/
Текст
АКАДЕМИЯ НАУК СССР
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЦЕНТР
А.И.Толстых
КОМПАКТНЫЕ
РАЗНОСТНЫЕ
СХЕМЫ
И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ
В ЗАДАЧАХ
АЭРОГИДРОДИНАМИКИ
Ответственный редактор
академик О.М. БЕЛОЦЕРКОВСКИЙ
МОСКВА "НАУКА"
1990
УДК 518:517.944
Компактные разностные схемы и их применение в задачах аэрогидро-
аэрогидродинамики / А.И. Толстых. - М.: Наука, 1990. - 230 с. - ISBN 5-02-006701-6
Монография посвящена описанию и исследованию нового класса разностных
аппроксимаций - компактных (трехточечных) аппроксимаций третьего и более вы-
высокого порядков с разностями против потока. Рассматриваются эффективные чис-
численные алгоритмы для уравнений и систем, описывающих конвективно-диффузион-
конвективно-диффузионные процессы. Приводятся примеры численного решения задач аэрогидродинамики.
Для специалистов в области прикладной математики и численных методов сплош-
сплошной среды.
Ил. 37. Табл. 7. Библиогр. 114 назв.
Compact difference schemes and their applications to fluid dynamics prob-
problems / A.I. Tolstykh. - ML: Nauka, 1990. - 230 p. - ISBN 5-02-006701-6.
The book contains the first complete description and investigation of the new family of
difference approximations, namely compact (three-point) the third and higher-than third
order schemes with upwind differencing. The effective numerical algorithms for equations
and systems of equations describing convective-diffusive processes are considered. The diffe-
difference schemes for fluid dynamics and examples of numerical simulation of compressible and
incompressible flows are presented.
Readership: scientists interested in numerical analysis and computational fluid dynamics,
applied scientists.
II. 37.Tabl. 7. Bibliogr. 114.
Рецензенты: В.В. Щенников, А.С. Холодов
Редактор В.К. Белова
Т ~~042@2)~ 90— 259~90 1 полугодие © Издательство "Наука", 1990
ISBN 5-02-006701-6
ПРЕДИСЛОВИЕ
Целью этой книги является систематическое изложение теоретических
основ компактных аппроксимаций с разностями против потока, а также
описание и исследование основанных на них численных алгоритмов для
задач механики жидкости и газа. Область применения таких алгоритмов
может быть достаточно широкой и включать в себя различные явления,
в которых присутствуют конвективные и диффузионные процессы
(в частности, с малыми коэффициентами диффузии).
Предложенные автором в начале 70-х годов компактные аппроксима-
аппроксимации третьего порядка в дальнейшем систематически использовались им
и его коллегами для численного решения уравнений Навье Стокса сжимае-
сжимаемого газа. В последующие годы они стали применяться также для числен-
численного моделирования течений несжимаемой жидкости, описываемых
различными формами уравнений гидродинамики. Одновременно с созда-
созданием и применением численных алгоритмов происходил процесс углубле-
углубления и развития теории компактных разностных схем, а также понимания
их свойств и роли с точки зрения практических приложений. В настоящее
время этот процесс продолжается, причем некоторые новые теоретические
результаты были получены в процессе работы над этой книгой.
Значительное влияние на формирование и развитие излагаемых здесь
идей оказал А.Л. Дородницын, который был научным руководителем
автора в бытность его студентом, аспирантом, а затем научным сотруд-
сотрудником. Ему автор приносит глубокую благодарность.
Автор благодарит также О.М. Белоцерковского за многолетнее внима-
внимание к этой работе и ее одобрение.
Большую роль в развитии и применении численных алгоритмов сыграли
А.II. Быркин, А.Д. Савельев, В.Ю. Дзюба, А.Ю. Даниленко, В.И. Костин,
Е.Н. Чигерев, А.П. Мазуров.
Весьма полезными были обсуждения различных аспектов построения
разностных схем с В.В. Щенниковым, А.И. Панариным и А.С. Холодовым;
идеи последнего о сеточно-характеристическом подходе нашли отражение
в этой книге.
Всем им автор выражает благодарность.
ВВЕДЕНИЕ
I. О РАЗНОСТНЫХ МЕТОДАХ ПОВЫШЕННОЙ ТОЧНОСТИ
В АЭРОДИНАМИКЕ
Многообразие задач механики жидкости и газа делает желательным кон-
конструирование численных алгоритмов, ориентированных на определенный
класс (или классы) задач. Важную с практической точки зрения группу
составляют задачи о течениях вязких жидкостей и газов, описываемых
уравнениями Навье-Стокса или Рейнольдса, дополненными полуэмпири-
полуэмпирическими моделями турбулентности, а также теми или иными упрощениями
этих уравнений.
Специфический характер таких течений, характеризуемый возможностью
образования тонких вязких слоев, зон их взаимодействия, отрывов потока
и т.д., предъявляет в ряде случаев достаточно жесткие требования к числен-
численным методам. Многие из них описаны в [1,2].
Прежде всего при необходимости использования малых пространствен-
пространственных шагов сетки, возникающей, в частности, в случае больших чисел Рей-
Рейнольдса, становятся желательными достаточно устойчивые неявные раз-
разностные схемы, позволяющие избежать введения неоправданно малых
временных шагов (или соответствующих итерационных параметров),
характерных для явных схем.
Хотя возможность параллельных вычислений во многом компенсирует
скромный запас устойчивости явных схем, конкурентоспособность послед-
последних в случае решения многих практически важных задач о течениях вязкой
среды остается далеко не очевидной. Это впечатление усиливает и тот
факт, что неявные схемы в той или иной степени также поддаются распа-
распараллеливанию.
Если остановиться на концепции неявных схем, то другим желаемым
свойством алгоритма является экономичная разрешимость разностных
уравнений, когда число арифметических операций, приходящихся на вычис-
вычислительный цикл, пропорционально числу узлов сетки. Таким свойством
обладают, в частности, схемы, шаблон которых в каждом пространствен-
пространственном направлении содержит не более трех узлов.
В случае течений с большими градиентами, часто представляющем наи-
наибольший интерес, особо важную роль играет свойство алгоритма не иска-
искажать получаемые в процессе счета сеточные решения "паразитными" (схем-
(схемными) осцилляциями. Если это условие не выполняется, то процесс вы-
вычислений может быть либо сильно осложнен, либо вообще невозможен.
Наконец, порядок аппроксимации конвективных членов в уравнениях,
описывающих течение с вязкостью, должен превышать первый порядок;
в противном случае либо существует опасность искажения решений из-за
схемной вязкости, либо пространственные шаги сетки следует выбирать
неразумно малыми.
Перечисленные требования к алгоритму для многих схем являются про-
противоречивыми. Например, схемы с центральными разностями без принятия
соответствующих мер являются сильно немонотонными при достаточно
больших значениях сеточного числа Рейнольдса, схемы второго порядка
с односторонними разностями не являются трехточечными и т.д.
Класс разностных схем, описываемых в этой книге, практически обла-
обладает всеми указанными выше свойствами. Поскольку порядок этих схем
выше второго, их можно отнести к категории схем повышенной точности.
Для уточнения этого понятия целесообразно напомнить определения аппро-
аппроксимации и устойчивости схем, а также теорему о связи между ними и
сходимостью в том виде, как это представлено в [3]. Пусть имеется задача
Lu=f, u<EU, f&F, @.1)
в которой и и / — соответственно искомая функция и известная правая
часть из пространств U и F, a L — некоторый дифференциальный оператор.
Пусть, далее, на некоторой сетке сой построен разностный аналог @.1)
Алий=/Й, fh^Fh, uh^Uh, @.2)
где индексом я отмечены сеточные функции, разностный оператор, а также
пространства, к которым принадлежат //, и uh.
Разностная схема @.2) аппроксимирует исходную задачу @.1) с поряд-
порядком аппроксимации к, если имеет место неравенство
\\Lh[u]H-fh\\Ph<Chk, @.3)
в котором я — некоторый характерный шаг сетки, [ • ] й — оператор проек-
проектирования пространства {/на пространство Uh, а С — некоторая постоянная.
Если при достаточно малом значении я решения задачи @.2) и задачи
существуют и удовлетворяют неравенству
11«Й-^1Ч<С,115Й|Ц, @.4)
где С\ = const, то схема @.2) называется устойчивой.
Из @.3) и @.4) немедленно следует сходимость ин к [u]h при я -*¦ 0
[3], причем
\\[u]h-uh\\<ClChk. @.5)
Неравенство @.5) является весьма важным для оценки точности мето-
метода; оно показывает, что отличие приближенного решения от точного зави-
зависит не только от величин я и к, но и от постоянных величин С, и С.
Для точности разностных решений при фиксированном шаге я или для
увеличения шага я при фиксированной точности естественно использовать
схемы высокого порядка аппроксимации. Однако для реального h увеличе-
увеличение к необязательно уменьшит правую часть @.5), поскольку константа С
сама может возрастать с ростом к как величина, ограничивающая высшие
производные, входящие в погрешность аппроксимации. Например, для
двух схем порядка ki и кг {к2 > &i) с константами С = С^1) и С =
может оказаться, что при некотором значении h
CA)hk
Такая ситуация, в частности, характерна для экспоненциального изменения
решения е~х^е при е -^ 1 и может иметь место в случае течений с малой вяз-
вязкостью. Приведенные рассуждения показывают, что схема высокого поряд-
порядка может действительно стать схемой повышенной точности, если констан-
константа С не будет существенно возрастать с ростом к. К этому можно прибли-
приблизиться, в частности, если произвести такую замену независимых перемен-
переменных, при которой области с малыми характерными размерами "растяги-
"растягиваются", решение не претерпевает резких изменений в направлении новых
координат и его высшие производные не возрастают (или не сильно воз-
возрастают) с увеличением своего порядка. Если в разумно преобразованную
область ввести разностную сетку с постоянными шагами, то можно ожи-
ожидать, что в физических координатах зонам с малыми характерными раз-
размерами будут соответствовать малые шаги сетки, а неравенство @.6),
в котором под И понимаются локальные значения этих шагов, будет иметь
противоположный знак.
Процедура "растягивающих" преобразований, часто применяемая в вы-
вычислительной практике, по существу равнозначна введению сеток с пере-
переменными шагами (неравномерных сеток). Однако с точки зрения исполь-
использования аппроксимаций высокого порядка она предпочтительней и будет
предполагаться везде в дальнейшем.
Применение растяжения областей с малыми размерами имеет простой
физический смысл: оно обеспечивает размещение в этих областях по край-
крайней мере нескольких узлов и тем самым желательную разрешающую спо-
способность метода. Это особенно важно при численном исследовании течений
в случае достаточно больших значений числа Рейнольдса.
В задачах о течениях вязких жидкостей и газов основой для построения
преобразования координат, растягивающего области типа пограничных
слоев, ударных волн и т.д., может стать общая априорная информация
о характере изучаемого течения. Зная, например, приблизительную толщину
и расположение пограничных слоев, нетрудно ввести фиксированную за-
заранее функцию физической координаты, поперечной к пограничному слою,
осуществляемую требуемое растяжение. Такой прием получил широкое
распространение в расчетной практике.
Вместе с тем существуют ситуации, когда точное расположение и разме-
размеры областей с малыми характерными размерами заранее неизвестны. При-
Примером могут служить оторвавшиеся от поверхности сдвиговые слои и удар-
ударные волны. Кроме того, в фиксированных заранее преобразованиях трудно
учесть изменение размеров растягиваемых областей. В связи с этим в не-
некоторых случаях представляется разумным строить преобразование, кото-
которое само "приспосабливалось" бы (адаптировалось) к получаемому ре-
решению.
Существует несколько способов построения адаптирующихся сеток
[4-9]. Не претендуя на полноту изложения, остановимся лишь на двух
из них — методе преобразования координат, зависящего от решения, по-
поскольку он, по-видимому, был первым опытом применения таких сеток
б
[4—6] и использовался при получении приводимых ниже результатов,
а также методе [7, 8], основанном на вариационном принципе и имеющем
общий характер. Помимо адаптации сеток к областям с малыми характер-
характерными размерами, часто необходимой оказывается и их адаптация к слож-
сложной форме границ расчетных ооластей (иногда меняющихся с течением
времени). Вопросу построения таких сеток посвящено много работ
[10—13], здесь же он не рассматривается.
2. НЕКОТОРЫЕ СПОСОБЫ ПОСТРОЕНИЯ СЕТОК,
АДАПТИРУЮЩИХСЯ К РЕШЕНИЯМ
Применение преобразования координат, зависящего от решения. Рас-
Рассмотрим принцип построения автоматически сгущающихся сеток на при-
примере решения задачи о течениях вязких жидкостей и газов. Пусть в поле
течения в случае достаточно больших чисел Рейнольдса имеются области
типа пограничных слоев или ударных волн (вязкие слои), в которых ка-
какая-либо компонента скорости претерпевает быстрые изменения. Будем
говорить, что в этом случае скорость является признаком растяжения.
Рассматривая для простоты двумерный случай, введем вместо одной
из выбранных координат (s, n), например вместо п, новую независимую
переменную [4-6]
t = S(tt,v,s,n), @.6)
где и, v (соответственно s, и) — компоненты скорости.
Пусть преобразование @.6) удовлетворяет следующим свойствам:
а) функция | при фиксированном значении s быстро меняется в тех же
областях, что и хотя бы одна из функций (растягивающее свойство);
б) выполняется условие 9|(w(s, n), v(s, и), s, п)\Ъп = х > 0 (условие
взаимной однозначности).
Если функция, удовлетворяющая этим условиям, построена, то вязкие
слои с толщиной, стремящейся к нулю при числе Рейнольдса Re ->¦ °°, ото-
отображаются по области в плоскости (s, ?), имеющей характерные размеры
0A). Это следует из того, что в этих слоях изменение переменной ?(и),
повторяя изменение какой-либо компоненты скорости, имеет поря-
порядок 0A).
Введя в плоскости (х, if) разностную сетку с фиксированными шагами,
получим, что, сколь бы велико ни было число Рейнольдса, в растягиваемые
вязкие слои попадает фиксированное число узлов. Осуществляемое таким
образом сгущение узлов происходит автоматически в процессе определения
функции u(s, и) и v(s, я), а не задается заранее. Поэтому априорной инфор-
информации о фактических размерах и положении вязких слоев не требуется.
Остановимся на функции ? [6]. Для выполнения условия а) можно ис-
использовать преобразование ? = %{z, s, п), где z = у/и2 + v2'. Действительно,
функция и + v2 всегда быстро меняется в вязких слоях и поэтому может
служить признаком растяжения. Для выполнения условия б) может быть
использована самая общая информация о физической картине течения.
Например, если положение и размеры вязкого слоя заранее не известны,
но известно, что изменение функции z при s = const внутри лого слоя
монотонно, то достаточно использовать простейшую линейную зависи-
мость от 7 и п вида
% = az +bn +с, @.7)
где а, Ъ и с — некоторые константы. Так как Ъ%\Ъп = adz/дп + ft, то выбо-
выбором коэффициента 6 = 0A) всегда можно добиться положительности этой
производной на интервале возможной немонотонности функции z{n) вне
вязкого слоя, где | Ъг/Ъп\ = 0A).
Преобразование @.7) пригодно для многих представляющих интерес
задач о вязких течениях. Более того, иногда при разумно выбранной систе-
системе координат (s, n) вместо z в @.7) достаточно использовать какую-либо
одну компоненту скорости, например м, тогда функция ? будет иметь вид
$ = аи+Ьп+с. @.8)
В случае а = I, b = с = 0 преобразование @.8) совпадает с преобразова-
преобразованием Крокко в теории пограничного слоя.
Можно предусмотреть также случаи, когда об исследуемом течении
вообще ничего не известно. В [6] показано, что подходящим преобразова-
преобразованием является функция вида
i = ai\bz/bn\dn +bn +c, @.9)
совпадающая с @.7) на каждом участке монотонности функции z{n).
При практической реализации @.9) можно выделять участки монотон-
монотонности решения z(n), получаемого на каждом этапе вычислений (на каж-
каждом временном шаге или итерации), после чего записывать для этих участ-
участков преобразование @.7) со своими константами а, Ъ и с.
Построение адаптирующихся сеток на основе вариационного принципа.
В [7, 8] был сформулирован и применен общий вариационный принцип
построения сеток, позволяющий управлять такими их свойствами, как
отклонение от лагранжевых координат, деформация и сгущение узлов.
Следуя этим работам и ограничиваясь сгущающими преобразованиями,
рассмотрим отображения q( = ql(x1,x2,t), где xt — физические координаты
(/ = 1,2). Построим функционал вида
F[Q\, Яг] = ff'&Iadxldx2, @.10)
D
где D - расчетная область, / = (dxi/dqi)(dx2ldq2) - (dx1/dq2)(dx2ldqi),
Ф — некоторая известная функция координат и искомых функций, управ-
управляющая сгущением координатных линий. Согласно [7—9] среди отобра-
отображений qj4 удовлетворяющих граничным условиям на D, требуется найти
такое, которое доставляет минимум функционалу @.10).
Уравнения Эйлера для этой задачи можно преобразовать к виду
Э / 1 dq-\
' )=0, /=1,2,
ок,- \ Ф OXj /
или, дифференцируя но новым переменным, к виду
Ьх' \
) =0, /=1,2, @.11)
qk \ bqn /
где gkn — контравариантные компоненты метрического тензора преобра-
преобразования х{ =xj(qi,q2), /=1,2.
8
1
ф
bq
~Ъх
= const,
i
ф=(
\
/
e +
Ъи
Ъх
В качестве управляющей функции Ф можно выбрать, например,
функцию
Ф = (е +Igrad иГ)*3,
где е, а, /3 - положительные константы, и - какая-либо искомая функция.
Смысл введения функции Ф особенно ясен в случае одномерного преобра-
преобразования q (х). Пусть, например, требуется растянуть области, где производ-
производные Ъи/Ъх велики. Тогда запишем @.11) в виде
@.12)
Из @.12) следует, что производные bq/Ъх велики в тех областях, где ве-
велики значения |Эм/Эл;|, но это и означает растяжение этих областей преоб-
преобразованием q (x).
Интерпретацию выбора функций Ф в случае двумерных преобразований
<7i(*i ,*г)и q2(x,,x2) можно найти в [9].
Пусть в @.12) а = /3 = 1, тогда после интегрирования получаем
q = /| Ъи/Ъх\ dx + ex + с.
Но это фактически и есть преобразование @.9), полученное из эвристиче-
эвристических соображений. Для практической реализации автоматического сгуще-
сгущения узлов сетки, задаваемого @.12), можно записать эволюционное урав-
уравнение вида [8]
Ъх _ Ъ
Ъ1 Ъq
Ъх
¦ej^-l- @-13)
Решая на каждом временном слое основной схемы уравнение @.13) до
установления, найдем значения координаты х, соответствующие этому
временному слою. Затем, используя формулы численного дифференциро-
дифференцирования, определим производные Ъх/bq, входящие в преобразованную систе-
систему. Некоторые примеры применения @.13) приведены в [8].
3. ПРИЕМЫ ПОСТРОЕНИЯ СХЕМ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА
Большая точность схем высокого порядка аппроксимации, достигаемая
на гладких и плавно меняющихся решениях исходной задачи, стимулиро-
стимулировала разработку схем, порядок которых больше двух. Некоторые методы
построения таких схем можно условно классифицировать следующим
образом: использование многоточечных шаблонов; использование диффе-
дифференциальных следствий исходных уравнений; применение компактных
аппроксимаций.
Вместе с тем, понимая процесс повышения точности разностных реше-
решений в более широком смысле, следует выделить эффективный метод,
использующий комбинации сеточных функций, полученных на разных сет-
сетках (метод Ричардсона); подробнее его исследование изложено в [14].
Можно отметить также метод, основанный на формировании комбинаций
решении, полученных при помощи некоторых базисных схем однопарамет-
рического семейства (метод параметрической коррекции [15]).
9
Имея в виду, что подобные подходы представляют самостоятельный
интерес и в принципе могут сочетаться с различными разностными схе-
схемами, ограничимся вопросами конструирования аппроксимаций высо-
высокого порядка дифференциальных операторов, коротко описав концепции,
положенные в основу перечисленных выше направлений.
Схемы с многоточечными шаблонами. Наиболее прямолинейный путь
введения аппроксимаций высокого порядка состоит в использовании мно-
многоточечных формул численного дифференцирования. Однако в общем виде
он не является эффективным, поскольку в случае неявных схем возникают
проблемы, связанные с экономичным решением разностных уравнений,
а в случае явных схем — проблемы их устойчивости. К этому следует доба-
добавить также увеличение количества паразитных решений разностных уравне-
уравнений, возникающее из-за многоточечное™ шаблона и приводящее к возмож-
возможности катастрофических проявлений схемной немонотонности.
Вместе с тем разумное использование многоточечного шаблона позво-
позволило создать целый ряд удачных явлений схем высокого порядка (третье-
(третьего или четвертого) для уравнений гиперболического типа, и в частности
для уравнений Эйлера невязкого газа [16—19]. Все они могут быть объеди-
объединены в многопараметрическое семейство схем, основанных на идеях метода
Рунге—Кутта. Можно отметить также схему третьего порядка [19], совпа-
совпадающую в линейном случае со схемой максимального порядка на четырех-
четырехточечном шаблоне [20].
Весьма общим методом построения схем для заданного многоточечного
шаблона является запись их в виде суммы значений искомой функции
в узлах этого шаблона, умноженных на неизвестные коэффициенты, с даль-
дальнейшим определением последних из условия обнуления погрешности
аппроксимации вплоть до желаемого порядка (см., например, [3]). Пре-
Преимущество такого подхода состоит в том, что можно оставить один или
несколько коэффициентов в качестве свободных параметров, управляю-
управляющих теми или иными свойствами схемы [21 ].
Следует иметь в виду, что в случае многоточечных шаблонов требуется
нестандартная запись схемы в приграничных узлах, что в некоторых слу-
случаях может породить дополнительные проблемы. Использование много-
многоточечного шаблона может стать весьма эффективным при построении не-
нелинейных схем с обратной связью (например, с адаптирующимися шабло-
шаблонами [22]).
Использование дифференциальных следствий исходных уравнений.
Существенным моментом при построении схем высокого порядка может
стать тот факт, что сходимость разностного решения к точному для устой-
устойчивого алгоритма обеспечивается аппроксимацией на точном решении и не
требует аппроксимации на произвольной гладкой функции.
Это обстоятельство можно использовать для обнуления погрешностей
аппроксимации низших порядков только в силу выполнения аппроксими-
аппроксимируемого дифференциального уравнения. Типичным примером может слу-
служить двухслойная трехточечная в пространственном направлении схема
со специально выбранными весами для уравнения теплопроводности; она
имеет второй порядок но времени и четвертый по пространству.
Несколько иное использование следствий из исходного дифференциаль-
дифференциального уравнения состоит в том, что наряду с ним рассматриваются разност-
ю
ные аппроксимации уравнений, полученных путем дифференцирования
всех его членов по независимым переменным. Эта идея была предложена
в [23].
Пусть, например, имеется уравнение вида
@.14)
После дифференцирования его по х получается продолженная система [24]
-«<*>=—, Л = 0,1,..., л, @.15)
bt Ъхк
где через и^ обозначена производная дки/дхк. Поскольку в правую часть
@.15) для каждого к входят функции и = t/?\ м^\ ..., м^к\ то, аппрокси-
аппроксимируя каждое уравнение системы @-15) какой-либо разностной схемой
(например, одной и той же), можно на каждом шаге по времени для сфор-
сформулированных начальных условий определить аппроксимации производных
до и-го порядка включительно. Эти разностные высшие производные мож-
можно затем использовать для обнуления погрешностей аппроксимации основ-
основного уравнения @.14) (к = 0). В принципе, это позволяет строить схемы
произвольного порядка аппроксимации, однако при большом я в общем
случае этот метод становится достаточно громоздким.
Аналогичная идея была применена в [25], разница состояла лишь в том,
что сеточные функции, аппроксимирующие производные и**', использова-
использовались для представления интегралов по границе ячейки сетки в интегро-
интерполяционном методе (см., например, [26]).
Использование продолженной системы уравнений или эквивалентного
способа разложения в ряд позволяет строить аппроксимации высокого
порядка для уравнений различных типов.
Компактные схемы. Альтернативный путь построения схем высокого
порядка состоит в использовании так называемых компактных аппрокси-
аппроксимаций. Их сущность удобно проиллюстрировать на примере приближен-
приближенного определения производной функции по ее значениям в узлах. Если
традиционное представление производной
/= Ъи/Ъх @.16)
на сетке а>А : х;- = jh имеет вид
к- q
где fj = /(/A), a ak - некоторые коэффициенты, зависящие от шага (для
простоты полагаемого постоянным), то компактная аппроксимация @.16)
может быть записана следующим образом:
1, @.17)
здесь а( и /J, (/ = —1,0,1) — некоторые коэффициенты.
Если в обычных формулах численного дифференцирования на трех узлах
достигается максимальная точность О (А2), то при определении fj из систе-
системы @.17), распоряжаясь двумя дополнительными коэффициентами в ле-
левой части этого равенства, можно, очевидно, повысить максимальный по-
11
рядок аппроксимации от второго до четвертого. Технически определение
коэффициентов в @.17) можно осуществить самыми различными спосо-
способами: разложением в ряд Тэйлора функций «и/с последующим обнуле-
обнулением коэффициентов при степенях h, применением метода неопределен-
неопределенных коэффициентов, подстановкой интерполяционных полиномов Эрмита
и т.д.
В общем случае под /; можно понимать аппроксимацию в узле х = xf
некоторого дифференциального оператора, содержащего операторы про-
производных по х первого и второго порядков и входящего в формулировку
исходной задачи.
Удобство соотношений типа @.17) состоит в том, что основанные на них
алгоритмы реализуются трехточечными прогонками с числом арифметиче-
арифметических операций, пропорциональным числу узлов сетки, и являются эконо-
экономичными.
Развитие методов, основанных на компактных аппроксимациях, факти-
фактически происходило в двух направлениях — конструирование нецентрирован-
ных схем третьего порядка и центрированных схем четвертого порядка.
Под нецентрированными (или несимметричными) схемами здесь условно
понимаются схемы, содержащие операторы, меняющие свою самосопряжен-
самосопряженную или кососимметричную часть в зависимости от знаков коэффициентов
уравнений или от знаков собственных значений матриц в случае систем
уравнений. Наоборот, компактные схемы, разностные операторы в которых
не переключаются при изменении этих знаков, в дальнейшем будем назы-
называть центрированными (или симметричными), имея в виду, что соотноше-
соотношения типа @.17) для первых и вторых производных в этом случае будут
иметь равные по модулю коэффициенты а_1 и а1г а также j3 t и /3х - Не-
центрированные схемы третьего порядка были впервые предложены, ис-
исследованы и применены автором этой книги [4, 5, 27-29]. Первая из этих
публикаций относится к 1972 г. Позднее появились центрированные схемы
четвертого порядка [30-36], предложенные почти одновременно несколь-
несколькими авторами (первое упоминание о таких аппроксимациях в [37], см.
также [1]). Если последние применялись главным образом при аппрокси-
аппроксимации уравнений Навье-Стокса несжимаемой жидкости, то схемы тре-
третьего порядка прошли всестороннюю апробацию для различного класса
задач - в случае уравнений Эйлера и Навье—Стокса сжимаемого газа (за-
(задачи о внутренних и внешних течениях в широком диапазоне чисел Маха
и Рейнольдса), в случае уравнений гидродинамики, записанных в различ-
различных формах, в случае уравнений Рейнольдса осредненных турбулентных
течений и т.д. Данная книга посвящена именно этому классу компактных
схем. Компактные аппроксимации рассматриваются в ней прежде всего
как эффективный способ дискретизации конвективных членов, содержа-
содержащих несамосопряженные операторы; наоборот, дискретизация членов
с вязкостью вследствие самосопряженности соответствующих операторов
интерпретируется как второстепенная часть алгоритма, реализуемая различ-
различными способами. Таким образом, область целесообразного применения
описываемых здесь методов — задачи с преобладающей ролью конвекции
или чисто конвективные задачи. Именно таковыми в большинстве практи-
практически важных случаев являются задачи аэрогидродинамики. Благоприятные
качества схем третьего порядка обусловлены в случае уравнений гидро-
12
динамики переключением операторов в зависимости от знака скорости,
обеспечивающим диагональное преобладание в разностной задаче, а в слу-
случае систем уравнений сжимаемого газа — учетом характеристических на-
направлений этих систем или их гиперболической части.
При небольших числах Рейнольдса, когда сеточные числа Рейнольдса
также малы, вполне приемлемыми оказываются более простые центриро-
центрированные (и, в частности, компактные) аппроксимации. Такие схемы были
получены на основе аппроксимации первых производных вида @.20)
и аналогичных соотношений для вторых производных [31—34].
Другой подход к построению центрированных компактных схем четвер-
четвертого порядка связан с определением коэффициентов в равенстве @.20),
понимаемом как связь между искомой сеточной функцией и- и аппрокси-
аппроксимацией в узлах дифференциального оператора f, = {Lu)j, входящего в фор-
формулировку исходной задачи [30, 35, 36]. Достоинство такого метода
состоит в том, что для оператора Lu, содержащего первые и вторые про-
производные, решение разностных уравнений осуществляется трехточечной
скалярной прогонкой (в других компактных методах четвертого порядка
в таких случаях требуется векторная трехточечная прогонка с матрицами
размерности 2X2). Вместе с тем он является в значительной мере ориенти-
ориентированным на решение скалярных конвективно-диффузионных уравнений.
Обобщение его для систем уравнений оказьшается весьма громоздким, в то
время как для компактных методов, использующих раздельную аппрокси-
аппроксимацию первых и вторых производных, оно является элементарным.
Первая глава посвящена теории схем с компактными аппроксимациями
третьего порядка. Здесь рассмотрен широкий круг вопросов, связанный
с описанием различных способов использования этих аппроксимаций,
с исследованием их свойств, а также применением их при дискретизации
скалярных или векторных уравнений первого или второго порядка в слу-
случае одной и нескольких пространственных координат. Здесь же приводятся
сведения о конструировании центрированных компактных схем; некото-
некоторые из них могут быть получены, в частности, путем симметризации схем
третьего порядка. Для более полного ознакомления с деталями этих схем
заинтересованному читателю можно рекомендовать оригинальные работы
[30—36]. Краткое описание центрированных компактных схем приводит-
приводится также в монографии [1].
В последующих главах приводятся алгоритмы уравнений Эйлера и
Навье-Стокса, описывающих течения сжимаемого газа (см. гл. 2) и несжи-
несжимаемой жидкости (см. гл. 3). В качестве удобного инструмента численного
исследования стационарных течений рассматриваются компактные схемы
для так называемых параболизованных уравнений Навье—Стокса. Внима-
Внимание уделяется также турбулентным течениям, описываемым уравнениями
Рейно.' ьдса, дополненными полуэмпирическими моделями турбулентности,
а также некоторым неклассическим методам гидродинамики.
Примеры применения рассмотренных методов, представленные в гла-
главах 2 и 3, имеют иллюстративный характер. Основное внимание здесь уде-
уделяется вычислительным аспектам решаемых задач, а не обсуждению аэро-
аэродинамических характеристик течений. Это обстоятельство наложило отпеча-
отпечаток и на сам подбор примеров, многие из которых либо носят модельный
или тестовый характер, либо являются характерными задачами.
Глава 1
СТРУКТУРА И АНАЛИЗ КОМПАКТНЫХ СХЕМ
ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
1. КОМПАКТНЫЕ СХЕМЫ С НАПРАВЛЕННЫМИ РАЗНОСТЯМИ
ДЛЯ ОДНОМЕРНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРЕНОСА
1.1. Формулы компактного численного дифференцирования
третьего порядка и основанные на них схемы
Аппроксимация первых производных. Пусть на отрезке [а, Ь] определе-
определена функция и (х), обладающая производными вплоть до четвертого поряд-
порядка включительно (в дальнейшем там, где это необходимо, соответствую-
соответствующая гладкость функций будет подразумеваться без специальных ого-
оговорок) .
Введем на отрезке [а, Ь] сетку coh:xn=nh, h = const и зададимся целью
найти связь между значениями в трех соседних узлах сетки функции и
и аппроксимации третьего порядка точности ее производной / = du/dx.
Для этого достаточно, например, записать равенство
1, A.1)
где ft = f(Xj), и{ = и(X/), разложить функции ии/в ряды Тэйлора в окрест-
окрестности узла xt и, используя тождество /= du/dx, так подобрать коэффициен-
коэффициенты а(- и C,- (/ = 1, 2, 3), чтобы после подстановки рядов в A.1) это равенство
переходило в соотношение/} = (ди/дх)\х_х + О(И3). Простейшие выкладки
приводят к следующим значениям коэффициентов:
"¦'б1
l+a2h
2h '
ha2
+ 4 '
1
«3
2
3
-a2rt
2A
03
•
1
6
A a 2
4
A.2)
В этих формулах коэффициент а2 выбран в качестве свободно варьируемо-
варьируемого параметра. В частности, при а2 = 0 имеет место хорошо известное ра-
равенство
1 2 1 М.-4. i - ",¦ 1
'^^^ A3>
которое приводит к соотношению /) = (ди/дх)\х=х + О(А4), поскольку
члены с нечетными степенями h при подстановке рядов Тэйлора в A.3)
взаимно уничтожаются.
14
Равенство A.3) может быть получено многими другими путями (на-
(например, из аппроксимации функции и кубическим сплайном или полино-
полиномом Эрмита). В дальнейшем соотношение A.1), а также A.3), будем назы-
называть формулами компактного численного дифференцирования, имея в виду
достижение высокого порядка аппроксимации производных на трехточеч-
трехточечном (компактном) шаблоне.
В дальнейшем нас будут интересовать в основном несимметричные фор-
формулы вида A.1) при а2 Ф 0, обладающие, как будет ясно из дальнейшего,
более благоприятными свойствами, чем формула A.3). Воспользовавшись
свободой выбора параметра а2, потребуем, чтобы аппроксимации производ-
производной /, определяемые однопараметрическим семейством A.1), A.2), обла-
обладали бы, помимо третьего порядка, еще одним заданным свойством. В ка-
честве такого свойства выберем следующее: коэффициенты а,- (/ = 1, 3)
в A.1) являются коэффициентами квадратурной формулы четвертого по-
порядка аппроксимации для интегралов в правой части равенств
1 Х,+,
и, - Щ_, = IX{_ i f(x)dx, uH, - ¦ и, = Jx; f(x)dx. A.4)
Легко усмотреть, что первому равенству A.4) соответствует значение
<*2 = l/h, а второму — а2 = — 1/й. Соответственно в первом случае а3 = 0 и
«,-«,_! =АE//_, +8/,-/,+ 1)/12, A.5а)
во втором случае <*i = 0 и
И/+1 -и/= *(-//-! +8/i + 5//+1)/12. A.56)
Выделенные таким образом аппроксимации, как и их симметричный ва-
вариант A.3), обладают важным свойством: они позволяют получать раз-
разностные схемы для дифференциальных уравнений путем аппроксимации
соответствующих этим уравнениям законов сохранения.
Дня получения формулы A.5 а) можно было бы непосредственно
строить квадратурные формулы для правых частей A.4), использующие
значения функции /в трех узлах: *,_,, JC,- и х{+1; именно так они были
получены в ранних работах [4, 5]. При построении квадратурных формул
удобно воспользоваться методом неопределенных коэффициентов [38]
и потребовать, чтобы они были тождественны точке для трех пробных
функций / = 1, х,х2. Отметим, что формулу A.56) можно рассматривать
как формулу корректора Адамса для обыкновенного дифференциального
уравнения ди/дх = Дм, jc) . Равенства A.5а) и A.56) целесообразно пере-
переписать в следующем операторном виде:
где Д+ и Д _ — операторы правых и левых двухточечных разностей, а А _
и А+ - операторы квадратурных формул соответственно для правого и
левого интервалов, заключенных между узлами xt_ j, jcf. и xi+1:
15
Теперь формулы компактного численного дифференцирования третьего
порядка можно представить в виде
ft=A~?A;Ujh = (Ъи/Ъх)х=х +O(h3); A.7)
в дальнейшем индексы у сеточных функций для краткости записи будут
опускаться.
Из равенств A.5) следует, что для определения значений ft производной
функции и нужно обратить операторы А + или А _, т.е. решить линейную
систему с трехдиагональной матрицей, подобно тому как это делается при
численном дифференцировании на основе кубических сплайнов; необходи-
необходимы лишь те или иные граничные условия на левом и правом концах рас-
рассматриваемого интервала [х0, xN], N > 2. В дальнейшем, однако, будут
рассматриваться не эти задачи, а вопросы использования операторов А±
и A t для построения разностных схем.
Компактные (трехточечные) схемы третьего порядка. Рассмотрим не-
нелинейное уравнение переноса, записанное в виде закона сохранения:
du/dt + dy(u)/dx=f(u,x,t). A.8)
Введем разностную сетку coTXcoh, coT: tm = /яг, на которой определим
некоторую аппроксимацию (bu/bt) производной Ъи/bt с погрешностью
О(тк).
Используя формально для аппроксимации производных по х оператор
А~+А_ или А~1А + , можно построить семейство разностных схем доста-
достаточно общего вида
/ЭгЛт + 1 к-\ . *-i
hi—) + 2 о.^1Д±(рт + 1~/=А 2 а./*1"', A.9)
\dt/ /=о ' * /=о ;
где <pm = <p(um), a Oj (j = 0,1,2, ...,k— 1) - некоторые весовые множители.
Подбирая эти множители, можно достичь желаемого порядка точности
относительно шага т. При этом погрешность аппроксимации A.9) относи-
относительно шага h всегда будет иметь порядок O(h3).. Для того чтобы в этом
убедиться, удобно воспользоваться следующими полезными символиче-
символическими представлениями сеточных функций Д,/ и A±f, полученными
в результате разложения достаточно гладкой функции/(х) в ряды Тэйлора
A.10)
h
A-J=(E± -
Здесь E - единичный оператор, a Dx и Dx — операторы соответственно
первой и второй производных по х в точке jc = дс-. Подставляя A.10)
16
в A -9), приходим к равенству
(—) + S oA— ) = 2 oj*1-',
\dt/ . /=o y\ 3jc/ . /=o
из которого следует третий порядок аппроксимации схем A.9) относи-
относительно шага h.
Умножив A-9) слева на А + , получим эквивалентные схемы вида
i=o ' i=o '
Из трехточечности операторов А+ следует, что шаблон этих схем третьего
порядка содержит три узла на каждом временном слое: t = tm + l_j Q =
= 0, к - 1). Как и в случае центрированных схем [31J, будем называть их
компактными.
В дальнейшем этот термин будет употребляться применительно ко всем
схемам для уравнения A-8), которые могут быть получены на основе
формул компактного численного дифференцирования.
Выбор пары операторов А + , Д_ или А_, Д+ в A.8) безразличен с точки
зрения аппроксимации, однако он существен при построении устойчивых
схем. Проиллюстрируем универсальный принцип этого выбора на примере
пары двухслойных схем:
1 ) = 0, ao+a,=l. A.11)
Пусть ip(u) = аи, а = const. Применяя спектральные методы, получим
следующее выражение для собственного значения оператора перехода:
1 -ara1 W+(a) т
Х= ———-, 0<а<2тг, г = — . A.12)
l+ara0Wt(a) h
12[l-exp(-/a)j 12[exp(m)-l]
Здесь V+(a)= — , W_(a)=
5 exp(/a) exp(m) + 8
, W_(a)
5 exp(-/a) - exp(m) + 8 5 exp(/a) - exp(-m) + 8
функции комплексного аргумента, удовлетворяющие условиям Re W+ =
= -Re W_ > 0, Im JV+ = Im W_. Выбирая теперь ту из пар A.6), для кото-
которой a Re Wj > 0 (/ - это плюс или минус), получим при ах - о~> 0,5 абсо-
абсолютно устойчивую схему A.9). В дальнейшем под устойчивостью схемы
будем понимать ее устойчивость в приближении замороженных коэффи-
коэффициентов.
В нелинейном случае простым критерием выбора нужной пары операто-
операторов в узле Xj = jh является условие
«p'(«f )ReW,>0; A.13)
2.3ак. 761 17
в случае изменения знака у (и™) (при переходе к узлудгу_1 или лсу+j) тре-
требуется изменение ориентации операторов, аналогично тому как это про-
происходит в случае обычных несимметричных схем: при i^'(mJ") > 0 в узле
х = Xj используется левая разность Д_ (и оператор /1 + ), а при <р'(и™) < 0 —
правая разность (и оператор А_). Такой выбор ориентации односторон-
односторонних разностей Д_ и Д+ приводит к неотрицательным операторам, аппро-
аппроксимирующим производную Ъ\р[Ъх в A.8).
Для формализации выбора нужной пары операторов удобно предста-
представить операторы А + и At в виде следующих сумм:
А± =А0 + 0,25Д0, Д- =0,5(Д0 + Д2),
где
Aof= * (A++A_)f= l- ft_1+ -/,+ I//+1,
Ao=/i-+, -/,_,, A2=fi+1-2ft+f,_l;
операторы Ао и Д2 являются самосопряженными (симметричными) со-
составляющими операторов А± и Д+, а оператор До — их кососимметричной
частью. Введя параметр s = sgnip'("™) и опуская индексы у операторов
А± и Дт, запишем выбранную из A.11) схему в виде
.,
где
А=А0 -0,25sДо, Д = 0,5(Д0 -хД2), х
Положив в A.14) s = 0, получим симметричные аппроксимации, исполь-
использовавшиеся в ряде работ [31—33]; легко показать, что они имеют четвер-
четвертый порядок относительно шага h.
1.2. КОМПАКТНЫЕ СХЕМЫ КАК АППРОКСИМАЦИИ
ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ
Использование уравнений баланса. Свойства операторов А и Д аппрокси-
аппроксимировать интегральные равенства A.4) позволяют получать разностные
схемы в виде уравнений баланса потоков через границы элементарных
ячеек, образованных разностной сеткой, т.е. в виде разностных законов
сохранения. В частности, схема A.14) может быть получена интегроинтер-
поляционным методом [39]. Пусть, например, в A.1) /= 0. Записывая
это уравнение в виде
diva = 0, а = (м,(р(м))т, A.15)
интегрируя A.15) по элементарной ячейке
tm<t<tm + l, Xi_l<X<Xi A.16)
18
со сведением поверхностного интеграла к контурному, будем аппрокси-
аппроксимировать равенство
judx -<p(u)dt = O,
в котором интегрирование ведется по сторонам прямоугольника A.16).
При аппроксимации интегралов по границам х = const будем использовать
формулу трапеций, а при интегрировании по границам t = const — одну из
квадратурных формул, определяемых оператором Л+ или А_ (для опре-
определенности предположим, что всюду (/(мт) > 0 и следует использовать
оператор /1+). В результате получим равенство
откуда после деления на кт получается схема A.14) при aj = а = 0,5.
Пусть расчетная область является прямоугольником 0 < t < Т = Мт,
0 < х < X = Nh. Тогда суммирование равенств A.17) поти/@<т<М,
0 < / < N) приводит в силу взаимного уничтожения сеточных функций
и™ и у™ соответствующих общим границам ячеек, к интегральному зако-
закону сохранения
f u(T,x)dx- f u@,x)dx + f <p(u(O,t))dt - f ф(Х-hj))dt = O,
0 0 0 0
в котором первые два интеграла аппроксимированы в соответствии с квад-
квадратурной формулой A.5а), а вторые два — с формулой трапеций.
Свойство консервативности при переключении операторов. В случае
изменения знака производной у'(и™), когда происходит переключение
схемы с одной пары операторов на другую, суммирование разностных
уравнений типа A.17) не приводит к взаимному уничтожению значений
сеточных функций во внутренних узлах сетки. Пусть производная меняет
знак между узлами хк и хк+1. Тогда при ^'(МГ) > 0 и ^'("/T+i) < 0 квадра-
квадратурная формула для интервала [*ft,*fc+1] не выписывается, а при сумми-
суммировании по к возникает ненулевой член #к -ук+1- Если же <р'(ик_1) < 0
и <р'(ик) > 0, то уравнения баланса для ячейки со стороной [хк, хк+1]
выписываются дважды, что также вызывает появление при суммировании
ненулевого члена вида <Pk+i-Vk- Можно показать, что во всех случаях
внутри области образуются схемные источники вида Ор^Д1 -<p™ + 1)/h +
+ Ad (uk" + 1 -и™) 1т. Интенсивность их, как легко видеть, имеет порядок
О (И3). Если в окрестности смены знака производной <р'(ит) высшие про-
производные решения существуют и не очень велики, то такая локальная не-
неконсервативность не должна влиять на качество решения, тем более что
количество точек смены знака производной в расчетной области на прак-
практике обычно намного меньше общего числа узлов.
Тем не менее при желании можно добиться полного взаимного уничтоже-
уничтожения потока вектора (м, у(и)У через общие границы элементарных ячеек,
понизив, однако, локальный порядок аппроксимации схемы в точках изме-
изменения знака функции s(*,-) = sgn(M™). Для этого достаточно модифициро-
19
вать операторы Л и Д, записав их в следующем виде:
А =А0 -0,25Aos, Д =0,5[Д0 -Д_G11/2*)Д+]. A.18)
Здесь через Tt обозначен оператор сдвига вдоль оси х на величину lh, так что
сеточная функция Д_ (Tt/2s)А+ч> в узле л: = х{ имеет вид
А-
В случае, когда s(- = const при t = tm, операторы A.18) совпадают с A.14).
Во всех случаях разностную схему A11) с операторами A.18) (s = 1
соответствует паре операторов А + , Д_, a s = —1 — паре операторов А_, Д+)
можно представить в виде
^ j+ ф /1/2 h v i/2 ч,- ,/2) = о,
где
С/+1/2= -6-«ИГ>/+1 -<"Г>>)- -
9/+1/2 = О5Ц + ^) Х(
) AФ(«), <Mf>, (U; W/)/r.
При суммировании разностных уравнений по индексам / и т значения се-
сеточных функций в узлах, за исключением приграничных, взаимно уничто-
уничтожаются.
Нетрудно установить, что А'1 Д/= bf/Ъх + O(h3) в узлах, в окрестности
которых функция s не меняет знак. В случае перемены знака происходит
понижение порядка аппроксимации производных до первого.
Оператор А в A.18) можно задать и в следующей форме:
Afj =Aofj- 0,25(sj+1/2 (E + Г,) - $у_ 1/2(Е + Т_,))/)-;
при этом свойства консервативности и аппроксимации операторов A.18)
не нарушаются.
Понижение порядка аппроксимации в узлах, где происходит смена знака
производной ip'(um), незначительно влияет на порядок аппроксимации
в квадратичной норме, если число таких узлов невелико по сравнению
с общим числом узлов.
Использование рассмотренных вариантов операторов А и Д часто приво-
приводит к практически одинаковым решениям. Однако в общем случае целе-
целесообразность одного или другого из них, скорей всего, определяется спе-
спецификой решаемой задачи.
1.3. ДИСПЕРСИОННЫЕ И ДИССИПАТИВНЫЕ СВОЙСТВА АППРОКСИМАЦИЙ Л ' Д
Волновые решения дифференциально-разностного уравнения переноса.
При разностной дискретизации уравнений переноса большую роль играют
дисперсионные и диссипативные свойства выбранных аппроксимаций; они
показывают, как распространяются и изменяются со временем те или иные
20
спектральные компоненты неизбежно возникающих "схемных" погреш-
погрешностей.
Пусть имеется простейшее уравнение переноса
du/bt +<?Эм/Эх = 0, с = const. A.20)
Чтобы исключить влияние способа дискретизации производной du/bt и
изучить лишь свойства операторов А и Д, рассмотрим дифференциально-
разностное уравнение, аппроксимирующее A-20) на сетке coh в узле х = хп:
dun/dt + cA~1Aun/h = O, A.21)
где А и Д - операторы A.14) с s - sgn с.
Разыскивая решение A.21) в виде U(t)elkHn, к = const, получим обык-
обыкновенное дифференциальное уравнение
dU Г с с 1
— + - W0(kh) + i— Wtikh)] U=0, A.22)
dt [ h h J
где
W0(a) = 96хФ(а)яп4а/2, W^a) = 24Ф(а)япаG - cosa),
Ф(а) = [(8 + 4 cosaJ + 35 sin2!*].
Сравнивая A.22) с уравнением U' + ic к U= 0, полученным из A.20) после
подстановки в него U{t)elkx, найдем для "схемной" фазовой скорости с*
выражение вида
* = cWi(a)/a a = kh,
в котором с = const является точной фазовой скоростью гармоник с волно-
волновым числом к.
Второе слагаемое A.22), неотрицательное при всех значениях а, характе-
характеризует диссипацию, приводящую к затуханию гармоник.
Для не слишком коротких волн {кh <^ 1) имеем представление
c* = c[l+O(a4)], ch-1Wo(c0 = d = O(<x*), WOmax = Wo(-n) = 6.
Эти формулы означают, что для длинных и средних волн (по сравнению
с величиной шага И), когда произведение kh невелико, фазовая ошибка,
вносимая заменой дифференциального оператора разностным оператором
А Д/А, крайне незначительна и имеет четвертый порядок малости относи-
относительно kh.
Для этого же диапазона длин волн коэффициент затухания гармоник
за характерное время /г/с
равный единице в случае исходного уравнения A.20), имеет вид Х =
= 1—0(a4), d = O(a4), т.е. приводит к весьма малым амплитудным
ошибкам.
Для коротких волн, разрешаемых сеткой (kh ^ тг), фазовая скорость с*
обращается в нуль и фазовая ошибка велика. При этом схемная групповая
скорость cg = dc*/da становится, как нетрудно установить, отрицательной,
что означает возможность распространения возмущений вверх по потоку.
Вместе с тем в этом диапазоне kh резко уменьшается коэффициент Л
21
-/,0 -
Рис. 1.1
(резко возрастает диссипация d), что должно приводить к сильному подав-
подавлению коротких волн, проявляющихся на практике в виде пилообразных
(схемных) осцилляции. Фактически в аппроксимацию А~1 А как бы зало-
заложен фильтр, не искажающий решения с большими и средними по сравне-
сравнению с шагом h масштабами и подавляющий высокочастотные составляю-
составляющие решений, масштабы которых сравнимы с шагом сетки. Эти состав-
составляющие, как правило, не имеют физического смысла, поскольку для раз-
разрешаемого сеткой масштаба L должно выполняться условие h < L. На
практике описанные выше дисперсионные и диссипативные свойства аппро-
аппроксимаций А'1 А позволяют получить не искаженные (или слабо искажен-
искаженные) схемной немонотонностью решения, не прибегая к введению допол-
дополнительных диссипативных механизмов.
На рис. 1.1 приведены зависимости с*(а)/с и cg(a)/c (a=kh) (кривые 1,
1'), а также диссипация d (кривая 7"). Там же для сравнения нанесена
пунктиром зависимость относительной фазовой скорости с*(а)/с для
22
центральных разностей, аппроксимирующих производную Ъи/Ъх. Как
видно на рис. 1.1, в случае применения оператора А'1 А фазовые ошибки
малы в значительно более широком диапазоне kh, чем при центрально-
разностной аппроксимации. Неравенство cg{a)/c > 1 в некотором диапа-
диапазоне а указывает на возможность распространения затухающих схемных
возмущений с несколько большей скоростью, чем основные возмущения.
Интересно сравнить кривые с*(а) для схем третьего порядка и их сим-
симметричного аналога при s=0 A~qA0 (кривая 2), имеющего четвертый поря-
порядок аппроксимации (рис. 1.1). Согласно рис. 1.1, фазовые ошибки в случае
схем четвертого порядка также малы в широком диапазоне kh, однако
такие схемы не содержат диссипативного механизма, который смог бы
подавить "ошибочные" коротковолновые компоненты, разрешаемые
сеткой. В этом состоит главный недостаток аппроксимаций вида А~о Ао
(как и всех бездиссипативных аппроксимаций), часто приводящий к не-
невозможности их применения без искусственного введения специального
диссипативного механизма. Вид и параметры этого механизма не всегда
бывают, очевидны и универсальны и иногда могут составить предмет от-
отдельного исследования.
Оценки на основе дифференциальных приближений. Для оценок дис-
дисперсионных и диссипативных свойств аппроксимации А~* А наряду с при-
приведенным выше элементарным анализом можно было бы использовать
аппарат метода дифференциального приближения [40].
Дифференциальное приближение для A.21) запишется в виде
du/dt + cdu/dx= 2 С,д'и/Ъх1, A.23)
1=4
где
С4 = -Л4/24, cs = -37/г5/1440.
Ограничиваясь первым дифференциальным приближением, т.е. учиты-
учитывая в сумме правой части лишь первое слагаемое, получим после подста-
подстановки в A.23) функции вида expi(kx -cot):
Отсюда следует оценка для диссипации за время И/с:
Х = ехр [(h3k*l24)ct] » I
справедливая при малых значениях kh. Используя аналогичным образом
второе дифференциальное приближение, получим равенство
-ш + ik - k4h3c/24 + 37 ik5^ с/1440 = 0
и оценку для схемной фазовой скорости, характеризующую фазовую ошиб-
ошибку для малых kh:
c*lc = (jo/kc = 1 + 37^А4/1440.
Из последнего равенства следует, что в соответствии с рис. 1.1 для рассмат-
рассматриваемой схемы фазовая скорость имеет тенденцию к превышению своего
точного значения с в отличие от многих схем, для которых эта тенденция
противоположна.
23
1.4. РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Условия хорошей обусловленности. Пусть расчетная область является
прямоугольником 0 < t <Мг, 0 <х <Л7г. Типичные разностные уравнения,
возникающие при использовании операторов Л и Д, рассмотрим на примере
двухслойной схемы с весами A.11).
Выбрав некоторый узел /, Q<j<N, перепишем схему A.11) при
ip'(uf) >Оввиде
о = а0,
где сеточная функция d, (j = l,N—l) известна.
Наиболее универсальным приемом практической реализации алгоритма
A.24) является линеаризация функции ^ = ip(u™ + 1) с использованием зна-
значений и1, на предыдущем (/ = т) или предыдущих (/ < т) слоях t = tv
Предположим, не нарушая общности, простейшую линеаризацию вида
где д.-(г/") — известная сеточная функция. Разностные уравнения A.24)
теперь могут быть представлены в виде
E - 2Rj _,)«,_, + (8 + 2/г,.)иу - и/+1 = 12df, A.25)
где Rj = 6oTtp'(u™)jh. В случае *р'{ит) < 0 уравнение A.24) имеет вид
-и,., + (8 + 2Л,)И/ + E - 2Л/+1)И/1, = 12d,,
R, = 6aT\^{j^)\lh. K ' J
Поскольку A.25) и A.26) имеют совершенно одинаковую структуру и
могут быть получены одно из другого путем обратной нумерации узлов,
рассмотрим первое из них.
При исследовании обусловленности системы уравнений, имеющих вид
A.25) при/ =1,2 Лг- 1 и включающих в себя те или иные граничные
условия при / = 0 и / = N, можно воспользоваться результатами, изложен-
изложенными в [3].
Рассмотрим сначала случай, когда функция аДм?1) = д. удовлетворяет
разностному условию Гельдера
\ak-al\ <D
N
A.27)
Такая ситуация возникает, в частности, когда решение исходной зада-
задачи A.8) непрерывно. Следуя [3], запишем для A.25) уравнение
-q1 + (8 + 2Rt)q + E - Щ_^ = 0, A.28)
имеющее корни
<?! = 4 + Rj - s/l\ +2(Rj - Rj_ t) + 6Rj + R-l
24
В случае выполнения неравенств \q1\ < I и \q2\>l при достаточно боль-
больших Л'система, порождаемая A.25), является хорошо обусловленной, т.е.
чувствительность ее решения к отклонениям Rj и dj не возрастает с номе-
номером N (фактически это означает, что, записав ее в матричном виде Аи =/
и и = («1, uN_1)T, получим, что число обусловленности v= \\A\\- \\А~1 II
не возрастает с номером N) [3].
С учетом A.27) при к = j и / = / --1 неравенство \q2 I > 1 в силу Rj > О
очевидно. Для доказательства неравенства \qx I < 1 удобно рассмотреть
два случая: 1) 5 -2Rj_1 > 0 и qy < 0; 2) 5 -2Rf < 0 и <7i > 0. Элемен-
Элементарные выкладки с учетом A.27) показывают, что в обоих случаях
\qx I < 1 и, следовательно, рассматриваемая система хорошо обусловлена.
При расчете разрывных решений условие разностной гё'льдер-непрерыв-
ности A.27) в отдельных узлах может нарушаться. В этом случае удобно
использовать достаточный признак хорошей обусловленности [3]. Он сво-
сводится к выполнению неравенства
8 + 2/?;. > l+l5-2/?;._,l. A.29)
Неравенство A.29) заведомо выполняется при 5 — 2Rj > 0, если же
5 — 2Rj < 0, то для его выполнения требуется ограничение
max
1
т
-<-. A-30)
h a
Таким образом, и в случае разрывных решений система, образованная
уравнениями вида A-25) или A.26), является хорошо обусловленной
при выполнении не очень жесткого условия A.30).
Для практики полезно следующее замечание: если сеточная функция д.,
близкая к нулю, меняет знак при переходе от узла к узлу в силу схемной
немонотонности, то для предотвращения нежелательных переключений
операторов А и Д можно положить в них s = 0 при 1д;1 < е и s = sgna;- при
Icij\ > e , где е — некоторое малое число.
Определенную информацию о решении разностных уравнений можно
получить, положив Rj = const = R, Oj = а к dj = 0. Тогда общее решение
будет иметь вид
Uj = ciq{+c2q'2, A-31)
где Cj и с2 - некоторые константы. При R <5/2, т.е. при ат/h = К < 5/12а,
<71<0. A.32)
При выполнении A.32) решение A.31) может иметь быстрозатухающую
в силу 1^! I < 1 осциллирующую составляющую. При К > 5/12а осцилля-
осцилляции исчезают.
Решение разностных уравнений. Естественным методом решения раз-
разностных уравнений является прогонка, которая для хорошо обусловлен-
обусловленной системы является устойчивой. Ввиду того что \q{ I < I, a \q2\ > 0>
на каждом конце рассматриваемого интервала [х0, xN\ должны быть
сформулированы граничные условия. Эти условия являются обычными
Условиями для трехточечных неявных схем и определяются спецификой
25
решаемой задачи. В общем случае их можно записать в виде
=71,
где а,., |3,- и yt (i — 1, 2) — некоторые коэффициенты. Эти условия могут
иметь жесткий характер на тех границах х = х0 или х = xN расчетной обла-
области, откуда выходят характеристики исходного дифференциального урав-
уравур
нения (условия типа и™ + 1 = Ут + 1, где к = 0, а сеточная функция ч>т + 1
задана), и мягкий характер — на границах, куда они приходят. В послед-
последнем случае применимы различные вицы экстраполяции, запись для исход-
исходных уравнений какой-либо схемы с использованием внутренних узлов
области и т.д. Как показала расчетная практика, в некоторых случаях
достаточно удаленной границы, до которой еще не дошли возмущения,
мягкие граничные условия могут быть заменены жесткими. Примером
может служить задача распространения разрыва, описываемого уравнением
A.8) при <р(и) = м2/2,/= 0, которая будет рассмотрена ниже.
Выбор граничных условий A.33) может повлиять на устойчивость алго-
алгоритма в целом. Оценку этой устойчивости можно получить, используя, на-
например, признак Бабенко—Гельфанда [3].
В некоторых частных случаях для решения системы A.24) целесообраз-
но использовать итерационный метод. При ^'(и'Р) > 0, j = 1, N -1, A.24)
можно записать в виде
где к - номер итераций. Если функцию ip!" + 1'k линеаризовать относительно
(к - 1)-й итерации, то система A.34) при / = 1, N- 1 становится линейной
с двухдиагональной матрицей; ее можно решить методом "бегущего сче-
счета". В приближении постоянных коэффициентов для собственного значе-
значения \ оператора перехода от (&-1)-й к к-й итерации получается выраже-
выражение вида
Х= , 0<а<2, A.35)
8 + 2R+E-2R)e~ia
где R = вота/h, а - const = у'(ит). Из A.35) следует, что для 1X1 справед-
справедлива оценка
I XI < [minA3,V9 + 24R + 16Д2')],
указывающая на очень быструю сходимость A.34). Если желательно ре-
решить систему A.24) в нелинеаризованном виде, то вместо прогонок с ите-
итерациями выгодней использовать итерационный процесс A.34) с линеари-
линеаризацией функций i/"*1'*, поскольку обращение двухдиагональных матриц
требует меньшего числа арифметических операций, чем обращение трех-
диагональных матриц. Для некоторых видов функций <р (например, при
ip(u) = и2) возможно также непосредственное решение нелинейных урав-
уравнений A.34).
26
1.5. Аппроксимация производных по времени.
Компактные схемы для нестационарных задач
Трехслойные схемы. Выше была рассмотрена простейшая двухслой-
двухслойная схема из семейства A.9) - схема с весами, частными случаями кото-
которой являются чисто неявная схема («о = 1, Oi =0) и схема Кранка—Ни-
кольсона (o0=aj =0,5) с погрешностью О(т2 + И3). Для приложений мо-
могут оказаться полезными и некоторые другие варианты схем из A.9).
Рассмотрим некоторые из них.
Схема третьего порядка с Оы/ЭО'"** = (um - и )/т.
По аналогии с оператором А введем на сетке шт оператор A t вида
1 fm+i
Л,/=E/т+1+8Г"-/т-1)/12«- / fdt. A.36)
Проинтегрировав исходное уравнение A.8) по х и t в области tm < ?< fm + i>
х;-< х < *у +! или в области ?m<f<fm + 1> ху_! < х < Xj (в зависимости
от знака производной y?'(wj"))h заменяя интегралы квадратурными фор-
формулами A.6) и A.36), получим вследствие коммутативности операто-
операторов Л и Л, схему из A.9) вида
A(um + l - ит)/т + At(A/h)vm + l =AtAf, A.37)
соответствующую a0 = 5/12, о^ = 8/12 и Ог = —1/12.
В индексном представлении, например в случае <р'и > 0, она записы-
записывается следующим образом:
5
12
1-
ь
5
12
'/-I ~
T
"/-1
'-*/'
ft
-1-
Я+]
8
12
i
up
8
12
+ ' Wy"
T
h
1
12
w
1
12
m +1
/+1
T
"/+1
'-^
где через d,- для краткости обозначены члены, входящие в правую часть
A.37).
Исследование устойчивости схемы A.37) спектральным методом сво-
сводится1 к анализу корней уравнения
/5 8 1 1\
Х-1+ —Л + — )rW(a) = 0, r = ar/h = const, A.38)
V 12 12 12 Л/ v '
в котором Re^K')^ 0.
Уравнение A.38) громоздко для алгебраического анализа, однако
численное решение его элементарно. Изменение величины Л = max IXl
с изменением параметра \а\ т/h, полученное расчетным путем из уравне-
ния A.38), показывает, что схема A.37) условно устойчива: Л<1 лишь
при \а\т/И? 1. Это означает, что применять ее следует лишь для оииса-
ния нестационарных процессов, когда выбор шага по времени т~И дик-
диктуется физикой явления.
При этом компенсацией за усложнение процесса счета по сравнению
27
со случаем явных схем может служить третий порядок точности по всем
переменным на компактном трехточечном в каждом направлении шаблоне.
Схемы с <Эм/Эг)т+1 = (Змт + 1-4мт + мт)/2г. Запишем семей-
семейство трехслойных схем с такой дискретизацией производной du/dt в виде
3 + ll A
2т / h
ао + Oi + а2 = 1.
При ао = 1, а1 = 02= 0 имеем схему с погрешностью O(r2 + h3). Собствен-
Собственные значения X оператора перехода для нее могут быть записаны в виде
(#>'„ =а = const)
X = Ь >— A.40)
3 + 2R + 2Si
где для краткости введены обозначения R=arReW, S=ar\mW, причем
r = TJh, a W — функция комплексного аргумента из A.12), удовлетво-
удовлетворяющая условию aRcW>0. Покажем, что |Л121^ 1- Обозначим через У
модуль выражения A — 2/2 - 2Si) и рассмотрим две возможности: У< 1
и У> 1. В первом случае модуль числителя A.40) удовлетворяет нера-
неравенству
|2 + A -2R -2501/2l<2 + s/F<3,
а модуль знаменателя [C + 2RJ + 4S2]1!2 не меньше 3 в силу R > 0,
поэтому модуль дроби A.40) не превосходит единицы.
Пусть теперь У> 1. Записав A.40) в виде
2 ± JY(cosif/2 + i sin <p/2)
Л= —-— -LJ- , v»=arccos[(l-2/?)/y],
3+2Л+25!
получим после простых выкладок, что неравенство |Х|2< 1 выполняет-
выполняется, если
<t>i,2(Y,R)=Y2- У=4[A - 2R + У)/2]1/2 + 4 + 16R > 0.
Для Ф2 это очевидно в силу У> 1, Для Ф) имеем при R>0, Y> 1:
Ф^У, 0) > 0, поскольку ЭФ^Г.ОуЭу = 2У -- 1 - [A + Y)/2]-1'2 > 0,
Ф]A, 0) = 0, и, кроме того, ЭФ!(У, Л)/ЭЛ = 16+ 2[A - Ж + Y)j2yll2 > 0.
Таким образом, трехслойная схема A.39) абсолютно устойчива.
Используя некоторую свободу выбора весовых множителей а,-(/ = 0, 1, 2)
в A.39), можно построить схему с погрешностью О(т3 + /г3). Для этого
достаточно подставить разложения в ряд Тэйлора решений u(x,t) зада-
задачи A.8) в окрестности t = tm + l в схему A.39) и потребовать обращения
в нуль всех членов порядка О(т) и О(т2). Простейшие выкладки приво-
приводят к значениям а0 = 2/3, аг = 2/3, а2 = - 1/3.
Схема A,39) с этими коэффициентами, как показывают вычисления
собственных значений А оператора перехода, является условно-устойчивой.
Схемы с операторами А и Д для нестационарных задач. Алгоритмы,
основанные на применении аппроксимаций A.9), обладают общим свой-
свойством: их погрешность при установлении не зависит от шага т (полная
аппроксимация в смысле [41] ).
28
Это позволяет использовать их при решении стационарных и нестацио-
нестационарных задач. В первом случае оказываются достаточными простейшие
аппроксимации <Mf)m+1 производной du/dt; более того, допустимо вооб-
вообще отказаться от аппроксимации этой производной, введя вместо нее
член B(ut)m + 1, гДе В — некоторый оператор, ускоряющий сходимость
функции и™ при т -*°° к стационарному решению.
Применение неявных абсолютно устойчивых схем типа A.9) для не-
нестационарных задач в общем случае может представиться нерациональ-
нерациональным из-за увеличенного количества арифметических операций по срав-
сравнению с явными схемами. Тем не менее схемы A.9) могут оказаться
полезными и в этом случае в силу следующих причин:
величины шагов по времени, диктуемые требуемой точностью времен-
временного разрешения, могут оказаться больше, чем шаги по времени, опреде-
определяемые критериями устойчивости явных схем;
необходимость сгущения узлов сетки в пространственном направле-
направлении может приводить в случае явных схем к неоправданно малым ша-
шагам по времени.
Если же по смыслу исходной задачи полная аппроксимация и абсолют-
абсолютная устойчивость не требуются, то применение операторов А и Д оказы-
оказывается естественным способом повышения порядка аппроксимации не-
некоторых известных явных схем, не входящих в семейство A.9), с сохра-
сохранением их условной устойчивости. Заметив, что явная двухслойная схе-
схема A.9) с ао = 0, Oi = 1 абсолютно неустойчива, модифицируем в качестве
примера одношаговую схему Лакса—Вендрофа. Не нарушая общности,
рассмотрим уравнение с постоянными коэффициентами A.20). Записав
разложение в ряд вида um + l =ит + ти(+ (т2/2)ии + О(т3), где все произ-
производные взяты при t = tm, заменим производные по времени производны-
производными по пространству, используя исходное уравнение A.20). Для аппрокси-
аппроксимации первых и вторых производных но х воспользуемся соответственно
операторами А'1 А и Дг> Окончательно получим схему с погрешностью
O(?+h3 + Th2):
um + l-um с тс2
+ -А-1Аит- —:Д2мш = 0. A.41)
т h 2h2
Для реализации A.41) требуется трехточечная скалярная прогонка при
обращении оператора А; при этом сначала определяется сеточная функ-
функция Z = A~1Aum, а затем um+1 =um-(tc//i)Z+т(фJА2ит/2.
Схема A.41) уступает схеме A.14) по запасу устойчивости: она всего
лишь условно устойчива. Однако в случае многомерных задач, решаемых
на ЭВМ с векторными или матричными процессорами, обращение опера-
операторов А, соответствующих различным пространственным направлениям,
можно осуществлять одновременно, а не последовательно, как в случае
неявных схем расщепления. К тому же такое обращение может оказать-
оказаться предпочтительнее обращения операторов вида А + остА/h, с -у'и, в схе-
схеме A.14).
На основе известных схем (например, двухшаговых) можно сконструи-
сконструировать и другие алгоритмы, обладающие погрешностью O(h3). Для этого
достаточно вместо традиционных формул численного дифференцирования
применять оператор А'1 А.
29
Дисперсионные и диссипативные свойства. При анализе дисперсионных
и диссипативных свойств схем, построенных на основе операторов А и А,
можно использовать выражения A.12) для W+(a) и W_(a). Однако дис-
дискретизация производных по времени, вообще говоря, изменит величины
фазовых и амплитудных ошибок, Рассмотрим сначала двухслойную схе-
схему A.11) с весами ао~а и ai=l — а. Подставляя в нее решение вида
ит _ х^ехр^/ги^ получим равенство
X=|X|exp(-m0), A.42)
в котором а = kh, a IXI и б определяются выражениями
1X1 =
1
0 = — arctg
2a)KW0 - аA - a)K\W20 + W\)
(I + oKW0f + o2K2W\
1/2
A.43)
Ka ~"° [l-(l-2o)KW0-a(l-o)K\W20+W\)]
где К - число Куранта (К = с т/Л).
Сравнивая A-42) с относительным изменением точного решения A.20)
u(t + T)/u(t)=e~ =e~' Q, получим для относительной фазовой ско-
скорости с*/с = в при небольших значениях а оценку вида
с*/с= 1-(а2 -о+1/3)К2а2 +О(аА); A.44)
выражение A-43) для |Х|, которое при а>0,5 всегда не превышает
единицу, при этом перейдет в
|X|=l-(a-l/2)tfV+0(a4). A.45)
В случае схемы A.41) имеем
с* 1
с Ka __^JL-LKW1-2K^n*(pl2y_^
|X|= ч/П -KW0 - 2A:2sin2(a/2)]2 +K2W\ .
