Автор: Гольдич В.А. Зив Б.Г.
Теги: общее школьное образование общеобразовательная школа алгебра математика задачи по алгебре дидактические материалы
ISBN: 5-93841-010-Х
Год: 2004
Текст
Б.Г.ЗИВ
В.А.ГОЛБДИЧ
Дидактические
материалы
Б. Г. Зив
В. А. Гольдич
Дидактические
материалы
по алгебре
для класса
3-е издание, исправленное
ЧеРо-на-Неве
Сага
С.-Петербург
2004
УДК 373.167.1:512
ББК 22.14я72
3 59
Рецензенты:
Заведующий кабинетом математики
Санкт-Петербургского Университета
Педагогического Мастерства Л. А. Жигулев;
Методист кабинета математики
Санкт-Петербургского Университета
Педагогического Мастерства Б. Г. Некрасов
Рекомендовано кабинетом математики
Санкт-Петербургского
Университета Педагогического Мастерства
в качестве учебного пособия для средней школы
Издание осуществлено при участии
МОСКОВСКОГО ЦЕНТРА НЕПРЕРЫВНОГО
МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ
Зив Б. Г., Гольдич В. А.
3-59 Дидактические материалы по алгебре для 9 класса. —
3-е изд., исправленное.—СПб.: «ЧеРо-на-Неве»,
2004. —144 с.: ил. — ISBN 5-93841-010-Х
Данное пособие содержит самостоятельные, контрольные и
проверочные работы по курсу алгебры 9 класса, составлен-
ные в полном соответствии со школьной программой. Посо-
бие может быть использовано как в обычных школах, так и в
математических гимназиях и лицеях.
УДК 373.167.1:512
ББК 22.14я72
ISBN 5-93841-010-Х
© Зив Б. Г., Гольдич В. А., 2001
© Е. Т. Киселев, художественное
оформление, 2001
© «ЧеРо-на-Неве», 2001
Предисловие
Данная книга рассчитана на всех желающих улучшить
свои знания по алгебре и началам анализа и составлена в пол-
ном соответствии со школьной программой.
В пособии представлено 19 самостоятельных работ, 4 прак-
тические работы на повторение и 6 контрольных работ. Сбор-
ник несколько отличается от обычных дидактических мате-
риалов тем, что самостоятельные работы в нем приведены
в восьми вариантах, четырех уровней сложности. Чем мы
руководствовались? Не секрет, что в последние годы очень
существенно возросла сложность вступительных экзаменов в
ВУЗы. Одновременно отмечается процесс упрощения содер-
жания школьных учебников математики. Мы полагаем, что в
10 и 11 классах ученикам необходимо показывать ученикам
более содержательные задачи.
Какова же структура наших дидактических материалов?
I уровень сложности (Вариант 1 — Вариант 2) — это ми-
нимум того, что должен знать ученик,— база.
II уровень сложности (Вариант 3 — Вариант 4) — “твердая
четверка”.
III уровень сложности (Вариант 5 — Вариант 6) — “на
пятерку”.
IV уровень сложности (Вариант 7 — Вариант 8) — для
тех, кто всерьез увлечен математикой.
4
Предисловие
Если подходить к использованию книги формально, то ре-
комендуется следующее:
I или II уровень — для базовой школы;
II или III уровень — для гимназий;
III или IV уровень — для лицеев или математических
школ.
Следует иметь в виду, что все самостоятельные и конт-
рольные работы составлены избыточно. Учителю ни в ко-
ем случае не следует считать, что объём работ должен быть
именно таким — мы лишь хотели предоставить ему возмож-
ность выбора.
Все контрольные составлены в четырех равноценных ва-
риантах.
Вообще, структура книги полностью повторяет “Задачи к
урокам геометрии” Б. Г. Зива, а значит, может быть исполь-
зована как задачник.
Надеемся, что наша книга поможет учителям и детям
успешно заниматься математикой.
Владимир Гольдич
Самостоятельные
работы
1. Деление многочленов.
Решение алгебраических уравнений
Вариант 1
1. Найдите частное:
а) (х1 2 — 5х + 6) : (т — 2),
б) (Зх2 - 2х - 1) : (Зх + 1),
в) (2х3 — 7х2 + х — 20) : (х — 4).
2. Найдите частное и остаток при делении Р(х) на Q(x):
Р(х) = х3 — 19ге — 30; Q(x) = х2 + 1.
2х2 — Зх — 2
3. Сократите дробь —х------—.
Зх2 + х — 14
4. Решите уравнения:
а) х3 + 2х2 — х — 2 = 0,
б) х4 + 2х3 - 11х2 - 12х + 36 = 0.
Вариант 2
1. Найдите частное:
а) (х2 — 4х + 3) : (х — 3),
б) (4х2 — х — 3) : (4т + 3),
в) (Зх3 + 5т2 + 4х + 12) :.(х + 2).
6
9-й КЛ. САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ
2. Найдите частное и остаток при делении Р(х) на Q(x):
Р(х) = х1 2 3 + 6х2 + Их + 6; Q(x) = х2 — 1.
о - - Зх2 + 7х + 4
3. Сократите дробь —=—------
к F 5х2 + 7х + 2
4. Решите уравнения:
а) х3 + 2х2 + х + 2 = О,
б) х4 + 4х3 — 2х2 — 12х + 9 = 0.
Вариант 3
1. Найдите частное:
а) (9х2 — 7х — 2) : (х — 1),
б) (х3 + 9х2 + 23х + 15) : (х2 + 8х + 15).
2. Найдите частное и остаток при делении Р(х) на <Э(х):
Р(х) = х3 + Зх2 — 18х — 40; Q(x) = х + 2.
„ х3 — 6х2 + Их — 6
3. Сократите дробь ---5——х— --------.
х-5 — 5х2 + ох
4. Решите уравнения:
а) 2х3 — 4х2 — х — 15 = 0,
б) х4 — х3 — 13х2 + х + 12 = 0.
Вариант 4
1. Найдите частное:
а) (8х2 — 5х — 3) : (8х + 3),
б) (2х3 — х2 — 5х — 2) : (х2 — х — 2).
2. Найдите частное и остаток при делении Р(х) на Q(x):
Р(х) = х3 — 5х2 — 26х + 120; Q(x) = х + 2.
х3 + 5х2 + 6х
3. Сократите дробь -у— 2 •
хл + 6х2 + Их + 6
4. Решите уравнения:
а) х3 + 9х2 + Их — 21 = 0,
б) х4 — х3 — 7х2 + х + 6 = 0.
1. Деление многочленов. Решение алгебраических уравнений
7
Вариант 5
1. Найдите частное:
а) (2а:1 2 3 — 5а;2 — х + 1) : (а;2 — За; + 1),
б) (5а:4 + 9а:3 — 2а:2 — 4а: — 8) : (5а;2 + 4а: + 4).
2. При каких а и b Р(а;) делится без остатка на Q(a:)?
Р(х) = 2х3 — 5а:2 + ах + b; Q(x) = х2 — 4.
_ х4 — 8a:3 + 15а;2 + 4а; — 20
3. Сократите дробь ------5——5---------------.
хй — 5а;2 — х + 5
4. Решите уравнение, если известно, что один из его кор-
ней равен 3. х3 + ах2 — 5х + 6 = 0.
5. Решите уравнение а:4 — 6а;3 + 7х2 + 6а; — 8 = 0.
Вариант б
1. Найдите частное:
а) (а:3 — х2 — 8а; + 12) : (х2 + х — 6),
б) (2а:4 — За;3. — 7х2 + 6а: + 8) : (2а;2 — х — 4).
2. При каких а и Ь Р(а?) делится без остатка на Q(x)?
Р(х) = За;3 + ах2 + Ьх + 9; Q(x) = х2 — 9.
~|— 2а;2_х_2
3. Сократите дробь j——„------------—.
н х4 - 9а:3 + 9а:2 + 41х - 42
4. Решите уравнение, если известно, что один из его кор-
ней равен (—3). х3 — х2 + ах + 12.-0
5. Решите уравнение а:4 + За;3 + 4а:2 + 6а: + 4 = 0.
Вариант 7
1. Найдите частное
(6а;4 + 5а;3 - 74а:2 + 11а; + 12) : (х2 + х - 12).
Л „ 4х3 — 8х2 + За; — 6
2. Сократите дробь ——5----—=— -------
н н 12х3 + 4х2 + 9х + 3
3. Найдите все числа а и Ь, при которых Р(а:) делится на-
цело на Q(x). Р(х) = 4х5 + ах4 — 11а;3 + 23а:2 + Ьх + 2;
Q(x) = х2 + х — 2.
4. Решите уравнение 2а;4 — 9ж3 + 4а;2 + 21а; — 18 = 0.
8
9-й КЛ. САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ
5. Число 1 + \/3 является корнем уравнения ж4 + ах3+
+Ьх2 + 2х + 2 = 0, где а и b — рациональные числа.
Найдите а и b и решите уравнение.
Вариант 8
1. Найдите частное
(Юж4 + 21ж3 — 55ж2 — 72ж + 36) : (ж2 4- х — 6).
ж3 — 16ж2 + 51ж — 36
2. Сократите дробь .
3. Найдите все числа а и Ь, при которых Р(ж) делится на-
цело на (?(ж). Р(ж) = 2ж5 — 9ж4 + 8ж3 + ах2 + Ьх + 12;
Q(x) = ж2 — ж — 6.
4. Решите уравнение 6ж4 — ж3 — 7ж2 + ж + 1 = 0.
5. Число 1 — >/2 является корнем уравнения ж4 + ж3 + ах2+
+Ьх — 2 = 0, где а и b — рациональные числа. Найдите
а и b и решите уравнение.
2. Уравнения, сводящиеся к алгебраическим
Вариант 1
Решите уравнения 15:
/ж + 2\2 /ж + 2\
\ж — 2/ \ж — 2/
-2 = 0,
„ж ж ж2 — 2
2._______=_______.
ж +1 ж + 2 ж2 + Зж + 2 ’
3. 2ж3 + 7ж2 + 7ж + 2 = 0.
4. 2ж3 + 12ж2 + 13ж + 15 = 0.
5. (1 - 2ж)(4ж2 + 2ж + 1) = (2 - 2ж)(4 + 4ж)(ж + 2).
Вариант 2
Решите уравнения 1-5:
/ж — 1\2 /ж — 1\
\ж + 3/ \ж + 3/
+ 2 = 0.
2. Уравнения, сводящиеся к алгебраическим
9
„ 3 2х -1 1
2___________I__________=-----------------.
2а; — 1 х — 1 2а?* 1 2 — За; + 1
3. а;3 + х2 — 4а; — 4 = 0.
4. 2а;3 — 4а:2 — х — 15 = 0.
5. (8а; — 16)(а;2 — 1) = (4а;2 — 2х + 1)(2а; + 1).
Вариант 3
Решите уравнения 1-4:
1. а;3 — 5а;2 — 5х + 1 = 0.
„ х 4
2. ---+-------г = 2.
х + 3 х + 1
3. 7 (х 4—=9 + 2 (х2 4—.
\ х/ \ xi)
J х + 5 х — 5 5
4. 1----------=--------.
5 — х х + 5 25 — х2
5. При каких а уравнение имеет единственное решение?
(2а - 5)ж2 - 2(а - 1)а? + 3 = 0.
Вариант 4
Решите уравнения 1-4:
1. 2а;3 + Зх2 + За; + 2 = 0.
2-A-A=i-
3. 7 (2х + - 2 fax2 + -У = 9.
\ 2xJ у 4а;2 /
л х + 3 х — 3 3
4. 1---------=-------.
3 — х а? + 3 9 — х2
5. При каких а уравнение имеет единственное решение?
(а — 3)х2 + (а + 12)а; + а + 21 = 0.
Вариант 5
Решите уравнения 1-5:
1. 6а;3 - х2 - 20а; + 12 = 0.
2. х2 - 8 + / + 2
х2 + 4х + 4 х + 2
3. 2а;4 + а;3 — 6а;2 + х + 2 = 0;
10
9-й КЛ. САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ
(х + l)(s 4- 2) + (х - l)(s + 4)
5. х3 — х2 4- ха — а2 4- а3 = 0.
Вариант б
Решите уравнения 1-5:
1. 6s3 - 13s2 + 4 = 0.
л 9 х — 2 х2 — 3
х1 — 4х 4- 4 х — 2
3. 2s4 4- х3 - 11s2 + х 4- 2 = 0.
______6______________24
(х - l)(s 4- 3) . (s-2)(s4-4)
5. х3 — х2 — ха — а2 — а3 = 0.
Вариант 7
Решите уравнения 1-5:
1. 18s3 + 9s2 - 5х - 2 = 0.
2. s4 4- s3 — 10s2 4- s 4-1 = 0.
3. s4 - 22s2 - 5s + 2 = 0.
4. s4 — 5s2 — 4s 4-13 = 0.
5. s4 — 6as2 4- 8ay/ax — 3a2 = 0.
Вариант 8
Решите уравнения 1-5:
1. 36s3 - 27s2 - s 4- 2 = 0.
2. 6s4 4- 25s3 + 12s2 - 25s 4- 6 = 0.
3. s4 — 9s2 4- 3s — 1 = 0.
4. s4 — 3s2 — 2s 4- 5 - 0.
5. s4 — 6as2 — За^/ах — 3a2 = 0.
3. Системы нелинейных уравнений
11
3. Системы нелинейных уравнений
Вариант 1
Решите системы 1-5:
х Г х + у = -5
( ху = 4,
J х + у = 6
| х* 1 * 2 — у2 = 12,
( х2 + у2 = 20
1 ху = 8,
Вариант 2
Решите системы 1-5:
1 ( х + у = -1
1 ху = —6,
Г х-у = 2
’ | х2 — у2 = 8,
Г X2 + у2 = 68
1 ху = 16,
3 2
. I X у
4 < *
| - — - = 13,
X у
{х у _ 34
у х 15
х2 + у2 = 34.
ж У
{х у 26
- + - = —
у х 5
х2 — у2 = 24.
Вариант 3
Решите системы 1-5:
(х + у = - 8
|ж2+у2+6ж+2у = 0,
ж4 - у4 = 15
Л а?2 — у2 = 3,
3 Г х2 + у2 + ху = 7
I х + у + ху = 5,
4.
5.
' 1 1 _ 1
< ху х + у 2
х2у + ху2 = —2,
z-y
X
Х-у
+ х2=Л
= —.2
Вариант 4
Решите системы 1-5:
f 2х - у = 1
12х2 - у2+ж+у = -11,
2.
ж4 _ у4 = 15
х2 + у2 = 5,
12
9-й КЛ. САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ
Г ж2 + у2 + ху = 13
I х + у + ху = 7,
2х - у2 + У 1
У _
2ж — у2
Вариант 5
Решите системы 1-5:
х — у = а
ху = 2а2,
2.
' х+у х-у
< х-у х + у
„ ху = 5,
13
6
{Зж2у = 2х — у
2ху2 — у — х,
{х2 + 2ху + у2 — 4х — 4у — 45 = О
х2 — 2ху + у2 — 2х + 2у — 3 = О,
J 10(ж4 + у4) — — 11(х3у + ху3)
I ж2 + у2 = 5.
Вариант б
Решите системы 1-5:
1 ( х — у — За
| ху = 4а2,
( х + у х-у
„ I--------1- о---= о
2. < х-у х + у
( ху = 2,
5.
х2 — 2ху — 2х — 3у
у2 — Зху = 4х — бу,
(ж + у + I)2 + (ж + у)2 = 25
х2 - у2 = 3,
ж4 + ж2у2 + у4 = 91
ж2 + жу + у2 = 13.
4. Решение задач с помощью уравнений
13
Вариант 7
Решите системы 1-5:
1.
2.
3.
4.
5.
7 — х + у — ху = О
5 - у + х - ху = О,
( х1 2 — Зху + 2у2 = О
| |у|я + у|ж| = 2,
Г 2х2 + Зу2 — 2ху = 3
| х2 — ху + 2у2 = 2,
2ж2 — у2 + ху + Зу — 2 = О
\ X2 + у2 = 1,
( х2 — 2ху + 2у2 + 2х — 8у + 10 = О
1 2х2 — 7ху + Зу2 + 13ж — 4у — 7 = 0.
Вариант 8
Решите системы 1-5:
1. < х + у = 5ху х — у — ху,
2. < х2 — 5ху + 4у2 = 0 |у|у - Ф1 = 15,
3. - х2 — Зу2 + Зху — 1 2х2 — ху + у2 = 2,
4. - 2т2 — у2 — ху — Зу — 2 - 0 х2 - у2 = 1,
5. « 2х2 + 2ху + у2 — бх — 2у 4- 5 = 0 Зя2 — ху — у2 + 2х + 7у — 10 — 0.
4. Решение задач с помощью уравнений
Вариант 1
1. Скорый поезд был задержан у семафора на 16 мин и
ликвидировал опоздание на перегоне в 80 км, двигаясь
со скоростью на 10 км/ч больше, чем по расписанию.
Определите скорость поезда по расписанию.
14
9-й КЛ. САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ
2. Найдите два последовательных натуральных числа, сум-
ма квадратов которых равна 365.
3. Два крокодила съели обед за 4 ч. За какое время съест
обед каждый крокодил по отдельности, если первый кро-
кодил может это сделать на 6 ч быстрее, чем второй?
Вариант 2
1. Лыжнику необходимо было пробежать расстояние в >
30 км. Начав бег на 3 мин позже намеченного срока,
лыжник бежал со скоростью больше предполагавшей-
ся на 1 км/ч и прибежал к месту назначения вовремя.
Определите скорость, с которой бежал лыжник.
2. Найдите два натуральных числа, если одно из них на 5
больше другого, а сумма их квадратов равна 377.
3. Два муравьеда могут съесть всех обитателей муравей-
ника за 6 ч. За какое время справится с этой задачей
каждый из них по отдельности, если первому для этого
потребуется на 9 ч меньше, чем второму?
Вариант 3
1. Имеется сталь двух сортов с содержанием никеля 5% и
40%. Сколько нужно взять каждого сорта стали, чтобы
получить 140 т стали с содержанием никеля 30%.
2. Катер прошел 18 км по течению реки, а затем 20 км
против течения, затратив на весь путь 2 ч. Найдите ско-
рость течения реки, если собственная скорость катера
20 км/ч.
3. Две машинистки вместе напечатали 65 страниц, причем
первая работала на 1 ч больше второй. Однако вторая
печатает в час на 2 страницы больше первой, поэтому
она напечатала на 5 страниц больше. Сколько страниц в
час печатает каждая машинистка?
4. Решение задач с помощью уравнений
15
Вариант 4
1. Имеется сталь двух сортов, один из которых содержит
5%, а другой 10% никеля. Сколько тонн каждого из этих
сортов нужно взять, чтобы получить сплав, содержащий
8% никеля, если во втором сплаве никеля на 4 т больше,
чем в первом?
2. Моторная лодка 7 ч шла по течению реки и 6 ч против
течения. Найдите скорость течения реки, если скорость
лодки в стоячей воде равна 10 км/ч и за все путешествие
лодка прошла 132 км.
3. Каждая из двух машинисток перепечатывала рукопись в
72 страницы. Первая печатает 6 страниц за то же время,
за какое вторая печатает 5 страниц. Сколько печатает
каждая в час, если первая закончила работу на 1,5 ч
раньше второй?
Вариант 5
1. На уборке снега работают две машины. Первая может
убрать всю улицу за 1 ч, а вторая за 45 мин. Начав
уборку одновременно, обе машины проработали вместе
20 мин, после чего первая сломалась. Сколько нужно вре-
мени, чтобы вторая закончила работу?
2. По двум сторонам прямого угла, по направлению к его
вершине, движутся два тела. В начальный момент тело
А отстояло от вершины прямого угла на 60 м, а тело
В — на 80 м. Через 3 с расстояние между А и В стало
равно 70 м, а еще через 2 с — 50 м. Найдите скорость
каждого тела.
3. Имеются два сплава золота и железа. Сначала взяли
117 кг первого сплава и 468 кг второго, переплавили и
получили новый сплав с 10% содержания золота. Затем
переплавили 186 кг первого и 279 кг второго — получил-
ся сплав с 9% содержания золота. Определите процент-
ное содержание золота в первоначальных сплавах.
16
9-й КЛ. САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ
Вариант б
1. Одна бригада может построить хранилище за 12 дней,
вторая бригада за 9 дней. После того как первая бри-
гада проработала 5 дней, к ней присоединилась вторая,
и они вместе закончили работу. Сколько дней работали
бригады вместе?
2. От морской пристани одновременно отходят два корабля
по двум взаимно перпендикулярным направлениям. Че-
рез 30 мин после их отплытия кратчайшее расстояние
между ними было 15 км, а еще через 15 мин оказалось,
что первый корабль находится от пристани на 4,5 км
дальше другого. Найдите скорость кораблей.
3. Имеются два раствора, содержащих воду и кислоту.
В первом — 4% воды. Сначала в первый раствор долили
1/4 л второго, а потом еще пол-литра второго. В первом
случае воды стало 32%, а во втором — 46%. Найдите
процентное содержание воды во втором растворе.
Вариант 7
1. Автомобиль проезжает расстояние от А до В за 1 ч. Ав-
томобиль выехал из А, и одновременно из В вышел пе-
шеход. Автомобиль встретил пешехода, довез его до А,
а затем прибыл в В, затратив на весь путь 2 ч 40 мин.
За какое время может пройти путь от А до В пешеход?
2. Из одного пункта выходят две дороги под углом в 60
градусов друг к другу. Сначала по одной из них выхо-
дит первый пешеход, а через час по другой дороге —
второй пешеход. Через 2 ч после выхода второго пеше-
хода расстояние между ними равнялось \/73 км, а еще
через час — 12 км. Найдитё скорость каждого пеше-
хода.
4. Решение задач с помощью уравнений
17
3. В момент, когда два бассейна были пустыми, 4 трубы
одинаковой производительности были подключены для
заполнения первого бассейна. Когда первый бассейн был
заполнен на 1/6 своего объема, первую трубу переклю-
чили на заполнение второго бассейна. Когда первый бас-
сейн был заполнен на 1/2 своего объема, еще две тру-
бы переключили для заполнения второго бассейна. После
этого оба бассейна наполнились доверху одновременно.
Найдите отношение объемов бассейнов.
Вариант 8
1. Из А выехал первый велосипедист, а через 15 мин вслед
за ним выехал второй, который догнал первого велоси-
педиста на расстоянии 10 км от А. Когда второй вело-
сипедист проехал отметку 50 км от А, первый отставал
от него на 20 км. Найдите скорость каждого велосипе-
диста.
2. По двум дорогам, угол между которыми равен 45 граду-
сам, два пешехода начинают движение одновременно по
направлению к точке пересечения дорог. В начальный
момент расстояние между пешеходами равно \/17 . км, а
через час — \/10 км. Найдите скорости пешеходов, ес-
ли один из них достиг перекрестка за 4 ч, а другой —
за 5 ч.
3. В момент, когда два бассейна были пустыми, семь
труб одинаковой производительности были подключе-
ны для заполнения первого бассейна. Когда первый бас-
сейн был заполнен на 1/4 своего объема, три трубы
переключили для заполнения второго бассейна. Ког-
да первый бассейн был заполнен на 1/2 своего объ-
ема, еще две трубы переключили для заполнения вто-
рого бассейна. После этого оба бассейна наполнились до-
верху одновременно. Найдите отношение объемов бас-
сейнов.
