/
Автор: Кошмаров Ю.А. Башкирцев М.П.
Теги: физика термодинамика теплопередача теплообмен пожар пожарное дело
Год: 1987
Текст
ияэкенерная кожарно-техническая школа МВД СССР
Ю. Д. КОШМАРОВ, М. И. БАШКИРЦЕВ
ТЕРМОДИНАМИКА
И ТЕПЛОПЕРЕДАЧА
В ПОЖАРНОМ ДЕЛЕ
МОСКВА • 1987
Следует иметь в виду, что работа и теплота могут вызывать'во взаимодейст-
вующих телах изменение движения любой формы. Например, передача
энергии путем совершения работы над газом (сжатие газа поршнем) может
приводить к увеличению его теплового движения.
В обобщенном термодинамическом ' понимании теплота представляет
собой совокупность микрофизических процессов передачи энергии, тогда
как работа есть любая макрофизическая форма передачи энергии. Работа и
теплота зависят от характера процесса взаимодействия тел, т.е. являются
функциями процесса.
Следует здесь отметить, что передача энергии может осуществляться
также еще одним способом — переносом массы от одного тела к другому,
т.е. посредством обмена веществ.
Почти все явления природы в той или иной степени сопровождаются
превращениями энергии. Поэтому термодинамика, будучи наукой об энер-
гии, имеет огромное значение для любых отраслей техники. Методы термо-
динамики широко используются в самых различных отраслях науки. Термо-
динамика позволяет установить, в каком направлении могут протекать
различные физические и химические процессы при взаимодействии тел, и
вскрывает- глубокие связи между различными свойствами вещества. Раздел
термодинамики, в котором рассматриваются общие положения, методы и
математический аппарат, принято называть общей термодинамикой. Наряду
с развитием общей термодинамики развивается прикладная наука, которая
получила название технической термодинамики. Техническая термодинами-
! ка направлена на решение прикладных вопросов современной теплоэнерге-
\ тики. Приложение общих термодинамических соотношений к явлениям,
) в которых процессы обмена энергией сопровождаются изменениями хими-
ческого состава участвующих тел, составляет содержание раздела науки,
получившего название химической термодинамики.
Лз Термодинамический метод исследования природных явлений построен
по аксиоматическому принципу. В качестве основных аксиом принимаются
фундаментальные законы природы, называемые началами (законами)
термодинамики. Эти законы установлены опытным путем и подтверждены
всем ходом развития естественных наук. В основу термодинамики положены
три закона (начала). Первый закон характеризует количественную сторону
процессов превращения энергии и представляет собой всеобщий закон
! сохранения и превращения энергии, сформулированный в термодинамичес-
। ких понятиях. Второй закон устанавливает направленность (т.е. качествен-
ную сторону) процессов, протекающих при взаимодействии реальных макро-
| скопических тел. Применительно к процессу теплообмена между двумя
телами этот закон состоит в утверждении того факта, что теплота само-
произвольно может переходить лишь от тела с большей температурой к телу
с меньшей температурой, но никогда наоборот. Если первый закон носит
всеобщий (абсолютный) характер, то второй’ закон носит ограниченный
1 характер и применим лишь к макроскопическим телам, т.е. состоящим из
весьма большого числа элементарных частиц. Второй закон термодинамики
нельзя распространять также на бесконечную Вселенную в целом. Третий
закон термодинамики объясняет поведение вещества при температуре,
стремящейся к абсолютному нулю, и имеет еще более ограниченную область
5
приложения. Иногда к числу основных законов термодинамики относят
еще так называемое „нулевое начало”. Нулевое начало определяет условие
теплового равновесия тел.
Термодинамический метод исследования различных явлений заключается
в том, что все выводы и соотношения, характеризующие изучаемые объекты
и процессы, получаются логическим путем (методом строгой дедукции)
из основных законов термодинамики.
Необходимо отметить, что термодинамический метод исследования носит
феноменологический характер. В термодинамике используют для описания
процессов обмена энергией только такие физические величины и понятия,
смысл которых не связан с существующими представлениями о микроско-
пическом строении материи. Эти величины могут быть либо измерены,
либо вычислены с использованием измеренных величин по соотношениям,
вытекающим из законов термодинамики. Термодинамика оперирует лишь
величинами, которые.характеризуют результаты действия огромного числа
элементарных частиц вещества, когда влияние отдельной частицы стано-
вится неразличимым. Подобного рода величины принято называть макро-
физическими или термодинамическими (в отличие от микроскопических
величин, характеризующих поведение отдельных молекул и атомов) . Приме-
рами таких величин являются температура, давление, энтропия и. т.д. В
связи с этим выводы и положения, получаемые с помощью термодинамичес-
кого метода исследования, не зависят от того, насколько совершенны совре-
менные представления о строении вещества. В этом заключается большое
преимущество и сила термодинамики. Термодинамика отличается общ-
ностью приложения и глубиной анализа.
Необходимо отметить, что область применения термодинамического
метода имеет ограничения. Из ранее сказанного вытекает, что метод термо-
динамики можно применять только к макроскопическим телам, другими
словами, он ограничен в отношении размеров исследуемых тел. Эти тела
должны содержать достаточно большое количество микрочастиц, чтобы
было обеспечено выравнивание случайных событий микромира. Для выясне-
ния свойств отдельных микрочастиц методы термодинамики не применимы.
Выводы термодинамики нельзя распространять и на бесконечную Вселен-
ную, так как законы, лежащие в основе этой науки, базируются на опыте,
накопленном при наблюдении макросистем в ограниченной чцсти Вселен-
ной.
1.2. Термодинамическая система. Рабочее тело
Объектом изучения в термодинамике являются различные термодинами-
ческие системы. Термодинамической системой называется совокупность
макроскопических тел (а также полей), взаимодействующих друг с дру-
гом. В теплотехнике, например, такой системой является весь комплекс
машин и устройств электрической станции (паровой котел, турбина, кон-
денсатор и т.д.). В технической термодинамике весьма часто объектом изу-
чения является какое-либо вещество, выполняющее главную функцию в
тепловой машине (например, продукты горения топлива, сжатый газ, водя-
6
ной пар и т.д.). Такое вещество также рассматривается как термодинамичес-
кая система. Принято называть это вещество рабочим телом машины (или
системы).
Все тела, не входящие в состав изучаемой термодинамической системы,
называются в совокупности окружающей средой. Выбор каких-то тел,
включаемых в термодинамическую систему, и отнесение других тел к окру-
жающей среде определяется задачами исследования.
Граница между термодинамической системой и окружающей средой
называется контрольной поверхностью. Эта поверхность является услов-'
ным понятием. В ряде случаев она может геометрически совпадать с некото-
рой реальной физической поверхностью. Например, в случае простейшей
термодинамической системы, которую представляет собой газ (рабочее
тело) в цилиндре под поршнем (рис. 1.1 а), контрольная поверхность совпа-
дает с внутренними поверхностями цилиндра и поршня. Во многих случаях
контрольная поверхность является воображаемой. Так, например, при
анализе течения газа в сопле рассматривается рабочее тело между двумя
характерными сечениями сопла (входное и выходное). Эти сечения рассмат-
риваются как контрольные поверхности (рис. 1.1, б). Они являются вообра-
жаемыми поверхностями.
Термодинамическая система может взаимодействовать с окружающей
средой (с окружающими телами). Это взаимодействие может состоять
в передаче энергии или вещества в систему или из нее.
Если через контрольную поверхность (или ее часть) переходит вещест-
во, то такую термодинамическую систему называют открытой. Примером
открытой термодинамической системы может служить газообразная среда,
заполняющая при пожаре помещение с открытыми проемами (рис. 1.1, в).
В процессе развития пожара через одни проемы из помещения вытекают
нагретые газы, через другие поступает воздух из окружающей атмосферы.
Через участки контрольной поверхности А-А иВ-В, которые расположены
в плоскостях проемов (окон, дверей), наблюдается при пожаре перенос
вещества. Остальные участки контрольной поверхности совпадают с внут-
ренними поверхностями ограждений (стен, потолка, пола) и являются
непроницаемыми для вещества. Исключение составляет поверхность горя-
щего материала. Через участок контрольной поверхности С-С, совпада-
ющей с поверхностью горящего материала, в помещение поступают газо-
образные продукты (продукты пиролиза и горения). Окружающая воздуш-
ная атмосфера и ограждения помещения являются внешней средой по отно-
шению к термодинамической системе, которая выделена на рис. 1.1, в'
замкнутой контрольной поверхностью (показана пунктиром).
Если контрольная поверхность непроницаема для вещества (т.е. между
системой и внешней средой отсутствует обмен веществом), то система назы-
вается закрытой. Примером такой системы может служить рассмотренный
выше газ, находящийся в цилиндре под поршнем.
Термодинамическая система называется изолированной, если через конт-
рольную поверхность не происходит передачи энергии и вещества. Понятие
изолированной системы является научной абстракцией.
Если закрытая термодинамическая система не может обмениваться тепло-
той с окружающей средой, то такая система называется адиабатной.
7
Рис. 1.1. Термодинамические системы:
а - закрытая система: 1 - поршень; 2 - цилиндр; 3 - газ; 4 - контрольная поверх-
ность; б - проточная система: 1 - газ в сопле; А-А. и В-В - входное и выходное се-
чение; в — открытая система: 1 - газовая среда; 2 — ограждение; 3 - проемы; 4 - го-
рючий материал; 5 — контрольная поверхность; ф, GB, Gr - потоки продуктов пироли-
за, воздуха и уходящих газов
Система, имеющая во всех своих частях одинаковые свойства, называет-
ся однородной. Систему, состоящую из одной фазы вещества (или несколь-
ких веществ, находящихся в одной фазе), называют гомогенной. Возмож-
ны четыре фазы агрегатного состояния вещества — твердая, жидкая, газо-
образная, плазменная. Системы, содержащие вещество в разных фазах,
называют гетерогенными. В зависимости от числа фаз гетерогенные системы
называются двухфазными, трехфазными.
8
1.3. Термодинамические параметры состояния.
Уравнения состояния
. Рабочее тело (термодинамическая система) может находиться в различ-
ных состояниях. Состояние тела (системы) характеризуется с помощью
физических величин, значение которых однозначно определяется состоянием
этого тела. Эти величины называются термодинамическими параметрами
состояния. К числу таких/ величин относятся, например, давление, плотность,
температура, энтальпия, энтропия и др. Три параметра состояния вещества —
абсолютное давление р, плотность р (или удельный объем г) и абсолютная
температура Т называются основными термодинамическими параметрами
состояния.
Давление есть сила, действующая на единицу площади поверхности в на-
правлении, перпендикулярном к этой поверхности. Единицей измерения
является паскаль. Один паскаль представляет собой давление, вызываемое
силой 1 Н, распределенной по поверхности в 1 м2, т.е. 1 Па = 1 Н/м2 =
1 кг/(м-с2). Наряду с паскалем употребляются более крупные единицы —
килопаскаль (1 кПа=103 Па) и мегапаскаль (1 МПа=106 Па), а также бар,
миллиметр ртутного или водяного столба, техническая атмосфера и др.
Соотношения между различными единицами измерения давления приведены
в табл. 1. Г.
Соотношения между различными единицами измерения
давления
Таблица 1.1
Единицы Па бар Техническая атмосфера кгс/см2 мм рт. ст. мм вод. ст.
1 Па 1 Ю-5 1,02-10-5 7,5024-Ю-3 0,102
1 бар ю5 1 1,02 7,5024-Ю2 1,02-Ю4
1 кгс/см2 9,8067-Ю4 0,98067 1 735 ю4
1 мм рт. 133 1,33-Ю-3 1,36-Ю-3 1 13,6
ст. (торр) 1 мм вод. 9,8067 9,8067-Ю-5 Ю-4 7,35-Ю-2 1
ст.
1 анг. фунт на кв. дюйм _. 6894,76 0,068947 0,0703070 51,7150 703,090
Давление жидкостей и газов измеряется манометрами. По принципу дей-
ствия манометры делятся на четыре группы — жидкостные (двухтрубные,
однотрубные, компенсационные, компрессионные), грузопоршневые (с
простым поршнем, с дифференциальными поршнями, с уравновешенными
поршнями, с поршневым мультипликатором давления), деформационные
(пружинные, мембранные) и электрические (манометры сопротивления,
пьезоэлектрические, ионизационные и др.).
9
Наряду с абсолютным Давлением в технике широк® используют следу-
ющие понятия - барометрическое (атмосферное) р^-и избыточнее давлешя
ризв, вакуум. Избыточное давление есть разность между абсашегяым и
атмосферным давлениями
Ризб=Ра“^б‘ (1-1)
Вакуум (или разрежение) есть разность между атмосферным и збсолтпьви
давлениями
Рр^б^Ра-
(1.2)
Следует отметить, что избытовдое давление и вакуум не являются Шфяметра*
ми состояния.
Плошасть вещества есть масса едишщы объема вещества
(1.3)
m
Р= у
где р - плотность; V - объем тела; т- масса тела. Плотность измеряется
в кг/м3. ’
.Удельный объем есть величина, обратная плотности
V =
f>
V
m
(1.4)
и измеряется В м3/кг.
Удельным объемом вещества называется объем, занимаеъвый единицей
массы вещества.
, Абсолютная температура есть мера нагретости тела. Если температура
одного тела выше второго, то при их контакте тепло будет самопроизвольно
переходить от первого ко второму телу. После того как температуры теН
станут одинаковыми, устанавливается тепловое равновесие, разность темпе-
ратур является мерой отклонения тел от теплового равновесна,
Абсолютная температура измеряется в кельвинах. Наряду с кеяьвтшом
испотьзуется градус Цельсия. Соотношение между шкалой Цельсия (°C) и
шкалой Кельвина (К)
ЛОг°С + 273Д 5. - (15)
В ряде стран находят применение шкалы Фаренгейта (°Ф), Ренкжа
(°Ra) и Реомюра (^R). Соотношения между этими шкалами и шкалой Цель-
сия:
f °Ф^ W °С +32, (1.6)'
•t ^ММ*«С*273Д5), ‘ (1,7)
(°R = 0,8T°C. (О)
10
Для любой изолированной термодинамической системы (тела) характер-
ным является тот факт, что с течением времени в ней прекращается макро-
скопический обмен веществом и энергией между различными ее частями.
Это предельное состояние системы (тела) называется равновесным. После
достижения изолированной системой равновесного состояния невозможны
никакие изменения в этой системе. Это состояние остается неизменным,
пока система не будет из него выведена внешним воздействием. Это положе-
ние называют принципом самоненарушимдсти термодинамического равно-
весия. При равновесном состоянии все термодинамические параметры состо-
яния, различие в которых является причиной обмена энергией и массой,
становятся соответственно одинаковыми для всех частей системы. В частнос-
ти, условием теплового равновесия является равенство температур всех
частей системы.
При равновесном состоянии термодинамической системы (тела) основ-
ные параметры состояния взаимно связаны между собой. Уравнения, вы-
ражающие связь между параметрами равновесного состояния термодинами-
ческой системы, называются уравнениями состояния. Конкретный вид этих
уравнений определяется в термодинамике экспериментальным путем.
Теоретическое обоснование того факта, что существуют однозначные
зависимости, связывающие между собой параметры равновесного состоя-
ния тела, следуют из современных представлений о строении вещества.
Базирующийся на этих представлениях раздел науки, в котором изучаются
свойства макроскопических тел, называют статистической термодинамикой.
Уравнение состояния для однородного тела можно представить в виде
функциональной зависимости
f (р, Р.Т) =0,
или
f(p, V, Т) = д,
(1-9)
(1.10)
где р — плотность; р — абсолютное давление; Т — абсолютная температура;
1 ~ *
v~ — удельный объем.
С точки зрения представлений о микроструктуре тела значения каждого
из входящих в уравнение (1.9) параметров состояния определяется одними
и теми же факторами, а именно числовой плотностью элементарных частиц
(молекул, атомов) и скоростью их движения. Этим и объясняется то, что
эти термодинамические параметры связаны однозначной зависимостью
(1-9)-
Для каждого вещества конкретный вид функциональной зависимости
между р, у и Т (или значение констант, входящих в эту зависимость)
индивидуален, т.е. термодинамические свойства описываются своим для
каждого вещества уравнением состояния.
11
Уравнение состояния (1.10) мото представить графически в свет®
координат р, д, Т в виде некоторой поверхности. Эти &&#$%№&&& шшва*
ется т-флиздвнамг^ес^й пвъ^настью даЖого вевдеетвя (рд&. L2). Лк&ое
возможное равновесное состояние системы изображается точасОй, леиадей
на этой поверхности (например, точкой А с коордазтамиТд^^Рз)-
Изображение состояний тела (системы) в пространственных кеоразвй-
тах для практики оказывается неудобным. Поэтому otero здоншя&г
системы координат на плоскости, используя да этого какиездБо два (из
трех) параметра состояния. При этом значение третьего парамеТра <Н^^еля-
ют для каждой пары заданных параметров из уравнения состояши* (1Л0);
P^filv,Th
T-fi (р, vj,
v /А П
I
(1.11)
a 12)
(1.13)
ft®» 1 Л* ^врэддииамйчеекйя поверхность
12
4
ftte. 1.4. Термодинамические процес-
сы между одними и теми же началь-
ным и конечным Состояииями тела
нечиьПи состояниями теж, изменение внутренней даергии тела равно одной и
той - ж® вешаете . .
4»U2 - 4*102 а 4"1в2 = “»-«»•
(119)
Полный дифференциал внутренней энергии можно вычислить согласно
(1.18) йри номощн следующих выражений
сад
ч
Ф(ЛП3^-) Ф+(^) ЙТ. (121)
(1^2)
В Крутовых процессах Ойкш) тела в исходаое состоя-
ние в^треняей энергий (как и всех параметров состояния) равно
нулю
(1.23)
В практике тепловых расчетов широко яснояьзуется величина /, оредстав-
Эта величина в термодинавдке называется энтальпией.
массьгтела называется удезьиой энтальпией
= и+ри
т
(L25)
. Единицей энтальпии в СИ является джоуль (Дж), удельной жальнки -
джоуль на килограмм (Дж/кг).
Поскольку велишргы и>р пи являются параметрами cocioWHS, те уделы
ная энтальпия также является параметром состояния тела
i=fi (P,vh i=fi (р, 37,
Полный дифференциал энтадапии:
* (р, v) - ()dp * $0; «ц
^P,77 = f| )4р + (^)4Т,
аод
(1.27)
(1.28)
Физический смысл энтальйии можно пояснить слеДующим оС^эом- Рассмот*
рим газообразную среду 1 с давлением р, ограниченную некоторой контроль»
ной поверхностью КП, и находящееся за ее пределами имеаддее такое же
давление газообразное тело 2 объемом V^Fk (рис* 1.5,а). Вве&до это теяо
в газовую ^реду. При введении тела со стороны среды буавг действовать
18
сила P=pF (рис. 1.5, б). Чтобы ввести тело в среду, необходимо затратить
работу L=Ph=pFh=pV. Эту работу называют работой проталкивания. Таким
образом, энтальпию тела, имеющего объем V, можно рассматривать как
сумму его внутренней энергии U и работы, которую нужно затратить для
того, чтобы ввести это тело в среду, имеющую давление, равное давлению
тела в рассматриваемом состоянии. Величину работы проталкивания мож-
но рассматривать как потенциальную энергию связи данного тела с окру-
жающей средой, находящейся в механическом равновесии с телом (меха-
ническое равновесие означает равенство давлений). Энтальпия есть сумма
внутренней энергии тела и потенциальной энергии, находящейся в механи-
ческом равновесии с телом окружающей среды. Иными словами, энталь-
пия есть энергия расширенной системы — тела и окружающей среды.
1.6. Аналитическое выражение работы, совершаемой рабочим телом
при изменении объема
Изменение объема рабочего тела, окруженного внешней средой с давле-
нием рс, сопровождается работой тела над окружающей средой (против
сил внешнего давления). Эта работа называется работой расширения (или
работой изменения объема рабочего тела).
Рассмотрим рабочее тело, заключенное в оболочку, способную деформи-
роваться без сопротивления, и находящееся в механическом равновесии с
окружающей средой (т.е.*рс=р) - Площадь поверхности оболочки обозначим
F (рис. 1.6). При бесконечно малом расширении рабочего тела оболочка
смещается в сторону окружающей среды, имеющей всюду давление рс, на
бесконечно малое расстояние dx, которое может быть различным на разных
участках поверхности dF. Работа, которая совершается рабочим телом для
того, чтобы, несмотря на противодействие внешнего давления, переместить
каждый участок оболочки dF на расстояние dx, равна произведению силы
PQdF на путь dx, x.e.p^dFdx. Элементарная работа, обусловленная перемеще-
нием всей оболочки, вычисляется путем интегрирования
ЪЬ =
PdFdx =Р
JdFdx.
(1.29)-
Произведение dFdx есть бесконечно малая часть приращения объема рабо-
чего тела. Суммирование (интегрирование) этих приращений дает элемен-
тарное приращение объема всего тела, находящегося в оболочке
$dFdx=dV.
F
(1.30)
С учетом последнего из формулы (1.29) получим выражение для элемен-
тарной работы расширения при равновесном процессе (р=рс)
bL^pdV. - (1.31)
19
Рис. 1.6. К выводу формулы
для опреснения работы распив
рения
Работа, совершаемая рабочим телом при конечном изменении объема от
значения Кх до значения К2, вычисляется путем жтегрироваит выражения
(1.31) .
Л = ГЙ^ • -
И ‘ . (132)
Единицей работы » СИ является джоуль (Ж)«
Работа, приходящаяся на еджицу массы рабочего тела, Жиывается удель-
ной работой «ам вк&щх объема
г ^2
(133)
м»
#1
Единицей удельной работы в СИ являет джоуль на кШгаграмм (Дж/кг ).
Абсолютное давление всегда йоложитедьиая величнда. Поэтому знак
работы определяется знжомйр^ащвйия объема. объем рабочего
тела увеличивается и знак работы йоложювльиый. В дам даучда рабочее
тело совершает работу над оВДдгЖтюцей средой, При 4$ < 0 объем тела
уменьшается (процесс сжатия) и знак работы отрйцатезыный. В этом еяр
«ю работа совершается окружающей (федай дад рйочмм том.
Для того чтобы вычислить рабату во формуле (1.33), вжгёзддэдо зяахь
зависимость йвдош от удельного объема в хода дакиого процесса, тя.
Р =« Z Эта зависимое» с^да^датся характером тершданамидаосоге
дродасеа.
20
Величину работы расширения можно вычислять графическим путем с
помощью /илдиаграммы. Рассмотрим изображение в этой диаграмме некото-
рого равновесного термодинамического процесса ]а2 (рис. 1.7). Площадь
заштрихованной полоски, имеющей ширину do, есть графическое изображе-
ние работы 6/ = рди на элементарном участке процесса. Работа I процесса
1а2 изображается площадью под кривой этого процесса
1 = / pdp= пл. la2viV\ 1. (1-34)
Vi
Ранее отмечалось, что работа как форма обмена энергией является функ-
цией процесса. Это положение иллюстрируется на рис. 1.7. На этом рисунке
показаны два процесса, имеющие одинаковые начальные и конечные состоя-
ния рабочего тела (процессы ]а2 и 162^ Изменения давления Др - р2 - pt,
Рис. 1.7, Графическое изобра-
жение работы расширения в
ри- диаграмме
удельного объема Дц - у2 - yj и температуры ДТ = Т2 - Л в этих процессах
одинаковые. Работы этих процессов различны, что нетрудно видеть, если
сопоставить площади под кривыми этих процессов, Работа процесса 162
больше работы процесса 1а2.
Если рабочее тело совершает круговой процесс (рис. 1.8), то при расши-
рении (dv> 0) совершается положительная работа, а при сжатии (dp < 0)
отрицательная. Разность этих работ изобразится в рр-диаграмме заштрихо-
ванной площадью внутри замкнутой линии. Эта разность называется работой
цикла 1ц‘
Из вышесказанного следует, что элементарная работа 5/ не является
полным дифференциалом какой-либо функции состояния, она является
функцией процесса.
21
1.7. Теплоемкость
Термодинамический процесс изменения состояния тела в общем слу-
чае сопровождается производством работы и подводом (или отводом)
теплоты к телу от окружающей среды. Изменение состояния тела сопро-
вождается в общем случае изменением его температуры.
Отношение теплоты 5Q, полученное телом при бесконечно малом равно-
весном изменении его состояния, к изменению температуры dT называется
теплоемкостью тела в данном процессе:
С= (1.35)
Единицей теплоемкости в СИ является джоуль на кельвин (Дж/К).
Теплота, так же как и работа, является функцией процесса. Поэтому
теплоемкость тела зависит от условий протекания процесса. В связи с этим
величина С снабжается обычно нижним индексом, указывающим вид про-
цесса. Так, например, если речь идет об изобарном процессе, то теплоемкость
обозначается символом С . Если речь идет об изохорном процессе, то
используется символ С^.
Отношение теплоемкости однородного тела при х-процессе к массе тела
m называется удельной массовой теплоемкостью
Сх = CJm
(1.36)
Единицей удельной массовой теплоемкости в СИ является Дж/(кг-К).
По своему физическому содержанию удельная массовая теплоемкость
22
есть количество теплоты, необходимое для изменения температуры еди-
ницы массы вещества на один градус.
Отношение теплоемкости тела к его объему при нормальных усло-
виях (Тн = 273,15 К, /?н= 101,325 кПа) называется объемной теплоемкостью
c'x=CxlVo- (137)
Единицей объемной теплоемкости в СИ является Дж/ (м3 -К).
Отношение теплоемкости к количеству вещества* называется молярной
теплоемкостью
схм~Сх^П’ (1-38)
где схм — молярная теплоемкость; п — количество вещества (т.е. число
молей). Если теплоемкость Сх выражается в Дж/К, а пв моль, то молярная
теплоемкость схм выражается в Дж/(моль-К).
Масса одного моля называется молярной массой
М~~’ (1.38а)
где М — молярная масса; т— масса тела. При выражении п в моль и т в кг
молярная масса выражается в кг/моль. Следует отметить, что числовые
значения молярной массы М, выраженные в кг/кмоль, равны молекуляр-
ной массе**д. Так, для углерода молекулярная масса д = 12,01, молярная
масса М = 12,01 кг/кмоль; для водорода д = 2,016, М - 2,016 кг/кмоль;
для кислорода д = 32, М = 32 кг/кмоль; для углекислого газа д = 44,01,
М - 44,01 кг/кмоль.
Массовая, объемная и молярная теплоемкости связаны между собой
соотношением
= (1-39)
где до — плотность тела при нормальных условиях; М — молярная масса.
Теплоемкость каждого вещества зависит от температуры (она неодина-
кова в разных местах температурной шкалы) . Теплоемкость, вычисляемая
по формуле (1.35), соответствует определенному элементарному участку
процесса и отвечает некоторым значениям Т ир. Эту теплоемкость называют
истинной.
* Количество вещества представляет собой физическую величину, определяемую
числом структурных элементов (атомов, молекул, ионов и др.). Единицей количества
вещества в СИ является моль. Кроме моля, применяют кратные и дольные от моля-
кмоль, ммоль и др.
** Молекулярной массой вещества называют отношение средней массы молекулы
данного вещества к 1/12 массы атома изотопа углерода 12С.
23
Количество теплоты, приходящееся на единицу массы рабочего тела, при
изменении температуры тела от 7\ до Т2 определяется по вытекающей из
выражения (1.35) формуле
Т2
q = / cYdT.
(1.40)
Единицей измерения удельной теплоты q является Дж/кг.
В практических расчетах удобно пользоваться понятием средней удель-
ной теплоемкости. Средней удельной массовой теплоемкостью данного
процесса в интервале температур от до Т2 называют отношение количест-
ва теплоты як конечной разности ДТ -Т2 - Г/:
Т2
схт Т2- 1\ ' (1-41)
П
Нижний индекс „т” в формуле (1.41) указывает на то, что речь йдет о
средней теплоемкости, а символ I , указывает интервал температур,
для которого приведено значение средней теплоемкости. С учетом (1-40)
выражение (1.41) можно преобразовать к виду
1Т- 1
схт | т2 - т\
Т2
J cdT.
Л
т,
(1-42)
Уравнение (1.42) устанавливает связь между средней и истинной теплоем-
костями тела в данном процессе.
В таблицах справочников приводятся значения средних теплоемкостей в
интервале температур от 0 °C до t °C.
Пусть кривая 3-2 (рис. 1.9) дает зависимость истинной теплоемкости от
температуры с =f (t) . Количество теплоты q2, необходимое для повы-
шения температуры от 0 до t2 °C, согласно уравнению (1-40), равно пло-
щади 322'0. Теплота qx, необходимая для повышения температуры от 0
до ti °C, равна площади 311'0. Величины t?2 и qr можно выразить, согласно
(1.41), через средние теплоемкости:
У* ~ cxm ’
0
^2 ~ схт ?2'
0
(1.43)
Теплота, подведенная к единице массы тела в интервале температур от
11 до 12
q~4i — <?i _ схт ^г~схт (1-44)
2
Рис. 1.9. К определению сред-
ней теплоемкости
согласно уравнению (1.41), можно выразить через с
«Л III
Среднюю массовую теплоемкость в интервале температур Д? - t2 - tr,
11 , ^2
исхт\ :
О х О
.f2_ q
М. г, - t, * г2 - Г,
4 1
(1-45)
1.8. Идеальные газы
Идеальными газами называются в молекулярно-кинетической теории
газы, состоящие из хаотически движущихся молекул, объем которых очень
мал по сравнению с объемом газа (в этом отношении молекулы можно
рассматривать как материальные точки) и между которыми нет сил взаим-
ного притяжения. Внутренняя энергия идеального газа слагается из кинети-
ческой энергии поступательного движения всех частиц, кинетической энергии
вращательного движения молекул и энергии колебательного движения
молекул. Составляющая внутренней энергии, обусловленная взаимным
притяжением молекул и называемая потенциальной энергией взаимодейст-
вия молекул, у идеального газа отсутствует.
25
Температура и давление газа выражаются через среднее значение квадра-
та скорости хаотического движения молекул w2 и числовую плотность
молекул n-N/V (число молекул в единице объема):
И
— 2
mow
2
(1-46)
2
Р = -3-и
то щ
(1-47)
где mQ = 1,66д 10~27 кг— масса одной молекулы; к- 1,3806-10’23 Дж/К —
константа Больцмана; д — молекулярная масса.
Из уравнений (1.46) и (1.47) вытекает уравнение
р = пкТ. (1.48)
Это уравнение можно преобразовать к виду
P = pRT, (1.49)
где. р = т/п — плотность газа, кг/м3; R = =------— Дж/ (кг-К) — газовая
то
постоянная.
Поскольку р= 1/ у,то уравнение (1.49) преобразуется к виду
Pv=RT. (1.50)
»
Если умножить обе части последнего уравнения на массу газа т, то полу-
чим
pV = mRT, (1.51)
где V =v/m — объем, занимаемый газом.
Если умножить обе части уравнения (1.50) на молярную массу М, то полу-
чим
pV^^RT,
г м м
(1-52)
где Им=ЛГ^м3/кмоль — молярный объем; 1?м=М7? = 8314,3 Дж/(кмоль-К) —
универсальная газовая постоянная.
Уравнения (1.49), (1.50), (1.54) и (1.52) представляют собой различные
формы записи уравнения состояния идеального газа. Уравнение (1.50)
называют уравнением состояния для 1 кг идеального газа, уравнение
(1.51) — для произвольного количества газа, а уравнение (1.52) — для
одного киломоля. В термодинамике уравнение (1.50) называется уравне-
нием Клапейрона, а уравнение (1.52) — уравнением Клапейрона-Менделеева.
26
Следует отметить, что в термодинамике (в отличие от молекулярно-
кинетической теории) не рассматривается микроструктура вещества. Поэ-
тому в качестве признака, определяющего понятие идеального газа, исполь-
зуется уравнение состояния, В термодинамике идеальным газом называется
газ, строго подчиняющийся уравнению Клапейрона-Менделеева (или его
модификациям, указанным выше). Термодинамическая поверхность
для идеального газа изображена на рис. 1.10.
Внутренняя энергия идеального газа, состоящего из N частиц, вычисляется
в кинетической теории по формуле
Z7-7V(enocT + еВр + екол), (1.53)
где епост — средняя кинетическая энергия поступательного движения моле-
кулы; еВр — средняя кинетическая энергия вращательного движения моле-
кулы; екол ~ средняя энергия колебательного движения атомов сложной
молекулы относительно друг друга.
Кинетическая энергия поступательного движения молекулы в среднем
составляет величину, равную
той? 3 , „
е = ~2~ (I-54)
Каждая молекула газа имеет три степени свободы поступательного движе-
ния (она может двигаться в любом из трех координатных направлений
х, у, z). На каждую степень свободы поступательного движения молекулы,
согласно принципу равного распределения энергии по степеням свободы,
приходится в среднем одинаковая энергия, равная (1/2)’ кТ. Если моле-
кула состоит из двух и более атомов, то она совершает также вращатель-
ное движение. На каждую степень свободы вращательного движения моле-
Рис. 1.10. Термодинамическая
поверхность идеального газа
27
где У. - приведенный (парциальный) объем т-го комздэдт; ^-—объемная
доля i-ro компонента.
Приведенным (шфциольным} объемом fro компонента называется
объем, который занимал бы f-й газ, если бы ой при температуре смеси
находился ке под своим парциальным Давлением, а йод, полным
нием смеси
pV^mfifT. (Ш)
Из уравнений (1.56) и (1.61) следует
или
Vf=V—. (1.62)
Сумма (фиведедных объемов равна полному объему смеси газов. Дейст-
вительно, суммируя приведенные объемы всех компонентов смесй иучгш-
вая уравнения (1,57) и (1,62), получим
£ yt-mP)s р. - к. .. (1.63)
W W
Следовательно, сумма объемных долей равна единице
S г-=1. (1.64)
М
Молярной долей называется отношение количества вещества fr® компо-
нента к количеству вещества смеси. Малярные доли числение равны. объем,
ным долям газов. Действительно, из уравнения (1.52) следует, что при
одинаковых температурах я далиях молярные объемы всех газов одина-
ковы. Следовательно, приведенный объем каждого компонента смеси мож-
но вычислить но формуле
^• = Vm' ‘ (1Л5)
где л^ - количество вещества £го компонента смеси (кмоль);
Км — молярный о^ем.
Если проеумъшровазъ вряведешше объемы, вычиследаде ио формуле
(1.65), то получим сле^уждее выражение
’ (1.66)
30 .
хда P* F| объем смеси; n л - количество вещества смеси
ОсШЛь)^
С&СШййя отношение правых и левых частей выражений (1.65) и (1.66),
получим
1
i
Г и
Уравнение состояния газовой смеси можно получить, если просуммиро-
вать аочзшта© уравнения (1.56) для всех компонентов смеси
к к
FX А Rfnr . (1.68)
К
Та»с топе i то из выражения (1.68) следует
к
(1.69)
М"
Введем обозначение
i к. g{
S я/V^14’3 2 - , (1.70)
? » М д,
>; где д^ — молекулярная масса Аго компонента смеси. Вычисляемая по фор-
•»’ муле (1.70) величина ^см> называется газовой постоянной смеси. Газовая
| постоянная смеси зависит от состава смеси и физической природы компонен-
тов смеси. С учетом .виеденного обозначения уравнение состояния принимает
вид
(1.71)
Й:
У
г Газояую постоянную (1.70) можно выразить через объемные доли. Для
; этого воспользуемся уравнением (1j61), которое можно записать в виде
!
* рл^ешзтт £ (1.72)
!
*}
или
(1.73)
31
Просуммировав это уравнение но воем компонентам смеси, ионучим
к
pV Е гЛ „взнзяХ - (1,74)
й»1
Из сравнения этого уравнения с уравнением состояния (1.71) ей^ет
г4^ ’ <175)
2 гл
М
При расчетах удобно пользоваться условной величиной - федмей {кажу-
щейся} молярной массой смеси, Являющейся отношением массы всей сме-
си к ко личеству вещества
' С.7О
Если учесть, что т = Z- nfy - nftlj и rt то из формулы (L74) нояу-
чим -: v . '
f;
"вм=1м<(^=В, W- -У™>
I— 1 л Р=1
к >
. га Е (1»77б)
к
Из выражения я = I с учетом (1.7й) можно волу^ть && ояау фррмуиу
М •
для кажущейся молярной массы. Действительно,
к
«чт/W^’S (mfity ' <b7g)
$=1
следовательно,
(l»»j
М
к
^1/ Sfr/ц/ (1.3,8)
82
Если учесть, что т- = п^/М^, т = п/М^х и г,. = nJn, то 1 СМ 1 V 9 нетрудно получить
соотношения между объемными и массовыми долями:
т пМ М см 7Wcm riML к z-1 (1.80)
К- п- mJM- у — * — » — t 1 —— 1 V п ' см gА к 2 (gJM,) ;=1 ' (1.81)
Из уравнений (1.62) и (1.81) вытекают следующие соотношения между
парциальным давлением компонента и давлением смеси
РГРгр
РГР^—
к
i=l
(1.82)
(1-83)
Смеси идеальных газов обладают еще одним важным свойством — тепло-
емкость газовой смеси равна сумме теплоемкостей компонентов злой смеси
к
Qm = 2 Ci> (1-84)
z-1
где Qm ~ ссмт' = cimi’ ссм — Удельная массовая теплоемкость смеси;
с- — удельная теплоемкость z-ro компонента (здесь и далее индекс, указыва-
ющий вид процесса, опущен).
Если разделить левую и правую части уравнения (1.84) на массу смеси
т, то получим
ссм “ • (1-85)
Удельная теплоемкость газовой смеси равна сумме произведений массо-
вых долей компонентов на удельные массовые теплоемкости компонентов.
Средняя в интервале температур от Ц до f2 удельная массовая теплоемкость
смеси
f2 к f2
cm Sft ,
fl z-1 fl
(1.86)
33
т^ст
ti
— средняя удельная теплоемкость смеси;
12 .
— средняя удельная теплоемкость i-ro компонента,
fi
1.10. Реальные газы
Молекулы газов в действительности имеют конечные размеры и взаимно
притягиваются. Силы взаимного притяжения молекул зависят от расстояния
между ними. Эти силы препятствуют разлетанию молекул и, следовательно,
действуют в том же направлении, что и внешнее давление, удерживающее
газ в данном объеме. Другими словами, реальный газ обладает некоторым
внутренним (или молекулярным) давлением, обусловленным силами сцеп-
ления между молекулами. Суммарная сила молекулярного притяжения
каких-либо двух малых частей газа пропорциональна произведению чисел
молекул в каждой из этих частей, т.е. квадрату плотности газа
Рвн“а*’2 =«/Л °'87)
где рвн — внутреннее давление газа; а — коэффициент, зависящий от при-
роды газа.
Полное давление газа равно сумме внешнего и внутреннего давлений.
Кроме того, свободный объем для движения молекул газа меньше объема,
занимаемого газом, на величину объема всех молекул при плотной их упа-
ковке. С учетом этих обстоятельств можно получить из молекулярно-кине-
тических представлений о газе следующее уравнение состояния
(Р + -^ ) (v-в) = RT, (1.88)
v
где в — объем, занимаемый молекулами газа при плотной их упаковке.
Это уравнение было получено в 1873 г. голландским физиком
Ван-дер-Ваальсом и носит его имя.
Уравнение Ван-дер-Ваальса качественно верно отображает поведение
реальных веществ как в газообразном, так и в жидком состояниях. Одна-
ко в количественном отношении это уравнение носит Приближенный харак-
тер и имеет ограниченную область применения.
Известно большое число попыток вывода теоретически обоснованного
уравнения состояния, справедливого в достаточно широкой области состоя-
ний реального газа. С помощью методов статистической физики советским
ученым Н.Н. Боголюбовым и американским физиком Д. Майером было
показано, что уравнение состояния реального-вещества имеет вид
pv=RT(\-^---------------~Z (1.89)
&=1 Аг+1 vk
34
где — коэффициент, являющийся функцией температурь! (так называ-
емый вириальный коэффициент).
Определение вириальных коэффициентов связано с большими труднос-
тями. В связи с этим на практике обращаются к эмпирическим уравнениям
состояния для различных веществ. Данные по свойствам веществ, предна-
значенные для инженерных расчетов, суммируются в виде подробных таб-
лиц и диаграмм термодинамических свойств. Эти таблицы рассчитываются
по эмпирическим уравнениям состояния. На рис. 1.11 показана термоди-
намическая поверхность реального газа. Форма поверхности зависит от
индивидуальных свойств вещества. На этом рисунке линии p=const есть
результат пересечения термодинамической поверхности с плоскостями,
параллельными координатной иГ-плоскости, а линии 7=const — результат
пересечения термодинамической поверхности с плоскостями, параллель-
ными координатной рр-плоскости. На рисунке указаны области газообраз-
ного (область 3), жидкого (область 1) состояний вещества и область влаж-
ного пара (область 2). Граница между этими областями называется погра-
ничной кривой. Лежащая на этой кривой точка К, называемая критической
точкой, соответствует критическому состоянию вещества. Эта точка делит
пограничную кривую на две части, которые называются верхней и нижней
пограничными кривыми. Верхняя пограничная кривая соответствует состо-
яниям, называемым сухим насыщенным паром, и разделяет область газо-
образного состояния (область перегретого пара) и область влажного пара.
Нижняя пограничная кривая соответствует состояниям вещества, характер-
ным для кипящей жидко.сти, и разделяет область жидкого состояния и
область влажного пара. В критической точке К исчезает различие между
жидкой и газообразной фазами.
Рис. 1.11.,Термодинамическая
поверхность реального вещест-
ва
35
На практике использование пространственной системы координат рг,Т
оказывается неудобным. В этой связи широко применяются плоские диа-
граммы в ри, vT, рГ-координатах.
Глава 2. ПЕРВЫЙ ЗАКОН ТЕРМОДИНАМИКИ
2.1. Уравнение первого закона термодинамики для
закрытых термодинамических систем
В изолированной термодинамической системе энергия может переда-
ваться от одних частей этой системы к другим, но общее количество энер-
гии Е в системе остается неизменным
Е^м„ + U=E = const
(2-1)
где ^внеш — сумма внешней кинетической и потенциальной энергий систе-
мы; U — внутренняя энергия системы.
В неизолированной системе количество полной энергии может изменять-
ся в результате взаимодействия этой системы с окружающей средой. Закры-
тая термодинамическая система может при этом обмениваться энергией
с окружающей средой двумя способами — в форме теплоты и в форме
работы. Следовательно, изменение полной энергии закрытой термодинами-
ческой системы равно разности между полученной системой энергией в фор-
ме теплоты Q и совершенной ею работой L
d£ = Q-L.
(2.2)
Если внешняя кинетическая энергия закрытой системы равна нулю, а
внешняя потенциальная энергия не изменяется, то
(2.3),
В этом случае уравнение (2.2) принимает вид
LE=Q-L.
(2.4)
Выражение (2.4) является математическим выражением первого закона
термодинамики для закрытой системы. Оно формулируется так: изменение
внутренней энергии термодинамической системы равно разности между
полученной системой теплотой и совершенной ею работой.
Уравнение (2.4) определяет изменения в системе, происшедшие в резуль-
тате некоторого конечного термодинамического процесса. Для бесконечно
36
малого участка процесса, когда происходит бесконечно маЬое изменение
внутренней энергии dU, уравнение первого закона записывается
dU=8Q-8L,
(2-5)
где dU- полный дифференциал внутренней энергии; 8Q - элементарное
количество теплоты; 8L — элементарная работа.
В тех случаях, когда термодинамическая система представляет собой
однородное рабочее тело, удобно использовать при анализе процессов удель-
ные величины - удельную внутреннюю энергию, удельную работу и удель-
ную теплоту. Разделив правую и левую части уравнения (2.5) на массу
рабочего тела, получим выражение первого закона термодинамики для 1 кг
рабочего тела '
du = bq-8l. (2.6)
Первый -закон термодинамики, записанный в форме уравнений (2.4),
(2.5) или (2.6), соблюдается как при равновесных, так и при неравновес-
ных термодинамических процессах.
Работа, совершаемая рабочим телом, может быть различных видов. Рабо-
ту изменения объема рабочего тела называют механической работой. К
числу немеханических видов работ относят электрическую, являющуюся
работой переноса зарядов в электрическом поле, и магнитную, которая
совершается при намагничивании магнетика в магнитном поле. При равно-
весных процессах механическая работа (работа изменения объема тела)
вычисляется с помощью выражений (1.31) — (1.33).
Если работы немеханического характера отсутствуют, то уравнение пер-
вого закона термодинамики для равновесных процессов в закрытой термо-
динамической системе записывается
du=8q-pdv (2.7)
или
8q=du + pd v.
(2-8)
Уравнение (2.8) имеет следующий смысл: удельная теплота, подведенная к
рабочему телу, расходуется на изменение удельной внутренней энергии
тела и на совершение телом удельной работы изменения объема.
Другой вид аналитического выражения первого закона термодинами-
ки можно получить, если воспользоваться понятием удельной энтальпии
8q = du +pdv= du+ d(pv) - vdp = d fu+ pv)-vdp, (2.9)
откуда
8q = di - vdp. n m
37
2.2. Уравнение первого закона термодинамики для
открытых термодинамических систем
Полная энергия Е открытой системы (рис. 2.1) изменяется за счет взаимо-
действия с окружающей средой путем теплообмена, совершения работы и
массообмена. Поступающая в систему за время dr через ни участок конт-
рольной поверхности площадью масса 8т- обладает в рассматриваемый
интервал времени dr удельной внутренней энергией и, удельной кинетичес-
кой W2 /2 и удельной потенциальной (в поле тяготения) gh энергией, так
что полный запас энергии составляет величину
2
(и + _“L + gh)-8m-.
£ II
Кроме того, при вводе единицы массы вещества в систему совершается
работа проталкивания (см. § 15), равная произведению силы на пере-
мещение х, или = Ptvc С Учетом сказанного уравнение первого закона
термодинамики для открытой термодинамической системы записывается
так
k w2
dE=8Q-8L+Z (и+— +gh+pv);8m-, (2.11)
z=l 2 1 1
где к — число участков контрольной поверхности, через которые проходят
потоки вещества; dE и 8Q — изменение полной энергии системы и подве-
денная теплота за время dr\ 8m — масса вещества, поступившая через z-й
участок контрольной поверхности за время dr; 8L — работа, совершенная
системой за время dr-, щ — скорость движения массы вещества 8m g —
ускорение свободного падения; h — координата.
Если термодинамическая система не совершает работы изменения объ-
ема (или других видов работы), то уравнение первого закона для открытой
системы записывается
dE = + ~ + gh +pvji8mi (2-12)
Если открытая термодинамическая система находится в стационарном
(установившемся) состоянии и при этом количество вещества, поступа-
ющего в систему через одни участки контрольной поверхности,.равно коли-
честву вещества, покидающему систему через другие участки контрольной
поверхности, то такие системы называются проточными. Примером такой
системы может служить стационарный поток газа в неподвижном канале
переменного сечения (рис. 2.2). В случае стационарного потока энергия
системы (т.е. вещества, заключенного внутри контрольной поверхности)
не изменяется, т.е. dE = 0. Следовательно, для стационарного потока в не-
подвижном канале уравнение первого закона термодинамики принимает
вид
QT + G(ux +ghy +piVi + _L)_g(u2 + gh2 +p2v2 + ~)= 0, (2.13)
38
где G » - расход газа через канал, кг/с; QT =* SQ/dr - количество
ждеятмйф к газу as даи< времени, Вт; индексом „1” обозна-
WBM явДОдефк газа на входе в-канал, а индексом „2° ~ на выходе из
каяаяа.
Рис. 2,1. Открытая ТермоДинамичеекад сис-
тема:
КЯ - К^тродьиая поверхность; ВНР -
ЗДшейнВ потребитель работы; Е ~ полная
энергия системы; &Q Подведенная к сис-
теме тепдота; Ът^ - вддестзд, под-
вт&овдЕ (отщм) К системе через
контрольной поверхности НЛО
iWMo Ff*,bl - работа, совершаемая систе-
мой над вредней средой; £ - вектор уеко-
рещн свободного падения
Рис. 2.2. Проточная система (канал переменного сечения)
Если разделить уравнение (2.13) на расход G, то получим уравнение
первого закона для проточной системы
п? w 2
q = (и2 + p2V2) - (ui +PiVi) + (-j1 ~ -^Ч+ё(Ь2-Ьл) (2.14)
или
W2 _ JI}'2
q = (h-ii)+—2-т—L +g(h2-hx), (2о 15)
где q = QJG — количество теплоты, передаваемой единицей массы газа,
Дж/кг.
Обычно в технических устройствах изменение потенциальной энергии
при течении газов очень несущественно и величиной g (h2 - Zix) можно
пренебречь. В этом случае уравнение (2.15) принимает вид
2 2
<? = Г*2 -чЛ--2-"*"1 ‘ (2.16)
Уравнение (2.16) обычно называют уравнением первого закона термоди- '
намики для потока газа.
Если рассматривать бесконечно малый участок канала dx (рис. 2.2), то
первый закон термодинамики для потока на этом участке записывается
bq=di + d(-^-). (2.17)
Уравнение (2.17) показывает, что тепло, подводимое к движущемуся га-
зу, расходуется на увеличение его кинетической энергии и энтальпии. Если
40
тепло не подводится (т.е 8q = 0), то поток называется адиабатным. При
адиабатном процессе течения уравнение первого закона для потока газа
записывается в виде
цр
di + d(-zz-} = 0 (2.18)
Хг
или
(2.19)
Глава 3. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ ИЗМЕНЕНИЯ
СОСТОЯНИЯ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
3.1. Политропные процессы
В этом параграфе рассматриваются равновесные процессы изменения
состояния идеального газа в закрытой системе. Первой задачей исследова-
ния термодинамических процессов является определение характера преобра-
зования энергии, т.е. количественного соотношения между подведенной к
газу теплотой, совершенной газом работой и изменением внутренней энергии
этого газа. Второй важной задачей исследования является установление
уравнения процесса и определение соотношений между изменяющимися в
процессе термодинамическими параметрами. Основой решения этих задач
является уравнение первого закона термодинамики.(2.8) .
В общем случае при воздействии окружающей среды любые два парамет-
ра ’состояния газа из трех могут изменяться произвольно (независимо).
Особый практический интерес для инженерной практики представляют
четыре частных случая — изохорный, изобарный, изотермный и адиабатный
процессы.
Изохорным процессом называется процесс, протекающий без изменения
объема, т.е. при du - 0. При этом процессе работа изменения объема равна
нулю. Следовательно, из уравнения первого закона (2.8) вытекает, что
bq = du (3.1)
или
^1,2 = и2 — Mi • (3.2)
При изохорном процессе вся удельная теплота затрачивается на изменение
удельной внутренней энергии
_ du
cv~ dT " dT •
(3.3)
41
Как отмечалось в § 1.8 внутренняя энергия идеального газа зависит толь-
ко от температуры. Следовательно, удельная изохорная теплоемкость cv
идеального газа не зависит ни от объема, ни от давления, а является одно-
значной функцией температуры, т.е. = f (Т). При незначительном измене-
нии температуры теплоемкость изменяется мало. Так, например, при изме-
нении температуры от 0 до 100 °C теплоемкость воздуха возрастает всего
на 0,6 %. Поэтому, когда диапазон изменения температур в исследуемом
процессе небольшой, вполне можно считать значение теплоемкости при
изохорном процессе постоянной величиной.
.Изобарным процессом называется процесс, протекающий при постоянном
давлении в газе, т.е. при dp = 0. Для этого процесса из выражения первого
закона термодинамики (2.10) следует, что
bq = di (3.4)
или
<71,2 =1*2 - П =(и2 - U!)+p(V2 - Vi).
(3.5)
При изобарном процессе вся теплота идет на увеличение энтальпии газа.
Из определения удельной теплоемкости и уравнения состояния газа следует
8q _ di _ d(u+pv)
СР dT dT ~ dT ~cv
(3-6)
Изобарная удельная теплоемкость идеального газа зависит только от темпе-
ратуры. Удельная изобарная теплоемкость больше удельной изохорной
теплоемкости на величину газовой постоянной. Последнее связано с тем
обстоятельством, что подводимая к газу теплота расходуется на увеличе-
ние внутренней энергии и на совершение работы изменения объема.
Так как внутренняя энергия и энтальпия идеального газа являются функ-
циями температуры и не зависят от плотности, то их изменение (полный
дифференциал) в любом процессе определяется, как это следует из выраже-
ний (1.22), (1.27), (3.3) и (3.6), по формулам:
du = с^Т,
di = c dT,
или
и2 ~ 111 = CV(T2 — Т1),
h — П =ср(^2 ~ Т\).
(3.7)
(3-8)
(3.9)
(3.10)
Изотермным процессом называется процесс, протекающий при постоян-
ной температуре, т.е. при dT = 0. При этом процессе, как это следует из
42
формул (3.7) — (3.10), внутренняя энергия и энтальпия не изменяются,
т.е. du = 0 и di = 0. Из выражения первого закона термодинамики (2.8) сле-
дует, что вся сообщенная газу теплота в изотермном процессе расходуется
на совершение работы изменения объема, т.е. 8q = 81. Работа газа при конеч-
ном изменении объема определяется по формуле
U2 ^2 fiy V 2
Vi
(3.11)
Адиабатным процессом называется процесс, протекающий без теплообме-
на газа с окружающей средой, т.е. при 8q = 0. При этом процессе гйз соверша-
ет работу за счет внутренней энергии
81 = — du
(3-12)
или
Л.2 =U1 - U2 ~ Т2^ (Р\Р\ ~P2V2)- (3.13)
' V R
Всем рассмотренным четырем частным термодинамическим процессам
присуще одно общее свойство — отношение изменения внутренней энергии
du к теплоте 8q в течение всего процесса остается величиной неизменной:
в изохорном процессе du/8q = 1; в изотермном — du/8q =0; в изобарном
du/8q = cvlСр = 1/к; в адиабатном — du/8q = °°. Можно представить себе бесчис-
ленное множество других процессов, для которых выполняется условие
du /8q = const. (3.14)
Все процессы, у которых выполняется условие (3.14), называются поли-
тропными.
Уравнение политропного процесса в общем виде можно получить, если
воспользоваться двумя формами записи первого закона термодинамики
(2.8) и (2.10). Выразим удельную теплоту в этих двух выражениях перво-,
го закона*через удельную теплоемкость политропного процесса, т.е.
8q = cdT. (3.15)
Так как в политропном процессе выполняется условие (3.14), то также
выполняется условие
8q[du = <р= const.
Следовательно, 8q = <pdu, тогда
8q _ du
dT~'p dT ’
или
C = ФС .
y V
(3.16)
(3.17)
(3.18)
43
Из формулы (3.18) следует, что теплоемкость газа в политропном процессе
есть величина постоянная.
С учетом формул (3.7), (3.8) и (3.15) уравнения первого закона (2.8)
и (2.10) преобразуются к виду
(с - cv) dT = pdv, (3.19)
(с - Ср) dT= - Vdp.
Разделим почленно уравнение (3.20) на (3.19)
с -ср _ dp v
с — с р av '
v
Введем обозначение
С~СР
-------— =и = const.
(3.20)
(3-21)
(3.22)
С учетом введенного обозначения уравнение (3.21) можно преобразовать
к виду
+dp = Q
V р
(3.23)
Полученное дифференциальное уравнение связывает между собой термо-
динамические параметры состояния р и v в политропном процессе. Это
уравнение представляет собой дифференциальную форму записи уравнения
политропного процесса. Если проинтегрировать уравнение (3.23), то полу-
чается выражение
п In v + lnp = const.
или
In (р\Г) = const.
(3.24)
(3.25)
Если логарифм имеет постоянное значение, значит величина под знаком
логарифма также постоянная
pvn = const. (3.26)
Выражение (3.26) называется уравнением политропного процесса (в системе
координат p-v). Величина п называется показателем политропы. Значение
этого показателя является различным для разных политропных процессов
и может лежать в пределах от — 00 до + °°. Так, например, при изобарном
процессе, когда с = с из (3.22) следует, что п = 0. При изохорном процессе
44
I с * Суя н ** ’*’• При адиабатном процессе с ж bq/dT = 0 и я ® €р!су ~ к- При
I нзо^ерйаом процессе с ® Sq[dT - ± »° и я а 1. Уравнения этих частных про-
1 цессоа вышал&тйз (3.26) и имеют вид:
для изобарного р== const, (3.27)
1 для изохорного v = const, (3.28)
> дда «aotepworo ри ® const, (3.29)
дай ажябатного Pv ~ const. (3.30)
*
[ Из уравнения процесса (3.26) с учетом уравнения состояния вытекают
1 следующие соотношения между основными термодинамическйми парамет-
рами в начале и в хонде политропного процесса
f л-1
i (331)
Значение удельной теплоемкости газа при политропном процессе выража-
ется, хак это следует из (3.22), чере^ показатель политропы
3
ettev "ТТГ <М2)
Зависимость с от показателя политропы показана на рис. 3.1. Из графика
видао, что при 1 < я < к теплоемкость является отрицательной величиной.
Это свидетельствует о том, что в таких процессах знаки &q и dr различны,
т.е. вря отводе теплоты температура повышается (за счет работы внешней
среды) и Наоборот, при подводе теплоты температура понижается.
Удельная теплота политропного процесса определяется по формуле
/ #с(Тг - ~ГГ" /Тг-Л/ (3.33)
Ji _ я — *
Ью» 34* Заяяздмеёть удеаьноЯ тейяоемкости газа от показателя политропы
45
Работа вычисляется по формуле
Л,2 ~ *71,2 - ДМ1,2 ~(с - cv)(T2 - TJ (3.34)
или
m-т,/. ' (з.35)
J и п - 1 п - 1
Если воспользоваться соотношениями (3.31), то формулу (3.35) можно
преобразовать к одному из следующих видов'
п-1
[ !-(%-) П ]. (3-36)
п—1
ь <3-37>
li,2= ~(PiVi -P^ih (3.38)
Графическое изображение политропных процессов с различными значе-
ниями показателя п, но с одним и тем же начальным состоянием газа (точ-
ка 1 с координатами и 1 ър\), показано на рис. 3.2 в координатной системе
р-V. Линии, изображающие политропные процессы, называются политропа-
ми. Линии, соответствующие частным термодинамическим процессам, назы-
ваются изобарой (изобарный процесс), изохорой (изохорный процесс),
изотермой (изотермный процесс) и адиабатой (адиабатный процесс). Про-
цессы, располагающиеся справа от изохоры (п = ± °°), являются процесса-
ми расширения и характеризуются положительным знаком работы измене-
ния объема (67 > 0). Процессы, располагающиеся слева от изохоры, явля-
ются процессами сжатия и, следовательно, в этих процессах работа отрица-
тельная (81 < 0). Процессы, идущие над изотермой (п = 1), сопровожда-
ются повышением температуры и внутренней энергии га'за. К таким про-
цессам относятся процессы сжатия с показателем политропы 1 < п < + °° и
процессы расширения с показателем политропы — °° < п < 1. Политропные
процессы, располагающиеся ниже изотермы, сопровождаются понижением
температуры и внутренней энергии газа. К таким процессам относятся про-
цессы сжатия при — °° < п < 1 и процессы расширения при 1 < п < +
46
Рис. 3.2. Расположение политропных процессов на ри-диаграмме
3.2. Энтропия идеального газа и ее изменение
в политропных процессах
Наряду с такими параметрами состояния рабочего тела, как давление,
температура, удельный объем, удельная энтальпия и удельная внутренняя
энергия, в инженерной практике широко используется еще один параметр,
предложенный в 1862 г. Р. Клаузиусом и названный им энтропией (от гречес-
кого слова-„энтропос”,что значит изменение, превращение). Этот параметр
состояния особенно удобен при анализе процессов, сопровождающихся
обменом энергии рабочего тела с окружающей средой в форме теплоты.
Именно при таких процессах обнаруживается изменение этого параметра
1 состояния. Если рассматривать бесконечно малую часть термодинамическо-
. го процесса, то ему будет соответствовать бесконечно малое изменение
энтропии
dS=~r, (3.39)
где dS — полный дифференциал энтропии; 8Q — элементарная теплота,
подведенная к рабочему телу; Т — температура тела. Единицей энтропии
в СИ является джоуль на кельвин (Дж/К).
Изменение энтропии, приходящееся на единицу массы рабочего тела
ds = ~
(3.40)
где s = S/m — удельная энтропия.
47
Единицей удельной энтропии в СИ является Дж/ (кг К).
Формулы (3.39) и (3.40) не следует рассматривать как определение
понятия энтропии. Эти формулы говорят о том, что изменение энтропии
происходит в процессах при 8q Ф 0 и что это изменение можно выразить
через отношение Sq/Т В изолированном рабочем теле (системе) может
не происходить никаких изменений. Однако, состояние этого тела можно
характеризовать конкретными значениями таких параметров, как р, v,
Т, и, i, а также конкретным значением энтропий s. Физическое содержание
энтропии можно пояснить с позиций молекулярной теории: энтропия изоли-
рованной системы есть величина пропорциональная натуральному логариф-
му термодинамической вероятности макросостояния системы. Подробно
этот вопрос освещается в статистической термодинамике. Трудности истолко-
вания энтропии с феноменологических позиций заключаются в том, что
не существует способов непосредственного измерения этой величины каки-
ми-либо приборами. Энтропия тела в каком-либо состоянии вычисляется
с помощью установленных в термодинамике формул, выражающих связь
этого параметра с другими параметрами состояния.
Как уже указывалось раньше в первой главе, элементарная теплота 5q
не является функцией состояния и, следовательно, не является полным
дифференциалом какой-либо функции состояния. Чтобы доказать, что
энтропия есть функция состояния, необходимо и достаточно показать, что
отношение bq/T есть полный дифференциал, что интеграл этой величины
по замкнутому процессу (циклу) дает ноль
ф-у- =0. (3.41)
Если это будет доказано, то можно говорить, что изменение
энтропии, как и всякого параметра состояния, определяется
только начальным и конечным состояниями тела и не зависит от
вида процесса, в результате которого тело перешло из одного
состояния в другое. Чтобы доказать требуемое для идеального
газа, воспользуемся выражением первого закона термодинамики
(2.8) для равновесного процесса и преобразуем формулу
(3.40) к виду
с,, р
у- )dT+{—)dv.
(3.42)
Если накрест взятые производные от коэффициентов при
dT и dv в выражении (3.42) будут равны между собой, то правая
часть этого выражения является полным дифференциалом функ-
ции состояния (условие взаимности). Производная от коэффи-
циента при dT составляет величину
(3.43)
48
потому m иэохорная теплоемкость идеального газа не зависит
от удежйзуо объема (плотности). Производная от коэффициента
= (3,44)
Р V V
потому что Газовая постоянная не зависит от температуры. Та-
ким образом, доказано, что сформулированное выше условие
взаимности соблюдается. Следовательно, доказано, что для
идеального газа величина ^/Т&ль полный дифференциал функции состоя-
ния. Жгеграл по замкнутому процессу (циклу) от полного дифференциала
функции состояния всегда равен нулю. Таким образом, доказано, что вели-
чина s есть функщш состояния рабочего тела.
Изменедаю энтропии идеального газа в политропном процессе
*р-у-- О-45*
С учетом уравнения состояния для идеального газа уравнение
(3.45) преобразуется к виду
1-Я.(3.46)
Из уравнения (3.46) получается путем интегрирования фор-
мула
ъ - s, “<dn -5- + Я1П (3.47)
V 31 • V1
Эта формула устанавлщзает связь между изменением энтропии
и изменениями параметров Т и v Если воспользоваться уравне-
нием состояния, то из формулы (3-47) можно получить выраже-
ния
° V
7*2
$1 ~ «1 ’’гг-Ш ~— R in .
R ii Pi
При изохо^йом процессе (р const) из (3.47) следует, что
« Гз т ръ
- Si 'п =е I»
F ъ v Pi
(3.48)
(3.49)
(3.50)
4Й
При изобарном процессе (р - const) из (3.49) следует, что
, Т2 ] Vi
s2 - *i =cnln —-
Р Тг Р v i
(3.51)
При изотермном процессе (Т = const) из (3.47) следует, что
s2 - =Д1п(-р- ) = (3.52)
vi Pi
При адиабатном процессе (bq - 0) энтропия не изменяется,
т.е. s2 - Si = 0.
Понятие энтропии как параметра состояния позволяет ввести
очень удобную для графического анализа процессов систему
координат для изображения состояний рабочего тела, по оси
ординат которой откладывается температура Т, а по оси абсцисс -
удельная энтропия 5 (рис. 3.3). Каждое состояние тела изобража-
ется на этой диаграмме точкой. Совокупность состояний, через
которые проходит тело при * термодинамическом процессе, обра-
зует линию. С помощью ТУ диаграммы можно определить удельную
теплоту процесса графически. Действительно, элементарная
площадка с основанием ds и высотой Т равна Tds; т.е., согласно
формуле (3.40), равна элементарной теплоте 8q (рис. 3.3, а).
Площадь под кривой процесса 1—2 равна теплоте процесса q^2.
Знак теплоты определяется знаком приращения энтропии. Если
ds > 0, то тепло подводится; если ds < 0, то тепло отводится.
Ранее отмечалось, что теплота является функцией процесса.
Это положение хорошо иллюстрируется на ТУдиаграмме. На
рис. 3.3, б показаны два процесса (сплошная и пунктирная ли-
нии) , имеющие одинаковые начальные и конечные состояния
рабочего тела. В этих процессах одинаковые изменения энтро-
пии As, температуры АТ и других параметров состояния. Тепло-
ты этих процессов различны, что нетрудно видеть, если сопоста-
вить площади под кривыми этих процессов.
При круговом процессе (рис. 3.4) на тех участках цикла,
где ds > 0, тепло подводится, а на участках, где ds < 0, тепло
отводится. Если сопоставить площади под этими участками,
то нетрудно заключить, что интеграл по замкнутому контуру
от величины 8q не равен нулю.
Уравнение политропы идеального газа в ТУкоординатах мож-
но получить, если воспользоваться понятием теплоемкости газа
в политропном процессе и представить выражение (3.40) в виде
ds =
cdT
Т
(3.53)
50
t
I
3
ii
!
J
?
$
1
I
I
Pre. 3.3. графическое изображение теплоты процесса на ^диаграмме
Рис. 3.4, Прямой вдкл в 7>
координатах
Иитегрвфуя это выражение от начального состояния газа,
характеризуемого значениями Ti и до текущего, характери-
зуемого mwwmh з и Т, шщучйм уравнение политропы в
(3.54)
ИЛИ
п~к4
’'^тгт50— *’*
(3.55)
51
или
T^Ti^s~s^c. (35$)
Из полученного уравнения следует, что урате»»» вдлвнх
термодинамических процессов в Т^оорджжгал имеют
т
уравнение изохоры /с ® ; s и c^lfi -у- + s 1, (357)
Т
уравнение изобары {с = с^}: s = c^\n +$г, (3.5S)
уравнение адиабаты (с а ОЛ s = coast, (&5£)
уравнение изотермы (с * : Т- cpast. (3^.60)
Графическое
процессов е различны-
ми значениями показателя п, ко с
стоянием (точка 1) Показано на рис. 35 в система ТУкоорди-
нат. Процессы, располагающиеся справа от аг^йййты (й =
совершаются с подводом тепла» Процессы, расздолатгнащиеся
Рж. 3.5.
WCeBUa
слева от адиабаты, совершаются с отводом тепла. В процессах,
располагающихся выше изотермы (п -1), повышается темпера-
тура и, следовательно, возрастает внутренняя энергия и энталь-
пия. Процессы, располагающиеся ниже изотермы, протекают с
уменьшением температуры, внутренней энергии и энтальпии.
Процессы с показателем политропы 1 < п < к характеризуются
тем, что знаки приращения температуры dT и теплоты 5q проти-
воположны. Поэтому теплоемкость этих процессов имеет отри-
цательный знак (с =&q]dT < 0).
33. Смешение газов
В .гл. 1 рассматривались характеристики газовой смеси, но не затрагива-
лись вопросы, связанные с методами образования самой смеси. Между тем
эти вопросы представляют большой интерес для инженерной практики.
Характерными способами образования смесей газов являются:
смешение газов при постоянном объеме; смешение газовых потоков;
смешение газов при наполнении резервуара. Условия, при которых обычно
реализуются эти способы, характеризуются отсутствием теплообмена смеши-
ваемых' газов с окружающей средой (смешиваемые газы представляют собой
адиабатную систему).
Смешение газов пр,и постоянном объеме заключается в следующем.
Несколько газов с разными давлениями р- и температурами Т- занимают
различные объемы V- (рис. 3.6). После удаления перегородок, разделяющих
эти газы, происходит перемешивание газов и устанавливаются некоторые
средние значения давления р и температуры Т.Объем образовавшейся смеси
будет равен сумме объемов смешиваемых газов:
^ = 2 И,, (3-61)
1=1
где к — число смешиваемых газов.
Масса m смеси газов равна сумме массы газов, составляющих смесь
к
m-lL (3.62)
z=l 1
где Шу — масса г-го газа.
Рис. 3.6. Смешение газов при постоянном
объеме
53
Поскольку объем термодинамической системы, состоящий из разных
газов, не изменяется (оболочка не деформирует), то система не совершает
работы изменения объема. Эту систему можно рассматривать как изолиро-
ванную (6/ = 0, Sq = 0). Согласно первому закону термодинамики внутрен-
няя энергия U этой системы остается неизменной, равной сумме внутренних
энергий отдельных газов до смешения
U= S U-, (3.63)
/=1
где ц. _ внутренняя энергия z-го газа до смешения.
Так как = mfviTi и У = тс^ Т, то из формулы (3.63) следует
1 X
Т = ------ S те -Т-, . (3.64)
ст 1 и
1 к
Т =-----Z gC Т;
с si vi 1’
исм /=1
где g} = m^'m — массовая доля /-го компонента смеси.
Подставляя в формулу (3.64) выражение для теплоемкости смеси (1.85),
выведенное в гл. 1, получим формулу для определения температуры образо-
вавшейся смеси газов
к к
T=^SfviTi^Sfvt (3-65)
1=1 Z=1
Газовая постоянная образовавшейся смеси определяется по формуле
(1-70)
^см “ ?
Давление р образовавшейся смеси вычисляется по уравнению состояния
Смешение газовых потоков происходит в результате соединения газов,
поступающих по разным трубопроводам, в одном канале (рис. 3.7). По
каждому из к каналов поступает газ ,с массовым расходом при давлении
ppi температуре 7^-. Скорость газа в /-м трубопроводе равна После соеди-
нения всех потоков в одном канале образуется смесь с температурой Т,
давлением р и энтальпией i. Давление р образовавшейся смеси обычно уста-
навливается в зависимости от требований производства посредством тех
или иных устройств (задвижки, вентили).
54
Рис .3 Л. Смешение газовых потоков
Значение температуры и эиталыми смеси можно определить, если вос-
дользснватъся уравнением первого закона термодинамики (2.12) для про-
точной системы. В рассматриваемом случае 8Q * О, Д£ь= О,gh =0. Прирав-
нивая потоки энергии через контрольные поверхности 1-1 и 2*2 (рис. 3.7),
киуш уравнение
ар2 щ2
>’ (3<66)
2 М 2
где суммарный массовый расход газов.
М
Для бодьняжства технических устройств можно Пренебречь кинетической
энергией потоков. В этом случае из уравнения (3.66) вытекает формула для
определения энтальпии смеси
i-J- X Gi = S fij. (3.67)
u М Н
Вели учет» что i *» ^ЫТ и cpi?j> то из формулы (3.67) получается
выражение для определения температуры смеси
(36e)
।
r««M — изобарная теплоемкость смеси; =₽ G^fG - массовая
доля «rm компоиента смеси.
Тренай способ — смешение гвзяв паполн^ии p&epeyi&oe — заключа-
ется в В резервуаре с объемом V жыуфтя. газ? масса которого
равна тг, давлеивдг р2 и температуре Г2. В окружающей среде давление
S6
равно pi >р2‘ При открывании вентиля в резервуар поступает некоторое
количество газа из внешней среды, равное т i, после чего вентиль закрывает-
ся. В резервуаре образуется смесь, масса которой равна т = тг + т2. Для
определения параметров смеси воспользуемся первым законом термодина-
мики для открытой системы.