Из A.46) следуют оценки
c*/c = 1 + (Я/2) а2 + 0 (a4), |X|= 1 +O(a4), A.47)
причем |Х|<1 при К<Ктах, Ктах « 0,3.
На основании равенств A.44)-A.46) можно сделать следующие заклю-
заключения. Для длинных и средних волн (а< I) в случае схемы A.11) ам-
амплитудные и фазовые ошибки при введении приближенной формулы для
производной по времени возросли по сравнению со случаем дифферен-
дифференциально-разностного уравнения A.21); однако у схемы A.11) типа Кран-
ка-Никольсона (а = 0,5) они минимальны: |Х| = 1 + О(а4), с*/с = 1 -
- К2а2/12 +О(а4). В случае схемы A.41) увеличилась лишь фазовая
ошибка; при значениях К, допускаемых критерием устойчивости, это
увеличение незначительно. Что касается коротких волн (а^п), когда
фазовые ошибки максимальны, то обе схемы A.11) и A.41), согласно
A.43) и A.46), при надлежащем выборе числа Куранта К могут обеспе-
обеспечить их очень быстрое затухание flXI^O). Таким образом, аппроксима-
аппроксимации А~1А благоприятны в тех случаях, когда желательно точно моделиро-
30
вать распространение длинных и средних волн, интенсивно демпфируя
высокочастотные гармоники. При этом третий порядок схемы позволяет
выбирать более крупные шаги И, чем в случае схем второго порядка.
Как следует из приведенного выше анализа, введение аппроксимации
временной производной может ухудшить оценки A.23) для фазовых и
амплитудных ошибок, вносимых в точное решение оператором А~1А (по-
(последние, как легко показать, приводят к соотношению |Х| =exp(-KW0)).
Чтобы устранить дополнительные фазовые и амплитудные погрешности,
достаточно повысить порядок схемы относительно шага т. К этому при-
приводят следующие эвристические соображения.
Пусть <du/dt) = (du/dt)t=tm +7(г<гЭ<?+1и/Э^+1)г=^г<? + О(тч+1)- неко-
некоторая аппроксимация производной Ъи/bt порядка q с коэффициентом у
в разложении по т. Тогда получим дисперсионное соотношение для диф-
дифференциального приближения
-iw+yT4(,-iuL+1 + - W0(kh) + - Wrdch) = 0. A.48)
h h
Для отношения cj/k из A.48) следует уравнение
~(oj/k)-y(-TOt/h)q(b)/k)q+1iq +cW1(a)/a- icWo(a)/ot=O, a = kh. A.49)
Считая при малых а второе слагаемое в A.49) малой поправкой к зна-
значению ш/к = cW1(a)/a, получим для фазовой скорости с* = (Reco)/& оценку
с* = cWi(a)la + O(aq). Мнимая часть со определяет вклад, вносимый в дис-
диссипацию схемы.
1.6.0 двухслойной схеме третьего порядка относительно г и h
Построение двухслойной схемы. Рассмотренные выше трехслойные схе-
схемы, обладающие погрешностью О(т3+ h3), являлись лишь условно устой-
устойчивыми. В некоторых случаях, однако, оказывается желательным использо-
использование абсолютно устойчивой схемы, имеющей высокий порядок аппрокси-
аппроксимации относительно шага т. Такая схема полезна, в частности, при построе-
построении маршевого алгоритма для стационарных задач, в которых роль вре-
времени играет одна из пространственных координат. Оказывается, удается
построить двухслойную двухшаговую схему, обладающую этим свойст-
свойством [42]. Дня уравнения A.8) запишем сначала схему вида
/h=Atfm, A.50)
где At — оператор, определенный на сетке сот и аналогичный оператору
А + , определенному на сетке сой:
фактически оператор At является сопряженным оператору At из трехслой-
трехслойной схемы A.37). Ясно, что схема A.50) имеет погрешность 0(г3+/г3).
Вместе с тем она содержит нежелательный член A~1A<fim + 1/12h, который
затрудняет ее реализацию. Для исключения этого члена без понижения
точности аппроксимации достаточно воспользоваться какой-либо схемой
второго порядка. Выберем схему типа Кранка—Никольсона, представив
31
ее в виде
+ — (A~1Awm~l +A~1Aipm + 1) = Fm, A.51)
2т 2h
где Fm = T^lAtfm, причем T^l — оператор сдвига на т/2 в положитель-
положительном направлении оси t.
Обозначив через Lum -A~lA^{um)lh и комбинируя A.50) и A.51),
получим искомую схему вида
[Е + B13)тЬ]ит - {Е - tL [5E - (Е + тЬу1 (Е -
= г [Е + (r/6)L (Е + rL) Г[/2] /*. A.52)
Для определения ит достаточно сначала найти предварительное зна-
значение ит + 1 из A.51), подставить его в A.50), а затем обратить опера-
оператор [Е+ B/3)tL] в A.50). Ввиду нелинейности оператора L, как и в слу-
случае рассмотренных выше неявных схем, требуется его линеаризация от-
относительно известных значений сеточной функции щ. Эти значения мож-
можно получать, например, по тем или иным экстраполяционным формулам
или из предыдущей итерации в случае использования какого-либо итера-
итерационного процесса для решения нелинейных уравнений.
Убедиться в третьем порядке схемы A.52) можно, не прибегая к гро-
громоздким выкладкам. Для этого достаточно заметить, что A.52) отли-
отличается от схемы A.50) членами
Т Т Т2
— L{E + tLY1 (Е~тЬ)ит-1 - — Lum + 1 + —L(E + tL)'1 TmAtfm.
12 12 6 A.53)
Умножая A.53) слева сначала на L'1, а затем на (E + tL), получим
выражение вида
т т2
— (-um-i+um+1-TLum+1-TLum-1)+ — Tl,2Atfm.
Поскольку Т1/2 =Е+ — Dt + O(r2), At = Е- — Dt + О(т2), где Dt - опера-
оператор дифференцирования по t, легко усмотреть, что это выражение, а сле-
следовательно, и A.53) имеют порядок О (г4).
Оценки устойчивости, диссипации и дисперсии. Для оценки устойчи-
устойчивости при предположении <р(м)=ям, а = const достаточно воспользовать-
воспользоваться методом Фурье. После громоздких выкладок модуль собственных
значений оператора перехода в пространстве фурье-образов может быть
записан в виде
1 + - К» + — A3ju2 - 5р2) - -K3v(v2 + ц2)+-(и2 + ц2JКЛ
|х|2= ~^5 8Т2 То 1 '
1 + —' Kv + — A3fi2 - 5v2) + — К3р(рг +Ц2)+ - (у2 + ц2JКА
A.54)
где K=ar/h, а через v и д обозначены функции W0(a) и Wt(a), a = kh-
32
Из A-54) следует неравенство |Х|<1, т.е. абсолютная устойчивость схе-
схемы A-52), а также оценка для амплитудных ошибок, характеризующая
диссипацию схемы:
Таким образом, схема A.52) характеризуется очень малой диссипа-
диссипацией для длинных по сравнению с h волн. Для самых коротких волн,
разрешаемых сеткой (kh =тг), A.54) переходите
1 +D/3)Кит -E/9)К\2т -
|Х '' 1 + A0/3)Kvm - E/9)K2v2m + B0/9) ATV A '"/<« ^4
m
где vm = W0(jr) =s 6, откуда следует, что такие волны быстро затухают
(при больших числах Куранта К |Х | ** 3/4).
Выражение для схемной фазовой скорости, характеризующее фазо-
фазовые ошибки, может быть записано в виде
а KhA8 + 42Kv + 23Kii + 46Kv)
а* = arctg
Ка 18 + 42Kv + 1ЗЛГV + 20K2v2 - 1Кгиц - 24К4и2ц2 - вКV
Разложение в ряд правой части этого выражения по степеням kh приво-
приводит к следующей оценке при kh < 1 :
a*la=\ -O(k4hA).
Таким образом, схема A.52) обладает следующими благоприятными
свойствами: третьим порядком аппроксимации; трехточечностью шабло-
шаблона в направлении х и двухслойностью по t; абсолютной устойчивостью; ма-
малыми амплитудами и фазовыми ошибками для не слишком коротких
волн и подавлением высокочастотных схемных осцилляции.
Такая схема может быть использована для решения нестационарных
задач и в маршевых алгоритмах для стационарных задач. В последнем
случае, как показывает анализ, существенным является двухслойность
схемы.
1.7. Примеры сквозного счета разрывных решений
Нелинейное уравнение переноса. Схемы, построенные на основе опе-
операторов А и А в виде уравнений баланса через границы сеточных ячеек,
могут быть использованы для получения решений, допускающих разры-
разрывы. В качестве примера целесообразно рассмотреть модельное уравнение
Ъи/bt + й(Эы2/Эх) = 0, A.55)
являющееся грубым аналогом уравнений газовой динамики. Если для
A-55) поставлена задача Коши с начальными данными и@, х) =мо(х),
причем функция ио(х) на некотором интервале от х убывает, то вслед-
вследствие пересечения характеристик dx/dt=u этого уравнения его реше-
решете должно содержать разрыв. Конечно-разностное описание разрыва
и его распространения может иллюстрировать дисперсионные и диссипа-
тивные свойства применяемой схемы. Пусть имеются следующие усло-
условия Коши при / = 0::
( u(x, 0) = 2-x/d(d<x<2d); u(x,0) = 0(x>2d).
3-Зак. 761 33
Тогда точное решение задачи A.55), таково, что при t = d формируется
разрыв, который затем движется с постоянной скоростью х/г=О,5 в по-
положительном направлении оси х.
Для численного решения этой задачи использовалась трехслойная услов-
условно-устойчивая схема A.37) с применением оператора At, определяющего
квадратурную формулу при интегрировании потока через границу х = const
сеточной ячейки.
При решении разностных уравнений с граничными условиями u"' + l = 1,
млг+1 = 0 (граница x=Nh выбиралась достаточно далеко от начала коор-
координат) использовались все перечисленные выше методы: трехточечная
прогонка для линеаризованной системы, бегущий счет при обращении
двухдиагональных матриц, решение нелинейных (квадратных) уравне-
уравнений в каждом узле. Во всех случаях применялись итерации для получе-
получения с заданной точностью малых невязок нелинейных уравнений при
t = tm + i. При прочих равных условиях затраты машинного времени были
несколько меньшими в случае обращения двухдиагональных матриц.
На рис. 1.2 показаны изменения функции и в окрестности разрыва,
полученные при помощи схемы A.37) при т/h = 0,7 (сплошные ли-
линии) и явных схем третьего порядка из [16, 43] (треугольники). Во
всех случаях наблюдается хорошее совпадение фронтов точного и раз-
разностного разрывов, характеризующих малые фазовые ошибки. Особен-
Особенностью приведенных на рис. 1.2 расчетных данных для схемы A.37) яв-
является расположение участков немонотонности решений впереди разры-
разрыва (со стороны малых значений ы). Это объясняется тем, что для корот-
коротких волн разностная групповая скорость превышает фазовую, что нахо-
находится в соответствии с линейным анализом п. 1.3. Быстрое затухание
пилообразных колебаний при удалении от разрыва может быть объясне-
объяснено значительной диссипацией схемы для этого диапазона длин волн и со-
согласуется с наличием составляющей м;-= (—1)^, @<<7i< 1) в реше-
решении однородных разностных уравнений с постоянными коэффициентами.
В отличие от явных схем третьего порядка схема A.37) для устой-
устойчивого счета не требует введения внепорядковых диссипативных членов.
В этой схеме их можно использовать для уменьшения амплитуд схем-
схемных осцилляции. Некоторые примеры такого использования приведены
на рис. 1.2,6 (пунктир). Расчеты, однако, показали, что в случае урав-
уравнений газовой динамики незначительные быстрозатухающие осцилляции,
если они и появляются при применении рассматриваемых схем, не вно-
вносят каких-либо трудностей в интерпретацию и практическое использова-
использование получаемых решений.
Задача о распаде разрыва. Пусть для уравнений газовой динамики
Эрм Э(рм2 + р) Эр Эри
-Л.+ _^ — =0, JL+JL- = 0 A.56)
Ы Эх bt Эх
Э /h u2\ dpu(h+u2/2)
— p ( - + — ) + = 0,
bt V У 2 ) Эх
P=[b-l)ly]ph,
где и, p, p, h и у — соответственно скорость, давление, плотность, эн-
34
2,0
V
-2а -w
7ff
Рис. 1.2
-Л7 -Z5" /7 25 SO
Рис. 1.3
тальпия и показатель адиабаты, поставлена задача Коши
и@,х) = 0, р@,ж) = р,, р@,х) = р, при х< 0,
и@,х) = 0, р@, х) = р2, р@, х)-р2 при х>0.
Решение этой задачи хорошо изучено (см., например, [44]); оно характери-
характеризуется возникновением при t > 0 областей непрерывного решения в плос-
плоскости х, t, разделенных между собой ударными волнами и контактны-
контактными разрывами.
При использовании операторов А и Д для аппроксимации производ-
производных по х в A.56) возникает вопрос о том, какую пару из них следует
выбрать в каждом из трех уравнений.
Решение этого вопроса в общем случае гиперболических систем будет
рассмотрено ниже. Для системы A.56) удается сформулировать простое
правило выбора пар операторов, имеющее частный характер. Рассмотрим
его на примере двухслойной схемы
Пусть в некоторой части расчетной области /0А0 < fl1 </i^ выполняет-
выполняется условие
где с - скорость звука. Тогда, используя во всех трех уравнениях A.56)
операторы А и А из A.14) при s = sgn«y", получим в приближении замо-
замороженных коэффициентов уравнение, корни которого являются собствен-
35
ными значениями оператора перехода:
где RQC) = (X — 1) (а0Х + оч). Это уравнение распадается на три уравне-
уравнения вида A.20) с коэффициентами а, = и, а2 = и - с и аэ = и + с. Все они
определяют значения X по модулю, не превосходящие единицы в силу
s = sgna,,j=l,2,3(ao>0,5).
В областях, где |м| < с, при аппроксимации первого и третьего уравне-
уравнений A.56) следует использовать операторы из A.14) при s = sgnuj1, а при
аппроксимации второго уравнения A.56) — сопряженные операторы
(A.14) при s = — sgnuj1). После несложных выкладок уравнения для X
можно записать в виде
R(XJ + 2мл"(Im W)R (X)+ \W\2r2(c2 - и2) = 0.
Рассматривая второе из этих уравнений как квадратное относительно
Л (X), найдем
Л(Х)= -uri* iy/u2r2(LmWJ +(c2 - и2)г2|И>|*'. С1-57)
Разрешая A.57) относительно X, получим при ао> 0,5 значения X, по мо-
модулю не превосходящие единицы.
Аналогичный анализ можно провести и для других схем, использую-
использующих операторы А и Д. Вид выписанных выше уравнений для X не изме-
изменится, если положить
— X — 2 + — X JX в случае схемы A.39) с а0 = 1, а, = а2 =0,
/5 8 1 Л
(X - 1) ( — Х + — - —X1) в случае схемы A.37).
\ 12 12 12 /
При расчетах использовалась условно-устойчивая схема A.37), реали-
реализуемая трехточечными прогонками с итерациями.
На рис. 1.3 приведены два примера расчета, характеризующиеся:
один — возникновением сравнительно мощной волны разрежения, дру-
другой - наличием интенсивных ударных волн и контактного разрыва. В пер-
случае (рис. 1.3,д) начальные данные при г = 0 выбирались следующим
образом: р = р = 2, м = 0 при х<0ир=р=1,м = 0 при х > 0; во втором
случае (рис. 1.3,5) начальные данные заимствовались из [16]. Расчеты
проводились при т/h =0,5. Для сравнения на рис. 1.3, а приведены резуль-
результаты, полученные по схемам первого [44], а на рис. 1.3, б — третьего [16]
порядков точности (штрихпунктирные и штриховые линии соответственно).
Из анализа рис. 1.3 следует, что решения, получаемые при помощи
компактной схемы A.37) и явной схемы третьего порядка [16] прак-
практически совпадают и указывают на существенно меньшую схемную дис-
диссипацию, чем в случае схем первого порядка.
36
1 8 Компактные схемы третьего порядка для гиперболических систем
Построение аппроксимаций. В случае систем уравнений возникает во-
вопрос, какую пару операторов At, Д* следует использовать при дискрети-
дискретизации пространственных производных в различных уравнениях. Пример
из п 1.7 показывает, что в частных случаях абсолютная устойчивость может
быть достигнута путем применения пары А+, Д_ в одних уравнениях и
пары Л_, Д+ —в других. В общем случае этот вопрос можно решать так же,
как он часто решается для схем с односторонними разностями, т.е. путем
диагонализации матрицы соответствующей линеаризованной системы.
Диагонализация позволяет выбрать такие пары операторов Л+ и Д, для
каждого образовавшегося скалярного уравнения, которые приводят к
абсолютно устойчивым схемам с положительными операторами.
Пусть имеется система вида
3f (и,*)/д/ + 3F (и,х)/Эх =g(u, x, t), A.58)
где u, f, F и g — р-комионентные векторы, причем векторные функции
f, F и g обладают достаточным запасом гладкости. Поставим ей в соответ-
соответствие линейную систему
Ъи/dt + L'lQbu/bx = g1(u,x,t), A.59)
в которой L = 9f/9u и Q = dF/du — матрицы Якоби. Предположим, что
схема A.59) гиперболична и матрица L'lQ = K имеет действительные соб-
собственные значения X,- (/ = 1, р ).
Чтобы наметить структуру компактной схемы третьего порядка, пред-
предположим сначала, что матрицы L и Q постоянны. В этом случае преобра-
преобразованием u = Sv, где столбцами матрицы S являются собственные векто-
векторы матрицы К, система A.59) приводится к виду
bv/dt + \dv/dx = S-1gi, A.60)
где Л= diag{X,, Х2,..., Хр}, а К = SAS~l. Таким образом, мы приходим
к системе независимых друг от друга уравнений
в которой V(f) uf(i) — компоненты векторов v и S~lgi соответственно.При-
соответственно.Приведение гиперболических систем к каноническому виду A.60) широко
использовалось при построении явных схем с односторонними разностя-
разностями (см. [13,21]).
Каждое из уравнений A.61) является частным случаем рассмотренно-
рассмотренного выше уравнения A.8), и его можно аппроксимировать при помощи
операторов А и Д. Рассмотрим простейшую дискретизацию производной
по времени - двухслойную схему с весовым множителем вида
Ио -0,25sgnX,A0] "")+'"^+ (Ao
2И
A.62)
где черта сверху означает, что рассматриваются взвешенные значения
функций v и g,: v = ovm + 1 + (l -CT)vm, g, =ag[" + 1 +A - ff)g{"-
Записывая A.62) в матричном виде и возвращаясь к прежней неремен-
37
ной u = 5 4, получим после умножения всех членов на S ' следующую
схему:
u um д МА
(Ао ¦¦¦¦ О,25МДО) ~ — + —— Кп =
т 2/г
A.63)
Здесь M=SDS~\ а через D обозначена диагональная матрица с элемента-
элементами sgnX/.
Перепишем схему A.63) в следующем эквивалентном виде:
L'xQ\x =
2/г
После умножения последнего равенства на L схема A.63) может быть
представлена в виде
u um (д MA 2)Qu
(Ао - 0,25AfA0)Z. — + — = {Ао - 0,25Л/До)я,.
т 2h
A.64)
где M = LML~1. Матрицы М и М в схемах A.63) и A.64) играют ту же
роль, что и скалярный множитель sgni^'(«m) в схеме A.14) для скаляр-
скалярного уравнения A.8) , в случае р = 1 эти матрицы переходят в sgnXj.
Несколько модифицируя операторы в схеме A.64), но сохраняя ее
общую структуру, запишем аппроксимацию нелинейного уравнения A.58)
в виде
Bx{im + l-im)lT + Cx? = Bxg, A.65а)
где
fm = f(um,x), F = aFm + 1+(l -a)Fm, Fm = F(um, x),
g=agm + 1+(l ._a)gw
а для операторов Вх и Сх возможны следующие варианты:
Вх=А0-0,25АоМ, Сх= — [Д0-Д_(Г1/2Л/)Д+], A.656)
ВХ=АО- 0,25 [(Ту2М)(Е + Г,) - (Т_1/2М)(Е + Г_,)], A.65в)
С,= ^[Д„- Д_(Г1/2М)Д+],
^=/10-0,25^0, Q = —[До-ЛГД2]. A.65г)
Предполагается, что в узле x=Xj сеточные функции в полуцелых узлах
вычислены следующим образом:
Тт М = (М,+, + М,I2 = W(uj+ 1. jc/+ ,) + Л/(U/, *у)
38
или
Tl/2 M = Mj r 1/2 = М ((и/ +, + и/ )/2, Xj +1/2 ) .
Аппроксимирующие свойства операторов Вх и Сх. Если собственные
значения матрицы K = L'iQ не меняют знака в рассматриваемой области,
то схема A.61) имеет третий порядок аппроксимации относительно шага А.
Действительно, тогда при предположении о достаточной гладкости реше-
решений A.58) справедливы следующие представления для операторов Вх и Сх:
h h2 Л
>,.-DxM+—D2 if+ O(h3), A.66a)
V 2 6 x/
/
Cx
Cxf=(E- ^
в случае операторов A.656) , A.65в);
/ h h2
/ h h \
Bx f =: E - -MDX + —Dxjf + O(h3), A.666)
Qf =
в случае операторов A -65г). Здесь и далее знак ~ над М опускается.
Подставляя A.66а) (или A.666)) в A.65а) и умножая полученные со-
/ И И2 , \ ~1 / h h2 . \ '1
отношения на ( Е - — DXM + — D2X \ ( или ( Е MDX + — D\ V ) ,
получим равенство
из которого следует, что локальная погрешность аппроксимации схемы
A.65а) имеет порядок О( (а - 0,5) т + Аэ).
Если же в окрестности рассматриваемого узла х = х;- хотя бы одна функ-
функция \/(х) (/= \,р) меняет знак, то элементы матрицы М оказываются
разрывными.
Если при этом узел x = xj не является точкой смены знака Xt(x), то
при достаточно малых И разложение A.666) остается в силе, поскольку
в нем отсутствуют производные от матрицы М. Однако сеточные функции
Вх{ и Cxf в случае операторов A.656) или A.65в) уже не могут быть
представлены в виде A.66а), поскольку последние предполагают доста-
достаточную гладкость М в интервале [л:у_ i, Лу + j ].
Для выяснения порядка локальной аппроксимации схемы A.65а)
с меняющимся знаком X,- удобно выделить из нее члены с матрицей М\
их сумма в узле Xj -jh в случае операторов A.656) имеет вид
1 Г /3f\ /3f\ 1 1
A67)
39
Нетрудно убедиться, что матрицу М можно представить в виде
М = I (sgn\k)M(k),
где M^=SD^S1, а матрицы D^ имеют единственный ненулевой
элемент, равный единице, находящийся на пересечении fc-й строки и #>го
столбца. Таким образом, разрыв элементов матрицы М определяется
изменением функции sgn\k(x), в то время как элементы матрицы М^
{к = \,р) остаются гладкими.
Поскольку часть схемы A.65а), не зависящая от М, аппроксимирует
уравнение A.58) с четвертым порядком относительно шага h, достаточ-
достаточно рассмотреть порядок малости суммы A.67) .
Если собственные значения \к не меняют знак, то произведения
sgnXfcM(fc* являются гладкими функциями х. При этом выражение A.67)
после разложения в ряд Тейлора может быть представлено в виде
2 Эх \ \Э// Элг , х=х.
В силу исходного уравнения с точностью до дискретизации производной
9f/9f оно имеет порядок O(h3).
Пусть теперь при некотором к функция sgnXfc меняет знак в окрест-
окрестности узла Xj. Для определенности будем считать, что
sgnXjtОсу— 1)= 1, sgnX^(xy) = —1, sgn\k(Xj+l) = -1; A.68)
все остальные ситуации могут быть рассмотрены аналогичным образом
с тем же окончательным результатом. При выполнении равенств A.68)
часть выражения A.67), зависящая от М^к', может быть записана в виде
A.69а)
Используя гладкость элементов матрицы Л/' ', легко убедиться в том.
что на решении уравнения A.58) выражение A.69а) имеет порядок
2
Аналогичным образом можно проанализировать локальную погреш-
погрешность схемы A.61) с операторами A.65в).
Пусть функция \к меняет знак в некотором интервале [x/_i, */], при-
причем без потери общности имеют место равенства A.68). Тогда, повто-
повторяя рассуждения, получим вместо A.69а) выражение вида
A.69б)
4 [ > + 112 V W у+1 \bt/ i h
оно в отличие от A.69а) имеет на точном решении A.58) порядок
О((а - О,5)т + г2 + /г2).
Приведенные оценки относятся к локальной аппроксимации. Если же
использовать среднеквадратичные нормы, то порядок аппроксимации
40
в случае нарушения гладкости элементов матрицы М повысится до 3/2
и 5/2 соответственно для операторов A.65а) и A.656).
Из вида операторов Вх и Сх, задаваемых формулами A.656), A.65г),
следует, что во втором случае схема A.65а) неконсервативна. Наоборот,
при использовании операторов A.656) и A.65в) сеточные функции Bxfj
и CxKfj можно представить в виде
где функции q/± 1/2 и Qy+ y2 зависят линейным образом от f;-.
Такая структура операторов в схемах A.65а,б,в), по существу, выра-
выражает свойство консервативности этих схем, позволяя интерпретировать
последние как уравнения баланса потоков через границы ячеек, образо-
образованных разностной сеткой. При суммировании A.65а) по всем узлам
потоки через общие внутренние границы ячеек исчезают.
Для консервативной схемы A.65а), A.65в) имеет смысл использо-
использовать также негативные нормы [39] вида
||f||,=/i2 Z I 2fy| или ||f||j=A>/ 2
fci /1 fc
=i /=1 fc=i /=1
где N - число узлов сетки. В этих нормах в силу взаимного уничтожения
погрешностей при суммировании третий порядок сохранится даже при
нарушении гладкости.
Из приведенных выше оценок следует, что при изменении знаков соб-
собственных значений (например, на звуковой линии в случае уравнений
газовой динамики) теоретические качества схемы несколько ухудшаются,
что, впрочем, свойственно всем схемам с ориентированными разностями
на фиксированном шаблоне. Чтобы избежать этого, достаточно заменить
разрывные функции sgnX^(x) их надлежащими гладкими аппроксима-
аппроксимациями. При этом, согласно разложениям A.66а) и A.666), третий поря-
порядок схемы A.65а) не нарушается. В силу этих же формул без потери
третьего порядка можно вместо sgnX^(;c) использовать любые гладкие
функции sk(x), удовлетворяющие условиям sgnsk(x) = sgnX^(x). В ска-
скалярном случае это соответствует применению вместо двухточечных раз-
разностей Д + некоторых трехточечных аппроксимаций первых производных
вида 0,5(Д0— sA2) или О,5(ДО-Д2«), Ы=?1. Использование этой до-
дополнительной степени свободы требует специального исследования. На
практике оказывается вполне применимым следующий прием: в узлах,
где |Х( )(х)|<е при заданном малом числе е, полагается Х^(х) = 0 и,
таким образом, используются аппроксимации четвертого порядка. Ко-
Конечно, в случае схемы A.65а), A.656) это приводит к появлению внут-
внутренних источников схемного происхождения, однако при относительно
небольшом числе таких узлов их роль с учетом высокого порядка их ма-
малости можно оценить как незначительную.
Можно отметить также, что аппроксимационные свойства операторов
х и Сх установлены в предположении о достаточной гладкости решения и
задачи для системы A.58). В действительности же решения A.58) при
некоторых начальных и краевых условиях необязательно являются глад-
гладкими, допуская, в частности, существование разрывов. Если потеря глад-
41
кости происходит в окрестности точки смены знака собственных значе-
значений матрицы К, то оценки погрешности аппроксимации в окрестности
этих точек могут оказаться неприменимыми. В этих случаях схемы A.65а),
A.656) и A.65а), A.65в) можно интерпретировать как разностные зако-
законы сохранения, справедливые и для разрывных решений. Более подробная
информация об анпроксимационных свойствах описанных выше схем мо-
может быть получена с учетом конкретного вида системы A.58) и свойств
ее решений. С практической же точки зрения возникает альтернатива:
либо использовать неконсервативную схему A.65а), A.65г), имеющую
всюду на гладком решении локальный третий порядок относительно
шага И, либо использовать схемы A.65а), A.656) или A.65а), A.65в),
утрачивающие в окрестности смены знака Х^ третий порядок, но во всех
случаях аппроксимирующие законы сохранения. При проведении конкрет-
конкретных расчетов в основном принимался второй вариант.
О реализации алгоритма. Системы разностных трехточечных уравнений,
возникающие при непосредственном применении схемы A.65а), являют-
являются, вообще говоря, нелинейными. Попытка решать ее вряд ли целесооб-
целесообразна, по крайней мере, если число уравнений системы превосходит еди-
единицу. Поэтому естественно заменить исходную схему A.65а) схемой
с линеаризованным оператором, который для своего обращения требует
решения линейной системы. Такая схема имеет вид
(ВхL + таСх Q) (и™ +' - ит)/т + Сх F(um) = g, A.70)
где матрицы L = 3f/9u и Q = 9F/9u вычислены по значениям сеточной функ-
функции ит. На гладких функциях она отличается от схемы A.65) членами
порядка О(т3). Действительно, схема A.70) может быть представлена в
следующей форме:
BxL(um + 1 - ит)/т + Сх (oQum + 1 + Fm - aQ\im) = g,
Fm = F(um).
Для сравнения ее с исходной схемой A.65а) достаточно воспользо-
воспользоваться разложениями функций f(u) и F(u) в ряды Тэйлора в окрестнос-
окрестносиз которых следует, что
где 6 = ||um +' - um||. С использованием этих равенств схема A.70) запи-
запишется в виде
f т + 1 _ j m j
Вх + — O(&2) + Cx[oFm + 1 + (l - а)?т +ОF2)] =g\
т т
Ввиду того что 6= 11тЭи/ЭН1 + О(т2), дискретизации производных но пере-
переменным г и х в схемах A.65а) и A.70) имеют отличия порядка О(т)
и О(г2) соответственно. Нетрудно показать, что при а =0,5 отличие схем
A.65а) и A.70) можно сделать равным О(т2), если матрицу L вычислять
но сеточной функции um + 1'2, определяемой, например, путем экстраполя-
экстраполяции функций umnu.
Разностные уравнения относительно векторной сеточной функции um + 1,
полученные из A.70), во внутренних узлах области [jco,^] могут быть
42
записаны в виде
rie f. - известная правая часть, a Aj,Bj, С/ — следующие матрицы:
/11 \ г
с/= (~7 + 7 М/+' /1/+' ~ I(/+АГ/+1/2) 0/+1 ¦
Здесь через / обозначена единичная матрица, а через г -- отношение т/Л.
Выписанная система является блок-трехдиагональной с размерностью
блоков рУ>Р- Для ее решения можно использовать метод матричной про-
прогонки (см., например, [45]), формулы которого имеют вид
/= 1,jV- 1.
Для осуществления прямого и обратного ходов прогонки необходимы
разностные граничные условия при х=х0 и x = xN. Ввиду неуниверсаль-
неуниверсальности этих условий здесь и часто в дальнейшем они не рассматриваются,
однако предполагается, что они сформулированы таким образом, чтобы
разностные системы были хорошо обусловленными, а весь алгоритм -
устойчивым. Вопросы хорошей обусловленности разностных уравнений
будут рассмотрены ниже.
Простейшие оценки устойчивости матричной прогонки в рассматривае-
рассматриваемом случае могут быть легко получены, если коэффициенты при произ-
производных в исходных уравнениях постоянны. Тогда матрицы Lj = L, Qj = Q,
Mj = M постоянны, причем
M=(LS)D(LS)'1, Z,-1Q = SA5, S=L~1I2S,
где D= diag{sgnX,}, A=diag{X;}, Л, - собственные значения матрицы
I- Q (i = 1, p ), a 5 - матрица, столбцами которой являются собственные
векторы матрицы L~ll2QL~ll2. Используя эти соотношения, разностную
систему удобно привести к следующему виду:
*?1*1 +SC'S-1nJl+li =L~yl2ih /= l,N- 1,
„..A1 r
A =diagj---sgnX,+ - (X,
16 4 2
где
43
С = diag - + -sgnX,- -(X,+ |X,|)l, г=ф.
16 4 2 j
Теперь система уравнений относительно р-мерных векторов распадает-
распадается на р независимых друг от друга систем с трехдиагональными матрица-
матрицами для скалярных сеточных функций. Эти системы уже были предвари-
предварительно рассмотрены; ниже будут обсуждены их хорошая обусловлен-
обусловленность и, следовательно, устойчивость метода прогонки при их решении.
1.9. Исследование устойчивости
Свойства матрично-разностных операторов. Чтобы оценить устойчи-
устойчивость нелинейной схемы A.65а) с любыми из операторов A.66), будем
использовать принцип замороженных коэффициентов. Предполагается,
что f(u,jr) =Z,u, F(u,x) = Qu, g = 0, где Q и L - постоянные матрицы.
Кроме того, для исключения влияния на устойчивость граничных усло-
условий, различных для различных задач, будем считать, что для A.58) постав-
поставлена задача Коши в неограниченной области ^>0, ~00<л:<00 с началь-
начальными данными при г = 0, обращающимся в ноль вне некоторого интер-
интервала оси х.
Хотя абсолютная устойчивость схемы A.65а) при а>0,5 при сделан-
сделанных предположениях следует из абсолютной устойчивости схем для каж-
каждого уравнения A.61), на которые распадается вся система, для дальней-
дальнейшего удобно вывести некоторые операторные неравенства, характери-
характеризующие устойчивость A.65а) в энергетических нормах. При этом оказы-
оказывается возможным использовать аппарат исследования и результаты, со-
содержащиеся в [46].
Итак, рассмотрим схему с постоянными коэффициентами
ях(им + 1-и'")/т + сял:п = о.
ВХ=АО~ 0,25МД0, Сх = 0,5 (До - АГД2)/й. ( ' '
Не ограничивая общность, будем предполагать, что матрица К - L~XQ —
симметрическая, в противном случае ее всегда можно симметризовать
(и притом не единственным образом) некоторым преобразованием. Фак-
Фактически возможность приведения ее к диагональному виду S~lKS озна-
означает возможность ее симметризации.
Ввиду симметричности матрицы К матрица S является ортогональной
EТ =S~l), так что матрицы М и К записываются в виде M=SDST,K = SAST.
Отсюда следующие свойства произведения М/Г:
МК = КМ, (МК)т=МК>0. A.72)
В самом деле, МК = SDAS1, KM=SADST, где
sgnX,
DA=AD= ( ) ( . Г(
sgnX/ Ч0 X/ Ч0 |Хр
, 0 . \ / Xi Ox /|Х,| 0
) ( ¦'. Г( '• ¦
sgnX/ Ч0 X/ Ч0 |
поэтому (MKZ, Z) = (SDASrZ, Z) = (DAv, v) > 0, где v = STZ, что и означа-
означает неотрицательность симметрической матрицы МК.
44
Установим теперь некоторые свойства неравенства, относящиеся к раз-
ностно-матричным операторам, входящим в приведенные выше схемы.
Под скалярным произведением (u, v) двух векторных сеточных функций
будем понимать сумму
(u,v)= 5 nt\th. A.73)
;= —оо
Пространство сеточных функций, обращающихся в нуль вне некоторого
интервала со скалярным произведением A.73), будем называть в даль-
дальнейшем пространством Н.
Рассмотрим разностные операторы До, Д2, входящие в A.70). Их свой-
свойства, важные для дальнейшего, следуют из результатов, изложенных в [46].
Напомним некоторые из них.
Операторы До и Д2 являются соответственно кососимметричным и
самосопряженным, т.е. для любых ненулевых и и v
(Д2и,у) = (и, Д2у). A.74)
Имеют место следующие неравенства:
-(A2v,v)<4(v,v) = 4llvll2, A.75)
-4(A2v,v)>-(AoT,v). A.76)
Они могут быть записаны в виде операторных неравенств
-Д2<4? -4Д2>-Д*. A.77)
Соотношения A.74)—A.77) можно вывести из определения скалярного
произведения A.73) при помощи простых алгебраических выкладок.
Рассмотрим, например, неравенство A.76). Прежде всего заметим,
что для операторов Д+ и Д_ имеет место соотношение
(Д+и,у) = -(ы, Д_у), т.е. (Д+)*=-Д_.
Запишем левую часть A.76) в виде - 4(Д_ Д+v, v) = 4(Д+у, Д+v),
а правую часть A.76) в виде -(До Доу, у) = (ДоУ, До у) •
Таким образом, требуется показать, что
4 2 |u,+ 1-u,|2> 2 |um-u,_,|2,
< = —о° t-— °°
но
°° оо оо
2
* °
2 |u/+i-u,|2 + 2 2
= 4 I Iui+1-U/|
< = —oo
что и требовалось.
t-вязь между операторами Д2 и Д© можно установить в более инфор-
информативном вице по сравнению со вторым неравенством A.77). Для этого
запишем очевидные равенства
= д+ + д_.
45
Возведя обе части их в квадрат, а затем вычитая один результат из друго-
другого, получим равенство
Д?=4Д2 + Д|. A.78)
Отсюда, между прочим, следует и второе неравенство A.77).
Оператор А 0 можно выразить через оператор Д 2 в виде
у10=Я+|д2. A.79)
6
Таким образом, он является самосопряженным и в силу первого неравен-
неравенства A.77) положительно определенным:
1 1
А0Ж- - ¦ 4К= -Е. A.80)
6 3
Рассмотрим теперь разностно-матричные операторы. Очевидно, что для
любого самосопряженного матричного оператора N = N* и разностного
оператора 5 произведение Nb будет самосопряженным или кососимметрич-
ным в смысле скалярного произведения A.73), если оператор 6 соответ-
соответственно самосопряжен или кососимметричен. В самом деле, пусть 6 —
кососимметричен. Тогда, используя коммутативность постоянных матрич-
матричных операторов с разностными, можно написать цепочку равенств
(Nbu, v) = ? Nbut, v, = ? butN\f = - ? ut,Mvt = -(u,N&\,).
1-— OO /=—OO | = — OQ
Обозначая теперь индексами @) и A) соответственно самосопряжен-
самосопряженные и кососимметричные составляющие операторов, запишем следующие
равенства:
=-МКA2/h, C^=-KA0/h. { >
Теперь можно показать, что для операторов, входящих в схему, спра-
справедливы следующие оценки:
В>Е1Ъ, т.е. (flv,v)>(v,v)/3, A.82а)
СК>0, т.е. (CATv,v)>0, A.826)
В*СК>0, т.е. (В*СК\,\)>0, A.82в)
где v - произвольная ненулевая сеточная функция.
Для доказательства второго неравенства (первое непосредственно
следует из A.80)) заметим, что согласно A.72) (МК) = (МК)Т, а опе-
оператор Д2 - самосопряженный и положительный. Третье неравенство сле-
следует из выражения для самосопряженной составляющей оператора В* СК:
(В"СК)^ = МК[-2А2 + 0,5(Д0J - Д2/3]/4А,
в котором согласно равенству A.78) - 2Д2 =-0,5До + 0,5Д2. Таким
образом,
(Я*САГ)@) = МКД|/24Л > 0.
46
Устойчивость в энергетических нормах. При исследовании устойчи-
устойчивости схемы A.70) удобно воспользоваться энергетическими нормами,
т.е. нормами, порожденными некоторыми самосопряженными положи-
положительными операторами D [46]:
Общая теория устойчивости разностных схем в энергетических нор-
нормах подробно изложена в [46]. Здесь и далее мы будем понимать код
устойчивостью схемы
C(um + 1 -ит)/т + Лит = 0 A.83)
в энергетической норме II • IID выполнение неравенства
+ \ um + l)<(Dum,um), или I
которое означает, что энергия оператора D не возрастает на решении A.83) .
Из многочисленных результатов, полученных в [46], для семейства
схем A.83) в дальнейшем будут использованы следующие два условия
устойчивости.
1. Если операторы С и Л не зависят от т и оператор Л - положитель-
положительный самосопряженный, то для устойчивости схемы A.83) в норме II -\\^
необходимо и достаточно выполнение неравенства О 0,5тЛ.
2. Если схему A.83) можно представить в виде
(Е + тоЛ)(ит+1-ит)/т + Аит =0, A.84)
где оператор Л - неотрицательный, то для ее устойчивости в норме \ЛО,
где D - любой самосопряженный положительный оператор, перестано-
перестановочный с Л, необходимо и достаточно выполнение неравенства сг> 0,5.
При оценках устойчивости в соответствии с [46] схема A.84) в даль-
дальнейшем будет называться схемой с весами, хотя схема A.70) также яв-
является схемой с весами, приводимой к виду A.84) умножением на опера-
оператор В'хх.
Норма II • fg. может оказаться полезной при оценке устойчивости в слу-
случае стационарных задач, решаемых методом установления. Например,
малость нормы lluml! *.означает малость среднеквадратичной невязки для
приближенного решения уравнения Л и = 0 11итР * = \/(Лит ,Лит). Если
же операторы С и Л в A.83) коммутативны, то устойчивость этой схе-
схемы при сделанных предположениях в случае О 0,5тСбудет иметь мес-
место и в норме II • \\D, где D - любой положительный самосопряженный опе-
оператор, коммутативный с Л [46]; в частности, можно положить D = E,
так что 1|.Цд= М1Н.
При оценке устойчивости схемы A.70) можно воспользоваться лю-
любым из сформулированных выше критериев. Действительно, эта схема
имеет вид
(В + отЛ)(ит + 1 - ит)/т +А пт = 0,
где В = Вх, Л= СХК. После умножения на Л* она переходит в схему
{А*В + отЛ'А)(\1т + 1-итIт+Л'Лит =0. A.85)
° A.85) оператор^* Л— самостоятельный и положительный, а опера-
47
тор Л*В - положительный, поскольку ((СхК)*Ви, и) = (и,В*СхКа) > О
в силу неравенства A.82в). Таким образом, для устойчивости схемы
A.85) в норме II • I1 * . необходимо и достаточно выполнение неравенства
А "В + атА'А > 0,5тА*А-
При а > 0,5 это неравенство справедливо при любом значении 7 и схе-
схема A.85) является абсолютно устойчивой в рассматриваемой норме.
Более того, операторы Л*В и А* А коммутативны в силу коммутатив-
коммутативности постоянных матриц М и К, входящих в эти операторы, так что абсо-
абсолютная устойчивость A.85) имеет место и в норме II • 11Н.
В дальнейшем для оценок устойчивости схем удобно записывать их
в виде схем с весами типа A.84), используя оператор N = B~1CX. В част-
частности, схема A.70) после умножения на В'1 приобретает вид
(?• + otNK)(um +' - um)/т + NKum = 0. A.86)
Оператор NK — положительный, поскольку вследствие коммутативности
матриц Мл К справедливо равенство
(я;1с^и,и) = (д;схл:у,у),
где v= E*)-1u; правая часть его положительна при у^Ов силу неравен-
неравенства A.82в).
Из положительности оператора NK следует абсолютная устойчивость
схемы A.86) при о> 0,5.
2. КОМПАКТНЫЕ СХЕМЫ С НАПРАВЛЕННЫМИ РАЗНОСТЯМИ
ПРИ НАЛИЧИИ ДИФФУЗИОННЫХ ЧЛЕНОВ
2.1. Способы введения разностных аналогов диффузии
Об аппроксимации диффузных членов. При конструировании разност-
разностных алгоритмов для уравнений переноса с диффузионными членами в
большинстве случаев, представляющих интерес, первостепенную роль игра-
играют способы аппроксимаций конвективных членов; именно они определя-
определяют архитектуру всего метода в целом. Это связано со следующими обстоя-
обстоятельствами. Во-первых, диффузионные члены чаще всего пренебрежимо
малы во всей расчетной области, за исключением ее подобластей с малы-
малыми характерными размерами. Поэтому структуру решений в значитель-
значительной мере определяет конвекция и, следовательно, ее разностная аппрокси-
аппроксимация. Во-вторых, диффузионные члены содержат в себе самосопряжен-
самосопряженные операторы, надлежащие разностные аналоги которых не ухудшают
устойчивость алгоритма и часто улучшают свойства разностных решений.
Вместе с тем в случае неявной схемы повышенного порядка аппроксима-
аппроксимации наличие диффузии в математической модели может несколько услож-
усложнить реализацию численного алгоритма. Именно так обстоит дело при
использовании для аппроксимации первых производных формул ком-
компактного численного дифференцирования.
Чтобы проиллюстрировать сказанное, рассмотрим уравнение вида
— +——^=— е(и,*) — +/(«,*), е>0. B.1)
Ы Ъх Ъх дх
48
Следуя идее построения компактных схем для уравнения переноса, за-
запишем его простейший разностный аналог на сетке «ТХ озн в виде
m + l A~l/\ . .. ...
/m + 1, B.2)
где в операторах А и Д s = sgniPu(Mw), a 52wm + ! - некоторая аппрокси-
аппроксимация члена —(е(и,х)ди/дх) при t = tm+l. После умножения B.2) на Л
дх
становится ясным, что разностные уравнения будут трехточечными толь-
только в том случае, если оператор АЬ2 является трехточечным. Но трехто-
чечность оператора АЬ2 и одновременно высокий порядок аппроксимации
оператора 62, вообще говоря, несовместимы из-за малого количества
свободных коэффициентов при значениях функций в трех узлах, кото-
которыми можно распоряжаться при построении оператора 62. Невозможность
сведения разностных уравнений к трехточечным скалярным уравнениям
и означает некоторое усложнение процесса реализации алгоритма.
С другой стороны, если оператор 62 является самосопряженным и отри-
отрицательным, то схема B.2) в случае постоянных коэффициентов являет-
является абсолютно устойчивой при условии, что этим свойством обладает ее
частный случай при е = 0. В самом деле, собственные значения А операто-
оператора перехода для B.2) при ф(и)=аи,а = cojnst, будут удовлетворять урав-
уравнению типа
R(X) + X [а (т/А) W(a) + e (т/h2 ) ф(а)] = 0, B.3)
где W(a) и ф(а) (СХа<2эт) — собственные значения операторов А~*А
(см. A.12)) и 52, удовлетворяющие условиям ReW> 0, Re^X), 1тф= 0,
а Л(Х) — некоторая функция, определяемая видом аппроксимации
<Эм/Эг>т+1. Уравнение B.3) можно переписать в виде
где ^(а) = W(a) + (е/яй)ф(а). Поскольку при получении оценки |Х|< 1
при е = 0, по существу, достаточно использовать лишь свойство ReW> 0
функции W(a), а функция Щ (а) обладает этим же свойством, становится
очевидным, что из устойчивости B.2) при е = 0 в рассматриваемом слу-
случае постоянных коэффициентов следует ее устойчивость при е > 0.
Таким образом, можно построить много вариантов абсолютно устой-
устойчивых в приближении замороженных коэффициентов схем для уравне-
уравнения B.1), в которых разностные аналоги производных Ъу/дх имеют вид
А Ajp/й. При этом основными факторами, между которыми должен
Достигаться компромисс, являются порядок аппроксимации диффузион-
"Ых членов и простота решения разностных уравнений. Условно будем
классифицировать эти схемы с точки зрения второго фактора, т.е. по тому,
как осуществляется переход от одного слоя t = const к другому. При этом
Можно выделить схемы, реализуемые скалярными и векторными трех-
т°чечными прогонками, а также схемы с факторизованными оператора-
операторами, основанные на расщеплении по физическим признакам.
Алгоритмы с трехточечными скалярными прогонками. Чтобы оператор
А?>г стал трехточечным, достаточно выбрать 52 в виде 62 =А~1Л2, где Л2/-
4-Зак. 761 49
аппроксимация на трехточечном шаблоне производной Э/Эл:(еЭ//Эл;);
например, можно положить
Э Э/
—е —
дх Ъх
е/ + 1/2 (// + 1 - // ) С/ - 1/2 (ft ' // - 1
1,2
•v
где значения в полуцелых узлах х =х)-Т1/2 либо вычисляются но известным
значениям в них аргументов функции е, либо получаются осреднением
вида е;?1/2 = 0,5F^1 +ву). Тогда схему для уравнения B.1) можно запи-
записать в виде
Э"" -¦¦ ¦ B.5)
После линеаризации функции </>(um + 1) решение разностной системы B.5)
можно осуществить методом трехточечной скалярной прогонки.
Устойчивость схемы B.5) легко исследуется после конкретизации
разностной формулы для (du/dt)m+l. Так, в случае двухслойной аппрокси-
аппроксимации производной Ъи/bt линейный аналог B.5) записывается в виде
Г / Д Д2\ I ит + 1-ит /А А2\
\А+тГа — -е—) + ( а—-е-± )ит=0, B.6)
I V h И2) \ т \ h h2 )
где а = const, e = const, а оператор А^ является оператором вторых раз-
разностей.
Оператор A~1aA/h является частным случаем оператора В~ХСХ из A.65)
и поэтому неотрицателен. Поскольку оператор Д2 отрицателен, самосопря-
самосопряжен и коммутативен с А, то оператор —А~1А2 положителен. Это следует
из цепочки равенств для производной сеточной функции и:
(А'1 Аи, и) = (Л-'Л^м, Л1/2м) = (v, Av)>0,
где Л = -Л2, v = А~1Л1/2и. Таким образом, оператор А'1 [(а/h) А - (e/h2) A2]
положительный и схема B.6), приводящаяся после умножения на А
к частному случаю схемы с весами, является абсолютно устойчивой. Этот
же результат элементарно получается спектральным методом.
Чтобы установить порядок аппроксимации схемы B.6), подставим
в нее соответствующие ряды Тэйлора (с технической точки зрения удобно
воспользоваться операторными записями A.10)). При этом часть погреш-
погрешности аппроксимации, не зависящая от функции е, запишется в виде
O(rk + h3), где к - порядок аппроксимации производной Ъи/bt. Осталь-
Остальная часть будет иметь вид
Э2 Ъи
Таким образом, формально схема B.6) имеет первый порядок. Однако
она существенно отличается от схем первого порядка с двухточечными
направленными разностями. Различие состоит в том, что погрешность
0{h) возникает при аппроксимации не конвективных, а диффузионных
членов, Поэтому она при малых значениях е мала всюду, за исключе-
исключением областей с малыми характерными размерами (типа пограничных
слоев или ударных волн). Это означает, что в этом случае почти всюду
50
локальная погрешность, зависящая от шага h, имеет вид O(h3 + llell/г),
Hell = max e(u,x), что может быть не хуже, чем О(Л3).
х, и
Внутри же областей с малыми характерными размерами локальная
погрешность порядка O(h) в некоторых случаях может оказаться вполне
приемлемой. В частности, такая ситуация имеет место, если в той или иной
физической задаче функциональная зависимость е{и,х) сама задается
лишь приближенно; примером может служить случай, когда е является
коэффициентом турбулентной вязкости.
Изложенные соображения имеют лишь качественный характер; целе-
целесообразность применения схемы B.6) может быть выяснена с учетом
специфики конкретной задачи.
Алгоритмы с трехточечными векторными прогонками. Чтобы сохра-
сохранить высокий порядок аппроксимации уравнения B.1), можно поступить
следующим образом. Запишем его в виде системы двух уравнений пер-
первого порядка, введя новую независимую переменную q = Ьи/Ьх:
f,
B-8)
Первое уравнение будем аппроксимировать на сетке сотХи)й при помощи
операторов А и Д, выбранных так же, как и при е = 0, т.е. полагая в фор-
формулах A.14) х = sgnip'(ит). Для аппроксимации второго уравнения B.8)
применим формулы компактного численного дифференцирования третьего
порядка, но с противоположной ориентацией операторов (т.е. операторов
из (.1.14) при s = -sgny' (ит).
В результате такой дискретизации пространственных производных,
рассматриваемых, например, на слое tm=tm+1, разностная схема для
B.8) запишется в виде
eq)m + l/h=Afm + \
Aq =Au /h, B'9)
где Aq=A*q=A0 + 0,25sgn^'(um)A0, Аи = 0,5(До + sgn^'(um)Д2). Вмес-
Вместо B.9) можно было бы рассмотреть более общую схему, в которой
к
оператор А действует на сеточную функцию 2 oy(ip - eq)m + l~', где
i = o
а0, О], ..., ofc_, - весовые множители, удовлетворяющие равенству ст0 +
+ ах + ... + Оь_1 = 1.
Для случая у(и,х)=аи, а = const, e= const и (du/dt)™+1= (u™+1 - и™Iт
абсолютная устойчивость схемы B.9) легко доказывается спектральным
методом [3]. В самом деле, собственное значение Л оператора перехода
в этом случае находится из уравнения
X- 1 + \(ат/И) W -\{еф)W \
W/h -\ | ~ '
Здесь через W и W обозначены функции из A.10), удовлетворяющие
соответственно неравенствам
и aRcM><0.
51
Раскрывая определитель, получаем
откуда, поскольку ImH^ \mW, следует неравенство 1Х| < 1.
Разностную схему B.9) можно рассматривать как систему уравне-
уравнений относительно векторной сеточной функции Vm + 1 = (wm+1, q™+1);
при этом соотношения B.9) связывают лишь три соседних узла на оси х.
После линеаризации этой системы ее решение легко находится в резуль-
результате векторной прогонки.
Используя разложения A.10), нетрудно убедиться в том, что схема B.9)
имеет погрешность О(тк + h3) на решении уравнения B.1), если производ-
производная Ъи/bt аппроксимирована с погрешностью О(тк).
В случае постоянной функции е существует и другая простая возмож-
возможность сохранения высокого порядка схемы в результате сведения урав-
уравнения B.1) к системе двух уравнений. Обозначив через г производную
д2и/дх2, запишем вместо B.8) систему
ди/Ы + Э^/Эх = ег, д2и/дх2=г. B.10)
Как и ранее, используем для аппроксимации первого уравнения B.10)
операторы А и Д при s = sgnip'(wm). Для аппроксимации второго урав-
уравнения B.10) применим известную формулу компактного численного
дифференцирования для второй производной
которую иногда связывают с аппроксимациями Падэ. Четвертый поря-
порядок этой формулы немедленно следует из разложений для операторов
Л и Д2:
2
справедливых для достаточно гладкой функции /'.
На основе такого способа дискретизации производных по х можно
строить различные семейства разностных схем. Ограничиваясь, как и ра-
ранее, случаем, когда эти ироизводные рассматриваются на слое t = tm + i,
можно записать следующую разностную схему для системы B.10) :
{ '
По построению, эта схема имеет погрешность О(т )- к3 + е/г4). Как и
схема B.9), она может быть реализована векторной прогонкой, исполь-
используемой для решения трехточечной системы векторных уравнений отно-
относительно сеточной функции V^"+' = (uj"+', ^+') ¦
52
Как и в случае схемы B.9), абсолютная устойчивость B.12) при
\р(и) = аи, а = const, легко проверяется спектральным методом; напри-
например, при {bu/bt)m + x = (wm+1 - ит)/т собственные значения X операто-
оператора перехода представляются выражением
I Ш Ж Ж й Ъ Ж % Ж % I
х =
( —
а / 1 а ^"'
где Да) = 4 sin — ( 1 - — sin —
Функция Х(а) удовлетворяет неравенству |Х|<1, поскольку ее мож-
можно представить в виде X = 1/(с + с/г), с > 0.
При решении разностных уравнений B.9) и B.12) использование трех-
трехточечных векторных прогонок с матрицами размерности 2X2 не приво-
приводит к каким-либо жестким требованиям к производительности ЭВМ.
Вместе с тем ценой понижения порядка аппроксимации этих схем отно-
относительно шага т удается оставаться в рамках трехточечных скалярных
прогонок. В более общем виде этот вопрос будет рассмотрен ниже.
Алгоритмы расщепления. Одна из возможностей сохранить скалярные
прогонки и в то же время аппроксимировать диффузионные члены с же-
желаемым порядком точности состоит в приближенной факторизации сум-
суммы операторов, включающей в себя разностные аналоги конвекции и
диффузии. Полагая (du/dt)m + 1 = (um+1 - -итIт, один из вариантов
схемы, аппроксимирующей B.1) с точностью до членов порядка
О( (а - 0,5) т + т2), можно записать в форме
Г А 1 um + x~um
\'-<р\ит)\ [Е-атЬ3] — + Lum = / ,
h J T B.13a)
^ m+1
f=ofm+1+(l-o)f
L /2
h
Схема B.13а) обладает полной аппроксимацией в смысле [41]: часть
ее погрешности, зависящая от шага т, исчезает на установившемся реше-
решении (um + l =um). Она может быть использована, в частности, для полу-
получения стационарного решения уравнения B.1).
Схему B.13а) удобно использовать, введя дробные шаги:
B.136)
[Е-атЬг] %1=%112,
где %У2 - некоторая промежуточная сеточная функция, a ?1=u"I+1-um.
Схему B.13а) можно интерпретировать как алгоритм растепления
но физическим признакам: в первом уравнении B.136) учитывается
только конвекция, во втором — только диффузия. Соответственно об-
обращаемый оператор в первом уравнении после умножения его на А сов-
совпадает с оператором, обращаемым при решении разностных уравнений
для уравнения переноса A.8). Второе уравнение B.136) аналогично раз-
разностному уравнению теплопроводности, причем имеется возможность
выбора обращаемого оператора Е — атЬ2. Определяя скалярными про-
53
гонками из первого уравнения B.13а) функцию I1'2, а затем решая вто-
второе уравнение B.136) относительно %х, можно окончательно найти функ-
функцию um + l. Схема B.13а) и эквивалентная схема B.136) являются лишь
одним из вариантов многочисленных схем расщепления [41, 47], пригод-
пригодных для аппроксимации уравнения B.1) .
В качестве оператора й2 можно выбрать оператор Лг, определяемый
равенством B.4). Тогда погрешность схемы B.13а), зависящая от шага/г,
имеет вид O(h3 + llell/г2), а оператор (L- т62) обращается при помощи
трехточечных скалярных прогонок. Другим примером, когда решение
второго уравнения B.136) сводится к применению трехточечных прого-
прогонок, является использование при е = const в качестве 52 аппроксимации
четвертого порядка вида A'^^/h2 из B.11). После умножения этого
уравнения на Л получается система с трехдиагональной матрицей
Такая схема, очевидно, имеет порядок O(h3 + eh4) и является альтерна-
альтернативой схеме B.12) с векторными прогонками.
Устойчивость схем расщепления при <р(и) =аи, е= const для неотрица-
неотрицательных и коммутативных операторов А'1 А и 52 непосредственно следу-
следует из общей теории [46]; она легко может быть установлена спектраль-
спектральным методом.
2.2. Разностные уравнения
Хорошая обусловленность разностных систем. Изучим подробнее свой-
свойства разностных уравнений, возникающих при аппроксимации уравнения
переноса с диффузионными членами. При этом рассмотренные в п. 1 раз-
разностные системы удобно интерпретировать как частный случай, соответ-
соответствующий тождественному обращению в нуль функции е(и, х).
По существу, достаточно исследовать трехточечные разностные урав-
уравнения в алгоритмах со скалярными и векторными прогонками: в алгорит-
алгоритмах расщепления на одном из этапов обращается тот же оператор, что и
в случае уравнения переноса без диффузионных членов.
Разностные уравнения в алгоритме со скалярными прогонками возни-
возникают при обращении оператора
A + ?—v'(um)-A2, B.14)
h
где оператор Л2 определен формулой B.4).
Оператор B.14) соответствует уравнению B.5), в котором положено
(du/dt)m + l = (um + l —ит)/т и произведена линеаризация функцииtp(um+])
относительно слоя t = tm. При е^О этот оператор приводит к рассмот-
рассмотренной выше системе уравнений для чисто конвективного случая.
В индексной записи разностные уравнения, порождаемые оператором
B.14) при <р' (мт) > 0, имеют вид
54
где положено г; = —^'(«Г1), через dj обозначена некоторая известная
сеточная функция, а N — 1 - число внутренних узлов сетки со/, Если же
Г/ < 0, то разностные уравнения запишутся в виде
V 12
12
5
12
B.16)
Как следует из сравнения B.15) и B.16), структура этих уравнений оста-
остается неизменной: одно из них может быть получено из другого заменой
г,- на -г/ и изменением направления нумерации узлов сетки, при котором
М/_1 переходит в w/+1 и наоборот. Каждое из них можно представить
в форме
B 17)
j_, -
где
2hi = "JJ
Cjuj+l=dj, j = 1, N - 1,
г
¦|/2Oг '
5
12
+ Т>?>^<2'
cj =
12
причем в случае <^'(uf")>0 номера узлов возрастают с возрастанием
координаты*, а в случае ip' («Г") < 0 убывают.
В алгоритме с векторными прогонками разностная система имеет блок-
трехдиагональную матрицу. В индексной форме эта система записывает-
записывается в виде
B.18)
A,v,_, - Bjу,- + qv/+ !=<!,-, / = \,N 1
где у,- -- вектор с компонентами у„. ,.,.
вектор правых частей, aAj,Bj и С/ - следующие матрицы:
5
двухкомпонентный
\г,-г\-~
— О
12
h
1
12
В,= -
12
\г,\
т
h
8
71
II - • —
5
12
Предполагается, что при г;>0 в B.1,8) используется прямая нумерация
узлов (т.е. в направлении возрастания координаты х), а при г/< 0 - об-
обратная.
Для исследования систем B.17) и B.18) целесообразно воспользо-
воспользоваться результатами работы [48]. Изложим коротко эти результаты, пере-
перефразируя их применительно к рассматриваемому случаю.
Пусть требуется решить разностную краевую задачу
knHfn, Kn<N-l,
Т7"' 2 B.19)
2a/u/ = g1) 2 ftuiV_, = g2,
i=o i=o
где Ak>n — квадратные матрицы pXp; un и fn - p-компонентные векто-
векторы; a{ и |3; - матрицы, имеющие по р столбцов и соответственно по г и
s строк; gi и g2 — соответственно г-мерный и s-мерный векторы (s + г = р).
Относительно компонент матриц Ак>п(пьК) предполагается, что они не-
непрерывно зависят от аргумента (пН) всюду внутри рассматриваемого
интервала, за исключением конечного числа точек, где они могут претер-
претерпевать разрывы первого рода (скачки). В случае систем B.17) и B.18)
скачки соответствуют переключению схемы при изменении знака функ-
функции и„. Вводятся в рассмотрение определители
1 1
det 2 Ак„ц1+к = 0, det 2 Aknv1~k = 0. B.20)
fc=-i ' fc=-i '
Если среди корней B.20) есть г корней д и х корней v меньших по мо-
модулю единицы, но нет равных по модулю единице, то уравнения при
1 < п < N - 1 называются регулярными; если скачки в коэффициентах
не меняют этой ситуации, то они также считаются регулярными. Требует-
Требуется, кроме того, чтобы граничные условия с нулевой правой частью имели
бы только тривиальные решения. При этих условиях задача B.19) с регу-
регулярными уравнениями и регулярными скачками, согласно [48], являет-
является хорошо обусловленной. Это означает, что
max Ии„ II < М (max II fn II + II gx II + II g2 II), M = const,
л л
где под нормой вектора понимается максимум модулей его компонент.
Для хорошо обусловленных задач B.19) может быть доказана устой-
устойчивость прогонки (см., например, [49]).
В случае системы B.17) каждое из характеристических уравнений
имеет вид
с/ц2 -2Ь/ц+а, = 0, cf-2bjv + aji'2 = 0, B.21)
где коэффициенты определены B.17). При малых h
>)¦_! = (т/А)?)'(и/-1) « г,, е/_1/2 *> e/+i/2 * е/
и эти коэффициенты удовлетворяют неравенствам
с,>0, Щ>с, + \а,\, j=hN. B.22)
В результате простейших алгебраических выкладок нетрудно показать,
что корни уравнения B.21) д, 2 и v, 2 = mTV таковы, что -1 < Д] < 1 < ц2,
-К и2 < К vt.
Таким образом, для системы уравнений B.17) s = r=l и при надлежа-
надлежащих граничных условиях на концах интервала [хо,->Слг] (они здесь не кон-
56
кретизируются ввиду их зависимости от типа задачи) эта система
является хорошо обусловленной. Если изменение знака производной
\р'(ит) происходит в конечном числе точек интервала [xo,xN], то пере-
переключение схемы, приводящее к скачку в коэффициентах, не меняет свой-
свойства регулярности системы.
Можно выделить отдельно ситуацию, когда
а, = I iy_, I + ^ е,_1/2 - — > 0, B.23)
Г7
В этом случае оба корня уравнений B.21) положительны и в решении
разностной системы отсутствует осциллирующая составляющая. В соче-
сочетании же с неравенствами B.22) неравенство B.23) образует хорошо из-
известное достаточное условие устойчивости прогонки.
Практически неравенство B.23) во всей расчетной области может быть
выполнено при любых значениях T€j/ht если удается выбрать шаг т таким
образом, что
ттт|/(м?1)|/Л>5/12,
но при этом максимальное число Куранта ттах|<р'(м™I/'г не настолько
/
велико, чтобы вызвать нелинейную неустойчивость.
Выполнение неравенства B.23) облегчается из-за наличия в его левой
части положительного слагаемого е/т/h2; более того, если 6,-г/Л2 > 5/12,
то оно выполняется при любых значениях ту. Однако при малых значениях
?] и числах Куранта порядка единицы рассчитывать на существенный вклад
этого слагаемого при всех / не всегда оправдано, вследствие того что ма-
малые шаги h, как правило, вводятся лишь в части расчетной области, где
роль диффузионных членов велика.
Однако, во всяком случае, можно рассчитывать на благоприятное воз-
воздействие разностных аналогов диффузии на свойство монотонности полу-
получаемых решений.
Рассмотрим теперь систему трехточечных уравнений B.18). Характе-
Характеристические уравнения для них имеют вид
det(An + В„ц + Спц2) = 0, det (А„р2 + Bnv + С„) = 0, B.24)
где положено r/_t = r/+1 =rj = r, е/_1/2 = е/+1/2 = е,- - е.
Поскольку для корней цк и vk (k= 1,2, 3, 4) справедливо соотноше-
соотношение цк = l/ffc, достаточно рассмотреть одно из них. После несложных вы-
выкладок уравнение det (Ап + Впц + С„ц2) = 0 записывается в виде
Ф(ц) = 5м4 - C2 + 5R- <?);и3 - (90 + 3R + 2е)ц2 +
5-Л = 0, B.25)
где R = 12ar, e = 144ге/Л.
Можно установить, что два корня уравнения B.25) по модулю больше
единицы, а остальные два меньше единицы.
Так как ФA) =-144, Ф(-1) = -A6 + 8R + 4е) < 0, то вследствие
Ф(ц) -*°° при ^-^+°°, очевидно, кривая Ф(м) пересекает ось Ф=0 левее
57
точки и = -1 и правее точки д = 1. Это означает, что существуют два дей-
действительных корня juj и ц2, удовлетворяющие неравенствам /л^ < —1,
у 2 > 1- Чтобы показать, что два других корня действительны и по моду-
модулю меньше единицы, удобно рассмотреть два случая: /? < 5 и R> 5. В пер-
первом случае Ф@) = 5 — Л>0 и ввиду отрицательности Ф(/л) при ц + 1
кривая Ф(м) должна пересечь ось Ф=0 внутри каждого из интервалов
[—1,0], [0,1]; поэтому один из корней B.25) ц3 удовлетворяет нера-
неравенству 1 < дз < 0, а другой д4 - 0 < ц4 < 1.
Во втором случае достаточно показать существование точки ц„ ? [0,1],
для которой Ф(д„) >0- Тогда вследствие отрицательности Ф(а<) при ц = 0
и ц = 1 кривая Ф(д) должна 2 раза пересечь ось Ф=0 внутри интервала
[0, 1]. Для того чтобы показать существование точки м„, Ф(д1|:)>0, за-
запишем равенство B.25) в виде
Ф(д) = ,р, (м)^2 0*) + е (ц - 1JМ = 0. B.26)
Простейший анализ квадратных трехчленов ipi(iu) и <р2(м) показы-
показывает, что при R>5 существует интервал [ц^\ M^L где 0<м;1^ и
0<д?2)<1 - наименьшие по модулю корни уравнения <?,(д() = 0 и
</?г(|и) = 0, в котором (^i(/i)i/>2(M) > 0. В качестве цт теперь достаточно
выбрать любую точку из этого интервала: при этом оба слагаемых B.26)
положительны и Ф(д»)>0. Таким образом, оба корня д3 И /^4 положи-
положительны и строго меньше единицы по модулю.
В случае конечного числа скачков в коэффициентах матриц А,, В/ и
С], возникающих при переключениях операторов А и Д вследствие изме-
изменения знака <р'(ит), а также при надлежащих граничных условиях на
концах интервала [Хо.-Кдг] (по два условия на каждом конце), система
B.18) является хорошо обусловленной в смысле [48], а метод прогонки
при ее решении оказывается устойчивым.
Разностные граничные условия. Приведенный выше анализ показыва-
показывает, что системы уравнений B.17) и B.18) требуют формулировки одина-
одинакового числа граничных условий на обоих концах рассматриваемого ин-
интервала. Эти условия должны подчиняться определенным требованиям
регулярности, сформулированным в [48]. Однако конкретный вид этих
условий зависит от специфики решаемой задачи и не может быть указан
заранее. Вместе с тем можно высказать общие соображения применительно
к определенным классам решаемых задач.
В частности, если один из концов интервала является идеализацией
бесконечности, на которой задано невозмущенное состояние м,», то естест-
естественным граничным условием на этом конце будет равенство и = иаа для
системы B.17) и равенства « = цоо, q = 0 для системы B.18). Например,
в задаче о распаде разрыва на границах достаточно протяженной области
ставились условия равенства искомых функций соответствующим началь-
начальным параметрам слева и справа от разрыва.
Если же один из концов интервала в случае задач о течениях жидкости
и газа является аналогом твердой поверхности, то одно из разностных
значений следует из граничного условия в математической постановке
задачи (например, значение и или связь между и и q на поверхности).
Чтобы сконструировать второе условие, можно поступить следующим
образом.
