, C.99)
где Ъ >> 1 — безразмерная константа. Топологическая
диссипация ограничивает возрастание мелкомасштабных
полей. Если
где иь — скорость больших вихрей, то мелкомасштабные
поля могут быть сильнее, чем Но, но слабее, чем те, кото-
которые получались бы при условии равнораспределения
энергий.
В теориях генерации магнитного поля механизмом ди-
динамо предполагается существование малого начального,

134 ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [Гл. 3
«затравочного» поля. В настоящее время трудно указать
с уверенностью источники затравочных полей. С одной
стороны, не исключено, что имеется метагалактическое
поле, усиливающееся при конденсации газа в галактики
и затем еще более возрастающее при образовании звезд.
Другая возможность состоит в образовании слабых полей
при различных физических процессах. Например, Бирман
и Шлютер A950) указали в качестве причины образова-
образования зародышевого поля на диффузию электронов из об-
области повышенной их концентрации. При этом ток j = 0
и, следовательно, результирующее электрическое поле
JB---L-VA. C.100)
пе
Если поверхности уровня для п ж ре не совпадают, то ин-
интеграл по замкнутому контуру
C.101)
т. е. в этом случае электрическое поле имеет вихревую со-
составляющую и потому возникает магнитное поле. Такая
ситуация может иметь место во вращающихся телах.
О некоторых иных гипотезах по поводу происхождения
зародышевых полей сказано в обзоре Местела A967).
§ 3. Конвективная неустойчивость
в космических условиях
Конвективная неустойчивость обусловлена силами пла-
плавучести, возникающими в температурно неоднородной жид-
жидкости, находящейся в гравитационном поле. Силы плаву-
плавучести вызывают движение объемов, в которых плотность
меньше, чем в окружающей их среде, в направлении, про-
противоположном направлению силы тяготения. В случае
несжимаемой жидкости конвективная неустойчивость насту-
наступает, если градиент температуры совпадает по направле-
направлению с силой тяжести (направлен «вниз»). Тогда «наверху»
температура ниже и соответственно плотность больше.
При смещении элемента жидкости «вверх» его плотность
окажется меньшей, чем в том месте, куда он попадает.
Поэтому движение «вверх» должно продолжаться. Соответ-
Соответственно будет возрастать и начальное смещение «вниз».

§ 3] КОНВЕКТИВНАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ 135
В сжимаемой среде конвекция происходит при несколь-
несколько иных условиях. Элемент газа, попадая в области с иной
плотностью, изменяет свой объем. При этом меняется так-
также его температура — либо адиабатически, либо иным
образой, если происходит теплообмен с окружающей сре-
средой. Неустойчивость имеет место, если в движущемся
«вверх» элементе температура будет оставаться большей,
чем в окружающей среде, а в движущемся «вниз» — мень-
меньшей, чем вокруг него.
Поскольку элемент всегда обменивается энергией с
окружающей его средой, для исследования конвективной
неустойчивости к системе уравнений газодинамики нужно
присоединить уравнение теплопроводности. Это усугуб-
усугубляет математические трудности соответствующих задач.
Как и в теории турбулентности, здесь приходится исполь-
использовать различного рода гипотезы и данные эксперимен-
экспериментов. При изучении конвекции в звездах необходимо учи-
учитывать сжимаемость, а также и турбулентный характер
движений, так как в конвективно неустойчивых слоях
обычно величина Re^>l. Пока не решена полностью за-
задача о турбулентности при учете сжимаемости, трудно
ожидать больших успехов в более сложной проблеме тур-
турбулентной конвекции. О том, что сделано в этой области,
говорится в § 4, а сейчас рассмотрим вопрос о критериях
конвективной неустойчивости и другие вопросы, относя-
относящиеся к линейной теории.
Начнем с конвективной неустойчивости несжимаемой
жидкости. Вообще, говорить о несжимаемости в строгом
смысле слова при исследовании конвекции не приходится,
так как само возникновение конвективных движений
обусловлено изменениями плотности. Несжимаемость оз-
означает, что учитывают изменения плотности только при
вычислении силы плавучести, а в уравнениях движения
и неразрывности считают р = const. Система уравнений,
определяющих конвекцию, в этом случае записывается
следующим образом:
i?- + (vV)v = Vp - Vcpg + vV4>, C.102)
at p0
(V«) = 0, C.103)
эт_ + (уЧ)Т = %тЧ*Т, C.104)

136 ТУРБУЛЕНТНОСТЬ Й7л, 3
%т — коэффициент температуропроводности, связан-
связанный с коэффициентом теплопроводности %т соотношением
Хг-%. C-105)
Размерность [%т] = см2•сек'1 совпадает с размерно-
размерностью V.
В отличие от вынужденной конвекции, когда поле
скоростей можно считать не зависящим от поля темпе-
температуры, в случае свободной конвекции поля vis. T взаимо-
взаимосвязаны. В дальнейшем будет рассматриваться только
свободная конвекция, при которой влияние поля темпе-
температур на движение жидкости обусловлено силой пла-
плавучести.
При изменении температуры в элементе на величину
Т' плотность р меняется вследствие теплового расшире-
расширения на величину р'.
Зависимость между р' и Т имеет вид
р' = -рРоГ. C.106)
У идеального газа коэффициент теплового расширения |3
определяется, в соответствии с A.10), простой формулой
где То — невозмущенное значение температуры.
Выберем систему координат так, чтобы ocj^Oz совпада-
совпадала с направлением ускорения силы тяжести g и градиен-
градиента температуры. Будем также считать, что в невозмущен-
невозмущенном состоянии имеет место гидростатическое равновесие
и, значит,
Ро + Ро?* = const. C.108)
При свободной верхней границе на уровне z = 0 величи-
величина р0 = 0.
Сила плавучести Fnjl, рассчитанная на единичный объ-
объем, равна
^пл = рор*Г. C.109)
Для величин р', Т и компонент скорости vxi vy, vz из
C.102), C.104), C.108) и C.109) получается следующая

§ 3] КОНВЕКТИВНАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ 137
система:
C.110)
C.111)
'-j-^f + v^v2, C.112)
^ C.114)
Движение зависит от параметров %т, v, P и g. Кроме
того, оно должно зависеть от масштаба длины — толщи-
толщины слоя жидкости d и масштаба А изменений температу-
температуры вдоль оси Oz:
А (
Размерность [А] = град/см. Поскольку величины C
и g входят в систему только в форме произведения Cg, не-
независимых параметров всего пять. Если А = const, то
Г = —Az + Тг, C.116)
где через Тг обозначено малое возмущение температуры.
Жидкость становится неустойчивой в отношении кон-
конвекции, когда сила плавучести не подавляется вязкостью
и теплопроводностью. Найдем методом малых возмуще-
возмущений условия, при которых наступает конвективная неус-
неустойчивость. Система уравнений (ЗЛЮ) — C.114), линеа-
линеаризованная при условии, что Тъ р', vx1 vy и vz малы и про-
пропорциональны е~ш, и в предположении стационарности
движения, имеет вид
р0 дх ' у р0 ду
(ЗЛ17)

138 ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [Гл. 3
Такое движение имеет место на границе устойчивости,
когда Im в меняет знак и Re б = 0.
Система C.117) сводится к уравнению
Если в C.118) принять за единицу длины d, то, как нет-
нетрудно видеть, течение зависит лишь от одного параметра,
называемого числом Рэлея (Ra)
. (З.Ш)
Величина Ra может быть представлена как произведение
двух других безразмерных величин:
. C.120)
Первым множителем характеризуется отношение силы
плавучести к силе торможения вязкостью, а вторым —
относительная роль в переносе тепла механических движе-
движений и теплопроводности. Постоянство Ra означает взаим-
взаимную компенсацию соответствующих противодействующих
факторов. Величина Ra записывается и в таком виде:
где первый из множителей называют числом Грассхофа
(Gr), а второй — числом Прандтля (Рг). Если считать, что
величины v и %т постоянны в среде, то устойчивость в от-
отношении конвекции зависит только от Ra и волнового
числа возмущения к. При малых значениях А все значе-
значения а (к, Ra) имеют Im с < 0. С возрастанием А при не-
некотором значении Ra = RaKpHT появляется значение к =
= &крит> при котором Im в = 0. Тогда одно устойчивое
стационарное движение сменяется другим.
Для определения критического наименьшего значения
числа Рэлея — RaKpHT — будем искать решения уравне-
уравнения C.118) в виде
^V^V^ C.122)

§ 31 КОНВЕКТИВЙАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ 139
где ? = z/d. Из C.118) при учете C.122) имеем
+к*Ra/ в ° (fcl в ^+#>• (ЗЛ23>
Величина к определяет периодичность движения в гори-
горизонтальной плоскости. На свободных границах — поверх-
поверхностях фиксированной температуры — должны выпол-
выполняться условия
f--i&--3p—° при с = 0I' (ЗЛ24)
При синусоидальном возмущении вида
/(?) =в1дял? C.125)
волновое число /с должно удовлетворять соотношению
(п2п2 + /с2K = /с2 Ra. C.126)
При каждом данном значении к минимальное число Рэлея
получается при п = 1. Следовательно, наименьшее зна-
значение Ra, при котором оказывается возможным движение,
периодическое в горизонтальной плоскости, КакРит» равно
RaKpm = min (*2 + *2K . C.127)
Минимальные / значения кх = -^-, ку = —, А; = л ^ ,
пи л
и поэтому RaKpHT = —т--~ 657,5. При твердых границах
К^крит ^^ 1708.
Таким образом, линейная теория конвекции в несжи-
несжимаемой жидкости дает следующее условие наступления
стационарной конвекции:
Ra > RaKpiIT. C.128)
Как следует из экспериментов, стационарная конвекция
при Pr ^ 0,7 реализуется в форме так называемых валов.
Возможно также появление ячеек в форме правильных
шестиугольников. В центре ячейки более горячая жид-
жидкость поднимается вверх, далее движется горизонтально
и на краях ячейки охладившаяся жидкость стекает вниз.
Из теории получается и средний размер ячеек, определяе-
определяемый величиной к.

146 ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [Гл. 3
При возрастании Ra движение приобретает более слож-
сложный характер в связи с тем, что увеличивается влияние не-
нелинейных эффектов. В частности, возрастает скорость дви-
движения газа, и когда она становится настолько большой,
что Re J>> 1, конвекция становится турбулентной. Перенос
энергии конвективными потоками обусловлен взаимо-
взаимодействием полей скорости и температуры. Поэтому он
должен рассматриваться при помощи нелинейных уравне-
уравнений и о нем будет сказано ниже (§ 4).
Специфические условия, существующие в звездах,
сильно влияют на характер конвективной неустойчивости.
Перечислим основные факторы, которые следует учиты-
учитывать при исследовании конвекции в астрофизических ус-
условиях:
1) сжимаемость среды;
2) преобладание лучистой теплопроводности над мо-
молекулярной;
3) изменение плотности в зависимости от расстояния
до центра звезды;
4) вследствие большой роли излучения изменение тем-
температуры в газе при его движении «вверх» или «вниз» про-
происходит со значительными отклонениями от адиабатич-
ности;
5) на конвекции в плазме существенно сказывается
влияние магнитных полей;
6) звезды вращаются, и на конвективные элементы дей-
действует центробежное и кориолисово ускорения.
Критерий конвективной неустойчивости при учете
первого из указанных обстоятельств получается из эле-
элементарных соображений. При перемещении элемента газа
в слои с более низкой (или более высокой) температурой
объем его увеличивается (уменьшается). На расширение
элемента затрачивается работа, а при сжатии элемента
энергия в нем увеличивается. Следовательно, сила пла-
плавучести определяется не просто величиной градиента тем-
температуры, а величиной разности
называемой сверхадиабатическим градиентом. Лишь при
условии, что после затраты тепла на адиабатическое рас-
расширение элемент останется горячее окружающей среды,

§ 3J КОНВЕКТИВНАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ J4i
возможно его дальнейшее перемещение наружу под дей-
действием силы плавучести. Соответствующее рассуждение
проводится и для опускающегося элемента. Из сказанно-
сказанного вытекает необходимое условие конвективной неустой-
неустойчивости в звезде,
называемое критерием Шварцшильда. Это соотношение
записывается в более удобной форме, если учесть, что
dT- _ d\nT Т dp =^ Т dp C.131)
dr d\n p p dr p dr ^ '
Так как в адиабатическом процессе
Т~рГ^~, C.132)
то
\ dr /ад у р dr V '
Подставляя C.131) и C.133) в C.130) и учитывая, что
4^->^=^. C.134)
d In р ^ у v '
Как известно, в «серой» фотосфере (при коэффициенте
непрозрачности, не зависящем от частоты), находящейся
в лучистом равновесии,
$¦—-&. C.135)
-р < 0, имеем
Так как из условия гидростатического равновесия
-?¦--«>-—$-f. C-136)
то
(EgL) =4-, C.137)
\ d In р /луч 4 ' v '
и, в соответствии с C.134), «серая» фотосфера устойчива
в отношении конвекции при у >• V3. Однако изменения

142 ТУРБУЛЕНТНОСТЬ 1.ГЛ. 3
коэффициента поглощения и величины у с глубиной мо-
могут привести к возникновению конвекции. В частности,
при переходе к тем слоям звезды, где происходит иониза-
ионизация распространенного химического элемента, величи-
величина у уменьшается. Это связано с затратами энергии, пос-
поступающей в данный элемент газа, не только на его расши-
расширение и увеличение содержания тепла, но и на ионизацию
атомов. С другой стороны, величина d In Tld In p возрас-
возрастает вследствие увеличения коэффициента непрозрачно-
непрозрачности при переходе от атмосферы звезды к более глубоким
слоям. В результате действия обеих указанных причин
в звездах определенных классов существует область, не-
неустойчивая в отношении ковдекции,— так называемая
внешняя конвективная зона. Такая область, во всяком
случае, должна быть у звезды, если водород в ее самых
внешних слоях не полностью ионизован, т. е. в спект-
спектральном классе F и более поздних. Ионизация Не —
второго по распространенности элемента — также мо-
может, вообще говоря, привести к образованию конвектив-
конвективной зоны. Вопрос о существовании конвективной зоны
в конкретной звезде и ее свойствах может быть решен
только путем расчетов — численного решения самосо-
самосогласованной задачи о конвективном переносе энергии
(см. гл. 5, § 1).
Если строение звезды или хотя бы ее внешней области
может быть представлено политропой с показателем Г,
т. е. в звезде давление и плотность связаны зависимостью
р ~ рг, C.138)
то
аыт
и условие конвективной неустойчивости записывается в
простом виде:
у < Г. C.140)
Для «серой» фотосферы, находящейся в лучистом равно-
равновесии, Г = 4/3, при коэффициенте поглощения, меняющем-
меняющемся по закону Крамерса, Г = 17/1г.
Достаточное условие наступления конвекции можно
получить с помощью RaKpHT. Однако вместо градиента
температуры А в формуле C.119) следует использовать

§ 3] КОНВЕКТИВНАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ 143
величину сверхадиабатического градиента, поскольку
именно ею определяется сила плавучести. Кроме того,
в качестве величины %т нужно применить коэффициент
температуропроводности %ИЗл» обусловленной излучени-
излучением. Его выражение имеет, как известно, вид
<ЗЛ41>
где х — росселандово среднее коэффициента непрозрач-
непрозрачности. При % = %13Л
во внешней конвективной зоне. По-видимому, в случае
турбулентной конвекции вместо v следует -использовать
vTyp6, что существенно увеличит Рг, но становится не яс-
ясной роль числа Рг, так как в этом случае существенны не-
нелинейные эффекты. Вероятно, дело сводится к тому, что
турбулентная конвекция просто не зависит от v.
В качестве масштаба длины d, входящего в выражение
Ra, для неоднородной среды нужно использовать в соот-
соответствии с экспериментальными данными выражение
d = аХ, C.143)
где
# = ¦—¦ C.144)
— так называемая высота (по давлению) однородной ат-
атмосферы,— расстояние, на котором давление изменяется
в е раз, и а — коэффициент порядка единицы.
В работе Унно и др. A960) и Като и Унно A960) пока-
показано, что при использовании средних (по конвективной
зоне) значений %изл и v в политропной атмосфере величина
RaKpirr слабо зависит от изменений плотности и ее можно
считать постоянной в пределах конвективной зоны. Вмес-
Вместе с тем при значительном изменении давления с высотой
(например, по барометрической формуле) величина RaKptrr
и соответственно наименьшее -значение к будут иными,
чем для однородного слоя. Так, если толгцина слоя d

144 ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [Гл. 3
очень велика по сравнению с Ж (d/Ж-*- оо), то
> 0,155 (-^, к -> 0,431 -jL C.145)
и, значит, устойчивость возрастает.
Как установлено численными методами (Гоуф и др.
A976)), значение RaKpHT в политропном слое увеличивается
с толщиной слоя. Этот результат служит основанием, что-
чтобы считать слой со стратифицированной плотностью более
устойчивым в отношении конвекции, чем однородный слой
той же толщины.
Использование условия Ra ^> RaKpnT для оценки
величины сверхадиабатического градиента, при котором
наступает конвективная неустойчивость, дает, с учетом
C.127), C.107), C.141) и C.143), неравенство
aC^8l (> + ** . C.146)
Как показал Спигел A960), исследовав влияние высвечи-
высвечивания конвективных элементов на конвективную неус-.
тойчивость, соотношением C.146) можно пользоваться
лишь при условии достаточно большой оптической тол-
толщины т0 элементов,
. C.147)
В противном случае высвечивание приводит к изменению
критерия C.146).
При исследовании конвекции в астрофизике часто ис-
используют так называемое приближение Буссинеска. Оно
основано на двух предположениях: а) изменения плотно-
плотности обусловлены не движениями, а лишь нагревом или ох-
охлаждением газа; б) изменения плотности учитываются
только при вычислении силы плавучести и ими пренеб-
регается в уравнениях движения и неразрывности. Как
показано Спигелом и Веронисом A960), приближение Бус-
Буссинеска применимо для слоя сжимаемой среды, если, во-
первых, характерный масштаб слоя в вертикальном нап-
направлении намного меньше шкалы высот Ж и, во-вторых,
изменения плотности и давления, вызванные движениями,
не превышают общего изменения этих величин (по коорди-
zj) в статическом состояния,

§ 3] КОНВЕКТИВНАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ 145
Условие конвективной неустойчивости само по себе не
дает информации о скорости ее развития. Определение ско-
скорости роста конвективных элементов является одной из
важных задач линейной теории. Спигел и Унно A962)
нашли время роста tk элементов с волновым числом к- в
политропной атмосфере:
ГтBГ-1) 1 Т'2
Было также получено выражение для % при учете высве-
высвечивания элементов (Спигел A964)). И в том и в другом
случаях tk ->- 0 при &-> оо, т. е. скорость роста элемен-
элемента неограниченно растет с уменьшением его размера. По-
Поскольку это физически не оправдано, должны иметься ка-
какие-то факторы, ограничивающие рост малых элементов.
Более полно влияние лучистых потерь энергии элемен-
элементом на конвективную неустойчивость исследовано Н. С. Пет-
рухиным A969). Путем линеаризации системы уравне-
уравнений газодинамики для плоского политропного слоя при
учете неадиабатичности движения, но без членов, описы-
описывающих действие вязкости, выводится довольно сложное
выражение для дивергенции скорости X. Если принять для
X выражение
X = e-4at-k*x-kvy)f (z) C.149)
и аналогичное выражение для некоторой функции, описы-
описывающей влияние высвечивания, то можно далее получить
уравнение для амплитуды / (z) и дисперсионное соотноше-
соотношение, из которого находится величина инкремента. Для ос-
основной моды инкремент t^1 выражается формулой
(Г ~ У) §к

у [2Г — 1 + гт Bkd) 2(Г-Г) ]
где d — толщина слоя, а е и т — некоторые сложные
функции, которые здесь выписывать не будем. Значение т
определяется главным образом величинами у и Г, а е су-
существенно зависит от х, g и d. Величина е, пропорциональ-
пропорциональная потоку излучения, определяет степень неадиабатич-
неадиабатичности. При 8-^0 формула C.150) переходит в C.148).
Из C.150) нетрудно видеть, что чем быстрее плотность га-
газа меняется с глубиной и, значит, чем больше Г, тем силь-

146 ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [Гл. 3
нее влияние неадиабатичности на конвективную неустой-
неустойчивость. Критерий же конвективной неустойчивости C.140)
не меняется.
Поскольку для сложных условий, существующих в
звездных оболочках, аналитические методы исследования
конвективной неустойчивости оказываются недостаточны-
недостаточными, в этих задачах часто использовались численные мето-
методы. Так, Бём A963) рассчитал величину Ц для модели сол-
солнечной атмосферы и нашел, что
^2.10-*Н«к C.151)
при k^Z 2-10-8 см-1. Согласно C.151) % меняется с воз-
возрастанием к иначе, чем по формулам C.148) или C.150).
Это объясняется более быстрым возрастанием температу-
температуры с глубиной в реальной оболочке Солнца по сравнению
с политропной оболочкой. Численным же путем опреде-
определена для Солнца горизонтальная длина волны для
фундаментальной моды (соответствующей наименьшему
значению к) с учетом переноса количества движения и
переноса тепла турбулентностью. Она составляет около
1500 км (Бём A976)).
Конвективная неустойчивость приводит к циркуля-
циркуляционным движениям газа. Таким движениям препятству-
препятствуют магнитные поля. Детально задача о конвективной
неустойчивости несжимаемой жидкости в присутствии од-
однородного магнитного поля была рассмотрена Чандрасек-
харом A961), показавшим, что RaKPHT в этом случае оп-
определяется выражением
) [(я»+
где
Qe = **™&±t C.153)
а — альвеновская скорость ид — угол между направ-
направлением магнитного поля и нормалью к слою. Горизон-
Горизонтальная компонента поля не сказывается на величине
ЛаКрит, но меняет форму течения — конвективные эле-
элементы вытягиваются в горизонтальном направлении. Жид-
Жидкость просачивается сквозь поле. При полной вморожен-
ности поля конвекция невозможна, так как при ае ->¦ оо

з! КОНВЕКТИВНАЙ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ 147
Если
_
где Иакрит — критическое число Рэлея .при отсутствии
поля, то возникает так называемая колебательная неустой-
неустойчивость. Условие компенсации силы плавучести натяже-
натяжением магнитных силовых линий записывается в виде (Кау-
линг A959))
Ь2РР^<я/Р, C.155)
где А, — длина волны возмущения. Колебания в верти-
вертикальном направлении происходят, когда имеется возвра-
возвращающая сила, достаточная, чтобы выпрямить силовые
линии, искривленные поднимающимся конвективным эле-
элементом. Избыток температуры в элементе уменьшается
пропорционально %т, а возмущение поля уменьшается
пропорционально vM. Таким образом, результирующая
возвращающая сила превосходит силу, вызывающую от-
отклонение, если
^9§^^Г1Т>^Н^Ш. (ЗЛ56)
В астрофизических условиях %изл ^> vM и поэтому C.156)
совместимо с C.155). Работа сил плавучести увеличивает
магнитную энергию. Поле опускает уже достаточно остыв-
остывший элемент. Остальная магнитная энергия уносится в
виде альвеновской волны, распространяющейся вдоль по-
поля и придающей неустойчивости сносовый характер.
Вблизи границы устойчивости при наличии горизон-
горизонтального магнитного поля движение происходит валами
с осями, параллельными полю,— так называемая переста-
перестановочная неустойчивость. Она связана с сильным вытяги-
вытягиванием в горизонтальном направлении конвективных яче-
ячеек полем.
В политропной среде при наличии однородного поля
Но критерий неустойчивости Шварцпшльда модифици-
модифицируется следующим образом (С. А. Каплан и Н. С. Петру-
хин A965)):

148 турбулентность Егл.
где pd — газовое давление у основания конвективной зо-
зоны. В выражении Иакрит нужно использовать, как и при
отсутствии поля, сверхадиабатический градиент и вместо
d — величину аЖ (формула C.143)).
Вычисления, произведенные Ван дер Борхтом и др.
A972), продемонстрировали подавление конвекции при
большом значении Qc. С возрастанием поля происходит
также увеличение минимального значения к. Эффекты эти
особенно существенны при большой величине Re. В таких
случаях приходится учитывать влияние нелинейности.
Действие вращения, а также совместное действие вра-
вращения и магнитного поля на конвекцию исследовалось ана-
аналитически и численными методами. Обзор работ для слу-
случая несжимаемой жидкости, проведенных до 1970 г., мож-
можно найти в статьях Спигела A971, 1972). Вращение уве-
увеличивает устойчивость в отношении конвекции, так как
кориолисовы силы закручивают горизонтальные течения.
Влияние вращения на конвекцию определяется безразмер-
безразмерной величиной, называемой числом Тейлора (Та),
Та = ^%^, C.158)
которое выражает относительную роль кориолисовых сил
и сил вязкости. Размер конвективных ячеек уменьшается
с возрастанием Та (Ван дер Борхт, Мерфи A973)). Вели-
Величина RaKpHT при наличии вращения больше, чем для
невращающейся жидкости. Таким образом, если на жид-
жидкость налагается магнитное поле или вращение, она при-
приобретает способность сопротивляться конвекции. При
наличии вращения конвекция, так же как и в магнитном
поле, может происходить валами, причем, если вектор уг-
угловой скорости совпадает с ускорением тяготения, то оси
валов параллельны оси вращения. Вычисления Мерфи и
Ван дер Борхта A972) как для конвекции валами, так и
для ячеистой, с учетом нелинейных эффектов, продемон-
продемонстрировали существенное влияние вращения и поля на
скорость переноса тепла конвекцией. Эта задача относится
уже к нелинейной теории, рассматриваемой в следующем
параграфе. Заметим, что все расчеты пока производились
для однородной среды в пренебрежении сжимаемостью и
поэтому их результаты не могут непосредственно приме-
применяться в астрофизических задачах.

I 4} ТУРБУЛЕНТНАЯ КОНВЕКЦИЯ 149
§ 4. Турбулентная конвекция
и перенос энергии конвекцией
При Re ^> 1 конвекция является турбулентной. Это
означает,, что величины, характеризующие состояние га-
газа, и, р, р, Т флуктуируют около своих средних значений.
Поэтому, например, для температуры Т можно написать
Т (х, у, z\ *) = Г (z, t) + d (x, y, z; t), C.159)
где
<fl (x, у, z; *)> = 0
и среднее берется'по всей горизонтальной плоскости. Си-
Система уравнений турбулентной конвекции получается пу-
путем осреднения уравнения Навье — Стокса и уравнения
теплопроводности. Для однородного слоя несжимаемой
жидкости толщины d при постоянном значении g эта си-
система имеет вид (Спигел A967))
g ^=^ = - (vV) v + <(^V) v},
C.160)
~ - XTV2d - <AV!T,i;2> = - («V)d + <(^V)^>, C.161)
- <p> ^ , C.162)
(Vf>) = 0. C.163)
Второе слагаемое в правой части C.162) учитывает тур-
турбулентное давление. При получении этой системы пред-
предполагалось, что суммарный перенос количества движения
через горизонтальную плоскость отсутствует. На грани-
границах слоя флуктуации температуры обращаются в нуль:
H=o = H=d = O. C.164)
Среднее значение вертикальной скорости также равно
нулю:
<vz) = 0. C.165)
На свободных границах вертикальная компонента ско-
скорости обращается в нуль и должны отсутствовать касатель-
касательные напряжения. Таким путем задаются граничные ус-
условия и задача может быть решена численно.

150 ТУРБУЛЕНТНОСТЬ №л. ё
Как обычно бывает при усреднении, в результате при-
присутствия нелинейных членов в уравнениях появились но-
новые неизвестные <(uV)u>, ((uVyfl*). Для решения системы
нужны замыкающие ее уравнения. Их можно получить
на основе различных гипотез, как в обычной теории тур-
турбулентности. Наиболее простым способом замыкания си-
системы является введение длины перемешивания Z. Тогда
можно написать
— (vV) v + <(t>V) v) = -щ- и, C.166)
= Т^-О, C.167)
где и определяется по C.5).
Величина Т должна быть при решении системы извест-
известной, так же как и величина сверхадиабатического гради-
градиента. Вообще говоря, следует решать самосогласованную
задачу, так как поле температуры в слое и величина AVT
зависят от характеристик конвекции. Способы прибли-
приближенного решения самосогласованной задачи о конвек-
конвекции в звездных оболочках рассмотрены ниже (гл. 4, § 1).
Представление о средней длине перемешивания, оди-
одинаковой для всех элементов, является чрезмерно грубым
и может привести к большой погрешности в результатах
вычисления при ее помощи потока энергии, переносимого
конвекцией. При турбулентной конвекции тепло перено-
переносится взаимодействующими элементами различных мас-
масштабов Z. Каждому волновому числу к = 2п/1 соответ-
соответствуют свои значения скорости и теплосодержания» Учесть
взаимодействие конвективных элементов пытались Леду
и др. A961), предложившие следующее уравнение для
спектральной функции Е (к) — кинетической энергии,
приходящейся на единичный интервал волновых чисел:
*dk'
Еф)
ЛТ /Со
к
)Щ. = 2v\E{k')k*dk
+ 2?0 \Е (к1) k'2dk' ^ y^jp- dk'. C.168)
Ко /Со
Здесь в левой части стоит выражение, описывающее при-
приток кинетической энергии к турбулентным вихрям за

§ 4] ТУРБУЛЕНТНАЯ КОНВЕКЦИЯ 151
счет работы силы плавучести, т. е. в результате конвек-
конвекции. В правой части вторым слагаемым учитывается об-
обмен кинетической энергии между вихрями различных
масштабов (член W (к) в C.54) в форме, предложенной
Гейзенбергом), а другим слагаемым учитывается вязкая
диссипация. Основному масштабу турбулентности соот-
соответствует волновое число к0 = n/d, где d — толщина слоя.
Постоянная ?0 — свободный параметр — порядка еди-
единицы. Путем сведения C.168) к дифференциальному урав-
уравнению и решения последнего найдено следующее выраже-
выражение для Е (к):
A>1,25. <
Таким образом, оказалось, что спектр очень быстро
спадает при к, близких к Лс0, а при достаточно больших к —
спектр колмогоровский. Это означает, что преобладающая
доля кинетической энергии сосредоточена в больших вих-
вихрях, а вихрям меньших масштабов передается лишь немного
энергии, которая затем переходит через иерархию вихрей
и в конечном счете диссипирует.
В работе С. А. Каплана A963) к уравнению C.168)
было добавлено уравнение, определяющее спектр магнит-
магнитной энергии, содержащейся в вихрях различных масшта-
масштабов. Учет магнитной энергии не сказывается существенно
на выводе о том, что кинетическая энергия сосредоточена
преимущественно в больших вихрях.
Величина потока энергии, переносимой конвекцией,
в расчете на единицу объема записывается в виде
C.170)
Конвективный поток можно найти, решив систему C.160)—
C.163). Однако для звезд подобные вычисления весьма тру-
трудоемки. Часто, используя приближение длины перемеши-
перемешивания, вместо C.170) применяют выражение
^конв = ср<р><1;2>Г, C.171)
где
Г = ДУГ.-|-. C.172)

152 ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [Гл. 3
Здесь h — среднее расстояние, проходимое элементом по
вертикали. Средняя скорость движения элемента в этом
направлении находится по его средней кинетической энер-
энергии, создаваемой работой сил плавучести на среднем пути
h/2:
+-*F D)' ~г <*>•• <
При посредстве C.172) и C.173) из C.171) находим
*». C.174)
Для величины h принимают то же значение, что и для d
(формула C.143)), или считают ее пропорциональной шка-
шкале высот по плотности.
Формула C.174) дает неплохие результаты при приме-
применении ее для вычисления конвективного потока в тех об-
областях звезды, где AVT <^ T и движение элемента проис-
происходит при условиях, близких к адиабатическим.
Более точное выражение для .Fkohb получается, если
отказаться от предположения об одинаковой роли конвек-
конвективных элементов различных масштабов в переносе теп-
тепла. Используя, например, результаты расчета спектра
турбулентной конвекции (Леду и др. A961)), можно пу-
путем усреднения величины '9 AV71 по всем волновым чис-
лам получить
f^ * C.175)
Из полученного выражения видно, в частности, что
самыми эффективными в отношении переноса тепла яв-
являются элементы наибольших масштабов.
При всем несовершенстве теории длины перемешива-
перемешивания ею приходится пользоваться при расчетах конвекции
не только во внутренних, близких к центру слоях звезды,
но и во внешних конвективных зонах, где на движении
элемента сильно сказывается неадиабатичность. Следует
иметь в виду, что в феноменологической теории длина пе-
перемешивания для разных величин — скорости, плотно-
плотности, температуры,— не одинакова. Она характеризует про^

I 4J ТУРБУЛЕНТНАЯ КОНВЕКЦИИ 153
странственный масштаб изменений соответствующего ди-
динамического параметра. Под величиной I часто подразуме-
подразумевают характерный размер конвективного элемента. Как
было отмечено выше, тепло переносится главным образом
элементами с масштабами, близкими к основному, который
в случае звезд порядка высоты однородной атмосферы.
Поэтому такое определение длины перемешивания физи-
физически оправдано. Элементы малых масштабов в теории
турбулентной конвекции, использующей понятие длины
перемешивания, представляют лишь фактор, подавляю-
подавляющий крупномасштабные движения. Однако вблизи внеш-
внешней границы — поверхности звезды — их роль в перено-
переносе тепловой энергии может быть значительной.
Недостаточность теории длины перемешивания про-
проявляется, в частности, в невозможности объяснения на
ее основе существования крупномасштабных турбулент-
турбулентных элементов вблизи поверхности звезды. Наблюде-
Наблюдения сверхгранул демонстрируют существование таких
движений, которые могут приводить к значительным
динамическим эффектам (Нойес A967), Симон и Вейсс
A968)).
Одним из главных недостатков ряда приближенных тео-
теорий, основывающихся на понятии длины перемешивания,
например, широко применяемой теории Бём-Витензе (см.
гл. 5, § 1), является их локальность. Это означает, что при
расчетах используется одинаковое значение термодинами-
термодинамической величины (плотности, давления, температуры)
во всем пространстве, занятом элементом, и не учитыва-
учитывается ее изменение во внешней среде, граничащей с элемен-
элементом. Поскольку размер элементов по высоте велик — по-
порядка высоты однородной атмосферы — параметры, опре-
определяющие состояние газа в нем, могут значительно
меняться с высотой.
Среди попыток развития нелокальной теории турбулен-
турбулентной конвекции, использующей понятие длины перемеши-
перемешивания, следует отметить' так называемую «обобщенную
теорию длины перемешивания» (Спигел A963)). В ней запи-
записывается такое уравнение для интенсивности конвектив-
конвективного потока /конв в направлении ф = arccos [x:

154 ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [Гл. 3
где Sc — функция источника, а величина s связана с гео-
геометрической глубиной z следующим образом:
lds = dz. C.177)
Здесь I — длина перемешивания, задаваемая произволь-
произвольно. При помощи C.176) можно корректно рассчитать кон-
конвективный поток, если величина I выбрана надлежащим
образом. Однако такой выбор является очень трудным
делом.
Нелокальность частично учитывается в теории Парсон-
са A969) предположением о переменности сверхадиабати-
сверхадиабатического градиента при вычислении скорости восходящего
движения, определяемой вместо C.173) выражением
I '2
^t^j^It'1) dz' (ЗЛ78)
где AV27 — разность логарифмических градиентов тем-
температуры в среде и элементе, v — коэффициент вязкости,
Ж — высота однородной атмосферы и
Более полно влияние нелокальности учтено в теории
Ульриха A970), принявшего, что не только скорость, но
и величина конвективного потока зависит от глубины.
Конвективные элементы представляются при этом в фор-
форме так называемых вихрей Хил л а («термиков»), каждому
из которых соответствует скорость U, избыток энергии
на единицу массы Ф' и избыток температуры Т'. Рассмат-
Рассматривается ансамбль «термиков», появляющихся и исчезаю-
исчезающих на разных уровнях, и в результате получены урав-
уравнения, определяющие изменение U, Ф' и Г' с высотой в
слое, причем в них учтено изменение состояния газа в
«термике» с глубиной и обмен энергией и массой с окружаю-
окружающей средой. При посредстве этих уравнений удается най-
найти конвективный поток и усредненное по высоте атмосфе-
атмосферы значение <Z72>.
В работе Нордлунда A974) предложена модификация
метода Ульриха и выяснен физический смысл многих,
предположений, сделанных при разработке этого мето-

§ 5] ТЕПЛОВАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ 155
да. В частности, установлено, что относительная роль
конвекции в переносе энергии определяется скоростью
высвечивания конвективных элементов. Скорости «терми-
ков» зависят от характера перехода их кинетической
энергии в энергию турбулентного движения. Длина пере-
перемешивания в нелокальной теории характеризует не мас-
масштаб расстояния, проходимого «термиком», как прини-
принимается в обычных локальных теориях, а скорость турбу-
турбулентного рассеяния тепловой и кинетической энергии
«термика».
Важным обстоятельством, следующим из нелокальной
теории конвекции, оказывается отсутствие симметрии
между поднимающимися и опускающимися потоками га-
газа. Эта асимметрия вызвана сильной зависимостью высве-
высвечивания^ теплоемкости от температуры. Поэтому необ-
необходима разработка более точного варианта теории, где
асимметрия потоков будет учтена. Эффекты, обусловлен-
обусловленные асимметрией, являются особенно важными во внеш-
внешних областях звезды, где велика роль высвечивания кон-
конвективных элементов.
§ 5. Тепловая неустойчивость
Конденсация диффузной среды под действием гравита-
гравитационной неустойчивости возможна лишь в достаточно
больших объемах. Вместе с тем в астрофизике часто при-
приходится встречаться с конденсациями малой массы, про-
происхождение которых не может быть объяснено самограви-
тацией2 например, уплотнения в планетарных туманно-
туманностях, протуберанцы и др. Во многих случаях образование
конденсаций связывают с тепловой неустойчивостью. Она
возникает, например, в среде, у которой сжатие объема
приводит к увеличению теплопотери. В астрофизических
условиях чаще всего потеря энергии газом происходит пу-
путем излучения, обусловленного столкновениями атомов.
Поэтому потери энергии пропорциональны квадрату плот-
плотности. При малом возмущении (возрастание р в некотором
объеме) температура в нем становится меньше, чем в ок-
окружающей среде, давлением которой этот объем будет
сжиматься. Сжатие должно продолжаться до тех пор, по-
пока внешнее давление не уравновесится давлением в дан-
данном объеме.

156 ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [Гл. 3
Обстоятельное исследование условий тепловой неус-
неустойчивости и критерий ее для разных случаев — однород-
однородной среды, наличия вращения, присутствия магнитного
поля, неоднородностей и т. п.— проведено Филдом A965).
Рассмотрим, следуя этой работе, тепловую неустойчи-
неустойчивость однородной среды, плотность которой р0 и темпера-
температура То.
Пусть функция — i?(p0, То) означает разность между
количеством приходящего в объем тепла Х+ и его отто-
оттоком %~ (рассчитанную на единичную массу):
-«(р0, То) =2+-Z- C.180)
Уравнение равновесия записывается в виде
X (ро, Го) =0. C.181)
Будем считать скорость роста неустойчивости не очень
большой, так чтобы во всем объеме давление р успевало
выравниваться. Если при возмущении р и Т значение р
не меняется, то тепловая неустойчивость идеального газа
возможна лишь при условии
&\ Ро (д?В\
которое означает возрастание потерь тепла при увеличе-
увеличении температуры. Отметим сходство этого условия с кри-
критерием неустойчивости звуковых волн
<3'183>
При выполнении C.183) амплитуда волны растет —
энергия втекает в область сжатия.
Изучать тепловую неустойчивость можно обычным ме-
методом малых возмущений, линеаризуя систему уравне-
уравнений неразрывности, движения и энергии среды при учете
получения и потери тепла. Уравнение энергии записыва-
записывается следующим образом:
C.184)
где хг — коэффициент теплопроводности. Ионизационная
энергия в C.184) не учитывается.

§ 51 ТЕПЛОВАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ 157
В предположении, что возмущения величин и, р, р, Т
пропорциональны exp {i (кг + nt)}, и принимая во вни-
внимание C.181), можно получить линеаризованную систему
уравнений и из нее следующее характеристическое урав-
уравнение:
п3 + пгс (кт+ тр
+т(*т"*р+^)я0> (ЗЛ85)
в котором
СР; . C.186)
Величины /ср и кт представляют собой волновые числа
для волн, распространяющихся со скоростью с, частоты
которых численно равны скорости роста изохорических
и изотермических возмущений соответственно. Исследова-
Исследование соотношений C,186) приводит к условиям неустойчи-
неустойчивости. В изобарическом случае условие неустойчивости
C.182) соответствует конденсациям. В изэнтропическом
случае получается критерий C.183), соответствующий
звуковым волнам. Теплопроводность выравнивает темпе-
температуру и тем самым стабилизирует газ:
Цнкремент роста конденсаций определяется формулой
(ЗЛ87)
При наличии магнитного поля Но получаются две до-
дополнительные моды, соответствующие альвеновским вол-
волнам, которые, как известно, распространяются вдоль по-
поля. Когда к || jHT0, на конденсационной моде поле не ска-
сказывается, но при к_\_Н0 возникает неустойчивость. Она
связана с тем, что газовое давление в разреженных об-
областях становится достаточно большим, чтобы преодолеть
увеличивающееся магнитное давление в сжимающейся
области.

158 ТУРБУЛЕНТНОСТЬ 1Гл. 3
Критерий неустойчивости при конденсации в попереч-
поперечном поле (к _j_SC0) имеет вид
Н1+*)*(?¦).«>• <зл88>
Критерий тепловой неустойчивости самогравитирую-
щей среды получается тем же методом малых возмущений
(Манфруа A971)). При этом в уравнение движения добав-
добавляется член, соответствующий тяготению (—pVcpg), и к
системе присоединяется уравнение Пуассона. Достаточ-
Достаточное условие тепловой неустойчивости в этом случае име-
имеет вид
где
к% = ^. C.190)
Для возмущений с достаточно большой длиной волны (ма-
(малым к) всегда имеет место тепловая неустойчивость. Этот
вывод указывает на большую роль гравитации. Тепловая
неустойчивость уменьшает длину критической джинсов-
ской волны Якрит в 71/з раз. Если X < ЯКрит7~1/2> то гРа~
витация не играет роли и имеет место только тепловая не-
неустойчивость.
Теплопотери в среде сильно зависят от состояния ио-
ионизации. Степень ионизации меняется при конденсации и
это сказывается на форме функции i?(p, Г), а значит, и
на устойчивости. Помимо этого, скорость охлаждения силь-
сильно зависит от химического состава газа. При условии, что
в газе возможны химические реакции, его химический со-
состав меняется в ходе конденсации, так как изменяется ско-
скорость реакций. Влияние обоих факторов — изменения
ионизации и химического состава — на тепловую неус-
неустойчивость было исследовано Ионеямой A973). В этом
случае получается характеристическое уравнение четвер-
четвертой степени 'относительно п, так как в уравнении состоя-
состояния, также линеаризуемом, учитывается изменение моле-
молекулярного веса (.1. Входящие в коэффициенты уравнения
величины ( —z—1 и \-Qfr) зависят от химического соста-

§ 5] ТЕПЛОВАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ 159
ва газа и характера химических реакций. В рассматри-
рассматриваемом случае, помимо трех неустойчивых мод, указанных
Филдом A965), появляется четвертая, названная «хими-
«химической».
Обозначим разность между скоростью рекомбинации
и скоростью ионизации через X. Если рекомбинация обу-
словлена парными столкновениями, то -тр- > 0. Поскольку
охлаждение происходит путем излучения, вызываемого
возбуждением
реакций вида
возбуждением атомов столкновениями, то —~—^>0. Для
й
соответствующих рекомбинации и ионизации в чисто водо-
водородной плазме при условии ее нагрева космическими лу-
лучами, X и X представляются в таком виде:
X = Knlx2pkT~t/2 — const, C.192)
Х =
- InexA - х) — rvXHW, C.193)
%н
где х — степень ионизации, К ж I — постоянные. При
посредстве этих выражений из решения характеристичес-
характеристического уравнения получен критерий тепловой (рекомбина-
ционной) неустойчивости:
Хн- 3A +я?) л
Таким образом, газ, состоящий из ионизованных ато-
атомов водорода, неустойчив при х ^ 0,9, что соответствует
температурам Т ^ 17 500 °К. Указанная величина пред-
представляет нижний предел температур, при которых газ
с постоянным притоком тепла, охлаждающийся вследствие
свободно-свободных переходов, неустойчив. Таким же
оказывается граничное для неустойчивости значение тем-
температуры, если в охлаждении играют роль и свободно-
связанные переходы, причем ионизация обусловлена столк-
столкновениями. Конденсация происходит в том случае, когда
длина волны возмущения меньше длины свободного про-
пробега Lc кванта в среде (т. е. оптическая толщина конден-
конденсации для этого излучения меньше единицы).

160 ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [Гл. 3
Другие реакции, в частности, образование молекул
и аккреция молекул пылинками, могут оказать сущест-
существенное влияние на тейловую неустойчивость межзвезд-
межзвездного газа.
Характер неустойчивости в стратифицированной среде,
находящейся в поле тяготения, иной, чем в однородной
среде. Различие объясняется существованием градиента
давления, уравновешивающего тяготение. В общем виде
исследование тепловой неустойчивости среды, находящей-
находящейся в поле тяготения, провести затруднительно, так как од-
одновременное выполнение условий гидростатического и
теплового равновесий возможно лишь при специальной
форме функции X (р, Т). Филд A965) рассмотрел частный
случай, когда X имеет вид
X = р (ClTN - c2), C.195)
где N, сх, с2 — положительные константы. Для устойчиво-
устойчивости однородной среды необходимо, чтобы вариации тем-
температуры уравновешивали изменения плотности. В стра-
стратифицированном действием тяготения газе температурные
вариации не обязательны, так как изменения давления мо-
могут уравновешиваться тяготением. Поэтому в последнем
случае возможна неустойчивость даже при сильной тепло-
теплопроводности. Она проявляется или в общем сжатии или
в расширении всего объема газа. В использованных Фил-
дом уравнениях движения опущены члены, описывающие
ускорение в вертикальном направлении; им также не рас-
рассматривались моды, соответствующие горизонтальным
движениям. Тем самым исключалась возможность конвек-
конвективных движений. Впоследствии Дефу A970) показал, что
в слое газа, находящемся в поле тяготения, тепловая не-
неустойчивость приводит к конвективной неустойчивости не-
независимо от величины градиента температуры. При учете
этого обстоятельства можно уточнить критерий Шварц-
шильда C.130). Рассмотрим этот вопрос подробнее.
Пусть некоторый объем («пакет») газа характеризуется
значениями термодинамических величин р*, Г*, р*, а
значения соответствующих величин в окружающей среде
р, Т, р. При р* = р уравнение состояния газа дает
0. C.196)

§ 5] ТЕПЛОВАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ 161
Из уравнения энергии для пакета находим
¦^-v?-l?- + (Y-l)P*S(P*,r*) = O. C.197)
(Здесь dldt означает лагранжеву производную для этого
пакета.) С точностью до малых первого порядка относи-
относительно разностей р* — р и Г* —- Т из C.197) при учете
C.196) можно получить
dp p ар*
dt • p dt
. C.198)
Если скорость пакета в вертикальном направлении
vz, то
а уравнение движения пакета
^ C.200)
Выражение C.198) записывается с помощью уравнения
состояния газа в виде
C-201>
Из C.200) с учетом C.201) получается уравнение
d\ 1 Г/ OSS \ р ^
-0- <3-202>
Полагая
vz~**9 C.203)

162 ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [Гл. 3
находим из C.202) выражение для инкремента возмущения:
г/ dss
п - —Ц
При g = 0 из C.204) получается критерий тепловой не-
неустойчивости C.182). Если X = 0, то соотношение C.204)
дает условие монотонного роста возмущений со временем
в виде
или
dT
dz
<3-20в'
совпадающее с критерием Шварцшильда. Когда X = 0
и имеет место неравенство, противоположное C.206), то
возмущение приводит к колебаниям газа в поле тяготения.
Из равенства C.204) следует, что условия C.182) и C.205)
связаны между собой, т. е. термическая неустойчивость
слоя газа может приводить к конвективной неустойчи-
неустойчивости.
Когда имеет место неравенство
_1Г/_д?_\ р / д$ \ f g г dT I dT
C.207)
возмущение монотонно возрастает. В противном случае
смещенный пакет будет испытывать колебания с экспо-
экспоненциально растущей амплитудой. При X Ф 0 колебатель-
колебательная неустойчивость возможна и при условии C.206), в
отличие от адиабатического случая.
При учете диссипативных факторов — вязкости и теп-
теплопроводности — критерий тепловой неустойчивости в от-
отношении возмущения с волновым числом к записывается

§ 5] ТЕПЛОВАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ 163
в виде
C.208)
Это выражение получено в приближении Буссинеска для
плоскопараллельного слоя со свободными границами. Из
C.208) вытекает, что вязкость и теплопроводность оказы-
оказывают стабилизирующее действие. Как было отмечено вы-
выше, в астрофизике обычно имеют дело со средами, для
которых v/%r<^l. Смысл условия C.208) состоит в том, что
при достаточно малой величине к характерное время
сглаживания температурных флуктуации теплопроводно-
теплопроводностью порядка (ХуД:2), т. е. больше, чем время роста воз-
возмущения, и поэтому возникает неустойчивость.
Можно показать, что условие C.208) является (при
v = 0) достаточным условием монотонной неустойчивости
слоя газа и при его твердотельном вращении вокруг оси,
перпендикулярной к слою. Оно же служит достаточным
условием тепловой неустойчивости при наличии однород-
однородного магнитного поля, перпендикулярного к слою. Когда
альвеновская скорость достаточно малд, доминируют
колебательно-неустойчивые моды, а при большой скорос-
скорости—моды, соответствующие монотонному росту неустой-
неустойчивости.
Понятие тепловой неустойчивости имеет отчетливый
физический смысл только в тех случаях, когда возможен
отток энергии из среды. При очень большой оптической
толщине слоя газа быстрый выход энергии из него невоз-
невозможен. Эффекты, связанные с тем, что оптическая толщи-
толщина слоя газа не мала, оценивались Дефу A970) при ис-
использовании приближения Эддингтона. В этом прибли-
приближении уравнение энергии для серой атмосферы имеет вид
(Унно, Спигел A966))
iL« P d9 _
dt ~ ~!Г
где В — функция источника, й — росселандово сред-
среднее. Оказывается, что для возникновения тепловой

164 ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ?Гл.
<3-210>
неустойчивости достаточным является условие
-яг—f-f-<°-
Указанное неравенство является обобщением неравен-
неравенства (ЗЛ82), пригодного лишь для оптически тонкого слоя,
на случай слоя большой оптической толщины.
В заключение необходимо отметить, что все сделанные
выводы основаны на локальном анализе. В частности, это
относится к критерию Шварцшильда. Более общий под-
подход к проблеме конвективной неустойчивости связан
с проблемой нерадиальных колебаний звезды и обсужда-
обсуждается в гл. 5 /§ 2).

Глава 4
ГАЗОДИНАМИКА
МЕЖЗВЕЗДНОЙ СРЕДЫ
По сравнению с другими астрофизическими объектами
межзвездная среда представляет лучшие возможности для
наблюдения различных кинематических и структурных ее
особенностей. Кроме того, физические процессы, происхо-
происходящие в межзвездном газе, относительно просты. Указан-
Указанные причины сделали межзвездную газодинамику одним
из наиболее развитых разделов астрофизики. В последнее
время многие аспекты этой, казавшейся устоявшейся,
областд пришлось пересмотреть в связи с обнаружением
определяющей роли тепловой неустойчивости межзвезд-
межзвездного газа. Характер тепловой неустойчивости в конкрет-
конкретных условиях межзвездной среды рассмотрен в первом
параграфе этой главы, а особенности макроскопического
движения газа и причины, определяющие движение,—
во втором. Одной из таких особенностей является образо-
образование ударных волн при столкновении движущихся обла-
областей конденсированного газа. В третьем параграфе изу-
изучается структура этих волн.
Преобразованная энергия вспышек сверхновых звезд
представляет собой один из важнейших факторов, поддер-
поддерживающих движения межзвездной среды. Взаимодействие
оболочек сверхновых звезд с межзвездным газом состав-
составляет предмет четвертого параграфа. Другим важным ис-
источником кинетической энергии в межзвездной среде яв-
является расширение областей НИ, окружающих горячие
звезды. Динамические проблемы, связанные С областями
Н II, обсуждаются в последнем, пятом параграфе этой
главы.

166 ГАЗОДИНАМИКА МЕЖЗВЕЗДНОЙ СРЕДЫ [Гл. 4
§ 1. Влияние тепловой неустойчивости
на структуру межзвездного газа
Физические условия в межзвездной среде определяют-
определяются многими факторами. До недавнего времени считалось,
что основную роль в нагреве газа играет излучение горя-
горячих звезд. Это остается справедливым для областей НИ,
окружающих горячие звезды и занимающих около одной
десятой всего объема межзвездной среды. Что же касает-
касается областей HI, то представления об их энергетическом
балансе и структуре в конце шестидесятых годов подверг-
подверглись значительным изменениям.
Наблюдаемая структура областей нейтрального водо-
водорода детально описана Уивером A970) и эта картина уточ-
уточнена в последние годы Хейлсом A975). Пространственное
распределение газа сильно отличается от принимавшейся
ранее модели хаотически движущихся облаков. Однако
можно употреблять понятие облака как области повышен-
йой концентрации газа. Содержание тщ атомов водорода
в облаках составляет 5—10 см, а в межоблачном прост-
пространстве оно на два порядка меньше.
Данные радионаблюдений межзвездной среды и меж-
межзвездной поляризации излучения звезд не соответствуют
проводившимся в 50—60 годах расчетам. Эти расчеты,
выполнявшиеся в предположении, что газ в областях HI
нагревается излучением с длиной волны % > 912 А,
приводили к значениям температуры 20—25 °К.
По наблюдениям на длине волны % = 21 см средняя
температура межзвездного газа порядка 100 °К, причем
для согласия с наблюдениями отдельных облаков, где она
равна 30—60 °К, нужно предположить, что между облака-
облаками находится гораздо более горячий газ с Г> 103 °К.
Для того чтобы нагреть межоблачный газ до таких темпе-
температур, необходим какой-то источник энергии. В качестве
фактора, приводящего к нагреву, предполагаются косми-
космические лучи.
Возможны и другие источники нагрева межзвездной
среды — столкновения облаков (см. § 3), расширение
областей НИ (§5). Роль последнего из них некоторые
авторы считают преобладающей (Лайоп A976)). Все же
наиболее распространенным является мнение о том, что

§ 1] влияние Тепловой неустойчивости 167
основным источником нагрева межзвездного газа слу-
служит энергия космических лучей.
Нагревание газа должно сопровождаться повышением
степени ионизации в нем. По наблюдаемому вращению
плоскости поляризации, а также по наблюдаемой «размы-
«размытости» радиоимпульсов пульсаров среднее значение
концентрации свободных электронов в межзвездном прост-
пространстве пе ^ 0,03 см. Данные внеатмосферных наблю-
наблюдений заставляют предполагать, что эта величина опреде-
определяется главным образом содержанием свободных элект-
электронов в зонах Н II (Элмергрин A976)). Тем не менее и
в межоблачном пространстве степень ионизации водорода
должна быть высокой по сравнению с ионизацией в об-
облаках.
Расчет ионизации межзвездного газа космическими
лучами оказывается сложной задачей главным образом из-
за недостаточности сведений о мягком космическом излу-
излучении, которое в этих процессах должно играть опреде-
определяющую роль. Наблюдаемыми являются лишь космичес-
космические лучи большой энергии (^> 100 Мэв), доходящие до
поверхности Земли без заметной модуляции солнечным вет-
ветром. Ионизующая способность их невелика» Поэтому не-
необходимо делать некоторые предположения об энергети-
энергетическом спектре космических лучей в межзвездном про-
пространстве.
В предположении о том, что ионизация производится
мягкой компонентой космических лучей с полной плот-
плотностью энергии 1 эв-см~г, С. Б. Пикельнер A967) рассчи-
рассчитал ионизацию межзвездного газа и его равновесную тем-
температуру, соответствующую условию
Ж+-^- = 0,, D.1)
хде Х+ — приток энергии в газ от космических лучей,
а X" — потери на охлаждение (в эрг'СМ~3*секГг). В качест-
качестве факторов, приводящих к охлаждению газа, учитыва-
учитывалось возбуждение С+, Si+, Fe+, О, N, Н. Уравнение D.1)
приводится к виду
SBT _ 1 Ч Ло, ^5 q
^-^-^[16+ а'(Г). 1,6. 10-м „
где q — общая потеря энергии космическими лучами на
ионизацию (в эрг-сек), рассчитанная па один атом водо-

168 ГАЗОДИНАМИКА МЕЖЗВЕЗДНОЙ СРЕДЫ [Гл. 4
рода, и а' (Т) — суммарный коэффициент рекомбинации
водорода на все уровни, кроме первого. Значения кон-
констант в D.2) получены для обычного космического содер-
жания элементов. Величина , зависящая только от
Т и химического состава, быстро возрастает при Т ]>
> 5000 °К, а при Т < 103°К уменьшается.
Поставлять свободные электроны могут и атомы ге-
гелия. При учете этого обстоятельства и при условии, что
йые да 0,1 пя, ионизационное равновесие водорода опре-
определяется уравнением
T) = -Ь^- qnK. D.3)
Если q = const, соотношения D.2) и D.3) дают величину
Т в зависимости от пя> При пя = 2—10 см~г Т = 60—
— 100 °К, а для пя » 0,1 см~ъ значение Т да 5000 °К. Пер-
Первые величины характерны для условий в облаках, а вто-
вторые — в межоблачном пространстве.
Для Т да 5000 °К произведение пяТ (пропорциональ-
(пропорциональное газовому давлению) достигает максимума. С увеличе-
увеличением ган давление падает и, достигнув минимума при Т да
ж 400 °К, ганда 0,3, снова повышается. Коода пя = 2—4,
то давление такое же, как при пя ~ 0,1. Таким обра-
образом, облака и межоблачная среда представляют устойчи-
устойчивые состояния газа, а при промежуточных значениях пя
газ термически неустойчив. Этот вывод подтвердил сде-
сделанное ранее предположение Филда A962) об образовании
конденсаций в межзвездном газе в результате его тепловой
неустойчивости.
Указанная идея о происхождении конденсаций в меж^-
звездном газе получила дальнейшее развитие в ряде работ.
Более точное вычисление функции 3?+, определяющей
нагрев газа космическими лучами, выполнено ГолдСми-
том, Хабингом и .Филдом A969). Ввиду неопределенности
данных о космическом излучении приходится вводить
параметры, которые можно определить путем сравнения
теории с наблюдениями. Нагрев газа определяется пара-
параметром ?, определяемым как число ионизации космичес-
космическими лучами -всех атомов и ионов на единицу объема за
единицу времени.