Внутренняя энергия U образовавшейся смеси равна сумме внутренней
энергии газа, находившегося в резервуаре U2, и энергии mi (щ + piUi)
U = U2 + mi ii.
(3.69)
Если учесть, что U = тс^^Ти U2 = т2сшТ2, то из уравнения (3.69) можно
получить формулу для определения температуры смеси
(3.70)
или
^2Су2 Т2 St cpi
Sicvi + &2Cuz
Давление- смеси вычисляется по уравнению состояния.
3.4. Адиабатное истечение газов
Исходные положения. В технике широко используются процессы истече-
ния газов из каналов различной формы. Такие процессы необходимо рассчи-
тывать при проектировании газовых турбин, реактивных двигателей, устано-
вок газового тушения пожаров и т.д.
Процесс течения газов в технических устройствах обычно характеризуется
значительными скоростями, и поэтому время пребывания газа в канале
мало. В связи с этим в большинстве случаев теплообменом газа с окружа-
ющей средой можно пренебречь и считать процесс течения адиабатным.
Реальное течение газ£ в канале обычно можно считать в первом прибли-
жении одномерным, т.е. таким, когда температура, давление и скорость
газа по поперечному сечению канала постоянны и меняются лишь вдоль
оси канала.
При течении идеального газа выполняется условие локального равновесия,
т.е. в каждой точке канала параметры газа р, у и Т связаны между собой
уравнением состояния (1.50)
PV=RT. (3.72)
56
(3.73)
т^.Т (где -
При одномерном течении параметры р, v и Т могут изменяться лишь
вдоль оси канала. Если продифференцировать уравнение (3.72) по коорди-
нате х, отсчитываемой вдоль оси канала, и затем результат поделить на
pv/Т, то получается дифференциальная форма записи уравнения состояния
dp + dv _ dT_
~р ~v ~ Т
Влияние трения на процесс течения газа в каналах во многих случаях
является несущественным. При анализе газовых потоков, характеризуемых
большими числами Рейнольдса, силами трения гиожно пренебречь. Адиабат-
ное течение газа при отсутствии сил трения называется изоэнтропным. При
изоэнтропном течении энтропия газа не изменяется (s =const). При течении
вязкого газа его энтропия увеличивается на величину As = q
теплота трения).
В настоящем параграфе рассматривается установившееся (стационарное)
одномерное изоэнтропное течение идеального газа в каналах переменного
сечения. Установившимся называется такое течение, при котором в каждой
точке потока параметры газа (давление, температура, скорость и т.д.) не
изменяются во времени. При установившемся течении расход газа не изменя-
ется во времени
G = pFц)~ const, (3.74)
где G — расход газа (масса газа, проходящая за единицу времени через
поперечное сечение канала); F — площадь поперечного сечения канала;
р — плотность газа в рассматриваемом поперечном сечении канала; w —
скорость газа в этом сечении.
Уравнение (3.74) называют уравнение сплошности (или неразрывности).
Величины р, F и ш могут в общем случае изменяться вдоль оси канала.
Если продифференцировать уравнение (3.74) по координате, отсчитываемой
вдоль оси канала, и затем результат поделить на pwF, то получим
dF
+ ~Р =0. . (3.75)
называется дифференциальным уравнением неразрывности
потока. Если учесть, что р - Ifu, то уравнение (3.75) можно преобразовать
к виду
dp dw
Р w
Это уравнение
dw dF du
w F v
(3-76)
При изоэнтропном стационарном течении термодинамические параметры
газа р, v и Т в двух разных сечениях канала связаны уравнением адиабаты
pv“ = const, (3.77)
57
откуда
к t
PiPt (3.78)
где к = ср&р - показатель адиабаты; индекс „1” относится к свченш 1, а
индекс „2й — к сечению 2. ;
Пояснить это можно следующим образом. Выделим элемейтарйЫй о(Ьем
таза Fi& ябзаазп сечения 1 канала (рис. 3.8, эаштрнховаанйй нодекжа).
Газ, заключенный в этом элементе объема, характеризуете* параметрами
Pi, V\, 7\ и не обменивается теплом с окружающими его щад. По исте-
чению некоторого времени этот элемент газа переместится в сечение 2 и
1
Рис. 3.8. Течение газа в канале
параметры газа станут равными р2, и2, Г2. Для шйадпш,
тюх Вместе с выделенным элементом газа, процесс изменения состояния
газа является процессом адиабатного расширения (или сжатия), так как
выделенное рабочее тело являете» адиабатной тереднй^^мШ^ системой.
Если продиффер^щфоватв уравнение (3.77), то получвитоа даффареа-
циаль^е
(3.19)
Р V
Исходным уравнением дри построении теории «деадя ms из каналов
является уравнение первого жда термодинамики длй ^оТо^шй системы
(2.18)
* *
<й*а ^-=о. (зло)
• а в
- Й * * -у . (ЭЛ1)
jWK W для идаалытого rasa w CgdT, to e учетом уравнения
-0.73) выражение первого закона тер^динамяки (3.80) эаписы-
j в&етсяШ - -
J еТ(&<. * -0. (3-82)
I Р р д 4
I
J. , . -
t
I Это вырййййш* можно иреобразовать, если воспользоваться уравнением
; адиабат (3.79)
4 -0. . . (333)
1
* t ^'7'.^. V а л. а & — л • r-э 841
-3~~ (-qf—^=0. (3.»4)
Так как Т/р ***/& » R^c (к- 1), то уравнение (3.84) преобразуется к
виду v
W*
; <f -Т- — Иф (3.85).
или
todw* аф (3.86)
Это уравнение называют уравнением Вернулли. Из этого уравнения следует,
что в потоке величины dw и ф всегда имеют противоположные знаки. Если
; ф < та. еели давление уменьшается, то dw> 0, т.е. скорость увеличива-
ется. Ниоборот, если dp > 0* то dw < 0- Каналы, вдоль которых Происходит
{ увелйНевде скорости и падение давления, называются еопламп. Каналы,
вдоль которых происходит уменьшение скорости и увеличение давления,
I назывштоя 4
Юпзетическед энергия потока может быть полностью использована для
1 соверщетож работы. В этой связи величину (—udp) элементарной
р&ёяшб&тбйМ noTot^. Пшшая располагаемая работа потока 2Я
> вихляется по формуле т
(3.87)
Из сраваения уравнения (3.80) в (3^5) следует
(3.87а)
59
Удельная работа потока, подобно работе расширения, может быть изобра-
жена графически соответствующей площадью на диаграмме pv (рис. 3.9).
Пусть кривая 1-2 изображает процесс адиабатного изменения состояния
газа при движении его по каналу. Заштрихованная площадка с основанием
dp и высотой v дает изображение элементарной располагаемой работы.. Эта
работа положительна,.если dp < 0 (т.е. если давление уменьшается). Работа
всего процесса изображается площадью, заключенной между кривой про-
цесса, осью ординат и крайними изобарами, т.е. /дОТ = пл. 1 2 ba 1.
Движение газа в канале побуждается неравномерным распределением
(неодинаковостью) давления вдоль оси канала. Следует при этом отметить,
что любое слабое изменение (возмущение) давления распространяется в
газовой среде со скоростью звука. Если в некоторый момент времени давле-
ние газа в среде, куда происходит истечение потока из канала, несколько
уменьшить, то волна разрежения распространится вдоль канала (потока)
в направлении, противоположном направлению истечения, В результате
установится новое распределение давлений вдоль канала и изменится ско-
рость истечения. При этом волна разрежения будет распространяться вдоль
канала с относительной скоростью, равной разности скоростей потока w
и звука а, т.е, (а — W), Это обстоятельство необходимо учитывать при анали-
зе течений газа в каналах переменного сечения.
Скорость звука в идеальном газе, как известно из курса физики, зависит
от температуры газа
а = s/kRT’ (3.88)
Формула (3.88) справедлива только для идеальных газов. Для реального
газа скорость звука зависит не только от температуры, но и от давления,
Примером такой зависимости может служить приведенный на рис. ЗЛО гра-
фик а = f (р, Т) для углекислого газа, широко используемого в различных
установках цожаротушения.
Рис. 3.9. Графическое изображение распола-
гаемой работы потока
60
Рис. 3.10. Зависимость скорости звука от
давления и температуры для углекислого
газа
Поскольку температура газа вдоль потока в общем случае может изме-
няться, то одновременно изменяется и скорость звука а. Скорость звука,
отвечающая местному значению температуры газа в том или ином сечении
канала, называется местной скоростью звука.
Скорость потока w может быть в каждом сечении канала больше мест-
ной скорости звука а, т.ели/а > 1. Такие потоки назваются сверхзвуковыми.
Если скорость потока в каждом сечении канала меньше местной скорости
звука, то такое течение называется дозвуковым. Отношение местной скорос-
ти потока к местной скорости звука называется числом Маха и обозначает-
ся М, т.е.
Л/= (3.89)
Свойства сверхзвуковых и дозвуковых потоков, Сверхзвуковые и дозву-
ковые потоки газа в каналах переменного сечения обладают разными свойст-
вами. При дозвуковом течении (Af < 1) скорость газа в расширяющемся
канале уменьшается (dw< 0), а при сверхзвуковом течении (М > 1) ско-
рость газа в том же канале увеличивается. Обратная картина имеет место в
суживающихся каналах. Другими словами, один и тот же канал в зависи-
мости от величины скорости газа на входе в него может работать как сопло
и как диффузор. Теоретическое объяснение этих свойств течения газа следу-
ет из анализа уравнений первого закона термодинамики и уравнений нераз-
рывности.
Подставим в уравнение (3.86) вместо dp выражение, которое следует
из уравнения адиабаты (3.79),
wdw- kpv
V
или
wdw= kRT(~~ h
(3.90)
(3.9J)
61
Теперь воспользуемся уравнением неразрывности. Подставим в уравне-
ние (3.91) вместо (dv/u) выражение, следующее из уравнения (3.76),
w d iv = kRT(
d iv , dF
iv F
(3.92)
С учетом того, что kRT = a2 , уравнение (3.92) преобразуется к виду
2 2 । dw 2 /
IIV2 - а2) —
или
(М2 .
w F
(3.93)
(3.94)
Из полученного уравнения следует, что при дозвуковом течении (М < 1)
дифференциал скорости будет положительным (dw^ 0), если дифференциал
площади поперечного сечения канала будет отрицательным (dF < 0). Иначе
говоря, чтобы скорость дозвукового потока увеличить, необходим сужива-
ющийся канал. Наоборот, чтобы скорость дозвукового потока уменьшить
(dw< 0), необходим расширяющийся канал (dF> 0).
Картина меняется, если скорость потока на входе в канал больше мест-
ной скорости звука. При М > 1 дифференциал скорости будет положитель-
ным (d w > 0), если дифференциал площади поперечного сечения будет тоже
положительным (dF > 0). Другими словами, чтобы увеличить скорость
сверхзвукового потока, необходим расширяющийся канал. Это связано с
тем, что в сверхзвуковом потоке при увеличении скорости и уменьшении
давления вдоль течения быстрее, чем в дозвуковом потоке, нарастает удель-
ный объем газа.
Проделанный анализ позволяет сделать еще одно важное заключение.
Из уравнения (3.94) следует, что при дозвуковой скорости на входе в сужа-
ющийся канал невозможно получить сверхзвуковую скорость на выходе
из этого канала. Максимальная скорость, которая может быть в этом случае
получена на выходе из сопла, равна местной скорости звука. Скорость
потока, равную местной скорости звука, называют критической скоростью.
Как бы не было велико давление в резервуаре, из которого происходит
истечение через сужающееся сопло в среду с малым давлением, скорость
газа на выходе из сужающегося сопла не может превысить критической
скорости. Если давление во внешней среде за сужающимся соплом, через
которое происходит истечение газа из резервуара с неизменным давлением,
постепенно уменьшать, то скорость истечения из сопла будет постепенно
увеличиваться, потому что волна разрежения будет распространяться вверх
по потоку и распределение давления вдоль сопла будет перестраиваться.
Это будет происходить до тех пор, пока истечение будет оставаться дозвуко-
вым. После того как в выходном сечении сопла установится скорость, рав-
ная местной скорости звука, волна разрежения, обусловленная дальнейшим
снижением давления в окружающей среде, не сможет распространиться
62
вверх по потоку, так как ее относительная скорость (а - W) будет равна
нулю. После того как в выходном сечении сопла устанавливается критичес-
кая скорость, сопло как бы „запирается” и не реагирует на уменьшение
давления во внешней среде. Поэтому скорость в выходном срезе сопла
остается неизменной.
Непрерывное увеличение скорости потока от дозвуковой до сверхзвуко-
вой при непрерывном снижении давления можно осуществить лишь в комби-
нированном канале. В начале, когда еще М < 1, такой канал должен быть
сужающимся, а после достижения скорости критического значения
(М = 1) этот канал должен быть расширяющимся. Такое сопло называют
по имени его изобретателя — соплом Лаваля.
Истечение из суживающегося сопла. Рассмотрим изоэнтропное истечение
идеального газа из суживающегося сопла, соединенного с резервуаром
большого объема (рис. 3.11). Давление рх и температура Т\ газа внутри
резервуара остаются неизменными при истечении. Давление во внешней
среде, куда происходит истечение, равно pQ. Скорость газа на входе
в сопло будем считать пренебрежимо малой величиной. Последнее в соот-
ветствии с уравнением неразрывности равносильно условию, что на входе
сопло имеет большую площадь поперечного сечения (JF\ -> °°). Площадь
поперечного сёчения на выходе из сопла равна F2. Искомыми величинами
являются скорость потока щ2 на выходе из сопла и расход газа G через
сопло.
Рис. 3.11. Истечение газа *из резервуара
большой емкости через суживающееся
сопло
63
Для вычисления скорости воспользуемся уравнениями первого закона
термодинамики (3 Л1) и я&ш&ш (3.78), из которых следует
W2 * у/ЦЬ-1г)‘ y/icprrt-Ttf, •• (195)
fc-1
Т,^Гг/21) * . (3.96)
• /*1
где р2 и Т2 - давление и температура газа в выходном сечки® седла.
Подставляя в уравнение (3.95) вместо Т2 выражение (3.96), получим
/ ЕГ~
UK = У/2С Т. [1 - (£1) * ] 0-97)
₽1 . ,
Если учесть, что
, T1 “ -jr- R=ep-cg^evfk-У,
то формулу (3.97) можно преобразовать к виду
/ к 0ы
= V? b (W
А-1 Pt
Из формулы (3.98) следует, что скорость гада на выхода из седла давясит
от отношения давлении (р2/Р1Л С уменьшением ойшаддаяйж ско-
рость W2 увеличивается. Дли того чтобы с помощью формулы (ЭМ) вычис-
лять скорость газа, необходимо знать давление р2 в выходвом сечении
сопла. Как уже говорилось выше, при дозвуковом течении всякое изменение
внешнего давлении рс передается по потоку внутрь канала. В результате в
выходном сечении канала устанавливается давление, равное давлению во
вмецией среде, у.е. р2 » рс- Белк же в выходаом еечеишг скорость гада до-
стигнет местной скорости звука, т.е. будет равна критической скорости,
то никакое умвнышие внеаниего давления не может твйиять да распреде-
ление давления ъиуъря кшдаа. В этом случае р2 ¥* ре. В суживающемся
канале скорость истеиия не . может яревыейгь сксфОеть звука.
Чтобы найти предельное отнощеиие давлш1Й,называ^е . кригдческщи,
после которого дальнейшее уменьшение fpjpt) йе к увеличе-
нию скорости де2, поступим следующим образом. Пр|фндетс правую часть
формулы (3.98) значению место# скорости звука в выхедэюм сечении
сопла&2 > ^результатеведучимныражение
*, . . (3.99)
St
где Зкр^р2/Р1) кр-
Из выражения (3.99) получается формула для вычисления критического
отношения давлений
к
л _ ( ___ \ Jq— 1
^КР ( £+1 / • (3.100)
Из формулы (3.100) следует, что критическое отношение давлений зави-
сит только от показателя адиабаты газа. Значения для разных газов
приведены в табл. 3.1
Таблица 3-1
Газ ср^сО 6 кр
Одноатомный 1,67 0,482
Двухатомный 1,4 0,528
Трехатомный, а также
перегретый пар 1,3 0,546
Таким образом, следует различать два режима истечения из суживающего-
ся сопла. Если отношение давлений во внешней среде и резервуаре р Jp j >
/?Кр, то в этом случае истечение является дозвуковым. Этот режим называют
докритическим. Давление в выходном сечении сопла при этом режиме равно
давлению во внешней среде (т.е. р2 - рс),*и скорость газа в выходном
сечении вычисляется по формуле
/ к-1
к . р„ к
1Й=у2 7---7 P1U1 [W——)
к-1 pi
(3.101)
Температура газа в выходном сечении определяется по формуле (3.96).
Удельный объем газа и2 в выходном сечении сопла при этом режиме
1
V2 ^Vif ) к . (3.102)
Если отношение давлений во внешней среде и резервуаре pjpi < (3 ,
то в этом случае скорость газа на выходе из сопла равна местной скорости
звука. Этот режим истечения называют критическим. Давление в выходном
сечении сопла при этом режиме не равно давлению во внешней среде и со-
ставляет величину
р2=(Зкрр..
(3.103)
65
а скорость газа в выходном сечении сопла вычисляется по формуле
Аг-1
W2 =wKp= V 2 __L_ P1V1 [1-0кр к ]. (3.104)
1г 1 *
Подставляя в эту формулу вместо /Зкр выражение
(3.100), получим
к
iVl,
+
или
к
к + 1
- RT
1
(3.105)
Температура газа в выходном сечении сопла при этом режиме, как это
следует из формул (3.96) и (3.100), будет равна
7
Т2 = Т = —— Т15 (3.106)
2 КР к+ 1
а удельный объем составит величину
_ ~Vk_ z к+1\ к-1
у 2 икр и 1 @кр Vl ^2
(3.107)
Зависимость скорости истечения от отношения давлений pc/pi показана
на рис. 3.12, а. На рис. 3.12, б показана зависимость давления в выходном
сечении сопла от давления внешней среды. При (pc/pi) < /?кр давление
газа в выходном сечении остается постоянным, равным критическому дав-
лению. При (pc/pi) > 0 давление газа в выходном сечении равно давле-
нию среды, в которую истекает газ из сопла.
Расход газа через сопло определяется с помощью уравнения сплошности
(3.74). Подставляя в это уравнение полученные выше выражения для ско-
рости и удельного объема газа на выходе из сопла, получим следующие фор-
мулы:
а) для докритического режима истечения
><3кр)
(3.108)
66
i
f.
X
j
Г
I
Е
Рис. 3.12. Зависимости скорости истечения, давления газа в выходном сечении сужива-
ющегося, сопла и расхода газа через сопдо от отношения давления в окружающей среде
к давлен»» в резервуаре
1
_Ё
I
для критического режима истечения tyjpi < 0кр)
/
! л=/?а +J2 —— [Л--—} fc”1
aV к~1 Vi
к+1
2 к— 1
—-) ]. (3.109)
2/(*-1)
Вся# в формуле (3.109) вынести за ско&ку выражение [2/(fc + 1)]
то поел внеси оидаых преобразований получим
Pi
(3.110)
Из формулы (ХНО) слезет, что при (рс/Д1) < 0Kp расход газа не зави-
сит от давления во внешней среде.
&
Зависимость расхода газа G от отношения давления (pc/pi) показана на
рис. 3.12, в. При (рс/Р1) > 0Кр расход газа увеличивается с уменьшением
отношения давления во внешней среде к давлению в резервуаре. При
(Pc/Pi) ~ 3Кр устанавливается критический расход газа ^Кр- При
(pc/pi )< (3Кр расход газа остается равным критическому.
Истечение из сопла Лаваля. Сопло Лаваля используют в тех случаях,
когда (pJpO < 3Кр- Сопло Лаваля представляет собой канал, состоящий
из двух частей (рис. 3.13). Первая часть является сужающейся. В сужающей-
ся части течение дозвуковое (М < 1). Вторая часть сопла является расширя-
ющейся. В этой части канала течение сверхзвуковое (М > 1). В сечении,
где площадь канала наименьшая, равная , скорость потока равна крити-
ческой скорости. Значение критической скорости определяется по формуле
(3.105). Температура, давление и удельный объем в этом сечении определя-
ются по формулам (3.103), (3.106) и (3.107). Расход газа через сопло Лава-
ля можно вычислить по формуле
<7= т1п шкр
Ркр
гл / 2 \ К-1 /
F ( -----\ х 1 ^/2 --- ----
«и»? к + 11 v к+1 Vi
(3.111)
В сопле Лаваля газ может расширяться до тех пор, пока давление в потоке
не сравняется с давлением во внешней среде. Другими словами, сопло
Лаваля позволяет использовать для ускорения потока весь перепад давлений
от давления pY в резервуаре (на входе в сопло) до давления внешней среды
рс < ^кр^1' НРИ полном использовании перепада давлений скорость щ-
на выходе из сопла Лаваля определяется по формуле (3.101). При этом
площадь F2 выходного сечения сопла Лаваля определяется из уравнения
сплошности
Ятт&кр = £*22. =G.
VKp V2
(3.112)
Подставляя в это уравнение выражения для расхода (3.111) и для скорос-
ти (3.101), получим
______
2 / к - 1 1
F2 " Fmin <к+1 1 к + 1 Г~ ' ’ (3<113)
/2. М
A Pi
При заданном расходе G площадь минимального сечения сопла F
определяется по формуле (3.111). Длина суживающейся части канала о(хыч-
но берется небольшой и профилируется в виде плавно очерченного канала
68
с цилиндрическим участком на конце. Длина расширяющейся части сопла
Лаваля назначается из условия безотрывного течения потока, что обеспе-
чивается небольшим углом раствора расширяющейся части сопла. Если
расширяющаяся часть выполнена с прямолинейными образующими, то ее
длину / определяют по формуле
1= ^min
а 1
2 tg 2
(3.114)
где а — угол конусности расширяющейся части сопла; d2 — диаметр выход-
ного сечения; <^mjn — диаметр сопла в минимальном сечении.
Режим работы сопла Лаваля, характеризуемый равенством внешнего
давления рс и давления р2 в выходном сечении, называют расчетным. Если
по какой-либо причине внешнее давление уменьшится по сравнению с рас-
четным значением, то картина течения в сопле останется прежней, потому
что уменьшение внешнего давления не может распространиться вверх по
сверхзвуковому потоку. В этом случае распределение скоростей, давлений
и температур вдоль сопла останется неизменным. Если же давление во внеш-
ней среде станет больше расчетного давления в выходном сечении сопла, то
в сопле образуется скачок уплотнения. Образование скачка уплотнения
обусловлено свойствами сверхзвукового течения. Торможение сверхзвуко-
вого потока сопровождается образованием ударной волны. В ударной волне
скачкообразно уменьшается скорость течения, и повышается давление.
Чем больше давление во внешней среде по сравнению с расчетным значением
давления в выходном сечении сопла, тем ближе к минимальному сечению
сопла располагается скачок уплотнения. Если давление внешней среды
настолько велико, что в минимальном сечении сопла скорость газа не дости-
гает местной скорости звука, то в расширяющейся части течение остается
дозвуковым. При этом расширяющаяся часть работает как диффузор —
давление вдоль потока нарастает, а скорость уменьшается.
Режимы течения газа, характеризуемые неравенством между внешним
давлением рс и расчетным давлением р2 на срезе сопла, называются нерасчет-
ными.
На рис. 3.13, б показано распределение скоростей и давлений вдоль сопла
Лаваля при расчетном режиме работы сопла, а на рис. 3.13, в — при нерасчет-
ном режиме.
Влияние трения на процесс истечения. В реальных условиях течение газа
в каналах сопровождается потерями кинетической энергии вследствие
трения. Действительная скорость газа на выходе из сопла меньше, чем ско-
рость, определяемая по формулам теории изоэнтропного течения. Отноше-
ние действительной скорости истечения щ к теоретической, вычисленной
для того же перепада давлений, называется коэффициентом скорости
$=WgW. (3.115)
69
70
Рис. 3,13. Сопло Лаваля:
а - схема сопла Лаваля; - мммималышЯ диаметр сопл а ; й?з - диаметр сопла®
выходном сечении; I - длина расширяющейся части сопла; б - распределение давле*
имей и скоростей Вдоль оси сопла при расчетном режиме; х - координата, отсчитывае-
мая вдоль- оси сопла от входного сечения; хкр - координата критического сечения;
в - распределение давлений и скоростей вдоль оси сопла при нерасчетном режиме Г
хСк - координата скачка уплотнения
Коэффициент скорости у определяют экспериментально. Для хорошо
обработанных и спрофилированных сопл величина лежит в пределах 0,95—
0,98.
Потери энергии, обусловленные влиянием вязкости газа
w2 - w2 W2
Д£-Го =--------g- .
р 2 2
(3.116)
где 1 — (^2 = е — коэффициент потери энергии.
Отношение действительной кинетической энергии газа к теоретической
называется коэффициентом полезного действия сопла т?
7?---^ 2 W = (3.117)
О
Может возникнуть вопрос: почему для увеличения кинетической энергии
применяют сопла. Почему нельзя использовать для этого, например, истече-
ние газа просто из отверстия в стенке резервуара высокого давления? Дело
заключается в том, что в соплах необратимые потери кинетической энергии
удается свести к минимуму. При истечении газа из отверстия за острыми
кромками этого отверстия образуются завихрения, что вызывает значитель-
ную потерю энергии потока.
Температура адиабатного торможения. Заканчивая рассмотрение адиабат-
ных процессов течения, остановимся на понятии температуры адиабатного
торможения. Из первого закона термодинамики для адиабатного потока
следует, что изменение скорости потока сопровождается изменением его
энтальпии. Если поток газа, характеризуемый скоростью w и энтальпией
i, полностью затормозить, то энтальпия газа принимает максимальное значе-
ние
2
-у +>' = 'о. . (3-118)
где i — энтальпия заторможенного потока.
Если учесть, что i = с^Т и iQ = CpTQ, то из уравнения (3.118) получим
ш2
(3.119)
или
Т0 = Т(1 +--).
2сТ
(3.120)
72
Разделив и умножив второй член в скобках выражения (3.120) на kR,
получим выражение для 7\
CJ
Т =Т (1 + -------м2).
° 2
(3.121)
Температура Т , соответствующая полному адиабатному торможению
потока газа, называется температурой адиабатного торможения. Это поня-
тие широко используется в различных аэродинамических расчетах.
Из уравнения (3.121) видно, что торможение сверхзвукового потока
вызывает значительное увеличение температуры газа. Так, например, если
число Маха М = 5, то при торможении потока двухатомного газа температура
торможения составит величину Т = 6Т, а при М = 10 Т - 21 Г
О о
3.5. Процессы сжатия газа в компрессоре
Компрессором называется машина, предназначенная для сжатия газов.
По принципу действия все компрессоры можно разделить на две группы —
объемные и лопаточные. К объемным относятся поршневые и ротационные
компрессоры. Ко второй группе относятся центробежные и осевые (аксиаль-
ные) компрессоры.
В поршневом компрессоре газ поступает по входному патрубку 1 в ци-
линдр 2, затем сжимается поршнем 3 и выталкивается в нагнетательный
трубопровод 4 (рис. 3.14). В ротационном компрессоре роль поршня вы-
полняет ротор. На рис. 3.15 показана схема одного из видов ротационного
компрессора — пластинчатого компрессора. В корпусе 1 компрессора враща-
ется ротор 2, расположенной эксцентрично относительно корпуса. В теле
ротора имеются пазы, в которых расположены подвижные пластины 3.
Эти пластины под действием центробежной силы прижаты к стенке корпуса.
По входному патрубку 4 газ поступает в пространство между пластинами.
Порция газа, находящаяся между двумя соседними пластинами, сжимается,
поскольку при вращении ротора уменьшается объем этого газа за счет экс-
центричности ротора относительно статора. Сжатый газ выбрасывается в
выходной патрубок 5. Принцип действия ротационного компрессора анало-
гичен принципу действия поршневого — и в том и в другом случаях сжатие
газа осуществляется за счет уменьшения объема пространства между ограни-
чивающими стенками.
Качественно иной принцип действия реализуется в лопаточных комп-
рессорах. В этих машинах газу сначала сообщается определенный запас
кинетической энергии, затем газ, имеющий высокую скорость, направля-
ется в диффузор. В диффузоре скорость газа уменьшается, а давление повы-
шается.
На рис. 3.16 показана схема центробежного компрессора. На валу 1 укреп-
лен диск 2, снабженный рабочими лопатками. Вал с диском вращается.
Газ, поступающий через входной патрубок 3 на рабочие лопатки, захватыва-
ется последними и приобретает высокую скорость. Вращение диска сообщает
73
Рис. 3.14. Схема одноступенчатого пор-
шневого компрессора
Рис. 3.15. Схема ротационного (пластин-
чатого) компрессора.
Рис. 3.16. Схема центробежного комп-
рессора
газу большую кинетическую энергию. Далее газ, имеющий большую скорость,
поступает в диффузор 4, расположенный в неподвижном корпусе 5. Отво-
дится газ через выходной патрубок 6-
На рис. 3.17 показана схема осевого компрессора. Внутри корпуса 1
располагается ротор 2. На роторе укреплены рабочие лопатки 3. После каж-
дого ряда рабочих лопаток установлены неподвижные лопатки 4, образу-
74
Рис. 3.17. Схема осевого компрессора:
1 - корпус; 2 - ротор; 3 - подвиж-
ные рабочие лопатки; 4 — неподвиж-
ные лопатки; 5 — входной патрубок;
6 - направляющий аппарат; 7 - выхлоп-
ной патрубок
ющие расширяющие каналы. Газ, попадая на рабочие лопатки, приобретает
большую скорость. В расширяющихся каналах, которые образуют неподвиж-
ные лопатки, скорость газа снижается, а давление повышается. Каждый ряд
рабочих лопаток со следующим рядом неподвижных лопаток образует
одну ступень повышения давления. Обычно осевой компрессор имеет 5—10
ступеней, а в отдельных случаях их число может составлять 15—20. В осевом
компрессоре газ движется вдоль оси ротора, а в центробежном — в радиаль-
ном направлении по отношению к валу.
Несмотря на существенные конструктивные различия между компрессо-
рами разных типов, сущность термодинамического процесса в них одинако-
ва. Любой компрессор можно рассматривать как открытую термодинами-
ческую систему, находящуюся в установившемся (стационарном) состоянии
(рис. 3.18). Эта система получает извне энергию в форме работы L? и может
также обмениваться энергией с внешней средой путем теплообмена. Коли-
чество газа (расход G), поступающего в систему, равно количеству газа,
покидающему эту систему. При исследовании этой системы можно приме-
нить первый закон термодинамики (2.11) для проточной термодинамичес-
кой системы (ДЕ = 0):
w2i W22
Qr-P.r + G(— + G)-G( — +i2) = V, (3.122)
75
Рис, 3.18. Компрессор - проточная тер-
модинамическая система
или
Wi w}
q — l+( — - — ) + h-i2=®,
2 2
(3.123)
где I = LT/G — удельная работа компрессора; q = QT/G — удельная теплота
процесса; z'i и i2 — удельные энтальпии газа, соответственно, на входе и на
W1 Ы22 .
выходе из компрессора; (----------- ) — разность кинетических энергии
2 2
на входе и на выходе из компрессора; LT — затрачиваемая работа в едини-
цу времени.
Во всех компрессорах кинетическая энергия газа на входе и на выходе
из машины составляет очень незначительную величину. Поэтому разностью
кинетических энергий (и)2 / 2 — Ш^2) можно пренебречь. Первый закон термо-
динамики в этом случае можно записать в таком виде
q - I + ii - i2 -0. (3.124)
Задачей термодинамического анализа процесса сжатия в компрессоре
является определение работы, затрачиваемой на получение 1 кг сжатого
газа при заданных начальных и конечных параметрах газа. Ограничимся
рассмотрением процессов сжатия идеального газа в идеальном компрессо-
ре, в котором отсутствуют необратимые потери на трение. Из уравнения .
(3.124) получается формула для удельной работы, потребляемой компрес-
сором при сжатии идеального газа
1 = cp(I\ - T2) + q.
(3.125)
76
| Iks» то процесс сжатия и компрессоре является
1 адяабатйаим. В Этом случае параметры газа в начале и кше процесса связа-
j яиШ^обНсоопюйтйШ
i
# ...........
i -5-fJbj * (3.126)
! Л Л
С учетом этого соотношения формула для определения работы компрессора
ври адабатиом сжатии (< ~ О) преобразуется к виду
¥
*-1
3 .... . Я.
^Ср(Г, - ГЛ-^Г, ( I ) к ] _₽,Ж1 (1-/Й/ к j (3 127)
1 № 1 $ 1
,! Если при сжатии газа осуществлять отвод тепла так, чтобы температура
> газа оставалась неизменной (Г » const), то в этом случае энтальпия идеаль-
: него газа не изменяется. Из уравнения (3.125) следует
(3.128)
Теплота изотермического процесса- сжатия определяется по формуле
< - »i
* «~RT, to —-. (3.129)
I
{ В pwwm условиях осуществляются Процессы, которые можно прибли-
й женно рассматривать как политропные с показателем 1 < п< Количество
отводимого тепла При этом процессе можно определить с помощью форму-
| лы, полученной в § 1.31
I .
n-it
-------г (Т2^та (3.130)
v Я*1
г
h •
£ г ‘
f Подставжм это выражение в уравнение ^ 125), получим
Л Pi И
11 (3.131)
77
Вычисления по формулам (3.127) — (3.131) дают отрицательные значе-
ния работы, поскольку она подводится от внешнего источника. Для целей
инженерных расчетов требуется определение абсолютных значений затрачи-
ваемой работы. Поэтому в теории компрессоров применяют формулы, в
которых знак работы I изменен на обратный.
Конструктивное совершенство реального компрессора характеризуется
адиабатным и изотермным коэффициентом полезного действия:
/ I
ад 1изот
^ад “ ’ ^изот~ > (3.132)
I I
д д
где /ад — работа, определяемая по формуле (3.127); /изот — работа, опре-
деляемая по формуле (3.129); /д — действительная затрачиваемая работа.
На рис. 3.19 представлены процессы адиабатного и изотермного сжа-
тия в Ts-координатах. Состояние газа перед компрессором изображается
точкой 1, лежащей на изобаре рг. Состояние газа после компрессора при
адиабатном сжатии (s=const) изображается точкой 2, лежащей на изобаре р2.
Адиабатный процесс сжатия изображается отрезком 1-2. При адиабатном
процессе, как это следует из уравнений (3.124) и (3.127), работа компрес-
сора равна разности энтальпий Цх - i2/\ Разность энтальпий на Ts-диаграмме
изображается наклонно .заштрихованной площадкой а22'ва. Действительно,
эта площадка располагается под изобарным процессом 22' и, следовательно,
изображает теплоту этого процесса. Но теплота изобарного процесса равна
изменению энтальпий газа в этом процессе, т.е. /zy — i2/- В то же время
энтальпия идеального газа в точке 2' равна энтальпии в точке 1 (т.е.г‘2» =
z'i), потому что температуры в точках 1 и 2' одинаковы.
Состояние газа после компрессора при изотермном сжатии изображается
точкой 2'. Изотермный процесс сжатия изображается отрезком 12'. В этом
процессе энтальпия идеального газа не изменяется. Работа сжатия равна
теплоте. Теплота в ТУ диаграмме изображается площадкой под кривой
процесса, т.е пл. а12'ва.
Из рисунка следует, что /ад > /и3(?т- Разность между /ад и /изот опреде-
ляется площадью треугольника 12 2. При изотермном сжатии затрачива-
емая работа меньше, чем при адиабатном.
На рис. 3.20 показан процесс 1—3 политропного сжатия при 1 < п <к.
При этом процессе возрастает температура и отводится тепло. Теплоемкость
газа при таком процессе — отрицательная величина. Работа этого процесса
складывается из теплоты q, которая изображается площадью al3da, и раз-
ности энтальпий //] — z3/, которая изображается площадью d 32 ed (наклонно
заштрихованная площадь). Вся работа изображается площадью а!32?ва.
При политропном процессе сжатия работа меньше, чем при адиабатном
процессе, но больше, чем при изотермном.
Для уменьшения работы, потребляемой компрессором, процесс сжатия
стремятся приблизить к изотермному путем охлаждения газа. С этой целью
используется так называемое многоступенчатое сжатие, при котором сжатие
газа осуществляется в ряде последовательно соединенных компрессорах
78
Рис. 3.19. Изображение адиабатного и
изотермного процессов сжатия на 7s-
диаграмме
b d а Рис. 3.20. Изображение политропного
процесса сжатия в компрессоре на
Ts- диаграмме
(рис. 3.21). После каждого компрессора газ охлаждается в специальном
теплообменнике до начальной температуры. Такое сжатие позволяет избе-
жать недопустимо высоких температур в конце процесса.
Рабочий процесс трехступенчатого компрессора показан в ^и-координатах
и Ts-координатах на рис. 3.22 и 3.23. В первой ступени происходит политроп-
ное сжатие (процесс 1а) от начального давления рх до некоторого промежу-
точного давления ра. Затем газ направляется в теплообменник, где при по-
стоянном давлении ра он охлаждается до температуры Тt. Охлажденный
газ сжимается (процесс nte) во второй ступени до давления р3 и затем
охлаждается в теплообменнике. В третьей ступени газ сжимается (процесс
79
Рис. 3.21- Схема трехступенчатрго иоршевего компрессора:
I, II и Ш - первая, вторая и третья ступени компрессора; 1и 2 - йрвмвжуточаыетешю-
обменники для охлаждения газа
Рис. 3.22. Графическое изобразкеаде наро^ишграмме процесса сжатая та в трехегуйен-
чатом KoNfflpeccope
в12) до конечного давления р2. Температура газа в koW сжатия во всех
ступенях одинаковая, что обесйечивает Ушакову» надежность работы
ступеней. При одинаковых ошсяашиях температур в ксяэде.ж жаде про-
цесса во всех ступенях и равенстве показателей жнштрош»! будут о$£йаковы
степени повышения давления во всех ступенях
к ‘ • ' я . » >
*».; ,л« ,*-1 » А.п
М
। &2X ЖаврШадж на ^диаграмме процесса сжатия газа в трехступеачазюм комп
НО Га = гв*гг a ^srai = rBl-
сяедоштел ьдо,
Ра Дй Fa •—fc —-=а. :^и 2On$t , Pi Pa Fs * jf (3.133)
Из условия (ЗДЗЗ) следует, что
Р* Р» Ъ Wil IQJ » JH'lin И I- 1'1 1 * 11 1 I” "* X , Fi Fa Р& Fr (3.134)
откуда t
xfcVPa/pv (3.135)
z сждедег подучаем
& ^_r ** ^Лй*1‘ (3.136)
Сжикь aoww® давления в каждой ступени равна корню 2-й степени
от отйопййия K0«®wora дакпшяя^ к дачалыкжур* - .
31
Удельная работа, затрачиваемая на сжатие в каждой ступени
п-1
п п
-------RT [х -1]. (3.137)
п - 1
Полная работа на сжатие G кг газа в компрессоре с числом ступеней z
п<-1
п п~
L = -z----GRI\ [х -1]. (3.138)
п -1
Общее количество теплоты, отводимой от газа, состоит из теплоты Qi,
отводимой от газа при его политропном сжатии во всех ступенях компрес-
сора, и теплоты Q2, отводимой при его изобарном охлаждении в теплообмен-
никах.
Теплота, отводимая от газа при его сжатии в z ступенях компрессора
п—1
п— к п — к ~~п
G(T2-T1) = ZCV - GT,lx -1/ (3.139)
v п-1--------------------------------------------п-1
Теплота, отводимая от газа при его изобарном охлаждении в теплообмен-
никах
п—1
п
Q2 = - (z - l)cpG (Т2 - T]J = - (z - 1) cpGT\ (х -1/ (ЗД40)
3.6. Рабочий процесс турбины
'Анализ рабочего процесса турбины также, как анализ процессов сжатия
в компрессоре, базируется на первом законе термодинамики для проточ-
ной термодинамической системы. Принцип действия турбины заключает-
ся в следующем. Газ с параметрами plf - поступает к сопловому аппа-
рату. В соплах газ приобретает значительную скорость. Поток газа, выте-
кающий из сопл, обтекает рабочие лопатки, которые установлены на диске,
насаженном на вал турбины. При обтекании лопаток газом возникает сила,
создающая момент вращения. Работа вращения вала называется техничес-
кой работой, При обтекании газом рабочих лопаток кинетическая энергия
газа уменьшается. За турбиной газ имеет сравнительно небольшую скорость.
Рассмотрим идеальную турбину, в которой отсутствуют необратимые
потери, а процесс расширения f аза в соплах является обратимым адиабатным
82
процессом (8q = 0). Для определения работы, производимой идеальной
турбиной, воспользуемся первым законом термодинамики для проточной
термодинамической системы. Поскольку скорости газа перед турбиной
(перед соплами) и за турбиной сравнительно небольшие, то изменением
кинетической энергии (wi/2 — w2/2) потока можно пренебречь. С учетом
сказанного из уравнения первого закона термодинамики (3.123) выте-
кает
-l + ii - i2 = 0,
(ЗЛ41)
где I — удельная техническая работа; — энтальпия, газа перед турбиной;
/2 — энтальпия газа после турбины.
Из уравнения (3.141) получается формула для определения работы
турбины при адиабатном расширении в турбине идеального газа
к-1
(/ = срТ)
l-ii ~h-cp(I\ -Т2)~с 7\ ) к ], (3.142)
Pi
или
к-1
к ту- ъ-
1 = — рм ]
к-1 pi
(3.143)
Глава 4. ВТОРОЙ ЗАКОН ТЕРМОДИНАМИКИ
4.1. Сущность второго закона термодинамики.
Термодинамическая вероятность и энтропия
Всякая изолированная термодинамическая система характеризуется
некоторым запасом полной энергии. Полная энергия системы равняется
сумме энергий отдельных частей этой системы. Какие бы процессы в такой
системе не протекали, полная энергия системы не изменяется. Эти положе-
ния составляют суть закона сохранения энергии.
Всякая изолированная термодинамическая система характеризуется
некоторым значением энтропии. Энтропия такой системы равняется сумме
энтропий отдельных ее частей. Какие бы процессы в этой системе не проте-
кали, полная энтропия системы не может уменьшаться. Полная энтропия
изолированной системы, внутри которой протекают реальные (а не идеали-
зированные) процессы взаимодействия отдельных макроскопических частей
этой системы, изменяется — и при этом односторонне — только в сторону
возрастания. Процессы, протекающие в изолированной термодинамической
83
системе, всегда направлены к достижению системой равновесного состояния.
При равновесном состоянии энтропия системы достигает максимального
своего значения. Энтропия всякой изолированной системы стремится к
максимуму. Эти положения составляют суть второго закона термодинамики.
Этот закон термодинамики можно назвать законом возрастания энтропии.
Физическое содержание понятия энтропии связано с понятием термодина-
мической вероятности состояния системы. Термодинамической вероят-
ностью называется число микросостояний, реализующих данное макро-
состояние. Дело в том, что всякое макроскопическое тело состоит из огром-
ного числа микрочастиц (атомов, молекул), обладающих разными скоростя-
ми и различными пространственными координатами. Совокупность значений
координат (х, у, z) и импульсов (mQwx, т0Ц)у> всех молекул в каж-
дый момент времени соответствует некоторому микросостоянию системы,
каковой является ансамбль микрочастиц. Очевидно, что данному микро-
состоянию системы, находящейся в термодинамическом равновесии, соот-
ветствуют определенные значения макроскопических (термодинамических)
параметров состояния (внутренняя энергия, температура, плотность, давле-
ние) , представляющих собой результат осреднения свойств микрочастиц и
характеризующих макросостояние системы. Если вч рассматриваемый мо-
мент времени поменять местами в пространстве молекулы, имеющие одина-
ковые импульсы, то получится новое микросостояние, которое будет экви-
валентно предыдущему в том смысле, что ему будут соответствовать те же
значения макроскопических (термодинамических) параметров состояния.
Например, пусть имеется система, представляющая собой газ, заключенный
в сосуде. Макросостояние этой системы характеризуется некоторым значе-
нием внутренней энергии U. Данному значению внутренней энергии может
отвечать различное распределение энергий между молекулами: а) все моле-
кулы имеют одинаковую энергию; б) половина молекул имеет вдвое боль-
шую энергию, чем другая половина, но все молекулы хорошо перемешаны
между собой; в) все молекулы имеют разные значения энергий, но их сум-
марная энергия равна, как и раньше, внутренней энергии U системы. Таким
образом, одному и тому же значению макроскопического параметра состоя-
ния системы может соответствовать большое число разных микросостояний.
Различие в микросостояниях может быть обусловлено различием распре-
деления молекул в пространстве и различным распределением их скоростей
по величинам и направлениям. В результате хаотического движения молекул
и непрерывных столкновений между ними происходит непрерывная смена
микросостояний, и каждому моменту времени соответствуют определенное
распределение энергии между молекулами и определенное пространствен-
ное положение молекул. Однако непрерывная смена микросостояний вовсе
не означает, что термодинамическая система должна претерпевать также
обязательную смену макросостояний. Дело в том, что одно из макросостоя-
ний может соответствовать огромному числу микросостояний, т.е. боль-
шой термодинамической вероятности. В то же время число микросостоя-
ний, соответствующее другому макросостоянию, может быть очень малым
и, следовательно, может реализоваться в очень редких случаях. Другими
словами, такое макросостояние, которое реализуется малым числом воз-
можных микросостояний, является маловероятным. Наблюдать эти состоя-
84
ния практически невозможно. Это тем более справедливо потому, что если
бы даже подобное состояние и было когда-нибудь достигнуто системой,
то время пребывания системы в этом состоянии оказалось бы настолько
малым, что ни один прибор не смог его зарегистрировать. Поэтому наблю-
датель, имеющий возможность измерять только изменение термодинами-
ческих (макроскопических) параметров, будет фиксировать неизменность
состояния системы.
В рассмотренном выше примере возможен в принципе случай, когда в
одной половине сосуда сосредоточатся молекулы газа, имеющие большую
энергию, чем молекулы, находящиеся в другой половине сосуда. Однако
такое состояние системы соответствует очень малой термодинамической
вероятности по сравнению с термодинамической вероятностью, отвеча-
ющей одинаковому распределению энергий между молекулами во всех
частях сосуда. Поэтому это состояние наблюдать нельзя.
Всякая изолированная система стремится находиться в таком состоянии,
которое отвечает наибольшей термодинамической вероятности. Это поло-
жение можно пояснить следующим примером. Рассмотрим изолированный
сосуд, разделенный адиабатной перегородкой (т.е. перегородкой, облада-
ющей свойствами идеальной теплоизоляции). По одну сторону перегород-
ки находится газ, состояние которого характеризуется некоторыми значе-
ниями температуры Т\, и давления рх. По другую сторону перегородки
находится такой же газ, состояние которого характеризуется таким же
давлением (р2 = Pi) и температурой Т2> отличающейся от 7\. В некото-
рый момент времени перегородка мгновенно убирается. По истечении неко-
торого времени молекулы перемещаются, и температура газа выравнивает-
ся по всему объему сосуда. Термодинамическая вероятность этого состояния
много больше, чем вероятность состояния, имевшего место в первое мгнове-
ние после удаления перегородки.
Значение термодинамической вероятности вычисляется методами стати-
стической физики, основанными на теории вероятности. Эти методы в рамках
курса прикладной термодинамики не рассматриваются.
Энтропия S системы представляет собой величину, равную натуральному
логарифму от термодинамической вероятности И7, помноженному на посто-
янную Больцмана
S = k\nW, (4.1)
где А; = 1,3806-Ю-23 Дж/К.
Энтропия есть функция состояния системы. Единицей энтропии в СИ явля-
ется джоуль на кельвин (Дж/К). Соотношение (4.1) называется формулой
Больцмана. Из этой формулы следует, что энтропия является аддитивной
величиной. Действительно, если система состоит из двух независимых частей,
то их состояния характеризуются термодинамическими вероятностями
Wi и W2 • Вероятность состояния W сложной системы будет, вследствие
независимости отдельных частей этой системы, равна произведению W2.
Следовательно,
S = klnW = kln(W1W2) = klnW1 + klnW2.
(4.2)
85
Из этого выражения следует
5 = 5^52, . (4.3)
где 51 — энтропия первой части системы; S2 — энтропия второй части систе-
мы.
Выше отмечалось, что какие бы процессы не протекали в изолированной
системе, ее состояние в конечном итоге отвечает наибольшей термодинами-
ческой вероятности, т.е.. наибольшей энтропии. Другими словами, изолиро-
ванная система при протекании термодинамических процессов проходит
ряд состояний, и наблюдается возрастание энтропии. В этой связи Л. Больц-
ман сформулировал второй закон термодинамики как положение о том,
что природе свойственно стремиться от состояний менее вероятных к состо-
яниям более вероятным. Это положение математически можно представить
неравенством, характеризующим протекающие в системе процессы,
^сист > °- (4.4)
Дифференциал (приращение) энтропии изолированной системы, в кото-
рой протекают какие-либо процессы, есть величина положительная. Знак
равенства в рышенаписанном выражении относится к так называемым
обратимым процессам, которые представляют собой идеализацию реальных
(необратимых) процессов. Такие процессы реализуются, например, в идеаль-
ном цикле Карно, который рассматривается в дальнейшем. Состояние изоли-
рованной системы, отвечающее наибольшему значению энтропии, является
термодинамически равновесным. Если систему вывести из равновесия путем
создания разности температур между различными частями этой системы,
а затем предоставить систему себе самой, то за счет самопроизвольных
(т. е. естественных) процессов теплообмена эта система придет к состоянию
термического равновесия. На этом очевидном факте Клаузиус сформулиро-
вал второй закон термодинамики в виде положения о том, что теплота сама
собой переходит лишь от тела с более высокой температурой к телу с более
низкой температурой и не может самопроизвольно переходить в обратном
направлении.
Равновесное состояние тела характеризуется, наряду с такими параметра-
ми как температура и давление, некоторым значением энтррпии. Энтропия
однородного тела, отнесенная к единице массы тела, называется удельной
энтропией 5/
s=S/m. (4.5)
Единицей удельной энтропии является Дж/ (кг-К).
. Поскольку равновесное состояние рабочего тела полностью определяется,
если заданы любые два термодинамических параметра состояния, то энтро-
пия может быть представлена как функция любых двух параметров состоя-
ния
s =f(p. Т). S =Пр, р), s =f(v. Т). (4.6)
86
В статистической термодинамике установлена теоретическим путем форму-
ла для идеального газа
s А In и + const. (4.7)
I
Если воспользоваться уравнением состояния идеального газа, то из фор-
мулы (4.7) можно получить следующие выражения :
s = CplnF - R lnp + const, (4.8)
s = c„lnp + с Inu + const, (4.9)
ц V Р V 7
Следует подчеркнуть, что эти формулы применимы лишь для равновесного
состояния идеального газа.
Если процесс изменения состояния идеального газа является равновес-
ным, то изменение энтропии газа можно определить из формулы (4.7)
dT du du + pdu
ds = rv —у +R —= —T— (410)
С помощью уравнения первого закона термодинамики формула (4.10)
преобразуется к виду
3?
ds = — . - (4.11)
Т
Из формулы (4.11) следует, что -изменение энтропии тела обусловлено
передачей энергии в форме теплоты. Формула (4.11) применима не толь-
ко к идеальным газам. Эта формула носит общий характер. Из этой фор-
мулы следует, что при подводе теплоты к телу его энтропия увеличивается,
а при отводе уменьшается.
Выше было отмечено, что в изолированной системе, находящейся в
термически неравновесном состоянии, процессы теплообмена приводят к
увеличению энтропии этой системы. Рассмотрим изолированную систему,
состоящую из двух тел, находящихся при разных температурах Тх и Г2
при Тх > Т2. В результате теплового контакта между этими телами будет
происходить процесс теплообмена. Теплота будет передаваться от тела с
большей температурой к телу с меньшей температурой. Если от первого
тела передается количество теплоты /8QI, то его энтропия уменьшится
на величину, равную
/5 QJ
dSx=~ — . (4.12)
Л
87
Энтропия второго тела увеличится на величину
(4.13)
Изменение энтропии системы в целом равно сумме изменений энтропии
отдельных частей системы (свойство аддитивности энтропии)
dSCKC.[=dSi + dS2=J5Q/ [ — - -I], (4.14)
Т2 Т i
Поскольку Т2 < Л , то из уравнения (4.14) следует, что ^сист > 0.
В результате самопроизвольного необратимого процесса энтропия рас-
сматриваемой системы возрастает.
Второй закон термодинамики определяет направление, в котором про-
текают реальные макроскопические процессы в термодинамических систе-
мах. Особое значение этот закон имеет для теории тепловых двигателей.
Он определяет степень полезного использования теплоты в двигателе. При-
ложимость второго закона термодинамики ограничена системами земных
размеров. На всю Вселенную этот закон не распространяется.
4.2. Обратимые и необратимые процессы
Процесс взаимодействия тел, составляющих изолированную термодинами-
ческую систему, называется обратимым, если при этом процессе общая
энтропия системы не изменяется. Выше указывалось что реальные процес-
сы, протекающие в системе, всегда направлены к достижению равновесия
и сопровождаются ростом энтропии. Обратимые процессы представляют
собой идеализацию реальных процессов.
В качестве примера рассмотрим показанную на рис. 4.1 термодинамичес-
кую систему, состоящую из тела 1 с температурой Тi, находящегося в ци-
линдре под поршнем газа 2 с температурой Т.2 и механического устройства
для поднятия груза 3. Будем полагать, что в механических элементах устрой-
ства отсутствует трение, что рассматриваемая система изолирована от окру-
жающей среды и что теплоемкость материала цилиндра и поршня равна нулю.
Тело 1 и газ 2 взаимодействуют друг с другом путем теплообмена. Предпо-
ложим, что тело 1 является настолько большим, что отнятие от него некото-
рого конечного количества теплоты Q не приводит к сколько-нибудь замет-
ному изменению его температуры. Если в процессе теплообмена температура
газа все время отличается от температуры тела лишь на бесконечно малую
величину (т.е. Т2 = 1\ - dT), то энтропия первого тела после передачи коли-
чества теплоты Q уменьшится на величину
Q
ASi=- —, (4.15)
11
88
« Я
J ASL ,w< 8ЙГ lllCiH .... *"* t
r, Ti-d?
(4.16)
Pjfte. 4.1. Изолированная термоджамическая система
Пр® зш условиях изменение зятрогжи системы в целом составит пренебрег
*АУ.А * ~~-
***®КСТ
QdT
--- »0.
(4.17)
сом иэотермного раадфеадя. В результате расширения газ совершит
где - масса груза; Л - высота подъема груза; т- масса газа в цилиндре.
За 0»s мезашиескок энергии груза можно осуществить
р^атзсй ярсшсе сжатия: Этот т^роцесс можно осуществить изотермически
так, чтобы здм&едоэфа газа 2 превышала темвературу тела 1 лица на беско-
SBW) Msayto 4Т flo окончания обратного Тфедрсса телу 1 будет
гырадаяе келжество шад Q и «истема вернется в исходное состояние.
89
Никаких заметных изменений в телах этой системы по окончании обратного
процесса наблюдаться не будет. Рассмотренный выше процесс теплообмена
между телом и газом, протекающий при бесконечно малой разности темпе-
ратур взаимодействующих тел, является обратимым. При таком процессе
изолированная система может вернуться обратно в исходное состояние без
дополнительных затрат энергии извне.
Если в процессе теплообмена температуры тела 1 и газа 2 будут отличать-
ся на конечную величину, то энтропия системы в прямом процессе будет
увеличиваться. Вернуть систему в исходное состояние без каких-либо затрат
энергии извне в этом случае невозможно.
Процессы, протекающие с увеличением суммарной энтропии взаимодей-
ствующих тел системы, называются необратимыми. Все реальные процессы
являются необратимыми. Степенью их необратимости может служить величи-
на изменения полной энтропии системы. Чем меньше изменение полной
энтропии системы, тем ближе к обратимым являются протекающие в этой
системе процессы. Обратимые процессы являются предельной идеализацией
реальных процессов. Следует отметить одну особенность рассмотренного
выше обратимого процесса изменения состояния газа в цилиндре. Так как
разность температур между телом 1 и газом 2 бесконечно малая величина,
то скорость процесса теплообмена также будет бесконечно малой величиной.
Процесс расширения при этом происходит бесконечно медленно. В этой
связи состояние газа в каждый момент времени является квазиравновесным.
По этой причине обратимые процессы называются иногда квазистатически-
ми.
4.3. Теорема Карно
Второй закон термодинамики исторически был сформулирован на основе
теоремы Сади Карно. Эта теорема определяет возможную степень полезного
использования теплоты в тепловом двигателе.
Тепловым двигателем называется непрерывно действующая термодинами-
ческая система, осуществляющая круговой процесс (цикл) изменения
состояния рабочего тела, в результате чего обеспечивается превращение
тепоты в работу.
Рассмотрим произвольный равновесный круговой процесс в pv- uTs-
координатах (рис* 4.2). В процессе расширения (du > 0) рабочее тело совер-
шает положительную работу. Эта работа графически изображается на ри-
диаграмме горизонтально заштрихованной площадью (рис. 4.2, а). Для
того чтобы вернуть тело в исходное состояние, необходимо осуществить
процесс сжатия и затратить при этом некоторое количество работы. Эта
работа изображается на pv-диаграмме вертикально заштрихованной пло-
щадью. Разница между работой расширения и работой сжатия составляет
работу цикла. Как видно из рисунка, работа цикла изображается площадью
внутри замкнутой линии цикла.
Процессы расширения и сжатия газа в общем случае могут сопровож-
даться подводом и отводом теплоты (рис. 4.2, б). На одном участке цикла
90
Рис. 4.2. Изображение цикла в pv- и Ts- координатах
(ds > 0) теплота подводится к рабочему телу. Подводимая к рабочему
телу теплота изображена на рис. 4.2, б горизонтально заштрихованной
площадью. На другом участке цикла (ds < 0) теплота отводится. Отводи-
мая теплота изображается на рис. 4.2, б вертикально заштрихованной’ пло-
щадью.
Из вышесказанного следует, что для осуществления цикла в термоди-
намической системе должны быть тела, способные передавать рабочему
телу энергию в форме теплоты, и тела, способные забирать от рабочего
тела энергию также в форме теплоты. Тела, отдающие рабочему телу тепло-
ту, называются верхними источниками теплоты. Тела, забирающие от рабо-
чего тела теплоту, называются нижними источниками теплоты.
Эффективность теплового двигателя тем'выше, чем больше работа цикла
и чем меньше подведенная от верхних источников теплота. Поэтому эффек-
тивность превращения теплоты в работу характеризуется отношением:
Ч.= А. . (4.18)
21
где — работа цикла; — количество подведенной к рабочему телу тепло-
ты от верхних источников. Величина называется термическим коэффици-
ентом полезного действия цикла.
В работе С. Карно было сформулировано утверждение о том, что терми-
ческий коэффициент полезного действия цикла при использовании одного
верхнего источника теплоты с температурой 7\ и одного нижнего источника
с температурой Т2 < зависит только от значения этих температур и не
зависит ни от каких других факторов, в частности от свойств рабочего тела.
Чтобы доказать это утверждение, воспользуемся сформулированным выше
законом об изменении энтропии изолированной системы.
91
Рассмотрим изолированную термодинамическую систему, составными
элементами которой являются (рис. 4.3): а) большое тело 1, являющееся
верхним источником теплоты (ВИТ) и имеющее температуру Т\; б) боль-
шое тело 2, являющееся нижним источником теплоты (НИТ) и имеющее
температуру Т2; в) машина с рабочим, телом (РТ), которое изменяет свое
состояние по замкнутому циклу, периодически возвращаясь к своему перво-
начальному состоянию; г) потребитель работы (ПР), который можно
представить себе как накопитель механической энергии (например, за счет
подъема груза массой m .
Будем считать, что источники теплоты бесконечно велики, и поэтому-
отнятие или подвод конечного количества теплоты не изменяет их темпе-
ратуры. Будем считать, что процессы взаимодействия рабочего тела с источ-
никами теплоты являются обратимыми. В предыдущем параграфе было
показано, что обратимый переход теплоты от одного тела к другому воз-
можен лишь при бесконечно малой разности температур теплообменива-
ющихся тел. Это условие можно выполнить, если рабочее тело при взаимодей-
ствии с верхним источником будет изотермически расширяться, а при
взаимодействии с нижним изотермически сжиматься. После того как
рабочее тело получит от верхнего источника количество теплоты Qx и рас-
ширится, необходимо обратимым образом снизить его температуру до
температуры нижнего источника Тг. Только после этого можно осущест-
вить обратимый процесс взаимодействия рабочего тела с нижним источни-
ком теплоты. Единственным обратимым процессом, позволяющим снизить
температуру тела от до Тг, является равновесное адиабатное расширение.
Рис. 4.3. Изолированная термодинамическая система
92
4 После w fcaK' произо^хет процесс изотермного сжатия рабочего тела и
j нижнему щеточнику будет отдано количество теплоты £>2 , необходимо вер-
1 нуть рабочее тело в то состояние, которое оноимело перед взаимодействием
? с вердайи источником. Это можно сделать, используя адиабатный процесс
! сяаш. Та>шм образом, если имеются два источника теплоты с температу-
рами 1\ и Г?, to обратимый никл можно реализовать, если подвод и отвод
! теплоты (хушёсткллются ври изотермньтх процесссах, а изменение темпера-
1 туры рабочего тела, от до Тг и обратно осуществляется при помощи
t адиабатных процессов. Графическое изображение такого цикла ц Ts-коорди-
: натах приведено На рис. 4.4. Этот цикл называют циклом Карно.
• Рассмотрим состояние описанной выше Термодашамической системы
после того, как рабочее тело прошло через полный никл и вернулось в свое
' первоначальное состояние а. Результат полного шпртхследующий:
изменение энтропий рабочего - тела по завершению цикла равно нулю
(Д£рт*0);
; жтрояия в^жего исто^ика уменьшилась на величину
* — ***>/ (4-19)
Ti
’ энтропия нижяего источника увеличилась на величину
М2^ ------ ; (4.20)
*1" 1
$йс. 4.4. Изображение никла Карно в
Т>к«х5рдикггак
«3
полное изменение энтропии всей системы равно ажебряической сумме
изменений энтропии отдельных тел этой системы
Атеист s т + + ZT
vnVf у> *
(4.21)
Так как все процессы, протекающие в рассматриваемой сйстеме,являют-
ся обратимыми, то полная энтропия системы после совершения нжла остает-
ся неизменной, т.е. ASL„., - О. Следовательно,
vjftvx
Qi Qi
Л ” Л
(4.22)
Согласно первому закону термодинамики, полная энергия изолированной
системы остается неизменной при любых процессах. Извинение поШШидды
ной энергии поднятого груза, равно совершенной за НИКЛ работе, т.е.
Z ₽ т gh. Изменение энергии верхнего источника равно кодаеству отдан-
ной теплоты {2i , а изменение энергии нижнего источника райпо полученной
теплоте Q2, тогда
*£ц“0.
(4.23)
Из уравнений (4,18) и (4.23) можно получить формулу для термического .»*
коэффициента полезного действия цикла Карно
Из полученного выше уравнения (4.22) вытекает выражение
Следовательно, формулу (4.24) для термического коэффициейта полезного
действия цикла Карно можно преобразовать к виду
(446)
f
Из формулы (4.26) вытекает ряд вйжвьц положений. Во-первых, термы? 1
тур в^него а ншгмеео йглхйшетв тея^-гы. бозыдо рйавище темпера й
$4 '
тур, тем Выше КПД цикла. Во-вторых, термический КПД цикла Карно не
зависит от физических свойств рабочего тела. В конечной формуле (4.26)
отсутствуют какие-либо величины, характеризующие физическую природу
рабочего тела. При выводе формулы (4.26) не делалось каких-либо огово-
рок о природе рабочего тела. В-третьих, термический КПД цикла Карно
не может достичь значения, равного единице, так как для этого необходимо,
согласно уравнению (4.26), чтобы верхний источник теплоты имел бесконеч-
но большую температуру или нижний источник имел нулевую температуру.
Таких источников в природе не существует. В-четвертых, термический
КПД цикла Карно при Тх = Т.г равен нулю. Это указывает на то, что невоз-
можно превращение теплоты в работу, если все тела системы имеют одина-
ковую температуру, т.е. если они находятся в тепловом равновесии (посту-
лат Томсона-Кельвина).
Такии образом, для того чтобы осуществить цикл, а следовательно, про-
цесс превращения теплоты в работу, необходимо располагать источниками
теплоты различного температурного уровня.
Цикл Карно, состоящий из обратимых процессов, является идеальным
циклом и в действительности не может быть осуществлен ни в одной из
машин. Однако этот цикл можно использовать как эталон, с которым следу-
ет сравнивать практические циклы тепловых машин. Ни один из практичес-
ких циклов не может иметь коэффициент полезного действия выше, чем
идеальный цикл Карно, протекающий при той же разнице температур, верхне-
го и нижнего источников теплоты.
Если в рассмотренной выше термодинамической системе протекают
необратимые процессы взаимодействия тел, то по завершению цикла, соглас-
но второму закону термодинамики, полная энтропия всей системы увели-
чится
02 01
=-------->0.
1 г и
Из неравенства (4.27) следует
02 > ^2
0! К
(4-27)
(4-28)
Это неравенство и формула (4.24) приводят к выводу о том, что КПД
тепловой машины, работающей между источниками теплоты с температура-
ми и Т2 по необратимому циклу, меньше КПД тепловой машины, работа-
ющей между теми же источниками теплоты, но по обратимому циклу
необр< обР=1^.
г Л
95
4.4. Математическое выражение второго закона терэддшмдан
для произвщшшх щклов
Рассмотрим произвольный обратимый пики (рис. 4.5). Разобьем этот
цикл на бесконечно большое количество элементарных циклов, проведя
бесконечное число адиабат на бесконечно малом расстоянии друг от друга.
Каждый элементарный цикл образован двумя адиабатами ж двумя элемен-
тарными участками рассматриваемого произвольного цикла. Вследствие
того, что в пределах каждого элементарного участка произвольного цикла
изменение температуры есть бесконечно малая величина, эти участки можно
заменить изотермами. Это означает, что каждый элементарный щиСЛ можно
считать элементарным циклом Карно. Каждому элементарному циклу Карно
соответствуют свои верхний и нижний источники теплоты. Ддя ^го элемен-
тарного обратимого цикла Карно в соответствии с формулой (4.22) можно
записать
iSQxl /sgj, =fi
Tt л
(4,29)
До сих пор мы обращались с величинами I&Q1I и /5=01/ каке абсолютными.
Теперь условимся считать теплоту алгебраической величиной. Подводимую
к рабочему телу теплоту будем считать положительной (S^ l&Qil)»а отво-
димую - отрицательной (SQ2-~- /5^2/). с учетом этого выражение (4.29)
преобразуется к виду
(4.30)
Рис. 4.5. К выводу аналитическетчэ выра-
жения второго закона
для Ефоизволындх обратимых циклов
S
98
। Отношение (&Q/T) называется в теории тепловых двигателей приведенной
теплотой. Из выражения (4.30) следует, что сумма приведенных теплот в
। обратимом цикле Карно равна нулю.
Суммируя приведенные теплоты всех элементарных циклов Карно, полу-
чим уравнение
n п 8Q2
, lim s (--------- ) + Um S -------------) = 0,
. . T\ i . , 7\ i
2 1 «->oo z=i 2 2
(4.31)
или
(4-32)
- Этот интеграл был получен Клаузиусом в 1854 г. и представляет собой
математическую формулировку второго закона термодинамики для обра-
тимых циклов.
Из выражения (4.32) непосредственно следует утверждение о невозмож-
ности осуществления цикла при наличии только одного источника теплоты.
При круговом процессе изменения состояния рабочего тела должны быть
участки процесса с подводом теплоты (bQ]T > 0) и участки с отводом
теплоты (bQ/T < 0). Только в этом случае сумма приведенных теплот может
удовлетворять уравнению (4.32). Таким образом, невозможно построить
машину непрерывного действия, которая, используя получаемую тепло-
ту от какого-либо источника, полностью преобразует ее в работу. Тепловая
машина, которая действовала бы таким образом, была названа вечным
двигателем второго рода (в отличии от вечного двигателя первого рода,
работающего вопреки закону сохранения энергии). Такой двигатель мог
бы действовать за счет охлаждения, например, воды в океане чрезвычайно
долго. В связи с вышесказанным можно сформулировать второй закон
термодинамики применительно к тепловым двигателям — вечный двигатель
второго рода осуществить невозможно.
Аналитическое выражение второго закона термодинамики для произволь-
ных необратимых циклов можно получить путем, аналогичным использован-
ному при выводе выражения (4.32). Необратимый цикл разобьем на беско-
нечное число элементарных циклов, проведя для этого бесконечное число
обратимых адиабат. Каждый элементарный цикл можно рассматривать
как необратимый цикл Карно. Для любого z-го элементарного необратимо-
го цикла Карно в соответствии с выражением (4.27) можно записать нера-
венство
l&Qd ISQ,I
Т2
(4-33)
97
Если рассматривать теплоты как алгебраические величины и использо-
вать вышепринятое правило знаков, то выражение (4.33) можно преобра-
зовать к виду *
SQi &Q1
(—+ —Л
Л т2 1
<0.
(4.34)
Сумма приведенных теплот для необратимого цикла Карно есть величина
отрицательная. Суммируя приведенные теплоты всех элементарных циклов
Карно, получим
6Q •
$ —< 0. (4.35)
Т
Интеграл Клаузиуса для необратимых циклов всегда величина отрицателъ-
ная. Следует .подчеркнуть, что этот интеграл относится ко всей системе
взаимодействующих тел (верхние источники теплоты + рабочее тело + ниж-
ние источники теплоты) в целом, но никак не к рабочему телу. Температура,
фигурирующая в этом интеграле, — это температура источников тепла (кото-
рая в случае необратимых процессов передачи тепла не равна температуре
рабочего тела). Что же касается рабочего тела, то, как уже отмечалось,
поскольку тело возвращается после завершения цикла в исходное состояние,
изменение его энтропии равно нулю.
Объединяя формулы (4.32) и (4.35), получаем
f < 0. (4.36)
Знак неравенства относится к необратимым циклам, а знак равенства — к
обратимым.
Рассмотрим теперь произвольный необратимый цикл, составленный из
двух процессов — необратимого 1а2 и обратимого 2в1 (рис.- 4.6). Дпя рас-
сматриваемого цикла интеграл Клаузиуса можно представить в виде суммы
двух интегралов
Т
1а2 2в1
(4.37)
При обратимом процессе 2в1 температура Т источников теплоты равна
(с точностью до бесконечно малой величины) температуре рабочего тела
на каждом элементарном участке процесса. Поэтому приведенная- теплота
98
1 .
>
4
S
| KWWyWTKBT^OHecca 2&1 paste изменению энтропии рабочего
! ю ................ ;
J /‘^Г ' . . (438)
\2el '
i
: где — энтродия рабочего тела в начальном состоянии „1”> &S2 — в конеч-
> HQM Ср^ТОЙНИИ „2’’.
Надставляя значение этого интеграла в неравенство (437), получим
, выражение
/—+ . (4.39)
ia2T
ИЛ*
. / (4.40)
1а2 Т
Фя&яа&тряа&я товду 2 как точку с текущими координатами и дифферен-
цируя юеравенс w (440), получаем .
«а
4$Г>—. (4.41)
₽ис» 4^6, К выведу шаддаического вы-
ражения второго закона термодинамики
для йео^рааш®» ^роцасвов
9$
Неравенство (4.41) показывает, что в необратимом процессе приведенная
теплота меньше изменения энтропии рабочего тела. Важно помнить, что
в неравенстве (4.41) энтропия S относится к рабочему телу, а абсолютная
температура Т — к источнику теплоты.
Формула (4.41) является аналитическим выражением второго закона
термодинамики для необратимых процессов.
4.5. Эксергия теплоты
Эксергией теплоты называют максимальную работу, которую можно
получить за счет отбираемой от тела теплоты, если нижним источником
теплоты является окружающая среда с температурой То. Как было показано
выше, максимальную работу можно получить при осуществлении обратимо-
го цикла Карно между температурами теплоотдающего тела Т и температурой
окружающей среды. Следовательно, если тело отдает тепло в количестве
bQ при температуре Т~> То, то эксергия теплоты определяется по формуле
(4.42)
То
dEx = 8Q(l-----),
Т
где Ех — эксергия теплоты, Дж
Если температура тела, отдающего конечное количество теплоты Q, не
изменяется, то эксергия теплоты вычисляется по формуле
То
Ех = ен-----).