58
Пусть, для определенности, рассматриваемая граница области х > О
есть х = О, причем в узле хх= h имеет место неравенство </>'(«[") < 0. Это
означает, что в первом уравнении B.9) используются операторы А и Д
при s = sgni/(Mm) = -1 и это уравнение можно интерпретировать как
уравнение баланса потока у - eq для ячейки й<*<2/г. В качестве до-
дополнительного граничного условия можно записать уравнение баланса
этого же потока для ячейки 0<л:<й, не входящее в разностную схему,
однако для этого следует использовать операторы А и Д противополож-
противоположной ориентации (т.е. при s = 1), использующие при х = х, только внутрен-
внутренние узлы расчетной области. Граничное условие тогда будет иметь вид
B.27)
Если же <р'(и™)> 0, то уравнение B.27) для ячейки 0<x</z уже
включено в разностную схему, однако в нее не включено второе урав-
уравнение B.9), которое можно интерпретировать как баланс потока и для
ячейки А<х<2А. Записывается этот баланс для ячейки А<дс<2Л, но
с использованием операторов А и Д, соответствующих s = 1 и использую-
использующих только внутренние узлы области, получим граничное условие
Aqm + 1=(u11 + i- u% + l)lh. B.28)
Равенства B.27) или B.28) имеют третий порядок аппроксимации
одного из исходных уравнений B.8) в узле х=хх; они и являются вто-
вторым, дополнительным, граничным условием на границе х = 0 для реше-
решения разностных уравнений B.9). Вместе с первым условием, вытекающим
из математической формулировки задачи, условия B.27) или B.28) мо-
могут быть представлены в форме
Pvo + Qvj+Kyj»!, B.29)
где v= (u,q)r, Р, Q, R — матрицы размерности 2X2; 1 - двухкомпонент-
ный вектор правых частей.
Имеется положительный опыт применения граничных условий B.29),
которому предшествовало исследование для случая постоянных коэф-
коэффициентов, показавшее, что они удовлетворяют признаку Бабенко—Гель-
фанда [3]. Вместе с тем этот опыт является недостаточным для заключе-
заключения об универсальности этих условий.
Сформулированные выше граничные условия в известной степени мож-
можно интерпретировать как полученные из физических соображений. Воз-
Возможны и другие, чисто формальные способы их конструирования. Факти-
Фактически в качестве дополнительного граничного условия можно использо-
использовать некоторые алгебраические соотношения, связывающие значения
сеточных функций и и q в граничных и ближайших к ним узлах расчет-
расчетной области. Ограничиваясь тремя приграничными узлами х =/й, / = 0,1,2,
эти соотношения в общем виде можно записать как равенство
аоио+а1ы,+а2м2=й(/Зо <7o+0i<7i +02Йг), B-30)
где а/ и ft (г = 0, 1, 2) - некоторые константы.
59
Коэффициенты at и 0; можно определить из условия того, что форму-
формула B.30) аппроксимирует с желаемым порядком относительно шага h
равенство
q@)=du/bx\x = o. B.31)
Из условия аппроксимации B.31) с первым порядком и условия нор-
нормировки сразу же следуют три равенства:
ao+a!+a2 = 0, 0o+0i+02=l, а!+2а2=1. B.32)
Если желательно аппроксимировать B.31) с третьим порядком, то,
используя равенства
дги
э*
дх2
дх2
дх
можно обратить в нуль коэффициенты при Лий2, полученные после под-
подстановки в B.31) рядов Тэйлора для функций и(х) и q(x) = ди/Ъх. При
этом возникают еще два равенства:
0,+202=a,/2 + 2a2, A/2H, + 202 = (l/6)a,+ D/3)a2. B.33)
Система B.32), B.33) определяет шесть неизвестных коэффициентов <*/
и ft (/ = 0,1.2) с точностью до одного свободного параметра.
Выбрав, например, в качестве этого параметра коэффициент 02, полу-
получим следующие выражения для a0, aj, а2, ft, и & :
а0 = -5/6 + 202; в1 = 2/3 - 402 ; а2 = 1/6 + 202;
ft,-1/3-fc; 0o = 2/3. ( ' }
В частности, положив 02 = 0, получим формулу
1 2 1
~Яо + ~Я\ ~ ~ (-5u
3 3 6й
аппроксимирующую равенство B.31) с погрешностью О(А3).
Ограничиваясь вторым порядком, можно получить множество дру-
других формул, зависящих от двух свободных параметров. Среди всех воз-
возможных алгебраических соотношений типа B.30) пригодны для исполь-
использования те, которые вместе со вторым граничным условием в сочетании
с аппроксимациями исходного уравнения во внутренних узлах области
образуют устойчивую схему. Для оценки выяснения устойчивости схемы
с учетом граничных условий можно воспользоваться признаком Бабенко-
Гельфанда [3], понимая под сеточной функцией значения в узлах сетки
вектора с компонентами \u,q\. Ввиду множества различных вариантов
условий вида B.30) такой анализ здесь не приводится.
Стационарные разностные решения. Сеточное число Рейнольдса. Харак-
Характер решений разностных систем, возникающих при применении рассмат-
рассматриваемых аппроксимаций, удобно проиллюстрировать в случае стацио-
стационарного уравнения B.1) с постоянными коэффициентами (Э/df = 0, ip = au,
а = const, е = const,/ = 0). Точное решение этого уравнения имеет вид
и = С\ + С2 ехр (ах/е), Сх = const, C2 = const
60
и указывает на существование при малых значениях е пограничного слоя
с толщиной Ах~е/а. Из общих соображений очевидно, что для точного
описания деталей решения шаг сетки h в окрестности этого слоя должен
удовлетворять условию h -4 Ах, откуда следует оценка
ha
Rec= —<Rcm,
е
где Rec — так называемое сеточное число Рейнольдса, a Rcm — некоторая
величина порядка единицы. Условие Rec < Rcm является общим для всех
схем, не учитывающих характер точного решения; оно указывает, в част-
частности, на необходимость локального уменьшения шагов путем введения
неравномерных сеток. Вместе с тем схемы могут заметно различаться
по максимальным значениям Rcm, для которого разностное решение еще
остается похожим на точное, а также по наличию или отсутствию схемных
осцилляции. Пусть, например, используются аппроксимации третьего
порядка конвективных и диффузионных членов (т.е. схема B.9)). После
подстановки в разностные уравнения сеточной функции
q', q = const, дь аг = const
получается алгебраическое уравнение для определения q. Формально его
коэффициенты можно получить из коэффициентов уравнения B.25),
разделив последние на / = 144те/й2 и перейдя к пределу при т ->°°. Простые
выкладки приводят к следующим значениям:
Q2 =
1 н
1 н
3 с
2
УA + -
V з
2
V + з
2
>
Rer
/
5
—
6
Rec
5
— —
6
2
\ +
/
Rec
у<
Rer
1
3
1
3
Re,(
\
Rec
/5 \
— Rec - 1 1
ч 12 /
(— Re ^
V 12 Sc~1)
Легко усмотреть, что первые два корня при й->0 дают точное решение,
а корень q3 соответствует "паразитной" составляющей разностного реше-
решения. При всех значениях Rec выполняется неравенство 0<^3 < 1-
Если Rec < 12/5, то разностное решение близко к точному и не содер-
содержит осциллирующей составляющей. При Rec>12/5 корень q3 становит-
становится отрицательным, что не позволяет правильно описать пограничный слой.
Однако можно задаться вопросом: насколько при этом искажается реше-
решение гЛ1) = Cj = const, соответствующее отсутствию в исходном уравнении
диффузионного члена (е = 0)? "Паразитная" составляющая u^y>=C3q'3
общего решения не приводит к искажению ы:1', поскольку 0<q3< 1
61
и uj3' быстро затухают. Остается рассмотреть решение гЛ2-* = C2q{. Оче-
Очевидно, что для выполнения граничных условий при /=0 тл j = N (напри-
(например, «0 = 0, uN = 1) с учетом оценки |<72| > 1 константа С2 должна быть
мала и иметь порядок O(\q2\~N). Но это означает, что осциллирующая
составляющая uj2) ведет себя приблизительно как (-l)'(\/\q2\)N~',
т.е. также затухает с увеличением N—j. Поскольку \q2\ 35 D + \/2l)/5
при 12/5<Rec<°°, это затухание оказывается достаточно быстрым. Та-
Таким образом, при больших значениях Rec невозможность правильно опи-
описать структуру пограничного слоя не является препятствием для доста-
достаточно точного описания внешней части решения (т.е. решения исходного
уравнения при е = 0, а в случае уравнений аэрогидродинамики — решения
для невязкой части течения) .
Для сравнения можно привести результаты аналогичного анализа в слу-
случае дискретизации ди/дх и Ь2и/Ъх2 при помощи операторов До и Д2;
тогда
q2 = -A + Rec/2)/(Rec/2 - 1), q2 * -1 при Rec > 1
и составляющая и\2> = С2 q'2 является незатухающей осциллирующей частью
общего решения.
2.3. Примеры расчетов для уравнений с малыми коэффициентами
при старших производных
При решении практических задач часто наибольший интерес представ-
представляют случаи, когда функция е принимает малые значения в расчетной об-
лати. Критерием этой малости могут служить большие значения параметра
R = ujtle,, где м„ и е„ - характерные масштабы соответственно функций
и и 6, а /» - характерный пространственный масштаб, на котором функция
изменяется на свой порядок; параметр R является аналогом числа Рей-
нольдса в случае уравнений течения вязкой среды.
При больших значениях R в расчетной области с характерным размером
L могут возникать зоны быстрого изменения функции и, когда отношение
IJL становится малым в некоторых се частях. Наличие зон с малыми ха-
характерными размерами типа пограничных слоев или ударных волн предъяв-
предъявляет жесткие требования к численным алгоритмам. В частности, алго-
алгоритм должен быть достаточно устойчив, а полученные решения не долж-
должны быть искажены (или сильно искажены) схемной немонотонностью.
Области с малыми характерными размерами должны разрешаться с до-
достаточной точностью; при этом желательно, чтобы близки к точным зна-
значениям были не только значения функции и в узлах, но и значения ее пер-
первой производной, характеризующей диффузные потоки.
Если эти требования не выполнены, то при расчетах могут возникнуть
следующие неприятности: шаги г могут оказаться неоправданно малыми
для осуществления устойчивого счета; вследствие больших градиентов
искомых функций могут возникать осцилляции решения, которые в не-
некоторых случаях способны нарушить процесс вычислений. Другой край-
крайностью является случай применения схем первого порядка, когда при
реальных шагах сетки возможны значительные отличия получаемых реше-
62
ний от точного при внешне благоприятном характере изменения сеточ-
сеточных функций.
Рассмотренные схемы во многом удовлетворяют сформулированным
требованиям, однако при этом должно выполняться следующее очевид-
очевидное условие: если желательно разрешить область с малым характерным
размером / „, то шаг h в этой области следует выбирать много меньшим / „.
Эффективно реализовать такой выбор можно введением растягиваю-
растягивающего преобразования, которое отображало бы физическую область с раз-
различными (в том числе и малыми) характерными пространственными мас-
масштабами на расчетную область с единственным характерным масштабом -
ее размером. В этом случае при постоянном шаге сетки в расчетной обла-
области шаг в физической области оказывался бы малым там, где это необ-
необходимо. По существу, уменьшение шагов путем введения преобразо-
преобразования физической координаты является непременным условием приме-
применения описанных выше схем третьего порядка, поскольку последние по-
построены на сетках с постоянными шагами.
Может возникнуть вопрос: что может дать применение схем повы-
повышенной точности в смысле уменьшения числа узлов сетки при заданной
точности? Ответ состоит в том, что при удачном преобразовании % {и, х)
производные ди'/д%' могут оказаться равномерно-ограниченными по /
(например, при % - и они просто будут равны нулю) или, во всяком слу-
случае, не возрастать очень быстро при возрастании /. Тогда погрешность схе-
схемы порядка к будет мажорироваться величинами Cfcft*, где /г^ — шаг
сетки в расчетной области, а константы Ск не сильно зависят от номера
к. При этом можно ожидать выполнения неравенства C;h' < Суг? при к >
> / и, следовательно более высокой точности схемы высокого порядка
аппроксимации. Если же точность фиксируется, то схема высокого по-
порядка в этом случае требует меньшего числа узлов, хотя и должно быть
выполнено условие h -4 /,.
В приводимых ниже примерах расчетные данные были получены [6]
при помощи схемы B.9) для уравнения типа B.1) с аппроксимациями
третьего порядка диффузионных членов. В качестве преобразования не-
независимой переменной х использовалась функция ? (х, и), зависящая от
решения и, получаемого на каждом временном слое. Эта функция зада-
задавалась в виде
% = аи + Ъх, ?(*о) = 0, i(xN) = 1, B.35)
где [лг0, xN] - интервал, на котором ищется решение уравнения B.1),
а а и Ъ — положительные константы. При малых значениях коэффициен-
коэффициента диффузии е эта функция отображает области изменения х с характер-
характерным размером порядка О(е) на области изменения ? порядка 0A), так
что равномерной сетке с постоянным шагом h^ в расчетной плоскости
соответствует некоторая сгущенная в области больших градиентов сетка
с неременным шагом в физической плоскости.
Производя замену B.35), перепишем уравнение B.1) в виде
\ Ъи Ъф Ъ Ъи f
+-!- = — еХ + —, B.36)
b dt Э? Э? Э? х
63
где
х = ^1 и x-i =1Л _ а~\ B.37)
Э Э
Аппроксимацию B.36) вида B.9), записанную на сетке
дополним равенством njin B.37)
B-38)
позволяющим на каждом временном шаге определять сеточную функ-
функцию х-
В качестве граничных условий на одном из концов интервала [xo,xN]
для разностной системы использовались граничные условия из матема-
математической постановки задачи, дополненные искусственными условиями
тина B.27), B.28) для вектора (и, q)T. На другом конце, где решение
предполагалось невозмущенным, полагалось q = 0.
В общем виде разностные граничные условия при f = 0 и аналогичные
им при f = 1 можно записать в виде
1ь B.39)
где Pj, Qj, Rj — матрицы 2 X 2, a \j — двухкомпонентные векторы (j' = 0, 1).
Анализ граничных условий B.39) в приближении замороженных коэф-
коэффициентов показал, что эти условия удовлетворяют признаку устойчиво-
устойчивости Бабенко-Гельфанда, если под сеточной функцией понимать пару
(и, q)f. Можно показать также хорошую обусловленность соответствую-
соответствующих систем разностных уравнений.
В качестве примеров рассматривались следующие модельные задачи.
Уравнение Бюргере а. В B.1) положим^ (и) =w2/2, e(t/, х) =
= v = const > 0,/= 0. Произведя замену х i ~x - //2, придем к уравнению
Эм Ъ / и2 и \ Ъги
— + ( — _-)= у—- . B.40)
bt 3xi V 2 2 / Эх?
Интересуясь стационарным решением B.40) с граничными условиями
м(-°°) = 1 и и(°°) = 0, применим преобразование вида B.35), заменив
предварительно бесконечный интервал изменения xt конечным. При ма-
малых значениях v достаточно, например, рассмотреть интервал —1 <х < 1,
отобразив его на интервал — 1 < f < 1.
На рис. 1.4 и в табл. 1 приведены некоторые результаты расчетов по схе-
схеме B.9) с граничными условиями B.39). Из рис. 1.4 следует, что практи-
практически независимо от величины v функции и (f) (штриховые линии) опреде-
определяют характерную толщину ударной волны Д? =0A), соответствующую
толщине AXi=O(v) в физической плоскости. Фактическое значение Д?
64
и
\ \
\
\
\
V Ч
/7
Рис. 14
J,0 a
Рис. 1.5
зависит от отношения b/a = С в B.35), задаваемого в достаточной степени
произвольно. При увеличении С возрастает вклад в f(M,Xj) физической
координаты *j и величина Д? уменьшается.
В табл. 1 для иллюстрации точности метода приведены значения Х\ (f)>
и(?) и их, (О на интервале - 1 < J < О, полученные в случае v = 10~3,
С = 0,1 при /ij- = 0,1 и 0,025 (в последнем случае приведены также точные
значения ие (xt) и и? (хО). Уже при й^ = 0,1 почти во всей области дости-
достигается совпадение с вариантом h^ = 0,025 в трех-четырех значащих циф-
цифрах как самих функций, так и их производных. Некоторое понижение
точности происходит в окрестности выхода на асимптотику '(f»— 0,9 при
С = 0,1), где становятся большими высшие производные и (f).
Течение Куэтта со вдувом. Положим F = др/Ъх, е(и, у) =
= Re, i/>(w) = иом, где постоянные F, и0 и Re — соответственно продоль-
продольный градиант давления, скорость вдува и число Рейнольдса. Роль коор-
координаты д: в B.1) играет нормальная к поверхности координата у. Гра-
Граничные условия имеют вид и @) = 0, и A) = 1.
Согласно точному решению этой задачи, пограничный слой с толщиной
порядка О (Re) образуется либо на неподвижной стенке у = 0 (ио < 0),
либо на подвижной у= 1 (ио>1).В зависимости от значений Р = F/vo
профили скорости могут быть либо монотонными, либо иметь резко вы-
выраженные экстремумы (рис. 1.5). Предполагая, что какая-либо информа-
информация о положении и размерах пограничного слоя отсутствует, будем ис-
использовать преобразование с линейной функцией ф (и) тина @.9) и кон-
константами, зависящими от интервала монотонности функции и (у) [6].
Результаты расчетов для двух характерных случаев монотонного про-
профиля {Р = 0,5) и возвратного течения (Р = 1,5) приведены на рис. 1.5
A, 2 - и (у) при Re = 102 и 103 соответственно; 3, 4-7 - и (?) (Re = Ю2
(для 3, 7) и 103 (для 4, 7)). Как и в предыдущем примере, функции и (f)
слабо зависят от параметра Re и толщина слоя в расчетной области имеет
порядок 0A).
В табл. 2 для некоторых характерных значений f привдены величины
у($), "(?). w'y(O вместе с точными значениями ие (у) и и'е{у). Эти дан-
данные получены при Re = 103, hi = 0,025, и0 = 1 ДЛЯ наиболее неблагоприят-
65
5. Зак. 761
Таблица 1
h - 0,1
*,(?)
"(Г)
-0,0
-0,1
-0,2
-0,3
-0,4
-0,5
-0,6
-0,7
-0,8
-0,9
-1,0
0,0000
0,000467
0,000968
0,00149
0,00208
0,00276
0,00359
0,00443
0,00721
0,39785
1,00000
0,50000
0,55997
0,61992
0,67986
0,73980
0,79973
0,85965
0,91956
0,98482
1,00021
1,00000
125,092
123,296
117,902
108,915
96,337
80,168
60,414
37,071
7,55180
0,92862
0,02346
ного из рассмотренных случаев Р = 1,5, когда можно ожидать больших
погрешностей вычислений. Значительное понижение точности, согласно
табл. 2, наблюдается в области изменения знака производной м$- (f =0,13,
рис. 1.5); при этом значение у при f = 0,1 даже выпадает из монотонной
последовательности значений j> вследствие неточности определения и@, 1).
Такое ¦ поведение решения разностной задачи объясняется весьма больши-
большими значениями высших производных и в этой области и, кроме того, из-
изменением констант преобразования при переходе из одного интервала
монотонности в другой. Вместе с тем функции и их производные во всей
остальной части расчетной области вычисляются достаточно точно.
В табл. 3 приведены результаты расчетов варианта табл. 2 при меньшем
шаге ftg = 0,0125. Эти данные свидетельствуют о заметном увеличении точ-
f
0,000
0,025
0,050
0,075
0,100
0,125
0,150
0,175
0,200
0,250
0,300
0,400
0,500
y(i)
0,00000
0,000219
0,000500
0,000881
0,000505
0,00258
0,03827
0,06112
0,08987
0,14667
0,20353
0,31731
0,43109
Т а б л и
«(Г)
0,00000
-0,09854
-0,19696
-0,29518
-0,39490
-0,48976
-0,46142
-0,40768
-0,36562
-0,28009
-0,19472
-0,02403
-0,146640
ца 2
«'уЮ j ue(y)
-498,50 0,00000
-399,62 -0,09820
-300,78 -0,19589
-201,99 -0,29144
-102,83 -0,19778
-4,8596 -0,45848
-2,0336 -0,44259
0,87417 -0,40831
1,94439 0,36518
1,60525 0,27999
1,52637 -0,19469
1,50112 -0,02403
1,49934 0,146641
"еЬ>)
-498,50
-399,96
-301,86
-205,73
-299,96
-36,139
1,50000
1,50000
1,50000
1,50000
1,50000
1,50000
1,50000
66
h = 0,025
"'*,(?)
0,0000
0,000482
0,000979
0,00150
0,00209
0,00277
0,00362
0,00487
0,00741
0,39995
1,00000
0,50000
0,55995
0,61990
0,67984
0,73979
0,79972
0,85963
0,91951
0,97925
1,00000
1,00000
124,999
123,202
117,810
108,826
96,249
80,082
60,329
37,003
10,154
0,92870
0,03662
0,50000
0,56002
0,62004
0,68003
0,74001
0,79995
0,85983
0,91961
0,97603
1,00000
1,00000
125,000
123,198
117,795
108,792
96,196
80,014
60,259
36,962
11,693
0,00000
0,00000
ности всюду и, в частности, в упомянутой выше неблагоприятной области.
Заметим, что в отличие от случая монотонного профиля и в табл. 1 со-
сопоставление данных табл. 2 и 3 при одних и тех же значениях f неэффектив-
неэффективно, поскольку экстремальные значения и при h% = 0,025 и 0,0125, а следо-
следовательно, и преобразования f (у) несколько различаются.
Кроме схем третьего порядка, при проведении методических расчетов
применялись также схемы четвертого порядка с оператором Ао =0,5(А- +
+ А + ), а также обычные центрально-разностные схемы. В окрестности
поверхности сеточные функции, полученные при помощи симметричных
схем, даже при малых h обнаружили тенденцию к осцилляциям. На рис. 1.5
Таблица 3
y(S)
"(О
»е(У)
и'е(У)
0,0000
0,0125
0,0250
0,0350
0,0500
0,0625
0,0750
0,0875
0,1000
0,1125
0,1250
0,1375
0,1500
0,1625
0,2000
0,00000
0,000104
0,000220
0,000351
0,000502
0,000680
0,000896
0,001 17
0,00154
0,00176
0,00277
0,02186
0,03305
0,04746
0,0900
0,00000
-0,04924
-0,09846
-0,14765
-0,19680
-0,24590
-0,29492
-0,34383
-0,39255
-0,44157
-0,48901
-0,47731
-0,44999
-0,42904
-0,36492
-498,50
-449,10
-399,70
-350,31
-300,93
-251,57
-202,22
-152,90
-103,63
-54,286
-5,3229
11,614
1,0788
1,7327
1,4806
0,00000
-0,04923
0,09843
0,147
-0,19670
-0,24573
-0,29462
-0,34322
-0,39082
-0,41130
-0,46475
-0,46720
-0,45041
-0,42881
-0,36493
-498,50
-449,11
-399,73
-350,37
-301,04
-251,74
-202,52
-153,51
-105,36
-84,556
-2,9578
1,4999
1,5000
1,5000
1,5000
67
приведено сравнение решений вблизи стенки, соответствующих схемам
третьего и четвертого порядков (И = 0,0125; см. рис. 1.5, кривые 5 и 6).
Таким образом, при надлежащем размещении узлов сетки в физиче-
физической плоскости несимметричные компоненты схемы могут давать весьма
точные результаты. Их преимущество по сравнению с симметричными
схемами второго порядка, если даже не учитывать соображения точности,
состоит в большей монотонности решений, вытекающей из ориентации
схемы в соответствии с направлением распространения возмущений.
2.4. Компактные схемы для систем уравнений
с диффузионными членами
Аппроксимирующие операторы; трехточечные схемы. При построении
разностных алгоритмов для систем, описывающих одновременно конвек-
конвективные и диффузионные процессы (в частности, для уравнений динамики
вязкого газа), основную роль, как и в случае одного уравнения, играет
способ аппроксимации гиперболической части уравнений. Используя для
этой цели операторы Вх и Сх, введенные в п. 1.8 (формулы A.65а)), проб-
проблему конструирования алгоритма можно свести к выбору разностных
аналогов диффузионных членов.
Рассмотрим в качестве модельной систему
9f(u) 9F(u) Э Эй
—— + — = — и + g, B.41)
Ы Ъх Ъх Ъх
в которой u, f, F и g — р-компонентные векторы, причем матрицы 9f/9u =
= L, 9F/9u = Q и ju размерности р X р являются симметрическими, а мат-
матрицы L и ц , кроме того, положительны.
Рассуждая так же, как и в случае скалярного уравнения, можно прийти
9 / 9ы
к различным возможностям аппроксимации члена /л-— I в вектор-
Ьх \ Ъх
ном уравнении B.41). Наиболее удобной с точки зрения решения разно-
разностных уравнений является аппроксимация вида Bxl A2u, где матрично-
разностный оператор Л2 определяется формулой
- ///-.1/2Д-)*- B-42)
При использовании этой аппроксимации возможно следующее обобщение
схемы с весами A.70) на случай системы B.41):
/9f\m + 1 к
Вх{—) + 2 a,(CxFm+1~' - Л2ит+1-') =
\bt / i=o
= S а,Вхёт'1-'. B.43)
1= 0
В частности, двухслойная схема после линеаризации функций f и F может
быть представлена следующим образом:
[BXL + ot(CxQ - A2)](u+1-um)/r+ CxFm - A2um =
= Dx[ogm + l + (l-a)gm]. B.44)
68
Матрицы L и Q, как и в случае гиперболических систем, предполагаются
вычисленными по известным значениям функции ит.
Ввиду того что Bxi = Е + OQi) и Л2 = Dx^iDx + O(h2), для аппроксима-
аппроксимаций диффузионных членов можно записать оценку
Э / Эй М
Bx-'A2um =— (л— ) + O(h).
' Ьх\ Ьх /\t=tm,x = xj
При этом погрешность аппроксимации схем B.43), B.44) относитель-
относительно шага h условно можно записать в виде O(h3 + \\ ц \\И), подчеркивая
тем самым, что первый порядок возникает при аппроксимации членов
с функцией ц. Как отмечалось выше, такой вариант может оказаться при-
приемлемым, если зависимость ц(и, х) сама задается с некоторой погреш-
погрешностью. В частности, это происходит в случае уравнений Рейнольдса, замы-
замыкаемых некоторой полуэмиирической моделью турбулентности. Другим
примером является случай, когда вследствие малости функции ц диф-
диффузионные члены пренебрежимы в значительной части расчетной области,
а там, где они играют существенную роль, высокой точности по тем или
иным причинам не требуется.
Процесс решения разностных уравнений при переходе от одного слоя
t = const к другому нисколько не усложняется по сравнению со случаем
д = 0 и может быть осуществлен трехточечными векторными прогонка-
прогонками с матрицами р Хр.
Для оценки устойчивости схемы B.44) рассмотрим соответствующую
исходной системе B.41) систему с постоянными матрицами. После про-
простых преобразований последнюю можно представить в форме
bv/dt + Кд\/дх = 1>Ъ2\/Ъх2, B.45)
где v = L1/2u, v = L-1'2^-112, К = L-42QL~112 - симметричные мат-
матрицы. Матрица v, кроме того, является положительной в силу неравенства
(L~ll2nL-ll2u, u) = (mv,v) >0, гдеу=/,-1/2и.
Схема B.44) для системы B.45) имеет вид
[Е + атВ-\СхК- Л2)] (vm+1 - vm)/r + В;Х(СХК- A2)vm = 0. B.46)
Абсолютная устойчивость схемы B.46) при а > 0,5 легко устанавливает-
устанавливается при дополнительном предположении о том, что матрица д коммута-
коммутативна с матрицами Q и L. В этом случае операторы Вх и Л2, как легко
усмотреть, являются коммутативными, так что имеет место цепочка
равенств
(В~1(- Л2)и, и)= {В~1 л/-Л2 u, y/-Ai и) = (v, Bxv),
где v = Вх1 V—Л2и. Но последнее в этой цепочке скалярное произведе-
произведение неотрицательно в силу неотрицательности оператора Вх. Отсюда сле-
следует неотрицательность оператора -Вх1 Л2 и, следовательно, оператора
Вхх {СХК — Л2). Поэтому схема B.46) абсолютно устойчива при а> 0,5
как схема с весами.
Сведение к системе уравнений первого порядка. По аналогии со ска-
скалярным случаем систему уравнений второго порядка B.41) можно свести
69
следующим образом к двум системам первого порядка:
df/dt + dF/dx = дцфх + g, ди/Ъх = q, B.47)
где q — новая неизвестная векторная функция.
Дня аппроксимации первого уравнения B.47) будем использовать
операторы Вх и Сх из A.65), соответствующие гиперболической части
этого уравнения (ji = 0), а для аппроксимации второго уравнения B.47) —
сопряженные им операторы. Ограничиваясь для определенности двухслой-
двухслойными схемами, запишем разностный аналог B.47) в виде
Bx{im +' - im)lr + Сх F = CxGZq) + Bxq,
\ • )
C* .,/71 + 1 _ D «W+l
xu - Bxq
Здесь черта означает осреднение вида F =aFm + 1 + A - a)Fm, Вх = В* =
= (Ло + 0,25Д0Л/), Сх = С* = [До + Д_(Г|/2М)Д+]/2А, Л/ - матрица,
возникающая при приведении матрицы L~XQ к диагональному виду;
напомним, что М = LSDS'^L'1, D = Diag{sgn Xi,..., sgn Xp}, где столб-
столбцами матрицы 5 являются собственные векторы матрицы L~lQ, a X,-
(/ = 1,р) - ее собственные значения.
Для исследования устойчивости схемы B.48) при постоянных матри-
матрицах L, Q и id удобно исключить вектор qm +1 из второго уравнения B.48)
(qm+1 = щ1Схит + 1 = -{Bx)'1Cxum + l) и записать эту схему при g = 0
в виде
[Е + ot(NK+ V)](Vn + l -vm)/r + (NK+ V)ym = О,
где v = Z,1/2u, V = B;lCxu(BxylCx, N = В?Сх, К = L'lQ.
Ранее было установлено, что NK > 0. Покажем, что оператор V явля-
является положительным самосопряженным. В самом деле, операторы Вх и
Сх, а следовательно, Вх1 и Сх при постоянных матрицах коммутатив-
коммутативны. Поэтому (SxK'Cx* = (С*Вх1)* ~ (ВХ1СХ)*, откуда в силу симмет-
симметричности матрицы v = L~ll2nL~ll2 немедленно следует самосопряжен-
самосопряженность оператора V:
(Fu,v) = (NvN*u,\) = (yN*u,N*\) = (N*u, vN*v) = {u,NvN*\).
Кроме того, (Ku, u) = (vz, z) > 0, где z =7V*u, поскольку матрица v
положительна.
Таким образом, NK + V > 0, и выписанная выше схема с постоянными
матрицами абсолютно устойчива при а > 0,5 как схема с весами, построен-
построенная при помощи положительных операторов.
При практической реализации схемы B.48) после ее линеаризации
нужно решать систему двух трехточечных векторных уравнений с матри-
матрицами р X р. В частности, это можно осуществить векторными прогонками
с прогоночными матрицами размерности 2р X 2р. При использовании
ЭВМ с последовательным выполнением действий такая большая размер-
размерность матриц может вызвать существенные трудности. Чтобы остаться
в рамках прогонок с матрицами р X р, можно поступить следующим об-
образом.
70
Запишем сначала исходную схему B.48) в линеаризованном виде:
[BXL + TO{CxQ + CxfiB*-lCx*)](um + l ~ит)!т +
+ Cx(Fm-nqm) = Bxg, B.49)
Левая часть B.49) получена после линеаризации функций f и F в обра-
обращаемом операторе, причем матрицы L, Q и ц предполагаются вычисленны-
вычисленными по известным значениям функции и на предыдущем временном слое
(или на предыдущих временных слоях). Основная сложность обращения
оператора в квадратных скобках состоит в сложной структуре оператора
CxixBx~lCx . Поэтому является естественной замена последнего на неко-
некоторый трехточечный оператор без нарушения устойчивости схемы. По-
Поскольку перед оператором диффузионных членов в обращаемом операто-
операторе стоит множитель г, такая замена приведет к эквивалентной схеме B.49)
с точностью до членов порядка О(т). Если высокий порядок аппрокси-
аппроксимации схемы относительно шага т не требуется, то вновь полученная схе-
схема может оказаться вполне приемлемой. Именно так происходит в слу-
случаях, когда интерес представляют лишь стационарные решения исходной
задачи.
Из общих соображенией легко усмотреть, что в качестве оператора,
заменяющего операторы Cx/u5x-1Cx, естественно выбрать такой опера-
оператор D, для которого выполняется условие энергетической эквивалентно-
эквивалентности операторов W = BxlD и V = ВХХСХ11В^~ХСХ, т.е. условия типа
a(Wu, и) < (Fu, u) </3(Й/и, и) с продолжительными числовыми констан-
константами а и C.
Положим D = —кА2, где к — некоторый числовой коэффициент, а Л2 —
Э / 3 \
трехточечный разностный аналог B.42) оператора —- ( ju-— ) . Тогда
дх \ Ьх /
схема B.49) перейдет в схему
[BxL + to(CxQ-kA2)](um + l -um)/r + CxFm -jzq1" = Bxg, B.50)
Cxum = -?xqm.
От схемы B.49) схема B.50) отличается членами порядка О(т)\ на ус-
установившемся решении эта разница исчезает.
Согласно B.50), по известной сеточной функции um определяется
функция qra = -Вх~ЛСхит, затем вычисляется выражение CV(F'" -
- Mqm), после чего в результате обращения трехточечного оператора BXL +
+ to{CxQ — кА2) определяется искомая функция um + 1.
Схеме B.50) соответствует следующая схема с постоянными симмет-
симметрическими матрицами К и /л (ц > 0):
m + 1
(NK + V)um = 0,
где W = -BXA2, N = BxlCx.
При надлежащем выборе постоянной к, по крайней мере в случае ком-
коммутативных матриц К и ц, эта схема будет абсолютно устойчивой при
а > 0,5. Действительно, после умножения ее на (NK + V)* получается
71
равенство
53(um + 1 - um)/r + АХА^ = 0, B.51)
где А, = N К + V, a
93 = [(MC+F)* +<7VK+ ^(fcFV-al^-i-ar^tH!].
Схема B.51) будет абсолютно устойчивой п норме || ¦ \\а*а "Ри выполне-
выполнении неравенства ЗВ > 0,5тA*Ai [46]; т? сим образом, при о > 0,5 до-
достаточно показать, что найдется константа к, для которой второе слагае-
слагаемое в операторе 53 неотрицательно (первое слагаемое в нем положитель-
положительно по построению операторов NK и V).
Выбор константы к можно осуществить педующим образом. Пере-
Перепишем условие неотрицательности второго ел таемого в операторе $? в
виде двух неравенств:
o(NK)*(kW- V)>0; B.52а)
oV*(kW- V) > 0. B.526)
Обозначая через X левую часть неравенства B.52а"), после простых вы-
выкладок с использованием коммутативности матриц К и ц, а также вы-
выражения для оператора D - -k;iA2 = -кцС?Сх нетрудно получить ра-
равенство
X = 1
Скалярное произведение (Xv, v) теперь можно переписать в виде
(Zv,v) = аAл(СхК)*[кВх -?](^)-'у,у),
где у = (BxiCx)*v. После введения обозначения г = Ej)"'y последнее
равенство переходит в
(Xv, v) = aijiSz, z), B.53)
причем оператор S задается формулой S = ВХ(СХК)* {кВх— Е). Теперь яс-
ясно, что константу к следует выбрать так, чтобы оператор S был неотрица-
неотрицательным. Для определения самосопряженной составляющей S1'0) опе-
оператора S достаточно воспользоваться равенством
ВХВХ = А\ - ДЗ/16 = ? + Д2/12~5Д1/144,
справедливым в силу того, что Ао - Е + Дг/6 и До = 4Д2 + Д|, а также
тем фактом, что самосопряженная составляющая оператора ВХ(СХК)*,
согласно п. 1.9, равна MKI\\j2Ah. После несложных преобразований по-
получается следующее выражение для 5@):
,„. 0,5 Г / 1 1 \ 5 I
s(o) = _(_д )hfc? _ ( —k + — )(--Д2) - кА22 \МК.
А [ \ 12 12 / 144 J
Поскольку И\ < 4(—Дг), оператор в квадратных скобках превосходит
оператор ?/Г (Л ь 1) (-Д2)/12 + 5Д2/36. Но так как - Д2 <4?', то по-
последний будет положительным при выполнении неравенства
к > 3. B 54)
Для таких значений к в силу положительности матрицы МК и операто-
оператора (—А2) оператор S^°) будет положи ельным и скалярное произведе-
произведение B.53) для положительной симметрической матрицы ц, коммутатив-
коммутативной с 5, будет также положительным. Но это и означает выполнение не-
неравенства B.52а).
Левую часть неравенства B.526) можно переписать в виде
оц(ВхВху2(СхСх*){кВ*х - Е). B.55)
Так как ц(ВхВх)~2 (СХСХ) - положительный самосопряженный опе-
оператор, коммутативный с оператором в скобках, то для неотрицательности
оператора B.55) достаточно, чтобы был неотрицательным оператор кВ*-Е.
Но так как В* > A/3)А\ то неравенство кВ* - Е > О выполняется,
если только к > 3. Таким образом, при выборе к, согласно B.54), спра-
справедливы оба неравенства B.52) и схема B.51) абсолютно устойчива в нор-
норме || ¦ На*а- Применение схемы B.50) вместо исходной схемы B.49),
как уже отмечалось, позволяет использовать для решения разностных
уравнений трехточечную прогонку с матрицами р X р, а не 2р X 2р. Це-
Цена этого-первый порядок аппроксимации относительного шага т и более
сильные предположения коммутативности матриц М и ц при доказатель-
доказательстве устойчивости независимо от шага т. Первый из этих факторов, как
уже отмечалось, является не столь существенным, если интерес представ-
представляет не процесс изменения решения со временем, а стационарное реше-
решение, достигаемое в процессе установления.
Что касается коммутативности матриц М и ц, то она всегда имеет место
в скалярном случае (р = 1). В практически интересных случаях (например,
течения вязкого газа) эти матрицы являются некоммутативными, перемен-
переменными и, более того, зависящими в каждый момент времени от решения.
Поэтому приведенное выше обоснование устойчивости, как и предыдущие
аналогичные обоснования, носят оценочный характер. Однако оно позво-
позволяет надеяться, что при надлежащих граничных условиях на практике
схема будет обладать достаточным запасом устойчивости, т.е. возмож-
возможностью счета при достаточно больших отношениях г/й.
Как и в скалярном случае, существует и другая возможность сведения
системы B.41) с диффузионными членами к системе уравнений первого
порядка. Эта возможность реализуется в случае постоянной матрицы м-
Введя новую зависимую переменную — векторную функцию q = Э2и/Э.х2,
систему B.41) можно переписать в виде
3f/3f + 9F/9jc = juq + g, B.56)
Дня построения аппроксимации высокого порядка системы B.56) доста-
достаточно первое из них рассматривать как векторное уравнение переноса с
правой частью, а второе аппроксимировать при помощи оператора Л из
B.11). В частности, возможна следующая двухслойная схема с весами:
Bx({m + i-fm)/T + Cx^ = nq+g,, B.57)
где черта, как и ранее, среднее с весом a, (*4q)/ = (q/-i + ЮЧ/ + Чу+i)/
Погрешность аппроксимации схемы B.57) имеет порядок O(h + II ц ||й4).
После исключения переменной q и линеаризации обращаемого оператора
73
схема B.57) может быть записана в следующей форме:
[BXL + то (CXQ- цк-2Л-' А2)] (um + 1 - um)/r + QFm - цВхЧт = Bxg,
. B-58)
Ее аналог в случае постоянных матриц имеет виц
[Е + от (NK + Fi)] (um + l - um)/r + (NK + К,) ит = 0, B.59)
где Vy =-aiS;UA2//!2.
Легко видеть, что оператор jl1 Д2 — отрицательный самосопряженный.
Простейшие выкладки показывают, что это приводит к положительности
оператора Уг и, следовательно, оператора NK + Kj. Таким образом, при
а> 0,5 схема B.59) является абсолютно устойчивой.
Как и в случае новой независимой переменной q из B.48), схема B.57)
после линеаризации функций f и F может быть представлена в виде систе-
системы трехточечных разностных уравнений относительно вектора z, компо-
компонентами которого являются компоненты векторов и и q. Эта система ре-
решается, в частности, методом векторной прогонки с матрицами размер-
размерности 2рХ2р. Для того чтобы использовать прогонку с матрицами рХ р,
достаточно в обращаемом операторе в B.58) член - цИ'2,/Г1 Д2 заменить
на член — цкА2, где к — некоторый числовой коэффициент. Используя
аналогичные приведенным выше рассуждения, легко установить, что нера-
неравенства типа B.52), в которых под V понимается V\, а под W - оператор
цВ'1 (-Д2)//г, выполняются в случае коммутативных матриц К и /л при
к > 3/2. Но это будет означать устойчивость такой модифицированной
схемы в норме || ¦ || ., , где А г = NK + Vt.
1 Li
Замена оператора Л А2 на энергетически эквивалентный ему оператор
превращает обращаемый оператор в трехточечный B.58), но понижает
порядок аппроксимации схемы относительно шага г до первого независимо
от выбора весового множителя а. Однако на установившемся решении
порядок погрешности схемы оказывается не зависящим от г и равным
3 4
Схемы с факторизованными операторами. Использование приближенной
факторизации обращаемых операторов позволяет, как и в скалярном
случае, конструировать схемы, в которых разностные аналоги диффузион-
диффузионных членов в меньшей степени усложняют процесс решения разностных
уравнений. Одно из семейств двухслойных факторизованных схем для
B.41) можно представить следующим образом:
=g,
т
i „m - ю-i/- к"» х ,.»» B-60),
?ftu ~ Вх Cxr -62u .
Через 52um в B.60) обозначена некоторая аппроксимация порядка / произ-
Э Э
водной —д — при t =tm. Общий порядок аппроксимации схемы B.60)
Ъх Ъх
зависит от выбора оператора Ь2, на установившемся решении погрешность
этой схемы не зависит от шага т и может быть представлена в виде О {hi3 +
74
Схемы с факторизованными операторами подробно описаны и иссле-
исследованы в [41, 47]. В силу неотрицательности оператора Bxl CXQ и отрица-
отрицательности оператора 52 устойчивость схемы B.60) следует из общей теории.
Схему B.60) можно заменить эквивалентной схемой дробных шагов
вида
[BXL + otCxQ) Г1/2 = - rBxLhum = -r(,CxFm - Bx52um),
B61)
где Г1'2 - некоторый промежуточный вектор, f1 = um + 1 - ит. Уравнения
для J'2 с точностью до правой части совпадают с уравнениями для случая
отсутствия диффузии и могут быть решены методом векторной прогонки
с матрицами р Хр. Уравнения для f1 не содержат аппроксимации конвек-
конвективных членов; их структура определяется выбором оператора 62 •
В некоторых случаях в качестве оператора 52 разумно использовать
оператор Л2, определяемый формулой B.42). При этом порядок погреш-
погрешности аппроксимации схемы B.60), зависящий от шага h, оказывается
равным 0(Л3 +||/а ||й2).
Следует иметь в виду, однако, что применение факторизованных схем
типа B.60) требует некоторой аккуратности при формулировке граничных
условий при определении промежуточной функции f1'2, не имеющей
физического смысла.
2.5. Применение внутренних итерационных процессов
О роли внутренних итераций. При практическом использовании рассмат-
рассматриваемых алгоритмов иногда желательно обращать операторы в том или
ином смысле более простые, чем те, которые диктуются выбранной схемой.
Например, в некоторых ситуациях может оказаться целесообразным ис-
использовать схему B.49) с достаточно высоким порядком аппроксимации
относительно шага т, но оставаться при этом в рамках векторных прогонок
с матрицами рХр. В других случаях векторные прогонки вообще могут
оказаться нежелательными и т.д.
Естественным путем замены операторов на более простые является
введение внутренних итерационных процессов, когда на каждом шаге по
времени производятся итерации с решением разностных уравнений же-
желаемого вида. В случае сходимости итераций получаемая сеточная функция
должна совпадать с функцией um + l, определяемой оператором перехода
выбранной схемы.
Использование итераций является невыгодным с точки зрения распарал-
распараллеливания алгоритма, однако если число итераций невелико, то оно может
оказаться целесообразным при использовании ЭВМ с последовательным
выполнением действий. Например, прогонки с обращением матриц рХр
в некоторых задачах требуют больше арифметических операций, чем не-
несколько итераций с р скалярными прогонками.
Целесообразность внутренних итераций с более простыми обращаемыми
операторами существенно возрастает в тех случаях, когда необходимость
итераций на каждом временном слое диктуется другими соображениями.
Характерным примером может служить ситуация, когда система типа
B.41) является частью более общей модели, а в соответствующем алго-
75
ритме выполнение операций, связанных с ее решением, должно происхо-
происходить вслед за (или перед) решением остальных уравнений. В этом случае
попеременное решение групп уравнений на каждом временном шаге может
существенно повысить устойчивость метода. Именно так обстоит дело при
расчетах турбулентных течений, описываемых полуэмпирическими моде-
моделями турбулентности в виде дополнительных дифференциальных уравне-
уравнений, а также при учете сил плавучести в стратифицированной среде.
Другим примером является итерирование на каждом временном слое,
обусловленное нелинейностью исходных уравнений. Такое итерирование
может оказаться выгодным, в частности, если использование сеточной
функции um + I при вычислении матриц L и Q в обращаемом операторе
существенно снижает ограничение на шаги по времени.
Возможны различные варианты внутренних итераций; ниже будут рас-
рассмотрены некоторые из них.
Итерации, связанные с оператором диффузионных членов. Поскольку
введение разностного аналога диффузионных членов может усложнить
процесс решения разностных уравнений, естественно попытаться заменить
его на более простой, т.е. на такой, который допускает обращение опера-
оператора перехода не более сложное, чем в случае отсутствия диффузионных
членов, но при этом после сходимости итераций не влияет на первона-
первоначальную структуру алгоритма.
Рассмотрим схему
+ Kum) = g, B.62)
где N= ВХ1СХ, а V ~ оператор, аппроксимирующий диффузионные члены.
В частности, схема B.62) получается из схемы третьего порядка B.9)
после исключения функции q и умножения левой и правой части на В'х;
при этом V = Bx1CxiiBZ~1Cx.BBeiyi оператор W желаемой структуры,
схему B.62) можно переписать в эквивалентном виде:
-um)/r + a(K- kW)(nm + 1 -um) =
= g -NFm - V\xm, B.63)
где к - некоторый коэффициент.
Равенство B.63) естественным образом определяет следующий ите-
итерационный процесс:
(L + toNQ + TokW) u/+1 + та (V - kW) и1 = т (g - N?m - Vum), B.64)
где u' = um + 1>/ - um, a / - номер итерации. Согласно алгоритму B.64),
в течение каждой (I + 1)-й итерации происходит обращение оператора
BXL + toCxQ + rafc?xW,
причем сеточная функция BX(V - Ш)и' вычисляется по известной из
предыдущей итерации функции и'. В случае, если V = Вх1 СхцВх~1 Сх,
вычисление Вх Vvi' само по себе требует обращения оператора Вх :
BxVu' = Сх цВх* ~»С,? и1 = С
где
7В
При сходимости итераций выполняются равенства um + '.'+i = u'" + 1>' =
= um + 1 и B.64) переходит в B.62). Практически в силу конечности числа
итераций 1т отличие схемы B.64) от схемы B.62) при / = 1т будет опре-
определяться недоитерированностью итерационного процесса B.64).
Обращаясь для оценки сходимости итераций к случаю постоянных
матриц и считая, не нарушая общности, что L и Q - соответственно еди-
единичная и симметрическая матрицы, итерационный процесс B.64) с точ-
точностью до правой части можно представить в виде
(G + tA$A2)ui+1 = тА2*А2Ъ', B.65)
где А2 = o(kW- V), G = A*2 (E + toNQ + raV).
Пусть W = Вх1 Л2; тогда если матрицы ц и Q коммутативны и выпол-
выполняется условие к > 3, то в соответствии с рассуждениями, приведенными
при обосновании неравенств B.52), оператор А2 является положитель-
положительным. При этом легко доказывается неравенство
tUG + tA*2A2)-1A*2A2\\<\, B.66)
означающее сходимость итерационного процесса.
В скалярном случае (р = 1) для собственных значений X оператора
перехода от гп-тл к (т + 1)-й итерации может быть получено следующее
выражение:
V2
|Х|2= ; /2- B.67)
1 + v2 + А (а) '
Здесь
v = 4kfili(T/h2)sin2(al2)l<i>(a),
1 2 1 \2 1
— cos a + i + —
3 3 к/ 4
Г = ( — cos а + i + — sirr а /Ф (а),
Г/1 2\2 1 1
Ф (а) = ( — cos а + — ] + — sin a ,
I \ 3 3 / 4 J
Hi 1 — единственный элемент матрицы ц, а Д(а) — некоторая неотрица-
неотрицательная функция. Очевидно, что при к > 3 имеет место неравенство / < 1,
откуда следует, что | X | меньше единицы при всех значениях шагов г
и /г. На основании равенства B.67) можно также заключить, что сходи-
сходимость особенно быстрая для низкочастотных гармоник, когда | X | = О(а2),
а ^1. Для быстрой сходимости высокочастотных гармоник полезно вы-
выбрать значение к = 3; тогда множитель /2 можно привести к виду
Л 7Г-а 9 ,
16 sin + — sin (я -¦¦ а)
2 4
I2 = " Г^-7 • B-68)
/ тг-аЧ2 9 ,
f2-4sin2 J +-ш2(я-а)
Из B.68) следует, что при таком выборе к имеет место оценка | X | -
= О(п — а), указывающая на быстрое уменьшение коротковолновых
77
составляющих погрешности (п а ^1). Существенно также отметить,
что во всех случаях имеет место неравенство | X | < у < 1, где число у не
зависит от шагов сетки. Таким образом, на количество итераций до полу-
получения заданной точности число узлов расчетной области никак не влияет.
Итерации со скалярными прогонками. Основная идея сведения алго-
алгоритма с векторными прогонками к алгоритму со скалярными прогон-
прогонками состоит в использовании в качестве обращаемых операторов, пред-
ставимых в виде SGS~i, где S - некоторая матрица, а G - матрично-
разностный оператор, содержащий в качестве матричных коэффициентов
лишь диагональные матрицы. Рассмотрим сначала случай обращения опе-
оператора Вх, когда приходится решать разностные уравнения вида
B*u = F, BX=A0-0,2SA0M, B.69)
где F - некоторая известная сеточная функция, образованная значениями
в узлах р -•• компонентного вектора. Если бы матрица М была постоянна,
то систему B.69) в силу равенства М = SDS'1, D = diag { sgn X,}, / = 1, р,
можно было бы записать следующим образом:
S(A0 -0,25 A0D)S~1u = F. B.70)
Введением новой зависимой переменной v = S-1u система B.70) приво-
приводится к р независимым уравнениям
(Ао - 0,25 До к,) «@ = /('\ i =Т7л 14 = sgn \„ B.71)
где и О и /О - компоненты векторов S~lu и 5-1F соответственно,
а X/ - собственные значения матрицы К =L~l Q.
После решения уравнений B.71) методом трехточечной скалярной
прогонки определяется вектор v, а затем вектор Su. В случае неременных
матриц, обозначив левую часть B.70) через 5G5~1u, можно построить
следующий итерационный процесс для решения системы B.69) :
Giu'+I +(J?je-G,)u' = F, G^SGS'1. B.72)
Сеточная функция (Вх - Gx)u' с учетом равенства Ао = Е + Д2/6 в ин-
индексном представлении записывается в виде
(Вх - С,) и' = - [(Е - SjSrfi) uj+ ,+(?•- S/Sfl,) uj_, ] -
о
- -[E/+, - S/) ^+1 - (S/_, - S/) v?/-1 ], ^ = i'^ u'.
В случае гладких элементов матриц S(x) разности Е — SjSJ-i, E —
- SjSf+x, 5/_i - Sj, Sj+i -Sj имеют элементы порядка O{h); нетрудно
установить, что при этом || Вх - G \\ - O(h). Если же элементы матриц S
терпят разрывы первого рода вследствие либо переключения оператора
Вх при смене знаков X,- (/ = 1, р), либо разрывности решения и, то элемен-
элементы разностей матриц A+Sj имеют порядок 0A). Если при этом число
точек разрыва конечно при И -+0, то порядок среднеквадратичной нормы
II Вх — G\\ может быть оценен в виде O(\/h). Принимая во внимание
эти соображения при оценке сходимости итераций B.72), можно надеяться
на то, что при некоторых конечных шагах h норма оператора перехода
78
Gi1^ — Gx) удовлетворяет неравенству
II <V (Px - Ci) II < II Cf1 II II Bx - G, ||< 1. B.73)
Однако выполнение неравенства B.73) сильно зависит от поведения ре-
решения и исходной задачи, и поэтому выяснение того, сходится ли процесс
B.72) с заданной точностью за разумное число итераций, требует экспе-
экспериментальной проверки.
При обращении оператора BXL + raCxQ итерационный процесс может
быть записан аналогичным образом:
G,u/+1 +(BxL + toCxQ -Gi)u' = F, B.74)
где Gj - оператор, представимый в виде SGS'1, причем матрично-раз-
ностный оператор G содержит только диагональные матрицы. Для кон-
конструирования оператора Gx вновь обратимся к случаю постоянных матриц.
Замечая, что операторы Вх и Сх построены при помощи матрицы М, равной
М = SiDSi1, где St =L'lS, a 5—матрица, столбцами которой являются
собственные векторы матрицы К = L~1Q, перепишем B 74) после умно-
умножения на L '1 в виде
S[A0 - A0D + 0,5 отh-^AoA-A2DA)) S'V+1 =
= L-1[F--(BxL+ToCxQ-Gi)ul].
Оператор в квадратных скобках содержит диагональные матрицы D =
= diag { sgn X,-} и Л = diag {X, } , i = Т7р, так что оператор, действующий
на u'+1, после перехода к новой векторной функции v = S~lul+l обра-
обращается при помощи скалярных прогонок. Отсюда следует, что в качестве
оператора Gt в B.74) достаточно использовать оператор, действующий
на u/ + 1 в равенстве B.75). При этом рассуждения о сходимости итераций
полностью совпадают с приведенными выше по поводу итерационного
процесса B.72).
Рассмотрим, наконец, случай уравнений с диффузионными членами,
когда приходится обращать оператор типа
B.76)
где оператор V содержит матрицу ц. В общем случае даже при постоянных
матрицах L, Q и juero нельзя представить в виде SGS'1, поскольку из-за
нскоммутативности матриц L, Q и /U не существует преобразований, одно-
одновременно приводящих их к диагональному виду. Однако замена на каждой
итерации матрицы /а на некоторую положительную симметрическую мат-
матрицу, представимую в виде 5/ijS, где матрица /jj диагональна, опять-
таки приводит к возможности обращения оператора перехода при помощи
скалярных прогонок. При такой замене естественно заменить и сам опе-
оператор V на некоторый трехточечный оператор, т.е. фактически совместить
итерации, связанные с изменением матриц, с описанными выше итерациями
при наличии диффузии. В этом случае одновременно решаются проблема
замены векторных прогонок скалярными и проблема обращения операто-
операторов, содержащих сложные аппроксимации диффузионных членов.
Выбор матрицы ц i, очевидно, можно произвести многими способами.
В качестве /л i можно выбрать матрицу вида /1| /i ||/, / = const, где /— еди-
79
1Шчная матрица. Структуру обращаемого оператора с диагональными
матрицами при этом можно представить в виде
S [Ао - АоD + 0,5 arh'1 (AoA-AiDA + k^^fi^Aa^S'1,
где оператор Sjuj S'1 A2lh2 используется как альтернатива оператору
BXW = Л2 в итерационном процессе B.63), а ку - некоторый положи-
положительный коэффициент, определяемый аналогично коэффициенту к из
B.63), но с учетом коэффициента /, появившегося при замене матрицы
11 на SfiiS'1. Выбор коэффициентов ki и / должен обеспечить положи-
положительность соответствующих операторов и сходимость итераций по крайней
мере в случае постоянных матриц.
При оценках целесообразности сведения векторных прогонок к ска-
скалярным основную роль играет количество необходимых итераций. Если
учесть, что скалярные прогонки можно осуществлять одновременно, то
при небольшом числе итераций такая редукция может оказаться выгодной
даже при применении компьютеров, допускающих распараллеливание.
Само собой разумеется, что все это зависит от специфики решаемой задачи.
3. ПРИМЕНЕНИЕ КОМПАКТНЫХ АППРОКСИМАЦИЙ
В МНОГОМЕРНЫХ ЗАДАЧАХ
3.1. Неявные компактные схемы
в случае нескольких пространственных координат
Матрично-разностные операторы. Принципы построения компактных
аппроксимаций с направленными разностями, изложенные выше, можно
без труда перенести на случай многомерных задач. Пусть требуется аппрок-
аппроксимировать систему без диффузионных членов
9f(u) » 9F,- (u, jc)
—— + 2 -— =g(u,*), C.1)
ot / = l dXj
в которой u, f, g и Fj (/ = 1, п) - р-компонентные векторы, причем мат-
матрицы L = 9f/9u, Qj = 9Fy/9u - симметрические, а матрица/,, кроме того,
положительна. Для каждой из координатных осей X/ введем разностную
сетку
ш, { xjki) = hjkj, kj = 0, +1, +2,. ..}
с постоянным шагом й;. Используя матрицы 5/, столбцами которых яв-
являются собственные векторы матриц L'1 Qj, соответствующие их соб-
собственным значениям Х|;^ {к - 1, р), можно построить операторы Вх/ и
CXj, полностью аналогичные Вх и Сх из A.65) :
Вхг И;о- 0,25 A'oMj), Cxj = 0,5 (Д'о - AL(T{/2Mj) A{)//z;, C.2)
Здесь верхний индекс/ отмечает принадлежность переменной х/ операторов
центральных До, левых Д_ и правых Д+ разностей, а также операторы
сдвига Т'к на расстояние khj\
Tlf(xi,x2,..xj,. .. ,xn) = f(xl,x2>. .. ,х/ + Щ х„),
д? = Т[- Tiu AL =?¦- tLj, Д+ = Ti - E;
80
при этом оператор А^ определяется равенством А'о = {Т[ + 4Е + TL\)I6,
a Mj — матрицы, зависящие от знаков собственных значений Х^'^ и при-
придающие характеристическую ориентацию операторам BXj и Сх/-: Mj =
= 5/Д/5/,где
/^—diagbgnX^, sgnX^,... , sgnX/}.
Операторы Дх/- и Сх/- обладают следующим свойством: в случае доста-
достаточно гладкой функции f (x) имеет место равенство
В*) Cxi f \х = fch/ = — I +0 (/ф. C.3)
"xj \xj=khj
Чтобы убедиться в этом, достаточно воспользоваться формальными разло-
разложениями в ряды Тэйлора для функций BXj f и CXJ- f:
Bxji ={E--^ DxjM} +-L Dlj )f+O(hf),
C.4)
в которых Dx/- - оператор дифференцирования по координате^. Из C.4)
следует, что Bxf СХ]- =DX/- +0(h3).
В случае одного уравнения (р = 1) матрицы М/ вырождаются в скаляр
Sj = sgn{dfj/du)j, а операторы CXj и BXj переходят соответственно в
ориентированные двухточечные разделенные разности и операторы А +
вида A.6), определенные на сетке ш/.
Структура компактных схем. Существует несколько возможностей
использования операторов Bxj и CXj для аппроксимации системы C.1).
Одна из них состоит в обобщении случая, когда элементы матриц L и
Qj (/ = 1, я) постоянны во всей расчетной области и уравнения C.1)
могут быть записаны в виде
Эй " Эй
L—+ 2 Q, — = g. C.5)
bt /=i bxj
При построении схемы третьего порядка системы C.5) при помощи
операторов BXj и Сх/ (/ = 1, и) можно рассуждать следующим образом.
Третий порядок будет гарантирован, если после подстановки в схему
разложений C.4) аппроксимация каждого слагаемого в C.5) будет со-
п / h \
держать произведение П ( Е D^Mj + (hj /6)DXI- ) и, кроме того,
в аппроксимации члена 2^(Эи/Эд:л) будет присутствовать оператор диф-
дифференцирования DXfr. Все эти условия будут выполнены, если схему для
C.5) записать в виде (для краткости записи положено Bj -BXj, Cj =CXj)
B(fm+1 - fm)/r + 2 Gjf, - fig = 0, f = Lu, ~F, = Qjп, C.6)
где В = BiB2 ...Bn, Gj = BiB2 ... Bj_ t C, Bj + l ... Bn (/ = 1, и). Действи-
Действительно, подставляя в схему C.6) разложения C.4), нетрудно заметить,
6. Зак. 761 81
что все слагаемые, соответствующие сумме Z С,- F/, с точностью до
членов третьего порядка относительно шагов Ау будут содержать произ-
произведения
|?- — 0*,^, + — D2xl I . . .[Я--у-!-^^,^.! +
A|_, 1 Г AA hi
2 6
X ? -
L 2
М + —- D2 \ к = 1 1 п C 7>
2 6
при этом оператор В с такой точностью будет иметь вид
hj_D + _й?
2 *'' ' + 6 :
Ввиду коммутативности всех операторов с операторами Dxk, имеющей
место в случае постоянных матриц L и Qj, Dxk можно переместить, сделав
его последним сомножителем, в произведение C.7). После умножения
C.6) на П (Е - (hj/2)DXjMj + (hj j6)Dxj) \~l окончательно схема
запишется в виде
откуда следует, что погрешность аппроксимации равна
О(@-О,5)т + т2 +А? +h32 +...+h3n).
В случае переменных матриц можно сохранить форму записи C.6), доба-
добавив в нее дополнительное слагаемое Н, учитывающее некоммутативность
соответствующих операторов. Это дополнительное слагаемое можно полу-
получить из следующих соображений. Перестановка операторов DXj и Вхк
приводит к равенству
DXJ Вхк = Вхк Dxj + (Afc/2) akj, C.8)
где akj = (Dxk MkDxj - Dxj Dxk Mk).
Пусть a^p Fy - аппроксимации второго порядка точности членов
вида akj?j. Тогда, согласно C.8), перестановка оператора дифферен-
дифференцирования Dj с любым оператором Вхк с точностью до O(h%~) не изменит
порядок аппроксимации слагаемого с Fy, если в правую часть C.6) доба-
добавить член D/°Л*/2)( II Bxi)fj (к < п - 1), (a^)An/2)Fy (к =п).
\i~k-H I
82
п
Осуществляя такие перестановки в каждом из слагаемых в 2 Су Fy" + 1 до
/ = i
тех пор, пока оператор DXj не окажется перед Fy, получим окончательно,
что схема C.6) будет схемой порядка О(т + h\ + . . . + h%), если вместо
правой части g ввести новую правую часть gOT + 1 = gm + 1 +Hm, где
Hm= 2(8А/)"'Г 1 Ык/( П дя/) + «„,1^, C.9)
/=1 L fc=/ + l /=А + S J
В слагаемое Нт входят значения сеточных функций в трех узлах в каждом
из пространственных направлений X/, и, следовательно, первоначальный
шаблон схемы при наличии Нт не изменяется.
Другой способ аппроксимации системы C.1) состоит в непосредствен-
непосредственном применении операторов Bxj Сх/- в качестве формул численного диф-
дифференцирования C.3). При этом удобно ввести новые сеточные функции
\,=ЕГх)Сх1?1, j=XK C.10)
записав разностный аналог C.1) с погрешностью О((а - 0,5)т + т2 +
+ h\ +h\ + . .. + /г2) в виде
_
2 Yy=g, C.11)
где черта, как и ранее, означает осреднение с весом а.
Используя линеаризацию вида
fM + 1 =fm +l
где/, = Cf/9u)u=um5 G/ = CF//3u)u=um, б =um + 1 - um = О(т), схему
C.11) с точностью до членов первого порядка малости относительно т
можно заменить на схему
um
л \ u'" + 1 -um "
+ ot 2 E-x)CxiQJ\ + 2 Yf =g. C.12)
Чтобы при помощи этой схемы определить сеточную функцию nm + i,
необходамо предварительно определить функции Yf" из систем уравнений
BxlV? = *T, j=~h^, C-13)
n
а затем обратить оператор L + от 2 Bxj CXJ- Qj.
Схему C.6) также удобно заменить линеаризованной схемой
« \ um+1 -um «
BL + ar 2 Су б/ — + 2 GyF/" = g + Hm, C.14)
/=i / т /=i
последняя при определении сеточных функций при t = fm не требует ре-
решения разностных уравнений.
83
Оценки устойчивости. Если под скалярным произведением (u, v) фи-
финитных векторных сеточных функций, определяемых на сетке со5 X
Xw2 Х...Хш„, понимать сумму
то основные операторные неравенства, использовавшиеся выше, полностью
сохраняются. В частности, операторы Bxj и CXj удовлетворяют неравен-
неравенствам
CxjKj>V, B'jCx,JCj>0, C.15)
в;}сх/к,>о, /=ТГ^
где матрицы Kj = L~lQj и соответственно матрицы Mj, входящие в опе-
операторы ВХ1- и Cxj, предполагаются постоянными и — без нарушения об-
общности - симметрическими.
Из третьего неравенства C.15) немедленно следует условие абсолютной
устойчивости схемы C.12) в приближении замороженных коэффициентов.
Действительно, C.12) при F = 0 можно переписать в виде
/ п \ \\m+i -Um "
[Е + то Ъ Вх)Сх1КЛ + I B;jCxjKjUm =0, C.16)
п
причем оператор Б B~j CXj Kj положителен как сумма положительных
операторов. Поэтому схема C.16), будучи схемой с весами, абсолютно
устойчива при а > 0,5.
При оценке устойчивости схемы C.14) ее также целесообразно пред-
представить как схему с весами. С учетом того что в случае постоянных матриц
компенсирующая сеточная функция Н исчезает, равенство C.14) после
умножения на F1 переходит в равенство
/ ~ \ u u ~
[Е+та 2 GjKjj + SG^u^r'g, C.17)
где Gj ~Bxn 5X(n_i).. . Bxj СЛ/-5Л(/ + ]).. . ВХ(П_\)Вхп.
Положительность операторов Gj легко устанавливается при дополнитель-
дополнительном предположении о коммутативности постоянных матриц Kj (/ = 1,...
..., п) с матрицами Kj + х, К/ +2, ¦ ¦ ¦, К„. В этом случае
{GfKjU,u) = {В~х}Cxf KjBxU+i)... Bna,(B%TUi))-- ¦ (^V)u) =
= {B-) Cxj KjRjv, v) = (??;; Cxj K, w, w), C.18)
где Rj = UBxiBxi, v = (B^;,!)) ...(B'^-'u, w = K/'2v . В
цепочке равенств C.18) существенно использовалась возможность пере-
перестановки матрицы К/ на место после оператора CXj, а также положитель-
положительность самосопряженного оператора Rj, позволяющая ввести оператор Rfl2.
Ввиду положительности оператора B~j CXjKj скалярное произведение
в правой части последнего из равенств C.18) положительно при и Ф 0,
84
откуда следует положительность оператора Су- и абсолютная устойчивость
схемы C.17) при а> 0,5.
Обращение линеаризованного оператора в C.12) и C.14), в принципе,
можно осуществить при помощи разумно построенных итерационных
процессов. Мы, однако, будем рассматривать схемы C.12) и C.14) как
исходные при построении алгоритмов расщепления по пространственным
координатам.
Задачи с диффузией. Принцип построения компактных схем для кон-
конвективно-диффузионных задач при наличии одной пространственной пере-
переменной полностью переносится на многомерный случай. Вместе с тем в
этом случае может возникнуть необходимость аппроксимировать смешан-
смешанные производные, не рассматривавшиеся ранее.
Аппроксимации смешанных производных не укладываются в принятую
здесь стратегию построения схем с положительными операторами, посколь-
поскольку смешанные производные не являются положительно или отрицательно
определенными операторами. Это их свойство ставит под сомнение разум-
разумность включения соответствующих разностных операторов в оператор
перехода от одного слоя t - const к другому; наоборот, кажется целе-
целесообразным учитывать их на предшествующих рассматриваемому времен-
временных слоях.
Пусть вместо системы C.1) рассматривается система
Ы /=1 bXj i, i = i Ъх
сз.19)
в которой матрицы Му(/, / = 1, и) - неотрицательные симметрические.
Для аппроксимации членов со вторыми производными вида
Э / Эй \
— \ Ш1 I в зависимости от специфики решаемой задачи и требова-
Ъхг \ dXj/
ний, предъявляемых к алгоритму, можно использовать, в частности,,любой
из описанных выше способов, применяя его для каждой из пространствен-
пространственных координат Xf (/ = 1, я). Имея в виду третий порядок относительно
шага h,- и обозначая через N/ оператор В^}СХ/, аппроксимации Уц и этих
членов можно записать в виде
i =-^- ц„ ~ + O(h>). C.20)
oXj aXj '
В рамках этого же порядка аппроксимации смешанные производные естест-
естественно дискретизировать следующим образом:
- - {NiHijNf + NitojNjiu, C.21a)
или
1
(iHtjjfuijJ) C.216)
85
Аппроксимации C.21а) и C.216) построены таким образом, чтобы опера-
торы Vtj, как и их дифференциальные прообразы [ д,-, }, были
Эх Д э*//
самосогфяженными по крайней мере в случае постоянных матриц и ,у = ц^.
п
Пусть матрицы д(/- таковы, что оператор 2 NjN* энергетически экви-
и
валентен оператору 2 Vi}-, т.е. выполняется условие
', / = 1
0 2 N^NJ < 2 Vif < у 2 NfH/fNf C.22)
/' = 1 i i * 1 / 1
с некоторыми константами у > 0, 0 > 0. Тогда, если довольствоваться по-
погрешностью О(т) аппроксимации уравнения C.19), абсолютно устойчи-
устойчивую двухслойную схему типа схемы C.14) можно записать в виде
["
L +то 2 (В;} CxjQj
/ = i
1 um + 1 -и
It
+ i N,?f{um)- 2 F,.,um = gm. C.23)
/ = l U = i
Схема C.23) пригодна для использования (по крайней мере, в факторизо-
вэнном виде) в решении стационарных задач: на установившемся решении
она имеет погрешность 0{h\ + h\ + . . . + h3n) и, кроме того, абсолютно
устойчива при а > 0,5. Последнее вытекает из следующих соображений.