§ 1] ВЛИЯНИЕ ТЕПЛОВОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ 169
Величина Х+ представляется как сумма соответствую-
соответствующих функций для электронов и ионов:
Х% = 4,6 • 10-*° пе ? эрг • см'3. сек'* D.4)
(при энергии космических лучей Е = 2 Мэв),
ЭХ =яе [3,2-Ю-*9 п (Н I) + 4,1-10-** тге) арг-слГ8-с«^,
D.5)
где пе — концентрация сверхтепловых электронов, воз-
возникающих при непосредственной ионизации, атомов кос-
космическими лучами.
Величина ЭГ была рассчитана при учета более новых
данных о сечениях столкновений, приводящих к охлаж-
охлаждению газа. Наряду с уравнением теплового равновесия
D.1) решались и уравнения ионизационного равновесия.
Ионизация водорода определяется уравнением
п (Н I) [? (Н I) + пе <а;У> + n'eolv'] - ап&щ = 0, D.6)
где первый член в квадратных скобках соответствует не-
непосредственной ионизации космическим излучением,
второй — ионизации тепловыми и третий — ионизации
сверхтепловыми электронами. Аналогичные уравнения
записываются для Не и Не+.
Решение уравнений продемонстрировало быстрое
уменьшение температуры для п0 > 0,21 см~3 (п0 = пщ +
+ гане i + ^не ц) и присутствие в соответствии с этим про-
провала на кривой р (п0) (см. рис. 9, а, нижняя сплошная
кривая). Поэтому возможно существование двух разных
конфигураций с одинаковым давлением, как и предпола-
предполагалось ранее. Особенности кривой р (п0) обусловлены из-
изменением способности газа к охлаждению с температурой.
Что касается неопределенности в определении величины
?, то она не влияет на характер кривой, посколькупри из-
изменении ее значения в а раз температура, соответствую-
соответствующая п0, будет соответствовать ап0. При плотности энергии
космических лучей 6-Ю4 эрг-см~3 (для энергии протонов
в 2 Мэв) величина ? = 4-106 сек.
В качестве возможного источника нагрева межзвезд-
межзвездного газа в областях Н I ряд авторов рассматривали так-
также энергию мягкого рентгеновского излучения (Силк
и Вернер A969), Хабинг и Голдсмит A971), Н. F. Бочка-
рев A972)). В последних двух работах учтен каскадный

170
ГАЗОДИНАМИКА МЕЖЗВЕЗДНОЙ СРЕДЫ
[Гл. 4
процесс потери энергии первичными нетепловыми элект-
электронами, получаемыми при ионизации рентгеновским из-
излучением и космическими лучами. Хабинг и Голдсмит рас-
рассчитали этот процесс при помощи уравнения Больцмана,
записываемого в виде
+
Г да,™ ]
0, D.7)
jHeynp " L ^ Jynp. тепл.
где Sv (E) — функция, определяемая процессами первичной
ионизации и дающая распределение первичных электронов
Рис. 9. Равновесные значения давления и электронной концентра-
концентрации (а) и температуры (б) в зависимости от концентрации частиц;
пунктиром обозначены кривые, соответствующие ионизации рент-
рентгеновским излучением (цифры означают энергию), сплошные кри-
кривые—ионизация космическими лучами (Хабинг, Голдсмит A971)).
тт Г дпМ 1
по энергии. Член dt I ^ учитывает неупругие столк-
столкновения нетепловых электронов и член ——
L dt Jynp. тепл
упругие столкновения между тепловыми и нетепловыми
электронами. Уравнение D.7) решалось методом Монте-
Карло. Расчеты степени ионизации водорода в обей

§ 1] ВЛИЯНИЕ ТЕПЛОВОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ 171
работах дали сходные результаты. На рис. 9 приведены
равновесные значения давления, электронной концентра-
концентрации и температуры в зависимости от концентрации час-
частиц для случаев ионизации космическими лучами и рент-
рентгеновским излучением. По форме кривые для обоих
случаев близки. Равновесие между холодными плотными
облаками и горячей разреженной межзвездной средой до-
достигается в первом случае при Т = 6700 °К, а во втором —
при 5500 °К. Последнее значение находится в лучшем
согласии с данными наблюдений, приводимыми в работе
Филда, Голдсмита, Хабинга A969). В настоящее время
трудно сделать решающий выбор между двумя возможно-
возможностями из-за отмеченной выше неопределенности в прини-
принимаемой величине потока космических лучей, но, по-ви-
по-видимому, роль космических лучей в нагреве газа значи-
значительнее.
Среди других источников нагрева и ионизации среды
необходимо отметить коротковолновое излучение звезд
и выделение энергии при столкновениях облаков. Так как
излучение звезд может нагреть газ лишь до 20—25°, а
нагрев космическими луч:ами дает более высокие темпе-
температуры, то, если учесть зависимость охлаждающих фак-
факторов от Г, действие излучения звезд на температуру газа
и его ионизацию получается пренебрежимо малым. О на-
нагреве газа при столкновениях облаков подробно говорит-
говорится ниже (§ 2).
Все сделанные расчеты показывают, что в областях
Н I возможно существование газа в двух устойчивых
фазах — плотные холодные облака и разреженный горя-
горячий межоблачный газ. При промежуточных значениях
плотности в газе возникает тепловая неустойчивость. Па-
Параметры двухфазной модели межзвездной среды приводят-
приводятся в табл. 3, взятой из обзора С. А. Каплана и С. Б. Пи-
кельнера A974).
Таким образом, при сжатии газа до такой степени, что
3*102 <^ пТ, происходит его частичная конденсация в об-
облака, тогда как остальной газ переходит в разреженную
фазу. Сжатие газа до такого давления в спиральных ру-
рукавах Галактики объясняется действием ударных волн,
создаваемых волнами плотности (см. С. А. Каплан и С. Б.
Пикельнер A974)). Характерное время развития неустой-
неустойчивости определяется формулой C.187). При значении

172
ГАЗОДИНАМИКА МЕЖЗВЕЗДНОЙ СРЕДЫ [Гл. 4
Таблица 3
Объект
Разреженная среда
Межоблачная среда
Облака
Плотные облака
Давление
р/к=*пТ, см-3 »град
^З-Ю'2
3.102<л71<1|5.10» '
^1,5.10»
Плотность п, слг-3
^2,5.10-2
2,5.10-а<л<0,2
1^л^50
Объект
Разреженная среда
Межоблачная среда
Облака
Плотные облака
Температура Т, °К
1,2-10*
7,5-103<Г<1,2.104
<30
Состояние
Устойчивое
Неустойчивое
Устойчивое
X, получаемом, как указано выше, оно порядка 106—
107 лет. Это время меньше, чем время между столкнове-
столкновениями облаков.
Равенство давлений между конденсированной и раз-
разреженной фазами еще не означает полного равновесия.
Должен существовать поток тепла от горячего газа к хо-
холодному, который может приводить к фазовым превраще-
превращениям — испарению или конденсации на границе облака.
Это явление, впервые изученное Я. Б. Зельдовичем и
С. Б. Пикельнером A969) для одномерной модели, было
затем детально исследовано в работе Грема и Ленджера
A973), результаты которой здесь приводятся.
При вычислениях сделано предположение, что в меж-
межзвездной среде осуществляется детальное равновесие, т. е.
каждая флуктуация в давлении, обусловленная испаре-
испарением, уравновешивается процессом конденсации. Это
позволяет иа условия максимума удельной энтропии s оце-
оценить долю объема газа х, приходящуюся на конденсации.
Пусть п±, s± — концентрация частиц и удельная энтро-
энтропия для разреженной фазы, а п2 и s2 — соответствующие
величины для конденсированного газа. Обозначая
S = Щ8гХ + J12S2 A — х),
п — пхх + A — #) Щ
D.8)
D.9)

§ О влияние -Тепловой неустойчивости 173
и считая п постоянным, из условия ds/dp = 0 и выражения
для энтропии идеального газа
5 3
s = tr-knlnn -\- -^-knlnp + nC, D.10)
где С — энтропийная константа, можно оценить х в за-
зависимости от р. При р/к = 103—1,5-103 град*см"ъ полу-
получается, что х = 0,03—0,04, что согласуется с имеющимися
оценками доли объема, занимаемого облаками E—10%
всего объема среды).
Система газодинамических уравнений, определяющих
движение границы облака в результате конденсации или
испарения, записывается в виде
g 0, D.11)
+ (W) s] = V (%TVT) - X (р, 0, D.13)
пеJ\ D.14)
где Иг — коэффициент теплопроводности, полагаемый рав-
равным
= »ш*ш + *Ш1*ш1 DЛ5)
ЛН1 + ЛНП V
Для величин Хш и Хн// можно принять
кш = 2,5 . 103Г^ эрг/(град . се/с -си),
D.16)
>«hii = 1,2 • 1О'вГ/« эрг/град - сек еж)
Процесс предполагается квазистационарным и происходя-
происходящим при постоянном давлении. При этих предположениях
уравнение движения D.12) выпадает и, кроме того,
TVs = Vi, D.17)
где i — энтальпия:
г = А кт 4- Y тт ^e D 18)
2 mH|i ^ лн /гнтн + лНетНв ' v ' ;

174 ГАЗОДИНАМИКА МЕЖЗВЕЗДНОЙ СРЕДЫ [Гл. 4
Уравнение D.11) при учете малой толщины граничного
слоя заменяется условием
| pv | ж т = const. D.19)
Тогда для сферически-симметричного случая из D.13) и
D.17) следует уравнение
/ dT \a /2 тл di \ dT __
dr* + дТ
которое нужно решать при следующих граничных усло-
условиях:
оо,
D.21)
где Го — температура в центре области, Г2 — температу-
температура межоблачной среды. Величины р и Го являются сво-*
бодными параметрами. Каждому значению Го соответст-
соответствует определенный радиус облака i?, определяемый
условием
Т (R) = -L (Го + Г2). D.22)
Численное решение уравнения D.20) дает изменение радиу-
радиуса облака со временем, т. е. скорость испарения, характе-
характеризуемую потоком массы m через его границу. Величина m
зависит от i?, и эта зависимость для двух значений /?,
полученная на основе решения D.20), приведена на рис. 10.
Характерное время испарения облака определяется
формулой
Испарение облаков размером порядка Ю*7 см должно
происходить за время, сравнимое со временем их обра-
образования. Эти выводы существенно дополняют картину дви-
движения границы облака, полученную ранее для плоского

§23
ДВИЖЕНИЕ МЕЖЗВЕЗДНОЙ СРЕДЫ
175
случая, и должны быть учтены при расчете процесса обра-
образования обликов.
Процесс конденсации облаков из первоначально одно-
однородной среды пока с надлежащей точностью не рассмат-
рассматривался, поскольку требуется решение нелинейных урав-
уравнений газодинамики в неодномерном случае. Численное
Рис. 10. Зависимость скорости испарения облака от его размера
для двух значений давления (Грем, Ленджер A973)).
решение их для плоского случая производилось Голдсми-
том A970). Им получена на этой основе оценка времени
формирования облака t ^ 107 лет.
§ 2. Движение межзвездной среды
В этом параграфе рассматриваются такие движения
газа в межзвездной среде, характерный масштаб которых
мал по сравнению с размерами спиральных рукавов Га-
Галактики. Наиболее крупномасштабные из них — это дви-
движения, связанные с предполагаемой в галактическом дис-
диске неустойчивостью Рэлея — Тейлора.
Как известно, в галактических рукавах существует
крупномасштабное магнитное поле, приблизительно па-
параллельное галактической плоскости, напряженностью
C—6)-10~6ac. Если газ в достаточной мере однороден, то
его равновесие в поле тяготения Галактики поддерживает-
поддерживается магнитным полем и давлением космических лучей.

176 ГАЗОДИНАМИКА МЕЖЗВЕЗДНОЙ СРЕДЫ [Гл. 4
Возмущение магнитного поля должно вызывать также раз-
развитие тепловой неустойчивости с характерным временем
порядка 10е лет. Так как магнитное давление на один-два
порядка превосходит газовое давление в межзвездной сре-
среде, конденсация газа приводит к образованию облаков,
вытянутых вдоль силовых линий. «Тяжелые» облака дол-
должны стекать вдоль силовых линий магнитного поля к га-
галактической плоскости, увеличивая их прогиб. Разрежен-
Разреженный, более легкий газ всплывает, оставаясь в пределах
силовой трубки. При этом он нагревается космическими
лучами и в результате его давление еще более возрастает.
Время развития неустойчивости Рэлея — Тейлора опре-
определяется при помощи формулы B.112) и составляет для
Галактики около 107 лет.
В конечном счете должна установиться конфигурация
типа изображенной на рис. 7. Область, занятая тяжелым
газом, поддерживается натяжением магнитных силовых
линий. Детальных расчетов указанного процесса пока не
сделано и многие черты его остаются неясными. В част-
частности, не исключена возможность развития динамиче-
динамической неустойчивости. Не вполне ясен вопрос о радиусе
кривизны «ямы». Согласно оценкам С. Б. Пикельнера он
должен составлять около 150 пс.
Прямых наблюдательных подтверждений наличия не-
неустойчивости Рэлея — Тейлора в галактическом диске
очень мало. Среди них следует отметить существование те-
течений нейтрального водорода на больших расстояниях —
300—400 пс от галактической плоскости — со скоростями
ж 30 км/сек, направленными в сторону этой плоскости.
Их можно интерпретировать как стекание газа вдоль маг-
магнитных силойых линий. Поскольку скорость стекания дол-
должна быть близкой к скорости свободного падения, которая
на этих высотах составляет 30—40 км/сек, такое объясне-
объяснение наблюдаемых движений вполне допустимо, хотя воз-
возможны и другие истолкования их.
Движения конденсаций межзвездного водорода — об-
облаков—в настоящее время не представляются столь хао-
хаотическими, как это считалось ранее. Обширное исследо-
исследование распределения по скоростям около 200 облаков,
расположенных на площади 500 квадратных градусов,
произведенное Верскером A974) по данным радионаблю-
радионаблюдений, продемонстрировало, что облака движутся по от-

§ 2] ДВИЖЕНИЕ МЕЖЗВЕЗДНОЙ СРЕДЫ 177
ношению друг к другу не случайным образом. Они обра-
образуют сильно вытянутые структуры — цепочки или волок-
волокна, простирающиеся на несколько градусов. Существует
градиент скорости вдоль волокна, составляющий около
5 км-сек'1» град'1. По-видимому, волокна располагаются
вдоль силовых линий галактического магнитного поля.
Средняя скорость облаков равна 7,3 ± 4,2 км/сек.
В указанной работе приводятся средние характеристи-
характеристики изученных облаков: масса ЖОбл ~ 4—10 Зй©, размеры
d ж 2—3 пс; концентрация атомов тгн = 3—100 см,
<тгн> « 50 см.
Таким образом, понятие дискретного облака может ис-
использоваться при исследовании межзвездного водорода,
хотя существует мнение, что этим действительная картина
слишком упрощается. В работе Хейлса A975) подчерки-
подчеркивается, что структура газа очень часто волокнистая, при-
причем волокна параллельны полю. Распределение плотности
в межзвездном водороде более непрерывное, чем предпо-
предполагалось раньше, и среда может быть рассматриваема
скорее как совокупность потоков газа, чем облаков. Все
эти факты ставят под сомнение концепцию облачной струк-
структуры. Но даже если она применима к межзвездному газу
в качестве очень приближенной и нуждается в уточнении,
то все же нет оснований связывать неоднородность плот-
плотности и соответствующий ей разброс скоростей движения
облаков с крупномасштабной турбулентностью в межзвезд-
межзвездной среде.
Представление о турбулентности в межзвездной среде,
широко обсуждавшееся в пятидесятых годах, основыва-
основывалось, с одной стороны, на очень большом значении числа
Рейнольдса для областей нейтрального водорода и, с дру-
другой стороны, на оптических спектральных наблюдениях,
дававших картину хаотических движений облаков. Одна-
Однако, как зидно из приведенных выше данных радионаблю-
радионаблюдений, упрощенная модель турбулентности в нейтральном
водороде не соответствует действительности. Большая ве-
величина Re является лишь необходимым условием турбу-
турбулентности.
Радионаблюдения отдельных облаков, выполненные
с высоким разрешением по скорости @,2 км/сек), указы-
указывают на возможность турбулентности в самих облаках.
Дисперсия скоростей внутри облака по линиям тяжелых

178 ГАЗОДИНАМИКА МЕЖЗВЕЗДНОЙ СРЕДЫ [Гл. 4
элементов доходит до 1,5 км/сек, тогда как при температу-
температурах Г^100°К, существующих внутри облака, скорости
соответствующих атомов незначительны. Следовательно,
большая ширина линий должна быть обусловлена движе-
движениями газовых масс внутри облака. Не исключено, что
она связана с движениями малых конденсаций — «об-
«облачков» — с массами порядка солнечной.
Для проверки того, являются ли наблюдаемые движе-
движения газа турбулентными, можно использовать ту же
методику, которая была разработана в пятидесятых го-
годах. Она основывается на отыскании корреляционных свя-
связей между лучевыми скоростями газа в различных направ-
направлениях. Предполагается, что эти связи в случае наличия
локально-изотропной турбулентности должны соответ-
соответствовать закону Колмогорова (гл. 3, § 1). Соотношение
C.26) имеет место тойько для несжимаемой среды, а при
учете сжимаемости корреляционные зависимости между
скоростями и масштабами пульсаций могут оказаться
иными, не говоря уже о том, что пульсации скорости ока-
оказываются связанными с пульсациями плотности. Отсут-
Отсутствие теории турбулентности сжимаемой среды заставляет
применять методы, разработанные в предположении малой
ее сжимаемости. Они детально изложены в монографии
С. А. Каплана и С. Б. Пикельнера A963).
Из наблюдений лучевых скоростей vr в принципе воз-
возможно определить структурную функцию
Ъгг (г) = <[vr (rf) - vr (*•")]*>, | г' - г" | = г, D.24)
представляющую собой корреляционную функцию пуль-
пульсаций скорости. Приближенное выражение структурной
функции для однородной и изотропной турбулентности-
несжимаемой жидкости задается формулой
D-25)
¦(¦fr
из которой для движений с масштабом L, меньшим основ-
основного, получается колмогоровский закон. Величина 8
представляет собой скорость диссипации энергии через
иерархию вихрей. При г ^> L величина brr (r) » const,
так как на столь больших расстояниях корреляционных
связей между движениями нет. Поскольку на луч зрения

§Л2] ДВИЖЕНИЕ МЕЖЗВЕЗДНОЙ СРЕДЫ 179
могут попадать различные элементы турбулентности, то
на практике используется усреднение по двум лучам зре-
зрения, угол между которыми а, и из наблюдений определяет-
определяется лишь структурная функция, зависящая от углового
расстояния а между точками на картинной плоскости.
Путем анализа лучевых скоростей в туманности Орио-
Ориона Хёрнером A951) была найдена средняя турбулентная
скорость в ней, (УтурбI'2 = 7,4 км/сек. В дальнейшем
Мюнч A960) пересмотрел этот результат, исходя из фор-
формулы
Д2 = SB 2 + б2, D.26)
(Я)
где р означает плотность, v (s) — радиальная компонента
скорости. Формула D.26) определяет наблюдаемую ши-
ширину линии Д, создаваемую радиальными движениями,
в зависимости от скорости <i;> в центре линии. В D.26)
множителем е~х^ учтено влияние экстинкции излучения
в туманности. Величина б — средняя квадратичная ско-
скорость, соответствующая максвелловскому распределению
при температуре Т. Плотность р (s) считается постоянной
и поэтому х (s) =• fcs. Величина к характеризует эффек-
эффективную толщину слоя, доступного наблюдениям.
Пусть известны лучевые скорости уа и v$ в двух точках
аир поверхности, отстоящих друг от друга на данное рас-
расстояние Л. Путем усреднения квадрата разности va —
— vp по всем парам таких точек получается структурная
функция Ъ (Л):
Ъ (Л) = <(уа — vpJ>. D.27)
Из закона Колмогорова следует, что
а также зависимость
. <Д2> - б2 ~ №. D.29)

180 ГАЗОДИНАМИКА МЕЖЗВЕЗДНОЙ СРЕДЫ №л. 4
Для достаточно больших расстояний Л наблюдения
привели к зависимости структурной функции вида Л1/8.
Однако из этого еще не следует выполнение закона Кол-
Колмогорова в случае движений в туманности Ориона. Если
наблюдаемую зависимость распространить на малые зна-
значения Л, то к'1 оказывается незначительным по сравнению
с размерами/туманности, которую тогда следует рассмат-
рассматривать как тонкий слой. В тонком слое при к <Л не
должно быть значительной дисперсии скоростей вдоль
луча зрения. Действительно, при таких значениях к
соотношение D.29) дает ширину Д, втрое меньшую наблю-
наблюдаемой. Принимая же по данным наблюдений звезд, на-
находящихся в туманности, большее значение /с, придем
к зависимости У^Ъ(А) — Л5/«, не соответствующей наблю-
наблюдениям. Отсюда можно сделать вывод, что если в ту-
туманности Ориона и имеет место турбулентность, то для
нее не выполняются предположения, сделанные при вы-
выводе соотношений D.28) и D.29). В первую очередь сле-
следует отказаться от предположения о несжимаемости, так
как наблюдения показывают, что в туманности происходят
движения со сверхзвуковыми скоростями. При этом дол-
должны возникать ударные волны, приводящие к диссипации
кинетической энергии в вихрях промежуточного масштаба
и к «заваливанию» спектра турбулентности.
Аналогичным способом были исследованы движения
в ряде областей ионизованного водорода (Луиз, Монне
A970)). Для них также оказалось, что Yh (Л) — Л1/з,
причем в области М8 скорость движений соответствует
закону Колмогорова, тогда как в других областях ту|^бу-
лентные скорости вдоль луча зрения в несколько раз божь-
ше, чем следует из этого закона. Такое несоответствие обд>->
ясняется эффектом сжимаемости и присутствием в них рас-
расширяющихся конденсаций.
Как указанные работы, так и те, где отыскиваются
структурные функции для флуктуации яркости (С. Б.
Пикельнер A954)), степени межзвездной поляризации и
других характеристик, показывают, что в туманностях
происходят движения, похожие на турбулентность. Сход-
Сходство заключается в том, что существует связь между мас-
масштабами и соответствующими структурными функциями,
в общем близкая к ожидаемой из теоретических соображе-

§ 2] ДВИЖЕНИЕ МЕЖЗВЕЗДНОЙ СРЕДЫ 181
ний. Отсутствие теории сверхзвуковой турбулентности не
позволяет пока подойти ближе к решению вопроса о ха-
характере движений газа в туманностях.
Так как в масштабах, превосходящих размеры туман-
туманностей, движения явно не имеют турбулентного характера,
наибольший масштаб турбулентности в межзвездной среде
определяется' размерами туманностей. Возникновение
движений такого масштаба вряд ли связано с процессами
масштаба Галактики, например, ее дифференциальным
вращением. Причины их окончательно не выяснены, но
есть веские основания считать, что одним из основных ис-
источников энергии движений как в туманностях, так и во
всей межзвездной среде является расширение областей
НИ, обусловленное излучением горячих звезд. Здесь
уместно подробнее рассмотреть проблему баланса кинети-
кинетической энергии межзвездной среды.
По величине массы межзвездной среды и наблюдаемым
скоростям движений оценивается плотность кинетичес-
кинетической энергии в ней. Она составляет с точностью до множи-
множителя, равного трем, 10~12 эрг/смъ, а суммарная энергия в Га-
Галактике ж 1055 эрг. Плотность энергии космических лу-
лучей и магнитного поля того же порядка. Кинетическая
энергия диссипирует при столкновениях облаков, расхо-
расходуясь на нагрев газа вследствие вязкости, при взаимодей-
взаимодействии газа с магнитным полем Галактики и другими спо-
способами. Характерная продолжительность времени между
столкновениями облаков при их скоростях порядка
10 км/сек и межоблачных расстояниях 1020—1021 см со-
составляет 1014—1015 сек. Таким образом, время диссипации
кинетической энергии получается около 107 лет. Конечно,
состояние межзвездной среды в целом за это врвмя не мо-
может существенно меняться и, следовательно, потери энер-
энергии должны компенсироваться ее притоком. Приведем
оценки кинетической энергии, поступающей в межзвезд-
межзвездную среду от различных источников (в расчете на всю Га-
Галактику в год):
Расширение зоны НИ 1048 эрг/год
Вспышки сверхновых Ю47—1048 эрг/год
Вспышки новых 1047—1048 эрг/год
Истечение из звезд WR 1047 эрг/год
.Звездный ветер 1046 эрг/год
Истечение из двойных
систем Ю48 эрг/год

182 ГАЗОДИНАМИКА МЕЖЗВЕЗДНОЙ СРЕДЫ [Гл. 4
Таким образом, механическая энергия, поступающая
в газ главным образом от расширения зон Н II и звезд-
звездных вспышек, превосходит 1048 эрг!год и достаточна, чтобы
возместить дотери энергии межзвездной среды. Заметим,
что космические лучи способны оказывать давление на
межзвездный газ и являются, следовательно, одним из ис-
источников энергии. Поскольку они образуются главным
образом при вспышках сверхновых, их действие учтено
в «коэффициенте эффективности» преобразования энергии
вспышки в кинетическую энергию. В следующих разде-
разделах вопросы о механизме диссипации кинетической энер-
энергии и об основных процессах, определяющих поступление
энергии в межзвездную среду, рассматриваются более под-
подробно.
§ 3. Столкновения облаков
ц структура межзвездных ударных волн
Относительные скорости облаков нейтрального водо-
водорода составляют 10—15 км/сек. Поскольку скорость зву-
звука в облаках гораздо меньше,— около 1 км/сек, — то "при
столкновениях облаков возникают слабые ударные вол-
волны, распространяющиеся в обе стороны от поверхности
контакта. Они сжимают газ и нагревают его до температу-
температуры в несколько тысяч градусов. При последующем охлаж-
охлаждении нагретого газа должно возникать длинноволновое
излучение, которое наблюдаемо.
Представление о фронте ударной волны, как о поверх-
поверхности разрыва, является идеализацией. На саком деле он
обладает структурой, которая зависит от ряда факторов,
в частности, от состояния ионизации невозмущенного га-
газа. Здесь мы ограничимся случаем, когда ударная волна
распространяется по неионизованному газу и является
при этом настолько сильной, что хотя бы частично его
ионизует.
В такой ударной волне можно выделить четыре области:
I) область прогрева газа излучением, выходящим из-за
фронта;
II) область вязкого скачка, в которой происходит
превращение энергии волны в энергию движения
тяжелых частиц, главным образом атомов, поскольку ио-
ионов мало;

§ 3] СТОЛКНОВЕНИЯ ОБЛАКОВ 183
III) область ионизационной релаксации, в которой
происходит ионизация атомов;
IV) область высвечивания или охлаждения (лучис-
(лучистой релаксации), из которой в основном и выходит в
форме излучения энергия, переданная газу ударной
волной.
В случае слабых ударных волн, распространяющихся
в межзвездной среде, поток излучения, способного значи-
значительно нагреть газ перед волной, настолько мал, что его
можно не учитывать и область I поэтому считать отсут-
отсутствующей.
Если волна мало отличается от стационарной, то в об-
области II половина ее энергии переходит в тепловую энер-
энергию атомов. Это происходит за время порядка (nQCTD)~1>
где п — концентрация атомов, QCT — эффективный по-
поперечник столкновений между ними4 и D — скорость вол-
волны. При п = 100 см'9, QCT х 10~15 см2 иD ^ 2-Ю6 см/сек
это время порядка 5-Ю6 сек, т. е. толщина области
ж 1013 см. Кинетика процессов в этой области сложна.
Они исследуются на основе уравнения Больцмана. С ме-
методикой расчетов можно познакомиться, например, по
книге Берджерса A969).
В области II свободных электронов и ионов мало —
имеются лишь те, которые присутствовали в газе перво-
первоначально. В области III путем кулоновских взаимо-
взаимодействий энергия ионов передается электронам, которые
производят ионизацию. Скорость ионизации нарастает
лавинообразно, поскольку число электронов, способных
ионизовать атомы, увеличивается по мере роста степени
ионизации газа. Ионы же непрерывно черпают свою
энергию от атомов. Кинетика в области ионизационной ре-
релаксации для условий межзвездной среды впервые была
изучена С. Б. Пикельнером A954), использовавшим для
этого уравнения, определяющие:
а) изменение степени ионизации при учете столкнове-
столкновений с электронами
^T = h (Те) ЩПе - С, (Ге) Пеп\ D.30)
где Сk — суммарный коэффициент рекомбинации (к —
индекс элемента);

184 ГАЗОДИНАМИКА МЕЖЗВЕЗДНОЙ СРЕДЫ [Гл. 4
б) энергетический баланс электронного газа
^2 аГ = Ъп+Ехе -U D.31)
и
в) скорость потери энергии тяжелыми частицами (кон-
(концентрация которых щ, а температура Т\)
d \ о п^
D.32)
В уравнениях D.31) и D.32)
Eie = 10-" Т?° (Ъ - Те)
D.33)
и /х — член, определяющий потери электронным газом
в различных элементарных процессах. Поскольку свобод-
свободные электроны обеспечиваются в основном за спет водоро-
водорода и гелия, то электронная концентрация пе равна
Пе = Г& + П+Яе + 2п?е. D.34)
Как указанный, так и последующие расчеты показали,
что ширина области ионизационной релаксации на два
порядка превосходит ширину вязкого скачка. При этом
значительная часть энергии свободных электронов в об-
области III затрачивается на возбуждение атомоь, излу-
излучение которых уходит из области скачка. В результате
эффективность ионизации снижается. Например, для на-
начальной температуры тяжелых частиц за фронтом, равной
2-Ю5 °К и при иных условиях,— в плотном газе,— до-
достаточной, чтобы ионизация водорода была почти Полной,
газ оказывается ионизованным лишь частично.
Для расчета области лучистой релаксации необходимо
знать функцию Х~ (Г), определяющую потери энергии
газом. Вычисления производились в зависимости от хи-
химического состава газа неоднократно и многие^результа-
ты их приведены в обзорной статье Далгарно и Маккрея
A972). Изменение состояния газа определяется с помощью
соотношения
' ''V ' D.35)

§ 3] СТОЛКНОВЕНИЯ ОБЛАКОВ 185
где d/dt означает лагранжеву производную. При отсутст-
отсутствии притока энергии Х+ = 0 и из уравнения D.35) сов-
совместно с уравнениями движения, неразрывности и состоя-
состояния газа находятся значения Т и р в нем.
Важные для различных астрофизических приложений
обширные расчеты структуры ударной волны, включая
области II, III и IV (С. А. Каплан, Т. С. Подстригач
A965), Т. С. Подстригач A969)), выявили ряд интересных
закономерностей.
Для учета высвечивания вводится параметр у0 соот-
соотношением
V ^(^у'Ч, D.36)
где суммирование в левой части производится по всем
переходам i ->• к всех элементов с концентрацией га<8).
Вычисление показало, в частности, что для значений
скорости волны D от 50 до 100 км/сек при начальной кон-
концентрации свободных электронов пе — 0,1 п& и различных
значениях параметра высвечивания Yo на протяже-
протяжении всей области ионизационной релаксации ионная
температура остается выше электронной на несколько ты-
тысяч градусов.
Максимум электронной температуры тем выше, чем
больше скорость волны, а высвечивание его* снижает.
Структура ударной волны существенно зависит от на-
напряженности магнитного поля. Облака нейтрального во-
водорода содержат поля с напряженностью 10~5—10 гс
и соответственно с достаточно большим магнитным давле-
давлением. Поэтому при изучении столкновений облаков, дви-
движущихся поперек поля, последнее надо учитывать. Если
столкновения происходят вдоль поля, то оно не влияет
на структуру волны.
Особенности стационарных ударных волн при наличии
магнитного поля рассмотрены в книге С. А. Каплана.
A958). В межзвездном пространстве проводимость сге ве-
велика и поля можно считать вмороженными, т. е. принять
— = const. D.37)
Влияние поля на ударную волну наиболее отчетливо
выявляется в случае, когда скорость газа перпендикуляр-

186 ГАЗОДИНАМИКА МЕЖЗВЕЗДНОЙ СРЕДЫ [Гл 4
на к силовым линиям. Тогда для стационарной волны
условия сохранения записываются аналогично A.139) —
A.141), с той разницей, что вместо давления и энергии
газа используются суммарные давление газа и поля р
и энергия s:
Должна быть учтена и работа сил магнитного давления
(соответственно величине р/р в уравнении A.142)). Из
уравнений сохранения с учетом D.38) следует, что при на-
наличии поля скачок плотности меньше, чем при той же силе
волны без поля:
Это обстоятельство вызвано тем, что энергия волны час-
частично расходуется на увеличение энергии магнитного поля.
Приращение магнитной энергии Дем равно
Дем = -т-~(Р2 — Pi)' D.40)
где Ъ = Яр.
При условии, что первоначальная кинетическая энер-
энергия газа гораздо больше энергии поля и р2 ^> ръ имеем
G = Б/з)
5 r»p» TJ 2
= -х- -^- + тп — ~ Дц D.41)
2 р2 ' 16Л Р2
где ? — энтальпия.
Если же поле сильное и
V
8я '-' 2
D.42)
то в тепловую энергию переходит сравнительно малая доля
энергии волны:
^ЧУ D-43)
В этом случае поле препятствует сжатию газа, поэтому
газ нагревается меньше.

§ 3] СТОЛКНОВЕНИЯ ОБЛАКОВ 187
Как и в случае обычных ударных волн, степень сжатия
газа за фронтом возрастает при наличии стоков энергии
(высвечивания). При очень сильном высвечивании (р2 ^>
^> рх) скорость волны D равна
<4-44>
где а2 — значение альвеновской скорости за фронтом
волны.
В газомагнитной ударной волне происходит диссипация
анергии. Когда энергия поля того же порядка, что и кине-
кинетическая энергия газа, и значительно превосходит тепло-
тепловую, то ударная волна диссипирует медленно, так как
большая часть ее энергии переходит в энергию поля, ко-
которая при расширении сжатого газа снова превращается
в кинетическую. По расчетам С. Б. Пикельнера A957)
в слабой волне, где ем ~ еКИн, в тепло диссипирует около
4% энергии волны.
Обычные ударные волны (без поля), у которых скорость
направлена не перпендикулярно к поверхности разрыва,
называют косыми, или наклонными. У них тангенциальная
компонента скорости не меняется, так как вдоль разрыва
количество движения не переносится. В наклонной газо-
газомагнитной волне происходит перенос количества движения
также и вдоль разрыва, что вызывает неравенство танген-
тангенциальных компонент скорости по обе стороны разрыва.
В соответствии с этим система уравнений сохранения на
таком разрыве более сложная. Вид этих уравнений и за-
закономерности, из них вытекающие, приведены в моногра-
монографиях по магнитной газодинамике (см., например, Андер-
Андерсон A968)).
В области скачка градиент магнитного поля очень ве-
велик и даже при высокой проводимости может происходить
диссипация энергии вследствие джоулевых потерь. По-
Помимо этого фактора, изменяющего структуру скачка в при-
присутствии магнитного поля, нужно учитывать различие
в действии поля на частицы в зависимости от их заряда.
Нейтральные атомы пересекают ионный скачок беспрепят-
беспрепятственно, и поэтому фронт размывается. Количество дви-
движения нейтральной компоненты газа может превращаться
в магнитное давление только путем столкновений атомов

188 ГАЗОДИНАМИКА МЕЖЗВЕЗДНОЙ СРЕДЫ [Гл. 4
с ионами. Согласно С. Б. Пикельнеру A959), толщина пе-
переходной зоны, в которой происходит выравнивание энер-
энергий нейтральных атомов и ионов, составляет несколько
длин свободного пробега ионов относительно атомов.
Более детально структура скачка при учете поля изучена
Мелланом A971а).
Когда газомагнитная волна распространяется по слабо-
ионизованному газу, происходит усиление поля, связан-
связанное с действием атомных столкновений на ионы. Ион дви-
движется по окружности перпендикулярно к силовым линиям.
Столкновения с атомами увеличивают радиус кривизны,
создавая дрейф по отношению к атомам. Поэтому возни-
возникает ток, приводящий к росту поля. При расчетах струк-
структуры скачка в водороде было учтено, что взаимодействие
между атомами и ионами осуществляется также путем пе-
перезарядки. Для ширины скачка Дс (области роста поля)
в указанной работе приводится приближенное аналитиче-
аналитическое выражение
э /! Л D.45)
+0,008 (lgГJ] см*.сек~\ D.46)
аи — сечение перезарядки, щ и >га — концентрация ионов
и нейтральных атомов соответственно, Т — температура^
равная -?- (Га + Т\). При значениях щ = 10~2 см~в, иа =
=10 см~\ Г=100—1000°К и Hi=B—3) • Ю-6 ее ширина
Дс получается весьма значительной — 1015—1016 см. Для
слабых волн величина Дс сравнима с шириной области
лучистой релаксации. Оценки Дс по формуле D.45) под-
подтверждаются численным решением уравнений, определяю-
определяющих перенос количества движения.
Точный расчет условий в области лучистой релаксации
весьма важен, потому что наблюдать можно излучение
только из этой области и лишь таким образом удается изу-
изучать ударные волны в межзвездном пространстве. В рас-
расчетах Циммермана A968) в качестве основных факторов,
определяющих охлаждение, принималось возбуждение
вращательных уровней молекулы Н2, возбуждение ионов

§ 3] СТОЛКНОВЕНИЯ ОБЛАКОВ lgg
С+, Si+, Fe+ электронным ударом и столкновения атомов
и ионов с пылевыми частицами. Эти расчеты, произве-
произведенные без учета магнитного поля, показали, что газ,
нагретый при столкновении холодных облаков с концен-
концентрацией п = 10 см~3 при относительной скорости облаков
18 км1сек до температуры около 1000 °К, менее чем за 105
лет должен охладиться до 3 °К.
При достаточно большом содержании молекул Н2 воз-
возбуждение их может оказаться основным фактором, веду-
ведущим к охлаждению газа. Эти молекулы должны образо-
образовываться в значительном количестве в нагретой области
на графитовых пылевых частицах. Структура ударной
волны, возникающей при столкновении облаков, при учете
образования молекул Н2 рассчитана Вентзелом A967).
Ударная волна предполагалась изотермической, т. е. вы-
высвечивание газа за фронтом считалось очень интенсивным.
Когда сталкиваются два одинаковых по скорости и
массе облака, поверхность соприкосновения их неподвиж-
неподвижна. Пусть v0 — скорость облака относительно этой пло-
плоскости и D — скорость распространяющейся по нему
ударной волны. Параметр г\ характеризует роль магнит-
магнитного поля:
а параметр М — силу скачка:
2
D.48)
Здесь р определяется первым из соотношений D.38)-
В силу предположения об изотермичности волны прини-
принимается Тг = Гоо, где Тсо — температура за фронтом на
достаточно большом расстоянии от него. Уравнение, опре-
определяющее скорость волны, получается из условий сохра-
сохранения массы, потока импульса и магнитного потока на раз-
разрыве и имеет вид
При М -> 0 (слабая волна)
D.50)

190 ГАЗОДИНАМИКА МЕЖЗВЕЗДНОЙ СРЕДЫ [Гл. 4
где аг — альвеновская скорость в невозмущенном газе и
?из1 — изотермическая скорость звука в нем. Для сильной
волны (М -> оо)
У1 ' Т D-51)
Результирующий скачок плотности равен
J?_e 1 + ^. D.52)
Условия в той части сжатой области, где высвечиванием
можно пренебречь (адиабатический скачок), являются
граничными условиями для расчета области высвечивания,
который производится при помощи уравнения энергии
= _ (у _ 1) Птс (п, Т) D.53)
и уравнения неразрывности для молекул Н2
^ D.54)
Здесь через пш обозначена концентрация молекул,
С (п, Т) — коэффициент, определяющий излучение на од-
одну молекулу (в эрг'сек), и R (Т) определяет скорость об-
образования молекул:
0~16
-
+ ехр (-1020/71)
При использовании условий сохранения массы и пото-
потока импульса на разрыве из D.53) и D.54) получается диф-
дифференциальное уравнение. Численное решение его при сле-
следующих значениях параметров: т] = 0,9; М = 2,5; Тх =
= 100 °К; п± = 10 см'*; уо = 7 км/сек; Нг == 5,6-10 гс дало
такие значения параметров газа за адиабатическим скач-
скачком: Т2 « 1000 °К, п2 « 25 ^ и /гте = 32 ^-3. Толщина
излучающего слоя ~3«10-X7 см, т. е. много больше, чем
протяженность адиабатического скачка, составляющего
lO16^1 ж 1016 см, и области, где выравниваются харак-
характеристики ионов и атомов (жЗ«1017 тГ1 ^j 3 • 1016 см). Та-
Таким образом, наличие магнитного поля, как и следовало

3]
СТОЛКНОВЕНИЯ ОБЛАКОВ
191
ожидать, привело к уменьшению температуры и плотно-
плотности в сжатом ударной волной газе. Конкретное значение
ширины зоны высвечивания следует рассматривать лишь
как ориентировочное, поскольку использованные данные
о скорости образования молекул на пыли недостаточно
надежны.
Очень существенным фактором, приводящим к охлаж-
охлаждению газа за фронтом волны, оказывается возбуждение
100-
<60-
20
о шо
- и,
-
-——,
Г
= 0
г/г,
рМ / -
У -
3000 5000
Врем я, лет
1000
3000
Время, лет
5000
Рис. И. Профили температуры, плотности, газового и магнитного
давлений за фронтом волны при числе Маха, равном 10 и ;гн =
= 10 ян (Филд и др. A968)).
атомов кислорода при столкновениях с атомами водорода,
потому что сечения возбуждения уровней О+ являются
большими и концентрация атомов О+-сравнительно ве-
велика. При учете атомных и электронных столкновений,
а также возбуждения молекул Н2 Филд и др. A968) рас-
рассчитали структуру ударной волны в межзвездном водоро-
водороде, обращая особое внимание на область лучистой ре-
релаксации. В отличие от рассмотренной работы Вентзела,
отношение Н2/Н в зоне предполагалось неизменным
(рис. 11).
Из условия сохранения потока массы и потока импуль-
импульса во всей о'бласти высвечивания нетрудно получить выра-
выражение давления как функции плотности:
| D-56)

192 ГАЗОДИНАМИКА МЕЖЗВЕЗДНОЙ СРЕДЫ [Гл. 4
где индексом «1», как обычно, обозначены значения соот-
соответствующих величин в невозмущенном газе. Соотноше-
Соотношение D.35) при отсутствии притока энергии в газ и у = 5/3
дает после интегрирования
где величина Т (р) определяется из D.56) с помощью урав-
уравнения состояния газа. Формула D.57) может быть исполь-
использована для расчета времени охлаждения газа за фронтом
волны. Из нее находится функция р (t) и, значит, ско-
скорость газа из равенства
D58)
Изменение температуры за фронтом волны в зависимо-
зависимости от числа Маха М для разных значений поля Нг пред-
представлено на рис. 12. При достаточно сильном поле темпе-
температура за фронтом существенно уменьшается. Так, при
Нх = 10~5 гс и М = 10 величина Г2 = 190 °К, тогда как
при отсутствии поля она была бы вдесятеро большей. Это
обстоятельство чрезвычайно сильно сказывается на про-
процессе охлаждения газа в области лучистой релаксации.
Когда нагрев вследствие присутствия поля мал, то темпе-
температура и плотность меняются в этой области медленно.
Если же поля нет, то в области лучистой релаксации дав-
давление остается приблизительно постоянным. Постоян-
Постоянство давления обусловлено высвечиванием, при котором
уменьшение температуры компенсируется возраставшем
плотности. Этот факт был ранее выявлен и исдользованвдри
расчете ударных волн с высвечиванием в оболочках но-
новых звезд (В. Г. Горбацкий A962)).
Время охлаждения, рассчитанное при помощи формулы
D.57), оказалось лежащим в пределах 5-Ю3—15«103лет,
т. е. оно на один-два порядка меньше, чем давали более
ранние вычисления (при постоянном значении Н2/Н),
и близко к полученному Вентзелом при учете кинетики ре-
реакций образования молекул. Причиной столь быстрого
охлаждения является сильное излучение атомов О+,
уносящих 84% всей энергии, и С+, на долю которых при-
приходится 8% энергии. Важным фактором, влияющим на

31
СТОЛКНОВЕНИЯ ОБЛАКОВ
193
охлаждение газа в зоне лучистой-релаксации, оказывается
также излучение в молекулярных полосах. Так, по расчетам
Аанестеда A973), выполненным при помощи той же
формулы D.57), время охлаждения получается в 3—4 раза
меньшим, чем у Филд а и др. A968).
Заметим, что вследствие использования во всех рас-
рассмотренных работах недостаточно точных выражений
8
Скорость, мм/сен
12 16
10
15 20 25
Число Маха М
Рис. 12. Изменение температуры за фронтом ударной волны в за-
зависимости от М иН1 (Филд и др. A968)).
для сечений различных элементарных процессов при-
приведенные результаты расчетов могут считаться в луч-
лучшем случае верными только по порядку величины и
нуждаются в уточнении.
Лучшей проверкой теоретических расчетов структуры
области лучистой релаксации явилось бы соответствие
наблюдаемых потоков излучения от сталкивающихся
облаков с теорией.
Рядом авторов было рассчитано инфракрасное из-
излучение из-за фронта волны. Так, Филд и др. A968
подсчитали интенсивность излучения /* на единицу
площади фронта для ряда линий с длинами волн 4—

194 ГАЗОДИНАМИКА МЕЖЗВЕЗДНОЙ СРЕДЫ [Гл. 4
156 мкм при помощи формулы
xidx, D.59)
где %Т — энергия, излучаемая в данной линии с номером
i единицей объема за 1 сек. Соответствующих наблюдений
пока не производилось.
§ 4. Вспышка сверхновой как точечный взрыв
в межзвездной среде
Вспышка сверхновой представляет собой быстрое вы-
выделение огромной энергии — порядка 1051 эрг. Эта энергия
производит возмущение в окружающей звезду среде,
причем объем, охваченный возмущением, очень велик по
сравнению с тем объемом, где произошло освобождение
энергии. Поэтому вспышку сверхновой можно рассматри-
рассматривать как точечный взрыв в межзвездной среде, если изу-
изучать те стадии процесса, когда ударная волна, образую-
образующаяся при взрыве, удалилась на расстояние, большое по
сравнению с радиусом звезды.
Задача о точечном взрыве, имеющая очень много при-
приложений не только в астрофизике, но и в других областях
науки, наиболее просто решается при следующих пред-
предположениях:
а) взрыв адиабатический, т. е. потери энергии на излу-
излучение незначительны;
б) давление в невозмущенном газе (противодавление)
пренебрежимо мало по сравнению с давлением в области
возмущения;
в) среда является однородной;
г) теплопроводность газа можно не учитывать.
При выполнении этих условий задача о точечном взры-
взрыве является автомодельной. Она была решена Л. И. Се-
Седовым в 1945 г., а также независимо Тейлором. Это реше-
решение представляет собой основу для более сложных задач
о взрывах, когда одно или несколько из указанных усло-
условий не выполняется.
Рассмотрим подробно решение этой задачи при выпол-
выполнении всех указанных условий. Очевидно, что точечный

§ 4] ВСПЫШКА СВЕРХНОВОЙ 195
взрыв в однородной среде приводит к сферически-симмет-
сферически-симметричным движениям. Процесс распространения возмуще-
возмущения определяется всего двумя величинами с независимыми
размерностями—освободившейся при взрыве энергией Ео
и плотностью среды р0. Так как из размерностей этих вели-
величин
[р0] = г.см-\ [Ео] - г-см*.сект2 D.60)
нельзя составить размерностей длины или времени, то,
в соответствии с общей теорией (гл. 1, § 6), в такой поста-
постановке задача является автомодельной. Для сведения ее
к решению системы обыкновенных дифференциальных
уравнений вводим безразмерную переменную g:
От точки взрыва по среде распространяется сферическая
ударная волра. Фронту волны соответствует некоторое
значение ?0 этого параметра и поэтому зависимость радиуса
R области, охваченной возмущением, от времени опре-
определяется по D.61) следующим образом:
fh- D-62)
Зависимость скорости ударной волны!) от времени полу-
получаем из D.62):
"~?—Н—г
Таким образом, на основе одних лишь соображений
о размерностях получен очень важный вывод о законе
распространения ударной волны, вызванной взрывом. Для
того же, чтобы определить состояние газа в каждой точке
охваченной возмущением области, следует решать полную
систему уравнений — неразрывности, движения и энер-
энергии при граничных условиях, получаемых из условий
сохранения на фронте волны A.159).
Как это обычно делается при решении автомодельных
задач, вводятся функции G (?), U (?) и Z (?) — предста-
представители, плотности, скорости и температуры соответственно.
На границе (при g = ?0) они должны удовлетворять

196 ГАЗОДИНАМИКА МЕЖЗВЕЗДНОЙ СРЕДЫ [Гл. 4
условиям
D.64)
где у — показатель адиабаты.
Из соотношения D.62) и системы уравнений для пред-
представителей (см. гл. 1, § 6), из которой с помощью уравнения
состояния газа исключается G (g), получаем систему двух
обыкновенных дифференциальных уравнений:
-§- = /i (U, Z), Jig- «= /, (U, Z). D.65)
Систему D.65) удается свести к одному уравнению, ис-
использовав интеграл энергии (Л. И. Седов A965)). Он
получается следующим образом. Величина энергии, за-
заключенной между двумя движущимися сферическими по-
поверхностями, на которых значения g постоянны,
Е = 6' = const, I = I" = const, D.66)
выражается формулой
^ W D.67)
где е означает внутреннюю энергию среды, приходящуюся
на единицу массы, а г' (t) и г" (t) — радиусы поверхностей.
Изменение Щ равно работе сил давления на этих поверх-
поверхностях, т. е. имеем
-Jj?- = - 4я (pV'r - pVr'2). D.68)
При учете D.68) соотношение D.67) записывается в виде
d С ( р _ _2HL)dV = _ С pyd5. D.69)
(S)
dtX[y-
Символом dldt обозначается производная, взятая для дви-
движущегося объема, состоящего из одних и тех же частиц,
У — объем, перемещающийся вместе с частицами, и5-
поверхность, движущаяся со скоростью волны D*

4] ВСПЫШКА СВЕРХНОВОЙ 197
Между dS/dt и d$ldt существует зависимость вида
dr
где в разности — v уменьшаемым учитывается поступ-
поступление энергии в объеме между сферами в результате Сме-
Смещения его границ, а вычитаемым — потеря энергии объ-
объемом вследствие движения газа. Величина <? имеет ту же
размерность, что и Ео, и зависит от \' и ?". Поэтому
? = /(Г,Г')?о- D.71)
Так как ?', \" и Ео не зависят от времени, то
и отсюда, используя D.69) и D.70), находим
5-0- <4ЛЗ>
H
(S)
Из соотношений D.73) вытекает, что
t. D.74)
Подстановка в D.74) вместо р, р и v их выражений
через представители и использование значений этих
представителей на фронте волны приводит к соотношению
0 DЛ5)
{Р — представитель давления), из которого нетрудно по-
получить зависимость Z (U). На основе этой зависимости
второе из уравнений D.65) дает функцию U (?) и из перво-
первого уравнения тогда получается Z (?). Исследование полу-
получаемых уравнений и доказательство единственности ре-
решения было проведено Л. И. Седовым. Численное интег-
интегрирование D,65) продемонстрировало следующие осо-
особенности состояния газа в области, охваченной взрывом:
1) плотность газа быстро падает к центру — почти вся
захваченная волной масса сосредоточена около ударного
фронта;

198 ГАЗОДИНАМИКА МЕЖЗВЕЗДНОЙ СРЕДЫ [Гл. 4
2) давление с удалением от фронта сначала падает, а за-
затем остается приблизительно постоянным;
3) температура резко возрастает к центру. Последнее
обстоятельство объясняется тем, что при движении по
близким к центру взрыва областям волна была очень силь-
сильной и поэтому нагревала там газ до очень высоких темпе-
температур. Поскольку предполагается отсутствие обмена теп-
тепловой энергией между центральными и периферическими
областями, то температура вблизи центра остается высокой
и в дальнейшем. Численное решение не являющейся уже
автомодельной задачи о точечном взрыве при учете тепло-
теплопроводности показывает, что в этом случае температура
остается конечной в центре и более выровненной вдоль
радиуса.
При t ->• оо величина давления р (г) уменьшается и
-тр—> 0, а значит, у~ -?-, т. е. движение должно стано-
становиться инерционным. Однако на определенном этапе
расширения, когда р (г) становится настолько малым, что
нельзя пренебрегать противодавлением, характер дви-
движения изменяется. Его можно определить путем решения
соответствующей неавтомодельной задачи о точечном
взрыве при учете противодавления. Эта задача рассматри-
рассматривалась многими авторами, применявшими как прибли-
приближенные аналитические, так и численные методы (см., на-
например, книгу В. П. Коробейникова, Н. С.Мельниковой
и Е. В. Рязанова A961)).
Характерная длина г0 в задаче о взрыве с учетом про-
противодавления определяется расстоянием, на котором
давление на фронте волны становится равным по порядку
величины противодавлению рг. Ее можно оценить, приняв,
что при переходе всей энергии взрыва в тепло давление на
фронте станет равным р±:
2Д*р2Г2 = ръ D.76)
-|-jti?g.3i?*p2r2 = ^0 D.77)
(в этих соотношениях принято, что ионизация газа волной
полная и что среда состоит из водорода).
Из D.76) и D.77) находим

§ 4] ВСПЫШКА СВЕРХНОВОЙ 199
что лишь в 1,5—2 раза отличается от результата, полу-
получаемого путем численного решения неавтомодельной за-
задачи. При г ^> г0 движение ударной волны еще продол-
продолжается, но со сравнительно малой скоростью.
Приведенное здесь решение задачи о точечном взрыве
применимо при условии, что масса захваченного ударной
волной газа значительно превосходит массу продуктов,
образовавшихся при взрыве.
В астрофизических условиях нагретый газ всегда излу-
излучает и строгое условие адиабатичности не выполняется.
Однако неадиабатичность существенно сказывается па
движении, когда энергия, излученная газом, становится
сравнимой с энергией, выделившейся при взрыве. Следо-
Следовательно, процесс движения можно считать адиабати-
адиабатическим, пока выполняется неравенство
D.79)
где Lo — излучение за единицу времени всего объема газа,
захваченного волной.
Если точечный взрыв происходит в неоднородной среде
с экспоненциальным распределением плотности
Ро = Роое-/1'Ло, D.80)
то ударная волна движется в сторону меньшей плотности
быстрее, чем в сторону возрастания плотности. Форма ее
поверхности, обладающей осевой симметрией, вытянутая
и описывается формулой (А. С. Компанеец (I960))
D.81)
где Ф — угол, отсчитываемый от направления градиента
плотности, а — некоторая постоянная.
Как уже отмечалось в § 2, энергия вспышек сверхно-
сверхновых звезд играет видную роль в энергетическом балансе
межзвездной среды. Обсудим детальнее процесс преобра-
преобразования этой энергии в межзвездной среде, рассматривая
вспышку как точечный взрыв. Решение задачи об адиаба-
адиабатическом взрыве было впервые применено к вспышкам
сверхновых И. С. Шкловским A962).