Т
(4.43)
Понятие эксергии используется при оценках совершенства различных
тепловых аппаратов. В качестве примера проведем эксергический анализ
котлоагрегата, в котором сжигается топливо с теплотой сгорания
(Р = 32000 кДж/кг и вырабатывается перегретый пар с температурой Т =
н л
500 °C. Температура продуктов горения в топке котла составляет Тт =
1900 °C, температура окружающей среды — 20 °C.
С точки зрения баланса энергии современный котлоагрегат представляет
собой весьма совершенное устройство. Потерй тепла составляют незначитель-
ную величину. КПД котла составляет около 95 %. Иная картина получается
с точки зрения баланса эксергии.
Эксергия тепла продуктов горения составляет (в расчете на 1 кг сгорев-
шего топлива) .
п То
ЕХ1 = Q? (1 ----) = 27700 кДж/кг.
Гт
100
Эксергия тепла выработанного пара (без учета тепловых потерь котла)
равна
„ Т'о
Ех2 =QP (1 -----) = 19900 кДж/кг.
Н т"»
1 п
Таким образом, потеря эксергии на 1 кг сгоревшего топлива составляет
ДЕх = 7800 кДж/кг.
Процесс теплообмена в котле можно характеризовать эксергетическим
КПД, представляющим собой отношение эксергий Exj и Ех2
Ех2 ДЕх
^экс Exi Ext
= 0,72 .
С точки зрения второго закона термодинамики котлоагрегат нельзя
считать весьма совершенным устройством.
Потерю эксергии (т.е. потерю работоспособности) можно.выразить через
изменение энтропии системы. Рассмотрим необратимый процесс передачи
тепла Q от тела 1 с неизменной температурой 1\ к телу 2 с неизменной темпе-
ратурой Т2 < 7\. Будем считать, что обе температуры выше, чем температу-
ра окружающей среды .
В результате передачи тепла энтропия первого тела уменьшится на вели-
чину
(4.44)
Изменение энтропии второго тела составит величину
Q
ДД2 = — - (4.45)
Т2
Суммарное изменение энтропии системы двух тел будет равно
1 1
Д5 = Д^ + &S2 = Q( —-------;>0. (4.46)
Г2 Л
Определим теперь потерю эксергии. Эксергия теплоты Q при осуществле-
нии цикла Карно между температурами 7\ и То составляет величину
То
Exi =Q(l - — ) о
Ti
(4-47)
101
После необратимого перехода этого количества теплоты ко второму
телу эксергия теплоты Q составит
П
Ех2=2(1----)
Тг
(4.48)
Уменьшение эксергии (т.-е. потеря работоспособности) будет равно
1 1
ДЕх = E.Xi - Ех2 = Q TQ (-----). (4.49)
Тг Тх
Сравнивая выражение (4.49) с формулой (4.46), получим .
ДЕх = Го ДУ-
(4.50)
Это уравнение называется уравнением М. Гюи-Стодола по имени французско-
го физика Гюи и словацкого теплотехника С. Стодолы. Это уравнение пока-
зывает, что необратимые процессы перехода теплоты с более высокого
на более низкий температурный уровень сопровождаются потерей-работо-
способности, т.е. деградацией энергии той системы, в которой они происходят.
При этом потеря работоспособности пропорциональна возрастанию энтро-
пии системы.
Глава 5. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЖИДКОСТЕЙ И ПАРОВ
5.1. Основные понятия и определения
Из опыта известно, что одно и то же вещество в зависимости от условий
(температура, давление) может находиться в разных фазах. Каждая фаза
представляет собой одно из агрегатных состояний вещества (твердое, жид-
кое, газообразное). Фаза есть однородная система с одинаковыми физичес-
кими свойствами во всех ее частях. Фазы могут сосуществовать вместе.
Каждая фаза отделена от соприкасающейся с ней поверхностью раздела, при
переходе через которую наблюдаются резкие изменения физических свойств
вещества.
Переход вещества из одной фазы в другую называется фазовым пер вхо-
дом или фазовым превращением. Переход вещества из кристаллической
фазы в жидкую называется плавленйем. а обратный переход из жидкой
фазы в твердую — кристаллизацией (затвердеванием). Фазовый переход
из твердой фазы в газообразную, происходящий при низких давлениях,
называется сублимацией. Обратный процесс называют десублимацией. Пере-
ход вещества из жидкой фазы в газообразную называют парообразованием.
Образующуюся в процессе парообразования газовую фазу называют паром.
102
i Пар представляет собой реальный газ. Процесс превращения пара в жидкость
называют конденсацией. Парообразование может происходить посредством
процессов испарения и кипения жидкости. Между этими процессами сущест-
вует различие.
Сущность процесса испарения состоит в том, что наиболее подвижные
молекулы жидкости, преодолевая действие межмолекулярных сил, отрыва-
ются от поверхности раздела и переходят в свободное пространство. С повы-
шением температуры жидкости процесс 'испарения ускоряется, поскольку
средняя скорость хаотического движения молекул возрастает. Однако
характер его остается прежним — парообразование происходит лишь на
свободной поверхности жидкости.
Кипение жидкости может происходить и при отсутствии открытой поверх-
ности. Сущность его состоит в том, что парообразование происходит внутри
объема жидкости за счет испарения этой жидкости внутрь пузырьков пара,
образующихся на стенках сосуда и на взвешенных в жидкости пылинках.
При кипении образующийся пар стремится к термодинамическому равнове-
сию с жидкостью (т.е. к такому состоянию, при котором давление и темпе-
ратура жидкости и пара имеют одинаковые значения). Пар, находящийся в
термодинамическом равновесии с жидкостью, называют насыщенным паром.
Давление насыщенного пара р и его Температура Ts (равная температуре
кипения) связаны уравнением равновесия фаз
Ts =f(p),
(5.1)
т.е. температура насыщенного пара находится в строгой функциональной
зависимости от его давления. Из этого следует, что задание одного из указан-
ных параметров вполне определяет значение другого.
Если в координатах р - Т построить функцию (5.1)", то точки кривой,
изображающей эту зависимость, будут представлять собой те состояния, в
которых имеет место равновесие фаз.
В процессе плавления так же, как и в процессе парообразования, две
фазы (твердая и жидкая) могут находиться в равновесии лишь при опре-
деленных значениях давлений р и температур 7пл
Лит ?
(5.2)
При сублимации температура в условиях фазового равновесия также
есть функция давления
гСуб=/^.
(5-3)
Графическое изображение зависимостей (5.1) и (5.3) называют фазовой
диаграммой. На рис. 5.1 изображена характерная фазовая диаграмма вещест-
ва. С помощью такой диаграммы легко выяснить, в каком состоянии (твер-
дом, жидком или газообразном) находится вещество при каких-либо значе-
103
Рис. 5.1. Фазовая'диаграмма вещества
ниях давления р и температуры Т. На этой диаграмме линия ОА представляет
собой кривую плавления (затвердевания), линия ОК - кривую кипения
(конденсации), а линия ОВ — кривую сублимации (десублимации). Кривую
кипения ОК иногда называют линией насыщения. Справа от линии КОВ
расположена область газообразного состояния вещества (область III), а
между линиями ОА и ОК — область жидкого состояния (область II). Влево
от линии АОВ находится область твердого состояния вещества (область
I). Точка О представляет собой тройную точку, в которой сосуществуют
три фазы (твердая, жидкая и газообразная). Для воды тройная точка соот-
ветствует температуре 0,01 °C и давлению 610,8 Па (0,006228 кгс/см2).
Кривая плавления ОА уходит вверх в сторону больших давлений. Исследо-
вания показали, что кривая плавления не оканчивается даже при сверх-
высоких давлениях (порядка сотен тысяч атмосфер). Линия насыщения
ОК оканчивается в точке К, называемой критической точкой. Соответству-
ющие этой точке значения давления и температуры называются критичес-
ким давлением и критической температурой. Для воды критическая темпе-
ратура равна = 647 К, а критическое давление рк = 22,1 МПа. Для угле-
кислоты 7'к = 304 К, рк = 7,41 МПа. При сверхкритических параметрах не
существует различия между жидким и газообразным состояниями.
Из рис. 5.1 видно, как изменяется состояние вещества в процессе нагре-
вания при постоянном давлении (процесс изображается отрезком прямой
а-в-c-d}. Участок отрезка a-в соответствует нагреванию твердой фазы
до расплавления, участок в-с — нагреванию жидкой фазы до температуры
кипения, участок с- d — нагреванию газовой фазы. В точках ей с происхо-
дят фазовые превращения.
Фазовые превращения сопровождаются поглощением или выделением
теплоты, называемой теплотой фазового перехода. При переходе вещества
из жидкой фазы в газообразную теплота тратится на преодоление межмоле-
кулярных сил взаимодействия, выражающееся в разрушении ассоциирован-
ных комплексов, и на работу расширения. Теплоту, затрачиваемую в про-
цессе при постоянном давлении на превращение 1 кг жидкости, взятой при
температуре кипения, в пар той же температуры, называют удельной тепло-
104
той парообразования и обозначают буквой г. При плавлении теплота затра-
чивается на разрушение кристаллической решетки твердого тела. Затрачива-
емая теплота при плавлении называется теплотой плавления.
Как было отмечено в гл. 1. состояние рабочего тела можно графически
Изобразить, используя для этого пару любых двух параметров состояния.
На рис. 5.2 схематически показаны области различных агрегатных состоя-
ний вещества (твердая фаза, жидкая фаза, газовая фаза и т.д.) в Tv
(рис. 5.2, a), ps- (рис, 5.2, б), pv- (рис. 5.2, в) и Ts- (рис. 5.2, г) диаграм-
мах. В каждой из этих диаграмм слева от линии авт располагается область
твердой фазы (область I), справа от линии Kde — область газообразной
фазы (область III), между линиями пс и Кс располагается область жид-
кой фазы (область II). Линия плавления ОА (рис. 5.1) (затвердевания)
на этих диаграммах в отличии от вышерассмотренной рТ- диаграммы распа-
дается на две пограничные кривые те и пс. Между этими пограничными
кривыми находится двухфазная область „твердое тело + жидкость”. Линия
кипения (конденсации) также разворачивается на два участка — верхнюю
пограничную кривую Kd и нижнюю пограничную кривую Кс. Между верх-
ней и нижней пограничными кривыми находится двухфазная область „жид-
кость + пар”. Линия сублимации тоже распадается на две пограничные линии
ва и de. Между этими линиями находится двухфазная область „твердое
тело + пар”. Существование двухфазных областей объясняется тем, что ве-
щество в процессе фазового превращения проходит ряд последователь-
ных состояний. Тройная точка в pv, Ts-, Tv- и ps- диаграммах разворачи-
вается в линию bed.
Рассмотрим подробнее один из процессов фазового превращения - про-
цесс парообразования (кипения) и его изображение в ри- диаграмме. Пусть
в цилиндре со свободно движущимся поршнем находится жидкость массой
1 кг при температуре То (рис. 5.3, а). Поршень вместе с действующей на
Heijo постоянной нагрузкой оказывает на жидкость давление р < рк. При
этом удельный объем жидкости составляет и0. Этому состоянию воды отве-
чает точка 0 на ри-диаграмме, лежащая на пограничной линии пс (рис. 5.2). В
дальнейшем давление р остается неизменным.
К жидкости непрерывно подводится теплота от внешнего источника.
При этом будет увеличиваться температура и удельный объем жидкости
до момента, когда температура достигнет значения Т? определяемого урав-
нением (5.1). Значение удельного объема воды при этом составит величину
V > Но (рис. 5.3, б). Это состояние воды изображается на ри-диаграмме
точкой 1, которая лежит на нижней пограничной кривой Аг (рис. 5.2).
Дальнейший подвод теплоты будет сопровождаться кипением жидкос-
ти. При этом количество воды будет непрерывно уменьшаться, а количест-
во пара увеличиваться. Обе сосуществующие фазы будут находиться все
время в равновесии. Поскольку давление р остается неизменным, то темпе-
ратура фаз при кипении будет оставаться неизменной, т.е. процесс кипения
является изобарноизотермным. Состояние двухфазной системы иллюстри-
руется рис. 5.3, в. В этом состоянии система состоит из m кг жидкости и
тп кг насыщенного пара (пг + mn = 1 кг). Удельный объем двухфазной
смеси vx больше удельного объема жидкости и' и меньше удельного объема
105
т
5
Р
/77 П
г
Рис. 5.2. Термодинамические диаграммы состояния вещества
насыщенного парау". Двухфазную смесь „жидкость + пар” принято называть
влажным паром. Чтобы однозначно определять состояние двухфазной систе-
мы, введен дополнительный параметр, который называют степенью сухости
пара и обозначают буквой х. Степень сухости пара есть отношение массы
насыщенного пара тп^ к массе двухфазной смеси (п?ж + тп)
тп
X ~-------
т + т„
Ж п
(5-4)
Содержание жидкости характеризуется величиной (1 — х), которую
называют степенью влажности двухфазной смеси.
Удельный объем влажного пара связан с удельными объемами кипящей
жидкости if насыщенного пара следующим уравнением
(m + пт ) v= т v " + m v .
уК 11 Л 11 /К
(5-5)
Из этого уравнения с учетом формулы (5.4) следует, что
v= v"x + v (1-х).
(5.6)
На ри-диаграмме (рис. 5.2) каждой точке отрезка 1-2 соответствует
некоторое значение параметра х, определяемого из этой формулы. Аналогич-
106
ным образом выражаются удельные внутренняя энергия их, энтальпия i
и энтропия ,s влажного пара
Л
их =и"х +и (1 -х), '
i =i"x + i' .(1-х), (5.5)
«'V * *
sx = s"x + s' (1-x), ' (5.9)
где и, i, s' — удельные внутренняя энергия, энтальпия и энтропия жидкости
при температуре кипения; и , i", s' — удельные внутренняя энергия, энталь-
пия и энтропия насыщенного пара.
Из первого закона термодинамики следует, что при изобарном процессе
подводимая теплота равна изменению энтальпии рабочего тела
r = i'-i'. (5.Ю)
С учетом этой формулы выражение (5.8) преобразуется к виду
i = i'+гх • (5.11)
♦А»
Если учесть, что
г
(5.12)
1 s
то формулу (5.9) можно преобразовать к виду
* кх
s=s+-. (5.13)
X
1 S
& тот момент, когда вся жидкость превратится в пар (рис. 5.3, г), состоя-
ние рабочего тела будет соответствовать точке 2 нард-диаграмме. Эта точка
лежит на верхней пограничной кривой Kd (рис. 5.2). Это состояние рабочего
тела называется сухим насыщенным паром. При этом состоянии х = 1. Удель-
ный объем сухого насыщенного пара обозначается символом v". Очевидно,
что v" V '. После того как будет достигнуто состояние сухого насыщенного
пара, последующий подвод тепла при р = const будет приводить к нагреванию
пара и к увеличению его объема (рис. 5.3, д). Пар, температура которого
превышает температуру кипения Ts при данном давлении р, называется пере-
гретым паром (точка 3 н на ^диаграмме (рис. 5.2). С повышением степени
перегрева пар по своим свойствам приближается к идеальному газу.
107
Рис. 5.3. Процесс фазового превращения воды при постоянном
давлении
5.2. Диаграмма Ts для водяного пара
При анализе различных процессов, реализуемых во многих аппаратах и
машинах, применяющихся в пожарном деле, наряду с f ц-диаграммой удобно
использовать Ts-диаграмму. Одним из наиболее широко используемых в
технике рабочим телом является водяной пар. Рассмотрим подробно Ts-
диаграмму водяного пара (рис. 5.4). Эта диаграмма построена на основе
опытных данных о свойствах воды и водяного Пара.
Точка А соответствует состоянию воды в тройной точке (ТА = 273,16 К).
По решению VI Международной конференции (1963 г.) по свойствам водя-
ного пара тройная точка принята за начало отсчета внутренней энергии и
энтропии воды
wA = 0 и sA = 0. (5-14)
Так как рА = 0,00611-10s Па и иА = 1,0002140"3 м3/кг, то энтальпия
в этой точке составляет величину
zA = UA + P\VA -0,00061 кДж/кг.
108
Поскольку даже в наиболее точных расчетах значение энтальпии берется с
точностью до 0,1 кДж/кг, то принимают, что в тройной точке энтальпия
равна нулю, т.е./д = 0о
Положение нижйей пограничной кривой (линия АК) можно определить
следующим путем. Состояние жидкости, соответствующее любой точке
этой кривой, можно получить путем нагревания воды при постоянном давле-
нии р от ТА пр Т„ (р), следовательно
А. «3
Ts dq Ts
5 — ~ / J — J C
T г
TA
(5.15)
Изобарную теплоемкость воды в широком диапазоне давлений можно
считать в первом приближении постоянной величиной, равной ^4,19 кДж/
(кг-К). Тогда из формулы (5.15) получается уравнение
Т Т
s' = c„ln---— -с„1п —------- • (5.16)
Р Та Р 273,16
1 А
Эта формула позволяет вычислить энтропию воды при температуре кипения.
Приближенное уравнение нижней пограничной кривой в Ts-диаграмме будет
иметь вид
Т = 273,16 eS !сР.
S
0.17)
Из вышесказанного следует, что нижняя пограничная кривая практически
сливается с изобарами жидкости. Однако следует иметь в виду, что формула
Рис. 5.4. Ts-диаграмма водяного пара
109
(5.17) достаточно точна при небольших температурах (Т$ < Тк) и давлениях
(/? < рк). При приближении к критическим параметрам эта формула дает
уже неверные результаты, так как теплоемкость уже нельзя считать постоян-
ной величиной.
После нагревания жидкости до температуры кипения начинается процесс
парообразования. Этот процесс является изобарным и одновременно изо-
термным. Он изображается горизонтальной линией, параллельной оси абсцисс
(например, линией а\ - У/) •
Положение верхней пограничной кривой (линия КВ) находят следующим
образом. Количество тепла, равное теплоте парообразования г, можно выра-
зить через изменение энтропии по формуле (5.12). Откладывая от нижней
пограничной кривой горизонтальные отрезки, равные r/Ts, получим ряд
точек, принадлежащих верхней пограничной кривой. Совокупность множест-
ва таких точек позволяет построить верхнюю пограничную кривую.
Область между верхней и нижней погранйчными кривыми является
областью влажного пара. Если разделить отрезки, изображающие процессы
парообразования при разных давлениях, на равное число частей и соединить
соответствующие точки деления, то получим кривые постоянной степени
сухости (х = const). Значения х для каждой кривой вычисляются по формуле
(5.9), из которой следует
s „ - s'
X
X =-----
II
s - S
(5.18)
Изменение энтропии в равновесном изобарном процессе перегрева пара
7 dT Т
S - s”= ( С ------- = с1п ----
р Т р Т
ггч Л
1S
(5-19)
где с? — средняя массовая теплоемкость пара в интервале температур от
Ts до Т.
Таким образом, уравнение изобары в областй перегретого пара имеет
вид
s—S
Т=Т е Ср •
□
(5.20)
Изобара в области перегретого пара в Ts-координатах изображается
экспонентой (например, линия а"аг).
В Ts-диаграмме подведенная к рабочему телу теплота изображается пло-
щадью под кривой процесса. Теплота изобарного процесса изобра-
жается площадью Аа^а^а^пОА. Теплота процесса парообразования а\а" изо-
бражается площадью прямоугольника а\ a'ls"sa\. Из Ts-диаграммы видно,
что теплота парообразования воды существенно зависит от давления. При
давлении/? ~+рк теплота парообразования стремится к нулю.
110
На Тз-диаграмме наряду с изобарами наносят также линии постоянного
удельного объема (изохоры) и линии постоянной энтальпии.
5.3. Диаграмма is для водяного пара
Молье в 1904 г. предложил is-диаграмму, которая получила широкое
применение в технических расчетах. Дело в том, что использование pv- и
Ts-диаграмм связано с определением площадей (т.е. с планиметрированием)
при вычислениях теплоты и работы. Диаграмма is дает возможность вместо
площадей измерять отрезки, что гораздо удобнее.
Диаграмма is изображена на рис. 5.5. Рассмотрим основные особенности
этой диаграммы. Как видно из рис. 5.5, несколько необычно положение
критической точки К на пограничной кривой — критическая точка располо-
жена значительно левее максимума пограничной кривой. Нижняя погранич-
ная кривая (линия АК) выходит из начала координат. Верхняя пограничная
кривая (линия КВ) заканчивается в точке В. На диаграмме нанесена изобара
ОВ (р = 0,00611 бар), соответствующая давлению в тройной точке. Область
диаграммы, лежащая ниже этой изобары, изображает состояния двухфазной
смеси „пар + лед”. Область, ограниченная этой изобарой и пограничными
кривыми, есть область влажного пара.
В области влажного пара изобары являются прямыми линиями, расходя-
щимися веером от нижней пограничной кривой. Это объясняется следующим
образом. При изобарном процессе 5q = di. Если учесть, что для области двух-
фазной смеси bq = Т ds, то можно получить уравнение
Tds = di.
(5.21)
Рис. 5.5. Диаграмма is водяного пара
111
Из этого уравнения следует
di
(5-22)
ds Р
Уравнение (5.21) есть уравнение прямой линии (Г = const при/? = const).
Угловой коэффициент наклона изобары к оси абсцисс численно равен темпе-
ратуре кипения Т$. Чем больше температура Т$ (а следовательно, и давление
р), тем круче идет изобара в области влажного пара. Этим и объясняется
веерообразный ход изобар в двухфазной области. В области влажного пара
изобары сливаются с изотермами.
В области перегретого пара, расположенной над верхней пограничной
кривой, изобары поднимаются вверх и имеют кривизну с выпуклостью,
обращенной вниз. Изотермы в области перегретого пара представляют собой
кривые, обращенные выпуклостью вверх. На верхней пограничной кривой
изотермы претерпевают излом. По мере удаления от верхней пограничной
кривой в область перегретого пара изотермы асимптотически приближаются
к горизонтальным линиям, так как пар с большой степенью перегрева по
своим свойствам приближается к идеальному газу. Энтальпия идеального
газа пропорциональна температуре.
На диаграмму is наносят также сетку линий постоянных удельных объе-
мов — изохор. Изохоры имеют вид кривых, более круто поднимающихся
вверх по сравнению с изобарами. В области влажного пара наносится также
сетка линий постоянной сухости пара (х = const), которые сходятся в крити-
ческой точке К.
Аналогично строятся «-диаграммы для других рабочих веществ — двуоки-
си углерода, парогазовых смесей и т.п.
5.4. Уравнение Клапейрона-Клаузиуса
Уравнение Клапейрона-Клаузиуса устанавливает связь между удельной
теплотой фазового превращения г, изменением удельного объема при пере-
ходе вещества из одной фазы в другую (u'z - v') и производной dp/dTsr
определяющей вид уравнения равновесия фаз Ts= f (р) (см. рис. 5.1).
Это уравнение можно вывести следующим образом. Рассмотрим в pv
и Ts-диаграмме элементарный цикл 1-2-3-4, протекающий в области влаж-
ного пара и состоящий из двух изобар (изотерм) и двух изохор (рис. 5.6).
Площадь этого цикла, как это видно из диаграммы, в координатах /ш-
(рис. 5.6, а) равна (v" - и ) dp. Эта величина равна работе цикла dl . Из
Ts-диаграммы (рис. 5.6, б) видно, что работа этого цикла (т. е. площадь
этого цикла в Ts-координатах) с точностью до бесконечно малой величины
второго порядка может быть выражена через изменение энтропии и темпера-
туры
dln = (s"- s')dTs. (5.23)
112
i $
ft*» &£» К выводу уравнения КлапеЙройа-Хдаузиуса
Изменение энтропии можно выразить через подведештую теплоту (тепло*
ту Парообразования г>
„ , г
(s (5,24)
т.
С учетом вышесказзннсйго
«frs
т.
(5.25)
(5.26)
Honywsioe уравнение называется уравнением Клапеарона-Клаузиуса.
Он© позйойивт жяйслить rf если известна из опыта зависимость - f(p)
я разность объемов (tf - у).
f .5- Рвсчют терэдодшгами’ьеекиж процессов изменения
состояния царя
В жпийедмоЙ ^фактике расчет процессов изменения состояния пара
оеущес^!яСтси wm с помощи© таблд термедижмических свойств пара или
в помощи» Т& и й^дапрямм состояния, Метод расчета процессов по табли-
нз
дам термодинамических свойств применяется в тех случаях, когда нужно
получить очень точные результаты. Этот метод весьма трудоемок и связан
со значительными затратами времени. Метод расчета процессов с помощью
диаграмм значительно проще. В то же время он обеспечивает приемлемую
точность для решения большого числа инженерных задач. Этот метод назы-
вают графическим.
Графический метод расчета процессов с применением к-диаграммы состо-
ит из следующих этапов.
Прежде всего по данным в «-диаграмме строится график процесса. Затем
из этого графика определяются числовые значения параметров пара в началь-
ном и конечном состояниях. Изменение внутренней, энергии пара в любом
процессе вычисляется по формуле
Дм = м2 - «1 =(h ~ h) ~ (Р^2 -PiVi). (5.27)
Теплота, сообщаемая пару, вычисляется по формулам: для изохорного
процесса
q=u2 - иг = i2 - Й - v(p2 -Pi); (5.28)
для изобарного процесса
q = й - й ;
для изотермического процесса
q = TAs = (t + 273,16) (s2 - sx).
(5.29)
(5.30)
Работа вычисляется по общей для всех процессов формуле
l = q - Аи. (5.31)
Ниже приводятся примеры расчета процессов изменения состояния пара
графическим методом.
Изохорный процесс. Пусть задано, что в изохорном процессе начальное
состояние пара определяется параметрами р j ихьа конечное давление равно
р2. 'Графическим изображением этого процесса в «-диаграмме будет линия
1-2 (рис. 5.7). Начальная точка 1 определяется пересечением изобары давле-
ния рг и линии постоянной степени сухости конечная точка 2 — пе-
ресечением изохоры, проходящей через точку 1, и изобары давления р2.
По расположению точек 1 и 2 определяются из «-диаграммы следующие
параметры пара й, V, tx, s1} i2, t2, s2. Изменение внутренней энергии пара и
теплота вычисляются по формулам (5.27), (5.28).
Изобарный процесс. Пусть задано, что в изобарном процессе начальное
состояние определяется параметрами plf Xi, а конечный удельный объем —
1>2 • Графическим изображением этого процесса в «-диаграмме будет линия
114
Ййе. 5.7, Изйхоршй Процесс нагревания пара в й-диаграмме
Рис. $Х Изобарный процесс нагревания пара в ^Диаграмме
1-2 (ряс. 5.8)» начальная точка 1 которой определяется пересечением линий
Pi и ajj ,а ^онздиая 2 ~ пересечением изобары pi и изохоры о2. По располо-
жению ©чек 1 и 2 рЕфеделиются яз /^диаграммы параметры ть vb fj, sb
£а, f2, Йзнекваи» внутреигей энерпш пара, теплота и работа процесса
аыяисляется ж> формулам (5*27), (5.29), (531).
Изотермный процесс. Пусть задано, что влажный насыщенный пар с на-
чальными параметрами Vi и Xj расширяется изотермически до давления
р2. Графическим изображением этого процесса будет линия 1-2 (рис. 5.9),
начальная точка 1 которой определяется пересечением линий Uj и Xi, а
конечная — пересечением изотермы, проходящей через точку 1, и изобары
давления р2 По положению точек 1 и 2 определяются из й-диаграммы
параметры состояния tx, vi, i\, $i иц2, i2, s2 . Изменение внутренней энергии
вычисляется по формуле (5.27). Теплота, подведенная в этом процессе
к пару, и работа вычисляются по формулам (5.30) и (5.31).
Адиабатный процесс. Пусть задано, что в обратимом адиабатном про-
цессе начальное состояние перегретого пара определяется параметрами
Pi и й, а конечное давление равно р2. Обратимый адиабатный процесс
есть процесс изменения состояния пара при постоянной энтропии. Поэтому
графическим изображением этого процесса в й-диаграмме будет линия
1-2 (рис. 5.10), начальная точка которой определяется пересечением линий
Pi и t\, а конечная точка 2 — пересечением адиабаты, проходящей через
точку 1, и изобары р2. По расположению точек 1 и 2 находятся на /«-диаграм-
мы параметры состояния рь zt, «, и V2,x2, t2, i2, s2 =«i.
Показатель адиабаты к при ориентировочных расчетах можно принимать
для перегретого пара равным 1,3, а для влажного насыщенного пара величи-
ну г можно определять по формуле
к= 1,035 + 0,1 х. (5.32)
Более точные результаты дает формула
1 ч
1g (—)
Р2
-------- , (5.33)
П2
Ig(-)
V1
Адиабатное истечение пара. Расчет истечения пара через сопла выполняет- ’
ся с помощью й-диаграммы. Скорость истечения через суживающееся сопло
зависит, также как и для газа, от отношения давлений перед соплом и за ним.
Если Рс/Р\ 0Кр, то давление в выходном сечении сопла р2 = р и скорость
истечения меньше критической скорости
и>2 = х/2 (Б - i2) + W2t. (5.34)
Если можно пренебречь скоростью потока ьщ перед соплом, то формула
(5.34) упрощается
w2 2 </i - i2). (5.35)
116
•4
5
5.9. ИэотеродшЯ процесс расширения пара в й-диргрям^р
ii
У Г
£
Рйс. 5.10. Адийбатйый процесс расширения пара в й-диаграмме
’, РЭДх<ЭД88$е
. lQ= ,.ГП.1-. e .......,,
V2
(5.36)
117
Разность энтальпий пара (/j - i2) определяется с помощью is-диаграммы
по данным о состоянии пара перед и за соплом (риС. 5.11). Процесс адиабат-
ного расширения от р t до р2 изображается линией, параллельной оси орди-
нат. Значение критического отношения давлений для перегретого водяного
пара составляет величину б = 0,546, а для сухого насыщенного пара при
температуре до 150 °C /3 =0,577.
Если pc7pi < '0Кр, то давление в выходном сечении сопла р2 =Ркр и ско-
рость истечения из суживающегося сопла равна критической. Давление
пара в выходном сечении сопла
Л =ркр = ^крР'- <5-37)
Скорость истечения и расход пара
шкр
кр/’
(5.38)
^кр
(539)
VKp
.кр
Расчет истечения пара через сопло Лаваля:
=^2(i1 - i2), . (5.40)
% ~ ZKp^
G =----------------- . (5.41)
икр
Скорость истечения пара, подсчитанная по уравнениям (5.35), (5.38)
и (5.40), соответствует обратимому адиабатному расширению пара. Разность
(ji — i2) называется располагаемым теплопадением и обозначается буквой
h (или /гкр).
В действительности вследствие трения процесс расширения является
необратимым. Условно необратимое адиабатное расширение пара изображает-
ся линией 1-2' (рис. 5.12). При том же перепаде давлений рх - р2 разность
энтальпий z j — i2 = получается меньше, чем h.
Потеря в сопле кинетической энергии вследствие трения выражается
разностью /?с = h — h . Отношение потерь в сопле к располагаемому тепло-
падению есть коэффициент потерь энергии в сопле
/г h
__ с ___। д
с h h
(5-42)
J
118
i
г
I
г
i
i
i
j
i
Рве. 5 Д 1> К рарЧету wagas»oi4> итявния вара через суживающееся сопло
Действительная скорость необратимого адиабатного истечения
ш2д=72Л^=%/2 =
(5.43)
где у — коэффициент скорости.
5.6. Дросселирование
Дросселированием называется термодинамический "процесс, который
реализуется при прохождении потока пара (жидкости или газа) через дрос-
селирующее устройство (вентиль, клапан, задвижка, диафрагма и т.п.).
При дросселировании всегда наблюдается понижение давления пара. Паде-
ние давления за дроссельным устройством обусловлено диссипацией кине-
тической энергии потока. При этом пар расширяется без совершения внеш-
ней работы.
Если в процессе дросселирования поток пара не обменивается теплотой
с окружающей средой, то такой процесс называется адиабатным дроссели-
рованием. Рассмотрим закономерности этого процесса.
Термодинамическая система, ограниченная стенками канала, входным!
и выходным II сечениями потока пара, нызывается проточной (рис. 5.13).
Из первого закона термодинамики (2.16) для адиабатной проточной системы
следует
Ч + --- = ii + — , (5.44)
2 2
где индексом „1” обозначены параметры потока перед дроссельным устрой-
ством, а индексом „2” — за ним.
Обычно при дросселировании скорости потока и мало отличаются
друг от друга, а удельная кинетическая энергия потока цу /2 мала по сравне-
Рис. 5.13. Канал с дросселирующим устройством
120
нию с удельной энтальпией i. Поэтому изменением кинетической энергии
W2 wi г
(— - -) при дросселировании можно пренебречь, тогда из уравнения
(5.44) следует
h=i2. (5.45)
Таким образом, в процессе адиабатного дросселирования конечная энталь-
пия пара равна начальнрй.
Процесс дросселирования является существенно необратимым. Действи-
тельно, если представить себе процесс дросселирования идущим в обратном
, направлении (например, в канале, изображенном на рис. 5.13, изменить
направление течения на обратное), то он по-прежнему будет сопровождаться
падением (а не повышением) давления при протекании пара через дроссели-
рующее устройство. Это обусловлено затратами кинетической энергии на
преодоление местного сопротивления. При дросселировании пар (газ) совер-
шает работу расширения. Однако эта работа не передается внешней среде,
а превращается в тепловую энергию и усваивается паром. Вследствие этого
энтропия пара при дросселировании возрастает.
Параметры состояния пара после'дросселирования удобно определять
при помощи ^-диаграммы. Точка, изображающая начальное состояние пара
перед дроссельным устройством, определяется по заданным значениям
начальных параметров состояния (температура, давление и т.д.) Точка,
изображающая конечное состояние пара (после дросселирования), лежит
на изобаре, соответствующей заданному давлению после дроссельного уст-
ройства. Для определения положения конечной точки проводим линию,
параллельную оси абсцисс, из точки начального состояния до пересечения с
изобарой конечного давления. Значения температуры и удельного объема
пара в конечной точке определяются по проходящим через эту точку изотер-
ме и изохоре. Следует иметь в виду, что горизонтальная линия z-const, соеди-
няющая начальную и конечную точки, не является изображением процесса
дросселирования. Она не отражает последовательность промежуточных
состояний пара при дросселировании (например, точка а процесса BJ32
на рис. 5.14 не характеризует действительное промежуточное состояние
пара). Эту линию называют иногда условным изображением процесса дрос-
селирования. На рис. 5.14 приведены условные изображения нескольких
.процессов дросселирования пара. Процесс Ах - А2 протекает в области
перегретого пара при низких давлениях. В этой области пар по своим свойст-
вам близок к идеальному газу. Линия А\ — А2 практически параллельна
изотерме. В этой области при дросселировании температура пара не изменя-
ется. Процесс Вг - В2 протекает также в области перегретого пара, но при
высоких давлениях. Линия Ву — В2 пересекает изотермы. В этом процессе
температура перегретого пара при дросселировании снижается. Процесс
дросселирования Су — С2 начинается в области влажного пара. Дросселиро-
вание влажного пара сопровождается увеличением его степени сухости.
В конце процесса Ci - С2 пар становится перегретым. Этот процесс также
сопровождается уменьшением температуры пара. В области очень высоких
121
давлений и температур, значительно превышающих их критические значения,
наблюдается повышение температуры пара (реального газа) при дросселиро-
вании.
Рис. 5.14. Расчет параметров дросселированного пара по ^-диаграмме
Явление изменения температуры пара (реального газа) при адиабатном
дросселировании называется эффектом Джоуля-Томсона. Разность конеч-
ной и начальной температур ДГ = Т2 — Тг процесса адиабатного дросселиро-
вания называют интегральным дроссель-эффектом. Интегральный дроссель-
эффект может достигать весьма большой величины. Например, при адиабат-
ном дросселировании водяного пара от давления 29400 кПа (300 кгс/см2)
и температуры 450 °C до давления, равного 98 кПа (1 кгс/см2), темпера-
тура пара уменьшается до 180 °C (т.е ДГ = Т2 — Тх = — 270 °C).
Как уже отмечалось выше, интегральный дроссель-эффект может быть
в зависимости от начальных параметров реального газа (пара) величиной
или отрицательной, или положительной,, или равной нулю.
Границу, разделяющую область начальных температур и давлений, при
которых дросселирование реального газа сопровождается его охлаждением,
от области, в которой оно сопровождается его нагреванием, можно опреде-
лить, используя понятие дифференциального дроссель-эффекта.
122
Рассмотрим процесс адиабатного дросселирования, при котором давле-
* ние пара снижается на бесконечно малую величину dp. В таком процессе
может происходить бесконечно малое изменение температуры dT. Относи-
тельное изменение температуры с понижением давления в этом процессе
з характеризуется величиной
(5.46)
- Эту величину называют дифференциальным дроссель-эффектом. Индекс
,,z” указывает на то, что дросселирование протекает при i = const (di = .
Поскольку всегда dp < 0, то при dT<Q дифференциальный дроссель-эффект
п > 0. Если dT >0, то а < 0. Положительный знак у а соответствует охлаж-
дению газа, а отрицательный — нагреванию.
Формулу (5.46) можно преобразовать следующим образом [31] :
Формула (5.47) показывает, что дифференциальный дроссель-эффект
а меняет свой знак, когда выполняется условие
dv
Т(—) -и=0.
dv
Если Т ( —) - и > 0
дТ '
то cZT<0 и а> 0.
(5.48)
cv
Если Т (— ) - г < 0
то<7Г>0и а<0.
дТ р
Если, пользуясь уравнением состояния реального газа, выразить и в виде
функции от р и Т, а затем подставить это выражение в формулу (5.48),
. то получим зависимость вида
f(p,T) = 0,
(5.49)
‘ где р, Т —давление и температура, при которых выполняется условие (5.48),
* т.е. а = 0.
В рТ-Диаграмме зависимость (5.49) изображается линией, которую называ-
> ют кривой инверсии. Каждая точка этой линии соответствует состоянию
: реального газа, при котором дифференциальный дроссель-эффект равен
? нулю, и называется точкой инверсии.
123
На рис. 5.15 изображена в приведенных координатах тг = р/рк и т =
Г/ТКр обобщенная кривая инверсии (здесь ркр и 7кр - критические давле-
ние и температура). Эта кривая с некоторым приближением отражает свой-
ства различных реальных газов. Из этой диаграммы видно, что при р > 9ркр
для всех веществ дифференциальный дроссель-эффект меньше нуля, т.е.
а < 0 и dT> 0. Кривая инверсии имеет максимум в точке р = 9 ркр и Т =
3 Гкр. Эта точка называется критической точкой инверсии (на*рис. 5.15
точка^ТИ). Область над кривой инверсии изображает начальные состояния
реальных газов, при которых а > 0 и dT< 0. При любом давлении р < 9 р'кр
имеются две точки инверсии, ограничивающие температурную область по-
ложительного дифференциального дроссель-эффекта. При О область,
в которой дросселирование сопровождается охлаждением газа, лежит между
значениями температур
7А ~ 0,75 ткр, гв « 6,75 Ткр.
В табл. 5.1 приведены экспериментальные значения температур Т и их
отношения к критической температуре 7"кр для воздуха, водорода и гелия.
Таблица 5.1
Газы ' т ,к к’ гв,к гв т к
Воздух 132,6 760 5,7
Водород 33,18 200 6
Гелий 5,19 40 7,5
Рис. 5.15. Обобщенная кривая инверсии
.124
Эта таблица указывает на приближенный характер обобщенной кривой
инверсии. В качественном отношении обобщенная кривая инверсии является
верной.
Процесс дросселирования широко используется в различных областях
техники. Так, например, дросселирование используется при регулировании
паровых двигателей, в установках глубокого охлаждения, в приборах,
измеряющих расход газа и т.д. Этот процесс используется в установках
для сжижения газов. С помощью таких установок впервые был получен в
1898 г. жидкий водород, а в 1908 г. жидкий гелий.
Глава 6. ВЛАЖНЫЙ ВОЗДУХ
6.1. Параметры влажного воздуха
Воздух, не содержащий водяного пара, называется сухим. Смесь сухого
воздуха с водяным паром называется влажным воздухом.
Знание свойств влажного воздуха необходимо для расчета сушильных
установок, вентиляционных устройств, установок кондиционирования и
во многих других случаях. Для практики наибольший интерес представляет
влажный воздух при атмосферном или близком к атмосферному давлении
в интервале температур, ограниченном снизу не слишком низкими темпера-
турами (не ниже —50 °C) и не слишком высокими температурами сверху
(до 100-200 °C).
Влажный воздух представляет собой один из частных случаев газовой
смеси. Однако он имеет принципиальные отличия от идеальных газовых
смесей, рассмотренных в первой главе. Дело в том, что при указанном
выше диапазоне температур и давлений сухой воздух может находиться
только в газообразном состоянии, тогда как вода может находиться в паро-
вой, жидкой или твердой фазе в зависимости от температуры смеси. Влаж-
ный воздух — это такая смесь газов, один из компонентов которой (а имен-
но водяной пар) при снижении температуры может переходить в другую
фазу (жидкую или твердую) и вследствие этого выпадать из смеси. Это
значит, что количество водяного пара в смеси не может быть произволь-
ным. В связи со сказанным влажный пар следует рассматривать как особое
рабочее тело.
При вышеуказанных температурах и давлениях парогазовую смесь можно
рассматривать как идеальный газ, для которого выполняется закон Дальтона
Р=Рв+РП'
(6.1)
где р — давление влажного пара; рв — парциальное давление сухого воздуха;
рп — парциальное давление водяного пара.
Если водяной пар, находящийся в смеси с сухим воздухом, является
сухим насыщенным, то влажный воздух называется насыщенным влажным
125
воздухом. При этом парциальное давление пара равно давлению насыщения
(т.е. рп = ps), соответствующему температуре смеси, или, что то же самое,
температура пара равна температуре кипения Т определяемой при парциаль-
ном давлении пара рп (т.е. Тп - Т ). Если водяной пар в смеси с сухим
воздухом находится в перегретом состоянии, то влажный воздух называет-
ся ненасыщенным влажным воздухом. При этомрп <PS и
Температура, при которой в изобарном процессе охлаждения содержа-
щийся в смеси перегретый водяной пар становится насыщенным, называет-
ся точкой росы.
Парциальное давление водяного пара рп не может быть выше давления
насыщения ps при данной температуре Т влажного воздуха, т.е. рп < р$
(Т). Величина максимального парциального давления водяного пара во
влажном воздухе (рп - р$) определяется только температурой смеси и не
зависит от давления смеси р.
Содержание водяного пара во влажном воздухе характеризуется абсолют-
ной и относительной влажностью, массовым и молярным влагосодержанием,
массовой долей пара.
Абсолютной влажностью воздуха называется масса водяного пара, содер-
жащаяся в 1 м3 влажного воздуха. Абсолютная влажность есть не что иное,
как плотность водяного пара при его парциальном давлении рп и темпера-
туре смеси Т. Абсолютная влажность обозначается символом рп. Наиболь-
шее значение абсолютной влажности рп тах при данной температуре Т дости-
гается тогда, когда парциальное давление водяного пара становится равным
давлению насыщения, т.е. рп = р$ При этом рп тах =
Относительной влажностью воздуха <р называется отношение абсолютной
влажности воздуха к максимально возможной влажности при данной темпе-
ратуре смеси
Рп
<Р=---• (6.2)
Ps
Поскольку парциальное давление во влажном воздухе составляет очень
малую величину, то водяной пар с достаточной точностью можно рассматри-
вать как идеальный газ, подчиняющийся уравнению Клапейрона, поэтому
Рц _ Рп
"" о
Ps ps
После подстановки выражения (6.3) в формулу (6.2) получим
ps
Таким образом, под относительной влажностью можно понимать отноше-
ние парциального давления водяного пара в смеси к давлению насыщения
пара при данной температуре. Поскольку
0<р <р тоО<<р< И
11 kJ
126
шят ифь Ж) влажном воздухе, к массе
Д>к ч^ы^штуя!
j **в J*» «
fft ж I «и1ПТ*Г’ « Iiijj?"ii'1 I-* *...... W» ,-1
^Й- -
(6.5)
]ГДе Рв =* т^У ~ парциальная плотность сухого воздуха; р платность
мяшотжад*’
ЛЯоюфньш ш^^о^фЖйннем х называют отношение количества водя-
>яюго пара, есад$ржащегося во влажном воздухе, к количеству сухого возду-
!ха
! ‘ ' (6.6)
1 '
?
?
,Где Ми - 1ОД&ЗРЗД* масса водяного пара, кг/модь; - молярная масса
.Бадаев, кг/мойь*
л Так как Mq « 1S,Q!6 кг/моль, аЛ^ »» 28,95 кг/моль, то формулу (6.6)
Ж>жяо записать в следующем виде
li.
? (6.7)
-ИЛИ
4
< £g во влажном воздухе называют отноше-
(мэд Массы пара к массе влажного воздуха т- т^т^
I
(6.9)
у
; Так какрп и р* >то формулу (6.5) можно
(г^аоСфвэстт к здцу
1
j ,/« is. ^S- «fr^22 is., (6,10)
f ₽» лп
Йт '
j 4-ад22-^~‘ (611)
Р*"^н
Подставляя вы^ажеййе (6.11) > формулу (6.8) > Подучим
Р~Рп
Если в формуле (6.11) и (6.12) подставить вместо pft мяк<лгмадь«6 воз-
можное при данной температуре парциальное давление дара (т^. рд
то получим формулы дня определения максимально вошсРШого влаго-
содержания
dmax“0-622 -^-. («• 13)
Р- Ps
«max’ • (W<)
P~PS
К
*
Энтальпия влажного воздуха ъккшть&пся из энтальпии водяного пара
и энтальпии сухого воздуха
I
>
I
f
jr=w»Wn’
' (6.15)
Так же как и влагосодержание, энтальпию влажного воз^хд принято отно- /*
сить к 1 кг сухого воздуха, т.е. J
I
J - If
/”— =<в+^ . (6.16) I
"«в I
где - удельная знталыпгя сухого воздуха; гя - удельная энтадыв» вщ> |
кого пара. '
Энтальпия воды, как указывалось в гл. 5, отсчитывается от тройной >
точки, энтальпия сухого воздуха яринимается равной н^ли> при Г « О °C. J
Для вышеуказанного интервала температуры теплоемкость сухого воэ- '#
духа можно принять постоянной величиной ер8 1 к^^(кГ‘К), следом- JJ’
тельно, .
(ЙЛ7)
Удельная энтальпия водяного пара /Ji
1в“г*срвА' (6Л8)>
' ' Ч j
где г * 2501 кДж/кг — Шдот» яйраовр&н»а|до|; с^ * 1,93 кДж/(кг-К) -
теплоемкость водяного йара. ’’ |р
12В
Подстановка выражений (6.17) и (6.18) в формулу (6.16) приводит ее
1 к виду
Z = t + (2501 + 1,93/) d.
(6-19)
6.2. Диаграмма Id для влажного воздуха
Диаграмма Id для влажного воздуха была предложена профессором
Л К. Рамзиным в 1918 г. В настоящее время она широко применяется в
расчетах систем кондиционирования, сушки, вентиляции и отопления.
При построении /^-диаграммы использована косоугольная система коор-
динат с углом между осями координат 135°. По оси ординат откладывается
(энтальпия влажного воздуха /, а по оси абсцисс — его влагосодержание d
(рис. 6.1). В этой диаграмме линии/=const располагаются под углом
|3 = 45° к горизонтали, а линии <7=const располагаются вертикально (парал-
лельно оси ординат). За начало отсчета принята точка 0, в которой t - 0 °C,
d = 0,1 = 0. Поскольку часть диаграммы, расположенная под горизонталью,
проведенной через начало координат, практического интереса не представ-
ляет, шкала оси абсцисс переносится на эту горизонталь, и влагосодержание
отсчитывается по горизонтальной шкале.
Использование косоугольной системы координат вместо обычной прямо-
угольной системы обусловлено тем, что fe последней область ненасыщенного
влажного воздуха оказывается очень сжатой. Это создает неудобства при
графических расчетах и ведет к снижению их точности.
Помимо линий I = const и d = const на диаграмму наносятся изотермы
t - const (рис. 6.2). Из уравнения (6.19) следует, что при t - const зависи-
мость I = f (d) изображается в прямоугольной системе координат прямой
линией. В косоугольной системе координат изотермы в области ненасыщен-
ного влажного воздуха также являются прямыми линиями. С увеличением
температуры угол а наклона изотерм увеличивается.
Рис. 6.1. Косоугольная система координат Id
129
Рис. 6.2, Диаграмма Id для влажного воздуха
Диаграмма строится для давления воздуха р = 99,3 кПа (745 мм рт. ст.) *.
С достаточной точностью ее можно применять и при небольших отклонениях
от указанного давления. Каждая изотерма в Id-диаграмме начинается на оси
ординат и заканчивается в точке, соответствующей максимально возмож-
ному значению влагосодержания <^тах при данной температуре t. Значение
^тах 0ПРеДеляется по формуле (6.13). Значение давления насыщения водя-
ного пара ps зависит от температуры и определяется по таблицам водяного
пара. Величина <^тах будет различной для разных изотерм (чем выше t,
тем больше величина d ) .
1I1CLA.
Совокупность точек, отвечающих максимально возможным значениям
влагосодержания при различных температурах, образуют линию, которую
называют линией насыщения = 1 (рис. 6.2). Область диаграммы, лежащая
выше кривой насыщения, является областью ненасыщенного влажного
воздуха, в которой водяной пар находится в перегретом состоянии. Область,
лежащая ниже кривой насыщения, называется областью тумана.
* Среднегодовое давление в вредней полосе СССР.
130
На диаграмме наносится также сетка линий у = const. Каждая линия
< 1 проводится следующим образом. По данному значению с помощью
'равнения (6.4) определяют для каждой изотермы t значение рп. Затем
вычисляют для каждой изотермы значение d по формуле (6.11). Найденные
аким образом на каждой изотерме точки с одинаковым значением ip-
<ают кривую = const.
Процесс нагревания влажного воздуха без подвода влаги извне (напри-
дер, в калорифере) совершается при неизменном влагосодержания, т.е.
гри d = const. Поэтому этот процесс изображается в Zi-диаграмме верти-
кальной прямой (например, прямая 1-2 на рис. 6.2).
Процесс охлаждения влажного воздуха при постоянном влагосодержа-
ии также изображается на рис, 6.2 прямой линией 3-4. В точке 4 влажный
оздух становится насыщенным (<р = 1), а водяной пар — сухим насыщен-
.ым. При дальнейшем охлаждении происходит конденсация, которая при-
одит к уменьшению влагосодержания. Процесс дальнейшего охлаждения
,о температуры условно можно считать проходящим по кривой насыщения
<р = 1) от точки 4 до точки 5. Количество воды, образовавшейся в резуль-
ате конденсации (процесс от точки 4 до точки 5), равно разности влаго-
одержаний (d3 - d5).
Диаграмма Id позволяет для каждого состояния влажного воздуха опре-
делить точку росы, т.е. температуру, при которой воздух при данном давле-
1ии будет насыщенным. Для этого необходимо из точки, характеризующей
данное состояние влажного воздуха (например, точка 3 на рис. 6.2), про-
вести вертикаль до пересечения кривой насыщения (<р = 1). Изотерма, про-
водящая через эту точку пересечения (на рис. 6.2 точка 4), будет определять
сочку росы.
63. Смешивание потоков влажного воздуха
Пусть в смесительную камеру поступают два потока влажного воздуха.
Состояние влажного воздуха в первом потоке характеризуется параметрами
Ц, di, ti f а второго — /2, d2, t2 . Расход сухого воздуха в первом потоке
составляет величину щ15 а во втором — т2. Очевидно, что расходы водя-
ного пара соответственно будут равны m\di и m2d2 . Необходимо определить
параметры ?м, dM, tM влажного воздуху после смесительной камеры при
условии, что смешение осуществляется без подвода (отвода) теплоты и при
неизменном давлении.
Расход воздуха из смесительной камеры составляет величину
• (6.20)
м * 2
Уравнение материального баланса водяного пара
т.Д..= midi + т2 d2 . (6.21)
ММ 11 z
131
Из уравнений (6.20) и (6.21) следует
m\dv + тг<}2
тх + т2
Если обозначить отношение расходов смешиваемых потакав воздуха
через а ~ m2/nii, то формулу (6.22) можно представить в вйвйуящ&л виде
di + ad2
dM=--------- (^^3)
м 1 +а
Из первого закона термодинамики для проточной системы следует
;м^м = т 1 + /з ma ’ <6-24^
откуда
_ + Z2#tj Д ^oZ2
м Wj + щ2 1+а ' (6.25)
Решая уравнения (6.23) и (6.25) относительно д, получим
a^Z—----- > я« —-----------
^М^2 ZM“Z*
следовательно,
fM ~Ja e А -I*
Уравнение (6.27) есть уравнение прямой с текущими коорджтми
и Дд, проходящей через точки 1 (dj , Zi) и 2 (а?2,12). Следовательно,. :
точка М изображающая состояние влажного воздуха, подученного поела w
смешения, будет находиться в Х^щагршме на отрезке прямой, соедини J
вицей точки 1 и 2, которые характеризуют потоки влажного воа^ха перед
смещением (рис. 63). Й
Из формулы (6.26) бедует, что точка М йэлит отрезок йрлмоЙ 1*2 на й
части (1 - М) и (Л/ - 2) , обратно гфопсфционадьные смоцзиваемым коли- .|Г
чествам сухого воздух» у
Если прямая, соединяющая точки, изображающие в Л/-диаграмме состоя-
ния влажного воздуха в двух потоках перед смешением, пересекает кривую
насыщения (т.е, линию у = 1), то это значит, что при смешении часть водя-
ного пара может конденсироваться (линия 1'-2', точкаМ' на рис. 6.3) .
Глава 7. ЦИКЛЫ ТЕПЛОВЫХ МАШИН
7.1. Классификация циклов тепловых машин
Тепловые машины, В' которых осуществляется прямой цикл (т.е. цикл,
в котором производится работа, отдаваемая внешнему потребителю), назы-
ваются теплосиловыми установками или тепловыми двигателями.
Тепловой двигатель с точки зрения термодинамики представляет собой
совокупность взаимодействующих друг с другом рабочих сил, верхних и
нижних источников теплоты. В реальных тепловых двигателях нижним
источником теплоты является окружающая среда (т.е. атмосфера). Верхним
источником теплоты являются во многих теплосиловых установках продук-
133
ты горения топлива, температура которых значительно выше температуры
окружающей среды. В настоящее время получили распространение также
установки, в которых верхним источником теплоты является теплоноситель,
нагреваемый в атомном реакторе. В реакторах теплота выделяется в резуль-
тате расщепления ядер атомов урана и плутония.
В качестве рабочего тела используются различные вещества. В некоторых
тепловых двигателях рабочим телом служат газы, находящиеся в состоянии,
далеком от линии насыщения. При этом они в течение всего цикла могут
рассматриваться с точностью, достаточной для анализа, как идеальный газ.
Циклы теплосиловых установок, в которых рабочим телом являются газы,
называются газовыми циклами. Газовые циклы реализуются в поршневых
двигателях внутреннего сгорания, в газотурбинных установках (ГТУ),
в воздушно-реактивных двигателях (ВРД).
Во.многих теплосиловых установках в качестве рабочего тела использу-
ются вещества, агрегатное состояние которых в цикле меняется. При этом
в одной части цикла рабочеее тело находится в жидком состоянии, в дру-
гой — в виде двухфазной смеси (влажного пара), в третьей — в виде перегре-
того пара. Циклы, в которых меняется агрегатное состояние рабочего тела,
называются паровыми циклами. Паровые циклы реализуются в паросиловых
установках. Наиболее распространенным рабочим телом паровых циклов
является вода.
Тепловые машйны, в которых реализуется обратный цикл (т.е. цикл,
для осуществления которого затрачивается работа, подводимая извне),
называются холодильными установками. Холодильные установки предна-
значаются для отвода теплоты от охлаждаемого тела, температура которого
ниже, чем температура окружающей среды. Теплота, отводимая от охлажда-
емого тела, в конечном итоге воспринимается окружающей средой.
Рабочие тела холодильных установок называются хладоагентами. В зави-
симости от вида хладоагента различают: газовые холодильные циклы и,
соответственно, газовые (в частности, воздушные) холодильные установки;
паровые холодильные циклы и, соответственно, паровые холодильные установ-
ки, в которых в качестве хладоагентов используются пары различных веществ
с низкой температурой кипения. Паровые холодильные установки подраз-
деляются, в свою очередь, на парокомпрессионные, пароэжекторные и
абсорбционные.
В процессе работы всякой холодильной установки теплота отбирается от
охлаждаемого объекта и сообщается среде с более высокой температурой.
Следовательно, результатом осуществления холодильного цикла является
не только охлаждение теплоотдающего тела, но и нагревание теплопринима-
ющего тела.
Если установка, в которой реализуется холодильный цикл (т.е. обратный
цикл), используется для отопления помещений, то такую установку называ-
ют тепловым насосом. В такой установке тепло отводится от окружающей
среды (атмосферы) и передается на более высокий температурный уровень
(т.е. в отапливаемое помещение) .
Ниже рассматриваются циклы тепловых машин, играющих значительную
роль в отечественном народном хозяйстве.
134
7.2. Циклы поршневых двигателей внутреннего сгорания
При анализе циклов поршневых двигателей внутреннего сгорания действи-
тельные процессы горения трплива и удаления продуктов горения из ци-
линдра заменяются обратимыми процессами подвода и отвода теплоты,
' протекающими при постоянном давлении и постоянном объеме. Кроме того,
предполагается, что рабочим телом является идеальный газ с неизменным
химическим составом и постоянной теплоемкостью. Таким образом, дей-
’ ствительные циклы заменяются идеальными. Анализ идеальных циклов
позволяет выявить основные факторы, влияющие на экономичность двигате-
> лей, и проводить сравнение различных видов двигателей.
Цикл поршневого двигателя с подводом теплоты при постоянном объеме,
г Горючая смесь (смесь паров бензина или горючего газа с воздухом) поступа-
ет в цилиндр через всасывающий клапан при давлении рх и температуре
ty (линия 0-1) при движении поршня вправо (рис. 7.1). При движении
поршня влево смесь при закрытых клапанах сжимается (линия 1-2), и ее
давление и температура возрастают до р2 и t2. Сжатая смесь воспламеняется
электрической искрой. Сгорание горючей смеси происходит почти мгновен-
но, т.е. практически при постоянном объеме. Этот процесс изображается
линией 2-3. Затем продукты горения расширяются (линия 3-4), поршень
перемещается слева направо и совершается работа расширения. В точке
4 открывается выхлопной клапан, через который газы устремляются в
атмосферу. При движении поршня справа налево (линия 1-0) из цилиндра
удаляются продукты горения. После этого цикл повторяется.
Рис. 7.1. Цикл поршневого двигателя с подводом теплоты при постоянном объеме:
а — реальный цикл; б - идеальный цикл
135
Идеальный цикл доказан на рис. 7.1, б. Идеальный
параметрами Vb Pi и 7\ сжимается по адиабате 1-Z Зятем
ся изохорный процесс 2-3 с подводом теплоты %i. После Wo газ ЩаЩ-
но расширяется (процесс 3-4). И, наконец, по изохоре 4-1 рабочее тело
‘ •
возвращается в первоначальное состояние. При этом отводатоя теплота
Цикл характеризуется степенью сжатия е * (показывает во сколь*-
ко раз уменьшается в объеме газ при сжатии).
Термический КПД цикла.’
(XI)
или
j* *
• *з •
<?2 Ti} = С /1 — —*-),
Т4
Для адиабатных процессов 1—2 и 3—4:
Tt . ?♦ ’®э
Из этих соотношений следует
Т2 Тз Т2 Гл
— ~, т.е, —--=*— ,
Г, г4 т4 П
С учетом (7.5) формула (7,1) принимает вид
(7 Л)
(7.5)
(76)
Формула (7.6.) показывает, что термический КПД цикла % y^^twtenr- •
ся с возрастадаем степени сжатия е. В доигатепях этого тит значение е не /
превышает 9. Увеличение степени сжатия ограииадйвтЬя возмоящрстью ;
преждевременного сшодошзыжэдия горючей смеск, что может йарушить
нормальную работу дад-ателя. Кроме того, При высоких стййеащх сжатия "
может иметь место детенадж (взрывное горение) и, как этогр*, ^
цоломка двигателя. . .
136
Цикл поршневого двигателя с подводом теплоты при постоянном объе-
ме и постоянном давлении. Этот цикл осуществляется в поршневых двига-
телях с механическим распыливанием топлива (бескомпрессорные дизе-
ли). В цилиндр двигателя засасывается воздух (рис. 7.2) и затем адиабатно
сжимается (линия 1-2). В цилиндре сжимается только воздух. Поэтому
степень сжатия е в этих двигателях может достигать 20. Температура воздуха
в конце сжатия повышается до 600—800 °C. Затем в цилиндр двигателя
топливным насосом через форсунку подается топливо. Часть топлива сгорает
практически мгновенно, т.е. при постоянном объеме. Остальное топливо
продолжает гореть при движении поршня и увеличении объема цилиндра.
При этом остается неизменным давление. Следовательно, теплота q{ подво-
дится к рабочему телу сначала по изохоре (линия 2-3, q\} и затем по изобаре
(линия 3-4, ^'): =<7i + q'i • После этого продукты горения в цилиндре
расширяются по адиабате (линия 4-5). Теплота ц2 отводится по изохоре
(линия 5-1).
Цикл характеризуется степенью сжатия е = степенью повышения
давления X = р3/р2 и степенью предварительного расширения р ~v4/v.. Тер-
мический КПД цикла равен
(7.7)
----Г—й
Qi + Qi
Рис. 7.2. Цикл поршневого двигателя с подводом теплоты при постоянном объеме и
f постоянном давлении
137
где
q'i~c^(T3 - Т2), q" -Ср(Т4 - Т3), q2 ~cv(Ts ~ ЛА (7-8)
с л е дов ате л ьно,
______cv(Ts-T.)
Щ cv(T3-.T2)^cp(T^-T3)
(7.9)
Температуры Т2, Т3, Т4 и Т5 можно выразить через начальную температу-
ру 7\ и параметры цикла е, X, р. С учетом выражений для температур форму-
ла (7.9) примет вид
Ърк- 1
е^1 [Х-1+£Х(р-1Л
(7.Ю)
7.3. Циклы газотурбинных установок
Процесс сгорания топлива в газотурбинных установках (ГТУ) может
протекать как при постоянном давлении, так и при постоянном объеме.
В связи с этим ГТУ делятся на два класса.
Цикл ГТУ с подводом теплоты при постоянном давлении. Схема ГТУ
со сгоранием топлива при постоянном давлении показана на рис. 7.3. Основ-
ными элементами ГТУ являются компрессор 2, сжимающий воздух, камера
сгорания 5, топливный насос 3, газовая турбина 1, электрогенератор 4.
Сжатый компрессором 2 воздух поступает в камеру сгорания 5. В камере
сгорания сжигается подаваемое насосом 3 через форсунки топливо при
постоянном давлении. Газообразные продукты горения поступают к соплам
турбины 6. В соплах потенциальная энергия газа преобразуется в кинетичес-
кую энергию. Поток газа, обладающий большой скоростью, из сопл направ-
ляется на рабочие лопатки 7, расположенные на вращающемся диске. Каж-
дые две смежные рабочие лопатки образуют криволинейный канал. При
движении газа по этим криволинейным каналам происходит превращение
кинетической энергии потока газа в механическую энергию вращения ротора
турбины.
На рис. 7.4 показан в координатах ри и Ts идеальный цикл ГТУ с горе-
нием топлива при постоянном давлении; 1-2 — процесс адиабатного сжатия
воздуха в компрессоре; 2-3 процесс изобарного подвода теплоты qi к сжа-
тому воздуху в камере горения; 3-4 — процесс адиабатного расширения
продуктов горения в газовой турбине; 4-1 — процесс изобарного отвода
138
?
Яе. 73. Схема гаэотурбж<жой установки со сгоранием при постоянном давлении:
- газовая турбина; 2 - компрессор; 3 - топливный ггасое; 4 - потребитель энергии
электрогенератор трехфазного переменного тока); 5 - камера сгорания; 6 - сопла
ззовОй турбины; 7 - рабочие лопатки турбины; 8 - выхлопной патрубок; 9 - топлив-
НЯ бак
у *
)
зилоты <frt Работа хщкла изображается площадаю 12341 (рис. 7.4). Пара-
етром цикла является степень повышения давления при адиабатном сжатии
рздухд в компрессор® & иp2/pi •
Термический КПД щгкла ГТУ
Uf*l-qi2/<h/ (7.11)
tPiac. ЧА. Изображение цикла газотурбинной установке со сгоранием при
cttbKwawat тдааи:
*- в кооряяяашк в коордааагцк T9
139
где
Т2
<ъ-с nn - —л <w>
<72 -C (T4 - 7*17«<7 r4 fl - Л; (7.13) -
T4
#
Для адиабатных процессов 1-2 и 3*4
^~1 1 Ь 1
11 1 " Л>^ л ^п> Л“Д
Л Л, 4 ОТ Г, ,р3 * “Г
— =нг/ . — =/22; =0 * .
7\ Р1 7$ £'Л
Иэ этих соотношений следует
С учетом сказанного формула (7.J1) примет ВИД
Цикл ГТУ с подводом шин при постоянном обмме. Схема ПУ пока-
зона ка рис. 7.5Д Забираемый из атмосферы Воздух сжимается ^ компрессоре
6 и подается в Успокоительный бак 7. Из этого бака воадх направляемся
через клапан 8 в камеру сгорания 1. Одновременно а воэд^хом в
сгорания топливным насосом 5 подается жидкое топливо чврез клдан 9^
В камере сгорания apt закрытых кладам X 8 И 9 ярвшюШ воантама<
нение топлива эяектрйческой свечи. После сгорания тапДан открывает*
1
i
jftK. 1A. И,оврют им» ГТУ со сгорюием при итетаЯИЮ* овмме * рметордии»-
.inx
ж клана» 2 ж продукты сгорания поступают в сопла 3, где расширяются
до атмосферного давления. Проход» через лопатки турбины 4, газ произво-
дит полезную работу, врспринилшмую потребителем энергии 10 (электро-
•енератор), ж затем выбрасывается в атмосферу.
Идеальный Щ«кл ГТУ с подводом теплоты при постоянном объеме показан
ж рис, 7,6 и 7.7 В координатах pv и Га Здесь линией 1-2 изображается
Шйабаишй процесс сжатия воздуха, 2‘3 — изохорный процесс подвода тепла,
- адиабатное растление газа в соплах турбины, 4-1 - условный изобар-
ный )фойеодохлаждения отработавшего таза в атмосфере,
1 Подводимая к 1 кт рабочего тела теплота равна ?i fr3 - Т2), а отво-
теплота ф /Г* - l\j. Следовательно,
J <& к(Т*-Т\}
s »1— «j —*----«1 ,— ------->
I ft ' T?-r3
(7-15)
7 Температура ha в точках 2, 3 и 4 можно зыраззть через температуру в
feme 1 и параметры цикла * (>z/pi} и Xs )
- (7.16)
i П“Г»К (7.17)
(7-18)
141
т
Рис. 7.7. Изображение цикла ГТУ со сгоранием при постоянном объеме в Ts-координа-
тах
С учетом выражений (7.16) - (7.18) формула (7.15) для термического
КПД цикла примет вид
r?f= I - wx1/fc-V] /
(7.19)
7.4. Циклы воздушно-реактивных двигателей
Реактивными называются двигатели, в которых тепловая энергия преобра-
зуется в кинетическую энергию газового потока. За счет реактивного дейст-
вия потока газа создается сила тяги. Эти двигатели применяются на летатель-
ных аппаратах и подразделяются на воздушно-реактивные (у которых
окислителем для горючего используется кислород атмосферного воздуха),
жидкостные реактивные двигатели (у которых окислителем является жид-
кость, запасенная на борту летательного аппарата) и пороховые двигатели.
Воздушно-реактивные двигатели по принципу действия делятся на компрес-
сорные и бескомпрессорные. Бескомпрессорные двигатели могут работать
лишь при движении летательного аппарата.
Компрессорные воздушно-реактивные двигатели (ВРД) широко, исполь-
зуются в установках для пожаротушения. С их помощью создаются мощные
парогазоводяные и пордшково-газовые струи.
142
4
8
Рис. 7.8. Схема компрессорного воздушно-реактивного двигателя
Схема компрессорного ВРД показана на рис. 7.8. В корпусе 6 двигателя
в подшипниках укреплен ротор. Передняя часть ротора является ротором
компрессора 5. Компрессор может быть осевым или центробежным. На
схеме изображен осевой компрессор. На другом конце ротора укреплено
рабочее колесо 2 газовой турбины. Турбина предназначена для привода
компрессора. Воздух, поступивший через диффузор 7, сжимается компрес-
сором 5 и подается в камеры сгррания 3. В эти же камеры по трубкам 4
поступает горючее, при сгорании которого образуется высокотемператур-
ный газ. Затем газ поступает к соплам 8 турбины. В турбине газ частично
расширяется. Работа турбины целиком расходуется на привод компрессора.
После турбины газ поступает к реактивному соплу 1. В реактивном сопле
происходит адиабатное расширение газа до давления окружающей среды.
Процесс подвода теплоты к рабочему телу, который осуществляется в
камерах сгорания, происходит при постоянном давлении. Покинувшие
двигатель газы затем охлаждаются при постоянном давлении окружающей
зреды.
Идеальнй цикл компрессорного ВРД аналогичен циклу ГТУ с подводом
тепла при постоянном давлении (рис. 7.4). При этом адиабата 1-2 соответ-
ствует сжатию воздуха вначале в диффузоре, а затем в компрессоре. Изоба-
фа 2-3 соответствует подводу теплоты при сгорании горючего в камерах
сгорания. Адиабата 3-4 соответствует процессу расширения газа вначале в
дурбине, а затем в реактивном сопле. Изобара 4-1 соответствует процессу
охлаждения газов в окружающей среде. Термический КПД цикла компрес-
сорного ВРД определяется по формуле (7.14).
В бескомпрессорных ВРД отсутствуют компрессор и турбина. Сжатие
.воздуха осуществляется только с помощью диффузора. Цикл такого дви-
гателя аналогичен циклу ГТУ с подводом теплоты при р = const (прямо-_
'точный бескомпрессорный ВРД) или при V = const (пульсирующий бескомп-
рессорный ВРД).
143
7.5. Цикл паросиловой установки
Основным циклом паросиловых установок является цикл, цредабжеййый .
шотландским инженером У. Ренкшпом. Схема таросиловой установки, ’
работающей по циклу Ренкина, показана на рЦС. 7.9.
Рабочим телом в паросиловой установке является вода, превращаемая
в котле 1 в насыщенный, а затем в пароперегревателе - в перегретый пар. |
Из пароперегревателя водяной пар с параметрами pi} и if поступает в . *
турбину 2, где, расширяясь, до давления р? ; производит полезную работу,
воспринимаемую потребителем энергии 3 (электрогенератор). Отработав*
ший дар с параметрами р?, и ij поступает в конденсатор 4, где коййе®- j
сируется. Конденсат при помощи питательного насоса 5 снова подается в Ж
котел. Перед питательным насосом конденсат имеет параметры д3, и '
/2, а после него-pt, ?з,/3, причем и h 5
Цикл Ренкина показан в координатах pv и Ts на рис. 7.1$. Здесь линией Ц
1 -2 изображается процесс адиабатного расширения пара в турбине , 2-3 -
изобарно-изотермический процесс конденсации пара в конденсаторе, 3-4 — $
процесс нагнетания в оды насосом из конденсатора в котел, 4—5 — изобар- 7g
ный процесс нагревания воды, 5-6 - процесс парообразования в Котле; 6-5 - i
перегрев пара в пароперегревателе.
Термический КПД цикла
Ш
i где
<7i ~h ~h, Ч2 ~h> (7-21)
— энтальпия перегретого пара перед турбиной; i2 — энтальпия конден-
. сата при давлении р2 ; i2 ~ энтальпия отработавшего пара.
