В сборник включены:
1. Программа по математике для
общеобразовательной школы, предназначенная для школ
(классов), работающих по базисному учебному плану.
Программа для V—IX классов рассчитана на обучение
при 5 ч в неделю вместо 6 ч. Программа для X—
XI классов представлена в виде двух курсов разного
объема и уровня сложности; курс А рассчитан на 3 ч
в неделю, курс В рассчитан на 5 ч в неделю.
2. Программа для школ (классов) с углубленным
теоретическим и практическим изучением
математики, предназначенная для VIII—XI классов и
направленная на углубление основного курса математики.
4309000000—742
— инф. письмо — 91
103(03)—91
© Государственный комитет СССР по народному образованию, 1991

ПРЕДИСЛОВИЕ
• Программа по математике для общеобразовательной
школы предназначена для школ (классов), работающих по
базисному учебному плану. Она составлена на основе действующей
программы по математике для общеобразовательной школы1.
При этом действующая программа откорректирована в
направлении разгрузки курса по содержанию и частичного
перераспределения материала между классами. Школа (класс) может
работать по любой из этих программ согласно принятому
учебному плану.
переход на данную программу рассчитан на 3—4 года. Его
рекомендуется начинать по ступеням обучения, т. е. с V класса,
с VII класса, с X класса. В других случаях следует
предусмотреть меры по компенсации различий в программной подготовке
учащихся.
Предлагаемая программа представляет собой целостную
систему и предусматривает профильную дифференциацию в
старших классах. Изменения, внесенные в нее по сравнению с
действующей программой, весьма существенны. Поэтому при
переходе на данную программу необходимо тщательно продумать
всю дальнейшую систему преподавания.
Программа включает объяснительную записку и следующие
разделы: «Требования к математической подготовке учащихся»,
«Тематическое планирование учебного материала». Варианты
тематического планирования учебного материала
ориентированы на работу по используемым в школе параллельным
учебникам.
. Программа для школ (классов) с углубленным
теоретическим и практическим изучением математики рассчитана на
работу в период перехода на базисный учебный план. Она
предназначена для работы с учащимися, проявляющими интерес и
склонность к математике. Эта программа, так же как
программа для общеобразовательной школы, включает разделы «Требо-
1 Программы средней общеобразовательной школы: Математика.— М.:
Просвещение, 1990.
1

вания к математической подготовке учащихся», «Содержание
обучения», «Тематическое планирование учебного материала»,
которым предпослана объяснительная записка.
Тематическое планирование рассчитано на использование
действующих учебников и учебных пособий для школ и классов
с углубленным изучением математики.
К программам прилагается список учебной и методической
литературы.
Программы разработаны НИИ ОСО АПК СССР и НИИ
00 РСФСР с привлечением опытных учителей.

ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ
ДЛЯ СРЕДНЕЙ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ШКОЛЫ
ОБЪЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Общие цели и задачи обучения математике. Цели обучения
математике в общеобразовательной школе определяются ее
ролью в прогрессе общества в целом и в формировании личности
каждош отдельного человека.
Исторически сложились две стороны назначения
математики: практическая, связанная с созданием и применением
инструментария, необходимого человеку в его продуктивной
деятельности, и духовная, связанная с мышлением Человека, с
овладением определенным методом познания и преобразования
мира — математическим методом.
Практическая значимость школьного курса математики
обусловлена тем, что ее объектом являются пространственные
формы и количественные отношения действительного мира.
Математическая подготовка необходима для понимания принципов
устройства и использования современной техники, восприятия
научных и технических понятий и идей. Математика важна для
повседневной практической деятельности человека. В
современных условиях научно-технической революции и превращения
науки в непосредственную производительную силу общества
математика является языком науки и техники. С ее помощью
моделируются, изучаются и прогнозируются многие явления и
процессы, происходящие в природе и обществе. Математика
является одним" из опорных предметов средней школы: она
обеспечивает изучение других дисциплин, прежде всего предметов
естественнонаучного цикла, в частности физики, основ
информатики и вычислительной техники. Практические умения и
навыки математического характера необходимы для трудовой и
профессиональной подготовки школьников.
Значение математического образования для формирования
духовной сферы человека, интеллектуальных и
морально-этических компонентов человеческой личности обусловлено тем
громадным запасом общечеловеческих и общекультурных
ценностей, которые накопила математическая наука в ходе своего
развития.
Развитие у учащихся правильных представлений о природе
математики, сущности и происхождении математических
абстракций, соотношении реального и идеального, характере
отражения математической наукой явлений и процессов реального
мира, месте математики в системе наук и роли математического
моделирования в научном познании и в практике способствует
формированию научного мировоззрения. На доступных содер-
3

жатсльных примерах следует показать учащимся развитие
математических понятий, познакомить их с методами и этапами
научного исследования. Знакомство с биографиями
выдающихся отечественных ученых-математиков способствует
патриотическому воспитанию учащихся.
Изучение математики вносит определяющий вклад в
умственное развитие человека. В процессе обучения в арсенал
приемов и методов человеческого мышления естественным образом
включаются индукция и дедукция, обобщение и
конкретизация, анализ и синтез, классификация и систематизация,
абстрагирование, аналогия. Объекты математических умозаключений
и правила их конструирования вскрывают механизм
логических построений, вырабатывают умения формулировать,
обосновывать и доказывать суждения, тем самым развивают
логическое мышление. Ведущая роль принадлежит математике в
формировании алгоритмического мышления, воспитании
умений действовать по заданному алгоритму и конструировать
новые. В ходе изучения математики систематично и
последовательно формируются навыки умственного труда —
планирование своей работы, поиск рациональных путей ее выполнения,
критическая оценка результатов. В ходе решения задач,
представляющего основной вид учебной деятельности на уроках
математики, развиваются творческая и прикладная стороны
мышления. Раскрывая внутреннюю гармонию математики, формируя
понимание красоты и изящества математических рассуждений,
способствуя восприятию геометрических форм, усвоению
понятия симметрии, математика вносит значительный вклад в
эстетическое воспитание учащихся. Ее изучение развивает
воображение школьников, существенно обогащает их
пространственные представления.
ПосредствОхМ ознакомления школьников с математикой как
определенным методом мир.опознания, формирования у них
представлений о математике как части общечеловеческой
культуры реализуется гуманитарная направленность школьного
курса математики. Это требует отказа от сложившейся практики
построения школьного математического курса как
последовательности изложения готовых результатов и сведений. Здание
математики должно создаваться на глазах у учащихся с их
посильным участием. В содержание школьного курса должны
органически вплетаться богатые в эмоциональном отношении
эпизоды истории науки, знакомящие школьника с трудной борьбой
идей, судьбами великих открытий, именами людей, творивших
науку. Роль математической подготовки з образовании,
развитии и воспитания человека определяют основные задачи
обучения математике в общеобразовательной школе:
— овладение системой математических знаний и умений,
необходимых в повседневной жизни и трудовой деятельности
каждому человеку в современном обществе, достаточных для изу-
4

чсния Других дисциплин, для продолжения обучения в системе
непрерывного образования;
— формирование представлений об идеях и методах
математики и их роли в познании действительности;
— формирование и развитие средствами математики
интеллектуальных качеств личности.
Организация учебно-воспитательного процесса.
Образовательные и воспитательные задачи обучения математике
должны решаться комплексно, с учетом возрастных особенностей
учащихся, специфики математики как науки и учебного предмета,
определяющей ее роль и место в общей системе школьного
обучения и воспитания. Учителю предоставляется право
самостоятельного выбора методических путей и приемов решения этих
задач.
Принципиальным положением организации школьного
математического образования становится дифференциация
обучения математике в основной школе. Это означает, что, осваивая
общий курс, одни школьники в своих результатах
ограничиваются уровнем обязательной подготовки, зафиксированным в
настоящей программе, другие в соответствии со своими
склонностями и способностями достигают более высоких рубежей.
При этом достижение уровня обязательной подготовки
становится непременной обязанностью ученика в его учебной работе.
В то же время каждый имеет право самостоятельно решить —
ограничиться этим уровнем или же продвигаться дальше.
Именно на этом пути осуществляются гуманистические начала в
обучении математике. .
Следует всемерно способствовать удовлетворению
потребностей и запросов школьников, проявляющих интерес,
склонности и способности к математике. Такие школьники должны
получать индивидуальные задания (и в первую очередь
нестандартные математические задачи), их следует привлекать к
участию в математических кружках, олимпиадах,
факультативных занятиях; желательно рекомендовать им дополнительную
литературу. Развитие интереса к математике является
важнейшей целью учителя.
: Важным условием правильной организации
учебно-воспитательного процесса является выбор учителем рациональной
системы методов и приемов обучения, ее оптимизация с учетом
возраста учащихся, уровня их математической подготовки,
развития общеучебных умений, специфики решаемых
образовательных и воспитательных задач. В зависимости от указанных
\ * факторов учителю необходимо реализовать сбалансированное
сочетание традиционных и новых методов обучения,
оптимизировать применение объяснительно-иллюстративных и
эвристических методов, использование технических средств обучения.
Критерием успешной работы учителя должно служить
качество математической подготовки школьников, выполнение постав-
5

ленных образовательных и воспитательных задач, а не
формальное использование какого-то метода, приема, формы или
средства обучения.
В организации учебно-воспитательного процесса важную
роль играют задачи. В обучении математику они являются и
иелью, и средством обучения и математического развития
школьников. При планировании и организации уроков следует
иметь в виду, что теоретический материал должен
осознаваться и усваиваться преимущественно в процессе решения задач.
Организуя решение задач, целесообразно шире использовать
дифференцированный подход к учащимся: уровень трудности
задач, предлагаемых слабым учащимся, должен определяться
требованиями настоящей программы; учащимся, уже достиг-
щим этого уровня, целесообразно давать более сложные
задачи. Дифференциация требований к учащимся на. основе
достижения всеми обязательного уровня подготовки создает основу
для разгрузки школьников, обеспечивает их посильной
работой и формирует положительное отношение к учебе.
Учебный процесс необходимо ориентировать на
рациональное сочетание устных и письменных видов работы как при
изучении теории, так и при решении задач. Необходимо уделять
внимание работе с учебником (изучение текста после
объяснений учителя, самостоятельное изучение определенного
материала с использованием контрольных вопросов, краткой записи
текста задачи или теоремы, выполнение соответствующего
рисунка).
В обеспечении эффективности учебного процесса важную
роль играют закрепление и повторение изученного материала,
систематическое использование опорных знаний в последующих
разделах курса. Закрепление необходимо проводить как на
уроке, так и при выполнении домашних заданий. Домашние
задания должны быть посильны для школьника, по своей
трудоемкости соответствовать нормам времени на подготовку домашних
заданий, определенным в Уставе школы. Целесообразна
дифференциация домашних заданий в зависимости от уровня
подготовки школьников.
Структура курса математики. В курсе математики для V—
XI классов с учетом возрастных особенностей и в соответствии
с историческим опытом советской школы выделяются т р и
ступени обучения: V—VI, VII—IX, X—XI классы. На первой из
них изучается один предмет математического цикла —
«Математика». На второй ступени математический цикл представлен
двумя предметами: «Алгебра» и «Геометрия». В X—XI классах
предметная структура математического цикла непосредственно
связана с реализацией идеи профильной дифференциации
.обучения. Здесь вводятся два курса — курс А и курс В, разного
объема и уровня. Курс А ориентирован на тех учащихся,
которые рассматривают математику как элемент общего образо-
6

впния и не предполагают использовать ее непосредственно в
своей будущей профессиональной деятельности, в частности,
сдавать после школы конкурсные экзамены по математике.
Этот курс представлен одним предметом — «Математика», в
котором в разумной последовательности чередуются сведения из
алгебры и начал анализа с геометрическим материалом. Курс В
предназначен для учащихся, выбравших для себя те области
деятельности, в которых математика играет роль аппарата,
специфического средства для изучения закономерностей
окружающего мира. В рамках этого курса сохраняется
традиционное деление на два предмета: «Алгебра и начала анализа» и
«Геометрия».
Цель изучения курса «М атематика» в V—
VI классах — систематическое развитие понятия числа,
выработка умений выполнять устно и письменно арифметические
действия с обыкновенными и десятичными дробями,
положительными и отрицательными числами, переводить практические
задачи на язык математики, подготовка учащихся к изучению
систематических курсов алгебры и геометрии.
Цель изучения курса алгебры в VII—IX
классах— развитие вычислительных и формально-оперативных
алгебраических умений учащихся до уровня, позволяющего
уверенно использовать при решении задач математики и смежных
предметов (физики, химии, основ информатики и
вычислительной техники и др.); усвоение аппарата уравнений и неравенств
как основного средства математического моделирования
прикладных задач; осуществление функциональной подготовки
школьников. В ходе изучения курса учащиеся овладевают
приемами вычислений на калькуляторе.
Цель изучения курса геометрии в VII—IX
классах — систематическое изучение свойств геометрических
фигур на плоскости, формирование пространственных
представлений, развитие логического мышления и подготовка аппарата,
необходимого для изучения смежных дисциплин (физика,
черчение и т. д.) и курса стереометрии в старших классах.
Цель изучения курса А «М атематика» в X—
XI классах — дать учащимся представление о роли
математики в современном мире, о способах применения
математики как в технических, так и в гуманитарных сферах. При
изучении в этом курсе элементов анализа опора делается на
наглядно-интуитивные представления учащихся, роль
формальных рассуждений и доказательств здесь невелика. Изучение
геометрического материала также широко опирается на
наглядность. Существенно снижается внимание к идее
аксиоматического построения курса стереометрии. Основной акцент делается
на формирование умений применять изученные факты в
простейших случаях.
7

В рамках курса В изучаются, как уже указывалось, два
предмета: «Алгебра и начала анализа» и «Геометрия».
Цель изучения курса алгебры и начал
анализа в X—XI классах как одной из составляющих курса В —
систематическое изучение функций как важнейшего
математического объекта средствами алгебры и математического
анализа, раскрытие политехнического и прикладного значения
общих методов математики, связанных с исследованием функций,
подготовка необходимого аппарата для изучения геометрии и
физики.
Цель изучения курса геометрии в X—XI
классах как второй составляющей курса В — систематическое
изучение свойств геометрических тел в пространстве, развитие
пространственных представлений учащихся, усвоение способов
вычисления практически важных геометрических величин и
дальнейшее развитие логического мышления учащихся.
Структура программы. Программа по математике для
средней школы состоит из следующих разделов.
Раздел «Требования к математической
подготовке учащихся» определяет уровень и объем умений и
навыков, обязательных для овладения учащимися.
Раздел «Содержание обучения» задает перечень и
объем материала, обязательного для изучения в школе.
Содержание обучения распределено в соответствии с
содержательными линиями курсов, объединяющими связанные между
собой вопросы. Это позволяет учителю, отвлекаясь от места
конкретной темы в курсе, оценить ее значение по отношению к
соответствующей содержательной линии, правильно определить и
расставить акценты в обучении, организовать итоговое
повторение материала курсов.
Программа предусматривает возможность изучения
содержания курса с различной степенью полноты. Дополнительные
вопросы и темы, отмеченные квадратными скобками, при
желании можно не изучать. Это дает право учителю, включая
или исключая все или некоторые из этих вопросов,
варьировать объем изучаемого материала и, соответственно, степень
углубления и расширения курса в зависимости от конкретных
условий. Дополнительный учебный материал не должен
отрабатываться с такой же тщательностью, как основной, он не
может быть объектом итогового контроля.
В разделе «Тематическое планирование
учебного материала» приводится конкретное планирование,
ориентированное на действующие в настоящее время учебники
математики. При организации учебного процесса учителю сле-в
дует строить свою работу, опираясь именно на этот раздел
программы.

ТРЕБОВАНИЯ
К МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПОДГОТОВКЕ УЧАЩИХСЯ
V—VI КЛАССЫ
МАТЕМАТИКА
В результате изучения курса учащиеся должны овладеть
следующими умениями, представляющими обязательный
минимум:
— производить в уме арифметические действия в пределах
сложности примеров на сложение и вычитание двухзначных
чисел, умножение и деление нацело двузначного числа на
однозначное;
— уверенно выполнять сложение, вычитание, умножение и
деление натуральных чисел, в записи которых имеется
несколько десятичных разрядов (включая сложные случаи переноса из
разряда в разряд и использование нулей в записи числа);
— выполнять арифметические действия над обыкновенными
дробями (включая обращение смешанного числа в
обыкновенную дробь, нахождение общего знаменателя дробей,
сокращение дробей и представление их в виде смешанных чисел;
— выполнять арифметические действия над десятичными
дробями, производить округление десятичных дробей;
— вычислять значения числовых выражений, включающих
в себя целые числа, обыкновенные и десятичные дроби;
производить вычисления по формулам;
— составлять числовые и буквенные выражения, пропорции
и линейные уравнения по условиям текстовых задач;
— решать несложные линейные уравнения, используя при
этом раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых;
— решать текстовые задачи с помощью арифметических
приемов (включая основные задачи на дроби и на проценты)
и уравнений;
— распознавать и изображать геометрические фигуры,
указанные в программе;
— производить простейшие измерения и построения при
помощи линейки, угольника, транспортира, циркуля.
VII—IX КЛАССЫ
АЛГЕБРА
»
В результате изучения курса учащиеся должны овладеть
следующими умениями, представляющими обязательный
минимум:
— находить с помощью калькулятора или таблиц
приближенные значения квадратного корня, значения синуса, косинуса
9

и тангенса, вычислять по формулам (в том числе с
использованием калькулятора);
— выполнять тождественные преобразования целых и
рациональных выражений: раскрытие скобок и заключение в
скобки, приведение подобных членов, сложение, вычитание и
умножение многочленов, разложение многочленов на множители при
помощи вынесения общего множителя за скобки;
— выполнять тождественные преобразования несложных
тригонометрических выражений с использованием формул,
указанных в программе;
— решать указанные в программе виды уравнений,
неравенств, систем уравнений и неравенств, используя в
необходимых случаях соответствующие тождественные преобразования;
— решать текстовые задачи методом уравнений;
— выражать на простых примерах функциональные
зависимости между величинами; находить значения функций,
заданных формулой, таблицей, графиком;
— строить и читать графики функций, указанных в
программе.
ГЕОМЕТРИЯ
В результате изучения курса учащиеся должны овладеть
следующими умениями, представляющими обязательный
минимум:
— изображать геометрические фигуры, указанные в
условиях теорем и задач, и выделять известные фигуры на
чертежах и моделях;
— проводить доказательные рассуждения в ходе решения
типичных задач;
— вычислять значения геометрических величин (длин,
углов, площадей), применяя изученные свойства и формулы;
— выполнять основные построения циркулем и линейкой,
решать несложные комбинированные задачи, сводящиеся к
выполнению основных построений;
— применять аппарат алгебры и тригонометрии в ходе
решения геометрических задач;
— использовать векторы и координаты для решения
стандартных задач (вычисление длин и углов, сложение векторов и
умножение вектора на число).
X—XI КЛАССЫ
КУРС А
МАТЕМАТИКА
В результате изучения курса учащиеся, должны
овладеть следующими умениями, задающими уровень
обязательной подготовки:
10

— изображать графики указанных в программе функций и
иллюстрировать их свойства на графиках;
— решать простейшие тригонометрические, показательные
и логарифмические уравнения, простейшие показательные и
логарифмические неравенства;
— применять аппарат математического анализа (таблицы
производных и первообразных, формулы дифференцирования и
правила вычисления первообразных) для нахождения
производных, первообразных и простейших определенных интегралов;
— исследовать элементарные функции с помощью методов
математического анализа; вычислять площадь криволинейной
трапеции при помощи определенного интеграла;
— изображать изученные геометрические тела, выделять их
на чертежах и моделях;
— аргументировать рассуждения в ходе решения задач
ссылками на данные, изученные в курсе планиметрии и
стереометрии;
— вычислять значения геометрических величин (длин,
углов, площадей и объемов), используя изученные формулы.
КУРС В
АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА
В результате изучения курса учащиеся должны овладеть
следующими умениями, задающими уровень обязательной
подготовки:
— строить графики указанных в программе функций,
доказывать свойства этих функций;
— проводить тождественные преобразования
иррациональных, показательных, логарифмических и тригонометрических
выражений, используя формулы, указанные в программе;
— решать тригонометрические, иррациональные,
показательные и логарифмические уравнения и системы уравнений, пока-
; зательные и логарифмические неравенства, используя при этом
тождественные преобразования для упрощения уравнений и
неравенств;
— применять аппарат математического анализа (таблицы
производных и первообразных, формулы дифференцирования и
. правила вычисления первообразных) для нахождения произ-
, водных, первообразных и определенных интегралов;
— исследовать элементарные функции при помощи приемов
математического анализа, строить на основе такого исследова-*
ния графики функций;
— вычислять площади криволинейных трапеций и объемы
простейших тел вращения при помощи определенных интегралов.
11

ГЕОМЕТРИЯ
В результате изучения курса учащиеся должны овладеть
следующими умениями, задающими уровень обязательной
подготовки:
— изображать геометрические тела, указанные в условиях
теорем и задач; выделять известные тела на чертежах и
моделях;
— проводить обоснования в ходе теоретических
рассуждений и при решении задач, используя для этого изученные в
планиметрии и стереометрии теоретические сведения;
— вычислять значения геометрических величин (длин,
углов, площадей и объемов), используя изученные формулы, а
также аппарат алгебры, математического анализа и
тригонометрии.
СОДЕРЖАНИЕ ОБУЧЕНИЯ
V—VI КЛАССЫ
МАТЕМАТИКА
Арифметика
Натуральные числа и действия над ними. Числовые
выражения. Квадрат и куб числа. Деление с остатком. Делители и
кратные числа. Признаки делимости на 2, 3, 5, 10. Простые и
составные числа. Разложение числа на множители. [Таблица,
простых чисел. Разложение числа на простые множители.]
Общий делитель. Общее кратное. [Нахождение НОД и НОК.]
Решение текстовых задач.
Обыкновенная дробь. Основное свойство дроби.
Сокращение дробей. Приведение дробей к общему знаменателю.
Понятие о наименьшем общем знаменателе нескольких дробей.
Сравнение дробей. Сложение, вычитание, умножение и деление
обыкновенных дробей. Среднее арифметическое нескольких чисел.
Основные задачи на дроби.
Пропорция. Основное свойство пропорции. Решение задач с
помощью пропорции. Понятие о прямой и обратной
пропорциональности величин. [Задачи на пропорциональное деление.
Масштаб.]
Десятичная дробь. Сравнение десятичных дробей.
Округление десятичных дробей. Обращение обыкновенной дроби в
десятичную. [Периодическая и непериодическая десятичная дробь.]
Сложение, вычитание, умножение и деление десятичных дробей.
Проценты. Основные задачи на проценты.
Положительные и отрицательные числа. Модуль числа, его
геометрический смысл. Противоположные числа. Сравнение
чисел. Сложение, вычитание, умножение и деление положи-
12

толышх и отрицательных чисел. Целые числа. Понятие о
рациональном числе.
Законы арифметических действий. [Применение .законов
арифметических действий для рационализации вычислений.]
Начальные сведения о калькуляторе. Сложение, вычитание,
умножение и деление чисел с помощью калькулятора.
[Вычисления в требуемой последовательности.]
Элементы алгебры
Буквенное выражение и его числовое значение. Формула.
Вычисление по формуле. Простейшие преобразования
выражений, раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых.
Решение линейных уравнений. Примеры решения, текстовых
задач с помощью линейных уравнений.
Изображение чисел на прямой. Координата точки.
Прямоугольная система координат на плоскости. Абсцисса и
ордината точки. [Формула расстояния между двумя точками с
заданными координатами.]
Таблицы, диаграммы, примеры графиков.
Элементы геометрии
Геометрические фигуры: точка, отрезок, прямая, луч, угол,
треугольник, прямоугольник, окружность, круг. Прямой угол.
Перпендикулярные и параллельные прямые. Построение
отрезков и углов заданной величины с помощью линейки и
транспортира. Построение перпендикуляра к прямой и параллельных
прямых с помощью угольника и линейки. Построение
окружности с помощью циркуля. Куб, прямоугольный
параллелепипед, шар.
Геометрические величины: длина, площадь, объем,
градусная мера угла. Единицы измерения длин, углов, площадей, и
объемов. Измерение отрезков и углов. Площадь
прямоугольника. Объем прямоугольного параллелепипеда. [Формулы
длины окружности и площади круга. Понятие о числе как
результате измерения.]
VII—IX КЛАССЫ
АЛГЕБРА
Действительные числа
Понятие об иррациональном числе. Общие сведения о
действительных числах.
Измерение величин. Абсолютная и относительная
погрешности приближенного значения. Запись чисел в стандартном
виде. [Выполнение действий над числами, записанными в
стандартном виде.] Вычисления с помощью микрокалькулятора.
13

Числовые неравенства и их свойства. Почленное сложение
и умножение числовых неравенств. [Применение свойств
неравенств к оценке значения выражения.]
Квадратный корень. Нахождение приближенного значения
квадратного корня.
Радианное измерение углов. Синус, косинус, тангенс и
котангенс произвольного угла.
Тождественные преобразования выражений
Степень с натуральным показателем и ее свойства.
Многочлен. Сложение, вычитание и умножение многочленов.
Разложение многочлена на множители.
Формулы сокращенного умножения:
(а-Ь) (а + Ь) =а2-Ь*- (a±b)2 = a2±2ab + b2;
[(a=Fft) (a2±ab + b2) =a3=F&3].
Применение формул сокращенного умножения к
разложению на множители.
Квадратный трехчлен. Разложение квадратного трехчлена
на множители. [Решение задач с использованием выделения
квадрата двучлена из квадратного трехчлена.]
Алгебраическая дробь. Основное свойство дроби.
Сокращение алгебраических дробей. Сложение, вычитание, умножение
и деление алгебраических дробей. Тождественные
преобразования рациональных выражений.
Степень с целым показателем и ее свойства.
Свойства арифметического квадратного корня. Вынесение
множителя из-под знака корня и внесение множителя под знак
корня. Освобождение от иррациональности в знаменателе в вы-
а а
ражениях вида "~зг, _ _ . [Тождественные преобразования *
выражений, содержащих квадратные корни.]
Основные тригонометрические тождества: sin2 a4- cos2 a = 1,
. sin a , cos a
tga = , ctga= ; их применение в вычислениях и тож-
cos a sin a
дественных преобразованиях. Формулы приведения.
Понятие об арифметической и геометрической прогрессиях. *
Уравнения и неравенства
Уравнение с одним неизвестным. Корни уравнения.
Линейное уравнение с одним неизвестным. Квадратное уравнение.
Формула корней квадратного уравнения. [Теорема Виета.]
Решение рациональных уравнений.
Уравнение с двумя переменными. График уравнения с
двумя переменными. Уравнение окружности. Система уравнений с
двумя переменными. Решение системы двух линейных
уравнений с двумя переменными. Решение систем, содержащих одно
14

уравнение первой, а другое — второй степени. [Решение систем
двух уравнений второй степени с двумя переменными.]
Неравенство с одной переменной. Решение линейных
неравенств с одной переменной и их систем. Решение неравенств
второй степени с одной переменной. [Решение рациональных
неравенств методом интервалов.]
Решение задач методом составления уравнений и систем.
Элементарные функции
Функция. Область определения функции; Способы задания
функции. График функции. Возрастание и убывание функций.
Четные и нечетные функции.
Функции: y = kxy y = kx + b, у = х2, у=х*, у = ах2 + Ьх + с, у =
= —, f/=U|, у = Ух; их свойства и графики.
X
[Простейшие преобразования графиков функций.]
ГЕОМЕТРИЯ
Геометрические фигуры и их свойства
Точка, отрезок, прямая, луч. Равенство отрезков. Взаимное
расположение точек и прямых на плоскости. Геометрическая
фигура. Понятие о равенстве фигур.
Угол. Равенство углов. Биссектриса угла, свойство
биссектрисы угла. Смежные и вертикальные углы и их свойства.
Пересекающиеся и параллельные прямые. Признаки
параллельности прямых. Перпендикулярные прямые. Свойство
серединного перпендикуляра к отрезку.
Треугольник. Медианы, биссектрисы, высоты треугольника.
[Замечательные точки треугольника.] Сумма углов
треугольника. Признаки равенства треугольников. Признаки подобия
треугольников. Свойства равнобедренного треугольника,
правильного треугольника. Теорема Пифагора. Синус, косинус и
тангенс острого угла. Решение прямоугольных треугольников.
Внешний угол треугольника. Соотношения между сторонами
и углами треугольника. Средняя линия треугольника и ее
свойства.
Параллелограмм, его свойства и признаки. Прямоугольник,
ромб, квадрат и их свойства. Трапеция. Средняя линия
трапеции и ее свойства.
Многоугольники. Сумма углов многоугольника. Правильные
многоугольники.
Окружность и круг. Центральный и вписанный углы.
[Диаметр, перпендикулярный хорде.] Касательная к окружности и
ее свойства. Окружность, описанная около треугольника.
[Окружность, вписанная в треугольник. Окружность, вписанная в
15

правильный многоугольник. Окружность, описанная около
правильного многоугольника.]
Основные задачи на построение с помощью циркуля и
линейки. [Понятие о геометрическом месте точек.]
Осевая симметрия и центральная, поворот, параллельный
перенос. Понятие о подобии фигур.
Геометрические величины
Длина отрезка и ее свойства; неравенство треугольника.
Расстояние между точками. Расстояние от точки до прямой.-
Расстояние между параллельными прямыми.
Величина угла и ее. свойства. Измерение центральных и
вписанных углов.
Длина окружности. Длина дуги.
Площади прямоугольника, треугольника, параллелограмма,
трапеции. Площадь круга. [Понятие о площади произвольной
фигуры.]
Векторы на плоскости
Вектор. Длина и направление вектора. Угол между
векторами. Координаты вектора. Сложение векторов, умножение
вектора на число. [Разложение векторов по осям.] Скалярное
произведение векторов.
X—XI КЛАССЫ
КУРС А
МАТЕМАТИКА
Элементарные функции
Числовые функции и их свойства. Экстремумы функции.
Периодические функции.
Синус, косинус, тангенс, котангенс числового аргумента.
Периодичность тригонометрических функций. Свойства и графики
тригонометрических функций. [Преобразования графиков
функций. Графики гармонических колебаний.]
Показательная и логарифмическая функции, степенная
функция с натуральным показателем. Их свойства и графики.
Тождественные преобразования
Корень /г-ой степени и его свойства. Степень с
рациональным показателем и ее свойства. Понятие о степени с
иррациональным показателем. Тождественные преобразования
выражений, содержащих степени и корни.
Логарифмы. Логарифмические тождества:' а)°%ах = х,
lOga (ХУ) = lOga X + loga #, loga — = l0ga X- loga У, loga X* = p loga X.
16

Тождественные преобразования логарифмических
выражений.
Уравнения и неравенства
Простейшие показательные и логарифмические уравнения и
неравенства. Решение неравенств методом интервалов.
Примеры решения простейших тригонометрических уравнений вида
sinx=a, cosx = a, tgx = a.
5лементы математического анализа
Приращение функции. [Понятие о пределе и непрерывности
функции.] Производная, ее механический смысл. Таблица
производных элементарных функций. Производная суммы,
произведения и частного двух функций. Производная функций вида
/(** + &).
Первообразная. Основное свойство первообразных. Таблица
первообразных. Простейшие правила нахождения
первообразных.
Определенный интеграл. Формула Ньютона — Лейбница.
Приложения математического анализа
Применение производной к исследованию функций и
решению задач на отыскание наибольших и наименьших значений.
[Производная в физике и технике.]
Геометрический смысл определенного интеграла.
Применение интеграла к нахождению площадей плоских фигур.
[Интеграл в физике и технике.]
[Понятие о дифференциальном уравнении.
Дифференциальное уравнение показательного роста.]
Геометрические фигуры
Точки, прямые и плоскости в пространстве; понятие о
принадлежности точек и прямых плоскостям.
Пересекающиеся, параллельные и скрещивающиеся прямые,
их иллюстрация на моделях.
Пересекающиеся и параллельные прямая и плоскость, их
иллюстрация на моделях. Признак параллельности прямой и плост
кости. Перпендикулярность прямой и плоскости, ее
иллюстрация на моделях. Перпендикуляр и наклонная к плоскости,
проекция наклонной на плоскость. Теорема о трех
перпендикулярах.
Параллельные и пересекающиеся плоскости,
перпендикулярные плоскости, их иллюстрация на моделях. Равенство отрезков
параллельных прямых, заключенных между параллельными
плоскостями; параллельность линий пересечения двух
параллельных плоскостей третьей.
Двугранный угол.
Призма, ее элементы. Диагональное сечение призмы.
Прямая и правильная призмы. Прямоугольный параллелепипед.
2 Заказ № 1481 17

Пирамида, ее элементы. [Теорема о сечениях пирамиды,
параллельных основанию.] Правильная пирамида.
Прямой круговой цилиндр, его элементы. Осевые сечения
цилиндра.
Прямой круговой конус, его элементы. Осевые сечения
конуса. [Сечение конуса плоскостью, параллельной основанию.]
Шар и сфера. Теорема о сечениях шара плоскостью.
Касательная плоскость к шару.
Геометрические величины
Угол между прямыми. Угол между прямой и плоскостью.
Линейный угол двугранного угла.
Расстояние от точки до плоскости. Расстояние между
параллельными плоскостями.
Формулы объемов прямоугольного параллелепипеда, прямой
призмы, пирамиды, цилиндра, конуса, шара.
Формулы площадей боковых поверхностей цилиндра и
конуса, площади сферы. Площади поверхностей призм и пирамид
как сумма площадей граней.
КУРС В
АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА
Элементарные функции
Числовые функции и их свойства. Экстремумы, наибольшие
и наименьшие значения функции, промежутки монотонности и
знакопостоянства функций. Понятие о сложной функции.
Периодические функции. [Примеры периодических функций: *
дробная часть, функция Дирихле.]
Тригонометрические функции числового аргумента: синус,
косинус, тангенс, котангенс. Свойства и графики
тригонометрических функций. Графики гармонических колебаний.
Показательная функция, ее свойства и график.
Понятие об. обратной функции. Свойства графиков взаимно
обратных функций.
Логарифмическая функция; ее свойства и график. Свойства
и график степенной функции.
[Дробно:линейная функция и ее график. Вертикальные и
горизонтальные асимптоты.]
Преобразования графиков функций.
Тождественные преобразования
Тригонометрические формулы сложения и следствия из них.
Тождественные преобразования тригонометрических
выражений.
18