200 ГАЗОДИНАМИКА МЕЖЗВЁЗДНОЙ СРЕДЫ [Гл. 4
В эволюции оболочек сверхновых можно выделить че-
четыре стадии, различные по их газодинамическим особен-
особенностям.
1. Начальное расширение оболочки, определяемое ус-
условиями вспышки и мало зависящее от присутствия внеш-
внешней среды.
2. Адиабатическая стадия движения, описываемая на
основе теории точечного взрыва. В этой стадии начальная
масса оболочки т0 много меньше массы возмущенного га-
газа. Радиус ударной волны R (t) и скорость ее D (t) опре-
определяются формулами D.62) и D.63). Из второго соотно-
соотношения A.159) находится температура газа непосред-
непосредственно за фронтомг
( ]
3. Стадия, когда потери энергии газом на излучение
становятся достаточно большими, чтобы влиять на рас-
распределение температуры за фронтом. В это время наибо-
наиболее существенным эффектом является перераспределение
плотности за фронтом волны, приводящее к концентрации
почти всей массы захваченного газа вблизи фронта (Кокс
A972Ь)).
4. После сформирования плотной тонкой оболочки по-
потери энергии на излучение настолько велики, что оболочку
можно рассматривать как движущуюся с постоянным ко-
количеством движения. В этой стадии газодинамические
эффекты не очень сильно влияют на скорость движения
оболочки. Поэтому приближенно можно получить эту
скорость при помощи соотношения, описывающего по-
постоянство количества движения (Оорт A951)):
-!~JtR3poi;= movo, D.83)
где v0 — начальная скорость сброшенной звездой оболоч-
оболочки. Величина R при этом меняется со временем следую-
следующим образом:
R = Ы, D.84)
в отличие от второй стадии, когда
R =\ви D.85)

§ 4] ВСПЫШКА СВЕРХНОВОЙ 201
Для оценок продолжительности каждой из стадий при-
примем следующие характерные значения параметров: Ео =
= 4-Ю50 эрг; т0 = 1033 г\ v0 = 109 см/сек, р2= Ю4 г-слГ3.
Тогда получаем, учитывая, что в первой стадии R =
= vot> условие t^>5*109 сек, при котором расширение яв-
является адиабатическим, т. е. вторая стадия должна на-
начаться приблизительно через 103 лет после вспышки. В йа-
чале этой стадии температура газа за волной Т2 ж
« 2 • 108 °К, Она относится к атомам и ионам, а электронная
температура гораздо ниже, так как вследствие малой
плотности плазмы равновесие между электронной и ион-
ионной температурами не успевает устанавливаться. Излуча-
тельная способность плазмы малой плотности очень низка
и стока энергии в это время практически нет. Условие
Те = Т2 начинает выполняться при Г2 ^ 5*107 °К
(И. С. Шкловский A966)), т. е, через несколько тысяч
лет после взрыва. Излучение плазмы становится достаточ-
достаточно сильным при более низких температурах, и поэтому
неадиабатичность (начало третьей стадии) будет сказывать-
сказываться на состоянии оболочки лишь при Т2 ~ 5-Ю6 °К.
В соответствии с D.82) такое значение Т2 должно достигать-
достигаться спустя 30—50 тысяч лет после начала движения газа.
Более точная оценка времени 2ад начала третьей ста-
стадии была произведена Коксом A972b). Из очевидного
условия, заключающегося в том, что температура элемен-
элемента за фронтом падает из-за высвечивания быстрее, чем
из-за расширения фронта, он нашел (в последующие фор-
формулы входит энергия Ео в единицах 0,75* 1051 эрг)
*ад в 2,76 (^Ц2/11AО22«Г>го)-5>« • 10* лет. D.86)
При Т > 107 °К можно принять постоянным произведение
?~щг. Из D.86) тогда получается, что к моменту ?ад газом
за фронтом будет потеряна путем излучения энергия
0,09 Ео. В интервале 106 °К < Т < 107 °К более точным
является следующее представление функции ST:
Ж-^Зб-Ю-к^Г-1. D.87)
При посредстве D.87) получаем
L(t)dt = Ео]\ - (фУ\ (t<*% D.88)

202 ГАЗОДИНАМИКА МЕЖЗВЕЗДНОЙ СРЕДЫ [Гл 4
а время охлаждения № (т. е. продолжительность треть-
третьей стадии) соответственно равно
*<с> = 5,3(^-Х117щь/17. 104 лет.
\ по I
Таким образом, плотная оболочка приблизительно за
10—15 тысяч лет охлаждается до температур порядка
103 °К.
Газ, находящийся ближе к центру, остается горячим
(Т ^ 106 — 108 °К) в силу своей малой плотности и сжи-
сжимает оболочку. Давление на фронте волны падает и это
обстоятельство, вместе с давлением газа изнутри, приводит
к образованию тонкой и довольно плотной оболочки, ко-
которая постепенно переходит в четвертую стадию своей
эволюции.
В течение третьей стадии, а значит, тем более и во время
второй противодавление можно не учитывать. В это время
радиус фронта волны составляет 1019—3-Ю19 см, тогда как
величина г0, определяемая согласно D.78), даже при Г^=
= 101°К превосходит 1021 см.
Процессы, протекающие внутри оболочки сверхновой-,
очень сложны. При вспышке образуются космические лу-
лучи, оказывающие давление на оболочку; пульсар, нахо-
находящийся на месте вспыхнувшей сверхновой, продолжает
излучать в области жесткого рентгена; внутри оболочки
может находиться множество релятивистских частиц и т. п.
Все 4это, безусловно, сказывается на характере движения
оболочки во всех стадиях, но расчет соответствующих
эффектов сложен и сейчас их нельзя в газодинамической
картине строго учесть. Обзор соответствующих проблем
произведен1 Волтьером A972), а также содержится в
статьях И. С. Шкловского A962), Строке A974) и Строке,
Лада A975) (там же ссылки на другие работы). Что ка-
касается взаимодействия оболочки с межзвездной средой, то
во многих работах оно обсуждается в различных аспектах.
Прежде чем говорить о них, остановимся на наблюдатель-
наблюдательной стороне вопроса.
К 1975 г. в Галактике было известно более ста объектов,
которые могут считаться туманностями, образованными
в результате вспышек сверхновых (Миллс A975)). Среди
наиболее известных укажем на КрабовиднукЬ туманность,
«остатки» сверхновых Тихо Браге и Кеплера, радиоисточ-

§ 4] ВСПЫШКА СВЕРХНОВОЙ 203
ник Кассиопея А, система волокнистых туманностей, на-
называемая Петлей, в созвездии Лебедя. Крабовидная ту-
туманность до всем данным находится в первой стадии, воз-
возможно, то же самое имевт место и для Кассиопеи А. Об
эволюционной стадии других остатков сверхновых трудно
сделать определенные заключения, кроме Петли, которая,
по-видимому, находится в стадии охлаждения (третьей
стадии) и является одним из самых удобных объектов для
проверки теоретических моделей. К тому же она много
наблюдалась в радио- и оптическом диапазонах.
Согласно С. Б. Пикельнеру A954) волокна в Петле
являются плоскими ударными фронтами, образующи-
образующимися при столкновении расширяющейся оболочки с обла-
облаками межзвездной среды. Мы видим их с ребра. Время
охлаждения газа в таком слое около 2-Ю3 лет. Скорость
ударной волны, по данным наблюдений, около 100 км/сек.
Расчет свечения волокон в линиях На и [О III] подтвер-
подтверждает эту картину, поскольку вычисленные интенсивно-
интенсивности линий согласуются с наблюдаемыми.
В центральных областях Петли содержится горячий
(Т7 = A—2)-106°К) газ. Эта температура определена по
наблюдениям рентгеновского излучения, дающим поток
Lp = Ю36 эрг-сек. По этой температуре, зная объем F,
занимаемый газом (радиус туманности 20 пс и V ж
« 1060 см3), и его массу B30 9R©), можно рассчитать излу-
излучение в частоте корональной линии [Fe X] Я 6374 А.
Результат вычислений зависит от предположений о плот-
плотности газа внутри оболочки и энергии вспышки. Две аль-
альтернативные модели дают один и тот же результат:
а) Ео = 4-Ю50 эрг, п = 1, возраст 45 000 лет;
б) Ео = 6-Ю50, п = 0,15, возраст 16 000 лет.
Модель а) соответствует этапу, когда охлаждение почти
закончилось; модель б) — стадии продолжающегося
высвечивания. Величина Lx6374 = 3-1033 эрг-сек слиш-
слишком мала, чтобы ее можно было наблюдать современными
средствами.
Расширяющаяся оболочка сверхновой подвержена
влиянию разного рода неустойчивостей особенно на по-
последних стадиях .эволюции. Неустойчивостями многие
авторы объясняют образование наблюдаемых волокнистых
структур в остатках сверхновых. Для быстро расширяю-
расширяющихся оболочек на ранних стадиях может играть роль

204 ГАЗОДИНАМИКА МЕЖЗВЕЗДНОЙ СРЕДЫ [Гл. 4
неустойчивость Рэлея — Тейлора (Гелл A975)). Наблюде-
Наблюдения ее в это время затруднительны. На поздних стадиях
возможно развитие тепловой неустойчивости (Маккрей,
Стейн A975)) за фронтом ударной волны и соответственно
фрагментация оболочки. Такая же неустойчивость, сог-
согласно расчетам Мафсона A974), имеет место в ударной вол-
волне, распространяющейся в межзвездном газе. При опре-
определенных условиях волна вызывает фазовый переход.
Расширяющаяся оболочка сверхновой при скоростях
200—10 км/сек дает ударную волну, способную превратить
в плотную фазу очень большое количество — до 3 • 103 ЭД© —
ме^облачного газа.
Возникновение волокон возможно более простым пу-
путем — при взаимодействии ударной волны с плотными об-
облаками. Фронт волны огибает облако, искривляется и об-
образует излучающую в спектральных линиях На и [N II]
узкую область (Макки, Коуи A975)). В работе Сгро
A975) подчеркивается, что под действием ударной волны
облака уплотняются, образуя светящиеся «узлы» в «ос-
«остатке». При достаточно большой начальной плотности
облака (п -^ 103 см"г) эти узлы движутся гораздо мед-
медленнее, чем остальной газ. Таким путем удается объяс-
объяснить некоторые особенности «молодого» остатка Кассио-
Кассиопея А.
Кроме указанных причин, каждая из которых может
играть роль в образовании наблюдаемых структур оболо-
оболочек, нужно принимать во внимание магнитные поля. При
движении оболочки она заметает вместе с газом и вморо-
вмороженное в него магнитное поле. Это поле, уплотняясь за
фронтом волны, препятствует сжатию оболочки и, есте-
естественно, должно оказывать влияние на ее динамику, но
в ряде расчетов (Кокс A972а, Ь)) оно в должной мере
не учитывалось. С другой стороны, на ранних стадиях рас-
расширения может оказаться существенным и действие на
оболочку магнитного поля нейтронной звезды, образую-
образующейся в процессе вспышки (Н С. Кардашев A964)). На
динамике оболочки должна сказываться также продолжа-
продолжающаяся долгое время после взрыва инжекция реляти-
релятивистских электронов в туманность, о которой свидетель-
свидетельствуют данные радионаблюдений (И. С. Шкловский
A966)), Эти обстоятельства сильно усложняют точное ис-
исследование действия вспышки сверхновой на межзвезд-

§ 5] ИОНИЗАЦИОННЫЕ ФРОНТЫ 205
ную среду. Тем не менее надо полагать, что картина яв-
явления, описанная выше, в общих чертах правильна.
Отметим еще одну интересную работу, касающуюся
влияния «глобальной» неоднородности межзвездной среды
на структуру оболочки сверхновой. Как известно, плот-
плотность межзвездной среды с удалением от галактической
плоскости убывает. Использовав теорию точечного взры-
взрыва в среде с экспоненциально убывающей плотностью,
Галлисфорд A974) объяснил специфическую форму —
вытянутость,— одного из остатков сверхновых — туман-
туманности IC443. На основе расчетов формы и свечения остат-
остатка путем сравнения теории с наблюдениями удалось найти
энергию вспышки (Ео = 1,8* 1050 эрг), начальную концен-
концентрацию атомов межзвездной среды вблизи центра взры-
взрыва (п ж 8 см) и шкалу высот До = 1,2 Ro, где i?0 — ра-
радиус туманности в направлении, перпендикулярном к гра-
градиенту плотности в ней.
§ 5. Ионизационные фронты
Ударная волна с классической точки зрения представ-
представляет собой движущуюся поверхность разрыва величин,
характеризующих состояние газа. В условиях меж-
межзвездной среды существуют разрывы особого типа, обус-
обусловленные различием в степени ионизации по обе стороны
от некоторой узкой области, например, на границе зоны
ионизованного водорода. Как обычно считается в астро-
астрофизике (см., например, В. В. Соболев A975)), толщина
переходного слоя от зоны НИ, образованной под дей-
действием излучения горячей звезды, к области нейтрального
водорода мала по сравнению с радиусом зоны Н II. Такой
скачок называют ионизационным фронтом.
Ионизационный фронт может быть покоящимся отно-
относительно среды (и тогда поток газа через него равен нулю)
только при условии равенства давлений по обе стороны
фронта. Однако для такого равенства необходимо, чтобы
отношение плотности газа в зоне Н II к плотности в об-
области нейтрального водорода было обратно пропорцио-
пропорциональным отношению соответствующих температур. Вели-
Величина температуры в обеих областях определяется совер-
совершенно различными факторами, и отношение температур
сильно отличается от единицы, а плотности межзвездного

206 ГАЗОДИНАМИКА МЕЖЗВЕЗДНОЙ СРЕДЫ [Гл. 4
газа меняются в пространстве независимо от этого. Следо-
Следовательно, ионизационный фронт должен двигаться до тех
пор, пока давления по обе стороны его не станут одина-
одинаковыми, что, вообще говоря, происходит не обязательно.
Движение ионизационного разрыва может сопровож-
сопровождаться образованием ударной волны, и тогда нужно сов-
совместно рассматривать систему обоих взаимодействующих
разрывов.
Важнейшим обстоятельством, отличающим ионизаци-
ионизационный фронт от разрывов других видов, является то, что
поток массы через разрыв определяется внешним фак-
фактором — потоком фотонов от звезды, ионизующих газ.
После того как атомы водорода в данном элементе газа,
находившемся в области Н I, под действием излучения
звезды будут ионизованы, этот элемент следует относить
уже к зоне Н II. Поэтому для чисто водородной среды ус-
условие сохранения потока массы на ионизационном разрыве
записывается в следующем виде:
р2 (Di - v2) = PlA = Jc, D.89)
где, как обычно, индексами «1» и «2» обозначены значения
соответствующих величин до фронта и за ним, Dx — ско-
скорость фронта относительно области нейтрального водоро-
водорода, предполагаемой покоящейся, и /с — поток ^онизую-
щих фотонов через единицу площади фронта. Величина /с
определяется соотношением
]^ D.90)
где р* — плотность излучения звезды, hv0 — потенциал
ионизации водорода, гггн — масса атома водорода и с —
скорость света. Если принять, как это часто делают, что
оптическая толщина тнп зоны НИ мала (тНц ^ 1), то для
/с получаем (С. А. Каплан A958))
D.91)
Здесь L — светимость звезды, г — расстояние фронта
от звезды, q — доля излучения ее, приходящаяся на лай-
мановский континуум, и qx — среднее значение той доли
энергии фотона, которая при ионизации атома переходит

§ 5] ИОНИЗАЦИОННЫЕ ФРОНТЫ 207
в кинетическую энергию отрывающегося электрона. Ве-
Величины q и q x зависят от распределения энергии в спектре
звезды.
Условия сохранения потока импульса и потока энергии
на ионизационном разрыве записываются в такой форме:
Pi + Pi#i = Рг + Р2 (Di - v2)\ D.92)
+
Последнее слагаемое в левой части D.93) дает поток
энергии от источника, внешнего по отношению к неиони-
зованному газу. Это энергия потока фотонов за вычетом
энергии ионизации. В уравнении D.93) не учитываются
потери на излучение внутри фронта, а в D.92) опущен
член, соответствующий давлению излучения.
Из соотношений D.89), D.92) и D.93) при заданных
значениях р1? Тъ Т2 и известных величинах L, q, g1? г
можно найти скорость фронта Z?j, скорость и плотность
газа за фронтом в предположении о стационарности дви-
движения.
Хотя движение ионизационного фронта в стационарном
случае определяется лишь потоком фотонов, нужно иметь
в виду, что невозмущенный газ перед фронтом подвергает-
подвергается давлению со стороны области Н II и поэтому уплот-
уплотняется. Становясь в дальнейшем ионизованным и имеющим
температуру порядка 104°К, он при определенных усло-
условиях в силу своей повышенной плотности расширяется —
оттекает от фронта в сторону источника ионизации.
Если движение газа в это время обусловлено только давле-
давлением в нем, то отток должен происходить со скоростью,
равной местной скорости звука:
^. D.94)
Pi,
Соотношение D.94), называемое условием точки Жуге,
переопределяет систему уравнений D.89), D.92), D.93)
и приводит к тому, что решение системы может существо-
существовать только при определенном значении рх. Если же

208 ГАЗОДИНАМИКА МЕЖЗВЕЗДНОЙ СРЕДЫ [ГЛ. 4
величина рх иная, то стационарное движение фронта
невозможно.
Условие D.94) выполняется не всегда. В частности, до-
достаточно высокое давление газа в зоне НИ препятствует
оттоку газа от фронта. Как показали расчеты Ласкера
A967), при увеличении размеров зоны и соответствующем
уменьшении /с наступает состояние, когда давление во
вновь ионизованном газе недостаточно велико, чтобы выз-
вызвать его отток.
Вообще говоря, движение ионизованного фронта не яв-
является стационарным, так как величина г меняется со
временем. При этом изменяется и состояние зоны НИ,
а также структура фронта. Поэтому задачу об эволюции
ионизационного фронта следует решать как нестационар-
нестационарную газодинамическую задачу, причем соотношениями
D.89), D.92) и D.93) задаются граничные условия для
системы уравнений газодинамики, описывающей движе-
движение газа. В предположении сферической симметрии дви-
движения эти уравнения, одинаковые для обеих областей Н I
и Н II, таковы:
D-96)
Здесь 50^ — масса звезды.
В зоне Н II к этой системе следует добавить уравнение,
определяющее изменение степени ионизации п+/п, обоз-
обозначаемой через х:
| ^ D.97)
и уравнение, описывающее изменение потока ионизую-
ионизующих фотонов:
н
Здесь через alc обозначен коэффициент поглощения
этих фотонов и Cj — коэффициент рекомбинации атомов
водорода на основной уровень.
В общее уравнение энергии, которое здесь не выпи-
выписывается, должны быть добавлены члены, учитывающие

§ 5] ИОНИЗАЦИОННЫЕ ФРОНТЫ 209
потери тепловой энергии при рекомбинациях и прирост ее
в результате ионизации.
Прежде чем говорить о расчетах эволюции ионизаци-
ионизационных фронтов путем решения полной системы D.95) —
D.98), рассмотрим вопрос о структуре области, приле-
прилегающей к ионизационному разрыву. Точное определение
структуры требует, помимо задания величин /с, рх, 7\,
также знания условий в зоне Н II. При приближенном ис-
исследовании структуры можно ограничиться заданием ве-
величины Г2.
Характер движения в слое неионизованного водорода,
непосредственно прилегающем к ионизационному разрыву,
зависит от соотношения между величиной потока ионизу-
ионизующих фотонов и значением плотности рх (Кан A954)). Если
плотность неионизованного газа достаточно мала (рх <
< ря), то ионизационный фронт движется по газу со сверх-
сверхзвуковой скоростью. Такой фронт относят к типу R. При
условии рд < Pi < Pd впереди ионизационного фронта
движется ударный фронт, а между ними находится об-
область сжатого газа. В таком случае говорят о фронте типа
М. Наконец, в том случае, когда плотность рх достаточно
велика (pr> < Pi), ионизационный фронт движется с до-
дозвуковой скоростью, а перед ним со скоростью звука рас-
распространяется волна сжатия (фронт типа D). Критиче-
Критические значения плотности рд и р# зависят от /с.
Газ за ионизационным-фронтом,— в зоне НИ, расши-
расширяется. Фронт (типа R или D) называют сильным, если
расширение происходит со сверхзвуковой скоростью, и
слабым, когда скорость расширения дозвуковая. Проме-
Промежуточный случай, соответствующий критическому фрон-
фронту, возможен лишь при рх = рд или рх = р#, т. е. только
при определенном значении плотности газа перед фронтом.
Для критического фронта (как типа R, так и типа D)
выполняется условие D.94). Этим обусловливается, как
отмечалось выше, необходимость того, чтобы рх имело не-
некоторое определенное значение.
Существенное влияние на движение ионизационного
фронта оказывает высвечивание газа за фронтом волны.
Если температуру газа за фронтом считать определяющей-
определяющейся лишь полем излучения и близкой к 104 °К, то из условий
сохранения на фронте получается следующее выражение
Для величины D\ с точностью до членов первого порядка

210 ГАЗОДИНАМИКА МЕЖЗВЕЗДНОЙ СРЕДЫ [Гл. *
малости по отношению к TJT2 (у = 5/3) (С. А. Каплан
A958)):
4 |/^я*Г2[1 + A_^-?)]. D99)
Отсюда следует, что возможны два значения скорости:
D{ ^ 20 км/сек и D{ ^ 0,3 км/сек. Первое из этих реше-
решений соответствует фронту типа R, второе — фронту типа
D. Поскольку во втором случае неионизованный газ дол-
должен быть нагрет волной сжатия, его температура принята
равной Тг = 103 °К.
При детальном изучении структуры слоя газа, отде-
отделяющего ионизованный газ от неионизовапного, необхо-
необходимо учитывать различные релаксационные процессы, в ко-
которых важную роль играет излучение. В работе Макфер-
сона A974) структура ионизационного фронта рассчитана
путем решения кинетического уравнения в стационарном
случае для смеси атомов, электронов, протонов и фотонов.
При этом предполагалось, что концентрация атомов пх
и температура Тг в невозмущенной среде равны соответ-
соответственно пг = 100 см и Тг = 100 °К. Ионизующее среду
излучение — чернотельное, соответствующее темпера-
температуре 20 000 °К. В качестве внешнего параметра задается
'также значение числа Маха М для образующейся ударной
волны. Оно принято равным 7,5. Величина М для волны
зависит от параметра /с и, следовательно, значение М
определяет радиус ионизационного фронта. При М =
= 7,5 радиус фронта в 15 раз превосходит радиус звез-
звезды и поэтому внутри фронта можно пренебречь кривиз-
кривизной слоев.
Результаты расчета структуры ионизационного фрон-
фронта для того момента, когда он находится на указанном
расстояния от звезды, представлены графически (рис. 13
и 14). На первом из них показано, как меняются темпера-
температура и плотность, а на втором — скорость в зависимости
от расстояния до невозмущенной области. Структура пе-
переходной области оказывается весьма сложной. Внутри
нее имеются минимум плотности и максимум температуры
электронного газа. Скорость газа также меняется немо-
немонотонно и при этом не одинаково для различных частиц.
Из результатов расчета следует, что толщина об-
области, в которой происходят релаксационные процессы,

§ 5]
ИОНИЗАЦИОННЫЕ ФРОНТЫ
211
- 1550
-1500
- 1450
- 1400
- 1350
0 2 4 6 8
Расстояние от небозмущеннои
области перед скачком, см-10~ts
Рис. 13. Распределение плотности (кривая 1) и температуры (кривая
2) внутри ионизационного фронта (Макферсон (Д974Л.
ЛГ 10" 10" 10'° 10" 10"
Расстояние от небозмущеннои. области перед сначмом, см
Рис. 14. Распределение скорости внутри ионизационного фронта
(Макферсон A974)): О — водородные атомы, Д — электроны,
? — протоны.

212 ГАЗОДИНАМИКА МЕЖЗВЕЗДНОЙ СРЕДЫ [Гл. 4
оказывается не очень малой по сравнению с радиусом зоны
НИ. В рассматриваемом случае она составляет около
0,05 псг что на два порядка превосходит толщину, по
прежним оценкам равную 0,0005 пс (С. А. Каплан,
С. Б. Пикельнер A963)).
Вопрос об относительной толщине зоны сжатого газа
между ионизационным и ударным фронтами приобрел ак-
актуальность после того, как радионаблюдениями было уста-
установлено, что многие из зон НИ окружены расширяющи-
расширяющимися плотными оболочками нейтрального водорода, имею-
имеющими толщину около половины радиуса зоны (Филд
A972)). Расчеты эволюции зон НИ приводят к меньшим
значениям толщины сжатой области — 0,01—0,1 радиуса
зоны.
При исследованиях эволюции областей ионизованного
водорода обычно предполагают, что в некоторый момент
в нейтральном газе возникает источник ионизующего из-
излучения — горячая звезда. За короткое время — около
lO4^ лет — быстро распространяющийся по газу (со
скоростью порядка 103 км/сек) ионизационный фронт при-
приводит к возникновению зоны НИ, радиус которой ъ0
определяется хорошо известной формулой (см. В. В. Со-
Соболев A975))
где ас — коэффициент поглощения за пределом лайманов-
ской серии, Н% — радиус звезды и / (Т%) — функция тем-
температуры звезды Т%, имеющая вид
№e^.. D.10!)
В дальнейшем тип ионизационного фронта меняется (он
становится типа D) и возрастание радиуса зоны НИ про-
происходит гораздо медленнее.
В подробных расчетах эволюции областей-Н II,-выпол-
II,-выполненных Метьюзом A965) (см. также Метьюз, О'Делл
A969)), учитывалось возрастание светимости звезды
в лаймановском континууме Lc со временем, обусловленное
эволюцией самой звезды. В эпоху, когда радиус зоны НИ
достигает значения s0, за ионизационным фронтом суще-

§ 5] ИОНИЗАЦИОННЫЕ ФРОНТЫ 213
ствует пик температуры высотой до 3»104°К. В основной
части области Н II температура гораздо ниже — близка
к8-102°К вследствие охлаждения газа путем возбуждения
атомов кислорода и последующего выхода их излучения
наружу. Поток Lc прямого излучения, доходящий до ио-
ионизационного фронта, уменьшается со временем, так как
это излучение поглощается внутри зоны Н П. Поглоще-
Поглощением компенсируется эффект рекомбинаций, приводя-
приводящий к «дроблению» фотонов Lc внутри зоны и выходу их
из нее.
Вычисления позволили также проследить образова-
образование ударного фронта. Скорость ионизационного фронта
оказывается после достижения им радиуса s0 очень ма-
малой — 0,1—0,2 км/сек. Скорость ударной волны выше
(М » 4) и она сжимает газ, одновременно нагревая его до
Т ж 104 °К. Нагретый газ очень быстро охлаждается, и
температура в слое между ионизационным и ударным
фронтами составляет около 2000 °К. Ширина слоя сжа-
сжатого газа на том этапе, до которого были доведены расчеты
(через 6»104 лет после начала процесса), составляла око-
около 0,1 радиуса зоны.
Таким образом, результаты расчета согласуются с той
схемой движения стационарного ионизационного фронта,
которая была описана выше и получена путем анализа ус-
условий сохранения на фронте.
Реально наблюдаемые зоны НИ имеют, по-видимому,
возраст больший, чем 6»104 лет, и к ним применимы ре-
результаты расчетов Ласкера A967), изучавшего эволюцию
за время начиная от 2»104 лет до 2* 106 лет. Температура
в зоне Н II принимается постоянной и равной 104 °К,
а также вводится ряд упрощающих предположений относи-
относительно структуры переходной области. Указанные расчеты
позволили отчетливо проследить образование ударного
фронта и возрастание толщины слоя, сжатого ударной
волной. Однако она остается меньшей 0,1 Дни, что, как
уже отмечалось, не согласуется с наблюдениями.
В качестве возможных причин сильного увеличения
толщины сжатой области различными авторами указы-
указывалось на турбулентное давление в облаках нейтрального
водорода и действие магнитного давления. Соответствую-
Соответствующие расчеты пока не производились. Вместе с тем нужно
учитывать, что охлаждение газа на пыли, имеющейся

214 ГАЗОДИНАМИКА МЕЖЗВЕЗДНОЙ СРЕДЫ [Гл 4
в нейтральном водороде, должно приводить к уменьше-
уменьшению толщины сжатой; области.
Картина сферически-симметричного ионизационного
фронта, распространяющегося под действием точечного
источника ультрафиолетового излучения в однородной
среде, представляется крайне идеализированной. С одной
стороны,, межзвёздная среда очень неоднородна, с другой
стороны, горячие звезды располагаются в ней агрегатами.
Поэтому в действительности ионизационные фронты часто
создают сложную конфигурацию. Так, если ионизацион-
ионизационный фронт встречает на своем пути уплотнение нейтраль-
нейтрального газа, то он может обходить его, образуя так называе-
называемый «слоновый хобот». Это явление наблюдается как тем-
темная полоска внутри светлой диффузной туманности, окай-
окаймленная ярким ободком — «римом». Газ, составляющий
яркий-ободок, оттекает от ионизационного фронта, который
в данном случае относится к критическому типу D. Рас-
Распределение яркости, полученное для такой модели, хоро-
хорошо согласуется с наблюдениями (Потташ A958)) и, кроме
того, на отток газа указывают и спектроскопические дан-
данные. Заметим, что имеется и другая точка зрения на при-
причины образования «слоновых хоботов», связывающая их
с действием магнитно-гравитационной неустойчивости
Рэлея — Тейлора. Об этом будет сказано несколько ниже.
Когда в неоднородной межзвездной среде достаточно
близко расположено несколько горячих звезд, то обра-
образуется система ионизационных фронтов. Так, Эллиот и
Миберн A974) нашли, что в ядре туманности М 8 суще-
существует комплекс ионизационных фронтов, связанных,
в частности, со звездами Трапеции. В М 42 вся область
ионизованного газа является совокупностью ионизацион-
ионизационных фронтов, по выражению авторов, «вгрызающихся»
в огромный объем нейтрального вещества, во много раз
превосходящий видимую туманность.
Присутствие «слоновых хоботов» и других наблюдае-
наблюдаемых нерегулярностей в ионизационных фронтах неодно-
неоднократно пытались объяснить неустойчивостью фронтов.
Спитцером A954) было высказано мнение, что при дви-
движении ионизационного фронта развивается неустойчи-
неустойчивость Рэлея — Тейлора, причем роль «тяжелой жидкости»
играет нейтральный газ, а ускорение обусловлено расши-
расширением области НИ. Хотя анализ наблюдений проде-

§ 5] ИОНИЗАЦИОННЫЕ ФРОНТЫ 215
монстрировал, что возникновение «слоновых хоботов» и
других наблюдаемых особенностей не может быть объяс-
объяснено таким путем, к идее о важном значении неустойчи-
неустойчивости Рэлея — Тейлора в динамике ионизационных фрон-
фронтов неоднократно возвращались. В работе Каприотти
A973) предположение о такой неустойчивости привле-
привлекается для объяснения неоднородностей в туманности
NGC 7293. Анализ устойчивости туманности, применимый
и к ионизационным фронтам, производится методом малых
возмущений. Уравнения неразрывности и движения запи-
записываются в системе координат, связанной с ионизацион-
ионизационным фронтом:
ib + PV^-O, p_^ + cVp + pfir = O) D.102)
причем в области нейтрального водорода
I? = 0, D.103)
а в зоне Н II
Ч-9
Из D.102) получаются уравнения, определяющие воз-
возмущения плотности бр и скорости 8v, которые после исклю-
исключения 8v дают
{¦ж + v> wf 6р -
где а = 0 для области Н II и а = 1 для области нейтраль-
нейтрального водорода.
Решение уравнения D.105) ищется в виде
бр = А ехр~Ы + i (кхх + куу) + az], D.106)
где а — некоторый параметр. С помощью соответствую-
соответствующего характеристического уравнения находится инкре-
инкремент возмущения. Он стремится с возрастанием радиуса
зоны НИ к значению
p D.107)
Масштаб возмущения плотности в направлении, пер-
перпендикулярном к невозмущенному фронту, определяется

216 ГАЗОДИНАМИКА МЕЖЗВЕЗДНОЙ СРЕДЫ [Гл. 4
величиной ах < 0. Критическая длина волны А,Крит нахо-
находится из условия
Неустойчивость ионизационного фронта развивается,
когда поток нейтральных атомов через невозмущенный
фронт больше, чем поток ионизующих фотонов. Эти фото-
фотоны оказываются тогда не в состоянии подавить «языки»
или «пички» нейтрального газа, вклинивающиеся в зону
НИ. Условие развития неустойчивости записывается в та-
такой форме:
^L>/C) D.109)
где ?Рек — время рекомбинации атома водорода на все
уровни, кроме основного. При условии D.109) рекомби-
рекомбинации идут медленнее чем нужно, чтобы подавить смеще-
смещения «языков» ионизованного газа в направлении движе-
движения фронта.
«Пички», состоящие из нейтрального газа, вклинив-
вклинившегося в зону НИ и стекающего в сторону, противополож-
противоположную направлению ее расширения, подвергаются действию
неустойчивости Кельвина — Гельмгольца. В результате
они трансформируются в образования типа глобул с ха-
характерным размером порядка Якрит. Соответственно массы
этих глобул получаются порядка 1027 г.
Образование глобул в результате разрушения «слоно-
«слоновых хоботов» предполагалось и ранее (Потташ A958)).
Что же касается образования самих «слоновых хоботов»,
то они, согласно Дибаю A971), могут возникать в резуль-
результате магнитно-гравитационной неустойчивости межзвезд-
межзвездной среды. Различные проблемы, связанные с динамикой
образования глобул и их эволюцией, обсуждаются в рабо-
работе Дибая A958). Он, в частности, предполагает, что в про-
процессе уплотнения газа в глобулу существенная роль при-
принадлежит кумулятивной ударной волне, сходящейся к
центру глобулы.
Ввиду математических трудностей задача об услови-
условиях устойчивости ионизационного фронта, обладающего,
как было показано выше, очень сложной структурой, до

§ 5] ИОНИЗАЦИОННЫЕ ФРОНТЫ 217
конца не решена и необходимы дальнейшие исследования
в этом направлении. В частности, очень важно оценить
роль нелинейных эффектов в развитии неустойчивости.
Выше (§ 3) на расширение областей НИ указывалось
как на один из важнейших источников поступления кине-
кинетической энергии в межзвездную среду. В областях НИ
энергия излучения горячих звезд перерабатывается в теп-
тепловую энергию газа, а давление горячего газа сообщает
кинетическую энергию окружающей среде. Согласно рас-
расчетам Л аскера A967) в среднем в кинетическую энергию
переходит 0,0024 излучения всех горячих звезд. Это со-
составляет лишь около 1/6 общей энергии движения межзвезд-
межзвездной среды. Дополнительная энергия в области НII может
вноситься также вследствие истечения вещества из звезд.
Роль этого фактора будет обсуждаться в гл. 5 (§ 5).

Тлава 5
ДВИЖЕНИЯ ГАЗА В ЗВЕЗДАХ
В этой главе рассмотрен ряд задач газодинамики звезд
и звездных оболочек для тех случаев, когда вращение
звезды не сказывается определяющим образом на харак-
характере течения. Изложение начинается с описания структу-
структуры внешних конвективных зон. От строения конвективной
зоны и характера движений в ней существенно зависит
динамическое состояние наблюдаемых наружных слоев
звезды. Кроме того, наличие конвективной зоны сказы-
сказывается на глобальных свойствах звезды, в частности, на
ее колебаниях и динамике взрыва. Эти явления дают очень
много сведений о строении и эволюции звезд и их исследо-
исследование в большой степени стимулировало развитие косми-
космической газодинамики. Результаты изучения колебаний
звезд и взрывов в звездах методами газодинамики описы-
описываются во втором и третьем параграфах.
Взрывы в звездах приводят к наблюдаемым явлениям,
обусловленным выходом ударной волны наружу и выбра-
выбрасыванием газа из звезд, как в виде дискретных оболочек,
так и в форме непрерывного истечения. Газодинамические
проблемы, возникающие в связи с изучением этих течений,
еще далеки от полного решения, но многое уже удалось
выяснить. В четвертом параграфе изложены основные ре-
результаты исследований ударных волн, распространяю-
распространяющиеся во внешних слоях звезд и в оболочках новых звезд.
Нестационарное истечение нагретого волной газа с по-
поверхности звезды описано в последнем параграфе. Там же
рассмотрено стационарное течение, называемое звездным
ветром и возникающее вследствие сильного нагрева са-
самых наружных областей у звезд, имеющих внешние кон-
конвективные зоны, а также под действием давления излуче-
излучения у звезд очень высокой светимости.

§ 1] СТРОЕНИЕ КОНВЕКТИВНОЙ ЗОНЫ ЗВЕЗДЫ 219
§ 1. Строение конвективной зоны звезды
и конвекция в звездных атмосферах
Возникновение внешней конвективной зоны у звезд
спектральных классов F и более поздних вызвано умень-
уменьшением эффективного показателя адиабаты у на уровне
ионизации наиболее распространенного элемента и изме-
изменением коэффициента поглощения, приводящим к умень-
уменьшению лучистого градиента температуры. Прежде чем
описывать свойства этих зон, скажем коротко о внутрен-
внутренних конвективных зонах, которые должны быть в цен-
центральных областях горячих массивных звезд.
Скорость выделения энергии в результате реакций угле-
углеродно-азотного цикла очень сильно зависит от температу-
температуры (~Т20), тогда как поток излучения пропорционален Г4.
В этих случаях перенос энергии излучением оказывается
недостаточным и действует более эффективный способ пе-
переноса конвекцией. Во внутренней конвективной зоне
величина сверхадиабатического градиента обычно очень
мала по сравнению с адиабатическим градиентом:
я поэтому уравнение состояния для этой зоны записывает-
записывается в виде (у = 5/3)
р = КГ'; E.2)
где К — некоторый коэффициент. Соответственно для рас-
расчета потока энергии во внутренней конвективной зоне
можно использовать выражения типа C.174) и этот рас-
расчет производится сравнительно просто. Что же касается
внешней конвективной зоны, то для нее расчет строения
очень сложен, так как здесь температура и давление в каж-
каждой точке зависят от величины потока энергии, который
сам по себе определяется строением оболочки. Таким об-
образом, необходимо решать самосогласованную задачу.
Метод расчета внешней конвективной зоны был впер-
впервые предложен Бём-Витензе A958). В указанной работе
предполагается, что величина конвективного потока на
Данном уровне определяется лишь характеристиками со-
состояния газа на этом же уровне. Такая теория конвектив-
конвективной зоны называется локальной. Рассмотрим метод Бём-
Витензе более детально, поскольку они его модификации

220 ДВИЖЕНИЯ ГАЗА В ЗВЕЗДАХ [Гл. 5
до настоящего времени широко используются, хотя в кон-
конце шестидесятых годов были предложены и более точные
нелокальные теории. Предварительно укажем общие ус-
условия, при которых производятся подобные расчеты.
Конвективная зона принимается находящейся в ста-
стационарном состоянии, т. е. поток энергии, обусловленный
конвекцией (^конв), и поток энергии, переносимый излу-
излучением (/^изл), считаются не зависящими от времени. Кро-
Кроме того, на каждом уровне предполагается выполненным
условие гидростатического равновесия
^ = 1фу E>3)
где х (pg, T) — росселандовский средний коэффициент не-
непрозрачности. При условии, что имеет место ионизацион-
ионизационное равновесие, описываемое формулой Саха, для задан-
заданного химического состава можно вычислить как х (pg, T),
и величину
^ / dlnT
=(
Поскольку звезда находится в лучистом равновесии,
логарифмический лучистый градиент Уизл определяется
известным выражением:
V «AJ^LfZsSiV E.5)
Уизл ~ 16 g \ Т ) ' К }
В самых наружных слоях звезды (на оптических глуби-
глубинах т <^ 1) величины рёян очень малы и там выполняется
условие
^изл<^ад. E.6)
Соответственно эти слои конвективно устойчивы. В атмо-
атмосферах звезд главной последовательности условие E.6) на-
нарушается уже при т ^ 1, главным: образом вследствие бы-
быстрого возрастания х с оптической глубиной. Значение т,
соответствующее верхней границе конвективной зоны, су-
существенно зависит от температуры звезды и, значит, от ее
спектрального класса. У звезд классов F0 и более ранних
(ГЭфф]> 7000 °К) уменьшение величины Уад недостаточ-
недостаточно быстрое для того, чтобы вызвать образование внешней
конвективной зоны (В. Г. Горбацкий, А. К. Колесов A966)).

§ 1] СТРОЕНИЕ КОНВЕКТИВНОЙ ЗОНЫ ЗВЕЗДЫ 221
Существует и другая точка зрения, основывающаяся на
расчетах, произведенных для моделей атмосфер звезд
класса А. Эти вычисления указали на возможность инвер-
инверсии плотности в той области, гДе х резко возрастает (Чи-
тре, Шевив A967)) —при оптических глубинах порядка
единицы. По тем же, а также более поздним (Латур A970))
расчетам во внешних слоях даже сравнительно горячих
звезд (Т ^ 104 °К) должна иметься сравнительно тонкая
конвективная зона. Однако вследствие трудностей, свя-
связанных с расчетами конвективных областей, вопрос о кон-
конвекции в оболочках звезд класса А остается пока откры-
открытым. В частности, нужно подчеркнуть очень большую
зависимость результатов от постановки условий на грани-
границах (Э. В. Эргма A971)).
Однократная ионизация гелия при его обычном со-
содержании не меняет величину у настолько, чтобы соот-
соответствующее снижение VaK вызывало наступление кон-
конвекции. Поэтому у горячих звезд {Т~>> 104 °К) главной
последовательности конвективной зоны, связанной с ио-
ионизацией Не, не должно быть (В. Г. Горбацкий, А. К. Ко-
лесов A966)).
Обширные конвективные зоны, связанные с изменени-
изменением у из-за ионизации, должны существовать у звезд, близ-
близких по массе к Солнцу и с температурой Т ^ 7000 °К. В со-
соответствии с E.6) при вычислениях принимается, что на.
поверхности звезды конвективный поток равен нулю. По-
Поэтому там
^изл = сг71фф, E.7)
а в более глубоких слоях имеет место равенство
^конв + ^изл = бТэфф» E-8)
Величина конвективного потока определяется выраже-
выражением
^ ^ E.9)
где усреднение производится по сферической поверх-
поверхности.
Задача о вычислении конвективного потока в работе
Бём-Витензе и последующих решалась в приближении
пути перемешивания Для учета неадиабатичности — обме-

222 ДВИЖЕНИЯ ГАЗА В ЗВЕЗДАХ 1Гл. б
на энергией между конвективным элементом и окружаю-
окружающей средой — вводится логарифмический градиент в эле-
элементе V такой, что
<V. E.10)
Среднее значение относительной разности температур
<Д77Г> записывается в виде
^ E.И)
где Ж принимается согласно C.144). Выражение E.11)
получают, считая, что в среднем элемент, до того как сме-
смешаться со средой, проходит в вертикальном направлении
путь 1/2. Если конвекция ламинарная, то множитель V2
следует опустить. Из E.9) с учетом E.11) имеем
(V - V') -2^ • E.12)
Введем величину 'y, представляющую собой отношение
энергии, перенесенной элементом, к энергии, потерянной
им на излучение за время движения (равное iKv}):
Для величины ?, в предположении о чернотельном харак-
характере излучения, принимают выражение
<У>' EЛ4)
где т0 — оптическая толщина элемента. Выражение E.14)
введено в качестве обобщения того, которое использова-
использовалось ранее Бём-Витензе, считавшей, что т0 ^> 1. Величина
у представляет собой параметр, зависящий от геометрии
элемента и распределения температур в нем. Обычно у
рассматривают как свободный параметр.
Из E.13) находим
^^ Ь-^д)- EЛ5)

§ 1] СТРОЕНИЕ КОНВЕКТИВНОЙ ЗОНЫ ЗВЕЗДЫ 223
При адиабатической конвекции нужно считать 7 ~> оо,
а при 7 = 0 конвекции нет — элемент за время движения
теряет всю избыточную энергию. При 'у < 1 говорят о
сверхадиабатической конвекции.
Величину скорости элемента можно найти из уравнения
его движения. Оно содержит члены, определяющие дей-
действие силы плавучести, силы сопротивления движению
и учитывающие изменение энергии элемента при его рас-
расширении, и записывается в следующем виде:
где Rk и Ffe — радиус и объем элемента соответственно,
рк — плотность газа в нем и сх — коэффициент сопротив-
сопротивления движению. Обычно же для нахождения и пользуют-
пользуются более простым соотношением
о
выражающим равенство кинетической энергии элемента
и работы, произведенной над ним силой плавучести. Так
как
где множитель Q^ определяется формулой
и учитывает влияние изменения молекулярного веса \i
на величину плотности, то из E.17) при посредстве E.11)
получается среднее значение скорости на пути / в виде
После подстановки E.20) в E.12) получаем.выражение
для конвективного потока. Используя E.15), можно за-
записать соотношение E.8) в такой форме:
16 go\i Т* « т 1 / I \2 ( r*t n \и
х

224 ДВИЖЕНИЯ ГАЗА В ЗВЕЗДАХ [Гл. 5
Расчет структуры конвективной зоны производится при
помощи E.21). При вычислениях величину I принимают
пропорциональной шкале высот по давлению с коэффици-
коэффициентом пропорциональности а, лежащим в интервале
а = 0,5—2,0. Результаты вычислений моделей кон-
конвективных зон по указанной "методике (при а = 1,5)
содержатся в таблицах, составленных Бекером и Темес-
вари A966).
Обобщение метода Бём-Витензе расчета конвективной
зоны путем введения нескольких разных «длин перемеши-
перемешивания», связанных с усреднением различных величин, вхо-
входящих в газодинамические уравнения, было предложено
Унно A969). По существу, оно сводится к введению неко-
некоторых коэффициентов в выражения E.15) и E.20). Для
этих коэффициентов получены сложные соотношения. По-
Пока нет таких расчетов конвективных оболочек методом
Унно, которые продемонстрировали бы его лучшие воз-
возможности при объяснении наблюдений.
Обзор результатов расчетов конвекции в звездах типа
Солнца и более поздних классов, произведенных при пос-
посредстве метода Бём-Витензе и его обобщений, сделан в ста-
статье Э. В. Эргмы и А. Г. Масевич A971). Эти вычисления
дают большое значение толщины конвективной зоны —
105—2-Ю5 км. Они продемонстрировали не только силь-
сильную зависимость рассчитываемой структуры зоны от ве-
величины а, но также и от выбора в качестве Ж шкалы по
давлению или по плотности. Результаты вычислений силь-
сильно зависят также от параметра у. В конечном счете следует
констатировать, что для условий на внутренней границе
конвективной зоны расчет по локальной теории дает край-
крайне неуверенные результаты. Значения температуры при
различном выборе параметров могут отличаться на поря-
порядок, а плотности — даже на несколько порядков. Боль-
Большие неточности может вносить произвол в выборе значе-
значения длины перемешивания, а также предполагаемая
локальность свойств газа в элементе, ив теоретически опре-
определяемые динамические характеристики внешних слоев
звезд, т. е. именно там, где возможно сравнение теории
с наблюдениями.
Эта сторона вопроса будет обсуждена ниже, а сейчас
остановимся на некоторых результатах расчетов кон-
конвекции по нелокальным теориям.

§ 1] СТРОЕНИЕ КОНВЕКТИВНОЙ ЗОНЫ ЗВЕЗДЫ 225
Согласно нелокальной теории Ульриха A970), конвек-
конвективный поток находится из выражения
zmax r
= P \ * * 3 jS [WI/^Z!, E.22)
2min
где функции i"i(z*) и /2 (z*) определяются так:
^ = аСрГ(^-У'), §- = ai;g(V-V')"« E.23)
Величина PFC/| — так называемая весовая функция, в вы-
выборе которой существует известный произвол, а — пара-
метр, Zmax и zmin — наибольшее и наименьшее значения
координаты того уровня, от которого конвективный эле-
элемент может достичь уровня z0. Таким образом, путем ин-
интегрирования в E.22) учитывается вклад элементов, воз-
возникающих на разных уровнях, в величину конвективного
потока на уровне zj. При WU* = б (zx — z?) выражение
E.22) переходит, как показано Э. В. Эргмой A972), в со-
соответствующее выражение локальной теории. Расчеты
строения конвективной зоны по теории Ульриха, выпол-
выполненные Э. В. Эргмой A972) при весовой функции вида
I7s2H:'"z*2' E-25)
установили, в частности, значительное влияние проникаю-
проникающей конвекции на внутренней границе зоны на величину
конвективного потока энергии. По локальной теории кон-
конвективный поток на этой границе должен быть близок
к нулю, тогда как по нелокальной теории он составляет
около половины полного потока энергии. Граница зоны
при этом определяется с помощью критерия конвективной
устойчивости. Размеры же самой области неустойчивости
получаются меньшими, чем по локальной теории.
Нелокальная теория Спигела, основывающаяся на
уравнении C.170), была использована для расчетов струк-
структуры конвективной зоны Тревисом и Мацушимой A973).

226 ДВИЖЕНИЯ ГАЗА В ЗВЕЗДАХ [Гл. 5
Их результаты существенно отличаются от получаемых по
локальной теории и близки к результатам модельных рас-
расчетов Ульриха. В частности, при учете нелокальности
понижается величина V.
Особое положение среди работ, в которых изучается
структура конвективной зоны, занимает работа Меллана
A971Ь). Он основывается на модели конвективного пере-
переноса, предложенной Эпиком A950), в которой учитывает-
учитывается наличие горизонтальной компоненты скорости газа
в конвективной ячейке. Скорость направлена преимущест-
преимущественно адщентра к периферии в верхней части ячейки и в
противоположную сторону —• в нижней ее части. Поэтому
масса ячейки сохраняется. Это двухпотоковая модель,
в которой необходимо учитывать взаимодействие между
восходящими и нисходящими потоками газа. Очевидно,
что при учете этого обстоятельства эффективность конвек-
конвективного переноса должна быть меньше.
Выражение для конвективного потока, используемое
в работе Меллана, аналогично обычно применяемому E.9).
Однако вместо разности V — V' в E.11) подставляется ве-
величина w (V — Vaд), где w — множитель, учитывающий
потери тепла горячим элементом как путем лучеиспуска-
лучеиспускания, так и при турбулентном обмене с нисходящим («хо-
(«холодным») потоком. На основе экспериментальных данных
принято, что в случае малых потерь на излучение, т. е. при
учете лишь турбулентного обмена, w = 0,0926. Величина
<у> определяется довольно сложным образом.
При помощи указанной теории было рассчитано строе-
строение конвективной зоны для 31 модели, которые соответ-
соответствуют звездам классов от АО до КО. Толщина конвек-
конвективной зоны получилась очень малой по сравнению с
расчетами других авторов. Так, в случае модели, соот-
соответствующей Солнцу, конвективная зона заканчивается на
глубине 104 км. Для моделей звезд иных классов различие
с результатами других расчетов также очень велико.
У звезд F0, например, плотность на внутренней границе
зоны получается на два порядка меньше, чем находи-
находимая по обычной теории длины перемешивания. В другой
работе Меллана A972) получено, что между классами
GO и G2 происходит переход к глубоким конвективным
зонам.

§ i] СТРОЕНИЕ КОНВЕКТИВНОЙ ЗОНЫ ЗВЕЗДЫ 227
Различия в структурах конвективных зон, получаю-
получающиеся при расчетах разными методами, свидетельствуют
о мало удовлетворительном состоянии теории конвекции
в звездах. Часто феноменологическим путем трудно учесть
все стороны этого сложного явления, и существующих
представлений явно недостаточно для получения убеди-
убедительных теоретических выводов. Возможность проверки
той или иной модели заключается в исследовании обуслов-
обусловленных конвекцией движений в атмосферах звезд.
Наиболее отчетливо в наблюдательном отношении кон-
конвекция проявляется в солнечной грануляции. Проблема
грануляции и других явлений на поверхности Солнца, тем
или иным образом связанных с конвекцией, рассмотрена
в очень большом числе работ. Обзор их можно найти в вы-
выпуске «Итоги науки», посвященном физике Солнца
(М. А. Лифшиц A970)), в статье С. А. Каплана, С. Б. Пи-
кельнера и В. Н. Цытовича A974), а также в других публи-
публикациях. Теоретические вопросы, связанные с грануляцией,
сверхгранулами, полем скоростей в атмосфере, и другие
излагаются в книге Ю. В. Вандакурова A976). Учиты-
Учитывая эти обстоятельства, а также ограниченность объема
данной монографии, остановимся здесь лишь на вопросе
о связи наблюдаемых полей скоростей во внешних слоях
Солнца и звезд с конвективными движениями и о соответ-
соответствии результатов различных теорий наблюдениям.
Наблюдаемые вертикальные движения во внешней фо-
фотосфере Солнца отражают действие поднимающихся кон-
конвективных потоков газа. Эти движения имеют характер
колебаний с периодом около 5 мин и характерным масшта-
масштабом ячеек, близким 1500 км. Частота колебаний близка
к частоте собственных колебаний на этом уровне фотосфе-
фотосферы, которые, по-видимому, возбуждаются конвективными
движениями. Менее отчетливы другие квазиколебатель-
квазиколебательные компоненты вертикального поля скоростей в верхней
фотосфере и хромосфере, также, возможно, возбуждаемые
конвекцией.
Горизонтальные крупномасштабные движения в атмос-
атмосфере с характерными размерами около 30 000 км являются
определяющими для явления сверхгрануляции. Скорость
газа, текущего от центра к периферии ячейки, порядка
5-Ю4 см/сек.. Сверхгранулы связывают с конвектив-
конвективными течениями на больших глубинах — порядка 104 км.

