/
Автор: Трофимова Т.И. Фирсов А.В.
Теги: физика задачи по физике сборник задач
ISBN: 978-5-7695-6777-3
Год: 2012
Текст
Начальное
и среднее
профессиональное
образование
Т. И. Трофимова
А. В. Фирсов
ФИЗИКА
Сборник задач
<Х>
СО
со
ДЛЯ ПРОФЕССИЙ И СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ
ТЕХНИЧЕСКОГО И ЕСТЕСТВЕННО-
НАУЧНОГО ПРОФИЛЕЙ
СADEM А
ПЕРИОДИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ХИМИЧЙ КИХ ЭЛЕМЕНТОВ Д.И.МЕНДЕЛЕЕВА
ПЕРИОДЫ РЯДЫ группы! ЭЛЕМЕНТОВ
(1) 1 (11) (2) II (12) (13) III (3) (14) IV (4) (15) V (1 (16) VI (6) (17) VII (7) VIII (8) VIII (9) VIII (Ю) VIII (18)
1 1 Н 1 1.00794 It* ВОДОРОД He 2 4002602 Is? ГЕЛИЙ 2
I u A Порядковый (атомный) номер Символ элемента Распределение электронов по уровням
2 2 Li з 6.941 й литий Be 4 9012182 2г’ БЕРИЛЛИЙ В 5 ЮЛИ 2Лр БОР C 6 12ОЮ7 №p> УГЛЕРОД N 7 (1)674 2H2p> 3OT 0 8 нем 2Й2Р4 1 ИС ЛОРОД г F 9 189984032 ФТОР Относ* Е 79 Au,; 96.96655 М'Обб' ft ЮЛОТО Ne 10 20.1797 2^ НЕОН
3 3 Na п 22.989770 М’ , НАТРИЙ Mg 12 243060 >’ , МАГНИЙ Al 13 20.981638 3e?3p i АЛЮМИНИЙ Si 14 28.0866 W j КРЕМНИЙ P 30.97361 3»'30» ФОСФОР S 16 UIM 35‘Зр4 6 «1РА 2 Cl 17 354527 Зз'Зр* у ХЛОР (тельная Название атомная элемента масса Конфигурация валентных электронов Ar 18 39.948 35>3{У e АРГОН
4 5 4 К 19 39ПО63 4*' ; КАЛИЙ Са 20 40078 4^ j КАЛЬЦИЙ 21 SC 44.966010 3d4* | СКАНДИЙ 22 Ti 47J67 МЧГ ТИТАН 23 V 9O.94IS MMP ВАНАДИЙ Cr •»W6I 3dMi’4 POM г 25 МП 54.938049 3dMs^ ft МАРГАНЕЦ 26 Fe 55 845 3dM^ ft ЖЕЛЕЗО 27 СО 58 933200 3dft КОБАЛЬТ 28 Ni 586934 3dMs- ft НИКЕЛЬ
5 29 CU за®*' ,; МЕДЬ 30 Zn 0639 3dW ft ЦИНК Ga 3) 69.773 4e-4p ft ГАЛЛИЙ Ge 7241 4»>4p* ft ГЕРМАНИИ As зз 74 97160 4^4p* I МЫШЬЯК Se 34 •Wk 4$-4p4 CIAIH ВГ 35 79.904 4*4р= ft БРОМ Kr 36 83M 4s-4p* ft КРИПТОН
6 7 Rb 37 . 854678 5» ft РУБИДИЙ Sr 38 _ 8742 V .2 СТРОНЦИЙ 39 у 88.90685 4d'5r’ ft ИТТРИИ 40 Zr 91724 AR» 1* ЦИРКОНИИ 41 Nb 92WI НИОБИИ -12 MO Ш«4 4tf& МОЛИБДЕН a 43 ТС (981 ft ТЕХНЕЦИЙ 44 RU , 1OTJ07 46^' ft РУТЕНИЙ 45 Rh , 102,90650 ft РОДИЙ 46 Pd 10642 4d*58» ft ПАЛЛАДИЙ
47 Ag, кралю 4cm {! СЕРЕБРО 48 Cd 112411 4d»W КАДМИЙ } In 49 iMiie te>ep' индии Sn '•'< 118,710 8t*ftp* ft ОЛОВО Sb 51 121 760 ‘a'fip» I СУРЬМА Те 52 6 U7A0 5*’5р* !S 11ЛАУР I 53 126.ЯШ7 5«>Sp> ;; иод Xe 54, 13159 5s-5fy ft КСЕНОН [
6 7 8 9 10 11 CS 55. I32.90M6 аг :: ЦЕЗИЙ Ba 13732? БАРИЙ 50, 6г' ft HgJ sew S 88 i f 57 *La 1389086 M*to> ft ЛАНТАН 72 Hfl М849 ft ГАФНИЙ 73 Ta IROM/V W ( ТАНТАЛ 74 W IMM 5<Яй- ft ВОЛЬФРАМ ? 75 Re,? 186207 5cP6i! ft РЕНИЙ 76 OS 19023 5dW ft ОСМИЙ 77 1Г? 192217 5dW ft ИРИДИЙ 78 195X178 5tP6s' ft ПЛАТИНА
79 А 196,96666 5Ф золото Fr 1 (223) ФР АН it .U,i *! TI 81. XM3833 а»*чг ft ТАЛЛИН Pb » «72 личи ft СВИН1Ц Bi " ХИ98П38 л»^бр* ( ВИСМУТ Po 84 ; 1ЛЖ1 6sJ6p4 ft ПОЛОНИЙ At 8S. 1210) 6^6p' ft АСТАТ Rn 86,• 12221 Й РАДОН 1
37; Ra izw РАДИЙ 89 **Дс [727| бб'ТУ Й АКТИНИИ '04 Rf |MI| OPV ft РЕЗЕРФОРДИЙ 105 |)|> |M2) 6d‘7H ДУБНИЙ 106 Sg ГЫМ 6dW ft С.ИВОРГИЙ ? Ю7 Bh^ (2641 6dW ft БОРИЙ 108 HS“ [2691 6d»7|? ft ГАССИЙ 109 Mt; (268) 6<Г7Р ft МЕЙТНЕРИЙ 11° Ds;- [27l| txFIi' « ДАРМШТАДТИЙ 5
Kgs (772) 6d*W ft Р1НТГЕНИЙ 112 11 I R2O:t 11.1 ro2 rh4 115 R,<>, RHa 116 117 118
ФОРМУЛА ВЫСШЕГО ОКСИДА ФОРМУЛА легучЕго ПОДОКШНОГ 0 соадинвния R.,O ла RO RO3 R2O7 RO4
H2R HR
•ЛАНТАНОИДЫ
&8 се KI НА rbw )] Ц1РИИ 1’1 140 WM 4ГМе' ft ПРАМОДИМ 60 Nd | мим й Н8ОДИМ 61 Pm: 11481 4Rte* (j ПРОМ1ТИИ 62 Sill 180Л 4P^> fj ( АМАРИИ 1 II III WW 4»'6f* ft 1ВРОПИИ 64 (Jd 157» «W fl ГАДОЛИНИЙ Th < 1МНЛЗ 4IW ft U ММЙ ’ Д * Dy i ax 4t“W" .ИСПРОЗИЙ ’ 67 HO5 164.9303 4fW ft ГОЛЬМИЙ 2 68 Еп 16726 4TW ft ЭРБИЙ 69 Tm? 168.9342 4t'W ft ТУЛИЙ 70 Yb. 173XM ft ИТТЕРБИЙ 71 Lu? 174,967 4fM5d’<»>ft ЛЮТЕЦИЙ
••АКТИНОИДЫ
w Thrf M9uhi MW Н ЮРИЙ ! 91 |»и Л101М WWl’fyU ПЮТАШИНИЙ J 1 **"• «мн»Л УРАН 1 93 Np twi MWr’p ft Н8ПТУНИИ 94 P|| IMII 8Р7У \ ПЛУТОНИИ \lll AMI РИЦИН ( III 1247] W’Ail'TM 1 КЮРИЙ 1 9/ Bk |>4/| 5P6d 7H ft |2 МРКЛИИ *|K >8 CfJ 511 5Г<7Й ft ААИФОРНИЙ ’ 99 ES- [2521 5f”7* ft ЭЙНШТЕЙНИЙ 2 100 Fm^ (257] 5tW ft ФЕРМИЙ 101 Md,? I2SSJ StW Й МЕНДЕЛЕВИЙ 5 102 Noj (259! 5Г*7у’ ft НОБЕЛИЙ 103 LrJ 1262) 5fK6d'7f ft ЛОУРЕНСИЙ 5
НАЧАЛЬНОЕ И СРЕДНЕЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ '
Т. И. ТРОФИМОВА, А. В. ФИРСОВ
ФИЗИКА
ДЛЯ ПРОФЕССИЙ И СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ ТЕХНИЧЕСКОГО
И ЕСТЕСТВЕННО-НАУЧНОГО ПРОФИЛЕЙ
СБОРНИК ЗАДАЧ
Рекомендовано
Федеральным государственным автономным
учреждением «Федеральный институт развития
образования» (ФГАУ «ФИРО») в качестве учебного пособия
для использования в учебном процессе образовательных
учреждений, реализующих программы общего образования
по профессиям начального профессионального образования
и специальностям среднего профессионального образования
™'А / I
Mo«sa 1--- БИБПИПТ^;-7* !
Образовательно-издател Lcr.iin ЦБПЩта11ици1.п1ЛУг * CIW*
2012 - --- J
УДК 53(075.32)
ББК 22.3я723я722
Т761
Рецензент —
преподаватель ГОУ СПО «Колледж автоматизации
и радиоэлектроники № 27 им. П.М. Вострухияа» О,В,Попова
96^0
Т761
Трофимова Т. И.
Физика для профессий и специальностей техниче-
ского и естественно-научного профилей. Сборник за-
дач : учеб, пособие для учреждений нач. и сред, проф.
образования / Т. И, Трофимова, А. В. Фирсов. — М. : Из-
дательский центр «Академия», 2012. — 288с.
ISBN 978-5-7695-6777-3
В задачник включено около 1 000 задач различной сложности,
охватывающих материал действующей программы по физике для
специальностей начального и среднего профессионального образования
на базе основного общего образования.
В начале каждой главы приведены основные законы и формулы,
необходимые для решения задач, а также решения типовых задач.
Ко всем задачам приведены ответы. В задачнике имеются задачи по'
вы шейной сложности — они отмечены звездочкой.
Для обучающихся в образовательных учреждениях начального
и среднего профессионального образования.
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ VITK^n7^9i
П0ЯВ.-а«ИИ«'.-- •• ;ВВК22 Зяйзя722
ВИеПИС15*.А jBBK 22.3яТ23я722
* - । 1 1 • । •
К
Оригинал'макет данного издания является собственностью
Издателъскргощентра *Академия*, и его воспроизведение
любым способом без согласия правообладателя запрещается
© Трофимова Т. И.* Фирсов А. В., 2012
© Образовательно-издательский центр «Академия*, 2012
ISBN 978-5-7695-6777-3 © Оформление. Издательский центр ♦ Академия*,2012
Предисловие
При изучении курса физики в учреждениях начального и среднего
профессионального образования необходимо уметь применять теоре-
тический материал при решении конкретных задач. Основной целью
данного учебного пособия является именно отработка навыков грамот-
ного решения задач.
Предлагаемое учебное пособие является составной частью ком-
плекта по физике, состоящего из учебника «Физика для профессий и
специальностей технического и естественно-научного профилей» (автор
А. В, Фирсов) и учебных пособий «Физика для профессий и специаль-
ностей технического и естественно-научного профилей. Справочник»,
«Физика для профессий и специальностей технического и естественно-
научного профилей. Сборник задач», «Физика для профессий и специ-
альностей технического и естественно-научного профилей. Решение
задач» (авторы Т, И.Трофимова и А.В.Фирсов).
В начале каждой главы представлены основные законы и формулы,
позволяющие фрагментарно вспомнить теоретический материал; затем
подробно разобрано решение типовых задач по данной теме, а в конце
главы приведены задачи для самостоятельного решения. Подробное
решение задач для самостоятельного решения будет представлено в уже
указанном выше учебном пособии «Физика для профессий и специаль-
ностей технического и естественно-научного профилей. Решение задач».
Обобщающий справочный материал приложения окажет неоценимую
помощь обучающимся в самостоятельной работе. Задачи повышенной
трудности (они отмечены звездочкой) могут быть использованы аби-
туриентами, слушателями курсов по подготовке в вузы и студентами
вузов.
Все задачи снабжены ответами, которые даны с точностью до трех
значащих цифр. Таким же числом значащих цифр выражены величины
в условиях задач и справочных таблицах, приведенных в конце задач-
ника. Значащие цифры - нули, стоящие в конце чисел, для упрощения
записи опускаются. В условиях задач и ответах используются кратные
единицы, образованные от единиц СИ.
Все полезные замечания и предложения по содержанию учебного
пособия будут С б лтя г лля пнпстрБ J II U И I i.j i i ir> ova@sumail,
ru. и firsovav@mail.ru.
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ
ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ КОЛЛУПИ !
— БИБЛИОТЕКА I
'кт HS'SN' =b=L д П11Л rti. Л" te! ". V Xr W* ,ife к: -;;i .' ,'
=:= k?, univн-Л"1';" ’i'^.,.. i'.u.vir^"',^'i- :st J'it
Раздел I
МЕХАНИКА
Глава 1
Кинематика материальной точки
Основные законы и формулы
Средняя скорость материальной точки
(v) = —; (v) = %2~X1 = —
At t2-tr At
[As — длина пути, пройденного точкой за промежуток времени
At; Xi и х2 — координаты точки в моменты времени tx и t2 соот-
ветственно].
Среднее ускорение материальной точки
/й) = А£ = £_^о
4 At t-t0
[б и б0 — вектор скорости в данный t и начальный t0 моменты
времени соответственно].
Закон сложения скоростей в классической механике
v = и + й
[б и б' — скорость материальной точки относительно неподвиж-
ной К и подвижной К' систем отсчета соответственно; й — ско-
рость движения системы К1 относительно системы X, направ-
ленная вдоль оси х].
Кинематическое уравнение равномерного движения мате-
риальной точки вдоль оси х
X = х0 + vxt
[х, х0 — координата точки в данный t и начальный t = 0 момен-
ты времени соответственно; — проекция вектора скорости б
на ось х].
4
Путь и скорость для равнопеременного движения
п
s^vQt±^;
о
и - u0 ± at
[с>о — начальная скорость].
Связь между характеристиками движения с постоянным
ускорением
uf - vl - 2as
и v2 — скорость в начале и конце участка пути s соответ
ственно].
Полное ускорение при криволинейном движении
а = dT + ап,
а = y/af + а2
г do v2
[аг = — — тангенциальная составляющая ускорения; ап = —
нормальная составляющая ускорения (J? — радиус кривизны
траектории в данной точке)].
Угловая скорость и угловое ускорение
CD =
Д(рф
At *
Дш
8 =--
At
[Atp — угол поворота точки от начального положения; At — эле-
ментарный промежуток времени, в течение которого этот пово-
рот произошел].
Частота вращения
„ _ 1 „ со
~ Т'
[Г — период вращения; о — угловая скорость].
Угловая скорость для равномерного вращательного движе-
ния
= — = 2тт
Т
[Т - период вращения; п = N/t — частота вращения — чис-
ло оборотов, совершаемых телом за время t)].
5
Угол поворота и угловая скорость для равнопеременного
вращательного движения
Et2
<р=±—
О) - (О0 ± £/
[о0 — начальная угловая скорость],
Связь между линейными и угловыми величинами
s - А<р; v = 7?со; ат = Ле; ап = (dzR
[\R — расстояние от точки до оси вращения] -
Примеры решения задач
в Поезд движется со скоростью и - 30 км/ч. Определите ско-
рость v вертикально падающих капель дождя, если они скользят
по стеклу вагона поезда со скоростью vr = 12 м/с, и угол наклона а
к вертикали оставляемых на стекле следов капель.
Дано: и - 30 км/ч = 8,33 м/с; и’ = 12 м/с.
Найти: и; а.
Решение. Согласно закону сложения скоростей в классиче-
ской механике,
v = v' +
где и — скорость капель в системе координат X, связанной
с Землей (эта система принимается неподвижной); 5' — скорость
капель относительно системы координат К', связанной с поездом
(эта система движется со скоростью й в положительном направ-
лении оси х системы А?) (рис. 1).
Из прямоугольного треугольника (см. рис. 1) следует:
- V*2 - и2,
откуда искомая скорость
v V
Рис. 1
у = ^и'2 -и2
Из формулы sin а = ~
v
угол наклона
. и
a - arcsin—-
и
Ответ: v - 8,64 м/с; а = 44е.
□ Велосипедист и пешеход преодолевают некоторое рас-
стояние, двигаясь равномерно, причем велосипедист затрачивает
на это в 5 раз меньше (л = 5) времени. Определите, на сколько
скорость велосипедиста больше скорости пешехода Ди, если ско-
рость пешехода - 1 м/с.
Дано: = nt2\ n = 5; vx = 1 м/с*
Найти: Др.
Решение. Разность скоростей велосипедиста и2 и пешехода
L4 равна
Al? = l?2 ’ (1)
Путь, пройденный пешеходом и велосипедистом, одинаков,
поэтому в случае равномерного движения
s = и s = y2t2,
или
Vl^l = t?2^2>
откуда
v2 - ~~ - -------
*2 ^2
(учли, что по условию задачи = nt2).
Подставив формулу (2) в формулу (1), найдем искомую вели-
чину
Др = nv1 - Р] - (п - 1)Рр
Ди = (и - 1)1?!
Ответ: Др = 4 м/с*
□ На рис. 2, а представлена зависимость ускорения а от вре-
мени t для тела, движущегося прямолинейно. В начальный мо-
мент времени (t0 = 0) скорость тела и0 = 0. Нарисуйте графики
зависимостей скорости v и координаты х от времени описав
движение на каждом из этапов*
Решение. I этап. 0 < t < tY (tj = 1 с).
Начальные условия: = 0; v0 = 0; - 0.
Скорость: + at = 2t (м/с), где и0 = 0; а = 2 м/с2.
При t = tj скорость = 2 м/с; график движения — прямая
(см. рис. 2, £).
Согласно рис. 2, а, #, движение равноускоренное (ах > 0, и > 0).
7
Рис. 2
Координата:
, at2 at2
Xi = Хо 4~ VQt +
где x0 = 0; v0 = 0; a = 2 м/с2; xx =
= 1 м — график движения — пара-
бола, верви которой направлены
вверх (рис. 2, в).
II этап. < t < t2 (fx = 1 c; t2 - 2 с).
Начальные условия: fx = 1 с; =
- 2 м/с; xL - 1 м.
Скорость: и2 = - 2 м/с; график
движения — прямая (рис. 2, б).
Согласно рис. 2, а, движение
равномерное (а2 = 0).
Координата: х2 = Xi + tx),
х2 = 3 м; график движения — пря-
мая (рис. 2, в).
III этап, t > t2 (t2 = 2 с).
Начальные условия: t2 = 2 с; и2 =
= 2 м/с; х2= 3 м.
Скорость: и3 = и2 - a(t - t2).
В момент времени t3 - 4 с ско-
рость и3 = 0; затем скорость меняет знак (тело начинает движение
в обратную сторону), при этом направления скорости и ускорения
совпадают — движение равноускоренное (рис. 2,6).
Согласно рис. 2, а, 6, движение равнозамедленное от 12 = 2 с
до t3 = 4 с (о > 0, а < 0). При t > t3 движение становится равноу-
скоренным, поскольку знаки скорости и ускорения совпадают
(скорость возрастает по модулю).
Координата:
*3 = X2+V2(t~t2) + 2 27 Л
График движения — парабола, ветви которой направлены
вниз. При t3 - 4 с (точка поворота) координата достигает мак-
симального значения (х = хтах). Этому моменту соответствует
вершина параболы, х3~ 5 м (рис. 2, в).
Q Кинематическое уравнение движения материальной точки
имеет вид х - 6 - 3£ + 2t2 (м). Определите координату х19 в которой
скорость точки обращается в нуль.
I 8
Дано: х = 6 - St + 2t2 (м); иг = О,
Найти: хР
Решение. Кинематическое уравнение движения
x = x0 + v0# + ^-. (1)
Сравнивая уравнение (1) с заданным уравнением
х = 6 - St + 2t2 (м), (2)
находим начальную скорость и ускорение материальной точки
р0 = -3 м/с; а = 2 м/с2.
Скорость в случае равноускоренного движения
и ~ vQ + at. (3)
Скорость v станет равной нулю через промежуток времени tu
который определим из условия (3)
О = —3 + 2ti?
откуда ti - 0,75 с. Подставив это значение в уравнение (2), най-
дем искомую координату
Xj - 6 - 3-0,75 4- 2 0,752 = 4,86 (м).
Ответ: %! = 4,86 м.
Q На рис. 3, а представлен график зависимости ускорения а
от времени t для тела, движущегося прямолинейно. В начальный
момент времени tQ = 0 скорость тела о0 = 0. Определите среднюю
скорость тела на всем пути и на каждом этапе движения; по-
стройте графики зависимости скорости v и координаты х от вре-
мени t.
Решение. I этап. t0 < t < (t0 = 0, tv - 3 с).
Начальные условия: t0 = " 0* ~ 0.
Скорость: t>i = и0 + а1* = е?! = 6 (м/с) (рис. 3, d).
Движение равноускоренное, так как скорость по модулю воз-
растает (а: = 2 м/с2 > 0, v > 0).
Координаты:
axt2 а-Л2
=х0 + и0* + -^- = -у-
(рис. 3, в),
х £1£Г. = 2^=9м>
1 2 2
9
Средняя скорость:
Х1~ХО 9-0[м]
fj-to 3 —0[с]
- 3 м/с.
П этап. < t < t2 (ti = 3 c, t2 ~ 6 с).
Начальные условия: = 3 с, =
- 6 м/с, Xi - 9 м.
Скорость: v2 = + a2(t - t±) -
= 6 - (t - 3) (рис. 3.6, б).
Движение равнозамедленное, по-
скольку знаки скорости и ускорения
различны (а2 = 1 м/с2 < 0, v > 0).
Координаты:
. ч a2(J-£i)2
x2=x1+t;1(t-t1)+ 17 =
=9+6(f_3)_M^32i =
= 94-6(6-3)-1(623>а = 22,5м
(рис. 3, в).
Средняя скорость:
*2~*1 6 —3[с]
м/с.
Средняя скорость на всем пути:
(и> = х2 go = 3,75 м/с.
1% ~ ^0
Ответ: = 3 м/с; (о2) - 4,5 м/с; (и) = 3,75 м/с.
Q Одно из тел бросили с высоты - 12 м вертикально вверх,
другое в тот же момент с высоты h2 = 25 м бросили горизонтально
(рис. 4). Определите начальную скорость р01 первого тела, если
оба тела упали на землю одновременно.
Дано: /гх - 12 м; h2 - 25 м; tx = t2 - t.
Найти: v01.
Решение. Кинематическое уравнение движения тела в век-
торной форме
10
st^
r =ro + uot + ^—,
£1
где r0 — радиус-вектор, определяющий на-
чальное положение тела в выбранной сис-
теме координат; d0 — начальная скорость
тела; g — ускорение свободного падения.
Направив ось у вертикально вверх (начало
отсчета на уровне земли, см. рис. 4), запишем
уравнение движения первого и второго тел
в проекции на эту ось для момента падения
О = й1+ио1/-^-; (1)
0 = h2 -
(2)
(учли, что ti - t2 = t).
Из уравнений (1) и (2) находим искомую начальную скорость
первого тела
д/2 h2 /g
Ответ: v01 - 5,76 м/с.
Q С вершины наклонной плоскости, составляющей с горизон-
том угол а = 30\ горизонтально брошен камень со скоростью t>0 =
= 5 м/с (рис. 5). Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите
расстояние до точки падения камня на наклонную плоскость.
Дано: а = 30е; р0 = 5 м/с.
Найти: I,
Решение. Запишем кинематические уравнения движения
в векторной форме
. - , - х gt2
Г = ro + pof + ^—;
U = po +it2;
a = g,
где г0 — радиус-вектор, определяющий
начальное положение тела; и0 — на-
чальная скорость тела; g — ускорение
свободного падения.
11
Направив оси координат из точки начала движения (см. рис. 5),
запишем уравнения движения в проекции на оси х и у:
x = vot; y = S?-, (1)
vx = о0; vy = gt. (2)
Обозначив координаты точки наклонной плоскости, в которую
упадет камень, через хх и gx, время падения — через t19 имеем
tga = —, (3)
gt?
причем, согласно (1), jq = o0tx и ух = ^°^ставив эти выраже-
ния в формулу (3), найдем
2Mga
Я
Искомое выражение, определяющее расстояние до точки па-
дения камня на наклонную плоскость, имеет вид
/ = л[х[+У1 = д/xf +xftg2a = Xi 71 + tgza =
g gcosa
[учли соотношения (3), (1) и (4)].
j,_2ogtga
geos a
Ответ: I = 17,7 m.
Q Тело брошено под углом а к горизонту. Пренебрегая со-
противлением воздуха, определите этот угол, если максимальная
высота подъема Атах в п ~ 2,1 раза меньше дальности полета
(рис. б).
Дано: =-; п = 2,1.
п
Найти: а.
Решение. Направив оси координат (см. рис. 6) из точки нача-
ла движения (г0 = 0), запишем уравнения движения в проекциях
на оси х и у
х — — Vqjp, — 0;
gt%
У = v0„t - vy = РО{, - gt, aff = g.
&
(1)
(2)
12
Из рис. 6 следует, что
о0х = u0cosa; vQy = vosina. (3)
Так как при у = Л]пах (в высшей
точке траектории) = 0, то из
второго соотношения (2) находим
время подъема
(4)
Подставив формулу (4) в первое из соотношений (2), найдем
максимальную высоту подъема
Лтах=^-. (5)
В момент падения тела y(t) = 0, поэтому общее время движения
определим из первого соотношения (2)
t - 2ро»,
g
Из первого соотношения (1), используя (4)* находим даль-
ность полета
в = (6)
£
Разделив (5) на (6) и учитывая (3), имеем
^тах. _ Ct (у)
8 4
Согласно условию задачи, ЛП1ах = s/n, поэтому из выражения (7)
имеем
tga = 4/л,
откуда искомый угол
a = arctg(4/n)
Ответ: а - 62,3\
Q* Материальная точка начинает вращаться с постоянным
угловым ускорением. Определите угловое ускорение б точки,
если через промежуток времени t = 6 с угол а между векторами
полного ускорения а и скорости б составляет 55° (рис. 7).
1 Здесь и далее по тексту задачи повышенной сложности и требующие
применения производных отмечены звездочкой.
13
Рис. 7
Дано: е = const; t - 6 с; а = 55'.
Найти: s.
Решение. При равноускоренном
вращательном движении угловая ско-
рость со связана с ускорением соотно-
шением со = о>0 + zt. Согласно условию
С00 = 0, поэтому
СО = £t. (1)
Запишем уравнение, связывающее
тангенциальную составляющую уско-
рения ат, направленную вдоль вектора скорости (см. рис. 7),
с угловым ускорением
ат = zR, (2)
где R — радиус окружности, по которой движется материальная
точка.
Нормальная составляющая ускорения (направлена к центру
окружности):
Из рис. 7 следует, что tga = ал /ат. Подставив (2) и (3) в послед-
нее выражение, учитывая соотношение v - сзР, имеем tga = et2,
откуда искомое угловое ускорение
r__tga
£~ t*
Ответ: е - 0,04 рад/с2.
0). Скорость автомобиля, движущегося равнозамедленно,
за время At = 2,5 с уменьшилась от = 54 км/ч до и2 = 36 км/ч.
Определите угловое ускорение с и число полных оборотов N колес
за это время, если их радиус 7? = 40 см.
Дано: At = 2,5 с; = 54 км/ч - 15 м/с; v2 = 36 км/ч - 10 м/с;
R = 40 см ~ 0,4 м.
Найти: е,
Решение. Угловое ускорение (при равнозамедленном движе-
нии оно отрицательно)
£ = !^<0, (1)
At
где сох и (d2 — угловая скорость в моменты времени и t2.
I 14
Учитывая связь между линейной и угловой скоростями
и и2 - <d2J2, из выражения (1) найдем искомое угловое
ускорение
(2)
Число оборотов при торможении
N =
(3)
где угол поворота в случае равнозамедленного вращательного
движения
А e(At)2
9 = 0^—
&
откуда, учитывая формулу (2) и отрицательное значение е, на-
ходим
Ф =
Ы1 н- Ы2
2Я
At.
(4)
Подставив выражение (4) в формулу (3), определяем искомое
число оборотов
JV =
4 nJ?
At
Ответ: е = -5 рад/с2; N = 12.
Задачи для самостоятельного решения
1.1. Автомобиль начал движение по прямому участку шоссе
со скоростью Ui - 50 км/ч. Через время At = 0,5 ч в том же на-
правлении выехал другой автомобиль со скоростью и2 = 70 км/ч.
Определите, через какое время t2 второй автомобиль догонит
первый и какое расстояние з2 проедет до встречи. Ответ:
t2 = 1,25 ч; s2 = 87,5 км.
1.2. Первые 200 км (зх) пути по прямому участку шоссе авто-
мобиль двигался со скоростью = 60 км/ч, а оставшиеся 100 км
(з2) — со скоростью - 70 км/ч. Определите среднюю скорость
(и) автомобиля на всем пути. Ответ: (и) - 63 км/ч.
1.3. Автомобиль проехал s - 300 км за t = 5 ч, причем первую треть
пути он ехал со скоростью = 50 км/ч, после чего стоял (и2 - 0),
а оставшийся путь преодолел со скоростью о3 - 80 км/ч. Определите
продолжительность t2 остановки. Ответ: t2 = 30 мин.
15
1.4. Мальчик проехал первую половину пути на велосипеде
со скоростью i?i = 6 км/ч. Далее половину оставшегося времени
он ехал со скоростью и2 = 12 км/ч, а затем до конца пути шел
пешком со скоростью и3 = 4 км/ч. Найдите среднюю скорость (и)
движения мальчика на всем пути, считая движение прямолиней-
ным. Ответ: (и) = 6,86 км/ч.
1.5. Из двух населенных пунктов, соединенных прямой доро-
гой, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля.
Скорость первого - 45 км/ч, и до встречи он проехал = 0,4
всего пути. Определите скорость и2 второго автомобиля. Ответ:
и2 = 67,5 км/ч.
1.6* Велосипедист и пешеход, начиная двигаться одновременно
и равномерно, преодолевают некоторое расстояние, причем вело-
сипедист достигает цели на - 1 ч 20 мин раньше. Определите
скорость велосипедиста если скорость пешехода = 4 км/ч
и он был в пути t2 = 3,5 ч. Ответ: = 6,46 км/ч.
1.7. Человек идет по эскалатору в направлении его движения.
Определите скорость vf человека относительно эскалатора, если
скорость человека относительно стен v - 2,5 м/с, а скорость дви-
жения эскалатора и = 1,2 км/ч. Ответ: и' = 2,17 м/с.
1.8. Плот сплавляют вниз по течению реки. Человек идет
на плоту с одного его конца на другой перпендикулярно дви-
жению со скоростью относительно плота и’ - 3 км/ч (рис. 8).
Определите скорость и человека в системе отсчета, связанной
с берегом, если скорость течения реки и = 0,6 м/с. Ответ: v =
= 1,03 м/с.
1.9. Стараясь равномерно грести перпендикулярно течению
(iX = const), пловец переплывает реку шириной Ъ = 20 м за t =
= 5 мин. Какова скорость течения реки и, если пловец проделал
путь а - 50 м? Ответ: и = 0,153 м/с.
1.10. Скорость течения реки и = 0,2 м/с. Какова скорость лодки
относительно воды у', если лодка переплыла реку шириной Ъ -
- 25 м по прямой перпендикулярно берегу за t = 2,5 мин? От-
вет: vr - 0,26 м/с.
1.11. Определите начальную и0 и конечную v скорости мото-
цикла, если он, двигаясь с постоянным ускорением а = 0,1 м/с2,
за время t = 5 мин преодолел расстояние
8 = 6 км. Ответ: и0 - 5 м/с; v - 35 м/с.
1.12. По графику зависимости скоро-
сти v от времени t для точки, движущейся
прямолинейно (рис. 9), определите сред-
нее ускорение (а), расстояние з, пройден-
Рис. 8
116
ное точкой, и среднюю скорость {и) за время t = 3 с. Ответ: (л) =
= 0,333 м/с; s = 4,5 м; (v) = 1 м/с.
1.13. На рис. 10 представлен график зависимости скорости v
от времени t для материальной точки, движущейся прямолиней-
но. По графику определите путь s1? пройденный за первые две
секунды движения, и путь з2 за первые четыре секунды движе-
ния. Ответ: = 2 м; $2 = 4 м.
1.14. По графику зависимости координаты х прямолинейного
движения тела от времени t (рис. 11) постройте графики за-
висимостей скорости v и ускорения а от времени Л Определите
среднюю скорость (u): 1) за первую секунду; 2) за четыре секунды
: движения. Ответ: 1) (и) = -3 м/с; 2) (v) - -1,13 м/с.
1.15* По графику зависимости скорости и от времени t для
материальной точки, движущейся прямолинейно (рис. 12),
определите среднюю скорость (и): 1) за время от t - 0 до tx ' 3 с;
2) за время от t ~ 0 до t2 = 5 с. Задачу решите графическим мето-
р дом. Ответ: 1) <0 = 1 м/с; 2) (0 = 0,8 м/с.
1.16. Определите ускорение а тела, если на пути $ = 200 м его
скорость: 1) увеличилась от = 18 м/с до и2 - 32 м/с; 2) умень-
шилась от t?! = 40 м/с до v2 = 28 м/с. Движение считать прямо*
V, м/с
МШИСТЕРСТ.ШЯБРАЗОВАНИЯ i
потп.1хничЕ:С;-мй молгадж ;
БИБЛИОТЕКА |
Рис. 11
линейным с постоянным ускорени-
ем, Ответ: 1) а = 1,75 м/с2; 2) а =
= 2,04 м/с2.
1.17. На рис. 13 представлен
график зависимости координаты х
от времени t для тела, движущегося
прямолинейно. В начальный момент
времени t - 0 скорость тела v0 - 0.
Определите ускорение а и среднюю
скорость (и) тела: 1) за первые четы-
Рис, 13 ре секунды; 2) за промежуток от че-
тырех до шести секунд; 3) за семь
секунд» Ответ: 1) - 1 м/с2, == 2 м/с; 2) = 2 м/с2, =
= 2 м/с; 3) (а) = 0; (и) - 1,71 м/с.
1.18. Опишите характер прямолинейного движения тела,
представленного на графике в виде зависимости скорости и
от времени t (рис. 14). Используя кинематические соотношения,
рассчитайте, чему равен путь: 1) за первую секунду движения;
2) за первые две секунды движения; 3) за три секунды движения;
4) за четыре секунды движения. Постройте график зависимости
координаты х от времени t. Ответ: 1) = 2 м; 2) s2 = 4,5 м;
3) 8Э = 6 м; 4) = 6 м.
1.19. Опишите характер прямолинейного движения тела,
представленного на графике в виде зависимости координаты х
от времени t (рис. 15). Начальная скорость - 0. Постройте гра-
фики зависимости скорости v от времени Определите среднюю
скорость (и) за промежуток времени: 1) от одной до двух секунд
движения; 2) от двух до трех секунд движения; 3) от трех до пяти
секунд движения; 4) за пять секунд движения. Ответ: 1) (у,) =
= 1 м/с; 2) <v2> = 2 м/с; 3) <и3) = -1,5 м/с; 4) (у4) = 0.
1.20. Постройте графики зависимости скорости и и коор-
динаты х от времени t для материальной точки, движущейся
прямолинейно, если за время от нуля до первой секунды точка
Рис. 15
18
двигалась равномерно (д^ = 0); за время от одной до двух секунд
ускорение а2 = 5 м/с2; за время от двух до четырех секунд уско-
рение а3 = 5 м/с2. Начальная скорость о0 = 0.
1.21. Постройте графики зависимости скорости v и координа-
ты х от времени t для материальной точки, движущейся прямо-
линейно, если за время от нуля до первой секунды точка двига-
лась равноускоренно (а2 = 1 м/с2); за время от первой до второй
секунды ускорение а2 - -0,5 м/с2; за время от второй до третьей
секунды ускорение а3-0 м/с2. Начальная скорость и0 = 0.
1.22. От поезда, движущегося со скоростью v = 72 км/ч, от-
цепляют последний вагон, который останавливается через время
f - 10 с. Определите расстояние з между поездом и вагоном в этот
момент. Движение вагона считать равнозамедленным. Ответ:
$ = 100 м.
1.23. Определите начальную и конечную v скорости мото-
цикла, если он, двигаясь с постоянным ускорением а = 0,1 м/с2,
за время t = 5 мин преодолел расстояние s - 6 км. Ответ: vQ -
= 5 м/с; v - 35 м/с.
1.24. Тело, двигаясь равноускоренно и прямолинейно, за время
t - 20 с проходит путь s = 120 м, а за время t2 = 28 с — путь з2 -
- 300 м. Определите начальную скорость и0 и ускорение а тела.
Ответ: = 5,79 м/с; а - 1,18 м/с2.
1.25. Тело начинает двигаться прямолинейно и равномерно
со скоростью = 2 м/с, в момент времени = 48 с оно приобрело
ускорение по направлению движения а = 0,8 м/с2 и двигалось
еще в течение t2 = 1 мин. Определите суммарное расстояние з,
пройденное телом. Ответ: 8 = 1,66 км.
1.26. Из одного и того же места с разницей во времени =
= 2 мин начали двигаться прямолинейно два тела — первое тело
равномерно, второе без начальной скорости, но с ускорением а =
= 0,5 м/с2. Определите скорость t?i первого тела, если второе тело
догоняет его через t2 - 5 мин. Ответ: - 53,6 м/с.
1.27. Запишите кинематические уравнения прямолинейного
движения материальной точки, учитывая, что ее начальная
скорость и0 - 5 м/с, ускорение а = -1,4 м/с2. Определите расстоя-
ние з, пройденное телом до изменения направления движения
на противоположное. Начало координат поместите в точку начала
движения. Ответ: s - 8,93 м.
1.28. Кинематическое уравнение зависимости скорости дви-
жения материальной точки от времени имеет следующий вид:
р = (10 + 4Z), м/с. Определите, в какой момент времени коор-
дината точки Xi = 90 м. Ответ: = 4,66 с.
19
1.29. Кинематическое уравнение прямолинейного движения
материальной точки имеет вид х = (6t ~ 2£2), м. Определите момент
времени tu когда точка вернется в исходное положение (Xj = 0).
Чему равна скорость точки в этот момент времени? Ответ:
tx - 3 с; - 6 м/с,
1.30. Кинематическое уравнение движения материальной
точки для координаты имеет вид х = (8 + St + 5£2), м. Определите
координату х2 и скорость материальной точки через = 5 с
движения. Ответ: ~ 148 м; - 53 м/с.
1.31. Запишите кинематическое уравнение зависимости коор-
динаты от времени x(i) для каждого этапа прямолинейного дви-
жения материальной точки, если график зависимости скорости и
от времени t имеет вид, представленный на рис. 16. Ответ:
х - (t2 + t), м; х = (5t - 4), м.
1.32. Кинематическое уравнение движения материальной
точки для координаты имеет вид х = (4 + 5t + l,5t2), м. Опреде-
лите скорость материальной точки в момент времени, когда
ее координата хг = 20 м. Ответ: - 11 м/с,
1.33. Прямолинейное движение двух материальных точек
описывается кинематическими уравнениями хт = (3 5t), м,
их2 = (15 + 3£- 2t2), м. В какой момент времени после начала
движения материальные точки встретятся? Чему будут равны
их скорости и1в и о2в в момент встречи? Ответ: tB = 2 с; и1в =
= 5 м/с; и2в = м/с.
1.34. Тело начинает свободное падение с высоты И = 500 м без
начальной скорости. Какую часть пути тело пройдет: 1) за чет-
вертую секунду движения; 2) за десятую секунду движения?
Лг
Сопротивлением воздуха пренебречь. Ответ: 1) -^ = 6,8610 2;
2) — = 18,610“2.
Рис. 16
I 20
1.35. Во сколько раз быстрее сво-
бодно падающее тело пройдет вторую
половину пути, чем первую, если на-
чальная скорость тела равна нулю?
Сопротивлением воздуха пренебречь.
Ответ: t1/t2 = 2,42.
1.36. Пренебрегая сопротивлени-
ем воздуха, определите, какое время
свободно падающее тело затратит
на прохождение: 1) первой трети
пути; 2) последней трети пути? На-
чальную скорость принять равной нулю. Ответ:
1.37. Тело падает с высоты Н = 400 м с нулевой
начальной скоростью. Пренебрегая сопротивлением
воздуха, определите, какое время потребуется для
прохождения телом: 1) первых 100 м пути; 2) по-
следних 100 м пути. Ответ: 1) = 4,52 с; 2) t2 -
= 1,21 с.
j 1 г02 -с;:
Ци11 !
Рис. 17
1.38. Первое тело подбросили вертикально вверх с начальной
скоростью у01 = 50 м/с, через /| 2 с второе тело подбросили
со скоростью и02 = 70 м/с. Пренебрегая сопротивлением воздуха,
определите, через какое время t тела окажутся на одной высо-
те (рис. 17). Чему равна эта высота А/? Ответ: t = 4,03 с; =
- 122 м.
1.39. С башни высотой Н = 150 м без начальной скорости от*
пустили тело. Через 1 с бросили второе тело со скоростью и02 =
= 6 м/с, направленной вертикально вниз. Пренебрегая сопротив-
лением воздуха, определите время падения и t2 тел на землю
и какое из тел упадет на землю раньше. Ответ: - 5,53 с; t2 -
- 4,95 с; первое тело упадет раньше,
1.40. Воздушный шар поднимается с земли вертикально вверх
с ускорением а = 0,4 м/с2. Через tY = 2 мин после начала подъема
из кабины уронили груз. Определите время падения груза tna4
на землю (рис. 18). Сопротивлением воздуха пренебречь. От-
вет: 7пад = 29,6 с.
1.41. * Зависимость координаты тела от времени задается
уравнением х = А + Bt + Ct\ где А - 4 м; В - 6 м/с, С = 0,5 м/с2.
Определите, через какое время после начала движения скорость
тела станет равной = 4 м/с, и среднюю скорость (р> за этот про-
межуток времени. Ответ: fx = 2 с; (и) - 5 м/с.
1.42. * Кинематические уравнения движения двух матери-
альных точек для координат имеют следующий
вид: = А] + + Cyt2: х2 = А2 + B2t + C2t2, где А =
= -2 м; Вг= 14 м/с, Cj = 1 м/с2, А2 = 0; В2 = 5 м/с, С2 ”
- -2,2 м/с2. Определите момент времени tx, для ко-
торого скорости этих точек будут равны. Чему равна
эта скорость? Ответ: - 1,41 с; = 16,8 м/с.
1.43. Камень, брошенный вертикально вверх,
упал на землю через - 2,5 с. Пренебрегая сопротив-
лением воздуха, определите начальную скорость ы0
Рис. 18
21
камня и высоту Н, которой достиг камень. Ответ: = 12,3 м/с;
Н = 7,66 м.
1.44. С высоты - 15 м над землей без начальной скорости
начинает падать камень. Одновременно с высоты = 10 м вер*
тикально вверх бросают другой камень. Пренебрегая сопротив-
лением воздуха, определите, с какой начальной скоростью и0
бросили второй камень, если камни встретились на высоте h =
= 13 м от поверхности земли. Ответ: vG - 7,82 м/с.
1.45. С башни высотой h - 200 м с горизонтальной скоростью
= 5 м/с бросили тело. Пренебрегая сопротивлением воздуха,
определите, через какой промежуток времени t и на каком рас-
стоянии $ от башни оно упадет. Ответ: t - 6,39 с; s = 32 м.
1.46. С башни в горизонтальном направлении бросили камень
с начальной скоростью о0 = 20 м/с. Пренебрегая сопротивлением
воздуха, определите высоту Н башни, если дальность полета
камня smax равна высоте падения. Ответ: Н ~ 81,5 м.
1.47. Мальчик, стоя на краю обрыва высотой Н = 15 м, бросил
камень под углом а = 35' к горизонту со скоростью о0 = 9 м/с
вверх (рис. 19). Пренебрегая сопротивлением воздуха, определи-
те, через какой промежуток времени tx камень упадет на землю.
На каком расстоянии smax от края обрыва произойдет падение?
Ответ: = 2,35 с; = 17, 3 м.
1.48, С наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол
а - 20°, горизонтально брошен камень (рис. 20). Определите на-
чальную скорость броска если камень упал на расстоянии I =
= 15 м от точки броска. Ответ: и(} - 3,03 м/с.
1.49. С самолета, летящего горизонтально на высоте h = 6 км
со скоростью о - 250 км/ч, сбрасывается бомба. Определите
расстояние а до места падения (по горизонтали). Ответ: s -
= 2,43 км.
1.50. Тело брошено со скоростью г>0 ~ 90 м/с под углом а = 40Q
к горизонту вверх (см. рис. 6). Пренебрегая сопротивлением
воздуха, определите высоту Н подъема тела; дальность полета
Рис. 19
Рис. 20
22
по горизонтали з; время подъема время движения t тела. От-
вет: Н - 171 м; з - 813 м; = 5,9 с; t - 11,8 с.
1.51. Определите, под каким углом а к горизонту был бро-
шен камень, если дальность полета з в три раза больше высоты
подъема Н (см. рис. 6). Ответ; а = 53,1°.
1.52. Тело, вращаясь равномерно, сделало jV - 40 оборотов
за время t = 8 с. Определите его угловую скорость «к Ответ;
ю = Юл рад/с.
1.53. Тело, вращаясь равноускоренно без начальной скорости,
сделало N = 60 оборотов за время t - 15 с. Определите его угловое
ускорение е. Ответ: е == 3,35 рад/с2.
1.54. Тело, вращаясь равноускоренно без начальной скорости,
сделало 50 оборотов за 20 с. Определите угловую скорость о:
1) через 5 с после начала движения; 2) в конце движения. От-
вет: 1) (Ох - 31,4 рад/с; 2) = 7,85 рад/с.
1.55, Сколько полных оборотов N сделало равноускоренно вра-
щающееся тело за Zj - 8 с, если за первые пять секунд его угловая
скорость увеличилась от 0 до со2 - 3 рад/с? Ответ: N = 3.
1.56. Определите время £, за которое скорость автомобиля
уменьшилась с = 60 км/ч до и2 - 20 км/ч, если колеса радиу-
сом R - 50 см сделали за это время - 40 оборотов. Ответ: t =
-11,3 с.
1.57. Лопасти вентилятора после выключения, двигаясь равно-
замедленно, за время t = 6 с сделали до остановки N = 20 оборотов.
Определите угловую скорость «ь и частоту вращения п1 лопастей
вентилятора в рабочем режиме, а также их угловое ускорение с.
Ответ: = 41,9 рад/с; = 6,67 с’1; £ - 6,98 рад/с2.
1.58. Колесо механизма вращается с постоянной частотой йх =
- 240 мин-1. При переходе на меньшую мощность частота враще-
ния за время t = 5 с уменьшилась в 1,2 раза. Считая движение
равнозамедленным, определите угловое ускорение е и число пол-
ных оборотов N за время торможения. Ответ: е ~ 1,26 рад/с2;
ЛГ = 27.
1.59. Колесо, вращаясь равнозамедленно с начальной угловой
скоростью (Oj - 40 рад/с, сделало N - 40 оборотов. Определите
угловое ускорение £ колеса и промежуток времени t до полной
остановки. Ответ: е = 3,18 рад/с2; t - 12,6 с.
1.60. Материальная точка движется по окружности радиусом
г - 30 см с постоянным тангенциальным ускорением ат = 5 см/с2.
Определите, через какой промежуток времени t после начала дви-
жения нормальное ускорение ап будет больше тангенциального
ат в три раза. Ответ: t = 4,24 с.
23
1.61 Л Зависимость пройденного телом пути от времени
по окружности радиусом г - 3 м задается уравнением $ - A t2 + Bt,
где А - 0,4 м/с2, В = 0,1 м/с. Определите для момента времени
t = 1 с после начала движения нормальное тангенциальное
ат и полное а ускорение. Ответ: а, - 0,27 м/с2; ах = 0,8 м/с2;
а - 0,84 м/с2.
1.62. Угловая скорость со лопастей вентилятора равна
6,28 рад/с. Определите число N полных оборотов лопастей за вре-
мя t - 8 мин. Ответ: N - 480.
1.63. Лопасти вентилятора после выключения за время t ~ 6 с,
двигаясь равнозамедленно, сделали до остановки N = 30 оборотов.
Определите угловую скорость со0, угловое ускорение е и частоту
вращения п лопастей вентилятора в рабочем режиме. Ответ:
ш0 - 62,8 рад/с; с ~ 10,5 рад/с2; п = 10 с"х.
1.64, Маховое колесо, имеющее частоту вращения л() =
-180 об/мин, останавливается, двигаясь равнозамедленно, в те-
чение t = 30 с. Определите число полных оборотов, сделанных
маховым колесом до полной остановки. Ответ: N = 45.
1.65. Для вращающейся с постоянным угловым ускорением
с = 0,06 рад/с2 точки через какое-то время t угол а между векто-
ром полного ускорения и вектором скорости становится равным
40ь (см. рис. 7). Определите этот промежуток времени. Ответ:
t - 3,74 с.
Глава 2
Динамика
Основные законы и формулы
Импульс материальной точки
p-mv
[т — масса материальной точки; и — ее скорость].
В Координата хс центра масс системы материальных точек:
х = 7П1Хг+7П2Х2+.../ПпХп
ml +rn2 + t.. + mn
[тт, пг2, тп — массы материальных точек; хп х2> хп — их
координаты].
Второй закон Ньютона (основное уравнение динамики ма-
териальной точки)
F - та
или
Л/ /V
Это же уравнение в проекциях на касательную и нормаль
к траектории точки, движущейся по окружности:
Fz = тах;
Fn - тап = = mA
JR
В Закон Гука
^упр “
[^упр — сила упругости; k — жесткость пружины; х — удлинение
(сжатие) пружины].
Сила трения скольжения
ЛР = nN
[р -- коэффициент трения скольжения; — сила нормальной
реакции опоры].
25
Закон всемирного тяготения
гл
[-F — сила тяготения (всемирного тяготения); тг и т2 — массы
материальных точек; г — расстояние между точками; G — гра-
витационная постоянная (G = 6,67* 10"11 м3/(кг*с2)].
Сила тяжести
Л = mg
[/п — масса тела; g — ускорение свободного падения].
Первая космическая скорость
vT=4gR
[g — ускорение свободного падения; R — радиус планеты].
Примеры решения задач
Q N материальных точек массами т, 2т, Зтп, ...s Nm рас-
положены вдоль одной прямой на одинаковом расстоянии х друг
от друга (рис. 21). Определите положение хс центра масс этой
системы.
Дано: т, 2т, 2т, Nm*, х>
Найти: хс.
Решение. Координата центра масс системы материальных
точек
х = т1х1+т2х2+...тпхп , (1)
с тг + т2 + .., + тп
где mlt т2, тп — массы материальных точек; х1э х2, •»> хп —
их координаты.
Начало координат выберем слева в точке на расстоянии х
от первой материальной точки (см. рис. 21). Тогда, согласно
формуле (1), можно записать
mx + 2m-2х . .Лгт-Л7х _
т + 2т +... + Nm 1 + 2 +... + N
xN(N + l)(2N4-l) 2 x(2N + l)
6 >(N + 1) 3
Ответ: xc = X^2N + 1\
c 3
26
Q На двигавшееся прямолинейно со скоростью = 5 м/с тело
массой т = 2 кг в течение двух секунд - 2 с) действует тормозя-
щая сила F - 1,7 Н. Какой путь s пройдет тело в течение следующих
трех секунд (t2 = 3 с) после прекращения действия силы?
Дано\ = 5 м/с; т = 2 кг; F = 1,7 Н; = 2 с; t2 “ 3 с.
Найти*
Решение. Для движения с постоянным ускорением
о2 = +
или в проекции на направление скорости
v2 = “ at.
Согласно второму закону Ньютона,
я
а — —.
т
Таким образом,
F
V2 ~V1 ^1 *
т
Пройденный за время t2 путь определяется как $ = v2t2t так
как движение после прекращения действия силы равномерное,
{ F}
s= 01---t2
k mJ
1 H = 1 кг-м/с2; fsl = | м/с- — 'С |-с = м.
\ кг J
Ответ: s = 9,9 м.
а Автомат выпускает N = 500 пуль в минуту. Определите
среднюю силу F отдачи при стрельбе, если масса пули т - 5 г,
а скорость пули при выстреле из канала ствола и = 420 м/с.
Дано: N = 500; At = 1 мин - 60 с; т - 5 г - 5 10-3 кг; и =
= 420 м/с.
Найти: F.
Решение. Импульс пуль, вылетающих из ствола автомата
за время AZ,
Ар - nmvM,
где п — число выпущенных пуль в 1 с:
27
Изменение импульса Др пуль за время AZ равно FAI, т.е.
nmvAt - FAt.
Учитывая (1), находим искомую среднюю силу при стрельбе
F - пти =
Nmv
At
-р Nmv
At
с
Ответ: F - 17,5 Н.
а * Тело массой ш - 2 кг движется так, что зависимость ко-
ординаты от времени описывается уравнением х = А + Bt + Ct2 +
+ Dt\ где А, В, С и D — постоянные, С = 1 м/с2, D = -1,2 м/с3.
Запишите закон изменения силы от времени. Чему равна сила
в момент времени tY- 5 с?
Дано: т = 2 кг; х = А + Bt + Ct2 + Dt2; Cl м/с2; D = -1,2 м/с3;
/ 5 с.
Найти: F(t);
Решение. Согласно второму закону Ньютона,
F = та. (1)
Учитывая, что скорость
= — = B + 2Ct + 3Dt2,
dt
найдем ускорение
a- —= 2C + 6Dt. (2)
dz
Подставив выражение (2) в формулу (1), запишем искомый
закон изменения силы от времени
F(t) = т(2С + 6Dt)
Для момента времени
Ж) = т(2С + dDtJ
F -кг[м/с2 +(м/с3) с] = М - н.
cJ
Ответ: F(t) - т(2С + 6DZ); Fit^) = -68 Н.
I 28
Q Три бруска массами = 1,5 кг, тп2 - 1,8 кг и тп3 - 2,1 кг,
соединенные невесомой и нерастяжимой нитью, движутся по го-
ризонтальной поверхности под действием горизонтальной силы
F = 30 Н. Коэффициент трения брусков о поверхность ц = 0,3.
Определите силы натяжения Т} и T2f возникающие в нити.
Дано: /пг = 1,5 кг; т2 = 13 кг; = 2,1 кг; -F - 30 Н; ц - 0,3.
Найти: Т2.
Решение. Запишем второй закон Ньютона для каждого
из брусков в векторной форме (рис. 22), учитывая, что силы ре-
акции опоры N и тяжести mg взаимно компенсируются:
+ Л+frpi,
m2U*2 “ Л* + Т2 + Др2 ,
т3а3=Т^+Р^,
где f — силы натяжения; FTV — силы трения.
Так как нити невесомы, то
Л = Л, т2 = л.
Нити нерастяжимы (aj = а2 = а3 = а), поэтому уравнения второ-
го закона Ньютона в проекции на выбранную ось х (см. рис. 22)
имеют вид
= F - 7\ - цтп^, (1)
m2a = Т\-Т2- ym2g,
m3a = Т2- [im3g. (2)
Складывая левые и правые части записанных уравнений,
найдем
F-^g(m1+m2+m3')
а - • . (о/
/П] 4- т2 + т3
Подставив (3) в выражение (1), определим искомую силу на-
тяжения Тг
Рис. 22
29
T m2+m3 р
1 т^тпа+тпз
Подставив (3) в выражение (2), найдем искомую силу натя-
жения Т2
Т2 =----------F
тп1 + пг2 + тпз
Так как 7\ > Т2» то в случае увеличения действующей силы F
нить оборвется между первым и вторым телами.
Ответ: Тх = 21,7 Н; Т2 = 11,7 Н.
□ Два бруска соединены невесомой и нерастяжимой нитью,
К первому бруску приложена сила F = 4,2 Н, составляющая
с горизонтом угол а - 31, в результате тела движутся с ускоре-
нием а - 0,5 м/с2. Коэффициент трения ц брусков о поверхность
равен 0,3. Определите массу т2 второго тела, если масса первого
- 0,5 кг.
Дано: F = 4,2 Н; а = 31°; а = 0,5 м/с2; ц - 0,3; тх = 0,5 кг.
Найти: т2*
Решение, Запишем второй закон Ньютона для каждого
из брусков в векторной форме (рис. 23):
m^d = F + mxg + + FTpi,
т2а = m2g + N2 + f' + ДР2.
Нить невесома, поэтому
Г - Г.
Запишем уравнения второго закона Ньютона в проекции
на выбранную ось х
mYa = Fcosa -Т - FTPl;
7n2a = T-FrP2.
Рис. 23
30
Так как сила трения
Frp = ^,
где N — сила реакции опоры, то можно записать
лца = Fcosa - Т - pJVi, (1)
т2а = Т - ц2Уг. (2)
Уравнения второго закона Ньютона в проекции на выбранную
ось у имеют вид
N\ - m^g + Fsina = О,
N2 - m2g = О,
или
- F sin a, (3)
= "hS- (4)
Подставив выражения (3) и (4) в формулы (1) и (2), получим
m^a = Fcosa - Т - - Fsina), (5)
m2a = T - |izn2£. (6)
Почленно сложив уравнения (5) и (6), найдем искомую массу
второго тела
-mi (a + n^)+F(cosa + gsina)
^2 =-----------------------
a + pg
r 1 кг(м/с2 + м/с2) + Н
[™2 ] = —-------------= кг.
м/с2
Ответ*. т2 = 0,734 кг.
Q Через блок, укрепленный на конце стола, перекинута не-
весомая нерастяжимая нить, к концам которой прикреплены
грузы, один из которых (mi = 200 г) движется по поверхности
стола, а другой (т2 = 300 г) — вдоль вертикали вниз. Коэффи-
циент ц трения груза о стол равен 0,15. Считая нить и блок не-
весомыми, определите ускорение а, с которым движутся грузы,
и силу натяжения Т нити.
Дано: = 200 г = 0,2 кг; т2 = 300 г = 0,3 кг; ц = 0,15.
Найти: а; Т.
Решение. На каждый брусок действуют сила тяжести mg
и сила натяжения нити Т, а на брусок массой еще и сила
нормальной реакции опоры N и сила трения Др (рис. 24).
31
Рис. 24
Запишем второй закон Ньютона для
каждого из тел в векторной форме
=m1^ + Ar + f1+ FTp; (1)
m2d2 = m2g + T2. (2)
Силы натяжения Т по обе стороны
блока равны по модулю (7\ = Т2 = Т).
так как нить и блок невесомы; = а2 =
= а, поскольку нить нерастяжима.
Запишем уравнения (1) и (2) в про-
екциях на выбранные оси
гща ~ Т - Утр,
m2a = m2g - Г.
Учитывая, что Frp =
получим
тга - Т - (3)
т2а = m2g - Т, (4)
откуда искомое ускорение
a (m2-|i7n2)g
пг1 +ш2
Согласно уравнению (4), сила натяжения нити
Т = m2(g - а)
Ответ: а = 5,3 м/с2; Т - 1,35 Н.
Q С наклонной плоскости, угол наклона которой а = 27°
к горизонту, соскальзывает тело и проходит по горизонтали
путь а - 2,1 м. Определите длину I наклонной плоскости, если
коэффициент трения ц между телом и поверхностью на всем пути
равен 0,3.
Дано: а = 27е; s = 2,1 м; li 0,3.
Найти: I.
Решение, Запишем второй закон Ньютона для тела на на-
клонной плоскости в векторной форме (рис. 25)
mar = mrg + Nr±F^ (!)
где Ui — ускорение тела, соскальзывающего вдоль наклонной
плоскости.
32
Уравнение (1) в проекциях
на выбранные оси
ось х:
тах = m^sina - (2)
ось г/:
- mucosa = 0 (3)
(учли, что FTp = |х№).
Из уравнения (3) найдем
Ni = mg cos а»
Подставив последнее выражение в (2), получим
та,! = /n^sina - pzngcosa,
откуда
«i = £(sina - geos a). (4)
Скорость тела у подножия наклонной плоскости
01 - Vq + = aAtx
<^(учли, что о0 = О).
Длина наклонной плоскости
Че , .Ml
’iK 2 ’
(5)
(6)
где — время скольжения тела по наклонной плоскости.
Из уравнений (5) и (6), исключив получаем
of = 2агЦ
или, учитывая выражение (4), имеем
of ~ 2^(sina - pcosa)L (7)
Запишем второй закон Ньютона для тела на горизонтальном
участке в проекции на осях (см. рис. 25)
ось х:
ma2=-PTp2,
ось у.