Корень м-ой степени и его свойства: Определение и свойства
степени с рациональным показателем. Понятие о степени с
иррациональным показателем. Тождественные преобразования
выражений, содержащих степени и корни.
Логарифмы. Логарифмические тождества: а1о^ах = х1
l0ga(^f/)=l0gaA: + l0gaf/, loga — = loga *- loga */, bga XP = p loga X.
У
Натуральные логарифмы.
Тождественные преобразования выражений, содержащих
логарифмы.
Уравнения и неравенства
Арксинус, арккосинус, арктангенс числа. Простейшие
тригонометрические уравнения. Решение тригонометрических
уравнений и систем уравнений. [Решение простейших
тригонометрических неравенств.]
Иррациональные уравнения. Проверка корней.
Показательные и логарифмические уравнения, неравенства и системы
уравнений.
Метод интервалов для решения неравенств.
Вопросы равносильности. Знакомство с основными
методами решения уравнений: разложение на множители, замена
переменной, использование свойства обратимости функций.
[Уравнения, неравенства и системы с параметрами.]
Элементы математического анализа
Приращение функции. Понятие о пределе и непрерывности
функции. Производная, ее геометрический и механический
смысл. Таблица производных элементарных функций.
Производная суммы, произведения и частного двух функций.
Производная функций вида f(kx + b). [Производная сложной
функции.] [Производная обратной функции.]
Понятие о производных высших порядков. [Производная
второго порядка, ее геометрический и физический смысл.]
Первообразная. Основное свойство первообразной. Таблица
первообразных. Простейшие правила вычисления
первообразных.
Определенный интеграл. Формула Ньютона — Лейбница.
Приложения математического анализа
Применение производной к исследованию функций,
построению графиков и решению задач на отыскание наибольших и
наименьших значений функции.
[Уравнение касательной к графику функции.]
[Приближенное вычисление значений функции с помощью
производной.] Производная в физике и технике.
Геометрический смысл определенного интеграла.
Применение интеграла к вычислению площадей и объемов. Интеграл
в физике.
2*
19

Понятие о дифференциальных уравнениях.
Дифференциальные уравнения показательного роста. Дифферснциальныеурав-
нения гармонических колебаний.
ГЕОМЕТРИЯ
Геометрические фигуры и их свойства
Основные понятия и аксиомы стереометрии, их связь с
аксиомами планиметрии. Следствия из аксиом стереометрии.
Взаимное расположение двух прямых в пространстве:
пересекающиеся, параллельные и скрещивающиеся прямые.
Свойства параллельности прямых. [Существование и единственность
прямой, проходящей через данную точку параллельно данной
прямой.]
Взаимное расположение прямой и плоскости:
пересекающиеся и параллельные прямая и плоскость. Признак
параллельности прямой и плоскости. [Геометрическое место прямых,
проходящих через данную точку, параллельно данной плоскости.]
Перпендикулярность прямой и плоскости. Признак
перпендикулярности прямой и плоскости. Перпендикуляр и наклонная к
плоскости, проекция наклонной на плоскость. Теорема о трех
перпендикулярах. Теоремы о параллельности прямых и
плоскостей.
Взаимное расположение двух плоскостей: пересекающиеся
и параллельные плоскости. Признак параллельности двух
плоскостей. Взаимосвязь параллельности прямых и плоскостей: две
параллельные плоскости, пересеченные третьей; отрезки
параллельных прямых, заключенные между параллельными
плоскостями; [линия пересечения двух плоскостей, одна из которых
содержит прямую, параллельную второй]. [Существование и
единственность плоскости, проходящей через данную точку
параллельно данной плоскости.] Перпендикулярность плоскостей
и ее свойства. Теоремы о параллельности и
перпендикулярности плоскостей.
Параллельное проектирование и его свойства. Изображение
фигур на плоскости.
Двугранные углы. [Понятие о многогранном угле.]
Понятие о многограннике. Сечения многогранников.
Призма, ее элементы. Параллелепипед. Прямая и правильная
призмы. Пирамида, ее элементы. Теорема о сечениях пирамиды
плоскостями, параллельными основанию. Правильная
пирамида. Понятие о правильных многогранниках.
Понятие о телах и поверхностях вращения. Прямой
круговой цилиндр, его элементы. Осевые сечения цилиндра и сечения,
перпендикулярные оси, [сечения, параллельные оси]. Прямой
круговой конус, его элементы. Осевые сечения конуса; сечения,
перпендикулярные оси: [сечения, проходящие через вершину].
20

Сфера и шар. Сечения шара плоскостью. Касательная
плоскость к сфере.
[Комбинации многогранников и тел вращения.]
Геометрические величины
Угол между прямыми. [Расстояние между'скрещивающимися
* прямыми.] Угол между прямой и плоскостью. Расстояние от
точки до плоскости. Расстояние между прямой и параллельной
ей плоскостью.
Угол между плоскостями. Линейный угол двугранного угла.
Расстояние между параллельными плоскостями.
Понятие об объеме, основные свойства объема. Объемы
многогранников: прямоугольного параллелепипеда, призмы,
пирамиды. Объемы тел вращения: цилиндра, конуса, шара.
Площади боковых поверхностей призмы, пирамиды,
цилиндра, конуса, площадь сферы.
ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ УЧЕБНОГО
МАТЕРИАЛА
V КЛАСС1
МАТЕМАТИКА
(5 ч в неделю, всего—170 ч)
1. Натуральные числа (24 ч).
Натуральные числа. Сравнение натуральных чисел.
Округление натуральных чисел. Сложение и вычитание натуральных
чисел. Переместительное и сочетательное свойства сложения.
Решение текстовых задач.
Числовые выражения. Буквенное выражение и его числовое
значение. Решение линейных уравнений.
Геометрические фигуры: точка, отрезок, луч, прямая.
Длина отрезка. Измерение и построение отрезков.
Изображение натуральных чисел на прямой.
Основная цель — систематизировать и обобщить
сведения о натуральных числах, полученные в начальной школе;
закрепить и развить навыки сложения и вычитания
натуральных чисел.
[ Навыки чтения, записи и сравнения многозначных чисел,
* полученные учащимися в начальной школе, расширяются, си-
стематпзируюГся. Отрабатываются умения складывать и вычи-
1 Преподавание ведется по учебнику «Математика, 5» Э. Р. Нурка,
А. Э. Тельгмаа (М.: Просвещение, 1988).
21

тать многозначные числа (включая сложные случаи переноса
из разряда в разряд), навыки арифметических действий с одно-,
двузначными числами, действия с нулем.
В этой теме начинается формирование умений учащихся
решать линейные уравнения на основе зависимости между
компонентами арифметических действий (сложения и вычитания).
Основное внимание уделяется простейшим случаям.
Продолжается развитие умений решать текстовые задачи,
требующие понимания смысла отношений «больше на»,
«меньше на». Задачи решаются арифметическим способом, а также
составлением числовых и буквенных выражений.
При изучении геометрического материала основное
внимание уделяется навыкам измерения и построения отрезков при
помощи линейки. В этой связи рассматриваются вопросы о
вычислении длины ломаной.
На примере шкалы линейки происходит знакомство со
шкалами, закладываются политехнические умения «читать» шкалы,
строить линейные диаграммы.
В ходе изучения темы вводятся понятия координатного
луча, единичного отрезка. На массиве натуральных чисел
начинается формирование умений отмечать на координатном луче
заданные числа, называть число, соответствующее
определенному делению на координатном луче, дается наглядное
истолкование сравнения натуральных чисел.
В этой и последующих темах рекомендуется избегать
излишнего дублирования материала, изученного в начальной
школе, отказаться от решения громоздких в техническом плане
задач, не несущих дополнительной идейной нагрузки.
2. Умножение и деление натуральных чисел (26 ч).
Умножение и деление натуральных чисел. Переместительное
и сочетательное свойства умножения. Распределительное
свойство умножения. Решение текстовых задач.
Основная цель — закрепить и развить навыки
умножения и деления натуральных чисел.
В теме продолжается отработка алгоритмов
арифметических действий над многозначными числами.. Проводится
целенаправленное развитие и закрепление навыков умножения и
деления натуральных чисел, в том числе и тех случаев, когда один
из компонентов равен нулю или единице. Постоянное внимание
уделяется устным вычислениям (в частности, умножению и
делению двузначного числа на однозначное). С делением с
остатком учащиеся встречались в начальной школе. Теперь
соответствующее умение должно быть отработано до навыка, так как
подобные действия в дальнейшем придется выполнять устно,
например, при исключении целой части дробного числа.
Решение комплексных примеров на все действия с многозначными
числами позволяет закрепить умение устанавливать
правильный порядок действий.
22

Продолжается работа по формированию умений учащихся
решать линейные уравнения на основе зависимости между
компонентами арифметических действий (умножения и деления).
При решении текстовых задач от учащихся требуется
понимание смысла отношений «меньше в», «больше в», Задачи
решаются арифметическим способом и составлением числовых и
буквенных-выражений по условию задачи.
3. Угол. Треугольник. Четырехугольник (18 ч).
Угол. Величина (градусная мера) угла. Построение угла
заданной величины. Прямой угол. Треугольник.
Прямоугольник. Площадь прямоугольника. Единицы
измерения площадей.
Квадрат числа.
Формула. Вычисления по формулам.
Основная цель — расширить представления учащихся об
измерении геометрических величин на примерах измерения
углов и вычисления площадей.
В этой теме продолжается изучение геометрических фигур.
Основное внимание уделяется навыкам измерения и
построения углов с помощью транспортира, прямого угла с помощью
угольника.
Обобщаются знания учащихся об основных единицах
измерения площадей, значительное внимание уделяется
формированию умений перейти от одних единиц к другим в соответствии
с условием задачи. Эти знания имеют ярко выраженный
политехнический характер, они широко используются при
изучении предметов естественно-научного цикла и в трудовом
обучении.
При изучении темы учащиеся встречаются с формулами.
В виде формул записываются правила нахождения таких
величин, как площадь, длина пути, стоимость и т. п. Навыки
вычисления по формулам отрабатываются при решении
геометрических и текстовых задач.
4. Дробные числа. Сложение и вычитание десятичных
дробей (34 ч).
Обыкновенная дробь. Правильные и неправильные дроби.
Сравнение обыкновенных дробей с равными знаменателями.
Сложение и вычитание дробей с равными знаменателями.'
Десятичная дробь. Сравнение десятичных дробей.
Округление десятичных дробей.
Сложение и вычитание десятичных дробей.
Основная цель — ознакомить учащихся с понятием
дроби; выработать умения читать, записывать, сравнивать и
округлять десятичные дроби; выполнять сложение и вычитание
десятичных дробей.
Сведения об обыкновенных дробях, изучаемые в теме,
ограничиваются объемом, необходимым для введения десятичных
дробей. Основное внимание уделяется сравнению, сложению и
23

вычитанию дробей с одинаковыми знаменателями, выделешпо
целой части числа.
При введении десятичных дробей важно добиться у
учащихся четкого представления о десятичных разрядах
рассматриваемых чисел; умения читать, записывать, сравнивать
десятичные дроби; изображать дроби на числовом луче; отработать
навыки округления десятичных дробей до заданного
десятичного разряда.
Навыки выполнения арифметических действий с
многозначными числами являются базой для формирования умений про-
- водить вычисления с десятичными дробями: сходство
алгоритмов действий с десятичными дробями с алгоритмами действий
с натуральными числами постоянно и целенаправленно
подчеркивается.
Навыки действий сложения и вычитания десятичных
дробей отрабатываются также при решении текстовых задач и
простейших уравнений, данные в которых выражены десятичными
дробями.
5. Умножение и деление десятичных дробей (53 ч).
Умножение и деление десятичных дробей. Среднее
арифметическое нескольких чисел.
Проценты. Нахождение процентов данного числа.
Куб. Прямоугольный параллелепипед. Объем
прямоугольного параллелепипеда. Единицы измерения объемов.
Куб числа.
Основная цель — выработать навыки умножения и
деления десятичных дробей; познакомить учащихся с понятием
объема, единицами измерения объемов.
При изучении темы отрабатываются умения умножать и де»
лить десятичные дроби. Специального внимания требует
формирование навыков округления, определения места запятой, в
результате вычислений: выполнения умножения и деления
дроби на 10, 100 ...
Поскольку в данной теме завершается формирование
навыков действий с десятичными дробями, следует проверить
прочность и в случае необходимости организовать их доработку.
Навыки выполнения арифметических действий с
десятичными дробями отрабатываются также при вычислении значений
числовых выражений, решении текстовых задач и простейших
уравнений.
Осуществляется знакомство с кубом и прямоугольным
параллелепипедом, на примере вычисления объемов расширяются
и систематизируются известные учащимся сведения о
единицах измерения.
6. Повторение. Решение задач (15 ч)»
24

VI КЛАСС1
МАТЕМАТИКА
(5 ч в неделю, всего— 170 ч)
1. Делимость натуральных чисел (17 ч).
Делители и кратные натурального числа. Общий делитель.
Общее кратное. Признаки делимости на 2, 3, 5, 10. Простые и
составные числа. Разложение числа на множители. [Таблица
простых чисел. Разложение натурального числа на простые
множители. Нахождение НОД и НОК.]
Основная цель — завершить изучение натуральных
чисел, подготовить основу для усвоения действий с
обыкновенными дробями.
В данной теме заканчивается изучение вопросов, связанных
с натуральными числами. Основное внимание должно быть
уделено знакомству с понятиями «делитель» и «кратное», а также
«общий делитель» и «общее кратное», которые находят
применение при сокращении обыкновенных дробей и при их
приведении к общему знаменателю. Целесообразно уже при
изучении п. 1.1 учебника ввести понятия «общий делитель» и
«общее кратное», а систему упражнений дополнить упражнениями
типа: «Найдите: общий делитель (общее кратное) чисел 4 и 10;
несколько общих делителей чисел 12 и 18» и т. д. Упражнения
выполняются по соображению с опорой на таблицу
умножения, прямым подбором. Понятия «наибольший общий делитель»
и «наименьшее общее кратное» вместе с алгоритмами их
нахождения можно не рассматривать.
Определенное внимание уделяется знакомству с признаками
делимости, понятию простого и составного числа. При их
изучении целесообразно формирование умений проводить
простейшие умозаключения, обосновывая свои действия ссылками на
определение, правило.
У учащихся должно быть сформировано умение
разложить число на множители. Например, они должны понимать,
что 24 = 3-8 = 6-4. Вопрос о разложении числа на простые мно-
н жители не относится к числу обязательных.
2. Общие свойства обыкновенных дробей. Сложение и
вычитание (16 ч).
Основное свойство дроби. Сокращение дробей. Приведение
; двух дробей к общему знаменателю. Понятие о наименьшем об-
t щем знаменателе нескольких дробей. Сравнение дробей.
t Сложение и вычитание дробей с произвольными
знаменателями.
Основная цель—выработать прочные навыки
преобразования дробей, сложения и вычитания обыкновенных дробен.
1 Преподавание ведется по учебнику «Математика, 6» Э. Р. Нурка,
А. Э. Тельгмаа (М.: Просвещение, 1989).
25

Одним из важнейших результатов изучения данной темы
является усвоение основного свойства дроби, применяемого для
преобразования дробей: сокращения, приведения к новому
знаменателю. При этом рекомендуется излагать материал без
опоры на понятия НОД и НОК. Умение приводить дроби к общему
знаменателю используется для сравнения дробей.
При рассмотрении действий с дробями используются
правила сложения и вычитания дробей с одинаковыми
знаменателями, понятие смешанного числа. Все эти вопросы целесоообразно
повторить с учащимися.
Важно обратить внимание на случай вычитания дроби из ,
целого числа. Что касается сложения и вычитания смешанных
чисел, которые не находят активного применения в
последующем изучении курса, то учащиеся должны лишь получить
представление о принципиальной возможности выполнения таких
действий.
3. Преобразование дробей. Умножение обыкновенных
дробей (12 ч).
Обращение обыкновенных дробей в десятичные.
[Периодическая десятичная дробь.] Умножение обыкновенных дробей. На:
хождение дроби от числа. Нахождение процентов от числа.
Основная цель — выработать прочные навыки
умножения обыкновенных дробей; расширить представления о
взаимосвязи обыкновенных и десятичных дробей.
' При изучении данной темы учащиеся должны усвоить, что ;
для обращения обыкновенной дроби в десятичную достаточно
разделить числитель на знаменатель. В каждом конкретном
случае они должны знать, в какую десятичную дробь
обращается данная обыкновенная дробь — конечную или
бесконечную. При этом не обязательно акцентировать внимание на том,
что бесконечная десятичная дробь оказывается периодической. #
Учащиеся должны знать представление в виде десятичной дро-
* * « 1111
би таких дробей, как — , —, —, — .
v 2 5 4 20
Все рассмотренные алгоритмы, включая умножения дроби
на натуральное число и умножения смешанных дробей,
должны быть хорошо отработаны. \
Расширение аппарата действий с дробями позволяет решать .
текстовые задачи, в которых требуется найти дробь от числа s
и процент от данного числа.
4. Деление обыкновенных дробей. Пропорция (49 ч).
Деление дробей. Нахождение числа по его дроби.
Нахождение числа по его процентам. Нахождение процентного
отношения двух чисел.
Пропорция. Основное свойство пропорции. Понятие о прямой
и обратной пропорциональности величин. Решение задач.
[Задачи на пропорциональное деление. Масштаб.]
26

Окружность и круг. [Формулы длины окружности и
площади круга.] Круговая диаграмма. Шар.
Основная цель—выработать прочные навыки
арифметических действий с обыкновенными дробями и умение решать
основные задачи на проценты.
В этой теме завершается работа над формированием
навыков арифметических действий с обыкновенными дробями.
Навыки должны быть достаточно прочными, чтобы учащиеся не
испытывали затруднений в вычислениях с рациональными
числами, а алгоритмы действий с обыкновенными дробями могли, в
свою очередь, стать опорой для формирования умений
выполнять действия с алгебраическими дробями.
Расширение аппарата действий с дробями позволяет решать
текстовые задачи, в которых требуется найти число по
данному значению его дроби или его процентам, а также процентное
отношение двух чисел.
Необходимо, чтобы учащиеся прочно усвоили основное
свойство пропорции, так как оно найдет применение на уроках
математики, химии, физики. Понятие о прямой и обратной
пропорциональной зависимости величин можно сформировать как
обобщение нескольких конкретных примеров, подчеркнув при
этом практическую значимость этих понятий. Задачи на прямую
и обратную пропорциональность решаются как с помощью
пропорций, так и сведением к единице.
Продолжается расширение набора геометрических фигур,
изучаемых школьниками. В практику учащихся вводятся
окружность, круг, шар. Представление о круговом секторе дается
в качестве основы для рассмотрения такого прикладного
вопроса, как круговые диаграммы.
В данной теме дается представление о длине окружности и
площади круга. Соответствующие формулы к обязательному
материалу не относятся.
5. Положительные и отрицательные числа. Прямоугольная
система координат (23 ч).
Положительные и отрицательные числа. Противоположные
числа. Модуль числа и его геометрический смысл. Сравнение
t чисел. Целые числа. Понятие о рациональном числе.
Построение перпендикуляра к прямой и параллельных
прямых с помощью угольника и линейки.
Изображение чисел на прямой. Координата точки. Пря-
: моугольная система координат на плоскости, абсцисса и орди-
, ната точки. Примеры графиков.
« Основная цель — расширить представления учащихся о
числе путем введения отрицательных чисел.
Целесообразность введения отрицательных чисел
показывается на содержательных примерах. Учащиеся должны
научиться изображать положительные и отрицательные числа на
числовой оси с тем, чтобы числовая ось могла служить нагляд-
27

ной основой для правил сравнения чисел, сложения и
вычитания чисел, рассматриваемых в следующей теме.
Специальное внимание должно быть уделено усвоению
понятия модуля числа, прочное знание которого необходимо для
формирования умений сравнивать отрицательные числа, а в
дальнейшем для овладения алгоритмами арифметических
действий с положительными и отрицательными числами.
Созданию представлений о перпендикулярных и
параллельных прямых служат наблюдения окружающей обстановки.
Учащиеся должны научиться распознавать и изображать
параллельные и перпендикулярные прямые. Основное внимание еле- .
дует уделить отработке навыков их построения с помощью
линейки и угольника, не требуя воспроизведения точных
определений, обоснования единственности^ построения и т. п.
Основным результатом знакомства'учащихся с координатной
плоскостью должны явиться знания порядка записи координат
точки плоскости и их названий, умения строить точку по
заданным ее координатам, определять координаты точки,
расположенной на координатной плоскости. Этот материал необходим
для построения и чтения эмпирических графиков, отдельные
примеры которых рассматриваются в теме.
В ходе решения задач при изучении темы происходит
совершенствование навыков арифметических действий с дробями.
6. Действия с рациональными числами (38 ч).
Сложение, вычитание, умножение и деление положительных '.
и отрицательных чисел. Переместительное и сочетательное
свойства сложения и умножения. Распределительное свойство
умножения.
Простейшие преобразования выражений: раскрытие скобок,
приведение подобных слагаемых.
Решение линейных уравнений. Примеры решения текстовых #
задач с помощью линейных уравнений.
Основная цель — выработать прочные навыки
арифметических действий с положительными и отрицательными
числами.
Действия сложения и умножения с отрицательными
числами вводятся на основе представлений об изменении величин.
Сложение чисел иллюстрируется соответствующими перемеще- J
пиями точек числовой оси. Правила вычитания и деления
отрицательных чисел вводятся, исходя из смысла определений coot- i
ветствующих действий. При изучении темы целенаправленно
отрабатываются алгоритмы арифметических действий с
целыми и дробными числами. Навыки преобразования буквенных
выражений отрабатываются лишь в той степени, в которой они
необходимы для решения несложных уравнений.
Введение арифметических действий над отрицательными
числами позволяет ознакомить учащихся с общими приемами
решения линейных уравнений с одним неизвестным путем пере-
28

носа слагаемых из одной части уравнения в другую,
приведения подобных слагаемых, деления обеих частей уравнения на
коэффициент при неизвестном. Следует иметь в виду, что в
дальнейшем метод составления уравнений становится основным
методом решения текстовых задач.
7. Повторение. Решение задач (15 ч).
V КЛАСС1
МАТЕМАТИКА
(5 ч в неделю, всего— 170 ч)
1. Натуральные числа и шкалы (18 ч).
Натуральные числа и действия над ними. Сравнение
натуральных чисел. Решение текстовых задач.
Геометрические фигуры: отрезок, прямая, луч, треугольник.
Измерение и построение отрезков.
Изображение натуральных чисел на прямой.
Основная цель — систематизировать и обобщить
сведения о натуральных числах, полученные в начальной школе.
Систематизированное рассмотрение сведений о натуральных
числах позволяет восстановить у учащихся навыки чтения и
записи многозначных чисел, а также навык сравнения
натуральных чисел. Следует выяснить прочность вычислительных
навыков учащихся (навыков табличного сложения, умножения) и
при необходимости организовать их доработку^
Продолжается развитие умений решать текстовые задачи,
требующие понимания смысла отношений «меньше на (в)»,
«больше на (в)», а также задачи на известные учащимся
зависимости между величинами (скоростью, временем и
расстоянием; ценой, количеством и стоимостью товара и пр.). Задачи
решаются арифметическим способом.
В этой и последующих темах рекомендуется избегать
дублирования материала, изучаемого в начальной школе, отка-
- заться от решения громоздких в техническом плане задач, не
' несущих дополнительной идейной нагрузки.
При изучении геометрического материала основное
внимание уделяется формированию навыков измерения и построения
, отрезков при помощи линейки.
На примере шкалы линейки происходит знакомство со шка-
[ лами. Это подготавливает учащихся к изображению чисел на
* координатном луче, а также послужит развитию умений
«читать» шкалы, что важно для работы с приборами на уроках
математики, физики и других предметов.
1 Преподавание ведется по учебнику «Математика, 5» Н. Я. Виленкипа,
А. С. Чеснокова, С. И. .Шварцбурда, В. И. Жохова (М.: Просвещение, 1990).
29

В ходе изучения темы вводятся понятия координатного
луча, единичного отрезка и координаты точки. Здесь начинается
формирование таких важных умений, как умение начертить
координатный луч и отметить на нем заданные числа,
называть число, соответствующее данному делению на
координатном луче.
2. Сложение и вычитание натуральных чисел (20 ч).
Сложение и вычитание натуральных чисел. Переместитель-
ное и сочетательное свойства сложения.
Числовые выражения. Буквенное выражение и его числовое
значение.
Решение линейных уравнений. Примеры решения текстовых
задач с помощью линейных уравнений.
Основная цель — закрепить и развить навыки
сложения и вычитания натуральных чисел.
Начиная с этой темы основное внимание уделяется
закреплению алгоритмов арифметических действий над
многозначными числами, так как они имеют не только самостоятельное
значение, но и являются базой для формирования умений
проводить вычисления с десятичными дробями.
При изучении данной темы отрабатываются умения
складывать и вычитать многозначные числа (включая сложные
случаи переноса из разряда в разряд), навыки арифметических
действий с одно-, двузначными числами, действия с нулем.
Следует учитывать, что формируемое здесь умение состав- •
лять числовые и буквенные выражения в значительной мере
определит успех составления уравнений по условию текстовых
задач, а потому необходимо сосредоточить внимание учащихся
на соответствующих заданиях.
Уравнения решаются на основе зависимости между
компонентами арифметических действий. При этом следует основное*
внимание уделить простейшим случаям.
3. Умножение и деление натуральных чисел (21 ч).
Умножение и деление натуральных чисел. Переместитель-
ное и сочетательное свойства умножения. Распределительное
свойство умножения. Квадрат и куб числа.
Деление с остатком.
Основная цель — закрепить и развить навыки .арифме- ?
тических действий с натуральными числами.
В этой теме проводится целенаправленное развитие и за-i
крепление навыков умножения и деления многозначных чисел.
Требуют постоянного внимания навыки устного умножения и
деления двузначного числа на однозначное, умений
устанавливать порядок действий. Целесообразно проверить умения
выполнять действия, когда один из компонентов равен нулю или
единице. Вводятся понятия квадрата и куба числа.
Продолжается работа по формированию навыков решения
уравнений на основе зависимости между компонентами ариф-
30

метического действия. Текстовые задачи, представленные в
данной теме, целесообразно решать как арифметически, так и с
помощью составления уравнения. При решении с помощью
составления уравнения так называемых задач на части учащиеся
встречаются впервые с уравнениями, в левую часть которых
неизвестное входит дважды. Решению таких задач
предшествуют преобразования соответствующих буквенных выражений.
С делением с остатком учащиеся встречаются в начальной
школе. Теперь соответствующее умение должно быть
отработано до навыка, так как подобные действия придется выполнить
устно, например, при исключении целой части дробного числа.
4. Площади и объемы (15 ч).
Формула. Вычисления по формулам.
Прямоугольник. Площадь прямоугольника. Единицы
измерения площадей.
Куб. Прямоугольный параллелепипед. Объем куба и
прямоугольного параллелепипеда. Единицы измерения объемов.
Основная цель — расширить представления учащихся об
измерении геометрических величин на примере вычисления
площадей и объемов и систематизировать известные им сведения
о единицах измерения.
При изучении темы учащиеся встречаются с формулами.
Навыки вычисления по формулам отрабатываются при
решении геометрических задач. Значительное внимание уделяется
формированию знаний основных единиц измерения и умению
перейти от одних единиц к другим в „соответствии с условием
задачи. Эти знания имеют политехнический характер, так как
широко используются при изучении предметов естественного
цикла и в трудовом обучении.
5. Обыкновенные дроби (26 ч).
Окружность и круг. Обыкновенная дробь. Правильные и
неправильные дроби. Сравнение обыкновенных дробей. Сложение
и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.
Основная цедь — ознакомить учащихся с понятием
дроби в объеме, достаточном для введения десятичных дробей.
В данной теме изучаются сведения о дробных числах, не-
; обходимые для введения десятичных дробей. Среди
формируемых умений основное внимание должно быть привлечено к
сравнению дробей с одинаковыми знаменателями, к сложению
и вычитанию дробей с одинаковыми знаменателями, к
выделению целой части числа. С пониманием смысла дроби связаны
, три основные задачи на дроби, осознанного решения которых
^ важно добиться от учащихся.
6. Десятичные дроби. Сложение и вычитание десятичных
дробей (13 ч).
Десятичная дробь. Сравнение десятичных дробей.
Округление десятичных дробей. Сложение и вычитание десятичных
дробей.
51

Основная цель — выработать умения читать,
записывать, сравнивать, округлять десятичные дроби, выполнять
сложение и вычитание десятичных дробей.
При введении десятичных дробей важно добиться у
учащихся четкого представления о десятичных разрядах
рассматриваемых чисел, умения читать, записывать, сравнивать десятичные
дроби.
Правила сложения и вычитания десятичных дробей
объясняются на простых примерах, когда в записях слагаемых
содержится поровну цифр после запятой. Слагаемые
представляются в виде обыкновенных дробей, сложение которых уже
усвоено. При отработке умений применять алгоритмы
сложения и вычитания десятичных дробей достаточное внимание
должно быть уделено сложению и вычитанию дробей, имеющих
разное число десятичных знаков после залятой, вычитанию
дроби из целого числа.
Определенное внимание уделяется решению текстовых
задач на умножение и вычитание, данные в которых выражены
десятичными дробями.
При изучении операции округления числа вводится новое
понятие—«приближенное значение числа», отрабатываются
навыки округления десятичных дробей до заданного десятичного
разряда.
7. Умножение и деление десятичных дробей (25 ч).
Умножение и деление десятичных дробей. Среднее
арифметическое нескольких чисел.
Основная цель — выработать навыки действий с
десятичными дробями.
Умения умножать и делить десятичные дроби
отрабатываются при вычислении значений числовых выражений, при
решении текстовых арифметических задач. Специального внима*
ния требует формирование навыков определения места запятой
в результате вычисления, выполнения умножения и деления
десятичной дроби на 10, 100, 1000, ..., деления десятичной
дроби на натуральное число, когда,целая часть делимого меньше
делителя.
Знакомство с понятием среднего арифметического несколь-4
кпх чисел позволит показать учащимся практическое применен
ние арифметических знаний и умений.
8. Инструменты для вычислений и измерений (15 ч). \
Начальные сведения о вычислениях на калькуляторе.
Проценты. Основные задачи на проценты.
Примеры таблиц и диаграмм.
Угол, треугольник. Величина (градусная мера) угла.
Единицы измерения углов. Измерение углов. Построение угла
заданной величины.
Основная цель — сформировать умение решать
простейшие задачи на проценты.
32

Знакомство учащихся с калькулятором предусматривается
на этапе, когда письменные алгоритмы арифметических
действий с натуральными числами и десятичными дробями уже
хорошо отработаны. В классе, обеспеченном калькуляторами,
можно научить школьников использовать калькулятор при
выполнении отдельных арифметических выражений.
У учащихся важно выработать содержательное понимание
смысла термина «процент», на котором основывается решение
трех задач на проценты: находить несколько процентов от
какой-либо величины; находить число, если известно несколько
его процентов; находить, сколько процентов одно число
составляет от другого.
Продолжается работа по распознаванию и изображению
геометрических фигур. Важное место занимает формирование
умений проводить измерение и построение углов. Умения построить
прямой угол с помощью угольника и транспортира, прямую и
отрезок с помощью линейки используются при построении
прямоугольника по данным его измерениям, а в дальнейшем при
построении перпендикулярных и параллельных прямых.
Круговые диаграммы дают представление учащимся о
наглядном изображении распределения отдельных составных
частей какой-нибудь величины. В упражнениях следует широко
использовать статистический материал, публикуемый в газетах
и журналах.
9. Повторение. Решение задач (17 ч).
VI КЛАСС 1
МАТЕМАТИКА
(5 ч в неделю, всего— 170 ч)
1. Делимость чисел (16 ч).
Делители и кратные числа. Общий делитель и общее
кратное. Признаки делимости на 2, 3, 5, 10. Простые и составные
числа. Разложение числа на множители. [Таблица простых
чисел. Разложение натурального числа на простые множители.
: Нахождение НОД и Н<Ж]
Основная цель — завершить изучение натуральных
чисел, подготовить основу для усвоения действий с
обыкновенными дробями.
В данной теме завершается изучение вопросов, связанных
* с натуральными числами. Основное внимание должно бытьуде-
« лено знакомству с понятиями «делитель» и «кратное», которые
находят применение при сокращении обыкновенных дробей и
при их приведении к общему знаменателю. Упражнения
полезно выполнять по соображению с опорой на таблицу умноже-
1 Преподавание ведется по учебнику «Математика, 6» Н. Я. Виленкина,
А1 С. Чеснокова, С. И. Шварцбурда, В. И. Жохова (М: Просвещение, 1991).
3 Заказ № 1481
33