228
ДВИЖЕНИЯ ГАЗА В ЗВЕЗДАХ
[Гл. 5
По модели Меллана они являются отражением движений
основного масштаба в конвективной зоне, т. е. непосред-
непосредственно наблюдаемой частью потока, текущего от внутрен-
внутренней границы конвективной зоны.
log*
Рис. 15. Зависимость отношения величины конвективного потока
к полному потоку от оптической глубины в атмосфере для разных
моделей: кривая 1 — локальная теория; 2 — модель Тревиса
и Мацушимы A973); 3—модель Ульриха A970); 4—расчеты
Нордлунда A974).
Хаотические движения в атмосферах Солнца и звезд,
скорость которых определяется при помощи кривых рос-
роста и называется микротурбулентной скоростью, возника-
возникают, по-видимому, в результате преобразования кинетиче-
кинетической энергии восходящих конвективных потоков в энер-
энергию волн различных видов — ударных, альвеновских,
звуковых, магнитно-звуковых, и взаимодействия этих
волн. Необходимо иметь в виду, что такие движения не
являются турбулентными в строгом смысле слова, по-
поскольку нет данных об иерархической структуре полей
скоростей, а значит, и о передаче энергии от крупномас-
крупномасштабных движений к мелкомасштабным. В случае Солнца
удается изучать микротурбулентные скорости газа над
малыми участками поверхности, но для звезд можно

§ 1] СТРОЕНИЕ КОНВЕКТИВНОЙ ЗОНЫ ЗВЕЗДЫ 229
чать лишь некоторое значение этого параметра, усреднен-
усредненное по всей наблюдаемой полусфере звезды.
Так как микротурбулентные скорости определяются по
кривым роста, они характеризуют движения в тех облас-
областях, где образуются спектральные линии, т. е. на оптиче-
оптической глубине в непрерывном спектре, малой по сравнению
с единицей. Основанные на нелокальной теории расчеты
моделей атмосфер при учете конвекции, произведенные
Ульрихом A970) и Тревисом и Мацушимой A973), пока-
показали, что у звезд типа Солнца конвективный перенос энер-
энергии играет существенную роль до оптических глубин т
порядка 0,1. По нелокальным теориям в области 0,1 ^
^ т ^ 1 температурный градиент меньше, чем даваемый
локальной теорией. Эти результаты иллюстрируются
рис. 15.
Модели атмосфер звезд различных классов на основе
нелокальной теории конвекции рассчитывались также
в работе Нордлунда A974). В отличие от Ульриха, исполь-
использовавшего заранее известное распределение температуры,
Нордлунд численно решил самосогласованную задачу о
конвективном и лучистом переносе для случая несерой ат-
атмосферы. Результаты Нордлунда цодтвердили тот факт, что
конвективный поток играет значительную роль при т <
< 1, но дали при т = 0,1 значение ЛсонвД^иэл + ^конв) <
< 10~2(см. рис. 15). К хорошему согласию с наблюдатель-
наблюдательными данными о солнечной грануляции приводят расче-
расчеты конвекции в звездной атмосфере при учете отсутствия
симметрии между восходящими и нисходящими потоками
газа по так называемой двухпотоковой модели (Нордлунд
A976)).
Один из важных выводов, следующих из указанных
вычислений, заключается в том, что поле конвективных
скоростей простирается далеко в видимые области солнеч-
солнечной атмосферы. Физически это связано с отсутствием меха-
механизма, приводящего к затуханию вертикальной компоненты
скорости, тогда как охлаждение из-за излучения доста-
достаточно быстро уравнивает температуру элемента с темпера-
температурой окружающей среды. Крупномасштабные движения
поэтому проникают глубоко (на свой масштаб) в устойчи-
устойчивую зону, а мелкомасштабные движения, вызванные ими,
распространяются еще глубже. Этот вывод находится в со-1
гласии с имеющимися данными q поле скоростей в солцеч-

230 ДВИЖЕНИЯ ГАЗА В ЗВЕЗДАХ [Гл: 5
ной атмосфере (де Ягер A972)). Таким образом, скоростк
самих конвективных движений газа оказывается важным
элементом в наблюдаемом поле микротурбулентных скоро-
скоростей, а также в поле более крупномасштабных движений
(макротурбулентности).
Исследование движений в атмосферах гигантов и сверх-
сверхгигантов на основе спектральной теории турбулентности
при учете потерь газа на высвечивание проводилось
О. П. Голландским A972). Расчеты продемонстрировали
значительное увеличение крутизны спектра по сравнению
с колмогоровским в области вихрей с масштабами, срав-
сравнимыми с длиной пробега фотона.
У звезд главной последовательности, по типу близких
к Солнцу (до КО), и у гигантов поздних классов поле ско-
скоростей, обусловленное конвекцией, должно соответство-
соответствовать наблюдаемой по смещению линий «средней верти-
вертикальной скорости». Этот факт может служить для наблю-
наблюдательной проверки расчетов конвективных зон.
Различные спектральные линии образуются на разных
эффективных уровнях в атмосфере. Это обстоятельство
позволяет по спектру определять скорости в атмосферах
звезд на разных уровнях. Из наблюдений следует, что у
многих звезд большой светимости скорости возрастают
с высотой в атмосфере (Хуан, Струве A963)). Более поздние
данные подтверждают этот факт(Бонсек, Калвер A966)),
указывая, что у звезд класса К при переходе от фотосфер-
ного к хромосферному уровню макротурбулентная ско-
скорость возрастает в несколько раз. Возможно, что такой
рост скорости связан с распространением из глубоких сло-
слоев звезд ударных волн, порождаемых конвективными дви-
движениями.
§ 2. Колебания звезд
В обширной проблеме колебаний звезд за последние
десятилетия произошли очень важные сдвиги. От форма-
формализованных исследований устойчивости газовых шаров
удалось подойти, в частности, благодаря пионерским ра-
работам С. А. Жёвакина, к пониманию физической природы
наблюдаемых колебаний цефеид и произвести расчеты, по-
позволяющие детально объяснять наблюдения. В связи с этим
теория звездных колебаний заняла видное место в общей
теории строения звезд и звездной эволюции. Существует

§ 2] КОЛЕБАНИЯ ЗВЁЗД 281
много книг и обзоров, посвященных проблемам колебаний
звезд и снабженных обширными списками литературы по
этой проблеме. К их числу относится монография Россе-
ланда A952), статьи Леду и Вальравена A958), Кристи
A964, 1966), С. А. Жевакина A970), Дж. Кокса A975).
Помимо этого, в очень многих работах описаны наблюда-
наблюдательные данные о пульсирующих звездах. Таким образом,
нет надобности, да и невозможно из-за ограниченности
места останавливаться здесь на различных аспектах проб-
проблемы колебаний звезд. Рассмотрим лишь, по возможности
кратко, газодинамическую сторону проблемы, обращая
внимание нзГеще нерешенные вопросы.
О гомологических радиальных колебаниях газовых ша-
шаров в поле собственного тяготения говорилось выше
(гл. 2, § 2). Несмотря на крайнюю схематичность, эта тео-
теория позволила выяснить некоторые важные особенности
пульсаций и, в частности, оценить их частоту. Расчет ко-
колебаний звезды для любой конкретной модели ее сводится
к решению системы газодинамических уравнений при со-
соответствующий начальных и граничных условиях. В ана-
аналитической форме решение даже линеаризованной задачи
о радикальных колебаниях возможно только в очень ред-
редких случаях, например, для однородной звезды. Для мо-
модели с очень высокой концентрацией массы к центру (и не-
некоторых других), в предположении адиабатичности коле-
колебаний, аналитически определяются частоты колебаний
(см. Росселанд A952)). Малые адиабатические колебания
звезд, построенных по политропному закону, сравнитель-
сравнительно легко рассчитываются путем численного решения ли-
линеаризованного уравнения движения.
В сферически-симметричном случае из системы урав-
уравнений газодинамики получается следующее уравнение ко-
колебаний (Росселанд A952)):
^ E.26)
поток
E.27)
где е — скорость поступления энергии в среду, F — поток
энергии, г

232 ДВИЖЕНИЯ ГАЗА В ЗВЕЗДАХ [Гл. 5
Показатель адиабаты уг для смеси материи и излучения
определяется соотношением
-—. = (yx — 1) —*- -\ , (o.Zo)
где s — удельная энтропия.
Предполагая, что смещение от положения равновесия
может быть представлено в виде
r-rQ = \re-"\ E.29)
в случае адиабатических пульсаций (е = О, VF = 0, а =
= а0) получаем уравнение
gr = 0. E.30)
Результаты расчетов по формуле E.30) для различных
моделей звезд привели к известному соотношению между
периодом колебаний звезды Р и ее средней плотностью р":
pV=p = const. E.31)
Физический смысл соотношения E.31) очень прост. Так
как колебания происходят под действием тяготения
звезды, то у поверхности (при г = В) их период пропор-
пропорционален величине B1/2gR \ и поскольку gn =~o-nGpi?,TO
и получается указанная формула.
Вследствие наличия вязкости и теплопроводности в ре-
реальных звездах механическая энергия колебаний должна
диссипировать и колебания будут постепенно затухать,
если эта диссипация не компенсируется поступлением
энергии от каких-либо источников. Неадиабатические ра-
радиальные колебания будут затухающими, если Ima =
= хо < 0. Величина диссипации энергии определяется
последним слагаемым в правой части уравнения E.26).
Скорость поступления тепла в элемент равна
где Lr — поток энергии на расстоянии г от центра звезды.
Из соотношения A.7) получается, что при изменении рав-
равновесной температуры Т на величину б Г, обусловленном

§ 2] КОЛЕБАНИЯ ЗВЕЗД 233
смещением элемента \г,
I dQ , ЬТ dQ * ,- ооч
tz=-4rdt-wdt (ь66>
~sr dtz=-T4rdt--w-dTdt- (ь-66>
При интегрировании E.33) по периоду Р и по всей массе
звезды SRjj., используя тот факт, что d(8S) является пол-
полным дифференциалом, находим для диссипации энергии'
пульсадии W^ за период выражение
-?Ldt. E.34)
Коэффициент затухания %с определяется, согласно Эддинг-
тону A926), формулой
где И^п — полная энергия пульсаций. Величина VF4 мо-
может быть отрицательной только в том случае, когда в ко-
колеблющуюся систему (звезду) поступает тепловая энергия,
тогда хо ^> 0. Для оценки величины диссипации важно,
как зависят б TIT и dQIdt от времени. Если они меняются
таким образом, что имеют один и тот же знак, то дисси-
диссипация Wn <C 0. Поэтому для поддержания колебаний не-
необходимо, чтобы энергия поступала в фазе сжатия звезды,
когда 8 Т >0.
Поступление добавочной тепловой энергии в звезду
в период ее сжатия возможно в результате действия источ-
источников энергии, расположенных в центральных областях,
если скорость тепловыделения достаточно сильно зависит
от плотности и Давления. Однако, как было показано мно-
многими авторами, вследствие убывания амплитуды пульса-
пульсаций к центру сколько-нибудь значительного возрастания
тепловыделения при сжатии звезды не произойдет ни при
каких реальных законах освобождения энергии централь-
центральными источниками.
Реальная возможность дополнительного выделения
энергии во внешних слоях звезды при их сжатии связана
с существованием там зон ионизации распространенных
элементов — водорода и гелия. При возрастании плотно-
плотности газа степень ионизации должна уменьшаться и часть
ионизационной энергии при этом освобождается. При

234 ДВИЖЕНИЯ ГАЗА В ЗВЕЗДАХ [Гл. 5
последующем расширении слоев степень ионизации снов/а
возрастает. Поэтому часть энергии, идущей из недр звез-
звезды, поглощается, переходя в энергию ионизации, которая
освобождается при последующем сжатии. Таким образом,
зона критической ионизации представляет собой «кла-
«клапан», периодически задерживающий и затем освобождаю-
освобождающий энергию. Если работа этого «клапана» достаточно эф-
эффективна, чтобы обеспечить отрицательную диссипацию
для всей звезды, то возможно возбуждение колебаний.
На возможность возникновения отрицательной дисси-
диссипации в зоне критической ионизации было указано еще
Эддингтоном A941). Однако лишь С. А» Жевакину в 1954—
1960 гг. удалось доказать, что при наличии в звезде доста-
достаточно большого количества Не (не менее 15%) отрицатель-
отрицательная диссипация в зоне критической ионизации Не+ может
обеспечить поддержание колебаний звезды. Важная роль
области ионизации Не+ обусловлена главным образом
большой величиной потенциала ионизации этих атомов.
В дальнейшем Кристи и Дж. Коксом было показано, что
зона ионизации водорода также может играть существен-
существенную роль в создании отрицательной диссипации.
Наряду с отрицательной диссипацией в зонах критиче-
критической ионизации существует положительная диссипация
в более глубоких слоях звезды, а также вблизи атмосфе-
атмосферы, где неадиабатичность выражается в стоке энергии пу-
путем излучения. Чтобы колебания не затухали, нужна
отрицательная суммарная диссипация для всей звезды.
Эти соображения, развивавшиеся С. А. Жевашшым A970)
и подтвержденные расчетами нелинейных моделой Кристи
A966), легли в основу модифицированного энергетическо-
энергетического метода исследования устойчивости звезд. В нем исполь-
используется условие устойчивости W < 0. Величина W рассчи-
рассчитывается для конкретной модели. Такое вычисление
оказывается возможным и для звезд, не находящихся в
состоянии теплового равновесия (Деви, Дж. Кокс A974)).
Расчеты пульсаций звезд проводились С. А. Жеваки-
ным в предположении достаточно малой амплитуды пуль-
пульсаций, т. е. в линейном приближении. В дальнейшем
В. И. Алешин A964) начал расчеты нелинейных колеба-
колебаний. При подобных вычислениях внешние области звезды
разбиваются на множество сферических слоев, а колеба-
колебания центральной области считаются адиабатическими. Си-

§ 2J КОЛЕБАНИЯ ЗВЕЗД 235
стема уравнений газодинамики записывается в лагранже-
вых координатах, причем за координату принимается
величина массы 3)Jr, заключенной в шаре радиуса г. Эта
система имеет вид
E-36)
<5-38'
При расчетах предполагается, что величина внутрен-
внутренней энергии U как функция р и Т известна. Поскольку
определяющую роль в переносе энергии играет лучистая
теплопроводность, то в уравнение E.38) существенным
образом входит коэффициент поглощения и, зависимость
которого от р и Т должна быть задана. Величина Lr опре-
определяется формулой
• (
К этим уравнениям должны быть добавлены граничные
условия. Обычно на границе адиабатического ядра задает-
задается поток энергии, а колебания самого ядра считаются гар-
гармоническими. На внешней границе звезды давление пола-
полагается равным нулю. Начальные условия могут быть заданы
в форме некоторой зависимости скорости от координаты.
Эта зависимость выбирается оптимальным образом, т. е.
так, чтобы звезда возможно быстрее вышла на авто-
автоколебательный режим. Такой выбор производится на основе
результатов решения линеаризованных уравнений. Тем не
менее, даже при этом звезда выходит на установившийся
режим автоколебаний через несколько десятков циклов.
При вычислениях применяется разностная схема, поз-
позволяющая производить расчеты при наличии ударных волн
(см. § 3, стр. 256, а также И. А. Климшшга A972)).
Вычисления продемонстрировали для ряда моделей,
соответствующих звездам типа RR Лиры, появление
скачка скорости в зоне ионизации Не+, распространяю-
распространяющегося наружу. Интересное обстоятельство, которое при
этом выявилось, заключается в ограничении амплитуды

236 ДВИЖЕНИЯ ГАЗА В ЗВЕЗДАХ [Гл. 5
колебаний при достаточно сильном развитии ударной вол-
волны. Волна, нагревая газ, изменяет ег<о непрозрачность.
Взаимодействие нелинейности в законе непрозрачности
с нелинейностью соотношений, определяющих тепло-
теплоемкость в зоне ионизации Не+, оказывается фактором,
ограничивающим амплитуду. Отмеченный факт, как и дру-
другие результаты решения нелинейной задачи (см., напри-
например, Бекер, Сенгбуш A969)), указывают на сложность про-
процессов, происходящих при нелинейных колебаниях. Вме-
Вместе с тем оказывается возможным объяснить такие важные
наблюдательные факты, как присутствие ударной волны
на восходящей ветви кривой блеска у звезд типа RR
Лиры.
Расчеты привели также к значениям наблюдаемых па-
параметров звезд (блеска, лучевой скорости, температуры),
соответствующим наблюдениям. Характеристики эти за-
зависят от того, происходят ли колебания в фундаменталь-
фундаментальной моде или в первой гармонике, чем объясняются раз-
различия в наблюдаемых особенностях звезд подтипов а, Ъ и с.
Более подробные данные по этому вопросу можно найти
в статье Кристи A966).
Одной из основных трудностей теории пульсаций звезд
долгое время была ее неспособность удовлетворительно
объяснить сдвиг по фазе наблюдаемой кривой лучевых ско-
скоростей относительно кривой блеска. Расчеты по нелиней-
нелинейной теории лишь частично разрешили эту трудность. Для
звезд подтипа с получилось отрицательное смещение по
фазе, согласующееся с наблюдениями. Для других же ти-
типов звезд такого согласия нет. Возможно, что известную
роль в расхождении расчетов с наблюдениями играют
трудности в теории образования спектральных линий, по
которым определяются лучевые скорости. На разных фа-
фазах эти линии образуются в различных слоях и эффектив-
эффективный уровень в атмосфере оценить трудно.
В соответствии с теоретическими оценками и расчетами
С. А. Жевакина A970) поток излучения при его прохожде-
прохождении через зону ионизации должен отставать по фазе от ко-
колебаний звезды. Изменения потока Lr зависят от измене-
изменений градиента температуры, а также коэффициента непро-
непрозрачности. Если х выражается формулой
-Р, E.40)

§ 2] КОЛЕБАНИЯ ЗВЕЗД 237
то из E.39) получаем
дг
Величины бр/р, 8Т/Т и остальные слагаемые в E.41)
меняются с фазой колебаний различным образом, и поэ-
поэтому их сумма меняется с фазой иначе, чем 6г. Расчеты
приводят к величине запаздывания 8L/L относительно
б г/г по фазе J^jt/2. Хотя указанные соображения и яв-
являются очень важными для теории пульсаций, они не
дают возможности непосредственно проверить их наблюде-
наблюдениями, поскольку, как отмечено выше, неизвестно, к ка-
каким слоям относить величину бг, когда наблюдаются ли-
линии в разных фазах.
Расчеты нелинейных пульсаций классических цефеид
производились Стоби A969) для моделей звезд, на порядок
превосходивших по' массе модели, рассмотренные в рабо-
работах Кристи. Вычисления, проделанные по той же методи-
методике, воспроизвели теоретически многие из наблюдаемых
особенностей кривых блеска, в частности, смещение «гор-
«горба» на кривой с увеличением периода. Однако они также
показали чувствительность результатов расчетов к значе-
значениям различных свободных параметров. Величина перио-
периода оказывается связанной с амплитудой скорости.
Среди пульсирующих звезд особое место занимают звез-
звезды типа б Щита, имеющие малые периоды (^0d, 2) и ампли-
амплитуды (б^0т,3). Эти звезды характеризуются значительными
изменениями формы кривой блеска и амплитуды коле-
колебаний. А. А. Памятных A974) рассчитал нелинейные коле-
колебания звезд типа б Щита и ему удалось объяснить некото-
некоторые наблюдаемые особенности.
Как известно, в звездах спектральных классов F и бо-
более поздних существуют конвективные зоны. Пренебреже-
Пренебрежение конвекцией при расчете нелинейных пульсаций, если
и может быть в какой-то мере оправдано для звезд типа RR
Лиры, недопустимо для пульсирующих звезд классов G
и К, к каким относятся классические цефеиды и звезды
типа RV Тельца. В расчетах Кристи конвективный пере-
перенос полностью не учитывался и это является коренным не-
недостатком их. Трудность учета конвекции обусловлена
отсутствием соответствующей теории.

238 ДВИЖЕНИЯ ГАЗА В ЗВЕЗДАХ [Гл. 5
В работе Унно и др. A967) сделана попытка учесть кон-
конвективный перенос, использовав для оценки конвективно-
конвективного потока теорию Бём-Витензе, основанную на понятии
длины перемешивания. Поскольку в этой работе предпо-
предполагалось, что характерный размер конвективного элемен-
элемента много меньше пространственной шкалы пульсаций,
и использовалось приближение Буссинеска, то оказалось
возможным отделить задачу о вычислении потока FK0HB
от задачи о пульсациях. Путем осреднения уравнений дви-
движения, неразрывности и энергии получены аналогичные
обычным уравнения пульсаций для средних величин.
Влияние конвективного переноса на величину лучистого
потока энергии находится с помощью выражения
«т/ Ааск <р> <Г>3 Т'
VF' = ~ зП Г' E.42)
1+ 4 *<Р> —
где <Г> и <р> — соответственно средние по горизонталь-
горизонтальной плоскости значения температуры и плотности, Т —
температура в элементе, находимая из уравнения
1/2
СР^ -f- — *<P>'/^J
E.43)
Здесь и — скорость конвективного элемента, I — длина
перемешивания, Ж — высота однородной атмосферы.
Конвективный поток вычисляется по формуле C.171).
Расчеты нелинейных пульсаций по указанной теории не
производились, и она явно недостаточна для правильного
учета конвекции, поскольку в ней предполагается, что
в каждый данный момент конвективный поток «приспособ-
«приспособлен» к состоянию звезды, т. е. рассматривается квазиста-
квазистационарная конвекция.
Более общий подход к вопросу о влиянии конвектив-
конвективного переноса энергии на пульсации имеется в работах
Дж. Кокса и др. A966). Зависимость конвективного пото-
потока Fkohb от времени определяется из уравнения
а-^ = -Т1- [^конв @ - ^конв @1, E-44)
Ul *рел

§ 2] КОЛЕБАНИЯ ЗВЕЗД 239
где ?рел — характерное время релаксации конвективных
элементов и /*Конв (?) — величина потока, получаемая по
теории длины перемешивания для значений параметров,
определяющих условия в данной точке в данный момент.
Таким образом, поток FKOkq (t) соответствует случаю ква-
квазистационарной конвекции. Для ?рел принимается выра-
выражение
E.45)
считаемое постоянным. При зависимости ^кОнв (t) вида
^кошз @ = Кояв A + a sin Ш) E.46)
кз E.44) получается
Лсонв (*) = ^онв [1 + лГа t * ч2 sin (®t - а)] , E.47)
где фазовый сдвиг а — arctgcot @ ^ а ^ я/2). При усло-
условии ?рел ^ со, что соответствует случаю, рассмотренно-
рассмотренному Унно, -Fkohb (t) изменяется синхронно с FK0HB (t) и ам-
амплитуда его такая же. В другом предельном случае, когда
?рел 3^> с0? амплитуда изменений -Fkohb (t) меньше, чем
У -^конв (t), но они происходят не синфазно с изменения-
изменениями ^конв (t).
Иное выражение для FK0HB (t) в случае со?рел ^> 1 было
получено Л. Н. Ивановым на основе разрабатывавшейся
им теории нестационарной конвекции (см. гл. 6, § 5).
В частности, оказывается, что при со?рел —* °° величина
а ->—я/2.
Выражение E.47), дающее удовлетворительные каче-
качественные результаты в указанных предельных случаях,
неприменимо, когда время релаксации конвективных эле-
элементов того же порядка, что и период изменений внешних
условий, определяющих величину ^Конв (*)• Именно та-
такое положение существует у цефеид, так как размер кон-
конвективных элементов достаточно велик (Л. Н. Иванов
A972)). Вблизи нижней границы конвективной зоны ха-
характерный размер элемента порядка толщины зоны. Поэ-
Поэтому время его тепловой релаксации сравнимо с временем
тепловой релаксации всей зоны, а оно, в случае цефеид,
близко к времени механической релаксации. Следователь-
Следовательно, при расчете пульсаций звезды, обладающей конрек-

240 ДВИЖЕНИЯ ГАЗА В ЗВЕЗДАХ [Гл. 5
тивной зоной, необходимо иметь достаточно точное реше-
решение задачи о нестационарной конвекции. Вообще же, как
было отмечено еще в работах С. А. Жевакина, если пере-
перенос энергии осуществляется в основном конвекцией, пуль-
пульсации в звезде не должны возникать. Физически это объяс-
объясняется тем, что в таких случаях условия в зоне ионизации
близки к адиабатическим, а возможность отрицательной
диссипации обусловлена именно неадиабатичностью.
Роль конвекции может быть значительной и в созда-
создании положительной диссипации. В расчетах пульсаций
вязкая диссипация обычно не принимается во внимание,
поскольку пренебрегается конвективным переносом. Если
учитывать, что конвекция является турбулентной, то необ-
необходимо принимать во внимание и турбулентную вязкость.
В работе Унно и др. A967) отмечено, что взаимодействие
пульсационных и турбулентных движений может оказать
очень существенное влияние на состояние внешних слоев
звезды.
Помимо указанных очень важных обстоятельств, под-
подлежащих выяснению в будущем, в теории радиальных не-
неадиабатических пульсаций имеется еще ряд трудностей.
Остается непонятным, в частности, взаимодействие раз-
различных мод, для которого вычисления дают запутанную
картину. Нуждается в убедительн(*м объяснении тот факт,
что далеко не у всех звезд, находящихся в полосе неустой-
неустойчивости, наблюдаются пульсации. Не получило также
истолкования различие между классическими цефеидами
и звездами типа W Девы (цефеиды II типа), очень близки-
близкими по своим периодам. Аномальное поведение цефеиды II
типа RU Жирафа, прекратившей за короткое время коле-
колебания, а затем опять их возобновившей, до сих пор яв-
является загадкой. Наконец, отсутствует сколько-нибудь
разработанная теория изменений блеска долгопериодиче-
ских переменных, относимых к пульсирующим звездам.
Множество особенностей этих звезд заставляет сомневать-
сомневаться в применимости к ним изложенной выше теории пуль-
пульсаций (В. Г. Горбацкий, И. Н. Минин A963)).
Совершенно неразработанным остается до сих пор во-
вопрос о пульсациях звезд — компонент двойных систем.
Как известно, процент двойных цефеид и других пульси-
пульсирующих звезд гораздо меньше, чем для обычных звезд.
Принадлежность же пулвсирующей звезды к тесной двои-

§ 2] КОЛЕБАНИЯ ЗВЕЗД 241
ной системе является исключением. Этот чрезвычайно
важный факт до сих пор не получил истолкования. По-
видимому, нахождение звезды в тесной двойной системе
препятствует развитию пульсационной неустойчивости.
Как можно полагать, вследствие искажения фигуры те-
тела, входящего в двойную систему, и вращения, колебания
его должны быть нерадиальными. Рассмотрим кратко
состояние проблемы нерадиальных пульсаций.
В теории нерадиальных пульсаций используется систе-
система уравнений неразрывности, движения и энергии, запи-
записываемая в сферической системе координат. При приме-
применении обычного метода малых возмущений все амплитуды
возмущений (плотности, давления, скорости) представ-
представляются в виде произведений радиальных и сферических
функций Y7\ например,
вр = Д(г)УГ (Ф.Ф)*:1" E.48)
и аналогично для других величин. Вектор возмущения §
задается в виде
dYm a dYm \
Ь) E-49)
(
где ?а и ?ф — меридиональная и азимутальная составляю-
составляющие горизонтального смещения.
В линейном приближении система сводится в общем
случае — при учете изменений потенциала тяготения <р$ —
к дифференциальному уравнению 4-го порядка (подробнее
см. Леду и Вальравен A958)). Обычно в качестве гранич-
граничных используют следующие физически очевидные условия:
смещение в центре звезды обращается в нуль, изменение
давления на поверхности звезды также должно быть равно
нулю.
Рассматривая адиабатические линейные нерадиальные
колебания политропных газовых шаров в пренебрежении
изменениями ф$, Каулинг A942) свел задачу к системе
двух дифференциальных уравнений. Анализ этих урав-
уравнений позволил ему установить существование двух видов
колебаний. Одни, названные им р-модами, обусловлены
главным образом изменениями давления. Они близки к чи-
чисто радиальным движениям. Другие, называемые g-мода-
ми, имеют гораздо больший период и происходят главным

242 ДВИЖЕНИЯ ГАЗА В ЗВЕЗДАХ [Гл. 5
образом в поперечном направлении. Механизм их заклю-
заключается в действии тяготения, направленном на выравнива-
выравнивание плотности в сферических слоях. Среди радиальных мод
существует фундаментальная; она не имеет узлов внутри
звезды, т. е. смещения сохраняют вдоль радиуса один и
и тот же знак. Наряду с этим м'огут происходить колебания
в обертонах, когда имеется один и больше узлов.
Из работы Каулинга вытекала возможность резонанса
между нерадиальными колебаниями и вращением звезды,
входящей в тесную двойную систему. Помимо указанного
вывода, рассмотрение нерадиальных колебаний позво-
позволяет подойти с весьма общей точки зрения к проблеме кон-
конвективной неустойчивости. Звезду, в которой происходит
конвекция, можно представлять находящейся в состоянии
нерадиальных колебаний, соответствующих очень боль-
большим значениям I и т. При таких колебаниях в радиальном
и поперечном направлениях существует большое число
узлов.
Критерий конвективной неустойчивости Шварцшильда
является локальным и выводится феноменологически.
Чандрасекхар и Лебовиц A963) рассмотрели задачу об*
устойчивости газовых шаров в отношении нерадиальных
колебаний при учете изменений cpg, использовав вириаль-
ные уравнения третьего порядка. Эти уравнения при сме-
смещении §, задаваемом в форме B.13), имеют вид
5, k - 6q>iif fc + 6<pik, ,¦ + 6у6П* + 6*6П,., E.50)
гДе 4>а к — момент тензорного потенциала, определяемого
по B.38),
<Ptf,*= 4" \ РИФиИ*>'. E.51)
(V)
a IIft и Vijtb записываются в форме
p(r')xkdr\ E.52)
E.53)
(V)
Система E.50) содержит восемнадцать уравнений. Иссле-
Исследование облегчается тем, что их можно разбить на три не-
независимые группы. При помощи E.50) устанавливается,

§ 2] КОЛЕБАНИЯ ЗВЕЗД 243
в частности, что однородная сфера неустойчива для мод
колебаний, соответствующих I = 1 и I = 3. Более слож-
сложное исследование для политропных шаров с показателем
Г показало, что при условии у < Г они также неустойчи-
неустойчивы в отношении колебаний с I = 1. Если подходить к про-
проблеме конвективной неустойчивости с указанной общей
точки зрения, то следует считать неустойчивость, соответ-
соответствующую нерадиальным колебаниям при Z = 1, также
конвективной. Тогда получепный вывод можно рассмат-
рассматривать как строгое доказательство критерия Шварц-
шильда.
Неустойчивость более сложных звездных моделей в
отношении нерадиальных колебаний исследовалась в ра-
работах Осаки и Ханзена A973) и Осаки A974) в линейном
приближении. Ими было показано, что в модели звезды
сверхгиганта с лучистой оболочкой и конвективным яд-
ядром, соответствующей переменной типа C Цефея, g-мода
расщепляется на две — колебательную моду g+ и конвек-
конвективно неустойчивую g~. В качестве механизма, приводя-
приводящего к наблюдаемым изменениям звезд указанного типа,
был предложен резонанс между нерадиальными колеба-
колебаниями всей звезды и колебаниями конвективного ядра.
В линейном приближении взаимодействие («сцепление»)
колебаний, происходящих в различных модах, учесть
нельзя. В единственной имеющейся работе, где рассчита-
рассчитаны нерадиальные нелинейные адиабатические колебания
звезд (Депре A974)), выявлено резонансное взаимодейст-
взаимодействие колебаний в фундаментальной радиальной моде и
нерадиальных колебаний, соответствующих 1 — 2. Этим
взаимодействием Депре пытается объяснить наблюдае-
наблюдаемый у звезд типа |5 Цефея феномен «биений» (см., напри-
например, О. А. Мельников, В. С. Попов A970)).
Вычисления в указанной работе Депре производились
в предположении о том, что имеет место осевая симмет-
симметрия, и рассматривалась упрощенная модель звезды, со-
состоящая из колеблющейся оболочки и инертного ядра.
Даже при #тих упрощающих предположениях расчет
представил большие трудности и не мог быть доведен до
стадии устоявшегося движения. По-видимому, при суще7
ствующей вычислительной технике вряд ли можно
рассчитывать нерадиальные нелинейные пульсации при
отсутствии адиабатичности.

244 ДВИЖЕНИЯ ГАЗА В ЗВЕЗДАХ [Гл. 5
§ 3. Взрывы в звездах
Быстрые и сильные изменения блеска нестационарных
звезд являются свидетельством происходящих в них взры-
взрывов, т. е. освобождения за очень короткое время в малом
объеме большого количества энергии. С сильными взрыва-
взрывами связывают прежде всего вспышки сверхновых и новых
звезд. Разлет оболочки звезды с большой скоростью, наб-
наблюдаемый непосредственно через некоторое время после
вспышки, представляет одно из наиболее отчетливых про-
проявлений происшедшего взрыва. Форма оболочки указыва-
указывает на приблизительно сферическую симметрию взрыва.
По массе оболочки, определяемой из спектроскопических
данных и наблюдаемой скорости разлета, оценивается-
нижняя граница освободившейся энергии. У других не-
нестационарных звезд динамические проявления взрывов
менее отчетливы, например, у звезд типов Т Тельца, UV
Кита. Очень важным обстоятельством является повторяе-
повторяемость взрывов у звезд многих типов — повторных новых,
звезд типа UV Кита, и, по-видимому, также у обычных
новых звезд.
По локализации взрывы в звездах можно разделить на
несколько видов. Если большое количество энергии быст-
быстро освобождается в центральной области звезды, то мож-
можно говорить о центральном взрыве. Такой взрыв должен
приводить к образованию сильной сферической ударной
волны, распространяющейся к поверхности звезды. Взрыв,
приводящий к вспышке сверхновой, обычно считают цент-
центральным.
Не исключена возможность нецентрального взрыва в
глубоких слоях звезды. Если этот взрыв достаточно силь-
сильный, то он проявится, как будет показано ниже, в нагреве
части поверхности звезды. Есть основания полагать, что
быстрая переменность звезд некоторых типов — UV Ки-
Кита, Т Тельца — связана с такими взрывами.
При вспышке новой звезды от нее отделяются поверх-
поверхностные слои, образующие приблизительно сферическую
оболочку. В соответствии с современной теорией вспышек
быстрое освобождение энергии в этих случаях происхо-
происходит в сферическом слое, находящемся не очень глубоко.
Такой взрыв называют периферическим.
Взрывы происходят и в самых внешних слоях звезд.

3]
ВЗРЫВЫ В ЗВЕЗДАХ
245
Хорошо известнйм примером таких взрывов являются
хромосферные вспышки, которые объясняются превраще-
превращением энергии магнитных полей в тепловую и кинетиче-
кинетическую энергию. Мощность этих взрывов гораздо меньше,
чем взрывов, происходящих в недрах звезд, и они наблю-
наблюдаются лишь благодаря своей локализации в видимых
областях.
Рассмотрим сначала теорию центрального сфериче-
сферически-симметричного взрыва. В этом случае, при определен-
определенных предположениях о строении звезды в невозмущен-
невозмущенном состоянии и о характере освобождения энергии мож-
можно применить метод автомодельных решений. Наиболее
полное решение автомодельной задачи о точечном цент-
центральном взрыве в звезде, полученное Л. И. Седовым в
1957 г., приводится в его книге A965 г.)
Движение предполагается адиабатическим, что до-
достаточно оправдано для того этапа, когда ударная волна
находится еще достаточно далеко от поверхности звезды.
Система уравнений, описывающих движение, имеет вид
dp i d (?v) , 2рг>
дг
о,
-LEE.
р дг
dt
дг
= о,
-5Г
E.54)
Распределение газодинамических величин в состоянии
равновесия предполагается в следующей форме:
з-р
р =
ЫАЮ
2nAG
E.55)
Здесь А — некоторый параметр, имеющий размерность
[А] = г-смР~г и зависящий от безразмерной величины E,
которая, очевидно, должна лежать в промежутке
1 < Р < 3. E.56)

246 ДВИЖЕНИЯ ГАЗА В ЗВЕЗДАХ 1Гл. 5
При различных значениях [5 распределение E.55) дает
разные звездные модели. Так, например, при [5 = 2 полу-
получается изотермический газовый шар.
В указанной постановке задача является автомодель-
автомодельной, так как в систему E.54) и в начальные условия для
нее E.55) входят лишь две постоянные 4ибс независимы-
независимыми размерностями. Она останется автомодельной, если
дополнительное условие, выражающее закон освобожде-
освобождения энергии, т. е. характер происшедшего в звезде взры-
взрыва, не содержит других постоянных с независимыми от
указанных размерностями.
Для закона определяющего освобождение энергии Е,
принимается выражение
Е = aG^A^t^-^W, E.57)
где а — некоторый коэффициент, конечный в том случае,
когда энергия, выделившаяся в центре звезды, конечна.
В соответствии с методом решения автомодельных за-
задач из системы Eг54) можно получить систему четырех
обыкновенных дифференциальных уравнений, в которые
входят представители плотности, скорости и квадрата
скорости звука, обозначаемые G (?), U (|) и Z (!) соответ-
соответственно, а также М (?) — дополнительно вводимый пред-
представитель функции S0?r. В данном случае
E-59)
где а — произвольно выбираемая постоянная. Использо-
Использование алгебраических соотношений между представите-
представителями и величинами г и ?, которые получаются из за-
законов сохранения массы и условия адиабатичности (см.
Л. И. Седов A965)), позволяет понизить порядок систе-
системы и свести задачу к системе двух дифференциальных
уравнений.
Граничные условия для системы уравнений для пред-
представителей представляют собой условия на фронте удар-

§ 3J ВЗРЫВЫ В ЗВЕЗДАХ 247
ной волны вида A.159). В рассматриваемом случае радиус
ударной волны R определяется следующим образом:
R = {aAGYHW E.60)
и соответственно величина \ ~ r/R. Скорость волны по-
получается из E.60):
D - -Jjr- = -jj- (aAGI*^*-1 ¦¦= -j-(aAG)lf*RWt . E.61)
При посредстве E.61) условия на фронте, включая усло-
условие для величины 3Rr, можно преобразовать к безразмер-
безразмерному виду и после этого систему уравнений решать чис-
численно.
Распределение плотности и давления газа в зависимо-
зависимости от расстояния до центра для наиболее интересного аст-
астрофизического случая у = 5/3 имеет следующие особен-
особенности. Область вблизи центра «пустая» и дело обстоит так,
как будто бы газ вытесняется сферическим поршнем. На
внутренней границе возмущенного слоя газа плотность
максимальна и монотонно спадает в направлении к фрон-
фронту волны. Давление же, наоборот, на фронте максималь-
максимальное (если волна достаточно сильная).
Численное интегрирование системы уравнений для
представителей для частного случая у = 5/3, Р = 2,5 было
выполнено также Керрюсом и др. A951). В работах
М. Л. Лидова A955) исследовался центральный взрыв
при учете противодавления в линейной приближении и
определены отклонения от автомодельности, вызванные
учетом давления невозмущенного газа. Аналогичная за-
задача рассматривалась также Роджерсом A956).
По-иному решена задача о центральном точечном взры-
взрыве с учетом противодавления Сакураи A956). В системе
E.54) вместо г и t выбираются новые переменные:
ж=-г- г = ж- E-62)
Здесь Д, как и выше, означает радиус ударной волны,
а величина Ro связана с энергией взрыва Е соотношением
где р0 — давление в центре равновесной конфигурации

248 ДВИЖЕНИЯ ГАЗА В ЗВЕЗДАХ [Гл. 5
до взрыва. Решение системы ищется в виде рядов по
степеням z с коэффициентами, зависящими от х. Так, в
частности, отношение скорости волны D к скорости звука
в центре невозмущенной политропной конфигурации с0
с точностью до членов третьего порядка по z равно (при
У = '/,)
— ^ l,3z-3'* A + 0,415V + 0,57s3), E.64)
где
(^fpoGc^W3E2\ E.65)
Хотя при исследовании взрывов с учетом противодав-
противодавления на равновесную конфигурацию накладывается мень-
меньше ограничений, чем в автомодельной задаче, и ее можно
выбирать более близкой к реальным звездам, условия, в
которых происходят вспышки сверхновой звезды, настоль-
настолько сложны, что при исследовании таких взрывов прихо-
приходится применять численные методы.
В работах В. С. Имшенника и Д. К. Надежина A974;
там же' даны ссылки на другие работы) подробно изложе-
изложены результаты исследования динамики взрыва при уче-
учете потери энергии ev вследствие излучения нейтрино и вы-
выделения энергии 8nuci при термоядерных реакциях. Соот-
Соответственно уравнение энергии записывается в виде
*. E-66)
Величины 8V и &nuci сложным образом зависят от р и Г,
а 8Пис1 также и от концентрации различных элементов.
Уравнение состояния газа в данном случае имеет сложный
вид. Относящиеся к этому вопросы рассмотрены в рабо-
работе Л. Н. Ивановой, В. С. Имшенника и В. М. Чечетки-
на A975).
Одна из наиболее распространенных теорий вспышек
сверхновых связывает вспышку с коллапсом массивного
{М-ре я^ 1ЗК©) ядра звезды. Исследования неустойчивости,
развивающейся вследствие распада ядер железа и после-
последующего коллапса, производились неоднократно (В. С.
Имшенник и Д. К. Надежин A964), Колгейт и Уайт
A966), Арнет и Камерон A967), Л. Н. Иванова и др.
A975)). Коллапс можно разбить на две стадии. В первой

§ 3] ВЗРЫВЫ В ЗВЁЗДАХ 249
среда прозрачна для нейтринного излучения, а во вто-
второй, начинающейся при достижении плотности 1011—
1012г»сж~3, ядро коллапсирующей звезды становится
непрозрачным для этого излучения и нужно учитывать
диффузию нейтрино.
Расчет коллапса на первом этапе представляет авто-
автомодельную задачу, если потери энергии за счет излучения
нейтрино выражаются степенной функцией плотности и
температуры:
8V - ар8Г\ E.67)
поскольку тогда в уравнения, помимо размерного пара-
параметра G, входит еще лишь одна размерная переменная а.
Решение автомодельной задачи, полученное обычным
методом при значениях s = 0, п = 6, у = 5/3, оказалось
соответствующим результатам численного решения
уравнений.
При коллапсе ядра возникает ударная волна, которая
вызывает детонацию кислорода в оболочке и тем самым
обусловливает быстрое выделение очень большой энер-
энергии (^ 1051 эрг). Движение ударной волны можно рассмат-
рассматривать независимо от процессов, происходящих в ядре,
так как по данным расчетов В. С. ИмшенникаиД. К. На-
дежина A964) оно слабо зависит от способа образования
волны и определяется главным образом,ее энергией и за-
законом изменения плотности в оболочке звезды.
Наиболее современные и полные расчеты коллапса
ядра, выполненные Д. К. Надежиным A975; 1976) при
учете нейтринной теплопроводности для значений массы
ядра29Й0 и 1(Ш©, не продемонстрировали сброса оболочки.
К аналогичному результату приводят работы и других
авторов. Поэтому было высказано мнение, что сброс обо-
оболочки возможен только вследствие термоядерных реакций
в плотном углеродном ядре (Л. Н. Иванова и др. A976)).
В таком ядре сначала должна возникать пульсационная
неустойчивость и лишь затем возможен переход к детона-
детонационному режиму (Л. Н. Иванова и др. A975)). Соот-
Соответствующие расчеты сброса оболочки еще не выполнены.
О правильности той или иной модели предсверхновой
можцо судить путем сравнения вычисляемых кривых блес-
блеска с наблюдаемыми у сверхновых. Расчеты кривых блеска
проводились для чисто водородных оболочек с заданной

250 ДВИЖЕНИЯ ГАЗА В ЗВЕЗДАХ [Гл. 5
энергией взрыва Ео. Оказалось, что основным парамет-
параметром, влияющим на форму кривой блеска, является радиус
модели i?#. Форма кривой и высота максимума зависят
также от Ео и массы звезды ЗК* (Э. К. Грассберг и др.
A971)).
Вопрос о выходе ударной волны на поверхность звез-
звезды и связанные с этим явления рассматриваются в следую-
следующем параграфе, но, для связности изложения, о том, что
касается сверхновых звезд, скажем здесь. Для компакт-
компактных моделей (R% ж 10R®) при выходе волны в фотосферу
возникает острый пик излучения (продолжительностью
в несколько минут). Газ, составляющий оболочку, быстро
охлаждается вследствие ее расширения. Внутрь оболоч-
оболочки распространяется волна охлаждения.
Ширина пика светимости возрастает с увеличением
Я*, а высота пика мало изменяется. Для протяженной мо-
модели, с R% == 500 Д© и ЗЛ* = 30 SR© ширина достигает ld.
Вычисления для еще более протяженных моделей (до
R% ^ 1О4/?0) показывают, что в протяженной атмосфере
под действием излучения из-за фронта волны возникает
обширная зона прогрева («тепловой язык»). Излучение»
зоны прогрева определяет характер восходящей части
кривой блеска. Продолжительность периода максималь-
максимального блеска достигает при этом 8d. Срывающаяся оболоч-
оболочка в очень протяженных моделях предсверхновых пред-
представляет собой слой с толщиной, гораздо меньшей ее ра-
радиуса. Быстрое падение блеска, начинающееся согласно
расчетам через несколько десятков суток, связано с рас-
распространением волны охлаждения, уменьшающей радиус
фотосферы. Рекомбинации, происходящие в газе, не ком-
компенсируются ионизациями, степень ионизации падает и
прозрачность оболочки соответственно увеличивается.
По основным характеристикам теоретические кривые
блеска, рассчитанные для протяженных моделей, похожи
на наблюдаемые. Тем не менее проблему истолкования
кривых блеска сверхновых нельзя считать решенной до
конца, пока не доказано, что реальная звезда перед вспыш-
вспышкой обладает столь протяженной атмосферой. Кроме того,
существуют и теории, объясняющие специфический харак-
характер кривых блеска сверхновых по-иному, например, влия-
влиянием дополнительной энергии, освобождающейся при рас-
распаде неустойчивых изотопов, выносимых ударной волной

§ 3] ВЗРЫВЫ В ЗВЕЗДАХ 251
из недр звезды (Колгейт и Макки A969)). Вспышки сверх-
сверхновых могут быть связаны не с коллапсом, а со сравни-
сравнительно медленным выделением энергии, и это радикально
скажется на форме кривой блеска (Л. Н. Иванова и др.
A976)).
Перейдем теперь к описанию особенностей нецентраль-
нецентрального взрыва. Если взрыв достаточно сильный и.образующая-
и.образующаяся ударная волна может дойти до поверхности звезды, то его
действие не будет отличаться от действия центрального
взрыва, хотя говорить о сферической симметрии сбрасы-
сбрасываемой оболочки в таких случаях не приходится. При
более слабом взрыве ударная волна затухнет — превра-
превратится в звуковую — на сравнительно малом расстоянии
от точки взрыва. В результате образуется приблизительно
сферическая область с повышенной температурой и пони-
пониженной плотностью. Радиус этой области мал по сравнению
с радиусом звезды. Если взрыв не центральный, то на сферу,
содержащую энергию взрыва, должна действовать сила
плавучести, вызывающая перемещение ее в направлении
периферии. Вопрос о том, при каких условиях энергия
слабого взрыва может быть указанным путем вынесена
наружу, был рассмотрен В. Г. Горбацким A964).
Энергия взрыва Ео в образующейся сферической об-
области, которую в дальнейшем будем называть «пузырем»,
содержится в форме тепловой энергии и в виде излучения.
Радиус пузыря Rn оценивается при помощи формулы
D.78), если энергия Ео перешла .главным образом в тепло.
Аналогичным способом находится радиус «пузыря», со-
содержащего энергию в основном в форме излучения. Та-
Таким образом,
ЧI"' E-68)
где рг — наружное давление. При энергид Ео = 1033—
1035 эрг «пузырь» в центральных областях звезды типа
Солнца будет иметь радиус порядка 105—106 см и образу-
образуется за время порядка секунды (при условии мгновенно-
мгновенного освобождения энергии Ео).
Уравнение движения «пузыря» записывается в виде,
аналогичном (.5.16), с учетом так называемой «присоеди-
«присоединенной массы» (см., например, Л. Д. Ландау и Е. М.

252 ДВИЖЕНИЯ ГАЗА В ЗВЕЗДАХ 1Гл, 5
Лифшиц A953)):
. _ 4- nRl *? - 4 «Д3пРа ^ - сх ?? яЙ, E.69)
где р2 и рй — плотность внутри «пузыря» и вне его соответ-
соответственно, сх — коэффициент турбулентного сопротивления
и -g- ni?nPi — присоединенная масса для тела сфериче-
сферической формы.
Если равенство давлений внутри и снаружи «пузыря»
устанавливается за время, малое по сравнению с тем, за
которое он проходит расстояние, равное высоте одно-
однородной атмосферы, то
? ?¦ E.70)
Pi
и уравнение E.69) переписывается в виде
а начальные условия имеют следующий вид:
t«0, r = r0, -^- = 0. E.72)
Когда сила сопротивления уравновешивает силу плаву-
плавучести, движение «пузыря» происходит с постоянной ско-
скоростью i;n, равной (при сх = 1)
Щ^А). E.73)
При условиях, соответствующим внутренним областям
Солнца (r^O,5i?0), значение vn = 10б—106 см/сек, что
существенно превосходит скорость движения элементов
в конвективной зоне. Равновесное значение скорости дос-
достигается за время, по порядку величины равное времени
прохождения «пузырем» пути Дп.
В процессе движения от центра звезды «пузырь» адиа-
адиабатически расширяется. Кроме того, вследствие расцро-

§ 3] ВЗРЫВЫ В ЗВЕЗДАХ 253
странения от него тепловой волны граница между нагре-
нагретым газом и внешней средой движется от центра «пузыря»
и в результате масса заключенного в нем газа растет со
временем. При коэффициенте непрозрачности х в форме
(см., например, В. В. Соболев A975))
х-
E.74)
скорость движения границы «пузыря» за счет распростра-
распространения тепловой волны получается равной
dR / Т7'5 717'5
dt
-Л И- E>75)
Р2 Pi /
Принимая во внимание также скорость адиабатиче-
адиабатического расширения, с помощью соотношений E.68), E.71),
E,73) и E.75) находим уравнение, определяющее скорость
изменения величины у = 7\/Г2 в зависимости от безразмер-
безразмерного расстояния r/J?jj. = и, при движении «пузыря», ко-
которое предполагается установившимся:
Т1
dU 1 \ Pi / , T, . ч / 1 л\ /Л \1/ /С гтсч
с?м "" 5 ^ da "TV ^\iv9'5 / ' #
где 2? (и) представляет собой известную функцию, сложным
образом зависящую от распределения плотности и темпе-
температуры в звезде по радиусу, а также от Еоп Н%.
Численное решение E.76) для различных моделей
звезд показало, что в моделях, соответствующих красному
гиганту и звездам, близким по строению к Солнцу, дви-
/Tf
жение «пузыря» быстро затухает. Величина -тшг--*! после
прохождения им малого по сравнению с R% расстояния.
В случае модели, соответствующей карлику позднего
спектрального класса (dM 4), даже при сравнительно
низком значении Е = 1033 эрг «пузырь», возникший в
центральных областях, может выйти во внешние слои
звезды (и — 0,99), сохранив достаточно высокое значе-
значение Т2, соответствующее величине у = 0,38.
Полученный вывод может быть применен для объяс-
объяснения вспышек звезд типа UV Кита, если они происходят,

254 ДВИЖЕНИЯ ГАЗА В ЗВЕЗДАХ [Гл. 5
как следует из гипотезы В. А. Амбарцумяна A968),
вследствие освобождения энергии во внутренних слоях
звезд. Указанный механизм тогда служит одним из воз-
возможных средств переноса энергии. Попытка конкретиза-
конкретизации этой гипотезы об освобождении внутризвездной энер-
энергии и интерпретации на этой основе явлений, происхо-
происходящих при вспышках звезд типа UV Кита, сделана
Г. А. Гурзадяном A973).
Заметим, что более распространенной является точка
зрения на вспышки звезд типа UV Кита, как на поверх-
поверхностные взрывы, аналогичные хромосферным вспышкам
на Солнце. Различные теории, основывающиеся на этой
точке зрения, изложены в книге Р. Е. Гершберга A970)
и в его обзоре A975).
Хромосферные вспышки, по современным взглядам,
возникают в результате преобразования магнитной энер-
энергии в тепловую и кинетическую энергию в нижней хро-
хромосфере вблизи солнечных пятен, обладающих сильными
полями. Теория этого явления сложна и до конца не раз-
разработана. Изложение ее здесь заняло бы слишком мно-
много места. С современным состоянием теории вспышек
можно ознакомиться, например, по работе С. А. Капла-
на, С. Б. Пикельнера и В. Н. Цытовича A974), а также
по обзору Б. В. Сомова и С. И. Сыроватского A976).
В последнем особое внимание уделено исследованиям газо-
газодинамических эффектов, вызываемых вспышкой, и прояв-
проявлениям тепловой неустойчивости.
Заметим, что в теориях, представляющих вспышку как
результат быстрого преобразования энергии магнитного
поля в другие виды энергии, имеется ряд трудностей.
Одна из них связана с проблемой генерации достаточно
сильных полей. Энергия вспышек, особенно у звезд типа
UV Кита, велика. Поэтому нужно предполагать наличие
в атмосфере звезды магнитных полей очень большой нап-
напряженности j охватывающих большую площадь и доста-
достаточно быстро возобновляющихся. О возможности генера-
генерации полей в таких масштабах по имеющимся теориям (см.
гл. 6, § 1) судить трудно.
С сильным периферическим взрывом связывают явле-
явление вспышки новой звезды. Впервые предположение о та-
такой природе вспышки было выдвинуто Л. Э. Гуревичем
и А. И. Лебединским A947), считавшими, что взрыв обус-

§ 31 ВЗРЫВЫ В ЗВЕЗДАХ 255
ловлен ядерными превращениями в периферических сло-
слоях звезды. После того как во внешних областях звезды
в ходе ее эволюции будет достигнуто некоторое достаточ-
достаточно высокое значение температуры и скорость тепловыде-
тепловыделения превысит скорость теплоотдачи, по мнению указан-
указанных авторов, должна возникать ударная волна.
Повторяемость вспышек у одной и той же звезды,
а также ряд других обстоятельств делают теорию перифе-
периферического взрыва в такой форме неприменимой к новым
звездам. Подойти к проблеме происхождения вспышек
новых с других позиций позволило установление фунда-
фундаментального наблюдательного факта, заключающегося
в том, что новые звезды входят в состав тесных двойных
систем.
Из наблюдений следует, что как новые вспыхивают
белые карлики, являющиеся компонентами таких тесных
двойных систем, у которых другая компонента представ-
представляет собой холодный карлик. В этих системах происхо-
происходит перетекание массы от холодной звезды и аккреция
этого вещества белым карликом. Подробнее процесс перете-
перетекания и аккреции рассматривается в гл. 6. Здесь же дос-
достаточно отметить, что в результате аккреции поверхност-
поверхностные слои белого карлика обогащаются водородом, причем
скорость аккреции $И% = 10~8—10~9 $!1®/год такова,
что за промежуток времени, равный интервалу между
вспышками, на белый карлик перетекает масса того же
порядка, что и масса оболочки, сбрасываемой при вспыш-
вспышке новой.
При достижении некоторой критической массы В9
внутренних слоях образующейся путем аккреции водород-
водородной оболочки белого карлика возникает тепловая неус-
неустойчивость. Тепловыделение в результате ядерных реак-
реакций (преимущественно CN-цикла) быстро возрастает и
происходит взрыв. Он сопровождается отделением от звез-
звезды тех слоев оболочки, которые лежат над областью мак-
максимального тепловыделения. Расчет процесса взрыва
представляет собой газодинамическую задачу, поскольку
выделение энергии вызывает движения газа, которые в
свою очередь влияют на скорость ядерных реакций.
Газодинамика периферийного взрыва была исследова-
исследована Роузом и Смитом A972). Задача сводится к решению
обычной системы уравнений, в которые добавлены члены.

