Автор: Нефёдов Е.И.
Теги: физика радиоэлектронные аппараты радиоэлектроника радиофизика электромагнитные волны
Год: 1982
Текст
f,'
1
ПХРЬТЬЕ
щьны
ЧСНЫЕ
I. и
•г
I. .
Е.И.Нефёдов
ОТКРЫТЫЕ
КОАКСИАЛЬНЫЕ
РЕЗОНАНСНЫЕ
СТРУКТУРЫ
МЮСКВА «НАУКА»
ГЛАВИАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИК0-МАТЕМАТИЧЕСК01Й ЛИТЕРАТУРЫ
1982
22.336
H 58
УДК 538.56
Нефёдов Е.И. Открытые коаксиальные резонансные структуры. - М,;
Наука. Главная редакция физико-математической литературы 1982, «' 220 с.
Монография представляет собор первое в отечественной и мировой ля-*
тературе систематическое изложение теории открытых коаксиальных резо-
резонансных структур, нашедших широкое применение в антенно—волноводной тех-.
кике, квантовой и дифракционной электронике, диагностике плазменных и
электронных потоков, измерительной технике, электронике СВЧ и, в част-
частности, релятивистской электронике, а также в ряде других областей совре-
современной физики и техники, связанных о освоением диапазонов миллиметро-
миллиметровых, субмиллиметровых и световых волн.
Дана классификация открытых коаксиальных реэонананьцс структур, из-
изложена теория и алгоритмы расчетов коакоиальнкх И дисковых резонаторов.
Подробно исследованы свойства высших типов волн коаксиальных кругового
и эллиптического волноводов и биконичеокого рупора. Обнаружен ряд инте-
интересных физических эффектов, которые реадизуютоя в коаксиальных цилиндри-
цилиндрических и дисковых открытых структурах.
Книга предназначен для научных работнииов и инженеров-проектировщи-
инженеров-проектировщиков радиоэлектронной аппаратуры новых диапазонов электромагнитных волн,
Она окажется полезной и рекомендуется аспирантам и студентам старших
курсов радиофизических и радиотехничеоких специальностей.
Рис. 87, табл. 9, библ. 311 наав.
Евгений Иванович Нефёдов
ОТКРЫТЫЕ КОАКСИАЛЬНЫЕ РЕЗОНАНСНЫЕ СТРУКТУРЫ
М,, 1982 г., 220 стр. с илл.
Редактор В. А. Григорова
Корректор Т. В. Обод
Техн. редактор Н.В. Семенчинская
ИБ
11818
Сдано в набор 23.07,81. Подписано к печати 20.11.81. Т - 27773.
Бумага офсетная. Формат 60*90 1/16. Офсетная печать. Усл. печ. л. 13,8.
Уч.-изд. л. 14,6. Тираж 2S30 акз, Заказ №966. Цена 2 р. 20 к.
Издательство, "Наука", Главная редакция физико—математической литературы.
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15.
Ордена Трудового Красного Знамени 1~8 типография издательства "Наука",
199034, Ленинград. В-34, 9-я линия, 12
(S) Издательство "Наука*.
Главная редакция
д-7 ао физико-математической
" °2 литературы, 1982
Р9.
- 82
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 6
Введение 7
§ В.1. Классификация открытых коаксиальных резонансных струк-
структур 7
1. Базовые конструкции резонаторов ( 7 ). 2. ОКЦР с
Прямолинейными образующими ( 8 ). 3. ОКЦР с фокуси-
фокусирующими зеркалами ( 9 )• 4. ОКДР с плоскими зерка-
зеркалами ( 11 ). 5. ОКДР с фокусирующими зеркалами и (или)
отверстиями на зеркалах ( 11 ). 6. Системы дифракцион-
дифракционно связанных ОКЦР ( 13 ). 7. Системы дифракционно свя-
связанных ОКДР ( 15 ).
§ В.2. Применение ОКЦР и ОКДР в радиофизике 16
1. ОКЦР ( 16 ). 2. Оротроны на основе ОКЦР B1 ).
3. ОКДР ( 25 ).
§ В.З. Методы математической теории дифракции, применяемые при
анализе открытых структур 30
1. Метод разделения переменных ( 30 ). 2. Метод приб-
приближенного разделения переменных (метод Хартри - Фока)
( 30 ). 3. Метод частичных областей ( 32 ). 4. Метод
возмущений ( 34 ). 5. Вариационные методы ( 35 )• 6.
Метод коллокашш ( 38 )• 7. Метод интегрального урав-
уравнения ( 39 ). 8. Метод поперечных сечений ( 39 ). 9.
Метод продольных сечений D1 ). 10. Метод квазипол-
квазиполного обращения оператора ( 42 ). 11. Импедансный под-
подход к теории открытых резонансных структур ( 44 ). 12.
Метод "R-функций и его модификация ( 49 ).
Глава 1. Высшие типы волн коаксиальных кругового и эллиптическо-
эллиптического волноводов и биконического рупора 54
§ 1.1. Высшие типы волн регулярного коаксиального кругового вол-
волновода 55
1. Краевая задача. Электрические и магнитные волны. Ха-
Характеристические уравнения E5 ). 2. Численное исследо-
исследование характеристических уравнений ( 57 )• 3. Приближен-
Приближенные формулы для корней дисперсионных уравнений ( 66 )•
§ 1.2. Аномальное поведение магнитных волн Н коаксиального
tni
волновода . 70
§ 1.3. Симметричные волны коаксиального волновода с импедано-
ным внутренним проводником 76
1. Электрические волны G6 ). 2. Магнитные волны
( 77 ).
ч н
§ 1.4. Высшие типы магнитных волн Н ', регулярного коаксиаль-
tnl
ного эллиптического волновода 80
§ 1.5. Высшие типы волн биконического волновода 85
1. Постановка задачи. Дисперсионные уравнения ( 85 )• 2.
Численное исследование дисперсионных уравнений (87 )•
Глава 2. Открытые коаксиальные цилиндрические резонансные струх-
туры 95
§ 2.1. ОКЦР с прямолинейными образующими 95
1. Принцип действия ОКЦР с прямолинейными образующи-
образующими ( 95 ). 2. Коэффициент отражения ( 98 )• 3. Токи
на зеркалах. Добротность колебаний ( 99 ). 4. Возможные
обобщения ( 100 ). 5. Возбуждение ОКЦР через продоль-
продольные шели в поверхности внутреннего зеркала A01 ). 6.
Связанные системы ОКЦР ( 103 ). 7. Экспериментальное •
исследование ОКЦР ( 103 ).
§ 2.2. ОКЦР с импедансным внутренним зеркалом 108
1. Постановка задачи ( 108 ). 2. Коэффициент отражения
( 10 9 ). 3. Добротные колебания ( 110 ).
§ 2.3. ОКЦР предельного типа 113
1. Электрические волны ( 113 ). 2. Магнитные волны
,( 114).
§ 2.4. ОКЦР с внешним фокусирующим (бочкообразным) и внут-
внутренним цилиндрическим зеркалами 115
1. МЦР-режим ОКЦР ( 115 )• 2. ГДИ-режим ( 117 ).
§ 2.5. ОКЦР с внутренним фокусирующим и внешним цилиндричес-
цилиндрическим зеркалами 121
1. Постановка задачи. Двумерная модель A21 ). 2. Экспе-
Экспериментальные исследования ( 123 ).
§ 2.6. ОКЦР перестраиваемого типа 125
§ 2.7. Селекция типов колебаний в ОКЦР с внутренним коничес-
коническим зеркалом 130
1. Постановка задачи. Одномодовый режим ( 130 ). 2. Воз-
Возбуждение ОКЦР электронными потоками ( 133 )•
§ 2.8. Расчет и оптимизация электронного КПД коаксиального оро-
трона 135
1. Приближение заданного поля ( 135 )• 2. Машинная оп-
оптимизация ( 136 ).
Глава 3. Открытые коаксиальные цилиндрические резонансные струк-
структуры с "нефокусирующими" зеркалами '. 140
§ 3.1. ОКЦР с "нефокусирующими" зеркалами 140
1. Теория ( 140 ). 2. Эксперимент ( 142 )• 3. Тороидаль-
Тороидальный открытый резонатор ( 142 ). 4. ОКЦР ка основе коак-
коаксиального эллиптического волновода ( 143 ).
§ 3.2. Приграничные волны в структурах с односвязным попереч-
поперечным сечением 144
Глава 4. Открытые коаксиальные дисковые резонансные структуры . 147
§ 4.1. ОКДР кольцевого типа 147
1. Постановка задачи. Модель. Характеристическое урав-
уравнение ( 147 )• 2. Приближенное исследование характеристи-
характеристического уравнения ( 151 ). 3. Микрополосковые резонато-
резонаторы ( 153 ).
§ 4.2. ОКДР с отверстиями в фокусирующих зеркалах 155
1. Постановка задачи. Интегральное уравнение Мандельшта-
Мандельштама ( 155 ). 2. Осесимметричные резонаторы с центральны-
центральными или кольцевыми отверстиями в одном или обоих зерка-
зеркалах ( 159 ). 3. Излучение через отверстия в зеркалах от-
открытого резонатора ( 162 ). 4. Возбуждение квазиоптичес-
квазиоптических линий через шель в зеркале открытого резонатора
( 163 ).
§ 4.3. ОКДР с фокусирующими зеркалами и центральным стержнем..170
Т.. Метод эталонного уравнения ( 170 ). 2. Эксперименталь-
Экспериментальное исследование ОКДР A76).
§ 4.4. Диафрагменная линия и родственные ей ОКДР-структуры . . 177
§ 4.5. ОКДР с круговыми металлическими решетками и диэлектри-
диэлектрическими трубами 182
1. ОКДР с круговыми металлическими решетками A82 ).
2. Дисковые резонансные структуры с диэлектрическими
трубками ( 185 ).
§ 4.6. Колебания типа шепчущей галереи в ОКДР 188
1. Общие соображения ( 188 ). 2. Характеристическое урав-
уравнение A89 ).
Добавления i'92
Д.1. Цилиндрические функции. Основные соотношения 192
Д.2. Модифицированные функции Матье первого и второго рода ... 193
Д.З, Присоединенные функции Лежайдра первого и второго рода . . 197
Литература 19в
Предметный указатель 215
ПРЕДИСЛОВИЕ
В последние годы в связи с бурным освоением диапазонов миллиметровых, суб-
субмиллиметровых и оптических волн особое внимание ученых и инженеров привлекает
проблема создания высокодобротных резонансных и волноведуших структур открыто-
открытого типа. Одним из наиболее существенных преимуществ открытых электродинамичес-
электродинамических резонансных структур по сравнению с закрытыми резонансными системами яв-
является значительно более редкий спектр добротных колебаний. Замечательные
свойства открытых резонаторов - редкий спектр, высокая добротность, удобство
ввода (вывода) энергии и т.п. - обеспечили им широкое поле самых различных
применений в антенно-волноводной и измерительной технике, квантовой, дифрак-
дифракционной и релятивистской электронике и в целом ряде других областей совре-
современной радиофизики и техники, связанных с проблемами миллиметрового, суб-
субмиллиметрового и оптического диапазонов.
В радиофизической практике новых диапазонов широкое распространение получи-
получили открытые резонансные устройства, обладающие осевой симметрией. Их можно
(разумеется, условно) разделить на две большие группы. К первой относятся уст-
устройства, прообразом которых является открытый коаксиальный цилиндрический ре-
резонатор - коаксиальный волновод с неограниченным (теоретически) по длине цен-
центральным проводником и конечной внешней обкладкой. Простейшим представителем
второй группы является открытый дисковый резонатор, состоящий из двух парал-
параллельных плоских дисков - зеркал, расположенных на общей оси. Изучение свойств
структур отмеченных двух классов и составляет предмет рассмотрения предлагае-
предлагаемой читателю книги.
Весьма ограниченный объем книги не позволил сколько-нибудь подробно остано-
остановиться на .многих интересных и важных аспектах проблемы. Прежде всего, это
ОКЦР и ОКДР со слабопрозрачными зеркалами, когда коэффициент прохождения ме-
меняется по поверхности зеркала. В стороне остался вопрос о связанных системах
открытых резонаторов, в особенности неидеитичных и овязанных через запредельные
области.
Чрезвычайно важным для приложений представляется вопрос о возбуждении рас—
смативаемых структур электронными и плазменными потоками в са- осогласованной
постановке. И здесь же рядом возникает не менее важная проблема построения оп-
оптимальных, с точки зрения эффективного взаимодействия электронного потока и по-
поля открытой структуры, алгоритмов расчета электронных приборов миллиметрового
и субмиллиметрового диапазонов электромагнитных волн.
Особый интерес вызывают возможности широкого использования резонансных
структур с "нефокусируюшими' зеркалами. Здесь, по существу, заложены только ос-
основы теории этого класса структур и их приложений в электродинамике и, иа осно-
основе электрогидродинамических аналогий, в гидродинамике винтовых потоков и ряде
смежных областей науки и техники. Автор отчетливо понимает, что сделано гораз-
гораздо меньше, чем необходимо, и поэтому с надеждой смотрит в будущее.
Основу книги составляют работы, выполненные автором и его коллегами в ИРЭ
АН СССР и некоторых других организациях.
Прежде всего мне хотелось бы отметить благодарностью участие в этих работах
И. М. Российского, которому принадлежит ряд интересных результатов в теории от-
открытых коаксиальных структур. Автор признателеиЛ. А. Вайнштейну, Г. И. Веселову,
С. Н. Власову, Б. 3. Капенеленбауму и Я.Н. Фельду за постоянный интерес к рабо-
работам, составившим основу данной книги.
В особенности я признателен A.M. Прохорову за обсуждение и поддержку работы
по резонаторам с "нефокусируюшими" зеркалами.
Во время проведения исследований по открытым коаксиальным резонаторам ав-
автор пользовался одобрением и поддержкой Н.А. Арманда, который, кроме того, при-
принимал участие в выполнении некоторых работ, предваривших написание данной книги.
Выражаю Н.А. Арманду мою искреннюю благрдарность.
Москва, февраль 1981 г.
Е. Нефёдов
ВВЕДЕНИЕ
§ В.1. Классификация открытых коаксиальных
резонансных структур
1. Базовые конструкции резонаторов. Открытые коаксиальные ре—
зонансные структуры образуют широкий класс электродинамических
устройств миллиметрового, субмиллйметрового и оптического диапа-
диапазонов электромагнитных волн [Д, 21. Прародителем этих многочис-
многочисленных систем является закрытый коаксиальный резонатор
(рис. B.I, a ), нашедший многочиленные применения в технике СВЧ
преимущественно в диапазоне дециметровых И сантиметровых волн
СЗ - 6]. Постепенно, по мере освоения новых все более коротковол-
коротковолновых диапазонов, геометрические размеры внутренней полости ре-
резонатора уменьшались, так как дня практики предпочтителен режим
работы резонатора на одном, обычно низшем, типе колебаний. При
переходе к оптическому диапазону вместо обычных закрытых резо-
резонансных структур были предложены открытые резонаторы, обла-
обладающие рядом замечательных свойств \Л - 9]. Главным преимущест-
преимуществом открытого резонатора является редкий спектр собственных ко-
колебаний C1OD. В дальнейшем мы остановимся на этом вопросе более
подробно.
Переход от закрытого коаксиального резонатора к его открытым
аналогам показан на рис. В.1. Так, убрав торцевые стенки и считая
внутренний стержень бесконечно протяженным (в дальнейшем будет
показано, что наличие бесконечного внутреннего стержня не является
принципиально важным или необходимым), мы придем к модели от-
открытого коаксиального цилиндрического резонатора
(ОКЦР; рис. В.1, б). Аналогично, удалив внешнее цилиндрическое
зеркало в модели рис. В.1, а, получим открытый коаксиаль-
коаксиальный дисковый резонатор (ОКДР; рис. В.1,в). Указанные два
типа открытых резонаторов, ОКЦР и ОКДР, являются базовыми для
нескольких классов открытых резонансных коаксиальных структур.
Далее мы проведем классификацию этих резонаторов и очень коротко
отметим основные особенности их. схемного исполнения и принципа
действия.
Отмеченная геометрическая "похожесть" открытых стпуктур
рис. В.1, б, в па свой закрытый прототип (а) имеет более глубокую,
чем это, может быть, представляется на первый взгляд, основу. Дело
7
рис. В.1. Переход от закрытого коаксиального резонатора (СО к
. двум открытым коаксиальным резонансным структурам: цилиндриче-
цилиндрическому (о) и дисковому {$) открытым резонаторам.
в том, что собственные функции открытых структур' оказываются, в
некотором смысле близкими, "похожими" на собственные функции зак-
закрытого прототипа (а). Поэтому особое значение имеет детальное зна-
знание собственных чисел и собственных функций прототипа. Подробно-
Подробному рассмотрению этого посвящается первая глава книги.
2. ОКЦР с прямолинейными образующими. По-иному их можно на-
назвать открытыми резонаторами с цилиндрическими зеркалами. Неко-
Некоторые примеры этих резонаторов показаны на рис. В.2. Простейшими
представителями этого класса структур являются варианты фильтра-
пробки в цилиндрическом (а) и коаксиальном (б) волноводах. Соглас-
Согласно установившейся в области электронных приборов СВЧ терминоло-
терминологии, фильтр-пробка в цилиндрическом волноводе (а) представляет со-
собою обращенный вариант ОКЦР (ср. рис. В.1, б). Однако в нем (рав-
(равно как и в коаксиальном варианте фильтра-пробки; рис. В.2, б) воз-
возможны, в отличие от ОКЦР на рис. В.1, б, связанные кблебания.
Они, впрочем, имеют место и в резонаторе по схеме рис. В.2, в,
когда внутреннее зеркало резонатора представляет собою полую ме-
металлическую трубу, а величина выступа U=|L~L| может быть
положительной (этот случай показан на рис. В.2,в) или отрицатель-
отрицательной величиной (внутреннее зеркало по длине меньше внешнего). Воз-
Возможен случай зеркал одинаковой длины ( Д = О).
Интересный класс резонансных структур представляют открытые
осесимметричные предельные резонаторы. Две схемы их в
цилиндрическом (г) и коаксиальном (д) вариантах показаны .на
рис. В.2. Эти структуры, как видно из рис. В.2, г, д, являются "до-
"дополнительными" (обращенными) по отношению к резонаторам на
рис. В.2, а, б соответственно. Возможными вариантами предельных
резонаторов (г, д) являются резонаторы по схемам е и ж.
8
А
2L
2L
S)
в)
) (
1 h
\ n
г
д)
e) m)
Рис. В.2. ОКЦР с прямолинейными образующими: фильтр-пробка в
цилиндрическом @.) и коаксиальном (_(jf) трактах; 6 - ОКЦР с обои-
обоими зеркалами конечной длины (открытый резонатор "клистронного"
типа); Ъ,Ь *• предельные резонаторы на основе цилиндрического (?)
и коаксиального (Jj~) трактов; ?,Ж — примеры ускорительных трак-
трактов с разрывами волноводов.
3. ОКЦР с фокусирующими зеркалами. Представленные на
рис. В.1, б и В.2 примеры ОКЦР являются простейшими моделями
резонаторов, зеркала которых не обладают фокусирующими свой-
свойствами, а энергия колебаний удерживается внутри резонатора за
счет дифракционных эффектов на открытом конце структуры ( см. да-
далее § 2.1). Существует широкий класс ОКЦР с фокусирующими зерка-
зеркалами. Некоторые примеры их представлены на рис. В.З, где показа-
показаны две группы устройств: на фиксированную частоту (а - д)
и перестраиваемые по частотному диапазону (е - з)
резонаторы. В группу резонаторов на фиксированную рабочую часто-
частоту входят резонаторы с одним (а - в) или обоими (г, д) фокусирую-
фокусирующими зеркалами. Первая группа (а - в) строится на основе коаксиаль-
коаксиальной волноведушей структуры, вторая (г, д) - на базе тороидального
(г) или тороидального коаксиального (д) резонаторов.
Перестраиваемые резонаторы (е - ж) обычно имеют только одно
фокусирующее зеркало, хотя в принципе возможны перестраиваемые
резонаторы с обоими фокусирующими зеркалами.
в) т) 3)
Рис. В.З. ОКЦР с фокусирующими зеркалами: 0.-е бочкообразным
внешним и цилиндрическим внутренним зеркалами; б — внутреннее
зеркало - в виде параболоида вращений, внешнее - цилиндрическое;
6 — внутреннее зеркало — в виде эллипсоида вращения, Z, у ~ т°~
роидальные резонансные структуры; е,Ж,| - перестраиваемые ре-
резонаторы, выполненные на основе резонаторов по схемам й,б, 6 со-
соответственно.
На рисунках пунктиром показаны каустические поверхности, штри-
штриховыми - плоскости критических сечений.
В дальнейшем мы увидим, что ОКЦР по принципу своего действия
могут быть основаны либо на использовании свойств слабонерегуляр-
слабонерегулярного волновода (резонаторы а — в, е — з), либо на фокусирующих свой-
свойствах одного (а, б, е, ж) или обоих (г, д) зеркал. Таким образом,
резонаторы по схемам в, з могут быть реализованы только за счет
отражений квазисобственной волны от критических сечений (на
рис. В.З они показаны прямыми штриховыми линиями). На первый
взгляд резонаторы по схемам в, з не должны обладать фокусирую-
фокусирующими (по крайней мере, с геометрооптической точки зрения) свойст-
свойствами. Однако принцип действия этих резонаторов, работающих на маг-
магнитных колебаниях типа Н состоит, как и у резонаторов на ос-
нове слабонерегулярного волновода (а, б), в почти полном отражении
волны Н ,от Критического сечения.
При ярко выраженных фокусирующих свойствах зеркал колебания
внутри резонатора "удерживаются" каустическими поверхностями (на
рис. В.З они показаны пунктирными линиями). Отметим также, что
кривизна и размеры зеркал в резонаторах тороидального типа (г, д)
могут быть разными для каждого зеркала.
Резонансная частота ОКЦР определяется, в основном, расстоя-
расстоянием I между зеркалами. Смещая одно из зеркал по отношению к
другому вдоль их обшей оси в резонаторах по схемам е - з, мы по-
получаем перестраиваемый по диапазону резонансный элемент.
10
4. ОКДР с плоскими зеркалами. Открытые дисковые резонаторы
с плоскими зеркалами представляют широкий класс ОР. Некоторые
примеры ОКДР приведены на рис. В.4. Простейшим из этого класса
резонаторов является кольцевой резонатор (а). На схеме б показан
кольцевой микрополосковый резонатор, который "переходит" в кольце-
кольцевой при ?,fU.^"l- На рис. В.4, в показан обращенный ОКДР (по отно-
отношению к базовой конструкции рис. В.1, в). Иногда его называют по-
полуоткрытым (или обращенным) радиальным резонато-
резонатором. На следующих четырех рисунках (г — ж) представлены ОКДР
с различными (обычно осесимметричными) телами между зеркалами:
металлическим стержнем с диэлектрическим покрытием (г), с ди-
диэлектрическим стержнем (д), многослойной диэлектрической трубой
(е) и спиралью (ж). ОКДР по последним трем схемам (д — ж) мо-
могут иметь в одном или обоих зеркалах центральное или кольцевое
отверстие для ввода (въшода) плазменного или электронного пото-
потоков, возбуждающих устройств (например, волноведушей линии, зерка-
зеркала лазера и др.) и т.д.
Колебания в ОКДР с плоскими зеркалами, как и в ОКЦР с ци-
цилиндрическими зеркалами (рис. В.2), удерживаются за счет диф-
дифракционных эффектов на краях зеркал.
5. ОКДР с фокусирующими зеркалами и (или) отверстиями на
зеркалах (рис. В.5). Придавая одному или обоим зеркалам базового
ОКДР (рис. В.1, в) фокусирующие свойства, мы придем к схеме ре-
резонатора рис. В.5, а: два сферических зеркала на общем цилиндре.
При этом радиусы кривизны зеркал R /R могут быть различными,
равно как их размерь! О. , (X Изменяя расстояние L между зерка-
зеркалами, мы получим перестраиваемый по диапазону ОКДР. Внутренний
стержень резонатора может иметь, например, форму гиперболоида
вращения (рис. В.5, б), быть полым, образуя либо внутренний резо-
резонатор или волновод для ввода (вывода) энергии, либо полость для
установки устройств, возбуждения (§ 4.3). Так же как и в ОКДР с
плоскими зеркалами, внутренний цилиндр может выполнять роль от-
отрезка линии поверхностной волны (ср. рис. В.4, г), быть диэлектри-
диэлектрическим стержнем или трубой с многослойной стенкой, металлической
(диэлектрической) спиралью (ср. рис. В.4, г) и т.п. Колебания в
ОКДР с фокусирующими зеркалами "удерживаются" каустическими по-
поверхностями.
К этому же классу резонансных устройств примыкает большая груп-
группа открытых резонаторов со сферическими зеркалами и центральны-
центральными (рис. В.5, в) или кольцевыми (рис. В.5, г) отверстиями в обоих
(рис. В.5, в, г) или в одном (рис. В.5, д) зеркалах. Зеркала резо-
резонаторов этого класса могут иметь разные размеры и кривизну; в
частности, одно из зеркал может быть плоским (R -*-<ю") или вы-
пуклым (рис. В.5, е), а не вогнутым, как на схемах в — д.
ОКДР с отверстиями на зеркалах (рис. В.5, в - е) с более об-
общей точки зрения суть предельные случаи открытых резонаторов, зер-
зеркала которых обладают неоднородной (по радиусу) прозрачностью.
11
г) д) е) ж)
Рис. 3.4. ОКДР с плоскими зеркалами: .0. - кольцевой резонатор; 0 -
микрополосковый резонатор; % — полуоткрытый радиальный резонатор;
6, 9, S, 5*С — дисковые резонаторы с металлическим стержнем, пок-
покрытым слоем магнитодиэлектрика (,2), диэлектрическим стержнем (jj),
диэлектрической трубой с многослойной структурой стенок ^g^ с
металлической (диэлектрической) спиралью
в)
г)
Рис. В.5. ОКДР с фокусирующими зеркалами и отверстиями на зер-
зеркалах: Q. - перестраиваемый резонатор; б"- с центральным стержнем
сложной формы; v — с центральными отверстиями в обоих зеркалах;
2. - с кольцевыми отверстиями в обоих зеркалах; 0 - с кольцевым
отверстием в одном из зеркал"; 6 - неустойчивый резонатор с цен-
центральным отверстием в одном из зеркал; Ж - тороидальный откры-
открытый' резонатор.
12
О д)
Рис. В.6. Системы дифракционно связанных ОКЦР: Q., б, ? - перио-
периодические структуры связанных резонаторов, каждая ячейка которых
выполнена на основе резонаторов по схемам рис. В.З, 6, г,ё со-
соответственно; Z,d — связанные резонаторы со скачком пространства
взаимодействия.
Такие зеркала могут быть выполнены, например, из кольцевой про-
проволочной решетки переменного шага, впрессованной в диэлектрик с
проницаемостью, близкой к 1. Разумеется, возможны и другие тех-
технические решения.
Перечисленные выше типы и классы одиночных ОКЦР и ОКДР со-
составляют основу для построения более сложных структур из связан-
связанных резонаторов.
6. Системы дифракционно связанных ОКЦР. Для различных при-
приложений, например при создании полосовых фильтров, представляют
интерес связанные системы ОКЦР. Наиболее употребительными яв-
являются, по—видимому, системы дифракционно связанных идентичных
или разных по размерам или типам резонаторов. Некоторые примеры
связанных систем приведены на рис. 3.6. На первых трех схемах
(а, б, в) показаны периодические структуры (Т - период) связанных
ОКЦР, выполненных на основе базовых конструкций рис. В.З, б, г, в.
При этом система ОКЦР по схеме Q. может быть построена на осно-
основе как слабонерегулярного волновода, так и резонаторов с зеркалами,
обладающими ярко выраженными фокусирующими свойствами. Резона-
Резонаторы, выполненные по схеме б , обычно имеют только явно фокусирую-
13
I I I I fT
Рис. В.7. Системы дифракционно связанных ОКДР: Q. - диафрагмен-
ная линия с конечным экраном; 5 - стержневая дисковая структура;
8 - система "диск — кольцо"; 2 - кольцеобразная структура со стерж-
стержнем (металлическим, импедансным или диэлектрическим) или диэлею-
трической трубой - трубчато-диафрагменный волновод; 8 - обращен-
обращенная по отношению к схеме б структура; g - она же с металлическим,
импедансным, диэлектрическим стержнем или диэлектрической тру-
трубой; ж — система связанных ОКДР с фокусирующими зеркалами.
шипим 11 ni Г
9) e)
Рис. В.8. Диафрагменная линия и ее варианты: Q, - нерегулярная диаф-
рагменная линия (ДЛ) с поливннтовым электронным потоком; Н„ -
постоянное магнитное поле; б,Ь - неэквидистантные ДЛ; 1td - эк-
эквидистантные разноапертурные ДЛ; S - комбинированная ДЛ.
14
Закрытый „
коаксиальный ^
цилиндрический
резонатор
ОНЦР
ОКЦР
е прянолинеЦмьти
зеркояанц
Системы
дифракционно
связанных
ОК1ХР
ОЩР
С фокусирующими
зеркалами
ОКйР
ОЫР
с плоскими
зеркалами
Системы
дифракционно
связанных
ОКДР
ОНДР
С фокусирующими
зеркалани
Не щипси -
рвйамую
идствту
flgpeempau-
вцете
по диапазону
Не срикси-
ро$аннуш
штату
пв диапазону
Тораидальные
Рис. В.9. Классификация открытых коаксиальных структур.
шие зеркала, а резонаторы по схеме Ь строятся только на основе
отрезков слабонерегулярных волноводов.
В принципе из любого набора базовых схем можно составить систе-
систему дифракционно связанных резонаторов. В качестве примеров на
рис. В.6, г, д приведены системы из двух связанных неодинаковых
по размерам и принципу действия резонаторов. Так, на схеме 2 систе-
система состоит из двух резонаторов, один из которых есть резонатор на
основе слабонерегулярного волновода, а зеркало второго обладает
явно выраженными фокусирующими свойствами.
7. Системы дифракционно связанных ОКДР. Здесь возможны два
варианта ОКДР: с плоскими (рис. В.7, а - е) или с фокусирующими
зеркалами (рис. В.7, ж). Колебания в структурах с плоскими зерка-
зеркалами удерживаются за счет дифракционных эффектов на краях, а с
фокусирующими зеркалами - за счет каустик.
На рис. В.8 представлено несколько вариантов нерегулярной диаф-
рагменной линии. По существу, эти конструкции представляют собою
дифракционно связанные ОКДР с плоскими зеркалами.
Для наглядности данные по проведенной выше классификации откры-
открытых коаксиальных цилиндрических и дисковых структур объединены в
схему, представленную на рис. В. 9. В соответствии с этой классифи-
классификацией построено и изложение материала в книге. Сейчас мы перехо-
переходим к краткому анализу различных применений ОКЦР и ОКДР на
практике.
§ В.2. Применение ОКЦР и ОКДР в радиофизике
Из проведенной выше классификации открытых коаксиальных струк-
структур видно, что они представляют широкий класс приборов современ-
современной радиофизики. Ниже мы очень коротко опишем типичные примеры
применений этих резонансных структур на практике.
1. ОКЦР. Одним из интересных применений открытых резонаторов
является диагностика структуры плазменных струй, электронных по-
потоков, измерение диэлектрических свойств твердых веществ и жидкос-
жидкостей СИ - 133 и т.п. Преимущества открытых резонаторов перед
"закрытыми" в задачах диагностики известны: в открытый цилиндри-
цилиндрический резонатор достаточно просто ввести плазму; "разреженность"
спектра колебаний ОР позволяет применить высокие частоты, что
увеличивает диапазон исследуемых концентраций заряженных частиц.
Наиболее простой и естественной конструкцией является открытый
цилиндрический резонатор, представляющий собой отрезок трубы; та-
такой ОР и нащел применение в задачах диагностики структуры струй-
струйных течений. Однако введенный в открытый цилиндрический резона-
резонатор симметричный поток плазмы или мощный электронный пучок мо-
могут существенно изменить свойства самого резонатора. Поэтому
представляется целесообразным учесть влияние плазменного столба
на свойства резонатора в рамках некоторой модели, адекватной физи-
физической постановке задачи. Такой моделью, по—видимому, может слу-
служить ОКЦР (с соответствующим образом подобранными электрически-
электрическими свойствами центрального проводника (рис. В.1, б)). Иногда, впро-
впрочем, для описания влияния, например, плазменного щнура, возникаю-
возникающего под действием интенсивного поля колебания Е в цилиндри-
ческом резонаторе, заполненном газом при высоком давлении (опыты
П. Л. Капицы С143), достаточно заменить реальный шнур моделью
в виде провтяшего стержня (см., например, работы L15 — 17], в
которых проверено уточнение развитой в свое время А. В. Гапоновым
теории тонкой ^.лтенны в резонаторе С181).
Изучение свойств ОКЦР (рис. В.1, б) с идеально проводящим цен-
центральным стержнем представляет также и самостоятельный интерес,
например в связи с резонансными системами приборов на цикло-
циклотронном резонансе (см., например, обзор С193 и литературу
к нему), а также с некоторыми другими задачами. Сюда относится
фильтр паразитных волн С203 на основе цилиндрической ко-
коаксиальной структуры с широкой щелью или поглотителем; известна
конструкция фильтра некруговых типов волн и ряд других
элементов С191. Наконец, можно представить себе цилиндрический
открытый резонатор в качестве проходного измерительного
резонатора в однопроводной линии поверхностной волны или свето-
водной линии. Коаксиальная конструкция может составить основу для
лазера с "круговым обзором" или, с применением перископи-
перископической системы С211, служить возбудителем квазиоптической диаф—
рагменной или линзовой линии и т.п., подобно тому, как это делает-
делается, например, при выводе энергии из тороидальных структур (рис. В.З,
г, д) с помощью конической перископической системы, показанной
16
на рис. В.10 С22 — 241. Недавно был описан и исследован квази-
квазиоптический волновод из бочкообразных зеркал С231, удобный для сог-
согласования с выходом коаксиальных оротронов (см. далее рис. В. 14, а -
в) L60 - 623. Отметим здесь детальное исследование бочкообразно-
бочкообразного открытого резонатора, проведенное в работе С2701.
Излучение электромагнитной волны из коаксиальной линии с по—
лубесконечной верхней обкладкой и неограниченным по длине внут-
внутренним проводником (рис. В.11, б) рассматривалось (при идеальной
проводимости стенок коаксиала) в 1251 , возбуждение однопроводной
линии поверхностной волны - в [263 / (внутренний проводник имеет
индуктивный импеданс; к открытому концу коаксиала подходит ква-
зи—ТЕМ волна). Было показано, что при определенных условиях в
отрезке коаксиального кабеля с неограниченным / по длине внут-
внутренним проводником (рис. В.11, а) возможны высокодобротные ко-
колебания ?28, 293. Существует еще целый ряд возможных и используе-
используемых на практике устройств с коаксиальными открытыми структурами,
которые можно рассмотреть методами, развитыми в СЮ, 263 при-
применительно к ОКЦР. Отметим некоторые из этих систем.
Во—первых, это резонансный отрезок полой внутренней жилы коак-
коаксиального волновода, который может при некоторых условиях вы-
выполнять, например, роль фильтра-пробки для определенных частот
(рис. В.2, Q-) L3O3. Во—вторых, предельный ОКЦР для исследования
плазмы Е31 321, представляющий собой коаксиальную систему с
3}
разрывом внутреннего проводника (рис. В.2, г,9 ) /. Предельный
резонатор интересен еще и тем, что его длина меньше, чем у откры-
открытого цилиндрического резонатора, а это, в свою очередь, позволяет
работать с более короткими плазменными (электронными) потоками.
Более короткий ОКЦР обладает, кроме того, меньшими омическими
потерями. И, наконец, это возможная система возбуждения ОКЦР
через разрыв внутренней жилы (рис. В.12,(Х; С 38, 391, ср. С40,
413). Последняя задача, во всяком случае с геометрической точки
зрения, является обобщением двух первых (см. также С423). На ис-
/ В системах возбуждения параболических антенн находят приме-
применение коаксиальные многомодовые возбудители, обладаю-
обладающие высоким коэффициентом использования поверхности и незначитель-
незначительным затенением зеркала (см., например, L273).
2)
/ Разумеется, внутренний проводник безграничен по длине толь-
только с теоретической точки зрения. На самом деле он не должен быть
короче, чем протяженность зоны эффективной диффузии при дифракции
одной из высших кабельных волн на крае верхней обкладки (рис. В.11, б).
3)
/ Такие структуры применяются также при разработке коллек-
коллективных методов у с ко ре ни я [33, 343; в этих же системах ис-
используются релятивистские кольцевые сгустки в ускорительных
каналах с разрывами волноводов (рис. В.2, е, ж; L351). Колебания
в закрытом коаксиальном тороидальном резонаторе (ср. рис. В.З, 9 )
рассматривались в ИЗ 6, 371.
г 966 17
Рис. В.10. Перископическая система вывода (ввода) энергии из от-
открытого тороидального резонатора через полупрозрачные зеркала 1
с помощью конусообразных зеркал 2.
а) " 5)
Рис. В.11. ОКЦР с прямолинейными образующими (О.) и соответст-
соответствующая ему ключевая структура (б1) - открытый конец кааксикаль-
ного волновода. Штриховкой показана зона эффективной диффузии при
дифракции падающей Ц) волны на открытом конце коаксиала И = О.
а) 6)
Рис. В.12. Схемы возбуждения ОКЦР с прямолинейными образующи-
образующими через разрыв полого внутреннего проводника коаксиала (СО и с
помощью системы узких щелей с переменным наклоном (б 1. Анало-
Аналогичные схемы возбуждения возможны и для других ОКЦР.
18
пользовании кольцевой щели во внутренней жиле строятся устройства
различного назначения: направленные ответвители, аттенюаторы, ще-
щелевые мосты и др. [43 - 45].
Отметим также возможное использование коаксиальных структур
в нолосковых линиях. Коаксиальные конструкции в полосковых
системах [40 - 483 становятся эффективными при проектировании
микрополосковых схем миллиметрового диапазона, что обеспечивает
меньшее паразитное излучение, а, стало быть, большую, чем пленар-
пленарные конструкции, добротность резонансных колебаний [49].
Приведенные примеры ОКЦР с прямолинейными образующими
(рис. В. 2, й, б, г, Э ) представляют типичные примеры конечных ре-
резонансных структур С 2 93. Их ключевые структуры (полубеско-
(полубесконечные; ср. рис. В.11) допускают получение строгого решения (на-
(например, методом Винера - Хопфа - Фока). Налротив, конеч-
конечные структуры типа показанных, на рис. В.2, 6, е,ж не имеют клю-
ключевых структур, и их рассмотрение должно основываться на иных
подходах. Обычно это различные приближенные методы.
Применяются также открытые резонаторы, ключевые задачи для
которых не поддаются строгому решению (например, методом Ви-
Винера - Хопфа - Фока). Примером этому может служить коаксиальный
резонатор с кольцевым выступом (см. рис. В.2,Ъ ), когда внутрен-
внутренняя труба не является полой С14 - 17]. В этом случае возможен
подход к решению с помощью метода квазиполного обращения опера-
оператора (см. § В.З, п. 10), позволяющего получить приближенное ре-
решение с контролируемой точностью С16, 173.
В последнее время были предложены и нашли применение ОК Ц Р
с не прямо ли ней ны ми образующими С50 - 553. Основные
конструкции таких резонаторов схематически показаны на щс. В.З.
Они используются в качестве колебательных систем в Л*! IIP-гене-
IIP-генераторах С 5 6 - 583, оротронах (генераторах дифракцион-
дифракционного излучения) С59 - 631, в о л номерах [64] , диагности-
диагностике плазмы, квантовой электронике при создании мощных
газовых лазеров ([221, ср. L7G1) и т.п. Существенным достоинством
таких структур является большая степень разрежения споктра соб-
собственных колебаний. В особенности это относится к разрежению спект-
спектра по поперечному индексу, так как открытые резонаторы по прин-
принципу своего действия обеспечивают хорошее разрежение спектра по
продольному индексу. Коаксиальная конструкция позволяет относи-
относительно просто решить задачу разрежения спектра именно по попереч-
поперечному индексу С65 - 671 (ср., например, решение той же задачи с
использованием колебаний типа шепчушей галереи [57, 681.
Открытый цилиндрический резонатор обладает более
разреженным спектром собственных частот, чем соответствующий
ему (по внешним размерам) закрытый резонатор [103. В настоящее
время открытый цилиндрический резонатор находит разнообразные
применения. Одним из интересных является его использование в ма-
мазерах на циклотронном резонансе (МЦР), где ин выполняет роль СВЧ
резонатора. В качестве резонансных объемов в МЦР зачастую исполь-
используются также отрезки нерегулярных цилиндрических волноводов с кри-
19
тическими сечениями (каустиками), между которыми для определен-
определенного типа собственной эолны волновода могут выполняться условия
добротного резонанса L691.
Одной из важных практических задач в приборах МЦР-типа (а
также и в других устройствах различного назначения) является обес-
обеспечение необходимой степени селекции мод L701. Сравнительно
несложно получить эффективную селекцию мод по продольному ин-
индексу П., так как добротности соседних колебаний открытого резона-
тора относятся как п , т.е. с ро'стом п добротность высших типов
колебаний резко падает. Обеспечить же требуемое разрежение спект-
спектра по поперечному индексу cj, значительно сложнее. Это обстоятельст-
обстоятельство объясняется тем, что по мере увеличения поперечного сечения
волновода спектр его собственных чисел сгущается и расстояние меж-
между соседними частотами, например, магнитных волн, оказывается ве-
величиной порядка 2szz/% й 1с- скорость света, Ь - площадь попереч-
поперечного сечения, Л - длина волны). Стало быть, по мере увеличения
поперечного размера резонатора спектр его собственных частот сгу-
сгущается в той же мере, так как частоты собственных колебаний его
близки к спектру критических частот волновода.
Выходом является применение в качестве резонансных систем
волноводных структур с колебаниями шепчущей галереи, у которых
электромагнитное поле "прижато" к стенкам волновода [10, 57, 68] /.
Однако в таких системах хорошие результаты по селекции поперечных
типов получаются только в относительно коротких резонаторах ?68].
В дальнейшем (см. § 1.1, ?67]) мы подробно остановимся на
оценке повышения селективных свойств открытого цилиндрического ре-
резонатора за счет коаксиальной вставки [65, 67J, т.е. перехода к ОКЦР.
Вмес^р с тем отмеченные системы обладают существенным не-
недостатком - незначительным диапазоном перестройки по частоте. В
некоторых пределах частоту можно изменять, например, внося в ре-
резонансный объем диэлектрическое или металлическое тело. Однако
при этом происходит не только желательное смешение резонансной
частоты, но нарушается структура рабочего типа колебания, снижает-
2)
ся (иногда весьма заметно) добротность и пр. /.В некоторых пре-
/ В свое время были описаны опыты с резон что рами на волнах
шепчушей галереи (см. рис. 1.5,6 ), когда резонатор создавался дву-
двумя радиальными конечными перегородками, от которых волны шепчу-
шепчущей галереи (+L) последовательно отражались и создавали режим
стоячей волны Ц7 ГЗ.
2)
/ Проведенные Н. Н. Сусловым измерения показали, что собствен-
собственную частоту ОКЦР с прямолинейными образующими можно менять
смешением зеркал резонатора (при этом их образующие остаются па-
параллельными). Однако такой способ управления резонансной частотой
оказывается совершенно непригодным при работе с несимметричными
колебаниями с высоким азимутальным индексом, как, например, в
МЦР-приборах, колебания в которых очень чувствительны к отклоне-
отклонению системы от коаксиальности.
20
делах частоту можно изменять, варьируя длину зеркала, но этого нель-
нельзя сделать, например, в системах с непрямолинейными образующими;
при этом сам эффект перестройки мал из-за слабой зависимости ре-
резонансной частоты от длины зеркала.
Известно, что наиболее легко менять резонансную частоту резо-
резонатора, изменяя расстояние между его зеркалами. Непосредственное
изменение расстояний между зеркалами в ОКЦР (рис. В.З, а-9 )
1)
затруднительно /, однако несущественное изменение конструкции поз-
позволяет сделать резонатор широко перестраиваемым. Такие конструк-
конструкции были предложены L64] и исследованы С72 - 74] (рис. В.3,е-з).
На их основе был спроектирован коаксиальный волномер миллиметро-
миллиметрового и субмиллиметрового диапазонов волн (§ 2.6).
Конструкция ОКЦР с конической вставкой 034 - 67, 731
оказалась удобной не только для перестройки частоты и разрежения
спектра, но и для вывода энергии из резонатора МЦР-генератора L66]
(см. §2.6). Как модель такая структура представляет значительный
интерес в задачах диагностики интенсивных плазменных
струй с помощью бочкообразных открытых резонаторов С54, 75D.
Дело в том, что концентрация частиц вдоль струи изменяется при-
примерно по линейному (или близкому к нему) закону, а стало быть,
и эквивалентное значение ?=?.B") есть почти линейная функция С7б1.
На рис. В.13 представлены некоторые схемы возбуждения ОКЦР плаз-
плазменной струей, выходящей из открытого конца цилиндрического вол-
волновода.
2. Оротроны на основе ОКЦР. Проблема исследования и техническо-
технического освоения диапазона миллиметровых л субмиллиметровых волн поста-
поставила перед радиофизикой и, в первую очередь, электроникой СВЧ за-
задачу создания стабильных перестраиваемых генераторов колебаний,
обладающих достаточно высокой выходной мощностью. Определенные
задачи из этого цикла проблем успешно решаются и с помощью "клас-
"классических" приборов СВЧ электроники (клистроны, ЛБВ, ЛОВ и др.).
Однако в силу ряда причин принципиального, конструктивного и тех-
технологического характера для применения более перспективными ока-
оказались приборы, в основу действия которых заложены два новых фи-
физических принципа: идея Франка о дифракционном излучении
электрона,которая позднее была реализована в эффекте Сми-
Смита - Парселла С773 (по существу - индуцированное черен-
ковское излучение), и идея циклотронного резонанса в
криволинейных электронных потоках, выдвинутая Гапоновым С563 (ин-
(индуцированное циклотронное излучение, связанное с реля-
/ В 8-миллиметровом диапазоне разработан МЦР-генератор с
механической перестройкой частоты, в котором внешнее зеркало (ци-
(цилиндрическое) имеет продольные разрезы С63]. Сдавливая или от-
отпуская половинки зеркал, можно в определенных пределах менять ра-
радиус внешнего зеркала (если резонатор цилиндрический) или изменять
расстояние между зеркалами (если резонатор коаксиальный), что и
обеспечивает изменение рабочей частоты.
21
a) 6)
Рис. Б.1:>. Схемы возбуждения СЖЦР плазменной струей: Q. - tin ос-
основе неперёстраиваемого ОКЦР (регистрирующая схема), б - на ос-
основе ОКЦР (схема для диагностики). Штриховкой, как и на рис. В.11,6,
показана зона эффективной диффузии.
тивистски.ми эффектами). На основании этих фундаментальных фи-
физических открытий в последние годы были предложены и реализованы
два новых класса электронных приборов: гиромоиотроны (мазер и
на циклотронном резонансе) t561 иоротроны (генераторы
дифракционного излучения) L77 - 79, 59, 623.
В реализованных к настоящему времени конструкциях оротронов
используются плоские дифракционные структуры и ленточные электрон-
электронные потоки L59, 793. Исключение составляет предложенное в С 60"]
устройство, где применен коаксиальный открытый резонатор с боч-
бочкообразным внешним зеркалом (рис. В.14, Q. ). Более перспективным
представляется оротрон на основе ОКЦР с цилиндрическим внешним
зеркалом и внутренним (фокусирующим) зеркалом в виде гиперболои-
гиперболоида вращения C62J, схема которого показана на рис. В.14, 5,6. Зде~.
представлены два варианта оротрона: с волноводным (б) и квазионти-
ческим (дифракционным) (С4) выводом энергии. Основу этого оротрона
составляет открытый коаксиальный цилиндрический резонатор, состоя-
состоящий из цилиндрического виошчгто зеркала 1 с кольцевой дифракщ'^"-
ной структурой 2. Внутреннее фокусирующее зеркало 3 представляв''
собой гиперболоид вращения, внутренняя полость которого - цилиндри-
цилиндрический волновод - предназначена для вывода энергии (через -_ц-зли J< '
из резонатора. Кроме того, вывод энергии (в схеме: б) можно ' су ¦
шествкть через "прозрачную" дифракционную решетку 2, формируя
диаграмму излучения с помошью кольцеобразной перископической
системы 5 ', при этом зеркало 5 может производить коррекцию каа-
зиоптического пучка 6. Полый электронный поток 7 создается кольце-
кольцевой пушкой 8 (или системой пушек); отработанные электроны отво-
отводятся на коллектор 9. В схеме б вывод энергии дифракционный (или
квазионтпческнй). i акой вывод предназначается для bpjtfV.por. .<¦ |.' >
волновой части мил. шмеТ)юного и субмиллиметровогч диаиаа-./и ¦]
Размеры отк]ллтого резонатора оротрона таковы, что расстояние
(&-0Л межпу зеркалами { и ,1 составляет несколько полуволн ( С) ~
22
В)
Рис. В.14. Некоторые примеры использования перестраиваемого ва-
варианта ОКДР (рис. В.З) в оротронах Щ-h и клистронах B 0") СВЧ,
на схеме е показан обращенный (по отношению к рис. В-°.а) ва"
риант коаксиального оротрона [60, 62, 72, 73, 65, B&J.
= 1, 2,...) L791. В современных оротронах обычно
на волны генера1ши приближенно определяется так:
«. 5 -г Ю. Дли-
ДлиТаким образом, перестройка частоты в оротроне может происходить
либо непрерывно за счет изменения расстояния между зеркалами 1
и 3, либо за счет 'перескока* на другой тип колебаний (иное значе-
значение q,). В дальнейшем мы покажем, что при кй»1 и отсутствии
азимутальной зависимости полей (.9/9Ц> s О) открытый резонатор
рассматриваемого типа с достаточно высокой степенью точности опи-
описывается своим двумерным аналогом (см. § 2.5; L51J).
Если строить оротрон на базе СКЦР (рис. В.З, е-ж ), то можно
получить широко (механически) перестраиваемый генератор миллиметро-
23
вого и субмиллиметрового диапазонов Ц72]. Перестройка по частоте
в схемах оротрона на рис. В.14, б,* в принципе возможна, но для
этого в рабочий объем резонатора нужно вносить возмущающее тело
или смещать зеркала друг относительно друга. Это не всегда удобно
и позволяет менять частоту лишь в незначительных пределах. Разу-
Разумеется, коаксиальная конструкция не препятствует осуществлению
электронной перестройки в обычных для оротронов пределах.
В силу симметрии резонансной системы и электронного потока
коаксиальный оротрон, по существу, представляет прибор, в котором
взаимодействие полого электронного потока с дифракционной струк-
структурой локально (например, в плоскости рисунка) происходит так же,
как и у безгранично широкого плоского потока с плоской дифрацион-
ной структурой. Стало быть, имея полый поток в коаксиальном оротро-
не, можно получить "чистые" волновые пучки дифракционного излуче-
излучения, избежать возникновения пучков другой поляризации и некоторых
побочных явлений, обязанных конечной ширине электронного потока
в плоском оротроне С5 93 /.
В § 2.8 показано, что при выполнении определенных условий к.п.д.
оротрона может достигать величины 53%. Названная величина к.п.д.
не представляется предельно возможной.
Описанная конструкция коаксиального оротрона обладает рядом преи-
преимуществ. Основная его особенность заключается в существенно боль-
большей поверхности дифракционной решетки, у которой происходит взаи-
взаимодействие электронного потока с высокочастотным полем, и, в силу
этого, в возможности генерировать большие мощности. В коаксиаль-
коаксиальном оротроне используется кольцевой электронный поток, что пред-
предпочтительнее по сравнению с плоским потоком С 5 9, 801. Волновые
пучки дифракционного излучения являются однородными и однополя-
ризационными и позволяют легко осуществить волноводный или квази-
квазиоптический вывод высокочастотной энергии из прибора (ср. С82]).
Таким образом, электронный прибор непосредственно в линии возбуж-
возбуждает нужный тип колебаний, например волну Н„, цилиндрического вол-
волновода, симметричные волны в квазиоптических линиях передачи и т.п.
Незначительное изменение конструкции прибора дает возможность по-
получить перестройку по частоте в широком диапазоне. Коаксиальная
конструкция прибора удобна для создания оптимального (по длине взаи-
взаимодействия) магнитного поля Ц83, 84], а также для осуществления
(например, за счет скачков фазы) "возврата" в пространство взаи-
взаимодействия выпавших из синхронизма электронов. Использование диф-
дифракционно связанных систем ОКЦР позволяет строить оротроны по
. / Оценочные расчеты показали, что пусковой ток для первого
азимутального типа в два раза выше, чем для основного симметрич-
симметричного колебания. При этом не учитывалось изменение резонансной часто-
частоты несимметричного колебания по сравнению с рабочим типом. Эф-
Эффект расщепления частот, возможно (при обеспечении высоких зна-
значений добротности резонатора), окажется полезным для подавления
паразитных типов колебаний.
24
схеме "со скачком пространства взаимодействия" (ср. С84]), что
позволяет надеяться на существенное увеличение к.п.д. прибора.
Дальнейшее повышение эксплуатационных качеств оротрона воз-
возможно за счет отражательного ( "клистронного") режима его работы.Это
приводит, в частности, к меньшему уровню необходимых токов электрон-
электронного пучка и к безмощностной электронной перестройке частоты С85].
Отмеченные обстоятельства показывают, что коаксиальный орот-
оротрон перспективен для применения в физике и технике диапазона мил-
миллиметровых и субмиллиметровых волн.
Коаксиальная конструкция приборов СВЧ (равно как и тороидаль-
тороидальная) достаточно хорошо себя зарекомендовала уже давно. Начало это-
этому положено было еще при создании колебательных структур для
мощных генераторов СВЧ на лампах с дисковыми выводами [3 - 63.
В последующем такие конструкции нашли широкое применение в клист-
ронных генераторах, гибридных приборах и др. активных СВЧ устрой-
устройствах. Рассмотренные выше ОКЦР также представляют удобное поле
деятельности для внедрения их в области, "традиционные" для клист-
ронных, магнетронных приборов СВЧ, резонансных ЛОВ, ЛБВ и др.
На рис. В.14,г, д показаны примеры использования перестраивае-
перестраиваемого ОКЦР в качестве основного {I) или высокодобротного дополни-
дополнительного {д) резонатора клистрона.
На рис. В.14, б показан обращенный (по отношению к конструк-
конструкции рис. В.5,0, ) вариант оротрона С863. Он обладает, по-видимому,
определенными преимуществами перед конструкциями типа показан-
показанных на рис. В.14, CL—б, так как позволяет осуществить эффектив-
эффективное взаимодействие с нулевой и плюс первой пространственными гар-
гармониками дифракционной структуры 2. Вместе с тем нужен, разуме-
разумеется, подробный анализ свойств обращенного оротрона.
Волны в симметричных коаксиальных направляющих структурах
обладают поляризационным безразличием именно в силу
симметрии системы по азимутальному направлению. В ряде случаев
это обстоятельство может оказаться неудобным при технической ре-
реализации устройства на основе коаксиального волновода с круговыми
цилиндрами. Выходом может стать использование коаксиальной струк-
структуры, образованной эллиптическими цилиндрами ?87]. Мы остановим-
остановимся на рассмотрении этой возможности в § 1.4.