Работа, совершенная в цикле, равна
/о =<7i- 42=ii ~ *2 (7.22)
(так как i2 = Z 3 ) •
Следовательно,
rit = (/1 - i2)/(i\ ~ г2Л (7.23)
Эта формула получена при пренебрежении затратой работы на питатель-
ный насос. При высоких давлениях работу, затрачиваемую на привод насоса,
необходимо учитывать. Термический КПД цикла Ренкина в этом случае
составит = Zo/(Zi ~ где Zj Zo - ZH — полезная работа; /0 — работа пара
в турбине; ZH — работа, затраченная на привод насоса [31]. ,
Разность энтальпии ц - i2 при адиабатном расширении пара удобно опре-
делять при помощи /^-диаграммы (рис. 7.11). Адиабатный теплоперепад
Ло = G - i2 на диаграмме определяется отрезком 1-2.
В реальной турбине процесс расширения пара необратим. Потери,-вызыва-
емые необратимым расширением пара, учитываются внутренним относитель-
ным КПД турбины 7?oi, характеризующим степень технического совершенст-
ва действительного процесса расширения пара в турбине (линия 1-2” на
рис. 7.11) по сравнению с адиабатным (линия 1-2). Внутренний относитель-
ный КПД равен
= Zi - h
^Q1 ii - i2 hQ ‘
При условии применения сверхвысоких параметров водяного пара (на-
дример, Pi = 300 бар, = 600 °C) и обеспечения максимально возможного
вакуума в конденсаторе (р2 0,03 бар) термический КПД идеального цикла
Ренкина, не превышает величину = 0,45 — 0,47. Если же принять во внима-
ние тепловые, механические и электрические потери, то оказывается,что
эбщий КПД установки, работающей по циклу Ренкина, даже при указанных
параметрах не превышает 0,3 — 0,35.
Существенное повышение экономичности (на 10—13 %) современных
паросиловых установок достигается путем применения в них регенератив-
ного подогрева воды, направляемой после конденсатора в котел. Регенера-
гтивный подогрев воды осуществляется посредством отбора из турбины
некоторого количества пара, который, конденсируясь в специальных подо-
гревателях, отдает часть теплоты воде.
145
Рис. 7.10. Цикл Ревкина:
в— в координатах ро; б - в координатах 7^
7.6. Циклы атомных энергетических установок
Первая в мире атомная электростанция была построена в СССР в 1954 г.
В 1959 г. был построен в СССР самый мощный в мире атомный ледокол
„Ленин”. В настоящее время атомные энергетические установки стали играть
существенную роль как в масштабе народного хозяйства СССР, так и в
мировом масштабе.
Атомная энергетическая установка представляет собой сочетание атом-
ного реактора, в тепловыделяющих элементах которого осуществляется
регулируемая реакция расщепления ядер атомного горючего, и обычной-
паросиловой (или газотурбинной) установки. Схемы атомных установок
могут быть одно-, двух- и трехконтурными. При одноконтурной схеме
рабочее тело из реактора направляется непосредственно в турбину. При
двухконтурной схеме тепло, выделяющееся в реакторе, передается проме-
жуточному теплоносителю и уже от него — рабочему телу паросиловой
установки. В трехконтурной установке используются два промежуточных
теплоносителя.
В качестве атомного горючего обычно используют уран и плутоний. Физи-
ческие свойства атомного горючего накладывают определенные ограниче-
ния на параметры атомных реакторов. В энергетических реакторах чаще
всего в качестве горючего применяют оксид урана UO2, имеющий высокую
температуру плавления (3073 К). Он химически не реагирует с водой и
углекислым газом, имеет хорошую термическую и радиационную стойкость.
147
В качестве промежуточного теплоносителя могут служить вода, газы
(гелий, углекислый газ, азот), металлы (калий и натрий) и органические
жидкости (углеводороды, дефинил, дефинильный эфир, трифенил, изотро-
пия дефинил).
На рис. 7.12 показана принципиальная схема двухконтурной атомной
паросиловой установки. В атомном реакторе 1 в результате давления ядер
атомного горючего выделяется тепло. Это тепло передается промежуточно-
му теплоносителю, циркуляция которого обеспечивается насосом 3. Проме-
жуточный теплоноситель поступает в парогенератор 2 и передает тепло рабо-
чему телу паросиловой установки. В качестве рабочего тела в паросиловой
установке обычно используется вода: Паросиловая установка включает в
себя турбину 4, конденсатор 5 и насос 6. Для обеспечения безопасности
контур, где циркулирует промежуточный теплоноситель, отделяется от
контура паросиловой установки специальной биологической защитой 7.
Рис. 7.12. Схема двухконтурной атомной паросиловой установки:
а — в координатах ри; б — в координатах Ts
Принципиальное отличие атомных паросиловых установок от рассмот-
ренных в § 7.6 паросиловых установок состоит лишь в том, что в них в
качестве горючего используется не органическое, а атомное топливо. Соот-
ветственно этому в двухконтурных схемах атомных энергетических устано-
вок реактор как бы заменяет топочное устройство, причем роль горячих
продуктов горения выполняет промежуточный теплоноситель, отдающий
тепло рабочему телу паросиловой установки в парогенераторе. В однокон-
турных атомных паросиловых установках реактор выполняет роль не только
топочного устройства, но и самого парогенератора. В газотурбинных атомных
установках, выполняемых по одноконтурной схеме, реактор заменяет
собой камеру сгорания ГТУ, работающей на органическом топливе.
Цикл атомной энергетической установки аналогичен циклу обычной
паросиловой установки (если в качестве рабочего тела используется, на-
пример, вода) или обычной ГТУ, если рабочим телом является газ (напри-
мер, гелий).
148
Полезным эффектом холодильного цикла является количество теплоты,
лсоюрое рабочее тела холодильной установки отбирает от охлаждаемых
wsaw температуру меньшую, чем Температура окружающей
;среды. JtajmcTHo тейлоты, отводимое в единицу времени от охлаждаемого
Показателем совершенства холодильного цикла является холодильный
; коэффициент е, т^едставляющий собой отношение количества отведенной
;от охшждаэмого объекта теплоты & к затраченной работе цикла L:
(7.25)
По сравнению со всеми другими циклами равновесный обратимый цикл
' Карно обладает наибольшим значением холодильного коэффициента в
- заданном интервале температур холодильной камеры установки Гх и окру-
г жающей ереды Го, Холодильный коэффициент цикла Карно
£карно = 2 • (7.26)
г© -
Рассмотрим парокомйреесионный холодильный цикл, реализуемый в
’ установках^ яащедшйХ широкое применение (рис. 7.13).
Ййс. 7.13, йкйиа я^тм^еосжбмтй хододаршкл установки
149
Хладоагент в парообразном состоянии поступает из испарителя 2 в комп-
рессор 3, где сжимается до давления рх. После компрессора пар направляет-
ся в конденсатор 4, где отдает теплоту охлаждающей среде (воде или возду-
ху) и конденсируется при температуре Т\ и давлении Из конденсатора
жидкость в состоянии насыщения проходит через дроссельный вентиль 1
и поступает в помещенный в охлаждаемом объеме испаритель 2. При про-
ходе через дроссельный вентиль жидкий хладоагент понижает температуру
и давление до Т2 ир2 .
Идеальный цикл парокомпрессионной установки показан в Ts-координа-
тах на рис. 7.14. Необратимый процесс дросселирования в дроссельном вен-
тиле изображен условно в координатах линией 1-2. Процесс испарения,
протекающий в испарителе при постоянном давлении р2 и температуре Т2,
изображается линией 2-3. При этом процессе подводится тепло к хладо-
агенту от охлаждаемых тел. Процесс сжатия в компрессоре изображается
линией 3-4, а изобарно-изотермный процесс конденсации в конденсаторе —
линией 4-1.
Работа, затраченная на совершение цикла, равна I * й - /Зо Теплота, под-
водимая к холодильному агенту, в охлаждаемом объеме, равна q2 = i3 - i2.
Холодильный коэффициент парокомпрессионного цикла равен
е = ^з_4Ж'~гз/ (7.27)
Значения энтальпий в формуле (7.27) определяют по zs-диаграмме или
таблицам термодинамических свойств соответствующего хладоагента. В
качестве хладоагентов в парокомпрессионных установках используются
аммиак NH3, этан С2Н6, хлористый метил СН3С1, фреоныФ-12 (CF2C13),
Ф-22 (СНГ2С1),Ф-113 (Сз F3C13), Ф-142 (Сз Н3 F2 С1).
Рис. 7.14. Цикл парокомпрессионной установки
150
i
'F
f Глава 8. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПОЖАРА,
> ПРОТЕКАЮЩЕГО В ПОМЕЩЕНИИ
8.1. Исходные положения
I 1
! Пожар в помещении представляет собой специфический процесс, сопро-
вождающийся изменением состава и параметров газовой среды, заполня-
ющей помещения. Газовая среда в помещении с проемами (окна, двери и
' т.п.), соединяющими его с наружной атмосферой, как объект исследования,
ч есть открытая термодинамическая система (см. гл. 1, § 2). Изменение
параметров состояния этой системы обусловлено обменом энергией‘с наруж-
ной средой.
i В газовой среде, заполняющей при пожаре помещение, имеет место в
любой момент времени локальное равновесие (см. гл. 1, § 3). Газовую
среду с большой точностью можно рассматривать как смесь идеальных
газов. Основные термодинамические параметры состояния газа в каждой
точке пространства связаны между собой уравнением Клапейрона (1.71).
Состояние газовой среды при пожаре в помещении характеризуется
полями локальных термодинамических параметров состояния. Однако
состояние газовой среды при пожаре в помещении можно характеризо-
вать также и с помощью так называемых среднеобъемных термодинамичес-
ких параметров, связанных между собой уравнением, вытекающим из
условия существования локального равновесия.
При пом.ощи среднеобъемных параметров состояния можно проследить
общие закономерности процесса развития пожара, выявить его наиболее
характерные особенности и обуславливающие их факторы. Знание этих
закономерностей необходимо при решении ряда нормативно-технических
и оперативно-тактических задач, связанных с обеспечением безопасной
эвакуации людей из помещения в случае возникновения пожара; разработ-
кой оперативных планов тушения, планированием средств и тактики туше-
ния; оценкой фактической огнестойкости зданий; проведением пожарно-
технической экспертизы и т.д.
Основными среднеобъемными параметрами состояния газовой среды при
пожаре в помещении являются среднеобъемная температура Тт, средне-
1 объемная плотность рт> среднеобъемное давление р средние концентра-
ции компонентов газовой смеси (О2 , СО2, СО и др.). Рассмотрим содержа-
ние этих понятий.
8.2. Среднеобъемные параметры состояния газовой
среды в помещении
Среднеобъемная плотность. Рассмотрим помещение объемом V с произ-
вольным количеством проемов (рис. 8.1). Будем рассматривать некоторый
* фиксированный момент времени процесса развития пожара. Масса газа,
f находящегося в помещении в этот момент времени, составляет величину
151
Рис. 8Д. Схема пожара в помещении:
1 - ограждение: 2 - проемы; 3 - горящий материал; V - свободный объем помеще-
ния; dV - элементарный объем; <?в - расход поступающего воздуха; Gr - расход
уходящих газов; $ — скорость выгорания материала; Тг и Тв - температуры уходя-
щих газов й поступающего воздуха; р и Т - локалы&ге значения плотности и тем-
пературы среды в Помещении
т. Поделив массу газа m на объем помещений К получим среднеобъемную
плотность рт
(S.1)
Среднеобъемная плотность газовой среды есть масса газ», приходящаяся
на единицу свободного объема помещения.
Среднеобъемная плотность р . выражается через локальные значения
плотности следующим образом. Пусть в некоторой точке пространства
внутри помещения плотность равна р. Тогда масса газа, закдаченная внутри
элементарного объема dV, сост®и1 Фп я pdV (см. рис. 8Л). Проинтегриро-
вав это выражение, найдем массу всего газа
w= / pdV.
v
Иэуравздиий (8,1) и (8.2) получим
Рт"
К $
(^2)
1S2
1
4 * *
F •
t
[
' ОДЗДШгаи wniocn и концентрация компонента
t газовой зрцщ. ШожйЙйм символом пц массу йо компонента смеси, нахо-
дящегося в помещешт в рассматриваемый момент времени. Поделив массу
< компонента на объем Р помещения, получим среднеобъемную парциаль-
ную шкязшсть й© компонента смеси
(8.4)
.V
?
Аналогишо тому как это было сделано при выводе уравнения (8,3),
? можро выразить среднеобъемную парциальную плотность через локальные
. значения парциальной плотности
! - (8.5)
*• К V
, Между и pmi существует простая связь, которая вытекает из того,
№ что масса газовой среды, заполняющей помещение, равна сумме масс компо-
нентов
z
m* Z (8.6)
£4
где z >- число компонентов, входящих в газовую смесь.
Поделив правую и левую части уравнения (8.6) на объем V, получим
<»
г
’ ₽m=S *W (8.7)
1
J Средиеобъемяой концентращсейрго компонента газовой среды наэыва-
v‘ ется отношение массы компонента кгГвсей массе смеси
J -«/
х* Г ‘ <8’8)
К *
1 Из уравнений (8.6) и (8.8) следует
z
Z
a* vasv’
(8.9)
С^щ^объеьшое давление. Разобьем объем помещения V на элементарные
объемы 4V (рис. 8.1). Давление в элементарном объеме составляет величину
д. В разлаших точках пространства давление в общем случае разное. Средне-
153
объемное давление рт определяется по формуле, аналогичной выражению
(8.3).
1
рт = — / Pdv-
V
(8.10)
Из выражения (8.10) видно как получить экспериментально значение
рт: нужно разбить помещение на достаточно малые объемы; в каждом
таком объеме измерить давление; просуммировать произведения давления на
соответствующий объем; полученную сумму разделить на свободный объем
помещения.
Среднеобъемная температура. К понятию среднеобъемной температуры
мы придем исходя из условия существования локального равновесия.
Согласно этому условию, основные локальные параметры состояния газовой
среды в каждой точке пространства связаны между собой уравнением Кла-
пейрона
Р
Р=~^- (8.11)
Вначале введем понятие средней газовой постоянной Rm- Величину Rm
определим, воспользовавшись формулой, полученной в теории газовых
смесей (см. гл. 1)
Rm 2 xf4'
z-1
(8-12)
Анализ различных сред, возникающих при пожаре в помещении, показал,
что средняя газовая постоянная Rm изменяется в процессе пожара очень
незначительно, причем ее значение мало отличается от газовой постоянной
для воздуха.
Умножим правую и левую части уравнения (8.11), связывающего между
собой локальные параметры состояния, на dV:
pdV = —~—dV. (8.13)
RT
Правую часть умножим и разделим на среднеобъемное давление рт и
среднюю газовую постоянную Rm:
Рт Р Rm 1
pdV=—----- ~dV.
Rm Pm R R
(8.14)
154
Проинтегрируем правую и левую части уравнения (8.14) по всему
«объему помещения и затем результаты поделим на объем помещения
1 л Р™ 1
F'- Rm^v
V
Ртп 1 Р
v Pm
(8-15)
Ир
15 С учетом выражения (8.3) из выражения (8.15) следует
dV] .
(8.16)
Сравнивая выражение (8.16)
с уравнением (8.11), введем обозначение
1 1 Р
~ =[— и—
m v
Rm 1
—У-)---dV]
R T
(8.17)
или
1 р Rm 1 .
Т = Г [(—- -—— )—-dH~ -
m 1 у J 1 р R Т J
v m
(8.18)
Величина Tm, определяемая по формуле (8.18), называется среднеобъем-
ной температурой газовой среды в помещении. Между среднеобъемными
параметрами р , р , Т существует, как это следует из уравнения (8.16),
ffb fIV f f b *
простая связь
pm
Rm
R T ’
mm
(8-19)
Rm 1
— .7 И].
R Т
т.е. точно такая же, как и для локальных параметров газовой среды р, р,
Т. Уравнение (8.19) будем называть в дальнейшем усредненным уравне-
нием состояния среды, находящейся при пожаре в помещении.
В условиях реального пожара, если отсутствуют обусловленные взры-
вами ударные волны, значение давления в разных точках помещения отлича-
) ется незначительно. Наибольшая разница давления, которую можно наблю-
i дать при пожаре в помещении, измеряется всего лишь десятками паскалей.
• Эта величина составляет десятые доли йроцента от среднего давления в поме-
: щении. Поэтому в условиях реального пожара p/pm 1- Локальные значе-
ния газовой постоянной также мало отличаются от средней постоянной
с Rm> т.е. R^/R — 1- Это означает, что среднеобъемную температуру Тт с
155
достаточной для инженерной практики степенью можно определять по
формуле
Тт~ I —(8-20)
V VT
Из выражения (8.20) хорошо видна методика экспериментального опре-
деления среднеобъемной температуры газовой среды в помещении.
Как известно, среднеобъемную температуру можно определять по раз-
личным правилам и формулам. Например, часто используется понятие сред-
необъемной температуры, основанное на следующем способе осреднения
Tm=^TdV. (8.21)
v V
При неоднородном температурном поле среднеобъемная температура
Тт, вычисляемая по формуле (8.20), будет меньше, чем Т^, определяемая
выражением (8.21). В условиях реальных пожаров разница между Тт и
Тт может составлять 5—10 %. Достоинство правила осреднения температу-
ры по формуле (8.20) в том, что между рт, рт и Тт существует связь,
выраженная уравнением (8.19). Между р р и Т' такой простой свя-
зи нет.
8.3. Уравнения пожара
Уравнения пожара описывают изменение среднеобъемных параметров со-
стояния с течением времени (в процессе развития пожара). Эти уравнения
вытекают из основных законов физики: закона сохранения массы и первого
закона термодинамики (закона сохранения энергии).
Уравнение материального баланса. Рассмотрим помещение объемом V
с произвольным количеством проемов, соединяющих помещение с наруж-
ным воздухом (рис. 8.1). В процессе пожара в помещении изменяются,
температура, плотность и суммарная масса газа. Пусть в момент т масса
газа составляет величину т = рт V. По истечении малого интервала време-
ни dT масса газа изменяется на малую величину, равную d(PmV
За время dr через одни’проемы вытечет некоторое количество газа,
а через другие поступит наружный воздух. В процессе пожара твердые или
жидкие горючие вещества переходят в газообразное состояние.
Пусть в рассматриваемый момент т расход воздуха равен GB, расход га-
зов — Gr, а скорость выгорания (скорость выгорания есть количество
горючего материала, перешедшего в газообразное состояние за единицу
времени). Для малого интервала времени dr изменением величин G&, Gr и
ф можно пренебречь. Тогда количество газов, покинувших помещение за
время dr, выразится как Grdr, а количество поступившего в помещение
воздуха за то же время — G^dr. Количество горючего материала, перешед-
шего в газообразное состояние и поступившее в объем помещения за время
dr, составит величину tydr.
156
* • № ЯКоикжхршеюм м«сом аытекает уравнение
। rfOnf^G^ + ^dr-C^dr.'
А
< Это уразй^иеможно преобразовать к виду
* * 4
J Т <8-22)
* j jflfr
5. ;
i '* “ '
’ Уравнение (842) называется уравнением материального баланса пожара
j вномещеиж
1 ] Во многих случаях изменением свободного объема помещения И можно
; пренебречь (т.е. считать, что V = const): В этих случаях уравнение (8.22)
•• гфвобразуеТся к виду
। :
> dp
" у. ,,„g„ »(?-+»-G. (8.23)
dr
Уравнение (842) позволяет установить некоторые общие закономер-,
ности продасса развития пожара в помещении с проемами. Рассмотрим
, для простоты пбжар в помещении при К ® const. Пусть зависимость средне-
объемной температуры Т от времени соответствует той, которая показана
' на рис. 8.2. б первом приближении обычно можно считать, что среднеобъем-
ная плотность рт обратно пропорциональна температуре Тт (см. уравнение
'* (8.19) дия усредненных параметров), т*е. рт UTm- Согласна уравнению
> (8.23)/можно выделить три режима развития пожара. Первый режим реали-
$
1
к»азя£та«исадный решим; Ш - снижение температуры
157
зуется на этапе возрастания температуры и убывания плотности. При этом
режиме—— < 0. С учетом этого обстоятельства из уравнения (8.23) следу-
ет’
ет, что (7В + ф < GT, т.е. количество уходящих через проемы газов больще,
чем количество поступающего воздуха вместе с перешедшими в газообраз-
ное состояние горючими материалами. Различие тем значительнее, чем выше
скорость нарастания температуры в объеме помещения. Второй режим —
это режим, при котором температура (и плотность) газа в помещении изме-
няется со временем незначительно, т.е.—— & 0. При этом режиме имеем
dr
GB+4fx Gr Этот режим называют квазистационарным (иногда установив-
шимся) . При квазистационарном режиме расход уходящих газов приблизи-
тельно равен сумме расхода поступающего воздуха и скорости выгорания.
Наконец, третий режим — это режим снижения температуры (и повышения
dp
плотности) газа. При третьем режиме —_ > 0. Из (8.23) следует, что
dr
6 в + > Gr, т.е. количество уходящих газов Gr меньше, чем количество
поступающего воздуха вместе с количеством выгорающих веществ в едини-
цу времени.
Уравнение баланса кислорода. Рассматривается то же самое помещение
(рис. 8.1). Масса кислорода т\ в момент т вычисляется по формуле
mx=PmVxx, (8.24)
где Xj — среднеобъемная концентрация кислорода в момент т.
По истечении малого промежутка времени dr масса кислорода изменяет-
ся на малую величину, равную dmx = d (pmVxx)
Количество кислорода, израсходованного за время dr на горение, составит
величину, равную rh^Lydr, где Lx есть масса кислорода, необходимая для
сгорания единицы массы горючего материала ( [L} ] = кг/кг), — коэффи-
циент полноты сгорания. Количество кислорода, поступившего вместе с
наружным воздухом в помещение за время dr, составит величину, равную
Gbx1bJt’ где *1в ~ конЦентРаЦия кислорода в наружном воздухе
(XjB 0,23). Количество кислорода, ушедшего из помещения вместе с
покидающими помещение газами, равно G^^dr, где Xjr — концентрация
кислорода в уходящих газах. Концентрация кислорода в уходящих газах
в общем случае может отличаться от среднеобъемной. В реальных условиях
обычно выполняется
— =п'
X1
(8.25)
т.е. хir . Обычно отличие от единицы незначительное.
158
j 4(^1 &hLidT. - (8.26)
4 I
% то уршиййВ можно преобразовать к виду
гщ , , •
’Sf' i tf
* XT <Vl *^1* ~ Gr^i - Hih-. (8.27)
itT
ч i
; Ураяжаие (8.27) называют уравнением баланса кислорода. Левую часть
'^' фавнени» (8.27) можно преобразовать с учетом уравнения (8.22)
ав. '
М ' d dx i {/ -
ОТ
Подставляя Данное выражение в уравнение (8.27), получим уравнение
баланса кислорода
//у *-
^Хх+^ЛЛ (8.28)
Уравнение баланса продукта горения. При горении образуются опасные
-дня человека продукты» такие как углекислый газ CQj, окись углерода
' iCO и Т-Д- В моши времени г масса какого-либо продукта горения в поме-
;щеяии определяется по формуле
mt К, (8.29)
’ I где хг — ередаеобъемная концентрация рассматриваемого продукта горения.
* За время, равное dr, масса этого продукта изменится на величину
J dtoh “dfp^ П (830)
i
s
h Количества продукта, которое образуется за время drt равно n^L2dTt
где £2 — ксупйесТво щюдукта, образующегося в результате сгорания едини-'
а ш массы вещества, Количество продукта, уходящего за время dr с газами
из помец^ия, равно где х2г “ концентрация продукта в уходя-
j| йи газах. Кондентразщя продукта в уходящих газах в общем случае может
$ отличаться от с₽едиеобъемно& Обычно х2г/^2 в «2 > *• Некоторое количест-
I . 159
и поступать в помещение вместе со свежим воздухом. Количество Ефодукта,
поступающего за время dr с воздухом, составляет веларшиу, равную G^c^^
где х2в - концентрация продукта в окружающей среде.
Согласно закону сохранения массы ажебраическад суьоиа яотоков массы
продукта должна равняться изменению массы этого продукта в Помещении
d (Р^2 *7 = dr + “ <7^** ^т- (831)
Это уравнение преобразовать к виду
dT +x2^~n2X2Gt. (8.32)
Уравнение (8.32) называется уравнением баланса продукта горения.
С учетом уравнения (8.22) его можно записать в следующей ферме
<&2 ' .
Pmv( -G^fa * J/. (8.33)
Для тех продуктов горения, которые не содержатся в окружающей атмосфе-
ре (или их содержание пренебрежимо мало) уравнение (833) упрощается
и принимает вид
dx2
PmV(~} = $fJ*24 ~x2/-x2Gs-X2Gj.(n2 - V.
dr
Уравнение баланса инертного газа. Инертными называются газы, не участ-
вующие в химических реакциях при пожаре. Таким газом является, напри-
мер, азот. Уравнение материального баланса для нейтрального газа выводит-
ся аналогично предыдущим уравнениям и имеет вид
d
— (P„?3VjaXi!fiK-xi**Gr ‘ (834)
ИТ
где х3 - срещгеобьемная концентрация инертного (нейтрального) газа в
помещении; х^ — концентрация этого газа в окружающей атмосфере;
#э — коэффициент, учитывающий различие концентраций газа -
в уходящих газах и в помещении.
С учетом уравнения .(8-22) уравнение (€.34) меде преобразовать к
виду
dx2
Pmv’ Св ^х3в ~ ’ *з # - (8.35)
W0
i УрийвЯ» аиврпи, аткрьпая термодинамическая систе-
М h, KWpyw дредотавяяет собой газовая среда в помещении, характеризует-
Я тем, что она не совершает работы расширения или другой технической
Йботы. Кинетическая энергия видимого движения этой системы преяебрежи-
io мала до сравнению с ее внутренней энергией. ..
Внутренняя Шергия газа, заполняющего помещение, вычисляется следу*
)НЩм образом. Выделим малый объем dV в помещении (рие. 8.1). Масса
сходящегося в момент т в объеме dV газа равна pdV, а внутренняя энергия
того количества газа - e^pPdV Внутренняя-энергия всего газа, находяще-
гося В помещении, вычисляется путем интегрирования
U=4c/>TdK (8.36)
5j ^ак кж₽Т«р/Я « гдеЛ^с^Су,
» ?° '
; (8.37)
! е 1
"1 \
В процессе пожара атомность газа несколько меняется. Значение показа-
теля адиабаты к может быть разным в различных точках объема помещения.
Эдвако в реальных условиях это различие весьма невелико. Поэтому можно
гринять, что к * const, и формулу для определения внутренней энергии запи-
сать так
; (8.38)
• Л*" * у Л— *
у
' Изменение внутренней энергии рассматриваемой термодинамической
ристемы за время dr равно
I
• I
I
1
j
?
' |Й''П’<,Й’и'7- .' (8-39)
; Изменение внутренней энергии рассматриваемой системы обусловлено
подводом теплоты, выделяющейся в результате горения, отводом теплоты
в ограждающие конструкции и взаимодействием этой системы с окружа-
(ющей средой путем мзссообмена.
Количество тенлоты, выделившееся. при горении за время dr, равно
?*«2g </г, где - теплота сгорания, ат? - коэффициент полноты сгорания.
Количество тенлэты, ушедшее за время dr д ограждающие конструкции,
вредно W - телловдй поток, т.е. количество теплоты, нолучаемое
i ограждением за единицу времени.
£ -161
Потоки массы через контрольную поверхность рассматриваемой термо-
динамической системы характеризуются тем, что в них удельная кинетичес-
кая энергия газа пренебрежимо мала по сравнению с удельной энтальпией
газа. Кроме того, можно пренебречь удельной потенциальной энергией газа
в этих потоках.
С учетом всего сказанного из первого закона термодинамики (2.12)
для открытой термодинамической системы вытекает уравнение
1 р
—— d (Рт v) = dT Qwdr + <Gbzb + ^п ~ СгУ dT’ (8 -4°)
rt- 1
где z'B = CpBTB — энтальпия наружного воздуха; i? = CyTTT — энтальпия уходя-
щих газов;’ г'п — энтальпия продуктов газофикации (пиролиза, испарения)
горючих материалов; Тв — температура наружного воздуха; Тг — темпера-
тура уходящих газов; СрВ, с?г — теплоемкости наружного воздуха и ухо-
дящих газов.
Введем обозначение отношения энтальпии уходящих газов к среднеобъем-
ной энтальпии
ш = ± = (8.41)
срт ?т
Обычно iri^ 1.
Уравнение (8.40) преобразуем к виду
1 б/ ' о
, 1 ~ ~ + &ьсръ 7в + ^zn ~Gvmcpm^m' (8.42)
к 1 ат
Это уравнение называется уравнением энергии пожара.
Начальные условия. К начальным условиям относятся данные о парамет-
рах состояния газовой среды в помещении перед пожаром
при т = 0
Тщ ~ Тщо » ?т ~^то’ ?т ~^то’ xi ~ xio’ (8.43)
Индексом „о” отмечены величины, относящиеся к условиям перед пожа-
ром.
В совокупности уравнения состояния (8Д9), материального баланса
(8.22), баланса кислорода (8.28), баланса продуктов горения (8.33), балан-
са инертного газа (8.34), энергии (8.42) и начальные условия (8.43) дают
общее математическое описание пожара в помещении. Эти уравнения содер-
162
car следующие переменные — рт, рт, Тт, хх, х2, х3. Число неизвестных
явно числу уравнений. Следовательно, описание носит замкнутый характер.
В уравнения пожара, кроме перечисленных переменных и величин, извест-
ых из справочников ((2В, L\, L2, £рВ и т.д.), входят еще четыре величины —
’в> GT> Qw, Ф- Чтобы рассчитывать параметры пожара с помощью получен-
ных уравнений, нужно располагать формулами для вычисления указанных
етырех величин.
Теплообмен между газовой средой и ограждающими конструкциями
удет рассмотрен в разделе „Теплопередача”. Величина скорости выгорания
ависит от большого числа факторов и определяется по эмпирическим
Формулам.
Величины расходов газа и воздуха зависят от вида* вентиляции (принуди-
ельная или естественная). Если вентиляция принудительная, то <?в и Gr
шределяются по характеристикам вентиляторов и системы вентиляции.
1сли вентиляция является естественной (окна, двери и т.п.), то в этом
шучае величины GB и Gr зависят от размеров и координат проемов, от
:реднеобъемных параметров состояния газовой среды в помещении
6В=Г1 (р1,У1,Рт,Рт), (8-44)
6г=й^.,Л,рт,РтЛ (8.45)
где — площадь проемрв; — координаты верхних и нижних кромок
проемов.
Конкретный вид формул получается на основе теории аэрации. Методи-
ка получения этих формул подробно изложена в учебнике „Пожарная профи-
лактика систем отопления и вентиляции” (—М.: ВИПТШ МВД СССР, 1981),
а также в книге [ 1 ].
163
Часть И. ТЕПЛОПЕРЕДАЧА
ВВЕДЕНИЕ. ТЕПЛОПЕРЕДАЧА И ЕЕ МЕТОД
Теплопередача (теплообмен) — наука о необратимых процессах обмена
энергией в форме теплоты между взаимодействующими макроскопически-
ми элементами термодинамической системы при условиях, когда отсутст-
вует термическое равновесие.
Передача теплоты от одного тела к другому (или теплообмен между
частями одного и того же тела) происходит только при наличии разности
температур. В процессе теплового взаимодействия одного тела с другим
теплота в соответствии со вторым законом, термодинамики самопроиз-
вольно переходит от тела более высокой температуры к телу более низкой
температуры. При выравнивании температур процесс теплообмена прекра-
щается и наступает термическое равновесие тел. 'Хаким образом, всякому
процессу теплообмена, протекающему в том или ином теле (твердом, жид-
ком или газообразном), присуще наличие неоднородного температурного
поля в теле.
Температурным полем называют совокупность значений температур t
в фиксированный момент времени т для всех точек пространства, характе-
ризуемых координатами х, у, z. В общем случае процесс теплообмена сопро-
вождается изменением температуры в пространстве и времени
t=f(*,y, 2, т).
Температурное поле называется нестационарным, если наблюдается изме-
нение температуры как в пространстве, так и во времени, Протекающие
при этом процессы теплопередачи называются нестационарными процессами
теплообмена.
Температурное поле называется стационарным, если наблюдается измене-
ние температуры только в пространстве
t=f(x,y,z).
Протекающие при этом процессы теплопередачи называются стационарными
процессами теплообмена,
Если в выбранной системе координат (например, в декартовой системе
xyz) наблюдается изменение температуры лишь в одном направлении (на-
пример, вдоль ори х), то такое температурное поле называют одномерным.
В этом случае при нестационарных процессах t = f (х, т), а при стационар-
ных — t = f (х),
Если температура тела является функцией двух координат, то темпера-
турное поле называется двухмерным, Если температура тела является функ-
цией трех координат, то температурное поле называется трехмерным.
164
i Лоскопысу щиадратура является Скалярной величиной, то температурное
шдо является скалярным полем. Вели точки ноля, имеющие одинаковую
jemeparypy, соединить, то получим поверхность, называемую иэотермичес-
Ык поверхность есть геометрическое место точек, имею-
щих в данный момент т одинаковую температуру. Изотермические поверх-
юсти различных температур не могут пересекаться, поскольку в одной и
it
%
с
I
Ir
J
J
F
I.
гой же точке до может быть одновременно двух различных значений темпера*
гур. Эти Поверхности либо замыкаются на себя внутри рассматриваемого
*ела, либо кончаются на границах тела.
j В соответствии со вторым законом термодинамики передача теплоты не
происходит вдоль изотермической поверхности. Передача теплоты может
дрсисходить жад В направлении от одной изотермической поверхности
с лэутой В сторону понижения температуры- Это означает, что при тепло-
эбмене поток энергии пересекает изотермические поверхности. Теплота q,
даедавммая за единицу времени через единицу изотермической поверхнос-
ти, называется Лштнсстълэ теплового потока
4Fdr
где (FQ ~ теплота, передаваемая за время dr через участок dF изотермичес-
кой поверхности.
‘ Плотность теплового потока есть векторная величина. В изотропном теле
вектор плотности теплового потока направлен по нормали к изотермической
поверхности.
Неравномерность распределения температуры в теле характеризуется
темперагурным градиентом. Температурным градиен том называется предел
отношения изменения температуры Д/ к расстоянию по нормали Дя между
,двумя соседншии изотермическими поверхностями, Когда Ал ~>0
« Д/ dt
; gradf^lim( —) * •
Дл ап
Температурный градиент является вектором, который направлен по нор-
^лятту jc изотермической поверхности. За положительное направление этого
Гдойстора принято направление в сторону возрастающих температур. Этот
i доктор мажно разложить на составляющие по осям координат
-*> «*»**» , „
i,rae /, /, к — орТогоНальйые между собой векторы единичном длины, направ-
^ленные по координатным осям.
По физическому содержанию температурный градиент представляет
робой приращение температуры в градусах на единицу длины расстояния
! между изотермическими поверхностями по нормали.
165 ,
Совокупность значений температурных градиентов в различных точках
температурного поля в фиксированный момент времени называется вектор-
ным полем температурных градиентов.
Теория теплопередачи является одним из разделов термодинамики
необратимых процессов. Ее метод характеризуется следующими положения-
ми.
Вещество рассматривается обычно как сплошная непрерывная среда
(континуум). Механизм передачи энергии от одной части тела (или системы
тел) к другой не рассматривается на микроскопическом уровне. Вместо
этого используются экспериментальные законы, устанавливающие связь
между макроскопическими величинами, характеризующими процесс тепло-
обмена (законы Фурье, Фика, закон Ньютона о вязком трении и т.д.). Вместе
с тем в зависимости от особенностей механизма передачи энергии, сущность
которых достаточно полно можно раскрыть лишь в рамках квантовомехани-
ческой теории и атомно-молекулярных представлений о строении вещества,
различают три вида (способа) теплообмена: теплопроводность, конвектив
теплообмен и лучистый теплообмен.
Теплопроводностью называется процесс передачи энергии от более нагре-
тых частей тела (твердого, жидкого, газообразного) к менее нагретым
частям этого тела, обусловленный хаотическим (тепловым) движением
микрочастиц (атомов, молекул, свободных электронов) при условии от-
сутствия макроскопического (видимого) движения макрочастей тела отно-
сительно друг друга.
Конвективным теплообменом называется процесс, обусловленный
совместным действием конвекции тепла и теплопроводности. Конвекцией
тепла называют процесс переноса энергии путем видимого перемещения
жидкости или газа в пространстве из области с одной температурой в область
с другой температурой. При неоднородном температурном поле в потоке
движущейся среды между ее соприкасающимися макрочастицами имеет
место обмен энергией путем теплопроводности.
Из многочисленных задач конвективного теплообмена наибольший прак-
тический интерес представляют задачи о теплообмене между движущейся
жидкостью (или газом) и поверхностью некоторого тела. Явление тепло-
обмена между движущейся средой и поверхностью омываемого ею тела
называют теплоотдачей. Интенсивность теплоотдачи принято характе-
ризовать коэффициентом теплоотдачи. Содержание этого
понятия заключается в следующем. Рассмотрим некоторую твердую по-
верхность F, омываемую потоком жидкости или газа. Обозначим темпера-
туру поверхности tc, а температуру потока - t*. Выделим на поверхности
F элемент dF. При отсутствии теплового равновесия, т.е. при t ¥= t через
элемент поверхности dF за время <7т поступает некоторое количество тепла,
которое обозначим d2 Q (малая величина второго порядка) . Разделив d2 Q
на dr и на dF, получаем плотность теплового Потока через
поверхность тела — qc, т.е. количество тепла, поступающее в тело за единицу
времени через единицу поверхности элемента dF
q^cpQ/dFdT.
166
?
Бели разделить qc на разность температур (?ж - ?с), которую принято
(азывать температурным напором, то получится плотность тепло-
,ого потока, приходящаяся на единичную разность температур стенки и
реды. Эта величина и есть коэффициент теплоотдачи. Таким образом, коэф-
фициент теплоотдачи — это плотность теплового потока через поверхность
:ела при единичном температурном напоре
£’ а~^с/1?Ж—
5 В отношении температуры Гж есть определенная условность. Дело в том,
то в потоке, омывающем поверхность, всегда существует некоторое распре-
с деление температуры. Чем ближе к поверхности тела, тем больше темпера-
I, ура жидкости ?ж приближается к. значению температуры поверхности t .
g 1ри внешнем обтекании тела потоком жидкости под Г обычно понимают
г емпературу потока вдали от тела (на „бесконечности”). При течении
। кидкости по каналу под Г понимают обычно среднюю по сечению канала
емпературу потока. В общем, по поводу t можно сделать такое замеча-
, ше: ее значение выбирается обычно так, чтобы в случае, когда температура
пенки ?с равна выбранному значению Гж, тепловой поток qc равен был
5ы нулю (т.е. при ? '= t тело и жидкость будут находиться в тепловом равно-
щсии).
В зависимости от причины, вызывающей движение жидкости, различают
<онвективцый теплообмен при свободной (гравитационной) конвекции и
конвективный теплообмен при вынужденной конвекции.
Свободной конвекцией называется движение среды, возника-
ющее в поле массовых сил при наличии разности плотностей среды, что в
свою очередь обусловлено неоднократностью температурного поля. В ы нуж-
де н н о й конвекцией называется движение жидкости, которое возни-
кает под влиянием внешнего силового воздействия на жидкость (например,
насосом, вентилятором и т.п.).
Третий вид теплообмена — лучист ыйтеплообмен — есть про-
цесс, при котором перенос энергии в пространстве осуществляется электро-
магнитными волнами (в квантовомеханической теории — фотонами), испус-
каемыми телом за счет его внутренней энергии в результате сложных моле-
кулярных и внутриатомных процессов. Электромагнитные волны, испуска-
емые телом, частично поглощаются окружающими телами. Процесс погло-
щения есть процесс превращения энергии электромагнитных волн во внут-
реннюю энергию тела.
В реальных объектах и сооружениях часто встречаются сложные процессы
теплообмена между различными жидкостями (теплоносителями), разделен-
ными твердой стенкой. Передача теплоты от более нагретого теплоносителя
к менее нагретому через разделяющую их стенку называется теплопере-
дачей.
Одной из важных особенностей метода классической теории теплопереда-
чи является то обстоятельство, что при составлении математического описа-
ния процессов теплообмена в телах (твердых, жидких, газообразных),
рассматриваемых как некоторый континуум, предполагается существование
167
локального термодинамического равновесия. При этом используются основ-
ные законы физики. В частности, для описания теплопроводности использует-
ся первый закон термодинамики, а для описания конвективного теплообме-
на — первый закон термодинамики, законы сохранения массы и импульса.
В связи с этим метод классической теории теплообмена носит ограниченный
характер. Им можно пользоваться только в тех случаях, когда геометричес-
кие размеры объема, занятого процессом, велики по сравнению с характер-
ными размерами микроструктуры вещества , (например, по сравнению с пу-
тем свободного пробега молекул газа). Эти методы неприменимы, напри-
мер, для расчетов теплообмена в сильно разреженных газах.
Глава 9. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
9.1. Основной закон теплопроводности
Основной закон теплопроводности (закон Фурье) связывает между собой
вектор плотности теплового потока q и температурный градиент grad t.
Формулируется этот закон следующим образом: плотность теплово-
го потока прямо пропорциональна температурному
градиенту
q = -X grad г, . (9.1)
где X — коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом
теплопроводности, Вт/ (м-К).
Справедливость закона подтверждается обширными экспериментальными
результатами.
Вектор q~ нормален к изотермической поверхности и направлен в сторону
убывания температуры, а вектор температурного градиента направлен про-
тивоположно вектору Это обстоятельство учитывается знаком минус в
формуле (9.1). ' .
Проекции вектора д'на оси координат*, у, z соответственно будут
Эг Э? Э?
-Ч ’ Цу ’ %2 "Ч ’ (9-2)
дх Z оу £ 02
Теплота Q, переданная за время т через изотермическую поверхность F
т bt
Q = -H O~)dFdT.
oF 9и
(9.3)
168
'й
1
9.2. Коэффициент теплопроводности
Из уравнения (9.1) следует, что коэффициент теплопроводности равен
’ft
dQ
Х =---------------------
41 ! (dt/dn) dFdv
г
(9.4)
р-
I I
Величина X является одной из физических характеристик вещества.
^Численно коэффициент теплопроводности равен количеству теплоты, переда-
ваемому в единицу времени через единицу изотермической поверхности
при условии, что градиент температуры равен единице (одному градусу на
единицу длины нормали к изотермической поверхности) ; он характеризует
способность вещества проводить тепло.
Коэффициент теплопроводности твердных тел является функцией темпе-
ратуры, а для жидкостей и газов зависит также от давления.
Для анизотропных тел X существенно зависит от направления передачи
тепла. Так, теплопроводность древесины поперек волокон по сравнению
। с теплопроводностью вдоль волокон может отличаться в три-четыре раза.
Зависимость коэффициента теплопроводности от температуры часто выра-
жается приближенно линейной функцией
x=x07i + m
(9-5)
где XQ — коэффициент теплопроводности при температуре О °C; /3 — коэффи-
циент пропорциональности, определяемый опытным путем; t~ температура
тела.
Аппроксимация зависимости коэффициента теплопроводности от темпера-
туры линейной функцией для твердых тел возможна лишь в сравнительно
небольшом диапазоне температур.
На рис. 9.1 показан порядок величин коэффициента теплопроводности
для различных веществ. На рис. 9.2 приведена зависимость от температуры
коэффициента теплопроводности кислорода, азота и некоторых жидкостей.
Для газов коэффициент теплопроводности с увеличением температуры
увеличивается; для жидкостей, за исключением глицерина, — уменьшается.
На рис. 9.3 приводятся данные о коэффициенте теплопроводности пере-
гретого водяного пара. С увеличением давления коэффициент теплопровод-
ности возрастает.
На рис. 9.4 и 9.5 показано изменение коэффициента теплопроводности
вследствие изменения температуры некоторых чистых металлов, строитель-
ных и теплоизоляционных материалов.
Для твердых пористых тел применение закона Фурье является условным,
поскольку наличие пор не позволяет считать эти тела однородной средой.
Коэффициенты теплопроводности для таких тел называют эффективными.
Эффективный коэффициент теплопроводности пористых тел в большой
степени зависит от их влажности.
169
0.0015 0,015 0,15 15' 150 1500
Рис. 9.1. Порядок величин коэ. ' > .а тепло ов< 3v . пд • , ОтЦм Ю
Рис. 9.2. Зависимость коэффициента теплопроводности от температуры:
а — жидкость; б - газ; 1 — вазелиновое масло; 2 - бензол; 3 — ацетон; 4 - касторовое
масло; 5 — спирт этиловый; 6 - спирт метиловый; 7 - глицерин; 8 - кислород; 9 -
азот
Рис. 9.3. Зависимость коэффициента теплопроводности перегретого водяного пара
от температуры перегрева и давления
171
Рис. 9А Зависимость коэффициента тедлопроводиости &т температуры для чистых
металлов
Рис. 9Л, Зависимость коэффиияеата тешюяфовсдиот от температуры дам стройтель-
яых ртошинйсшяцявшй^ материалов:
!*- воздух; 2 ” вшиеральйая шерсть; 3 —• шлаковая ваги; 4 * таэввдк 5 - совелиг;
6 - диаматевьгй к^иич; 7 кфасэдыМ киряич; s 1Щ1змса9т№Н1 feggW; 9 ~ шамот-
Жфф^нщишьное у^внедиетепжИфоводносщ
$йфференн»Шь»ое уравнение теплопроводности отражает наиболее
Шцие зж<^0мерн0<йСИ» присущие всевозможным случаям передачи энергии
: еплопровощщсТью, и устанавливает связь между важнейшими характеристи-
ками температурного поля в любых телах, а именно, между частными произ-
водными от Температуры по координатам и времени. При выводе этого
используется следующий метод математической физики. В теле,
1где протекает изучаемый процесс, при помощи воображаемой неподвижной
контрольной поверхности выделяется элементарный объем dV (рис. 9.6)-
^Внешняя по Отношению к этому объему часть тела рассматривается как
окружающая среда, обменивающаяся энергией с выделенной термодинами-
ческой системой (т^е. с веществом внутри объема 4Ю • в виду малых разме-
jpOB элементарного объема состояние выделенной системы можно считать
квазиравновесным в любой момент времени (т.е. имеет место локальное
‘равновесие). При определении изменения состояния вещества внутри объема
‘используется первый закон термодинамики. При этом предполагается, что
затраты энергии на термические деформации в теле пренебрежимо малы но
сравжжю С изменениями внутренней энергии, т.е. процесс изменения состоя-
ния вещества в объеме dV можно считать изохорным.
Воспользуемся декартовой системой координат xyz, связанной с телом,
j Выделим в теле элементарный параллелепипед с ребрами dx, dy, dz (рис. 9.6)'.
Объем этого параллелепипеда dV - dx dy dz, В выделенный объем за время
От поступает извне энергия за счет теплопроводности d Q<. Кроме того,
внутри элементарного объема за это время выделяется внутренними источ-
никами теплота dQ^. На основе первого закона термодинамики можно
i написать
5
¥
£
£
।
я
J
I
йк. К выводу уравнения теядокрвводности
(9.6)
173
?
где dU — приращение внутренней энергии элемента dV.
Приращение внутренней энергии можно выразить через изменение темпе-
ратуры элемента dV
dt
dU = cpdV-—-dT, (9.7)
дт
где р — плотность вещества; pdV — масса элемента dV; с — удельная тепло-
dt
емкость; --- dr = dt — приращение температуры за время dr.
dr
В теле могут протекать физические явления, сопровождающиеся выделе-
нием или поглощением энергии (джоулево нагревание, ядерные процессы
и т.п.). Характеристика этих процессов — интенсивность объемного тепловы-
деления (т.е. количество тепля, выделяющееся в едйнице объема за единицу
времени) — у .. За время dr в объеме dV выделится тепло
dQ2 =qvdVdr. (9.8)
Подсчитаем теперь количество теплоты, поступающее в элемент dV за
счет теплопроводности. За время dr- количество тепла, поступившее через
площадь 1, равную (d% dy), можно выразить через составляющую плотности
теплового’потока q
«A-
dQx = qxdydzdT.
Через противоположную поверхность 2 количество отдаваемого тепла
составит
d0x + 4x = c‘x + dxdy'i^.
Величина qx + есть непрерывная функция координаты х. Следователь-
но, используя разложение в ряд Тейлора и отбрасывая члены второго поряд-
ка малости, можно записать
dqx
qx + dx~ qx+ gx <^x"
Разница между dQx и dQx + представляет собой тепло, аккумулиро-
ванное элементом dV
dq
dQ\ = dQx - dQx + gx = - dxdydzdT.
Рассматривая потоки тепла вдоль осей у и z, получим
dq
dQ" = dQy - dQy + dy =---dxdydzdr,
174
Суммируя величины dQk, dQ" и d$", напучим
^9y
-, +-—*.
Эх &y bz
)dVdr.
’ Согласно закону Фурье
д dt dt &t
?z = -XT‘
; x Z oy * dz
I
С учетом этого выражение для dQx придет вид
' Л Л « 0 dt д dt
^-^-^-^-ЗТ^-дгЛ^- (.9.9)
Подставляя результаты вычислений (9.7), (9.8) и (9.9) в уравнение
(9.6), получим
Л 0 ~ dt . д /ч dt j, 0 Л 3t .. Л .
^’йГ^-зГ^ъ-к-аГ1 ^^-ЗГ1+qv <9л°)
4 Уравнение (9.10) называется диффередщиатпшым уравнением тепло-
1 проводностц Фурье-Кирхгофа.
В случае, когда коэффициент теплопроводности есть постоянная вели-
! ^на, уравйение (9.10) принимает вид
dt 04 &t 04 q^
' 0т 0x2 dy1 0z2 €p
(9.И)
; где q « - коэффициент температуропроводности, м^/с.
1 В иилиадрических координатах уравнение теплопроводности имеет вид
St &; 1 dt 1 &t . &t qv
г ~Зг+~?~ а&~+3? > + (9‘I2)
гдег — радиус; €>— угловая координата; z — продольная координата.
В сферических координатах уравнение теплопроводности имеет вид
dt ,1 ^(rtl 1 9 .. Jt.. 1 ^t
*< t— "• + -----/sm+ -fTT";—TTT^J
dr r dr rsw dp гг^гф wr
(913)
; гдйй гиф- сферические координаты.
176
При стационарной теплопроводности температура в каждой точке тела ь
dt
изменяется со временем, т.е.— = 0. В этом случае левая часть уравнений
дг
(9.10) — (9.13) обращается в ноль.
9.4. Условия однозначности для процессов
теплопроводности
Дифференциальное уравнение теплопроводности описывает явление
теплопроводности в самом общем виде. Существует бесконечно большое
количество процессов теплопроводности, которые описываются указанным
уравнением, но отличаются друг от друга некоторыми частностями. Чтобы
из бесконечного количества выделить рассматриваемый процесс и опреде-
лить его однозначно, т.е. дать полное математическое описание, к дифферен-
циальному уравнению необходимо присоединить математическое описание
всех частных особенностей, которые называются условиями одно-
значности, включающими: геометрические условия (форма и размеры
тела, в котором ’протекает процесс); физические условия, характеризу-
ющие физические свойства тела; начальные условия (распределение темпе-
ратуры в теле в начальный момент времени) ; граничные условия, определя-
ющие тепловое взаимодействие тела*с окружающей средой.
В общем случае начальное условие аналитически может быть записано
следующим образом: при г = 0 t = fQ (х^ у, z). В случае равномерного распре-
деления температуры в теле начальное условие упрощается: при т = 0
t = tQ = const. Если процесс стационарный, то надобность в начальном усло-
вии отпадает.
Граничные условия могут быть заданы несколькими способами,
Граничные условия первого рода. Задают распределение температуры
на поверхности тела для каждого момента времени:
tc=f(x,y, z, т), (9Л4)
где Те — температура на поверхности тела; х, у, z — координаты поверхности
тела.
В частном случае температура на поверхности тела может быть постоянной
при нагревании или охлаждении тела, поэтому tQ = const.
Граничные условия второго рода. Задают значение плотности теплового
потока для каждой точки поверхности тела и любого момента времени:
qc~f(x,y,z, т), (9.15)
где qc — плотность теплового потока на поверхности тела; х, у, z — коорди-
наты точки на поверхности тела.
В частном случае плотность теплового потока не изменяется во времени
= const.
V
176 . -
^Граничные условия второго рода должны задаваться в совокупности с
; формацией о значении температуры хотя бы в одной точке тела для како-
’либо момента времени. Без этого задача об отыскании температурного
ия становится неопределенной.
Граничные условия третьего рода. Задают температуру окружающей
:рды ?ж и коэффициент теплоотдачи а, характеризующий интенсивность
г-шообмена между телом и омывающей его внешней средой.
Плотность теплового потока в массе тела на граничной поверхности
Ьго тела вычисляется по формуле
1 dt
, «C = -^F;C’ (9Лб)
'йе с дп
'1Д
Гц, геи — нормаль'к поверхности тела; индекс „с” указывает на то, что гради-
ет относится к точкам, лежащим на поверхности тела.
' Из определения коэффициента теплоотдачи следует, что
(9.17)
Оедовательно,
3t / ч
= <9Л8>
Уравнение (9.18) является математической формулировкой граничного
словия третьего рода. В этом уравнении заданными величинами являются
юэффициент теплоотдачи а, температура омывающей поверхность тела
сидкости Гж и коэффициент теплопроводности тела X.
Дифференциальное уравнение теплопроводности совместно с конкретны-
ми условиями однозначности следует рассматривать как математическую
юстановку конкретной задачи. Однако постановка задачи не означает ее
1 эешения. Задача считается решенной, если вычислены температуры во всех
точках тела для любого момента времени, т.е. найден вид функции t = f
У, У, z, г) Найденная функция/(х, у, z, т) должна удовлетворять дифферен-
циальному уравнению теплопроводности (т.е. она должна обращать это
уравнение в тождество), а также начальному и граничному условиям.
Для решения задач теплопроводности разработаны различные аналити-
ческие и численные методы. Основные методы решения задач теплопро-
водности рассматриваются в гл. 10 и 11.
Глава 10. СТАЦИОНАРНАЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
10.1. Теплопроводность в плоской однородной стенке
Рассмотрим неограниченную плоскую однородную стенку толщиной 6,
1 поверхности которой параллельны плоскости yoz декартовой координатной
: системы и расположены прих = 0 и х = 6 (рис. 10.1).
177
V
Рис. 10.1. Плоская однородная стенка
На поверхности этой стенки заданы те или иные стационарные граничные
условия (первого или третьего рода) так, что эти поверхности являются
изотермическими поверхностями. Коэффициент теплопроврдности X для
всей стенки есть одна и та же постоянная величина. Внутренние источники
теплоты в стенке отсутствуют, т.е. qv = 0. Процесс передачи теплоты в стенке
является стационарным, т.е. температура в любой точке тела со временем не
меняется (— = 0). Требуется найти распределение температур в стенке и
дт
теплоту, передаваемую через стенку.
При условиях, когда граничные поверхности стенки являются изотерми-
ческими (т.е. температура этих поверхностей не зависит от координат у и
dt _ д21 _
z) , температурное поле в стенке является одномерным, т.е. — = 0, —- = 0,
dt _ - д21 _ ->
—= 0 и —- = 0. Вектор плотности теплового потока q перпендикулярен
dz dz
поверхности стенки и направлен вдоль оси х. Следовательно, уравнение
теплопроводности (9.11) для рассматриваемых условий принимает вид
Дважды интегрируя уравнение (10.1), получим
t = C1x + C2} (10.2)
178
Ж Са - йбйййвдые, значения которых определяются из граничных
। Тзш образом, изменение температуры но толщине стенки следует
жкону гфямой жиж. Дальнейшие вычисления проведем, сначала полагая,
%to заданы ГрШ^шые усйош первого рода. Затем рассмотрим случай,
когда задэйы граничные условия третьего рода.
? Гдомвде условия первого рода. Пусть будут заданы температуры
граничных воверхностей: при х = О I = *е1, а при х = S t~ /с2, при этом
/е1 > 41” эти Условия, определим да уравнения (10.2) постоян-
ные интегрирования С, й С2:
. Ci **с1; (10^3)
: <10-4)
ч
Подетавмв значения постоянных G и С2 в уравнение (10.2), получим
закон распредедежи температуры в стенке:
j‘ * (10.5)
Градиент температуры является величиной постоянной по всей толщине
стенки:
grad r-— в - ———• (10.6)
аЬс 5
1 Плотность теплового потока найдем, воспользовавшись законом Фурье:
X
<7—-Xgradr^- XG S~^C1 ’ 42^ W-?)
Количество теплоты Q, передаваемое за время т через участок поверхнос-
ethF стенки
X
: Q^tfFr ftcl - tc^Fr, (10.8)
; Количество теплоты, передаваемое через участок поверхности F стенки
за едидащу времени, называют тепловым потоком Ф
Гдажше условии ^ретьтт» рода. Пусть будут заданы температура
; среды (жидкость иля газ), омывающей стояку с левой (х < 0) стороны, и
179
температура среды, омывающей стенку с (х > S) стороны
(рис. 10.1). При этом гжд > tyQ; Заданными являются также:
теплоотдачи от среды с температурой гж| к стенке я коэффициеит тепло-
отдачи й-а от стенки к другой среде с температурой t^g. Неизвестные темпе,
ратуры поверхностей стенки обозначим соответственно и Отметим,
что постоянные интегрирования С\ и С2 в уравнении (Ж2) можко вычис*
лить по уравнениям (10.3) и (10.4), если будут определены температуры
*с1и(с2* • .
При стационарном процессе количество теплоты, получаемое стенкой
от более нагретой среды, равно количеству теплоты, отдаваемому за то же
время стенкой менее нагретой среде. Если бы было «агаче, то температура
стенки изменялась бы со временем, т.е. процесс был бы йестационарньни.
Следовательно, используя граничные условия, можем зайисать следующие
уравнения;
dt
~~ “0 = £^ ^ж1 *сР* (10.9)
QX
dt
-V—... <10Л°)
dt ъ -
~ ^^4><х<б -гс2^ (НМ о
В этих уравнениях неизвестными являются гср » Ф Чтобы найти
эти неизвестные, постутаим следующим образом.
Решим написанные уравнения относительно разностей температур
. л
гж1~ЛГ;> Саи).
«1
'с1-'ж2в~> (ЮЛЗ)
?С1 ?е2 (Ъ/6) ‘ (WH4)
Складывая правые чвсти этих уравнений и тцпфаащвая результат сумме
левых частей, получим
,ж1"(ж2*’*'~ + “* -)* (10.1S)
&
1вб
4з этого уравнения получаем формулу для вычисления плотности теплового
ютока в стенке
к =------------- . (10.17)
l/«i + 6/Х + 1/«2
Количество теплоты, передаваемое за время т через участок поверхности F
стенки от одной среды к другой
w (Ю.18)
Процесс передачи теплоты от одной среды к другой через разделяющую
их стенку называют процессом теплопередачи. Уравнение (10.18)
। называют в этой связи уравнением теплопередачи, а величину
к —коэффициентом теплопередачи плос ко й стенки.
Коэффициент теплопередачи плоской стенки численно равен количеству
теплоты, которая передается от одной среды к другой через единицу по-
верхности, разделяющей стенки в единицу времени при разности темпера-
тур этих сред в один градус. Коэффициент теплопередачи имеет размерность
Вт/(м2-К).
Величина, обратная коэффициенту тепло передачи, называется термическим
сопротивлением и обозначается буковй R
111 5
R = — = - + — + —. (10.19)
к ах «2 л
Термическое сопротивление стенки равно сумме внешних терми-
еских сопротивлений (термических сопротивлений теплоотда-
1 1
чи), т.е. — + —- , и термического сопротивления теплопроводности самой
«1 О,
6
стенки— .
X
После того как найдена плотность теплового потока, можно вычислить
температуру поверхностей стенок по формулам
Я
(10.20)
«1
fc2 = rx2 + £' <10-21)
«2
Выше была рассмотрена задача о стационарной теплопроводности стенки
при двух вариантах задания граничных условий. Возможны комбинирован-
ные граничные условия. Например, на одной поверхности стенки может
. быть задано граничное условие первого рода, а на другой — граничное
* условие третьего рода. Другим примером может быть случай, когда на одной
з поверхности стенки задано граничное условие второго рода, а на другой
181
поверхности — граничное условие первого рода. Для того чтобы найти рас-
пределение температур в стенке (т.е. найти входящие в уравнение (10.2)
постоянные СА и С2 ) при таких комбинированных условиях, используется
методика, базирующаяся на положениях, изложенных выше.
10.2. Теплопроводность в плоской многослойной стенке
Рассмотрим неограниченную плоскую стенку, состоящую из трех идеаль-
но контактирующих слоев различной толщины 615 62 и З3. Наружные по-
верхности этой стенки параллельны плоскости yoz декартовой координат-
ной системы и расположены при х = 0их-51+62+63 (рис. 10.2). Мате-
риалы, из которых выполнены отдельные слои, неодинаковы и характери-
зуются различными значениями коэффициентов теплопроводности Xi,
Х2, Х3. На наружных поверхностях стенки заданы стационарные граничные
условия первого рода: при х = 0 t = а при х = (31 + 32 + 63) t =
. При этом *ci > tc2-
При рассматриваемых условиях температурное поле в стенке является
одномерным. Изотермические поверхности перпендикулярны оси Ох.При
стационарном процессе количество теплоты, поступающее в каждый слой,
равно количеству теплоты, отдаваемой этим слоем. Плотность теплового
потока q во всех слоях одна и та же величина. В пределах каждого слоя
распределение температуры следует закону прямой линии (10.2).
Обозначим неизвестную температуру на поверхностях соприкосновения
первого и второго слоев символом t', а второго и третьего — t". Рассматри-
вая последовательно каждый слой в отдельности, напишем, базируясь на
формуле (10.7), систему уравнений
X,
<? = ^- ~Ч,
0-1
о 3 J
(10.22)
В этой системе уравнений неизвестными являются t', t" и q. Решая эту
систему уравнений относительно q (аналогично тому, как это было сделано
в '§ 10.1 при выводе формулы. (10.15) для теплопередачи однородной стен-
ки) , получим
1 ~ ^с2_________
^1/^-1 + ^2/^2 + ^зЛз
(10.23)
182
После того как найдено значение q можно вычислить температуры t'
> и'" при помощи первого и третьего уравнений, входящих в систему (10.22).
' Ця многослойной стенки в целом распределение температуры изображает-
аломаной линией.
Обобщая полученную формулу (10.23) для п — слойной плоской стен-
it, получим
а= Гс1.1/с2, (10.24)
4 п
2 «Д.
I = 1
Выше была рассмотрена задача о теплопроводности многослойной стенки
эи граничных условиях первого рода. Если в задаче о многослойной стенке
дданы граничные условия третьего рода, то расчетное уравнение для плот-
ости теплового потока q легко получить, добавив к уравнению (10.24)
равнения теплоотдачи (10.9) и (10.10). Перепишем эти уравнения в сле-
ующем виде
гж1-гс1 = -- Гс1-?с2 = ТГ-^---- ’ ?с2-гж2= (10.25)
Ж1 01 “ 2 6Д. °*
С I
i = 1
Складывая правые части этих уравнений и приравнивая результат сумме
тевых частей, полу^шм
*<'ж1 *ж2^'
’Де 1
' п
1/«1 + S Sz-/xf + 1/йг
i = 1
(10.26)
. (Ю.27)
Величина к называется коэффициентом теплопередачи многослойной
зтенки. Величина, обратная к, называется термическим сопротивлением
теплопередачи. Термическое сопротивление слагается из термических сопро-
тивлений теплоотдачи (l/«i и 1/«г ) и термических сопротивлений слоев
стенки.
Температуры и на поверхности стенки рассчитываются после
того, как вычислена плотность теплового потока по первому и третьему
(уравнениям системы (10.25).
183
t
103. Теплопроводность в цилиндрической однородной
стенке
Граничные условия первого рода. Рассмотрим бесконечную круговую
цилиндрическую стенку (бесконечную трубу) с внутреюшм радиусом г %
и наружным г2 при условии, что коэффициент теплопроводности^ материя*
ла постоянная величина (рис. ЮЗ).
Ось трубы совмещена с осью z цилиндрической координатной системы
rtpz. На наружной и внутренней поверхностях трубы заданы стационарные
граничные условия первого рода: при г = rY t = а ПРМ * * гг * = *с2*
ружная и внутренняя поверхности трубы являются изотермическими поверх-
ностями. Внутренние источники теплоты отсутствуют, т.е. ^=0. Требуется
найти распределение температуры в стенке и плотность теплового потока.
При рассматриваемых условиях температура в стенке изменяется лишь
ft fit 04 ‘
в радиальном направлении, т.е, t * f (г) и —- 0, s 0, ~т s
<fy az
В далиндрической системе коорджат температурное поле является одномер-
ным. Уравнение теплопроводности (9.12) для рассматриваемых условий
принимает вид
(10.28)
Рис. 10.3. Однородная цилиндрическая стенка .
dt
.< «Введем новую переменную U # —, которая является температурным
4т
к градиентом, Подставив переменную и в уравнение (10.28), получим диффе-
$ ршедадьнре уравнение первого порядка с разделяклщгмися переменными
*+Д.0_ (10.29)
• dr г
Hwno переменные и интегрируя, получаем
(10.30)
г
Г; гдеС\ - постояшая интегрирования. . .
Тедииератдаый градиент в цилиндрической стенке является величиной
переменной, умещающейся с. увеличением радиуса г. Плотность тепло-
вого потоки % яройо$оюадя»яа Г. Сйедователыю, плотность теплового
!. Потока также уменьшается с увеличением рад^са г.
W5
ЛЕКегтавм1'
Перегоняем урадендие (10.30) в следукедем виде
dt Ct
— e —.
dz г
Разделяя переменные и интегрируя, получки заков ршфоделе^я темне*
ратуры в цилиндрической стенке
f=Cjln r + Сг, (10>32)
где Ci и С2 - постоянные интегрирования, значения которых о^еденжотся
из граничных условий.
4 1
Таким образом, распределение температур в диладрическрй стенке
следует закону логарифмической кривой.
Используя граничные условия и уравнение (10.32), определим постоян*
ные интегрирования С\ и С2:
fcl ~^/с2
(1033)
А/г Ь*- . <»<*♦)
Подставляя в уравнение (1031) найденное значение Cl9 получим формулу
для температурного градиента
^cl ~ fc2
... I ...
tefaAJ г
(«Ш)
Плотность теплового йзтока $ найдем восподьзова&дшФ Законом Фурье ’.
» a fi q qyc\
Xgrad t= *— — — цизо;
Количество теплоты передаваемое '•& врем* гвервз участок трубы -
длжой! '.
2^^!»-Ч (103?)
-т'“
гдв<ь ™ плотность теплового Дошка - г 1 (на
Трубм); 4Га - НЙОТНОСЬ теплового (МЖММН® ЙОЙрэе^Р- :
титруМ’ . .
Подставляя в уравнение (10.37) значение qx (или q2), получим формулу
ля Q
п = 2п1Х—------— т. (10.38)
• Infofo)
В инженерных расчетах используется понятие линейного (погон-
Q'
ого) теплового потока q^ = — .Из формулы (10.38)1 следует
/т
<?,=2яХ ?С1~Г(:2 . . (10.39)
lnfo/rj
Из формулы (10.37) вытекает следующее соотношение между 7/, q\
^2
qi = 2^^! = 2nr2q2 . (10.40)
В заключение отметим, что при гх -+г2 формула (10.39) упрощается, так
r2 S S
сак In — = In (1 + —) « — где 6 = г2 — г\ (8 «гу).
Г1 гх гх
Граничные условия третьего рода. Рассмотрим ту же трубку, Пусть будут
заданы температура среды ?жр омывающей внутреннюю поверхность трубы,
и температура ?ж2 другой среды, омывающей наружную поверхность. При
этом f । > ?ж2- Заданными являются также коэффициент теплоотдачи
от более нагретой среды к стенке и коэффициент теплоотдачи от
стенки к менее нагретой среде. Будем полагать, что граничные условия
стационарны и однородны. При этих условиях наружная и внутренняя по-
верхности являются изотермическими поверхностями, а температура в стене
изменяется лишь в радиальном направлении. Обозначим неизвестные темпе-
ратуры внутренней и наружной поверхностей трубы соответственно Гс| и
?с2*
При стационарном процессе количество теплоты Q, получаемой стенкой
от более нагретой среды, равно количеству теплоты, отдаваемой за то же
время стенкой менее нагретой среде. Следовательно, используя граничные
условия, можем записать следующие уравнения
б = 2тгг1/а1 /7ж1 - Гс1) т,
Q = 2m2la2 (tc2-Гж2) г, I
?с1 ~ *с2
Q = 2itTK —-----—т.
Infofo)
(10.41)
187
В этих уравнениях неизвестными являются fcj » fa- ^паж систему
уравнений (10.41) относительно Q (аналогично тому, как это было сделан®
в § 10.1 при выводе формулы (10.15) для теплопередачи штоской стенки),
получим
«'"~г
2^0!
1 '
+ г’—
2ягаО2
(10.42)
где “-------линейный тепловой поток.
1 1т
Знаменатель левой части формулы (10.42) есть полное здшейное тер
мическое сопротивление щижндричеекой стенки (или лжей*,
ное термическое сопротивление теплопередачи):
_ 1 1 га 1
#1 = + — In — +------------, (10.43)
ndifli 2яХ Г1
где и 4з - внутренний и наружный диаметр трубы.
Величина, обратная полному лжейному термическому сопротивлению
цилиндрической стенки, называется линейным коэффициентом
теплопередачи цилиндрической стендо и обозначается символом kp
-----------------------i--------г-------f—• (W.44)
----- -— In *— * — ......
7Г«Х</Х . 2ff^ ГI
Линейный коэффициент теплопередачи численно равен теплоте, передав*-
емой в единицу времени от од ной среды к другой через стенку трубы длиной
в один метр. Линейный коэффициент тешюпередаж имеет размерность
Вт/ (м-К). С учетом этого понятия формула (10,42) преобразуется к виду
(1045)
После того как найдено значение можно вычислять звачения темпера-
тур *С1 и fa (вкутрвкквй и наружной поверхностей трубы) при помощи
первых двух уравнений системы (10.41), а затем вычисжть но формулам
(10.33) и (10.34) постоянные и С2, входящие в (1032).
W8
J 1^Тад^^т»даое»вм!югоеадйн<йя(ияи1^^еск0й
1 СЧПИВКс
^-. ’
г#ассмотрйМ бесконечную цедшцфическую сгонку, состоящую из трех
Йа») коишктярующдх слое» (рис. 10,4). Коэффициенты теплопровод*
эсти магормажв слоев Xj, Xj и Х3 заданы. Кроме того, заданы граничные
|ловдя первого рода; ориг^г^ г«Г1,апрйг«г4
Обозначай неизвестные температуры в местах соприкосновения слоев t2
.Spa г * Га ) и Г» (*фи г а г3 ), При стационарном процессе линейные тепловые
ртоки одинаковы во всех сдоях. Следовательно, базируясь на формуле
1039)»можем записать систему уравнений
• .............,
' Ьа Л**!* <|
f! г Г1 '
a J-.
’ „ -пч JLifL :
: 9* 2 JfXj '• “ • > >
j Решая эзм уравнения отноеитед^но разностей температур, а затем склады-
вая нолучеиийе выражения, в итоге предем к формуле
2»/h - М
i-
I
<и
(10.47)
1 ♦ гз
6
In
Обобщая формулу (10.47) на л*слойную стенку трубы, получаем
(Т* *= > ....... ..... *>, ,
1 Й 1 - \. + 1
Е — 1н 'v l
(10.48)
Если в Зйдаде о теедопроводаоети многослойной цилиндрической стенки
.идта граничные уствед третьего рода (т.е. t и ~ температуры
^утренней $ «аружой фед, и - козффицщенты теплоотдачи), то рас-
Рис. ЮЛ. Миогйсйойяая дилимдрическая tweca
четное уравнение дан линейного теплового потока можно получить, добавив
к уравнению (10.48) уравнения теплоотдачи из системы (10.41). Перепишем
эти уравнения в следующем виде
В системе уравнений (10.49) неизвестными являются tn + и
Складывая левые части- этих уравнений и приравнивали результат сумме
правых частей, в итоге получим
ql к1 ^ж1 ~ W’
'где
(10.50)
27ГГ!