2*2998
18
9-й КЛ. САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ
5. Степень с целым показателем
Вариант 1
1. Вычислите:
б) в)(2->+9)->.
2. Представьте в виде степени числа а
(а - а2 • а3) : (а : а2)-1.
3. Представьте выражение в виде Ахтуп, где A G R,
т и п € Z (ху 0)
( 7х2\~2 (Эу2\~2
\ Зу4у у49ж4у
4.
Выполните действия и вычислите при а = -
(а Х+Ь х) • (а 1-Ь 1)-(а 2 + Ь 2).
5. Решите уравнение 4х 2 + 7х 1 + 3 = 0.
6. Решите неравенство (х — 2)-1 > (х — 2,5)°.
Вариант 2
1. Вычислите:
6) в) (З-1 + 22)”1.
2. Представьте в виде степени числа а
(а3 : а)2 : (а2 : а3)2.
3. Представьте выражение в виде Ахтуп, где А 6 К,
т и п G Z
5. Степень с целым показателем
19
4.
Выполните действия и вычислите при а =
1
2
(а 1 + Ь 4)(а 2 — а гЬ 1 + Ь х)(а 3 — b 3).
5. Решите уравнение Зж 2 — 5х 1 + 2 = 0.
6. Решите неравенство (ж — I)-1 < (ж — 3)°.
Вариант 3
1. Вычислите:
/1 \ о / 1 \
а) 23 + 3 • -) -2-2-4+ (-2)2:-)-2,
\ л / \ £/ /
(—22)3 (—4)-2 (-1)5 (З4 + 32)
°’ (-2)3. (-2)2 ’ 4 (-9)3 '
2. Представьте в виде степени числа а
(а2 : а3)2 • (а3 • а4)-2.
3. Представьте выражение в виде Ахтуп, где АбШ,
т и п G Z
/1 3V2 Л2Г2 ( 2ж2\
дЖ У “2 ------Г
\6 / ) \ У )
—2 —2 —1 —1
х — у х • у
4. Выполните действия —=-----=- : ---г-г.
ж-1 + у-1 (у — ж)-1
5. Решите уравнение ж-4 — 5ж-2 + 4 = 0.
-2 /25\-1
6. Решите неравенство (Зж — 1) > I — I
Вариант 4
1. Вычислите:
=) «0,1)2)° + ((1) J
2’
20
9-й КЛ. САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ
2. Представьте в виде степени числа b
((Г2)-2)"2: (Ь:Ь~1)2.
3. Представьте выражение в виде Ахтуп, где A G JR,
т и п G Z
/1 \“3
(-Ж-2у3) = (х~2 : у"8).
4. Выполните действия —:-----г • V———.
X-1 - у-1 (ху)-1
5. Решите уравнение ж-4 — Зж-2 — 4 = 0.
/49\-1
6. Решите неравенство (2ж + 1) 2 < ( — )
Вариант 5
4“4 643 16~2
1. Вычислите-------------
IV2
3\°
ov а2~а1Ь1+Ь2 (а + Ьх 2
а“3 4- b~3 \ ab
3. Упростите выражение
/ о д-2
(4«-12-816-4): к 4-^
\ и tJ
-з
и найдите его значение при а = V2; 6 = 6.
4. Найдите все целые числа п, удовлетворяющие равенству
2-1 2П 4-4 • 2П = 9 25.
5. Решите уравнение (2ж + 1)~2 — 3(2ж + I)-1 —4 = 0.
6. Решите неравенство (ж 4- 2)-3 < 27.
Вариант б
, п 128 • 8-1 • З6 4-68 /IV1
1. Вычислите---------ту-----: — )
42.93./1\-1 \29/
(ab~3 - а-36)-1 • (а-2 4- 6-2)
2. Упростите-------—
(Ь~г — а-2)-1
5. Степень с целым показателем
21
•(п + 4а 6
3. Упростите выражение
______________о _ —9\ (CL 1
(2« -Ь 2>-(j=r + j2
и найдите его числовое значение при а = Ь = \/2.
4. Найдите все целые числа п, удовлетворяющие равенству
З-1 • 3" + 4 • Зп = 13 • З7.
/ х 4“ 4 \ —
5. Решите уравнение I —-— ) + I 2 + — ) —2 = 0.
\ / \ а /
6. Решите неравенство (х — З)-3 > 125.
Вариант 7
IV1
З8 • 9"2 • 54 + 9 • 125 • (
1. Вычислите--------(3.5)4.з-»
2 ,
Упростите и вычислите при а = о = — 4
а"1 - 27Ь3о~4
а-1 + За~2Ь + 9а-3Ь2
а3Ь-1 — а~1Ь3 /а2 — 62\
Выполните действия----— • I-----------—
ab 1 + a Lb у ао J
Сравните З34 и 251.
Постройте график уравнения
ж-2\~2\
X — 1 / у
Найдите все целые значения п, удовлетворяющие систе-
ме неравенств
2.
3.
4.
5.
У = (* - 2)3 • (ж - 1) 2
6.
1
5
1П > 2.
22
9-й КЛ. САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ
Вариант 8
1. Вычислите----------------* 4 7 ----------—g.
(2“3 4)2 • (Т) “4 • V'le31 + 243 •
\о/ \ <5/
2.
Упростите и вычислите при а =
3
2’
2
3
8а + 27Ь3а~2
4а-2 — 6Ьа~3 + 9Ь2а 4
3. Выполните действия
(а-3 + За-2Ь-1 + За-1£>~2 + 5-3) • (а-1 — Ь-1)3 • а2Ь2
а-4 - 2а-2Ь-2 4-5“4
4. Сравните 230 и З20.
5. Постройте график уравнения
( _2\ 2
(ж + 2)3 • (ж + I)-2 • J •
6. Найдите все целые значения п, удовлетворяющие систе-
ме неравенств
6. Корень натуральной степени
Вариант 1
1. Вычислите \/8 125 • 512.
2. Вынесите множитель из-под знака корня у/54а3Ь5 6 1се.
3. Внесите множитель под знак корня
ЗаЬ^^а2Ь при а,Ь > 0.
4. Установите область определения выражения
\/х — 3
ж2 — 4 ’
6. Корень натуральной степени
23
5. Освободитесь от иррациональности в знаменателе
1
^ + 1‘
6. Сравните s/26 и 3.
7. Выполните действия х/х/3 — 2 • ^26 + 15\/3.
Вариант 2
Вычислите \^32 • 243.
1.
2.
3.
1 з/----------
Вынесите множитель из-под знака корня -acv32a3c7.
Внесите множитель под знак корня
ху з/ 4z4
2z Зх1 2у3
4. Установите область определения выражения
^/За;- 1
9 — х2
5. Освободитесь от иррациональности в знаменателе
1
^3-1'
6. Сравните и 2.
7. Выполните действия \^2 + х/Ь у/17х/5 — 38.
Вариант 3
1. Вычислите \/54 • 32 — \/8 • 162 + у42^
2. Вынесите множитель из-под знака корня и освободите
подкоренное выражение от знаменателя
6х3у2
J 7т5
У 162х11у7
3. Внесите множитель под знак корня
2т 4 9п2
Зп2 V 4m3
24
9-й КЛ. САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ
4. Установите область определения выражения
^х — 5 + v^5 — х.
5. Освободитесь от иррациональности в знаменателе
1
^3+^5’
6. Сравните \/30 и \/11-
7. Найдите значение выражения Зт3 + 9m — 8 при
Вариант 4
1. Вычислите v^648 • 1250 — ^256 • 54 —
2. Вынесите множитель из-под знака корня и освободите
подкоренное выражение от знаменателя
2 з/ 5а4
2т п\ ———
V 128ш7п5
3. Внесите множитель под знак корня
5а 4 Ь3 , „ ,
4. Установите область определения выражения
</7^т + %2х - 14.
5. Освободитесь от иррациональности в знаменателе
1
^3+
6. Сравните ^У15 и \/3.
7. Найдите значение выражения а3 — 12а — 20 при
а = ^4 + 2^2.
Вариант 5
1. Выполните действия
^/108ж4у“1 — у/з2х~2у5^ : \j4xy2.
6. Корень натуральной степени
25
2. Сократите дроби:
а — b а — Ь
а) з/— з/Г’ 6) з/ , •
у/а — уо у а — о
3. Установите область определения выражения
УзГ^З - х/х1 2 — 9х — 22
х2 - 21® + 20
4.
5.
чг xf-xy4 * + Ух/х^у лГ_
Упростите-----------------1- Уу.
ху
Внесите множитель под знак корня
6. Сравните a—ybx/2 — l и &=-—===.
V3+ 2^2
7. Решите уравнение
Ьх/х + 1 = 6 — V®3 + Зх2 + Зт + 1.
Вариант 6
1. Выполните действия
( ~ о 5/24ЗС-4 с в/з2а10\
а2(?\ ----=- + —т\ z- : vc
I V а~° a~L ! С~° /
2. Сократите дроби:
а + 6 а + b
а) ЛТГь' ’ 1СТТ
3. Установите область определения выражения
tyx + 4 + — 4ж — 5
х2 + 8х + 15
4.
5.
x/—ab8 — bx/aFb 8/г
Упростите-----------------х/Ь.
ао
Внесите выражение под знак корня
26
9-й КЛ. САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ
6. Сравните а = ^4 + 2\/3 и Ь = ^6\/3 + 10.
7. Решите уравнение - Хх/х = 3.
Вариант 7
1.
Выполните действия
(-4а- у/а~2х/ах\ 4- Г-10а\/я>
2.
1 — х/а
3.
Сократите дробь -------------
^(а + 1)-2^а2
Освободитесь от иррациональности в знаменателе
1
</3 + у[2
4.
Решите уравнение
X'
х2 + 4х + 4)2 = 3.
2
\/25 в порядке возраста-
5. Расположите числа $
ния.
6. Решите уравнение х3 — Зх2 + Заг = 3.
7. Докажите, что
ло.
5 — рациональное чис-
Вариант 8
п „ 1-Vb+tfb-
2. Сократите дробь --------------.
vi> — Ь
3. Освободитесь от иррациональности в знаменателе
1
v^-v'ii’
4. Решите уравнение
^/(гг2 + 6а: + 9)2 + tf(x2 -2х + I)2 = 2.
7. Степень с рациональным показателем
27
5. Расположите числа
растания.
в порядке воз-
6. Решите уравнение 2т3 + За:2 + Зх + 1 = 0.
7.
Докажите, что
у/Ьу/2 + 7 —
7 — рациональное
число.
7. Степень с рациональным показателем
Вариант 1
1. Вычислите: ✓ _3х |
а) 83-163+95, б) ) :(1,5)-2.
\\5/ J
2. Упростите ху/х~3 : х~Ъ.
1 / 1 \ 2
3. Упростите 4Ьг + (Ьг — 2) .
4. Сократите дроби:
1 з
ч а — b . 3m2 + тп4
а) -Г -Г, б) ----——.
аз — оз т — 9тп2
5. Решите уравнения:
a) st = 64, б) у а • у з = 4.
Вариант 2
1. Вычислите: / _2ч|
а) 36г + 64з — 625г, б) ) • (0,6)~2.
\\ ** / /
2. Упростите у av^a-1 a^.
1 / 1 \ 2
3. Упростите 1262 + 16 — 62 1 .
4. Сократите дроби:
> .12
, а + о 4тз — тз
а) -1—-Т’ б) 77^------•
аз + оз 16тз — т
5. Решите уравнения:
а) хз — 16, б) у! • у! = 36.
28
9-й КЛ. САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ
Вариант 3
1. Вычислите:
/1V5
а) 9-°-5-(±)
\О/
+ (0,25)~1,5,
2Ьсл/461 2с2 •
б) ^9 -^9.
2. Выполните действия
3. Упростите — 2^ — (1 + 2х^ (1 — 2жТ
4. Сократите дроби:
х — 9x2 а —о
Т Т , Ч) ~2 ГП ГТ’
2х*+6 аз + азоз + &з
5. Решите уравнения:
а)
а) а;Т = Ю24, б) у3-74 • у0-26 = 16.
Вариант 4
1. Вычислите:
a) (0,04)-1,5 • (0,125)“^
/ 1 \~i
\121/
б) ^9-^27.
2. Выполните действия 6а2Ь\/ЗаЬ • у/27а2Ь3.
3. Упростите 2 (а* + 1) (а* — 1) + (1 —
4. Сократите дроби:
. к — 16кг х + у
а) 1 т> б) —2 I I 2-
Зк* +12 хз — хзуз + уз
5. Решите уравнения:
а) ж2-5 = 243, б) а1-57 • а6-43 = 81.
Вариант 5
1. Вычислите 0,0016“4 +0,04-г — 0,216“з -9.
2. Выполните действия:
а) \/а зЬ~х\/а3Ь~2,
б)
•(16а2b з)<_
7. Степень с рациональным показателем
29
3. Выполните действия (а1,8 + 1) (а® + а» +1) (а0,6 — 1).
ао,75 _ Ь0,5
4. Сократите дробь —j----j—.
а§ + fen
5. а) выразите х через у, если у = х~ъ + 1,
б) решите уравнение ж-0,75 = 0,027.
Вариант б
1. Вычислите 0,008~з + 0,064-5 — 0,0625-<.
2. Выполните действия:
-2) (b3,5 + 2b1,75 + 4) (8 + b5’25).
X т — у0,8
4. Сократите дробь —------g-.
Х~ + У 5
5. а) выразите х через у, если у = х~% + 2,
б) решите уравнение —Ц- = 0,125.
Х~$
Вариант 7
1. Вычислите —0,3° • ^(|)
2. Выполните действия:
а) ?l < 1 V
V 727b3 \Ъ~2) '
3. Упростите выражения:
. 8с1 4
а)---------т----г,
С У С2 — у2
-0,25
| • (0,36)-°-5 * • ^(O.OOOl)-1.
— 3/ " 9 1
б) С° 1 • (8а~2с)~5.
' 5/ — 1 \ J
VC 1 4 7
. с — 27 Зс5 + 18
б) ~2 ~ I ~'
сз - 9 сз + 3
— 1 \/ Хр" + 1
4. Решите уравнение —-=-----И -77=----= 2.
^Ё + 1 v'z2-!
30
9-й КЛ. САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ
Вариант 8
1. Вычислите о 25
(-0,2)° • И ) • (1,2г1 • У(0,01)~3.
2. Выполните действия:
(зга5^1)^.
2уз 4-8 у 4- 8
б) 1 _ 2
уз - 2 уз - 4
^/^4 — 1 yfx^ — v^x2
4. Решите уравнение ~^=-------1--57=------= 7.
V х2 4-1 у х2 — 1
8. Упражнения на все действия
над радикалами и степенями
Вариант 1
1. Выполните действия:
. ( х^ 4- 2 х% — 2 16
а) “Г---- + —----------7
\Ж2 — 2 х2 4- 2 х ~ 4
(- \
~т _ ~ )•
а« а )
2. Решите уравнения:
а) 212-6г-2’5 = 16\/2,
б) 2х+3 + 2z+1 = 80,
в) 10* = 7.
Вариант 2
1. Выполните действия:
/ai 4-1
а) Н—’
\fl2 — 1
-3
а 2 — 1
ai 4-1
8. Упражнения На все действия над радикалами и степенями
31
(- \
&4 О / ' '
2. Решите уравнения:
a) 2-i2+71 = 4х+2,
б) Зх+2 -3x+1 = 18,
в) 10* = 0,7.
Вариант 3
1. Выполните действия:
(а* +4 ai — 4 64
~ ----1—~
04—4-----------04 +4 02 — 16,
(33 \ 1
02+62 \ &2 - а
~ П (й + 6) I • гтг
аг +02 ) 0,202
2. Решите уравнения:
ч /4\х /27\х-1
а) w ( s’) = 11
б) 4х”1 2 + 4х + 4х+1 = 84,
в) 2 10х = 5.
Вариант 4
1. Выполните действия:
2 + ж4 2-ж4\ 4 — у/х
“ Г — 7 Г I ' 4/—о
2-£4 2 + ^4/ уаг
(•» ‘Л ч
Х2 — у 2 \
—-----г - (х + у) • у/ху.
Х2 — у2 )
2. Решите уравнения:
. /5V-1 (^\х 16
8 \6/ \5/ “ 45’
б) 5Ж+1 + 5х-1 - 5х = 105,
в) 4 • 10х = 7.
32
9-й КЛ. САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ
Вариант 5
1. Выполните действия:
11 1 I \ 3 1
27 2 — У 2 X 2 + у 2 \ X 2 у 2 2у
X 1 ' I 1 I ’ V ’
з;у2 +а;2у туг —жгу/ x-t-y х — у
: (^7п+ tyn).
2. Решите уравнения:
а) 16х — 3 • 4х — 4 = О,
б) 2х 275~х = 23 • З6,
в) 102х“3 = 9.
Вариант 6
1. Выполните действия:
(1 I \ . _ 1
т — п тг — пг \ ( п\ 2
3 1 Г I Г I ‘ ~ ’
т<+тгп* т^+пу \”1/
(12 2 1
а + х азхз—азхз i i i
2 2" 4 2 I 1 2" "E6 (°6 Xе )
аз— хз аз—2азхз+хз
t 1
: (ae — xe).
2. Решите уравнения:
а) 25х — 4 5х = 5,
g) g2x+4 __ дЗас . 2Х+®
в) 105“3х = 7.
Вариант 7
1. Выполните действия:
9. Область определения функции. Возрастание и убывание функции 33
Vcfi + Уб8 v^a — b
\/(а2 — ab)2 (а^/а — Ьу/Ъ) • д/а2
2. Решите уравнения:
а) 3х + З1-1 = 4,
б) 62х+4 = З3х • 2х+8,
ОХ
В) Y = 51-1-
О
Вариант 8
1. Выполните действия:
/3 1 2
a) /(a^-ys&L+ysA + v/(<? + 2)}_8a,
у о + V 2о 4-2 J
при 0 < а < д/2,
2. Решите уравнения:
а) 2Х + 21~Х = 3,
б) 2х 275"1 = 23 З6,
в) 7I-7 = 3x+1.
9. Область определения функции.
Возрастание и убывание функции
Вариант 1
1. Найдите область определения функции:
а) /(ж) = —т _ ч/®, б) Л1) = ^х2 - 7т - 8.
х — 1
2. Принадлежит ли точка А(2; —1) графику функции
у = За?2 — 4т 4-1?
3. Постройте график и найдите промежутки убывания и
возрастания функции:
а) у = 4 — 2т, б) у = т2 — 4т.
4. Постройте график функции у = |т — 2| 4- |т + 2|.
3-2998
34
9-й КЛ. САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ
Вариант 2
1. Найдите область определения функции:
а) /(я) = — + + 1, б) f(x) = \/9 — 8а: — х1 2 3 4.
х
2. Принадлежит ли точка В(1; —2) графику функции
у - 5х2 4- х — 8?
3. Постройте график и найдите промежутки убывания и
возрастания функции:
а) у = За; — 5, б) у = 2х — х2.
4. Постройте график функции у = |ж — 2| — |а: + 2|.
Вариант 3
1. Найдите область определения функции:
а) = т2 б) = Jт2 Z Я'
а/ — За: 4- 2 у х *• — х — о
2. Найдите промежутки убывания и возрастания функции:
а) /(®) = —2а;2 + х + 1, б) f(x) = |х 4-1| — 2.
3. Найдите координаты точек пересечения графиков
у = 2х2 + 5а: + 4 и у = 2х 4- 3.
4. Постройте график функции:?/ = — |а;2 — 6ж 4- 5|.
Вариант 4
1. Найдите область определения функции:
ч ,/ ч /ж2 —2а: —15
' / х ^7, б /а; = J.
х1 + 5а; 4- 4 у х
2. Найдите промежутки убывания и возрастания функции:
а) /(®) — За:2 - За: 4- 2, б) /(а:) = —|а: + 3| + 4.
3. Найдите координаты точек пересечения графиков
у — —х2 4- 4а: + 5 и у = х + 1.
4. Постройте график функции у = \х2 — х — 6|.
9. Область определения функции. Возрастание и убывание функции 35
Вариант 5
1.
2.
3.
Найдите координаты точек пересечения графиков
у — х2 — 7ж + 6 и у = 2х2 — 5ж + 3.
Постройте график и найдите промежутки убывания и
возрастания функции:
а) если х^ 1, то /(ж) = х2 — 4ж 4- 5; если х < 1, то
/(ж) = х + 1,
б) У = 3 - |ж - 1|.
Найдите область определения функции:
в) /(®) =
a) f(x) =
х2 — 4ж + 4
ж2 — 9
х2 + 9ж + 20
6 — 5х — х2 ’
б) f(x) =
3
5 — х
1
2
Вариант б
1.
2.
3.
Найдите координаты точек пересечения графиков
у = —х2 — 4х + 8 и у = х2 + 6х — 4.
Постройте график и найдите промежутки убывания и
возрастания функции:
а) если ж>0, то f(x) = 3 + O,5rr; если х < 0, то
f(x) = —х2 — 2х + 3,
б) у = |х + 2| - 3.
Найдите область определения функции:
\ xf \ / 16-ж2
а) № = V'^2 . 1~ >
У Х£ + LX + 1
,, х /Э —8я —ГЕ2
б) \1 x2 + Gx + 8,
> /(1)=
3’
36
9-й КЛ. САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ
Вариант 7
1.
2.
Принадлежит ли точка А(—2\/2; 1 - л/2) графику функ-
ции f(x) - \/3 — х!
Найдите область определения функции:
\ Iх2 ~ 7111+ 10
а> 7^) = V + 6д _ 9.
3.
г/ \ х2 + Зх + 2 г-*—----
б) /(я) = \ -------й----\-у/х2 + Х-
У X — L
в) /(х) = \/sinx + л/16 — х2.
Постройте графики функций:
а) у= |4 —2|ж||, б)у = |ж2
Вариант 8
1.
2.
Принадлежит ли точка А(—4д/3;2 - \/3) графику функ-
ции /(ж) = у/7 — z?
Найдите область определения функции:
. х 1—х2 + 20ж — 100
а) /W = V г*-5й+4 ’
6) /(х) = v'-x2 + 71-10 + .МгЧ+в
V 7 — х
3.
Постройте графики функций:
а) у = у/х2 — 2|ж| + 1, б) у = х2 — |ж — ж21.
10, Четность и нечетность функции. Функция у = |
37
10. Четность и нечетность функции.
Функция у = %
Вариант 1
1. Выясните, является ли функция четной или нечетной:
а) /(ж) = Зж4 — 1, б) /(ж) = 5ж3 — 2ж,
ж2 + 1
в) /1х> = ~зГ-
2. Не строя графиков функций, найдите точки их пересе-
12
чения у —---и у = х — 7.
ж
3. Постройте графики функций:
ч 4 ,
а) У = - + 1,
X
б) У =------Ц + 2.
х — 2
ли функция четной или нечетной:
б) /(ж) = 17ж2 — 5ж4,
Вариант 2
1. Выясните, является
а) /(ж) = 7ж3,
Од*3
в) /(ж) =
2. Не строя графиков функций, найдите точки их пересе-
8
чения у = — и у = ж + 2.