N2 = mg,
Разделив почленно и учитывая, что F.rp = JJ.7V, получим
а2 = (8)
33 I
Для горизонтального участка кинематическое соотношение
между скоростью, ускорением и перемещением имеет вид
р? - vz = 2a2s.
Так как тело останавливается, то - О, и
V? = 2ц<я (9)
[учли формулу (8)]. Приравнивая правые части выражений (9)
и (7), получаем
2ця$ = 2#fsina - pcosa)Z,
откуда искомая длина наклонной плоскости
sina-pcosa
Ответ: I = 3,44 м.
И На наклонной плоскости длиной I = 20 м с углом наклона
(ц = 244 к горизонту находится в равновесии некоторое тело.
Определите время t, за которое тело соскользнет с плоскости,
если угол а2 наклона плоскости составит 32\
Дано: Z - 20 м; О] - 24е; а2 = 32"; = 0.
Найти: t.
Решение. Запишем второй закон Ньютона для тела на на-
клонной плоскости в векторной форме (рис. 26):
N + FTp,
(1)
где mg — сила тяжести; Л7 — сила нормальной реакции опоры;
Лр — сила трения.
Направим ось х параллельно наклонной плоскости вниз,
а ось у — перпендикулярно наклонной плоскости вверх. Урав-
нение (1) в проекциях на выбранные оси для случая равновесия
(ах - 0)
0 -/ngsinaj --FTp, (2)
0 = -mgcos ах + N. (3)
Из уравнения (3) найдем силу нормаль-
ной реакции опоры
У - m^cosot]. (4)
Сила трения
Лр = Н*- (5)
Учитывая выражения (3) и (4), запишем уравнение (2) в виде
Tn^sinct! - p/ngcosaj = О,
откуда коэффициент трения
н = tga,. (6)
Запишем второй закон Ньютона для тела, соскальзывающего
с наклонной плоскости с большим углом а2 наклона ее к гори-
зонту (а2 * 0), в проекции на ось х
та2 - zn£sina2 - pm^cosa2,
откуда ускорение, с которым тело скользит по наклонной пло-
скости,
а.2 = #(sina2 - |icosa2) = £(sina2 - tga, cosa2) (7)
[учли формулу (6)].
В случае равноускоренного движения с начальной нулевой
скоростью
? _ аг*2
2 ’
откуда
* = Ж (8)
V а2
Подставив в формулу (8) выражение (7), найдем искомое
время
t = V 21
g(sina2 -tga1cosa2)
Ответ: t = 5,17 с.
Щ Мотоциклист совершает «мертвую петлю» радиусом R =
200 м. Определите силу давления мотоциклиста на сиденье
в верхней ЛГХ и нижней Лг2 точках, если его масса m - 70 кг, а ско-
рость v = 162 км/ч, Какую скорость должен иметь мотоцикл
при том же радиусе петли, чтобы сила давления мотоциклиста
на сиденье в верхней точке оказалась равной нулю?
Дано: R - 200 м; т = 70 кг; и - 162 км/ч = 45 м/с.
Найти: N2>
Решение. Запишем второй закон Ньютона в проекции на ось,
направленную к центру окружности (рис. 27):
35
для верхней точки
/ИГ?2 . АГ
—-^mg+N^ (1)
J~C
для нижней точки
/ПО2 хт
= Nz-mg
rl
(2)
(учли, что нормальное ускорение ап = —).
Я
Найдем из уравнений (1) и (2) искомые
силы давления
,, mv2 т „
Nt =——mg
гС
N =^+mg
2 R
При силе давления на сиденье в верхней точке /V, - 0 уравне-
ние (1) принимает вид
9
т»о
-тгвте’
откуда искомая скорость
гхт , кг м2/с2 . о тт
1 - ”——— + кг м/с2 -Н;
м
[у0 ] = 7м/(с2) М - м/с.
Ответ: N\ - 22 Н; N2 - 1,4 кН; и0 = 159 км/ч.
П1 Определите скорость и движения спутника и период Т его
обращения вокруг Земли, если спутник движется по круговой
орбите на высоте h - 300 км над поверхностью Земли.
Дано: h = 300 км - 3 * 105 м.
Найти: v; Т.
Решение. Согласно второму закону Ньютона,
mv2 лпМ
2? (1 /
Г
где т — масса спутника; г — расстояние от спутника до центра
Земли (радиус круговой орбиты спутника): г = h + R (R -
= 6,37 106 м — радиус Земли); G ~ 6,67 10 11 м3/(кг-с2) — гра-
витационная постоянная; М = 5,98-1024 кг — масса Земли.
I 36
Выражение (1) запишем в виде
mi?2 тМ
h+R~ (h + R)2’
откуда искомая скорость движения спутника
GM
с? - J-
V h + R
(2)
Период обращения спутника вокруг Земли
Г-—,
(О
где to — угловая скорость. Из формулы v - tor, где г = h + Ry по-
лучим
v
——
Л + R
Подставив выражение (3) в формулу (2), найдем искомый
период обращения спутника вокруг Земли
(3)
г _2л(й + Д)
V
ма/(кгс2)кг
------------— м;
[Л = ~с.
м/с
у м
Ответ: и = 7,73 км/с; Т - 5,42-103 с.
ш Определите среднюю плотность (р) Луны, если известно, что
ускорение свободного падения у поверхности Луны g - 1,7 м/с2,
а ее радиус R = 1,74 Мм.
Даны g = 1,7 м/с2; Я- 1,74 Мм = 1,74.10® м.
Найти: (р).
Решение. Средняя плотность Луны
, \ м
<Р> = 77
(1)
где М — масса Луны; V — ее объем.
Для тела, находящегося у поверхности Луны, mg = G~^~ (Я —
ускорение свободного падения на Луне), откуда масса Луны
G
(2)
37 I
Подставив выражение (2) в формулу (1) и учитывая, что
4
V = —nJ?3, найдем искомую среднюю плотность Луны
3 _________
ЧР/ 4tcG/?
г/ - _м/с2 „ JS£
Р М3/(КГ-С2)‘М м3*
Ответ: (р) = 3,5 г/см3.
Щ При торможении поднимающегося лифта его ускорение
а = 1,2 м/с2. Как при этом изменился вес P2/^i пассажира, если
его масса m - 60 кг?
Дано: а = 1,2 м/с2; т = 60 кг.
Наити: -f.
Pi
Решение. Для тела в неподвижном лифте, согласно второму
закону Ньютона (рис* 28),
/п£ + = 0,
где — сила реакции опоры;
mg - N1 = 0,
Ni = mg.
Вес тела всегда равен силе реакции опоры: Р - N. В случае
неподвижного лифта
Л - mg.
В движущемся с ускорением лифте
ma = mg + N2.
Поскольку лифт тормозится, его ускорение противоположно
скорости, т.е. направлено вниз. Приняв направ-
%%%%} ление оси в сторону ускорения (см. рис. 28), запи-
I шем второй закон Ньютона в проекции на ось х
та - mg - N2?
= Р2 = m(g - а) < Pv
mg
Рис. 28
Л
Л s
Ответ: = 0,878.
38
Задачи для самостоятельного решения
1.66. Во сколько раз изменится импульс тела, если его массу
увеличить в три раза, а скорость уменьшить в шесть раз? От-
вет: уменьшится в два раза.
1.67. Определите соотношение между ускорениями двух
скользящих по столу медных монет, приобретенными при их
лобовом столкновении, если толщина монет одинакова, а радиус
одной в три раза больше радиуса другой. Ответ: a2/ct1 = 9.
1.68. Определите импульс тела массой m = 2 кг через t = 5 с по-
сле начала прямолинейного движения, зависимость ускорения
которого от времени представлена на рис. 29. Начальная скорость
р0 = 0. Ответ: р = 8 кг м/с.
1.69. Определите положение центра масс системы, состоя-
щей из пяти материальных точек, массами = 1 кг, тп2 = 2 кг,
т3 = 3 кг, тп4 = 4 кг, т5 - 5 кг, находящихся на одной прямой
на одинаковом расстоянии Z = 10 см друг от друга (рис. 30). От-
вет: хс = 0,267 м.
1.70. Определите положение центра масс системы из двух
шаров массами = 1 кг и т2 = 3 кг и радиусами = 5 см и R2 =
= 10 см, приваренных к стержню массой /п3 = 0,5 кг и длиной
I = 60 см (рис. 31). Ответ: хс = 0,539 м.
1.71. Определите положение центра масс системы, состоя-
щей из трех материальных точек массами = 2,4 кг, тп2 = 2 кг
и = 3 кг, находящихся в вершинах равностороннего треу-
гольника со стороной а = 40 см (рис. 32). Ответ: хс = 17,3 см;
ус = И,2 см.
1.72. Определите положение центра масс системы, состоящей
из четырех шаров, находящихся в вершинах квадрата стороной
а = 50 см. Массы двух верхних шаров т2 = = 2 кг, двух нижних
т1 = = 4 кг (рис. 33). Ответ: хс = 25 см; ус = 16,7 см.
1.73. Из однородной круглой пластинки радиусом R = 1 м
вырезано круглое отверстие, центр которого находится на вы-
Рис. 29 Рис. 31 Рис. 32
39
соте h = R/4 от центра вертикального радиуса большого круга
(рис. 34). Определите положение центра масс этой фигуры, если
радиус отверстия г = 60 см. Ответ: хс = 14,1 см.
1.74* Тело массой т - 1,6 кг под действием некоторой силы Fx
движется с ускорением ах = 2 м/с2. Определите силу F2, под дей-
ствием которой ускорение тела увеличится в п = 3 раза. Ответ:
F2 = 9,6 Н.
1.75. Тело под действием на него силы Fx = 100 Н получило
ускорение ах - 0,5 м/с2. Под действием какой силы F2 тело по-
лучит ускорение а2 - 0,8 м/с2? Ответ: F2 - 160 Н.
1.76. Тело массой т - 0,3 кг начинает двигаться равноускорен-
но и прямолинейно и за время t - 6 с проходит путь, равный 48 м.
Определите силу F, действующую на тело. Ответ: F - 0,8 Н.
1.77. На тело массой т = 2 кг, лежащее на горизонтальной по-
верхности, действует горизонтальная сила F = 5 Н. Чему равно
ускорение а тела, если коэффициент трения р = 0,4? Ответ:
а - 0.
1.78. Под действием горизонтальной силы груз массой М -
= 1,2 кг, лежащий на столе, приобретает ускорение ах = 0,5 м/с2.
Коэффициент трения между телом и столом ц - 0,3. Чему равна
действующая сила F? Определите массу т гирьки, положен-
ной сверху, если после этого система движется с ускорением
а2 - 0,3 м/с2 (рис. 35). Ответ: F = 4,13 Н; гп = 73,5 г.
1.79. Тело массой М = 1,5 кг, лежащее на горизонтальной
поверхности, под действием горизонтальной силы движется
с ускорением а - 0,2 м/с2. Какой массы т гирьку надо положить
на тело, чтобы оно оставалось неподвижным даже при увеличении
действующей силы в два раза (см. рис. 35)? Коэффициент трения
между телом и поверхностью ц = 0,5. Ответ: Более 1,62 кг.
1.80. Определите равнодействующую F сил Fx = F2 = 120 Н,
угол между которыми составляет: 1) <рL - 20*; 2) <р2 = 60°. Ответ:
1) Fi = 236 Н; 2) F2 - 208 Н.
Рис. 33
Рис. 34
Рис. 35
е
I 40
1,81. На тело действует горизонтальная сила - 200 Н.
Определите силу F2, которую нужно приложить вертикально
вверх, чтобы равнодействующая сил была направлена под углом
а - 35 к горизонту. Ответ: F2 = 140 Н.
1.82. Груз массой ти = 0,5кгна горизонтальной пружине после
ее растяжения на = 2 см получает первоначальное ускорение
aL6 м/с2. Определите жесткость пружины k, а также на сколь-
ко Ах нужно ее растянуть дополнительно, чтобы тело получило
первоначальное ускорение а2 = 8 м/с2. Ответ: /c l50 Н/м;
Ах - 6,67 мм.
1.83. На тело массой т - 4 кг, которое лежит на горизонталь-
ной поверхности, действует сила F - 20 Н, направленная под
углом а = 40° к горизонту. Определите ускорение а тела, если
коэффициент трения ц - 0,3. Ответ: а = 1,85 м/с2.
1.84. Тело массой т - 0,7 кг, двигаясь с ускорением а - 0,3 м/с2,
прошло путь s, равный 16 м. Определите импульс силы, дей-
ствующей на тело за это время. Начальную скорость тела принять
равной нулю. Ответ: FAt - 2,17 Н с.
1.85. Под действием постоянной силы F тело массой тп = 0,3 кг
за время t - 6 с прошло путь а = 400 м. Определите эту силу, если
первоначально тело находилось в состоянии покоя. Ответ: F -
6,67 Н.
1.86. На тело массой т - 3,5 кг действуют две силы Fr - F2 =
- 15 Н, направленные под углом а = 90° друг к другу. Опреде-
лите ускорение а тела, если одна из сил имеет горизонтальное
направление. Ответ: а = 6,06 м/с2.
1.87. Автомобиль массой т = 1,6 т на горизонтальном участ-
ке пути s = 700 м увеличивает скорость от f ] = 36 км/ч до t>2 =
- 54 км/ч. Определите силу тяги FT автомобиля, если коэффи-
циент трения ц = 0,15. Ответ: FT = 2,5 кН.
1.88. Тело массой т - 1,5 кг движется со скоростью 20 км/ч,
после чего останавливается под действием тормозящей силы
F = 6 Н. Определите путь s и время торможения t тела. Ответ:
s = 3,86 м; t - 1,39 с.
1.89. * Зависимость координаты тела массой т = 2 кг от времени t
описывается уравнением х - А + Bt + Ct2, где С ~ 3,5 м/с2. Опреде-
лите силу, действующую на тело: 1) в конце второй секунды FT;
2) в конце четвертой секунды F2. Ответ: = 14 Н; Fx = 14 Н.
1.90. * Определите массу т тела, если оно под действием по-
стоянной силы F = 9 Н движется прямолинейно так, что зави-
симость пройденного телом расстояния от времени описывается
уравнением s - А + Bt + Ct2, где С = 1,5 м/с2. Ответ: т - 3 кг.
41
Рис. 36
1.91. * Тело массой т = 3 кг движется так, что
зависимость координаты от времени описывается
следующим уравнением: х = А + Bt + Ct2 + Dt3, где
А, В, С и D — постоянные, С = -2 м/с2, D = 1,5 м/с3.
Запишите закон изменения силы от времени F(t).
Ответ: F(t) = (-12 + 270 Н.
1.92. К нерастяжимой и невесомой нити подве-
шен груз массой т = 1 кг. Определите силу натяже-
ния нити, если груз: 1) отпускается с ускорением
а± = 3 м/с2; 2) поднимается с ускорением а2 = 3 м/с2.
Ответ: 1) Тг = 6,81 Н; 2) Т2 = 12,8 Н.
1.93. Тележка массой тп = 600 кг под действием горизонталь-
ной силы приобретает ускорение а = 0,2 м/с2. Определите силу В,
ускоряющую тележку, если коэффициент трения ц = 0,1. Ответ:
F = 709 Н.
1.94. При подъеме груза массой т = 1 т с ускорением а -
= 0,2 м/с2 трос удлинился на 20 см. Определите коэффициент
упругости k троса. Ответ: k = 50 кН/м.
1.95. На нерастяжимой и невесомой нити, перекинутой через
неподвижный блок, подвешены два тела массой = 800 г и -
= 750 г (рис. 36). Пренебрегая трением и считая блок невесомым,
определите ускорение тел. Ответ: а = 31,6 см/с2.
1.96. Через невесомый блок перекинута невесомая нерастяжи-
мая нить, к концам которой прикреплены два груза одинаковой
массы Мх - М2 - 200 г, на один из которых положен перегрузок
массой m - 40 г (рис. 37). Определите силу давления Рд пере-
грузка на груз и силу натяжения Т нити. Ответ: F& = 0,357 Н;
Т=10,7Н.
1.97. Через невесомый блок перекинута невесомая нерас-
тяжимая нить с грузами одинаковой массы М = 100 г, на один
из которых положен перегрузок массой т = 5 г. Считая, что
грузы первоначально находились на одной высоте
и пренебрегая трением, определите разность вы-
сот ДА, на которой будут находиться грузы через
промежуток времени t = 2 с (см. рис. 37). Ответ:
Ah - 95,7 см.
1.98. Два груза соединены нерастяжимой нитью,
перекинутой через блок, укрепленный на конце
стола. Один из грузов (гп[ = 800 г) движется по по-
верхности стола, а другой (тп2 = 400 г) — по вер-
тикали вниз (рис. 38). Коэффициент трении груза
о стол ц = 0,2. Считая нить и блок невесомыми,
м и
Рис. 37
42
nil
Рис. 38
ZZll Л12
Рис. 39
определите ускорение а, с которым движутся грузы, и силу на-
тяжения Т нити. Ответ: а = 1,96 м/с2; Т = 3,14 Н.
1.99. При падении с высоты h = 10 м тело массой тп = 0,4 кг
приобрело скорость и = 11 м/с. Считая силу сопротивления сре-
ды Fc постоянной, определите ее величину. Ответ: Fc- 1,5 Н.
1.100. Тело массой т = 120 кг равноускоренно поднимают
на тросе вверх в течение t - 5 с на высоту h = 15 м. Определите
удлинение Дх троса, если его коэффициент упругости k = 8 кН/м.
Ответ: Дх - 1,8 см.
1.101. Три тела массами - 0,1 кг, т2 = 0,15 кг и тп3 = 0,12 кг
соединены невесомой и нерастяжимой нитью, перекинутой через
блок (рис. 39). Определите, при каком коэффициенте трения и
между телами и поверхностью возможно скольжение. Ответ:
ц < 0,48.
1.102. Определите силу тяги F^ автомобиля массой т = 1,7 т,
если он на пути s = 20 м приобрел скорость о - 40 км/ч. Коэффи-
циент трения ц принять равным 0,04. Ответ: FT = 5,9 кН.
1.103. Чему равна сила нормального давления F бруска мас-
сой т = 400 г на наклонную плоскость с углом наклона а - 35е
к горизонту. Ответ: F = 3,21 Н.
1.104. Брусок массой т = 0,5 кг без трения скатывается с на-
клонной плоскости с углом наклона а = 40" к горизонту. Опреде-
лите ускорение а бруска и силу N нормальной реакции опоры.
Ответ: а - 6,31 м/с2; N - 3,76 Н.
1.105. Чему должен быть равен коэффициент трения ц между
бруском и наклонной плоскостью, чтобы брусок
оставался неподвижным? Угол наклона плоско-
сти к горизонту а - 27°. Ответ: ц > 0,51.
1.106. На наклонной плоскости с углом
наклона а - 40° к горизонту находится брусок
массой т - 2 кг, на который действует горизон- —1---
тальная прижимающая сила F (рис. 40). Опре- Рис. 40
43
Рис. 41
делите коэффициент трения ц между
бруском и наклонной плоскостью, если
брусок начинает скользить при силе
F = 10 Н. Ответ: ц = 0,231.
1.107. Определите, за какое время
t тело, соскальзывая вдоль наклонной
плоскости длиной I = 2 м, пройдет
вторую половину пути, если угол наклона плоскости к горизонту
равен 30°, коэффициент трения между телом и наклонной пло-
скостью ц = 0,2. Ответ: t = 0,327 с.
1.108. На нерастяжимой и невесомой нити, перекинутой через
неподвижный блок, на высоте h - 1,5 м подвешены два тела одина-
ковой массы М - 500 г. Определите, какую массу тп должен иметь
перегрузок, положенный на одно из тел, чтобы оно достигло поверх-
ности Земли за время t = 4 с (см. рис. 37). Ответ: тп = 19,5 г.
1.109. Через невесомый блок, закрепленный на вершине двух
наклонных плоскостей, составляющих с горизонтом углы ах =
= ЗГ и а2 = 55е, перекинута нерастяжимая нить, к концам которой
прикреплены грузы с одинаковыми массами (рис. 41). Считая
нить невесомой и пренебрегая трением, определите ускорение
грузов. Ответ: а - 8,83 см/с2.
1.110. Определите ускорения at и а2 тел и натяжение нитей Т
и Тх в системе, приведенной на рис. 42. Масса одного тела тпг =
= 600 г, масса другого т2 = 200 г. Нити невесомы и нерастяжимы,
массой блока и силами трения пренебречь. Ответ: = 1,4 м/с2;
а2 = 2,8 м/с2; Т = 2,52 Н; Тл = 5,04 Н.
1.111. По горизонтальной поверхности под действием горизон-
тальной силы F = 20 Н движутся три бруска массами /пг = 1,2 кг,
тп2 = 1,5 кг и пг3 = 2 кг, соединенные невесомой и нерастяжимой
нитью (рис. 43). Определите ускорение а тел, если коэффициент
трения ц - 0,4. Ответ: а = 0,331 м/с2.
Рис. 42
w3 т2 mi
Рис. 43
44
Рис. 44
F2
Рис. 45
1.112. Два бруска массами тг - 0,6 кг и т2 = “ 0,4 кг соединены
невесомой и нерастяжимой нитью. К первому бруску приложена
сила F = 3 Н, составляющая с горизонтом угол а = 35D (рис. 44).
Определите коэффициент трения ц брусков о поверхность, считая
его одинаковым, если тела движутся с ускорением а = 0,8 м/с2.
Ответ: ц - 0,21.
1.113. К брускам массами = 1,1 кг и т2 - 1,4 кг, лежащим
на горизонтальной поверхности, приложены равные по величине
силы F = 40 Н, составляющие с горизонтом соответственно угол
Ц] = 25” и а2 = 35' (рис. 45). Коэффициент трения между телами
и поверхностью ц = 0,4. Определите ускорение а тел, если нить,
связывающая тела, является невесомой и нерастяжимой. От-
вет: а = 3,84 м/с2.
1,114. Тело, съехав по наклонной плоскости с углом а = 37° к го-
ризонту и длиной I = 80 см, проходит по горизонтали путь s = 1 м.
Определите коэффициент трения ц между телом и поверхностью,
считая его одинаковым на всем пути. Ответ: ц = 0,294.
1.115. Определите допустимую массу т автомобиля для проезда
ио вогнутому мосту радиусом кривизны R = 15 м, если его скорость
ограничена дорожным знаком v = 30 км/ч, а предельная сила дав-
ления на мост в нижней точке Лг - 70 кН. Ответ: т < 4,85 т.
1.116. По выпуклому мосту радиусом кривизны R = 75 м дви-
жется автомобиль. Определите ско-
рость v автомобиля, если в верхней
точке траектории сила его давления
на мост в п = 1,4 раза меньше, чем
при движении по горизонтальному
участку. Ответ: и - 52,2 км/ч.
1.117. Самолет описывает «мерт-
вую петлю». Определите силу давле-
ния пилота на сиденье в верхней
и нижней Лг2 точках траектории, если
радиус петли 300 м, скорость само-
лета 270 км/ч, а масса пилота 65 кг
(рис. 46). Какую скорость t>0 должен
Рис. 46
45
иметь самолет при том же радиусе петли» чтобы сила давления
летчика на сиденье в верхней точке была равна нулю? Ответ:
- 581 Н; N2 = 1,86 кН; - 195 км/ч.
1.118. Шарик, подвешенный на нити длиной I - 80 см, совер-
шает колебания в вертикальной плоскости. При прохождении
шарика через положение равновесия со скоростью v = 1 м/с нить
удлиняется на Лх - 4 см. Каково удлинение Лх0 нити, если шарик
висит неподвижно? Ответ: Дх0 = 3,55 см.
1.119* Шарик, подвешенный на нити длиной I = 60 см, совер-
шает колебания в вертикальной плоскости и проходит положение
равновесия со скоростью и = 1,5 м/с. Сравните возникающую при
этом силу натяжения Т2 с силой натяжения Т\ в случае, если
шарик висит неподвижно. Ответ: Т2/Т\ = 1,38.
1.120* Шарик массой т - 300 г, подвешенный на нити длиной
I = 70 см, совершает колебания в вертикальной плоскости. Сила
натяжения нити Г, когда нить составляет угол а = 30° с верти-
калью, равна 5 Н. Определите скорость v шарика в этот момент.
Ответ: v - 2,39 м/с.
1.121* Тело массой т = 1,4 кг, лежащее на горизонтальной
поверхности, под действием некоторой направленной под углом
а = 20° к горизонту силы F за время t = 5 с проходит горизон-
тальный путь s = 60 м. Определите эту силу F, если коэффициент
трения ц = 0,3. Ответ: F - 10,4 Н.
1.122. Радиус некоторой планеты R = 2 500 км, продолжитель-
ность суток на ней Т ~ 9 ч. Определите массу М этой планеты,
если на полюсе тела весят в 1,3 раза больше, чем на экваторе.
Ответ: М = 38,1 1021 кг.
1.123. Определите среднюю плотность <р) вещества и пер-
вую космическую скорость vj планеты, зная, что ее радиус R -
= 9 000 км, а ускорение свободного падения на поверхности
g = 13 м/с2. Ответ: (р) ~ 5,17 • 103 кг/м3; = 10,8 км/с.
1.124. Определите период Г обращения спутника, движущегося
по круговой орбите на высоте 500 км вокруг Марса. Массу Марса при-
нять равной 6,42 -1023 кг, а радиус 3400 км. Ответ: Т = 2,06 с.
1.125. При торможении опускающегося лифта его ускорение
а = 1,2 м/с2. Как при этом изменился вес пассажира? Ответ:
увеличился в 1,12 раза.
1.126. Как изменится вес космонавта при старте ракеты с уско-
рением 5g? Ответ: увеличится в 6 раз.
1.127. Чему равно ускорение свободного падения над по-
люсом Земли на высоте, равной одной трети радиуса Земли?
Ответ: = 5,52 м/с2.
I 46
1.128. Принимая значение первой космической скорости Зем-
ли Vj = 7,9 км/с, определите ее значение для планеты, радиус
которой в два раза больше радиуса Земли, а ускорение свободного
падения на поверхности в три раза меньше земного. Ответ:
и = 6,45 км/с.
1.129. Определите ускорение свободного падения g у по-
верхности Луны, если известно, что средняя плотность Луны
<р> = 3,34 г/см3, а ее радиус Я = 1,74 Мм. Определите также для
Луны первую космическую скорость Ответ: g ~ 1,62 м/с2;
О/ - 1,68 км/с.
1Д30. Путь разгона лифта равен пути торможения s - 0,5 м,
время разгона tp = 1,1 с, время торможения tT = 1,3 с. Опреде-
лите вес мальчика массой т = 40 кг, поднимающегося в лифте:
1) во время подъема лифта с постоянной скоростью; 2) при на-
чальном разгоне лифта; 3) при торможении лифта. Ответ:
1) = 392 Н; 2) Р2 = 425 Н; 3) = 369 Н.
Глава 3
Законы сохранения в механике
Основные законы и формулы
Закон сохранения импульса для замкнутой системы
p-mxv{ + m2v2 + ...+тЛбЛ = const
[/Пр т2у тп — массы материальных точек (или тел), входящих
в систему; u1}d2,..,, — их скорости].
Скорость движения ракеты
[о — скорость истечения газов; т — масса выброшенного газа;
М — масса ракеты].
Работа, совершаемая постоянной силой,
А = Fscosa ~
[F4 — проекция силы на направление перемещения; a — угол
между направлениями силы и перемещения].
Средняя мощность за промежуток времени At
ДА
At *
Мощность в данный момент
N ~ Fv - F3v- l^pcosa.
Механический коэффициент полезного действия (КПД)
двигателя
^затр
[А — полезная работа; Азатр — затраченная работа].
Работа силы тяжести
А = mg(hl - h2)
[т — масса тела; g — ускорение свободного падения; h} и h2 —
начальная и конечная высоты над поверхностью Земли].
I 48
Работа силы упругости при сжатии пружины
__ —
[k — жесткость пружины].
Потенциальная энергия тела, поднятого над поверхностью
Земли на высоту й,
Еп = mgh
[#’ — ускорение свободного падения]*
Потенциальная энергия у пру го деформированного тела
[Л — жесткость пружины; х — деформация]*
Работа консервативных сил при перемещении тела из одного
положения в другое
А = -ЛЕП
[Д£п — изменение потенциальной энергии].
Кинетическая энергия движущегося со скоростью v тела
массой т
Теорема о кинетической энергии
А - ДЕК
[Д£к — изменение кинетической энергии; А — работа всех сил,
действующих на тело].
Закон сохранения механической энергии (для консерватив-
ной системы)
= Е - const.
Закон сохранения энергии при наличии сил трения
Е2 ~ -^1 ~ —— -А-гр
[Ej и Е2 — полная механическая энергия соответственно в на-
чальном и конечном положениях; Атр — работа сил трения
(Атр < 0)].
Для абсолютно упругого центрального удара тел массами
тл и т2\
закон сохранения импульса
ГЩЩ +<Л2и2 =
49 I
закон сохранения энергии
miuf . m2v2 _ m^i2 , m2v22
~2~+~2 2~+~2~
[up v2 — скорости тел до удара; и2 — скорости тел после
удара].
Для двух тел массами гщ и т2, движущихся соответствен-
но со скоростью и v2, при абсолютно неупругом центральном
ударе:
закон сохранения импульса
+ т2й2 =(т1 + т2)0
[и — общая скорость тел после удара].
Кинетическая энергия, расходуемая на деформацию тел:
_ _(m1v?m2v%') f(m1+m2)v
Ек Л~2~+~2~ Г 2
2(тх + т2)
[mlf т2 — массы тел; v2 — соответственно их скорости до не-
упругого столкновения; v — скорость тел после неупругого
столкновения].
Примеры решения задач
Q С железнодорожной платформы, движущейся со скоростью
ип = 20 км/ч, выстрелили из пушки в направлении движения
по горизонтали (рис. 47). Масса платформы с пушкой М = 10 т,
масса снаряда т = 50 кг. Определите скорость снаряда и'ск отно-
сительно Земли и скорость снаряда и относительно платформы,
если скорость платформы после выстрела = 14 км/ч.
Дано: ип = 20 км/ч = 5,56 м/с; М = 10 т - 104 кг; т = 50 кг;
Од = 14 км/ч = 3,89 м/с.
Найти: и'н;
Решение. Согласно закону сохранения импульса,
Рп + Рем — Рп + Рев »
где и pi — соответственно импульс платформы до и после
выстрела; рсв>рсн — соответственно импульс снаряда до и после
выстрела, причем рсн - 0.
В проекции на первоначальное на-
КЯИТЯ—ц'1 правление движения платформы закон
““ х сохранения импульса имеет вид
Рис, 47 (М + zn)vn = Mvfn + /пр;н,
50
откуда искомая скорость снаряда относительно Земли
t _ (М + иг)ип -Mv*n
исн — —
т>
Согласно правилу сложения скоростей в классической меха-
нике, искомая скорость снаряда и относительно платформы
w - ^сн ^л
Ответ: v*Cil - 338 м/с, и = 334 м/с.
Q Тело массой т = 0,7 кг брошено под некоторым углом а
к горизонту с начальной скоростью v0 = 200 м/с. За первые четыре
секунды движения сила тяжести совершает работу А = 2 500 Дж.
Определите угол а.
Дано: т = 0,7 кг; и0 = 200 м/с; = 4 с; А - 2 500 Дж.
Найти: а.
Решение. Сила mg, действующая на тело, совершает работу
А = zngZcosp,
где I — перемещение тела; р — угол между силой и перемещен
нием.
Согласно рис. 48,
А ~ mgl cos р = -mgl sin(p - л/2) = mgyx < 0.
Кинематическое уравнение в проекции на ось у (см. решение
задачи 8, гл. 1) имеет вид
Учитывая, что и{)у = u^sina, имеем
gtl
2
|А| = v^sina-
откуда
а = arcsin
Г gif ! А
2 mg
ч ”0*1
у
У1
(m/c2)c+^* 21
кг-м/с^ _
(м/с)-с
КГ'М/с2-м
м+-----~~ПГ
м
mg
<0:
Ответ: а = 33,6°.
\₽
mg
Рис. 48
= 1
х
51
□ Подъемный кран поднимает груз массой т ~ 600 кг с уско-
рением а = ОД м/с2. Определите среднюю мощность крана за вре-
мя от - 2 с до t2 = 6 с, если коэффициент полезного действия
крана т] = 40 %.
Дано: т = 600 кг; а = 0,1 м/с2; = 2 с; t2 = 6 с; ц = 0,4.
Найти:
Решение. Средняя мощность крана
/ ДТ\ = ^атр _ .затр
At t2 —
где Азатр — затраченная работа.
КПД крана
(1)
(2)
^затр
где полезная работа А равна изменению энергии груза за про-
межуток времени t2 ~ tA:
А = Е2-Е1 = -—*- + mgh2 ~| -^^mgh^ |,
(3)
2
где I?! и и2 — соответственно скорость груза в момент времени tx
и t2; и й2 — высота, на которой находится груз в моменты
времени и t2, Учитывая, что
<zt2
Л = и и = at, (4)
из выражения (3) найдем
ma(g + ayt2 -tf)
Подставляя (4) в (1) и учитывая (2), найдем искомую среднюю
мощность
/лр_,ПО(^ + О)(^-*1)
Г/ЛП1 . >Л2 Л КГММ H-м Дж
[(Jv)] = кг*м/(сz)-m/cz с —— -=----= —— = Вт.
с^ с с с
Ответ: (N) - 2,97 кВт.
Q Груз массой т = 50 кг поднимают вдоль наклонной пло-
скости с ускорением а - 1,5 м/с2. Длина наклонной плоскости I -
-2 м, угол а ее наклона к горизонту равен 40°, коэффициент
52
трения р = 0,12 (рис. 49). Определите
работу А, совершаемую подъемным
устройством; его среднюю (АО и мак-
симальную АГтах мощность. Начальная
скорость груза равна нулю.
Дано: т - 50 кг; а - 1,5 м/с2; I = 2 м;
а = 40°; р = 0,1.
Найти: A; (N); Nmax.
Решение. Согласно второму закону
Ньютона, уравнение движения груза по наклонной плоскости
в векторной форме имеет вид
та = mg + N + Др + Д,
где mg — сила тяжести; N — сила реакции опоры; Frp — сила
трения; Д — сила тяги.
В проекциях на оси х и у это уравнение запишется в виде
та = F.r - mg since - pN,
0 - N - mg cos a
(учли, что F[p = pN, где p — коэффициент трения).
Решая систему уравнений относительно FT, получаем
FT = т(а + gsina + pg cos a).
Искомая работа, совершаемая подъемным устройством,
А = F^l = ml{a + gsina + pg cos a)
Средняя мощность, развиваемая подъемным устройством,
где t - ^211 а — время подъема груза. Следовательно,
т-А^
Максимальная мощность, развиваемая подъемным устрой-
ством,
^шах ™ ^т^тах — FTdt,
Подставляя значения величин, получим
^тах = ^V2aZ (a + gsina + pg cosa)
[А] = кг'М-м/с2 = Нм = Дж,
53
[(jv>] = -Д^.у = = Вт,
/м/с2 с
V м
гхг 1 I 7П~\ /2 кг-мм Нм Дж „
[^тах ] = КГ^МДС2 ) * М • М/С2 = ----= Вт.
С2 С С с
Ответ: А - 856 Дж; <ЛГ) - 524 Вт; Nmax - 1,05 кВт.
Q С наклонной плоскости высотой Л - 15 см и длиной I = 0,5 м
скользит тело массой т - 0,5 кг (рис. 50). Считая коэффициент
трения на всем пути одинаковым (ц = 0,03), определите кинети-
ческую энергию Ек у основания плоскости и путь s> пройденный
телом на горизонтальном участке до остановки.
Дано: h = 15 см = 0,15 м; Z = 0,5 м; т = 0,5 кг; ц - 0,03.
Найти: Ек; s.
Решение, При наличии сил трения полная механическая
энергия тела уменьшается при переходе из состояния 1 в со-
стояние 2:
Е2-Е1=Атр<09
где Атр — работа силы трения (она отрицательна). Иначе можно
записать
Ei = Е2 + [Атр|,
или в рассматриваемом случае
2
mgh=^ + FJ., (1)
где FTp — сила трения, FTp = png cos а (ц — коэффициент трения;
a — угол наклона плоскости к горизонту).
Из формулы (1) следует, что
%h - F.vpl - mgh - pmgl cos a
- mgh - [imglcosa.
Поскольку h - Zsina, имеем
u sina = 4» а cosa-
h I y
Искомая кинетическая энергия
тела у основания плоскости
54
mv~
или
Рис. 50
EK=mg(h~iil,]l-~h* 2/l2}.
Кинетическая энергия тела у основания плоскости расходуется
на работу против сил трения на горизонтальной части пути:
Е3 ~ ~ ^тр <
или
Ек = F.ips = nmgs,
откуда искомый путь, пройденный телом на горизонтальном
участке до остановки:
p/ng
[1?к] = кг м/(с2)-м = Н м - Дж,
гл Дж Дж Нм _.
1^1 / 2 тт и
кг м/с2 Н Н
Ответ: Ек = 0,666 Дж; в = 4,53 м.
□ Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите отношение
кинетической Ек и потенциальной Еп энергий шарика, брошенного
под углом а = 45’ к горизонту, в момент времени, когда его скорость
будет составлять угол 0 = 30° с горизонталью (рис. 51).
Дано: а = 45°; р - 30\
Найти:
К
Решение. Отношение энергий
Еп Е-Ек
(1)
2
где Ек = —----кинетическая энергия в произвольной точке;
А 9
Еп — потенциальная энергия в произвольной точке; Е --- —
2
55
полная энергия шарика в начальной точке, которая равна ее
кинетической энергии.
Согласно закону сохранения энергии, для любой точки тра-
ектории
mv^ l /пу2
—— = mgh + ——.
2 2
Скорость в любой точке траектории
У = ^У2+и2,
где vx = иОх = uocosa; vy = i^tgp, откуда
v2 - Уо2(1 + tg2p)cos2a.
(2)
Закон сохранения энергии (1) запишем в виде
^^- = mgh +
тпур cos2 a(l + tg2p)
2
Искомое отношение (1) с учетом (2) и (3) принимает вид
ту2
Ек = 2 = cos2a(l + tg2p)
Еп ти% mv2 l-cos2a(l + tg2p)
~~2 2”
Ответ: —- = 2.
Q Длина пружины в нерастянутом состоянии I - 10 см. Опре-
делите работу А силы упругости при сжатии пружины от длины
/i = 15 см до длины /2 - 12 см, если для удлинения пружины на
х = 1 см затрачивается сила F - 0,15 Н.
Дано: I = 10 см - 0,1 м; - 15 см = 0,15 м; 12 ~ 12 см - 0,12 м;
х = 1 см — 0,01 м; F = 0,15 Н.
Найти: А.
Решение. Работа консервативных сил (силы упругости кон-
сервативны) А = -ЛЕП
или А = ЕП1-ЕП2, (1) -Ьп! - 2 и ^п2 - 2 7 (^)
где k — жесткость пружины; - I и l2 - I равны деформациям
пружины.
56
Согласно закону Гука, Fyr;p = -kx. По третьему закону Ньюто-
на, Fynp = -Г, тогда
F = kx.
откуда
* = -. (3)
X
Подставив (2) в (1), учитывая (3) и произведя элементарные
преобразования, найдем искомую работу силы упругости
._(Zi-i2)(Zi + Z2-2i)F
[А] = ^Н=Дж.
м
Ответ: А - 15,8 мДж.
В Движущийся шар массой тА = 0,5 кг ударяется о непод-
вижный шар массой пг2 - 3 кг (рис- 52). Удар — абсолютно упру-
гий, прямой и центральный. Определите долю у первоначальной
кинетической энергии, которую первый шар передаст второму
при ударе.
Дано: - 0,5 кг; т2 - 3 кг; и2 = 0.
Найти: у.
Решение. Искомая доля кинетической энергии, которую
первый шар передает второму при ударе,
К2
Y = —
(1)
где — кинетическая энергия второго шара после уда-
ра (и2 — скорость движения второго шара после удара);
„ nhVi /
---кинетическая энергия первого шара до удара —
скорость первого шара до удара).
При прямом центральном ударе векторы
скоростей шаров до и после удара лежат
на прямой линии, соединяющей их центры.
Ось х выберем вдоль скорости бх. Проекции
векторов скоростей на эту ось равны моду-
лям скоростей, а направления учитываются
знаками.
Рис. 52
57
Запишем законы сохранения импульса и энергии:
miVi + m2v2 = ntj yj + m2v2; (2)
m2v^ miv'^ m2v'/
~2~*~2--------2~ + ~2~’ |3)
где, согласно условию задачи, v2= 0; t>l — скорость первого шара
после удара*
Уравнения (2) и (3) запишем в виде
тгих = тги{ + /п21>2!
miui _ ^i^22
~2 2~ + ~-
Преобразуя эти уравнения, получаем
- ui) - т2и2;
m-i (uf -) = m2 v'22, (4)
откуда после деления первого уравнения на второе имеем
У1 + U1 = v2‘ (5)
Решая уравнения (4) и (5), находим
^=^5- (6>
Подставив (б) в формулу (1) и учитывая выражения для Е'К2
и ЕК1, найдем искомую долю:
4m1/n2
(тп^/Пг)2
Ответ: у = 0,49,
Q Два свинцовых шара массами тг - 1 кг и т2 - 2 кг подве-
шены на нитях длиной Z - 50 см, Первоначально шары соприкаса-
ются между собой, затем меньший шар отклонили на угол а = 60°
и отпустили (рис. 53). Считая удар центральным и неупругим,
Рис. 53
I 58
определите высоту А, на которую поднимут-
ся шары после удара. Найдите энергию ДЕК,
израсходованную на деформацию шаров при
ударе.
Дано: тг = 1 кг; т2 - 2 кг; Z = 50 см = 0,5 м;
а - 60\
Найти: Л, ДЕК.
Решение. Удар неупругий» поэтому после удара шары движут-
ся с общей скоростью р, которую найдем из закона сохранения
импульса
mrVi + т2и2 = (Шу + zn2)o, (1)
где и и2 — скорости шаров до удара. Скорость р! малого шара
найдем из закона сохранения механической энергии:
А
откуда
= y/Zghi = ^2gl(l-cosa) = 2y/glsin^, (2)
Л
где hy = 1(1 - cos а).
Из выражений (1) и (2) при условии» что и2 = 0, получим
w 27niV^/sin—
_—2. (3)
тг+т2 my+m2
Из закона сохранения механической энергии имеем
(mj + m2 )^- = (mt + тпг )gh,
Л
откуда искомая высота с учетом формулы (3)
Энергия, израсходованная на деформацию шаров при ударе,
а «!>«,),,, (4)
“22
Подставив (2) в (4), получаем искомую энергию
&£K=2gf—*ma sin2g
пг, + ms 2
г.„ л М/(С2)‘М-(КГ)2 ох и тг
[ДЕК ] = —— ----*—— = кг • м/(с2 ) • м=Н • м = Дж.
КГ
Ответ: h = 2,78 см; ДЕК = 1,63 Дж.
59
0 * 1.147. Лодка длиной I - 6 м и массой
М = 300 кг стоит в спокойной воде. На кор-
ме лодки сидит человек массой т - 80 кг.
Пренебрегая трением о воду и воздух, опре-
Ь-———!—------ч делите, на какое расстояние § сместится
_ __ лодка относительно берега, если человек,
Рис. 55 „
двигаясь с постоянной скоростью, перейдет
на нос лодки (рис. 55). Ответ: s = 1,26 м.
1.148. Снаряд, вылетевший из орудия под некоторым углом о
к горизонту со скоростью разорвался в верхней точке на два
осколка, причем масса первого в п-1,6 раза меньше массы вто-
рого. Меньший из осколков полетел горизонтально в обратном
направлении со скоростью равной скорости v снаряда до раз-
рыва (рис. 56). Определите, на каком расстоянии з от орудия
упадет больший осколок, если место разрыва отстоит от места
выстрела по горизонтали на расстояние Z = 1,5 км. Сопротивле-
нием воздуха пренебречь. Ответ: s - 4,86 км.
1*149. На тело массой т - 400 кг на горизонтальном участке
пути s = 15 м действуют три силы: сила тяжести, сила трения
(коэффициент трения ц - 0,2) и сила тяги F = 2 кН, направленная
под углом а - 35' к горизонту. Определите работу А этих сил.
Ответ: АТ = 0; Атр = -8,32 кДж; А = 24,6 кДж.
1.150* Автомобиль массой т - 2 т движется в гору, наклон
которой составляет 2 м на каждые 100 м пути. Определите ра-
боту А, совершаемую двигателем автомобиля на пути я = 10 км,
если коэффициент трения ц - 0,15. Ответ: А = 33,3 МДж.
1.151* Определите работу А силы тяжести при движении тела
массой т = 0,4 кг, брошенного под углом а = 35° к горизонту со скоро-
стью = 140 м/с: 1) за первые пять секунд движения; 2) до верхней
точки траектории. Ответ: 1) At = -1,09 кДж; 2) А2 - -1,29 кДж.
Рис. 56
62
1.152. * Определите работу Л, совершаемую при вертикальном
подъеме груза массой т « 40 кг на высоту h - 15 м с ускорением
а = 0,4 м/с2. Ответ: А = 6,13 кДж.
1.153. Лошадь тянет сани, совершая работу А = 35 кДж на пути
s = 200 м. Определите величину приложенной силы F, если оглоб-
ли составляют с горизонтом угол а = 40\ Ответ: F = 229 Н.
1.154. Лежащую на земле балку массой т = 1,2 т и длиной
I = 1,5 м равномерно поднимают и устанавливают вертикально.
Определите работу А силы тяжести. Ответ: А = -8,83 кДж.
1.155. Тело массой т ~ 6 кг равномерно скользит по наклон-
ной плоскости с углом наклона а = 38° к горизонту. Определите
работу силы тяжести А и работу силы трения Атр, если высота
плоскости h - 1,5 м, а коэффициент трения тела о плоскость
ц = 0,3. Ответ: А = 88,3 Дж; Атр = -33,9 Дж.
1.156. Автомобиль массой т = 1,3 т движется с постоянной
скоростью. Определите мощность ЛГ, развиваемую двигателем
автомобиля, если для прохождения расстояния $ = 10 км автомо-
биль затрачивает время t = 12 мин. Коэффициент трения ц = 0,05.
Ответ: N = 8,86 кВт.
1.157. Автомобиль, мощность двигателя которого постоянна
и равна 100 кВт, поднимается в гору с наклоном h/l = 0,2 с по-
стоянной скоростью 54 км/ч. Спускаясь с этой горы при выклю-
ченном двигателе, он движется равномерно с той же скоростью.
Определите массу т автомобиля. Ответ: т = 1,7 т.
1.158. Мощность двигателей самолета массой 6 т при отрыве
от земли Р - 900 кВт. Разгоняясь равноускоренно, самолет до-
стигает скорости и - 40 м/с. Принимая, что коэффициент сопро-
тивления ц - 0,04 не зависит от скорости, определите длину s
пробега самолета перед взлетом. Ответ: s = 238 м.
1.159. На сжатую пружину положили шарик массой т = 35 г.
После освобождения пружины шарик поднялся на высоту
h - 5 м. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите жест-
кость k пружины, если она была сжата на Дх - 15 см. Ответ:
& = 153Н/м.
1.160. * Материальная точка массой т = 1,5 кг движется под
действием некоторой силы, направленной вдоль оси х, согласно
уравнению х = В + Ct + Dt2, где В = 2 м, С = 3 м/с, D - 1 м/с2.
Определите работу А силы, затрачиваемую на движение точки
за время t - 2 с. Чему равна средняя мощность (А) силы за этот
промежуток времени? Ответ: А = 35 Дж; =18 Вт.
1.161. Определите работу силы упругости А12 при сжатии
пружины от длины X! - 14 см до длины х2 = 12 см, если под дей-
63
ствием силы F - 1,5 Н удлинение пружины составляет Дх = 1 см.
Ответ: А12 ~ 0,39 Дж.
1.162. Пружину медленно растягивают сначала от положения
равновесия до удлинения Axt = 5 см, затем от этого положения
еще на Дх2 = 5 см. Сравните произведенные при этом работы.
Ответ: A2/Av - 3.
1.163. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите ра-
боту А силы тяжести при падении тела массой т - 3 кг, если
скорость тела увеличилась от pj = 2 м/с до и2 - 20 м/с. Ответ:
А = 594 Дж.
1.164. Автомобиль массой т = 1100 кг, двигаясь со скоростью
v = 70 км/ч, при торможении прошел путь а - 15 м. Определите
среднюю силу торможения (F). Ответ: (F) = 13,9 кН.
1.165. Конькобежец, разогнавшись на горизонтальном участке
до скорости и - 6,5 м/с, смог, не прикладывая усилий, въехать
на горку с уклоном а = 30° на высоту h - 2 м. Определите коэф-
фициент трения ц коньков о лед. Ответ: ц = 0,045.
1.166. * Тело движется под действием некоторой силы соглас-
но уравнению х = Bt2, где В - 2 м/с2. Определите массу т тела,
если на отрезке пути хт = 50 м совершается работа А = 600 Дж.
Ответ: т = 3 кг.
1.167. Автомобиль спускается с горы с уклоном а - 12 при
выключенном двигателе, при этом его скорость постоянна v =
= 50 км/ч. Определите мощность N двигателя, чтобы он смог
преодолеть этот подъем с той же скоростью. Масса автомобиля
т - 1,2 т. Ответ: N - 68 кВт.
1.168. Груз массой т = 120 кг втаскивают с постоянным уско-
рением по наклонной плоскости с углом наклона а “ 20* к гори-
зонту на расстояние I = 15 м. Определите работу А силы тяги,
если время подъема t - 11 с, коэффициент трения ц = 0,2. Чему
равен КПД ц процесса? Ответ: А = 98 кДж; т| = 0,616.
1.169. С наклонной плоскости с углом наклона а - 35° к го-
ризонту скользят санки. Считая коэффициент трения ц на всем
пути равным 0,02, определите высоту h наклонной плоскости,
если санки проходят по горизонтальному участку до остановки
расстояние s - 23 м. Ответ: h ~ 0,474 м.
1.170. Автомобиль, двигаясь равноускоренно, разгоняется
с места до 30 км/ч и с 30 км/ч до 60 км/ч за одно и то же время.
Сравните работу двигателя в обоих случаях. Силу сопротивления
FC0I1[) считать постоянной. Ответ: Аа/А2 - 0,333.
1.171. С наклонной плоскости высотой h - 6 м и длиной I -
= 15 м скользит груз. Определите путь $ по горизонтали, который
I 64
пройдет груз до остановки, если коэффициент трения ц = 0,2.
Ответ: s = 6,25 м.
1*172. Тело, двигаясь с ускорением а = 1,5 м/с, за время =
= 8,2 с приобрело кинетическую энергию = 90 Дж. Определите
кинетическую энергию Ек и импульс р тела через пять секунд по-
сле начала движения. Ответ: Ен = 33,5 Дж; р = 8,92 кг -м/с.
1*173. За время tY = 5 с тело массой т = 1,3 кг, двигаясь равно-
ускоренно, прошло путь sx = 70 м. Определите кинетическую энер-
гию £к2 тела в момент времени = 3 с* Ответ: Ек2 = 183 Дж*
1.174* Кинетическая энергия £к1 тела массой т = 6 кг равна
200 Дж. Под действием некоторой силы F тело, двигаясь рав-
ноускоренно, за время t = б с приобрело энергию £к2 = 340 Дж*
Определите ускорение а тела и силу Г, действующую на тело*
Ответ: а = 0,412 м/с2; F - 2,47 Н*
1.175. Шарик массой т - 150 г катился по горизонтальной
поверхности со скоростью v = 2,4 м/с. Сможет ли он преодолеть
горку высотой h - 28 см? Трением пренебречь. Ответ: да.
1*176. Кинетическая энергия Ек тела, движущегося со ско-
ростью v = 2,4 м/с, равна 90 Дж. Определите потенциальную
энергию Ел этого тела на высоте h = 15 м над уровнем земли.
Ответ: Еп = 4,6 кДж.
1.177. Тело, падая с некоторой высоты, в момент соприкосно-
вения с землей обладало импульсом р - 100 кг м/с и кинетиче-
ской энергией £к = 500 Дж* Определите массу т тела и высоту Л,
с которой падало тело. Ответ: т = 10 кг; h = 5,1 м.
1.178* Определите работу сил сопротивления А^, если тело,
брошенное вертикально вверх с высоты Л - 12 м со скоростью
= 5 м/с, упало на землю со скоростью их = 14 м/с. Масса тела
т = 0,5 кг. Ответ: Атр = 16,2 Дж*
1.179. Определите отношение работы силы тяжести к работе
силы, расходуемой на равномерный подъем тела по наклонной
плоскости (коэффициент полезного действия т| наклонной пло-
скости) с углом наклона а = 40' к горизонту и коэффициентом
трения ц = 0,2* Ответ: г| = 0,808.
1*180. Тело брошено вертикально вверх со скоростью и0 =
= 15 м/с. Определите, на какой высоте h потенциальная энер-
гия Еп тела в п = 1,6 раза больше кинетической Ек. Сопротивление
воздуха не учитывать* Ответ: h = 7,06 м.
1.181. Тело массой т - 0,8 кг падает с высоты Н ~ 20 м без
начальной скорости. Определите кинетическую £К1 и потенциаль-
ную Яп1 энергии тела на высоте Лх = 6 м. Сопротивление воздуха
не учитывать* Ответ: Ек1 = 110 Дж; = 47,1 Дж*
65
1.182. Шарик массой т - 0,5 кг падает с высоты h = 20 м
и вдавливается в землю на глубину I = 12 см. Определите среднюю
силу сопротивления Fc почвы. Сопротивление воздуха не учиты-
вать. Ответ: Fc = 822 Н.
1.183. Автомобиль, двигающийся со скоростью v = 80 км/ч,
после выключения двигателя проходит до остановки s = 40 м.
Определите коэффициент трения р. Ответ: ц - 0,628.
1.184. С башни высотой Н = 50 м горизонтально брошено тело
массой т - 0,1 кг со скоростью - 10 м/с. Пренебрегая сопро-
тивлением воздуха, определите потенциальную и кинетиче-
скую Ек энергии тела через промежуток времени t = 1,5 с после
броска. Ответ: Еп = 38,2, Дж; Ек = 15,8 Дж.
1.185. С башни высотой Н = 10 м под углом а = 45° к горизонту
брошено тело массой т = 1,5 кг со скоростью - 10 м/с. Пре-
небрегая сопротивлением воздуха, определите кинетическую Ек
и потенциальную Еп энергии тела для момента времени t - 2 с.
Ответ; Ек = 156 Дж; = 66,5 Дж.
1.186. Шарик массой т - 50 г, летящий со скоростью v -
= 3,6 м/с, ударился упруго о стенку под углом а - 35° к горизон-
ту. Определите изменение импульса Др при ударе. Ответ: Др =
= 0,295 кг-м/с.
1.187. Шарик брошен под углом а = 42& к горизонту. Прене-
брегая сопротивлением воздуха, определите отношение кинети-
Е
ческой и потенциальной энергий —шарика в момент времени,
когда его скорость составляет с горизонталью угол: 1) 31 = 19°;
2) р2 = О’. Ответ: 1) ^ = 1,61; 2) ^ = 1,23.
1.188. Определите работу А, которую надо совершить, чтобы
сжать пружину на Дх = 8 см, если известно, что под действием
силы F = 35 Н пружина сжимается на Дх2 = 3 см. Ответ: А =
- 7,47 Дж.
1.189. Шар массой = 1,3 кг, движущийся со скоростью =
- 2,5 м/с, ударяется о неподвижный шар массой т2 = 2 кг (см.
рис. 52). Определите скорости шаров nJ и l>2 после удара, считая
удар центральным и абсолютно упругим. Ответ: = “0,53 м/с;
vf2 = 1,97 м/с.
1.190. Шар, движущийся со скоростью налетает на покоя-
щийся шар, масса которого в п = 2 раза меньше массы первого.
Определите отношение скоростей первого и второго шаров
после удара, считая удар центральным, прямым и упругим. От-
вет: Vi/t?2 - 0,25.
166
'ШШШ,
Рис. 57
у м
1.191, Пуля массой т - 12 г летит горизонталь-
но и попадает в шар массой М - 2,5 кг, висящий
на нити длиной I = 120 см, застревая в нем (рис.
57). Определите скорость v пули, если шар откло-
няется на угол а = 10\ Ответ: и - 125 м/с.
1.192. Два соприкасающийся свинцовых ша-
рика массами ~ 200 г и т2 = 300 г подвешены
на одинаковых длинных нитях. Меньший шарик
отклонили на угол а = 40° и отпустили (см. рис. 53).
Определите длину нитей /, если после удара шарики поднялись
на высоту h' " 4 см. Удар считать центральным и неупругим.
Ответ: I - 1,07 м.
1.193. Пуля массой т = 9 г летит горизонтально со скоростью
и = 210 м/с и попадает в брусок массой М = 900 г, висящий
на нити длиной I = 90 см, застревая в нем. Определите угол а
отклонения нити и количество теплоты Q, выделившееся при
ударе. Ответ: а - 41; Q - 196 Дж.
1.194. Шар массой тх = 20 г, летящий горизонтально, стол-
кнулся с шаром массой т2 = 500 г, висящим на жестком и не-
весомом стержне длиной I = 50 см. Считая удар центральным
и упругим, определите скорость щ шара до удара, если угол от-
клонения стержня после удара а = 16°. Ответ: = 8 м/с.
1.195. Шар массой тх - 2,5 кг, движущийся со скоростью =
= 3 м/с, ударяется о неподвижный шар массой т2 - 1*5 кг. Опреде-
лите скорости vj и Сатаров после удара, считая удар центральным
и абсолютно упругим. Ответ: vi - 0,75 м/с; = 3,75 м/с.
Глава 4
Механические колебания и волны
Основные законы и формулы
Частота колебаний
1
v = —
Т
[Т — период колебаний].
Круговая (циклическая) частота колебаний
2л Q
[Г — период колебаний; v — частота колебаний].
Уравнение гармонических колебаний
x=Acos(o>0£ + (p),
[х — смещение колеблющейся величины от положения равно-
весия; А— амплитуда колебаний; — круговая (циклическая)
частота; <р — начальная фаза].
* Скорость и ускорение тела, совершающего гармонические
колебания:
и = ^ = -A<d0 sin(a>0? b (р) - Асо0 cos[ <о0£ + <р+~ ],
Clc \ и/
а - — - -Acoq cos(<o0t + <р) = Acoq cos(tt)0t + <р + л)
[А — амплитуда колебаний; <о0 — круговая частота; <р — на-
чальная фаза].
Сила, действующая на колеблющееся тело массой т,
F - -тш^х
[соо — круговая частота; х — смещение колеблющегося тела
из положения равновесия].
I 68
Циклическая частота и период свободных гармонических
колебаний пружинного маятника
«>о=Д; Т =
V т \ k
[k — жесткость пружины; т — масса пружинного маятника],
Циклическая частота и период свободных гармонических
колебаний математического маятника
[£ — ускорение свободного падения; I — длина математического
маятника].
Кинетическая энергия пружинного маятника (энергия дви-
жущегося груза) в отсутствие сил трения
£к = __=—__a. sm2 (<йог+ф)
[тп — масса груза; v — его скорость; А — амплитуда колебаний;
— круговая частота; ср — начальная фаза],
Потенциальная энергия пружинного маятника (энергия
у пру го деформированной пружины) в отсутствие сил трения
г kx2 тпо^х2 тпА2(о§ 2 ( , х
Е*=-^-= 2 =----2 cos (^ + 9)
[т — масса груза; со0 — круговая частота; х — смещение груза
от положения равновесия; А — амплитуда колебаний; <р — на-
чальная фаза].
Полная механическая энергия пружинного маятника
[А — амплитуда колебаний; со0 — круговая частота].
Амплитуда и начальная фаза результирующего колебания,
получающегося при сложении двух гармонических колебаний
одинакового направления и одинаковой частоты,
А2-А2 +А2 + 2А]А2 cos((p2 - <р2),
tgtp_ Asin(Pj+A2sinф2
A1 COSCpy + A2 coscp2
[Л, и A2 — амплитуды складываемых колебаний; и <p2 — их
начальные фазы].
69
у = Асов о
Связь длины волны X, периода Т колебаний и частоты v
К - vT; и - Xv
[и — скорость распространения волны].
Связь между разностью фаз Дф и разностью хода Дх
Дф - ^--Дх.
X
Уравнение плоской поперечной волны
V /
[у — смещение точек среды с координатой х в момент времени t;
А — амплитуда волны; ф — начальная фаза колебаний; v —
скорость распространения волны].
Условие интерференционного максимума
d2-di = 2*Д (* = О, 1, 2, ...)
[(d2 “ ^1) — разность хода волн; X — длина волны].
Условие интерференционного минимума
d2 = (2k +1)| (* = 0,1,2, ...)
[(d2 - dj — разность хода волн; Л — длина волны].
Уравнение стоячей волны в среде без затухания
у - 2А cos cos art
X
[А и со — амплитуды и частоты двух плоских волн, распростра-
няющихся навстречу друг другу вдоль оси х].