3. ОКДР. В радиофизической практике широкое применение на-
находят открытые резонансные устройства, обладающие осевой симмет-
симметрией и плоскими отражающими поверхностями. Простейшим предста-
представителем этого класса является открытый резонатор с плоскими диско-
дисковыми зеркалами [2, 10, 88 - 92]. На рис. В.4, В.7, В.8 схемати-
схематически показаны некоторые электродинамические устройства этого клас-
класса структур. Наличие концентрических отверстий на обоих зеркалах
дискового резонатора образует из него кольцевой открытый
резонатор (рис. В.4,а, ), рассмотренный в основном численными
методами в ряде работ [90, 913.
При этом одно или оба зеркала могут быть неплоскими, т.е. обла-
обладать фокусирующими (или рассеивающими, ср. § 2.6) свойствами.
Это в равной мере относится как к кольцевому (рис. В.4, й ), так
25
и к радиальному открытым резонаторам (рис. В.1,с ). От-
Отверстий, например кольцевых, может быть несколько. Такая конст-
конструкция обеспечивает, например, возможность введения в резонатор
электронного или плазменного потока, возбуждение его через круг-
круглый волновод "на проход" для целей измерения и т.п. [93 - 95].
Отверстия на зеркалах резонатора (кроме задач возбуждения) позво-
позволяют снимать вырождение типов колебаний в лазерах [92, 96],
используются для повышения селективных свойств открытого резона-
резонатора, для формирования нужного распределения поля на зеркале ре-
резонатора или в отверстии и т.п. Последнее обстоятельство позволяет
решать задачи оптимизации излучения из лазерных устройств
С92, 97 - 1053, возбуждения квазиоптических линий че-
через шель в зеркале и многое другое [106 - 112]. Ряд СВЧ гене-
генераторов имеют коаксиальные выводы энергии. К примеру, оротрон
[59, 623, мазеры на циклотронном резонансе [561 и т.п.
Находят применение открытые резонаторы со шелями (в том чис-
числе и кольцевыми [94, 951) в зеркалах. С их помощью осуществля-
осуществляется связь с внешними цепями, достигается разрежение спектра собст-
собственных частот, осуществляется селекция типов колебаний Ц49, 56,
70, 113], дифракционная синхронизация квантовых генераторов [113 -
1161 и т.д.
В более общем плане открытые резонаторы с отверстиями на зер-
зеркалах представляют простейший пример резонансной структуры с неод-
неоднородными зеркалами, например с зеркалами переменной прозрачности,
с неоднородным импедансом и т.п. [2, 29, 99, 116 - 1221.
Кольцевой резонатор находит применение в полосковых
системах (Ц49 а], с. 9), причем интерес представляет также изу-
изучение высших типов колебаний в таком устройстве С 87, 124 ]
(рис. В.4, б ). Теорию полосковадх кольцевых резонансных структур
можно строить на основе строгой теории микрополосковой линии
(МПЛ), содержащейся в монографии С49]б . Связанные кольце-
кольцевые полосковые резонаторы были рассмотрены в С126Л. Необхо-
Необходимо отметить также возможность создания кольцевых резонанс-
резонансных устройств на основе щелевого волновода Cl27, 49 бЗ,
что особенно интересно для структур с ферритовыми и, в частности,
пленочными подложками [129].
На рис. В. 7, Q. показана система бесконечного числа связанных
кольцевых открытых резонаторов, которая при неограниченном уве-
увеличении внешнего радиуса кольца переходит в диафрагменную
линию из круговых отверстий в безграничных металлических экра-
экранах. Диафрагменная линия для передачи электромагнитных сигналов
в миллиметровом и субмиллиметровом диапазонах волн впервые, по-
видимому, была предложена в [130]. Несколько позже проводилась
экспериментальная проверка ее возможностей С131, 1321.
Давно известно C133J , что "точечная" диафрагма в диапазоне
видимого света дает достаточно четкое изображение, причем макси-
максимальная четкость имеет место, когда релеевский параметр C=k(l/L
равен 0,9К, т.е. когда размер диафрагмы составляет 0,9 от первой
френелевской зоны. Диафрагменная линия при таком значении парамет-
26
ра С будет обладать значительными потерями энергии основного ко-
колебания. Потери достигают допустимых значений (около 1%) при уве-
увеличении С до величин порядка 5,231. Отсюда следует, что механизм
работы диафрагменной линии отнюдь не заключается в последователь-
последовательной фокусировке пучка волн диафрагмами, составляющими линию, а
должен описываться в терминах "собственных" колебаний.
В ряде работ [134, 1351 представлены результаты численного
решения интегрального уравнения Мандельштама [1251
диафрагменной линии. Принцип Гюйгенса использовался в [1341,
а в С1351 в качестве ядра интегрального уравнения выбиралась
асимптотика функции Грина из задачи о широкой шели в безгра-
безграничном плоском экране. Результаты численных расчетов в С1351 и
[13С] совпадают с графической точностью. В дальнейшем мы оста-
остановимся на результатах приближенной аналитической теории диафраг-
диафрагменной линии, развитой в работах [29, 99, 116, 136]; будут рас-
рассмотрены также некоторые новые результаты.
Представляет интерес предложенная в [137 - 139] нерегуляр-
нерегулярная (разноапертурная) диафрагменная линия, позволяющая
.значительно увеличить коэффициент передачи между двумя апертура-
апертурами (в том числе и разновеликими), осуществить согласование между
двумя регулярными диафрагменными или волноводными линиями с
разными размерами (и формами) переизлучающих апертур и др. В
.чазерной технике с помощью отрезков нерегулярной диафрагменной
линии возможно воздействие на формирование пучка и получение его
дополнительной фокусировки, что в итоге должно привести к улучше-
улучшению отношения сигнал/шум на выходе лазерной установки. Лучевая
трактовка принципа действия нерегулярной диафрагменной линии была
предложена в работах [140, 141]. Она основана на представлениях
о движении "центра тяжести" волнового пакета [142, 143]
Волноводная трактовка, на которой мы в дальнейшем остановимся,
изложена в [116] (см. также [29, 991).
В последнее время появились сообщения о различных модерниза-
модернизациях диафрагменной линии. Прежде всего, это фазовые лучево-
ды, когда линия образуется из отверстий в диэлектрическом листе
[144 - 149], а также рамочные диэлектрические диаф-
диафрагме иные линии, причем рамки могут быть различной формы:
прямоугольная, кольцевая, спиральная и т.п. С 149]. Кроме того, в
ячестве основы для диафрагменной линии может использоваться ме-
.-.ллический экран с разнообразными диэлектрическими насадками на
tro краю С149]. Некоторые варианты диафрагменной линии, а именно
разноапертурной или неэквидистантной, в последнее время исследуют-
я в связи с потребностями релятивистской дифракционной
•токтроники [150 - 153] /. Кольцевая периодическая структура
Авторы [152] исследовали, п^ • уществу, режим установления
. .-'х^алий в диафрагменной линии, нов-:: иив процедуру [1341. Возмож-
Возможно, следовало бы воспользоваться готовым набором собственных функ-
функций диафрагменной линии U.29, 091.
27
(регулярная или нерегулярная) может быть использована в оротроне
на (ЖДР, где она выполняет роль внутреннего зеркала. Электронный
поток проходит по оси симметрии структуры через отверстия в диаф-
диафрагмах С1531. При этом поля пространственных гармоник убывают
медленнее (при удалении от структуры), чем во внешней области,
что обеспечивает хорошее взаимодействие электронного потока с коль-
кольцевой дифракционной решеткой [1533.
В антенной технике находят применение стержневые антен-
антенны (рис. В.7, б ) с ребрами (металлическими и диэлектрическими;
см., например, С154, 155] ). В зависимости от выбора типа рабо-
рабочей волны такая структура может работать как в режиме линии, так
и в режиме антенны. Одна ячейка такой структуры представляет со-
собою радиальный открытый резонатор (рис. В.1,6). Внут-
Внутренний металлический стержень в радиальном открытом резонаторе
иногда заменяется диэлектрической трубкой (или стержнем) или по-
покрывается диэлектриком. Такие резонаторы находят самые различные
применения в технике миллиметровых и субмиллиметровых волн (см.,
например, С 156 - 159]); в частности, на основе радиального откры-
открытого резонатора с фокусирующими зеркалами (рис. В.5, Q. ) был пред-
предложен новый тип генераторов дифракционного излучения ?861. Теоре-
Теоретический расчет и эксперимент по ОКДР с фокусирующими зеркалами
были проведены в С1601 (§ 4.3).
Для квазиоптики, электроники СВЧ и линейных ускорителей пред-
представляют интерес связанные кольцевые открытые резона-
резонаторы (рис. В.7, 6,3", ср. [161]) и различные модификации при-
приведенных структур [2, 25, 99, 162 - 166]. Некоторые из них пока-
показаны на рис. В.7. На практике применяются также винтообраз-
винтообразные спиральные структуры (рис. В.15), переходящие в пре-
пределе к структурам, показанным на рис. В. 7. На некоторых из них
мы остановимся в дальнейшем.
Спиральные периодические структуры находят широкое примене-
применение в антенно-волноводной технике (например, в качестве антенны
бегущей волны, создающей максимальное излучение вдоль оси [167],
или линии передачи с волною Н.. со специально подобранными свойст-
свойствами внутренней поверхности [168, 169], в линейных ускори-
ускорителях С170] и электронных приборах СВЧ С 801).-
За редким исключением [99; 116] основное внимание при изу-
изучении спиральных структур уделяется медленным волнам С171,
172]. Однако в последнее время в связи с проблемами построения
генераторов и пассивных узлов аппаратуры миллиметрового и суб-
субмиллиметрового диапазонов предложены и рассмотрены винтообраз-
винтообразные системы с модами шепчущей галереи С 681, в которых изучаются
быстрые волны.
В спиральных ленточных открытых структурах (рис. В.15) могут
возникать добротные собственные колебания. Изучение такого ре-
режима представляется интересным для различных приложений, напри-
например в задачах дифракционной электроники, в частности релятивист-
релятивистской С150 - 1523. Кроме того, в режиме добротных колебаний в
28
2L
Рис. В.15. Примеры винтообразных открытых резонансных структур:
ленточная спираль в свободном пространстве (Д),в цилиндрическом
кожухе (.б) и на цилиндрическом основании (fi).
ячейках структуры накапливается энергия, которая может создавать
заметное паразитное излучение на гармониках, вне рабочей полосы
прибора и т.п., а также оказывать определенное влияние на электрон-
электронный (плазменный) поток в системе и т.д.
В технике миллиметровых и субмиллиметровых волн широкое при-
применение находят металлические (диэлектрические) периодические
решетки, период которых много меньше длины волны. Они исполь-
используются в качестве малопрозрачных зеркал открытых резонаторов,
аттенюаторов, делителей,поляризационных фильтров и пр. С29, 99,
117, 118]. Подбором периода р и коэффициента заполнения (), перио-
периода металлом можно обеспечить достаточно высокий коэффициент отра-
отражения от такой поверхности для электромагнитной волны, у которой
вектор IT электрического поля параллелен проводам, и почти полную
прозрачность решетки для волны с ортогональной поляризацией. Струк-
Структуры с такими свойствами могут быть использованы для дополни-
дополнительного (поляризационного) разрежения спектра собственньк частот
открытого резонатора (волновода) 110, 991. Аналогичные структу-
структуры используются в многоканальных широкополосных системах связи
по круглому волноводу с волною Но1для эффективной фильтрации вол-
волны Е [1681. Для решения задач о широких волноводах с частоперио-
дическими структурами потребовалось рассмотреть свойства быстрых
электромагнитных волн в таких структурах L99, 1163,
Спектр дискового открытого резонатора можно существенно разре-
разредить, поместив между его зеркалами широкую диэлектрическую труб-
трубку ?157 - 159]. Диэлектрическая трубка может быть заменена ме-
металлической частопериодической решеткой. В ряде случаев такая конст-
конструкция оказывается предпочтительнее [99, 1621. Металлическая ре-
решетка, разумеется, может быть заменена, например, полосовой до-
доменной структурой и, стало быть, может допускать электрическое
управление параметрами (ср. [116, 1291). На основе использова-
использования металлических решеток и участков с полосовыми доменными
структурами могут быть построены анализаторы спектра ко-
колебаний (волн) открытых резонаторов (волноводов), а также
разнообразные металлические и диэлектрические волноведущие системы.
Проведенная классификация коаксиальных резонансных структур и
краткий обзор радиофизических приложений ОКЦР и ОКДР показы-
показывают, что мы имеем дело с широким классом устройств, весьма раз-
различных как по конструктивным особенностям, так, очевидно, и по ме-
методам их анализа.
29
§ В.З. Методы математической теории дифракции,
применяемые при анализе открытых структур
Открытые коаксиальные резонансные структуры являются частным
случаем открытых колебательных и направляющих систем. Поэтому
для их анализа применимы, в общем, основные методы теории дифрак-
дифракции волн открытыми структурами. Ниже, ни в коей мере не претендуя
на полноту, мы дадим краткий обзор методов математической и вы-
вычислительной физики, которые применяются или могут быть приме-
применены для исследования задач об открытых коаксиальных структурах.
На этом кратком обзоре несомненно сказалась личная точка зрения
автора на соотношение доступности алгоритмизации программирова-
программирования, проектирования и математического моделирования тех резонанс-
резонансных структур, которые будут рассмотрены в книге. В равной мере
это относится и к другим характеристикам различных методов, как
уже применяемьцс, так и возможных к применению в теории и ма-
машинном проектировании открытых резонансных структур.
1. Метод разделения переменных. Он применим, по существу, толь-
только к закрытому коаксиальному резонатору (рис. В. 1,0. ). Однако,
учитывая, что собственные (резонансные) частоты и собственные
функции ОКЦР (рис. В.1, 6 ) и ОКДР (рис. В.1, 6 ) близки к часто-
частотам и полям закрытого резонатора по схеме рис. В.1,0., в гл. 1 мы
воспользуемся методом разделения переменных и определим "исход-
"исходные данные" для исследований ОКЦР и ОКДР более сложных форм.
2. Метод приближенного разделения переменных (метод Хартри -
ка) Данный метод получил и
Фока).
р рзделения переменных (метод Хартри -
). Данный метод получил широкое распространение в теории откры-
тых резонаторов и открытых волноводов С103. При определенных
условиях (см., например, §§ 2.5, 2.8) ОКЦР можно анализировать
на основе двумерной модели, для которой метод приближенного раз-
разделения неременных может быть сформулирован следующим образом
(L1O1, § 55). Рассмотрим двумерные колебания в схеме рис. 2.14,$
(с. 122); при этом будем считать, что кривизна зеркал достаточно
мала и поле сосредоточено в области, достаточно удалений от кра-
краев зеркал. Последнее замечание, по существу, сводит модель
рис. 2.14, ? к модели, описанной в С103, в которой края зеркал
продолжены в обе стороны по X параллельными плоскостями. Поле
должно удовлетворять двумерному уравнению Гельмгольда
2
и граничному условию Дирихле: Ф = О на поверхности зеркал. Стро-
Строго говоря, функция Ф(.Х,яр в каждом поперечном сечении (.? =
= consf) в соответствии с процедурой метода поперечных се-
сечений (см. U69], а также п. 8) должна быть представлена в виде
разложения
с неизвестными коэффициентами О. . Учитывая, что образующая зер-
зеркала меняется (вдоль ас ) медленно, а добротность ОКЦР на рабочем
30
типе колебаний существенно выше, чем добротность паразитных коле-
колебаний, ограничимся в B) одним членом. Тогда функцию Ф(ж,-и') мож-
можно представить в виде произведения
где поперечное собственное число (J есть функция продольной коорди-
координаты X:
310.
Второй сомножитель в C) возьмем в виде
[eos\
(В.З.5)
причем COS берется при Q нечетных, а 5Ш - при четных значениях
Q . Выбор функции F(Ui в виде E) позволяет удовлетворить
для Ф(.Х,\1) из C) требуемому нулевому граничному условию на
зеркалах. Вместе с тем ф(,1.,^') не удовлетворяет (независимо от
вида первого сомножителя Р(.х) в C)) уравнению A). Потребуем,
чтобы A) удовлетворялось "в среднем", т.е. функция ф(.х,1р удов-
удовлетворяла бы уравнению
Это приводит для функции Р (д.) из C) к некоторому обыкновенному
дифференциальному уравнению, которое с помощью подстановки Р(.Х)=
=A/flQl(X) дает следующее уравнение:
~а
СЪ.2,.74)
Последнее уравнение может быть исследовано любым численным ме-
методом при произвольном значении Q. Для "оптического" случая 1
и h(x)=4?-/Z% , где 1 - радиус кривизны зеркал СН(х)<<1,
к. 310"), уравнение G) преобразуется в следующее:
ее.
31
Из последнего уравнения, имеющего две точки поворота, непосред-
непосредственно получается важное условие, определяющее резонансную часто-
частоту данного колебания:
СВ.3.8)
где
. Изложенный по ?10], § 55 вариант метода приближенного разде-
разделения переменных в сочетании с методом поперечных сечений позво-
позволяет приближенно определить действительную резонансную частоту
рабочего типа колебаний и картины полей. В дальнейшем мы пока-
покажем, как можно учесть и дифракционные потери (см. § 2.5).
3. Метод частичных областей. К группе методов точного и прибли-
приближенного разделения переменных примыкает некоторый весьма уни-
универсальный подход к решению задач дифракции, получивший название
метода частичных областей ([277], § 28). Одной из первых
работ по использованию этого метода в электродинамике является
[3081. Дальнейшее развитие применительно к решению краевых за-
задач для областей сложной формы этот метод получил в рабо-
работах Г. В. Кисунько, Л. Н. Дерюгина, Я. Н. Фельда и др. Интересные
результаты по его развитию и усовершенствованию принадлежат
Г. И. Веселову и его коллегам L250, 279 - 285, 1231.
Идея метода частичных областей весьма прозрачна и процедура
почти очевидна: пусть имеется некоторая (в общем случае трехмер-
трехмерная) область В, ограниченная поверхностью 6, и требуется опреде-
определить собственные числа и собственные функции для однородной крае-
краевой задачи с оператором Лапласа в D. Если S не совпадает ни с од-
одной из известных систем ортогональных координат, в которых пере-
переменные в волновом уравнении разделяются, то метод разделения пе-
переменных в своей классической интерпретации оказывается непригод-
непригодным для решения задачи. Однако во многих практических случаях
оказывается, что область Ъ может быть разделена некоторыми услов-
условными границами (отчасти совпадающими с S ) на конечное число час-
частичных областей Ъ. (.1 = 1, 2,...), имеющих "правильную" форму.
L
Возникает естественное желание воспользоваться "правильностью"
форм частичных областей Б- . Поскольку для каждой "правильной" об-
ласти D. полная ортонормированная система собственных функций
предполагается известной, то остается только удовлетворить гранич-
граничным условиям непрерывности полей на условных границах между D..
Частичные области, например D. и D. ., могут пересекаться, и тог-
да нужно "сшивать" решения в области их взаимного пересечения.
Если часть поверхности S является открытой (S ) (что характерно
для открытых резонансных систем), то на ней должны быть либо не-
непосредственно удовлетворены условия непрерывности полей внутри
D и вне L, либо открытый участок поверхности S "закрывается", напри-
32
мер, поверхностью S , на которой поле удовлетворяет импеданс-
ным граничным условиям резонансного типа ЩО, 29,
49, 149] или двухсторонним импедансным граничным условиям
Ц99, 116, 1491. В дальнейшем мы будем часто пользоваться этими
типами граничных условий (см. гл. 4).
Метод частичных областей (МЧО) обладает уникальной универ-
универсальностью и получил широкое распространение. Рассмотрим кратко
схему применения МЧО для анализа собственных волн регулярного
волновода со сложной формой поперечного сечения [250, 2823. В
случае регулярного волновода можно сразу выделить множитель с
зависимостью от продольной координаты 2, и тогда оператор & в
A) будет двумерным (в переменных Ц и^ ). Искомое решение ФО?,^")
уравнения A-) представляется в виде ряда
где А _ неизвестные коэффициенты, a R О*), ^ (.Ц) ~ собственные
функции двух краевых задач, порождаемых обыкновенными дифферен-
дифференциальными
и внутренними граничными условиями в области. В A0) E - постоян-
постоянная разделения, a "Z - одномерный дифференциальный оператор
второго порядка. Решения уравнений A0) должны удовлетворять гра-
граничным условиям на 6- соответствующей двумерной области D.. Та-
ким образом, исходная задача сводится к задаче Штурма - Лиу-
вилля. Системы собственных функций {R^\ и \У^ обладают
свойством полноты и ортогональности на отрезке их определения.
Полнота системы собственных функций позволяет представить поле
всюду в Б.,и в том числе и на границе S. . "Сшивая" решения для
двух соседних областей Ъ- и Б- , условием их непрерывности при
переходе через S. и пользуясь свойством ортогональности собствен-
L
ных функций, придем к системе линейных алгебраических
уравнений относительно коэффициентов разложений искомого поля
по полной системе собственных функций. Условие существования не-
нетривиального решения однородной системы уравнений есть характе-
характеристическое уравнение относительно искомых поперечных собствен-
собственных чисел. Задача возбуждения полей в структуре требует определе-
определения неизвестных коэффициентов уже неоднородной системы линейных
алгебраических уравнений.
Обращение функциональных равенств, получаемых при наложении
внешних условий в системы алгебраических уравнений, может произ-
производиться с использованием некоторых вспомогательных систем функ-
функций [2501. Такой подход позволяет существенно улучшить сходимость
3.966
33
метода, если вводимая система достаточно полно отражает свойства
поля на границе. В этом случае целесообразно получать системы урав-
уравнений относительно коэффициентов вводимой системы. Указанный под-
подход оказывается эффективным, -если поля на внешних границах имеют
особенности [309, 310]. При надлежащем выборе промежуточной
системы можно получить экспоненциальный характер убы-
убывания коэффициентов разложений С3113.
Отыскание корней (в особенности комплексных) характеристическо-
характеристического уравнения представляет весьма непростую задачу и предполагает,
как правило, использование ЦЭВМ. Следующим этапом является иденти-
идентификация найденных корней.
Весьма сходными по идеологии с МЧО являются метод мини-
минимальных автономных блоков и ряд других методов, развивае-
развиваемых В.В. Никольским (см., например, гл. V] в L4961). Этот подход
сохраняет общие черты МЧО: декомпозиция сложной области на простые,
выбор удобной формы решения волнового уравнения для каждого ав-
автономного блока с последующим сшиванием решений на виртуальных
гранях каждого блока. В определенном смысле метод автономных бло-
блоков можно считать МЧО "в малом". Полученные к настоящему вре-
времени результаты позволяют надеяться, что метод минимальньгх авто-
автономных блоков окажется с вычислительной точки зрения достаточно
эффективным для широкого класса задач теории дифракции .; распро-
распространения волн.
Нужно отметить, что МЧО "в целом" объединяет шкрокий круг
подходов к решению очень разнородных задач тсзрии и машинного
проектирования устройств и систем СВЧ. К сожалению, пока отсут-
отсутствует монография, в которой были бы рассмотрены различные ва-
варианты МЧО и даны практические рекомендации по его применению.
Дело в том, что задача сводится, как мы видели, к исследованию в
общем бесконечной системы линейных алгебраических уравнений. Каж-
Каждый раз эта система должна быть исследована на устойчивость, ско-
скорость сходимости процесса редукции и т.п. Из общих соображений
и вычислительного Опыта решения задач по регулярным волноводаым
структурам и их типичным неоднородностям ясно, что для получения
удовлетворительной точности необходимо учитывать все распространяю-
распространяющиеся типы волн и несколько A-3) нераспространяющихся. Из
этого следует, что МЧО в его классическом виде для анализа квази-
квазиоптических и тем более оптических резонансных и направляющих струк-
структур малопригоден, поскольку число нормальных типов волн, а сле-
следовательно, и порядок системы уравнений может оказаться чрезмер-
чрезмерным даже для наиболее мощных ЦЭВМ. Выход видится в сочетании
разумной идеи МЧО о декомпозиции сложной области до некоторых
простых областей D-, для которых в решении выделяются "главные
Is
члены", с эффективными методами отыскания решения в!.. В даль-
дальнейшем мы убедимся в этом.
4. Метод возмущений. В ряде случаев форма поверхности или за-
полн'ние реального резонатора достаточно близки к резонатору, поля
и резонансные частоты которого известны из точного или приближен-
ного (с заданной точностью) решений. Тогда можно попытаться полу-
получить решение для реального резонатора по методу возмущений
[191, 208, 209, 286, 2873. Обычно под выражением "теория (ме-
(метод) возмущений" понимается первое приближение в методе после до-
вате льных приближений, примененном к интегральной формулировке
задачи Ц2863. Часто действительно ограничиваются одним членом,
так как получение последующих приближений, во-первьис, утомитель-
утомительно и весьма громоздко, а во-вторых, поскольку в задаче есть малый
параметр, то для последующих приближений априори ясна оценка ошиб-
ошибки. Мы воспользуемся теорией возмущения для решения задачи о воз-
возбуждении ОКЦР с прямолинейными образующими (§ 2.1). Отметим
здесь работы по тонкой антенне в цилиндрическом резонаторе, в ко-
которых использовалась теория возмущений L14, 15, 181.
5. Вариационные методы. Если параметр возмущения задачи не
мал, то теория возмущений обычно не приводит к желаемому результа-
результату. В этом случае эффективным может оказаться вариационный под-
подход, который в меньшей степени, нежели теория возмущений, связан
с необходимостью выделения в задаче малого параметра. В этом пунк-
пункте мы обрисуем схемы построения систем линейных алгебраических
уравнений в соответствии с двумя главными из прямых методов
вариационного исчисления: методами Галеркина и Ритца Г.289].
Нужно отметить, что, несмотря на ряд трудностей, с которыми при-
приходится сталкиваться при реализации вариационных принципов, они
находят достаточно широкое поле приложений [277, 278, 286, 288-
2901.
Прежде чем перейти непосредственно к рассмотрению схем ме-
методов Галеркина и Ритца, приведем вид вариационного принципа для
уравнения A) в области В с границей А. Пусть на А функция Ф из
A) удовлетворяет смешанным граничным условиям
ЭФ
—
При этом функционал для [к ] имеет вид С2 863:
$* otv]
Функционал A2) стационарен при к , соответствующих собственным
значениям задачи A), A1). Функция сравнения (пробная функция),
обеспечивающая абсолютный минимум функционала A2), есть точное
решение краевой задачи. Вследствие свойства стационарности A2)
ошибка порядка Б в пробной функции приводит к ошибке порядка
Б для собственного значения.
Рассмотрим теперь схему Галеркина для неоднородной крае-
краевой задачи С289, 2921. Пусть краевая задача для области D
сформулирована в виде операторного уравнения
34
35
а рассматриваемое функциональное пространство характеризуется пол
ной системой функций Ш \. В соответствии с методом Галеркина
представим приближенное решение
системе функций {U 1 :
в виде разложения по полной
U' '=^u U (в.ъ.14)
n=i n n
с неизвестными коэффициентами О, . Условие ортогональности систе-
и
мы функций -Г U V
'-Пи CtVH(AlT"-f,U.)=0, k=l,2,...,N, СВ.3.151
приводит нас к системе N линейных алгебраических уравнений отно-
относительно коэффициентов о, в разложении искомой функции U в ряд
A4):
Таким образом, метод Галеркина позволяет свести неоднородную крае
вую задачу A3) к неоднородной системе линейных алгебраических
уравнений A6) относительно коэффициентов ft в A4).
Рассмотрим теперь однородную задачу. Пусть оператор L
имеет дискретный спектр собственных значений (и функций). Тогда
однородная краевая задача
В.3.17)
с учетом условия ортогональности (ср. A5))
сводится к однородной системе N линейных уравнений
в которой
Lkn=JLUU>,
V
СВ.3.181
a
kn
j ри olv.
Таким образом, первые N собственных значений е
.CN)
(.1 =
2,..., N ) определяются из дисперсионного (характеристического) урав-
уравнения, удовлетворяющего условию существования "нетривиальных ре-
решений однородной системы A8):
let|L-oWQ.|-0.
СВ.3.19)
36
В отличие от метода Галеркина, метод Ритца применяется не не-
непосредственно к формулировкам краевых задач, но к функционалам,
стационарные значения которых соответствуют решениям этих задач.
Так, неоднородной краевой задаче AU = f ставится в соот-
соответствие функционал
СВ.3.201
-CN1
U
стационарный на ее решении. Представляя U и V в виде рядов
n=i *¦ n
-CN1 Д
n=i
и подставляя U и V из B1) в функционал B0), получим сле-
следующую форму, содержащую неизвестные коэффициенты й и Q. :
N
N
Приближенное решение находится из условия- стационарности функцио-
СЮ *W) -4N1
нала F на данном U в плане возможных V , что и приводит
к результату
совпадающе!iy с результатом по методу Галеркина (ср. A6)). Ана
логичное построение имеет место в методе Ритца и для однород
ной краевой задачи:
Основным недостатком метода Ритца является то, что он приме-
применим только к уравнениям с самосопряженными и положительно опре-
определенными операторами, т.е., строго говоря, его нельзя применять
к открытым структурам. Проекционный метод Бубнова - Галеркина в
значительной мере свободен от этого недостатка L2911.
Таким образом, методы Галеркина и Ритца приводят к одинаковым
системам линейных алгебраических уравнений Галеркина - Ритца как
для однородной, так и для неоднородной задачи. Основным моментом
обоих методов является выбор подходящей (естественной) полной си-
системы функций ^U j. От удачного выбора системы {Un5, адекват-
адекватной физической постановке задачи, зависит скорость счета, точность
решения, устойчивость схемы (ее обусловленность), быстрота сходи-
сходимости к искомой функции и т.п. Практика численных расчетов волновод-
ных задач приводит к тому же выводу, что в методу частичных облас-
областей (см. п. 3): для корректного счета в системе [U "} необходимо учи-
учитывать все распространяющиеся и счетное число нераспространяющих-
ся волн.
37
Применение вариационных методов наталкивается на ряд трудностей,
связанных, прежде всего, со сложностью построения базисной систе-
системы функций {Un^, которая удовлетворяла бы необходимым гранич-
граничным условиям на й. Большой объем вычислительной работы выпадает
на вычисление квадратур в_^системах линейных уравнений A6), A8),
B3). Неудачный выбор {JJ*\ ведет к неустойчивости вычислитель-
вычислительного процесса, связанной с плохой обусловленностью систем уравне-
уравнении. Наконец, метод редукции обычно обладает слабой скоростью схо-
сходимости. Отмеченные обстоятельства ограничивают область приме-
применения вариационных методов, которые требуют для своей реализации
мощных ЦЭВМ. Очевидно, что с ростом ресурсов ЦЭВМ соответствен-
соответственно будет возрастать и роль вариационных методов в задачах машин-
машинного проектирования электродинамических систем СВЧ.
6. Метод коллокации. К методу частичных областей достаточно
близко примыкает метод коллокашш, или поточечного сшивания (со-
(согласования). Пусть исходное дифференциальное уравнение задано в
виде
Искомое решение Ф уравнения B4), соответственно поставленной
краевой задаче, аппроксимируется линейной комбинацией известных
функций фп :
в которой ф (т) удовлетворяет краевому условию
а 1П^")' ТТ-= 2, 3,...,N, - однородному краевому условию
Здесь Btf(pe)- линейная однородная функция ц>(.ОС) и ее производ-
производных, $(.1.) - заданное краевое условие. Ошибка аппроксимации в B5)
I
есть некоторая функция Е. от oL;, I = 1, 2,...,N :.
Св.а.26)
Неизвестные коэффициенты оС^ должны быть выбраны так, чтобы
Ф(.3й, &,_, Аг, .... оСк •) точно удовлетворяла уравнению B4) bN точ-
точках. Таким образом, должно быть:
и1-0, 1=1,2,..., N.
38
Метод коллокации не нашел пока достаточно широкого применения
в электродинамике. Это связано, прежде всего, с его громоздкостью
и отсутствием обоснованных рекомендаций по выбору числа N точек
коллокашш, а также их расположению на линии или области сшива-
сшивания. Однако уже первые численные опыты по применению метода кол-
локации совместно с методом Монте-Карло в задаче о падении поверх-
поверхностной волны на границу диэлектрического четвертьпространства
(установленного на скачке импеданса в линии) позволяют судить о
больших возможностях данного подхода (ср. Ц1493, п. 4.3.2).
7. Метод интегрального уравнения. Наиболее естественным обра-
зом в задачах о волноводах и резонаторах интегральное уравнение
возникает, когда оно записывается относительно неизвестной функции
Ш на некоторой границе 6 В качестве ф может быть ток (электри-
(электрический или магнитный) или тангенциальные поверхности ?q составляю-
щие поля Е, Н, a S - обычно отверстие между двумя связанными
областями Г), и D- i- Одна из них (например, D^ ) может быть не-
неограниченной, и тогда речь идет о задаче излучения из D. . через
S.bB.=-D . ,
О i °°
В электродинамике широко используются все известные типы ин-
интегральных уравнений. Однако для получения численных результатов
они эффективны в случае, если линейные размеры (Д,$) области &
к.алы по сравнению с длиною вг лны X:
/
В дальнейшем (гл. 2) мы рассмотрим некоторые случаи, когда
интегральные уравнения оказываются эффективными и в квазиопти-
квазиоптической области СЮ, 29, 49, 101, 116, 149, 172]. Как и боль-
большинство численных методов, интегральные уравнения становятся эф-
эффективным орудием, если они используются в сочетании с другими
подходами, опираются на априорную физическую информацию и т.п.
8. Метод поперечных сечений. Выше в п. 2 при рассмотрении
метода приближенного разделения переменных (метод Хартри - Фока)
мы уже упоминали о методе поперечных сечений [69]. Этот метод
первоначально был развит и обоснован для полых металлических вол-
волноводов с медленно меняющимися по длине размерами и (или) фор-
формой поперечного сечения, а потом обобщен на открытые линии пе-
передачи (линии поверхностных волн) С 2753. Схема метода попереч-
поперечных сечений для линий открытого типа состоит в следующем. Полное
поле в такой линии может быть представлено в виде разложения по
собственным волнам в форме
где ^ = (I u "Е) ; % U ~ поперечные, г - продольная координата;
h h — продольные волновые числа собственных волн прямого '"
п» »е
39
>0 ) и обратного (n,?t<0; h = -h ,
™" It* ' v
tfV ^t>
направлений (сум-
мирование и интегрирование в B7) проводится по всем этим вол-
волнам);
В формуле B7) Е (_X,U") и Е (l,u) обозначают так называемые
функции поперечного сечения, выражающие собою зависимость соб-
собственных волн от поперечных координат; Б и Ъ — амплитуды соб—
ственных волн, определяющие переносимую волною мощность. Посколь-
Поскольку спектр собственных волн открытой линии является смешанным
(дискретно-непрерывным), то в разложении поля, кроме суммы (по
дискретному спектру), присутствует еще и интеграл (по непрерыв-
непрерывному спектру).
Собственные волны, распространяющиеся независимо одна от дру-
другой в регулярной линии, в пределах нерегулярного участка оказы-
оказываются связанными, т.е. часть мощности переходит от одной волны
в другую. Переход мощности в волны непрерывной части спектра опре-
определяет потери мощности на излучение поля из линии во внешнее прост-
пространство. Связь волн в пределах нерегулярного участка описывается
системой интегро-дифференциальных уравнений для амплитуд волн,
которая получается путем подстановки разложения электрического
поля B7) и аналогичногр разложения для магнитной составляющей
Н в уравнения Максвелла:
АД.
Э D H
nra tn
, Г)
(.В.3.26)
Здесь коэффициенты связи ?> определяют связь между волнами. Коэф-
Коэффициенты связи вычисляются через функции поперечного сечения
En(.x,ty) и Е(.х,1р и их производные по ъ. Функции поперечного
сечения зависят от г параметрически. На регулярных участках коэф-
коэффициенты связи равны нулю, а амплитуды волн являются постоян-
постоянными.
Система уравнений B8) должна быть дополнена граничными усло-
условиями на концах (ь = О, ъ = L ) нерегулярного участка. Эти условия
имеют вид
40
Решение приведенной выше системы интегро—дифферинциальных
уравнений B8) с граничными условиями B9) в общем случае пред-
представляет собой довольно сложную задачу. Однако в одном из наиболее
важных частных случаев, когда параметры линии изменяются медлен-
медленно вдоль линии (т.е. мало изменяются на расстоянии порядка длины
волны), система B8) имеет достаточно простое аналитическое ре-
решение. Оно получается методом последовательных прибли-
приближений! и его результаты (в первом приближении) для амплитуд
волн, рассеянных нерегулярным участком, имеют вид
при
(В.ЗЛО)
Приведенное решение позволяет вычислить полные потери мощ-
мощности основной волны, прошедшей через нерегулярный участок (ре-
(резонатор):
где суммирование и интегрирование проводятся по всем прямым
(чП,зе>0)и обратным (чп,эе<0') волнам.
Если условие медленности не выполняется, то система уравнений
B8) должна решаться численными методами.
В дальнейшем (§§ 2.4 — 2.6) мы рассмотрим применение мето-
метода поперечных сечений к анализу открытых коаксиальных резонато-
резонаторов, построенных на основе волноводов с медленно меняющимися па-
параметрами.
9. Метод продольных сечений. В ряде случаев, когда свойства
резонансной структуры вдоль направления ъ меняются быстро и ме-
метод поперечных сечений (п. 8) в целом малоэффективен, можно вос-
воспользоваться методом продольных сечений (см., например, § 3.7 в
[149]). Схема его состоит в следующем. Пусть полное поле в струк-
структуре удовлетворяет уравнению A), а свойства структуры таковы,
что Э/Эг.''» 9/Эх С*- поперечная координата). Производя в (.1) за-
замену переменных Z = -?^, X=U12 (9/9u=O), получим
Ц2 - - j- ^2 '
где ju.= -С/а. «1, k=k€» 1, ка»1.
Решение уравнения C2) будем искать в виде следующего разло-
разложения в ряд по степеням малого параметра т. :
ii
Св. ъ. 3
41
Функции Ф^,^
му соотношению:
из C3) удовлетворяют следующему рекуррентно-
рекуррентноi t"
H
Граничными условиями для C4) являются условия непрерывности
функции Ф и ее нормальной производной на некоторых поперечных
сечениях ^ и ^ , ограничивающих резонансный объем.
Представление решения формулами C3) и C4) соответствует
отысканию решения, по существу, обыкновенного дифференциального
уравнения C4) в некотором продольном сечении ^ = const. В электро-
электродинамике метод продольных сечений впервые был предложен незави-
независимо Б. 3. Каценеленбаумом и автором настоящей книги в 1965 г.
10. Метод квазиполного обращения оператора. К настоящему вре-
времени еще не установилось окончательного названия для эффективно-
эффективного вычислительного алгоритма, который будет здесь коротко опи-
описан. Мы его называем методом квазиполного обращения оператора.
Бытуют названия: метод полуобращения, частичного обращения и т.п.
Метод квазиполного обращения оператора может быть реализован в
различных формах, например Ц2941 в форме итерационного метода
последовательных уточнений.
В целом речь идет о широком классе задач дифракции, которые
тем или иным способом могут быть сведены к решению линейного
уравнения с фредгольмовым оператором:
IL-Xll-^Gr. (в. Ъ. 35)
Оператор X выступает в двух ипостасях: а) X — бесконечномер-
бесконечномерный матричный оператор, и тогда операторное уравнение C5) экви-
эквивалентно бесконечной системе линейных алгебраических уравнений; б)
X — интегральный оператор, определенный на бесконечном интерва-
интервале; при этом уравнение C5) является интегральным уравне-
уравнением Фредгольма второго рода.
Известно сравнительно небольшое число примеров, когда удается
получить точное решение уравнения C5). Обычно это уже неодно-
неоднократно упоминавшиеся полубесконечные (ключевые) структуры. При-
Применение к их моделям методов типа Винера — Хопфа — Фока или све-
сведение к задаче Римана — Гильберта является эффективным. Однако,
как это часто бывает в жизни, требуется найти решение для конеч-
конечных структур, и здесь необходимо пользоваться каким-либо приб-
приближенным приемом. Наиболее часто используются методы последова-
последовательных приближений (последовательных дифракций), резонансного
знаменателя Фредгольма и редукции. В принципе эти методы позво-
позволяют решение с наперед заданной точностью. Если ? - интеграль-
интегральный оператор, то под редукцией понимается выделение основного про-
промежутка в бесконечном интервале, на котором определен оператор,
42
т.е. промежутка, где наиболее существенны величина и градиент яд-
ядра интегрального уравнения и вне которого ядро считается равным
нулю.
Метод последовательных приближений является итерационным и
достаточно просто реализуется при численном решении, однако об-
область его применимости существенно ограничена требованием ма-
малости нормы оператора X, - итерационный процесс сходится, если
норма оператора X меньше единицы.
При использовании метода редукции (усечения) встречаются серьез-
серьезные трудности тогда, когда требуется достичь высокой точности ре-
решения, В са юм деле, для повышения точности решения необходимо
либо увеличить порядок системы линейных алгебраических уравнений,
которая получается из исходной бесконечномерной системы ее усе-
усечением, либо увеличить интервал интегрирования в интегральном урав-
уравнении. Обе эти процедуры уточнения решения могут считаться в пол-
полной мере удовлетворительными, поскольку вопрос о точности полу-
полученного таким образом численного решения остается открытым.
Существует даже термин "внутренняя сходимость метода", смысл
которого состоит в том, что закон зависимости величины погреш-
погрешности приближенного решения от порядка редукции, как правило, не—
известен. По существу варьирование степенью редукции есть чис-
численный эксперимент, относительно которого всегда полезно помнить
слова А. А. Самарского: 'Без предварительной проверки качества
алгоритмов (а такая проверка возможна лишь при наличии точных
решений) пользоваться ими крайне опасно, ибо мы не сможем по-
понять, отражают ли результаты численного эксперимента реальность
или же они отражают какие-то побочные эффекты раз-
разностной схемы" C296D (курсив мой. - Е. Н.).
Отмеченные трудности удается тем не менее эффективно обойти
при помощи квазиполного обращения (полуобращения) оператора X.
В результате можно, объединив в некотором смысле методы последо-
последовательных приближений и редукции, построить всегда сходящийся
итерационный алгоритм [2941. Опишем очень коротко эту процеду-
процедуру, основываясь на методе последовательных уточнений. Пусть опе-
оператор X уравнения C5) представим в виде суммы
/ ~~ 0^ "+" "« }
(.B.VJ&)
причем X, представляет собою "главную* часть оператора эг., а опе-
оператор о? мал по норме. Тогда можно вместо C5) записать эквива-
эквивалентное ему уравнение
a- xj
(В. Ъ.Ъ7)
где I - единичный оператор. Если при этом справедливо неравенство
43
то для решения уравнения C7) можно использовать метод последо-
последовательных приближений. При этом существенно, что если уравнение
C5) имеет единственное решение, то выполнение условия C8) всег-
всегда возможно обеспечить в силу фредгольмовости оператора X.
Итерационный процесс по схеме
•> > __ ( T "Y* "N f* и — /T *У ^ "Y «i .*. f T _ "v \ ^ / о о i /l ^
^ ~4A ^ t 1 Lr, ^t- V-1- л' ^o Ч-L ™л ) *J , ^C. J.03 J
1 = 1, 2,..., позволяет как угодно точно найти решение уравнения
C5). Идея получения численного решения с помощью итерационно-
итерационного процесса с предварительным обращением редуцированного опера-
оператора наиболее просто, по-видимому, реализуется в форме процедуры
последовательных уточнений, развитой Л. Н. Литвиненко[296].
Реализация метода квазиполного обращения оператора представля-
представляет собою одну из очень эффективных вычислительных процедур, хотя
и требует весьма высокой профессиональной подготовки программиста.
Для исследования закрытых цилиндрических резонаторов с коаксиаль-
коаксиальным выступом этот метод был применен в работах С16, 17].
11. Импедансный подход к теории открытых резонансных струк-
тур. Теперь после большого количества работ по теории открытых
резонансных структур ясно, насколько эффективным средством их
исследования является импедансный подход СЮ, 29, 49, 99, 116,
149, 297 - 300И. В этих и ряде других работ было показано, на-
насколько упрощается рассмотрение задачи, если реальную открытую
структуру удается заменить ее закрытой или квазиоткрытой моделью.
Обычно эта замена не касается геометрии и размеров объекта диф-
дифракции, а заключается в требовании удовлетворить для поля на опре-
определенным образом выбранной поверхности или области некоторым им-
импедансным граничным условиям, например импедансным граничным
условиям резонансного типа или двухсторонним импедансным гранич-
граничным условиям. Отвлекаясь от исследования поведения поля внутри
тела, мы существенно упрощаем задачу. Мы неоднократно будем ис-
использовать в книге этот подход.
Импедансная трактовка краевых задач теории дифракции допускает
и несколько иной подход, на котором мы очень коротко задержим
внимание читателя в данном пункте. Этот подход, интенсивно разви-
развиваемый в последнее время, получил название обобщенного мето-
метода собственных колебаний (ОМСК) L235]. В соответствии
с процедурой ОМСК дифрагированное поле ищется в виде ряда по
системе функций, связанных с объектом дифракции и являющихся соб-
собственными функциями некоторых однородных вспомогательных задач.
В этом отношении ОМСК аналогичен известному методу собственных
частот (п. 1), но в нем во вспомогательных задачах частота - фик-
фиксированный параметр, а роль собственного значения возлагается на
какую-нибудь другую величину. Идей такого подхода содержатся в
работах Д. Гильберта и В. А. Стеклова (см., например, [116, 2351).
В нескольких словах суть дела состоит в следующем. Пусть име-
имеется некоторая область V., ограниченная произвольной (замкнутой
44
или незамкнутой, например перфорированной произвольным образом)
поверхностью й. В качестве поверхности S можно выбрать, к при-
примеру, сферу, внутри которой расположены объекты дифракции, источ-
источники колебаний и т.п. Пусть Ё* и Н - тангенциальные компоненты
полного поля на поверхности ?. Введем понятие импе_данса поверхности
5 как отношения тангенциальных компонент поля {е,Н}'.
Е =WH . (.В.зло)
Если решение полной проблемы дифракции для V. известно, то отно-
отношение известных компонент Е и Н на S однозначно определяет им-
импеданс W в формуле D0). Однако обычно ситуация иная, а именно -
необходимо найти Е и Н на поверхности S каким-либо образом, а
затем уже "продолжить" Е , Н на всю область V, -или внешнюю к
V- безграничную область Ve. Это продолжение может быть сделано
разными способами, но оно является единственным.
В общем случае импеданс W в D0) представляет собою некото-
некоторый интегро—дифференциальный оператор. Если полная система соб-
собственных функций ^Е , Н ~\ оператора Лапласа для поверхности 6
(по "угловым координатам") известна, то поля Е , Н на 6 можно
разложить по этой системе функций:
V
При -этом оператор VJ может иметь, например, такой вид:
e, на,
где р — некоторое волновое число расходящихся от V. волн.
Смысл изложенного состоит в возможности написания для one—
v
ратора импеданса W различных форм вариационных принципов, дока-
доказательства их стационарности и т.д. Таким образом, вместо отыска—
ния полей Е , Н можно решать задачу нахождения импеданса W.
* х -» *
Разумеется, собственно замена нахождения поля Е , Н поисками им—
v
педанса W есть очевидное перенесение трудностей из одного, места
в другое, однако, если при такой транспортировке не потеряны дета-
детали, переформулировка задачи позволяет воспользоваться априорной
информацией о характере искомого решения, пытаться строить ре-
решение, "близкое" в каком—то смысле (по какой-либо норме, напри-
например) к искомому, и использовать его в качестве "пробного", "нуле-
"нулевого" решения.
45
Определенными возможностями в этом отношении и обладает ОМСК.
По существу ОМСК есть синтез ряда различных подходов, в разной
степени пригодных для разных задач дифракции. Рассмотрим некото-
некоторые из них. И начнем со случая, когда в качестве собствен-
собственного значения выступает диэлектрическая проницае-
проницаемость t . Пусть тело с диэлектрической проницаемостью Е. зани—
мает объем V., ограниченный поверхностью Й. Искомое поле Е,Н
удовлетворяет в V. уравнениям Максвелла
•WtE-ikjuH=
xot H+ Lke.E=
а во внешней к V. области V_ таким же уравнениям D3), но при
t - 1. На границе h раздела областей поле Е,Н удовлетворяет
условиям непрерывности тангенциальных, компонент полного i оля. Ес-
Если внешняя область Ve бесконечна, то Е, Н должно удовлетворять
еще условиям излучения. Если, кроме того, в поле есть еще
тела (например, стенки {юзонатора, зеркала антенн и т.п.), то на
их поверхности для Е , Н должны быть выполнены соответствую-
шие граничные условия. Эти два требования относятся и к вводимым
ниже вспомогательным полям Е ,Н и еп, К .
Обозначим через Е Н невозмущенное поле, т.е. поле, созда-
.т,е
ваемое теми же источниками А _^чтр и в D3), но в отсутствии ди-
диэлектрика, и будем искать поле Е,Н в виде
Здесь (е К "У — собственные функции однородной задачи, состоя—
щей в том, что в V.
aotkn-Lk?nen-0,
.(.в. г.
в Ve удовлетворяются такие же уравнения с заменой ? на единицу
и на S тангенциальные компоненты е , К непрерывны. Эта задача
имеет самостоятельный физический смысл. Она описывает незатухаю-
незатухающее колебание, существующее без источников, с частотой задачи диф-
дифракции при замене данного тела другим телом той же формы, но с
диэлектрической проницаемостью t . Таких собственных значений ?
имеется счетное множество. Если Ve бесконечно, так что есть по-
потери на излучение, или если стенки резонатора поглощают, то все
Б^ комплексны и знак lm t противоположен знаку, который имеет
46
Im ?. в телах с диэлектрическими потерями. Непрерывный спектр от-
отсутствует не только для тела в закрытом резонаторе, но и в откры-
открытых задачах ( V бесконечно); это связано с тем, что в Ve система
\е К \ удовлетворяет тому же уравнению, что и дифрагированное
поле Е-Е° , Н-Н°.
Собственные функции ортогональны, и при интегрировании по V-
n^ra,
v.
и для коэффициентов Фурье А D4) получаются явные выражения
через токи или через Е :
1-е;
Е°е IV
1Я
,-¦ 2
V.
(JB.S.47-)
Зависимость А от Ё определяется, в основном, множителем
,-1
Если ЬпЕ<п для некоторых п мало, то система обладает ре-
резонансными свойствами и резонанс D7) наступает при близости Re ?.
к Re Ь . Вблизи резонанса в суммах D4) надо сохранять только
одно слагаемое.
Частота входит в резонансный множитель через t . Однако во
многих практических задачах интерес представляет зависимость по-
поля (т.е. множителя А ) непосредственно от ?,, а не от частоты.
Наиболее существенную при анализе добротных систем величину —
собственное значение ?, — можно определять либо из некоторого
интегрального уравнения в объеме V- , либо из функционала
(.tote? oLV-k2 |(,IJoLV
'JlefflLV
v.
-i
который стационарен на решении задачи D5) и принимает в ста-
стационарных точках значение Б
. В некоторых случаях целесообразно выбирать в качестве Е , Н
поле, созданное теми же токами соответствующим образом выбран-
выбранной простой задачи дифракции.
Собственное значение в граничных условиях. Описан-
Описанный выше аппарат легко обобщается для неоднородных тел, в кото-
которых Е.= Ь(.1Л. В этом пункте на примере скалярной задачи будет
описан вариант ОМСК, применимый только для однородных тел. В нем
собственное значение вводится в граничное условие на S.
47
Пусть все источники расположены вне тела. Искомое поле
удовлетворяет уравнениям
V.
С
условиям излучения (если V"e бесконечно), условиям на стенках ре-
резонатора (если тело помещено в резонатор) и на ?> - условиям
9u; Эи„ _
3n
(i.S.50)
где знаки е, ь обозначают предельные значения полей на S. Будем
искать решение задачи в виде
где и - поле тех же источников при "металлизации" S т.е. w,°^0
Б^, 11=0 на 6, auft удовлетворяют в V- и V уравнениям D9)
(при 1=0 ), а на J - условиям
и.-и =0,
*-п _ "un _ х
9n 9n
u
IB.S.52)
и тем же дополнительным условиям, что и и и иА
Эта вспомогательная задача опять имеет самостоятельный физи-
физический смысл (диэлектрик покрыт активной пленкой). Существует
счетное множество собственных значений р , и если есть излучение
или другие потери, то Imp^D. Собственные функции ортогональны
при интегрировании по S, и для коэффициентов в E1) получается
Г,
и
CLS,
Зависимость Ап от частоты дается, в основном, множителем р Для
высокодобротной системы вблизи резонансных частот для некоторых
П |рп1 велико.
Этим методом, определив в аналитическом виде зависимость р
от частоты, можно, например, исследовать резонатор произвольной
формы, представляющий собой тело с |t|»?. Размерность рядов
(.51) на единицу меньше размерности рядов D4) или рядов в ме-
методе собственных частот (см. п. 1). В задаче о дифракции на сфере
или цилиндре, т.е. когда возможно разделение переменных, решение
обычно записывается именно в виде таких рядов.
48
Фаза элемента матрицы рассеяния в качестве соб-
собственного значения. Если диэлектрик помещен в закрытый ре-
резонатор без потерь в стенках, то &п D1) будет вещественным, не-
независимо от того, вещественно или нет ?,. Параметр Е,^, определяю-
определяющий резонансную кривую, находится без перехода к комплексным
величинам, даже если в системе есть потери (!), т.е. если Tm hi1 О.
Существует вариант ОМСК, в котором все расчеты тоже происходят
в вещественной области, если в системе есть потери только на из-
излучение. В этом варианте собственными значениями являются фазы
элементов матрицы рассеяния. Удобным математическим аппаратом
для вычисления этих собственных значений оказывается веществен-
вещественное интегральное уравнение в V- . Для скалярной задачи оно имеет
вид
C.OS
WR
Здесь К - расстояние между точками % и X , и - собственная функ-
функция, <5 — искомое собственное значение. Вычислив G (Ю, можно ис-
исследовать резонансные свойства системы.
12. Метод R-функций и его модификация. Аппарат R -функций,
введенных в математическую физику В.Л. Рвачевым С 3011, находит
в последние годы разнообразные применения при исследованиях в
механике и физике. R -функции были успешно использованы для ана-
анализа и расчета полей разной природы: температурных, гидродинами-
гидродинамических, деформационных, электро- и магнитостатических и др. По
существу речь идет о становлении универсального теоретико—вы-
теоретико—вычислительного метода, обладающего большими потенциальными возмож-
возможностями.
Определенные применения R-функции получили и в задачах электро-
электродинамики, как во внутренних, так и во внешних L302 — 3041. Тем
не менее, несмотря на явные успехи применения R—функций к весь-
весьма широкому классу задач, их использование в электродинамике пред-
представляется явно не соответствующим их возможностям. И даже бо-
более того, в ряде случаев высказываются необоснованные сомнения
в эффективности их использования (см., например, [496], с. 235).
Не имея возможности обсудить эту проблему сколько-нибудь под-
подробно, мы задержим внимание читателя на одной из модификаций ме-
метода R-функций. Нужно отметить, что применение нового аппарата
всегда встречается с неизбежными методологическими трудностями.
Не является исключением и применение метода R—функций к электро-
электродинамике, когда исследователь сталкивается с неизбежными затрудне-
затруднениями при численной реализации. Эти трудности связаны, прежде все-
всего, с внешней громоздкостью получаемых ЧО'-структур и неизбежной,
в силу этого, сложностью и громоздкостью численного алгоритма.