ж
3. Постройте графики функций:
\ х 1
а) у = -- - 1,
б) У = - 1-
х + 2
Вариант 3
1. Исследуйте функции
а) № =
7х — о
в) № =
X — X
на четность:
б) f(x) = ж2 — ж4 4- 2|хе|,
38
9-й КЛ. САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ
2. Решите систему графически
( 2
J У —
I х
( у = -х - 1
3. Постройте графики функций:
а) у =----+ 3, б) у = — 1 + 2.
х + 2
Вариант 4
1. Исследуйте функции на четность:
а) = 9 * 9-> б) f(x) = 2х3 - ж|ж|,
2х + 2
в) /(х) =
2х — 7х3
5х2 + ж4 * ’
2. Решите систему графически
2
У=х
у = ж + 1.
3. Постройте графики:
а) у = - 1, б) у = Ух+ 2 - 1.
X 2
Вариант 5
1. Определите четность функций:
а) /Ст) = х2 — Зж|ж|, б) f(x) = а;6 — 3|ж|,
2. Не строя графиков функций, найдите координаты точек
их пересечения:
а) У = —7-7 + 2; у = ж2 + 2ж + 3,
х + 1
ч х2 - 4х -12 8
б) У = ——7—! У = —V-
х + 2 х + 1
3. Постройте графики функций:
10. Четность и нечетность функции. Функция у = |
39
Вариант б
1. Определите четность функций:
а) /(®) = х4 — 4®21® б) f(x) = ®|®| — 5®3.
2. Не строя графиков функций, найдите координаты точек
их пересечения:
3
а) у - —— + 2; у = ®2 - 2® + 3,
х 4-1
х2 — 9х + 18 6
у = —о--------; у = —г-
3 — х х — 1
3. Постройте графики функций:
Вариант 7
1. Напишите уравнение оси симметрии графика функции
/(®) = х3 — 6®2 4-12® — 8.
2. Определите четность функций:
a) = \/х4 — ®2 4-1, б) /(ж) = \j2x2 — ®2|®| 4- 3.
3. Постройте графики функций:
ч 2х — 3 . 2х — 3
а) У = ——г, б) У = 1—ГТГ-
х 4-1 |х 4-1|
4. Сколько решений в зависимости от параметра а имеет
2® — 3
уравнение ,----т = а?
|® + 1|
Вариант 8
1. Напишите уравнение оси симметрии графика функции
/(®) = ®3 4- 6®2 4-12® 4- 8.
2. Определите четность функций:
а) /(®) = У^7 — 2®5, б) /(®) = У®|®| 4- 4®3.
3.
Постройте графики функций:
2® 4-1 2® 4-1
"Н = 77Г’ би = ^Т|
40
9-й КЛ. САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ
4. Сколько решений в зависимости от параметра а имеет
2а? 4-1
уравнение —ц = а(
11. Неравенства и уравнения,
содержащие степень
Вариант 1
1. Решите неравенства:
а) ж4 > 625, б) у/2^х > 3.
2. Решите уравнения:
а) у/х — 3 = \/5 — х, в) yj—x1 2 4- 2а; 4- 24 = —х — 4,
б) у/х = х — 6, г) у/2х 4- 1 — \/2а; — 4 = 1.
3. Решите неравенство у/бх 4- 7 > х.
Вариант 2
1. Решите неравенства:
а) а;4 81, б) у/х — 4 < 3.
2. Решите уравнения:
а) у/7 — 2х — у/2х 4- 3, в) у/—х2 — а; 4- 30 = 2а; — 10,
б) у/х = х — 2, г) у/4 — х — у/1 — х = 1.
3. Решите неравенство у/х — 3 > х — 5.
Вариант 3
1. Решите неравенства:
а) а;6 < 64, б) V25 - а;2 < 4.
2. Решите уравнения:
а) \/12 — х = —х,
б) yj—x1 4- 2а; 4- 8 = — х 4- 4,
в) 4а: 4- 1 4- у/Зх — 2 = 5,
г) (2 — а;)\/ат2 — а: — 20 = 12 — 6а;.
11. Неравенства и уравнения, содержащие степень
41
„ _ \/8 — 2х — х2 -\/8 — 2ж — ж2
3. Решите неравенство--------------<--------------.
х + 10 2ж + 9
Вариант 4
1. Решите неравенства:
а) х* * 6 > 729, б) л/169 - х2 < 12.
2. Решите уравнения:
а) у/х + 2 = —х,
б) \/—Зх2 4- 2а; 4- 21 = — х 4- 3,
в) у/2х 4- 5 4- у/х + 6 = 3,
г) (ж + 1)\Ле2 — х — 6 = 6х + 6.
„ л у/0 — X — X2 у/0 — X — X2
3. Решите неравенство--------------<------------.
х + 4 — 2х 4- 5
Вариант 5
1. Решите уравнения:
а) л/ж2 — 5ж + 6(я;2 — 2х — 1) — 0,
б) 8\/12 + 16х — 16ж2 + 4х — 4х2 = 33,
в) л/®2 + ж + 4 4- у/х2 + х + 1 = у/2х2 4- 2гг 4- 9.
2. Решите неравенства:
а) (ж — 1)\/4 — я2 0,
б) у/2х — 1 4- + 3 < 3,
в) у/Зх 4- 1 4- у/х — 4 < у/4х + 5.
3. Решите уравнение у/х2 + 6ж + 2 — у/х2 4- ж 4-1 = 5х + 1.
Вариант б
1. Решите уравнения:
а) (х2 + 2х — 4)у/х2 + 7х + 10 = 0,
б) 6ч/81ж2 + 54г 4- 45 + Ох + Эх2 = 35,
в) л/ж2 4- ж 4- 7 4- л/ж2 4- ж 4- 2 = х/Зж2 4- Зя; 4-19.
42
9-й КЛ. САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ
2. Решите неравенства:
а) (х + 1)х/х1 2 3 — 4 О,
б) х/5х - 4 + УЗхТТ < 3,
в) у/1х - 13 - х/Зх - 19 > х/5ж - 27.
3. Решите уравнение у/х2 + 5х + 2 — у/х2 + х + 1 = 4х + 1.
Вариант 7
1. Решите уравнения:
а) х/4х — 2 + х/Зх — 3 = у/х + 1,
б) 6 х/х2 — Зх + 2 + у/—х2 + 4х — 3 = у/—х2 + Зх — 2,
в) [у/х + 1 + у/х — 2)(х — Зу/х — 2 + 2) = 9.
2. Решите неравенства:
а) у/5х — 2х2 + 3 3 — х,
б) х/Зх2 + 5х + 7 - х/Зх2 + 5х + 2 >1,
в) х х у 2
у/1 — X 4- у/х у/1 — X — у/х у/х
3. При каких значениях параметра а уравнение
х/х2 + 6х + 8 = у/а — Зх имеет единственное решение
при х < О?
Вариант 8
1. Решите уравнения:
а) у/х + 2 + х/2х — 3 — х/Зх + 3,
б) \/г2 — Зх + 2 + х/2х — х2 = у/—х2 + 5х — 6,
в) (х/х + 2 — у/х — 1)(х + Зу/х — 1 + 3) = 9.
2. Решите неравенства:
а) у/Зх2 + 5х — 2 2 + х,
б) х/2х2 + 5х - 2 - \/2х2 + 5х - 9 > 1,
ч 2 2 1
в ------.------------. > —.
2 + х/^х2 2 — х/4 — х2 ж
3. При каких значениях параметра а уравнение
х/х2 — 4х + 3 = у/Зх — а имеет единственное решение
при х > О?
12. Радианная мера угла
43
12. Радианная мера угла
Вариант 1
„ sin2,5-cos5
1. Определите знак выражения а =------------.
tg3
2. Какие значения может принимать выражение
1 — 2 cos ж?
3.
4.
9 . Л" , 37Г
Упростите а • sin — + 2ab • cos л- — о • sin —.
А
117Г
Постройте угол а = —— и вычислите значения его три-
гонометрических функций.
5. Что больше — sin 1,8 или tg 2,8?
6. Возможно ли равенство sin а = —?
7. Решите уравнения:
(
a) cos I х — — 1 = 1, б) sin 2х = 0.
\ V /
Вариант 2
sin4-tg5
1. Определите знак выражения т =-----:—-—.
smo
2. Какие значения может принимать выражение
2 — 4 cos х?
_ -г 9 . л* Л , л" _о . Зтг
3. Упростите a -sin — — 2ab cos — + о sm —.
L
. ™ 7л’
4. Постройте угол а = — и вычислите значения его три-
гонометрических функций.
2
5. Что больше — - или cos 2,3?
О
^3
6. Возможно ли равенство cos а =
7. Решите уравнения:
/ 7Г\
a) sin2s = 1, б) cos | х + — ) =0.
\ 4/
44
9-й КЛ. САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ
Вариант 3
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
„ 2т - 1
Решите неравенство —-------— > 0.
tg 2 • cos 5,5
Какие значения может принимать выражение
0,25 + 3 cos2 х?
о . о ЗтГ , ,о 7Г
Упростите a sm —— 2ab • cos я + 0 ctg —.
&
Постройте положительный угол х, меньший чем 2%, если
2
SH1T = — - И COST > 0.
о
Сравните с помощью чертежа sin 418° и sin 135°.
п 1 ?
Возможно ли равенство cos а = ——— ?
Установите область определения
1
~ . / 7Г\
sm т + — + 1
\ 4 7
Вариант 4
1-Зт
неравенство —— ------ > 0.
sin 4 cos 5
Какие значения может принимать выражение
0,3 — 4 sin2 т?
о . о ЗтГ о 7Г
Упростите a sm — + 2ао cos тг + о • ctg —.
ТЕ
Постройте положительный угол т, меньший чем 2тг, если
3
cost = —- и tgT > 0.
5
Сравните с помощью чертежа sin415° и sin 195°.
Возможно ли равенство cos а = — i
О
Установите область определения
5
У~ ( 1
cos I т - — I — 1
\ и /
1. Решите
2.
3.
4.
5.
6.
7.
12. Радианная мера угла
45
Вариант 5
1.
2.
3.
4.
Установите область определения
ч / sins —1
Х у sin 4,6 cos 3
Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения
cos а
cos а
9 7Г Л 7Г 2 2
Упростите ctg — + 2 cos — + tg — — tg — + cos —.
6 3 4 3 6
тт Гл
При каких значениях х на отрезке 0; — разность
5.
6.
7.
V3 _
—----cos х положительна г
2
„ COS X
Решите неравенство ———----;—- > 0 х G
sin 2,9 —sin 3
При каком значении а возможно равенство
sins = а2 — 1?
• 2
„ sm х — sm х
Решите уравнение------------= 0.
Х~ 2
Вариант б
1.
2.
3.
4.
Установите область определения
/ cos s — 1
/\х) ~ у • г л ‘
V Ы11 v UUo Хг
Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения
sin а cos а
sin а
п 7Г 7Г . о 7Г . о
Упростите ctg — + cos — — sm — + sin
4 3 3 6
7Г
При каких значениях х на отрезке 0; — разность
I rJ
5.
<3 ?
— cos х отрицательна!
sins
Решите неравенство-----—--------
cos 4,1 — cos 4
46
9-й КЛ. САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ
6. При каком значении а возможно равенство
cost = а1 2 3 + 1?
„ cos2 х + cos х
7. Решите уравнение-------------= 0.
Вариант 7
1. Установите область определения
у — VsinT + у/— cos х х G [0; 2тг].
2. Какие значения может принимать выражение
_____________________________1___?
3 — 2 cos а
3. Найдите значение выражения
, q 7Г _ о 7Г
1,5 — sin2 — + 3 cos2 —
__________6__________4.
„ . 7Г
2 sin —
3
4. При каких значениях a G [0; 2тг] выражение
sin а — cos а положительно?
„ sin 2т — 1
5. Решите неравенство--------------< 0.
sm3,9 — sm3,7
6. Возможно ли равенство cos а = а2 — а — 1?
„ „ cos2 т — cos т — 2
7. Решите уравнение----------------= 0.
т — Зя-
Вариант 8
1. Установите область определения
у = sin т + V'cost т € [0; 2тг].
2. Какие значения может принимать выражение
_________________________________?
4 + 3 sin а
3. Найдите значение выражения
0,3 - sin2 - cos2 + 4tg
_________о_____ 3________4
„ . 7Г
2 sm — + 1
13. Тригонометрические тождества
47
4. При каких значениях a 6 [0; 2тг] выражение
sin а — cos а отрицательно?
cos + 1
5. Решите неравенство---—--------— < 0.
cos 5,2 — cos 4,9
а
6. Возможно ли равенство sin а =----?
а — 1
„ „ sin2 х — 4 sin х + 3
7. Решите уравнение----------------= 0.
2х — 5тг
13. Тригонометрические тождества
Вариант 1
1.
2.
3.
4.
7Г
Дано: cos а = —0,6; — < а < тг. Найдите tg а.
Упростите выражения:
tg (—а) cos (—о) . 2 sin2 а —1
sec a tg а ’ 7 sin а — cos а
_ / 9 sin a
Докажите тождество cos а • (sec а — 1) =---.
ctg а
Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения
у — 2 sin2 х + 3 cos2 х.
5. Решите уравнения:
a) sin2 х = 1 + cos2 х, б) tg х • ctg х = cos х.
Вариант 2
1.
2.
тт • 12
Дано: sin а = — —; тг < а <
хи
Упростите выражения:
а) ctg (-а) _ sin (-а)
cosec a ctg а ’
37Г
Т’
Найдите ctg а.
3.
4.
ч • ч
cos а — sm° а
1 + sin а cos а
тт . , 9 . cos а
Докажите тождество sin а • (cosec a — 1) =---.
tga
Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения
у = 3 sin2 а — 2 cos2 а.
б)
48
9-й КЛ. САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ
5. Решите уравнения:
a) sin х + cos2 х = 2 — sin2 х,
tg£^tgx+1=()
COS X
Вариант 3
7
1. Дано: tga = -1-;
О
sin а.
450° < а < 540°. Найдите cos а и
2. Упростите:
sin а sin (—а)
1 + cos (—а) 1—сова’
. 1 1 sin2 а
б) 2 ~7 о "7 2 ’
cos2 a ctg2 а tg2 а
5
3. Дано: sin а + сова = Найдите tga • сов2 а.
л тт sin а + cos а 5
4. Найдите —-----------, если tga =
sin а — cos а 4
5. Решите уравнения:
а) 8 sin2 х — 2 сов я; = 5; 0 < х <
l+c°sI=0
sin я;
Вариант 4
24
1. Дано: ctg (3 = 630° < /3 < 720°. Найдите cos/З и
sin/3.
2. Упростите:
. cos (—a) cos а
q\ --> ' _]___________
14-sina l+sin(—а)’
. , . I sin а \
б ) (ctg а — cos а) -----I- tg а .
\ cos а /
3. Дано: sin а • cos а = Найдите sin а + cos а.
4
13. Тригонометрические тождества
49
, TI sin а — cos а 4
4. Найдите —----------, если tea =
sin a + cos a 5
5. Решите уравнения: x
sin — — 1
a) 3sina? = 2 cos* 1 2 3 ж; — < x < тг, 6) -— -— 0.
’ ’2 ’ ’ 1 + cos x
Вариант 5
„ cos (—a) — ctg (—a)
1. Вычислите —4:-----:—, если cosa = 0,5
1 — sin (—a)
тг Л
и — — < a < 0.
2
2. Упростите:
3.
4.
. sec2 a — tg2 a 9
а---------2-^-----
cos2 a
ctg2 a — cos2 a sin a • cos a
6) ----T"2--------1-----------•
ctg2 a ctg a
sin a + cos a = p. Найдите sin4 a + cos4 a.
3 sin2 a + 12 sin a • cos a + cos2 a
Найдите-------5, если
sin a + sin a • cos a — 2 cos2 a
tga = 2.
5. Р’ешите уравнения:
a) sin x ctg x + cos x • tg x = 0;
sinx = Q
1 — COS X
7Г
2 <X<^
Вариант 6
„ ™ sin a — tg(—a)
1. Вычислите ------------—, если sin a = —0,5
1 + cos (-a)
7Г
и —— < a < 0.
2. Упростите:
(sin2 a \
------H tg a ,
cos a-/
1 —tg2a
tg a — ctg a
3. sin a — cos a = m. Найдите sin4 a + cos4 a.
д-2998
50
9-й КЛ. САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ
А „ 2згп?а — sma cos a
4. Найдите —----5--------------, если tga = 3.
3 sm a + 2 cos* 1 2 a
5. Решите уравнения:
7Г
а) coss • tga: — sins • ctga: = 0 — < x < я,
. sins
6) -------= 0.
1 + COSS
Вариант 7
1. Вычислите cos (—a) + cos a • tg2(—a), если tga = 2 и
Зя
я < a < —.
2 ,2
_ „ sin s sms + coss
2. Докажите, что —-------------=------= sms + coss.
sms — cosx tg2 s — 1
„ /1 + sina /1 —sina я
3. Упростите i/——;----1- \ :, если — < a < я.
yl — sma yl + sma 2
4. sina + cos a = m. Найдите sin6 a + cos6 a.
_ TT „ sin2 a + sin a • cos a + 3
5. Найдите--------5, если tga — 2.
sin a — cos2 a
6. Решите уравнения:
a) sin3 4 5s • (1 — ctgs) — cos3s • (1 — tgs) = 0; — < s < я,
б) (1 + sins) • (tgs — 1) = 0; 0 < s < 2я.
Вариант 8
3
1. Вычислите tg (—a) • ctga + sin2 (—a), если tga = —
2. Докажите, что
sin a + cos a sin2 a
—-----5-------------:---= cosa + sma.
1 — tg2 a cos a — sm a
„ „ /1 + cosa /1 — cosa Зя
3. Упростите «/ --------J --------, если я < a < —.
VI—cosa Vl + cosa 2
4. sina — cos a = p. Найдите sin6 a + cos6 a.
_ •. 2sin2a — sina • cosa + 4
5. Найдите---------------=------, если tga = -2.
cos2 a — sin a
6. Решите уравнения:
Зя
a) sin3s-(l + ctgs)+cos3s-(l + tgs) = 0; — < s < 2я,
6) (1 - coss) • (ctgs + 1) = 0; 0 < s < 2я.
14. Формулы сложения
51
14. Формулы сложения
Вариант 1
, _ n ЗТГ „ / 7Г
1. Дано: sin a = —0,6; 7r<a<—. Вычислите cos I
2. Упростите:
а) sin (a + Д) — cos a • sin/3,
. sin 38° • cos 12° + cos (—38°) • sin 12°
cos40° • cos 10° + sin (—40°) • sin 10°
2 1
3. Дано: tga = tg/1 = Вычислите tg(a + /3).
5 3
4. Решите уравнение sin 2x cos x + cos 2x • sin x = 0.
Вариант 2
! тт Зя . / 7Г X
1. Дано: cosa = — —; я<а< —. Вычислите sin I I
2. Упростите:
a) cos (a — /3) — sin a sin /3,
cos 65° • cos 40° — sin 65° • sin(—40°)
sin 17° • cos 8° + cos 17° • sin 8°
2 1
3. Дано: tga = tg/3 = -. Вычислите tg(a — /3).
5 3
4. Решите уравнение cos 2x • cosx — sin 2а; sin ж = 1.
Вариант 3
2.
, _ 5 Зтг „ л . ( 7Г\
1. Дано: tg а = ——; — < а <2тг. Вычислите sin la—— 1.
Упростите:
a) cos 2a + sin 2a • tg а,
. Зя . 7Г / Зтг\ 7Г
sin — • sm — — cos - J cos -
6) , / 7Г X
tg I 4 + °7
Докажите, что tga • tg/?+ (tga + tg/3) • ctg (a + /3) = 1.
„ „ . / 7Г X
Решите уравнение cos x = 2 sin — — x 1.
\6 /
3.
4.
4*
52
9-й КЛ. САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ
Вариант 4
1. Дано: ctga = —
7 тг Зтг
—; — <а<—. Вычислите sin
^4 л! L
2. Упростите:
a) sin 2а -I- cos 2а ctg а,
5тГ 7Г . 5л . 7Г
cos — • cos — 4- sin — • sin —
6 3 6 3
3.
4.
Докажите, что (tga - tg/3) • ctg (a — /3) - tga • tg/3 = 1.
Решите уравнение cos x = 2 cos
Вариант 5
cos a — 2 cos
1. Упростите------z---r—
2 sin I — 4- a ) — y^2 sin a
\4 /
2. Вычислите sin75°, не пользуясь таблицей.
„ „ sin a 4-cos a
3. Упростите------^=---.
4. Дано: tga = tg/3 = 3; < a < тг, 0 < /3 <
Найдите a 4- /3.
. „ . (it \ . (тг \
5. Решите уравнение sin I — 4- x I + sm I — — т I =1.
\6 / \6 /
Вариант 6
sina4-2sin
1. Упростите-----------r-
2 cos ( — — a I - \/3 cos a
\6 . /
2. Вычислите cos 15°, не пользуясь таблицей.
„ sina —\/3cosa
3. Упростите--------------.
4. Дано: tga = tg = 9;0<a<^, 0</3<^.
Найдите a 4- /3.
15. Синус и косинус двойного угла
53
5. Решите уравнение cos (120° — ж) + cos (120° + х) — 1.
Вариант 7
1. Упростите cos 75° • ctg 30° + sin 75°.
2.
3.
тг . /тг A Зтг тт
Дано: sm I — — а I = ——-, тг < а < —. Найдите sina.
\ 4 / 1U
Докажите, что sin (a + /3) sin (a — /3) — sin2 a — sin2 /3.
4. Докажите, что tg 3a — tg 2a — tg a = tg 3a • tg 2a • tg a.
5. Решите уравнение \/3 sin® + cosx — 2 = 0.
Вариант 8
1. Упростите sin 15° + tg30° • cos 15°.
1 2 7Г 7Г
2. Дано: cos a = -, cos(a + /3) = --, 0<a< -, 0</3<~.
Найдите cos /3.
3. Докажите, что cos (a + /3) • cos (a — /?) = cos2 a — sin2 /3.
4. Докажите, что tg 5a — tg 3a — tg 2a = tg 2a tg 3a • tg 5a.
5. Решите уравнение sin® — \/3cos® — 2 = 0.
15. Синус и косинус двойного угла
Вариант 1
1. Запишите по формуле двойного угла sin 23°.
2. Вычислите sin 2a, если cos a = —
4 ТГ
5’ 2
< a < тг.
3. Упростите:
а) cos3 4 5 2a — sin4 2a, б) 1 — 2 sin2 15°.
, „ 1 1
4. Вычислите ------—----------—
1 - tg 15° 1 + tg 15°
5. Решите уравнения:
a) sin2® + 2sin® = 0,
6) cosz x — 4 sin — • cos — = 1.
’ 2 2
54
9-й КЛ. САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ
Вариант 2
1. Запишите по формуле двойного угла cos 15°.
2. Вычислите cos2а, если sina = —
3. Упростите:
а) 4 sin4 a + sin* 1 2 2a,
7Г
tgi?
4. Вычислите----+
1 + t612
5. Решите уравнения:
б) cos2 — 1.
7Г
tg12
„ 7Г ‘
а) sin 2х + 4 cos х = О,
б) 4 sin2 2х cos2 2х — cos2 4х — 1.
Вариант 3
, - l + sin2a
1. Сократите дробь —----------.
sm a + cos a
2 1
2. Вычислите sin(2a + /3), если cosa = -; sin/3 =
ЗТГ п 7Г o 3
— < a < 2тг; — < p < 7Г.