Координаты пучностей и узлов стоячей волны
хп = +*4; xv = ±f* + lU (* = о, 1, 2, ...)
п 2 у 2J2
Примеры решения задач
□ Запишите уравнение гармонических колебаний x(i) ма-
териальной точки, совершающей колебания с амплитудой А =
= 10 см, если за время t - 1,5 мин совершается 180 колебаний.
Начальная фаза колебаний ф = 45°.
Дано: А - 10 см - 0,1 м; t - 1,5 мин = 90 с; п = 180; ф = 45* =
- л/4.
70
Найти: x(t).
Решение. Уравнение гармонических колебаний
х = A cos(<D0t + ф), (1)
где х — смещение колеблющейся точки от положения равно-
весия в момент времени t; А — амплитуда колебаний; <в0 — кру-
говая (циклическая) частота; ф — начальная фаза.
Круговая частота соо и период Т колебаний связаны соотно-
шением
Зная число п колебаний, совершающихся за время t, найдем
период колебаний:
Т = ~,
п
тогда
а0 = ^2" =4лс-1. (2)
Учитывая значение (2), искомое уравнение согласно формуле
(1) запишем в виде
х = 0,lcos(4nt + л/4), м
Ответ: х = 0,lcos(4nt + z/4)t м.
Q Материальная точка совершает гармонические колебания
с амплитудой А = 3 см и частотой v = 1 Гц, Запишите уравнение
движения точки х(0, если ее движение начинается из положения
Xq — 1,5 см.
Дано: А = 3 см - 3-10 2 м; v = 1 Гц; х0 - 1,5 см - 1,5 -10“2 м.
Найти: х(0*
Решение, Уравнение гармонических колебаний
х = A cos(w0t + (р), (1)
Циклическая частота а)0 и частота колебаний v связаны со-
отношением
<о0 = 2tcv = 2 к с-1. (2)
Согласно условию задачи, в начальный момент времени t = 0
смещение точки из положения равновесия равно х0, поэтому
71
х0 = Acoscp,
откуда начальная фаза
х0 л
ср = arccos— = —, (3)
А 3
Учитывая значения (2) и (3), искомое уравнение, согласно
формуле (1), запишем в виде
х - 0,03cos| 2nt 4 — ], м
I 3j
Ответ: х = 0,03cos 2ттЛ + — , м.
I 3/
ЕВ Материальная точка массой т = 15 г совершает гармо-
нические колебания с частотой v - 1 Гц. Амплитуда колебаний
А = 8 см. Определите максимальную силу FmRX, действующую
на точку, и полную энергию Е колеблющейся точки.
Дано: т = 15 г = 1,5 Ю2 кг; v = 1 Гц; А = 8 см - 8- Ю-2 м.
Найти: ГП1ЯХ, Е.
Решение. Уравнение гармонических колебаний
х - Acos(uj0t + ср).
Тогда скорость и ускорение колеблющейся точки имеют со-
ответственно вид
v = -Aco0sin((i)0t + <р); (1)
а = = -Acoq cos((o0Z 4 ср).
Согласно второму закону Ньютона, сила, действующая на точ-
ку,
F - та = -mA со 2 cos(o0t 4 ср);
F = -Fmax ПРИ cos(tD0t + <р) = ±1, поэтому искомое максимальное
значение силы
^m&x ~ AcOqTTI*
Так как циклическая частота
со0 = 2kv,
искомая максимальная сила, действующая на материальную
точку,
I 72
Fmax ” 4k2v2wA
Полная энергия колеблющейся материальной точки
Е = ЕЛ =. (2)
Kmax О ' z
Из формулы (1) следует, что v = umax при sin(a>0£ + ср) = ±1,
поэтому
^max “ Aa>Q,
Подставив это значение в формулу (2), найдем искомую пол-
ную энергию
Е = 2n2A2mv2
[^max] ” С"2 ‘КГ М = Н, [£] = М2-КГ С’2 = Н м = Дж.
Ответ: FmAX = 47,4 мН; Е = 1,89 мДж.
□ Период Т\ вертикальных колебаний груза, подвешенного
к спиральной пружине, составляет 0,3 с. После подвешивания
еще одного груза период колебаний Т2 возрос в 2,5 раза. Пре-
небрегая массой пружины, определите, на сколько удлинилась
пружина Ах при подвешенном дополнительном грузе.
Дано: 7\ = 0,3 с; Т2 = 2,5ТР
Найти: Ах.
Решение. Период колебаний первоначально подвешенного
к пружине груза
(1)
где т — масса груза; k — жесткость пружины.
Период колебаний после увеличения массы груза на Дт
Г2 = 2л.1от+Л”, (2)
V «
Грузы совершают гармонические колебания под действием
упругой силы
F - /?|Ах|, (3)
где F — сила, вызывающая удлинение пружины на Ах.
Сила
F = Am g, (4)
где g — ускорение свободного падения.
73
Из формул (3) и (4) получаем
ft = £A™. (5)
Дх
Возведя выражения (1) и (2) в квадрат и вычитая одно из дру-
гого, получим
Т22 - т? = 4 л2 — = 4л2 —
« g
[учли формулу (5)], откуда искомое удлинение пружины при
добавлении груза
Ьх=-^(Т$-Т?)
[Дх] = м/(с2)с2 = м.
Ответ: Дх - 11,8 см.
Q С помощью метода векторных диаграмм, сложив два
гармонических колебания, описываемых уравнениями хг(£) ==
= 0,1 соэ(2я/ + л/6), м, и x2(t) - 0,lcos(2nf + я/3), м, запишите
уравнение х(£) результирующего колебания.
Дано: xx(t) = 0,1 cos(2rct + л/6), м; х2(0 = 0,lcos(2nt + л/3), м.
Найти: x(t).
Решение. Согласно заданным в задаче уравнениям, склады-
ваемые гармонические колебания имеют одинаковые амплитуды
и одинаковые циклические частоты:
.Al — — 0,1 М£
(0х = С02 = (О = 2я с \
Начальная фаза первого колебания
(pl = л/6, второго — <р2 = я/3.
Сложим колебания, воспользовав-
шись методом векторных диаграмм
(рис. 58). Поскольку векторы и
А2 вращаются с одинаковой угловой
скоростью со, равной циклической ча-
стоте колебаний, разность фаз (<р2 - <рг)
между ними сохраняется постоянной
Дер = <р2 - Ф1 - л/6.
Результирующее колебание
74
х = х} + х2 = A cos(<ot + ф),
(1)
где
А = yjAi + Af + 2А1А2 cos Дф = At ^2(1 + cos Аф);
Igtp - A sincp! + А2зшф2 _ sincpi+sin<p2
Ax coscpi + A3 cosq>2 cosipi + cos<p2
[В формулах (2) и (3) учли, что Аа = А2.]
Вычисляя, получаем: А ~ 0,193 м; tg<p = 1, ф = arctgl = л/4.
Используя полученные для А и ф данные, уравнение (1) можно
записать в виде
х(0 = 19,3cos(2^ + л/4), (4)
т.е. сумма двух гармонических колебаний одного направления
с одинаковыми частотами является гармоническим колебани-
ем (4) с той же частотой, а также амплитудой и фазой, опреде-
ляемыми соответственно выражениями (2) и (3).
Ответ: x(t) = 19,3соз(2л/ + л/4), м.
□ Плоская поперечная волна распространяется вдоль прямой,
совпадающей с положительным направлением оси х в среде,
не поглощающей энергию, со скоростью и = 24 м/с. Две точки,
находящиеся на этой прямой на расстояниях х1 = 6мих2=7м
от источника колебаний, колеблются с разностью фаз Дф = л/6.
Амплитуда волны А = 5 см. Определите длину X волны; уравнение
волны у = (х,0 и смещение уг первой трочки в момент времени
t - 4 с.
Дано: и - 24 м/с; хх = 6 м; х2 = 7 м; А = 5 см - 0,05 м; Лер = л/6;
t ~ 4 с.
Найти: 1; y(x,t); уг.
Решение - Разность фаз колебаний двух точек волны
а 2л .
Дф = — Ах,
где Ах = х2 - хх — расстояние между этими точками.
Искомая длина волны
? 24x2-Xi)
Дф
Уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль по-
ложительного направления оси х,
(2)
(3)
75
r/(x, /) A cosco t- —
\ и
(1)
(2)
Циклическая частота
2л 2ли
“ Т “ X
(учли, что Т = X/v). Принимая во внимание выражение (2), за-
пишем искомое уравнение волны в общем виде
y(xf t) = Acas^-(vt - х).
Л
Чтобы найти смещение уи надо в это уравнение подставить
значения t и Так как 1 = 12 м, получим
у(х, t) = 0,05cos 4nf™ — х , м
\ 6 /
При t - 4 с имеем у^ - -5 см.
Ответ: Z = 12 м; yfx, £) = 0»05cos 4^t--^x , м; у1 - -5 см.
к 6 )
ЕО Один конец упругого стержня соединен с источником
гармонических колебаний, подчиняющихся закону у - A coscot,
а другой его конец жестко закреплен. Учитывая, что отражение
в месте закрепления стержня происходит от более плотной среды,
запишите уравнение у(х7 t) стоящей волны.
Дано: у ~ A coscot.
Найти: у(х, t).
Решение. Уравнение падающей волны
i/i = A cosco t - — , (1)
где А — амплитуда волны; (о — циклическая частота; v — ско-
рость волны.
Согласно условию задачи, отражение в месте закрепления
стержня происходит от более плотной среды, поэтому волна
меняет фазу на противоположную, и уравнение отраженной
волны имеет вид
у 2 = A cos
I . X ,
СО t-----4- П
\ и)
--Acosco t + — L
V V)
(2)
Сложив уравнения (1) и (2), получим уравнение стоячей вол-
ны
76
у(х, ty-y, +у2 ~ A cos j-Acosl cof + —
< v J к f
, , COX * . * COX
= A coscot cos----+Sin (Of sin----
U V
&)Х оэх
-cosoiicos— + sin cot sin— =
V V
Л J . cox .
- 2Asm----smcot.
V
Циклическая частота и длина волны соответственно равны
«o=~S \ = vT,
(3)
тогда
СОХ _2лТ _2%
v ~ Т X X
Подставив последнее выражение в формулу (3), получим ис-
комое уравнение стоячей волны
2л
y(x, t) - 2 A sin—xsin cot
A,
2 л
Ответ: y(x, t) = 2 Asin—xsincot.
A
□ Два когерентных источника колеблются в одинаковых
фазах с частотой v = 60 Гц. Скорость распространения волн в не-
поглощающей энергию среде v - 420 м/с. Определите наимень-
шую разность хода (не равную нулю), при которой наблюдаются
максимальные усиление (d2 - ^i)max и ослабление (d2 - di)min
колебаний.
Дано: v = 60 Гц; v = 420 м/с.
HdUTtlU: (^2 — ^1)тах» (^2
Решение. Согласно условию задачи, происходит наложение
когерентных волн, поэтому в разных точках пространства имеет
место усиление или ослабление результирующей волны, т. е. на-
блюдается интерференция волн.
Максимальное усиление (интерференционный максимум) на-
блюдается при разности хода
d2-dx = 2йЛ (А = 0, 1, 2, ...) (1)
А
77 I
а максимальное ослабление (интерференционный минимум) —
при разности хода
сг2-с/,=(2А + М (fc = 0, 1, 2, ...), (2)
где длина волны
Х = -. (3)
V
Из выражений (1) и (2), учитывая (3), получаем искомые
условия наименьших разностей хода (не равных нулю) для ин-
терференционных максимума (k = 1) и минимума (k - 0)
(d2-d,) =- (d2-d,) . =~
\ * 1 /шах у \ 4 1 ''nun 2v
Ответ: (d2 - dj)^ = 7 м; (d2 - dj^ = 3,5 м.
Задачи для самостоятельного решения
1.196, Материальная точка совершает гармонические ко-
лебания, описываемые уравнением х = ОД cos(4rct + ти/12), см.
Определите амплитуду А колебаний, циклическую частоту
частоту v, период Т и начальную фазу ф колебаний. Ответ:
А = 10 см; соо - 4л с"1; v = 2 Гц; Т - 0,5 с; ф = л/12.
1.197. Запишите уравнение гармонических колебаний мате-
риальной точки, если максимальное отклонение А от положения
равновесия составляет 5 см и за время t = 1,5 мин совершается
N = 180 колебаний. Ответ: х = 0,05 cos 4л/, м.
1.198. Запишите уравнение гармонического движения ма-
териальной точки, совершающей колебания с амплитудой А =
= 5 см, если за время t = 1 мин совершается N = 60 полных
колебаний, а начальная фаза колебаний <р = 15". Ответ: x(t) =
- 0,05cos(2n/ + я/12), м.
1.199. Материальная точка совершает гармонические колеба-
ния согласно уравнению х = A sin со/. Определите минимальное
время t от начала колебаний, за которое смещение колеблющейся
точки составит половину амплитуды, если период колебаний Т =
= 12 с. Ответ: t = 1 с.
1.200. Уравнение гармонического колебательного движения
материальной точки имеет вид х - 0,01 cos(2n/ + л/8), м. Опреде-
лите смещение материальной точки х0 из положения равновесия
в начальный момент времени и период колебаний Т. Ответ:
х0 = 9,24 мм; Т - 1 с.
I 78
1.201, Материальная точка совершает гармонические ко-
лебания с амплитудой А = 5 см и циклической частотой -
= Зя с"1. Запишите уравнение движения точки, если ее дви-
жение начинается из положения х0 = 4,33 см. Ответ: x(t) -
- 0,05cos(37t£ + тг/6), м.
1.202. Материальная точка совершает гармонические колеба-
ния, описываемые уравнением х - A sin cot. В какой-то момент
времени смещение точки от положения равновесия - 10 см.
При возрастании фазы колебания в два раза смещение х2 -16 см.
Определите амплитуду А гармонических колебаний. Ответ:
А ~ 16,7 см.
1.203. * Материальная точка совершает гармонические коле-
бания по закону х = 0,02cos(rcZ + л/3), м. Определите скорость г
и ускорение а материальной точки в момент времени t - 2 с.
Ответ: v = -5,44 см/с; а = -9,86 см/с2.
1,204. * Материальная точка совершает гармонические ко-
лебания с амплитудой А - 3 см и периодом Т = 2 с. Определите
для точки максимальную скорость итах, максимальное ускоре-
ние атак. Ответ: vmax - 9,42 см/с; атах = 29,6 см/с2.
1.205. * Материальная точка совершает гармонические колеба-
ния по закону х = 0,04соз(3л£ + я/12), м. Определите скорость и
и ускорение а в момент времени t - 3 с. Ответ: и = 3,25 см/с;
а ~ 3,81 см/с2.
1.206, * Материальная точка совершает гармонические коле-
бания с начальной фазой, равной нулю. В некоторый момент
времени максимальная скорость материальной точки pmflx =
= 9,42 см/с, а ее максимальное ускорение атах = 29,6 см/с2.
Определите частоту v колебаний. Ответ: v - 0,5 Гц.
1.207. Тело массой т = 200 г, подвешенное к упругой пружине,
совершает гармонические колебания. Определите жесткость k
пружины, если за время t - мин число полных колебаний N =
= 200. Ответ: k = 9,74 Н/м.
1.208. Железный шарик, подвешенный к спиральной пру-
жине, совершает вертикальные колебания. Определите, как
изменится период Т колебаний, если вместо железного шарика
(плотность pi - 7,9 г/см3) к пружине подвесить алюминиевый
шарик (плотность р2 = 2,6 г/см3) такого же радиуса. Ответ:
Л/Т, = 1,74.
1.209. Если увеличить массу груза, подвешенного к спираль-
ной пружине, на Лиг - 400 г, то частота колебаний уменьшается
в п = 3 раза. Определите массу т первоначального подвешенного
груза. Ответ: тп = 50 г.
79
1.210. К спиральной пружине подвешен груз массой т - 2 кг.
Определите период Т вертикальных колебаний груза, если пру-
жина под влиянием силы F - 3 Н растягивается на величину Ах -
- 2 см. Ответ: Т = 0,726 с.
1.211. Определите период Т колебания груза на упругой пру-
жине, если при его подвешивании пружина в положении равно-
весия удлинилась на х0 = 62,2 мм. Ответ: Т ~ 0,5 с.
1.212. Математический маятник длиной I - 99,4 см за время
t = 1,5 мин совершает - 45 полных колебаний. Определите
период Т колебаний маятника и ускорение свободного падения
g в месте нахождения маятника. Ответ: Т = 2 с; g = 9,81 м/с2.
1.213. Определите отношение длин lr/l2 двух математических
маятников, если периоды их колебаний обличаются в 2,5 раза.
Ответ: 1г/12 - 6,25.
1.214. Период колебаний одного математического маятника
- 3 с, другого — Т2 = 4 с. Определите период Т колебаний
маятника, длина которого равна сумме длин обоих маятников.
Ответ: Т = 5 с.
1.215. * Определите, во сколько раз изменится частота гармо-
нических колебаний математического маятника при уменьшении
его длины на 20 %. Ответ: увеличится в 1,12 раза.
1.216. Два математических маятника, длины которых отли-
чаются на AZ = 32 см, совершают за одно и то же время: один —
7<х = 20 колебаний, другой — N2 = 12 колебаний. Определите
длины li и 12 маятников. Ответ: lv = 18 см; 12 ~ 50 см.
1.217* * Материальная точка массой т - 0,5 кг совершает
гармонические колебания с амплитудой А - 20 см. Определите
частоту v колебаний, если максимальная сила действующая
на материальную точку, равна 10 мН. Ответ: v = 0,504 Гц.
1.218. * Определите полную энергию Е материальной точки мас-
- л л Л „ /пА2<о§
сои ти, колеблющейся по закону х = A cosot. Ответ: Е --—
1.219* * Материальная точка массой т = 50 г совершает гармо-
нические колебания, описываемые уравнением х - 0,3 cos , м.
Определите полную энергию Е колеблющейся точки. Ответ:
Е = 555 мДж.
1.220. * Материальная точка массой т = 50 г совершает гармо-
нические колебания с периодом Т = 1 с. Определите амплитуду А
колебаний, если полная энергия колеблющейся материальной
точки Е = 0,25 мДж. Ответ: А = 15,9 см.
1.221, * Материальная точка массой т = 100 г совершает гармо-
нические колебания, описываемые уравнением х = 0,3cos37Et, м.
I 80
Определите полную энергию Е колеблющейся материальной
точки. Ответ: Е = 399 мДж.
1.222. Гиря» подвешенная к спиральной пружине, совершает
вертикальные колебания с амплитудой А = 8 см. Определите
полную энергию Е гири, если жесткость пружины k = 500 Н/м.
Ответ: Е - 1,6 Дж.
1.223. Груз подвешен к спиральной пружине жесткостью k =
= 500 Н/м и совершает гармонические колебания. Определите
амплитуду А колебаний груза, если максимальная кинетическая
энергия груза ^Кта5£ = 0,9 Дж. Ответ: А = 6 см.
1.224* * Полная энергия Е материальной точки, совершающей
гармонические колебания, равна 6 мкДж, а максимальная воз-
вращающая сила, действующая на точку, = -0,3 мН* Запи-
шите уравнение движения этой точки, если период Т колебаний
равен 6 с, а начальная фаза <р = 0. Ответ: х = 0,04cos^t, м.
1*225. Груз, подвешенный на спиральной пружине жесткостью
k - 0,2 Н/см, совершает гармонические колебания с амплитудой
А = 3 см. Определите массу /п груза, если максимальная скорость
груза утах =12 см/с. Ответ: тп - 1,25 кг.
1.226. * На горизонтальной пружине жесткостью k = 800 Н/м
укреплен шар массой М = 3 кг, лежащий на гладком столе, по ко-
торому он может скользить без трения. Пуля массой т = 10 г,
летящая с горизонтальной скоростью i?0 = 550 м/с и имеющая
в момент удара скорость, направленную вдоль оси пружины,
попала в шар и застряла в нем. Пренебрегая массой пружины
и сопротивлением воздуха, определите амплитуду А и период Т
колебаний шара. Ответ: А = 11,2 см; Т - 0,385 с.
1.227* Два одинаково направленных гармонических колеба-
ния одинаковой циклической частоты с амплитудами Ах = 3 см
и А2 = 5 см имеют разность фаз Дф = 60°. Определите амплитуду А
результирующего колебания* Ответ: А = 6,44 см.
1.228. Определите разность фаз Дф двух одинаково направлен-
ных гармонических колебаний одинаковой частоты и амплиту-
ды, если амплитуда А их результирующего колебания равна 0,6
амплитуды складываемых колебаний. Ответ: Дф - 145°.
1.229. Разность фаз Дф двух одинаково направленных гармо-
нических колебаний одинакового периода Т = 2 с и одинаковой
амплитуды А - 10 см составляет л/4. Запишите уравнение дви-
жения, получающееся в результате сложения этих колебаний,
если начальная фаза первого колебания равна нулю. Ответ:
r(t) = 18,5cos(7u£ + л/8), см.
81
1*230. Складываются два гармонических колебания одного
направления* описываемых уравнениями X; = cos2tc£, см, и х2 =
= 3 сов(2л* + л/4), см. Определите для результирующего колебания
амплитуду А, и начальную фазу ф. Запишите уравнение резуль-
тирующего колебания и представьте векторную диаграмму сложе-
ния амплитуд. Ответ: А = 5*54 см; ф - тс/8; x(t) = 5,54cos(2nt +
+ гс/8), см.
1.231. * Результирующее колебание, получающееся при сло-
жении двух гармонических колебаний одного направления, мало
отличающихся по частоте, описывается уравнением вида x(t) =
= Acostcos50t. Определите циклические частоты со2 склады-
ваемых колебаний. Ответ: - 51 с-1; со2 - 49 с-1.
1.232. Определите длину X звуковой волны в воде (скорость
звука в воде v = 1450 м/с), если частота v источника колебаний
составляет 725 Гц. Ответ: X = 2 м.
1.233. Определите скорость и распространения звука в воде,
если длина волны X = 2,5 м, а частота колебаний источника v =
= 580 Гц. Определите также наименьшее расстояние х между
точками среды, которые колеблются в одинаковой фазе. Ответ:
v - 1450 м/с; х = 2,5 м.
1.234. Расстояние между двумя соседними гребнями волны
в море составляет 80 см. Определите скорость и распростране-
ния волн, если за время t - 15 с поплавок совершает на волнах
ЛГ = 30 колебаний. Ответ: v - 1,6 м/с.
1.235. Определите разность фаз Дер колебаний двух точек,
лежащих на луче на расстоянии Ах = 0,5 м друг от друга, если
длина волны X = 4 м. Ответ: Дф = %/4.
1.236. Скорость звука в воде и = 1450 м/с. Определите расстоя-
ние Ах, на котором находятся ближайшие точки, совершающие
колебания в противоположных фазах, если частота колебаний
v = 580 Гц. Ответ: Дх = 1,25 м.
1.237. Определите, во сколько раз изменится длина ультра-
звуковой волны при переходе ее из меди в сталь, если скорость
распространения ультразвука в меди и стали соответственно
равны = 3,6 км/с и v2 = 5,5 км/с. Ответ: в 1,53 раза.
1.238. Звуковые колебания во второй среде имеют длину вол-
ны, вдвое меньшую, чем в первой. Определите, во сколько раз из-
менится скорость распространения звуковой волны при переходе
из первой среды во вторую. Ответ: vY/v2 - 2, т. е. в 2 раза.
1.239. Плоская поперечная волна распространяется вдоль пря-
мой, совпадающей с положительным направлением оси х в среде,
не поглощающей энергию, со скоростью v = 5 м/с. Амплитуда
I 82
колебаний точек среды А - 10 см, период колебаний Т - 2 с. За-
пишите уравнение волны и определите длину волны X. Ответ;
i/(x,£) = 0,lcos^7c£--^x^ м; X = 10 м.
1,240. * Определите длину волны X, если смещение у части-
цы из положения равновесия, которое находится от источника
колебаний на расстоянии х = 10 см, через промежуток времени
f = Т/3 (Т — период колебаний) равно половине амплитуды.
Ответ: X - 0,6 м.
1.241, Определите разность фаз Aq> двух точек, лежащих
на луче и отстоящих друг от друга на расстоянии Ах = 50 см, если
при частоте v = 300 Гц волна распространяется со скоростью v =
150 м/с. Ответ: А(р = 2л.
1.242. Человеческое ухо воспринимает звуки частотой от их =
-16 Гц до и2 = 20 Гц. Определите длины волн Хх и Х2, отвечающие
этим частотам. Скорость звука в воздухе и = 340 м/с. Ответ:
= 21,2 м; Х2 = 17 мм.
1.248. Длина волны Л, возбуждаемой ультразвуковым генера-
тором в алюминии при частоте v = 100 кГц, равна 5,2 см. Опреде-
лите скорость v звука в алюминии. Ответ: v - 5,1 км/с.
1.244. Два когерентных источника колеблются в одинаковых
фазах с частотой v = 500 Гц. Определите, при какой наименьшей
разности хода, не равной нулю, будет наблюдаться интерференци-
онный максимум, если скорость распространения волн в непогло-
щающей энергию среде v = 1 км/с. Ответ: (d2 ~ - 2 м.
1.245. Два когерентных источника колеблются в одинаковых
фазах с частотой v - 500 Гц. Определите, при какой наименьшей
разности хода, не равной нулю, будет наблюдаться интерференци-
онный минимум, если скорость распространения волн в непогло-
щающей энергию среде v = 1 км/с. Ответ: (d2 - di)min = 1 м,
1.246, Разность хода -dx) двух когерентных волн в данной
точке составляет 4 м. Наблюдается в данной точке интерферен-
ционный максимум или минимум, если длина волны - 2 м?
Ответ: наблюдается интерференционный максимум.
1.247, От одного источника до рассматриваемой точки звук
доходит за время tx = 1 с, от второго источника до этой же точ-
ки — за время t2 - 1,1 с. Наблюдается в данной точке интерфе-
ренционный максимум или минимум, если волны с длиной волны
X - 8,5 м когерентны, а скорость звука v - 340 м/с? Ответ:
наблюдается интерференционный максимум.
1.248. * Один конец упругого стержня соединен с источ-
ником гармонических колебаний, подчиняющихся закону
83 I
у = A cos со а другой конец жестко закреплен. Учитывая, что
отражение в месте закрепления стержня происходит от менее
плотной среды, запишите уравнение стоящей волны. Ответ:
у(х, t) = 2Acos-^—xcoscof.
Л
1.249. * Найдите амплитуду Аст и выведите условие для коор-
динат пучностей и узлов стоящей волны, которая получается при
сложении двух плоских волн, распространяющихся навстречу
друг другу вдоль оси х без затухания. Амплитуды и частоты
складываемых волн одинаковы, их начальные фазы равны нулю.
Ответ: Аст = 2 A cos
(6 = 0, 1, 2, ...).
1.250. Определите длину X бегущей волны, если в стоячей вол-
не расстояние между первой и пятой пучностями Д/54 составляет
40 см. Ответ: X - 20 см.
1,251. Определите длину Л бегущей волны, если в стоячей вол-
не расстояние между первым и восьмым узлами Д/81 составляет
35 см. Ответ: X = 10 см.
1.252. Расстояние I между двумя соседними пучностями
стоячей волны, создаваемой камертоном в воздухе, равно 40 см.
Определите частоту v колебаний камертона, если скорость звука
в воздухе v - 340 м/с. Ответ: v = 425 Гц.
; ху =+[ *+| |£ (Л = 0, 1, 2, ...), х0 =±*£
Л \ л / л
Глава 5
Элементы специальной теории
относительности
Основные законы и формулы
Преобразования Лоренца
, _ x-vt
71-V2/c2
У' = у, Z' = 2, t' =
t-vx/c2
y]l-v2/c2
[Предполагается, что система отсчета К* движется со скоростью v
в положительном направлении оси х системы отсчета К, причем
оси х’ и х совпадают, а оси у’ и у, zr и г параллельны; с — ско-
рость распространения света в вакууме.]
Релятивистское замедление времени
А| _л2/„2
[А£о — промежуток времени между двумя событиями, отсчитан-
ный движущимися вместе с телом часами; At — промежуток
времени между теми же событиями, отсчитанный покоящимися
часами].
Релятивистское (лоренцево) сокращение длины
° ф.-и2/с2
|Z0 — длина стержня, измеренная в системе отсчета, относитель-
но которой стержень покоится (собственная длина); I — длина
стержня, измеренная в системе отсчета, относительно которой
он движется со скоростью р].
Релятивистский закон сложения скоростей
v2 -v
V1 ~ l-vzv/c2
| — скорость тел относительно системы К’; v2 — скорость это-
го же тела относительно системы К; и — скорость движения
системы К’ относительно системы К; с - скорость распростра-
нения света в вакууме].
85
Релятивистский импульс частицы
mv
^l~v2/с2
[т — масса частицы; v — ее скорость (скорость и сравнима
со скоростью е)].
Полная энергия релятивистской частицы
у _ те2
Ji.-v2/c2
[m — масса частицы; v — ее скорость; с — скорость распростра-
нения света в вакууме].
Кинетическая энергия релятивистской частицы
г 1 1
ЕК=Е-Ео=тс2 .......1... -1
J
[Яо - тс2 — энергия покоя {т — масса частицы; с — скорость
распространения света в вакууме)].
В Связь между энергией и импульсом релятивистской частицы
Е2 = /п2с4 + р2с2;
рс^Ек(Ек+2тс2).
Примеры решения задач
Ц Космическая платформа движется со скоростью v - 0,8с
относительно наблюдателя. На платформе одновременно проис-
ходят два события в точках, расположенных на расстоянии Zo =
= 150 м друг от друга. Определите промежуток времени At между
этими событиями, отсчитанный по часам наблюдателя.
Дано: v = 0,8с; Zo = 150 м; t2 = = t.
Найти: At'.
Решение. Свяжем систему отсчета К с платформой, систему
отсчета К' — с наблюдателем. По условию задачи, система от-
счета К' движется относительно системы К со скоростью v в на-
правлении, принятом за положительное.
Искомый промежуток времени
= *1 - t'2> (1)
где t! и t2 — показания синхронизированных часов в системе К'9
расположенных соответственно в точках х! и х2, в те моменты
86
времени, когда в каждой из точек произошло рассматриваемое
событие.
Согласно преобразованиям Лоренца,
г _ *1-^1/с2. ? _ t2-vx2!c2
^l-V2/c2 2 -^l-v2/c2
Подставив выражения (2) в формулу (1) и учитывая, что t2 =
- t! = t и х2 - хх = Zo, найдем
Ответ: At' = 0,667 мкс.
В Определите собственную длину Zo стержня, если для на-
блюдателя, пролетающего со скоростью v = 0,9с, длина стержня
I = 1,2 м (рис. 59).
Дано: I = 1,2 м; и = 0,9 с.
Найти: /0.
Решение. Систему отсчета К' свяжем со стрежнем, систему
отсчета ЛГ — с наблюдателем. Пусть система К' движется от-
носительно системы К в положительном направлении оси Ох
системы К (рис* 59) со скоростью v.
Собственная длина стержня
lQ- х2 - (1)
Согласно преобразованиям Лоренца, координаты концов
стержня, измеренные в один и тот же момент времени t по часам
данной системы:
-vt t x2-vt
2 y]l-V2/c2
(2)
Подставив выражения (2) в формулу (1), найдем искомую
собственную длину стержня:
j _ х2 х^ ________I___
° ф.-иг/с2 Jl-v2/c2
Рис, 59
Ответ: = 2,75 м*
87
Q С какой скоростью v тело должно лететь навстречу наблю-
дателю, чтобы его линейный размер уменьшился на 20 %?
Дано: I - O,8Z0.
Найти: и.
, Решение. Систему отсчета К' свяжем
_ ч с телом. Тогда х2- х[- lQ — собственные
размеры тела вдоль направления движе-
ния (рис. 60).
। । Если систему К связать с наблюдате-
| | лем, то размер тела в этой системе I =
о xi Ох х’ ~ х2 - xi> причем координаты х2 и Xi
должны быть измерены в один и тот же
Рис‘ 60 момент времени по часам системы К, т. е.
ti - t2. Учитывая взаимное направление движения систем К и К',
преобразования Лоренца для координат запишем в виде
, X2 + ot f Xi +vt
x2 “ .. =; Xi = . 1 =,
Jl~v2/c2 Jl-v2/c2
откуда
I x2~xl I
y]l-V2/c2 -Jl-v2/c2
и искомая скорость
Ответ: v = 0,6с.
□ Определите скорость и нестабильной частицы, если вре-
мя ее жизни по часам наблюдателя с Земли увеличилось в п -
-1,88 раза.
Дано: = п = 1,88.
Найти: о.
Решение. Систему отсчета К свяжем с частицей. Тогда про-
межуток времени между возникновением и распадом частицы
в этой системе равен ее собственному времени жизни At0. По-
скольку система К движется вместе с частицей, эти события
происходят в одной точке, что является необходимым условием
применения формулы, описывающей релятивистское замедление
хода часов.
I 88
Для системы К'9 связанной с Землей, время жизни частицы
М. Тогда
откуда
At _ 1
yjl-V2/c2
(1)
(учли условие задачи). Из выражения (1) находим искомую ско-
рость
и = —Т
V л2
Ответ: v = 0,847с.
В С космического корабля, приближающегося к Земле со ско-
ростью v = 0,7с, по ходу движения корабля стартовала ракета
со скоростью = 0,6с. С какой скоростью ракета приближается
к Земле?
Дано: v = 0,7с; Vi - 0,6с.
Найти: и2-
Решение. Систему отсчета К свяжем
с Землей, систему отсчета К' — с кос-
мическим кораблем (рис. 61). Тогда
скорость ракеты v2 в системе К и есть
искомая скорость сближения. Согласно
релятивистскому закону сложения ско-
ростей, искомая скорость ракеты
Рис. 61
р2=-^
1+^
Ответ: и2 = 0,915с*
Q Определите скорость и частицы, если ее полная энергия
в п = 1,7 раза больше ее энергии покоя.
Дано: = п = 1,7.
£0
Найти: v.
89
Решение. Полная энергия частицы
Е тс2
ф.- и2/с2 *
(1)
где т — масса частицы; v — ее скорость; с — скорость распро-
странения света в вакууме*
Энергия покоя частицы
Е$=тс2. (2)
Согласно формулам (1) и (2),
Е 1
^0 ф.~-и2/с2
(учли условие задачи), откуда искомая скорость частицы
J1-—т
\ п2
Ответ: и = 0,809с,
Q Определите релятивистский импульс р частицы, если ее
полная энергия Е = 1,5 ГэВ, а скорость и = 0,65с.
Дано: Е - 1,5 ГэВ = 2,4 - Ю'10 Дж; и = 0,65с.
Найти: р.
Решение. Релятивистский импульс частицы
ту
у11-у2/с29
(1)
где т — масса частицы; и — ее скорость*
Умножив правую часть выражения (1) на с2, получим искомый
импульс:
тис2 Ev
(Jl-v2/c2 ^e2 cZ
/ас2
(учли, что полная энергия Е = —.
Ji ,7,2//2
г ] = Д»<2^о = Дж.с = Н2£.сгн.с.
1 J M2/C м M
Ответ: p = 0,52 IO18 H • c.
I 90
Ц Определите кинетическую энергию Ек протона, если его
релятивистский импульс р = 2-10“18 Нс.
Дано: р = 2 1018 Н с; тр = 1,67 10"27 кг.
Найти: Ек.
Решение, Релятивистский импульс протона
О = ,
^1-и2/с2
где тр — масса протона; v — его скорость.
Кинетическая энергия релятивистского протона
1
(1)
Ек -т„с2
= -1 .
,2
(2)
Из выражений (1) и (2) найдем связь между кинетической
энергией и релятивистским импульсом протона
РС = ^Ек(Ек + 2трс2),
откуда искомая кинетическая энергия протона
Ек = трс2 + ^т2рс* + р2с2
[Ек ] = кг м 2/с2 + 7кг2 'М4/С4 + кг2 *м2/(с)2 м2/с2 =
= Н • м + 7н2 *м2 + Н^м2 = Дж.
Ответ: Ек = 7,69 - 1О"10 Дж = 4,81 ГэВ.
Задачи для самостоятельного решения
1.253. Система отсчета К' движется относительно системы К
со скоростью 0,2с (с — скорость света в вакууме) в положитель-
ном направлении оси Ох, причем оси Ох и Огх' параллельны (рис.
62). Определите координату хТ точки А в системе К' в момент
времени t - 2,5 с после начала отсче-
та, если в системе А? ее координата х =
- 4 • 108 м, Ответ: х* = 2,55 * 108 м.
1.254. Система отсчета К’ движется
относительно системы К со скоростью
о = 0,4с (с — скорость света в вакууме)
в положительном направлении оси Ох,
причем оси Ох и О'хТ параллельны
(рис. 63). В момент времени t ~ 10 с по-
Рис. 62
91
еле начала отсчета в системе К произошли
два события в точках с координатами х{ -- О
и х2 = 108 и. Определите, являются ли эти
события одновременными в системе К'.
Ответ: t2 - t\ - 0,2 с; события неодно-
О' о х1 х временны.
рис 5з 1.255. Система отсчета К1 движется
относительно системы К со скоростью
v = 0,8с (с — скорость света в вакууме) в от-
рицательном направлении оси Ох, причем оси Ох и О*х’ парал-
лельны (см. рис. 63). Определите координату х' точки в системе
К' в момент времени t = 1 ч после начала отсчета, если в системе
К ее координата х = - 1011 м. Ответ: xf - 1,91 1012 м.
1.256. На космическом корабле, летящем со скоростью и = 0,9с
относительно Земли, происходят два события. Промежуток вре-
мени, отсчитанный по корабельным часам, At = 3 года. Определи-
те промежуток времени At', отсчитанный по часам, находящимся
на Земле. Ответ: At' = 6,88 года.
1.257. Определите длину I стержня для наблюдателя, про-
летающего со скоростью v = 0,6с (см. рис. 59), если собственная
длина стержня Zo - 3 м. Ответ: I = 2,4 м.
1.258. Как изменится линейный размер l/lQ стержня, летящего
относительно наблюдателя со скоростью v = 0,8с (см. рис. 59)?
Ответ: Z/Zo = 0,6; длина стержня уменьшится.
1.259. Определите скорость сближения Vj микрочастиц, дви-
жущихся навстречу друг другу, каждая из которых имеет ско-
рость и - 0,7с относительно Земли. Ответ: = 0,94с.
1.260. Две ракеты сближаются относительно неподвижных
звезд со скоростями иг = 0,7с и и2 = 0,8с. Определите скорость
их сближения (рис. 64). Ответ: = 0,96с.
1.261. Два фотона движутся навстречу друг другу со скоростя-
ми, равными скорости света с относительно Земли. Определите
скорость их сближения. Ответ: I?! - с.
1.262. С космического корабля, приближающегося к Земле,
Рис. 64
I 92
по ходу движения корабля стартовала раке-
та со скоростью I?! = 0,5с. Определите ско-
рость v корабля, если ракета приближается
к Земле со скоростью = 0,8с. Ответ: и =
= 0,5с.
1.263. Космический корабль движет-
ся со скоростью и - 0,6с по направлению
к Земле. Определите расстояние s, прой-
денное им в системе отсчета, связанной с Землей, за время Д£о =
0,5 с, отсчитанное по часам в космическом корабле. Ответ:
к =112 Мм.
1.264. Определите относительную скорость v движения, при
которой релятивистское сокращение линейных размеров тела
составляет 20 %. Ответ: и - 1,840е м/с.
1.265. Скорость нестабильной частицы v - 0,9с. Определите,
во сколько раз увеличилось время ее жизни по часам наблюдателя
с Земли. Ответ: в 2,3 раза.
1.266. Определите скорость о, при которой кинетическая
энергия Ек релятивистской частицы равна ее энергии покоя £0.
Ответ: и = 2,6-108 м/с.
1.267. Определите, на сколько процентов полная энергия Е ре-
лятивистской частицы, вылетающей из ускорителя со скоростью
и = 0,8с, больше ее энергии покоя Ответ: на 66,7 %.
1.268. Определите работу А, которую надо совершить, чтобы
увеличить скорость электрона от - 0,6с до v2 - 0,85с. Масса
электрона те = 9,11 -1031 кг. Ответ: А = 1,93 -10-14 Дж.
1.269. Скорость релятивистской частицы v - 0,7с. Определите,
во сколько раз полная энергия частицы Е больше ее энергии по-
коя Ео. Ответ: в 1,4 раза.
1.270. Определите релятивистский импульс р протона, движу-
щегося со скоростью v = 0,6с. Массу протона тр принять равной
1,67-10’27 кг. Ответ: р = 3,76 10“19 кг м/с.
1.271. Определите полную энергию Е частицы, если ее реляти-
вистский импульс р = 10“16 кг м/с, а скорость и - 0,8с. Ответ:
Е = 3,75Л0"8 Дж.
1.272. Определите кинетическую энергию Ек электрона, если
его скорость и - 0,8с. Масса электрона те - 9,11 • 10-31 кг. Ответ:
= 54,7-10"15 Дж.
1.273. Определите скорость движения v частицы, если ее
энергия покоя Еп в 2,2 раза больше ее кинетической энергии Ек.
Ответ: и - 0,726с.
1.274. Определите релятивистский импульс р протона, если его
полная энергия Е = 2 • 10“12 Дж. Масса протона тр = 1,67 * 10-27 кг.
Ответ: р = 4,39 -10“19 кг-м/с.
1.275. Определите релятивистский импульс р электрона, если
его кинетическая энергия Ек = 10-13 Дж. Масса электрона те -
= 9,11-10“31 кг. Ответ: р - 5,4-1022 кг м/с.
Раздел II
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
И ТЕРМОДИНАМИКА
Глава 6
Основы молекулярно-кинетической теории
идеальных газов
Основные законы и формулы
Связь термодинамической температуры Т и температуры t
по Международной практической шкале (шкале Цельсия)
Т=273 + t.
Молярная масса
М=7П(^а
[т0 — масса молекулы; Лтл — постоянная Авогадро (NА =
= 6,02-1023 моль’1)].
Молярный объем
[V — объем однородной системы; v = m/M — количество веще-
ства].
Закон Бойля — Мариотта
pV - const (Т = const, m = const)
[p — давление газа; V — объем газа; Т — термодинамическая
температура; m — масса газа].
Законы Гей-Люссака и Шарля
V Т
V=V0(l+at) или —- = — (р = const, m~const);
^2 Г2
p-p0(l+a£) или—-—- (V= const, m = const)
Pz *2
94
(Y — температура газа по шкале Цельсия; и р0 — соответствен-
но объем и давление при О °C; коэффициент а = —К"1; индексы
(о
1 и 2 относятся к произвольным состояния газа].
Закон Дальтона для давления смеси п идеальных газов
Р = Pl + Р2 + - + Рп
[Pi + Ръ + ••• + Рп — парциальное давление каждого компонента
смеси].
Уравнение состояния идеального газа (уравнение Клапей-
рона — Менделеева)
pVm = RT (для 1 моль газа),
pV = (для произвольной массы газа)
М
[Ут — молярный объем; R - 8,31 Дж/(к*моль) — молярная га-
зовая постоянная; М — молярная масса газа; т — масса газа;
v - тп/М — количество вещества].
Зависимость давления газа от концентрации п молекул
и температуры Т
р = nkT
[А = R/NA — постоянная Больцмана (k = 1,38 10"23 Дж/К); NA —
постоянная Авогадро; R — молярная газовая постоянная].
Основное уравнение молекулярно-кинетической теории
идеальных газов
p = |nm0(yKB)2,
или
pV =—=—Е,
3 2 3
или
pV = |^m0<yKB)2 = |m(uKB>2
О о
[(ркв> — средняя квадратичная скорость молекул; Е — суммар-
ная кинетическая энергия поступательного движения всех мо-
лекул газа; п — концентрация молекул; ?п0 — масса одной
молекулы; m = Nmc — масса газа; N — число молекул в объе-
ме V газа].
95
Средняя квадратичная скорость молекул
, х /ЗЯГ l3kT
y -М. mQ
[Г — термодинамическая температура; тп0 — масса одной моле'
кулы; k = R/Na — постоянная Больцмана],
Средняя кинетическая энергия поступательного движения
молекулы идеального газа
[т0 — масса молекулы; (vKB) — ее средняя квадратичная ско-
рость; k — постоянная Больцмана].
Среднее число соударений, испытываемых молекулой газа
за 1 с,
{z)=42nd2n{v}
[d — эффективный диаметр молекулы; п — концентрация мо-
лекул; (и) — средняя арифметическая скорость молекул].
Средняя длина свободного пробега молекул газа
(А = 1__
(г) y/2nd2n
[d — эффективный диаметр молекулы; п — концентрация мо-
лекул; {z} — среднее число столкновений молекулы за 1 с; (о) —
средняя арифметическая скорость молекул].
Примеры решения задач
Ц Определите среднюю квадратичную скорость икв молекул
идеального газа, плотность р которого при давлении р ~ 30 кПа
составляет 0,25 кг/м3.
Дано: р = 30 кПа = 3 104 Па; р = 0,25 кг/м3.
Найти: <икн).
Решение. Согласно основному уравнению молекулярно-
кинетической теории,
j9 = |nm0(pKS>2, (1]
О
где п — концентрация молекул; mQ — масса одной молекулы;
(vK9) — средняя квадратичная скорость молекул.
96
Плотность газа
р=-
Г TZ
где масса газа
(2)
т = Nm0
(У — число молекул в объеме F). Тогда
р = ^Л = птп0»
Учитывая формулу (2), основное уравнение молекулярно-
кинетической теории можно записать в виде
Р = |р<^кв)2>
о
откуда искомая средняя квадратичная скорость
<ukb>JT
Па /Н/м2 /Н-м /кг/(м-с2)-м
- q xt / з М/С»
кг/м3 укг/м3 \ кг
кг
Ответ: (и*в) = 600 м/с*
Q Определите температуру Т газа массой т - 20 г, если в нем
содержится N - 3,84 Ю23 молекул и их средняя квадратичная
скорость (ркв> = 480 м/с»
Дано: /п0 - 20 г - 2 10"2 кг; N = 3,84* 1023; (vKB) = 480 м/с»
Найти: Т,
Решение. Средняя квадратичная скорость молекул
где К = 8,31 Дж/(моль*К) — молярная газовая постоянная; Т —
термодинамическая температура; М — молярная масса, откуда
(икв)2М
ЗЯ
Число молекул
97
где v = — — количество вещества; NA = 6,02 Ю23 моль 1 — по-
М
стоянная Авогадро. Тогда молярная масса
Подставляя выражение (2) в формулу (1), находим
mNA(uKB)2
3RN *
R
Учтивая, что —— = k = 1,38 • 10-23 Дж/К — постоянная Больцма-
™ А
на, находим искомую температуру
т 7т{укв)г
3kN
Гт] - кг‘М2/с2 _ кгм2/с2 _ кг-м2/с2 - К _
I- •* Дж/К ’ Н-м/К кг м/(с2)-м
Ответ: Т - 290 К*
Q В закрытом сосуде при температуре Т = 290 К и давлении
р = 100 кПа находятся водород массой = 6 г и гелий массой
ш2- 12 г. Считая газы идеальными, определите удельный объ-
ем осм смеси*
Дано: Т- 290 К; р - 100 кПа - 105 Па; тп^ = 6 г - 6 10 3 кг; -
= 2-10"3 кг/моль; пг2 = 12 г = 12 -10-3 кг; М2 = 4-10“3 кг/моль.
Найти: исм.
Решение. Удельный объем смеси
где V — объем сосуда*
Согласно закону Дальтона, давлениер смеси газов равно сумме
парциальных давлений
Р=Р1+Р2- (2)
Из уравнения Клапейрона — Менделеева имеем
p V = ^RT и p2V = Hh.RT,
откуда
98
Ml RT m2 RT
My V M2 V
Подставив найденные выражения в (2), найдем
У = f Z71! (3)
[м. м2) р *
Учитывая выражение (3), из формулы (1) получим искомый
удельный объем смеси
f £Ь_+_^2?|я7’
Амх м2)
(т-г+т^р
г -I _ Г кг/кг/(моль) ‘ Дж/(моль • К) К _ Дж _ Н м _ м3
I кг Jia J Па кг Н/(м2)кг кг*
Ответ: исм - 8,03 м3/кг.
□ Определите среднюю длину свободного пробега атомов
гелия, если плотность р газа равна 2 J0-2 кг/м3. Эффективный
диаметр d молекулы гелия равен 0,22 нм.
Дано: р = 2 10-2 кг/м3; М = 4-103 кг/моль; d = 0,22 нм =
= 0,22 109м.
Найти: (Z).
Решение. Средняя длина свободного пробега молекул газа
где п — концентрация молекул.
Плотность газа
(использовали уравнение Клапейрона—Менделеева pV = —RT).
М
Давление газа
р = nkT, (3)
где k — постоянная Больцмана; Т — температура. Подставив
выражение (3) в формулу (2) и выразив из (1) п, получаем ис-
комую среднюю длину свободного пробега молекул
/А = М
>/2n:d2p7? 42nd2 pN А
99
где учли, что М - kNА (ЛГА — постоянная Авогадро).
w =____м____
y/2nd2pNA
и--
L J м -кг/(м*)*моль 1
Ответ: {!) =1,55 мкм.
Задачи для самостоятельного решения
2.1, Определите объем V, занимаемый ртутью количеством ве-
щества v = 40 моль. Молярная масса ртути М = 201 • 10"3 кг/моль,
плотность р = 13,6 г/см3. Ответ: V = 5,91 101 м3.
2.2. Масса т молекул N - 2,15 * 1027 некоторого газа равна 1 кг.
Определите, что это за газ. Ответ: М = 28 10 3 кг/моль; азот.
2.3. Определите число N молекул воды в стакане вместимостью
V = 100 см3. Молярная масса воды М = 18* 10~3 кг/моль, плотность
р - 1 г/см3. Ответ: N - 3,34* 1024 молекул.
2.4. На зуб площадью S - 0,08 см2 напылен слой золота тол-
щиной d = 1,4 мкм. Определите число N атомов золота в покры-
тии, Молярная масса золота М = 197- Ю3 кг/моль, плотность р -
= 19,3 г/см3. Ответ: N = 7,08 1017.
2,5. Определите длину I цепочки, мысленно составленную
из вплотную прилегающих друг к другу молекул кислорода,
содержащихся в т = 1 г этого газа. Диаметр d молекулы кисло-
рода принять равным 0,36 нм, молярная масса кислорода М =
= 32 • 10-3 кг/моль. Сравните длину полученной цепочки со сред-
ним расстоянием от Земли до Солнца (Г = 1,49 - 10п м). Ответ:
Z = 6,771012 м; 1/1' =45,4.
2.6. За сутки из сосуда испарилось т = 20 г воды. Определи-
те, сколько молекул вылетело с поверхности воды за время
= 1 с. Молярная масса воды М = 18-10"3 кг/моль. Ответ:
N1 = 7,74 1018.
2.7. Определите молярный объем (объем 1 моль) Vm алюми-
ния. Молярная масса алюминия М = 27 10“3 кг/моль, плотность
р = 2,7 к/см3. Ответ: Vm = 10“б м3/моль.
2.8* В некотором объеме имеется М =1О20 молекул. Определите
их среднюю арифметическую (и) и среднюю квадратичную (vKB)
скорости, если каждая четверть из них движется со скоростью
- 450 м/с; v2 - 500 м/с; = 550 м/с; и4 ~ 600 м/с. Ответ:
(и) = 535 м/с; = 528 м/с.
I 100
2.9. Определите концентрацию и молекул азота, если при
давлении р = 0,1 МПа средняя квадратичная скорость <икв) его
молекул составляет 480 м/с. Ответ: п = 2,8 -1025 м 3.
2Л0* Газ массой т =. 2 кг занимает объем V- 15 м3 под давле-
нием р = 9 кПа. Определите среднюю квадратичную скорость (икэ)
молекул газа. Ответ: (ркв) = 450 м/с.
2.11. При нагревании газа в закрытом сосуде его давление возросло
в четыре раза. Определите, во сколько раз увеличилась средняя ква-
дратичная скорость (уив) его молекул. Ответ: - 2.
Wkbi /
2.12. Определите среднюю квадратичную скорость (ркв) моле-
кул идеального газа, плотность которого при давлении 15 кПа
составляет 0,1 кг/м3. Ответ: (икв) = 670 м/с.
2.13. Начертите графики изотермического процесса (Т - const)
идеального газа в координатах р, V; р, Т и У, Т.
2.14. При изотермическом сжатии газа от объема V\ = 60 см3
до объема У2 - 40 см3 его давление увеличилось на Др = 1 кПа.
Определите первоначальное давление рР Ответ: рг = 2 кПа.
2.15. Определите первоначальный объем Уг газа, если в случае
его медленного сжатия при постоянной температуре объем газа
уменьшился на ДУ = 50 см3, а давление увеличилось в п = 3 раза.
Ответ: yt = 75 см3.
2.16. Мальчик пьет воду из фляжки, плотно прижав ее к гу-
бам. Вместимость фляжки V - 0,5 л, вода занимает в ней объем
- 0,2 л. Сколько воды выпил мальчик, если давление остав-
шегося в ней воздуха понизилось на Др = 60 кПа? Атмосферное
давление р0 = 1,01 • 105 Па. Ответ: ДУВ = 0,044 л.
2,17. Пузырек воздуха всплывает на поверхность воды со дна
водоема глубиной h = 3 м. Определите объем V2 пузырька у по-
верхности воды, если на дне водоема его объем У\ = 6 мм3. Плот-
ность воды р = 1 г/см3. Ответ: V2 = 7,75 мм3.
2.18. Начертите графики изобарного процесса (р = const) для
идеального газа в координатах р, V; р, Т и V, Г.
2.19. Определите начальную температуру идеального газа,
если при изобарном нагревании на АТ - 300 К его объем увели-
чился в и -1,2 раза. Ответ: Т\ = 1 500 К.
2.20. Определите, на сколько увеличился объем ДУ идеального
газа, если при изобарном нагревании его температура возросла
в п = 1,5 раза, а первоначальный объем V1 = 100 см3. Ответ:
ДУ =50 см3.
2.21. Температура воздуха в цилиндре Т\ = 300 К. При изобар-
ном нагревании на Д7' - 20 К поршень переместился на Д/ = 3 см.
1011
Определите объем V2 воздуха после нагревания, если площадь
поршня S - 15 см2» Ответ: V2 = 7,2- Ю-4 м3.
2*22, Начертите графики изохорного процесса (V - const) для
идеального газа в координатах р, V; р, Т и У, Т.
2.23. При нагревании газа в закрытом сосуде на ДТ = 160 К
его давление возросло в п - 1,5 раза. Определите начальную
температуру газа. Ответ: Т± = 320 К.
2.24. Газ находился на складе в баллоне под давлением рг =
= 2,8 МПа при температуре t1 = 7 С. Израсходовав половину газа,
баллон внесли в помещение. Какова температура этого помеще-
ния, если давление газа через некоторое время t2 стало равным
р2 - 1,5 МПа? Ответ: t2 - 27 °C.
2.25. Бутылка, наполненная газом при нормальных условиях,
закрыта пробкой площадью сечения 8 = 3 см2. Чтобы пробка вы-
летела из бутылки, газ в ней надо нагреть на ДТ - 130 К. Опреде-
лите силу трения FTp, которая удерживает пробку в бутылке.
Ответ: = 14,4 Н.
2.26. В баллоне вместимостью V - 10 л находится углекислый
газ (СО2). Определите массу т газа в баллоне, если давление газа
р = 100 кПа, температура Т = 290 К, Ответ: т = 18,3 г,
2.27. Определите плотность р кислорода, который находит-
ся при температуре Т = 300 К, если давление постоянно (р -
= 0,1 МПа). Ответ: р = 1,28 кг/м3.
2.28. Азот массой 7 г находится под давлением р - 0,1 МПа при
температуре 7\ = 290 К. Вследствие изобарного нагревания азот
занял объем V2 = Ю л. Молярная масса азота М = 28-10 3 кг/моль.
Определите объем V\ газа до расширения; температуру Т2 газа по-
сле расширения; плотность газа до и после расширения. Ответ:
V. = 6,02 10"3 м3; Тг = 481 К; Р1 = 1,16 кг/м3; р2 = 0,7 кг/м3.
2.29. В баллоне вместимостью V = 15 л под давлением =
= 100 кПа находится углекислый газ при температуре 7\ = 300 К.
Из баллона выпустили т - 15 г газа, причем температура в бал-
лоне понизилась до Т2 - 290 К. Молярная масса углекислого газа
М = 44-103 кг/моль. Определите давление р2 углекислого газа,
оставшегося в баллоне. Ответ: р2 = 41,9 кПа.
2.30. В баллоне находится газ массой тх = 100 г. Определите
массу Дтп вытекшего газа, если из-за его утечки давление в бал-
лоне уменьшилось в п = 1,5 раза. Ответ: кт - 33,3 г.
2.31. В объеме V = 20 м3 при температуре Т = 300 К под дав-
лением р = 100 кПа находится азот. Определите количество
вещества v газа и число молекул в газе. Ответ: v - 802 моль;
А = 4,83 Ю2Ь.
I 102
2.32. В сосуде находится смесь водорода массой - б г и гелия
массой т2 - 12 г. Молярная масса водорода = 2 10 3 кг/моль;
гелия М2 - 4 • 10"3 кг/моль. Определите молярную массу газовой
смеси в сосуде. Ответ; М = 3 -10"3 кг/моль.
2.33* В закрытом сосуде вместимостью V = 15 л находятся водо-
род массой tfbi - 5 г и гелий массой тп2 = 10 г. Считая газы идеаль-
ными, определите давлениер газовой смеси в сосуде, если ее тем-
пература Т = 290 К. Молярная масса водорода Мг = 2 10"3 кг/моль;
гелия М2 = 4 • 10'3 кг/моль. Ответ; р - 0,803 МПа.
2.34. Определите плотность смеси газов гелия массой тпг = 10 г
и водорода массой т2 - 5 г при температуре Т = 300 К и давле-
нии р = 100 кПа. Молярная масса водорода Мг = 2 Ю"3 кг/моль;
гелия М2 = 4 • 10"3 кг/моль. Газы считать идеальными. Ответ;
р - 0,12 кг/м3.
2.35. В сосуде вместимостью 0,5 л находится азот массой
т = 1 г. Определите концентрацию п молекул азота в сосу-
де. Молярная масса азота М - 28-10-3 кг/моль. Ответ; п -
-4,3 1025 мЛ
2.36. В сосуде вместимостью V-10 л при нормальных условиях
находится кислород. Определите количество вещества v, массу т
кислорода и концентрацию п его молекул в сосуде. Ответ;
v - 0,445 моль; т = 14,2 г; п - 2,68 1025 м 3.
2.37. Определите суммарную кинетическую энергию с по-
ступательного движения молекул газа, находящегося в сосуде
вместимостью V = 5 л под давлением р - 0,1 МПа. Ответ; е =
- 750 Дж.
2.38. Определите суммарную кинетическую энергию е поступа-
тельного движения молекул газа в объеме V = 6 л под давлением
р = 1 кПа. Ответ; s = 9 Дж.
2.39. Средняя кинетическая энергия (s) поступательного дви-
жения молекул кислорода, находящегося в баллоне вместимо-
стью V = 10 л, равна 3 кДж, а средняя квадратичная скорость
(цхв) его молекул равна 1,6 км/с. Определите массу т кислорода
в баллоне и давление р, под которым находится кислород. От-
вет; т - 2,34 г; р - 200 кПа.
2.40. Определите среднюю кинетическую энергию е поступа-
тельного движения молекул в 1 моль и в 1 кг азота при темпе-
ратуре Т - 360 К. Молярная масса азота М = 28-103 кг/моль.
Ответ; <ег> - 4,49 кДж/моль; (е2) ~ 160 кДж.
2.41. Определите, во сколько раз отличаются средние квадра-
тичные скорости (икв) молекул гелия и кислорода при одинаковых
температурах. Ответ; в 2,83 раза.
103 I
2.42. При какой температуре Т средняя квадратичная скорость
молекул азота была бы равна первой космической скорости --
= 7,9 км/с? Ответ: Т =- 70,1 кК.
2.43. Определите число Лг молекул газа массой т - 50 г, если
средняя квадратичная скорость <икв) при температуре Т - 290 К
равна 480 м/с. Ответ: N = 9,6 1023.
2.44. Определите давление р, оказываемое газом на стенки со-
суда, если плотность газа р - 0,02 кг/м3, а средняя квадратичная
скорость молекул газа (икв) = 486 м/с. Ответ: р - 1,57 кПа.
2.45. Определите температуру Т водорода, если средняя длина
свободного пробега (Z) его молекул при давлениир = 0,5 Па равна
2,5 см. Диаметр d молекулы водорода принять равным 0,28 нм.
Ответ: Т = 315 К.
2.46* Средняя длина свободного пробега <Z0> молекул водорода
при нормальных условиях равна 0,15 мкм. Определите среднюю
длину свободного пробега (Z) при давлении р = 10 мПа, если тем-
пература газа остается постоянной. Ответ: (I) = 1,51 м.