Последнее обстоятельство, видимо, и определяет ту относительно
скромную роль R-функций, которую они пока играют в задачах тео-
4 966 49
рии дифракции и математического моделирования в электродинамике.
В настоящем пункте мы обрисуем контуры и дадим очень краткое
обоснование нового метода, который, опираясь, в основном, на идеи
R-функций, позволяет рассмотреть широкий класс задач электроди-
электродинамики для областей сложной формы.
Пусть для некоторой области D необходимо построить решение
краевой задачи:
N TJ / 9Ф(.Х)\ 1
A[<Kx)]*-IZ — (ц,. лх)—; ) + й(х)Ф(.х) =
Lj-1 LOI v 4 OX. '
(A3.55)
9., при xt=a ; 1=1,2,3; J-i.iL. 1в.
Здесь А — эллиптический оператор с гладкими коэффициентами,
Ч
& Ч
В соответствии с ?3003 выполняются условия на бесконечности.
В краевой задаче E5), E6): D — произвольная TJ—мерная область,
S - ее Граница, CL. . ^М= 1» 2 N ) - непрерывно дифференци-
дифференцируемые по ос= (х , х ,..., х ) в области D заданные функции. Об-
Область D является "правильной' и охватывает тем или иным образом
область D, для которой поставлена краевая задача. В фиктивной об-
области Ъ выполняется соотношение (для любых вещественных чисел
оС>0,
U.S.57}
11*11
2V
< во.
Отметим здесь существенное отличие изложенной постановки за-
задачи от постановки ее, например, в [306]. Основываясь на резуль-
результатах С3001, мы полагаем коэффициент й.1%) комплексным, что
характерно для краевых задач электродинамики, приводящих к уравне-
уравнению Гельмгольца.
Пусть задачи E5), E6) имеют единственное решение, а именно:
существует единственная функция Ф(.Х\ непрерывная в L=DUS,
удовлетворяющая уравнению E5) в Б и граничным условиям E6)
на S. Будем искать решение исходной задачи E5), E6) в виде
суммы двух функций
(В.3.58)
50
а граничные условия E6) запишем так:
(i.S.59)
(в.г.во)
Теперь задачу E5), E6) можно, с учетом соотношений E8) - F0),
записать в виде
где
(.В.3.61.)
Функцию G(.X) можно построить, если воспользоваться основной тео-
теоремой в СЗОЦ. Согласно этой теореме необходимо предварительно
построить функцию Vrijx.) такую, что
а) Ш!) = О. где veCm;
б) является нормализованной, если to-(X) удовлетворяет условиям:
W>0 внутри &; to = О на S и условие нормализации есть дъ&/д$ =
= 1 на S.
Необходимо позаботиться о том, чтобы С^Х) удовлетворяла неод-
неоднородным граничным условиям F0), а функция f (ft") - условиям
разложения (см., например, Ц291, 3063) в абсолютно и равномерно
сходящийся во всей области D ряд по собственным функциям операто-
оператора Лапласа.
Решение задачи E5), E6) с учетом ( 58) - F1) ишем в виде
оо
iA%)=^{t)TLo. X (X). (В.3.6Е")
о n=i п п
Система функций |Х (,Х)| _¦ является полной и ортогональной,
а функция ^(%) в F2) должна быть такой,чтобы выполнялись усло-
условия разложения AJ^X^X (.'?)'] для всех N = 1| 2,... в абсолютно и
равномерно сходящийся в области D ряд по собственным функциям
оператора Лапласа и удовлетворялось граничное условие E9). Под-
Подставляя F2) в F1), после некоторых преобразований придем к ито-
итоговой системе уравнений:
N=1 ^
m=i.,2
(Ъ.Ъ.&Ъ)
где
Их,
Докажем, что система уравнений F3) имеет единственное реше-
решение. Если
П N N1
51
то необходимо рассмотреть такой ряд:
Коэффициенты CL суть коэффициенты разложения функции
Принимая во внимание, что согласно [3061
ЗА
а из [3073
о
и учитывая неравенство Гёльдера, получим
Р <+оо, ft=ju.+3
О J w
(JU, — сколь угодно малое положительное число). Таким образом, су-
существует единственное решение системы F3), которое удовлетворя-
удовлетворяет условию
00 „
Пт <к<+~,
N=1 N
определяемому методом редукции. Можно показать также, что укло-
уклонение приближенного решения Т от точного Т подчиняется следую-
следующей оценке:
I|RT-RTW11=O(||R-Rn|l+HF-Fn||),
СВ. Ь. 67")
где
Из результата F7) следует, что решение любой краевой задачи
электродинамики сводится к решению конечной алгебраической систе-
системы уравнений. Порядок системы определяется точностью разрешения
исходной задачи E5), E6). Скорость сходимости ряда (а имеет
место, как мы уже отмечали, равномерная сходимость рядов) в F2)
зависит от гладкости коэффициентов уравнения E5), а также от глад-
гладкости функций f(X), й.. , 1= 1, 2, j = 2, 3. Заметим, что для
объектов дифракции, имеющих особенности поля в угловых точках,
можно в общей структуре решения учесть их.
52
Описанный в настоящем пункте подход к решению краевых задач
электродинамики для областей сложной формы в существенном отли-
отличается от известных методов теории дифракции (в том числе и от
традиционного аппарата R-функций). Основная особенность развито-
развитого в С2211 подхода состоит в использовании функции Vri.1*-) как урав-
уравнения, описывающего достаточно произвольную форму объекта диф-
дифракции, в сочетании со строгим решением краевой задачи. Представ-
Представляется, что описанный алгоритм подхода к краевым задачам окажет-
окажется эффективным для развития теории и вычислительных алгоритмов
математического моделирования и машинного проектирования СВЧ
узлов радиоэлектронной аппаратуры.
Проведенный фрагментарный обзор методов математической и вы-
вычислительной физики свидетельствует, во—первых, о большом много-
многообразии подходов к решению различных практических проблем и,
во—вторых, с несомненностью, надеюсь, утверждает, что необходимы
дальнейшие усилия как по разработке новых методов анализа и син-
синтеза, так и по численной реализации "старых", скрывающих, в чем
уже неоднократно приходилось убеждаться, и не только автору, под-
подчас большие возможности (напомним только об известном асимптоти-
асимптотическом методе Крылова - Боголюбова!). Предметом особого внима-
внимания и заботы должны, по нашему убеждению, стать вопросы разра-
разработки и (непременно!) реализации эффективных вычислительньис
алгоритмов, которые позволили бы в какой-то мере скомпенсировать
известные проблемы в отставании вычислительной техники от совре-
современных потребностей автоматизированного проектирования устройств
СВЧ.
Глава 1
ВЫСШИЕ ТИПЫ ВОЛН КОАКСИАЛЬНЫХ КРУГОВОГО
И ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ВОЛНОВОДОВ
И БИКОНИЧЕСКОГО РУПОРА
Коаксиальный волновод является одной из наиболее широко и дав-
давно применяемых линий передачи. Поперечное сечение коаксиальной
линии - двухсвязная область, и вдоль линии возмождо распростране-
распространение поперечной электромагнитной волны, так называемой ТЕМ-волны.
В режиме ТЕМ—волны по линии с двухсвязным поперечным сечением
и, в частности, коаксиальному волноводу электромагнитная волна рас-
распространяется независимо от соотношения между поперечными разме-
размерами линии и длиной волны X (ТЕМ-волна не обладает дисперсией).
Свойства основной ТЕМ—волны в коаксиале изучены достаточно под-
подробно. Значительно меньшее внимание уделено высшим типам волн,
в особенности быстрым волнам, фазовая скорость которых превосхо-
превосходит скорость света. Традиционное рассмотрение заканчивается обыч-
обычно выписыванием характеристических уравнений для собственных чи-
чисел электрических и магнитных волн и приводятся картины распре-
распределения полей волн низших типов. При этом обычно отмечается
бесперспективность использования высших типов волн коаксиала из-^за
больших омических потерь энергии в стенках волновода /. Исключе-
Исключение составляет симметричная магнитная волна Н , которая, равно
как и волна Н круглого волновода, обладает аномальным поведе-
поведением затухания с ростом частоты [171, 1741. Однако этот эффект
на практике используется относительно не часто.
В последнее время значительно возрос интерес к коаксиальным
2)
волноводам /. Это связано с различными техническими приложения-
приложениями коаксиальных линий или конечных структур на их основе в антен—
Среди инженеров бытует даже определение, что в коаксиаль-
коаксиальном резонаторе "слишком много металла".
2)
/ Рассматриваются также коаксиальные структуры неаксиальной
симметрии (например, квадратная внешняя обкладка с центральным
стержнем С1761).
54
но-волноводной технике, электронике СВЧ, измерительной технике
(например, при измерениях диэлектрических материалов с очень вы-
высокими значениями диэлектрической проницаемости) и в ряде смежных
задач, о которых мы уже упоминали в § В.2. Имеется большое чис-
число примеров использования коаксиальных структур в физике и тех-
технике. Введены и табулированы так называемые разностные бее —
селевы функции — часто встречающиеся комбинации цилиндри-
цилиндрических функций С175].
Как мы видели в § В.З, основу для расчета перестраиваемых по
частоте ОКЦР составляет знание поперечных собственных функций
биконического рупора. И, наконец, снятие азимутального без-
безразличия волн в коаксиале приводит к необходимости изучения волн
в коаксиальном эллиптическом волноводе.
Этому кругу вопросов и посвящается первая глава.
§ 1.1. Высшие типы волн регулярного коаксиального
кругового волновода
1. Краевая задача. Электрические и магнитные волны. Характе-
Характеристические уравнения. Пусть коаксиальный волновод образован дву-
двумя идеально проводящими круговыми цилиндрами с радиусами $ и Q,
такими, что й= 0,/о < 1. Электромагнитное поле \J($) при
удовлетворяет однородному уравнению Гельмтолыш
и идеальным граничным условиям первого ( U = О на S ) или вто-
второго (Эй/Эх = О на & ) рода на цилиндрических поверхностях 1 =
= 0, и \-Ь. При анализе естественно использовать цилиндрическую
систему координат t, Ц>, 2., в которой уравнение Гельмгольца записы-
записывается так:
1 3 ( 9U\ 1 32U 32U .9
г 9г V 9г ^ г 0фг Зг2
Разделение переменных в уравнении A) приводит нас к уравнению
Бесселя (см. Добавление 1, формула (Д.1.1)), решение которого
можно представить в виде ряда
C U (
та,5 ms>
m
в котором (поперечные) собственные функции U
щие условию периодичности U (.t^'U (%,*?+231П),
(
, удовлетворяю-
удовлетворяюсуть
jcosl
55
для граничного условия первого рода и
cos
(.l.i.j)
для граничного условия второго рода.
Подчиняя B) граничному условию первого рода
U("t,4OL = 0 при а=о. и г=ё,
приходим к характеристическому уравнению
корни JC (пг= О, 1, 2,..., 3=1, 2,...) которого являются собст-
венными числами системы электрических волн (Ц=Е , Н =0 )
коаксиального волновода. Отношение радиусов проводников обозначе-
обозначено через Д= 0,/ё.
Аналогично, удовлетворив в C) граничному условию второго рода
9U/9"i|s-=O при
а и г-6,
получим характеристическое уравнение
3, ж-1}*, ti-1-5)
корни К, (пг= О, 1, 2,..., S= 1, 2, 3,...) которого являются соб-
ственными числами системы магнитных волн ( U=H , Е. -0).
Продольные волновые числа электрических h и магнитных К.
ms ms
волн связаны с волновым числом к обычными соотношениями:
к
ms
.г г
к-й ,
«ttis
Ct.f.6-)
Система собственных функций B) и C) (электрических и магнит-
магнитных волн) является полной.
При h -*• О системы электрических и магнитных волн переходят
в соответствующие системы собственных волн кругового волновода.
Составляющие нолей электрических волн ( Е , Е , Н , Н ) могут
быть найдены при помощи операций дифференцирования продольной ком-
компоненты Е из B) по известным правилам [171]. Выпишем для при-
примера тангенциальные стенкам составляющие полей электрических и
магнитных волн.
56
Для электрических волн:
Е к,чо= if J (a 1)--
dins
Аналогично, для магнитных волн по Н из C) находятся компонен-
компоненты поля:
На рис. 1.1 представлены картины распределения полей низших
электрических и магнитных волн коаксиального волновода с идеаль-
идеальными стенками.
2. Численное исследование характеристических уравнений. Опре-
деление собственных значений Э€^ и 5ё из уравнений D) и E) в
обшем случае должно быть произведено численными методами.
В этом пункте мы обсудим результаты численных расчетов собствен-
собственных чисел Ж и 5е „а в дальнейшем остановимся на некоторых асим-
ms ms
птотических формулах для них. Данные некоторых численных расчетов
корней уравнений D), E) представлены на рис. 1.2 - 1.5 L65,
177]. При их рассмотрении мы основное внимание уделим анализу
тех особенностей поведения корней, которые представляют интерес
с точки зрения приложений к ОКЦР и ОКДР.
На первом из упомянутых рисунков (рис. 1.2) приведены зависи-
зависимости эе их от азимутального индекса тн. Для удобства на гра-
фиках рис. 1.2 (а также и рис. 1.3) по оси ординат отложены вели-
величины X — т. ИМ -т. По мере увеличения диаметра внутреннего
проводника CL коаксиала ( h -*¦ 1) спектр критических частот коаксиаль-
коаксиального волновода разрежается. Этот эффект очень хорошо виден
из рис. 1.2: с ростом h увеличивается "расстояние" между сосед-
соседними корнями (при Tn=const ). Здесь следует обратить внимание
читателя на разные масштабы по оси ординат на верхней и нижней
частях рис. 1.2.
57
01
Рис. 1.1. Картины распределения полей низших электрических и маг-
магнитных волн в коаксиальном волноводе.
W 20 30 0 10 20 30 т
Рис. 1.2. Зависимости собственных чисел 9? электрических (сплош-
tns
ные линии) и Э? магнитных (штриховые линии) волн коаксиального
Tns
волновода от азимутального индекса ТТХ. Цифры на графиках обозна-
обозначают отношения Д диаметров проводников коаксиала.
Зависимость значений корней К и
tab
от азимутального индекса
Тп наиболее ярко проявляется при малых Тп и t. При увеличении Га до
некоторых больших значений кривые идут примерно параллельно, при-
причем параллельность кривых наступает тем раньше, чем меньше Д.
На рис. 1.2 ясно видна картина вырождения волн типа Н и Е ,
r WS In, 5+1-
при малых Л. По мере увеличения Та вырождение Н ^ Е сни-
ТпЪ т,5-*-1
мается.
Рис. 1.3 иллюстрирует зависимости корней уравнений D), E)
Эе -Тп (левая часть рисунка) и % - ТП (правая) от азимутального
индекса тп для трех значений радиального индекса S. Характерной осо-
особенностью поведения собственных чисел (по сравнению с рис. 1.2)
является наличие вырождения иного типа, а именно: при больших зна-
значениях та собственные числа зависят только от s и m и не зависят
от Д. Вырождение этого сорта при малых значениях 5 проявляется
при меньших тп.
Весьма интересные результаты показаны на рис. 1.4, где про-
проиллюстрировано поведение критических частот электрических СО-") и
магнитных (.6,6) волн при плавном изменении отношения диаметров
проводников.
58
Характерной особенностью несимметричных (тп=?О) магнитных
волн Н при S>2 являются "провалы" в зависимостях Ж = 5е (М.
tns frcs tns
Для наглядности кривые представлены на рис. 1.4, € в линейном мас-
масштабе по оси ординат. При этом одному и тому же поперечному
числу X соответствуют различные отношения радиусов h . Так,
например, на рис. 1.4, % для волны Н„„ поперечному числу % =
= 13,75 соответствуют К= 0,5 и &= 0,65. Ранее аналогич-
аналогичный эффект был отмечен в С 178, 1791 (и несколько позднее в ?180,
1811) для симметричных магнитных волн, когда импеданс внутрен-
внутреннего проводника коаксиала носит индуктивный характер. Наличие та-
такого своеобразного вырождения означает, что если, к примеру, линия
состоит из цилиндров с отношением радиусов, равным Д , то можно
в любом месте тракта ввести дополнительную коаксиальную трубу
так, что h-h , и это не вызовет нарушения граничного условия
для падающей волны. Стало быть, введение дополнительного кольце-
кольцевого экрана с h — l\ не вызовет возмущения падающей волны, а
все остальные волны (имеющие ф-и Н.-компоненты электрического
59
20
to
0
a)
5
.
5
- /77
\
5
"-»
¦^-
¦ •
#
4
•>«
-»
N
••
1 •
6
у
4.
">.
^^
•
s
s
a
\#
\
4-
6 v
- ^
.7
.•N
7
<?
• •
s
..:•*
'8
у
\
\
\
У
у
\
/
в)
......
5
~~—'
*••
4
I
¦n
*•
J>
¦-..
«*.
4
4
\
6
--
*-"
\*
'.'•¦
i —
\\
N
——¦
i
y
~-
m
/
20
10
20 40 60 m 2 3 4 6 8 W 20 40 60 m
Рис. 1.З. Зависимости собственных чисел электрических и магнит-
магнитных волн коаксиального волновода от Хп для различных значений но-
номеров корней S= lt 2, 3: сплошные кривые - S= 1, штриховые •—
S = 2, пунктирные - S = 3. Цифры у кривых соответствуют дробной
части Д.
'о 0,2 ОА 0,6 0.8 А 0,2 0,4 0,6 0,8 А 0,2 Ofi i, Аг 0,8 А
Рис. 1.4. Зависимости собственных чисел электрических (Д) и маг-
магнитных (.б,?~) волн коаксиального волновода от к. Цифры у кривых
соответствуют значениям индексов ГП и 5.
60
поля) будут испытывать отражение /. Это обстоятельство может
оказаться полезным при конструировании различных элементов, напри-
например фильтров типов волн, резонаторов и других устройств
СВЧ тракта.
Проведенные Курушиным и Нефедовым расчеты (по методу Ви-
Винера - Хопфа - Фока) для волн Н в коаксиале с импедансным (ин-
(индуктивным) внутренним проводником при Z = 0,5, к& = 12, ?\ = 0,1,
Да= 0,25 показали, что коэффициент отражения падающей волны Н. ,
как и следовало ожидать, равен нулю, а коэффициент отражения при
падении волны Н - примерно 0,01. Таким образом, однократное
отражение мало'. Однако, сделав несколько границ, можно обеспечить
по волнам Н. ,Н и т.д. необходимую степень отражения. Сформи-
Сформированная таким способом обратная волна с распределенным отражени-
отражением может оказаться полезной при разработке генераторов СВЧ на
обратной волне.
В более многоволновых (чем рассмотренная при k.6= 12) коак-
коаксиальных структурах можно обеспечить режим полного отражения от
одиночной неоднородности, если обеспечить условие "открытого ре-
резонатора", т.е. близость частоты падающей волны к критической (см.
§ 2.6).
С точки зрения приложения численных результатов к ОКЦР и ОКДР
представляет интерес проследить за влиянием диаметра внутреннего
проводника Bа.) на собственные числа % и Ж и, в итсге, на
свойства электрических и магнитных волн (рис. 1.4). Это влияние
неодинаково для электрических и магнитных типов волн.
Прежде всего отметим слабое влияние размеров внутреннего прс-
водьика на поведение магнитных волн Н которые при & -*• О при-
tn.1'
нимают, естественно, значения, соответствующие собственным чис-
числам цилиндрического круглого волновода. Второй характерной осо-
осоявляется их убывание (!) по мере
ТгЛ
бенностью собственных чисел
роста (\, а не возрастание, как это имеет место для всех электри-
электрических волн (рис. 1.4, CL ) и большинства магнитных волн. Эти осо-
особенности мы в дальнейшем обсудим весьма подробно (§ 1.2), по-
поскольку именно такое аномальное поведение волн Н позволило пред-
предложить и построить широкий класс устройств с "нефокусирующими"
зеркалами, как обладающими ?74, 182 - 1841, так и не обладаю-
обладающими осесимметричной геометрией С87, 1853.
/ Если дополнительно введенная структура полубесконечна, то
электродинамическая задача допускает строгое решение, например
методом Винера - Хопфа - Фока ?22, 263; зная решение
для полубесконечного интервала, всегда можно построить приближен-
приближенное решение и для конечной структуры.
61
Внутренний стержень коаксиала более всего "возмущает" симмет-
симметричные электрические волны Еп (при малых Д ) (рис. 1.4, й.). На
несимметричные волны Е (tn.^1, S~l) его влияние сказывается
в меньшей степени; причем чем больше Тп., тем больше область
Де@,&\ в которой это влияние оказывается несущественным. По-
Последнее обстоятельство связано с характером распределения поля Е-
волны при Тп » 1, Га » S. В этом случае поле оказывается "при-
"прижатым" к поверхности внешнего проводника и описывается в терми-
терминах волн шепчущей галереи. До тех пор, пока радиус внутрен-
внутреннего проводника & меньше радиуса Q, границы зоны волны шепчущей
галереи (каустики), внутренний стержень на поле фактически не влия-
влияет (рис. 1.5, О-).
Аналогичная картина бегущих вдоль границы t-v волн имеет
место и для магнитных волн Н , tn.»l, S ^ 2. При ге(й ^)
электромагнитное поле имеет колебательный характер. Радиус внут-
внутренней каустики CL = Tn'b/}E и 0, = Тпо/$ определяется индекса-
тп. ть т m.s
ми ш,ь. Поле тем более прижато к границе г = 4, чем больше ази-
азимутальный индекс Тп и чем меньше радиальный индекс S.
Поле волны шепчущей галереи удобно выражать через функ-
функции Эйри L1861, для вычисления которых имеются подробные таб-
таблицы С186 - 1883. Численный счет для тп»1 и УП~-"К тоже удоб-
удобнее производить, заменив в уравнениях D), E) цилиндрические функ-
функции и их производные соответствующими выражениями через функции
Эйри. При вычислениях удерживались два члена в разложении цилиндри-
цилиндрических функций по функциям Эйри (§ 4.6).
а) 5)
Рис. 1.5. СО Поперечное сечение коаксиального волновода с внут-
внутренней каустикой радиуса Q. (отмечена пунктиром) и геометроопти-
ческие лучи. Участок поперечного сечения шириной ё — (X является
tn
зоной волны шепчушей галереи, б) Резонатор на волне шепчущей га-
галереи С 71].
62
С увеличением Д уменьшается разность между собственными чис-
числами с одинаковым радиальным индексом S и различными азимуталь-
азимутальными индексами Тп,, так что
Исключение составляют магнитные волны Н у которых предельное
Tnl
значение % не зависит от Тп примерно от ?\~ 0,85 и составляет
Tnl.
величину порядка единицы. Это иллюстрируется рисунком 1.6.
Рассмотрим более подробно вопросы разрежения спектра в коак-
сиале для волн с большими азимутальными индексами тп. Результа-
Результаты численных расчетов по D), E) с заменой цилиндрических функ-
функций функциями Эйри представлены на рис. 1.6, 1.7. На графиках
приведены (для четырех значений азимутального индекса m = 10,
20, 40 и 60) значения разностей соответствующих соседних корней
E= 1» 2). Так, величины
означают разности поперечных собственных чисел электрических волн
Е л и Е г, и магнитных волн Н„, и 1
tnZ
D , = п .- че • .
eh, mi ml
1 ,;
Trie
- разность поперечных собственных чисел магнитной волны Н и
электрической Е и, наконец,
ml
еК | mi mil
Характер зависимостей 0 , о и D , для корней более высокого
по 5 порядка ( Ь> 1, 2) качественно остается таким же, как и при-
приведенные результаты для 5-1, 2.
Полученные результаты позволяют сделать некоторые выводы отно
сительно свойств собственных волн высоких номеров m коаксиально-
коаксиального волновода. При m=co"nst в определенном интервале изменения
Д разности $' , (fi и DpL остаются примерно постоянными, не за-
зависящими от h. Это означает, что радиус внутреннего проводника Q,
меньше радиуса CL каустики данной волны шепчущей галереи. Вместе
с тем ясно, что волны шепчущей галереи при Q. < d не могут су-
m
шествовать в коаксиальном волноводе. По мере дальнейшего роста Л
разности (f и (f увеличиваются, причем скорость возрастания О,. и (f
определяется азимутальным индексом Тп: чем больше тп,тем более
резкий "излом" в поведении кривых (f"= (f С А^ . Характер поведения
63
О 0,2 0,4 0,6 0,8 А 0? 0,4 0,6 0,8 Л
Рис. 1.6. Зависимости разностей собственных чисел электрических
(,й) и магнитных {J>~) волн с одинаковыми радиальными S и различ-
различными азимутальными индексами ПХ. Первая цифра у кривых означа-
означает Щ , вторая - 5.
разностей $=Л
п. К
для соседних волн Н и Н
а также Е ,и Е (рис. 1.7, CL, ?f ), качественно одинаков. Однако
Tnl тп2.
в зависимости от величины параметра Л степень разреженности спект-
спектров магнитных и электрических волн различна. Это иллюстрируется
рисунком 1.7,6 (сплошные кривые). При значении Л~1/2 коле-
колебания магнитного поля имеют более редкий спектр ( (Г >CL, )• С
h e
увеличением й положение меняется, и при больших Д существенно
более редким спектром обладают колебания электрического типа. Из
данных рис. 1.7,? хорошо видно, что различие в густоте спектров
соседних волн различных типов сильно зависит от TU.
На рис. 1.7, ? показаны также разности D собственных чисел
he 1\
двух соседних волн разных типов: Н и Е , (пунктирные кривые) /.
С ростом Л разности Б уменьшаются, что означает "поляризацион-
"поляризационное" вырождение колебаний типов Е и Н
Скорость прибли-
жения системы к режиму поляризационного вырождения существенно
зависит от Яг и Д. Нужно, впрочем, заметить, что отмеченное свой-
/ Следует иметь в виду, что масштабы по осям ординат для раз-
разностей D и (f - 8, различаются на порядок.
Ке е h
64
10
0
a)
40
A
/so
0,5
10
0,5
0,9 Л
тгбО
г)
40
20
1
0.7
0,9
"•?
Рис. 1.7. Разности попе-
поперечных собственных чисел
электрических и магнитных'
волн регулярного коакси—
ального волновода в зави-
зависимости от отношения его
радиусов Д = Q,/t.
ство поляризационного вырождения колебаний коаксиального волново-
волновода не является, к счастью, определяющим по ряду причин. Во-первых,
в открытой системе поляризационное вырождение до некоторой сте-
степени снимается автоматически L10, 291. Так, разность между соот-
соответствующими комплексными частотами открытого резонатора по по-
порядку величины оказывается равной [к&Ц-ДK , т.е. увеличи-
увеличивается при Л~*1 (см. также [29], с. 153). Последний результат
получен, правда, для симметричных (.Й/офэО) колебаний ОКЦР, од-
однако есть основания предположить (в пределах справедливости де-
баевской асимптотики цилиндрических функций), что он будет иметь
место и для несимметричных колебаний (см., например, ?29^, с. 154,
п. 5). Во-вторых, явление поляризационного вырождения волн Е^ и
5.966
65
Н
не является определяющим также и потому, что его легко
снять, используя, например, частопериодические структуры в качест-
качестве стенок волновода С 99].
Приведенные соображения остаются в общем справедливыми и для
резонатора с бочкообразным внешним зеркалом ?52], однако полу-
получение количественных оценок для ЛТ>>1 представляет сложную зада-
задачу асимптотических разложений малоисследованньк, к сожалению, сфе-
сфероидальных функций.
Приведенные результаты и соображения показывают возможность
применения ОКЦР для разрежения спектра собственньгх частот ци-
цилиндрического открытого резонатора. Расчет собственньк функций
может быть проведен с использованием таблиц разностньк бесселе-
бесселевых функций ?175]. При необходимости нетрудно учесть влияние им-
импеданса на внутреннем проводнике ?3-78, 1791; к этому мы вернем-
вернемся в §§ 1.3, 2.2.
3. Приближенные формулы для корней дисперсионных уравнений.
В целом ряде частных случаев удается получить аналитические выра-
выражения для корней уравнений D), E). Прежде всего, это известные
формулы Макмагона С189; 190] для высоких корней 5^>тп :
U.1.9)
A.1.10)
Формулы Макмагона (9), A0) тем более точны, чем больше ра-
радиальный индекс S. Первый член справа в (9), A0) определяет зна-
значения корней при k&fi^l ( k$ » 1), т.е., по существу, определяет
переход к плоскому волноводу высотой О—CL.
Уравнения D), E) иногда записывают в иной форме, а именно
(я)=0, A.1.U)
A.1.12)
I *
где %** — — ~ , и тогда для корней A1), A2) можно указать сле-
дугошую формулу [190]:
где
Р-ТГд
а значения р и (^ различны для электрических и
магнитных волн.
66
Так, для электрических волн
l-i)
а для магнитных волн
8<v
Л
A.1.14)
U.I.15)
По существу, последняя запись A3) - A5) для больших корней
уравнений A1), A2) идентична формулам (9), A0), но в ней осо-
особенно заметен ее асимптотический характер (см. A3); следует обра-
обратить внимание, что в (9), A0) •Ц=%&, а в A3) 5€=!Ка).
Корни уравнений D), E) нетрудно найти в тех случаях, когда
отличие радиуса внутреннего стержня й. °т радиуса каустики
a «ml /2a;
волны в соответствующем полом волноводе существенно больше ши-
ширины прикаустической зоны (рис. 1.5,ft,) [10, 66Q
Возможны два случая:
а) Если имеет место соотношение
(U.16)
что эквивалентно условию
в E), то стержень мало возмущает поле волны и величина % близ-
близка к корню уравнения
J'' (ър ¦ \—Г\
tn "is'
определяющего критические частоты магнитных волн полого волно-
волновода кругового сечения. Корни i- последнего уравнения суть L1901
^У"
где
67
Аналогично, для уравнения J Сз? ~)=0, определяющего критичес-
кие частоты электрических волн, корни его | суть
где
б) Если d и d таковы, что
171
й-й
й
что эквивалентно условию
в E), то для расчета критических частот волновода может быть исполь-
использовано приближение, основанное на аппроксимации цилиндрических функ-
функций асимптотическими формулами Дебая:
AД.20)
При DL = О волны Н», коаксиального волновода переходят в волны
Н круглого волновода. При замене 2 -1 —*¦ S формула BО)
переходит в A0).
Если радиус каустики такого же порядка, что и радиусы внешнего
и внутреннего цилиндров,
что эквивалентно в E) условию
то при больших значениях азимутального индекса Тп^>1 возможна
аппроксимация функций Бесселя и Неймана функциями Эйри [.1863
е
1US
68
U
m-ae г
L (?)
r*v\i/5
л/ъ
Тогда уравнение E) при условии
т»1 из B1), приобретает вид
1-й
«1
следующем при
где А =2 m (.1-й), а корни уравнения B4) t& связаны с
ms
соотношением
Значения корней t уравнения B4) приведены на рис. 1.8 в эа-
висимости от параметра А. На этом же рисунке штриховые линии
обозначают значения корней t., соответствующие полому цилиндри-
цилиндрическому волноводу tlO, 186].
Критические частоты волн с малыми азимутальными индексами
ТП. и одинаковыми Ь ¦> 2 при & ~ 1 близки друг к другу. Расстоя-
Расстояние (t@. между ними в случае A9) согласно A6) при С -¦ 1 стре-
d
мится 'к нулю:
Сравнение численных результатов с расчетами, проведенными по
формуле B5) в Ц66], показало, что она дает величины корней с
точностью лучше 0,01 при % -ТП>5(Д ") . Относительная точ-
titi tus'
ность формулы B5) не хуже 0,01 при ТП. > 5 для волн с S = 1 и
при Пт > 25 для волн с & = 2.
Таким образом, используя магнитные волны с6=1и Щ,^>1
(волны шепчущей галереи) и подбирая профили внешнего и
внутреннего зеркал ОКЦР, можно увеличить интервал (^Ш между со-
соседними собственными частотами со до величин порядка lfua —-
[l, 65, 66].
Возможность дальнейшего разрежения спектра ОКЦР за счет ис-
использования волн с низшими азимутальными и высокими радиальными
69
10
\
\
\
,——¦
<—
-t°s=3,25
~t§ = 1,02
Рис. 1.8. Зависимость корней t&
уравнения A.1.24) от параметра
L/& 2/3
А=2 ТП A~Л). Штриховыми ли-
,0
ниями обозначены величины V. ,
соответствующие полому цилиндри-
ческому волноводу: здесь же приве-
приведены их значения.
индексами обсуждалась в работе [67], где было показано, что при
условии приближенного равенства частот интервал между критически-
критическими частотами при tn= 1 и S >> 1 в ft раз больше, чем интервал меж-
между частотами при S = 1 и Tfi»l. В этой работе получена прибли-
приближенная формула для корней уравнения E):
J(
т
msNr (
m
tn
ms
A.1.27")
(см. формулу A7)).
Здесь 9t обозначает корень уравнения J' (Ч^
¦tns rn.
Этот результат и его значение для (ЖЦР мы обсудим более под-
подробно в § 2.7.
§ 1.2. Аномальное поведение магнитных волн Н j
ml
коаксиального волновода
В предыдущем параграфе при анализе поведения магнитных волн
типа Н (тп> 1) с радиальным индексом, равным 1, мы отметили
Tnl
аномальность характера зависимости поперечных собственных чисел
при изменении отношения диаметров проводников коаксиала (рис. 1.4,6,
%>). Учитывая большое принципиальное значение указанного эффекта,
мы проведем здесь его* детальное исследование.
Из асимптотических формул § 1.1 для коаксиального волновода
, !<&¦?> 1) следует, что критическая длина волны (х
магнитных волн Н . есть
ml
'кр
m
(х
A.2.1)
В то же самое время для волн Н.
I
s-i
-, 5=2,3,...
Аналогичное выражение имеет место и для электрических волн Е :
СХ/ -
5=1,2,...
кр ?
Таким образом, критическая длина волн типа Н определяется
длиною границ поперечного сечения коаксиала. Это об-
обстоятельство представляется весьма важным, так как именно оно
дает возможность, предложить и реализовать ОКЦР типа показан-
показанного на рис. В.3,6 и представляющего собой нерегулярный медлен-
медленно меняющийся волновод, у которого диаметр внутреннего проводни-
проводника (ЦЗ1) при переходе от центральной части ( CL = CL_) к краям умень-
уменьшается; внешний проводник имеет постоянный диаметр 2$ «= COtljt.
В каждом поперечном сечении такого нерегулярного коаксиала
длина границ уменьшается, а стало быть, уменьшается Я волн
H.
4.Тогда волны Н^д (у которых
< %< 31
X волн
- ) , воз-
воз70
бужденные в центре коаксиала (например, при помощи щелей во внут-
внутреннем проводнике коаксиала), окажутся запертыми критическими се-
сечениями на краях (на рис. В.3,$ они показаны штриховыми линиями).
Использование, волн Н . для получения резонансных колебаний в
устройстве рис. В.3,-6 наводит на следующую мысль. Такое устрой-
устройство может быть реализовано (эксперимент подтвердил это) в ре-
результате аномального поведения собственньк значений волн Н при
изменении границ поперечного сечения коаксиала. Аномалия обнару-
обнаружена на основании строгого решения электродинамической задачи.
Однако, с другой стороны, поскольку мы рассматриваем случай кё>
> кй »lf то для оценки плотности спектра собственных колебаний
коаксиала можно воспользоваться формулой Релея - Джинса
[10, 191]
?\N= —W Ш, A.2.^
где /\N - число собственных колебаний волновода, приходящееся на
интервал частот /\ш, @ - частота, S - площадь поперечного сече-
сечения волновода, С - скорость света в пустоте.
Формула D) показывает, что с увеличением площади поперечно-
поперечного сечения волновода число его собственных колебаний растет. В
нашем же ОКЦР (рис. В.3,? ) происходит обратное: волны Н ,,рао-
простраяяющиеся в узкой части коаксиала, оказываются з^т;тсаюшими
в широкой части, где больше площадь поперечного сечеиия.
71
На первый взгляд имеет место противоречие между результатами
численного расчета (§ 1.1) и формулой D). На самом деле это
противоречие кажущееся, и для подтверждения этого мы обратимся
к известной теореме Куранта, асимптотическим результатом
(при к-»-оо ) которой является формула Релея - Джинса D). Тео-
Теорема Куранта базируется на нескольких дополнительных теоремах,
строго доказанных в [191']. Эти теоремы являются следствиями экс-
экстремальных свойств собственных значений вариационной задачи. На-
Напомним без доказательства лишь два наиболее важных момента, ис-
используемых Р. Курантом при выводе теоремы.
Будем рассматривать свободные колебания некоторой двумерной
области, подчиняющиеся скалярному уравнению (.Д-t-k )U = 0. Гра-
Граничные условия обобщенные: Ш/ш + VU=O, где П - нормаль к гра-
границе, ЪУ - некоторая постоянная.
1. Если область Gr составлена из произвольного числа подобластей,
не имеющих между собой общих точек, то ее число собственных зна-
значений, не превосходящих верхней грани к, при любых граничных ус-
условиях определяется общим числом собственных значений для всех
частичных подобластей. В частности, если область составлена из
конечного числа квадратов со стороной Q,, ее число собственных зна-
значений определяется как
2. Если область не может быть представлена конечным числом ква-
квадратов со стороной &и при любом достаточно мелком разбиении на ква-
квадраты всегда остается конечное число элементарных областей, каждая
из которых содержит участок границы, то число собственных зна-
значений каждой такой элементарной области подчиняется неравенству
В(Ю<С
+С Ска").
Здесь й - число, заключенное в пределах от -1 до +1; С,С., С ~
некоторые постоянные, не зависящие от Q^k.
Теперь можно перейти к выводу уточненного закона. Пусть произ-
произвольная двумерная область (j для которой ищется число собствен-
собственных значений уравнения (&+k)U=O, имеет кусочно-гладкую гра-
границу с конечным числом углов (других условий для границы нет).
Покроем плоскость сетью квадратов со стороной, равной единице.
Тогда \i квадратов Q, & ,...,& этой сети будет целиком лежать
внутри С-, Разобьем теперь все квадраты этой сети на четыре кон-
конгруэнтных квадрата со стороной, равной 1/2. Пусть h. этих квадра-
квадратов, которые обозначим через Q, , &,...,(}, ., лежат в области & и
1 2. hi
в то же время не содержатся внутри какого-нибудь из квадратов
72
IX.. Разделив снова пополам стороны квадратов второй сети, получим
и
третью, более мелкую сеть, которая дает нам еще h новых квадра-
2 2 2 2
тов Я , & ,...,0. со стороной A/2) , лежащих внутри &, но не
2 hi О ^
содержащихся внутри какого-нибудь из квадратов й., Ч. .
Через t шагов мы получим К квадратов & , U, ,..., Q/ со сто-
роной A/2) . Остаточная часть области & окажется разбитой при
этом на % элементарных областей Е.,Е ,...,Е .
При нащих предположениях относительно границы области &¦ име-
. ют место следующие соотношения для чисел К. и X '¦
где С - постоянная, на зависящая от I и t и прямо пропорциональ-
пропорциональная длине границы области &. Эти неравенства показывают, что сум-
сумма периметров квадратов Q. или GL является величиной, порядок ко-
которой не превосходит порядка длины границы области С-,
Обозначим числа собственных значений, не превосходящих верхней
грани к для областей 0. и Е при краевом условии U = О через
А^ Ik) А (.И и через Ъь , В_ (к) при граничном условии (Ш/$Тъ= О.
m ' Em to Em
Тогда в силу экстремальных свойств собственных значений (см. L191],
гл. IV, § 2) и положений 1, 2 при граничном условии 9U/3Tl-t-wU= О
имеют место неравенства для обшего числа собственных значений
области (j:
Смысл полученных Курантом неравенств E), F) состоит в том,
что собственные колебания произвольной области состоят из обыч-
обычных внутренних колебаний и колебаний в пограничной полосе, состоя-
шей из областей Е . Последние колебания можно назвать пригра-
приграничными. Они удовлетворяют граничному условию 9U/9ti = О.
Правая часть неравенства E) в силу положений 1, 2 равняется
(.1.2.7)
причем
^
73
Принимая во внимание соотношения для чисел h. и 1, для не-
неравенства E) с учетом G) получаем
Здесь введены обозначения ®.С =б. С,- 9.С., и постоянные ®, С с
учетом неравенств для К. заменены на Q С .
L Ч ^
Следующим шагом Курант определил оптимальную степень дробле-
дробления области Сг на квадраты. Он положил, что t равняется наибольше-
наибольшему целому числу, содержащемуся в числе 10gk/log2. Тем самым
при данном максимуме к оптимальным наименьшим квадратом явля-
является квадрат со стороной к символизирующий собой одно колебание.
После подстановки t в (8) получим
Как видно из формулы (9), число собственных колебаний области
dr определяется не только ее площадью 5, как это дается формулой
Релея - Джинса, но и длиной границ области ?, что вызвано сущест-
существованием приграничных колебаний.
При асимптотическом возрастании к (к-»»") отношение числа при-
приграничных колебаний к числу внутренних асимптотически убывает (по
этой причине Курант отнес число собственных значений приграничных
колебаний в поправку к формуле Релея - Джинса); получим:
AUO<-f k2 + Ccklogk. (i.a.ltn
'iji 5
Нетрудно проанализировать некоторые свойства приграничных ко-
колебаний, вытекающие из вывода Куранта.
Во-первых, они имеют граничное условие uU/9ti= О. Во—вторых,
число их собственных значений, не превосходящих верхней границы
к, определяется длиной границы области: В ~Ск. В-третьих, пригра-
приграничная полоса, в которой локализованы приграничные колебания, 'имеет
ширину меньше половины длины волны колебаний. В—четвертых, пригра-
приграничные колебания имеют эквидистантный спектр, как у всех
одномерных колебаний.
Как видно из формулы (9), использование свойства непрерывного
изменения собственных значений при деформации области приводит к
тому, что деформация границ исходной области может дать интерес-
интересные результаты.
Один из таких результатов состоит в том, что если при деформа-
деформации границ площадь области уменьшается, а длина границ растет, то
число внутренних колебаний деформированной области будет умень-
уменьшаться, а число приграничных колебаний - расти. Наиболее просто
это можно проиллюстрировать для случая многосвязных границ об-
области, например, если область Сг представляет собой кольцо (попе-
74
речное сечение коаксиала). С увеличением диаметра внутренней гра-
границы кольца его площадь уменьшается, а длина границ увеличивается.
Аномальное поведение волн Н в коаксиальном волноводе, давае-
ml
мое строгим электродинамическим решением, и в связи с этим проти-
противоречие их формуле Релея - Джинса может быть объяснено тем, что эти
волны относятся к приграничным колебаниям и поэтому не учитывают-
учитываются указанной асимптотической формулой.
Основанием для такого предположения являются следующие обстоя-
обстоятельства. 1) Волны Н , имеют граничное условие 9U/9u = О. 2)Соб-
ственные значения этих волн и их число зависят от длины гра-
границ поперечного сечения коаксиала. 3) При верхней границе к число
собственных колебаний волн Н .увеличивается с увеличением диамет-
ттп.
ра внутреннего проводника, и это. происходит до тех пор, пока пло-
площадь S поперечного сечения коаксиала не станет равной нулю.
На последнем моменте следует остановиться особо. Это свойство
присуще всем приграничным колебаниям. Они перестают существовать
в произвольной области лишь тогда, когда сама область полностью
исчезает (ее площадь равняется нулю). Приграничные колебания обра-
образуют спектр произвольной области и тогда, когда внутренние колеба-
колебания при верхней границе к не существуют, т.е. для них 6к/Ал« 1.
В этом легко убедиться, если взять в качестве области (J такую, в
которой было бы возможно получить точное решение уравнения (_& +
+ k )U = О, и после получения решения проанализировать поведение
обычных и приграничных колебаний. Например, если рассматривать
собственные колебания прямоугольного волновода, то ясно, что вол-
волны Н (Тп- число вариаций поля по широкой стенке) относятся к
то х)
приграничным колебаниям /. Это следует из того, что их собст-
собственные значения зависят лишь от длины границы (ширины широкой
стенки) и могут существовать при любой ничтожно малой высоте
волновода, когда Sk /h& « 1.
В книге [192] содержится весьма обширный материал, касающий-
касающийся одного из видов приграничных колебаний - волн шепчущей га-
галереи. Эти результаты получены асимптотическими методами при
рассмотрении задач дифракции коротких волн. В частности, в [1923
показано, что эти волны имеют приграничный характер, т.е. представ-
представляют собой волны, распространяющиеся вдоль границ области.' Од-
Однако в [1923 они рассмотрены не как самостоятельный вид коле-
колебаний, а как возможное коротковолновое вырождение внутренних ко-
колебаний в колебания вдоль границы при Х~*О.
1^ Дальнейшие исследования показали, что приграничные коле-
колебания характерны для широкого класса электродинамических струк-
структур с односвязным поперечным сечением и неосесиммет-
ричным сечением (крестообразный волновод, П-, Ш-волноводы и др.)
[87, 185] (см. § 3.2).
75
Здесь на уровне физической строгости показано, что приграничные
колебания нельзя рассматривать только как возможное коротковолно-
коротковолновое вырождение внутренних колебаний: они всегда присутствуют в
спектре собственных колебаний произвольной области. Приведенный
здесь вывод для двумерной области без труда может быть обобщен
и на трехмерные области.
Ниже будет приведено (§ 3.1) описание эксперимента, в котором
свойства приграничных колебаний используются для реализации высо-
высокодобротных устойчивых колебаний в ОКЦР с рассеивающими зерка-
зеркалами L74, 182 - 1841.
§ 1.3. Симметричные волны коаксиального волновода
с импедансным внутренним проводником
В последнее время значительно возрос интерес к коаксиальным
волноводам с импедансными граничными условиями на проводниках
[99, 193 - 1973. И если медленные волны в такого рода структу-
структурах исследованы достаточно подробно, то быстрым волнам уделено
гораздо меньше внимания. Анализ этой ситуации и многочисленные
примеры структур и их анализ содержатся в книге С 9 93. Здесь мы
рассмотрим только симметричные волны в коаксиальном волноводе
с импедансным внутренним проводником L1783, ибо именно такой
режим является характерным для применений в ОКЦР и ОКДР (см.
§ В.1).
Для симметричных колебаний ( 9/ЭЦ> э О) система уравнений Макс-
. велла распадается на две независимые системы, определяющие два
типа решений: Е-волны (с составляющими Е ,Е , Е Н Н ) и
Н-волны (НгНгНг,Ег Ег). * ф ^
1. Электрические волны. Пусть на стенках коаксиала выполняют-
выполняются граничные условия:
v°
при
L=fc,
при г=й,
(Д.г.2.)
т.е. внешняя труба идеально проводящая, а на внутренней поле.удов-
поле.удовлетворяет граничным условиям Щукина - Леонтовича B),
в которых постоянная величина Z6 обозначает поверхностный импе-
импеданс. Конкретные данные по различным реализуемым типам импе-
дансных структур содержатся в книгах С 99, 1163.
Воспользовавшись выражениями A.1.7) для составляющих полей
электрических волн и удовлетворяя для них граничному условию B),
придем к искомому дисперсионному уравнению относительно попереч-
поперечных волновых чисел ЭС =0. v симметричных (ттг= О) электричес-
ких волн Оь ™5
_=-«
76
в котором Ъ =k?Z /Zn есть обобщенный импеданс коаксиальной ли-
= 3f, . Введение обобщенного импе-
нии;
О 'J' 0 s и&
данса Ъ позволяет представить результаты численного исследования
корней 96 уравнения C) в весьма компактной форме.
о
2. Магнитные волны. При этом поля на внутреннем стержне долж-
должны удовлетворять граничному условию Щукина - Леонтовича
а при Х=о - условию A). Воспользовавшись выражениями A.1.8)
для полей в волноводе и удовлетворяя граничным условиям на стен-
стенках, получим следующее дисперсионное уравнение относительно попе-
поперечных волновых чисел ^„j-Cj^t симметричных (ш= О) магнитных
волн:
в котором обобщенный импеданс Ъ ~Ъ /к&Ъ • 9t a Ж, .
Дисперсионные уравнения C) и E) переходят при Ъ -Ъ — О
соответственно в уравнения A.1.4) и A.1.5) для симметричных
электрических и магнитных волн коаксиального волновода с идеаль-
идеальными стенками (при iu= О).
Нахождение корней дисперсионных уравнений C) и E) произво-
производилось на ЭВМ по методу Ньютона. При этом в качестве нуле-
нулевого приближения к значению корня бралось соответствующее собст-
собственное число симметричной волны цилиндрического волновода с идеаль-
идеальными стенками, либо заданное таблично, либо найденное по подходя-
шей асимптотической формуле. Результаты этих расчетов приводятся
в ?178, 1791; в работе С 1791, в частности, содержатся подробные
(пятизначные) таблицы собственных чисел симметрических электри-
электрических и магнитных волн для 5= 1, 2, 3 при изменении Ъ в пре-
делах от О до 10, а 2 - от О до 5. Результаты некоторых числен-
Н
ных расчетов представлены на рис. 1.9 а и рис. 1.9 6. На оси орди-
ординат отмечены собственные числа цилиндрического волновода ( /\ ->
-О).
Поведение электрических (рис. 1.9 а) и магнитных (рис. 1.9 б)
волн при малых А существенно различно. Так, с ростом Ь. поперечные
числа симметричных электрических волн возрастают и наличие импе-
импеданса на стержне не меняет характера поведения корней. Напротив,
на всех кривых для магнитных волн имеется характерный "провал",
который увеличивается по глубине и смещается в сторону меньших
Д при увеличении обобщенного импеданса Ъ Выше, в § 1.1, мы
77
0,2 Ofi 0,6 0,8 A
Рис. 1.9а. Поперечные числа симметричных Е-волн коаксиального
волновода, с импедансным внутренним проводником в зависимости от
отношения радиусов коаксиальных поверхностей.
О Ц4 0,8 А 0,1 0,3 А
Рис. 1.96. То же для Н -волн. Видны характерные "провалы" в за-
зависимостях э? (AV
0sx
78
\ 0,075
\
\
\
\
\
015
^ Волна Н02
Волна Епг
Рис. 1.10. Распределение "основных" компонент электрических (Е
Н ) и магнитных (Н , Е_) волн коаксиального волновода в зависи-
ф 2 ' ™
мости от величин обобщенных импедансов 2 и Z на внутреннем
Е Н
стержне при постоянном h = 0,025..
79
уже отмечали подобную картину поведения у несимметричных магнит-
магнитных волн коаксиального волновода (с. 59 — 61).
На рис. 1.10 показаны распределения "основных* компонент элек-
электрических и магнитных волн коаксиального волновода с импедансным
внутренним проводником. На графиках приведен случай постоянного
отношения радиусов Д = 0,025.
§ 1.4. Высшие типы магнитных волн Н . регулярного
коаксиального эллиптического волновода
Выше было показано (§ 1.2), что "магнитные волны Н . (тп. > 1)
tni
коаксиального волновода относятся к классу приповерхностных волн и
обладают, в силу этого, рядом замечательных свойств. Аналогичными
свойствами обладают также магнитные волны коаксиального эллипти-
эллиптического волновода П873. Полное исследование волн коаксиального эл-
эллиптического волновода не входит в нашу задачу; при необходимости
можно такие сведения найти в работах С190, 198 - 2011. Мы рас-
ТТЧН д,
смотрим только волны типа Н на которых реализуется эффект при-
ТУ1х
поверхностных волн.
Поперечное сечение волновода и используемая система эллиптичес-
эллиптических координат показаны на рис. 1.11. Уравнение Гельмголыш (Д +
+ Э? )ф (Ж, 11*)= 0 относительно продольной компоненты электричес-
электрического или магнитного поля в эллиптической системе координат ^, У^,
2 имеет вид
22 о2
О ф 0 A)
со
Здесь эллиптические координаты t^ и XI связаны с прямоугольными
, и соотношениями
cos
1jj, 1^=1
H.k.2)
Уравнениями координатных поверхностей являются: семейство со-
фокусных эллипсов с большими осями 2u, = 2cLch^H фокусами, распо-
расположенными в точках t d,
и семейство софокусных гипербол
80
Рис..1.11. Поперечное сечение коаксиального эллиптического волно-
волновода (Q.) и картины полей некоторых волн ($) по [2621.
Семейства кривых C) и D) образуют ортогональную систему коорди-
координат. Применение метода Фурье разделения координат (K^Y>=F(^)Hi)
приводит к двум уравнениям
9?
+ (jb-5 COS"
где S=OL X , Ь — постоянная разделения.
Уравнение E) имеет своими решениями четыре типа модифици-
модифицированных функций Матье: Je ,Jo - соответственно четные и
тп тп
нечетные модифицированные функции Матье первого рода и Ne >
6.966
81
Nom- четные и нечетные модафицированные функции Матье второго
рода. Уравнение F) имеет , в свою очередь, четыре типа периоди-
периодических решений, называемых угловыми функциями Матье: чет-
четные Se (с периодом Jc или 2 Я ) и нечетные &о (с перио-
2ч+р 2i+p
дом Jt или2зс). Величина т=2г+р, t= О, 1, 2 есть поря-
порядок угловой функции Матье, причем для решений с периодом % число
V ~ О, а для периода2& р = 1.
. Основная составляющая Е поля электрических волн через решение
уравнения A) выражается так:
Соответственно, составляющая Н поля магнитных волн запишется
следующим образом:
(LA. 8)
Удовлетворяя для тангенциальной компоненты Е на эллиптичес-
эллиптических поверхностях
tj и
нулевому граничному условию,
получим из G) два дисперсионных уравнения относительно попереч-
поперечных собственных чисел % . (ср. A.1.4)):
tn.1,
Je,o
>пЛ
(i.4.94)
И аналогично с помощью (8) получим два дисперсионных уравнения
относительно поперечных собственных чисел магнитных волн (ср.
A.1.5)):
'' т,
¦(«к
(iAW)
В (9) и A0) введены обозначения: е - эксцентриситеты внут-
внутреннего и внешнего проводников коаксиала, Д*=й/? — отношение
больших полуосей внутреннего и внешнего проводников,
Формулы для вычисления функций Матье приведены в Добавлении
2; для вычисления функций Матье первого рода имеется стандартная
программа Q202].
82
Результаты некоторых численных расчетов собственных чисел 'Ж.
магнитных волн коаксиального эллиптического волновода приведены на
рис. 1.12, 1.13. Здесь показаны данные только для первых трех кор-
корней четных (рис. 1.12) и нечетных (рис. 1.13) волн с одинаковым
радиальным индексом, равным 1, и тремя значениями азимутального
индекса Ы= 1, 2, 3.
Характерным для всех кривых, показанных на рис. 1.12, 1.13,
является (ожидаемый по аналогии с результатами для волн Н ., 1тг>
>1 кругового коаксиального волновода; § 1.1, рис. 1.4,8 ) эффект
"спадающего участка" дисперсионной характеристики. Это свидетельст-
свидетельствует о принципиальной возможнос-
возможности реализовать на основе эллипти-
эллиптического коаксиала ОКЦР с "нефо-
кусирующими* зеркалами (по схе-
схеме рис.В.3,6) на фиксированную
частоту или перестраиваемый (ср.
рис.В.3,3 ).
Отметим некоторые особеннос-
особенности поведения волн с единичным ра-
радиальным индексом.Прежде всего,
при малом постоянном эксцентри-
эксцентриситете внешнего проводника в2
собственные числа соответствующих 1,3
X
Рис. 1.12.Поперечные собственные
числа четных магнитных волн Н .
тпЛ
регулярного коаксиального эллип-
эллиптического волновода: ft.) m~ i;
б)т=2; 6) ТП = 3.