2 ’ 2 '
3. Вычислите ctg 15° + tg 15°.
4. Докажите, что sin2a - tga = cos2a tga.
tg2a-tga
5. Упростите —-----------.
tg 2a — tg a
6. Решите уравнения:
Зтг
а) 2 sin2 х = cos 2x\ л < x —,
6) 2 tg За; + sin За; = 0.
Вариант 4
, 1 — sin 2a
1. Сократите дробь —-----------
sm a — cos a
3 2\/6
2. Вычислите cos (2a — /3), если tga = -; sin/3 = ——;
9 5 7
Зтг 7Г
7Г < a < —: — < p < 7Г.
2’2 H
15. Синус и косинус двойного угла
55
3. Упростите tg55° — tg35°.
4. Докажите, что ctg а — sin 2а = cos 2а • ctg а.
tga
5. Упростите —---------.
tg 2а — tg а
6. Решите уравнения:
а) 2 cos х + cos 2х = 0; —тг х ——,
Lt
б) 3tg2s + sin2s = 0.
Вариант 5
1.
2.
3.
4.
Упростите 1 — 8 sin1 2 3 a • cos2 a.
7Г
tga = -0,75, tg/3 = 2,4; -<а<тг, 0</3
Найдите sin (a + 2/3).
,_ / cos a cos a \ . _
Упростите -----:----1- --:--I • sin 2a.
\l + sina 1-sina/
Упростите (ctg2 a — tg2 a) • cos 2a • tg 2a, если
ТГ 7Г *
— < a < —.
4 2
тг
2
5.
6.
Дано: sin a + cos a = Найдите sin 2a.
A
Решите уравнения:
. . / ТГ \ . (ТГ \ 1
a) sm — — x I sin I — + s =
\4 / \4 ) 2
6) cos2s + 5sins — 4 = 0.
Вариант 6
1. Упростите 0,125 — cos2 a + cos4 a.
7Г
2. tga = -0,75, tg/3 = 2,4; - < a < тг, O<0<
Найдите cos (2a + ft).
„ ,, ( sina sina \ . _
3. Упростите ---------1- ------ -sm2a.
\l + cosa 1— cos a/
4. Упростите у/(ctg a — tg a) • 2 ctg 2a tg 2a + 2, если
ТГ Зтг
— < a <
k lea
56
9-й КЛ. САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ
. а а
5. sin — — cos — = 1,4. Найдите sin а.
Li L
6. Решите уравнения:
Зтг
a) ctg а: — ctg 2а? = 2; тг < х <
б) cos 2х + 5 cos х + 4 = 0.
Вариант 7
1. Дано: —;--= 2,2. Найдите sin 2а и cos 2а.
sin а
„ „ sin3 а + sin За
2. Докажите, что —5-----------= ctg а.
cos’* 1 а — cos За
3. Докажите, что 8cos 10° • cos 20° • cos40° = ctg 10°.
4. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
у = sin х + cos X.
5.
6.
Ил J. 2а\ ( X 2 а Л _ 37Г
Упростите t ( 1 — tgI • ( ctg2 — — 1 I, если тг<а< —.
у \ Li / \ Li / Li
Решите уравнения:
. COS 2ж 7Г
а) ------= 0: —тг < х < —,
’ 1 + tga? 2’
б) sin2a: = cos - — sin -. В ответе запишите сумму
решений х, удовлетворяющих условию
Вариант 8
. _ cos За 39 тт
1. Дано: —;--= —. Найдите sm2a и cos 2a.
sin a 41
_ „ cos a - cos 3a
2. Докажите, что------------= tg a.
sma + sin 3a
3. Докажите, что sin 10° • cos 20° cos 40° =
8
4. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
у = sin6 х + cos6 х.
16. Формулы приведения
57
5.
6.
Упростите ^/(1 + tg2a) • (ctg2 а + 1) • sin 2а, если
ТГ Зтг
2<О<Т-
Решите уравнения:
. COS 2ж „ ТГ
а) ---—- = 0; —— < х < 2тг,
tg х — 1 2
б) sin 4х = \/2 (cos4 х — sin4 х). В ответе запишите сум-
му решений х, удовлетворяющих условию 0 < х < —.
16.
Формулы приведения
Вариант 1
1.
2.
Приведите к тригонометрическим функциям острых
положительных углов, сохранив наименование функ-
ции:
a) sin 304°, б) cos3,6tt.
Приведите к тригонометрическим функциям острых
положительных углов, изменив наименование приво-
димых функций:
a) tg278°,
Вычислите:
a) sin 930°,
Упростите
• / л \ f ЗТГ \ . / 7Т
sm (2тг — а) + cos I — + а I + tg (тг — а) + ctg I — — а
у / \
2)
3)
б) sin (—3,1) тг)
, 5тг
6)‘sv.
Зтг \
2
3.
4.
27Г.
Упростите
sin 80° • cos 350° - sin 190° • cos 280° - tg 200° • ctg 340°.
H r . / 37г\ . 2
Найдите значение sin a —— I, если sma = —
Зтг V ' 3
T
_ _ ' . . (ТГ
5. Решите уравнение cos (тг + x) = — cos I — — x
Зтг '
7Г<Х<у.
58.
9-й КЛ. САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ
Вариант 2
1. 1) Приведите к тригонометрическим функциям острых
положительных углов, сохранив наименование функ-
ции:
a) cos317°, б) sin 1,9%.
2) Приведите к тригонометрическим функциям острых
3)
положительных углов, изменив наименование приво-
димых функций:
a) ctg 138°, б) cos5,6%.
Вычислите:
/ 5тг\
a) cos (—480°), б) ctg I — — ).
\ V /
2.
Упростите
/ 7Г\ / 7Г\
sin I а + — I — sin I а — — ) +3 cos а — 3 cos (2% — а).
\ Z / \ л /
3. Упростите
tg 18° • tg288° + sin 32° • sin 148° - sin 302° • sin 122°.
4.
Найдите значение cos
%
-<«<%.
2
если cos a = —
5. Решите уравнение sin
%
— < X < ТГ.
2
= — sin (ж — %);
Вариант 3
1. 1) Приведите к тригонометрическим функциям острых
положительных углов, сохранив наименование функ-
ции:
a) ctg 2, б) sin 6.
2) Приведите к тригонометрическим функциям острых
положительных углов, изменив наименование приво-
димых функций:
a) cos 5,6%, б) tg 10.
16. Формулы приведения
59
3) Вычислите:
a) cos 855°,
. 11тг
б) ctg—.
2. Упростите
. . „ . , Зтг\
1 + sm (х — 2тг) • cos I х —— ) —
\ /
/ \ ( ЗТГ \ п
— tg (7Г — х) • tg I —— х 1 — 2 cosz X.
\ Li J
3. Вычислите 8sin510° • cos (—300°) • tg240°.
4. А, В и С — углы треугольника. Докажите, что
. А + В С
sm —-— — cos —.
2 2
(Зтг \
—— х I +2 cos (2тг — х)3.
/
Вариант 4
1. 1) Приведите к тригонометрическим функциям острых
положительных углов, сохранив наименование функ-
ции:
a) cos 4, б) tg (—3).
2) Приведите к тригонометрическим функциям острых
положительных углов, изменив наименование приво-
димых функций:
a) sin 2, б) cos(—3).
3) Вычислите:
ч 74тг . —20тг
а) tg—, б) ctg——.
О о
2. Упростите
sin2 (тг — х) + tg2 (тг — х) • tg2 (+ аА —
\ Li J
• (л \ „ ,
— sin I — + х I • cos (х — 2тг).
\ Li J
3. Вычислите 10ctg315° • sin(-150°) cos225°.
4. А, В и С — углы треугольника. Докажите, что
sin (А + В) = sin С.
60
9-й КЛ. САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ
5. Решите уравнение
/Зтг \
sin2 I —— х I 4- sin2 (2тг — х) + cos (2тг — х) = 0.
\ J
Вариант 5
1.
Упростите
2.
3.
4.
cos (2тг + a) • tg (тг + a)
Докажите, что
sin 390° • sin 510° + cos 570° cos 870° + tg 600° • tg 1110° = 2.
Сравните:
a) tg250° и tg240°', 6) sin 172° и sin 175°.
/Зтг \ . 5тг тг\
Упростите tg I —— a J • I sin — — cos — J.
5. Решите уравнение 2 ctg(rr — x) — ctg 450° — ctg(2TT — x) — 0;
Зтг n
— ” < x < 0.
Вариант б
1.
Упростите z3?r к ,
sin (тг — a) • sin I —— al • tg I — — a
\ / \ £»
/Зтг \ .
tg I — + а I • tg (2тг - а)
\ /
2.
/
81П \2
Докажите, что
sin 450° • cos 675° + tg 562° • tg 788°+
+------------------= -2,5.
cos 660° • cos 1200°
3.
4.
Сравните:
a) sin 250° и sin 260°, 6) ctg 250° и ctg 240°.
__ /Зтг \ / тг 15тг\
Упростите ctg I — + a I • I cos — — sm I .
5. Решите уравнение sin(a; + 45°) — sin(225° + x) = 2 sin495°;
16. Формулы приведения
61
Вариант 7
1.
Докажите тождество
? /Зтг
cos I “5“ +
у Lt
cos2 (—а) _
tg2 (а - 2тг) 'и tg2 / _ Зтг\ ~
\ 2 j
2.
3.
4.
5.
__ х шло sin 530°
Упростите tg 100 + --------——.
н 6 1 + cos 640°
Найдите значение выражения
• ( 3яЛ • ( \
sin I а —— I • sin (а — тг)
ctg (2тг — а)
3 ТГ
если ctg (а — тг) = -; 0 < а < —.
*Х Li
Известно, что cos (45° + а) + cos (45° — а) = т.
Найдите cos (45° + а) — cos (45° — а).
Решите уравнение
. ( тг \ / Зтг \
sm I — + 2ж I +4 cos I —— х 1 +5 cos Ютг = 0;
\ Li / \ Li /
Вариант 8
1. Докажите тождество
1 - ctg2 (а - 270°) tg (а - 90°)
ctg (а + 90°) 1 — ctg2 (а — 360°)
2. Упростите ctgO,4Tr — -------
1 - cos 0,6тг
3. Найдите значение выражения
7Г
tg (тг + а) • ctg (тг — а) + 2 sin —
Li
( Зтг\
sin а ——
\ 2 J
/ Зтг\ 3 . тг
если cos а —— = —0 < а < —.
\ 2 J 5 2
62
9-й КЛ. САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ
4.
5.
Известно, что cos (30° + а) + cos (60° — а) = а.
Найдите cos (30° + а) — cos (60° — а).
тч . / тг „ \ . . 7тг
Решите уравнение sm I — + 2х I — cos (тг + х) = cos —;
\ Z /
ТГ
— — < х < 0.
2
17. Арифметическая прогрессия
Вариант 1
1. Последовательность задана формулой Сп — 2п1 2 3 4 — 5п+
+1. Принадлежат ли этой последовательности следую-
щие числа:
а) -2? б) 26?
2. ап — арифметическая прогрессия. а? = 2; <34 = 6. Най-
дите а6.
3. Найдите разность арифметической прогрессии, если
ng <25 — 21,3.
4.
5.
ап — арифметическая прогрессия, d = 6; Sw = 340. Най-
дите Qi и ац).
3 3
ап — арифметическая прогрессия. а& — -;аю = 1^-
Найдите S^.
Вариант 2
1. Последовательность задана формулой Сп — — Зп2+
+7п + 4. Принадлежат ли этой последовательности сле-
дующие числа:
а) 8? б) 32?
2. ап — арифметическая прогрессия, аг = —3; 04 = 1. Най-
дите d.
3. Найдите разность арифметической прогрессии, если
«10 — аз — —78,4.
4. ап — арифметическая прогрессия, ai = 10; S14 = 1050.
Найдите 014 и d.
17. Арифметическая прогрессия
63
5. ап — арифметическая прогрессия, аз = — 1; аэ = 3. Най-
дите Sio-
Вариант 3
1. Между числами (—5) и 7 вставьте три числа, которые
вместе с данными числами образуют арифметическую
прогрессию.
2. ап — арифметическая прогрессия, ai = 1,2; 04 = 1,8.
Найдите Sq.
5
3. ап — арифметическая прогрессия. 04 = —.
Найдите Si.
4. ап — арифметическая прогрессия, ai 4- 05 = 26; 0204 =
= 160. Найдите Se, если an возрастает.
5. ап — арифметическая прогрессия, ai + 02 + 03 = 2;
al + аг + а| = —. Найдите ai, аг и аз-
•7
Вариант 4
1. Между числами (—28) и 12 вставьте четыре числа, ко-
торые вместе с данными числами образуют арифмети-
ческую прогрессию.
2. ап — арифметическая прогрессия. 02 — —5; а§ — 04 = 6.
Найдите Sio-
3. an — арифметическая прогрессия. 04 + ав = 14.
Найдите Sg.
4. оп — убывающая арифметическая прогрессия,
«иаз = -5; S3 = 6. Найдите S7.
5. On — арифметическая прогрессия.
«1 + аз + as = -12; 010305 = 80. Найдите oi.
Вариант 5
1. Найдите формулу n-ого члена последовательности
19; 32; 45; 58; 71...
64
9-й КЛ. САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ
2. ап — арифметическая прогрессия, ai = 1. При каком d
aiO3 + егоз имеет минимальное значение?
3. n€ N. Решите уравнение 333537 ... 32п-1 = 275.
4. ап — арифметическая прогрессия, ai = 35,8; 02 =
= 35,5. Найдите наибольшее значение суммы первых
членов прогрессии.
5. Найдите сумму всех трехзначных натуральных чисел,
делящихся на 11 и на 3 одновременно.
Вариант б
1. Найдите формулу n-ого члена последовательности
99; 74; 49; 24;-1...
2. ап — арифметическая прогрессия. 07 = 9. При каком d
010207 имеет минимальное значение?
3. п Е N. Решите уравнение 21 2 3 42426 ... 2П = (0,25)~8.
4. ап — арифметическая прогрессия, ai = —41,3;
02 = —39,9. Найдите наименьшее значение суммы пер-
вых членов прогрессии.
5. Найдите сумму всех трехзначных натуральных чисел,
которые при делении на 4 дают остаток, равный 3.
Вариант 7
1. Найдите наибольший член последовательности
Сп = —п3 4- 25п — 1.
2. х Е N. Решите уравнение
х — 1 х — 2 х — 3 1 1
х2 х2 х2 + х2 15’
3. Даны две арифметические прогрессии: 17; 21...
и 16; 21... Найдите сумму первых ста чисел, встреча-
ющихся в обеих прогрессиях.
, „ 111
4. Числа являются членами некоторой арифме-
тической прогрессии с возрастающими номерами. Како-
во наибольшее возможное значение разности такой про-
грессии?
18. Геометрическая прогрессия
65
5. При каких значениях параметра а уравнение
х (ж12 — ахе + а2) =0 имеет 5 корней, являющихся по-
следовательными членами арифметической прогрессии?
Вариант 8
1.
2.
3.
Найдите наибольший член последовательности
Сп = —п3 + 18п.
х Е N. Решите уравнение
х — 1 х — 2 х — 3 1
------1-----1-------h Н— =3.
X X X X
Даны две арифметические прогрессии: 2; 7; 12...
и 3; 10; 17... Найдите сумму первых пятидесяти чисел,
встречающихся в обеих прогрессиях.
л гт 111
4. Числа —; —; — являются членами некоторой арифме-
тической прогрессии с возрастающими номерами. Како-
во наибольшее возможное значение разности такой про-
грессии?
5. При каких значениях параметра а уравнение
а;4 + (а — 3) х2 + (а + 10)2 = 0 имеет 4 корня, являющихся
последовательными членами арифметической прогрес-
сии?
18. Геометрическая прогрессия
Вариант 1
1. Найдите формулу общего члена геометрической про-
грессии Ьп, если bi = --^;b2 =
о2 1b ।
2. bn — геометрическая прогрессия, bi ~ 72; «у = -.
Найдите Ьц.
3. Ьп — геометрическая прогрессия. &i = л/2; Ь? — \/128.
Найдите Ь$.
3
4. Между числами 24 и — вставьте три числа так, чтобы
они вместе с данными числами составили геометричес-
кую прогрессию.
tj-2998
66
9-й КЛ. САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ
5. Ьп — геометрическая прогрессия. Ь± = 9; £>5 = 27.
Найдите S$.
6. Сколько нужно взять последовательных натуральных
чисел, кратных 3, начиная с 3, чтобы их сумма была
равна 165?
Вариант 2
1. Найдите формулу общего члена геометрической про-
грессии Ьп, если bi = 64; 62 — — 32.
2. Ьп — геометрическая прогрессия, bi = 144; q =
Найдите 67.
3. Ьп — геометрическая прогрессия, bi = \/3; Ь$ = л/243.
Найдите be-
3
4. Между числами 15 и вставьте три числа так, чтобы
они вместе с данными числами составили геометричес-
кую прогрессию.
5. 6п — геометрическая прогрессия. 64 =
Найдите S5.
25,&5 125’
6. Сколько нужно взять последовательных натуральных
чисел, кратных 7, начиная с 7, чтобы их сумма была
равна 252?
Вариант 3
1. Ьп — геометрическая прогрессия. 62 = 37—;&б =
Найдите bi и q.
2. bn — геометрическая прогрессия. 62 = 24,5; £>5 =
Найдите £>3 и £>4.
4-
196.
3. Ьп — геометрическая прогрессия, q = 1,5; bi = 4;
Sn — 52,75. Найдите п.
4. bn — геометрическая прогрессия. £>5 — £>з = 360;
£>4 — £>2 = 180. Найдите £>i и q.
5. bn — возрастающая геометрическая прогрессия.
£>1£>2&з = 64; bi > 0; £>i + £>2 + £>3 = 14. Найдите S5.
18. Геометрическая прогрессия
67
6. Ьп — геометрическая прогрессия, п = 52. Сумма членов,
стоящих на нечетных местах, равна 28, а сумма членов,
стоящих на четных местах, равна 7.
Найдите д.
Вариант 4
3
1. Ьп — геометрическая прогрессия. Ьз = —1; t>6 = 3-. Най-
8
дите 51 и д.
2. Ьп — геометрическая прогрессия. 5г =
дите 53; Ь4-, Ь5 и 56.
|;б7 = 81. Най-
О
3. Ьп — геометрическая прогрессия, q = 2; bi =
Найдите п.
sn = 5.
*5
4. Ьп — геометрическая прогрессия. 56 — 64 = 1700;
&5 — Ьз — 340. Найдите Ь4 и q.
5. bn — возрастающая геометрическая прогрессия.
62^4 = 36; 51 > 0; 5г + 5д = 20. Найдите S4.
6. bn — геометрическая прогрессия, п = 1990. Сумма чле-
нов, стоящих на нечетных местах, равна 138, а сумма
членов, стоящих на четных местах, равна 69. Найдите q.
Вариант 5
5з
1. Ьп — геометрическая прогрессия. 5i5g = 12; — = 3. Най-
54
дите 5г-
2. Ьп — геометрическая прогрессия. 51 4- 53 = 8,5;
17
Ьз + &5 = Найдите 51 и q.
3. 5n — геометрическая прогрессия. 54 — 5i = 78;
5i + 5г + 53 = 39. Найдите S4.
4. Ьп — геометрическая прогрессия, п = 9. 51 4- 5г 4- 53 =
= 21; 54 4- 53 + 5б = 168. Найдите 5у + 53 + 5g.
5*
68
9-й КЛ. САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ
5. Ьп — геометрическая прогрессия, bi + Ьг = 3 (62 + 63);
61 + Ьз + 63 — 26. Найдите Sq
6. , х2, х3, Х4 — отрицательные члены геометрической
прогрессии, xi,хз — корни уравнения х1 2 3 4 + 9х + а =
= 0; х3, Х4 — корни уравнения х2 + 36а; + 6 = 0. Найдите
а и Ь.
Вариант б
1. Ьп — геометрическая прогрессия. 61 + Ьз + Ь3 = 21;
+ Ь2 + Ь2 = 189. Найдите bi и q.
2. Ьп — геометрическая прогрессия. bi + Ьз + Ь3 = 168;
64 + 65 + Ьб = 21. Найдите bi и q.
3. Ьп — возрастающая геометрическая прогрессия.
61 + Ьз + Ьз = 26; 616263 = 216. Найдите S4.
4. 6П — геометрическая прогрессия, п = 9. 61 + Ьз + 63 =
= 26; 64 + 65 + 6б = 702. Найдите 67 + 63 + 69.
5. Ьп — геометрическая прогрессия, bi + Ьз = 4 (62 + 63);
61 + 62 + 63 = 63. Найдите 5б
6. xi, хз, х3, Х4 — положительные члены геометрической
прогрессии. Т1,я;2 — корни уравнения х2 + 12а; + а =
= 0; а;з,а?4 — корни уравнения х2 + За: + 6 = 0. Найдите
а и 6.
Вариант 7
1. При каких х числа 321; б®2'1'1 и 35а: являются последова-
тельными членами геометрической прогрессии?
2. Ьп — геометрическая прогрессия, bi + 64 = 140;
62 + 63 = 60. Найдите 61,62,63,64.
3. Ьп — геометрическая прогрессия. S$ = 1,55з; 65 = 4&з;
q > 0. Найдите 64.
4. Ьп — геометрическая прогрессия. 61 + Ьз + 63 = 21;
6? + 62 + Ь| = 169. Найдите 61 и q.
19. Б. у. геометр, прогрессия. Смешанные задачи на прогрессии 69
5. Найдите сумму п чисел вида: 1 + 11 + 111 + ...
6. Решите уравнение ж3 + Зж* 2 — 6х + а = 0, зная, что три
его различных корня образуют геометрическую про-
грессию.
Вариант 8
г Зж^+З
1. При каких х числа 5 , 10 « и 32® являются последо-
вательными членами геометрической прогрессии?
2. Ьп — геометрическая прогрессия. Ь\ + />4 = 252;
62 + Ьз = 60. Найдите bi, b2, Ьз, Ь±.
3. Ьп — геометрическая прогрессия. 62 + ^4 =
= 10. Найдите 64.
~^-',Ьз + Ь5 =
О
4. Ьп — геометрическая прогрессия, bi + 62 + &з = 14;
Ь2 + Ь2 + &з = 84. Найдите bi и q.
5. Найдите сумму 100 чисел вида: 9 + 99 + 999 + ...
6. Решите уравнение ж3 + Зж2 — 6ж + а = 0, зная, что три
его различных корня образуют геометрическую про-
грессию.
19. Бесконечно убывающая геометрическая
прогрессия. Смешанные задачи
на прогрессии
Вариант 1
1. 10;—8;... — бесконечно убывающая геометрическая
прогрессия. Найдите S.
2.
3.
Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрес-
2
сии равна 14;q = Найдите bi и &2-
Превратите в обыкновенную дробь: а) 1,(6), б) 4,2 (3).
4. ж; у; z — образуют геометрическую прогрессию.
(ж — 1); у, (z — 1) — образуют арифметическую прогрес-
сию. (ж — 1); (у — 2); (z — 4) — образуют геометричес-
кую прогрессию. Найдите ж, у и z.
70
9-й КЛ. САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ
Вариант 2
1. —6; 4;... — бесконечно убывающая геометрическая про-
грессия. Найдите S.
2.
3.
Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрес-
5
сии равна 18; q = —
Найдите bi и 62.
Превратите в обыкновенную дробь:
а) 2,(3), б) 1,1(6).
4. х; у, z — образуют геометрическую прогрессию. ,
(х + 1); (у + 1); z — образуют арифметическую про-
грессию. (х + 5); (у + 1); z — образуют геометричес-
кую прогрессию. Найдите х, у и z.
Вариант 3
1. Превратите в обыкновенную дробь:
а) 0,(27), б) 4,1(54).
2. В бесконечно убывающей геометрической прогрессии
61 = —г/2;6г = 1- Найдите S.
3. В бесконечно убывающей геометрической прогрессии
S — 1,6; 62 = —Найдите bi.
Li
4. Числа 3; х; у составляют возрастающую арифметичес-
кую прогрессию. Числа 3,х — 6; у составляют геомет-
рическую прогрессию. Найдите х.
Вариант 4
1. Превратите в обыкновенную дробь:
а) 0,(72), б) 3,2(45).
2. В бесконечно убывающей геометрической прогрессии
61 = -\/3;б2 = — 1. Найдите S.
3. В бесконечно убывающей геометрической прогрессии
61 + 62 + Ьз = 3; bi + 63 + 65 = 5,25. Найдите S.
4. Числа 27; х;у составляют убывающую арифметическую
прогрессию. Числа 27; х — 6; у составляют геометричес-
кую прогрессию. Найдите у.
19. Б. у. геометр, прогрессия. Смешанные задачи на прогрессии 71
Вариант 5
1. В бесконечно убывающей геометрической прогрессии
&2 = 21; S = 112. Найдите бр
2. В бесконечно убывающей геометрической прогрессии
S = 1,5; bl + + б| + ... = 1,125. Найдите q.
3. В бесконечно убывающей геометрической прогрессии
S = 192; 61 + &2 + Ьз = 189. Найдите 61 и q.
4. Три различных числа образуют геометрическую про-
грессию, а их попарные суммы, взятые в некотором по-
рядке, образуют арифметическую прогрессию. Найдите
q исходной прогрессии.
5. ап — арифметическая прогрессия. Siq = 30. 04; ат, а$ —
образуют геометрическую прогрессию. Найдите d. (d не
равно 0.)
Вариант б
1. В бесконечно убывающей геометрической прогрессии
&2 = 15; S = 80. Найдите 61 и q.
2. В бесконечно убывающей геометрической прогрессии
S = 9; bl + 62 + 63 + ... = 40,5. Найдите bf + b% + б| + ...
3. В бесконечно убывающей геометрической прогрессии
S = 81; bi + 62 + Ьз = 78. Найдите 61 и q.
4. Три различных числа образуют геометрическую про-
грессию, домноженные на 1, 2 и 3 соответственно, обра-
зуют арифметическую прогрессию. Найдите q исходной
прогрессии.
5. ап — арифметическая прогрессия. S13 = 130. 04; аю;
а7 — образуют геометрическую прогрессию. Найдите
d, если d не равно 0.
Вариант 7
1. Найдите q бесконечно убывающей геометрической про-
грессии, у которой каждый член относится к сумме всех
последующих, как 2 к 3.
72
9-й КЛ. САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ
2. Решите уравнение х1 2 — 2х3 + 4т4 — 8х5 + ... = 2х + 1,
если его левая часть представляет собой сумму беско-
нечно убывающей геометрической прогрессии.
3.
4.
В бесконечно убывающей геометрической прогрессии
325 65
Ь2 + bs = —; b2 + Ь6 - — = Ь4- Найдите bl + b% + ...
12о uZ
ж; у, z — арифметическая прогрессия, х > 0; у > 0;
о У
z > 0. ж; -
и
z — убывающая геометрическая прогрессия.
Найдите q.
5. х > 0; у > 0; z > 0; t > 0. x-,y;z-, — арифметическая
прогрессия, у-z\ t — геометрическая прогрессия.
х + у + z = 12; у + z + t = 19. Найдите х, у, z, t.
Вариант 8
1. Найдите q бесконечно убывающей геометрической про-
грессии, у которой каждый член в четыре раза больше
суммы всех последующих членов.
2. Решите уравнение х2 + Зт3 + 9т4 + 27т5 + ... = 1 — Зт,
если его левая часть представляет собой сумму беско-
нечно убывающей геометрической прогрессии.
3.
4.
В бесконечно убывающей геометрической прогрессии
S2
bi -b5 = 1,92; bi + Ьз = 2,4. Найдите , 2---.
Ь( + &2 + • •
ж; у, z — арифметическая прогрессия, х > 0; у > 0;
У
z > 0. x',-;z — возрастающая геометрическая прогрес-
сия. Найдите q.
5. х > 0; у > 0; z > 0; t > 0. x-,y,z-, — арифметическая
прогрессия, у, z-, t — геометрическая прогрессия.
х + у + z = 54; у + z +1 = 90. Найдите х, у, z, t.
Проверочные
работы
на повторение
Проверочная работа № 1
Вариант 1
-------- / 1 7 \
1. Вычислите 0,2 + 0,8 • ( 0,65 — — — 4— : 2 ).
\ 24 15 /
(.1 17 \ —i
64а в - а s \
-----у---I при а = 25.
а-зо /
3. Докажите равенство
(4 + У1б) • (У16 - v/б) • У4-л/15 = 2.
4. Упростите выражение
3 3
Х2 — у 2
+ у + у/хУ
Х-у
у/х- у/у
— 2у/х\
> 0; х^у.
5. * Упростите выражение
4 cos4 а — sin2 2а — cos 4а — 2 cos 2а.
6.
тт - ( . 3 Зтг
Найдите cos I а + — I, если sina = — тг < а < —.
\ «5 / и 2»
Вариант 2
1. Вычислите I 2
4 \
- 5— + 0,2 : 0,75 + 0,25.
45 J
(6 _2 \ -|
ата з \
----I при а = 0,96.
6а-й /
3. Докажите равенство \^4у/2+ 2\/б = у/2 • (\/3 + 1) .
74
9-Й КЛ. ПРОВЕРОЧНЫЕ РАБОТЫ НА ПОВТОРЕНИЕ
4. Упростите выражение
(33 \
a? + 62 а — b \ а — b
~—А------1—7Т ; о > °; а i
а & а? + 6* 1 2 3 / Vао
2 ^£Г Q
5. Упростите выражение -5— cos 2а — sin 2а.
1 — tgz а
5 тг
6. Найдите sin 2а и tg2a, если cos a = ——; —
Хо Z
7Г.
Вариант 3
2.
/2 1 1\
1. Вычислите —6— — 1- + 5- ) : 0,5 + 0,5.
\ 15 2 6/
/ л --5- \ 1
f 9а 24 1 ОЛ
Упростите и вычислите I —---g- I при а — 24.
\ав•аз)
Докажите равенство
3.
= 8.
Упростите выражение
/_1_____м-1
\у/У /х J
X, У > 0; х у.
Упростите выражение
1 + cos (тг —
4.
5.
6.
-1
X - у/У
2
. . , Зл \ 1 +cos 2a
a) sin a-----------------
\ 2 / 2
тт . ( ir\ 3 л
Найдите sm I a + — I, если cos a = — — < a <
\ 6 / 5 2
Вариант 4
( 5 7 1 \
1. Вычислите 0,9 + 0,1 : I — + 12— • - — 2,3 ).
\36 15 6 /
/ 1 2 \
I as • аз \
2. Упростите и вычислите -------7 при a = 125.
\0,2 • as /
I------- л/3 + 1
3. Докажите равенство у 7 + л/48 = \/2 • -—.
Проверочная работа N® 2
75
4. Упростите выражение
а-1+2 ( _i ,_1\
+ ’+ >
[а,2 +b2j [у/а + vbj
_ 2 sin 1 — sin 2 t _2 1
5. Упростите выражение —_—• 4tg
6.
Найдите cos2а и tg2a, если sina =
12 7Г
13; 2<а<%
Проверочная работа № 2
Вариант 1
1. Решите уравнения:
а) ж4 — 8ж1 2 = 9,
б) 6 — х 6 + х 36 — х2
2. Решите системы уравнений:
' f х + 5у = И
> \7х-у = 5,
б) *
® + У = 34
у ж 15
х2 + у2 — 34.
3. Найдите сумму первых девятнадцати членов арифме-
тической прогрессии, если известно, что a< + ag+
+oi2 "Ь а1б — 224.
4. Скорость первой машины на 10 км/ч больше скорости
второй машины, и поэтому на путь в 560 км она за-
трачивает времени на 1 ч меньше, чем вторая машина.
Найдите скорость первой машины.
Вариант 2
1. Решите уравнения:
. к Л ж + 4 ж — 4 4
а) ж6 + 7ж3 - 8 = 0, б) -+ —— = —----9.
4-ж4 + ж16-ж2
2. Решите системы уравнений:
а)
Зж + 9у = 1
ж + 2у = 3,
б)
£ + у - 26
у ж 5
ж2 — у2 = 24.
76
9-й КЛ. ПРОВЕРОЧНЫЕ РАБОТЫ НА ПОВТОРЕНИЕ
3. Знаменатель геометрической прогрессии равен 2. Сум-
ма пяти первых членов равна 7,75. Найдите третий член
прогрессии.
4. Половину пути мотоциклист ехал со скоростью 45 км/ч,
затем задержался у переезда на 10 минут, после чего он
увеличил скорость на 15 км/ч, чтобы наверстать поте-
рянное время. Какое расстояние проехал мотоциклист?
Вариант 3
1.
2.
Решите уравнения:
а) х8 - 17т4 + 16 = 0,
. т + 5 х — 5 5
б) -------h - = —----z-.
5 — ж 5 + ж 25 — ж1 2
Решите системы уравнений:
. Г 5х + 9у = 3
а' | -4т + 3у = 18,
х — 1 у
--------1------7 — 2
У х - 1
3.
б)
X2 + ху = 6.
Сумма трех первых членов арифметической прогрессии
равна 9. Сумма их квадратов — 35. Найдите эти три
члена прогрессии.
4. По течению реки катер прошел за 7 часов столько же
километров, сколько он проходит за 8 часов против те-
чения. Собственная скорость катера 30 км/ч. Найдите
скорость течения реки.
Вариант 4
1. Решите уравнения:
а) (х + I)4 + х2 + 2х + 1 = 0,
. х + 3 х — 3
3 — х 3 + х
3
9 —ж2'
2. Решите системы уравнений:
. F х + Зу = 7
Э | 7х + у — 1,
Проверочная работа № 3
77
3. В возрастающей геометрической прогрессии сумма пер-
вых четырех членов равна 30, а сумма второго и третье-
го равна 12. Найдите разность между третьим и вторым
членами этой прогрессии.
4. Машина выехала со скоростью 50 км/ч. Через полчаса
вслед за ней выехала другая машина, которая догнала ее
через 2,5 ч. Найдите скорость второй машины.
Проверочная работа Ns 3
Вариант 1
1. Решите неравенства:
4
а) ----- > 3 — х, б) х3 — х > х — х1 2.
х + 2
2. Установите область определения функции
f(x) = \/я2 — ж — 20 + \/б — х.
3. Решите систему неравенств
2 (х — 1) — 3 (х — 4) > х + 5
‘ Зх~4 »0.
, х1 + 4ж + 4
4. В арифметической прогрессии 59; 55; 51... Найдите сум-
му всех ее положительных членов.
5. Определите, верно ли неравенство
tg(170° +ж) - tga;
1 + tg (170° + х) tg ас
Вариант 2
1. Решите неравенства:
а) х 3------б) (а; 4- 8) • (а; — I)2 • (х — 5) < 0.
х — 1
2. Установите область определения функции
f(x) = yjx — х2 4- \/3a; — а;2 — 2.
78
9-й КЛ. ПРОВЕРОЧНЫЕ РАБОТЫ НА ПОВТОРЕНИЕ
3. Решите систему неравенств
s2 + 10 а? + 25
4s-5
(s — 2) • (х2 — 6s + 9) 0.
4. В арифметической прогрессии ап = 0,7п —35,1. Найдите
наименьший положительный член этой прогрессии.
5. Определите, верно ли неравенство
cos (140° + х) cos ж + sin (140° + х) • sins > 0.
Вариант 3
1. Решите неравенства:
а) х + 3 <--------, б) х3 — х2 — 3s + 3 > 0.
х + 1
2. Установите область определения функции
= 777т4- ж-20
V14 + 5х — х1
3. Решите систему неравенств
• х 4 4
3 3 х
1 > —1
X
х2 + 3s + 1 > 0.
4. В арифметической прогрессии —63; —58; —53... Найдите
сумму всех ее отрицательных членов.
5. Определите, верно ли неравенство
1-tgs-tg (250° -s)
tg (250° — s) + tg s
Вариант 4
1. Решите неравенства:
6) (s2 - 1) (s2 + s + 1) • (s + 5)3 > 0.
Проверочная работа № 4
79
2. Установите область определения функции
г. . /У17 - 15ж ^2^
/ (®) = \ ---—---------•
V X + 3
3. Решите систему неравенств
х 3
. 9х1 2 3 — 9а; + 1 < 0.
4. В арифметической прогрессии ап = 37,7 —0,Зп. Найдите
наибольший отрицательный член этой прогрессии.
5. Определите, верно ли неравенство
sin (290° — х) • cos ж + cos (290° — х) • sina; < 0.
Проверочная работа № 4
Вариант 1
1. Дана функция у = /(а;) = х2 + 2а; — 8.
1) Постройте график функции у = f(x).
2) Укажите интервалы знакопостоянства функции
У = /(«)•
3) Укажите промежутки монотонности функции
У = /(®)-
4) Найдите множество значений функции у = f(x) на
промежутке (—оо; — 3].
5) Постройте графики функций:
а)у = |/(ж)|, б) у = /(|а;|).
2^2 —
2. Постройте график функции у =------------.
х ~Ь* 1
3. Найдите координаты точек графика функции
а;2 + 3
у =------, отстоящих от оси ординат на 1,5.
80
9-й КЛ. ПРОВЕРОЧНЫЕ РАБОТЫ НА ПОВТОРЕНИЕ
4. Найдите множество значений функции
х х
у - 5 — 6 sin - • cos -.
у 2 2
_ л sin 2 —sin 1,9
5. Определите знак выражения а =----------.
tg 5
6. Изобразите фигуру, ограниченную графиками функций
у = х1 2 3 4 5 6 и у = 2х 4- 3. Укажите координаты точки этой
фигуры, которая имеет наибольшую ординату (точки
границы фигуры считаются принадлежащими этой фи-
гуре).
Вариант 2
1. Дана функция у = f(x) = —х2 + 2х + 8.
1) Постройте график функции у = /(ж).
2) Укажите интервалы знакопостоянства функции
У = Л*).
3) Укажите промежутки монотонности функции
У = /(я).
4) Найдите множество значений функции у = f(x) на
промежутке [2;+оо).
5) Постройте графики функций:
а) У = |/(ж)|, б)у = /(|аг|).
„ „ За;2 + х — 2
2. Постройте график функции у =------------.
х + 1
3. Найдите координаты тех точек графика функции
_______________ 2
у =-----------, у которых абсцисса равна ординате.
х + 1
4. Найдите множество значений функции
cos2 х — sin2 х — 5
5. Определите знак выражения т =-----—-----
cos 3,5
6. Изобразите фигуру, ограниченную графиками функций
3 . „
у = — и ?/ = а; + 4. Укажите координаты точки этой
Проверочная работа № 4
81
фигуры, которая имеет наименьшую ординату (точки
границы фигуры считаются принадлежащими этой фи-
гуре).
Вариант 3
1. Дана функция у = f(x) = s2 + 2s — 3.
1) Постройте график функции у = /(s).
2) Укажите интервалы знакопостоянства функции
У = /(®)-
3) Укажите промежутки монотонности функции
У = №).
4) Найдите множество значений функции у = /(s) на
промежутке [2;+оо).
5) Постройте графики функций:
а) У = 1/(я)|, 6)y = /(|s|).
2s2 — 5s + 2
2. Постройте график функции у =------------.
2 — s
3. Найдите координаты точек графика функции
2s2 — 1
у =-------, которые отстоят от оси ординат на 2,5.
s
4. Найдите множество значений функции
2 — cos2 — + sin —
у =--------2-------
у 4
„ Л cos 2 — cos 3
5. Определите знак выражения т =----4 g—•
6. Изобразите фигуру, ограниченную графиками функций
у = х2яу — 6 — х. Укажите координаты точки этой
фигуры, которая имеет наименьшую абсциссу (точки
границы фигуры считаются принадлежащими этой фи-
гуре).
Вариант 4
1. Дана функция у = f(x) = — s2 + 2s + 3.
g-2998
82
9-й КЛ. ПРОВЕРОЧНЫЕ РАБОТЫ НА ПОВТОРЕНИЕ
1) Постройте график функции у = f(x).
2) Укажите интервалы знакопостоянства функции
У = /(ж).
3) Укажите промежутки монотонности функции
У = /(ж).
4) Найдите множество значений функции у = f(x) на
промежутке (—оо;0].
5) Постройте графики функций:
а) У = |/(®)|, б)у = /(|ж|).
Зя2 — х — 4
2. Постройте график функции у =------------.
х + 1
3. Найдите координаты точек графика функции у = х2—
—1х — 9, у которых абсцисса равна ординате.
4. Найдите множество значений функции
2 cos2 х — 5
У =------5---'
г n tg5,9- tg6
5. Определите знак выражения р =-----------.
cos 2
6. Изобразите фигуру, ограниченную графиками функций
у=-иу=3— х. Укажите точку этой фигуры, имею-
х
щую наибольшую абсциссу (точки границы фигуры счи-
таются принадлежащими этой фигуре).
Контрольные
работы
1. Алгебраические уравнения.
Системы алгебраических уравнений
Вариант 1
1. Решите уравнение ж3 + Зя2 — 4 = 0.
2. Решите системы:
.Г х2 + у2 = 41
I у - X = 1,
б)
х у _ 5
у х §
х1 2 3 — у2 = 5.
3. Катер должен пройти АВ со средней скоростью за 4 ч.
Однако первую половину пути катер шел на 2 км/ч мед-
леннее, а вторую половину на 2 км/ч быстрее, потому на
весь путь затратил на 3 мин больше. Найдите среднюю
скорость.
4. Решите уравнение
ж3 - 27 (х - 7)2
ж2 + 4ж - 21 + х2 - 49
Вариант 2
1. Решите уравнение х3 — Зх2 + 4 = 0.
2. Решите системы:
х2 + у2 = 41
у + х = 9,
х + у х — у
—+ 6---- = 5
х — у х + у
5у2 — х2 = 1.
3. Катер прошел 45 км по течению реки и 22 км против
течения, затратив на весь путь 5 ч. Найдите скорость
6’
84
9-й КЛ. КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ
катера в стоячей воде, зная, что скорость течения реки
равна 2 км/ч.
(х — 10)2 х3 + 27
4. Решите уравнение =——- = 0.
х£ — 13ж + 30 хг — 9
Вариант 3
1. Решите системы:
Г ж2 - жу + у2 = 7 f 2х - у + У ~ 4 5
' [ у + ж = 5, У =6
2ж-у
2х 3
2. Решите уравнение------1-----= 6.
х — 1 х — 2
3. Решите уравнение х3 — ж2 — 17ж — 15 = 0.
4. Две трубы наполняют бассейн за 1 ч 12 мин. Одна труба
может наполнить бассейн на 1 ч быстрее другой. Най-
дите время, за которое наполнила бы бассейн каждая из
труб в одиночку.
Вариант 4
1. Решите системы:
а) '
ж2 + ху + у2 = 7
У + х = 3,
б) <
^+а=3
1 = -4.
2ж + у
4
2.
Зж
3.
Решите уравнение , ,
х + 1 х — 2
Решите уравнение х3 + Зж2 — 6ж — 8 = 0.
4. Через первый кран бассейн заполняется на 3 ч медлен-
нее, чем через второй. За какое время заполняется бас-
сейн через каждый кран, если вместе они заполняют его
за 6 ч 40 мин.
2. Степень с рациональным показателем
85
2. Степень с рациональным показателем
Вариант 1
1. При каких х определено выражение
5(ж + 2)5 + (4 — х)-5?
2. Вычислите _3
(-1)21 - 81« + (23 • 25)6 - 165 + Г--j
3. Сравните значения выражений:
а) ^47 и ^7, в) 0,8“2,7 и О^"1-4,
б) и &7, г) (1,06)-5 и 1.
4. Найдите числовое значение выражения
((а-3 + 1) • 2-1 / а\-1\ 1 _
31J ) при а = ~5’
у а-1 +1
5. Вычислите:
а
5,
6. Выполните действия
1 / 1 ,1\-1\2
1 / 02 — 02 \ \ 1
, 1ч_2 “ I S ГТ ) ] ’ (аЬ) 2'
-02 1 1 \О2 — 02 / /
Вариант 2
1. При каких х определено выражение
3(ж + 7)2 + (5 — я:)-2?
2. Вычислите
(-1)18 + 325 + 8 • 273 - — . (33 • ЗЭ)12 -
/_п-3
\ 6/
3. Сравните значения выражений:
а) и в) З-2’7 и З-1’4,
б) и *^28, г) 0,7-1’5 и 1.
86
9-й КЛ. КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ
4. Найдите числовое значение выражения а-2 — Ь-2 а2Ь2 / о —9 1 l—2 при а (а — Ь) 1 а 1 -То 2 5. Вычислите:
а) ^31 + 10х/б- ^5- \/б, б) (х/5 — V6) • У11 + 2'/30.
6. Выполните действия
/33 _ 1 1\ ( Х2 +v2 X 2 —V 2 \ 2л/^У’ 1 1 +2а;г/- ) \х — х^у^+у х ~ У ) . /х/д + у^у1 ‘ \ Чу/ху J
Вариант 3
1. При каких х определено выражение
5х^ — (2 — х)-5?
2. Вычислите
(—1)2п + 5 . 2 + _L . (2t . 2i)15 - (—З)3 - 2895.
3. Сравните значения выражений:
а) и х/35, в) 3,7—2,4 и 3,7~3’4,
б) и ^13, г) 1 и
4. Найдите числовое значение выражения
' (а-3 — &-3)(—19)-1 .
1 j а — 2^ и — о.
1 лц \ /_±v
а"2 + J ‘ \ 23/
5. Вычислите:
а) ^5^-7 - -\/з + 2х/2,
б) (^6-x/7)--/13 + 2V42.
6. Выполните действия
/ 1 а5 +65 \ /27а-3\ 3
\(a5+t>2)-2 а5 + 65 / у64Ь-6у
3. Степенная функция
87
Вариант 4
1. При каких х определено выражение
3(ж — 1)5 + (10 —
2. Вычислите х
(_1)2п+1 + 7. 2 * _ + (-7)2-1255.
\64/ ' '
3. Сравните значения выражений:
а) и Ш в) 6,1~4’5 б * * * и 6Д-5’1,
б)^и^ г)1и(|)1,7.
4. Найдите числовое значение выражения
——z- у-----1- Г(-а)-1} при а = -3 и b = -2.
а-2 — а-1 ' '
5. Вычислите:
а) 10, б) (2^/3 - 5/13) д/25 Н- 4^/39.
V4-2x/3
6. Выполните действия
(/1 1 \ -1 \
1X2 —W2 \ . .11 ,1 1 .