2.47* Определите концентрацию п молекул и плотность р раз-
реженного кислорода, если средняя длина свободного пробега
(Z) = 15 см. Диаметр d молекулы кислорода принять равным
0,36 нм. Ответ: п= 1,16- 1О20 м~3; р - 6,17-10 6 кг/м3.
2.48. Определите среднюю длину свободного пробега (Г) атомов
гелия, если плотность газа р = 2 10 2 кг/м3, а диаметр d атома
гелия равен 0,22 нм. Молярная масса гелия М = 4 10-3 кг/моль.
Ответ: (I) = 1,55 мкм.
Глава 7
Основы термодинамики
Основные законы и формулы
Средняя кинетическая энергия поступательного движения,
приходящаяся на одну степень свободы молекулы,
Ju
[/г — постоянная Больцмана; Т — термодинамическая темпера-
тура].
Средняя энергия молекулы
П = ^пост + — сумма числа поступательных и числа враща-
тельных степеней свободы молекулы].
Внутренняя энергия идеального газа
U = — kTNA = ^-RT (для 1 моль газа);
2 2
U = 'M2RT -v^RT (для произвольной массы газа)
[i — число степеней свободы; к — постоянная Больцмана; Т —
термодинамическая температура; NA — постоянная Авогадро;
R — молярная газовая постоянная; m — масса газа; М — мо-
лярная масса; v = m/M — количество вещества].
Первое начало термодинамики
Q = AL7 + А или AU = Ar + Q
[Q — количество теплоты, сообщенное системе или отданное ею;
&U — изменение внутренней энергии системы; А — работа системы
против внешних сил; А' — работа, совершаемая над системой].
Работа газа при изменении его объема на AV
A=pAV
[р — давление газа].
105 I
Молярная и удельная теплоемкости
О r = AQ
m vAT’ тпДТ’
Связь между молярной Ст и удельной с теплоемкостями
газа
[М — молярная масса газа],
Молярная теплоемкость газа при постоянном объеме
[i — число степеней свободы].
Молярная теплоемкость газа при постоянном давлении
Изменение внутренней энергии идеального газа
ДС7 = -~Ь-СУДТ
м
[тп — масса газа; М — его молярная масса; Cv — молярная те-
плоемкость газа при постоянном объеме].
Работа газа при изобарном процессе
А^(Уг-У>), А = ^Я(Тг-Т1).
Работа газа при адиабатном процессе
A=-^cv(T1~Tz)
[zn — масса газа; М — молярная масса газа; Cv — молярная
теплоемкость газа при постоянном объеме; 7\ и Т2 — начальная
и конечная температуры газа].
Уравнение теплового баланса
е=£д£Л
/=1
[Q — количество теплоты, которое данные тела получили или
отдали в процессе теплообмена; ЫЦ — изменение внутренней
энергии i-ro тела в процессе теплообмена: п — число тел, уча-
ствующих в теплообмене].
I 106
Изменение внутренней энергии при нагревании или ох лаж-
дении
ДЕ/ - стЛТ
[с — удельная теплоемкость; m — масса тела; ДТ — изменение
температуры].
Изменение внутренней энергии при плавлении или затвер-
девании
ДЕ/ = Лтп
[Л — удельная теплота плавления; пг — масса тела].
Изменение внутренней энергии при парообразовании или
конденсации
ДЕ/ = rm
[г — удельная теплота парообразования; ш — масса тела].
Изменение внутренней энергии при сгорании вещества
ДЕ/ = qm
[<? — удельная теплота сгорания; m — масса тела],
Термический коэффициент полезного действия для круго-
вого процесса (цикла)
п - — = = 1 -
Qi Qi Q1
[Qi — количество теплоты, полученное системой; Q2 — количе-
ство теплоты, отданное системой; А — работа, совершаемая
за цикл].
Термический коэффициент полезного действия цикла Карно
[7\ — температура нагревателя; Тг — температура холодильника].
Примеры решения задач
а При изохорном нагревании азота объемом V = 20 л давление
газа изменилось на Др = 10 кПа, Определите количество тепло-
ты Q, сообщенное газу (рис. 65).
Дано: V - 20 л = 2 Ю-2 м3; Др = 10 кПа -- 104 Па.
Найти: Q.
Решение. Согласно первому началу термодинамики, коли-
чество теплоты Q, сообщенное газу, расходуется на изменение
107
р+ внутренней энергии газа A U и совершение газом
работы А против внешних сил
1 Q-AC7 + A.
4 1 Работа газа в изохорном процессе (V = const)
0 v A=pAV=0,
Рис. 65 поэтому для изохорного процесса
Q-AC7. (1)
Изменение внутренней энергии произвольной массы т газа
ДГ = М’2ЯЛЛ (2)
где i — число степеней свободы (для двухатомного газа — азота
i - 5); R — молярная газовая постоянная.
Запишем уравнение Клапейрона — Менделеева для состояний
газа 1 и 2;
P^RT^P2V^RT2i
откуда
W = М ДЛГ (ЛГ = Т2 ' П, Ар = р2 - Pi).
Тогда
АТ^МУДр. (3)
niR
Подставив выражение (2) в формулу (1) с учетом (3), найдем
искомое количество теплоты, сообщенное газу:
Q^Vbp = ±VbP.
[QI = м3Па = м3Н/м2 = Нм = Дж.
Ответ'. Q = 500 Дж.
□ Азот массой т = 28 г находится при температуре t = 17 °C.
В результате изобарного расширения объем газа увеличился в два
раза (рис. 66). Определите изменение внутренней энергии AU и ра-
боту расширения А газа, а также количество теплоты Q, сообщенное
азоту. (Удельная теплоемкость азота с = 1,05 Ю3 Дж/(кг*К).)
108
Дано: nt - 28 г=28 10 3 кг; М=28 * 10‘3 кг/моль;
tx = 17Г; Тх = (273 + 17) - 290 К; р = const; V2 -
= 2VX; с = 1,05 103 Дж/(кг-К).
Найти: ДСД A, Q.
Решение. Изменение внутренней энергии
газа массой т при его нагревании от темпера-
туры 711 до температуры Т2
SU = пгс(Т2 - Тх),
1 2
Рис. 66
(1)
где с — удельная теплоемкость.
Расширение газа происходит при постоянном давлении, поэто-
му, используя закон Гей-Люссака —= и условие задачи V2 -
-Ч г2
- 2V\, найдем конечную температуру азота
= = (2)
Подставив выражение (2) в формулу (1), получим
Д<7 = тпс(2Тх - Тх) = тсТу
AU - тсТх
Найдем работу изобарного расширения, учитывая условие
задачи (V2 =
А = p(V2 - Vx) = р(2Уу - - pVv (3)
Согласно уравнению Клапейрона — Менделеева,
mRT
откуда V. =--Подставляя это выражение в формулу (3), на-
рМ
ходим искомую работу расширения газа
A‘^RT‘
Сообщенное газу количество теплоты, согласно первому на
чалу термодинамики,
Q = AU + А
[Д17] - кг* Дж/(кг К) К = Дж,
[А] =
кг-Дж/(мольК);К
кг/моль
= Дж.
Ответ: ДС7 = 8,53 кДж; А = 2,41 кДж; Q = 10,9 кДж.
109
Q Многоатомный идеальный газ из одного и того же состоя-
ния расширяется один раз при постоянной температуре, другой
раз — при постоянном давлении. В обоих случаях работа рас-
ширения газа одинакова. Начертите графики этих процессов.
В каком из рассматриваемых процессов и во сколько раз коли-
чество подведенной к газу теплоты больше?
Дано: Т = const; р = const.
Найти: Q2/Qi’
Решение. Согласно условию задачи, работа расширения газа
в обоих процессах одинакова, поэтому площади под изотермой
1 —> 2 и изобатой 1 -> 2Г одинаковы (рис. 67).
Согласно первому началу термодинамики,
Q = AL/ + A, (1)
где AU — изменение внутренней энергии газа в процессе его
расширения; А — работа расширения газа.
В случае изотермического процесса (71 - const)
bU^CvbT = O.
М
Тогда, на основании (1),
Qi=A. (2)
В случае изобарного процесса (р = const)
MJ = ~CvbT = — = (3)
М М2 М2 mR 2
(Учли, что работа расширения газа в случае изобарного процес-
Л D A m A m МА ч
са A-—R\Ty откуда ЛТ =——.)
М mR
Подставив выражение (3) в формулу (1), найдем
iА . л 1 + 2 л
Q2 = — + А = ——А.
г 2 2
(4)
Сравнив выражения (2) и (4), видим, что
количество подведенной к газу теплоты боль-
ше в случае изобарного процесса.
Qa _ +_2
Qi ~ 2
Ответ: Q2/Qi - 4.
110
a В сосуде, теплоемкость1 * которого Ct - 0,6 кДж/K, находит-
ся V2 = 0,5 л воды и т3 = 300 г льда при = 0°С* Определите,
какая температура 0 установится после впуска в воду т4 = 100 г
водяного пара при температуре tg = 100"С. Удельная теплота
парообразования г4 - 2,26 МДж/кг, удельная теплота плавления
льда Х3 = 3,35 -105 Дж/кг, плотность воды р2 = 1 г/см3, удельная
теплоемкость воды с2 = 4,19Ю3 ДжДкгК).
Дано: Ci - 0,6 кДж/K = 0,6 • 103 Дж/К; V2 = 0,5 л =
- 0,5 10“3 м3; тп3 = 300 г = 0,3 кг; ти4 - 100 г = 0,1 кг; tg* =
= 0 Г; 73пл = 273 К; t£ = 100 °C; Т3К - 373 К; г4 - 2,26 МДж/кг =
- 2,26 • 106 Дж/кг; Х3 = 3,36 • 105 Дж/кг; р2 - 1 г/см3 = 1000 кг/м3;
с2~4,19‘103 Дж/(кг-К).
Найти: 0.
Решение. Результат теплообмена неизвестен, поэтому пред-
положим, что температура всех тел после окончания теплооб-
мена будет 0, причем она больше температуры плавления льда,
но меньше температуры кипения воды.
Сосуд и вода нагрелись, получив соответственно количество
теплоты:
Qi = Ct(Q - Т£л), (1)
Q2 = c2m2(0 - ТГ) = с2р2У2(0 - 7Т), (2)
где т2 = р2^2*
Лед расплавился, а вода нагрелась, получив количество те-
плоты
©з “ + W (3)
При конденсации пара образовавшаяся жидкость охладилась,
отдав количество теплоты
Q4 = -г4т4 + с2т4(в - TJ). (4)
Запишем уравнение теплового баланса
Q1 + ©2 + Фз + ©4 = 0- (5)
Подставив в формулу (5) выражения (1), (2), (3) и (4), имеем
Сх(0 - Т^1) + с2р2У2(0 - Т£л) + Х3т3 + с2пг3(О - Т$л) - r4m4 +
+ с2пг4(0 - Т^) = 0,
откуда искомая установившаяся температура
1 Теплоемкость С тела определяется количеством теплоты, которое необ-
ходимо сообщить телу, чтобы повысить его температуру на один градус, и рав-
на произведению удельной теплоемкости вещества на массу тела: С = ст.
111
г^+СгГз^-Хзтз+с2 m4T3K +(p2V2 +^3)73“]
Ci+Mp2y2+w3+m4)
Дж/(кг) кг+Дж/(К)* К- Дж/(кг) кг 4- ДясДкг К)[кг * К+(кг/(м8) м8 + кг)-К]
I Дж/К+Дж/(кг К)(кг/(м3) ма+кг4-кг)
Ответ: 0 = 357 К,
В В идеальной тепловой машине Карно, работающей по об-
ратному циклу (холодной машине), в качестве холодильника
используется вода при t2 - 0сС, а в качестве нагревателя — вода
при - 100 °C. Сколько воды следует заморозить в холодильнике,
чтобы превратить в пар ~ 100 г воды в нагревателе? Удельная
теплота плавления льда Л = 3,35 105 Дж/кг, удельная теплота
парообразования г = 2,26 МДж/кг.
Дано: = 100°C; 7\ = 373 К; t2 = 0Г; Т2 = 273 К; = 100 г =
= 0,1 кг; X = 3,35 105 Дж/кг; г = 2,26 МДж/кг - 2,26 106 Дж/кг,
Найти: т2.
Решение. Для испарения воды массой следует затратить
количество теплоты
Qi = rmu (1)
где г — удельная теплота парообразования воды. При замерза-
нии воды массой тп2 выделяется количество теплоты
©2 — —Х/ТТд, (2)
где X — удельная теплота плавления льда.
Коэффициент полезного действия идеальной тепловой маши-
ны
1«1Н^1_Г1-Г2
П----Q, '*
где Qx — количество теплоты, полученное от нагревателя; Q2 —
количество теплоты, отданное холодильнику; 7\ — температура
нагревателя; Т2 — температура холодильника.
Из выражения (3) находим
= (4)
Подставив выражения (1) и (2) в формулу (4), получим
, т^гТя
кт2 = L ,
2 Т
112
откуда искомое значение
Ответ: т2 “ 494 г.
а Идеальный газ в цикле Карно совершил работу А = 500 Дж.
Температура нагревателя равна 470 К» температура Т2 холо-
дильника 290 К, Определите КПД цикла и количество тепло-
ты Q2» отданное холодильнику за один цикл.
Дано: А = 500 Дж; Т\ - 470 К; Т2 - 290 К.
Найти: ц; ф2.
Решение. Коэффициент полезного действия цикла
Количество теплоты, отданное холодильнику,
©2 "
(1)
где Qi — количество теплоты, полученной от нагревателя, най-
дем из условия
Получаем
и, подставив последнее выражение в формулу (1), найдем искомое
количество теплоты, отданное холодильнику за один цикл,
q2= 1-1U
Ответ: л = 0,383; Q2 = 806 Дж.
Задачи для самостоятельного решения
2.49. Определите изменение внутренней энергии ДУ азота
(i - 5) массой т = 100 г при его нагревании на ДТ = 50 К. От-
вет: ДУ = 3,71 кДж.
113
2.50. Определите внутреннюю энергию U молекул идеаль-
ного одноатомного газа (i = 3) объемом V = 20 м3 при давлении
р = 10 кПа. Ответ: U = 0,3 МДж*
2.51, Азот занимает объем V ~ 200 см3 и находится под дав-
лением р = 10 кПа. Определите внутреннюю энергию U газа,
а также долю энергии, приходящейся на поступательное и вра-
щательное движения молекул. Ответ: U = 5 Дж; Un/U = 0,6;
U^/U = 0,4.
2.52. Как и во сколько раз отличаются внутренняя энергия
гелия (i = 3) и кислорода (i = 5), если их температуры и массы
одинаковы? Ответ: в 4,8 раза.
2.53. Определите внутреннюю энергию U одноатомного газа
(г - 3) количеством вещества v = 5 моль при температуре t ~ 17 С.
Ответ: U = 18,1 кДж.
2.54. Свинцовая пуля (удельная теплоемкость свинца е ~
= 130 Дж/(кг*К)) летит со скоростью v - 250 м/с и ударяется
о землю. Определите, на сколько повысилась температура пули,
если ц = 0,6 кинетической энергии превратилось во внутреннюю
энергию. Ответ: ЛТ = 144 К.
2.55. Выведите связь между удельной с и молярной С тепло-
емкостями. Ответ: С - сМ.
2.56. Выведя формулу для молярной теплоемкости при посто-
янном объеме CF, определите, во сколько раз Cv отличается для
трех- и одноатомного газа. Ответ: = 2.
2 C3V
2.57, Определите изменение внутренней энергии Д(7 алюминия
массой т = 0,5 кг в жидком и твердом состояниях. Удельная
теплота плавления алюминия к = 380 кДж/кг. Ответ: ДС7 =
= 190 кДж.
2.58. Чтобы приготовить ванну (объем V - 100 л), смешивают
холодную (температура tr = 15X3) и горячую (температура t2 -
70С) воду. Определите необходимые объемы холодной V\ и го-
рячей V2 воды, чтобы получить температуру воды для принятия
ванны 9 = 37 *С. Ответ: V\ = 60 л; V2 - 40 л.
2.59. В калориметр из меди массой т = 300 г (удельная тепло-
емкость меди с - 0,38 кДж/(кг-К)), содержащий воду массой
тпв = 400 г при температуре = 17QC, опускают кусочек льда
массой тл - 20 г, взятый при температуре = -10С. Определите
температуру 9 воды в калориметре, когда лед растает. Принять
удельную теплоемкость льда сл - 2,1 кДж/(кг*К), удельную те-
плоту плавления льда Хл = 3,35 • 105 Дж/К, удельную теплоемкость
воды сь = 4,19 103 Дж/(кг-К). Ответ: 0 = 268 К.
I 114
2,60. Смесь» состоящую из воды массой тк = 1,5 кг и льда
массой т2 = 200 г, находящуюся при = 0°С, следует нагреть
до температуры 9 = 38 °C путем пропускания пара, температура
которого t = 100 С. Определите массу т3 пара, необходимого
для этого. Удельная теплоемкость воды с = 4,19* 103 Дж/(кг-К),
удельная теплота плавления льда X = 3,35*105 Дж/кг, удельная
теплота парообразования воды г = 2,26 -10б Дж/кг. Ответ: т3 -
-0,134 кг.
2.61. Определите массу т меди, взятой при температуре t0 ~
- 17'С, которую можно расплавить за счет теплоты, получаемой
при сгорании тг - 100 кг каменного угла, если КПД нагревателя
q - 0,3. Удельная теплоемкость меди с = 0,38 кДж/(кг-К), тем-
пература плавления меди t = 1083 °C, удельная теплота сгорания
каменного угля q - 29 МДж/кг, удельная теплота плавления меди
X = 214 кДж/кг, Ответ: т - 1,41 т.
2*62. Определите скорость вылета v свинцовой пули из ружья
(выстрел осуществлен вертикально вниз с высоты h = 50 м), чтобы
при ударе о камень пуля расплавилась, если начальная темпе-
ратура пули = 127 °C и на нагревание и плавление пули пошло
г| - 0,6 ее механической энергии. Удельная теплоемкость свинца
с - 130 Дж/(кг*К), температура плавления tnjl = 327 °C, удельная
теплота плавления X = 25 кДж/кг. Ответ: v = 414 м/с.
2.63. При изохорном нагревании идеального газа ему сооб-
щили количество теплоты Q = 1 кДж. Определите изменение
внутренней энергии ДС7 газа. Ответ: &U = 1 кДж.
2.64. Определите количество теплоты Q, сообщенное азоту,
если в процессе изохорного нагревания (V - 10 л) его давление
изменилось на Др - 50 кПа. Ответ: Q = 1,25 кДж.
2.65. При изохорном нагревании кислорода объемом V = 5 л
ему было сообщено количество теплоты Q = 1,5 кДж Опреде-
лите, на сколько изменилось давление Др газа. Ответ: Др -
= 0,12 МПа.
2.66. Для нагревания газа массой т = 5 г на ДТ = 2 К при по-
стоянном объеме затрачивается количество теплоты = 6,49 Дж,
при постоянном давлении Qp = 9,12 Дж. Определите» что это
за газ. Ответ: М - 32* 10-3 кг/моль; кислород.
2.67. Азот количеством вещества v = 2 моль нагревают при
постоянном объеме. Определите количество теплоты Q, которое
следует сообщить газу, чтобы его давление увеличилось в п =
= 3 раза. Начальная температура азота Ту = 300 К, а его удельная
теплоемкость при постоянном объеме Су - 742 Дж/(кг-К). От-
вет: Q = 24,9 кДж.
115,
2.68. Двухатомный (i - 5) идеальный газ (v = 2 моль) на-
гревают при постоянном объеме от температуры Т\ = 300 К.
Определите количество теплоты Q, которое следует сообщить
газу, чтобы увеличить его давление в п - 2,5 раза. Ответ:
Q = 18,7 кДж.
2.69. В медном сосуде массой т = 0,8 кг содержится v - 2 моль
идеального двухатомного газа объемом V = 200 см3. Определите
изменение давления Др газа, если ему сообщают количество те-
плоты Q - 300 Дж, не давая газу расширяться. Удельная тепло-
емкость меди с = 380 Дж/(кг К). Ответ: Др - 72,2 кПа.
2.70. При изобарном нагревании (р = 100 кПа) идеального газа
ему было сообщено количество теплоты Q - 3 кДж Определите
изменение внутренней энергии Д(7 газа, если его первоначальный
объем увеличился на ДУ = 20 л. Ответ: ДС7 - 1 кДж.
2.71. Идеальный газ количеством вещества v = 2 моль изобар-
но нагрет на ДТ = 100 К. Определите работу А, совершенную над
газом при увеличении его объема. Ответ: А = 1,66 кДж.
2.72. В результате изобарного расширения многоатомного
идеального газа совершена работа А = 10 кДж. Определите из-
менение внутренней энергии &U газа и количество сообщенной
ему теплоты Q. Ответ: Д(7 - 30 кДж; Q - 40 кДж.
2.73. Двухатомный идеальный газ расширяется в результате
изобарного процесса. Определите, во сколько раз количество
теплоты Q, подведенное к газу, больше работы А, совершаемой
газом при расширении. Ответ: Q/A = 3,5.
2.74. Двухатомный идеальный газ расширяется в результате
изобарного процесса. Определите работу расширения газа, если
на его расширение затрачено количество теплоты Q - 7 кДж.
Ответ: А = 2 кДж.
2.75. Азот количеством вещества v = 2 моль нагревают при по-
стоянном давлении. Определите количество теплоты Q, которое
следует сообщить газу, чтобы его объем увеличился в п = 3 раза.
Начальная температура газа Т\ = 300 К. Удельная теплоемкость
азота при постоянном давлении ср = 1,04 кДж/(кг-К). Ответ:
Q = 34,9 кДж.
2.76. Углекислый газ СО2 массой т - 20 г нагрели на ДТ = 100 К
один раз при постоянном давлении, другой — при постоянном
объеме. Определите, на сколько отличаются друг от друга коли-
чества сообщенных в этих процессах теплот. Ответ: Qp - Qy =
= 378 Дж.
2.77. Кислород массой т = 32 г находится при температуре
Тх = 290 К. В результате изохорного охлаждения его давление
1116
уменьшилось в п = 3 раза, а затем в результате изобарного рас-
ширения температура газа в конечном состоянии оказалась
равной первоначальной* Определите работу А, совершенную
газом, и изменение внутренней энергии АСУ газа. Ответ: А =
= 1,61 кДж; AL7 = О,
2.78. Определите количество теплоты Q, сообщенное идеаль-
ному газу, если при его изотермическом расширении совершена
работа А = 50 Дж. Ответ: Q = 50 Дж.
2.79. При адиабатном расширении идеального газа совершена
работа А = 10 кДж* Определите изменение внутренней энергии А (7
газа. Газ нагревается или охлаждается? Ответ: АС/ - 10 кДж;
газ охлаждается.
2.80. Определите работу А, совершенную над двухатомным
газом количеством вещества v = 5 моль, если при адиабатном
сжатии температура газа повысилась на АТ - 60 К. Ответ: А -
- “6,23 кДж.
2.81. В результате адиабатного расширения кислорода массой
т ~ 5 г температура газа изменилась на АТ - 20 К. Определите из-
менение внутренней энергии AL7 газа. Ответ: AU = -64,9 Дж.
2.82. При адиабатном сжатии одноатомного идеального газа
количеством вещества v = 2 моль, находящегося при температуре
Т\ = 300 К, его внутренняя энергия изменилась на АСУ = 1 кДж.
Определите температуру Т2 газа в конце процесса. Ответ: Т2 =
= 340 К.
2.83. Температура пара, поступающего в паровую машину,
Т1 = 450 К, температура в конденсаторе Т2 = 300 К. Определите
максимально возможную работу А машины при затрате количе-
ства теплоты Q - 3 кДж. Ответ: А = 1 кДж.
2.84. Идеальный газ совершает цикл Карно. Газ получил от на-
гревателя количество теплоты = 6 кДж и отдал холодильнику
количество теплоты Q2 = 0,6Qj. Определите термический КПД
q цикла и работу А, совершаемую за цикл. Ответ: q = 0,4;
А = 2,4 кДж.
2.85. Идеальный газ совершает цикл Карно. Газ получил от на-
гревателя количество теплоты = 6 кДж и совершил работу А =
2,4 кДж. Определите термический КПД ц цикла и отношение
температур нагревателя Тг и холодильника Т2. Ответ: Т| - 0,4;
Л/Т2=1,67.
2.86. Идеальный газ совершает цикл Карно, термический КПД
которого т] - 0,6. Определите работу А2 изотермического сжатия
газа, если работа А, изотермического расширения равна 600 Дж.
Ответ: А2 = -240 Дж.
117
2.87, Идеальная тепловая машина «работает» по циклу Карно -
Температуры нагревателя Т\ - 400 К, холодильника Т2 == 270 К.
Определите работу А, совершаемую тепловой машиной, если
в топке сожжено 200 кг топлива с удельной теплотой сгорания
q = 12,6 * 103 Дж/кг. Ответил А - 2,66 МДж.
Глава 8
Агрегатные состояния вещества.
Жидкости и пары
Основные законы и формулы
Относительная влажность
<р = -2-100%
Ря
[р — парциальное давление водяного пара, содержащегося в воз-
духе при данной температуре; рн — давление насыщенного пара
при той же температуре].
Таблица 8.1. Зависимость давления р и плотности р насыщенного
водяного пара от температуры
t, “С р, кПа р, Г/м3 t, ’С р, кПа р, г/м3
-5 0,40 3,2 11 1,33 10,0
0 0,61 4,8 12 1,40 10,7
1 0,65 5,2 13 1,49 11,4
2 0,71 5,6 14 1,60 12,1
3 0,76 6,0 15 1,71 12,8
4 0,81 6,4 16 1,81 13,6
5 0,88 6,8 17 1,93 14,5
6 0,93 7,3 18 2,07 15,4
7 1,0 7,8 19 2,20 16,3
8 1,06 8,3 20 2,33 17,3
9 1,14 8,8 25 3,17 23,0
10 1,23 9,4 50 12,3 83,0
119
Таблица 8.2. Психрометрическая таблица
Показа- НИЯ сухого термо- метра, *С Разность показателей сухого и влажного термометров, "С
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Относительная влажность, %
0 100 81 63 45 28 11 — — — — —
2 100 84 68 51 35 20 — — — — —
4 100 85 70 56 42 28 14 — — — —
6 100 86 73 60 47 35 23 10 — — -
8 100 87 75 63 51 40 28 18 7 — —
10 100 88 76 65 54 44 34 24 14 5 —
12 100 89 78 68 57 48 38 29 20 11 —
14 100 89 79 70 60 51 42 34 25 17 9
16 100 90 81 71 62 54 46 37 30 22 15
18 100 91 82 73 65 56 49 41 34 27 20
20 100 91 83 74 66 59 51 44 37 30 24
22 100 92 83 76 68 61 54 47 40 34 28
24 100 92 84 77 69 62 56 49 43 37 31
26 100 92 85 78 71 64 58 51 46 40 34
28 100 93 85 78 72 65 59 53 48 42 37
30 100 93 86 79 73 67 61 55 50 44 39
Поверхностное натяжение
[j? — сила поверхностного натяжения, действующая на контур Z,
ограничивающий поверхность жидкости].
И Высота подъема жидкости в капиллярной трубке
д - 2gcos6
[0 — краевой угол; г — радиус капилляра; р — плотность жид-
кости; g — ускорение свободного падения; ст — поверхностное
натяжение].
120
Сила внутреннего трения между двумя движущимися слоя-
ми жидкости (газа) площадью S
[q — коэффициент вязкости; отношение — показывает, как
быстро меняется скорость при переходе от одного слоя к друго-
му в направлении х, перпендикулярном направлению движения
слоев].
Примеры решения задач
Q В комнате объемом V = 150 м3 при температуре = 20 сС
относительная влажность <р - 51 %, Определите массу т водяных
паров в воздухе комнаты, если давление рн насыщенного водяного
пара при данной температуре равно 2,33 кПа.
Дано: V= 150 м3; t = 20 Г; Т = 293 К; ср = 51 % - 0,51; рн =
- 2,33 кПа = 2,33 Ю3 Па; М = 18* 10’3 кг/моль.
Найти: т.
Решение. Так как <р = 51 % (< 100 %), то в комнате пар нена-
сыщенный. Ненасыщенный пар подчиняется газовым законам.
По закону Дальтона он занимает весь объем комнаты.
Согласно уравнению Клапейрона — Менделеева,
pv^KT, (1)
где давление пара определяется по формуле относительной влаж-
ности (температура постоянна, поэтому влажность пропорцио-
нальна давлению):
Р = РнФ, (2)
где — давление насыщенного пара при рассматриваемой тем-
пературе.
Согласно выражениям (1) и (2), искомая масса водяного пара
ряФУМп
RT ~ RT
р„<?УМв
RT
Па • м3 • кг/моль Пам3кг Н/(м2)м3кг
Ш ---------'----- ----------_ кг.
Дж/(моль*К)-К Дж Нм
Ответ: т = 1,32 кг.
121
Q В комнате объемом V -100 м3 давление насыщенных паров
при температуре t - 20 °C составляет 2,33 кПа, относительная
влажность ф! = 18 %- Определите массу т воды, которую сле-
дует испарить, чтобы при той же температуре относительная
влажность ср2 достигла 40 %. Молярная масса водяного пара М =
- 18 10 s кг/моль.
Дано: V = 100 м3; t = 20 X; Т = 293 К; рн - 2,33 кПа -
= 2,33 • 103 Па; фх = 18 %; <р2 = 40 %; М - 18 10"3 кг/моль.
Найти: т.
Решение. Масса воды, которую следует испарить,
т = т2 - тп1} (1)
где тпх и т2 — масса воздуха в комнате при относительных влаж-
ностях соответственно <рг и <р21
mr - Pi^ и т2 = р2К (2)
где р! и р2 — плотность воздуха соответственно при и ф2.
Относительная влажность воздуха
<р = -£-100%, (3)
ря
где р — давление водяных паров, находящихся в воздухе; рн —
давление насыщенных паров при данной температуре.
Давление водяных паров определим из уравнения Клапейро-
на — Менделеева:
т RT RT
Р~ V М ~Р М '
откуда, учитывая (3), получим
рМ=^рвМф_
и RT RT 100% 7
Тогда, на основании (4),
_ РнМ<Р1 _ РнМф2
Р1 ЯТ-100% Pz RT -100%’ }
Подставив выражения (5) в (2), найдем согласно формуле (1),
искомую массу воды, которую следует испарить:
p^mv { ?
|т = ДГ
г 1 _ Па • кг/моль -м3 % _ Па-кгм8 _ Н/м2 -кг-м8 _
Дж/(мольК)’К% Дж Нм КГ’
Ответ: т - 379 г.
129
в Определите, какую силу следует приложить к горизон-
тальному медному кольцу высотой 15 мм, внутренним диаме-
тром 40 мм и внешним 42 мм, чтобы оторвать его от поверхности
воды. Плотность меди р = 8,93 г/см3; поверхностное натяжение
воды ст = 73 мН/м.
Дано: h - 15 мм - 1,5 Ю-2 м; = 40 мм = 4,0 10“2 м; d2 =
- 42 мм - 4,2 Ю-2 м; р - 8,93 г/см3 - 893 кг/м3; о = 73 мН/м =
-73 10"3 Н/м.
Найти9, F.
Решение. Сила, которую следует приложить для отрыва
кольца от поверхности воды,
F = Л + F2, (1)
где Fi — вес кольца; F2 — сила поверхностного натяжения.
Вес кольца
F1=p^ftJ(d22-d12), (2)
где g — ускорение свободного падения.
При отрыве кольца поверхностная пленка разрывается по вну-
тренней и внешней поверхностям кольца, поэтому сила поверх-
ностного натяжения
F2 - &1 = + d2). (3)
Подставив формулы (2) и (3) в равенство (1), получим ис-
комую силу
F = ^2 - df) + лст^ + d2)
Ответ: F - 35,7 мН.
□ Определите высоту А, на которую поднимается вода, полно-
стью смачивающая капилляр радиусом г- 0,4 мм. Поверхностное
натяжение воды о = 74 мН/м, а ее плотность р = 1 г/см3.
Дано: г = 0,4 мм = 4 10"4 м; ст = 74 мН/м - 7,4 10"2 Н/м; р =
= 1 г/см3 = 103 кг/м3.
Найти: h.
Решение. Подъем жидкости в капилляре будет происходить
до тех пор, пока сила тяжести FT - mg не уравновесится силой по-
верхностного натяжения F, удерживающей воду на высоте h:
mg = F. (1)
123
Масса жидкости равна произведению ее плотности на объем
столба жидкости
т - (2)
где h — высота подъема жидкости в капилляре; г — радиус
капилляра.
Сила поверхностного натяжения
F - (jl - а 2пг, (3)
где Z = 2тгг — длина контура, ограничивающая поверхность жид-
кости.
Подставив выражения (2) и (3) в формулу (1), найдем искомую
высоту подъема столба жидкости в капилляре
Л = —
pgr
гЛ] = Н/м = Н = кг -м/с2 =
I кг/(м3)-м/(с2)-м кг/с2 кг/с2
Ответ: h = 3,77 см.
Задачи для самостоятельного решения
2.88. Абсолютная влажность воздуха р = 9,4 < 10 3 кг/м3, а плот-
ность насыщенных паров рн при рассматриваемой температуре
составляет 15,4-10-3 кг/м3. Определите относительную влажность
<р воздуха. Ответ: <р = 61 %.
2.89. Относительная влажность <р воздуха при температуре
t = 16 °C равна 65%. Определите максимальную температуру
при которой выпадает роса. Ответ: £р = 9 °C.
2.90. Определите относительную влажность <р воздуха при
температуре t - 20 сС, если точка росы tu - 9 °C, Ответ: <р =
= 48,9%.
2.91. Относительная влажность ср воздуха при t - 20 °C состав-
ляет 52 %. Выпадет ли роса, если ночью температура воздуха
понизится до tx = 10’С? Ответ: нет.
2.92. В комнате объемом V = 100 м3 при температуре 17 °C от-
носительная влажность ср = 54%. Определите давление рн насы-
щенного пара при этой температуре, если масса водяных паров
в воздухе комнаты п = 778 г. Молярная масса водяных паров
Мп - 18 -10"3 кг/моль. Ответ: рн = 1,93 кПа.
2.93. В комнате объемом 70 м3 давление рн насыщенных па-
ров при температуре t = 20 "С составляет 2,33 кПа, относительная
I 124
влажность <рг - 15 %. Определите массу т воды, которую следует
испарить, чтобы при той же температуре относительная в лаж*
ность достигла 45 %. Молярная масса воды М = 18 * 10-3 кг/моль.
Ответ: иг - 0,362 кг.
2.94. Влажный термометр психрометра показывает темпера*
ТУРУ -8 С\ а сухой — t2 - 12 С. Определите парциальное дав*
ление р водяного пара в помещении и абсолютную влажность р.
Ответ: р = 798 Па; р = 6,1 • 10-3 кг/м3.
2.95. Показания сухого и влажного термометров психрометра
при температуре t = 5 °C одинаковы. Определите плотность насы-
щенных водяных паров рн в воздухе. Ответ: рн = 6,8 г/см3.
2.96. Определите количество А7 капель воды в объеме V = 5 см3,
которая вытекает из трубки диаметром d = 2 мм, если диаметры
шейки капли и трубки одинаковы. Плотность воды р - 1 г/см3,
а ее поверхностное натяжение о = 74 мН/м. Ответ: N = 21,
2.97. Определите массу т капли спирта, вытекающего из пи-
петки, в момент отрыва, если диаметр отверстия пипетки d = 1 мм.
Поверхностное натяжение о спирта принять равным 0,02 Н/м.
Ответ: т = 6,4-Ю-6 кг.
2.98. Определите поверхностное натяжение о воды, если диа-
метр отверстия пипетки, из которой вытекает вода, d = 1,2 мм,
а масса Лг - 49 капель воды т = 2 г. Ответ: а = 74 мН/м.
2.99. Определите радиус г капиллярной трубки, если при
полном смачивании вода в капилляре поднимается на высоту
h = 5 см. Поверхностное натяжение воды о = 74 мН/м, плотность
р = 1 г/см3. Ответ: г - 0,302 мм.
2.100. В капилляре радиусом г = 0,3 мм жидкость поднялась
на высоту h = 18,9 мм. Определите плотность р жидкости, если ее
поверхностное натяжение о = 22 мН/м. Ответ: р - 791 кг/м3.
2.101. Во сколько раз отличаются высоты поднятия бензина
и спирта h2 в капиллярах одинакового радиуса? Поверхностное
натяжение бензина их = 21 мН/м, спирта — ст2 = 22 мН/м, плот-
ность бензина рх - 0,7 г/см3, спирта — р2 = 0,79 г/см3. Ответ:
в 1,08 раза.
2.102. Определите массу т воды, поднявшейся в капилляре
радиусом г = 0,25 мм, если поверхностное натяжение воды о =
- 74 мН/м. Ответ: т = 1,18 -Ю-5 кг.
2.103. В капилляре, находящемся на поверхности Земли,
жидкость поднялась на высоту h = 12 мм. Определите высоту
поднятия столба этой же жидкости в том же капилляре на по-
верхности Луны, если ускорение свободного падения на поверх-
ности Луны gi - 0,165#. Ответ: - 72,7 мм.
125
2.104, Сила F внутреннего трения между параллельными слоя-
ми воздуха площадью S = 0,5 м2, движущимися соответственно
со скоростями = 5 м/с и v2 - 10 м/с, равна 215 мкН. Определите
коэффициент вязкости q, если слои отстоят друг друга на рас-
стоянии Дх - 20 см. Ответ: q - 17,2 мкПа* с.
2.105. Между двумя слоями азота площадью S = 200 см2 дей-
ствует сила внутреннего трения F = 10 мкН. Определите, как бы-
стро изменяется скорость при переходе от одного слоя к другому
в направлении, перпендикулярном направлению движения слоев,
если коэффициент вязкости q азота равен 16,6 мкПа. Ответ:
— = 30,1 “Z®.
Дх м
Глава 9
Твердые тела и их превращения
Основные законы и формулы
Напряжение при упругой деформации
[Г — растягивающая (сжимающая) сила; S — площадь попереч-
ного сечения].
Относительное продольное растяжение (сжатие)
[AZ — изменение длины тела при растяжении (сжатии); I — дли-
на тела до деформации].
Относительное поперечное растяжение (сжатие)
_ Ad
8 “ d
[Ad — изменение диаметра стержня при растяжении (сжатии);
d — диаметр стержня].
Закон Гука для продольного растяжения (сжатия)
о - Е&
[Е — модуль Юнга].
Относительное изменение длины тела
~ = аДТ
Ч)
[Zo — длина тела при начальной температуре; а — коэффициент
линейного (теплового) расширения; АТ — изменение термоди-
намической температуры].
Зависимость длины тела от температуры
I - /0(1 + at)
[Z — длина тела при температуре Z; Zo — его длина при темпера-
туре 0 РС; a — коэффициент линейного теплового расширения].
127
Относительное изменение объема тела
и0
[Vp — объем тела при начальной температуре; (3 — коэффициент
объемного теплового расширения; АТ — изменение термодина-
мической температуры].
Зависимость объема тела от температуры
V= V0(l + pt)
[V — объем тела при температуре t; Уо — его объем при темпе-
ратуре О °C; р — коэффициент объемного теплового расшире-
ния].
Примеры решения задач
Q К медному стержню длиной I - 50 см и диаметром d = 2 см
подвешен груз массой т = 1 т. Определите относительное про-
дольное растяжение е стержня и энергию упругой деформации
стержня. Модуль Юнга для меди Е = 118 ГПа.
Дано: I = 50 см - 0,5 м; d - 2 см = 2 10"2 м; тп = 1 т = 103 кг;
Е = 118 ГПа = 118-10* Па.
Найти: е; Еупр.
Решение. Относительное продольное растяжение £ = AZ/Z, где
А/ — изменение длины стержня при растяжении.
Согласно закону Гука, напряжение при упругой деформации
о = Ее, (1)
где ст = Fyrip/S, причем упругая сила по модулю равна силе тяже-
сти mg (mg — предельная сила, при которой еще действует закон
Гука), а площадь поперечного сечения стержня S = Tid2/4.
Подставив эти выражения в формулу (1), найдем искомое от-
носительное продольное растяжение
nd2E
Энергия упругой деформации стержня равна работе деформи-
рующей силы (F) по удлинению стержня на AZ, т.е.
Eynp = A = <E)AZ; (2)
(3)
Zj Zj
128
Абсолютное удлинение
Д/ - eZ. (4)
Подставив выражения (3) и (4) в формулу (2), найдем искомую
энергию упругой деформации стержня
г упр 2
Гр Л = кг-м/с2 Н 1
LJ м2 Па м2-Н/м2 ’
[Еупр] = кг-мДс2) м = Нм = Дж.
Ответ: е = 2,65 • 10 4; £упр = 0,65 Дж.
в Определите длины железного и медного стержней при О °C
при условии, что железный стержень при любой температуре
длиннее алюминиевого на 4 см. Коэффициенты линейного те-
плового расширения железа и меди соответственно равны оц =
- 1,2 IO’5 К"1 и а2 = 1,6-10-5 К’1.
Дано: Iq = (ГС; L = 4 см - 4 10 2 м; а2 = 1,2 10 5 К'1; а2 =
= 1,6-10 5 К'1.
Найти: Z01; Z02.
Решение. Согласно условию задачи
— ?2 и L ~ ^01 ^02’ (1)
где G, *oi> ^02 — соответственно длина железного и алюми-
ниевого стержней при температурах t и (ГС. Для железного
стержня
Zi = ^01(1 + cixAt); (2)
для медного стержня
Z2 = (3)
где AZ = t - t0.
Вычитая (3) из (2) с учетом условий (1), получим
CCl^Ol = (*2^)2 •
Так как Z01 - Z02 = то искомые длины стержней при (ГС
<*2^1
Ответ: Z02= 12 см; Z01 = 16 см.
129 I
^01 — ^02 +
Задачи для самостоятельного решения
2Л06. Под действием растягивающей силы диаметр стержня
изменился от 2,2 до 2 см. Определите абсолютное Ad и относи-
тельное поперечное s' растяжения стержня. Ответ: Ad = 0,2 см;
з' = 0,1.
2Л07. Верхний конец медного стержня длиной I = 1,5 м с пло-
щадью поперечного сечения S = 5 см2 закреплен неподвижно,
а к нижнему его концу подвешен груз массой т - 1 500 кг. Мо-
дуль Юнга для меди Е = 118 ГПа. Определите нормальное на-
пряжение о стержня; абсолютное AZ и относительное е удлинения
стрежня* Ответ: о = 29,4 МПа; AZ = 374 мкм; s = 2,49 -10"4.
2.108. Определите радиус г стального троса подъемного крана,
если максимальная масса поднимаемого груза т = Ют, а запас
прочности должен быть равен 8. Предел пропорциональности
стальной проволоки = 850 МПа. Ответ: г - 1,71 см.
2.109. Какой должна быть длина I подвешенной за один конец
серебряной проволоки, при которой наступит ее разрыв под дей-
ствием собственного веса? Предел прочности серебра на разрыв
стпр = 2,9-108 Па, плотность р серебра 10,5* 103 кг/м3. Ответ:
I = 2,82 км.
2Л10. Пружина под действием упругой силы Fx - 200 Н удли-
нилась на AZX = 3 см. Определите потенциальную энергию пружи-
ны при ее растяжении на AZ2 = 12 см. Ответ: Еп2 = 48 Дж.
2Л11. Определите силу F, которую следует приложить к мед-
ному стержню площадью поперечного сечения S = 6 см2, чтобы
не дать ему удлиниться при нагревании от 0 до 40 °C. Модуль
Юнга для меди Е - 118 ГПа, коэффициент линейного теплового
расширения для меди а = 1,7 -10-5 К-1. Ответ: F - 48,1 кН.
2*112. Алюминиевая проволока диаметром d - 2 мм под дей-
ствием растягивающей силы удлинилась на столько, на сколько
она удлиняется при нагревании на АТ = 40 К. Принимая для
алюминия модуль Юнга Е = 69 ГПа и коэффициент линейного
теплового расширения а - 2,3*105 К-1, определите числовое зна-
чение растягивающей силы F. Ответ: F = 199 Н.
2.113. Медная проволока сечением S - 10 мм2 под действием
растягивающей силы F = 400 Н удлинилась на столько, на сколь-
ко она удлиняется при нагревании на 20 К. Определите модуль
Юнга Е для меди, если для нее коэффициент линейного теплового
расширения а = 1,7* 10~5 К”1. Ответ: Е = 118 ГПа.
2.114* На проволоке длиной = 0,7 м подвешен груз массой
/и! — 20 кг. При подвешивании к этой проволоке груза массой
130
т2 = 50 кг ее длина оказалась 12 - 1 м« Определите длину прово-
локи Zo без груза. Ответ: lQ - 0,5 м.
2.115. Определите, на сколько увеличится объем AV сплош-
ного медного куба при сообщении ему количества теплоты AQ =
= 400 кДж. Удельная теплоемкость меди с = 395 Дж/(кг-К), ее
плотность р = 8,6 103 кг/м3, коэффициент объемного теплового
расширения р = 4,8 10-5 К"1, Ответ: AV - 5,65 см3.
Раздел III
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
Глава 10
Электростатика
Основные законы и формулы
Закон сохранения электрического заряда в замкнутой си-
стеме
^Qi = const.
I
Закон Кулона
F = а 1—(в вакууме),
4тге0 rz
F = —(в среде)
4пс0
[F — сила взаимодействия двух точечных зарядов и Ф2; г —
расстояние между зарядами; е0 = 8,85 *10“12 Ф/м — электриче-
ская постоянная; е — диэлектрическая проницаемость среды].
Напряженность электростатического поля
[F — сила, действующая на точечный положительный заряд Qo,
помещенный в данную точку поля].
Напряженность электростатического поля точечного заря-
да Q на расстоянии г от заряда
1 Q
4ле0 г2
132
Принцип суперпозиции электростатических полей
Ё = Ёг + Ё2 +... + Ёп
[Ё19Ё2,...,Ёп — напряженность поля, создаваемого зарядами
Q2, •••» QnL
Напряженность поля, создаваемого равномерно заряженной
бесконечной плоскостью,
Е=-2-.
2с0
Напряженность поля, создаваемого двумя бесконечными
параллельными разноименно заряженными плоскостями,
Е- —.
со
Плотность зарядов линейная, поверхностная и объемная,
т,е. заряд, приходящийся соответственно на единицу длины,
поверхности и объема:
Q Q Q
Г S’ Р V
Потенциальная энергия заряда Qo в поле заряда Q на рас-
стоянии г от него
w - — .
” 4ле0 г
Потенциал электростатического поля
А Ас
ф—_LL Q — _±_
v Qo Qo
[Жп — потенциальная энергия пробного положительного заря-
да Qo; А — работа по перемещению единичного положительно-
го заряда при удалении его из данной точки в бесконечность],
Потенциал электростатического поля точечного заряда
на расстоянии г от заряда
1 Q
9 = 1—
4ле0 г
Работа, совершаемая силами электростатического поля при
перемещении заряда Qo из точки 1 в точку 2,
л _ 1 (QQo
Ai2 “7“ “ р
гх г2 )
Аг = Qo(<Pi - 92)*
133 I
Разность потенциалов между двумя точками 1 и 2 электро-
статического поля
ЧТО
Принцип суперпозиции (наложения) электростатических
полей
Ф = Фх + Ч>2 + - + Фп
[<pi, <р2> •••» Фп — потенциал поля, создаваемого зарядами Q19 Q2,
.... Q„].
Электроемкость уединенного проводника
ф
[Q — заряд, сообщенный проводнику; <р — потенциал проводни-
ка].
Электроемкость шара радиусом R
С = 4лЕ0ай.
Электроемкость конденсатора
С = —
Ф1-Ф2
[Q — заряд, накопленный на обкладках конденсатора; (<px - <р2) —
разность потенциалов между обкладками].
Электроемкость плоского конденсатора
d
[S — площадь каждой пластины конденсатора; d — расстояние
между пластинами].
Электроемкость системы конденсаторов соответственно при
последовательном и параллельном соединениях
1=J_+J_+ +J_.
с с, с2 • с/
С = Cj + С2 + ... + Сп
[Ci, С2, Сп — электроемкость первого, второго, n-го кон-
денсаторов].
Энергия уединенного заряженного проводника
1Гсуоф=. q*
2 2 2С’
I 134
Энергия заряженного конденсатора
С(А<р)2 QA<p._^
2 2 2С
[Q — заряд конденсатора; С — его электроемкость; Дф — раз-
ность потенциалов между обкладками].
Энергия электростатического поля плоского конденсатора
_ еоаЕ _ e0&SE7 ____р7
2 2d ~ 2
[S — площадь одной пластины; U — разность потенциалов
между пластинами; V - Sd — объем конденсатора].
Объемная плотность энергии электростатического поля
2
Примеры решения задач
Ц Два одинаковых шарика одинаковой массы и заряда, под-
вешенные на нитях равной длины, опускают в трансформаторное
масло, плотность которого р = 0,94 г/см3 и диэлектрическая про-
ницаемость а = 2,2. Определите плотность рх материала шариков,
если углы расхождения нитей в воздухе и масле оказались оди-
наковыми.
Дано: р = 0,94 г/см8 = 0,94-108 кг/м8; е = 2,2; = Z2 = I; 04 =
= а2 “ а*
Найти*, pi.
Решение. До погружения в жидкий диэлектрик, т. е. в воздухе,
на каждый шарик (рис. 68, а) действуют: сила тяжести mg, кулонов-
ская сила F и сила натяжения нити Т. При равновесии шариков
Рис. 68
135 I
mg+F+f = 0.
После погружения в жидкий диэлектрик (в трансформаторное
масло) на каждый шарик (рис, 68, б) действует сила тяжести mg,
кулоновская сила F', выталкивающая архимедова сила FA и сила
натяжения нити Д. При равновесии шариков
mg + F' + FA + fr - 0.
Кулоновская сила отталкивания шариков в воздухе (из тре-
угольника на рис. 68, а)
F - mgtga; (1)
кулоновская сила в диэлектрике
F‘ = (mg- FA)tga (2)
(учли выталкивающую силу). В диэлектрике кулоновская сила
уменьшается в ех раз, так что
F' = —. (3)
Е
Тогда
^ = (mg-FA)tgcc. (4)
Поделив выражение (4) на выражение (1), получим
£ mg mg*
Согласно закону Архимеда,
Fa = pVg,
где р — плотность жидкого диэлектрика; V — объем шарика;
g — ускорение свободного падения. Масса шарика m - где
рх — плотность материала шарика. Подставив последние два
выражения в формулу (5), получим
U1-A
е р!
откуда искомая плотность материала шарика
Ответ: рх = 1,72 г/см3.
136
□ Электростатическое поле создается двумя бесконечными па-
раллельными плоскостями, заряженными равномерно одноимен-
ными зарядами с поверхностными плотностями - 4 мкКл/м2
и <j2 - 1 мкКл/м2. Определите напряженность электростатического
поля между плоскостями и за пределами плоскостей.
Дано: Ох = 4 мкКл/м2 = 4‘10“6 Кл/м2; а2 - 1 мкКл/м2 =
= КГ6 Кл/м2.
Найти: £внугр; Е
ввешн*
Решение. Согласно принципу суперпозиции,
(1)
причем каждая из заряженных плоскостей создает электроста-
тическое поле независимо от наличия другой заряженной пло-
скости (рис. 69).
Напряженность электростатического поля, создаваемого каж-
дой из бесконечных плоскостей в вакууме:
(2)
Между плоскостями векторы напряженностей направлены
в противоположные стороны, следовательно, суммарная напря-
женность поля равна разности напряженностей полей, создавае-
мых первой и второй плоскостями:
Г — F р _
внутр - ~
F —
внутр 2е0
В пространстве за пределами плоско-
стей векторы напряженностей сонаправле-
ны, следовательно, суммарная напряжен-
ность поля равна сумме напряженностей
полей, создаваемых первой и второй
плоскостями:
^внеш — + Е2
ИЛИ
' - Та1 +q2
внеш — Q
(векторы Е за пределами плоскостей на
правлены в разные стороны).
137 I
Г£1 =__Кл/М2 _ _Н_
L J Кл2/(Н-м2) Кл*
Ответ: £внутр = 169 кН/Кл; £внеш = +282 кН/Кл.
□ Две параллельные пластины площадью S = 100 см2 каждая,
находящиеся в воздухе, заряжены разноименными зарядами Q =
- 70 нКл. Определите работу А, которую следует совершить,
чтобы раздвинуть пластины на расстояние Дх = ОД мм.
Дано: S = 100 см2 - 10’2 м2; Q = 70 нКл = 7 10 8 Кл; Дх =
= ОД мм = Ю4 м.
Найти: А,
Решение. Для раздвижения пластин на расстояние Дх следует
совершить работу
А=РДх, (1)
где сила
F=QE,
(2)
[Q — заряд одной пластины; Е — напряженность электростати-
ческого поля, создаваемого одной из пластин]. Имеем
2е0 2gq>S
(3)
Q
где о = " — поверхностная плотность заряда.
S
Подставив формулы (2) и (3) в выражение (1), найдем искомую
работу
Q2 А
Ах
2e0S
Г Кл2 -М тг тт
[А] = V 2 --2^--2 = Н М = ДЖ'
Кл2/(Н*м^)м2
Ответ: А = 2,77 мкДж.
Ц Три точечных заряда Qx - 2 нКл, Q2 - 3 нКл и Q3 - -4 нКл
расположены в вершинах равностороннего треугольника со сто-
роной а - 10 см (рис. 70). Определите потенциальную энергию
этой системы.
Дано: = 2 нКл = 2 • 10"9 Кл; Q2 = 3 нКл = 3 ♦ 10’9 Кл; Q3 =
= -4 нКл = -4 10 9 Кл; а = 10 см = 0Д м.
Найти: Wn.
1138
Решение. Потенциальная энергия си-
стемы зарядов равна алгебраической сумме
энергий взаимодействия каждой из взаимо-
действующих пар зарядов, т.е.
= Wnl2 + Wnl3 + Wn23, (1)
где потенциальные энергии одного из заря-
дов, находящегося в поле другого заряда
на расстоянии а от него, соответственно
равны
W - 1 О®2 • W : - 1 Ж - 1 (2)
п12’4л6о а ’ ™°13 - 4л£0 а ’ Жп23" 4ле0 а ’ (2)
Подставив формулы (2) в выражение (1), найдем искомую по-
тенциальную энергию системы зарядов
Wn = —-—(Q1Q2 + O1Q3 + O2O3)
4ле0а
[2 ;-fo2 т- - = Н • м = Дж.
Кл2/(Н-м2)-м
Ответ: W„ = -1,26 мкДж.
В Батарея из трех последовательно соединенных конденсато-
ров электроемкостью = 1 мкФ, С2 - 2 мкФ и С3 - 4 мкФ подсоеди-
нена к источнику ЭДС. Заряд батареи конденсаторов Q = 40 мкКл.
Определите напряжения U2 и L73 на каждом конденсаторе, ЭДС
источника & и электроемкость С батареи конденсаторов.
Дано: Ci = 1 мкФ = 10"6 Ф; С2 = 2 мкФ = 2 - 10“б Ф; С3 = 4 мкФ =-
= 4 КГ6 Ф; Q = 40 мкКл - 4 10"5 Кл.
Найти: V2\ U3; С.
Решение. При последовательном соединении конденсаторов
заряды всех обкладок равны по модулю, поэтому
Qi = Q2 = Оз = Q-
Напряжения на конденсаторах
(71=—; иг=£-;иэ=-@-.
Vi ^2 ^3
ЭДС источника равна сумме напряжений каждого из после-
довательно соединенных конденсаторов
Г= иг + U2 + 173.
139
При последовательном соединении суммируются величины,
обратные электроемкостям каждого из конденсаторов:
С С2 С3
Таким образом, искомая электроемкость батареи конденса-
торов
CjCgCg
С =
^1^2 + ВД +С2С3
Ответ: Ux = 40 В; U2 = 20 В; = 10 В; = 70 В; С =
= 0,571 мкФ.
Q К пластинам плоского воздушного конденсатора при-
ложена разность потенциалов = 500 В. Площадь пластин
конденсатора S = 200 см2, расстояние между ними = 1,5 мм.
Пластины раздвинули до расстояния d2 = 15 мм. Определите
энергию W| и W2 конденсатора до и после раздвижения пластин,
если источник напряжения до раздвижения: 1) отключался;
2) не отключался.
Дано: Ui = 500 В; S = 200 см2 = 2 • 10’2 м2; d, = 1,5 мм =
= 1,5 IO’3 м; d2 = 15 мм = 1,5 10 2 м.
Найти: 1) Wt; W2; 2) W^, W2.
Решение. 1) Заряд пластин конденсатора, отключенного от ис-
точника напряжения, при их раздвижении не меняется, т. е.
Qi = Q2 = Q = const (1)
Электроемкость конденсатора и напряжение на нем соответ-
ственно с учетом (1):
• до раздвижения пластин
josS, Q QdY .
1 dj ’ 1 Ст eoeS’
• после раздвижения пластин
с ^£oeS. и = Q _ Qd2
d2 С2 £q&S
Энергия заряженного конденсатора
С772
W=^—,
2
(2)
(3)
(4)
откуда, учитывая формулу для получаем
I 140
1 2 2d,
Разделив почтенно (2) на (3), найдем
СЛ=Й2
иг dC
откуда
СЛ>=^СЛ- (5)
Тогда
ИЛ ~ ЗД _ ^Sdjul ~znzSdzUt
2 2 2dzd? 2dl
п_ Кл2/(Н-м2)м2 м-В2 _ Кл2 -м В2 _ Дж2 м _ _
L J 2 ~~ 77 2 * “7г _ ДЖ.
мг Нм2 Джм
2) Разность потенциалов на пластинах конденсатора, не отклю-
ченного от источника напряжения, остается постоянной, т,е.
ur - и2 = и = const. (6)
Подставив в формулу (4) выражения для Сх и С2 из (2) и (3)
и учитывая (6), найдем искомые энергии
_CiC72 -SoeStT7
1 2 2dj
TJ7 C2C/2_eo£SUT
2 2 2d2
Ответ: 1) - 14,8 мкДж; W2 - 148 мкДж; 2) W\ =
- 14,8 мкДж; W2 - 1,48 мкДж.
Q Плоский воздушный конденсатор электроемкостью С\ -
= 4 пФ заряжен до разности потенциалов = 500 В. После отклю-
чения конденсатора от источника напряжения расстояние между
обкладками конденсатора увеличили в три раза. Определите раз-
ность потенциалов 172 на обкладках конденсатора после их раз-
движения и работу А внешних сил по раздвижению пластин.
Дано: Ci - 4 пФ - 4 -1012 Ф; = 500 В; d2 = 3dP
Найти: (72; А.
Решение. Заряд обкладок конденсатора после отключения
от источника напряжения не меняется, т.е. Q = const, поэтому
141
(1)
где С2 и U2 — соответственно электроемкость и разность потен-
циалов на обкладках конденсатора после их раздвижения.
Учитывая, что электроемкость плоского конденсатора С =
d
из формулы (1) получим искомую разность потенциалов
(2)
После отключения конденсатора от источника напряжения
систему двух заряженных обкладок можно рассматривать как
замкнутую, для которой выполняется закон сохранения энергии:
работа А внешних сил равна изменению энергии системы
А - W2 - (3)
где W\ и W2 — соответственно энергия поля конденсатора в на-
чальном и конечном состояниях.
О2 Q2
Учитывая, что Wx = и W2 ~ (Q - const), из формулы (3)
получим искомую работу внешних сил
A = W -W Q2 НОДУЦ J
2 1 2C2 2C] 2 ^C2 C2) 2 J
[учли, что Q - CiUy и формулу (2)].
CxUl(U2 !
2
[А]=ФВ2=^В2=КлВ = Дж.
Ответ: U2 ~ 1,5 кВ; А ~ 1 мкДж.
Задачи для самостоятельного решения
3*1. Два маленьких шарика с зарядами (?г =- 1 мКл и Q2- 9 мКл
соответственно*находятся в вакууме на расстоянии г - 30 см.
Шарики привели в соприкосновение. Определите, на какое рас-
стояние г\ следует их развести, чтобы сила взаимодействия между
шариками оказалась такой же. Ответ: т\ - 0,5 м.
3*2. Два одинаковых шарика массой т = 100 г каждый, сопри-
касаясь между собой, подвешены в вакууме на нитях длиной I =
= 80 см* Определите расстояние г, на которое разойдутся шарики,
1142
если им сообщить заряд Q - 5 нКл. Угол отклонения нити при-
нять малым. Ответ: г = 4,51 мм.
3.3. Два точечных заряда Qi - 1 мкКл и Q2 = 3 мкКл, нахо-
дящихся в вакууме, взаимодействуют друг с другом с силой F =
-ОД Н. Определите расстояние г между зарядами. Ответ: г -
- 52 см.
3*4. Два маленьких шарика с одинаковым по модулю заря-
дом находятся на расстоянии г - 50 см друг от друга и взаимо-
действуют в вакууме с силой F - 50 мкН. Определите число N
нескомпенсированных зарядов на каждом из шариков. Ответ:
N = 2,33 ДОЧ
3.5. Два точечных заряда отталкиваются друг от друга в мас-
ле (диэлектрическая проницаемость Ci = 5) с силой - 100 мН.