X
2,6
2,2
0,8 а/6
0,2 0,Ь 0,6 Ofi а/Ь
83
Oft 0,6 0,8 a/b
bft
jg\
3,2
-
e_rOJ_
-
-
В) Волна //*
i
i
0,5
\
s \
1
\
А
i
оА
\
\
I
-
-
-
Ь) Вол
i
0,3
л
наН",
i
\
0,7
I
A
V
i
0,9
i
Д
V
X
3,0
2,8
2,6
2ft
2,2
0,2 Oft 0,6 0,8 a/6
Рис. 1.13. Поперечные собствен-
собственные числа нечетных магнитных
волн Н регулярного коаксиально-
tnl
го эллиптического волновода :
СО ТП= 1; б)ТП= 2; &)ТТХ=3.
четных и нечетных волн (например,
Н и Н ) практически совпадают.
По мере увеличения ег это различие
увеличивается. Четные волны (рис.
1.12) обладают более разреженным
спектром собственных волн. Особен-
Особенно это качество заметно у волн с
тп = 1.По мере роста 1U степень
разрежения уменьшается и оказы-
оказывается примерно одинаковой для четных и нечетных волн.
Следует обратить внимание на то, что мы рассматриваем волны
в софокусном эллиптическом коаксиале, а стало быть, из-
изменение независимой переменной Д=0,/& на кривых рис. 1.12 и
1.13 при постоянном значении параметра е приводит к изменению
значения эксцентриситета е внутреннего проводника. Так, "'верхние"
(й./? « 1) участки кривых для е&= 0,1 соответствуют почти кругло-
круглому внешнему и "ленточному" внутреннему проводникам, а "нижние"
( Q./-D -> 1) - коаксиальному волноводу из круговых цилиндров. Услов-
Условно это отмечено на рис. 1.12,CL и 1.13, 0. соответствующими значками.
84
0,2 Oft 0,6 0,8 a/b
ч,н
Сравнение численных значений корней волн п эллиптического
tnl
(рис. 1.12, 1.13) и волн Н кругового коаксиалов (рис. 1.4,6 )
показывает, что при малом е эксцентриситет внутреннего стержня
е относительно мало влияет на отличие поперечных собственных
ч,н
чисел волн Н . и Н , И это влияние тем меньше, чем меньше отно-
•mi ml
шение &=0i/$. Высказанное соображение может оказаться полезным
при практическом изготовлении ОКЦР по схемам рис. В.З, Ь , S . Учи-
Учитывая малое влияние 6 , можно внутреннее зеркало делать осеснм-
метричным - это гораздо проше и технологичнее, чем выполнить эл-
эллиптическое зеркало переменного профиля. Разумеется, при этом воз-
возникнут неизбежные потери на преобразование рабочей волны в волны
других типов, однако они будут небольшими в силу отмеченного об-
обстоятельства. Внешний эллиптический регулярный цилиндр выполнит
при этом основное свое назначение - фиксирование поляризации рабо-
рабочего типа колебаний.
§ 1.5. Высшие типы волн биконического волновода
1. Постановка задачи. Дисперсионные уравнения. Изучение высших
типов волн биконического волновода имеет как большое самостоятель-
самостоятельное значение, так и представляется важным для различных приложе-
приложений. Геометрия биконического волновода удобна как модель при при-
применении метода поперечных се чений [69] или метода гра-
градиентного спуска С 2033 при анализе колебаний в перестраивае-
перестраиваемом варианте ОКЦР (рис. В.З, е-3 ). Пусть биконический волновод
образован двумя идеально проводящими конусами, имеющими обшую
вершину; их образующие составляют с осью Ъ углы 8, и 9
(рис. 1.14). Электромагнитные поля и(г,Ц),9') для электрических
волн и u(^, \S), q) для магнитных волн (ее С8.,В V ^е(.0,29О, ч. ?
? 10,°°)) удовлетворяют однородному уравнению Гельмгольца, ко-
которое в сферической системе координат имеет вид
i г 1 1_(^йЭи;
гг L&ine Зе
99 ' 5гпг9 9 №г
U.5.1)
и идеальным граничным условиям первого (U = О) и соответственно
второго (9v/§9 = О) рода на поверхностях конусов ?>,?>; здесь
te(O, оо ), vpe^O, 2.91 V 9 = 6^,6.. Разделение переменных в уравне-
уравнении A) приводит к трем обыкновенным дифференциальным уравнениям,
решение которых можно представить в виде ряда
ТТ1Э
85
где 5 - совокупность двух индексов, характеризующих данную моду
резонатора по X и 6, в котором собственные функции суть
Здесь функция Ч1 (кЮ описывает радиальную структуру поля в би-
коническом волноводе:
— стоячая волна,
- бегущая волна;
и U, (?}- присоединенные функции Лежандра первого
и второго рода соответственно /.
Рис. 1.14. Регулярный бикони-
ческий волновоа и используемая
система координат.
Потребуем, чтобы собственная функция B) удовлетворяла гранич-
граничному условию первого рода
u(i, if,e-)=o при t=e1 и %=$г
и исключим из B) произвольные постоянные А и В. В результате
получим характеристическое уравнение
Оюьб^-Р^ (cos 9g}Q^ (cos 9^=0,
(Д.5.20
где
(tn- О, 1, 2,...; р = 1, 2, 3,...) - собственные числа
электрических волн (Н=0) биконического волновода (ср. [205]).
Тп-р
/ Интересные соотношения между основными решениями волно-
волнового уравнения в цилиндрических и сферических координатах приве-
приведены в работе С 204].
86
Аналогично, удовлетворяя для собственной функции B) гранично-
граничному условию второго рода
и исключая произвольные постоянные А и Е, приходим к характеристи-
характеристическому уравнению
Р„ t
tni
u
tn'
Штрих у функций
P l
^ lv) и GL^(,4s) в D) означает производную по
9. Корни •)=•) (tn= О, 1, 2,...; р = 1, 2,...) уравнения D) яв-
ляются собственными числами магнитных волн (Е =0") биконическо-
го рупора.
Продольное волновое число
(К
k.
TTl5
Составляющие полей электрических и магнитных волн могут быть
найдены при помощи операций дифференцирования собственных функ-
функций B) в соответствии с уравнениями Максвелла [1061.
2. Численное исследование дисперсионных уравнений. Поскольку
получение общих аналитических выражений для корней трансцендент-
трансцендентных уравнений C) и D) не представляется возможным, мы приве-
приведем здесь результаты численного исследования С 2063. Для частного
случая при 3»1п, } » 1 можно написать (ср. § 1.1) следующие
приближенные формулы:
ftp
U.5.51)
U.5.64)
Для tn.= О ^ = ¦) Результаты, полученные по формулам E)
ttip ttvp'
и F), представлены на рис. 1.15 сплошными линиями. Результаты
численного расчета собственных чисел ^ из уравнений C) и D)
тир
показаны штриховыми линиями. Расчеты зависимости собственных
чисел ¦} от разности углов 6.-9. внешнего и внутреннего кону-
тар 1 Z
сов биконического рупора проводились для различных значений углов
9 = Эп/й, Ьх/i, 3l/A, Jt/3, 17я/56; при этом внутренний угол 8^
изменялся дискретно от О до 9, с шагом Ji/бЧ. Чем меньше в., тем
для больших значений ^ наблюдается совпадение значений } , рас-
растр тар
87
_ p=/ p-2 p-J p'4
30
20
10
а) Волны ?„
v
30
20
10
2n 6ц JOn Jkrt_ J8n 2Ш 26n
64 6k 6k 6k 6k 6k 6k
б) Волны Hop и Hml
JOn в,-вг
64
6n
6U
m.
Вк
2гп
6U
2бп
64
jon g-ez
64
V
30
20
to
0
8) Ваяны Hlp
2n Jn_ JOtt Jm_ J8n 22n J6n ЗОп в.-вг
64 H 6k 64 ?4 6k 6k 6k
Рис. 1.15. Зависимость собственных чисел биконического волновода
от разности углов 8 — 8„ для разных типов волн. Численный рас-
расчет - штриховые линии, асимптотические формулы - сплошные линии.
88
считанных по асимптотическим формулам E), F) и полученных из
уравнений C) и D). Для 9 = 17 Я/36 уже при ^ /s/2 — 3 наблю—
i tnp
дается хорошее совпадение значений ^ рассчитанных тем и другим
tnp'
способами. При произвольном значении 9 и 9 -*- О расхождение
между точным значением } и асимптотическим составляет 20 -
tup
25%.
Волны типа Н ведут себя, как и аналогичные волны в коаксиаль-
ном волноводе (ср. § 1.2): с уменьшением разности углов 9, -
-В их собственные числа монотонно уменьшаются. В связи с этим
асимптотика типа F) для них явно не подходит.
Для расчета присоединенных функций Лежандра Р {%") и Cl l/jc)
первого и второго рода использовались их представления в виде ря-
рядов (Д.3.1) и (Д.3.2), приведенных в Добавлении 3.
В поведении собственных волн в биконическом и в коаксиальном
волноводах много общего, поэтому здесь отметим только основные
особенности собственных волн биконического волновода (ср. §§ 1.1,
1.2).
Результаты ч.исленных расчетов на ЭВМ корней характеристичес-
характеристических уравнений C) и D) представлены на рис. 1.15 - 1.19. Зави-
Зависимость значений корней } и ^ от й. при разных значениях 6,
KTVp trip Z 1
дана на рис. 1.16. Поведение кривых на этих рисунках иллюстри-
иллюстрирует свойство разрежения спектра собственных частот биконическо-
биконического волновода, когда 8 -*-0. В интервале изменения ^ от О до 30
Для 8. = %/Ь (сплошные линии) имеется не менее пяти кривых соб-
собственных чисел, а для 0 = %/Ь (штрихпунктирные линии) - только
три кривые собственных чисел.
Из поведения кривых при 6„~* (рис. 1.16,0. ) хорошо видно,
что внутренний конус более всего возмущает симметричные электри-
электрические волны Е . Значения собственных чисел резко возрастают при
Ор
введении внутреннего конуса. На несимметричные волны Е (рис. 1.15Д)
тпр
его влияние сказывается меньше. Следует отметить, что чем больше
8 тем больше область Q е @,8^), в которой это влияние оказы-
оказывается несущественным для электрических волн Е и симметричных
тир
магнитных волн Н,, (рис. 1.15,6 и 1.16,6 ). Последнее обстоятель-
Up
ство связано с тем, что при kl?F -9 А » 1 в коническом рупоре
наблюдается тот же эффект, который наблюдался ранее для несиммет-
несимметричных электрических волн коаксиального волновода (§§ 1.1, 1.2).
В этом случае поле оказывается прижатым к поверхности внешнего
конуса, и при изменении угла в внутреннего конуса до 8 (до гра-
2 2trv
89
нины зоны волн шепчущей галереи) внутренний конус на поле фактичес-
фактически не влияет.
Характерной особенностью несимметричных магнитных волн Н
р> 2, являются провалы в зависимостях ^ = } (8 V На рис. 1.16,г
1 1тгр tup 2
наглядно видно, что одному и тому же собственному числу •) «.13
0,075 внут-
соответствуют различные углы 8 = 0,015 и 6„"
ренних конусов (ср. §§ 1.1, 1.2). Это своеобразное вырождение озна-
означает, что если имеется биконическая система с внешним 8 и с внут-
внутренним 8 углами конусов, то в любом месте системы можно ввести
2 12)
дополнительный внутренний конус с углом В и это не вызовет на-
нарушения граничного условия для падающей волны. Следовательно, вве-
введение дополнительного конуса не вызовет возмущения падающей вол-
волны, а все остальные .волны будут испытывать отражение.
В поведении волн типа Н , Aи= 1, 2,...) (§ 1.2) в биконичес-
tni
ком волноводе, так же как и в коаксиальном волноводе (§ 1.2), на-
наблюдается особенность, заключающаяся в том, что с уменьшением
8 собственные числа для волн типа Н , увеличиваются (т.е. X
уменьшается) и, следовательно, при уменьшении 8 до некоторого
значения эта волна из распространяющейся превратится в затухаю-
затухающую (рис. 1.16, г ). Иначе говоря, здесь наблюдается зависимость
Якр = Лкр18 ), аналогичная зависимости Л =Л (й,) (& - радиус
внутреннего цилиндра) в коаксиальном резонаторе, которая следует
из рисунков, приведенных в §§ 1.1, 1.2, и из формулы A.2.1): % %
~ ft (k+ о )/ти . 1Н = 1. 2, 3,...; Q,- радиус внутреннего цилиндра.
Этот эффект можно использовать при создании открытого биконическо-
го резонатора, образующая внутреннего конуса которого является вы-
выпуклой кривой, т.е., с геометрооптической точки зрения, резонато-
резонатора с нефокусируюшим зеркалом. Этот резонатор будет ра-
работать только на волнах типа Н ,, все остальные волны будут высве-
высвечиваться, т.е. достигается наибольшая разреженность спектра волн
(рис. В.3,5 ).
Эта же особенность наблюдается в поведении волн типа Н (тп=
Ttip
= 1, 2,..., р = 2, 3,...) в небольшой области изменения 6 от О до
Рис. 1.16. Зависимость собственных чисел ^ электрических волн
Г
Си,б) и ¦} магнитных волн (.¦&,
от угла е„ внутреннего ко-
ко90
нуса для различных углов 9^ внешнего конуса F =Зс/2> - сплош-
сплошные линии, 8 =%/k - пунктирные гашии, g =ft/8- штрихпунктир-
ные линии). Цифры у кривых соответствуют индексам m и р.
91
0,5
0,5
A
/to.
У /А
/го/Л
Щ
ш
/»-
/
/
У
$
5 7
''/
/
ь» = /Z? —.
/
Ф
/
/
'А
"о
*/
45/
05
I 0
0,5
f 0
Рис. 1.17. Линии уровня ^m «oonst электрических волн для раз-
различных поперечных индексов ТПи р СПХ = 0,1,. . . , р = 1, 2, 3,. . .).
минимальной точки прогиба 62 кривой зависимости собственных чи-
чисел этих волн от 6^ (рис. 1.16, г ), причем при малых й^ эти про-
прогибы выражены более четко.
На рис. 1.17 и 1.18 представлены линии уровня электрических
Е и магнитных Н волн ( } =ctmst, ?= const ) на плоскости
(n p\ ^ Для ^ » 1 и ¦) » 1 это почти прямые линии, парал-
^°i'Da'' тар ^р
лельные прямой ^=0^ У линий уровня для электрических волн
= const) прямолинейная зависимость в области малых значе-
значений б нарушается. Для магнитных волн эта область значительно шире.
Линии уровня несимметричных магнитных волн имеют провалы (см.
рис. 1.18). Одному и тому же значению ^ соответствуют различ-
различные значения 9^ и 9^при одном и том же значении 8t(cp. рис. 1.16,г).
Для несимметричных магнитных волн типа Н . (ТП= 1, 2,...) линии
уровня для } >> 1 отсутствуют. Это следует из того, что собствен-
собственные числа этих волн с увеличением 6 уменьшаются (см. рис. 1.16, г ).
Линии уровня на плоскости 16^6 ") расположены с разной плот-
92
/*/
У /
/
•у /
V/
У25/
Ноз
/ о
0,5
Рис. 1.18. Линии уровня } =tOTlbi магнитных волн для различных
Trip
поперечных индексов TU и р A71 = О, 1,..., р=1, 2, 3, ...).
Рис. 1.19. Распреде-
Распределение нормированной по
амплитуде составляю-
составляющей Еф магнитных волн
Н.. и Н. в биконичес- -0,5
ком волноводе.
ностью. Чем выше значения -\) и ¦) тем гуше расположены линии
уровня. г г
Прямолинейный ха'>чктер зависимости 9 = 9, (8 ) пиний уровня
для электрических и магнитных волн следует также из приближенных
формул E) и F) для }mt)» 1:
0,1,.--,
93
Из этих формул видно, что чем выше индекс р, тем менее плотно
расположены линии уровня (рис. 1.17, 1.18).
Для магнитных волн Н поле Ещ сосредоточено в основном около
внутреннего конуса 6 , а для магнитных волн Н поле ? расположе-
расположено симметрично между конусами (рис. 1.19). Это обстоятельство
может оказаться существенным в задачах электроники СВЧ, в част-
частности в задачах возбуждения биконйческого резонатора, например ко-
коническим электронным потоком.
В биконическом рупоре наблюдается вырождение электромагнитных
волн. При малых ^-8 и для ГП.Ф О имеется вырождение волн ти-
типа Е -Н ,.
Приведенный численный анализ высших типов волн биконйческого
рупора с идеальными граничными условиями позволил выявить харак-
характер поведения электрических и магнитных волн в зависимости от гео-
геометрии волновода, а также от поперечных индексов m и р. Отмечена
особенность в поведении волн типа Н . (tu= 1, 2,...), на основе ко-
торой рассмотрена возможность создания открытых биконических ре-
резонаторов с нефокусируюшими с геометрооптической точки зрения зер-
зеркалами. Аналогичная особенность отмечена и в поведении волн типа
Н^р (ТП= 1, 2 р = 2, 3,...).
Глава 2
ОТКРЫТЫЕ КОАКСИАЛЬНЫЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ
РЕЗОНАНСНЫЕ СТРУКТУРЫ
В этой главе мы рассмотрим принципы работы и характеристики
ОКЦР разных типов: с прямолинейными и непрямолинейными образую-
образующими. К сожалению, единого метода анализа для таких, в обшем, раз-
разных конструкций предложить нельзя, и они исследуются по—разному.
Описаны результаты широкого цикла экспериментальных работ, кото-
которые подтвердили теоретические соображения по расчету таких уст-
устройств, а также позволили сделать некоторые технические предложе-
предложения по применению как исследованных структур, так и некоторых их
модификаций.
§ 2.1. ОКЦР с прямолинейными образующими
1. Принцип действия ОКЦР с прямолинейными образующими
(рис. В. 1,6 ). Рассматриваемый открытый резонатор представляет
собой типичный пример конечной структуры, имеющей ключе-
ключевую (полубесконечную) структуру (рис. В.11). Для ключевой струк-
структуры можно найти строгое решение, например, методом Винера -
Хопфа — Фока. Зная решение о дифракции одной из собственных
волн регулярного коаксиального волновода I на открытом конце B =
= О) ключевой структуры (рис. В.11,б ), можно, опираясь на разви-
развитую в книге С291 асимптотическую теорию дифракции на
конечных структурах, получить решение для конечной структу-
структуры (рис. В.11,0, ), т.е. собственно для ОКЦР (рис. В.1,6 ). Сущест-
Существо дела заключается в том, насколько хорошо падающая волна I в
ключевой задаче (рис. В. 11,б ) отражается от открытого края 'Z. =
= О. Известно [251, что при частоте, близкой к критической для дан-
данного типа колебаний, когда продольное волновое число h стремится
к нулю, коэффициент отражения R. . =R может быть представлен
в виде 1<~1
где 5 = h,i/2i/k =л/Азср, d,= -8-u, a jb', ?" - некоторые числен-
численные коэффициенты, зависящие от типа падающей волны (Е,Н) и чис-
95
ла О полуволн, укладывающихся между зеркалами резонатора, и по
порядку величины равные 1 (при kit-*0 Ji'=Jb" =Jbg= 0,824,
что соответствует случаю открытого резонатора с плоскими зеркала-
зеркалами и большим расстоянием между ними). Из формулы A) непосред-
непосредственно следует, что при приближении частоты падающей волны к кри-
критической, т.е. h~*0, величина 5 -* О и модуль коэффициента отраже-
отражения |RI~* 1, что подтверждает возможность осуществления в рассматри-
рассматриваемой системе высокодобротных колебаний.
Вместо формулы,A) можно воспользоваться следующим приемом.
Поскольку падающая волна почти полностью отражается от открыто-
открытого края, это эквивалентно, очевидно, действию некоторой фиктивной
плоской стенки (препятствия), установленной при 1=0 нормально
оси Z . Необходимо так подобрать электродинамические параметры
отражающего "препятствия", чтобы волна при отражении определя-
определялась бы в точности коэффициентом R из A). Последнее условие бу-
будет выполнено, если связать ^-компоненты полей f при 1= О с
?,Н
их нормальными производными следующим выражением:
12.1.2)
4=0
Указанное соотношение B) эквивалентно по действию формуле A)
и носит название импе да ясного граничного условия резо-
резонансного типа [10, 29, 99, 116].
Таким образом, в каждом конкретном случае задача сводится к
отысканию точного (если это возможно) выражения для коэффициен-
коэффициента отражения в ключевой задаче и представления его в виде A).
Рассмотрим эту процедуру на примере ОКЦР с прямолинейными обра-
образующими. Для простоты ограничимся более употребительным на прак-
практике случаем симметричных @/9l{) = O") колебаний [281.
Итак, пусть к открытому концу структуры Ъ = О подходит сим-
симметричная электрическая волна I коаксиала. Уравнение Гельмгольца
для векторного потенциала А (Х,Ъ) в цилиндрической системе коор-
координат имеет вид (ср. A.1.1)):
Составляющие электромагнитного поля выражаются через А (,70
обычным образом: г
V-т:
ЗА,
9а '
На цилиндрических поверхностях тангенциальная составляющая электри-
электрического поля исчезает:
Е =0
при 1=0. и г=
B.1.5)
96
При анализе будем учитывать только эффект отражения волны, но
не трансформацию ее в волны других номеров. Основанием для этого
является вывод из полученной ниже формулы A5), состоящий в том,
что коэффициент отражения падающей волны при определенных усло-
условиях близок к -1; коэффициенты же трансформации пренебрежимо ма-
малы. Для этого сначала определим коэффициент отражения для полу-
полубесконечной структуры; L-^°°. Пусть на открытый конец (г = О)
коаксиальной линии со стороны отрицательных 1 ( 2 = - °° ) набегает
одна из собственных симметричных волн электрического типа коак-
коаксиальной линии с продольным волновым числом h.. Будем искать ре-
решение уравнения C) в следующем виде:
-, -ih-г
F(w)e CLw,
Здесь первое слагаемое определяет волну коаксиальной линии, падаю-
падающую на открытый конец 1= О. При Ч>? потенциал запишется так:
Ш1
(.2.1.7)
где 1И, - '
/,2 г
Искомая функция Y{.W) удовлетворяет следующей системе пар-
парных интегральных уравнений Вайнштейна:
2.311
ьиг
\ z<0,
B.1.8)
oL'W=0,
с
в которой функция
есть
7.466
97
Предполагая факторизацию функции
выполненной, т.е.
можно сразу написать решение системы ¦ парных интегральных уравне-
уравнений (8) в виде
(.2.1.10)
Непосредственной подстановкой нетрудно убедиться в том, что реше-
решение A0) удовлетворяет системе уравнений (8).
2. Коэффициент отражения. Далее, зная решение A0), учтем влия-
влияние второго края внешней поверхности % = Ь : 1= L ( L± оа ). Сна-
Сначала необходимо определить коэффициент отражения (по полю) падаю-
падающей волны от открытого конца коаксиальной линии 1 - О. В соответ-
соответствии с формулой D) азимутальная составляющая магнитного поля
падающей волны есть
';s л Л _ _ -ih,;t
а из соотношений A0) и (8) при Ъ> О и D) для амплитуды if-ком
поненты отраженного поля получается следующее выражение:
«La')-Jol»Ll\^N1t?eL^]e1' ^, B.1.12)
при выводе которого учитывалось условие (см. соотношение A.1.4))
Отношение компонент Н (.%,2.) и Н
(.1)
(
B соответствии с фор-
формулами A1) и A2) дает для коэффициента отражения от открытого
конца 2=0 коаксиальной линии следующее выражение:
_ . k+h ,,.2„ч :оЧМ
Jo
V
J0(.ku)
C2.1.1M
Полученная для коэффициента отражения формула A4) является
строгой, однако она не очень удобна для дальнейшего использования.
Попытаемся упростить A4) на основе следующих рассуждений. На-
Наперед ясно, что высокодобротные колебания в рассматриваемом ре-
зокаторе будут существовать при К-* О, т.е. при приближении часто-
частоты падаюшей на открытый конец коаксиальной линии волны, к крити-
критической для данного типа колебаний. Кроме того, вполне оправданы
условия к&>Д и к$>1, что позволяет воспользоваться асимпто-
асимптотикой цилиндрических функций и заменить A4) на
C2.1.15)
где контур С показан на рис. 2.1.
Формула A5) соответствует коэффициенту отражения Е-волн от
открытого конца плоского волновода с расстоянием между пластина-
пластинами 2A)— (X ). Впрочем, этот результат естествен при ка>>1 и
к В » 1, когда соответствующие радиусы кривизны стремятся к беско-
бесконечности: Теперь коэффициент отражения можно представить в виде
A); для этого необходимо воспользоваться асимптотикой Дебая
цилиндрических функций, и тогда функцию факторизации
можно записать так:
—A v6(l-e ),
где введено обозначение Д?2 =
12.1.16)
Однако дальней-
дальнейшее упрощение функции факторизации ^lU), приведенной к виду A6),
можно было бы получить лишь при kd >> 1, тогда как нас интере-
интересует более общий результат. Тем не менее применение асимптотики
Дебая позволяет легко обобщить получаемые результаты на несим-
несимметричные волны при kd >> 1.
Сделаем еше одно замечание. Из асимптотической формулы A6)
следует, что если считать = 4 - ft. = А, то .Р1 = ?•„ „= f^n =
= 0,824 (см. текст после формулы A5)).
3. Токи на зеркалах. Добротность колебаний. Выражения для тока
на зеркалах, а также для добротности колебаний ОКЦР нетрудно по-
получить, следуя обычной методике [10, 293. Конечный результат для
тока на зеркалах имеет вид
cos
Sin
JtTl 2
2L11+
i
n=i,V
M
где большой параметр
M
98
/2 k/dL - Параметр p = p'-tp", связанный
99
Рис. 2.1. Контур интегрирования С
в формуле B.1.15).
с нормированным волновым числом S набегающей волны соотношением
р - Ъ /чзцполучается равным
г '2'-
м
Добротность 1ч-го колебания определяется соотношением
в котором для р" из A8) следует выражение
2
м
B.1.20)
которые с точностью до замены
В пределе при очень больших значениях большого параметра М фор-
формулы A8) и B0) переходят в следующие:
2 ¦ --2 ,
R>" , B.1.21)
1 Е,Н
ft" ->- а = 0,824 во втором со-
соотношении B1) совпадают с соответствующими формулами теории
открытых ленточных резонаторов • [10, 291. Таким образом, доброт-
добротность ОКЦР & по порядку величины пропорциональна М .
Результаты расчета добротности розой.тора й. по формулам. A9) -
B0) представлены сплошными кривыми на рис. 2.2 в двойном ло-
логарифмическом масштабе: u=Q.A4,n = const : для Me 15, 403 и
набора значений п ( п= 1, 2, 3, 5, 10). Штрихоаые линии - расчет
по приближенной формуле B1). Как видно из представленных рисун-
рисунков, расчеты по точной и приближенной формулам совпадают для зна-
значений М, превышающих 10.
4. Возможные обобщения. Таким образом, открытый коаксиаль-
коаксиальный цилиндрический резонатор представляет собою систему, в кото- -
рой возможны высокодобротные колебания. Здесь были исследованы
только те колебания, у которых отсутствует зависимость от азиму-
азимутального угла у. Обобщение на случай 9/9(f ? О не представляет
труда. Для этого необходимо у цилиндрических функций, участвующих
в выводе, заменить индекс О на тп = 1, 2,... и при получении оконча-
окончательных формул воспользоваться асимптотическими формула-
100
57 10
М 5 10 20 М
Рис. 2.2. Зависимость добротности
& колебаний ОКЦР (рис. В. 1, б )
от параметра М . Сплошные линии -
расчет по формулам A9), BО),
штриховые - по B1).
ми Дебая. Совершенно аналогич-
аналогично исследуется вторая поляризация
( Н -волны). При этом должно быть
соответствующим образом изменено
дисперсионное уравнение для попе-
поперечных колебаний и функция Ji
цолжна быть заменена на функ-
функцию ji .
Особенностью развитого здесь ме-
метода расчета является произвольность
значений к Л в оконечных формулах.
Это делает проведенные расчеты
удобными для применения в различ-
различных практических случаях.
Получение формул для kd^l, как отмечалось выше, не представля-
представляет труда. При этом необходимо воспользоваться соответствующими
асимптотическими формулами Ханкеля и Дебая. Необходимо учесть
только, что этими формулами можно пользоваться практически для
всех волн, кроме поперечной (основной) и волн Н (т= 1, 2,...).
Последнее ограничение не является, очевидно, существенным, посколь-
поскольку на основной волне вообще невозможно получить сколько-нибудь-
добротные колебания. За этим исключением собственные функции ис-
исследованного ОКЦР имеют довольно единообразный вид.
5. Возбуждение ОКЦР через продольные щели в поверхности внут-
реннего зеркала. Таким образом, внутреннее зеркало может служить
цилиндрическим волноводом возбуждения ОКЦР по схеме "на проход".
Пусть слева B = — °°) по внутреннему проводнику распространяется
волна Н , азимутальная составляющая электрического поля которой
есть ^
Е B)=Ае г- B.1.22)
Поле на шели предполагается известным из задачи о падении плос-
плоской волны на узкую щель в плоском экране. Основанием для такого
утверждения являются следующие три обстоятельства: узкая щель
BJ<D « 1),'малое влияние "далекого" внешнего экрана резонатора
на поле в щели и симметрия поля возбуждения B2). Воспользуем-
Воспользуемся первым приближением для поля в щели из С2081:
B.1.23)
где Ц - расстояние от центра щели.
101
Обычная формула теории возбуждения закрытого резонатора сто-
сторонними токами имеет вид
I
B.1.2*0
-d
Здесь N - норма "собственного" колебания индекса П, { (г)- соб-
о п
ственные функции ОКЦР A7), 21 - длина щели, 2D - ширина щели,
tf- число щелей, расположенных симметрично по азимуту. Подставляя
выражения для ?ЛТ) из A7) и поле на щели Е из B2) в B4),
получим
С -А
Норма N в нашем приближении есть
N =-l8jt2a.L
n M
B.1.25)
U.I. 26)
Таким образом, для коэффициентов возбуждения С (после неко-
некоторых упрощений) получаем следующий результат:
In ——sin . U.I.27)
В 1 М Н пгЛ
i
„ . . В
С = ЬЯ А к Insin
n a (nrf Jl'+lji" ykD 2L
Здесь параметр M = L У2к/(,?-йЛ есть, как обычно в теории квази-
квазиоптических систем, большая величина: М»1, величины (Ь','й"~1,
а Б/й«1.
Полученные в выражении B7) значения для коэффициентов воз-
возбуждения П носят комплексный характер, который определяется излу-
/ Строго говоря, такое разложение по квазисобственным колеба-
колебаниям не вполне "законно" (оно, в частности, не содержит непрерыв-
непрерывный спектр и др.) и при его употреблении нужна определенная осто-
осторожность. Однако проведенные эксперименты по ОКЦР данного типа
свидетельствуют в пользу примененного здесь приближенного подхода.
Более точные результаты можно получить при использовании тео-
теории возбуждения открытых структур СЮ, 2751.
102
чением энергии из резонатора во внешнее пространство. При М » 1
величина ? ~МгГ .
Для приближенной оценки влияния щели на систему собственных
функций резонатора ? (.1), как и ранее, будем существенным образом
опираться на предположение о малом искажении "истинной" системы
собственных функций. Это дает возможность использовать для оцен-
оценки метод возмущений С2ОЕП.
Каждую "собственную" функцию резонатора со щелями разложим
по системе невозмущенных функций:
f
n
(.2.1.28)
V,.
При этом поле на щели можно задать так же, как и ранее / , и по
формуле возбуждения резонатора вычислить коэффициенты разложения
возмущенной собственной функции ft. . В результате получим формулу
a
для коэффициентов разложения (ср. B7)):
Отсюда видно, в частности, кекие ограничения на размер щели Ъ/%
и число щелей Т должны быть наложены ( |CL-|« li >?*TL )• чтобы
$
можно было пользоваться приведенными выше оценками для коэффи-
коэффициентов возбуждения.
6. Связанные системы ОКЦР. Теория дифракционно связанных ОКЦР
с общим для всех резонаторов внутренним зеркалом и внешними зер-
зеркалами одинакового диаметра может быть без особых затруднений
построена по образцу теории связанных ленточных открытых резона-
резонаторов, развитой в работах Ц29, гл. 5; 255, 2563. Для симметрич-
симметричных ( 9/C ф = О) колебаний в связанных ОКЦР коэффициенты дифрак-
дифракционной связи по существу те же, что и полученные в указанны:: ра-
работах для ленточных открытых резонаторов. Для несимметричных ко-
колебаний их несложно получить по разработанной в этих работах методике.
Коэффициенты дифракционной связи выражаются либо через дифр-ак-
ционную функцию Вайнштейна, либо через подробно табулиро-
табулированную о бобшенн ую дзета-функцию Римана от комплексного
аргумента ?248 - 250].
7. Экспериментальное исследование ОКЦР /. Опыты проводились
в восьмимиллиметровом диапазоне длин волн и заключались в изме-
/ Поле на каждой из щелей выбиралось таким же, как для оди-
одиночной щели (см. B3)), поскольку режим их работы не резонансный
и их влияние на общее поле носит аддитивный характер.
2)
/ В разработке конструкций опытных макетов ОКЦР и проведе-
проведении экспериментальных работ активное участие принимал A.M. Рос-
Российский.
103
рении нагруженной добротности и коэффициента отражения при резо-
резонансе, определении спектра собственных частот. Конструкция экспе-
экспериментального образца ОКЦР показана на рис. 2.3. Он состоит из
полого внутреннего цилиндра 2 и внешнего цилиндра 1. Внутренний
пблый цилиндр при помощи металлических опорных шайб 3 крепится
концентрично относительно внешнего цилиндра. На торцах внешнего
цилиндра помешены поглощающие втулки 4-, выполненные из ферро-
эпоксида. Эти втулки являются согласованными нагрузками для всех
типов волн коаксиального волновода и тем самым имитируют режим
открытого конца коаксиального волновода. Внешняя поверхность внут-
внутреннего цилиндра и внутренняя поверхность внешнего цилиндра, являю-
являющиеся отражающими поверхностями ОКЦР, для получения высокой
чистоты поверхности изготовлены по специальной технологии. ОКЦР
возбуждался при помощи системы прямоугольных щелей (состоящей
из восьми щелей) 5, расположенных по окружности в середине внут-
внутреннего цилиндра. Длина каждой щели 6 мм, ширина 0,3 мм.
Исследовались два варианта ОКЦР: с внутренним диаметром внут-
внутреннего цилиндра 12 и 17 мм. В обоих случаях зазор & = % - й, =
= 4,25 мм. Щели возбуждались волной типа Н круглого волновода,
образованного внутренним цилиндром резонатора, При выбранном рас-
расположении щелей в резонаторе имели место преимущественно колеба-
колебания вида Н с нечетным индексом Q , имеющие пучность электри-
электрического поля в центре колебательной системы. Была рассчитана ве-
величина омических потерь ОКЦР для колебаний вида Н. и получены
01 q,
выражение для ненагруженной добротности, учитывающее дифракцион-
дифракционные и омические потери, и формула для собственной частоты ОКЦР:
ю3
2 К
2 -G
1 10
(.МГц"),
B.1.30)
где f^ - критическая частота высшего типа.колебаний регулярного
коаксиального волновода, С - скорость света.
На рис. 2.4 приведена зависимость величины й. от параметра
М = L.V2k/& для разных значений fy при П= 1, рассчитанная для
частного случая, когда X = 8,5 мм, а отражающие поверхности ОКЦР
изготовлены из серебра. Как видно, наибольшей добротностью обла-
обладает колебание HQ . По мере роста М добротности различных типов
колебаний сближаются, поскольку в ОКЦР основной вклад в общее
затухание вносят омические потери.
Исходя из данных рис. 2.4, можно заключить, что при выбранных
А и (t в случае колебания Н использовать параметр М>50 (что
sl-v-i
//
///
///
1 / г/
*+-
/з
//
*/
**
г У
/7
104
3200
/600
5 0 50 100 М
Рис. 2.3. Конструкция опытного макета ОКЦР: 1,1 - внешний и
внутренний цилиндры, 3 - опорные шайбы, ^ - поглошающие втул-
втулки, 5 - прямоугольные щели.
Рис. 2.4. Зависимость ненагруженной добротности ОКЦР GL от па-
параметра М при разных значениях Q .
соответствует длине резонатора 2 L = 200 мм) не имеет смысла.
Для выбранной таким образом длины резонатора на основе выраже-
выражения C0) были вычислены собственные частоты колебаний Н. , зна-
значения которых приведены в табл. 2.1. т
Так как ОКЦР обладает достаточно вывокой нагруженной доброт-
добротностью и незначительным коэффициентом отражения при резонансе,
то при измерении его параметров был использован амплитудный ме-
метод. Исследуешлй ОКЦР включался как неоднородность и на экране
осциллографа наблюдалась зависимость коэффициента отражения от
частоты. Амплитудно-частотная характеристика резонатора изображе-
' на на рис. 2.5. Отчетливо видны резонансные пики, обусловленные
колебаниями вида Н„ , Н , Hnjc, Н . Типы колебаний с чет-
011 011 0» и17
ным индексом Q, как и следовало ожидать, при выбранном способе
возбуждения не наблюдались. Измеренные значения коэффициента отра-
отражения при резонансе для каждого вида колебаний даны в табл. 2.1.
Резонансная частота и ширина резонансной кривой на уровне по-
половинной мощности измерялись при помощи частотной отметки, созда-
создаваемой резонансным волномером, выполненным на базе полого цилиндри
ческого резонатора с колебанием Н . Погрешность измерения часто-
частоты + 0,2%. Плотность настройки по частоте не превосходит 30 МГц/0,01
мм. По измеренным величинам й. и Т? вычислялась ненагруженная
п
добротность 0.-. Результаты Измерений для четырех видов колебаний
ОКЦР сведены в табл. 2.1.
Проведенное экспериментальное исследование подтвердило возмож-
возможность получения высокодобротных колебаний в предложенном откры-
открытом резонаторе нового типа. Учет конечной проводимости зеркал на-
наряду с дифракционными потерями привел к хорошему совпадению рас-
рассчитанных резонансных частот с измеренными значениями, а также
105
Таблица 2.1
Параметр
Резонансная
частота, МГц
Коэффициент
отражения V.
Нагруженная
добротность йн
Ненагруженная
добротность OLq
н
Oil
35 020
35 007
0,30
2300
3300
Для резонансной частоты
ные значения, во
Виды колебаний
Н
013
35 080
36 071
0,25
1800
2400
н
015
35 180
35 198
0,23
1400
1800
н
01?
35 360
35 385
0,21
1100
1350
в первой строке приведены измерен,
второй - рассчитанные
к удовлетворительному совпадению (в пределах 30%) измеренной и
расчетной величин ненагруженной добротности.
Можно надеяться, что относительно высокое значение добротности
позволит использовать ОКЦР в качестве стабилизирующего резонатора
генераторов миллиметрового и субмиллиметрового аиапазонов. Его мож-
можно также применить как фильтр в трактах с симметричной волной Hq^ .
Рассмотренный, только что способ возбуждения ОКЦР способствует
преимущественному возбуждению симметричных волн. Однако, кроме
круговых колебаний, в ОКЦР могут существовать и некруговые. Зна-
Знание их характеристик необходимо, во-первых, для ряда применений
резонатора, и, во-вторых, такие колебания играют роль паразитных
колебаний при работе на колебаниях круговых, поскольку в реальных
системах всегда присутствуют локальные неоднородности, способствую-
способствующие возбуждению некруговых колебаний.
Экспериментальное исследование ОКЦР в восьмимиллиметровом
диапазоне волн при несимметричном его возбуждении через одиноч-
одиночную щель во внешнем проводнике проведено в работе С 2101. Там
же рассматривался вопрос о разрежении спектра колебаний в ОКЦР
по сравнению с закрытым резонатором. При длине резонатора, пре-
превышающей десять длин волн, спектр становится настолько густым,
что отождествление найденных резонансов оказывается практически
невозможным. Это хорошо видно на рис. 2.6, где изображена номо-
номограмма резонансных колебаний. Измерения показали, что ОКЦР эф-
эффективно возбуждается не только на колебаниях круговых типов, но
и на некруговых колебаниях. На рис. 2.7 показана резонансная кри-
кривая зависимости коэффициента стоячей волны от частоты для открытого
резонатора. Значения резонансных алии волн, полученные аля него, нане-
нанесены также на рис. 2.6, из которого видно существенное разрежение ре-
резонансных частот для ОКЦР по сравнению с закрытым резонатором.
106
1
t
5
4J
1 35,02
j\ 135,08
\\ Л
\/
1 1 I
л
\ I
\J
35,18
\
\
4^
135,36
i
35 35,12 35,24 35,36 f/Гц
Рис. 2.5. Амплитудно-частотная характеристика ОКЦР, показанного
на рис. 2.3.
"до«#
"ai»
А
•Поп
А
•н*„
® (
A i
1
lA A
•V
АА
"ей
•
"ей
Н*13
в
i A
• •
с
в
\
8J 8fi ?5 8.6 8,7 8,8 к,мн
Рис. 2.6. Номограмма спектров резонансных колебаний ОКЦР, имею-
имеющего длину 95,85 мм и диаметр внутреннего проводника 5,9 мм.
А - данные расчета для закрытого резонатора, Б - измеренные ре-
резонансные частоты закрытого резонатора, С - измеренные резонанс-
резонансные частоты ОКЦР.
КСВН
\
1
\ /
"¦rs
r
"*G
34,0
34,5
35.0
35,5 fjru,
Рнс. 2.7. Резонансная кривая ОКЦР, имеющего длину 95,85 мм и
диаметр внутреннего проводника 5,9 мм С2103.
107
Расчет спектра колебаний ОКЦР, его экспериментальная резонанс-
резонансная кривая и результаты изучения структуры поля показывают С210],
что наряду с колебаниями, возникающими на базе волны Н коаксиаль-
коаксиального волновода, существуют высокодобротные колебания, возникающие
на базе длинноволновой группы критических частот. В данном случае
наиболее близкой по частоте к волне Н оказалась волна Н . Воз-
01 hi
буждение колебаний только с нечетным продольным индексом объясня-
объясняется способом возбуждения.
Как на колебаниях типа Н , так и на колебаниях типа Н, . с по-
01' 41
вышением частоты происходит уменьшение добротности за счет уве-
увеличения дифракционных потерь с ростом продольного индекса.
Измерения, проведенные на ОКЦР с различными соотношениями
размеров, позволили установить зависимость спектра резонансных ко-
колебаний от длины резонатора и диаметра внутреннего проводника. При
изменении длины резонатора наиболее сильно сдвигаются колебания
с большими продольными индексами. Такая же зависимость наблюдает-
наблюдается и для различных соотношений диаметров внутреннего и внешнего
проводников. Выбирая геометрические размеры ОКЦР, можно выде-
выделять резонансы требуемых типов колебаний. Эксперимент подтвержда-
подтверждает, таким образом, возможность получения в ОКЦР резонансов с вы-
высокой добротностью не только круговых, но и некруговых типов ко-
колебаний.
§ 2.2. ОКЦР с импедансным внутренним зеркалом
1. Постановка задачи. Рассмотрим влияние обобщенного импедан-
импеданса 1 внутреннего зеркала ОКЦР на его характеристики. Пусть Z име-
имеет поверхностный характер, т.е. составляющие Е2 и Н при а=(х
связаны условием Щукина - Леонтовича A.3.2), а'попереч-
а'поперечные собственные числа к^ коаксиала определяются дисперсионным
уравнением A.3.3) /. Начнем, как и в § 2.1, с рассмотрения клю-
ключевой задачи [178].
Итак, пусть вектор Герца П D-,'г') при t > Ъ есть
00
(Ш, B.2.0
/ Ряд конструкций электронных приборов на основе ОКЦР в ка-
качестве внутреннего зеркала содержит частопериодическую структуру,
например, спиральную (рис. В.15 а-), кольцевую решетку (рис. В.7. а)
и др. В этих случаях на границе t = Q, следует поставить двух-
двухсторонние импе да н сные граничные условия СЭШили
импедансные граничные условия резонансного ти-
типа B.1.2).
108
а для 1 б (Д, ?")
где функции f (W) и й(ЪГ) суть
I
Полагая
С2.2.А")
и удовлетворяя условию Ег(й + 0, z") = Ег(«-0,О и условию непре-
непрерывности составляющей Нф на продолжении внешней обкладки коаксиа-
коаксиала при г = •& и Ъ > О, получим систему парных интеграль-
интегральных уравнений Вайнштейна в виде
Lid-г
Lhi
Au-0,
s<
(.2.2.5)
где обозначено
= (V- h? )
г(ъ>)-
Е
Ж
2. Коэффициент отражения. Решение парных интегральных уравне-
уравнений Т5Т^ля~1юлубёсконёодой~( г 6 (-°°,О1) дифракционной структуры
имеет вид
2h
(.2.2.7)
Воспользовавшись решением G),.вторым уравнением системы E) и
взяв отношение азимутальной составляющей магнитного поля Н^ при
*1 = 1>, г < О к полю падающей волны (первый член справа в B.1.6)),
найдем коэффициент отражения падающей волны от открытого конца
109
B=0) линии. Опуская эти несложные, но громоздкие выкладки, за-
запишем результат:
1? =-
B.2.84)
при этом функция факторизации LAK) равна
т/k+H т/к+К
L (w)= I V (V)= I
1 W+K i 4J4-K
а функция В (id-) есть
i 7 1пЧЧт»>
ВД*П — — 4?^
1 2*1 J 5-1*
B.2.9)
(.2.2.10)
Для дальнейшего воспользуемся приближённым асимптотическим
представлением интеграла В (W-) при зе ¦*> 1, и тогда коэффициент
отражения 1? может быть записан в виде
7171
где
NU»
B.2.11")
a Uts,^)- дифракционная функция Вайнштейна. Вычисляя
в A1) предел, получим следующее выражение для коэффициента отра-
отражения:
И)} Г /1
-kH L \ж
Ti
B.2.12)
3. Добротные колебания. Из последней формулы непосредственно
следует, что при h -* О модуль коэффициента отражения |R\-*1,
что и доказывает возможность осуществления в конечной Be[-L,Ll)
коаксиальной структуре высокодобротных колебаний.
Формулу. A2) можно упростить для случая ka»l. kg » 1,
если воспользоваться первыми членами асимптотических разложений
110
цилиндрических функций. Асимптотическое выражение для коэффициен-
коэффициента отражения будет следующим:
о
") L(i+ L) Ьоь0
— е , B.2.1а)
Ik
K2CL
где ji = 0,824; параметры S и 5 связаны с волновым числом К па-
падающей волны соотношениями
h/oL.
C2.2.1A)
При больших расстояниях между обкладками коаксиала ( kd. » 1)
» S, и тогда из
следующая формула:
р р у
Ь » S, и тогда из A3) для коэффициента отражения получается
Формула A5) аналогична соответствующим выражениям для коэф-
коэффициентов отражения от открытого конца плоского волновода с рас-
расстоянием между пластинами CL= т>-й. Этот результат естествен
при. k a ¦* 11 когда радиусы кривизны поверхностей коаксиала стре-
стремятся к бесконечности (ср. B.1,1), B.1.14)). При |<cL»l получен-
полученное выражение A5) для коэффициента отражения R не содержит яв-
явно импеданса Z.' -Z /Z.. Физически это можно пояснить так. При
о о U
приближении частоты падаюшей волны к критической бриллюэновские
волны распространяются нормально к поверхности коаксиала. Наличие
реактивного импеданса приводит к тому, что,в отличие от случая
идеально проводящих стенок ( Z = О), скачок фазы при отражениях
не будет равным JC. Это соответствует эквивалентному изменению
расстояния между коаксиальными поверхностями на величину UCL:
/\1=- а-rctg г'.
к ь
B.2.16)
Такое изменение расстояния практически не повлечет изменения
величины S = "V2 kd К/к при кй»1- Однако при kcL ~ 1 вместо
>/- /2~к~Й К/к при кй»1- Однако при
П> нужно пользоваться величинами р>' и а" Г4961. Кроме Torof
0 О J J E,H
при определении параметра 5. нужно учитывать изменение расстоя-
расстояния &&:
_h,
О |^
Далее, используя полученные выше формулы B.1.17) - B.1.21),
легко написать окончательные выражения для ОКЦР с импедансным
внутренним зеркалом. Ввиду очевидности мы их здесь не приводим.
111
Омическая добротность Н-колебаний резонатора с осевой протя-
протяженностью поля, существенно превышающей длину волны, с учетом
граничных условий Щукина - Леонтовича на обоих зеркалах опре-
определяется из выражения П66]:
-|2ч
0С1
2-,-i
х =
е
ms'
где
- глубина скин-слоя стенки и стержня,
(.2.2.18)
- функция, опи-
сывающая поперечную структуру продольной компоненты магнитного
поля. В частности, для колебаний, удовлетворяющих условию A.1.21),
(.2.2.19)
а для колебаний, удовлетворяющих условию A.1.19),
эе
(г.2.20)
Из A9) и B0) непосредственно видно, что селективные свойства
ОКДР можно существенно улучшить, например, использовав стержень
с низкой проводимостью, что позволяет заметно снизить добротности
колебаний, сильно возмущаемых стержнем.
В заключение параграфа сделаем одно замечание. При практической
реализации ОКЦР (а также и ОКДР; см. гл. 4) импедансное покры-
покрытие (например, дифракционную решеткуI наносят иногда не на всю
поверхность зеркала, а только на некоторую его часть (см. § 4.4).
При этом обязательно следует иметь в виду, что здесь вступает в
силу эффект смещения эквивалентной отражающей поверхности (см.
текст у формул A6), A7)), а стало быть, волна, формирующая соб-
собственное колебание в ОКЦР, будет отражаться (локально) от импе-
дансного участка с некоторым (не равным Я ) скачком фазы. Для
компенсации этого эффекта, который может привести к существенно-
существенному искажению поля колебания рабочего вида и, как следствие этого,
к большим дифракционным потерям, необходимо импедансный участок
зеркала либо "утопить", либо, напротив, приподнять над поверхностью
зеркала открытого резонатора. Последнее зависит от характера по-
поверхностного импеданса вставки: индуктивный он или емкостный (см.,
например, С 99]).
112
§ 2.3. ОКЦР предельного типа
Пользуясь той же схемой рассуждений, рассмотрим теперь ОКЦР
предельного типа, схема которого приведена на рис. В.2, 9 ;
[1263. Область ze[-L,Ll будет резонансной, если для рабочего
колебания участки структуры |2.|>L будут запредельными: h =
= L|K'\. При этом модуль коэффициента отражения равен 1 и основ-
основной интерес представляет фаза коэффициента отражения, которая в
итоге определяет резонансную длину рабочей полости 2L. Для об-
общности будем считать, что на внутреннем стержне поле удовлетво-
удовлетворяет импедансным граничным условиям типа A.3.2).
1. Электрические волны. Поместим начало координат B=0) в
месте, где начинается правый экран ( 1 = С ; левый считаем отсутст-
отсутствующим). Итак, пусть слева из Ъ-~°° на полубесконечную струк-
структуру набегает Е. -волна, составляющие Е и Н которой определены
формулами A.1.7), и пусть при 1 - И выполняется граничное условие
Е =~LZ(jHl!.. Коэффициент отражения имеет вид
Т? =--
B.3.1)
Здесь фугкция KCq) определяется так:
-Ф lit со No 1ИС1
где 91=
ka
ka Z
-1
Полученный результат описывает колебания запредельного резо-
резонатора, если размеры, его такие, что в области Es[-L,L] может
существовать один тип колебаний, а области |Z|>L являются за-
запредельными. При этом модуль коэффициента отражения равен 1 и
основной интерес представляет фаза коэффициента отражения, опре-
определяющая резонансный размер 2 L .
Для режима высокодобротных колебаний открытой области необхо-
необходимо рассмотреть случай ka»l, k 6*1. В этом случае
113
Здесь через R обозначен коэффициент отражения плоской электромаг-
электромагнитной волны от импедансной плоскости; его можно представить в
виде
if^^ihQ') B.3.4")
При условии ku» 1 факторизация множителя КA?") имеет вид
" 1Z') ~ 1+ T?
Для случая чисто реактивного импеданса Z» величина |\s = О и
5. , Q . определяются так:
B.3.6)
Коэффициент отражения К теперь можно записать так:
(.2.3.7)
Формулу G), заменив в ней дифракционную • функцию Вайнштейна
U(S, Of) ее асимптотическим представлением для S«l, fy << 1
можно представить также в иной форме:
Т> /\j
К г*
пп 9
B.3.9)
2. Магнитньш волны. Пусть теперь к концу структуры B=0)
подходит волна Н., составляющие Е„ и Н которой связаны при 1 =
= CL граничным условием Е(П-~12,Н В этом случае коэффициент
отражения выражается формулой A), в которой множитель K(ij) за-
заменен на М(^), а функция М(.1^) определена так:
B.3.10")
114
где
При условии
1 функцию
можно представить в виде
°
^22 5 (^3)}. B.3.U)
Коэффициент отражения R может быть представлен в форме D).
Таким образом, обе задачи можно считать доведенными до конца.
Дальнейшее заключается, как мы отмечали, в учёте фазы коэффициен-
коэффициента отражения ф при выборе длины резонансного участка L:
Is
Is
B.3.12)
§ 2.4. ОКЦР с внешним фокусирующим (бочкообразным)
и внутренним цилиндрическим зеркалами
Рассмотренный в §§ 2.1, 2.2 ОКЦР с прямолинейными образую-
образующими оказался весьма чувствительным к точности установки зеркал
друг относительно сруга, к перекосам, эллиптичности цилиндров и
т.п. Для ряда применений полная добротность основного колебания
такого ОКЦР недостаточна. Системами, в какой-то мере свободными
от указанных недостатков, являются ОКЦР с одним [50 - 541 или
обоими С22, 24] фокусирующими зеркалами (рис. В.З, 0, —9 ). К
сожалению, единого метода анализа ОКЦР, представленных на
рис. В.З, Q. - д , нет. Поэтому в каждом отдельном случае приходит-
приходится применять специальный подход. Здесь ситуация много сложнее, чем в
ОКЦР с прямолинейными образующими. ОКЦР с фокусирующими зер-
зеркалами в настоящее время используется, в основном, в двух режи-
режимах: МЦР-режим, когда между зеркалами резонатора укладывает-
укладывается малое число полуволн, и ГДИ-режим, когда число полуволн
достаточно велико (ГДИ-режим иногда называют "оптическим* слу-
случаем). Соответственно такому разделению мы далее рассмотрим ме-
методы анализа ОКЦР.
1. МЦР-режим ОКЦР (рис. В.З, й-'ё). В этом случае резонатор
имеет вид слабонерегулярного волновода, а стало быть, в соответ-
соответствии с методом поперечных сечений С6SQ,поле в каждом
сечении резонатора может быть представлено в виде разложения в
ряд по полной системе функций (§ 1.1) с неизвестными амплитуда-
амплитудами. Метод поперечных сечений сводит задачу к решению бесконечной
системы обыкновенных дифференциальных уравнений относительно неиз-
неизвестных амплитуд. Задачу можно существенно упростить, если априо-
115
ри воспользоваться тем обстоятельством, что в резонансной ситуации
превалирует один член из разложения - резонансный. Это приближе-
приближение соответствует (в МЦР-режиме) пренебрежению эффектом преобра-
преобразования волноводной волны в другие типы волн при ее отражении от
критического сечения. При этом функция f(.Z\ описывающая продоль-
продольное распределение 2-компоненты Е-или Н-поля, удовлетворяет урав-
уравнению неоднородной струны ГЮ, 66, 68, 69] /:
it [г)
Не <f (
где индекс L соответствует совокупности трех индексов (тп,П, 0, );
О 0 о
К. = к -й. и 0. суть корни уравнений A.1.4), A.1.5). В част-
ном случае квадратичных зеркал уравнение A) допускает точное ре-
решение, выражающееся через полиномы Эрмита (см. § 2.6). В
других случаях уравнение A) должно рассматриваться совместно с
краевыми условиями (ср. с граничными условиями B.1.2))
0,2
-LK.f.