—3----3 +(жу)2 :(х2+У2).
\(Ж2 — 1/2 / /
3. Степенная функция
Вариант 1
1. Найдите области определения функций:
а) f(x) = + х/16 — ж2,
х + 2
,, . J х2 - 20х + 100
б /(ж) = 1 ——г--------J-.
у 4 — Зх — х2-
2. Исследуйте функции на четность и нечетность:
х*
а) /(ж) = б) /(ж) = s2|x| - |ф4.
х£ — 1
88
9-й КЛ. КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ
3. Постройте графики функций:
а)у =----г, в
. 2х + 3
У = —гу
х + 1
х — 1
б) У = —ут - 1 2’
х + 1
Для каждой функции найдите по графику промежутки
возрастания и убывания.
4. Решите уравнения:
а) \/10 — а;2 = 1, б) х/9 + 5х — 2х2 — 3 — х.
Вариант 2
1.
2.
3.
4.
Найдите области определения функций:
a) f(x) = \/10а? — х2 — 1,
- п а в х2 -6ж -7
б) = V + 4
Исследуйте функции на четность и нечетность:
Т-2 —1
a) f(x) = 4 , б) f(x) = х\х\-3х5.
х* + 5
Постройте графики функций:
ч 1 X 1
а) у =-----б) у =---------------- + 1,
' У а: + 2 ’ х-2
ч 2х -3
в) У =-----
х — 1
Для каждой функции найдите по графику промежутки
возрастания и убывания.
Решите уравнения:
а') а/х2 — 9 = 4, б) \/8 — 2ж — х2 + х = —4.
Вариант 3
1. Исследуйте функции на четность и нечетность:
a) f(x) = х4 — За;2 + 1,
б) /(а:) = — 2т|а;| + 4а:3.
3. Степенная функция
89
2. Найдите области определения функций:
/ L2
°>
\ Iх2 - + 4
б) /W = V^+2I + 1'
3. Постройте графики функций:
а) у — у/х — 1, в) у = 1 — у/х — 2.
б) у = у/х + 1 - 2,
Найдите промежутки, на которых у(а?) > 0; у(х) < 0.
4. Решите уравнения:
а) у/х + 2 = х, б) у/^х — 3 = .
V За; — 5
Вариант 4
1.
2.
3.
4.
Исследуйте функции на четность и нечетность:
а) /(ж) = За;3 — а;7,
б) /(^) = — г?* 2 * *|ж| — За?6.
Найдите области определения функций:
/ т6
/4а;2 + 12а; + 9
б) №) = \\------2—-------
у —а;2 + 6а; — 5
Постройте графики функций:
а) у = у/х + 1, в) у = 1 — у/х + 2.
Найдите промежутки, на которых у(х) > 0; у(а?) < 0.
Решите уравнения:
у/Ъх + 7
90
9-й КЛ. КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ
4. Основные тригонометрические тождества
Вариант 1
1. Упростите выражения:
. sin a sin а
а)----------1---------,
1 + cos а 1 — cos а
б) cos4 а — cos2 а + sin2 а,
tg2 а 1 + ctg2 а
1 + tg2 а ctg2 а
2. Вычислите значения тригонометрических функций,
если:
. . 2 Зтг
a) sina = --; л < а < —,
( 4
„3 Л
б) ctgа = -3-; - < а < л.
3. Докажите тождество
, . sin(—а) 1
-ctg(-a) - —----------- = .
l + cos(—a) sina
4. Найдите значение выражения
2 sin2 х + 3 sin х cos х — 1
-----------------5------, ПРИ tgx = 2.
sin х — 2 cos2 х
„ • 2 тт
5. sintu + cos а = Найдите значение выражения
5
sin3 а + cos3 а.
6. Решите уравнение 2 cos2 х — 3 sinx = 0; 0 < ж < —.
2
Вариант 2
1. Упростите выражения:
. 1 — sin х cos х
а)-------------;-----:—,
cos х 1 + sin х
б) sin2 а + sin2 а • cos2 а + cos4 а,
в) ~sin(~Q) -*ё(~а)
1 + cos(—а)
4. Основные тригонометрические тождества
91
2. Вычислите значения тригонометрических функций,
если:
Зтг
— < а < 2т
2
ТГ
— < а < тг.
2
3.
4.
5.
6.
ч 3
а) cosa =
5
3
б) tga = --
Докажите тождество
1 + (ctg* 2 * a — tg2 a) • cos2 a = ctg2 a.
Найдите значение выражения
sin2 x — 5 sin x cos x + 2
-----—2— ------------, при tg® = —2.
2 sin x + cos2 x
1 u -
sina — cosa = Найдите значение выражения
, 4 4
sin a + cos a.
Решите уравнение 2 sm2 ® + 3 cos x = 0; — < ® < тг.
Zi
Вариант 3
1.
2.
3.
4.
Упростите выражения:
. sin a 1 + cos a
a) ;------------:----,
1 — cos a sin a
6) (tg2 a - sin2 a) • Ctg„ &,
sin a
в) cos (—a) + cosa tg2(—a).
Вычислите значения тригонометрических функций,
если:
х • 15 Зтг
a) sina = - —; — < а < 2тг,
11 л
. „ Зтг
б) ctg a = 2; тг < а < —.
Докажите тождество
-—^—5---1- sin4 х + sin2 х cos2 х = 1.
1 + tg2 X
Найдите значение выражения
2 sin2 х — sin х • cos х — 1
-----. 2 ----------, при tg® = 3.
sm х + 2 cos2 х
92
9-й КЛ. КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ
4
5. sina — cos a = Найдите значение выражения
5
sirr а — cos° a.
7Г
6. Решите уравнение sin® + 2cos1 2 х = 1; — — < х
£
Вариант 4
1. Упростите выражения:
, sin a 1 + cos a
а) —-------+ —--------,
1 + cos a sm a
6) -—----------------------4-sin2(—a),
(sin(—a) • tg(—a) + cos a)
в) sin3 a • (1 4- ctg a) + cos3 a (1 4- tg a).
2. Вычислите значения тригонометрических функций,
если:
а) cos а = — < a < тг,
. 4 Зтг
б) tga = — < a < 2л.
о Z
3. Докажите тождество
1—2 sin2 a 1 — 2 cos2 a
--------:------1- —------= 2 cos a.
cos a 4- sin a-sm a — cos a
4. Найдите значение выражения
3 — 2 sin a • cos a 4- 2 cos2 a
-----—— ---------, при ctg a = —2.
2 sin a + cos2 a
5. sina + cosa = -. Найдите значение выражения
sin4 5 6 a + cos4 a.
6. Решите уравнение cos x + 2 sin2 x = 1; - л < x < — .
5. Формулы сложения. Формулы приведения
93
5. Формулы сложения. Формулы приведения
Вариант 1
1.
2.
3.
Упростите:
. (ТГ \ ( Зл \ .
a) sm I — + 2а ) + cos I — + 2а I • tg (тг + а),
\ Z / \ " /
б) — cos 10° + cos 11° • cos21° + cos69° • cos 79°.
„ tg 26° +ctg 71°
1 + tg 334° • tg 19°
2 cos1 2 3 4 5 a — 1
Упростите
. 2
sin
4.
5.
Установите область определения функции f(x) =
'Зтг \ \
— + х j + sin(7r + х~) • sin(27r - 2х)j 2.
Постройте график функции
2 /ТГ \
у = cos I — + 2х I
Вариант 2
1. Упростите:
/ Зтг \
a) — sin I — + 2x I — sin (тг — 2x) ctg (тг + x),
\ J
6) sin 15° • cos 40° — sin 75° • cos 50° 4- sin 25°.
tg 14°-ctg46°
2. Вычислите ——----------—-----.
tg 194° -tg44° + 1
„ 2cos2 a —1
3. Упростите ------г-----r------г------r-.
x f । о t ТГ . \
2 ctg I 4 -al -cosz I + a)
4. Установите область определения функции f (х) =
I ( I \ , • /Зиг /Зтг V\2
= \ - I sin (Tr-4i)-sin ( —+xl+sm I —— 4x1 -cos (— +xl I
5. Постройте график функции у = tgx • ctgx.
94
9-й КЛ. КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ
Вариант 3
1. Упростите:
/Зтг \
а) — cos I —— 2а) + cos (2тг — 2а) ctg (тг + а),
\ /
б) tg 18° • tg288° + sin 32° • sin 148° — sin 302° • sin 122°.
„ _ 1 — tg 74° • ctg 14°
2. Вычислите -----.
tg 74° — tg 104°
— а
3. Упростите -----------------------—.
sm За • cos а — cos За • sin а
4. Установите область определения функции / (а?) =
sin (2тг - х) • sin
5. Постройте график функции у = tg 2х • ctg 2х.
Вариант 4
1. Упростите:
a) sin (тг — 2а) + sin
б) sin 20° + sin 13° • sin 57° - sin 33° sin 77°.
ctg 40° + tg 160°
2. Вычислите —----------2-----
tg 50° • ctg 70° + 1
3. Докажите, что
sin (80° + a)
/ а\
= cos (40 + — I .
\ 4/
4. Установите область определения функции f (х) =
5. Постройте график функций
у = sin2 (—За:) + cos2 (—За;).
6. Прогрессии
95
6. Прогрессии
Вариант 1
1. Между числами 17 и (—3) вставьте три числа, которые
вместе с данными числами образуют арифметическую
прогрессию.
2. Ьп — геометрическая прогрессия, bi = q = 3. Най-
дите номер члена прогрессии, равного 27.
ап — арифметическая прогрессия, ау = 21; Sy = 105.
Найдите aj и d.
3.
4. Найдите q возрастающей геометрической прогрессии Ьп,
у которой by = 3; by — 64 = 168.
5. bn — бесконечно убывающая геометрическая прогрес-
сия. bib3b$ = 8; i>2 + Ь^ = —5. Найдите S.
Вариант 2
1. Между числами 24 и (—4) вставьте пять чисел, которые
вместе с данными числами образуют арифметическую
прогрессию.
2. Ьп — геометрическая прогрессия, bi = q = 2. Най-
дите номер члена прогрессии, равного 32.
3. ап — арифметическая прогрессия, аю = 51; Sio = 285.
Найдите ai и d.
4. Найдите q геометрической прогрессии Ьп, у которой bi —
bi = 0,6; S3 = 0,2.
5. bn — бесконечно убывающая геометрическая прогрес-
сия. bib3b3 = —64; 62 + ^4 = 10- Найдите S.
Вариант 3
1. Найдите седьмой член геометрической прогрессии 64;
-16; 4;...
2. Найдите номер члена арифметической прогрессии, рав-
ного 26, если первый член прогрессии равен 2, а ее раз-
ность равна 3.
96
9-й КЛ. КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ
3. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрес-
сии Ьп на 16 больше ее первого члена, а + &2 —
= 24. Найдите Ь8-
4. Найдите сумму всех двузначных чисел, кратных 5.
5. х; у; z — составляют геометрическую прогрессию.
х; у — 8; z — составляют арифметическую прогрессию.
х + у + z = —7. Найдите х,у и z.
Вариант 4
1. Найдите восьмой член геометрической прогрессии —32;
16; -8;...
2. Найдите номер члена арифметической прогрессии, рав-
ного 48, если третий член прогрессии равен (—6), а ее
разность равна 2.
3. В бесконечно убывающей геометрической прогрессии Ьп
с положительными членами by + Ь% + Ьз = 10,5. S = 12.
Найдите Ь\ и q.
4. Найдите сумму всех четных двузначных чисел, деля-
щихся на 3 без остатка.
5. х-, у, z — составляют геометрическую прогрессию.
х; у + 8; z — составляют арифметическую прогрессию.
х + у + z = 7. Найдите х, у и z.
7. Итоговая контрольная работа
(3-4 часа)
Вариант 1
1. Докажите, что значение выражения
/ / 1 ,1\2 /1 ,1\2 \ 1 2 * *
(g4 \ 1-2уЕ + а
а + (аЬ)5 / °
не зависит от значений а и Ь.
7. Итоговая контрольная работа
97
2. Решите уравнение--------— - = -------------.
V (2-х)1 2 2 8 -2х (4-х)
пт. „16
3. Решите неравенство 7-----j-y > х.
4. Бассейн наполняется из двух труб за 7,5 ч. Если открыть
только первую трубу, то бассейн наполнится на 8 ч быст-
рее, чем если открыть только вторую трубу. Сколько
времени будет наполнять бассейн вторая труба?
5. Докажите тождество
. . . „ 1 — tg2 а
sm 4а + cos 4а • ctg 2а =-----.
2 tga
6. Решите уравнение у/х + 3 + у/Зх — 2 — 7.
7. Первый член арифметической прогрессии равен 2. При
каком значении разности прогрессии произведение ее
пятого и седьмого членов имеет наименьшее значение?
|х|
8. Постройте график функции у = х2------L
х
Вариант 2
1. Упростите | . — у/4х + 1) • (1 — 2у/х) 2 .
у у/4х + 1 J
2. Решите систему уравнений
{ху + у + х — 11
х2у + ху2 = 30.
3. Установите область определения
4/—z----— — 1 X + 1
У = ух3 4 — Зх2 + 2х + . н--------
у/х - 3 х - 4
4. Бригада рабочих должна была изготовить 360 деталей.
Изготавливая ежедневно на 4 детали больше, чем пред-
полагалось по плану, бригада выполнила задание на 1
день раньше срока. Сколько дней затратила бригада на
выполнение задания?
7-2998
98
9-й КЛ. КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ
5.
cosa = — ;- < a < тг. Найдите sin2a и
А
tga.
6. Найдите число членов геометрической прогрессии, в ко-
торой второй член равен 6, разность между пятым и
четвертым членами равна удвоенному третьему члену.
Сумма всех членов равна 381.
7. Решите уравнение v^2x1 2 3 4 5 6 7 8 4- 8х 4- 7 — х = 2.
9 х%
8. Постройте график функции у = яг — г.
kl
Вариант 3
1. Докажите, что значение выражения
(1 1 1 i\ . .— /—.-1
m2 + п2 тг—п2 \ (у/т — у/п)
1 Г 1 Г I : i П~
m2— 712 m2 4-712/ ТП—^+П 2
не зависит от значений т и п.
„ „ 3 — х2 1 2
2. Решите уравнение-------о — - = —-----—----г.
(3-х)2 3 27 —Зх(6 —х)
2 1
3. Решите неравенство 1 4---- > —.
х — 1 х
4. Две бригады вместе могут выполнить задание за 12
дней. Если одна бригада сделает половину работы, а
затем вторая — вторую половину, то вся работа бу-
дет закончена за 25 дней. Сколько дней нужно каж-
дой бригаде в отдельности для выполнения всей ра-
боты?
5. Докажите тождество sina • (1 4- tga • tg = tga.
6. Решите уравнение у/х 4-10 4- у/х — 2 = 6.
7. Первый член арифметической прогрессии равен 2. При
каком значении разности прогрессии произведение чет-
вертого и седьмого членов имеет наименьшее зна-
чение?
8. Постройте график функции у = 1 - х • |х|.
7. Итоговая контрольная работа
99
Вариант 4
—2
1.
2.
3.
Упростите
1
х — 5
4.
5.
6.
7.
8.
Г- \ -1
у/х~ у/У \
\у/х + у/У) \ху/х -уу/уJ
Решите систему уравнений
х2 + ху = 12
у2 + ху = 13.
Установите область определения функции
_ 1
х ”г v г ° ' У а;2 — а; — 6
Для перевозки 60 т груза затребовано некоторое коли-
чество машин. В связи с тем что на каждую машину
погрузили на 0,5 т меньше, дополнительно были затре-
бованы еще 4 машины. Сколько машин было затребовано
первоначально?
12 тг тт „
sin а = —; — < а < тг. Найдите cos 2а и tg2a.
Io Z
В возрастающей геометрической прогрессии сумма пер-
вого и последнего членов равна 66, произведение второго
и предпоследнего членов равно 128, сумма всех членов
равна 126. Найдите число членов прогрессии.
Решите уравнение х 4- у/2х2 — 7ж + 5 = 1.
Постройте график функции у = 2х + х • |х|.
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ
Самостоятельные
работы
1. Деление многочленов.
Решение алгебраических уравнений
Вариант 1
1. а) х — 3; б) х — 1; в) 2х2 4- х 4- 5. 2. Р(х) = Q(x)x—
—20х - 30. 3. 4. а) {-2, -1,1}; б) {-3,2}.
Вариант 2
1. а) х — 1; б) х — 1; в) Зж2 — х 4- 6. 2. Р(х) = Q(x)(x4-
4-6) 4- 12х 4-12. 3. 4. а) {-2}; б) {-3; 1}.
5х 4- 2
Вариант 3
яг ______ 1
1. а) 9x4-2; б) а;4-1. 2. Р{х) = Q(х)(х24-х — 20). 3.-.
4. а){3};б){3;1;-1;4}.
Вариант 4
1. а) х - 1; б) 2х 4-1. 2. Р(х) = Q(x)(x2 - 7х - 12) 4-144.
3- ттт 4- а> {-7;1;-3);б) {-2; -i; i; з}
X i" J.
Вариант 5
1. а) 2x4-1; б) х24-х-2. 2. а = -8; b = 20. 3. gl~4a:_+4.
4. а = —2; {-2; 1; 3}. 5. {-1; 1; -2; 3}.
Самостоятельная работа № 2
101
Вариант б
1. а) х — 2; б) х2 — х — 2.
2. а = -1; —27.
4“ 1
Х х2-10х + 2Г4-° = -8;<-3;2> 8-
Вариант 7
__ 2
1. 6т2 — х — 1. 2. --. 3. а — —5; b = —13.
Зж + 1
4. {-1,5; 1; 2; 3}. 5. а = -2; b = -3; {—1; 1 - \/3;1;1+
+V3}. У к а з а н и е: подставьте х — 1 + \/3 в урав-
нение. После преобразований получится: -\/3(2 + а)+
+(а + b + 5) = 0. Так как а и b рациональные числа,
тоа + 2 = 0иа + 6 + 5 = 0, таким образом, а = —2,
Ъ = -3...
Вариант 8
1. Юж2 + 11® - 6. 2. ж2~13ж + 12 3 а = 27; Ъ = -76.
х2 — 2
4. |-1; -|; 1). 5. а = -5; b = -7; {-2; -1; 1 - х/2;
1 + V2}.
2. Уравнения, сводящиеся к алгебраическим
Вариант 1
1. (-Ц.2. {2}. 3. /-2;-1;-||.4. {-5}.
V • J к £ )
5.(-3;3).
I 4 4J
Вариант 2
--------- ( Ч1 Г Ч1
1. {9}. 2. {4} -3- {-2;-* 1;2}-4- {3}-5- {4;и-
102
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ
Вариант 3
1. {3 - 2у/2; -1; 3 + 2>/2}. 2.
3. {^2} -4- {I}-5- {2>5; 4}-
-3- \/33 -З + ч/ЗЗ
2 ’ 2
Вариант 4
1. {-1}. 2. {-1
5. {-22; 3; 6}.
^-1 + VV}. 3. {1;1}. 4. {!}.
Вариант 5
1.
.2. {1;3}. 3. |-2;-|;1|.
I z J
4.|-3;0;^—
5. а = 0; х = 0, или х = 1. а < 0 или а > О {1 — а}.
Указание: (х3 + а3) — (ж2 — ах + а2) = 0; (х2 — ах+
+а2)(а; + а — 1) = 0.
Вариант 6
L2 I 2 (-1) 3 ~3 +
2’3’2р 2- { Х |2’2’ 2 ’ 2
4. {0; —2}. 5. а = 0, х = 0 или х = 1. а < 0 или
1.
Вариант 7
Иг.' П.2.1_2±^Ц^1
1332/ ( ’ 2 /
_ /5±^21 —5±л/171 v
3. ----;------>. Указание: разложите
на множители методом неопределенных коэффициентов.
(ж2 - 5х + 1)(я;2 + 5х + 2) = 0... 4. Нет действитель-
ных корней. 5. Если а < 0, решений нет. {—3\/а; \/а}.
Самостоятельная работа № 3
103
Указание: ж4 — бах2+8ау/ах — За2 = (ж4 — 2ах2+а2)—
—(4аж2 — 8ау/ах 4- 4а2) = (ж2 — а)2 — 4а(ж2 — 2у/ах + а) =
= (ж2 — а)2 — 4а(ж — \/а)2 = (ж — у/а)2((х + ^/а2) — 4а) =
= (ж — у/а)2(х2+2у/ах — За) = (ж — у/а)2(х—у/а)(х+3у/а).
Вариант 8
1.1.21 _ Г_ч._9.1.11 „ Гз±у5.з±уТз1
4’3’3J t 2’3’2j d* ( 2 ’ 2 J
4. Решений нет. Указание: ж4 — Зж2 — 2ж + 5 =
= (ж2 — 2)2 + (ж — I)2. 5. {—у/a: Зу/а}.
3. Системы нелинейных уравнений
Вариант 1
1. (—4;—1); (—1; —4). 2. (4; 2). 3. (-2;-4); (-4;-2);
(2; 4); (4; 2). 4. 5. (-3;-5); (-5;-3); (3;5);
\о о/
(5;3).
Вариант 2
1. (—3;2); (2; —3). 2. (3;1). 3. (-2;-8); (-8;-2); (2; 8);
(8; 2). 4. . 5. (—5; —1); (5; 1).
\ “ Z
Вариант 3
1. (-4;-4); (-6;-2). 2. (-2;-1); (-2; 1); (2;-1); (2; 1).
3. (1; 2); (2; 1). 4. (-1;-1); (2;-1); (-1;2).
5. (-л/2;1-^);(\/2;1 +V2).
Вариант 4
1. (-1; -3); (4,5; 8). 2. (-2;-1); (-2; 1); (2;-1); (2; 1).
3. (1; 3); (3; 1). 4. (2; 4); (4; 2). 5. з) ; -2^.
104
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ
Вариант 5
1. (2а; а); (-а; -2а). 2. (-5; -1); (5; 1). 3. (0; 0); -; - ;
\ «5 Z /
(4;5); (6;3);(-3;-2); (-1;-4). 5. (2;-1);
(—1; 2); (—2; 1); (1; —2).
Вариант б
1. (4а;а); (—а; —4а). 2. (-2;-1); (2; 1); (-/б;-^
( | . 3. (0;0); (1; 1); (1,6; -3,2). 4. (2;1);
/ 1Q 1Ч\
(--Т) • 5- (~3; “1); ("1; <1; <3;
\ О О /
Вариант 7
>/2;V .3. (0; 1); (0; —1);
4 /
/ 3 4\
(-1; -1); (1; 1). 4. (1; 0); (0; 1); (-1;0); ( --; - ) .
\ о о/
Указание: решите 2х1 2 + ух — у2 + Зу — 2 = О
относительно х, считая у параметром. D = у2—
-8(-у2 + Зу - 2) = 9у2 - 24у +16 = (Зу - 4)2; х = -у +1;
х = 0,5у +1... 5. (2; 3). У к а з а н и е: первое уравнение
можно представить в виде: (х — у + I)2 + (у — З)2 = 0.
Вариант 8
1- (0;0);(|;|У 2. (-4;-1).
/54
(1;1). 4. (1;0); (—1;0); -
\ о □
3. (-1;-1); (-1;0); (1;0);
Самостоятельная работа № 4
105
4. Решение задач с помощью уравнений
Вариант 1
1. 50 км/ч. 2. 13, 14. 3. 6 ч и 12 ч.