Определите силу Р2 отталкивания этих зарядов в керосине (е2 - 2),
если они находятся на расстоянии, в три раза меньшем, чем
в масле. Ответ: F% = 2,25 Н.
3.6. Два одинаковых шарика массой т - 100 г каждый нахо-
дятся в вакууме на некотором расстоянии друг от друга. Опреде-
лите, какие одинаковые заряды Q следует сообщить шарикам,
чтобы их взаимодействие уравновешивало силы тяготения. От-
вет: Q = 8,61 пКл.
3.7. К шарику зарядом _ 10 нКл и массой т = 0,5 г, вися-
щему на тонкой шелковой нити, на расстоянии г = 2,5 см от него
поднесли второй заряженный шарик. Определите заряд Q2 вто-
рого шарика, если натяжение нити уменьшилось в два раза.
Ответ: Q2~ 17 нКл.
3.8. Расстояние I между двумя одноименными заряженными
точечными зарядами (фг = 2 нКл и Q2 = 5 нКл), расположенными
в вакууме, равно 20 см. Определите силу F, действующую на за-
ряд = 1 нКл, который помещен в точку, находящуюся на пря-
мой, соединяющей заряды Q и отстоящую от них на одинаковом
расстоянии. Ответ: F = 2,7 мкН.
3.9. * Два точечных заряда (Qi = 5 нКл и Q2 = 8 нКл) располо-
жены друг от друга в вакууме на расстоянии Z = 10 см. Определите
силу F, которая действует на заряд Qo = 1 нКл, помещенный в точ-
ку, находящуюся на прямой, соединяющей заряды и удаленную
на rj = 4 см от первого заряда и на г2 - 6 см от второго заряда.
Ответ: F - 48,1 мкН.
3.10. Три точечных отрицательных заряда Q = -4 нКл каждый
находятся в вершинах равностороннего треугольника. Определи-
те, какой заряд Qi нужно поместить в центр треугольника, чтобы
система находилась в равновесии. Ответ: QA = 2,31 нКл.
143
3.11. Определите напряженность ЕА поля, создаваемого ди-
полем с электрическим моментом р - 1 нКл м на расстоянии
г = 25 см от центра диполя в перпендикулярном направлении.
Ответ: ЕА = 576 В/м.
3.12. В боровской модели атома водорода электрон движется
по круговой орбите радиусом г = 52,8 им, в центре которой на-
ходится протон. Определите скорость и электрона на орбите.
Ответ: v = 2,19 Мм/с.
3.13. Электростатическое поле создается в вакууме точечным
зарядом Q = 1 нКл. Определите напряженность Е поля в точке,
которая находится на расстоянии г = 3 см от заряда, и силу Е>
действующую в этой точке на заряд = 3 нКл. Ответ: Е =
= 104 В/м; 2^ = 30 мкН.
3.14. Электростатическое поле создается в вакууме зарядом Q.
В точке, расположенной на расстоянии г = 30 см от него, на за-
ряд Qo - 5 нКл действует сила F - 1 мкН. Определите напряжен-
ность Е поля в точке, где находится заряд Qo, и заряд Qx. Ответ:
Е = 200 В/м; Q - 2 нКл.
3.15. Электростатическое поле создается в вакууме точечным
зарядом. Определите напряженность этого поля Еу в точке, рас-
положенной на расстоянии = 5 см от заряда, если на расстоянии
г2 = 15 см от него Е2 = 100 кВ/м. Ответ: Е^ - 900 кВ/м.
3.16. Определите расстояние г2 от точечного заряда, на ко-
тором напряженность электростатического поля в воде будет
такой же, как в вакууме на расстоянии гх = 13,5 см от заряда.
Диэлектрическая проницаемость воды е2 = 81; вакуума = 1.
Ответ: г2 - 1,5 см.
3.17. В пространстве между горизонтальными пластинами
плоского воздушного конденсатора взвешена капелька ртути.
Определите радиус г этой капельки, если ее заряд Q = 1 нКл, а на-
пряженность электростатического поля конденсатора Е = 105 В/м.
Плотность ртути р = 13,6 г/см2. Ответ: г = 0,564 мм.
3.18. Медный шарик (плотность меди р = 8,93 г/см3) радиусом
г = 0,5 см помещен в масло (рх = 0,8 г/см3). Определите заряд Q
шарика, если в однородном электростатическом поле он оказался
взвешенным в масле. Электростатическое поле направлено вер-
тикально вверх, и его напряженность Е = 4,25 кВ/см. Ответ:
Q = 10 нКл.
3.19. Определите ускорение а, с которым движется протон
в электростатическом поле напряженностью Е = 1 кВ/м. Масса
протона тр = 1,67-10-27 кг, заряд ер - 1,6 Ю~19 Кл. Ответ: а =
= 9,58 1010 м/с2.
I 144
3.20. * Два точечных заряда Qi - 4 нКл и Q2 = -2 нКл находятся
друг от друга на расстоянии I = 50 см в среде с диэлектрической
проницаемостью £ = 2,2. Определите напряженность поля ЕА
й точке А, находящейся посередине отрезка прямой, соединяю-
щей заряды. Ответ: Ел = 393 В/м.
3.21. * Два одноименных точечных заряда Q - 5 нКл располо-
жены в вакууме на расстоянии I - 8 см друг от друга. Определите
напряженность Ел в точке А, расположенной на расстоянии
г = 3 см на перпендикуляре, восстановленном из середины от-
резка, который соединяет заряды. Ответ: ЕА - 21,6 кВ/м.
3.22. * Два разноименных точечных заряда Q = ±5 нКл располо-
жены в вакууме на расстоянии / = 8 см друг друга. Определите
напряженность в точке А, расположенной на расстоянии г = 3 см
на перпендикуляре, восстановленном из середины отрезка, ко-
торый соединяет заряды. Ответ: ЕА - 28,8 кВ/м.
3.23. Расстояние d между точечными зарядами - 3 нКл
и ~ 5 нКл, находящимися в вакууме (с = 1), равно 35 см. Опре-
делите напряженность Ел электростатического поля в точке А,
отстоящей на расстоянии гх = 25 см от первого заряда и на рас-
стоянии г2 = 20 см от второго заряда. Ответ: Ел = 1,28 кВ/м.
3.24. Сфера радиусом R = 3 см заряжена равномерно с поверх-
ностной плотностью о=1 нКл/cm2. Определите напряженность Е
электростатического поля в вакууме на расстоянии г = 10 см
от центра сферы. Ответ: Е - 1,02-105 В/м.
3.25. Напряженность поля, создаваемого в вакууме двумя
сферами, заряженными равномерно с одинаковой поверхностью,
на расстояниях гх = 5 см и г2 = 10 см от центра сфер оказалась
одинаковой. Определите радиус R2 второй сферы, если радиус
первой сферы 1?х = 3 см. 1) Ответ: R2 - 6 см.
3.26. * Электростатическое поле создается двумя бесконечными
параллельными плоскостями, заряженными равномерно разно-
именными зарядами с поверхностными плотностями ох = 3 нКл/м2
и о2 = -6 нКл/м2. Определите напряженность электростатического
поля: 1) между плоскостями; 2) за пределами плоскостей. От-
вет: 1) Е = 508 В/м; 2) Е = +169 В/м.
3.27, Пространство между двумя бесконечными параллель-
ными плоскостями, заряженными равномерно одноименными
зарядами с поверхностными плотностями <л1 — 3 нКл/м2 и о2 “
= 2 нКл/м2, заполнено эбонитом (с = 3). Определите напря-
женность электростатического поля: 1) между плоскостями;
1) за пределами плоскостей. Ответ: 1) Ех = 18,8 В/м; 2) Е2 ~
- ±282 В/м.
145
3.28, Определите напряженность Ел поля, создаваемого ди- ?
полем с электрическим моментом р = 0,5 нКлм на расстоянии !
г = 40 см от центра диполя в направлении, перпендикулярном •
плечу диполя. Ответ: ЕА = 70,3 В/м.
3.29, Под действием электростатического поля равномерно
заряженной бесконечной плоскости точечный заряд Q = 2 нКл
переместился вдоль линии напряженности на расстояние, равное
I = 2 см; при этом совершена работа А - 40 мкДж. Определите
поверхностную плотность о заряда на плоскости. Ответ: о -
= 1,77 мкКл/м2.
3.30Л Две параллельные пластины площадью S = 50 см2 каж-
дая, находящиеся в воздухе, заряжены разноименными зарядами
Q = ±40 нКл. Определите работу А, которую следует совершить,
чтобы раздвинуть пластины на расстояние I = 10 см. Ответ:
А = 1,81 мДж.
3.31. В однородном электростатическом поле напряженностью
Е = 500 В/м переместили заряд Q - --10 нКл в направлении линий
напряженности на расстояние I = 5 см. Определите работу А сил
поля и изменение потенциальной энергии ДТУП заряда. Ответ:
А = 0,25 мкДж; - 0,25 мкДж.
3.32. Точечный заряд Q = 10 нКл перемещается в однородном
электростатическом поле напряженностью Е = 1 кВ/м на расстоя-
ние I - 40 см под углом а = 60е к линиям напряженности поля.
Определите работу А сил электростатического поля и изменение
потенциальной энергии AWn заряда. Ответ: А = 2 мкДж; АЖП =
- -2 мкДж.
3.33. Потенциал <pi заряженного шара радиусом R~ 30 см равен
60 В. Определите потенциал <р2 электростатического поля, созда-
ваемого этим шаром в вакууме в точке на расстоянии I радиуса
шара от его поверхности. Ответ: <р2 = 25 В.
3.34. Точечный заряд Q = 5 нКл в некоторой точке поля,
создаваемого зарядом, обладает потенциальной энергий 1УП =
= 15 мкДж. Определите потенциал ср этой точки поля и расстоя-
ние г от этой точки до заряда. Ответ: ф = 3 кВ; г = 1,5 см.
3.35, Определите потенциал (р электростатического поля в точ-
ке, расположенной на одинаковом расстоянии от зарядов +Q
и Ответ: <р = 0.
3.36. Потенциальная энергия Жп системы двух точечных за-
рядов Qx = 50 нКл и Q2 = 2 нКл равна 90 мкДж. Определите рас-
стояние г между этими зарядами. Ответ: г - 1 см.
3,37. Электростатическое поле создается точечным зарядом
Q - 20 нКл. Определите работу А, совершаемую силами этого
146
поля при перемещении заряда Q1 =10 нКл из точки с потенциалом
= 500 В в точку с потенциалом ф2 = 200 В, и расстояние между
этими точками. Ответ: А = 3 мкДж; г2 - = 54 см.
3.38. Электростатическое поле в среде с диэлектрической
проницаемостью е = 2,2 создается точечным зарядом Q = 2 нКл.
Определите разность потенциалов <р! - ф3 между двумя точками,
расположенными от заряда на расстояниях = 5 см и г2 = 20 см,
и работу А, совершаемую силами электростатического поля при
перемещении между этими точками заряда = 1 нКл. Ответ:
<pi - (р2 = 123 В; А = 0,123 мкДж.
3.39. Два точечных одноименных заряда находятся в вакууме
на расстоянии = 40 см. Для сближения зарядов до расстояния
г2 = 10 см затратили работу А - 2,03 мкДж. Определите заряд Q2,
если Q] - 2 нКл. Ответ: Q2 = 15 нКл.
3.40. Какую разность потенциалов ф| - ф2 должен пройти про-
тон, чтобы его скорость увеличилась от = 1 Мм/с до v2 - 5 Мм/с?
Заряд протона Q = 1,6 -10“19 Кл, масса тр = 1,67* 10-27 кг. Ответ:
<Pi. ’ <Р2 " 125 кВ.
3,41. Электрон летит между двумя точками с разностью по-
тенциалов (pi - ф2 = 200 В. Определите скорость электрона v2
в конечной точке, если в начальной точке скорость = 0. От-
вет: v2 = 8,38 Мм/с.
3.42. В пространстве между двумя горизонтально расположен-
ными пластинами (расстояние между ними d = 3 см), заряженны-
ми до разности потенциалов U = 5 кВ. взвешена пылинка, масса
которой т = IO"10 кг. Определите заряд Q пылинки. Ответ: Q -
= 5,89* 10”15 Кл.
3.43. В пространстве между двумя горизонтально расположенны-
ми пластинами (d = 10 мм), заряженными до разности потенциалов
(7=1 кВ, взвешена капелька масла. Определите радиус г капельки
масла, если плотность масла р = 0,96 г/см3, а заряд капельки Q
равен двум элементарным зарядам е. Ответ: г - 0,201 мкм.
3.44. Металлическая сферическая поверхность радиусом г -
= 20 см заряжена равномерно с поверхностной плотностью о =
= 5 нКл/м2. Определите напряженность Eq и потенциал <р0 электро-
статического поля в центре сферы. Ответ: Eq = 0; ср0 = 113 В.
3.45. Сплошная металлическая сфера радиусом R = 10 см не-
сет равномерно распределенный заряд с поверхностной плотно-
стью о=1 нКл/м2. Определите напряженность Е и потенциал ф
электростатического поля: 1) в центре сферы; 2) на расстоянии
Г! = 15 см от центра сферы. Ответ: 1) Eq = 0; <р0 - 11,3 В; 2) Et -
= 50,3 В/м, ф! = 7,53 В.
147
3.46. Определите радиус R шара, который обладал бы в ва*.
кууме электроемкостью С = 1 Ф. Сравните его с радиусом Земли
(К3 = 6,37 -106 м). Ответ: R = 9 * 109 м; R/R3 =1410.
3,47. Определите диаметр d шарика, находящегося в вакууме,
если его потенциал <р = 500 В, а поверхностная плотность заряда
о = 8,85 нКл/м2. Ответ: d = 1 см.
3.48. Определите, во сколько раз изменится электроемкость
С2/Сг проводящего шара, если вначале он был помещен в транс-
форматорное масло (8i = 2,2), а затем — в глицерин (е2 - 56).
Ответ: в 25,5 раза.
3.49. * Металлический шарик радиусом Rx = 5 см несет заряд
Q = 6 нКл. Шарик привели в соприкосновение с незаряженным
металлическим шариком радиусом R2 = 10 см. Определите за-
ряды Qi и Q2 на шариках после их соприкосновения. Ответ:
Qi-2 нКл; = 4 нКл.
3.50. * Два металлических шарика, радиусы которых соот-
ветственно равны - 1 см и - 2 см, соединены проводником,
электроемкостью которого можно пренебречь. Шарам сообщен
заряд Q -2 нКл. Определите поверхностную плотность о зарядов
на шарах. Ответ: - 53,ЫО"8 Кл/м2; о2 = 26,5 - 10 s Кл/м2.
3.51. Электроемкость плоского конденсатора С - 10 пФ.
Определите расстояние d между его пластинами, если площадь
пластин 8 = 200 см2, а пространство между пластинами заполнено
парафином (е = 2). Ответ: d = 3,54 см.
3.52. Определите, во сколько раз изменится электроемкость
конденсатора, если расстояние между его пластинами увеличить
в п = 3 раза, а площадь пластин увеличить в т = 6 раз. Ответ:
увеличится в 3 раза.
3.53. Определите расстояние d между пластинами плоского кон-
денсатора, если между ними приложена разность потенциалов U =
= 500 В, причем площадь каждой пластины S = 50 см2, ее заряд Q =
= 5 нКл. Диэлектриком служит эбонит (е = 3). Ответ: d = 1,33 см.
3.54. Электроемкость одного конденсатора = 1,5 мкФ, второ-
го — С2 = 6 мкФ. Сравните напряжения и 172, которые следует
подавать на эти конденсаторы, чтобы они накопили одинаковые
заряды. Ответ: Ui/U2 = 4.
3.55. Электроемкость одного конденсатора Сх - 1,5 мкФ,
второго — С2 = 6 мкФ. Сравните заряды и Q2, накопленные
на обкладках этих конденсаторов, если на них подается одина-
ковое напряжение. Ответ: Qi/Q2 =1/4.
3.56. Пространство между пластинами плоского конденсатора
заполнено слоем эбонита (е = 3). Расстояние между пластинами
I 148
d = 7 мм, разность потенциалов U - 1 кВ. Определите поверхност-
ную плотность о зарядов на обкладках конденсатора. Ответ:
о = 3,79 мкКл/м2.
3.57. Между пластинами плоского конденсатора площадью
S = 50 см2, заряженного до разности потенциалов U ~ 500 В, на-
ходится слой фарфора (е = 5). Определите поверхностную плот-
ность и заряда на обкладках конденсатора и его электроемкость С,
если напряженность поля в конденсаторе Е = 400 В/см. Ответ:
о - 1,77 мкКл/м2; С = 17,7 пФ.
3.58» К пластинам плоского воздушного конденсатора с рас-
стоянием между ними d = 3 мм и площадью S = 100 см2 прило-
жена разность потенциалов Ui = 0,7 кВ. В пространство между
пластинами конденсатора при включенном источнике питания
внесли стекло (е2 = 7). Определите разность потенциалов U2 между
пластинами после внесения диэлектрика; электроемкости кон-
денсаторов Ci и С2 до и после внесения диэлектрика. Ответ:
U2 = 700 В; Сх = 29,5 пФ; С2 = 207 пФ.
3.59. К пластинам плоского воздушного конденсатора с рас-
стоянием между пластинами d - 3 мм и площадью S - 100 см2
приложена разность потенциалов - 0,7 кВ. После отключения
конденсатора от источника напряжения в пространство между
пластинами внесли стекло (е2 = 7). Определите разность потенциа-
лов U2 между пластинами после внесения диэлектрика; электро-
емкости конденсаторов и С2 до и после внесения диэлектрика.
Ответ: U2 = 100 В; Сг = 29,5 пФ; С2 = 207 пФ.
3.60. К пластинкам плоского воздушного конденсатора при-
ложена разность потенциалов = 1 кВ. Площадь пластин S -
- 50 см2 и расстояние между ними d = 3 мм. После отключения
конденсатора от источника напряжения в пространство между
пластинами внесли парафин (е2 = 2). Определите разность по-
тенциалов U2 между пластинами после внесения диэлектрика;
емкость конденсаторов С1Т С2 до и после внесения диэлектрика;
поверхностную плотность зарядов о1? о2 на пластинах до и после
внесения диэлектрика. Ответ: U2 ~ 500 В; = 14,8 пФ; С2 ~
= 29,6 пФ; = а2 = 2,96 мкКл/м2.
3.61. Три одинаковых плоских конденсатора (площадь пластин
каждого S = 200 см2), между обкладками которых находится фар-
фор (е = 5), соединены последовательно. Определите толщину d
парафина, если электроемкость Сб батареи конденсаторов равна
120 пФ. Ответ: d = 2,46 мм.
3.62. Заряд Q каждой обкладки двух последовательно за-
ряженных конденсаторов, электроемкость которых = 20 пФ
149
Сз
Рис, 71
С2 С4
Рис. 72
и С2 ~ 40 пФ, равен 10 нКл. Определите напряжения иг и U
на каждом из конденсаторов; напряжение U на батарее кондее
саторов. Ответ: С7Т = 500 В, С72 = 250 В; U - 750 В. ;
3.63. Электроемкость батареи конденсаторов С = 80 пФ, а за
ряд Q = 10 нКл. Батарея состоит из двух последовательно соедИ)
ненных конденсаторов, электроемкость каждого из которых ч
= 100 пФ. Определите электроемкость С2 второго конденсатора
разность потенциалов и U2 на обкладках каждого конденса!
тора. Ответ: С2 = 400 пФ; = 100 В, U2 = 25 В. J
3.64. Плоский воздушный конденсатор, заряженный и затей
отключенный от источника напряжения UA = 400 В, соединил®
параллельно с одинаковым по размерам и форме незаряженныэ
конденсатором, между пластинами которого находится дич
электрик. Определите диэлектрическую проницаемость s этог^
диэлектрика, если после соединения конденсаторов разности
потенциалов уменьшилась до U - 100 В. Ответ: е - 3. э
3.65. Три конденсатора, электроемкость которых Ci = 1 мкФ
и С2 = С3 = 2 мкФ (рис. 71), подключены к источнику постоян-
ного напряжения U = 150 В. Определите общий заряд Q батареи
конденсаторов; заряды Qx, Q2 и Фз на отдельных конденсаторах;]
разность потенциалов С/р U2 и на отдельных конденсаторах*;
Ответ: Q = 120 мкКл; = 120 мкКл; Q2 - Q3 “ 60 мкКл; U±
= 120 В, U2 - Е73 = 30 В. ?
3.66. Определите электроемкость С батареи конденсаторов
(рис. 72), состоящей из четырех конденсаторов электроемкостью ‘
Сх = 1 мкФ, С2 - 2 мкФ, С3 = 3 мкФ и С4 = 4 мкФ. Ответ: С
= 2,18 мкФ.
3.67. * Конденсаторы электроемкостью С каждый соединены^
так, как показано на рис. 73. Определите электроемкость Собщ
этого соединения конденсаторов. Ответ: Собщ = 2С.
3.68. * В каждое ребро куба, изготовленного из проволоки, вклю-
чено по одному конденсатору электроемкостью С каждый (рис. 74),
Определите электроемкость этой батареи конденсаторов, если она
включается в цепь проводниками, подсоединенными к противопо-
I 150
ложным концам (А и В) диагонали
куба* Ответ: Собщ = 1,2С.
3.69* Определите потенциал ф заря-
женного проводящего шара радиусом
г = 10 см, если он обладает энергией
И7 - 5 мкДж. Ответ: (р = 948 В,
3.70. Определите разность по-
тенциалов Дер между обкладками
конденсатора, если при сообщении
обкладкам конденсатора заряда Q -
Рис. 74
10 мкКл его энергия W = 0,01 Дж. Ответ: Аф - 2 кВ.
3.71. Плоский воздушный конденсатор (£х = 1) после зарядки
отключили от источника напряжения и поместили в трансфор-
маторное масло (е2 = 2,2). Как изменится энергия W2/Wlf нако-
пленная в конденсаторе? Ответ: W2/Wi = 2,2.
3.72. Пространство между пластинами плоского конденсатора
заполнено диэлектриком толщиной d = 1,5 см и диэлектрической
проницаемостью £ - 5. Определите объемную плотность энергии w
поля конденсатора, если он заряжен до разности потенциалов
U - 1,5 кВ. Ответ: и> ~ 0,221 Дж/м3.
3.73. Пространство между круглыми пластинами (радиус ко-
торых г = 2 см) плоского конденсатора заполнено диэлектриком
(i: = 3) толщиной d - 1,5 мм. Конденсатор заряжен до напряжения
U = 1 кВ. Определите электроемкость С конденсатора, заряд Q
на пластинах, энергию W электростатического поля и объемную
плотность энергии и> поля конденсатора. Ответ: С = 22,2 пФ;
Q = 22,2 нКл; W = 11,1 мкДж; tv = 5,89 Дж/м3.
3.74. Определите объемную плотность энергии w электростатиче-
ского поля внутри плоского конденсатора, полностью погруженного
в трансформаторное масло (s - 2,2), если напряженность поля между
пластинами конденсатора Е = 106 В/м. Ответ: w - = 9,74 Дж/м3.
3*75. Обкладками плоского воздушного конденсатора служат
круглые пластины радиусом г = 10 см, расстояние между кото-
рыми d = 10 см. Определите энергию W и объемную плотность
энергии w поля конденсатора, если напряженность электроста-
тического поля между обкладками Е = 1 кВ/см. Ответ: W =
139 мкДж; и> = 44,3 мДж/м3.
3.76. Плоский воздушный конденсатор электроемкостью
Ci = 1 пФ подключен к источнику ЭДС & = 500 В. Отключив
конденсатор от источника ЭДС, расстояние между пластинами
конденсатора увеличили в п - 3 раза. Определите работу внешних
сил по раздвижению пластин. Ответ: А = 250 нДж.
Глава 11
Постоянный ток
Основные законы и формулы
* Сила тока
/=dQ }
dt ’ i
Сила постоянного тока
t
Плотность тока в проводнике
/ = £. J = ne(p> ’
О
[S — площадь поперечного сечения проводника; (о) — средняя
скорость упорядоченного движения зарядов в проводнике; п —
концентрация зарядов]. ;
Электродвижущая сила, действующая в цепи,
А
i
Qo
[Аст — работа сторонних сил; Qo — единичный положительный
заряд]. >
Напряжение на участке 1 — 2 цепи
&12 - 91 “ 92 + ^12 ]
[((pi - ср2) — разность потенциалов между точками цепи; <^12 — ;
ЭДС, действующая на участке 1 — 2 цепи]. 1
Сопротивление R однородного линейного проводника, прово-
димость G проводника и удельная электрическая проводимость у
вещества проводника:
[р — удельное электрическое сопротивление; S — площадь по-
перечного сечения проводника; I — его длина].
I 152
Сопротивление проводников:
— при последовательном соединении
1=1
— при параллельном соединении
R
[7?! — сопротивление i-ro проводника; п — число проводни-
ков],
Зависимость удельного сопротивления р материала прово-
дника от его температуры
р = Ро(1 + at)
[а — температурный коэффициент сопротивления].
Таблица 11.1. Последовательное и параллельное соединения проводников
Соединение
Схема последовательное параллельное
Д2 1 1 । । -о- Ri 1 1
Сохраняющаяся величина 1 = Д =12 = ... = const и = = Щ = .. = const = ип =
Суммируемые величины и = + и2 + . . + Un 1 = 1т + 1% + *<
Результирующее сопротивление 7? = + * - + 1=J_+_L+, 7? /?£
Закон Ома:
— для однородного участка цепи
153
1
i
i
— для неоднородного участка цепи
г _ Ф1 ~Ф2 + ^12 .
Л
— для замкнутой цепи
[(7 — напряжение на участке цепи; R — сопротивление цепи
(участка цепи); ((рх - (р2) — разность потенциалов на концах
участка цепи; ^12 — ЭДС источников тока, входящих в участок;
— ЭДС всех источников тока цепи].
Работа тока за время t
A = IUt = I2Rt = y~t.
R
Мощность тока
P = UI = I2R = ~.
R
Закон Джоуля — Ленца
Q = pRt = IUt
[Q — количество теплоты, выделяющейся в участке цепи за вре-
мя t при прохождении тока].
Правила Кирхгофа
+ /й-^2 + *•’ + ЦЪ = ^1 + ^2 +
Л + Л + + Л = о.
Примеры решения задач
а По проводнику, изготовленному из алюминия (р = 2,7 г/см3;
М - 27 * 10”3 кг/моль) сечением 8-0,4 мм2, течет ток I = 0,5 А.
Определите среднюю скорость (и) упорядоченного (направленного)
движения электронов, считая, что число свободных электронов п
в единице объема проводника равно числу атомов п' в единице
объема проводника.
Дано: р = 2,7 г/см3 = 2,7 10-3 кг/м3; М = 27 10-3 кг/моль; S =
= 0,4 мм2 = 0,4 10 6 м2; I - 0,5 А; п = н\
Найти: (и).
Решение. Плотность тока в проводнике
7 = ne(v^ (1)
154
где (t>) — средняя скорость упорядоченного движения электронов
в проводнике; п — концентрация электронов (число электронов
в единице объема); е = 1,6-10"19 Кл — заряд электрона.
Согласно условию задачи,
N v^A
V V
т лг
V м
(2)
(учли, что N = vTVA - —NA, гДе m — масса проводника; М — его
М
молярная масса; ЛГА = 6,02-1023 моль-1 — постоянная Авогадро;
р — — — плотность алюминия).
j
Учитывая формулу (2) и формулу / = —, выражение (1) можно
записать в виде
откуда искомая скорость упорядоченного движения электронов
f, v, ___А-кг/моль________ А м __ А-м _ ,
кг/м3 * моль1 ‘Кл-м2 Кл А’С М
Ответ: (и) = 1,3-10"4 м/с.
□ Определите общее сопротивление R между точками А и В
цепи проводников в виде шестиугольника (рис. 75). Сопротив-
ление каждой проволоки г = 2,5 Ом.
Дано: г = 2,5 Ом.
Найти: В.
Решение. В силу симметрии токи, текущие по сопротивлени-
ям 8, 9,11 и 12, одинаковы. Поэтому ток через узел О равен нулю.
Тогда схема, представленная на рис. 76, является эквивалентной
2
5
Рис. 75
155
той, которая задана в виде шестиугольника. Сопротивления 8 и Э
соединены последовательно между собой и параллельно с сопрей
тивлением 2. Тогда
р 2
Эквивалентное сопротивление соединено последовательно
с сопротивлениями 1 и 2, поэтому
„28 1
- --г + г + г = —г.
1 3 3 t
Из схемы следует, что эквивалентное сопротивление
равно т.е.
о _8Г
Сопротивления R^g* 7 и 10 соединены параллельно
поэтому
1 = —L_+_L_+l+l.
R R^3 r r
Подставив значения 7?i >3, получим
Х=А+з_+1+1=А,
R 8r 8r r r 4r
откуда искомое общее сопротивление
Ответ: R-2 Ом.
Q В цепь, состоящую из источника ЭДС и резистора сопро-
тивлением R - 100 Ом, включают вольтметр сначала параллельно,
а затем последовательно резистору, причем показания вольтметра
одинаковы. Определите внутреннее сопротивление г источника
ЭДС, если сопротивление вольтметра Ry = 500 Ом.
Дано: R = 100 Ом; Rv = 500 Ом; UY = U2.
Найти: г.
Решение, Согласно условию задачи, вольтметр один раз
подключают к резистору параллельно (рис. 77, а), второй — по-
следовательно (рис. 77, б), причем показания вольтметра оди-
наковы.
156
Силу тока найдем согласно закону Ома для
замкнутой цепи:
— при параллельном соединении
I - г •
1 RRV
7-—~+г
R + Ry
— при последовательном соединении
I
R + Ry + г
где % — ЭДС источника.
Падение напряжения на вольтметре:
— при параллельном соединении
Рис. 77
у &__________RRy
1 RRV irR + Rv 1
R + Ry
RR
(---E.... — сопротивление параллельно соединенных вольтметра
R + Rv
и резистора);
— при последовательном соединении
г/2 =
—-------Ry.
R + Rv + г
(2)
Приравняв выражения (1) и (2), согласно условию U1 = U2,
получим
RRV __ Ry
f RRV Y n + R \ &+ + r
или
R 1
RRy + Rr + Ry г 2? + Rv + г
откуда находим искомое внутреннее сопротивление
Ответ: г - 20 Ом.
П В приведенной на рис. 78 электрической схеме моста Уит-
стона заданы сопротивления 7?3, Т?4, электродвижущая сила
источника тока и его внутреннее сопротивление г. Определите
157
Рис. 78
сопротивление если известно, что ток
в цепи гальванометра G отсутствует (IG - 0).
Сопротивление гальванометра равно 7?<?.
Дано: R2, R^ г,
Найти:
Решение. Выберем направление токов
в различных ветвях контура и направле-
ние обхода, как показано на рис» 78. Для
узлов А, В и С, применяя первое правило
Кирхгофа, получим
Л-Л-14=0,
</2+/3-Л=0, (1)
Для контуров ACBDA, ACDA и CBDC, согласно второму пра-
вилу Кирхгофа, можно записать
Irr +4- I2R2 =
« I\Ri + I^Rg ~ 74R4 = 0,
I2R3 “ ^gRg =
(2)
По условию задачи IG ~ 0 (ток в цепи гальванометра отсут-
ствует), поэтому из системы уравнений (1) найдем:
Ii = 12 и /3 = 14, (3)
а из системы (2) получим
= I4R4i I2R2 = Л*з* ( 4)
Из равенств (3) и (4) вытекает, что
__ В>2
R4
откуда искомое сопротивление
п‘-^Г
Таким образом, в случае равновесного моста (IG = 0) при
определении искомого сопротивления ЭДС батареи, сопро-
тивления батареи и гальванометра роли не играют.
Ответ: Ry = .
R^
158
Q Определите мощность Рг тока во внешней цепи при силе
тока = 2 А, если при силе тока 12 = 3 А мощность Р2 = 6 Вт,
а внутреннее сопротивление г равно 0,5 Ом.
Дано*. Л = 2 А; 12 = 3 А; Р2 = 6 Вт; г = 0,5 Ом,
Найти: Рр
Решение. Мощности, развиваемые токами и /2> соответ-
ственно равны
Рг = 1^ P2 = I2R2,
где /?х и R2 — сопротивления резисторов внешней цепи.
Согласно закону Ома,
(1)
11 R1+ri
где — ЭДС источника. Тогда
Г - 1Д
Iz R2+r’
(2)
или
Решив это уравнение относительно г, получим
(3)
Из уравнений (1) найдем
i2R2=^
12
Подставив эти выражения в формулу (3), вычислим внутрен-
нее сопротивление
г_ргщ-р2112
откуда искомая мощность тока
В
[Р11=А Ом-А + — =Ом А2+Вт = Ом'А -^~+Вт = А В+Вт-Вт+Вт.
L 1J А Пм
Ом
Ответ: РТ - 5 Вт.
159 I
11 Сопротивление второго проводника в четыре раза боль*!
ше, чем сопротивление первого Их сначала включают в цепв
последовательно, азатем — параллельно. Определите отношений
количеств теплоты, выделившейся в этих проводниках, для обо^
их случаев.
Дано: R2 = 47^; 1) последовательно; 2) параллельно.
Наити:
Qs ;
Решение. 1) При последовательном соединении проводников
I = const. Согласно закону Джоуля — Ленца, количество теплоты *
выделившейся в первом и втором проводниках,
(1>
/11 гС2
где t — время прохождения тока через проводники; и J72 —;
соответственно разность потенциалов между концами первого'
И ВТОРОГО ПРОВОДНИКОВ. 7т о
тт г т kJ 1 -fTi ,
Учитывая, что 7\ = т.е. о = о ’ или 7т = о ’ формул
(1) найдем отношение 12 22 j
Q, U%R2 RfR2 = Дд
Q2 ~ UIRX ~ R2RV ~ R2 ’
Qi _ Д1 (
Qa Ti2
2) При параллельном соединении проводников U = const. 1
Из формул (1) получаем отношение :
Qa Ъ
Ответ: 1) = 0,25; 2) = 4.
q2 q2
Задачи для самостоятельного решения
3.77. Какова будет плотность тока у, если за время t - 5 с через
проводник сечением S = 2 мм2 пройдет ;V - 5-1019 электронов?
Ответ: j = 8 105 А/м2.
3.78. Определите число А электронов, проходящих через по-
перечное сечение проводника за 1 с, если по нему течет постоян-
ный ток I = 1,6 А. Ответ: N = 1019.
3.79. Принимая, что на каждый атом серебра приходится один
электрон, определите концентрацию электронов проводимости
I 160
в серебре. Плотность серебра р = 10,5 г/см3, его молярная масса
М = 108 Л О”3 кг/моль. Ответ: п -5,85 • 1028 м-3.
3.80. По проводнику сечением S - 30 мм2 течет постоянный
ток. Определите силу I и плотность ] тока в этом проводнике,
если средняя скорость упорядоченного движения зарядов в нем
(и) = 0,21 мм/с, а их концентрация п = 7,29 • 1О27 м3. Ответ: I =
= 7,35 А; у = 2,45 Ю4 М/м2.
3.81. Определите силу тока 7, создаваемую электроном, вра-
щающимся вокруг ядра атома водорода, если радиус орбиты г =
= 52,8 пм. Ответ: I - 33,4 мкА.
3.82. Определите плотность тока j в медном проводнике длиной
I = 12 м, если он находится под напряжением U = 6 В. Удельное
сопротивление меди р - 17 нОм м. Ответ: у = 29,4 МА/м2.
3.83. Определите работу сторонних сил Аст за время t = 5 мин
источника с ЭДС 6 В, если сила тока I в приборе, подключен-
ном к источнику, равна 1 А. Ответ: АСТ =1,8 кДж.
3.84. Определите падение напряжения U на проводнике со-
противлением К = 1,5 Ом, если за время t = 1 мин по проводнику
прошел заряд Q = 80 Кл. Ответ: 17 = 2 В.
3.85. Гальванический элемент с ЭДС ?= 1,2 В и внутренним
сопротивлением г = 0,5 Ом замкнут на внешнее сопротивление
R = 2,5 Ом. Определите силу тока I в цепи, падение напряже-
ния Z71 во внутренней части цепи, напряжение U2 на зажимах
элемента. Ответ: I - 0,4 A; - 0,2 В; U2 = 1 В.
3.86. При подключении электрического прибора к источнику
с ЭДС ?= 12 В и внутренним сопротивлением г - 1 Ом напря-
жение на клеммах источника U = 10 В. Определите силу тока I
в цепи, работу сторонних сил Аст источника за время t = 2,5 мин,
работу А во внешней цепи за то же время. Ответ: I = 2 А; Аст =
= 3,6 кДж; А = 3 кДж.
3.87. ЭДС аккумулятора ?= 24 В. Определите внутреннее со-
противление г аккумулятора, если при силе тока I - 4 А его КПД
Л = 0,7. Ответ: г = 1,8 Ом.
3.88. Определите внутреннее сопротивление г и ЭДС 8" батареи
аккумуляторов, если при внешнем сопротивлении = 16 Ом ампер-
метр показал силу тока в цепи Ц - 1 А, а при внешнем сопротивле-
нии R2 ~ 8 Ом — силу тока 12 - 1,8 А. Ответ: г = 2 А; ^ = 18 В.
3.89. Определите удельное сопротивление р алюминия, если
сопротивление R алюминиевой проволоки диаметром d = 0,2 мм
и длиной I = 1,5 м равно 1,24 Ом. Ответ: р = 26 нОм -м.
3.90. Определите сопротивление R алюминиевой проволоки
массой т = 1,5 кг и площадью поперечного сечения S = 0,15 мм2.
1611
Плотность алюминия р0 = 2,7 г/см3, его удельное сопротивление
г - 26 нОм м. Ответ: Л = 642 Ом.
3.91. Электролампа с вольфрамовой нитью длиной Z = 5 см при
температуре t = 2 400сС обладает сопротивлением R = 170 Ом.
Определите диаметр d нити, если удельное сопротивление воль-
фрама ро = 53 нОмм, его температурный коэффициент сопро-
тивления а = 0,005 °C-1. Ответ: d = 0,7 мкм.
3.92. Определите плотность тока; в медном проводнике длиной
I = 10 м при температуре t = 27 °C, если напряжение на концах
проводника U - 110 В. Удельное сопротивление меди при 0°С
равно 15,8 нОм-м; температурный коэффициент сопротивления
а - —К'1. Ответ: j = 6,34 А/м2.
3.93. * Определите общее сопротивление R цепи, приведенной
на рис. 79, если все сопротивления одинаковы и равны г. От-
вет: R = —r.
12
3.94. Сопротивление однородной проволоки R = 144 Ом* Опре-
делите, на сколько равных частей следует разрезать проволоку,
чтобы после их параллельного соединения общее сопротивле-
ние 7?! оказалось равным 4 Ом. Ответ: N = 6.
3.95. * Напряжение U между точками А и В цепи (рис. 80)
равно 220 В. Определите силу тока I в каждом из резисторов,
если сопротивление R всех резисторов одинаково и равно 30 Ом.
Ответ: Д = 4 А; 12 = 1з - 2 А; 14 = Д - Д - А.
3.96. * На рис. 81 - R2 ~ 50 Ом, 7?3 - 100 Ом, С = 60 нФ.
Определите ЭДС & источника, пренебрегая его внутренним со-
противлением, если заряд на конденсаторе Q - 2,64 мкКл. От-
вет: = 220 В.
3.97. Определите ток короткого замыкания 1К З батареи из двух
аккумуляторов с ЭДС Й?1 = 12ВиЙ^ = ®в (рис. 82), если их вну-
тренние сопротивления г\ = 2 Ом и г2 - 1 Ом. Ответ: /к 3 = 2 А.
Рис. 79 Рис. 80
I 162
Рис. 81
Рис. 82
Рис. 83
Рис. 84
3.98. Определите внутреннее сопротивление гб и ЭДС ё7батареи,
состоящей из трех источников (рис. 83), если ЭДС источников
- 6 В, - 10 В и - 8 В, а их внутренние сопротивления
одинаковы и равны г = 0,2 Ом. Ответ: гб = 0,3 Ом; & =10 В.
3.99. Определите сопротивление внешней цепи К, при котором
сила тока в ней будет одинакова при параллельном и последова-
тельном соединениях п одинаковых источников ЭДС в батарею,
если внутренние сопротивления источников одинаковы и рав-
ны г. Ответ: R - г.
3.100. Батарея из п источников с одинаковыми ЭДС & и вну-
тренними сопротивлениями г подключается к резистору со-
противлением Определите напряжение U на внешней части
цепи: 1) при последовательном соединении источников ЭДС;
2) при параллельном соединении источников ЭДС. Ответ:
1 R + nr 1
n
3.101. Два источника, ЭДС которых ^’2 - 4 В, соеди-
нены, как показано на рис. 84. Внешнее сопротивление R - 1 Ом
а внутренние сопротивления источников = г2 = г - 0,5 Ом.
Определите силы токов, протекающих через внешнее сопротив-
ление (7К) и источники (It, 12)* Ответ: = 2,4 А; = -0,8 А;
3,2 А.
3.102. Два источника с ЭДС - 5 В и/2 -- 3 Ви внутренними
сопротивлениями = 1 Ом и г2 = 0,5 Ом включены параллельно
резистору сопротивлением R = 3 Ом. Определите силу тока I через
это сопротивление. Ответ: I — 1,1 А.
3.103* На рис. 85 = 10 В, Г2 = 20 В, 1Г3 - 40 В,
а сопротивления ЛД = - R3 Р -10 Ом. Опреде-
лите силы токов, протекающих через сопротив-
ления (/) и через источники ЭДС (Г)- Внутренние
сопротивления источников ЭДС не учитывать.
Ответ: Ц = 1 А; /2 = 3 А; - 2 A; - 2 А; Г2 - 0;
Д-ЗА.
Рис. 85
163 I
3.104. К концам проводника сопротивлением R = 6 Ом при-
ложено напряжение U - 12 В. Определите за время t - 0,5 мин
заряд Q, прошедший по проводнику, и работу А тока. Ответ:
Q = 60 Кл; А = 720 Дж.
3-105.* Определите расстояние L, на которое можно передавать
электрическую энергию от источника ЭДС - 10 кВ с помощью
алюминиевых проводов, сечение которых S - 1 мм2, чтобы на на-
грузке сопротивлением 7? - 2 кОм выделялась мощность Р - 10 кВт.
Внутренним сопротивлением источника пренебречь. Удельное
сопротивление алюминия р = 26 нОмм. Ответ: L - 43,7 км.
3.106. Два цилиндрических проводника из меди и нихрома
одинаковой длины и одинакового сечения соединены один раз
последовательно, другой — параллельно. Определите отношение
мощностей для этих проводников при указанных соединениях,
если удельное сопротивление меди = 17 нОм-м, нихрома р2 =
= 1 мкОм-м. Ответ: Р\/Р2 = 0,017; Pi/P2 = 58,8.
3*107. Определите КПД ц электродвигателя подъемного кра-
на, работающего под напряжением U = 380 В, если груз массой
т - 1,5 т кран поднимает равномерно на высоту h = 20 м за время
t = 1 мин. Сила тока в обмотке электродвигателя I - 20 А. От-
вет: р - 0,646.
3.108. Источник ЭДС = 220 В) с внутренним сопротивле-
нием г = 2 Ом замкнут на внешнее сопротивление R = 300 Ом.
Определите полную Р и полезную Рлол мощности источника ЭДС.
Ответ: Р 160 Вт; Рпол - 159 Вт.
3.109* Определите внутреннее сопротивление г источника
тока, если во внешней цепи при силе тока I, = 2 А развивается
мощность тока Рг = 8 Вт, а при силе тока /2 = 3 А — мощность
Р2 ~ 9 Вт. Ответ: г = 1 Ом.
3*110. В электрическом чайнике мощностью Р = 2 кВт нагревают
воду массой т - 1,8 кг от начальной температуры t = 20 °C до кипе-
ния. Определите время t, за которое закипит вода, если КПД чай-
ника т| = 0,7, а удельная теплоемкость воды с = 4,19 кДж/(кг К).
Какова сила тока 7, протекающего по спирали, если напряжение
U - 220 В? Ответ: t = 431 с; 7 - 9,09 А.
3.111. Определите длину I нихромовой проволоки сечением
S - 0,1 мм2, необходимую для изготовления нагревателя, с по-
мощью которого можно за t = 4 мин вскипятить воду массой
т = 1,6 кг, взятую при температуре t = 20 °C* Напряжение в сети
U - 220 В, КПД нагревателя ц = 0,85, удельное сопротивление
нихрома р - 1 мкОм • м (р считать постоянным), удельная тепло-
емкость воды с = 4,19 кДж/(кг-К). Ответ: I = 2,55 м.
I 164
3.112. Определите внутреннее сопротивление г батареи акку-
муляторов, если при ее поочередном замыкании на резисторы
сопротивлениями Rv и Т?2 выделяется одинаковое количество
теплоты. Ответ: r~^R1R2 -
3.113. Электрический чайник содержит две обмотки. При
включении одной обмотки вода в чайнике закипает за время
= 2 мин, при включении второй — за t2 = 3 мин. Определите
время t, за которое закипит вода в чайнике, если обмотки соеди-
нить: 1) последовательно; 2) параллельно. Ответа 1) t3 - 5 мин;
2) t4 = 1,2 мин.
Глава 12
Электрический ток в различных средах
Основные законы и формулы
Термоэлектродвижущая сила (термоЭДС) контактов, под-
держиваемых при температурах и Т2,
= а(Г2 - 7\)
[а — коэффициент термоЭДС, для большинства металлов со-
ставляющий 10’5—10“4 В/К].
Первый закон электролиза (первый закон Фарадея)
пг = kQ или т = kit
[т — масса вещества, выделившегося на электроде; k — электро-
химический эквивалент вещества; Q — заряд, прошедший сквозь
электролит; I — сила тока; t — время пропускания тока через
электролит].
Второй закон электролиза (второй закон Фарадея)
, 1 М 1 М
н = т;--~----
NAe п F п
[& — электрохимический эквивалент вещества; F = NAe — по-
стоянная Фарадея (Л'Л — постоянная Авогадро; е — элемен-
тарный электрический заряд); М/п — химический эквивалент
вещества (М — молярная масса данного вещества; п — его
валентность)].
Примеры решения задач
Ц Работа выхода электрона из металла А = 2,2 эВ, Определите
скорость v вылетающего электрона, если он обладает энергией
Е = 1,5 1018 Дж.
Дано-. А = 2,2 эВ - 2,2 1,6• 10'19 Дж; Е = 1,5• 10"18 Дж; т =
= 9,1110“31 кг.
Найти: и.
166
Решение. Энергия вылетающего из металла электрона
^ = Е-А,
2
откуда искомая скорость
„ = \2(Е-А)
N т
(т — масса электрона).
ы = /Дж = = /кГ:мс2)-м = М/С
L J V кг V кг V кг
Ответ: и - 1,59 Мм/с.
Q Термоэлемент (датчик температур, состоящий из двух
соединенных между собой разнородных металлических прово-
дников) сопротивлением R = 20 Ом замкнут на микроамперметр,
внутреннее сопротивление которого г = 400 Ом. Определите по-
стоянную термоэлемента, если при разности температур его спаев
150 К микроамперметр показывает значение 20 мкА.
Дано: R = 20 Ом; г = 400 Ом; ДТ = 150 К; / = 20 мкА =
= 2*10"5 А.
Найти: а.
Решение. Термоэлектродвижущая сила
= аДТ, (1)
где а — постоянная термоэлемента; АТ — разность температур
спаев.
Согласно закону Ома, сила тока в цепи термоэлемента
R + r ’
(2)
где — термоЭДС.
Подставив ^т, согласно (2), в формулу (1), найдем искомую
постоянную термоэлемента
а = —1™
ДТ
A^Qm =в/к.
Ответ: а = 5,6-10 5 В/К.
167 I
El Определите минимальную скорость t>min электрона, необхо-
димую для ионизации атома ртути, если потенциал ионизации
атома ртути Ut - 10,4 В.
Дано‘.и}f = 10,4 В; е = 1,6-10"19 Кл; т - 9,11 10"31 кг.
Найти: uluiri.
Решение, Потенциал ионизации атома — разность потенциа-
лов, которую должен пройти электрон, чтобы при ударе об атом
его ионизовать. Следовательно, минимальную скорость электро-
на, требуемую для ионизации атома, можно найти из условия
откуда искомая минимальная скорость
= l2eUi
Umi" N т
[^min
кг*м/(с2)м
----—-— - м/с.
кг
Ответ: omLn =1,91 Мм/с.
Q При электролизе медного купороса за время t = 0,5 ч вы-
делилось т - 0,2 г меди. Определите плотность тока у, если пло-
щадь S каждого электрода равна 60 см2.
Дано: t - 0,5 ч = 1 800 с; т = 0,2 г = 0,2 • 10-3 кг; S - 60 см2 -
= 60 10"4 м2.
Найти: у.
Решение, Плотность тока
j=i> (1)
о
где I — сила тока; S — площадь электрода.
Согласно первому закону электролиза, масса вещества, вы-
делившегося на электроде,
т - kit,
где k — электрохимический эквивалент вещества,
j _ тп
kt'
(2)
168
Электрохимический эквивалент вещества, согласно второму
закону электролиза,
(3)
1 М
ААе п
где постоянная Авогадро ЛГЛ - 6,02 1023 моль \ элементарный
электрический заряд е = 1,6 • 10-19 Кл, молярная масса меди М =
= 63,5 10 3 кг/моль; п - 2 (валентность меди)*
Подставив формулу (3)в(2),а затем (2) в (1), найдем искомую
плотность тока
. mNAen
MSt
г .1 _ кг - моль 1 • Кл _ Кл _ А
L J кг/(моль) м2 с м2 с м2 ’
Ответ: j = 56,2 А/м2.
□ Две электролитические ванны с растворами FeCl3 и CuSO4
соединены последовательно. После размыкания цепи в первой
ванне выделилось тп1 - 8 г железа. Определите массу меди т2,
выделившуюся во второй ванне.
Дано: - 3; ML - 55,7 • 10-3 кг/моль; т1 = 8 г = 8-10"3 кг; п2 - 2;
М2 - 63 * 10-3 кг/моль.
Найти: тп2.
Решение, Поскольку электролитические ванны соединены
последовательно, через них текут одинаковые токи, и заряд,
прошедший через каждую из ванн, также одинаков:
Qi - Q2 ~ Q-
Согласно первому и второму законам электролиза,
m-kQ и ,
NAe п
где т — масса вещества, выделившегося на электроде; k —
электрохимический эквивалент; постоянная Авогадро NА -
= 6,02 1023 моль"1; элементарный заряд электрона е - 1,6-10’19 Кл;
М — молярная масса; п — валентность. Тогда
1 1 м2г1
----LQ ити2=———
NAe пх Аас п2
169
Из этих уравнений находим искомую массу меди, выделив-
шейся во второй ванне:
Л/2^1
^2
Ответ: т2 = 13,7 г.
Задачи для самостоятельного решения
3.114* Платина и серебро приведены в контакт* Определите
контактную разность потенциалов <pPt ~ Фай между металлами,
если работа выхода электронов из металлов соответственно рав-
на: для платины 6,3 эВ, для серебра 4,7 эВ. Ответ: (pPt - (pAg =
= 1,6 В.
3.115. Определите работу выхода А электрона из цинка, если
скорость вылетающего электрона v = 8,89-10° м/с и он обладает
энергией Е = 10"18 Дж. Ответ: А = 6,4 1019 Дж = 4 эВ.
3.116. Определите потенциал ионизации Ut атома водорода,
если минимальная скорость umin электрона, необходимая для его
ионизации, составляет 2,19 Мм/с. Ответ: Vt = 13,6 В.
3.117* Определите температуру Т, при которой атомы водо-
рода имеют среднюю кинетическую энергию поступательного
движения, достаточную для ионизации. Потенциал ионизации
атома водорода Ut = 13,6 В. Ответ: Т - 1,05 105 = К.
3.118. Определите термоэлектродвижущую силу </Пг термо-
пары железо — константан, если холодный слой термопары
находится в сосуде с тающим льдом, а горячий спай - -- при тем-
пературе t2 - 200 X. Постоянную термопары а принять равной
5,3 105 В/К. Ответ: - 1,06 10 2 В.
3.119. Определите промежуток времени t, за который при
электролизе водного раствора хлорной меди СиС12 на катоде при
силе тока I - 2,5 А выделится медь массой т = 5 г. Молярная
масса меди М - 63,5 • 10"3 кг/моль. Ответ: t = 1,68 ч.
3.120. Определите, во сколько раз электрохимический эквива-
лент серебра больше электрохимического эквивалента меди. Мо-
лярные массы = 108 • 10 3 кг/моль, AfCu - 63,5 10-3 кг/моль.
Ответ: в 3,4 раза.
3*121. С помощью электролиза было добыто серебро массой
тг - 3 кг. Определите массу т2 меди, которую можно получить,
пропуская через соответствующий электролит то же количество
электричества. Молярная масса серебра Мх = 108’ 10“3 кг/моль,
меди — М2 - 63,5 10 8 кг/моль. Ответ: т2 = 0,882 кг.
I 170
3.122. Производя электролиз воды при силе тока I = 2,5 А,
за время t = 30 мин под давлением р = 120 кПа получили кис-
лород объемом V = 0,5 л. Определите температуру Т кислорода.
Ответ: Т - 309 К.
3.123. Металлическое изделие покрывают слоем никеля
(валентность никеля п = 2) при плотности тока j в электроли-
тической ванне 0,35 мА/мм2, Определите время i, за которое
толщина h слоя никеля достигнет 50 мкм. Молярная масса ни-
келя М = 58,7 -10-3 кг/моль, плотность р = 8,8 г/см3. Ответ:
t = 68,8 мин.
3.124. Определите количество электроэнергии W, которую сле-
дует затратить для выделения в процессе электролиза алюминия
массой т - 1 кг, если электролиз проводится при напряжении
U = 10 В, а КПД процесса т] = 0,7. Молярная масса алюминия М
~ 27 10 3 кг/моль, валентность п - 3. Ответ: W = 1,53 * 10"8 Дж
= 42,5 кВт ч.
3.125* * Две электролитические ванны (1 и 2) с растворами хло-
ристого железа FeCl2 и хлорного железа FeCl3 соединены после-
довательно. Определите массу железа, выделившегося на каждом
аноде, и хлора на каждом катоде при пропускании через них за-
ряда Q = 9 МКл. Молярная масса железа MFe = 55,8 • 10 3 кг/моль,
хлора МС1 - 35,5 10“3 кг/моль. Ответ: - 2,61 кг; (mFe)2 -
-1,74 кг; тпс1 = 3,32 кг.
и и
Глава 13
Магнитное поле
Основные законы и формулы
Закон Ампера
AF = IBAl sin а
[A.F — модуль силы, действующей на малый участок проводни-
ка А/ с током Д помещенного в однородное магнитное поле с ин-
дукцией В; а — угол между вектором В и элементом проводни-
ка с током].
Связь между векторами магнитной индукции в вакууме
и в однородной и изотропной среде
В = цВ0
[Во — магнитная индукция поля, создаваемого проводником
с током в вакууме; В — магнитная индукция поля, создаваемо-
го тем же проводником в однородной и изотропной среде; ц -
магнитная проницаемость среды].
Принцип суперпозиции (наложения) магнитных полей
В = В| + В% +.., + Вп
[В — магнитная индукция результирующего поля; ДД,...,
Вп — магнитные индукции складываемых полей].
Магнитная индукция поля, создаваемого бесконечно длин-
ным проводником с током I:
о 1
-В = ЦоМ-5—
2лг
[ц0 — магнитная постоянная; ц0 = 4л 10"7 Гн/м; ц — магнитная
проницаемость среды; г — расстояние от данной точки до оси
проводника].
Магнитная индукция В в центре кругового проводника
с током I
172
[|i0 — магнитная постоянная; ц — магнитная проницаемость
среды; В — радиус кольца].
Магнитная индукция поля внутри соленоида в вакууме
и среде
д NI. п NI
Я = ? Я = роц—
[ро — магнитная постоянная; I — длина соленоида; N — число его
витков; I — сила тока; ц — магнитная проницаемость среды].
Сила взаимодействия двух прямых бесконечных прямоли-
нейных параллельных проводников с токами Ц и 12
AF = 2/1-2 Ы
4л В
[В — расстояние между проводниками; AZ — отрезок проводни-
ка].
Сила Лоренца
Вл = QvB sin а
[Q — заряд частицы; о — ее скорость; В — магнитная индукция;
а — угол между векторами скорости v и магнитной индукции В].
Формула Лоренца
F - QE + QvB sina
[Q — заряд частицы, движущейся со скоростью о; Е — напря-
женность электрического поля; В — индукция магнитного поля;
a — угол между векторами v и В].
Магнитный момент контура с током I
[8 — площадь контура с током].
Механический (вращающий) момент, действующий на кон-
тур с током, помещенный в однородное магнитное поле с индук-
цией В,
М - Bpmsina
— магнитный момент контура с током; a — угол между
вектором нормали к поверхности рамки и вектором магнитной
индукции].
Магнитный поток сквозь поверхность S
Ф - BS cos a
[В — индукция магнитного поля; a — угол между вектором В
и положительной нормалью к площади этой поверхности].
173 I
Работа по перемещению проводника с током в магнитном
поле
А = /ДФ
[ДФ — магнитный поток, пересеченный движущимся проводни-
ком].
Примеры решения задач
Q По двум бесконечно длинным прямым параллельным про- ;
водникам, расстояние между которыми d = 15 см, текут токи -
= 70 А и 12 - 50 А в противоположных направлениях. Опреде-
лите магнитную индукцию В в точке А, удаленной на гх 20 см ;
от первого и на г2 - 30 см от второго проводника (рис. 86).
Дано: d - 15 см = 0,15 м; Ц = 70 А; 12 = 50 А; = 20 см = 0,2 м;
г2 = 30 см - 0,3 м. •
Найти: В. i
Решение. На рис. 86 изображены два параллельных прямо-
линейных проводника с токами Ц (направлен перпендикулярно
чертежу к нам) и 1 х (направлен перпендикулярно чертежу от нас). :
Индукция магнитного поля в точке А, согласно принципу су-
перпозиции, '
где Д и В2 — индукция магнитных полей, созданных в этой
точке соответственно проводниками с токами Д и12 (векторы Д
и В2 направлены из точки А по касательным к линиям магнит- ;
ной индукции, т.е. к окружностям радиусами ^Аи^А). |
Модуль индукции магнитного поля, создаваемого прямым то- j
ком, определяется (рассматриваем случай вакуума) по формуле !
где
- НоЛ *
1 2тГГх ’
В=И»2^-
(1)
По теореме косинусов модуль век-
тора В
B = 4Bi+BI-2ByB2 сова,
25 п -----
2лг2
cosa =
^Г1Г2
174
Подставив эти выражения в формулу (1), найдем искомую
магнитную индукцию
= Тл.
Ответ: В = 42,8 мкТл.
Ц Два параллельных проводника длиной I = 1,5 м каждый
находятся в вакууме на расстоянии d - 10 см друг от друга.
По проводникам текут токи одинакового направления. Определи-
те силу тока 12 во втором проводнике, если сила взаимодействия
между проводниками F - 3 мН, а сила тока в первом проводнике
= 40 А.
Дано: I = 1,5 м; d = 10 см = 0,1 м; F = 3 нН = 3-10"3 Н; ц = 1;
I. = 40 А.
Найти: /2*
Решение. Токи Д и 12 направлены перпендикулярно чертежу
к нам (рис. 87).
Токи создают вокруг себя магнитное поле, линии магнитной
индукции которого представляют собой окружности (их направ-
ление задано на приведенном рисунке).
По условию задачи d < Z, поэтому проводники можно считать
бесконечно длинными. Тогда индукция магнитного поля, созда-
ваемого проводниками с токами и
В2=ц0ц2^-. (1)
2nd 2nd
Направление векторов Д и В2
определяется правилом правого
винта.
Согласно закону Ампера, на
каждый элемент длины прово-
дника AZ с током действует
в магнитном поле, создаваемом
током 119 сила
Д77! - (2) Рис. 87
175
(ее направление определено по правилу левой руки и указано
на рис. 87). Аналогичные рассуждения (ток находится в маг-
нитном поле, создаваемом током 12) приводят к выражению
AF2 = ЦВ2Ы, (3)
Подставив выражения (1) в формулы (2) и (3), найдем
и
Лла
откуда следует, что AFt - AF2 АР,
=At
2 тиа
Просуммировав это выражение по всем элементам А/ длины
проводников, имеем
откуда находим искомую силу тока во втором проводнике
I _ 2nFd
2 HoMJiZ
17 1 - Н м _ Нм _ Дж _ Дж = АВс _ д
[ 2j ~Гн/(м)-А м ~ Гн-Л Вб/(А) А ” Вб ” В с
Ответ: 12 = 25 А.
В Электрон, ускоренный разностью потенциалов U - 1 кВ, вле-
тел в однородное магнитное поле, индукция которого В = 10 мТл.