=0,
d.z
связывающими функцию ]Е.BЛ и ее нормальную производную ii{%) не-
непосредственно за критическими (h.= О) сечениями 2 и 2 /. Двух-
а 12
точечная краевая задача A), B) решается численными мето-
методами (прогонки, методом градиентного спуска и т.п.).
В частности, в [66] реализован метод градиентного спуска для ОЦР.
Коротко существо его состоит в следующем. Из приближенного рас-
расчета известна резонансная частота СО. Тогда можно любым прибли-
приближенным методом* (Рунге - Кутта, например) проинтегрировать
уравнение A) с первым граничным условием в B) при 2 = 2, и
вычислить параметр невязки
л а
ih.f.
i i
при
Несколько более общий подход к анализу трехмерных откры-
открытых резонаторов с зеркалами переменного радиуса кривизны развит
в работе С269].
2)
/ В целом ряде случаев для расчета достаточно предположения
о том, что критические сечения суть плоскости. Для ОШР на осно-
основе слабонерегулярного волновода это предположение в целом спра-
справедливо. Нужно, впрочем, отметить, что процедура метода попереч-
поперечных сечений для формы каустики дает только оценку. Уточнение мо-
может быть проведено с использованием, например, подхода, развитого
в работе Г269].
116
Затем частота to изменяется таким образом, чтобы невязка О. бы-
была минимальна. Последняя процедура реализуется с помощью стан-
стандартного метода градиентного спуска (см., например, С 2111).
К сожалению, приближенные аналитические методы применимы к
расчету резонаторов достаточно простого профиля С66]. В частности,
если резонатор представляет собою отрезок регулярного волновода
со скачками импеданса у краев II 2 9], что позволяет получить коэф-
коэффициенты отражения от краев, близкие по модулю к единице ( R. @))~
~- 1, L = 1, 2), то добротность низших типов колебаний резонато-
резонатора определяется так:
0.-
V
rp
где
1L =
fccfc
to. =w
t
2?rc
r? w.L '
В работе [66] на основе метода, развитого в ?2093 (§ 77),
рекомендуется еще один подход к расчету добротностей путем "сши-
"сшивания" поля ?. (,?), найденного в пренебрежении дифракционными
i
потерями, с удовлетворяющим условиям излучения B) полем
сопряженного с резонатором расширяющегося волновода. Если точ-
точка сопряжения % находится в закритическом сечении, то
. ?..
А 1
/W;
(L
i U
.0
г
exp
h-\te)
Сформулированная краевая задача A), B) позволяет решать так-
также обратную задачу определения конфигурации зеркал для соз-
создания необходимого продольного распределения поля i.{b). При этом
следует иметь в виду, что в задачах электроники СВЧ, в частности
в МЦР-приборах, наряду с подбором поля ?.(¦?) также требуется
обеспечение нужного распределения магнитного поля вдоль простран-
пространства взаимодействия (см., например, [ 2 9 ]).
2. ГДИ-режим. В этом случае можно, следуя [523, аппроксими-
аппроксимировать поверхность ОКЦР (рис. В.З, а.) в вытянутых сфероидальных
координатах (рис. 2.8), связанных с цилиндрическими A,\ty,1) со-
соотношениями:
^=oLship cos tj, z=ctchpsin^, ф=ф. B.V5)
При этом внутренний цилиндр ОКЦР аппроксимируется частью сильно
вытянутого эллипсоида вращения р = J3^, а внешнее зеркало задает-
117
Рис. 2.8. Схема ОКЦР в вытянутых сфероидальных координатах.
[0, Z?t]. При предположениях у =
ся при jo = Jj
у> 1 и О/оф-О можно осуществить приближенное разделение
переменных в волновом уравнении [521. Записывая решение
в виде
± lm ф
v{p,\i[,i=-)~'8.{p)'L{^)e , т-0,1,2,..., U.^.6^
для функции R(_J3)h Z^4) получим обыкновенные дифференциальные
уравнения. Для функции Z()°) решение приближенно можно предста-
представить так:
oC=Vl+m2 , N=0,1,2,...;
-функция параболического цилиндра. В нулевом приб-
N
лижении для
можно написать
Для радиальной функции R(.J3") приближенное решение имеет вид
где
118
OV 1
0,1,2,...
9
Удовлетворяя для Е к^— s"h pR граничному условию Е = О при
р = 0 и р = р получим дисперсионное уравнение для определения
собственных частот ОКЦР:
-Lt
[2.A.W)
где
~ avctg г).
Изложенная теория ?521 колебаний ОКЦР позволяет определить
только собственные функции и действительную часть резонансной час-
частоты. Однако, предполагая, что запасенная энергия в соседних видах
примерно одинакова, а дифракционные потери обратно пропорциональ-
пропорциональны квадрату напряженности поля на краю зеркала ( f% = Ц, ср.
отнесенному к квадрату напряженности на каустике ( if =1?K)' можно
а/Я
10
5
\
\
\
к
г
V/
К
-—
*> -
ОМ
0,02
5 10 15 S 0 5 Ш 15 5
Рис. 2.9. Зависимость обратной нормированной длины волны колеба-
колебаний ОКЦР, показанного на рис. 2.8, от числа вариаций поля между
зеркалами для нулевого по азимуту типа колебания при R/Q- - 2.
Рис. 2.10. Зависимость относительной расстройки между колебания-
колебаниями с одной и двумя вариациями поля вдоль оси от числа вариаций
поля между зеркалами при й/с = 0,125. Возле кривых уггзаны чис-
числовые значения R/fe.
119
0,01
7,0
6,5
5 10 15 S '0,2 0,6 1,0 Lib
Рис. 2.11. Зависимость относительной расстройки между нулевым
по азимуту и ближайшими высшими типами колебаний от числа ва-
вариаций поля между зеркалами "при R/6 = 2, Q./-6 = 0,125.
Рис. 2.12. Отношение добротностей основного типа колебаний Ц =
= 1, ТП = О) и высшего типа @|, = 2, ТП =¦ О) в зависимости от раз-
размеров внешнего зеркала ОКЦР для Ь = 14 и CL/o = 0,125.
получить следующую приближенную оценку отношения добротностей
двух "близких" типов колебаний [521:
¦ exp
BЛ.4Л)
Для приложений представляют интерес также положения каустик
^к (точек поворота в дифференциальном уравнении для функций Z
на зеркале. Для ?" в [521 получена следующая формула:
* К
B.U2)
где
2 + m24
ч
Некоторые численные данные [521 по (ЖЦР (рис. В.3,0.) при-
приведены на рис. 2.9 - 2.12. Зависимость обратной нормированной ре-
резонансной длины волны от числа вариаций поля между зеркалами для
нулевого по азимуту типа колебаний при R/ё = 2 показана на рис. 2.9.
Интересно, что для зеркал другой кривизны в пределах TZ/& с A,6)
аналогичные кривые с графической точностью совпадают с кривой на
рис. 2.9. Следующие два рисунка (рис. 2.10 и 2.11) показывают,
что расстройка между колебаниями с различными азимутальными ин-
индексами существенно меньше, чем между колебаниями с различными
продольными индексами. Отмеченное обстоятельство может оказаться
120
существенным при использовании в СВЧ винтовых электронных пото-
потоков (ср. С50, 52, 573). И наконец, на рис. 2.12 представлено от-
отношение добротностей различных типов колебаний. Видно, что доб-
добротность основного типа колебаний ([J, = 1) почти на порядок больше,
чем первого высшего типа ( (],= 2). Это отношение имеет тенденцию
к уменьшению по мере увеличения ширины зеркал.
§ 2.5. ОКЦР с внутренним фокусирующим
и внешним цилиндрическим зеркалами
1. Постановка задачи. Двумерная модель. Общий вид резонатора
схематически показан на рис. В.3,6 и 2.13. Внешним зеркалом 1
резонатора является внутренняя поверхность цилиндрической трубы
большого (по сравнению с длиною волны) диаметра, а внутренним -
гиперболоид вращения 3.
Полный теоретический анализ рассматриваемого типа ОКЦР пред-
представляет весьма сложную задачу математической физики, поскольку
геометрия зеркал резонатора не позволяет использовать ни одну из
известных систем .координат, в которой волновое уравнение допуска-
допускает разделение переменных (ср. § 2.4). Численное решение интег-
интегрального уравнения Мандельштама также весьма сложно и
неэффективно, посколнку затруднительно непосредственно применить
"традиционный" для таких расчетов метод последовательных прибли-
приближений /. Последнее обстоятельство связано с необходимостью пред-
предварительного "изъятия" из искомого решения тех геометрооптических
лучей> которые "промахиваются" мимо гиперболического зеркала. Вмес-
Вместе с тем при рассмотрении такого резонатора для случая симметрич-
симметричных колебаний ( 0/Оф^О, ^) - азимутальная координата) можно вос-
воспользоваться известными соотношениями для открытого цилиндричес-
цилиндрического резонатора НЮ, § 121.
Действительно, симметричные типы колебаний данного резонатора
(рис. 2.14, (X ) можно приближенно рассматривать П511 как колеба-
колебания двумерного цилиндрического резонатора, у которого одно из зер-
зеркал плоское, а другое имеет гиперболический профиль. В такой дву-
двумерной модели резонатор превращается в два одинаковых, не связан-
связанных между собою открытых резонатора, а стало быть, их можно рас-
рассматривать отдельно (см. рис. 2.14, В , где зеркала i! и 2' имеют не-
неограниченный размер в направлении, перпендикулярном к плоскости
чертежа). Цилиндрический (двумерный) открытый резонатор с зерка-
зеркалами l! и 2' (или 1"и 2") эквивалентен (если неплоское зеркало 2'
B") отобразить в большем плоском зеркале 1' (.?")) открытому ре-
резонатору с двумя цилиндрическими зеркалами 2' (или 2"), расположен-
расположенными на удвоенном расстоянии друг от друга'(рис. 2.14, $).
/ Если профиль фокусирующего зеркала представляет собою квад-
квадратичную функцию, то для МЦР-режима уравнение неоднородной стру-
струны имеет аналитическое решение, выражающееся через полиномы Эр-
мита. Подробнее об этом написано в § 2.6.
121
a) S)
Рис. 2.13. Схемы (ЖЦР на фиксированную частоту в виде проход-
проходного резонатора (й,} и оконечного элемента (б) : 1 - внешнее ци-
цилиндрическое зеркало, 2 - фланцы для соединения резонатора с
трактом, «3 - внутреннее фокусирующее зеркало, ^ - поглощающие
шайбы, 5 - коллектор, 6 - отверстия связи, 7 - волновод.
«) s) ' ca в)
Рис. 2.14. й,) К схеме расчета ОКЦР с внутренним фокусирующим
зеркалом; б) двумерный вариант ОКЦР; &) двумерный открытый ци-
цилиндрический резонатор.
Для эквивалентного резонатора воспользуемся (без вывода) ко-
конечными результатами из С103, § 12. Вводя в плоскости х, Ч эл-
эллиптическую систему координат
С2.5Л)
где 2 OL — расстояние между фокусами эллипсов, задавая поверхности
цилиндрических зеркал условиями '?e(.-^,'i)> ц e(-3i/2,3i/2)H учи-
учитывая, что обычно в "оптическом случае" sin Щ « ch ~g, получим не-
необходимые выражения для постоянного радиуса зеркал % расстоя-
расстояния между зеркалами v и ширины зеркал CL (рис. 2.14, Ь ; ср. рис. 2.8):
ch if sin
(.2.5.2)
122
Большим параметром задачи является величина у= kd = к?/&Ъ ^ .
р
Имеем, кроме того, sin ?« 1. Теперь для собственной частоты мож-
можно воспользоваться выражением
В параболическом приближении решение уравнения Гельмгольца
+ к2 )Ф(Д,>; ") =0, представленное в виде
может быть записано так:
6 = arcbiti
Здесь Н {%)- полиномы Эрмита [263^:
n
12.5.5)
Для определения дифракционной добротности необходимо восполь-
воспользоваться данными численных расчетов, содержащихся, например, в
L213, 2141.
Отметим, кстати, что переход к двумерной модели оказался пло-
плодотворным и для теории, открытого тороидального резона-
резонатора (рис. В.5,Die; ср. рис. В.З.г ), описанного, например, в ?591,
§ 18. При этом, верно, для перехода к тороидальному резонатору
соответствующие собственные числа к двумерного открытого ци-
линдрического резонатора были соответствующим образом "возмуще-
"возмущены" на величину m./2fc ,где та- азимутальный индекс, ¦6ft- радиус
средней линии тора (рис. В.5,^).
2. Экспериментальные исследования. Конструкция опытного об-
образца ОКЦР показана на рис. 2.13,CL». Резонатор образован внеш-
внешней цилиндрической трубой, внутренняя поверхность которой является
зеркалом 1 резонатора, Внешняя поверхность полого центрального
123
проводника 7 выполнена в виде гиперболоида вращения и служит вто-
вторым зеркалом. Внутренняя цилиндрическая поверхность 7 образует
участок тракта-волновода круглого поперечного сечения. В экспери-
экспериментальном образце через волновод 7 производилось возбуждение ре-
резонатора. Центральный проводник 7 при помощи поглощающих фер-
роэпоксидных шайб 4 крепится концентрично относительно внешней
трубы L. Влияние втулок 4 на основной тип колебаний резонатора
исчезающе мало. Исследуемая модель ОКЦР возбуждалась при помощи
системы прямоугольных узких щелей 6 , расположенных равномерно по
окружности средней части внутреннего зеркала 3 резонатора. Систе-
Система 6 состояла из 12 шелей. Длина каждой шели - 6 мм, ширина -
0,3 мм. Резонатор возбуждался волною HOi круглого волновода 7
диаметром 12 мм. Размеры зеркал (ЖЦР: диаметр внешнего цилин-
цилиндрического зеркала 1 - 98 мм; радиус кривизны поверхности внут-
внутреннего зеркала 3 - 70 мм; двина внутреннего зеркала 60 мм.
Экспериментальное исследование (ЖЦР проводилось в восьмимил-
восьмимиллиметровом диапазоне волн и заключалось в измерении резонансной
частоты, нагруженной добротности основного колебания, коэффициента
отражения при резонансе и в определении спектра собственных частот.
Исследуемый (ЖЦР включается в СВЧ тракт как неоднородность. В
диапазоне свипирования был виден один высокодобротный резонанс
симметричного магнитного типа колебаний Н. ((?=10, Т1= 1) на
волне 8,34 мм. Рассчитанное по предложенной выше схеме значе-
значение резонансной частоты составляет 8,35 мм. Нагруженная доброт-
добротность оказалась равной 2100, а коэффициент отражения при резонан-
резонансе 0,62. Это соответствует величине собственной добротности основ-
основного колебания примерно 5500.
Полученное значение собственной добротности можно существен-
существенно увеличить, если увеличить степень конфокальности резонатора (ср.,
например, [158, 2 731). В данной конструкции коэффициент конфо—
кальности \1 составлял величину примерно 1,23. При выбранном спо-
способе возбуждения колебания с четным продольным индексом П. не воз-
возбуждались.
Рассмотренная модель ОКЦР представляется перспективной для
различных применений в технике миллиметровых и субмиллиметро—
вых волн при создании эталонов частоты, стабилизирующих резона-
резонаторов и фильтров в тракте круглого волновода с волною Н и т.п.
волноводных, лучеводных и световодных структурах. По сравнению
с известными конструкциями рассмотренный здесь ОКЦР обладает
рядом преимуществ. Так, по отношению к ОКЦР с прямолинейными
образующими (§ 2.3) исследованный резонатор обладает большей доб-
добротностью (меньшими дифракционными потерями), гораздо менее кри-
критичен к смешению зеркал друг относительно друга. По сравнению с
ОКЦР с бочкообразным внешним зеркалом (§ 2.4) настоящий вариант
резонатора существенно более технологичен и прост в изготовлении.
В заключение отметим, что теория связанных ОКЦР (рис. В.6)
может быть построена на основе приближенной теории по образу и
124
подобию теории, развитой в Е2391 для резонаторов, дифракционно
связанных через участок запредельного волновода (ср. С 257, 2621).
Изменение формы волновода в запредельной области нетрудно учесть
в рамках, например, метода поперечных сечений С691.
§ 2.6. ОКЦР перестраиваемого типа
Схематически ОКЦР механически перестраиваемых по частоте ти-
типов показаны на рис. В.З, е — 3 и на рис. 2.15. В принципиальном
отношении схема, показанная на рис. В.З.е и 2.15, а, идентична
схеме, показанной на рис. В.З,ж и 2.15, б. Однако вторая из этих
схем представляется предпочтительной, по крайней мере для резо-
резонансной системы проходного типа, по следующим причинам. Во-пер-
Во-первых, здесь более проста схема возбуждения резонатора через от-
отверстия в неподвижном зеркале 1. Во-вторых, добротность рабочего
типа колебания определяется омическими потерями в зеркалах, т.е.,
по существу, площадью зеркал, ограниченных каустиками. Из рис. 2.15
видно, что "освещенная" площадь в схеме рис. 2.15, б меньше, так
как на большее зеркало 2 попадает сфокусированный пучок волн. При-
Причем, подбирая соответствующее отношение ^= 2l!/R, можно (оста-
(оставаясь в пределах зоны устойчивости резонатора }^ 1; ср.
С 921) подобрать оптимальное соотношение размеров резонатора для
достижения минимальных омических потерь. Кроме того, зеркало 1 в
конструкции рис. 2.15, б проше в изготовлении.
С точки зрения использования структур перестраиваемых ОКЦР
в дифракционной электронике соображения несколько иные. Выбор схе-
схемы здесь определяется целым набором факторов. Например, способов
возбуждения открытых резонаторов электронным потоком может быть
несколько: либо в обеих структурах цилиндрический поток проходит
внутри волновода 3 (разумеется, при этом дифракционная решетка
должна состоять из поперечных щелей), либо кольцевой поток — у ко-
конических зеркал 2 С215И. В зависимости от способа возбуждения
выбирается конструкция и способ вывода энергии: волноводный или
квазиоптический (дифракционный). Например, в работе L73] в качест-
качестве устройства возбуждения в перестраиваемом ОКЦР 4—миллиметро-
4—миллиметрового диапазона с внешним фокусирующим зеркалом (рис. 2,15, CL )
применена (см. рис. 2.16) коаксиальная линия 1 с волной Н , пе-
переходящая в радиальную линию 2 . В этой схеме возможны связанные
колебания ОКЦР с конечным отрезком радиальной линии.
Изменение резонансной частоты может производиться как плавно,
за счет непрерывного изменения ? при смещении одного из зеркал
резонатора относительно другого зеркала вдоль их обшей оси А z
(рис. 2.17,0.), так и дискретно, за счет перехода к другому значе-
значению поперечного индекса cj,. Плавность перестройки частоты в режи-
режиме непрерывного ее изменения определяется углом б конусности зер-
зеркал 1 и 2 .
При анализе добротных колебаний в МЦР—режиме естественно рас-
рассмотреть случай малых в,так как плавность перестройки частоты
является несомненным достоинством прибора (волномера, Фильтра и
125
Рис. 2.15. Основные схемы перестраиваемых ОКЦР, реализуемых на
основе ОКЦР с фокусирующими зеркалами: для схемы й. прототипом
является ОКЦР, показанный на рис. В.ЗД, для схемы б - структу-
структура, показанная на рис. B.3,tf; i - фокусирующее зеркало, 2 - под-
подвижное коническое зеркало, 3 - волновод, k - щели.
Рис. 2.16. Вид конического зеркала в перестраиваемом ОКЦР по
схеме рис. 2.15, й. с внешним фокусирующим зеркалом; L — коак-
коаксиальная линия с волной Н. по которой подается питание к отрез-
отрезку радиальной линии 2, осуществляющей возбуждение резонатора.
др.). Высказанные соображения позволяют при построении теории в
качестве "базовой" конструкции воспользоваться моделью биконичес—
кого рупора (рис. 2.17,6') с плавно нерегулярным участком поверх-
поверхности (рис. 2.17, $ ) /. При этом, кроме малости угла 6,, необходи-
необходимо обеспечить малость угла оС (между образующей внешнего зеркала
/ Нижеследующий вывод был проделан автором совместно с
И.М. Российским (см. СП, с. 1794).
126
Рис. 2.17. К расчету перестраиваемого ОКЦР: ц - исходная схема
ОКЦПР, б - регулярный биконический рупор (конусы имеют общую
вершину А1В) ). $> - расчетная модель в виде слабонерегулярного
биконического рупора.
и касательной к образующей внутреннего зеркала; рис. 2.17, а). При
переходе к модели рис. 2.17, -ё необходимо удовлетворить условию
л
"R /V. « 1, которое в реальных резонаторах обычно выполняется.
Li
Ограничимся приближением одного резонансного члена и воспользуем-
воспользуемся потенциалами Дебая и (^,6,1?) для биконического рупо-
T7T.S
ра в сферической системе координат R, 8, ф A.5.2) [171, 2161.
Собственные числа -) регулярного биконического волновода удов-
удовлетворяют дисперсионным уравнениям A.5.3) и A.5.4). Их иссле-
исследование проводилось в § 1.5 и в общем случае приводит к необходи-
необходимости численного решения уравнений A.5.3) и A.5.4). В нашем
случае перестраиваемого ОКЦР |-j|»1n, -i) » 1, и, стало быть,
можно воспользоваться асимптотическими представлениями присоеди-
присоединенных функций Лежандра и их производных L1901. Принимая
во внимание условие
127
вместо A.5.3) и A.5.4) получим упрощенные дисперсионные урав-
уравнения: для Е-волн
и для Н-волн бнконического волновода
где 9. = (.Нуа)&., j = 1, 2 и штрихи в B.6.2) обозначают
производную по 9 .
Принимая во внимание формулы A.1.9) и A.1.10), для корней
уравнений A) и B) получим следующий результат:
(.2.6.1)
B.6Л)
где Ц = 91/бг. При предположении li /Л L«l, означающем пренебре-
пренебрежение влиянием относительной конусности зеркал на продольное рас—
я ]
_г
__ - ,/ — ——г*—"¦-
пределение поля в резонаторе, дляГэс (Z) получим
12.6.5)
и уравнение неоднородной струны B.4.1) будет теперь иметь вид
.2
B.6.6)
Vs
г, определено ниже, см. текст после формулы (9).
Уравнение F) имеет точное решение, выраженное через функции
Уиттекера М , „(?)¦
Мг)=-р- lei
i тГг L 1
B-. 6.7)
V О
где С= • Полученное решение G) можно переписать, заменив
г{
функции Уиттекера М (.^) через вырожденные гипергеоме —
трические функции, и тогда вместо G) получим
Г
-)=Vc е
-сг/1
•'2'
B.6.8)
128
Аналогично можно написать, для f.(Z) выражение через полиномы
Эрмита Hfttfl:
где
П!
«s
2
0 -С *
где через А обозначена величина линейного уменьшения сечения
волновода в точках Ъ= + Ъ,. Можно показать,что -6/Ас. = B.п+1)А ,
1Т.= О, 1, 2 Т1+ 1 =?}, - значение продольного индекса колеба-
колебаний.
Теперь с учетом E) и (9) собственные функции перестраиваемого
СКЦР (рис. 2.17,1) при S»m, fy.,= О, 1, 2,... будут иметь вид:
колебания Е
t
колебания Н
B.6.10")
¦msq.
on
^ J-H;^- -
B.6.11)
Условие существования колебаний в перестраиваемом ОКЦР из
отрезка волновода имеет вид
где ^ обозначает сумму фаз коэффициента отражения волны от кри-
критического сечения. Для Н-волн if = Ji/^i, а для Е-волн ф = -Я/А.
9. 966 1 29
Таким образом, для колебаний Н условие имеет вид
Требование слабой нерегулярности есть близость 1.эффициента конфо-
кальности ^ = 2 ?/4. к нулю. При этом положили, и форма каусти-
каустики и критического сечения практически совпала] ;\ Вычисляя интег-
интеграл от h[t) и учитывая, что в критическом сечении 2(?-A')=Sl, a
Z = 2хпй. =Т,0B-?-Л&), для резонансной частоты получим, фор-
формулу
i ГГ
(.2.6.12)
Таким образом, мы фактически вновь пришли к полученному вы-
выше результату B.5.3).
§ 2.7. Селекция типов колебаний в (ЖЦР
с внутренним коническим зеркалом
1. Постановка задачи. Одномодовый режим. Уже при рассмотрении
спектра собственных волн регулярного коаксиального волновода (§ 1.1)
мы отметили свойство разрежения спектра электрических и маг-
магнитных волн в коаксиале (по сравнению со спектром волн кругового
цилиндра; рис. 1.1 - 1.3, 1.5, 1.7). Здесь мы покажем, следуя ра-
работам [66, 671, что, используя различную форму образующих внут-
внутреннего и внешнего зеркал (ЖЦР, можно достичь эффективной разре-
разреженности спектра его резонансных частот / . Существенной особен-
особенностью (ЖЦР является различие в характерах взаимодействия волно-
волновых потоков (лучей), образующих поля разных типов колебаний и волн,
с поверхностью внешнего и внутреннего цилиндров. В частности, при
большом зазоре между этими поверхностями для одних типов - п р о с т-
ранственных - лучи отражаются от обеих поверхностей, а. для
других - колебаний щепчушей галереи - только от внешней
поверхности. Используя различие во взаимодействии лучей С поверх-
поверхностями, можно обеспечить условия, когда результирующее действие
стенок на лучи будет удерживающим лишь для небольшой группы ти-
типов, а лучи, образующие остальные типы, будут эффективно выводиться
из резонатора. Например, если радиус стержня близок к радиусу ка-
каустики волны с S = 2, то подбором профиля можно как увеличить,
так и понизить добротность этого типа, не изменяя добротности ко-
колебания с & = 1.
ч
130
См. также СЮ, 269].
Поясним этот метод селекции мод, используя уравнение неодно-
неоднородной струны С67], которое, представив внутренний и внешний ра-
радиусы резонатора в виде
^S(Z) = ? i-<f$(Z), B.7.1)
B.7.2)
удобно записать следующим образом:
I i
где
i Эй
Колебаниям (ЖЦР с близкими значениями эе0 (близкими частота-
ми) соответствуют, вообше говоря, разные значения производных
Эзе.п/Эй. и Зэе.л/Э'б, разные функции иД?,) и, следовательно, раз-
ные структуры поля и разные добротности колебаний. В этом отно-
отношении (ЖЦР существенно отличаются от открытых цилиндрических ре-
резонаторов, у которых поля колебаний с близкими частотами огчсы-
ваются близкими уравнениями. При расчетах целесообразно иметь в
виду, что каждому колебанию коаксиального резонатора можно поста-
поставить в соответствие имеющий ту же добротность и частоту тип ко-
колебаний полого резонатора с профилем С673:
йэе . etc
a2 at,
SO
ota
B.7.3)
l Ъ
где С = = — . Примером может служить эволюция близких по
частоте колебаний Н и Н резонатора, у которого внешняя стен-
стенка образована сопряжением цилиндрической и конических поверхностей
при введении в него конического стержня, сужающегося к выходу
резонатора С66]. Как видно из рис. 2.18, при некоторых отношениях
радиуса резонатора к среднему радиусу конического стержня доброт-
добротности колебаний Н и Н могут существенно отличаться друг от
друга. * u
Эксперименты, проведенные в диапазоне сантиметровых волн с
несколькими коаксиальными резонаторами описанного типа, подтверж-
подтверждают предсказания теории С 661.
Определенные возможности в смысле дополнительного разрежения
спектра (ЖЦР открываются при использовании колебаний с низшими
азимутальными'индексами С 67]. В только что рассмотренном случае
применения волн шепчущей галереи с радиальным индексом S = 1 и
большим значением азимутального индекса ( тп » 1) была показана
возможность увеличения интервала й со между соседними частотами
131
J
г
i
I
\
\
/
/
\
Рис. 2.18. Добротности
цвух конкурирующих моа
в ОКЦР в зависимости от
отношения радиусов коак-
сиала в слабонерегуляр-
слабонерегулярном волноводе.
Приведенные формулы для коэффициента отражения E) и доброт-
добротности & D) позволяют определить добротность ОКЦР (схема
рис. В.2,а. ). При этом добротности колебаний с ta = 1 будут су-
существенно выше, чем добротности других колебаний, а спектр коле-
колебаний с ТП= 1 будет реже, чем у колебаний с тп ф 1.
Отметим, что определенные возможности по повышению селектив-
селективных свойств ОКЦР в виде отрезка слабонерегулярного волновода с
коаксиальной конической вставкой представляет использование ази-
азимутальной гофрировки внешней поверхности Сбв}. Профиль внешней
стенки и коаксиального конического стержня подбираются так, чтобы
60. до величины Дсо~сОп /тп. На возможность дальнейшего увели-
увеличь л
чения селективных свойств ОКЦР указано в упоминавшейся работе
П67], где показано, что для tn= 1 и Ь» 1 интервал Д со можно
увеличить в 31 раз. Схема рассуждений в С 67] следующая. Пусть име-
имеется ОКЦР на основе волновода с медленно меняющимися по длине
параметрами; резонатор образован пространством между двумя неод-
нородностями, имеющими коэффициенты отражения R. , 1 = 1,2, для
рабочего типа волны. Тогда добротность такого ОКЦР будет опре-
определяться так [67]:
12.7.М
где L»X есть длина резонатора, т.е. расстояние между критичес-
критическими сечениями.
Рассмотрим ОКЦР по схеме рис. В.2,Л. Коэффициент отражения
волн Н, коаксиального волновода от стыка его с цилиндрическим при
условии L/A*»! может быть представлен в виде
Л
(.2.7.5)
где
t_ =
21)
при m^i, X. -1.
Из E) видно, что в области минимального "Ц коэффициент отра-
жения волн с ТП= 1 выше, чем у волн с ТП= О и ТП= 2, поскольку
для них
t
1. Представление коэффициента отражения в форме
E) возможно, если длина резонатора L удовлетворяет условию [67]:
Si L Я
< — <
« П7
12.7.6")
2S
Рис. 2.19. ОКЦР на основе двух
эквидистантных поверхностей С53].
132
волны шепчушей галереи и объемные типы волн обладали большими
дифракционными потерями. Азимутальная гофрировка связывает одну
из мод шепчушей галереи с одной из объемных волн таким образом,
что поле связанной волны удерживается в ОКЦР и ее добротность
резко увеличивается (ср. L993).
На интересную возможность создания одномодовых открытых ре-
резонаторов указали авторы работы С 531. ОКЦР создается за счет
вращения двух эквидистантных кривых вокруг обшей оси 'Z. При этом
образуется цилиндрический резонатор, плавно сопряженный с двумя
коаксиальными конусами (рис. 2.19). Подбором параметров можно,
как утверждают авторы [531, получить одно рабочее колебание. Важ-
Важной представляется оценка степени неэквидистантности образующих.
Она оказывается порядка длины волны. И если этого недостаточно
для светового диапазона (см. С 921, с. 137), то в миллиметровом
диапазоне изготовление зеркал выполняется с точностью, существен-
существенно превышающей длину волны. К сожалению, насколько нам извест-
известно, работа С 531 не получила своего развития.
2. Возбуждение ОКЦР электронными потоками. Переход к коак-
коаксиальной конструкции приборов, резонансная система которых осно-
основана на ОКЦР, приводит к необходимости анализа режима возбужде-
возбуждения. К сожалению, ограниченный объем книги и ее направленность
на исследование электродинамических характеристик не позволяют
хоть сколько-нибудь подробно осветить этот интересный вопрос. Поэ-
Поэтому мы здесь приведем без вывода результаты работ С 67, 68, 150],
в которых такие расчеты были проделаны. Однако в этом направле-
направлении предстоит еше много сделать, например, провести учет влияния
133
-I
\
V
1
ill
II
41
7
?
\
\
\
\
\
-0,5
1
/
-о,з
ч
S=0,0
+0,6
-5 -3 -I 0 I t
Рис. 2.20. Коэффициенты возбуждения различных типов колебаний в
(ЖЦР, возбуждаемом потоком электронов, движущихся по винтовым
траекториям. Возле кривых приведены значения параметра $ =
— 4 "К
rttz чЛ|'($е Д Аргумент t=(m-n-'H)[(m-n)/2] 7, где ft-
m
номер гармоники циклотронной частоты.
V
1
JPo
Рис. 2.21. Зависимость нормирован-
нормированных пускового тока J/Jn (кривая 1)
и его плотности
коаксиального оротрона (рис.В.3, а)
от ширины внутреннего канала в
часгопериоаическои решетке (рис.
В.7, & ), являющейся внутренним зер-
зеркалом оротрона. Толщина стенки по-
потока равна К 0% 0,19.
i
пространственного заряда [217, 218] и многое другое, и к этим
вопросам мы намерены обратиться в будущем.
Приведенные в [673 расчеты по возбуждению (ЖЦР потоком
электронов, движущихся по винтовым траекториям, показывают, что
подбором радиуса электронного потока можно в несколько раз повы-
повысить пусковые токи паразитных типов колебаний, собственные ре-
резонансные частоты которых близки к частоте рабочего типа колеба-
колебаний (рис. 2.20).
Аналогично и для ГДИ-режима в [621 получено, что пусковой
ток для первой паразитной азимутальной гармоники вдвое больше пус-
134
кового тока рабочего типа колебаний. Более подробные исследования
процесса возбуждения коаксиального оротрона по схеме рис. В.14, О,,
но с заменой стержня - зеркала 1 - на кольцевую частопериодичес-
кую решетку (рис. В.7, а.) с внутренним каналом диаметра 2о.,были
проведены в работах С150, 1513. Один из результатов представлен
на рис. 2.21. Возбуждение производилось полым электронным пото-
потоком. Величины с нулевыми индексами относятся к случаю сплошного
цилиндрического электронного потока. При этом коэффициент преобра-
преобразования дифракционного излучения в собственное колебание (ЖЦР
(пространство между зеркалами 1 и 2 на рис_. В.14, 0. ) будет зна-
значительно выше, чем в оротроне с плоской дифракционной решеткой
[150]. Применение решеток с малым внутренним каналом (порядка
периода решетки колец) приводит к величине пускового тока (сплош-
(сплошной электронный поток) в 15 - 20 раз более низкой, чем в оротро-
оротроне с плоской отражательной решеткой [15П.
§ 2.8. Расчет и оптимизация электронного КПД
коаксиального оротрона
1. Приближение заданного пеля. Высказанные во Введении (с. 21 -
25) соображения о характере взаимодействия электромагнитного по-
поля с электронным потоком в коаксиальном оротроне и результаты
С511 позволяют при первоначальном анализе свойств оротрона вос-
воспользоваться моделью неограниченно широкого потока в резонансных
приборах О-типа [79 - 811. Мы приведем в настоящем пункте ре-
результаты расчета электронного КПД из решения нелинейного уравне-
уравнения движения в приближении заданного поля открытого резонато-
резонатора [811. В отличие от Г 811 пренебрежем влиянием пространственного
заряда, но учтем распределение высокочастотного поля вдоль прост-
пространства взаимодействия (ср. [260]):
B.8.1)
где F - нормированная амплитуда поля. Здесь Jb = Ц/и , d.
? = (U.-V )/V - параметр расстройки, U - напряжение пучка, "Ц-
V - скорости движения пучка и волны, & — нормированная эффектив-
ная длина пространства взаимодействия. Для набора параметров е =
= 0,144, й= 0,00063, ?= 45,1 и F= 0,019 решение нелинейно-
нелинейного уравнения приводит к следующему значению электронного КПД:
12е=0Л B.8.21
При этом длина пространства взаимодействия порядка се;«д длин за-
замедленных волн. Следует отметить, что указанная величина КПД мо—
135
жет быть увеличена /. Ниже мы рассмотрим такую возможность
С 2581, реализованную с привлечением идей машинной оптимизации
электронных приборов СВЧ С831.
2. Машинная оптимизация. Пусть электронный поток представляет-
представляется одномерной моделью без учета сил пространственного заряда, а
геометрия (ЖЦР неизменна (постоянна). Уравнение одномерного дви-
движения электрона в оротроне без учета пространственного заряда име-
имеет вид
*n
ат2
n
8 (Т) cos (и -*Т).
Здесь Un= Wt - ^е(Еп-фаза частицы в подвижной системе коорди-
координат, v — параметр расстройки, Те[0,Т.З С TQ = Jbe^• I - длина прост-
пространства взаимодействия), II (Т)- распределение синхронной с пучком
гармоники продольного электрического поля рабочего собственного
колебания коаксиального открытого резонатора.
Начальные условия к уравнению C) имеют вид
W
=0,
Т-0
где П= 1, 2,...,N; N- число крупных частиц, моделируюших пучок.
Электронный КПД ^ е выражается следующим образом:
-2
С2.8.5)
Функция (ЦТ) в соответствии с [83] была аппроксимирована так:
М
^CL^m, U.8.6)
где i - варьируемые параметры, а 11 (Т) - заданные функции, наи-
более целесообразный вид которых мы укажем ниже. Целевой функ-
функцией нашей задачи является электронный КПД 1? в конечной точке
пространства взаимодействия. С учетом соотношения F) целевая
функция E) будет, очевидно, функцией М+ 3 переменных:
V Как любезно сообщил автору В.К. Юлпатов, в расчетах, про-
проведенных в НИРФИ (г. Горький), при длине пространства взаимодей-
взаимодействия в шесть длин замедленных волн КПД был равен 33% (плоская
модель оротрона).
136
opt opt opt
Требуется найти Tfl , t , Л , обеспечивающие максимум
целевой функции. Для этой цели эффективными являются поисковые
градиентные методы с аналитическим (АУОметод) либо чис-
численным определением градиента ?831. На каждом шаге поисковой
процедуры производится решение системы дифференциальных уравне-
уравнений C) с соответствующими начальными условиями.
Задача оптимального синтеза (ЖЦР состоит в определении урав-
уравнения образующей фокусирующего зеркала, реализующего найденное
(ПТУ Полное решение такой трехмерной электродинамической зада-
задачи, во-первых, весьма затруднительно в вычислительном плане, а,
во-вторых, не всегда целесообразно, так как реальные условия опы-
опыта допускают введение некоторых упрощающих предположений. Пред-
Предположим, прежде всего, что кй » 1. Тогда в соответствии с под-
подходом, развитым в § 2.5, можно перейти к двумерному аналогу (ЖЦР.
Распределение собственного поля резонатора-аналога представимо в
виде суммы объемного поля и поверхностных волн, каждая из которых
может быть представлена в виде суммы пространственных гармоник.
Одна из них синхронизована с электронным потоком. Поверхност-
Поверхностные волны возбуждаются при взаимодействии объемного поля с диф-
дифракционной структурой; их амплитуды пропорциональны распределе-
распределению объемного поля в плоскости ?'или1" (рис. 2.14,6 ). Влияние
дифракционной структуры (частопериодической замедляющей решетки)
на объемную часть поля эквивалентно действию гладкой плоскости,
имеющей поверхностный импеданс «6,либо идеально проводящей плос-
плоскости, сдвинутой на величину &D (ср. B.2.16)):
1
Таким образом, мы приходим к задаче синтеза двумерного резона-
резонатора с идеально проводящими зеркалами по заданному полю
opl opt
-п (о. t.V=Q СП. 12.«.91
Введем эллиптические координаты по формулам
z=0L аЪг; со&^, * - Й. с,Ъ ^ sin *%. (.2.8.10")
В области прохождения пучка с достаточной степенью точности мож-
можно считать, что Е Ht,1)«E_(l;,T;Y Представим E_(^,i;") в виде
следующего разложения:
где ^ = koL ( Л- некоторый параметр, характеризующий выбранную
систему базисных функций),
тп-0,1,2,...;
137
Н_(Ж")- функции Эрмита, с - постоянные коэффициенты. Параметр
Л выбирается таким образом, чтобы koL»I, •?/2cL<<1. Соотноше-
ние A1) в интересующей нас области (&Л1 2;«1) удовлетворяет
параболическому уравнению и граничному условию на плоском
зеркале СЮ].
Для пространства взаимодействия можно записать, что
JjL
0L"
Учтем также, что
где h. - расстояние от электронного пучка до дифракционной струк-
структуры. Тогда из A1) видно, что в качестве заданной функции Ц> СТ)
следует взять
ъКу1 ht-y '2-81г'
Электрическое поле резонатора записывается следующим образом:
B.8.13)
<|»^(V27?)ci»[Teb?-(m+-)aK»ii.llh?))
M
B.8.1М
Здесь & — коэффициенты, определенные в процессе оптимизации элек-
тронного КПД tje, штрих означает дифференицирование (Jj (ос) по пол-
полному аргументу, Д1) определяется по формуле (8).
Выражения A3), A4) для полей являются основными в задаче
синтеза (ЖЦР. На образующей фокусирующего зеркала должно удов-
удовлетворяться условие Е =0. Будем искать профиль образующей ите-
итерационным методом. Так как Е-^Е-, в качестве первого
приближения следует взять уравнение
138
относительно ? на дискретном множестве опорных точек Ц ( р = 1,
2,... ,Р). Решая A5), получим значения 5п=17в(?»,)• Проводя да-
Р г г
лее интерполяцию между опорными точками, приходим к приближен-
приближенному уравнению образующей в эллиптических координатах ^7 = 1:? (i?").
При помощи формул A3), A4) построим Е. к найденной обраэую-
Ч
щей. После этого необходимо "уточнить" образующую, решая уравне-
уравнение (ср. A5))
Et&C?,^)-O. B.8.161
Описанный процесс следует повторять до тех пор, пока уравнения обра-
образующих на данной и предшествующей итерациях не совпадут с наперед
заданной точностью. Границы фокусирующего зеркала должны удовлет-
удовлетворять условиям образования каустик С ЮЗ, что приводит к оценке
При этом величины М и & должны быть подобраны так, чтобы выполня-
лось условие Ып 5t)<< !•
Полученная в результате описанной процедуры синтеза образующая
реализует заданное fl(T) с точностью до некоторого постоянного мно-
множителя. Его значение определяется связью (ЖЦР с нагрузкой.
Проведенные к настоящему времени численные расчеты дают сле-
следующую величину электронного КПД оротрона:
= 0,586.
B.8.18)
Указанное в A8) значение V) получено при следующих значениях
параметров: %~ 0,296; То = 53,145; А = 5,536 • 10~2; i =
= 0Д03-10; 1 =-0,125 -10; ft = -0,068 • 10 ; d. =
-2 -2
= 0,099-10 ; flt = -0,099- 10 . Профиль образующей фокуси-
фокусирующего зеркала при этом близок к эллиптическому.
Полученное значение КПД (~60%) является далеко не предель-
предельным, поскольку коаксиальный оротрон допускает варьирование маг-
магнитным полем вдоль пространства взаимодействия, что, несомненно,
будет способствовать увеличению КПД. Дальнейшее повышение КПД
A8) возможно получить подбором О ЛТ), введением скачка фазо-
фазовой скорости волны в пространстве взаимодействия, усложнением фор-
формы зеркал открытого коаксиального резонатора, подбором режима
и т.п.
Изложенная процедура расчета позволяет, в принципе, применить
ее к оротрону с "нефокусируюшими" зеркалами (см. § 3.1), что при-
приведет, в свою очередь, к существенному разрежению спектра гене-
генерируемых колебаний.
139
Глава 3
ОТКРЫТЫЕ КОАКСИАЛЬНЫЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ РЕЗОНАНСНЫЕ
СТРУКТУРЫ С "НЕФОКУСИРУЮЩИМИ" ЗЕРКАЛАМИ
Здесь мы очень коротко рассмотрим интересный класс ОКЦР, ос-
основанный на использовании свойств приповерхностных волн. В опре-
определенном отношении ОКЦР с "нефокусирующими" зеркалами является
конкурирующим с известными открытыми резонансными структурами
с дополнительным разрежением спектра резонансных колебаний (см.
[103, § 78). В свое время было отмечено, что "работа по созда-
созданию открытых резонаторов со все более редким спектром будет про-
продолжаться дальше в соответствии с практическими потребностями в
таких резонаторах, причем каких-либо ограничений принципиального
характера здесь пока не видно. Вопрос о практических ограничениях,
возникающих, например, при создании открытого резонатора с одним
достаточно добротным колебанием в широком интерва-
интервале частот, является более сложным, и на него в настоя-
настоящее время ответить нельзя" (СЮ], с. 435 - 436; курсив
мой. - Е.Н.). В настоящей главе будет показано, что ОКЦР с "не-
фокусирующими" зеркалами представляют дальнейшие широкие воз-
возможности по разрежению спектра в открытых резонансных и волнове-
дущих структурах.
В заключение мы обсудим некоторые дополнительные возможности
открытых резонаторов на основе моделей с "нефокусирующими" зер-
зеркалами, но использующих слабонерегулярные волноводы с односвяз-
ным поперечным сечением сложной формы. В таких структурах су-
существуют приповерхностные волны, а стало быть, на их основе' воз-
возможны открытые резонаторы с редким спектром.
§ 3.1. ОКЦР с "нефокусирующими" зеркалами
1. Теория. Схема ОКЦР с "нефокусирующими" зеркалами на фик-
фиксированную рабочую частоту показана на рис. В.3,-ё, а перестраивае-
перестраиваемого варианта - на рис. В.3,3 . ОКЦР этого класса могут быть объе-
объединены в периодические системы дифракционно связанных резонато-
резонаторов (рис. В.6, -6 ) или участвовать в соединениях с другими откры-
открытыми резонаторами (рис. В.6, г, 9). В §§ 1.1 и 1.2 было показано,
что принцип действия ОКЦР данного типа основан на свойстве волн
Н^коаксиального волновода почти нацело отражаться от критичес-
140
кого сечения (К= 0). Особенность ОКЦР с "нефокусирующими" зер-
зеркалами состоит в том, что критические сечения располагаются не в
сужающихся (как обычно принято) частях волновода, а в расширяю-
расширяющихся. При этом теория эффекта отражения квазисобственной волны
от критического сечения остается неизменной С69] (см. § 2.5). Поэ-
Поэтому, если выполнить внутренний проводник коаксиала не вогнутой
(фокусирующей), как обычно (рис. В.З, 6 ), а выпуклой бочкообраз-
бочкообразной (веретенообразной) формы (рис. В,3, 8), то при переходе от его
центральной части к краям критические длины волн Н^.будут умень-
уменьшаться, а критические длины всех остальных волноводных волн - уве-
увеличиваться. Это приведет к тому, что колебания Н окажутся з$-
пертыми критическими сечениями, а все остальные типы колебаний
будут хорошо излучаться в обе стороны от резонансной области.
Аномальное поведение критических частот Н волн в коаксиале
вызвано тем, что распределение их полей в поперечном сечении пред-
представляет собой совокупность полей прямоугольного волновода с вол-
волной Н, , изогнутого по широкой стенке (рис. 3.1). Простейший слу-
0 прямо\г коакс
чай преобразования Н ^= Н показан на рис. 3.1. Оче-
Очевидно, что по этой же самой схеме происходит преобразование
прятчоуг коакс
Н - «= Н , , где ftl= 2,... Отсюда становится ясной основ-
tnO mi
ная мысль: как критическая длина волны Н.. прямоугольного волново-
волновода определяется только (и только!) удвоенным размером широкой
.коакс
11
определяется только
стенки, так и критическая длина волны Н
(и только!) суммарной длиной окружностей, образующих коаксиал.
Это остается справедхшвым и для волн Н „прямоугольного и волн
tnD
Н коаксиального волноводов. По классификации, приведенной в § 1.2,
та
мы отнесли волны Н .к приповерхностным волнам. В силу
ttii
того, что критические длины приповерхностных волн определяются
.длиною границ, их спектр имеет эквидистантный характер L74, 182 -
1843.
Подчеркнем еще раз, что если внутренние (или объемные) коле-
колебания существуют при любом типе граничных условий, то пригранич-
приграничные - только (и только) при граничных условиях второго (9u./(JTi=
= О) или третьего ( ди/дп +1JU= О) рода [191].
Высказанные соображения позволили предположить возможность
реализации высокодобротных колебаний с очень редким спектром соб-
собственных частот в резонаторе с выпуклыми зеркалами (по сравне-
сравнению с ОКЦР с фокусирующими зеркалами). При этом, в отличие от
колебаний в так называемых неустойчивых резонаторах [92],
описанные здесь колебания являются устойчивыми.
Сравнение свойств приграничных колебаний и волн Н в коаксиа-
ле позволяет отнести последние к приграничным колебаниям. Волны
141
П., Рис. 3.1. Последовательное пре-
преобразование волны Н,_ прямо-
прямоугольного волновода @<^ в волну Ц
коаксиального волновода (.*) по-
постепенным изгибанием по широ-
широкой стенке F
'11
В)
Н сохраняют приграничный характер и в том случае, когда разме-
tni
ры поперечного сечения коаксиала порядка Я и даже меньше % (!).
Это дает возможность реализовать ОКЦР на основе схемы рнс. В.3,?
с одним рабочим типом колебаний в полосе частот в одну октаву.
Примером приграничных колебаний служат волны шепчущей
галереи С1921, которые являются коротковолновым вырождением
внутренних колебаний в колебания вдоль вогнутой границы. Интересно
отметить, что колебания шепчущей галереи могут удерживаться так-
также "открытой" границей, как, например, у дисковых резонансных струк-
структур (§ 4.6).
2. Эксперимент. Для подтверждения проведенных рассуждений был
сделан опыт с макетом ОКЦР (по схеме рис. В.З, -8 ) в диапазоне
Я = 8 - 9 мм с колебаниями типа Н , i = 1, 3, 5, 7. Возбужде-
Возбуждение производилось через систему узких продольных щелей (каждая
длиной 6 мм) во внутреннем зеркале. Размеры зеркал резонатора:
"О = 10,75 мм, 0.= 8,5 мм; радиус кривизны квадратичного "рас-
"рассеивающего" зеркала R = 1400 мм. В результате эксперимента было
установлено, что возбуждаются действительно колебания Н .Их доб-
ротность, определяемая только потерями в зеркалах, составляла вели-
величину порядка 6500; расположение критических сечений и измеренные
резонансные частоты удовлетворяют соотношениям, вытекающим из
высказанных выше физических соображений И182 - 1843.
Аналогичной дисперсионной аномалией обладают также магнитные
волны в биконических рупорах (§ 1.5). Это. позволяет реали-
реализовать на основе рассмотренного ОКЦР с рассеивающим зеркалом
перестраиваемый вариант такого резонатора. На основе перестраивае-
перестраиваемого резонатора строятся волномеры, анализаторы модового соста-
состава, фильтры и тому подобные устройства миллиметрового и субмил-
субмиллиметрового диапазонов.
Рассмотренный вариант принципиально нового типа открытых коак-
коаксиальных резонансных структур обладает интересными физическими
свойствами н открывает большие возможности для построения новых
технических устройств. Отметим еще раз важное свойство таких струк-
структур: исключительно редкий спектр собственных частот (ср. ЕЮ],с.
435 и далее).
3. Тороидальный открытый резонатор. Модель перестраиваемого
ОКЦР, показанная на рнс. В.З, 5 , позволяет осуществить последо-
142
а) 6) В)
Рис. 3.2. Переход от перестраиваемого варианта ОКЦР (Q,) к торо-
тороидальному открытому резонатору (.6, -б) (см. рис. B.3,g,9).
вательный переход к системе из двух тороидальных открытых резо-
резонаторов. Этот переход схематически показан на рис. 3.2. Увеличи-
Увеличивая угол 2 в раскрыва конической поверхности и одновременно угол
фиктивной конической поверхности, проходящей (в поперечном сече-
сечении) через точки пересечения критических сечений (показаны штри-
штриховыми линиями) с • поверхностью выпуклого зеркала, приходим к схе-
схеме б. По существу, это кольцеобразная поверхность над плоскостью.
Поскольку форма части этой поверхности, лежащая вне пределов ре-
резонансного объема (за критическими сечениями), не играет роли,
можно аппроксимировать ее окружностью достаточно большого радиу-
радиуса (штрихпунктирные кривые на схеме б). И, наконец, отражая по-
получившийся тороид в идеальном зеркале А, придем к открытому то-
тороидальному резонатору [1833. Анализ его свойств может быть вы-
выполнен классическим методом разделения переменных, раз-
разработанным для системы из двух тел [893. Фундаментальные реше-
решения волнового уравнения в тороидальных координатах известны [36,
37, 2193.
4. ОКЦР на основе коаксиального эллиптического волновода. Рас-
Рассмотренные в § 1.4 свойства регулярного коаксиального эллиптичес-
эллиптического волновода привели к выводу, что в нем существуют два класса
волн типа Н ' , которые могут быть использованы для создания
ОКЦР с "нефокусирующими" зеркалами С 871. Резонаторы на эллипти-
эллиптическом волноводе обладают полезным свойством фиксации поляри-
поляризации поля рабочего типа колебания. Имеются и некоторые другие
положительные качества, присущие эллиптическому волноводу, напри-
например меньшие потерн, большая широкополосность и др.
143
§ 3.2. Приграничные волны в структурах
с односвязным поперечным сечением
Простейшим представителем класса приграничных волн для волно-
волновода с односвязным поперечным сечением, как мы видели, является
волна Н прямоугольного волновода. В высокочастотной электроди-
электродинамике широко используются волноведущие структуры со сложной фор-
формой поперечного сечения. Примерами этому служат П-, Ш-, Н-об—
разные волноводы, а также волноводы крестообразного и других форм
поперечного сечения. При этом стремятся, в основном, увеличить кри-
критическую длину волны, сохранив минимально возможные поперечные
размеры волновода, т.е. габариты тракта, например, по сравнению с
прямоугольным волноводом, -работающим на волне Н . Таким обра-
образом, речь идет об использовании в этих структурах приграничных
колебаний.
Исследования поведения магнитных волн в волноведупшх структу-
структурах со сложной формой поперечного сечения (см., например, L 99,
220, 2761) показали, что в таких структурах также возможно вы-
выделение отдельных магнитных волн и даже целых групп собственных
волн магнитного типа, имеющих нужную зависимость поперечного соб-
собственного числа от относительных размеров сечения. Для примера
на рис. 3.3,0, показан ход зависимости поперечного волнового числа
&С от размеров креста П 185, 2203. Необходимое уменьшение 9t с '
ростом длины периметра поперечного сечения имеет место для волн
типа Н , Н , Н [2203. Однако, по—видимому, наиболее пригод-
пригодными для использования являются волны типа Н .
Весьма интересны картины полей Н и Н в крестообразном
волноводе С 2201. При уменьшении степени "крестообразности" волно-
волновод превращается в квадратный, и обе эти волны переходят в стан-
стандартную волну квадратного волновода. Как видно из приведенного
рис. 3.3,й, , даже незначительное отклонение от квадратной формы
(наличие малых выступов в углах квадрата) приводит к образованию
новой волны, структура которой напоминает картину поля волны Н
круглого волновода. Эта волна с квазикруговой поляризацией электри-
электрического поля относится к приповерхностным волнам, имеет эквиди-
эквидистантный спектр и может быть использована для создания ОКЦР с
"нефокусирующим" зеркалом на волноводе с односвязным поперечным
сечением. Для анализа волноводов с поперечным сечением сложной
формы недавно был предложен и обоснован эффективный' вычислитель-
вычислительный алгоритм С2213.