ния, прямым подбором. Понятие «наибольший общий делитель»
и «наименьшее общее кратное» вместе с алгоритмами их
нахождения можно не рассматривать.
Определенное внимание уделяется знакомству с признаками
делимости, понятию простого и составного числа. При их
изучении целесообразно формирование умений проводить
простейшие умозаключения, обосновывая свои действия ссылками на
определение, правило.
У учащихся должно быть сформировано умение разложить
число на множители. Например, они должны понимать, что
36 = 6-6 = 4-9. Вопрос о разложении числа на простые
множители не относится к числу обязательных.
2. Сложение и вычитание дробей с различными
знаменателями (25 ч).
Основное свойство дроби. Сокращение дробей. Приведение
дробей к общему знаменателю. Понятие о наименьшем общем
знаменателе нескольких дробей. Сравнение дробей.
Сложение и вычитание дробей. Решение текстовых задач.
Основная цель — выработать прочные навыки
преобразования дробей, сложения и вычитания дробей.
Одним из важнейших результатов обучения является
усвоение основного свойства дроби, применяемого для
преобразования дробей: сокращения, приведения к новому
знаменателю. При этом рекомендуется излагать материал без опоры на:
понятия НОД и НОК. Умения приводить дроби к общему зна:*
менателю используются для сравнения дробей.
При рассмотрении действия с дробями используются
правила сложения и вычитания дробей с одинаковыми
знаменателями, понятие смешанного числа. Важно обратить внимание на
случай вычитания дроби из целого числа. Что касается
сложения и вычитания смешанных чисел, которые не находят актив-*
ного применения в последующем изучении курса, то учащиеся
должны лишь получить представление о принципиальной
возможности выполнения таких действий.
3. Умножение и деление обыкновенных дробей (33 ч).
Умножение и деление обыкновенных дробей. Основные
задачи на дроби.
Основная цель — выработать прочные навыки
арифметических действий с обыкновенными дробями и решать
основные задачи на дроби.
Рассматриваемые алгоритмы должны быть хорошо
отработаны. Достаточного внимания требуют случаи умножения и
деления обыкновенных дробей на натуральное число и
натурального числа на целую и дробную части.
В этой теме завершается работа над формированием
навыков арифметических действий с обыкновенными дробями.
Навыки должны быть достаточно прочными, чтобы учащиеся не
испытывали затруднений в вычислениях с рациональными чис-
34

лами, чтобы алгоритмы действий с обыкновенными дробями
могли стать в дальнейшем опорой для формирования умений
выполнять действия с алгебраическими дробями.
Расширение аппарата действий с дробями позволяет решать
текстовые задачи, в которых требуется найти дробь от числа
или число по данному значению его дроби, выполняя
соответственно умножение или деление на дробь.
4. Отношения и пропорции (17 ч).
Пропорция. Основное свойство пропорции. Решение задач с
помощью пропорции.
Понятие о прямой и обратной пропорциональности величин.
[Задачи на пропорциональное деление. Масштаб.]
[Формулы длины окружности и площади круга.] Шар.
Основная цель — сформировать понятия пропорции, пря:
мой и обратной пропорциональности величин.
Необходимо, чтобы учащиеся усвоили основное свойство
пропорции, так как такие умения найдут применение на уроках
математики, химии, физики. В частности, достаточное
внимание должно быть уделено решению с помощью пропорций
задач на проценты.
Понятие о прямой и обратной пропорциональности величин
можно сформировать как обобщение нескольких конкретных
примеров, подчеркнув при этом практическую значимость этих
понятий, возможность их применения для упрощения решения
соответствующих задач.
В данной теме дается представление о длине окружности
и площади круга. Соответствующие формулы к обязательному
материалу не относятся. Рассмотрение геометрических фигур
завершается знакомством с шаром.
5. Положительные и отрицательные числа (13 ч).
Положительные и отрицательные числа. Противоположные
числа. Модуль числа и его геометрический смысл. Сравнение
чисел. Целые числа.
Изображение чисел на прямой. Координата точки.
Основная цель — расширить представления учащихся
о числе путем введения отрицательных чисел.
Целесообразность введения отрицательных чисел
показывается на содержательных примерах. Учащиеся должны
научиться изображать положительные и отрицательные числа на
числовой оси с тем, чтобы числовая ось могла служить наглядной
основой для правил сравнения чисел, сложения и вычитания
чисел, рассматриваемых в следующей теме.
Специальное внимание должно быть уделено усвоению
вводимого здесь понятия модуля числа, прочное знание которого
необходимо для формирования умений сравнивать
отрицательные числа, а в дальнейшем для овладения алгоритмами
арифметических действий с положительными и отрицательными
числами.
3*
35

6. Сложение и вычитание положительных и отрицательных
чисел (12 ч).
Сложение и вычитание положительных и отрицательных
чисел.
Основная цель — выработать прочные навыки сложения
и вычитания положительных и отрицательных чисел.
Действия с отрицательными числами вводятся на основе
представлений об изменении величин: сложение и вычитание
чисел иллюстрируется соответствующими перемещениями точек
числовой оси. При изучении данной темы целенаправленно
отрабатываются алгоритмы сложения и вычитания при выпол-
нении действия с целыми и дробными числами.
7. Умножение и деление положительных и отрицательных
чисел (9 ч).
Умножение и деление положительных и отрицательных
чисел. Понятие о рациональном числе.
Десятичное приближение обыкновенной дроби.
[Периодическая десятичная дробь. Применение законов арифметических
действий для рационализации вычислений.]
Основная цель — выработать прочные навыки
арифметических действий с положительными и отрицательными
числами.
Навыки умножения и деления положительных и
отрицательных чисел отрабатываются сначала при выполнении отдельных
действий, а затем в сочетании с навыками сложения и вычи-'
тания при вычислении значений числовых выражений.
При изучении данной темы учащиеся должны усвоить, что
для обращения обыкновенной дроби в десятичную достаточно
разделить числитель на знаменатель. В каждом конкретном
случае они должны знать, в какую десятичную дробь
обращается данная обыкновенная дробь — конечную или бесконечную/
При этом не обязательно акцентировать внимание на том, что
бесконечная десятичная дробь оказывается периодической.
Учащиеся должны знать представление в виде десятичной дроби
* » 1111
таких дробей, как — , — , —, —- .
2 5 4 20
8. Решение уравнений (18 ч). f
Простейшие преобразования выражений: раскрытие скобок,
приведение подобных слагаемых. -
Решение линейных уравнений. Примеры решения текстовых
задач с помощью линейных уравнений.
Основная цель — подготовить учащихся к выполнению
преобразований выражений, решению уравнений.
Преобразования буквенных выражений путем раскрытия
скобок и приведения подобных слагаемых отрабатываются в
той степени, в которой они необходимы для решения
несложных уравнений.
36

Введение арифметических действий над отрицательными
числами позволяет ознакомить учащихся с общими приемами
решения линейных уравнений с одним неизвестным, путем
переноса слагаемых из одной части уравнения в другую,
приведения подобных слагаемых в левой и правой частях
уравнения, деления обеих частей на коэффициент при неизвестном.
Следует заметить, что начиная с этой темы метод составления
уравнения становится одним из основных методов решения
текстовых задач.
9. Графики (11 ч).
Построение перпендикуляра к прямой и параллельных
прямых с помощью угольника и линейки.
Прямоугольная система координат на плоскости, абсцисса
и ордината точки. Примеры графиков, диаграммы.
Основная цель — познакомить учащихся с
прямоугольной системой координат на плоскости.
Созданию образов перпендикулярных и параллельных
прямых служат наблюдения окружающей обстановки. Учащиеся
должны научиться распознавать и изображать
перпендикулярные и параллельные прямые. Основное внимание следует
уделить отработке навыков их построения с помощью линейки и
угольника, не требуя воспроизведения точных определений.
Основным результатом знакомства учащихся с
координатной плоскостью должны явиться знания порядка записи
координат точек плоскости и их названий, умения построить
координатные оси, отметить точку по заданным ее координатам,
определить координаты точки, отмеченной на координатной
плоскости.
Формированию вычислительных и графических умений
способствует построение столбчатых диаграмм. При выполнении
соответствующих упражнений найдут применение изученные
ранее понятия масштаба, округления числа.
Результатом выполнения упражнений на чтение графиков
должно явиться умение свободно определять координаты
отмеченных на координатной плоскости точек и изображать точки
по заданным координатам.
10. Повторение. Решение задач (16 ч).
VII КЛАСС
АЛГЕБРА '
(I четверть — 5 ч в неделю, II, III и IV четверти —
3 ч в неделю, всего—120 ч)
1. Выражения и их преобразования. Уравнения (19 ч).
Преобразование .выражений. Уравнение с одним
неизвестным; корень уравнения. Линейное уравнение с одним неиз-
1 Преподавание ведется по учебнику «Алгебра, 7» Ю. Н. Макарычева,
Н. Г. Миндюк, К. И. Нешкова, С. Б. Суворовой. (М.: Просвещение, 1989).
37

вестным. Решение задач методом составления уравнений.
Основная цель — систематизировать и обобщить
сведения о преобразованиях выражений и решении уравнений с
одной переменной, полученные учащимися в курсе математики
V—VI классов.
Первая тема курса VII класса является связующим звеном
между курсом математики V—VI классов и курсом алгебры.
В ней закрепляются вычислительные навыки,
систематизируются и обобщаются сведения о преобразованиях выражений и
решении уравнений.
Нахождение значений буквенных выражений дает
возможность повторить с учащимися правила действий с
рациональными числами. Умения выполнять арифметические действия с
рациональными числами являются опорными для всего курса
алгебры. Следует выяснить, насколько прочно овладели ими
учащиеся, и в случае необходимости организовать повторение
с целью ликвидации выявленных пробелов. Развитию навыков
вычислений должно уделяться серьезное внимание и в
дальнейшем при изучении других тем курса алгебры.
В связи с рассмотрением вопроса о сравнении значений
выражений расширяются сведения о неравенствах: вводятся
знаки ^ и ^, дается понятие о двойных неравенствах. -
При рассмотрении преобразований выражений формально-
оперативные умения остаются на том же уровне, который был!
достигнут в V—VI классах. Однако здесь учащиеся
поднимаются на новую ступень в овладении теорией. Вводятся понятия
«тождественно равные выражения», «тождество»,
«тождественное преобразование выражений», содержание которых будет
постоянно раскрываться и углубляться при изучении
преобразований различных алгебраических выражений. Подчеркивает*
ся, что основу тождественных преобразований составляют
свойства действий над числами.
Усиливается роль теоретических сведений при
рассмотрении уравнений. С целью обеспечения осознанного восприятия
учащимися алгоритмов решения уравнений вводится
вспомогательное понятие равносильности уравнений, формулируются
и разъясняются на конкретных примерах свойства равносиль-J
ности. Дается понятие линейного уравнения и исследуется
вопрос о числе его корней. В системе упражнений особое внима-;
ние уделяется решению уравнений вида ах = Ь при различных
значениях а и Ь. Продолжается работа по формированию у
учащихся умения использовать аппарат уравнений как средство
для решения текстовых задач. Уровень сложности задач здесь
остается таким же, как в VI классе.
2. Функция (15 ч).
Функция, область определения функции. Способы задания
функции. График функции. Функция y = kx + bt ее график.
Функция y=*kxy ее график.
38

Основная цель — ознакомить учащихся с основными
функциональными понятиями и с графиками функций: у =
= kx + b-y y = kx.
Данная тема является начальным этапом в обеспечении
систематической функциональной подготовки учащихся. Здесь
вводятся такие понятия как функция, аргумент, область
определения функции, график функции. Функция трактуется как
зависимость одной переменной от другой. Учащиеся получают
первое представление о способах задания функции. В данной
теме начинается работа по формированию у учащихся умения
находить по формуле значение функции по известному значению
аргумента, выполнять то же задание по графику и решать по
графику обратную задачу.
Функциональные понятия получают свою конкретизацию
при изучении линейной функции и ее частного вида — прямой
пропорциональности. Умение строить и читать графики этих
функций широко используется как в самом курсе алгебры, так
и в курсах геометрии и физики. Учащиеся должны понимать,
как влияет знак коэффициента k на расположение в
координатной плоскости графика функции y = kx, где кфО, как зависит
от значений k и Ь взаимное расположение графиков двух
функций вида y = kx + b.
Формирование всех функциональных понятий и выработка
соответствующих навыков, а также изучение конкретных
функций сопровождается рассмотрением примеров реальных
зависимостей между величинами, что способствует усилению
прикладной направленности курса алгебры.
3. Степень с натуральным показателем (18 ч).
Степень с натуральным показателем и ее свойства.
Одночлен. Функции у = х2 и у = хг, их графики. Измерение величин.
Абсолютная и относительная погрешности приближенного
значения.
Основная цель — выработать у учащихся умение
выполнять действия над степенями с. натуральными
показателями.
В данной теме дается определение степени с натуральным
показателем. В курсе математики VI класса учащиеся уже
встречались с примерами возведения чисел в степень. В связи
с вычислением значений степени в VII классе дается
представление о нахождении значений степени с помощью
микрокалькулятора. Рассматриваются свойства степени с натуральным
показателем. На примере доказательства свойств am-an = am+n,
ат:ап = ат-п, где т>п, (ат)п==атпу (ab)n = anbn учащиеся
впервые знакомятся с доказательствами, проводимыми на
алгебраическом материале. Указанные свойства степени с
натуральным показателем находят применение при умножении
одночленов и возведении одночленов в степень. При нахождении зна-
39

чсний выражений, содержащих степени, особое внимание
следует обратить на порядок действий.
Рассмотрение функций у=х2 и у—хъ позволяет продолжить
работу по формированию умений строить графики и читать
графики функций. Важно обратить внимание учащихся на
особенности графика функции у = х2— график проходит через начало
координат, ось Оу является его осью симметрии, график
расположен в верхней полуплоскости.
Изучение темы завершается введением понятий «абсолютная
погрешность» и «относительная погрешность». При раскрытии
содержания этих понятий привлекаются сведения об измерении
величин.
4. Многочлены (20 ч).
Многочлен. Сложение, вычитание и умножение многочленов.
Разложение многочленов на множители. [Доказательство
тождеств.]
Основная цель — выработать умение выполнять
сложение, вычитание, умножение многочленов и разложение
многочленов на множители.
Данная тема играет фундаментальную роль в
формировании умения выполнять тождественные преобразования
алгебраических выражений. Ее изучение начинается с введения
понятий многочлена, стандартного вида многочлена, степени
многочлена. Основное место в этой теме занимают алгоритмы
действий с многочленами — сложение, вычитание и умножение.
Учащиеся должны понимать, что сумму, разность,
произведение многочленов всегда можно представить в виде многочлена.
Действия сложения, вычитания и умножения многочленов
выступают как составной компонент в заданиях на
преобразование целых выражений. Поэтому нецелесообразно переходить*
к комбинированным заданиям прежде, чем усвоены основные
алгоритмы.
Серьезное внимание в этой теме уделяется разложению
многочленов на множители с помощью вынесения за скобки
общего множителя и с помощью группировки. Соответствующие
преобразования находят широкое применение как в курсе *
VII класса, так и в последующих курсах, особенно в действиях г
с рациональными дробями.
Учащиеся встречаются с примерами использования рассмат- *
риваемых преобразований при решении различных задач,
прежде всего при решении уравнений. Это позволяет в ходе
изучения темы продолжить работу по формированию умения
решать уравнения, а также решать задачи методом составления
уравнений. Вопрос о доказательстве тождеств не относится к
числу обязательных. Соответствующий материал учебника
(п. 30) может быть предложен для самостоятельного
рассмотрения сильным учащимся.
40

5. Формулы сокращенного умножения (20 ч).
Формулы (a±Lb)2 = a2±2ab + b21 (а-Ь) (а + b) =а2-Ь2,
[(a=F&) (a2±ab + b2) = а3й=&3]. Применение формул
сокращенного умножения к разложению на множители.
Основная цель—выработать у учащихся умение
применять в несложных случаях формулы сокращенного
умножения для преобразования целых выражений в многочлены и для
разложения многочленов на множители.
Учащиеся должны усвоить формулы {а — Ь) {а + Ь) = а2 — Ь2
и- {а±Ь)2 = а2±2аЬ-\-Ь2ь знать их словесные формулировки и
уметь применять эти формулы как для преобразований
произведения в многочлен («слева направо»), так и для разложения
на множители («справа налево»). Формулы a3db&3 =
= (я±Ъ) (a2=Fab-f b2) не относятся к числу обязательных.
Изучение многочленов завершается материалом
обобщающего характера: введением понятия целого выражения, решением
комбинированных упражнений на преобразование целого
выражения в многочлен и на разложение на множители,
разбором примеров применения различных преобразований целых
выражений для решения задач. При выполнении упражнений
здесь особенно важно дифференцировать требования к
учащимся, ограничившись в случае необходимости уровнем
обязательных требований.
6. Системы линейных уравнений (19 ч).
Система уравнений с двумя переменными. Решение
системы двух линейных уравнений с двумя переменными. Решение
задач методом составления систем уравнений.
Основная цель — ознакомить учащихся со способами
решения систем линейных уравнений с двумя переменными,
выработать умение решать системы уравнений и применять их
при решении текстовых задач.
Изучение систем уравнений распределяется между курсами
VII и IX классов. В VII классе вводится понятие системы и
рассматриваются системы линейных уравнений.
Изложение начинается с введения понятия «линейное
уравнение "с двумя переменными». Формируется умение строить
график уравнения ах-\-Ьу=^су где афО или &=£0, при различных
значениях а, Ъ и с. Введение графических образов дает
возможность наглядно исследовать вопрос о числе решений
системы двух линейных уравнений с двумя переменными.
Основное место в данной теме занимает изучение
алгоритмов решения систем двух линейных уравнений с двумя
переменными способом подстановки и способом сложения. Введение
систем позволяет значительно расширить круг текстовых задач,
решаемых с помощью аппарата алгебры. Применение систем
упрощает процесс перевода данных задачи с обычного языка
на язык уравнений.
7. Повторение. Решение задач (9 ч).
41

VII КЛАСС
АЛГЕБРА^
(I четверть — 5 ч в неделю, II, III и IV четверти —
3 ч в неделю, всего—120 ч)
1. Алгебраические выражения (10 ч).
Числовые выражения. Алгебраические выражения.
Формулы. Свойства арифметических действий. Правила раскрытия
скобок.
Основная цель — систематизировать и обобщить
сведения о числовых выражениях, полученные в курсе математики
V—VI классов. Сформировать понятие алгебраического
выражения. Систематизировать сведения о преобразованиях
алгебраических выражений.
Первая тема курса VII класса является связующим звеном
между курсом математики V—VI классов и курсом алгебры.
При ее изучении развиваются и закрепляются вычислительные
навыки, систематизируются сведения о преобразованиях
алгебраических выражений.
Повторяемые правила действий с рациональными числами
являются основой как для изучения данной главы, так и всего
курса алгебры. Формирование алгебраических представлений .
будет и в дальнейшем вестись с постоянной опорой на
известные учащимся арифметические понятия, действия, правила.
Через запись законов и свойств арифметических действий с
помощью букв, запись формул четного и нечетного числа и пр.
осуществляется знакомство учащихся с формулами. Вплоть
до изучения темы «Алгебраические дроби» принимается услов-«
ная договоренность: если в формуле алгебраическое
выражение стоит в знаменателе, то его значение не может быть равно
нулю.
При рассмотрении преобразований выражений формально-
оперативные умения пока остаются на том же уровне,
который был достигнут учащимися в V—VI классах. Однако здесь
учащиеся знакомятся с новым понятием алгебраической суммы,
обосновывают правила раскрытия скобок соответствующими
свойствами сложения и вычитания, используют свойства
действий, чтобы, предварительно упростив алгебраическое
выражение, найти его числовое значение.
2. Уравнения с одним неизвестным (10 ч).
Уравнение и его корни. Уравнения с одним неизвестным,
сводящиеся к линейным. Решение задач с помощью уравнений.
1 Преподавание ведется по учебнику «Алгебра, 7» Ш. А. Алимова,
Ю. М Колягина, 10. В. Сидорова и др. (М.: Просвещение, 1991).
42

Основная цель — систематизировать сведения о
решении уравнений с одним неизвестным, сформировать умение
решать уравнения, сводящиеся к линейным.
При изучении данной темы по сравнению с тем, что было
известно учащимся ранее об уравнениях, усиливается роль
теоретических знаний: вводится определение уравнения и его
корня, рассматриваются свойства уравнений, дается понятие
линейного уравнения, исследуется вопрос о числе корней
линейного уравнения.
Понятие равносильности уравнений на этом этапе обучения
не рассматривается. Вместо этого дается пояснение того, что
при решении уравнений первой степени с одним неизвестным
переходят от данного уравнения к более простому, имеющему
те же корни, поэтому проверку уравнения полезно делать
только для того, чтобы убедиться в правильности вычислений.
Продолжается работа по формированию у учащихся
умений использовать аппарат уравнений как средство для
решения текстовых задач.
3. Одночлены и многочлены (20 ч).
Степень с натуральным показателем и ее свойства.
Одночлен. Многочлен. Сложение, вычитание и умножение
многочленов. Деление одночлена и многочлена на одночлен.
Основная цель — выработать у учащихся умение
выполнять действия над степенями с натуральными показателями,
действия сложения, вычитания и умножения многочленов.
В данной теме дается определение степени с натуральным
показателем. Понятие стандартного вида числа, большего 10,
и записи чисел в виде суммы разрядных слагаемых вводится
как иллюстрация к применению понятия степени с
натуральным показателем.
Впервые доказательство теоретического положения в курсе
алгебры проводится при доказательстве свойств степени,
которое осуществляется параллельно с аналогичными
рассуждениями для степеней, основанием которых является число. Так как
свойства степени с натуральным показателем находят
применение при умножении и делении одночленов, возведении
одночленов в степень, предполагается, что основная нагрузка по
закреплению навыка применения свойств степени ляжет именно
на материал этого раздела.
Преобразования многочленов играют важную роль в
формировании умения выполнять преобразования алгебраических
выражений. Изучаются понятия многочлена стандартного вида,
алгоритмы сложения, вычитания, умножения многочленов.
Важно, чтобы учащиеся поняли, что при выполнении этих действий
над многочленами в результате получается также многочлен.
Деление многочленов и одночленов на одночлен дается в
ознакомительном плане с целью пропедевтики темы
«Алгебраические дроби».
43

4. Разложение многочленов на множители (19 ч).
Вынесение общего множителя за скобки. Способ
группировки. Формулы сокращенного умножения (a-f b) (a — b) = a2 — ft2;
(я±Ь)2 = а2±2а& + &2.
Основная цель — выработать умение выполнять
разложение многочленов на множители различными способами и
применять формулы сокращенного умножения для
преобразования алгебраических выражений.
При изучении данной темы рассматриваются такие
способы разложения на множители, как вынесение общего
множителя за скобки, группировка, разложение с помощью формул
сокращенного умножения. Учащиеся выполняют преобразования
целых и дробных алгебраических выражений, что способствует
подготовке к изучение следующей темы «Алгебраические
дроби».
Применение разложения на множители при решении
уравнений не является обязательным, так же как и изучение
формул a3±63=(a±6)(a2=Fa& + &2).
Формулы же (a-f ft) (a-b) =a2-ft2 и (a±b)2 = a2±2ab + b2
должны быть усвоены учащимися и уверенно применяться ими
в простейших случаях как для выполнения умножения, так и
для разложения на множители.
При изучении заключительного материала темы особенно
внимательно подойти к подбору упражнений на применение
различных способов разложения многочленов на множители.
Возможно ограничиться лишь выполнением упражнений
обязательного уровня.
5. Алгебраические дроби (24 ч).
Алгебраическая дробь. Сокращение дробей. Сложение,
вычитание, умножение и деление алгебраических дробей. Сов- #
местные действия над алгебраическими дробями.
Основная цель — выработать умение выполнять
преобразования алгебраических дробей.
Изучение темы начинается с введения понятия
алгебраической дроби, ее числового значения и допустимых значений
входящих в нее букв. Здесь же формулируется важное для
изучения в девятилетней школе условие: буквы, входящие
в алгебраическую дробь, принимают лишь допустимые
значения.
Регулярное повторение правил действий с обыкновенными
дробями существенно облегчает трудности изучения темы.
Поэтому важное место занимает сопоставление алгоритмов
действий над обыкновенными и алгебраическими дробями.
Важно не спешить переходить к выполнению
комбинированных упражнений прежде, чем будут усвоены основные
алгоритмы сложения, вычитания, умножения и деления
алгебраических дробей. Задания на все действия с дробями не должны
быть излишне громоздкими и трудоемкими. Возможно ограни-
44

читься заданиями обязательного уровня. Более сложные
задания с алгебраическими дробями будут выполняться в VIII и
IX классах.
6. Линейная функция и ее график (12 ч).
Прямоугольная система координат на плоскости. Понятие
функции. Способы задания функции. График функции.
Функция y = kx, ее график. Линейная функция, ее график.
Основная цель — сформировать представление о
числовой функции на примере линейной функции.
Данная тема является начальным этапом в обеспечении
систематической функциональной подготовки учащихся. Здесь
вводятся такие понятия, как функция, функциональная
зависимость, независимая переменная, график функции. Функция
трактуется как зависимая переменная. Так как в VII и
VIII классах конкретные функции определены на множестве
всех действительных чисел, то на данном этапе изучения
функции вопрос об области ее определения в явном виде не
ставится.
Рассматриваются способы задания функции. Начинается
работа по формированию у учащихся умений находить значения
функции, заданной формулой, графиком, по известному
значению аргумента; по графику функции определять значение
аргумента, если значение функции задано.
Изучению линейной функции предшествует изучение
функции y = kx и ее графика. Рассматривается зависимость
расположения графика функции от значений коэффициента k.
Учащиеся должны понимать, как влияет знак k на расположение
графика. Здесь же на физических примерах происходит первое
знакомство с понятиями прямой и обратной
пропорциональности.
Построение графика линейной функции и чтение графика —
важнейшие умения, необходимые учащимся как для изучения
других разделов математики, так и смежных дисциплин.
Формирование этих умений ведется не только при решении
традиционных математических примеров, но и в процессе
моделирования реальных процессов, протекающих по закону линейной
зависимости.
7. Системы двух уравнений с двумя неизвестными (15 ч).
Система уравнений с двумя неизвестными. Решение системы
уравнений первой степени с двумя неизвестными способами
подстановки и сложения, графическим способом. Решение задач
методом составления систем уравнений.
Основная цель — научить решать системы линейных
уравнений с двумя неизвестными различными способами и
использовать полученные навыки при решении задач.
Изучение систем уравнений распределяется между курсами
VII и VIII классов. В VII классе вводится понятие системы
45

уравнений и рассматриваются системы линейных уравнений с
двумя неизвестными.
Основное внимание при обучении решению систем
уравнений уделяется способам подстановки и сложения. Графический
способ не является ведущим, а рассматривается как
геометрическая иллюстрация наличия или отсутствия решения системы
уравнений.
8. Повторение. Решение задач (10 ч),
VII КЛАСС
ГЕОМЕТРИЯ 1
(II, III и IV четверти — 2 ч в неделю, всего-—50 ч)
1. Начальные понятия геометрии (11 ч).
Точка и прямая. Отрезок. Полупрямая. Угол. Основные
свойства принадлежности точек и прямых. Основные свойства
взаимного расположения точек на прямой и на плоскости.
Основные свойства откладывания и измерения отрезков и углов.
Геометрическая фигура.
Треугольник. Равенство отрезков, углов, треугольников.
Биссектриса угла. Существование треугольника, равного данному.
Смежные и вертикальные углы и их свойства.
Перпендикулярные прямые.
Основная цель — систематизировать наглядные
представления учащихся об основных свойствах простейших
геометрических фигур, ввести терминологию, использующуюся в
изложении курса.
Материал темы носит вводный характер. Здесь приводятся
основные свойства простейших геометрических фигур (аксио*
мы планиметрии), на которых базируется построение теории.
Изучение материала темы проводится в ознакомительном
плане: все сообщаемые учащимся сведения излагаются на
наглядной основе путем обобщения очевидных или знакомых им
геометрических фактов, при этом от учащихся не требуется
воспроизведения формулировок аксиом. Главное — показать при-,
меры их использования при выполнении упражнений. При этом*
основной упор делается на упражнения, связанные со
свойствами измерения отрезков и углов. !
С целью более компактного изложения теории
рекомендуются незначительные изменения структуры учебника. Ввести
понятие биссектрисы можно непосредственно при изучении
равенства углов. Материал пункта «Параллельные прямые»
может изучаться одновременно с материалом темы «Сумма углов
* треугольника».
1 Преподавание ведется по учебнику «Геометрия, 7—И» А. В. Погоре-
лова (М: Просвещение, 1990).
46

Изучение данной темы должно решать важную задачу
введения терминологии, развития у учащихся наглядных
геометрических представлений и навыков изображения плоских фигур,
устной математической речи учащихся, что необходимо для
всего последующего изучения курса геометрии. Поэтому здесь
очень важны работа с рисунками и выполнение устных
упражнений. При решении большинства задач следует добиваться,
чтобы учащиеся увидели геометрическую картинку, находили
решение на наглядно-интуитивном уровне, а затем уже
пытались дать обоснования.
При изучении углов основное внимание уделяется отработке
навыков применения свойств смежных и вертикальных углов,
происходящей в ходе решения вычислительных задач. При этом
используются имеющиеся у учащихся вычислительные навыки,
а также навыки составления и решения линейных уравнений.
В учебнике рассматривается ряд общих понятий: «теорема»,
«условие и заключение теоремы», «доказательство», «аксиома»,
«определение», «доказательство от противного». Эти термины
могут вводиться либо компактно (в форме беседы, лекций
учителя, в качестве материала для самостоятельного чтения
учащихся), либо постепенно, по мере появления в учебнике
соответствующего понятия.
2. Равенство треугольников (21 ч).
Признаки равенства треугольников. Медиана, биссектриса,
высота треугольника. Равнобедренный треугольник, его свойства.
Основные задачи на построение: построение треугольника
с данными сторонами, угла, равного данному, биссектрисы
угла, перпендикулярной прямой, деление отрезка пополам.
Основная цель — сформировать умение доказывать
равенство треугольников с опорой на признаки, решать
простейшие задачи на построение с помощью циркуля и линейки.
Основное внимание следует уделять формированию
умений доказывать равенство треугольников. В ходе решения
задач закрепляются формулировки признаков и формируются
умения их практического применения. Сами же теоремы о
признаках равенства треугольников можно дать без
доказательства. Изучение признаков равенства может быть органично
соединено с решением задач на построение треугольников потрем
сторонам, углу и прилежащим сторонам, стороне и прилежащим
углам. При этом признаки равенства используются для
доказательства единственности решения.
Изучение данной темы является начальным этапом
формирования умений использовать признаки равенства
треугольников. Здесь необходимо в первую очередь добиться того, чтобы
учащиеся умели доказывать равенство заданных
треугольников, т. е. умели бы выделять три равенства соответствующих
элементов данных треугольников и давать ссылку на
применяющийся признак. При этом значительное внимание следует уде-
47

лять использованию средств наглядности, в частности,
целенаправленной работе с рисунками. Введение понятий медианы,
биссектрисы и высоты треугольника, свойств равнобедренного
треугольника расширяет класс задач на доказательство
равенства треугольников. Изучение этих вопросов может быть
соединено с решением основных задач на построение (биссектриса
угла, середина отрезка, перпендикулярные прямые).
3. Сумма углов треугольника (14 ч).
Параллельные прямые. Основное свойство параллельных
прямых. Признаки параллельности прямых.
Сумма углов треугольника. Внешние углы треугольника.
Прямоугольный треугольник. Признаки равенства
прямоугольных треугольников.
Расстояние от точки до прямой. Расстояние между
параллельными прямыми.
Основная цель — дать систематические сведения о
параллельности прямых, расширить знания учащихся о
треугольниках.
В начале изучения параллельных прямых вводится
последняя из аксиом планиметрии — аксиома о параллельных прямых.
Знание признаков параллельности прямых, свойств углов при
параллельных прямых и секущей находит затем широкое
применение при изучении четырехугольников, подобия
треугольников, а также в курсе стереометрии. Поэтому в ходе решения
задач следует уделить значительное внимание формированию
умений доказывать параллельность данных прямых с
использованием соответствующих признаков, находить углы при
параллельных прямых и секущей.
В данной теме рассматривается одна из важнейших теорем
курса — теорема о сумме углов треугольника, в которой
впервые формулируется неочевидный геометрический факт. (При
проведении, например, практической работы на вычисление
суммы углов треугольника с помощью транспортира у значитель- -
ной части учащихся получается результат, отличный от 180°.)
Теорема о сумме углов треугольника позволяет получить
важные следствия — свойство внешнего угла треугольника и
признаки равенства прямоугольных треугольников. Изучение
новых теоретических фактов существенно расширяет класс
решаемых учащимися геометрических задач: увеличивается доля
задач на вычисление, кроме того, для решения задач на
доказательство расширяет арсенал опорных фактов и приемов.
В конце темы вводится понятие расстояния от точки до
прямой. При введении понятия расстояния между параллельными
прямыми у учащихся формируется представление о
параллельных прямых как равностоящих, что будет в дальнейшем
использоваться для проведения обоснований в курсе планиметрии
и при изучении стереометрии.
4. Повторение. Решение задач (4 ч).
48

VII КЛАСС
ГЕОМЕТРИЯ !
(II, III и IV четверти — 2 ч в неделю, всего — 50 ч)
1. Начальные геометрические сведения (7 ч).
Точка, прямая, отрезок. Взаимное расположение точек и
прямых на плоскости. Луч. Угол. Биссектриса угла. Понятие о
равенстве геометрических фигур. Равенство отрезков и углов.
Длина отрезка и ее свойства. Величина угла и ее свойства.
Смежные и вертикальные углы. Перпендикулярные прямые.
Основная цель — систематизировать наглядные
представления и знания учащихся о простейших геометрических
фигурах; ввести терминологию, использующуюся в изложении
курса.
Основные понятия вводятся на наглядной основе с учетом
представлений, сложившихся у учащихся в результате
накопленного опыта и изучения математики в I—VI классах.
Понятие аксиомы на начальном этапе обучения геометрии не
вводится, и сами аксиомы не формулируются в явном виде.
Необходимые исходные положения, на основе которых изучаются
свойства геометрических фигур, приведены в описательной форме.
При решении задач по данной теме очень важна работа с
рисунком, использование наглядно-интуитивных представлений
учащихся.
2. Треугольники (14 ч).
Треугольник. Признаки равенства треугольников.
Перпендикуляр к прямой. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника.
Равнобедренный треугольник и его свойства. Основные задачи
на построение с помощью циркуля и линейки.
Основная цель — сформировать умения доказывать
равенство данных треугольников, опираясь на изученные
признаки, отработать навыки решения простейших задач на
построение с помощью циркуля и линейки.
При изучении темы следует основное внимание уделить
формированию у учащихся умений доказывать равенство
треугольников, т. е. выделять равенство трех соответствующих
элементов данных треугольников и делать ссылки на изученные
признаки. На начальном этапе изучения темы полезно больше
внимания уделить использованию средств наглядности, решению
задач по готовым чертежам.
3. Параллельные прямые (9 ч).
Признаки параллельности прямых. Аксиома параллельных
прямых. Свойства параллельных прямых.
1 Преподавание ведется по учебнику «Геометрия, 7—9» Л. С. Атанася-
на, В. Ф. Бутузова, С. Б. Кадомцева и др. (М.: Просвещение, 1990).
4 Заказ № 1481
49