256 ДВИЖЕНИЯ ГАЗА В ЗВЕЗДАХ [Гл. 5
описывающие «искусственную вязкость»,
dv , 2 д , . п ч
<5-77>
Свободный параметр (H, определяющий искусственную
вязкость, вводится для того, чтобы при помощи системы
E.77) можно было проводить расчеты при наличии удар-
ударной волны. Величина LT включает в себя энергию, перено-
переносимую как конвекцией, так и излучением. Так как роль
конвекции в отводе тепла от слоя ядерного горения очень
велика, а процесс горения происходит очень быстро, не-
необходимо учитывать нестационарность конвекции. Это
было сделано с помощью уравнений E.44) и E.45), т. е.
тем же способом, каким пользуются при изучении пульса-
пульсаций. Как было отмечено в § 2, этими уравнениями неста-
нестационарная конвекция не описывается с необходимой сте-
степенью точности.
Величина е, определяющая скорость энерговыделения,
зависит от плотности и температуры в данной точке. За-
Зависимость между р, р и Г в рассматриваемом случае не
выражается простым уравнением состояния идеального
газа, а имеет более сложный вид и задается в табличной
форме.
Расчеты в работе Роуза и Смита производились для
Звезды с массой 9К# = 0,76 SR©, начальной эффективной
температурой 1Д-106оК и светимостью 38 L© при массе
оболочки, равной 1,3 -10~4 Sfe©. Содержание водорода в
оболочке X = 0,7. Технически расчет осуществлялся пу-
путем разбиения внешней области звезды на зоны, решения
системы для каждой из зон и сопряжения этих решений.
Расчеты показали, что в результате неустойчивости,
вызванной быстрым горением водорода, возможно как не-
непосредственное возникновение ударной волны, так и воз-
возбуждение пульсаций в белом карлике. Сильные пульсации
также приводят к выбрасыванию вещества путем кумуля-
кумуляции последовательно возникающих ударных волн. Однако
вычисление массы и скорости оболочки, сбрасываемой в

? 4] УДАРНЫЕ ВОЛНЫ ВО ВНЕШНИХ ОБЛАСТЯХ ЗВЕЗД 257
результате пульсаций, оказалось слишком сложным и не
было проведено. Что же касается скорости оболочки, сбра-
сбрасываемой непосредственно возникающей сильной волной,
то она существенно превосходит наблюдаемую. Имеются
и другие различия между рассчитываемым процессом пе-
периферийного взрыва и наблюдаемой картиной вспышки.
Таким образом, пока не приходится говорить о закончен-
законченной теории вспышек новых. Тем не менее как результаты
описанных вычислений, так и расчеты других авторов,
например, Старрфилда A971),— указывают на возмож-
возможность полного объяснения вспышек новых на основе ги-
гипотезы о периферийном взрыве, происходящем вследствие
энергетической неустойчивости в обогащенной водо-
водородом оболочке белого карлика. В дальнейших расчетах
необходимо, в частности, использовать более совер-
совершенную теорию нестационарной конвекции и учитывать
непрерывно продолжающуюся аккрецию. Кроме того,
нужно иметь более полное представление о роли различ-
различных ядерных реакций в процессе развития тепловой
неустойчив о сти.
§ 4. Ударные волны во внешних областях звезд
и звездных оболочках
Из наблюдений следует, что во внешних слоях звезд
различных типов, как нестационарных, так и стационар-
стационарных, распространяются ударные волны. Они различны по
происхождению, по силе и по вызываемым ими наблюдае-
наблюдаемым эффектам. Так, у звезд типа Солнца и других, облада-
обладающих конвективными зонами, ударные волны возникают,
по-видимому, вследствие механического действия восходя-
восходящих конвективных токов и по своей силе могут быть от-
отнесены к слабым или умеренным. Вместе с тем при хромо-
сферных вспышках на Солнце образуются и сильные волны.
У пульсирующих звезд типов RR Лиры и W Девы
(цефеиды II типа), а также звезд типа RV Тельца и долго-
периодических переменных образование ударных волн свя-
связывается с пульсациями. Для звезд типа RR Лиры чис-
численные расчеты пульсаций демонстрируют возникновение
ударных волн в эпоху возрастания блеска. Ударные вол-
волны во внешних слоях звезд указанных типов могут быть
отнесены к умеренным. Они создают дополнительное

258 ДВИЖЕНИЯ ГАЗА В ЗВЕЗДАХ [Гл. 5
излучение атмосферы звезды, главным образом в линиях
водорода.
Сильные ударные волны, которые возникают при взры-
взрывах, приводящих к вспышкам сверхновых и новых звезд,
радикальным образом меняют структуру внешних слоев
звезды и приводят к огромным изменениям блеска.
Рассмотрим сначала волны, образование которых свя-
связывается с конвективными движениями. Конвекция вы-
вызывает резонансные колебания внешних слоев фотосферы,
генерирующие звуковые волны. Распространяясь в среде
с убывающей плотностью, звуковая волна вблизи гра-
границы между фотосферой и хромосферой превращается в
ударную.
Вопрос о генерации звуковых волн в атмосфере Солн-
Солнца и образовании из них ударных волн обсуждался в ряде
работ (см., например, Э. Е. Дубов A967), Мекле A968)).
Результаты исследований по этой проблеме изложены в
монографиях (например, Томас и Атей A965)) и обзорах
(С. Б. Пикельнер A966а)).
Ударные волны в атмосферах звезд типа Солнца срав-
сравнительно быстро диссипируют. Энергия слабой волны рас-
расходуется на высотах над фотосферой порядка 103 км или
менее (И. А. Климишин A972)), тогда как толщина сол-
солнечной хромосферы более 104 км. Поэтому ударными вол-
волнами может нагреваться только нижняя хромосфера, а в
более высокие слои энергия должна переноситься иным
путем. Поскольку во внешних слоях Солнца имеются маг-
магнитные поля, там возможно распространение волн раз-
различных типов и переход энергии от одних волн к другим.
Вероятно, в переносе механической энергии в корону
важную роль играют альвеновские волны.
Роль ударных волн в нагреве солнечной атмосферы
исследовалась Бёрдом A964а) путем численного решения
задачи о движении волны в неоднородной среде методом
Уизема (см. Климишин A972)). Эта задача в одномерном
случае сводится к уравнению, определяющему изменение
числа Маха волны М с высотой. Для слабой волны
(М—1<^J1) в статической атмосфере такое уравнение имеет
следующий вид:
1 da 1 / 1 dT. 2g0r;|i 2N\
\ Т dr ~^ R*Tr* T/ '
a dr 4(l+a)

§ 4] УДАРНЫЕ ВОЛНЫ ВО ВНЕШНИХ ОБЛАСТЯХ ЗВЕЗД 259
где
а = М - 1, E.79)
g0 — ускорение силы тяжести на уровне г0, \i — молеку-
молекулярный вес и N = 0, 1, 2 при плоской, цилиндрической
и сферической симметрии соответственно. Распределение
температуры Т (г) в невозмущенной атмосфере предпола-
предполагается известным. Из уравнения E.78), в частности, сле-
следует, что приток тепловой энергии в атмосферу уменьша-
уменьшает силу волны. Таким образом, имеет место саморегуля-
саморегуляция, т. е. сила волны зависит от величины потока перено-
переносимой тепловой энергии. Поэтому температурный профиль
в атмосфере слабо меняется при изменении интенсивности
волны. Указанное обстоятельство позволило рассчитать
структуру атмосферы, по которой периодически распро-
распространяются ударные волны, и объяснить наблюдаемое
возрастание температуры при переходе от хромосферы
к короне (Бёрд A964b, 1965)).
Нагрев солнечной атмосферы ударными волнами рас-
рассматривался также Вейманом A960), использовавшим
предположение о «зубчатом» профиле волны (см. ниже
формулу E.88)).
Как было отмечено, присутствие ударных волн уме-
умеренной силы в атмосферах пульсирующих звезд вызывает
появление эмиссионных линий водорода в спектрах этих
звезд. По ширине и смещениям этих линий оценива-
оценивается скорость волны. Она составляет несколько десятков
км/сек. Наименьшие скорости наблюдаются в случае дол-
гопериодических переменных. В момент появления волны
ее скорость составляет 25—30 км/сек и затем возрастает,
так что в эпоху максимального блеска скорость равна
45—50 км/сек. Ударные волны в атмосфере других пуль-
пульсирующих звезд движутся быстрее: так, в случае звезд
типа W Девы их скорость достигает 60 км/сек, а у звезд
типа RR Лиры еще выше.
При движении сила волны должна меняться в силу
ряда причин — возрастания площади фронта, стока энер-
энергии при нагреве газа, излучение которого выходит из ат-
атмосферы, работы над газом в поле тяготения. Кроме того,
при движении волны по атмосфере звезды позднего спект-
спектрального класса — долгопериодической переменной или
звезды типа RV Тельца — сток энергии волны происходит

260 ДВИЖЕНИЯ ГАЗА В ЗВЕЗДАХ [Гл. 5
также вследствие ионизации атомов водорода и дру-
других элементов. Процесс ионизации волной в атмосфере
происходит иначе, чем в межзвездной среде (гл. 4), и мы
здесь его рассмотрим детальнее, поскольку от него в зна-
значительной степени зависит структура ударной волны.
В атмосфере долгопериодической переменной водород
находится в неионизованном состоянии. Однако благо-
благодаря наличию элементов с малым потенциалом иониза-
ионизации небольшое количество свободных электронов (порядка
10 тгн см, где пи. — концентрация атомов водорода)
все же имеется. Ионизация водорода происходит за счет
энергии, переданной тяжелым частицам ударной волной.
Эти частицы постепенно отдают свою энергию свободным
электронам. Особенность процесса в данном случае зак-
заключается в образовании в среде большого количества фо-
фотонов в линии La, которые-вследствие высокой концент-
концентрации нейтральных атомов водорода остаются «заперты-
«запертыми». В конечном счете энергия этих фотонов переходит в
энергию ионизации водорода в результате процесса
E.80)
В связи с этим к уравнениям D.30) — D.34), определя-
определяющим кинетику ионизации, добавляется еще одно, опи-
описывающее изменение концентрации па фотонов в линии La:
dn
-^ = Ф1-ф2, E.81)
где фх — число фотонов, образующихся за единицу вре-
времени при рекомбинациях и столкновениях, и ф2 — чис-
число фотонов, расходуемых на ионизацию водорода (оно про-
пропорционально 7г«), металлов, теряемых при неупругих
столкновениях и покидающих атмосферу вследствие эф-
эффекта Доплера. Соответствующие члены*должны быть до-
добавлены в уравнение энергетического баланса электрон-
электронного газа.
Численное решение получающейся указанным путем
системы уравнений показало (В. Г. Горбацкий и И. Н.
Минин A963)), что сначала значительная доля энергии
тяжелых частиц через свободные электроны перекачива-
перекачивается в энергию поля излучения La. После того как кон-

§ 4] УДАРНЫЕ ВОЛНЫ ВО ВНЕШНИХ ОБЛАСТЯХ ЗВЕЗД 261
центрация тга становится достаточно высокой, начинается
ионизация атомов водорода в соответствии с процессом
E.80) (рис. 16).
Фотоны в линии La играют определяющую роль в ио-
ионизации водорода при условии малой ионизации и на-
начальной концентрации атомов п& <^ 1012 см~3. В обычных
звездах фотосферная концентрация пв. > Ю14
занный процесс является менее существенным.
l9ff
см~г и ука-
ука0,6
ОА
ил
1 ( "
Д
Use
Л
0,6
ОА
0,2
10 t,CBK 4
10
Рис. 16. Профили плотности (а) и температуры (б) квантов за фрон-
фронтом волны в атмосфере, долгопериодической переменной при началь-
начальном значении Т\ — 10б °К (по оси ординат на рис. 16 а) и б)
отложены соответственно величины п+/п,па/п и Ti «Ю-5, Те *10-6).
Результаты расчетов протяженности dx зоны иониза-
ионизационной релаксации (И. А. Климишин A972)) выражают-
выражаются следующей приближенной формулой:
E.82)
где D выражена в см/сек и^ — начальная концентрация
атомов водорода в неионизованном состоянии. Эта форму-
формула дает величину du согласующуюся с ранее определен-
определенной для случая волн в атмосфере долгопериодических
переменных (В. Г. Горбацкий иИ.Н. Минин A963)).
Расчеты кинетики процессов в ударной волне показа-
показали, что при малой начальной степени ионизации степень
ионизации, близкая к единице, получается лишь при зна-
значении D ^ 107 см/сек. Если же D ^ 5-106 см/сек, то ио-
ионизуется не больше половины всех атомов. Этот вывод
относится к среде'с плотностью ?гн^ 10ы cm~s. Когда

262 ДВИЖЕНИЯ ГАЗА В ЗВЕЗДАХ [Гл. 5
гсн > 1015 см~3, то предельная степень ионизации опре-
определяется формулой Саха при температуре Т2 и уже
при D ^ 7»106 см/сек ионизация водорода будет почти
полной.
Ширина области ионизационной и температурной ре-
релаксации на 1—2 порядка больше, чем у предшествующей
ей области ударной релаксации (вязкого скачка), где про-
происходит возрастание энергии тяжелых частиц. За обла-
областью температурной релаксации следует область лучистой
релаксации, толщина которой оказывается в случае дол-
гопериодической переменной того же порядка, что и про-
протяженность атмосферы. Время высвечивания составляет
106—107 суток, что сравнимо с временем распространения
волны. В процессе охлаждения атмосферы возбуждается
свечение в линиях [Fe I] и [Fe II], характерное для спект-
спектра долгопериодических переменных в период падения
блеска (В. Г. Горбацкий, И. Н. Минин A963)).
Излучение, идущее из-за фронта волны, вообще го-
говоря, должно прогревать газ перед фронтом. Для волн,
распространяющихся в атмосферах долгопериодических
переменных, эффект прогрева оказывается несуществен-
несущественным вследствие малой плотности газа. Основную роль в
создании зоны прогрева играет непрерывное излучение
за пределом лаймановской серии. Кванты Lc образуются
при рекомбинациях главным образом в глубине зоны лу-
лучистой релаксации. Из-за неполной ионизации водорода
оптическая толщина этой зоны для излучения оказывает-
оказывается весьма значительной и в прогреве могут участвовать
только те из квантов Lc, которые образуются в слое, при-
примыкающем к вязкому скачку. Когда волна проходит путь
D, в указанной области возникает около 109-Z> квантов,
а число нейтральных атомов в слое той же толщины пе-
перед фронтом на два-три порядка больше. Таким образом,
?с-излучение не может создать сколько-нибудь заметной
прогревной зоны перед волной.
При достаточно большой плотности и высокой скоро-
скорости волны эффект прогрева может очень сильно сказывать-
сказываться на движении волны. Так, концентрация атомов в атмо-
атмосферах звезд типа W Девы составляет 1014—1015 см и
степень ионизации газа за фронтом волны в этих случаях
оказывается высокой. В результате велик и поток кван-
квантов Lc, выходящих из-за фронта волны.

§ 4] УДАРНЫЕ ВОЛНЫ ВО ВНЕШНИХ ОБЛАСТЯХ ЗВЕЗД 263
Расчет структуры ударной волны в водороде при учете
существования зоны прогрева был произведен Уитни и
Скалафурисом A963). Следует иметь в виду, что при вы-
вычислении потока квантов Ьс область лучистой релаксации
считалась прозрачной для квантов, а это не соответствует
действительности. Поэтому поток излучения оказался
завышенным.
Для расчета зоны прогрева нужно знать скорость вол-
волны, которая сама зависит от структуры этой зоны. Таким
образом, необходимо решать самосогласованную задачу.
В указанной работе задача решена методом итераций и
найдено, что газ перед фронтом волны ионизуется и нагре-
нагревается до температур « 2-Ю4 °К (при D ^ 60 км/сек).
Кроме того, при учете прогрева газа перед фронтом тем-
температура газа за скачком значительно выше, чем при дви-
движении волны той же силы по непрогретому газу. Остается
не ясным, в какой мере на этих, достаточно очевидных с
физической стороны выводах сказывается предположение
о прозрачности области за фронтом для ?с-излучения<
При еще больших значениях плотности, соответствую-
соответствующих фотосферным слоям, эффект прогревания газа можно
рассчитывать в предположении, что газ находится в со-
состоянии локального термодинамического равновесия. О
результатах таких расчетов будет сказано ниже.
Закономерности движения ударных волн в атмосферах
звезд рассматривались многими авторами. Одна из пер-
первых работ в этом направлении выполнена Р, С. Иродши-
ковым A961). В предположении плоской изотермической
атмосферы с постоянным ускорением тяготения он рассчи-
рассчитал движение газа за фронтом методом характеристик и
на этой основе объяснил наблюдаемые особенности струк-
структуры линии На в спектрах звезд типа RR Лиры. Свечение
нагретой ударной волной атмосферы звезды указанного
типа исследовалось также В. И. Голинько A970) и Хил-
лом A972).
Численным методом Б ринк ли — Кирквуда изучалось
движение ударных волн в протяженной атмосфере (Бхат-
нагар, Кушваха A961, 1962)): Решение последних приме-
применялось для интерпретации явлений, наблюдаемых в звездах
типа р Цефея. Аналогичным способом Оджерс и Кушва-
Кушваха A960) исследовали ударные волны в атмосфере дол-
гопериодической переменной. Ограничивающие предполо-

264 ДВИЖЕНИЯ ГАЗА В ЗВЕЗДАХ [Гл. 5
жения, сделанные в этих работах, и, в частности то, что
атмосфера считалась однородной, не дают возможности
удовлетворительно объяснить наблюдения при помощи
рассчитанных моделей. В действительности в таких звез-
звездах ударная волна распространяется по среде с сильно
меняющейся плотностью. Диссипация энергии ударной
волны при учете этого обстоятельства была изучена
И. А. Климишиным и А. Ф. Новаком (см. монографию
И. А. Климишина A972), И. А. Климишин и др. A972)).
Распределение плотности задавалось степенным законом
, E.83)
а начальное значение скорости волны Do = 30 км/сек,
что соответствует долгопериодическим переменным. При
расчетах предполагалось, что охлаждение нагретого вол-
волной газа продолжается до тех пор, пока не достигается на-
начальное значение его энтропии, а после этого он продол-
продолжает расширяться адиабатически до начального давления.
Вычисления, также произведенные методом Бринкли —
Кирквуда, показали, что скорость волны возрастает до
значений 50—55 км/сек (в зависимости от т1 и> начальной
энергии волны Ео). Почти вся энергия волны расходуется
на этой стадии, совпадающей с периодом подъема блеска
звезды. Поэтому скорость волны после максимума резко
падает. Таким образом, расчеты подтвердили сделанный
ранее на основе анализа наблюдений вывод о том, что дей-
действие ударной волны в эпоху максимального блеска рез-
резко ослабляется, а свечение атмосферы в эмиссионных
линиях в послемаксимальный период обусловлено высве-
высвечиванием (В. Г. Горбацкий, И. Н. Минин A963)). Рас-
Расширение атмосферы, вызванное ударной волной, заторма-
затормаживается тяготением.
Наблюдения околозвездных оболочек у долгопериоди-
ческих переменных показывают, что эти звезды теряют
массу, причем потеря достигает 10~в $&1®/год (Герц, Вулф
A970)). Скорость расширения атмосферы долгопериоди-
ческой переменной под действием ударной волны не до-
достигает параболической и, по-видимому, ударные волны
не являются непосредственной причиной потери массы
этими звездами. Однако, как отмечается ниже, ударные
волны, периодически распрострайяющиеся по атмосфере,

§ 4] УДАРНЫЕ ВОЛНЫ ВО ВНЕШНИХ ОБЛАСТЯХ ЗВЕЗД 265
значительно увеличивают ее протяженность. Это обстоя-
обстоятельство создает более благоприятные условия для поте-
потери вещества звездой под действием различных факторов,
например, вследствие давления излучения.
Действие ударных волн, периодически проходящих
по атмосфере, в значительной мере определяет ее струк-
структуру. Впервые вопрос о структуре атмосферы, подвержен-
подверженной действию периодических ударных волн, рассматри-
рассматривался Уитни A956). Так как под действием тяготения слои,
по которым прошла ударная волна, затормаживаются не
в одинаковой степени, то следующая ударная волна рас-
распространяется по неоднородно движущейся среде. Расчет
в этом случае можно выполнить только при помощи упро-
упрощающих предположений. Расчеты Уитни производились
в предположениях постоянства интенсивности распрост-
распространяющейся волны и постоянства ускорения (направлен-
(направленного к центру звезды) у частиц, подвергшихся действию
предшествующей волны. В одномерном случае получают-
получаются следующие уравнения вдоль характеристик:
¦ЗГ + Р + ^-о. f + ^lH' E'84)
где
Д = й + 1пр + *» 5 = и — 1пр + т, E.85)
а т, У]х и и — безразмерные время, длина и скорость:
• E-86)
Здесь Ж — шкала высот в атмосфере.
Численное решение системы E.84) при заданной час-
тоте синусоидальных пульсаций фотосферы (играющей
роль сферического поршня) показало, что под действием
ударных волн величина Ж возрастает на порядок по срав-
сравнению со значением Ж в стационарном состоянии атмосфе-
атмосферы. Однако расчеты не были доведены до состояния уста-
установившегося движения.
И. А. Климишину A967), решавшему аналогичную за-
задачу приближенным методом, удалось получить устано-
установившееся распределение плотности в предположениях об
изотермичности атмосферы и о «зубчатом» профиле волны.
Последнее означает, что зависимость давления (и, анало-

266 ДВИЖЕНИЯ ГАЗА В ЗВЕЗДАХ [Гл. 5
гично, р и v) в данной точке от времени аппроксимируется
выражением
p = p,-JllzPLt, E.87)
где tQ — период волны. Рассмотрение работы, производи-
производимой над газом ударной волной, приводит к уравнению
где
Решение уравнения E.88) дает следующее распределе-
распределение плотности с высотой:
p(fc)«poe-*'*s E.90)
где Ж\ в Dl/c2 раз превосходит величину Ж в атмосфере,
не подвергающейся действию ударных волн. При значе-
значениях DQ, соответствующих звездам типа RR Лиры, Ж\ ~
х 36Ж. Этот вывод качественно подтверждает результат,
полученный Уитни. Количественное же сравнение с ним
невозможно, потому что в первой из рассматриваемых ра-
работ режим движения оставался не установившимся.
Ударные волны в атмосферах цефеид, хотя и увеличи-
увеличивают протяженность атмосферы, но, по-видимому, не при-
приводят к значительной потере массы. Величина М\ для це-
цефеид на порядок меньше, чем у долгопериодических пе-
переменных, тогда как по массам и по скорости ударных волн
они близки к долгопериодическим переменным. При ско-
скорости волны, не превосходящей 60 км/сек, скорость газа
в атмосфере цефеиды существенно меньше параболической.
Следует отметить, что хотя ударные волны и увеличи-
увеличивают протяженность атмосферы долгопериодической пе-
переменной, но относительно в меньшей степени, чем у це-
цефеид, так как большая протяженность атмосферы вооб-
вообще свойственна холодным гигантам.
Перейдем теперь к вопросу о движении сильной удар-
ударной войны в поверхностных слоях звезды. Сначала рас-
рассмотрим решение автомодельной задачи о выходе ударной
волны на поверхность звезды, полученное Г. М. Гандель-
маном и Д. А. Франк-Каменецким A956) и, независимо,

§ 4] УДАРНЫЕ ВОЛНЫ ВО ВНЕШНИХ ОБЛАСТЯХ ЗВЕЗД 267
Сакураи A960). Задача является автомодельной, если счи-
считать слои звезды плоскопараллельными, а плотность в
них распределенной по закону
Роо = Ьх\ E.91)
где х — расстояние точки от поверхности. Как извест-
известно (см., например, В. В. Соболев A975)), в тех звездах,
где лучистый перенос энергии является определяющим,
распределение плотности описывается соотношением E.91)
при б = 13/4.
По своей постановке эта задача существенно отличает-
отличается от рассмотренных выше автомодельных задач, напри-
например, о точечном взрыве. Здесь задается лишь один опре-
определяющий размерный параметр, а второй параметр А
вводится таким образом, чтобы формула
X = A (—if E.92)
описывала движение фронта волны (знак минус постав-
поставлен потому, что время удобно отсчитывать от момента
выхода волны на поверхность звезды). Значение а и тем
самым размерность А находятся особым путем, подроб-
подробно описанным в книге Я. Б. Зельдовича и Ю. П. Райзе-
ра A966). Задачи, в которых задается только один размер-
размерный параметр, называют автомодельными задачами вто-
второго рода.
Вводя безразмерную переменную ? соотношением
I = х/Х E.93)
и принимая за масштаб плотности (функция /х (t) в фор-
формуле A.164))>ее значение непосредственно перед фронтом
волны, имеем на основании E.91)
h (t) = bX\ E.94)
Обычным путем (см. гл. 1, § 6) получается система
уравнений для представителей G (?), U (?) и Z (?), которая
с помощью интеграла адиабатичности (Л. И. Седов A965))
сводится к системе двух обыкновенных диффференциаль-
ных уравнений:
dU _ A^UtZ) dZ __ A2(U,Z) ,rQn
ТЫХ" A(U,Z) ' <Лп? - A{U-,Z) ' ^-У0>
где
д = (a - Uf - Z, . E.96)

268 ДВИЖЕНИЯ ГАЗА В ЗВЕЗДАХ [Гл. б
а выражения для функций Дх и А2 содержат также пара-
параметры а и б. Условия на фронте волны имеют вид
tf(i) = 7TT' ZW^WF' E<97)
При выходе волны на поверхность звезды X — 0 и для
всех значений х Ф 0 величина g = оо. При этом величи-
величины v и с должны оставаться ограниченными и, значит, в
соответствии с A.165) и A.166)
?/(оо) = 0, Z(oo) = 0, E.98)
Из системы E.95) получается уравнение
Ж
Интегральная кривая этого уравнения на плоскости
(U, Z) проходит согласно E.98) через начало координат и в
соответствии с E.97) (при у = б/3) через некоторую точ-
/3 5 \
ку С с координатами (^га»Тб"а2). Точка С лежит выше
параболы Д == 0, и поэтому интегральная кривая обя-
обязательно пересекает параболу. В точке пересечения долж-
должны выполняться условия
?-0, А = 0. E.100)
В противном случае из системы E.95) вытекает, что одному
значению ? соответствует более чем одна пара значений U
и Z, т. е. решение уравнений газовой динамики приводит
к неоднозначности характеристик газа, а это физически
невозможно. Из E.100) при условии Д = 0 следует, что
Дх = Д2 = 0 и, значит, точка пересечения интегральной
кривой и параболы Д = 0 должна быть особой точкой для
уравнения E.99). При произвольном значении а инте-
интегральная кривая, вообще говоря, пересекает параболу не
в особой точке. Поэтому нужное значение а находится
методом проб. При *у = б/3 и б = 13/4 величина а = 0,590.
После того как найдено значение а, из системы E.95)
определяются U (|) и Z (?), а затем при помощи интеграла
адиабатичности и G (|). Предельное распределение ха-
характеристик газа при X ->0 по координате х имеет вид
5-2
5-2—
v — с — х а, р — ж, р — х а. E.101)

§ 4] УДАРНЫЕ ВОЛНЫ ВО ВНЕШНИХ ОБЛАСТЯХ ЗВЕЗД ^69
Из решения системы E.95) следует, что скорость волны
D = X = aA[t\«-i E.102)
должна безгранично возрастать при приближении к по-
поверхности, как и температура нагреваемого ею газа. Од-
Однако, как сейчас будет показано, на довольно большом
расстоянии от поверхности звезды движение перестает
быть адиабатическим. Этим обстоятельством ограничи-
ограничивается скорость волны, так как излучение из-за фронта
выходит путем диффузии в пространство и энергия волны
уменьшается. Точное решение задачи о неадиабатическом
движении сильной ударной волны в поверхностных слоях
звезды требует решения совместно с газодинамическими
уравнениями и уравнений переноса излучения и может
быть осуществлено только численными методами. Задача о
неадиабатическом движении волны в поверхностных слоях
тесно связана с расчетами структуры зоны прогрева,
так как излучение, идущее из-за фронта, прежде чем
уйти в пространство, прогревает газ перед волной.
Эффекты прогрева газа в подфотосферных слоях мож-
можно, как отмечено выше, рассчитывать в предположении ло-
локального термодинамического равновесия. Аппроксима-
Аппроксимация функции источника В (т) по обе стороны от фронта
в виде
Вк(х) = акеаьх +ЪЪ E.103)
где величины а^ и Ъ^ зависят от температуры до фронта
(при к = 1) и за фронтом (при к = 2), позволила
И. А. Климишину A972) найти выражение потока излуче-
излучения в зоне прогрева и оптическую толщину тПр этой зоны.
Задача решалась в приближении Эддингтона при учете
условий сохранения на фронте. Величина тпр определяется
выражением
где
ft ГЧ_ T>«b „
E.105)
и индексом «1» обозначены характеристики невозмущен-
невозмущенного газа. Даже для волны умеренной интенсивности

270 ДВИЖЕНИЯ ГАЗА В ЗВЕЗДАХ [ГЛ.. 5
(D = 70 км/сек), движущейся в атмосфере типа солнечной,
величина тПр да 104. Таким образом, излучение сказывает-
сказывается значительно раньше выхода фронта в видимые области
звезды.
Прогрев газа перед фронтом волны можно рассматри-
рассматривать как движение тепловой волны, о чем уже упомина-
упоминалось в § 3 при рассмотрении теории кривых блеска сверх-
сверхновых звезд. Скорость тепловой волны Dr, распространяю-
распространяющейся в политропной среде (индекс п), при коэффициенте
непрозрачности вида
к = щртТ~*\ E.106)
согласно И. А. Климишину A972), меняется с расстоя-
расстоянием х от поверхности звезды по закону
DT~af»<fn+i>. E.107)
При значениях п = 3,25 и ш = 2, соответствующих лучи-
лучистой оболочке с преобладанием тепловой энергии над лу-
лучистой, из E.107) получается Dt ~ #~10, тогда как по фор-
формуле E.102) имеем X ~ ж'67. Следовательно, если тепло-
тепловая волна не затухает достаточно быстро, возможен ее
отрыв от ударной волны. Условия образования тепловой
волны и ее затухание в большой степени зависят от силы
ударной волны и строения внешних слоев звезды. Поэто-
Поэтому роль указанного эффекта в каждом конкретном слу-
случае должна оцениваться особо.
Так как оптическая толщина зоны прогрева, оценивае-
оцениваемая согласно формуле E.104), получается очень большой,
то можно найти эффективную температуру ударной волны
из. условия
*у(Гвфф)ж*. E.108)
Это условие выражает тот факт, что на бесконечность мо-
могут выйти непосредственно только фотоны, длина свобод-
свободного пробега которых U сравнима со средней по спектру
длиной пробега I фотонов, прогревающих газ. Фотоны,
для которых U < I, поглощаются в среде. Как показал
И. А. Климишин A972) на основе данных о поглощении
в звездах в зависимости от температуры, при значениях
плотности р ]> 10~9 г-см~ъ, характерных для фотосферы
типа солнечной, условие E.108) выполняется при ГЭфф да
да 12 000 °К.

§ 4] УДАРНЫЕ ВОЛНЫ ВО ВНЕШНИХ ОБЛАСТЯХ ЗВЕЗД 271
Если распределение плотности в оболочке звезды эк-
экспоненциальное, то на расстоянии
E.109)
эфф
где Ж — шкала высот иВ0 — скорость волны на уровне
х = 0, ударная волна вследствие отрыва зоны прогрева
перед ее фронтом и усиленного высвечивания превращает-
превращается в изотермическую (И. А. Климишин A972)).
Отсутствие адиабатичности особенно сильно сказывает-
сказывается на движении ударной волны по околозвездной оболочке
новой звезды (В. Г. Горбацкий A972, 1973)). Новые
звезды входят в состав тесных двойных систем, теряющих
вещество не только вследствие вспышек, но и путем не-
непрерывного истечения газа (подробнее см. в гл. 6, § 2).
Истекающий со скоростью 10—30 км/сек газ образует во-
вокруг системы оболочку, называемую околозвездной. Плот-
Плотность в оболочке должна меняться обратно пропорцио-
пропорционально квадрату расстояния от системы, так как скорость
течения остается приблизительно постоянной. Такой ха-
характер изменения плотности подтверждается наблюдения-
наблюдениями (В. Г. Горбацкий A972)). Характерный размер около-
околозвездной оболочки составляет 1015—1016 см, что очень
велико по сравнению с размерами системы (,^10и см).
Поэтому оболочку можно считать обладающей осевой
симметрией. При вспышке новой от звезды отрываются
внешние слои, образующие так называемую главную обо-
оболочку. Она действует как сферический поршень на около-
околозвездную оболочку и вызывает появление ударной волны.
Эта ударная волна является сильной, так как скорость рас-
расширения главной оболочки во много раз превосходит ско-
скорость звука в околозвездной оболочке. Действием силь-
сильной ударной волны объясняется появление в спектрах
новых звезд корональных линий [FeX] и [FeXIV]. Появ-
Появление этих линий возможно лишь в Среде достаточной
низкой плотности (п = 107—108 см~3) и очень высокой тем-
температуры (Гж106—2«106°К). Такие температуры до-
достигаются при скорости главной оболочки («поршня»)
порядка 108 см/сек.
Решение газодинамической задачи о движении волны
облегчается тем, что можно использовать условие посто-

272 ДВИЖЕНИЯ ГАЗА В ЗВЕЗДАХ [Гл. 5
янства количества движения в системе, так как главная
оболочка новой расширяется по инерции. В предположе-
предположении сферической симметрии как околозвездной, так и
главной оболочки, уравнения неразрывности и движения
газа записываются в виде
-+ ?¦ + ? = <>. <5-110>
Плотность в главной оболочке на два порядка больше, чем
в околозвездной. Поэтому приближенно считаем главную
оболочку несжимаемой тонкой сферой и рассматриваем
движения газа лишь в околозвездной оболочке. Распреде-
Распределение плотности в ней в невозмущенном состоянии опи-
описывается соотношением
()а E.112)
Если обозначить через Р (г) количество движения, прихо-
приходящееся на единицу площади поршня, то можно ввести
два параметра:
а = Р (г) г2 = /Уоо, Ъ = ро (г) г2 = роог2оо, E.113)
имеющих дезависимые размерности
[а] = г-см-сек-1, [Ь] = г-см. E.114)
В качестве замыкающего систему E.110) — E.111) урав-
уравнения примем условие
— 1^=0. E.115)
При этом задача становится автомодельной.
Условие E.115) является следствием сильной неадиа-
батичности, выражающейся в высвечивании газа за фрон-
фронтом волны (В. Г. Горбацкий A962)). Приблизительное
постоянство давления за фронтом волны при наличии вы-
высвечивания неоднократно подтверждалось при численном
решении различных газодинамических задач. Физические
причины, приводящие к тому, что давление за фронтом
в неадиабатических случаях меняется медленно, обсужда-
обсуждались выше (гл. 4, § 3).

§ 4] УДАРНЫЕ ВОЛНЫ ВО ВНЕШНИХ ОБЛАСТЯХ ЗВЕЗД 273
В соответствии с общим методом решения автомодель-
автомодельных задач вводим параметр ? в виде
<5Ш>
и выражаем функции уир через представители
v=-Z-U(l), P = Po(r)G(g). E.117)
Координата R и скорость D ударной волны, распро-
распространяющейся по околозвездной оболочке, определяются
формулами
где |0 — значение |, соответствующее фронту.
При подстановке E.117) в E.110) и E.111) и использо-
использовании E.115) получается система обыкновенных диффе-
дифференциальных уравнений для представителей. Они реша-
решаются аналитически при граничных условиях
G (go) = Go, U (lo) = 4" (* ~ -щ) ' EЛ19>
следующих из условий сохранения на фронте. При отсут-
отсутствии стоков энергии внутри ударного фронта Go = 4.
Решение уравнений для представителей позволяет полу-
получить в соответствии с E.117) следующие выражения уир;
X 1= . E.121)
Выражение E.121) показывает, что по мере высвечи-
высвечивания захваченного волной газа плотность его возрастает
и при стремлении г -*~гх, где
E.122)

274 ДВИЖЕНИЯ ГАЗА В ЗВЕЗДАХ ГГл. 5
величина р -э-оо. Это означает, что часть вещества, за-
захваченного ударной волной, присоединяется к «поршню».
Масса сжатого газа, находящаяся перед «поршнем», со-
составляет
4яг2р dr = 4яг200 (l - У §f|) РооД. E.123)
Поскольку масса всего захваченного волной газа равна
E.124)
°
то к поршню присоединяется его доля, равная v r , ,
Таким образом, в околозвездной оболочке образуется
слой сжатого газа, плотность в котором возрастает при
г -г- гх до значения плотности в главной оболочке. Темпе-
Температура в сжатом слое, в соответствии с предполагаемым
постоянством давления в нем, должна убывать, когда
Результаты решения этой газодинамической задачи
позволяют рассчитать свечение нагретого волной газа,
в частности, в частотах линий [FeX] и [FeXIV]. Для тако-
такого вычисления нужно иметь закон распределения темпера-
температуры по радиусу, который получается с помощью распре-
распределения плотности E. 121) и условия постоянства давле-
давления за фронтом волны. Так как
¦п — ^ п (*\ Л2 (*\ 19^
и, с другой стороны,
- - СоРо(г)./сГ2@, E.126)
то при помощи E.118) находим Г2(?) — значение темпера-
температуры непосредственно за фронтом:
_3_
16
Величина р (г, t) равна
= ^-p (r, t) T (г, t) = ра EД28)

§ 4] УДАРНЫЕ ВОЛНЫ ВО ВНЕШНИХ ОБЛАСТЯХ ЗВЕЗД 275
и, следовательно,
4r,t)=^f-T,\t), E.129)
где р (г, t) определяется выражением E.121). Результаты
вычислений интенсивностей корональных линий в зависи-
зависимости от времени и сравнение их с наблюдавшимися ин-
тенсивностями в спектре повторной новой RS Змееносца
позволили, в частности, определить скорость потери мас-
массы этой системой: 9R ж 3• 1017 в'сек'1.
Высвечивание данного элемента газа при условии про-
прозрачности среды представляет собой локальный процесс.
Поэтому для расчета скорости высвечивания газа за фрон-
фронтом волны нужно решить соответствующую газодинами-
газодинамическую задачу в лагранжевых координатах. Такое решение
было получено для случая плоской ударной волны, рас-
распространяющейся в однородной среде с плотностью р0 под
действием поршня с постоянным количеством движения
на единицу площади Ро. Задача, в этом случае также яв-
являющаяся автомодельной, имеет решение, аналогичное
E.120) и EЛ21). Уравнения задачи в лагранжевых коор-
координатах имеют вид
dv dp дх дх
За координату ? принимается эйлерова координата час
тицы в начальный момент. Так как выполняется условие
E.115), то также должно быть
¦| = 0. E.131)
Используя E.131), нетрудно получить решение системы.
Величина р»в частице оказывается меняющейся со време-
временем следующим образом:
Р- « /Р° < х , , E.132)
где т? — время, соответствующее приходу ударной волны
в частицу с координатой ?.. Зависимость температуры от
времени получается при посредстве E.127) и E.132)

276 ДВИЖЕНИЯ ГАЗА В ЗВЕЗДАХ [Гл. 5
в виде
E.133)
Здесь То — температура в данной частице сразу после
прохождения через нее волны.
Наряду с E.133) изменение температуры в элементе
газа можно рассчитать с помощью функции высвечива-
высвечивания X" (р, Т) на основе уравнения
А(-|"кТп} = -п*2Г (Г), E.134)
где п — концентрация частиц, пропорциональная р. Под-
Подстановка E.132) в E.134) и последующее решение полу-
полученного уравнения дали выражение Т (t), согласующееся
с E.133) (В. Г. Горбацкий A962)). Тем самым доказывает-
доказывается, что приведенное решение задачи о движении ударной
волны является самосогласованным.
Аналогичным методом при помощи уравнения E.134)
решалась задача о высвечивании газа Кафатосом A973),
который при этом принял во внимание изменение степени
ионизации различных элементов в процессе охлаждения
газа. Им получена следующая формула для оценки харак-
характерного расстояния, на котором газ охлаждается
где индексом «2» обозначены соответствующие величины
за фронтом. Величина %~ (Г), согласно расчетам Кафато-
са в интервале температур 104 <^ Т <^ 106 °К представ-
представляется формулой
SET (Т) = 5. КГ22* л эрг. см*. сект*. E.136)
По порядку величины E.135) соответствует тому значению,
которое получается при помощи формулы E.133).

§ 5] РАЗЛЕТ ГАЗА С ПОВЕРХНОСТИ ЗВЕЗДЫ 277
§ 5. Разлет газа с поверхности звезды;
звездный ветер
В астрофизике часто приходится рассматривать рас-
расширение горячего газа в среду очень малой плотности.
Например, такое расширение происходит у оболочек но-
новых звезд, при нагреве поверхностных слоев звезды в ре-
результате ззрыва, в газовых потоках. Лишь в очень ред-
редких случаях процесс можно описать при помощи решения
простой задачи об адиабатическом разлете бесконечного
однородного изотермического слоя в вакуум при отсут-
отсутствии тяготения. Нарушение любого из указанных усло-
условий делает задачу неавтомодельной. Даже двусторонний
разлет однородного плоского слоя описывается решением
A.133) лишь до того момента, пока волна разрежения
не доходит до середины слоя, где она встречается с такой
же волной, распространяющейся в противоположном на-
направлении. После этого по расширяющемуся газу от се-
середины слоя в обе стороны распространяется отраженная
волна. Движение отраженной волны удается рассчитать и
получить распределение плотности. Оно имеет сложную
форму. Асимптотические (при t —> оо) распределения ско-
скорости и плотности за фронтом отраженной волны имеют
вид (К. П. Станюкович A971))
з-v
х А\л /у — 1 х \212(v-D /г лоП,
V = —-, р = —т\ 1 — (-^-я ) , @.1о7)
где х — расстояние от задней стенки в случае односто-
одностороннего разлета ограниченного слоя или от центра слоя
при двухстороннем разлете. Величина с0 означает скорость
звука в невозмущенном газе и А — константа, определяе-
определяемая из условия постоянства массы движущегося газа.
Волна разрежения не догоняет передний фронт, движу-
движущийся со скоростью г;пред, определяемой по A.134), но
масса, заключенная между этим фронтом и отраженной
волной, стремится к нулю при ?-><х>. Таким образом,
толщина разлетающегося слоя, например, оболочки новой
звезды Д#, увеличивается со временем:
д# = 2 • ¦ cot + Д#о. E.138)

278 ДВИЖЕНИЯ ГАЗА В ЗВЕЗДАХ ЕГл. 5
При начальном среднем значении температуры поряд-
порядка 106 °К за время 107 сек величина Ах становится сравни-
сравнимой с радиусом оболочки, тогда как в начале вспышки
толщина ее является очень малой даже по сравнению с ра-
радиусом карлика. При расширении оболочка охлаждает-
охлаждается. К концу указанного периода ее температура снижает-
снижается до нескольких десятков тысяч градусов. Аналогичный
эффект охлаждения имеет место и в разлетающихся оболоч-
оболочках звезд других типов. Неавтомодельное расширение обо-
оболочки новой звезды в начальный период вспышки деталь-
детально изучено в работе А. И. Лебединского A946).
Околозвездная оболочка новой звезды, образующаяся
в результате потери массы из двойной системы, сначала
представляется плоским слоем газа, поскольку потеря
массы происходит преимущественно в орбитальной плос-
плоскости. С возрастанием расстояния г от системы ее толщи-
толщина, вследствие расширения газа в вакуум, увеличивается
пропорционально г. Таким образом, сечение околозвезд-
околозвездной оболочки меридиональной плоскостью представляет
собой приближенно круговой сектор, и поэтому выводы о
характере взаимодействия околозвездной оболочки с глав-
главной оболочкой, полученные в предположении сферично-
сферичности (см. § 4), остаются в силе.
Задача о разлете ограниченного слоя не является авто-
автомодельной, так как, помимо двух параметров с0 и р0, в ней
имеется еще один параметр — толщина слоя, и размерно-
размерности всех трех параметров независимы. По той же причине
не являются автомодельными аналогичные задачи об из-
энтропическом разлете однородного изотермического бес-
бесконечного цилиндра и однородного изотермического шара.
Эти задачи подробно обсуждаются в книге Я.Б.Зельдо-
Я.Б.Зельдовича и Ю. П. Рейзера A966). Движение становится авто-
автомодельным в пределе при t -^oo, так как величина члена,
содержащего градиент давления, быстро уменьшается.
В случае шара, радиус .которого Rm при расширении
растет, как и величина Дж в E.138), пропорционально вре-
времени
Лш=Т|Тсог + Дош, E.139)
имеем
J |L E.140)

§ 5] РАЗЛЕТ ГАЗА С ПОВЕРХНОСТИ ЗВЕЗДЫ 279
Таким образом, при t ->¦ оо сила, которая может вы-
вызвать перераспределение масс, очень быстро уменьшается.
Движение как в случае сферической, так и цилиндриче-
цилиндрической симметрии становится инерционным. Из уравнения
dv . dv r\ /г л / л \
_+у_==0 E.141)
следует, что
v = r/t. E.142)
Выражение плотности, которое нетрудно найти из уравне-
уравнения неразрывности, при условии E.142) имеет вид
E.143)
где N = 0, 1, 2 для плоской, цилиндрической и сфериче-
сферической симметрии соответственно. Вид функции / (r/t) зави-
зависит от начальных условий.
Для случая плоской симметрии имеется выражение
E.137), полученное путем точного решения задачи. Поэто-
Поэтому функция / (r/t) для сферической симметрии записывает-
записывается в виде
з-у
При у = б/3 и массе шара 9К0 постоянная А = 5К0/8я.
Задачи о разлете неоднородной среды, вообще говоря,
могут решаться только приближенными методами. Однако
в некоторых случаях, когда начальные распределения
плотности и давления внутри шара (цилиндра) зависят
лишь от отношения r/Rm, разлет в пустоту происходит в
автомодельном режиме (Я. Б. Зельдович, Ю. П. Райзер
A966)). В частности, это имеет место при изэнтропическом
разлете и начальных распределениях вида
Р-Р-(*-дГ) . P-^i—sr) , E.140)
гДе рс — значение плотности в центре. Подобного рода
выражениями удобно пользоваться для анализа явлений,
происходящих при расширении газовых струй в двойных

280 ДВИЖЕНИЯ ГАЗА В ЗВЕЗДАХ ЕГл. 5
системах, когда разлет надо учитывать с самого начала
движения, т. е. нельзя пользоваться условием t ->oo. Рни
будут использованы в гл. 6.
Учет гравитации и неадиабатичности разлета делает
решение задачи чрезвычайно сложным. Приближенные
методы решения подобных задач излагаются в книге
К. П. Станюковича A971). В частности, им отмечено, что
разлет слоя газа в поле тяготения, если толщина слоя
мала по сравнению с расстоянием слоя от гравитирующего
центра, можно приближенно рассчитать, рассмотрев от-
отдельно две стадии процесса. На первой стадии можно пре-
пренебречь тяготением и принять, чтов это время к моменту
t0 устанавливается распределение плотности вида E.137).
На следующей стадии (при t ]> t0) можно рассматривать
движение невзаимодействующих между собой частиц в по-
поле тяготения, причем движение каждой из них опреде-
определяется скоростью, приобретенной на первой стадии. Этот
способ решения был использован при исследовании разлета
газа из тех слоев новой звезды, которые при вспышке были
нагреты ударной волной (В. Г. Горбацкий A9746)).
Из наблюдений новых звезд следует, что после отрыва
главной оболочки из новой звезды происходит интенсивное
выбрасывание вещества со скоростью, превышающей
скорость главной оболочки. Этот газ, догоняя главную обо-
оболочку, ускоряет ее. Ранее В. А. Амбарцумяном A939)
было показано, что замедление падения блеска новой после
максимума обусловлено выбросом вещества. Действие
быстро движущихся газовых конденсаций на оболочку
установлено Э. Р. Мустелем A948) и впоследствии де-
детально исследовано В. Г. Горбацким (см. В. Г. Горбацкий,
И. Н. Минин A963)).
Обозначим через а ту долю энергии взрыва Евг, про-
происшедшего в подфотосферных слоях звезды, которая не
была израсходована на отрыв главной оболочки и не уне-
унесена вместе с ней. За счет энергии аЕвг произошел нагрев
газа, масса которого шъ Если температура нагретых слоев
достаточно велика, то, поскольку давление в них не урав-
уравновешивается внешними слоями, которые оторвались, дол-
должно начаться расширение газа. Та часть его, которая при
этом приобретает скорость, большую или равную параболи-
параболической, уходит от звезды. Таким образом, истечение вещест-
вещества из новой звезды, следующее за отрывом оболочки, мо-

5] РАЗЛЕТ ГАЗА С ПОВЕРХНОСТИ ЗВЕЗДЫ 281
жет рассматриваться как расширение газа в вакуум в поле
тяготения.
Расширение является, вообще говоря, неадиабатиче-
неадиабатическим, а расширяющийся слой — неоднородным и неизо-
неизотермическим. Поэтому задачу можно решить только
в очень грубом приближении. Будем считать, что началь-
начальное значение скорости звука сн в нагретом слое всюду оди-
одинаково и равно
E.146)
Так как высвечивание существенно скажется на усло-
условиях, существующих в нагретом газе, лишь через время
порядка 107 сек и более, то для t ^ 106 сек разлет считаем
происходящим адиабатически.
При расширении внешних слоев внутрь звезды дви-
дется волна разрежения. В плотных слоях звезды обра-
образуется отраженная волна, которая определяет распределе-
распределение плотности в расширяющемся газе. В соответствии
с указанной выше возможностью пренебречь тяготением
на первом этапе разлета, используется распределение р
в виде E.137). Запишем его следующим образом (у = ъ/3):
Р = 7з5^«3сн>2-"»>' EЛ47)
где и0 — скорость, приобретенная частицей, В — постоян-
постоянная. Далее, при t^> t0 скорость частицы и должна ме-
меняться с расстоянием г до центра звезды так:
и2 = и\ - 2G3R* [4-— 4") ;
При разлете газа в пустоту в поле тяготения звезды ее
покидают лишь частицы со скоростью, большей парабо-
параболической. Остальной газ, отдав свою энергию передним
слоям, имеет скорость, меньшую параболической, и оста-
остается у поверхности.
При помощи E.147) и E.148) определяются значения
массы тп и кинетической энергии Wa = тиУк/2 тех час-
частиц газа, которые способны догнать главную оболочку,
движущуюся со скоростью у0, т, е. таких, у которых при
r^> R% скорость и > v0 (здесь уи — скорость истечения).
Из наблюдений известно изменение скорости главной

282 ДВИЖЕНИЯ ГАЗА В ЗВЕЗДАХ [Гл. 5
оболочки звезды, вызванное действием догоняющего ее
газового потока. При данной массе главной оболочки
новой т0 отсюда получаются (см. В. Г. Горбацкий,
И. Н. Минин A963)) наблюдаемые значения яги и г;и. Таким
образом, имеем два уравнения с неизвестными Евз, а, т1
и G^fi^/R^. Добавляя уравнение
A - а) Евз = т0 (vl + -^) , E.149)
определяющее (с учетом нагрева ударной волной) энергию,
затраченную на отрыв главной оболочки, при заданном
значении параболической скорости на поверхности звезды
можно получить характерные значения 2?Вз» ?% и а. Ука-
Указанным путем удалось найти, что при допустимых для бе-
белого карлика значениях параболической скорости
#вз = 3.104в - 1047 эрг, т1 = A0 ~ 40) т0. E.150)
Полученная величина Евз в десятки раз превышает кине-
кинетическую энергию оболочки. Оказывается, что большая
доля энергии взрыва, обусловившего вспышку, расхо-
расходуется не на отрыв оболочки, а на нагрев внешних слоев
звезды. Масса нагретого газа более чем на порядок пре-
превосходит массу главной оболочки, но из звезды выбрасы-
выбрасывается лишь небольшая его часть. Скорость звука ся в
1,5—2 раза превосходит vQ. Заметим, что величина Евъ,
значительно превосходящая делавшиеся ранее оценки, со-
согласуется с данными наблюдений в инфракрасной области
спектра, согласно которым при вспышке освобождается
энергия порядка 1047 эрг.
Указанным механизмом можно объяснить мощное ис-
истечение вещества из новой, начинающееся почти сразу по-
после отрыва главной оболочки и продолжающееся, как по-
показывают наблюдения, не более нескольких суток. Го-
Гораздо более продолжительное — в течение месяцев —
и менее интенсивное истечение вещества из новой, веро-
вероятно, связано с в 'ерей вещества другим компонентом си-
системы — красным карликом, облучаемым вспыхнувшей
звездой (В. Г. Горбацкий, Л. Н. Иванов A974)). Облуче-
Облучение должно приводить к оттоку нагретого газа с поверх-
поверхности спутника и последующему уходу газа из системы.
В процессе разлета ионизованного газа в вакуум в нем
происходят рекомбинации. Так как скорость рекомбина

§ 5] РАЗЛЕТ ГАЗА С ПОВЕРХНОСТИ ЗВЕЗДЫ 283
ций пропорциональна квадрату электронной плотности,
которая очень быстро уменьшается при разлете, то оказы-
оказывается возможным положение, когда газ разлетится, не
успев полностью прорекомбинировать. Вблизи фронта
разлета температура газа Г^Ои, следовательно, равно-
равновесная степень ионизации должна быть равной нулю.
В действительности же она отлична от нуля, т. е. выше рав-
равновесной. В таких случаях говорят о «закалке» ионизаци-
ионизационного равновесия.
В качестве примера можно привести решение задачи об
изменении степени ионизации в оболочке сверхновой при
ее разлете (В. Г. Горбацкий A970)). Если оболочку пред-
представить в виде однородно расширяющегося водородного
шара, объем которого F06 ~ t~d, то изменение числа иони-
ионизованных атомов N+ в нем описывается уравнением
N+ до _> —HIM ф о E.153)
где С — суммарный коэффициент рекомбинации на вто-
второй и высшие уровни, слабо зависящий от температуры.
Из E.151) находим
N+ (<) = iV+ (t0) —, ^ ' EЛ52)
При t —>¦ оо
и, значит, газ разлетается на бесконечность частично иони-
ионизованным. Поскольку количество свободных электронов
долго продолжает оставаться большим, происходит ча-
частое возбуждение ими различных атомов, и, в частности,
нейтральных атомов кислорода, что вызывает свечение
оболочки в линиях [01]. Эти линии наблюдаются в спектре
сверхновой приблизительно через 100е* после вспышки.
В рассмотренном сравнительно простом случае не учи-
учитывались ионизации атомов водорода столкновениями и
тем самым с самого начала процесс считался неравновес-
неравновесным. Если же одновременно с рекомбинациями происхо-
происходят и ионизации, то можно ввести равновесную степень

284 ДВИЖЕНИЯ ГАЗА В ЗВЕЗДАХ [Гл. 5
ионизации, определяемую из равенства
С (Т) пеп+ - Ъ (Т) п&^ъ'™ , E.154)
где в левой части стоит число рекомбинаций, а в правой —
число ионизации столкновениями в единичном объеме за
единицу времени. Функции С (Т) и b (T) медленно меня-
меняются с Т.
При падении температуры газа вследствие его расшире-
расширения скорость ионизации резко снижается, так как она
зависит от Т экспоненциально. Скорость рекомбинации
меняется по степенному закону. Поэтому с некоторого мо-
момента равновесная степень ионизации меняется по экспонен-
экспоненциальному закрну, тогда как фактическая — по степенно-
степенному, т. е. гораздо медленнее. В результате степень иониза-
ионизации оказывается избыточной по сравнению с равновесной,
т. е. происходит закалка ионизационного равновесия. Под-
Подробнее с этим явлением можно познакомиться по книге
Я. Б. Зельдовича и Ю. П. Райзера A966).
При вспышке звезды типа UV Кита в ее атмосфере обра-
образуется область нагретого газа. Расширение этого газа и
происходящая в ходе расширения закалка ионизации, по
мнению И. Г. Колесника и Д. А. Франк-Каменецкого
A964), должны приводить к избыточному вынужденному
излучению главным образом вблизи пределов бальмеров-
ского и пашеновского континуумов. И. Г. Колесник A965)
истолковал на основе этих представлений ряд особенно-
особенностей кривых блеска звезд типа UV Кита. Однако эта мо-
модель встречается с рядом трудностей, которые обсужда-
обсуждаются в книге Р. Е. Гершберга A970).
Расширение газа в вакуум во всех рассматривавшихся
выше случаях является нестационарным движением. При
определенных условиях оказывается возможным стацио-
стационарное истечение газа в центральном поле тяготения.
Уравнение, определяющее стационарное истечение, вы-
выводится при помощи известных уравнений неразрыв-
неразрывности и движения в сферическом случае (К. П. Станюко-
Станюкович A971)). Если в этих уравнениях считать dvldt = 0 и
dp/dt = 0, то они принимают вид

§ 5] РАЗЛЕТ ГАЗА С ПОВЕРХНОСТИ ЗВЕЗДЫ 285
Величина dp/p получается из A.13) при посредстве A.7),
A.10) и A.12):
&-=*&.+(V-i)dQ, E.157)
где dQ — количество тепла, теряемое (dQ < 0) или приоб-
приобретаемое газом. Подставляя E.157) в E.156) и используя
E.155), а также выражение потенциала тяготения для
звезды, имеем уравнение
dv __ 1 G8R. у-1 dQ
Из E.158) следует, что под действием гравитации дозву-
дозвуковое (v < с) расширение газа ускоряется. В том же на-
направлении действует приток тепла. В случае сверхзвуко-
сверхзвукового течения эти факторы приводят к уменьшению скоро-
скорости с расстоянием (~г-<С 0). Расширение потока, учитыва-
учитываемое слагаемым 2/г в правой части равенства, оказывает
такое же действие на скорость, как и потеря тенла,— до-
дозвуковой поток затормаживается, а сверхзвуковой уско-
ускоряется.
Поскольку при движении температура газа, вообще
говоря, меняется, величина с2, входящая в E.158), соот-
соответствует местной скорости звука. Если правая часть урав-
уравнения E.158) меняет знак при некотором значении г,
то в этой точке скорость движения становится равной
местной скорости звука. Такая точка называется крити-
критической, или звуковой. Движение, бывшее вначале дозву-
дозвуковым, превращается в сверхзвуковое. Координата кри-
критической точки находится из уравнения
1 (ЙРЬ _ Y-l <*Q . 2 /«НТО
I2--7F-- 3 5T + ~* (o.l&y)
Возможность сверхзвукового течения обусловлена пре-
превращением тепловой энергии в энергию направленного
движения, что характерно для явления расширения газа
в вакуум. Так как тепловая энергия в этом процессе не-
непрерывно затрачивается, для стационарности движения
необходимо, чтобы потери тепловой энергии чем-то ком-
компенсировались.