На рис. 3.3,Б показан участок слабонерегулярного волновода
крестообразного сечения, позволяющий реализовать открытый резона-
резонатор за счет отражения от критических сечений в расширяющихся участ-
участках волновода. Аналогичный эффект можно получить в структуре на
основе круглого волновода с дополнительными прямоугольными сек-
секциями (рис. 3.3, I ), которые могут быть заполнены диэлектриком.
144
О 0,2 0,4 а/Ь
a) S)
Рис. 3.3. Открытые резонаторы с "нефокусирующими" зеркалами на
основе волноводов с односвязными поперечными сечениями; & - по-
поперечные собственные числа нескольких волн магнитного типа кресто-
крестообразного волновода, дисперсионные характеристики которых имеют
необходимые спадающие участки; б - пример открытого резонатора
на крестообразном волноводе; $ - поперечное сечение круглого вол-
волновода с прямоугольными секциями, на основе которого возможно осу-
осуществление открытого резонатора по принципу схемы В.
В частности, резонатор на данном принципе может быть построен на
основе газово-диэлектрического волновода С99, с. 683.
В электронике СВЧ в последние годы уделяется большое внима-
внимание дифракционно связанным системам открытых резонаторов (см.
§ В.2). С их помощью реализуются идеи повышения КПД в приборах
с одно- или многократным скачком размеров пространства взаимодей-
взаимодействия, узкополосные резонансные структуры из набора коротких от-
открытых резонаторов для МЦР-приборов; они используются в резонанс-
резонансных элементах приборов с использованием дифракционного излучения
релятивистского поливинтового электронного потока С99, 1521 и т.п.
Во всех этих случаях рассмотренные здесь типы резонаторов могут
оказаться весьма полезными. Существенными при этом являются два
обстоятельства. Прежде всего, редкий спектр собственных частот ре-
резонатора. И, во-вторых, отсутствие узких "горловин" в периодичес-
периодической структуре, которые неизбежно имеются в резонансных системах,
построенных с использованием резонаторов с фокусирующими зерка-
зеркалами. Вблизи такой "горловины" электронный поток может эффектив-
эффективно взаимодействовать с полями паразитных колебаний, что приведет,
естественно, к засорению выходного спектра паразитными излучениями.
Рассмотренный здесь широкий класс открытых резонансных струк-
структур С 185 3 обладает интересными физическими свойствами. Они мо-
могут найти разнообразное применение как в "традиционных" СВЧ диа-
диапазонах, так и в области миллиметровых и субмиллиметровых коле-
колебаний электромагнитного спектра.
В заключение отметим, что аналогичные явления, возможно, име-
имеют место при распространении акустических возмущений в ка-
каналах переменного (по длине) поперечного сечения, например в соп-
соплах двигателей, воздухозаборниках и т.п. L2223. Применение электро-
10 966 145 *
динамических аналогий оказалось весьма плодотворным при анализе,
например, винтовых истоков, протекающих в каналах переменного се-
сечения С 223]. Рассмотрение процесса распространения пространствен-
пространственных акустических возмущений с учетом движения жидкости или газа
показало, что точки поворота (критические сечения) для квазинормаль-
квазинормальных волн волновода (канала) имеют место как для волн, распростра-
распространяющихся против потока, так и по нему (вверх и вниз по потоку)
[2223. Таким образом, учет потока приводит (даже в рамках гео-
геометрической акустики С2223 ) к возможности образования
акустического резонатора между двумя точками поворота.
Данное обстоятельство представляется весьма существенным и
имеющим фундаментальное значение для теории и практики к а в и т а -
ционных явлений в потоках жидкости. Если физика образования
каверны в сужающемся канале хорошо укладывалась в рамки электро-
электрогидродинамических аналогий (ср. [251, 2523), то для расширяюще-
расширяющегося канала это явление не было очевидным. Опираясь на развитую
здесь теорию приповерхностных волн, нетрудно построить полную тео-
теорию образования кавитадионных полостей в неоднородных каналах'.
Разумеется, лее сказанное относится к каналам с медленно меняю-
меняющимися по длине параметрами1.
Глава 4
ОТКРЫТЫЕ КОАКСИАЛЬНЫЕ ДИСКОВЫЕ
РЕЗОНАНСНЫЕ СТРУКТУРЫ
Прообразом рассматриваемых в этой заключительной главе откры-
открытых резонансных структур является открытый дисковый резо-
резонатор (рис. В.1, -6 ). Существует и интенсивно используется большое
число таких резонансных устройств, как одиночных, так и объединен-
объединенных в дифракционно связанные системы. Вновь, как и в ОКЦР, резо-
резонансные устройства дискового типа могут быть объединены в два
класса приборов - с плоскими и фокусирующими зеркалами. При оп-
определенных условиях (они будут ниже оговорены) эти классы устройств
исследуются едиными для каждого класса методами.
Мы начинаем с открытого коаксиального дискового резонатора
(ОКДР) кольцевого типа (рис. В.4,0.).
§ 4.1. ОКДР кольцевого типа
1. Постановка задачи. Модель. Характеристическое уравнение.
Пусть кольцевой открытый резонатор (рис. В.1,6) образован дву-
мя одинаковыми идеально проводящими кольцами, расположенными
друг против друга на расстоянии 2-J. Кольца имеют нулевую толщи-
толщину, внутренний радиус п. и внешний %. Для анализа добротных коле-
колебаний воспользуемся цилиндрической системой координат Т, ф, 2, ось
7. которой совместим с осью симметрии кольцевого резонатора.
Основу настоящего и последующих выводов составляет следую-
следующее предположение. Допустим, что электромагнитное поле в рассмат-
рассматриваемой системе создается некоторым осевым линейным током. Тог-
Тогда от оси Z к краю структуры будет распространяться цилиндричес-
цилиндрическая волна. Естественно предположить, что отражение этой цилиндри-
цилиндрической волны от края (в каждой его точке) происходит с тем же
коэффициентом отражения, что и в случае, когда на прямолинейный
конец плоского волновода набегает изнутри плоская волна.
Составляющие электромагнитного поля в резонаторе запишем так
[99, 224]:
m г, к „I. Л Гьгп! (шл.
— ?T.('Wt")+— и vU"t) C0s(tn<Pn Г ' e'^l
.w-a a к С J l_cosj \2ь
f47
, ..cos
i cos (mis)
2tn
,-sit.J V2-LZ)'
jto \
2t T
cos
2w
Первая строка в написанных выражениях относится к (J, = 2, 4
вторая - к 0^= 1, 3,... В формулах A) использованы следующие
обозначения:
2w
В формулу B) введены обозначения
si-n
- k
a R означает ? или Ъ ,
- ра-
раR - соответственно С или D ,
диальное волновое число, k- поперечная постоянная распространения
волны в двумерном, (без осевой симметрии) аналоге рассматривае-
рассматриваемой структуры. Выражения A) удовлетворяют идеальным граничным
условиям при |Z|=V, 46@.,¦&) и условию периодичности решения
по азимутальной координате ф. Строго говоря, в A) записан, по
существу, первый член разложения поля в ряд по отношению длины
волны к радиусу края зеркала С225]. Для подавляющего большинст-
большинства ОКДР это условие выполняется с большим запасом "прочности".
Перепишем формулы A), полагая К/к~1, что равносильно отбра-
Потребуем, чтобы введенные таким образом радиальные функции
Ф [?} удовлетворяли импедансным граничным условиям
резонансного типа:
'Е Е ' »Н Н
при =0.,
Ф = —
н v
н w
В формулах D)
о
сыванию составляющих поля, пропорциональных (lih/k ) (по сравне-
сравнению с 1d/k), и воспользуемся следующими функциональными соотно-
соотношениями из теории бесселевых функций (см. Добавление 1):
2т
9
U.i.S)
Собственные (комплексные) частоты колебаний кольцевого ОКДР
определяются следующим образом:
Окончательный результат таков:
fain
Удовлетворяя для радиальных функций Ф ivx) из C) гранич-
ным условиям D), придем к дисперсионному уравнению
Е 11,1»,*)—
и
где dLet||ot(.W)|| - определитель четвертого порядка относительно
14?
148
волнового числа к Ы = V*, К = 3*<f, if
* ( '*/ = *• 2* 3> 4)
), элементы которого
Коэффициенты (t^ в каждой строке йе*||оЦй)|| из (8) соответству-
соответствуют такому порядку амплитуд: С, D, С^ Т^. В формуле (8) использо-
ваны следуюише обозначения:
где ft^^ обозначает
или
- соответственно
Таким образом, задача о собственных колебаниях колъпевого (ЖДР
сведена к отысканию комплексных корней Я трансцендентного урав-
нения G).
150
2. Приближенное исследование характеристического уравнения.
Уравнение G) позволяет определить комплексные собственные чнс-
ла
t
tun
+ 1ж" как функции параметров резонатора и длины
волны. В качестве нулевого приближения к решению уравнения
удобно взять выражение
подобное приближенной формуле для Jt для дискового открытого ре-
ретин
зонатора (И* О) [224].В (Э)М- большой параметр:
М-4т/2k/C
а 9€ - корни дисперсионных уравнений A.1.4) и A.1.5) для
электрических (для магнитных Йт11 ) волн коаксиального волново-
волновода с идеальными граничными условиями. Их анализ содержится в § 1.1.
Соотношения (9) могут быть использованы и непосредственно,
когда |&|<* 1 и априори ясно, что х"/н'<? 1. Учитывая малость
мнимой части К, можно избавиться в соотношениях G) и (8) от
комплексного аргумента у цилиндрических функций, разложив их в
ряд по малому параметру 3{". После этого в системе G) разделяют-
разделяются мнимая и вещественная части, что упрощает проведение вычисле-
вычислений.
Соотношения (9) и результаты гл. 1 позволяют опенить влияние
внутреннего отверстия радиуса Д. на зеркале резонатора для различ-
различных типов колебаний тп+ 1, П.. В рамках приближения (9) отноше-
отношения добротностей колебаний дискового и кольпевого ОР, "прообраза-
"прообразами" собственных функций которых являются собственные волны со-
соответственно цилиндрического кругового и коаксиального волноводов, .
могут быть представлены следующим образом:
,2.
ч-
к
й
цилиндр\2
цилиндр
коакс
a
^ каакс
Здесь тильдой помечены Н-колебания (at - корни уравнения
A.1.5)). Приведенные отношения добротностей не зависят, как вид-
видно из A0), от продольного индекса колебаний ty, так как они яв-
являются отношениями добротностей при одинаковом q,. Результаты
расчетов по формулам A0) иллюстрируются на рис. 4.1. Сплошными
кривыми показаны величины ^ и if для различных колебаний тп+ 1,
151
О 0,4 0,8 А 0,4 Qfi А
Рис. 4.1. Отношения добротностей дискового и кольцевого открытых
резонаторов для электрических (СО и магнитных (()) колебаний в за-
зависимости от величины Л .
П, штрихпунктирной линией - предельные значения Т^ и ц (одинако-
(одинаковые, разумеется, для TJ и fjf ), к которым они стремятся при увели-
увеличении т. По существу, в формулах A0) определяющим (при не очень
малых (f ) является множитель A — (f ) , который определяет пре-
предельные значения отношений 1J и tj . Следует иметь в виду, что фор-
формулы B) справедливы при М » 1. Главный в A0) множитель
о
A — if) соответствует различным значениям большого параметра
М для обоих резонаторов.
Если параметр М сохранять одинаковым для обоих резонаторов,
то отношения их добротностей ^ и | будут определяться квадратом
отношения соответствующих собственных чисел 'it и И . Резуль-
J _ nrn tnn
таты расчета отношений^ и^ для ti= 1, 2 представлены на рис. 4.2.
Цифры у кривых означают тп± 1. Сплошные кривые относятся к ра-
радиальному индексу П= 1, пунктирные -кТ1= 2. Точками нанесены
зависимости Т[ = 12 (.5") для П= 2. Эти кривые начинаются при ^ = 1,
имеют максимумы ("Ч > 1) и стремятся к нулю в нижней части ри-
рисунка, фактически повторяя ход зависимостей '^ = '^(.(У') при "ij < 1.
С увеличением азимутального индекса Тп различие между колебаниями
152
Рис. '4.2. Зависимость отношения
добротностей дискового и кольце-
кольцевого открытых резонаторов от ве-
величины Д при одинаковых значе-
значениях большого параметра М для
обоих резонаторов.
\7
Рис. 4.3. Дисковый микрополоско-
вый резонатор с коррекцией йй.ра-
йй.радиуса & из-за влияния реактивно-
реактивного поля у края (Ч = (Х). На рисун-
рисунке показан случай положительной
поправки ЛС1.
1п+ 1 и Тп- 1 (при одинаковых п) уменьшается как для Н-колеба-
Н-колебаний, так и для Е—колебаний. Колебания Н-типа оказываются более
добротными, нежели Е-колебания. Особое поведение кривых для Н-
волн ("П ) определяется свойством волн Н , коаксиального волно—
вода, которые слабо зависят от радиуса внутреннего проводника ко-
аксиала (см. §§ 1.2, 1.3),
Следует иметь в виду, что, строго говоря, изложенная выше тео-
теория кольцевого ОР (равно как и целого ряда сходных структур) не-
непригодна для к а ~ 1 и тем более для к 0,« 1. В этом случае цилин-
цилиндрическая волна при отражении от внутреннего края t = (L "проника-
"проникает" через импедансную "стенку" (хотя и убывает за ней по экспонен-
экспоненциальному закону) и может при кй~ 1 попасть на противоположную
сторону границы 4,-0,. Такой переход в изложенной теории запре-
запрещен. Учет влияния малых отверстий на систему колебаний дискового
ОКДР не представляет особых затруднений С90, 93 - 951 и может
быть произведен, например, методами теории возмущений С121, 2191.
3. Микрополосковые резонаторы. Результаты предыдущего рас-
рассмотрения кольцевого ОКДР допускают почти непосредственное обоб-
обобщение на случай дискового ( CL = О) и кольцевого полосковых резо-
резонаторов на МПЛ (рис. В.4, fj ). При этом для основного симметрич-
симметричного типа колебаний (не имеющего вариаций по азимутальному на-
направлению) следует воспользоваться коэффициентом отражения от от-
открытого конца плоского волновода с непрерывным однородным ди-
диэлектрическим слоем. Как известно, эта задача допускает строгое
решение (подробнее см. в С4963). При малом расстоянии 2? между
кольцом 1 и экраном 3,таком, что 2 к •? -»¦ О, коэффициент отраже—
153
ния имеет следующее аналитическое представление (ср. [491 фор-
формула C.70)):
R—
VT '
Oi.l.ll)
где
Теория несимметричных ( m + О) и высших типов колебаний ОКДР
или кольцевого ОКДР на МПЛ может быть построена на основе из-
известных выражений для матрицы коэффициента отражения [496] вол-
новодной волны номера L (например, Н-типа (индекс 1); индекс 2
обозначает коэффициент отражения Е-волн, индекс 12 или 21 - со-
соответственно коэффициент преобразования волн Е^Н ):
CH.1Q)
Здесь обозначено:
Значения коэффициентов ji приведены, например, в L116] на с. 129,
а значения коэффициентов } - в L496]. Из формул A2) видно, что'
учет материала подложки приводит к заметному усложнению физичес-
физической картины добротных колебаний кольцевого резонатора на МПЛ по
сравнению со случаем незаполненного резонатора.
Наиболее существенной особенностью ОКДР на подложке является
связь колебаний различных поляризаций (коэффициенты
преобразования R^= R^ ,. Дело в том, что для колебаний с тп^О
результатов задачи о нормальном падении волны на открытый конец
волновода (в ключевой задаче) недостаточно и необходимы более об-
общие результаты по наклонному падению волны на край. Это обстоя-
обстоятельство и приводит в итоге к появлению более сложных (чем при
т= О) картин поля. В математическом отношении ключевая задача
сводится (методом Винера - Хопфа - Фока) к необходимости
факторизации не функции, а матрицы второго порядка. Мы от-
отсылаем читателя за подробностями к книге [4961 по теории микро-
полосковых структур. Здесь же мы только укажем, что колебания с
нулевой вариацией по толщине определяются в первом приближении
функцией Бесселя ^(кч). Если предположить, что на ободе резона-
резонатора расположена магнитная стенка (холостой ход), то собственная
частота в нулевом приближении может быть найдена из условия
154
J (Ла)= О. Однако, из-за наличия реактивного поля у края, нужно
6Л
¦}
1
.
Рис. 4.4. Относительное расхождение теоретических и эксперимен-
экспериментальных результатов по резонансным частотам дискового микропо—
лоскового резонатора как функция азимутального индекса колебаний ТП
ввести поправку на радиус резонатора и сделать замену О,-» а + Да
(рис. 4;3), где Л й определяется в соответствии с краевыми эффекта
ми (Да может быть и положительно, и отрицательно). Таким обра»-
зом, собственные частоты определяются (в первом приближении) ра-
равенством
Знание коэффициента отражения A2) при наклонном набегании вол-
волны на край структуры, позволяет учесть краевые эффекты в технике
печатных схем и более точно рассчитывать их резонансные свойства.
Рис. 4.4 иллюстрирует • относительное расхождение теоретических ре-
результатов, вычисленных по приведенным выше формулам, и экспери-
экспериментальных, полученных в работе [2263. По оси абсцисс отложен
азимутальный индекс колебания, по оси ординат - относительное рас-
расхождение (в процентах) резонансных частот для резонатора радиусом
15,1 мм и толщиной 0,72 мм. Естественно, кривая имеет смысл
лишь при целочисленных значениях по оси абсцисс. Увеличение рас-
расхождения при восьми и больше вариациях по азимуту (до двух про-
процентов) объясняется, по-видимому, влиянияем кривизны, которое силь-
сильнее сказывается при больших азимутальных индексах и которое не
учтено при таком простом подходе.
Дисковые микрополосковые открытые структуры (а также кольце-
кольцевые) с числом вариаций поля по толщине магнитодиэлектрика И = 1,
2,... можно рассчитывать с помощью выражений для матрицы коэф-
коэффициента отражения волноводной волны при произвольном угле паде-
падения L4961, вводя импедансные граничные условия на ободе дисково-
дискового резонатора, подобно тому как это было сделано выше в этом па-
параграфе. Заметим, что в § 2.2 [4961 при условии близости частоты
падающей волны к критической получены простые асимптотические
выражения для элементов матрицы коэффициента отражения. Эти фор-
формулы совместно с численными данными, содержащимися в [29, 99,
1163, позволяют получить полные расчетные данные для микропо-
лосковых дисковых структур.
§ 4.2. ОКДР с отверстиями в фокусирующих зеркалах
1. Постановка задачи. Интегральное уравнение Мандельштама.
Рассмотренные в предыдущем параграфе ОКДР с плоскими зеркала-
зеркалами являются предельными случаями открытых резонаторов с фокуси-
155
Рис. 4.5. Открытый резонатор с
кольцевыми вырезами в обоих зер-
зеркалах.
рующнмн зеркалами (рис. 4.5).Упо-
4.5).Упомянутый там эффективный аппарат
импедансных граничных условий
резонансного типа, к сожалению,
непосредственно для анализа ОКДР
с неплоскими зеркалами непрнме—
ннм.Разумеется, принципиальная
возможность такого подхода не
исключена, но, насколько нам известно, на этом пути пока никаких
результатов не получено. Настоящий параграф посвящен обзору ре-
результатов по исследованию ОКДР, в одном или обоих зеркалах ко-
которого имеются отверстия. Общий вид такого резонатора представ-
представлен на рис. 4.5. Соотношения между параметрами резонатора тако-
таковы, что выполняются так называемые квазиоптические усло-
условия. А именно, считается, что |<а»1и L » Q. (Q. - характерный
поперечный размер зеркал, L - расстояние между зеркалами). Наибо-
Наиболее полно исследован случай, когда каждое зеркало имеет постоян-
постоянную кривизну (возможно, разную для обоих зеркал). Рассмотрением
этого случая мы здесь и ограничимся.
Основное внимание в настоящем параграфа будет обращено на ма-
математический аппарат исследования таких ОКДР, влияние отверстий
на распределение полей собственных колебаний и их потери, а также
на характер излучения из отверстия. Исследование неквазиоптическо-
го случая ОКДР приводит, в частности, к модели неоднородной стру-
струны (выделяется из всего спектра только одно резонансное колебание).
Этот круг вопросов на примере ОКЦР рассматривался в главах 2 иЗ.
Теоретические исследования открытых резонаторов с отверстиями
основываются, чаще всего, на интегральных уравнениях, аналогичных
интегральному уравнению Мандельштама для полей в ре-
резонаторе со сплошными зеркалами. Эти уравнения выводятся, как из-
известно, из требования, чтобы распределение поля собственного коле-
колебания на зеркале после одного полного прохода (туда - обратно) пов-
повторяло исходное распределение с точностью до постоянного множителя.
В общем случае это требование с учетом принятых предположений и
применением принципа Гюйгенса - Кирхгофа приводит к сле-
следующей системе интегральных уравнений (см. [125, 134П):
к
Ct.2.1)
156
где
К (^
S и S — точки на первом и втором зеркалах соответственно; ОС
¦U и % ц - декартовы координаты этих точек; ф. (j>.) ( j. = 1, 2) -
так называемая фааовая коррекция соответствующего зеркала,
связанная с его прогибом (отклонением от плоского) соотношением
U.F; ) - функции, описывающие распределение полей собственных
& а
колебаний на зеркалах, a •jf-- - собственные числа, характеризующие
их дифракционные потерн; общие дифракционные потери (на проход
"туда - обратно") равны:
<-U „ I [k.2.k)
Если кривизна зеркала постоянна, то
U.2.5)
где ¦О- = Iy R ; R. - радиус кривизны [ -го зеркала. Такие зеркала
<3 О (Г
называются квадратичными. Наиболее тщательно исследованы так
называемые конфокальные резонаторы ^ = ^ =1. При соответствую-
соответствующей нормировке полей в конфокальном резонаторе ) т. \ =)Х ]¦> так
что потери^на обоих зеркалах равны между собой [228, 2291.
Если зеркала одинаковы по форме и размерам, то распределения
полей на обоих зеркалах одинаковы, и система A) распадается на
два идентичных уравнения. В общем случае система A) сводится к
одному уравнению
' к
\2xLl
где
U.2.6)
D.2.7)
К18^КОМ?)
В двух наиболее важных случаях - круглые соосные зеркала с
центральными или кольцевыми отверстиями и прямоугольные зеркала
с параллельными гранями и отверстиями в виде полос, параллельных
граням и разрезающих зеркала на части, - переменные в системе A)
157
или, соответственно, в уравнении F) разделяются, что приводит к
соответствующим одномерным уравнениям /. В первом случае (круг-
(круглые зеркала) это осуществляется введением угловой зависимости
ядро (8) предварительно преобразуется в следующее:
1 -1
г
Lka.
e
(V2.9) ¦
(а; и if. - полярные координаты точки &¦), и потери собственного
колебания определяются соответствующим собственным значением Г
получающегося одномерного уравнения, а распределение поля - соб-
собственной функцией этого уравнения и соотношением (9). Во втором
случае (прямоугольные зеркала) получаются два независимых урав-
уравнения (или, соответственно, две независимые системы) для декарто-
декартовых координат на зеркалах; потери собственного колебания опреде-
определяются произведением соответствующих собственных значений Г Г
X ц
этих уравнений, а распределение поля - произведением соответствую-
соответствующих собственных функций. В последнем случае каждое из получаю-
получающихся независимых уравнений можно интерпретировать как уравнение
для резонатора с зеркалами в виде бесконечных полос, в котором
распределение поля зависит лишь от одной координаты.
В отдельных случаях получающиеся однородные интегральные урав-
уравнения решаются аналитически (например, в случае бесконечных зер-
зеркал [230] или зеркал с очень малыми размерами отражающей части
[231, 232]). Если размеры отверстий малы, то можно применять
метод возмущений, исходя из результатов для соответствующе-
соответствующего резонатора без отверстий [121, 2333. В общем случае интеграль-
интегральные уравнения решаются численно на ЭВМ. Численное решение про-
проводится стандартными методами -методом последовательных
приближений [91, 93 - 95, 134, 2281, заменой интеграла
конечной суммой [220] или заменой ядра на вырожден-
вырожденное [231, 232].
Метод последовательных приближений имеет четкую фи-
физическую интерпретацию [1343 и позволяет найти потери и распре-
распределение поля наименее затухающего колебания. При численной реали-
реализации этот метод идентичен замене интеграла конечной суммой с
последующим поиском наибольшего по модулю собственного значения
матрицы степенным методом. Для определения собственных колеба-
колебаний высших типов можно азять начальное приближение ортогональ-
ортогональным уже найденному собственному колебанию С228]. Однако это при-
приводит к известным вычислительным трудностям, связанным с накопле-
накоплением ошибок, так что метод последовательных приближений принимает
характер полусходящегося. По-видимому, более удобно стандартным
образом [ 94, 95, 2341 исключить найденное собственное значение
из ядра (8), т.е. вычисление второй собственной функции уравнения
F) производить по то* же самой схеме, что и первой, но при этом
/ Такое разделение неосуществимо в случае прямоугольных зер-
зеркал с прямоугольными отверстиями, как неверно указано в [228].
158
Такая процедура была, по-видимому, впервые для открытых резо-
резонаторов реализована в С 94, 95]. Потом последовали другие работы-
этого плана, убедительно свидетельствующие об эффективности ука-
указанного метода расчета [233, 234]. Нужно вместе с тем отметить,
что если в открытом резонаторе имеется несколько колебаний с очень
малыми потерями, то все упомянутые численные методы оказывают-
оказываются малопригодными, так как они приводят к известной проблеме поис-
поиска близких по модулю собственных значений матрицы (ср. [234]).
Метод интегральных уравнений - не единственный аппа-
аппарат, позволяющий исследовать резонаторы с отверстиями. Как и в
случае сплошных зеркал, здесь применимы также методы асимп-
асимптотической теории открытых резонаторов с учетом конечного
расстояния между зеркалами [10, 29, 99, 1161, а также обоб-
обобщенные методы собственных колебаний 1235]. В част-
частности, в [235] производится сравнение результатов, полученных ме-
методом интегральных уравнений и асимптотическим методом [10, 29,
99]. При не слишком малых отверстиях наблюдается хорошее совпа-
совпадение. Учет конечного расстояния между плоскими зеркалами, про-
проведенный в [99, 116], а также учет конечной толщины зеркал [99]
позволил значительно расширить область приложения асимптотических
результатов теории открытых резонаторов.
2. Осесимметричные резонаторы с центральными или кольцевыми
отверстиями в одном или обоих зеркалах. В квазиоптическом прибли-
приближении такие резонаторы характеризуются параметрами Г., С ¦ ( j ~
= 1, 2): относительной плошадью отверстия на каждом зеркале
r,u2r6;Bst + et), C.2.11)
til t i
расстоянием отверстия от центра 5- и параметрами Френеля
в
^=ЦЛ- D.2.42)
В осесимметричном резонаторе со сплошными зеркалами собствен-
собственные колебания имеют вид ТЕМ -волн, где тп - азимутальный (см.
tnp
[94, 95]), ар- радиальный индексы. При этом в центре зеркал ко-
колебания ТЕМ имеют максимум интенсивности, а все остальные ко-
Ор
лебания — нули. Поэтому центральные отверстия больше всего влияют
на колебания ТЕМ , в частности, на ТЕМ - наименее затухаю-
затухающее (в резонаторе без отверстий) колебание L94, 95, 228, 232,
2291. С увеличением отверстия потери колебания ТЕМ быстро воз-
возрастают, в то время как на потерях азимутальио-зависимых колеба-
159
ний (в том числе и ближайшего к ТЕМ по потерям колеба-
колебания ТЕМ ) это увеличение почти не сказывается. При некотором
радиусе отверстия потери ТЕМ и ТЕМ оказываются равными. На
рис. 4.6 приведена зависимость относительной плошади Г A1) от-
отверстия (при котором наступает такое равенство) от параметра Фре-
Френеля С A2) для конфокального резонатора с идентичными зеркала-
Jvm и центральными отверстиями в них [232]. Дальнейшее увеличе-
увеличение отверстия приводит к превышению потерь ТЕМ., над потерями
ТЕМ q. В дальнейшем кривые потерь этих колебаний будут неодно-
неоднократно пересекаться (рис. 4.7 [91]).
Таким образом, наличие центрального отверстия в одном или обоих
зеркалах вызывает ухудшение селективных свойств резона-
резонатора. К вопросу о возможных мерах улучшения селективности мы
вернемся после того, как рассмотрим влияние отверстий на распре-
распределение полей собственных колебаний.
Центральные отверстия в зеркалах существенно изменяют распре-
распределение полей колебаний ТЕМ . В частности, максимум интенсив-
интенсивности колебания ТЕМ
00
на зеркале с отверстием с увеличением ра-
радиуса Q отверстия уходит от центра зеркала. Одновременно в центре
появляется минимум, значение которого уменьшается с ростом <5 ; на-
начиная с рекоторого S, в центре снова появляется максимум, и т.д.
Одновременно с этим изменяется характер распределения полей дру-
других колебаний. При некоторых радиусах отверстий распределение по-
поля ТЕМ напоминает первоначальное (в резонаторе без отверстий)
распределение ТЕМ , и наоборот. Этот эффект называют "смеше-
"смешением" собственных колебаний ( mode Tmxrng;C232l). Оно наступает
при таких соотношениях параметров резонатора, при которых наблю-
наблюдатель, находящийся на одном зеркале и "ограниченный" его разме-
размерами, может различить отверстие на другом зеркале.
Изменение характера распределения поля, естественно, вызывает
соответствующие изменения потерь. Так, в момент "смешения" коле-
колебаний ТЕМ и ТЕМ кривые их потерь как бы отталкиваются друг
от друга.
Если центральное отверстие имеется лишь в одном зеркале, а дру-
другое зеркало сплошное, то распределение поля на этом сплошном зер-
зеркале имеет свои характерные особенности. Так, в конфокальном ре-
резонаторе ( ^ = ^ г = 1) ПРИ некоторых условиях на сплошном зерка-
зеркале появляется нуль поля ТЕМ а в неконфокальном, соответствен-
соответственно, - минимум интенсивности. Аналогичная ситуация имеет место и
при некоторых соотношениях параметров в резонаторе с кольцевым
отверстием в одном из зеркал С 94, 953. Наличие нуля (или мини-
минимума) интенсивности на сплошном зеркале позволяет, в частности,
улучшить селективность резонаторов с отверстием в одном зеркале;
160
Рис. 4.6. Относительная пло-
шадь отверстия, при которой
потери ТЕМ _ и ТЕМ сов-
совпадают ; ? - конфокальный ре-
резонатор с центральным отверс-
отверстием в оаном зеркале, 2 - в
обоих зеркалах; С -С = С
1 Z
Рис. 4.7. Потери ТЕМ и
ТЕМ1М в ОКДР
с круглыми
плоскими зеркалами и цент-
центв них;
Сг8я' Г=1ГГ-
ральным отверстием
сГСг"8я' Г1=1ГГ-
0,02
0,01
0,005
0,002
0,001
0,0005
0,0002
0.0001
NX
\Лч
\\.
\\
1,2
1,6
2,0
2fi Cltt
/7
20
I
10
[у
^- ¦—
У
/
0,002
0,01
0,02
0,05 0,1
02
для этого достаточно сделать кольцевое отверстие на втором зерка-
зеркале в районе нуля (минимума) интенсивности ТЕМПП. На рис. 4.8
показана зависимость координаты нуля амплитуды основного типа ко-
колебаний на сплошном зеркале от размеров отверстия на другом зер-
зеркале.
Резонаторы с кольцевыми отверстиями в одном из зеркал обладают
своими специфическими свойствами. На рис. 4.9 - 4.16 показаны
результаты некоторых численных расчетов. Нужно отметить, что за-
задача содержит большое число параметров, так что невозможно при-
привести всю совокупность данных. Поэтому мы ограничимся основными
особенностями поведения полей в ОКДР с отверстиями. Представля-
Представляет интерес распределение токов на зеркалах (рис. 4.10), например
случай, когда одно зеркало выпуклое, а второе вогнутое (ср. L92T1).
Распределение тока на вогнутом зеркале близко к постоянному. Этот
результат может быть использован в экспериментальной практике
при формировании плоских полей. При фиксированной относительной
плошади отверстия Г потери колебания ТЕМ с удалением отвер-
отверстия от центра сначала Мало меняются, а затем резко падают [94,
951. В то же время кольцевое отверстие сильно увеличивает поте-
потери колебания ТЕМ . ^, если это отверстие расположено в -районе мак-
¦-11.966 161
0,6
==:
!" —
'
0,0
' «г
0,2
0
0 0,05 0,10 0,15 0,20 Г
Рис. 4.8. Зависимость координаты нуля амплитуды колебаний ТЕМ„_
на сплошном зеркале от величины отверстия на другом зеркале; С —
С2
симума интенсивности указанного колебания. Поэтому кольцевое отвер-
отверстие может служить средством повышения селективности резонатора.
Наибольший эффект здесь может быть достигнут в конфокальном слу-
случае. На рис. 4.16 показаны логарифмы разности потерь колебаний
ТЕМ и ТЕМ для одного частного случая конфокального резона-
резонатора с кольцевым отверстием в одном зеркале.
3. Излучение через отверстия в зеркалах открытого резонатора.
Среди других характеристик резонатора особый интерес представля-
представляет эффективность излучения колебаний ОКДР через отверстия L21,
90, 228, 2363. Эта характеристика определяется долей энергии,
уходяшей через отверстие, в суммарных дифракционных потерях дан-
данного колебания. При наличии отверстия лишь в одном зеркале эф-
эффективность излучения через отверстие, по-видимому, не может пре-
превышать 50%; во всяком случае это справедливо для конфокальных
резонаторов, где потери на обоих зеркалах равны между собой. Ока-
Оказывается, что при фиксированных суммарных потерях колеба^ния ТЕМ
в резонаторе с одним центральным отверстием эффективность излу-
излучения через отверстие как функция параметра Френеля имеет ряд мак-
максимумов L 2281. (Изменение параметра Френеля при таком подходе
сопровождается одновременным изменением радиуса отверстия, что-
чтобы сохранить постоянными суммарные потери.) Связь между суммар-
суммарными потерями и параметром Френеля, при котором достигаются пер-
первые два максимума, приведена на рис. 4.15. Наличие таких макси-
максимумов объясняется упоминавшимся выше чередованием максимумов
и минимумов интенсивности поля в центре зеркала при изменении ра-
радиуса отверстия.
Эффективность излучения не обязательно увеличивается с увели-
увеличением отверстия. Если судить по численным данным, приведенным
162
с
л
J
Л
а
7„
л [IV
/2
в)
\
i
1
V
д
у1
\
V
¦;«
7
\
\
\
11 \
\
\\5
/\|
1
\\
В
\
\
\
-\
л
1\\
\
\
\
Ч. '
-
V
\
в)
ч
\
ч
|\
*\
\
\
ч
1
4,8
\
\
\
\
V
\
'—
\
Д
О 0,2 Ofi Ofi Ofi sfat I
с, In
-
-
-
-
в)
Ч
?^
i
0
I tf,
Рис. 4.9. Потери некоторых колебаний для резонатора, показанного
на рис. 4.5. ЩС=С =гк, \= V 1; ^ С2=2зс, \»^=
5 = 0,5; •б) С «С =23п, vl = 1, 5 = 0,5. Обозначения кривых:
Номер кривой
Индекс колебания
ТЕМ
Г
1 1
1
¦
00
1
2 1
10
3
01
4
11
0,01
5
00
6
10
7
01
8
11
0,03
в [228, 2293, то при малых значениях параметра Френеля эффектив-
эффективность излучения монотонно возрастает с увеличением центрального
отверстия, а при больших монотонно убывает. Существуют значения
С (для конфокальных резонаторов это С ~ l,5jr ), при которых эф-
эффективность излучения почти не зависит от размеров отверстия.
4.Возбуждение квазиоптических линий через щель в зеркале от-
открытого резонатора. К задаче излучения энергии из ОКДР через коль-
163
4
л
>
¦ /
-
\
ft
\
j,
3t
1
7евое
'р/гало
N
J .
/
I
-2
'-
\
111 Ш IV
\
о
n f
II
I
Правое
зериало
У
I
IV ч
V
III П
/
0 0,2 D,k 0,6 0,8 r/a, 0 0,2 Ofi 0,6 0,8 p/a2
Рис. 4.10. Распределение токов на зеркалах. Номера кривых соот-
соответствуют римским цифрам у точек, отмеченных на рис. 4.9 крести-
крестиками.
цевую щель непосредственно примыкает круг задач, вынесенных в за-
заголовок настоящего пункта. Рассматриваемая электродинамическая
система схематически показана на рис. 4.17. Пусть 1h(.^)- поле,
которое необходимо создать на входе линии 2 (или 2 ) с помощью
выбора параметров щели (ширина которой E и месторасположение на
зеркале S ) и пары полуконфокальных фазовых корректоров (линз) 4 ,
осуществляющих коррекцию фазы вида
Одна из линз находится в выходной апертуре излучателя 1, а вто-
вторая - в плоскости первого элемента возбуждаемой линии. Эффектив
ность возбуждения поля VA~§) характеризуется коэффициентом воз-
возбуждения f, введенным в [238]:
2
8
с
2
Я
§¦ 5
г
10°
в
с
it
2
in"
/ /
У-
/
/
/
Р'в.
ТЕМв
"^
ТЕМт
0,6.
^%
<
4 0,0
щ
0,6
0,8
а)
в
6
0,05 0,10 0,15 0/0 Г
О
-
-
-
Ill
- и/
-и 1
W
V
1
ТЕМ,,
00 /
/У
/
/ ^
i
ТЕМ1В
i
-
.
_
¦-
0,6
US
s)
1
0,05 0,10 0,15 0,20 Г
Рис. 4.11. Потери четырех низших типов собственных колебаний на
проход "туда - обратно" конфокального резонатора; -) = ¦) - 1,
? =? = 2Jt, 5e[0,0; 0,8] (цифры у соответствующих кривых).
1 2.
not
0,20
164
Рис. 4.12. Потери четырех низших типов собственных колебаний на
проход "туда - обратно" полуконфокального резонатора; %) = ¦} = 1/2,
С =С =2ЯГ, Se[.O,O; 0,8] (цифры у соответствующих кривых).
165
П'Ч
во
40
20
'°8
0
6
2
1,0
0,8
0,6
П/
0,3
07
у-'
Ч
,8
/
"«да
/
II
VI
•*=
*o#s
¦
0,6 .
/|
/1
\(г
0
0,995
1
И
II
а_
у
А
щ
1
i
/Г
0,6 0.8
12
'.5 '.8
Рис. 4.13. Фаза основного колебания ТЕМП„ полуконфокального ре-
резонатора; ^< = ^о = 1/2> ^\=^ =^зг- Цифры у кривых обозначают
значения параметра 3.
Рис. 4.14. Потери четырех низших типов собственных колебаний на
проход "туда - обратно" при расстоянии между зеркалами L — L
и при C-^-.-Zsi ; параметр ^- = 1.
0,01
0,00 i
0,0005
0,0001
\
\
\
\
>
\
\
\
\
\
\
0,8п
1,6т(
24п
¦50
-2
-4*
-0,2
-0,1
Рис. 4.15. Связь между па-
параметрами конфокального резо-
резонатора с центральным отверс-
отверстием в одном зеркале, обеспе-
обеспечивающими первый (.1) и вто-
второй {Z) максимумы излучения
ТЕМПП. По левой вертикаль-
вертикальной оси - суммарные потери
ТЕМ_ в первом максимуме;
сгс2-с.
166
0,6
\
(о,оГ
OJU^
Oft
%
0,05
< V
fc|4. N
4
^0,23
^0,0
0,5
0,0
-0,5
-1,0
-1,4. , , , . . . ¦
О 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 1,75 2,00 -\пР0В
Рис. 4.16. Степень селекции двух низших типов собственных коле-
колебаний. Р - дифракционные потери; С = С = 2зс. О.") Конфокальный
резонатор; 0 = ^ = 1; 6) полуконфокальный резонатор: } = ¦) =
= 1/2. Сплошными линиями обозначены уровни постоянных S , штри-
штриховыми - уровни Г.
Здесь и {"X) ~ поле на выходе излучателя, и(т?1 - поле, получаемое
по принципу Гюйгенса - Кирхгофа в том же сечении, где задано необ-
необходимое поле Vi^1).
Наиболее подробно Исследован случай возбуждения двумерных струк-
структур С 211. Характер приводимых зависимостей в общем соответству-
167
J J Г
Рис. 4.17. Схема возбуждения линзовой (Q.) и диафрагменной Сб) ре-
регулярных линий через отверстие в одном из зеркал открытого резо-
резонатора.
ет осесимметричному случаю. На рис. 4.18, 4.19 построены зави-
зависимости максимальных значений коэффициентов возбуждения ТС _ для
<j шах
линзовой (рис. 4.18) и регулярной диафрагменной (рис. 4.19) ли-
линий. Наблюдаемая общая тенденция заключается в увеличении f с
ростом Д и уменьшением а., причем при ^' > 5 (относительная по-
1. S
луширина области, в которой поле имеет тот же порядок, что и в
центре, ^' = ? /v ) значения ^таах примерно одинаковы для линзовой
и диафрагменной линий. Из рис. 4.18 следует, что чем меньше раз-
размер пятна Щ', тем ближе нужно располагать корректирующие линзы.
Чем больше 'ц', тем сильнее зависимость ^тах от величины экрана
5 (при й = Ctm&t ) и от размера щели Д (при 51= const ). Срав-
Сравнение со случаем, когда гауссово распределение возбуждается полем
плоской волны в отверстии ( St= О, & = 1), показывает, что'нали-
что'наличие экрана в центре отверстия ( S^ О) уменьшает максимально воз-
возможное значение К : < = 0,81 [238]. Эффективность возбуждения
J J TTlEtX
диафрагменной линии мало зависит от материала диафрагм (рис. 4.19,а-
для идеально поглощающих, а рис. 4.19, б - для идеально отражаю-
отражающих диафрагм). Расчет показал слабую зависимость ^тах °т парамет-
параметра линии К (результаты для М= 5 и М = 25с графической точностью
совпадают со случаем, когда М= 15, представленным на рис. 4.19).
При каждом значении ^' , с одной стороны, а также при каждых
значениях J1 и М,с другой, выбор S и ft полностью определяет то
168
Зп 7a tin С а
Рис. 4.18. Максимальное зна- х
чение коэффициента возбужае-
2а зп С п
ния линзовой линии по схеме
рис. 4.17, п. для разных раз-
размеров пятен: "Ц = 0,3, 0,5
и 0,7.
Рис. 4.19. Максимальное
значение коэффициента воз-
возбуждения диафрагменной ли-
линии по схеме рис. 4.17,6" ;
линии из идеально отражаю-
отражающих [й-) и полностью погло-
поглощающих (б) диафрагм.
0,6
0,4
0,2
д
/ /
А
;/
а)
/oh. j
0,1
5)
2n
ЗпС
2n
Зп С
расстояние 1^ на котором следует располагать друг от друга линзы
возбудителя для получения максимального коэффициента возбуждения.
При выборе параметров 5 и й необходимо, кроме того, обеспечить
условия для высокодобротных колебаний внутри открытого резонато-
резонатора. Желательно использовать для возбуждения линий передачи такую
моду, поле которой вне открытого резонатора (за шелями) мржно бы-
было бы описать функцией Хевисайда. В частности, ею может ока-
оказаться первая нечетная мода резонатора. При этом излучение ее че-
через щели не должно сильно сказываться на добротности основного
колебания открытого резонатора, соответствующей основному колеба-
колебанию. С этой точки зрения наиболее подходящими значениями будут
а. = 0,5, h= 0,4. Тогда дифракционные потери колебаний ТЕМ и
ТЕМ будут соответственно равны 3,5 и 41,3% ?236], т.е. при
достаточно добротных колебаниях четной моды происходит довольно
интенсивное излучение нечетной моды. Если возбуждается линзовая
169
линия с ?' = 0,1, то при таких 5, и h имеем i = 27,6%. Диаф-
'з 1 J tnax
рагменную линию в этом случае возбуждать не имеет смысла, посколь-
поскольку эффективность будет менее 20%.
Удобным для анализа излучения из малого отверстия радиуса й
является метод эффективных дипольных моментов, раз-
развитый в L2391 /. Электрический дипольный момент идеально про-
водящего диска нулевой толщины в электростатическом поле L равен
Ot
E
аналогично, для магнитного дипольного момента имеем (ср. L1593):
Ot 50 0п
Здесь Е — проекция вектора Е на плоскость диска, а Н — проек—
•»0
ция вектора Н на нормаль к диску.
Приведенные соотношения, очевидно, приближенно справедливы и
„Ot _0n
для волновых полей при кй«1. При этом под Е и Е следует
понимать проекции поля, которое было бы в центре диска в его от-
отсутствие.
Из принципа двойственности непосредственно следует, что
при падении волны на круговое отверстие радиуса & в экране (зер-
(зеркале) нулевой толщины поле излучения из открытого резонатора обус-
обусловлено электрическими и магнитными диполями L239]:
On On
E H
Влияние малого отверстия на поле в открытом резонаторе можно
учесть методом возмущений [2091 (см., к примеру, работы Ц120
122]).
§ 4.3. ОКДР с фокусирующими зеркалами
и центральным стержнем /
1. Метод эталонного уравнения» Схематически рассматриваемый
СКДР показан на рис. В.5, 0.. Он представляет собой,например, мо-
модель открытого резонатора со сферическими зеркалами, через отвер-
отверстия в которых вдоль оси симметрии пропущен электронный или плаз-
/ Отметим попутно: анализ дифракции на малом отверстии ранее
проводился в работах L125, 1281. а также позднее -в Ц158, 267,
2681. Кстати, в работе П1581 расчет делался на основе теории воз-
возбуждения открытых резонаторов С101, что не было сделано в С267,
2681.
I Настоящий параграф написан по материалам доклада И.М. Рос-
Российского L 1603.
170
-ч,
-V,
Рис. 4.2С. Модель ОКДР с фо-
фокусирующими сферическими зер-
зеркалами на металлическом стерж-
стержне и система сплюснутых сфе-
сфероидальных координат.
менный пучок. При достаточной
плотности потока рассмотренная
в предыдущем параграфе модель
ОКДР с отверстиями в зеркалах
может оказаться не адекватной
физическому содержанию задачи.
Более подходящей в этом случае
является модель рис. В.5, о. .
Ниже мы рассмотрим осесимметричные колебания в ОКДР данного
типа, пользуясь системой сплюснутых сфероидальных координат
(рис. 4.20), которые связаны с декартовыми координатами следую-
следующим образом [106, 240, 241, 253]:
Здесь ф - угол вращения вокруг продольной оси 2, Ц = COUSt - сплюс-
сплюснутые эллипсоиды вращения, Ц = COnst - однополостные гиперболои-
гиперболоиды вращения, & - фокусное расстояние.
В соответствии с рис. 4.20 внутреннее зеркало (стержень) ограни-
ограничено поверхностью гиперболоида i1^_ и имеет радиус кривизны
Из B) непосредственно следует, что при 1—19 << 1 радиус кри-
кривизны R
, ', т.е. диаметр внутреннего зеркала стержня мало ме—
ю д
= Const и имеют радиус кривизны
няется по длине. Торцевые зеркала являются частью эллипсоида 'Ц =
Остальные геометрические размеры ОКДР таковы: минимальный диа-
диаметр внутреннего зеркала
диаметр торцевых зеркал
и расстояние между ними (по оси ъ) 2L.= 2 oL <^
171
Волновое уравнение для потенциала фС^1?") допускает разделе-
разделение переменных: ф!^,^) = Rt^ S^), и для продольной ?.{^) и ра-
радиальной 6{ь~) функций получаются следующие уравнения:
в которых Ш. - постоянная разделения, а параметр р= к & =2&с1/Л
есть большой параметр задачи (р » 1).
Для решения уравнений D), E) воспользуемся методом эта-
эталонного уравнения [2411, следуя, как мы уже отметили, ра-
работе [160J. При этом рассмотрим подробно получение решения, на-
например, для радиальной функции S(,1]1, а для функции Rfjp выпишем
только конечный результат, так как выкладки проводятся совершен-
совершенно аналогично. Преобразуем уравнение E), использовав подстановку
к следующему виду (без первой производной):
Связь с исходной функцией
следующая:
C=ccmst.
(Я3.7)
Применим метод эталонного уравнения для отыскания
асимптотического ( р >> 1) решения уравнения F). Подходящим яв-
является уравнение Уиттекера; его и используем в качестве эта-
эталонного:
% - произвольная постоянная (см. ниже). Из восьми возможных ли-
линейно независимых решений уравнения, выраженных через вырожден-
вырожденные гипергеометрические функции Ч1 и Ф, выберем следующие два:
И, 1/2 v r
При этом связь между уравнениями F) и (8) определяется в виде
асимптотических рядов по обратным степеням большого параметра Ь
Теперь обшее решение уравнения F) можно записать так:
Здесь штрих обозначает производную по V. Подстановка любого из
возможных линейно независимых решений (9), A0) в F) приводит
[2411 к следующим асимптотическим рядам для Z(flp) и
2
.^'
Аналогично для функции R Ц) из D): сделав подстановку
получим
Асимптотическое поведение функции и{%) выражается следующим обра-
образом:
С COS
где штрих обозначает производную по 'Ц .
Для функции Z(p,^) можно получить следующий асимптотический
ряд:
i 1X^/1
Главный член асимптотики для функции R(^) имеет, таким образом,
вид
i
Удовлетворив для A8) граничным условиям на сферических зеркалах
(Ц = ^0)> получим дисперсионное уравнение
1^-1,2,3,...
(^¦3.19)
173
Следует иметь в виду, что для граничных условий первого рода функ-
функция eos(.p5i B A8) относится к нечетному значению fy, а Ц^
к четному ty; для граничных условий второго рода, напротив,
требует четных (J,, a sin^")- нечетных.
Структура полей собственных колебаний рассматриваемой модели
ОКДР (рис. 4.20) в радиальном направлении может быть найдена
из обшего решения A2) после удовлетворения граничным условиям
соответствующего рода на поверхности внутреннего зеркала ( % =
= |t? | ). Таким образом, для модели рис. 4.20 имеем (ср. A.1.2)
и A.1.3)) следующее выражение:
(Л120)
в котором верхняя строчка определяет электрические, а нижняя - маг-
магнитные типы колебаний нашего (ЖДР. При этом ZQ ()
П,1/2 М 0 пД/2
Учитывая связь (9), A0) функций Уиттекера М{г), WC2") с вырожден-
вырожденными гипергеометрическими функциями ?иф целого параметра через
полиномы Лагерра [2533 в виде
Lk.b.12)
та-п.г-др-г)'
после подстановки B1) и B2) в B0) с учетом G) получим для
главного члена асимптотики функции й следующий результат:
л-i)
п
ДО)
> •
(-11
L
(i)
L
n-2v ^
Здесь
Верхняя строка в B3) определяет электрические Еп колебания,
нижняя - магнитные Н. . Верхний знак в аргументе P(.t)/>7) в B4)
берется для интервала г^е. [-1, О], нижний - для T?eL°> !3.
Положение каустических поверхностей определяется точками по-
поворота уравнения (8):
*=n/P- (A3.25)
Подставив в B5) главный член асимптотики из A3), получим, что
при^еС-!, 03 положение каустик определяется уравнением
(А2..2&)
Если 1 - Tjn « 1, то для каустик, близких к внутреннему зеркалу,
получим
П
Для получения дисперсионных уравнений для колебаний Ел и Н
Oq,n Ос
необходимо воспользоваться связью между минимальным радиусом
внутреннего зеркала & и расстоянием L между сферическими зерка-
зеркалами, а также условиями на каустиках. Это приводит к следующим
соотношениям:
A1
to
L
к Е,,
и
иН„
L
В формулах B7), B8), относящихся, соответственно,
колебаниям, П= Тг + 2, что, как показано в L16O3, связано с необхо-
необходимостью для стоячих волн в ОКДР для функций Лагерра иметь
на интервале Це 1-1, О] не менее двух нулей. Стало быть, нужны
полиномы Лагерра, начинающиеся с П = 2 и выше. Можно ука-
указать приближенные значения для первых корней -J из B 7) и "о из
B8): при П = 3
174
175
Собственная резонансная частота СКДР определяется, как показа-
показано в [1601, так:
D.3.29)
В последней формуле B9) величина ?2 обозначает соответственно
+ В. Ь/ ?п ягг*о -./ = —
величины ) или
^ ,
а через ^ обозначен параметр конфокальности:
-) =L/R (ср. § 4.2, формула D.2.5") и далее). В формулу B9) вхо-
входят, таким, образом, независимые параметры 0. и $. При } « 1 вмес-
вместо B9) можно написать следующее приближенное выражение для
резонансной частоты СКДР:
(kaJ«Qu (
n
Пользуясь теми же энергетическими соображениями, что и для
ОКЦР с бочкообразным зеркалом (§ 2.4, текст после формулы
B.4.10)), можно и для рассматриваемой здесь модели ОКДР по-
получить формулы для отношения добротностей двух "близких" типов
колебаний. Читатель без особых усилий может получить необходимые
соотношения самостоятельно.
Нетрудно показать, что полученные здесь результаты для собст-
собственных частот избранной модели ОКДР переходят при Q. -*¦ О в из-
известные формулы сферического открытого резонатора (§ 4.2), а при
¦^->0(R-»oo)-b формулы для радиальных ОКДР (§ 4.1).
2. Экспериментальное исследование ОКДР (по схеме рис. В.5, а).
Опытная модель резонатора содержала" два идентичных сферических
зеркала R = ~R = R = 100 мм диаметром 2.%= 100 мм. Внутрен-
Внутреннее зеркало было цилиндрическим с внешним диаметром 2й= 13 мм.
Возбуждение ОКДР осуществлялось волной Н , распространяющейся
в круглом волноводе с диаметром 12 мм, образующем внутреннюю
полость цилиндрического зеркала ОКДР через систему продольных
щелей, как и в модели ОКЦР рис. 2.3. Идентификация колебаний в
ОКДР по радиальному и азимутальным индексам производилась по
методу малого возмущающего тела из поглощающего материала. Пе-
Перестройка ОКДР по частоте происходила за счет изменения расстоя-
расстояния между сферическими зеркалами.
Тщательные измерения, проведенные в L1601, показали, что доб-
добротность основного типа колебания составляла величину порядка
5-10 - 1,2-10 (без специальных мер по ее увеличению). Рас-
Расхождение между измеренными и рассчитанными по формулам настоя-
настоящего параграфа значениями резонансных частот оказалось величиной
порядка 1,5°о.
176
§ 4.4. Диафрагменная линия и родственные ей ОКДР-структуры
Регулярная диафрагменная линия из круговых отверстий в безгра-
безграничных эквидистантно расположенных экранах (рис. В.7, й ) представ-
представляет собой простейший пример квазиоптической линии без фазовой
коррекции. Одновременно - это пример дисковой резонансной структу-
структуры, в которой колебания во внутренней цилиндрической области 1 <
< Q, "заперты" резонансами D.1.6) между экранами. Анализ дна—
фрагменной линии и ряда родственных ей структур (рис. В.7) в прин-
принципе ничем не отличается от процедуры, реализованной в § 4.2. Поэ-
Поэтому мы здесь приведем только некоторые наиболее интересные ре-
результаты.