Скорость электрона v перпендикулярна направлению вектора маг-
нитной индукции. Определите радиус г окружности, по которой
движется электрон, и период Т вращения этого электрона.
Дано: U = 1 кВ = 103 В; В = 10 мТл = 10 3 Тл; а = 90°; т -
= 9,11 10 31 кг; е = 1,6-1(Г19Кл«
Найти: г; Т. %
Решение. Кинетическая энергия ускоренного электрона ),
2
согласно закону сохранения, равна работе, совершенной полем
(А = eU):
176
mv2 тт
откуда скорость, с которой электрон влетает в магнитное поле,
[2ей
У m
(1)
На движущийся электрон в магнитном поле действует сила
Лоренца Fn = evB sin а. По условию задачи а = 90\ т. е. Fn = evB.
Следовательно, сила Лоренца играет роль центростремительной
силы.
Согласно второму закону Ньютона,
^=е»В.
Г
(2)
откуда г = Подставив в эту формулу выражение (1), получим
еВ
искомый радиус окружности, по которой будет двигаться элек-
трон,
r = X f2mU
ВУ г
(3)
Период вращения электрона, т.е. время, за которое он совер-
шает один полный оборот,
7 =
v
(4)
Подставив в формулу (4) выражение (3), найдем искомый
период вращения электрона
Т^2т1пг
В е
г 1 1 1кг В 1 (кг Дж 1 1 7F
г I-—J „ - —J—~ —Лкг м кг м/с^ -
J Тл V Кл ТлУ Кл2 Тл*Кл*
~ кг*м/с _ А кг<м2/с _ кг-м2 _ кгм2 _
Кл Н/(А м)“ Кл-Н " Нс2 “кг*м/(с2) с2 “М
г™-! _ кг _ кг__________________кг_______
L * Тл-Кл Н/(А м) А с кг‘м/(с2)-м-с
Ответ: г = 10,7 мм; Т - 3,57 нс.
177
ш Электрон влетает в однородное магнитное поле, индукция
которого В = 2 мТл, со скоростью v = 7,6 Мм/с под углом а = 60
к вектору индукции (рис. 88). Определите радиус R витка и шаг h
спирали, по которой будет двигаться электрон.
Дано: В = 2 мТл - 2 * 10”3 Тл; v = 7,6 Мм/с - 7,6 • 106 м/с; а =
= 60е; т = 9,11 Ю 31 кг; е = 1,6 1019 Кл.
Найти: R; h.
Решение. Если скорость v электрона направлена под углом
а к вектору В, то его движение можно представить в виде су-
перпозиции: 1) равномерного прямолинейного движения вдоль
вектора В со скоростью = и cos а; 2) равномерного движения
со скоростью = и sin а по окружности в плоскости, перпенди-
кулярной вектору В. В результате сложения движений возникает
движение по спирали.
Сила Лоренца Вл действует на электрон в плоскости, пер-
пендикулярной вектору В, сообщая ему нормальное ускорение.
В результате электрон описывает в этой плоскости окружность
радиусом В. Согласно второму закону Ньютона,
или
п . mv2 sin2 а
euBsin а ---------
В
откуда искомое выражение для радиуса витка спирали имеет
вид
musing
еВ
Шаг спирали равен расстоянию Л,
на которое смещается электрон вдоль В
за один оборот:
h = v\\T = vTcosa.
Так как Tv± = 2лВ, то
у, _ 2лВ _ 2 кН
usina’
откуда находим искомое выражение
для шага спирали
д - _ 2 кт и cos a
usina еВ
178
& _ 2лтисоза
еВ
Г р] - кг'м/с _ кг-м/с _ кг-м2 _ кг м2
I- Кл Тл АсН/(А-м) Нс2 кгм/(с2)с2 М’
Гй1 = — м (см. предыдущее преобразование).
L J К л Тл
Ответ: R = 1,87 см; h = 6,79 см.
Q Электрон, влетев в однородное магнитное поле с магнитной
индукцией В - 50 мТл, движется по окружности радиусом В = 15 см.
Определите магнитный момент рП1 эквивалентного кругового тока.
Дано: В = 50 мТл - 5 10“2 Тл; R = 15 см - 0,15 м; т =
= 9,11 Ю"31 кг; е = 1,6 10"19 Кл.
Найти: рт*
Решение. Движение электрона по окружности эквивалентно
круговому току, поэтому магнитный момент кругового тока
(1)
pm = /s=|s,
где е — заряд электрона; Т — период обращения электрона;
S — площадь, которая ограничена окружностью, описываемой
электроном.
Период обращения и площадь соответственно равны
T = иЗ = лЯ2,
V
где В — радиус окружности; v — скорость электрона.
Согласно второму закону Ньютона,
- Fjj,
и2 -
где ап -----нормальное ускорение, сообщаемое электрону си-
В
лой Лоренца,
(2)
Fjl = evB.
Тогда
^ = evB,
R
откуда скорость электрона
еВВ
v =---
т
(3)
179
Из выражений (2) и (3) находим период обращения электро-
на
т= 2пт
еВ
(4)
Подставив выражения (4) для Т и (2) для S, найдем искомый
магнитный момент эквивалентного кругового тока
e2BR2
Pm о
2ш
г 1 Кл2*Тл-м2 А2-С2'Н/(А’М)<М2 Ем2с2Н A-Нм2 А 2
L J иг мкг Н
м кг
Ответ: рт - 15,8 пА-м2.
Ц Определите магнитный момент соленоида (без сердеч-
ника) длиной Z = 25 см, если магнитный поток Ф сквозь площадь
поперечного соленоида равен 1,5 мкВб.
Дано: Z = 25 см = 0,25 м; Ф = 1,5 мкВб = 1,5 -10-6 Вб.
Найти: рт.
Решение. Магнитный момент соленоида, содержащего N
витков,
Pm — ISN, (1)
где I — сила тока; S — площадь поперечного сечения соленои-
да.
Магнитный поток сквозь площадь поперечного сечения со-
леноида
Ф = BS,
где магнитная индукция поля внутри соленоида без сердечни-
ка
о NI
(Но = 4л-10"7 Гн/м — магнитная постоянная). Тогда
Ф = ц0^5,
откуда
ог
(2)
180
Подставив выражение (2) в формулу (1), найдем искомый
магнитный момент соленоида
Ф/
Ртш ”
Цо
[Рп11=В^м.Вб^ = В^ = А^2_
LjKniJ Гн/м Гн Вб/А
Ответ: рт - 0,299 Ам2.
Ц На квадратную рамку со стороной а = 20 см, находящуюся
в однородном магнитном поле с индукцией В = 0,5 Тл, нормаль
к которой составляет с направлением магнитного поля угол а - 30\
действует вращающий момент М = 0,02 Н-м (рис. 89). Определите
площадь сечения 8пр проводника, из которого изготовлена рамка,
если по ней течет ток, плотность которого j - 1 А/мм2.
Дано: а = 20 см = 0,2 м; В = 0,5 Тл; а = 30°; М - 0,02 Н*м; / =
= 1 А/мм2 = 10б А/м2.
Найти: 8пр.
Решение. Плотность тока в рамке
I
J о ’
^Пр
откуда сила тока
/ = 73пр. (1)
Момент сил (вращающий момент), действующий на рамку
с током, которая находится в однородном магнитном поле,
М - Врт sin а,
где магнитный момент рамки с током = IS (S — площадь по-
перечного сечения квадратной рамки S - а2). Учитывая эти
формулы, запишем
М - Bia2 sin а.
Подставив формулу (1) в выражение (2),
имеем
(2)
М = B/Snpa2sina,
откуда искомая площадь сечения проводни-
ка ______________
S М
пр Bja2sina
в
Рис. 89
181
ГQ "I ____Нм _ Н М _ 2
L “р-1 ~ Тл • А/(м2)-м2 Н/(А м) А М ’ ;
Ответ: £пр = 2 мм2.
П В однородном магнитном поле с индукцией В - 50 мТл ;
находится прямой проводник длиной I - 10 см, расположенный
перпендикулярно линиям магнитной индукции. По проводу
течет ток I - 1 А, Определите работу А сил поля, если провод ,
переместился на расстояние а - 4 см. J
Дано: В = 50 мТл - 5-10 2 Тл; I = 10 см = 0,1 м; I = 1 А; а = ;
-4 см - 4 10 2 м.
Найти: А,
Решение. Работа по перемещению проводника с током в маг-
нитном поле <
А = 7ДФ, (1)
где ДФ — магнитный поток, пересеченный движущимся прово- 1
дником;
дф = bs (2) :
(учли, что прямой проводник расположен перпендикулярно ли- '
ниям магнитной индукции, т. е. угол а между вектором В и нор- ;
малью п к пересекаемой проводником площади поверхности равен •
нулю). Площадь поверхности, пересекаемой проводником,
S = al. (3)
Подставив выражения (2) и (3) в формулу (1), найдем искомую
работу
А =1Ва/|
[А] = А Тл м2 = А-Н/(А-м)‘М2 - Н м - Дж,
Ответ: Л 0,2 мДж,
Задачи для самостоятельного решения
3.126. Определите индукцию Во магнитного поля в вакууме,
если магнитная индукция В в однородной и изотропной среде
с магнитной проницаемостью ii 2 составляет 10 мТл. Ответ:
Bq - 5 мТл.
3.127. Определите индукцию В однородного магнитного поля,
если на активную часть проводника с током I = 10 А длиной
I 182
I = 10 см, распложенного под углом а = 45" к линиям магнитной
индукции, действует сила F = 50 мН, Ответ: В - 0,071 Тл.
3.128. Проводник с током I = 40 А расположен перпендикуляр-
но к линиям индукции магнитного поля (В - 5 мТл). Определите
длину I активной части проводника, если на него со стороны поля
действует сила F = 20 мН. Ответ: I - 10 см,
3.129. Сила тока I в горизонтально расположенном проводнике
длиной Z = 10 см и массой т - 5 г равна 15 А. Определите индук-
цию В магнитного поля, в которое следует поместить проводник,
чтобы он находился в равновесии. Ответ: В = 32,7 мТл.
3.130. Проводник длиной /-10 см (он может перемещаться без
трения) с током I - 20 А находится в однородном магнитном поле
(В = 10 мТл), перпендикулярном плоскости контура. Определите
работу А, совершенную источником тока, если проводник пере-
местился на расстояние а = 5 см. Ответ: А - 1 мДж.
3.131. Определите индукцию В магнитного поля прямого
тока в вакууме в точке, находящейся на расстоянии г = 10 см
от проводника, если по проводнику течет ток I ~ 60 А. Ответ:
В = 0,12 мТл.
3.132. Индукция В однородного магнитного поля в вакууме
на расстоянии г = 2,5 см от бесконечно длинного проводника
с током равна 0,4 мТл. Определите силу тока I в проводнике.
Ответ: I - 50 А.
3.133. Определите магнитную индукцию В в вакууме на рас-
стоянии г - 20 см от бесконечно длинного прямого проводника
с током, если диаметр проводника d ~ 4 мм, а плотность тока j
в проводнике равна 1 А/см2. Ответ: В = 0,126 мкТл.
3.134. Два бесконечно длинных прямых провода с токами =
= 60 А и 12 ~ 30 А, текущими в противоположных направлениях,
расположены в воздухе на расстоянии г = 10 см друг от друга.
Определите магнитную индукцию В поля, создаваемого обоими
токами в точке А, которая лежит посередине между проводами.
Ответ: В = 360 мкТл.
8.135. Два бесконечно длинных прямых провода с токами
- 60 А и 12 = 30 А, текущими в одинаковом направлении,
расположены в воздухе на расстоянии г = 10 см друг от друга.
Определите магнитную индукцию В поля, создаваемого обоими
токами в точке А, которая лежит посередине между проводами.
Ответ: В - 120 мкТл.
3.136. Два бесконечно длинных прямых проводника с токами
/] - 60 А и Z2 - 30 А, текущими в одинаковом направлении, нахо-
дятся на расстоянии г = 9 см друг от друга в воздухе. Определите,
183
на каком расстоянии d от первого проводника находится точка А,
расположенная вдоль прямой, соединяющей эти проводники, в ко-
торой индукция магнитного поля равна нулю. Ответ: d - 6 см.
3,137. Два бесконечно длинных прямолинейных проводни-
ка, по которым в противоположных направлениях текут токи
11 - 10 А и 12 = 20 А, находятся в вакууме на расстоянии d - 5 см
друг от друга. Определите индукцию В магнитного поля в точке
А, расположенной на расстоянии = 4 см от первого проводника
и г2 = 3 см от второго. Ответ: В = 0,142 мТл.
3.138» По двум бесконечно длинным прямым параллельным
проводникам, расстояние между которыми в вакууме d ~ 15 см,
текут токи Д = 70 А и 12 = 50 А в одинаковом направлении.
Определите магнитную индукцию В в точке А, удаленной на г] =
= 20 см от первого и г2 = 30 см от второго проводника. Ответ:
В = 178 мкТл.
3.139. Магнитная индукция В в центре кругового проволоч-
ного витка в вакууме, по которому течет ток I = 1 А, составля-
ет 6,28 мкТл* Определите радиус R витка. Ответ: R - 10 см.
3*140. Магнитная индукция В в центре кругового проводника
длиной I - 20 см равна 15 мкТл, Определите диаметр d проводника,
если плотность тока в нем j = 0,1 А/мм2. Ответ: d = 5,51 мм*
3.141. Соленоид без сердечника длиной I = 1,2 м изготовлен
из вплотную прилегающей алюминиевой проволоки диаметром
d = 0,4 мм. Определите индукцию В магнитного поля внутри со-
леноида, если диаметр витка D = 3 см и на концах проводника
поддерживается разность потенциалов 010 В. Удельное сопро-
тивление алюминия р - 26 нОм-м. Ответ: В - 537 мкТл.
3.142* Магнитная индукция В в центре кругового проволоч-
ного кольца с током I ~ 10 А из медной проволоки сечением S =
= 0,4 мм2 составляет 5 мкТл. Определите разность потенциалов U
между концами проволоки, образующей кольцо. Удельное со-
противление меди р - 17 нОм м. Ответ:
U = 3,35 В.
3.143. * Два кольцевых проводника
радиусом R = 5 см с токами = 2 А и 12 =
- 5 А расположены в вакууме в двух
взаимно-перпендикулярных плоскостях
(рис. 90). Определите индукцию В магнит-
ного поля в центре этих колец. Ответ:
В = 21,5 мкТл.
Рис, 90
3.144. * Круговой виток радиусом R =
= 10 см расположен относительно бес-
I 184
конечно длинного провода так, что его плоскость параллельна
проводу. Перпендикуляр, восстановленный на провод из центра
витка, является нормалью к плоскости витка. Сила тока в про-
воде 1] = 4 А, сила тока в витке 12 - 5 А. Расстояние от центра
витка до провода d = 15 см. Определите магнитную индукцию В
в центре витка. Ответ: В = 31,8 мкТл.
3.145. Длинный прямой соленоид без сердечника из проволоки
диаметром d = 0,3 мм намотан так, что витки вплотную приле-
гают друг к другу. Пренебрегая толщиной изоляции провода,
определите индукцию В магнитного поля внутри соленоида при
силе тока I = 5 А. Ответ: В = 20,9 мТл.
3.146. Индукция В магнитного поля на оси бесконечно длин-
ного соленоида без сердечника при силе тока I = 1 А составляет
3,14 мТл. Определите диаметр d провода, из которого изготовлена
однослойная обмотка соленоида, если ее витки плотно прилегают
друг к другу. Ответ: d = 0,4 мм.
3.147. Определите магнитную индукцию В на оси бесконечно
длинного соленоида с никелевым сердечником, если на единицу
длины соленоида приходится п = 100 витков, сила тока в обмотке
соленоида I - 5 А, а магнитная проницаемость никеля ц = 200.
Ответ: В = 0,126 Тл.
3.148. Два параллельных проводника длиной I - 1 м каждый
находятся в вакууме на расстоянии d - 10 см друг от друга.
По проводникам текут противоположно направленные токи.
Определите силу тока 12 во втором проводнике, если сила взаи-
модействия между проводниками F = 10 мН, а сила тока в первом
проводнике Ц - 50 А. Ответ: 12 = 100 А.
3.149. Два параллельных проводника с одинаковыми токами
находятся на расстоянии г = 8 см друг от руга и притягиваются
с силой F - 1 мН. Определите силу тока I в проводниках, если
длина I каждого из них 4 м, а токи имеют одинаковое направле-
ние. Ответ: I = 10 А.
3.150. * По прямому длинному горизонтально расположенному
проводу пропускают ток = 20 А. Под проводом на расстоянии
R - 1 см находится параллельный ему алюминиевый провод,
по которому течет ток 12 - 2 А. Определите, какой следует вы-
брать площадь поперечного сечения S алюминиевого провода,
чтобы удержать его незакрепленным. Плотность алюминия р =
= 2,7 г/см2. Ответ: S = 3,02 10’8 м2.
3.151. Два параллельных прямых проводника, по кото-
рым текут токи = 20 А и 12 = 50 А, находятся в вакууме
на расстоянии г = 50 см друг от друга. Определите силу F,
185
действующую на единицу длины I проводника. Ответ: F =
= 400 мкН/м.
3.152. Определите силу тока I в воздушных проводах трол-
лейбусной линии, если они расположены друг от друга на рас-
стоянии d = 0,6 м и на каждый элемент AZ 1 м длины проводов
действует сила &F = 1,34 Н. Ответ: 1=2 кА.
3.153. Вычислите значение магнитной постоянной ц0. Ответ:
Ро = 4я-107 Гн/м.
1.154. Определите силу Лоренца F^, действующую на протон,
влетевший со скоростью v - 1 Мм/с в однородное магнитное поле
с индукцией В = 0,1 Тл под углом а = 60° к линиям индукции.
Ответ: Вл =1,39 10’14 Н.
3.155. Протон и электрон влетают в однородное магнитное поле
с одинаковой скоростью перпендикулярно линиям магнитной
индукции. Определите отношение радиусов кривизны траекторий
протона и электрона. Ответ: Rp/Re = 1830.
3.156. Протон, ускоренный разностью потенциалов U - 1 кВ,
влетая в однородное магнитное поле с магнитной индукцией
В = 0,1 Тл, движется по окружности. Определите радиус R этой
окружности. Ответ: R- 4,57 см.
3.157. Определите угловую скорость со вращения протона
по окружности, которую он описывает в однородном магнитном
поле с индукцией В = 5 мТл. Ответ: (.< ) - 5 105с-1.
3.158. Заряженная частица с кинетической энергией Е* -
- 500 эВ движется в однородном магнитном поле по окружности
радиусом R = 0,5 м. Определите силу, действующую со стороны
поля на частицу. Ответ: F^ - 3,2 • 10"16 Н.
3*159. Электрон, ускоренный разностью потенциалов U = 1 кВ,
движется в вакууме параллельно прямолинейному длинному
проводнику на расстоянии г - 2,5 см от него. Определите силу F,
действующую на электрон, если ток в проводнике I = 20 А. От-
вет: F = 4,8 1016 Н.
3.160. * Электрон влетает в однородное магнитное поле с индук-
цией В = 0,1 мТл со скоростью и = 2 Мм/с под углом а - 60° к век-
тору В. Определите радиус R витка и шаг h спирали, по которой
будет двигаться электрон. Ответ: R = 9,86 см; h = 35,8 см.
3.161. * Электрон движется в однородном магнитном поле с ин-
дукцией В = 0,1 мТл по винтовой линии (см. рис. 88). Определите
скорость и электрона, если шаг h винтовой линии равен 20 см,
а радиус витков Я - 5 см. Ответ: и = 1,04 Мм/с.
3.162. * Определите скорость и, с которой должен двигаться
перпендикулярно скрещенным под прямым углом однородным
I 186
электрическому (Е = 150 кВ/м) и магнитному (В - ОД Тл) полям
пучок заряженных частиц, чтобы этот пучок не отклонялся.
Ответ: v = 1,5 Мм/с.
3*163,* Покоящийся в начальный момент протон ускоряется
однородным электрическим полем. Через время t - 0,1 с он вле-
тает в магнитное поле с индукцией В = 2 мТл, которое перпен-
дикулярно электрическому. Как и во сколько раз отличаются
в этот момент нормальная ап и тангенциальная ат составляющие
ускорения? Ответ: в 1920 раз.
3*164* Определите магнитный момент рт кольца диаметром d -
- 25 см при силе тока в нем I - 15 А. Ответ: рт- 736 мА-м2.
3*165. Определите радиус R плоской катушки, имеющей N - 50
витков, если при силе тока I = 1 А магнитный момент катушки
= 0,628 А-м2. Ответ: В = 6,3 см*
3.166. В однородное магнитное поле с магнитной индукцией
В = 10 мкТл помещена квадратная рамка со стороной а - 15 см.
Определите магнитный поток Ф, пронизывающий рамку, если
нормаль к плоскости рамки составляет с направлением магнит-
ного поля угол а = 30\ Ответ: Ф = 195 нВб.
3.167. Магнитный момент рГ|| соленоида без сердечника дли-
ной I ~ 50 см равен 0,4 А-м2. Определите поток Ф магнитной
индукции через площадь поперечного сечения этого соленоида.
Ответ: Ф = 1 мкВб.
3*168. Соленоид без сердечника содержит А - 300 витков
и имеет длину / 50 см. Определите полный магнитный поток Ф,
пронизывающий соленоид, если площадь поперечного сечения со-
леноида S - 20 см2 и сила тока I = 2 А. Ответ: Ф = 905 мкВб.
3*169** Электрон, влетая в однородное магнитное поле с индук-
цией В - 1 мТл, движется по окружности. Определите радиус R
этой окружности, если магнитный момент рт эквивалентного
кругового тока равен 12 пА м2. Ответ: Л? - 92,4 см.
3*170. Прямоугольная рамка со сторонами а 10 см и 5 - 15 см,
содержащая А - 50 витков, помещена во внешнее однородное
магнитное поле с индукцией В = 0,1 Тл* Нормаль к рамке состав*
ляет с направлением магнитного поля угол а = я/6. Определите
вращающий момент М сил, действующих на рамку, если по ней
течет ток I = 2 А. Ответ: М -75 мН-м.
3.171. Прямоугольная рамка со сторонами а = 10 см и b 15 см,
содержащая А = 100 витков, помещена во внешнее однородное
магнитное поле с индукцией В = 0,2 Тл. Определите максималь-
ный вращающий момент Мтах, действующий на рамку в этом
поле, если сила тока в рамке I - 1 А. Ответ: МП1ах = 0,3 Н м,
187
3.172. * На квадратную рамку со стороной а = 15 см, находя-
щуюся в однородном магнитном поле с индукцией В - 0,2 Тл,
нормаль к которой составляет с линиями магнитной индукции
угол а = 45\ действует вращающий момент М = 2,25 мН-м.
Определите плотность тока j в рамке, если площадь сечения
проводника Snp, из которого изготовлена рамка, равна 3 мм2.
Ответ: j = 2,36 А/мм2.
3.173. Определите работу А перемещения проводника с током
I - 2 А в магнитном поле, если магнитный поток ДФ, пересечен-
ный движущимся проводником, составляет 0,01 Вб. Ответ:
А = 20 мДж.
3.174. Определите работу А, которую надо совершить при
перемещении проводника длиной Z = 0,2 м с током I = 5 А на
расстояние а = 10 см, если индукция В однородного магнитного
поля равна 0,1 Тл. Проводник движется перпендикулярно ли-
ниям магнитной индукции. Ответ: А = 10 мДж.
3.175. В однородном магнитном поле перпендикулярно лини-
ям магнитной индукции расположен прямой проводник длиной
Z = 40 см, по которому течет ток I = 2 А. Определите индукцию
В магнитного поля, если работа А сил поля по перемещению
проводника на расстояние а - 5 см равна 0,1 мДж. Ответ: В =
“2,5 мТл.
Глава 14
Электромагнитная индукция
Основные законы и формулы
Закон электромагнитной индукции (закон Фарадея)
— ЭДС электромагнитной индукции].
ЭДС индукции в движущемся проводнике
- B/osina
[В — магнитная индукция однородного магнитного поля; I —
длина проводника; и — скорость движения проводника; a — угол
между векторами v и В].
ЭДС индукции, возникающая в рамке площадью S при
вращении рамки с угловой скоростью о в однородном магнитном
поле с индукцией В,
S’ = BScosinwt
[cot — мгновенное значение угла между вектором В и вектором
нормали п к плоскости рамки].
Магнитный поток, создаваемый током I в контуре,
Ф = Ы
[L — индуктивность контура].
Закон Фарадея применительно к самоиндукции
* М
[L — индуктивность контура].
Коэффициент трансформации
к _ Д
[ЛГ, ef, I — число витков, ЭДС и сила тока в обмотках трансфор-
матора соответственно].
189
Энергия магнитного поля, создаваемого током в замкнутом
контуре индуктивностью L, по которому течет ток Z,
Т Г2
W = —.
2
Объемная плотность энергии однородного магнитного поля
длинного соленоида
W в2
IV = — = -——
Г 2цоц
[W — энергия однородного магнитного поля; V — объем соле-
ноида; В — магнитная индукция; — магнитная постоянная;
ц — магнитная проницаемость среды].
Примеры решения задач
□ Определите скорость изменения магнитного потока
сквозь контур, содержащий ЛГ = 20 витков и имеющий сопро-
тивление R = 0,1 Ом, если в нем возбуждается индукционный
ток = 0,2А.
Дано: N - 20; R = 0,1 Ом; = 0,2 А.
„ . ДФ
Наити:----,
At
Решение. Согласно закону электромагнитной индукции (за-
кону Фарадея),
‘ At
Модуль ЭДС электромагнитной индукции
1 = .уДФ.
11 At
(1)
По закону Ома
1^1 =
(2)
где I, — сила индукционного тока; R — сопротивление контура.
Приравняв выражение (1) и (2),
IiR = N—,
1 At
получим искомую скорость изменения магнитного потока сквозь
контур
190
Дф _ ItR
М~ N
ГДФ1=а.ом=а4=в=^=®6.
_ &t J А с с
Ответ: ^- = 1мВб/с.
Q Прямолинейный проводник длиной I - 0,4 м гибкими про-
водами подсоединен к источнику с ЭДС = 12 В и внутренним
сопротивлением г = ОД Ом и помещен в однородное магнитное
поле с магнитной индукцией В = 0,2 Тл, направленное перпен-
дикулярно чертежу к нам. Сопротивление внешней цепи В -
= 2Д Ом (рис. 91), Определите силу тока I в проводнике, когда
он движется перпендикулярно линиям магнитной индукции
со скоростью v = 4 м/с.
Дано: I = 0,4 м; 8^ = 12 В; г = 0,1 Ом; В = 0,2 Тл; В = 2,1 Ом;
v - 4 м/с.
Найти: I.
Решение. Сила тока, согласно закону Ома для замкнутой
цепи,
(1)
где & — ЭДС, действующая в электрической цепи; R — сопро-
тивление внешней цепи; г — внутреннее сопротивление источ-
ника тока.
ЭДС, действующая в цепи,
r=r1-ri, (2)
где — ЭДС индукции проводника длиной Z, движущегося
со скоростью v в однородном магнитном поле,
= vBl (3)
(учли, что проводник движется перпенди-
кулярно линиям магнитной индукции). ЭДС
индукции направлена противополож-
но что и отвечает знаку «минус» в фор-
муле (2).
Учитывая формулу (2), выражение (1)
можно записать в виде
В + г
(4)
Рис. 91
1 =
191
Подставив выражение (3) в формулу (4), найдем искомую
силу тока
т -vBl
R + r
п = В-м/(с) Тл м = В-м2/(с)Н/(Ам) В-Дж/(А с) =
I- Ом Ом Ом
_ В-Вт/А В-ВА/А В _Л
Ом Ом Ом
Ответ: I - 4 А.
Q В однородном магнитном поле с индукцией В - 0,1 Тл
равномерно вращается катушка, содержащая N = 500 витков,
с частотой п = 5 с-1. Площадь S поперечного сечения катушки
50 см2. Ось вращения перпендикулярна оси катушки и направле-
нию магнитного поля. Определите максимальную ЭДС индукции
вращающейся катушки.
Дано: В = 0,1 Тл; А = 500; п = 5 с1; S - 50 см2 - 5 -10 3 м2.
Найти: (^)тах.
Решение. Согласно закону Фарадея,
(1)
-At
где N — число витков, пронизываемых магнитным потоком Ф.
При произвольном расположении катушки относительно маг-
нитного поля полный магнитный поток
Ф = ABScoswt, (2)
где <д) = 2лп. Подставив со в (2), получим
Ф = NBS cos2rcnt.
Тогда
g5. = -NBS *2Ttn(-sin2nnt) = 2KnNBSsin27tnt,
~ (^i)max ПрИ SU12Tlrtt = 1,
поэтому искомая максимальная ЭДС индукции вращающейся
катушки
(^)тих = 2nnNBS
[(^),„ах] = с-^Тл-м2 - Вб -с 1 = Вес'1 = В.
Ответ'. (<^)тах = 7,86 В.
I 192
□ Определите индуктивность L соленоида без сердечника
с числом витков АГ = 200, площадью поперечного сечения S =
- 30 см2 и длиной I - 20 см.
Дано: = 200; S - 30 см2 - 3 • 10 3 м2; Z = 20 см = 0,2 м.
Найти: L.
Решение. Магнитный поток, создаваемый током /, в соле-
ноиде
Ф = Ы,
где L — индуктивность соленоида.
В этом случае
Х=|. (1)
Полный магнитный поток сквозь соленоид
Ф = NBS, (2)
где А — число витков соленоида; 5 — площадь его поперечного
сечения;
(3)
— индукция магнитного поля внутри соленоида (учли, что со-
леноид без сердечника).
Подставив выражения (2) и (3) в формулу (1), найдем искомую
индуктивность соленоида
Ш=Гн/(м)м^Гн
L м
Ответ: L - 0,754 мкГн.
В При скорости изменения силы тока — в соленоиде, равной
At
- 20 А/с, на концах соленоида возникает ЭДС самоиндукции =
= 10 мВ. Определите индуктивность соленоида.
Дапо. — = 20 А/с; = 10 мВ = 10 2 В.
At
Найти: L,
Решение. ЭДС самоиндукции, возникающая на концах со-
леноида, согласно закону Фарадея,
193
‘ At
Тогда искомая индуктивность соленоида
г_
\IjAt
(направление ЭДС несущественно, поэтому знак «минус» опущен).
Ш = -В- = Вб=Гн.
1 J А/с А
Ответ: L = 0,5 мГн.
Q Катушка без сердечника длиной I = 75 см содержит А =
= 300 витков. По катушке течет ток I = 2 А. Определите объем-
ную плотность энергии w магнитного поля внутри катушки.
Дано: ц ~ 1; I = 75 см = 0,75 м; N - 300; 7 = 2 А.*
Найти: w.
Решение. Объемная плотность энергии магнитного поля
W
W = —, (1)
где энергия магнитного поля
Т Г2
= (2)
объем катушки
V=IS (3)
(L — индуктивность катушки).
Индуктивность катушки (см. задачу 4)
Ь = НоН—j— • (4)
Подставив выражения (2)—(4) в формулу (1), найдем искомую
объемную плотность энергии магнитного поля внутри катушки
21г
г 1 Гн/(м) Аа _Вб/(А) А2 Вб-А Тлм2А ТлА .
м2 м8 м3 м3 м
Н/(А-м)А Н Дж/м Дж
м м2 м2 м3
Ответ: w = 0,402 Дж/м3.
I 194
□ Соленоид без сердечника с однослойной обмоткой из прово-
локи диаметром d = 0,3 мм имеет длину I - 0,6 м и поперечное се-
чение S = 50 см2. За какое время t при напряжении U = 12 В и силе
тока I = 2 А в обметке выделяется количество теплоты, равное
энергии поля внутри соленоида? Поле считать однородным.
Дано: ц = 1; d = 0,3 мм = 3 10 4 м; I - 0,6 м; S = 50 см2 =
- 5* 10 3 м2; I = 2 A; U = 12 В; Q = W.
Найти: Л
Решение. При прохождении тока I при напряжении U в об-
мотке за время t выделяется теплота
Q - IUt. (1)
Энергия поля внутри соленоида
W = -^-V, (2)
2ц0Р
где магнитная индукция внутри соленоида
В = ИоН—,
где А — общее число витков соленоида.
Если витки вплотную прилегают друг к другу, то
l = Nd,
где d — диаметр проволоки. Отсюда
d
Подставив выражения для В и А в формулу (2), получим
_ М о р I^LS
2 d2 ‘
Согласно условию задачи, Q = W. Тогда, приравняв правые
части формул (1) и (3), имеем
iut=,
2d2
(3)
откуда искомое время
2Ud2
W_ Гн/(м) ’A m2 м _ Гн-А _ Вб _ В с _
В-м2 " В “ В “ В -С’
Ответ", t = 34,9 мс.
195
Задачи для самостоятельного решения
3.176. Определите размерность Ответ: В.
At
3.177. Проводящий контур в виде витка радиусом R = 2 см
расположен перпендикулярно линиям индукции однородного
магнитного поля. Определите ЭДС электромагнитной индукции
возникающую в витке, если за время At = 0,15 с магнитная
индукция равномерно возрастает от Вг ОД Тл до В2 - 0,55 Тл.
Ответ: = 3,77 мВ.
3.178. Проводящий контур в виде витка обладает электриче-
ским сопротивлением R = 1 Ом. Определите заряд AQ, прошедший
через поперечное сечение проводника, если магнитный поток
сквозь виток равномерно увеличился от Oi = 20 мкВб до Ф2 =
- 50 мкВб. Ответ: AQ ~ 30 мкКл.
3.179. В однородном магнитном поле находится плоский виток
(В = 2 см2), расположенный перпендикулярно линиям магнит-
ной индукции. Сопротивление витка R = 2 Ом. Определите силу
тока I через виток, если скорость изменения магнитной индукции
^^ = 0,2 Тл/с. Ответ: I = 20 мкА.
At
3.180. * В однородном магнитном поле находится медное коль-
цо (р - 17 нОм м) диаметром D - 25 см и толщиной d = 2,5 мм,
расположенное перпендикулярно линиям магнитной индукции.
Определите, какова должна быть скорость изменения магнитной
индукции во времени AB/At, чтобы индукционный ток в кольце I
д д
был равен 5 А. Ответ:--= 0,277 Тл/с.
At
3.181. В однородном магнитном поле с индукцией В = 0,1 Тл
находится прямоугольная рамка с подвижной стороной, длина
которой I - 20 см. Определите ЭДС индукции, возникающей
в рамке, если ее подвижная сторона перемещается перпенди-
кулярно линиям магнитной индукции со скоростью v = 5 м/с.
Ответ: - 0,1 В.
3.182. Определите угол а, под которым следует передвигать
проводник длиной I = 40 см со скоростью и=5 м/с к линиям
магнитной индукции, если магнитная индукция однородного
магнитного поля В = 0,5 Тл, а на концах проводника возникает
ЭДС электромагнитной индукции /, - 0,5 В. Ответ: а = 30\
3.183. * Прямолинейный проводник длиной I = 0,4 м гибкими
проводами подсоединен к источнику ЭДС = 6 В и находится
в однородном магнитном поле (В - 0,1 Тл), направленном пер-
пендикулярно чертежу к нам. Сила тока I в проводнике, когда
1196
он движется перпендикулярно линиям магнитной индукции
со скоростью v - 5 м/с, равна 2 А. Определите внутреннее сопро-
тивление г источника ЭДС, если сопротивление внешней цепи
R - 2,7 Ом. Ответ: г - 0,2 Ом.
3*184Л В однородном магнитном поле (В = 0,2 Тл) в плоскости,
перпендикулярной линиям магнитной индукции, равномерно
с частотой п = 6 с 1 вращается проволочное кольцо площадью
S = 100 см2. Определите мгновенное значение ЭДС электромаг-
нитной индукции в момент времени, когда нормаль к кольцу
составляет с вектором В угол а = 60\ Ответ: - 0,065 В.
3.185Л В однородном магнитном поле с индукцией В - 0,1 Тл
в плоскости, перпендикулярной линиям магнитной индукции,
равномерно вращается рамка, которая содержит N = 100 витков,
плотно прилегающих друг к другу. Площадь рамки S = 200 см2*
Определите частоту п вращения рамки, если максимальная ЭДС,
индуцируемая в ней, (^)П1ах - 6,28 В. Ответ: п - 5 с-1.
3*186.* В однородном магнитном поле с индукцией В = 0,1 Тл
с частотой п = 300 мин”1 равномерно вращается прямоугольная
рамка. Площадь рамки S = 100 см2. Определите число N витков
рамки, плотно прилегающих друг к другу, если максимальная
ЭДС, индуцируемая в рамке, (8^)тыс - 6,28 В. Ответ: N - 200.
3.187. * Проволочное кольцо равномерно вращается в одно-
родном магнитном поле с индукцией В = 0,1 Тл в плоскости,
перпендикулярной линиям магнитной индукции, с частотой и =
300 мин’1. Определите радиус г кольца, если максимальная
ЭДС (^)тах* индуцируемая в кольце, составляет 0,395 В. От-
вет: г - 20 см.
3.188. * В однородном магнитном поле с индукцией В = 0,1 Тл
равномерно с частотой п = 300 мин-1 в плоскости, перпендикуляр-
ной линиям магнитной индукции, вращается рамка площадью
S = 100 см2, содержащая А - 100 витков, которые плотно приле-
гают друг к другу. Сопротивление рамки Я -1,57 Ом. Определите
максимальную силу тока 7тах, возникающего в рамке. Ответ:
Лпах — 2 А.
3.189. Определите индуктивность L катушки, в которой при
токе I ~ 2 А полный магнитный поток Ф сквозь катушку равен
0,02 Вб. Ответ: В = 10 мГн.
3.190. Длинный соленоид индуктивностью L = 2 мГн содер-
жит N - 1 000 витков. Площадь поперечного сечения S = 25 см2*
Определите магнитную индукцию В поля внутри соленоида, если
сила тока I, протекающего по его обмотке, равна 5 А. Ответ:
В = 4 мТл.
197
ЗЛ91. Длинный соленоид индуктивностью L = 1 мГн содержит
Лг = 500 витков. Площадь поперечного сечения соленоида S =s
= 20 см2. Определите силу тока I в соленоиде, если индукция
магнитного поля внутри соленоида В = 1 мТл. Ответ: I - 1 А.
3.192. Определите индуктивность L соленоида без сердечника
с числом витков N = 500, диаметром d - 2,5 см и длиной I = 25 см.
Ответ: L = 617 мкГн.
3.193. Соленоид площадью поперечного сечения S = 15 см2
и длиной I = 40 см обладает индуктивностью L - 0,8 мГн. Опреде-
лите число N витков соленоида. Ответ: N = 412.
8.194. В соленоиде с индуктивностью L - 0,1 мГн течет ток
I = 2 А. Определите среднее значение ЭДС самоиндукции
возникающей в соленоиде, если за время At = 250 мкс ток при
выключении уменьшается до нуля. Ответ: (g’J = 0,8 В.
3.195. Определите индуктивность L соленоида, если при равно-
мерном изменении силы тока от Д — 3 А до 12 = 5 А за время
At = 0,03 с в соленоиде возникает ЭДС самоиндукции - 60 В.
Ответ: L - 0,6 Гн.
3.196. Определите время At, за которое в катушке индуктив-
ностью L - 0,2 Гн произойдет нарастание тока от нуля до 10 А,
если при этом возникает средняя ЭДС самоиндукции Fs - 20 В.
Ответ: At = 0,1 с.
3.197. В катушке индуктивностью L - 0,4 Гн возникает сред-
няя ЭДС самоиндукции - 10 В. Определите среднюю скорость
нарастания тока А//St в катушке. Ответ: — - 25 А/с.
At
3.198. В соленоиде без сердечника, содержащем X = 500
витков, при увеличении силы тока за время At = 2 с магнитный
поток АФ увеличился на 2 мВб. Определите среднюю ЭДС само-
индукции |ЙХ возникающую в соленоиде. Ответ: 1(^)1 - 0,5 В.
3.199. Повышающий трансформатор работает от сети с напря-
жением = 220 В. Определите коэффициент трансформации k,
если напряжение U2 на зажимах вторичной обмотки при холостом
ходе трансформатора составляет 880 В. Ответ: k - 0,25.
3.200. Трансформатор с коэффициентом трансформации k =
= 0,12 понижает напряжение с 220 В до 12 В. Сопротивление
вторичной обмотки трансформатора = 4 Ом. Пренебрегая по-
терями энергии в первичной обмотке, определите силу тока 12
во вторичной обмотке. Ответ: 12 = 3,6 А.
3.201. Автотрансформатор, понижающий напряжение с =
- 5 кВ до U2 - 1Ю В, содержит в первичной обмотке = 3 000 вит-
ков. Сопротивление вторичной обмотки R2 - 0,5 Ом, а сопротивле-
I 198
ние внешней цепи (в сети пониженного напряжения) R - 10 Ом.
Пренебрегая сопротивлением первичной обмотки, определите
число витков N2 во вторичной обмотке трансформатора. Ответ:
А2 - 69.
3.202. Определите коэффициент полезного действия ц транс-
форматора, если сила тока в его первичной обмотке I1 = 1 А,
напряжение на ее концах 171 = 220 В, во вторичной обмотке со-
ответственно 12 = 10 A, U2 = 16 В. Ответ: г| = 0,727.
3.203* По обмотке соленоида индуктивностью L = 0,1 Гн течет
ток I = 5 А. Определите энергию W магнитного поля соленоида.
Ответ: W - 1,25 Дж.
3.204* Определите энергию W магнитного поля соленоида,
содержащего А = 1 000 витков, если сила тока I в обмотке со-
леноида равна 2 А, а магнитный поток сквозь его поперечное
сечение Фг = 100 мкВб. Ответ: W - 0,1 Дж.
3.205. Определите силу постоянного тока I через обмотку со-
леноида, если энергия магнитного поля соленоида W - 0,4 Дж,
а полный магнитный поток, пронизывающий соленоид, Ф - 0,2 Вб.
Ответ: I = 4 А.
3.206. В обмотке соленоида, находящегося под постоянным
напряжением, за время t - 0,01 с выделяется количество тепло-
ты, равное энергии магнитного поля в сердечнике. Определите
сопротивление R обмотки, если индуктивность соленоида L -
- 0,2 Гн. Ответ: R - 10 Ом.
3*207. Соленоид без сердечника длиной I - 0,6 м и площадью
поперечного сечения S = 10 см2 содержит А = 600 витков. Опреде-
лите энергию W магнитного поля внутри соленоида, если по об-
мотке соленоида течет ток I - 5 А. Ответ: W = 9,42 мДж.
3.208. Определите энергию W магнитного поля соленоида,
в котором при плотности постоянного тока j = 50 А/м2 полный
магнитный поток Ф = 0,01 Вб. Радиус проводника обмотки со-
леноида г - 0,6 мм. Ответ: W = 0,283 мкДж.
3.209. Соленоид длиной Z = 0,5 м и площадью поперечного
сечения S = 2 см2 имеет индуктивность L - 0,1 мГн. Определите
объемную плотность w энергии магнитного поля внутри соленои-
да, если сила тока в обмотке этого соленоида I - 2 А. Ответ:
w = 2 Дж/м3.
3.210* Индуктивность L соленоида длиной / = 0,5 ми площа-
дью поперечного сечения S = 5 см2 равна 0,2 мкГн* Определите
силу тока I в обмотке соленоида, при которой объемная плот-
ность энергии w магнитного поля внутри соленоида будет равна
0,1 мДж/м3. Ответ: I - 0,5 А.
199
3,211 Л Соленоид без сердечника с однослойной обмоткой
из проволоки радиусом г = ОД мм имеет длину Z = 60 см и попереч-
ное сечение S - 30 см2. Определите, при каком напряжении U
в обмотке за время t = 30 мс выделится количество теплоты Q,
равное энергии W магнитного поля внутри соленоида, если по об-
мотке течет ток I = 1,5 А, Ответ: U = 1,41 В,
Глава 15
Электромагнитные колебания и волны
Основные законы и формулы
Собственная частота колебательного контура
1
4ьс
[L — индуктивность катушки; С — электроемкость конденсато-
ра].
* Дифференциальное уравнение свободных гармонических
колебаний заряда в контуре и его решение
Q + —;Q = O, Q = Qmcos(o0f + ф)
[Qm — амплитуда колебаний заряда конденсатора; соо — собствен-
ная частота контура] -
Формула Томсона, устанавливающая связь между перио-
дом Т собственных колебаний в контуре без активного сопро-
тивления, индуктивностью L и электроемкостью контура С,
Г = 2л7Ес;
* Сила тока в колебательном контуре и напряжение на конден-
саторе в случае гармонических электромагнитных колебаний
1 = = = sin (®ог + = Im cos I “о* + 45 + Ъ I’
=^ = %Lcos(oj0t + (p) = ?7rr]cos(w0t + <p)
Cz с-
[fin ” <o0Qm — амплитуда силы тока; = Qm/C — амплитуда на-
пряжения; — собственная частота контура],
Реактивное индуктивное сопротивление (индуктивное со-
противление)
Rl - toL
[<й — частота переменного напряжения, подаваемого на концы
цепи; L — индуктивность].
201
Реактивное емкостное сопротивление (емкостное сопро-
тивление)
<пС
[со — частота переменного напряжения, подаваемого на концы
цепи; С — электроемкость],
Полное сопротивление цепи переменного тока, содержащей
последовательно включенные резистор сопротивлением R, катуш-
ку индуктивностью L и конденсатор электроемкостью С,
Z = ^Я2 + (ф£-1/(юС))2 = 1/й2+(Я1.-Яс)2
- (nL — реактивное индуктивное сопротивление; Д- = 1/(<оС) —
реактивное емкостное сопротивление].
Реактивное сопротивление
X — Rr — Rr — ----
L c ©C
= ojL — реактивное индуктивное сопротивление; Rc =-^
реактивное емкостное сопротивление]. 03
Сдвиг по фазе между напряжением и силой тока
©L-Л;
tgq> = —
J~L
Резонансная частота и резонансная амплитуда силы тока
в случае резонанса в цепи переменного тока
tjoDe3 = (Z ) -^2-
рез u у/lc * ' m R
[coo — собственная частота контура; В, L и С — активное сопро-
тивление, индуктивность и электроемкость колебательного
контура; Um — амплитудное значение внешнего приложенного
напряжения].
Средняя мощность, выделяемая в цепи переменного тока,
(P) = |/ml7mcos<p; (P) = |p/2
£i £
[/т и Z7m — амплитудные значения силы тока и напряжения].
Действующие (эффективные) значения силы тока и напря-
жения:
J — JJ —
VT 7г
[/ш и — амплитудные значения силы тока и напряжения],
I 202
Коэффициент мощности
R
COS<p - . м : =
7/?2 + ((oL-1/(coC))2
[J? — активное сопротивление цепи; со Л — реактивное индуктивное
сопротивление; 1/(<оС) — реактивное емкостное сопротивление].
Связь между длиной волны X, периодом Т колебаний и ча-
стотой v
X = vT; v = Xv.
Скорость распространения электромагнитных волн в среде
р = _11 = е
>/еоНо л/ёц \/ёц
[с - . 1 — скорость распространения света в вакууме; £0 и ц0
уеоМо
соответственно электрическая и магнитная постоянные; е и р со-
ответственно электрическая и магнитная проницаемость среды].
Связь между амплитудными значениями индукции магнит-
ного поля В]П и напряженности электрического поля Ет электро-
магнитной волны в вакууме
Дп =
[£0 и ц0 — соответственно электрическая и магнитная постоян-
ные; с — скорость распространения света в вакууме].
Поверхностная плотность потока электромагнитного из-
лучения
т АЖ , ч
[АЖ — средняя энергия, переносимая электромагнитной волной;
S — площадь поверхности, перпендикулярная направлению
распространения волны; At — время переноса энергии; {и?) —
средняя объемная плотность энергии электромагнитного поля;
с — скорость распространения света в вакууме].
Примеры решения задач
ПД Электрический заряд на обкладках конденсатора в колеба-
тельном контуре изменяется по закону Q - 10 5 cos(3rct + я/6), Кл.
Определите амплитуду колебаний заряда Qm на обкладках кон-
денсатора, циклическую частоту соо, частоту v0, период Т и на-
203
чальную фазу (р колебаний заряда, а также амплитуду 1т силы
тока в контуре.
Дано: Q — 10"5cos(3rcf + л/6), Кл.
Найти: Qm; о0; v0; Т; <р; /т.
Решение. Из заданного в условии задачи закона изменения
электрического заряда на обкладках конденсатора
Q = 10"Dcos(3rct + л/6), Кл,
следует, что:
• амплитуда колебаний заряда на обкладках конденсатора
= IO’5 А;
• циклическая частота а>0 = Зя с-1;
• начальная фаза колебаний заряда ф = л/6 рад.
Искомые частота и период колебаний соответственно равны
v0 = ^
0 2л
<*>о
Силу тока в колебательном контуре найдем, продифференци-
ровав по времени уравнение гармонических колебаний заряда
Q = Qincos(oj0t + ф).
Имеем
I = Q = -rooQmsin(a>ot + <р) = w0Qin cos(w0r + <p + л/2),
откуда искомая амплитуда силы тока в контуре
' cooQm
Ответ: Qm = 10 5 А; <оо = Зк с-1; v0 = 1,5 Гц; Т = 0,667 с; <р ~
= л/6 рад; 1т = 94,2 мкА.
Q Сила тока в идеальном колебательном контуре, содержа-
щем катушку индуктивностью L = 0,1 Гн и конденсатор, изме-
няется со временем согласно уравнению I = 0,4 sin400rct, А.
Определите период Т колебаний, электроемкость С конденсато-
ра, максимальное напряжение (7т на обкладках конденсатора,
максимальную энергию магнитного поля W^ax и максимальную
энергию электрического поля
Дано: L - 0,1 Гн; I - -0,4 sin 400я£, A; R - 0.
Найти-. Т; С; С7т; И^ах; W^ax.
Решение. Согласно условию задачи, сила тока в колебатель-
ном контуре
204
I = -0,4з1п400я£, А,
тогда амплитуда силы тока Zm = 0,4 А; циклическая частота со0 =
= 400л с-1.
Период колебаний
2л
____
Электроемкость конденсатора найдем из формулы Томсона,
определяющей период колебаний в электрическом контуре,
Т = 2h4lC,
откуда
Максимальное значение напряжения на обкладках конден-
сатора
U =
(1)
где Qm — амплитуда колебаний заряда конденсатора.
Заряд Q совершает гармонические колебания (при R 0)
по закону
Q = Qmcosco0t
(начальную фазу приняли равной нулю). Тогда сила тока в ко-
лебательном контуре
I = Q = -w0Qra sincooJ = sin Wot,
где амплитуда колебаний силы тока
Zni —
откуда
л тп
<00
Q,
(2)
Подставив формулу (2) в выражение (1), найдем искомое мак-
симальное напряжение на обкладках конденсатора
U =
тп
<с0С
В случае незатухающих колебаний полная энергия контура,
равная сумме энергий электрического поля конденсатора CU2/2
и магнитного поля катушки LI2/2, остается постоянной. Следо-
вательно,
205
2 2 ’
т.е. максимальные энергии электрического и магнитного полей
равны.
Таким образом, искомые максимальные значения
т Т2 СТ72
Т1ЛЭЛ _ 1ЛЛМ _ tn _
rr max rrmax o o
и=^=«
[cl = — - —c2 = A c2 _ A c _ Кл _ ф,
1 ГнВб/А В с В ’ В ’
гту 1 _ А _ А • с _ Кл __ -д,
L mJ с^ ф Ф Кл/В ’
Г^-х] = ФВ2 = ^В2=Кл.В = Дж;
[^ах] = ГнА2^-А2 = ВбА = ВсА = Дж.
Ответ-. Т = 5 мс; С - 6,33 мкФ; Um = 50,3 В; W^ax = W™ax =
- 8 мДж.
Q Цепь переменного тока состоит из последовательно вклю-
ченных катушки индуктивностью L, конденсатора емкостью С
и резистора сопротивлением R (рис. 92, а). Определите ампли-
тудное значение Уьст суммарного напряжения на катушке и кон-
денсаторе, если амплитудное значение напряжения на резисторе
UR - 100 В, а сдвиг фаз ср между током и внешним напряжением
составляет 30\
Дано: UR = 100 В; <р = 30\
Найти: Urc .
206
Решение. В цепи, приведенной на рис. 92, а, возникает пере-
менный ток, который вызовет на всех элементах цепи падение
напряжения. На рис. 92, б показана векторная диаграмма ам-
плитуд падений напряжений на резисторе (UR), катушке (UL)
и конденсаторе (ZZC)- Амплитуда С7т приложенного напряжения
равна сумме амплитуд этих падений напряжений.
Разность фаз между током и внешним напряжением опреде-
лим с помощью векторной диаграммы. Имеем
tg<p=—(1)
/С
Реактивные (coL и и активное R сопротивления найдем
©С
из выражений для амплитуд напряжений на соответствующих
элементах цепи. Амплитудные значения напряжения:
• на резисторе
• на катушке индуктивности
L =
• на конденсаторе
соС
где 1т — амплитуда силы тока. Из этих выражений находим:
Zm /т юС 7m
Подставив выражения (2) в формулу (1), получаем
+ ^L-^C
tev-^r-
(2)
(3)
Учитывая, что
ulc = ul~ uc
(см. рис. 92, б), выражение (3) можно записать в виде
± ULC
откуда искомое амплитудное значение суммарного напряжения
Ответ: ~ 57,7В.
207
Ц В цепь переменного тока частотой v - 50 Гц и амплитудным
значением внешнего напряжения Um = 150 В последовательно
включены резистор сопротивлением R - 50 Ом, конденсатор и ка-
тушка индуктивностью L = 1 Гн* Определите электроемкость С
конденсатора, если в цепи наблюдается резонанс, и амплитудное
значение силы тока при резонансе.
Дано: v - 50 Гц; L7m = 150 В; Л - 50 Ом; L = 1 Гн,
Найти: С; (1т)рез.
Решение. При резонансе в цепи переменного тока, содер-
жащей последовательно включенные резистор, конденсатор
и катушку индуктивности, емкостное реактивное сопротивление
равно индуктивному реактивному сопротивлению
Rc —
где
Rl = oiL - 2nvL и Rc = -Д- - —-—.
с <аС 2kvC
Приравнивая последние выражения, найдем искомую электро-
емкость, при которой наступает резонанс
с=____1
(2tw)2 L
Амплитудное значение силы тока
I
J m |-----------—
Jx2+(aL-~]
Y k
достигнет наибольшего (возможного при данном С7т) значения
при наименьшем значении полного сопротивления цепи пере-
менного тока, т.е. при (&L-— = 0. Тогда искомое амплитудное
соС
значение тока при резонансе
1
рез #
[Cl = 1 = °2 = - Кл
1 J ~ Гц2Гн ’ Вб/А " Вс " В
Г(1т) ”1 = —= А.
13 m7P«3J Ом
Ответ: С - 10,1 мкФ; (/т)реэ = 3 А.
I 208
Q В колебательном контуре, содержащем конденсатор
электроемкостью С - 1,2 нФ, катушку индуктивностью
L - 6 мкГн и резистор сопротивлением R = 0,2 Ом, поддержи-
ваются незатухающие колебания. Определите амплитудное
значение напряжения на конденсаторе UCtA, если средняя мощ-
ность {Р\ потребляемая колебательным контуром, составляет
2 мВт.
Дано: С = 1,2 нФ = 1,2 10 9 Ф; L = 6 мкГн - 6 1СГ6 Гн; R =
= 0,2 Ом; (Р) = 2 мВт = 2 10 3 Вт.
Найти: Ur .
Решение. Средняя мощность, потребляемая контуром,
Л/2
(Р) = ^
(1)
где амплитуда силы тока
Так как в контуре поддерживаются незатухающие колеба-
ния,
(П- соо -
LC
Тогда
(2)
Подставив выражение (2) в формулу (1), найдем искомое ам-
плитудное значение напряжения на конденсаторе
2£(Р)
RC
Гту 1- /Гн-Вт ^Вб/А-Дж/с _ /в(ГДж/£_
L J \0м Ф V Ом Ф V ВФ
1В-с-Дж/с _ 1Дж _ 1В с-А _ lA-c В2 _ в
"V В Ф \ Ф V Кл/B V Кл '
Ответ: Uc =10 В.
209
□ При переходе электромагнитной волны из немагнитной
среды с диэлектрической проницаемостью е в вакуум длина
волны увеличилась на ДА. = 48,8 м. Определите частоту v коле-
баний.
Дано: £ = 2,2; ЛК - 48,8 м.
Найти: v.
Решение. При переходе электромагнитной волны из одной
среды в другую частота колебаний не изменяется (v = const).
Приращение длины волны
AZ = Хо = А,, (1)
где длина волны в вакууме
= (2)
а длина волны в среде
где сиу — соответственно скорость распространения электро-
магнитных волн в вакууме и среде.
Скорость распространения электромагнитных волн в среде
(учли, что среда немагнитная: ц = 1).
Подставив выражение (4) в (3), а затем выражение (3) и (2)
в (1), найдем искомую частоту колебаний
г -> м/с м/с „1 „
[ v I — —= с -Гц.
L J М С'1
Ответ: v = 2 МГц.
Задачи для самостоятельного решения
3.212. Электрический заряд на обкладках конденсатора
в колебательном контуре изменяется по следующему закону:
Q - 0,2 cos 200л мкКл. Определите амплитуду колебаний заряда
на обкладках конденсатора и частоту v0 электромагнитных
колебаний в контуре. Ответ: Qm =0,2 мкКл; v0 = 100 Гц,
210
3.213. Определите время t от начала колебаний, за которое
заряд на обкладках конденсатора в колебательном контуре будет
равен половине амплитудного значения заряда. Частота колеба-
ний в контуре v0 = 26 кГц. Ответ: t = 6,41 мкс.
3.214. * Электрический заряд на обкладках конденсатора
в колебательном контуре изменяется по следующему закону:
Q - 0,3cos(2nt + л/3), мКл. Определите амплитуду колебаний
заряда QI;] на обкладках конденсатора, циклическую частоту
о)0, частоту v0, период Т, начальную фазу ср колебаний заряда
и амплитуду /т силы тока в контуре. Ответ: Qm = 0,3 мКл;
= 5я с’1; v0 = 2,5 Гц; Т = 0,2 с; <р = л/3 рад; 1т - 1,5л мА.
3.215. Сила тока в колебательном контуре со временем из-
меняется согласно уравнению I = 0,2sin300rc£, А, Определите
амплитуду силы тока 1т, частоту v0 и период Т колебаний. От-
вет: 1т - 0,2 A; v0 = 150 Гц; Т = 6,67 мкс.
3.216. Определите индуктивность L колебательного кон-
тура, если его электроемкость С = 5 мкФ, а частота v свобод-
ных электромагнитных колебаний равна 3 мГц. Ответ: L -
- 563 мкГн.
3.217. Ток в колебательном контуре изменяется со временем
по закону I - 3 cos 600/, А. Определите индуктивность L контура,
если электроемкость С его конденсатора равна 5 мкФ. Ответ:
£=0,556 Гн.
3.218. Определите период Т незатухающих колебаний в кон-
туре, если максимальный заряд Qin на обкладках конденсатора
равен 50 нКл, а максимальная сила тока в контуре = 2,5 А.
Ответ: Т = 1,26 10‘7 с.
2.219. Пренебрегая сопротивлением колебательного контура,
содержащего катушку индуктивностью £ = 0,5 Гн и конденсатор
емкость С = 2 мкФ, определите максимальное напряжение
на обкладках конденсатора, если максимальная сила тока
в контуре равна 1 А. Ответ: Ь\ц - 500 В.
3.220. * Идеальный колебательный контур содержит конден-
сатор электроемкостью С - 10 мкФ (заряжен до максимального
напряжения С7т = 200 В) и катушку индуктивностью £ = 1 мГн.
Определите максимальный заряд конденсатора и максималь-
ный ток в контуре /т. Ответ: Qm - 2 мКл; 1т = 20 А.
3.221. * Конденсатор электроемкостью С = 5 нФ зарядили до на-
пряжения Um = 100 В и замкнули на катушку индуктивностью
L - 0,5 мГн. Считая сопротивление контура ничтожно малым,
определите амплитудное значение Zm силы тока в колебательном
контуре. Ответ: 1т - 0,1 А.
211
3.222. * Уравнение изменения со временем напряжения
на обкладках конденсатора в колебательном контуре Uc -
= 50cos800k£, В. Электроемкость конденсатора С - 1 мкФ.
Пренебрегая сопротивлением контура, определите период Т
колебаний, индуктивность L контура и закон изменения со вре-
менем силы тока в цепи. Ответ: Т - 2,5 мс; L = 1,56 Гн; I =
= 0,126 cos(800Trt + л/2), А.
3.223, В цепь переменного тока с частотой v = 50 Гц включен
конденсатор. Пренебрегая активным сопротивлением, определите
электроемкость С конденсатора, если вольтметр, подключенный
к этой цепи, показывает напряжение U = 220 В, а амперметр —
силу тока I ~ 1 А. Ответ: С = 14,5 мкФ.