286 ДВИЖЕНИЯ ГАЗА В ЗВЕЗДАХ [Гл. 5
Квазистационарное течение, называемое солнечным
ветром, представляет собой расширение горячего газа,
составляющего солнечную корону, в межпланетное про-
пространство. Корона нагревается за счет механической
энергии, поступающей из конвективной зоны. Этой энер-
энергией компенсируются потери энергии короной на излуче-
излучение и образование солнечного ветра. Таким образом, на-
начальным источником энергии, обеспечивающим солнеч-
солнечный ветер, является механическое движение газа в конвек-
конвективной зоне
Теории солнечного ветра и результатам наблюдении вы-
вызываемых им эффектов посвящено огромное количество
статей, обзоров и книг. Нет возможности осветить здесь,
хотя бы кратко, соответствующие проблемы. Подробный
обзор их можно найти в книге Брандта A973), снабженной
обширной библиографией. Детальное описание ранних
теорий солнечного ветра дано в книге Паркера A965).
Действительная картина солнечного ветра гораздо
сложнее, чем стационарное радиальное движение, описы-
описываемое уравнением E.158). На движение газа влияют в
сильной степени вращение Солнца, присутствие магних-
ных полей, вязкость газа, неоднородность солнечной ко-
короны и другие обстоятельства. Поэтому развитие теории
солнечного ветра продолжается.
В плазме короны и солнечного ветра проводимость очень
велика и, следовательно, магнитные силовые линии дви-
движутся вместе с газом. Движение солнечного ветра с вмо-
вмороженным магнитным полем было впервые детально ис-
исследовано Вебером и Девисом A967). Вращение Солнца
приводит к искривлению потоков и соответственно ис-
искривлению силовых линий. В результате наличия азиму-
азимутальной компоненты скорости движения и азимутальной
компоненты магнитного поля происходит перенос момента
количества движения через посредство магнитных напря-
напряжений. Поэтому на Солнце со стороны вещества действует
вращательный момент. За время, сравнимое с возрастом
Солнца, солнечный ветер в состоянии существенно
уменьшить скорость вращения Солнца.
Важную роль в динамике солнечного ветра играют раз-
различного вида неустойчивости, например неустойчивость
Кельвина — Гельмгольца, возникающая при движении
корональных потоков (см. гл. 3).

§ 5]. РАЗЛЕТ ГАЗА С ПОВЕРХНОСТИ ЗВЕЗДЫ 287
Стационарного истечения газа из звезд, т. е. существо-
существования звездного ветра, следует ожидать во всех случаях,
когда у звезды имеется конвективная зона и соответствен-
соответственно горячая корона. Однако мощное стационарное истече-
истечение газа происходит также из горячих звезд типа Воль-
Вольфа — Райе, у которых нет оснований предполагать нали-
наличие внешних конвективных зон, Причиной истечения
в этих случаях считают действие светового давления. Све-
Светимость звезд типа WR очень велика, и соответственно
сила лучевого давления в поверхностных слоях может
превышать силу тяготения (подробнее см. В. Г. Горбац-
кий, И. Н. Минин A963)).
Влияние давления излучения на динамику газа во
внешних слоях звезд типа WR подробно рассматривалось
в работах И. Ф, Малова A972, 1974). Уравнения, опреде-
определяющие сферически-симметричное радиальное и стацио-
стационарное течение, записываются в таком виде:
7г^(г» = 0, E.160)
EЛ62)
где ттъне — масса атома гелия. Величины Ар и Д# учитыва-
учитывают поступление в газ количества движения и энергии со-
соответственно. Если ускорение газа обусловлено действием
излучения на свободные электроны, то
АР = ^ёг> &e=vAp. E.163)
Величина L% означает светимость звезды, а ат — ко-
коэффициент рассеяния на свободных электронах. Числен-
Численное решение задачи показало, что давление излучения на
свободные электроны может при 90?* = 15 9К0, R% = 5i?0
и L% = 6-Ю38 эрг*сек обеспечить потерю массы звездой
порядка 10~5 —10~6 $51®/год со скоростью истечения около
1000 км/сек. Такое значение скорости достигается на рас-
расстоянии, равном нескольким радиусам звезды. Цри этом
на ускорение затрачивается 4—7% общего импульса из-
излучения, равного LJc. Переход через скорость звука, по-ви-
по-видимому, происходит на больших оптических глубинах.

288 ДВИЖЕНИЯ ГАЗА* В ЗВЕЗДАХ [Гл. 5
В звездах типа WR селективное давление излучения
(в частотах спектральных линий) не может обеспечить на-
наблюдаемой потери массы. Оно может быть существенным
для горячих сверхгигантов классов О и В, из которых
также наблюдается истечение вещества с мощностью
Ю-6—Ю-'sjj}@/ao3 (Мортон A967, 1969)). Однако и в этих
случаях одного давления в частотах линий недостаточно,
чтобы объяснить наблюдения.
Таким образом, механизм образования звездного ветра
у горячих сверхгигантов отличается от того, с помощью
которого образуется звездный ветер звезд типа Солнца
и более поздних спектральных классов.
В этой, а также в предыдущей главе рассматривалось
взаимодействие оболочки звезды (новой или сверхновой)
с межзвездной средой. Если из звезды происходит истече-
истечение вещества, то при нахождении закона движения обо-
оболочки нужно учитывать возрастание ее количества двп-
жения вследствие действия звездного ветра и одновремен-
одновременного захвата межзвездной среды. И. Н. Минин A955,
1960) рассматривал движение оболочки с помощью урав-
уравнения
af— = avn A;я - v), E.164)
где
t
ЗКоб = »о + 4"лр0 ^ — го) + а\ (уи - v) dt, E.165)
о
ауи — мощность истечения (количество газа, теряемого
звездой за единицу времени), считаемая постоянной, р0 —
плотность межзвездной среды. Закон движения оболочки
получается в неявном виде:
ж' -*ЫН+we—••>+•?• <5-166)
где Я — функция, выражение для которой из-за его гро-
громоздкости здесь не приводится. Иа том этапе, когда масса
оболочки существенно превосходит 3JJ0, закон движения
представляется формулой
г = 2vt, E.167)

§ 5] РАЗЛЕТ ГАЗА С ПОВЕРХНОСТИ ЗВЕЗДЫ 289
существенно отличающейся от выражения, получаемого
без учета звездного ветра.
Аналогичная задача об учете взаимодействия оболочки
со звездным ветром и межзвездной средой решалась числен-
численными методами Э. Р. Мустелем A958, 1959). Газодинами-
Газодинамические эффекты при этом, так же как и в работе И. Н. Ми-
Минина, не учитывались.
Исследование взаимодействия звездного ветра с меж-
межзвездной средой на основе газодинамических уравнений
стационарного движения было проведено С» Б. Пикель-
нером и П. В. Щегловым A968). Звездный ветер образует
оболочку, движущуюся от звезды. Она должна состоять
из двух слоев. Внутренний слой образован ударной вол-
волной, возникающей в газе звездного ветра при столкнове-
столкновении его с более плотной оболочкой. Так как охлаждение
в этом слое незначительно, его температура остается в
течение времени около 108 лет высокой, порядка 107 °К.
В тонком внешнем слое оболочки начальная температура
у фронта волны близка к 105 °К и скорость газа составляет
50—70 км/сек. Газ в этой области должен быстро высвечи-
высвечиваться и уплотняться, излучая в линиях [О III], [О II],
[N II] и др. Излучение внутренней адиабатической облас-
области в основном соответствует рентгеновскому диапазону.
Расчет физических условий в плазме звездного ветра,
образуемого звездой типа WR, и в сжатом ветром слое меж-
межзвездного газа производился В. С. Аведисовой A971).
Для области адиабатического течения применялось авто-
автомодельное решение Л. И. Седова A945), а для быстро ох-
охлаждающегося газа — автомодельное решение, соответ-
соответствующее нулевому градиенту давления за фронтом
(В. Г. Горбацкий A962а)).
Действие звездного ветра сказывается не только в осо-
особенностях излучения нагретых им областей и в создании
необходимых высоких скоростей движения в туманно-
туманностях. По-видимому, наблюдаемая сложная структура
туманностей в ряде случаев обусловлена взаимодействием
звездного ветра с неоднородностями, имеющимися в диф-
диффузных туманностях. Существенную роль может играть
при этом неустойчивость Рэлея — Тейлора (В. С. Аве-
Дисова A974)). Обзор проблем, связанных с наблюдае-
наблюдаемыми проявлениями действия звездного ветра в туман-
туманностях, содержится в статье С. Б. Пикельнера A973).

290 ДВИЖЕНИЯ ГАЗА В ЗВЕЗДАХ [Гл. 5
Часть энергии звездного ветра преобразуется, в ко-
конечном счете, в кинетическую энергию межзвездной
среды. По имеющимся данным энергия звездного ветра от
звезд ранних классов составляет около одного процента
их светимости. Поэтому он не влияет существенно на раз-
размеры областей ионизованного водорода, но в небольших
объемах туманностей (порядка 1 пс2) может оказывать
существенное влияние на динамику газа. С действием
звездного ветра связываются, в частности, наблюдаемые
движения газа в центральной области комплекса туман-
туманностей NGC 2237—2246, называемого «Розеткой» (М. Смит
A973)).

Глава в
ТЕЧЕНИЯ ВО ВРАЩАЮЩИХСЯ ЗВЕЗДАХ
И В ТЕСНЫХ ДВОЙНЫХ СИСТЕМАХ
Исследование течений газа во вращающихся системах
связано с большими математическими трудностями и не
всегда может быть выполнено даже численными методами.
Для вращающихся звезд сложности усугубляются недо-
недостаточностью наших знаний о физических процессах,
происходящих в их недрах, например, о конвекции, о ме-
механизмах обмена угловым моментом и других. Поэтому, не-
несмотря на большое число работ, в которых обсуждаются
различные вопросы, связанные с вращением звезд, состоя-
состояние проблемы далеко не удовлетворительное. Современ-
Современные представления о влиянии вращения на движения газа
в осесимметричных звездных конфигурациях кратко из-
излагаются в первом параграфе этой главы.
Уже долгое время одной из актуальных задач астро-
астрофизики является выяснение механизма истечения газа из
протяженных оболочек быстро вращающихся звезд клас-
класса Be. Этот вопрос обсуждается во втором параграфе.
Особенно трудно изучать движения газа в компонентах
тесных двойных систем, так как в этих случаях прихо-
приходится решать трехмерные газодинамические задачи. Тем
не менее в отдельных вопросах, в частности, в вопросе о
формировании газовых потоков в тесных двойных системах,
достигнуты некоторые успехи и удалось выяснить важные
обстоятельства, связанные с действием динамических
приливов. О работах в этом направлении говорится в па-
параграфе третьем. Четвертый параграф посвящен динами-
динамике газовых потоков и дискообразных оболочек звезд, ко-
которые в значительной степени определяют наблюдаемые
свойства тесных двойных систем звезд-карликов.

292 ТЕЧЕНИЯ ВО ВРАЩАЮЩИХСЯ ЗВЕЗДАХ [Гл. 6
Помимо приливной неустойчивости важную роль в фи-
физическом состоянии тех компонентов тесных двойных си-
систем, которые обладают конвективными зонами, играет
нестационарность конвекции, вызываемая периодически-
периодическими изменениями поля тяготения. Нестационарная конвек-
конвекция и обусловленная ею вспышечная активность в тесных
двойных системах рассмотрены в последнем параграфе.
§ 1. Влияние вращения на состояние звезды
Как известно, вращение звезды приводит к изменению
профилей линий поглощения в ее спектре, при условии,
что ось вращения не совпадает с лучом зрения. Многочис-
Многочисленные наблюдения, результаты которых суммированы
в работах Хуана и Струве A963), Штриттматтера A969),
Бернакка и Перинотто A970, 1971) и ряде других, пока-
показывают, что скорости вращения на экваторе у звезд ранних
классов (В и А) высоки — доходят до 300—400 км/сек.
Вращение звезд поздних классов (G, К), по-видимому,
настолько медленное, что не сказывается заметным об-
образом на профилях спектральных линий (за редкими ис-
исключениями). Тем не менее, поскольку Солнце вращается
(с линейной скоростью на экваторе около 2 км/сек), надо
полагать, что вращаются и другие звезды того же типа.
Даже очень медленное вращение Солнца существенным
образом сказывается на процессах, происходящих в его
внешних слоях. В частности, с его вращением связывает-
связывается образование магнитных полей (см. гл. 3, § 2), которые
играют определяющую роль в явлениях солнечной актив-
активности. Более быстрое вращение меняет структуру всей
звезды.
Если не касаться проблем эволюции, то вращение оди-
одиночной звезды можно считать стационарным, так как ее
момент инерции настолько велик, что действие любых тор-
тормозящих вращение факторов сказывается лишь через очень
большой, по сравнению с периодом вращения, промежу-
промежуток времени. Поэтому уравнение гидростатического рав-
равновесия звезды без учета магнитного поля записывается
в виде
-^-Vcp^ + Q^O, F.1)

§ 1] ВЛИЯНИЕ ВРАЩЕНИЯ НА СОСТОЯНИЕ ЗВЕЗДЫ 293
где й8р — угловая скорость вращения иг — расстояние
данной точки от оси вращения. Потенциал тяготения ср^
определяется уравнением Пуассона
F.2)
Для того чтобы выяснить причины одной из важнейших
особенностей вращающихся звезд,— наличия циркуляци-
циркуляционных течений,— будем считать вращение твердотельным,
т. е. принимаем йВр = const. Тогда, вводя потенциал цент-
центробежных сил
Фс---^^ F.3)
и обобщенный потенциал
% = 4>g + Фс, F.4)
записываем F.1) в виде
^ F.5)
Так как градиент давления совпадает по направлению
с градиентом обобщенного потенциала, то поверхности
р = COnSt И (ft = COIlSt F.6)
совпадают. Поэтому величина р может рассматриваться
как функция только от ф,. Из F.5) тогда следует, что р
также зависит лишь от ф^, а учитывая уравнение состоя-
состояния газа, то же самое можно сказать и о температуре.
Таким образом,.
Р = Р Ы, Р = Р Ы, Т = Т Ы. F.7)
Источники тепловой энергии звезды расположены в ее
центральной части. В той области, где источников энер-
энергии нет, поток энергии излучения равен
i^ = -^^W. F.8)
Так как х = / (р, Г), то с учетом F.7) х = х (ф*) и поэтому
в выражении потока, записанном в форме
*?? F.9,

294 ТЕЧЕНИЯ ВО ВРАЩАЮЩИХСЯ ЗВЕЗДАХ [Гл. 6
коэффициент при Vcpj зависит лишь от cpf. Таким образом,
поток на поверхности cpf = const пропорционален гради-
градиенту обобщенного потенциала. У вращающейся звезды
указанные поверхности не являются сферами, поэтому
поток излучения должен быть неодинаковым в разных
точках эквипотенциальной поверхности. Из этого факта
следует, как нетрудно показать, что
F.10)
В одних областях звезды дивергенция потока излучения
положительна, в других отрицательна. Оказывается, что
в звезде условия гидростатического и теплового равнове-
равновесия одновременно не выполняются. В результате гра-
градиент температуры в звезде изменяется так, что на экви-
эквипотенциальных поверхностях создаются области повышен-
повышенной и соответственно пониженной температуры. Более
холодные области опускаются, а горячие поднимаются.
Так как рассматриваемая область звезды предполагается
находящейся в лучистом равновесии и, следовательно,
устойчива относительно конвекции, то движущийся газ
имеет ту же температуру, что и окружающая среда. Тече-
Течения в однородно вращающейся звезде происходят в Ме-
Меридиональных плоскостях и образуют замкнутые циркуля-
циркуляционные токи. Необходимость циркуляции во вращаю-
вращающейся звезде была установлена в 1929 г. Эддингтоном.
Скорость циркуляционного движения оценивается с по-
помощью уравнения сохранения энергии, записываемого в
виде
cvpT (vV la -%—) = ре* - (VFM), F.11)
\ Р7 /
где ее — производительность источников энергии на еди-
единицу массы, и условия равенства нулю потока вещества
через эквипотенциальную поверхность в целом:
F.12)
Выражение (VjFH3n) находится из F.8).
Возникновение циркуляции можно рассматривать
с более общей точки зрения как следствие возмущения рав-
равновесного состояния звезды. При наличии возмущения,

§ i] Влияние вращения на состояние звезды 295
записываемого в виде А,р/, где X — малый параметр, урав-
уравнение гидростатического равновесия принимает вид
-Vp = p(l+V)Vcp,. F.13)
Исходя из такого представления, Свит A950) развил ме-
метод расчета скорости циркуляции путем последователь-
последовательных приближений. При этом нет надобности предполагать
наличие потенциала фс и ограничиваться случаем одно-
однородного вращения звезды. За параметр А,, определяющий
величину возмущения для эддингтоновской циркуляции,
можно принять величину % (формула 2.70):
I — у- Qbp F.14)
Так как при X <^ 1 величина дивергенции потока излуче-
излучения, обусловленная возмущением, порядка
a)»-^X, F.15)
где Lr и Жг — значения светимости и массы, относящие-
относящиеся К УРОВНЮ Г, ТО ДЛЯ СКОРОСТИ ЦИРКУЛЯЦИИ Уцирк ИЗ F.11)
получается оценочное выражение
FЛ6)
Здесь g — ускррение силы тяжести на уровне г.
В случае достаточно медленного однородного враще-
вращения радиальная компонента скорости циркуляции опре-
определяется формулой (Шварцшильд (I960)), верной до малых
первого порядка по %:
где VT и уадГ определяются по C.131) и E.4), а
P2(cos -ft) •= |- cos 2<& + ~; <& = arcsin у . F.18)

296 ТЕЧЕНИЯ ВО ВРАЩАЮЩИХСЯ ЗВЕЗДАХ №л. 6
Составляющая скорости циркуляции в горизонтальном
направлении Ув,цирк равна
-If (рг2 \ vrsin * *>
о
При условии неоднородного вращения, когда йвр =
= QBP (г), в знаменателе формулы F.17) вместо величины
средней плотности р должна стоять величина р(г)_(Бекер,
Киппенхан A959))- Это обстоятельство вызывает значи-
значительное возрастание скорости циркуляционных движений
во внешних областях звезды.
Наблюдаемая скорость вращения Солнца QBp =
*= 3 • 10~6 сек и, соответственно, скорость циркуляционных
потоков в его центральных областях около 10~9 см/сек»
В случае же быстро вращающихся звезд ранних спек-
спектральных классов величина циркуляционной скорости
должна быть на много порядков больше и во внешних
слоях может достигать нескольких км/сек. В качестве
фактора, ограничивающего скорость циркуляционных
движений во внешних областях звезды, предполагается
вязкость газа. Согласно Смиту A970) скорости циркуля-
циркуляции в поверхностной области быстро вращающейся звезды
настолько велики, что движение является турбулентным
в слое, толщина которого в несколько раз больше шкалы
высох. Поэтому во внешних слоях скорость ограничивается
турбулентной вязкостью.
В случае однородного вращения циркуляционные
потоки в глубоких областях являются восходящими у по-
полюсов и нисходящими у экватора. Текущий газ переносит
угловой момент и таким образом циркуляция влияет на
скорость вращения звезды. Следовательно, при исследо-
исследовании циркуляции в быстро вращающейся звезде необ-
необходимо решать самосогласованную задачу, т. е. считать
закон вращения зависящим от циркуляционных токов.
При этом нужно учитывать и другие факторы, существен-
существенные для обмена моментом количества движения между
различными слоями вращающейся звезды.
Помимо меридиональной циркуляции перенос углово-
углового момента может осуществляться вследствие турбулент-
турбулентной вязкости и присутствия магнитных полей* Принято
считать, что действие турбулентной вязкости приводит

§ 1] ВЛИЯНИЕ ВРАЩЕНИЯ НА СОСТОЯНИЕ ЗВЕЗДЫ 297
к однородному вращению звезды. Однако это про-
произойдет только в том случае, когда турбулентность
изотропна, а во вращающейся звезде анизотропия
турбулентности может привести к стационарному со-
стоянию неоднородного вращения. Расчет действия ани-
анизотропной турбулентной вязкости в конвективных обла-
областях звезды при современном состоянии теории осущест-
осуществить нельзя. Влияние магнитных полей на вращение
однозначно установить также не удается. По-видимому,
сейчас нет достаточных оснований утверждать, что вра-
вращение звезд должно быть обязательно твердотельным или
близким к однородному. Наблюдения Солнца ясно пока-
показывают, что, по крайней мере во внешних слоях его, вра-
вращение дифференциальное.
Характер вращения внутренних слоев звезд из на-
наблюдений определить нельзя, пока не разработана доста-
достаточно полная теория вращения, позволяющая делать
однозначные выводы относительно взаимосвязи движений
в недрах с поверхностными движениями. Поэтому в ряде
работ сделаны попытки устанавливать возможные законы
вращения. Как показано Голдрейчем и Шубертом A967)
методом малых возмущений, дифференциальное вращение
в осесимметричной конфигурации будет устойчивым толь-
только в том случае, когда удельный угловой момент является
возрастающей функцией расстояния от оси вращения.
Условия устойчивости записываются в виде
> О, "ar ~ ° F.20)
(ось Oz совпадает с осью вращения). Эти условия имеют
место, если отношение коэффициента лучистой температу-
температуропроводности Хизл к коэффициенту v молекулярной
вязкости Хизл/v 5> 1. Неустойчивость в данном случае
обусловлена более быстрым обменом элементов газа, сме-
смещаемых в результате возмущения, энергией, чем угловым
моментом. Поэтому смещенный элемент (предполагав-
(предполагавшийся при исследовании кольцеобразным) будет восста-
восстанавливаться в первоначальное положение центробежной
силой только при первом условии F.20). Силы газового
давления к такому восстановлению не приводят. Здесь
существует анадощд с устойчивостью так

298 ТЕЧЕНИЯ ВО ВРАЩАЮЩИХСЯ ЗВЕЗДАХ [Гл. 6
течения Куэтта между двумя вращающимися коаксиаль-
коаксиальными цилиндрами (см. А. С. Монин и А. М. Яглом A966)).
Факт неустойчивости оказывается существенным для
аакона вращения звезды лишь в том случае, когда время
развития неустойчивости не очень велико. Согласно вы-
выводам, сделанным в работе Клемента A972), указанная
Голдрейчем и Шубертом неустойчивость не является до-
достаточно эффективным средством перераспределения угло-
углового момента в звезде, за исключением тех случаев, когда
локальное время циркуляции мало.
Второе из условий F.20) означает, что в устойчивом
состоянии угловая скорость вращения должна быть по-
постоянной на цилиндрической поверхности, ось которой
совпадает с осью вращения. Вместе с тем, как показал
Роксбург A966b), в звезде, состоящей из невязкого газа,
условие лучистого равновесия несовместимо с предпо-
предположением о том, что угловая скорость есть функция только
расстояния от оси вращения г. По его мнению, такая не-
несовместимость должна приводить к движениям циркуля-
циркуляционного характера, вообще говоря, отличным от
рассмотренной выше эддингтоновской циркуляции. По-
Поскольку при выводе условий F.20) циркуляция не учи-
учитывалась, результаты двух указанных работ нельзя
считать взаимно противоречивыми, но они; отчетливо
демонстрируют ограниченность рассмотренных моделей.
Рядом других авторов также изучалась устойчивость
вращения в областях лучистого равновесия (см., напри-
например, Фрике A971)). Обзор результатов этих исследований
содержится в статье Фрике и Киппенхана A972). Для
различных моделей были установлены условия устойчи-
устойчивости, но класс возможных устойчивых движений оста-
остается все же весьма широким, поскольку ни в одной из
моделей не учтены все существенные обстоятельства,
ввязанные с вращением. Например, В. В, Порфирьевым
A962) было показано, что твердотельное вращение звезды
устойчиво по отношению к малым возмущениям закона
вращения, если звезду считать однородной. В какой мере
этот вывод применим к неоднородным конфигурациям,
остается не ясным. В работе Роксбурга A974) изучен
класс моделей с неоднородным стационарным вращением
и меридиональной циркуляцией, но вязкости при
да утегывадаеь,

$ iJ ВЛИЯНИЕ ВРАЩЕНИЯ НА СОСТОЯНИЕ ЗВЕЗДЫ 29&
В главе 2 уже отмечалось, что неоднородность хими-
химического состава звезды может сильно сказаться на устой-
устойчивости ее вращения. Стратификация молекулярного
веса \i в ядре звезды, где он возрастает с глубиной, ока-
оказывает стабилизирующее действие на звезду (Голдрейч
и Шуберт A967)).
Как известно, при наличии внутри звезды поверхности
разрыва молекулярного веса вещество, находящееся но
разные стороны от этой поверхности, не перемешивается.
Поэтому циркуляционные токи у той поверхности, где
|х меняется скачком, отклоняются и скорость циркуляции
при этом сильно возрастает. При возмущениях этой по-
поверхности меняется и характер циркуляции вблизи нее.
Взаимодействие меридиональной циркуляции g полем \i
в звезде играет существенную роль в перемешивании
вещества, которое в значительной степени должно опре-
определять эволюцию звезды. По существующим взглядам,
перемешивания в одиночных звёздах не происходит даже
при высокой скорости вращения, так как изменения хими-
химического состава, вызываемые циркуляцией, должны вызы-
вызывать явления, замедляющие циркуляцию и тем самым
компенсироваться (Шварцшильд (I960)). Тем не менее
на сегодняшний день проблему перемешивания нельзя
еще считать окончательно решенной (подробнее см.
Местел A970)).
Достаточно сильное магнитное поле внутри звезды
может радикальным образом влиять на ее вращение.
Наблюдательные данные, позволяющие предполагать
присутствие в недрах большинства звезд крупномасштаб-
крупномасштабных, магнитных полей, очень скудные, однако мнение
о том, что такие поля имеются, широко распространено.
Основанием для этого мнения служит существование
поля у Земли, Солнца и сравнительно редкого класса
магнитных звезд, а также то обстоятельство, что меж-
межзвездная среда, из которой образуются, по современным
воззрениям, звезды, содержит вмороженное магнитное
поле. Поле должно усиливаться по мере сжатия газа, что
и послужило исходным пунктом для гипотезы о релик-
реликтовой природе звездных полей (Пиддингтон A973)).
Однако, по крайней мере в случае Земли, гипотеза о пер-
первоначальном поле непригодна. Характер изменений сол-
солнечного поля также трудно согласовать с ней.

SOD ТЕЧЕНИЯ ВО ВРАЩАЮЩИХСЯ ЗВЕЗДАХ {Тл. В
При наличии конвективных движений в звезде, вслед-
вследствие дифференциального вращения, за счет полоидаль-
ного поля должно усиливаться тороидальное поле. Изме-
Изменение напряженности поля со временем описывается урав-
уравнениями (Паркер A970а, Ь,. с)), следующими из A.87):
№-*¦)• <•¦*>
ж - v« (v* - 4-)] «^» - ivB '•¦ <6-22>
[ж
Здесь Нг — радиальная составляющая (полоидальное
поле) и Яф- азимутальная составляющая (тороидаль-
(тороидальное поле), Ау — азимутальный вектор-потенциал, еф —
единичный вектор в азимутальном направлении. Физиче-
Физический смысл уравнения F.21) заключается в том, что оно
указывает, как неоднородное вращение приводит к обра-
образованию «петель» магнитных силовых линий. Полоидаль-
Полоидальное поле должно восстанавливаться. Механизм восста-
восстановления заключается во взаимодействии поднимающихся
конвективных токов с тороидальным полем (уравнение
F.22)). Кориолисовы силы вращают поднимающийся газ
вместе с магнитными силовыми линиями так, что образу-
образуется петля, которая поворачивается вследствие вращения
звезды. Таким путем образуется новая силовая линия
(рис. 17). Расчет показывает, что у основания конвектив-
конвективной ячейки вращение происходит быстрее, поэтому поле
и усиливается. Слияние петель способно дать достаточно
сильное полоидальное поле, которое все же не может
превзойти тороидальное. При использовании уравнений
F.21) и F.22) нужно учитывать турбулентный характер
конвективных движений. Источником энергии магнит-
магнитного поля в рассматриваемой модели является конвекция.
Аналогичным образом конвективными движениями во
вращающемся ядре Земли объясняется возникновение
у нее магнитного поля (С. И. Брагинский A964)).
В применении к звездам указанный механизм генера-
генерации поля не разработан в количественном отношении и
неизвестно, какова напряженность получаемого таким
путем поля. Имеются существенные трудности в расчетах,
обусловленные необходимостью учитывать топологиче-
топологическую диссипацию поля. Тем более не приходится пока

§ ii ВЛИЯНДЕ ВРАЩЕНИЯ НА СОСТОЯНИЕ ЗВЕЗДЫ &)i
говорить о полном решении самосогласованной задачи,
в которой бы учитывалось и обратное влияние поля на
вращение звезды и на конвекцию в ней. Некоторое разви-
развитие теории генерации магнитных полей во внешних обла-
областях Солнца конвективными движениями при учете диф-
дифференциального вращения получено в работах Ю. Б. По-
номаренко A969 а, б).
Влияние тороидальных полей на равновесие вращаю-
вращающейся конфигурации рассмотрено Р. С. Оганесяном и
а) б)
Рис. 17. Схема усиления магнитного поля во вращающейся звезде.
М. Г. Абрамяном A973). Сильное поле должно оказывать
стабилизирующее действие, делая возможным, в част-
частности, твердотельное вращение. Однако при подобных
расчетах необходимо учитывать эффекты, связанные
с диффузией поля, поскольку проводимость газа в звез-
звездах хотя и мала, но конечна, а время развития неустой-
неустойчивости велико.
Вращение существенно меняет характер конвективных
течений. Меридиональная эддингтоновская циркуляция
в конвективной зоне отсутствует, но возникает особый вид
циркуляции, связанный с анизотропией турбулентных
движений в поле тяготения (Бирман A951)). Турбулент-
Турбулентное трение приводит к созданию в конвективной зоне
дифференциального вращения, несовместимого с равно-
равновесным состоянием. В результате должны возникать
крупномасштабные движения в меридиональных плоско-
плоскостях. Энергия этих течений черпается из энергии враща-
хельного движения. Направление токов может при одних
условиях быть таким же, как и в случае эддингтоновской
циркуляции — вещество поднимается на полюсах и опу-
опускается на экваторе, а в других — противоположным.

302 ТЕЧЕНИЯ ВО ВРАЩАЮЩИХСЯ ЗВЕЗДАХ №й. ё
Характер движения определяется свойствами турбулент-
турбулентности.
Взаимодействие конвекции, вращения и меридиональ-
меридиональной циркуляции исследовалось приближенно численными
методами Дарни A971) при частичном учете нелинейных
эффектов. В результате такого взаимодействия вращение
становится дифференциальным и возникает отличие тем-
температуры в полярных областях от температуры на эква-
экваторе. Анизотропия конвекции во вращающемся конвек-
конвективном ядре звезды (внутренней конвективной зоне)
согласно Тейлеру A973) также вызывает усиление мери-
меридиональной циркуляции и перемешивания. Таким обра-
образом, факт взаимосвязи конвекции и вращения звезды
как указанными, так и другими исследованиями выяв-
выявлен отчетливо. Достаточно полная картина явлений может
быть получена только при цомощи точной теории конвек-
конвекции, которой пока нет.
Проблема переноса момецта количества движения
в ходе эволюции вращающейся звезды и, в частности,
вопрос о механизме, обеспечивающем потерю избыточного
момента у сжимающейся протозвезды, рассматривалась
во многих работах (см. Фрике и Киппенхан A972)). По-
Поскольку задача о переносе момента в полном виде не
решена, при расчетах эволюции вращающихся звезд
делается одно из двух предположений: а) удельный угло-
угловой момент сохраняется всюду; б) удельный угловой мо-
момент сохраняется в слоях с устойчивой стратификацией
молекулярного веса; в остальных областях вращение
твердотельное. Результаты расчетов Боденхеймера и
Острайкера A970) показывают, что при определенных
условиях основная доля вращательного момента сжима-
сжимающейся протозвезды может оставаться внутри нее и
поэтому центральные области звезд должны вращаться
значительно быстрее, чем наружные. Присутствие быстро
вращающегося ядра у Солнца было независимо предпо-
предположено Дикке A970) на основе наблюдений формы сол-
солнечного диска. Одна из наиболее интересных работ в этом
направлении выполнена Киппенханом и др. A970). Расче-
Расчеты эволюции массивной звезды BК^ = 93Rq) продемонстри-
продемонстрировали образование быстро вращающегося ядра на стадии
выгорания гелия, причем вследствие, наличия «|х-барьера»
вращательный момент не передается оболочке. При даль-

§ i] ВЛИЯНИЕ ВРАЩЕНИЯ НА СОСТОЯНИЕ ЗВЕЗДЫ 303
нейшем сжатии ядра скорость его может возрасти до пре-
предела ротационной неустойчивости, когда становится воз-
возможным деление ядра. Это должно полностью изменить
ход эволюции звезды, которая в конечном счете превра-
превратится в новоподобную двойную систему (В. Г. Горбацкий
A9756)).
Процессы, обусловленные существованием быстро
вращающегося ядра звезды, очень сложны и детальный
расчет их сейчас невозможен. На эволюцию такого ядра
может повлиять магнитное поле. Расчеты Г. С. Биснова-
того-Когана и др. A975) показывают, что вследствие пере-
перехода энергии вращения в энергию поля и вызванного этим
возрастания магнитного давления возможен срыв обо-
оболочки. С этим; связывается явление вспышек сверхновых.
Однако, как уже неоднократно отмечалось, существующие
представления о генерации поля в звезде недостаточны
для развития точной теории подобйых явлений.
Решение самосогласованной задачи о динамической
эволюции вращающейся звезды до настоящего времени
было получено только для белого карлика (Дарисен
A973, 1975)), для которого предполагалось, что угловой
момент переносится изотропной вязкостью, меняющейся
с плотностью по закону
Г1е~р5/з, *]1~Р6Ч Ч = Т|е + Т|ь F.23)
где индексы «е» и «i» соответствуют электронной и ионной
вязкости соответственно. При расчете предполагалось
также, что удельный угловой момент / является постоян-
постоянным на цилиндрической поверхности, ось которой совпа-
совпадает с осью вращения,
|*- = 0 и Дг>0. F.24)
Исследование равновесия конфигурации показало, что
перенос момента меридиональной циркуляцией выража-
выражается величиной второго порядка малости относительно
в = (йвр^в), где tb — временной масштаб изменения
угловой скорости Йвр за счет вязкости. Поэтому в первом
порядке влияние меридиональной циркуляции не учи-
учитывалось.
Уравнение, определяющее изменение удельного мо-
с расстоянием, записывается в

304 ТЕЧЕНИЯ ВО ВРАЩАЮЩИХСЯ ЗВЕЗДАХ [ГлГ 6
координатах в следующем виде:
Значения функций р0 (г, z) и /0 (г, z) определяются равно-
равновесной моделью звезды. Далее расчет проводится шаг за
шагом.
Численное решение F.25) совместно с уравнениями
равновесия звезды при $51% = 1,02 9R0 и полном моменте
/jj. = 1,54-1050 г • см2 • сек показало, что около половины
общего начального момента количества движения пере-
передается сильно уплощенному поверхностному слою (диску),
содержащему всего около 2% общей массы звезды. Дви-
Движения в диске круговые кеплеровские. Вращение ядра,
включающего 98% массы, приближается к твердотель-
твердотельному. Скорость диссипации энергии вследствие вязкости
Ё^ определяется выражением:
F.26)
(V*)
Из расчета следует, что время эволюции звезды (время
диссипации вращательной энергии)
h = ^ F.27)
составляет около 7-Ю9 лет. Диссипация энергии проис-
происходит преимущественно во внешних слоях.
В связи с указанным теоретическим выводом об обра-
образовании у белых карликов дискообразных вращающихся
оболочек можно напомнить о наблюдательных данных,
указывающих на присутствие таких оболочек у белых
карликов, не входящих, по-видимому, в состав тесных
двойных систем (Куто A957), Гринстейн A963)).
В рассмотренном случае передача углового момента
и образование дискообразной оболочки обусловлены дей-
действием молекулярной вязкости. В оболочках быстро вра-
вращающихся звезд типа Be перенос углового момента про-
происходит, по-видимому, при посредстве магнитного поля.
Движение газа в таких оболочках рассматривается р сле-
следующем параграфе.

§ 2] ДИНАМИКА ОБОЛОЧЕК ЗВЕЗД ТИПА Be 305
§ 2. Динамика оболочек звезд типа Be
Присутствие оболочки у звезды типа Be приводит
к появлению в наблюдаемом спектре эмиссионных линий
бальмеровской серии водорода и эмиссии в бальмеровском
континууме. Эти особенности спектра возникают из-за
происходящих в оболочке рекомбинаций атомов водорода
и при свободно-свободных переходах. Излучение обо-
оболочки в линиях и в непрерывном спектре обеспечивается
за счет переработки излучения звезды за пределом лайма-
новской (а частично и бальмеровской) серии водорода.
Оптическая толщина оболочки звезды типа Be мала
в видимой области непрерывного спектра. Вместе с тем,
оболочка оказывается оптически толстой в линиях баль-
бальмеровской серии. Поэтому расчет излучения оболочки
в континууме сравнительно прост, тогда как вычисление
профилей и интенсивностей спектральных линий пред-
представляет довольно сложную задачу. Расчет линейчатого
спектра оболочки выполняется на основе теории движу-
движущихся оболочек звезд, разработанной В. В. Соболевым
A947). Вычисления, проделанные им самим и впоследст-
впоследствии другими авторами (см. В. Г. Горбацкий, И. Н. Ми-
Минин A963)), дали возможность определить физические
условия в оболочках звезд типа Be и установить, в общих
чертах, характер движений в них.
Средние характеристики оболочек звезд типа Be
достаточно уверенно определяются путем анализа линей-
линейчатого и непрерывного спектров этих звезд. Плотность
газа в оболочках порядка 10~12 г^слГ3, а температура со-
составляет около 104 °К.
Линии в спектрах звезд типа Be очень широки. Рас-
Расширение линий вызвано быстрым вращением, скорость
которого в экваториальной плоскости достигает 300—
400 км/сек. Вместе с тем, газ движется от поверхности
звезды и в радиальном направлении, но со значительно
меньшей скоростью — 10—30 км/сек.
Оболочки звезд типа Be явдяются протяженными. Это
означает, что плотность вещества в них убывает с расстоя-
расстоянием от звезды медленно. Распределение плотности
можно аппроксимировать зависимостью вида
F.28)

306 ТЕЧЕНИЯ ВО ВРАЩАЮЩИХСЯ ЗВЕЗДАХ [Гл. 6
где к « 2. Вещество поступает в оболочку из звезды, но
этот процесс является нерегулярным. Переменность
оболочек за характерное время 5«107 сел показывает, что
потеря вещества звездой типа Be не может быть связана
только с ротационной неустойчивостью звезды. Причины
выбрасывания газа из звезд пока остаются не выяснен-
выясненными. Однако вращение звезды должно способствовать
преимущественному выбросу из областей, расположенных
вблизи экватора» Поэтому в качестве модели оболочки
звезды типа Be часто принимают уплощенный слой, тол-
толщина которого порядка диаметра звезды. Эффективный
уровень образования эмиссионных линий по данным на-
наблюдений соответствует расстоянию 22?^ -н 5/?^ от по-
поверхности. Излучение в непрерывном спектре исходит
из более глубоких слоев.
Из приведенных выше данных следует, что плотность
тепловой энергии в оболочке порядка 1 эрг*см~9, тогда
как плотность механической энергии на три порядка
выше. Поэтому градиент газового давления не должен
играть практически никакой роли в динамике оболочки.
Выбрасывание вещества из звезды типа Be происходит
со скоростью гораздо меньшей, чем параболическая.
Выброшенный газ в конечном счете уходит от звезды. Вре-
Время, за которое данный элемент газа существенно уда-
удаляется от поверхности звезды, гораздо больше периода
обращения элемента, так как азимутальная скорость уф
намного превосходит радиальную vr. Поэтому основная
проблема динамики оболочек звезд типа Be состоит в том,
чтобы выяснить, какие силы не только «поддерживают»
газ против действия тяготения, но одновременно совер-
совершают работу против тяготения и обеспечивают квазиста-
квазистационарную потерю газа звездой.
Простые оценки показывают (см. Лимбер, Мальборо
A968)), что ни газовое давление, ни давление излучения
не могут поддерживать оболочку звезды типа Be в квази-
квазистационарном состоянии. Поэтому остается единственная
возможность — поддержание и расширение оболочки
объясняется действием центробежной силы.
При условии приближенного равенства центробежно-
центробежного ускорения гравитационному
. F-29)

§ 2J ДИНАМИКА ОБОЛОЧЕК ЗВЕЗД ТИПА Вё 307
где Йвр — угловая скорость, движение Является при-
приближенно круговым кеплеровским. Удельный момент
количества движения
j = Йврг2 F.30)
при этом возрастает с г. Так как в наружных областях
оболочки нет источников вещества и момента, то возра-
возрастание может происходить только за счет момента вра-
вращения самой звезды. Передача момента возможна по-
посредством вязких напряжений, в частности, турбулентной
вязкостью. С другой стороны, угловой момент звезды
может передаваться оболочке при наличии достаточно
сильного магнитного поля, связанного с вращающей-
вращающейся звездой.
Вязкие напряжения производят перенос углового
момента в соответствии с уравнением F.25). Подробно
это уравнение и процесс переноса момента во вращающей-
вращающейся турбулентной среде обсуждается в § 4. Турбулентная
вязкость может играть существенную роль в динамике
оболочек звезд типа Be, но по ряду соображений (см.
Лимбер, Мальборо A968)) перенос момента магнитным
полем в данном случае представляется более важным.
К вопросу о роли турбулентной вязкости мы вернемся
ниже, а сейчас рассмотрим процесс передачи момента
количества движения магнитным полем от звезды в окру-
окружающую ее оболочку. Соответствующая задача решалась
Местелом A968), рассмотревшим стационарное течение
газа из изотермической короны вращающейся звезды
с дипольным магнитным полем. В цилиндрической систе-
системе координат имеет место уравнение
4" *5 + 4" Q2*p?2 - -^ + 4, In р - а^рг* = А, F.31)
где
ах^Йвр--^^, F.32)
т — расстояние точки от оси вращения, vp и Нр — ве-
величины полоидальной составляющей скорости и напря-
напряженности магнитного поля соответственно:
vv - (i* + v\)\ Hv = (Я? + Hl)\ F.33)

308 ТЕЧЕНИЯ ВО ВРАЩАЮЩИХСЯ ЗВЕЗДАХ [Гл. 6
Через Яф обозначена величина тороидальной составля-
составляющей, а сиз — изотермическая скорость звука. Уравнение
F.31) является обобщением интеграла Бернулли для изо-
изотермической вращающейся системы с магнитным полем.
Членом ахйврГ2 учитывается работа, совершаемая над
газом при передаче ему посредством поля углового момента.
Величина А постоянна вдоль линий тока. Соотношение
F.32) является одним из интегралов уравнений магнит-
магнитной газодинамики. Имеется и другой интеграл вида
1^ЙврР = -|Ь F-34)
описывающий передачу углового момента от поля га-
газу. Величины ах и а2 остаются постоянными вдоль ли-
линий поля.
Из F.32) и F.34) с учетом соотношения, получающе-
получающегося из уравнения неразрывности,
р-^-=а3, F.35)
где а3 также не меняется вдоль силовой линии, можно
найти следующие выражения йвр и Н^:
1—¦
F.36)
V
Знаменатель этих дробей может быть записан в виде 1 1-
где а — альвеновская скорость в данной точке. Отсюда
следует, что при достаточно быстром убывании плотности
от звезды на каждой силовой линии должна существовать
некоторая критическая точка С, в которой значение vp
совпадает с а, т. е. выполняется соотношение
р(гс) = 4яс& F.37)
Числители в формулах F.36) при этом также должны-
обращаться в нуль.
Используя систему F.31) — F.37), Местел показал,
что передача крутящего момента сильным магнитным
полем, жестко связанным со звездой, на достаточно малых

I 2) ДИНАМИКА ОЬОЛОЧЕК ЗВЕЗД ТИПА Вё 309
расстояниях от звезды настолько эффективна, что дви-
движение газа там приближается к твердотельному. На рас-
расстояниях же, больших, чем до точки С, угловой момент4
сохраняется.
Звездам типа Be, по-видимому, лучше соответствует*
модель, в которой предполагается, что истекающий газ
образует цилиндрический слой, толщина которого мала
по сравнению с радиусом. В таком случае можно заменить
г расстоянием от центра звезды г и считать, что v~ = vr ^>
дН
^>у2и#~ = Hr^>Hz. Если принять также, что-у^- = О,
то для радиальной компоненты яоля Нг получается вы-
выражение:
#r= tf^ik, F.38)
где Нг0) — напряженность поля на экваторе звезды. При
этом в уравнениях F.31) — F.36), vv и Hv заменяются на
vT и Нг соответственно, а величины ах, а2, а3и4 оказы-
оказываются не зависящими от z.
Вопрос о происхождении радиальной компоненты Нг
пока остается открытым, но при определенных условиях,
например, при нестационарном истечении плазмы в эква-
экваториальной плоскости звезды с дипольным полем, как
показано в работе В. Н. Морозова A973а), может возник-
возникнуть поле вида F.38). В этой работе на основе уравнений
F.31) — F.36) при условии F.38) было получено поле
скоростей в экваториальной оболочке звезды типа Be.
Оно определяется выражениями
it)]' F'39)
F.40)
где индексом @) обозначено значение соответствующей
величины на поверхности звезды, а т задается формулой

310 ТЕЧЕНИЯ ВО ВРАЩАЮЩИХСЯ ЗВЕЗДАХ tfd. d
Плотность газа определяется следующим соотношением:
. F.42,
Расчет течения при значениях параметров vf\ z4,0)Q3°p>
R%, соответствующих звездам Be (В. Н. Морозов A973а))
показал, что на расстоянии нескольких радиусов от
звезды газ приобретает скорость уг, превосходящую пара-
параболическую на этом уровне и, таким образом, происходит
потеря газа из оболочки. Энергия, необходимая для пре-
преодоления поля тяготения, передается газу от звезды через
посредство магнитного поля. Величина ?lavr2 при этом
не является постоянной, так как в газе происходит пере-
перенос момента количества движения, получаемого от звезды.
Очень важным обстоятельством, выяснившимся при вы-
вычислениях, является сравнительно малая величина на-
напряженности поля на поверхности звезды (также зада-
задававшаяся в качестве параметра задачи), требующаяся,
чтобы обеспечить передачу момента и энергии. Поля на-
напряженностью порядка 300 гс достаточно, чтобы произо-
произошло достаточно быстрое ускорение вещества.
Поскольку движение газа вызывает изменение поля,
то следует решать самосогласованную задачу о переносе
момента количества движения при помощи полной
системы уравнений магнитной газодинамики. В работе
В. Н. Морозова A9736) исследовано взаимодействие поля
угловой скорости в плоской оболочке с азимутальной со-
составляющей магнитного поля при условии, что радиальная
компонента поля определяется соотношением F.38) и
ffz = 0. Тогда для величин ?2вр и Л"ф получаются следу-
следующие уравнения:
^ 1> F.43)
- rIIr
f rIIr
Если зависимость плотности от г имеет вид F.28), то
с учетом F.38) из системы F.43) и F.44) получается урав-
уравнение

§ 2] ДИНАМИКА ОБОЛОЧЕК ЗВЕЗД ТИПА Be 311
где
/ = * to = —|-]/яр0, ? = -?- F.46)
Уравнение F.45) решалось при следующих условиях:
йвр >0, F.47)
Г->00 Х
т. е. предполагалось, что в начальный момент оболочка
не вращается и бо стороны магнитного поля сила на нее
не действует.
Решение уравнения F.45), полученное при помощи
преобразования Вебера, дало возможность найти харак-
характерное время tm передачи момента вращения от звезды
в данную точку:
2-fc
2 • F.48)
Если считать, что tm соответствует наблюдаемому
времени сброса оболочки (существенного изменения ее
толщины), то из F.48) можно получить оценку поля Нг0).
Оно составляет несколько десятков гаусс. Существовайие
столь слабого поля вполне возможно, но обнаружить его
у звезд класса Be при современных средствах наблюде-
наблюдения очень трудно. Таким образом, гипотеза о том, что
именно магнитное поле обеспечивает передачу момента
и энергии от быстро вращающейся звезды в ее оболочку
не противоречит данным наблюдений.
Описанное выше решение задачи о стационарном тече-
течении газа в оболочке звезды типа Be в общих чертах совпа-
совпадает с тем, которое было получено в работе Вебера и
Девиса A967) для солнечного ветра. Различия в моделях
Солнца и звезды типа Be, обусловленные разницей в ско-
скорости вращения и тем, что оболочки звезд типа Be
не похожи на корону Солнца, не позволяют сравнивать
указанные работы в количественном плане. Уравнения,
рассматривавшиеся Вебером и Девисом, были решены
численно Лимбером A974) при соответствующей моди-
модификации их, отражающей специфику звезд типа Be.
Результату чисденного решения уравнений цодтвердщщ

312 ТЕЧЕНИЯ ВО ВРАЩАЮЩИХСЯ ЗВЕЗДАХ [Гл. 6
практически все выводы аналитического исследования.
Значения напряженности поля Hf\ при которых возмож-
возможно стационарное истечение, лежат в пределах 10—100 гс,
а полное поле Но — в пределах 100—1000 гс. Вычисления
показали, что в интервале значений гс < г < i0bR%
величина vv удовлетворяет соотношению •
v^r ж const, F.49)
что означает движение элемента газа при сохранении его
углового момента. Таким образом, оболочка звезды типа
Be может быть разбита на две области. Во внутренней
(R% < г < гс) области момент количества движения воз-
возрастает, а вне ее остается постоянным. При указанных
выше значениях параметров, определяющих структуру
оболочки звезды типа Be, величина гс » B 4-10) R%.
Как в работе Лимбера, так и в исследованиях В. Н. Мо-
Морозова указывается на возможность неустойчивости ста-
стационарного движения. Характер неустойчивости иссле-
исследовать трудно вследствие сложности рассматриваемого
течения. Возможно, что неустойчивость приводит к рас-
распаду оболочки на отдельные конденсации.
Неоднородность оболочек звезд типа Be отчетливо
проявляется в наблюдениях, производимых с высоким
разрешением по времени (Хатчингс и др. A971)). Эти
наблюдения показывают, что за время порядка 102 сек
в профилях эмиссионных линий происходят значитель-
значительные изменения. Устойчивый в течение месяцев характер-
характерный профиль линии с двумя компонентами получается
лишь как усредненный по времени, если спектр фотогра-
фотографируется в течение десятков минут. Таким образом, обо-
оболочки реальных звезд типа Be оказываются состоящими,
из отдельных газовых конденсаций, которые вращаются
вокруг звезды со скоростями порядка 300 км/сек. Меняю-
Меняющееся доплеровское смещение для излучения различных,
конденсаций и перемены в их возможном расположении
приводят к наблюдаемым вариациям профилей спектраль-
спектральных линий.
Средний размер и число N конденсаций в оболочке
звезды Be можно оценить следующим путем (В. Г. Гор-
бацкий A975в)). Все конденсации вместе должны пере-
перекрывать небольшую долю поверхности звезды, так как
на спектральных одшияя роглощения, вознрка*огцця

§ 21 ДИНАМИКА ОБОЛОЧЕК ЗВЕЗД ТИПА В6 313
в обращающем слое звезды, присутствие оболочки прак-
практически не сказывается. Следовательно, если конденса-
конденсации имеют форму шара радиуса Дк, должно выполняться
соотношение
NnRl = а4лЛ*, F.50)
где 0,1 ^ а ^ 0,3. С другой стороны, их суммарное ре-
комбинационное излучение должно быть равным излуче-
излучению оболочки с непрерывным распределением плотности
по закону F.28), и, значит,
N D0J • -i пЩ = 4я (nlf Ц„ F.51)
где п^ — электронная концентрация в конденсации и
п% — средняя электронная концентрация в случае непре-
непрерывного распределения плотности. Насколько можно
судить по профилям эмиссионных линий, оптическая тол-
толщина каждой конденсации в частотах видимой части не-
непрерывного спектра должна быть очень большой. При
учете этого обстоятельства из формул F.50) и F.51)
находим
где 0т — томсоновский коэффициент рассеяния излуче-
излучения на свободных электронах. При значениях ^ и ^,
соответствующих звездам типа Be, из F.52) имеем
Як = A -т- 2) • 109 см, N = 100—200.
Полученное значение RK подтверждается независимой
оценкой этой величины по скорости изменения профилей
спектральных линий (В. Г. Горбацкий A975в)).
Сейчас трудно сказать, в какой мере наблюдаемая не-
неоднородность оболочек связана с газодинамической не-
неустойчивостью. Возможно, что выбрасывание вещества
с поверхности звезды типа Be происходит в форме отдель-
отдельных сгустков. Если это так, то динамическая модель обо-
оболочки, описанная выше, нуждается в существенном видо-
видоизменении, поскольку расчет действия магнитного поля
на отдельные сгустки должен производиться по-иному.
Все же в настоящий момент представляется более вероят-

314 ТЕЧЕНИЯ ВО ВРАЩАЮЩИХСЯ ЗВЕЗДАХ [Гл. б
ным, что поддержание оболочек звезд типа Be и потеря
массы из оболочки связаны с переносом момента количества
движения и энергии от звезды через посредство магнит-
магнитного поля. Характер турбулентности в оболочке, состоя-
состоящей из отдельных конденсаций, сейчас совершенно не
ясен. Можно думать, что роль турбулентной вязкости
в переносе углового момента в такой оболочке меньше,
чем в оболочке с непрерывным распределением плотности,
но соответствующие расчеты не производились.
§ 3. Динамические приливы в тесных двойных системах
Исследование течений газа в звездах-компонентах
тесных двойных систем осложняется несферичностью
компонент, обусловленной главным образом приливйыми
взаимодействиями. Приливы влияют на процессы, про-
происходящие в компонентах и, в частности, на перенос
энергии конвекцией. Вместе с тем наличие конвективной
зоны должно приводить к сравнительно быстрой синхро-
синхронизации вращения и обращения в системе и к изменению
приливного действия, так как приливы превращаются
из динамических в статические. Таким образом, полное
исследование энергетики, устойчивости и эволюции звезд,
входящих в тесную двойную систему, требует решения
очень сложной в математическом отношении самосогла-
самосогласованной проблемы динамических приливов.
Получение высококачественных спектров звезд, вхо-
входящих в тесные двойные системы, является трудным делом,
и не всегда удается определить, синхронизировано ли
вращение с обращением в данной системе. Однако в ряде
случаев можно утверждать с уверенностью, что синхрон-
синхронность в системе отсутствует (Плавец A970)) и, следова-
следовательно, там имеют место динамические приливы. В отно-
отношении систем звезд-карликов, которые и представляют
главным образом предмет дальнейшего изложения, во-
вопрос о синхронности до сих пор остается не ясным, так
как скорость вращения обеих компонент в этих случаях
определить не удается. Тем не менее есть достаточно
оснований считать, что динамические приливы в таких
системах происходят.
Динамические процессы, происходящие в тесной двой-
двойной системе, в значительной мере определяются формой

¦3]
ДИНАМИЧЕСКИЕ ПРИЛИВЫ
315
суммарного потенциала тяготения и центробежных сил.
Эквипотенциальные поверхности имеют в этом случае
сложный вид. Сечение их, проходящее через Центры
звезд перпендикулярно к орбитальной плоскости, изо-
изображено на рис. 18. Среди этих поверхностей существует
одна, называемая критической. Она образует две полости
(полости Роша), смыкающиеся в точке, совпадающей
с критической точкой Лагранжа Lv При отсутствии иных
Рис. 18. Сечения эквипотенциальных поверхностей в тесной двой-
двойной системе (стрелкой показано сечение критической поверхности
Роша).
сил, кроме тяготения звезд, скорость и ускорение в точке
L± равны нулю. Частица, находящаяся на критической
поверхности, может двигаться по ней без затраты энергии
и поэтому переходить из окрестности одной из звезд
в окрестность другой. Если частица находится внутри
полости Роша, она может удалиться от соответствующей
звезды, лишь получив дополнительную энергию.
Тесные двойные системы относят к одному из следую-
следующих трех типов:
1. Разделенные, когда ни одна из звезд не заполняет
свою полость Роша.