Схеме C.23) соответствует схема с постоянными матрицами
(Е + то A+T0R){um + y ~ит)/т + Л и = 0, C.24)
в которой
Л= i^B-jC^K, + Д Vti>0,
R = у 2 N,hun; - 2 Vtj
i =i t, i = i
— самосопряженный и положительный в силу неравенств C.22) оператор.
Такая схема, согласно [46], должна быть абсолютно устойчивой в норме
1Mb, D = E + toR при а > 0,5.
Оператор Луд^-Л'Д в свою очередь, можно заменить оператором Dj =
= -B~jЦцА'2, записав вместо схемы C.23) схему
г
\
L
п Л um + 1 -um
\
l+to 2
/ = l
+ 2 N/FjivL1") + 2 Vif\xm = gm. C.25)
/ = 1 i, i - 1
86
Оператор в квадратных скобках интересен тем, что допускает приближен-
приближенную факторизацию со сравнительно просто обращаемыми одномерными
операторами. Схеме C.25) также можно поставить в соответствие exe-
exert п
му C.24), в которой Л =7» 2 -О/ — 2 F,y - оператор, являющийся,
/ = 1 i,i= \
как нетрудно показать, положительным при надлежащем выборе констан-
константы 7i и выполнении условия C.22).
К сожалению, оператор R в этом случае не является самосопряженным,
абсолютная устойчивость схемы C.25) при надлежащем выборе константы
7i не следует немедленно из результатов [46]. При п = 1, однако, как было
показано, абсолютная устойчивость имеет место при а> 0,5, 7i ^ 3.
Из приведенных выше соображений следует, что абсолютная устойчи-
устойчивость схем C.23) и C.25) в значительной мере обусловлена выполнением
неравенств C,22); в скалярном случае их можно свести к неравенствам
вида
С, 2 ё < 2 щЬ% < С2 2 ? С2 > Сх > 0,
/ = 1 ' U i = 1 / = 1 '
<i \ " Эх;/'
которые в [46] названы свойством сильной эллиптичности оператора
» а / э
2
i, / = 1 Эх,-
В случае нестационарных задач могут оказаться желательными схемы
с погрешностями 0(т2), а не 0{т). Такие схемы можно построить, ис-
используя те же принципы, что и для одномерных нестационарных конвектив-
конвективно-диффузионных уравнений; при этом разностные аналоги смешанных
производных с желаемой точностью можно учитывать явным образом,
используя сеточные функции на предшествующих временных схемах.
Конечно, такие схемы могут оказаться лишь условно устойчивыми даже
в случае постоянных коэффициентов. Однако, как показала практика,
ограничения на шаг т, возникающие в реальных нелинейных задачах с
граничными условиями, часто оказываются более жесткими, чем эти огра-
ограничения, вызванные явностью аппроксимации смешашых производных
или невозможностью удовлетворить неравенствам C.21). Во многих
представляющих интерес случаях (например, в уравнениях Навье-Стокса
сжимаемого газа) смешанные производные с точки зрения порядков ве-
величин играют сравнительно несущественную роль. Это наводит на мысль
использовать их более простые явные аппроксимации, быть может не со-
9 / Эй \
гласующиеся с аппроксимациями производных ( ци ). Примера-
дх\ ЪХ(/
ми таких аппроксимаций могут служить разностные аналоги ироизвод-
9 / Эи\
ных —-( цц ), построенные при помощи обычных двухточечных
Эх Д dxf/
или центральных разностей:
' Ai t &')O(h2 +h2), C.26)
87
Э Эй 1
Разностные операторы, входящие в правые части C.26) и C.27), в случае
постоянных матриц цу = д/г. являются самосопряженными.
3.2. Схемы покоординатного расщепления: стационарные задачи
Структура факторизованных схем. На основе схем C.12) и C.14)
можно построить экономичные алгоритмы, сводящиеся к обращению
одномерных операторов. Такие алгоритмы хорошо изучены [41, 47];
они сводятся к введению в качестве обращаемого оператора произведе-
произведения операторов, причем каждый из сомножителей является легко обрати-
обратимым. Примеры факторизованных схем уже рассматривались в связи с
введением диффузионных членов. В отличие от этих схем, основанных на
расщеплении по физическим признакам, в случае многомерных задач эко-
экономичными являются схемы покоординатного расщепления, в которых
факторизованный оператор является произведением операторов, соот-
соответствующих каждой из пространственных координат. Существует не-
несколько вариантов таких алгоритмов; основное внимание вначале будет
уделено одному из них, обладающему свойством независимости погреш-
погрешности аппроксимации от шага т на стационарном решении исходной зада-
задачи, в [41 ] это свойство названо полной аппроксимацией.
Если исходить из схемы C.14), то естественный способ факториза-
факторизации оператора перехода от одного слоя t = const к другому состоит в
следующем. Запишем равенство
[ П (Вxj+ToCXjQjL"'Щ = П BxjL+to 2 GjL+O{t2\ C.28)
L / = i J / = i / = '
где Gj = BxlBx2 ¦ . • BxU_l)CxlQjL-1BxU+l) . . . Bx(n_ x)Bxn. На осно-
основании этого равенства схема расщепления может быть представлена в виде
1 u u
П (B^+roC^QjL-^U + 2 G,-*? = g + Н. C.29)
i = ! J т /=i
Если бы матрицы L, Qj (/ = 1,и) были бы попарно коммутативны, то
операторы GjL совпали бы с операторами GjL, а сумма Qj в C.6) членов
в правой части C.28) — с обращаемым оператором в схеме C.14). В этом
случае схема C.29) отличалась бы от схемы C.14) членами второго поряд-
порядка малости относительно шага г и совпадала бы с последней при установле-
установлении решения (um + 1 = um). Если матрицы некоммутативны, то различие
этих схем имеет первый порядок, а погрешность аппроксимации схе-
схемы C.19) представляется в виде 0{т + h\ + h\ + ¦ . . + h3n) независимо
от значения а. Однако на стационарном решении зависимость этой погреш-
погрешности от шага г исчезает, что существенно при решении стационарных
задач методом установления. Практическая реализация алгоритма C.29)
сводится к обращению одномерных операторов Bx/L + toCx/Qj, причем
вычислительный процесс может быть организован при помощи дроб-
88
ных шагов:
Ql)L'iu^n = т(в?" +Hm - 2 G,
(Bx2L+TCx2Q2)L-itfl" = S'/»,
C-30)
Ввиду того что выбор параметра а не влияет на погрешность схемы
C.29), в C.30) положено а = 1, а функции g и Н для упрощения вычисле-
вычислений выбраны равными gm и Hm.
Факторизованная схема, соответствующая схеме C.12), имеет вид
п
u u
.П (Я + гаЯ;/ CxlQj) + 2 ] Y™ = g, C.31)
где Y^ = BJCxjV™.
В отличие от схемы C.29) она совпадает с исходной схемой C.12) с
точностью до членов порядка О(т2) и имеет погрешность О((а — 0,5)г +
+ т2 + h\ + hi + . . . + hf,). Таким образом, при а = 0,5 она переходит в
схему второго порядка относительно шага т; на установившемся реше-
решении погрешность, зависящая от г, исчезает.
" _ um+1-um
Обозначая через и '" выражение П (L + roBZ^C^iQi) ,
/ = fc+i ' т
а затем применяя к обеим частям выписываемых равенств операторы
Bxj (/ = ТТй)* схему C.31) можно переписать в форме следующей схемы
дробных шагов:
C-32)
(BxnL+ToCxnQn)U1 ^„uf"1'", S1 =um + 1~um.
Схема C.32) отличается от схемы C.20) своими правыми частями: в них
присутствуют операторы Вх1- (/ = 1, л), а сеточные функции Y требуют
решения систем уравнений
BxiYf = C./F™ (/ = 1Гп). C.33)
Отсутствие в C.33) системы для определения YJ" объясняется тем, что
правую часть первого уравнения C.32) можно переписать в форме
^ AJ - CxlF? - %
Y").
89
Если использовать схему второго порядка относительно т, то для кон-
конструктивного применения алгоритма C.32)требуется вычисление средних
значений правой части g вида 0,5 (g (um +', х/) + g (um, *,)). Для аппрокси-
аппроксимации с точностью 0(г2) можно, например, воспользоваться экстраполя-
экстраполяцией но известным значениям сеточных функций ит и um ~'. Другой
путь состоит в представлении g в виде суммы членов, содержащих ит + 1
с последующим включением этих членов в левые части уравнений C.22).
Наличие операторов L"] в левых частях уравнений C.30) и C.32)
нисколько не усложняет процесса их решения: обозначив через v*'" век-
вектор L ~'u '" (к = 1, п - 1), можно переписать эти левые части (кроме
левой части последнего уравнения) в виде
(BxkL+roCxkQk)vk/n, к = 1,и-1,
а соответствующие правые части (кроме правой части первого уравнения)
в виде
Можно отметить также, что присутствие матрицы L в схемах C.30) и
C.32) связано с формой используемых уравнений. Если в качестве век-
вектора зависимых неременных выбрать вектор f, то матрица L становится
единичной, поскольку при этом вместо C.1) аппроксимируется система
il+ ? 9^(f'x) =
dt / = i дх g'
где F/(f,Jc) = F7(u(f), x); естественно, что матрицы Mj при этом изме-
изменяются.
При практическом применении алгоритма C.30) приходится решать
системы C.33), используя, например, векторные прогонки или итерации,
описанные выше. Поскольку эти системы независимы друг от друга, при
их решении возможны параллельные вычисления.
Оценки устойчивости. Условия устойчивости схем C.29) и C.31) для
постоянных матриц L и Qj следуют из общей теории схем расщепления
[47], поскольку операторы B~}CXjQj являются положительными. При
этом существенную роль играет число пространственных координат х,-.
Абсолютная устойчивость этих схем при а > 0,5 легко устанавливает-
устанавливается, если п = 2, а матрицы <2i и Q2 коммутативны. Тогда, поскольку член Н
при сделанных предположениях исчезает, обеим схемам может быть постав-
поставлена в соответствие схема
{Е + таА1)(Е + гоА2)(\т+1 -ут)/т + (Л, +А2)\т = 0,
а, = b;\cx1qu a2 = b;\cx1q2> q, = l-^Q/L-1'2. C34)
где v =Llt2u, причем А\ и Аг - положительные коммутативные операто-
операторы. При а = 0,5 эта схема абсолютно устойчива [47].
При а = 0,5 абсолютная устойчивость C.34) в норме || • \\А*А, где А =
- Ai + А2, может быть обоснована следующим образом. Перепишем схему
C.34), предварительно умножив ее на Л*, в виде
[А* +тоА*А+т2о\А*1 +AZ)A1A2](.um + l - ит)/т +А*Аит = 0.C.35)
90
Схема C.35) будет абсолютно устойчивой, если оператор в квадратных
скобках окажется не меньшим, чем 0,5 тА*А [46]. Ввиду положительно-
положительности оператора А* это условие выполняется, если т > 0,5, а оператор
{А\ + At)AiA2 =(А\А1)А2 + А\А^А2 = {А\А1)Аг + (A\A2)A1 являет-
является положительным. Но это на самом деле так, поскольку каждое слагае-
слагаемое в выписанной сумме положительно:
(А\АХ)А2 = {A\Al)A^U{A\Al)A\i\
где А^0' и/lj1' — самосопряженная и кососимметричная части А2, при-
причем оператор (А1А1)А^0' — положительный и самосопряженный как
произведение коммутативных положительных самосопряженных операто-
операторов,а оператор (A*Ai)Ay) — кососимметричный ввиду (A*AiA^l'u,u) =
A>
2
В некоммутативном случае абсолютная устойчивость схемы C.34), со-
соответствующей схеме C.31) (но не соответствующей схеме C.29)), может
/ т V/ т \
быть установлена в норме \\ -\\D, D = ( Е + — A2j I E + — А2\ при
а = 0,5 [47]. С точки зрения анализа устойчивости значение а = 0,5 облада-
обладает тем преимуществом, что операторы, действующие на vm + 1 и vm в
C.34), факторизуются:
2 7\ 2 "/ Ч ~ •" " ¦ ' 'C36)
Вводя теперь новую сеточную функцию
равенство C.36) можно переписать в виде
г
но
!¦*-' ... . ...
(л- + \ л)\е - I а)
1, / = 1,2;
на основании леммы Келлога, доказательство которой следует из определе-
определения нормы оператора [47]. Поэтому
||wm + 1 || < \\v/m\l
т.е.
(Dvm + 1,Z)vm + 1) < (Dvm,Dvm),
(D*Dvm + 1,vm+1) < (D*Dvm,vm),
что и означает устойчивость схемы C.36) в энергетической норме || • IID*D-
При п > 2 абсолютная устойчивость схемы C.31) в общем случае по-
положительных несамосопряженных операторов не может быть установлена
91
в какой-либо разумной норме [47]. Более того, можно привести пример,
показывающий, что схемы такого типа, вообще говоря, при п = 3 являют-
являются лишь условно устойчивыми.
Для построения такого примера рассмотрим соответствующую схеме
C.31) схему с постоянными матрицами, предполагаемыми, для простоты,
коммутативными, и преобразуем ее к виду
U* + атЛ* Л +о2т2Я)(ит + { - \хтIт + J, *Аит = 0, C.37)
где Л = . 2 NjKj, Kj = L ~lQj, & R = R\ + 0TR2 - оператор, возникающий
вследствие перемещения одномерных операторов (Е + toNjKj). Обозна-
Обозначая через uj и bj соответственно самосопряженные и кососимметричные
составляющие операторов N/Kj (/ = 1,3), после алгебраических выкладок
с учетом попарной коммутативности всех операторов нетрудно получить
следующие выражения для R i и R2:
Ri = -[«,(*! + b23+b2b3)+a2(b2 +b23+bib3)+a3(b2+b22 +b,b2)],
R2 = -[(a2-b2)(a2a3+b2b3)+(a2-b22)(ala3+b1b3) + C.38)
+ (a23 - b\)(axa2 + btb2)].
При выводе формул C.38) использовались равенства
(NjKiY = (aj+bjT = а] +Ь/ = a,- bj.
Так как N/K/ — положительные операторы, то а,- > 0 (/ = 1,3). Для косо-
симметричных же составляющих bj справедливо неравенство Ь2 < 0, по-
поскольку (b2u, u) = -(bjU, bfu) < 0; можно утверждать также, что Ь2 + Ь2 +
+ b/bj < 0. Отсюда следует, что оператор Rt - положительный. Од-
Однако оператор R2 необязательно положительный, так как хотя раз-
разности а2 - Ь2 и положительны, выражения вида я,- а/ + bjb/, на которые
умножаются эти разности, вообще говоря, являются знакопеременными.
Поэтому при некоторых значениях от оператор Rt может стать отрица-
отрицательным, нарушив необходимое и достаточное условие устойчивости
схемы C.37):
+o2t2R > 0,5тЛ*Л.
В приведенных выше соображениях нигде не использовалась конкретная
структура операторов ау > 0 и bj (/ = 1,3). Поэтому возможная потеря
абсолютной устойчивости при и = 3 является общей чертой всех фактори-
зованных схем типа C.32) с несамосоиряженными положительными опера-
операторами. Рассматривая простейший случай схемы первого порядка с ориен-
ориентированными разностями (т.е. заменяя операторы Bxj в C.32) единичным
оператором), для одного уравнения (р = 1) с постоянными коэффициента-
коэффициентами можно установить, что при достаточно большом числе Куранта имеет
место неустойчивость. В самом деле, можно показать, что в этом случае
выполнение условия Неймана при всех значениях т возможно лишь при
R2 > 0, где R2 задается второй фор^лой C.38) при ду = 2(kj/hj) X
X sin2(ay/2) и bj = г'(?//ft/)sin ay-, / = 1,3, 0 <а <2я\ причем постоянные
kj являются единственными элементами матриц Kj. Пусть, для просто-
простоты, А] =к2 =к3 =к и hi =h2 =h3 =/z; тогда, если выбрать а, =а2 =а3 =а,
92
при которых sin2a < sin4(a/2), то величина R2 станет отрицательной,
а рассматриваемая схема неустойчивой при достаточно больших значени-
значениях Кт/И.
Компактные факторисованные схемы в конвективно-диффузионных
задачах. Стандартные принципы расщепления могут быть полностью пере-
перенесены на случай, когда компактные аппроксимации используются при
дискретизации многомерных уравнений вида C.19). При этом достаточ-
Э / Эй \
но включить разностные аналоги Vti производных ца I в одно-
Ьх{ \ dXj /
мерные операторы, соответствующие координатам лг,- (г = 1, п), а явную
аппроксимацию смешанных производных интерпретировать как извест-
известную сеточную функцию в правой части уравнений. Например, факторизо-
ванный вариант схемы C.23) имеет вид
П [L +то(В;}Cxf Qj - Vj,)] (um +' _ um)/r + 2 YM =
} * j' ~ 1
= g + 2 Vvum, C.39)
i, / = 1
где без нарушения общности матрица L считается единичной, а операторы
V{j предполагаются построенными в соответствии с формулами C.21).
Схема C.39) на стационарном решении C.19) имеет погрешность
п
0{h\ + h\ + . . . + h^)\ если вместо суммы ? Уцчт использовать
сумму
S F,yum + Г F«um+1/2,
/ = 1 /, / = 1
где штрих означает, что суммирование производится только по несовпа-
несовпадающим индексам, то при о= 0,5 погрешность C.39) относительно т будет
иметь порядок О(т2) и эта схема может быть использована также для
нестационарных задач.
Если juf/- = 0, i Ф /, то схема C.39) является абсолютно устойчивой
при а = 0,5, по крайней мере для п = 2. Действительно, в этом случае ей
соответствует абсолютно устойчивая схема C.34) с положительным опе-
оператором^ = Ai +А2, где Aj =B~jCXJQj - Fy/- > 0, Если же д^- ^0,/ Ф]\
то абсолютная устойчивость этой схемы при п = 2 может зависеть от вида
матриц mj, а также, вообще говоря, от способа определения функции и
п п
в сумме 2' И«и, которой можно заменить сумму 2' И,уиш в пра-
I, i = 1 U / -- 1
вой части C.39). Во всяком случае, возможное отсутствие абсолютной
устойчивости схемы C.39) во многих практически интересных случаях
не является серьезным препятствием для применения этого алгоритма
при решении задач, в которых нелинейность является более сильным огра-
ограничителем шага т, чем необходимость аппроксимировать смешанные
производные.
93
При реализации /-го дробного шага, соответствующего схеме C.39),
приходится определять промежуточную сеточную функцию ц''" из урав-
уравнения
[Bxj +ro{CxjQj - Bxj Vfj)] й>'" = f, C.40)
в котором правая часть f считается известной. Если под Уц в C.40) пони-
понимать некоторую аппроксимацию диффузионных членов в более широком
смысле, то сложность обращения оператора в квадратных скобках зависит
от сложности оператора Уц. Возникающие при этом возможности рассмот-
рассмотрены выше. Они заключаются в сведении уравнения C.40) к двум урав-
уравнениям в случае, если Уц = ~BxjCxjUjjBx'~1Cxj; в использовании внутрен-
внутренних итераций на каждом дробном шаге; в приближенной факторизации
одномерного оператора
в применении простых операторов Уц = Вх)<'.' ..Цц?ь! , для которых
операторы Вх/ Уц — трехточечные.
Реализация первой возможности является самой трудоемкой, приходит-
приходится совместно решать две трехточечные векторные системы
{BxI+toCxIQ,) и»" - Сх1ций»п = f,
о* fj/7" = _^*.fj//"
с матрицами размерности р X р. В стационарном случае это вряд ли целе-
целесообразно; более разумным путем представляется приближенная фактори-
факторизация не схемы C.23), а схемы C.25) с упрощенным оператором, дейст-
действующим на (nm+i - um). Тогда факторизованная схема для стационар-
стационарных задач пишется в виде
П (E+B-}CxiQf-kB-1ujiA>,)(iim+l-um)lT + 2 Ym =
/ = i */ ' ' xi и г / = i '
= 2 Vvnm +gm, C-41)
', /' = i
где к - числовой множитель; при определении um+1 она требует обраще-
ния трехточечных операторов Вх/ + CxjQj — ku/j^ ¦ Как было показано
выше, в одномерном случае (и = 1) значения к > 3 обеспечивают устойчи-
устойчивость алгоритма. В двумерном случае такой анализ для схемы C.41)
становится слишком громоздким, однако практика ее применения в случае
уравнений Навье-Стокса сжимаемого газа показала, что выбор коэффи-
коэффициента к = 3 обеспечивает возможность проведения устойчивого счета.
3.3. Повышение устойчивости алгоритма
для стационарных многомерных задач
Описание метода в общем виде. Как уже отмечалось, схема C.31) с
погрешностью 0(т) или О(т2), исчезающей на стационарном решении
исходных уравнений, при числе пространственных координат п > 2 в об-
общем случае теряет свойство абсолютной устойчивости. Это существенно
94
снижает ее эффективность, поскольку при этом ограничивается возмож-
возможность управлять шагом т для ускорения сходимости.
Применяя итерации на каждом шаге по времени, можно модифициро-
модифицировать схему C.31), сделав ее абсолютно устойчивой. Рассмотрим этот под-
подход в общем виде.
Пусть имеется разностная задача
(Е+атА)(ит + 1 ~ит)/т+Аит = fm, C.42)
в которой ит, fm —векторы; А - некоторый линейный оператор:
Л = 2 Аь А( > О,
i = 1
не зависимый от индекса т. Параметр а@ < а < 1) в C.42) является не-
некоторым весовым множителем.
Для определения вектора ит +' по известному вектору um предлагает-
предлагается следующий итерационный процесс:
П (E+T2Di)(um + 1'k + 1 -итIт+оАит+1'к + A-о)Аит =fm, C.43)
в котором операторы Dt (/= 1,и) обладают следующими свойствами:
1. DtAj ~ AjDt для всех i и /;
3.Dt
Обозначим через / конечное число выполненных внутренних итераций,
положим um + 1 = um + 1'', нетрудно оценить норму q оператора перехода Т
отЛ-й к (к + 1)-й итерации (um + 1-'c + 1 = 74im+1>* + F, вектор F известен).
Введя обозначение
R = Ъ (E+t2Dj),
оператор Т можно представить в виде
Т = -^
Для установления неравенства, которому удовлетворяет q = || 2Г,||,
целесообразно воспользоваться следующими фактами.
Во-первых, для любого оператора А справедливо соотношение
А*А < А*А+АА* = 2[(Л@)J-(ЛA)J], C.44)
где индексами @) и A) отмечены соответственно самосопряженная и
кососимметричная составляющие А.
Во-вторых, имеют место оценки
2 А(А < л 2 (Л<0)J, C.45)
/= 1 ' / /= 1 '
2
< -п 2 [A^f, C.46)
;-= 1 1
которые легко доказываются по индукции. Например» для C.45) в случае
95
п - 2 имеем
2[(Л)
Пусть теперь справедливо неравенство
"? V<°>) < (л -l)"z W0)J. C.47)
i = 1 / i = 1 '
Представим левую часть C.47) в следующем виде:
^j^ (
Используя неравенство
Л@)л@)+^ @)^@) <
вытекающее из положительности оператора (-4^°^ - А^J, а также
предполагаемую оценку C.45), получим
(и-
1=1'/ 1=1 • -¦¦«- 1=1
п
- и У (Л^Л1
1= 1 '
Аналогично доказывается неравенство C.46). Поскольку (А^ 'J —
-(Л^1^J = A*Aj + AjAf, из C.45), C.46), а также из условия 3 следует
неравенство
А*А<п 2 (AJAj+AiA*) < 2 ?>,-, C.48)
i - i i=i
которое может быть использовано при оценке нормы || ГЦ. Последняя
записывается в виде
, , (A ~lA\x,R1A\i) . . (А\,А\)
\\T\\2 = г2a2 sup -— = r202sup , C.49)
u (u, u) v (R\,R\)
где v =Л"'ии использована коммутативность оператора R с оператором А,
вытекающая из условия 1.
(« \2
2
(« \2 п
П {Е + т2ОЛ\ =Е + т2 2 Di + б, где оператор B -
/ = 1 / / = 1
положительный, справедлива следующая цепочка неравенств'
2 2 2
ст2т2 = а2т2
R)
(R\,Ry) (R 2v,v)
о2т2и 2 PMj+/)H/)v,v) о2т2 2 ,) ,
i=i / = I a2
< < —
(v,v)+2r2 2 (?»lv,v) + (Qv,v) 2r2 2 (flifv,v)
/i
96
из которой следует оценка
q = || ГЦ < о/у/Т. C.50)
Таким образом, при а < 1 внутренние итерации сходятся со скоростью
геометрической прогрессии, не зависящей от свойств оператора А. В част-
частности, если А — разностный оператор, то эта скорость не зависит от числа
узлов сетки в рассматриваемой области.
Определяя последовательно um + 1>1, um+1>2 um + 1>/= um+1, после
несложных выкладок можно записать равенство
(R+OTA)(um + 1 -ит)/т + (Е- Tl)Aum =(E-Tl)fm, C.51)
которое при / ->оо переходит в абсолютно устойчивую в силу А > 0 схему
(R+OTA)(um+l -ит)/т+Аит = fm.
Однако практический интерес представляет схема C.51) при конечном
числе итераций /. Она обладает следующим свойством аппроксимации:
независимо от числа / в случае достижения стационарного режима функ-
функция u = um+1 = um удовлетворяет уравнению Аи = f, где f = lim fm;
m -* °°
если же выполнить такое число итераций /, что норма || Т11| будет иметь
порядок 0{т) или О(т2), то вследствие равенства R = Е + О(т2) схе-
схема C.51) окажется аппроксимацией либо первого, либо второго поряд-
порядка (при 0=0,5) нестационарной задачи du/bt+Aa = f.
Однако, имея в виду использование схемы C.51) для решения стацио-
стационарных задач, естественно выяснить, при каких условиях она является
абсолютно устойчивой. Оказывается, абсолютная устойчивость C.51)
имеет место, если оператор С = (Е — Т1)А является положительным и,
кроме того, параметр а ограничен некоторым числом а > 0,5.
В самом деле, схему C.51) можно записать в виде
um + 1 = Gum + 1 +g,
где сеточная функция g известна, а
G = (^
По определению нормы оператора имеем
((R +arA)-1(R +атА - Qu,(R +arAy1(R +атА- C)u)
I G || -"- sup
(u,u)
Можно показать, что в силу коммутативности оператора R с оператором Л,
вытекающей из условия 1,
((R +атА - Qv, {R +атА - Qv)
|| G || = sup ,
v {(R+otA)v,(R+otA)\)
где v = (R + от А)'1 а. Таким образом, условие || G \\ < 1 будет выполнять-
выполняться при выполнении неравенства
(R +атА - Q*(R +атА - С) < (R +otA)*(R +атА). C.52)
После несложных выкладок, учитывающих коммутативность операторов
Т1 и А, а также неотрицательность А, неравенство C.52) можно привести
7. Зак. 761 97
к виду
А*А [Bа- 1)?"+A -о)(Т' + (Т!)*)-(Т*ТI] > 0. C.53)
Оператор А*А и оператор в квадратных скобках самосопряжены и комму-
коммутативны; поэтому левая часть C.53) будет положительна, если оператор
в квадратных скобках окажется положительным. Используя неравенство
Коши-Буняковского, можно записать следующие оценки:
(Г'и, и) = ((Г')'и, и) < || Т11| (и, и), C.54)
Уи.и) < || Г'|| II(Г*)'|| (и,и),
в которых || Т1 || < q' и, как можно показать, повторив предыдущие рас-
рассуждения с заменой в C.42) А на А*, ||(Г*)'|| <q ¦ На основании этих
оценок неравенство C.52) будет выполняться при положительности вы-
выражения (а-0,5) - A - a)ql - 0,5 q21, т.е. при а> 0,5A +q').
Для оценки минимального значения от,-п следует решить уравнение
Omin = 0E[l+(amin/2)'/2]. C.55)
Выполнив одну итерацию метода Ньютона, можно получить приближенное
значение amin = 0,5 + 0,5B3//2 - I), которое близко к 0,5 при больших
значениях /. Итак, при a > omin схема C.51) устойчива в случае положи-
положительности оператора С = А — Т1А. Если бы оператор А был не только неот-
неотрицательным, но и самосопряженным, то положительность С была бы
очевидной: С = (Е - Т1)А > 0 в силу А > 0 и (Е - Т1) > 0. Наличие косо-
симметричных составляющих у операторов А и Е — Т1 может сделать их
произведение знакопеременным, однако интуитивно ясно, что при большем
числе / внутренних итераций оператор Е — Т1 будет близок к единичному,
а оператор С - к оператору А, Для определения числа / можно сформули-
сформулировать несколько достаточных признаков неотрицательности С.
I. Пусть А>ЬЕ, где 5= const >0. Тогда О 0, если ql<b)\\A\\.
В самом деле, условие С > 0 означает, что {Аи, и) = (А^°'и, и) >
> (Т1А\1, и), но (Л^и, и) > б(и, и), а для скалярного произведения
(Т'Аи, u) , используя неравенство Коши-Буняковского, можно полу-
получить оценку
(Г'Ли.и) < МП || Г'|| (и, и).
Таким образом, если 8>\\A\\ql,io (Аи, и)> (Т'Аи, и) и С > 0.
II. Пусть А > 8Е, 5 = const > 0, а кососимметричная и самосопряжен-
самосопряженная составляющие оператора Л связаны неравенством
IUA)u||2 < т(Л(о)и,и), m > 0; C.56)
тогда О 0, если ql < (у/\\А @> 11+ VmW^
Действительно, выделяя самосопряженную часть оператора AT1, усло-
условие С ~> 0 можно записать в виде
при этом скалярные произведения в правой части при помощи неравенства
98
Коши—Буняковского оцениваются следующим образом:
и)
< <?
(и, и) (и, и)
(и, и) (и, и)
Используя эти оценки, с учетом неравенства C.56) и (А^и, А^и) <
< ИЛ^ 11(Л^°^и, и) окончательно можно получить, что условие О О
будет выполнено, если ^'(уЫ^И + \J~rn ) < у/д", т.е. q1 <
Минимальные значения /, которые получаются из сформулированных
достаточных признаков неотрицательности оператора С, могут оказаться
слишком грубыми. Кроме того, они неэффективны в случае кососиммет-
ричных операторов, когда А^ = 0. Однако если операторы А^ иЛ^1'
коммутативны, т.е. оператор А — нормальный (А*А = АА*), то удается
показать, что для достижения абсолютной устойчивости схемы C.51) тре-
требуется всего лишь несколько итераций. Соответствующее достаточное
условие неотрицательности С можно сформулировать следующим образом.
III. Пусть ЛA)Л{0) =Л@)ЛA), Л(о) > 0. Тогда С > 0 при выполне-
выполнении любого из следующих неравенств:
q'< sin -^—. 1=2к, C.57)
ql< sin —-—, /=4/t-l, k= 1,2,3,... C.58)
2(/+1)
Для доказательство этого утверждения удобно воспользоваться следующим
фактом: в случае коммутативности самосопряженных и кососимметричных
частей оператора возведение его в степень аналогично возведению в степень
комплексного числа. Положив G = —Т, оператор С после простых выкла-
выкладок можно записать в следующем виде:
с=л - т'а =('+1'+1
Поскольку G^°'G^ = G^1^G^°\ что следует из нормальности опе-
оператора А, для вычисления GI+1 можно использовать те же правила, что
и при вычислении z'+1 = (х + iy)l+1, где х и у ¦- действительные числа,
причем х > 0 соответствует оператору А^°\ a iy — оператору А ^ . За-
Записав z в виде rel<t>, 0 < ip К 7г/2, получим, что самосопряженная часть
С^0) оператора С будет неотрицательна, если неотрицательным будет
выражение
cos^ + (-l)'+Ir/+1cos(/+l)^, 0< ^< W2, г=11711< q.
Введя новую переменную ii таким образом, что if = я/2 — ц/A + 1)
@ < м < (/ + 1)я/2), это выражение удобно представить в виде
'' l)-/i]. C.59)
99
Дальнейший анализ сводится к исследованию знака выражения C.59).
В частности, если A+ 1) = 2к+ I, ?=1,3,5,..., то
При ju < я условие /(ju) > 0 выполняется при любых /; если же ju > я,
то ввиду неравенства
sin —— = sin f + i < sin
1+1 \l+l /+1 / 1+1
где /i/(/+ 1)< я/2, имеет место оценка /(м) > /¦sui[ct/(/+1)]-/-'+1. От-
Отсюда следует, что /(/i)> 0 при r'< sin[tf/(/+l)] и, следовательно, при
<jf' = sin[ir/(/ + l)].
Если /+ 1 =2*+ 1, к = 2,4,6,.. . , то
я неравенство /(р) > 0 выполняется при rl <sin[ff/(/+l)] по тем
же причинам, что и в предыдущем случае: к = 1, 3, 5,... При ц < тг име-
имеем/СО) = 0,/'(м) = [г/(/ +1)] cosfju /(/ +1)] -r/+1cosju > 0, поскольку
в случае рассматриваемых значений / = 4, 8, 12,... г1 < ql < (/ +1)
и, следовательно, /(д) > 0.
Объединяя все рассмотренные ситуации, можно окончательно сформули-
сформулировать условие C.57).
В случае I =4к- 1, к = 1, 2, 3.. . функция /(/j) приобретает вид
/Ou) = roos[ju/(/+ I)] +rl+1cosn.
ПриО< /и < я/2 выполнение неравенства /(м) > 0 очевидно. При д > я/2
sin [я/2 (/+1)] < sin[M/(/+l)], так что /(ju) > rsin [я/2(/ +1)] -r/+1.
Отсюда непосредственно следует достаточность условия C58) неотрица-
неотрицательности /(ц) и, следовательно, оператора С.
В силу оценки q < al^fT <* 1/-у/? становится ясным, что в случае нор-
нормального оператора для достижения абсолютной устойчивости схемы
C.51) достаточно выполнить лишь несколько итераций. Поскольку косо-
симметричный оператор является нормальным (из условия А* = -А сле-
следует А*А = АА*), это относится и к случаю А *0) = 0, что вследствие не-
равенств At > 0 означает кососимметричность операторов А/ (/ = 1, и).
Приложение к компактным аппроксимациям. Приведенные выше ре-
результаты могут быть непосредственно применены к случаю, когда опе-
операторы Aj возникают при аппроксимации производных Э F;-(и)/Эдгу (/ =
= 1,л) в уравнениях типа C.1):
= B-x)Cxf?f(u) + Оф3).
Для оценок устойчивости, как всегда, будем считать, что F7(u) = Qf\x, где
Qj — постоянные симметрические матрицы; тогда операторы Aj в C.42)
приобретут вид
Нетрудно убедиться в том, что, поскольку в операторы Bxj и Cxj входят
100
постоянные матрицы Л/,-, коммутативные с матрицами Qj, неотрицатель-
неотрицательные операторы Aj оказываются нормальными. Для построения операторов
Dj требуется вычислить произведения
А]А, = А/А? = (В-)СХ/УВ-Х)СХ, = (ВХ,ВХ,У* СХ,СХ,.
При записи правой части этих равенств была использована коммутатив-
коммутативность операторов BXj и CXf. Пусть все собственные значения х?" (к =
= 1, р) матрицы Qj отличны от нуля (при численной реализации алгоритма
строго нулевые собственные значения практически исключены). Тогда
MjM,=Mf = (SfDjSf) (SjDjS?) = SDjST = /,
где / - единичная матрица, Sj - ортогональная матрица, приводящая Qj
к диагональному виду diag {Xjj/* j, aJ), = diag{sgn X^}; при этом
Учитывая, что А'о = Е + - А>2, А'о - <\А'2 + (Д'2J. -Дг < 4, нетрудно
6
получить оценку Bx]BXj>Ej3, т.е.
(ВХ,ВХ,У1 < Ж C.60)
Вычисление произведения Cx]Cxj = 0,25(-Д$/-) + М
j приводит к равенству CXJCXI- = А^пQj, из
рого следует оценка
С'х,Сх, < ТГ (-4У))И G/ И = Т7 тах| Х«|а(-Д^)- C-61)
h п р
Л Л
Коммутативность операторов (BXjBXI)~l и Сх/Сх/ позволяет перемно-
перемножать неравенства C.60) и C.61),откуда следует, что
кото-
(BxiBx,ylCx,Cx,< Зтах|Х<Я|2(-Д2)/йа. C.62)
р
Из F.2) следует, что свойства 1-3 (см. с. 95) будут выполнены, если по-
положить
/); = А:Итах|Х^>|2(-Д2)/А2, C.63)
р
где &> 3 — некоторый коэффициент.
Для оценки количества внутренних итераций можно воспользоваться
достаточными условиями I и II, однако из общих соображений ясно, что
вследствие малости наименьшего собственного значения самосопряжен-
самосопряженной составляющей А^ оператора А (т.е.малости диссипации длинных
волн) число 5 в неравенстве А > ЪЕ мало E ~ O(h\ + h\ + ... + А?)).
Отсюда следует, что получаемое из этих условий число / может оказаться
завышенным.
101
Если матрицы Q/ (/ = 1, п) попарно коммутативны, то, как нетрудно
п
установить, оператор А = 2 Aj оказывается нормальным и для оценки /
можно воспользоваться достаточным условием III; это число оказыва-
оказывается равным 2 или 3. В общем некоммутативном случае оператор А, не-
несмотря на нормальность операторов Aj (/ = 1, и), не является нормаль-
нормальным и оценка, вытекающая из свойства 3, строго говоря, не является
справедливой. Видимо, истина лежит посередине и установить ее в реаль-
реальных ситуациях можно только экспериментальным путем.
Интересно отметить, что выбор в качестве оператора Dj второй раз-
разности (—Д'2), умноженной на некоторый коэффициент, является доста-
достаточно универсальным и может быть использован для других аппроксима-
аппроксимаций конвективных членов. Пусть, например, в аппроксимации этих членов
Qf&^'\ соответствующих координате Xj, входит оператор 6"), являю-
являющийся двух- или трехточечной односторонней разностью. Тогда для дан-
данного уравнения его можно (р = 1) представить в виде
где Pj и Rj - самосопряженные разностные операторы, а к - целая поло-
положительная степень. В первом случае 5^ = 0,5 (Д{, ± Д'2) и Pj = 0,5 Е,
Rj = ±0,5/:', к = 1. Во втором случае
= 0,5(? - 0,5 A'2)A0 ± 0,25(Д'2J,
так что Р/ = 0,5 (Е - О^Д^), Rj = ±0,25Е, к = 2. Само собой разумеется,
что для устойчивости схемы знаки "+" или "—" выбираются в соответствии
со знаком единственного элемента матрицы. Для систем уравнений (р> 1)
устойчивость будет обеспечена, если знаки "±" перед самосопряженной
частью оператора 6^'' заменить матрицей Mj, входящей в операторы
Bxj и СХ]; чтобы убедиться в этом, достаточно повторить те же рассужде-
рассуждения, что и при построении этих операторов.
Если при вычислении (б ^ ) *(б (; *) учесть неравенства
(Д'оJ < СК-ДО и (Д>)*< С2(-А{),
справедливые для некоторых целых констант Ct и Cj, то нетрудно убе-
убедиться, что имеет место оценка
E</))' (§(')) = F(/>) E</>)* < сот1(-Д>).
Эта оценка и позволяет в качестве оператора Dj выбрать оператор
С/(-Д'2) с некоторой положительной константой С.
Наконец, совсем легко усмотреть, что такой оператор Dj годится и
для случая, когда операторы Aj в C.42) возникают при аппроксимации
конвективных и диффузионных членов, поскольку он может быть сделан
энергетически эквивалентным разностному аналогу диффузии. Например,
оператор Vц в C.20) для постоянной матрицы /i^ можно оценить сле-
следующим образом:
102
аналогичную оценку можно записать и для других использовавшихся
аппроксимаций диффузионных членов.
При практической реализации алгоритма C.42) с оператором Dj вица
C.63) несомненное удобство возникает в связи с возможностью исполь-
использования скалярных прогонок для обращения оператора Е + T2D/, кото-
которые можно выполнять одновременно. Ввиду абсолютной устойчивости
метода можно надеяться на уменьшение числа внешних итераций за счет
увеличения шага т при решении стационарных задач.
4. ДРУГИЕ ПОДХОДЫ К ПОСТРОЕНИЮ СХЕМ
ТРЕТЬЕГО И БОЛЕЕ ВЫСОКИХ ПОРЯДКОВ
Ниже приводятся более общие взгляды на построение компактных
схем. Для простоты рассматривается случай одной пространственной пе-
переменной; обобщение изложенных результатов на многомерный случай
может быть представлено так же, как и в п. 3.4.
4.1. Аппроксимация уравнений, записанных в недивергентном виде
Схемы, основанные на применении операторов третьего порядка. Ис-
Использование консервативной формы исходных уравнений является ес-
естественным и удобным при построении разностных схем на основе опе-
операторов, рассмотренных выше. Такие схемы оказьшаются трехточечными,
что является существенным с точки зрения решения разностных урав-
уравнений.
В случае уравнений, представленных в недивергентной форме, фор-
формальное применение операторов Л± и Дт может не привести к системе
с трехдиагональной матрицей. Пусть, например, имеется уравнение пе-
переноса
Ъи/bt + a(x,t) ди/дх = f(x, t). D.1)
Используя компактное численное дифференцирование при помощи опе-
операторов А±, Д+, а также простейшую дискретизацию производной bujbt
для D.1), можно записать следующую схему с погрешностью O(h3) отно-
относительно шага А:
D.2)
При а = const эта схема совпадает с рассматривавшейся ранее, поэтому
очевидно, что из соображения устойчивости сохраняется прежний выбор
пары операторов А и Д, определяемый параметром s = sgne в форму-
формулах A.14).
Однако в случае переменного коэффициента а(х, t) в D.1) простое
умножение обеих частей D.2) на оператор А не позволяет получить трех-
трехточечные разностные уравнения. Чтобы, тем не менее, свести реализацию
схемы D.2) к трехточечным скалярным прогонкам, достаточно ввести
новую сеточную функцию qn - A'1 Au™ + 1 jh, удовлетворяющую урав-
уравнению
D.3)
103
Сама же схема D.2) при этом перепишется в виде
Если теперь подставить функцию и™ + 1, выраженную из D.4), в правую
часть D.3), то возникает разностная система относительно qn:
Aqn+ (г/А) Д (а?дя) = (г/Л) Д («Г + /Г +') ¦ D-5)
Решив эту систему с трехдиагональной матрицей, можно найти сеточную
функцию qn, а затем из D.4) - исходную функцию и™ + 1. Аналогичным
образом можно поступить в случае системы гиперболического типа
Эи/Эг + Q(u,x, /)Эи/Эх = f(x, t),
где Q (и, х, t) — симметрическая матрица размерности р X р, а и и { -
р-компонентные векторы. Используя операторы
ВХ=АО- 0,25Л/До, Сх = @,5/А)(Д0 -МАг),
где М = SDS'1, S - ортогональная матрица, столбцами которой явля-
являются собственные векторы Q, D = diag{sgnX;}, а Х;- (/ = \,р) - собствен-
собственные значения Q, можно внести векторную сеточную функцию qn, удовлет-
удовлетворяющую уравнению
Z? л — f ш. /W + 1 /Л ?\
Dx Цп — t* v U»? . (^.01
Простейшая аппроксимация системы D.5) при этом запишется в виде
и™ + i + rQ<in = и% + rf^7. D.7)
Ввиду того что qn = BxlCxu™ + l = (Эи/Эд:)™ + 1 +O(h3), схема D.7) имеет
порядок О(т + А3). Исключение при помощи D.7) сеточной функции
um + 1 приводит к системе с блок-трехдиагональной матрицей с размер-
размерностью блоков рХр относительно функции q:
После решения этой системы, а затем подстановки q в D.7) окончательно
находится функция um + 1.
В случае недивергентной системы
Эи/Э/ + бЭи/Эх = ед2и/дх2 + f, D.8)
используя аппроксимацию ВХ1СХ и производной да/дх, можно построить
схемы, отличающиеся способом дискретизации второй производной. В част-
частности, для аппроксимации
Э2 и/Эх2 = Ъфх = Cxq + O(h), Сх = -С*.
Схема для D.8) с погрешностью О (А3 + eh) записывается в виде
(um + 1 -u"I)/T + Qq = eCjeq + tn
Bxq + Сх (Qq) - CxeCxq = Cx (um . , t ,.
Второе уравнение D.9) получено после подстановки функции um + 1, выра-
выраженной из первого уравнения D.9), в равенство D.6). Для получения
системы с блок-трехдиагональной матрицей с размерностью блоков р X р
104
относительно функции q его можно модифицировать следующим образом,
оставаясь в рамках этой же погрешности аппроксимации:
#*q + Q (Gq) - Л - еД+Ч = Q(um + rfnm +»).
После определения q остается непосредственно найти um + 1 из первого урав-
уравнения D.9).
Если ввести аппроксимацию третьего порядка
д2фх2ъг = В;1Схц + ОAг3), ВХ=ВХ, Сх = -С*х,
то вместо второго уравнения D.9) можно записать уравнения
Bxq + Сх (Gq) - Сх (ег) = Сх (um + rfm +»), D.1 Оа)
Вхт=Схц D.106)
относительно сеточных функций q и г. Вместе с равенством
(Um + 1 -um)/T+eq = er+fnm + 1 D.10в)
она образует схему, аппроксимирующую D.8) с погрешностью O(h3).
Альтернативный вариант состоит в использовании вместо второго урав-
уравнения D.10а) равенства
Е + —дЛг=Д2ит + 1/й2, D.1 Ог)
определяющего аппроксимацию четвертого порядка г производной
Э2и/Эл:2.
Схемы D.10а), D.106), D.10в) и D.10а), D.10в), D.Юг) после
исключения одной из функций um+l, q и г при помощи D.10в) приводят
к двум трехточечным векторным уравнениям с матрицами рУ-Р-
В случае постоянных коэффициентов в исходных уравнениях D.1)
и D.8) приведенные выше схемы совпадают с рассмотренным ранее, поэто-
поэтому их устойчивость можно считать установленной.
Принципы построения компактных аппроксимаций одномерных диф-
дифференциальных операторов, входящих в систему D.8), легко обобщается
на случай систем с п пространственными переменными, записанных в не-
недивергентном виде.
В частности, схемы расщепления, описанные выше, нуждаются лишь в
незначительной модификации разностных уравнений на каждом из дроб-
дробных шагов, при которой в качестве искомых сеточных функций удобно
рассматриваются аппроксимации q^'^ производных Эй/Эх,- (/ = 1, и).
Многопараметрическое семейство компактных схем. Квазилинейные
уравнения D.8) с точки зрения применения компактных аппроксимаций
обладают следующей особенностью по сравнению с соответствующими
"дивергентными" уравнениями. В них аппроксимируются производные
Ъи/Ъх и д2и/дх2, а не производные д<р(и)/Ъх и (Ъ/Ъх) (цди/Ъх). Это
позволяет построить многопараметрическое семейство схем повышен-
повышенной точности, включающее и описанные выше схемы. Для этого достаточ-
достаточно воспользоваться формулами, связывающими в трех соседних узлах
сетки значения функций q = Ъи/Ъх и г = Ъ2и/Ъх2 и справедливыми с
точностью до членов высокого порядка малости относительно шага h
105
(формулами Эрмита). Такие формулы можно представить в виде
0, D.11)
где А О (/ = 1, 2, 3) — трехточечные операторы, задаваемые в узле х„ =
= nh тремя коэффициентами:
Л('\= S $\п+к, /=1,2,3.
К— 1
Девять неизвестных коэффициентов <х^ определяются из тех же сообра-
соображений, что и коэффициенты в формуле A.1), определяющей связь между
функциями и и q. А именно, если интересоваться порядком аппрокси-
аппроксимации, не меньшим чем третий, то подстановка в D.11) рядов Тэйлора
для функций и, bujbx и д2и/Ъх2 в окрестности узла хп = nh и прирав-
приравнивание к нулю коэффициентов при степенях пк (к = 0, 1, 2, 3) приводит
к системе четырех уравнений для а^ (/, к = 1, 2, 3). Альтернативный
путь получения этой системы состоит в применении метода неопределен-
неопределенных коэффициентов, заключающегося в том, что к приближенной фор-
формуле D.11) предъявляется требование ее тождественного выполнения
(т.е. тождественного равенства нулю левой части) для пробных функций
и = х, х2, х3, х4.
Из полученной системы коэффициенты а|у) определяются с точностью
до пяти свободных параметров. Приведем эти коэффициенты в том виде,
как они представлены в [1 ]:
л
D.12)
1
~
150-8T
h2
h
3a - 70 -
У
57
h
З/э + 20
h
+ р+в,
При любых значениях параметров a, 0, у, р и в равенство D.11) при
u = um+l, дополненное соотношением
Aq = Aum+1/h, D.13)
в котором операторы А и Д выбраны в соответствии со знаком а™ =
= а(хп, tm), а также равенством
(um + 1 -u)lT + a™q = er+f, D.14)
следующим из уравнения D.8) при простейшей дискретизации производ-
производной du/dt, образует схему третьего порядка относительно шага h.
После исключения функции um + l из D.14) соответствующая система
разностных уравнений окажется системой с блок-трехдиагональной матри-
106
цей с размерностью блоков 2X2. Частным случаем этой системы и являет-
является система D.10).
Наличие пяти свободных параметров в D.12), помимо требования
абсолютной устойчивости, позволяет представлять дополнительные тре-
требования к свойствам схемы. Этот вопрос здесь рассматриваться не будет,
поскольку желаемые свойства схемы могут сильно зависеть от специфики
решаемой задачи.
Заметим, наконец, что соотношение D.11) может быть использовано
для аппроксимации диффузионных членов в консервативных схемах,
описанных выше. Однако в этом случае, как нетрудно усмотреть, блок-
трехдиагональная матрица системы разностных уравнений будет содер-
содержать блоки с размерностью 3X3, что делает использование таких аппрок-
аппроксимаций неудобным.
4.2. Повышение порядка несимметричных компактных аппроксимаций
Формулы компактного численного дифференцирования, обеспечиваю-
обеспечивающие пятый порядок аппроксимации. Трехточечные формулы D.11), свя-
связывающие значения в узлах функции и, а также значения в узлах разност-
разностных аналогов ее первых и вторых производных (q иг), содержат большее
количество коэффициентов, чем аналогичные формулы, связывающие
значения функций и и q. Отсюда естественным образом возникает идея
использовать эти дополнительные коэффициенты для построения таких
соотношений, которые позволили бы определить q и г как аппроксима-
аппроксимации производных функций, обладающие более высоким, чем третий, по-
порядком аппроксимации. Если бы такие аппроксимации имели благоприят-
благоприятные свойства, то их использование в качестве составной части схемы для
уравнения D.8) было бы вполне разумным, поскольку процесс решения
разностных уравнений оказался бы не более сложном, чем в случае схемы
третьего порядка D.10). Для уравнения первого порядка D.1) функция
и является лишней, однако может оказаться, что применение векторных
прогонок с матрицами 2X2 вместо скалярных прогонок является разум-
разумной платой за высокую точность и другие положительные свойства схемы.
При построении соотношений между и, q и г, выполняющихся с точ-
точностью до O(hk), к > 3, будем исходить из того же принципа, что и при
построении операторов А и Д. Аппроксимация производной Ъи/Ъх должна
быть такой, чтобы оператор, действующий на и, имел бы знакоопределен-
ную самосопряженную составляющую, знак этой составляющей должен
быть параметром аппроксимации, позволяющим строить схемы с поло-
положительными операторами.
Исходя из этого принципа, можно рассмотреть следующую форму со-
соотношений вида D.11):
W Р) -sA2)u/h, D.15)
1=1 ' 1=1
Ъи
где <7,-
Ъх
Ъх2
а значения s = 0, 1, -1 соответст-
вуют центральным, левым и правым разностям, определяемым операто-
оператором 0,5(До - sA2). Формула D.15) содержит шесть неизвестных коэф-
107
фициентов; остальные три коэффициента оказались зафиксированными
в результате выбора конкретных операторов А^1^ из D.11). Для опре-
определения коэффициентов
(? = 1, 2, 3, / = 1, 2) удобно вос-
воспользоваться методом неопределенных коэффициентов и потребовать,
чтобы соотношения D.15) выполнялись бы тождественно точно (т.е. что-
чтобы qf и г{ были точными значениями первых и вторых производных)
для и = х, х2,. ., , х" (случай и = х° приводит к тривиальным соотно-
соотношениям). Подстановка этих функций в D.15) приводит к линейной си-
системе вида
1
-2/г
3/г2
-Ah3
5/г4
-6/г5
1
2/г
3/г2
4Й3
5/г4
6/г5
О
2
-6/г
12/г2
-20Л3
ЗОЙ4
0
2
6/г
12й2
20/г3
30/г4
а2
аз
я(<0
w(*)
3
dik)
dEk)
dFk)
где
= (До - sA2)xp/h,
D.16)
= A2xklh2, p = 1, 2,..., 6, к = 1, 2.
После определения из системы D.16) коэффициентов в формуле D.15)
последняя может быть представлена в виде
К 7 \ 3 1 г 1 / 1 \ 1 1
Е+ —Д2) sA0\q+h\ s[E-- A2) До г =
30 7 16 °Г 8 V 6 7 30
= — (Ао -sA2)u.
In
D.17)
На основе равенства D.17) можно построить несимметричную аппрокси-
Для этого
мацию пятого порядка точности производной (ди/дх)х=х
7
достаточно воспользоваться следующими эвристическими соображениями.
Чтобы выразить из D.17) <?/ таким образом, чтобы qj = (Ъи/дх)х=х. +
+ О (/г5), достаточно использовать любое представление вида г./ =
= (д2и/дх2)х=х. + О(/г4), поскольку второе слагаемое в левой части A2)
содержит множитель h. В качестве такого представления пригодна фор-
формула
Ъ2и/дх2 ~rj = (Е + A/12)A2)~lA2u/h2, D.18)
справедливая с точностью до членов порядка О (А4). После подстановки
D.18) в D,17) и умножения результата на (Е + A/12)Д2) простые
выкладки приводят к равенству
Г 19 7,3/1
D.19)
108
Разлагая гладкие функции и и (Ьи/дх) в ряды Тэйлора в окрестности
точки x = Xj, легко убедиться в том, что qj = (Ьи/дх)х =X+O(hs).
При практическом определении (ди/Ьх)х=х с точностью до O(hs) и
(д2и/дх2)х-х. с точностью до О(й4) по заданной функции достаточно
совместно решить два трехточечных разностных уравнения — D.17) и
D.18) - относительно вектора z- = (qj, г,). При выводе формулы D.17)
ставилась цель получить несимметричные (т.е. нецентрированные) аппрок-
аппроксимации. Если же отказаться от этого ограничения, то на основе D.17)
нетрудно получить аппроксимации шестого порядка. Для этого достаточ-
достаточно, положив в D.17) s = 0, записать равенство
ii;Ao' D-20)
вычитание его из D.17) приводит ко второму равенству:
3 1/ 1 \ Д2«
**{**} <421>
Если под q и г понимать соответственно аппроксимации производных
(ди/дх) и (Ь2и/дх2), то, как легко проверить, соотношения D.20) и
D.21) справедливы с точностью до O(hb); определяя из них q ч г, можно
получить следующие формулы компактного численного дифференцирова-
дифференцирования шестого порядка:
-и, D.22)
4 1 Д / 11 \Д2
Е+ —Д2 + —Al)r=[E +—Д2 )—и. D.23)
15 90 / V 60 Jh2 K
При практическом определении q и г по известной сеточной функции
достаточно совместно решить два трехточечных уравнения D.20) и D.21 X
Как следует из равенства D.22), аппроксимация q производной Ьи/Ьх
является кососимметричным оператором. Отсутствие самосопряженной
составляющей в этой аппроксимации ухудшает возможности ее приме-
применения в разностных схемах, вследствие чего формулы D.20) и D.21)
в дальнейшем рассматриваться не будут.
Нецентрированные схемы порядка выше третьего. Обращаясь к урав-
уравнению D.8), нетрудно усмотреть, что равенство D.14), полученное пос-
после подстановки в него q и г вместо производных (Ьи/Ьх) и (Ь2и/Ьх2),
совместно с соотношениями D.17) и D.18) при s = Ч образует схемы
с погрешностью вида О(И5 + 11е11й4). Повышение порядка при этом ни-
нисколько не усложняет процесс решения разностных уравнений, которые,
как и в случае схемы третьего порядка, можно свести к векторным
прогонкам с матрицами 2X2. Выбор параметра s однозначно диктуется
соображениями устойчивости, которые приводят к равенству s =.sgna в
каждом узле сети.
Соотношения D.17) и D.18) можно использовать также при аппрок-
аппроксимации уравнения переноса D.5) (е = 0) с пятым порядком относи-
109
тельно шага h, однако сеточная функция г при этом не будет входить
в основное уравнение, дополняемое равенствами D.17) и D.18),и ока-
окажется лишней.
То же самое можно сказать и о схеме с погрешностью O(hs) для не-
нелинейного уравнения переноса
при простейшей дискретизации (du/dt) она будет иметь вид равенства
(um + 1 -um)lr + q=f,
дополненного соотношениями D.17), D.18); однако при этом под се-
сеточными функциями q и г понимаются аппроксимации соответственно
производных Ъу1Ъх и d2ipldx2, a s = sgn<p'(u).
При оценке устойчивости всех этих схем достаточно рассмотреть случай
<р(и) = аи, а - const, 6=0; равенство D.17) при этом удобно записать
в виде
+ O(hs), D.24)
где
19 7 3
ii T I
Если ввести одно-параметрическое семейство схем с весами, то предме-
предметом исследования окажется схема
(As + атА$а) (um + l - ит)/т + Asaum = 0. D.25)
Такая схема отличается от изученной схемы A.14) только тем, что в ней
вместо операторов ^ и Д используются операторы А5 и Д5. Последние
удовлетворяют тем же неравенствам, что и А и Д:
аД5>0; A*sAsa>0; A;lAsa>0. D.26)
Первое из них следует из того, что при s =sgna as(— Д2)>0, второе -
из выражения для самосопряженной составляющей (AlA5a)(°) опера-
оператора AlA$a, которое после перемножения коммутативных операторов,
входящих в D.24), легко приводится к виду
¦л -
1920 " 16 •1440 2
Поскольку Д2 < 4?", А\ = (—Д2)(-Дг), имеет место неравенство
А\ = — 4ДI, откуда следует, что
h(AtAsa)i0)>as(-A32)(— }> 0.
\1920 41440/
В силу коммутатив}юсти As к As третье неравенство D.26) легко по-
получить из второго.
110
Из неравенств D.26) непосредственно следует абсолютная устойчивость
схемы D.25) при сг> 0,5.
На примере уравнения переноса с постоянными коэффициентами можно
оценить дисперсионные и диссипативные свойства аппроксимации А^1 А$аи
конвективного члена а Ъи/Ъх. Сравнивая волновые решения точного и раз-
разностного уравнений (без введения дискретизации производной bujbt),
нетрудно получить следующие выражения для отношения а,/а схемной
фазовой скорости к точной для волнового числа к:
313 1831 , 37 ,
1 / + 12 /3
at _ sin a 240 3600 600
— = ~ ^-у " ; 7-7Т> D-27)
— / + —/2 + — гA -,
15 45 / 16
где / = sin2 (а/2), a = kh.
Разложение правой части D.27) в ряд по а приводит к оценке ат/а =
= 1 — О (а6), указьшающеи на весьма малое отличие схемной фазовой ско-
скорости от точной для не слишком коротких волн.
Для величины диссипации d = —lnX, где X - коэффициент усиления
гармоник за характерное время h/a, получается выражение
1 , 1-0/3)/
; D.28)
при малых а правая часть его имеет порядок О(а6).
Зависимости от а отношения а*/а и d приведены в D.27) и D.28)
а также на рис. 1.1 (кривые 3). Как и в случае схемы третьего порядка,
диссипация, очень малая для длинных и средних волн (kh < тт/4), резко
возрастает в диапазоне коротких волн, что должно приводить к демпфи-
демпфированию коротковолновой части решения в силу сравнимости длины
волны с шагом сетки (kh « тг). Однако область волновых чисел, в кото-
которой фазовые ошибки малы, существенно превосходит эту область в случае
схем третьего порядка. Наличие мощной диссипации в диапазоне коротких
волн позволяет надеяться на подавление схемных осцилляции, возникаю-
возникающих, в частности, в случае быстроменяющихся и разрывных решений. Это
предположение бьию подтверждено результатами расчетов для рассмотрен-
рассмотренной выше задачи о распространении разрыва, описываемого нелинейным
уравнением переноса $(и) = и2/2. Дискретизация производных по х и t
осуществлялась соответственно при помощи оператора Л7'Д5м схемы
третьего порядка A.52).
При практическом применении схемы пятого порядка возникает вопрос
о граничных условиях. Возможны различные варианты таких условий, не
понижающих формальный порядок аппроксимации алгоритма. Все их
можно рассматривать как комбинации разностного аналога исходного
уравнения и дополнительных соотношений типа D.1 Ь.), сконструирован-
сконструированных таким образом, чтобы использовались значения сеточных функций
только во внутренних узлах области.
Более того, удачно выбранные граничные условия, обеспечивающие от-
111
личие порядка O(hs) точного решения разностного, необязательно должны
сами иметь порядок, не меньший пятого.
Схемы пятого порядка для систем уравнений. Рассмотренные аппрокси-
аппроксимации пятого порядка легко обобщаются на случай систем уравнений вида
D.8). Для этого достаточно во всех представленных выше соотношениях
заменить скалярный параметр х, полагаемый равным знаку коэффициента
при производной Ъи/дх, на матрицу М, построенную при помощи собствен-
собственных векторов и знаков собственных значений матрицы Q из D.8).Матрич-
но-разностные аналоги Bs и Cs операторов А5 и Д5 при этом можно за-
записать в виде
55^;+ ? А' + ША*- ТвМА(Е + lW' D-29)
А\г ь'+ То
а сама схема пятого порядка для D.8) в узле Xj - jh представится в виде
трех трехточечных соотношений
г/ 7 \ 3 I
\[Е + — Д2) МА0 q - А
V 30 7 16
D30)
М / 1 \ 1 v '
+ —До
[ 8 \ 6 / 30
1
2А
г =
?¦+ — Д2)г =
12 / л*
где q; и г, - векторные сеточные функции, аппроксимирующие производ-
производные Эи/Эхи Э2и/Эх2.
Схема D.30) имеет погрешность О (А5 + Не II А4) и становится схемой
пятого порядка для чисто конвективных уравнений (е = 0). После исклю-
исключения u™+1 из первого уравнения D.30) она сводится к паре трехточеч-
трехточечных векторных уравнений относительно векторов q и г.
В случае гиперболической системы, записанной в дивергентной форме
с конвективными членами вида 3f (u)/Эх, схема D.30) при е = 0 лишь
незначительно модифицируется с учетом того, что q и г становятся аппрок-
аппроксимациями первых и вторых производных по х функции f. Поскольку
при этом в правой части второго и третьего уравнений D.30) вместо um+1
появляется нелинейная функция f (um + 1), для удобства решения разност-
разностных уравнений естественно произвести ее линеаризацию. Кроме того, если
схему желательно записать в виде некоторых уравнений баланса, операторы
МДо и Л/Д2 следует, как и в рассмотренных схемах третьего порядка,
заменить на операторы ДоМ и Д+ (Ту^М)^-- Легко проверить, что ло-
локальный порядок аппроксимации схемы при этом не нарушится, если в
окрестности рассматриваемого узла нет смены знаков собственных зна-
значений матрицы Q.
112
Устойчивость схемы типа D.30) основывается на легко устанавливаемой
положительности операторов В%С$ или В1 'С5, определенных формулами
D.29); при е = 0 ее можно рассматривать как частный случай схемы с
весами
3F
O/T + B^CsFtu) =0, Q= —
Э
Эй
t = tn
абсолютно устойчивой при а > 0,5 в случае постоянной матрицы Q.
Применение внутренних итераций при решении разностных уравнений.
Если в случае скалярных уравнений решение трехточечных разностных
уравнений относительно двухкомпонентных векторных функций не вы-
вызывает каких-либо затруднений, то при аппроксимации систем из р-урав-
нений процедура одновременного решения двух векторных уравнений
с матрицами р X р может стать, как и в случае схем третьего порядка,
нежелательной. Поэтому естественно попытаться построить итерационные
процессы, которые уменьшали бы размерности обращаемых матриц. Рас-
Рассматривая некоторые из таких возможностей, можно выделить две из
них, условно назвав их соответственно итерационным процессом для q и
г и итерационным процессом для и.
Итерационный процесс для q и г. Вводя обозначения
7 3 Г 1 / 1 \ 1
Р = Е + —Д2 - МА0, R= - Ml - - Д2 )-—До
30 16 I 8 V 6 / 30
1 1
S0=E+—A2, Д= - (До-Л/Д2),
исключив из второго и третьего уравнений D.30) функцию ит + 1, выра-
выраженную через q и г из первого уравнения D.30), получим пару векторных
уравнений
(Р + ajAQ) q-(hR+ ауАе) г = g,,
D.31)
arA2Qq + (hS0 - о-уД2е) г = g2,
в которых 7 = т/h, функции g1 и g2 известны, а весовой множитель о вве-
введен для большей общности. Фактически он подразумевает использование
в первом уравнении D.30) вместо q и г соответственно aqm + 1 + A - a)qm
norm + 1 + A -a)rm.
Внутренний итерационный процесс теперь можно представить следую-
следующим образом. По известной из предыдущей итерации сеточной функции q
из второго уравнения D.31) определяется функция г, что позволяет из
первого уравнения D.31) найти новые значения q и т.д. Обращение соот-
соответствующих трехточечных операторов при этом может быть осуществлено
при помощи векторных прогонов с матрицами рХр.В операторной форме
переход от к-п внутренней итерации к (к+ 1)-й представляется следующим
образом:
^hR + ayAe)(hS0 - ayA2e)~l A2Qqk +g3, D.32)
где функция g3 — известна.
8. Зак. 761 113
В случае постоянных матриц Q и е такой процесс сходится со скоростью,
не зависящей от шагов сетки. Чтобы показать это, равенство D.32) удоб-
удобно представить в виде
где
Gj = (hR + oyAeXhS - ayA2e)~l, G2 = oyA2Q(P -
Вычиачение II G i II2 после громоздких выкладок приводит к следующему
равенству.
II Сп II2 =
Грубые оценки II G\ II весьма просто получить при е = 0, когда в правой
части этого равенства остаются лишь члены с множителем А2. Если вспом-
вспомнить, что (-Д2у, v) < 4(v, v), (Д2у, v) < 4(-Д2у, v) и А% = 4Д2 + Д2,
то нетрудно установить, что
. 1/64+ A39/900)/ (-Д2у,у)
IG,
1-E/36).у ' (v,v)
Так как максимальное значение у равно 4, то II Gj II ^ 0,35.
При б Ф 0 можно установить, что по крайней мере II Gx II < 0,5.
Вычисление нормы оператора G2 приводит к равенству
2
G2II2 =
в котором учтено, что М*М = /. Для грубой оценки II G2 II достаточно заме-
заметить, что в квадратных скобках второй, третий и четвертый оператор поло-
положительны, причем второй превосходит A/15)?, а первый с точностью до
множителя совпадает, с оператором в числителе. Отсюда следует, что
" °г" < Vy1 " I < 1 +F0а2-у2 tl<2 И2) '
—— ( AlQ2\, v) + — (v, v)
4 15
Окончательно получается, что
/ «s 0,7[ 1 +B \/ 15 07 II Q\\)~2] *5 при e = 0,
II G, II IIG2II <
\[l+B\/~T5oy \\Q\\)~2]~°'b при е Ф0.
114
Таким образом, уже из грубых оценок вытекает сходимость итераций,
причем скорость этой сходимости не зависит от шагов сетки.
Во многих представляющий практический интерес случаях матрицае диа-
гональна и обращение оператора (hR + ауАе) при определении г осущест-
осуществляется скалярными прогонками.
Если матрица Q постоянна, то векторные прогонки при обращении
оператора (Р + oyAQ) сводятся к скалярным в результате диагонализации
матрицы Q. Используя коммутативность разностных и матричных опера-
торов, равенство Р + — (До - MA2)Q \qk+1 ~ f можно переписать в виде
Г 7 3 ay 1 ,
G = S \E+ —A2 - — DA0 + — (ЛД0 -ADA2) 5,
I 30 16 2 -1
D = diag i sgn \t\,
A = diag {A,-};
после замены z = Sq/c + 1 оно переходит в систему скалярных трехточеч-
трехточечных уравнений
[73 ау 1 _,
\Е+ —Д2 - —sgn А,-До + -—(А,Д0 - I А,| Д2) Z; = (S f),-,
1 30 16 2 J
/ =1,2 р.
В случае переменных матриц для редукции векторных прогонок к
скалярным заменим первое уравнение D.31) уравнением
в котором функция g известна.
Выражение в квадратных скобках в правой части, представляющее из
себя разницу между исходным оператором, действующим на q*+!, и диаго-
нализируемым оператором G, исчезает в случае постоянной матрицы Q.
Вследствие этого все предыдущие оценки, полученные в приближении за-
замороженных коэффициентов, остаются в силе. В случае переменных матриц
с достаточно гладкими коэффициентами норма этого выражения имеет
порядок О(Н), и поэтому интуитивно ясно, что при не слишком больших
h сходимость не нарушится. Можно получить также строгие оценки для
допустимых шагов h, использующие априорную информацию об измене-
изменении матрицы S.
Итерационный процесс для um+1. Если исключить функ-
функции q и г при помощи уравнения D.31), то первое уравнение D-30) после
введения весового множителя а запишется в виде
(Е + aid) (um +' - um)/r +J,nm = Г D.33)
115
QP'1 e
= —— (До -2RSEiA2)- — S-1A2, D.34)
где
К уравнению D.33), рассматриваемому как частный случай уравнения
N
с расщепляющимся оператором {Л- 2 Af, N = 1), можно непосред-
/ = 1
ственно применить описанную выше идею внутренних итераций. Дня этого
достаточно построить самосопряженный оператор D, коммутативный
с оператором^ и удовлетворяющий неравенству
D >Л*Л+ЛЛ\ D.35)
а затем на каждом слое t = tm + l ввести итерационный процесс
(A' + T2D)(um + 1'*+1 -ит)/т + оЛит + 1'к = f+(a- \]Л\1т. D.36)
Согласно п. 3.4, итерации D.36) сходятся со скоростью геометрической
прогрессии, знаменатель которой не превосходит a/V* @,5 < а < 1).