Вариант 2
1. 25 км/ч. 2. 11 и 16. 3. 9 ч и 18 ч.
Вариант 3
1. 40 т и 100 т. 2. 4 км/ч. 3. 5 стр./ч и 7 стр./ч.
Вариант 4
1. 40 т и 60 т. 2. 2 км/ч. 3. 9,6 стр./ч и 8 стр./ч.
Вариант 5
1. 10 мин. 2. 6 м/с и 8 м/с. 3. 6% и 11%.
Вариант 6
1. 3 дня. 2. 24 км/ч и 18 км/ч. 3. 60%.
Вариант 7
1. 5 ч. 2. 3 км/ч и 4 км/ч. 3.
Vi 18
Вариант 8
--------- Г~ У2
1. 20 км/ч и 40 км/ч. 2. у2 км/ч и 1 км/ч. 3. —
V1
5. Степень с целым показателем
Вариант 1
1. а) 2^; б) -27; в) 2. а* 5. 3. уж4у4. 4. -65.
5. Х1 = -|; х2 = -1. 6. (2; 2,5) U (2,5; 3).
и
23
16’
106
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ
Вариант 2
—!------- 1 3 9
1. а) 1—; б) -32; в) —. 2. а6. 3. -х~2у~4. 4. -665.
'27 73 4
3
5. ^1 — г; ^2 = 1- 6. (—оо; 1) U (2; 3) U (3; +оо).
Вариант 3
1. а) 26; б) |; в) 2. а’16. 3. 4. -1.
5. X = —1, X = —X = —X — 1.
2л Z *
/ 1 1\ /1 7\
6- -г! -г U -; - .
\ 2 4? \3 6/
Вариант 4
1. а) 3; 6) ±; в) 2. tr”. 3. Зх^~'. 4.
04 62о х — у
1 / 3\ /3 \
5.х = ±-. 6. I -оо; -1- ) U ( +оо 1 .
Z \ о/ \о /
Вариант 5
а 4- b 3
1. -1. 2. 3. 1. 4. п = 6. 5. Xi = -1; х2 = —.
ао 8
( 2 \
6. (—оо; —2) U I —1-; +оо ) .
\ О /
Вариант б
1. 1. 2. Д-. 3. 4. п = 8. 5. = —2; х2 = -6.
ab 16 ’
Вариант 7
1. 30. 2. 19. 3. ab. 4. З34 > 251. Р е ш е н и е: З34 =
= (З17)2 = 917 251 = (217)3 = 817. Отсюда З34 > 251.
5. Парабола у = (х — 2)2 с двумя “выколотыми” точками
(1; 1) и (2;0). 6. n = 1.
Самостоятельная работа № б
107
Вариант 8
1. 6. 2. 2^. 3. Ь1 2 —а2. 4. З20 > 230. 5. Парабола у = (ж+2)2
с двумя “выколотыми” точками (—1;1) и (—2;0).
6. п = —1.
6. Корень натуральной степени
Вариант 1
1. 80. 2. ЗаЪс2 3. 73а6Ь5. 4. х / ±2.
Л/Z _ Л/о +1 __
5. ----6. 726 < 3. 7. -1.
Вариант 2
1. 6. 2. а2с3 *^с. 3. 4. ® / ±3. 5.
6. </17 > 2. 7. 1.
Вариант 3
Вариант 4
1. 4,5. 2. • \/20ат2п. 3. \ 4. (—оо;7].
4тп у о
5. «/3 - 72) (73 + 72). 6. 715 > УЗ. 7. 0.
Вариант 5
1. — — —. 2. а) Та2 + Tab + 7b2; б) У(а — 6)2.
У х
3. [11; 20) U (20; +оо). 4. --. 5. - V3 - 75. 6. а = Ь.
X v
7. х = 0.
108
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ
Вариант б
1. 5а3с3. 2. а) ’Уа2 — \/ab + л/??; б) \/(а + Ь)2.
3. [-4; -3) U (-3; -1] U [5; +оо). 4. 5. ^^3-2^.
6. а = Ь. 7. xi = 1; Ж2 = Зу^З.
Вариант 7
1. 31а Уот. 2. ~^7=7Т~—3. (^3 - v^) • (3^3 + 2\/9+
у СЦ1 — у d)
+4). 4. -2 < 1. 5. ^3^< &1< \/25.
6. х = \/2 + 1. Р е ш е н и е: х3 — За;2 + За; — 1 — 2;
(а; - I)3 = 2; а; - 1 = </2; а; = </2 + 1.
7. Пусть ^/2 +у/5+у/2-\/5 = а; а3 = 2 + у/5 + 2-\/5+
+Зу/4 — 5-а; а3 =4 —За; а3 + За —4 = 0; а3 —1 + За —3 =
= 0; (а —1)(а2—а+1)+3(а —1) = 0; (а—1)(а2+а+4) = 0.
Отсюда а = 1 — рациональное число (а2 + а + 4 0).
Вариант 8
3.
1. ^&2.
2х у/Ь
-(^+^3)(^16 + ЗаУ4 + 9)
23 ’ ‘
1721/1 < \°/W7< W-
5.
6. а: = -^.Решение: а;3+За;2+За;+1 = —а;3; (а:+1)3 =
, 1
= —хй. Отсюда х + 1 — — х и х =
7. Пусть ^5\/2 + 7 — \Jb\/2 — 7 = а, тогда а3 =
= 5у/2 + 7 - 5у/2 + 7 - 3^1 • а; а3 = 14—За; а3+За-14 =
= 0; а3 — 8 + За — 6 = 0; (а — 2) (а2 + 2а + 4) 4- 3(а — 2) = 0;
(а — 2) (а2 + 2а + 7) =0. Отсюда а = 2 — рациональное
число, (а2 + 2а + 7 0).
Самостоятельная работа № 7
109
7. Степень с рациональным показателем
Вариант 1
1. а) 5; б) 6^. 2. 1. 3. Ь + 4. 4. a) ai + Ьз + ai • fri.
б) —;----. 5. а) х = 16; б) у = 2.
ггй — 3
Вариант 2
1. а) 207; б) 2. аг. 3. 36 + Ъ. 4. а) аз + Ьз — ai • Ьз.
45
б) ------5. а) х = 8; б) у — 6.
4 + тз
Вариант 3
1. а) -7^; б) 3^3. 2. 263с2 WT 3. х + 3.
1 о
4. а) -Ж2(х4 — 3); б) аз — Ьз. 5. а) ж = 8; б) у = 2.
Вариант 4
1. а) 239; б) 3^3. 2. 18а262 л/За^. 3. а - 1.
. кз (kt — 4) . 1 1
4. а) -----------; б) хз + уз. 5. а) х = 9;
б) а = л/3.
Вариант 5
1. 105. 2. а) -^=- б) 2v/a3. 3. a3’6 - 1.
v Ь2
1 _1_х/ 1 1,1 ,1х . z 3
4. (аз — oi2)(a2 + а^ • ов + оз-). 5, а) х = (у — 1) 2;
10000
б)1=—
Вариант б
1. 19,5. 2. а) а; б) а ^/а. 3. 610’* 4 5 - 64.
4 2
X7 — V5 4 1
4- ~Г---Z---2----Г- 5. а) х = (у - 2) з; б) —.
X"! — Х7 уз + уз
по
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ
Вариант 7
1 1 47— 4
1. -200. 2. а) б) -vQ?. 3. а) ------г;
’ Ж ’ 2 ci +У5
б) сз — 3. 4. х = 8. У к а з а н и е: необходимо ввести
обозначение хз = t>0.
Вариант 8
1. 1000. 2. а) -£=; б) 2с х/?. 3. a) t 5- , ;
Vх Ьз — аз
б) — (уз +2). 4. х = 8. У к а з а н и е: необходимо ввести
обозначение хз = у 0.
8. Упражнения на все действия
над радикалами и степенями
Вариант 1
1. а) 0,25; б) у. 2. a) Xi — —1, Х2 = 7; б) х = 3;
о
в) х = 1g 7.
Вариант 2
1. а) 7-; б) 2. a) Xi = 1,^2 = 4; б) х = 1; в) х = 1g0,7.
8 о
Вариант 3
1. а) б) ————т=. 2. а) х = 3; б) х = 2; в) х = 1g 2,5.
8 у/а — у/Ъ
Вариант 4
1. а) 8^; б) ху. 2. а) х = 3; б) х = 2; в) х = 1g 1,75.
х
Вариант 5
1. а) 2; б) у/т — у/п. 2. а) х = 1; б) х = 3;
3 1
в) х = j + 2lg9’
Самостоятельная работа № 9
111
Вариант б
Вариант 7
1. а) — -у/а; б) а2 + ab + Ь2. 2. a) xi = 0, х% = 1;
б) х = 4; в) х = 1.
Вариант 8
1. а) 6 — 4а; б) у/х. 2. а) х^ — 0, X2 = 1; б) х = 3;
в) х = —1.
9. Область определения функции.
Возрастание и убывание функции
Вариант 1
1. а) £>(/) = [0; 1) U (1; Оо); б) £>(/) = (-оо; -1] U [8; +оо).
2. Нет. 3. а) убывает; б) при х G (—оо;2] f(x) убы-
вает; при х G (2;+оо) /(х) возрастает. 4. f(x) =
= |х — 2| + |х + 2| (см. рис. 1).
Вариант 2
1. а) £>(/) = [-1;0) U (0; +оо); б) D(/) = [-9; 1]. 2. Да.
3. а) возрастает; б) при х G (—оо; 1] /(х) возрастает;
при х G [1; +оо) /(х) убывает. 4. /(х) = |х - 2| - |х + 2|
(см. рис. 2).
Вариант 3
1. a) £>(/) = [0; 1) U (1;2) U (2;+оо); б) D(f) =
= (-2,0] U (3;+оо).
возрастает; при х G
« ч ( Я
2. а) при х € I —оо; -
^;+оо) /(х) убывает; б) при
/(®)
112
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ
х € (—оо; — 1] /(ж) убывает; при х G [—1;+оо) /(ж) воз-
растает. 3. (—1; 1); • 4. у = — |ж1 2 — 6ж + 5| (см.
рис. 3).
Вариант 4
1. а) £>(/) = (-оо; -4) U (-4; -1) U (-1; 1]; б) £>(/) =
= [-3;0) U [5;+оо). 2. а) при х G (—оо;0,5] /(ж) убы-
вает; при х G [0,5;+оо) /(ж) возрастает; б) при х €
G (—оо; —3] /(ж) возрастает; при х G [—3;+оо) /(ж)
убывает. 3. (—1; 0); (4; 5). 4. /(ж) = |ж2 — ж — 6| (см.
рис. 4).
Рис. 3.
Рис. 4.
Самостоятельная работа № 9
113
Вариант 5
1. (—3;36); (1;0). 2. а) см. рис. 5; б) см. рис. 6.
3. a) D(f) = (—оо; —3) U {2} U (3;+оо); б) £>(/) =
= (—6; —5] U [-4; 1); в) £>(/) = (-оо; —1] U [И; +оо).
Вариант б
1. (1; 3); (—6; —4). 2. а) см. рис. 7; б) см. рис. 8.
g-2998
114
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ
Вариант 7
1. Нет. 2. a) D(f) = [—5; —2] U [2;3) U (3; 5]; б) £>(/) =
= {-2} U (2; +оо); в) £)(/) = [-4; —тг] U [0; тг]. 3. а) у =
= |4 — 2|ж|| (см. рис. 9). б) у = |ж1 2 — ж| + х — 1 (см.
рис. 10).
Рис. 9.
Вариант 8
1. Да. 2. а) £>(/) = (-4; -1) U (1;4) U {10}; б) £>(/) =
= {2} Ц[3;5]; в) £>(/) - [-2;-f] U [|;2] . 3. а) /(х) =
= у/х2 — 2|ж| + 1 (см. рис. 11). б) /(ж) = х2 — |ят — гс2|
(см. рис. 12).
Рис. 11.
Рис. 12.
Самостоятельная работа № 10
115
10. Четность и нечетность функции
Вариант 1
1. а) четная; б) нечетная; в) нечетная. 2. (3; —4); (4; —3).
3. а) см. рис. 13; б) см. рис. 14.
Вариант 2
1. а) нечетная; б) четная; в) нечетная. 2. (2; 4); (—4; —2).
3. а) см. рис. 15; б) см. рис. 16.
8*
116
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ
Вариант 3
1. а) общего вида; б) четная; в) нечетная.
2. (—2; 1); (1; —2). 3. а) см. рис. 17; б) см. рис. 18.
Вариант 4
1. а) общего вида; б) нечетная; в) нечетная.
2. (1;2); (—2; —1). 3. а) см. рис. 19; б) см. рис. 20.
Рис. 19.
Рис. 20.
Самостоятельная работа № 10
117
Вариант 5
1. а) общего вида; б) четная; 2. а) (0;3); б) (7;1).
3. а) см. рис. 21; б) см. рис. 22.
Вариант б
1. а) четная; б) нечетная. 2. а) (2; 3); б) (4; 2).
3. а) см. рис. 23; б) см. рис. 24.
118
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ
Вариант 7
1. х = 2. 2. а) четная; б) четная. 3. а) см. рис. 25; б) см.
рис. 26. 4. Если <0 2, то решений нет; если — 2 < а < 2,
то 1 решение; если а < —2, то 2 решения.
Вариант 8
1. х = —2. 2. а) нечетная; б) общего вида. 3. а) см.
рис. 27; б) см. рис. 28. 4. Если а > 2, то 2 решения; если
—2 < а 2, то 1 решение; если а —2, то решений нет.
Рис. 27.
Рис. 28.
Самостоятельная работа № 11
119
11. Неравенства и уравнения,
содержащие степень
Вариант 1
1. а) х < —5; х > 5; б) аг< —7. 2. а) х = 4; б) х = 9;
7 \
в) х = —4; г) х = 4. 3. — 7 I .
Вариант 2
1. а) — 3^з?<3; б) 4< х < 13. 2. а) х = 1; б) х = 4;
в) х = 5; г) х = 0. 3. [3; 7).
Вариант 3
= —4; б) х = 1; х = 4; в)
3. [-4; 1] U {2}.
Вариант 4
х = 2; г) х = —7; х — 8.
1. а) х < —3; х > 3; б)
2. а) х — —1; б) х = —1;
= -6; х = 7. 3. 2 U{-3}.
О
х — 3; в)
х = —2; г) х —
Вариант 5
а) х = 1 — у2; х = 2; х — 3; б)
-1; х = 0. 2. а) [-2; 1] U {2}; б)
1 2 - 2\/22 „
х = —х = ----------. Указание: домножь-
5 21
правую и левую части уравнения на (у/х2 + 6ж + 2+
+у/х2 + а: + 1), после чего вынесите за скобки
множитель (5а: + 1).
1.
3.
те
х = 0,5; в) х =
|;1) ; в) [4; 5).
общий
Вариант б
1. а) х = —5; х =
-2; б) х =
О
в) х = —2; х = 1. 2. а) {—2} U [—2;+оо); б)
120
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ
в) 1г9
1 - V13
6
. 3. х = ——;
4
Вариант 7
1. а) х = 1; б) х = 1; в)
те правую и
2
левую
5 + ЗУ5
— .Указание: домножь-
части уравнения на
1 Г
2’ 2.
уравнения
U {3}; б) (-2;-1]U
Г 2 Г
L 3’3,
Решение: ... х2 + 9х + 8 — а = 0.
49
4 '
. З.аЕ-
1) D = Q...a = -
2) Т. к. х1 2 + 6ж + 8 0, х —4 или х —2; то есть
/(—4)/(—2) < 0 (тогда один из корней не будет под-
ходить). (16 — 36 — а)(4 — 18 — а) < 0; —12 < а < —6.
3) Кроме того, один из корней может быть отрицатель-
ным или 0, то есть (8 — а) 0; а 8.
Вариант 8
1. а) х = 2; б) х — 2; в) х =
U d; б)
_ о
в) [—2; 0) U (0; 2]. 3. а G
3 + 3\/5 „ ч г
-f-. 2. a) {—2}и
^4
. -5 - 797
-4,5;---------
и
12. Радианная мера угла
Вариант 1
1. а < 0. 2. [— 1; 3]. 3. (а — Ь)2. 4. sin^^- =
11тг \/2 117Г 117Г .
cos = ~ ctg °* sin 1,8 >
> tg 2,8. 6. Да, возможно.
Самостоятельная работа № 12
121
7. а) х — 2тгк + к G Z;
б) х = к G Z.
til
Вариант 2
7тг
cos — —
3
6. Нет.
1. т
_ 1
“ 2’
7. а)
< 0. 2. [—2; 6]. 3. а2 — Ь2. 4. sin
7тг /- 7тг 1 с 23
tg — = V3, ctg — = -=. 5. - > cos 2,3.
О О у о о
х = + тгк, к 6 Z; б) х = + тгк, к G Z.
Вариант 3
1. х < 2. [0,25; 3,25]. 3. (а + 5)2 .
Зтг
5. sin 418° > sin 135°. 6. Нет. 7. х / + 2тгАт, к G Z.
Вариант 4
1. х > 2. [-3,7; 0,3]. 3. (а - Ь)2.5. sin 415° > sin 195°.
6. Нет. 7. х / + 2тгАт, к € Z.
□
Вариант 5
тг
2
ТГ
1. х = — + 2тгк, к EZ. 2. Наибольшее значение равно 1,
наименьшего значения не существует. 3. 2,75.
— — г тг \ (Зтг
0; - ) U I —;2тг . 6.-л/2^а^ \/2.
“ / \ «
тг
7. х = тгк, к € Z; х = — + 2тгп, n 6 Z; п 0.
б
Вариант б
1. х = 2тгк, A: G Z. 2. Наибольшего и наименьшего значе-
ТГ
ний не существует. 3. 1. 4. 0 х < —. 5. (тг; 2тг). 6. а — 0.
6
ТГ
7. х = — + тгк, к Е Z; х = тг + 2тгп, п € Z; п 0.
122
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ
Вариант 7
1.
7Г
.2;7Г
И8
11л/3
12
7Г
4
5тг
т
7Г
= — + тг/г, к е Z. 6. Возможно при — 1 < а 0 и
. 2
1^а^2. 7. х = 7г + 2тгА:, к G Z; к 7^ 1.
Вариант 8
[г 42
[Н
1.
. 3. 1,9. 4. О < а < < а < 2тг.
4 4
5. х = 2тг + 4тгА:, к G Z. 6. Возможно при а <
7. х = + 2тгк, к € Z, к 1.
13. Тригонометрические тождества
Вариант 1
4
1.-х- 2. a) coseca; б) sina + cosa. 4. унаиб.=3; уНаим.=2.
О
7Г
5. а) — + тгА:, к G Z; б) нет решений.
£i
Вариант 2
5
1- 12’ 2,a)seco;; б) cos a-smа. 4.унаиб, = 3; уНаим. = -2.
7Г
5. а) — + 2лк, к Е Z; б) нет решений.
Вариант 3
1- 2. а) -Д-; б) sin2а. 3. 4. 9. 5. а)
17 17 ’ sina ’ 49 ' 3
б) нет решений.
Вариант 4
24 7 2 1 ^.1
1. ——. 2. а) -------; б) cos2a.3. ±-л/б. 4. —
25 25 ' cos а 2 9
_ ч 5тг
5. а) —б) нет решении.
Самостоятельная работа № 14
123
Вариант 5
1. 2. а) 1; б) 1. 3. 4. ,1. 5. а) 11.
б) 7Г (2к + 1), fcez.
Вариант б
1 о \ 2 х о 2m2 - m4 +1 ' 15
1- —5". 2. a) cos2а; б) - tga. 3. --------. 4. —.
о, z zy
5. а) —; б) 2tt/c, к G Z.
Вариант 7
1. -у/5. 3. -2tga. 4. 4~3(^2~1) 7 6. а)
тг 5тг
6) 4’ Т-
Вариант 8
1. 3. -2ctga. 4. 4~3(1~Р2). 5. _10 6. а) 11.
в,т;тг-
14. Формулы сложения
Вариант 1
1. —2* а) sina ’ cos/?; б)
4. kez.
О
ctg40°. 3.
1о
Вариант 2
8^3 + 15
34
2. а) cosa • cos/З; б) ctg25°. 3.
а 2?rfc ,
4. —, HZ.
О
1
17’
124
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ
Вариант 3
1. 2. а) 1; б) 0. 4. irk, feGZ.
26
Вариант 4
1. —777-. 2. a) ctgа; б) 0. 4. irk, к G Z.
50
Вариант 5
1. tga. 2. fl + %/sT) . 3. sin (х + 4. ^7-. 5. 2тгА:,
к Е Z.
Вариант б
1. v/3ctga. 2.
+1), к G Z.
. 4. —. 5. тг(2А;+
4
Вариант 7
1. v2- 2. —0,6. Указание: sina = sin (j—ajj .
4. У к а з а н и е: tg (а ± в) = . отсюда:
l^tga-tg/3
tga ± tg/3 = tg (a ± /3) (1 ± tgatg/3). В нашем случае
tg 3a — tg 2a — tg a = tg a • (1 + tg 3a • tg 2a) — tg a =
= tga - (l+tg3a-tg2a—1) = tga-tg2atg3a. 5. -- + 2irk,
О
fcGZ. Указание: y/З sin x + cos x — 2 = 0, — sins+
1 • тг , ( 'k\
+- cos x = 1, sin — • sin x + cos — • cos x — 1, cos I x — — I =
Z О О \ <5 /
7Г 7Г
= 1, x — — = 27rfc, x = — + 2irk, к G Z.
<5 «5
Вариант 8
58
1. —. 2. —. Указание: cos/3 = cos((a + /3) — a).
3 63
4. См. указание к задаче 4 из варианта 7. 5. —+
6
+2тгА:, к G Z.
Самостоятельная работа № 15
125
15. Синус и косинус двойного угла
Вариант 1
24 х/3
1. 2sinll°30' cosll°30'. 2. ——. 3. a) cos4a; б) —-.
i А
л/3
4. —. 5. а) тг&, к Е Z; б) тг/с, к Е Z.
о
Вариант 2
7 \ГХ — 1
1. cos2 7°30' - sin2 7°30'. 2. -. 3. а) 4sin2 а; б) —
У
, д/З „ . тг , , „ . тг лк ,
4. —. 5. а) - + лк, к G Z; б) — + —к € Z.
3 2 о 4
Вариант 3
„ . Л 4<Т5 — 1 „ . _ . _ _ . 7тг
1. sin а + cos а. 2. -—-. 3. 4. 5. sm2a. 6. a) —:
18 ' 6
б)
О
Вариант 4
ЗОл/б - 40
1. sin a — cos а. 2. -. 3. 2tg20 . 5. cos 2а.
„ . 2тг . лк ,
6. а) ; б) —, к е Z.
О Z
Вариант 5
837 3
1. cos4a. 2. ——. 3. 4sina. 4. —2. 5. —6. а) лк, к GZ:
845 4
б) - + 2лк, A: G Z.
Вариант 6
1 233 13тг
1. -cos4a. 2. — ——. 3. 4cosa. 4. 4. 5. —0,96. 6. а) —
8 325 12
17тг
——; б) 7Г (2fc + 1) , fcGZ.