1 п
+ — S
2л /=1
1
— In _L±1 + ---------
\ ri 2ятП + 1в’
(10.51)
- -------
1 1
Величина называется линейным коэффициентом теплопередачи много-
слойной цилиндрической стенки. Величина R[, обратная линейному коэффи-
циенту теплопередачи, называется полным линейным сопротивлением тепло-
передачи многослойной цилиндрической стенки.
Значения температур t\ и tn + । определяются после того, как вычислен
линейный тепловой поток сц по первым двум уравнениям системы (10.49).
10.5. Тепловая изоляция труб. Критический
диаметр изоляции
В инженерной практике часто возникает необходимость уменьшить тепло-
передачу между средой, движущейся по трубопроводу, и окружающим
трубопровод. пространством. Для этого применяют тепловую изоляцию.
Тепловой изоляцией называют покрытие, увеличивающее терми-
ческое сопротивление. Для тепловой изоляции применяют обычно материалы
с низким значением коэффициента теплопроводности (асбест, слюда, опил-
ки, шлак, древесина, стеклянная и шлаковая вата, пенопласт, асбослюда
и др.).
Исследуем влияние материала и толщины слоя изоляционного материала
на полное термическое сопротивление изолированного трубопровода. Рас-
смотрим трубу, покрытую с внешней стороны слоем однородного изоляци-
онного материала с коэффициентом теплопроводности Х?. Полное линейное
термическое сопротивление теплопередачи такой трубы определяется по
формуле
1 d3 1
------In +------------------, (10.52)
2лХ2 d2 ТТО2 «з
где di и d2 — внутренний и наружный диаметры изолируемой трубы;
d3 — внешний диаметр изоляционного слоя; Xj — коэффициент теплопровод-
ности трубы; — коэффициент теплоотдачи от движущейся по трубопро-
191
воду среды к стенке трубы; — коэффициент теплоотдачи от наружной
поверхности изоляционного слоя к окружающей среде.
В выражении (10.52) от толщины слоя изоляции (т.е. от диаметра d3)
зависят два последних слагаемых. Термическое сопротивление теплопровод-
ности слоя изоляции In (d3/d2)/2irX2 растет с увеличением толщины покры-
тия (т.е. с увеличением d3), а термическое сопротивление теплоотдачи
I/(яогd3) уменьшается (при заданном постоянном значении с^)- Последнее
связано с увеличением Поверхности теплоотдачи при увеличении диаметра d3.
При таком характере изменения двух слагаемых термическое сопротивление
R может иметь экстремум.
Исследуем на экстремум функцию (J3) . Возьмем первую производную
от этой функции по d3 и приравняем ее нулю
R} = ----!------—I—— = 0. (10.53)
2яХ2^3* Я«2^3*
Из уравнения (10.53) следует, что Rj имеет экстремальное значение при
диаметре изоляционного слоя
2Х2
d3 * - *
«2
(10.54)
Этот диаметр называют критическим. Критический диаметр зависит от
коэффициента теплопроводности изоляционного материала и коэффициента
теплоотдачи на наружной поверхности.
Вторая производная от R^ (d3) по d3 при d3 = d3* больше нуля. Следова-
тельно, функция Rj (d3) при d3 = d3* имеет минимум. Критический диаметр
соответствует минимальному термическому сопротивлению (и максимуму
теплового’потока).
Результаты анализа позволяют сделать следующие выводы:
а) Если наружный диаметр изолируемой трубы d2 меньше критического
диаметра d3* для выбранного изоляционного материала (Х2 ), то при наложе-
нии последовательных слоев изолирующего материала наружный диаметр
покрытия будет увеличиваться и достигнет критического значения d3*.
В этом случае по мере роста толщины покрытия до значения d3* тепловые
потоки будут расти, превышая потери неизолированного трубопровода.
При дальнейшем увеличении толщины покрытия (d3 > d3*} тепловые потери
начнут уменьшаться. Лишь при d3 » d3* можно добиться снижения тепло-
вых потерь.
б) Если наружный диаметр изолируемой трубы d2 больше критического
диаметра d3* для выбранного изоляционного материала, то при наложении
покрытия любой толщины будет иметь место увеличение термического
сопротивления и уменьшения тепловых потерь. Целесообразно использовать
изоляционные материалы с таким значением коэффициента теплопроводнос-
ти Х2 , при котором выполняется условие d3* = 2X3/02 < d2.
192
( i
। 1 рассмотрим сферическую стенку с радиудаа внутренней и внешней
аверхмостей Г: Н (ряс. 105). Центры сферических йэверхностей стенки
|вмвщены е литром сферической координатной системы г$ф. Заданы
* Йшквсарйы® граничные условия а^жо рода: при * = f i * ₽ й, а при г - г2
. Цри эявм 4 > h. • Внутренние источники теплоты отсутствуют, т.е.
а tj« 0. Козффшшент теплопроводности материала стенки постоянен. Требу-
par определить ракдеределение температуры в стеваке и плотность теплового
Мок& ,
: При раозиатряваемых условиях температура изменяется лишь в радиашн
ом «вправлении. В сферической системе координат температурное поле
алеется оджийерным,. Уравнение теплопроводности (9,13) для рассматри-
ь аемых условий ^рШшмает вид
} 41 М
= 0.
(10.55)
t
Rsc>. 105. Одй©рс|двая шаровая станка
193
Дважды интегрируя уравнение (10.55), получим
(10.56)
где и С2 — постоянные интегрирования, значения которых определяют''
из граничных условий.
Распределение температуры в сферической стенке следует закону гйпербс
лы. Используя граничные условия и уравнение (10.56), определим посте
ные Ci и С2 '
. ?1Г2
Q ~ (t\ ~ h)------------->
r2 - г i
Г2
Ci - t\ — (ti — t2)
r2 -ri
(10.57)
(10.58)
Температурный градиент найдем, дифференцируя выражение (10.56):
dt С2 rxr2 1
grad t = -~ =- -t2)--------------- .
dr r ,r2 - rv r
(10.59)
Плотность Фурье: теплового потока определим, воспользовавшись законом
?! Ъ 1
q = - \ grad t = \(ti - t2) J--------- — . (10.60)
r2 - ri r2
Количество теплоты Q, передаваемое за время т через сферическую поверх-
ность
Г1Г2
Q = 4irr2q;T = 4тг\ (tx - t2)-------- т.
Г2 -Г1
(10.61)
10.7. Теплопроводность в тонком стержне
Рассмотрим тонкий стержень с постоянной площадью F поперечного
сечения, изготовленный из однородного материала с большим коэффициен-
том теплопроводности Л, который можно считать постоянной величиной
(рис. 10.6). Температура на одном конце стержня поддерживается постоян-
ной, равной tx. На этом конце стержня разместим начало координат, а ось
ох направим вдоль стержня. Боковая поверхность стержня омывается внеш-
ней средой (газ или жидкость) с постоянной температурой г_, отличной от
194
Рис. 10.6. Теплопроводность стержня
ti. Коэффициент теплоотдачи а от стержня к среде вдоль всей боковой
поверхности стержня постоянен. Эквивалентный диаметр стержня d3 =
л/ А-F/ii мал по сравнению с длиной стержня I.
Будем считать, что поперечные размеры стержня малы, а коэффициент
ОД?„
теплопроводности большой и при этом число (—) « 1. В этом случае изме-
X
нейие температуры по поперечному сечению пренебрежимо мало. Темпера-
тура в стержне заметно изменяется лишь в одном направлении — вдоль
оси ох. Температурное поле в таком стержне является практически одномер-
ным. Однако, рассматривая малый элемент стержня, имеющий длину dx,
необходимо при этом учитывать сток теплоты во внешнюю среду. Количест-
во теплоты, отдаваемое за единицу времени элементом стержня внешней
среде, оставляет величину, равную
dQ = a(t - t^IIdx, (10.62)’
1 где П — периметр стержня; П dx — боковая поверхность элемента стержня
с длиной dx; t — температура рассматриваемого элемента стержня.
Если разделить dQ на объем Fdx элемента стержня, то получим величину,
з которую можно- рассматривать формально как некоторую интенсивность
\ объемного стока теплоты
dQ Па
QV r?j г? ~ ^Ж^’
v Fdx F
(10.63)
195
€ учетом вышесказанного дафференДййлъкое’у{йбВШй|е
ти (9.11) для сподиойарйого процесса (dt/dr » 0) в ршайирававмом
не принжиает следуюадйй вид
d*t Йа
X ТГ' ~~ =0
(10.64)
Преобразуем это уравнение, вводя Новую переМен8$ю0«* / ~
ЖК
#6
dx2
» ЗЧ
(10,65)
„ г«
где02*—. .
XF
Решение линейного дпффф&здйэд&ого уравнения второго порядка
(10.65) имеет вид
* ’ ' £;
«“C.e^' + Cie'^ {10Л6) J
' • ’ <
где С\ и С® — постоя1й1ьгежтег|Нфоваиия, которые опредешоетея зеэ гранюь ’?
У - - ‘ ’ |
Стержень мгрштенвой дзиияы (?->**), Бела 1 ** #% эдш фявичйскиж-
соображений следует, что нри х e0
- (*i - Из этих граничных условий и ураввеии® (10.66) еиедуеп
Si’Ci^Cb (ЮЛ7)
S^Cje * й€ /. (1(Ш) ?
»• А *
Равенство (X0j68) выполняется, если Ci £%
Таким образом, распределение темвературы в >
длины описывается зкенонео^аяыадй зависимостью
НЗЬс 1 **
0=/he (10.69) ;
* .
Количество теплоты ^!* йоа^шаде зд «дажу я$£ИЭД« в
через его основание (через йонй»Ьств Р х « б), ра®к>
тепла, отдавяешву стержнем за то же врмш стсружшйй Кшяпвеа^' -г"
во теплоты gj (тайловой нотоас) опредежм, ’
ошкушад* рвехфеддоюде тш^гуры (1©^) в <йдовд Ц. мззддеи1
Фурье < ,-С'
m
&W—; = ж (шло)
r=*0
’ 4
к
j Стержеаь зсыдоюй дайны. Беля второй конец стержня коневой длины
омывается окружающей средой, то граничные условия записываются следу-
ющим образом:
• прил^О, Гв^>, #*$i, . (10.71)
d&
4 : прих = £ -W—} mtfft.-tj, (10.72)
dx x*l 1 ж
^де ц - неизвестная температура второго конца стержня.
i Из этих граничных условий и уравнения (1046) следует
. ; #teCtfC2M (10.73)
Л
Сге^Г- С2<Г$(С^ *Сге~^₽0.
(10.74)
« Дг*
' Согласно ранее принятому условию, величина Поэтому
в уравнении (10.74) можно пренебречь членом, содержащим эту величину
В качестве сомножителя. С учетом этого положения получаются формулы
$16^
. ...J. .'.гп-, S₽ -с... , —, ,.,« , ,.t
е“^+е^ 2chf0/)
(10.75)
(10.76)
2cW>!
_ Подставляя найденные значения постоянных G и С2 в уравнение (10.66),
?Вояучмм
е 0 (1-х+(1-х) sk {0 (Z-x)J.
0 я в 1 - '" -." -1 ’—т-—— - "- я 9 j ——--———
з&Ш) dim
<10.77)
ж
Количество теплоты Qlf ткжушжуахее за еддаицу времени в стержень
i через сечение Fпрв х *0, равно
»
de Sh ((31)
Ql=-\F(—) = XFP(C2-Cl) = XFP6l (10.78)
dx ch (pl)
или
Qi = 0! V'gXhT th (Pl), (10.79)
где
Л - e-^Z e# + е~^
Sh ((31) =---------- , ch (pl) = ------------- ,
th (Pl) =
Sh (Pl)
ch (Pl) '
10.8. Теплопроводность в концентрических ребрах
Во многих тепловых машинах и аппаратах применяется для интенсифика-
ции процесса отвода теплоты оребрение теплоотдающей поверхности. Из
различных видов оребренных поверхностей наиболее распространены трубы
с концентрическими (круглыми) ребрами.
Рассмотрим стационарную теплопроводность в круглом ребре постоян-
ной толщины 5 « h (рис. 10.7). Температура основания ребра равна fj.
Коэффициент теплоотдачи а одинаков во всех точках поверхности ребра.
Отвод теплоты с торца ребра шириной 6 учтем заменой действительной
6
высоты h величиной Н = h +— и развернем ребро по среднему диаметру
б?Ср (рис. 10.7, б); Таким образом сведем задачу к рассмотренной в § 10.7
6
задаче о стержне конечной длины Н = h +—, периметр которого П = 27rd„n,
2 СР
а площадь поперечного сечения F - ж7Срб [31] . Тогда вместо Р в формуле
(10.79) будет величина к = \j2aj\b\ а вместо I величина Н
land ег
С,=-----
th (кН).
(10.80)
к
Если бы ребро имело по всей поверхности постоянную температуру
(в = 0 i = const), то тепловой поток от ребра в окружающую среду был
бы равен
Q2 =2a31TTd Н,
ср
(10.81)
где0г - Г
ЛХ.
198
Bic. 1&8. Зависимость коэффициента эффективности ребра от величины кН
Оребрение характеризуется коэффициентом эффективности 1?^
? <2i
л Ч« —*» з± t
Р ft кЯ
.г
j На рас. 10.8 я^авед^ зависимость?? от кН.
"й •
1
199
10.9. Теплопроводность в телах сложной формы
Выше были рассмотрены задачи о стационарной теплопроводности в телах
простой формы с одномерным температурным полем. Для этих задач полу-
чены аналитические решения.
В телах сложной формы с граничными условиями, изменяющимися
по координатам, температурное поле может быть двух- или трехмерным.
Во многих случаях аналитическое решение уравнения теплопроводности
для тел сложной формы получить невозможно. Поэтому для решения задач
о теплопроводности в телах с двух- и трехмерным температурным полем
используются те или иные численные методы (метод конечных разностей,
метод конечных элементов и другие [2; 23] или метод аналогий.
Рассмотрим метод конечных разностей (метод сеток) применительно
к задаче о стационарной теплопроводности в изотропном теле без источни-
ков теплоты с двухмерным температурным полем. Дифференциальное
уравнение теплопроводности для этой задачи имеет вид
d2t d2t
дх2~ ду2
(10.82)
Уравнение вида (10.82) называют уравнением Лапласа. Выведем соответ-
ствующее ему уравнение в конечных разностях. Разобьем исследуемое
пространство с помощью воображаемой сетки на элементы (рис. 10.9, а).
Область непрерывного изменения аргументов х и у заменяется конечным
(дискретным) множеством точек, называемых узлами. Разности значений
одних и тех же аргументов для двух смежных узлов Дх и Ду называются
шагами изменения этих аргументов. Температуры в точке О и узлах
сетки 1, 2, 3, 4 обозначим соответственно Го, tx, t2t t3 и Г4 (рис. 10.9 б, в),
а координаты точки О - X и Y.
Градиент температуры в направлении оси X для точки О' можно вычис-
лить по формуле
dt
(х~ ) Дх — - *о)/ДО-
Зх X+^,Y
(10.83)
Точность этой формулы возрастает с уменьшением Дх. Аналогичным обра-
зом можно вычислить градиент температуры в направлении х для точки О
(—) ^(to-tJ/Ax. (10.84)
дх Хх _
200
3
к
₽ИС. 1&9- К выводу уравнения теплопроводности в конечных разностях для двухмер-
1 него «оля:
: . а * 1фсстраиет»еняая стенка; б - распределение температуры вдоль осих; в - распре-
детве темйерзтуры вдоль оси у
! Теперь мЬждо определять вторую вроизводаую в ищфавлеяии оос х
i ®ва точки
(10.85)
' Таким ж& образом можно определить вторую производаую в направлении
3 ОСЖ^ дая Т0ЧКИ.О (рис, 10.9, в)
1
ЛI
201
Подставив значения вторых производных из (10.85) и (10.86) в (10.82)
и при условии Дх = Ду = Д получим разностную схему
д2 tjdx2 + д2 tidy2
= — (t\ + t2 + t3+t4 - 4 t0) = 0
Д2
или
h +t2 + t3 +'t4 - 4f0 = 0. (10.87)
Из уравнения (10.87) следует, что температура в любом узле плоской
сетки есть среднее арифметическое температур в соседних четырех узлах
сетки. Это одно из фундаментальных свойств уравнения Лапласа, следствием
которого и является (10.87). Условие (10.87) положено в основу одного
из методов численного решения задач теплопроводности, который называют
релаксационным. Этот метод состоит в следующем. В узлах сетки записы-
ваются ожидаемые, но произвольно выбранные температуры. В общем слу-
чае они не будут удовлетворять условию (10.87). Если t0 окажется больше
среднего арифметического температур tlf t2, t3, t4, то это значит, что в
точке 0 находится источник теплоты; если меньше,, то — сток теплоты.
В этих случаях разностная схема примет вид
ti +t2 +t3 + t4 -4r0 = R0- ' (10.88)
Величину Rq назовем остатком для точки О и запишем в виде
Ло= д,
А.
где q — объемная плотность теплового потокй в точке Оа
Для всех узлов сетки найдем остаток по уравнению (10.88).
О том, насколько точно были заданы значения температуры в узлах
сетки, можно судить по величине остатка. Там, где остаток окажется
наибольшим по абсолютной величине, значения температуры выбраны наиме-
нее удачно, т.е. они больше, чем во всех других узлах, отличаются от действи-
тельных.
Пусть в точке О величина R наибольшая (рис. 10.9). Наибольший остаток
делят на 4 и добавляют 1/4 Ro к остаткам соседних четырех точек, а темпе-
ратуру узла, где находился наибольший остаток, увеличивают на 1/4 перво-
начального остатка. Из уравнения (10.88) видно, что теперь остаток в узле
О станет равным нулю:
h + к + t3 + t4 - 4?q= 0, где t'0= t0 +~Ro .
• 4
Остатки в точках 1, 2, 3, 4 увеличиваются на 1/4 Ro, например в точке 1
, 1
R\ + Rq
4
202
алее все операции нужно повторить для следующего узла с наибольшим
ггатком. Этот процесс следует продолжать до тех пор, пока все остатки
нутренних узлов сетки обратятся в нуль или будут пренебрежимо малыми.
Ьзультирующие температуры в узлах сетки составят искомое решение.
1з сказанного следует, что время, затрачиваемое на решение задачи, будет
ем меньше, чем удачнее выбраны ожидаемые температуры в узлах сетки.
Рис. 10.10. Схема расположения узлов пространственной решетки
!ыбор этих температур удобнее проводить следующим образом. Вначале
ужно нанести сетку с крупными ячейками и с малым числом узлов, или
скомых температур. После решения задачи для крупной сетки нужно
меньшить размеры ячеек, а найденные в предыдущем расчете температуры
(спользовать для нахождения температур в узлах второй более мелкой
етки. Продолжая этот процесс, можно достаточно точно определить темпе-
>атуры в узлах сетки, выбранной для решения конкретной задачи.
Условие (10.88) можно обобщить на случай трехмерного температурного
толя, для которого оно имеет вид
П +tz + h +t4 + t5 + t6 -6tG =0,
i схема расположения узлов пространственной решетки дана на рис. 10.10.
Рассмотрим пример использования метода релаксации.
В трубе квадратного сечения (рис. 10.11) (размеры даны на рисунке)
ia внутренней поверхности температура ?вн = 200 °C, на наружной Гн = 0 °C.
Определить температурное поле в стенке.
Заметим, что аналитическое решение данной задачи очень громоздко.
Учитывая симметрию трубы, достаточно рассмотреть одну восьмую часть
поперечного сечения, т.е. найти температуры в точках a, b, с, d (рис. 10.11, б).
Зададим начальную температуру в этих точках равной 100 °C, тогда усло-
вие (10.87) даст наибольший остаток для точки а
R = 0 + 100 + 100 + 0 - 4 - 100 = - 200.
а
203
6
Рис. 10.11. Расчет температурного поля в стенке трубы квадратного сечения:
а - поперечное сечение трубы; б - сетка с шагом Д-Л
Разделим остаток R& = — 200 на четыре части и к остаткам для точек а4, b
добавим RJ4 ~ —50; в точках ах и я2 остатки не вычисляются, так как они
находятся на границе тела, где температура задана. Добавим к температуре
в точке а одну четверть остатка, т.е. —50°.
Теперь из условия (10.87) наибольший остаток будет в точке b: R^ =
50 + 0 + 100 + 200 — 4 • 100 = —50. Можно было бы новый остаток в точке b
не считать по (10.87), так как он равен старому остатку в точке b плюс
j?a/4. С остатком и температурой поступим так же, как в предыдущем
случае, тогда новая температура в точке b будет равна 87,5 °C; здесь следует
обратить внимание на следующую особенность: остаток R = —12,5 добавляют
к остатку в точке а, однако полный новый остаток в точке а будет равен
—25 после этой операции, так как вторая его половина поступит из точки
а4 (Ъ'), эквивалентной в данном случае точке Ъ (рис. 10.11). Дальнейшие
операции ясны. Когда наибольший остаток станет понижать температуру
на доли градуса, расчет при данных размерах ячеек сетки можно считать
законченным. Дальнейшее уточнение температурного поля можно получить
при уменьшении ячеек сетки. Температуры в точках a, b, с, d даны на
рис. 10.11,6.
Следует отметить, что релаксационный метод решения задач теплопро-
водности трудно осуществим на электронных цифровых вычислительных
204
ашинах, так как на них быстрее работать с уравнениями в циклическом
ррядке, нежели искать наибольшие остатки. Поэтому в практике инженер-
ых расчетов применяется итерационный метод Зейделя.
Метод аналогий основан на том, что ряд различных по физической сущ-
эсти явлений описывается одинаковыми по форме дифференциальными
равнениями. Для решения задач теплопроводности широко применяется
лектротепловая аналогия. Дифференциальное уравнение
ля стационарного распределения электрических потенциалов U в области
непрерывной проводимостью имеет вид, аналогичный уравнению тепло-
роводности
d2U дгУ d2U
~Т~г + ТЧ + о 2 ~°°
дх ду dz
Потенциальное электрическое поле можно рассматривать как аналог
емпературного поля, причем поверхности равного потенциала в поле потен-
далов соответствуют изотермическим поверхностям в температурном поле.
Метод аналогий позволяет установить распределение температуры в
сследуемом объекте по распределению потенциалов Ц. легко измеряемых
электрической модели объекта. Электрические модели могут быть дву^
ипов: модели с непрерывной проводимостью и модели со сосредоточенными
[араметрйми процесса (электрические сетки).
Для получения электрических сеточных моделей исследуемое тело разби-
вается на ряд элементарных объемов, как в методе конечных разностей.
Свойства тела „сосредотачиваются” в отдельных узловых точках вдоль
лектрических цепей. Для моделированных температурных полей разрабо-
। аны различные типы универсальных электрических сеточных моделей —
лектроинтеграторов.
10.10. Применение уравнений стационарной теплопроводности
к решению задач противопожарной безопасности
1. Температура на теплоотдающих поверхностях отопительных и других
нагревательных приборов, а также на необогреваемых поверхностях стен,
перегородок, перекрытий при квазистационарном режиме пожара может
ныть определена по следующим формулам:
однослойная плоская стенка
(10.89)
л.
многослойная плоская стенка
п 5/
tn+x~h-q 1 ч , (10..90)
i = 1 i
205
однослойная цкяадщрнческая стенка
t2=ti- to —
2я? X dt
6 71 1
ги+1 = G - -— S т* to
dj
(10MJ
шаровая стенка
2яХ dt
О8
(I
Z Температура в произвольном сменки тел, например в местах закладки-
арматуры в железобетонных конструкциях, Может бытьопредедана‘турайг |
нениям: . - 3
однослойная плоская стенка, формула f
многослойная плоская стенка •
X • |
/ = 1 1
-------X (1<МИ) I
X я. *
i “1
однослойная ципишфическая стенка, формула (10,32);
многослойная цилицармческаястенка '
• EtaSi ;
г=ч ' I
щаровяя стенка , г"
fc-lj 1 1 * •?
„—7 аош-г
1 _ Д г* * -
#•1 Га ?ч
3. Размеры зегшэд# изоляции адрешттнш нраабйфои дабаврове®^^
техяслргпческих аппаратов, неойадимые об^Шг
206
j пожарном отношении температуры на необогреваемых поверхностях,
йогут быть определены по уравнениям:
толщина однослойной плоской стенки
X
5------(t\ — t2 ) ,
Q
(10.97)
толщина слоя теплоизоляции многослойной плоской стенки
л — 1
- 2
i - 1
~ + 1
(10.98)
1
Ri
1
П
де X — коэффициент теплопроводности теплоизоляции; 2
т i -
’ермических сопротивлений всех слоев стенки, кроме теплоизоляционного;
наружный диаметр однослойной цилиндрической стенки
— сумма
2тг1Х
d2 exp f----------- ДГ),
(10.99)
-де Д? = ti — т2; Q — тепловой поток, Вт;
больший диаметр теплоизоляционного слоя многослойной цилиндричес-
<ой стенки
2я7Дг п — 1 1 d . 1
с/б = <7мехР —2
е г=1 \ dt
(10.100)
где dM — меньший диаметр теплоизоляционного слоя; Хт — коэффициент
теплопроводности теплоизоляции; At = - t + j — разность температур
-на внутренней и наружной поверхностях многослойной цилиндрической
п - 1 1 dt + 1
^стенки; 2 -In---------- — термическое сопротивление всех слоев, кроме
i = 1 Ху
теплоизоляционно го.
В формулы (10.89) — (10.100) входит ряд величин, которые необходимо
-определять предварительно.
Температура на обогреваемой поверхности и тепловой поток q (или Q)
могут задаваться условиями нормальной работы нагревательных приборов,
трубопроводов и т.д. или определяются по уравнениям конвективного и
(•лучистого теплообмена.
Коэффициент теплопроводности X принимается по средней температуре
h + h
. t стенки или слоя t„ =---------
ср ср
207
Величиной t2 в этом случае приходится предварительно задаваться и после
окончания расчета уточнять ее значение. Если окончательно найденное значе-
ние Г2 вносит погрешность в величину X более 5 %, то производится перерас-
чет.
„Безопасная в пожарном отношении температура на необогреваемых
поверхностях тел в общем случае определяется возможностью воспламене-
ния сгораемых веществ или материалов при их соприкосновении с данными
поверхностями.
На поверхностях отопительных приборов допускаемая температура при-
нимается в соответствии со СНиП-33-75. На необогреваемых поверхностях
стен, перегородок, перекрытий при пожаре допускается температура 160 °C.
Формулы (10.89) — (10.100) применимы, строго говоря, лишь при усло-
виях стационарной теплопроводности. Однако, если учесть, что стационарный
режим является предельным в случае нестационарной теплопроводности,
то эти формулы могут быть использованы для оценок возможных уровней
упомянутых выше температур при анализе обстановки, которая может
иметь место в условиях нестационарного процесса — процесса развития
пожара.
Для решения некоторых вопросов пожарной безопасности при одно-
временном действии конвекции, теплопроводности и излучения могут быть
использованы уравнения теплопередачи.
1. Температура на теплоотдающих поверхностях отопительных и других
нагревательных приборов, а также стенок, перегородок, перекрытий при
длительных пожарах может быть определена по нижеприводимым форму-
лам: ц
плоские стенки — по уравнению + —• При этом тепловой поток
^2
вычисляется по формуле (10.26), коэффициент теплопередачи по (10.27)г
коэффициент теплоотдачи по уравнениям конвективного и лучистого тепло-
обмена. Для определения коэффициентов ах, и X температурами и
t2 предварительно задаются, а далее их истинные значения находят методом
последовательных приближений;
цилиндрические стенки — по уравнению t , i = t + ------- . При
2^+1 “•
этом тепловой поток вычисляется по формуле (10.50), коэффициент тепло-
передачи по (10.51). Остальные замечания те же, что и для плоских стенок;
ребристые стенки. Температура в торце ребра (например, противопожар-
ной разделки) определяется по уравнению
Р ж ж ch ($1)
(10.101)
где — температура охлаждающей среды, К; — температура.в основании
ребра, К; ch — гиперболический косинус,
ch (fil) =-------------------
2
208
I Зесь e — основание натуральных логарифмов; I — длина ребра, м;
$ [ЪГ
$= v— ~ параметр, имеющий размерность 1/м; а — коэффициент тепло-
1 Х5
сдачи между поверхностью ребра и окружающей средой, Вт/ (м- -К) J 5 —
,!t мщина ребра, м; X — коэффициент теплопроводности материала ребра,
1/(м«К).
, 2. Температура в произвольном сечении тел, например в местах закладки
аматуры в железобетонных конструкциях, может быть определена по фор-
улам: '
плоские стенки
(10.102)
илиндрические стенки
t2 =tl - ^^1~Гж2^ lnr/rJ , (10.103)
2Х
шаровые стенки
^m^l-W/rT ~h <10Л04>
+ — + Ш Ж1 TixZr г 1 f
h “ *1 ~ ---------------------
4Х
Обозначения и порядок вычисления величин, входящих в формулы
'10.102), (10.103) и (10.104), те же, что и в предыдущих параграфах.
3. Толщины тепловой изоляции нагревательных приборов, трубопроводов
I технологических аппаратов, а также стен, перегородок, перекрытий, необ-
ходимые для обеспечения безопасной в пожарном отношении температуры
ia необогреваемых поверхностях, могут быть определены по уравнениям,
толучаемым из выражения коэффициента теплопередачи:
слой теплоизоляции многослойной плоской стенки
1 1 п &• 1
из к z = l Ху «з
(10.105)
где 6ИЗ и Х^3 — соответственно толщина и коэффициент теплопроводности
п 5 у
слоя теплоизоляции; S —-— — термическое сопротивление всех слоев
i’ = 1 Ху
: стенки, исключая слой теплоизоляции; для вычисления к предварительно
209
- 5ИЗ
задаются величиной ——;
наружный диаметр слоя тепловой изоляции
11 1 1 d2
d =d2exp [2Х - —-----------— In—Д, (10.106)
ki axdx 2X dx
1
для вычисления внешнего термического сопротивления -- предваритель-
«г^из
но задаются величиной d03.
В инженерных расчетах при отношении наружного диаметра цилиндричес-
кой стенки к ее внутреннему диаметру меньше 1,8 расчет толщины стенки
или слоя теплоизоляции можно вести по уравнениям плоской стенки,
Глава 11. НЕСТАЦИОНАРНАЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
11.1. Обобщенные переменные и уравнения
нестационарной теплопроводности
Нестационарная теплопроводность наблюдается при нагревании огражда-
ющих конструкций и оборудования в условиях пожара, при нагревании
и охлаждении различных металлических заготовок, при обжиге кирпича
и т.д.
Нагревание (охлаждение) помещенного в жидкость или газ изотропно-
го тела произвольной формы с характерным размером L, имеющего вначале
однородное температурное поле, описывается следующими уравнениями
(см. гл. 9):
dt d2t d2t 32t
— a (-+ — + —),
dr dx2 3y2 dz2
(11.1)
при т = 0, t = tQ,
где — температура жидкости; а — коэффициент теплоотдачи.
Входящие в эти уравнения величины а, X, гж и t0 предполагаются заданны-
ми. Эти величины можно рассматривать как параметры задачи о нестационар-
ной теплопроводности. Существует бесчисленное количество значений этих
параметров.
210
-Решение задачи (11.1) дает уравнение температурного поля
t =f(T,x,y, z, L, a, a, X, t0 (11.2)
Во многих случаях решить аналитически задачу, математическая форму-
лровка которой приведена выше, невозможно. Поэтому многие задачи
j нестационарной теплопроводности в телах сложной формы решаются
деленными методами с использованием ЭВМ. Численное решение представ-
ится в виде таблицы цифр, по которой трудно установить влияние отдель-
। их аргументов (независимых переменных и параметров) на развитие
zero процесса или влияние одних величин на другие. Численный (или экспе-
{(ментальный) методы позволяют найти решение для одного конкретного
;.учая при фиксированных значениях параметров. Для того чтобы придать
рультатам численного решения обобщенный характер, т.е. сделать решение
эигодным не только для одного конкретного случая, используются обоб-
юнные параметры, представляющие собой безразмерные комплексы,
оставленные из заданных параметров математического описания процесса.
Чтобы получить обобщенную постановку задачи о нестационарной тепло-
роводности, переходят от уравнений в размерной форме к безразмерным
равнениям. В качестве примера преобразуем к безразмерному виду урав-
ения (11.1), предполагая, что температура жидкости не изменяется
э временем. Вместо абсолютной температуры t введем безразмерную
?ж - t X у
)ункцию в = ——----- и перейдем к безразмерным координатам X ,Y =~
*ж ~ ^° L L
Z п
' =~,N В результате получим следующую постановку задачи :
(11.3)
при Fq = 0 0=1,
де - — - число Фурье; Bi = — - число Био.
L X
Решение задачи о нагревании тела в обобщенном виде может быть пред-
ставлено в форме однозначной зависимости
0=/(Bi,Fo,X, Y,Z).
(И-4)
Число Фурье является обобщенной переменной и имеет смысл обобщен-
ного времени. Число Био Bi представляет собой обобщенный параметр и
t представляет собой отношение термического сопротивления стенки (L/Х) к
* термическому сопротивлению теплоотдачи (1/а). Если Bi ~+°°, то это означа-
211
S'
i де
ет, что термическое сопротивление стенки велико и вс = Шп. [— —• (~~) р=0,
gj-тЮО С
т.е. температура поверхности, омываемой жидкостью, -> Л„. Если Bi О
39 е ж
то это означает, что (^) = — Bi#c ->0, т.е. температурное поле в направле-
нии N будет квазиоднородно (см., например, задачу о теплопроводности в
тонком стержне, § 10.7).
Для решения задач нестационарной теплопроводности используются раз-
личные аналитические (метод разделения переменных, метод источников,
операционный метод) и численные методы. Сущность- основных методов
поясняется в последующих параграфах при решении конкретных задач.
Подробный обзор этих методов содержится в монографии А.В. Лыкова,
Теория теплопроводности. — М.. Высшая школа, 1967.
11,2. Нагревание тела конечных размеров в среде
при малых числах Био
Рассмотрим задачу о нагревании тела ограниченных размеров (например,
шар или параллелепипед), изготовленного из однородного материала с
большим коэффициентом теплопроводности. В момент т = 0 это тело внезап-
но подвергается тепловому воздействию (нагреванию или охлаждению)
окружающей среды, имеющей неизменную во времени температуру t^.
До этого тело имело во всех точках одинаковую температуру tQ Тепло-
вое воздействие характеризуется заданным коэффициентом теплоотдачи а,
постоянным во времени и одинаковым для всех точек поверхности тела.
При этом число Bi = —max, включающее в себя наибольший размер
ГПиХ
этого тела (длина, толщина и т.д.), ничтожно малая величина. При этом
условии температурное поле в теле будет в каждый момент времени квази-
однородным. Математическое описание процесса нагревания существенно
упрощается:
dt
pcV — = a(t^-t)F, (11.5)
dr
при т = 0 t = tQ, (11.6)
где t — температура тела; V — объем тела; р — плотность материала; F —
поверхность тела, омываемая жидкостью; с — теплоемкость материала.
Решение уравнения (11.5) при заданном начальном условии (11.6) полу-
чим, разделяя переменные
г = гж-'Чк-гоЛ“'"Т, (11.7)
aF
где т=—-. (11.8)
pcV - 4 7
212
|го решение справедливо лишь при очень малых значениях числа Bi.
Нетрудно получить решение уравнения (11.5) так же и в том случае,
ши г =/(т), или а =/ (т).
ЛХ.
113. Нагревание неограниченной плоской стенки,
омываемой средой с постоянной температурой
Рассмотрим процесс нагревания (или охлаждения) плоской стенки толщи-
эй 6 = 2R (рис. 11.1). Стенка выполнена из однородного материала. До
ачала нагревания стенка имела во всех точках одну и ту же температуру
). Затем внезапно с обеих сторон стенка подвергается тепловому воздейст-
ию окружающей среды с неизменной во времени температурой t . Коэффи-
иент теплоотдачи а с обеих сторон стенки одинаков и не изменяется в про-
весе нагревания. Известны теплофизические характеристики материала
с — теплоемкость, р — плотность, X — теплопроводность). Требуется найти
емпературное поле в стенке.
Разместим начало координат в середине стенки, а ось ох направим перпен-
икулярно к стенке. По условиям задачи распределение температуры в
тенке должно быть симметричным относительно плоскостиyz. Температур-
ое поле в стенке будет одномерным, так как размеры стенки в направле-
иях у и z не ограничены. Из условия симметрии распределения температур
ю толщине стенки следует, что всегда должно выполняться условие
'3tfdx) _ q = 0. В связи со сказанным будем искать распределение темпе-
>атуры лишь в области 0 < х < R.
Рис. 11.1. К решению задачи о нагревании или охлаждении плоской стенки
213
dt
дт
d*t
8 дх2>
(НЭ>
dt
(ИЛО
= 0,
(ЦДЛ
it
да
(ИЛЗ)
' #
. t
(ИЛО,
&
sL’0-
приРо=0 0 = 1»
(НЛО,
>
(НЛО
Для того чтобы найти решешке шклгаажйиай задача, воттзуемся
я&а разделения тремевиых. Осноййая M«ei(w ^&&&^ ж
НИИ частных решений уравнения (ПЛЗ), удовлеп^йейх жому
нит и граздпшым узжзйод (И. 14) а (И Л5} Затем» ШйЭДжса ,
уравнения (ИЛЗ), решение задэти находят кж
УТИХ ЧаСТНЫХ 1фИ*№Ц ТИГуЖ КОТОра* ySK® К
ным условиям.
гм
(Частное решение уравнения (11.13) будем искать в виде произведения
дух функций
W = cU(F0)P(X),
(11.17)
гр U (Fo) - функция, зависящая только от обобщенного времени; Р /X) -
(Нгкция, зависящая только от координаты; С — произвольная постоянная,
зачение которой-определяется из начального условия.
'Подставим выражение (11.17) в уравнение (11.13) и разделим затем
временные. В итоге получим следующее равенство
1 dU 1 d2P
U dP0 Р dX2 ‘ (11-18)
Левая часть выражения (11.18) зависит только от времени; правая —
иько от координат. Поэтому равенство (11.18) возможно лишь в случае,
ети обе части равны какой-то постоянной величине, не зависящей ни от вре-
5НИ, ни от координаты. Эту постоянную величину обозначим т. Таким
«разом,получаем вместо выражения (11.18) два уравнения
1 dU
-----= т,
U dF0
1 d2P
— —- = т.
Р dX2
(11.19)
(11.20)
Интегрируя уравнение (11.19), найдем вид функции U:
u = c^mVo
(11-21)
де Ci — постоянная интегрирования.
Значение т должно удовлетворять физическим условиям задачи. В про-
цессе нагревания безразмерная избыточная температура 0 = (?ж - 0/(^ж~ Л>)
тремится к нулю. При наступлении теплового равновесия t = Следова-
.ельно, величина т может быть только отрицательной величиной. Если бы
величина т была положительная (т > 0), то прит~>°° (т.е. Fo~>°°) относи-
тельная температура В возрастала, как это видно из уравнения (11.17),
до бесконечности. Для удобства дальнейших вычислений введем вместо т
величину д2 - - т (величина д2 > 0).
Теперь рассмотрим уравнение (11.20). Это уравнение называют уравне-
нием Покеля. Перепишем его в следующем виде
d2P
------ — д2Р.
dX2
(11.22)
215
Анализ этого уравнения показывает, что вторая производная функция f,
равна самой функции с обратным знаком, умноженная на число д2. Таким
свойством обладают функции sin (дХ) и cos (дХ). Таким образом решение
уравнения (11.22) можно записать в виде
Р = С2 sin (цХ) + C3cos (цХ), (11.23)
где С2 и С3 — произвольные постоянные.
Подставив уравнения (11.21) и (11.23) в выражение (11-7), получим
частное решение задачи:
9= [A cos (дХ) +Bsin(nX)] e"^Fo. (11.24)
Здесь Л = CCjC3, B = CCiC2.
Частное решение (11.24) должно удовлетворять граничному условию
(11.15). Подставив в это условие уравнение (11.24), получим
(11.25)
Так как на протяжении всего процесса нагревания величина ехр
(—д2Ро) не равна нулю, то из уравнения (11.25) следует, что В = 0. Таким
образом, частное решение примет вид
0 =Acos(ijlX) е М F° (11.26)
С помощью второго граничного условия (11.14) найдем значения д,
удовлетворяющие этому условию.
Подстановка частного решения (11.26) в условие (11.14) дает уравне-
ние
д бшд = Bi со8д, (11.27)
или
Д
с1ёд = -. (11.28)
Bi
Уравнение (11.28) имеет бесконечное множество корней Д1, д2 , д3 . . .Ду,
каждый из которых удовлетворяет граничному условию (11.14). Решается
это уравнение сбыта о графическим путем (рис. 11.2) или путем подбора
• значений д. Корни уравнения возрастают с ростом номера i (дг < д2 < д3 <
. . .Ду <. . . ) . Чем больше номер i, тем ближе Ду к числу _(f — 1) я. В табл. 11.1
приведены значения первых пяти корней уравнения (11.28) для различных
значений числа Bi. Следует подчеркнуть, что д- =/(Bi).
216
& ЛГА7
ч
f
! ЗШ&вдэд WCWM чаСТых решений, подучим общее решение
'JywM-шшт m частых решений:
i
4№ *»
! Й’*2 сов (pfl е~*Г°. (11,29)
: Постоянные 4?- подбираются таким образом, чтобы решение (11.29)
Удовлетворяло начальному условию (11.16). Согласно этому условию,
«должно выполняться при Fo = 0 следующее равенство:
*
J ^.COS (ДОН 1. (11.30)
«Для отыскания ко^ффодентов умножим равенство (11.30) на
eqs я Гфшшжраруем все члены полученного выражения в преде-
:яахотХ =+1 доХ«—1:
Afj i*t,
>
f4,*4««W««<r f < « <• • i • « > *
217
+1 1
A t J cos2 (PjX)dX = 1 + <sin 2 nJ-
Подставляя результаты вычислений в (11.30), получим
2 sin д
А.=---------и----- .
1 щ + siR М/ cos Mf
(11.31)
Подставляя выражение (11.31) в формулу (11.29), получим решение
задачи о нагревании плоской стенки в окончательном виде:
t—t °° 2 sin ш —M?Fo
0 = -* _ =S -----------—-----cos^e 1 • (11.32)
ГЖ~ГО i = l + sin^cos^
Корни уравнения ctg д = Д/Bi
Таблица 11.1
Bi Pl й Мз Р4 Мб
0,001 0,0316 3,1419 6,2833 9,4249 12,5665
0,01 0,0998 3,1448 6,2848 9,4258 12,5672
0,1 0,3111 3,1731 6,2991 9,4354 12,5743
0,2 0,4328 3,2039 6,3148 9,4459 12,5823
0,4 0,5932 3,2636 6,3464 9,4670 12.5981
0,6 z 0,7051 3,3204 6,3770 9.4879 12,6139
0,8 0,7910 3,3744 6,4074 9,5087 12,6296
1 0,8603 3,4256 6,4373 9,5293 12,6453
2 1,0769 3,6436 6,5783 9,6296 12,7223
4 1,2646 3,9352 6,8140 9,8140 12,8678
6 1,3496 4,1116 6,9924 9,9667 12,9988
8 1,3978 4,2264 7,1263 10,0949 13,1141
10 1,4289 4,3058 7,2281 10,2003 13,2142
20 1,4961 4,4915 7,4954 10,5117 13,5420
40 1,5325 45979 7,6647 10,7334 13,8048
100 1,5552 4,6658 7,7764 10,8871 13,9981
СО 1,5708 4,7124 7,8540 10,9956 14,1372
Решение (11.32) является одновременно решением задачи о нагревании
неограниченной пластины толщиной R, когда одна поверхность ее (X = 0)
имеет тепловую изоляцию, а противоположная поверхность (X = R) нагрева-
ется вследствие теплообмена с окружающей средой.
Расчеты показывают, что в большинстве случаев существенное влияние
на значение вычисляемой температуры оказывает несколько первых членов
218
Йд, а для. шй ШтН числа Ш « 1 (тонкие стгнки, стенки с большой
то*й!ЫЙ результат получается даже при одном первом
И« су^мы ряда уравнений (1132),
1 При Ж«*О (орежна стенки) имеем
\в*™ J 9Хр MF°A
(11.33)
|й ЛГ* I (ПОверяйостьстенки)
!
I »е м * » —ЗВЯЖ- ехр f-д’ Fo) .
; я,- + smg#cos#iz *
i •'
(1134)
Из уравнений (И 33) и (11,34) видао, что относительные избыточные
ймпературы в датрс и на поверхности стенки (Р и 0 J зависят только
;т чисел Ро и Ш (величина является функцией числа Bi). Поэтому, для
щобства расчет» составлены графики
’ г
. Эти графики приведены на рис. 113 г 11А
Расход тешм Ма нагревание стенки (или потеря стенкой тепла при ее
Зслаждаиии) за время те оё&лх сторон определяется уравнением
-nr
। Для едаи»й алощвд поверхности стенки
! 00 2 sin Uf
e —- ~------------ JI-exp/-Д? Fo?]. (11.35)
J ^Ц/Stn^cos^
j Рассмотрим результатЫу вытекающие из формулы (1132) в двух пре-
«^»ных случаях - тфи Bi -*0 и Bi -►«».
; л
г а) Ёйди Ж то корни уравнения (1138) -* (2i - 1) Это хорошо
;Ь ' , 2
видно № ИЗ (Прямая У2 = д/В( в этом случае совпадает с
зясы» абсцисс). Следовательно, в этом случае
f
;; sifip|’*si& М -J =(—1/1*1 и ро?дг‘->сов [(21 - 1) -О,
2 2
/+1
кКоэтому *= (Ч /
4
219
220
ix=o
м
Рис. 11.4. Безразмерная температура на поверхности неограниченной плоской стенки
Формула (11.32) в этом случае прййгмает следуедад^ нш
4
” (-i)1*1 (И-Ц*
X. “-4г-сев I—
2
7Г'1
Из (1136) видно» что ч>и X 1 6 “ 0, 1фИ Ш -*** ««миерййЖ rpa- s
яичных поверхностей стенки с самого saw скачкообразна© WWW и
становится равной температуре омывающей среда (pise. ИЛ|. ©бра-.
зом, формула (1136) может рйссматршатьея как решение о натре*
вании (или охлаждении) лаоской стенки при граничных условиях первого
рода на внешней поверхности стенки (т4. щзи X Л t * > ~
Со временем Шнм ряда (ИЗб) убывают, однакос р«зиой (ясороетма. „
Из формулы (1136) видда^ например, что при Fo “1 все ww .
ная со второго, становятся пренебрежимо малыми по еравнаднию с первым
членом. Поэтому с некоторого момента времени изм^Шйе'температуры в
стенке будет описываться эксшкснциапшэй зависимостью
4 • яХ "4F<>
в= со, _, е . (г!37)
л 2
Pec* U3. &евЕредеде»зд темжр*ЗД>»> «
аю&в® при Эдою Ж -><* (Mwemr
времши 0<Tj < Т4<г} <«*>
it
Ж
Рис. 11.6. Распределение температуры в
стейке при числе B i О (моменты вре*
менИ<)<%71 <Tj <<»)
i..
б) Вели Ш -* О, то корни уравнения (11.28) Ду **(/ —1) л В этом слу-
/де sin Ду ~*В, a cos/ty-*!. Следовательно,
[Все остажиые коэффициенты Л у ряда (П.32) стремятся к нулю.
Уравнение (11.28) можно йредставить в виде ptjtgty а Bi. Из этого выра-
^деенияследует, что ирм -*0 имеем Ду -*v®.
С учетом результатов всех вычислений формула (11.32) при Bi -*0 пре-
Гобразуется к ви^
i e=eo8/xyffi>e~Fo И. (П.Э8)
Так как 0 < X < 1 я \/Ш « 1, то cos (X 1. Следовательно, при
лмашх числах ВГтемперэтурное поде я станке в каждая момент времени
е йвлаетея кдазио^то|И^шым (рис. Н .6):
(11,39)
Переходя в этой формуле к размерным величинам, нодучйм
Эта формула совпадает $ ранее полученной формулой (11.7) В § 112. f
’ / S
' л
1 11 - .
114. Нагревание круглого иесгрвяишной йявия*
омываемого я>едой с поетояз^^ 5
' ’ ' Й
Рассмотрим температурное поле в • сплошном одиородаом щодщдре^:
радиусом Л неограниченной длит (рис. 11.7) с аашмш одиородцымЖ
распределением температуры t9i обогреваемом средой с ностояжиой тыейе^|
ратурвй тж< Коэффициент теплоотдачи а па всей поверхности Дил№др*£
одинаков и не изменяется во времени. В цилиндре, длина jmroporoiwrpaffi^^
цена, температурное поле йри рассматриваемых краевых условиях 6yw4
одномерным в шодшдрической системе координат. Жффереяинальжиф
уравнение теилопроводаосж дни одномерного теэявературного водя в WX
линдрической координатной системе, ось z моткой (хшмдав! о ogk& kiH
лицдра, имеет вид 3
'j. я начальные условия задачей
I
I
J &t I %
^Л-l „ “'
(11.42)
(И43)
(11.44)
1Йт«О
|j i
№ :
* •
t ;
„ > Задача аналогична рассмотренной ранее задаче о нагревании плоской
' ленки я также решается методом разделения переменных.
; Интегрируя уравнение (11.41) и определив постоянные из начальных
:i. граничных условии (11.42) ,(11.43), (11.44), получим
ее
0 = 2
Р=1
14
htuf/R)e *1*°.
(П-45)
Уравнение (11Д5) по форме и построению полностью соответствует реше-
дифференциального уравнения теплопроводности для пластины. В
t - t . •
уравнешш (11.45} 0 = . — относительная избыточная температура;
а Ц.) и - функции Бесселя первого рода нулевого порядка
тт действительного аргумента; Zj (дг-) — функция Бесселя первого рода
Первого порядка от действительного аргумента; Fo = ar/R2 — число Фурье;
корян уравнения, которое имеет вид
4/^/1
(11.46)
* Уравнение (11.46) имеет бесконечное множество корней pj, д2,. . . /xz-,
. удовйетворяйлдих граничному условию рассматриваемой задачи. В табл. 11.2
шр|®едены значения первых Пяти корней при различных значениях
225
Таблица 1
Корни уравнения Io (др/П (jit) = /x/Bi
Bi Pl Р2 Рз Я4 Ms
0,01 0,1412 3,8343 7,0170 10,1745 13,3244
010 0,4417 3,8577 7,0298 10,1833 13,3312
0,20 0,6170 3,8835 7,0440 10,1931 13,3387
0,30 0,7465 3,9091 7,0582 10,2029 13,3462
0,40 0,8516 3,9344 7,0723 10,2127 13,3537
0,50 0,9408 3,9594 7,0864 10,2225 13,3611
1 1,2558 4,0795 7,1558 10,2710 13,3984
2 1,5994 4,2910 ,7,2884 10,3658 13,4719
3 1,7887 4,4634 7,4103 10,4566 13,5434
4 1,9081 4,6018 7,5201 10,5423 13,6125
5 1,9898 4,7131 7,6177 10,6223 13,6786
10 2,1795 5,0332 7,9569 10,9363 13,9580
20 2,2880 5,2568 8,2534 11,2677 14,2983
30 2,3261 5,3410 8,3771 11,4221 14,4747
40 2,3455 5,3846 8,4432 11,5081 14,5774
50 2,3572 5,4112 8,4840 11,5621 14,6433
100 2,3809 5,4652 8,5678 11,6747 14,7834
оо 2,4048 5,5201 8,6537 11,7915 14,9309
что корни р- зависят только от числа Bi.
Из уравнения (11.46) видно,
Поэтому значения относительных избыточных температур на оси цилиндра
и на его поверхности можно представить согласно уравнению (11.45) в виде
функций
0Ц=Л (Bi, Fo),
0c=f2 (Bi, Fo),
(И-47)
(11.48)
где 0ц = (?ж - tr _ д)/(?ж - t0) — относительная избыточная температура на
оси цилиндра, т.е. при г = 0; Ос = (?ж - tr _ ^)/(?ж - Л>) — относительная
избыточная температура на поверхности цилиндра, т.е. при г = R.
Зависимости (11.47) и (11.48) представлены на рис. 11.8 и 11.9.
Количество тепла, воспринятое цилиндром при нагревании или отданное
при охлаждении, для единичной длины цилиндра за время т
0T= J рс [?ж - t (г, г)] dV='nR2pc(tyv.~ t0]x
V
226
227
Рис. 11.9. Безразмерная температура на поверхности цилиндра бесконечной -
4x2 г- _ [1 - exp .
(11.49)
{ Вели Bl ** то формула (11.45) упрощается
j * 2
j.в * 2 fa.т/R} exp {
(11.50)
(этом cayw при r^R ®r=R TJS- *r*R ^ж' Ф°РмУла 01*50) является
' гшением здд&де о нагревания (или охлаждении) цилиндра при граничных
^юшх первого роде яа внешней поверхности пилийдра,
; Если Ш &л то формула (11.45) принимает следующий вид
.... 0S=e-'2B4FQ. (11.51)
Перехода к размерным величтщам, получим
, ат
t /2 * J
. *ж д<. рей
гж~/в
(11.52)
;« этом случае температурное поле в цищшдре в каждый момент времени
Вляется квззиодаородным.
11,5. Нагревание шара в среде с постоянной
температурой
Рассмотрен нагревание шара, имеющего в начальный момент времени во
-&ех Точках одинаковую температуру т0, при постоянном коэффициенте
теплоотдачи а на его поверхности в среде с постоянной температурой гж-
flap изготовлен из однородного материала и имеет радиус R
Воспользуемся сферической координатной системой, начало которой
^положено в центре шара. При заданных условиях температура в каждой
йике шара будет функцией только времени и радиуса, определяющего
лшожение этой точки.
Дифференциальное уравнение теплопроводности в сферической коорди*
жтной системе ДЛЯ рассматриваемых условий имеет вид
(11.53)
229
Краевые условия
Эта задача аналогична вышерассмотренным задачам а иагреваавни
стенки и
£ * £ - -* - -.. - * -;-. -. -
?=1
<U
F©“ ЧИСЛО
Л Ж . 1
0 * (*ж - *- 1<э) - относительная избыТоытая температура;
1).
(П58£
Уравнение (11.56)имеет бесчисленное множество корней при
значении М Значения первых нити корней Ирине деныв табл. ПЛ.
ТабитадаЦ.3
Кореи уравнения «в Д * - Д/(Ш -1) t
Ж Mi Да Mi '>A
1 2 3 ., 4 5 6 Л.
0,01 одж 4Д8М 1 ТЛ65 1 10.9050 14,0669
ОДО 03423 4315? 7,7382 10ДШ 14X3733
0,20 0,7593 4Д379 7,7511 1ОДЗД 14,0804
030 03200 43801 7,7641 г 10,9316 14,0875 * '
ОДО 1,0528 43822 7ЛТ7О 103408 14^)946 w\s
030 1ДШ 4,6(И2 7,7899 1М499 14,1017
^0 •J-
< Ж Д1 1 i i 44 * 1 p~ у ,.?4 / J’ ^5
T ’ 1 3 4 5 6
’V; V iM«8 4,/124 ii9956 14,1372
1 20288 4,9132 7,978? 11,0856 14,2075
2,?m 5,G87O 8,0962 M.1227 14,2764
2ЛШ 5,2329 8,2045 114560 14,3434
1 5Л540 8,3029 11,3349 14,4080
|С « МШ S,7172 8,6587 11,6532 14,6870
*’ i 2^930 5,mi 90019 12,0250 15,0625
3,0406 6,0831 9,1294 12,1807 15,2380
4 Ш51 4,1311 9Д987 12,2688 15,3417
f 3J0801 6,1606 9,2420 12,3247 15,4090
li 3,1105 64211 94317 12,4426 150537
ft :i 3,1414 6,2832 9,4248 120664 15,7080
При ЕЙ -^Оформула (1107) существенно упрощается
VsHi -Д1 cosMJ1 г
Mi -siaMi cos Mi JZ
M? -*3Bt
и
Вей члены ряда (11.57), аж исключением первого, стремятся к нулю.
1рй Ш ->0 формула (11.57) принимает следуюнщй вид
—3BiFo
0 * е
(11.59) *
Переходя & формуле (11.59) к размерным величшам, получим
с. -1
JS----«е
ат
“3 _
(11.60)
^4
’ На рис. 11.10 и 11.11 приведены зависимости
= ^sO’V/XFo) и
*
цде # 0» ?ж /гд° — относительная избыточная температура в центре
Г
Стара; 0 _ й =* ~ — относительная избыточная температура иа
ййоверхНоети шара.
t/K'i X'Q
Рис. 11.10. Безразмерная температура в центре шара
го
Рис. 11.11. Безразмерная температура на поверхности шара
11.6. Нестационарная теплопроводность в полу ограниченном теле при
постоянных граничных условиях первого и третьего рода
Рассмотрим теплопроводность в теле, простирающемся неограниченно в
направлении осей ± Z и ± У и + X (декартова система координат) и ограни-
ченном плоскостью, перпендикулярной оси X при X = 0 (рис. 11.12). Такое
тело называют полу ограниченным. Будем полагать, что тело имело вначале
во всех точках одну и ту же температуру t0. В начальный момент времени
это тело внезапно подвергается тепловому воздействию окружающей среды,
температура Гж которой остается неизменной с течением времени. Не изменя-
ется также со временем коэффициент теплоотдачи а. Необходимо найти
распределение температур t (х, т) по направлению X в глубину тела. Уравне^
ние теплопроводности и краевые условия для этой задачи:
dt d2t
— - а (--)
dr 1 dx2>
(11.61)
t (x, 0) = t0 ~ const;
dt (t)
dx
x = 0
a
— t(T)] t(^,T) = to,
AV
(11.62)
dt rj/dx =0,
Задачу можно решить методом преобразования Лапласа (операционным
методом) [31] :
Рис. 11.12. Теплопроводность в полу-
ограниченном теле
234
4*?o 3v^ xc \
; ж
J |Х«йеЙ/2 ^*«5$?/^ .
"(11.63)
je erfe - д<итй0впвиы»й функция ошибок, равная
1 2
< 4 «о -ьж2
Ierfcfar/® 1-erf/ж/“ J e dz ,
vHT
,f V X
rf(x) _ Гауссов интеграл ошибок (функция Крампа) *.
- В табл. 11.4 приведены значения функции erf (х/2\^г).
it '
Таблица 11.4
Значения Гауссовою интеграла ошибок
; X 2у/о? €rf х erf . X ' erf X erf
2\far 2\fir 2^.
,00 . 6,0000 0,50 0,5205 1,00 0,8427 1,50 0Д661
>Дб 0Л125 0,60 0,6039 1,10 0,8802 ’ 1,60 0,9763
-ДО 0222? 0,70 0,6778 1Д0 ОД 103 1,70 0,9838
W 0,ЗЖ ОДО 0,7421 1,30 0Д340 1,80 0,9892
Ио - . 0Л284 l„ 0,90 0,7969 140 0Д523 2,30 0Д989
Г
i Плотность теплового потока на поверхности тела
(11.64)
' ДиффёренТцфуя уравнение (11.63) по X и полагая X = 0, получим выра-
жение для (rff/d&r}* - g. Подстановка этого выражения в формулу (11.64)
Фет
а 2 д
К Г- / И «rfc [(Г" / • (11.65)
• Хс - Хс
з * erf и erfc происходят от английских слов: erf - error (ошибка), function (функ-
$КИя); erf - „функция ошибок”. Последняя буква „с” в обозначении erfc происходит
t err слова corHpiereent (дополнение).
235
<1U'
Из закона Фурье и уравнения (11.66) найдем плотностыадювого
о
в сечении X = 0 при —>о°:
<1 = V -- “±-~—
Я Ф
В этом случае Температура поверхности тела (X » 0) становится сразу равнШ
температуре омывающей среды. Формулу (11.66) можно рассматривать!
как решение задачи о нагревании нолуограниченного тела при граничны^
условиях первого рода на поверхности тела. |
л
При пожаре передача теплоты к нагреваемому телу от факела «да
с высокой температурой Г$ происходит в основном за счет лучистого т
обмена пока температура нагреваемого теля относительно невысока,
известно (см. гл. 17), тепловой поток, поступающий в поверхность Наг
емого тела, прямо пропордаозаален разности четвертых степеней абсолю
температур поверхностей тел, участвующих в теплообмене
«-в^ф*-Ге4Л ‘ (ЛЛ8)1
Если Тс « Гф, то вторым Членом в скобках выражен®» (11*68)
пренебречь. В этом случае тешювой гадзк, восПрюй®&ШМыЙ поверхностью
нагреваемого тела, будет величиной постоянной, если Гф ~ const
‘«t-
0 = 0T4**consL
Аналогичная ситуация может теть мто при нагревакш? wi b печах
вьюокой тшперагурой. .
Лрощрсс нагревания тел при указанных условиях описывается уравнением
докшровойнкяй « гргшичпыми условиями второго рода (ем. гл. 9). Ниже
^смжтривадатся * телах простейшей формы.
.'ТОН©. Полуограниченное тело (рис. 11,12), имевшее
)!(септковую температуру гв,_ внезапно в момент т « О подвергается
деловому воздейсттэпв» которое характеризуется постоянной плотностью
тфкиюго поток» <с во всех точках поверхности этого тела. Необходимо
лгя распределение- температуры вдоль координатной оси X, направленной
жубияу тела, для любого момента времени.
Йдй ^юсжхриввемой задачи уравнение теплопроводности то же, что и
зфадыдущей задаче (§ 114). Краевые условия
4
нри т^ О, Т Т0 = const, (11,70)
(П.71)
х = 0
*0, ^“*,овв^’
. (11.72)
х ->*»
Для решения этой задачи воспользуемся следующим приемом. Перейдем
„ dt
.с переменной t к переменной ^ = — X (^"). этой целью продифференци-
рем уравнение теплопроводности (11.61) по X;
dt В
t
i Уравнение (1L73) можно записать в виде
U dt & dt
& r dx}
> Краевые усяоаиа дая новой перемеягой <j
(11.75)
‘^ic^ *8» - . (11.76)
1 .
при т = 0: q = qo = 0.
(11.77) -
С математической точки зрения сформулированная задача (11.74) -
(11.77) об определении поля q (х, т) точно такая же, как и рассмотренная>
в § 11.6 задача об отыскании поля t (х, т) в полуограниченном теле при
граничных условиях первого рода. Следовательно, можно воспользоваться,
готовым решением (11.66), подставляя в него вместо t (х, т) функцию
q (х, т), а вместо величины t* заданную величину qQ. Таким образом, реше-
ние поставленной задачи имеет вид
, х
q(x,T) = qc [1 — ert(-----)]. (11.78)
2 \/ат
Для того, чтобы найти распределение температуры, обратимся к закону
Фурье, из которого следует
f = q(x,T)dx + tQ. (11.79)
х
Подставляя в уравнение (11.79) формулу (11.78) , получим
t = tQ +—— x/orierfcf-----—), (11.80)
X 2 у/ат
1 -62
где ierfc 0 = — е р - 0 erfc 0.
у/п
Неограниченная стенка. Рассмотрим процесс нагревания плоской стенки
с однородным начальным температурным полем (рис. 11.1) при одинако-
вых граничных условиях второго рода на обеих ее граничных поверхностях.’
qY _ + р = q = const, (11.81)
«х=о = о. (11.82)
Для определения температурного поля в стенке можно воспользоваться
тем же приемом, который был использован при рассмотрении предыдущей
задачи. Распределение температуры в стенке описывается уравнением
q. ат R2 - Зх2 00 z + 1 2 х , -ju? Fo, z _
t = t0+~[------------— + Я2 (-1) —cosfjiL.— 1 1,(11.83)
X A 6R i = \ lR
где pt- = iir — характеристические числа.
Аналогичным образом решаются задачи о нагревании цилиндра и шара
при постоянных граничных условиях второго рода [23].
238 14
111.8. Нагревание параллелепипеда в среде с постоянной температурой
'Выше был рассмотрен ряд задач нестационарной теплопроводности при
оцомерном температурном поле. Располагая решениями задач для тел
прстой формы (неограниченная стенка, неограниченный цилиндр, шар),
мжно найти решения некоторых задач и для тел более сложной формы с
ух- и трехмерным температурным полем. Это можно сделать путем комби-
нщи имеющихся „одномерных” решений.
Рассмотрим нагревание параллелепипеда (рис. 11.13) с размерами 2АХ>
1Y, 2RZ из изотропного материала с начальной температурой 10, одинаковой
в всех точках этого тела. В момент г =0 параллелепипед погружается в не-
кторую среду с температурой > f0, которая остается неизменной в тече-
не всего процесса нагревания. Коэффициент теплоотдачи а также не изме-
нется во времени и одинаков на всех участках поверхности параллелепи-
ща. Требуется найти температурное поле в этом теле.
Воспользуемся декартовой координатной системой, начало которой раз-
метим в центре параллелепипеда. Распределение температуры при заданных
уповиях симметрично относительно начала координат.
Математическая формулировка задачи состоит из уравнения теплопровод-
исти
Рис. 11.13. Нагревание параллелепипеда
(11.84)
239
и краевых условии!
Начальные - При г » О
tfa, у> z} 3 =* const,
граничные - при т >0
(П
Решение этой задачи можно представить в виде произведения решений
трех неограниченных стенок, пересечением которых образован данный
лелепипед, тх.
в fa, у, z, ~~ Tj&fr T}&fa rl (И
he-**
где 9 fa, т) - функция, определяемая ио уравнению (1Ш при
что значения щ вытесняются дня числа a W0 Fo®( а т/ /
в fa, г) - функция, определяемая so уравнежю (11.32) при условии,
значения щ вычисляются для числа ВНа^Д, а число
т)~ функция, определяемая по уравнению (НЛ1) при условии, что
щ вычисляются для чисел В£=^^Д, а тесло Fo« йг//А
Функция (1L89) удовлетворяет дафферецциакьн^г. уравнению '
проводиоети (11.В4) и краевым условиям, о чем нетрудно убедтся
подстановки. Действительно, подставив функцию (11Л9) и урдеиет
проводиоети, получим после несложных преобразований следующее
ние
8{у.т)в(1,т)1^к^ _?^J+
+t(x,T)9Ml^L^
&т &у
+в^л;е/>,т/. ‘, ' di
Как было показано раньше в | НД функция фк, г),
негадем (11.32), обращает в «ель выражение, седмде в вервых
ных скобках. То же следует сказать о выражедмях, «ашх во вторых
щтьих скобках. Таким образом, функция (11.89) обращает уравнение
(Т84) в тождество. Следовательно, уравнение (11.89) является решением
|!?жтавленной задачи.
Аналогичным путем можно получить решение задач о нагревании круг-
ло цилиндра конечной длины и других тел [23].
h
11.9. Регулярные тепловые режимы
'Рассмотрим процесс нагревания (или охлаждения) в среде с постоянной
мпературой гж некоторого тела, начальное распределение температур в
втором (при т = 0) задано известной функцией То = fix, У,?)- Как было
уе показано ранее, решение уравнения теплопроводности при граничных
уловиях третьего рода в этом случае можно представить в виде бесконеч-
1 в го ряда
оо 2 г?
е=^=1^^(х,у,г)е °, (11.91)
!>е $ =гж — r 6*, T,Z,T) - избыточная температура; Az- — постоянный коэф-
ициент, не зависящий от времени и координаты; Pj(x, у, z) - собственная
ункция задачи, являющаяся решением характеристического уравнения
V2 в + 3; 9 = 0,
довлетворяющие граничным условиям третьего рода; дг- — ряд дискретных
исел, называемых собственными значениями задачи, при которых характе-
ристическое уравнение с соответствующими граничными условиями имеет
{енулевые решения; Fo = (aT - числоФурье; R3 — некоторый характер-
{ый размер тела.
Решение (11.91) можно переписать в виде
в = AiPJx, у, z)s т'Т+ А2Р2(х, у, z)e т2Т + ..., (11.92)
гдешг'=^ — положительное число.
э
Значения возрастают с увеличением номера члена ряда, так же как Ду:
тх <т2 <т3 <... <mz<...
Рассмотрим поведение ряда (11.92) с ростом времени. В начальные мо-
менты времени, т.е. при малых т, все члены ряда могут быть равнозначны.
Со временем все члены ряда убывают, однако с разной скоростью. Посколь-
ку mi < т2 < т3 < ••> то члены высших порядковых номеров убывают
быстрее. Со временем члены ряда, начиная со второго, становятся пренебре-
, жимо малыми по сравнению с первым членом, поэтому изменение темпера-
туры в любой точке тела будет описываться экспоненциальным законом
в = АхР2(х, у, z) е (11.93)
Функция Рх (х, у, z) по определению не зависит от начальных условий, а
А!, хотя и определяется из начальных условий, но не зависит от координат
241
точки и является постоянной для всех точек. Поэтому можно считать, чт$
начальное тепловое состояние тела по истечению некоторого времени не
оказывает уже влияния на закон изменения температуры во времени во
всех его точках. Момент, начиная с которого изменение температуры всех
точек тела следует закону (11.93), называют началом режима упорядочен
ного процесса нагревания (или охлаждения) или началом регулярного ре-
жима. Режим нагревания (охлаждений после этого момента называют
регулярным (или упорядоченным).
Логарифмируя выражение (11.93), получим
In в = т1т + F(x, у, z). (11.94)
Скорость изменения величины логарифма избыточной температуры в
области регулярного режима для всех точек тела одинакова, т.е.
<?1п0
----- =-mi. (11.95)
о т
Зависимость In в от т в области регулярного режима приобретает линей-
ный характер, причем угол наклона прямых In 0 = f (т) для всех точек тела
одинаков и равен = — arctg mx (рис. 11.14). Величину m (индекс далее
опускаем) называют темпом нагревания (или охлаждения). Число m зависит
от размеров и формы тела, физических констант X, р, а и от условий тепло-
обмена на поверхности рассматриваемого тела. Например (это было получе-
ние. 11.14. Зависимость логарифма избы-
точной температуры от времени при
регулярном режиме
242
tie § 11.3), для пластины темп нагревания равен
‘/и = , (11.96)
R
ctR
г’ Mi - f (Bi) = f f-) — первый корень уравнения (11.28); R — половина
X
1лщины пластины; а — коэффициент температуропроводности.
Чем больше число т, тем быстрее происходит нагревание тела. Величина,
1
ератная темпу е = —, служит мерой термической инерции тела.
т
Существенным свойством регулярного режима является то, что поле
мператур в теле удовлетворяет условию независимости величины отноше-
Ля избыточных температур любых двух точек тела от времени. В этом лег-
D убедиться, поделив полученное из формулы (11.93) выражение для
\ (ХА.', Уд, Za, т) на выражение для 0g (Jfg, Kg, Zg, т):
0A Pi (Хк, Уд, ZA
_2 = ___2________А 2 = const . (11.97)
«в Л ^в> *В, ZB
Это условие означает, что поле температур при регулярном режиме остает-
1 подобным самому себе.
В соответствии с типичными законами изменения во времени температу-
ы среды гж различают регулярные режимы трех родов. Рассмотренный
ыше^ж = const) называется регулярным режимом первого рода. При этом
ежиме изменение температуры в каждой точке тела происходит по экспо-
енте, одинаковой для всех точек. Регулярный режим второго рода наблю-
ается при условии, что температура среды меняется во времени по ли-
ейному закону, т.е. (dty^/дт} = const = в. Этот режим характеризуется тем,
то при ею наступлении скорость изменения температуры во всех точках
ела становится одинаковой и постоянной, равной скорости изменения тем-
(ературы внешней среды:
dt dtw
_ л*
дт дт
(11.98)
Регулярный режим третьего рода налюдается при периодическом измене-
ми температуры внешней среды. Характерным для этого режима является
о, что температура любой точки колеблется около своего среднего значе-
шя с тем же периодом, что и температура окружающей среды (амплитуда и
[>аза могут быть иные). Общим во всех случаях является то, что все эти
эазновидности регулярного режима математически описываются законами
вменения температурного поля во времени, не зависящими от начальных
условий, общими для всех точек рассматриваемого тела.