В качестве D выберем оператор к(—А2I, где / — единичная матрица
р X р, потребовав, чтобы выполнялось неравенство D.35). В случае по-
постоянных матриц Q и е, когда разностные и матричные операторы комму-
коммутативны, число к можно вычислить, используя явные выражения для р
и R из D.30); его можно представить в виде
к = Л, II QII + к2 II е II, D.37)
где kt и к2 - некоторые числа. В случае переменных матриц О и е равен-
равенство D.37) после замены в нем II QII на max II QII и II б II на max II е II можно
рассматривать как некоторую оценку, нуждающуюся в экспериментальной
корректировке.
Алгоритм D.36) реализуется следующим образом. По известной функ-
функции um+1'fc(u" + 1>0 = u") в результате р скалярных прогонок находится
функция rfc = So1 A2um+l'k/h2. Затем, в результате обращения оператора
/ 7 \ 3
Р =1Е + — А2 1 — — МА0 при помощи трехточечных векторных прого-
\ 30 / 16
нок с матрицами р X р определяется функция q. Итерация завершается
скалярными прогонками, обращающими оператор [Е + т2к1(~А2)] при
известной функции^u/w + life =Qqm + 1>k - erm + 1'k.
Как и в случае итерационного процесса для q и г, в случае постоянной
матрицы Q векторные прогонки можно заменить скалярными, если ввести
функцию z = 5~'u; тогда система уравнений для определения г,- (г =
= 1,2,..., р) будет иметь вид
/73 \
( Е + — Дг —— sen Л,-Ло )г/,-ч = г», / = 1,2,..., р, D.38)
\ 30 16 / у '
где g; — известные скалярные сеточные функции, a z ^,-j — компоненты
вектора zm + l-k+l.
116
Для случая переменной матрицы Q опять-таки можно использовать со-
соответствующий диаганолизируемый оператор. Он имеет вид
G = S[E + —Д2 )S~l - —SDAnS'1
\ 30 У 16
и отличается от Р лишь в случае переменной матрицы S. При этом уравне-
уравнение Pqk = f можно заменить уравнением
Gqk=f+(G -P)qk"\ q°=qm,
включив последнее в общий итерационный цикл, соответствующий к-й
внутренней итерации. Обращение оператора G сводится к решению скаляр-
скалярных уравнений D.38). Во всех случаях в силу оценки II С - Р\\ = О (h)
можно рассчитывать на быструю сходимость итерационных процессов,
связанных с переменностью матрицы Q, при не слишком больших зна-
значениях h.
Пусть сделаны / итерации к = I; тогда, положив u"+1|/ = u"+1, полу-
получим равенство вида
(R + тЛ) (un+ ] - и")/т + (Е - Т')Мп = (Е - Т'Л) Г, D.39)
где R =Е + t2D, a T -- оператор перехода (u*+1 = 7\ifc + F), II 711 <а/%/2?
В и. 3.4 приведены оценки для числа /, при котором {Л— Т1 Л) > 0 и схе-
схема D.39) абсолютно устойчива в приближении замороженных коэффи-
коэффициентов. При u"+1 = u" (в случае установления решения) D.39) переходит
в равенство ./4 u" = f" независимо от числа итераций /; если же интересо-
интересоваться нестационарным решением исходной задачи, то число / должно
быть по крайней мере таким, чтобы Т'Ли" =О(т).
4.3. Симметризация схем третьего порядка.
Центрированные компактные схемы четвертого порядка
Использование полусумм операторов А± и А+. При применении описан-
описанных выше аппроксимаций третьего порядка но сравнению с традиционны-
традиционными схемами увеличивается количество арифметических операторов и объем
памяти, приходящихся на один узел сетки. Это связано прежде всего с
необходимостью вычисления и хранения матриц М в случае систем урав-
уравнений. При решении сложных задач с быстро меняющимися функциями
(например, задач о течениях вязкого газа при больших числах Реинольдса)
такие издержки являются вполне разумной платой за хорошее качество и
точность решений (а в некоторых случаях, как показала практика, и за
саму возможность получения решений). Некоторой компенсацией при
этом может явиться использование более крупных сеток без потери точ-
точности.
Вместе с тем в более легких задачах (например, при исследовании тече-
течений в случае небольших чисел Реинольдса) естественно использовать ком-
компактные схемы, не требующие вычисления характеристи"еских матриц М.
Построить такие схемы можно, заменив операторы Вх и Сх, лежащие в
основе компактных схем третьего порядка, на полусуммы
Вх = 0,5(Вх + Вх), Сх = 0,5(Сх ~ Сх ),
117
являющиеся соответственно самосопряженным и кососимметричным
операторами. При этом в узле х - X/
Bxf= Aof= '/б//-, +2/з//+1/б//+1,
D.40)
Прийти к операторам Вх и Сх можно также, формально положив М = 0
в операторах Вх и Сх; фактически они являются полусуммами операто-
операторов А+ к А_, Д + и Д_.
Поскольку для Вх и Сх справедливы разложения
3
Cxf=(E + j D\ + O(h*Y}Dxf,
оператор BxlCx является оператором компактного численного дифферен-
дифференцирования четвертого порядка:
В'1 С f-= —
х "* ' Эх
В случае одной пространственной переменной для построения схем, осно-
основанных на операторах Вх и Сх, достаточно во всех рассмотренных выше
схемах операторы Вх, Сх, Вх, Сх (или А и Д, А и Д) заменить на Вх и Сх.
При отсутствии диффузионных членов эти схемы, очевидно, будут иметь
погрешность О(й4). Например, симметричный аналог схемы A-70) для
системы уравнений A.58) при f (u) = Qa запишется в виде
(Вх + таСх Q) (ит +' - um )/т + Сх F(u)m = Вх f. D.41)
При наличии диффузионных членов возможны различные способы их
аппроксимации, полностью аналогичные рассмотренным выше. Например,
9 /.. Э»Л
Эх ^ Эх/
Э / Ъи
Эх \ Эх
Если диффузионные члены имеют вид дЭ2и/Эхг2, то для их аппроксима-
аппроксимации можно использовать формулу четвертого порядка D.18), т.е.
Примером схемы для системы уравнений D.8), записанной в недивергент-
недивергентном виде, является схема четвертого порядка
«С+' + tQ qn = епх? + г С, D.42)
Bxq = C
118
полностью аналогичная схемам D.6), D.10в), D.Юг). Симметризован-
ные аналоги компактных схем третьего порядка не нуждаются в допол-
дополнительном анализе их устойчивости в приближении замороженных коэф-
коэффициентов. По существу, эта устойчивость при отсутствии диффузионных
членов следует из неотрицательности операторов ВХСХ или ВХ^СХ, что
обеспечивает выполнение соответствующих энергетических неравенств
по тем же причинам, что и положительность операторов ВХСХ или ВХ1СХ-
Наличие неявных компактных аппроксимаций диффузионных членов
приводит к появлению самосопряженной положительной составляющей
в операторе схемы, что лишь усиливает операторные неравенства, достаточ-
достаточные для устойчивости.
Компактные аппроксимации четвертого порядка для уравнений перено-
переноса обладают теми же свойствами, что и операторы третьего порядка, за
исключением диссипативно-дисперсионных свойств, и на рис. 1.1 приве-
приведена кривая зависимости фазовой скорости от волнового числа для дискре-
дискретизации Вх1 Сх производной ди/дх в уравнении переноса A.20) (кривая 2).
В случае центрированной аппроксимации четвертого порядка из-за косо-
кососимметричности оператора ВХ1СХ диссипативный механизм отсутствует
и коротковолновые возмущения, соответствующие области больших фа-
фазовых ошибок, не могут быть подавлены.
Схемы с чередующимися операторами третьего порядка. Симметри-
Симметризацию компактных схем третьего порядка путем использования полусумм
Вх и Сх операторов Вх, Вх и Сх, —Сх можно рассматривать как способ
упрощения алгоритма, позволяющий ценой ухудшения свойств монотон-
монотонности схемы обойтись в случае систем уравнений без вычисления в каждом
узле элементов, характеризующих матрицы М. Существует и другой способ
не вычислять эти матрицы, используя тем не менее операторы А и Д из
A.14). В основе его лежит идея двухшагового перехода от т-го времен-
временного слоя к (т + 1) -му с применением то одной пары операторов А и Д,
то другой. Она аналогична идее, заложенной в явной схеме Мак-Корма-
ка [51] с чередующимися направлениями односторонних разностей.
Полезно вспомнить эту схему для векторного уравнения
Эи/ЭГ + 3f(u)/9x = 0.
На первом этапе находятся промежуточные функции и по формуле
и = um+rA+f(um), г = ф.
Окончательные значения пт +' определяются в виде
um + 1 =0,5[um + u+M_f(u)]. D.43)
Исключение из D.43) и приводит к одношаговой схеме вида
rum +rA+f(um)].
В случае линейной задачи (f(u)=au) последняя схема совпадает со схе-
схемой Лакса-Вендроффа. Используя операторы А и Д, аналогич!гую двух-
шаговую схему можно построить следующим образом. Выбирается про-
произвольная пара операторов (Л+,Д_) или (А-,А+), обозначаемая через
(А, Д). Соответственно другая пара, как и ранее, обозначается через
119
(А, А). На первом шаге определяется и из равенства
А и + г Af(u) = Аит, г = ф, D.44)
после чего окончательные значения um+1 находятся по формуле
Aum + l =0,5 [if" + Au-rA~f(H)]. D.45)
Для выяснения порядка аппроксимации схем D.44), D.45) удобно
умножить D.44) на Л и D.45) на А'1. Полагая N = A'1 A/h и N =
= А~1 Д/А, равенство D.45) с учетом D.44) можно записать в виде
„m + 1 =u«i _ I (N + N)f(u),
но f (u) = f (um) + Q(S - um) + O(f), а разность u - um, согласно D.44),
равна —tNf (u), поэтому окончательно получается, что
um+1-um (N + N) т
+ f(um) - -(N + N) QNf(n) = 0. D.46)
Так как оператор (N + N)/2 является оператором численного дифферен-
дифференцирования четвертого порядка аппроксимации, то схема D.46) лишь
членами порядка О(й4 + г) отличается от разложения точного решения
u (x, t) в ряд по степеням т:
Эй
dt
9u
О(т)=0, -
t= tm Ьх
таким образом, схемы D.44), D.45) имеют четвертый порядок относи-
относительно шага А. В случае f (um) = Qum, где Q — постоянная матрица, схемы
D.44), D.45) после исключений и представляются в виде
um + 1 =0,5(E + Ri)um =Rum,
tfi =A~1(A~- rQA)(A +rQA)~1A, r = т/А.
В силу попарной коммутативности операторов, входящих вй(, можно
записать неравенство
llflJK II А'1 А II \\(A-rQA)(A +г?>АуЧ\,
но II А'1 А II = 1, поскольку
(А-1 Аи, А9'1 Аи) (Л-ЧЛ-'и)
\\А Л 11 = sup = sup — =1
и (и, и) и (Аи, А и)
в силу нормальности оператора А(А*А = АА*). Кроме того, вторая норма
в правой части, согласно лемме Келлога [47], равна единице. Поэтому
IIЯII < 0,5A + 11/?,11)=1.
По сравнению с симметризованной схемой D.41) схемы D.44), D.45)
несколько проигрывают по числу арифметических действий: при их реа-
реализации приходится дополнительно обращать (например, скалярными
прогонками) оператор А в D.45). Однако они обладают диссипативным
120
механизмом, связанным с пространственной дискретизацией, отсутствую-
отсутствующим у схемы D.41). Этот механизм должен способствовать подавлению
схемных осцилляции. Для его выявления достаточно рассмотреть третье
слагаемое в D.46). Пусть, для простоты, f (u) = Q\x и матрица Q постоян-
постоянна. Тогда и = (Е + tNQ) ~* um и
- - (ЛГ + N) (Wf(u) = - - (JV + N) N(E + tNQY1 Q2 um = Gum.
Для скалярного произведения (Gu, u) справедливо равенство
(Gu, u) = - - (Nt (/\40) +Wp>) 02v, (E + tNQ)v),
где v = (E + tNQ)\, a 7V0 и N\ - соответственно самосопряженная и косо-
симметричная части оператора N. Правую часть этого равенства можно
представить в виде
22 2 2 ?
Очевидно, что в силу N\ = (N\)* < 0 и Q2 >0 первое слагаемое этого вы-
выражения положительно, второе же слагаемое равно нулю, поскольку опе-
оператор N-y кососимметричный, а коммутативный с ним оператор в квадрат-
квадратных скобках самосопряженный. Таким образом, оператор G положитель-
положительный, и ввиду кососимметричности оператора N + N он и является ответ-
ответственным за диссипацию схемы.
Существует возможность использования чередующихся операторов
А и Д, и для построения явной схемы, аналогичной схеме Мак-Кормака,
ее можно представить следующим образом. На первом шаге определяется
и из уравнения
u = um - т№(ит), N = A? Ax/h, D.47а)
а затем окончательно находится um+' в виде
= 0,5E+um -TJVf(u)), N^A^Ajh. D.476)
После исключения и при помощи D.47а) схема может быть представлена
в виде
(Um + i _ umyT + ! /2 (yv + iV) f(um) - (r/2)NQNi(um) = 0. D.48)
Легко убедиться в том, что погрешность ее равна О(й4 + г2); второй
порядок относительно г возникает вследствие того, что последнее слагае-
слагаемое в D.48) аппроксимирует член (т/2) (92u/3r2)f=,m в разложении в
ряд Тэйлора решения u (x, t) в окрестности t = tm.
Поскольку N = —/V*, имеет место неравенство (-NN) > 0 и схема
D.48) является явной схемой с положительным оператором, отсюда
легко выводится ее условная устойчивость. Реализация схемы D.47)
сводится к обращению операторов А и А, которое может быть осущест-
осуществлено при помощи скалярных прогонок.
121
Применение сплайнов и формул Эрмита.Хотя различные компактные
аппроксимации содержатся в общей формуле D.11), многочисленность
свободных параметров, определяющих их структуру, часто маскирует
конкретные схемы. Поэтому на практике процесс построения таких схем
основывался на некоторых вполне определенных способах аппроксимации
функций.
В середине 70-х годов появилось много исследований, посвященных
конструированию центрированных компактных аппроксимаций. Полу-
Полученные различными способами, эти аппроксимации часто естественным
образом приводят к одним и тем же соотношениям, которые, в свою
очередь, в некоторых случаях совпадают с рассмотренными выше сим-
симметричными формулами.
Одна из идей построения компактных схем состоит в применении куби-
кубических сплайнов [32]. Исходя из определения кубического сплайна Su (x)
как непрерывной вместе со своими первой и второй производными функ-
функции, принимающей в узлах сетки значения интерполируемой функции,
а между узлами являющейся кубической параболой, легко установить,
что имеют место равенства
1 /з <//+1 + 4/з Я, + ' /з 41-1 = 2 До«//*» <4-49а)
1 /з rt_, + 4/зП + ' /з г/+, = 2 А2и,-/И2, D.496)
в которых через q и г обозначены соответственно значения в узлах функ-
функций S'u{x) и S"u(x), а И является шагом равномерной сетки. Первое ра-
равенство D.49) совпадает с уже рассмотренным равенством Аои = Aou/2h
и определяет аппроксимацию q производной ди/дх с четвертым порядком.
Второе равенство может быть использовано для аппроксимации произ-
производной Э2и/Эх2 на верхнем временном слое со вторым порядком. Для
уравнения D.8) эти равенства определяют схему с погрешностью О (Л4 +
+ lie IIЛ2).
Чтобы повысить формальный порядок схемы до четвертого, достаточно
вместо второго равенства D.49) использовать равенство
1 10 1
y-i п y+i
тогда оба соотношения D.49а) можно представить в форме аппроксима-
аппроксимаций Падэ, имеющих вид
1# + (й2/6)Д+Д_]</ = Аоф, D.50а)
[?Ч-(й2/12)Д+Д_.[ r=A+A_u/h2. D.506)
Если исходить из формул Эрмита D.11), то равенства D.50а) и D.506)
соответствуют следующим наборам параметров в этих формулах:
а = 0 = <у = О, р=1, 0=0 для D.50),
а = 5/3,/3 = 0, у= 1, р = в = 0 для D.596).
Формулы вида D.49а) могут быть получены также при помощи интерпо-
интерполяционных полиномов Эрмита, т.е. полиномов, для которых их значе-
значения, а также значения их первых производных совпадают в узлах сетки
со значениями интерполируемых функций и их первых производных.
122
Для этого достаточно построить полином Эрмита, используя* значения
du
—
dx
du
= */_i' dx
и затем найти его производную при х = Xj. Полученное соотношение даст
связь между производными Ъи/Ъх в узлах х,_{, Xj иxl +1, совпадающую с
D.49а), справедливую с точностью до 0(й4).
Способом получения формул D.50) является также применение аппрок-
аппроксимаций Падэ. Напомним, что аппроксимации Падэ степенного ряда
оо тпг
2 скхк состоят в замене его отношением ( 2 akxk)j{\ + 2 Ъкхк);
к = 0 к = О к = 1
погрешность такой замены имеет вид О(хт+п + 1). Записав для оператора
Ао операторный ряд
= [Dx + (й2/6) D% + (/?4/120)D* + O(h2)]u, Dx = d/dx,
можно задаться целью получить его аппроксимацию вида
Dx = (Д0/2й)-(й2/6)ОЗ-(й4/120I?-... * (Е + Ь^2)^,
т.е. фактически аппроксимацию Падэ при w =0,и = 1,х = й2, используя
тождество
A+2 ?*xfc) 2 с*х*- 2 ^лг" = хгга+"+1 2 7кхк.
к = \ к = 0 /с = 0 fc = 0
В результате простых выкладок нетрудно получить, что в пределах по-
погрешности 0(/г4) оператор Ъх может быть представлен в виде
Z>! =Д2/6 = Д_Д+/6,
что и приводит к формуле D.50а). Аналогичным образом может быть
получена формула D.506), а также введенные в гл. 1 формулы компакт-
компактного численного дифференцирования третьего порядка.
Центрированные компактные аппроксимации операторов. Вместо того
чтобы использовать трехточечные формулы D.50) для аппроксимаций
ди/Ъх и д2и/дх2, можно построить аналогичные формулы, связывающие
значения в узлах не производных, а дифференциальных операторов L
более общего вида:
а_! (Lu)/_, + а0 (Lu)f + аг {Lu)j+ j = j3_ j uf_ 1 + 0ои{ + &x u/+ x. D.51)
Такой прием был использован в [35] для получения компактных аппрок-
аппроксимаций четвертого порядка на равномерной сетке; он был назван неяв-
неявным компактным методом доя операторов (Operator Compact Implicit
-OCI). Найденные таким образом аппроксимации доя оператора
1м = е(х) Э2м/ Эх2 + д(х) Ъи/Ъх + Ь(х) и
совпадают с результатами непосредственного применения формул Эрмита
D.11) при различных значениях свободных параметров [30].
Чтобы найти коэффициенты а,-, /3,- (/ = — 1, 0, 1) в D.51), можно при-
применить различные способы (один из них приводится в [35]). В частности,
можно потребовать, чтобы равенство D.51) выполнялось тождественно
123
точно для функций и = х, х2, хъ, jc4, Xs их6. Тогда решение простой алге-
алгебраической системы приведет к следующим значениям а,- и 0г-:
а_, = 6е/е/+ j - /гEе/+ j а, - 2efaj+ j) - h2ajai+ x,
a0 = 4[ 15e,+! ey_ i - 4A(e/+, af_, - e,_,a/+,) - А2 д/+! Д/_ i] ,
at = бе/е,^, - ЛEе/_ 1Я/. __ 2е/в/_,) - A2a/fl/_!,
0_, = 0,5 [a, Be/+, + hal+ j) + «0B6/ - ha/) + a_, Be,-_ j - 3Aay_ j)],
/J, = 0,5 [<*! Bб/+! + 3Ae/+1) + aoBey - haj) + a_! Bey_ i - ha,_ i)],
A>»-0-1+0O-'
Метод компактных аппроксимаций операторов в случае уравнений вто-
второго порядка обладает несомненным преимуществом перед методами,
использующими формулы D.50), состоящим в том, что при реализации
разностной схемы приходится всегда решать скалярные, а не векторные
трехточечные уравнения. Вместе с тем обобщение его на случай систем
уравнений является весьма громоздким, в то время как применение фор-
формул D.50) в этой ситуации элементарно: достаточно скалярные сеточные
функции заменить на векторные.
Ограничения на шаги разностных сеток. Для оценки характера разност-
разностных решений в случае применения центрированных компактных схем
полезно рассмотреть стационарную простейшую задачу с конвекцией и
диффузией, положив в уравнении B.1)
\р(и) = аи, a- const, е = const, / = 0.
Разностные системы, полученные после дискретизации этого уравнения
при помощи формул D.50) или метода OCI, имеют решения вида
п
Uj = Б ckq'k, ck= const, D.52)
к = 1
где q/c являются корнями соответствующего алгебраического уравнения
и-й степени, ал=4ил = 2 соответственно для формул D.50) и метода
OCI. Анализ корней qk показывает (см., например, [35]), что если сеточ-
сеточное число Рейнольдса Rec = ah/e превосходит некоторое значение порядка
единицы, то разностное решение может потерять всякое сходство с точным.
Эти максимальные значения равны 4/Ч/Т51 (п = 4) и V12 (и = 2), т.е. в
случае метода OCI диапазон приемлемых значений Rec шире, чем при при-
применении формул D.50). Предельное значение Rec для OCI метода превос-
превосходит также значение 12/5 для нецентрированной схемы 3-го порядка.
Вместе с тем разностные решения при использовании центрированных
аппроксимаций обладают следующим общим недостатком: при Rec -* °°
одно из значений qk приближается к -1, а сама разностная система -
к плохо обусловленной в смысле [48]. В отличие от ситуации, возникаю-
возникающей при применении схемы 3-го порядка, схемные осцилляции при боль-
больших Rec являются слабозатухающими при изменении номера у узла сет-
сетки, что фактически приводит к невозможности описать не только структу-
структуру пограничного слоя, но и вид невязкой части решения. В этом смысле
свойства центрированных компактных схем аналогичны свойствам схемы
с центральной разностью Ао для Ъи/Ьх и разностью Д2 для д7и/дх2.
124
Несмотря на указанные недостатки, компактные схемы четвертого по-
порядка могут оказаться весьма эффективными для определенного класса
задач.
В области аэрогидродинамики они должны быть полезными при сравни-
сравнительно небольших значениях числа Рейнольдса, когда можно получить
решения высокой точности при умеренных параметрах сетки.
Глава 2
КОМПАКТНЫЕ АППРОКСИМАЦИИ
В ЗАДАЧАХ О ТЕЧЕНИЯХ ВЯЗКОГО ГАЗА
Настоящая глава посвящена применению компактных аппроксимаций
при численном решении задач динамики вязкого газа. Используя дискрети-
дискретизацию пространственных производных при помощи операторов компакт-
компактного численного дифференцирования, можно строить различные разност-
разностные схемы для уравнений Навье—Стокса или Рейнольдса, вводя в послед-
последнем случае уравнения полуэмпирических моделей турбулентности или прос-
простейшие концепции турбулентной вязкости. Первое применение компакт-
компактных аппроксимаций третьего порядка было связано с построением итера-
итерационно-маршевых алгоритмов, не требующих покоординатного расщепле-
расщепления и реализующихся при помощи трехточечных скалярных прогонок
[5, 6]. Неэффективные для расчета сложных течений в зонах возвратных
течений они тем не менее оказались вполне применимыми при решении
задач, в которых можно выделить некоторое преимущественное направле-
направление. Кроме того, вследствие своей простоты они позволили легко осущест-
осуществить исследования, связанные с применением адаптирующихся к решению
сеток.
Последующие разделы посвящены алгоритмам, в которых все уравне-
уравнения рассматриваются одновременно, что в случае схем третьего порядка
приводит к необходимости вычисления собственных значений и собствен-
собственных векторов матриц соответствующих квазилинейных систем. При полу-
получении решений методом установления эти алгоритмы при помощи при-
приближенной факторизации сводятся к одномерным. Основные теоретичес-
теоретические вопросы, связанные с применением таких схем, содержатся в предыду-
предыдущей главе. Обладая значительным запасом устойчивости и вычислительной
надежностью, факторизованные схемы с комплексными аппроксимациями
третьего порядка позволяют решать сложные задачи с отрывом потока.
В тех случаях, когда срывные зоны имеют относительно небольшие раз-
размеры или вообще отсутствуют, применимыми могут оказаться марше-
маршевые или итерационно-маршевые алгоритмы с компактными аппроксима-
аппроксимациями для направлений, поперечных к выбранному в качестве основного
направления распространений возмущений. Для этих алгоритмов харак-
характерно одновременное решение разностных уравнений, соответствующих
различным уравнением системы Навье—Стокса.
Подчеркивая высокую вычислительную эффективность схем с ком-
125
пактными аппроксимациями, нельзя не отметить их усложненную струк-
структуру и более высокие требования к ресурсам ЭВМ. В связи с этим вопрос
о целесообразности их применения должен решаться с учетом специфики
решаемой задачи и тех требований, которые предъявляются к процессу
и результатам ее решения.
Примеры расчетов конкретных течений вязкого газа, приводимые
в данной главе, относятся к характерным задачам как внешнего, так и
внутреннего обтекания. Само собой разумеется, что они не исчерпывают
всего многообразия проблем, возникающих в вычислительной аэродина-
аэродинамике. Основная цель представления расчетных данных связана, во-первых,
с иллюстрацией качества получаемых решений, во-вторых, с освещением
некоторых методических вопросов и, в-третьих, с попутным описанием
некоторых закономерностей, выявленных в результате расчетов.
1. ИСХОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РАЗНОСТНЫЕ СЕТКИ
1.1. Уравнения вязкого газа и их упрощенные формы
Уравнения Навье—Стокса в декартовых и криволинейных координатах.
В качестве исходных уравнений будут использоваться полные уравнения
Навье—Стокса или их частные случаи, записанные относительно вектора
искомых функций:
f = (p,u1,u\u3,e)\ A.1)
где р и е - соответственно плотность и внутренняя энергия газа; и1 ,и2,
¦л 1 2 ^ "
и — составляющие скорости вдоль осей х ,х ,х декартовой системы
координат. Вместо вектора A.1) удобно рассматривать другую искомую
векторную функцию f(и) :
f=(p,Pu1,pu2,pu3,pEy, A.2)
где Е - полная энергия, равная е + [(и1J + (н2J + (н3J]/2. Стандартная
векторная форма записи уравнений Навье—Стокса имеет вид
A.3)
дрЕ/dt + div[Y(pE +P) + q] = О, V = (m\w2,m3)t,
где P и q - соответственно тензор напряжений и вектор плотности теплового
потока q. Система A.3) замыкается одной из форм уравнения состояния,
соотношением между тензором напряжений Ри тензором скоростей дефор-
деформации S для ньютоновской среды:
V]/, A.4)
а также законом Фурье:
q = -Xgrad7\ A5)
В A-4) и A.5) через X, д, у.' обозначены соответственно коэффициен-
коэффициенты теплопроводности, динамической и объемной вязкости, предполагаемые
зависящими от термодинамических величин. В дальнейшем без ограниче-
126
ния общности рассматриваемых алгоритмов предполагается, что-газ являет-
является совершенным и имеет место равенство для давления р:
р = (у-1)ре, A.6)
где у — показатель адиабаты; для закона изменения вязкости принимает-
принимается широко распространенная степенная зависимость от температуры
Ц~Т", 0,5<со<1, A.7)
или закон Сэзерленда
, jl22K.
( T + Ts
Как и обычно, коэффициент объемной вязкости ц' полагается равным
нулю, а коэффициент теплопроводности X определяется из предположения
о постоянстве числа Прандтля Рг = ср\/ц, где ср -- коэффициент теплопро-
теплопроводности при постоянном давлении. С учетом A.4) систему A-1) в декар-
декартовых координатах удобно представить в тензорном виде:
Эр Э
(,„") = О,
dt дхс
3 . Э г . / 2 \ . /Эй' Эма
')\ 1а[ Iа[
AfdivV
3 .-¦ \дха
=0,
(р/0+ —' риаЕ + и\р +-MdivV )Sa^- A.8)
bt Ъ х . 3 /
= о,
/Ъиа Эм*3 \ ЭГ
Ъха
где ы1, «2, и3 -- декартовы составляющие вектора скорости V; Ьа® — сим-
символ Кронекера и принято суммирование по повторяющимся индексам.
Система A.8) записана в виде законов сохранения (дивергентный
вид), что создает определенные удобства при применении компактных
аппроксимаций, описанных в предыдущей главе.
С этой точки зрения, а также с точки зрения более точного описания те-
течений с резко меняющимися параметрами консервативную форму записи
исходных уравнений важно сохранить и при применении других систем
координат. Как известно, это можно осуществить несколькими способами.
Один из них состоит в переходе к подвижному координатному базису;
другой способ состоит в преобразовании каждого из уравнений импульсов
как скалярного закона сохранения, при котором компоненты скоростей
остаются декартовыми [8]. В дальнейшем везде будет использоваться вто-
второй способ. Соответствующие уравнения в криволинейных координатах^
qa = qa(x1 ,х2 ,хъ), а - 1, 2, 3, имеют вид
VP) + Tir
dt oq
127
Э Э г Г . а 2 к Ъи1 _ , ЪТ
(JPE) {j[ua^oE+p)+ „ х^в
где через У обозначен якобианD{xl ,x2 ,x3)/D(g1 ,q2 ,q3), a a'- = dq'/dx;.
В некоторых случаях использование декартовых составляющих скорос-
скорости в криволинейной системе координат может оказаться неудобным;
в частности, это происходит при конструировании различных упрощен-
упрощенных уравнений Навье-Стокса.
При применении описанных выше компактных аппроксимаций в этих
случаях удобно записывать исходные уравнения в так называемой слабо
консервативной форме, когда основные члены с производными по коорди-
координатам имеют дивергентный вид, но появляются дополнительные члены,
содержащие производные лишь с коэффициентом вязкости д.
Для получения таких уравнений достаточно осуществить обычное тензор-
тензорное преобразование уравнений A.8), используя контравариантные компо-
компоненты скоростей иа. Тогда система A.8) в криволинейных координатах^'
ъ
bt
ь
ъ
bt
где р
G'k
где gl
3) запишется
-(Jp) +
(JpE) +
Э
bqa
Ъ
7"
о
2
3
0 + S
в виде
-(/Р««
[Ар«*
- /р«
1
(см., например,
»)-о.
ив+Р'в)]+/г;
a — контравариантные компоненты
[8])
а0 ЪТ "*
JXg bq& /
метрического
¦)-о. ,
)] = о.
Эи'
7э^ II
тензора, а
A.10)
-,10! ;
'к
символы Кристофеля.
При построении компактных схем третьего порядка, как подчеркива-
подчеркивалось выше, основную роль играют конвективные члены. В A-10) они запи-
записаны в дивергентной форме (d/dq°')Fa(f), где f - вектор искомых функ-
функций, например (и1, и2, и3, р, е), a F01 - члены, соответствующие коорди-
координатам qa (a = 1,3). Такая форма и использовалась в предыдущей главе.
Наличие в A.10) членов, не содержащих производных с коэффициентом
вязкости, соответствует ненулевым правым частям в исходных уравнениях
128
гл. 1. Что касается недивергентных членов в A.10) вида
то их аппроксимация с точки зрения основных свойств алгоритма играет
второстепенную роль. В частности, эти аппроксимации можно строить и без
использования операторов компактного численного дифференцирования.
Положительная роль дивергентной формы конвективных членов в A.9)
и A.10), как при разностной интерпретации законов сохранения, ак и при
применении компактных аппроксимаций, не означает, что использование
недивергентных уравнений всегда нецелесообразно. К тому же, как следует
из результатов гл. 1, последние также можно аппроксимировать при помо-
помощи компактных операторов. Примеры этого в случае уравнений переноса
приведены в гл. 3. Тем не менее в дальнейшем, как правило, в качестве
исходной формы записи уравнений будет использоваться консервативная
A.9) или слабоконсервативная A.10) формы уравнений Навье—Стокса.
Положив формально в A.9) и A.10) ц = 0, можно получить соответствую-
соответствующие формы уравнений Эйлера, которые также будут использоваться в даль-
дальнейшем. При решении задач плоских или осесимметричных обтеканий мо-
может иногда оказаться полезной система Навье-Стокса, записанная в систе-
системе координат (х, и), связанная с невогнутым контуром твердой поверх-
поверхности [52].
Об описании турбулентных течений. Во многих важных для практики
задачах числа Рейнольдса достаточно велики и течения являются турбу-
турбулентными. Основные возможности их расчета в настоящее время связаны
с применением полуэмпирических моделей турбулентности для уравне-
уравнений, описывающих осредненные параметры течения (уравнений Рей-
Рейнольдса) .
Для несжимаемой жидкости уравнения Рейнольдса в декартовых коор-
координатах имеют вид
duilbt + duiujlbXj^-bp/dXi + du'.u'j ldxh i= 1,2,3, A.11)
где черта и штрихи означают соответственно осредненные и пульсацион-
ные величины.
Для сжимаемого газа возможны различные способы осреднения —
осреднение без весовых множителей и осреднение с использованием плот-
плотностей в качестве весового множителя.
Классификацию полуэмпирических моделей турбулентности часто свя-
связывают с количеством дифференциальных уравнений, которые вводятся
для замыкания системы A.11). Самая простая модель сводится к введе-
введению эффективного коэффициента турбулентной вязкости Ht, зависяще-
зависящего от локальных градиентов осредненных скоростей, самая сложная вклю-
включает в себя дифференциальные уравнения для вторых моментов.
Большой популярностью вследствие своей простоты пользуется модель
Прандтля, согласно которой для двумерного случая
=-nt
Эм,
= Р12
ди i
A.12)
где / длина пути смещения. В случае струй величина / принимается про-
9. Зак.761 129
норциональной ширине струи [53], а в случае пограничных слоев - пропор-
пропорциональной расстоянию от стенки х2 ¦ Для более сложных течений эта мо-
модель, однако, не всегда дает точные результаты. Многие модели связывает
коэффициент иt с турбулентной энергией к = (и[2 + и'22 + u'32)j2, так что
H^cps/lL, A.13)
где с — некоторая универсальная константа, a L — масштаб длины. Для
определения к вводится дополнительное дифференциальное уравнение,
которое в случае несжимаемой жидкости имеет вид (см., например, [5])
Ьк дк Э /ju, дк\ /Ъщ Ъи>\
~р— +рм,—— = ( — 1 + (X J—L+—L)X A.14)
Э/ Ъх{ bxt \ок bxt J г\Эх/ Эх,- /
but
X —*- = ре,
OXj
A.15)
где е - диссипация турбулентной энергии (д/р)(Зм,/Эл:у)(Эм,/Эл:;),
a ok~D и CD - константы. Равенство A.15) основано на концепции
Колмогорова [54], согласно которой количество диссипированной турбу-
турбулентной энергии определяется энергосодержащим движением. Для замыка-
замыкания всей системы необходимы зависимости от параметров потока масшта-
масштаба L. Эти зависимости могут быть различными для различных классов те-
течений; обзор исследований этого вопроса содержится в [53].
Ввиду сложности подбора универсальной формы для L во многих иссле-
исследованиях внимание уделяется построению дополнительного дифферен-
дифференциального уравнения для L, точнее, для произведения Y = кт и?", где
тип — некоторые целые константы.
В частности, в [53] вводится уравнение для kL, имеющее форму, близ-
близкую к A.13). Широкое распространение получила к- е -модель турбулент-
турбулентности, в которой т = 3/2, и = —1 и Y = е (см., например, [55]).
Полуэмпирические модели A.12)-A.15) сконструированы для уравне-
уравнений несжимаемой жидкости A.11), поэтому принято считать, что они мо-
могут быть использованы с учетом специфики задач и с меньшей степенью
достоверности и в случаях сжимаемого газа. Разумеется, константы моде-
моделей при этом могут несколько изменяться.
С точки зрения использования компактных аппроксимаций полу-
полуэмпирические модели обладают одним общим свойством; они опреде-
определяют коэффициент турбулентной вязкости, который является эквивален-
эквивалентом молекулярной вязкости (или добавляется к последней) таким обра-
образом, что общая структура уравнений сохраняется. Поскольку, как уже
неоднократно подчеркивалось, основную роль в рассмотренных в гл. 1
схемах играет способ дискретизации конвективных членов, введение этих
моделей не изменяет структуру алгоритмов. Техническое усложнение со
стоит лишь в том, что вместо вычисления функции ц = f(T) на каждом
этапе по времени (или каждой итерации) необходимо по дополнительной
программе вычислять в каждом узле значения /лг Однако существует
принципиальное обстоятельство, которое может затруднить получение
130
численного решения для турбулентных течений: коэффициент fit может
стать быстроменяющейся сеточной функцией, зависящей от градиентов
скоростей.
В связи с этим требования к алгоритму и, в частности, к его дисперсион-
но-диссипативным свойствам должны ужесточаться.
В частности, использование центрированных аппроксимаций для аппрок-
аппроксимации исходных уравнений представляется проблематичным.
Что касается аппроксимации уравнений для энергии и диссипации тур-
турбулентности вида A.14), то может возникнуть вопрос: есть ли необходи-
необходимость в аппроксимации их схемами высокого порядка в условиях прибли-
приближенности самой модели и некоторой неопределенности в ее константах?
Такой же вопрос возникает относительно членов с турбулентной вязкостью
в исходных уравнениях. Ответы на эти вопросы, по-видимому, можно полу-
получить в результате сравнения численных решений с экспериментальными дан-
данными.
В любом случае эффект применения компактных аппроксимаций дол-
должен выразиться в возможности выбора меньшего числа узлов вне об-
областей с существенной ролью турбулентности, а также в сравнительно высо-
высоком качестве получаемых решений.
Упрощенные уравнения Навье—Стокса. В аэродинамических приложе-
приложениях интерес представляют системы уравнений вязкого газа, полученные
из A.9) в результате пренебрежения теми или иными членами. Основа-
Основанием для этого часто является малость параметра Re, где число Рей-
нольдса Re = pnUtL/n, вычислено по некоторым характерным значениям
р», Ut, L и fxt — соответственно плотности, скорости, длины и коэффи-
коэффициента вязкости. В дальнейшем будут рассматриваться более общие урав-
уравнения, чем уравнения пограничного слоя, полученные в результате прене-
пренебрежения в A.9) членами порядка 0(Re~1/2) и выше. Это не означает,
однако, что компактные аппроксимации не могут быть использованы для
решения уравнений пограничного слоя.
Упрощение системы Навье-Стокса обычно диктуется следующей прос-
простой идеей: желательно построить уравнения, которые описывали бы тече-
течения, содержащие области как с существенной, так и несущественной вяз-
вязкостью, но допускающие более экономичные алгоритмы, чем алгоритмы
для полных уравнений Навье—Стокса. Обоснование различных упрощений
тесно связано со спецификой решаемой задачи. Например, при обтекании
затупленного тела потоком слаборазреженного газа, когда еще справед-
справедливы уравнения механики сплошной среды, можно использовать уравне-
уравнения, в которых выброшены члены порядка 0(Re~') и выше [56].
В некоторых задачах об обтекании плоских или осесимметричных тел
удобно использовать систему координат (s, и), связанную с контуром
твердой поверхности. Эти координаты обычно применяются для описания
пограничного слоя на криволинейных стенках, поэтому упрощения пол-
полного уравнения A.11) можно интерпретировать как некоторые проме-
промежуточные формы уравнения, содержащие в себе вес планы уравнения по-
пограничного слоя. При этом обоснования выбора таких форм являются
как бы обобщением аргументации при выводе уравнений Прандтля.
131
1.2. О применении сеток, «"ущающихся в областях
быстрого изменения решений
Общие соображения. Использование компактных аппроксимаций третье-
третьего порядка может привести к двум до некоторой степени независимым
результатам: во-первых, к отсутствию существенных схемных осцилляции
решений, определяющему во многом вычислительную надежность алгорит-
алгоритма, во-вторых, к весьма точному описанию течений при умеренном числе
узлов сетки.
Если ограничиться лишь первой целью, то требования к выбору разност-
разностной сетки оказываются не столь критическими. Например, вводя равно-
равномерную сетку в физической плоскости, можно формально проводить
расчеты при больших числах Реинольдса, получая иногда приемлемые
решения вне областей с существенной ролью вязкости типа пограничных
слоев, ударных волн и т.д.; внутри же этих областей решения будут иметь
схемный характер, не описывая реальных характеристик вязкого течения.
Возможности компактных схем, как отмечено во введении, будут
использованы более полно, если сочетать их применение с построением
сеток, сгущающихся в физическом пространстве в областях с быстрыми
изменениями искомых функций.
Ввиду того что в гл. 1 везде предполагались постоянные шаги сетки,
требуемое сгущение узлов необходимо осуществлять преобразованием
координат, отображающим физическое пространство на расчетную область
с равномерной разностной сеткой. При этом зоны с малыми характер-
характерными размерами растягиваются в преобразованном пространстве, включая
в себя достаточное число узлов.
Вопрос о том, какие именно зоны нужно растягивать, т.е. каковы приз-
признаки растяжения, можно решить неоднозначно. Например, можно растя-
растягивать: а) области с большими градиентами хотя бы одной из искомых
функций; б) области, где сами градиенты меняются очень быстро; в) об-
области, где велики градиенты выбранной заранее искомой функ-
функции и т.д.
Соответственно можно растягивать область пограничного слоя, но не рас-
растягивать область ударной волны, и наоборот.
При решении конкретных задач естественно выбирать такие признаки
растяжения, которые способствовали бы более точному определению
существенных для этих задач параметров потока. В рассматриваемых
течениях центральную роль играют области типа пограничных слоев. Для
правильного их описания и, в частности, точного определения параметров
трения и теплопередачи на поверхности вполне достаточно, чтобы их об-
область независимо от числа Реинольдса содержала количество узлов сетки
вдоль поперечной к контуру координате (пусть, для определенности, коор-
координате у) не менее некоторого фиксированного числа. Это условие будет
заведомо выполнимо,-если перейти к новой независимой неременной
V = W(y)j такой, что функция т\(у) в той или иной степени имитировала бы
поведение функции и(у), где и — касательная к контуру составляющая
скорости. Если под имитацией в самом грубом смысле понимать одинако-
одинаковость пространственного масштаба, на котором происходит быстрое изме-
изменение обеих функций, а также одинаковость характера их изменения около
132
поверхности, то подходящим окажется преобразование
a(Re) - некоторый параметр, характеризующий толщину области быстро-
быстрого изменения функции и(у). Во многих случаях толщина пограничного
слоя приблизительно известна, поэтому параметр а может быть предвари-
предварительно указан.
Недостатком преобразования A.16) является то обстоятельство, что
при больших числах Рейнольдса величину а следует выбирать большой,
а это может привести к тому, что большинство узлов попадет в область
пограничного слоя в ущерб описанию внешнего невязкого течения.
В [56] функция т? определялась как решение уравнения
ed2ri/dy2 +dt}/dy - с = 0, с = const, 0<с<1, A.17)
в интервале [0, 1] с граничными условиями т?@) = 0, т?A) = 1. Решение
A.17) имеет вид
1 — ехр(- у/е)
) = cy + (l~c) -ТтИг> AЛ8>
1 - ехр(-1/е)
причем параметр е является характерной толщиной пограничного слоя.
Постоянная с определяет толщину пограничного слоя в переменной т?,
а преобразование A.18) оказывается свободным от указанного выше
недостатка.
О применении сеток, адаптирующихся к решению. Преобразования
A.17) и A.18) предполагают наличие некоторой информации о характе-
характере исследуемого течения. Они могут стать еще более эффективными, если
объем этой информации будет увеличен. Так, знание закона развития погра-
пограничного слоя вдоль поверхности (вдоль оси х) позволяет вводить функ-
функции a(Re; x) и e(Re; х), которые могут отслеживать толщину погранично-
пограничного слоя в каждом сечении х = const; к сожалению, во многих случаях та-
такая информация неизвестна. Повысить точность решений тогда можно вве-
введением преобразований, которые растягивали бы области с малыми ха-
характерными размерами в зависимости от получаемого на каждом цикле
вычисления решений. Во введении приводятся некоторые подходы к по-
построению адаптирующихся к решению сеток. В принципе, их применение
может существенно повысить точность метода (или, при заданной точнос-
точности, сократить количество необходимых узлов сетки). Однако реализация
соответствующих алгоритмов может существенно усложниться, а потреб-
потребность в ресурсах ЭВМ — увеличиться.
Первый опыт применения компактных схем третьего порядка был
связан с простейшим вариантом преобразований, зависящих от коорди
нат и скоростей и осуществляющих автоматическое сгущение узлов сет-
сетки в областях с большими градиентами решений. Эти преобразования,
описанные во введении, обладают меньшей общностью, чем соответствую-
соответствующие преобразования, полученные на основе вариационного принципа.
Но в то же время они относительно просты и не требуют решения дополни-
дополнительного дифференциального уравнения. В общем случае вопрос о том,
какой принцип построения адаптирующихся сеток лучше и целесг'образ-
но ли вообще его использовать вместо фиксированного заранее преобразо-
133
вания координат, по-видимому, может быть решен только в рамках кон-
конкретной задачи.
В разд. 2 этой главы описана упрощенная форма алгоритма с компакт-
компактными аппроксимациями, использовавшегося на ранних этапах для задач
с некоторым преимущественным направлением (s) распространения возму-
возмущений; он связан с преобразованием поперечной к этому направлению
координаты п вида
т)(п\и) = аи + Ьп + с, A-19)
где и - s-компонента скорости, ая>0,6>0ис>0- некоторые извест-
известные заранее коэффициенты. Для рассмотренных задач возвратные течения
либо отсутствовали, либо были незначительными; при этом профили
м(я) были либо монотонны, либо допускали незначительные по модулю
отрицательные производные ди/дп. Ввиду этого всегда выполнялось нера-
неравенство drj/bn > 0 и преобразование т?(и) оказывалось взаимно однознач-
однозначным. Конкретный вид коэффициентов а, Ъ и с приведен ниже для конкрет-
конкретных задач.
Преобразование A.19) осуществляет растяжения областей, в которых ве-
велики производные Ъи/Ьп; такими областями являются пограничные слои
на поверхности или свободные сдвиговые слои, положение которых заранее
неизвестно. Однако оно не растягивает области, в которых велики вторые
производные д2и/дп2 (например, в окрестности внешней границы погра-
пограничного слоя). В этих областях точность решений может уменьшаться,
о чем и говорит пример модельного уравнения, рассмотренного в гл. 1.
С точки зрения получения представляющих интерес характеристик течения
и их распределения на обтекаемых поверхностях это обстоятельство
вряд ли играет существенную роль.
Можно заметить также, что преобразование A.19) лишь незначительно
растягивает области косых скачков уплотнения и непригодно для деталь-
детального описания структуры ударных волн. Как правило, подробности этой
структуры не представляют большого интереса и их неразрешение практи-
практически слабо отражается на решениях в других областях течения. Однако
в случае необходимости, заменив A.19) более общим преобразованием
@.9) из введения, можно ценой усложнения алгоритма осуществлять
растяжение не только сдвиговых слоев, но и ударных волн.
2. ПРИМЕНЕНИЕ ИТЕРАЦИОННО-МАРШЕВЫХ АЛГОРИТМОВ
С АДАПТИРУЮЩИМИСЯ СЕТКАМИ
2.1. Структура алгоритмов
Преобразование координат и особенности записи уравнений. Как от-
отмечалось, достижение повышенной точности разностных решений при от-
относительно небольшом числе узлов сетки при наличии областей течения
с малыми характерными размерами можно осуществить, сочетая высокий
порядок аппроксимации с эффективным растяжением этих областей в рас-
расчетной области. В гл. 1 рассматривались простейшие модельные примеры
использования для этих целей адаптирующихся сеток. Однако более интерес-
интересными являются ситуации, связанные с численным моделированием течений
вязкого газа. Поскольку при этом введение преобразования координат,
134
зависящего от получаемого решения, требует дополнительных ресурсов
ЭВМ, для иллюстративных целей представляется естественным рассмот-
рассмотреть случаи, когда можно использовать сравнительно простые варианты
компактных схем. Такая возможность появляется при описании течений
с преимущественным направлением распространения возмущений, для ко-
которых отрыв потока либо отсутствует, либо приводит к образованию срыв-
ных зон с небольшими размерами.
Рассмотрим один из примеров конструирования компактно-разност-
компактно-разностного алгоритма с адаптирующимися сетками для задач об обтекании плос-
плоских или осесимметричных невогнутых тел потоком вязкого газа. Для этих
задач можно ввести систему координат (s, и), связанную с поверхностью
тела (координата s направлена вдоль контура, п — вдоль нормали к нему).
Имея в виду растяжение областей с существенной ролью вязкости, имею-
имеющих малые характерные размеры в направлении п, вместо координат
(s, п) рассмотрим новые координаты (s, ?), для которых
f = f(«,u,s,w), B.1)
где и и v — составляющие скорости вдоль s и п, a f (?, ri) = f (u(s, ri), v(s, ri),
s, и) — некоторая функция, быстро меняющаяся при изменении п в растя-
растягиваемых областях, причем х = 9f/3« > 0 (см. введение, а также [4, 6]).
Запишем систему уравнений Навье—Стокса для координат (х, f ), пред-
представив ее в виде
Э /mF+P\ Э uF
( ) + _EF + R-Q)+/ = B.2)
х / Н гх
3s х 3f rx
где
F = (р, ри, pv, рЕ)т, Р = @,р,О,ир)т,
R = @, ~Gp,p, vp)T, Q = (О, Qu, Qv, QEf,
ill =@,Tss,Tsn,qs+UTss+VTsn)T, п2 =(O,Tsn,T^n,UTsn +VTnn)T,
"з = @, rsn, 2tss + тпп, qs + utss + vrsn)T,
причем v = v - Gu, G = (9n/3s)j-= con!it. Напомним, что через г в B.2)
обозначено расстояние от точки с координатами (s, ri) до оси симметрии,
а значения / = 0,1 соответствуют плоскому и осесимметричному случаям.
Все переменные в B.2) считаются безразмерными.
В уравнениях B.2) для построения третьего порядка членов с вязкостью
введены диффузионные переменные Qu, Qv и Qe, определяемые равенст-
равенствами
Ъи Re bv Re ЬЕ RePr .„ о.
— = Qu, — =— Qv, — = Qe, B-3)
df MX 9f их Н 7МХ
Компоненты тензора напряжений тм, Tsn, тпп и вектора тепловых пото-
потоков qs и qE, присутствующих в B.3), предполагаются выраженными через
135
производные по х и f. He приводя этих выражений, существенно отметить,
что они имеют следующую структуру:
(Re//ix)T = ЭФ^ЭГ + ЭФ2/Эх + /Ф3/гх, B.4)
где Т= (tss, Tsn, тпп, qs, qE)T, а векторы Ф1; Ф2 и Ф3 не содержат членов
с вязкостью. Через т'зп и т'пп в B.2) обозначены те члены, которые оста-
остались в Tsn и тпп после изъятия из них членов с Qu и Qv с включением по-
последних в вектор Q из левой части B.2).
Равенства B.3), B.4) вместе с уравнением состояния A.6) образуют
замкнутую систему относительно переменных р, и, и, Е, Qu, Qv, QE, x, n.
Эта система обладает эллиптическими свойствами, обусловленными члена-
членами с вязкостью и давлением. Однако для многих случаев обтекания поверх-
поверхностей с выпуклыми или прямолинейными участками контура передача
информации вверх по потоку является относительно слабой. Это происхо-
происходит, в частности, при обтекании тел сверхзвуковым потоком, в случае до-
дозвукового течения между телом и отошедшей ударной волной и т.д.
Применительно к такому классу задач удобно строить алгоритмы, осно-
основанные не на общем методе установления, а на итерационно-маршевом
принципе. Согласно этому принципу, в течение текущей итерации проис-
происходит решение разностных уравнений с переходом от одного сечения,
поперечного к преимущественному направлению, к другому таким же
образом, как это происходит в случае эволюционных задач. При этом зна-
значения сеточных функций перед рассматриваемым сечением считаются
-известными из предыдущей итерации. Такой подход эквивалентен хорошо
известному методу релаксации в линиях для решения уравнения переноса
с диффузией.
Считая в рассматриваемом случае преимущественным направлением
направление координаты х, при конструировании маршевого алгоритма
можно полностью использовать способы построения компактных схем для
одномерных нестационарных уравнений с диффузионными членами. При
этом существует две возможности: 1) рассматривать аппроксимацию урав-
уравнений B.2) как аппроксимацию системы с определением направлений
ее характеристик и 2) рассматривать аппроксимацию уравнений B.2) как
аппроксимацию независимых скалярных уравнений вида B.1) из гл. 1.
При использовании второй возможности нереалистично рассчитывать
на достижение большого запаса устойчивости метода и применимость
его для расчета сложных течений. Однако в этом случае упрощается про-
процесс решения разностных уравнений и уменьшаются требования к памяти
ЭВМ. При построении алгоритма с адаптирующимися сетками использовал-
использовался именно такой подход; итерационно-маршевый алгоритм с одновремен-
одновременным решением аппроксимирующих уравнений описан в конце разд. 5 этой
главы.
Общая структура разностных аналогов B.2)-B.4) может быть описа-
описана следующим образом. После введения сетки со: х,- = ihs, f = //if, hs = const,
/if = const, дискретизация производных по f осуществляется при помощи
оператора А^1 Д^, где ориентация операторов А$ и Д^- определяется в каж-
каждом узле значением параметра s - sgn (v — Gu):
Л?=Л0Г-0,25хДоГ, Д = 0,5(До -хДа).
136
Производные по s аппроксимируются со вторым порядком по центрирован-
центрированным формулам для членов с вязкостью и давлением и нецентрированным —
для конвективных членов. В последнем случае разностные формулы пред-
представляются в следующем виде (F = (р/х, ри/х, ри/х, рЕ/х)т):
)UF\ _ Uj+ 1/2, /Ff+ 1/2,/ -Щ_ 1/2,J^i- 1/2 J
\ds / if hs
причем
r-ViF,--!,/ при m,-+i/2,/>0.
1/2,/
и аналогично для F,- _ 1/2, у •
С учетом введенных аппроксимаций разностные аналоги можно предста-
представить в виде
) //i;f(uFQ) B.5)
где все функции рассматриваются в некотором внутреннем узле области.
Уравнения B.5) дополняются аппроксимациями уравнений, построенными
при помощи операторов А^= А^ и Д$- = — Д? :
Re ~ _, ~ Re „ _. RePr ~ ~
MX MX S TMX
а также уравнений B.4), в которых для дискретизации производных
по f используется оператор А^1 А^, а для дискретизации производных
по s — центральная разность До-
Координата Пц узла (jj, f/) может быть определена из равенства
?/ = /Л{- = V(",y, u</, S/,«//) > B-6)
а функция X// = (9f/9w)j,- — из равенства
1 • B -7)
Чтобы пояснить смысл последнего равенства, рассмотрим линейное
преобразование A.24)? Продифференцировав его по f, получим соот-
соотношение
Отсюда с учетом первого равенства B.3) получается формула, выражаю-
выражающая сеточную функцию х через функцию qu:
B.8)
Порядок вычислений. Общий ход вычислительного процесса при неотри-
неотрицательных значениях скорости и можно представить следующим образом.
137
Пусть в нулевом приближении векторные сеточные функции f\@) =
= (р, и, v, Е, п, х)* (/ = 1, - . . , М) известны. Кроме того, предполагается,
что всегда известны значения fx и Ъ на слоях s = Si и s = s2 (например,
эти слои могут размещаться в невозмущенном потоке); определение fp)
в течение первой итерации при условии, что значения Ц ,ц , . . . ,f{l21
уже определены, происходит следующим образом. Назовем "старыми пе-
переменными" совокупность векторов fj, f2, fj1', ¦ • • , f;'_? i> f/° ,. • •, f„ •
По старым переменным из разностных аналогов уравнений B.4) опреде-
определяются чиены, входящие в компоненты тензора напряжений, после чего пра-
правая часть A.30) может быть вычислена в каждом узле (/,/), / = l,N.
При определении этих членов производятся скалярные прогонки, связан-
связанные с обращением оператора А $•.
Следующим этапом является вычисление р,у, иу,иу, ?',•/ компонент векто-
вектора Fh а также (qu),y, (civ)tj и (Де)ц (/ = \, N) на слое s = st из уравне-
уравнений B.5) и разностных аналогов B.3). Поскольку все коэффициенты при
неизвестных значениях вычисляются по старым переменным, эти уравнения
являются линейными и образуют независимые пары уравнений относитель-
относительно величин (и,ци)у, (v, qv)ij и (if, <?я)у (i~UN); исключение составляет
аппроксимация уравнения неразрывности, которая не содержит разност-
разностных аналогов вторых производных и, следовательно, функций вида B.3).
Процесс определения двухкомпонентных векторов (u,qu)jj, (v,qv)jjK
(Е, <7я)гу полностью аналогичен определению векторной сеточной функ-
функции (и, q) в случае компактной схемы третьего порядка для конвективно-
диффузионного уравнения B.1) из гл. 1 разд. 2 и осуществляется вектор-
векторной прогонкой с матрицами 2X2; сеточная функция рц (/= 1,7V) опре-
определяется в результате скалярной прогонки.
Найденные значения (<7„),у и иц позволяют из B.8) и B.7) найти соот-
соответственно величины Xi/ и и,у при s = s,-. Процесс вычислений при s = st за-
вершается окончательным определением новых значении вектора f>
по формулам
где f,- - вектор найденных сеточных функций, а а - коэффициент релакса-
релаксации. После этого происходит переход к слою s = s,-+1 и т.д.
Таким образом, рассматриваемый алгоритм аналогичен методу релакса-
релаксации в линиях при решении эллиптических уравнений. Эллиптический харак-
характер решаемых уравнений учитывается тем, что при s = s,- в аппроксимации
„,_,_-. (О) @)
тензора напряжении и производной {ар/as) входят значения и>+ \ .-, v>+ \ ^
А'/+1,/'Х/+\,/ и Р|-+\,/> заимствованные из предыдущей итерации.
Возможны различные модификации этого алгоритма, связанные с поряд-
порядком решения уравнений, с использованием функций, найденных из одной
группы уравнений при вычислении коэффициентов в другой группе, с пере-
перенесением некоторых членов из левой части B.5) в правую с последующим
138
использованием их в обращаемом операторе и т.д. Эти модификации не
имеют принципиального характера и здесь обсуждаться не будут. Описан-
Описанная выше последовательность вычислений относится в основном к случаю,
когда продольная скорость всюду положительна. Она может быть сохране-
сохранена и в случае возникновения небольших отрывных зон, когда формируют-
формируются возвратные течения; при этом меняется ориентация разностной форму-
формулы <9(mF)/3s > в B.5). Вместе с тем, как показал опыт в случае отрывных
зон, полезным может быть следующий прием расчета. Пусть в течение
пг-к итерации на луче s = s,- скорость м(у становится отрицательной при
/i < / </2 • Тогда после решения уравнений на этой линии в случае (т + 1)-й
итерации полагается
f)_ [^m + 1) при /</i и/>/2,
\Ц ПРИ h<l<h-
После окончания прохода всей расчетной области выбираются все те линии,
на которых есть отрицательные значения м;/- (как правило, такие лучи со-
сосредоточены в одной или нескольких областях s,-j < s < s,-2) • После этого
происходит проход этих лучей, но в обратном направлении. В течение обрат-
обратного прохода индекс т + 1 присваивается значениям fOl- при /i < / < /2 •
Оценивать вычислительную устойчивость рассматриваемого алгоритма
оказывается затруднительно ввиду большого количества уравнений и не-
неизвестных, можно лишь констатировать, что для фиксированной итерации
схема является абсолютно устойчивой в случае постоянных коэффициен-
коэффициентов для отдельных уравнений, не связанных друг с другом через члены с
давлением. Это не обеспечивает абсолютной устойчивости всего алгоритма
даже в случае постоянных коэффициентов. Тем не менее опыт его примене-
применения показал, что сходимость итераций, а также близость результатов при
дроблении шагов сетки наблюдались при надлежащем выборе параметра а
(порядка 0,9-0,95).
2.2. Примеры расчетов с использованием адаптирующихся сеток
Течение вязкого газа между телом и отошедшей ударной волной. Од-
Одним из простых, но характерных примеров является применение описанной
выше методики (точнее, ее модификации) в случае обтекания затуплен-
затупленного тела сверхзвуковым потоком вязкого газа [4, 6].
Если числа Рейнольдса не слишком малы, то отошедшую ударную вол-
волну можно досматривать как поверхность разрыва, используя при этом
соотношения Гюгонио. Тогда численное решение уравнений Навье—Сток-
са удобно искать в полосе 0 < х < So, 0 < п < rcr(s), где s, n — система
координат, связанная с телом (s — длина дуги, отсчитываемая от крити-
критической точки, и — нормаль к поверхности), иг (s) — отход ударной вол
ны, a s = s0 — некоторая граница расчетной области внизу по потоку. Стро-
Строго говоря, в этом случае, помимо условий Гюгонио, необходимо еще од-
одно граничное условие на теле или волне; не останавливаясь на этом вопро-
вопросе, заметим, что аппроксимация членов с вязкостью на волне с использова-
использованием внутренних узлов области формально замыкает разностную систему
и может быть использована при решении поставленной задачи. Для автома-
139
тического сгущения узлов сетки в области пограничного слоя применялось
преобразование координаты п вида
+спг),
где и — s-комнонента скорости, а с > 0 — некоторая константа [6j. Систе-
Система Навьс—Стокса аппроксимировалась на равномерной сетке в области
0<s<s0, 0 < J < 1 согласно B.5) — B.8). Однако соответствие искомых
функций и уравнений, из которых они определялись, было выбрано совер-
совершенно иным. На каждой линии s = S( (i = О, М ) нормальная к поверхности
составляющая скорости вычислялась не из разностного уравнения для нор-
нормальной составляющей импульса, а из разностного уравнения неразрыв-
неразрывности; уравнение для «-компоненты импульса служило для определения
давления (или плотности). Такой порядок вычислений, с одной стороны,
позволяет вместо прогонок для р и v применять формулы бегущего сче-
счета, а с другой — создает удобство в определении давления на поверхности
тела. Однако это предполагает знакопостоянство и малость переменной v,
определяющей ориентацию операторов Д$- и А$.
Перечисленные выше особенности вычислений связаны со специфи-
спецификой решаемой задачи и не могут быть рекомендованы в общем случае.
Тем не менее они иллюстрируют многообразие алгоритмических возмож-
возможностей при подключении к основной схеме механизма адаптирующихся
сеток.
Остановимся на результатах расчетов, проводившихся при числах М». =
= 10, у = 1,4 и Рг = 0,72 для случаев охлажденной сферы (Aw = Ас =
= 1/G - l)Af?) и со = 0,5. При числе узлов сетки М = s/hs < 8, JV = 1/Aj <
< 50 величина х0 < тг варьировалась и не влияла заметным образом на при-
приводимые данные.
На рис. 2.1 представлены профили скорости и и у, энтальпии Л, давле-
давления р и плотности р на луче s = 0,6 при Re0 = 100,500 и 5000 (кри-
(кривые 1, 2, 3; соответствующие числа Рейнольдса, вычисленные по парамет-
параметрам нсвозмущенного потока, приблизительно равны соответственно 640,
3200 и 32000). Для случаев Re0 = 500 и 5000 на рис. 2.1 приведены данные,
полученные при N = 25 (точки) и Л' = 50 (сплошные линии); эти резуль-
результаты почти не различаются. По-видимому, достаточная точность расчетов
может достигаться с относительно большим шагом Д? разностной
сетки. Отметим также, что при увеличении числа Re зависимости газоди-
газодинамических параметров от координаты f остаются сравнительно консерва-
консервативными и не имеют резко выраженных градиентов. Основные изменения,
происходящие по мере утоньшения пограничного слоя и физическоГ' "пос-
кости, сосредоточены в функции x(s> O> характеризующей завихренность
потока; близкая к постоянной во внешней области, эта функция начи-
начинает быстро возрастать, принимая на поверхности тела тем большие значе-
значения, чем больше число Re. Однако ширина области, соответствующей погра-
пограничному слою, в плоскости (s, f) остается конечной и не стремится к ну-
нулю при Re -*¦ °°.
Изменения газодинамических параметров вдоль того же луча Т = 0,6
в физической плоскости приведены на рис. 2.2 (нумерация кривых та же,
что и на рис. 2.1). Там же для сравнения изображены результаты расчетов
140
невязкого обтекания [57] (Моо = 10, у = 1,4), соответствующие тому же
сочетанию s = const (пунктирная линия).
Как видно из рис. 2.2, профили газодинамических функций, получен-
полученные с помощью уравнений Навье—Стокса, везде, кроме пристеночной об-
области, близки к профилям течения невязкого газа; основные изменения
этих функций происходят в узкой зоне около стенки, где, например, плот-
плотность изменяется приблизительно в 20 раз.
На рис. 2.3 приведены распределения вдоль поверхности тела коэффи-
коэффициента трения Cf = (ju/Re)(xdH/9?)j = 0/(po=?/=!),, теплового потока qw =
= (nf (RePr)) (хЗА/ЭО{• =р/(Р~ Ц*), давления pw = р (s, 0), а также величи-
величины отхода ударной волны е = «г (кривые 1 и 2 соответствуют Re0 =
= 100,500).
Там же пунктирными линиями указана зависимость pw(s) и е = nT(s)
для случая идеального обтекания. Меньшее значение, расстояния отхода
ударной волны для вязкого газа соответствует отрицательной величине
толщины вытеснения пограничного слоя в рассматриваемом случае силь-
ноохлажденной поверхности (ftw = А» = 0,025). Наконец, на рис. 2.4 в ло-
логарифмическом масштабе приведено изменение производной (dcfjds)s = о
(кривая 1) и коэффициента теплопередачи Ch =qw(P)l(h0 - hw), гдей0 -
энтальпия торможения, с изменением числа Re (кривая 2). Линейный ха-
характер этих функций при Re > 103 и угол наклона прямых указывают
на обратно пропорциональную зависимость коэффициентов трения и тепло-
теплопередачи от величины \/Re. Для сравнения на рис. 2.4 изображено измене-
изменение коэффициента Ch с числом Re согласно теории пограничного слоя [58]
при со = 0,5 (штриховая линия). Таким образом, результаты расчетов,
проведенных на основе полных уравнений Навье—Стокса, при бсг*ьших
числах Re хорошо согласуются с данными для невязкого течения и погра-
пограничного слоя.
Пластина конечной длины в сверхзвуковом потоке слаборазреженно-
слаборазреженного газа: методические вопросы. Существует значительное число работ,
посвященных аналитическому и численному исследованию обтекания плас-
141
',0
0,5
/7,2
О,!
0,5
Рис. 2.3
1,0s
6,«-m3
6«-rffv Re..
/Г
Рис. 2.4
10Ч Re
тины с острой передней кромкой в случаях, когда желательно отказаться
от традиционного разделения потока на невязкое ядро и пограничный слой.
Не останавливаясь на их обзоре, отметим ранние работы [59, 60], в кото-
которых строились численные решения уравнений Навье-Стокса для пластин
бесконечной длины (без задних кромок). В рамках механики сплошной
среды решение задачи о плоском течении слаборазреженного газа около
пластины конечной длины является другим примером применения описан-
описанной выше методики. Наибольшие числа Рейнольдса, характерные для тече-
течения этого типа, а также возможность распространения возмущений от зад-
задней кромки вверх по потоку приводят к необходимости описывать движе-
движение газа полными уравнениями Навье—Стокса. Приводимые ниже резуль-
результаты не только иллюстрируют использование компактных аппроксима-
аппроксимаций с адаптирующимися к решению сетками, но и выявляют ряд интерес-
интересных фактов, одним из которых, в частности, является хорошее согласие
решений уравнений Навье—Стокса с кинетическими граничными условиями
на поверхности с данными эксперимента и численными решениями урав-
уравнения Больцмана.
Рассмотрим течение в области ABCD (рис 2.5) с помещенной в ней
пластиной EF (невозмущенный поток направлен параллельно AD). Бу-
Будем предполагать, что границы АВ и ВС находятся на достаточно большом
расстоянии от пластины, так что течение на них определяется параметрами
набегающего пото.ка; на частях АЕ и FD нижней границы естественно ис-
использовать условия симметрии, а на самой пластине EF — условия сколь-
скольжения и скачка температуры. В декартовой системе координат (х, у) с на-
началом в передней кромке и осью х, направленной вдоль AD, эти условия
могут быть записаны в виде [61]
Эм\ у X /ЪТ
/
V
)={X~)W' n*,0) = Tw + l,990-+i ft
B.9)
Здесь индекс w относится к значениям на твердой поверхности, а длина
свободного пробега X задается формулой X = 1,256цу/у/рс . (с — скорость
142
о _
Рис. 2.5
звука) или, в безразмерном виде, Кп = X/Z, = 1,256М«, Vr7Re=o?, где Кп —
число Кнудсена. Условия B.9) имеют асимптотический характер и, строго
говоря, неприменимы, если не выполняется неравенство Кп < Л/и < 1. При
нарушении этого неравенства формально становятся неприменимыми и са-
сами уравнения Навье—Стокса. Однако лишь сравнение с экспериментом
и решениями уравнения Больцмана могут выявить границы практической
пригодности используемой модели. Стоит заметить, что условия B.9)
играют очень важную роль при получении имеющих физический смысл
решений рассматриваемой краевой задачи: вводя проскальзывание
потока, они предотвращают возникновение бесконечных производных
(bjby)x - 0> у - о и, следовательно, бесконечных значений давления и тре-
трения в передней кромке пластины (в одном из расчетных вариантов исполь-
использовались условия прилипания, что привело к нереальному возрастанию
давления на стенке при jc -* 0).
В качестве преобразования координаты у выбираем функцию
? = (и - ио+ cy)l(uN - но + cyN),
где и0 ~ и(х, 0), с = const > 0, а индекс N отмечает значения на границе ВС,
расположенной в невозмущенном потоке. Признаком растяжения здесь
служит касательная скорость и, наиболее резко меняющаяся в пристеноч-
пристеночной области. Это преобразование не растягивает ударную волну, однако по-
последнее обстоятельство в данном случае является несущественным с точки
зрения аэродинамических характеристик пластины.