Основная цель — дать систематические сведения о
параллельности прямых, первое представление об аксиомах
и аксиоматическом методе в геометрии, ввести аксиому
параллельных прямых.
Знания признаков параллельности прямых, свойств углов
при параллельных прямых и секущей находят широкое
применение в дальнейшем курсе геометрии при изучении
четырехугольников, подобия треугольников, а также в курсе
стереометрии. Поэтому в ходе решения задач следует уделить
значительное внимание формированию умений доказывать
параллельность данных прямых с использованием соответствующих
признаков, находить равные углы при параллельных прямых и
секущей.
4. Соотношения между сторонами и углами треугольника
(16 ч).
Сумма углов треугольника: внешний угол треугольника;
остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольник.
Соотношения между сторонами и углами треугольника.
Неравенство треугольника. Некоторые свойства прямоугольных
треугольников. Признаки равенства прямоугольных треугольников.
Расстояние от точки до прямой. Расстояние между
параллельными прямыми. Построение треугольников по трем элементам
с помощью циркуля и линейки. Задачи на построение.
Основная цель — расширить знания учащихся о тре- .
угольниках.
В данной теме рассматривается одна из важнейших теорем
курса — теорема о сумме углов треугольника, в которой
впервые формулируется содержательно-неочевидный факт. Теорема
позволяет получить важные следствия — свойство внешнего
угла треугольника, некоторые свойства и признаки прямоуголь- «
ных треугольников. Новые теоретические факты существенно
расширяют класс решаемых учащимися задач.
При введении понятия расстояния между параллельными
прямыми у учащихся формируется представление о
параллельных прямых как равноотстоящих друг от друга (точка,
движущаяся по одной из параллельных прямых, все время находится
на одном и том же расстоянии от другой прямой), что будет
использоваться в дальнейшем курсе геометрии и при изучении
стереометрии.
При решении задач на построение в VII классе
рекомендуется ограничиваться только выполнением построения искомой
фигуры циркулем и линейкой. В отдельных случаях можно
проводить устно анализ и доказательство, а элементы
исследования могут присутствовать лишь тогда, когда это оговорено
условием задачи.
5. Повторение. Решение задач (4 ч),
50

VIII КЛАСС
АЛГЕБРА '
(3 ч в неделю, всего—102 ч)
1. Рациональные дроби (30 ч).
Рациональная дробь. Основное свойство дроби, сокращение
дробей. Сложение, вычитание, умножение и деление дробей.
Тождественные преобразования рациональных выражений.
Функция у= — и ее график. Степень с целым показателем.
х
Запись чисел в стандартном виде. [Выполнение действий над
числами, записанными в стандартном виде.]
Основная цель — выработать умение выполнять
тождественные преобразования рациональных выражений.
Изучение темы начинается с введения понятий о целом и
дробном выражении. Так как действия с рациональными
дробями существенным образом опираются на действия с
многочленами, то в начале темы необходимо повторить с учащимися
преобразования целых выражений.
Главное место в данной теме занимают алгоритмы действий
с дробями. Учащиеся должны понимать, что сумму, разность,
произведение и частное дробей всегда можно представить в
виде дроби. Основное свойство дроби и алгоритмы действий с
дробями получают теоретическое обоснование. Используемый здесь
прием доказательств облегчает их усвоение.
Приобретаемые в данной теме умения выполнять сложение,
вычитание, умножение и деление дробей являются опорными в
преобразованиях дробных выражений. Поэтому им следует
уделять особое внимание. Нецелесообразно переходить к
комбинированным заданиям на все действия с дробями прежде, чем
будут усвоены основные алгоритмы. Задания на все действия
с дробями не должны быть излишне громоздкими и
трудоемкими.
При нахождении значений дробей предлагаются упражнения
на вычисления с помощью микрокалькулятора.
В данной теме продолжается изучение свойств отдельных
видов функций. Рассматриваются свойства и график функции
Изучение темы завершается рассмотрением свойств степени
с целым отрицательным показателем (см. § 13). Прием
доказательства этих свойств раскрывается на примере умножения
степеней с одинаковыми основаниями. Дается понятие о записи
чисел в стандартном виде, показываются примеры
использования такой записи в физике, технике и других областях знаний.
1 Преподавание ведется по учебнику «Алгебра, 8» Ю. Н. Макарычева,
Н. Г. Миндюк, К. И. Нешкова, С. Б. Суворовой. (М: Просвещение, 1989).
4*
51

При этом можно ограничиться чтением и записью чисел в
стандартном виде. Упражнения на действия над числами,
представленными в стандартном виде, не являются обязательными.
Здесь же полезно познакомить учащихся с различными
формами записи приближенных значений (п. 36).
2. Квадратные корни (22 ч).
Понятие об иррациональном числе. Общие сведения о
действительных числах. Квадратный корень, приближенное
значение квадратного корня. Свойства квадратных корней.
Вынесение множителя из-под знака корня и внесения множителя
под знак корня. Освобождение от иррациональности в знамена-
а а __
теле в выражениях вида ~=г; —- z. [Тождественные преоб-
разования выражений, содержащих квадратные корни.]
Функция у = Ух, ее свойства и график.
Основная цель — систематизировать сведения о
рациональных числах и дать представление об иррациональных
числах, расширив тем самым понятие числа; выработать умение
выполнять простейшие преобразования выражений,
содержащих квадратные корни.
В данной теме учащиеся получают начальные представления
о действительных числах. Для введения понятия
иррационального числа используется интуитивное понимание того, что
каждый отрезок имеет длину и поэтому каждой точке
координатной прямой соответствует некоторое число. Показывается, что
существуют точки, не имеющие рациональных абсцисс.
Дальнейшее развитие получают умения выполнять
вычисления с помощью микрокалькулятора. Учащиеся знакомятся с
применением микрокалькулятора для нахождения квадратных
корней.
Основное внимание уделяется понятию арифметического
квадратного корня и свойствам квадратных корней.
Доказываются и получают непосредственное применение теоремы о
корне из произведения и дроби, а также тождество Уа2=|а|. При
рассмотрении более сложных преобразований выражений,
содержащих квадратные корни, достаточно ограничиться выне- ,!
сением числового множителя и внесением числового множителя
под знак корня, а также освобождением от иррациональности ;
а а
в знаменателе в выражениях вида —=г- и ~z - . Эти преоб-
]'Ь }'Ь±Ус
разования используются как в самом курсе алгебры, так и в
курсах геометрии, алгебры и начал анализа.
В данной теме продолжается работа по развитию
функциональных представлений. Рассматривается функция у = Ух, ее
свойства, график и демонстрируется ее взаимосвязь с функцией
у=х2, где л:>0.
52

3. Квадратные уравнения (23 ч).
Квадратное уравнение. Формулы корней квадратного
уравнения. [Теорема Виета.] Решение рациональных уравнений.
Решение задач, приводящих к квадратным и простейшим
рациональным уравнениям.
Основная цель—выработать умение решать
квадратные уравнения, простейшие рациональные уравнения и
применять их к решению задач.
Изложение материала начинается с решения неполных
квадратных уравнений, с примерами которых учащиеся уже
встречались.
Основное внимание следует уделить решению уравнений
вида ax2 + bx + c = 0, где аФ§ по формуле корней. Для вывода
формулы достаточно рассмотреть один пример решения
квадратного уравнения с помощью выделения квадрата двучлена из
квадратного трехчлена, на котором разъясняется прием,
используемый затем при выводе формулы в общем виде. Заниматься
специально решением квадратных уравнений с помощью
выделения квадрата двучлена не следует.
Рекомендуется ознакомить учащихся с формулами Виета,
выражающими зависимость между корнями квадратного
уравнения и его коэффициентами. Эти формулы используются в
дальнейшем при доказательстве теоремы о разложении
квадратного трехчлена на линейные множители. Однако надо
помнить, что этот материал носит вспомогательный характер.
Доказательство соответствующей теоремы и решение задач с
помощью формул Виета не относится к обязательному
материалу.
Учащиеся овладевают способом решения дробных
рациональных уравнений, который состоит в том, что решение такого
уравнения сводится к решению соответствующего целого
уравнения с последующим исключением посторонних корней. Кроме
того, учащиеся получают представление о графическом способе
решения уравнений.
Изучение данной темы позволяет существенно расширить
аппарат уравнений, используемый для решения текстовых
задач.
4. Неравенства (19 ч).
Числовые неравенства и их свойства. Почленное сложение
и умножение числовых неравенств. [Применение свойств
неравенств в оценке значения выражения.] Линейное неравенство с
одной переменной. Система линейных неравенств с одной
переменной.
Основная цель — выработать умение решать линейные
неравенства с одной переменной и их систем.
Свойства числовых неравенств составляют ту базу, на
которой основано решение линейных неравенств с одной
переменной. При доказательстве этих свойств используется прием, со-
53

стоящий в сравнении с нулем разности левой и правой частей
неравенства. Доказываются теоремы о почленном сложении и
умножении неравенств. При наличии времени можно показать
применение этих теорем для оценки значений выражений.
В связи с решением неравенств с одной переменной дается
понятие о числовых промежутках и вводятся соответствующие
обозначения. При решении неравенств используются свойства
равносильности неравенств, которые разъясняются на
конкретных примерах. Особое внимание следует уделить отработке
умения решать простейшие неравенства вида ах>Ь и ах<Ь,
остановившись специально на случае, когда а<0.
Умение решать линейные неравенства является опорным для
решения систем двух линейных неравенств с одной переменной,
в частности таких, которые записаны в виде двойного
неравенства.
5. Повторение. Решение задач (8 ч).
VIII КЛАСС
АЛГЕБРА !
(3 ч в неделю, всего—102 ч)
1. Неравенства (18 ч).
Положительные и отрицательные числа. Числовые
неравенства, их свойства. Сложение и умножение неравенств. Строгие
и нестрогие неравенства. Неравенства с одним неизвестным.
Системы неравенств с одним неизвестным. Числовые промежутки.
Основная цель — сформировать у учащихся умение
решать неравенства первой степени с одним неизвестным и их си-^
стемы.
Изучение темы начинается с повторения свойств чисел, что
послужит, в частности, опорой при формировании умений
решать неравенства первой степени с одним неизвестным.
Свойства числовых неравенств составляют основу решения
неравенств первой степени с одним неизвестным. При
доказательстве свойств неравенств используется прием, состоящий в *
сравнении с нулем разности левой и правой частей нера- '
венств. Доказываются теоремы о почленном сложении и
умножении неравенств. Этих примеров достаточно для того, чтобы *
учащиеся имели представление о5том, как доказываются
неравенства. Выработка у учащихся умений доказывать
неравенства не предусматривается. При решении неравенств и их систем
используется графическая иллюстрация. Здесь же вводится
понятие числовых промежутков.
Умение решать неравенства и их системы является основой
1 Преподавание ведется по учебнику «Алгебра, 8» Ш. А. Алимова,
Ю. М. Колягина, Ю. В. Сидорова и др. (М.: Просвещение, 1991).
54

для решения квадратных, показательных, логарифмических
неравенств.
При изучении этой темы учащиеся знакомятся с понятиями
уравнений и неравенств, содержащих неизвестное под знаком
модуля. Получают представление о геометрической
иллюстрации уравнения |а:| =а и неравенств |#|>а, |х|<а.
Формирование умений решать такие уравнения и неравенства не
предусматривается.
2. Приближенные вычисления (12 ч).
Приближенные значения величин. Погрешность
приближения. Оценка погрешности. Округление чисел. Относительная
погрешность. Простейшие вычисления с микрокалькулятором.
Стандартный вид числа. Вычисления на микрокалькуляторе
степени числа и числа, обратного данному. Последовательное
выполнение нескольких операций на микрокалькуляторе.
[Вычисления на микрокалькуляторе с использованием ячеек
памяти.]
Основная цель — познакомить учащихся с понятием
погрешности приближения как показателем точности и
качества приближения, выработать умение производить вычисления
с помощью микрокалькулятора.
Учащиеся знакомятся с понятиями приближенных значений
величин и погрешностью приближения, учатся оценивать
погрешность приближения, повторяют правила округления,
получают представление об истории развития вычислительной
техники, о задачах, решаемых с помощью ЭВМ. Обучение работе
на-микрокалькуляторе можно проводить в течение всего
учебного года при рассмотрении различных разделов программы.
При отсутствии в школе микрокалькуляторов вопросы,
связанные с работой на них, можно не рассматривать.
3. Квадратные корни (14 ч).
Понятие арифметического квадратного корня.
Действительные числа. Квадратный корень из степени, произведения и
дроби.
Основная цель — систематизировать сведения о
рациональных числах, ввести понятия иррационального и
действительного числа, научить выполнять простейшие
преобразования выражений, содержащих квадратные корни.
Понятие иррационального числа вводится после введения
понятия арифметического квадратного корня и повторения
рациональных чисел в связи с извлечением квадратного корня из
числа. Показывается нахождение приближенных значений
квадратных корней с помощью калькулятора. Дается
геометрическая интерпретация действительного числа. Таким образом,
учащиеся получают начальные представления о действительных
числах.
При изучении темы начинается формирование понятия
тождества на примере равенства ]/а2=|а| (если в конце темы «Не-
55

равенства» определение модуля числа не вводилось, это будет
нужно сделать здесь).
Приводятся доказательства теорем о квадратном корне из
произведения, степени, дроби. Учащиеся учатся выполнять
простейшие преобразования выражений, содержащих квадратные
корни. (Достаточно ограничиться внесением числового
множителя под знак корня и вынесением его из-под знака корня,
освобождением от иррациональности в знаменателе.) Умения
выполнять такие преобразования необходимы как для
продолжения изучения курса алгебры, так и смежных дисциплин.
4. Квадратные уравнения (22 ч).
Квадратное уравнение и его корни. Неполные квадратные
уравнения. Метод выделения полного квадрата. Решение
квадратных уравнений. Разложение квадратного трехчлена на
множители. Уравнения, сводящиеся к квадратным. Решение задач
с помощью квадратных уравнений. Решение простейших систем,
содержащих уравнение второй степени. Уравнение окружности.
Основная цель — выработать умение решать
квадратные уравнения, уравнения, сводящиеся к квадратным, и
применять их к решению задач.
Изучение темы начинается с решения уравнения вида #2 = d,
d>0, и доказательства теоремы о его корнях. Затем на
конкретных примерах рассматривается решение неполных квадратных
уравнений.
Метод выделения полного квадрата специально не
изучается. Учащиеся на одном-двух примерах знакомятся с этим
методом, чтобы осознанно воспринять вывод формулы корней
квадратного уравнения. Эта формула является основной.
Знание же остальных формул, которые приводятся в учебнике, не
является обязательным.
Знакомство с теоремой Виета будет полезно при доказа-*
тельстве теоремы о разложении квадратного трехчлена на
множители. Упражнения на применение теоремы Виета можно
учащимся не выполнять, так как этот материал носит
вспомогательный характер.
Ведется работа по формированию умений в решении
уравнений, сводящихся к квадратным. (Здесь основное внимание »
уделяется уравнениям с неизвестным в знаменателе дроби, за- '
дачам, сводящимся к решению уравнений такого типа.)
Продолжается изучение систем уравнений. Учащиеся овла- !
девают методами решения систем уравнений второй степени,
причем основное внимание уделяется решению систем, в
которых одно из уравнений второй степени, а другое — первой,
способом подстановки. Решение систем уравнений, где оба
уравнения — второй степени, имеет при данном изложении
материала второстепенное значение.
В конце изучения темы рассматривается уравнение
окружности (в целях разгрузки курса геометрии этот материал пере-
56

носится на уроки алгебры). Для этого используется материал
учебника «Геометрия, 7—9» Л. С. Атанасяна и др. (М.:
Просвещение, 1990.—С. 230.—П. 90, 91.—Упр. 959—971).
5. Квадратичная функция (16 ч).
Определение квадратичной функции. Функции у = х2, у = ах2,
у = ах2 + Ьх-\-с. Построение графика квадратичной функции.
Основная цель — научить строить график квадратичной
функции.
Изучение темы начинается с повторения знаний о линейной
функции и примеров реальных процессов, протекающих по
закону квадратичной зависимости. При этом повторяется
разложение квадратного трехчлена на множители. Вводится понятие
нулей функции.
Далее учащиеся последовательно знакомятся с графиком
и свойствами функций f/ = *2, У=ах2, y = x2 + px + q, у = ах2 +
+ Ьх + с. Построение графиков этих функций на конкретных
примерах осуществляется по точкам. Основное внимание
уделяется построению графика с использованием координат
вершины параболы, нулей функции (если они имеются) и
нескольким дополнительным точкам. Преобразования же
графиков являются вспомогательным материалом.
При изучении темы формируются умения определять по
графику промежутки возрастания и убывания функции,
промежутки знакопостоянства, нули функции. (Нахождение наибольшего
и наименьшего значения функции и решение задач с их
применением не входит в число обязательных умений.)
Здесь учащимся предоставляется возможность еще раз
повторить решение систем двух уравнений, одно из которых
первой, а другое — второй степени.
6. Квадратные неравенства (10 ч).
Квадратное неравенство и его решение. Решение
квадратного неравенства с помощью графика квадратичной функции.
Основная цель—выработать умение решать
квадратные неравенства с помощью графика квадратичной функции.
Первым при изучении темы приводится аналитический
способ решения квадратных неравенств, который требует
повторения решения систем неравенств первой степени с одним
неизвестным. Однако этот способ не является основным.
После повторения свойств квадратичной функции
(нахождение координаты вершины и определение направления ветвей
параболы) учащиеся овладевают методом решения квадратных
неравенств с помощью графика квадратичной функции.
При наличии времени можно познакомить учащихся с
методом интервалов.
7. Повторение. Решение задач (10 ч).
57

VIII КЛАСС
ГЕОМЕТРИЯ »
(2 ч в неделю, всего —68 ч)
1. Окружность (6 ч).
Окружность. Касательная к окружности и ее свойства.
Свойства серединного перпендикуляра к отрезку. Окружность,
описанная около треугольника. Свойство биссектрисы угла
Окружность, вписанная в треугольник. [Понятие о геометрическом
месте точек. Диаметр, перпендикулярный хорде.]
Основная цел ь —ознакомить учащихся с новой
геометрической фигурой —окружностью.
В процессе изучения темы учащиеся знакомятся с
теоретическими фактами, связанными с окружностью, необходимыми для
решения более сложных задач на построение и для изучения в
дальнейшем некоторых вопросов курса, в частности,
многоугольников, вписанных в окружность и описанных около
окружности. В связи с этим при рассмотрении теоретического
материала и решении задач необходимо отработать такие
вопросы, как равенство радиусов окружности,
перпендикулярность касательной и радиуса, проведенного в точку касания
положения центров вписанной в треугольник и описанной
около треугольника окружностей.
Необходимо обратить внимание учащихся на важные с
точки зрения дальнейшего применения свойства биссектрисы
угла, отрезков касательных, проведенных к окружности из общей
точки, радиуса, перпендикулярного хорде. Свойство диаметра
перпендикулярного хорде, изучается в ходе решения задач № 3,'
4 §5, которые необходимо рассмотреть в классе.
г. Четырехугольники (22 ч).
Определение четырехугольника. Параллелограмм и его
свойства. Признаки параллелограмма. Прямоугольник, ромб
квадрат и их свойства.
Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника.
Трапеция. Средняя линия трапеции. Пропорциональные
отрезки.
Основная цель — дать учащимся систематические
сведения о четырехугольниках и их свойствах.
Доказательства большинства теорем данного раздела
проводятся с опорой на признаки равенства треугольников,
которые используются и при решении задач в совокупности с
применением новых теоретических фактов. Поэтому изучение темы
следует начать с повторения признаков равенства
треугольников, которое проводится в ходе решения задач.
11 * ПРе_п°Давание ведется по учебнику А. В. Погорелова «Геометрия 7—
И» (М.: Просвещение, 1990). "шмрия, /
58

Вводимые при изучении темы сведения о различных видах
четырехугольников играют важную роль в изучении
последующего материала. Следует иметь в виду, что в теоретической
части раздела рассматриваются в основном свойства изучаемых
четырехугольников, необходимые для дальнейшего построения
теории. Однако для решения задач можно использовать и
факты, вынесенные в задачи.
Основное внимание при изучении темы следует направить
на решение задач, в ходе которых отрабатываются
практические умения применять свойства и признаки параллелограмма
и его частных видов, необходимые для распознавания
конкретных видов четырехугольников и вычисления их элементов.
Рассматриваемая» в теме теорема Фалеса (теорема о
пропорциональных отрезках) играет вспомогательную роль в
построении курса. Ее изучение может проводиться без
обязательного воспроизведения доказательства учащимися. Примером
применения теоремы Фалеса является доказательство теоремы
о средней линии треугольника. Теорема о пропорциональных
отрезках используется при изучении следующей темы — в
доказательстве теоремы о косинусе угла прямоугольного
треугольника.
3. Теорема Пифагора (22 ч).
Синус, косинус и тангенс угла прямоугольного
треугольника. Теорема Пифагора. Расстояние между двумя точками на
координатной плоскости. Перпендикуляр и наклонная к
прямой. Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном
треугольнике.
Значение тригонометрических функций для углов 30°, 45°,
60°.
Неравенства треугольника.
Основная цель — сформировать аппарат решения
прямоугольных треугольников, необходимый для вычисления
элементов плоских и пространственных геометрических фигур.
Центральными вопросами данной темы являются теорема
Пифагора и соотношения между сторонами и углами
прямоугольного треугольника, вытекающие из определений синуса,
косинуса, тангенса острого угла прямоугольного треугольника.
В ходе решения задач учащиеся усваивают основные
алгоритмы решения прямоугольных треугольников, учатся находить
с помощью таблиц или калькуляторов значения синусов,
косинусов и тангенсов углов, а в ряде задач — использовать
значения синуса, косинуса и тангенса углов в 30°, 45°, 60°.
Соответствующие умения являются опорными для решения
вычислительных задач и доказательств ряда теорем в курсе
планиметрии и стереометрии. Кроме того, они используются и в
курсе физики. Поэтому необходимо добиться прочных навыков
практического применения этих фактов в решении
вычислительных задач.
59

При изучении данной темы широко используются и
получают дальнейшее развитие такие навыки и алгебраические
умения учащихся, как решение квадратных уравнений, извлечение
квадратных корней, преобразования алгебраических уравнений.
Вместе с тем можно исключить из рассмотрения вопросы,
изучение которых будет проводиться в курсе тригонометрии IX
класса, а в данной теме имеет вспомогательный характер. Это
основные тригонометрические тождества и теорема об изменении
синуса, косинуса и тангенса при возрастании острого угла.
Учащиеся знакомятся с теоремой о неравенстве
треугольника, пополняющей их знания о свойствах расстояний между
точками. Наиболее важный с практической точки зрения случай —
свойство сторон треугольника — полезно закрепить на ряде
примеров в ходе решения задач. Воспроизведения доказательства
теоремы от учащихся можно не требовать.
Материал темы следует дополнить изучением формулы
расстояния между точками на координатной прямой (§ 8, п. 73).
4 К Движение (13 ч).
Движение. Свойства движения. Симметрия относительно
точки и прямой, поворот. Параллельный перенос и его
свойства. Сонаправленные и противоположно направленные
полупрямые.
Понятие о равенстве фигур.
Основная цель — ознакомить учащихся с примерами
геометрических преобразований.
При изучении темы основное внимание следует уделить
отработке навыков построения образов простейших фигур
(точек, отрезков, треугольников) при конкретных движениях.
Свойства движения при этом используются на
наглядно-интуитивном уровне, соответствующие теоремы могут рассматриваться
без доказательства. В ходе решения задач учащиеся
знакомятся с примерами фигур, обладающих симметрией.
Общее понятие о равенстве фигур может быть рассмотрено,
например, в лекционной форме без последующего
воспроизведения доказательства учащимися.
5. Повторение. Решение задач (5 ч).
VIII КЛАСС
ГЕОМЕТРИЯ ]
(2 ч в неделю, всего — 68 ч)
1. Четырехугольники (14 ч).
Понятие многоугольника, выпуклого многоугольника.
Параллелограмм и его свойства. Признаки параллелограмма. Тра-
1 Преподавание ведется по учебнику «Геометрия, 7—9». Л. С. Атанася-
на, В. Ф. Бутузова, С. Б. Кадомцева и др. (М.: Просвещение, 1990).
60

пеция. Прямоугольник, ромб, квадрат и их свойства. Осевая и
центральная симметрии.
Основная цель — дать учащимся систематические
сведения о четырехугольниках и их свойствах, сформировать
представления о фигурах, симметричных относительно точки или
прямой.
Изучение темы начинается с введения понятий
многоугольника и его элементов, выпуклого многоугольника
(доказательство теоремы о сумме углов выпуклого многоугольника не
является обязательным для изучения), четырехугольника.
Учащиеся знакомятся с доказательством свойств и
признаков параллелограмма и прямоугольника, свойств ромба и
квадрата. Идет работа по формированию понятия трапеции и ее
, видов. Однако основное внимание уделяется формированию
умений применять свойства и признаки параллелограмма при
решении задач, обосновывать свои утверждения путем
доказательных рассуждений.
Ряд теоретических положений (например, доказательство
того, что параллелограмм является выпуклым
четырехугольником, теорема Фалеса и т. д.) формулируется и доказывается
в ходе решения задач. Эти положения не являются обязатель-
; ными для изучения, не применяются в дальнейшем в теории, не
могут применяться при решении других задач.
Изучение фигур, симметричных относительно точки или
прямой, носит пропедевтический характер по отношению к
теме «Движения». Решение сложных задач по этой теме не
предусматривается.
2. Площадь (14 ч).
Понятие площади многоугольника. Площадь
прямоугольника, параллелограмма, треугольника, трапеции. Теорема
Пифагора.
Основная цель — сформировать понятие площади
многоугольника, выработать у учащихся умение находить площадь
треугольника, параллелограмма, трапеции, применять теорему
Пифагора.
В ходе изучения данной темы у учащихся формируется пред-
? ставление о площади многоугольника как о некоторой величине,
они знакомятся со свойствами площадей, которые в
дальнейшем используются при доказательстве теоремы о площадях па-
] раллелограмма, треугольника, трапеции. Знакомство со свой-
: ствами площадей идет в ознакомительном плане, с опорой на
1 наглядные представления и жизненный опыт учащихся.
' Кроме теорем о площадях некоторых многоугольников,
учащиеся доказывают теорему об отношении- площадей
треугольников, имеющих по равному углу. Эта теорема играет важную
роль в дальнейшем, в частности, при изучении подобия
треугольников (но воспроизведение ее доказательства для всех
учащихся необязательно).
61

Теорема Пифагора доказывается с использованием свойств
площадей и теоремы о нахождении площади прямоугольника.
Рассматривается и теорема, обратная теореме Пифагора, но ее
изучение идет в ознакомительном плане.
Основное внимание здесь уделяется решению задач. Это
позволяет не только расширить представления учащихся об
аналитических методах решения геометрических задач и
подготовить их к решению прямоугольных треугольников, но и играет
важную роль в осуществлении внутрипредметных связей:
получают практическое воплощение изученное на уроках
алгебры понятие квадратного корня, решение квадратных
уравнений.
3. Подобные треугольники (19 ч).
Подобные треугольники. Признаки подобия треугольников.
Применение подобия к доказательству теорем и решению
задач. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного
треугольника.
Основная цель — сформировать понятие подобных
треугольников, выработать умение применять признаки подобия
треугольников при решении простейших задач, использовать
понятия синуса, косинуса, тангенса острого угла для решения
прямоугольных треугольников.
Изучение темы начинается с формирования понятий
отношения отрезков и подобия треугольников. Понятие подобия фи-'.
гур изучается в конце в ознакомительном плане.
При изучении признаков подобия достаточно доказать два
признака, так как первый из них доказывается с опорой на
теорему об отношении площадей треугольников, имеющих равные
углы, а доказательства двух других аналогичны. Один из них
можно лишь сформировать и применять затем при решении*
задач.
Применения подобия треугольников к доказательству теорем
учащиеся изучают на примере теоремы о средней линии
треугольника, но познакомить можно и с другими примерами.
Решение задач на построение методом подобия
рассматривается с учащимися, интересующимися математикой.
Важную роль в изучении как математики, так и смежных ?
дисциплин (особенно физики) играют понятия синуса, косинуса,
тангенса острого угла прямоугольного треугольника, с которы- i
ми учащиеся знакомятся при изучении данной темы. Основное
внимание уделяется выработке прочных навыков в решении
прямоугольных треугольников, в частности, с помощью
микрокалькулятора.
4. Окружность (17 ч).
Касательная к окружности и ее свойства. Центральные и
вписанные углы. [Четыре замечательные точки в треугольнике.]
Вписанная и описанная окружности.
62

Основная цель — дать учащимся систематические
сведения об окружности и ее свойствах, касательной к
окружности, вписанных и описанных окружностях.
Систематическое изучение окружности и ее свойств
начинается с изложения сведений о взаимном расположении
прямой и окружности. Учащиеся знакомятся с понятием секущей
как прямой, расстояние до которой от центра окружности
меньше ее радиуса, и переходят к изучению касательной, ее
свойства и признака.
Важно особенно внимательно подойти к данной теме, так
как она служит основой для усвоения учащимися понятий
вписанных и описанных треугольников, их свойств.
Не менее важную роль при изучении вписанных и
описанных треугольников, так же как и смежных дисциплин, играют
центральные и вписанные углы. Учащиеся доказывают теорему
о вписанном угле, знакомятся с теоремой о произведении
отрезков пересекающихся хорд. Свойство хорды,
перпендикулярной диаметру, рассматривается при решении задачи 715,
которую необходимо решать в классе.
Прежде чем перейти к изучению вписанных и описанных
окружностей с учащимися, в ознакомительном плане
рассматривается материал, связанный с замечательными точками
треугольника (при этом свойству биссектрисы угла уделяется
особое внимание). Затем доказываются теоремы об окружности,
вписанной в треугольник и описанной около треугольника.
Учащиеся учатся выполнять построения таких окружностей с
помощью циркуля. Здесь же учащиеся получают представления об
окружностях, вписанных и описанных около четырехугольника.
(Подробное изучение этой темы не является обязательным для
всех учащихся.)
5. Повторение. Решение задач (4 ч)«
IX КЛАСС
АЛГЕБРА 1
(3 ч в неделю, всего—102 ч)
1. Квадратичная функция (27 ч).
Функция. Возрастание и убывание функции. Четные и
нечетные функции. Квадратный трехчлен. Разложение квадрат-
i ного трехчлена на множители. Решение задач путем
выделения квадрата двучлена из квадратного трехчлена. Функция
у = ах2 + Ьх + с, ее свойства и график. [Простейшие преобразова-
1 Преподавание ведется по учебнику «Алгебра, 9» Ю. Н. Макарычева,
Н. Г. Миндкж, К. И. Нешкова, С. Б. Суворовой (М.: Просвещение, 1990).
63

ния графиков функций.] Решение неравенств второй степени
с одной переменной. [Решение рациональных неравенств
методом интервалов.]
Основная цель — выработать умение строить график
квадратичной функции и применять графические
представления для решения неравенств второй степени с одной
переменной.'
Изложение темы начинается с систематизации сведений о
функциях. Повторяются основные понятия: функция, аргумент,
область определения, график функции, понятие о возрастании
и убывании функций, промежутках знакопостоянства, четных
и нечетных функциях (при этом используются § 1 гл. I, а
также § 9 гл. IV учебника). Рассматриваются свойства изученных
ранее функций, в частности функций y = kx + by y= _. Подго-
х
товкой к изучению квадратичной функции может послужить
рассмотрение свойств функции у = х2.
Изучению квадратичной функции предшествует
рассмотрение вопроса о квадратном трехчлене и его корнях, разложении
квадратного трехчлена на множители. Умение в каждом
конкретном случае выделить из трехчлена квадрат двучлена, а
также решение задач с помощью преобразования не относится к
числу обязательных.
Изучение квадратичной функции начинается с рассмотрения
функции у = ах2, ее свойств и особенностей графика, а также
других частных видов квадратичной функции — функций у =
= ах2 + Ь, у = а(х—т)2. Эти сведения используются при
изучении свойств квадратичной функции общего вида. Важно,
чтобы учащиеся понимали, что график функции у = ах2 + Ьх + с
может быть получен из графика функции у = ах2 с помощью л
двух параллельных переносов. Приемы построения графика
функции у = ах2 + Ьх-\гС отрабатываются на конкретных
примерах. При этом способе внимание следует уделять
формированию у учащихся умения указывать координаты вершины
параболы, ее ось симметрии, направление «ветвей» параболы.
При изучении этой темы дальнейшее развитие получает
умение находить по графику промежутки возрастания и убыва- ;
ния функции, а также промежутки, в которых функция
сохраняет знак.
Формирование умений решать неравенства вида ах2 + Ьх + с> ■■
>0 и ax2 + bx + c<0 где афОу осуществляется с опорой на
сведения о графике квадратичной функции (направление
«ветвей» параболы, ее расположение относительно оси Ох). При
наличии времени можно познакомить учащихся с решением
методом интервалов.
2. Уравнения и системы уравнений (22 ч).
Целое уравнение и его степень. Решение уравнений третьей
и четвертой степени с одним неизвестным с помощью разложе-
64