126
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ
Вариант 7
* _ 3 sm а — 4 sin* 3 * а
1. Р е ш е н и е: --------------;----------
11
3 — 4 sin2 a = —; sin2 a = cos2 a =
5 5
= 2,2. Отсюда:
4 . 1
5’ ч/б
2 / 1 \ f 2 \ 4
cosa = ±—7=. sin2a = 2 ±—= ±—7= = ±-:cos2a =
ч/б к ч/5/ \ ч/б/ 5’
4 1 3 „ _ sin3 a + 3 sin a — 4 sin3 a
= 2. Решение: —5-----------5---------=
5 5 5 cos11 a — 4 cos0 a + 3 cos a
3 sin a —3 sin3 a 3sina(l — sin2 a) cos2 a
3 cos a — 3 cos-5 a 3cosa(l — cos2 a) sm a
= ctg a. 4. унаиб. = 1; унаим. = -.Указание:
представьте правую часть данной функции в виде
у — 1 — -sm22x. 5. 2ctga. 6. а) б) —.
L TZ ТЕ
Вариант 8
1. ±—; Указание: см. решение примера 1 из
варианта 7. 2. Указание: см. решение примера 2 из
варианта 7. 4. унаиб. = 1; унаим. = -.Указание:
представьте правую часть данной функции в виде
у = 1 — 0,75sin2 2х. 5. —2. 6. а) — б)
16. Формулы приведения
Вариант 1
1. 1) а) — sin56°; б) cos0,4tt; 2) а) — ctg8°; б) cos0,4tt;
3) а) б) 2. 0. 3. 2. 4. 5.
А О О “х
Вариант 2
1. 1) а) cos43°; б) — зт0,1тг; 2) а) — tg48°; б) sinO,lTr;
1 х/з /б 3
з) а) б) 2. 2cosa. 3. 0. 4. ——. 5.
л О О ~г
Самостоятельная работа № 17
127
Вариант 3
1. 1) а) — ctg(?r — 2); б) — sin27r — 6; 2) a) sin0,17r;
л/2
б) ctg(3,5Tr - 10); 3) а) —у; б) —ч/З. 2. sin2 х. 3. 2\/3.
5. 2як, к GZ.
Вариант 4
1. 1) а) — cos(4 — тг); б) tg(?r — 3); 2) a) cos(^ — 2);
б) — sin(^ — 1); 3) а) —\/3; б) 2. 2sin2 х. 3. —
5. тг (2к + 1), к G 7L.
Вариант 5
1. 1. 3. a) tg250° > tg240°; б) sin 172° :
4. 0. У к а з а н и е: нужно учесть, что — + у =
. 5тг 7Г 7Г
Отсюда sm — = cos —. 5. ——.
14 7 4
sin 175°.
7Г 7Г
7 2’
Вариант 6
1. — cos а. 3. a) sin 260° < sin 250°; б) ctg 240° > ctg 250°.
4. 0. 5. 90°.
2.
Вариант 7
3. “ 4. ±V^?. 5.
sin 10° 25 2
Вариант 8
---. 3. 0. 4. ±\/2^2. 5. -J.
cos0,17r 3
2.
17. Арифметическая прогрессия
Вариант 1
3
1. а) да. б) да. 2. 10. 3. d = -7,1. 4. 7; 61. 5. S6 =
128
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ
Вариант 2
1. а) да. б) нет. 2. 2. 3. d = -11,2. 4. 140; 10. 5. Sw = 40.
Вариант 3
1. -2; 1; 4. 2. S6 = 10,2. 3. S7 = 2,5. 4. S6 = 87.
₽ * 1 2
5. “1 = ^; а2 = аз = 1-
о О
Вариант 4
1. -20;-12;-4; 4. 2. Sw = 55. 3. S9 = 63. 4. S7 = -28.
5. ai = —10 или ai = 2.
Вариант 5
5
1. 13n + 6. 2. d = --. 3. n = 4. 4. 2154. 5. 15147.
4
Вариант 6
33
1. 124 - 25n. 2. d = —. 3. n = 7. 4. -630. 5. 1265.
ZU
Вариант 7
1. a3 = 47. 2. x = 7. 3, 101100. 4. 5. —.
3315 65
Вариант 8
1. a2 = 28. 2. x = 15. 3. 43 725. 4. 5. -7; —.
6783 ’ 7
18. Геометрическая прогрессия
Вариант 1
1 8
1. bn = --2"-1. 2. b5 = -. 3. b& = ±16.
oZ У
4.
\ 6’2’ 8/
(к I
\’2’8/
• 5. S5 = 6.
О
10.
Самостоятельная работа № 18
129
Вариант 2
1.
4.
g
2. Ьу = —. 3. dg = ±27.
и
5. S5 = 6—. 6. 8.
Вариант 3
224 1
1. = ±—; q = ±~. 2. Ь3 = 49; Ь4 = 98. 3. п = 5.
4. bi = 30; q = 2. 5. S5 = 62. 6. q = 0,25.
Вариант 4
4 3
1. bi = — —;q = 2. Ьз = 1;Ь4 = 3;b5 = 9;bg = 27.
17 80
3. п = 4. 4. bl = —; q -- 5. 5. S4 = —. 6. q - 0,5.
JU и
Вариант 5
1. Ь2 = ±6. 2. bi = 8; q = 3. S4 = 120. 4. 1344.
726
5. Se = 0 или S6 = —. 6. а = 18; b = 288.
£ /
Вариант б
1. bi = 3; q = 2 или bi = 12; q = 0,5. 2. bi = 96; q = 1.
3. S4 = 80. 4. 18954. 5. S6 = 0 или S6 = 63^.
64
'6. a = 32;+= 2.
Вариант 7
1. x = 0,5 или x = 2. 2. (5; 15; 45; 135) или (135; 45; 15; 5) .
3. b4 - 0,5. 4. bi 3; q = 2 или bi = 12; q =
= 0,5. 5. £-• (10n+1 — 9n — 1) . У к а з а н и e: 1+
4-114-1114-1111 +... = ( 1 + 10 + 100+ ...+ 10...0) +
+ 1 + 10 + 100 + ... + 10...0
g-2998
130
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ
1 (10п - 1) 1 (10п-1 - 1) 1 (10п-* 2 * - 1)
10-1 + 10-1 + 10-1 + “
+1(^ = I (10” +1071-1+ ••• +10-« + 1) =
= 2- (10n+1 - 9п - 1) . 6. X = —4; х = -1; х = 2.
Указание: примените теорему Виета для кубичес-
кого уравнения.
Вариант 8
1-® = | или х = 3. 2. (2; 10; 50; 250) или (250; 50; 10; 2).
3. bi - 3. 4. = 2; q=2 или bi = 8; q - 0,5.
Решение: 61 + biq + b\q2 = 14 (1). b2+
+b2g2 + b2g4 = 84 (2). Разделим (2) на (I)2, получит-
ся: заметим, что l + g2 + g4 = l + 2g2+
(l + g + g2)2 7’
+g4 - g2 = (1 + g + g2) (1 - g + g2) . Тогда 7 — 7g + 7g2 =
= 3 + 3g + 3g2, g = i; g = 2... 5. (10101 — 901) .
6. x = —2; x = 1; x — 4.
19. Бесконечно убывающая геометрическая
прогрессия. Смешанные задачи
на прогрессии
Вариант 1
1. S = у. 2. bi = 18;b2 = -у. 3. а) 1|; б) 4^;
4. х = 2; у = 4; z = 8.
Вариант 2
9 140 1 1
1. S = --. 2. bi = 28; &2 = -—. 3. а) 2-; б) 1-.
о У о о
4. х = 4; у = 2; z = 1.
Самостоятельная работа № 19
131
Вариант 3
1. а) б) 411. 2. S = -2 (У2 - 1) . 3. Ьг = 2.
4. х = 15.
Вариант 4
1. а) -; б) 3—. 2. S = 1,5 (Л - 1) • 3. bi =
4. у = 3.
Вариант 5
1. 51 = 84; q = 0,25 или bi = 28; q — 0,75. 2. q =
3. bi = 144; q = 7. 4. q = — 2 или q = —7. 5. d = 70.
4 4 4 2
Вариант 6
1. bi = 60; q = 0,25 или 5i — 20; q — 0,75. 2. q = -y--
3. 5i = 54; q = 4. q = 5. d = 70.
«5 <5
Вариант 7
1. q = 0,6. 2. x = 3. 4. q = 3 - 2>/2. 5. x = 2;
у = 4; z — 6; t = 9.
Вариант 8
1 1 3±\/5 r-
1. q = 0,2. 2. x = - или x = -. 3. ———. 4. q = 2 + \/3.
5. x — 6; у = 18; z = 30; t = 50.
9’
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ
Проверочные
работы
на повторение
Проверочная работа № 1
Вариант 1
1.—1,1. 2.-. 4. 0. 5.1. Решени e:4cos4a — sin2 2а-
— cos2 2а + sin2 2а — 2 cos 2а = 4 cos4 а — cos2 2а—
—2 cos 2а = 4 cos4 а — cos2 2а — 2 cos 2а — 1 +1 = 4 cos4 а—
- (cos 2а + l)2 + 1 = 4 cos4 а — 4 cos4 а + 1 = 1.
л -4 + 3V3
Вариант 2
1. -0,75. 2.
4.
5. 0. 6. sin 2а = —
„ 120
‘б2“=Н9
120
169’
Вариант 3
1.
дз л
—4—. 2.
30
1
4‘
4.
1
у/%У
. 1 в 4'/3~3
S. 1. в. -15-.
5
2
Вариант 4
-----.--ко « 1 , 1 ₽ л « о И9 120
!. -0,3. 2. —. 4. —. 5. 4. 6. cos 2а = ; tg2a = —.
Проверочная работа № 2
Вариант 1
1. а) ±3; б) 1 2. а) (1; 2); б) (-3; -5); (-5; -3); (3; 5);
(5; 3). 3. 1064. 4. 80 км/ч.
Проверочная работа № 3
133
Вариант 2
1. а) 1; —2; б) |. 2. а) (у; ; б) (-5; -1); (5; 1). 3.1.
4. 60 км.
Вариант 3
1. а) ±1;±2; б) 2. а) (-3; 2); б) (2; 1); -|) .
3. 1; 3; 5 или 5; 3; 1. 4. 2 км/ч.
Вариант 4
1. а) -1; б) 2. а) ; б) (3; 2); (-3; -2). 3. 4.
4 \ о о /
4. 60 км/ч.
Проверочная работа № 3
Вариант 1
1. а) (-2; -1) U (2; +оо); б) (-2; 0) U (1; +оо).
2. (—оо; —4] U [5; 6]. 3.
Г4 5\
. 4. 465. 5. Верно.
О л /
Вариант 2
1. а) {2} U (-оо; 1); б) (-8; 1) U (1; 5). 2. {1}. 3. {-5; 3}U
/5
U ( 2 . 4. 051 = 0,6. 5. Нет, неверно.
Вариант 3
1. а) (-оо; —2) U (-2; -1); б) (-^/3; 1) U (^3; +оо) .
(—3 — х/5\
-оо;----I U (0; 6]. 4. -429. 5. Нет,
неверно.
Вариант 4
1. а) (-оо; -1) U {3}; б) (-5; -1) U (1; +оо). 2. (-3; 1].
/1 3 + л/б\
3. о 5 —Z— • 1 * 3 4- “126 = -0,1. 5. Да, верно.
\ о 6 /
134
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ
Проверочная работа № 4
Вариант 1
1. 2) у > 0 при х < —4; х > 2. у < 0 при — 4 < х < 2;
3) функция возрастает на промежутке [—1;+оо) и убы-
вает на промежутке (—оо; —1]; 4) [—5; +оо). 2. Прямая
у = 2х — 3 с “выколотой” точкой х = —1. 3. (—1,5; —3,5)
и (1,5; 3,5). 4. [2; 8]. 5. а > 0. 6. (3; 9).
Вариант 2
1. 2) у > 0 при — 2 < х < 4. у < 0 при х < —2; х > 4;
3) функция возрастает на промежутке (—оо; 1] и убы-
вает на промежутке [1; +оо); 4) (—оо; 8]. 2. Прямая
У
и
= Зт — 2 с “выколотой” точкой х = —1. 3. (—1; —1)
-ч
(1;-1). 4.
5. т < 0. 6. (—3; 1).
Вариант 3
1. 2) у > 0 при х < — 3;х > 1. у < 0 при — 3 < х < 1;
3) функция возрастает на промежутке [1;+оо) и убы-
вает на промежутке (—оо;—1]. 4) [—5;+оо). 2. Прямая
у = — 2х + 1 с “выколотой” точкой х = 2. 3. (—2,5; —4,6)
Г1 31
и (2,5; 4,6); 4. ~ ~ ~ '
75- . 5. т < 0. 6. (—3; 9).
.4 4.
Вариант 4
1. 2) у > 0 при — 1 < х < 3. у < 0 при х < — 1;х > 3;
3) функция возрастает на промежутке (—оо; 1] и убы-
вает на промежутке (1;+оо); 4) (—оо;3]. 2. Прямая
у = Зх — 4 с “выколотой” точкой х = —1. 3. (—1;—1)
и (9; 9). 4.
. 5. р>0. 6. (2; 1).
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ
Контрольные
работы
1. Алгебраические уравнения.
Системы алгебраических уравнений
Вариант 1
1.' {—2;1}. 2. а) (-5; -4) (4; 5); б) (-3;-2); (3; 2).
3. 18 км/ч. 4. {—2 ± у/2}.
Вариант 2
1Г{—1; 2}. 2. а) (5; 4); (4; 5); б) (-2; -1); (2; 1). 3. 13 км/ч.
4. {1±у/2}.
Вариант 3
1.а) (2;3);(3;2); б) (-1,75; -3); (-?; -2^. 2. з|.
\ о / [4 J
3. {—3; —1; 5}. 4. 2 ч и 3 ч.
Вариант 4
1. а) (1; 2); (2; 1); б) (-1 ; (4; -9). 2. 1} .
3. {—4; —1; 2}. 4. 15 ч и 12 ч.
2. Степень с рациональным показателем
Вариант 1
1. -2^х < 4. 2. 4. 3. а) </7 > </47; б) ^2^ > ^7;
в) 0,8“2’7 > 0,8~х>4; г) 1 > (1,06) ~5 6.4. 10. 5. а) 2; б) -1.
6. \/ab.
136
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ
Вариант 2
1. -7<:х < 5. 2. 176. 3. а) &26 > ^5; б) 1^28>УзТ^;
97
в) З-1’4 > 3~2,7; г) 0,74’5 > 1. 4. 5. а) ^19; б) -1.
80
6. X + у.
Вариант 3
1. 0<т < 2, х > 2. 2. 33. 3. а) > ^35; б) <
q | 1
< m в) 3,7-2-4 > 3,7-3’4; г) - >1. 4. —. 5. а) 1;
4 210
Вариант 4
1. 1 С х < 10. 2. 6. 3. a) W9 > W; б) </7 > ^2^5;
/5\1,7 1
в) 6,1~4’5 > 6,1-5,1; г) ( -J < 1. 4. 10-. 5. а) 1; б) -1.
6. /х + у/у.
3. Степенная функция
Вариант 1
1. а) [—4; —2) U (—2; 4]; б) (—4; 1) U {10}. 2. а) нечетная;
б) четная. 3. а) см. рис. 29; б) см. рис. 30; в) см. рис. 31.
4. а) {-3;3}; б) {0}.
Вариант 2
1. а) (0; 10]; б) (—оо;—1] U [2;+оо]. 2. а) четная; б) не-
четная. 3. а) см. рис. 32; б) см. рис. 33; в) см. рис. 34.
4. а) {-5; 5}; б) {-4}.
Вариант 3
1. а) четная, б) нечетная. 2. а) (—оо; —2,5) U
U(—2,5; 1) U (1;+оо); б) (—оо;—1) U (—1; 1] U [4;+оо).
3. а) см. рис. 35; б) см. рис. 36; в) см. рис. 37.
4. а) {2}; б) {7}.
Контрольная работа № 3
137
138
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ
Вариант 4
1. а) нечетная, б) четная. 2. а) (—оо; —2,5) U
U (—2,5; — 1) U (—1;+оо); б) {-1,5} U (1; 5). 3. а) см.
рис. 38; б) см. рис. 39; в) см. рис. 40. 4. а) {5};
б) {3}.
4. Основные тригонометрические тождества
Вариант 1
.2 . . д 9 ~ \ Зл/б
1. а) ----; б) sm а; в) tga. 2. a) cos a =--—; tga =
sin a 7
Контрольная работа № 5
139
4 • 4 x 4
a) sina = tga =
3 4 1
sina = ctga = 4. 2-.
0 0 0
2 х . 7 24
= Ctg“ = б) 8Ш“ = 25’ с““ = ~25’ ‘S“ =
= - —. 4. 4,5. 5. —. в. -
24 ’ 125 6
Вариант 2
1 . а) 0; б) 1; в) tga. 2.
3 4
ctga = — б) cosa = —-
23 , 5
5. —. 6. —.
32 3
Вариант 3
1. а) 0; б) 1; в)
8 ..
3
2.
cosa
ctga = —77; 6) sina = —
15
л 5 „ 118 o
4. —. 5. ---. 6
11 125
Вариант 4
15’ '
118 -
125 ‘ 6
g
a) cos а = —; tga - -
1 * 2 3 X
—=; cos а =------з=; tga = -
у/5 у/5 2
15
8 ’
1
2
1. а)
2 12
------: б) 1; в) sina + cos а; 2. a) sina = —;
sin а-, 13
12 5 . 4 3
tga = = ——; ctga = ——; б) sina = — cosa =
5 12 5 5
3 , я r „ 49 „ 27Г
ctga = 4. 4,5. 5. —. 6. .
4 al 6
5. Формулы сложения. Формулы приведения
Вариант 1
1. а) 1; б) 0. 2. 1. 3. 2. 4. + -лк, к € Z. 5. Прямая
у = 1.
Вариант 2
\/3 тгА’
1. а) —1; б) 0. 2. ——. 3. 1. 4. —, к G Z. 5. Прямая
3
у = 1 с “выколотыми” точками: —, п € Z.
140
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ
Вариант 3
1. a) ctgа; б) 0. 2. —уЗ. 3. - ctg2а. 4. — + —, к G Z.
2 8 2
5. Прямая у = 1 с “выколотыми”
тт
точками: —, п € Z.
Вариант 4
v3
1. a) tga; б) 0. 2. —. 4.
О
тгк
—, к € Z. 5. Прямая у = 1.
о
6. Прогрессии
Вариант 1
1. 12; 7; 2. 2. п = 8. 3. ai = 9; d = 2. 4. q = 2. 5. S = —.
3
Вариант 2
1. 20; 16; 8; 4; 0. 2. n = 13. 3. <ц = 6; d = 5. 4. q = -2.
Вариант 3
1. b7 - -J-. 2. n = 9. 3. bs = 4. 945. 5. (-1;3; -9);
04 о
(-9;3;-l).
Вариант 4
1. b8 = 2. n = 30. 3. bi = 6; q = 0,5. 4. 810. 5. (1; -3; 9);
(9;-3;l).
7. Итоговая контрольная работа
Вариант 1
1 5
2. - и 1. 3. (-оо; -1) U {3}. 4. 20 ч. 6. 6. 7. .
<5 12
Итоговая контрольная работа
141
Вариант 2
1. ~ г 2. (5; 1); (1;5); (2;3); (3; 2). 3. [0; 1]U[2; 3)U
у4я + 1
120
U(3;4) U (4;+оо). 4. 9 дней. 5. sin2а = tg2a =
169
120 „ „ „ ,
= _ в.„ = 7.Г.-1.
Вариант 3
2. 1 и 1. 3. (—оо;0) U (1; +оо). 4. 20 дней; 30 дней. 6. 6.
-4
Вариант 4
1.
2- т);(~т;• 3-(-2;0)и(0;3)и
\ О О / \ о о/
119 120
U[5;+oo). 4. 20 машин. 5. cos2а = ——; tg2a = ------
„ _ . 169 119
6. п = 6. 7. 1.
Содержание
Предисловие ........................................ 3
Ответы
Самостоятельные работы...................... 5 .. юо
1. Деление многочленов. Решение
алгебраических уравнений.................... 5 ...100
2. Уравнения, сводящиеся к алгебраическим.. 8 ... 101
3. Системы нелинейных уравнений............ 11 ... 103
4. Решение задач с помощью уравнений....... 13 ... 105
5. Степень с целым показателем............. 18 ... 105
6. Корень натуральной степени.............. 22 ... 107
7. Степень с рациональным показателем...... 27 ... 109
8. Упражнения на все действия над радикалами
и степенями................................ 30 ... ПО
9. Область определения функции. Возрастание
и убывание функции..........................33 ... 111
10. Четность и нечетность функции.
Функция у = ............................... 37 ... 115
11. Неравенства и уравнения, содержащие
степень.................................... 40 ... 119
12. Радианная мера угла.................... 43 ... 120
13. Тригонометрические тождества........... 47 ... 122
14. Формулы сложения....................... 51 ... 123
15. Синус и косинус двойного угла...........53 ... 125
16. Формулы приведения..................... 57 ... 126
17. Арифметическая прогрессия...............62 ... 127
18. Геометрическая прогрессия.............. 65 ... 128
19. Бесконечно убывающая геометрическая
прогрессия. Смешанные задачи
на прогрессии............................ 69 ... 130
Содержание
143
Проверочные работы
на повторение........................... 73 ... 132
Проверочная работа № 1.................73 ... 132
Проверочная работа № 2............... 75 ... 132
Проверочная работа № 3.................77 ... 133
Проверочная работа №4..................79 ... 134
Контрольные работы.......................83 ... 135
1. Алгебраические уравнения. Системы
алгебраических уравнений.................83 ... 135
2. Степень с рациональным показателем.... 85 ... 135
3. Степенная функция................... 87 ... 136
4. Основные тригонометрические тождества.90 ... 138
5. Формулы сложения. Формулы приведения .... 93 ... 139
6. Прогрессии........................... 95 ... 140
7. Итоговая контрольная работа...........96 ... 140
Учебное издание
Зив Борис Германович
Гольдич Владимир Анатольевич
ДИДАКТИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
ПО АЛГЕБРЕ ДЛЯ 9 КЛАССА
Редактор А. С. Пивоварова
Компьютерная верстка Л. Н. Соловьева
Художник Е. Т. Киселев
Корректор Н. В. Евстигнеева
ООО «ЧеРо-на-Неве» ЛП № 00096 от 5 марта 1999 г. Подписано
к печати 10.09.2003г. Формат 60x90/16. Бумага типографская.
Печать офсетная. Объем 9 п.л. Заказ № 2998
Издательство «ЧеРо-на-Неве»
192239, С.-Петербург, Альпийский пер., 9, корп. 3, кв. 34
Тел./факс: (812) 173-7532; 373-5605. E-mail: info@atlas.spb.su
Отдел реализации:
Тел.: (812) 388-5881, 373-5605
В Москве: (095) 939-3493, 939-4170, 939-4190
МОСКОВСКИЙ ЦЕНТР НЕПРЕРЫВНОГО
МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ
121002, Москва, Б. Власьевский пер., 11
Тел./факс: (095) 241-Ъ 00; 241-7285. E-mail: biblio@mccme.ru
Отпечатано с готовых диапозитивов в
ГУП «Великолукская городская типография»
182100, Великие Луки, ул. Полиграфистов, 78/12
Тел./факс: (811-53) 3-6295. E-mail: vtl@mart.ru