Для сгущения узлов сетки вдоль оси х вводилась новая независимая
переменная
$ = 1пA+0дс), B.10)
где константа 0 характеризует степень этого сгущения. При постоянном
шаге й^ значение /3 подбирается таким образом, чтобы в окрестности перед-
передней кромки шаг Их имел бы порядок длины свободного пробега X. Мел-
Мелкий шаг Ag около передней крышки необходим для точного описания те-
течения в области с характерным размером O(l/Re), где функции меняются
весьма быстро. Если бы интерес представляли также и детали течения
около задней кромки, то преобразование B.10) следовало бы модифици-
модифицировать для уменьшения шагов hx в окрестности х = L. Простое увеличе-
увеличение числа узлов М вдоль оси L показало, что эти детали практически не вли-
влияют на решение вне небольшой окрестности х = L.
При расчетах использовался итерационно-маршевый алгоритм в том ви-
виде, как он описан выше. Для числа узлов сетки порядка 103 сходимость
143
до двух-трех значащих цифр достигалась в результате 400—500 итераций
(релаксационный параметр а полагался равным 0,75). Методические рас-
расчеты, проводившиеся с более мелкими шагами, показали, что отличие
функций, вычисленных на различных сетках в среднеквадратичной норме,
может достигать лишь несколько процентов.
Обтекание пластины: результаты расчетов. Большинство расчетов прово-
проводилось при числе Маха М„ = 10, для которого известно сравнительно боль-
большое число экспериментальных данных. Все остальные параметры задачи:
число Рейнольдса RcL = р„ U^L/ц* (длина пластины L принималась равной
единице), число Прандтля Рг, показатель адиабаты 7 = const (совершенный
газ), степень охлаждения поверхности tw = Т /То = hw/h0 (индексом 0
отмечены параметры торможения) и закон изменения вязкости с темпе-
температурой - менялись от варианта к варианту.
В качестве примера распределения узлов в физической плоскости, ко-
которое автоматически получилось в процессе решения, на рис. 2.5 приведе-
приведены ближайшие к поверхности узлы для одного из вариантов грубых сеток.
Малые размеры шага Длв окрестности носика являются следствием преоб-
преобразования B.10), а малые размеры А.у - следствием относительно боль-
больших градиентов функции и. Интересно отметить, что минимальные значе-
значения Ау, адаптированные к решению задачи, получаются не в самом носике,
а несколько ниже по течению.
Типичные картины течения около горячей и холодной пластины, а также
в следе за ними приведены на рис. 2.6 в виде распределений параметров
потока в сечениях s = const. Сплошные линии относятся к v/Uoo, штрихо-
штриховые — к р/(Рао J/Л), кривые 1 и 2 соответствуют случаям горячей (tw = 1)
и холодной (tw —0,1) стенок. Рассматриваемые числа Рейнольдса (Re^,*,-^
-^ 10000) относительно невелики, поэтому начало формирования ударной
волны наблюдается лишь в задней части пластины, где появляются замет-
заметные максимумы в профилях плотности и нормальной составляющей ско-
скорости v. Другим признаком приближения к режиму сильного взаимодейст-
взаимодействия являются сравнительно небольшие значения производных (др/ду)у = 0,
равные нулю в случае пограничного слоя. Если вычислить параметр раз-
разрежения К», = Mooic/Re^xH'5 (с = VwTw/n*,Too) при х = 1, т.е. на зад-
задней кромке, то окажется, что для многих расчетных вариантов он достигает
значений 0,3, т.е. намного больше обычно принимаемой за границу приме-
применимости теории сильного взаимодействия величины 0,2.
В окрестности передней кромки полученные решения указывают на
весьма большие градиенты искомых функций и, в частности, на большие
значения производных (ди/Ъу)у = 0- В этой области, а также ниже по тече-
течению поток образует единый уплотненный слой без каких-либо заметных
признаков образования ударной волны. Для этого режима обтекания ха-
характерна сравнительно большая скорость скольжения и(х, 0) (около но-
носика порядка 70% от ?/«), свойственная течениям при достаточно больших
числах Кнудсена; при приближении к задней кромке величина и(х, 0)
уменьшается до 0,15-0,20-
Картины течения в случаях холодной (tw = 0,1) и горячей (tw = 1) по-
поверхностей несущественно отличаются друг от друга. Эти отличия про-
проявляются в основном в наличии максимума у функций h(x, y)x = const»
144
Рис. 2.6
Р и с. 2.7
возникающего при охлаждении стенки; кроме того, градиенты (др/ду)у ~ о
на холодной стенке несколько больше, чем на горячей (рис 2.6).
Рассматривая течение перед и за пластиной, легко увидеть, что зона
возмущенного потока перед передней кромкой крайне невелика (поряд-
(порядка длины свободного пробега А); за задней кромкой наблюдается типич-
типичная структура следа с постепенным выравниванием газодинамических
параметров, возмущенных вследствие присутствия пластины. Распределе-
Распределения давления вдоль поверхности пластины приведены на рис. 2.7 для тепло-
теплоизолированной (Re = 1670; 5000; 6700(кривые 1-3)) и охлажденной
(Re = 160; 320; 640; tw = 0,1 (кривые 4-6)) стенки. Они свидетельствуют
о заметном влиянии задних кромок (положение их указано стрелками)
на все поле течения.
На рис, 2.8 сравниваются полученные автором расчетные данные (сплош-
(сплошная кривая) с результатами экспериментов [62] (треугольники) и пря-
прямого численного моделирования течения разреженного газа л.етодом Бёр-
да (штриховая линия) [63J. Параметры потока приняты следующими:
Мао = 12,66, у = 5/3, tw = 0,0835, ц ~т0'68. Согласие всех этих данных
оказывается вполне удовлетворительным; в частности, решения уравне-
Ю. Зак.761 145
/ЬгА.
Т0
7ff /00 Яв„
Рис. 2.8
ний Навье—Стокса и Больцмана приводят к достаточно близкому распо-
расположению и значению максимумов распределений вдоль поверхности давле-
давления, трения и теплопередачи. Таким образом, использование уравнений
Навье-Стокса с условиями скольжения и скачка температуры на поверх-
поверхности оказывается вполне приемлемым даже при малых числах Рейнольдса,
когда применение модели механики сплошной среды является проблема-
проблематичным.
3. АЛГОРИТМЫ РАСЩЕПЛЕНИЯ ПО ПРОСТРАНСТВЕННЫМ КООРДИНАТАМ
3.1. Схемы с компактными аппроксимациями третьего порядка
Матрично-разностные операторы; дискретизация уравнений Эйлера.
Принципы построения компактных аппроксимаций для систем уравнений
с несколькими пространственными переменными, изложенные в гл. 1,
могут быть непосредственно использованы при конструировании алго-
алгоритмов численного решения уравнений динамики невязкого и вязкого
газов. При этом информация о специфике этих уравнений содержится
в характеристических матрицах, входящих в операторы компактного диф-
дифференцирования. Характеристические матрицы, в свою очередь, зависят
от формы записи исходных уравнений (точнее, их гиперболической части),
от выбранной системы координат, а также от того, что считается искомым
вектором.
В дальнейшем будет предполагаться, что физическое пространство при
помощи некоторого преобразования декартовых координат отображено
на расчетную область таким образом, что выполняются следующие условия..
1. Поверхность обтекаемого тела, если она имеется, совпадает с одной
из координатных поверхностей в новой системе координат |, 1] и f (адап-
(адаптация к форме тела).
2. Разностной сетке в расчетной области, имеющей постоянные шаги
А{, hn и Aj-, соответствует надлежащее сгущение узлов в физическом прост-
пространстве, допускающее разрешение представляющих интерес областей с ма-
малыми характерными размерами (адаптация к искомому решению).
Преобразование координат, удовлетворяющее последнему условию,
может быть либо фиксированным заранее на основе какой-либо априор-
априорной информации о решении, либо подстраиваться к решению в процессе
146
счета. Уравнения Навье-Стокса A.9) для построенной таким образом
системы координат (?, т?, f) с сохранением компонент скорости и, v, w
в декартовой системе (х, у, z) удобно представить в векторном виде:
Э U Э Fn 9 Go 9 Но 1 /9Fi 9 G i 9Hi\
" -j. C-1)
bt
ЗГ
где
Fo =J'l(F %x + G|y + H?z), Go =J-l(FVx + Gny + H»7Z),
Fo =(pu,pu2 + p,puv,puw,(E + p)u)T, Go ={pv,puv,pv2 +p,(E+p)v)r,
Hq = (pvv,puw,pvw,.pw2 +p, (E + p)w)r
a / = 9^,^, z)/3(J, 77, f) — якобиан преобразования, предполагаемый отлич-
отличным от нуля. Векторы F^ G! иН, в правой части C.1) могут быть полу-
получены из A.9); на данном этапе они являются несущественными.
Выбирая в качестве искомой векторной функции некоторый вектор и,
можно получить матрицы с размерностью 5X5L = 9U/9u, Р = 9F0/9u,
Q = 3G0/3u и R = ЭНо/Эи, которые и являются исходными для построе-
построения компактных аппроксимаций третьего порядка. Вид этих матриц за-
зависит от того, что считается вектором и. Здесь существует несколько
возможностей, из которых в качестве основной будет рассматриваться
следующая:
u= (p,u,v, w, e)T или (p,u,i),w,ft)T. C.2)
Другой вариант состоит в выборе u = U; при этом матрица L становится
единичной, что создает определенные удобства при реализации алгоритма.
В обоих случаях давление р предполагается известной функцией е, опре-
определяемой уравнением состояния A.6). Напомним, что операторы компакт-
компактных аппроксимаций третьего порядка, соответствующие координатам i-, tj
и f на равномерной сетке
%i = ih%, Vj=fhv, $к=Щ, Л?, А„, ftf = const,
имеют вид
Вп=А%~ О,25МчДо\ Cv = 0,5а"
" Сг = 0,5h
=4 -
- Д! (T^/2Mrt)A%], C.3)
где
В C.3) столбцами матриц 5j, 5^ и S$ являются собственные векторы
соответственно матриц L'1 P, L'1 Q, L'1 R. Собственные значения послед-
последних Л?, \V, \f (г =1,5) используются в диагональных матрицах D$,
Dv и Df.
= diag(sgn \)), Dv = diag(sgn X?), Z>f = diag(sgn X^)
147
Для полноты изложения приведем вид матриц LS%, LSV и
LS*
1
и
j и
w
W2
1
и
V
w
W1
0
РУ\
-PXy
0
P{uy,-vx
0
py2
-px2
0
p{uy2 -vx
0
P^-i
0
~PXi
i) Р(иг,
0
0
¦ Рг2
-P72
2) p(uz2
1
M-
u -
w -
— wxi) ye ^
1
г< -
D -
w —
-wy2) ye
i,X,
Sl.V,
S2X2
S2 V2
S2Z2
+ w2
Slgl
- h 22
1
и + s
v + s
w + s
ye +
1
и + s-
u + s2
IV + S
ye +
У i
l zi
1
Уг
W2 +S2g2
C.4)
1
U + S3X3
10 0 1
и pz3 0 и —
v 0 pzi, v -
W -PX3 -РУъ H»-53Z3 W + S3Z3
W2 p(uz3 -wx3) p(vz3 - wy3) ye + W2 - s3g3 ye + W2
При записи элементов этих матриц приняты следующие обозначения:
W2 = (и2 + v2 + w2)/2, величины с индексами 1, 2, 3 вычисляются по фор-
формулам
Si = a\fx] +y] +z\', gi = uxi + vyi + wzh i= \,2,3,a=y/y(y- l)e,
где индексы %, -q, f у переменных х, у, z означают дифференцирование.
Все элементы матриц М%, Мп и М% считаются известными сеточными
функциями, определенными на сетке W|4j-; фактически они вычисляют-
вычисляются по результатам какого-либо предыдущего этапа вычислений (напри-
(например, по значениям предыдущего временного слоя). Члены с операторами
сдвига Туп, Тф и Т\,2, присутствующие в C.3), могут быть аппрокси-
аппроксимированы (например, для координаты ?) следующим образом:
Al = Ti-E, Al=E-Ti.
Другая возможность состоит в вычислении матриц М^ \,- + ^2 непосредст-
непосредственно по интерполированным значениям и в полуцелых узлах.
При помощи операторов C.3) на сетке сот X co^f может быть построе-
148
на факторизованная схема для уравнений Эйлера (ц = 0 в C.1)), имеющая
погрешность О (И3), где h = max (h%, hn, h$) :
{L + otB^ QPyL'1 (L + otB'1 Cn Q)L~l (L + атВ^ Cf R) X C.5)
X (um + ! - um )/t = -?um =
Все матрицы, входящие в правую часть C.5), предполагаются вычисленны-
вычисленными по значениям ит. Через а в C.5) обозначен весовой множитель,
позволяющий записать погрешность дискретизации по времени в виде
0((а- 0,5)г + т2).
Осуществить переход от слоя t = tm к слою / = tm + i, как уже указы-
указывалось ранее, можно следующим образом: вначале определяются сеточные
функции
после чего находится функция
В^?ит =QF0(um) + Y + Z.
Определение ит + 1 затем сводится к последовательному обращению опера-
операторов Bj:L + атС^Р, BnL + otC^Q и B$L + otC^R.
Схема C.5) не является абсолютно устойчивой даже в случае постоян-
постоянных матриц. Однако здесь она рассматривается в качестве базовой в силу
следующих соображений.
1. Допустимые числа Куранта для C.5), как показала практика, могут
существенно превышать критерий устойчивости явных схем.
2. Частный случай алгоритма C.5), когда все функции зависят лишь от
двух пространственных координат % и т?, абсолютно устойчив при постоян-
постоянных матрицах.
3. Схема C.5) может стать основой для построения абсолютно устойчи-
устойчивой схемы с внутренними итерациями.
Разумеется, могут быть альтернативы факторизованной схеме C.5),
сохраняющие способ пространственной дискретизации исходных урав-
уравнений.
В двумерном случае, когда независимыми переменными являются
/, % и г), в схеме C.5) достаточно формально положить Я = 0 и R = 0;
тогда Z = 0 и обращаемыми операторами являются Вц, B^L + таС^Р и
BvL+toCvQ.
Как уже отмечалось, для вектора искомых функций u = U матрица L
в C.5) становится единичной. При этом матрицы Р, Q и R меняют свой
вид, однако характеристические матрицы М%, Mv и М$ остаются неизмен-
неизменными.
Чтобы пояснить это, достаточно рассмотреть две эквивалентные систе-
системы с постоянными коэффициентами
Ldu/dt+Pdu/dx = O, dflbt+PL~1df/dx = O, f = Lu,
в которых матрица L ~ невырождена. Матрицы М и М, «.оответствующие
первому и второму уравнению, имеют вид
М = (LS)D(LS)'1, M = SDS'1,
где
L~1P = SAS~1, A = diag{X,}, D = diag {sgn X,},
PL'1 =SAS'1, A = diag {X,}, D = diag {sgn X,},
a X/ и X,- (i = 1, 5) — собственные значения матриц L'1 P и PL'1. Ввиду
того что X,- = X; и из равенства L'1 Р = SAS'1 следует равенство PL'1 =
= LSAS'1 L'1, можно сразу заключить, что матрицы М и М также равны.
Схемы для уравнений Навье-Стокса. Как и в случае систем уравне-
уравнений с диффузионными членами, рассмотренном в гл. 1, при аппроксима-
аппроксимации уравнений Навье—Стокса определяющую роль играет дискретизация
их гиперболической части, члены же с коэффициентом вязкости могут быть
аппроксимированы многими способами, влияющими в основном на просто-
простоту обращения операторов.
В дальнейшем при построении разностных аналогов тензора напряже-
напряжений будут использоваться следующие принципы: а) члены со вторыми
производными по ?, tj и f аппроксимируются неявным образом; б) в за-
зависимости от целей и специфики решаемых задач эти аппроксимации
могут иметь различные порядки, некоторые варианты их приведены
в гл. 1; в) члены со смешанными производными аппроксимируются явным
образом, что позволяет рассматривать их разностные аналоги как извест-
известные сеточные функции. Применение явных аппроксимаций смешанных
производных связано с факторизацией обращаемого оператора, позволяю-
позволяющей решать одномерные системы разностных уравнений. Может показать-
показаться, что такое упрощение приведет к ограничению на допустимую величину
временного шага т. Однако, как показывает практический опыт, ограни-
ограничения на величину т, связанные с нелинейностью уравнений Навье—Стокса,
при не слишком малых числах Реинольдса являются более сильными и ап-
аппроксимация смешанных производных не оказывает заметного влияния
на устойчивость схемы.
В алгоритме, описанном выше, вторые производные аппроксимирова-
аппроксимировались с третьим порядком с использованием операторов, сопряженных
с операторами конвективных членов; это не усложняло заметным обра-
образом процесс решения разностных уравнений. Непосредственное введение
аналогичных аппроксимаций в схему с матрично-разностными оператора-
операторами заставило бы искать пути уменьшения размерности обращаемых мат-
матриц при помощи внутренних итераций (например, описанных в гл. 1). Если
не ставить целью получение высокого порядка локальной аппроксимации
внутри областей с существенной ролью вязкости (что во многих случаях
является вполне разумным), то оказываются применимыми дискретиза-
дискретизации вторых производных, обеспечивающих погрешность схемы вида
O(h3 +(l/Re)A) илиО(А3 + A /Re)h2), описанные в гл. 1.
Такая стратегия приводит к использованию операторов, обычных при
аппроксимации вторых и смешанных производных в уравнениях Навье—
Стокса. Эти операторы определяются равенствами
150
— AojuA^f и т.д.,
4/г€ Л?
где диагональная матрица Д имеет вид diag @, ju, p., ц, ?(/Рг) (в дальней-
дальнейшем в сочетании с векторными функциями она будет обозначаться через ц).
В индексном представлении, например, первое и третье равенство C.6)
выглядят так:
, /* A2 f,-+ j, /*¦ - Vi- 1Д Ao
Для того чтобы использовать операторы C.6), представим векторы
, Gi и Hj в правой части C.1) в виде
Н, = м(ЭТ31/Э?+ЭТз2/Эт7+дТзз/ЭГ).
Для краткости записи будем использовать там, где это необходимо,
индексные обозначения операторов, считая, что % = qx, 17 = #2> f = 9з. и
полагая Л# = Л? ,q., i Ф j. Введя матрицы
Р\ = -ЭТ21/Эи, Qi = -ЭТ22/Эи, Ri = -ЭТ32/Эи,
можно конструировать схемы с различными аппроксимациями членов со
вторыми производными при сохранении компактных аппроксимаций
третьего порядка газодинамической части системы Навье-Стокса.
С точки зрения решения разностных уравнений самый простой способ
состояний в применении операторов .S^A^, B^1 Avv и В^А^. Схема
для уравнений Навье-Стокса C.1) при этом с погрешностью O(h3 +A/Re) h)
может быть записана в виде
[L + тВjl{С%Р + %/>,)]L-1 [L + тВ'1 (С„Q + Л™Qx)]?"J X
X [L +TJSf1(C?« +ЛГ?Л,)] (um + 1 - ат)/т = C.7)
Ее отличие от схемы C.5) для уравнений Эйлера состоит в наличии
трехточечных операторов С^Р + A^PU CVQ + A^Qi и C^R + \$Ri вместо
операторов С^Р, CnQ, C$R, а также в появлении дополнительного слагае-
слагаемого 2 АцТц в правой части. Процесс решения разностных уравне-
i * i
ний при этом остается тем же самым.
Другой вариант аппроксимации членов со вторыми производными
связан с непосредственным использованием операторов Aj?, Am и Aj-j
(см. гл. I). В этом случае ее погрешность имеет второй, а не первый, как
в случае схемы C.7), порядок. Однако обращаемые операторы перестают
быть трехточечными, что делает целесообразным введение дополнитель-
дополнительных дробных шагов.
151
Обозначая через G?, Gn и G? операторы в левой части схемы C.7), схему
с дополнительным расщеплением можно записать следующим образом:
Gj(E + TL-1ASj/>,)Gri(?'+TL-1AtI4Qi)Cr(jF+TAff/i1)(u'fl + I - um)/r =
= -т(?ит + 2^1™). C.8)
Здесь оператор ? имеет тот же смысл, что и в схеме C.5) для уравнений
Эйлера.
При аппроксимации тензора вязких напряжений с высоким порядком,
если такая необходимость возникает, можно использовать формулы ком-
компактного численного дифференцирования. В частности, смешанные произ-
производные, для которых естественно использовать центрированные операторы
на сетке co?r)f, представимы в виде
Э / ЭТ« \
"a^Tv ~^f / И'"'и = КО-Ч'^о')~1д^/А«Л,+0(л4>'
C.9)
где<71=|, ?72=1?, <73=f. '^Л
Для аппроксимации вторых производных с третьим порядком можно
использовать сопряженные операторы, подобно тому как это было описа-
описано в гл. 1,разд.2:
У<"и = -^WV^J"' i=J^- <зл0)
С учетом C.9), C.10) схему третьего порядка для системы C.1) запишем
в виде
[L + т(С?Р - VtfL-1 [L +t(B?CvQ- Vn)\ L "' [L *тЩхС^Ь - Vt)] X
X (um + 1-umVt = -[?- ,?/»,- ,J./^/]um- (ЗЛ1)
Для определения um + l необходимо:
1) вычислить правую часть уравнений Эйлера ?ит в схеме C.5);
2) определить члены Vq. и Vq.q. (/, / = XT) в правой части C.11),
обратив операторы Л?. и 4^' (/ = ТЗ);
3) последовательно обратить операторы
в левой части C.11).
Таким образом, по сравнению со схемой C.7) схема C.11) требует,
во-первых, большого количества обращений операторов при вычислении
правой части и, во-вторых, обращения более сложных операторов в левой
части. Для упрощения этих операций ценой, вообще говоря, уменьшения
запаса устойчивости можно заменить в левой части операторы Vq на
энергетически эквивалентные им операторы В^.кцА^, к = const, г = 1,3.
Возможна также оптимизация процесса вычислений при определении нра-
152
вой части C.11). Но даже с учетом всех этих и других возможностей при-
применение схемы C.11) целесообразно лишь в случае, если есть уверен-
уверенность в том, что повышение порядка аппроксимации позволит уменьшить
количество узлов сетки и компенсировать повышение затрат машинного
времени на определение u/n + I.
О разностных граничных условиях. Формулировка разностных
граничных условий для уравнений Навье-Стокса в случае компактных
схем может быть осуществлена так же, как и в случае обычных аппрок-
аппроксимаций. Эти условия, как правило, состоят из условий в набегающем
потоке, условий в нижней по течению части потока, условий симметрии
(если она существует) и условий на твердой поверхности.
Если в эти условия входят дискретизации производных, то для сохра-
сохранения высокого порядка аппроксимации можно пользоваться трехточеч-
трехточечными односторонними формулами типа формул B.34) из гл, 1. Однако
в этом не всегда существует необходимость. Например, при применении
каких-либо экстраполяционных условий на нижней по течению границе
расчетной области заведомо предполагается, что возможные возмущения
от неточности этих условий слабо распространяются вверх по потоку.
Поэтому в этом случае совершенно необязательно использовать формулы
высокого порядка. Можно также понижать порядок аппроксимации гра-
граничных условий, считая, что в среднеквадратичной норме это не сильно
скажется на точности решения, Такое понижение является вполне разум-
разумным также и тогда, когда в качестве одного из главных свойств схемы
рассматривается не ее третий или четвертый порядок, а благоприятные
качества получаемых решений.
При формулировке разностных граничных условий для давления
(или плотности) на твердой поверхности, как хорошо известно, возникает
некоторая неопределенность, связанная с отсутствием этого условия в ма-
математической постановке задачи. Здесь существуют различные возможно-
возможности, которые обсуждены, например, в [2].
Помимо упомянутого условия в виде аппроксимации в граничных
узлах уравнения импульса, не касательного к твердой стенке, возможны
следующие варианты аппроксимации в этих узлах исходных уравнений или
их следствий: аппроксимация уравнения неразрывности; аппроксимация
проекции обеих частей векторного уравнения Навье-Стокса на направле-
направление одной из характеристик гиперболической части этих уравнений, при-
приходящей на поверхность и не касательной к ней.
Наконец, существует возможность экстраполяции давления или плот-
плотности на поверхности но внутренним узлам расчетной области.
Вопрос о выборе одного из этих (или каких-либо иных условий), как
и в случае других разностных схем для уравнений Навье-Стокса, остает-
остается открытым. Можно лишь отметить, что для тестовых стационарных
задач (пограничные слои на пластине, взаимодействие ударной волны
с пограничным слоем и т.д.) применение перечисленных условий приво-
приводит к близким результатам; исключение составляет экстраноляционное
условие для давления, которое в некоторых случаях искажало устано-
установившиеся решения.
При использовании факторизованных схем вида C.5), C.7), C,8) и
C.10) возникает вопрос о граничных условиях для промежуточных се-
153
точных функций, появляющихся при введении дробных шагов. Чтобы из-
избежать потери аппроксимации в приграничных узлах, свойственной схе-
схемам этого типа (см., например, [41]), можно следовать принципам:
1.Если граничное условие задается уравнением, записанным в гранич-
граничном узле, то его тоже следует расщеплять но пространственным направ-
направлениям. При этом в случае отсутствия членов, соответствующих какой-
либо переменной, удобно сохранять структуру факторизованной схемы
во внутренних узлах, полагая нулевым оператор, относящийся к этой
переменной.
2. Если граничным условием является постоянный вектор (например,
вектор, соответствующий параметрам набегающего потока), то гранич-
граничные значения промежуточных величин являются нулевыми. Действитель-
Действительно, пусть факторизованная схема, записанная как схема дробных шагов,
имеет вид
3 = S1'3, Язй^', (зл2)
где Rj (/ = 1,2, 3) - обращаемые операторы, f - известная сеточная функ-
функция, а й1 = um + 1 - um. Обозначая индексом Г значения на границе области,
нетрудно усмотреть, что из равенства uf = 0 и соотношений C,12), рас-
рассматриваемых на границе, следуют равенства
и*/3 = О, й^3 = 0.
3, Если граничные условия относятся к границе области, где производит-
производится экстраполяция по внутренним узлам (например, внизу по потоку),
то ввиду приближенности таких условий можно формулировать экстрапо-
ляционные условия на этой границе и для промежуточных величин для
каждого из дробных шагов.
О решении разностных уравнений. Системы разностных уравнений,
возникающие как при вычислении правых частей схем C.5), C.7), C.8),
C.11), так и при обращении одномерных операторов в их левых частях,
с учетом граничных условий всегда можно представить в виде
ul + l = d/, j = 2,N-l,
= gl, ^22^-1 + 922UN = g2,
где А, В, С, 9>ij (/,/ = 1,2) - матрицы размерности 5 X 5, а индекс/ соот-
соответствует какой-либо переменной при фиксированных остаточных индек-
индексах сеточных функций. Очевидный способ решения этой системы состоит
в применении метода векторной прогонки при обращении матриц с раз-
размерностью 5 X 5 (в декартовой системе координат эта размерность может
быть понижена до 3 X 3, ввиду того что давление входит лишь в одну из
компонент расщепленного уравнения импульсов, а остальные два уравне-
уравнения при этом являются скалярными).
В некоторых случаях с целью уменьшения числа арифметических опера-
операций, производимых при решении системы C.12), целесообразно заменить
векторные прогонки скалярными на каждой итерации внутреннего итера-
итерационного процесса. Основная идея такой замены изложена выше и состоит
в представлении обращаемого оператора в виде суммы операторов с диаго-
диагональными матрицами и некоторой добавки.
154
3.2. Схемы с центрированными аппроксимациями
Применение сим метризованных операторов. Для некоторых относи-
относительно простых задач о вязких течениях можно увеличить экономичность
алгоритма, отказавшись от вычисления характеристических матриц М%,Mv
иЛ/j-. Формальное обнуление их элементов приводат к компактным аппрок-
аппроксимациям четвертого порядка конвективных членов, рассмотренных выше.
Приведем вариант такой системы для двумерного случая нестационар-
нестационарной системы Навье—Стокса, записанной в слабоконсервативной форме:
au/fr+dF/ai + 3G/377+H = о, (злз)
% и п - криволинейные координаты, а векторные функции U, F, G и Н
зависят, как и в системе C,1), от вектора независимых переменных, со-
содержащего декартовы составляющие скорости. Чтобы отличить симметри-
зованный алгоритм с М% = 0 и Мп = 0 от приведенного в п.3,1, целесообраз-
целесообразно ввести следующие обозначения операторов:
Используя операторы А,у (г, / = 1,2), определенные формулами C.6),
а также представления
F = Fo +MCF1/3t + 3F2/d7?), G =G0 +CG,/3^ + 3G2/3t?),
H = Ho +А1(ЭН1/Э? + ЭН2/Эт?), S = bFJbu, R = 9G2/3u,
факторизованную схему, алгоритмически являющуюся частным агучаем
схемы типа C.7), можно представить в виде [64]
[AiL+To(AiP + TAuR)]L-1[AvL+To(ArtQ+A22S)](um+l - ит)/т =
= -?um, C.14)
?um = HrjAfFo +AiAr)G0 +AiA7]H+fxAr,AiH1
G1 +A22G2)]m.
Схема C.14), записанная на девятиточечном шаблоне, имеет погреш-
погрешность пространственной дискретизации О (А4 + iih2), где h = max(Af, hn).
Для перехода от слоя t = tm к слою t = tm+l достаточно обратить два
трехточечных матрично-разностных оператора:Rj =A$L + ат(А^Р + \ltR)
и R^ = AVL + от{АцО. + A22<S'); при этом правая часть в отличие от систе-
системы тина C.5) вычисляется непосредственно без обращения каких-либо
операторов путем суммирования по точкам шаблона. Записанная в виде
алгоритма дробных шагов, схема C.17) имеет вид
Rtu1'2 = -т?ит, RnVI2=Lnll2, U1 = и41 - ит.
Если не учитывать аппроксимации смешанных производных, то оценки
ее устойчивости можно получить из общих результатов, изложенных в
гл. 1, разд. 1, Практически устойчивый счет по схеме C.14) может про-
происходить при достаточно больших значениях числа Куранта f/т/Л, U= II и II,
если только схемные осцилляции не превосходят допускаемого предела.
155
Использование искусственного диссипативного механизма. Расчеты по
схеме C,14), как правило, удается осуществить лишь при отсутствии зна-
значительных градиентов искомых решений. В частности, ее можно использо-
использовать при плавных изменениях контура твердых поверхностей и сравни-
сравнительно небольших числах Рейнольдса (порядка нескольких сотен). При
увеличении числа Рейнольдса или других ужесточениях режима течения
отсутствие схемной диссипации не позволяет погасить неизбежно возни-
возникающие в процессе счета паразитные осцилляции решений, которые обычно
приводят к невозможности дальнейших "вычислений. Расширить область
применимости центрированной схемы C.14) можно путем введения допол-
дополнительного диссинативного механизма, который можно рассматривать
как фильтр схемных осцилляции, длина волны которых сравнима с шага-
шагами сетки.
Существует много возможностей для построения сглаживающих
фильтров. Одна из них, совместимая со схемой C.1), состоит во введении
в правую часть системы Навье-Стокса членов вида
Э ,t. Эй Э , . Эй
*(?) + л(ч) f C.15)
Ъ% Ъ% Эт? Эт?
где коэффициенты искусственной вязкости к^' и к^' после их дискрети-
дискретизации имеют порядки О(й4) на гладких решениях исходных уравнений
и более низкие порядки (вплоть до 0A)) при вычислении их по значениям
осциллирующих компонент вектора и [64]. Этим условиям удовлетворяют,
в частности,сеточные функции к^ и к^ вида
v 4iAL/i + iAi/i; Ч1Д1/1 + 1ДТ/1
C.16а)
где индекс / у коэффициентов &^ и к^ означает, что эти коэффициенты
вычислены по одной из компонент / вектора и, с^ и сч - некоторые ком-
компоненты. Для гладких функций / числители дробей в C.16а) имеют поря-
порядок 0(И2), а знаменатели - 0{К); таким образом, в этих случаях к^> =
= 0(й4) и к^ = 0(Л4). Если же сеточная функция в окрестности какого-
либо узла имеет пилообразную форму (например, меняется как (-1)ре,
где р - номер узла в направлении ?), то одна или обе дроби в C.16а)
имеют порядок 0A). В этом случае сильная диссипация, определяемая
одним или двумя коэффициентами к^ и Л;11', стремится подавить ко-
коротковолновую составляющую решения.
Вычислив коэффициенты/;^ иЛ(ч^ по известным значениямum,члены
C.15) можно рассматривать как добавки ко вторым производным в
уравнениях Навье-Стокса. В схеме C.14) их целесообразно использовать
в виде неявных трехточечных аппроксимаций, поступая с ними так же,
Э / 9F, \ Э / ЭС2\
как с производными — ( ц и ( ц ). Таким образом,
Э? ч Э? / Эт7 \ Э1? /
введение членов C.15) нисколько не усложняет процесс решения разност-
разностных уравнений. Если получаемое решение не содержит схемных осцилля-
156
ций, то коэффициенты к^) и к(г>) оказываются асимптотически малыми
и слабо влияют на его точность.
Использование коэффициентов А;(^ и^A)' в форме C.16а) часто явля-
является весьма эффективным и позволяет существенно расширить диапазон
решаемых задач. Однако в некоторых случаях сеточные функции C.16а)
могут стагь быстроменяющимися (например, при переходе от областей
с плавным характером изменения решений к областям со схемной немоно-
немонотонностью). Это, в свою очередь, отрицательно сказывается на работоспо-
работоспособности алгоритма. Поэтому иногда целесообразно использовать более
мягкие сглаживающие коэффициенты. Примером могут служить коэффи-
коэффициенты
\l\ ?) €„(&%/) \f\-1h*, C.166)
где с% и сп - некоторые константы, вообще говоря, отличные от с% ис,.
Для гладких и пилообразных функций / коэффициенты к^ и к^ имеют
порядки соответственно O(h4) nO(h2).
Существуют различные возможности выбора функции /, определяющей
значения к^ и к^\ Например, для каждого уравнения движения и энер-
энергии в качестве / можно выбирать свою функцию /; можно обойтись еди-
единой функцией /, положив, например, / = р. Последний выбор основан на
наблюдении, согласно которому при существовании схемной немонотон-
немонотонности последняя обычно особенно сильно проявляется в осцилляции плот-
плотности или давления.
Наконец, можно отказаться от выбора различных коэффициентов сгла-
сглаживания для различных координат и использовать единый коэффициент к,
аналогичный коэффициенту вязкости д. При этом, в частности, для каждо-
каждого узла можно положить
к = c-s/siX*^J + (*<ч)J], C.16b)
где суммирование проводится по всем функциям /, а с - некоторая
константа.
При применении рассмотренных диссипативных механизмов всегда
возникает вопрос о выборе констант с^, с,,, ??, cv, с в формулах C.16).
Этот вопрос может решаться на основе следующих очевидных соображе-
соображений: эти константы, с одной стороны, должны быть возможно меньшими,
а с другой - обеспечивать лишь полное устранение схемных осцилляции
либо их значительное ослабление, позволяющее вести устойчивый счет.
Таким образом, надлежащий выбор констант требует проведения дополни-
дополнительных методических расчетов, вообще говоря, для каждого класса решае-
решаемых задач. Кроме того, при помощи рассмотренных фильтров иногда
вообще не удается получить решение, что, возможно, происходит вследст-
вследствие несовершенства этих диссипативных механизмов. Все это снижает
эффективность алгоритма C.1), как, впрочем, и любого другого алгорит-
алгоритма, основанного на центрированных аппроксимациях.
157
3.3. Сравнение численных и известных решений. Тестовые задачи
Структура косого скачка уплотнения. При сквозном счете течений со
скачками уплотнения большую роль играет реакция численных решений
на быстрые изменения параметров потока в скачках, а также само описа-
описание этих скачков, В случае одномерных уравнений газовой динамики, а
также модельного уравнения этот вопрос исследовался в гл. 1. Было вы-
выяснено, что при применении компактных аппроксимаций третьего порядка
схемная немонотонность, если она и возникает, является быстро затухаю-
затухающей по мере удаления от фронта скачка. Интересно отметить, что эта не-
немонотонность была заметной в решениях для модельного уравнения. Для
уравнений газовой динамики ее проявление сводилось лишь к небольшим
провалам кривой давления до и после скачка.
Аналогичные результаты получаются при применении алгоритмов,
описанных выше. Простейшей тестовой задачей для них является задача
о структуре косого скачка уплотнения. Граничные условия для нее можно
сформулировать следующим образом: на левой границе АВ и части верхней
границы ВС (рис. 2.9) фиксируются параметры набегающего потока с
числом Маха М.» =2; на части CD верхней границы параметры потока
полагаются равными параметрам за косым скачком уплотнения с углом
наклона в 23°, на правой и нижней границах формируются мягкие условия
экстраполяционного типа,
На рис. 2.9 приведены изменения давления р(у)/р<* и скорости vjU^
поперек скачка, полученные при помощи алгоритмов C.8) — сплошные
кривые и C.14) - штриховые кривые при х = 0,6; 0,9. Согласно рис. 2.9,
в первом случае профили газодинамических параметров практически
монотонны за исключением небольшого провала давления перед скачком.
Для его уменьшения, особенно полезного при больших перепадах давления,
когда соответствующее понижение плотности может стать нежелательным
с точки зрения продолжения счета, целесообразен следующий проверенный
на практике способ [67]. Сущность его состоит в том, что в нескольких
узлах около скачка применяются видоизмененные операторы В^, Cj,
Bi = А\ - 0,25 М^о, Q = 0,5 AfJ(A{; - М%
Вп=А«- 0,25 Мп Д«, Сч = 0,5 h ?(Д* - Мп
Подобная операция, не меняя решения в целом, лишь несколько уменьшает
величину провала давления.
Если алгоритмы с аппроксимациями третьего порядка позволяют вести
устойчивый счет рассматриваемого течения независимо от числа Рейнольд-
са, то их аналоги с центрированными разностями C.14) при числах Re^ >
> 300 требуют введения диссипативных механизмов. Методические расчеты
показали, что приемлемые результаты получаются при использовании
констант cf = cv * 0,002 в формуле C,16а) и с? = cv « 0,5 в формуле
C,166), Соответствующие им профили и (у) и р(у) в сечениях х = 0,6 и
х = 0,9 представлены на рис. 2.10 (кривые ), 2). Увеличение с? и сц в C.1)
без изменения сетки может исказить численные решения в тех частях
расчетной области, где вторые разности в C.16) велики (например, кри-
158
вые 3 на рис. 2.10, соответствующие значениям с^, сп = 0,02). К сожале-
сожалению, в случае схем типа C.14) даже успешный выбор констант сглажива-
сглаживания для одной задачи не всегда гарантирует хотя бы возможность получе-
получения численных решений для других задач.
Сравнения с точными решениями. Для оценки реальной точности рас-
рассматриваемых аппроксимаций целесообразно рассмотреть немногочислен-
немногочисленные примеры, когда удается получить точные решения уравнений Навье-
Стокса. Одним из таких случаев являются стационарные течения в плоском
и расширяющемся каналах, для которых были найдены автомодельные
решения [65]. Используя эти решения, можно, не осуществляя процесс
установления при помощи приведенных выше факторизованных схем,
вычислить значения в каждом узле стационарных частей этих схем. Полу-
Полученные результаты и определяют погрешность их аппроксимации на ста-
стационарном решении для заданной сетки. В табл. 4-6 приведены средне-
среднеквадратичные нормы ?р, ?и, ?„, ?е вычисленных таким образом правых
частей схемы C.14), соответствующих уравнениям неразрывности, про-
продольной и поперечной компонент импульса, а также энергии. В табл. 6
указаны значения чисел Рейнольдса Re0 и Маха Мо, определенных по пара-
параметрам на линии симметрии канала, а также показателя степени п в законе
изменения вязкости вида ц", при этом число Прандтля и показатель адиаба-
адиабаты для приведенных результатов равны соответственно 0,71 и 1,4.
Как следует из табличных данных, полученных при различном числе
узлов в расчетной области (сетка 6 X 6, 11 X 11, 21 X 21), сеточные функ-
159
У
V.
Х = 0,9
ff,S
7,0
ff,S
as
Рис. 2.10
ции оказываются весьма близки-
близкими к точным решениям. При этом
невязки уравнения неразрывности
уменьшаются приблизительно как
четвертая степень шага, а невязки
для остальных — как квадрат ша-
шага. Последнее обстоятельство
объясняется сравнительно неболь-
небольшими числами Re, при которых
все течения являются вязкими.
При больших числах Рейнольдса
локальные погрешности O(h2) су-
существовали бы лишь в узлах
внутри пограничного слоя и сред-
среднеквадратичные невязки стреми-
стремились бы к нулю быстрее, чем И2.
Таким образом, если для рас-
рассмотренных автомодельных слу-
случаев при использовании алгорит-
алгоритмов C.14) процесс установления
будет сходиться, то, удовлетво-
удовлетворившись невязками, приведенными в табл. 1 и 2, можно считать,
что с этой точностью получены разностные решения, совпадающие
с автомодельными (с точностью вычисления последних методом Рунге-
Кутта с шагами, намного меньшими шагов разностных сеток для этих
таблиц).
Другим подходящим решением для сравнения является решение Бла-
зиуса для ламинарного пограничного слоя на плоской пластине, к которо-
которому при больших числах Рейнольдса должно быть асимптотически близко
решение полных уравнений Навье—Стокса. На рис. 2,11 профили скорости
и температуры Т, найденные при расчете обтекания полубесконечной плос-
плоской пластины, представлены как функции автомодельной переменной
^[Rex] 1l2/x. Численное решение (кривые 1), полученное на сетке 35 X 17
со сгущением узлов к поверхности (передняя кромка пластины разме-
размещалась внутри расчетной области), неплохо согласуется с решением Бла-
зиуса, заимствованным из [66] (кривые 2). Данные, приведенные на
рис. 2.11, соответствуют числу Маха Мте = 3 и числу Рейнольдса, отнесен-
отнесенному к единице длины, Re,*, = 809 (индекс °° здесь и далее означает, что
величины вычислены по параметрам набегающего потока).
Небольшое отличие температуры Т от ее значения Г», отсутствующее
в решении Блазиуса, легко объяснить присутствием слабого скачка уплот-
уплотнения, возникающего при обтекании пластины (поправленной на толщину
вытеснения пограничного слоя) и учитываемого при решении полных урав-
уравнений Навье-Стокса.
Взаимодействие ударной волны с пограничным слоем. Некоторым
усложнением задачи в пограничном слое на пластине является введение
при помощи граничных условий косого скачка уплотнения, падающего
на пограничный слой и вызывающего отрыв потока. Хотя точное решение
этой задачи неизвестно, тем не менее последняя может рассматриваться
160
Таблица 4
Невязка
(плоский канал)
Сетка
11X11
21 X 21
0,157- 10-"
0,816- 10-'
0,360 • 10 "'
0,377- Ю-2
0,228-10-'
0,221 • 10"'
0,167- 10
0,617- 10-"
0,561 10-"
0,714-Ю"'
0,145- 10
0,209- 10
0,914 • 10""
0,962- 10
Невязка
(расширяющийся
канал)
6X6
Таблица
5
Сетка
11 X 11
21 X 21
0,163- 10"
0,144- 10"
0,246 • 10"
Таблица 6
Ссылка на таб-
таблицу
4
5
Рг
0,71
0,71
Re
0
м„
5 1
100 3
7
1,4
1,4
и
0,76
1,0
в качестве тестовой ввиду ¦ наличия для нее экспериментальных данных
и большого количества расчетных результатов.
Для численного счета задача может быть сформулирована аналогично
задаче о косом скачке с тем лишь различием, что на части А'Е нижней
границы АЕ размещается поверхность пластины, а на участке АА' этой
границы фиксируются условия симметрии (рис. 2.12). Для сравнения с
экспериментом целесообразно использовать следующие параметры набегаю-
набегающего потока: число Маха Мо» = 2, угол наклона скачка к пластине а = 32,6°,
число Рейнольдса, вычисленное по параметрам невозмущениого течения
и расстоянию от передней кромки пластины до точки пересечения ее по-
поверхности и линии скачка Re» =2,96 • 105.
После установления численного решения в расчетной области оказы-
оказываются сформировавшимися скачок, пограничный слой, а также область
их взаимодействия с зоной возвратного течения. Следует, однако, иметь
в виду, что понятие скачков в численном решении имеет условный смысл
и означает, что зона ударного перехода в поперечном направлении размаза-
размазана на несколько ячеек сетки. Если не сгущать узлы в области скачка, то
может оказаться, что его толщина сравнима с толщиной пограничного слоя.
П.Зак. 761 161
7,5
T,ZS
7,0
-7,0 -
-0,5 -
L 0
6 7 0 9 ff\/Rex/x
Рис. 2.12
Здесь и в дальнейшем будет иметься в виду именно такая имитация скач-
скачка без достаточно точного описания его действительной структуры; в слу-
случае необходимости ее можно было бы получить, применяя, например,
описанное выше автоматическое сгущение, узлов сетки.
На рис. 2.12 представлены распределения давления Pw/p~ и коэффи-
коэффициента трения Cf = 2twIpuL, где tw = тху\у = 0, а индекс w здесь и далее
отмечает значения на поверхности. Расчетные данные, полученные на сетке
162
32 X 39 при помощи алгоритма C.8) [67], соответствуют кривой 1; кри-
кривая 2 отражает результаты расчетов на сетке, проведенные при помощи
центрированной схемы C,14) [64]. Следует отметить, что в последнем
случае в качестве вектора искомых функций рассматривался вектор
(р, ри, pv, pE)T, поскольку использование вектора (р, и, v, e)T вызвало
определенные трудности при получении решений для указанного выше
числа Рейнольдса. Кривые 3 и 4 на рис. 2.12 представляют расчетные дан-
данные из публикаций [68, 69], а кружочками отмечены экспериментальные
результаты [70]. В целом можно говорить об удовлетворительном согла-
согласии всех данных, приведенных на рис, 2.12, а некоторое их отличие друг
от друга может быть объяснено, в частности, различием использованных
сеток, расчетных областей и аппроксимаций.
4. ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ АЛГОРИТМОВ РАСЩЕПЛЕНИЯ
С КОМПАКТНЫМИ АППРОКСИМАЦИЯМИ
Основная цель приводимых ниже результатов состоит в иллюстрации
основных черт решений, получаемых при помощи рассмотренных выше
схем. С этой точки зрения методически более обоснованными являются
решения двумерных задач, поскольку они требуют существенно мень-
меньших ресурсов ЭВМ и позволяют произвести многочисленные тестовые
расчеты. В классе задач внешнего обтекания наиболее жесткие требования
к алгоритмам предъявляют задачи об отрывных течениях. При их решении
часто бывают неэффективными различные упрощенные формы исходных
уравнений, весьма полезные для расчета безотрывных течений.
Другой характерный класс задач, всегда привлекавший внимание вы-
вычислителей, образуют задачи о внутренних течениях. Если исследование
таких течений на основе уравнений Эйлера, как правило, не представляет
особого труда, то применение уравнений динамики вязкого газа иногда
может вызвать определенные трудности, преодоление которых также
может стать критерием эффективности применяемых численных ал-
алгоритмов.
Не имея возможности описать все результаты проведенных расчетов,
а также провести углубленный аэродинамический анализ полученных
данных, ограничимся далее несколькими примерами решений задач указан-
указанных классов.
4,1. Задачи внешнего обтекания. Отрывные течения
Методические вопросы. При проведении расчетов [64, 67] использова-
использовались схемы C.7), C,8) и C.14) для случая двух пространственных криво-
криволинейных координат ?, т]. В качестве зависимых переменных выбирались
компоненты вектора и= {р. и, и, е}т, матрицы S$ )&Sn, а также диагональ-
диагональные матрицы собственных значений приведены в [67].
На контуре обтекаемого тела, который соответствует линии т? = 0, для
определения плотности использовались среди прочих следующие условия.
1. Условие, вытекающее из уравнения неразрывности при т; = 0:
J'1 dPw/bt+ PWndWvldv\v = o = 0, Wv=vXi -иуь D.1)
163
имеющее вид
СС +T8lWv)(p%+i _р«) = -тр^Х^, D.2)
где 6JJ, - оператор численного дифференцирования по внутренним углам
области, а индекс w отмечает значения на поверхности,
2. Условие для третьей компоненты вектора zv = S^u, соответствую-
соответствующей собственному значению Х^1 = -ац < О, т.е. характеристике одномерной
системы Lbu/bt + Qdu/drj = 0, приходящей на поверхность. В дифферен-
дифференциальном виде это условие при г? = 0 можно представить следующим
образом:
У Э4ч>/эг - aejz<4>/3{ + Э(И/„ - в„Lч)/Эч = /. D-3)
где / - известная функция.
Соответствующая разностная аппроксимация может быть записана
в факторизованном виде
D.4)
где все величины рассматриваются при tj = 0.
В качестве оператора 6^, можно выбрать тот или иной оператор ком-
компактного численного дифференцирования. Во многих случаях вполне
приемлемой является трехточечная односторонняя аппроксимация второго
порядка.
Обтекание тел с изломами образующих. Такие задачи рассматривались
в работах, посвященных численному решению полных уравнений Навье—
Стокса (см., например, [71, 72]). Основные проблемы, которые возника-
возникают уже при исследовании этих элементарных течений, состоят в том, что
центрированные схемы при увеличении числа Рейнольдса могут приводить
к большим схемным осцилляциям, а схемы с односторонними двухточеч-
двухточечными разностями могут оказываться слишком грубыми. Конечно, приня-
принятие определенных мер может расширить диапазоны использования таких
схем, однако здесь большую роль начинает играть искусство вычислителя.
Возможности стандартизации при этом уменьшаются.
Применение рассмотренных выше алгоритмов всегда позволяло полу-
получасть решения, не искаженные схемной немонотонностью, в широком
диапазоне чисел Рейнольдса.
На рис. 2.13 приведены распределения параметров течения вдоль по-
поверхности угла сжатия. Задача решалась в два этапа [67]. Сначала рассчи-
рассчитывалось обтекание полубесконечной пластины при числе Маха М„, = 2,
числе Рейнольдса на единицу длины Re» = 4,2 • 105, числе Прандтля
Рг = 0,72 и температуре поверхности Tw = 1,68 Г«,. Затем моделировалось
обтекание расположенного на этой пластине клина с углом в = 10 и перед-
передней кромкой в точке х = 1, На сетке с числом узлов 40 X 30 стационарное
решение достигалось за 50 шагов, причем основные затраты машинного
164
tff
- ff
fff
Рис. 2.13
времени приходились на развитие отрывного течения перед клином. На
рис. 2.13 через Су (кривая 2) ну о (кривая 3) обозначены соответственно
коэффициент трения и сумма толщины вытеснения 5* пограничного слоя
и координаты у0 соответствующего сечения клина; кривая 1 соответству-
соответствует давлению р/р^ . Пунктиром на рис. 2.13 отмечено распределение давле-
давления в случае невязкого обтекания эквивалентного угла сжатия с косым
скачком уплотнения. По изменению величины су на рис, 2.13 можно судить
о наличии весьма протяженной зоны возвратно-циркуляционного течения
(cf < 0).
Отрывы потока при вдуве через поверхность [67]. Хорошо известно,
что вдув и отсос газа через поверхность обтекаемого тела могут сильно
влиять на картину течения. Например, в рассмотренном случае падения
косого скачка уплотнения на ламинарный пограничный слой размеры зоны
возвратных течений могут существенно изменяться, если в зоне взаимо-
взаимодействия производить отсос. Для моделирования этой ситуации на участке
поверхности пластины, ограниченном значениями координаты х = 0,8725
и х = 1,0625, фиксировалось значение вертикальной составляющей ско-
скорости V/. Распределения давления и коэффициента трения для значений
V/ = -0,001 и Vj = -0,003 представлены кривыми 2 и 3 на рис. 2.14д, б
(кривые 1 соответствуют и, = 0). Как видно из графиков, размеры отрыв-
отрывной зоны при Vj = -0,001 заметно меньше, чем без отсоса, а при о/ = -0,003
течение вовсе становится безотрывным.
На рис. 2.14, а, б приведены также расчетные данные для вдува через
тот же участок поверхности при удельных импульсах вдуваемого газа,
равных 0,001 p^iioo и 0,003 р„ ы» (плотность этого газа предполагается
равной плотности в области плато давления). Полученные в этих расчетах
распределения давления и коэффициента трения отмечены на рис. 2.14
цифрами 4 и 5. Согласно рис. 2.14, вдув даже небольшого количества газа
сильно увеличивает протяженность срывной зоны, которая может состоять
из двух областей возвратных течений. Иллюстрацией влияния отсоса и вду-
вдува на геометрию отрыва служит рис. 2.15, где представлены картины линий
165
0,5
Cr-fO
0,5 7,0
Рис. 2.14
166
o,s
s
Рис. 2.16
тока для трех случаев: а - отсос при значении vj = -0,001, б - непроницае-
непроницаемая поверхность, в— вдув газа с удельным импульсом 0,001 р.» и» .
Другим примером возникновения отрыва при подводе газа через по-
поверхность обтекаемого тела может служить течение в окрестности щеле-
щелевого отверстия, через которое осуществляется вдув в обтекающий тело
поток. Результаты одного из расчетов для случая плоской пластины при-
приведены на рис. 2.16.
На левой границе АВ расчетной области (рис. 2.12) задавались условия,
соответствующие сверхзвуковому ламинарному течению на плоской плас-
пластине при числе Маха М«, = 3 и числе Рейнольдса, вычисленном но пара-
параметрам набегающего потока и толщине пограничного слоя, Re» = 3 • 103.
Скорость вдува через отверстие с шириной, равной толщине пограничного
слоя 5, полагалась равной звуковой, а остальные параметры потока в
отверстии при у = 0 определялись по одномерной теории из условия того,
что вдуваемый газ подается из резервуара с давлением р/; отношение
(нерасчетность) полагалось равным 1,06.
На рис. 2.16 представлено распределение давления pwlp^ (кривая 1)
и коэффициента трения с^ (кривая 2) вдоль пластины. По отрицательным
значениям Cf можно судить о наличии отрыва в протяженной области
перед струей и небольшой области за струей. Как следует из рис. 2.16,
скачкообразные изменения давления и трения вдоль поверхности не со-
сопровождаются заметной схемной немонотонностью.
Другим характерным примером течений рассматриваемого класса
является формирование отрывного течения около струйного препятствия.
Для этого случая задача решалась в той же постановке, что и при обтекании
угла сжатия; разница состояла лишь в том, что при д: > 1 вместо клина
предполагалось наличие вдува через поверхность с параметрами р, =1,
Uj =--0,03, V/ = 0,17 "» sin 10°, Tj = Го. ¦ Результаты расчетов представле-
представлены на рис. 2.17 и имеют те же обозначения, что и расчетные данные для
угла сжатия на рис. 2.13. Значения у о для одних и тех же значений коор-
координат х в обоих случаях удивительно близки между собой: отклонение
внешнего, невязкого потока около препятствия (струйного или твердого)
происходит на один и тот же угол 0 — 10°. Для этих" течений характерным
167
- 0
- 0
0,5
7,0
Рис. 2.17
является наличие протяженных зон возвратно-циркуляционного течения.
В обоих случаях отрыв потока происходит в точке, где давление прибли-
приблизительно равно 1,08 р«,, однако для струйного препятствия давление в
области плато выше [67].
4.2. Задачи о внутренних течениях
Методические вопросы. Расчет течений вязкого сжимаемого газа в
каналах и соплах на первый взгляд может показаться более простым,
чем расчет внешнего обтекания, вследствие ограниченности расчетной
области, по крайней мере в поперечном направлении, твердыми стенками.
Однако замена части вычислительных границ естественными сопровожда-
сопровождается усложнением формулировки граничных условий на входе и выходе
из области течения. Это связано с тем, что обычно рассматриваемая об-
область является лишь фрагментом более обширной области, в которой
происходит движение газа. Последняя может включать в себя, например,
зону вне сопла, прилегающую к его срезу, или область вверху по потоку
от сечения, где задаются граничные условия.
Формулировка граничных условий для численного решения задачи
существенно зависит от тина рассматриваемого внутреннего течения. Если
поток на входе в расчетную область является сверхзвуковым, то его
параметры можно рассматривать как граничные условия на входной гра-
границе области. В противном случае существует распространение возмущений
вверх по потоку и простая фиксация параметров на этой границе ока-
оказывается некорректной. При дозвуковом потоке на входе (например,
в случае сопла Лаваля) приемлемой является следующая постановка
граничных условий на границе А В (рис. 2.18). Считаются заданными расход
и энтальпия газа, равные их значениям в начальный момент времени процес-
процесса установления, а величины продольной скорости и плотности р и давле-
давления р определяются в процессе счета. На выходе (границе CD) обычно
можно использовать те или иные экстраполяционные условия, подобно
тому как это делается в задачах внешнего обтекания (в некоторых слу-
случаях, однако, по смыслу задачи может оказаться необходимым зафикси-
зафиксировать давление р). Обоснованием для выбора в качестве разностных
168
граничных условий на выходе экстраполяционных формул может служить
часто выполняющееся условие того, что длина канала намного превышает
его ширину; в этом случае можно ожидать, что неточности в описании
на выходе из сопла не исказят решение в остальной его части.
Для численного моделирования течений в плоских и осесимметричных
каналах удобно использовать единую форму записи уравнений в цилин-
цилиндрической и декартовой системах координат. Кроме того, для преобразо-
преобразования области в прямоугольную целесообразно вместо декартовых (или
цилиндрических) координат х и у (ось х направлена вдоль оси канала)
ввести новые координаты ? = х и т? = y/yw (*) > где Уы С*0 ~~ расстояние
oi плоскости или оси симметрии до твердой поверхности. Сохраняя де-
декартовы составляющие скоростей и и и вдоль осей х и у, исходную систе-
систему можно представить в виде
dV/bt + 9F/3? + ЭС/Эт? + Н = A/Re) T, D.5)
где U, F, G, Н, Т — четырехкомпонентные векторы, вид которых приведен
в [73] вместе с соответствующими матрицами Якоби и их преобразова-
преобразованиями к диагональному виду. Следует иметь в виду, что для сгущения
узлов сетки около поверхности нужно еще одно преобразование коорди-
координат %\ = %, TJi = /(tj), которое следует учесть при использовании матриц
Sn и Лч. Приводимые ниже расчетные данные получены при использовании
простейшего фиксированного заранее преобразования координаты вида
In (I +a(l -г?))
7?1 = 1 -
1(
гДе параметр а > 0 регулирует распределение узлов. Для получения ста-
169
ционарных решений в качестве алгоритма установления использовалась
схема C.7) с операторами В^Л^^ и В^ АцП, аппроксимирующими вто-
вторые производные, и центрированными аппроксимациями второго порядка
смешанных производных. При небольших числах Рейнольдса применялась
также схема C.14) с аппроксимациями четвертого порядка. В последнем
случае вводились вторые производные но ? и q коэффициентами искус-
искусственной вязкости вида
(
1! +Tt)p\ \Aip
д! р | +1А1р
имеющими порядок 0(й4) на гладких решениях исходной системы.
Такой алгоритм применяется лишь для уравнений Эйлера, а также
уравнений Навье-Стокса при небольших числах Рейнольдса. При увеличе-
увеличении чисел Рейнольдса, несмотря на сглаживание, часто оказывается затруд-
затруднительным получить установившееся решение вследствие катастрофически
нарастающих схемных осцилляции. Тогда использовалась более сложная,
но в то же время более эффективная схема C.7).
Течение в сопле Лаваля, описываемое уравнениями Эйлера. В случае
невязкого течения применение компактных схем является особенно прос-
простым: достаточно положить ^i = 0 и вместо условий прилипания на стенках
использовать условия ненротекания. В криволинейной системе координат
такое условие при применении векторных прогонок является частью век-
векторного граничного условия и не нарушает единообразия алгоритма. В
качестве остальных составляющих этого граничного условия могут быть
использованы уравнения для плотностей р, продольной скорости и и эн-
энтальпии /г, аппроксимированные в граничных узлах расчетной области.
Ввиду дозвукового характера течения на входе в сопло граничные
условия на левой границе не должны быть фиксированными заранее функ-
функциями. Как уже отмечалось, приемлемым вариантом является фиксация
расхода и энтальпии и определение функций u(r}), р(г))> р(т?) в процессе
счета.
На рис. 2.18 приведен контур yw (x) осесимметричного сопла Лаваля
и полученные для него расчетные данные в виде зависимостей от коорди-
координаты х чисел Маха на оси Мо (jc) и на контуре Mw (x) [73]. Использовав-
Использовавшаяся равномерная сетка 51 X 18 обеспечивала сохранение расхода с точ-
точностью до 0,2%. Как следует из рис. 2.18, в дозвуковой части сопла газ
у стенки тормозится, что находится в соответствии с результатами иссле-
исследований течений с дозвуковыми скоростями [74]. В минимальном сечении
сопла Мо = 0,97, Mw = 1,08. В расширяющейся части сопла в окрестности
точки сопряжения контура yw (jc) в виде окрестности и прямой алгоритм
"улавливает" такой тонкий эффект, как излом в распределении Mw (х).
В конце линейного участка этот излом проявляется и в распределении
Мо (*).
Представленные на рис. 2.18 данные получены при помощи алгоритма
C.14) с описанным выше искусственным диссинативным механизмом.
170
2,0
7,ff
s x
Течение вязкого газа в сопле Лаваля, описьшаемое уравнениями Навье—
Стокса. В качестве примера численных решений полных уравнений Навье—
Стокса на рис. 2.19 представлены результаты расчетов для плоского сопла
Лаваля, контур которого изображен на рис. 2.18, в случае двухатомного
газа G = 1,4) со степенной зависимостью вязкости от температуры (д~
~Тп, п =0,76).
Алгоритмически переход от невязкого течения к вязкому состоял
в замене описанных выше условий на стенке условиями прилипания и
заданной температуры поверхности, а также в учете во внутренних узлах
членов, содержащих коэффициент вязкости ц.
Для сравнительно небольших значений числа Рейнольдса, вычислен-
вычисленного по параметрам потока на входе и минимальному поперечному размеру
сопла (Re = 2500), вполне приемлемой оказывается центрированная схема
C.14) с диссипативным механизмом C.16). Данные, приведенные на
рис. 2.19, — распределения давления на оси PofPi, на стенке pw/p\ (pi —
давление в сечении на входе), а также число Маха на оси Мо — получены
на сетке 51X18, равномерной по % и меняющей сгущение узлов около
стенки для двух типов граничных условий на срезе сопла: экстраполяцион-
ных для функций р, и, v,h и для р, и, v при заданном давлении р0 на срезе
(Po/Pi = 0,1). Распределения М0(х) в обоих случаях практически совпадают.
На рис. 2.20 показаны профили u(rf) (кривые 1), v(rf) (кривые 2) и
Р/Ро (л) (кривые 3) в сечениях сопла, отмеченных значением номера
узла / (х = Ih%), характеризующие структуру течения. Профиль и{г\)
в минимальном сечении сопла является наиболее наполненным, причем
около стенки имеется область, где скорость и превышает свое значение
на оси. Можно отметить заметные перепады давления в поперечном на-
направлении в сверхзвуковой области течения, доходящие до 30%. Сохране-
Сохранение расхода газа с точностью до 0,1% характеризует достаточно высокую
точность расчетов.
Сверхзвуковые течения в канале постоянной ширины. Еще одним при-
примером применения компактных схем для численного решения уравнений
171
/•20^
0,5 7,0
Рис. 2.20
a,tr,f.
Навье—Стокса, описывающих внутренние стационарные течения вязкого
газа, являются результаты расчетов сверхзвукового потока газа, попадаю-
попадающего в плоский канал постоянной ширины (рис. 2.21). В качестве гранич-
граничных условий на входе использовались значения параметров течения в
сверхзвуковом ядре и их распределение в условиях пограничного слоя.
На выходе канала использовались экстраполяционные условия с заданным
давлением р0 на срезе.
На рис. 2.21 приведены зависимости от координаты х числа Маха на
оси Мо и отношения р/р\ при tj = 1; 0,64 и 0 (соответственно кривые 1,
2, 3), полученные при значениях числа Маха на входе Мц = 2, числе Re =
= 1000 и противодавлении po/Pi = 2.
Представленные на рис. 2.21 данные иллюстрируют достаточно сложную
картину течения. В начальной части канала реализуется как бы течение
с косым скачком уплотнения, исходящим из передней кромки и обус-
обусловленным начальным пограничным слоем. Далее вниз по потоку возни-
возникает периодическая картина изменения газодинамических величин, свя-
связанная с отражением и взаимодействием скачков. Вследствие падения
скачков на пограничный слой в окрестности сечения х = 2 на стенке возни-
возникает отрыв потока; на оси канала течение всюду является сверхзвуковым.
Отметим, что характер течения в плоском канале при сверхзвуковых
условиях на входе, полученный в результате расчетов, близок результатам
экспериментального исследования [75] (Mi =1,62, Re ~ 10б).
172
Рис. 2.22
Течение в канале прямоугольного сечения. Простейшим примером
Пространственных внутренних течений является течение в канале прямо-
прямоугольного сечения, в который втекает равномерный поток вязкого газа.
На рис. 2.22 представлены результаты расчетов для трубы, сечение ко-
которой имеет форму квадрата. Поскольку в этом случае существуют две
плоскости симметрии, задачу можно решать в одной четверти объема
173
трубы; при этом на двух граничных плоскостях использовались условия
прилипания и охлаждения Tw = Т*,, а на двух других - условия симмет-
симметрии (рис. 2.22). На входном участке поток предполагается дозвуковым;
числа Прандтля и Рейнольдса, вычисленные по параметрам невозмущенного
течения и длине трубы L, полагались равными 0,72 и 200 соответственно.
Для этих параметров задачи использовался алгоритм тина C.14). На
рис. 2.22 приведены изолинии числа Маха М в нескольких сечениях x/L =
= const (сторона квадратного сечения полагалась равной 0,25 L). Звуковой
поток, втекая в трубу, начинает тормозиться; его скорость падает, а дав-
давление возрастает. С увеличением толщины пограничного слоя основное
ядро потока движется в условиях, аналогичных условиям сужающегося
дозвукового сопла. На выходе из трубы скорость потока достигает зву-
звуковой, что хорошо видно на рис. 2.22, б, где приведены изолинии числа
Маха М в сечении x/L = 1.
5. ПРИМЕНЕНИЕ КОМПАКТНЫХ АППРОКСИМАЦИЙ
В УПРОЩЕННЫХ УРАВНЕНИЯХ НАВЬЕ-СТОКСА
5.1. Маршевые алгоритмы для стационарных задач
Об упрощении уравнений Навье-Стокса. При решении стационарных
задач эллиптический характер уравнений Навье-Стокса, а также большой
объем вычислений, связанный с присутствием в них тензора вязких на-
напряжений (особенно значительный в криволинейной системе координат
в пространственном случае), заставляют искать пути использования более
простых уравнений, описывающих основные характерные черты течений.
Как уже отмечалось, одна из возможностей упрощения состоит в наличии
преимущественного направления распространения возмущений. Таким
свойством обладает целый ряд течений при достаточно больших числах
Рейнольдса: например, в ударном слое за отошедшей ударной волной,
около удлиненных тел, в каналах и соплах при сверхзвуковых скоростях
ядра потока и т.д.
По-видимому, одним из первых опытов упрощения уравнений Навье—
Стокса является применение системы, содержащей все члены уравнений
Эйлера, пограничного слоя, а также ряд других членов из полной системы,
для исследования вязкого течения между телом и отошедшей ударной
волной [56]. В настоящее время существует большое число публикаций,
посвященных этому вопросу, обзор которых не является целью этой книги.
Основа упрощения системы A.9) состоит в пренебрежении теми или
иными механизмами распространения возмущений вверх по потоку при
наличии преимущественного направления. Это позволяет не учитывать
(или частично учитывать) зависимость решения в какой-либо части рас-
рассматриваемой области от параметров внизу по течению от этой области.
Поскольку такими механизмами являются передача информации вверх
по потоку посредством давления и посредством вязкости, то упрощенные
уравнения Навье-Стокса можно классифицировать в зависимости от того,
оба ли эти механизма не учитываются или лишь второй из них.
В последнем случае в уравнениях Навье—Стокса достаточно сохранить
лишь те члены с вязкостью, которые не содержат дифференцирования
174
по продольной координате. Поскольку при этом сохраняется возмож-
возможность распространения возмущений против потока, обусловленная гра-
градиентами давления, получившиеся уравнения условно можно назвать
частично параболизованными. Физическая обоснованность упрощения
системы Навье- Стокса зависит от разумного выбора системы координат,
в чем существует известный произвол; другой произвол состоит в воз-
возможности выбора тех членов в компонентах тензора напряжений, которые
можно оставить, не нарушая параболических свойств уравнений.
Для исключения первого из упомянутых механизмов, существующего
в тех областях, где поток является дозвуковым, необходимы те или иные
упрощения невязкой части уравнений Навьё- Стокса. Примером таких
полностью параболизованных уравнений могут служить уравнения тонкого
ударного слоя и в простейшем случае — уравнения пограничного слоя.
Упрощенные уравнения можно рассматривать как некоторые модельные
уравнения, не являющиеся универсальными, вид которых должен моти-
мотивироваться спецификой конкретного класса задач. Область их примени-
применимости оказывается достаточно ограниченной; в частности, она не включает
в себя такой важный вид течений, как отрывные течения с протяженными
зонами возвратных потоков. Это, однако, не исключает возможности их
широкого использования для решения многих практических задач.
При численном моделировании течений вязкого газа основная выгода
от применения упрощенных уравнений Навье—Стокса состоит в исполь-
использовании так называемых маршевых алгоритмов, в которых координата
вдоль преимущественного направления (пусть это будет координата |)
может рассматриваться как аналог переменной t в уравнениях для не-
нестационарных течений. Если уравнения полностью параболизованы, то
для решения задачи достаточно осуществить единственный проход рас-
расчетной области, переходя от слоя ? = l/_i к слою ? - ?0 на сетке сой,
храня в памяти лишь предыдущий слой (или несколько предыдущих
слоев). В случае частично параболизованных уравнений такой проход
является лишь одной итерацией некоторого итерационного процесса, по-
подобно тому как это происходило в случае алгоритма для полных урав-
уравнений Навье—Стокса, описанного в разд. 2 этой главы. Однако в отличие
от последнего случая при этом необходимо хранить в памяти ЭВМ не все
параметры потока в расчетной области, а лишь давление. Повышению
экономичности маршевых методов способствует также меньшее коли-
количество членов в исходных уравнениях.
С точки зрения применения компактных аппроксимаций наиболее
простыми являются полностью параболизованные уравнения Навье-Сток-
Навье-Стокса, в которых отсутствует связь между отдельными уравнениями, обуслов-
обусловленная членами с давлением. Тогда каждое из них можно рассматривать
как скалярное уравнение переноса, для которого операторы при дискре-
дискретизации производных в поперечных направлениях строятся с учетом знаков
соответствующих коэффициентов при этих производных.