316 ТЕЧЕНИЯ ВО ВРАЩАЮЩИХСЯ ЗВЕЗДАХ [Гл. 6
2. Полуразделенные — только одна из компонент за-
заполняет свою полость Роща.
3. Контактные — обе звезды заполняют соответству-
соответствующие полости и соприкасаются в точке Ьг.
Действие динамических приливов на звезду должно
быть тем сильнее, чем ближе ее поверхность к критической
эквипотенциальной поверхности. Очевидно, что для кон-
контактных систем говорить о динамических приливах не
приходится и вращение в них должно быть синхронно
с обращением.
Динамические приливы вызывают перераспределение
момента количества движения в системе и диссипацию
энергии. Это должно продолжаться до тех пор, пока вра-
вращение и обращение не синхронизируются. Если звезда
обладает внешней конвективной зоной, то благодаря
большому значению коэффициента турбулентного тре-
трения синхронизация однородно вращающейся звезды долж-
должна устанавливаться за короткое время — 103—105 лет.
Однако о распределении углового момента в звездах и
роли различных диссипативных факторов известно очень
мало. Существование значительного числа асинхронно
вращающихся компонент двойных систем с возрастом,
заведомо превосходящим 106 лет, показывает, что сущест-
существующие представления о характере вращения звезд явля-
являются очень неполными. Возможно, как уже отмечалось
в § 1, что вращательный момент сосредоточен во внутрен-
внутренних областях звезды. Тогда время торможения должно
быть гораздо больше приведенных значений и синхро-
синхронизация даже в тех случаях, когда она наблюдается,
может относиться лишь к внешним слоям звезды. Эта
проблема до настоящего времени совершенно не разра-.
батывалась.
Динамические приливы в звезде, являющейся компо-
компонентой тесной двойной системы, происходят вследствие
асинхронности осевого вращения и обращения по орбите,
а также и при отличном от нуля эксцентриситете орби-
орбиты е. Уравнения, определяющие создаваемое прили-
приливами поле скоростей, в общем случае эллипсоидальной
орбиты и неколлинеарных векторах угловой скорости вра-
вращения ОВр и обращения Q06 были получены Копалом
A968) при посредстве уравнений Эйлера для деформи-
деформируемого тела. При е = 0и коллинеарности указанных

§ 3l ДИНАМИЧЕСКИЕ ПРИЛИВЫ 317
векторов
Q.p = A + /) Йоб F.53)
они имеют более простой вид. В этом случае для записи
уравнений используем сферическую систему координат
(г, ft, ф), жестко связанную со спутником. Пусть начало
координат совпадает с центром спутника, направление
ф = 0 (Ох) — на центр главной звезды, ось ft = О (Oz)
совпадает с QBp. Обозначив через U, V, W составляющие
скорости вдоль осей Ох, Оу и Oz соответственно, имеем
i?_A. L + -!Г7Ч7 + — —-
1 dW , тт . T7 . ЛЛ . 2 дц IdU Д
F.54)
i_ dx\ fdW 1 аУ TT\
"*" p 5r V ^ г sin ft dcp г / '
Уравнение неразрывности записывается в виде
% = - РД. F:55)
Через Д в F.54) и F.55) обозначена следующая величина:
т| — коэффициент динамической вязкости, предполагае-
предполагаемый здесь зависящим лишь от г и
? = Фг + Фо + ф', F.57)

318 ТЕЧЕНИЯ ВО ВРАЩАЮЩИХСЯ ЗВЕЗДАХ |Гл. в
где ф' — возмущающий потенциал, а фс — потенциал
центробежных сил. Величину ф' можно разложить по
сферическим функциям, причем первый член разложения
при е = О имеет вид (см., например, В. А. Крат A950))
(cosy), F5g)
где а — расстояние между центрами компонент,
Р2 (cos у) — полином Лежандра и у- угол между век-
вектором г и линией, соединяющей центры компонент.
Граничные условия для системы F.54), F.55) обычно
принимаются следующими: в центре звезды скорость газа
должна равняться нулю, а на свободной границе должны
отсутствовать радиальные вязкие напряжения и, кроме
того, там должны быть непрерывными общий гравита-
гравитационный потенциал и его нормальные производные.
Решение полной нелинейной системы F.54), F.55)
в настоящее время не может быть получено даже числен-
численными методами. В работах Копала A968) рассматривается
соответствующая линеаризованная система. При г\ (г) ==
= const и р (г) = const им найдено аналитическое реше-
решение, по существу описывающее вынужденные колебания
спутника. При т) = 0 получаются кельвиновские частоты
колебаний однородного жидкого шара.
В предположении сфероидальности приливных дефор-
деформаций была приближенно оценена скорость вязкой дисси-
диссипации энергии вращения звезды Ец прИл под действием ди-
динамических приливов. Диссипация при наличии лишь
молекулярной вязкости для звезд главной последователь-
последовательности незначительна. В тесной двойной системе, состоя-
состоящей из двух белых карликов, скорость диссипации
больше — Ё^ прил ж 1030 эрг • сек, так как вязкость вырож-
вырожденного газа значительно выше вязкости обычной плазмы.
По мнению Копала, вследствие диссипации в такой систе-
системе вращательной энергии, составляющей жЮ40 эрг_,
мсжет в течение миллиардов лет поддерживаться свети-
светимость компонент.
Изменение скорости вращения звезды со временем
в результате приливной диссипации может быть опреде-
определено в предположении твердотельного вращения, т. е. при
скорости йвр, зависящей лишь от времени. Копалом

§ 3] ДИНАМИЧЕСКИЕ ПРИЛИВЫ 3l?>
A972а) получено следующее уравнение:
—jP* + К (г) /аоб = 0, F.59)
где / (t) — параметр асинхронности, определяемый по
F.53), и К (г) — величина, зависящая от структуры звез-
звезды и вида функции г] (г).
Для скорости диссипации вращательной энергии най-
найдено выражение
cm о ^ ^
Вид подынтегральной функции в F.60) обусловлен тем,
что диссипация энергии на единицу объема пропорцио-
пропорциональна квадрату высоты прилива, которая в свою очередь
пропорциональна г3. В работе Александера A973) учтены
более высокие члены в разложении q/ и принято во вни-
внимание изменение структуры звезды под действием при-
приливов и вращения. Это привело к увеличению Я^прил
в несколько раз по сравнению с F.60).
Как отмечалось выше, синхронизация вращения и
обращения под действием динамических приливов может
установиться за достаточно короткое время только в том
случае, если вязкость обусловлена турбулентностью.
В работе Пресса и др. A975) предполагается возможность
возбуждения турбулентности действием самих динамиче-
динамических приливов. На основе этого предположения при по-
помощи формулы для среднего по звезде значения коэффи-
коэффициента вязкости <г|>, следующей из F.60),
R
^i , F.61)
было получено значение <г)>туРб ~ Ю12 г-см'1-сек'1.
Эта величина достаточна, чтобы привести к синхрониза-
синхронизации вращения и обращения в тесной двойной системе,
состоящей из звезд с массой порядка ЮЗЛ©, приблизи-
приблизительно за 106 лет. За столь же короткое время первона-
первоначально эллиптическая орбита становится близкой к кру-
круговой*

320 ТЕЧЕНИЯ ВО ВРАЩАЮЩИХСЯ ЗВЕЗДАХ №л. 6
Таким образом, в указанной работе сделана попытка
рассмотреть самосогласованную задачу о действии дина-
динамических приливов, т. е. учесть зависимость коэффициента
вязкости от приливов. Конечно, для более точного реше-
решения самосогласованной задачи необходимо использовать
уравнения теории динамических приливов совместно
с уравнениями турбулентного движения, что, по-види-
по-видимому, не удастся осуществить в ближайшем будущем.
Положение осложняется еще и тем, что для реальных
звезд предположение об однородном вращении является
чрезмерно упрощающим. Надо думать, что уравнение,
сходное с F.59), может быть выведено и для случая, когда
?2Вр зависит не только от t, но и от г.
Другим важным следствием динамических приливов
может быть нарушение устойчивости звезды. Впервые
вопрос о возможности резонансных явлений, обусловлен-
обусловленных приливами, был поставлен Каулингом A942). Он
нашел путем качественных оценок, что резонанс между
колебаниями компоненты двойной системы с большим
периодом и приливным воздействием не должен оказывать
существенного влияния на амплитуду приливного воз-
возмущения. В последнее время Зан A975) пришел к выводу,
что подавление вследствие лучистой диссипации резо-
резонансных мод должно сопровождаться возникновением
крутящего момента, который быстро приводит к синхро-
синхронизации вращения и обращения. Пока нет расчетов этого
эффекта для конкретных моделей.
Видное место в исследованиях тесных двойных систем
занимает вопрос об их неустойчивости, обусловленной
потерей массы. Предполагается, что компонента станет
терять массу, когда ее размер сравняется с размерами
соответствующей полости Роша и это приведет к наступле-
наступлению динамической неустойчивости еще до синхронизации
вращения и обращения (Плавец A958, 1973)). Устойчи-
Устойчивость компоненты, достигшей критической поверхности,
рассматривалась Батом A975) и Папалоизу и Батом
A975) методом малых возмущений. В результате возму-
возмущений поверхности компоненты она начинает терять мас--
су и при этом должно нарушаться равновесие всей систе-
системы. Как в указанных, так и во многих других работах
обычно предполагается, что потеря массы возможна лишь
при условии увеличения размеров компоненты до совпаде-

§ 3] ДИНАМИЧЕСКИЕ ПРИЛИВЫ 321
ния с критической эквипотенциальной поверхностью.
При этом, естественно, о динамических приливах вопрос
не ставится. Однако ни наблюдения, ни теоретические
результаты, о которых пойдет речь ниже, не дают основа-
оснований утверждать, что заполнение звездой своей полости
Роша является необходимым условием потери массы.
Один из важных результатов динамической теории при-
приливов, полученный Ю. П. Коровяковским A972, 1975),
заключается в том, что при определенных условиях при-
приливы вызывают истечение вещества из звезды, поверх-
поверхность которой довольно далеко отстоит от критической.
Этот вывод получен путем численного решения нелинейной
системы уравнений, которая определяет поле скоростей
в звезде, испытывающей приливные возмущения. Заметим,
что все расчеты по теории приливов в двойных системах
до этого производились лишь в линейном приближении
(Копал A968)).
При решении задачи было принято, что размеры глав-
главной звезды, вызывающей приливы в спутнике, очень малы,
и ее можно считать точечной м.нзсой. Предполагается, что
приливы возмущают только внешние слои спутника —
«оболочку», масса которой мала до сравнению с массой
«ядра», не подвергающегося возмущениям.
Выражение для центробежного потенциала фс в при-
принятой системе координат получается следующим:
Фс - - ra/Jlo sin # cos (/Qo6* + ф) + -f &об A + If
F.62)
где uj — расстояние от начала координат до центра масс
системы. Расчеты проводились для двух случаев:
а) изотермическая оболочка: р ~ р;
б) изэнтропическая оболочка: р = Ар** G = б/з)- Чле-
Члены, содержащие дч\1дг в уравнениях F.54), не учитыва-
учитывались. Для величины г]/р, в соответствии с предположением
о развитой турбулентности в оболочке, задавались зна-
значения в интервале 1013—-1015 см2 • сек'1. Величина пара-
параметра несинхронности принималась равной 0,5 и 1,0.
Для того чтобы осуществить численное решение, было
сделано предположение, использованное ранее Копалом
A968), о сфероидальности приливных деформаций. Та-
Таким путем удалось свести газодинамическую задачу к

322 ТЕЧЕНИЯ ВО ВРАЩАЮЩИХСЯ ЗВЕЗДАХ [Гл, 6
одномерной. В соответствии с этим предположением,
функции ?/, V и W в F.54) записываются в виде
U = и (г, 0 5iV (Ф, ф); У = Ъ (г, 0 -^ SN (О, <р);
огг (о.оо)
~ 1
где
5м(*,Ф)= S S ЗТ(«,Ф), F-64)
1=0 т=о
и УГ — сферическая функция порядка I и степени т.
После подстановки F.63) (при N = 2) в F.54) — F.55) и
интегрирования по сфере получается система уравнений
для функций и (г, l), v (r, t) и 7^ (г, ^), которая и решалась
численно. Начальные условия для п и г; задавались в виде
гг (г, 0) = v (г, 0) = 0. F.65)
Что касается величины р (г, 0), то она определялась
в одном варианте в предположении гидростатического
равновесия, а в другом варианте зависимость давления
от г в начальный момент определялась при учете центро-
центробежных и кориолисовых сил и тяготения главной звезды.
Условия на внутренней границе оболочки, вообще го-
говоря, зависят от структуры ядра, которая неизвестна.
Поэтому они также задавались в нескольких различных
вариантах. В одном из вариантов предполагалось непре-
непрерывное изменение скорости на внутренней границе,
в другом — плотность в ядре считалась не зависящей от
времени.
Вычисления показали, что динамические приливы
«раскачивают» оболочку, создавая в ней поле скоростей.
Чем больше значение параметра несиихронности /, тем
сильнее нарастают скорости. Быстрое увеличение u (r, t)
и v (г, t) происходит за время порядка ОГО\, после чего
каждая из этих величин колеблется около некоторого от-
отличного от нуля значения. Существенным обстоятельст-
обстоятельством, выясняющимся из анализа уравнений, является то,
что отличие средней скорости от нуля вызвано нелиней-
нелинейными взаимодействиями. Через некоторое время система

5 3] ДИНАМИЧЕСКИЕ ПРИЛИВЫ 323
выходит на стационарный режим и при условии, что сред-
средние значения величин и (г, t) и v (г, t) достаточно велики,
происходит потеря вещества спутником. Как следует из
проделанных вычислений, спутник, размеры которого
меньше размеров полости Роша на 20%, теряет массу,
если / ^ 1,5. При / >> 2 потеря вещества спутником вслед-
вследствие динамических приливов возможна, если его грани-
граница отстоит от полости Роша на 0,3—0,4 среднего радиуса
полости.
Для того чтобы проверить, в какой мере предположе-
предположение о сфероидальности деформаций сказалось на резуль-
результатах вычислений, 10. П. Коровяковским были определены
для некоторого набора параметров первые коэффициенты
разложений величин U, V и W в ряды по сферическим
функциям, и, таким образом, получено приближенное ре-
решение более общего вида. Оно показало, что на характер
поля скоростей, вызываемого приливными воздействиями
в области приливных выступов, предположение о сферо-
сфероидальности деформаций существенно не влияет.
Газ, отрывающийся от спутника под действием динами-
динамических приливов, двигаясь в полости Роша, должен кон-
концентрироваться вблизи точки Ьъ и далее, выходя из этой
области, течь в сторону главной звезды. При этом он под
действием центробежной и кориолисовой сил отклоняет-
отклоняется от линии, соединяющей центры звезд. Течение газа из
точки Lx рассматривается в следующем параграфе.
Приведенное выше решение задачи о влиянии динами-
динамических приливов на состояние звезды, входящей в двой-
двойную систему, представляет значительный интерес не толь-
только потому, что показывает, как формируются газовые по-
потоки. Оно выявило существенную роль нелинейных эф-
эффектов, которые должны приниматься во внимание при
дальнейших исследованиях динамических приливов.
Поле скоростей, создаваемое динамическими прили-
приливами в не очень тесной двойной системе, рассчитывалось
с помощью нелинейных уравнений в работе А. 3. Дол-
гинова и Д. Г. Яковлева A975). При этом среда считалась
несжимаемой и вязкость не учитывалась. Полученное ре-
решение позволило, в частности, оценить высоту приливного
выступа hB и скорость на экваторе vmdiX, создаваемую при-
приливом у быстро вращающегося (QBp = 0,06 сек'1) бе-
белого карлика. При R^ = 1,1-10е см, а = 5-Ю10 см и

324 ТЕЧЕНИЯ ВО ВРАЩАЮЩИХСЯ ЗВЕЗДАХ [Гл. 6
?2Об = 8-10 сек'1, величина hB = 2,4 -104 см и i;max =
= 1,5 -103 см1сек, В подобпых условиях возможно интен-
интенсивное перемешивание вещества в звезде.
Заметим, что решение проблемы приливов важно не
только для расчетов эволюции тесных двойных систем, но
также и для определения точных фигур компонент двой-
двойных звезд (Копал A974)). Однозначная интерпретация
наблюдений двойной системы возможна лишь при из-
известной форме компонент системы. Влияние излучения
газовых потоков в интегральном излучении системы звезд-
гигантов большей частью несущественно.
§ 4. Турбулентные струи и дискообразные оболочки
в тесных двойных системах
Течение потерянного спутником газа в двойной систе-
системе происходит в поле тяготения обеих звезд и под влия-
влиянием центробежных сил. Поэтому оно имеет сложный
характер. Задача о стационарном движении газа в двой-
двойной системе рассматривалась Прендергастом A960). Сум-
Суммарный потенциал тяготения и центробежных сил запи-
записывается в прямоугольной системе координат, начало ко-
которой совпадает с центром масс системы, ось Ох проходит
через центры звезд и ось Oz совпадает с вектором Явр.
Принимая 9КГЛ + 5BJcn = 1, ЯОб = 1 и расстояние между
звездами также равным единице, имеем
-(фг + Фс) = -^тг: + -^- + 4-(ж2 + г/2)' F.66)
где К = ЗКГл/($1гл + SJJcn), rx и г2 — расстояние точки
от главной звезды и спутника соответственно. Уравнения
стационарного движения и неразрывности имеют вид
(vV) v + 2[Qo6v] = -jVp-V(q>g+ Фс), F.67)
V(pt;) = O. F.68)
Решение этих уравнений при условии малости градиен-
Ti давления по сравнению с силой тяготения показало,
что в достаточной близости от центра главной звезды дви-
движение оказывается приближенно следующим:
. iv» 0, F.69)

§ 4] ТУРБУЛЕНТНЫЕ СТРУИ 325
где ufp и иг — азимутальная и радиальная составляющие
скорости соответственно. Таким образом, движение частиц
в указанной области мало отличается от кругового кеп-
леровского и можно говорить о дискообразной оболочке
главной звезды, поскольку толщина слоя газа, определяе-
определяемая величиной градиента давления, мала по сравнению
с радиусом оболочки. Эти выводы были подтверждены
численным решением системы F.67), F.68) (Прендергаст,
Таам A974)).
Присутствие дискообразных оболочек в тесных двой-
двойных системах звезд-карликов следует из спектроскопи-
спектроскопических данных (подробнее см. В. Г. Горбацкий A974а)).
Имеются наблюдения и другой формы течения — струи
газа, перетекающего из окрестности точки Lx к главной
звезде. Дискообразные оболочки и струи представляют
собой основные виды течений в области пространства,
занимаемой двойной системой.
При исследовании движения газа в струе необходимо
учитывать его расширение в окружающее пространство,
т. е. в уравнениях движения удерживать члены, содер-
содержащие градиент давления. Оценка указанного эффекта
с учетом только газового давления была сделана при по-
посредстве соотношения E.145), описывающего профиль дав-
давления в случае изэнтропического разлета газа (Ю. П. Ко-
ровяковский A971)). Для того чтобы выяснить влияние
расширения струи на размеры и форму ее сечения, дос-
достаточно рассмотреть движение точек, находящихся на
границе сечения. Это движение описывается в введенной
выше системе координат следующими уравнениями:
?? -»A F.7!)
g
- ^Фс) +Az, F.72)
где t% = Q06* и величина Л выражается, в предположе-
предположении, что сечение струи эллиптическое с полуосями X и

326 ТЕЧЕНИЯ ВО ВРАЩАЮЩИХСЯ ЗВЕЗДАХ 1Гл, 6
Z, формулой (А. В. Федорова A973))
(Y _ 1) К* _ XQf + (у _ УоJ + Z2] a2Q20 (ZZvyy -i
F.73)
Здесь i?0 — радиус сечения, принимаемого в начальный
момент круговым, х0 и у0 — координаты осевой точки
струи, рс0 и vc0 — начальная плотность в центре сечения
и скорость газа в этой точке соответственно, А — энтро-
энтропийная константа и а — расстояние между центрами ком-
компонент системы. Движение осевой точки определяется
уравнениями F.70) и F.71) при Л = 0, т. е. в них опу-
опущены члены, выражающие действие давления.
Оболочка ч
Сечение без _
учета расширения
газа
Рис. 19. Расширение газовой струи в тесной двойной системе.
Численное решение системы показало, что сечение
струи под действием давления сильно расширяется в ор-
орбитальной плоскости. Это демонстрирует рис. 19. В об-
области встречи струи с дискообразной оболочкой образуется
ударная волна. Область нагретого газа, находящуюся в
концевой части струи и примыкающую к оболочке, на-
называют «горячим пятном». Излучение горячего пятна
вызывает ряд наблюдаемых фотометрических и спектро-
спектроскопических особенностей тесных звездных систем. Струк-
Структура ударной волны в газе струи исследовалась В. И. Та-
рановым A971), показавшим, в частности, что такая вол-
волна является стоячей и установившим возможность авто-
автоколебаний ее фронта. Эти вопросы, как и другие, связан-
связанные с динамическим взаимодействием газовых потоков
в тесных двойных системах, подробно обсуждаются в кни-
книге В. Г. Горбацкого A974а). Задача о движении струи в

§ 41 ТУРБУЛЕНТНЫЕ СТРУИ 327
тесной двойной системе решалась также Бирманом A971)
методом характеристик. Это решение подтвердило выводы
о существенной роли градиента давления.
Расширение газовой струи под действием газового
давления оказывается важным фактором, влияющим на
потерю массы и момента количества движения двойной
системой. Чем больше сечение струи при ее встрече с обо-
оболочкой, тем большая часть содержащегося в ней газа те-
теряется системой. Газ на «внешней» (по отношению к глав-
главной звезде) стороне струи под действием давления может
приобрести, как показывают вычисления (А. В. Федоро-
Федорова A973)), скорость, достаточно высокую для того чтобы
покинуть систему. При благоприятных условиях (9КСП <^
<^ 9йгл и i?o6 <C 0,3а) потеря массы может достичь 20 % —
40% всего расхода массы в струе. Таким образом, эффек-
эффекты, связанные с расширением струи, необходимо учиты-
учитывать в расчетах эволюции тесных двойных систем.
Основная часть газа струи попадает в дискообразную
оболочку, передавая ей массу и момент количества дви-
движения. Наблюдаемые оболочки „квазистационарны. От-
Отсюда можно заключить, что должен существовать сток
массы и количества движения. Такой сток происходит у
поверхности звезды. Вещество, поступающее от спутника,
захватывается звездой через диск, поэтому в таких случаях
уместно говорить о дисковой аккреции. Задача о диско-
дисковой аккреции впервые была рассмотрена В. Г» Горбацким
A965).
При исследовании дискообразных оболочек звезд,—
компонент тесной двойной системы,— опять приходится
сталкиваться с проблемой переноса момента количества
движения через оболочку. В отличие от рассмотренного
в § 2 переноса момента в оболочках звезд типа Be наружу,
здесь источник углового момента находится на периферии
оболочки и происходит перенос момента в противополож-
противоположном направлении к центру оболочки. Само существование
оболочки в данном случае обусловлено тем, что переноси-
переносимый газ не может непосредственно упасть на поверхность
звезды, так как угловой момент его относительно звезды
не равен нулю. Следовательно, течения в струе и в диске
взаимосвязаны и проблема дисковой аккреции должна
решаться как самосогласованная задача. Однако в на-
настоящее время полностью задачу решить не удается, и

328 ТЕЧЕНИЯ ВО ВРАЩАЮЩИХСЯ ЗВЕЗДАХ [Гл.
при исследовании вопроса о переносе вещества и углового
момента через дискообразную оболочку она считается
квазистационарной, а потоки массы и момента на ее
внешней границе предполагаются! заданными в качестве
внешних параметров (В. Г. Горбацкий A965)).
Наиболее эффективным механизмом переноса момен-
момента в дискообразных оболочках представляется турбулент-
турбулентная вязкость. В неоднородно вращающейся оболочке
при очень большом значении Re (^ 108) должна сущест-
существовать развитая турбулентность. Как будет показано
ниже, энергия турбулентного движения, непрерывно
диссипирующая в тепло, обеспечивается за счет потен-
потенциальной энергии газа, поступающего в оболочку и при-
приближающегося к звезде. Таким образом, система является
самосогласованной и не требуется предположений о ка-
каких-то внешних источниках энергии. Этими соображения-
соображениями не исключается, конечно, что в переносе момента коли-
количества движения известная роль может принадлежать и
магнитному полю (см., например, Р. А. Сюняев, Н. И. Ша-
кура A973)). Однако из-за отсутствия необходимых дан-
данных о характере поля реалистическую самосогласован-
самосогласованную модель с магнитным полем рассчитать трудно.
Воспользуемся уравнениями движения и неразрыв-
неразрывности в цилиндрических координатах, соответствующим
образом осредненными по турбулентным пульсациям.
Эти уравнения были получены Вейцзекером A948),
впервые рассмотревшим динамику газовых дисков при
наличии турбулентной вязкости.
Они имеют следующий вид в той же системе единиц,
которая использована в F.66) и F.67):
F.76)

§ 4] ТУРБУЛЕНТНЫЕ СТРУИ 329
При условии, что влиянием тяготения спутника и корио-
лисового ускорения на движение газа пренебрегается,
течение является осесимметричным и, значит,
?-0. ?-0. F.77)
Предполагая толщину оболочки малой по сравнению с ее
радиусом, имеем
'* о, ?.-0, ,г=0, F.78)
dz ~~ ' dz
г
F.79)
При выполнении F.78) и F.79) уравнения F.74)—F.76)
можно проинтегрировать по всей толщине оболочки.
В результате получатся уравнения такого же вида с той
разницей, что вместо р в них будет входить поверхностная
плотность сгпов (т*), вместо г)т — величина rj (r) и вместо
Р — Р(&-
<?пов (г) = $ р (г, z) dz; ц (г) = ^ Ч (г, z) dz;
Стационарное движение, когда градиент давления доста-
достаточно мал и им можно пренебречь, т. е. когда
1 др
7 IF
описывается следующей системой уравнений:
Vr 1? Г" ~~
= — — I I -4- ? *— (O.oZ)
г* о \ иг* г аг га / dr dr f v 7
rdv,^ г
F.84)

330 ТЕЧЕНИЯ ВО ВРАЩАЮЩИХСЯ ЗВЕЗДАХ [Гл. 6
Течение газа в дискообразной оболочке рассмотрено
на основе этих уравнений в работе В. Г. Горбацкого
A965). Будем считать величину fj постоянной. Тогда урав-
уравнение F.83) с помощью F.84) записывается следующим
образом:
и его общее решение имеет вид
^1 1+Cfi\ i С> /г* оп\
2 + С/т] ^ г V
Движение оказывается близким к круговому кепле-
ровскому в достаточно широком интервале значений г
только в том случае, если выполняются условия
/~\ с\ /~t ^ *•
2
2 +С/л
F.87)
Так как по физическому смыслу fj ^> 0, то С < 0, а это
значит, что и vr < 0. Следовательно, при наличии турбу-
турбулентной вязкости в оболочке должен существовать поток
вещества, направленный к ее центру. С приближением к
поверхности звезды потенциальная энергия газа умень-
уменьшается и часть этой энергии переходит в энергию турбу-
турбулентного движения, а другая часть — в кинетическую
энергию. Если не учитывать работы сил давления, то мож-
можно записать указанное условие в расчете на единицу массы
и единицу времени в виде
рг = ётурб + еКин, F.88)
где 8туРб — приток турбулентной энергии. Так как при
приблизительно кеплеровском характере движения
Двкш«1>ф-^г!>г. F.89)
то с учетом F.84) из F.88) получаем

§ 4] ТУРБУЛЕНТНЫЕ СТРУИ 331
Если величина vT достаточно мала, то турбулентность в
данном объеме близка к стационарной и величину етуРб
можно приравнять величине диссипации турбулентной
энергии
w^ht. <6-91)
где ul — скорость вихрей наибольшего масштаба L.
Турбулентная вязкость определяется вихрями больших
масштабов и, следовательно,
fj да Guov'Lul . F.92)
Из F.91) и F.92) получается
~"""г. F.93)
Другое соотношение между иь и L находится независи-
независимо. При развитой стационарной турбулентности энергия
от вихрей масштаба L должна переходить к вихрям мень-
меньших масштабов за время L/ul (см. гл. 3, § 1). За это время
большой вихрь не должен существенно размываться вслед-
вследствие дифференциального вращения оболочки. Следова-
Следовательно,
• L.-I-^L, F.94)
dr
откуда имеем
т4т- <6-95>
Сопоставление F.93) и F.95) показывает, что величина
т] да | С |, т. е. получается второе из соотношений F.87).
Таким образом, выводы о приближенно круговом кеплеров-
ском движении газа и постоянстве ц вытекают один из
другого и рассматриваемая модель дисковой аккреции
оказывается самосогласованной. Нетрудно получить (см.
В. Г. Горбацкий A974а)) следующие выражения для ха-
характеристик пульсаций основного масштаба на расстоя-
расстоянии г от центра оболочки:
F.96)

332 ТЕЧЕНИЯ ВО ВРАЩАЮЩИХСЯ ЗВЕЗДАХ [Гл. 6
Характеристики вихрей наименьшего масштаба в ус-
условиях дискообразной оболочки определяются выраже-
выражениями
10 да (Ю-4 — 10) L, ии да (КГ1 -г- 10"а) uL.
F.97)
При условиях F.87) из F.82) можно найти выражение ра-
радиальной компоненты скорости
F.98)
v г
и затем из F.84)
°п0В ~ "уу ' F.99)
По спектрам дискообразных оболочек получается, что
температура газа в той области, где оболочка прозрачна
в континууме, т. е. в преобладающей части, не превосходит,
нескольких десятков тысяч градусов. Из приведенных
оценок характеристик турбулентности следует, что при
таких температурах газовое давление мало по сравнению
с турбулентным ртуРб. По порядку величины градиент
турбулентного давления равен
JL ^т.УРб J^ FЛ00)
р dr r v 7
Из F.96) следует
,Л I „« I vm I
F.101)
и поэтому градиентом турбулентного давления можно
пренебрегать, пока | vr | <^ уф. Вблизи поверхности звезды
главную роль играет газовое давление и условие F.81)
нарушается, но можно показать (В. Г. Горбацкий A974а)),
что это происходит в области, толщина которой мала по
сравнению с радиусом оболочки. Поэтому описанная газо-
газодинамическая модель должна быть применимой почти
по всей дискообразной оболочке (для значений г
^ 0,1 ju

§ 4] ТУРБУЛЕНТНЫЕ СТРУИ 333
Турбулентная вязкость пропорциональна величине С,
которая представляет собой поток массы в оболочке.
Значение С определяется условиями на внешней границе
дискообразной оболочки. Газ струи, текущей из точки Ll9
захватывается в оболочку. Если количество этого газа
@д, то предполагая его равномерное распределение по
всей боковой поверхности диска, имеем
W0), F.102)
где индекс «0» относится к г = Roq. Масса оболочки
®10б = !-<?„^|. F.103)
Принимая значения параметров, соответствующие обо-
оболочкам в новоподобных системах (В. Г. Горбацкий A974а)):
Лоб да Ю10 см, а(пов да 0,03—0,1 г-см'2,
Уф0) ж 108 см/сек, 106 см/сек ^vr^. уф,
имеем
Ю16 ^ <?д < Ю18 а-шГ1, ЗЛоб < Ю22 а.
При изменении QR состояние оболочки также меняет-
меняется. Время релаксации ?рел к новому стационарному со-
состоянию по порядку величиды равно
*р««4&. F-104)
В этом состоянии величина ц оказывается снова такой, что-
чтобы обеспечить перенос момента количества движения га-
газа, попавшего, в оболочку, к поверхности звезды, где со-
согласно принятой модели имеет место сток момента. Вели-
Величина момента, передаваемого струей на внешнюю границу
оболочки, зависит от ряда обстоятельств, обусловливаю-
обусловливающих течение газа от спутника и присоединение его к диску.
В реалЁных ситуациях полной согласовацности между
состоянием диска и расходом газа в струе не может быть
хотя бы потому, что струя имеет значительную толщину и,
значит, величина плотности газа и удельный момент
количества движения различны по сечению струи. Тем не
менее характер движения газа и энергетика турбулент-
турбулентности в областях оболочки, достаточно удаленных от
внешней границы, должны быть близки к описанным.

334 ТЕЧЕНИЯ ВО ВРАЩАЮЩИХСЯ ЗВЕЗДАХ [Гл. 6.
Как отмечалось выше, наличие магнитного поля мо-
может оказывать существенное влияние на динамику диско-
дисковой аккреции. В работе Р. А. Сюняева и Н. И. Шакуры
A973) показано, что когда сумма энергии турбулентного
движения и магнитного поля меньше тепловой энергии,
структура оболочки релятивистского объекта слабо зависит
от магнитного поля. По-видимому, это утверждение спра-
справедливо и для дискообразных оболочек обычных звезд.
Все же магнитное поле может существенно сказаться на
самом процессе аккреции. Наблюдения бывшей новой
DQ Геркулеса дают основания полагать, что газ присое-
присоединяется к звезде це в экваториальной области, а вблизи
магнитных полюсов, где магнитное поле меньше препят-
препятствует течению газа. Влияние магнитного поля на процесс
аккреции в случае релятивистских объектов оценивалось
в ряде работ (см., например, статью В. Ф. Шварцмана
A971)).
Уравнения динамики газовых дисков при наличии
вязкости обсуждаются в работе Линден-Белла и Прингла
A974) и при этом поток момента на внешней границе обо-
оболочки не задается. Ими сделан вывод о том, что вязкость
приводит к аккреции на центральный объект лишь того
газа, кбторый содержится в центральной части оболочки,
после того как он отдает свой'момент количества движения
в наружные области диска, откуда газ уходит на бесконеч-
бесконечность. Этот вывод, неоднократно получавшийся и другими
авторами (см., например, Прендергаст и Бербидж A968)),
обусловлен самой постановкой задачи. Его нельзя приме-
применять к рассмотренным выше стационарным дискам в тес-
тесных двойных системах, где обязательно существует приток
массы и углового момента в оболочку извне. Хотя урав-
уравнения задачи одни и те же, но граничные условия совер-
совершенно разные. Очевидно, что без притока массы извне
стационарная аккреция осуществляться не может.
При приближении газа, содержащегося в диске, к по-
поверхности звезды выделяется большое количество энергии
и возникающее таким путем излучение может сильно дей-
действовать на процесс аккреции. Это обстоятельство, безус-
безусловно, существенно для динамики оболочек, окружающих
релятивистские объекты, но вряд ли может повлиять на
состояние внешних областей дискообразных оболочек
обычны*

§ 5] НЕСТАЦИОНАРНАЯ КОНВЕКЦИЯ 335
§ 5. Нестационарная конвекция
и энергетическая неустойчивость компонент
тесных двойных систем
Вспышки новых звезд, рассматривавшиеся выше
(гл. 5), происходят вследствие нарушения энергетического
равновесия во внешних слоях белого карлика. Накопле-
Накопление газа, перетекающего от спутника, приводит к усло-
условиям, благоприятствующим термоядерным реакциям. Та-
Таким образом, неустойчивость энергетического равновесия
вызвана присутствием в системе второй звезды. В тесных
двойных системах возможна энергетическая неустойчи-
неустойчивость и другого вида, обусловленная нестационарностью
конвективного потока. Она также приводит к вспыш-
вспышкам, хотя и меньшего масштаба, чем вспышки новых.
Речь идет о звездах типа U Близнецов, которые, как
показали наблюдения, представляют собой тесные двой-
двойные, очень схожие с системами, содержащими новые
звезды.
Вспышечная активность звезд типа U Близнецов имеет
циклический характер. Промежуток времени между цик-
циклами в среднем составляет 25d — 100d. Блеск звезды
остается повышенным в течение нескольких суток и всего
за время вспышки излучается энергия порядка 1039 эрг.
За период между двумя соседними вспышками излучается
в 10—30 раз меньше энергии.
Многие наблюдательные факты показывают, что све-
светимость звезды типа U Близнецов в состоянии минималь-
минимального блеска меньше, чем производительность внутризвезд-
ных источников энергии. Поэтому вспышку можно свя-
связать с выходом наружу энергии, накопленной в периоды
минимального блеска (подробнее см. В. Г. Горбацкий
A971)). Накопление энергии в подфотосферных слоях
звезды представляет собой специфический вид энергети-
энергетической неустойчивости.
Из наблюдений следует, что вспышка начинается со
значительного повышения блеска спутника. Спутник в
системе типа U Близнецов представляет собой карликовую
звезду класса G или К и, следовательно, должен обладать
конвективной оболочкой. При условии асинхронности
осевого вращения и обращепия по орбите конвекция в
сцутнике -является нестационарной.

336 ТЕЧЕНИЯ ВО ВРАЩАЮЩИХСЯ ЗВЕЗДАХ [Гл. б
Одиночная звезда является самобалансирующейся си-
системой, в которой мощность конвективного потока и про-
протяженность конвективной зоны приспосабливаются к
условиям, в ней существующим, в частности, к производи-
производительности источников энергии. Если же звезда входит
в двойную систему, то на величину конвективного потока
накладываются внешние условия, которые могут помешать
такому приспособлению. Тогда должно происходить на-
накопление эффектов, обусловленных нарушением энергети-
энергетического равновесия, и возникать неустойчивость.
Оценки времени накопления энергии и последующего
развития энергетической неустойчивости в холодном спут-
спутнике (В. Г. Горбацкий A971)) дали величину да 25d, что
в общем соответствует средней продолжительности интер-
интервала между вспышками. Более точное вычисление времени
развития энергетической неустойчивости возможно на
основе теории нестационарной конвекции (Л. Н. Иванов
A972а, б)).
Нестационарность конвекции уже обсуждалась выше
в связи с проблемой звездных пульсаций. Времена меха-
механической релаксации и релаксации конвективного потока
у пульсирующих звезд оказываются одного порядка и это
сильно усложняет задачу. Спутник в тесной двойной систе-
системе подвержен действию динамических приливов, период
которых составляет в системах звезд-карликов несколько
часов. Время механической релаксации конвективной зоны
в этих случаях равно нескольким минутам. Следова-
Следовательно, можно принять, что гидростатическое равновесие
устанавливается мгновенно и вместо уравнения движения
использовать уравнение гидростатического равновесия.
Тогда оказывается возможным приближенное аналитиче-
аналитическое решение самосогласованной задачи о переносе энер-
энергии конвекцией в среде при учете зависимости свойств
среды от величины конвективного потока (Л. Н. Иванов
A972)).
Как и в случае пульсирующих звезд, в оболочке спут-
спутника в тесной двойной системе изменение величины уско-
ускорения силы тяжести представляется формулой
g (t) = go A + в sin со*). F.105)
Амплитуда относительного изменения g для тесных
двойных систем звезд карликов лежит в интервале

§ 5] НЕСТАЦИОНАРНАЯ КОНВЕКЦИЯ 337
0,1 ^ 8 ^ 0,4. Величина со равна
со = -2/Qoe, F.106)
где / — параметр асинхронности и Q06 — угловая ско-
скорость орбитального движения спутника. Принимается,
что на внутреннюю границу конвективной зоны, модели-
моделируемой плоским слоем, поступает постоянный поток энер-
энергии Fo. Распределения температуры, плотности и давле-
давления в слое представляются выражениями
Т (m, t) = То (m) (l + JLzI 8 sin со* + -Jj-) , F.107)
P (m, t) = p0 (m) (l + у e sin со* + -g-) , F.108)
? (w, 0 = p0 (m) A + 8 sin cat), F.109)
где w — масса, содержащаяся в столбе единичного сечения
от внутренней границы до данной точки, То (т), р0 (т) и
р0 (т) — значения соответствующих величин в стационар-
стационарном состоянии. Через Т1 и рх обозначены изменения тем-
температуры и плотности, происходящие вследствие неади-
абатичности. Членами, содержащими множитель 8 sin co?,
учитывается действие динамических приливов. В соот-
соответствии со сказанным выше предполагается, что состоя-
состояние гидростатического равновесия в слое устанавливается
очень быстро по сравнению с временем со. Значение g (t)
считается одинаковым для всего слоя и поэтому
F.1Ю)
Величины Тг и рх определяются при посредстве урав-
уравнения энергии и уравнения состояния газа соотношениями:
где F — общий поток энергии, переносимой излучением
(Fm*i) и конвекцией (FKohb):
F (t, m) = ^„зл (t, m) + Fkohb (*, m). F.113)

338 ТЕЧЕНИЯ ВО ВРАЩАЮЩИХСЯ ЗВЕЗДАХ [Гл. 6
Для потока лучистой энергии принимается выражение
где к0 — некоторая постоянная. Величина конвектив-
конвективного потока определяется, как и выше (формула E.47)):
-^конв (t, т) = FKohb Ы fl + a r 8 sin (со* - а)]. F.115)
L У1 + ? J
1 +
Здесь а. — сдвиг по фазе и q = сот]конв, где величина
Лконв определяет характерное время релаксации конвек-
конвективных элементов. Выражение для т]конв> полученное в
работе Л. Н. Иванова A971), имеет вид
r F.H6)
где i?KOHB — размер конвективного элемента, %из.п — коэф-
коэффициент лучистой температуропроводности, определяе-
определяемой по C.141), AVT — сверхадиабатический градиент
(формула C.129)). Множитель а — порядка единицы.
При AV77, не зависящем от времени, а = 3/2.
Величины TJTq и р^ удобно представить в виде
-д^ = *! + *, -^«огх + а, F.117)
•* о го
где ^ и ах — периодические составляющие, а й и о —
медленно меняющиеся (вековые) составляющие, присут-
присутствие которых установлено непосредственно при числен-
численном решении системы F.111) — F.112). Вековая состав-
составляющая /с (?, т) имеется и в выражении конвективного
потока. Путем исследования выражения F.113) с учетом
F.114), F.115), и F.117) можно показать, что изменения
структуры слоя гораздо сильнее сказываются на величине
конвективного потока, чем на потоке лучистой энергии.
Поэтому .
где /полн (t, m) — вековая составляющая полного потока.

§ 5] НЕСТАЦИОНАРНАЯ КОНВЕКЦИЯ 339
Периодические составляющие исключаются nyrejvt раз-
разложения величины F (t, тп) в ряд по степеням е и усредне-
усреднения уравнений F.111) и F.112) по времени. При этом удер-
удерживаются только члены не выше второго порядка по е.
После довольно громоздких вычислений в результате
получается следующее уравнение для /полн (t9 тп):
-*[&-'?+Vs' ¦?¦]•
dt
где введены обозначения
f = /полн — F0+~A2 (/полн — Л)) + f 0 {Kb),
Л Г, 174 . I / Ч FЛ20)
т — Л1 Цполн — ^ о) ~т то у'*)
и fo» 'Фо* ^i С771)» ^2 С771) — известные функции. Величина К
слабо зависит от ттг и при приближенном решении F.119)
может считаться постоянной. Решение F.119) при усло-
условиях, выражающих постоянство потока Fo на внутренней
границе и возможность свободного стока на внешней гра-
границе слоя, имеет вид
/полн (t, m) = F0+h (m) + h (t, то). F.121)
Функция h (t9 тп) выражается с помощью бесселевых функ-
функций порядка 7/5 соотношением
h(t, m) = СоеЫ A — ?')+? le S cie * J"b{xiVl\ - F.122)
i=l
где
1 = КЬ, t=JLzHL. F.123)
Здесь Л/ — количество вещества в конвективном слое,
приходящееся на единицу его поверхности. При i>l ие
достаточно малом, %t < 0, а величина Хо > 0. Поэтому
при больших t
h (t, m) x Сое^ A — ?? 6), F.124)
причем v0 = X0K ^> 0. Таким образом выявляется веко-
вековая неустойчивость конвективного потока в периодически
меняющемся поле тяжести. При Со < 0 поток энергии

340 ТЕЧЕНИЯ ВО ВРАЩАЮЩИХСЯ ЗВЕЗДАХ [Гл. в
уменьшается, причем это уменьшение особенно сильно
сказывается у внутренней границы конвективного слоя
(при ? = 0). Поскольку поток энергии, поступающей
из недр звезды на эту границу, не меняется, вблизи грани-
границы должно происходить накопление энергии, приводящее
к разогреву газа.
Характерное время накопления энергии согласно
F.124) порядка Vq1. Для величины v0 в работе Л. И. Ива-
Иванова A972) приводится оценочное выражение
. F.125)
При тех значениях входящих в F.125) величин, которые
соответствуют спутнику в системе типа U Близнецов,
v0 ж 10~7 сек'1. Таким образом, характерное время раз-
развития неустойчивости получается по более точной теории
того же порядка, что и найденное ранее (В. Г. Горбац-
кий A971)), и совпадает с наблюдаемой продолжитель-
продолжительностью интервала между вспышками.
Нестационарность конвективного _ потока приводит к
изменению свойств внешних областей спутника. Из сооб-
соображений, основанных на теории внутреннего строения
звезд (см. Шварцшильд (I960)), вытекает, что при про-
прогреве конвективной зоны и соответственном уменьшении
в ней величины сверхадиабатического градиента должно
происходить расширение внешних областей звезды. Уве-
Увеличение радиуса спутника при вспышке следует и из
наблюдений. Перестройка внешних областей звезды ме-
меняет характер истечения газа из нее. В конечном счете
мощность истечения вещества должна возрасти, так как
чем больше радиус звезды, тем сильнее сказывается дей-
действие динамических приливов на ее поверхностные слои.
Возрастание мощности истечения из спутника при-
приводит к увеличению количества газа, захватываемого дис-
дискообразной оболочкой, а это в свою очередь вызывает
усиленное энерговыделение в оболочке. В результате об-
общая энергия, излучаемая во время вспышки, должна воз-
возрасти. Это обстоятельство позволило интерпретировать
процесс вспышки в системе типа U Близнецов (В. Г. Гор-
бацкий A975а)). Вначале накопившаяся в результате ве-
вековой неустойчивости конвективного потока энергия вы-

§ 5] НЕСТАЦИОНАРНАЯ КОНВЕКЦИЯ 341
ходит в поверхностные слои спутника, вызывая повышение
его температуры и некоторое увеличение радиуса. Блеск
звезды при этом возрастает на Зт—4т, а спектр переходит
от класса G или К к классу А. Далее, увеличившееся
истечение газа из спутника приводит к возрастанию све-
свечения дискообразной оболочки главной звезды, представ-
представляющей собой, по-видимому, белый карлик. Оценки
показывают, что выделяющаяся в результате аккреции энер-
энергия на порядок превосходит энергию, запасенную в глу-
глубине конвективной зоны в интервале между вспышками.
Энергетическая неустойчивость в тесных двойных систе-
системах звезд-карликов, проявлениями которой являются
вспышки новых и новоподобных звезд, тесно связана с
приливной и конвективной неустойчивостями. Задача бу-
будущих исследователей — выяснить в какой мере различные
виды неустойчивости влияют на процессы в тесных двой-
двойных системах других типов. Решение этой задачи должно
быть важным этапом в разработке проблемы эволюции
звезд и звездных систем.

ЛИТЕРАТУРА
Аанестад (Aannestad P. A.), 1973, Molecule formation. II
In interstellar shock waves, Astroph. J. Suppl. ser. 25, № 217,
223—252.
АведисоваВ. С, 1971, Образование туманностей звездами
типа Вольфа—Райе, Астрон., ж. 48, 894—901.
Аведисова B.C., 1974, Образование структурных форм в
межзвездном газе за фронтом ударной волны, Астрон. ж. 51,
479—588.
А г е к я н Т. А., 1974, Теория вероятностей для астрономов
и физиков, «Наука».
Александер (Alexander M. Е.), 1973, The weak friction
approximation and tidal evolution in close binary systems, Astroph.
and Sp. Sci. 23, 459—510.
Алешин В. И., 1964, Автоколебания переменных звезд,
Астрон. ж. 41, 201—211.
Амбарцумян В. А., 1939, Теоретическая астрофизика,
Гостехиздат.
Амбарцумян В. А., 1968, Проблемы эволюции Вселен-
Вселенной, Изд. АН Арм.ССР.
Андер сон Э., 1968, Ударные волны в магнитной гидроди-
гидродинамике,^ Атомиздат.
Антонов В. А., 1975, Фигуры равновесия, в сб. «Итоги
науки и техники», т. 10, 7—60, ВИНИТИ.
А р н е т, Камерон (Arnett W. D., Cameron A.), 1967, Su-
Supernova hydrodynamics and nucleosynthesis, Canad. J. Phys. 45,
2953—2964.
Б а т (Bath G. Т.), 1975, Dynamical instabilities and mass ex-
exchange in binary systems, MNRAS 171, 311—328.
Баум Ф. А., Каплан С. А., Станюкович К. П.,
1958, Введение в космическую, газодинамику, Физматгиз.
Бекер, Киппенхан (Baker N., Kippenhahn R.), 1959,
Untersuchungen iiber rotierende Sterne. III. Meridionale Zirkulation
bei nichtstarrer Rotation, Zs. Astroph. 48, 140—154.
Бекер, Сенгбуш (Baker N. H., von Sengbusch K.), 1969,
Non-linear periodic pulsations of stars, Mitteil. Astron. Gesell.
N 27, 162—167.
Бекер, Темесвари (Baker, N., Temesvary S.), 1966,
Tables of convective stellar envelope models, И ed N. Y., NASA.
Берджерс (Burgers J. M.), 1969, Flow equations for com-
composite gases, N. Y., Acad. Press.