3.224. В цепь переменного тока частотой v = 50 Гц включена
катушка индуктивности. Пренебрегая активным сопротивле-
нием, определите индуктивность L катушки, если вольтметр,
подключенный к этой цепи, показывает напряжение V - 220 В,
а амперметр — силу тока I = 1 А. Ответ: £ - 0,7 Гн.
3.225. Два конденсатора электроемкостью С\ 3 мкФ и С2 =
= 6 мкФ включены последовательно в цепь переменного тока
напряжением U = 220 В и частотой v = 50 Гц. Определите силу
тока I в цепи. Ответ: I = 0,138 А.
3.226. В цепь переменного тока частотой v = 50 Гц последова-
тельно включены резистор сопротивлением R - 100 Ом, катушка
индуктивностью £ = 0,5 Гн и конденсатор емкостью С = 10 мкФ.
Определите реактивные индуктивное RL и емкостное Rc сопро-
тивления, а также сопротивление Z цепи переменного тока. От-
вет: Rl = 157 Ом; Rc = 318 Ом; Z = 190 Ом.
3.227. К зажимам генератора подключен конденсатор электро-
емкостью С - 0,1 мкФ. Определите амплитудное значение напря-
жения Um на зажимах, если амплитудное значение силы тока
1т = 3,14 А, а частота v = 10 кГц. Ответ: Um - 500 В.
3.228. В цепь колебательного контура, содержащего после-
довательно соединенные резистор сопротивлением Я - 40 Ом,
катушку индуктивностью £ = 0,36 Гн и конденсатор емкостью
С - 28 мкФ, подключено внешнее переменное напряжение
с амплитудным значением Um = 180 В и частотой со - 314 рад/с.
Определите амплитудное значение силы тока Гга в цепи и сдвиг ф
по фазе между током и внешним напряжением. Ответ: 1т =
= 4,5 А; <р =-Г.
3.229. В цепь переменного тока напряжением Um = 200 В и ча-
стотой v = 50 Гц последовательно включены резистор сопро-
тивлением Я - 100 Ом, катушка индуктивностью £ = 0,5 Гн
I 212
и конденсатор емкостью С - 10 мкФ* Определите амплитудные
значения силы тока в цепи Гт, падения напряжения в активном
сопротивлении на конденсаторе ГтСш и на катушке ULja. От-
вет: 1,16 A; UR - 116 B;J7C -369 B;UL = 182 В.
3.230. В цепь переменного тока частотой v - 50 Гц последо-
вательно включены резистор сопротивлением R - 100 Ом и кон-
денсатор. Определите электроемкость С конденсатора, если сдвиг
по фазе между колебаниями напряжения и силы тока составляет
Ф - я/3. Ответ: С - 55,1 мкФ*
3.231* Колебательный контур содержит конденсатор электро-
емкостью С ~ 2 мкФ и катушку индуктивностью L = 2 мГн.
Пренебрегая сопротивлением контура, определите резонанс-
ную частоту vpe3 электромагнитных колебаний* Ответ: vpe3 =
- 1,01 кГц.
3.232. В цепь переменного тока частотой v - 50 Гц последова-
тельно включены резистор сопротивлением R = 50 Ом, катушка
индуктивности и конденсатор электроемкостью С = 10 мкФ.
Определите индуктивность L катушки, если в цепи наблюдается
резонанс. Ответ: L - 1,01 Гн.
3.233. В цепь переменного тока частотой v = 50 Гц последова-
тельно включены резистор сопротивлением R = 50 Ом, катушка
индуктивностью L - 1 Гн и конденсатор электроемкостью С -
-10 мкФ. Определите амплитудное значение напряжения
если амплитудное значение силы тока 71П = 3 А. Ответ: Um =
- 151 В.
3*234. В цепь переменного тока последовательно включены
резистор, конденсатор и катушка индуктивности. Определите
сопротивление R резистора, если при амплитудном значении
внешнего напряжения J7m - 155 В амплитудное значение силы
тока при резонансе (Гт)рез = 3,1 А. Ответ: R = 50 Ом.
3.235. Генератор, частота которого v = 50 кГц и амплитудное
значение напряжения L7m - 120 В, включен в резонирующую цепь
электроемкостью С - 10 мкФ. Определите амплитудное значение
напряжения на конденсаторе Uc,, если активное сопротивление
цепи R = 12 Ом. Ответ: UCni ~3,18кВ.
3.236. Вольтметр, включенный в цепь переменного тока, по-
казывает 17 = 220 В. Определите максимальное значение Uni на-
пряжения в цепи. Ответ: UIU - 311 В.
3.237. Определите момент времени t от начала колебаний, ког-
да мгновенное значение силы переменного тока I станет равным
его действующему значению I, если период колебаний Т силы
тока равен 2 с. Ответ: t - 0,25 с.
213
3.238. В цепь переменного тока частотой v - 50 Гц и действую-
щим значением напряжения U = 120 В последовательно включены
резистор сопротивлением 7? ~ 10 Ом и катушка индуктивностью
L = ОД Гн. Определите амплитудное значение силы тока
в цепи. Ответ: 1т = 5,15 А.
3.239. Определите среднюю мощность выделяемую в цепи
переменного тока с активным сопротивлением R = 0,1 Ом, если
амперметр, включенный в цепь, показывает значение 1 А. От-
вет: (Р) = 0,1 Вт.
3.240. В колебательном контуре, содержащем катушку
индуктивностью L = 6 мкГн, конденсатор электроемкостью
С = 1,2 нФ и резистор сопротивлением R = 0,2 Ом, поддержи-
ваются незатухающие колебания. Определите амплитудное
значение напряжения на катушке ULi, если средняя мощность
(Р), потребляемая колебательным контуром, составляет 2 мВт.
Ответ: ~ 10 В.
3.241. Определите коэффициент мощности coscp электрической
цепи переменного тока, если средняя потребляемая мощность
(Р) =1,76 кВт, а вольтметр и амперметр, подключенные к цепи,
показывают соответственно 220 Ви 10 А. Ответ: coscp = 0,8.
3.242. * В неразветвленной цепи переменного тока (рис. 93)
действующие значения напряжения на участках цепи соот-
ветственно равны UR = 40 В, Ub - 80 В и Uc - 50 В. Определите
полное напряжение в цепи UA& Ответ: = 50 В.
3.243. * В неразветвленной цепи переменного тока (см. рис. 93)
действующие значения напряжения на участках цепи соот-
ветственно равны UR - 30 В; UL = 30 В и Uc - 15 В. Определите
коэффициент мощности cos ср. Ответ: coscp = 0,8
3.244. Скорость распространения электромагнитных волн
в некоторой среде и = 150 Мм/с. Определите длину X электромаг-
нитных волн в этой среде, если частота их колебаний в вакууме
Vq = 3 МГц. Ответ: X = 50 м.
3.245. Электромагнитная волна частотой v = 9 МГц перехо-
дит из немагнитной среды с диэлектрической проницаемостью
с = 1,5 в вакуум. Определите разность длин волн ДХ в этой среде
и вакууме. Ответ: ДХ = 6,12 м.
3.246. Колебательный контур содержит конденсатор электро-
емкостью С = 2,5 пФ и катушку индуктивностью L - 10 мкТл.
А в Пренебрегая сопротивлением, определите
длину Хо электромагнитных волн, излучае-
с мых колебательным контуром в вакууме.
Рис. 93 Ответ: Хо = 94,2 м.
214
3-247. Электроемкость переменного конденсатора приемника
изменяется от до С2 = 36 Ср Определите диапазон длин волн
контура, если электроемкости Ct конденсатора соответствует
длина волны л, = 5 м. Ответ: от 5 до 30 м.
3.248. * Пренебрегая сопротивлением колебательного контура,
определите длину электромагнитной волны в вакууме, на ко-
торую настроен контур, если максимальный заряд на обкладках
конденсатора Qm = 25 нКл, а максимальная сила тока в контуре
1т = 2 А. Ответ: Zo = 23,6 м.
3.249. Колебательный контур содержит конденсатор и ка-
тушку индуктивностью L = 2 мГн. Пренебрегая сопротивле-
нием, определите электроемкость С конденсатора, если длина
электромагнитных волн, излучаемых колебательным контуром
в вакууме, Хо - 750 м. Ответ*. С = 79,2 пФ.
3.250. Пренебрегая активным сопротивлением контура,
определите длину волны в вакууме, на которую настроен коле-
бательный контур индуктивностью L - 5 мкГн, если максималь-
ная сила тока в контуре Jm = 2 А, а максимальное напряжение
на конденсаторе (7т = 220 В. Ответ: = 85,6 м.
3.251. Длина л0 электромагнитной волны в вакууме, на кото-
рую настроен колебательный контур, равна 47,1 м. Пренебрегая
сопротивлением контура, определите максимальную силу тока
Zjn в контуре, если максимальный заряд Qm на обкладках кон-
денсатора равен 25 нКл. Ответ: Im = 1 А.
3.252. Определите скорость и распространения электромаг-
нитных волн в немагнитной среде с диэлектрической проницае-
мостью £ - 2,2. Ответ: и - 2,02* 108 м/с.
3.253. В вакууме вдоль оси х распространяется плоская
электромагнитная волна. Определите амплитуду Вт индукции
магнитного поля электромагнитной волны, если амплитуда Ет
напряженности электрического поля волны равна 9 В/м. Ответ:
= 30 нТл.
3.254. В вакууме вдоль оси х распространяется плоская элек-
тромагнитная волна. Определите амплитуду напряженности
электрического поля электромагнитной волны, если амплиту-
да Вт индукции магнитного поля волны равна 40 нТл. Ответ:
Ет = 12 В/м.
3.255. * Определите среднюю энергию переносимую элек-
тромагнитной волной через поверхность, площадь которой S =
= 1,5 см2 за время t = 5 с, если поверхностная плотность потока
излучения (интенсивность излучения) 1=1 мВт/м2. Ответ:
W - 0,75 мкДж.
215
3,256. * Определите поверхностную плотность потока электро-
магнитного излучения (интенсивность излучения) I в вакууме,
если средняя объемная плотность энергии (tv) электромагнитной
волны равна 3 10 ° Дж/м3, Ответ: I = 0,09 Вт/м2.
3.257. Амплитуда напряженности Ет электрического поля
электромагнитной волны в вакууме равна 10 В/м. Определи-
те поверхностную плотность I потока излучения. Ответ: I -
= 0,266 Вт/м2.
Глава 16
Элементы геометрической оптики
Основные законы и формулы
Абсолютный показатель преломления среды
с
п --
V
[с — скорость электромагнитных волн в вакууме; и — скорость
электромагнитных волн в среде].
Показатель преломления второй среды относительно первой
(относительный показатель преломления)
«21 = —
«1
[их и п2 — абсолютные показатели преломления первой и второй
сред].
Закон отражения света
р = а
[а — угол падения; 0 — угол отражения],
Закон преломления света
sin a
-п21
sin у
[а — угол падения; у — угол преломления; л21 — показатель
преломления второй среды относительно первой].
Связь угла <р отклонения лучей призмой и преломляющего
угла А призмы
9 - А(п - 1)
[п — показатель преломления призмы].
Предельный угол полного отражения при распространении
света из среды оптически более плотной в среду оптически менее
плотную
л2
sin а пр = —= n2i.
217
Формула сферического зеркала для параксиальных пуч-
ков
1 1= 2_= 1
a b R f
[а — расстояние от полюса зеркала до предмета; Ъ — расстояние
от полюса зеркала до изображения предмета; R — радиус кри-
визны зеркала; f — главное фокусное расстояние зеркала].
Оптическая сила сферического зеркала
Ф=1Л
f R
[f — главное фокусное расстояние зеркала; R — радиус кривиз-
ны зеркала],
Увеличение сферического зеркала
г=-
а
[а и b — соответственно расстояние от полюса зеркала до пред-
мета и изображения].
Оптическая сила линзы
ф=7
[/ — фокусное расстояние линзы].
Формула тонкой линзы для параксиальных лучей
1+1=1
a b f
[а и b — соответственно расстояние от оптического центра лин-
зы до предмета и его изображения; f — фокусное расстояние
линзы].
Примеры решения задач
Q Луч света падает на границу раздела двух сред под углом
а - 32°. Определите показатель преломления п2 второй среды,
если показатель преломления гц первой среды равен 1,65, а пре-
ломленный и отраженный лучи взаимно перпендикулярны.
Дано: а - 32й; пг = 1,65.
Найта: п2.
Решение. Согласно условию задачи, преломленный и отра-
женный лучи перпендикулярны друг другу (рис. 94), т.е.
I 218
0 + у = 90\
Согласно закону отражения 0 = а, поэтому
а + у _ 90*
Запишем закон преломления на границе раздела
двух сред
sing _ п2
sin у ’
Учитывая выражение (1), имеем
sin a sin а □
----------=------ tg а — ——
sin(90°-a) cosa
Рис. 94
(1)
откуда искомый показатель преломления второй среды
и2 - tga
Ответ: п2 = 1,03.
□ Радиус кривизны вогнутого зеркала R - 40 см. Определи-
те, на каком расстоянии а от полюса зеркала следует поместить
предмет, чтобы его действительное изображение Н было в два
раза больше предмета h.
Дано: R 40 см = 0,4 м; Н = 2ft,
Найти: а.
Решение. Чтобы в вогнутом зеркале получить действи-
тельное увеличенное изображение, предмет следует поместить
между главным фокусом F и оптическим центром О зеркала
(рис. 95).
Для построения изображения используем лучи, исходящие
из точки А предмета: 1) луч 1, параллельный главной оптиче-
ской оси, который после отражения проходит через главный
фокус; 2) луч 2, проходящий через глав-
ный фокус, который после отражения
от зеркала идет параллельно главной
оптической оси. Точка пересечения А'
отраженных лучей — действительное
изображение точки А. Изображения
всех остальных точек предмета лежат
на перпендикуляре, опущенном из точ-
ки Д' на главную оптическую ось. Таким
образом, получили действительное уве-
личенное, перевернутое изображение.
Рис. 95
219
Согласно формуле сферического зеркала
[все расстояния взяты со знаком «+» (изображение действитель-
ное)]. По условию задачи
ha'
откуда :
b = 2а. (2)
Подставив (2) в формулу (1), получим
а 2а R
откуда искомое расстояние
Ответ: а = 30 см.
□ На расстоянии а - 15 см от полюса выпуклого сферического
зеркала с радиусом кривизны Л - 20 см поставлен предмет высо-
той h - 10 см. Определите расстояние Ъ от полюса до изображения
и высоту Н изображения.
Дано: а - 15 см - 0,15 м; R - 20 см = 0,2 м; h - 10 см = ОД м.
Найти: Ь; Н.
Решение. В выпуклом сферическом зеркале при любом по-
ложении предмета получается мнимое, прямое, уменьшенное
изображение предмета, которое находится между главным фо-
кусом и зеркалом.
Для построения изображения ис-
пользуем лучи, исходящие из точки
А предмета: 1) луч 1, параллельный
главной оптической оси, продолжение
которого после отражения проходит
через фокус F', 2) луч 2, проходящий
через оптический центр О зеркала,
который после отражения идет назад
вдоль первоначального направления.
Точка пересечения А’ продолжения
отраженных лучей — мнимое изобра-
220
жение точки А. Изображения всех остальных точек предмета
лежат на перпендикуляре, опущенном из точки А' на главную
оптическую ось (рис. 96).
Согласно формуле сферического зеркала для параксиальных
лучей,
1 + 1 = 1 = _2
a b f R’
(1)
где f — главное фокусное расстояние зеркала (поскольку сфери-
ческое зеркало выпуклое, фокусное расстояние — величина
отрицательная); b — расстояние до мнимого изображения — его
следует также брать со знаком
Поэтому для выпуклого сферического зеркала формула (1)
имеет вид
11
а b
1 112
— или 1- — “ —
f a b R
откуда искомое расстояние от полюса зеркала до изображения
, aR
"2а + Л
Из подобия треугольников АОВ и А’ОВГ имеем
h =R + a
Н~ R-b'
откуда искомая высота изображения
R + a
Ответ: b = 6 см; Н = 4 см.
П Луч света падает на плоскопараллельную стеклянную
пластинку (показатель преломления стекла п = 1,5) под углом
а = 30°. Определите толщину d пластинки,
если вышедший из пластинки луч смещен
относительно продолжения падающего луча
на расстояние h = 1,5 см.
Дано: п - 1,5; а = 30°; h - 1,5 см =
-1,5*10 2 м.
Найти: d.
Решение. Вышедший из пластинки луч
будет параллелен падающему (ход лучей по-
казан на рис. 97). Из рисунка следует, что Рис. 97
221
d _ h
cosy sin(a-y)’
откуда
_ frcosy _______A cos у_____ (J)
sin (a-у) sin a cosa-cosy sin у ’
На основании закона преломления
sin a ~
-----n,
smy
откуда siny = sma. Подставив это значение в формулу (1), а так-
п
же выразив косинус угла через синус, найдем искомую толщину
пластинки
_______h\[n2 -sin2a______
sina(Vn2 - sin2a - Vl-sin2a)
Ответ: d = 7,73 cm.
Q На расстоянии a = 6 см от двояковыпуклой тонкой лин-
зы с оптической силой Ф - 25 дптр перпендикулярно главной
оптической оси находится предмет высотой 7г = 5 см. Определите
расстояние b от изображения до линзы и высоту Н изображения.
Среды по обе стороны линзы одинаковы.
Дано: а = 6 см - 6 • 10-2 м; Ф - 25 дптр; h = 5 см - 5 10 2 м.
Найти: b; Н.
Решение. Чтобы построить изображение предмета в линзе,
найдем ее фокусное расстояние.
Оптическая сила тонкой линзы
ф=-,
f
где f — фокусное расстояние, откуда
—= 410’2m.
ф
Для построения изображения используем лучи, исходящие
из точки А предмета: 1) луч 1, идущий параллельно главной
оптической оси, который после преломления в линзе проходит
через второй фокус линзы; 2) луч 2. проходящий через оптиче-
222
ский центр линзы и не изменяющий своего
направления. Точка пересечения Ат этих
лучей и есть действительное изображение
точки А. Изображения всех остальных
точек предмета лежат на перпендикуляре,
опущенном из точки А' на главную оптиче-
скую ось (рис. 98). ,
Из построения следует, что при помеще-
нии предмета между двойным фокусным Рис. 98
расстоянием и фокусом (см. условие зада-
чи) изображение находится за двойным фокусным расстоянием
по другую сторону линзы и является действительным, перевер-
нутым и увеличенным.
Согласно формуле тонкой линзы,
откуда искомое расстояние изображения от линзы
Из рис. 98 следует, что
h _а
Н Ъ*
откуда искомая высота изображения
н=—
Ответ*, b = 12 см; Н = 10 см*
Задачи для самостоятельного решения
3.268* Определите скорость v распространения света в среде,
абсолютный показатель преломления которой п - 1,6, Ответ:
v = 1,88*10® м/с.
3.259* Определите абсолютный показатель преломления п
воды, если длина волны Хо желтого света в вакууме 583 нм,
а в воде X - 438 нм. Ответ: п = 1,33.
3.260. Свет падает из воды (абсолютный показатель прелом-
ления 1,33) в алмаз (абсолютный показатель преломления 2,42).
Определите относительный показатель преломления п сред.
Ответ: п = 1,82.
223
3.261. Луч света переходит из бензола (абсолютный пока’*
зателъ преломления п1 = 1,5) в воду (п2 = 1,33). Определит^
угол у преломления луча, если угол падения а = 45\ Ответ!
Y - 52,9\ '
3.262. Луч света переходит из воды (абсолютный показателе
преломления пг - 1,33) в алмаз (п2 = 2,42). Определите угол
падения а луча, если угол преломления у = 30\ Ответ: а
= 65,5\ .
3.263. Луч света падает на границу раздела двух сред под
углом а = 34°. Определите показатель преломления п2 второй
среды, если показатель преломления П! первой среды равен 2,42,
а отраженный и преломленный лучи взаимно перпендикулярный
Ответ: п2 = 1,63.
3.264. Световой луч падает на поверхность алмаза (показатель
преломления щ ~ 2,42) под углом аг = 40\ Определите, под каким;
углом а2 он должен упасть на поверхность воды (показатель пре- 5
ломления = 1,33), чтобы угол преломления в алмазе был равен |
углу преломления в воде. Ответ: а2 = 20,7". ?
3.265. На стеклянную призму с показателем преломления
п = 1,6 и преломляющим углом А - 50 под углом а, = 30° падает
монохроматический луч света. Определите угол <р отклонения
луча призмой. Ответ: <р = 37,5\
3.266. Монохроматический луч света падает на боковую грань
равнобедренной призмы с преломляющим углом А = 30'? и после
преломления идет параллельно основанию призмы. Определите
угол ср отклонения луча призмой, если показатель преломления
л материала призмы равен 1,7. Ответ: <р - 22,2\
3.267. На грань стеклянной призмы с показателем прелом-
ления п - 1,6 нормально падает монохроматический луч света.
Определите угол отклонения <р луча призмой, если ее прелом-
ляющий угол А = 15й. Ответ: <р = 9,5\
3.268. Монохроматический луч света падает нормально на вер-
тикальную грань призмы с показателем преломления п = 1,6
и преломляющим углом А = 30°. Определите угол (р отклонения
луча призмой. Ответ: <р = 23,Г.
3.269. Определите предельный угол апр при переходе светового
луча из алмаза (абсолютный показатель преломления = 2,42)
в стекло (п2 = 1,5). Ответ: апр = 38,3\
3.270. Предельный угол полного отражения на границе ал-
маз — жидкость апр = 42\ Определите показатель преломления
жидкости если показатель преломления алмаза п = 2,42.
Ответ: пж = 1,62.
I 224
3.271. Луч света переходит из алмаза в воздух. Определите
скорость и света в алмазе, если предельный угол аир = 24,4\ От-
вет: и = 1,24 -108 м/с.
3.272. Определите преломляющий угол А призмы из стекла
с показателем преломления и - 1,6, если монохроматический
луч света падает нормально на одну из граней призмы и выходит
из призмы вдоль другой грани. Ответ: А - 38,7°.
3.273. Определите угол а падения светового луча на плоское
зеркало, чтобы угол у между отраженным лучом и поверхностью
зеркала составил 20\ Ответ: а = 70°.
3.274. Луч света падает на плоское зеркало под углом = 30*.
Определите изменение угла у между падающим и отраженным
лучами, если луч будет падать на зеркало под углом а2 = 45°.
Ответ: у - 30°.
3.275. Определите, на какой угол у повернется луч, отражен-
ный от плоского зеркала, если зеркало повернуть на угол а = 15°.
Ответ: у = 30°.
3.276. В коридоре висит зеркало, верхний край которого
находится на уровне волос верхней части головы человека
ростом h = 150 см. Определите наименьшую длину I зеркала,
при которой человек смог увидеть себя в полный рост. Ответ:
I = 80 см.
3.277. Два плоских зеркала образуют двугранный угол А = 50*.
На одно из зеркал под углом аг - 20е падает световой луч. Опре-
делите угол <р поворота отраженного луча после его отражения
от обоих зеркал. Ответ: q> = 2А (не зависит от угла падения
луча на зеркало).
3.278, Радиус кривизны 7? вогнутого сферического зеркала ра-
вен 30 см. Определите, на каком расстоянии а от полюса зеркала
следует поместить предмет, чтобы его действительное изображе-
ние было в два раза больше предмета. Ответ: а = 22,5 см.
3.279. Вогнутое сферическое зеркало дает на экране 10-кратное
действительное увеличение, когда предмет находится на расстоянии
а - 33 см от полюса зеркала. Определите фокусное расстояние f
и радиус кривизны R этого зеркала. Ответ: f - 30 см; R = 60 см.
3.280. Расстояние а от предмета до вогнутого сферического
зеркала равно двум радиусам кривизны R зеркала. Определите
расстояние b от изображения предмета до полюса зеркала и по-
2
стройте изображение предмета. Ответ: b~—R,
о
3.281, Радиус R кривизны вогнутого сферического зеркала
равен 45 см. Определите, на каком расстоянии а от полюса зер-
225
кала следует поместить предмет, чтобы его изображение было
мнимым и увеличенным в три раза» Ответ: а = 15 см.
3.282. Определите расстояние а, на котором следует поме-
стить предмет от полюса вогнутого сферического зеркала с фо-
кусным расстоянием f - 30 см, чтобы изображение предмета
совпало с самим предметом» Постройте изображение. Ответ:
а = 60 см.
3.283. На расстоянии а = 30 см от полюса выпуклого сфериче-
ского зеркала с радиусом кривизны R - 40 см поставлен предмет,
высота которого h - 20 см. Определите расстояние Ъ от полюса
зеркала до изображения и высоту Н изображения. Ответ: Ъ =
= 12 см; Н = 8 см.
3.284. Определите, во сколько раз высота изображения пред-
мета, находящегося на расстоянии а = 60 см от полюса выпуклого
сферического зеркала с фокусным расстоянием f- 30 см, меньше
высоты самого предмета. Ответ: в 3 раза.
3.285. Определите расстояние а предмета от полюса выпуклого
сферического зеркала с фокусным расстоянием f = 60 см, если
его изображение в два раза меньше самого предмета. Ответ:
а = 60 см.
3.286. На горизонтальном дне бассейна глубиной h - 80 см ле-
жит плоское зеркало. Луч света входит в воду под углом а 45 .
Определите расстояние <s от места вхождения луча в воду до вы-
хода его на поверхность воды после отражения от зеркала. По-
казатель преломления воды п - 1,33. Ответ: s = 1 м.
3.287. Луч света падает под углом а = 30° на плоскопарал-
лельную стеклянную пластинку с показателем преломления п -
= 1,5. Определите толщину d пластинки, если прошедший ее луч,
выходя параллельно падающему лучу, имеет боковое смещение
h = 9,7 мм. Ответ: d - 5,02 см.
3.288. Луч света падает на плоскопараллельную стеклянную
пластинку с показателем преломления л - 1,71 и толщиной
d = 1 см под углом а = 44\ Определите боковое смещение h луча,
прошедшего сквозь эту пластинку- Ответ: h - 3,74 см.
3.289. Определите глубину /г, на которой кажется располо-
женной монета, лежащая на глубине Н ~ 90 см, если угол а
между лучом зрения и вертикалью составляет 45°. Показатель
преломления воды п - 1,33. Ответ: h - 56,5 м.
3.290. Определите истинную глубину Н озера, если его кажу-
щаяся глубина h - 1 м и угол между лучом зрения и вертикалью
составляет у = 60\ Показатель преломления воды п = 1,33. От-
вет: Н = 2,45 м.
I 226
3.291. Предмет высотой h - 10 см расположен перед двояко-
выпуклой линзсй, имеющей оптическую силу Ф - 2 дптр. Опре-
делите фокусное расстояние f линзы и высоту Н изображения
предмета, если лилейное увеличение линзы Г = 1,5. Ответ:
f = 50 см; Н - 15 см.
3.292. Предмет находится на расстоянии d = 1,1 м от экрана.
Где следует поместить собирательную линзу, чтобы получить
10-кратное увеличение предмета? Ответ: b = 1 м.
3.293. Предмет находится на расстоянии d 1 м от экрана.
Определите оптическую силу Ф линзы, если она дает 5-кратное
увеличение. Ответ: Ф = 7,2 дптр.
3.294. Предмет высотой h = 5 см расположен на расстоянии
а = 12 см перед двояковыпуклой линзой с оптической силой
Ф = 10 дптр. Определите расстояние Ъ изображения предмета
от линзы и высоту Н изображения. Что это за изображение (под-
твердите построением)? Ответ: b ~ 60 см; Н = 25 см.
3.295. Предмет высотой h = 15 см расположен на расстоянии
а - 40 см перед двояковыпуклой линзой с оптической силой
Ф - 2 дптр. Определите фокусное расстояние f линзы, расстоя-
ние Ъ изображения предмета от линзы и высоту Н изображения.
Что это за изображение (подтвердите построением)? Ответ: f~
~ 0,5 м; Ъ - -2 м; Н - -0,75 м,
3.296. На расстоянии а - 20 см от рассеивающей линзы с фо-
кусным расстоянием f = 40 см перпендикулярно главной опти-
ческой оси находится предмет высотой h = 10 см. Определите
расстояние b изображения от линзы и высоту Н изображения.
Среды по обе стороны линзы одинаковы. Ответ: b = 13,3 см;
Н - 6,65 см.
3.297. Линза с фокусным расстоянием f - 30 см дает умень-
шенное в три раза мнимое изображение. Определите расстоя-
ние а предмета до линзы и расстояние b изображения предмета
от линзы. Ответ: а - 60 см; Ъ = 20 см.
Глава 17
Природа света. Основы фотометрии
Основные законы и формулы
Скорость распространения электромагнитных волн в среде
1 1 с
VeoMo >/ф л/ф
[с - — скорость распространения света в вакууме; е0 и —
соответственно электрическая и магнитная постоянные; е и ц — со-
ответственно электрическая и магнитная проницаемость среды],
Зависимость между длиной X световой волны и частотой v
электромагнитных колебаний
к=-
[с - ЗЮ8 м/с — скорость распространения света в вакууме].
Световой поток (поток излучения)
Ф=^
t
[W — энергия излучения; t — время излучения].
Сила света
Ф
[Ф — световой поток, распространяющийся внутри телесного
угла Q],
Полный световой поток, испускаемый изотропным точечным
источником света,
= 4л1
[Z — сила света].
Освещенность поверхности
228
[Ф — световой поток, падающий на поверхность; S — площадь
этой поверхности].
Законы освещенности
— = 5 E~£0cosa
^2 \r2j
[И и r2 — соответственно расстояние от источника до рассматри-
ваемой точки; Eq — освещенность поверхности, перпендикуляр-
ной световым лучам; a — угол падения лучей на поверхность].
Примеры решения задач
□ Определите полный световой поток Ф, излучаемый све-
тильником, в виде равномерно светящегося шара силой света
I ~ 200 кд и освещенность Е экрана площадью - 0,2 м2,
на который падает 30 % светового потока, излучаемого данным
светильником.
Дано: I = 200 кд; Фх = 0,ЗФ; = 0,2 м2.
Найти: Ф; Е.
Решение. Полный световой поток, испускаемый изотропным
точечным источником,
Ф = 4л7
Освещенность экрана
Ф1
где по условию задачи световой поток, падающий на экран,
Ф! = 0,ЗФ. Тогда
___________________________
[Ф] = ср кд = ЛМ, [£] - лм/м2 = лк.
Ответ: Ф - 2,51 клм; Е = 3,77 клк.
Q Выразите законы освещенности через силу света I источ-
ника, если угол падения лучей на поверхность равен а.
Дано: Z; а
Найти: Е{1),
Решение. При равномерном распределении падающего на по-
верхность светового потока Ф освещенность
229
я = |, (1)
О
где S — площадь этой поверхности.
Точечный источник испускает световой поток равномерно
во все стороны. Площадь поверхности сферы
S = 4лг\ (2)
полный световой поток I
Ф = 4п1, (3)!
где I — сила света.
Подставив (2) в (3) в формулу (1), получаем !
где Eq — освещенность поверхности при перпендикулярном:
падении лучей. !
Согласно второму закону освещенности, i
£ = E0cosa,
где Е — освещенность поверхности при падении светового луча
под углом а.
Из двух последних формул находим искомую зависимость <
£ = ^cosa
г*
— обобщенный закон освещенности.
Задачи для самостоятельного решения
3.298. Определите световой поток Ф, испускаемый точечными
источником силой света I - 50 кд внутри телесного угла Q
- 0,4 ср. Ответ: Ф - 20 лм.
3.299. Определите, во сколько раз полный световой поток, ис-
пускаемый точечным источником, больше светового потока, ис-
пускаемого тем же источником внутри телесного угла Q = 0,5 ср.1
Ответ: в 25,1 раза.
3.300. Определите световой поток Ф, падающий на площадь
поверхностью S - 2 см2, если ее освещенность Е = 1 лк. Ответ:;
Ф - 2 • 10"4 лм.
3.301. Для печатания фотографий при использовании лампы
с силой света = 80 кд время экспозиции - 1,5 с. Определите
время экспозиции t2 при замене этой лампы лампой силой света
230
I2 - 60 кд, если в обоих случаях световая энергия W одинакова.
Ответ: t2 - 2 с.
3.302. Параллельный пучок света, падая на поверхность под
углом он = 30\ создает освещенность = 100 лк. Определите
освещенность Е2 этой поверхности при угле падения а2 = 60\
Ответ: Е2 = 57,7 лк.
3,303. Определите освещенность Е под лампочкой силой све-
та I = 50 кд, висящей без абажура на расстоянии г = 0,5 м над
столом. Ответ: Е - 200 лк.
3.304. Расстояние гх от первой лампочки силой света Д - 50 кд
до экрана равно 20 см, второй лампочки г2 = 40 см. Определите
силу света 12 второй лампочки. Ответ: 12 - 200 кд.
3.305. В центре квадратной комнаты площадью S = 25 м2
на высоте h = 1,8 м висит светильник силой света I ~ 150 кд.
Считая светильник точечным источником света, определите осве-
щенность Е в одном из углов комнаты. Ответ: Е - 4,33 лк.
Глава 18
Волновая оптика
Основные законы и формулы
Скорость света в среде
с
v = —
п
[с — скорость распространения света в вакууме; п — абсолютный
показатель преломления среды].
Оптическая длина пути
L - ns
[s — геометрическая длина пути световой волны в среде; п —
показатель преломления этой среды]*
Оптическая разность хода двух световых волн
Д = L2 —
[L2 и L1 — соответственно оптические длины проходимых вол-
нами путей].
Разность фаз двух когерентных волн
2 л
<р = —Д
А,
[X — длина волны в вакууме; Д — оптическая разность хода двух
световых волн].
Условие интерференционных максимумов и минимумов
• А = ±2й| (k = 0, 1, 2,
• A = ±(2fe + 1)^ (fe = 0, 1, 2, ...)
[X — длина волны в вакууме].
Условия максимумов и минимумов при интерференции
света, отраженного от верхней и нижней поверхностей тонкой
плоскопараллельной пленки, находящейся в воздухе:
I 232
• 2dncosy -2d\/n2 -sin2 a(k = О, 1, 2, ..♦);
£ £
• 2dncosy = 2tZ>/n2 - sin2 a -^ = (2fe + l)^ (k - 0, 1, 2, ...)
u &
[d — толщина пленки; n — ее показатель преломления; a — угол
падения; у — угол преломления; X — длина волны в вакууме].
Радиусы светлых и темных колец Ньютона в отраженном
свете (или темных в проходящем свете)
гсн = Jl |ХЛ; гг = yJk^R
2 J
[ft = 1, 2, 3, ... — номер кольца; R — радиус кривизны линзы;
X — длина волны в вакууме].
В случае «просветления оптики» интерферирующие лучи
в отраженном свете гасят друг друга при условии
П = 2nd = (2fe + l)— (k = 1, 2, 3,
[пс — показатель преломления стекла; п — показатель прелом-
ления пленки; nd — оптическая толщина пленки; X — длина
волны в вакууме].
Период дифракционной решетки
d - а + b; d = -^-
[а — ширина каждой щели решетки; & — ширина непрозрачных
участков между щелями; ЛГ0 — число щелей, приходящихся
на единицу длины дифракционной решетки].
Условие максимумов дифракционной решетки, на которую
свет падает нормально:
dsinip - ±2&— (к “ 1, 2, ...)
— период дифракционной решетки; <р — угол дифракции;
X — длина волны в вакууме].
Число максимумов, наблюдаемых с помощью дифракцион-
ной решетки:
[d — период дифракционной решетки; X — длина волны в ва-
кууме].
233
Закон Брюстера
[аБр — угол падения, при котором отраженный от диэлектрика
луч является плоскополяризованным; n2i — относительный по-
казатель преломления].
Эффект Доплера для электромагнитных волн
1 + v/c
v=v0 -—/
\ 1-V/C
[v0 — частота колебаний источника; v — частота колебаний,
воспринимаемых приемником; и — скорость сближения источ-
ника и наблюдателя вдоль соединяющей их прямой].
Коротковолновая граница сплошного рентгеновского
спектра
_ ch
’ eU
[е — заряд электрона, е = 1,6 *10"19 Кл); U — разность потен-
циалов, приложенная к рентгеновской трубке; с — скорость
света в вакууме; h = 6,63* 10 34 Дж с — постоянная Планка]*
Примеры решения задач
Q На экране в результате наложения лучей от двух когерент-
ных источников = 560 нм) наблюдается интерференционная
картина. На пути одного из лучей перпендикулярно ему помести-
ли стеклянную пластинку (n = 1,7), при этом интерференционная
картина сместилась на восемь полос. Определите толщину d
пластинки.
Дано: X = 560 нм - 5,6 10-7 м; п = 1,7; k - 8.
Найти: d.
Решение. При внесении стеклянной пластинки оптическая
разность хода между лучами изменится на
Д - nd - d - d(n - 1),
где d — толщина пластинки; п — ее показатель преломления-
С другой стороны, внесение пластинки приведет к смещению
интерференционной картины на k полос, т.е. дополнительная
разность хода равна k'k. Следовательно,
d(n - 1) = kK,
234
откуда искомая толщина пластинки
d =----
n-1
Ответ: d = 6,4 мкм.
Q Два когерентных источника и S2 испускают монохрома-
тический свет с длиной волны X = 600 нм. Определите положение
третьей темной x3min и второй светлой x2mnx полос, если расстояние
между источниками d = 2 мм, а расстояние от обоих источников
до экрана I = 2 м.
Дано*. Л = 600 нм - 6 10 7 м; d - 2 мм -- 2 •10 3 м; I = 2 м.
Найти". x3min; x2max.
Решение. Интенсивность в любой точке А экрана, лежащей
на расстоянии х от точки О, симметричной относительно коге-
рентных источников (рис. 99), определяется оптической раз-
ностью хода
А = 81-82. (1)
Применяя теорему Пифагора, имеем
/ j
S12=Z2+ х + 5 , (2)
X )
• (3)
Вычитая почленно из выражения (2) выражение (3), получим
Si - = 2xd
или
Согласно условию задачи, I » d, тогда + s2 =
= 21. Поэтому оптическая разность хода
Д = *р (4)
Интерференционный минимум наблюдается
при оптической разности хода, равной полуцелому
числу длин волн в вакууме:
Д = ±(2Л + 1)£ (А= 1, 2, ...) (5)
А
235 I
Рис. 99
Приравняв выражения (4) и (5): '
найдем положение темных полос
•^min = ±[ & + —
\ ) CL
Тогда искомое положение третьей темной полосы (k - 3)
~х Z+i£
3min ~2d
Интерференционный максимум наблюдается при оптической
разности хода, равной целому числу длин волн в вакууме:
Л--2/г| (А = 1, 2, ...). (6)
Приравняв (4) и (6):
х cL
Д™^Г- = +АХ,
найдем положение светлых полос
*тах=±Ц*-
d
Тогда искомое положение второй светлой полосы (£ = 2)
_ -^2—
^2 max ~
Ответ: x3min = ±2,1 мм; х2гпах = ±1,2 мм
Q На плоскопараллельную стеклянную пластинку с показате-
лем преломления п = 1,6 под углом а = 45° падает параллельный
пучок белого света* Определите наименьшую толщину стеклян-
ной пластинки dmin, при которой отраженный свет наиболее
сильно окрасится в красный цвет (л - 750 нм).
Дано: п, = 1,6; а = 45"; X = 750 нм - 7,5 10-7 м>
Найти: dinin.
Решение- Световой луч 1, выделенный из параллельного пуч-
ка белого света, падающего под углом а на плоскопараллельную
пластинку, в точках А, В и С частично отражается и частично
преломляется (рис. 100).
I 236
Оптическая разность хода, возникаю-
щая между двумя интерферирующими
лучами от точки А до плоскости DC:
b = (AB + BC)n-AD~, (1)
где учтено, что показатель преломления
среды, окружающей пластинку, равен 1,
и при отражении от верхней поверхности
пластинки (от среды оптически более плот-
ной) теряется полволны (у отраженной
волны происходит скачок фазы на л).
Из рис» 100 следует, что
В
Рис. 100
АВ - —AD = ACsina = 3AEsina = 2dtgysina,
cosy
где d — толщина пленки; a — угол падения; у — угол прелом-
ления.
Подставив эти значения в формулу (1) и учитывая закон пре-
sina
ломления-----= п, получаем
sin у
Л- 2dn -2^tgysiria — - 2dnJl-sin2y -
cosy 2 2
= 2dVn2-sin2a -
Интерференционный максимум наблюдается при оптической
разности хода, равной целому числу длин полуволн, Д = &л.
Поэтому можно записать
2afVn2 -sin2 a - — = kX.
2
(2)
Для наименьшей толщины пленки k ~ 1, Следовательно, вы-
ражение (2) можно записать в виде
2dmin Vn2-sin2a - £ = А.,
откуда искомая минимальная толщина пленки
4лМ2 -sin2a
Ответ: tZmin = 392 нм.
237
Рис. 101
ЕЯ Установка для наблюдения колец Ньютона (рис. 101) осве-
щается монохроматическим светом с длиной волны X = 550 нм,
падающим нормально. Определите толщину d воздушного зазора,
образованного плоскопараллельной пластинкой и соприкасаю-
щейся с ней плосковыпуклой линзой в том месте, где наблюдается
второе темное кольцо в отраженном свете.
Дано: X = 550 нм = 5,5 107 м; а = О; k - 2;
п = 1.
Найти: d.
Решение. Параллельный пучок света, падая
нормально на плоскую поверхность линзы,
частично отражается от верхней и нижней по-
верхностей воздушного зазора между линзой
и пластинкой. При наложении отраженных
лучей возникают кольцевые полосы равной
толщины.
Запишем условие образования темных колец (интерференци-
онных минимумов)
Д = ±(2Л + 1)^ (k = 1, 2, (1)
т. е. оптическая разность хода А лучей, отраженных от обеих
поверхностей воздушного зазора, должна быть равна нечетному
числу полуволн.
С другой стороны, в отраженном свете
А - 2rfz?cosy + — -- 2d + —
’ 2 2
(2)
(учли, что показатель преломления воздуха п = 1, угол прелом-
ления у - - 0 (по условию задачи угол падения а = 0), — потеря
полуволны при отражении от оптически менее плотной сре-
ды).
Приравняв выражения (1) и (2), имеем
2d+| = (2A + l)|,
откуда искомая толщина воздушного зазора
kX
2
Ответ: d = 550 нм.
238
в На дифракционную решетку нормально к ее поверхности
падает монохроматический свет с длиной волны X - 600 нм.
На экран, находящийся от решетки на расстоянии L - 0,8 м,
с помощью линзы, расположенной вблизи решетки, проецирует-
ся дифракционная картина, причем первый главный максимум
наблюдается на расстоянии Z = 10 см от центрального (рис. 102).
Определите период d дифракционной решетки, число штрихов п
на 1 см ее длины и общее число N максимумов, наблюдаемых
с помощью дифракционной решетки.
Дано: X = 600 нм = 6 -10-7 м; L = 0,8 м; k - 1; I = 10 см = 0,1 м;
/' -1 см - 10“2 м.
Найти: d; п; 7V.
Решение. Период дифракционной решетки найдем из условия
главного максимума
dsin<p-feX, (1)
где k — порядок спектра (номер максимума; по условию задачи
Ь = 1). z
Из рисунка следует, что tg<p = —. Так как I L, то tg(p » sincp.
Выражение (1) можно записать в виде
— =
L
откуда искомый период дифракционной решетки
, kXL
d‘~r
Число штрихов на V = 1 см равно
d
Поскольку наибольший угол отклонения лучей решеткой не мо-
жет быть более л/2, из условия (1) найдем максимальное значение
k < —
(приняли sin<pmax = 1). Естествен-
но, что число &max должно быть
целым.
Общее число максимумов, дава-
емых дифракционной решеткой,
2*max + 1,
Рис. 102
239
так как максимумы наблюдаются как справа, так и слева от цен-
трального максимума (единица учитывает центральный макси-
мум).
N = ^ + l
X
Ответ: d - 4,8 мкм; п = 2,08’ 103 см \ N = 17.
Q Пучок естественного света падает на стекло с показателем
преломления п = 1,54. Определите, при каком угле преломления от-
раженный от стекла пучок света будет полностью поляризован.
Рис. 103
Дано: п = 1,54.
Найти: у.
Решение. Свет, отраженный от диэлектри-
ка, полностью поляризован, если он падает
на диэлектрик под углом Брюстера (рис. 103).
Согласно закону Брюстера,
- ^21,
где n2i — относительный показатель преломления [показатель .
преломления второй среды (стекла) относительно первой (воз-
духа)]; н21 - — = п (так как = 1).
ni
Имеем
аБр = arctgn = 57е.
Если свет падает на границу раздела под углом Брюстера,
то отраженный и преломленный лучи взаимно-перпендикулярны
sinaBp sinaB t
(tgaBD =---- =-----------j откуда ctBD - smy). Следовательно,
cos a Bp smy
аБр + Y - л/2, ho aBp = aEp (закон отражения), поэтому а'Бр + у = л/2.
Искомый угол преломления, при котором отраженный луч полно-
стью поляризован,
у = 90* - аБр
Ответ: у -
□ Определите длину волны л0 границы сплошного рентге-
новского спектра, если скорость и электронов, бомбардирующих
анод рентгеновской трубки, равна 0,8с.
Дано: v = 0,8е; т = 9,11 10-31 кг.
Найти:
I 240
(1)
Решение. Согласно закону сохранения, энергия рентгенов-
ского фотона не может быть больше кинетической энергии Ек
электрона, бомбардирующего анод рентгеновской трубки, т.е.
^тах “ ~
Лд
где £тах — максимальная энергия рентгеновского фотона; v0 —
максимальная частота фотона; h - 6,63 10”34 Дж с — постоянная
Планка; с - 3 10s м/с — скорость света в вакууме.
Скорость v сравнима со скоростью с, поэтому
—-Л
v2/c2 I
Ек - тес2
(2)
где т( — масса электрона.
Приравняв выражения (1) и (2):
йс 2f 1 -Л
*-о y/l-v^/c2 )
получим искомую границу сплошного рентгеновского спектра
л - h
°' :
7ПсС у- -1
1^71 v2/c2
п 1 Дж с Дж
1Ло1 / и
кг м/с Н
Ответ: А.о - 3,64 пм.
Задачи для самостоятельного решения
3.306. Плоская электромагнитная волна падает нормально
на границу раздела воздух — алмаз. Определите длину волны Л
в алмазе, если длина волны лп в воздухе равна 500 нм, а показа-
тель преломления алмаза 2,42. Ответ: X * 207 нм.
3.307. Оптическая длина пути L световой волны в некоторой
среде равна 3 м. Определите показатель преломления п этой сре-
ды, если геометрическая длина пути s = 2 м Ответ: п = 1,5.
3.308. Определите оптическую разность хода Д двух когерент-
ных монохроматических волн в среде с показателем преломления
п = 1,6, если геометрическая разность хода лучей равна 2 см.
Ответ: Д = 3,2 см.
3.309. Оптическая разность хода Д двух когерентных волн
равна O,252i. Определите разность фаз <р. Ответ: (р = 0,5л.
241
3.310- Две когерентные световые волны (X = 500 нм) приходят
в некоторую точку пространства с оптической разностью хода
Д = 5 мкм. Наблюдается в данной точке интерференционный
максимум или минимум? Ответ: наблюдается интерференци-
онный максимум.
3.311. Две когерентные световые волны (X = 500 нм) приходят
в некоторую точку пространства с оптической разность хода Д -
= 3,25 мкм. Наблюдается в данной точке интерференционный
максимум или минимум? Ответ: наблюдается интерференци-
онный минимум.
3.312. Два когерентных источника света с X = 400 нм нахо-
дятся на расстоянии d = 3 см друг от друга. Экран расположен
на расстоянии I = 4 см от каждого из источников. Максимум или
минимум будет наблюдаться в точке А экрана, расположенной
напротив первого источника? Ответ: наблюдается интерферен-
ционный максимум.
3.313. Две когерентные световые волны, частота которых v =
= 5,5* 1014 Гц, приходят в воде (показатель преломления п = 1,33) в не-
которую точку с геометрической разностью хода s2 - = 1,44 мкм.
Наблюдается в данной точке интерференционный максимум или
минимум? Ответ: наблюдается интерференционный минимум.
3.314. В опыте Юнга щели (расстояние между щелями d -
= 1 мм) освещаются монохроматическим светом. Определите
длину волны X монохроматического света, если расстояние I
от щели до экрана 1,2 м, а третья светлая полоса расположена
на расстоянии 2 мм от точки О на экране, симметричной отно-
сительно щелей. Ответ: X = 556 нм.
3.315. В опыте Юнга щели (расстояние между щелями d =
= 1 мм) освещаются монохроматическим светом. Определите дли-
ну волны X монохроматического света, если расстояние Z от щели
до экрана 2 м, а вторая темная полоса расположена на расстоя-
нии 2,5 мм от точки О на экране, симметричной относительно
щелей. Ответ: X = 500 нм.
3.316. Интерференция света от двух когерентных источников
света с X = 500 нм и расположенных друг от друга на расстоянии
d = 1,5 мм наблюдается на экране, плоскость которого парал-
лельная прямой, которая соединяет эти источники. Определите
расстояние I от источника до экрана, если вторая светлая полоса
наблюдается на расстоянии х = 2 мм от точки О на экране, сим-
метричной относительно щелей. Ответ: I - 3 м.
3.317. В опыте Юнга щели (расстояние между щелями d -
- 1 мм) освещаются монохроматическим светом с длиной волны
I 242
X - 500 гм. Определите положение четвертой светлой полосы
х4п1ЙХ, если расстояние I от щели до экрана, расположенного па-
раллельно щелям, составляет 2 м. Ответ: х4тах = 4 мм.
3.318. В опыте Юнга щели (расстояние между щелями d ~
= 1 мм) освещаются монохроматическим светом с длиной волны
Л - 556 нм. Определите положение третьей темной полосы
если расстояние I от щели до экрана, расположенного параллель-
но щелям, составляет 1,2 м. Ответ: x3rnin = 2,34 мм,
3.319. На экране в результате наложения лучей от двух ко-
герентных источников (X = 600 нм) наблюдается интерференци-
онная картина. На пути одного из лучей перпендикулярно ему
поместили стеклянную пластинку (п = 1,6) толщиной d = 5 мкм.
Определите, на сколько полос сместится при этом интерферен-
ционная картина. Ответ: k = 5.
3.320. На экране наблюдается интерференционная картина
в результате наложения лучей от двух когерентных источников
света с длиной волны X = 600 нм. Если на пути одного из лучей
перпендикулярно ему поместить стеклянную пластинку толщиной
d = 8 мкм, то интерференционная картина смещается на семь полос.
Определите показатель преломления п стекла. Ответ: п- 1,5.
3.321. Определите минимальную толщину dmin плоскопарал-
лельной пленки с показателем преломления п = 1,6» чтобы при
падении пучка белого света перпендикулярно к поверхности
пленки она в отраженном свете казалась желтой (X - 600 нм).
Ответ: -281 нм.
3.322. На плоскопараллельную пленку с показателем пре-
ломления п = 1,33 под углом а - 30° падает параллельный пучок
белого света. Определите, в каком отраженном цвете будет на-
блюдаться поверхность пленки при минимальной ее толщине
dmin - 0,38 мкм. Ответ: X = 624 нм.
3.323. * Установка для наблюдения колец Ньютона освещается
монохроматическим светом с длиной волны X - 0,5 мкм, падаю-
щим нормально на плоскую поверхность линзы. Определите тол-
щину воздушного зазора d, образованного плоскопараллельной
пластинкой и соприкасающейся с ней плосковыпуклой линзой,
в том месте, где в отраженном свете наблюдается третье темное
кольцо. Ответ: d = 750 нм.
3.324. * Установка для наблюдения колец Ньютона освещается
монохроматическим светом с длиной волны X - 0,5 мкм, падаю-
щим нормально на плоскую поверхность линзы. Определите тол-
щину воздушного зазора d, образованного плоскопараллельной
пластинкой и соприкасающейся с ней плосковыпуклой линзой»
243 I
в том месте, где в отраженном свете наблюдается третье светлое
кольцо* Ответ: d = 0,625 мкм.
3.325. * Установка для наблюдения колец Ньютона освещается
монохроматическим светом с длиной волны X = 600 нм, падающим
нормально на плоскую поверхность линзы. Определите радиус г
пятого темного кольца, если радиус кривизны линзы R - 8 м и на-
блюдение ведется в отраженном свете. Ответ: г - 4,9 мм.
3.326. * Установка для наблюдения колец Ньютона освеща-
ется монохроматическим светом с длиной волны л = 600 нм,
падающим нормально на плоскую поверхность линзы. Опреде-
лите радиус г третьего светлого кольца, если радиус кривизны
линзы R = 8 м и наблюдение ведется в отраженном свете* Ответ:
г - 3,46 мм.
3.327. * Установка для наблюдения колец Ньютона освещается
монохроматическим светом с длиной волны л - 625 нм, падающим
нормально на плоскую поверхность линзы. Опередите разность
между радиусами четвертого г4 и девятого rg темных колец, если
радиус кривизны линзы R = 4 м и наблюдение ведется в отражен-
ном свете. Ответ: г9 - г4 = 1,42 мм.
3.328. * Определите минимальную толщину dmill просветляю-
щей пленки (п - 1,26) для длины волны X = 550 нм, если свет
падает на стекло (показатель преломления стекла = 1,59)
нормально* Ответ: dnxin = 0,109 мкм.
3.329. * Определите показатель преломления п просветляю-
щей пленки, нанесенной на стекло с показателем преломления
пс= 1,7. Ответ: п - 1,31.
3.330. * Определите толщину d просветляющей пленки, если
ее оптическая толщина составляет 0,4 мкм, а показатель пре-
ломления стекла пс = 1,6. Ответ: d = 0,316 мкм,
3.331. Определите число jV штрихов дифракционной решетки,
если ее длина Z = 5 см, а период d - 10 мкм. Ответ: N - 5 000.
3.332. Монохроматический свет с длиной волны X = 580 нм
нормально падает к поверхности дифракционной решетки с пе-
риодом d = 0,01 мм. Определите угол дифракции <р, соответствую-
щий максимуму третьего порядка. Ответ: <р = 10\
2.333. На дифракционную решетку нормально к ее поверхно-
сти падает монохроматический свет с длиной волны X = 0,6 мкм.
Определите период d дифракционной решетки, если максимум
третьего порядка наблюдается под углом <р = 7\ Ответ: d =
= 14,8 мкм.
3.334. Монохроматический свет падает нормально к по-
верхности дифракционной решетки. Определите угол дифрак-
I 244
ции фп соответствующий максимуму второго порядка, если
максимум пятого порядка отклонен на угол ср2 = 20*. Ответ:
<рг = 7,86°.
3.335* На дифракционную решетку нормально к ее поверхно-
сти падает монохроматический свет с длиной волны X - 500 нм.
Определите число максимумов k, наблюдаемых с помощью этой
решетки, если ее период d = 4 мкм. Ответ: k < 8.
3.336. На дифракционную решетку с периодом d - 4,7 мкм
нормально к ее поверхности падает монохроматический свет
с длиной волны X = 530 нм* Определите максимальный угол <р1пах
отклонения лучей, который соответствует последнему дифрак-
ционному максимуму, наблюдаемому с помощью этой решетки.
Ответ: q>max - 64,4\
3.337. На дифракционную решетку нормально к ее поверхно-
сти падает монохроматический свет с длиной волны Хо = 600 нм.
На экране, расположенном параллельно решетке на расстоянии
L - 1,2 м, максимумы первого порядка отстоят друг от друга
на расстоянии I = 20 см. Определите период d дифракционной
решетки и общее число N максимумов, даваемое этой решеткой.
Ответ: d = 7,2 мкм; N = 25.
3.338. На дифракционную решетку нормально к ее поверхно-
сти падает монохроматический свет с длиной волны X = 550 нм.
Определите наибольший порядок максимума получаемого
с ее помощью, если на I - 1,5 мм длины решетки приходится N -
= 600 штрихов. Ответ: = 4.
3.339* Определите число N штрихов на 1 мм длины диф-
ракционной решетки, если при нормальном падении на нее
монохроматического света с длиной волны X = 500 нм первый
дифракционный максимум наблюдается на расстоянии b = 2 см
от центрального, а расстояние от решетки до экрана L = 1 м.
Ответ: N = 40.
3.340. Естественный свет падает на границу раздела двух сред
под углом Брюстера аБр. Докажите, что отраженный и прелом-
ленный лучи взаимно перпендикулярны.
3.341. Естественный пучок света из воздуха падает на поверх-
ность жидкости под углом а - 55\ Определите угол преломле-
ния у, если отраженный свет оказался полностью поляризован-
ным. Ответ: у = 35°.
3.342. Определите показатель преломления п стекла, если
при падении на него естественного света отраженный луч ока-
зывается плоскополяризованным при угле преломления у = 30\
Ответ: п = 1,73.
245
3.343. Угол Брюстера аБр при падении естественного света
на поверхность некоторого вещества равен 60°. Определите ско-
рость света в этом веществе. Ответ: v - 1,73-108 м/с.
3.344. Пучок естественного света падает на стеклянную при-
зму с двугранным углом призмы 3 = 35\ Определите показатель
преломления п стекла, если отраженный пучок является пло-
скополяризованным. Ответ: п = 1,43.
3.345. Источник монохроматического света с длиной волны
= 550 нм движется к наблюдателю со скоростью v = 0,15с вдоль
соединяющей их прямой. Определите длину волны л, которую
зарегистрирует спектральный прибор наблюдателя. Ответ: X =
= 473 нм.
3.346. Источник монохроматического света с длиной волны
== 550 нм движется от наблюдателя со скоростью и - 0,15с вдоль
соединяющей их прямой. Определите длину волны А,, которую
зарегистрирует спектральный прибор наблюдателя. Ответ: X =
= 640 нм.
3.347. Предполагая, что космический объект удаляется от Зем-
ли со скоростью и - 0,01с, определите доплеровское смещение
частоты Av, воспринимаемой приемником, если частота v0 элек-
тромагнитных волн, излучаемых антенной объекта, составляет
40 МГц. Ответ: Av = 398 кГц.
3.348. Определите длину волны л0 сплошного рентгеновского
спектра, если рентгеновская трубка работает под напряжением
U = 50 кВ. Ответ: = 24,9 пм.
3.349. Длина волны границы сплошного рентгеновского
спектра, который получен от трубки, работающей при напря-
жении U - 80 кВ, равна 15,5 пм. Определите по этим данным
постоянную Планка. Ответ: h = 6,61 * 10"34 Дж*с.
3.350. Определите длину волны границы сплошного рент-
геновского спектра, если скорость электронов, бомбардирую-
щих анод рентгеновской трубки, составляет 0,7с. Ответ: =
- 6,06 пм.
3.351. Определите длину волны Ао границы сплошного рент-
геновского спектра, если при увеличении напряжения на рент-
геновской трубке в 1,5 раза она изменилась на 10 пм. Ответ:
Ао = 30 пм.
Раздел IV
СТРОЕНИЕ АТОМА
И КВАНТОВАЯ ФИЗИКА
Глава 19
Квантовая оптика
Основные законы и формулы
Закон Кирхгофа
~А ~ V’T
[7?у(Г — спектральная плотность энергетической светимости тела;
AVtr — спектральная поглощательная способность тела; гчГ — спек-
тральная плотность энергетической светимости черного тела],
Закон Стефана — Больцмана
Re = оТ4
[7?г — энергетическая светимость черного тела; <у — постоянная
Стефана —Больцмана (о = 5,67 108 Вт/(м2-К4); Т — термодина-
мическая температура].
Закон смещения Вйна
1 =1
[Xmax — длина волны, соответствующая максимальному значе-
нию спектральной плотности энергетической светимости черно-
го тела; b — постоянная Вйна (Ъ = 2,9-10“3 м-К); Г — термоди-
намическая температура].
Энергия кванта (фотона)
. he
е = hv = —
X
[h — постоянная Планка; v — частота; с — скорость распростра-
нения света в вакууме; К — длина волны].
247
Максимальное значение кинетической энергии электронов,
вырываемых электромагнитным излучением из катода,
[тпе — масса электрона (те - 9,11 10“31 кг); е — заряд электрона;
Va — задерживающее напряжение].
Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта
hv = А + —
2
[v — частота падающего фотона; h — постоянная Планка; А —
работа выхода электрона из металла; — максимальная
кинетическая энергия фотоэлектрона].
Красная граница фотоэффекта
[Хо — максимальная длина волны излучения (v0 — соответствен-
но минимальная частота), при которой фотоэффект еще возмо-
жен; А — работа выхода электрона из металла].
импульс фотона
с
[ftv — энергия фотона].
Давление, производимое светом при нормальном падении
на поверхность,
р = ^у(1+р) = «-’(1+р)
[Nhv — энергия всех фотонов, падающих на 1 м2 поверхности
за 1 с; р — коэффициент отражения; w — объемная плотность
энергии излучения].
Изменение длины волны излучения при комптоновском
рассеянии (комптоновский сдвиг)
ДХ - X - Хо - 2ХС sin2
[Хо и л — соответственно длина волны падающего и рассеянного
излучения; 6 — угол рассеяния; = 2,43 пм — комптоновская
длина волны].