Более интересным является случай, частично параболизованных уравне-
уравнений, содержащих все члены уравнений Эйлера. Простейшим вариантом
при этом являются сами уравнения Эйлера, описывающие течение невяз-
невязкого газа, сверхзвуковое в продольном направлении области сверхзву-
сверхзвуковых течений.
175
Маршевые алгоритмы: области сверхзвуковых течений. В качестве
одного из характерных примеров использования компактных аппрокси-
аппроксимаций в маршевых алгоритмах рассмотрим сначала внутреннее стационар-
стационарное сверхзвуковое течение невязкого газа. Пусть уравнения Эйлера, напри-
например для двумерного случая, представлены в виде
9F (и)/Э| + dG (и)/Эт? + Н (и) = О, E.1)
где и = (р, и, v, h)T, а матрицы Р = 9F/9u и Q = 9G/3u определены выше.
Если скорость и превосходит скорость звука, то матрица Р'1 Q имеет
действительные собственные значения.
Полагая, что маршевым направлением является направление координа-
координаты ?, и используя диагонализацию матрицы Р~1 Q вида
можно построить операторы Вщ и Сч компактных аппроксимаций в на-
направлении г):
Bn=A^-Q,2S^Mn, Cn = Q,Sh "'(AS - A!L(r1/2Af4) Д?),
где
Мч = («„) Яч (ГО „Г1, a Dn = diag {sgn Л,}.
Для системы координат, в которых записаны уравнения E.1), собствен-
собственные значения X,- (/ = 1,4) и матрица Sv имеют вид [73]
_ v - vL ... uv - aR y'w
yw(u2 -a2)
¦7?»
uv - aR yw
yw (u2 - a2) yw
0 -G-1L-
p (uR + av)
0
0
a2 a(u2-a2)
aR + uv
u2 -a2
a (av + uR)
u2 -a2
a (uv - aR)
p (av - uR)
a(u2 -a2)
p (av - uR)
E.2)
где R = ум2 + v2 - a2, a a = y/(y — l)h - скорость звука. С использова-
использованием операторов Вп и Сп безытерационный маршевый алгоритм для систе-
системы E.1) может быть записан в виде
BnP(ui+1 -и,Щ + Сп [oGi + i +A -a)G,_,] +B7l[oH, + (\ -a)H,-J =0,
E.3)
где a> 0,5 — весовой множитель.
Погрешность его имеет вид О ((а ~ 0,5 )Л^ +Л| +h^); в случае постоян-
постоянных матриц он является абсолютно устойчивым при о > 0,5. Переход
176
от слоя ?=?,-_! к слою ? = ?/ после линеаризации функций G и Н можно
осуществить, выполнив трехточечную векторную прогонку с матрицами
4X4. Используя в качестве основы схему E.3), можно сконструировать
итерационный маршевый алгоритм для частично параболизованных урав-
уравнений Навье-Стокса, описывающих сверхзвуковые течения вязкого газа
при достаточно больших числах Рейнольдса. В сверхзвуковой части потока,
где матрица P~lQ имеет действительные собственные значения, схема
E.3) легко обобщается на уравнения
9G/9t? + Н = T/Re. E.4)
где вектор Т не содержит вторых производных ? и смешанных производ-
производных. Такое обобщение представляется в виде
BVP (u, +, - и,)/ЛЕ + Cv [ctG,- + A - о) G, _, ] + Яч [аН, + A - о) Н,_ , ] =
где компоненты вектора Т,- в узле ? = |,- содержат те или иные аппрокси-
аппроксимации вторых производных но г) и остальных членов.
Маршевые алгоритмы: дозвуковые потоки. В случае дозвуковых ста-
стационарных течений система уравнений Эйлера приобретает эллиптические
свойства, что связано с наличием мнимых собственных значений матрицы
P~lQ. При этом простой здравый смысл подсказывает, что при положи-
положительных скоростях и алгоритм должен использовать такую аппроксимацию
производных Ър/Ъх (в сечении х = х(), которая включала бы значения р
на линиях х = Xj, / > /, в этом случае будет учитываться передача инфор-
информации вверх по потоку при помощи второго из упомянутых выше меха-
механизмов. Чтобы алгоритм оставался маршевым, эти значения естественно
предполагать вычисленными в процессе предыдущей итерации некоторого
итерационного процесса. Обозначая их чертой, можно записать несколько
таких аппроксимаций, выделив среди них следующие:
— ~ "Т1 ", E.6а)
ЪР ¦— ¦• ¦¦ ¦-' E6б)
Pi+l
х = х, h
Pi+i
х-х; 2-
-Pi
- Pi f
- Pi- l
h
t-pi-i
h
E.6b)
Для фиксированной итерации каждой из этих аппроксимаций можно
поставить в соответствие систему дифференциальных уравнений вида
du Эй
р + G_+H = f, E.7)
Ь% Эт?
где f - вектор правой части, в который входят значения р, отмеченные
чертой.
Матрица Р, отличается от матрицы Р тем, что в случае E.6а) и E.66)
ее элемент, соответствующий члену с давлением в х-компоненте уравне-
уравнения импульсов, будет иметь противоположный знак, а в случае E5в)
этот элемент будет нулевым.
12. Зак. Т61 Л
Во всех случаях собственные значения матрицы P^Q будут действи-
действительными. Например, ;шя декартовой системы координат х, у они равны
соответственно
_ _. Yuv + >/G ¦ \f п2!}2 +B7 - 1) и2 + 1 — "и2
3> 1+B7-1M2
для аппроксимаций E.5а) и E.56),
j = Х2 = v/u, "Х3,4 = [G + 1) мп + \/G-
доя аппроксимаций E.5в). Здесь й = и/[(у - 1)Л], и = и/[G
числа Маха для мин компонент скорости.
Ввиду корректности для системы E.7) задачи Коши с начальными
данными при \ = const для ее решения при фиксированной сеточной функ-
функции р можно использовать маршевый алгоритм.
Применение компактных аппроксимаций, построенных на основе диаго-
нализации матрицы Кх =/>Г1 Q вида
приводит к следующей схеме для уравнений Эйлера E.1):
(Л + оИ%В? Сч G)(u,-u, _,)//!{ +^^0, —-Ли,., +Н, = ё/, E.8)
где матрица /? в случае аппроксимации E.66) имеет в качестве ненулевых
элементов лишь те, которые соответствуют членам с давлением в уравне-
уравнении для ? -компоненты импульса, и в случаях аппроксимаций E.6а) и
E.6в) R = 0; в правую часть g; схемы E.8) входят значения давления,
считающиеся известными из предыдущей итерации.
Операторы Bv и Cv в E.8) построены при помощи матрицы Мг =
= jPiSjAj (PiSi)"'; формально положив ее равной нулю, алгоритми-
алгоритмически просто перейти к аппроксимациям четвертого порядка вида (А'З)'1/^}
производных (9/9tj). В случае сходимости итераций схема E.8) аппрокси-
аппроксимирует систему Эйлера E.1), поэтому при практическом ее использовании
остаются лишь два вопроса: устойчив ли (хотя бы условно) маршевый
алгоритм как эволюционная задача с "времяобразной" переменной ? и
сходятся ли на самом деле итерации.
На первый вопрос немедленно следует утвердительный ответ в случаях
E.6а) и E.6в), когда R = 0, и схема E.8) ничем не отличается от уже
рассмотренных. Случай E.66) требует более сложного анализа, учиты-
учитывающего конкретный вид матрицы R. Применение спектрального метода
для модельной задачи Коши после элементарных выкладок приводит к
собственным значениям оператора перехода от слоя х = х{_ i к слою х = xt,
не превосходящим по модулю единицы, но крайней мере если v <u, что.
обычно и имеет место, когда поперечные размеры области течешя являют-
являются намного меньшими, чем продольные.
Вопрос о сходимости итераций является более сложным. Анализ Фурье
для области с продольным размером X и поперечным У в случае модельной
задачи с постоянными коэффициентами и нулевыми граничными условия-
условиями наводит на мысль о том, что рассматриваемые итерационные процессы
178
сходятся для определенного типа потоков и расчетных областей. Чтобы
проиллюстрировать это, полезно рассмотреть относительно простой случай
декартовой системы координат и центрированной аппроксимации произ-
производных по v.
Выражения для коэффициента у. усиления гармоник при переходе к
следующей итерации после вычисления соответствующих определителей
можно записать в виде
iii =e"'akij(kl +k2) в случае E.6а),
ц2 = 2i sin а. кхЦк%ф + к2) в случае E.66).
Рз = / sina ki/k2 в случае E.6в),
где
к\ ~ Ф + уи2 Ф + yubf, к2 = у'п2ф2 — A - D2) if2 + G + 1)ИТ>*рф,
ф = 1 - ехр (- га), <р = / (hx/hy) (sin /3/4 cos 0),
а = BпИх/ХIг, /3 = BnhvIY)l2, /, = 1, 2, . . ., X/hx, l2 = 1, 2,. . . , Y/hy,
X=Mhx, Y = Nhy.
Ограничиваясь для простейших оценок случаем низкочастотных гармоник
(/i = l2 =1), нетрудно усмотреть, что
ip~iB-nhx/Y), ф ~ i Bnhx/X). E.9)
Кроме того, полезно заметить, что маршевые алгоритмы обычно приме-
применяются в ситуациях, когда для дозвуковой части потока выполняются
неравенства Y <^Х и F <^п < 1. Именно так происходит в пристеночной
области течения. Тогда выражения для kt и к2 упрощаются и приобре-
приобретают вид
так что
, , 1+G-1)
I 1+G~1)
В этом равенстве два последних слагаемых в знаменателе в силу E.9)
ЯВЛЯЮТСЯ ЧИСТО МНИМЫМИ И | Ц 1 | < 1.
В случае E.66) при сделанных предположениях | \i2 \ < 1, поскольку
I *р | > | ф |. Аналогичное заключение можно сделать об условиях выпол-
выполнения неравенства | ju31 < 1-
Приведенные элементарные оценки являются лишь необходимыми,
однако уже они показывают, что сходимость итераций сильно обусловлена
спецификой класса рассматриваемых течений. При конструировании алго-
алгоритмов для частично параболизованных уравнений Навье- Стокса следует
учитывать наличие в расчетной области зоны дозвукового потока, кото-
который неизбежно существует около твердой поверхности. При сверхзвуко-
. вом течении на некотором расстоянии от стенки дозвуковая зона скорей
всего является частью пограничного слоя, поэтому ее относительные по-
поперечные размеры и скорости малы (порядка О^е^1*2)). Это позволяет
надеяться на сходимость итераций.
179
Обобщая схему E.8) для уравнений Эйлера на случай упрощенных
уравнений Навье-Стокса, достаточно к последней добавить аппроксима-
аппроксимацию членов с вязкостью, записав ее по аналогии с E.5) в виде
Щ Л (u,- - ur_ j )/At + С„ [oG, + A - a) G,_ ! ] + Дч [аН,+ A - а) Н,_ , ] =
= —№ + A-а)Т;_,] +—BvRui_1+gi. E.11)
Теперь общий алгоритм для расчета сверхзвуковых течений вязкого газа
на основе упрощенных уравнений Навье—Стокса можно сформулировать
следующим образом: в той части расчетной области, где поток сверхзву-
сверхзвуковой и ы > 1 + е, е > 0, в каждом узле на линии % = |,- используется ап-
аппроксимация E.5), а в остальной же ее части аппроксимация E.11).
Переключение схемы с E.5) на E.11) не вызывает никаких алгоритми-
алгоритмических трудностей: достаточно лишь по-другому вычислить элементы
матриц при реализации прогонки. На практике оказалось, что вполне
приемлемым упрощением, не ухудшающим качество решений, является
применение центрированных операторов Вп и Сп, в которых М, = 0. Это
особенно существенно в случае дискретизации производныхдр/д% вида
E.6в), когда при т? -> 0 /И 3,4 "*¦ °° •
5.2. Примеры расчетов
Сверхзвуковое невязкое течение в сопле. Полезной проверкой метода
является расчет сверхзвукового стационарного течения невязкого газа
в профилированном сопле [73], для которого имеются достаточно на-
надежные данные, полученные методом характеристик [76]. Контур этого
сопла yw(x), представленный на рис. 2.23, является решением обратной
задачи при заданном распределении числа Маха на разгонном участке Мо (х)
и предположении о том, что в критическом сечении имеет место однород-
однородное течение газа с числом М = 1,01 (штриховая кривая соответствует
характеристическому ромбу). Разгонный участок включает в себя кони-
коническую часть с углом полураствора в 12°. Зависимости Мо (х) и Mw(x),
где Mw - число Маха на стенке, полученные при помощи схемы E.3),
на рис. 2.23 представлены точками вместе с результатами решения об-
обратной задачи методом характеристик (сплошные кривые). Из рис. 2.23
следует, что имеет место практически полное совпадение этих численных
данных.
Сверхзвуковое течение вязкого газа в профилированном сопле. При-
Примерами применения маршевого алгоритма, включающего схемы E.5)
и E.11), являются расчеты течения вязкого газа в пространственном
осесимметричном сверхзвуковом сопле [73], которое экспериментально
исследовано в [77]. Контуры этого сопла yw (x) были получены в [77]
в результате решения обратной задачи методом характеристик, исходя
из требования, чтобы число Маха М однородного ядра потока в выходном
сечении сопла равнялось бы 6. При этом полученный таким образом
идеальный контур сопла у(х) подправлялся на толщину вытеснения по-
пограничного слоя 5 *(дг), т.е. yw (х) = у{х) + 8 * (х). Контур сопла yw (x),
представленный на рис. 2.24, получен при следующих параметрах рабочего
газа (воздуха): давление и температура торможения р0 = 5000 Па, То =
180
-700 -
S00
7000
Рис. 2.23
/Sffff
2000
/и
. . .S-
\
1 « ' • 1 S «_ P,
ffff
Рис. 2.24
= 450 К, температура стенки Tw = 290 К; число Рейнольдса, вычислен-
вычисленное по начальному радиусу сопла и параметрам на входе, Re = 1098. Пря-
Прямая 1 соответствует характеристическому ромбу при решении обратной
задачи.
Принималось, что в критическом сечении сопла пограничный слой. от-
отсутствует, а поток с числом Маха 1,01 является однородным. Для коэф-
коэффициента вязкости ц использовался степенной закон ц ~ т0>76. Оказа-
Оказалось, что в случае мягкого условия для давления на выходе из сопла (ли-
(линейная экстраноляция) для получения решения достаточно было выполнить
всего лишь две итерации. В качестве начального приближения в области
М < 1 + е, е = 0,1, использовались значения давления, удовлетворяющие
Условию (ywy"p)i+i,f - (ywy"p)i,/ =0.
181
На рис. 2.24 приведены полученные в результате решения прямой задачи
распределения числа Маха вдоль оси (Мо(*)) и в поперечном сечении
сопла x/yw @) = 60,8(М(д>)) вместе с данными эксперимента [77] (на
рисунке обозначены точками). На рис. 2.24 представлены также функции
u(v), v(r}), h(v)> p(v) в сечении x/yw @) = 64,85, характеризующие струк-
структуру течения и указывающие на существование практически однородного
сверхзвукового ядра потока. Для иллюстрации изменения размеров
этого ядра по длине сопла на рис. 2.24 приведены профили продольной
скорости и (у) в различных сечениях х = const.
Из результатов решения прямой задачи следует любопытный вывод:
приближенная методика учета вязкости при проектировании сопла в виде
добавления толщины вычисления к идеальному контуру [77] в рассмат-
рассматриваемом случае приводит к хорошему совпадению с расчетными данными,
полученными при решении уравнений Навье—Стокса, несмотря на большие
поперечные размеры пограничного слоя, сравнимые с размерами невязкого
ядра потока.
Расчеты течения в сопле с контуром yw (л") проводились также для
заданного давления рс на выходе, составлявшего менее половины того
значения, которое было получено с использованием мягкого граничного
условия. В этом случае для сходимости требовалось порядка десяти ите-
итераций. На рис. 2.24 приведены распределения давления вдоль стенки pw (x)
в концевой части сопла (кривые 2) при использовании на срезе сопла
мягких граничных условий (сплошная линия) и условия р(у) = р0 =
= 0,3 • 10~э (штрихпунктирная линия). Те же условные обозначения приня-
приняты для соответствующих зависимостей газодинамических параметров от гг.
Из рис. 2.24 следует, что в рассматриваемом случае передача возму-
возмущений вверх по потоку, несмотря на толстый пограничный слой, осущест-
осуществляется лишь в пристеночной области, практически не затрагивая одно-
однородное ядро потока.
Глава 3
КОМПАКТНЫЕ АППРОКСИМАЦИИ В ЗАДАЧАХ
О ТЕЧЕНИЯХ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
Применение компактных разностных схем при решении уравнений не-
несжимаемой жидкости технически оказывается значительно более простым,
чем в случае течений вязкого газа. Это объясняется тем, что стандартные
подходы к построению численных алгоритмов для задач гидродинами-
гидродинамики обычно допускают трактовку уравнений импульса как скалярных урав-
уравнений относительно скоростей или завихренности. Вместе с тем иногда ста-
становится желательным одновременное решение уравнений движения, напри-
например, при их записи в криволинейной системе координат.
Первый опыт применения компактных аппроксимаций в задачах не-
несжимаемой жидкости был связан с использованием центрированных фор-
182
мул, обеспечивающих четвертый порядок точности дискретизации первых
производных [30—34]. Такие методики получили различные названия
в соответствии с тем, каким способом были выведены эти формулы, яв-
являющиеся, вообще говоря, частным случаем формул D.11) из гл. 1.
В дальнейшем речь будет идти в основном о нецентрированных аппрок-
аппроксимациях третьего порядка: это нисколько не нарушит общности описа-
описания компактных схем, поскольку алгоритмически центрированные схе-
схемы можно получить простым обнулением сеточной функции - переклю-
переключателя, определяющего "ориентацию" нецентрированных схем. При этом
соответствующие операторы из положительных становятся неотрицатель-
неотрицательными, что в случае их применения в неявных алгоритмах не изменяет
выводов об устойчивости этих алгоритмов в приближении замороженных
коэффициентов.
Можно отметить также, что, поскольку компактные аппроксимации
являются лить способом дискретизации пространственных производных,
они пригодны для построения самых различных алгоритмов перехода от
одного момента времени к другому или от предыдущей итерации к после-
последующей. В дальнейшем будут рассматриваться неявные вычислительные
циклы, основанные на приближенной факторизации операторов; на прак-
практике они оказались достаточно универсальными и устойчивыми способа-
способами получения численных решений.
В разд. 1 вместе с основными уравнениями однородной несжимаемой
жидкости рассматриваются алгоритмы для неременных вихрь—функция
потока. Методам, основанным на уравнениях для переменных скорости-
давления посвящен разд. 2. Внимание в нем уделяется и маршевым ал-
алгоритмам расчета стационарных течений.
Приближенные модели несжимаемой жидкости рассматриваются в
разд. 3. Здесь обсуждаются вопросы применения компактных аппрокси-
аппроксимаций для численного моделирования течений стратифицированных сред,
описываемых уравнениями Буссинеска, а также турбулентных течений. В
качестве примера применения компактных схем в нетрадиционных зада-
задачах несжимаемой жидкости приводится алгоритм для расчета эволюции
спектров поверхностного волнения в водоемах, вызванной приповерх-
приповерхностными течениями.
Поскольку основное внимаение в гл. 3 уделяется алгоритмическому
аспекту задач несжимаемой жидкости, а не результатам их решений, приво-
приводимые примеры расчетов немногочисленны и, имея модельный харак-
характер, не сопровождаются детальным гидродинамическим анализом.
1. ФОРМЫ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ-СТОКСА.
АЛГОРИТМЫ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВИХРЯ И ФУНКЦИИ ТОКА
1.1.0 численном моделировании течений несжимаемой жидкости
Уравнения и граничные условия. Понимая под несжимаемой жидко-
жидкостью жидкость с постоянной плостностью, можно выписать уравнения
ее движения, формально положив р = const в системе Навье-Стокса сжи-
сжимаемого газа и считая давление независимом от плотности. Если пред-
предположить еще, что коэффициент вязкости /л является постоянным, то
183
уравнения неразрывности и импульсов становятся независимыми от
уравнения энергии и в декартовой системе координат (х1, х2, х3) мо-
могут быть записаны в виде
д
Эх"
ди'
ю =
э
= о,
(и'иа ¦
р
ди1
— V
эг ЭхЛ_ р ъ*' - AЛ)
где и' (/ = 1,3)— декартовы составляющие скорости, v = \xjp — коэффи-
коэффициент кинематической вязкости и где принято суммирование по повто-
повторяющимся индексам.
При сделанных предположениях уравнение .энергии становится ска-
скалярным конвективно-диффузионным уравнением и имеет тот же вид,
что и уравнение для эволюции некоторой пассивной примеси. Для изо-
изотермической жидкости оно выполняется тождественно и здесь рассма-
рассматриваться не будет.
Используя тензорное преобразование с контравариантными компонен-
компонентами скоростей иа (а = 1, 3), систему A.1) можно записать в произволь-
произвольной системе криволинейных координат либо в неконсервативной, либо в
слабоконсервативной форме. Последняя может быть получена из уравне-
уравнений A.10) гл. 2 при р = const, ц = const с использованием равенства div V =
= 0 в уравнениях импульса.
Если же желательно сохранить консервативную форму записи системы
A.1), то, как и в случае сжимаемого газа, каждое из этих уравнений мож-
можно преобразовать как скалярный закон сохранения, оставляя компонен-
компоненты импульса декартовыми. При этом результирующая система окажет-
окажется частным случаем системы A.9) из гл. 2.
В теории несжимаемой жидкости большую роль играют уравнения,
представленные в форме Гельмгольца, записанные относительно завих-
завихренности со = rot V; в декартовой системе координат они имеют вид
дш
— + (V- V)co - (to-V)V =еДсо, A.2)
bt
где V = (Э/Эх], Э/Эх2, Э/Эх3)т, а точкой обозначено скалярное произ-
произведение. Эти уравнения особенно удобны в двумерном случае, когда
существует лишь один компонент завихренности. Тогда уравнение A.2)
переходит в скалярное уравнение и после введения функции тока ф в
декартовых координатах (х, у) равенствами
м1 = и = дф/ду, и2 = v = -Ъф1Ъх A.3)
система Навье—Стокса, будучи записанной в дивергентной форме, приоб-
приобретает вид
Эсо/Э? + ducj/dx + dvej/dy = 1>Да>, A-4а)
ЛФ = -cj, A.46)
где w = dv/дх -f ди/ду, а Д = (Э2/Эх2 + д2/ду2).
184
При постановке вычислительных краевых задач для уравнений Навье
Стокса несжимаемой жидкости возникают те же ситуации, что и в слу-
случае сжимаемого газа. Фактически границы областей, в которых проис-
происходят дискретизации уравнений, могут быть типизированы в виде гра-
границ, где параметры потока предполагаются невозмущенными, границ
симметрии, где формулируются условия симметрии течения, свобод-
свободных границ, возникающих при замене бесконечных областей конечны-
конечными, а также твердых границ, на которых выполняются условия либо
непротекания, либо прилипания.
Существует много способов формулировки граничных условий на
свободных границах, пригодных для получения численных решений. Та-
Такими условиями могут, в частности, быть:
мягкие граничные условия, диапазон которых может простираться
от равенства нулю нормальных к этим границам производных первого
или более высокого порядков до некоторых соотношений между ними,
определяемых асимптотической формой исходных уравнений;
асимптотические условия, основанные на той или иной асимптотике
точных решений;
неотражающие граничные условия, позволяющие выйти возмущениям
за границы области, не отразившись внутри ее.
Как и в случае сжимаемого газа, по-видимому, наиболее узким местом
в постановке граничных условий на твердых поверхностях при числен-
численном решении краевых задач является необходимость построения допол-
дополнительного условия для давления в случае уравнений типа A.1) и усло-
условий для вихря в случае уравнений тина A.2). Здесь опять-таки существу-
существует много идей и вариантов.
Обсуждение и анализ различных типов граничных условий выходят
за рамки этой книги; их можно найти, например, в монографиях [1, 2].
Заметим лишь, что неудачный выбор граничных условий может свести
на нет положительные свойства численного алгоритма и даже привести
к его неработоспособности. В дальнейшем будут использоваться в ос-
основном традиционные формы этих условий.
О численном моделировании течений несжимаемой жидкости при ма-
малых и больших числах Рейнольдса. После приведения уравнений Навье—
Стокса к безразмерному виду коэффициент кинематической вязкости
v заменяется величиной Re, где Re = v„Ljv — число Рейнольдса, вы-
вычисленное по характерным масштабам в, и[ соответственно скорости
и длины. Для течений несжимаемой жидкости критическое число Рейнольд-
Рейнольдса, соответствующее переходу ламинарного режима в турбулентный, ока-
оказывается сравнительно небольшим. В этой связи уместно вспомнить, что
в случае сжимаемого газа увеличение числа Маха оказывает стабилизирую-
стабилизирующее действие на течение и ламинарный режим может сохраняться до боль-
больших значений чисел Re.
При малых докритических числах Рейнольдса численное решение крае-
краевых задач для уравнений Навье Стокса не вызывает особых затруднений
и может быть осуществлено традиционными методами. Поэтому неуди-
неудивительно, что первые расчеты вязких течений на основе уравнений A.4)
были выполнены еще в конце 20-х годов [78] для обтекания кругово-
кругового цилиндра (Re = 5, 10). Однако при увеличении числа Re процесс числеп-
185
ного решения краевых задач, представляющих интерес, существенно ус-
усложняется. Это связано по меньшей мере с двумя причинами.
Во-нервых, усложняются сами решения исходных уравнений — они
могут терять устойчивость, претерпевать бифуркации, вообще перестать
быть ламинарными.
Во-вторых, с увеличением локальных градиентов искомых функций
ухудшаются свойства разностных решений и затрудняется процесс их
получения. Во многом это связано с возможностью появления коротко-
коротковолновых осцилляции, дестабилизирующих вычислительный процесс.
Если первая причина в некотором смысле является неустранимой, то
вторая может быть в значительной степени устранена применением ал-
горимов, подавляющих нефизические высокочастотные гармоники. Тако-
Таковыми, в частности, являются компактные схемы третьего порядка.
Философия их применения при больших значениях Re, как и в случае
сжимаемого вязкого газа, основывается на следующих соображениях.
1. При реальном количестве узлов разностных сеток за исключением
отдельных простых случаев трудно претендовать на получение решений,
близких к точным решениям уравнений Навье—Стокса.
2. Сгущая узлы сеток в областях с большими градиентами решений
и используя достаточно большие шаги вне этих областей, можно модели-
моделировать течения, в которых имеются области с несущественной ролью вяз-
вязкости (в том числе и турбулентной), и области, в которых течение имеет
вязкостный характер (ламинарный или турбулентный); в случае турбу-
турбулентных течений в правую часть A.1) следует внести рейнольдсовы на-
напряжения, определяемые той или иной моделью турбулентности.
3. Используя условия прилипания на твердых поверхностях, но не сгу-
сгущая около них узлы, можно получить решения, близкие к решениям урав-
уравнений Эйлера с некоторым схемным пограничным слоем. Такая постанов-
постановка задачи имеет смысл, когда внутренняя структура вязких пристеноч-
пристеночных слоев не представляет интереса и требуется информация лишь о круп-
крупномасштабных изменениях течения, слабо зависимых от этой структуры.
Позиции 2 и 3, по существу, снимают вопрос о переходе ламинарного
режима течений в турбулентный, но при этом речь идет не о получении точ-
точных численных решений уравнений Навье—Стокса при больших числах
Рейнольдса, а об использовании этих уравнений для численного моделиро-
моделирования представляющих практический интерес течений. Такой подход будет
подразумеваться далее в этой главе. Он обладает несомненным преиму-
преимуществом, позволяя моделировать течение в целом и одновременно описы-
описывать его как вязкие, так и невязкие подобласти. При малых числах Рей-
Рейнольдса (Re « 1 -МО) конвективные члены не столь существенны по срав-
сравнению со случаем Re > 1, вследствие чего отпадает необходимость приме-
применения нецентрированных аппроксимаций, подстраивающихся под эти чле-
члены. При этом значительно проще и экономичнее использовать центриро-
центрированные схемы четного порядка.
При умеренных и больших числах Рейиольдса, а также при Re = °°, ког-
когда члены с вязкостью не учитываются и система Навье-Стокса вырожда-
вырождается в уравнения Эйлера, разностные схемы с компактными аппроксима-
аппроксимациями нечетного порядка могут оказаться эффективным инструментом
численного исследования течений несжимаемой жидкости.
186
1.2. Аппроксимация уравнений Навье—Стокса
для переменных вихрь—функция тока
Операторы, аппроксимирующие конвективные члены. С точки зрения
простоты применения компактных схем система Навье—Стокса в фор-
форме A.4а) выгодно отличается от системы A.1) наличием лишь одного
уравнения с конвективными членами. В этом случае нет необходимости
определять собственные значения: и собственные векторы матриц, а при
решении разностных уравнений достаточно использовать скалярные про-
прогонки.
Скалярные разностные операторы гл. 1 для уравнения A.4а) на сет-
сетке соЛ : Xj = ihx,yj -fhy, hx = const, hy = const имеют вид
Ax = Al - 0,25s* AS, Дх = 0,5 [AS - sxA\\,
Ay = Al - 0,25$уД?, Ay = 0,5 [Д? - sytf],
где sx = sgniijj, sy = sgnUjy, а компоненты скоростей мин считаются
известными. Соответственно операторы
5Х = A?Ax(hx и 8у = AylAy/hy A.6)
аппроксимируют производные по х и у, так что в каждом узле сетки
бх by
Если в расчетной области сеточные sx и sy не меняют знака, то приме-
применение операторов A.6) обеспечивает консервативность дискретизации
конвективных членов, записанных в дивергентном виде. В окрестности
точек переключения sx м sy это свойство нарушается, однако по анало-
аналогии с матрично-разностными операторами равенства A.5) можно моди-
модифицировать следующим образом:
Ах = Ах0 - 0,25Alsx, Ax = 0,5[AS - Al(T*/2sx)A+\,
Ay = Al — 0,25A$sy, Ay = 0,5[A^ - Ay_(Ty{ sy)Al].
При применении операторов A.8) независимо от изменения знака sx и sy
разностные потоки через общую границу двух ячеек оказываются рав-
равными и в результате суммирования взаимно уничтожаются. Однако в слу-
случае переключения sx и sy локально понижается порядок аппроксимации
операторов 5V и Ьу, так что равенства A.7) для некоторых узлов уже
не имеют места. Как правило, число узлов переключения составляет не-
небольшую долю общего числа узлов, поэтому выбор операторов A.5)
или A.8) слабо отражается на получаемых результатах и их точности.
Однако следует предохранять схему от излишних переключений, имеющих
нефизический характер (например, при малых колебаниях и или и око-
около нуля, вызванных схемными эффектами). В этом случае целесообраз-
целесообразно положить sx = 0 и sy = 0 соответственно при \ и\ < е и | v \ < е, где
е — достаточно малое число.
Факторизованные схемы. Для аппроксимации уравнения завихренности
A.4) на сетке сот X u>h (шт : tm = пгт) достаточно по известным значе-
значениям и'" и и?! построить операторы A.6), положив хх = sgnu'", sy =
187
= sgn i>"!, ввести эту или иную дискретизацию членов с вязкостью и произ-
производной дш/dt, а затем в рамках неявной схемы осуществить приближен-
приближенную факторизацию. Если довольствоваться порядком аппроксимации
относительно шага т не выше второго, то можно использовать двухточеч-
двухточечную формулу для doj/dt. Тогда простейший вариант схемы с операто-
операторами 8Х н8у для уравнения завихренности можно записать в виде
[Е + та(8х'й - v82x)][E + та{8уИ — v82y)](u)m + 1 — а/")/т +
+ 8хпсот + 8yvum - и(82х+82у)шт = 0. A.9)
Здесь и и U - значения скорости, которые предполагаются вычисленными
по значениям ик и vk (& < /и + 1) с использованием тех или иных интер-
интерполяционных формул, а 82х и 82у — некоторые операторы, аппрокси-
аппроксимирующие вторые производные по* чу соответственно.
При вычислении скоростей и и v по функциям тока можно использо-
использовать некоторые кососимметричные операторы 5Ох и 8Оу; например, для
"т = Soy^mlhy, vm = -5Ox\pmlhx. A-Ю)
В случае аппроксимации второго порядка достаточно положить
Sox = Дох/2ЛХ, 8Оу = AOy[2hy.
Если предположить, что введен разностный аналог уравнения Пуассо-
Пуассона A.46), то при известных сеточных функциях со"',~п и 17 алгоритм сво-
сводится к следующим этапам:
1. Определяется Y = 8уг)ыт из трехточечных скалярных уравнений
Ау Y = АупиГ с последующим вычислением выражения
2. Определяется com +' из одномерных уравнений
\АХ + та(Ахп - vAx82x)]?ll2 = -tLco,
vA ' - 1'2 AЛ1)
3. Решается разностное уравнение Пуассона, соответствующее A.46).
4. Вычисляются скорости um +' иит + 1 по формулам вида A.10).
Используя операторы A.5) или A.8), можно несколько модифици-
модифицировать схему A.9), обойтись без вычисления вспомогательной функции
У. Эта модификация основана на коммутативности этих операторов при
постоянном значении параметра s, т.е. при отсутствии изменения знака
скоростей. Пусть это условие выполнено. Тогда, умножив обе части A.9)
наАхАу, получим схему
[Ax+TS(Axii-vAx82x)][Ay+TO(Ay-v~vAy82y)\(oj
m +
m =
+ АуАхпыт +AxAyljcjm - vAxAy(82x +82>,)com = 0,
обладающую погрешностью O(h3). Однако третий порядок этого уравне-
уравнения теряется в окрестностях узлов, где скорости меняют свой знак. Чтобы
этого не происходило, достаточно в этих окрестностях полагать s = 0,
т.е. использовать аппроксимации четвертого порядка. Конечно, при этом
188
теряется свойство консервативности, что, однако, часто не отражается
на свойствах получаемых решений.
Существует известный произвол в выборе операторов 52х, 82у, 8Ох,
8оу, а также в аппроксимации уравнения Пуассона. Этот выбор можно
осуществить в соответствии с тем, какие цели ставятся при применении
операторов A.6).
Во-первых, не стремясь к достижению порядка аппроксимации выше
второго, можно задаться целью в классе неявных трехточечных схем по-
получить такие схемы, которые обладали бы благоприятными свойствами
монотонности и не требовали бы введения дополнительных сглаживаю-
сглаживающих членов.
В этом случае достаточно было бы использовать обычную аппроксима-
аппроксимацию уравнения Пуассона, центральные разности для операторов 6о* и 8оу,
а также некоторые обсуждавшиеся ранее способы выбора операторов
82х и 82у, приводящие к аппроксимациям членов с вязкостью, имеющей
порядок меньше третьего.
Во-вторых, вводя в случае необходимости преобразования координат,
растягивающие области с большими градиентами, можно поставить зада-
задачу построения алгоритмов повышенной точности, т.е. требующих при
прочих равных условиях меньшего числа узлов сетки. Тогда нужно исполь-
использовать разностные аналоги высокого порядка как уравнения Пуассона,
так и равенств, определяющих связи между скоростями и функцией тока.
Для дискретизации уравнения Пуассона с четвертым порядком доста-
достаточно применить формулы компактного численного дифференцирования
типа формул B.11), приведенных в гл. 1, т.е. формул
Ь2Ф
9^
которые могут интерпретироваться как аппроксимации Падэ операторов
вторых производных. Тогда итерационная факторизованная схема для
A.46) запишется в виде
j
/ 1 v1 / 1 V1 AЛЗ)
где Лх =( Е + — А2х\ A2x/hl, ,Лу =\Е + — Д2 J A2y/h2y, а ах,
о2 и тк - итерационные параметры. Как легко заметить, обраще-
обращение операторов Е — о^т^Жх а Е — о^ТкЛу сводится к трехточечным ска-
скалярным прогонкам.
Схема вида A.13) подробно исследована в [45]. Иногда целесообраз-
целесообразным оказывается прямой метод обращения оператора Лх +ЛУ - метод
полной редукции, требующий меньшего числа арифметических операций,
чем алгоритм A.13), с оптимальным выбором итерационных параметров.
Если требуется решить стационарную задачу, то необязательно доби-
добиваться сходимости итераций A.13). Положив тогда Oi = а2 - 1, т* = т,
можно, используя только одну итерацию, фактически искать установив-
189
шееся решение уравнения
дф/dt - Аф + со.
Применение алгоритмов повышенной точности для уравнения Пуассо-
Пуассона подразумевает использование аппроксимаций производных дф/Ъх
и Э ф\Ъу достаточно высокого порядка. Это легко осуществляется, напри-
например, если в формулах A.10) положить 5Ох = 04?)~'Д$/2, 8Оу =
= (A$)~l A&/2; тогда для определения скоростей потребуются скалярные
трехточечные прогонки. Как известно, весьма важную роль в разностных
алгоритмах решения уравнения A.4) играет формулировка граничного
условия для завихренности на твердой поверхности. Обсуждение этих ус-
условий содержится, например, в [1]. Если не заботиться о повышении по-
порядка аппроксимации алгоритма, то все они, в принципе, могут быть ис-
использованы в сочетании с разностными уравнениями A.9) и разностным
аналогом уравнения Пуассона, записанным на пятиточечном шаблоне.
В историческом плане первыми условиями для завихренности на твер-
твердой поверхности были условия Тома [78] и Вудса [79], имевшие соот-
соответственно первый и второй порядок точности.
Если считать, что в декартовой системе координат (х, у) твердая по-
поверхность описывается равенством у = 0, то оба эти условия можно по-
получить из разложения в ряд Тейлора функции тока ф в окрестности стен-
стенки, в котором все производные вычисляютсяпри>> = 0, а {Ьгф1Ъу2)у^0 =
= —<jj(x, 0). Полагая^ = hy, можно получить условия Тома [78]
ы(х, 0) = -2ф(х,куIку + O{hy); A.14а)
если же выразить производную (д3Ф1ду3)у = о через (дш/ду)у-.о, то
получается условие Вудса [79]
со(х, 0) = -C1Иу)ф(х,Иу) - o>(x,hy)/2 + O(h2). A.146)
Альтернативным вариантом получения условия второго порядка являь
ется совместное рассмотрение разложений для ф при у = Иу и у = 2hy.
Фактически оба равенства A.14а) являются локальными, т.е. незави-
независящими от значений функций в остальных узлах области. Они основы-
основываются на гладкости функции тока ф, условии ненротекания ф(х, 0) = 0
и условии прилипания и - (Ьф1Ьу)у = 0 = 0; последнее можно рассматри-
рассматривать как лишнее условие для определения ф, которое позволяет найти
оз (х, 0).
Для случая стационарных задач эффективное условие на твердой по-
поверхности было предложено в [80]. Оно имеет вид
ш(х,0) = е[у(х)Ьф/ду + ш(х,у)]у= о, A.15)
где е — параметр, стремящийся в процессе счета к единице; у — релакса-
релаксационный параметр, а достаточно произвольная функция о(х) вводится
с целью улучшения процесса сходимости в случае бесконечной границы
у = 0 [81,82].
При е = 0, что естественно задать в начале счета, выполняется равен-
равенство со(х, 0) = 0 и поток проскальзывает вдоль твердой стенки; при е = 1
190
в случае сходимости процесса, когда е -*¦ 1, выполняется условие прили-
прилипания, а значение со(х, 0) приобретает некоторое установившееся значение.
Условия A.14), A.15) удобно использовать как явные условия, в ко-
которых правые части вычисляются по результатам предыдущего цикла
вычислений. Для алгоритма повышенной точности условия A.14) лег-
легко модифицируются. Вместо них в случае достаточно гладкой функции
ф можно записать целый ряд соотношений, выражающих связь между
значениями в узлах ф, дф/ду и 92ф/ду2.Одно из таких соотношений,
записанное с погрешностью O(hy), имеет вид
д3ф \
) A-16)
Ъу / i\ \ Ъу2 /to V ду
где индексы 0 и 1 соответствуют линиям у = 0 и у = hy; в нем учте-
учтено, что на твердой стенке ф = (дф/ду) = 0. Коэффициенты оц, /30 и То
легко находятся методом неопределенных коэффициентов [38] и оказы-
оказываются равными соответственно A/4)йу, (l/4)hy и (l/24)hy.
Из равенства A.16) следует соотношение
Фп Щ\
io hy hy
которое после использования аппроксимации второго порядка (Ъ$-/ду)м =
= C?;о + 4?,"i — %i2)\^hy приводит к трехточечному граничному условию
для завихренности с погрешностью O(hy).
Об устойчивости алгоритмов. Оценки устойчивости приведенных выше
схем являются весьма затруднительными даже в приближении заморожен-
замороженных коэффициентов, если рассматривать полную задачу с граничными усло-
условиями. Можно лишь высказать некоторые общие соображения.
Существенный вклад в вычислительную устойчивость методов для пе-
переменных вихрь-функция потока вносит устойчивость схемы для уравне-
уравнения завихренности. В данном случае такая устойчивость обеспечивается
положительностью операторов дх к 8у; для неявной факторизованной схе-
схемы A.9) она является абсолютной в приближении замороженных коэф-
коэффициентов .
Если в этом приближении рассмотреть совокупность разностных уравне-
уравнений завихренности и Пуассона для функции ф, то первое из них можно
представить в виде (для простоты имеется в виду нефакторизованная неяв-
неявная схема с двухточечной аппроксимацией doj/dt)
+bbyojm + l +сдОхфк +с18Оуфк), A.18)
где а, Ъ, с, d — некоторые константы, а к = т+ 1, если уравнения относи-
относительно u/" + 1 и фт + 1 решаются одновременно, и к = т,если сначала реша-
решается одно из них, а затем другое.
Рассматривая общую разностную задачу для периодических функций
и освобождаясь тем самым от граничных условий, можно перейти в про-
пространство коэффициентов Фурье Сш и С^ функций w и ф. Поскольку из
уравнения Пуассона следует, что С^ = АС^,, где А - некоторое действи-
действительное число, то коэффициент усиления гармоник Хы, соответствующий
191
равенству A.18) при к = т+ 1, запишется в виде
*и> = [1 + г (azlx+ bziy) + vr(z2x + z2y)}'1, A.19)
где zlx, zly, iz2x, iz2y — спектральные образы операторов 8X, 8y, 8Ox,
8Oy. Из положительности операторов 8Х и 5^ следуют неравенства Rczj > 0,
Rez2 > 0, а из кососимметричности операторов 8Ох и 8Оу — действитель-
действительность чисел z2x и z2y. Таким образом, доя 1X^1 справедлива оценка
I^cjI < 1 и схема является абсолютно устойчивой.
Если же к = т, то вместо A.19) можно записать равенство Лы =
= [1 — ir{z2x + Z2y)] [I + T(azix + Ziy)]1 > из которого следует, что
\\ы\ < 1 + О(т2). Этаоценка, будучи несколько худшей, чем предыдущая,
тем не менее является вполне приемлемой.
Таким образом, если не рассматривать граничные условия, то в случае
нелинейности задачи можно надеяться на вполне разумный запас устойчи-
устойчивости. К сожалению, использование граничных условий для вихря на твер-
твердой поверхности в той или иной степени дестабилизирует алгоритм, что
может выразиться в ужесточении ограничений на шаг т и замедлении схо-
сходимости в стационарном случае. Это относится прежде всего к явным ва-
вариантам этих условий, в которых правые части считаются известными из
предыдущего цикла вычислений.
1.3. Примеры расчетов
Применение центрированных компактных схем. Основной областью
применения компактных схем четвертого порядка, не учитывающих на-
направления распространения возмущений, оказались задачи о течении несжи-
несжимаемой жидкости. При этом в большинстве случаев использовались урав-
уравнения Навье—Стокса в переменных вихрь -функция тока [31, 34] (см.
также [1]). Основным лимитирующим фактором для этих схем явля-
являются малость сеточного числа Рейнольдса Rec = и,/г/е, где и, и А- ло-
локальные значения скорости и шага сетки. Если это число не превосходит
нескольких единиц, то самосопряженная часть разностного оператора ком-
компенсирует отрицательное воздействие его кососимметричной части и сеточ-
сеточные решения не искажаются (или не сильно искажаются) схемной немоно-
немонотонностью. Если оно мало или равно бесконечности (v =0),то применение
центрированных алгоритмов, как будет показано ниже, может привести
к неудаче.
При выполнении ограничения на Rec алгоритмы четвертого порядка
являются высокоточными и эффективными. В качестве иллюстрации
можно привести результаты, заимствованные из [34] и относящиеся к те-
течению вязкой жидкости в прямоугольной каверне с движущейся верхней
крышкой. В табл. 7 представлены значения вихря в середине этой крышки,
полученные в результате установления при помощи обычных схем второго
порядка и компактных схем четвертого порядка, построенных на основе
кубических сплайнов (все схемы являются дивергентными) [34], Из таб-
таблицы следует, что компактные схемы немного превосходят по точности
схемы второго порядка и могут обеспечить значительную экономию ухюв
сетки, полностью оправдывающую их применение.
Другим примером использования компактных схем является решение
192
Рис. 3.1
классической задачи об обтекании кругово-
кругового цилиндра. В [83] представлены подроб-
подробные методические исследования, связанные
с расчетами при помощи как разностных
схем второго порядка с односторонними
разностями, так и схем четвертого порядка
[30]. Показано, что без каких-либо измене-
изменений последние могут быть применены толь-
только при числах Рейнольдса Re = Uxd/v <
< 200 (f/oo - скорость набегающего потока,
d — диаметр цилиндра). Чтобы расширить
область допустимых чисел Re, была исполь-
использована модификация этих схем, связанная
с введением дополнительного параметра,
позволяющего переключать трехточечные операторы в зависимос-
зависимости от знака скорости [34] (однако в этом случае при больших сеточ-
сеточных числах Рейнольдса схема становится как бы схемой второго порядка).
Модифицированная схема позволяла проводить расчеты до Re < 800. Хотя
при дальнейшем увеличении числа Рейнольдса стационарные решения могли
быть получены только при помощи обычных схем,в [83] делается вывод
о том, что компактные схемы в области их применимости приводят к луч-
лучшим результатам, чем схемы второго порядка. К аналогичному заключе-
заключению приводят также результаты исследования нестационарных режимов.
Движение пары вихрей в невязкой жидкости. Положительные свойства
компактных аппроксимаций третьего порядка [84] можно проиллюстриро-
проиллюстрировать на примере задачи о движении пары вихрей равной интенсивности,
но противоположной ориентации в сосуде с твердыми стенками [85].
Пусть в области G: {-д < х < а, 0 < у < Ь}, в начальный момент вре-
времени t = 0 возникла пара прандтлевских вихрей, так что
со = П0>0 при (х-х0J +(у-уоJ < До.
ы = -П0 при (х+х0J+(у ~у0J < Rl
и со= 0 в остальной части области G. Согласно классическому решению за-
задачи о паре точечных вихрей в безграничной жидкости, должно возникать
перемещение областей завихренности вдоль оси у. В данном случае из-за
наличия твердых стенок, на которых предполагается непротекание жид-
Таблица 7
Аппроксимация
Сетка
Завихренность в центре
подвижной поверхности
Обычная второго порядка
Компактная четвертого порядка
17Х 17
65 Х65
128X128
17 X 17
7,376
6,609
6,574
6,532
'А 13. Зак. 761
193
2? =
t=2S
Рис. 3.2 (окончание)
кости (вязкость равна нулю), вихри поднимаются до границы у = Ъ, а за-
затем начинают двигаться вдоль стенок (правый вихрь - но часовой стрелке,
левый — против часовой стрелки).
На рис. 3.1 приведены изолинии завихренности в последовательные
моменты безразмерного времени в области справа от оси симметрии х= О,
полученные в результате расчетов по схеме A.9) с граничными условиями
со = 0 на твердых границах. На изолиниях не видны какие-либо следы
схемной немонотонности, несмотря на то, что численные решения описы-
описывают весьма резкую границу между завихренной и незавихренной жид-
жидкостью.
Для сопоставления на рис. 3.2 представлены эти же изолинии, получен-
полученные при помощи центрированной схемы четвертого порядка (sx = sy = 0).
Хотя эта схема является, как и A.5), абсолютно устойчивой, тем не менее
она оказалась неспособной описать решения с большими градиентами:
на рис. 3.2 видно, что вихри с течением времени оказались окруженными
нереалистическими мелкомасштабными вихревыми структурами, пол-
полностью исказившими картину течения. При больших временах наступил
полный "развал" решения.
Течения в океане, порожаемые крупномасштабным полем ветра. Дру-
Другим примером применения компактных схем третьего порядка являются
численные решения задачи о развитии и установлении ветрового течения
в баротроином океане постоянной глубины под действием внезапно воз-
195
?=J385
?=a,oz
Рис. 3.3
никшего и в дальнейшем неизменного во времени крупномасштабного
поля ветра.
Математическая постановка этой задачи приведена в [86, 87]. Исход-
Исходные уравнения в приближении /3-плоскости после соответствующего обез-
размеривания имеют вид
Эсо / Эмсо dvu>\ дф
+ е ( + ) + — = 7 Д" -6w - g(x,y),
dt \ Ъх Ъу ' Ъх
Аф = — со, и = дф1Ъх, v = -Ьф/Ъу,
где е, 7 и б — параметры, характеризующие соответственно влияние ад-
адвекции относительного вихря со, горизонтального турбулентного трения
и стока вихря. Заданная функция g(x, у) определяется в виде
g(x,y)= -rotzr,
где т — вектор касательного напряжения ветра.
196
Jffffff
JZ000
P и с. 3.4
Граничными условиями задачи в модельной постановке [86,871 явля-
являются условия прилипания на восточном (jc = 1) и западном (х = 0) бере-
берегах; границы у = 0 и у = 1 предполагаются жидкими с выполнением на них
равенств v = 0 (условие непротекания) и иу = 0 (т.е. фактически с*>= 0).
Подробное изучение этой задачи при 5 = 0 и g(x, у) = sin7r>> было про-
проведено в работе [87] при помощи явного метода, использующего аппрок-
аппроксимацию Аракавы конвективных членов [88]. Вследствие центрирован-
центрированности схемы Аракавы при ее применении возникает необходимость вве-
введения в алгоритм тех или иных фильтров, устраняющих коротковолно-
коротковолновые схемные осцилляции.
В зависимости от значений параметра е возможны два режима течений,
описываемых рассматриваемыми уравнениями. При достаточно больших
значениях существует стационарный режим течения с формированием
пограничного слоя у западного берега. При уменьшении е этот режим те-
теряет устойчивость и возникают квазипериодические изменения ф и а> [87].
На рис. 3.3 приведены изолинии функции тока в поачедовательные мо-
моменты времени в случае установившегося течения (е = 0,04, рис. 3.3, а)
и квазипериодического режима (е = 0,02, рис. 3.3,6), полученные при
помощи алгоритма A.9) [85]. Для этих же значений е на рис. 3.4 представ-
представлены зависимости от времени энергии е = (и2 + о2)/2 в некоторой точке
плоскости (х, у), характеризующие степень установления течения при
е = 0,04 и колебательный режим его изменения при е = 0,02.
При получении этих результатов, качественно хорошо согласующихся
с данными [87], не возникало необходимости использования каких-либо
сглаживающих фильтров.
2. АЛГОРИТМЫ ДЛЯ ПЕРЕМЕННЫХ СКОРОСТИ-ДАВЛЕНИЯ
2.1. Неявный метод с коррекцией давления
Общая идея построения метода. В случае трех пространственных коор-
координат использование уравнений в форме Гельмгольца A.2) в значительной
мере теряет свою эффективность ввиду трудоемкости восстановления
поля скорости по нолю завихренности. Это обстоятельство существенно
увеличивает роль методов, основанных на аппроксимации уравнений гидро-
197
динамики для естественных неременных ¦- компонент скоростей и дав-
давления.
С точки зрения применения разностных методов основная специфика
этих уравнений, отличающая их от уравнений сжимаемой жидкости, состо-
состоит в невозможности непосредственного определения из них производной
Ър/bt и, следовательно, давления на следующем временном слое.
Эта трудность была успешно преодолена в ранних работах [89, 90]
путем использования идеи о том, что давление на последующем времен-
временном слое может быть определено из условия обращения в нуль диверген-
дивергенции вектора скорости (метод MAC). Эта же идея была реализована в
близком к методу MAC методе расщепления по физическим признакам
[91], в котором процесс вычислений разделялся на три этана. В этих рабо-
работах применялась центрально-разностная аппроксимация конвективных
членов, что приводило к жестким ограничениям на шаг по времени т при
увеличении числа Рейнольдса. Использование ориентированных разностей
с учетом ориентации потока [92, 93] существенно улучшает свойства
устойчивости и монотонности схемы.
Для построения неявного метода с коррекцией давления удобно пред-
представить уравнения импульсов в системе A.1) в векторном виде
au/3f + Lu = -(l/p)gradp. B.1)
Введя на сетке cjh разностные аналоги /,Аи grad/, соответственно опе-
операторов L и grad, можно записать следующие аппроксимации B.1) на
сетке cjt X со/,
(u -u")/T + IAu=-(l/p)grad*pw, B.2)
(u" + 1 -un)/T+LAu=-(l/p)gradfcpII + 1. B.3)
Здесь Ъ — вектор предварительных значений скоростей и, который подле-
подлежит уточнению.
Из B.3) и B.2) следует равенство
u«+i -и = - 1 grad^p, 5p = p"+1 -p", B.4)
Р
которое и позволяет найти окончательные значения скоростей u"+1, если
только известна величина 6р. Последнюю можно определить, применив к
B.4) разностный оператор div/, и используя разностное условие соленои-
далыюсти вектора u"+1, т.е. условие divhu"+1 = 0.
В случае однородной жидкости (р = const) в результате этой операции
получается уравнение для др вида
(l/p)div*gradfc6p = (l/r)divAu. B.5)
Таким образом, для определения поля скоростей и давления при
t = tn+1 достаточно из B.2) найти и, а затем из B5) найти 6р. Оконча-
Окончательные значения скоростей u"+1 вычисляются но формуле B.4).
Такая последовательность вычислений аналогична принятой в методике
[91, 92]. Различие состоит в неявном способе определения значений и,
которое при этом имеет не фиктивный, а физический смысл, а также в том,
что вместо давления р" + 1 определяется поправка Вр =р" + 1 —р".
198
Порядок аппроксимации схемы B.2), B.4), B.5) по пространствен-
пространственным переменным зависит от выбора операто.ра Lf,, в то время как неза-
независимо от способа дискретизации по времени погрешность этой схемы
относительно шага т будет иметь порядок О(т) из-за членов с grad^p,
рассматриваемых либо на я-м, либо на (п + 1)-м временных слоях. При
решении стационарных задач методом установления это не столь суще-
существенно, однако в случае нестационарных задач может оказаться жела-
желательным использовать схемы с погрешностью, не большей, чем О(т2).
К схеме второго порядка приводит следующая модификация алгорит-
ма B.2), B.4), B.5):
и - и" + (т/2)Х,Л5 = -(T/2)gradftP«, B.6)
Из этих уравнений с учетом div^u"+1 = div/,u" = 0 следует аналог урав-
уравнения B.5) для Ьр = pn+1 - р":
, B.7)
а также уравнения B.4) для определения поля скоростей
„и+1 _ и" - 2и = -(T/2)gradft5p. B.8)
Дискретизация пространственных производных. Не ограничиваясь рас-
рассмотрением компактных аппроксимаций, можно сформулировать некото-
некоторые общие соображения по поводу выбора операторов, аппроксимирую-
аппроксимирующих производные по переменной X/ (у = 1, 2, 3) в операторах div/, и
grad/,, атакжев конвективных членах системы A.1). Обозначив эти опе-
операторы соответственно D^d) , Dig^ и D^ , потребуем, чтобы они удов-
удовлетворяли следующим условиям:
при 5Ф0, s5^}>0, B.9)
j = 8„ + б0/( />,<"> = -(?>/*>)• = 5и - 50/;
здесь индексами 0 и 1 отмечены соответственно самосопряженные и косо-
симметричные составляющие операторов D^ и D^
Первые из условий B.9) означают, что оператор D^k^ может быть либо
кососимметричным, либо положительным, что является естественным ус-
условием устойчивости разностной схемы B.2) при фиксированной правой
части.
Согласно второму условию B.9), операторы численного дифферен-
дифференцирования, входящие в операторы grad^ и div/j, следует выбирать либо
кососимметричными, либо противоположно ориентированными (т.е. в
виде соответственно левых и правых разностей или наоборот). При вы-
выполнении этого условия уравнения B.5) или B.7) запишутся в виде
Dh8p = l- I D<d>u,, B.10)
г j=\ ' '
где / = 1 в случае уравнения B.5) и / = 4 в случае уравнения B.7), а
199
3
Dh = 2 Ej. — 5^.) — самосопряженный отрицательный оператор. По-
Последнее обстоятельство является существенным с точки зрения устойчи-
устойчивости всего алгоритма в целом.
Обращение оператора Dh для некоторых операторов 60/ и 5^- может
быть излишне трудоемким, если его шаблон будет содержать более чем
три ухта в каждом из пространственных направлений. Эту трудность можно
обойти, если заменить уравнение B.10) уравнением
А„8р = 2 —- 6р = -divhu. B.11)
/=i Щ т
Однако при этом коррекция давления 8р будет обеспечивать обращение
в нуль div/, um+1 лишь с точностью до O(h2), h = maxhf.
i
В случае аппроксимации пространственных производных со вторым
порядком невязка разностного уравнения неразрывности порядка O(h2)
находится в соответствии с общим порядком схемы и, как показывает
практика, во многих случаях не влияет заметным образом на решение.
Вместе с тем если желательно иметь бездивергентное поле скорости с той
точностью, с которой решается уравнение B.10), то для каждого цикла
по времени можно ввести итерационный процесс, который приводит к об-
обращению оператора Df,. Простейший вариант его записывается в виде
\ B.12)
где к - номер итерации.
Вычислив константы энергетической эквивалентности операторов Af,
и ?>й , вместо B.12) можно использовать итерационные процессы с опти-
оптимальными наборами параметров, обращая каждый раз либо оператор Af,,
либо соответствующий ему факторизованный оператор.
При использовании компактных аппроксимаций третьего порядка
достаточно положить
D™ = &t = A;)Ajhh 1=1,2,3, B.13)
где индексы jc,- в B.13) отмечают операторы А и Д, соответствующие
координате х(. Если не стремиться к построению метода с погрешностью
O(h3), то в качестве операторов DJ-g^ можно использовать различные
операторы второго порядка точности, например центральные разности
A'0/2hj. В этом случае роль компактных аппроксимаций сводится к улуч-
улучшению свойств монотонности численных решений при дискретизации кон-
конвективных членов на трехточечном (по каждой из координат) шаблоне,
если сравнивать эти свойства со свойствами обычных центрально-разно-
центрально-разностных аппроксимаций.
Вместе с тем ценою некоторого увеличения количества арифметических
операций в течение каждого вычислительного цикла можно повысить
порядок аппроксимации алгоритма. Для этого требуется, во-первых, ис-
использовать разностные операторы DJg^ (у = 1,3) повышенной точности и,
во-вторых, решать уравнение B.8), а не B.11), применяя, например, ите-
итерационный процесс типа B.12).
200
Оставаясь в рамках трехточечных схем, в качестве DJg^ можно исполь-
использовать те же операторы 5;- третьего порядка аппроксимации или операторы
(A'0)~1A'0/2hi четвертого порядка. Тогда члены вида grad^p" в уравне-
уравнении импульсов можно определять, положив
Ax}A2iP"/hj = Xf или (A/0)-1^opnl2hf=Y/ (/=Г73) B.14а)
и решая затем трехточечные скалярные уравнения
Ах1Х} = Ах;р"/к} или A'0Yi= A'op"/2h,. B.146)
Несколько выгоднее использовать операторы 5;-, поскольку после умноже-
умножения обеих частей разностных уравнений импульсов на один из операторов
AXj комбинация A~XjAXjpn перейдет в Ах/рп, что не потребует введения
сеточной функции Xj.
Если члены grad^p" аппроксимируются согласно соотношениям
B.14а, б), то операторы дивергенции div^ однозначно о преде/г яются в виде
^ -(A;JAxfr/h} или (or(o)
Тогда в первом случае
^ = ^(A*xiAxirlA[/hf, B.15а)
а во втором —
D^h^AirHKflM]. B.156)
При использовании итерационного процесса для решения уравнения
B.10) приходится вычислять члены вида Dhbp", где Ьр" — известная се-
сеточная функция. Это можно сделать следующим образом. Пусть для опре-
определенности оператор Dh определяется формулой B.15а). Обозначим
через Zj слагаемые (A*xjAxj)~l A\bp"lhf, тогда
A'xiAx/Z, = A{6p"/hj. B.16)
Обращая последовательно АХ)- и Ах,, из B.13) можно определить Zj,
и, следовательно, Dhbpn= 2 Z,- Аналогично можно поступить в случае,
когда оператор Dy, определяется формулой B.156).
Применение описанного выше алгоритма повышенной точности тре-
требует дополнительного числа скалярных прогонок с общим числом ариф-
арифметических операций, пропорциональным числу узлов сетки. Следует
отметить также необходимость формулировки соответствующих раз-
разностных граничных условий. Таким образом, этот алгоритм оказывается
более трудоемким и сложным по сравнению с алгоритмом,использующим
обычные способы дискретизации производных в операторах grad>, и div/,.
Вместе с тем следует иметь в виду, что основные затраты времени счета
связаны с решением уравнения Пуассона, а не с обращением операторов
AXj или AXj, которым соответствует число арифметических операций,
пропорциональных числу узлов сетки. Поэтому дополнительное число
арифметических операций, связанных с повышением порядка аппрокси-
14. Зак. 761 20Л
мации, может не привести к большому проценту увеличения времени
счета.
Кроме того, при надлежащем преобразовании физической области в
расчетную теоретическая погрешность метода повышенной точности убы-
убывает как O(h3), что позволяет рассчитывать на использование меньшего
количества узлов при заданной погрешности.
Оценивая для конкретной задачи роль перечисленных выше фактов,
можно сделать вывод о целесообразности или нецелесообразности при-
применения аппроксимаций высокого порядка операторов grad>, и div;,.
Оценки устойчивости. Рассматривая алгоритм с коррекцией давления
для задачи Коши в неограниченной области, нетрудно оценить его устой-
устойчивость в приближении замороженных коэффициентов при весьма общих
предположениях об операторах D^ и D^d\
Пусть переход от сеточной функции и" к и при фиксированной функ-
функции gradj,p" осуществляется при помощи некоторой абсолютно устой-
устойчивой схемы. Основу для этого создает первое условие B.7), предъявляе-
предъявляемое к операторам D\k~*, — схема B.2) оказывается схемой с положитель-
положительными операторами. Тогда собственные значения ц, соответствующие этому
переходу, удовлетворяют условию Неймана
\d\< 1.
Пусть далее /у(а;), 0 < а;- < 2тг, — собственные значения операторов DJg\
j - \,к; тогда собственные значения оператора Dh, очевидно, будут рав-
з _
ны — 2 /¦•//. Введем функцию к(а], аг, аз), положив к = 1, если непо-
/ = i
средственно решается уравнение B.8), и
з _ / з а\
к= 2/;¦/;•/D2 sin2—), 0< а,< 2я,
/=1 \/=1 2 /
если левая часть B.8) заменяется на Д/,6р. В последнем случае к, по су-
существу, является отношением собственных значений операторов Df, и Д/,.
Вычисляя собственные значения X оператора перехода от и-ro времен-
временного слоя к (п + 1)-му, после некоторых выкладок можно получить урав-
уравнение
(Я- 1)[?2 -2A -к +z/2)q + A -к)A +*)] =0, B.17а)
если рассматривается алгоритм B.2), B.4), B.5),и уравнение
(q-z+ 1)[<?2 -2A -2к)<7+1 -z2] =0, B.176)
если рассматривается алгоритм B.6), B.7), B.8). В B.17а, б) использо-
использованы следующие обозначения:
Из B.17а) и B.176) следует, что одно из собственных значений для каж-
каждого случая равно соответственно A + z) и A -z)(l +z)~'.B первом
случае неравенство |Х^| < 1 выполняется вследствие того, что X = д.
Во втором случае это неравенство имеет место, если Rez > 0. Остальные
202
два собственных значения Л*2* и Л*3^ являются корнями квадратных
уравнений. Они весьма просто вычисляются, если к = 1. Тогда
АB) = 0, AC)=z/(l+z) для B.17а),
ЛB)=1, ЛC> = A -z)/(l + z) для B.176).
Все эти значения, очевидно, удовлетворяют условию |Х| < 1 при Kez > 0.
Ввиду того что последнее неравенство является следствием неравенства
\ц\< 1, можно утверждать, что все рассмотренные собственные значения
но модулю не превосходят единицы, а алгоритм при сделанных предпо-
предположениях удовлетворяет необходимому условию устойчивости.
При к Ф 1 в результате громоздкого алгебраического анализа корней
Л*-2) и Л^3) можно показать, что эти выводы остаются справедливыми,
если выполняется неравенство 0 < к < 1.
Рассмотрим, например, наибольший по модулю корень Х*3^ квадрат-
квадратного уравнения из B.17). Для него можно записать выражение
\/{r+f)l2J +{\b\+y/(r-f)l2J ^
(l+aJ +b2
где a= Rez, b = Imz, /= (a2 - й2)/4 + к2(к - 1), r = \Jf2 +a2b2l$.
Очевидно, что при к = О |Х*3^|2 = 1. В то же время нетрудно уста-
установить, что
— |ХC>|2=-( 1 _к+ -
Л V 2
+ A-2к)[- 'Кд/2 V— + — V—--— 1- B.19)
Ч 2г 2 4г 2 2rJ
Из неотрицательности а, а также легко устанавливаемых неравенств
\b\l7yj~r < 1, |/| \г < 1 следует, что выражение в квадратных скобках
в B.19) не превосходит единицы. Но это означает, что при 0 < к < 1/2
левая часть B.19) отрицательна и |Х^3^| убьюает с ростом ^удовлетво-
^удовлетворяя неравенству |\^3М < 1. Заметив еще, что г (к) = г(\ — к) и /(к) =
= /A — к) при 0< к < 1/2, легко усмотреть, что это неравенство выпол-
выполняется для всего интервала 0 < к < 1. Аналогичный ход рассуждений
можно использовать и для корней Х^ и А^3*, соответствующих урав-
уравнению B.18).
Из приведенных выше оценок следует, что все алгоритмы, в которых
оператор в левой части B.4) или B.8) согласован с операторами, входя-
входящими в div;, и grad/j (к = 1), удовлетворяют условию Неймана устойчи-
устойчивости схемы. Таковыми, в частности, являются алгоритмы повышенной
точности с операторами B.15а, б). Этому условию удовлетворяют также
алгоритмы, в которых для дискретизации конвективных членов исполь-
используются компактные аппроксимации, а для дискритизации остальных про-
производных но пространственным координата^ — центральные разности.
203
л 3
Действительно, в этом случае «¦ = 2 (sin2ay)/[4 2 sin2(a-/2J1 < l
Можно установить также выполнение достаточных условий устойчивости
рассматриваемых схем, однако в этом вряд ли существует необходимость
ввиду значительной идеализации исходной задачи.
2.2. Схемы, основанные на методе искусственной сжимаемости
Исходные уравнения. Отсутствие в уравнениях Навье-Стокса A.1)
производной Ър/dt, по существу, и является причиной, по которой при ре-
решении нестационарных задач на каждом цикле вычислений приходится
решать уравнение Пуассона. Как уже отмечалось, время, затрачиваемое
на его решение, составляет значительную часть от общего времени выпол-
выполнения вычислительного цикла, причем количество выполняемых при этом
арифметических операций во многих случаях не является пропорциональ-
пропорциональным числу узлов сетки. Для построения экономичных методов решения
уравнений гидродинамики в [41] был предложен подход, состоящий в
введении в уравнение неразрывности членов вида е dp/dt, где е > 0 —
некоторый параметр. В дальнейшем этот подход исследовался и приме-
применялся в целом ряде работ (см., например, [94—97], а также монографию
[1]). В декартовых координатах исходная система записывается следую-
следующим образом:
+ bUjUj/bXf = -Эр/Эх,- + vAuit
O, e>0.
В случае нестационарных задач теоретически можно надеяться на то, что при
малых е решения B.20) не будут слишком сильно отличаться от решений
A.1). В случае использования B.20) в качестве основы для метода уста-
установления параметр е вообще не должен влиять на точность стационарного
решения при условии, что оно получено по схеме с полной аппроксимацией.
Привлекательной стороной уравнений B.20) является близость их
свойств к свойствам нестационарных уравнений сжимаемого газа, позво-
позволяющим решать обычную эволюционную задачу. Параметр е при этом
условно можно назвать параметром искусственной сжимаемости. Область
целесообразного применения уравнений B.20) относится, по-видимому,
к решению стационарных задач, когда параметр е можно выбрать равным
0A). При малых значениях е могут возникнуть существенные трудности,
аналогичные трудностям в случае применения алгоритмов для сжимаемого
газа при числе Маха М -*¦ 0. В [97], однако, предлагается на каждом шаге
по времени вводить дополнительный итерационный процесс, параметр ко-
которого играет роль псевдовремени; такой процесс позволяет обойти труд-
трудности, связанные с вырождением матрицы при производной Э/Э/ в случае
е-*0.