Дисперсионное уравнение для диафрагменной линии из круговых
апертур диаметром 2й может быть получено, если записать поле в
линии в виде (ср. D.1.1), D.1.2))
.г)
(mi?) ex? (Ih
sin (mip) exp{id г),
где J [<?") обозначает функцию Бесселя, и удовлетворить граничным
условиям резонансного типа D.1.4) при t=H. При этом предпола-
предполагается, что цилиндрическая электромагнитная волна от кругового края
структуры отражается локально так же, как и волноводная волна плос-
плоского волновода от прямолинейного конца его; таким образом, локаль-
локально (при любом значении азимутального угла lj>) коэффициент отраже-
отражения снова представим в виде, аналогичном D.1.11) или D.1.12).
Учитывая эти обстоятельства, можно записать дисперсионное уравне-
уравнение для трехмерной диафрагменной линии в следующем виде (ср.?993):
где 2-U определяется формулой D.1.5). При написании B) опущен
член порядка произведения малых величин U и
Поступая с уравнением B) так же, как и с D.1.7), и принимая
во внимание, что й"/Э€'« 1 и М» 1, найдем приближенное выраже-
выражение для поперечного волнового числа зе :
цилиндр
М
цилиндр
где X ' - корни уравнения J^at) = О (цилиндрический волно-
волновод круглого сечения с идеальными границами).
177
h.' + Ь h" в линии получим
Для продольного волнового числа h,
следующие формулы:
Особого внимания заслуживает структура последней формулы (рав-
(равно как и формул для поперечных собственных чисел диафрагменной
линии, которые мы здесь не приводим), а именно: фазовая поправка
К к продольному волновому числу h определяется действительной
частью коэффициента (Ь\ а потери h напрямую связаны с Jh11.
Приведенный результат D) обладает достаточно большой степенью
общности: во-первых, в коэффициентах ft можно предварительно учесть
толщину зеркал и различный набег фаз волн в соседних ячейках С99].
Последнее обстоятельство может оказаться интересным для приборов
релятивистской дифракционной электроники, в которых пред-
предложено использовать не только регулярную диафрагменную линию, но
и различные варианты нерегулярных диафрагменных линий (рис. В.8).
Прежде всего, это - разноапертурная линия из эквидистантно располо-
расположенных апертур; ранее она использовалась для эффективной передачи
энергии между двумя апертурами. Теперь имеются сведения о воз-
возможности использования диафрагменной линии из равновеликих кру-
круговых диафрагм в не эквидистантно расположенных экранах для це-
целей ротятивистской дифракционной электроники tl50, 1511; там же
рассмотрены комбинированные варианты диафрагменной линии: разно-
разновеликие круговые отверстия в неэквидистантно расположенных экра-
экранах (рис. В.8, 4). Возможно, что в лазерных, например, устройствах
найдут применение диафрагменные линии типа показанной на рис. В.8, 1 ,
д , S. Общий подход к построению теории слабо нерегулярной диа-
диафрагменной линии на основе метода поперечных сечений развит в [991.
При этом в существенном используется переход к модели закрытой
линии г помощью ш-шедансных граничных условий резонансного типа
D.1.4). Вклад волн непрерывного спектра при таком подходе, естест-
естественно, не учитывается (ср., например, С 10, 274]).
Радиальные открытые резонаторы и их дифракционно связанные
системы (рис. В.4, В.7, 5 - е ) исследуются аналогичным образом.
Рассмотрим, для примера, ОКДР с имледансным стержнем (рис. В.4,5Ь
на поверхности которого поле удовлетворяет эквивалентным импеданс-
ным граничным условиям С991 при % = й :
н
(АЛ.5)
На открытом крае (при 1 = v ) поле должно удовлетворять импеданс-
ным граничным условиям резонансного типа D.1.4).
Выбирая для полей приТ.е( й, %) выражения D.1.2) и удовлетво-
удовлетворяя для них граничным условиям D.1.4) при t = % и E) при =-
178
= CL, получим дисперсионное уравнение относительно поперечного (ра-
(радиального) волнового числа 9?= W* + Idf":
Его можно упростить, если учесть, что и'Узе'« 1 и М»1. Это
дает возможность разложить в ряды по 9i" цилиндрические функции,
входящие в дисперсионное уравнение, разделить мнимые и действи-
действительные части уравнения и воспользоваться асимптотикой цилиндри-
цилиндрических функций уже действительной переменной. Такая процедура при-
приводит к следующей приближенной системе дисперсионных уравнений
подуоткр пояуоткр
для симметричных колебании Е„ и Н„ (индекс по-
луоткр" относится к ОКДР рис. В.4, Q, 0):
ТГ
t"U-u-TV-]+V;-o
> для
Н
полуоткр
tig
i-AVae'i
к*ч
Itn)
= 0
для
^пояуотхр
Определяя корни уравнений F) и G) по методу малых возмуще-
возмущений разложением в ряды левых частей первых соотношений в F) и
G) в точках Jii и 9; ( L - 1/2), l = 1, 2,... соответственно, полу—
полуоткр
чим для колебании магнитного типа п
м Г
м '
где
179
и для колебаний электрического типа Е
Oiq
где
Точность полученных формул - 0(М ) при условии малого импедан-
са ^в E): f^-lvf2.
В формулы (8) и (9) для приближенных решений уравнений F)
и G) обоощенные импедансы 0 и р входят асимметрично: они
уменьшают действительную 9е' часть для магнитных колебаний и уве-
увеличивают К для электрических колебаний, что связано с известным
смешением эффективной отражающей импедансной по-
поверхности A = & ) в зависимости от характера импеданса (т.е.
Q, > й или й. < IX). На этот эффект мы обращали внимание
в § 2.2 .
Формулы (8), (9) легко обобщаются на случай, когда импедансное
покрытие стержня занимает не всю его поверхность, а некоторую
часть, как, например, в оротроне на ОКДР, предложенном в работе
С861. Особенно простыми соотношения получаются, если импеданс—
ная вставка шириною 2L размещена в середине между зеркалами ОКДР,
разнесенными на 2(• Тогда по методу возмущений вместо (8) и (9)
получим:
^олуоткр
tit — 1
м
м
для
для
н.
(AV10)
щ%
где 6 = L/C - коэффициент заполнения поверхности стержня перио-
периодической структурой. При 0-*• О формулы (Ю) и A1) переходят
в соответствующие формулы для ОКДР с идеально проводящим стержнем,
а при G -* 1 - в формулы (8), ( 9).
/ Заметим, что указанное смещение эффективной отражающей
поверхности должно быть непременно учтено в конструкции ОКДР
соответствующим смещением участка реальной поверхности зеркала
(стержня). На этом мы останавливались в § 2.2.
180
Полученные в рассматриваемом приближении (априори высокодоб—
ротные колебания) формулы для действительной и мнимой частей ра-
радиального волнового числа (8), (9) обладают интересной особен-
особенностью: дифракционные потери определяются коэффициентами J5 и
колебания Н- и Е-типов имеют (особенно при малых ^ ) различную ра-
радиационную добротность. С ростом (? это различие постепенно исче-
исчезает и в "оптическом" случае ( Q,"*00 ) наступает поляризацион-
поляризационное вырождение (безразличие) электрических и магнитных
типов колебаний. Влияние реактивного импеданса на стержне ска-
сказывается на величине действительной части волнового (радиального)
числа, определяющего фазовую поправку. При v —»• О и tj -*¦ О
из формул (8), (9) непосредственно следуют значения 3f' и 9*"для
полуоткр полуоткр
Н„ и Е - колебании радиального резонатора с идеаль-
но проводящим стержнем.
Аналогично рассматривается и радиальный резонатор типа
рис. В,4, t (иногда его называют полузакрытым): удовлетворяя
для поля D.1.2) при Ч=й граничным условиям D.1.4), а при 1 =
= Т), например, идеальным граничным условиям, получим для радиаль-
радиального волнового числа следующие формулы:
j _
м
Ж =
J! для Н
1-й М
полузакр
м /
Формулы A2) и A3) имеют такую же структуру, как и ранее по-
полученные выражения (8) и (9).
Приближенные формулы (8) - A3) дают точность порядка 7% для
¦je' и 30% для ж". Это было установлено с помощью точных решений
уравнений типа (С), G), полученных на ЭЦВМ Ц1СЗЦ.
Резонансные ( комплексные ! ср. С 2351) частоты добротных ко-
колебаний исследованных осесимметричных структур определяются из
условия D.1.6), в котором малый параметр р ( |р| « 1) связан
с эе следующим образом:
. . .. (и'J + 1эе'зе"
Добротность Q. = й/кр" колебаний определяется так:
U..
A-Д Г
С А15")
В рассмотренном приближении нетрудно, кроме того, учесть поте-
потери в зеркалах резонаторов, вызванные либо неидеальностью материа-
181
ла зеркал, либо малой их прозрачностью, например, для целей воз-
возбуждения или вывода энергии из резонатора. Если комплексный коэф-
коэффициент отражения от зеркала есть R_ ( |Ra| ~ 1). т° комплексная
частота добротных колебаний резонатора определяется из уравнения
в котором комплексная добавка jD= fi -ifi" связана с коэффициен-
коэффициентом отражения R3 соотношением
(ср. [10, 173, 2433).
Описанная здесь процедура исследования характеристик добротных
симметричных колебаний осесимметричных открытых структур на ос-
основе импедансных граничных условий резонансного типа позволила
построить простые и достаточно точные аналитические выражения для
важнейших характеристик резонатора: добротности и фазовой поправ-
поправки. Соответствующие этим колебаниям поля и токи на зеркалах име-
имеют привычный вид (см., например, [10, 29, 99, 116, 126]). Ана-
Аналогичным образом можно рассмотреть широкий класс электродинами-
электродинамических систем типа открытых резонаторов с диэлектрическими трубка-
трубками, а также целый ряд других открытых структур. Получаемая при
таком подходе точность результатов в сочетании с их простотой поз-
позволяет надеяться на эффективное применение этого аппарата в тео-
теории различных резонансных структур, в частности к открытым резо-
резонаторам с неоднородным импедансом на зеркалах, анизотропным им-
импедансом и др.
§ 4.5. ОКДР с круговыми металлическими решетками
и диэлектрическими трубами
1. ОКДР с круговыми металлическими решетками, ось симметрии
которых совпадает с осью симметрии открытого резонатора (рис. В.4,ис),
представляют собой, на первый взгляд, более сложные структуры,
чем рассмотренные в предыдущих пунктах ОКДР. Действительно, те-
теперь необходимо на поверхности решетки A = 0.) удовлетворять
двухсторонним граничным условиям, а на открытом краю
резонатора ( 1 = % ) - условиям D.1.4) (см., например, [99, 162,
163]). Получающиеся на этом пути дисперсионные уравнения весьма
громоздки и сложны для анализа. Приближенные выражения для сим-
симметричных типов колебаний удалось получить в [163]. Так, для ре-
резонатора рис. В.4, ж с колебаниями Е_. , когда проводники решетки
перпендикулярны зеркалам ОКДР и ортогональная поляризация "не
удерживается" данной решеткой, действительная и мнимая части #
таковы:
14.5.1)
182
Здесь А и В представляют собою некоторые выражения, являющие-
являющиеся функциями }, Д,к? и параметров решетки (см. ?993, с. 129).
Как видно из формулы A), структура ее гораздо более сложная, чем
у ранее приведенных формул D.3.8) - D.3.13). Аналогичные фор-
формулы получаются и для ОКДР с круговой решеткой, плоскости ко-
колец которой параллельны плоскостям зеркал. В этом случае в ОКДР
имеют место добротные колебания магнитного типа Нр. и для них
Соотношения B), в принципе, подобны формулам D.4.8), D.4.9).
Возможен и несколько иной подход к анализу данного класса ре-
резонансных структур С162]. Покажем, что иногда система "частопе-
риодическая структура - открытый конец волновода", описываемая
одновременно двухсторонними граничными условиями (решетка) и им-
педансными граничными условиями резонансного типа (открытый ко-
конец волновода), может быть описана некоторым эквивалентным обра-
образом. Другими словами, при выполнении определенного условия коэф-
коэффициент отражения от открытого конца волновода с частой решеткой,
помещенной в. волноводе на некотором расстоянии 1 от его открытого
конца, может быть представлен в виде B.1.1). Стало быть, в этом
случае нет необходимости в численном решении сложных дисперсион-
дисперсионных уравнений.
Для этого рассмотрим полубесконечный плоский волновод с метал-
металлической решеткой, установленной перпендикулярно стенкам на рас-
расстоянии it от открытого конца( 1=0) волновода /. Коэффициент отра-
отражения падаюшей волны от открытого конца волновода представим в
виде D.1.12); обозначим его через Лу в отличие от коэффициента
отражения R волноводной волны от решетки (при 2 =~& ), который
в соответствии с [99] есть
R=-l-Lk(-{ +?3")=-l-i.hs«expCieH). (>5.3)
Коэффициент прохождения волны через решетку есть
l
Общий коэффициент отражения волноводной волны от системы "ре-
"решетка - открытый конец" можно представить так (см., например,
) Экран может, вообще говоря, обладать, кроме того, неболь-
небольшой прозрачностью, и тогда решение может быть записано через
функцию Вайнштейна от комплексного аргумента [242];
в случае идеального экрана это представление решения осуществля-
осуществляется либо с помощью обычной дифракционной функции Вайн-
Вайнштейна [248], либо с помощью обобщенной дзета-функции
Римана от комплексного аргумента [249, 250].
183
[243])*.
R-R.-
(A.5.5)
Расстояние d между открытым концом волновода и решеткой долж-
должно подбираться так, чтобы отрезок волновода был антирезонансным.
При этом 2d.h=5iN, N= 1, 2,..., и E) можно переписать так:
R=R,
Воспользуемся близостью волнового числа h набегающей волны
к нулю и представим R в виде
<-^3 . „ i-p/q, , . „
(A5.V)
Соответственно для коэффициента Прохождения можно записать сле-
следующее выражение:
. где
Теперь с учетом G) и (8) формулу F) можно переписать так:
LV st* IBs
6'+ib"
V . * IBs
B+t J JE,H'
или, вводя обозначение для второго члена в виде'i As, где
14.5.3)
представим (О) в искомом виде:
.5.10)
Запись коэффициента отражения в виде соотношения A0) позво-
позволяет (в антирезонансном случае 2dh= BN + 1Kп, N=0, 1, 2, ...),
во-первых, рассмотреть открытые ленточные резонаторы (волново-
(волноводы), образованные зеркалами и металлическими решетками. Во-вто-
Во-вторых, произведя с помощью A0) очевидную замену в эквивалентном
граничном условии резонансного типа D.1.12), можно рассмотреть
ОКДР с металлическими частопериодическими решетками, т.е., по
существу, воспользоваться готовыми результатами для характеристик
добротных колебаний дисковых структур с учетом формулы A0). Та-
184
кого рода подход особенно удобен, когда стенка резонатора образо-
образована многослойной решетчатой структурой. В следующем пункте мы
рассмотрим такой пример двухслойной диэлектрической стенки.
2. Дисковые резонансные структуры с диэлектрическими трубками
(рис. В.4, е ). Они позволяют одновременно увеличить добротность и
степень разрежения спектра добротных колебаний С 148, 157 - 159,
271, 244] '. Существо дела здесь таково. Рассмотрим свойства
трубчатого диэлектрического волновода С1573. Очевидно, что малым
погонным затуханием будут обладать те собственные волны, угол
Бриллюэна ¦&¦ которых стремится к нулю или достаточно мал. При
этом модуль коэффициента отражения R плоской волны от стенки ока-
оказывается близким к 1. Если обозначить через R иЕ коэффициенты отра-
отражения плоских волн, поляризованных перпендикулярно и параллельно
плоскости падения, то для системы из N параллельньгх диэлектричес-
диэлектрических слоев, каждый из которых имеет толщину
.13=0,1,2,...,
и отделен от соседних слоев промежутком
\ yu=0,l,2,...
Ct.5.11)
(при малых потерях в диэлектрике t"/t' « 1 и k(f'v-l в соответст-
соответствии cL157, 1581), будем иметь
.. . ?'-1'
Из приведенных соотношений видно, что даже в широком ( ко. »
¦Я> 1) волноводе малым затуханием будут обладать только низшие
типы волн (с малым значением <3"); волны высших номеров "высве-
"высветятся" из направляющей системы. Поле в волноводе описывается со-
соотношениями D.1.1) с естественной заменой зависимости от г мно-
множителем бегущей волны exp(lh. 2)и исключением из D.1.1) функ-
ций Неймана. Удовлетворяя при 1 = 0. граничным условиям (с учетом
A3) и A4)), получим дисперсионное уравнение типа
V*V*Wfi 0,5.15)
/ Определенными возможностями в этом отношении обладают дис-
дисковые диэлектрические резонаторы на во л нах шепчущей галереи
[246, 247].
185
в котором функции Fm ' определяют при тп= О соответственно
электрические (эл) и магнитные (м) волны. Разлагая A5) в ряды
по обратным степеням большого параметра кй, получим для членов
нулевой степени уравнение (ср. D.1.13))
L..AQCl)=0- D.5.1B)
- Обозначив корни A6) через 3f ,для членов первого порядка
получим С 157]:
On >
(.V5.18}
(A.5.19)
Отметим, что приведенные формулы для поперечных волновых чи-
чисел применимы только для канала (N= 1/2) ?157, 2711.
Имея в распоряжении волны регулярного диэлектрического волно-
волновода, можно перейти к ОКДР на его основе. В простейшем случае,
когда отрезок волновода длиною 2Z ограничен бесконечными плоски-
плоскими зеркалами, которые перпендикулярны оси волновода, резонансные
частоты определяются так [157]:
D.5.20)
где Ц, = 1, 2,... определяет, как и D.1.6), число полуволн, уклады-
укладывающихся между зеркалами.
Добротность резонатора (с учетом омических потерь в зеркалах)
есть С1573
i
где & — толщина скин-слоя в зеркалах. Для примера приведем дан-
данные С157]: при А= 9,2 мм, 0. = 5,25 см, 2t = 9,28 см резонатор
с медными зеркалами и однослойной стенкой из фторопласта ( ? =
2,О8 + t-40 ) толщиной 0 = 1,12 см на колебаниях типа ЕН
3 3 *Н
обладает добротностью л/ 20*10 (без диэлектрика й. ~ 5-10 ).
На рис. 4.21 приведены нормированные (к максимальному значе-
значению) усредненные экспериментальные результаты по измерению распре-
распределения квадрата магнитного поля основного @0(j) и высших (ЮО)
186
О 0,5 г/а 0 0,5 г/а
Рис. 4.21. Распределение квадрата магнитного поля ОКДР с плоски-
плоскими зеркалами и однослойной диэлектрической трубкой для трех низших
типов колебаний.
Рис. 4.22. Картины полей в поперечном сечении трубчатого диэлек-
диэлектрического волновода для. трех низших типов волн.
и @10) типов колебаний на зеркале ОКДР с плоскими зеркалами и
однослойной диэлектрической трубкой С158"]. Основное колебание (ООСр
имеет резонансную частоту 32,32 ГГц, а колебания A0lp и @11),) -
частоты 32,44 и 32,64 ГГц соответственно.
Следует отметить, что структура электромагнитного поля в регу-
регулярной диэлектрической трубке аналогична структуре поля в сплошном
диэлектрическом стержне. На рис. 4.22 показаны картины полей низ-
низших волн трубчатого диэлектрического волновода С IS 7]. Сплошными
линиями показаны силовые линии электрического, а штриховыми - маг-
магнитного полей. Применение диэлектрической трубы в ОКДР предпочти-
предпочтительнее по сравнению со сплошным цилиндром в силу значительно
меньших потерь и более разреженного спектра собственных волн.
Использование диэлектрического цилиндра приводит к заметному
разрежению спектра добротных колебаний. При этом собствен-
собственные частоты СО = СО - 1ш" в комплексной плоскости U) располагают-
располагаются на параболах (а не на прямых, как в плоском случае; ср. С 103)
CDUSt,
проходящих через точки Ыд
(Л5.22)
187
Применение двухслойных стенок с оптимальными параметрами су-
существенно повышает добротность ОКДР, которая в этом случае поч-
почти полностью определяется омическими потерями в зеркалах.
В заключение отметим некоторые особенности ОКДР с диэлектри-
диэлектрическими цилиндрами. Как показано в [157, 159], основная волна
ЕН близка к плоской волне, что облегчает ее возбуждение; она яв-
является невырожденной и существует не только в круглой трубе, но
и при различной форме поперечного сечения. Этим она выгодно отли- •
чается от волны Н„. в металлическом волноводе. В электродинами-
ческом отношении диэлектрические трубы являются открытыми систе-
системами и обладают их преимуществами. Сюда относится, прежде BceFo,
разреженность спектра волновых чисел, которая должна уменьшить
потери, связанные с перерождением волн. Так как диаметр труб зна-
значительно больше длины волны, то их можно использовать вплоть до
оптического диапазона [157 - 159].
§ 4.6. Колебания типа шепчущей галереи в ОКДР
1. Общие соображения. В ОКДР-структурах, показанных на
рис. В.4, В.7, возможны колебания (или волны) типа шепчущей га-
галереи. Например, они есть в дисковом открытом резонаторе (рис. В.4,0.
при & = О), в системе дисковых (рис. В.7, 0. при fl,= О) или кольце-
кольцевых открытых резонаторов [245], а также в стержне с ребрами
(рис. В.7, 5 ), в радиальном резонаторе (рис. В.4, ¦§ ) и т.п. Строго
говоря, при определенных условиях во всех ОКДР возможны колеба-
колебания шепчушей галереи (ср. колебания шепчущей галереи в дисковых
диэлектрических резонаторах L246, 247]). В настоящем параграфе
мы рассмотрим колебания типа шепчущей галереи для дискового от-
открытого резонатора (рис. В.4, & при й, = О) и системы дисковых
открытых резонаторов (рис. В.7,1 при CL = О). Разумеется, получен-
полученные результаты будут иметь отношение и к другим симметричным
структурам, если выполнены определенные условия. Действительно,
если радиус внутренней каустики ft колебания типа шепчущей гале-
галереи больше радиуса стержня в структурах рис. В.4, Z -Ж и В.7, 0., (f,
или больше диаметра внутреннего канала в кольцевом резонаторе
(рис. В.4, п.) или системе таких резонаторов (В.7, й, 6), то нали-
наличие стержня или отверстия на зеркале никак не скажется на режиме
колебаний шепчушей галереи.
Изучение колебаний (или волн) типа шепчущей галереи представля-
представляет интерес с нескольких точек зрения. Они используются в электро-
электронике СВЧ С1], способствуя разрежению спектра собственных частот
открытого цилиндрического резонатора по поперечному индексу СИ.
"Традиционные" волны шепчущей галереи существуют на вогнутой
поверхности, как бы "прилипая" к ней в некотором слое. Толщина его
определяется радиусом кривизны поверхности Q.= dtt) и длиною вол-
волны Л, а если поверхность является замкнутой, например представля-
представляет собою внутреннюю поверхность цилиндрической трубки, то и ра-
радиальным индексом С 192].
188
В отличие от "традиционной" трактовки колебаний шепчущей гале-
галереи, требующих для своего существования вогнутой направляющей по-
поверхности, такого рода режимы возможны и в открытых структурах.
Изучение колебаний, энергия которых сосредоточена на открытом краю
структуры, представляет, кроме самостоятельного интереса, как не-
некоторого нового класса решений, также интерес и с точки зрения ак-
актуальной ныне проблемы электромагнитной совместимости
радиотехнических и радиофизических систем. Дело в том, что такие
колебания могут достаточно эффективно возбуждаться в открытых осе-
симметричных структурах, а, стало быть, и создавать, в свою оче-
очередь, заметное паразитное излучение. Если осесимметричная
периодическая структура возбуждается электронным потоком, то пе-
перекачка энергии потока в энергию колебаний шепчушей галереи может
нарушить энергетический баланс прибора, что приведет к снижению
коэффициента полезного действия, нарушению процесса и режима груп-
группировки и т.п.
2. Характеристическое уравнение. Здесь рассмотрены колебания
типа шепчушей галереи на открытом конце осесимметричных струк-
структур типа дискового резонатора. В принципе аналогичное решение воз-
возможно и в более обшем случае, когда открытый конец структуры опи-
описывается более сложным образом, (например, как открытый резона-
резонатор с плоскими зеркалами эллиптической формы и т.п.).
Дисперсионное уравнение для интересующего нас случая дисковых
структур можно формально получить из формул D.1.2) и D.1.4),
исключив из рассмотрения функции Неймана. Оно имеет вид
Здесь
Ci.6.2)
Для колебаний шепчушей галереи характерно, что они имеют мес-
место при tnS>l и 36 ¦*¦ 1, когда ТГС~#, т.е. в дисперсионном уравне-
уравнении A) функции Бесселя можно заменить их дебаевскими асимпто-
асимптотическими разложениями через функции Эйри С186] (см. § 1.1).
Предварительно воспользуемся малостью мнимой части радиального
волнового числа 9i"(.Qt"/n' << 1) и разложим функции Бесселя, вхо-
входящие в дисперсионное уравнение A), в ряды по малому параметру
Эе". После этого в уравнении A) разделяются вещественные и мни-
мнимые части, и мы придем к следующему результату:
13.966
189
к к a.
Здесь
параметр
1; ф = 1. 2,...
Таким образом, фактически нужно решать одно трансцендентное
уравнение (первое соотношение в C)), поскольку "К" явным образом
выражается через V1 (второе соотношение в C)). Учитывая, что
fn ~ 9€' » 1, можно воспользоваться заменой
fn-?e
_
в которой V^} - функция Эйри. Результаты некоторых числен-
численных расчетов корней уравнения C) позволяют сделать некоторые вы-
выводы [2451. Дифракционные потери в системе дисковых резонаторов
меньше, чем в одиночном дисковом резонаторе. С физической точки
зрения это очевидно, поскольку энергия "рабочего" вида колебания
(например, колебания с минимальными потерями), рассеянная на от-
Рис. 4.23. Распределение тока
на зеркале ОКДР с плоскими зер-
^ / калами для колебания типа шеп-
§ /
0 ОМ - I чущеи галереи.
1 '
0,2
0,6
г/а
крытом конце в одиночном резонаторе, излучается во внешнее прост-
пространство и полностью теряется. Напротив, в системе большого числа
резонаторов (теоретически - бесконечно большого количества) часть
энергии, излученной из отдельной ячейки структуры, попадает в со-
соседние резонаторы и компенсирует в какой-то степени потери на из-
излучение. Формально это различие в дифракционных потерях в одиноч-
одиночном резонаторе и в системе резонаторов определяется разными зна-
значениями коэффициентов jb для этих структур.
Следует, впрочем, иметь в виду, что различие в дифракционных
потерях в отдельном резонаторе и системе резонаторов, строго гово-
говоря, имеет место при синфазном ( 1^ = О) возбуждении системы резо-
резонаторов. Положение меняется, если возбуждение соседних ячеек в
190
системе резонаторов сдвинуто по фазе. Коэффициенты Ji являются функ-
функциями 1?.
Описанная поляризационная теория колебания типа шепчущей га-
галереи содержит два параметра: размер зеркала кй и выраженное в
числе полуволн Л расстояние между зеркалами. Минимальными поте-
потерями обладают колебания с ft = 1, причем чем больше размер зер-
зеркала kfl, тем меньше дифракционные потери.
Добротность колебаний шепчущей галереи уменьшается с ростом
азимутального индекса колебаний Тп. При уменьшении Тп мы приходим
к обычным колебаниям дисковых открытых структур. Разумеется, при
малых значениях Тп формулы D) перестают быть справедливыми.
Распределение токов на зеркалах в дисковых структурах для ко-
колебаний шепчущей галереи подобно распределению электромагнитно-
электромагнитного поля волн шепчущей галереи в регулярной цилиндрической трубе.
При1е(с Q. ) поле имеет (по % ) колебательный характер, а для
t < Cm (внутри области, ограниченной каустической поверхностью
t = С ) поле экспоненциально спадает по мере приближения к оси
% = О. Естественное отличие распределения поля в дисковых струк-
структурах от полей шепчущей галереи, имеющих место на идеальных вог-
вогнутых поверхностях, состоит в том, что на открытом краю дисковой
структуры поле имеет конечную величину (рис. 4.23).
ДОБАВЛЕНИЯ
Д.1. Цилиндрические функции. Основные соотношения
Определение. Цилиндрические функции Z,(.Z) суть решения дифференциаль-
дифференциального уравнения Бесселя
в котором функция Z» обозначает либо функции Бесселя J\(Z), либо функ—
U 21
шш Неймана N, (Z), либо функции Ханкеля Н ' ("l") первого и второго
' 5
рода соответственно.
2к
Сд.О)
при нецелом
tl - натуральное число;
Некоторые функциональные соотношения. Рекуррентные формулы:
Следствия из рекуррентных формул:
1^1
Ul-7)
Z^tZ^ (-1) Z^W ( П - натуральное число).
192
^.Д.1.10)
Вронскиан:
Д.2. Модифицированные функции Матье первого
и второго рода
Четные функции:
к 2к
О
А Ве«
(Д.2.1)
Нечетные функции:
Do»
De
2
2 k-o
Do
U-2.21
С c-
Параметры Ь и ^ слева в формулах A), B) связаны с параметрами -ц
и V следующими соотношениями:
е5, 2v=Vs e"',
Эксцентриситеты проводников эллиптического волновода в связаны с па-
раметрами Е так:
Ц.2М
193
Производные модифицированных функций Матье:
Be
194
"°0
г Е (-1
{(и-
He
Do
Коэффициенты разложения функций Матье для малых S:
f fs1? 23/s\*
B) /.{ 2/sf_9i(lt+^
e
0
^
4
29
2fsf 1 /if
i)l
61733
D€
195
f i / a \2 i / s \s
f 5/sf
its
\ i (\
Д.З. Присоединенные функции Лежандра первого
и второго рода
Счет присоединенных функций Лежандра первого (Р (.ЭС1) и второго
(CL (Х~)~) рода велся по следующим рядям [2073:
Т COS——Я
81П-
Z
В формулах (Д.3.1) и (Д.3.2)
ческую функцию.
L"X) F\T2 ' 2 :'I'ai'
СД.1-2)
обозначает гипергеометрн-
72U6) 2880\.Ш
Do
8 720 UG/ "¦¦¦
-) _i/s/ ¦¦-¦a
i ¦tS') = Ъ \ЪГ.
77
б
б1зг) 12U2/ Ы]
~*~ * 13.50 \Ъ2)
Do9 ^—iwfe
196
ЛИТЕРАТУРА
1. Нефедов Е.И. Открытые коаксиальные резонансные структуры:
Обзор. - Радиотехн. и электрон., 1977, 22, № 9, с. 1769-1802.
2. Нефедов Е.И.,' Фиалковский А.Т. Открытые коаксиальные резо-
резонансные структуры: Обзор. - Радиотехн. и электрон., 1980, 25,
№ 1, с. 1-43.
3. Плодухин Б.В. Коаксиальные диапазонные резонаторы. - М.: Сов.
радио, 1956. 240 с.
4. Мегла Г. Техника дециметровых волн. - М.: Сов. радио, 1958.
464 с.
5. Курилин Б.И. Колебательные системы из отрезков фидерных ли-
линий. - Киев: Техника, 1969, 283 с.
6. Орлов СИ. Расчет и конструирование коаксиальных резонаторов. -
М.: Сов. радио, 1970. 254 с.
7. Прохоров A.M. О молекулярном усилителе и генераторе на суб-
субмиллиметровых волнах. - ЖЭТФ, 1958, 34, X? 6, с. 1658-1659.
8. Schawlow R.L., Tow Ties C.H. Infrared and optikal Tnasers.-
Phys. Rev., 1958, 112, №6, p. 19W-1949.
9. Dicke R.H. Molecular application anci. generation systems
and methods: US Patent 2851652, Sept. i.958.
10. Вайнштейн Л.А. Открытые резонаторы и открытые волноводы. -
М.: Сов. радио, 1966. 475 с.
11. Голант В.Е. Сверхвысокочастотные методы исследования плазмы. -
М.: Наука, 1968. 327 с.
12. Кравченко В.Ф.. Нефедов Е.И., Российский И.М. Использова-
Использование открытых резонансных структур в диагностике плазменных пото-
потоков. - В кн.: .Метрологическое обеспечение измерений высоких тем-
температур и параметров плазмы. - Харьков: Изд. ВНИИ метрологии,
1979, с. 34-35.
13. Пилипенко В.В., Половников Г.Г., Сологуб В.Г. и др. Новый
метод измерения диэлектрической проницаемости вещества в милли-
миллиметровом и субмиллиметровом диапазонах. - ЖТФ, 1969, 39, № 12,
с. 2203-2214.
14. Капица П.Л. Свободный плазменный шнур в высокочастотном поле
при высоком давлении. - ЖЭТФ, 1969, 57, № 6A2), с: 1801-186G.
15. Вайнштейн Л.А., Маненков А.Б. Коаксиальные резонаторы. -
Радиотехн. и электрон., 1973, 18, № 9, с. 1777-1784.
16. Кириленко А.А., Масалов С.'А., Шестопалов В.П. и др. Иссле-
Исследование спектра собственных частот магнитных типов колебаний в
цилиндрическом резонаторе с коаксиальным кольцевым выступом:
Препринт № 37 ИРЭ АН УССР. - Харьков, 1974. 53 с.
17. Буданов В.Е., Шестопало.в В.И., Шинкаренко В.Ф. Собствен-
Собственные колебания электрического типа в цилиндрическом резонаторе с
198
коаксиальным выступом: Препринт № 49 ИРЭ АН УССР. - Харьков,
1975. 41 с.
18. Гапонов А.В. К теории тонких антенн в полых резонаторах. - ЖТФ,
1955, 25, № 6, с. 1067-1084; Возбуждение полого резонатора
тонкими антеннами. - ЖТФ, 1955, 2_5, № 6, с. 1085-1099.
19. Вспомогательные элементы волноводных устройств: Обзор иностр.
патентов / Под ред. А.И. Жулева. - М., 1963.
20. Мериакри В.В. Фильтр паразитных волн в волноводе круглого се-
сечения. - Радиотехн. и электрон., 1962, 7, № 6, с. 1О42-1О44.
21. Веселков Г.П., Нефедов Е.И. Возбуждение кваэиоптической линии
через щель в открытом резонаторе. - Квант, электрон., 1974, 1,
№ 11, с. 2459-2464.
22. С а&р етs on L.V. CvliTiolTical laser Resonators.-1 Opt.ftoc.
Arner., 1973,63, №1, p. 25-29.
23. Пирогов Ю.А., Ряполов Н.Ф. Исследование полей в открытом вол-
волноводе с бочкообразными зеркалами. - Вестник МГУ: Физ., астрон.,
1978, 18, № 2, с. 18-23.
24. Kumagai N., Mori H., Yosiia K.I. A class of cylindrical Pabri-
Perot resonators.-MenVbers (.^hool of Engineering, Оьака Univer-
University), 1973, №112-117, p. 1160-11Б5.
25. Вайнштейн Л.А. Теория дифракции и метод факторизации. - М.:
Сов. радио, 1966. 431 с.
26. Арманд Н.А. Возбуждение поверхностных электромагнитных волн
открытым концом коаксиальной линии. - Радиотехн. и электрон'., 1959,
4, № 1О, с. 1609-1616.
27. Thiele-n H.T. Ein. Meh-rnioden-Koakeialerreger fur РагаЫДап-
tennen rnit nohem Flachenwirkungbgrau. UnoL geringer Uberstra-
lung.- Nach-richtentethn. Z., 1971, 24, №6, &.iO7-3l3.
28. Нефедов Е.И., Фиалковский А.Т. Открытый коаксиальный цилинд-
цилиндрический резонатор. - Изв. вузов: Радиоэлектрон., 1971, 1_4, № 10,
с. 1115-1122.
29. Нефедов Е.И., Фиалковский А.Т. Асимптотическая теория дифрак-
дифракции электромагнитных волн на конечных структурах. - М.: Наука,
1972. 2О4 с.
30. Нефедов Е.И., Фиалковский А.Т., Ваганов Р.Б. Фильтр высших
типов волн. - Авт. свид. СССР № 372605 от 01.03.71 (Бюлл.
откр., изобр., пром. образцов, товарн. знаков, 1973, № 13, с. 144).
31. Wenger N.C. Resonant ^гециепсу o? open-ended cylindrical
cavity.- IEEE Trans. MTT, 1967, 15, №6, p.ЪЪЧ-Ъ^о.
32. Буртовой Д.П., Мироненко В.Л. и др. Применение открытого
цилиндрического предельного резонатора для исследования плазмы. -
ЖТФ, 1970, 4О, № 7, с. 1378-1381; Расчет частот открытого
предельного резонатора прямоугольного поперечного сечения. - Ра-
Радиотехн. и электрон., 1970, 5, № 2, с. 389-391.
33. Векслер В.И., Саранцев В.П., Бонч-Ос мо ловски й А.Г. и др.
Коллективное линейное ускорение ионов. - Атомная энергия, 1968,
24, № 4, с. 317-323.
34. Воскресенский Г.В., Курдюмов В.И. Излучение электронного
кольца при пролете возле стыка двух круглых волноводов. - Изв.
вузов: Радиоэлектрон., 1971, 14, № 5, с. 778-787; Потери энергии
электронными кольцами при пролете через одиночный резонатор. -
ЖТФ, 1971, 41, № 1О, с. 2103-2110.
35. Иркегулов А.Ш., Уразаков Э.И., Швачка А.Б. Радиационные
потери релятивистского сгустка в ускорительном тракте с разрывами
волноводов: Препринт Р9-11Я97 ОИЯИ. - Дубка, 1978. 10 с.
199
36. Cap F., Deutsoh Я., Toroidal resonators lor electromagne-
tic waves.-IEEE Trans. MTT, 1978, 26, N" 7, рЛ7«-Ц86.
37. Deutsth "R. Toroidal resonator with a conducting, sepa-
separating wall.-IEEb Trans. MTT, 1979,27,№2, p. 172-178.
38. Веселков Г.П., Нефедов Е.И., Российский И.М. и др. Расчет
и экспериментальное исследование коаксиального открытого цилиндри-
цилиндрического резонатора. - Электронная техника: Электроника СВЧ, 1973,
№ 8, с. 76-81.
39. Нефедов Е.И., Российский И.М., Фиалковский А.Т. Возбужде-
Возбуждение открытого коаксиального резонатора через продольные щели в по-
поверхности внутреннего цилиндра. - Изв. вузов: Радиоэлектрон., 1974,
Г7, № 1, с. 121-122.
40. Hurl R.A. ТЪе iiell in a narrow circunifere-htial slot in
a coaxial waveguide.-Can. I. Phys., 1972., 51, №9, p. 91F-955.
41. Harrison J.W.C., King W.P.R. Excitation of a coaxial line
through a transverse slot.-IEEE Trans. EC, 1972, и,Щ, р. 107-U2.
42. Молотков В.В., Уразаков Э.И. Электромагнитное'возбуждение
коаксиальных волноводов с двумя разрывами. - Радиотехн. и элект-
электрон., 1976, 21, № 5, с. 963-972.
43. Ogiichi В. Circular electric mode directional coupler.— IEEE
Trans. MTT, 1960, 8, №6, p. 660-Б66.
44. Фельд Я.Н. Дифракция электромагнитной волны на двойных полубес-
полубесконечных несимметричных решетках. - Радиотехн. и электрон., 1964,
9, № 6, с. 950-959.
45. Knetsch H.D. A-nwenlung ler Methode der Orthogonal-
entwiclclung Ъе1 unendlich iiinnen BlendUn in Hohlleitern.-
Arch. Elektristh. iibertrag., 1969, 23, №7. • S. ЗЫ-368.
46. Веселков Г.П., Зимогляд О.П., Нефедов Е.И. и др. Открытый
кольцевой резонатор на полосковой линии. - Электронная техника:
Электроника СВЧ, 1973, № 9, с. 32-34.
47. Веселков Г.П., Зимогляд О.П., Нефедов Е.И. и др. СВЧ—резо-
СВЧ—резонатор. - Авт. свид. СССР № 450537 от 3.04.72 (Бюлл. откр.,
изобр., пром. образцов, товарн. знаков, 1974, № 42.
48. Литвиненко Л.Н., Осипова М.И., Сальникова Л.П. Расчет
характеристик ТЕМ-волн цилиндрических микрополосковых линий. -
Радиотехн. и электрон., 1976, 21, № 9, с. 1837-1843.
49а.Нефедов Е.И., Фиалковский А.Т. Полосковые линии передачи:
Теория и расчет типичных неоднородностей. - М.: Наука, 1974. 127 с.
49б.Нефедов Е.И., Фиалковский А.Т. Полосковые линии передачи:
2-е перераб. и доп. изд. — Электродинамические основы автоматизи-
автоматизированного проектирования интегральных схем СВЧ. - М.: Наука, 1980.
310 с.
50. Нефедов Е.И., Фиалковский А.Т., Чайка В.Е. Коаксиальный
открытый резонатор. - Авт. свид. СССР № 449405 от 15.09.72
(Бюлл. откр., изобр., пром. образцов, товарн. знаков, 1974, № 41,
с. 122).
51. Нефедов Е.И., Российский И.М., Фиалковский А.Т. и др.
Открытый коаксиальный цилиндрический резонатор с цилиндрическим
внешним зеркалом и внутренним зеркалом в виде гиперболоида вра-
вращения. - Радиотехн. и электрон., 1974, 19, N° 12, с. 2629-2632.
52. Фиалковский А.Т., Чайка В.Е. Коаксиальный открытый резонатор,
образованный бочкообразным внешним и цилиндрическим внутренним
зеркалами. _ Изв. вузов: Радиофиз., 1972, 1J>, N» 1, с. 117-125.
53. Мае лов В.П., Воробьев Е.М. Об одномодовых открытых резона-
- торах. - ДАН СССР, 1968, Г79, № 3,с. 558-561.
200
54. Nagentnirarn Р., Си Hen A.L. A microwave barrel
resonator for permittivity measurement on dielectric rods.-
•Ртос. 1ЕЕ.Е, 197*1, 62., №11, рЛЫЗ-Ш^:
55. Вилкова Л.П., Нефедов Е.И. Теория и расчет коаксиальных откры-
открытых резонаторов. - В кн.: Численные методы решения внутренних
краевых задач электродинамики, Минск, 1975, с. 61.
56. Гапонов А.В., Петелин М.И., Юлпатов В.К. Индуцированное
возбуждение классических осцилляторов и его использование в высоко-
высокочастотной электрокике. - Изв. вузов: Радиофиз., 1967, ИЗ, № 9-10,
с. 1414-1453.
57. Быков Ю.В., Гапонов А.В., Петелин М.И. К теории МЦР-усили-
теля с бегущей волной и поперечным электронным потоком. - Изв.
вузов: Радиофиз., 1974, Г7, № 8, с. 1219-1223.
58. Петелин М.И., Резников М.Г. Селекция мод в коаксиальных резо-
резонаторах с гофрированными стенками. - В кн.: Тезисы докладов
УЧ1 Межвузовской конференции по электронике СВЧ. - Ростов-на-
-Дону, 1976, с. 52.
59. Шестопалов В.П. Дифракционная электроника. - Харьков: Виша
школа, 1976. 232 с.
60. Суслов Н.Н., Шестопалов В.П. Генератор дифракционного излуче-
излучения. - Авт. свиц. СССР № 347833 от 3.04.70 (Бюлл. откр., изобр.,
пром. образцов, товарн. знаков, 1972, № 24, с. 173).
61. Нефедов Е.И. Генератор дифракционного излучения. - Авт. свид.
СССР № 472598 от 21.03.73 (Бюлл. откр., изобр., пром. образ-
образцов, товарн. знаков, 1976, № 18, с. 191).
62. Нефедов Е.И. Коаксиальный оротрон. - Изв. вузов: Радиофиз., 1977,
20, № 11, с. 1740-1743.
63. Антаков И.И., Власов С.Н. и др. МЦР-генераторы с механической
перестройкой частоты. - Электронная техника: Электроника СВЧ,
1975, № 8, с. 20-25.
64. Нефедов Е.И., Российский И.М. и др. Открытый коаксиальный
резонатор. - Авт. свид. СССР № 472408 от 30.07.73 (Бюлл.
откр., изобр., пром. образцов, товарн. знаков, 1975, № 20, с. 118).
65. Нефедов Е.И. О дополнительном разрежении спектра собственных
частот открытого цилиндрического резонатора. - Радиотехн. и элект-
электрон., 1974, 19, № 5, с. 1094-1096.
66. Власов С.Н., Загрядская Л.И., Орлова И.М. Открытые коакси-
коаксиальные резонаторы для гиротронов. - Радиотехн. и электрон., 1976,
21, № 7, с. 1485-1492.
67. Власов С.Н. О дополнительном разрежении спектра открытых коакси-
коаксиальных резонаторов при использовании колебаний с низшими азимуталь-
азимутальными индексами. — Радиотехн. и электрон., 1979, 24, № 11, с. 2353-
2356.
68. Власов С.Н., Загрядская Л.И., Петелин М.И. Резонаторы и вол-
волноводы с модами шепчущей галереи для мазеров на циклотронном ре-
резонансе. - Изв. вузов: Радиофиз., 1973, 1в, № 11, с. 1743-1750.
69. Каценеленбаум Б.З. Теория нерегулярных волноводов с медленно
меняющимися параметрами. - М.: Изд. АН СССР, 1961, 216 с.
70. Авербах B.C., Власов С.Н., Таланов В.И. Методы селекции типов
колебаний в открытых квазиоптических системах. — Изв. вузов: Радио—
физ., 1967, 10, № 9-10, с. 1333-1357.
71. Краснушки н .П.Е., Мустель Е.Р. О поверхностных электромагнит-
электромагнитных волнах на вогнутой металлической поверхности. _ ДАН СССР,
1946, 54, № 3, с. 211-214.
201
72. Нефедов Е.И. и др. Открытый коаксиальный ш встраиваемый резо-
резонатор. Экспериментальное исследование. - Электронная техника: Элект-
Электроника СВЧ, 1974, № 12, с. 114-117.
73. Дубровский П.Е., Леонтьев В.В., Пирогов Ю.А. Эксперимен-
Экспериментальное исследование радиальных типов колебаний в коаксиальном
открытом резонаторе миллиметрового диапазона. - В кн.: Тезисы док-
докладов Всесоюзн. симпозиума по приборам, технике и распространению
миллиметровых и субмиллиметровых волн в атмосфере. - М., 1976,
с. 97 - 101.
74. Нефедов Е.И., Российский И.М. Об одной возможности использо-
использования дисперсионной аномалии волн Н^в коаксиальных и биконических
волноводах. - Радиотехн. и электрон., 1979, 2_4, № 2, с. 236-241.
75. Москалев И.Н., Петров В.П., Стефановский А.И. Применение
открытых бочкообразных резонаторов для исследования плазмы. - ЖТФ,
1970, 40, №8, с. 1692 - 1700.
76. Кирдяшев К.П., Потапов А.В., Цветкова Л.Е. и др. Исследо-
Исследование высокочастотных колебаний в ускорителе неравновесной плаз-
плазмы. - Физика плазмы, 1976, 2, № 4, с. 542-548.
77. Болотовский Б.М., Воскресенский Г.В. Дифракционное излуче-
излучение. - УФН, 1966, 88, № 2, с. 209-251; Излучение заряженных
частиц в периодических структурах. - УФН, 1968, 94, № 3, с. 377 - 416
78. Русин Ф.С. Линейная теория оротрона. - В кн.: Электроника больших
мощностей. - М.: Наука, 1968, с. 9-37.
79. Русин Ф.С, Богомолов Г.Д. Оротрон как генератор миллиметрово-
миллиметрового диапазона. - В кн.: Электроника больших мощностей. - М.: Наука,
1968, с. 38-58.
80. Вайнштейн Л.А., Солнцев В.А. Лекции по СВЧ электронике. -
М.: Сов. радио, 1973. 400 с.
81. Денисов А.И., Чайка В.Е. Нелинейный расчет резонансного гене-
генератора О-типа с волной неизменной амплитуды при наличиии потерь. -
Изв. вузов: Радиоэлектрон., 1972, 15, № 8, с. 1022-1026.
82. Власов С.Н., Орлова И.М. Квазиоптический преобразователь волн
волновода кругового сечения в узконаправленный волновой пучок. -
Изв. вузов: Радиофиз., 1974, 1/7, № 1, с. 148-154.
83. Кура ев А.А. СВЧ приборы с периодическими электронными потока-'
ми. - Минск: Наука и техника, 1971, 310 с; Теория и оптимизация
электронных приборов СВЧ. - Минск: Наука и техника, 1979. 334 с.
84. Цейтлин М.Б., Фурсаев A.M., Бецкий О.В. СВЧ усилители со
скрещенными полями. - М.: Сов. радио, 1978. 280 с.
85. Балаклицкий И.М., Воробьев Г.С., Вягин Г.И. и др. Отража-
Отражательный генератор дифракционного излучения. - Электронная техника:
Электроника СВЧ, 1977, № 10, с. 106-108.
86. Нефедов Е.И., Оленин В.Д. Оротрон. - Авт. свид. СССР № 624318
от 8.06.76 (Бюлл. откр., изобр., пром. образцов, товарн. знаков,
1978, № 34, с. 172.)
87. Нефедов Е.И., Оленин В.Д., Российский И.М. Открытый коакси-
коаксиальный эллиптический резонатор нового типа. - Письма в ЖТФ, 1980,
6, № 3, с. 138-141.
88. Нефедов Е.И. Открытые коаксиальные резонансные структуры. -
Квант, электрон., 1974, .1, № 12, с. 2567-2575.
89. Иванов Е.А. Дифракция электромагнитных волн на двух телах. -
Минск: Наука и техника, 1968. 583 с.
90. Веселков Г.П., Войтович Н.Н., Нефедов Е.И. Открытые резона-
резонаторы с отверстиями на зеркалах и дифракционной связью. - В ки.:
Аннотации докладов У Всесоюэи. симпозиума по дифракции и распрост-
распространению волн. - Л.: Изд. ЛГУ, 1970, с. 36.
91. Li Т., 2 иске г Н. Modes ot a FaVty-Petot resonator with
output-coupling apertures.-]". Opt.4ot. Amet., 1967,57, №8, ц98Ц-986.
92. Ананьев Ю.А. Оптические резонаторы и проблема расходимости
лазерного излучения. - М.: Наука, 1979, 328 с.
93. Нефедов Е.И. и др. Дифракционные потери симметричного открыто-
открытого резонатора с зеркалами круглой формы и концентрическими отвер-
отверстиями в них. - Электронная техника: Электроника СВЧ, 1968, № 8,
с. 81 - 85.
94. Войтович Н.Н., Нефедов Е.И. Открытые резонаторы с кольцевым
вырезом в одном из зеркал. - Изв. вузов: Радиофиз., 1969, 1^2, № 4,
с. 626-628.
95. Войтович Н.Н., Нефедов Е.И. Осесимметричный открытый резона-
резонатор с произвольными квадратичными зеркалами и кольцевым вырезом
в одном из зеркал. - Радиотехн. и электрон., 1970, 1^5, № 2,
с. 391-394.
96. Иванов В.А., Лейкин А.Я., Павлов В.Г. и др. О снятии вырожде-
вырождения колебаний в лазере наСО . - Радиотехн. и электрон., 1973,
18, № 5, с. 1080-1082.
97. Власов С.Н., Таланов В.И. Конфокальный резонатор с отверстиями
на зеркалах. - Радиотехн. и электрон., 1970, 1_5, № 11, с. 2383-
2385.
98. Нефедов Е.И., Сивов А.Н. К оптимизации энергетической диаграм-
диаграммы направленности излучения из щели в плоском экране. - Радиотехн.
и электрон., 1971, 16, № 2, с. 423-425.
99. Нефедов Е.И., Сивов А.Н. Электродинамика периодических струк-
структур. - М.: Наука, 1977. 208 с.
100. Фельд Я.Н., Бахрах Л.Д. Современное состояние теории синтеза
антенн. - Радиотехн. и электрон., 1963, _8, № 2, с. 187-205.
101. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных за-
задач. - М.: Наука, 1979. 286 с.
102. Крылов К.И., Балошин Ю.А., Аверьянов Н.Е. Влияние на вы-
выходную мощность отверстия связи резонатора газового лазера на СО,,,
работающего в режиме возбуждения микросекундными импульсами
тока. - Изв. вузов: Приборостроение, 1973, 1J3, № 3, с. 122-127.
103. Прокопенко В.Т., Богданов М.П. Влияние отверстия связи в
зеркале резонатора на мощность излучения лазера на основе С0а.—
Труды Ленингр. ин-та точн. механ. и опт., 1970, вып. 67 (Вопр.
квант, электрон.), с. 98-104.
104. Гордеев Д.В., Гримблатов В.М., Остапченко Е.П. и др. О
возможности применения резонатора с отверстием в зеркале в ионных
ОКГ на аргоне. - Радиотехн. и электрон., 1969, 1_4, № 9, с. 1637-
1-640.
105. itroiig J. Procedures tor itifrareol spectroscopv.- Appl. Opi.,
1972,11, №10, p. 233i-23b6.
106. Сцравочник по волноводам: Перевод с англ./Под редакцией Я.Н. Фель-
да. - М.: Сов. радио, 1952. 431 с.
107. Балашов И.Ф., Беренберг В.А., Ермаков Б.А. Шелевой вывод
излучения из резонатора лазеров. - Квант, электрон., 1976, 3_,
№ 10, с. 2176-2180.
108. Кис люк М.Ж. Расчет коэффициента связи двух резонаторов. - Тру-
Труды учебных ин-тов связи, 1969, № 43, с. 91-98.
109. Богомолов Г.Д., Маиенков А.Д. Взаимодействие колебаний в
202
203
открытом резонаторе со сферическими зеркалами. - Изв. вузов: ра-
диофиз., 1971, 1J, № 5, с. 748-753.
110. Алексеева А. Н., Остапенко Е.П., Теселкин В. В. Анализ ак-
активного оптического резонатора с отверстием в зеркале. - Ж. прикл.
спектроск., 1973, 18, № 5, с. 816 - 820.
111. Freiberg R.J., Chenausky P.P., Buczelc С. J. New iata
on unstable i>esonatOT$.- Laiar Focus, 197b, 9., N»5, p. 59-63.
112. Пименов Ю.В., Снег Л.Н. Излучение кольцевой щели, прорезан-
прорезанной в идеальном проводящем диске большого радиуса. - Радиотехн.,
1970, 25, № 7, с.32-38.
113. Басов Н.Г., Беленов Э.М., Летохов B.C. Дифракционная синхро-
синхронизация оптических квантовых генераторов. - ЖТФ, 1965, 35 № 6
с. 1098-1105. ' " '
114. Беленов Э.М., Летохов B.C. К теории связанных оптических
квантовых генераторов. - ЖТф, 1965, 35, № 11, с. 2126-2128.
115. Карлов Н.В., Мартиросян P.M. Об одной схеме квантового
парамагнитного усилителя со связанными резонаторами. - РЪдио-
техн. и электр., 1965, 10, № 4, с. 673-675.
116. Курушин Е.П., Нефедов Е.И., Фиалковский А.Т. Дифракция
электромагнитных волн на анизотропных структурах. - М.: Наука,
1975, 196 с.
117. Saien A.A.M. An adjustable quasi-optical bandpass filter.-
IEEE Trans. MTT, 1974, ?2, №7, р.72в-?39.
118. Виноградов Е.А., Дианов Е.М., Ирисова Н.А. Интерферометр
Фабри - Перо короткого миллиметрового и субмиллиметрового диапа-
диапазонов с металлическими сетками. - Письма в ЖЭТФ, 1965, 2, № 7,
с. 323-326. ~
119. Грацианов К.В., Мак А.А., Парамонов и др. О критичности к
деформациям резонаторов с переменным по сечению пропусканием
призменных зеркал. - В кн.: Квантовая электроника, 1973, № 6A8),
с. 101-104.