ния на множители и введения вспомогательной переменной.
Уравнение с двумя переменными и его график. Уравнение
окружности. Решение систем, содержащих одно уравнение
первой, а другое — второй степени. Решение текстовых задач
методом составления систем. [Решение систем двух уравнений
второй степени с двумя переменными.]
Основная цель — выработать умение решать
простейшие системы, содержащие уравнения второй степени с двумя
переменными, и решать текстовые задачи с помощью
составления таких систем.
В этой теме завершается изучение рациональных
уравнений с одним неизвестным. В связи с этим проводится некоторое
обобщение и углубление сведений об уравнениях. Дается
понятие целого рационального уравнения и его степени.
Учащиеся знакомятся с решением уравнений третьей и четвертой
степени с помощью разложения на множители и введения
вспомогательной переменной. Метод решения уравнений путем
введения вспомогательных переменных будет широко
использоваться в дальнейшем при решении тригонометрических,
логарифмических и других видов уравнений. На конкретном
примере учащимся показывается один из примеров нахождения
приближенных значений корней.
В данной теме завершается изучение уравнений с двумя
переменными и их систем. Вводится уравнение окружности
(х — а)2 + {у — Ь)2 = г2. Для этого рекомендуется использовать
материал учебника А. В. Погорелова «Геометрия, 7—11).
Рассматриваются системы, содержащие уравнения второй
степени с двумя переменными. Основное внимание уделяется
системам, в которых одно уравнение первой степени, а другое —
второй. Известный учащимся способ подстановки находит здесь
дальнейшее применение и позволяет сводить решение такой
системы к решению квадратного уравнения. При наличии времени
можно рассмотреть несложные примеры систем уравнений с
двумя переменными, в которых оба уравнения второй степени.
Однако этот материал не является обязательным.
Привлечение известных учащимся графиков позволяет
привести примеры графического решения систем уравнений. С
помощью графических представлений можно наглядно показать
учащимся, что система двух уравнений с двумя переменными
второй степени может иметь одно, два, три, четыре решения,
может не иметь решений.
Разработанный математический аппарат позволяет
существенно расширить класс содержательных текстовых задач,
решаемых с помощью систем уравнений.
3. Прогрессии (14 ч).
Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формулы п-
го члена и суммы п первых членов прогрессий.
Б Заказ № 1481
65

Основная цель — дать понятие об арифметической и
геометрической прогрессиях как числовых последовательностях
особого вида.
Арифметическая и геометрическая прогрессии
рассматриваются как частные виды последовательностей. В начале
изучения темы разъясняется смысл понятий «последовательность»,
«л-ый член последовательности», вырабатывается умение
использовать индексные обозначения. Эти сведения используются
при введении понятий арифметической и геометрической
прогрессий, вывода формул п-то члена и суммы п членов для
каждой из прогрессий. При изучении темы можно ограничиться
только одной формулой для нахождения суммы п первых членов
арифметической прогрессии, а именно Sn= a n--n. Аналогично
для геометрической прогрессии достаточно рассмотреть одну
формулу суммы п первых членов — 5n= - nq~~ 1 - Полезно вы-
<7-1
весить в классе плакаты с формулами.
При решении упражнений основное внимание уделяется
заданиям, связанным с прямым применением изучаемых формул,
а также задачам практического содержания.
4. Тригонометрические выражения (19 ч).
Радианное измерение углов. Синус, косинус, тангенс и
котангенс произвольного угла. Основные тригонометрические тож-;
дества: sin2a + cos2a= 1; tga= -^L£; ctga=-^i^; их примене-
cos a sin a
ние в вычислениях и тождественных преобразованиях. Формулы
приведения.
Основная цель — ввести понятия синуса, косинуса,
тангенса и котангенса произвольного угла, сформировать умения
вычислять значения тригонометрических функций по известном/
значению одной из них, выполнять несложные преобразования
тригонометрических выражений.
В курсе геометрии были определены синус, косинус и
тангенс острого угла прямоугольного треугольника. В данной теме
тригонометрические функции определяются для произвольного
угла. Кроме того, вводится понятие котангенса угла, что по-,
зволяет придать определенную симметрию рассматриваемомуf
списку формул. Рассматриваются свойства синуса, косинуса,
тангенса и котангенса, которые находят непосредственное при- *
менение в преобразованиях тригонометрических выражений:
знаки по четвертям, сохранение значения при изменении угла
на целое число оборотов, четность косинуса и нечетность
синуса, тангенса и котангенса.
Специальное внимание уделяется переходу от радианной
меры угла к градусной мере и наоборот. Рассматривается
нахождение значений тригонометрических функций с помощью
калькулятора.
66

Формулы, выражающие соотношения между
тригонометрическими функциями одного и того же аргумента, занимают
центральное место в данной теме. Основное внимание уделяется
нахождению значений тригонометрических функций по заданному
значению одной из них.
При рассмотрении формул приведения основное внимание
следует уделить формулам для синуса и косинуса углов вида
—- ±а и я±а.
5. Повторение. Решение задач (20 ч).
IX КЛАСС
АЛГЕБРА '
(3 ч в неделю, всего— 102 ч)
[1. Вычисления на программируемом микрокалькуляторе
(12ч).
Простейшие вычисления на микрокалькуляторе.
Выполнение арифметических действий. Вычисления на
микрокалькуляторе с использованием ячеек памяти. Вычисления с
использованием программной памяти. Программа для вычисления корней
квадратных уравнений. Этапы работы при решении задач с
помощью программ.
Основная цель — познакомить с правилами
использования программируемого микрокалькулятора при решении
практических задач.
Знакомство с программируемым микрокалькулятором (ПМК)
МК-54 начинается с порядка выполнения одноместных
операций. Учащиеся овладевают умением вводить в ПМК числа в
стандартном виде, возводить числа в степень, извлекать корни,
выполнять «цепочечные» операции.
Учащиеся знакомятся с особенностями общения с
конкретным типом ПМК, учатся выбирать оптимальный алгоритм
решения конкретных задач.
Не все учащиеся смогут на начальной стадии обучения
самостоятельно составить необходимую программу, но ввести
готовую программу в ПМК и произвести нужные вычисления
предполагается обучить всех школьников, работающих с
калькулятором.]
2. Степень с целым показателем (8 ч).
Степень с целым показателем и ее свойства. Возведение
числового неравенства в степень с натуральным показателем.
Основная це.ль — сформировать понятие степени с
целым показателем, выработать умение выполнять преобразова-
1 Преподавание ведется по учебнику «Алгебра, 9» Ш. А. Алимова,
Ю. М. Колягина, Ю. В. Сидорова, М. И. Шабунина (М.: Просвещение, 1989).
5*
67

ния простейших выражений, содержащих степень с целым
показателем.
Изучение темы предваряется повторением понятия степени
с натуральным показателем и ее свойств, выполнением
преобразований алгебраических выражений, содержащих степень с
натуральным показателем.
Формируется понятие степени с целым отрицательным и
нулевым показателем. Повторяется определение стандартного
вида числа.
Рассматривается доказательство свойства возведения в
степень с целым отрицательным показателем произведения двух
множителей.
Учащиеся овладевают умением находить значение степени
с целым показателем при конкретных значениях основания и
показателя степени и, применять свойства степени для
вычисления значений числовых выражений и выполнения
простейших преобразований.
Учащиеся знакомятся с возведением в натуральную
степень неравенств, у которых левые и правые части
положительны. В дальнейшем эти знания будут применяться при
изучении возрастания и убывания функций у = х2, y = xz.
Основное внимание уделяется вычислению значений
степени, в частности, с использованием микрокалькулятора.
В заключение учитель может прочитать лекцию о
свойствах степени с рациональным показателем (этот материал не •
является обязательным для изучения).
3. Степенная функция (18 ч).
Область определения функции. Возрастание и убывание
k
функции. Четность и нечетность функции. Функция у= .
X
Основная цель — выработать умение исследовать по за-#
данному графику функции У=х2у #=#3, у= —,у=ух, у= ,
у = ах* + Ьх + с.
При изучении материала данной главы углубляются и
существенно расширяются функциональные представления
учащихся.
На примерах функций y = xz, i/=Y*, y= — рассматриваются '
основные свойства степенной функции, которые после изуче- *
ния степени с действительным показателем лягут в основу
формирования представлений о степенной функции с любым
действительным показателем. Здесь же важно не только
изучить свойства и графики конкретных функций, но показать и
прикладной аспект их применения.
Учащимся предстоит овладеть такими понятиями, как
область определения, четность и нечетность функции,
возрастание и убывание функции на промежутке.
68

Понятие возрастания и убывания функции учащиеся
встречали в курсе алгебры VIII класса, но лишь при изучении
данной темы формируются определения этих понятий, а
следовательно, появляется возможность аналитически доказать
возрастание или убывание конкретной функции на промежутке (однако
проведение подобных доказательств не входит в число
обязательных умений). Учащиеся должны научиться находить
промежутки возрастания функции с помощью графика
рассматриваемой функции.
При изучении темы примеры функций с дробным
показателем не рассматриваются, так как понятие степени с
рациональным показателем в данном курсе не вводится.
При изучении каждой конкретной функции (включая и
функции у—кх-\-Ъу у = ах2 + Ьх + с) предполагается, что учащиеся
смогут изобразить эскиз графика рассматриваемой функции и
по графику перечислить ее свойства.
С помощью функции у= уточняется понятие обратной
X
пропорциональности, о котором лишь упоминалось в курсе
алгебры VIII класса.
4. Элементы тригонометрии (25 ч).
Радианная мера угла. Поворот точки вокруг начала
координат. Определение синуса, косинуса и тангенса угла. Знаки
синуса, косинуса и тангенса. Зависимость между синусом,
косинусом и тангенсом одного и того же угла. Синус, косинус,
тангенс углов а и —а. Формулы приведения.
Основная цель — ввести-понятия синуса, косинуса,
тангенса и котангенса произвольного угла, сформировать умение
вычислять по известному значению одной из
тригонометрических функций значения остальных тригонометрических
функций, выполнять несложные * преобразования
тригонометрических выражений.
В курсе геометрии VIII класса были сформулированы
определения синуса, косинуса и тангенса острого угла
прямоугольного треугольника. Теперь в курсе алгебры учащиеся
знакомятся с соответствующими понятиями для произвольного угла.
Рассматривается радианная мера угла и устанавливается
соответствие между действительными числами и точками
окружности. Понятия синуса и косинуса вводятся как координаты
точки единичной окружности, полученной в результате поворота
точки Р(1; 0). В данной теме вводится термин
«тригонометрическая функция», говорится об областях определения
функций z/=sin#, i/ = cosx, y = tgx и изображаются графики этих
функций. Однако делается это лишь с целью знакомства с
новым классом функций, а не с целью детального изучения их
свойств и графиков.
При изучении материала указывается возможность исполь-
69

зования понятия котангенса при решении задач, но понятию
этому уделяется незначительное внимание.
Учащиеся изучают зависимость знаков значений синуса,
косинуса и тангенса от величины угла. Рассматриваются
свойства четности и нечетности тригонометрических функций
(хотя сам термин «четность» или «нечетность» по отношению к
тригонометрическим функциям не используется), учатся
находить значения тригонометрических функций по заданному
значению одной из них, используя основное тригонометрическое
тождество. (Этому материалу и следует в учебном процессе
уделить основное внимание.)
Впервые учащиеся, знакомятся с доказательством
тригонометрических тождеств (задания подобраны таким образом, что
не требуется находить допустимые значения величин углов,
фигурирующих в тождестве. Учащимся, интересующимся
математикой, должны быть предложены задачи, условием которых
предусмотрено нахождение допустимых значений величин
углов, входящих в тригонометрическое тождество.)
Предполагается, что будут рассмотрены тождества, при доказательстве
которых используется лишь знание тождества, sin2 a + cos2 a =
= 1 и определение тангенса и котангенса угла.
Важное место в ходе изучения данной темы занимает
работа с микрокалькулятором (при их отсутствии используются
таблицы В. М. Брадиса).
i Так как в курсах геометрии и физики в средней школе
используются в основном формулы приведения для углов вида
я+ос и -^- Та, то и здесь, в курсе алгебры, им уделяется
основное внимание. При этом, ввиду того что изучение формул
сложения не является обязательным материалом, выводы
формул приведения для всех учащихся можно не давать, а
ограничиться рассуждениями, приведенными в задаче 1 § 26 для
углов я —а. Остальные формулы можно показать на
геометрическом материале.
5. Прогрессии (14 ч).
Числовая последовательность. Арифметическая и
геометрическая прогрессии. Формулы п-го члена и суммы п первых
членов арифметической и геометрической прогрессий.
Основная цель — познакомить с понятием
арифметической и геометрической прогрессий. Учащиеся знакомятся с
понятием числовой последовательности по заданной формуле я-го
члена при рекуррентном способе задания последовательности.
Знакомство с арифметической и геометрической
прогрессиями как числовыми последовательностями особых видов
происходит на конкретных практических примерах.
Формулы Аг-го члена и суммы п первых членов обеих
прогрессий выводятся учителем, однако требовать от учащихся
умения выводить эти формулы не обязательно.
70

Упражнения не должны предполагать использование в
своем решении формул, не приведенных в учебнике.
6. Повторение. Решение задач (25 ч).
IX КЛАСС
ГЕОМЕТРИЯ '
(2 ч в неделю, всего — 68 ч)
1. Векторы (12 ч).
Понятие вектора. Абсолютная величина и направление
вектора. Координаты вектора. Сложение векторов. Умножение
вектора на число. Разложение вектора по координатным осям.
Скалярное произведение векторов.
Основная цель — ознакомить учащихся с элементами
векторной алгебры.
Учащиеся знакомятся с понятием вектора и операциями над
векторами. Геометрический смысл понятия равенства векторов
может рассматриваться на наглядном уровне: параллельность,
одинаковая направленность и равенство длин соответствующих
отрезков.
Операции над векторами вводятся в координатной форме;
геометрический смысл действий над векторами
рассматривается при решении задач. Основное внимание следует уделить
формированию практических умений учащихся, связанных с
вычислением координат вектора, его абсолютной величины,
выполнением операций над векторами, особенно в геометрической
форме.
Действия над векторами используются при параллельном
изучении курса физики. Знания о векторных величинах и опыт
учащихся, приобретенные на уроках физики, могут быть
использованы для мотивированного введения на предметной
основе ряда основных понятий темы.
Материал о коллинеарности векторов и о проекциях
вектора на ось может не изучаться.
2. Подобие фигур (18 ч).
Понятие о подобии фигур. Гомотетия. Признаки подобия
треугольников.
Углы, вписанные в окружность.
Основная цель — сформировать умения применять
признаки подобия треугольников при решении задач.
Изучаемые в теме признаки подобия треугольников
являются важной составной частью аппарата исследования геометри-
1 Преподавание ведется по учебнику «Геометрия, 7—11» А. В. Погоре-
лова (М.: Просвещение, 1990).
71

ческих фигур. Свойства подобных треугольников будут
многократно применяться в дальнейшем. Поэтому следует уделить
значительное внимание решению задач, направленных на
формирование умений доказывать подобие треугольников с
использованием соответствующих признаков, и вычислять элементы
подобных, треугольников К
3. Многоугольники (16 ч).
Ломаная. Выпуклые многоугольники. Сумма углов
выпуклых многоугольников. Правильные многоугольники.
Окружность, вписанная в правильный многоугольник. Окружность,
описанная около правильного многоугольника. Правильный
многоугольник и его свойства.
Длина окружности. Число я.
Основная цель — расширить и систематизировать
сведения о многоугольниках и окружности. *
Сведения о многоугольниках обобщают известные
учащимся факты о треугольниках и четырехугольниках (теорема о
сумме углов многоугольника — обобщение теоремы о сумме углов
треугольника, равносторонний треугольник и квадрат —
частные случаи правильных многоугольников). Изучение формул,
связывающих стороны правильных многоугольников с
радиусами вписанных в них и описанных около них окружностей,
решение задач на вычисление элементов правильных
многоугольников, длин окружностей и их дуг подготавливают аппарат
решения задач, связанных с многогранниками и телами
вращения в стереометрии. Особое внимание следует уделить
изучению частных видов многоугольников: правильному
треугольнику, квадрату, правильному шестиугольнику.
4. Площади фигур (12 ч).
Понятие, о площади. Площади прямоугольника,
треугольника, параллелограмма, трапеции. Площадь круга и его частей.
Основная цель — сформировать общие представления о
площади, сформировать умения учащихся вычислять площади
фигур, применяя свойства и формулы.
Понятие о площади фигур, основные свойства площадей
изучаются в ознакомительном плане с опорой на наглядные
представления учащихся и их жизненный опыт, без требования их
воспроизведения учащимися.
В ходе решения геометрических и несложных практических
задач от учащихся требуется умение непосредственно
применять изученные формулы.
5. Повторение. Решение задач (10 ч).
1 Материал § 12 «Решение треугольников» не является обязательным
для изучения.
72

IX КЛАСС
ГЕОМЕТРИЯ *
(2 ч в неделю, всего — 68 ч)
1. Векторы. Метод координат (18 ч).
Понятие вектора. Сложение и вычитание векторов.
Умножение вектора на число. Координаты вектора.
Основная цель — сформировать понятие вектора как
направленного отрезка, показать учащимся применение
векторов к решению простейших задач.
При изучении данной темы основное внимание уделяется
выполнению операций над векторами в геометрической форме.
Именно этот материал используется при изучении физики.
Поэтому возможно использование представлений о векторных
величинах, полученных на уроках физики, для более глубокого
понимания векторов и операций над ними.
Понятие равенства векторов вводится на интуитивной
основе. Учащиеся получают представления о законах сложения
векторов, теореме о разности векторов, о применении векторов к
решению задач.
Завершается изучение темы знакомством с понятием
координат вектора.
Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам
рассматривается в ознакомительном плане, чтобы подготовить
учащихся к введению понятия координат вектора и операций над
векторами в координатной форме.
Применение метода координат иллюстрируется на примерах
простейших задач в координатах: координаты середины
отрезка, вычисление длины вектора по его координатам, расстояние
между двумя точками.
2. Соотношения между сторонами и углами
треугольника (6 ч).
Синус, косинус и тангенс угла. Соотношения между
сторонами и углами треугольника. [Скалярное произведение векторов.]
3. Длина окружности и площадь круга (20 ч).
Правильные многоугольники. Длина окружности и площадь
круга.
Основная цель — расширить и систематизировать
знания учащихся об окружностях и многоугольниках.
Изучение темы начинается со знакомства с окружностями,
вписанными в правильные многоугольники и описанными около
правильных многоугольников. Доказательство соответствующих
теорем можно рассмотреть в ознакомительном плане. Важно,
1 Преподавание ведется по учебнику «Геометрия, 7—9» А. С. Атанасяна,
В. Ф. Бутузова, С. Б. Кадомцева и др. (М.: Просвещение, 1990).
73

чтобы учащиеся поняли, что такое центр правильного
многоугольника.
Формулы для вычисления площади правильного
многоугольника, его стороны и радиуса вписанной длины окружности,
дуги, площади круга и сектора учащиеся должны знать и уметь
применять.
Решение задач на применение э|их формул подготавливает
аппарат для решения задач, связанных с многогранниками и
телами вращения в стереометрии.
Построение правильных многоугольников с помощью циркуля
и линейки ограничивается построением квадрата, правильных
треугольника, шестиугольника и 2/г-угольника. Эти идеи затем
применяются при выводе формул длины окружности и площади
круга.
Здесь учащиеся на интуитивном уровне знакомятся с
понятием предела и с его помощью рассматривают вывод формулы
длины окружности, площади круга.
4. Движения (12 ч).
Понятие движения. Параллельный перенос и поворот.
Основная цель — познакомить с понятиями движения на
плоскости: симметриями, параллельным переносом, поворотом.
Понятие отображения плоскости на себя как основы для
введения понятия движения рассматривается на интуитивном
уровне с привлечением уже известных учащимся понятий осевой
и центральной симметрии.
Изучение, понятия движения и его свойств дается в
ознакомительном плане.
Акцентируется внимание учащихся на том, что одно из
основных понятий изучаемого ими курса геометрии, а именно
наложение, есть отображение плоскости на себя.
При изучении темы основное внимание следует уделить
выработке навыков построения образов точек, отрезков
треугольников при симметриях, параллельном переносе, повороте.
5. Об аксиомах планиметрии (2 ч).
Завершить изучение данного курса геометрии полезно
беседой об аксиомах планиметрии.
6. Повторение. Решение задач (10 ч).

КУРС А
МАТЕМАТИКА '
X КЛАСС
(3 ч в неделю, всего—102 ч)
X. Тригонометрические функции (20 ч).
Синус, косинус, тангенс и котангенс числового аргумента.
Свойства и графики тригонометрических функций. Графики
гармонических колебаний.
Числовые функции и их свойства. Периодические функции.
Экстремумы функции.
Примеры решения простейших тригонометрических
уравнений вида sin# = a, cosA:=a, tgx = a.
Основная цель — изучить свойства и графики
тригонометрических функций: сформировать представления о решении
простейших тригонометрических уравнений.
Занимаясь повторением материала курса алгебры (§ 1),
следует ограничиться рассмотрением радианной меры и
определений тригонометрических функций, при этом целесообразно
сразу перейти к определениям синуса и косинуса с помощью
единичной окружности. Учащиеся должны усвоить эти определения
и уметь, пользуясь ими, отвечать на вопросы, связанные с
определением знаков значений тригонометрических функций,
значений этих функций в точках вида /г, где «gZ, и т. п.
Из тригонометрических формул повторяются только
основное тригонометрическое тождество и формулы приведения для
углов — а и я —а. Эти формулы понадобятся в дальнейшем.
Новые формулы тригонометрии не рассматриваются. При
построении графиков используются определения
тригонометрических функций и формулы приведения.
Свойства тригонометрических функций устанавливаются в
ходе рассмотрения общей задачи исследования функций.
Особое внимание следует уделить геометрической
интерпретации этих свойств как на единичной окружности, так и на
графиках.
При изучении основных свойств функций (§ 2) достаточно
ограничиться введением понятий периодических функций и
экстремумов, повторяя ранее введенные понятия четности и не-
1 Преподавание ведется по учебникам: «Алгебра и начала анализа, 10—
1Ь А. Н. Колмогорова, А. М. Абрамова, Ю. П. Дудницина и др. (М.:
Просвещение, 1990); «Геометрия, 6—10» А. В. Погорелова (М.: Просвещение,
1988).
73

четности функций, возрастания и убывания их, рассмотрения
общей схемы исследования функций и исследования
тригонометрических функций (синуса, косинуса и тангенса) в
соответствии с этой схемой. Гармонические колебания изучаются при
наличии возможности, в ознакомительном плане.
При решении простейших тригонометрических уравнений
следует ограничиться рассмотрением отдельных примеров,
акцентируя внимание на уравнениях типа sin# = 0, cosx=l и т. п.
Арксинусы, арккосинусы и арктангенсы не вводятся. Общие
формулы решений не следует заучивать, а в каждом
конкретном случае целесообразно выводить их, опираясь на
графические иллюстрации, и записывать в виде двух (а в некоторых
случаях одной) серий решений.
На протяжении всей темы учащимся предоставляется
возможность пользоваться справочными материалами,
содержащими таблицы значений тригонометрических функций и
формулы, а также микрокалькуляторами.
2. Параллельность прямых и плоскостей (17 ч).
Точки, прямые и плоскости в пространстве. Понятие о
принадлежности точек и прямых плоскостям.
Пересекающиеся, параллельные и скрещивающиеся прямые,
их иллюстрация на моделях.
Пересекающиеся и параллельные прямая и плоскость, их
иллюстрация на моделях. Признак параллельности прямой и
плоскости.
Параллельные и пересекающиеся плоскости, их
иллюстрация на моделях. Равенство отрезков параллельных прямых,
заключенных между параллельными плоскостями;
параллельность линий пересечения двух параллельных плоскостей
третьей.
Основная цель — систематизировать наглядные пред-*
ставления учащихся об основных свойствах взаимного
расположения прямых и плоскостей в пространстве, сформировать
наглядные представления о параллельности прямых и плоскостей
и их свойствах.
Данная тема является опорной для всего дальнейшего
геометрического материала. В ней формируются представления об
основных случаях взаимного расположения прямых и плоско- I
стей — принадлежности, пересечении, параллельности и т. д.,
умения распознавать эти случаи на моделях и предметах ок- «
ружающей обстановки.
Изучение материала об аксиомах стереометрии проводится
в ознакомительном плане: все сообщаемые учащимся сведения
излагаются на наглядной основе путем обобщения очевидных
или знакомых им геометрических фактов; при этом от
учащихся не требуется их использования, для чего достаточно
разобрать доказательство одного-двух следствий из аксиом.
Рассмотрение остальных следствий можно опустить. Целесообразно
76

завершить изучение аксиоматики небольшой беседой о роли се
при построении математической теории.
При изучении § 15 происходит знакомство учащихся с
различными случаями взаимного расположения прямых и
плоскостей. Главной задачей является формирование умения
распознавать эти случаи в реальных формах (на окружающих
предметах, стереометрических моделях многогранников)-.
Основное внимание уделяется параллельности двух прямых, прямой
и плоскости, двух плоскостей. Для каждого из этих случаев в
учебнике дается определение и некоторые свойства или
признаки, сформулированные в виде теорем. При их изучении
основное внимание уделяется усвоению формулировок, для чего
следует привлекать большое количество наглядных
иллюстраций. Содержание теорем 15.1, 15.2, 15.5, 15.6, 15.7 интуитивно
ясно учащимся, и доказательство этих утверждений можно
опустить. Доказательство остальных теорем рассматривается
с целью убедить учащихся в справедливости формулируемого
факта. Воспроизведения доказательства от школьников не
требуется.
Пункт «Изображение пространственных фигур на
плоскости» можно не рассматривать.
3. Производная (15 ч).
Приращение функции. [Понятие о пределе и непрерывности].
Производная, ее механический смысл. Производные степенной
и тригонометрической функции. Производная суммы,
произведения, частного и функций вида f(kx + b).
Основная цель — ввести понятие производной,
сформировать умения находить производные в случаях, не требующих
громоздких выкладок.
Понятие производной вводится на наглядно-интуитивной
основе при рассмотрении задачи о нахождении мгновенной
скорости (задачу о проведении касательной, приведенную в
учебнике, можно не рассматривать). При этом следует уделить
внимание как разъяснению механического смысла производной
(скорость изменения функции), так и формирование
геометрических представлений о ней (производная — величина,
характеризующая «крутизну» графика функции).
Учащихся целесообразно ознакомить с примерами
нахождения производной «по определению». Для этого достаточно
разобрать в классе простейшие примеры (линейная функция,
функция у = х2 и т. п.). Можно также показать вывод формулы
производной суммы, не требуя его воспроизведения от учащихся.
Все остальные теоремы принимаются без доказательства.
Формула производной синуса принимается без доказательства, на
ее основе выводятся формулы производных косинуса и
тангенса. Все формулы дифференцирования целесообразно внести в
таблицу, которой учащиеся могут пользоваться при решении
задач. Понятие сложной функции не рассматривается, достаточно
77

ограничиться формулой производной для функций вида
f(kx + b), не доказывая эту формулу.
4. Перпендикулярность прямых и плоскостей (17 ч).
Перпендикулярность прямой и плоскости, ее иллюстрация
на моделях. Перпендикуляр и наклонная к плоскости, проекция
наклонной на плоскость. Расстояние от точки до плоскости.
Расстояние между параллельными плоскостями. Теорема о трех
перпендикулярах. Перпендикулярные плоскости, их
иллюстрация на моделях. Угол между прямыми. Угол между прямой и
плоскостью.
Основная цель — сформировать у учащихся
представление о перпендикулярности прямых и плоскостей в
пространстве, ввести понятия углов между скрещивающимися прямыми,
между прямой и плоскостью.
В данной теме рассматривается материал § 16 и п. 94 § 17
учебника. В ней продолжается изучение взаимного
расположения прямых и плоскостей в пространстве: рассматривается
перпендикулярность прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей.
Как и в предыдущей геометрической теме, основной акцент
делается на формирование наглядных представлений: умение
распознавать основные случаи в реальных формах. Для
каждого из рассматриваемых случаев в учебнике дается определение
и некоторые свойства или признаки, сформулированные в виде
теорем, усвоение смысла которых происходит за счет
привлечения большого числа наглядных иллюстраций.
Рассматриваемые в данной теме факты играют важную роль при изучении
многогранников. Для их наглядной иллюстрации целесообразно
использовать модели призм и пирамид.
При изучении теорем основное внимание уделяется
усвоению формулировок и их интерпретации в конкретных случаях. ,
Доказательства теорем 16.1, 16.3, 16.4, 16.6, справедливость
которых не вызывает сомнения у учеников, можно не
рассматривать. Доказательства теорем 16.2 и 16.5 разбираются вместе
с учащимися. Умения воспроизводить рассмотренные
доказательства от школьников не требуется.
При изучении данной темы существенно возрастает роль
задач на вычисление. Расстояние от точки до плоскости и
различные виды углов являются основными количественными
характеристиками многогранников, в силу чего при подборе
задач ..-основное внимание уделяется пропедевтическим задачам
на вычисление.элементов призм и пирамид.
5. Применение производной (16 ч).
Метод интервалов для решения неравенств. Признак
возрастания (убывания) функции. Исследование функций с помощью
производной. Решение задач на отыскание наибольших
(наименьших) значений функции. [Производная в физике и
технике.]
78

Основная цель — ознакомить учащихся с простейшими
методами дифференциального исчисления и выработать умения
применять их для исследования функций в простейших
случаях; показать возможности применения для решения задач
прикладного характера.
Изучению теорем дифференциального исчисления
предшествует знакомство с методом интервалов для решения неравенств.
Освоение этого метода послужит основой для выработки
умений исследований функций на возрастание и убывание.
Используемое при этом понятие непрерывности функции интуитивно
ясно учащимся из геометрических соображений.
Опора на механический смысл производной и графические
иллюстрации помогает на наглядно-интуитивном уровне
обосновать критерии возрастания и убывания функции. Строгие
доказательства соответствующих теорем не рассматриваются.
Основное внимание следует уделить разнообразным задачам,
связанным с использованием производной для исследования
функций.
Материал, касающийся приближенных вычислений, а также
уравнения касательной не рассматривается. По возможности
следует ознакомить учащихся с примерами применения
производной в физике и технике.
6. Повторение. Решение задач (17 ч).
XI КЛАСС
(3 ч в неделю, всего—102 ч)
1. Многогранники (17 ч).
Двугранный угол. Линейный угол двугранного угла. Призма,
ее элементы. Диагональные сечения призм. Прямая и
правильная призмы. Прямоугольный параллелепипед. Пирамида, ее
элементы. Теорема о сечениях призмы, параллельных ее
основанию. Правильная пирамида. Площади поверхностей призм
и пирамид как сумма площадей граней.
Основная цель — сформировать у учащихся
представления об основных видах многогранников и их свойствах.
В теме обобщаются и расширяются представления
учащихся об основных видах многогранников, знакомые им из курса
математики V—VI классов. Изучение материала базируется на
наглядных представлениях о взаимном расположении точек,
прямых и плоскостей, на умениях измерять расстояния и углы
в пространстве.
При изучении призм и пирамид основное внимание
уделяется формированию наглядных представлений об изучаемых
видах многогранников, для чего привлекается большое
количество иллюстраций в виде моделей и рисунков. Изучение свойств
конкретных многогранников проводится как обобщение ре-
79

зультатов наблюдений над этими иллюстрациями, и
доказательство их можно опустить.
Площадь поверхности многогранника рассматривается как
сумма площадей всех его граней, а боковой поверхности — как
сумма площадей боковых граней. Вывода или запоминания
формул у учащихся можно не требовать.
Овладение материалом темы происходит в основном не в
процессе систематического изучения теории, а в ходе решения
содержательных задач на вычисление высот, ребер, площадей
граней или поверхности прямых треугольных или
четырехугольных призм, правильных пирамид.
2. Тела вращения (12 ч).
Прямой круговой цилиндр, его элементы. Осевые сечения
цилиндра. Прямой круговой конус, его элементы. Осевые
сечения конуса. [Сечения конуса плоскостью, параллельной
основанию.] Шар и сфера. Теорема о сечениях шара плоскостью.
Касательная плоскость к шару, ее свойства без доказательства).
Основная цель — сформировать у учащихся
представления об основных видах тел вращения и их свойствах.
Рассмотрением простейших тел вращения завершается
изучение основных пространственных геометрических фигур: в
рассмотрение вводятся цилиндр, конус и шар. Одновременно с
введением понятия определенного тела вводится и большое число
его элементов (высота, образующая, радиус основания, ось
и т. д.). Овладение как самими понятиями, так и их
элементами происходит за счет формирования наглядных
представлений с привлечением большого количества иллюстраций
(рисунков и моделей). Основное внимание уделяется формированию
пространственных образов, умению распознавать изучаемые
тела и их элементы на моделях и рисунках.
Овладение материалом темы происходит в основном в ходе *
решения вычислительных задач на нахождение элементов тел
вращения или площадей оснований и осевых сечений
цилиндров и конусов, сечений шара. Теоремы 19.1, 19.2, 19.4, 19.6
можно не рассматривать. Умения воспроизводить доказательства
остальных теорем от учащихся можно не требовать.
3. Первообразная и интеграл (12 ч).
Первообразная. Основное свойство первообразных. Перво- \
образные степенной функции с целым показателем (пф — 1),
синуса и косинуса. Простейшие правила нахождения первооб- *
разных.
Площадь криволинейной трапеции. Интеграл. Формула
Ньютона— Лейбница. Применение интеграла к вычислению плоЩа-
дей. [Интеграл в физике.]
Основная цель — ознакомить учащихся с
интегрированием как операцией, обратной дифференцированию, показать
применение интеграла к решению геометрических задач.
Задача отработки навыков нахождения первообразных не
80