Алгоритмы с векторными прогонками. Систему B.20) удобно предста-
представить в векторном виде:
9f * 9F,(f)
— + 2 = pAf, p = dia&(v,...,v,0), B.21)
dt i=i dxi
204
Ki =
B.22)
где f = (и1,. .., uk, р)т, а число к равно 3 или 2 соответственно в про-
пространственном или плоском случае. Легко усмотреть, что матрицы Якоби
К( = 3F,-/df имеют действительные собственные значения. Например, при
к = 3 матрица
н, 0 0 1
О и, О О
О 0 «! О
е О О О
имеет собственные значения Х^1* = \U) = и1,Х^1) = ut/2 +
+ V(Mi/4) + A/e), X4A) =Mi/2 - л/(м?/4) + A/е)'. Отсюда следует воз-
возможность использования компактных аппроксимаций вида
dFj/dXj = В;} Cxj F, + O(h3), B.23)
где в операторы BXj и CXj входят матрицы Mj - SjDjSf1, причем Kj =
= Sj~lAfSj, A^diaglX^}, Z^—diagisgnX^}, i = 1, 4. В декартовой си-
системе координат, для которой выписана матрица B.22), матрица Mj име-
имеет две строки, в которых ненулевыми элементами являются лишь диаго-
диагональные элементы. Это соответствует тому, что второе и третье уравнения
импульсов из системы B.21) оказываются не связанными через давление
с уравнением неразрывности и могут рассматриваться как скалярные кон-
конвективно-диффузионные уравнения. Таким образом, в этом случае по
крайней мере при v = 0 обращение всех матрично-разностных операторов
фактически сводится к двум скалярным прогонкам и одной векторной
прогонке с матрицами размерности 2 X 2. В произвольной системе коор-
координат матрица М, вообще говоря, является заполненной, а обращение со-
соответствующих операторов, если не привлекать внутренние итеррацион-
ные процессы, осуществляется векторными прогонками с матрицами раз-
размерности 4X4. Однако если интересоваться стационарными решениями
уравнений B.20), то при небольших ограничениях на выбор криволиней-
криволинейной системы координат можно добиться того, что размерность матриц в
векторных разностных уравнениях не будет превышать 2. Рассмотрим,
например, плоское течение невязкой жидкости, описываемое уравнениями
в системе координат % = % {х, у), r\ = rj(x, у), где х и у - декартовы коор-
координаты. Запишем эти уравнения в консервативной форме относительно
декартовых составляющих скоростей мин:
di/dt + 3F/3? + aG/Эт? = 0, B.24)
F = /"' (U/e, Uu + p$,x, Uv + р$уУ,
./ Y
G =/" i V/e, Vu + pr)x, Vv + prjy I , f = J i(p, u, v) .
В B.24) нижние индексы х и у обозначают дифференцирование по со-
соответствующим переменным, а через U и V обозначены соответственно
комбинации и%,х + v%y и ицх + vrjy. Если рассматривать в качестве иско-
искомого вектор ft =J~(p, U, V), заменив им вектор f в B.24), а функции
205
и и !; считать фиксированными, то матрицы Якоби будут иметь вид
о
е
и
v
О
О
О
9G
0
Пх
Пу
0
0
0
е
и
V
Их собственные значения будут действительными, если преобразования
% {х, у) и т](х, у) таковы, что %х > 0 и т)х > 0. Хотя матрицы B.21) вырож-
вырождены, а с ними и матрицы Мх1 и Мх2 (*i = % и хг = tj), операторы fix;- и
?х/- + tCxjKj тем не менее являются обратимыми. Для их обращения
достаточно решить совместно два уравнения: в случае / = 1 они соответ-
соответствуют первым двум строкам матрицы dF/bfi, а в случае / = 2 — первой
и третьей строкам. Уравнение, соответствующее оставшейся строке,
решается в результате скалярных прогонок.
После аппроксимации производных Э/Эх,-, согласно B.23), для B.21)
может быть записана факторизованная схема
П
rB-}CxiKf-rv82i]
+ Е (Я -'C^.-F.™ — y62/fm) = 0> B.25)
где через 52/ обозначен разностный аналог оператора производной Ъ2/дх?.
Способы выбора операторов 62;- и исследование схемы B.25) приведены
в предыдущих главах.
2.3. Маршевые алгоритмы
Схема с коррекцией давления. Как и в случае сжимаемого газа, в неко-
некоторых задачах о стационарных течениях несжимаемой жидкости иногда
оказывается полезным выделение преимущественного направления потока
с последующим использованием маршевых или итерационно-маршевых
алгоритмов. Основой их применения является упрощение уравнений
Навье—Стокса, приводящее к тому, что исходная система приобретает
свойства параболических уравнений, в которых роль времени играет про-
пространственная координата. Маршевый принцип может позволить сущест-
существенно увеличить число узлов вдоль этой координаты, что особенно важно
в случае пространственных задач.
Существуют различные возможности параболизации уравнений Навье-
Стокса, многие из которых связаны с выбором системы координат. Рас-
Рассмотрим сначала один из вариантов параболизации, когда полностью исклю-
нается механизм распространения возмущений вверх по потоку.
Пусть течение в декартовых координатах (xltx2,x3) описываетсяурав-
описываетсяуравнениями
Эм|Эм;- дщди/ 1 Эр
= vA23ult = + vA2zuu г = 2,3, B.26)
Ьх,- дх/ р ЬХ{
с, = 0,
206
в которых Д2з = Ъ21Ъх\ + Э2jbx\ и принято суммирование по повторяю-
повторяющимся индексам. В системе B.26) отсутствуют вторые производные по
координате х, и производная др/дху. Такие уравнения могут использо-
использоваться, например, для описания струйных течений, направленных вдоль
оси Xj и не обладающих осевой симметрией. Введя двумерные разностные
операторы 2-й, gradft и div^,, аппроксимирующие соответствующие диф-
дифференциальные операторы в плоскости (х2,х3) на некоторой сетке со2з.
можно записать разностный аналог первого уравнения B.26), используя
сетку у,Хш2з (t^i -x" =nh1):
[(и?J-КJ]/*! +^а«Г = О; B.27)
здесь скорость и^ предполагается положительной величиной, а через
обозначена аппроксимация членов Ъигих]Ъхг + du3ujbx3 -pA23Ui-
Для остальных уравнений B.26) по аналогии с B.2), B.3) и B.4)
можно выписать следующие разностные аппроксимации:
1 ^"-1, B.28а)
(v"-rv"-')/ft1 +(l/u?)Lhv = ~(l/u?)^dhp", B.286)
(иГ-и?-1)/*!»-^", B.28b)
в которых вектор v имеет компоненты (м2, и3), а у =j^_/u". Вычитая
из B.286) B.28а) и применяя к результату оператор div/,, можно полу-
получить с учетом B.28в) уравнение доя определения поправки к давлению
- 1 1 / иГ--и?-!\
diVft — grad^Sp = — ( divhu + )¦ B.29)
и" hi \ hi J
Алгоритм теперь сводится к следующей последовательности действий,
полностью аналогичных в случае уравнений B.2), B.4), B.5): определе-
определению и" из B.27); определению v из B.28а) с использованием вычислен-
ных значений и"; решению уравнения B.29) дня 5р. Значения компонент
вектора v" после этого могут быть вычислены из равенства
i^i B.30)
которое является результатом вычитания B.28а) из B.286). Для эффек-
эффективного решения уравнений B.27) и B.28а) можно использовать прибли-
приближенную факторизацию, а при вычислении Ьр - тот или иной метод реше-
решения эллиптических уравнений.
Как и в случае алгоритма B.2), B.4), B.5), нужно позаботиться о том,
чтобы в операторах gradft и div h использовались сопряженные операторы
численного дифференцирования, а аппроксимации конвективных членов
в L/, v осуществлялись при помощи неотрицательных операторов.
Алгоритм B.27), B.28а), B.29), B.30) имеет первый порядок аппрок-
аппроксимации относительно шага /гх. Дословно повторяя рассуждения, относя-
относящиеся к случаю нестационарной задачи п.2.1, можно построить алгоритм
с погрешностью O(hf), аналогичный B.6), B.7), B.8).
Для оценок устойчивости схемы B.27), B.29), B.30), интерпретируе-
интерпретируемой как схема для эволюционной задачи с в'ремяобразной неременной дс,,
207
можно воспользоваться спектральным методом. Рассматривая соответст-
соответствующую B.27) недивергентную систему с замороженными коэффициен-
коэффициентами, обозначим через ц собственное значение оператора перехода
/ А, V1
I Ь + —Lf, I , U\ = const. Тогда, как нетрудно показать, собственные.
\ «1 /
значения оператора перехода от слоя хх = х" к слою хг = х" будут
удовлетворять уравнению
где через D(\) обозначена левая часть B.17 а, б). Отсюда и из результатов
анализа D(X) следует, что необходимый признак устойчивости | X | < 1
будет выполнен, если комплексное число ц будет удовлетворять нера-
неравенству | ц | < 1. Последнее выполняется, в частности, при аппроксима-
аппроксимации конвективных членов при помощи операторов A ~j Axj.
Что касается выбора операторов grad/,, div й, то все соображения, приве-
приведенные по этому поводу в п. 2.1, остаются в силе.
Итерационные маршевые алгоритмы. Во многих задачах с преиму-
преимущественным направлением стационарного течения оказывается желатель-
желательным сохранить определяемый градиентом давления механизм распростра-
распространения возмущений вверх по потоку, не учитывая диффузию в этом на-
направлении. Тогда, как и в случае сжимаемого газа, выгодно применять
не метод установления, а итерационный метод, в котором для определе-
определения решения при х = дс,- = const (x — маршевая координата) используется
уже найденное в течение текущей итерации решение при х < Х{ и значения
давления при х > х,-, найденные в результате предыдущей итерации. Этот
метод, как и для сжимаемого газа, часто называют методом глобальных
итераций (см., например, [98, 99]), хотя, по существу, он является извест-
известным методом блочной релаксации, или методом релаксации в линиях, при-
применяемым при численном решении краевых задач для уравнений эллиптиче-
эллиптического типа. В принципе, его можно было бы использовать и при решении
полных уравнений Навье—Стокса, однако тогда пришлось бы запоминать
после каждой итерации не только поле давления, но и поле скоростей.
Простейшим вариантом учета распространения возмущений вверх по
потоку является аппроксимация производной Ър/Ъх на сетке Wj: xk = kh\
в виде
B31)
где чертой отмечены значения давления, найденные в результате предыду-
предыдущей итерации. Вместо B.31) можно было бы рассмотреть и другие фор-
формулы для Эр/Эх \х = х-> использующие значения р при х > jc,-, в частнос-
частности те, которые содержат некоторые весовые множители.
Пусть дискретизация всех производных по х в исходных уравнениях
осуществляется при помощи двухточечных разностей назад, если компо-
компонента скорости в направлении х всюду положительна. Тогда, предполагая
для простоты декартову систему координат и учитывая равенство
структуру итерационного алгоритма для частично параболизованных урав-
208
•1ений Навье—Стокса удобно представить в следующем дифференциально-
эазностном виде:
9f
Эх
9F
9G
bz
= v\
92v
Ъг2
/ Pi + 1 - Pi! - 1 , , ~~л
+ t{ " " I. B.32)
--де
f = (—р + и2, uv, uw, и)г, F = (ни, и2 + р, vw, v)r,
G = (uw, vw, w2 +p, w)T, v = (u,v,w, 0)T,
r = A, 0, 0, 0), а все производные рассматриваются при х = х,-. Вид линеа-
линеаризованной левой части B.32), а с ней и матрично-разностных операто-
операторов компактного численного дифференцирования зависит от выбора век-
вектора зависимых переменных. В частности, если в качестве последнего
выбрать вектор f, то матрицы Якоби P=dFjd( и Q = dGjbf будут иметь
вид
'! 0
-1
Р =
v
w
и
1
и
0 0
0 24,
v
и
V
0 - -
V
I
и
и
Q =
о
1
0
-1
0
0
w
и
0
0
1
V
и
2
1
и
w
и
0
vw
1
и
II'2
24/-
и
w
и
I
1
!
-!
1
"\
i
i
Собственные значения их действительны (они равны соответственно
v/u, v/u, 1,-1 для матрицы Р и w/u, w/u, 1,-1 для матрицы Q), поэтому
при аппроксимации левой части системы B.32) естественно использовать
операторы компактных схем третьего порядка Ву,Су нВ2,С2, основанные
на диагонализации матриц Р и Q. Рассматривая переменную х как время-
образную, итерационно-маршевый алгоритм для B.32) на сетке coj X о>2з
после приближенной факторизации можно записать в следующем виде:
(E + hiB^CyP-vSyyXE + hiB^QQ-vd^tfi-f^^lh! = B.33)
= -[By1CyFi_1 +Bz~1CzGi_1 -v(&yy+8Zz)fi-i] +«"(P«+i -Pi-i)/Ai-
В B.33) через Ьуу и 5ZZ обозначены операторы, используемые в аппрокси-
аппроксимации вторых производных
Э2 9 3f Э2 Э 9f
(f)= г и —v(f)= —T-,
ay ду ay oz oz oz
где Т = dv/9f; предполагается, что все матрицы Якоби вычислены при
х = Xj_!. Дця того чтобы обращаемые операторы были трехточечными, до-
достаточно положить
Ьуу = Ву
=5
где АуУ и Azz — трехточечные аппроксимации операторов д/Ъу(Тд/ду)
и 8/9z(r3/9z), определенные формулами C.6) из гл. 2.
При сохранении общей структуры алгоритма B.33) возможны некото-
209
рые его модификации. Например, в качестве вектора искомых функций
можно выбрать вектор f = (и, v, w, p) т; при таком выборе изменились бы
матрицы Р, Q и Т и появилась бы новая матрица L = df/dY. Кроме того,
вместо линеаризации при помощи матриц Якоби удобных для построения
схемы с погрешностью O(hi), вполне приемлемыми оказываются пред-
представления в виде
F=Pf,
B.34)
где матрицы Р и Q вычислены, например, по значениям f;_j. Равенст-
Равенства B.34) будут выполнены, если положить
Р =
v О О
v
и — О
и
О
-1
W
0
и
0
0
w
—
и
0
0
0
0
w
—
и
1
и
0
0
0
0 0 — 0
и
1
о—о о
и
Легко убедиться в том, что матрицы Р и Q имеют те же собственные зна-
значения, что и матрицы Р и Q.
В декартовой системе координат использование Р и Q вместо Р и Q
приводит к возможности уменьшения размерности матриц при выполне-
выполнении векторных прогонок, поскольку в одной из строк Р и Q ненулевы-
ненулевыми являются лишь диагональные элементы. Однако это премущество
теряется в криволинейной системе координат.
При известном давлении р алгоритм B.33), имеющий погрешность
O(hi) относительно шага hi, напоминает алгоритм для двумерных неста-
нестационарных течений сжимаемого газа. Он реализуется путем решения раз-
разностных уравнений последовательно для слоев х = х{, /=1,2,3,..., при-
причем сложность этого решения при v Ф 0 зависит от выбора операторов
буУ и 5ZZ.
В случае постоянных матриц Р, Q и Т абсолютная устойчивость марше-
маршевой схемы B.33) для фиксированной итерации следует из положитель-
положительности операторов В~1Су и B^lCz; при этом существенным является поло-
положительность скорости и во всех внутренних узлах расчетной области.
Если же возникают возвратные течения и скорость и становится локаль-
локально отрицательной, то маршевое направление можно сохранить, если осу-
осуществить переключение разностных аналогов производной д/Ъх в тех
областях, где и < 0. При этом достаточно положить
др/дх ~(Pi - р,_ О/Л,, 3f/3* = (TI+, - «/А,, B.35)
оставив неизменными аппроксимации производных по у и z.
Для оценки сходимости итераций вида B.37) при постоянных коэффи-
коэффициентах удобно воспользоваться методом Фурье. Предположив периодич-
периодичность решений по координатам х, у и z с периодами X, Y и Z соответст-
210
венно можно получить следующую оценку для спектрального радиуса Л
оператора перехода от одной итерации к другой:
Л= 1 -CX2{Y~2 + Z~2Jh2, OO. B.36)
Из B.36) следует, что скорость сходимости итераций не зависит от шагов
h2 и къ вдоль координат у и z (точнее, от чисел Куранта поперечных те-
течений) ; она тем больше, чем длиннее расчетная область и чем больше
шаг h\.
Для возвратных течений в случае применения формул B.35) аналогич-
аналогичный анализ показывает, что скорость сходимости становится зависимой
как от чисел Куранта uAj/A2 и whi/h2, так и от спектральных свойств
операторов By1 Су и Bz1Cz. Вообще говоря, она может стать меньшей,
чем в случае и^ > 0. Таким образом, можно предположить, что рассмат-
рассматриваемый алгоритм целесообразно применять тогда, когда области воз-
возвратных течений либо отсутствуют, либо имеют небольшую протяжен-
протяженность вдоль оси х. К числу неблагоприятных факторов применения мето-
метода при Mi < 0 следует отнести также необходимость запоминать не толь-
только давление р, но и скорость в зоне возвратных течений.
Ускорение сходимости итераций при увеличении шага hi делает жела-
желательным повышение порядка аппроксимации схемы в продольном направ-
направлении. Это можно осуществить, в частности, используя разнесенные сетки
[99]. Оказывается возможным также повысить порядок аппроксима-
аппроксимации относительно hi до третьего, если использовать схему A-52) из гл. 1.
Однако при этом структура разностных уравнений для каждого слоя х =
= const существенно усложняется.
Отметим, наконец, что для повышения скорости сходимости итераций,
как в некоторых других рассмотренных выше алгоритмах, перспектив-
перспективным представляется использование метода Федоренко [100—102] после-
последовательных сеток.
3. КОМПАКТНЫЕ АППРОКСИМАЦИИ В НЕКОТОРЫХ ПРИБЛИЖЕННЫХ МОДЕЛЯХ
НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
3.1. Турбулентные течения. Учет массовых сил
Применение полуэмпирических моделей турбулентности. Используя
рассмотренные выше алгоритмы в качестве базовых, можно конструиро-
конструировать расчетные методики для решения задач гидродинамики, описываемых
более сложными моделями, чем уравнения Навье—Стокса.
Одной из таких моделей являются уравнения Рейнольдса, дополненные
уравнениями тех или иных полуэмпирических теорий турбулентности.
В случаях, когда используется концепция турбулентной вязкости, опреде-
определяемой либо алгебраическими соотношениями, либо дифференциальными
уравнениями, аппроксимация основных уравнений принципиально ничем
не отличается от аппроксимаций уравнений Навье-Стокса. Различие воз-
возникает лишь в связи с появлением дополнительных разностных уравнений,
а также в связи с переменностью коэффициента турбулентной вязкости.
Некоторые модели турбулентности, в которых коэффициент турбулент-
турбулентной вязкости находится из решений одного или нескольких дифференци-
211
альных уравнений (в частности, к - е-модель), приведены в гл. 2. Формаль-
Формально их аппроксимация не вносит каких-либо трудностей, тем более что
ввиду приближенности самой модели она может быть осуществлена при
помощи какой-либо простой разностной схемы (например, схемы первого
порядка с направленными разностями). Вместе с тем иногда могут воз-
возникнуть небольшие проблемы, связанные с правильной формулировкой
граничных условий, с одновременным обращением в нуль величин, опре-
определяющих турбулентную вязкость, и т.д.
Переменность коэффициента турбулентной вязкости сама по себе также
не усложняет алгоритма. Однако в связи с возможностью появления боль-
больших градиентов этого коэффициента может усложниться характер полу-
получаемых решений, а вместе с ним и процесс вычислений. С этой точки зре-
зрения применение алгоритмов, основанных на компактных аппроксимациях,
оказывается благоприятным.
Иногда может быть желательным использовать более сложную модель,
основанную на дифференциальных уравнениях для напряжений Рейнольд-
са. Уравнения Рейнольдса вместе с одной из таких моделей [53] записыва-
записываются в виде
Эй,- Э 1 Эр Э Эй,- а"/м/
+ (",•«;) = + v—- + , C.1)
bt bxj p Ъх bX bX bX
duku-uj
bt bxk
1
р
¦dp
ЪХ{
r
с
)xk
д
Ъх
UJ
7.
Эы,-
Ъх,
uk -
Л\" 3 / Re ' i Re " 3X2
duiui\
iui\
CeA— J, i, /= 1, 2, 3. C.2)
Здесь 5у - символ Кронекера; е2 = икик\ X и Л - соответственно микро-
и макро-масштабы турбулентности; С - константа модели; предпола-
предполагается суммирование по повторяющимся индексам. Уравнения C.1), C.2)
замыкаются связью между X и Л, причем Л определяется либо по харак-
характерным геометрическим размерам, либо из дополнительного дифференци-
дифференциального уравнения.
После аппроксимации левой части C.1) при помощи компактной схемы,
записи разностных уравнений алгоритма с коррекцией давления и ап-
аппроксимации уравнений C.2) с использованием какой-либо устойчивой
схемы последовательность вычислений можно представить следующим
образом.
Сначала определяется поле скоростей и ™+' при известных момен-
моментах второго порядка (u\u'j )m. Затем независимо друг от друга решаются
разностные уравнения, соответствующие уравнениям C.2). Для повыше-
повышения устойчивости счета можно использовать внутренний итерационный
212
процесс, при котором найденные значения и-и[ т + 1 вновь используются
для определения и™ + и т.д.
Для аппроксимации уравнений C.2) достаточно выбрать схему невы-
невысокого порядка, имея в виду, что сами эти уравнения содержат некото-
некоторый произвол; например, можно применить схему с двухточечными раз-
разностями против потока.
Течения стратифицированной среды. Приближение Буссинеска. Во мно-
многих задачах динамики атмосферы и океана, некоторых задачах конвекции
и других задачах с существенной ролью массовых сил плотность среды
не является постоянной, однако ее изменение на рассматриваемых масшта-
масштабах оказывается весьма незначительным. Это дает основание для того,
чтобы в уравнении неразрывности
Эр/Эг + (v-V)P+pdivv = O C.3)
последнее слагаемое считать равным нулю, т.е. считать, что
divv = 0. C.4)
В уравнениях движения, учитывающих массовые силы (пусть, например,
это будет сила тяжести):
pb\jbt + p(v- V)V = -VP + vAv + p%, C.5)
по тем же причинам можно считать, что плотность в левой части приближен-
приближенно равна некоторому постоянному значению р0. В правой же части ее
незначительные изменения могут оказывать сильное влияние на течение,
поэтому последнее слагаемое естественно сохранить в неизменном виде.
Следует, однако, иметь в виду, что замена р на р0 слабо отражается на
вычислительном процессе и ее можно не производить. Чтобы замкнуть
систему уравнений, плотность часто определяют из условия равенства
нулю первых двух слагаемых C.3). Альтернативный подход состоит в ис-
использовании уравнения состояния (например, зависимости плотности
от температуры) и записи конвективно-диффузионного уравнения для
параметров, определяющих плотность. С точки зрения применения числен-
численных методов оба подхода являются эквивалентными.
Систему сформулированных предположений и упрощений обычно назы-
называют приближением Буссинеска; не обсуждая степень его строгости, до-
достоинства и недостатки, будем рассматривать его как некоторую матема-
математическую модель, подлежащую численной алгоритмизации.
В уравнениях Буссинеска обычно используют переменные давления
и плотности, представленные в виде отклонений от соответствующих
параметров ps и ps в невозмущенной среде. Выбрав декартову систему
координат (х, у, z) с осью z, направленной против вектора g, и считая,
что ps = Ps(z), исходную систему в безразмерном виде можно записать
следующим образом:
dv/Эг + (v • V)v + Vp = vA\ + A/Fr2)pr, C.6)
divv = 0,
Эр/Эг + (v-V)p +wdp~Jdz = 0, r=@,0, 1)T.
Здесь пространственные координаты отнесены к характерному масштабу L,
213
скорость v = (m, v, w) — к характерной скорости Uo, время t — к L/Vo
функции р, р и p~s определены в виде
Р = (Р- fPgdz)/p0U%,
а частотное число Фруда Fr - в виде
Fr~2 =g(-dp*JS
где предполагается устойчивая стратификация dps/dz <0, причем ЪрЦЪг =
= const - некоторое характерное значение bpsjbz.
Систему, аналогичную системе C.6), можно было бы запиисать и отно-
относительно переменных v, р и Т, где Т — отклонение температуры от невоз-
невозмущенного значения при условии, что используется зависимость р(т);
в этом случае в третье уравнение C.6) , в котором вместо р использует-
используется Т, следовало бы ввести диффузные члены. В случае необходимости
можно было бы использовать аналогичные уравнения и для других скаляр-
скалярных величин (например, солености в задачах океанологии).
Применение алгоритма с коррекцией давления. Поскольку уравнения
Буссинеска содержат в себе уравнения Навье-Стокса однородной несжи-
несжимаемой жидкости и отличаются от последних наличием дополнительных
членов и уравнений, для их численного решения можно воспользоваться
рассмотренными выше подходами или какими-либо другими методами.
Имея в виду возможность моделирования пространственных течений,
целесообразно рассмотреть особенности применения неявного метода
коррекции давления.
Основные модификации этой методики в случае системы C.6) состоят
в следующем.
Во-первых, в уравнениях для определения предварительных значений
скоростей появляются члены вида p"m/Fr2, известные из решения для
m-го временного слоя:
(v -vm)lT+Lhf =-grad,,pm+pFr2, C.7)
где оператор Ly, имеет тот же смысл, что и в B.2).
Если уравнение для vm + ' записать в виде
то равенство B.4), а с ним и уравнение Пуассона B.5) не изменятся.
Небольшое отличие от этих уравнений может возникнуть лишь в том слу-
случае, если плотность р в левой части C.5) не заменять на р0; оно сведет-
сведется к замене во всех уравнениях оператора grad/, на оператор p~'gradft.
В частности, в левой части B.5) вместо разностного оператора Лапласа
появится оператор div,,(l/p)gradft.
Во-вторых, к разностным уравнениям C.7), B.4) и B.5) добавляется
аппроксимация третьего уравнения C.6), которую можно записать в виде
(pm+i -pm)lT+Lhp-m +wmdps/dz = O. C.8)
214
Поскольку сеточная функция wm известна, определение pm+1 можно
осуществить независимо от вычисления \m + 1 npm + l.
Оценки устойчивости алгоритма C.7), B.4), B.5), C.8) показывают,
что вычисление последних слагаемых в C.7) и C.8) при t = tm, позволяю-
позволяющее определять vm + 1 ,pm + 1 и р~т + 1 независимо друг от друга, приводит
к некоторой дестабилизации вычислительного процесса. Для собственных
значений X оператора перехода от слоя t = tm к слою t = tm + j в этом слу-
случае можно записать неравенство
I X |< 1 + (c/Fr2 ) т2, с = const > 0.
Это неравенство не означает неустойчивости, однако при счете больших ин-
интервалов времени можно ожидать слабого накопления погрешностей.
Средством против этого может явиться внутренний итерационный про-
процесс, при котором найденные в C.8) значения pm+i подставляются в C.7)
вместо р~т, а найденные после этого значения wm + ' — вместо wm в C.8) .
Практически оказывается достаточным выполнить всего лишь несколько
итераций.
Алгоритм C.7), B.4), B.5), C.8) имеет погрешность О(т). Если
желательно повысить порядок ее малости до О(т2), то достаточно ис-
использовать прием, который применялся при выводе алгоритма B.6)-
B.8).
Роль компактных аппроксимаций в рассмотренном методе сводится
к построению оператора Lh, обеспечивающего устойчивость и благоприят-
благоприятные свойства монотонности разностных решений. После приближенной
факторизации оператора Е + rLh процесс определения v из C.7) и p~m + l
из C.8) при надлежащей аппроксимации членов с вязкостью осуществляет-
осуществляется скалярными прогонками.
Модификация алгоритма для переменных вихрь—функция тока. Если
течение зависит лишь от двух пространственных координат х и у, то урав-
уравнения движения и неразрывности удобно представить в форме уравнений
для вихря и функции тока. После приведения к безразмерному виду исход-
исходную систему в приближении Буссинеска можно записать следующим об-
образом:
dco
— Дсо, C.9)
Re
d\p dps
+ Loj
~u>,
duf
1
Fr2
Эр
dt
dvf
dp
dx
Lp
dx dy
dx dy
После аппроксимации левых частей первых двух уравнений C.9) на сет-
сетке соТ X wft(cj/, :х{ = ihx, у/ = jhy, hx,hy = const) при помощи операто-
операторов Ахх Ах и Ay1 Ay алгоритм для C.9) будет отличаться от соответст-
соответствующего алгоритма для однородной жидкости лишь наличием дополнитель-
дополнительного уравнения для плотности и дополнительных членов Cp"/9x)Fr~2
и дф/дх при условии, что последние определяются по результатам преды-
215
ИЗОЛИНИИ ВИХРЯ
изолинии плотности
Рис. 3.5
пущего этапа вычислений. При этом из простейшего анализа устойчивос-
устойчивости следует, что разностные операторы 5^р) и 8.^*, аппроксимирующие
соответственно производные Э/Г/дх и дф/дх должны удовлетворять усло-
вию о^ = —{рх ') — условию, которое выше неоднократно использова-
использовалось при построении операторов grad/, и divft.
В частности, можно положить 5^ = АХХ Ax/hx и 8^^ = — (А^)'1 Д^/^х.
тогда дискретизация всех первых производных в C.9) будет иметь тре-
третий порядок. Другой вариант состоит в использовании центральных раз-
разностей второго порядка, когда В^р' = 8Х = Ao/2hx. Как и в случае пере-
переменных скорости—давления, явная аппроксимация членов, связанных с си-
силами плавучести, несколько дестабилизирует алгоритм, приводя к оценке
вида Л < 1 + ст2 для спектрального радиуса Л оператора перехода. Для
повышения устойчивости счета можно использовать внутренние итерации
для каждого шага по времени, при которых эти члены определяются из пре-
предыдущей итерации. Альтернативный подход состоит в неявной аппрокси-
аппроксимации Эр~/Эх и Э^/Эх, однако при этом приходится одновременно решать
уравнения для со и р.
Примеры расчетов. Классической задачей стратифицированной несжи-
несжимаемой среды является задача об эволюции участка перемешанной в началь-
начальный момент жидкости (задача о "пятне"). Ей посвящен целый ряд чис-
численных исследований [103—109], относящихся как к ламинарному, так и
к турбулентному режиму. Подробный анализ стадий развития турбулент-
турбулентного пятна содержится в [108].
При помощи описанных выше алгоритмов решения этой задачи без
труда могут быть получены в широком диапазоне чисел Рейнольдса без
каких-либо проявлений схемной немонотонности. В качестве примера
на рис. 3.5 представлены изолинии вихря и плотности для момента
времени t = 1,6 Т, где Г — период Вяй сел я—Б рента, определяемый
216
7 х
Рис. 3.6
как 2-nio.g) 0>5, а = (9ps/9z)/p0- Эти решения соответствуют линейной
стратификации ps(z) = р0 A - olz) и начальным данным
р@,х,у) = -
р~@,х,у) = 0,
+у
+у2<{,
2 > 1
Они были получены в прямоугольной области 0<x<L^, 0 < |,у | ^ ?j>
с использованием алгоритма для уравнений C.9) и граничных условий
на внешней границе экстраполяционного типа.
Примером применения алгоритма с коррекцией давления могут слу-
служить результаты численного решения задачи, аналогичной задаче о "пят-
"пятне", но в случае, когда перемешанная в начальный момент жидкость тур-
булизована [109]; эта задача рассматривается также в [107].
На рис. 3.6 приведены изолинии энергии турбулентности е = п12 + F12 +
+ w12 (рис. 3.6, а), а также моментов второго порядка v'w', u'w' при / =
= 0,5 Т (рис. 3.6, б, в). В этих расчетах использовались уравнения Рейнольд-
са C.1) с полуэмпирической моделью C.2), несколько модифицированной
в связи с учетом сил плавучести.
3.2. Численное моделирование спектров поверхностного волнения
Математические модели: уравнения кинематики поверхностных волн и
уравнение для спектров. Другим примером возможности применения ком-
компактных аппроксимаций третьего порядка является численное моделиро-
моделирование возмущения спектров поверхностного волнения, возникающих при
наличии течений в приповерхностном слое. Существенную роль при описа-
описании этого явления играют уравнения кинематики поверхностных волн
[ПО]
Эк/Эг + V(a0 +k-u) = 0, C.10)
где к - волновой вектор, и - вектор горизонтальной скорости на поверх-
поверхности, предполагаемый известным, а ao(k) - собственная частота поверх-
поверхностных волн, определяемая из дисперсионного соотношения. Для глубо-
глубокой воды ao(k) = (g | к \I/2 1110].
15. Зак.761
217
Уравнения C.10) могут иметь нестационарные решения типа перемещаю-
перемещающихся разрывов, напоминающие решения уравнений du/dt + ди2 /дх = 0.
Действительно, пусть, например, в декартовой системе координат (рс,у)
все функции зависят только от х и .у-компонента вектора к равна ну-
нулю. Тогда уравнение C.10) запишется в виде
дк/dt + C/9x)(ao(fc) + ku(x)) = 0, C.11)
где через к обозначена х-компонента вектора к, а и(х) — некоторая задан-
заданная функция, описывающая скорость течения в приповерхностном слое.
Характеристика C.11) описывается равенством
dxjdt = cg + и(х), C.12)
где cg — групповая скорость поверхностных волн, равная 0,5 y/g/k'. В си-
силу зависимости правой части C.12) от координаты х возможны ситуации,
когда характеристики в плоскости (х, t) пересекаются, приводя в неко-
некоторый момент времени к формированию разрыва. Скорость его распрост-
распространения определяется отношением
(«,-«,)/(*,-*,)> C.13)
в котором индексами г и / обозначены значения со = Оо(к) + ки и к справа
и слева от разрыва.
В двумерном случае уравнения (ЗЛО) могут быть записаны в неди-
недивергентной форме:
Ъкх
dt
дку
dt
+ (cgx +1
дх
дку
дх
f (Pgy ¦
Щ)-
dkx
ду
dky
dy
ди
x дх
ди
1 l-
ду
+ к у
+ к у ¦
ди
ду
dv
dy
- и,
= 0.
C.14)
где и и v - компоненты вектора u, cgx = da/dkx, cgy = dajdky.
Решения C.11) или C.14) могут быть использованы для определения
изменения энергетических характеристик поверхностных волн при воз-
возникновении поля скоростей и(х,у) и v(x,y).
Например, эти решения позволяют найти изменения спектрального рас-1
пределения плотности волнового действия А(х,у, к, t) = F(x,y, к, f)/ao(k),
где F{x,у, к, t) — пространственный спектр.
Для функции А(х, у, к, t) построено уравнение переноса вида [111;
112]
дА/dt + (cgx + и) дА/дх + (cgy + v) дА/dy = F, C.15)
где правая часть F должна учитывать различные источники потерь и поступ-
поступления энергии к поверхностным волнам. Ввиду невозможности достаточ-.
но точного описания этих источников в [112] использовано их описание
в виде
F=a(kx,ky)(A-A2/A0), C.16)
где Ао(к) — невозмущенное распределение спектральной плотности вол-
218
нового действия, а а(кх, ку) — некоторая полуэмпирическая зависимость.
Не обсуждая правомерность такого представления (некоторые соображе-
соображения по этому поводу содержатся, например, в [111]), уравнение C.15)
с правой частью C.16) можно рассматривать как некоторую математичес-
математическую модель.
Разностные схемы. Используя разложение функции со = а0 + ки вида
Эсо" Эсот
:Ojm + 1 =ит + (Л™ + 1 - к™) + (*»» + » - к™) + О(гг),
где индекс m означает, что функция рассматривается при t = tm, и приме-
применяя операторы 5^ = Ахг А* и 5у = Ау1 Ау, в которых параметры sx и sy
равны соответственно sgn(cgx + и) и sgn(cgy + и), итерационную схему
для C.14) можно записать следующим образом:
a)(kxn + 1'q + 1 -Л™)+ гбЛсот +т8хЬ(к!? + ис1 куп) = 0,
C.17)
В C.17) индекс q означает номер итерации, а = (cgx + u)m, Ъ =
= (cgy + v)m. Итерации при фиксированном номере т сводятся к опреде-
определению kxn + 1'q+1 из первого уравнения C.17), после чего найденные
значения используются для определения к™ + 1шЧ+л из второго уравне-
уравнения C.17). Применяя метод Фурье, легко установить, что в случае посто-
постоянных коэффициентов собственные значения X оператора перехода имеют
вид
\ = r1r2abW(a)W(fi)[l +r1aW(a)]~1[l +r2bW(p)}~1,
где W(a) и IV(jS) — функции, определенные формулами A.12) из гл. 1,
a rl = r/hx, г2 = т/hy. Отсюда в силу неравенств aRe W(a)> 0, bRe W{P)>
> 0 следует сходимость итераций при любых значениях т. Консерватив-
Консервативность схемы C.1) позволяет использовать ее в случае разрывных решений.
Для недивергентного уравнения C.15) соответствующая факторизован-
ная схема может быть записана в виде
(Е + тоа8х)(Е + таЬ8у)(Ат +1 - Ат)/т + (а8х + Ъ8у)Ат =
= a(Am + l -АтАт + 1/А0). C.17)
Процесс обращения одномерных операторов для этого случая описан
выше. Напомним, что при решении уравнения % + tqoAx1 Ax| =/относи-
тельно сеточной функции | следует ввести новую функцию т? = Ахх Ах|,
а затем записать для нее трехточечное уравнение
Такого же типа схема может быть использована для недивергентных урав-
уравнений C.14).
Примеры расчетов. Одним из примеров применения описанных алгорит-
алгоритмов может служить решение одномерной задачи об определении изменения
компоненты кх волнового вектора под воздействием перемещающегося
219
Рис. 3.7
с постоянной скоростью поля скорости и(х — Dt). Введя новую перемен-
переменную f = х — Dt, уравнение C.11) для этого случая можно записать в виде
Ък Э
dt + "э?
= О, к = кх
C.18)
Стационарные решения C.18) для каждого значения ? удовлетворяют
квадратному уравнению у gk + к(и — D) = а. Вид этих решений для функ-
функции м(?) = «о ехр(—af2) приведен на рис. 3.7 для различных значений а
в некоторых условных единицах. На рис. 3.7 видно, что лишь кривые,
расположенные вне сепаратрис 3 и 3' (например, 1, 1', 1"), определены
при всех значениях f. Принято считать, что кривые, расположенные между
сепаратриссами 3 и 3' (например, кривые 2 и 2'), соответствуют блоки-
блокировке волновых пакетов движущимся полем и(О (см., например, [113]).
Нижняя ветвь этих кривых, как можно показать, описывает движение па-
пакетов в положительном направлении оси %(cg + u — D > 0), а верхняя
ветвь — движение в отрицательном направлении (cg + и — D < 0). Однако
эвристический анализ решений уравнения C.18) показывает, что к тако-
такому режиму невозможно прийти от некоторого начального непрерывного
распределения А:@, f), решая задачу Коши для этого уравнения стандарт-
стандартными методами. Действительно, пусть, для определенности, к@, f) = k2,
так что к3, < к2 < къ, где индексы 3 и 3' отмечают значения &(?) при I ? | -*
-*¦ °° у сепаратрис 3 и 3'. Тогда в течение некоторого начального интер-
интервала времени будет происходить изменение решения k(t, ?) вдоль харак-
характеристик C.12) на интервале i ? | < ?0> гДе "о =? 0. Это изменение будет
происходить до тех пор, пока решение не выйдет на стационарную кри-
кривую, для которой Ък/dt = 0. Однако в некоторой окрестности начала ко-
координат J = 0 такими кривыми могут быть лишь сепаратрисы 3 и 3'. Вслед-
Вследствие этого в какой-то момент времени одна часть решения k(t, J) окажет-
окажется на сепаратрисе, а другая при больших значениях | ? | - на линии к =
= к@, ?). Этим частям будут соответствовать различные значения со =
= V#? + к(и - D), что в силу исходного уравнения dk/dt + дш/дх = 0
220
Ри с. 3.8
вызовет перемещение участков кривой к = k(t, ?) либо в виде разрывов
(при пересечении характеристик C.12)), либо в виде непрерывной зави-
зависимости от f (в случае веера характеристик), причем скорость перемеще-
перемещения разрыва должна определяться равенством C.13). Таким образом,
можно ожидать, что через некоторое конечное время в конечной окрест-
окрестности f = О решение k(t, f) совпадет с одной из сепаратрис. Более глубо-
глубокий анализ показывает, что устойчивым является лишь состояние, описы-
описываемое сепаратрисой 3. На рис. 3.7 пунктиром отмечены решения, кото-
которые в соответствии с приведенными выше рассуждениями не могут быть
получены в результате решения задачи Коши.
Расчеты [114] подтвердили эти выводы и выявили существование раз-
разрывных решений C.18). На рис. 3.8 в тех же единицах, что и на рис. 3.7,
приведены функции k(t, f ) для некоторых фиксированных моментов вре-
времени, полученные из начальных состояний к@, f) = const. Эти начальные
состояния могут быть восстановлены но значениям к на левой или правой
границах рисунка, а цифры около кривых обозначают те же типы кривых,
что и на рис. 3.7. Кривая 2 иллюстрирует движение разрывов (направле-
(направление указано стрелками), возникших из начальных данных к@, f) = k2.
Спустя некоторое время скачки выйдут за пределы расчетной области и
решение, не зависящее от времени, будет описываться сепаратрисой 3.
Таким образом, рассматриваемое возмущение м(П как бы уничтожает
волновые пакеты с волновыми числами, находящимися в интервале между
волновыми числами для сепаратрис 3 и 3' при | ? I -*¦ °°.
ЛИТЕРАТУРА
Х.Пейре Р., Тейлор Т.Д. Вычислитель-
Вычислительные методы в задачах механики
жидкости. Л.: Гидрометеоиздат,
1986.320 с.
2. Роуч П. Вычислительная гидродина-
гидродинамика М.: Мир, 1980. 616 с.
З.Годунов С.К., Рябенький B.C. Раз-
Разностные схемы. М.: Наука, 1973.
400 с.
4. Толстых А.И. Об одном методе чис-
численного решения уравнений Навье-
Стокса сжимаемого газа // Учен,
зап. ЦАГИ. 1972, Т. 3, № 6. С. 78-
87.
5. Толстых А.И. О методе численного
решения уравнений Навье Стокса
сжимаемого газа в широком диапа-
диапазоне чисел Рейнольдса // Докл. АН
СССР. 1983. Т. 210, № 2. С. 48 51.
6. Толстых А.И. О сгущении узлов
разностных сеток в процессе реше-
решения и применении схем повышен-
повышенной точности при численном ис-
исследовании течений вязкого газа //
Журн. иычисл. математики и мат.
физики. 1978. Т. 18, № 1. С. 139-
153.
7. Яненко Н.Н., Данаев И.Г., Лисей-
кин В.Д. О вариационном методе
построения сеток // Числен, мето-
методы механики сплош. среды. 1977.
Т. 8, №4. С. 157-164.
Н.Ковеня В.М., Яненко Н.П. Методы
расщепления в задачах газовой ди-
динамики. Новосибирск: Наука, 1981.
303 с.
9. Данаев И.Т. Об одном способе
построения криволинейных сеток,
сгущающихся в области больших
градиентов // Числен, методы меха-
механики сплош. среды. 1979. Т. 10,
№ 4. С. 60- 74.
10. Chu W.H. Development of a general
finite difference approximation for
a general domain. I. Machine trans-
transformation // J. Comput. Phys. 1971.
Vol. 12, N2. P. 392-403.
М.Годунов С.К.. Прокопов Г.П. Об
использовании подвижных сеток в
газодинамических расчетах // Журн.
вычисл. математики и мат. физики.
1972. Т. 12, № 2. С. 429 440.
12. Thompson I.F., Thames F.G., Mas-
tin С. W. Automatic numerical gene-
generation of a body-fitted curvilinear
coordinate system for a field contai-
containing any number of arbitrary two-
dimensional bodies // J. Comput.
Phys. 1974. Vol. 15, N 2. P. 299-
319.
13. Годунов С.К., Забродин А.В., Ива-
Иванов М.Я. и др. Численное решение
многомерных задач газовой дина-
динамики. М.: Наука, 1976. 400 с.
14. Марчук Г.И., Шайдуров В.В. По-
Повышение точности решений разност-
разностных схем. М.: Наука, 1979. 320 с.
15. Белоцерковский О.М., Панарин А.И.,
Щенников В.В. Метод параметри-
параметрической коррекции разностных
схем // Журн. вычисл. математи-
математики и мат. физики. 1984. Т. 24,
№ 1.С. 101-125.
16. Русанов В.В. Разностные схемы
третьего порядка точности для
сквозного счета разрывных реше-
решений // Докл. АН СССР. 1968. Т. 180,
№6. С. 1303-1305.
ll.Burstein S.Z., Mirin A. Third order
difference methods for hyperbolic
equations//J. Comput. Phys. 1968.
Vol. 5,N 3. P. 547-557.
18. Warming R., Kutler P., Lomax H.
Second and third order noncente-
red schemes for nonlinear hyperbo-
hyperbolic equations // AIAA Journal. 1973.
Vol. 11.N2. P. 189-196.
\9.Балакин В.Б. О методах типа Рун-
ге-Кутта для уравнений газовой
динамики // Журн. вычисл. мате-
математики и мат. физики. 1970. Т. 10,
№6. С. 1512-1519.
20. Strong G. Trigonometric polinomials
and difference methods for ma>i-
222
mum accuracy // J. Math. Phys.
1962. Vol. 41, N 2. P. 147-154.
21. Холодов А.С. О построении раз-
разностных схем с положительными
аппроксимациями для уравнений
гиперболического типа // Журн.
вычисл. математики и мат. физи-
физики. 1978. Т. 18, № 6. С. 1476-
1499.
22. Harten A., Enquist В., Osher S., Chak-
ravarthy R. Uniformely high order
accurateessentually non-oscillatory
schemes // J. Comput. Phys. 1987.
Vol. 71, N2. P. 231-303.
23. Тушева А.А., Шокин Ю.Н., Янен-
ко Н.Н. О построении разностных
схем повышенного порядка аппрок-
аппроксимации на основе дифференциаль-
дифференциальных следствий // Некоторые проб-
проблемы вычислительной и приклад-
прикладной математики. Новосибирск:
Наука, 1975. С. 184-191.
24. Рождественский Б.Л., Яненко Н.Н.
Системы квазилинейных уравнений
и их приложения в газовой динами-
динамике. М.: Наука, 1979. 592 с.
25. Грудницкий В.Т., Прохорчук Ю.А.
Один прием построения разностных
схем с произвольным порядком
аппроксимации для дифференциаль-
дифференциальных уравнений в частных произ-
производных // Докл. АН СССР. 1977.
Т. 224, №6. С. 1249-1252.
26. Самарский А.А. О консервативных
разностных схемах // Проблемы
прикладной математики и механи-
механики. М.: Наука, 1971. С. 129-136.
27. Толстых А.И. О разностных схемах
повышенной точности для численно-
численного решения некоторых задач аэро-
аэродинамики // Учен. зап. ЦАГИ. 1973.
Т. 4, № 2. С. 36-44.
28. Толстых А.И. О неявных разност-
разностных схемах третьего порядка точ-
точности для многомерных задач //
Журн. вычисл. математики и мат.
физики. 1976. Т. 16, № 5. С. 1182-
1190.
29. Толстых А.И. О неявных схемах
повышенной точности для систем
уравнений // Там же. 1982. Т. 21,
№ 2. С. 339-354.
30. Krause Е., Hirshel E.M., Cordula W.
Forth order "Mehrstellen" integrati-
integration for three-dimensional turbulent
boundary-layers // Proc. AIAA Com-
Comput. Fluid Dynamics Conf. Palm
Springs (Cal.). 1973. P. 92-102.
3l.Hirsh R. Higher-order accurate dif-
difference solutions of a fluid mechanics
problems by a compact differencing
technique // J. Comput. Phys. 1975.
Vol. 19, N 1. P. 90-109.
32. Rubin S.C., Graves R.A. Viscous
flow solutions with a cubic spline
approximation // Comput. and Fluids.
1975. Vol. 3,N l.P. 1-36.
33. Adam Y. A hermitian finite differen-
difference method for the solution of parabo-
parabolic equations // Comput. and Math.
Appl. 1975. Vol. 1, N 3. P. 393-406.
34.Rubin S.C., KhoslaP.K. Polinomial
interpolation methods for viscous
flow calculations // J. Comput. Phys.
1977. Vol. 24, N 3. P. 217-244.
35. Ciment M., Leventhal S.H., Wein-
berg B.C. The operator compact
implicit method for parabolic equa-
equations // Ibid. 1978. Vol. 28, N 2.
P. 135-166.
36. Berger A.E., Solomon J.M., Ciment M.
et aL Generalized OCI schemes for
boundary layer problems // Math.
Comput. 1980. Vol. 35, N 6. P. 695-
731.
37. Colhtz L. The numerical treatment
of differential equations. N.Y.: Sprin-
Springer, 1966. 526 p.
38. Хэмминг М. Численные методы.
M.: Наука, 1969. 400 с.
39. Самарский А.А. Теория разностных
схем. М.: Наука, 1977. 656 с.
40. Шокин Ю.И. Метод дифферен-
дифференциального приближения. Новоси-
Новосибирск: Наука, 1979. 219 с.
41. Яненко Н.Н. Метод дробных шагов
решения многомерных задач мате-
математической физики. Новосибирск:
Наука, 1967. 196 с.
42. Толстых А.И. Об одной схеме
третьего порядка и некоторых ее
приложениях // Докл. АН СССР.
1986. Т. 291, № 1.С. 45-49.
43.Kuttler P., Lomax H., Warming R.
Computation of a space shuttle flow
fields using noncentercd finite-diffe-
finite-difference schemes // AIAA Pap. 1972.
N 72-193.
44. Годунов С.К. Разностный метод
численного расчета разрывных ре-
решений уравнений гидродинамики //
Мат. сб. 1959. Т. 47(89), вып. 3.
С. 271-306.
45. Самарский А.А., Николаев Е.С.
Методы решения сеточных уравне-
уравнений. М.: Наука, 1978. 589 с.
46. Самарский АЛ., Гулин А.В. Устой-
Устойчивость разностных схем, М.: Нау-
Наука, 1973.416 с.
47. Марчук Г.И. Методы вычислитель-
223
ной математики. М.: Наука, 1980.
536 с.
48. Рябенький B.C. Необходимые и
достаточные условия хорошей обус-
обусловленности краевых задач для
систем обыкновенных разностных
уравнений // Журн. вычисл. мате-
математики и мат. физики. 1964. Т. 4,
№ 2, С. 242-255.
49. Софронов И.А. О методе прогонки
для решения разностных краевых
задач // Там же. С. 256-266.
50. Толстых А.И. Метод внутренних
итераций для решения простран-
пространственных задач с несамосопряжен-
несамосопряженными операторами // Докл.
АН СССР. 1983. Т. 272, № 3. С. 538-
541.
51.MacCormack R.W. Numerical solution
of the interaction of a shock wave
with a laminar boundary layer // Lect..
Notes Phys. 1971. VoL 8. P. 151.
52. Численное исследование современ-
современных задач газовой динамики /
Под ред. О.М. Белоцерковского.
М.: Наука, 1974. 397 с.
53. Методы расчета турбулентных те-
течений. М.: Мир, 1984. 463 с.
54. Бэтчеаор Дж. Теория однородной
турбулентности. М.: Изд-во иностр.
лит., 1955. 55 с.
55. Louder B.E., Spalding D.B. The nume-
numerical computation of turbulent flow //
Comput. Meth. AppL Mech. and Eng.
1974. VoL 3. P. 269.
56. Толстых А.И. О численном расчете
сверхзвукового обтекания затуп-
затупленных тел потоком вязкого газа //
Журн. вычисл. математики и мат.
физики. 1966. Т. 6, № 1. С. 119-126.
57'. Белоцерковскип О.М. Расчет обте-
обтекания осесимметричных тел с ото-
отошедшей ударной волной (расчет-
(расчетные формулы и таблицы полей
течения). М.: ВЦ АН СССР, 1961.
56 с.
58. Fay J.A., Riddel F.R. Theory of
stagnation point heat transfer of
dissociation air // JAS. 1958. Vol. 25,
N2.
$9.Kurzrock J.W., Mates R.E. Exact
numerical solutions of the time-
dependent compressible Navier-Stokes
equations // AIAA Pap. 1966. N 66-
30. P. 1-54.
60. Tannehitt J.C., Mohung R.A., Ra-
Ranch J.N. Numerical computation of
the hypersonic rarefied flow near
the sharp leading edge of a flat plate //
Ibid. 1973. N 73-200. P. 1-13.
224
61. Коган M.H. Динамика разреженных
газов. М.: Наука, 1967. 440 с.
62. Becker М., Boylan D.E. Flow field
and surface pressure measurements
in the fully merged and transition
regimes on a cooled sharp flat plate //
Rarefied Gas Dya Suppl. 4. 1967.
N2. P. 993-1014.
63. Ерофеев A.M., Перепухов В.А. Рас-
Расчет обтекания пластины, располо-
расположенной вдоль потока разреженного
газа // Учен. зап. ЦАГИ. 1975. Т. 6,
№3. С. 51-57.
64. Белоцерковский О.М., Быркин А.И,
Мазуров А.П., Толстых А.И. Раз-
Разностный метод повышенной точнос-
точности для расчета течений вязкого
газа // Журн. вычисл. математики
и мат. физики. 1982. Т. 22, № 6.
С. 1480-1490.
65. Быркин А.П. Автомодельные тече-
течения вязкого газа в каналах с тепло-
и массообменом на стенке // Учен,
зап. ЦАГИ. 1976. Т. 7, № 2. С. 25-
36.
66. Шлихтинг Г. Теория пограничного
слоя. М.: Наука, 1974. 711с.
67. Савельев А.Д., Толстых А.И. Ал-
Алгоритмы для расчета течений вяз-
вязкого газа, основанные на ком-
компактных аппроксимациях третьего
порядка // Журн. вычисл. матема-
математики и мат. физики. 1987. Т. 27,
№11. С. 1709-1724.
68. Li C.P. A numerical study of separated
flows induced by shock wave / boun-
boundary layer interaction // AIAA Pap.
1977. N77-168. P. 1-8.
69. Beam R.M., Warming R.F. An implicit
factored scheme for the compressible
Navier-Stokes equations // Ibid. 1977.
N77-645. P. 1-10.
70. Hakkinen R.J., Greber L, Trilling /,.,
Abarbarell S.S. The interaction of
an oblique shock wave with a laminar
boundary layer: NASA Memo 2-
18-59W. Wash. (D.C.), 1959. P. 1-15.
7'1. Браиловская ИМ. Расчет обтекания
угла потоком вязкого сжимаемого
газа // Изв. АН СССР. МЖГ. 1967.
№3. С. 82-91.
12.АПеп J.C., Cheng S.I. Numerical
solution of the near wake of supersonic
flow with boundary layer over a
sharp corner // Phys. Fluids. 1970.
VoL 13, N 1. P. 115-123.
73. Быркин А.П., Толстых А.И. Ком-
Компактные схемы третьего и четвер-
четвертого порядков в задачах о внут-
внутренних течениях вязкого и невяз-
кого газа // Журн. вычисл. мате-
математики и мат. физики. 1988. Т. 28,
№8. С. 1234-1251.
74. Быркин А.П., Пономарев СМ., Куд-
Кудрявцева Л.И. Исследование течения
газа в коллекторах (соплах) аэро-
аэродинамических труб малых дозву-
дозвуковых и околозвуковых скоро-
скоростей // Учен. зап. ЦАГИ. 1987. Т. 18,
№2. С. 117-124.
75. Tamaki Т., Tomida Y., Yamane R.
A study of pseudo-shock A-st report)//
Bull. ISME. 1970. Vol. 13, N 55.
P. 47-58.
76. Кацкова О.Н., Наумова ИМ, Шмыг-
левский Ю.Д., Шулишнина ИМ.
Опыт расчета плоских и осесиммет-
ричных сверхзвуковых течений ме-
методом характеристик. М.: ВЦ
АН СССР, 1961. С. 1-35.
77. Кудрявцева Л.И., Межиров И.И.,
Пономарев СП., Якушева В.Л. Экс-
Экспериментальное исследование осе-
симметричных профилированных
сопл при малых числах // Учен,
зап. ЦАГИ. 1973. Т. 4, № 3. С. 123-
126.
78. Thorn A. An investigation of fluid
flow in two dimensions // R & M,
1928. N 1194. P. 1-18.
79. Woods L. Note on the numerical
solution of a forth order differential
equation // Aeronaut. Quart. 1954.
N5. С 176-184.
80. Дородницын А.А. Об одном мето-
методе решения задач обтекания тел
вязкой жидкостью // Fluid Dyna-
Dynamics Trans. 1967. Vol. 3. P. 67-82.
81. Dorodnycin A.A. Review of methods
for solving the Navier-Stokes equa-
equations // Lect. Notes Phys. 1973.
Vol. 18. P. 23-47.
82. Дородницын А.А., Меллер Н.А. О
некоторых подходах к решению
стационарных уравнений Навье-
Стокса // Журн. вычисл. матема-
математики и мат. физики. 1968. Т. 8,
№2. С. 393-402.
83. Lecoint Y., Piquet J. On the use of se-
several compact methods for the stu-
study of unsteady incompressible vis-
viscous flow around a circcular cylin-
cylinder // Comput. and Fluids. 1984.
Vol. 12, N4. P. 255-281.
84. Толстых А.И. О расчете течений
несжигаемой жидкости при по-
помощи компактных схем третье-
третьего порядка // Проблемы приклад-
прикладной математики и информатики.
М.: Наука, 1987. С. 70-82.
85. Дзюба Ю.В., Толстых А.И. Ком-
Компактные схемы третьего порядка
точности в задачах аэрогидродина-
аэрогидродинамики // Вычислительная аэрогид-
аэрогидродинамика. М.: Наука, 1987.
С. 128-139.
86. Каменкович В.М. К теории инер-
инерционно-вязкого пограничного слоя
в двумерной модели океанических
течений // Изв. АН СССР. ФА О.
1966. Т. 2, № 12. С. 1274-1295.
87. Каменкович В.М., Белоцерков-
ский CO., Пантелеев Н.С К вопро-
вопросу о численном моделировании
баротропных течений, порожденных
крупномасштабным полем ветра.
М.: ИО АН СССР, 1985. С. 3-23.
(Изв. ПОЛИМОДЕ; Вып. 15).
88.Arakawa A. Computational design
for longterm numerical integration
for the equation of fluid motion:
two-dimensional incompressible flow.
Pt. I // J. Comput. Phys. 1966. N 1.
P. 119-143.
89. Harlow K, Welch J. Numerical cal-
calculation of time-dependent viscous
incompressible flow with free sur-
surface // Phys. fluids. 1966. Vol. 9,
N 12. P. 2182-2189.
90. Amsden A.A., Harlow FM. The
SMAC method: Los Alamos Sci.
Lab. Rep. N. LA-4370. Los Ala-
Alamos, 1970.
91. Белоцерковский О.М., Гущин В.А.,
Щенников В.В. Метод расщепле-
расщепления в применении к решению за-
задач динамики вязкой несжимае-
несжимаемой жидкости // Журн. вычисл.
математики и мат. физики. 1975.
Т. 15, № 1.С. 197-207.
92. Белоцерковский ОМ. Численное
моделирование в механике сплош-
сплошных сред. М.: Наука, 1984. 520 с.
93. Рыков В.В. Численное моделирова-
моделирование нестационарных течений несжи-
несжимаемой жидкости // Журн. вычисл.
математики и мат. физики. 1985.
Т. 25, №5. С. 789-793.
94. Владимирова Н.Н., Кузнецов Б.Г.,
Яненко Н.Н. Численные расчеты
симметричного обтекания пластин-
пластинки плоским потоком вязкой не-
несжимаемой жидкости // Некоторые
вопросы вычислительной и приклад-
прикладной математики. Новосибирск: Нау-
Наука, 1966. С. 186-192.
95. Chorin A. Numerical solutions of
Navier-Stokes equations // Math. Com-
Comput. 1968. Vol. 22, N 7. P. 745-762.
225
96. Choi D., Merkle C.L. Application of
time-iterative schemes to incompres-
incompressible flow // AIAA Journal. 1985.
Vol. 23, N 10. P. 1518-1524.
97. Merkle C.I.., Athavall M. Time-accu-
Time-accurate unsteady incompressible flow
algorithms based on artificial compres-
compressibility // AIAA Pap. 1987. N 87-
1137.P. 1-12.
98. Rubin S.G., Reddy D.R. Analysis
of global pressure relaxation for
flows with strong interaction and
separation // J. Comput. and Fluids.
1983. Vol. 11, N 4. P. 281-306.
99. hraelli M., Lin A. Iterative numeri-
numerical solutions and boundary conditions
for the parabolized Navier-Stokes equa-
equations // J. Comput. and Fluids. 1985.
Vol. 13, N4. P. 397-409.
100. Федоренко Р.П. О скорости сходи-
сходимости одного итерационного про-
процесса // Журн. вычисл. математи-
математики и мат. физики. 1964. Т. 4, № 3.
С. 559 564.
101. Бахвалов Н.С. О сходимости одного
релаксационного метода при есте-
естественных ограничениях на эллипти-
эллиптический оператор // Там же. 1966.
Т. 6, №5. С. 861-881.
\02. Brandt A., Dinar N. Multigrid solu-
solution to elliptic flow problems //
Numerical methods for PDF.'s. N.Y.:
Acad. press, 1979. P. 53-147.
103. Young J., Hirt С Numerical calcula-
calculation of internal wave motions // J.
Fluid Mech. 1972. Vol. 56, N 2.
P. 256 276.
104. Dugan J., Warn-Varnas A., Piacsec S.
Numerical results for laminar mi-
mixed regioncollapse in density strati-
stratified fluid // Comput. and Fluids.
1976. Vol. 4, N2. P. 109-121.
105. Гущин В.А. Метод расщепления для
задач динамики неоднородной вяз-
вязкой несжимаемой жидкости //
Журн. вычисл. математики и мат.
физики. 1981. Т. 21, № 4. С. 1003
1017.
106. Бабаков А.В. Применение метода
потоков к одной задаче динамики
вязкой стратифицированной жид-
жидкости // Там же. 1983. Т. 23, № 2.
С. 432-439.
107'. Даниленко А.Ю., Костин В.И., Тол-
Толстых А.И. О неявном алгоритме
расчета течений однородной и не-
неоднородной жидкости. М.: ВЦ АН
СССР, 1985. 30 с.
108. Баренблатт Г.И. Динамика турбу-
турбулентных пятен и интрузии в устрой-
устройство стратифицированной жидко-
жидкости // Изв. АН СССР. ФАО. 1978.
Т. 14, № 2, С 195-205.
109. Лыткин Ю.М., Черных Г.Г. Подо-
Подобие течения по плотностному числу
Фруда и баланс энергии при эволю-
эволюции зоны турбулентного смешения
в стратифицированной среде // Ма-
Математические проблемы механики
сплошных сред. Новосибирск: Нау-
Наука, 1980. Вып. 47. С. 70-89.
ПО. Филлипс ОМ. Динамика верхнего
слоя океана. М.: Мир, 1969. 267 с.
111. Басович А.Я., Баханов В.В., Галя-
нов В.И. Влияние интенсивных внут-
внутренних волн на ветровое волнение
(кинематическая модель) // Воз-
Воздействие крупномасштабных внут-
внутренних волн на морскую поверх-
поверхность. Горький: И11Ф АН СССР,
1982. С. 8-30.
112. Hughes B.A. The effect of internal
waves on surface wind waves. Theo-
Theoretical analysis // J. Geophys. Res.
1978. Vol. 83, N 1. P. 455-465.
113. Басович А.Я. Трансформация спект-
спектра поверхностного волнения под
действием внутренней волны // Изв.
АН СССР. ФАО. 1979. Т. 15, № 6.
114. Воляк К.И., Даниленко AM., Тол-
Толстых А.И., Шуган И.В. О разрывных
решениях для волн в неоднородно
движущейся среде // Крат, сообщ.
по физике ФИАН. 1990. № 5.
С. 15 18.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Введение 4
1. О разностных методах повышенной точности в аэродинамике 4
2. Некоторые способы построения сеток, адаптирующихся к решениям 7
3. Приемы построения схем высокого порядка 9
Глава 1. Структура и анализ компактных схем третьего порядка 14
1. Компактные схемы с направленными разностями для одномерных урав-
уравнений переноса 14
1.1. Формулы компактного численного дифференцирования третьего
порядка и основанные на них схемы 14
1.2. Компактные схемы как аппроксимации законов сохранения 18
1.3. Дисперсионные и диссипативные свойства аппроксимаций А "' Д 20
1.4. Разностные уравнения 24
1.5. Аппроксимация производных по времени. Компактные схемы для
нестационарных задач 27
1.6. О двухслойной схеме третьего порядка относительно г и А 31
1.7. Примеры сквозного счета разрывных решений 33
1.8. Компактные схемы третьего порядка для гиперболических систем 37
1.9. Исследование устойчивости 44
2. Компактные схемы с направленными разностями при наличии диффу-
диффузионных членов 48
2.1. Способы введения разностных аналогов диффузии 48
2.2. Разностные уравнения 54
2.3. Примеры расчетов для уравнений с малыми коэффициентами при
¦старших производных 62
2.4. Компактные схемы для систем уравнений с диффузионными членами 68
2.5. Применение внутренних итерационных процессов 75
3. Применение компактных аппроксимаций в многомерных задачах 80
3.1. Неявные компактные схемы в случае нескольких пространственных
координат 80
3.2. Схемы покоординатного расщепления: стационарные задачи 88
3.3. Повышение устойчивости алгоритма для стационарных многомер-
многомерных задач „.
4. Другие подходы к построению схем третьего и более высоких порядков
4.1. Аппроксимация уравнений, записанных в недивергентном виде :Jr^
4.2. Повышение порядка несимметричных компактных аппроксимаций J:
4.3. Симметризация схем третьего порядка. Центрированные компакт-
компактные схемы четвертого порядка 117
Глава 2. Компактные аппроксимации в задачах о течениях вязкого газа ... 125
1. Исходные уравнения. Разностные сетки 126
1.1. Уравнения вязкого газа и их упрошенные формы 126
1.2. О применении сеток, сгущающихся в областях быстрого изменения
решений 132
227
2. Применение итерационно-маршевых алгоритмов с адаптирующими-
адаптирующимися сетками • 134
2.1. Структура алгоритмов 134
2.2. Примеры расчетов с использованием адаптирующихся сеток 139
3. Алгоритмы расщепления по пространственным координатам 146
3.1. Схемы с компактными аппроксимациями третьего порядка 146
3.2. Схемы с центрированными аппроксимациями 155
3.3. Сравнение численных и известных решений. Тестовые задачи 158
4. Примеры применения алгоритмов расщепления с компактными аппрок-
аппроксимациями 163
4.1. Задачи внешнего обтекания. Отрывные течения 163
4.2. Задачи о внутренних течениях 168
5. Применение компактных аппроксимаций в упрощенных уравнениях
Навье—Стокса 174
5.1. Маршевые алгоритмы для стационарных задач 174
5.2. Примеры расчетов 180
Глава 3. Компактные аппроксимации в задачах о течениях несжимаемой
жидкости 182
1. Формы уравнений Навье-Стокса. Алгоритмы для определения вихря и
функции тока 183
1.1. О численном моделировании течений несжимаемой жидкости 183
1.2. Аппроксимация уравнений Иавье-Стокса для переменных вихрь-
функция тока 187
1.3. Примеры расчетов 192
2. Алгоритмы для неременных скорости-давления 197
2.1. Неявный метод с коррекцией давления 197
2.2. Схемы, основанные на методе искусственной сжимаемости 204
2.3. Маршевые алгоритмы 206
3. Компактные аппроксимации в некоторых приближенных моделях несжи-
несжимаемой жидкости 211
3.1. Турбулентные течения. Учет массовых сил 211
3.2. Численное моделирование спектров поверхностного волнения 217
Литература 222
CONTENTS
Foreword 3
Introduction 4
1. High accuracy methods in fluid dynamics 4
2. Some ways of constructing meshes which adapt to solution 7
3. Methods of constructing high order schemes 9
Chapter 1. Structure and analisys of the third order compact schemes 14
1. Compact schemes with non-centered differences for one-dimensional convection
equations 14
1.1. The third order compact differencing foimulus and corresponding schemes 14
1.2. Compact shemes and approximations of conservation laws 18
1.3. Dispersion and dissipation properties of Л""'Д operator 20
1.4. Difference equations 24
1.5. Time discretization. Compact schemes for unsteady problems 27
1.6. Two-level the third order scheme with respect to т and h 31
1.7. Examples of shock-capturing computations 33
1.8. The third order compact schemes for hyperbolic systems 37
1.9. Investigation of stability 44
2. Non-centered compact schemes for equations with diffusion terms 48
2.1. Discretization of diffusion terms 48
2.2. Difference equations 54
2.3. Examples of computations for small diffusion coefficients 62
2.4. Compact schemes for systems of equations with diffusion terms 68
2.5. The use of internal iterations 75
3. Compact approximations in multidimensional problems 80
3.1. Implicit compact schemes in case of several space coordinates 80
3.2. Coordinate splitting: steady problems 88
3.3. The way of increasing stability for steady multidimensional problems. ... 94
4. Other approaches to constructing of the third order and higher then third
order schemes 103
4.1. Discretization of equations in non-divergent forms 103
4.2. The increase of accuracy order of non-symmetric compact approximations. 107
4.3. Symmetrization of the third order schemes. The forth order centered
compact schemes 117
125
126
1.1. Viscous gas equations and their simplified forms 126
1.2. The use of the grids which condens in high gradients regions 132
2. Iterative-marching algorithms with adaptative grids 134
2.1. The structure of the algorithm 134
2.2. Examples of computations 139
3. Coordinate splitting algorithms 146
3.1. The third order compact schemes 146
3.2. The schemes with centered approximations 155
3.3. The comparison of numerical and known solutions. Test problems 158
Chapter 2. Compact approximations in viscous gas flow problems
1. Equations. Difference meshes :
229
4. Examples of applications ot the algorithms with compact approximations .... 163
4.1. External flow problems. Separated flows 163
4.2. Internal flow problems 168
5. Compact approximations for simplified Navier-Stokes equations 174
5.1. Marching algorithm 174
5.2. Examples of computations 180
Chapter 3. Compact approximations for incompressible flows 182
1. The forms of Navier—Stokes equations. Algorithms for vorticity-stream functi-
function 183
1.1. On numerical simulation of incompressible flows 183
1.2. Approximations of Navier-Stokes equations for vorticity-stream function
formulation 187
1.3. Examples of computations 192
2. Algorithms for primitive variables formulation 197
2.1. Implicit method with pressure correction 197
2.2. Schemes based on artificial compressibility 204
2.3. Matching algorithms 206
3. Compact approximations in some models of incompressible flows 211
3.1. Turbulent flows. Approaches with gravity forces 211
3.2. Numerical simulation of surface waves spectra 217
References 222
Научное издание
Толстых Андрей Игоревич
КОМПАКТНЫЕ
РАЗНОСТНЫЕ
СХЕМЫ
И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ
В ЗАДАЧАХ
АЭРОГИДРОДИНАМИКИ
Утверждено к печати
Вычислительным центром
АН СССР
Художник А.Г. Кобрин
Художественный редактор В.Ю. Яковлев
Технические редакторы Н.М. Бурова, Г.П. Каренина
Корректор Л.А. Агеева