Закономерности регулярных режимов находят широкое применение при
решении большого числа практических задач (для определения коэффициен-
тов теплопроводности, температуропроводности, теплоотдачи и т.д.). Рас-
смотрим некоторые закономерности регулярного режима первого рода.
243
Как уже было отмечено, ряда
ров. Эту закономерность мы рассмотрели да примере шедгяим Тедар*
ведем общую зависимость для тей любой формы. Наедем щенят-
по поверхности температурной разносш между температурой
температурой среды
о S , '
Полагая коэффициент теплоотдачи а постоянным ММ Жех
теплоотдающей поверхности S, равным Некоторому еред^^му своему
нмю, количество тепла, поступающего в тело, можно ввозить формулой
dQ-ctySdr. (И
Введем понятие средай темзюратуры по объему тела F
Г’-— ftfay>z)dV
V V ¥ - . • .
Из закона сохранения деерпа следует 1 “ '
ср F^=«^Stfr (Н.КЙ^
ИЛИ . -4
j£T, «А V ’ ' &
ср ~аГ = ~у > 1 (U-ииЙ
где&r=t^ гж При гж ® const - температура внешнейерещ»
Выразим через >
г,=-^, (11
еде ф - некоторая функция, которая в ежу того, что регулярном
ме температурное поле во времени остается зддо&одм самому себе, не
висит от -I,
Подставляяныражаов (11,102) »формулу (fl. 101),иопуей»
dh£ ,5 ’
ср —! (идоаь-
«г v
„ .
Цжшедодная t1l ,г тят жаэдедедм здшШк£&еж>вазедыэ&
уршейы (П.103) пояушм
, Ж- ' . - , ' <'
. * (ПЛ.
•
зм<
фетт $ характеризует стент неравномерности температурного поля.
«ТО $ptt Ш -* © (практически при Ш < 0,1) имеем ф=1, при Ш -* «>
nyw Ш > 100) -* 0. Для тел простой формы и произвольных
^дйя Bi можжо иолучнп сяедутедаю аналитические формулы для ф (см.
| |Д НА U3):
^лявжнш
ц. <ф *Л у **••> •> ) • . (11.105)
; в »
% 4
даиийра * т
ц, > ----------/^—’ <»'«*)
3I (1 -я/—ctgS V—; J
41 Л
; для цилиндра
» Г™ г ,ь /*« .
/да V Л V 1
, $ (R v —и» } » ..»„,„ ,^ и.'~'.‘'?. '—— ;
; а
j ‘ й
/1 -Бссоадены функции.
’ При BI ~* о° тема! охлаждения стремится к конечному пределу, не завися-
щему от Ш и прямо иропор1Ж>нальному коэффициенту температуропровод-
|рсти а (мо аодржвыие называют первой теоремой Кондратьева):
(11.107)
Коэффициент пропорциональности к называют коэффициентом формы
Ой шиеит рт размеров и формы тела, например
для пластины (см. § 113)
к - (2R - толщина пластины);
_> до« шара (см, §113)
I J?3
. *”*т- -pw*rt;
эт
if
> для бесколечного цилиндра (см. §11.4)
* * *5* радиус цилиндра);
для параллелепипеда со сторонами 2RX, 2Ry, 2RZ
для цилиндра конечной длины
(R - радиус цилиндра, I — длина цилиндра).
11.10, Численные методы решения задач нестационарной теплопроводности
Аналитические методы позволяют эффективно решать сравнительно
узкий круг задач нестационарной теплопроводности. Вышеприведенные ре-
шения ряда задач получены для постоянных граничных условий (а = const
и гж= const или qc = const). При изменяющихся со временем граничных
условиях и сложной конфигурации тела построение аналитических решений
наталкивается на непреодолимые трудности. В этих случаях необходимо
использовать численные методы решения. С появлением электронных вычис-
лительных машин (ЭВМ) эти методы приобрели решающую роль в практике
инженерных расчетов.
Для численного решения задач теплопроводности в настоящее время ши-
роко применяется метод конечных разностей (метод сеток).
Рассмотрим одномерную задачу о нагревании плоской стенки толщиной
5 (рис. 11.1) в течение времени Г при граничных условиях первого рода.
Задача состоит в отыскании функции t(x,r), удовлетворяющей в области
определения D = <0<х < 6, 0 < т < Г}- уравнению
3t _ d2t
дт дх2
начальному условию
t(x, 0)=fi (х)
(11.108)
(11.109)
и граничным условиям первого рода
t (0,т) =f2(r); t(b,T)=f3(r). (11.110)
Разобьем область определения равномерной прямоугольной сеткой с ша-
гом Дх в направлении оси х и шагом Дт по временной оси т. Пронумеруем
точки деления оси х: 0,1,2,3., i,..., п. Координаты этих точек определяются
по формуле X} = i Дх. Аналогично пронумеруем точки деления временного
интервала Г: 0,1,2,3,..., к,..., т, Соответствующие этим точкам моменты
времени определяются по формуле тк= кДт (рис. 11.15). Отметим, что
Дх = Ъ/п, а. кт = Г/ т.
246
[с. 11.15. Метод сеток (метод конечных разностей) :
- разбиение сетки на слои толщиной Дх; б — пространственно-временная сетка с ша-
>м Дх в направлении оси х и шагом Дт по временной оси
Введем обозначения искомой функции t (х, т) в узловых точках сетки:
Ьк ~ температура в точке Xf =iAx в момент времени тк= кДт; tj iK+] —
температура в точке хр/'Дх в последующий момент времени
^+1 = (к+1) Дт; Гг-_1 к- температура в точке 1)Ах в момент
сзремени тк и т.д.
Первую производную по времени в уравнении (11.108) можно предста-
вить в конечных разностях
~ ti, к+1 Ч, к
дт Lt
(11.111)
247
Вторую производную по координате в уравнении (11.108) можно пред,
ставить, как было показано в § 10.9,
~ ~2tiK + ti+l,K П)1И,
дхг
Подставляя формулы (11.111) и (11.112) в уравнение (11.108), полу*
чим после несложных преобразований алгебраическое уравнение
аДт Дх2
Ч к+1 ~ 7л~)2 ^’-1, к + ^’+1, к + ( ' ~ • (11.113)
’ (Дх/ дДт
Уравнение (11.113) называется сеточным уравнением или
разностной схемой.
С помощью разностной схемы (11.113) можно вычислить значение темпе*
ратур во всех точках 1,2,3,..., i,..., п для момента времени тк+] = (к+1) Дт,
если известны значения температур в этих точках в предшествующий мо-
мент времени тк.
Исследования показали, что рассмотренная вычислительная схема устой-
чива, т.е. ошибки не возрастают при увеличении т, если выполняется усло-
вие
(Дх)2
а Дт
Формула (11.113) значительно упрощается, если использовать такие шаги
Дх и Дт, при которых (Дх)2{(а Дт) =2. В этом случае разностная схема
принимает вид
(11.1
Ч, к+1 (fi— 1,к + Q+1, к) ! 2-
(11.115)
Формула (11.115) лежит в основе графического метода решения задачи,
используемого иногда в инженерной практике. Из этой формулы следует,
что температура Гг- равна среднеарифметическому значению температуре
соседних точках (/—1) и (Z+1) >в предыдущий момент времени тк. Следо-
вательно, температура ц может быть найдена простым пересечением
линии А-А, соединяющей на графике отрезки tj_\ к>с линией
Xj = i Дх (рис. 11.15). Графический метод подробно освещается’в следующей
главе.
Разностная схема типа (11.113) называется явной, так как температу-
ра в момент т= (к+1) Дт определяется по формуле (11.113) через темпера-
туру в момент кДт. Кроме явных разностных схем, существуют так назы-
ваемые неявные разностные схемы. Для уравнения (10.108) неявная
разностная схема имеет вид
Ч, к+1 к ' 1, к+1 ~ 2 Н, к+1 + fy+1, к+1
—--------- = а -----------—-------------------
Дт (Дх)2
(11.116)
248
Сравнивая уравнение (11.116) с (11.113), можно заметить, что они раз-
даются аппроксимацией d2t/dx2 В явной схеме (11.113) эта производная
сменяется конечной разностью в момент т^кДт, а в неявной схеме
(СПб) в момент тк+1 =(к +1) Дт. Уравнение типа (11.116) решается
1уднее, чем (11.113), так как в него входят неизвестные температуры
втрех точках (z—1, к+1), (i, к+1), (/+1, к+1). Поэтому нужно в этом
сучае решать сразу всю систему разностных уравнений типа (11.116) для
вех точек сетки.
' Одним из самых распространенных методов решения неявных систем
ша (11.116) является метод прогонки. Несмотря на то что неяв-
не разностные уравнения типа (11.116) решаются сложнее, чем явные
»авнения типа (11.113), они имеют преимущества перед явными уравне-
йями. В отличие от явных схем, которые являются устойчивыми при вы-
ллнении условий (11.114), неявные схемы являются абсолютно устойчи-
мми, т.е. вычислительные ошибки в этих схемах не возрастают при любом
^отношении шагов по времени и пространству. Это позволяет выбирать
jar Дт большим, чем в явных схемах, и соответственно уменьшать общее
эемя счета всей задачи. Более подробно с изложенными вопросами можно
знакомиться в работе [2] .
ГЛАВА 12. ОСОБЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НЕСТАЦИОНАРНОЙ
ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ В ПОЖАРНОМ ДЕЛЕ
12.1. Изменение физических параметров при нагревании и охлаждении
тел в условиях пожара
В инженерной практике решения задач пожарной безопасности, особен-
го огнестойкости строительных конструкций, нашли широкое применение
^которые полуэмпирические и приближенные методы решения задач не-
стационарной теплопроводности тел.
В практике пожарного дела, особенно при пожарах в помещениях, гра-
ничные условия во времени могут меняться в общем случае произвольным
эбразом. Наличие влаги в строительных конструкциях осложняет вычисле-
ние коэффициента температуропроводности, входящего в уравнения не-
стационарной теплопроводности.
Строительные конструкции, расчет нестационарной теплопроводности
которых приходится вести в практике пожарного дела, выполняются, как
правило, из стали, кирпича, бетонов.
Плотность и коэффициент теплопроводности стали с повышением ее
температуры уменьшается, теплоемкость, наоборот, возрастает. В целом
эти изменения ведут к значительному уменьшению коэффициента темпера-
туропроводности.
Коэффициент теплопроводности и теплоемкость красного и силикатного
кирпича в сухом состоянии с увеличением температуры возрастают, плот-
ность принимается независимой от температуры. Коэффициент температуро-
проводности при этом изменяется незначительно.
249
Наиболее сложная зависимость физических параметров от температуры
для бетонов. Теплопроводность тяжелых бетонов (р= 1900—2400 кг/м3)
с увеличением температуры уменьшается, что объясняется протеканием при
высоких температурах химических реакций, в результате которых образуют-
ся новые вещества и разрушается кристаллическая структура бетонов.
Теплопроводность легких бетонов с увеличением температуры возрас-
тает, причем тем в большей мере, чем меньше плотность бетонов. Это объяс-
няется наличием значительного количества пор, заполненных воздухом,
теплопроводность которого значительно возрастает с температурой; кроме
того, интенсифицируются лучистый и конвективный теплообмен в порах.
Теплоемкость всех бетонов с увеличением температуры возрастает.
Плотность принимается независимой от температуры.
Коэффициент температуропроводности тяжелых бетонов с увеличением
температуры значительно уменьшается, а легких бетонов почти не изменяет-
ся.
Средняя температура материалов t, по которой вычисляются физические
параметры, принимается равной
t = 0,5^ + tx, r), (12.1)
где — температура на обогреваемой поверхности со стороны пожара;
tx т — температура на расчетной глубине х через расчетное время т.
В практических расчетах нестационарной теплопроводности тел по стан-
дартному режиму пожара величина t принимается равной 450 °C. В
табл. 12.1 приведены значения физических параметров стали, кирпича и бе-
тонов в сухом состоянии в зависимости от их температуры t.
Для многих других материалов значения р, X, с и а как функции темпе-
ратуры приводятся в справочной литературе.
Строительные конструкции из бетона и кирпича содержат эксплуатацион-
ную влагу. Ее количество колеблется в пределах 1,5—7%. При нагревании
влажных материалов влага испаряется, на что тратится значительное коли-
чество тепловой энергии. В процессе нагревания влажного материала в нем
образуются как бы два слоя: сухой и влажный. Во влажном слое при дости-
жении температуры 90—150 °C далее происходит замедление ее роста.
А.И. Яковлев [6] показал, что уменьшение скорости нарастания темпера-
туры во влажных строительных материалах при их нагревании эквивалент-
но уменьшению коэффициента температуропроводности.
Для влажных материалов коэффициент температуропроводности опре-
деляется по уравнению, учитывающему влияние влажности:
3,6 X
а =------------
(с 4- 0,5 W ) р
где X — коэффициент теплопроводности сухого материала, Вт/(мК); с -
удельная теплоемкость сухого материала, кДж/(кг-К); р — плотность ма-
териала, кг/м3; W — влажность материала, %.
(12.2)
250
Физические параметры векаторых ехроиодшвдх штериайж
Ваймсирвавие мад«да- яэв Дйййшон | Плотность темдературДС д кг/м5 Тешопровфшость X, Вт/(м*. К) Теплоемкость с, кДж/йоМК) t, , rrnr..>. » L Te®®^iwypWB^fifr ветл . .„_....
Бетой иа гржитном щевйе Бетой йеечаиый Гвавбетои иа молотом ямдо Тоже Керамзитобетон Тоже ЭДфэдм едаовдй Кирпич «ждакатйый Семи» углеродистая Сйыше 100 Тоже » » «* *» V» ♦* 0-800 2210 1900 480 750 950 1580 1580 1730 7800-7400 мг-н-иг*t 1,05-5,8-10'4 t 0093*7’10“* t 0,186+8,1 •10'® t 0,23+134102! t 0,385+8,140"!/ 0,455+242-1’0 t 0,79+34'10 t . 58—0,042 t ь O' w i? ** *• **«»*» Ь T TT’TTT r-« о © о *q to о ’7’^ ’T гч4’ £* t4 eb m <ч *4 R8 1«ЙШ C** -Q 0 '®® 0^ OO © H О h o' о о o‘ p X 3,6 Toifee f J*-M M — 4W* И 3» 5,7-1,09
8
12.2. Применение аналитических решений уравнения теплопроводности
для тел простейшей.формы
Расчет и испытание строительных конструкций на огнестойкость вы-
полняют по стандартному температурному режиму, согласно которому
температура пожара изменяется во времени по следующей зависимости:
Гж = 345 1g (8 т + 1), (12.3)
где т — время от начала пожара, мин.
Для стандартного температурного режима А.И. Яковлевым [6] с по-
мощью операционного метода и анализа экспериментальных данных по
испытанию на огнестойкость различных железобетонных строительных
конструкций получены приближенные решения уравнения нестационарной
теплопроводности для полуограниченного тела, плоской симметрично наг ре-
ваемой стенки и ребер, обогреваемых с трех сторон.
Полу ограниченное тело. Расчетная формула при нестационарной тепло-
проводности имеет вид
к а+ х
tx= 1250 — (1250 — f0) erf (12.4)
2 у/ а т
Заметим, что температура греющей среды принимается равной 1250 °C,
а к толщине расчетного слоя х прибавлена величина к \f“a. Опытный коэф-
фициент к приближенно определяется плотностью строительного материала
и может быть Вычислен по формуле
к = 0,5 (1 +рЮ"4), (12.5)
гдер — плотность материала, кг/м3.
Уравнение (12.4) справедливо для стенок конечной толщины, если соблю-
дается условие
к \Га' + х
А = -----------—- >0,6. (12.6)
2у/ ат
Это означает, что при соблюдении условия (12.6) в практических расче-
тах можно пренебречь теплоотдачей необогреваемой (противоположной
пожару) поверхности.
В практике пожарного дела уравнение (12.4) используется для определе-
ния температуры в противопожарных преградах (стены, перегородки,
перекрытия) на глубине х за время т с целью последующего сравнения
расчетной температуры с допустимой или для расчета допустимого времени
т, либо минимальной величины х для обеспечения допустимой температуры
{х, т-
В последнем случае из (12.4) определяют erf А, по табл. 11.4 находят
аргумент А и затем вычисляют искомые х или т.
252
Неограниченная пластина при двухстороннем нагревании. В качестве не-
«ианиченной пластины в пожарно-технических расчетах могут быть приняты
«С1ны, перегородки, плоские элементы строительных конструкций, нагре-
згмые при пожаре с двух сторон.
Расчетная формула нестационарной теплопроводности в этом случае имеет
вд
ОО 2 р
у = 1250-(1250-to) Ъ Ancosnn ----------°, (12.7)
л=1 R + к у/а
гз
2 и+1 я
Ап= — (- 1) , м„ = (2и-1) — ,
2
а т
?» = -------====—- — число Фурье; R — половина толщины пластины;
(R + к у/ a)2 У
j— коэффициент, определяемый по формуле (12.5),
Формула (12,7) удовлетворительно согласуется с экспериментальными
иными при Fo < 0,32. В безразмерном виде формула (12.7) имеет вид
1250 — tx т п=00 х " и2 Fo
/= ....___:S._- _ -v л ________Ми г°
1 = 2 A„cosp.n _ г— е
1250-т0 и = 1 п п R + ку/а
На графике (рис. 12.1) приведена зависимость в ~f (1-----------—).
, z „ R + к у/ а
!ак и в предыдущем случае, уравнение (12.8) в зависимости от постановки
щачи позволяет определить температуру tx т, время т или толщину х.
В работе [9] получено решение уравнения нестационарной теплопровод-
эсти неограниченной пластины при двухстороннем нагревании, граничном
словии третьего рода при постоянном коэффициенте теплоотдачи и произ-
ольном изменении температуры пожара во времени
fx, т гж +шо А„ cos -- е а т/ +
и=1 п п 6
+ 2 Л„со8д„— J е~ а т/82(т — s)f(s)ds?
И=1 П П 5 о
где ш0 - функция, учитывающая начальное распределение температуры по
толщине пластины. При tXf т = tQWo ^0,
2 sin fin
+ sin ]in cos
253
цп — корни характеристического уравнения
1
Bi
Ап и находятся также по таблицам в виде функции числа Био; 6 - поло-
вина высоты пластины; s — переменный параметр, имеющий размерность
времени и изменяющийся в интервал значений от 0 до г; f(s) =
дт
функция, характеризующая изменение температуры пожара во времени.
Ребро, обогреваемое с трех сторон. В качестве ребер, обогреваемых с
трех сторон, можно рассматривать ребра железобетонных балок, кессон-
254
Рис. 12.2. К расчету теплопрк •™'ости
обогреваемого с трех сторон ребра
их покрытий и т.д. Практическое значение имеет расчет температуры, вре-
йни прогрева или толщины защитного слоя арматуры, расположенной в
нжней части ребер.
В этом случае формирование температурного поля в ребре можно пред-
(авить как наложение тепловых воздействий на полуограниченное тело с
ирца ребра и симметрично нагреваемую плоскую стенку с боковых поверх-
эстей ребра (рис. 12.2).
Расчетное уравнение нестационарной теплопроводности в этом случае
меет вид
I *
250- tx,y,T __ 1250 — tx> т 1250 — ty , т (12 9)
>5О — Го 1250 — tQ 1250 — tQ
:je tx T — температура в точке с координатой х, которая имела бы место
ри рассмотрении ребра как симметрично нагреваемой плоской стенки и
цеальной теплоизоляции торца ребра, определяется по уравнению (12.8);
т — температура в точке с координатой у, которая имела бы место при
одводе тепла к торцу ребра и идеальной теплоизоляции боковых поверх-
остей ребра, -определяется по уравнению (12.4).
По уравнению (12.9) можно рассчитывать температурное поле в колон-
ах, имеющих сплошное прямоугольное сечение. Тогда в уравнении (12.9)
V, т = fy, т, которые вычисляются по (12.4) .
12.3. Применение приближенных методов решения уравнения
нестационарной теплопроводности
В практике расчетов нестационарной теплопроводности, связанных с ре-
пением задач пожарной безопасности, широкое применение нашел прибли-
255
женный метод конечных разностей в графической sm числовой
сущность которого изложена в предыдушей главе.
Достоинством метода конечных разностей является «оэмо^Йевость
температурного воля в телах произвольной формы К извме»ет®и
ных условий во времени по любым законам.
Рассмотрим применение графического метода кшечиых разностей
расчета температурного поля в плоской стенке, нагреваемой с одной v
ны, при граничных условиях третьего рода.
Дана стенка толщиной 5 (рис. 12.3), начальная температуря которой
В условиях пожара или в топочном устройстве слева от стенки
среды гж изменяется по закону, прсдставлешщму графически на рис. 1
Рис. U3. Раснредейеяве шэдрмурю йв тэд&вйю етев-кя «Ойе^ронйм
ваиередей с иэмбйжкж^сда с» вреитм
286
' РйС. 124. Графйк изменения во времени температуры греющей среды
ша от стенки температура воздуха в течение всего времени остается
отояииой, равной й-
Зоеледоватспьность расчета меадом коневых разностей температур-
GD ноля в стенке в течевде времени г следующая.
!,.По графику (рис. 12.4) определяют температуру греющей среды Гж
ШЭ ВрСИ* г.
jt Находят определяющую температуру дня выбора физических парамет-
1 _ . *ж ’**<>.
Дж !! *>» .! f
И 2
Я По справочным дакнымиля табл. 12.1 вычисляют физические парамет-
Xjf» <lf.
По уравнению И^бЗе^0®23*» определяют коэффициент теплоотда-
чмежду греющей средой и поверхностью стенки через расчетное время т.
Фпредедяют максимальную толащну слоев стенки Ах;
54 '
ЗД.Х<£2 **' *
i ai '
|Это условие означает, что направляющая точка Я не долита оказаться
ф&едяиНИнЛЗД
Находят число слоев и толщиной Ах, на которое необходимо разбить
'-'tocy;
:i AJf 2S7
f
с
7. Определяют расчетный интервал времени Д г:
Дх2
Д т = ---- •
2at
8. Из графика изменения температуры во времени (рис. 12.4) выписы-
вают температуру Тж через интервалы времени Дт, 2Дт, ЗДт и т.д. на весь
период времени т. Для каждого интервала времени Дт, 2Дт и т.д. по темпе-
ратуре Гж вычисляют «i и находят отношение—!. Следовательно, найдены
координаты точки R для каждого интервала времени Дт, 2Дт и т.д.
9. На миллиметровой бумаге в масштабе наносят разрез стенки (см.
рис. 12.3). Стенку разбивают на слои толщиной Д х и проводят оси симмет-
рии слоев. Пусть в простейшем случае оказалось достаточным разбить стенку
на три слоя /, II, III.
На расстоянии Д х/2 от обеих поверхностей стенки проводят вспомога-
тельные линии MN и ЛСМ. В масштабе наносят положение направляющей
точки R для каждого интервала времени Дт, 2Дт и т.д. с координатами
(?ж> lai) и проводят линию начального распределения температуры f0.
10. Соединяют прямой точку R i с точкой пересечения осевой линии слоя 1
и линии начального распределения температур. Точку пересечения проведен-
ной прямой с линией MN, а также точки пересечения линии начального рас-
пределения с осевыми линиями слоев I, II, III и линией Л/ТУ* обозначают
цифрой 1.
Ломанная линия представляет собой линию распределения
температур через время Д т. Видно, что через время Д т прогревается только
половина толщины слоя 1, во всех других слоях температура остается
одинаковой и равной начальной.
11. Соединяют между собой прямыми точки 1 через слой, получая на
пересечении с осевыми линиями слоев точки 2. Точку 2 в слое 1 соединяют с
точкой R2. Линия R2-2-2-2-2-2 представляет собой линию распределения
температур через интервал времени 2Дт. Видим, что через 2Дт температура
повышается в слое / и половине слоя//, а далее еще остается равной начальной.
12. В последовательности п. 11 соединяют между собой через слой точки 2,
получая линию распределения температур R3-3-3-3-3-3 через интервал време-
ни ЗДт.
13. Соединяя между собой через слой точки 3, получим линию распреде-
ления температур R^-4-4-4-4-4 через интервал времени 4Дт. Видим, что через
4Дт началось повышение температуры поверхности справа (число интерва-
лов времени, через которое начинает повышаться температура поверхности
справа, в методе конечных разностей на единицу больше числа слоев).
14. Находят положение направляющей точки R'3 справа от стенки через
интервал времени 4Дт. Для этого по величине температуры на поверхности
через 4Дт вычисляют коэффициент теплоотдачи а2, а также отношение
\/аг • Координатами точки R's будут t0 (по высоте) и Xf/oj (по горизонта-
ли) .
258
;Если охлаждающей средой является воздух, то при tc 2 ~ to 60 °C
фближенно
~ 4,07 \/ tc, 2 — to ,
яри tCf 2~t0> 60 Ч?
ш2 =11,63 е°>0023Ч 2 .
15. В последовательности п. 11 соединяют между собой через слой точки 4,
влучая точки 5. Причем точку 4 слоя III соединяют с точкой R's. Линия
i-5-5-5-5-5 представляет собой линию распределения температур через
®тервал времени 5Дт.
16. В последовательности п. 14 находят положение направляющей точки
{ив последовательности п. 15 — линию распределения температур
\6-6-6-6-6-6-6-Яб через интервал времени 6Дт. Так ведут построение до
стечения заданного времени т или до получения на поверхности справа
.'[данной температуры. В последнем случае время достижения заданной тем-
зратуры определяют умножением интервала времени Дг на число интерва-
эв, отмечаемое на графике арабскими цифрами.
2\t
Часто выполнение условия Д х < —- приводит к тому, что стенку при-
одится разбивать на десятки слоев и графическое построение распределе-
на температуры по толщине стенки становится весьма трудоемким.
Число слоев в этом случае можно уменьшить, если со стороны греющей
реды перейти к граничному условию первого рода. Тогда минимальное чис-
о слоев будет определяться выполнением условия
2
Д х < —
«2
Переход к граничному условию первого рода означает, что для каждого
интервала времени Дт, 2Дт, ЗДт и т.д. необходимо определить температуру
ia обогреваемой поверхности.
Температура tc на обогреваемой поверхности строительных конструкций
i условиях пожара может быть приближенно определена из формулы
—------— = [ 1 + 0,1 (Bi va~Fo)3] e~Bi
^ж “
Если тепло физические свойства материала строительных конструкций
влизки к тепло физическим свойствам кирпича, то температуру на их по-
верхностях можно определить по формуле
= 0,2 (Гж - f0) + 0,00065 (Гж-10) 2 +?0-
Температуры на поверхности для каждого интервала времени наносят на
трафик и соединяют их прямой со средней линией первого» слоя и линией
'MN. В остальном построение такое же, как показано на рис. 12.4.
259
Температурное поле в плоской стенке, нагреваемой с одной сторощ^
при нестационарных граничных условиях третьего рода, может быть рае-
считано численным методом конечных разностей.
Сущность численного метода конечных разностей изложена в предыщу.
щей главе. Преимущество численного метода конечных разностей перед
графическим заключается в большей точности и ускорении расчета с ис-
пользованием вычислительной техники. Кроме того, физические параметры
материала стенки можно определить для каждого слоя Дх в расчетный
интервал времени Дт по средней температуре слоя в предыдущий расчет-
ный интервал времени, что также приводит к большей точности расчета.
Рассмотрим последовательность решения предыдущей задачи численным
методом конечных разностей.
1. Выполняются вычисления в последовательности пп. 1—7 решения этой
задачи графическим методом конечных разностей, изложенным выше.
2. Для первого расчетного интервала Дт вычисляются:
XX Д х Дх
ж щ аг 2 X + Дх
щ 2
Температура греющей среды на расстоянии толщины фиктивного слоя
Дх
~2~ от поверхности определяется из подобия треугольников (рис. 12.5,
слева)
Дх
tMN ~ *1 + гж ~ ---------- •
At + Дх
2
Температура на обогреваемой поверхности
t , = fMN +
Ч, 1 -------- •
Температура в середине первого и последующего слоев через первый
интервал времени остается равной начальной, т.е.
Результаты расчета заносят в табл. 12.2
3. Далее в той же последовательности, что в п. 2, рассчитывают темпера-
турное поле через 2Дт ЗДт, (н + 1) Дт, где п — число слоев толщиной Дх.
При этом через каждый последующий интервал времени начинает повы-
шаться температура в следующем слое, т.е. через 2Д т
через ЗД т
260
Ъ 12.5. Иялюстраояя к расчету нестационарной теплояроводности нлсокой стенки при
^догестороЯиедя нагревании численным методам конечных разностей
fii * +to) to в й
f* ,
14. Черев ч»ся0 интервалов времени, равное п + 1, повышается темпера-
фа на иеобогреваемой поверхности (рис, 12.5, справа), например, для
Ьнкиприл=3
* Ч 2 * ----------— »
4 5. Через шсш> интервалов времени, равное л+ 2, повышается температура
упа^аим|учг среды на рарстояким ^зс/2 йеобогреваемой поверхности,
рределяемай Из йодоШятреугольников (рис. 12.5, справа).
Няиример, да стеики при я 3
? _Х_ _ Дл
> “ *0 + Нт - й Л -у---------’
А> ДУ
281
»
6. Аналогично ведется расчет для заданного времени или до получение
заданной температуры по соображениям пожарной безопасности.
Для удобства расчета вычисления целесообразно заносить в табл. 12.2.
Таблица 12.2
К расчету температурного поля в плоской стенке численным
методом конечных разностей
ГЛАВА 13. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ КОНВЕКТИВНОГО
ТЕПЛООБМЕНА
13.1. Дифференциальные уравнения конвективного теплообмена
Конвективный теплообмен наблюдается в движущихся однофазных или
многофазных средах с неоднородным температурным полем. Перемещаю-
щиеся из одной области пространства в другую макрочастицы среды (жид-
кости или газа) осуществляют перенос энергии. Одновременно эти частицы,
взаимодействуя друг с другом, обмениваются теплотой путем теплопровод-
ности. Наиболее общие черты этого процесса отражает дифференциальное
уравнение конвективного теплообмена — уравнение энергии. Для вывода
этого уравнения воспользуемся методом, аналогичным тому, который был
использован при выводе уравнения теплопроводности (9.10). При этом
ограничимся рассмотрением такого класса процессов конвективного тепло-
обмена, когда движущаяся среда является однофазной (однородной) и в
ней отсутствуют внутренние источники теплоты (#^=0), а ее физические па-
раметры Ср, cv, X, д (удельныетеплоемкости, коэффициент теплопровод-
ности, динамический коэффициент вязкости) можно считать всюду в ис-
следуемом пространстве постоянными. Кроме того, ограничимся рассмот-
рением таких условий, когда движущуюся среду можно рассматривать как
„несжимаемую” жидкость. Несжимаемой жидкостью называют всякую
среду, если молено считать ее плотность р постоянной величиной, не завися-
щей ни от координат, ни от времени. Поле плотностей в такой среде являет-
ся однородным и не меняющимся со временем. С приемлемой точностью
можно считать, что это условие реализуется в потоках капельных жидко-
262
. св^ (кайбШЖ жидкости практически не сжимаемы), а также в потоках
^газЬ.йри мащ^х изменениях но в&току давлений и температур.
Цяеший в потоке несжимаемой жидкости с помотаю воображаемой не-
щ«4ижной (в системе координат х, у, а,/ контрольной поверхности элемен-
тный объем 4К ** dx dy dz (рис. 13.1). Внешняя по отношению к этому
о0му часть Потока рассматривается как окружающая сред я Среда внутри
о*Йма dV есть открытая термоданамйческая система. Через одни участки
"к^грольНой поверхности поступает вещество в объем dV, а через другие —
що^дает. Однако поскольку р = const, находящаяся внутри объема dV
Ира жидкости, равная ^pdV^ не изменяется. Следовательно, в потоке
^аюшаемой жидкости всегда выполняется условие: количество поступа-
;кэ£Й в объем dV жидкости равно количеству уходящей жидкости. Это
у-фвие можно сформулировать в виде дифференциального уравнения.
Обозначим составляющие скорости потока жидкости символами wx*
tu№z. Масса жидкости, втекающей за время dr в рассматриваемый элемент
чфз поверхность левой грани dydz (рис. 13.1), равна
!
(13.1)
лйсса жидкости, вытекающей из объема dV за то же время через поверх-
' Кть противоположной грани dydz, составляет величину
Шх+^х = p(wx + dxjdydzdr. (13.2)
Диалогично можно вычислить массы жидкости, втекающей и вытека-
йей в направлении оси у через поверхность граней dxdZ'.
fiy- pWy dxdzdr,
(13.3)
(13.4)
263
Наконец, рассматривая направление вдоль оси z, можем написать вы
жения
dMz = pwzdxdydT, (13.5)
dMz+c[z = p(wz +-----dz)dxdydT . (13.6)
dz
В потоке несжимаемой жидкости выполняется, как это указывалось
выше, равенство
dMx + dMy + dMz dMx+c[x + dMy+dy + dMz+fiz.
(13.7)
Подставляя в это равенство результаты вычислений (13.1)... (13.6),
после несложных преобразований получим уравнение
дик, divv 3wz
1 + —£ =о . (13.8)
Зх Зу 3z
В векторной форме это уравнение записывается
div w = 0.
(13.8а)
Уравнение (13.8) называется уравнением неразрывности
(или сплошности) для несжимаемой жидкости. Оно является след-
ствием закона сохранения массы и отражает одно из важнейших свойств по-
тока несжимаемой жидкости.
Приступим теперь к выводу основного дифференциального уравнения
конвективного теплообмена для несжимаемой жидкости. Это уравнение вы-
текает из первого закона термодинамики для открытой термодинамичес-
кой системы (см. § 2.2).
Будем рассматривать условия, когда удельная кинетическая энергия
w2
~ в каждой точке потока пренебрежимо мала по сравнению с удельной
энтальпией /, а теплотой трения можно пренебречь по сравнению с переда-
ваемой в элемент dV теплотой путем конвекции и теплопроводности. Это
условие обычно выполняется в реальных процессах конвективного тепло-
обмена при течении несжимаемой жидкости.
Количество теплоты dQ\, поступающее в элемент dV за время dr путем
теплопроводности, вычисляется так же, как это делалось при выводе урав-
нения теплопроводности (9.10):
d2t 32t 32t
---- + ---- + ---- IdVdr.
Зх2 3y2 3z2
(13.9)
Вычислим теперь энергию, поступающую в элемент dV путем конвекции.
Энтальпия массы dMx, втекающей в элемент dV за время Зт, равна
dJx = Cptp wxdydzdz. (13.10)
264
’I
де кДОШ вытекши зато же время dr из объема dV,
»wwy '
’(1X11)
Образом, рассматривая потоки вещества в направлениях у
l&y^e^pWydxdzdr, (13.12)
.i
*
4 dJy+^y^c^p [я? t+ —J? ] dxdzdr, (13.13)
i v¥
!
<
t
j = C^PWjMydT* (13.14)
! fyw* t)
] dxdydr, (13.15)
* Л9
:. Энергия, поступившая в элемент dV путем конвекции, равна алгебра-
ческой сумме вычисленных выше значений энтальпий, т.е.
^С<к *&z ~ №Х + dX++ dy * + 4^), (13.16)
Подстадгяя в уравнение (J3.16) результаты вычислений (13.10), ....
;(13Л 5), получим
V
4
' л . 3^»i4) 3№rfJ
i <й2«» + 2-2L + -Л- 1 dv^r, - (13.17)
Зх ву т
^щккеше а кмдрагных скобках можно преобразовать так:
! 3t 3t 3t
i '“ar +wNftu>t **
\ +t( +
\ Ox dy az
J
Я£ак был© ^оказано выше, выражение в круглых скобках равно кулю. С
учетом этого формула (13.17) преобразуется к виду
(13.18)
Ж
Согласно первому закону термодинамики для открытой термодинами-
ческой системы, изменение полной энергии системы dE равно сумме dQy и
dQK'
dE = dQ\ + dQK- ' (13.19)
Для несжимаемой капельной жидкости cv = Ср. С учетом этого изменение
полной энергии dE для неподвижного элемента dV можно вычислить по
формуле
Л
dE = р сп — drdV. (13.20)
р ат
Подставляя результаты вычислений, т.е. формулы (13.9), (13.18) и
(13.20) в уравнение (13.19), получим уравнение
п„ Dt -у / a2t a2t
рср — - Л ( .----- + ---- + ---- 1
dr Зх2 dy2 dz2
где
Dt dt dt dt dt
~=T +wx~T *wy T +Wz T •
ат дт dx z dy dz
(13.21)
(13.22)
Уравнение (13.21) называют уравнением энергии (основным дифференци-
альным уравнением конвективного теплообмена) для несжимаемой жид-
кости.
В уравнение энергии (13.21) наряду с температурой t входят проекции
скорости w на координатные оси (wx, Wy, wz~). Это показывает, что темпера-
турное поле в потоке существенным образом зависит от поля скоростей. Для
того чтобы выполнить интегрирование уравнения энергии и найти распреде-
ление температуры в потоке t (х, у, z, т), необходимо знать распределение
составляющих скорости wx(x, у, z, т), Wy(x, у, z, т) hwz(x, у, г,т).
Распределение в потоке составляющих скорости ivx, Wy и wz определяет-
ся из уравнений движения, вытекающих из основного закона механики —
закона сохранения импульса.
На выделенный элемент dV действуют три силы: поверхностные силы
давления, сила тяжести и поверхностные силы вязкостного трения. Выве-
дем сначала уравнения движения для невязкой жидкости, т.е. допуская, что
силами трения можно пренебречь.
Составим балансовое уравнение импульсов для их проекций на ось х.
Проекция импульса действующей на элемент силы тяжести будет равна
р gxdVdT, где gx — проекция ускорения свободного падения на ось х. На
левую грань dydz элемента d V действует сила давления, равная pdydz, а на
противоположную — (р+^Е
~У~ Е-Х) dydz. Равнодействующая сила давления в
дх
266
J
правлении о сих будет равна разности
pdydz~(p + — dx)dydz = - Z? dV
dx dx ur •
Вюекиия импульса равнодействующей сил давления на ось х равна
(- / dVdr).
ах
Сумма проекции импульсов сил тяжести и давлений равна
(Pgx~ Т JdVdT •
(а)
Поступающая в элемент dV через левую грань dydz масса dMx приносит
с:обой импульс (количество движения), равный pwxwxdydzdr. Через про-
жоположную грань dydz уходит масса жидкости dMx+dx, которая уносит
собой количество движения (импульс), равное
(ftp-
р (wx wх + 2wx ~— ) dy dz dr ,
(б)
Разность между поступающим количеством движения и уходящим из
’емента<7Ксоставит величину, равную
-2рц)х dVdr.
dy
Через поверхность грани dxdz в элемент dV поступает масса dMy, которая
пиносит с собой количество движения в направлении оси х , равное
’xdMy =wxpwydxdz. Через противоположную грань dxdz уходящая масса
My+dy уносит количество движения, равное
х) dVdT
(в)
р [wxwv + -у- ( wxwv) dy] dxdzdr.
z ay 7
Разность между поступающим и уходящим количествами движения
оставляет величину
dwz
-Р (wx w +Wy Ту
Наконец, рассматривая аналогично поверхности граней dxdy, получим раз-
юсть между поступающим и уходящим количествами движения в направле-
нии оси х, равную
-fa +w2
3wx
*) dVdT-
dz
(г)
Накопление в элементе dV количества движения в направлении оси х рав-
но сумме выражений (б), (в), (г), т.е.
3wY $wx 3wz dwx
-₽ (2u>x -a- + -X1T + W^>dVdr-
267
Это выражение с учетом уравнения неразрывности (13.8) упрощается и
принимает вид
дц)х $wx $U)jf .
-р ъг +и}у зу +Wz ъ~} dVdr- (д)
Изменение составляющей в направлении оси х количества движения
(импульса) в элементе dV в результате конвекции, действия сил давления
и тяжести можно представить в виде
р * dVdr. (е)
а т
Согласно закону сохранения импульса, приравняем выражение (е) сум-
ме выражений (а) и (д)
Зюх Зюх 3tux 8шх Зр (13.23)
Р(_Л + + wy ±+wz_± ) = pgx- _
Зт Зх Зу 3z Зх
Это уравнение называется уравнением движения невязкой несжимаемой
жидкости в проекции на ось х.
В реальных потоках жидкости с неоднородным полем скоростей всегда
действуют силы трения, обусловленные вязкостью жидкости. Согласно за-
кону Ньютона касательное напряжение, возникающее между перемещаю-
щимися с разной скоростью слоями жидкости, пропорционально градиенту
скоростей
Зш
$ = Р -7Г-
(13.24)
где д — динамический коэффициент вязкости; п — нормаль к направлению
вектора скорости w} $ — напряжение трения, равное отношению силы тре-
ния к площади.
При вычислении равнодействующей сил вязкостного трения, Действующих
на элемент dV, используется обобщенный закон Ньютона-Стокса, который
формулируется так: между тензором напряжений и тензором скоростей
деформаций существует линейная связь.
Опуская подробные выкладки, выпишем в конечном виде уравнение дви-
жения.для вязкой несжимаемой жидкости в проекции на ось х:
р dr Зр = PSx~ -т- ах + р ( (Рых Зх2 37wx + - + Эуг Згшх -Г-Z). 3z2 '
Dwx где = -— +шх 3wr + IVy 3u)x + w„ &>х
dr Зт Зх Эу г 3z
(13.25)
268
! d# 3# 3^
Ф *y- =* ^ + +грй 3— •
? i «Г fl? •* ax y fa * fa
i
i
|УравИеййЯ даижеИйЯ (13.25), (13,26) и (13127) называются уравнения-
к i Мввъе-Сгвкеа,
I Езди процесс котективного теплообмена является стационарным, то
К производные но времеш в уравнениях (13.21), (13.25)» (13.26) и
(3.27) рты нулю. В этом случае уравнения, отражаюодае основные свой*
процессов конвективного теплообмена, имеют вид:
(13.28)
z Wx дшх fa
I wx(~3~ +w~ г 3T+#V wx> (13.29)
,! wt ay oz ox
*Wp —Z +Wt
fa
*!k,
3i > Ky ft
+ fl V 2 w
. fa&z $0* <hi>z
f ^зГ1 “№г~^
t
t ч г г
Э€« — * W2 —J /,
< ? 1 * fa У fa 2 fa 1
+ Ц^102,
(13.30)
(13.31)
(13.32)
где ^2 e
?
- оператор Лапласа.
9^ fa
Полученные nm уршшеюгй конвективного теплообмена содержат пять
неизвестных фуцкхсИЙ: r/х, у, а, тА У* т/
Щр/хг у, а, г). ВдаШ ж X, с„, р,^ иР^да1олагаютсй известными (задан-
рздми). ' “
Уравнения конвективного теплообмена для потока сжимаемой
кости имеют более сложную структуру. Под термином „поток сжимаем^
жидкости” понимается обычно газовый поток с большшии скоростями и е
существенно неоднородным температурным полем» В высокоскоростной
потоке нельзя пренебрегать теплотой трения. Вследствие значительных пере-
падов температур нельзя считать плотность таза в различных точках потока
величиной постоянной. По той же причине необходимо учитывать записи,
мости физических параметров газа Д, X и от температуры. Уравнения
энергии, неразрывности и Движения для сжимаемой жидкости приводятся
ниже.
1. Уравнение энергии
Dt Dp д dt St < д dt
ерР~ + <13.33»
dt dr ax ax ay ay az az
- диссипативная функция.
2. Уравнение неразрывности
эр 3(»wx) 3(pu>v) d(pw2) п _
+ + -IT”0- <I3J4>
3. Уравнения движения
Dwv др d dw
I = Р Sy ~ + -К [р(2
ат у ду ду ду
2
-- diva?) ] +
+
СЩу
дх
(13.36)
i ’ Dwz др д дю7 2
< +*-[**<2 ar -Tdiv^] +
(13.37)
,. ^Wy dwv 5w 7
де div w = --- + —- + —£
дх ду dz
4. Уравнение состояния
f(p,P, Т).
(13.38)
В этих шести уравнениях (13.33),...,(13.38) содержится шесть неизвест-
Ъ1Х функций: t(x, у, Z, т ), юх (х, у, Z, т), Wy(x, у, Z, Т), Wz(x, у, Z, т)
iX У, z, т) и р(х, у, z, т). Зависимости физических параметров от темпера-
ми Ср(г)> p(t), \(t) предполагаются известными (заданными). Из этих
равнений получаются как частный случай уравнения конвективного тепло-
бмена для несжимаемой жидкости, если положить, что р = const, X = const,
= const, Ср = const.
В ряде случаев, когда движущаяся среда представляет собой смесь раз-
пчных веществ, реагирующих между собой (горение, диссоциация, реком-
йнация и т.п.), приходится учитывать тепловые эффекты реакций, для чего
^обходимо знать концентрацию компонентов смеси. Распределение концент-
|щий компонентов определяется процессом массообмена, протекающим в
усматриваемой среде. Поэтому для математического описания конвектив-
но теплообмена в реагирующих средах необходимо добавить к упомя-
/тым уже дифференциальным уравнениям еще уравнения диффузии для
сех компонентов (см. гл. 17). В случаях, когда в движущейся среде наблю-
даются фазовые превращения (кипение, конденсация) и сама среда являет-
я двухфазной, математическое описание процесса еще более усложняется.
13.2. Условия однозначности
Система дифференциальных уравнений конвективного теплообмена
'13.33) ,...,(13.38) описывает явление переноса теплоты в движущейся среде
ч самом общем виде. Для того чтобы с помощью этой системы уравнений
ровести исследование процесса, протекающего в конкретных условиях,
‘вобходимо дать математическое описание всех особенностей этого процес-
са, выделяющих его из бесчисленного множества других. Математическое
271
описание частных особенностей рассматриваемого процесса называется усло-
виями однозначности. Условия однозначности содержат в себе сведения oJ
физических свойствах среды, о геометрических особенностях пространства, в
котором протекает рассматриваемый процесс, о начальном распределении
температур, скоростей и плотностей, об особенностях протекания процесса
на границах рассматриваемого пространства. Физические свойства среды
считаются заданными, если заданы конкретные зависимости всех физичес-
ких параметров среды от параметров состояния, т.е.
Р = fi (Р, tf Р= = f?>( t), ср = }\( Г/
Геометрические условия должны содержать в себе данные о форме границ
пространства, где протекает процесс, о размерах изучаемого потока среды.
Например, если рассматривается поток жидкости в цилиндрическом канале,
то должны быть указаны форма поперечного сечения канала, его размеры и
длина канала.
Совокупность заданных для момента т = 0 функций t(x, у, z, ty,wx(x, у, z, 0),
Wy(x, У, z, 0), у, z, 0), p(x, у, z, 0) и p(x, у, z,0) называется начальными
условиями для уравнений конвективного теплообмена. Если процесс являет-
ся стационарным, то надобность в начальных условиях отпадает.
Математическое описание особенностей протекания процесса на поверх-
ностях, ограничивающих исследуемую область потока, называют гранич-
ными условиями. Эти условия предполагают задание искомых функций
(температура, плотность, скорость, давление) на граничных поверхностях
потока. Если, например, рассматривается стационарный поток несжимаемой
жидкости в трубе, то должны быть заданы распределение скоростей и темпе-
ратур жидкости во входном сечении трубы и на внутренней поверхности
трубы.
На поверхности твердого тела выполняется условие „полного прилипа-
ния ”. Суть этого условия в том, что между молекулами жидкости и поверх-
ностью тела действуют силы молекулярного сцепления, в результате чего
непосредственно прилегающий к твердой стенке слой жидкости полностью
затормаживается. Толщина этого слоя „прилипшей” жидкости исчезающе
мала по сравнению с поперечными размерами потока. Таким образом, на
ограничивающей поток непроницаемой твердой стенке скорость жидкости
относительно поверхности тела всегда равна нулю, т.е. юхс = 0, WyC = 0,
wzc = 0- Если поверхность является проницаемой (например, пористая стен-
ка), то нулю равна лишь составляющая скорости, касательная к поверх-
ности. Нормальная составляющая может отличаться от нуля (при отсосе или
вдуве какой-либо среды).
Температура в потоке жидкости по мере приближения к поверхности
твердого тела непрерывно изменяется. Чем ближе к поверхности, тем зна-
чение температуры жидкости ближе к температуре поверхности твердого
тела. В бесконечно тонком неподвижном слое „прилипшей” жидкости пере-
дача теплоты осуществляется только путем теплопроводности. На поверх-
ности твердого тела жидкость имеет температуру^ равную температуре по-
верхности твердого тела. Таким образом, чтобы задать граничное условие
на поверхности твердого тела, омываемого жидкостью, нужно задать функ-
272
4’ F fc = f(xC' У& ZC’ r)’ где fc ~ температура поверхности тела, a xc, yc,
ls z>— координаты точек этой поверхности. Частным случаем является уело-
в?, когда температура поверхности тела является постоянной величиной
, t= const.
13.3. Дифференциальное уравнение теплоотдачи
Среди всевозможных процессов конвективного теплообмена наибольший
f терес для инженерной практики противопожарной защиты представляет
щлообмен между движущейся средой и поверхностью неподвижного отно-
, (тельно нее тела. Этот процесс называют теплоотдачей.
। Рассмотрим поверхность F тела, обмываемого жидкостью (рис. 13.2).
Ьщелим на этой поверхности тела малый элемент dF, нормаль к которому п.
Емпературу элемента поверхности обозначим tc- Как уже отмечалось выше,
fi поверхности тела имеется бесконечно тонкий слой неподвижной жид-
рсти dn. Передача теплоты через этот слой жидкости может осуществляться
>лько путем теплопроводности. Следовательно, плотность теплового ло-
жа через этот слой в элемент поверхности dF можно вычислить, восполь-
звавшись законом Фурье:
= <1339»
це (dt/dn)c — градиент температуры в слое жидкости dn; X — коэффициент
гплопроводности жидкости; qc=d2QJ(dFdT) — плотность теплового потока
стенку.
Таким образом, для того чтобы определить тепловой поток в стенку, не-
бходимо знать градиент температуры в жидкости у стенки. Для этого не-
бходимо сначала проинтегрировать систему дифференциальных уравнений
:онвективного теплообмена при заданных условиях однозначности и найти
аспределение температур в потоке жидкости. После того как будет найдено
распределение температуры в жидкости, можно вычислить градиенты темпе-
ратуры.
В инженерных расчетах различных тепловых аппаратов обычно задается
емпература tc поверхности тела, омываемого жидкостью, и температура
ж набегающей жидкости (например, на входе в канал, или вдали от обте-
каемого тела). Разность температур (?ж — тс) называют температур-
I ы м найором. Эта величина при исследовании теплоотдачи обычно
эывает задана. В связи с этим оказалась очень удобной для практических
расчетов вспомогательная величина, называемая коэффициентом теплоотда-
ш а
а = Яс/(Гж (13.40)
Понятие коэффициента теплоотдачи впервые было введено Ньютоном.
Как показали более поздние исследования, коэффициент теплоотдачи яв-
ляется консервативной (т.е. слабозависящей) величиной относительно
температурного напора, если теплофизические параметры жидкости в рас-
сматриваемом диапазоне температурных условий изменяются незначитель-
273
Рис. 13.2. К выводу дифференциального уравнения теплоотдачи
но. Использование такой величины упрощает расчеты теплообменных ап-
паратов. В связи с указанным свойством величины а в уравнение (13.40)
принято называть законом Ньютона-Рихмана.
Подставляя в формулу (13.40) выражение (13.39), получим
X dt
« = - ------- (— )с- (13.41)
Гж — tc “п
Это уравнение называют дифференциальным уравнением теплоотдачи.
В этом уравнении известными (заданными) предполагаются лишь гж, tc и
X. Введение понятия коэффициента теплоотдачи никак не упрощает мате-
матическую постановку задачи о конвективном теплообмене.
Из анализа дифференциальных уравнений конвективного теплообмена и
условий однозначности вытекает, что распределение температуры в потоке
жидкости, омывающей твердое тело, зависит от многих величин — от темпе-
ратуры набегающего потока ?ж, от температуры tz поверхности тела, от
физических параметров жидкости (X, д, Ср, р), от геометрических размеров
(Л) и формы тела (Ф), от скорости >гж набегающего потока и других фак-
торов:
t = f(x,y, z, т, гж , tc, X, р , ср, р ,и>ж,Ь,Ф). (13.42)
Следовательно, распределение градиентов температур в потоке жидкости
зависит от тех же величин. Из этого уравнения и уравнения (13.41) следует,
что значение а зависит от многих факторов:
~ f У & ^с» >^ж ’ ^с» АС Ср> Р >^ж> > (13.43)
где хс,.ус, zc — координаты точек поверхности тела, обтекаемого жидкостью.
274
Процессы теплоотдачи необходимо уметь рассчитывать при решении мно-
гй инженерных задач противопожарной защиты. В качестве примеров мож-
нс привести такие задачи, как определение фактической огнестойкости
.лэительных конструкций, прогнозирование процессов развития пожара в
итиещениях, разработка устройств для обнаружения загораний, создание
неновой защиты оборудования, разработка профилактических мероприя-
hj по противопожарной защите различных технологических процессов и
В дальнейшем мы ограничимся изучением процессов теплоотдачи, по-
ольку они имеют особенно большое значение для практических работни-
ке пожарной охраны. Отметим здесь, что конечной целью исследования того
ж иного процесса теплоотдачи является определение значений и коэффи-
дентов теплоотдачи, т.е. отыскание конкретного вида функции (13.43).
13.4. Классификация процессов теплоотдачи
Система дифференциальных уравнений конвективного теплообмена
>.33) ,...,(13.38) является чрезвычайно сложной. Отыскание решения этой
(стемы уравнений, пригодного для всевозможных условий однозначности,
аляется невыполнимой задачей. В этой связи целесообразно разделить все-
1>зможные. процессы теплоотдачи на классы и изучать в отдельности особен-
эсти каждой группы процессов.
В зависимости от причин, вызывающих движение жидкости (или газа),
эоцессы теплоотдачи делят на два класса — теплоотдачу при свободном
гравитационном) движении среды и теплоотдачу при вынужденном дви-
ении омывающей тело среды. Свободным движением называется движе-
ие среды, возникающее в поле массовых сил из-за того, что плотность
реды в разных точках пространства различная. Это различие обусловлено
ависимостью плотности от температуры и неоднородностью температурного
оля в среде. Вынужденным движением называется движение среды, кото-
ое возникает под влиянием внешнего воздействия на среду (например,
оток создается компрессором или движением самого тела в среде).
Процессы теплоотдачи при вынужденном движении среды делятся, в
вою очередь, на две группы. К первой группе относятся процессы тепло-
обмена тел, обтекаемых „безграничным” потоком жидкости или газа. Поток
[азывается безграничным, если поперечные его размеры очень велики по
равнению с размерами обтекаемого тела. В таком потоке отсутствует на
юльшом расстоянии от тела влияние последнего на параметры (скорость,
емпературу и т.д.) движущейся среды. Граничные условия для этой группы
троцессов теплоотдачи заключаются в том, что задаются условия на поверх-
юсти обтекаемого тела и на „бесконечно большом” расстоянии от поверх-
ности тела, где поток не возмущен телом как в динамическом, так и в тепло-
вом отношениях. Процессы теплообмена тел, обтекаемых безграничным по-
током, принято называть теплоотдачей при внешнем обтекании.
275
Среди всевозможных процессов, относящихся к этой группе, весь
характерными для инженерной практики являются процессы теплооб.
тел с плавной в аэродинамическом отношении поверхностью (рис. 13.3) п
условиях, когда подтормаживающее действие тела на поток, обусловл
ное вязкостью жидкости, проявляется лишь в тонком пристенном сл
За пределами этого слоя жидкость можно рассматривать невязкой. В пре?
лах такого пристенного слоя скорость w изменяется от нуля (на пов'
ности неподвижного тела) до скорости невязкого потока. Этот слой .
вают гидродинамическим пограничным слоем. Внутри пограничного сл< "
справедливо условие (3w/dy) Ф 0. На внешней границе этого сл
(3w/3y) — 0 Понятия „внешняя граница пограничного слоя” и ,,toj •
слоя” 6Д являются несколько условными, так как нет резкого перехо»
от пограничного слоя, где заметно проявляется действие сил вязкости,
области невязкого течения. Под толщиной слоя 5 д подразумевается такч.
расстояние от стенки, на котором скорость отличается от скорости пото
вдали от стенки на некоторую заданную малую величину (приблизительно -
один процент). За пределами пограничного слоя поток описывается просты-
ми уравнениями, которые вытекают из уравнений (13.34),...,(13.37), если в
этих уравнениях положить р =0. Получаемые при этом уравнения называют
уравнениями Эйлера. Наряду с гидродинамическим пограничным слоем
вблизи поверхности обтекаемого тела образуется тепловой пограничный
слой. Это понятие было введено член-корреспондентом АН СССР Т.Н. Кру-
жилиным. В пределах теплового слоя температура жидкости изменяется от
значения, равного температуре стенки (при у = 0), до значения, равного
температуре набегающего потока. Для области внутри теплового погранич-
ного слоя справедливо условие (3t/3y) ¥= 0, а на внешней границе ^t/Зу) -0.
Толщина 6 т теплового пограничного слоя в общем случае не равна толщи-
не 5 д динамического пограничного слоя.
Рис. 13.3. Внешнее обтекание тела
276
торую группу процессов теплообмена при вынужденном движении жид-
Чсегги составляют процессы теплоотдачи при движении среды внутри кана-
Чи (или в замкнутом ограниченном объеме), когда влияние стенок кана-
обусловленное вязкостью и теплопроводностью жидкости, является
естественным во всем пространстве, заполненном движущейся жидкостью
13.4).
Процессы теплоотдачи при свободном движении жидкости также, как и
'Unjneccbi при вынужденном движении, принято делить на две группы. К
'((левой группе относятся процессы теплоотдачи при свободном движении в
j ^-Ограниченном объеме. Под неограниченным объемом понимается такой
4ем, размеры которого велики по сравнению с размерами омываемого
едкостью тела, так что вдали от тела жидкость можно считать не возму-
^щлной. Среди всевозможных процессов, относящихся к этой группе, харак-
. иными являются процессы теплообмена тел с гладкой в аэродинамическом
г йошении поверхностью при условиях, когда около поверхности тела обра-
|а зутся тонкий пограничный слой. Данное выше определение внешней грани-
t II пограничного слоя остается тем же и в случае свободного движения
, ядкости. Однако распределение скорости в пограничном слое при свобод-
, нм движении весьма своеобразно. Во многих случаях скорость вдали от
ша, около которого возникло движение, равна нулю. На рис. 13.5 показа-
н качественная картина распределения скорости w и температуры t в потоке
ждкости около горячей вертикальной стенки. Из графика видно, что ско-
рсть в пределах толщины 5 д динамического пограничного слоя изменяет-
с от нуля на поверхности стенки до некоторого максимального значения
гутри слоя и затем снова до нуля на внешней границе пограничного слоя.
Ко второй группе процессов теплоотдачи при свободном движении жид-
»сти относят процессы, протекающие в ограниченном объеме, когда на дви-
ение жидкости около отдельных участков ограничивающих поверхностей
называют влияние другие участки этих поверхностей. Примером такого
|)оцесса может служить теплоотдача в воздушных прослойках между окон-
мми стеклами.
Рис. 13.4. Схема течения газа в канале
277
Рис. 13.5. Схема свободного движения около нагретой вертикальной стенки
В отдельные классы выделяют процессы теплоотдачи при наличии в дви-
жущейся среде фазовых превращений (кипение, конденсация) и при наличии
в среде химических реакций.
В свою очередь, в пределах каждого из вышеотмеченных классов разли-
чают стационарные и нестационарные процессы. Стационарные процессы
характеризуются тем, что скорости, температуры, давления и плотности
движущейся среды не изменяются со временем. В каждой точке потока они
остаются неизменными. В пределах каждой группы, которые были указаны
выше, выделяют в отдельные подгруппы процессы теплоотдачи, протекаю-
щие при ламинарном (слоистом) движении жидкости, и процессы при турбу-
лентном (вихревом) течении жидкости.
Приведенные выше дифференциальные уравнения конвективного тепло-
обмена (13.33) ,...,(13.37) справедливы как для ламинарного, так и для
турбулентного движений. В этих уравнениях величины 1л)х, 1л)у, ia)z, t,p и p
представляют собой мгновенные значения. Однако при турбулентном движе-
нии траектории отдельных частиц жидкости очень сложны и запутаны. Инте-
грирование уравнений с целью определения мгновенных значений 1л)х, Wy, Wz,
t, р и р становятся -при турбулентном движении практически невыполнимым.
Отыскание этих интегралов задача столь же трудная как, например, задача об
определении траекторий каждой отдельной молекулы, движущейся среди
других молекул газа. Поэтому при изучении турбулентных потоков прихо-
дится ограничиваться рассмотрением осредненной картины течения.
278
Для описания турбулентных потоков используются осредненные уравне-
на, вытекающие из уравнений Навье-Стокса. Эти уравнения были получены
СГейнольдсом и носят его имя. Переход от уравнений Навье-Стокса к
обедненным уравнениям осуществляется следующим образом. Рассмотрим
-фбулентный поток. В каждой точке потока составляющие скорости wx, Wv,
Ш испытывают в течение времени беспорядочные изменения, колеблясь
одрло средних своих значений Wy, wz. Разности wz— называются
ппьсациями составляющих скоростей. Пульсации могут иметь положитель-
на и отрицательные значения. Значения средних величин ЦГХ, й; Wz полу-
чатся как результат осреднения у
_ 1 т
= WidT’ (13.44)
1 о
р Т — период осреднения; i = х, у, z.
Величина периода выбирается, с одной стороны, достаточно большой по
савнению с периодом пульсаций, а с другой — достаточно малой по сравне-
но с изменениями осредненной величины во времени.
Как следует из сказанного, значение мгновенных скоростей можно пред-
<авить в виде суммы Wj и wz , т.е.
wz = йиу + Wj .
налогичным образом можно представить мгновенные значения давления,
тотности и температуры
р = р+р,р=р+р, t = t + t.
’ Если вместо мгновенных значений wx, Wy, Wz, pup подставить в уравне-
ия движения и неразрывности их выражения через осредненные значения и
ульсации, а затем обе части этих уравнений проинтегрировать по т в интер-
але времени Т, то получим уравнения, содержащие лишь осредненные вели-
шы. Эти уравнения и называются уравнениями Рейнольдса. Для несжима-
мой жидкости эти уравнения имеют вид:
0 Вт Вр В = Pgx~ + г- дх дх т <3<х U P+Vхх ) л ох ’у ±_] +
+ д тг 1 ду Т , + ду ] в т + & +^xz dz (13.45)
р Duty dr др = -ду + дх 1 ^] + дх
в „ дну, В
+ 7)- t By ( Р + Руу ) д--] 4 ~Х~ [ (р 4 Pyz ) dz z 2. 1 dz ь (13.46)
279
Dw-r др д т Bwz
Р dr=№: ~ ~дг + Тх 1 + -f - 1 + »
В •т< Bwz В гр BtA)z /1 'i ai'i
+ ~-1 fa + PyzJ H-J+t- -я— > ( 47)
др у By az az
где
Die.- dvd; _ Jah div; Bwl
—~ = ~T- + шх ~5~~ +wv -z~- +wz
dr Вт Bx ” By Bz
Эти уравнения Рейнольдса описывают распределение средних значений
wx, wv, wz и р~. По сравнению с уравнениями Навье-Стокса они содержат
дополнительные величины д^-, которые обусловлены наличием пульсаций
скоростей. Эти величины связаны с пульсациями следующими соотношения-
ми:
(13.48)
и т.д.
Величины называются коэффициен тами турбулентной
вязкости. Следует отметить, что эти коэффициенты в отличие от д не
являются физическими параметрами жидкости. Они зависят от динамичес-
ких свойств потока.
Как и ламинарное, осредненное движение турбулентного потока является
слоистым. Каждому слою осредненного потока соответствует некоторое
среднее значение скорости. Из слоя в слой перебрасываются вследствие
турбулентного перемешивания комки, или, как их называют, моли жид>.
кости. Под молями понимают группу частиц жидкости, которым можно при-
писать в данный момент некоторую общую мгновенную скорость. Эти моли
переносят из слоя в слой некоторое количество движения. Если в двух со-
седних слоях осредненная скорость различная, то количество движения,
получаемое и отдаваемое этими слоями, будет разным . Процесс обмена
количеством движения между слоями осредненного потока за счет турбу-
лентного перемешивания молей называется турбулентным трением. В той
части потока, где имеет место развитая турбулентность, турбулентное
напряжение трения во много раз (в сотни, тысячи) больше ламинарного,
т.е. Ptf > д. Это объясняется тем, что процесс переноса импульса молями
(комками жидкости) значительно интенсивнее процесса переноса импульса
молекулами. Турбулентная вязкость в тысячи раз больше молекулярной.
Для того чтобы вычислить значения коэффициентов турбулентной вяз-
кости, нужно знать механизм турбулентного перемешивания. В настоящее
280
в рая в теории турбулентности разработан ряд приближенных моделей тур-
булентного перемешивания. К их числу относятся модели Прандтля, Карма-
::1аГейлора и др.
ассмотрим основные положения теории Прандтля. Согласно статистичес-
ки теории, турбулентное напряжение трения тт
J. = _ р w' w’ = _ рГу/ и/2 J wt2 , (13.51)
4 _____ 1 i /
гд \/и>р \/ Wj-2— среднеквадратичные значения пульсаций; г — коэффи-
днт корреляции (этот коэффициент статистически учитывает взаимообу-
авленность пульсаций в направлениях I и /).
.t Анализируя осредненное слоистое течение около стенки, Прандтль пред-
; шсожил, что величина среднеквадратичных пульсаций пропорциональна
тршенту осредненной скорости, т.е.
У й?2 = ~ , или д^2 = I — ,
< Х v g ду ' у х ду
у I — коэффициент пропорциональности, названный длиной пути переме-
Швания; у — координата, отсчитываемая по нормали к стенке; х — коорди-
ь а, отсчитываемая вдоль стенки.
С учетом этого для турбулентного напряжения трения в плоскости, парал-
шьной поверхности стенки, Прандтлем получена формула
т э дЩс ->
т^р1г-1~Г, (13.52)
ду
г,э I = ку, к= 0,4 — эмпирическая константа.
Таким образом,
т , о ^Х 2
т =р к2 у2 ( .
ду
(13.53)
(13.54)
! Коэффициент турбулентной вязкости, согласно теории Прандтля
Т Т / X 7 7 $^Х
р? = тт — =рк2у2 -------- .
ду л ду
При исследовании турбулентных потоков необходимо знать особенности
ечения у поверхности тела. Экспериментально установлено, что вблизи
юверхности тела турбулентные пульсации гасятся, характер течения стано-
вится близким к ламинарному. Вблизи стенки существует тонкий слой,
де влиянием пульсаций на перенос импульса можно пренебречь. Напряже-
те трения здесь обусловлено обычной вязкостью (молекулярной вяз-
костью) . Этот слой получил название ламинарного подслоя. Говорить о его
толщине можно лишь условно, так как затухание пульсаций по мере прибли-
жения к стенке происходит постепенно.
Толщину ламинарного подслоя 5Л можно оценить при помощи Эмпири-
ческого соотношения, предложенного Карманом
М
5л = /з ---
Р
(13.55)
281
где 0 = 11,5 - эмпирическая константа; и>ж = \tw!p\ - напряжение
трения на поверхности стенки; р - плотность жидкости; р - динамический
коэффициент вязкости.
Осредненное уравнение энергии получается из уравнения для мгновен-
ных значений (13.21) методом, аналогичным тому, который был использо-
ван при выводе уравнений (13.45), (13,46), (13.47)
Dt Рср~Г н dr _ 3 . dt д [ft+ty-,- 1 +jj-[(x+APa?] х Ъх ay у ay 3 + --[(X+XJ az z dt ) X- J, (13-56) az
Dt _ dt _ dt __ dt
где — dr дт + *x Tx +и)У Ту +Wz T ' 9
X?— коэффициенты турбулентной теплопроводности.
Осредненное уравнение энергии (13.56) содержит по сравнению с уравне-
нием (13.21) дополнительные величины X- , которые обусловлены наличием
пульсаций температур и скоростей. Эти величины связаны с пульсациями
соотношениями:
dt у-у- 1 г , ,
V = РСр(^ Wx)= Рс„( t Mxdr),
ах е г Т о
_ & , , 1 Г , ,
-% ~ =pCp(t wv) = pcp(— J tWydr)
Л ay . z r J о л
(13.57)
(13.58)
и т.д.
Каждому слою осредненного потока соответствует некоторое осреднен-
ное значение температуры. Из слоя в слой осредненного потока перебрасы-
ваются моли жидкости. Эти моли переносят энергию. Теплообмен между
слоями осредненного турбулентного потока за счет перемешивания молей
называется турбулентной теплопроводностью В области потока с развитой
турбулентностью передача теплоты молями много интенсивнее молеку-
лярной теплопроводности, т.е. X? > X. Следует отметить, что коэффициент
турбулентной теплопроводности X*. так же как и не является физическим
параметром жидкости. Он является функцией динамических свойств потока.
13.5. Обобщенные переменные и уравнения для процессов теплоотдачи
Аналитическое решение системы дифференциальных уравнений конвек-
тивного теплообмена с теми или иными условиями однозначности, харак-
терными для инженерной практики, получить, как правило, чрезвычайно
трудно. Аналитические методы решения задач о теплоотдаче тел в потоке
жидкости разработаны для очень ограниченного круга явлений. Наиболее
развиты эти методы для задач о теплоотдаче при внешнем обтекании тел
с плавной в аэродинамическом отношении поверхностью, вдоль которой
формируется тонкий пограничный слой. Эти методы подробно освещаются в
многочисленных монографиях по теории пограничного слоя. Но даже в рам-
ках теории пограничного слоя далеко не все задачи можно решать аналити-
282
«йки. В связи с этим были разработаны различные численные методы реше-
iHji задач о теплоотдаче тел. Одним из таких методов является, например,
мгод крупных частиц. С совершенствованием ЭВМ численные методы по-
.пчают все большее развитие и распространение. Однако и численные методы
даеко не всегда оказываются эффективными. Это обусловлено, в частности,
ти, что до настоящего времени отсутствует достаточно строгая и полная
тория трубулентности.
,В связи с вышесказанным многие задачи о теплоотдаче решаются экспе-
рментальным методом, т.е. конкретный вид зависимости (13.43) устанав-
лвается экспериментальным путем. Численным или экспериментальным
модом удается получить решение для одного конкретного случая при
фксированных значениях физических параметров среды и геометрических
уловий задачи. При изменении хотя бы одного параметра все вычисления
яобходимо проделать заново или осуществить еще один опыт. Для того
юбы придать численным или экспериментальным результатам обобщен-
ий характер, используются безразмерные обобщенные переменные. Резуль-
чты экспериментов или численного решения на ЭВМ, представленные в виде
ункциональной связи между обобщенными переменными и обобщенными
фаметрами задачи, имеют, во-первых, более компактный характер, а во-
горых, более широкий смысл. В таком виде они могут рассматриваться как
ршение для целой группы явлений. Чтобы пояснить это положение, рас-
иотрим конкретную задачу.
Пусть, например, требуется решить задачу о стационарной теплоотдаче
ла заданной формы Ф с характерным размером L, обтекаемого безгранич-
ым потоком жидкости, скорость и температура которого на бесконечном
далении от тела соответственно равны ато и Гж (рис. 13.3). Температура на
эверхности обтекаемого тела всюду равна tc, а параметры жидкости —
тотность р, теплоемкость Ср, теплопроводность X и вязкость р — постоян-
ы и одинаковы во всех точках потока. Требуется найти конкретный вид
гвисимости (13.43), т.е. определить распределение а на поверхности рас-
матриваемого тела.