ставится. Упражнения сводятся к простому применению
таблицы и одно-, двухкратному использованию правил нахождения
первообразных.
Формула Ньютона — Лейбница не доказывается, а
поясняется на основе наглядных соображений.
В качестве иллюстрации применений интеграла
рассматриваются только несложные задачи на вычисление площадей.
Материал учебника,- касающийся применения интеграла в
физике (п. 31), рассматривается при возможности лишь в
ознакомительном плане.
4. Объемы тел (18 ч).
Формулы объемов прямоугольного параллелепипеда, прямой
призмы, пирамиды, цилиндра, конуса, шара.
- Основная цель — сформировать основные умения
находить объемы простейших тел в пространстве.
От учащихся не требуется умение воспроизводить выводы
формул объема тел, но они должны понимать основную идею.
Можно не требовать от учащихся и заучивания формул — они
могут использовать справочники при решении задач.
Основное внимание при изучении темы уделяется решению
задач на вычисление объемов призм, пирамид, цилиндров,
конусов и шаров, большинство из которых носит характер
непосредственного применения формул или предварительного решения
прямоугольного треугольника для нахождения одного его
элемента.
5. Площади поверхностей тел (6 ч).
Формулы площадей боковых поверхностей цилиндра и
конуса, площадь сферы.
Основная цель — сформировать основные умения
находить площади поверхностей простейших тел вращения.
Формулы площадей боковых поверхностей цилиндра и
конуса выводятся на наглядной основе с помощью разверток. Вывод
формулы площади сферы можно опустить. От учащихся можно
не требовать умения выводить формулы, а также их
запоминания— они могут пользоваться справочниками.
Основное внимание при изучении темы уделяется решению
задач на непосредственное применение формул.
6. Показательная, логарифмическая и степенная функции
(25 ч).
Корень /г-ой степени. Степень с рациональным показателем.
Понятие о степени с иррациональным показателем.
Показательная функция, ее свойства и график. Решение
показательных уравнений и неравенств. Логарифм числа.
Основные свойства логарифмов. Логарифмическая функция, ее
свойства и график.
Производная показательной функции. Число е и
натуральные логарифмы. Свойства и график степенной функции с
натуральным показателем.
6 Заказ N° 1481
81

[Понятие о дифференциальном уравнении. Уравнение
показательного роста.]
Основная цель — расширить и обобщить сведения о
степенях; ознакомить учащихся с показательной, логарифмической
и степенной функциями, их свойствами и графиками, научить
применять эти свойства для решения несложных
показательных и логарифмических уравнений и неравенств.
Вопросы, касающиеся расширения понятия степени и корня,
рассматриваются для подготовки к изучению основного
материала темы, связанного с введением и изучением новых
функций. Иррациональные уравнения не рассматриваются. При
изучении данного параграфа (§ 9) основное внимание следует
уделить усвоению определения степени с рациональным
показателем и свойств степеней.
Исследование показательной, логарифмической и степенной
функций проводится в соответствии с общей схемой
исследования функций.
Проводится краткий обзор свойств этих функций в
зависимости от параметров.
Основные свойства степеней и логарифмов выводятся на
уроках, однако учащиеся не должны воспроизводить
соответствующих доказательств. Эти свойства целесообразно внести в
таблицу, которой учащиеся могут пользоваться при решении
задач.
Рассматривая показательные и логарифмические уравнения .
и неравенства, следует акцентировать внимание учащихся на
использовании соответствующих свойств функций
(монотонность, область определения). Решение систем уравнений не
предусматривается.
7. Повторение. Решение задач (12 ч).
КУРС В
X КЛАСС
АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА '
(3 ч в неделю, всего—102 ч) f
1. Тригонометрические функции (19 ч).
Тригонометрические формулы сложения и следствия из них:
формулы двойного и половинного угла, преобразование суммы
одноименных тригонометрических функций в произведение.
Тождественные преобразования тригонометрических
выражений.
1 Преподавание ведется по учебнику: «Алгебра и начала анализа, 10—
11» А. Н. Колмогорова, А. М. Абрамова, Ю. П. Дудницина и др. (М.:
Просвещение, 1990).
82

Числовые функции и их свойства. Экстремумы функции.
Периодические функции. Свойства и графики
тригонометрических функций. [Преобразование графиков функций. Графики
гармонических колебаний.]
Основная цель — изучить свойства тригонометрических
функций, закрепить знания и умения, связанные с применением
изученных ранее формул тригонометрии к преобразованию
тригонометрических выражений.
Изучение темы начинается с повторения, в ходе которого
напоминаются определения тригонометрических функций и
основные формулы тригонометрии, изученные в курсе алгебры.
Целесообразно сразу перейти к определениям синуса и косинуса с
помощью единичной окружности и уделить особое внимание их
усвоению. Эти определения используются далее как при
выводе свойств тригонометрических функций, так и при решении
уравнений.
Формулы сложения и следствия из них выводятся на
уроке и заносятся в специальные таблицы, которыми могут
пользоваться учащиеся при решении задач. Список формул,
вносимых в таблицы, может быть расширен.
При подборе упражнений на тождественные
преобразования тригонометрических выражений следует стремиться к
достижению уровня сложности задач, приведенных в учебнике
«после черты». Это замечание относится и к остальным темам
курса.
Сведения о функциях и графиках, полученные в курсе
алгебры, уточняются и систематизируются, вводятся новые
понятия («экстремумы», «периодичность»). Рассматривается
общая схема исследования функций. В ходе этой работы
устанавливаются свойства тригонометрических функций. Важное
значение придается графической интерпретации свойств
функций.
По возможности, следует уделить внимание изучению
гармонических колебаний (т. е. функций вида A cos (oof+ ф),
определению периода этих функций и построению их графиков. Для
этого целесообразно предварительно рассмотреть вопрос о
; преобразовании графиков функций.
2. Тригонометрические уравнения (18 ч).
Арксинус, арккосинус и арктангенс числа. Простейшие
тригонометрические уравнения. Решение тригонометрических
уравнений и систем уравнений. [Решение простейших
тригонометрических неравенств.]
t Основная цель — сформировать у учащихся умение
решать простейшие тригонометрические уравнения и ознакомить
их с некоторыми приемами решения тригонометрических
уравнений и систем уравнений.
При введении понятий арксинуса, арккосинуса и
арктангенса используется теорема о корне. Смысл этой теоремы доста-
6*
83

точно очевиден, поэтому не следует требовать от учащихся
заучивания ее точной формулировки и проведения формального
доказательства.
Решение простейших тригонометрических уравнений
основывается на изученных свойствах соответствующих функций. При
выводе общих формул необходимо использовать графические
иллюстрации (единичную окружность или графики функций).
Полезно и при решении задач обращаться к графикам, а не
пользоваться только готовыми формулами. Отдельного
внимания заслуживают уравнения типа sij\x = 0, cosx=l и т. п.
Их решение не следует сводить к применению общих
формул.
Рассматривая примеры решения более сложных уравнений,
необходимо подчеркивать общую идею решения: приведение
уравнения к виду, содержащему лишь одну тригонометрическую
функцию одного аргумента с последующей заменой
переменного, или разложение на множители.
Материал учебника, касающийся тригон8метрических
неравенств, не является обязательным.
При решении задач учащиеся должны иметь возможность
пользоваться таблицами значений тригонометрических функций
и списками формул.
3. Производная (21 ч).
Приращение функции. Понятие о пределе и непрерывности
функции. Производная, ее геометрический и механический смысл.
Таблица производных. Производная суммы, произведения и
частного двух функций. Производная функций вида f(kx + b).
[Сложная функция и ее производная.] Понятие о производной
высших порядков.
Основная цель—ввести понятие производной,
выработать умения находить производные, пользуясь формулами диф-'
ференцирования.
При рассмотрении понятия приращения функции следует
уделить внимание как нахождению приращений «по формулам»,
так и- графической интерпретации приращений функции и ар-
Д/
гумента, а также вычислению «разностного отношения» ——
Ах
как величины, характеризующей среднюю скорость изменения *
функции.
Понятие производной вводится на основе рассмотрения двух i
задач — задачи о проведении касательной как прямой,
практически «сливающейся» с графиком функции вблизи данной
точки, и задачи о нахождении мгновенной скорости движения.
Понятие о непрерывности и предельном переходе (п. 14)
рассматривается для уточнения определения производной.
Формирование понятия предела функции не предусматривается.
Следует разобрать несколько несложных примеров вычисления
производной «по определению» как в отдельных точках, так и в
84

виде формул. Разбор таких примеров направлен в первую
очередь на отработку определения производной, а не на
выработку соответствующих умений.
В качестве примера вывода правил нахождения
производной рассматривается вывод формулы производной
суммы, остальные формулы можно применять без
доказательства.
Если введение общего понятия сложной функции и
соответствующей формулы дифференцирования вызывает затруднения,
то можно ограничиться рассмотрением случая вида f(kx + b) —
именно этот случай будет использоваться в дальнейшем.
При выводе формул производных тригонометрических
функций можно принять без доказательства первый замечательный
предел (^-^--М при х-+0\. Все полученные формулы
дифференцирования полезно внести в таблицу, которой учащиеся
могут при необходимости пользоваться.
4. Применение производной (28 ч).
Метод интервалов. [Уравнение касательной к графику
функции.] [Приближенное вычисление значений функции.]
Производная в физике и технике.
Признак возрастания (убывания) функции. Критические
точки и экстремумы функции. Применение производной к
исследованию функций и решению задач на отыскание наибольших
и наименьших значений функции.
Основная цель — ознакомить учащихся с методами
дифференциального исчисления и выработать умения применять их
в простейших случаях.
Метод интервалов, с рассмотрения которого начинается
изучение темы, кроме самостоятельного значения (универсальный
метод решения неравенств), служит и для подготовки к
изучению основного материала: применения производной к
исследованию функций. Обоснование метода проводится на
интуитивно-наглядном уровне.
Не обязательно требовать от учащихся знания общей
формы записи уравнения касательной, достаточно, если они усвоят
геометрический смысл производной как углового коэффициента
касательной и научатся применять его в конкретных задачах.
Применение производной в физике и технике рассматривается
в ознакомительном плане.
Основное содержание темы связано с применением
производной к исследованию функций. Существенная роль при этом
отводится наглядным представлениям о производной. Опора на
геометрический и механический смысл делает интуитивно
ясными критерии возрастания и убывания функций. Строгое
доказательство соответствующих теорем не предусматривается.
Существенное внимание уделяется решению разнообразных
задач, связанных с исследованием функций. При разборе задач
85

на нахождение наибольших и наименьших значений функции
не следует ограничиваться функциями, заданными на
замкнутых промежутках, желательно представить различные случаи
как в расположении экстремальных точек, так и в области
определения функции.
При изучении данной темы (гл. II) рекомендуется уделить
время ознакомлению учащихся с историческими сведениями.
5. Повторение. Решение задач (16 ч).
ГЕОМЕТРИЯ '
(2 ч в неделю, всего — 68 ч)
1. Введение в стереометрию (8 ч).
Основные понятия и аксиомы стереометрии, их связь с
аксиомами планиметрии. Примеры пространственных
геометрических фигур.
Основная цель — ознакомить учащихся с основными
свойствами и способами задания плоскости на базе группы
аксиом плоскости и простейших следствий из них.
Расширенная система аксиом, полученная добавлением к
аксиомам первых трех аксиом плоскости, служит основой для
доказательства первых теорем курса стереометрии. Школьники
должны понимать, что и после того, как плоскость в
пространстве задана, на ней выполняются все известные им теоремы .
планиметрии.
В данной теме учащиеся начинают знакомиться с взаимным
расположением прямых и плоскостей в пространстве
(отношение принадлежности прямых и плоскостей).
Тема играет важную роль в развитии пространственных
представлений учащихся, фактически впервые встречающихся здесь*
с пространственной геометрией. Поэтому преподавание следует
вести с широким привлечением моделей, рисунков.
Введение в практику таких геометрических фигур, как
параллелепипед (в частности, куб) и пирамида (в частности,
тетраэдр), позволит расширить систему задач, включив в нее
задачи на построение точек и линий пересечения прямых и
плоскостей, простейшие задачи на построение сечений многогранни- I
ков. В ходе решения этих задач следует добиваться от учащихся
проведения доказательных рассуждений.
1. Параллельность прямых и плоскостей (24 ч).
Взаимное расположение двух прямых в пространстве:
пересекающиеся, параллельные и скрещивающиеся прямые.
Свойства параллельности прямых. [Существование и единственность
прямой, проходящей через данную точку параллельно данной
1 Преподавание ведется по учебнику «Геометрия, 6—10» А. В. Погоре-
лова (М.: Просвещение, 1988).
86

прямой.] Взаимное расположение прямой и плоскости:
пересекающиеся и параллельные прямая и плоскость. Признак
параллельности прямой и плоскости. [Геометрическое место точек,
проходящих через данную точку параллельно данной плоско-
' сти.] Взаимное расположение двух плоскостей: пересекающиеся
и параллельные плоскости. Признак параллельности двух
плоскостей. Взаимосвязь параллельности прямых и плоскостей: две
параллельные плоскости, пересеченные третьей; отрезки
параллельных прямых, заключенные между параллельными
плоскостями; [линия пересечения двух плоскостей, одна из которых
содержит прямую, параллельную второй]. [Существование и
единственность плоскости, проходящей через данную точку
параллельно данной плоскости.] Параллельное проектирование и его
свойства. Изображение фигур на плоскости.
Основная цель — дать учащимся систематические
знания о параллельности прямых и плоскостей в пространстве.
В теме продолжается знакомство учащихся с взаимным
положением прямых и плоскостей в пространстве:
рассматриваются все возможные случаи, причем основное внимание уделяется
параллельности прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей.
Для этих случаев даются соответствующие определения и
признаки.
Превалирующие в теме задачи на доказательство дают
возможность развития умения проводить логические рассуждения,
а также создать конструктивную базу формирования
пространственных представлений.
Задачами на доказательство достаточно высокого уровня
являются теоремы существования и единственности. Так, теоремы
существования дают возможность познакомить учащихся с
новым для них видом задач на построение — воображаемое
построение, а также с некоторыми конкретными способами
построения нужной прямой или плоскости. На примере теоремы о
существовании и единственности прямой, параллельной данной,
можно проиллюстрировать школьникам необходимость заново
доказывать известные им из планиметрии факты, если речь
идет о точках и прямых пространства, а не о конкретной плос-
; КОСТИ.
В связи с появлением задач на вычисление длины отрезка
возникает возможность и необходимость целенаправленного
повторения планиметрического материала: определений, свойств
и признаков параллелограмма, равенства и подобия треуголь-
. ников и т. п. При решении задач учащиеся должны использо-
k вать в качестве аргументов обоснования определения и
признаки параллельности, взаимосвязи параллельности прямых и
плоскостей.
Тема играет важную роль в процессе формирования
пространственных представлений учащихся Изучение
теоретического материала важно сочетать с решением задач на вообра-
87

жаемые построения с использованием моделей и рисунков.
Свойства параллельного проектирования применяются к
решению простейших задач и к практическому построению
изображений пространственных фигур на плоскости.
3. Перпендикулярность прямых и плоскостей (28 ч).
Перпендикулярность прямой и плоскости. Признак
перпендикулярности прямой и плоскости. Перпендикуляр и
наклонная к плоскости, проекция наклонной, на плоскость. Теорема о
трех перпендикулярах. Теоремы о параллельности и
перпендикулярности прямых и плоскостей. Перпендикулярность
плоскостей и ее свойства. Теоремы о параллельности и
перпендикулярности плоскостей.
Расстояние между скрещивающимися прямыми. Расстояние
от точки до плоскости. Расстояние между прямой и
параллельной ей плоскостью. Расстояние между параллельными
плоскостями. Угол между прямыми. Угол между прямой и плоскостью.
Угол между плоскостями.
Основная цель — дать учащимся систематические
сведения о перпендикулярности прямых и плоскостей в
пространстве, ввести понятие углов между прямыми и плоскостями.
В данной теме рассматривается материал § 16 и п. 94 § 17
учебника. Здесь продолжается изучение взаимного
расположения прямых и плоскостей в пространстве: рассматривается
перпендикулярность прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей.
Материал темы обобщает и систематизирует известные учащим-.
ся из планиметрии сведения о перпендикулярности прямых.
Изучение теорем о взаимосвязи параллельности и
перпендикулярности прямых и плоскостей в пространстве, а также материал
о перпендикуляре и наклонных целесообразно сочетать с
систематическим повторением соответствующего материала из
планиметрии, что будет способствовать более глубокому усвоению
нового материала, позволит ознакомить учащихся с
использованием аналогии в математике.
При изучении существенно возрастает роль задач на
вычисление. Следует отметить, что в основе практически всех этих
задач лежат сведения, изученные в планиметрии: теорема
Пифагора и следствия из нее. В отдельных задачах эти сведения
применяются после предварительного использования теоремы J
о трех перпендикулярах или теоремы о перпендикулярных
плоскостях. При решении задач на вычисление необходимо поддер- \
живать достаточно высокий уровень обоснованности выводов с
опорой на известные учащимся сведения из планиметрии и
изученные в теме определения и признаки перпендикулярности,
теоремы о связях между параллельностью и перпендикулярностью,
теорему о трех перпендикулярах.
Различные виды углов в пространстве наряду с
расстояниями являются основными количественными характеристиками
взаимного расположения прямых и плоскостей. Отработка этих
88

понятий до уровня навыков при решении вычислительных задач
важна для курса XI класса.
Как при изучении предыдущей темы, существенную роль в
формировании пространственных представлений учащихся
играют задачи на воображаемые построения, в большинстве
случаев решаемые конструктивно.
Тема имеет важное пропедевтическое значение для изучения
многогранников. Фактически при решении многих задач,
связанных с вычислением длин перпендикуляра и наклонных к
плоскости, речь идет о вычислении элементов пирамид. Это
позволяет уменьшить количество соответствующих задач в курсе
X класса.
4. Повторение. Решение задач (8 ч).
XI КЛАСС
АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА
(3 ч в неделю, всего—102 ч)
1. Первообразная и интеграл (20 ч).
Первообразная. Основное свойство первообразных. Таблица
первообразных. Простейшие правила нахождения
первообразных.
Площадь криволинейной трапеции. Интеграл. Формула
Ньютона— Лейбница. Применение интеграла к вычислению
площадей и объемов. [Интеграл в физике.]
Основная цель — ознакомить учащихся с
интегрированием, как операцией, обратной к дифференцированию, научить
применять интеграл к решению геометрических задач в
простейших случаях.
Введению понятия первообразной предшествует пример фи-
♦ зической задачи о восстановлении закона движения по
известному закону изменения скорости. Это способствует раскрытию
t смысла интегрирования как операции, обратной
дифференцированию. Целесообразно акцентировать внимание учащихся на
геометрическом смысле основного свойства первообразной.
Не следует добиваться от учащихся овладения умением
находить первообразные в сложных случаях, упражнения должны
, сводиться к простому применению таблицы и правил нахожде-
* ния первообразных.
Интеграл вводится на основе рассмотрения задачи о
нахождении площади криволинейной трапеции. Формула. Ньютона —
Лейбница, устанавливающая связь между интегралом и
первообразной, не доказывается строго, а обосновывается на
основе наглядных соображений.
89

В качестве иллюстрации приложений интеграла
рассматривается задача о нахождении площадей плоских фигур.
Материал учебника, касающийся других применений интеграла (п. 31),
изучается в ознакомительном плане и не является обязательным.
2. Показательная, логарифмическая и степенная функции
(36 ч).
Корень /г-ой степени и его свойства. Определение и свойства
степени с рациональным показателем. Тождественные
преобразования выражений, содержащих степени и корни. Понятие о
степени с иррациональным показателем.
Показательная функция, ее свойства и график. Решение
показательных уравнений и неравенств.
Логарифм числа. Основные свойства логарифмов.
Логарифмическая функция. Понятие об обратной функции. Решение
логарифмических уравнений и неравенств.
Производная показательной функции. Число е и
натуральные логарифмы. [Производная обратной функции. Производная
логарифмической функции.] Степенная функция, ее свойства и
график. Производная степенной функции.
Понятие о дифференциальных уравнениях.
Дифференциальные уравнения показательного роста. Дифференциальные
уравнения гармонических колебаний.
Основная цель — ознакомить учащихся с показательной,
логарифмической и степенной функциями, научить решать
показательные и логарифмические уравнения и неравенства.
При введении корней я-ой степени и степени с рациональным
показателем особое. внимание следует уделить отработке
свойств степеней и выполнению тождественных преобразований.
Понятие степени с иррациональным показателем вводится на
наглядно-интуитивной основе. Свойства степеней с
иррациональным показателем принимаются без доказательства. Ирра-*
циональные уравнения будут рассматриваться в дальнейшем.
Систематизация свойств показательной, логарифмической и
степенной функции осуществляется в соответствии с принятой
схемой. Производится обзор свойств этих функций в
зависимости от параметров. В ходе изучения свойств этих функций
учащиеся систематически решают показательные и
логарифмические уравнения и неравенства. ?
Вывод формулы производной показательной функции
проводится на наглядно-интуитивной основе. При рассмотрении ■
вопроса о дифференциальном уравнении показательного роста
показательная функция выступает как математическая модель,
находящая широкое применение при изучении реальных
процессов и явлений.
3. Уравнения, неравенства, системы (24 ч).
Решение иррациональных уравнений. Основные виды
уравнений. Общие методы решения уравнений: разложение на
множители, введение новых неизвестных, использование свойства
90

обратимости функций. Применение производной к определению
числа корней уравнения.
Обобщение метода интервалов для решения неравенств.
Примеры решения систем уравнений и неравенств.
Равносильность уравнений, неравенств, систем.
Равносильные преобразования. Уравнения-следствия. Проверка корней.
Преобразования, приводящие к потере корней.
Основная цель — обобщить имеющиеся у учащихся
сведения об уравнениях, неравенствах, системах, познакомить их
с общими методами решения, обратить внимание учащихся на
вопросы равносильности.
Тема носит повторительно-обобщающий характер и
завершает содержательную линию уравнений и неравенств курса
алгебры, которая в старших классах развивалась незначительно.
Материал для изучения содержится в п. 33 учебника
«Иррациональные уравнения», а также в «Задачах для повторения»
(гл. V, § 4). В качестве дополнительных пособий можно
использовать материалы для факультативов \ а также
предыдущие издания учебника 2.
Кроме вышеуказанных целей, изучение данной темы играет
важную роль в подготовке учащихся к сдаче выпускных
экзаменов за курс средней школы, а также вступительных
экзаменов в вузы. Поэтому подбор конкретных задач для работы в
классе и дома зависит от уровня подготовки учащихся и их
потребностей. По возможности учителю следует
дифференцировать и индивидуализировать работу.
4. Повторение. Решение задач (22 ч).
ГЕОМЕТРИЯ
(2 ч в неделю, всего — 68 ч)
1. Многогранники (16 ч).
Двугранные углы. Понятие о многогранном угле. Понятие о
многограннике. Сечения многогранников. Призма, ее элементы.
Параллелепипед. Прямая и правильная призмы. Пирамида, ее
з элементы. Теорема о сечениях пирамиды плоскостями, парал-
■ лельными основанию. Правильная пирамида. Площади боковых
J поверхностей призмы, пирамиды. Понятие о правильных
многогранниках.
Основная цель — дать учащимся систематические
сведения об основных видах многогранников.
В теме обобщаются и расширяются знания учащихся об
отдельных видах многогранников, знакомые им из курсов матема-
1 «Факультативный курс по математике, 7—9»/Сост. И. Л. Никольская
(М: Просвещение, 1990); «Факультативный курс по математике. Решение
задач, 11» И. Ф. Шарыгина, В. И. Голубева (М.: Просвещение, 1990).
2 «Алгебра и начала анализа, 9—10» А. Н. Колмогорова, А. М.
Абрамова, Ю. П. Дудницина и др. (М.: Просвещение, 1990).
91

тики V—VI классов, стереометрии X класса. На материале,
связанном с изучением пространственных геометрических фигур,
повторяются и систематизируются знания учащихся о взаимном
расположении точек, прямых и плоскостей в пространстве, об
измерении расстояний и углов в пространстве.
Пространственные представления учащихся развиваются в
процессе решения большого числа задач, требующих
распознавания различных видов многогранников и форм их сечения, а
также построения соответствующих чертежей.
Практическая направленность курса реализуется
значительным количеством вычислительных задач, в ходе решения
которых развиваются навыки общения с основными
геометрическими величинами: длинами, величинами углов, площадей. В целях
предупреждения возможных ошибок учащихся следует
требовать от них обоснования правильности выбора или построения
различных видов углов в пространстве, включая угол прямой
с плоскостью, линейный угол двугранного угла. При решении
задач на вычисление, в том числе задач, в которых фигурируют
не только правильная призма и пирамиды, совершенствуются
и развиваются умения учащихся применять аппарат алгебры и
тригонометрии к решению геометрических задач.
Учащиеся должны уметь применять изученные в теме
формулы для нахождения площадей боковых поверхностей призм
и правильной пирамиды при решении геометрических и
несложных практических задач.
2. Тела вращения (12 ч).
Понятие о телах вращения и поверхностях вращения.
Прямой круговой цилиндр, его элементы. Осевые сечения,
-перпендикулярные оси; сечения, параллельные оси. Прямой круговой
конус, его элементы. Осевые сечения конуса; сечения,
перпендикулярные оси; сечения, проходящие через вершину.
Шар и сфера. Сечения шара плоскостью. Касательная
плоскость к сфере.
Комбинация многогранников и тел вращения.
Основная цель — дать учащимся систематические
сведения об основных видах тел вращения.
Рассмотрением простейших тел вращения окончательно t
оформляется система основных пространственных геометриче-*
ских фигур, изучаемых в школьном курсе стереометрии: в
рассмотрение вводятся цилиндр, конус, шар и сфера. Одновремен- •
но с определением конкретного тела вращения даются
определения большому числу понятий, связанных с ним (например,
высота, радиус, ось цилиндра и т. п.), усвоение которых
должно идти не по линии формального воспроизведения их
определений, а в ходе решения содержательных геометрических задач.
При изучении теоретического материала существенно
развиваются пространственные представления учащихся: с общим
понятием «тела вращения» они знакомятся на примерах рас-
92

сматриваемых геометрических фигур, изучают вопросы
взаимного расположения тел вращения и плоскости: сечения
цилиндра,конуса,шара; касательную плоскость; знакомятся с
понятиями вписанных и описанных призм и пирамид.
Логические и графические умения учащихся развиваются
в. ходе решения задач, требующих распознавания различных
тел вращения и их сечений, построения соответствующих
чертежей.
Подавляющее большинство задач учебного пособия
представляет собой задачи на вычисление длин, углов и площадей
плоских фигур, что определяет практическую направленность
курса. В ходе решения повторяются и систематизируются
сведения, известные учащимся из курса планиметрии и
стереометрии IX класса,— решение треугольников, вычисление длин
окружностей, расстояний и т. д., что позволяет органично
построить повторение. При решении вычислительных задач следует
поддерживать достаточно высокий уровень обоснованности
выводов.
3. Объемы тел (20 ч).
Понятие об объеме. Основные свойства объемов. Объемы
многогранников: прямоугольного параллелепипеда, призмы,
пирамиды.
Объем тел вращения: цилиндра, конуса, шара.
Основная цель—продолжить систематическое изучение
многогранников и тел вращения в ходе решения задач на
вычисление их объемов.
Понятие объема и его свойства могут быть изучены на
ознакомительном уровне, с опорой на наглядные представления и
жизненный опыт учащихся. При выводе формул объема
прямоугольного параллелепипеда, пирамиды и конуса широко
привлекаются приближенные вычисления и интуитивные
представления учащихся о предельном переходе. От учащихся можно не
требовать воспроизведения вывода этих формул. Вывод
формулы объема шара проводится с использованием интеграла. Его
можно выполнить в качестве решения задачи на уроках алгебры
и начал анализа. Материал, связанный с выводами формулы
объема наклонного параллелепипеда и общей формулы
объемов тел вращения, имеет служебный характер: с их помощью
затем выводятся формулы объема призмы и объема шара
соответственно.
Подавляющее большинство задач по теме составляют
задачи вычислительного характера на непосредственное применение
изученных формул, в том числе в ходе решения несложных
практических задач.
4. Площади поверхностей тел (7 ч).
Понятие площади поверхности. Площадь сферы. Боковая
поверхность цилиндра и конуса.
93

Основная цель — завершить систематическое изучение
тел вращения в процессе решения задач на вычисление
площади их поверхностей.
Понятие площади поверхности вводится с опорой на
наглядные представления учащихся, а затем получает строгое
определение.
Практическая направленность курса определяется большим
количеством задач прикладного характера, что играет
существенную роль в организации профориентационной работы с
учащимися.
В ходе решения геометрических и несложных практических
задач от учащихся требуется умение непосредственно
применять изученные формулы. При решении вычислительных задач
следует поддерживать достаточно высокий уровень
обоснованности выводов,
5. Обобщающее повторение курса геометрии. Решение задач
(13 ч).

ПРОГРАММА
ДЛЯ ШКОЛ (КЛАССОВ) С УГЛУБЛЕННЫМ
ТЕОРЕТИЧЕСКИМ И ПРАКТИЧЕСКИМ ИЗУЧЕНИЕМ
МАТЕМАТИКИ
Объяснительная записка
Основная задача обучения математике в школе —
обеспечить прочное и сознательное овладение учащимися
системой математических знаний и умений, необходимых в
повседневной жизни и трудовой деятельности каждому члену
современного общества, достаточных для изучения смежных
дисциплин и продолжения образования.
Наряду с решением основной задачи, углубленное изучение
математики предусматривает формирование у учащихся
устойчивого интереса к предмету, выявление и развитие их
математических способностей, ориентацию на профессии,
существенным образом связанные с математикой, подготовку к обучению
в вузе.
В углубленном изучении математики выделяются два
этапа (VIII—IX классы и X—XI классы), отвечающие возрастным
возможностям и потребностям школьников и, соответственно,
различающиеся по целям.
Учащийся может начать углубленно заниматься
математикой как с VIII, так и с X класса.
Первый этап углубленного изучения математики является
в значительной мере ориентационным. На этом этапе ученику
надо помочь осознать степень своего интереса к предмету и
оценить возможности овладения им, с тем чтобы к окончанию
IX класса он смог сделать сознательный выбор в пользу
дальнейшего углубленного либо обычного изучения математики.
Интерес и склонность учащегося к математике должны всемерно
подкрепляться и развиваться. В случае же потери интереса,
изменения его в другом направлении ученику должна быть
обеспечена возможность перейти от углубленного изучения к
обычному.
Углубленное изучение математики на втором этапе предпо-
v лагает наличие у учащихся более или менее устойчивого
интереса к математике и намерение выбрать после окончания
школы связанную с ней профессию. Обучение на этом этапе
должно обеспечить подготовку к поступлению в вуз и продолжению
образования, а также — к профессиональной деятельности,
требующей достаточно высокой математической культуры.
' Предлагаемая программа учитывает общие и специфические
цели углубленного изучения математики в целом и на каждом
его этапе.
Программа включает три раздела: «Требования к
математической подготовке учащихся», «Содержание обучения»,
«Тематическое планирование учебного материала».
95

Раздел «Требования к математической
подготовке учащихся» задает примерный объем знаний, умений
и навыков, которым должны овладеть школьники. В этот
объем, безусловно, входят те значения, умения и навыки,
обязательное приобретение которых всеми учащимися
предусмотрено требованиями программы общеобразовательной школы;
однако предполагается иное, более высокое качество их сфор-
мированности. Учащиеся должны приобрести умения решать
задачи более высокой, по сравнению с обязательным уровнем,
сложности, точно и грамотно формулировать изученные
теоретические положения и излагать собственные рассуждения при
решении задач и доказательстве теорем; правильно
пользоваться математической терминологией и символикой; применять
рациональные приемы вычислений и тождественных
преобразований; использовать наиболее употребительные эвристические
приемы и т. д.
Следует иметь в виду, что требования к знаниям и умениям
учащихся при углубленном изучении математики ни в коем
случае не должны быть завышенными. Чрезмерность требований
порождает перегрузку, что ведет, особенно на первом этапе, к
угасанию интереса к математике. Поэтому требования к
результатам углубленного изучения математики на первом этапе
ненамного превышают требования общеобразовательной
программы. Требования на втором этапе, в соответствии с его целями,
согласуются со средним уровнем требований, предъявляемых
вузами к математической подготовке абитуриентов. Заметим,
что минимальный обязательный уровень подготовки, достижение
которого учащимся является необходимым и достаточным
условием выставления ему положительной оценки, при
углубленном и обычном изучении математики один и тот же. Однако
тем учащимся классов с углубленным изучением математики*
успехи которых в течение длительного времени не поднимаются
выше минимального обязательного уровня, следует
рекомендовать перейти в обычный класс.
Раздел «Содержание обучения» включает полностью
содержание курса VIII—IX классов общеобразовательной
школы и ряд дополнительных вопросов, непосредственно примы-,
кающих к этому курсу и углубляющих его по основным
идейным линиям. Включены также самостоятельные разделы
(комплексные числа, элементы комбинаторики, элементы теории ве-*
роятностей и статистики), которые в настоящее время в школе
не изучаются, однако являются важными содержательными
компонентами современной системы непрерывного
математического образования.
Включение дополнительных вопросов преследует две
взаимосвязанные цели. С одной стороны, это создание в
совокупности с основными разделами курса базы для удовлетворения
интересов и развития способностей учащихся, имеющих склон-
96

ность к математике, с другой — восполнение содержательных
пробелов основного курса, придающее содержанию
углубленного изучения необходимую целостность.
Программа предусматривает возможность изучения
содержания курса с различной степенью полноты. Дополнительные
вопросы и темы, отмеченные квадратными скобками, при
желании можно не изучать, что позволяет учителю, включая
или исключая все или некоторые из этих вопросов, варьировать
объем изучаемого материала и, соответственно, степень
углубления и расширения курса в зависимости от конкретных
условий.
Отдельные вопросы, отмеченные в программе звездочками»
представляют материал повышенной трудности; эти вопросы
можно изучать в ознакомительном порядке.
В связи с предоставленным учащимся правом начать
углубленное изучение математики как с VIII, так и с X классам
необходимостью в любом случае обеспечить им возможность
изучения полного, целостного курса, содержание обучения на
первом и втором этапах имеет ряд пересечений. Соответствующий
материал на втором этапе рассматривается с учащимися,
приступившими к углубленному изучению с VIII класса, в повто-
. рительном или обзорном порядке.
В разделе «Тематическое планирование» данной
программы предлагаются варианты планирования,
ориентированные на использование действующих учебников и на учебные
пособия для школ и классов с углубленным изучением
математики.
Планирование исходит и& учебного плана для школ и
классов с углубленным изучением математики, согласно которому
в VIII—IX классах изучаются два предмета — «Алгебра» (5 ч
в неделю, всего—170 ч в каждом классе) и «Геометрия» (3 ч
в неделю, всего—102 ч в каждом классе); в X—XI классах
изучаются преметы «Алгебра и начала анализа» (5/6 ч в
неделю в X классе, всего— 187 ч, и 5 ч в неделю в XI классе,
всего— 170 ч) и «Геометрия» (3 ч в неделю, всего— 102 ч в
каждом классе).
1 Учителю предоставляется право самостоятельного построе-
ния курса. При этом он может выбрать учебники из числа
действующих в массовой школе, пробных и специально
предназначенных для углубленного изучения математики.
Тематическое планирование учитель разрабатывает приме-
i нительно к выбранному учебнику, учитывая подготовленность
* класса, интересы учащихся и т. д. При этом он может
варьировать число часов, отводимых на ту или иную тему,
переставлять темы, включать в них некоторые дополнительные
теоретические вопросы или ограничиться программой массовой
школы, полное прохождение которой в любом случае является
обязательным.
7 Заказ № 1481
97

Успешность решения задач углубленного изучения
математики во многом зависит от организации учебного
процесса. Учителю предоставляется возможность
свободного выбора методических путей и организационных форм
обучения, проявления творческой инициативы. Однако при этом
следует иметь в виду ряд общих положений, изложенных ниже.
Учебно-воспитательный процесс должен строиться с учетом
возрастных возможностей и потребностей учащихся.
Основной причиной отсева школьников из классов с
углубленным изучением математики (особенно на первом этапе)
является перегрузка; поэтому не следует стремиться к
чрезмерному насыщению программы дополнительными вопросами.
Углубленное изучение математики предполагает прежде
всего наполнение курса разнообразными, интересными и
сложными задачами, овладение основным программным материалом
на более высоком уровне.
Для поддержания и развития интереса к предмету следует
включать в процесс обучения занимательные задачи, сведения
из истории математики. Это особенно важно на первом этапе,
когда интерес учащихся еще недостаточно устойчив.
На втором этапе возрастает роль теоретических знаний,
становятся весьма значимыми такие их качества, как
системность и обобщенность. Значительное место на этом этапе
должно быть уделено решению задач, отвечающих требованиям для
поступающих в вузы, где математика является профилирующим
предметом.
В связи с тем что в классы с углубленным изучением
приходят школьники с разным уровнем подготовки, в процесс
обучения на каждом этапе должны быть включены повторение и
систематизация опорных знаний.
Учебный процесс должен быть ориентирован на усвоение
учащимися прежде всего основного материала; при проведении
текущего и итогового контроля знаний качество усвоения этого
материала проверяется в обязательном порядке. Итоговому
контролю не подлежит материал, отмеченный квадратными
скобками или звездочками.
Значительное место в учебном процессе должно быть отве-?
дено самостоятельной математической деятельности учащих*
ся — решению задач, проработке, теоретического материала,
подготовке докладов, рефератов и т. д. •
Очень важно организовать дифференцированный подход к
учащимся, позволяющий избежать перегрузки и способствую;
щий реализации возможностей каждого из них.