120. Е пи шин В.А. Осесимметричные открытые резонаторы с неоднородно
полупрозрачным выходным отражателем. - Укр. физ. ж.; 1976, 21,
№ 9, с. 1562-1564.
121. Епишин В.А. Об аналитическом исследовании квазиоптических резо-
резонаторов с неоднородными отражателями. - Радиотехн. и электрон.,
1977, 22, № 8, с. 1727-1731.
122. Епишин В.А. Открытые резонаторы с отверстиями в отражателях. -
Квант, электрон., 1978, 5, № 6, с. 1263-1271.
123. Любимов Л.А., Веселое Г.И. К расчету электромагнитных полей
методом частичных областей. - Радиотехн., 1965, 20, №1, с. 24-
26.
124. Wu V.S., R оь en Ъаит F.J. Мойе chart for nncTostrip ring
resonatoTs.-IEEE Trans. MTT, 1975,21, №7, p. 487-489.
125. Мандельштам Л.И. О применении интегральных уравнений к тео-
теории оптического изображения. - Поли. собр. трудов. - М.: Изд.
АН СССР, 1948, т. 1, с. 229-241.
126. Нефедов Е.И. Волны и добротные колебания в открытых электро-
электродинамических структурах: Докторск. диссертация, М., 1975. В над-
заг.: ИРЭ АН СССР.
127. Литвиненко Л.Н., Просвирнин С.Л., Шестопалов В.П. Элект-
Электродинамические характеристики щелевого волновода. - Радиотехн. и
электрон., 1974, 19, № 3, с. 520-527.
128. Be the Н.А. On small hole diffraction theory.- Phys. T?ev.,
1944, 66, № 7-8, p- 163-182.
204
129.
13C.
131.
132.
133.
134.
135.
136.
137.
138.
139.
140.
141.
142.
143.
144.
145.
146.
147.
148.
149.
150.
151.
14 966
Курушин Е.П., Нефедов Е.И. Применение тонких монокристалли—
ческих пленок ферритов в устройствах СВЧ-микроэлектрокики. -
Микроэлектрон., 1977, Q, с. 547-559.
Christian I., (Joubau &. йоте measurements on ati iris
Ъеат waveguide.- Proc TRE, 1961, 49, №11, p. 1679-1680.
Ваганов Р.Б., Войтович Н.Н. Нерегулярности лучевода диафраг-
менного типа. - Радиотехн. и электрон., 1966, 1J., N° 2, с. 339-
342.
Вершинина Л.Н., Лагунов А.А., Шевченко В.В. Исследование
квазиоптических линий в субмиллиметровом диапазоне волн. - Радио-
Радиотехн. и электрон., 1968, 1J3, № 2, с. 346-348.
Вуд Р. Физическая оптика. - Л. - М.: ОНТИ, 1936. 895 с.
Фокс А., Ли Т. В кн.: Лазеры: Пер. с англ./Под ред. М.Е. Жабо-
тинского и ТЛ. Шмаонова. - М.: ИЛ, 1963, с. 325-362.
Нефедов Е.И. Некоторые вопросы теории распространения электро-
электромагнитных колебаний в широких нерегулярных волноводах и открытых
линиях: Автореф. канд. дисс. - М., 1965. В надзаг.: ИРЭ АН СССР.
Веселков Г.П., Нефедов Е.И., Фиалковский А.Т. К теории
регулярной диафрагменной линии. - Радиотехн. и электрон., 1974,
19, № 3, с. 488-493.
De M., Lit J.W.Y., Тг е тп Ъ 1 а у R. Multiaperture focusing
technique.- Appl. Opt., 196&, 7, N, p. 48Ь-484.
Lit J.W.Y., ТгетпЫау R. Theory of cascaded-apertures
Aiffraction.-J. Opt. uoc. Amer., 1969, 59, №5, p.559.
Lit J.W.Y., Rooy D.L.V. Hybrid lens beam waveguide.-
Appl. Opt., 1973, 12, № 4, p. 749-753.
Otisd-., Lachambre J.-L., Lavi gn e P. Focusing o? laser
beams Ъу a &e<iuece of irie.es.- Appl. Opt., 1979,18,№6, р8?5-Ш.
Ваганов Р.Б., Веселков Г.П. Разноапертурная диафрагменная
линия. - Радиотехн. и электрон., 1976, 21, № 10, с. 2203-2205.
Серебряный Р.В. Движение центра тяжести и изменение ширины
волновых пакетов. - ЖЭТФ, 1950, 20, № 12, с. 1130-1140.
Ваганов Р.Б. Траектории энергетического центра волнового пуч-
пучка. - Радиотехн. и электрон., 1970, 1_5, № 10, с. 2016-2023.
Checcacci P.F., Falciai К., UcheggiA.M. Circular bends
in dielectric frame beam vaveguides.-lEEE Trans. MTT, 1974,
22, №5, p. 576-578.
Cbtccacci P.T., Scneggi A.M. D.ielectric frame beam
waveguiue.-Proc. IEEE, 1971, J59, №6, p. 1024-1025.
fheccacci P. F., Falciai R., 6ch e g g i A.M. Moolea and
losses of a four-mirror ring resonator.-IEEE Trans. MTT, 1974,
22,N»7, p. 751-752.
Cneccacci P.F., Falciai R., U с "h e g g i A.M. Phase step
beam waveguiae.-IEEE Trans. MTT, 1972,20, № 9, p. 608-615.
Consort ini A., Ronchi L., Toganaz^i Я. Open beam
waveguides-, theory.-Appl. Opt., 1975, 14, №7, р.1565-|571.
Нефедов Е.И. Дифракция электромагнитных волн на 'диэлектричес-
'диэлектрических структурах. - М.: Наука, 1979. 272 с.
Ряполов Н.Ф. Исследования открытых коаксиально-цилиндрических
систем дифракционной электроники: Автореф. канд. дисс. - М.,
1978. В надзаг.: МГУ.
Лопухин В.М., Пирогов Ю.А., Ряполов Н.Ф. Коаксиально-ци-
линдрический ГДИ с диафрагменной решеткой. - В кн.: Тезисы док-
докладов И Всесоюзн. симпозиума по миллиметровым и субмиллимет-
субмиллиметровым волнам. - Харьков, 1978, т. 'J., с. Я2 - ;K.
205
152. Канавец В.И., Ряполов Н.Ф., Сандалов А.Н. и др. Исследова-
Исследование открытых электродинамических систем релитивистской дифракци-
дифракционной электроники. - Вестник МГУ: Физ., астрой., 1979, 20, № 1,
с. 38-46.
153. Пирогов Ю.А., Ряполов Н.Ф., Симонов Н.А. Дифракция цилинд-
цилиндрических волн на кольцевых периодических структурах. - Вестник
МГУ: Физ., астрон., 1979, 20, № 4, с. 60-68.
154. CbaUerjee S.K., Agrawal V.D., Chatterree R.
Reactance -modLulatecl dielectric roi waveguide.- J.Insin.
Engrs (India), {968, <j|, №5, Part 2, p. lflS-ИЛ.
155. Lovis D. WellenausVreituTig auf oHeneti -perioai&cnen
Sc'heibe-nleHuTigeTi.-Ai-ch.Ele'ktTiiCh. Ubei4ra?., 1972, 06, N"9,SA0i-«7.
156. Андреев В.Г. Открытый объемный резонатор для электромагнитных
колебаний радиотехнического диапазона волн. - ЖТФ, 1966, 34,
№ 10, с. 1851-1859.
1Г7. Мелехин В.Н., Маненков Б.А. Диэлектрические трубы - открытые
волноводы с малыми потерями и редким спектром. - В кн.: Электро-
Электроника больших мощностей. - М.: Наука, 1969, вып. 6, с. 161-178.
158. Маненков А.Б. Открытые резонаторы с диэлектрическими стенка-
стенками. - Изв. вузов: Радиофиз., 1971, 14, с. 606-612.
159. Казанцев Ю.Н., Маненков А.Б., Харлашкин О.А. Полые ди-
диэлектрические и металло-диэлектрические волноводы для передачи
быстрых Н-волн. - Изв. вузов: Радиофиз., 1974, 17, № 10,
с. 1529-1538.
160. Российский И.М. Открытый коаксиальный дисковый резонатор. .
В кн.: Тезисы докладов П Всесоюзн. симпозиума по миллиметровым
и субмиллиметровым волнам. - Харьков, 1978, т. 1, с. 282-283.
161. Курушин Е.П., Нефедов L-.И. К теории связанных открытых резо-
резонаторов. - Укр. физ. ж., 1967, 12, № 6, с. 957-962.
162. Нефедов Е.И. К аналитической теории дисковых открытых резонанс-
резонансных структур с металлическими решетками. - ДАН СССР, 1 977, 28 i,
№ 3. с. 567-5G9.
163. Вилкова Л.П., Нефедов Ь.Н. Открытые радиальные резонаторы.
Симметричные колебания. - Изв. вузов: Радиофиз., 1978, 2_1, № 2,
с. 181-187.
164. РгаЪЪауаЧч А. &., Chatterree Ё..К. Theory о? opeti
"microwave resonator witb an axial corrugated metal rod..-
J". Indian Inst.'&ci., iSVi, 5i, КЧ. p 3>rs-S5<<.
165. НаЪ-п H., uoiaatei-n С , Bauer W. От. the theory ot
irisT.oau.edl waveg-uiles.-ATcl\.'E'leXtriutb.Uberlrag.,i9?6, 30,
№ 7-8, a- 297-102.
166. Дубровка Ф.Ф., Найденко В.И. Электродинамические характерис-
характеристики коаксиала с диафрагмами на проводниках. - Изв. вузов: Радио-
Радиоэлектрон., 1975, 18, N» 10, с. 4 2-49.
167. Жук М.С., Молочков Ю.Б. Проектирование линзовых, сканирующих,
широкодиапазонных антенн и фидерных устройств. - М.: Энергия,
1973. 440 с.
168. Казначеев Ю.Н. Широкополосная дальняя связь по волноводам. -
М.: Изд. АН СССР, 1959, 86 с.
169. Ваганов Р.Б., Матвее.в Р.Ф., Мериакри В.В. Многоволновые
волноводы со случайными нерегулярностями. - М.: Сов. радио,
1972. 232 с.
170. Вальднер О.А., Собенин Н.П., Зверев Б.В. и др. Справочник
по диафрагмированным волноводам. - М.: Атомиздат, 1969. 374 с.
171. Вайнштейн Л.А. Электромагнитные волны. - М.: Сов. радио, 1957.
581 с
206
172. Шестопалов В.П., Литвиненко Л.Н., Масалов С.А. и др.
Дифракция волн на решетках. - Харьков: Изд. ХГУ, 1973. 288 с.
173. Нефедов Е.И., Фиалковский А.Т» Открытый резонатор. — Авт.
свид. СССР № 362380 от 05.07.71 (Бюлл. откр., изобр., пром.
образцов, товарн. знаков, 1973, № 2, с. 121).
174. Федоров Н.Н. Основы электродинамики. - М.: Высшая школа,
1965. 328 с.
175. Советов Н.М., Авербух М.Э. Разностные бесселевы функции и
их применение в технике. — Саратов: Изд. Саратовского ун-та,
1968. 174 с.
176. Lee С.й.., Christian R. High-order -modes in a square coaxial
waveguide.-Proe. IEEE, 1973,61, №12, p. 175^-1755.
177. Вилкова Л.П., Нефедов Е.И., Яковлева Г.Д. Волноводные волны
коаксиальной линии. - Радиотехн. и электрон., 1975, 2C, N° 1,
с. 95-102.
178. Арманд Н.А., Нефедов Е.И., Фиалковский А.Т. К теории от-
открытого коаксиального цилиндрического резонатора. - Изв. вузов:
Радиоэлектрон., 1973, 16, № 11, с. 5 7-62.
170. Арманд Н.А., Нефедов Е.И., Фиалковский А.Т. Таблицы соб-
собственных чисел симметричных ТМ и ТЕ волн коаксиального волно-
волновода с импедансным внутренним проводником. - М.: Изд. ИРЭ
АН СССР, 1973. 57 с.
180. Garau.lt Y., Fi-av С. Electromagnetic-wave propaeation in
the ring line.-IEEE Trans. MTT, 197^,22, № 2, p 92-99.
181. Poinso^t A.. Tables ei iiapammes universele. des resonances
4e cavites coaxiales ou concentriquAS,.- Rev. Phva a-pt>l 1979 U
№2,.p. i(A5-A50. л * F '—'
182. Нефедов Е. И., Российский И.М. О дополнительном разреже-
разрежении спектра собственных частот открытого коаксиального цилин-
цилиндрического резонатора. - Письма в ЖТф, 19 78, 4 № 2 с 102 -
104.
183. Нефедов Е.И., Российский И.М. Теоретическое и эксперимен-
экспериментальное исследование открытых резонаторов с рассеивающими зер-
зеркалами. - В кн.: Тезисы докладов И Всесоюзн. симпозиума по мил-
миллиметровым и субмиллиметровых: волнам. - Харьков, 1078, т. 1
с. 278-279.
184. Нефедов Е.И., Российский И.М. Открытый коаксиальный резона-
резонатор нового типа. - ДАН СССР, 1978, 241, > 4, с. 312-814.
185. Нефедов Е.И., Российский И.М. Новый класс открытых резо-
резонансных структур. - Письма в ЖТФ, 1979, 5, № 5, с. 261 - 204.
186. Фок В.А. Проблемы дифракции и распространения электромагнитных
волн. - М.: Сов. радио, 1970. 517 с.
187. Смирнов А.Д. Таблицы функций Эйри и специальных вырожден-
вырожденных гипер геометрических функций. - М.: Изд. АН СССР, 1955.
261 с.
188. Яковлева Г.Д. Таблицы функций Эйри и их производных. - М.: Нау-
Наука, 1969, 377 с.
189. Грей Э., Мэтьюз Г.Б. Функции Бесселя
механике. - М.: ИЛ, 1953.
190. Справочник по специальным функциям: Пер. с англ./Под ред. В.А. Дит-
кина и Л.Н. Кармазиной. - М : Наука, 1979. 830 с.
191. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики, т. Т . -
М.: Гостехиздат, 1951. 476 с.
192. Бабич В.М., Булдырев B.C. Асимптотические методы в задачах
дифракции коротких волн. - М.: Наука, 1072. 4ГN с.
207
их приложения к физике и
193.
194.
195.
196.
197.
198.
199.
200.
201.
202.
203.
204.
205.
206.
207.
208.
209.
210.
211.
212.
208
¦Poi-nton A.J., Woodman K.T. A coaxial cavity for -measuring
the dielectric properties of hi?h permittivity materials.-
T.Phys. E: &ci. Itibtru-m., 197i, 4, №3, p.208-212.
Vij ay ar a gha van 6., Arora-R.K. Scaiteri-ng of a
Surface wave in a coaxial waveguide Ъу a wall impedance
discontinuity.- IEtE Trans. KTT, 1971, 19, №8, p. 736-739.
Arora R.K., VijayaraghavanS., Maolhavan R. Modes
ot propagation in a coaxial waveguide with lossless reactive
guiding surfaces.-IEEE Тта-ns. MTT, 1972, 20, №S, p.2iO-2H.
Waldron R.A. Co-m-ma-nts on "Modes of propagation in a
toaxaal Waveguide with lo&slesb-reactive gu.iaT.-hp surfaces".-
IEEE Trans. MTT, 1973>, 21, N'l, p. ?i-62,
Rffolter P., Ka с h A. Die Eigenfrequensen der {Consent-
risch von einer Metallhiille in ЪеХаЪг^етп Abstand ui-nschlos-
se-nen dielectrischen Kugel.- Arch. Elektrisch. Ubertrac., 1973,
27, №10, b. «S-^U. Ь
Wong J.y. On th& theory of coaxial trans-mission line consisting
of elliptic conductors.- Can. J. Phys., i9S6,JJj, №4, p. 35^,-361.
King, M.J., Wilts e J. C. Coaxial trans-mi&sioti lines o?
elliptical cross section.-IRE Trans.. AP, 1961, _9, №1,p.116-118.
Мак—Лахлан Н.В. Теория и приложения функций Матье: Пер. с
англ./Под ред. И.Н. Денисюка. - М.: ИЛ, 1953. 475 с.
Таблицы для вычислений функций Матье. — Библиотека математичес-
математических таблиц, вып. 42. - М.: ВЦ АН СССР, 1967. 279 с.
Иларионов Ю.А., Маркова С.А., Сморгонский В.Я. Вычисле-
Вычисление модифицированных функций Матье первого рода. - Гос. фонд
программ, № ПОО1415, М.: ВНИВЦ, 1975.
Власов С.Н., Жислин Г.М., Орлова И.М. и др. Открытые резо-
резонаторы в виде волноводов переменного сечения. - Изв. вузов: Радио—
физ., 1969, 12, № 8, с. 1236-1244.
Ерофеенко ВТ. Связь между основными решениями в цилиндричес-
цилиндрической и сферической системах Координат (с одинаковыми началами
координат) для некоторых уравнений математической физики. - Диф-
Дифференциальные уравнения, 1973, _9, К? 7, с. 1310-1317.
ОЪег h е tt in g e r F., BreslerR.F. El-ectro-mag-netic
fieldea vn the presence o? ideally tondlucting cotiical structu-
structures.- Z. angew. Math. u. Phys.,1971, 22, №5, 6.937-950.
Виякова Л.П., Нефедов Е.И. Волны бнконического рупора. - Ра-
диотехн. и электрон., 1979, 2Л. N» 6. с. 1017-1026.
Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов
и произведений. — М.: Физматгиз, 1962. i 1 00 с.
Хенл X., Мауэ А., Вестпфаль К. Теория . ифракции: Пер. с нем./
Под ред. Г. Д. Малюжинца. - М.: Мир, 1964.
Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. - М.: Физматгиз,
1963.
Бузик Л.М., Гаплевский В.В., Суворов А.Н. Экспериментальное
исследование резонансных свойств открытого коаксиального цилиндри-
цилиндрического резонатора, возбуждаемого шелью. - В кн.: Тезисы докладов
уш Межвузовской конференции по электронике СВЧ. - Ростов-на-До-
Ростов-на-Дону, 1976, с. 67.
Загускин В.Л. Справочник по численным методам решения уравне-
уравнений. - М.: Физматгиз, 1960. 216 с.
Кураев А.А., Ковалев И.С., Колосов СВ. Численные методы
оптимизации в задачах электроники СВЧ. - Минск: Наука и техника,
1975. 295 с.
213. Квазиоптика: Избр. аокл. на межцунар. симпоз.; Пер. с англ. и
нем./Под ред. Б.З. Каценеленбаума и В.В. Шевченко. — М.: Мир,
1966. 504 с.
214. Лазеры: Оптические когерентные квантовые генераторы и усилители:
Пер. с англ./Под ред. М.Е. Жаботинского и Т.А. Шмаонова. - М.:
ИЛ, 1963. 470 с.
215. Сыровой В.А. Точное решение задачи о формировании кругового
конического пучка заряженных частиц. - ЖТФ, 1976, 46, № 4,
с. 889-892.
216. Barlow H.M.. Screed surface waves of, the cLipole family m
a coaxial waveguide.-Т.РЪуь.D: Appl. P>iys., 1972,j[, №6, plOW-
10Ь2.
217. Гайдук В.И., Нефедов Е.И. Кулоновское поле и волны пространст-
пространственного заряда во вращающемся трубчатом потоке, направляемом
магнитным полем. — Радиотехн. и электрон., 1971, 16, N» 10,
с. 1873-1886.
218. Вилкова Л.П., Гайдук В.И., Нефедов Е.И. Взаимодействие не-
осесимметричного трубчатого винтового потока с незамедленными
волнами в цилиндрическом волноводе. - Изв. вузов: Радиоэлектрон.
1971, 14, № 9, с. 1009-1021.
219. Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы теоретической физики: Пер. с
англ./Под ред. СП. Амилуева, Н.С Кошлякова, А.Д. Мышкиса,
А.Г. Свешникова. - М.: ИЛ, т. 1, 1958. 930 с; т. 2, 1960. 886с.
220. Lin F.-L.C. MoAal characteristics of crossed rethtangulaT
Waveguides.-1ETE Tra-ns. MTT, 1977, 25, N'9, p. 756-763.
221. Кравченко В.Ф., Нефедов Е.И. Об одном методе решения краевых
задач электродинамики для областей сложной формы. - ДАН СССР,
1979, 248, № 1, с. 74-77.
222. Осипов А,А. Распространение трехмерных акустических возмущений
в каналах трехмерной площади поперечного сечения при частотах,
близких к частоте отсечки. — Изв. АН СССР: Механика жидкости и
газа, 1980, № 6, с. 149 - 159.
223. Нефедов Е.И., Хубларян М.Г. Протекание осесимметричного вин-
винтового потока через канал заданного профиля. - Изв. АН СССР:
Механика и машиностроение, 1964, № 3, с. 173-176.
224. Wolfe P. diffraction of a scalar Ъу a plane screen.- STAM
I.Ap-pl. Math., 1966, 14, N'l, p. 577-599; A new approach to
edge diffraction.-SIKM Г. Appl. Math., 1967,15, №6, -p. i« 1,-11,63.
225. Салтыков П.Г. К обоснованию коротковолновых приближений в за-
задаче о дифракции волн на плоском экране. - Ж. вычисл. матем. и
матем. физ., 1974, 14, № 1, с. 145-156.
226. Knoppil< N. Der GutefactOT von Mvkrostrip-Resonatoren.-
Arch. Elektriscb. Ubertrag., 1976,30, №2, &. 49-58.
227. Капица П.Л., Филимонов СИ., Капица СП. Двухрядный ниготрон
большой непрерывной мощности. - В кн.: Электроника больших мощ-
мощностей. - М.: Наука, 1969, вып. 6, с. 7-36.
228. McNice СТ., Derr V.E. A-nalysi.5 of the cylindrical coniocal
laser reso-nator having a single circular coupling apertu-
те.-IEEEJ-. uua-nt. Eltct-ron., 1969, 5, №2, p. 56 9-57f-, Relati-
Relative poweT losses at the -mirrors oi an. asi-mptotic, coniocal
la&er inte*?e-TO-meter.- J. Opt. Ьос.Атпег., 1370, jjp_, №ft, P.1035-
229. Белуга И.Ш. Расчет аксиально-симметричных открытых резонато-
резонаторов со сферическими зеркалами. - Электронная техника: Электроника
СВЧ, 1068, К» 12, с. 18 - 28.
209
-resonator
230. Власов С.Н., Таланов В.И. О селекции аксиальных типов колеба-
колебаний в открытых резонаторах. - Радиотехн. и электрон., 1965, 10,
№ 3, с. 552-554.
231. В о-у 1 &.D., Kogelnic H. Generalised coniocal
theory-Bell a.Vst. Tecnn. J.,1962,M., N4, p. lV(
232. МиСитоЪет D.E. Eigen modes of a symmetric cylindrical
confocal laser resonator and their -perturbation Ъу outtiut-
С0У-?^1?& apertures.- Bell Svst. ТесЪп. J., 1965, M, №2,
¦p. 333-36 3; Eigenmodes ol ati abym-metric cy linOrical
ccmf-ocal laser resonator with a single output-toupling aper-
aperture.-Bell Svst- Tectm. X., 1969, MS, №6, p. 1919-1936.
233. Енишин В.А., Киселев В.К. Плоскопараллельный открытый резона-
резонатор с круглыми зеркалами, в центрах которых находятся отверстия
для вывода излучения. - Радиотехн. и электрон., 1971, 1_6, № 11,
с. 2027-2031.
234. Войтович Н.Н., Кидисюк А.И., Ровенчак А.И. Численная реали-
реализация обобщенного метода собственных колебаний в задачах о двумер-
двумерных резонаторах сложной формы. - В кн.: Теория дифракции и распро-
распространения волн. - М.: Наука, 1977, т. 1, с. 221-224.
235. Войтович Н.Н., Ка цене ле нбау м Б.З., Сивов А.Н. Обобщенный
метод собственных колебаний в теории дифракции. - М.: Наука, 1977,
416 с.
236. Веселков Г.П., Войтович Н.Н., Нефедов Е.И. и др. Открытый
резонатор цилиндрического типа с двумя продольными щелями. -
Электронная техника: Электроника СВЧ, 1972, № 4, с. 24-32.
237. Ка це не л е нб ау м Б.З., Семенов В.В. Синтез фазовых корректо-
корректоров, формирующих заданное поле. - Радиотехн. и электрон., 1967,
12, № 2, с. 244-252.
238. Баскаков СИ. Возбуждение лучевого волновода. - Радиотехн. и
электрон., 1964, 9, № 4, с. 607-615.
239. Вайнштейн Л.А. Связанные колебания объемных резонаторов. -
В кн.: Электроника больших мощностей. - М.: Наука, 1964, вып. 3,
с. 216-230.
240. Гобсон Е.В. Теория сферических и эллипсоидальных функций: Пер. с
англ. СВ. Фомина. - М.: ИЛ, 1952. 476 с.
241. Комаров И.В., Пономарев Л.И., Славянов СЮ. Сфероидальные
и кулоновские сфероидальные функции. - М.: Наука, 1976.
242. Курушин Е.П., Нефедов Е.И. Дифракция на открытом конце плос-
плоского волновода со слегка прозрачными стенками. - ДАН СССР,
1974, 217, № 5, с. 1049-1052.
243. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. - М.: Изд. АН СССР,
1957. 502 с; М.: Наука, 1973. 343 с.
244. Взятышев В.Ф. Диэлектрические волноводы. М.: Сов. радио, 1970.
214 с.
245. Нефедов Е.И. Колебания типа шепчущей галереи в открытых диско-
дисковых резонансных структурах. - Радиотехн. и электрон., 1975, 20,
№ 3, с. 14 98-1501.
246. Власов С.Н. О колебаниях "шепчущей галереи" в открытых резона-
резонаторах с диэлектрическим стержнем. - Радиотехн. и электрон., 1967,
12, № 3, с. 527-573.
247. Добромыслов B.C., Взятышев В.Ф. Диэлектрические резонаторы
с волнами шепчущей галереи. - Труды Моск. энергетич. ин-та, 1973,
вып. 161, с. 78-84.
248. Нефедов Е.И. Пятизначные таблицы дифракционной U(E>,p) функции
Нлйиштейна. - М.: Нчукя, 1909. 160 с.
210
249. Войтович Н.Н., Нефедов Е.И., Фиалковский А.Т. Пятизначные
таблицы обобщенной дзета-функции Римана от комплексного аргумен-
аргумента. - М.: Наука, 1970. 192 с; Пятизначные таблицы произведений
обобщенной дзета-функции Римана от комплексного аргумента. - М.:
Изд. ИРЭ АН СССР, 1970, 188 с.
250. Веселое Г.И. Метод частичных областей для электродинамических
задач с некоординатными границами (продольно регулярные систе-
системы). - Докторск. дисс. - М., 1971. В нацзаг.: МВТУ.
251. Зельдович Я.Б., Райзер Ю.П. Физика ударных волн и высокотем-
высокотемпературных гидродинамических явлений. - М.: Физматгиз, 1963.
632 с. .
252. Ватажин А.Б., Любимов Г.А., Регирер СА. Магнитогидродина-
мические течения в каналах. - М.: Наука, 1970. 672 с.
253. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. - М.:
Наука, 1967. 300 с.
254. Фиалковский А.Т. К теории открытых резонаторов, образованных
параллельными дисками. - ДАН СССР, 1966, 16>8, № 6,с. 1300-
1302.
255. Курушин Е.П., Нефедов Е.И. К теории связанных открытых резо-
резонаторов. - Укр. физ. ж., 1967, 12, № 6, с. 957-962.
256. Weiaoti J. 0. Coaxial cavity radio frequency turning
circuit navvng a toroioLai-shaped electrode to ef?ect tu-
ning,.-[USK Utiitel utates patent]. Пат. США, к.п.^.019, 982,
2.8.1977.
257. Зим or л яд О.П., Нефедов Е.И. Проволочная решетка малого перио-
периода в запредельном волноводе. - Радиотехн. и электрон., 1977, 22,
№ 10, с. 2207-2208.
258. Гуляев Ю.В., Кураев А.А., Нефедов Е.И. и др. К задаче опти-
оптимизации коаксиального оротрона. - ДАН СССР, 1981, 257, № 2,
349-352.
259. Нефедов Е.И., Оленин В.Д. Теория и машинное проектирование
коаксиальных оротронов. - В кн.: Тезисы докладов Щ Всесоюэн.
симпозиума по миллиметровым и субмиллиметровым волнам. - Горь-
Горький, 1980, т. 1, с. 29.
260. Цейтлин М.Б., Бернашевский Г.А., Котов В.Д. и др. Анализ
работы оротрона в нелинейном режиме. - Радиотехн, и электрон.,
1977, 22, № Т, с. 1515-1518.
261. Польский Ю.Е. Оптические резонаторы мощных газовых лазеров. -
В кн.: Итоги науки и техники: Радиотехника. - М.: Изд. ВИНИТИ,
1980, т. 21, с. 116-323.
262. В г а с к е 1 тп ain-n W. Die Urenzfrequenlae"n von "hoheren
Wellentypen im KoaxialVabel mit eliiptibcnem duerschnitt.-
АтсЪ. ElektrUch. tbertrag., 1967, 21, №8, U.A2i-it26.
263. Суетин П.К. Классические ортогональные многочлены. - М.: Наука,
1973.
264. В-атсон Г.Н. Теория бесселевых функций: Пер. с англ./Под ред.
В.А. Фока. - М.: ИЛ, 1949. 798 с.
265. Афонин A.M., Канавец В.И., Черепенин В.А. Высокоэффектив-
Высокоэффективное направленное синхротронное излучение интенсивного потока реля-
релятивистских электронных осцилляторов. - Радиотехн. и электрон.,
1980, 25, № 9, с. 1945-1956.
266. Щукин А.Н. Распространение радиоволн. - М.: Связьиздат, 1940.
400 с.
267. Казанцев Ю.Н. Расчет характеристик открытых резонаторон. - Изв.
вузов: Радиофиз.; 196 7, К), № Л, с. 518-529.
211
268. Косарев Е.Л., Циненюк Ю.М. Вынужденные колебания открытого * 286.
резонатора, связанного с волноводом малым отверстием. - В кн.: -
Электроника больших мощностей. - М.: Наука, 1968, вып. 5, с. 105-
116.
269. Маненков А.Б. Исследование открытых резонаторов с концентрацией 287.
поля. - В кн.: Электроника больших мощностей. - М.: Наука, 1968,
вып. 5, с. 64-80. 288.
270. Черненко В.М. Экспериментальное исследование бочкообразного
открытого резонатора. - В кн.: Электроника больших мощностей. - 289.
М.: Наука, 1968, вып. 5, с. 81-92.
271. Маненков А.Б. Затухание быстрых волн в диэлектрических трубах. - ' 290.
Радиотехн. и электрон., 1977, 22, № 10, с. 2043-2051.
272. Маненков А.Б., Мелехин В.Н. Расчет квазиодномодовых оптичес- 291.
ких волокон с селективно отражающим многослойным покрытием. -
Радиотехн. и электрон., 1979, 24, № 7, с. 1282-1290. 292.
273. Богомолов Г.Д. Открытые резонаторы в восьмимиллиметровом
диапазоне. - В кн.: Электроника больших мощностей. - М.: Наука,
1964, вып. 3, с. 154-175. 293.
274. Маненков А.Б. Возбуждение открытых периодических волноводов. -
Изв. вузов: Радиофиз., 1976, 1J3, № 2, с. 263-270. 294.
275. Шевченко В.В. Плавные переходы в открытых волноводах. - М.:
Наука, 1969. 192 с.
276. Кравченко В.Ф., Нефедов Е.И. Магнитные волны в волноводах 295.
с односвязным поперечным сечением сложной формы. - ДАН СССР,
1981, 256, № 5, с. 1097-1100. 296.
277. Кисунько Г.В. Электродинамика полых систем. - Л.: Изд. Всесо-
Всесоюзной Краснознаменной академии связи, 1949. 426 с.
278. Фельд Я.Н. Основы теории щелевых антенн. - М.: Сов радио, 1948. 297.
279. Веселое Г.И., Любимов Л.А. К теории двухслойного диэлектри-
диэлектрического волновода в цилиндрическом экране. - Радиотехн. и элек-
электрон., 1963, 8, № 9, с. 1530-1541. 298.
280. Веселое Г.И. Двухслойный волновод эллиптического сечения. - Ра-
Радиотехн., 1967, 22, № 9, с. 42-49.
281. Веселое Г.И., Семенов С.С. К теории круглого волновода с 299.
эксцентрично расположённым металлическим проводником. Радиотехн.
и электрон., 1970, 15, № 4, с. 815-818; Критические параметры
экранированного трехслойного волновода. - Радиотехн., 1970 25, 300.
.Y> 2, с. 61 - 68. ' '
282. Веселое Г.И., Дегтярева В.П. Метод частичных областей в за- 301.
даче о сильно возмушенном резонаторе: Сб. кратких текстов докла-
докладов YJ. Всесоюзн. симпозиума по дифракции и распространению 302.
волн. - Москва - Ереван: Наука, 1973, кн. 2, с. 117.
283. Веселое Г.И., Платонов Н.И. Электродинамика прямоугольного
волновода, содержащего многослойный диэлектрический стержень 303.
круглого сечения. - Электронная техника: Ферритовая техника, 1968,
№ 2; Критические условия прямоугольного волновода, содержащего 304.
двухслойный диэлектрический стержень круглого сечения. - Радиотехн.,
1969, 24, № 8, с. 53-57.
Веселое Г.И., Платонов Н.И. К теории диэлектрического волново-
волновода эллиптического сечения в прямоугольном экране. Сб. трудов Воро— 305.
нежского политехи, института "Генерирование и усиление колебаний". -
Воронеж, вып. 2, 1969. 306.
Веселое Г.И., Гайдар В.И., Дегтярева В.П. К расчету волново-
волноводов Г-образного поперечного сечения. В сб. трудов Воронежского
политехи, ин-та, Воронеж, 1972, вып. 6, с. 241.
284.
285.
212
Зелинский Ю.Г., Кравченко В.Ф., Попов В.В. Особенности пере-
перестройки по частоте биконических резонаторов СВЧ диапазона. - В кн.:
Труды метрологических ин-тов СССР, вып. "Метрологические вопросы
прикладной электродинамики". - Л., 1978, с. 18-26.
Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике: Пер. с
англ./ Под ред. О.С. Рыжова. - М.: Мир, 1972. 274 с.
Вычислительные методы в электродинамике/Под ред. Р. Митры: Пер.
с англ./Под ред. Э.Л. Бурштейна. - М.: Мир, 1977. 485 с.
Никольский В.В. Вариационные методы для внутренних задач элект-
электродинамики. - М.: Наука, 1967. 460 с.
Гулд С. Вариационные методы в задачах о собственных значениях:
Пер. с англ./Под ред. В.Б. Лидского. - М.: Мир, 1970. 328 с.
Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. - М.: Наука,
1977. 456 с.
Михлин С.Г. Численная реализация вариационных методов. - М.:
Наука, 1966. 432 с; Прямые методы в математической физике. -
М.-Л.: Гостехиздат, 1950. 428 с.
Левин Л. Современная теория волноводов. - М.: ИЛ, 1954.
215 с.
Литвиненко Л.Н., Просвирнин С.Л., Шестопалов В.П. Числен-
Численный метод для решения линейных уравнений с фредгольмовым операто-
оператором: Препринт № 21 ИРЭ АН УССР. - Харьков, 1972. 27 с.
Численные методы в физике плазмы/Под ред. А.А. Самарского. - М.:
Наука, 1977. 264 с.
Литвиненко Л.Н. Метод последовательных уточнений для решения
бесконечных систем линейных алгебраических уравнений. - ДАН СССР,
1972, 203, № 1, с. 64-68.
Зоммерфельд А. Теория дифракции. - В кн.: Франк Ф., Мизес Р.
Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики. -
Л.-М.: ОНТИ, 1937, гл. 20, с. 849-902.
Малюжинец Г.Д. Некоторые обобщения метода отражений в теории
дифракции синусоидальных волн: Автореф. докт. дисс. - М., 1951.
В надзаг.: ФИАН СССР.
Миллер М.А., Таланов В.И. Использование понятия поверхностно-
поверхностного импеданса в теории поверхностных волн. - Изв. вузов: Радиофиз.,
1961, 4_, № 5, с. 795-830.
Марченко В.А., X рус лов Е.Я. Краевые задачи в областях с мел-
мелкозернистой границей. - Киев: Наукова думка, 1974. 270 с.
Рвач ев В.Л. Методы алгебры логики в математической физике. -
Киев: Наукова думка, 1974. 259 с.
Рвачев В.Л., Слесаренко А.Л. Алгебра логики и интегральные
преобразования в краевых задачах. - Киев: Наукова думка, 1976.
287 с.
Рвачев В.Л., Рвачев В.А. Неклассические методы теории прибли-
приближений в краевых задачах. - Киев: Наукова думка, 1979. 196 с.
Кравченко В.Ф., Костычев Ю.Г. Применение структурного мето-
метода к расчету волновода с неоднородным магнитодиэлектрическим
заполнением. - Изв. вузов: Рациоэлектрон., 1974, V7, № 9,
с. 93-96.
Бочаенко И.Н., Тимофеев А.Ю. К вопросу расчета тепловых по-
полей. - Инж.-физ. ж., 1977, 32, № 6, с. 1109-1114.
Алимов Ш.А., Ильин В.А., Никишин Е.М. Вопросы сходимости
кратных тригонометрических рядов и спектральных разложений. -
УМН, 1976, 31, № 6A92), с. 28-83; 1977, 32, № 1A93),
с. 107-130.
213
307. Титчмарш Э.Ч. Разложения по собственным функциям, связанные
с дифференциальными уравнениями второго порядка: Пер. с англ./Под
ред. Б.М. Левитана. - М.: ИЛ, 1961, т. 2.
308. Hahn W.С. ft new -method let- Vhe calculation of cavity
resonators.-1. Appl.Phys., 1941, 12, №1, p. 62-68.
309. Краснушкин П.Е., Ломнев С.П. Методы точного расчета однород-
однородных ячеистых волноводов. - Радиотехн. и электрон., 1966, 11, N° 6,
с. 1051-1065.
310. Веселов Г.И., Платонов Н.И. Анализ экранированной МПЛ с уче-
учетом особенностей поведения поля на ребрах полоскового проводника. -
В кн.: Сборник научных трудов по проблемам микроэлектроники. - М.:
МИЭТ, 1976, вып. 32 (СВЧ измерительная техника), с. 3-26.
311. Веселов Г.И., Платонов Н.И., Слесарев Е.С. Об учете особен-
особенностей электромагнитных полей в методе частичных областей. - Ра-
Радиотехн., 1980, 3J5, № 5, с. 27-31.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Акустика геометрическая 146
Анализатор спектра 29
Аналогия электрогидродинамичес—
кая 6, 146
Антенна 16, 17, 28, 46
Аттенюатор 19, 29
Бесселя функции разностные 55,
66
Бриллюэна угол 185
Бубнова — Галеркина метод 35 — 37
Вавилова - Черенкова излучение 21
Вайнштейна система парных интег-
интегральных уравнений 97, 10 9
— функция дифракционная 103, 110,
184
— - — комплексного аргумента 183
Вариационный метод 3, 35 - 38,
45
Взаимодействия пространство 13,
24, 25, 117, 135, 138, 139
, скачок 13, 24, 25
Винера — Хопфа — Фока метод 19,
42, 61, 95, 154
Возбудитель коаксиальный много-
модовый 17
Возбуждение резонатора 17, 22,
102, 133 - 135, 164
Воздухозаборник 145
Возмущений (малых) метод 3, 34,
35, 103, 153, 158, 170
Возмущения акустические 145,
146
Волна быстрая 20, 28, 29, 54
- высшего типа 3, 4, 17, 26,
54 - 94
- квазисобственная 10
— магнитная, поведение аномаль-
аномальное 3, 54, 61, 70 - 76
- медленная 28
Волна плоская (ТЕМ) 17, 54,
188
Волна поверхностная 11, 16, 39
- приграничная (приповерхностная)
4, 73 - 75, 80 - 85, 140 -
146
- шепчущей галереи 19, 20, 62,
63. 69, 75, 141
Волновод биконический 3, 4, 54,
85 - 94, 126-130, 142
- диэлектрический 29, 186, 187
- запредельный 125
- квадратный 54
- квазиоптический 17, 34
- коаксиальный 3, 4, 6, 17, 18,
20, 25, 54 - 94, 104, 151
круговой (цилиндрический) 3,
20, 25, 54, 83, 84
с импедансным проводником 3,
76 - 80
эллиптический 3, 25, 54, 80 -
85, 193
- крестообразный 75, 144, 145
- круглый (цилиндрический) 19,
21, 22, 24, 26, 69, 70, 151
- открытый 6, 2 9, 30
- П-образный 7 5
- плоский 111, 183
- прямоугольный 75, 142, 144
- слабонерегулярный 10, 13, 41,
71
- Ш-образный 75, 144
- щелевой 26
Волномер 19, 21, 105
Вырождение волн (колебаний) 25,
26, 58, 64, 65, 181
Галеркина метод (см. Бубнова -
Галеркина метод)
Гапонова антенны тонкой теория
16
- резонанса циклотронного идея 21
Гармоника пространственная 25,
27, 28, 137
- синхронная 137
215
ГДИ-режим ОКЦР 117 - 121, 134
Гельмгольца уравнение 30, 50, 55,
80, 85, 96, 123
Генератор излучения дифракционно-
дифракционного (ГДИ; см. Оротрон)
- квантовый, синхронизация дифрак-
дифракционная 2 6
- МЦР (см. МЦР-приборы)
- СВЧ 26, 28, 61
Гёльдера неравенство 52
Гипербол софокусных семейство 80
Гиперболоид вращения 11
Градиентного спуска метод 85,
116, 137
Грина функции асимптотика 2 7
Гюйгенса - Кирхгофа принцип 27,
156, 167
Двойственности принцип 170
Дебая потенциал 127
- функций цилиндрических асимпто-
асимптотика 65, 68, 99, 100, 189
Диагностика плазмы 16
Диафрагма 26-28
Дипольных моментов эффективных
метод 170
Дифракции теория асимптотическая
95
Дифракций последовательных метод
(см. Приближений последователь-
последовательных метод)
Диффузии зона эффективная 17, 18,
22
Добротностей отношение 119, 120
Добротность дифракционная (см.
Потери дифракционные)
- нагруженная, ненагруженная 103 -
108
Заданного поля приближение 135,
137
Задача вариационная 35 — 38
- краевая 35, 50, 52
- обратная 117
Заряд пространственный 134, 135
Зеркала затенение 17
Зеркала "нефокусирующие" 4, 6,
25, 61, 140 - 146
- фокусирующие 9, 10, 13, 14,
22, 25, 28, 140 - 143, 139,
147
Зеркало гиперболическое 22, 121
- квадратичное 116
- сферическое 11, 173
Зоммерфельда условия излучения
4U, 117
216
Зона прикаустическая 62, 67
- устойчивости 125
Излучение дифракционное 21
- из отверстия 17, 2 6, 162, 163,
170
- паразитное 19, 2 9
Излучения диаграмма 22
- дифракционного пучки 21, 24
- оптимизация 2 6
Импеданс 3, 26, 39, 44 - 49,
108 - 112
- индуктивный 17, 59, 112
- обобщенный 45, 77-80
- поверхностный 3 9, 45, 76- 80,
112
- реактивный 112
Кавитация 146
Капицы опыты с плазменным шну-
шнуром 16
Каустика (точка поворота) 10, 11,
15, 20, 32, 62, 63, 67, 68,
116, 119, 120, 139, 175
Квазиоптика 28, 3 9
Квазиполного обращения оператора
(полуобращения) метод 3, 19,
42 - 44
Клистрон 21, 23, 25
Колебаний резонатора открытого
смещение 160
- собственных обобщенный метод
(ОМСК) 44 - 49, 159
- существования условие 12 9
Колебания внутренние 73, 74
- высоко добротные 17, 2 7, 28,
96, 100, 110, 121
- одномерные 74
- паразитные 2 4, 30, 31
Колебания приграничные .(припо-
.(приповерхностные) 73, 74, 144 -
146
- связанные 8
- шепчущей галереи 19 - 21, 130,
188 - 191
Коллектор 22
Коллокаши метод 3, 3 8, 3 9
Конфокальности коэффициент 130,
176
Координаты сфероидальные вытяну-
вытянутые 117, 118
сплюснутые 171
- тороидальные 143
- эллиптические 122, 137
Корректор фазовый 157
Коррекция фазовая 157, 177
КПД электронный 24, 25, 135 -
139
Куранта неравенство 72, 73
- теорема 72
Лагерра полиномы 174, 175
Лазер 11, 16, 26, 27
Лампа волны бегущей 21, 25
обратной 21, 25
резонансная 25
Лапласа оператор 32, 33, 45, 51
Лежандра функции присоединенные
5, 86, 89, 127, 197
Линия волноводная (см. Волновод)
- диафрагменная 5, 14 - 17, 26,
27, 163.-170, 177 -182
диэлектрическая 27
неэквидистантная 14, 27, 178
разноапертурная 14, 27, 178
- квазиоптическая 24, 26, 177
- коаксиальная (см. Волновод ко-
коаксиальный)
- линзовая 16, 103, 163 - 170
Линия поверхностной волны 16, 17,
39
- полосковая 19, 26, 153, 154
- радиальная 125
Луч геометрооптический 10, 27
Луче вод 27
Магнетрон 25
Мазер на МЦР (см. МЦР-приборы)
Максвелла уравнения 40, 46, 87
Мандельштама уравнение интеграль-
интегральное 27, 121, 155 - 162
Матье функции модифицированные
5, 81, 82, 193 - 196
Минимальных автономных блоков
метод 34
Моделирование математическое. 50
Монте-Карло метод 3 9
Мост щелевой 19
МЦР-приборы 16, 19-22, 26,
117, 125
- режим OK1IP 115 - 117
Невязки параметр 116, 117
Ньютона метод 77
Оператор эллиптический 50
Оптимизация машинная 4, 135 —
130
Оротрон 4, 17, 19, 22 - 28,
Оротрон в режиме клистрона 23
- коаксиальный 24, 25
- обращенный 24, 25
- перестраиваемый 25
•- с плоской дифракционной решет-
решеткой 24
Ответвитель направленный 19
Отражения коэффициент 29, 95 -
99, 109, 110, 113, 132, 153,
154, 182 - 185
- матрица 153, 154
Пакет волновой 24, 2 7
Параболоид вращения 10
Передача сигналов 27
Переменных разделения метод (см.
Фурье переменных разделения
метод)
Плазма 17, 19
Поверхность каустическая (см.
Каустика)
Поле на щели 27, 101
Полезного действия коэффициент
24
Полей плоских формирование 2 6
Поляризации фиксация 85
Поперечных сечений метод 3, 30,
32, 39 - 41, 85, 115, 125,
178
Потери дифракционные 20, 2 6, 2 7,
32, 103 - 108, 117, 119,
161, 169, 190
- диэлектрические 49
- на преобразование 41, 10 4
- омические 17, 49, 54, 104,
105, 125, 188
Поток винтовой 6, 146
-плазменный 11, 16, 17, 21,
22, 26, 29
- электронный 11, 16, 17, 21,
22, 24 - 29, 94, 125, 138,
145, 171
конический 94, 125
- - плоский 22, 24
- - полый 22, 24, 171
Приближений последовательных
метод 35, 41 - 43, 121, 158
Прогонки метод 116
Продольных сечений метод 3, 41,
42
Проектирование машинное 19, 34,
53, 136
Прототип закрытый 8
Прохождения коэффициент- 6
Пучка волн фокусировка 22, 27
217
Пушка кольцевая 22
Расстройки параметр 119, 120,
135
Рвачева функции A? -функции) 49 -
53
Редукции метод 34, 42, 43, 52
Резонанс циклотронный (см. МЦР—
приборы )
- Резонанса добротность 19, 20, 24
Резонатор закрытый 8, 15, 17, 19
коаксиальный 3, 4, 6, 7, 15,
19, 44
— открытый 3, 4, 6 - 8, 13, 15,
1С, 19, 25, 26, 28 - 30, 145
— — акустический 146
бочкообразный 10, 17, 22,
115 - 121
дисковый 4, 5, 11, 12, 2 9,
147 - 19 1
диэлектрический с волнами шеп-
чушей галереи. 1 85
— — коаксиальный дисковый (ОКДР)
4-6, 11, 16, 25, 30, 57, 61
кольцевого типа 5, 11, 25,
28, 147 - 155
перестраиваемый 5
— — — — с вогнутыми зеркалами 5,
11, 12
— — — — с выпуклыми зеркалами 5,
11, 12
— — — — с дифракционной связью 5,
14, 15
— — — — с диэлектрическим стерж-
стержнем 5, 14, 28, 185 - 188
с диэлектрической трубой
5, 12, 14, 29, 185 - 188
— — - — с кольцевым отверстием 5,
12, 14
— — — — с металлическим стержнем
5, 11, 12, 14, 28
— _ _ _ с металлической решеткой
5, 11, 12, 182
— _ _ — с отверстием на зеркале
5, 11, 12, 26, 155 - 170
— _ _ _ с плоскими зеркалами 4,
11, 25, 147 - 155
— — — — с полосовой доменной струк-
структурой 2 9
со спиралью 12
— — — — со сплошными зеркалами
5
— — — — со сферическими зеркала-
зеркалами 5, 11, 170
— — — — со щелями на зеркалах 5
218
Резонатор открытый коаксиальный
дисковый, эксперимент 176
коаксиальный цилиндрический
(ОКЦР) 4, 6, 7, 16 - 18,
20, 30, 41, 61, 65, 66, 69,
70, 95 - 139
, возбуждение 18, 101 -
103
обращенный 8
перестраиваемый 9, 21,
22, 25, 85, 125 - 130
— — — — предельного типа 9, 113 -
115
_ _ _ _ с внешним фокусирующим
и внутренним цилиндрическим зер-
зеркалами 4, 9, 115 - 121
_ _ _ _ с внутренним фокусирующим
и внешним цилиндрическим зерка-
зеркалами 4, 9, 121 - 125
с дифракционной связью 4,
13, 14, 15, 24
с импедансным внутренним
зеркалом 4, 108 - 112
с непрямолинейными обра-
образующими 4, 9, 19, 21, 115 -
147
с "нефокусируюшими" зер-
зеркалами 4, 6, 9, 61, 91, 94,
139 _ 146
— — — — с проводящим стержнем 4,
11, 12
_ _ _ _ с прямолинейными образую-
образующими 4, 8, 9, 18, 35, 95-115
, эксперимент 4, 103 - 10 8,
142, 143
кольцевой 11, 2 6
конфокальный 157, 160, 1G1,
163
— - микрополосковый 4, 11, 12,
153, 154
ленточный 28, 100
неустойчивый 12, 141
— — плоский с эллиптическими зер-
зеркалами 189
предельный 4, 8, 17, 113 -
115
проходной 16, 26, 122
радиальный 8, 11, 26, 28,
181
— — с неоднородными зеркалами 6,
11, 26
тороидальный 4, 9, 10, 12, 16,
123, 142, 143
цилиндрический 4, 9, 12, 17,
19, 121, 131
Ре лея - Джинса формула 71-75
Резонатора открытого теория асим-
асимптотическая 95
свойства селективные (см.
Спектра разрежение)
Ре лея параметр 26
Решетка дифракционная 22, 24,
28, 125
— периодическая 2 9, 182
- проволочная 2 9
Римана - Гильберта задача 42
Римана дзета-функция обобщенная
от комплексного аргумента 103,
184
Ритца метод 35 — 38
Рунге — Кутта метод 116
Рупор биконический (см. Волновод
биконический)
Ряд асимпотический 172, 173
Световод 16, 34
Сгусток кольцевой релятивистский
17
Селекция типов колебаний (см.
Спектра разрежение)
Сечение критическое 10, 17, 116,
117, 141, 143, 146
Система волноведущая (см. Волно-
Волновод)
- перископическая 16, 18, 22
— полосковая 2 6
— связи многоканальная 2 9
Смешения импедансной поверхности
эффект 111, 112, 137, 180
Смита — Парселла эффект 21
Собственных значений свойства
экстремальные 72, 73
Совместимости электромагнитной
проблема 189
Спектр дискретный 40
— смешанный 40
- эквидистантный 74
Спектра разрежение 7, 16, 19,
20, 26, 29, 57, 63, 64, 69,
70, 84, 130, 131, 139, 140,
160, 187, 188
Стержень конический 11
Структура дисковая 11, 12
— дифракционная 13, 22, 24
— импедансная 76
- ключевая 19
— кольцевая 27
- конечная 19, 42, 54, 61, 95
- периодическая 13, 27, 28
- спиральная 12, 28, 2 9
Структура тороидальная 16
- частопериодическая 29, 66, 108,
135, 183"
Струны неоднородной уравнение 116,
128
Техника антенно—волноводная 6, 28,
54, 55
- измерительная 6, 55
•• лазерная 6
Ток пусковой 24, 134
Токи на зеркалах 161
Уиттекера уравнение 172
- функция 128
Управление параметрами электри-
электрическое 2 9
Уравнение волновое 32, 86
Уравнения интегрального метод 3,
39, 43, 47, 159
- эталонного мет-Ж 5, 170 - 176
Ускоритель линейный 17, 2.8
Условия граничные 40, 46, 51, 72
второго рода 35, 72, 73, 87
импедансные 33, 44 - 49, 108,
155, 178
двухсторонние 33, 44, 108,
182
- — — резонансного типа 33, 44,
96, 108, 149, 156, 178
первого рода 30, 31, 55, 72
- излучения (см. Зоммерфельда
условия)
- квазиоптические 15 6
Факторизация матрицы 15 4
- функции 98, 99, 110, 114
Фильтр 8, G1
- паразитных волн 16
- поляризационный 2 9
- типов волн 16, 61
Фильтр-пробка 8, 9, 17 '
Франка идея о дифракционном излу-
излучении электрона 21
Фредгольма знаменатель резонансный
42
- уравнение интегральное 42
Френеля зона 26
- параметр 26, 162, 163
Функции гипергеометрические вы-
вырожденные 128, 172
- сфероидальные 66
- цилиндра параболического 118
Фурье переменных разделения ме-
метод ЗО, 32, 48, 81, 85, 143
219
Фурье переменных разделения при-
приближенного метод (см. Хартри —
Фока метод)
Хартри - Фока метод 3, 30, 32,
39, 118
Хевисайда функция 169
Частиц заряженных концентрация
16
ускорение коллективное 17
Частичных областей метод 3, 32 —
34, 38
Частот расщепление 24
Частота критическая 20, 57, 58,
59, 61, 67 - 70, 95, 104
- резонансная 10, 24, 32, 35,
104, 119, 124, 130, 186
- собственная 20, 44, 104, 123,
149, 155
Частоты перестройка 10, 23 — 25,
125
Численные методы 25, 27, 31,
39, 41, 57, 116
Шнур плазменный 16
Штурма - Лиувилля задача 33
Щукина - Леонтовича условия гра-
граничные 76, 77, 108, 112
Эйри функции 62, 63, 68, 189,
190
Экран плоский 27
Электроника дифракционная 6, 27,
28
релятивистская 6, 27, 28,
178
- квантовая 6, 19
- СВЧ 6, 8, 28, 55, 94
Эллипсов софокусных семейство
80
Эллипсоид вращения 10, 117
сплюснутый 10, 171
Эрмита полиномы 116, 121, 123,
129
Эффект дифракционный на краю ре-
резонатора (волновода) 9, 11, 15,
16
- краевой 155
- релятивистский 21
Ядро уравнения интегрального 27,
43
- — вырожденное 158