Математическая формулировка этой задачи при использовании декарто-
ой системы координат, связанной с телом, записывается следующим обра-
эм:
уравнение неразрывности
3wx дюу dlA)z
— + —+ — = О,
Эх ду dz
уравнение энергии
z dt at dt a2t a2t
p x dx y dy z dz ' dx2 dy2 dz2'
три уравнения движения в проекциях на координатные оси
dtxp дин ди)/ др dw; дю; dw;
Р(™х +*у + ) = PSi~ Г + + 2
ах z ау oz di ах оу oz
(где i +х, у, z),
283
дифференциальное уравнение теплоотдачи
Л dt
а =----------( — ) = ,
?ж “ ?с дп
граничные условия на поверхности тела (т.е. при и=0, где п — расстоя-
ние по нормали от поверхности тела)
f L=0 “ ^С’ wx Ь = 0 ~ 0’ wy L =0 ~ 0’ wz L = 0 “ 0’
граничные условия на бесконечном расстоянии от тела
t I п °°= ^ж» I W 'и -* 00 ~ ,
Направление вектора скорости tv0 вдали от тела задано направляющими
углахми в выбранной системе координат , \р2 и (их называют обычно
углами атаки). В этих шести уравнениях шесть неизвестных функций -
р, wx, Wy, wz, t на. Заданные величины L, р, X, ср, t*, tc, щ являются пара-
метрами задачи.
Преобразуем дифференциальные уравнения к безразмерному виду, пере-
ходя от размерных переменных к безразмерным. В рассматриваемой задаче
удобно перейти к безразмерной избыточной температуре 0 =(t - tj/tc)
и к безразмерной скорости Wj = Wi/wQ. При использовании таких величин
граничные условия становятся особенно простыми:
е 1п=о =о. Wj 1„=о=О,0 1, liv 1„^оо = 1. (13.59)
От размерных координат перейдем к безразмерным X = x/L, Y = y/L,
Z = z/L и N = n(L, где L — заданный характерный размер обтекаемого тела.
Формулы, связывающие размерные и безразмерные величины
х = L X, у = L Y,z = L Z, п = LN,
Wi = wQWi, t = O(t*- tc) + tc.
(13.60)
Подставляя уравнения (13.60) в дифференциальные уравнения неразрыв-
ности, энергии, движения и теплоотдачи, получим после несложных преобра-
зований безразмерные уравнения:
(13.61)
dO
xdX
dWj
—l- + W.
dY
дв
dWj
Wx y~L+Wv
x dX y
a L
( T } = ”( 3N )n=o’
д0 дв д20
у ду 1 dz дх2
dWj gL др
dZ w2 Si di^
32e
dY2 * ~dZ2 '
P 2
pLwo 1
(13.62)
(13.63)
(13.64)
284
T* *
г
£ - ускорение свободного падения (g =^9,81 м/с2).
* безразмерные уравнения энергии (13.62) и движения (13.63) содержат
ийебе безфазмерйые комплексы, составленные из заданных величин. Эти
жиялексы нредетавлтт собой обобщенные параметры задачи. Такие комп-
асы 1^шяю называть именами ученых, внесших большой вклад в теорию
’И^дапередачи, и обозначать первыми двумя буквами фамилий этих ученых:
,.,r„7S,.. <—ST.- s Ре — число Пекле; —г- = Fr - число Фруда;
, f X « vg
^Re - число Рейнольдса.
f >
как эти комплексы составлены из заданных (известных) величин, то
й принято Называть определяющими числами (критериями).
. Наряду с указанными комплексами уравнения движения (13.63) и тепло-
сдачи (13.64) содержат безразмерные комплексы, включающие в себя
жомые величины
, Р &L
—~ а Ен - число Эйлера; ----- « Nu - число Нуссельта.
X
як как эти комплексы содержат в себя величины, которые надлежит найти,
£ их называют определяемыми числами,
f Решение поставленной задачи, сформулированной в обобщенном виде
]13.59), (13.6!),.„,(13.64), будет представлять собой зависимость между
^обнЙИИЫМС переменными:
| Fr, Re), (13.65)
.де Хс, ¥$, безразмерные координаты точек поверхности тела
;Xq=JC^/Z, .Fc/A Zc = '
j- Во многих инженерных расчетах требуется знать средний коэффициент
Шноотда’Ш для всей поверхности F омываемого тела, а не распределение
фокальных коэффициентов по поверхности тела. .Средний коэффициент
теплоотдачи определяется но формуле
(13.66)
рредаему коэфф«щиенту теплоотдачи соответствует среднее число Нуссель-
&
Nueo= =~'J Nu^
е₽ A F ¥
1-
i.
(13.67)
28$
Если подставить в формулу (13.67) уравнение (13.65), то получим урав-
нение для среднего числа Нуссельта
NuCD=/(Pe, Fr, Re). (13.68)
Уравнения (13.65) и (13.68) называются критериальными уравнениями.
Сопоставляя уравнение (13.65) с уравнением (13.43), нетрудно видеть, что
критериальное уравнение носит более компактный характер.
Число Пекле можно представить в следующем виде
PZVq L Ср р Ср р
Ре _ ----- —=— - z,
р X X
Безразмерный комплекс (Ср р) /X называют числом Прандтля
и обозначают Рг = (ср р) /X. С учетом вышесказанного критериальные урав-
нения (13.65) и (13.68) можно преобразовать к виду
Nu=//Xc , Yc, Zc, Fr,Pr, Re), (13.69)
Nucp =/(Fr, Pr, Re) . (13.70)
Решение задачи, представленное в виде (13.65) или (13.69), носит обоб-
щенный характер. Действительно, существует огромное множество величин
X, р, Ср, p,w0, Гж и Гс, £. Однако решение (13.69) будет справедливо для
большого числа случаев, у которых числа Fr, Рг и Re одинаковы, а геометри-
ческие условия однозначности подобны, т.е. если рассматриваемые тела
имеют геометрически подобную форму и одинаково ориентированы отно-
сительно вектора скорости набегающего потока. Для всех таких случаев
безразмерные дифференциальные уравнения и граничные условия будут
тождественными. Следовательно, поля безразмерных скоростей в потоках во
всех случаях будут тождественными. То же следует сказать о полях безраз-
мерных избыточных температур. Поля размерных величин будут отличаться
лишь по масштабу. Такая группа явлений называется группой подобных
процессов. В этой связи безразмерные комплексы, входящие в критериаль-
ные уравнения (13.69), (13.70), называются числами подобия.
Выше мы анализировали задачу о стационарном теплообмене тела в
безграничном стационарном потоке несжимаемой жидкости. Если рассмат-
ривать аналогичным образом теплоотдачу при внешнем обтекании тела не-
стационарным потоком, который характеризуется, например тем, что при
т = 0 I ЙИ п=оо=Щ) , а затем скорость набегающего потока со временем начи-
нает монотонно изменяться, то в обобщенных безразмерных уравнениях
получим безразмерный комплекс вида . Этот комплекс имеет смысл
безразмерного времени, также, например, как число Фурье (см. гл. 11).
Его называют числом Струхаля и обозначают
и?от
---- = Sh.
L
286
Для нестационарного процесса теплоотдачи при внешнем обтекании Крите
пильные уравнения имеют вид
I] Hu=/YXc, Ус, Zc , Sh, Fr, Pr, Re), (13.71)
Чпср =/(Sh, Fr> Pr, Re). (13.72)
1( бели нестационарный процесс носит периодический характер с заданным
выменем периода т0, то в обобщенных уравнениях теплоотдачи появляется
ставленный из заданных, величин безразмерный комплекс(wjJL), кото-
цж называют числом гомохронности и обозначают
Vo
L
= Но.
•Выше была рассмотрена одна из характерных задач о теплоотдаче при
1 внужденном движении среды, когда плотность этой среды практически
воду одинакова и подъемные силы, обусловленные неоднородностью поля
пэтностей, можно не учитывать. Проведенный анализ показал, что число
: Йссельта при вынужденном движении жидкости зависит от чисел Рейнольд-
Q Прандтля, Фруда, Струхаля и безразмерных координат точек поверх-
нсти обтекаемого тела.
Рассмотрим теперь задачу о стационарной теплоотдаче тела заданной
фрмы Ф с характерным размером L при свободном движении жидкости в
^ограниченном объеме. Температура поверхности тела поддерживается во
вех точках одинаковой, равной tc. Температура жидкости на бесконечном
уалении от тела постоянна и равна < Гс). Около тела имеет место
«ободное движение жидкости. На поверхности тела в силу условий ,,при-
дания” скорость потока равна нулю. На бесконечном расстоянии от тела
идкость неподвижна, т.е. скорость потока вдали от тела равна нулю. Огра-
ичимся рассмотрением таких условий, когда заданные физические парамет-
р — вязкость р, теплоемкость Ср и теплопроводность X — можно считать
Е'Стоянными. Эти условия реализуются при не слишком больших температур-
нх напорах (Гс - Гж). При этом различие плотности в разных точках пото-
ц, обусловленное неоднородностью температурного поля, не очень боль-
ое. Плотность жидкости в каждой точке потока можно представить в
яде функции от температуры
р=рж [1 - 0(t - Гж) ] , (13.73)
це /3 — коэффициент объемного расширения; рж — плотность жидкости на
Ьсконечном расстоянии от тела.
Отметим, что /3 < 1. Для газов этот коэффициент есть величина, обратная
бсолютной температуре
в= 1 . (13.74)
Т
При описании свободного движения около тела в неограниченном объеме
удобно использовать связанную с телом декартовую систему координат,
>сь х которой параллельна вектору ускорения свободного падения g. При
этом вдали от тела градиент давления по оси х (в вертикальном направле-
287
F
нии) постоянен и равен Зр[дх ~ gp^, а вдоль осей у и z равен нулю. Дина-
мической составляющей давления, обусловленной движением жидкости
вблизи тела, можно пренебречь. Поэтому в уравнений движения (13.29)
следует положить, что
3d
Величина g (р - рж) представляет собой подъемную силу, действующую на
единицу объема жидкости (рис. 13.1). Если теперь воспользоваться форму-
лой (13.73), то значение подъемной силы, действующей на единицу объема
жидкости, можно выразить через температуру жидкости:
gfpK - р) “ g Рж & ~ гж) • Следует отметить, что поскольку (3 < 1, то в
остальных членах уравнений движения (13.29), (13.30) и (13.31), где р вы-
ступает в качестве сомножителя, можно принять р = рж = const. С учетом
вышесказанного уравнения движения, энергии и теплоотдачи для рассматри-
ваемой задачи принимают вид:
3wY dwx 3ia>z x 2
Рж 1 4 л 1 Х Зх + w-y + wz z ay —) 3.z 7 ~gPyK@^~ ">
(13.75)
Рж (wx 3wy Зх + гд)у 3wy Эу + wz 1 z 3z 3p 2
3wz 3wz 3wZt dp 2
Рж Зх + Wy Зу az - •— + P V w7, 3z z
(13.76)
(13.77)
Эг Qt Вт 2
Р* Ср -fa I,
(13.78)
Граничные условия:
f fC’wx ^=0 0’ Wy lw=o 0’
t 1,7=00= Гж, Wx o, Wy 1^-00= 0, Wz ln-().
(13.80)
Преобразуем уравнения (13.76) ,...,(13.79) и граничные условия к без-
размерному виду, переходя от размерной температуры к безразмерной
избыточной температуре в = (t - - tj и от размерных координат к
безразмерным X ~ x/L, Y =y/L, Z = z/L, N =n/L. Особенностью задачи о тепло-
отдаче при свободной конвекции является то, что скорость потока на грани-
цах области, где протекает процесс, равна нулю. В этом случае отсутствует в
условиях однозначности значение скорости, которое можно было бы исполь-
зовать в качестве масштаба.
288
02
az ~. 2 az
39 __
* 02 ’ "у &Y ' ~z 02
}ЛЛ . • (13.81)
д2
а?
(13-82)
(13.83)
(13.84)
уравяедае теплоотдачи
z .
Nu = -(^^0 *
’граничные условия
(13.85)
’® 1 ЛМ>= *х W-’O “ wy 1ДМ) = & wz
I? 0 ^уЪгоо® 1, I ДГг=9® Wy 1дд=ое> = О, W% Ij^bpo®5 О,
jfee Wf « (рж «yjfc - безразмерная составляющая скорости; Nu = (al)/ X -
иейо. Нуеоедьтз; Рт (де^ ) /X - число Прандтля;
; Л &№ &Wi 9*Wf
j 7 * &r* 0Г 0Z2
J z &9 ^9 . 3N
\vi‘^^ + ^p=(p^111-
. Первое безразмерное уравнение движения содержат в себе безразмерный
фмвлвке {£ Држ2/Тс _ ]» составленный из заданных величин,
йот комнлеке представляет собой обобщенный параметр задачи о тепло-
йгдаиа ирй свободном даюкешш и называется числом Грасгофв
‘ sGt.
: Решена поставленной задачи, сформулироващюй в обобщенном виде,
будет представлять собой функциональную связь между обобщенными
? №"//x0.re.ze.a.ft> . . (1з.8б)
Критериальное уравнение для среднего коэффициента теплоотдачи
Nu=/(Gr, Рг).
(13.8'
Проведенный анализ показал, что определяемое число Нуссельта .
стационарном свободном движении жидкости зависит от определяю
чисел Грасгофа, Прандтля и безразмерных координат точек поверхнос
зела.
В заключение настоящего параграфа отметим, что наряду с указанны,
выше числами подобия в инженерной практике применяются некоторые
комбинации. Так, например, в расчетах теплоотдачи тел при внешнем обт;
кании иногда используется число Стантона
Re Рг
РсрЩ>
13.6. Теория подобия (моделирования)
Выше уже отмечалось, что возможности теоретических методов решения
(аналитических и численных) задач о теплоотдаче тел весьма ограничены. В
изучении процессов теплоотдачи большая роль отводится эксперименту. В
тех случаях, когда трудно и невозможно опытным путем изучить натурное
явление по техническим или экономическим причинам, применяется моде-
лирование.
Моделированием называется метод экспериментального изучения того или
иного процесса при помощи его физической модели. При этом имеется в
виду, что физическая модель подобна натурному процессу.
Понятие о подобии зародилось в геометрии. Как известно, геометрически
подобные фигуры имеют одну и ту же форму и обладают свойством про-
порциональности сходственных линейных размеров (рис. 13.6):
(13.87)
где С[ — константа геометрического подобия.
Каждой точке А' внутри первой фигуры можно сопоставить сходствен-
ную ей точку А" внутри второй фигуры, подобной первой (рис. 13.6). Сход-
ственными точками называются такие, сходственные координаты которых
обладают свойством пропорциональности
Говорить о сходственных точках внутри каких-либо фигур можно лишь в
том случае, если эти фигуры геометрически подобны друг другу.
290
Рис. 13.6. Геометрическое подобие
Тонятие подобия может быть распространено на любые физические явле-
ш. Можно говорить, например, о подобии картины движения двух пото-
св жидкости — кинематическом подобии; о подобии картины распределе-
м температур и тепловых потоков — тепловом подобии и т.д. Понятие по-
1рия в отношении физических явлений применимо только к явлениям од-
го и того же рода, которые качественно одинаковы и описываются оди-
ковыми уравнениями как по форме, так и по содержанию.
Если же математическое описание двух каких-либо различных по физи-
ккому содержанию явлений одинаково по форме, то такие явления назы-
вотся аналогичными. Такая аналогия существует, например, между процес-
сии теплопроводности, электропроводности и диффузии.
Обязательной предпосылкой подобия физических явлений должно быть
гометрическое подобие. Последнее означает, что подобные явления всегда
потекают в геометрически подобных системах.
Подобными процессами конвективного теплообмена называются такие, у
вторых подобны поля однородных величин, характеризующих это явле-
ве. У двух таких процессов поле температур, наблюдаемое в одном процес-
с, подобно полю температур, имеющему место в другом процессе. То же
смое следует сказать о полях скоростей, давлений и плотностей.
t Подобными полями однородных величин (например, температур Т) на-
пваются такие, у которых отношение этих величин, взятых в сходствен-
ых точках (ив сходственные моменты времени, если процесс нестацио-
ирный), равны одной и той же постоянной величине.
Например, рассмотрим стационарное течение жидкости в двух плоских
юметрически подобных каналах (рис. 13.7), имеющих ширину d' и d” и
дину L' и L". Каждой точке (например, точка а') потока в первом канале
□ответствует сходственная точка во втором канале (точка а”). Координаты
родственных точек удовлетворяют следующим соотношениям:
ха У a d" L'
= ~77 = Т7 =Q, •
х а Уа d L
291
Рис. 13.7. К понятию подобия процессов конвективного тесшообмена
Если поля скоростей в потоках подобны, то это означает, что
W н
wa 1РЙ
-~3si JS —а. я • а/7
й/ и *" w'
wa в
(Ш9)
где Cw - константа подобия полей скоростей.
Если поля температур в потоках подобны, то это означает, что
*а
фН
К
(13.9$
гае Ct - константа подобия температурных полей.
Подобные доля однородных физических величии в сходствен®^ момеФ ,
ты времена отличаются только неодинаковостью их масштабов.
292 >
Моменты времени т иг" называются сходственными, если при общем
•’иvie отсчета времени они связаны между собой линейным соотношением
г" Сг т, где Ст — константа, вытекающая из физических особенностей про-
<а. Так, например, если речь идет о двух подобных нестационарных про-
лкесах теплопроводности в геометрически подобных телах, то эта константа
сэведеляется из условия равенства чисел Фурье Fo' =Fo'*, откуда следует
~'т" (d'/d) /R"). Если сравниваются подобные нестационарные процессы
гетоотдачи.при внешнем обтекании, то эта константа определяется из усло-
ая равенства чисел Струхаля Sh'=Sh", откуда следует t=t,(w,L'IwL"') . Кон-
титы подобия связаны между собой определенными соотношениями. Эти
^отношения вытекают из дифференциальных уравнений, описывающих
прцесс.
В качестве примера рассмотрим уравнение теплоотдачи. Запишем это урав-
жие для двух подобных процессов:
^метим, что а" =Са а\ X' , п" =С[ n,At'-Ct At', Подставляя
и выражения в уравнение (13.92), получим
(13.93)
h сравнения выражения (13.93) с уравнением (13.91) следует, что
С]. ,
С\
вменяя в этом соотношении константы подобия отношением соответству-
!1цих величин, придем к следующему результату
т.е. Nu = Nu".
аким образом, у подобных процессов теплоотдачи безразмерные комплек-
я, называемые числами Нуссельта, равны друг другу.
В § 13.5 на ряде примеров было показано, что у подобных процессов все
дноименные числа подобия соответственно равны друг другу, т.е. Re"=Re',
r"=Pr' Gr"=Gr, Fr"=Ff, Nu"=Nu ... Это положение называют первой теоре-
юй теории подобия (теоремой Ньютона) .
Анализ процессов теплоотдачи, приведенный в § 13.5, позволяет сфор-
улировать положение о том, что решение всякой задачи о теплоотдаче тела
,ожно представить в виде зависимости между определяемым числом Нус-
гльта и определяющими числами подобия Nu = f (Re, Pr, Gr,...), т.е. в виде
ритериального уравнения. Это положение называют второй теоремой
еории подобия (теоремой Федермана-Букенгама). Вторая теорема укаэы-
293
вает, как нужно обрабатывать опытные данные, чтобы получить обобщен*
ную зависимость, справедливую для всех подобных между собой процес-
сов. Третьим важнейшим положением теории подобия является теорема
Кирпичева-Гухмана. Применительно к задачам теплообмена эта теорема
формулируется так: для того чтобы процессы теплообмена двух геометрц.
чески подобных тел, описываемые одинаковыми по форме и содержанию
размерными уравнениями и краевыми условиями, были подобны, необхо-
димым и достаточным является равенство одноименных определяющих чисел
подобия (т.е Re' =Re" Рг' =Pr", Gr' =Gr" и т.д.).
Эта теорема содержит прямое указание на то, как нужно осуществлять
моделирование изучаемого процесса. Например, при изучении теплоотдачи
необходимо прежде всего создать геометрически подобную натурному телу
(изделию) его модель. Затем создать (подобрать) такой поток жидкости и
температурные условия, чтобы определяющие числа подобия (Re, Gr, Рг...)
в экспериментальной установке были в точности такими же, как в натурном
процессе. Если это будет достигнуто, то процесс в экспериментальной уста-
новке следует считать подобным натурному явлению. Затем производятся
измерения коэффициентов теплоотдачи и определяется число Нуссельта
NuM = (ам LM)/XM. Пересчет данных эксперимента на натурные условия
базируется на теореме Ньютона
— _ ХН £М /юлич
% — NuM ' «м ’ (13.94)
лм ьн
где индексом „н” отмечены величины натурного процесса, а индексом „м” -
величины модели процесса.
Очень часто точное моделирование трудно осуществимо и тогда прибе-
гают к приближенному моделированию, т.е. стараются учесть главные осо-
бенности процесса. При этом широко используется проявление автомодель-
ности процесса относительно какого-либо критерия. Суть понятия автомо-
дельности состоит в следующем. Если в одном из уравнений, описывающих
явление, некоторый член оказывается пренебрежимо малым, т.е. выражае-
мый им физический эффект несущественным, то при моделировании отпа-
дает необходимость в соблюдении одинаковости того определяющего числа
подобия, которое обязано своим происхождением этому члену уравнения.
В таком случае определяемое число Nu не зависит от этого определяющего
критерия, и здесь принято говорить, что теплоотдача автомодельна (т.е. не
зависима) относительно какого-то критерия. Например, очень часто влияние
критерия Fr пренебрежимо мало в широком диапазоне его значений. Следо-
вательно, при моделировании можно не добиваться равенства FrH =FrM ,
Числа подобия отражают относительную значимость факторов, определя-
ющих физическую картину протекания процессов. В связи с этим каждому
числу (критерию) подобия можно дать определенное физическое содер-
жание.
Число Рейнольдса, если умножить его числитель и знаменатель
на скорость w, можно представить в следующем виде
Re = ptv2 / p(w! L).
294
Эи выражение можно рассматривать, как отношение инерционных сил к
сжцм вязкости. Силы вязкости и инерционные силы оказывают на харак-
т«|движения жидкости противоположное влияние. Малым значениям числа
Р ейольдса соответствует устойчивое ламинарное движение. С возрастанием
йе/стойчивость движения уменьшается. При больших числах Рейнольдса
•држсние турбулентное.
(ИслоПрандтля Рг - рср/Х построено из физических парамет-
ра,и поэтому само для данной жидкости представляет обобщенный физи-
Ч1екий параметр, имеющий определенное значение, зависящее от темпера-
ми. У капельных жидкостей Рг > 1. У жидких металлов Рг < 1 (порядка
и меньше). У газов Рг » 1 (для воздуха Рг ~0,7). Число Прандтля харак-
теризует различие интенсивностей процессов молекулярного переноса тепло-
той импульса в жидкости.
1 и с л о Пекле, если умножить его числитель и знаменатель на темпера-
>уный напор Az, можно представить в следующем виде
CpPlA)^t
Ре = -------- •
At
I
h выражение можно рассматривать как отношение переносимого коли-
«тва теплоты за счет движения жидкости к теплоте, передаваемой за счет
олопроводности.
Число Нуссельта, если умножить его числитель и знаменатель на
пдпературный напор At, можно представить в следующем виде
X
Nu = (aAr)/ — Аг.
jL/
Чело Нуссельта можно рассматривать как отношение переданной в процес-
с теплоотдачи теплоты к теплоте, передаваемой теплопроводностью через
сой жидкости, толщина которого равна L.
14 и с л о Фруда Fr = (gL)/ w2 =(р gL3)/(pw2 L2) можно рассматривать
як отношение сил тяжести к силам инерции.
Число Грасгофа можно преобразовать к следующему виду
' р g& &tL3 2 подъемные силы силы инерции
( р и)2Ь2 ) силы инерции силы трения
то число подобия характеризует влияние подъемных сил, сил инерции и
ил трения на свойства потока.
13.7. Анализ размерностей
В тех случаях, когда из-за сложности явлений отсутствует его аналити-
эское описание в виде дифференциальных уравнений, но имеется перечень
изических величин, характеризующих наблюдаемый процесс, критериаль-
гые уравнения можно получить с помощью анализа размерностей. В основе
295
анализа размерностей лежит л-теорема. Эта теорема формулируется следу,
ющим образом. Всякое соотношение между размерными величинами
a = f(ax, аг, а3,..., ак, ак+х,ап)
может быть представлено как соотношение между безразмерными величи-
нами
Я" =/ (^1 > я2> --5 ’
причем число аргументов в безразмерном соотношении сократится по срав-
нению с размерной записью на число к, где к — число аргументов с незави-
симой размерностью.
Величинами с независимой размерностью называют такие, размерность
которых нельзя выразить через размерность других величин. Величины,
размерность которых можно выразить через размерность других величин в
виде степенного одночлена ап ~ — ак > называются величинами с
зависимой размерностью. Число величин с независимой размерностью к, не мо-
жет превышать числа основных единиц в данной системе единиц измерения,
за исключением некоторых специальных случаев использования внесистем-
ных единиц измерения.
Введем L, М, S, Т — символические обозначения размерности основных
единиц измерения (длина, масса, секунда, термодинамическая температура).
Размерностью производных величин измерения называется символическая
формула, показывающая, как выражается единица измерения производ-
ной величины через единицы измерения основных величин. Например, раз-
мерность линейной скорости будет LS~X, работы L2MS~2 и т.д. В общем
случае размерность любой производной величины [л] будет выражаться
через размерность основных единиц степенным одночленом
[д] =
В качестве величин с независимой размерностью не обязательно выби-
рать длину, массу, время и температуру Кельвина. Когда число физичес-
ких величин, характеризующих явление, больше числа величин с независи-
мой размерностью, т.е. п > к, то обычно можно составить несколько набо-
ров к величин с независимой размерностью. Каждому набору будут соответ-
ствовать различные безразмерные величины л-, входящие в критериальные
уравнения. Таким образом можно подобрать наиболее удобные для каж-
дой задачи вид критериального уравнения и вид безразмерных величин.
Наконец, комбинируя величны л-, можно получить также удобные безраз-
мерные величины. Например, получив критерии лги л2, мы можем исполь-
зовать критерии Л! и л2=* Л! л2 (или л2 ^/Лг).
13.8. Экспериментальный метод исследования процессов теплоотдачи
При изучении процессов теплоотдачи искомой величиной является коэф-
фициент теплоотдачи а. Для его определения используют различные экспери-
296
читальные методы. Одним из них является так называемый стационарный
мод электрокалориметра. При этом методе средний коэффициент тепло-
здачи на заданной поверхности тела F определяется по результатам измере-
на температуры поверхности тела tc, температуры потока жидкости ?ж и
талового потока Ф = q/F:
Ф q
а = ---------= —
(13.95)
^ж
! Способы подвода теплоты к поверхности тела могут быть различными.
Дням из простых является способ, основанный на использовании электро-
пгревателя. Тепловой поток в этом случае определяется по измеренным в
аыте силе тока и падению напряжения. Температуру поверхности тела и
нижущейся жидкости измеряют в опытах обычно при помощи термопар.
При постановке экспериментального исследования,прежде всего из ана-
иза дифференциальных уравнений, описывающих изучаемый процесс, или
;етодом анализа размерностей, определяется перечень чисел подобия и
бщий вид критериального уравнения. Установленный перечень чисел подо-
ия (определяющих и определяемых) позволяет указать все величины,
эторые необходимо измерять при проведении опыта, т.е. составить програм-
у проведения эксперимента. Конкретный вид критериального уравнения
пределяют затем при помощи результатов экспериментов. Например, кри-
фиальное уравнение для процесса теплоотдачи тела при свободном движе-
ние неограниченном объеме (см. § 13.5) имеет вид
Nu = /(Gr, Pr). (13.96)
Если опыты проводятся с жидкостью, у которой число Прандтля не зави-
ит от температуры и является величиной постоянной, то уравнение (13.96)
прощается:
Nu=/(Gr). (13.97)
На основании результатов измерений нужно вычислить значения чисел Nu
Gr при различных режимах и представить результаты вычислений на гра-
зике. Из математики известно, что в некотором диапазоне значений аргу-
мента искомую функцию можно аппроксимировать степенной зависимо-
тью, т.е.
Nu = CGr", (13.98)
де С и п — постоянные величины.
Если уравнение (13.98) прологарифмируем, то получим уравнение пря-
мой
lg Nu = lg С + n lg Gr. (13.99)
В связи с вышесказанным при построении графика используют логариф-
мические координаты (рис. 13.8). Показатель степени п определяется из
графика как тангенс угла наклона прямой (13.99) к оси абсцисс. После того
297
Рис. 13.8. Обработка результатов измерений и определение вида критериального урав-
нения (кружочками обозначаются данные опытов)
как будет, определен показатель степени п, значение постоянной С можно
вычислить по формуле
C=Nu/Grn. (13.100)
Если опытные точки в логарифмических координатах не укладываются на
прямую, а располагаются по кривой, то полученную кривую заменяют лома-
ной прямой. Для каждого участка ломаной прямой получают различные зна-
чения и и С.
При использовании эмпирических формул следует всегда помнить, что
они применимы лишь в том диапазоне значений определяющих чисел подо-
бия, который имел место в экспериментах.
Числа подобия содержат физические параметры жидкости, зависящие от
температуры. Температура, к которой следует относить эти параметры, на-
зывается определяющей. В качестве определяющей принимается
температура жидкости Тж или среднеарифметическая температура
Тт = 0,5 (Тс +ТЖ), или температура поверхности теплоотдачи /^.'Опреде-
ляющая температура указывается соответствующими подстрочными индек-
сами у чисел подобия. Например, Rec означает, что в качестве определяющей
была принята температура стенки; Яеж означает, что определяющей являет-
ся температура жидкости. С помощью подстрочных индексов у чисел подо-
бия указывается также, какой размер тела принят за характерный (опреде-
ляющий) . Например, для круглой трубы в качестве определяющего размера
берется ее диаметр d и числа подобия записывают так.-Nu^» Ие^или Nu^,
Re^y и т.д.
298
ГЛАВА 14. ТЕПЛООТДАЧА ПРИ ВЫНУЖДЕННОМ ДВИЖЕНИИ
ЖИДКОСТИ
14.1. Теплоотдача при продольном обтекании плоской поверхности
безграничным потоком жидкости
При достаточно больших числах Рейнольдса, которые обычно реализуются
И практике, влияние тела на поток, обусловленное вязкостью и теплопро-
идностью жидкости, обнаруживается лишь в относительно тонкой области,
Отлегающей к поверхности тела (рис. 14.1) и называемой погранич-
|ы м слоем. Резличают динамический и тепловой (или температурный)
вграничные слои. Область, где проявляется заметное влияние, обуслов-
ленное вязкостью (молекулярной или турбулентной) жидкости, называют
инамическим пограничным слоем. Область, где проявляется замет-
ое влияние, обусловленное теплопроводностью (молекулярной или турбу-
ентной) жидкости, называют тепловым или температурным
ограничным слоем. В общем случае толщины динамического и теплового
ограничных слоев не равны (б д =Лб т).
Описанная картина обтекания реализуется не только в случае неограни-
енного потока. Аналогичная картина наблюдается и в случае течения жид-
кости в коротких каналах, т.е. в таких каналах, у которых длина не слиш-
ком велика по сравнению с поперечными размерами. Здесь от входа вдоль
;тенок нарастают пограничные слои, и поскольку каналы короткие, погра-
[ичные слои не смыкаются. В центре канала поток является невязким. В
лих случаях применима та же теория и схема расчетов, что и для безгранич-
юго потока.
Характер течения в пограничном слое может быть л аминарным или
гурбулентным. Обычно вначале обтекаемой поверхности до тех пор,
пока толщина пограничного слоя б мала, течение ламинарное. Там, где
Рис. 14.1. Схема обтекания плоской стенки
299
толщина слоя S становится большой настолько, что число Рейнольдса
Re§=3tv0 р/д делается равным некоторому критическому значению, течение
теряет устойчивость и ламинарный режим сменяется турбулентным
(рис. 14.1).
Точка перехода ламинарного режима в турбулентный, т.е. значение
(Re$ Кр зависит:
от степени турбулентности внешнего невязкого потока (чем она больше,
тем раньше происходит переход, т.е. тем меньше (Re§) кр);
от качества поверхности, т.е. от степени шероховатости (чем больше
степень шероховатости, тем быстрее наступает переход);
от характера распределения давлений вдоль поверхности тела (при
др др
---> 0 переход наступает раньше, чем при— < 0);
дх дх
от толщины передней кромки (чем толще кромка, тем сильнее она
возмущает течение и скорее наступает переход; при сильном возмущающем
действии передней кромки пограничный слой может быть с самого начала
турбулентным);
от соотношения температур жидкости и поверхности тела (на горячих
поверхностях переход наступает раньше, чем на холодных) и от ряда других
факторов.
Изучению влияния этих факторов на точку перехода ламинарного режи-
ма в турбулентный было посвящено большое число исследований. Рассмот-
рим некоторые результаты этих исследований.
Влияние степени турбулентности. При изучении влияния этого фактора
исследовался пограничный слой на плоской гладкой пластине с острой перед-
ней кромкой рри разных степенях турбулентности внешнего потока К (где
К = V у/w'q — среднеквадратичная пульсация во внешнем потоке).
В этих исследованиях практически . исключалось действие таких факторов,
как градиент давления др/дх, шероховатость поверхности, сильное возму-
щающее действие передней кромки, неизотермичность поверхности. Сначала
от передней кромки нарастал ламинарный пограничный слой (рис. 14.1), и
на некотором расстоянии от нее, равном хкр, там, где толщина погранич-
ного слоя становилась равной 3Кр, ламинарный режим сменялся турбулент-
ным. Этим значениям 3Кр и хКр соответствуют числа Рейнольдса
(Re§)Kp= <$кр р/р и (Rex)Kp = Z4)o*Kp Р/М, между которыми существует
связь
(Rex) кр = 0,04 (Re§) кр-
В зависимости от степени турбулентности внешнего потока значение
критического числа Рейнольдса может составлять значения
(Re§)Kp ~ 2,0-103 — 7,5-103. Соответственно этому значение (Re^Kp может
лежать в пределах
(Rex)Kp= 1,6-105 - 2,3-106.
Влияние градиента давления. В теории пограничного слоя было установ-
лено, что значение
диентность потока
(Re§)Kp зависит от параметра, характеризующего гра-
=Р ~д~ 52 /Р-Результаты исследований зависимости
300
(е кр от Лр при К = const для гладкой поверхности показали, что для
стьно ускоренных потоков (большие положительные значения Х^) значе-
1!с критического числа Рейнольдса (Reможет составлять величину
(е§)Кр = 3-104, для замедляющихся потоков (Re§)Кр - 300—400.
При решении практических задач часто возникает ситуация, когда имеет
«сто в той или иной степени действие всех факторов. Большое количество
|кторов, от которых зависит (Re§)Kp, затрудняет определение положения
тчки перехода. Поэтому при практических расчетах положение точки пере-
вда оценивают приближенно. Обычно для достаточно гладких поверхно-
сей и при не очень больших продольных градиентах давления принимают
1^е^кп = 3000—4000 и соответственно этим значениям (Rex)Kp %3105-
-5-10. Р
Рассмотрим обтекание плоской поверхности потоком несжимаемой жид-
рсти, скорость и температура которой за пределами гидродинамического и
шлового пограничных слоев постоянны и равны соответственно и Го
Рис. 14.1).
Под термином „поток несжимаемой жидкости” понимают случаи обтека-
ия, когда плотность среды во всех точках потока можно считать практи-
»>ски одинаковой, т.е. р = const. К этим случаям относятся случаи обтека-
ли тел капельными жидкостями (например, водой) газовым потоком ма-
эй скорости (при числах М < 0,3) при небольших разницах температур
} и tc (1,3 > ТС(ТО > 0,7). В этих случаях можно принять p=const,
„ = const, X = const.
Система дифференциальных уравнений, описывающая двухмерное течение
теплообмен около плоской пластины в стационарном случае, имеет вид:
}х дх dwy + ЫУ Эу <?2 = v( 1 дх2 d2wx 1 + —_ — ду2 р др дх (14.1)
dwv ?х —— Эх dwv +ЮУ # d2wy = v( —— Эх2 + 1 _ 1 5/ р 3Р ду (14.2)
+ дх ^0, ду (14.3)
dt х дх at ду a2t ~а<я г ах d2t + А ду1 (14.4)
ще v = р/р,а = Х/ (рср).
Для пограничного слоя, проанализировав порядок входящих в уравне-
ния величин и отбросив члены второго порядка малости, эту систему за-
пишем в следующем виде:
™х
dwx
+ IX)у
dwx
Эу
02WX
ду2
. (14.5)
= и
301
±-о,
By
(14.6)
— + -^ = 0,
дх Эу
(14.7)
dt dt
d2t
ду
(14.8)
(14.9)
dwx
Из уравнения неразрывности dwv = - ——- dy, учитывая, что при у =0
у Эх
Wy =0 в силу непроницаемости стенки, получим
у dwx
Wy = - J —— dy.
z о dx
Проинтегрируем уравнение движения (14.5) в пределах от у = 0 до
у = °°. При интегрировании учтем, что напряжение трения s в пограничном
слое определяется по формуле Ньютона s = - д (диох/ду) и, следовательно,
d2wx 1 ds
v -ъг
(14.10)
За пределами пограничного слоя производные, входящие в уравнение движе-
ния, равны нулю. Поэтому увеличение верхнего предела интегрирования от
<5Д до °° не дает изменений интегралов.
Интегрирование правой части уравнения (14.5) дает следующий результат
ею 1 ОО Sq
о ЧУ P 0 3y p
где sc — напряжение трения на поверхности стенки.
Подставив формулу (14.9) в левую часть уравнения (14.5) и интегрируя,
получим
со
J и>х
о
Эюх
Эх
у Bw
~ J
dv 0
Интегрируя второй член
Wx = 0 , при у =°° Wx= Wo):
oodtAL У dwx °°
/ / л— dy = wQ J
в ду о ах о
---- dy.
дх
этого выражения по частям, найдем (при у-0>
dwx оо
—dy - / 1МХ
дх о
dwx
~— dy.
правой и левой частей и переходя от предела
Приравнивая интегралы
интегрирования 00 к пределу 5 получим
6 д dwy. du&v sc
-w0 = - —•
о dx dx р
(14.11)
302
i
i
1зняя последовательность операций интегрирования и дифференцирования,
рлучим
d 6Д s,
~ J /Ч> -Щс^хаУ = —" ’ (14Л2)
ф । dx о р
Ф
ко уравнение называют интегральным уравнением импульсов гидродина-
ического пограничного слоя. Оно было получено Т. Карманом.
Из сравнения уравнений движения (14.5 ) и энергии (14.8) видна их пол-
!1Я аналогия. Поэтому при интегрировании уравнения энергии в пределах
jr_y =0 до у = °° получим аналогичное по структуре уравнение
1 d бт
~~ I (to-t)wxdy = - ----- , (14.13)
dx0 pep
dt
Де qc = - X (-— ) 0 — плотность теплового потока в стенку.
ду у
Уравнение (14.13) называется интегральным уравнением теплового
□граничного слоя. Оно впервые было получено Г.Н. Кружилиным. Интег-
альные уравнения (14.12) и (14.13) пригодны как для ламинарного, так и
ля турбулентного пограничного слоя, если под wx и t подразумевать осред-
енные во времени значения скорости и температуры.
Теплоотдача при ламинарном пограничном слое. Для расчета теплоотдачи
ри ламинарном пограничном слое используем уравнение энергии. Чтобы
ассчитать теплоотдачу, необходимо знать распределение скорости в слое,
аспределение скорости в ламинарном пограничном слое по форме близко к
араболе. Кривую распределения скорости можно описать уравнением
:убической параболы
Ых = а + by + су2 + dy3. (14.14)
Уравнение распределения скорости должно удовлетворять граничным
условиям. При у =0 wx = 0 (условие прилипания) полагаем также, что
'.02Wx/3y2) -0. Кроме того, на внешней границе пограничного слоя
и (3юх/3у) =0. Условие (32wx/3y2~ 0 следует из диф-
ференциального уравнения движения. С учетом граничных условий получим
3 Wo _ n , 1
а = 0, b = — , с - 0, d ---— •
2 5Д 2
Распределение скорости при этом примет вид
Wy 3 у 1 у з
— =---------
Ч 2 6 2 ф
(14.15)
При таком распределении скорости, решая уравнение (14.12) относительно
8Д получим, что толщина 5Д гидродинамического пограничного слоя опре-
деляется выражением
/ 280 / vx / vx
Зд = 7 — V ---------- ~ 4,64 у ------- . (14.16)
13 wo wo
303
Формула (14.16) показывает, что меняется пропорционалыю коряв
квадратному из расстояния от переднего края пластины до* данной точки.
Этой формуле можно придать безразмерный вид
6П 4,64 4,64
_« = -4= = . (14.17)
U
Примем, что температура поверхности тела не зависит от х,, т.е.
tc = const. Для удобства температуру жидкости, будем отсчитывать от
Обозначим
П— t tfp Up—
где tQ — температура жидкости за пределами теплового пограничного слоя.
При этом граничные условия оказываются аналогичные ранее принятым
условиям для гидродинамического пограничного слоя. Действительно, при
у =0 имеем и =0. Кроме того, и {B2vjdy\)y=Q = 0. На внешней границе тевио-
вого слоя (у =^) справедливы условия
V =? Uo= const и т = о.
В результате получаем, что распределение температуры описывается уравне-
нием, аналогичным но форме' записи уравнению распределения скорости
v У . У 3
— -1,5 — -0,5 ( — Л (14.18)
Vo nf ®т
откуда следует, что
d Un и«у2
₽ 1>5 _ 1,5
ф 5’
(14.19)
, du иЛ
-1.5 -f- • (14.1ЭД .
Вычислим интеграл, входящий в левую часть уравнения (14.13), полагая,
что (8Т/6Д) < 1. Для этого подставим значения ыь и Г из формул (14.15) и
(14.18):
«Т 6т З у I У <
J [1- - (-j-) + )VJ1K
r 3 , У т 1 У з 3 &г 2 А « с
х 12^Тл!~ 2^) 1®и *
304
Ворым членом в прямоугольных скобках полученного выражения можно
пенебречь по сравнению с первым. Подставляя результаты вычислений
/4.19) и (14.20) в (14.13), получим
ге 0 =6 /5
*
.Поскольку уравнения (14.12) и (14.13) аналогичны по своей структуре,
I при аналогичных распределениях wx и t величина 0 является постоян-
»й. Подставляя в (14.21) выражение (14.16) для 5 д, получим
3=1/ V~Pr
5Т 4,64
(14.22)
(14.23)
,----з 1------ - ‘ 7
х у Re V Pr
Л
Из условия на границе X/ ду/ду) Q =ax(to - fc) и формулы (14.19) сле-
ует, что
Z с
О т
де ах - локальный коэффициент теплоотдачи.
Подставляя значение 6Т из (14.23), получим
Nux = 0,33 V~R^
(14.24)
(14.25)
де Nux =(ах х)/Х - число Нуссельта; Rex = (wox)/v - число Рейнольдса;
‘г » и/ а — число Прандтля.
Из формулы (14.25) следует, что коэффициент теплоотдачи ах убывает
доль поверхности по закону ах=Сх~0?5.
Среднее значение коэффициента теплоотдачи на пластине длиной I
х, 1 1 t___ 3 <__
Nu/= - J Nux dx = 0,66 x/Ref VPr?
(14.26)
де Nii| = (al)/ X, Re/ = (wol)/v.
Уравнения (14.25) и (14.26) получены для условий, когда можно счи-
тать физические параметры жидкости постоянными.
Зависимость теплоотдачи капельных жидкостей от направления теплового
потока и температурного напора можно приближенно учитывать, как пока-
зал опыт, путем введения в уравнения множителя (Pr^P^)0'25. При нагре-
вании жидкости (Ргж/Ргс) > 1, при охлаждении (Ргж/Ргс) < 1. Отноше-
ние (Ргж/Ргс) при течении определенной капельной жидкости тем больше
305
отличается от единицы, чем больше температурный напор. На газы поправка
(Ргж/Ргс) ' не распространяется. Расчетная формула имеет следующий вид
Nu = о 33 \/Re х/~Рг
хж л V кехж V гг ж •
Теплоотдача при турбулентном пограничном слое. Экспериментально
установлено, что закон распределения скоростей и температур в турбулент-
ном пограничном слое можно представить в виде степенных зависимостей
- = (~)п , (14.27)
ч «д
—-=( — )" , (14.28)
где п- 1/7 — 1/9
Ввиду интенсивного турбулентного переноса теплоты и импульса толщины
гидродинамического и теплового слоев практически совпадают, т.е. 5Д ^5Т.
Толщина пограничного слоя 6 связана с расстоянием х скоростью потока
Wo и кинематическим коэффициентом вязкости и следующей зависимостью
6 _ 0,37
7"
(14.29)
В ядре турбулентного пограничного слоя из-за интенсивного перемеши-
вания жидкости изменение скорости и температуры незначительно, и рас-
пределения скоростей и температур имеют пологий характер. Основное
изменение скорости и температуры происходит в пределах тонкого слоя
5Л около самой поверхности. Этот слой носит название вязкого подслоя
(рис. 14.1).
В результате обобщения многочисленных опытных данных по теплоотда-
че при продольном обтекании пластины различными жидкостями были по-
лучены расчетные зависимости:
для расчета локального коэффициента теплоотдачи
0,25
Nux= 0,0296 Re°’*Pr О'43 (------) (14.30)
rr с
для определения среднего коэффициента теплоотдачи
Рг (Х25
Nu^ = 0,037 Reg Pr£43 ( —21) (14.31)
Prc
Индекс „ж” означает, что физические параметры жидкости взяты при тем-
пературе набегающего потока, а индекс „с” — при температуре стенки.
306
ф 14.2. Теплоотдача при течении жидкости в каналах
i Физическая картина течения. Рассмотрим течение жидкости в длинной
1убе, на входе в которую поток имеет по сечению постоянные (или близ-
Не к этому) скорость и температуру (рис. 14.2). При движении жидкости
р каналу вдоль его стенок нарастают динамический и тепловой погранич-
ые слои. На некотором расстоянии от входа в трубу пограничные слои „за-
4 элняют” все сечение канала (6 = d/2 рис. 14.2). Начиная от сечения, где
‘ !о происходит, вязкое и тепловое воздействие стенок трубы распространи
а гея на весь поток. Данное обстоятельство является характерным для тече-
цй в длинных каналах. Этим отличается гидродинамика в каналах от гидро-
днамики внешнего обтекания.
Расстояние /н от входа в канал до сечения, где динамический (тепловой)
ограничный слой, нарастающий на стенке трубы, „заполняет” все сечение,
{ азывают начальным участком гидродинамической (термической) стабили-
ации. На начальном участке при достаточно больших числах Рейнольдса
,‘южно использовать теорию пограничного слоя (т.е. теорию внешнего обте-
ания), учитывая при этом вытесняющее действие пограничного слоя на не-
( язкий поток.
Длина начального участка, как следует из выше сказанного, может быть
•ценена по теории пограничного слоя. Например, если пограничный слой в
сруглой трубе на начальном участке ламинарный, то, пренебрегая эффектом
)ытеснения, можно оценить толщину пограничного слоя по формуле (14.17)
5 _ 4,64
х V Rev
«А»
где Re„ = w „ р х.
Л — л * - - _ , - _
А4 „ d
Положив в этой формуле § = — (d — диаметр трубы), найдем значение /н:
’ d_ J0 2
V""Re/
‘н
Рис. 14.2. Схема течения в трубе:
а — распределение скоростей на входе в канал; б — распределение скоростей на на-
чальном участке; в — распределение скоростей при стабилизировавшемся течении
w
307
Полученное соотношение можно преобразовать к виду
Red = 10
где Red =
Д
Отсюда
/н = 0,01 Redd (14.32)
Из полученной формулы следует, что при Red = 1000 /н = 10d, С учетом '
эффекта вытеснения получим формулу, дающую несколько большие значе-
ния:
ZH—0,03 Red d (14.33)
В случае, i/огда пограничный слой с самого начала турбулентный, толщину
пограничнбго слоя можно оценить по формуле (14.29) :
0,37
х Re02
Х d
Положив в этой формуле 5 = — , получим
2
- 0,69 d Re . .
н о
(14.33)
Из этой формулы следует, что при Red = 104 — 106 1Н - 7 — Т1 d.
Теплоотдача на начальном участке трубы определяется характером погра-
ничного слоя. С ростом его толщины коэффициент теплоотдачи а убывает.
На рис. 14.3. показан характер изменения а при условии, когда пограничный
слоя сначала ламинарный, а затем турбулентный. За начальным участком ди-
намические и тепловые свойства потока стабилизируются.
Термически стабилизированный поток в трубе имеет важную особен-
ность, состоящую в том, что температурный напор (?ж — fc) и градиент тем-
dt
пературы у стенки (— ) с убывают вдоль стенки с одинаковой скоростью
dr
(?ж — средняя по сечению температура жидкости, tc — температура поверх-
ности трубы). Следовательно, здесь выполняется условие
dt
X (-----)с
а - dr - const.
При термически стабилизированном потоке коэффициент теплоотдачи
остается постоянным. Характер стабилизированного течения в канале может
быть различным. Он зависит от числа Рейнольдса
wdp
Red =— ,
М
308
л
?
htc. 14.3. Изменение коэффицентов теплоотдачи вдоль трубы
faLffWtapHoe Турбулентное
течение течение
,тде d — диаметр канала; р, д — плотность и коэффициент вязкости жид-
кости; прения8 (расходная) скорость потока, которая определяется из
соотношения
(14.34)
:3д0сь С? * массовый расход жидкости через канал; F — площадь попереч-
' ного сечения канала.
? С учетом (14,34) получим следующую формулу для числа Рейнольдса:
К».= Я----------— . (14.35)
д г
Для круглой трубы
(14.36)
*чг в —
я
При Re^ > Ю4 имеет место развитый турбулентный режим течения.
При меньших Rej характер течения существенно зависит от степени неизо-
*
э При меньших Kej характер течения существенно зависит от степени неизо-
1 терШчности потока. Известно^ что в случае изотермического течения (т.е.
когда отсутствует теплообмен) при R^<2000 течение в трубе является ла-
< минарным.
> Когда температуры жидкости и стенок различны из-за разности знаяе-
J нии плотности, жидкости » разных точках потока при наличии поля массо-
е вых сил — сил тяжести — возникают подъемные силы. При малых Re эти
I силы являются заметными во отношению к силам вязкости и инерции. Из-за
I их действий! и щтже возникает естественная конвекция, которая наклады-
L
3Q3
вается на вынужденную конвекцию. Картина течения в этом случае сильно
отличается от той, которая имеет место при изотермическом движении.
Это, естественно, сказывается и на теплоотдаче.
При малых числах Рейнольдса (Re < 2000) различают два режима -
вязкостный (чисто ламинарный) и вязкостно-гравитационный (на ламинар-
ное течение накладывается вихревое, обусловленное подъемными силами).
Вязкостный режим реализуется, когда силы вязкости преобла-
дают над подъемными силами. Этот режим обычно наблюдается лишь в тру-
бах очень малого диаметра и при течении очень вязких жидкостей.
Вязкостно - гравитационный режим реализуется при
условии, когда подъемные силы соизмеримы с силами вязкости или больше
их. Этот режим характерен для многих случаев, с которыми приходится стал-
киваться на практике. Отношение этих сил характеризуется числом Грасгофа
где 0 At р2 J3
Gr = g -----------,
М
где d — характерный размер поперечного сечения трубы (например, для
круглого сечения — диаметр) ; Af = Гж -tc; — средняя по сечению темпера-
тура жидкости; tc — температура стенки; j3 — коэффициент объемного рас-
ширения.
Теплоотдача в круглой прямой трубе при стабилизированном течении. До-
статочно строгое аналитическое решение задачи по теплоотдаче в трубе
можно получить лишь для вязкого режима (т.е. для чисто ламинарного ре-
жима) . В этом случае получаются следующие формулы для расчета коэф-
фициента теплоотдачи (р = const):
Nuj=4,36 (при qw = const), (14.37)
Nud = 3,66 (при tw = const), (14.38)
NT ad
где Nu = — , a = --------
~ t c
d — диаметр трубы; X — коэффициент теплопроводности жидкости нри
температуре Гж; £ж — средняя температура жидкости. ’
Область применимости этих формул очень ограничена:
Re <2000, Gr < 1 .
При вязкостно-гравитационном режиме (Re < 2000, Gr > 1) точное
аналитическое решение задачи о теплоотдаче наталкивается на непреодоли-
мые пока математические трудности. Для расчета теплоотдачи при этом
режиме сейчас используется эмпирическая формула, полученная на основании
многочисленных экспериментов:
NudjK = 0,17 Re°j“ Рг^’ (Gr<J)K Pr ж)°'‘ (-^-) °'25 , (14.39)
Ргс
где индекс „ж” означает, что параметры жидкости, входящие в число подо-
310
йя, следует взять при средней температуре жидкости, а индекс „с” - при
ямпературе стенки:
31i _ ad _ p^wd 4G _ /3 At d3p*
Ш ~ > Rejx ~ ~ ’ ^Г(1ж 2 ’
Хж та?Дж ^ж
foi
и qc
1 i=-----------средний коэффициент теплоотдачи.
t — t
‘ж 1 с
'та формула достаточно хорошо описывает среднюю теплоотдачу в гори-
энтальных длинных трубах -j > 50 и весьма приближенно — в вертикаль-
ых. Для труб с длиной, менсшей 50J, усредненное по длине трубы значе-
fl ие коэффициента теплоотдачи будет большим. Для таких относительно
оротких труб вводится поправочный множитель е/5 значения которого при-
едены ниже в зависимости от отношения l/d (табл. 14.1).
Таблица 14.1
lid 1 2 5 10 15 20 30 40 50
е1 1,90 1,70 1,44 1,28 1,18 1,13 1,05 1,02 1,00
При развитом турбулентном движении, т.е. при Re > 104, аналитическое
ешение задачи о теплоотдаче в трубе может быть получено лишь с той
тепенью точности, с какой мы знаем механизм турбулентности. В резуль-
ате многочисленных исследований (главным образом, экспериментальных)
теплоотдачу в гладкой трубе при
(14.40)
G
^ж
теплоотдачи: индекс ,,ж” означает,
ъша получена формула, описывающая
урбулентном режиме:
Рг
0 8 п °’43 ( ж \ °’25
Жж 0,021 Reid Р^ж (—) ,
Г1с
ad wc? 4
№‘ж J = Кеж J = ~---- = -
Чс
X = -------- _ средний коэффициент
^ж ~
то физические параметры нужно взять при средней температуре гж жид-
:ости (среднеарифметическая между температурами на входе и выходе из
;рубы), а индекс „с” — при средней температуре стенки трубы tc.
Множитель (Ргж/Ргс)0,25 учитывает зависимость физических параметров
Д, Ср, X ) от температуры.
Формула (14.40) применима для прямолинейных длинных (/> 50d)
/ руб. Как и формула (14.39), она справедлива для любых жидкостей, кроме
кидких металлов, о которых будет сказано ниже.
311
Формула (14.40) применима также и для газов при малых скоростях
движения (М < 0,3)- У газов Pr^ const, поэтому Ргж/Ргс «1 и, следователь-
но, формула (14.40) упрощается:
Nudx = 0,021 ReXPr'W. (14.41)
В случае, когда I < 50d формула (14.40) дает заниженные результаты,
так как она не учитывает особенности теплоотдачи на начальном участке.
Для учета этого обстоятельства вводится поправка, значение которой дает-
ся в табл. 14.2
Таблица 14.2
Поправочный множитель к формуле (14.40), учитывающий
влияние начального участка
(Nu^Nu^ooq)
Red l/d
10 20 30 40 50
ю4 1,23 1,13 1,07 1,03 1
ю5 1,1 1,06 1,03 1,02 1
106 1,05 1,03 1,02 1,01 1
Теплоотдача в изогнутых трубах. При движении жидкости в изогнутых
трубах возникают в их поперечном сечении циркуляционные токи. Такие
циркуляционные токи возникают при числах Рейнольдса, больших крити-
ческих чисел Re^p. Для винтовых змеевиков величину Re^p можно опреде-
лить по формуле
ReKp = 16,4/ V d/R, (14.42)
где d — внутренний диаметр трубы; R - радиус закругления змеевика.
Переход от ламинарного течения к турбулентному происходит в винтовых
змеевиках при числе Рейнольдса
Re^p = 18500 (d/2R (14.43)
Коэффициент теплоотдачи при Re'Kp < Re < Re^.p определяется по фор-
муле (14.40). При Re > Re^p коэффициент теплоотдачи, подсчитанный по
этой же формуле, умножают на eR:
eR = 1 + 1,77 d/R. (14.44)
Формулы (14.42), (14.43) и (14.44) справедливы для змеевиковых труб
при (d/R)>% ПО"4.
Теплоотдача в каналах некруглого сечения. В каналах некруглого сече-
ния (прямоугольного с отношением сторон а/b = 1—40 и треугольного) рас-
чет теплоотдачи при турбулентном движении можно вести по формуле
312
N
#4.40) e нсйользовШаем в качестве определяющего размера эквивалент.
Ьго дааматра где /I - смоченный периметр поперечного сечения;
- woepewe ©рчение канала. Например, в слгуя&е прямоугольного сечения
М> канала
4<Х& дб
г ' </***—.w • -**™- “2 ,
, ’ ’ 3f«*w <r+6
. ^ичем, есвив > & (щелеаидаые кан<шы),то </э=^ 2Л.
I Однако таком методе расчета в ряде случаев могут иметь место зна-
Йтеяьные веТО’Шости. Например, в случае кольцевого канала (рис. < 14.4)
^шюотдача, как показали опыты, описывается формулой
j №Ж.<МИ7< Fri4 (J-Г. (14Д5)
' ' ^3
1деНнж;й' — Иеж^ .• * , £?э = ——- ^(d? — d\),
; хж Мж Р
J _G_______________
— средний коэффициент теплоотдачи.
I ЯК *1
~^с
«
Формула
Рис. Ю. Поперечное сечение кольцево-
го канала
(14.45) справедлива для длинных труб с I > 50d при
« . 1,2-1,4; Рг = 0,7,...,100; Иеж> 104
di ж
Тевдооедмв в круглой трубе при течении жидких металлов. Физические
{свойства металлов существенно отличаются от свойств воды, газов и других
* теплоносителей (например, у металлов Рг = р/д <1). В связи с этим процесс
кдавюедай При течении жидких металлов обладает рядом особенностей.
В результате опытов была получена формула для теплоотдачи при тече-
металлов в длинных трубах
s Nud ж » 3,4 4 0,014 Ре^к ‘ (14.46)
’4 Л 313F
С » »
Эта формула справедлива при числах Ped)K=200,...,200000. Следует иметь
ввиду, что на теплоотдачу при течении металлов может существенно влиять
загрязненность их примесями и окислами, которые, осаждаясь на стенках,
создают дополнительные термические сопротивления.
14.3. Теплоотдача при поперечном обтекании труб
Теплоотдача поперечно-обтекаемого круглого цилиндра (трубы). На
практике часто приходится сталкиваться с такими условиями, когда обтека-
ние потоком поверхности тела сопровождается отрывом струй от поверх-
ности. Одной из важных в практическом отношении задач, когда наблюдает-
ся это явление, является задача о теплоотдаче круглого цилиндра (трубы,
проволоки и т.д.), ось которого перпендикулярна к скорости набегающего
безграничного потока.
Картина обтекания, а следовательно и теплоотдача цилиндра, существен-
но зависит от числа Рейнольдса (рис. 14.5). При числах Re < 5 имеет место
плавное безотрывное обтекание. При малых значениях чисел Рейнольдса
(Re < 1) течение описывается уравнениями Озеена, вытекающими из урав-
нений Навье-Стокса, если в последних отбросить инерционные члены. Реше-
ние этих уравнений для условий, когда можно принять физические парамет-
ры жидкости постоянными, дает формулу для среднего коэффициента
теплоотдачи поперечно-обтекаемого цилиндра ( р = const)
2 Г а 1
Nu = ---------- 1------------------ к , (14.47)
In (8/7 Re Рг) I [In (8/7ReРг))2
где у - константа (1п7=0,577); Nu -ad/\; Re = (pwd)lp\ w - скорость набе-
гающего потока; d —диаметр цилиндра; а — средний коэффициент теплоот-
дачи; а — коэффициент, зависящий от числа Рг (при Рг = 0,72 а - 1,38; при
Рг = 6,82 а =3,42). Эта формула хорошо согласуется с опытными данными
при Re < 0,1, если температурный фактор Тс/Тж мало отличается от едини-
цы.
При Re > 5 наблюдается отрыв потока, сопровождающийся образованием
в кормовой области двух симметричных вихрей (рис. 14.5, б). С увеличе-
нием Re вихри вытягиваются по потоку. При Re > 103 вихри периодически
отрываются, образуя за цилиндром вихревую дорожку. При умеренных
значениях Re (1 < Re < 100), с одной стороны, течение уже нельзя описы-
вать уравнениями Озеена, а с другой стороны, еще неприменима концепция
тонкого пограничного слоя. Теоретические исследования течения при этих
числах Рейнольдса проводились путем численного решения уравнений Навье-
Стокса.
При больших числах Рейнольдса (Re > 103) в области до отрыва потока
становится применимой концепция тонкого пограничного слоя. Здесь тепло-
отдача может быть рассчитана на основе методов теории пограничного слоя,
основные положения которой мы использовали при решении задачи тепло-
отдачи плоской стенки ( § 14.1.). В области отрывного течения эти методы
неприменимы.
314
1 Wii. 14.5. Схема обтекания круглого цилиндра:
!t -з обтекание цилиндра при числах Рейнольдса меньших 5; б - обтекание при числах
Лнольдса меньших 1000; в - обтекание при числах Рейнольдса больших 1000
1 При больших числах Рейнольдса характер и условия омывания передней
а (ронтовой) и задней (кормовой) половин цилиндра совершенно различ-
ив. В лобовой точке набегающий поток разделяется на две части и плавно
1 Мекает переднюю часть периметра трубы. На поверхности трубы образует-
1 сщограничный слой, который имеет наименьшую толщину в лобовой точке
вдалее постепенно нарастает в размерах. Развитие пограничного слоя вдоль
гоиметра трубы происходит в условиях переменной внешней скорости
пгока и переменного давления. Скорость слоев жидкости, примыкающих к
згшней границе пограничного слоя, увеличивается вдоль периметра трубы, а
цзление в соответствии с уравнением Бернулли уменьшается. При достиже-
4И точки периметра, отвечающей углу ^-90°, скорость достигает наиболь-
шие значений и далее начинает уменьшаться, что сопровождается соответ-
сзующим увеличением (восстановлением) давления. В этой области погра-
нчный слой становится неустойчивым, в нем возникает обратное течение,
второе оттесняет поток от поверхности (рис. 14.6). В итоге происходит
срыв потока и образование вихревой зоны, охватывающей кормовую
сть трубы. Положение точки отрыва пограничного слоя зависит от значе-
ея Re и степени турбулентности набегающего потока. При малой степени
лрбулентности внешнего потока и относительно небольших числах Re
учение в пограничном слое вплоть до точки отрыва имеет ламинарный
фактер. При этом местоположение зоны начала отрыва пограничного слоя
лрактеризуется углом = 80—85°. При значительных числах
Ь (Re—(1—4) • 105) течение на значительной части периметра в пограничном
сое становится турбулентным. Турбулентный пограничный слой более
^тойчив, зона начала отрыва отодвигается в область больших углов
120-140°.
, В вихревой зоне движение жидкости имеет сложный и неупорядоченный
..рактер, причем средняя интенсивность вихревого движения и перемеши-
шия жидкости увеличивается с ростом Re. Такая своеобразная картина
отекания трубы в сильной мере отражается на теплоотдаче. Интенсивность
;плоотдачи по окружности неодинакова. Большое значение коэффициента
плоотдачи наблюдается на лобовой образующей цилиндра (</> = 0), где
алщина пограничного слоя наименьшая. По поверхности цилиндра в на-
оавлении движения жидкости интенсивность теплообмена резко падает и
‘эи у = 90—100° достигает минимума (рис. 14.7). Это изменение связано с
зрастанием толщины пограничного слоя. В кормовой части трубы коэф-
315
Рис. 14Л. Профили скорости в йограиитоом слое на довс^ржйоети яфугледю ЗДЭДйВД*
,4бК^!^Мс
₽ие. 14.7. Ияяажда те«иоот®»® я© ©1ф?^кжТк вдтдо «мымйдеге
ноэдеджгазд:
1 - Ito * 70Ш; 2 - Re *21ЭД88;'# - cpsaWT оо ojcpsww^» здзффтвде
ЗШ
сфциент теплоотдачи снова возрастает за счет улучшения отвода тепла вслед-
.дие Вихревого движения и перемешивания жидкости. При малых значе-
wx Re интенсивность теплообмена в вихревой зоне ниже, чем в лобовой
~т«ке. Однако по мере увеличения числа за счет интенсификации вихре-
шо движения в области отрыва коэффициент теплоотдачи увеличивается.
Сожный характер обтекания цилиндра существенно затрудняет теоретичес-
ке исследование закономерностей теплообмена. Наиболее стабильный ха-
рктер течения потока имеет место в окрестности лобовой точки трубы
^0). Теоретическое решение для локального коэффициента теплоотдачи
вюбовой точке = 0) имеет вид
ad z 05 n (14.48)
— = 1,14 —
A V J
(щако полный теоретический расчет распределения теплоотдачи по всей
дружности трубы, включая зону отрыва, в настоящее время отсутствует.
Ь это му основным методом изучения теплоотдачи при поперечном обтека-
ми труб является эксперимент.
Опыт показывает, что< коэффициент теплоотдачи в наибольшей мере за-
нсит от скорости набегающего потока, плотности и теплопроводности и в
еньшей — от теплоемкости и вязкости жидкости. Кроме того, коэффи-
иент теплоотдачи существенно зависит от температуры жидкости, темпера-
грного напора и направления теплового потока. При нагревании капельной
идкости значение коэффициента теплоотдачи всегда выше, чем при охпаж-
!НИИ.
В настоящее время рекомендуются следующие формулы для о пределе-
ля среднего по окружности коэффициента теплоотдачи:
при 5 < Re < 103
0^5 0,3 8 рг _
_0,5 Re^>x Вгж
при 103 < Re < 2 .-105
Pr
Nu^0,25 Re0’6 Pr °’38 (-----a ^25, . (14.50)
d* ж Pf c
при 2 -IO5 < Re <2-106
= 0,023 Re^ Pr°’37 (2k)°f (14.51)
(14.49)
?де Nujx =(ой?)/Хж Re^= P^d/y^d - диаметр цилиндра, индекс „ж” озна-
чает, что физические параметры жидкости (или газа) отнесены к условиям в
певозмущенном потоке, индекс „с” — что число Рг соответствует темпера-
туре поверхности цилиндра.
Приведенные уравнения справедливы, если угол атаки (угол, составлен-
ный направлением потока с осью трубы) равен 90°; при ф <90° теплоотда-
317
ча уменьшается. Дпя ее оценки при ф — 30—90^ можно пользоваться зави-
симостью
= аф =90 О “ °’54 cos2 $ • <14-52)
Теплоотдача пучков труб. Процесс теплоотдачи еще больше усложняется,
если в поперечном потоке жидкости имеется не одна, а пучок труб. В технике
распространены два основных типа трубных пучков — коридорный и шах-
матный (рис. 14.8).
Характеристиками пучка являются диаметр труб d и расстояния между
их осями по ширине пучка Si и его глубине s2. От схемы компоновки пучка
зависит характер движения жидкости и омывания трубок. Условия омыва-
ния первого ряда трубок в обоих пучках близки к условиям омывани?
одиночной трубки. Для последующих же рядов характер омывания изменя-
ется. В коридорных пучках все трубки второго и последующих рядов нахо-
дятся в вихревой зоне впереди стоящих; между трубками по глубине пучка
получается застойная зона с относительно слабой циркуляцией жидкости.
Поэтому здесь как лобовая, так и кормовая части трубок омываются с&
значительно меньшей интенсивностью, чем те же части одиночной трубки или
лобовая часть первого ряда в пучке. В шахматных пучках глубоко располо-
женные трубки по характеру омывания мало чем отличаются от трубок пер-
вого ряда. В коридорных пучках максимум теплоотдачи наблюдается не в
лобовой точке, а на расстоянии, соответствующем углу ^2=50°. Таких макси-
мумов два, и расположены они как раз в тех областях поверхности трубы,
где происходит удар набегающих струй. Лобовая же часть непосредствен-
ному воздействию омывающего потока не подвергается, поэтому здесь
теплоотдача невысока.
В шахматных пучках максимум теплоотдачи для всех рядов остается в
лобовой точке.
Приведенный анализ показывает, что теплоотдача труб в пучке, а также
изменение теплоотдачи по окружности в основном определяются харак-
тером обтекания. При изменении условий омывания меняется и теплоотдача.
По изучению теплоотдачи в зависимости от типа пучка, диаметра труб, рао
стояния между ними, температуры жидкости и других факторов проведено
большое количество исследований. На основе результатов этих работ можно
сделать ряд обобщающих выводов. Теплоотдача первого ряда различна и
определяется начальной турбулентностью потока. Теплоотдача второго и
третьего рядов по сравнению с первым постепенно возрастает. Если тепло- :
отдачу третьего ряда принять за 100%, то в шахматных и коридорных пуч-
ках теплоотдача первого ряда составляет всего лишь около 60 %, а второго
в коридорных пучках - около 90 % и в шахматных — около 70 %. Причи-
ной возрастания теплоотдачи является увеличение турбулентности потока при
прохождении его через пучок. Начиная с третьего ряда, турбулентность
потока принимает стабильный характер, присущий данной компоновке. По -
абсолютному значению теплоотдача в шахматных пучках выше, чем в кори-
дорных, что обусловлено лучшим перемешиванием жидкости, омывающей
трубы.
- 318
a
’к. 14.8. Схема расположения труб в коридорном (а) и шахматном (б) пучках труб и
ярактер движения жидкости в них
i Различают три режима обтекания и теплоотдачи в поперечно-обтекаемых
лучках труб: ламинарный, смешанный и турбулентный. Ламинарный режим
имеет место при Re < 103, смешанный при Re =103 —10s (передняя часть
зубы обтекается ламинарным пограничным слоем, а кормовая — не-
упорядоченными вихрями). Согласно опытным данным, турбулентный ре-
им устанавливается при числах Re > 10s.
319
По тепшмншче пакетов труб накоплено бШШ ДО&ДОеЗД'
дшшых. Нм основании этих дантях, были устютлена» «Мдоеди
для опредеяеикя среднего коэффшШнта тешюодачи *
пучке:
для Re.^* 103 - 10®
e?S ЯЭ6 1ъ> «***»
₽ГС
для Re^^ 10® “ 2-10s,
если«1/82<2>
N«m</=035(^’ R< {^“(^5)7 (
^2
е0ПИ51/«2 >2,'
»w= o.4R<w л» (-Vм om
fte ’
даяЛеж<г«2 10^-2-iO*,
.. _ _., _, ад* _ »з, Pr_ ms '
ю^-сда»^ Ргж C sr-) . (!<•«)
* 1 >
Эти формулы цолудопы для не очень геснш яаке^и 1,2S)^
росп> в едсэд Рейнольдса берется равной С{едшераойодаой ек»ро^ти в
меньшем доходном сечении пучка (т^ в самом узком сечеиин ®отока),
Дня определения среднего коэффшдаента тешюотдм грубы в
доедим пакете число pwa (ДО потоку) используются
лы:
для S^Ktf41102 -10® 1
лЛ3*/
PJjk .(<*) > (1^ ,
для 1Цй^ ® 10® — 2 ‘ 10®
Nuxd=0>27 ReW, (“£“*) ,
даКеж^>2‘ 10®
<1
(
®^$2 ж4 ж *
до» в пучках.
j Значения* ш эдбок первого ряда пучка определяются путем умноже-
/ >я найденного значения & для трубок третьего ряда На поправочный коэф-
Цщ*еит Ш* трубок второго ряда в коридорных пучках еа«о,9,
^шахматных пучках 0,7.
'Если же требуется определить средний коэффициент теплоотдачи всего
та в целом, to в этом случае необходимо осреднение найденных значе-
V |Й С.
; Для теплообменника, состоящего из т рядов одинаковых труб, нужно
Шьэоваться формулой
«г *«з 2)«з
и- де «1 в 0,6 «з; «а ~ 0,9 *а для коридорных и а2 =0,7 а3 для шахматных
учков; а3 — коэффициент теплоотдачи, подсчитанный по формулам
14.53), ..,(14,59).