248
Примеры решения задач
Q При остывании черного тела длина волны, соответствующая
максимуму спектральной плотности энергетической светимо-
сти, сместилась с ^тНх1 = 0,9 мкм до Хтак2 = 2,7 мкм. Определите,
во сколько раз изменилась энергетическая светимость Re2/^ei
тела.
Дано: Zraaxl = 0,9 мкм = 0,9’ Ю^6 м; Лтах2 = 2,7 мкм = 2,7 - 10“б м.
Найти: Ве2 /Rel.
Решение. Энергетическая светимость черного тела, согласно
закону Стефана — Больцмана,
7?. = оТ4, (1)
где а = 5,67‘ 10”8 Вт/(м2 К4) — постоянная Стефана — Больцмана;
Т — термодинамическая температура.
Согласно закону смещения Вина, длина волны, отвечающая
максимуму спектральной плотности энергетической светимости
черного тела,
(2)
,vmax rjy ’
где Ъ - 2,9 10’3 м К — постоянная Вина. Тогда
71 =г^ иГа=г^_-
Искомое отношение энергетических светимостей с учетом вы-
ражений (1) и (2) имеет вид
I? Л'ег _ ±2 _ <1 V
Rel Г?
Ответ: уменьшилась в 81 раз.
□ Определите длину волны X фотона, импульс которого равен
импульсу электрона, движущегося со скоростью и = 0,1 Мм/с.
Дано: р =р€; те = 9,11 10"31 кг; v = 0,1 Мм/с = 105 м/с.
Найти: л.
Решение. Импульс фотона
hv h
с ~ V
(1)
где h = 6,63 10 34 Дж с — постоянная Планка.
249
Импульс электрона
Ре = rnev. (2)
Согласно условию задачи,
Р = ре- (3)
Подставив (1) и (2) в формулу (3), найдем
h_m »
X е ’
откуда искомая длина волны фотона
х=—
г?1 Дж с _ Дж _ Н м _ м
L J кг-м/с Н Н
Ответ: Л = 7,28 нм.
В Натрий освещается монохроматическим светом с длиной
волны X = 500 нм. Определите максимальную скорость итах
фотоэлектронов, зная, что красная граница фотоэффекта для
натрия Хо = 584 нм.
Дано: X = 500 нм = 5 10 7 м; = 584 нм = 5,84 • 10’7 м.
Найти: vmax*
Решение. Согласно уравнению Эйнштейна,
+ (1)
где те = 9,11 10“31 кг — масса электрона.
Работа выхода электрона из металла
где h = 6,63 10 34 Дж с — постоянная Планка; с = 3 108 м/с —
скорость распространения света в вакууме.
Подставив (2) в (1) и учитывая, что у = получаем
_ _ he ^max
Xq 2
откуда искомая максимальная скорость фотоэлектрона
2W1 1^|
X0J
250
|ДЖ‘С‘М/С _ /Н;М _ 1КГ-М/(С2);М _м/с
кг м у КГ V кг
Ответ: итах = 354 км/с.
Q На идеально отражающую поверхность нормально падает
монохроматический свет. Сила давления F, испытываемая этой
поверхностью, равна 1 мкН. Определите поток излучения Ф.
Дано: р = 1; F = 1 мкН - 10 6 Н.
Найти: Ф.
Решение. Поток излучения
где W — энергия света, падающего на поверхность тела за вре-
мя t. Согласно формуле для давления света,
где Nhv — энергия всех фотонов, падающих на 1 м2 поверхности
за 1 с, т.е.
... Ф
Nhv = — = —, (3)
St S
где S — площадь поверхности тела.
Учитывая, что давление, производимое светом,
'4 (4)
и подставив выражения (3) и (4) в формулу (2), запишем
откуда искомый поток излучения
[ф] = м/(с)Н = ^ = Вт.
Ответ: Ф = 150 Вт.
2511
в Определите энергию электрона отдачи при эффекте Ком-
птона, если фотон (X - 50 пм) рассеялся на угол 0 - 120й.
Дано: л - 50 пм - 5 10 й м; 0 - 120s.
Найти: Е.
Решение. Энергия электрона отдачи равна разности энергий
падающего е и рассеянного е* фотонов
£-е-е\ (1)
причем
и
e' = ftv' = ^, (3)
где Л и X' — соответственно длины волн падающего и рассеян*
ного фотонов; h = 6,63 10"34 Дж с — постоянная Планка; с -
- 3 * 108 м/с — скорость света в вакууме.
Подставляя выражения (2) и (3) в формулу (1), имеем
г, _ he fee hetik
Г ’ U' ’ ( }
где ДХ = X' - X — изменение длины волны фотона в результате
рассеяния на свободном электроне;
AX = 2A.csin2|, (5)
где Хс = 2,43 пм — комптоновская длина волны; 0 — угол рас-
сеяния.
Искомую энергию электрона отдачи найдем, подставив фор-
мулу (5) в выражение (4):
2fecXc sin2-
с 2
X' + 2Xcsin2^
= ДжСМ/(с)-М
м2
= Дж.
Ответ: Е = 2,71 *10 16 Дж - 1,69 кВ.
252
Задачи для самостоятельного решения
4.1. Энергетическая светимость черного тела Re = 10 кВт/м2.
Определите термодинамическую температуру Т этого тела. От-
вет: Т ~ 648 К.
4.2. Термодинамическую температуру Т черного тела увели-
чили в четыре раза. Определите, во сколько раз изменилась его
энергетическая светимость Re, Ответ: увеличилась в 256 раз.
4.3* Определите, во сколько раз следует уменьшить термодина-
мическую температуру Т черного тела, чтобы его энергетическая
светимость Re ослабилась в 10 раз. Ответ: в 1,78 раза.
4.4. Определите, на какую длину волны Zmax приходится макси-
мум спектральной плотности энергетической светимости черного
тела при температуре t = 17 "С. Ответ: ^тах - 10 мкм.
4.5. Черное тело нагрели от температуры = 500 К до Т2 ~
- 2 000 К. Определите, как изменилась длина волны, соответ-
ствующая максимуму спектральной плотности энергетической
светимости. Ответ: уменьшилась на 4,35 мкм.
4.6. При остывании черного тела, первоначальная термоди-
намическая температура которого составляла = 1 кК, длина
волны, соответствующая максимуму спектральной плотности
энергетической светимости, сместилась на ДХтах = 4 мкм. Опреде-
лите температуру Т2, до которой охладилось черное тело. Ответ:
Т2 = 420 К.
4.7. При нагревании черного тела длина волны, соответствую-
щая максимуму спектральной плотности энергетической свети-
мости, сместилась с Хтах1 = 2,4 мкм до Zmax2 =1,2 мкм. Определи-
те, во сколько раз изменилась энергетическая светимость тела.
Ответ: увеличилась в 16 раз.
4.8. Энергетическая светимость черного тела Re = 5 кВт/м2.
Определите длину волны Zmax, соответствующую максимуму энер-
гетической светимости этого тела. Ответ: Лтах = 5,32 мкм.
4.9. Определите длину волны X фотона, энергия которого
равна средней кинетической энергии теплового движения мо-
лекул одноатомного газа при термодинамической температуре
Т - 290 К. Ответ: X = 33,1 мкм.
4.10. Определите абсолютный показатель преломления п
среды, в которой свет с энергией фотона е = 2,26 -10“19 Дж имеет
длину волны X = 500 нм. Ответ: п= 1,6.
4.11. С какой скоростью v должен двигаться электрон, чтобы
его кинетическая энергия была равна энергии фотона, которому
соответствует длина воны л = 0,6 мкм? Ответ: и = 853 км/с.
253 I
4Л2. Определите длину волны Л фотона с энергией, равной
энергии, которую приобретает электрон, прошедший разность
потенциалов U = 10 В. Ответ: 1 = 124 нм»
4.13. Определите число N фотонов, испускаемых электриче-
ской лампочкой за время t = 1 мин, если ее полезная мощность
Р = 100 Вт, а длина волны излучения X = 600 нгм. Ответ: N =
= 1,81 Ю22.
4.14. Определите длину волны X фотона, импульс которого р -
= 1,2 -10’27 Нс. Ответ: X = 0,55 мкм.
4Л5. Определите длину волны X фотона, импульс которого
в два раза больше импульса электрона, движущегося со скоро-
стью v - 60 км/с. Ответ: X = 6,06 нм.
4.16. Определите ускоряющую разность потенциалов U, необ-
ходимую для того, чтобы импульс электрона был равен импульсу
фотона с длиной волны X - 100 нм. Ответ: U = 0,51 мВ,
4.17. Определите работу выхода А электронов из платины, если
красная граница фотоэффекта Хо = 197 нм. Ответ: А = 6,31 эВ.
4.18. Определите красную границу фотоэффекта для металла
с работой выхода 2,5 эВ. Ответ: Хо = 497 нм.
4.19. Определите частоту v света, вырывающего из металла
электроны, если задерживающее напряжение U3 составляет 3 В,
а фотоэффект у этого металла начинается при частоте падающего
света v0 = 6 1014 с’1. Ответ: v = 1,32 -1015 с'1.
4.20» Определите максимальную кинетическую энергию Етах
электронов, вылетающих из металла с работой выхода А = 2,3 эВ
при облучении его фотонами с энергией е = 2,5 эВ. Ответ: =
= 3,2 W20 Дж.
4.21. Задерживающее напряжение для серебряной пла-
стинки (работа выхода А! =4,7 эВ) составляет 5,3 В. При тех же
условиях для платиновой пластинки задерживающее напряжение
Г7з2 = 3,7 В. Определите работу выхода А2 электронов из платины.
Ответ: Л2 = 6,3 эВ.
4.22. Определите максимальную скорость итах фотоэлектро-
нов, вырываемых из металла с работой выхода А = 2,5 эВ при
освещении его светом с длиной волны X = 400 нм. Ответ: vmax =
= 462 км/с.
4.23. Некоторый металл, работа выхода А электронов из кото-
рого равна 4,7 эВ, освещается монохроматическим светом с дли-
ной волны X = 200 нм. Определите напряжение Е73, при котором
фотоэффект прекратится. Ответ: U3 = 1,52 В.
4.24. Фотоны с энергией е = 4,3 эВ вырывают фотоэлектроны
из металла с работой выхода А - 4 эВ. Определите максимальный
I 254
импульс pmax, передаваемый поверхности этого металла при вы-
лете электрона. Ответ: ртах = 2,96 * 10"25 кг* м/с.
4,25. Натрий освещается монохроматическим излучением X =
-100 нм. Определите наименьшее задерживающее напряжение
при котором фототок прекратится. Красная граница фото-
эффекта для натрия л0 = 584 нм. Ответ: С73 = 10,3 В.
4.26. Определите, во сколько раз максимальная кинетическая
энергия фотоэлектронов, вырываемых с поверхности некото-
рого металла (работа выхода А = 2,5 эВ) монохроматическим
светом с длиной волны X = 400 нм, превосходит среднюю энер-
гию движения электронов при температуре t -27 'С. Ответ:
в 15,7 раза.
4.27. На зачерненную поверхность площадью S - 10 см2 за вре-
мя t = 2 мин нормально падает монохроматический свет, энергия
которого W = 5 Дж. Определите световое давление р. оказываемое
на поверхность. Ответ: р = 139 нПа.
4.28. На идеально отражающую поверхность за время t = 5 мин
нормально падает монохроматический свет, энергия которого
W = 1 Дж. Определите площадь S этой поверхности, если све-
товое давление р, оказываемое на нее, равно 0,1 мкПа. Ответ:
S = 2,22 см2.
4.29. На идеально отражающую поверхность нормально па-
дает монохроматический свет. Определите объемную плотность
энергии w падающего света, если давление света на поверхность
р = 0,3 мкПа. Ответ: w = 0,15 мкДж/м3.
4.30. На идеально отражающую поверхность нормально падает
монохроматический свет. Определите силу давления F, испы-
тываемую этой поверхностью, если поток излучения Ф = 75 Вт.
Ответ: F = 0,5 мкН.
4.31. Давление р монохроматического света с длиной волны
л = 550 нм на идеально отражающую поверхность, расположен-
ную перпендикулярно падающему излучению, равно 0,1 мкПа.
Определите число фотонов N, падающих на поверхность площа-
дью S = 5 см2 за время t - 2 с. Ответ: Лг - 4,15 -1016.
4.32. Фотон испытал комптоновское рассеяние под углом
9 = 120' на первоначально покоившемся свободном электроне.
Определите изменение длины волны Лл при рассеянии. Ответ:
ЛХ = 3,65 пм.
4.33. Фотон с длиной волны X - 5 им испытал комптоновское
рассеяние под углом В = 90° на первоначально покоившемся
свободном электроне. Определите длину волны V рассеянного
фотона. Ответ: X' - 7,43 пм.
255 I
4.34. Фотон с энергией е = 0,2 МэВ рассеялся под углом 9 = 180°
на первоначально покоившемся свободном электроне. Определите
длину волны X' рассеянного фотона. Ответ: X' = 11,1 пм,
4.35. Фотон с энергией е = 0,25 МэВ рассеялся на первона-
чально покоившемся свободном электроне. Определите угол рас-
сеяния 0, если энергия г/ рассеянного фотона оказалась равной
0,2 МэВ. Ответ: 0 = 60,8\
4.36. Определите энергию Е электрона отдачи при эффекте
Комптона, если фотон (1 = 100 пм) рассеялся на угол 0 = 90°.
Ответ: Е = 4,72-1017 Дж (295 эВ).
Глава 20
Элементы физики атома
Основные законы и формулы
Обобщенная формула Бальмера, описывающая серии в спек-
тре излучения атома водорода:
_ И
X п2 )
[Л — длина волны спектральных линий в спектре атома водо-
рода; R = 1,1 ЛО7 м-1 — постоянная Ридберга; т определяет се-
рию (т = 1, 2, 3, .♦.); п определяет отдельные линии соответ-
ствующей серии (n = т + 1, т + 2, ...); т - 1 (серия Лаймана),
т = 2 (серия Бальмера), т = 3 (серия Пашена) и т.д.].
Первый постулат Бора (постулат стационарных состояний)
- пН (п = 1, 2, 3,
[те — масса электрона (тпе - 9,11 10 31 кг); ип — скорость элек-
трона на Л'й орбите радиусом rn; h — постоянная Планка (К =
= Л/(2л) - 1,05 10 34 Джс)].
Второй постулат Бора (правило частот)
hv = En- Ет
и Ет — энергия стационарных состояний атома соответствен-
но до и после излучения (поглощения)].
Радиус n-й стационарной орбиты в боровской модели атома
водорода
гп=пг (п = 1,2, 3, ...)
[ Й — постоянная Планка; £0 — электрическая постоянная (е0 =
- 8,85-10 12 Ф/м); те — масса электрона; е — элементарный за-
ряд (е = 1,6-10"19 Кл)].
Первый боровский радиус
7г2'4п£0 о
Fj = а =--£-^ = 52,8 пм.
257
Энергия электрона в атоме водорода по Бору
(п=1-2-3’ •••>
Формула де Бройля
А. = -
Р
[X — дебройлевская длина волны; р — импульс частицы; h —
постоянная Планка (Л = 6,63 -10"34 Дж с)].
Примеры решения задач
Q Определите частоту v света, излучаемого возбужденным
атомом водорода при переходе электрона на первый энергетиче-
ский уровень, если радиус орбиты электрона г изменился в че-
тыре раза.
г
Даны т = 1; — -4.
Наити: v.
Решение. Согласно обобщенной формуле Бальмера, длина
волны света, излучаемого атомом водорода,
где R = 1,1 * 107 м”1 — постоянная Ридберга; т определяет серию
(по условию задачи т-1 — серия Лаймана), т.е. номер орбиты,
на которую переходит электрон; п определяет отдельную линию
серии, т.е. номер орбиты, с которой переходит электрон.
Учитывая, что
х=-,
V
формулу (1) можно записать в виде
1
и2
D f 1
V = /?C -Z--
l nr
(2)
Для электрона, движущегося по окружности радиусом гп под
действием кулоновской силы,
1 и
<» Г,
Согласно теории Бора, момент импульса электрона, движу-
щегося по n-й орбите,
I 258
ТПеПпГп = ЛЙ (п = 1, 2, 3, ...).
Решая уравнения (3) и (4), получаем
9 К2 *4л£п
г -п------7-у-.
ТПее2
Из выражения (5) и условия задачи следует, что
zk= «i=4
7i m2
Умножив и разделив правую часть уравнения (2) на т2 и учи-
тывая (6), найдем искомую частоту света
п Л т2 1 г. Л 1Л 3 „
v =1-----т- —7 = 1—
I п2 Jm2 4) 4
(4)
(5)
(6)
v = -jRc
4
[v] = м 1 м/с - с Ч
Ответ: v = 2,48 1015 с-1.
Q Определив энергию ионизации атома водорода, найдите
в электронвольтах энергию фотона соответствующую самой
длинноволновой линии серии Лаймана.
Дано: m = 1.
Найти: Ej
С- ЛЛ1С1Л
Решение. Энергия ионизации атома (энергия, которая необхо-
дима для отрыва электрона, находящегося в основном состоянии,
от атома) определяется уравнением
Ei=hv = hRc\^r--^
\jn2 п
[учли, что v = — и — = R\ - Дг |L где Я = 1,1 • 107 м 1 — постоянная
X X \jn2 пг J
Ридберга; с = 3 • 108 м/с — скорость распространения света в ва-
кууме; т - 1 и п = оо. Тогда энергия ионизации атома водорода
Et = hRc (1)
Самая длинноволновая линия серии Лаймана соответствует
переходу электрона со второго энергетического уровня на основ-
ной, т« е.
(Л 1^4
= Е21 = ftv21 = 12 “ 22 J = -flRc.
259
Учитывая (1), находим искомую энергию фотона, соответ-
ствующую самой длинноволновой линии серии Лаймана:
?‘11МХ 1
[£;] = Дж с-м 7с = Дж; 1 эВ = 1,6 10'19 Дж.
Ответ: £, = 21,9-Ю’19 Дж = 13,7 эВ; £?.гаах = 10,3 эВ.
□ Определите длину волны Л фотона, излучаемого атомом
водорода, если энергия электрона изменилась на 3,38 эВ.
Дано: ДЕ- 3,38 эВ = 3,38’1,6-10“19 Дж.
Найти: X.
Решение. Согласно второму постулату Бора, при переходе
электрона с одной стационарной орбиты на другую излучается
фотон с энергией, равной разности энергий соответствующих
стационарных состояний:
~ Еп — Ет,
где Еп и Ет — соответственно энергия стационарного состояния
электрона до и после излучения.
Согласно условию задачи,
ЛЕ = Еп- Ет,
поэтому
ДЕ - /zv. (1)
he
Учитывая, что v = —, выражение (1) запишем в виде
ДЕ = —,
X
откуда искомая длина волны
, _ he
ДЕ
ы=Д«-см/с^
L J Дж
Ответ: X = 368 нм.
□ Сравните длины волн де Бройля нерелятивистских электро-
на и протона Хр, прошедших одинаковую разность потенциа-
лов.
260
Дано'. те = 9,11-10 31 кг; тр - 1,67-10 27 кг; е - 1,6-10 19 Кл;
v « с; Ui = U2 = U.
„ . К
Наитгг. -£-.
%-р
Решение. Длина волны де Бройля зависит от ее импульса р:
Ь = ~, (1)
р
где h = 6,63-10“31 Дж с — постоянная Планка.
Связь кинетической энергии и импульса р частицы, движу-
щейся С V « с,
Е - р2
Ек 2т’
откуда
р = ^2тЕк. (2)
Кинетическая энергия электрона и протона, прошедшего
ускоряющую разность потенциалов U (по условию задачи она
в обоих случаях одинакова),
= eV. (3)
Подставив (2) в формулу (1) и учитывая (4), получим выра-
жение для длины волны де Бройля
X = _
42гпёй'
Тогда искомое отношение имеет вид
EZ
Хр у те
Ответ: 7-^ = 42,8.
X п
Задачи для самостоятельного решения
4.37. Определите длину волны X фотона, испускаемого при
переходе электрона в атоме водорода со второго энергетического
уровня на первый. Ответ: X = 121 нм.
4.38. Определите длину волны X фотона, испускаемого при
переходе электрона в атоме водорода с пятого энергетического
уровня на второй. Ответ: X = 433 нм.
261
4.39- Определите длину волны X, соответствующую границе
серии Бальмера в спектре атома водорода. Ответ: X - 364 нм.
4.40. Определите длину волны X фотона, испускаемого при
переходе электрона в атоме водорода с третьего энергетического
уровня на второй. Ответ: X = 655 нм.
4,41. Определите длину волны X, соответствующую границе
серии Лаймана в спектре атома водорода. Ответ: X ~ 90,9 нм.
4.42. Определите энергию Е фотона, испускаемого при перехо-
де электрона в атоме водорода со второго энергетического уровня
на первый. Ответ: Е - 10,3 эВ.
4.43» Определите минимальную £11ЙП и максимальную
энергии фотона в серии Лаймана спектра атома водорода. От-
вет: £mill - 10,3 эВ; - 13,6 эВ.
4.44. Определив энергию ионизации атома водорода, найдите
в электронвольтах энергию фотона, соответствующую головной
линии серии Бальмера. Ответ: Е = 1,89 эВ.
4.45. Определите длину воны X фотона, излучаемого атомом
водорода, если энергия ЛЕ электрона изменилась на 12,1 эВ.
Ответ: X = 103 нм.
4.46. Определите, на сколько изменилась энергия ЛЕ электрона
в атоме водорода при излучении атомом фотона с длиной волны
X - 97 нм. Ответ: ЛЕ - 12,8 эВ.
4.47. Используя теорию Бора, определите радиус второй ор-
биты г2 в атоме водорода. Ответ: г2 = 210 пм.
4.48. Определите скорость электрона на первой орбите атома
водорода. Ответ: = 2,19 Мм/с.
4.49. Определите, согласно теории Бора, частоту f враще-
ния электрона по второй орбите атома водорода. Ответ: f =
~2,6 1014 с1.
4.50, Определите, на сколько отличается кинетическая энер-
гия электрона на второй боровской орбите от его кинетической
энергии на первой боровской орбите. Радиус первой боровской
орбиты г-! = 52,8 пм. Ответ: на 1,64 10-19 Дж.
4.51, Найдите выражение для полной энергии Е электрона
в атоме водорода. Ответ: Е = —о.
4.52. Пользуясь теорией Бора, определите числовое значение
постоянной Ридберга. Ответ: R = 1,09-107 м”1.
4.53. Определите, во сколько раз изменился радиус орбиты
электрона, если частота v света, излучаемого атомом водорода,
при переходе электрона на первый энергетический уровень со-
ставляет 2,475 -1015 с-1. Ответ: в 4 раза.
I 262
4.54. Определите импульс р частицы, дебройлевская длина вол-
ны X для которой равна 100 нм. Ответ: р = 6,63-10’24 кг м/с.
4.55. Определите длину волны X де Бройля для электрона,
кинетическая энергия Ек которого равна 500 эВ. Ответ: X =
- 54,9 пм.
4.56. Определите длину волны X де Бройля для протона (тр -
= 1,67 • IO 27 кг), обладающего кинетической энергией Ек = 100 эВ.
Ответ: X - 2,87 пм.
4.56. Определите, какую ускоряющую разность потенциалов U
должен пройти электрон, чтобы длина волны X де Бройля состав-
ляла 150 нм. Ответ: U = 67 В.
4.58. Определите длину волны X де Бройля для протона, дви-
жущегося со средней квадратичной скоростью (икв) при Т = 300 К.
Ответ: X = 146 пм.
4.59. Определите длину волны X де Бройля для электрона
в атоме водорода, движущегося по первой боровской орбите.
Ответ: X = 334 пм.
Глава 21
Элементы физики атомного ядра
Основные законы и формулы
Закон радиоактивного распада
Ж = ^е’х/
[N — число нераспавшихся ядер в момент времени — на-
чальное число нераспавшихся ядер (в момент времени t = 0);
X — постоянная радиоактивного распада].
Число ядер, распавшихся за время t,
ЛАГ = No-N = 2У0(1 - e’u).
Связь периода полураспада Т и постоянной радиоактив-
ного распада л
т^1п2
X
Связь среднего времени жизни т радиоактивного ядра и по-
стоянной Л радиоактивного распада
1
X
* Активность радиоактивного распада
ШУ
dt
Энергия связи нуклонов в ядре
Есв = [Zmp + (А - Z)mn - пгя]с2 - [Z/nH + (А - Z)mH- m\c2
[mp, пгя — соответственно масса протона, нейтрона и ядра;
Z — зарядовое число; А — массовое число; тпн = тр + те — мас-
са атома водорода (|Н); т — масса атома].
Дефект массы ядра
Л/n = [Zmp + (А - Z)mn] - тя = [Zmn + (А - Z)mn] - т.
[тр, тп, тя — соответственно массы протона, нейтрона и ядра;
Z — зарядовое число; = тр+ те — масса атома водорода (]Н);
т — масса атома; А — массовое число].
I 264
Удельная энергия связи
^ев=^
А
[А — массовое число (число нуклонов в ядре)].
Правила смещения:
• для а-распада
iX->^Y+iHe;
• для ^-распада
^Х^^Х+^е.
Символическая запись ядерной реакции
^Х+а-~> f Y + d
[z X и Y — исходное и конечное ядра соответственно с зарядо-
выми числами Z и Zf и массовыми числами А и А; а и Ъ — со-
ответственно бомбардирующая и испускаемая (или испускаемые)
в ядерной реакции частицы].
Примеры решения задач
Ц Определите период полураспада Т радиоактивного изотопа,
если 2/3 начального количества ядер этого изотопа распалось
за время t = 10 мин.
Дано: t - 10 мин = 600 с;
Найти: Т.
Решение. Период полураспада радиоактивного изотопа
7’ =—, (1)
к
где Z — постоянная радиоактивного изотопа.
Число распавшихся за время t ядер
ДАТ = ЛГ0 - (2)
где — начальное число нераспавшихся ядер (в момент вре-
мени t = 0); Л/ — число нераспавшихся ядер в момент времени t,
которое, согласно закону радиоактивного распада,
= ДГое-'Л\ (3)
Учитывая выражения (2) и (3), найдем долю распавшихся
ядер за время t
265
*N~N0N u
Согласно условию задачи,
e x# -kt ~lni
3 3
откуда
1=^.
t
Подставив значение X в формулу (1)» найдем искомый период
полураспада радиоактивного изотопа
т_ 1п2 _ 1п2
X ~1пЗ
Ответу Т = 6,31 мин.
Q Докажите, что активность радиоактивного изотопа изменяется
со временем по тому же закону, что и число нераспавшихся ядер.
Решение, Активность изотопа
где dAr — число ядер, распавшихся в изотопе за промежуток
времени dt.
Согласно закону радиоактивного распада,
где No — число нераспавшихся ядер в момент времени t - 0;
N — число нераспавшихся ядер в момент времени t\k — посто-
янная радиоактивного распада.
Тогда
А = ZNoe-zt.
Активность изотопа в начальный момент времени
Ао = AJV 0
и
А = Аое"?/
что и требовалось доказать.
I 266
Q При бомбардировке изотопа лития §Ы дейтронами fH
(тп2н = 3,3446 10~27кг) образуются две а-частицы ^Не (т4Не -
= 6,6467-10'27 кг) и выделяется энергия АЕ = 22,3 Мэв* Опреде-
лите массу изотопа лития.
Дано: §Li+f Н—>2fHe + ДЕ; ЛЕ = 22,3 МэВ - 35,68*10 13 Дж;
/71 ан = 6,6467* 10 27кг; т2„ = 3,3446 1О27 кг.
Найти: /пОт1,
Решение. Дефект массы ядра
Лт=^и+т?н-2т<не- (!)
С другой стороны,
Ат = ДЕ/с2, (2)
тогда из выражений (1) и (2) можно найти искомую массу изо-
топа лития
ДЕ п
~ с2 +^7П + Не
Ответ: - 9,9884-10‘27кг.
зЬ1
□ Определите, пользуясь Периодической системой элементов,
в какой элемент превращается 29§U после шести а- и трех
Р'распадов.
Дано: 2^>U; 6 а-распадов; 3 р-распада.
Найти:
Решение, а- и p-распады протекают соответственно по сле-
дующему правилу смещения:
^Х^>11У+|Не,
АУ _ Р у Ау+
т. е. в результате а-распада массовое число дочернего ядра умень-
шается на 4, а зарядовое число — на 2 единицы; в результате
p-распада массовое число дочернего ядра не изменяется, а за-
рядовое число увеличивается на единицу.
Общая схема распада:
238 U^-+ *29 Th2|| Ra_221
t f t ft
уран торий радий радон полоний
—2-> 2ЦРЬ—2^Т1—2^Pb^U 2gjBi
т т т т т
свинец ртуть таллий свинец висмут
Ответ: 28gBi.
267
в В результате соударения дейтрона 2Н с ядром бериллия
4 Be образовались новое ядро и нейтрон. Определите порядковый
номер (зарядовое число Z) и массовое число А образовавшегося
ядра, запишите ядерную реакцию и определите ее энергетический
эффект Q.
Даяо:2ВеИН->^Х+ Jn.
Найти: Z; A; Q*
Решение. Из законов сохранения зарядовых и массовых чи-
сел следует, что Z = 5, а А = 10, т.е. образовавшееся в результа-
те ядерной реакции ядро — изотоп бора 1^В. Поэтому ядерную
реакцию запишем в виде
^Be+fH^^B+Jn.
Энергетический эффект ядерной реакции
Q = c2^(m9Be+m2H)-(mioB + m„)], (1)
где в первых круглых скобках указаны массы исходных ядер,
во вторых — массы ядер продуктов реакции.
При расчетах вместо масс ядер используют массы нейтраль-
ных атомов, так как, согласно закону сохранения зарядовых
чисел, в ядерной реакции (зарядовое число Z нейтрального атома
равно числу электронов в его оболочке) получаются одинаковые
результаты.
Массы нейтральных атомов в выражении (1)
тп9р= 1,4966 Ю-26 кг, 7п2н -3,344640"27кг,
тшв =1,6627-10’26кг, = 1,675 • 10~27 кг.
Вычисляя, получаем Q - 4,84 МэВ; энергетический эффект
положителен реакция экзотермическая.
Ответ: Z - 5; А = 10; Q = 4,84 МэВ.
Задачи для самостоятельного решения
4.60. Определите долю нераспавшихся ядер радиоактивного
изотопа за время t= 1 мин, если постоянная радиоактивного рас-
пада к = 0,01 с'1. Ответ: N/N$ - 0,549.
4.61. Определите период Т полураспада радиоактивного ядра,
если постоянная радиоактивного распада к = 300 с-1. Ответ:
Т = 2,31 мс.
268
4.62. Определите время f, за которое распадается 70 % радиоак-
тивного тория (29оТЬ), если его период полураспада Т - 24,1 сут.
Ответ: t = 41,9 сут.
4.63. Определите долю нераспавшихся ядер за время t, равное
трем средним временам жизни т радиоактивного ядра. Ответ:
А/Ао = О,О5.
4.64. Определите долю распавшихся ядер за время t = Т/2
(Т — период полураспада ядра). Ответ: AN/Nq = 0,293.
4.65. Начальная масса zn0 радиоактивного изотопа натрия f | Na
равна 0,4 мг. Определите начальную активность Ао изотопа, если
его период полураспада Т = 62 см. Ответ: AQ- 1,17-1017 Бк.
4.66. Определите активность А радиоактивного изотопа через
t = 5 мин, если его начальная активность Ао = 8,78 * 1016 Бк, а пе-
риод полураспада Т = 62 с. Ответ: А = 3,07*1015 Бк.
4.67. Начальная активность 0,3 мг изотопа натрия 2|Na равна
8,78*1016 Бк. Определите период полураспада Т этого изотопа.
Ответ: Т ~ 62 с.
4.68. Определите период полураспада Т некоторого радиоак-
тивного изотопа, если его активность за время t = 5 мин умень-
шилась в три раза. Ответ: Т = 189 с.
4.69. Зная постоянную Авогадро, определите массу т ней-
трального атома углерода 6С. Ответ: т =1,99* 10"26 кг.
4.70. Определите число протонов Z и нейтронов А, входящих
в состав ядер трех изотопов кислорода: 1) ^О; 2) ^О; 3) Х|О. От-
вет: 1) Z = 8, А = 8; 2) Z = 8, А = 9; 3) Z = 8, А = 10.
4.71. Определите, сколько нуклонов А, протонов Z и нейтро-
нов А содержат ядра: 1) 2|Na; 2) ||Sr; 3) ^La.
4.72. Определите, пользуясь таблицей Менделеева, число N
нейтронов и число протонов Z в атомах: 1) молибдена; 2) воль-
фрама.
4.73. Определите, какие из приведенных ниже ядер являются:
1) изотопами; 2) изобарами: ]Н; fH; f Н; f^Mg; if Mg; $JK; $) Ca;
^B; X|B.
4.74. Определите зарядовые числа, массовые числа и символы
ядер, если в ядрах ^О; ft Na; ffCr протоны заменить нейтронами,
а нейтроны — протонами.
4.75. Определите массу изотопа ^N, если дефект массы при об-
разовании ядра равен 0,2058 * 10"27 кг. Массу атома водорода
принять равной 1,6736* 10“27 кг; массу нейтрона — 1,675 • 10"27 кг.
Ответ: = 2,4909*10“2бкг.
4.76. Определите энергию связи Ес.г, ядра атома гелия 2 Не.
Массу нейтрального атома гелия принять равной 6,6467 • 1О-27 кг,
269
массу атома водорода тпн 1,6736 10 27 кг, массу нейтрона тп =
= 1,675 -10"27 кг. Ответ: Есъ - 28,4 МэВ.
4.77* Определите энергию связи Есв атома кислорода 1|О, если
масса его нейтрального атома т - 2,6552-10-26 кг. Ответ: ЕСТ1 -
= 133 МэВ.
4.78. Определите удельную энергию связи ядра 3L1,
если для него энергия связи £св = 39,3 МэВ. Ответ: 5ЕСВ =
= 5,61 МэВ/нуклон.
4.79. Запишите а-распад радия 2|fRa.
4.80. Определите, в какой элемент превращается 2|oTh после
а-распада.
4.81. Запишите р-распад таллия 2,£Т1.
4.82. Определите, во что превращается изотоп 2glU после
а-распада и двух р-распадов.
4.83. В какой элемент превращается радон 2||Rn после р-рас-
пада?
4.84. Определите, во что превращается изотоп 2|oTh, ядра
которого претерпевают три последовательных а-распада. От-
вет: 2ioHg*
4.85. Ядра радиоактивного изотопа тория ^Th претерпевают
последовательно а-распад, два р-распада и а-распад. Определите
конечный продукт распада. Ответ: ^Ra.
4.86. Определите, пользуясь таблицей Менделеева, в какой
элемент превратится элемент урана 2||и в результате трех
а-распадов и двух p-распадов. Ответ: 2||Ra.
4.87. Радиоактивный изотоп 28?Т1 претерпевает последова-
тельно три p-распада и один а-распад. Определите для конеч-
ного ядра зарядовое число Z, массовое число А. Ответ: Z = 82;
А - 206.
4,88. Запишите первую в истории искусственную ядерную ре-
акцию, осуществленную при бомбардировке азота N а-частица-
ми и сопровождающуюся выбиванием протона.
4.89. Определите зарядовое число и массовое число частицы,
обозначенной буквой х в символической записи ядерной реакции:
1) iLi+x-> ?Н+ 2Не; 2) 2£ А*+ 1Не-> ?SSi + x; 3) 1Ве+ |Не^ ^С+х.
4.90. Запишите недостающие обозначения х в следующих
ядерных реакциях: 1) х + }р -> 22Na + 2Не; 2) jsAr+ |Не—>х+ Jn;
3) А1+ 2 Не ~>х+ {р. Ответ: 1) ?fMg; 2) |§Са; 3) ?$Si.
4.91. В ядерной реакции 2Н + 2Н —> |Не + выделяется энер-
гия АЕ -3,27 МэВ. определите массу атома |Не, если масса 2Н
равна 3,3461 • 10“27 кг, а масса нейтрона тп = 1,675* 10-27 кг. От-
вет: т3,т-5,0084-10 27 кг.
I 270
4.92* Определите энергию Q ядерной реакции14 N+ J п 1 j 0 4- } р,
если энергия связи ядра 14 N равна 104,66 МэВ, а ядра —
105,29 МэВ. Ответ: Q = -0,63 МэВ.
4.93. Ядро урана 2jHU, захватывая нейтрон, превращается
в радиоактивный изотоп урана, который претерпевает 0-распад,
дочернее ядро которого также 0-радиоактивно. Запишите ука-
занные процессы, если конечным продуктом является ядро
плутония.
4.94. При захвате нейтрона ядром урана образуются два
осколка деления и два нейтрона. Определите порядковый номер
Z и массовое число А одного из осколков, если второй осколок —
ядро стронция If Sr. Ответ: Z = 54; А = 139.
4.95. При захвате нейтрона ядром урана U образуются два
осколка деления и три нейтрона. Определите ядро второго оскол-
ка, если первый — ^fLa.
4.96. Определите в электронвольтах энергию Еу которую
возможно получить при расщеплении 1 г урана 2Уи, если при
расщеплении каждого ядра урана выделяется энергия 200 МэВ.
Ответ: Е - 5,12 ЛО23 МэВ.
4.97. Ядро железа У^е, захватывая нейтрон, превращается
в 0-радиоактивный изотоп марганца с массовым числом А - 56,
который впоследствии претерпевает 0-распад. Запишите рас-
смотренные процессы.
4.98. В результате реакции синтеза при взаимодействии двух
ядер дейтерия образуется тритий и еще одна частица. Что это
за частица?
4*99. Запишите реакцию синтеза ядер дейтерия (2Н) и трития
(?Н) в ядро гелия (£Не); определите энергию, выделяемую в ре-
зультате этой реакции, если энергии связи ядер -2,2МэВ;
= 8,5МэВ; Ес„ = 28,ЗМэВ. Ответ: ЛЕ = 17,6 МэВ.
СИ|н СВ<Не
4.100. В случае термоядерной реакции 2Н+|Н—> iHe+Jn
освобождается энергия ЛЕ = 17,6 МэВ. Определите энергию, выде-
ляемую при синтезе 1 г гелия. Сколько угля с удельной теплотой
сгорания q = 2,5-107 Дж/кг следовало бы сжечь для получения
такой же энергии? Ответ: Е = 4,24 -1011 Дж; тх = 1,7-104 кг.
Глава 22
Элементы физики элементарных частиц
Примеры решения задач
□ Определите, какие из приведенных схем мюонных распадов
возможны и почему:
1) ->_Je+gve;
2) Н" + о
3) ц- -> _?e + gve + gvM.
Решение, 1) ц" -> _? е + g v? •
Для ц~-мюона лептонное число L - 1, для электрона L - 1;
для §ve лептонное число L = -1, Лептонное число в приведенном
распаде не сохраняется (1*1-1), поэтому такой распад невоз-
можен.
2) |Г -> -ie+gv„.
Для мюона лептонное число L = 1, для электрона L - 1; ’для
лептонное число L - 1. В приведенном распаде лептонное
число не сохраняется (1*1 + 1), поэтому такой распад невоз-
можен.
Отметим, что в приведенных схемах мюонного распада 1) и 2)
также не выполняется закон сохранения спина. [Каждая из за-
писанных частиц имеет спин 1/2 (в единицах Л)].
3) R- -> -ie + oVe + gvR.
Для ц -мюона лептонное число L = 1, для электрона L1;
для электронного антинейтрино gve лептонное число L = -1, для
мюонного нейтрино § L ~ 1. В приведенном распаде лептонное
число сохраняется (1 = 1 + 1 - 1), поэтому такой распад возможен
и в силу сохранения спина, причем следует учесть, что спины
у нейтрино и антинейтрино противоположны.
Ответ: -> _?е+ gv, + gv^.
Задачи для самостоятельного решения
4.101. Запишите схемы распадов отрицательных ц-мюона
и т-лептона.
272
4.102» При захвате протоном отрицательного мюона образу-
ется нейтрон и еще одна частица. Записав реакцию, определите
эту частицу.
4.103. В приведенных реакциях напишите недостающий х,
выбрав одно из нейтрино (антинейтрино): ve, vp, vu:
1)оП + х-»]р + ц”; 2) Jp + x> J+ +?e; 3) Jn + x->[p +
4.104. Запишите схему распада нейтрона, доказав выполнение
закона сохранения лептонного числа.
4.105, Пользуясь таблицей элементарных частиц, определите,
какие из приведенных схем распадов разрешены законом сохра-
нения лептонного числа:
1) -+ ,?е + я° + Х;
2) in+^e + gvj
3) я+ —> рЛ + +^е.
4.106. Ниже приведены запрещенные схемы распадов. Пользу-
ясь таблицей элементарных частиц, определите для каждого из них
законы сохранения, которые нарушаются: 1) If + J n —> О + А7' - К °;
2) 7T-»p' + gvM.
4.107* Какая характеристика элементарных частиц положена
в основу деления адронов на мезоны и барионы?
4.108. Определите, выполняется л и при распаде J р + тт —> К+ + К
закон сохранения барионного числа.
Приложения
П1. Основные единицы СИ
Метр (м) — длина пути, проходимого светом в вакууме за
1/299 792 458 с.
Килограмм (кг) — масса, равная массе международного прототипа
килограмма (платиноиридиевого цилиндра, хранящегося в Междуна-
родном бюро мер и весов в Севре, близ Парижа).
Секунда (с) — время, равное 9192 631 770 периодам излучения, соот-
ветствующего переходу между двумя сверхтонкими уровнями основного
состояния атома цезия-133.
Ампер (А) — сила неизменяющегося тока, который при прохождении
по двум параллельным прямолинейным проводникам бесконечной дли-
ны и ничтожно малого поперечного сечения, расположенным в вакууме
на расстоянии 1 м один от другого, создает между этими проводниками
силу, равную 2 • 10"7 Н на каждый метр длины.
Кельвин (К) — 1/273,16 термодинамической температуры тройной
точки воды.
Моль (моль) — количество вещества системы, содержащей столь-
ко же структурных элементов, сколько атомов содержится в нуклиде
12С массой 0,012 кг.
Кандела (кд) — сила света в заданном направлении источника,
испускающего монохроматическое излучение частотой 540-1012 Гц,
энергетическая сила света которого в этом направлении составляет
1 О /
Вт/ср.
683
П2. Дополнительные единицы СИ
Радиан (рад) — угол между двумя радиусами окружности, длина
дуги между которыми равна радиусу.
Стерадиан (ср) — телесный угол с вершиной в центре сферы, вы-
резающей на поверхности сферы площадь, равную площади квадрата
со стороной, равной радиусу сферы.
I274
ПЗ. Производные единицы физических величин
Наименование величины Опреде- ляющее уравне- ние Единица измерения
Обозна- чение Наименование и определение
Единицы геометрических и механических величин
Площадь 3 = 1* м2 Квадратный метр равен площади квадрата со сторона- ми, длины которых равны 1 м
Объем V=l3 м3 Кубический метр равен объему куба с ребрами, длины которых равны 1 м
Скорость С0| +* II м/с Метр в секунду равен скорости равномерного и прямолинейного движения, при котором точка за 1 с пе- ремещается на расстояние 1 м
Ускорение Др а--— М м/с2 Метр на секунду в квадрате равен ускорению прямоли- нейного ускоренного движе- ния точки, при котором за 1 с скорость точки изменя- ется на 1 м/с
Угловая ско- рость 9-1** II 3 рад/с Радиан в секунду равен угловой скорости равномер- ного вращающего тела, все точки которого за 1 с повора- чиваются на угол 1 рад
Угловое ускоре- ние До е~ д< рад/с2 Радиан на секунду в квадра- те равен угловому ускоре- нию равноускоренно вращаю- щегося тела, при котором оно за 1 с изменяет угловую скорость на 1 рад/с
Частота перио- дического процесса v=l т Гц Герц равен частоте периоди- ческого процесса, при кото- рой за 1 с совершается один цикл процесса
275
Продолжение ПЗ
Наименование величины Опреде- ляющее уравне- ние Единица измерения
Обозна- чение Наименование и определение
Плотность т p=v кг/м3 Килограмм на кубический метр равен плотности однородного вещества, масса которого при объеме 1 м3 равна 1 кг
Сила F = та Н Ньютон равен силе, сообща- ющей телу массой 1 кг ускорение 1 м/с2 в направле- нии действия силы: 1 Н = 1 кг м/с2
Импульс р = mv кг-м/с Килограмм-метр на секунду равен импульсу материаль- ной точки массой 1 кг, движущейся со скоростью 1 м/с
Давление Мео |[ Па Паскаль равен давлению, создаваемому силой 1 Н, равномерно распределенной по нормальной к ней поверх- ности площадью 1 м2: 1 Па = 1 Н/м2
Работа, энергия A = F$ Дж Джоуль равен работе, соверша- емой силой 1 Н на пути 1 м: 1 Дж = 1 Нм
Мощность N= — t Вт Ватт равен мощности, при которой за время 1 с совер- шается работа 1 Дж: 1 Вт = 1 Дж/с
Момент инер- ции J = mr2 кг-м2 Килограмм-метр в квадрате равен моменту инерции материальной точки массой 1 кг, находящейся от оси вра- щения на расстоянии 1 м
276
Продолжение ПЗ
Наименование величины Опреде- ляющее уравне- ние Единица измерения
Обозна- чение Наименование и определение
Момент силы М ~ FI Нм Ньютон-метр равен моменту силы, равной 1 Н, относи- тельно точки, расположенной на расстоянии 1 м от линии действия силы
Момент им- пульса L = тог кг м2/с Килограмм-метр в квадрате на секунду равен моменту импульса материальной точки, движущейся по окружности радиусом 1 м и имеющей импульс 1 кг м/с
Единицы тепловых величин
Количество теплоты, внутренняя энергия Q Дж Джоуль равен количеству теплоты, эквивалентному работе 1 Дж
Тепловой поток (тепловая мощность) ф Вт Ватт равен тепловому потоку, эквивалентному механической мощности 1 Вт
Теплоемкость системы с-А® м Дж/К Джоуль на кельвин равен теплоемкости системы, температура которой повы- шается на 1 К при подведе- нии к системе количества теплоты 1 Дж
Удельная теплоемкость с_. AQ mAt Дж кг-К Джоуль на килограмм- кельвин равен удельной теплоемкости вещества, имеющего при массе 1 кг теплоемкость 1 Дж/К
Молярная теплоемкость г _ AQ га vAt Дж моль* К Джоуль на моль-кельвин равен молярной теплоемко- сти вещества, имеющего при количестве вещества 1 моль теплоемкость 1 Дж/К
277 I
Продолжение ПЗ
Наименование величины Опреде- ляющее уравне- ние Единица измерения
Обозна- ; чение Наименование и определение
Единицы электрических и магнитных величин
Электрический заряд (количе- ство электриче- ства) Q = It Кл Кулон равен электрическому заряду, проходящему сквозь поперечное сечение проводни- ка при силе постоянного тока 1 А за время 1 с
Объемная плотность электрического заряда л Кл/м3 Кулон на кубический метр равен объемной плотности электрического заряда, при которой в объеме 1 м3 равно- мерно распределен заряд 1 Кл
Поверхностная плотность электрического заряда ф|О5 и О Кл/м2 Кулон на квадратный метр равен поверхностной плотно- сти электрического заряда, при которой заряд, равномер- но распределенный по по- верхности площадью 1 м2, равен 1 Кл
Линейная плотность электрического заряда Кл/м Кулон на метр равен линей- ной плотности электрическо- го заряда, при которой заряд, равномерно распределенный по нити длиной 1 м, равен 1 Кл
Напряженность электрического поля II н = в Кл м Ньютон на кулон равен напряженности электриче- ского поля в точке поля, в которой на точечный электрический заряд 1 Кл поле действует с силой 1 Н. Вольт на метр равен напря- женности однородного элек- трического поля, создаваемого разностью потенциалов 1 В между точками, находящими- ся на расстоянии 1 м на линии напряженности поля
278
Продолжение ПЗ
Наименование величины Опреде- ляющее уравне- ние Единица измерения
Обозна- чение Наименование и определение
Электрический потенциал И В Вольт равен потенциалу такой точки поля, в которой заряд 1 Кл обладает потенци- альной энергией 1 Дж: 1 В = 1 Дж/Кл
Электрическая емкость II |<О Ф Фарад равен электрической емкости такого уединенного проводника, потенциал которо- го изменяется на 1 В при сообщении ему заряда 1 Кл
Плотность электрического тока >4 А/м2 Ампер на квадратный метр равен плотности электриче- ского тока, при которой сила тока, равномерно распреде- ленного по поперечному сечению проводника площа- дью 1м2, равна 1 А
Электрическое сопротивление л=7 Ом Ом равен сопротивлению такого проводника, в котором при напряжении 1 В течет постоянный ток 1 А
Электрическая проводимость <ч См Сименс равен проводимости участка электрической цепи сопротивлением 1 Ом
Удельное электрическое сопротивление RS Р = — Ом-м Ом-метр равен удельному электрическому сопротивле- нию проводника площадью поперечного сечения 1м2 и длиной 1 м, имеющего сопротивление 1 Ом
Удельная электрическая проводимость аЛ р См/м Сименс на метр равен удельной электрической проводимости проводника, который при площади поперечного сечения 1 м2 и длине 1 м имеет электриче- скую проводимость 1 См
279 I
Продолжение ПЗ
Наименование величины Опреде- ляющее уравне- ние Единица измерения
Обозна- чение Наименование и определение
Магнитная индукция в=— II Тл Тесла равен магнитной индукции такого однородного магнитного поля, которое действует с силой 1 Н на каждый метр длины проводника, расположенного перпендикулярно направле- нию поля, если по этому проводнику проходит ток 1 А: 1Тл=1 Н/(А м)
Магнитный поток Ф = BS Вб Вебер равен магнитному потоку, проходящему сквозь плоскую поверхность площа- дью 1 м2, расположенную перпендикулярно однородно- му магнитному полю, индук- ция которого равна 1 Тл: 1 Вб = 1 Тл • м2
Напряженность магнитного поля Н = ~ Но А/м Ампер на метр равен напря- женности такого поля, магнитная индукция которо- го в вакууме равна 4л 10-7 Тл
Магнитный момент контура с током Р = IS А‘М2 Ампер-квадратный метр равен моменту контура площадью 1 м2, если по нему течет ток 1 А
Индуктивность Гн Генри равен индуктивности такого контура, магнитный поток которого при токе 1 А равен 1 Вб: 1 Гн = 1 Вб/А
Намагничен- ность fl А/м Ампер на метр равен намаг- ниченности, при которой вещество объемом 1 м3 имеет магнитный момент 1 А-м2
280
Окончание ПЗ
Наименование величины Опреде- ляющее уравне- ние Единица измерения
Обозна- чение Наименование и определение
Поток излуче- ния А/ Вт Ватт равен энергии 1 Дж, переносимой волной за 1 с
Поверхностная плотность потока излуче- ния п tele Вт/м2 Ватт на квадратный метр равен энергии 1 Дж, переноси- мой волной за 1 с через площад- ку поверхности площадью 1 м2
Единицы оптических величин
Оптическая сила линзы К дптр Диоптрия — оптическая сила линзы с фокусным расстоянием 1 м
Световой поток Е = — S лк Люкс — освещенность поверхности, на 1 м2 которой падает световой поток в 1 лм
Освещенность ф лм Люмен — световой поток, испускаемый точечным источником света в 1 кд внутри телесного угла в 1 ср
Единицы радиоактивных излучений
Поглощенная доза излучения — Гр Грей — доза излучения, при которой облученному веще- ству массой 1 кг передается энергия ионизирующего излучения 1 Дж
Экспозицион- ная доза излучения Кл/кг или Р Кулон на килограмм — доза, при которой в сухом атмо- сферном воздухе массой 1 кг создаются ионы, несущие заряд каждого знака в 1 Кл: 1 Р= 2,58 10-4 Кл/кг
Биологическая доза излучения — Бэр Бэр — доза любого ионизи- рующего излучения, произво- дящая такое же биологическое действие, что и доза рентге- новского или у-излучения в 1Р
281
П4. Основные физические постоянные
Скорость света в вакууме
Нормальное ускорение
Гравитационная постоянная
Постоянная Авогадро
Молярная газовая постоянная
Постоянная Больцмана
Элементарный заряд
Масса покоя электрона
Масса покоя протона
Масса покоя нейтрона
Удельный заряд электрона
Постоянная Стефана “Больцмана
Постоянная Вина
Постоянная Планка
Постоянная Ридберга
Первый боровский радиус
Комптоновская длина волны
Электрическая постоянная
Магнитная постоянная
Масса изотопа JH
с - 3 -108 м/с
g = 9,81 м/с2
G = 6,67’10 п м3/(кг с2)
NA = 6,02 • 1О23 моль1
R - 8,31 ДжДК-моль)
k = 1,38-10"23 Дж/К
е = 1,60 10^19Кл
те - 9,11’ 1031 кг
тр= 1,672 10 27 кг
тп= 1,675 10"27 кг
е/т? = 1,76’ 1011 Кл/кг
о = 5,67 10^ Вт/(м2-К4)
Ъ = 2,90 Ю3 м*К
h = 6,63 ’ 10-34 Дж * с
Я = 3,29 1015 с"1
В' = 1,1 107 м1
а0 = 5,28 10"11 м
Хс= 2,43 10"12м
= 8,85 10-12 Ф/м
1/(4л£о) = 9’ 109 м/Ф
Ро = 4л • Ю-7 Гн/м
тп= 1,6736 -10 27 кг
П5. Десятичные приставки к названиям единиц
Т тера (1012)
Г — гига ЦО9)
М — мега ЦО6)
к — кило Ц03)
д — деци ЦО"1)
с — санти (10-2)
I 282
м — милли (10-3)
мк — микро ЦО"6)
н — нано ЦО"9)
п — пико (10-12)
ф — фемто (1015)
а — атто (10 18)
П6. Некоторые внесистемные величины
1 сут = 86400 с
1 год = 365,25 сут = 3,16 107 с
Is = 1,75-10 2 рад
1' = 1,91 Ю'4 рад
1" = 4,85 Ю‘6 рад
1 мм рт. ст. = 133,3 Па
1 эВ=1,6 1019 Дж
П7. Астрономические величины
Радиус Земли 6,37 * 106 м
Масса Земли 5,98 -1024 кг
Радиус Солнца 6,95 108 м
Масса Солнца 1,98 • 1030 м
Радиус Луны 1,74 -106 м
Масса Луны 7,33-1022 кг
Расстояние от центра Земли до центра Солнца 1,49* 1011 м
Расстояние от центра Земли до центра Луны 3,84 Ю8 м
П8. Греческий алфавит
А, а — альфа I, i - - йота Р, р — ро
В, р - бета К, л1 — каппа 1, о — сигма
Г, у — гамма A, X — ламбда Т, т — тау
Д, 6 — дельта М, ц — мю Y, о — ипсилон
Е, £ — эпсилон N, v — ню Ф, <р — фи
Z, — дзэта — КСИ X, х ~ ХИ
Н, ц — эта О, о — омикрон % - пси
О, 0, 3 — тэта П, я - ПИ Q, о) — омега
Оглавление
Предисловие......................................................3
Раздел I. Механика
Глава 1. Кинематика материальной точки...................4
Основные законы и формулы...................................4
Примеры решения задач.......................................6
Задачи для самостоятельного решения........................15
Глава 2, Динамика............................................25
Основные законы и формулы..................................25
Примеры решения задач......................................26
Задачи для самостоятельного решения........................39
Глава 3. Законы сохранения в механике........................48
Основные законы и формулы..................................48
Примеры решения задач......................................50
Задачи для самостоятельного решения........................60
Глава 4. Механические колебания и волны......................68
Основные законы и формулы...........*.............*........68
Примеры решения задач......................................70
Задачи для самостоятельного решения........................78
Глава 5. Элементы специальной теории относительности.........85
Основные законы и формулы.....*............................85
Примеры решения задач......................................86
Задачи для самостоятельного решения....................... 91
Раздел II. Молекулярная физика и термодинамика
Глава 6. Основы молекулярно-кинетической теории идеальных
газов...............................................94
Основные законы и формулы...........................94
Примеры решения задач...............................96
Задачи для самостоятельного решения............„...100
Глава 7. Основы термодинамики........................105
I 284
Основные законы и формулы...........................105
Примеры решения задач...............................107
Задачи для самостоятельного решения.................113
Глава 8. Агрегатные состояния вещества. Жидкости и пары.... 119
Основные законы и формулы...........................119
Примеры решения задач...............................121
Задачи для самостоятельного решения.................124
Глава 9. Твердые тела и их превращения................127
Основные законы и формулы...........................127
Примеры решения задач...............................128
Задачи для самостоятельного решения.................130
Раздел IIL Электродинамика
Глава 10. Электростатика..............................132
Основные законы и формулы...........................132
Примеры решения задач...............................135
Задачи для самостоятельного решения.................142
Глава 11. Постоянный ток..............................152
Основные законы и формулы...........................152
Примеры решения задач...............................154
Задачи для самостоятельного решения.................160
Глава 12. Электрический ток в различных средах........166
Основные законы и формулы...........................166
Примеры решения задач...............................166
Задачи для самостоятельного решения.................170
Глава 13. Магнитное поле..............................172
Основные законы и формулы...........................172
Примеры решения задач...............................174
Задачи для самостоятельного решения.................182
Глава 14. Электромагнитная индукция...................189
Основные законы и формулы...........................189
Примеры решения задач...............................190
Задачи для самостоятельного решения.................196
Глава 15. Электромагнитные колебания и волны..........201
Основные законы и формулы...........................201
Примеры решения задач...............................203
Задачи для самостоятельного решения.................210
Глава 16. Элементы геометрической оптики............ 217
Основные законы и формулы...........................217
Примеры решения задач...............................218
285
Задачи для самостоятельного решения................223
Глава 17. Природа света. Основы фотометрии...........228
Основные законы и формулы..........................228
Примеры решения задач..............................229
Задачи для самостоятельного решения................230
Глава 18. Волновая оптика............................232
Основные законы и формулы..........................232
Примеры решения задач..............................234
Задачи для самостоятельного решения................241
Раздел IV. Строение атома и квантовая физика
Глава 19. Квантовая оптика......................... 247
Основные законы и формулы..........................247
Примеры решения задач..............................249
Задачи для самостоятельного решения................253
Глава 20. Элементы физики атома......................257
Основные законы и формулы..........................257
Примеры решения задач..............................258
Задачи для самостоятельного решения................261
Глава 21. Элементы физики атомного ядра..............264
Основные законы и формулы..........................264
Примеры решения задач..............................265
Задачи для самостоятельного решения................268
Глава 22. Элементы физики элементарных частиц........272
Примеры решения задач..............................272
Задачи для самостоятельного решения................272
Приложения..............................................274
П1. Основные единицы СИ ......................... 274
П2. Дополнительные единицы СИ........................274
ПЗ. Производные единицы физических величин...........275
П4. Основные физические постоянные...................282
П5. Десятичные приставки к названиям единиц..........282
П6. Некоторые внесистемные величины..................283
П7. Астрономические величины.........................283
П8. Греческий алфавит................................283
Учебное издание
Трофимова Таисия Ивановна,
Фирсов Александр Викторович
Физика для профессий и специальностей технического
и естественно-научного профилей
Сборник задач
Учебное пособие
Редактор Л. И, Честная
Технический редактор Н. И.Горбачева
Компьютерная верстка: ДВ. Федотов
Корректор Г. Н.Петрова
Изд. № 101115723. Подписано в печать 20.12.2011. Формат 60 х 90/16.
Гарнитура * Школьная*. Бумага офсетная № 1. Печать офсетная. Уел, печ. л. 18.
Тираж 3 000 экз. Заказ № 32270.
ООО «Издательский центр «Академия*, www.academia-moscow.ru
125252, Москва, ул. Зорге, д. 15, кори. 1, пом. 266.
Адрес для корреспонденции: 129085, Москва, пр-т Мира, 101В, стр. 1, а/я 48.
Тел./факс: (495)648-0507, 616-00-29.
Санитарно-эпидемиологическое заключение № РОСС RU. АЕ51. Н 14964 от 21.12.2010.
Отпечатано в соответствии с качеством предоставленных издательством
электронных носителей в ОАО «Саратовский полиграф ко мбин ат *.
410004, г. Саратов, ул. Чернышевского, 59. www.sarpk.ru
Трофимова Таисия Ивановна
профессор Московского государственного
института электроники и математики
(технического университета), автор
многочисленных учебных пособий,
неоднократно переизданных в России
и переведенных на иностранные языки.
Фирсов Александр Викторович -
профессор Российского государственного
университета инновационных технологий
и предпринимательства, автор многих
учебных пособий по физике.
ФИЗИКА
ДЛЯ ПРОФЕССИЙ И СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ
ТЕХНИЧЕСКОГО И ЕСТЕСТВЕННО-
НАУЧНОГО ПРОФИЛЕЙ
Сборник задач
Издательский центр «Академия»
www. academia -moscow. ru