ТРЕБОВАНИЯ
К МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПОДГОТОВКЕ УЧАЩИХСЯ
VIII—IX КЛАССЫ
АЛГЕБРА
В результате изучения курса учащиеся должны уметь:
— выполнять арифметические действия с числами (точными
и приближенными), вычислять приближенные квадратные
корни, значения тригонометрических функций (в том числе с
использованием калькулятора); производить прикидку и оценку
результатов вычислений;
— выполнять тождественные преобразования
алгебраических и тригонометрических выражений;
— выражать функциональные зависимости между
величинами, находить значения функций, заданных формулой,
таблицей, графиком;
— строить и читать графики функций указанных в
программе видов, применять правила преобразования графиков;
— решать уравнения, неравенства, системы уравнений и
неравенств указанных в программе видов;
— решать текстовые задачи методом уравнений.
ГЕОМЕТРИЯ
В результате изучения курса учащиеся должны уметь:
— доказывать изученные в курсе теоремы;
— изображать геометрические фигуры, описанные в
условиях теорем и задач; выделять изученные фигуры на чертежах;
— проводить полные обоснования в ходе теоретических
рассуждений, а также при решении задач, используя для этого
изученные теоретические сведения;
— решать задачи на вычисление, доказательство и
построение, опираясь на теоретические сведения, полученные в курсе;
— применять основные методы геометрии (преобразований,
векторный, координатный, построений) к решению
геометрических задач;
— применять аппарат алгебры и тригонометрии к решению
задач.
X—XI КЛАССЫ
АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА
В результате изучения курса учащиеся должны уметь;
— выполнять действия над комплексными числами,
заданными в различных формах, находить комплексные корни
многочленов;
7*
99

— строить графики элементарных функций и проводить
преобразования графиков, используя изученные методы;
— проводить тождественные преобразования
иррациональных, показательных, логарифмических и тригонометрических
выражений;
— решать иррациональные, логарифмические и
тригонометрические уравнения и неравенства, доказывать неравенства;
— решать системы уравнений изученными методами;
— применять аппарат математического анализа (таблицы
производных, первообразных и определенных интегралов);
— решать прикладные задачи средствами математического
анализа.
ГЕОМЕТРИЯ
В результате изучения курса учащиеся должны уметь:
— изображать на рисунках и чертежах пространственные
геометрические фигуры и их комбинации, задаваемые
условиями теорем и задач; выделять изученные фигуры на моделях
и чертежах;
— доказывать изученные в курсе теоремы;
— проводить полные обоснования в ходе теоретических
рассуждений и при решении задач, используя для этого изученные
в курсах планиметрии и стереометрии теоретические сведения;
— вычислять значения геометрических величин (длин,
углов, площадей и объемов), используя изученные формулы, а
также аппарат алгебры, анализа и тригонометрии;
— применять основные методы геометрии (проектирования,
преобразований, векторный, координатный) к решению
геометрических задач.
СОДЕРЖАНИЕ ОБУЧЕНИЯ
VIII—IX КЛАССЫ
АЛГЕБРА
Множества и элементы комбинаторики
Множество. Элемент множества. Пустое множество.
Пересечение и объединение множеств. Подмножество. Конечные й
бесконечные множества. [Взаимно однозначное соответствие
между множествами. * Понятие о мощности множества *.]
[Принцип Дирихле.]
[Комбинаторный принцип умножения. Число элементов
объединения множеств. Число подмножеств конечного множества.
Число й-элементных подмножеств конечного множества
(сочетаний). Число перестановок. Понятие о вероятности события.
Подсчет вероятностей простейших событий.
100

Действительные числа
[Натуральные числа. Делимость натуральных чисел.
Признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 9, 11. Простые и составные
числа. Основная теорема арифметики. Бесконечность множества
простых чисел. Взаимно простые числа.
Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное.
Алгоритм Евклида: нахождение наибольшего общего делителя;
линейное представление наибольшего общего делителя;
критерий взаимной простоты двух чисел.]
Условие разрешимости уравнения а + х=Ь в множестве
натуральных чисел и операция вычитания. Целые числа. Решение
линейных уравнений с двумя неизвестными в множестве целых
чисел.
Условие разрешимости уравнения ах = Ь в множестве
натуральных чисел и операция деления. Рациональные числа.
Выполнимость арифметических операций в множестве
рациональных чисел и свойства этих операций. Числовые неравенства и
их свойства.
Задача измерения величин. Единица измерения. Измерение
отрезков: единичный отрезок, процесс измерения. Бесконечная
десятичная дробь как результат измерения отрезка.
Действительные числа как бесконечные десятичные дроби. Взаимно
однозначное соответствие между множеством точек прямой и
множеством действительных чисел. Измерение углов. Радиан.
Радианная мера угла.
Периодические десятичные дроби. Представление
рационального числа в виде периодической десятичной дроби. Примеры
непериодических десятичных дробей. Иррациональные числа.
Решение уравнения х2 = 2 в множестве рациональных и в
множестве действительных чисел.
Квадратный корень. Условие существования квадратного
корня и число квадратных_ корней из действительного числа.
Иррациональность числа ]/2. Корень степени п. Степень с
дробным показателем.
Общая мера из двух отрезков. [Соизмеримость и
несоизмеримость отрезков. Связь между соизмеримостью отрезков и
отношением их длин. Алгоритм Евклида для определения
соизмеримости отрезков. Несоизмеримость диагонали квадрата с его
стороной.]
Десятичные приближения действительных чисел с
недостатком и с избытком. Округление действительных чисел.
Представления об арифметических действиях над действительными
числами. Вычисления на калькуляторе.
Тождественные преобразования
Сложение, вычитание и умножение многочленов. Формулы
сокращенного умножения: квадрат и куб двучлена, квадрат
алгебраической суммы нескольких слагаемых.
101

Разложение многочлена на множители способом
группировки. Формулы разложения на множители: разности квадратов и
кубов, суммы кубов, разностей хп—\, хп — уп, суммы х2п+1 +
Многочлены с одной переменной. Квадратный трехчлен.
Выделение полного квадрата. Разложение квадратного трехчлена
на множители. [Деление многочленов с остатком. Делимость
многочленов. Теорема Безу и ее следствие о делимости
многочлена на линейный двучлен.]
Рациональная дробь. Основное свойство дроби.
Сокращение дробей. Приведение дробей к общему знаменателю. Сложет
ние, вычитание, умножение, деление и возведение в степень
рациональных дробей. Тождественные преобразования
рациональных выражений.
Степень с целым показателем и ее свойства. Стандартный
вид числа.
Свойства корней степени п. Свойства степеней с
рациональным показателем. Преобразования выражений с радикалами
и дробными степенями, освобождение от иррациональности.
Замена переменной как средство рационализации
преобразований.
Тригонометрические тождества: sin2 a + cos2 а = 1, tga =
= —- , ctga = -. Формулы приведения. Синус, косинус и
cos a sin a
тангенс суммы и разности двух углов. Синус, косинус и тангенс
двойного угла. [Преобразование суммы тригонометрических
функций в произведение и произведения в сумму.]
Тождественные преобразования тригонометрических выражений.
Функции
Числовые функции Способы задания функции. Область огъ-
ределения и область значений функции.
График функции. Преобразование графиков функции:
параллельный перенос, растяжения и сжатия вдоль осей координат,
симметрия относительно осей координат и относительно прямой
у = х.
Свойства функции: четность и нечетность, возрастание и
убывание, нули функции и промежутки знакопостоянства, наиболь-J
шее и наименьшее значения функции. Отражение свойств
функции на графике. ;
Функция как соответствие между множествами.
Элементарные функции: линейная, квадратичная, степенная
с натуральным показателем, прямая и обратная
пропорциональность, модуль, квадратный корень, кубический корень,
корень степени. Их свойства и графики.
[Построение графиков кусочно-заданных функций.
Построение графиков функций, связанных с модулем. Примеры
построения графиков рациональных функций.]
102

Функции у = [х] и у= {х}.
[Числовые последовательности. Способы задания числовых
последовательностей. Формула общего члена и рекуррентная
формула. Числа Фибоначчи.] Арифметическая и геометрическая
прогрессии; формулы /г-го члена и суммы первых м-членов.
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. [Понятие о
пределе последовательности.]
Уравнения и неравенства
Уравнение. Корень уравнения. Равносильность уравнений.
Уравнение-следствие. Потеря и приобретение корней при
преобразовании уравнений. Проверка как составная часть решения.
Линейное уравнение с одним неизвестным. [Линейные
уравнения с параметром.] Квадратное уравнение: формулы корней,
зависимость числа корней от дискриминанта, формулы Виета;
составление уравнения с заданными корнями. [Вычисление
значений симметрических выражений от корней квадратного
уравнения. Биквадратные уравнения.]
Корень многочлена. Нахождение целых и дробных корней
многочлена с целыми коэффициентами. Число корней
многочлена.
Решение рациональных уравнений. Примеры решения
иррациональных уравнений.
Система уравнений. Решение системы. Равносильность.
Уравнение-следствие. Приемы решения систем: подстановка,
алгебраическое сложение. [Решение систем линегных уравнений с
двумя и тремя неизвестными методом Гаусса.]
Решение текстовых задач с помощью уравнений и систем.
Неравенство с переменными. Числовые промежутки. Решение
линейных неравенств с одной переменной и их систем.
Геометрическая интерпретация линейных неравенств с двумя
переменными и их систем. Квадратные неравенства. Рациональные
неравенства. Метод интервалов. Доказательство неравенств.
ГЕОМЕТРИЯ
Основные понятия планиметрии
Неопределяемые понятия и аксиомы. Доказательства.
Теоремы. Непротиворечивость системы аксиом. Интерпретация.
[Исторические этапы развития геометрии: «Начала»
Евклида, попытки доказательства пятого постулата, создание
геометрии Лобачевского.]
[Понятие о длине кривой.] Площадь фигуры и ее свойства.
Равновеликость и равносоставленность фигур.
Треугольники
Замечательные точки треугольника. Теорема Пифагора.
Соотношения между сторонами и углами прямоугольного тпе-
пз

угольника. Синус, косинус, тангенс и котангенс угла. Теорема
синусов. Теорема косинусов. Решение треугольников. Площадь
треугольника. Формула Герона.
Окружности, вписанные в треугольники и описанные вокруг
треугольников.
Многоугольники
Понятие о многоугольнике. Площадь многоугольника.
Параллелограмм и его свойства. Признаки
параллелограмма. Прямоугольник, ромб, квадрат и их свойства. Трапеция и
ее свойства. Правильные многоугольники.
Площадь прямоугольника, параллелограмма, трапеции,
правильного многоугольника.
Вписанные и описанные четырехугольники.
Окружность и круг
Длина окружности. Длина дуги окружности. Площадь
круга и его частей.
Величина центрального угла. Величина вписанного угла.
Величина угла между хордой и касательной. Величина угла с
вершиной внутри и вне круга.
Методы геометрии
* Движения плоскости. * Симметрия относительно точки и
прямой. Центрально-симметричные фигуры и фигуры,
симметричные относительно оси. Поворот. Параллельный перенос.
[* Бордюры и орнаменты. *] [Равенство фигур и его свойства.1
Применение движений к решению задач.
Преобразование подобия. Гомотетия и ее свойства. Подобие
и его свойства. Отношение площадей подобных фигур.
Признаки подобия треугольников.
Применение подобия к решению задач.
Прямоугольная система координат на плоскости. Формула
расстояния между точками. Деление отрезка в данном
отношении. Координаты середины отрезка. Уравнения прямой и ок-4
ружности. [Задание фигур уравнениями и неравенствами.] !
* Эллипс, гипербола, парабола, их уравнения. *
Применение координат к решению задач. :
Векторы. Длина и направление вектора. Угол между
векторами и его свойства. Коллинеарные векторы. Разложение
вектора по двум неколлинеарным векторам. Координаты вектора,
суммы векторов, произведения числа и вектора. Проекция
вектора на ось. Скалярное произведение векторов.
Применение векторов к решению задач.
Основные задачи на построение. Решение задач на
построение с помощью циркуля и линейки.
104

Применение алгебры и тригонометрии к решению
планиметрических задач.
X—XI КЛАССЫ
АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА
Элементарные функции
Измерение углов. Радиан. Радианное измерение углов.
Тригонометрические функции числового аргумента: синус,
косинус, тангенс, котангенс.
Свойства периодичности функции. Примеры периодических
функций; функция Дирихле.
Периодичность тригонометрических функций. Основной
период. Нахождение основного периода сложных функций, суммы,
произведения и частного двух функций.
Свойства и графики тригонометрических функций.
Обратная функция. Условия существования и свойства
обратной функции.
Обратные тригонометрические функции. Свойства и графики
обратных тригонометрических функций.
Показательная, логарифмическая и степенная функции; их
свойства и графики. Число е и натуральные логарифмы.
Сложная функция. Построение графиков функций
элементарными методами. Графики дробно-линейных функций;
вертикальная и горизонтальная асимптоты. Графики
кусочно-заданных функций. Графики функций, связанных с модулем.
Тождественные преобразования
Преобразования многочленов; разложение на множители.
Формулы сокращенного умножения: квадрат алгебраической
суммы нескольких слагаемых, хп — уп=(х — у)(хп~х + хп~2у + ...
... +Уп~1), *п + */п=(* + Ж*п_1-*п~2</+ ... -Ы/71""1), где п —
нечетное.
Деление многочлена на многочлен с остатком. [Алгоритм
Евклида для многочленов.] [Схема Горнера.] Корни многочлена.
Теорема Безу. * Основная теорема алгебры. *
[Нахождение рациональных корней многочлена с целыми
коэффициентами. Обобщенная теорема Виета.]
[Многочлены от нескольких переменных. Симметрические
многочлены; * основные симметрические многочлены *.]
Преобразования иррациональных выражений; освобождение
от иррациональности в знаменателе.
Тригонометрические тождества: sin2 a-f cos2 a = 1, tga= ——,
cos a
105

ctga=-^-^, и следствия из них. Формулы приведения. Синус,
sin a
косинус и тангенс суммы и разности двух углов. Синус, косинус
и тангенс двойного, тройного и половинного углов.
Преобразования суммы тригонометрических выражений в произведение
и произведения в сумму. Тождественные преобразования
тригонометрических выражений.
[Преобразования выражений, содержащих обратные
тригонометрические функции.]
Свойства логарифмов. Основное логарифмическое
тождество. Формула перехода от одного основания логарифма к
другому. Тождественные преобразования показательных и
логарифмических выражений.
Уравнения, неравенства, системы
Уравнение. Равносильные уравнения. Уравнение-следствие.
Общие методы решения уравнений: переход к равносильному
уравнению, переход к уравнению-следствию и проверка корней.
Приемы решения уравнений: разложение на множители,
замена переменной, возведение в степень и др.
Иррациональные уравнения.
Тригонометрические уравнения. Простейшие
тригонометрические уравнения. Виды тригонометрических уравнений,
основные методы их решения. Тригонометрические неравенства.
Показательные и логарифмические уравнения, неравенства
в системы; основные виды и методы решения.
Обобщенный метод интервалов для решения неравенств.
* Иррациональные неравенства. * Доказательство неравенств.
[Некоторые классические неравенства.]
Системы уравнений и неравенств. Основные методы решения
систем уравнений: подстановка, алгебраическое сложение,
введение новых переменных. [Метод Гаусса.]
Применение графиков к решению уравнений, неравенств,
систем.
Приближенные методы решения уравнений.
[Уравнения, неравенства и системы с параметром. Методы
решения.]
Уравнения и неравенства, не решаемые стандартными
методами.
Элементы математического анализа
[Числовые последовательности. Предел числовой
последовательности. Теоремы о пределах.«Существование предела
монотонной ограниченной последовательности. Предел
последовательности (1 -i ) п*
Предел функции на бесконечности.
106

Предел функции в точке. Теоремы о пределах функций.
Предел функции —- при х-*0.
[Односторонние пределы. Бесконечные пределы.]
Непрерывность функции в точке и на промежутке.
Свойства непрерывных функций.
Непрерывность элементарных функций. Теорема о
промежуточном значении функций, непрерывной на отрезке.
Производная. [Дифференциал.] Геометрический и
механический смысл производной. Непрерывность и дифференцируемость
функций.
Производная суммы, произведения и частного. Производная
сложной и обратной функций. Таблица производных
элементарных функций.
Вторая производная; ее геометрический и механический
смысл. Производные высших порядков. [* Формула Тейлора.
Приближенное вычисление значений элементарных функций. *]
Первообразная и ее свойства. Неопределенный интеграл.
Таблица первообразных. Правила нахождения первообразных.
[Интегрирование по частям. Подстановка.]
Площадь криволинейной трапеции. Определенный интеграл
и его свойства. Формула Ньютона — Лейбница. Приближенное
вычисление определенных интегралов.
Приложения математического анализа
Приложения производной к исследованию функций. Теорема
Лагранжа и ее следствие. Исследование функций на
возрастание и убывание. Достаточные условия экстремума. [Выпуклость;
точки перегиба.] [Наклонные асимптоты.] Отыскание
наибольшего и наименьшего значений функции на промежутке.
Применение производной к приближенным вычислениям.
Использование производной в физических задачах.
Приложения интеграла. Вычисление площадей и объемов
геометрических фигур. [Вычисление длин дуг.] Использование
интеграла в физических задачах.
Дифференциальные уравнения. Примеры задач, приводящих
к дифференциальным уравнениям (гармонические колебания,
радиоактивный распад и др.). Решение простейших
дифференциальных уравнений. [Уравнения с разделяющимися
переменными.]
Комплексные числа
Развитие понятия числа: натуральные, целые,
рациональные, действительные числа.
Комплексные числа в алгебраической форме.
Арифметические действия с комплексными числами. Сопряженные
комплексные числа.
Комплексная плоскость. Тригонометрическая форма
комплексного числа. Умножение, деление и возведение в степень
107

комплексных чисел в тригонометрической форме. Формула Му-
авра. Извлечение корней из комплексных чисел.
Комплексные корни многочлена. [Использование
комплексных чисел в геометрии.]
[Показательная форма комплексного числа.]
Элементы комбинаторики
Метод математической индукции.
Комбинаторные принципы сложения и умножения.
Основные формулы комбинаторики. Размещения, сочетания
и перестановки (без повторений и с повторениями).
[Бином Ньютона.] [Принцип Дирихле.]
[Элементы теории вероятностей и математической статистики
Случайные события. Классическое определение вероятности.
Вычисление вероятностей с помощью формул комбинаторики.
Правило сложения вероятностей. Условные вероятности.
Правила умножения вероятностей. Независимые события. Формула
Бернулли. Случайная величина. Математическое ожидание
и дисперсия. Понятие о законе больших чисел. Понятие о
нормальном законе распределения.
Генеральная совокупность и выборка. Параметры
генеральной совокупности и их оценка по выборке. Оценка
параметров. Понятие об уровнях значимости и достоверности. Оценка
вероятности события по частоте. Понятие о проверке
статистических гипотез.]
ГЕОМЕТРИЯ
Основные понятия стереометрии
Основные (неопределяемые) понятия и аксиомы
стереометрии. Их связь с аксиомами планиметрии.
Понятие о фигуре в пространстве. [Расстояние между
фигурами.] Объем тела, его свойства. Площадь поверхности тела.
Прямые, плоскости и углы в пространстве
Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Угол
и расстояние между прямыми. Параллельность и
перпендикулярность прямых.
Взаимное расположение прямой и плоскости. Признак
параллельности прямой и плоскости. Теоремы о параллельности
и перпендикулярности прямой и плоскости. Расстояние от
точки до плоскости. Расстояние между прямой и параллельной ей
плоскостью. Угол между прямой и плоскостью.
Взаимное расположение двух плоскостей. Признак
параллельности плоскостей. Перпендикулярность плоскостей.
Теоремы о параллельности и перпендикулярности плоскостей. Угол
между плоскостями. Двугранный угол. Линейный угол двугран-
108

ного угла. Расстояние между параллельными плоскостями.
[Многогранный угол. Зависимости между плоскими и
двугранными углами многогранного угла.]
Многогранники
Понятие о многограннике. Развертка многогранника.
Сечения. [Теорема Эйлера (без доказательства).]
Призма, ее элементы, их измерения. Прямая и правильная
призмы. Параллелепипед, его виды. Поверхность призмы и ее
площадь. Объем призмы.
Пирамида, ее элементы, их измерения. Тетраэдр.
Правильная пирамида. Поверхность пирамиды и ее площадь. Объем
пирамиды.
[Комбинации многогранников.]
Правильные многогранники.
[Элементы теории выпуклых тел.]
Фигуры вращения
Тела и поверхности вращения. Осевые сечения и сечения,
перпендикулярные оси.
Цилиндр и конус. [Конические сечения и их свойства.]
Площади поверхностей цилиндра и конуса. Объемы цилиндра и
конуса. Вписанные и описанные цилиндры и конусы. [Понятие о
цилиндрических и конических поверхностях.]
Сфера, шар, части шара (сектор, сегмент, пояс). Касание
сферы с прямой и плоскостью. Объем шара и его частей.
Площадь сферы. Вписанные и описанные сферы.
Комбинации тел вращения.
[Элементы сферической геометрии. * Теоремы синусов и
косинусов для сферического треугольника. *]
Методы геометрии
Параллельное проектирование и его свойства. Ортогональное
проектирование и его свойства. Изображение пространственных
фигур на плоскости.
Прямоугольная система координат на плоскости. Формула
расстояния между точками. Уравнения прямой и окружности.
Прямоугольная система координат в пространстве.
Расстояние между двумя точками. Расстояние от точки до плоскости
в координатах. Уравнение прямой, плоскости, сферы. Задание
фигур уравнениями и неравенствами. Применение координат
к решению задач по стереометрии.
Векторы в пространстве. Разложение вектора по трем
некомпланарным векторам. Скалярное произведение векторов.
Решение аффинных и метрических задач с помощью векторов.
[Понятие о векторных пространствах.]
Понятие о преобразовании в пространстве. Движения в
пространстве и их свойства. Центральная симметрия. Симметрия
109

относительно плоскости. Поворот вокруг оси. Параллельный
перенос. Подобие и гомотетия в пространстве. Применение
преобразований к решению задач по стереометрии.
ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ УЧЕБНОГО
МАТЕРИАЛА
VIII КЛАСС
(8 ч в неделю, всего — 272 ч)
АЛГЕБРА '
(5 ч в неделю, всего—170 ч)
1. Преобразования рациональных выражений (30—35 ч).
Сложение, вычитание и умножение многочленов. Формулы
сокращенного умножения: квадрат и куб двучлена, квадрат
алгебраической суммы нескольких слагаемых.
Разложение многочленов на множители способом
группировки. Формулы разложения на множители разности квадратов
и кубов, суммы кубов, разностей хп—\ и хп — уп, суммы x2n+1-f
-f */2п+1. Решение задач на преобразование целых выражений.
Квадратный трехчлен. Выделение полного квадрата.
Разложение квадратного трехчлена на множители. [Деление
многочленов с остатком. Делимость многочленов. Теорема Безу и ее
следствия.]
Рациональная дробь. Основное свойство дроби. Сокращение
дробей. Приведение дробей к общему знаменателю. Сложение,
вычитание, умножение, деление и возведение в степень
рациональных дробей. Тождественные преобразования рациональных
выражений.
k
Функция у= —, ее свойства и график.
X
2. Рациональные числа (15—20 ч).
[Натуральные числа. Делимость натуральных чисел.
Признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 6, 9, 11. Простые и составные числа.
Основная теорема арифметики. Бесконечность множества
простых чисел. Взаимно простые числа.
Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное.
Алгоритм Евклида: нахождение наибольшего общего делителя,
линейное представление наибольшего общего делителя,
критерий взаимной простоты двух чисел.]
Условие разрешимости уравнения а+х = Ь в множестве
натуральных чисел и операция вычитания. Целые числа. Решение
1 Планирование ориентировано на использование учебника «Алгебра, 8»
Ю. Н. Макарычева, Н. Г. Миндюк, К И. Нешкова, С. Б. Суворовой (М.:
Просвещение, 1989).
ПО

линейных уравнений с двумя неизвестными в множестве целых
чисел.
Условие разрешимости уравнения ах = Ь в множестве целых
чисел и операция деления. Рациональные числа.
Представление рационального числа в виде несократимой дроби.
Выполнимость арифметических операций в множестве
рациональных чисел и свойства этих операций. Решение линейных
уравнений. [Линейные уравнения с параметром.]
3. Действительные числа (10—15 ч).
Задача измерения величин. Единица измерения. Измерение
отрезков: единичный отрезок, процесс измерения. Бесконечная
десятичная дробь как результат измерения отрезка.
Действительные числа как бесконечные дроби. Взаимно однозначное
соответствие между множеством точек прямой и множеством
действительных чисел.
Представление рационального числа в виде периодической
десятичной дроби. Примеры непериодических десятичных
дробей. Иррациональные числа. Решение уравнения х2 = 2 в
множестве рациональных чисел. Квадратный корень. Условие
существования квадратного корня и число корней из данного
действительного числа. Иррациональность числа У2.
Приближенные значения квадратного корня. Свойства квадратных корней
и их применение к преобразованию выражений.
Общая мера двух отрезков. [Соизмеримость и
несоизмеримость двух отрезков. Связь между соизмеримостью отрезков
и отношением их длин. Алгоритм Евклида для определения
соизмеримости отрезков. Несоизмеримость диагонали квадрата
с его стороной.]
Десятичные приближения действительных чисел с избытком
и недостатком. Округление действительных чисел.
Представления об арифметических действиях над действительными
числами.
4. Рациональные уравнения (35—40 ч).
Квадратное уравнение. Формула корней. Зависимость числа
корней от дискриминанта. Формулы Виета. Составление
квадратного уравнения с заданными корнями. [Вычисление значений
симметрических выражений от корней квадратного уравнения.
Решение биквадратных уравнений.] Нахождение целых и
дробных корней уравнения с целыми коэффициентами.
Решение рациональных уравнений.
Решение систем с двумя неизвестными, содержащими
уравнения первой и второй степени. Решение симметрических систем
с двумя неизвестными. Графический способ решения систем.
Решение текстовых задач.
5. Рациональные неравенства (30—35 ч).
Числовые неравенства. Доказательстве* неравенств.
Числовые промежутки. Пересечение и объединение промежутков.
Решение линейных неравенств и их систем.
ш

Решение рациональных неравенств методом интервалов.
Разложение квадратного трехчлена на множители. Решение
квадратных неравенств.
Решение уравнений и неравенств с модулем.
Линейные неравенства с двумя переменными: геометриче-
' екая интерпретация, графическое решение.
6. Степень с целым показателем (8—10 ч).
Степень с целым показателем. Запись чисел в стандартном
виде. Приближенные вычисления.
7. Резерв времени (15—42 ч).
ГЕОМЕТРИЯ 1
(3 ч в неделю, всего—102 ч)
1. Четырехугольники (25—27 ч).
Понятие о многоугольнике. Выпуклые четырехугольники.
Параллелограмм и его свойства. Признаки
параллелограмма. Прямоугольник, ромб, квадрат и их свойства. Построение
параллелограмма по его элементам. Построение ромба по его
элементам.
Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника.
Трапеция и ее свойства. Построение трапеции по ее
элементам. Средняя линия трапеции.
Замечательные точки в треугольнике. Окружности,
вписанные в треугольники и описанные вокруг треугольника.
Вписанные четырехугольники.
2. Теорема Пифагора (25—27 ч).
Косинус угла. Теорема Пифагора.
Синус, тангенс и котангенс острого угла. Соотношения
между сторонами и углами прямоугольного треугольника.
3. Декартовы координаты на плоскости (18—20 ч).
Прямоугольная система координат на плоскости. Формула
расстояния между точками. Деление отрезка в данном
отношении. Координаты середины отрезка. Уравнения прямой и
окружности. [Задание фигур уравнениями и неравенствами.]
* Эллипс, гипербола, парабола, их уравнения. * Применение
координат к решению задач.
Синус, косинус, тангенс, котангенс углов от 0 до 180°.
Формулы приведения тригонометрических функций. Основные
тождества тригонометрии.
4. Преобразования фигур (18—20 ч).
* Движения плоскости*. Симметрия относительно плоскости
и прямой. Центрально-симметричные фигуры и фигуры,
симметричные относительно оси. Поворот. Параллельный перенос.
[Равенство фигур и его свойства.]
1 Планирование ориентировано на использование учебника «Геометрия,
7—11» А. В. Погорелова (М.: Просвещение, 1990).
112

Применение движений к решению задач.
Гомотетия. Преобразование подобия и его свойства.
Признаки подобия треугольников. Отношение элементов подобных
фигур. Построение фигуры, подобной данной.
Применения подобия: свойство биссектрисы угла
треугольника; метрические соотношения в прямоугольном треугольнике и
в круге.
Применение подобия к решению задач.
5. Резерв времени (8—16 ч).
IX КЛАСС
(8 ч в неделю, всего — 272 ч)
АЛГЕБРА '
(5 ч в неделю, всего— 170 ч)
1. Множества и комбинаторика (15—20 ч).
Множество. Элемент множества. Пустое множество.
Пересечение множеств и объединение множеств. Запись решения
уравнений и неравенств с помощью множеств. Подмножество.
Конечные и бесконечные множества. [Взаимно однозначное
соответствие между множествами. * Понятие о мощности
множества. *] [Принцип Дирихле.]
[Комбинаторный принцип умножения. Число элементов
объединения множеств. Число подмножеств конечного множества.
Число перестановок. Число k — элементных подмножеств
конечного множества (сочетаний).
Понятия о вероятности события. Подсчет вероятностей
простейших событий.]
2. Функции (25—30 ч).
Числовая функция. Способы задания функции. Область
определения и область значений функций. График функции.
Свойства функций: четность и нечетность, возрастание и
убывание, нули и промежутки знакопостоянства, наибольшее
и наименьшее значения. Отражение свойств функции на
графике.
Квадратичная функция. Функция у = ах2. Квадратичная
функция, её свойства и график. Парабола. Вершина параболы.
[Фокус и директриса параболы. Оптическое свойство параболы.]
k
Функция */ = , ее свойства и график. Гипербола. Дробно-
X
линейная функция.
1 Планирование ориентировано на использование учебника «Алгебра, 9»
Ю. Н. Макарычева, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешкова, С. Б. Суворовой (М.:
Просвещение, 1990).
8 Заказ № 1481
113