ЛИТЕРАТУРА 343
Бернакка, Перинотто (Bernacca P. L., Perinotto),
1970, 1971, A catalogue of stellar rotational velocities, Contr. Oss.
Astroph. Asiago Univ. Padova, N 239, N 250.
Б е р т о т т и, Кавальере. (Bertotti В., Cavaliere A.),
1969, On gravitational instability of the interstellar gas, Astroph.
and Sp. Sci. 5, 78—91.
Бетчелор (Batchelor G. K.) 1950, On the spontaneous magne-
magnetic field in a conducting liquid in turbulent motion, Proc. Roy. Soc.
201A, 405—417.
Б ё м (Bohm К. Н.), 1963, Unstable modes in the solar hydro-
hydrogen convection zone, Astroph. J. 137, 881—900.
Б ё м (Bohm К. Н.), 1976, Convective modes with turbulent
viscosity and conductivity, Coll. intern, du CNRS № 250, Physique
des mouvements dans les atmospheres stellaires, 57—64.
Б ё м-В итензе (Bohm-Vitense'E.), 1958, Ober die Wasser-
stoffkonvektionszone in Sternen verschiedener Effektivtemperaturen
und Leuchtkrafte, Zs., Astroph. 46, 108—143.
Бёрд (Bird G. A.), 1964a, The behaviour of shock waves in
a gravitational atmosphere, Astroph. J. 139, 675—683.
Бёрд (Bird G. A.), 1964b, A gasdynamic model of the outer
solar atmosphere, Astroph. J. 139, 684—689.
Бёрд (Bird G. A.), 1965, The equilibrium state of a shockheated
atmosphere, Astroph. J. 141, 1455—1462.
Бёрд (Bird J. F.), 1969, Gravitational instability of spheroi-
spheroidal expansions: a cosmogonic fragmentation mechanism, Astroph.
and Sp. Sci. 3, 312—329.
Бирман (Bierman L.), 1951, Bemerkungen iiber das Rotations-
gesetz in irdischen und stellaren Instabilitatzonen, Zs, Astroph. 27,
304—309.
Бирман, Шлютер (Biermann L., Schliiter A.), 1950, Ober
den Ursprung der Magnetfelder auf Sternen und im interstellaren
Raum, Zs. Naturforsch. 5a, 65—71.
Бирман (Biermann P.), 1971, A simple gasdynamical model
of mass exchange in close binary systems, Astron. Astrophys. 10,
205—212.
Бисноватый- Коган Г. С, Попов 10. И., Само-
хин А. А., 1975, Магнитогидродинамическая вращательная мо-
модель взрыва Сверхновой, Препринт ИПМ № 16, 1—64.
Боденхеймер, Острайкер (Bodenheimer P.y Ostriker J.),
1970, Rapidly rotating stars VI Premain—sequence evolution of
massive stars, Astroph. J. 161, 1101—1113.
Бонсек, Калвер (Bonsack W. K., Culver R. В.), 1966,
Line widths and turbulence in K-type stars, Astroph. J. 145, 767—783.
Б о ч к а р е в Н. Г., 1972, Свойства HI областей, нагреваемых
рентгеновыми и космическими лучами, Астррн. ж. 49, 756—767.
Брагинский С. И., 1964, О самовозбуждении магнитного
поля при движении хорошо проводящей жидкости, ЖЭТФ 47,
Ю84—1098.
Б р а н д т Дж. (Brandt J. С), 1973, Солнечный ветер, «Мир».
Бхатнагар, Кушваха (Bhatnagar M. S., - Kushwaha
R. S.), 1961, 1962, Decay of a shock wave in a stellar atmosphere.
Ann. d'Astrophys. 24, 211—218; 25, 410—415,

344 ЛИТЕРАТУРА
В а й н ш т е й н СИ., Рузмайкин А. А., 1971, Генера-
Генерация крупномасштабного магнитного поля Галактики, Астрон. ж.
48, 902—909.
Вайнштейн СИ., Зельдович Я. В., 1972, О проис-
происхождении магнитных полей в астрофизике, УФН 106, 431—457.
Вандакуров Ю.В., 1968, О равновесном состоянии
вращающегося магнитного газового шара, Астрон. ж. 45, 103—114.
ВандакуровЮ. В., 1972, Об устойчивости вращающейся
неоднородной среды, Астрофизика 8, 433—439.
Вандакуров Ю.В., 1976, Конвекция на Солнце и меха-
механизм 11-летнего цикла, «Наука».
Ван дер Борхт, Мерфи, Спигел (Van der Borght R.,
Murphy J. 0., Spiegel E. A.), 1972, On magnetic inhibition of ther-
thermal convection, Austral. J. Phys. 25, 703—718.
Ван дер Борхт, Мерфи (Van der Borght R., Murphy
J. O.), 1973, The effect of rotation on non-linear thermal convection,
Austral. J. Phys. 26, 341—357.
Вебер, Девис (Weber E. J., Davis L.), 1967 > The angular
momentum of the solar wind, Astroph. J. 148, 217—227.
В е й м а н (Weymann R.), 1960, Heating of stellar chromosphe-
chromospheres by shock waves, Astroph. J. 132, 452—460.
Вейцзекер (Weizsacker С F.), 1948, Die rotation Kosmi-
scher Gasmassen, Zs. Naturforsch. 3a, 524—539.
Вентзел (Wentzel D.), I960,4 Hydromagnetic equilibria,
Astroph. J. Suppl. Ser. 5, N 47, 187—232.
Вентзел (Wentzel D. G.), 1967, An upper limit on the abun-
abundance of H2 formed by chemical—exchange reactions, Astroph. J.
150, 453—460.
В е р с к e p (Verschuur G. L.), 1974, Studies of neutral hyd-
hydrogen cloud structure, Astroph. J. Suppl. ser. 27, N 238, 65—112.
Волтьер (Woltjer L.), 1958, On hydromagnetic equilibrium,
Proc. Nat. Acad. Sci. USA 44, 833—841.
Волтьер (Woltjer L.), 1972, Supernova remnants, В сб. «An-
«Annual Review of Astronomy and Astrophysics» 10, 129—158.
Галлисфорд (Gullisford P.), 1974, A simple shock wave
model of supernova remnant, Astrophys. and Sp. Sci. 31, 241—249.
Гандельман Г. М., Франк-Каменецкий Д. А.,
1956, Выход ударной волны, на поверхность звезды, ДАН СССР
107, 811—815.
Гелл (Gull S. F.), 1975, The X-ray, optical and radio pro-
properties of young supernova remnants, MNRAS 171, 263—268.
Гершберг Р.Е., 1970, Вспышки красных карликовых
звезд, «Наука».
Гершберг Р. Е., 1975, Flares of red dwarf stars and solar
activity, В сб. «Variable stars and stars evolution», 47—64.
Герц, Вулф (Gehrz R. DM Woolf N. J.), 1970, Mass loss
from M stars, Astroph. J. 165, 285—294.
Голдрейч, Шуберт (Goldreich P., Shubert G.), 1967,
Differential rotation in stars, Astroph. J. 150, 571—588.
Голдсмит (Goldsmith D. W.), 1970, Thermal instabilities
m interstellar gas heated by cosmic rays, Astroph. J. 161, 41—54,

ЛИТЕРАТУРА 345
Голдсмит, X абинг, Филд (Goldsmith D. W., Habing
Н. J., Field G. В.), 1969, Thermal properties of interstellar gas
heated by cosmic rays, Astroph., J. 158, 173—183.
Голинько В. И., 1970, О свечении из-за ударного фронта
в звездных атмосферах, Астрон. ж. 47, 145—148.
Голландский О. П., 1972, Влияние высвечивания на
спектр турбулентности в звездной атмосфере, Изв. Крымск. АО.
46, 83—89.
Г о р б а ц к и й В. Г., 1962а, О динамике оболочек новых
звезд, Астрон. ж. 39, 198—208.
Горбацкий В.Г., 19626, О свечении оболочки новой
звезды за фронтом ударной волны, Вестник ЛГУ № 19, 112—123,
Горбацкий В.Г., 1964, О переносе энергии точечного
взрыва в звезде, Астрон. ж. 41, 53—62.
Горбацкий В. Г., 1965, О газовых потоках в затменных
двойных системах звезд-карликов, Труды А.О. ЛГУ 22, 16—30.
Горбацкий В. Г., 1970,. О происхождении линий [0 1] в
спектрах сверхновых звезд, ДАН СССР 194, 45—48.
Горбацкий В. Г., 1971, О происхождении вспышек звезд
типа U Близнецов, Астрон. ж. 48, 676—683.
Горбацкий В. Г., 1972, 1973, Образование корональных
линий в спектрах новых звезд, Астрон. ж. 49, 42—53; 50, 42—50.
Горбацкий В. Г., 1974а, Новоподобные и новые звезды,
«Наука».
Горбацкий В. Г., 19746, О механизме истечения вещества
из новой звезды после отрыва оболочки, Астрон. ж. 51, 753—
760.
Горбацкий В. Г., 19-75а, О модели вспышки звезды типа
U Близнецов, Письма в АЖ 1, № 1, 23—25.
Г о р б а ц к и й В. Г., 19756, On the origin of nova-like binary
systems, Astroph. and Sp. Sci. 33, 325—332.
Горбацкий В. Г., 1975в, О структуре оболочек звезд
типа Be, Письма в АЖ 1, №,3, 36—-38.
Горбацкий В. Г., Иванов Л. Н., 1974, О непрерывном
истечении вещества из новой звезды в послемаксимальный период,
Астрофизика 10, 73—83.
Г о р б а ц к и й В. Г., К о л е с о в А. К., 1966, Модели внеш-
внешних слоев горячих звезд главной последовательности, Астрофизика
2, 273—296.
Горбацкий В. Г., Минин И. Н., 1963, Нестационарные
звезды, Физматгиз.
Г о у ф и др. (Gough D. О., Moore D. R., Spiegel E. A., Weiss
N. О.), 1976, Convective instability in a compressible atmosphere II,
Astroph. J. 206, P. I. 536—542.
Грассберг Э. К., Имшенник B.C., Надежин
Д. К., 1971, К теории кривых блеска сверхновых звезд. Astroph.
and Sp. Sci. 10, 3—27-
Трем, Ленджер (Graham R., Langer W. D.), 1973,
Pressure equilibrium of finite-size clouds in the interstellar medium,
Astroph. J. 179, 469—481.

346 ЛИТЕРАТУРА
Гринстейн (Greenstein J.), 1963, Спектры звезд, лежащих
ниже главной последовательности, в сб. «Звездные атмосферы»,
ИЛ, 668—706.
Гуревич Л. Э.,Лебединский А. И., 1947, Перифери-
Периферические взрывы в звездах, обусловленные ядерными реакциями,
ДАН CCGP 56, № 2, 137—140.
Гуревич Л. Э., Румянцев А. А., 1970, Распростране-
Распространение ударных волн в среде убывающей плотности, ЖЭТФ 58, 1395—
1399.
Гурзадян Г. А., 1973, Вспыхивающие звезды, «Наука».
Далгарно, Маккрей (Dalgarno A., McCray R. А.),
1972, Heating and ionization of HI regions, Ann. Rev. Astron. Astroph.
10, 375—426.
Дарвин (Darwin G. H.), 1906, On the figure and stability of
a liquid satellite, Phil. Trans. Roy. Soc. 206, 161—248.
Дарисен (Durisen R. H.), 1973, Viscous effects in rapidly
rotating stars with application to white dwarjs models: I. Theory
and techniques, Astroph. J. 183, 205—214; II. Numerical results,
Astroph. J. 183, 215—223.
Дарисен (Durisen R. Н.), 1975, Viscous effects in rapidly
rotating stars with application to white dwarfs models; III. Further
numerical results, Astroph. J. 195j 483—492.
Д а р н и (Durney В.), 1971, Differential rotation, meridional
velocities and pole-equator difference in temperature of a rotating
convective spherical shell, Astroph. J. 163, 353—361.
Деви, Кокс (Davey W., Cox J.), 1974, Pulsational stability
of stars in thermal imbalance: II. An energy approach, Astrophys.
J. 189, 113—124.
Депре (Deupree R. G.), 1974, Non-linear, adiabatic non-
radial stellar pulsation: calculation and application, Astroph. J.194,
393-401.
Д е ф у (Defouw R. J.), 1970, Thermal—convective instability,
Astroph. J. 160, 659—669,
Де Яг ер (De Jager С), 1972, Micro and macroturbulent moti-
motions and the velocity spectrum of the solar photosphere, Solar Phys.
25, 71-80.
Джервин (Gerwin R. A.), 1968, Stability of the interface
between two fluids in relative motion, Rev. Mod. Phys. 40, N 3,
652—658.
Джине (Jeans J.), 1929, Astronomy and Cosmogony, Cambridge.
Д и б а й Э. A., 1958, Эволюция глобул в окрестностях горячих
звезд, Астр он. ж. 35, 469—478.
ДибайЭ. А., 1971, Образование кометообразных туманнос-
туманностей, глобул и связанных с ними звезд, Астрон. ж. 48, 1134—1144.
ДибайЭ. А., Капл анС. А., 1976, Размерности и подобие
астрофизических величин, «Наука».
Д и к к е (Dicke R. Н.), 1970, Internal rotation of the Sun,
Ann. Rev. Astron., Astroph. 8, 297—328.
Д о л г и н о в А. 3., Яков л>е в Д. Г., 1975, Tidal flows in
binary systems, Astroph. and Sp. Sci. 36, 31—78.
Д у б о в Э. Е., 1967, Структура нижней хромосферы, Астрон,
ж, 44, 342—351.

ЛИТЕРАТУРА 347
Д ь я к о в С. П., 1954, Об устойчивости ударных волн, ЖЭТФ
27, 288—295.
ЗКевакин С. А., 1970, Теория звездных пульсаций, в сб.
«Пульсирующие звезды», «Наука», 18—63.
3 ан (Zahn J. P.), The dynamical tides in close binaries, Astron.,
Astrophys. 41, 329—344.
Зельдович Я. Б., 1970, Распад однородного вещества на
части под действием тяготения, Астрофизика 6, 319—335.
Зельдович Я. Б., Пикельнер СБ., 1969, Фазовое
равновесие и динамика газа при объемном нагревании и охлаждении,
ЖЭТФ 56, 310—315.
Зельдович Я. Б., РайзерЮ. П., 1966, Физика удар-
ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений,
«Наука».
И в а н о в В. В., 1969, Перенос излучения и спектры небесных
тел, «Наука».
Иванов Л. Н., 1971 ^ О конвекции в периодическом гравита-
гравитационном поле, Астрофизика 7, 143—158.
Иванов Л. Н., 1972, Конвективно неустойчивый слой в пе-
периодическом гравитационном поле, Вестник ЛГУ № 13, 126—133.
Иванова Л. Н., И м ш е н н и к В. С, Н а д ё ж и н Д. К.,
1969, Исследование динамики взрыва сверхновой, Науч. информ.
Астросовета АН СССР 13, 3—109.
ИвановаЛ.Н., ИмшенникВ. С.,ЧечёткинВ.М.,
1975, Термоядерный взрыв вырожденного углеродного ядра звезды,
Препринт ИПМ № 31, 1—63.^
И ванова Л. Н. и др., 1976, Гравитационный коллапс, сла-
слабые взаимодействия и вспышки сверхновых звезд, Препринт ИПМ
№ 23, 1—9,
Имшенник B.C., H а д е ж и н Л. К., 1964, Газодинами-
Газодинамическая модель вспышки сверхновой II типа, Астрон. ж. 41, 829—841.,
И м ш е н н и к В. С, Н а д е ж и н Д. К., 1974, Предсверхно-
вые, Науч. информ. Астросовета АН СССР 29, 26—48.
Имшенник B.C., Сей до в 3. Ф., 1970, Устойчивость вра-
вращения белого карлика, Астрофизика 6, 301—307.
ИрошниковР. С, 1961, Ударные волны в атмосфере RR
Лиры, Астрон. ж. 38, 623—633.
И о н е я м a (Yoneyama Т.), 1973, Thermal instability -in reac-
reacting gas, Publ. Astr. Soc. Japan 25, 349—373.
Кан (Kahn F. D.) 1954, The acceleration of interstellar gas,
Bull. Astron. Inst. Netherl. 12, 187—212.
К а п л а н С. А., 1958, Межзвездная газодинамика, Физ-
матгиз.
К а п л а н С. А., 1959, О космических бессиловых полях, Ас-
трон, ж. 36, 800—806.
К а п л а н С. А., 1963, Спектр магнито-гидродинамической
турбулентной конвекции, Астрон. ж. 40, 1047—1054.
К а п л а н С. А., П е т р у х и н Н. С, 1965, К теории конвек-
конвекции в политропной атмосфере с однородным магнитным полем, Ас-
трон, ж. 42, 74—77.
Каплан С. А., Пикельнер С. В., 1963, Межзвездная
среда, Физматгиз.

348 ЛИТЕРАТУРА
К а п л а н С. А., Пикельнер С. Б., 1974, Large-scale
dynamics of the interstellar medium, Ann. Rev. Astron., Astroph.
12, 113—133.
КапланС. А., Пикельнер СБ., ЦытовичВ. Н.,
1974, Plasma physics of the solar atmospheres, Physics rep. 15C, 1—82.
Каплан С. А., Подстригач Т. С, 1965, Параметры
ударных волн в частично ионизованном газе, Астрон. ж. 42,
552—556.
К а п л а н С. А., Ц ы т о в и ч В. Н., 1972, Плазменная астро-
астрофизика, «Наука».
Каприотти (Gapriotti E. Е.), 1973, The structure and evo-
evolution of planetary nebulae, Astroph. J.179, 495—516.
КардашевН. С, 1964, Магнитный коллапс и природа мощ-
мощных источников космического радиоизлучения, Астрон. ж. 41,
807—813.
К а т о, У н н о (Kato Sh., Unno W.), 1960, Gonvective instabi-
instability in polytropic atmospheres, Publ. Astr. Soc. Japan 12, 427—440.
КаулингТ. Г. (Cowling Т. G.), 1942, The non-radial oscil-
oscillations of polytropic stars, MNRAS 101, 367—373.
КаулингТ., 1959, Магнитная газодинамика, ИЛ.
К а ф а т о с (Kafatos M.), 1973, Time-dependent radiative
cooling of a hot low-density cosmic gas, Astroph. J. 182,
433_447.
К е р р ю с и др. (Garrus P., Fox P., Gaas F., Kopal Z.), 1951,
The propagation of shock waves in a stellar model with continuous
density distribution, Astroph. J. 113, 496—518.
Киппенхан, Мейер-Хофмейстер, Томас (Kip-
penhahn R., Meyer-Hofmeister E., Thomas H. G.), 1970, Rotation
in evolving stars, Astron., Astrophys. 5, 155—161.
Клемент (Clement M. J.), 1972, Meridian circulation with
rapid differential rotation in radiative stellar envelopes, Astroph.
J. 175, 135—145.
КлимишинИ. А., 1967,О влиянии периодических ударных
волн на распределение плотности в атмосфере пульсирующей звез-
звезды, Астрофизика 3, 259—265.
КлимишинИ. А., 1972, Ударш хвши в неоднорщних се-
редовищах, Изв. Львовского университета.
К л им и шин И. А., К орду б а Б. М., Новак А. ф.,
1972, К исследованию закономерностей движения ионизационных
ударных волн в протяженных звездных атмосферах, Перем. звезды
18, 435—442.
Ковец (Kovetz A.), 1966, A general variotinal principle
governing the oscillations of gaseous masses in the presence of magne-
magnetic fields, Astroph J. 146, 462—470.
К о к с (Cox D. P.), 1972a, Theoretical structure and spectrum
of a shock wave in the interstellar medium: The Gygnus Loop. Ast-
Astroph. J. 178, 143—157.
К о к с (Cox D. P.), 1972b, Cooling and evolution of a supernova
remnant, Astroph. J. 178, 159—168.
Kjo к с'Дж. (Cox J. P.), 1975, Stellar oscillations, stellar stabi-
stability and application to variable stars, В сб. «Memoires de la Soc.
Roy. des Sci. de Liege», Ser. 6, VIII, 129—159.

ЛИТЕРАТУРА 349
Кок сДж. и др. (Сох J. P., Cox A. N., Olsen К. Н., KingD. S.,
Eilers D. D.), 1966, Self-excited radial oscillations in thin stellar
envelopes, Astroph. J. 144, 1038—1068.
Колгейт, Макки (Colgate S. A., McKee C), 1969, Early
supernova luminosity, Astroph. J. 157, 623—643.
Колгейт, Уайт (Colgate S. A., White R. H.), 1966, The
hydrodynamic behaviour of supernovae explosions, Astroph. J. 143,
626—681.
К о л е сник И. Г., 1965, Закалка ионизационного равновесия
в атмосфере звезды, Астрон. ж. 42, 67—73.
КолесникИ. Г., Франк-КаменецкийД. А., 1964,
Анализ распределения энергии в спектре близ бальмеровского пре-
предела для нестационарных звезд, Астрон. ж. 41, 178—181.
КомпанеецА. С, 1960, Точечный взрыв в неоднородной
атмосфере, ДАН СССР 130,1001—1003.
Копал (Kopal Z.), 1968, Dynamical tides in close binary sys-
systems, Astroph. and Sp. Sci. 1, 179—215; 284—300; 411—423.
Копал (Kopal Z.), 1972a, The effects of viscous friction on
axial rotation of celestial bodies, Astroph. and Sp. Sci. 16, 3—51.
Копал (Kopal Z.), 1972b, Tidal evolution in close binary sys-
systems, Astroph. and Sp. Sci. 17, 161—185; 18, 287—305.
Копал (Kopal Z.), 1974, On secular stability of tidally distor-
distorted stars of arbitrary structure. Astroph. and Sp. Sci. 27, 389—418.
Коробейников В. П., Мельникова Н. С, Ря-
Рязанов Е. В., 1961, Теория точечного взрыва, Физматгиз.
Коровяковский Ю.П., 1969, 1971, О движении газа
в тесных двойных системах, Астрофизика 5, 6.7—73; 7, 71—83;
Коровяковский Ю. П., 1972, Динамические приливы
в тесных двойных системах. 1. Случай изотермической оболочки,
Изв. САО 4, 115—129.
Коровяковский Ю. П., 1975, Динамическая теория
приливов. Изэнтропическое движение вещества, Изв. САО 7,
27—34.
К р а т В. А., 1950, Фигуры равновесия небесных тел, Гостех-
издат.
Кристи (Christy R. F.), 1964, The calculation of stellar pul-
pulsation, Rev. Mod. Phys. 36, 555—571.
Кристи (Christy R. F.), 1966, Pulsation theory, Ann. Rev.
Astron., Astroph. 4, 353—392.
К у т о (Couteau P.), 1957, Contribution a la theorie du spectre
des naines blanches, Ann. d'Astrophys. Suppl. N 3, 51.
Л а й о н (Lyon L.), 1976, В stars and the structure of the inter-
interstellar medium, Astroph. Lett. 17, 81—86.
Лайтхилл (Lighthill M. J.), 1952, On sound generated
aerodynamically, Proc. Roy. Soc. A211, 565—587.
Л а н д а у Л. Д., Л и ф шиц Е. М., 1953, Механика сплошных
сред, Гостехиздат.
Ландау Л. Д., ЛифшицЕ. М., 1964, Статистическая фи-
физика, «Наука».
Л а с к е р (Lasker В. М.), 1967, The energization of the inter-
interstellar medium by ionization-limited НИ regions, Astroph. J. 149,
23—28.

350 ЛИТЕРАТУРА
«Натур (Latour J.), 1970, Envelope models for A type stars.
The density inversion zone with the mixing length theory, Astron.
Astrophys. 9, 277—287.
Лебединский А. И., 1946, Структура оболочек новых
звезд, Астрон. ж. 23, 15—30.
Леду (Ledoux P.), 1958, Stellar stability, Handbuch der Phy-
sik 51, 6Q5--687.
Леду, Вальравен (Ledoux P., Wahlraven Th.), 1958,
Variable stars, Handbuch der Physik 51, 353—604.
Леду, Шварцшильд, Спигел (Ledoux P., Schwarz-
schild M., Spiegel E. A.), 1961, On the spectrum of turbulent convec-
convection Astroph. J. 133, 184—197.
Л е м б (Lamb Т.), 1947, Гидродинамика, Гостехиздат.
Л ерч (Lerche L.), 1971, I. Kinematic-dynamo theory. Ast-
Astroph. J. 166, 627—638; II. Dynamo action in infinite media with
isotropic turbulence, 639—649.
Л и д о в М. Л., 1955, К теории неустановившихся движений
газа с учетом сил тяготения, ПММ 19, 54'1—550.
Л и м б е р (Limber D. N.), 1974, Steady state mass loss for
Be stars, Astroph. J. 192, 439—445.
Лимбер, Мальборо (Limber D. N., Malborough J. M.),
1968, The support of the envelopes of Be stars, Astroph. J. 152,
1B1-194.
Линден-Белл, Острайкер (Lynden-Bell D., Ostri-
ker J.), 1967, On the stability of differentially rotating bodies. MNRAS
136, 293—310.
Линден-Белл, Прингл (Lynden-Bell D., Pringle J. E.),
1974, The* evolution of viscuous disc and the origin of the nebular
variables, MNRAS 168, 603—637.
Л и ф ш и ц М. А., 1970, Итоги науки: Астрономия. Физика
Солнца, ВИНИТИ.
Луиз, Монне (Louise R., Monnet G.), 1970, Sur la turbu-
turbulence dans le regions H II, Astron. Astrophys. 8, 486—488.
Макки, Коуи (McKee Gh. F., Cowie L. L.), 1975, The inte-
interaction between the blast wave of a supernova remnant and interstel-
interstellar clouds, Astroph. J. 195, 715—725.
Маккрей, Стейн (МсСгау R., Stein R.), 1975, Thermal
instability in supernovae shells. Astroph. J. 196, 565—570.
Макферсон (Macpherson A. K.), 1974, The structure of
H I — H II boundary, Astroph. J. 192, 369—378.
M а л о в И. Ф., 1972, О возможности ускорения вещества в
горячих звездах за счет поглощения в спектральных линиях, Астро-
Астрофизика 8, 227—233.
М а л о в И. Ф., 1974, Об ускорении вещества в звездах Воль-
Вольфа — Райе за счет томсоновского рассеяния излучения на свобод-
свободных электронах, Астрофизика 10, 575—583.
М а н ф р у a (Manfroid J.), 1971, Instabilite thermique et cri-
tere de Jeans, Bull. Soc. Roy. Sci. de Liege, N 1—2, 24—36.
M а ф с о н (Mufson S. L.), 1974, The structure,and stability of
Shockwaves in a multiple interstellar medium, Astroph. J. 193,
561—574.

ЛИТЕРАТУРА 351
М е к л е (Mackle R.), 1968, Modelle fur das Ubergang-gebiet
Chromosphare — Korona, Mitt. Astron. Gesellschaft 25, 200—214.
Меллан (Mullan D. J.), 1971a, The structure of transverse
hydromagnetic shocks in regions of low ionization, MNRAS 153,
145—170.
Меллан (Mullan D. J.), 1971b, Cellular convection in model
stellar envelopes, MNRAS 154, 467—489.
Меллан (Mullan D. J.), 1972^ Transition from shallow to deep
convection zones in stars. Astroph. Lett. 12, N 1, 13—16.
Мельников О. А., Попов B.C., 1970, Звезды типа
P Цефея, в сб. «Пульсирующие звезды», «Наука», 282—303.
Мерфи, Ван дер Борхт (Murphy J, О., Van der Borght
R.), 1972, Finite amplitude convection under the combined effect
of rotation and a magnetic field, Proc. Astr. Soc. Austral. 2, 147—148.
M e с т е л (Mestel L.), 1967, Theories of stellar magnetism,
в сб. «Magnetism and Cosmos», Edinb.— Lond., Ed. Oliver and Boyd,
194-208.
M e с т е л (Mestel L.), 1968, Magnetic braking by a stellar wind,
MNRAS 138, 359—391.
M e с т е л (Mestel L.), 1970, Меридиональная циркуляция в
звездах, в сб. «Внутреннее строение звезд», «Мир», 249—289.
М е т ь ю з (Mathews W. G,), 1965, The time evolution of an
И II region, Astroph. J. 142, 1120—1140.
Метыоз, О'Делл (Mathews W. G., O'Dell G. R.), 1969,
Evolution of diffuse nebulae, Ann. Rev. Astron., Astroph. 7, 67—98.
M и л л с (Mills В. Y.), 1975, Observational aspects of supernova
remnants, в сб. «Galactic Radio Astronomy IAU Symp. 60», D. Reidel,
311—327.
МининИ.Н., 1955, Об истечении материи из звезд Вольфа —
Райе, в сб. «Труды 4-го совещ. по вопросам космогонии», Изд-во
АН СССР, 214—219.
МининИ.Н., 1960, О движении оболочки переменной мас-
массы, Астрон. ж. 37, 939—940.
М о н и н А. С., Яглом A.M., 1966, Статистическая гидро-
гидромеханика, т. 1, 2, «Наука».
Морозов В. Н., 1973а, О влиянии магнитного поля на ди-
динамику оболочек звезд типа Be, Астрофизика 9, 388—400.
М о р о з о в'В. Н., 19736, Перенос момента количества движе-
движения в оболочках звезд при помощи магнитного поля, Астрофизика
9, 567—579.
М о р т о н (Morton- D. С.), 1967, The far-ultraviolet spectra of
six stars in Orion, Astroph. J. 147, 1017—1024.
M о р т о н (Morton D.), 1969, Rocket observations of mass loss
from hot stars, Astroph. and Sp. Sci. 3, 117—122.
Мотт-Смит (Mott-Smith H. M.), 1951, The solution of the
Bolzman equation for a shock wave, Phys. Rev. 82, 885—903.
Мустель Э. P., 1948, О происхождении эмиссионных полос
в спектрах новых звезд, Астрон. ж. 25, 156—167.
М устель Э. Р., 1958, 1959, Проблема истечения вещества
из стационарных звезд, Изв. Кр. АО 19, 153—164; 21, 24—39.
Мюнч (Munch G.), 1960, Внутренние движения в туманнос-
туманности Ориона, в сб. «Космическая газодинамика», ИЛ, 208—216.

352 ЛИТЕРАТУРА
Н адежин Д. К., 1975, Гравитационный коллапс железных
звезд с массами 2 и 10 Mq, Препринт ИПМ № 106, 1—43.
Надежин Д, К., 1976, Нейтринное излучение при образо-
образовании горячей нейтронной звезды и проблема выброса оболочки,
Препринт ИПМ № 26, 1—38.
Н о й ее (Noyes R. W.), 1967, Observational studies of velocity
field in the solar atmosphere and chromosphere. Summary-Introduc-
Summary-Introduction, в сб. «V Symp. Cosm. Gasdynam.», Nice 1965, Acad. Press,
London — N. Y., 293—320.
Нордлунд (Nordlund A.), 1974, On convection in stellar
atmospheres, Astron., Astrophys. 32, 407—422.
Hop д л ун д (Nordlund A.), 1976, A two-component representation
of stellar atmospheres with convection, Astron., Astroph. 50, 25—39.
О г а н е с я н Р. С, А б р а м я н М. Г., 1973, К магнитогидро-
динамической теории равновесия вращающихся самогравитирующих
жидких фигур, Астрон. ж. 50, 996—1000.
Оджерс, Кушваха (Odgers G. F., Kushwaha R. S»),
1960, Shock waves in the atmosphere of a long-period variable, Publ.
Domin. Astroph. Obs. 11, 253—258.
О о р т (Oort J. H.), 1951, Взаимодействие оболочек новых и
и сверхновых звезд с межзвездной средой, в сб. «Problems of Cos-
mical Aerodynamis», Dayton Ohio (русск. пер.: Проблемы косми-
космической аэродинамики, ИЛ, 1953).. -
О с а к и (Osaki Y.), 1974, An excitation mechanism for pulsa-
pulsations in P Cephei stars, Astroph. J. 189, 469-—477.
О саки, Ханзен (Osaki Y., Hansen C. J.), 1973, Non-
radial oscillations of cooling white dwarfs, Astroph. J. 185, 277—292,
Острайкер (Ostriker J.), 1964, On the oscillations and the
stability of a homogeneous compressible cylinder, Astroph. J. 140,
1529—1546.
Памятных А. А., 1974, Пульсационная неустойчивость
модели звезды главной последовательности с массой 1,5ЭД?0, Науч.
информ. Астросовета АН СССР 29, 108—117.
Папалоизу, Бат (Papaloizou J. С. В., Bath G. Т.), 1975,
Stellar stability in close binary systems, MNRAS 172, 339—357.
Паркер (Parker E. N.), 1964, Dynamical properties of stel-
stellar coronae and stellar winds, Astroph. J. 139, 690—709.
Паркер (Parker E. N.), 1965, Динамические процессы в меж-
межпланетной среде, «Мир».
Паркер (Parker E. N.), 1966, The dynamical state of the
interstellar gas and field, Astroph. J. 145, 811—833.
Паркер (Parker E. N.), 1970a, The origin of magnetic fields,
Astroph. J. 160, 383—404.
Паркер (Parker E. N.), 1970b, The generation of magnetic
fields in astrophysical bodies. Astroph. J. 162, 665—673.
Паркер (Parker E. N.), 1970c, The origin of solar magnetic
fields, Ann. Rev. Astron., Astroph. 8, 1—30.
Паркер (Parker E. N.), 1972a, Topological dissipation and
the small-scale fields in turbulent gases, Astroph. J. 174, 499—510.
Паркер (Parker E. N.), 1972b, Происхождение и динамиче-
динамические эффекты магнитного поля и космических лучей в диске Га-
Галактики, в сб. «Космическая газодинамика», «Мир», 198—216.

ЛИТЕРАТУРА 353
Паркер (Parker R.), 1971, The generation of magnetic fields
in astrophysical bodies, Astroph. J. 166, 295—300.
П а р с о н с (Parsons S. В.), 1969, Model atmospheres for yellow
supergiants, Astroph. J. Suppl. 18, 127—165.
Пахольчик А. Г., 1962, Проблема гравитационной неус-
неустойчивости сжимаемой среды, Астрон. ж. 39, 953—960.
П е т р у х и н Н. С, 1969, Исследование влияния излучения
на конвекцию в политропной атмосфере, Астрофизика 5, 615—622.
Пиддингтон (Piddington J.), 1973, Dynamo theories of
the solar and galactic magnetic fields, Astroph. and Sp. Sci. 24,
259—267.
ПикельнерС. Б., 1954, Спектрофотометрическое исследо-
исследование механизма возбуждения волокнистых туманностей, Изв.
Кр. АО 12, 93—117.
Пикельнер СБ., 1957, Диссипация энергии, нагрев и
ионизация ударными волнами межзвездного газа, Астрон. ж. 34,
314—320.
ПикельнерС. Б., 1959, Структура магнито-гидр о динами-
динамической ударной волны в частично ионизованном газе, ЖЭТФ 36,
1536—1541.
Пикельнер СБ., 1965, Спиральные ветви и взаимодей-
взаимодействующие галактики, Астрон. ж. 42, 515—526.
ПикельнерС. Б., 1966а, Динамика солнечной атмосферы,
УФН 88, № 3, 505—526.
Пикельнер СБ., 19666, Основы космической электро-
электродинамики, «Наука».
ПикельнерС. Б., 1967, Ионизация и нагрев межзвездного
газа субкосмическими лучами: Образование облаков, Астрон. ж.
44, 915—929.
ПикельнерС Б., 1973, Stellar winds and related phenomena
in surrounding nebulae, Comm. Astroph. Sp. Phys. 5, 151—158.
Пикельнер СБ., Щеглов П. В., 1968, Движение газа
в диффузионных туманностях и звездный ветер, Астрон. ж. 45,
953—961.
П л а в е ц (Plave$ M.), 1958, Dynamical instability of the
components of close binary systems, Mem. Soc. Roy. Sci. de Liege
20, 411—420.
Плавец (Plavec M.), 1970, Rotation in close binaries, в сб.
«Stell. Rotation», Proc. IAU Coll., ed. Sletteback, Dordrecht, 133—
146.
Плавец (Plavec M.), 1973, Evolutionary aspects of circum-
stellar matter in binary systems, в сб. «Extend, atm. and circumst.
mat. spectr. binary syst.», Dordrecht—Boston, 216—259.
ПодстригачТ. С, 1969, Сильные ударные волны в час-
частично ионизованном водороде, Укр. физ. журн. 14, 1367—1377.
Половин Р. Э., 1960, Ударные волны в магнитной гидро-
гидродинамике, УФН 72, вып. 1, 33—52.
П он ом арен к о 10. Б., 1969а, О возникновении турбу-
летности в проводящей жидкости, Астрон. ж. 46, 117—122.
Поно марен ко Ю. Б., 19696, О генерации магнитного по-
поля звезд конвективными движениями поверхностных слоев, Астрон.
ж. 46, 376—385.

354 ЛИТЕРАТУРА
Порфирьев В. В., 1962, Устойчивость вращения звезд,
Астрон. ж. 39, 1038—1040.
П о т т а ш (Pottasch S.), 1958, Dynamics of bright rims in dif-
diffuse nebulae, Bull. Astron. Netherl. 14, 29—37.
Прендергаст (Prendergast K.), 1960, The motion of the
streams in close binary systems, Astroph. J. 132, 162—174.
Прендергаст, Б ербидж (Prendergast К., Burbidge G.),
1968, On the nature of some galactic X-ray sources, Astroph. J. 151,
183—188.
Прендергаст, Таам (Prendergast К. H., Taam R. E.),
1974, Numerical simulation of the gas flow in close binary systems,
Astroph. J. 189, 125—136.
Пресс, Виита, Смарр (Press W., Wiita P., Smarr L.),
1975, Mechanism for inducing synchronous rotation and small eccen-
eccentricity in close binary systems, Astroph. J. 202, L 135—L 137.
Роджерс (Rogers M. H.), 1956, The propagation and struc-
structure of shock waves of varying strength in self-gravitating gas sphere,
Proc. Roy. Soc. A235, 120—136.
Роксбург (Roxburgh J. W.), 1966a, On the fission theory
of the origin of binary stars, Astroph. J. 143, 111—120.
Роксбург (Roxburgh J. W.), 1966b, On stellar rotation,
Thermally generated magnetic fields, MNRAS 132, 201—220.
Роксбург (Roxburgh J. W.), 1974, Non-uniformly rotating
self-gravitating compressible masses with internal meridian circu-
circulation. Astroph. and Sp. Sci. 27, 425—435.
Роксбург, Штриттматтер (Roxburgh J. W., Stritt-
matter P. A.), 1966, On stellar rotation, The structure of rotating
stars, MNRAS 133, 345—358.
Росселанд С, 1952, Теория пульсаций переменных
звезд, ИЛ.
Роуз, Смит (Rose W. К., Smith R. L.), 1972, Nova hydro-
hydrodynamics, Astroph. J. 172, 699—712.
С а к у р а и (Sakurai A.), 1956, Propagation of spherical shock
waves in stars, J. Fluid Mech. 1, 436—453.
Сакураи (Sakurai A.), 1960, On a problem of a shock wave
arriving at the edge of a gas, Gomm. Pure Appl. Math. 13, 553—570.
Свит (Sweet P. A.), 1950, The importance of rotation in stellar
evolution, MNRAS 110, 548—558.
Crpo (Sgro A. G.), 1975, The collision of a strong shock with
a gas cloud: a model for Cassiopeia A, Astroph. J. 197, 621—634.
Северный А. Б., 1945, Об устойчивости вращающегося
газового шара, ДАН СССР 46, № 2, 57—-60.
Северный А. В., 1948, Об устойчивости и колебаниях га-
газовых шаров и звезд, Изв. Кр. АО 1, ч. 2, 3—90.
Седов Л. И.,. 1945, О некоторых неустановившихся движе-
движениях сжимаемой жидкости, ПММ 9, 293—311..
Седов Л.И., 1957, О динамическом взрыве равновесия,
ДАН СССР 112, № 2, 211—212.
С е д о в Л. И., 1965, Методы подобия и размерности в меха-
механике, «Наука».
Сил к, Вернер (Silk J., Werner M. W.), 1969, Heating of
H I regions by soft X-rays, Astroph. J. 158, 185—192.

ЛИТЕРАТУРА 355
Симон, Вепсе (Simon G. W., Weiss N. О.), 1968, Super-
granules and the hydrogen convection zone, Zs. Astroph. 69,
435—450.
Скалафурис (Skalafuris A. J.), 1969, The structure of
a shock front in atomic hydrogen, Stability, dissipation and propaga-
propagation. Astroph. and Sp. Sci. 3, 234—257.
Смит M. (Smith M. G.), 1973, Observations of gas motions in
and near the central cavity of the Rosette nebula, Astroph. J. 182,
111—120.
Смит (Smith R. C), 1970, Meridional circulation in rotating
stellar astmospheres, MNRAS 148, 275—312.
Соболев В. В., 1947, Движущиеся оболочки звезд, ЛГУ.
Соболев В.В., 1975, Курс теоретической астрофизики,
«Наука».
Сомов Б. В., С ы р о в а т с к и й СИ., 1967, Физические
процессы в атмосфере Солнца, вызываемые вспышками, УФН 126,
вып. 2, 217—257.
С п и г е л (Spiegel E. А.), 1960, The convective instability of
a radiating fluid layer, Astroph. J. 132, 716—728.
Спигел (Spiegel E. A.), 1963, A generalization of the mi-
mixing length theory of turbulent convection, Astroph. J. 138, 216—
225.
Спигел (Spiegel E. A.), 1964, The effect of radi'ative transfer
on convective growth rates, Astroph. J. 139, 959—974.
Спигел (Spiegel E. A.), 1967, The theory of turbulent con-
convection, в сб. «Aerodynamic phenomena in stellar atmospheres», Acad.
Press., N. Y., 348—365.
Спигел (Spiegel E. A.), 1971, Convection in stars, Basic
Boussinesq Convection, Ann. Rev. Astron. Astroph. 9, 323—352.
Спигел (Spiegel E. A.), 1972, Convection in stars, Special
effects, Ann. Rev. Astron., Astroph. 10, 261—304.
Спигел, Веронис (Spiegel E. A., Veronis G.), 1960,
On the Boussinesq approximation for a compressible fluid, Astroph.
J. 131, 442—447.
Спигел, Унно (Spiegel E. A., Unno W.), 1962, On the
convective growth rates in a polytropic atmosphere, Publ. Astr. Soc.
Japan 14, 28—32.
Спитцер (Spitzer L.), 1954, Behaviour of matter in space,
Astroph. J. 120, 1—17.
Спитцер Л., 1965, Физика полностью ионизованного газа,
«Мир».
Станюкович К. П., 1971, Неустановившиеся движения
сплошной среды, «Наука».
Старрфилд (Starrfield^S.), 1971, On the cause of the nova
outburst, MNRAS 152, 307—322.
С т е й н (Stein R. F.), 1975, Thermal instability in supernovae
shells, Astroph. J. 196, 65—570.
С т о б и (Stobie R. S.), 1969, Cepheid pulsation, MNRAS 144,
461—484; 485—510; 511—535.
Строке (Stroka W. C), 1974. Numerical models of the evo-
evolution of supernova remnants: the shell-formation stage, Astroph.
J. 190, 59—68.

356 ЛИТЕРАТУРА
Строке, Лада (Stroka W. С, Lada G. J.), 1975, Emission
from supernova remnants, Thermal bremsstrahlung in the Sedov —
Taylor phase, Astroph. J. 195, 563—566.
СыроватскийС. И., 1953, Об устойчивости
тангенциальных разрывов в магнитогидродинамической среде, ЖЭТФ 24,
622—630.
Сюняев Р. А., Шакура Н. И., 1973, Черные дыры в
двойных системах, Наблюдательные проявления, Astron. Astrophys.
24, 337—355.
Талуор (Talwar S. Р.), 1959, Hydromagnetic stability of a
conducting inviscid incompressible fluid of variable density, Zs.
Asrtoph. 47, 161—168.
Таранов В. И., 1971, Ударные волны в газовых потоках
в тесных двойных системах звезд-карликов, Астрофизика 7,
295—302.
Тейлер (Tayler R. J.), 1973, Convection in rotating stars,
MNRAS 165, 39—52.
Тессул, Острайкер (Tassoul J. E., Ostriker J. H.),
1968, 1969, On the oscillations and stability of rotating stellar models,
Astrophys. J. 154, 613—626; 155, 987—997.
Тессул, Пелье (Tassoul J. L., Pellieux G.), 1972,
Nonlinear condensations in self-gravitating media, A numerical approach,
Astroph. J. 171, 485—493.
Тессул Ж., ТессулМ. (Tassoul J. L., Tassoul M.), 1972,
Non-linear condensations in self-gravitating media, An analytical
approach, Astroph. J. 171, 495—501.
Tидман (Tidman D. A.), 1958, Structure of a shock wave
in fully ionized hydrogen, Phys. Rev. Ill, 1439—1455.
Тревис, Мацушима (Travis L. D., Matsushima S.),
1973, The role of convection in stellar atmospheres, Astroph. J* 180,
975—985; 182, 189—207.
Tомас Р., Атей Р., 1965, Физика солнечной хромосферы,
«Мир».
Трехан, Уберои (Trehan S., Uberoi M.), 1972,
Magnetically distorted polytropes: structure and radial oscillations, Astroph.
J. 175, 161—169.
Уивер (Weaver H.), 1970, в сб. «Interstellar Gas Dynamics»,
ed. H. J. Habing (русск. пер. «Космическая газодинамика», «Мир»,
1972).
Уитни (Whitney Ch.), 1956, Stellar pulsations, Ann.
d'Astrophys. 19, 34—43, 142—164.
Уитни, Скалафурис (Whitney Ch. A., Skalafuris A. J.),
1963, The structure of a shock front in atomic hydrogen, The effects
of precursor radiation in the Lyman continuum, Astroph. J. 138,
200—215.
Ульрих (Ulrich R.), 1970, Convective energy transport in
stellar atmospheres, Astroph. and Sp. Sci. 7, 71—86; 183—200; 9,
80—95.
Унно (Unno W.), 1969, Theoretical studies on stellar stability.
II Undisturbed convective non-gray atmosphere, Publ. Astr. Soc.
Japan 21, 240—262.

ЛИТЕРАТУРА 357
Унно, Кат о, Макита (Unno W., Kato Sh., Makita M.),
1960, Convective instability in polytropic atmospheres, Publ. Astr,
Soc. Japan 12, 192—202.
Унно (Unno W.), 1967, The stellar radial pulsation coupled
with the convection, Publ. Astr. Soc. Japan 19, 140—153.
Унно, Спигел (Unno W., Spiegel E. A.), 1966, The Edding-
ton approximation in the radiative heat equation, Publ. Astr. Soc.
Japan IS, 85—95.
Ф е д о р о в а А. В., 1973, Потери газа тесными двойными сис-
системами, Вестник ЛГУ № 19, 138—144.
Филд (Field G. В.), 1962, Thermal instabilities in the inter-
interstellar medium, в сб. «Distrib. and Motion Interstell. Matter Gala-
Galaxies», N. Y.
Филд (Field G. В.), 1965, Thermal instability, Astroph. J.
142, 531—567.
Филд (Field G. В.), 1972, Теоретическое описание межзвезд-
межзвездной среды, в сб. «Космическая газодинамика», «Мир», 64—93.
Филд, Голдсмит, Хабинг (Field G. В., Goldsmith
D. W., Habing H. J.), 1969, Cosmic-ray heating of the interstellar
gas, Astroph. J. 155, L 155—158.
Филд и др. (Field G. В. and other), 1968, Hydromagnetic shock
waves and their infrared emission in HI region. Astroph. J. 151,953—975.
Франк-КаменецкийД.А., 1959, Физические процессы
внутри звезд, Физматгиз.
Франк-Каменецкий Д. А., 1968, Лекции по физике
плазмы, Атомиздат.
Ф р и к е (Fricke К. J.), 1971, On global dynamical stability
of rotating stars, Astron., Astrophys. 15, 329—331.
Фрике, Киппенхан (Fricke К., Kippenhahn R.), 1972,
Evolution of rotating stars, Ann. Rev. Astron. Astroph. 10, 45—73.
Хабинг, Голдсмит (Habing H. J., Goldsmith D. W.),
1971, Heating of the interstellar medium by X-rays and by cosmic
rays, Astroph. J. 166, 525—541.
X а н т e p (Hunter C), 1964,. The development of gravitational
instability in a self-gravitating gas cloud, Astroph. J, 139, 570—586.
Хатчингс, Уокер, Ом он (Hutchings J. В., Wal-
Walker G. A., Aumon J. R.), 1971, Rapid spectral variations in Be stars,
New techniques and results, IAU Coll. N 15, Bamberg, 279—285.
Хейл.с (Heiles C), 1975, A modern look at «interstellar clouds»,
в сб. «Galactic Radio Astronomy IAU Symp. 60», ed. D. Reidel,
13—44.
Хёрнер (Hoerner S.), 1951, Eine Methode zur Untersuch-
ung der Turbulenz der interstallaren Materie, Zs. Astroph. 30, 17—27.
Хёрнер (von Haerner S.), 1958, Instationare Stossfronten
und ihre Wechselwirkung, Fortschr. Phys. 6, 375—425.
X и л л (Hill S. J.), 1972, Hydrodynamic and radiative-transfer
effects on an RR Lyrae atmosphere, Astroph. J. 178, 793—808.
Хоредт (Horedt G.), 1970, Gravitational instability of poly-
tropic gas spheres under external pressure, MNRAS 151, 81—86.
X у а н Ш-Ш., С т р у в e O. (Huang^Su-Shu, Struve O.), 1963,
Вращение звезд и атмосферная турбулентность, в сб. «Звездные
атмосферы», ИЛ, 323—368,

358 ЛИТЕРАТУРА
Циммерман (Zimmermann H.), 1968, Zur Theorie der inter-
stellaren Wolken neutralen Wasserstoffs, Astron. Nachr. 290,
193—239.
Чандрасекхар (Ghandrasekhar S.), 1961, Hydrodynamic
and hydromagnetic stability, Chicago Univ. Press.
Чандрасекхар (Ghandrasekhar S.), 1964, A general varia-
tional principle governing the radial and non-radial oscillations of
gaseous masses. Astroph. J. 139, 664—674.
Ч андрасекхар (Ghandrasekhar S.), 1973, Эллипсоидаль-
Эллипсоидальные фигуры равновесия, «Мир».
Чандрасекхар, Лебовиц (Chandrasekhar S., Le-
bovitz N.,R.), 1963, Non-radiad oscillations and conve,ctive instability
of gaseous masses, Astroph. J. 138, 185—199.
Чандрасекхар, Ферми (Ghandrasekhar S., Fermi E.),
1953, Problems of gravitational stability in the presence of a magnetic
field, Astroph. J. 118, 116—141.
ЧепменС., КаулингТ., 1960, Математическая теория'
неоднородных газов, ИЛ.
Читре, Шевив (Ghitre S. M., Shaviv G.), 1967, On the in-
inversion of the density gradient at the fringe of the convection zone,
Proc. Nat. Acad. Sci. USA57, N 3, 573—579.
Шварцман В. Ф., 1971, Ореолы вокруг черных дыр, Ас-
трон, ж. 48, 479—488.
Шварцшильд М., 1961, Строение и эволюция звезд, ИЛ.
Шкловский И. С., 1962, Вспышки сверхновых и межзвезд-
межзвездная среда, Астрон. ж. 39, 209—215.
Шкловский И. С., 1966, Сверхновые звезды, «Наука».
Штеенбек, Краузе, Радлер (Steenbeck W., Krau-
se F., Radler К. Н.), 1966, Berechnung der mittleren Lorentz —
Feld—starke (vkB) fur elektrisch leitendes Medium in turbulen-
ter, durch Goriolis-Krafte beeinflusster Bewegung, Zs. Naturforsch. 21a,
369—376.
Штриттматтер (Strittmatter P. A.), 1969, Stellar ro-
rotation, Ann. Rev. Astron., Astroph. 7, 665—684.
Эддингтон (Eddington A. S.), 1926, Internal constitution
of the stars, Cambridge.
Эддингтон (Eddington A. S.), 1941, On the cause of Ceph-
eid pulsation, MNRAS 101, Л82—194.
Эллиот, Миберн (Elliot К. H., Meaburn J.), 1974, Ob-
Observation of major ionization fronts in M 42 and M 8, Astroph. and
Sp. Sci. 28, 351—364.
Элмергрин (Elmergreen B. G.), 1976, The ionization of
cloud and mtercloud hydrogen by О and В stars, Astroph. J. 205,
405—408.
Эпик (Opik E. J.), 1950, Transport of heat and matter by con-
convection in stars, MNRAS 110, 559—589.
Э р г м а Э. В., 1971, Конвекция в оболочках А—F звезд глав-
главной последовательности, Астрофизика 7, 605—609.
Э р г м а Э. В., 1972, Нелокальная модель конвекции для звезд-
звездных оболочек, Научн. информ. Астросовета АН СССР 29, 33—43.
Э р г м а Э. В., М а с е в и ч А. Г., 1971, Convection in stars,
Astron. Nachr. 93, 145—154.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Аномальное сопротивление 31 , 32
Белые карлики 82 , 84 , 255 , 256 ,
282 , 303 , 304 , 318 , 323 , 335 , 341
Вариационный принцип 65 — 68 , 73 ,
77 , 79
Вириальный метод исследования
устойчивости 70 — 73 , 77 , 82 , 83 , 242
Вихрь скорости 22 , 103 , 106 , 132
Волна простая 21 , 39 , 40
— разрежения 41 , 42 , 277 , 281
Волны магнитогидродинамические 36 ,
105 , 187 , 258
— магнитозвуковые 36 , 105
— плотности 92 , 93 , 171
— энтропийные 103 , 105
Высота однородной атмосферы
(шкала высот) 143 , 144 , 152 , 153 , 224 ,
238 , 265 , 266 , 296
Вязкость магнитная 123 — 125 , 147
— молекулярная 25 — 27 , 111 , 112 ,
297 , 304 , 318
— турбулентная 27 , 111 , 112 , 143 ,
296 , 297 , 300 , 301 , 307 , 314 , 316 ,
319 , 328 , 330 , 333
Газомагнитные разрывы 185 — 188
Галактическое магнитное поле 132 ,
133
Глобулы 216
Грануляция 227 , 229
Давление излучения 287 , 288
— магнитного поля 36 , 186
Динамо механизмы генерации
магнитного поля 128 , 130 — 133 , 300 ,
301
Диффузия магнитного поля 30 , 124 ,
125 , 127 , 130
Длина перемешивания 113 , 150 — 155 ,
221 , 222
Долгопериодические переменные
звезды 240 , 257 , 259 — 264
Закалка ионизационного равновесия
283 , 284
Запутывание магнитного поля 125 —
128
Затравочное поле 134
Звезды типа Be 291 , 305 — 314
RR Лиры 235 — 237 , 257 , 259 ,
263 , 266
RV Тельца 237 , 257 , 259
Т Тельца 244
U Близнецов 339 — 341
UV Кита 244 , 253 , 254 , 284
WR 287 — 289
Р Персея 243 , 263
6 Щита 237
Зоны критической ионизации 233 ,
234
— НИ 109 , 167 — 175 , 180 , 181 ,
205 — 209 , 212 , 213 , 216 , 217 , 290
Инварианты Римана 39 — 41
Колебательная неустойчивость 147 ,
162
Коллапс ядра звезды 244 , 249
Колмогорова закон 114 , 178 — 180 ,
230
Колмогорова — Обухова спектр 121 ,
127 , 151
Корона Солнца 32 , 101 , 286 , 311
Корреляционный тензор поля 116 —
118 , 286
Космические лучи 94 — 96 , 166 — 170 ,
176
Коэффициент непрозрачности 142 ,
143 , 220 , 221 , 235 , 253 , 270
— температуропроводности 136 , 143 ,
297
— теплопроводности 136 , 156 , 173 ,
338
Критерий Джинса 88 — 92 , 158
— Шварцшильда 141 , 160 , 162 , 164 ,
242 , 243
Критическая точка Лагранжа 315
Лагранжевы координаты 23 — 25 ,
235 , 275
Максвелловское распределение 13 , 14
Меридиональная циркуляция 85 ,
292 — 299
Молекулы Н2 188 — 192
Молекулярный барьер 299
Новые звезды 244 , 254 — 256 , 271
275 , 280 — 282 , 288 , 335

360
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Области Н I 166 , 167 , 170 , 205 , 206 ,
208 , 209 , 214
Перестановочная неустойчивость 147
П-теорема 56
Планетарная туманность 32 , 109 ,
Политропа 76 , 79 , 142 , 147
Полость Роша 315
Потенциал скорости 22
Приближение Буссинеска 144 , 163 ,
238
Проводимость 28 — 34
Процесс адиабатический 11 , 13 , 141 ,
194 , 199
— изобарический 12
— изохорический 12
— изэнтропический 13
— обратимый 11
Равновесие гидростатическое 74 , 136 ,
141 , 160 , 220
— локальное термодинамическое 15 ,
263 , 264
— лучистое 15 , 141 , 142 , 220
— механическое 75
— термодинамическое 10 , 14 , 15 , 76 ,
160
Равнораспределение энергии 126 —
128 , 132 , 233
в ударной волне 47
Расширение газа в пустоту 41 , 42 ,
58 , 277 — 284
Ротационная неустойчивость 81
Рукав Галактики 85 , 86 , 175 , 176
Сверхадиабатический градиент 140 ,
143 , 144 , 154 , 219 , 338 , 340
Серая фотосфера 141 , 142
Сила плавучести 134 , 136 , 137 , 140 ,
141 , 143 , 144 , 147 , 151 , 223 , 251
«Слоновые хоботы» 214 — 216
Столкновения с атомами 48 , 167 ,
155 , 191
Столкновения с ионами 48 , 167 , 191
— электронные 48
Тензор напряжений 25 — 27
— потока импульса 18 , 27
Теорема о вириале 65 , 69 , 70 , 76 ,
85
Теплопроводность лучистая 49 , 140
— молекулярная 47 , 136 , 140
Топологическая диссипация 133
Ударная адиабата 43
— волна изотермическая 51 , 104 ,
189 , 271
Уравнение Бернулли 22 , 23 , 307
— теплопроводности 133
Уравнения Максвелла 29 — 35
Фигуры равновесия вращающейся
жидкости 80 , 81 , 84
Характеристики 37 — 39 , 263 , 265 , 327
Хромосфера Солнца 258 , 259
Хромосферные вспышки 245 , 254
Цефеиды 237 , 239 , 240 , 257 , 259 ,
262 , 266
Число Гартмана 124
— Грассхофа 138
— Маха 115 , 191 , 192 , 258
— Прандтля 138 , 143
— Рейнольдса 108 , 114 , 124 , 125 ,
130 , 140 , 148 , 177 , 328
магнитное 123 , 131
— Релея 138 — 140 , 142 — 144 , 146 —
148
— Тейлора 148
Энтальпия 12 , 173 , 186