Преобразования графиков функций: параллельный перенос,
растяжение и сжатие вдоль осей координат, симметрия
относительно осей координат и относительно прямой у*=х.
[Построение графиков кусочно-заданных функций.
Построение графиков функций, связанных с модулем. Примеры
построения графиков рациональных функций.]
Функции у = [х] и у={х} и их графики.
Функция как соответствие между множествами. Примеры
нечисловых функций.
3. Степени и корни (20—25 ч).
Степень с целым показателем. Стандартный вид числа.
Корень степени п. Число корней степени п из данного
положительного числа. Арифметический корень из
неотрицательного действительного числа. Свойства корней. Освобождение от
иррациональности в знаменателе. Тождественные
преобразования выражений с радикалами.
Степень с дробным показателем и ее свойства.
Преобразования выражений с дробными степенями. Замена переменных как
средство рационализации преобразований.
Функции #=*2, У = х3у у = хп (п—натуральное число), их
свойства и графики. Функции у = Ух, у= у'~~х, у= %г х, их
свойства и графики.
4. Уравнения (15—20 ч).
Уравнение. Область определения уравнения. Равносильность.
Уравнение-следствие. Преобразование уравнений. Потеря и
приобретение корней при преобразованиях уравнений.
Проверка как составная часть решения уравнений.
Примеры решения иррациональных уравнений:
возведением в квадрат, заменой переменных, применением свойств
функций..
Система уравнений. Равносильность. Уравнение-следствие.
Приемы решения систем: подстановка, алгебраическое
сложение. Решение систем уравнений.
Решение текстовых задач.
[Решение систем линейных уравнений с двумя и тремя
неизвестными методом последовательного исключения неизвестных
(метод Гаусса).]
5. Последовательности (10—15 ч). f
[Числовые последовательности. Способы задания числовых
последовательностей: формула общего члена и рекуррентная
формула. Числа Фибоначчи.] Арифметическая и геометрическая
прогрессии. Формулы я-го члена и суммы первых я-членов.
[Нахождение суммы первых п членов. [Нахождение суммы первых
п членов последовательностей квадратов и кубов натуральных
чисел.] Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.
[Понятие о пределе последовательности.]
6. Элементы тригонометрии (25—30 ч).
Измерение углов. Радиан. Радианная мера угла;
114

Синус, косинус, тангенс и котангенс произвольного угла.
Функции синус, косинус, тангенс и котангенс и их свойства.
Тригонометрические тождества sin2a + cos2a= 1, tga =
sin a , cos a
= , ctga= .
cos a sin a
Выражение значений тригонометрических функций по
значению одной из них для заданного угла. Формулы приведения.
Синус, косинус и тангенс суммы и разности двух углов.
Синус, косинус и тангенс двойного угла. Формулы половинного
угла [Преобразование суммы синусов и косинусов в
произведение и произведения в сумму.] Тождественные преобразования
тригонометрических выражений.
7. Резерв времени (30—60 ч).
ГЕОМЕТРИЯ'
(3 ч в неделю, всего— 102 ч)
1. Векторы на плоскости (18—20 ч).
Параллельный перенос. Применение параллельного переноса
к решению задач.
Вектор. Длина и направление вектора. Сложение векторов
и его свойства. Умножение вектора на число и его свойства.
Коллинеарные векторы. Разложение вектора по двум неколли-
неарным векторам. Координаты вектора, суммы векторов,
произведения вектора и числа. Проекция вектора на ось.
Скалярное произведение векторов.
Применение векторов к решению задач.
2. Решение треугольников (12—15 ч).
Теорема косинусов. Теорема синусов. Решение
треугольников.
3. Многоугольники (17—20 ч).
Понятие о выпуклой фигуре. Понятие о многоугольнике.
Правильные многоугольники. Построение правильного
многоугольника. [Примеры групп движений, задаваемых
правильными многоугольниками].
[Понятие о длине кривой.] Длина окружности. Длина дуги
окружности.
Величина центрального угла. Величина вписанного угла.
Величина угла между хордой и касательной. Величина угла с
вершиной внутри и вне круга.
4. Площади фигур (20—25 ч).
Площадь фигуры и ее свойства. Равновеликость и
равносоставленность фигур.
Площадь прямоугольника. Площадь параллелограмма.
Площадь треугольника. Площадь трапеции. Отношения площадей
1 Планирование ориентировано на использование учебника «Геометрия,
7—11» А. В. Погорелова (М: Просвещение, 1990).
8*
115

подобных фигур. Площадь "круга и его частей. Площадь
многоугольника. Площадь правильного многоугольника.
5. Аксиоматическое построение теории (5—7 ч).
Неопределяемые понятия и аксиомы. Доказательство.
Теоремы. Непротиворечивость системы аксиом. Интерпретация.
Аналитическая геометрия как интерпретация геометрии
Евклида.
[Исторические этапы развития геометрии: «Начала»
Евклида, попытки доказательства пятого постулата, создание
геометрии Лобачевского.
Аксиоматика системы натуральных чисел. Доказательство
простейших теорем.]
6. Резерв времени (15—30 ч).
X КЛАСС
АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА1
(5 ч в первом полугодии, 6 ч — во втором, всего—187 ч)
1. Многочлены (27—30 ч)
Преобразование многочленов, разложение на множители.
Формулы сокращенного умножения: квадрат алгебраической
суммы нескольких слагаемых, хп — уп = (х—у) (хп~1 + хп~2у + ...
... -i-fT"1), хп + Уп=(х + У) (хп-{-хп~2у+ ... +#п-1), где п —
нечетное число.
Деление многочлена на многочлен с остатком. [Алгоритм
Евклида для многочленов.] [Схема Горнера.] Корни многочлена.
Теорема Безу.
[Нахождение рациональных корней многочлена с целыми
коэффициентами. Обобщенная теорема Виета.]
[Многочлены от нескольких переменных. Симметрические
многочлены, * основные симметрические многочлены*.]
Преобразования иррациональных выражений, освобождение
от иррациональности в знаменателе.
2. Графики функций (18—20 ч).
Сложная функция. Построение графиков функций
элементарными методами. Преобразования графиков. Графики дробно-
линейных функций, вертикальная и горизонтальная асимптоты.
Графики функций, связанных с модулем. v
Взаимно обратные функции и их графики.
Условие существования обратной функции.
1 Планирование ориентировано на использование учебного пособия
«Алгебра и математический анализ, 9» Н. Я. Виленкииа. О. С.
Ивашева-Мусатова, С. И. Шварцбурда (М.: Просвещение, 1988). При работе по учебному
пособию для массовой школы рекомендуется поменять местами темы
«Производная и ее применение» и «Тригонометрические функции».
116

3. Введение в анализ (25—30 ч).
[Числовые последовательности. Рекуррентные соотношения.
Предел числовой последовательности. Вычисление пределов.
Единственность предела. Ограниченность сходящейся
последовательности. * Существование предела монотонной ограниченной
1 \п
последовательности. Предел последовательности i И 1 *.]
Предел функции на бесконечности и его свойства.
Окрестность точки. Предел функции в точке. Теоремы о
пределах функций. Предел функции при х-+0.
X
[Односторонние пределы. Бесконечные пределы.]
Непрерывность функции в точке и на промежутке.
Свойства непрерывных функций. [Непрерывность сложной
и обратной функций.]
Непрерывность элементарных функций. Теорема о
промежуточном значении функции, непрерывной на отрезке.
4. Производная и ее применение (45—50 ч).
Приращение функции.
Производная. [Дифференциал.] Геометрический и
механический смысл производной. Непрерывность и дифференцируе-
мость функций.
Производная суммы, произведения, частного. Производная
сложной и обратной функций. Производная степенной функции.
Вычисление производных.
Вторая производная; ее механический смысл. Производные
высших порядков. [* Формула Тейлора. Приближенное
вычисление значений элементарных функций. *]
Приложения производной к исследованию функций.
Теорема Лагранжа и ее следствия. Исследования функций на
возрастание и убывание. Достаточные условия экстремума.
[Выпуклость. Точки перегиба.] [Наклонные асимптоты.] Построение
графиков функций. Отыскание наибольшего и наименьшего
значения функции на промежутке (конечном и бесконечном).
Применение производной к приближенным вычислениям.
Использование производной в физических задачах.
5. Тригонометрические функции (36—40 ч).
Измерение углов. Радиан. Радианное измерение углов.
Тригонометрические функции числового аргумента: синус,
косинус, тангенс, котангенс.
Тригонометрические тождества sin2a + cos2ct= 1, tga= —'-—,
cos a
i cos a >fv s^
ctga= ■ и следствия из них. Формулы приведения. Синус,
sin a
косинус и тангенс суммы и разности двух углов. Синус,
косинус и тангенс двойного, тройного и половинного углов.
Преобразования суммы тригонометрических выражений в произведе-
117

ние и произведения в сумму. Тождественные преобразования
тригонометрических выражений.
Свойство периодичности функции. Примеры периодических
функций. Функция Дирихле.
Периодичность тригонометрических функций. Основной
период. Нахождение основного периода сложных функций,
суммы, произведения и частного двух функций.
Свойства и графики тригонометрических функций.
[Непрерывность тригонометрических функций. Графики
гармонических колебаний.]
Производные тригонометрических функций.
Обратные тригонометрические функции. Свойства и
графики обратных тригонометрических функций.
[Преобразования выражений, содержащих обратные
тригонометрические функции.] [Производные обратных
тригонометрических функций.]
Тригонометрические уравнения. Простейшие
тригонометрические уравнения. Виды тригонометрических уравнений.
Основные методы решения тригонометрических уравнений. Отбор
корней. Запись решения. Тригонометрические неравенства.
6. Резерв времени (17—36 ч).
ГЕОМЕТРИЯ '
(3 ч в неделю, всего— 102 ч)
1. Повторение курса планиметрии. Решение задач (10—
12 ч).
2. Аксиомы стереометрии (6—8 ч).
Основные понятия и аксиомы стереометрии. Их связь с
аксиомами планиметрии. Понятие о фигуре в пространстве.
3. Параллельные прямые и плоскости (20—22 ч).
Взаимное расположение двух прямых в пространстве:
пересекающиеся, параллельные, скрещивающиеся прямые.
Взаимное расположение прямой и плоскости:
пересекающиеся, и параллельные прямая и плоскость. Признак
параллельности плоскостей.
Теоремы о параллельности прямых и плоскостей.
Параллельное проектирование и его свойства.
Изображение пространственных фигур на плоскости.
4. Перпендикулярность прямых и плоскостей (22—25 ч).
Перпендикулярность прямых. Перпендикулярность прямой
и плоскости. Признак перпендикулярности прямой и плоскости.
Расстояние от точки до плоскости. Теоремы о зависимостях
между параллельностью и перпендикулярностью прямых и
плоскостей. Расстояние от прямой до параллельной ей плоскости.
1 Планирование ориентировано на учебник «Гсомс:рия, 7—11» Л. В. По-
горелова (М.: Просвещение, 1990).
118

Расстояние между параллельными плоскостями. Теорема о трех
перпендикулярах. Угол между прямой и плоскостью.
Перпендикулярность плоскостей. Расстояние между скрещивающимися
прямыми. [Расстояние между фигурами.]
Ортогональное проектирование на плоскость и его
свойства.
5. Координаты и векторы в пространстве (23—25 ч).
Прямоугольная система координат на плоскости. Формула
расстояния между точками, заданными своими координатами.
Уравнения прямой и окружности.
Прямоугольная система координат в пространстве.
Расстояние между двумя точками. Уравнения прямой, плоскости.
* Расстояние от точки до плоскости в координатах. * [Задание
фигур уравнениями и неравенствами.] Применение координат к
решению задач по стереометрии.
Понятие о преобразовании в пространстве. Движения в
пространстве и их свойства. Центральная симметрия и симметрия
относительно плоскости. Параллельный перенос. Поворот
вокруг оси. Подобие и гомотетия в пространстве. Применение
преобразований к решению стереометрических задач.
Угол между прямыми. Угол между прямой и плоскостью.
Угол между плоскостями.
Векторы в пространстве. Разложение вектора по трем
некомпланарным векторам. Решение аффинных задач с помощью
векторов. Скалярное произведение векторов. Решение
метрических задач с помощью векторов. [Понятие о векторных
пространствах.]
6. Резерв времени (10—21 ч).
ГЕОМЕТРИЯ »
(3 ч в неделю, всего— 102 ч)
1. Повторение курса планиметрии. Решение задач (10—
12 ч).
2. Начала стереометрии (8—11 ч).
Основные понятия и аксиомы стереометрии. Их связь с
аксиомами планиметрии.
Взаимное расположение двух прямых в пространстве:
пересекающиеся, параллельные и скрещивающиеся прямые.
3. Перпендикулярность и параллельность в пространстве
(20—23 ч).
Перпендикулярность прямой и плоскости. Признак
перпендикулярности прямой и плоскости. Теоремы о параллельности
и перпендикулярности прямых и плоскостей.
1 Планирование ориентировано на учебное пособие «Геометрия для 9—
10 классов» А. Д. Александрова, А. Л. Вернера, В. И. Рыжика (М.:
Просвещение. 1988).
119

Взаимное расположение двух плоскостей: пересекающиеся
и параллельные плоскости. Признак параллельности плоскостей-
Теорема о параллельных плоскостях.
Взаимное расположение прямой и плоскости:
пересекающиеся и параллельные прямая и плоскость. Признак
параллельности прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей.
Признаки перпендикулярности плоскостей.
4. Расстояния и углы (16—18 ч).
[Расстояние от точки до фигуры.]< Расстояние от точки до
плоскости. [Расстояние между фигурами.] Теоремы о
зависимости между параллельностью и перпендикулярностью прямых
и плоскостей. Параллельное проектирование и его свойства.
Ортогональное проектирование и его свойства. Изображение
пространственных фигур на плоскости.
Угол между скрещивающимися прямыми. Угол между
прямой и плоскостью. Двугранный угол. Линейный угол
двугранного угла. Угол между плоскостями.
[Многогранные углы. Зависимости между плоскими и
двугранными углами многогранного угла.]
5. Пространственные фигуры и тела (25—28 ч).
Сфера и шар. Части шара (шаровые сегмент, сектор,
пояс). Сечения шара. Касание сферы с плоскостью и прямой.
[Элементы сферической геометрии. * Теоремы синусов и
косинусов для сферического треугольника. *]
[* Элементы теории выпуклых тел. *] _ '.
Тела и поверхности вращения. Осевые сечения и сечения,
перпендикулярные оси. Цилиндр. Сечения цилиндра. Конус.
[Конические сечения и их свойства.]
Понятие о фигуре в пространстве.
6. Резерв времени (10—23 ч).
*
XI КЛАСС
АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА'
(5 ч в неделю, всего— 170 ч)
1. Интеграл. Дифференциальные уравнения (25—30 ч). \
Первообразная и ее свойства. Неопределенный интеграл.
Таблица первообразных. Правила нахождения первообразных*
[Интегрирование по частям. Подстановка.]
Площадь криволинейной трапеции. Определенный интеграл
и его свойства. Формула Ньютона — Лейбница. Приближенное
вычисление определенных интегралов.
1 Планирование ориентировано на учебное пособие «Алгебра и
математический анализ, 11» Н. Я. Виленкина, О. С. Ивашева-Мусатова, С.И.Шварц-
бурда (М.: Просвещение, 1990).
120

Приложения интеграла. Вычисление площадей и объемов
геометрических фигур. [Вычисление длин дуг.] Использование
интеграла в физических задачах.
Дифференциальные уравнения. Примеры задач, приводящих
к дифференциальным уравнениям (гармонические колебания
и др.). Решение простейших дифференциальных уравнений.
[Уравнения с разделяющимися переменными.]
2. Показательная и логарифмическая функции (36—40 ч).
Показательная функция, ее свойства и график.
Определение и свойства логарифмов. Основное
логарифмическое тождество. Формула перехода от одного основного
логарифма к другому. Тождественные преобразования
показательных и логарифмических выражений.
Показательные и логарифмические уравнения, неравенства
и системы; основные виды и методы решения.
Производная и первообразная показательной функции.
Число е. Натуральные логарифмы. [Вычисление пределов,
связанных с числом е.]
Радиоактивный распад. Затухающие колебания.
3. Комплексные числа (18—20 ч).
Развитие понятия числа: натуральные, целые,
рациональные, действительные числа.
Комплексные числа в алгебраической форме.
Арифметические действия с комплексными числами. Сопряженные
комплексные числа.
Решение квадратных уравнений с комплексными
коэффициентами.
Комплексная плоскость. Тригонометрическая форма
комплексного числа. Умножение, деление и возведение в степень
комплексных чисел в тригонометрической форме. Формула Му-
авра. Извлечение корней из комплексных чисел. [Применение
комплексных чисел в тригонометрии.]
Комплексные корни многочлена. * Основная теорема
алгебры. * [Использование комплексных, чисел в геометрии.]
[Показательная форма комплексного числа.]
4. Элементы комбинаторики (10—12 ч).
Метод математической индукции. Доказательство тождеств.
Факториал.
Комбинаторные принципы сложения и умножения. Основные
формулы комбинаторики. Размещения, сочетания и
перестановки (без повторений и с повторениями). [Бином Ньютона.]
[Принцип Дирихле.]
[5. Элементы теории вероятностей и математической
статистики (18—20 ч).
Случайные события. Классическое определение вероятности.
Вычисление вероятностей с помощью формул комбинаторики.
Правило сложения вероятностей. Условные вероятности.
Правило умножения вероятностей. Независимые события. Формула
121

Бернулли. Случайная величина. Математическое ожидание и
дисперсия. Понятие о законе больших чисел Понятие о
нормальном законе распределения.
Генеральная совокупность и выборка. Параметры
генеральной совокупности и их оценка по выборке. Понятие об уровнях
значимости и достоверности. Оценка вероятности события по
частоте. Понятие о проверке статистических гипотез.]
6. Уравнения, неравенства, системы (25—30 ч.)
Уравнение. Равносильные уравнения. Уравнение-следствие.
Общие методы решения уравнений: переход к равносильному
уравнению, переход к уравнению-следствию и проверка корней.
Приемы решения уравнений: разложение на множители,
замена переменной, возведение в степень и др. Иррациональные
уравнения.
Обобщенный метод интервалов для решения неравенств. *
Решение иррациональных неравенств. * [Некоторые классические
неравенства.]
Системы уравнений и неравенств. Основные методы
решения систем уравнений: подстановка, алгебраическое сложение,
введение новых переменных. [Метод Гаусса.] [Задача линейного
программирования.]
Применение графиков к решению уравнений, неравенств,
систем.
Приближенные методы решения уравнений. Метод
последовательных приближений.
Уравнения, неравенства и системы с параметром. Методы
решения.
Уравнения и неравенства, не решаемые стандартными
методами.
7. Резерв времени (18—38 ч).
ГЕОМЕТРИЯ '
(3 ч в неделю, всего— 102 ч)
1. Многогранники (28—30 ч).
Двугранный угол. Линейный угол двугранного угла.
[Многогранные углы Зависимости между плоскими и двугранными
углами многогранных углов.]
Понятие о многограннике. Развертка многогранника.
Линейные и угловые геометрические величины, характеризующие
многогранник. Площади граней, площадь поверхности
многогранника.
Призма, ее элементы. Прямые и правильные призмы; их
изображения. Площади граней и площадь поверхности призмы.
Сечения призм.
1 Планирование ориентировано на учебник «Геометрия, 7—11» А. В. По-
горелова СМ.: Просвещение, 1900).
122

Параллелепипед и его виды. Изображение
параллелепипеда. Площадь поверхности параллелепипеда. Сечения
параллелепипеда.
Пирамида, ее элементы. Правильная пирамида. Тетраэдр.
Площадь поверхности пирамиды. Сечения пирамиды
[Комбинации простых многогранников (призм, пирамид и т. д.).]
[Элементы теории выпуклых тел. * Эйлерова характеристика
многогранника.* Теорема Эйлера (без доказательства).]
Правильные многогранники.
2. Тела вращения (18—20 ч).
Тела и поверхности вращения. Цилиндр и конус. [Конические
сечения и их свойства.] Осевые сечения цилиндра и конуса.
Вписанные и описанные цилиндры и конусы.
Сфера и шар. Сечения шара. Касание сферы с плоскостью
и прямой. Части шара: шаровые сегмент, сектор, пояс.
[Элементы сферической геометрии. * Теоремы синусов и
косинусов для сферического треугольника. *]
Уравнение сферы. [Комбинации тел вращения.] Вписанные и
описанные сферы.
3. Объемы тел (24—26 ч).
Объем, основные свойства объемов. Объемы
многогранников: призм, пирамид. Объемы тел вращения: цилиндров,
конусов, шаров, частей шара.
4. Площади поверхностей тел вращения (8—10 ч).
Площадь сферы. Площади поверхностей цилиндра и конуса.
5. Резерв времени (16—24 ч).
ГЕОМЕТРИЯ »
(3 ч в неделю, всего—102 ч)
1. Многогранники (22—25 ч).
Понятие о многограннике. Сечения многогранников.
Развертка многогранника.
Призма. Прямая и правильная призмы. Параллелепипед, его
виды.
Пирамида, правильная пирамида. Тетраэдр. [* Эйлерова
характеристика многогранника. * Теорема Эйлера (без
доказательства).]
Правильные многогранники.
2. Векторы и координаты (20—23 ч).
Векторы в пространстве. Разложение вектора по трем
некомпланарным векторам. Решение аффинных задач с помощью
векторов. Скалярное произведение векторов в пространстве.
Решение метрических задач с помощью векторов.
1 Планирование ориентировано на учебное пособие «Геометрия для 9—
10 классов» Л. Д. Александрова, А. Л. Вернера, В. И. Рыжика (М.:
Просвещение, 1988).
123

Прямоугольная система координат на плоскости Формула
расстояния между точками, заданными своими координатами.
Уравнения прямой и окружности.
Прямоугольная система координат в пространстве.
Расстояние между двумя точками. Уравнение прямой, плоскости,
сферы. * Расстояние от точки до плоскости в координатах. *
Задание фигур уравнениями и неравенствами. Применение
координат к решению задач по стереометрии.
[Понятие о векторных и метрических пространствах.]
3. Преобразования пространства (10—12 ч).
Понятие о преобразовании в пространстве.
Движения пространства и их свойства. Параллельный
перенос, центральная симметрия и симметрия относительно
плоскости. Поворот вокруг оси.
[* Группы преобразований, определяемые правильными
многогранниками. *]
Гомотетия и подобие в пространстве.
Применение преобразований к решению задач.
4. Геометрические величины, характеризующие
пространственные фигуры (25—27 ч).
Линейные и угловые величины, характеризующие
многогранники.
Объем, основные свойства объемов. Объемы многогранников:
параллелепипеда, призмы, пирамиды. Объемы тел вращения:
цилиндра, конуса, шара.
Понятие о площади поверхности. Площади поверхностей
многогранников. Вычисление одной геометрической величины
правильной пирамиды по двум другим независимым величинам.
Площади поверхностей тел вращения: цилиндра, конуса, шара.
[Элементы сферической геометрии. * Теоремы синусов и
косинусов для сферического треугольника. *]
5. Резерв времени (15—25 ч).

ЛИТЕРАТУРА ДЛЯ УЧИТЕЛЯ
Нурк Э. Р., Тельгмаа А. Э. Математика: Учебник для 4 класса
средней школы.— М.: Просвещение, 1988.
Нурк Э. Р., Тельгмаа А. Э. Математика: Учебник для 6 класса
средней школы.— М.: Просвещение, 1989.
Математика: Учебник для 5 класса средней школы/Н. Я. Виленкин,
А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд, В. И. Жохов.—М.: Просвещение, 1990.
Математика: Учебник для 6 класса средней школы/Н. Я. Виленкин,
А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд, В. И. Жохов.— М.: Просвещение, 1991.
Баранова И. В., Борчугова 3. Г. Математика: Пробный учебник
для 4 класса средней школы.— М.: Просвещение, 1984.
Баранова И. В., Борчугова 3. Г. Математика: Пробный учебник
для 5 класса средней школы.— М.: Просвещение, 1985.
Алгебра: Учебник для 7 класса средней школы/Ю. Н. Макарычев,
Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Под ред. С. А. Теляковско-
го.—М.: Просвещение, 1989.
Алгебра: Учебник для 8 класса средней школы/Ю. Н. Макарычев,
Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Под ред. С. А. Теляковско-
го.— М.: Просвещение, 1989.
Алгебра: Учебник для 9 класса средней школы/Ю. Н. Макарычев,
Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Под ред. С. А. Теляковско-
го.— М.: Просвещение, 1990.
Алгебра: Учебник для 7 класса средней школы/Ш. А. Алимов, Ю. М. Ко-
лягин, Ю. В. Сидоров и др.— М.: Просвещение, 1991.
Алгебра: Учебник для 8 класса средней школы/Ш. А. Алимов, Ю. М. Ко-
лягин, Ю. В. Сидоров и др.—М.: Просвещение, 1991.
Алгебра: Учебник для 9 класса средней школы/Ш. А. Алимов, Ю. М. Ко-
лягин, Ю. В. Сидоров и др.—М.: Просвещение, 1992.
Никольский С. М., Потапов М. К-, Решетников Н. Н.
Алгебра: Пробный учебник для 6 класса средней школы.— М.: Просвещение,
1985.
Никольский С. М., Потапов М. К-, Решетников Н. Н.
Алгебра: Пробный учебник для 7 класса средней школы.— М.: Просвещение,
1985.
Никольский С. М., Потапов М. К-, Решетников Н. Н.
Алгебра: Пробный учебник для 8 класса средней школы.— М.: Просвещение,
1986.
Фаддеев Д. К. Алгебра: Пробный учебник для 6—8 классов средней
школы.— М.: Просвещение, 1983.
Алгебра и начала анализа:Учебник для 10—11 классов средней школы/
A. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.— М.:
Просвещение, 1990.
Алгебра и начала анализа: Учебник для 10—11 классов средней
школы/Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров и др.— М.: Просвещение,
1992.
Башмаков М. И. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10—11
классов средней школы.— М.: Просвещение, 1991.
Геометрия: Учебник для 7—9 классов средней школы/Л. С. Атанасян,
B. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев.— М.: Просвещение, 1990.
Геометрия: Пробный учебник для 9—10 классов средней школы/
Л. С. Атанасян, В. Ф: Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. П. Позняк.—3-е изд.—
М.: Просвещение, 1989.
Александров А. Д:, Вернер А. Л., Рыжик В. И. Геометрия:
Пробный учебник для 6 класса средней школы.—М.: Просвещение, 1984.
Александров А. Д., Вернер А. Л., Рыжик В. И. Геометрия:
Пробный учебник для 7 класса средней школы.— М.: Просвещение, 1985.
Александров А. Д., Вернер А. Л., Рыжик В. И. Геометрия:
Пробный учебник для 8 класса средней школы.— М.: Просвещение, 1986.
125

Погорелов А. В. Геометрия: Учебник для 7—11 классов средней
школы.—М.: Просвещение, 1990.
Киселев А. П. Элементарная геометрия: Книга для учителя.— М.:
Просвещение, 1980.
Геометрия: Учебное пособие для 6—8 классов средней школы/Под ред.
A. Н. Колмогорова.—М.: Просвещение, 1989.
Виленкин Н. Я., Ивашев-Мусатов О. С, Шварцбурд СИ.
Алгебра и математический анализ для 9 класса: Учебное пособие для
учащихся школ и классов с углубленным изучением математики.— М.:
Просвещение, 1988.
Виленкин Н. Я., Ивашев-Мусатов О. С, Шварцбурд СИ.
Алгебра и математический анализ для 11 класса: Учебное пособие для
учащихся школ и классов с углубленным изучением математики.— М.:
Просвещение, 1990.
Виленкин Н. Я., Мордкович А. Г., Смышляев В. К. Алгебра
и начала анализа: Пробный учебник для 9—10 классов средней школы.—
М.: Просвещение, 1981.
Александров А. Д., В ер н ер А. Л., Рыжик В. И. Геометрия
для 9—10 классов: Учебное пособие для учащихся школ и классов с
углубленным изучением математики.—М.: Просвещение, 1988.
Задачи по математике для 4—5 классов/И. В. Баранова, 3. Г. Борчу-
гова, И. Л. Стефанова.—М.: Просвещение, 1988.
Задачи по алгебре для 6—8 классов/Д. К. Фаддеев, Н. Н. Лященко,
М. С. Никулин. И. Ф. Соколовский.—М.: Просвещение, 1988.
Сборник задач по геометрии для 6—8 классов/В. А. Гусев, Г. Г. Мас-
лова, 3. А. Скопец, Г. С. Черкасов.—М.: Просвещение, 1988.
Задачи по геометрии для 7—11 классов средней школы/Б. Г. Зив,
B. М. Мейлер, А. Д. Баханский.— М.: Просвещение, 1991.
Прасолов В. В. Задачи по планиметрии.—М.: Наука, 1985.—Ч. I.
Прасолов В. В. Задачи по планиметрии.— М.: Наука, 1986.— Ч. II.
Шарыгин И. Ф. Задачи по геометрии: Планиметрия.— М.: Наука,
1986.
Шарыгин И. Ф. Сборник задач по геометрии: Стереометрия.— М.:
Наука, 1987.
Сборник задач по алгебре и началам анализа: Для 9 и 10 классов:
Пособие для учителей/Б. М. Ивлев, А. Н. Земляков, Ф. В. Томашевич, Ю. В. Ка-
линиченко.— М.: Просвещение, 1978.
С а а к я н С. М., Гольдман А. М., Денисов Д. М. Задачи по
алгебре и началам анализа для 10—11 классов.— М.: Просвещение, 1990.
Ивлев Б. М., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.,
Шварцбурд С. И. Задачи повышенной трудности по алгебре и началам анализа:
Учебное пособие для 10—11 классов.— М.: Просвещение, 1990.
Методика преподавания математики в средней школе: Общая
методика/В. А. Оганесян, Ю. М. Колягин, Г. Л. Луканкин, В. Я. Санинский.— М.:
Просвещение, 1980.
Методика преподавания математики в средней школе: Общая методи-
ка/Сост. Р. С Черкасов, А. А. Столяр.— М.: Просвещение, 1985.
Болтянский В. Г. Элементарная геометрия: Пособие для учителя.—
М.: Просвещение, 1985.
Алгебра в 6—8 классах: Пособие для учителя/Сост. Ю. Н. Макарычев,
Н. Г. Миндюк.—М.: Просвещение, 1988.
Алгебра и начала анализа в 9—10 классах: Пособие для учителя/
Л. О. Денищева, Ю. Р. Дудинцев, Б. М. Ивлев и др.— М.: Просвещение, 1988.
Земляков А. Н. Геометрия в 11 классе.— М.: Просвещение, 1991.
Планирование обязательных результатов обучения математике/Сост.
В. В. Фирсов.— М.: Просвещение, 1989.
Галицкий М. Л., Мошкович М. Н., Шварцбурд С. И.
Углубленное изучение курса алгебры и начал анализа.— М.: Просвещение, 1991.
Избранные вопросы математики: 7—8 классы: Факультативный курс/
Под ред. В. В. Фирсова.— М.: Просвещение, 1978.
126

Избранные вопросы математики: 9 класс: Факультативный курс/Под
ред. В. В. Фирсова.— М.: Просвещение, 1980.
Избранные вопросы математики: 10 класс: Факультативный курс/Под
ред. В. В. Фирсова.—М.: Просвещение, 1980.
Факультативный курс по математике: Учебное пособие для 7—9
классов средней школы/Сост. И. Л. Никольская.— М.: Просвещение, 1991.
Шарыгин И Ф. Факультативный курс по математике: Решение
задач: Учебное пособие для 10 класса средней школы.— М.: Просвещение, 1989.
Шарыгин И. Ф., Голубев В. И. Факультативный курс по
математике: Решение задач: Учебное пособие для 11 класса средней школы.—
М.: Просвещение, 1991.
Лютикас В. С. Факультативный курс по математике: Теория
вероятностей.— М.: Просвещение, 1991.
Белл Э. Т. Творцы математики.— М.: Просвещение, 1979.
Глейзер Г. И. История математики в школе: IV—VI классы.— М.:
Просвещение, 1981.
Глейзер Г. И. История математики в школе. VII—VIII классы.— М.:
Просвещение, 1981.
Глейзер Г. И. История математики в школе: IX—X классы.— М.:
Просвещение, 1983.
Внеклассная работа по математике в 4—5 классах/Под ред. С. И.
Шварцбурда.— М.: Просвещение, 1974.
Гусев В. А., Орлов И. А., Розенталь А. Л. Внеклассная работа
по математике в 6—8 классах/Под ред. С. И. Шварцбурда.— М.:
Просвещение, 1977.
К о р д е м с к и й Б. А. На уроках и вечерах математики: Пособие для
учителей.— М.: Просвещение, 1981.
Кордемский Б. А. Увлечь школьников математикой: Материал для
классных и внеклассных занятий.— М.: Просвещение, 1981.
Никольская И. Л., Семенов Е. Е. Учимся рассуждать и
доказывать: Книга для учащихся 6—10 классов средней школы.— М.:
Просвещение, 1989.
Семенов Е. Е. Изучаем геометрию: Книга для учащихся 6—8
классов средней школы:—М.: Просвещение, 1987.
Антоновский М. Я., Левитас Г. Г. Учебное оборудование на
уроках математики: Пособие для учителей.— М.: Просвещение, 1980.
Гусев В. А., Мордкович А. В. Математика: Справочные
материалы: Книга для учащихся.— М.: Просвещение, 1990.
Энциклопедический словарь юного математика: Для среднего и
старшего школьного возраста.— М.: Педагогика, 1985.

Учебное издание
Программы средней
общеобразовательной школы
МАТЕМАТИКА
Зав. редакцией Т. А. Бурмистрова
Редактор Г. А. Шалимова
Художественный редактор Ю. В. Пахомов
Технический редактор И. Е. Хилобок
Корректор Я. С. Соболева
Н/К
Сдано в набор 12.07.91. Подписано к печати 13.11.91. Формат
60x907i6- Бумага газетная. Гарнитура Литературная. Печать
высокая. Усл. печ. л. 8,0. Усл. кр.-отт. 8,25. Уч.-изд. л. 8,43.
Тираж 380 150 экз. Заказ № 1481. Цена 45 к.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Просвещение»
Министерства печати и массовой информации РСФСР. 129846,
Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41
Областная ордена «Знак Почета» типография им. Смирнова
Смоленского облуправления издательств, полиграфии и книжной
торговли. 214000, г. Смоленск, проспект им. Ю. Гагарина, 2.