Все вышеприведенные соотношения применимы лишь для случая, когда
эток жидкости перпендикулярен оси пучка. Однако на практике не менее
, асты случаи, когда ф <90°. Изменение теплоотдачи при изменении угла
' таки может быть учтено путем введения поправочного коэффициента
^(табя. 14.3)
аь ОД '
Таблица 14.3
Значения коэффициента в зависимости от угла ф
.. 90 80 70 60 50 40 зо 20 10
I - 1 0,98 0,94 0,88 0,78 0,67 0,52 0,42
Приведенные в этом параграфе формулы для поперечнообтекаемых
шкетов труб щзименимы для самых разлитых газов и жидкостей, за ис-
ключением жидких металлов. Это связано с тем, что процессы теплообмена в
потоках жидких меташтов имеют, как уже было отмечено, существенные
юобенмости, Последние обусловлены свойствами жидких металлов [10;
25J.
ГЛАВА 15. ТЕПЛООТДАЧА ПРИ СВОБОДНОМ ДВИЖЕНИИ ЖИДКОСТИ
15Л. Теплоотдача вертикальной стенки в неограниченном пространстве
Рассмотрим стационарную теплоотдачу вертикальной ниоской поверх-
ности стенки, имеющей температуру t& которая расположена в неограничен-
ны пространстве (рис, 15.1), заполненном жидкостью с температурой вдали
Шт «оверхности PacaonowM систему координат так, чтобы ось х
Риг. 15.1. ТеЖооедаЧа ири СВободнем двюкений:
а - схема свободйсго днижеиих жидкости около нагретой едяммышюА илоокоЯ
ки; 0 - распределил кОэффмадеит теплоотдачи вттеевдв cwior
jiia^artA;t
“*w*h*Wre
была вертикалью, а эдь горизонталью; начало ктршнип разместим у
нижнего кроя новерхяоети,
Свободное датив наблюдаются только у гюнер^ноств в узкой зоне,
толщина $ которой всюду до сравнению с высотой стенкэ<. Движение в
этой зоне описывается уравнениями пограничного слоя, погоде вытекают
из формул (13.75) ,...,(13.80), эдзи отбросить в них щеиы второго порядка
к»
Рж^и’У-1Г^" *й^ *4^ (15-1)
ах ' «у
(15.2)
(15.3)
(ISA)
F
Граничные условия:
при у = 0 t - tc , wx = 0, uiy = О,
при у = °° t = , wx = 0, и)у ~ О .
Вдоль обтекаемой поверхности толщина 3 пограничного слоя нарастает,
».е. 8 = f (х). Вначале течение жидкости в пограничном слое ламинарное. На
некотором расстоянии от нижнего края поверхности толщина пограничного
лоя становится равной критическому значению, и ламинарный погранич-
ный слой переходит в турбулентный. Граница перехода (т.е. значение хкр,
'де наблюдается смена режимов течения) определяется из формулы
(Сгхж )крРгж
ч М ж (tc — ж ? х кр
ще (Сгхж ) кр = -----------------Е
(15.5)
mJ
— критическое число Грасгофа.
Аналогично тому, как это было сделано при рассмотрении теплоотдачи
плоской стенки при вынужденном движении (см. гл. 14), от уравнений
(15.1),...,(15.4) можно перейти к интегральным уравнениям пограничного
слоя. Для рассматриваемой задачи интегральные уравнения пограничного
слоя имеют вид:
уравнения движения
d 6д2 6д тг
— fwxdy=g[3f vdy +------
dx о о р
уравнения энергии
, 8Т
d qc
— $wxvdy = -----,
аУ о cpp
(15-6)
(15.7)
где v = t — /ж; тс — напряжение трения на поверхности стенки; qc — тепло-
вой поток в стенку; 8 д — толщина динамического пограничного слоя; 8Т —
толщина теплового пограничного слоя.
Теплоотдача при ламинарном пограничном слое. Как уже отмечалось в
гл. 13, распределение скорости в пограничном слое при свободном движении
имеет своеобразный характер. Это обстоятельство отражается, в частности,
граничными условиями. Распределение скорости в ламинарном пограничном
слое можно описать с некоторым приближением уравнением параболы
(15.8)
^д ^д
где w0 = д / (р L).
323
Распределение температуры по толщине пограничного слоя приближенно
описывается следующей формулой
v=pc(i-4->- (15-9)
бт
где 1>с = гс-гж-
При свободной конвекции можно считать, что 5Д - 6Т - 5.
Решение интегральных уравнений (15.6) и (15.7) с учетом (15.8) и (15.9)
дает формулу для локального коэффициента теплоотдачи
0,25
Nux ~ С ( ж ^гж ) >
(15.10)
где С=/(Ргж ) = 0,508 (
РГ.К 0,25
0,952 + Ргж
7 Л\
Среднее число Нуссельта для участка поверхности длиной I определяется
по формуле
1 1 4 0,25
Nu/ж = ~Г о С(Сг/жРгж) . (15.11)
/о •>
Эта формула применима в диапазоне чисел (Сг/Ж Ргж) = 103.., 109.
Теплоотдача при турбулентном пограничном слое. Уравнения (15.6) и
(15.7) справедливы также и для турбулентного пограничного слоя, если
под wx и v подразумевать осредненные скорость и избыточную температуру
в пограничном слое. Распределение температуры и скоростей в турбулентном
пограничном слое приближенно описывается формулами:
и — 1>с [1- (-J-)
(15.12)
. (15.13)
S о
Решение интегральных уравнений пограничного слоя дает формулу
Мижд. = 0,0295 GrX5 15 [1+0,494 Рг^/З]-2/S (15.14)
Полученные формулы справедливы при условиях, когда физические пара-
метры жидкости можно считать постоянными.
При значительных температурных напорах необходимо учитывать зависи-
мость физических параметров от температуры, что делает невозможным
получение аналитического решения указанной задачи. В связи с этим эта эа-
324
ача решалась экспериментально. В результате обобщения опытных данных
олучены следующие формулы:
(К жт „ Л25 , 0,25
^ихж“ О>55 (Сгхж Ргж) (——) , (15.15)
Ргс
NuZ)K = 0,73 (&;ж Ргж zIX)0-25 (15.16)
Pre
Эти формулы справедливы при Ргж = 0,7,...,3-103; 103 < Grw Pr^< 109 и
с = const.
При турбулентном движении жидкости, т.е. при (СгхжРгж) > 6• 1010, фор-
к 1ула для расчета локальных коэффициентов теплоотдачи имеет вид
1 / Рг °»25
Ь1ихж = 0,15(СгхжРгж) /3 (2Ж) (15.17)
Р'с
ах
Поскольку линейный размер входит в число Nu = ~у в первой степени и в
число Gr^ = Pgftyg- tc) x3/v2 в третьей степени, то коэффициент тепло-
отдачи не зависит от линейного размера. Локальный и средний коэффициен-
ты теплоотдачи одинаковы (рис. 15.1, б).
Описанная выше картина движения жидкости около плоской стенки ти-
пична также и для вертикальных цилиндрических стенок (колонны, трубы
и т.п.). Приведенные выше расчеты и формулы для коэффициентов тепло-
отдачи можно использовать также для вертикальных цилиндрических стенок.
15.2. Теплоотдача горизонтальных цилиндров (трубы, проволоки) и
шаров при свободном движении в неограниченном пространстве
Развитие естественной конвекции около горизонтального цилиндра и сфе-
ры аналогично развитию естественной конвекции у вертикальной поверх-
ности. Здесь также можно выделить ламинарный, переходный и турбулент-
ный участки пограничного слоя (рис. 15.2). В зависимости от температур-
ного напора и диаметра цилиндра переход ламинарного течения в турбулент-
ное может происходить на поверхности цилиндра или за пределами сопри-
косновения движущейся среды с цилиндром.
Своеобразно развитие естественной конвекции при малых значениях GrPr.
Это наблюдается при малых значениях линейного размера или малых
температурных напорах.
При (Gr Pr)m <10“® (определяющий размер — диаметр, определяющая
температура tm = 0,5 (tf+ tw)) вокруг тела образуется неподвижная плен-
ка с переменной температурой. Такой режим называется пленочным.
Ослабление роли конвективного переноса приводит к усилению влияния
формы тела на теплообмен. В этих условиях критерий Нуссельта зависит
только от формы тела: для тонкой проволоки Nu =0,5, а для сферы Nu = 2.
€25
Рис. 15.2. Развитие естественной конвекции около нагретых труб и сфер малого и
большого диаметров
При изменении комплекса (Gr Рг)^от 10"3 до 5 • 102 наблюдается р е -
жим переходный от пленочного к ламинарному.
Наибольшее значение коэффициент теплообмена при переходном режиме
определяется уравнением
Nu,„ = 1,18 (Gr Рг),','8. (15.18)
Наименьшее значение соответствует пленочному режиму.
Для расчетов теплообмена на горизонтальном цилиндре при значениях
комплекса 103 < (Gr Pr)^ < 109 предложено эмпирическое уравнение
0,25 0,25
Ыиж = 0,5 (Gr Рг) ж (Ргж /Ргс) . (15.19)
В качестве определяющего размера принят внешний диаметр, за опреде-
ляющую температуру — температура окружающей среды.
Надежных данных для расчета естественной конвекции на цилиндре,
расположенном под углом к горизонту, нет.' Для прикидочных расчетов
можно воспользоваться рекомендациями для расчета наклонных плоских
поверхностей.
15.3. Теплообмен на горизонтальной стенке при свободном движении в
неограниченном пространстве
Теплообмен на нагретых горизонтальных плитах в условиях свободной
конвекции отличается особой организацией движения среды. У поверх-
ности, обращенной вверхл нагреваемые массы среды образуют восходящий
струйный поток с попутным присоединением масс окружающей среды. В
результате над нагретой плитой появляется сложное восходящее и нисходя-
326
lee движение с возможными зонами циркуляции (рис. 15.3 а, б). У поверх-
эсти, обращенной вниз, движение происходит лишь в тонком слое под по-
1фхностью (рис. 15.3, в) от центра к краям.
Большая скорость движения достигается при обтекании краев. Поэтому
а краях пластины будет максимальный коэффициент теплообмена. Чем
Ьльше размер пластины, тем меньшее влияние на средний коэффициент
шлообмена оказывает краевой эффект.
Для расчета теплообмена горизонтальной поверхности рекомендуется
равнение
Num = C(GrPr)^ , (15.20)
де
при2-107 <(GrPr)^< 1013 С= 0,135, п =1/3;
при (Gr Pr)w < 2-107 С= 0,54, п =1/4.
За определяющий размер принимается меньшая сторона, а физические
араметры определяются по средней температуре tm =0,5 (tc + Гж). Если
еплоотдающая поверхность направлена вверх, то результаты расчета по
юрмуле (15.20) необходимо увеличить на 30%, если теплоотдающая по-
ерхность направлена вниз — уменьшить на 30 %.
а
6
Рис. 15.3. Схема свободного движения жидкости около горизонтальной плоской по-
верхности:
а, б - обращенной вверх; в - обращенной вниз
327
Как показали исследования, при наклоне поверхности под углом 7 > 45° •
коэффициент теплообмена близок к значениям для вертикальной стенки.
Для углов 7, лежащих в пределах между О и 45°, допустима линейная интер- ?
полиция а между значениями для горизонтальной и вертикальной поверх- &
ностей.
15.4. Теплоотдача при свободном движении в ограниченном
пространстве
В вертикальных каналах и щелях в зависимости от их толщины 5 цир- ;
куляция жидкости может протекать двояко. Если 5 достаточно велика, то >
восходящий и нисходящий потоки протекают без взаимных помех и имеют
такой же характер, как и вдоль вертикальной поверхности в неограничен- '
ном пространстве (рис. 15.4, а). Если же 8 мала, то вследствие взаимных $
помех внутри возникают циркуляционные контуры (рис. 15.4, б).
и
я
\
В горизонтальных щелях процесс определяется взаимным расположе-
нием нагретых и холодных поверхностей и расстоянием между ними. Если
нагретая поверхность расположена сверху, то циркуляция совсем отсут-
ствует (рис. 15.4, в). Если же нагретая поверхность расположена снизу, то
имеются и восходящие и нисходящие токи, которые между собой чере-
дуются (рис. 15.4, г).
Ради облегчения расчета такой сложный процесс конвективного тепло-
обмена принято рассматривать как элементарное явление теплопроводно-
сти, вводя при этом понятие эквивалентного коэффициента теплопровод-
ности XgKB = Q8/F Д f. Если Хэкв разделить на X среды, то получим безраз- ;
мерную величину ек = Хэкв/Х, которая характеризует собой влияние кон- J •
векции и называется коэффициентом конвекции. 5
Так как циркуляция жидкости обусловлена разностью плотностей на- '•
гретых и холодных частиц и определяется критерием Gr Рг, то и ек должно ? 1
быть функцией того же аргумента, т.е. ек =/(Gr Рг). Именно в такой зависи-1
мости и были представлены все имеющиеся данные по теплопередаче через :
прослойки. При вычислении критериев подобия, независимо от формы
прослойки, за определяющий размер принята ее толщина 8, а за определя-
ющую температуру Гж = 0,5 (tcl + Гс2). ’ !, J
При малых значениях Сгж Ргж < 1000 значение ек = 1. Это означает, что Л1
при малых значениях СгжРгж теплопередача от горячей стенки к холодной,
в прослойках обусловливается только теплопроводностью жидкости. ;
При 103 < СгжРгж< 106
х ЛК ЛК
0,3
6 =0,105 (СгжРгж),
IV 4 Л\ ЛК''
при 10е < Сгж Ргж < 1О10
* ЛК ЛК
0.2
6 = 0,4 (Сгж Ргж)
х ЛК ЛК' •
328
с? ts
б
Рис. 15.4. Схемы свободного движения жидкости в ограниченном пространстве
Снижение интенсивности теплоотдачи при больших значениях аргумента
следует объяснить взаимной помехой в движении поднимающихся (нагре-
тых) и опускающихся (охлажденных) струек жидкости. В приближенных
расчетах для всей области значений можно применять зависимость при
СгжРгж> 103
е = 0,18 (Сгж Ргж)°25 (15.23)
К 7 v Л\ Лх'
ГЛАВА 16. ТЕПЛООТДАЧА ПРИ ИЗМЕНЕНИИ АГРЕГАТНОГО
СОСТОЯНИЯ ВЕЩЕСТВА
16.1. Теплоотдача при конденсации пара на поверхности тела
Различают пленочную и капельную конденсации на поверхности тела.
Пленочная конденсация — это процесс перехода вещества из газового
состояния в жидкое на гидрофильной (хорошо смачиваемой) поверхности
твердого тела, при котором образуется сплошная пленка конденсата (жид-
кости) .
Капельная конденсация — это процесс, протекающий на гидрофобной (не-
смачиваемой) поверхности твердого тела, при котором образуются отдель-
ные капли конденсата.
При пленочной конденсации на наклонной поверхности образующийся
конденсат под действием сил тяжести стекает вниз. Толщинапленки 5 увели-
чивается вдоль направления движения жидкости (рис. 16.1). Температура
стекающей жидкости на поверхности твердого тела равна температуре по-
верхности тела Гс, значение которой меньше температуры насыщения пара
при данном давлении. Температура жидкости на внешней границе пленки
равна температуре насыщения пара Тн. Теплота фазового превращения, вьъ
деляющаяся на внешней поверхности пленки, отводится через пленку в твер-
дое тело. Вблизи верхнего края наклонной поверхности тела пленка имеет
малую толщину. Течение в тонкой пленке носит ламинарный характер. По
мере опускания толщина пленки увеличивается и может достигнуть крити-
ческого значения, при котором наблюдается переход к турбулентному те->
чению жидкости.
При капельной конденсации на наклонной поверхности тела образуются
отдельные капли, которые, достигнув определенного размера, скатываются
по поверхности, увлекая за собой другие капли.
Интенсивность теплоотдачи при пленочной конденсации приблизительна
на порядок ниже, чем при капельной. Причина этого в том, что сплошная
пленка конденсата создает значительное термическое сопротивление. При
капельной конденсации пар соприкасается непосредственно с твердым те-
лом на значительной части его поверхности.
В современных конденсаторах преимущественно осуществляется пленоч-
ная конденсация.
Теплоотдача при пленочной конденсации на плоской стенке. Рассмотрим
стационарную теплоотдачу при конденсации чистого сухого насыщенного
330
Рис. 16.1. Схема нарастания толщины пленки конденсата вдоль плоской поверхности
ара на плоской поверхности, расположенной под углом ф к горизонту
рис. 16.1), при ламинарном движении пленки конденсата. Вдали от стен-
и пар неподвижен. В тонкой пленке конденсата силы инерции пренебрежи-
ю малы по сравнению с силами вязкости и силами тяжести, а конвектив-
ный перенос теплоты в пленке конденсата и теплопроводность вдоль плен-
и пренебрежимо малы по сравнению с теплопроводностью поперек пленки,
радиент давления вдоль пленки (т.е. вдоль оси %) зависит от изменения
гидростатического давления пара вдоль оси х, которое составляет очень
талую величину. Поэтому можно принять, что (др/дх) =0. Трением между
онденсатом и паром на внешней поверхности пленки можно пренебречь.
1лотность конденсата и его физические параметры (Хж и дж) слабо зависят
т температуры, поэтому их можно принять постоянными.
1 С учетом вышесказанного система уравнений, описывающая конвектив-
ный теплообмен в ламинарной пленке, принимает вид
уравнения движения
(16Л)
331
Снижение интенсивности теплоотдачи при больших значениях аргумента
следует объяснить взаимной помехой в движении поднимающихся (нагре-
тых) и опускающихся (охлажденных) струек жидкости. В1 приближенных
расчетах для всей обласги значений можно применять зависимость при
6ГжРгж> 103
Л\ /л.
0,25 /1 с
ек = 0,18 (Сгж Ргж) . (15.23)
ГЛАВА 16. ТЕПЛООТДАЧА ПРИ ИЗМЕНЕНИИ АГРЕГАТНОГО
СОСТОЯНИЯ ВЕЩЕСТВА
16.1. Теплоотдача при конденсации пара на поверхности тела
Различают пленочную и капельную конденсации на поверхности тела.
Пленочная конденсация — это процесс перехода вещества из газового
состояния в жидкое на гидрофильной (хорошо смачиваемой) поверхности
твердого тела, при котором образуется сплошная пленка конденсата (жид-
кости) .
Капельная конденсация — это процесс, протекающий на гидрофобной (не-
смачиваемой) поверхности твердого тела, при котором образуются отдель-
ные капли конденсата.
При пленочной конденсации на наклонной поверхности образующийся
конденсат под действием сил тяжести стекает вниз. Толщина пленки 6 увели-
чивается вдоль направления движения жидкости (рис. 16.1). Температура
стекающей жидкости на поверхности твердого тела равна температуре по-
верхности тела Гс, значение которой меньше температуры насыщения пара
при данном давлении. Температура жидкости на внешней границе пленки
равна температуре насыщения пара Гн. Теплота фазового превращения, вы-
деляющаяся на внешней поверхности пленки, отводится через пленку в твер-
дое тело. Вблизи верхнего края наклонной поверхности тела пленка имеет
малую толщину. Течение в тонкой пленке носит ламинарный характер. По
мере опускания толщина пленки увеличивается и может достигнуть крити-
ческого значения, при котором наблюдается переход к турбулентному те-
чению жидкости.
При капельной конденсации на наклонной поверхности тела образуются
отдельные капли, которые, достигнув определенного размера, скатываются
по поверхности, увлекая за собой другие капли.
Интенсивность теплоотдачи при пленочной конденсации приблизительно
на порядок ниже, чем при капельной. Причина этого в том, что сплошная
пленка конденсата создает значительное термическое сопротивление. При
капельной конденсации пар соприкасается непосредственно с твердым те-
лом на значительной части его поверхности.
В современных конденсаторах преимущественно осуществляется пленоч-
ная конденсация.
Теплоотдача при пленочной конденсации на плоской стенке. Рассмотрим
стационарную теплоотдачу при конденсации чистого сухого насыщенного
330
Рис. 16.1. Схема нарастания толщины пленки конденсата вдоль плоской поверхности
лра на плоской поверхности, расположенной под углом ф к горизонту
рис. 16.1), при ламинарном движении пленки конденсата. Вдали от стен-
и пар неподвижен. В тонкой пленке конденсата силы инерции пренебрежи-
мо малы по сравнению с силами вязкости и силами тяжести, а конвектив-
ый перенос теплоты в пленке конденсата и теплопроводность вдоль плен-
и пренебрежимо малы по сравнению с теплопроводностью поперек пленки,
радиент давления вдоль пленки (т.е. вдоль оси %) зависит от изменения
идростатического давления пара вдоль оси х, которое составляет очень
галую величину. Поэтому можно принять, что (др/дх) =0. Трением между
юнденсатом и паром на внешней поверхности пленки можно пренебречь.
Плотность конденсата и его физические параметры (Хж и д ж) слабо зависят
т температуры, поэтому их можно принять постоянными.
' С учетом вышесказанного система уравнений, описывающая конвектив-
ный теплообмен в ламинарной пленке, принимает вид
• уравнения движения
Яж (16Л)
331
уравнения энергии
дЬ
граничных условий
при у - 0 t = tc, wx = О,
при у = 5 t = tH, (dwx / ду) = О.
(16.4
(1б.з;
Здесь 5 =f(x) — толщина пленки конденсата; ?н — температура насыщения
tc - температура поверхности тела; gx ~ g sin — проекция ускорения св~
бедного падения на ось х.
Интегрируя уравнение движения (16.1), получим при граничных усл»
виях (16.3) формулу, описывающую распределение скорости по т< -< .
пленки,
(16.4;
(16.5'
х2 го У ,У 2 ,
wx = ------ 5 I 2 Т " < Г > L
2д 5 5
Средняя скорость конденсата в сечении х равна
1 , SxP-ЯИ г-2
wx = - Swxdy=--------- 5.
6 ° 3 мж
Количество конденсата Gx, протекающее в единицу времени через по
перечное сечение (отстоящее на расстоянии х от верхнего края стенки
пленки, шириной, равной единице, равно
Gx = P* ™х8 1 s —-Ж— 53
3
(16.6
Через поперечное сечение пленки, отстоящее на расстоянии х +dx, проте
кает количество конденсата
Gx+dx Gx+dGx- (16./,
Приращение dGx количества конденсата определим из (16.6)
dGx = 52 db. (16.8)
Это приращение обусловлено тем, что на участке внешней поверхнои
пленки ( 1 dx) происходит конденсация пара. При конденсации dGx
пара выделяется теплота
dQ = rdGx, (16.9)
где г — теплота конденсации.
Эта теплота отводится через пленку в твердую стенку.
332
' доимке шг^гяи (16J), в&и граничных условиях (163)
Са^иитвд», идотность теинового потока
V Ч*
1 f ?«-*?«
fc-Чс (ii.il)
: ШОДЭДТ, ЧТО
» | .
? ИЙ Чх &1 “ *ж ^"^ <&• (16.12)
Г ; -
Подставляя фоодщу (16.12) 8 уравнение (16.9), получим уравнение для
^2L (16.13)
f r§
ЦзШиш правые части уравнении (16.8) и (16.13), после несложных
шгёр&зовиякй придам к дифференциальному уравнению
‘ 8 -* ...=т f *1Г ~ *с А (16.14)
.^оегрируя это уравняете при условии, что 5 = 0 при х = 0, получим форму-
' i свфэдэдеэдя тоцпяфы пленки конденсата
й j g 'tin-ttfx. (16.15)
I
t; Формулу дан определения локального коэффициента теплоотдачи
Шучим из уравняшй (16.11) и (Г6Л5)
... А*
7И
(16.16)
СрйИке ЭйачеШтекоМФиие^а тедаоотда^и на поверхности длиной I
в»
1 *
-^J«xcfer^
з «
4 / г^к
«II HrfH T\f ^.м. . If|, |Ц 11 111 Л
(16.17)
заз
Формулу (16.17) можно представить в виде критериального уравнения
Nu>k=— (— °ажРгжК^ /4= 0,943(СажРгжК^)1/4 (16.18)
4 л 3 v ЛК ЛХ ЛлУ у
4
ГДе ^иж = ^Аж ~ число Нуссельта; Саж = (рж^ч/э/рж) — число Галилея;
7СЖ = Ь'/срж^н' ?сЛ — число фазового превращения; Ргж - число Пран-
дтля^х =gsin ф
Значения физических параметров (рж, рж, Хж) в формулах (16.16),
(16.17) и (16.18) следует определять при средней температуре
Гж =(tK + tc)2, а теплоту конденсации г - при температуре насыщения tH.
Этот прием позволяет учесть слабую зависимость указанных физических
параметров от температуры.
При числах Рейнольдса Ке8ж =-ж - * * > 1 наблюдается образование
волн на внешней поверхности пленки ^ри сохранении ламинарного режима
движения конденсата. Это явление приводит к увеличению коэффициента
теплоотдачи. Волновой характер движения пленки учитывается введением в
полученную выше формулу для локального коэффициента теплоотдачи
поправочного множителя ер, который определяется из формулы
0,04
“ Чж
Формулы (16.16), (16.17) и (16.18) справедливы для паров различных
веществ, если выполняются условия
/Сж>5; 1< Ргж<100; ф>0;
Рж wx 5 Рж gx 83
ReSx----------------,2----- < зоо.
Зрж
При Re§ ж 300 наблюдается переход к турбулентному режиму движе»
ния конденсата.
Для жидких металлов (Рг < 1) полученные выше формулы дают завышен-
ные результаты приблизительно на 50 %.
Если в верхней части пленки, где Re§ ж < 300, движение ламинарное, а в
нижней — турбулентное, то расчет среднего коэффициента теплоотдачи на
вертикальной поверхности длиной I осуществляется по эмпирической
формуле
г Ръ
Рг„ 0,25 0 5 4/,
NuH= Г7;------Г [ °’89 + °’024 Ргн - 2300) ] \ (16.19)
Мгн~У ггс
1/, Ga /3 j = - У. gp 2 al , Nu = — .
Г^Н V н XH il
334
Индекс „н” указывает, что в качестве определяющей температуры исполь-
уется температура насыщения.
Формулы (16.16), (16.17) и (16.19) применимы также для расчета тепло-
тдачи при конденсации на вертикальных (ф = я/2) цилиндрических поверх-
остях (трубах), если 6 < R, где R — радиус кривизны поверхности.
Выше мы рассмотрели конденсацию насыщенного пара. При конденса-
ии перегретого пара его температура по мере приближения к стенке сни-
жается, и фактически конденсируется насыщенный пар. Следовательно,
сонденсируясь, перегретый пар передает конденсату теплоту парообразова-
ния и теплоту перегрева г = г + Срт (t - Гн), где Срт — средняя теплоемкость
дарегретого пара при заданном давлении; t - температура перегретого пара.
Тоэтому коэффициент теплоотдачи для конденсирующегося перегретого
жара можно вычислить по тем же формулам, что и для насыщенного пара, но
вместо теплоты парообразования г необходимо подставлять величину г'. За
;>азность температур при этом по-прежнему берется Дг = rH - tc. Объясняет-
:я это тем, что если tc < tH, то на границе раздела фаз всегда устанавливает-
:я температура /н.
Теплоотдача при пленочной конденсации неподвижного пара на гори-
юнтальной трубе. При ламинарном движении конденсата на внешней поверх-
юсти трубы реализуются условия, аналогичные тем, которые указывались
1ри постановке задачи о ламинарной пленке на плоской поверхности (кон-
юктивный перенос тепла вдоль пленки мал по сравнению с теплопровод-
гостью поперек пленки, силами инерции можно пренебречь и т.д.) .
Система уравнений конвективного теплообмена для тонкой пленки
конденсата на поверхности трубы имеет вид, аналогичный системе
(16.1) — (16.2), если подразумевать под координатой х расстояние, отсчи-
ываемое от верхней точки поверхности вдоль по наружной окружности
рубы, а под координатой у — расстояние от поверхности, отсчитываемое
ю нормали к последней. Величина gx в этом случае является функцией ко-
)рдинаты х.
Решение задачи о теплоотдаче трубы, также как и в случае плоской стен-
си, сводится к определению толщины пленки 5. В результате интегрирова-
следующая формула для определения
трубы коэффициента теплоотдачи при
1ия уравнении получается в итоге
среднего по наружной окружности
ламинарном движении пленки
2 _ 3
л 4 а/ гРук g
а =0,725 V --------- ж. --- ,
(16.20)
’де d — диаметр трубы.
Значения параметров рж, Хж и дж определяются при средней температуре
ж “ + fc
Теплоотдача при пленочной конденсации движущегося пара в трубах. На
штенсивность теплоотдачи при конденсации движущегося пара в трубах
существенное влияние оказывает гидродинамическое воздействие пара на
лленку конденсата. Если направление движения пара совпадает с направле-
тием движения конденсата под действием сил тяжести, то это ускоряет дви-
335
жение пленки, уменьшает ее толщину и увеличивает коэффициент тепло»
обмена. Если же пар и конденсат движутся встречно, то течение пленки
может замедляться, ее толщина увеличиваться и коэффициент теплообмена
уменьшаться. При больших скоростях пара пленка конденсата может сор,
ваться с поверхности стенки и унестись потоком пара, что вызовет увеличе*
ние коэффициента теплообмена.
Указанные эффекты проявляются в большей или меньшей мере в зави-
симости от направления сил тяжести и сил трения, которое определяется
положением трубы в пространстве, а также тем, входит ли пар в вертикаль-
ную или наклонную трубу сверху или снизу.
В процессе конденсации движущегося пара в трубах его скорость по длине
трубы уменьшается от максимального значения на входе в трубу до мини-
мального значения на выходе из трубы. В том случае, когда пар в трубе
конденсируется полностью, его скорость на выходе из трубы равна нулю,
В концевой части длинной трубы все ее сечение может быть заполнено кон*
денсатом. При ламинарном движении насыщенного водного пара со ско-
ростью 40 м/с и конденсата в вертикальной трубе сверху вниз коэф-
фициент теплоотдачи не зависит от скорости и вычисляется по формуле
о 26 ? *4, Рн °,22 Q25
Nu = 0,95G^“ (- " J (~) . (16.21)
rrc
В этой формуле приняты определяющими температура насыщения tH
(исключая число Ргс) и длина трубы.
При wu > 40 м/с коэффициент теплоотдачи вычисляется по формуле
о,б d
NuH = 0,28 ReH [ К Рг —-
Н J HL т
(16.22)
w„ d
где ReH =-------
В формуле (16.22) за определяющую принята температура насыщения.
Параметры с индексом „п” относятся к пару, остальные — к конденсату.
Формула (16.22) получена при ReH 2,5 • 104 — 10s; — > 0,1; — 0,001.
д Р
В заключение отметим, что здесь была рассмотрена только конденсация
чистого пара. Примеси различных газов в паре заметно уменьшают тепло-
отдачу при конденсации. Снижение теплоотдачи происходит потому, что
пар конденсируется, а газ или воздух остается у холодной стенки а
виде слоя, через который молекулы пара проникают к стенке лишь путем
диффузии. Слой неконденсирующегося газа создает значительное терми-
ческое сопротивление. Так, например, наличие в неподвижном водяном
паре 1 % воздуха уменьшает коэффициент теплоотдачи при конденсации на
60 %. Влияние примеси воздуха для движущегося пара Несколько меньше.
336
|ри значительном содержании в паре неконденсирующихся газов (паро-
левые смеси) термическое сопротивление газового слоя у поверхности
зла является определяющим и полученные для чистого пара расчетные фер-
улы непригодны. Теплоотдача при конденсации парогазовых смесей рас-
сматривается в следующей главе.
16.2. Теплоотдача при кипении жидкости
Механизм переноса теплоты при кипении жидкости на твердой поверх-
сости. Рассмотрим процесс передачи тепла от нагретой поверхности твердого
ела к жидкости, сопровождающийся переходом жидкой фазы в парообраз-
,[ую внутри объема жидкости.
Процесс, при котором паровая фаза возникает внутри жидкости, в отли-
ие от испарения со свободной поверхности жидкости, называется кипением.
Сипение на поверхности твердого тела может протекать только тогда, когда
емпература этой поверхности превышает температуру насыщения жид-
сости при данном давлении. При этом условии жидкость в слое, прилега-
ощем к поверхности тела, находится в перегретом состоянии, т.е. ее темпера-
ура выше температуры насыщения (рис. 16.2, а). Процесс парообразования
хроТекает следующим образом. На поверхности тела зарождаются паровые
узырьки, которые быстро увеличиваются в объеме и, достигнув определен-
юго размера, благодаря действию подъемной силы, отрываются от поверх-
-юсти. Отрыв и всплытие пузырьков пара вызывает интенсивную циркуля-
дию и перемешивание жидкости вблизи нагретой твердой поверхности,
элагодаря чему обеспечиваются хорошие условия для передачи тепла от
поверхности к жидкости.
Размеры парового пузырька в момент отрыва от поверхности твердого
тела зависят от подъмной силы, действующей вверх, и силы поверхност-
ного натяжения, прижимающей пузырек к поверхности, а также от динами-
ческого воздействия циркулирующего потока жидкости. Введем понятие —
отрывной диаметр пузырька Jo. Таковым будем называть диаметр сферы,
объем которой равен объему парового пузыря непосредственно в момент
его отрыва от нагретой поверхности тела. Подъемная сила F', действующая
на пузырек в момент отрыва, пропорциональна кубу диаметра пузырька,
т.е. F' ~ g(p^ - Pn)d30. Сила натяжения F" пропорциональна т.е.
F" ~а d0, где о — коэффициент поверхностного натяжения жидкости. Для
воды о = 7,14 • 10"2 [(рж — рп) 10-3] 4 (Н/м2). Из условия равновесия
этих сил можно определить отрывной диаметр пузыря. При этом следует
учесть смачивающую способность жидкости (рис. 16.2, б). В случае, если
кипение происходит в сосуде с плоским обогреваемым дном, то отрывной
диаметр пузырей, образующихся на обогреваемой донной поверхности
сосуда, можно определить по формуле
/ О~ ~
d0 f (0) V z, (16.23)
(Рж Рп) S
337
а
Рис. 16.2. Кипение жидкости в большом объеме:
а — распределение температур в слое кипящей жидкости над горизонтальной поверх-
ностью нагревания; б — пузырьки пара на смачиваемой и несмачиваемой поверхностях
нагревания; в - к определению минимального радиуса зародившегося пузырька
где рж — плотность жидкости; рп — плотность пара; 0 — угол смачивания
жидкости (для воды 0 — 50°) ;/($)— функция, учитывающая смачива-
ющую способность жидкости (для воды f (0) — 0,02 9).
Из формулы (16.23) следует, что при кипении воды отрывной диаметр
пузыря при атмосферном давлении равен d0 » 2,5 мм.
Процесс кипения жидкости, заполняющей сосуд, размеры которого по
всем направлениям велики по сравнению с отрывным диаметром пузырь-
ков, называют кипением в большом объеме.
338
Установившемуся процессу кипения в большом объеме предшествует
Стационарный этап нагревания и закипания жидкости. Вначале жидкость
нгревается. При этом наибольшая температура жидкости наблюдается
йтизи теплоотдающей поверхности в относительно тонком граничном слое.
Кгда температура этого слоя превысит температуру насыщения, на обо-
бщаемой поверхности начинают зарождаться и расти пузырьки пара. Зарож-
дгие пузырьков происходит в так называемых центрах парообразования.
Цнтрами парообразования на твердой поверхности являются различные
утубления и трещинки, а также пузырьки газов, адсорбированных поверх-
нстью. Пузырьки пара, достигнув размера, соответствующего d0 , будут
врываться от поверхности и всплывать. Если в верхней части объема над
ганичным слоем температура жидкости еще не достигла температуры насы-
в;ния, то всплывающие пузырьки здесь быстро конденсируются. Кипение
едкости на поверхности нагревания в условиях, когда температура жид-
»сти вне слоя, прилегающего к поверхности, ниже температуры насыщения,
юывают кипением с недогревом. При кипении недогретой жидкости обыч-
> слышится характерный шум („пение”). Когда вся масса жидкости нагре-
йся до температуры, несколько превышающей температуру насыщения,
гзырьки пара, образовавшиеся на поверхности нагревания, будут всплы-
1ть и достигать свободной поверхности жидкости (поверхности раздела
идкости и пара или газа). Кипение жидкости в условиях, когда основная
асса жидкости нагрета до температуры насыщения, называется кипением
всыщенной жидкости. При таком кипении температура жидкости вдали
с поверхности нагревания близка к температуре насыщения. По мере при-
нижения к поверхности нагревания наблюдается некоторое увеличение
мпературы жидкости. Почти всюду над граничным слоем, прилегающим к
нверхности нагревания, жидкость находится в перегретом состоянии.
Нибольший перегрев жидкости наблюдается в граничном слое.
При кипении насыщенной жидкости пузырек пара после отрыва от поверх-
»сти, всплывая, продолжает быстро расти. Это происходит потому, что
«або перегретая жидкость испаряется внутри пузыря. Если толщина слоя
идкости достаточно большая, то всплывающий пузырек увеличивает свой
оъем в десятки и сотни раз. Следует подчеркнуть, что основное количество
Ира (до 95 % для воды) образуется обычно не на обогреваемой поверх-
эсти, а в процессе испарения жидкости в пузыри при их подъеме. Необхо-
дмая для этого теплота передается сначала жидкости от обогреваемой
эверхности, а затем уже на поверхности пузырька затрачивается на образо-
шние пара. Количество тепла, переданное непосредственно пару у стенки,
тчтожно, ибо теплопроводность его значительно меньше, чем у жидкости.
Выше уже отмечалось, что зарождение пузырьков пара происходит на
эверхности нагревания в центрах парообразования — небольших углубле-
иях и трещинах. Однако не каждая трещина может быть центром парообра-
с звания. Рассмотрим условия, при которых может существовать зародив-
шийся пузырек пара. На пузырек снаружи действует со стороны жидкости
явление р (рис. 16.2, в). На границе между водой и паром имеется поверх-
,остное натяжение ст, т.е. сила, под действием которой поверхность раздела
гремится сократиться. Поверхностное натяжение, стремясь уменьшить по-
ерхность пузырька, старается „раздавить” его. Пузырек может существо-
339
вать лишь в том случае, если давление pi внутри его выше давления :
кости р. Разность давлений Др = рг - р должна уравновесить действие i
верхностного натяжения.
Разрежем мысленно пузырек радиусом R и рассмотрим баланс сил, дей^
вующих на его половину, заменив поверхностным натяжением действ
отброшенной части. Проектируя силы на вертикальную ось, нетрудно по.
чить
Др ттА2 = (j2ttR,
откуда
2а
(16.2
R
Итак, пузырек радиусом R может существовать, если давление рх ‘в ~
больше, чем давление р жидкости снаружи, на величину Др = .
R
Давление жидкости около зародившегося пузырька практически рав
давлению насыщенного пара над свободной поверхностью кипящей ж •
кости, залитой в сосуд, поскольку весом столба жидкости над поверхности
нагревания можно пренебречь, т.е. р = рн (Тн). Температура пара внух
зародившегося пузырька практически равна температуре поверхности нагр
вания tc. Пар в этом пузырьке находится в термодинамическом равновес-
с жидкостью, имеющей около твердой поверхности ту же температуру,
является насыщенным. Давление pj внутри пузырька однозначно опред-
ляется температурой насыщения, т.е. Pi ==рн(^с)- Следователь-
&р ~ Puff с) ~ Рн ^н)‘ Из уравнения (16.24) видно, что чем меньше радиу
пузырька R, тем больше должны быть перепад давлений Др и соответств^
ющий ему перегрев жидкости у стенки Д? = tc - Гц. И обратно, данно.
перегреву Д? (а следовательно, вполне определенному Др) соответствуе
определейный радиус /?т1п. Если R > ^пйп’ то перепад давлений Др боль
сил поверхностного натяжения — пузырек будет расти. Если же появился
пузырек радиусом R <Amin, то поверхностное натяжение раздавило бы ег<
заставив сконденсироваться находящийся в нем пар. Следовательно, так,~
пузырек появиться не может.
При не очень больших давлениях плотность пара много меньше плотное
жидкости, т.е. р п < рж. Для этих условий из уравнения Клапейрона-Клаузиу<
следует
т
7 н
г Рн
At
(т~)н
Др
где г — теплота парообразовании; Тн — температура насыщения кипящ-
жидкости при заданном давлении p;~&t - tc — tH; &р =рг - р.
Подставляя в формулу (16.24) выражение для Др, вытекающее из (16.25)
получим после несложных преобразований формулу для определения ,
мального радиуса зародившегося пузырька
(16.25;
R
min
(с ~ * Рп
(16.26)-.
i
I
340
Ь .Для воды при рн = 1 атм, Гн = 100 °C и (tc - tn) -25 °C получим из фор-
I йлы (16.26)., чтоЯт!п « 10-3 мм.
Центрами парообразования могут быть мелкие трещины и углубления с
приусом, превышающим Amin. Из формулы (16.26) видно, что с увеличе-
ir йем температурного напора А Г = tc - tH значение уменьшается. Сле-
ц двательно, с увеличением Дг пузырьки способны образовываться на все
блее мелких неровностях поверхности. Поэтому с увеличением Дг число
дйствующих центров парообразования возрастает. Повышается также часто-
I отрыва пузырьков от поверхности нагревания и усиливается турбулиза-
вя пристенного слоя жидкости, вследствие чего интенсифицируется тепло-
емен между жидкостью и твердой поверхностью. Таким образом, тепло-
1 сдача при кипении существенно зависит от перегрева жидкости в гранич-
им слое, т.е. от Дт = tc - Тн .
® i Из вышеприведенных формул (16.23) и (16.26) видно также, что на
процесс зарождения пузырей и их отрывной диаметр существенное влияние
называет давление. Следовательно, теплоотдача при кипении существен-
I' зависит от давления в кипящей жидкости.
1 ! Режим кипения, при котором поверхность нагревания находится в устой-
?вом контакте с жидкой фазой и пар образуется в виде периодически за-
рждающихся и отрывающихся от поверхности нагревания пузырьков,
1 (зывается пузырьковым кипением.
При очень большом перегреве, т.е при больших значениях At =tc - tH,
'ело действующих центров парообразования оказывается настолько боль-
1им, что образующиеся на поверхности нагревания в большом количестве
/зырьки пара сливаются в сплошную паровую пленку, отделяющую нагре-
гю поверхность от жидкости. Эта пленка, естественно, неустойчива, непре-
явно разрушается прорывающейся к поверхности жидкостью и непрерывно
постанавливается. Появление пленки резко ухудшает теплоотдачу, ибо
‘ ‘плодровидность пара намного меньше, чем жидкости.
Режим кипения, при котором на твердой поверхности нагревания
рразуется сплошная пленка пара, называется пленочным кипением. При
теночном кипении поверхность нагревания в основном контактирует с
1ровой фазой.
На рис. 16.3 в логарифмических координатах показаны полученные экспе-
риментальным путем зависимости коэффициента теплоотдачи
;= qc/(tc — Тн) и плотности теплового потока qc от температурного напора
t = tc - tn при кипении насыщенной воды в большом объеме при атмо-
ферном давлении. На этом графике условно выделяются четыре области. В
йласти I количество образующихся в единицу времени пузырей невелико,
«.оэтому они не оказывают существенного влияния на картину движения
гидкости. Коэффициент теплоотдачи в основном определяется естествен-
ной конвекцией воды. С увеличением At увеличивается число Грасгофа.
Нем больше число Грасгофа, тем больше коэффициент теплоотдачи. Эту
область называют областью конвективного теплообмена или областью нераз-
витого пузырькового кипения. Для воды, кипящей при атмосферном давле-
нии, эта область ограничивается значениями температурного напора
• < At <5 °C. Плотность теплового потока q 6 • 103 Вт/м2 при At = 5 °C.
341
Рис. 16.3. Зависимость коэффициента теплоотдачи и плотности теплового потока от
температурного напора при кипении насыщенной воды в большом объеме
Область II характеризуется интенсивным образованием пузырьков пара.'
Движение жидкости в основном определяется турбулизирующим влия-1
нием всплывающих пузырьков пара. В этой области коэффициент тепло*!
отдачи резко увеличивается с увеличением температурного напора. Эта!
область называется областью развитого пузырькового кипения. Для воды, I
кипящей при атмосферном давлении, такой режим кипения наблюдается
при 5 °C < Af < 25 °C. о
В точке К коэффициент теплоотдачи достигает максимума (для воды при Л
атмосферном давлении йк 58 кВт^2-К) и qK— 1,45 МВт/м2). Точка Ж J
называется точкой кризиса пузырькового кипения. Соответствующие ей
плотность теплового потока, коэффициент теплоотдачи и температурный'
напор называют критическими.
Область III называется областью переходного кипения. Для воды, кипя-
щей при атмосферном давлении, такой режим кипения может реализоваться
при 25 °C < Дг < 125 °C. В этой области наблюдается на поверхности нагре*
вания неустойчивая пленка пара, которая хаотически пульсирует и разрух
шается. Пленочный режим периодически сменяется режимом пузырькового
кипения. Коэффициент теплоотдачи в этой области резко падает с увеличе-
нием температурного напора Дг.
Область IV представляет собой область устойчивого пленочного кипения.
Из-за большого термического сопротивления паровой пленки коэффициент #
теплоотдачи в этой области мал и почти не зависит от температурного напо- ®
раДг. ' Ч
Теплообменные аппараты работают обычно в области пузырькового кшМ- 0
ния. Переход в пленочный режим может привести не только к резкомуГ1
ухудшению теплоотдачи, но и к пережогу теплообменника. Такая опасность «
существует в аппаратах, в которых количество выделяющегося тепла не за- *1
342
Исит от интенсивности теплообмена — атомных реакторах, электрических
агревателях и т.д. Происходит это следующим образом. Повышая напряже-
те, подаваемое на спираль электронагревателя, мы будем увеличивать вели-
яну теплового потока qc. В области кипения температура стенки будет
едленно повышаться с ростом qc (см. рис. 16.3). Увеличение qc сверх
ритического значения qK приведет к быстрому переходу пузырькового ре-
дама кипения в пленочный, сопровождающийся резким повышением темпе-
атуры поверхности нагревания. Из графика на рис. 16.3 видно, что темпера-
ура поверхности нагревателя при qc > qK может достигнуть значения
. «г 1000 °C. Нагреватель, не рассчитанный на такую температуру, разрушит-
а.
Зависимости а = f (АТ) и q= f (АТ /^приведенные на рис. 16.3, получены
ри условии, когда отсутствует вынужденное движение жидкости. При
ольших значениях скорости вынужденного движения пузырьки пара,
•бразующиеся на поверхности нагревания, не успевают развиться, так как
ынужденный поток смывает их. При этом турбулизирующее влияние пу-
ырьков на граничный слой, прилегающий к твердой поверхности, снижается.
I этих условиях теплоотдача в значительной степени зависит от величины
корости вынужденного движения жидкости. При малой скорости вынуж-
денного потока картина движения и перемешивания жидкости в пристен-
ом слое определяется главным образом всплывающими пузырьками пара
влиянием скорости потока на теплоотдачу можно пренебречь.
Вышеприведенный анализ механизма переноса теплоты при кипении жид-
кости на твердой поверхности позволяет сделать вывод о том, что коэффи-
даент теплоотдачи от заданной твердой поверхности и кипящей жидкости за-
дасит от физических параметров жидкости (теплопроводность Хж, вяз-
кость дж, теплоемкость СрЖ, плотность рж, теплота парообразования г,
омачивающая способность, характеризующаяся углом в и др.), от темпера-
урного напора At = tc - tH от давления в жидкости р, от скорости вы-
нужденного движения wQ и других факторов
«=/7Хж,дж,рж,Срж,г,0, &t,p, w0..J. (16.27)
Если учесть, что qc = a At, то уравнение (16.27) можно записать в сле-
дующем виде
а = /7^ж,Мж> срж ,РЖ, r,6,qc, р, ы0...). (16.28)
Теплоотдача при развитом пузырьковом кипении жидкости в большом
. объеме. При развитом пузырьковом кипении в отсутствии вынужденного
- движения теплоотдача не зависит от формы и расположения теплоотдающей
> поверхности, поскольку гидродинамическая структура граничного слоя,
прилегающего к поверхности нагревания, в основном формируется бурно
< образующимися пузырьками пара. Характерным линейным размером этого
процесса является отрывной диаметр пузыря d0, значение которого можно
' оценить по формуле (16.23), или минимальный диаметр зарождающихся
J пузырьков, определяемый по формуле
343
4 оТн
(j ( р Ср) ж
(16.29)
где предполагается, что (рСр).*. At ~ г ри.
Характерной скоростью процесса турбулентного перемешивания в гра-
ничном слое является средняя скорость отвода пара от поверхности (она
определяет притекание жидкости к поверхности). Среднюю скорость ш
можно оценить из уравнения неразрывности
Pnw=mn, (16.30)
где рп - плотность потока; тп - количество пара, отводимое в единицу
времени с единицы поверхности.
Если учесть, что тп ~ qjr, где q, — плотность теплового потока, то из
формулы (16.30) следует
— = W*. (16.31) I
4т г
Величина W* называется приведенной скоростью парообразования. }
Гидродинамическая структура граничного слоя, прилегающего к поверх- ।
ности нагревания, характеризуется числом Рейнольдса <
где иж, рж, — кинематическая вязкость, плотность и теплоемкость '
жидкости, определяемые при температуре насыщения; г — теплота паро-
образования; о - коэффициент поверхностного натяжения; дп - плотность
пара при заданном давлении р. ®
Коэффициент теплоотдачи при кипении неметаллических жидкостей вы-
числяется по формуле к
NuH = С Re" Рг„/з
(16.33)
al*
где NuH = ----- ; ReH
Хж
Сии - постоянные, численные значения которых следующие: <
при ReH < 0,01 С = 0,0625, п= 0,5,
ReH>0,01 С= 0,125, и=0,65„
st
Индекс „н” означает, что физические параметры, входящие в числа подобия, 8
определяются при температуре насыщения, Уравнение (16.33) справедливо !f
при числах ReH = 10~s — 104, Ргн = 0,86 — 7,6. ,
Для определенного рода жидкости коэффициент теплоотдачи при разви-
том пузырьковом кипении зависит лишь от тепловой нагрузки и давления
насыщения. Поэтому для практических расчетов удобно применять размер-
344
;ые зависимости. Эти зависимости устанавливаются либо непосредственно из
яализа опытных данных, либо из обобщенной критериальной формулы.
(Ля воды в диапазоне давлений от 1 до 40 бар и q = (0,2-0,4) при кипе-
ни на смачиваемой поверхности коэффициент теплоотдачи можно опреде-
,. ить по формулам
' I® 0,7 о 15
а = 3<7с Рн , (16.34)
2,33 0,5
а = 38,7Дг Рн . (16.35)
эти формулы абсолютное давление рн нужно подставлять в барах, qc в
i т/м2, Д? — в °C. Коэффициент теплоотдачи получается в Вт/(м2-К). Для
ругих жидкостей в диапазоне рн = 0,2-10 бар и q = (0,2-0,4) <7Кр коэф-
l8i 'ициент теплоотдачи определяют по формуле
0,4 0,7
а = > (16.36)
i'Vi
це С - коэффициент, значения которого для некоторых жидкостей приведе-
ы в табл. 16.1
Таблица 16.1
Значения коэффициента С для некоторых жидкостей
Жидкость С Жидкость С
керосин 0,93-1,68 Этиловый спирт 1,36
азолин 0,81 Метиловый спирт 1,09
>ензол 0,93 Г ептан 1,4
В формулы (16.36) ри и q нужно подставлять соответственно в барах и в
1т/м2.
Коэффициент теплоотдачи а при вынужденном движении кипящей жид-
кости определяется по формуле
а / ^й> ~
• = V 1-Н-^-) > (16.37)
„где — коэффициент теплоотдачи, рассчитанный по формуле для разви-
того пузырькового кипения; aw — коэффициент теплоотдачи, рассчитанный
* по формулам конвективного теплообмена однофазной жидкости.
Теплоотдача при пленочном кипении в большом объеме. На основании
•обобщения опытных данных по теплоотдаче при кипении в большом объеме
я обычных и криогенных насыщенных жидкостей получено для различных
из поверхностей нагревания (шар, горизонтальные и вертикальные цилиндры,
j пластины и др.) критериальное уравнение
Nun= 0,155 (Gan Лж I Ртп )1/з, (16.38)
' Рп z
345
ah Qch D Мп cp n
____ = -- • Pf = i—
\i \l^C ~---------------ХП
Ся -
Gan-----2—
Mn
где a — коэффициент теплоотдачи; g — ускорение свободного падения; г -
теплота парообразования; 1Г — характерный размер, пропорциональный
отрывному диаметру пузыря; Хп, дп, срп, рп — теплопроводность, вязкость,
теплоемкость и плотность пара; рж — плотность жидкости; (Тс — Тн) —
температурный напор; tc — температура стенки; — температура насыще-
ния при данном давлении; Nun — число Нуссельта; Gan — число Галилея; ,
Ргп — число Прандтля. '
За определяющую температуру в формуле (16.38) принята ‘
tm = 0,5 (tc+ fH). Формула верна в следующем диапазоне изменения опреде- *
ляющих чисел подобия
2-104<Gan Ргп < 5,3-109; 0,12<z <8,5.
Рп
В заключение отметим, что выше рассматривалось лишь так называемое
поверхностное кипение, т.е. такое кипение, при котором пузырьки пара ।
могут зарождаться только на поверхности нагревания, через которую пере- I
дается в жидкость теплота, необходимая для перехода жидкой фазы в паро-
образную. Теплоотдача при поверхностном кипении представляет наиболь- ।
ший практический интерес.
В отдельную группу выделяют процессы кипения, характеризующиеся j
тем, что паровые пузырьки зарождаются во внутренних точках объема жид-
кости. Такое кипение можно наблюдать в жидкости, если сначала ее нагреть
при постоянном давлении до определенной температуры, а затем быстро
снизить давление до значения, существенно меньшего давления насыщения* f
соответствующего этой температуре. а
Кипение, при котором пузырьки пара зарождаются во внутренних точ-
ках объема жидкости, называется объемным. Такое кипение может про-
текать без подвода теплоты извне.
!
16.3. Вопросы пожарной безопасности при конденсации пара и
кипении жидкостей
Конденсация пара. Теория конденсации пара может быть использована при
решении следующих вопросов противопожарной защиты.
1. Определение коэффициента теплоотдачи для последующих расчетов
температуры на необогреваемых поверхностях или в толще стенок паропро-
водов и различных аппаратов химической технологии, в которых происхо-
дит конденсация паров различных жидкостей. Для этого используются
уравнения (16.16),..., (16.22).
346
2. Расчет количества конденсирующихся паров воды на поверхностях
строительных конструкций и оборудования, имеющих температуру значи-
тельно ниже температуры насыщения пара, для определения расхода пара
'при проектировании систем паротушения.
На многих предприятиях имеются котельные установки различной паро-
производительности. Пар может быть использован для тушения пожаров в
ltn помещениях. Огнегасительный эффект водяного пара основан на разбавле-
нии концентрации кислорода в воздухе, поступающем в зону горения. Огне-
41,1 гасительная концентрация водяного пара составляет около 30 % по объему.
il!l" Подача пара в горящее помещение осуществляется, как правило, в началь-
fiil ный период развития пожара, когда температура на поверхностях строитель-
ных конструкций и оборудования может быть значительно ниже температу-
ры насыщения пара при данном давлении. В этом случае часть пара сконден-
сируется на поверхностях и тем самым снизится его концентрация в объеме
помещения. Количество сконденсировавшегося пара должно быть компен-
18i> сировано увеличением его расхода в системе паротушения.
Вопрос этот изучен недостаточно. В последующем изложении сделаны
следующие допущения:
а) теплообмен рассматривается как квазистациопарный процесс, поэтому
в отдельные небольшие промежутки времени остаются справедливыми
уравнения стационарного теплообмена; б) количество пара, конденсиру-
ющегося на горизонтальных поверхностях, обращенных вниз и вверх, одина-
ково; в) продукты горения до пуска пара в помещение по своим физичес-
ким свойствам приравниваются к сухому воздуху при атмосферном давле-
нии; г) температура во всех точках поверхности теплообмена одинакова.
Массовый расход конденсата G определяется по формуле
S Q
G------, (16.39)
г
где S Q = Q3 + Qr — количество тепла, выделившееся при конденсации пара
на вертикальных QB и на горизонтальных поверхностях Qr,
Q^^FBl~v-Tc)A,Qr = aTFY(TH-TQ)A,
где ав — коэффициент теплоотдачи чистого пара на вертикальных поверх-
ностях, определяется по уравнению (16.17) или (16.19); аг - коэффициент
теплоотдачи чистого пара на горизонтальных поверхностях, определяется
из уравнения
Ат °’25
Num = 0,15 [GaPr^(l - —)] , (16.40)
Р
А — коэффициент, учитывающий влияние примеси воздуха в паре на сниже-
ние коэффициента теплоотдачи
-0,28
А = 0,43 св ,
1 где св = (GB/Gn) 100 - относительное содержание воздуха в паре,%; GB -
. абсолютное содержание воздуха в смеси воздуха с паром; Ga - абсолютное
347
I
содержание пара в смеси воздуха с паром; FB и Fr - соответственно пло-
щади вертикальных и горизонтальных поверхностей, м2; Ги - температура
насыщения, К; Тс - температура на поверхности строительных конструк-
ций и оборудования, К.
Температура насыщения пара в смеси с воздухом равна точке росы влаж-
ного воздуха, которая может быть определена по таблице физических свойств
смеси воздуха и водяных паров.
Концентрации пара в воздухе, равной 30 % по объему, соответствует пар-
циальное давление водяных паров рн = 0,3 бар и парциальное давление
сухого воздуха 0,7 бар. Тогда влагосодержание d такого воздуха
d = 623 рп/рв (16.41)
составит 267 г/кг, которому соответствует точка росы, равная 343 К.
Температура на поверхности строительных конструкций и оборудования
Тс определяется по уравнениям нестационарной теплопроводности
Зависимость количества водяного пара, конденсирующегося на 1 м2 вер-
тикальной поверхности (высотой 6 м) и горизонтальной поверхности, от
среднеобъемной температуры среды с учетом уравнений (16.39) — (16.41)
показана на рис. 16.4. Видно, что только при температуре среды 440 К и
более температура на поверхностях строительных конструкций и оборудо-
вания становится выше точки росы продуктов горения.
Вычисления показывают, что при Тп < 370 К количество пара, конден-
сирующегося на поверхностях, существенно больше потребного расхода
пара на объемное тушение пожара без учета конденсации. Это обстоятель-
ство следует учитывать при проектировании системы паротушения.
Кипение жидкостей. Закономерности теплоотдачи при кипении жидко-
стей можно использовать для решения ряда задач противопожарной безо-
пасности.
1. Для определения температуры стенок различных теплообменных аппа-
ратов в условиях их нормальной работы, а также температуры стенок раз-
личных емкостей, в которых происходит кипение жидкостей, в условиях
пожара, необходимо знать коэффициенты теплоотдачи и плотность тепло-
вого потока.
Коэффициент теплоотдачи или тепловой поток при кипении жидкости в
различных условиях определяются по уравнениям (16.33) - (16.38).
Другие условия, необходимые для расчета температуры стенок, либо
задаются технологическим режимом, либо определяются с привлечением
уравнений теплопроводности, конвективного и лучистого теплообмена.
2. Понимание механизма процесса объемного кипения жидкости важно
для обоснования режима работы теплообменных аппаратов, в которых на-
ходятся жидкости при повышенном давлении и при высокой температуре.
Каждому давлению соответствует единственное значение температуры на-
сыщения данной жидкости. С уменьшением давления температура насыще-
ния понижается. Если в аппарате происходит внезапное падение давления
так, что температура жидкости становится выше температуры насыщения,
то жидкость мгновенно испаряется вследствие ее объемного кипения.
348
Рис. 16.4. Зависимость расхода пара от температуры среды при пожаре в помещении:
1 - вертикальная поверхность; 2 - горизонтальная поверхность
Удельный объем паров во много раз больше удельного объема жидкости.
Например, 1 л воды, испаряясь при атмосферном давлении, образует
1700 л пара. При этом резко уменьшается коэффициент тегшоотдачи со сто-
роны жидкости, превратившейся в пар. В результате может произойти пере-
жог поверхности нагревания, что приводит к разрушению агрегата.
3. Объемным кипением объясняются также выбросы или переливание
жидкости при ее горении в резервуарах. Выбросы или переливания воз-
можны при горении обводненной жидкости, температура кипения которой
выше температуры кипения воды при том же давлении (нефть, мазут и др.).
Плотность такой жидкости ниже плотности воды, и последняя в процессе
хранения собирается в нижней части резервуара. В процессе горения интен-
сивность выделения воды увеличивается вследствие уменьшения вязкости
горящей жидкости.
При пожаре теплота от факела пламени в основном излучением передает-
ся зеркалу горения и стенкам резервуара. Вследствие теплопроводности и
конвекции со временем увеличивается толщина слоя жидкости, прогретого
до температуры насыщения воды при данном давлении. Однако вода пере-
гревается выше температуры насыщения, так как для начала кипения недо-
статочно центров парообразования из-за несмачиваемости водой стенок
резервуара и механических примесей, покрытых нефтепродуктами.
С повышением температуры слоя воды растет число центров парообразо-
вания и, наконец, происходит объемное вскипание перегретой воды, которое
в зависимости от количества ее и величины температуры перегрева ведет
либо к выбросу всей горящей жидкости, либо к ее переливанию через борт
резервуара.
349
В настоящее время отсутствуют надежные данные для расчета темпера-
туры перегрева и начала объемного вскипания при горении жидкостей в
резервуарах.
Предупреждение выбросов и переливаний достигается выпуском воды из
нижней части горящих резервуаров.
4. Взрывы возможны также при выходе жидкости в топочное простран-
ство котлов, трубчатых печей и т.д. вследствие прогара теплообменных сте-
нок.
Преждевременный прогар обогреваемых стенок может-произойти в том
случае, когда процесс кипения ведется в переходной области от пузырчато-
го к пленочному. В этой области резко уменьшаются коэффициент тепло-
отдачи и отвод тепла от стенки. Тепловосприятие стенки остается практи-
чески прежним, так как оно определяется в основном лучистым и конвек-
тивным теплообменом между продуктами горения и стенкой. В результате
температура стенки повышается, и она теряет свою несущую способность
или прогорает.
Для предупреждения прогара теплообменной стенки необходимо, чтобы
процесс протекал в области пузырчатого кипения, т.е. коэффициент тепло-
отдачи, разность температур и плотность теплового потока должны быть не-
сколько меньше их критических значений.
Для оценки порядка критических величин пКрг ДГКр, ^кр в табл. 16.2.
приведены критические показатели режима кипения некоторых жидкостей
при атмосферном давлении.
Таблица 16.2
Жидкость «кр, Вт/(м2 - К) At °C кр’’ Чкр, Вт/м2
Вода (5,6-6,1) 104 25 (1,4-1,5) 106
Спирт этиловый (2,3-2,4) 104 20 (0,4-0,58) 106
Бензол 87 • 103 47 0,41 -106
Величину критической плотности теплового потока ^Кр при кипении
различных жидкостей можно определить по формуле
___ 4 ____________
<1к? = кг V Рп vi^Cp-Pn), (16.42)
где к — постоянная безразмерная величина, численное значение которой на-
ходится в пределах 0,14 < к < 0,18.
При пожарно-технической экспертизе проектов теплотехнических
устройств к следует принимать меньшим, а при экспертизе аварий и взры-
вов — к большим.
Если жидкость вдали от стенки не догрета до температуры насыщения, то
критическая плотность теплового потока t?Kp определяется по формуле
, Р 0,8
*7кр ~^кр [ 1 + 0,065 ( ) с в/ г ], (16.43)
Рп
где с‘~ теплоемкость жидкости; О = Тж - соответственно разность
температур насыщения и жидкости вдали от поверхности нагрева.
350
Ш||
ц
61®
, Применение уравнений (16.42) и (16.43) для определения критического
начения плотности теплового потока во многих случаях оказывается затруд-
ительным из-за отсутствия значений некоторых физических параметров
•мдкостей и их паров.
Анализ уравнения (16.43) показывает, что наибольшее влияние на вели-
ину <7icp оказывает теплота парообразования.
На рис. 16.5 приведена зависимость величины £?Кр некоторых жидкостей
т теплоты парообразования при атмосферном давлении. Эта зависимость
обобщается следующими уравнениями: при к = 0,14
, <7кр ПГ6 =0,12 + 0,02 (т/100)3’3,3 (16.44)
Ий, ри к - 0,180 зависимость £?Кр =f(r) принимает вид
1 33
1Й1, <?кр 10~6 = 0,21 + 0,02 (г/100) ’ (16.45)
М При повышении давления до р < 1/3 рКр величина £?Кр возрастает; при
w дальнейшем повышении давления — падает.
На рис. 16.6 приведена зависимость £?кр = f (р) для некоторых жидко-
4 тей.
»?Ис. 16.5. Зависимость критической плотности теплового потока <?Кр от теплоты паро-
)бразования жидкостей г : Е
1 - при К = 0,14; 2 - при К- 0,18
351
Рис. 16.6. Зависимость критической плотности теплового потока <?кр от давления р-г
1 - бензол; 2 - аммиак; 3 - этиловый спирт; 4 - вода
С учетом зависимости <?Кр = f (р) уравнения (16.44) — (16.45) прини-
мают вид '
<7кр 1СГ6 = [ 0,12+0,02 (г/100) 1’33] р°^\ (16.46) ;
<7кр IO’6 = [ 0,21 + 0,02 (г/100)V3] , (16.47)
где рн — давление насыщения, бар; г — теплота парообразования при давле-
нии р = 1 бар, кДж/кг.
Если нет значений г для данной жидкости при атмосферном давлении, то
величина <7Кр может быть приближенно определена как функция от крити-
ческого давления для рассматриваемой жидкости.
На рис. 16.7 приведена зависимость
7кр / ^кр тах=-^ Р/Ркр)’
где #Кр и р — -соответственно текущие значения критической плотности теп-
лового потока и давления; рКр — критическое давление в термодинамичес-
ком смысле; <7Кр тах — максимальное значение критической плотности
теплового потока.
Величины 7Кр тах и рк^ связаны между собой уравнением
^кртах Ю'* = 1,6ркр-18. (16.48)
При р < 1/3 рКр зависимость ----Е- - f (-----) обобщается уравнением
^кр шах ^кр
0,25
<?кр fa кр max 1,32(р/ркр) (16.49)
при 1/3 ркр
352
1 ^кр/^кр max - ~ ^’25 (р/Ркр) • (16.50)
Для обратного перехода от пленочного режима кипения к пузырчатому
1еобходимо уменьшить тепловой поток в 4,5—6 раз. Это обстоятельство
:ледует учитывать при расчете температур стенок аппаратов' после их оста-
ювки или после локализации пожара.
Уравнения (16.42) — (16.50) получены для условий кипения жидкости в
большом объеме. По опытным данным, влияние диаметра трубки, внутри
которой исследовался теплообмен при кипении, сказывается только при ее
диаметре 5 мм и менее. Следовательно, под большим объемом можно пони-
жать такой ограниченный объем, характерный линейный размер которого не
иенее 5 мм. При уменьшении диайетра трубы до 1 мм величина <7Кр воз-
растает вдвое.
Критическая плотность теплового потока при движении кипящей жид-
кости в трубах и щелях зависит от скорости движения жидкости, давления
т паросодержания. При увеличении скорости движения и давления пример-
но до 0,1 /?Кр величина £?Кр возрастает, при дальнейшем повышении Давле-
Рис. 16.7. Зависимость #кр /<7кр max _ f(p / Ркр)
Таким образом, путями повышения величины ^Кр в теплотехнических
1!? устройствах являются переход на большие скорости движения жидкости
i и уменьшение паросодержания, а также выбор оптимального рабочего давле-
! НИЯ.
Уменьшение паросодержания, в свою очередь, достигается недогревом
fc жидкости вдали от теплообменной стенки, т.е. увеличением расхода жид-
fe кости при ее движении в каналах.
; 353
t
Надежных данных по количественной оценке величины критической
плотности теплового потока при движении кипящей жидкости в каналах в
настоящее время нет.
В практике проектирования теплотехнических устройств преждевремен-
ный прогар теплообменных стенок предупреждается также установкой
экранов, отражающих лучистую энергию источника тепловыделений.
ГЛАВА 17. КОНВЕКТИВНЫЙ ТЕПЛОМАССООБМЕН
17.1. Основные понятия, законы и уравнения конвективного
тепломассообмена
Специалистам пожарной охраны при разработке требований и мероприя-
тий, обеспечивающих пожаровзрывобезопасность разнообразных техноло-
гических производств, приходится часто сталкиваться с проблемой расчета
теплоотдачи при условиях, когда в обтекающий тело газовый поток посту-
пает с поверхности этого тела инородное вещество в газообразном состоя-
нии. Такая ситуация имеет место, например, при испарении жидкости с по-
верхности, обтекаемой воздушным потоком. Другим примером является
наблюдаемый при высоких температурах поток продуктов пиролиза с по-
верхности тела, омываемого воздухом.
Вытекающий с поверхности тела поток массы возмущает основной поток
газа и существенно влияет на гидродинамическую структуру течения вблизи
поверхности обтекаемого тела. Кроме того, поступающее с поверхности тела
газообразное вещество (пары жидкостей, продукты пиролиза и т.д.) смеши-
вается с газом основного потока. Вблизи поверхности тела образуется
область с неоднородными полями концентраций различных компонентов
смеси газов. Физические параметры смеси газов (плотность, вязкость, тепло-
проводность, теплоемкость) существенно зависят от состава этой смеси.
Следовательно, процессы переноса импульса и теплоты в рассматриваемых
условиях в значительной степени определяются распределением в простран-
стве концентраций компонентов образующейся смеси газов. Чтобы рас-
считать эти процессы, нужно знать поля концентраций компонентов смеси.
Распространение в пространстве газообразного вещества, поступающего в
основной поток с поверхности тела, происходит путем конвективного пере-
носа и диффузии. Диффузией называется самопроизвольный процесс пере-
носа вещества, обусловленный неоднородностью полей концентраций,
температур и давлений. Различают концентрационную диффузию, термодиф-
фузию и бародиффузию.
Концентрационной диффузией называется перенос вещества,
обусловленный неоднородным распределением концентраций этого вещества
в пространстве. Этот процесс является результатом хаотического (тепло-
вого) движения молекул. В двухкомпонентной (бинарной) смеси при кон-
центрационной диффузии плотности диффузионных потоков массы компо-
нентов определяются законом Фика
дсх
71 =- pZ)12 grad С! =-pZ)12 ~, (17.1)
an
354
'Ml
Hr ac2
/2 =- />©21 grad c2 =- P©2i 7~ , (17.2)
an
Mi
8cji где j- — плотность потока массы z-ro компонента, т.е. количество вещества,
переносимого через единицу площади в единицу времени кг/(м2-с);
©12 - ©21 = D — коэффициент молекулярной диффузии бинарной смеси,
м2/с; р = (Pi + р2) - плотность бинарной смеси, кг/м3;
~ (Pi/RjT) ~ плотность z- го компонента смеси, кг/м3; су = р//р- мас-
совая концентрация (доля) А го компонента (ср- с2 ~1) Pi — парциальное дав-
ление ьго компонента, Па; Rj — газовая постоянная z-ro компонента,
\Цж/(кг-К); п — расстояние, отсчитываемое по нормали к поверхности оди-
наковой концентрации данного вещества.
Векторы плотности потока массы j и градиента концентрации grad cz-
М имеют противоположные направления. При концентрационной диффузии
но вещество переносится из области с большей концентрацией в область с мень-
шей концентрацией. Вектор градиента концентрации z-ro компонента направ-
» лен в сторону возрастания концентрации данного компонента.
ii Проекции вектора плотности диффузионного потока массы z-ro компонен-
та на координатные оси можно выразить через проекции вектора градиента
концентраций:
дс
iix^-pD -л , (17.3)
ах
3cj
iiy = -pD -О- , (17.4)
z ay
Scf
jiz = ~PD (l7-5)
az
Во многих случаях все газы в смеси можно разбить на две группы с при-
мерно одинаковыми свойствами в каждой группе и приближенно такую
смесь рассматривать как бинарную. В связи с этим в дальнейшем рассматри-
ваются уравнения для случая течения бинарной смеси.
Термической диффузией называется перенос вещества в га-
1 зовой смеси под влиянием градиента температуры. При неравномерном
распределении температур в газовой смеси более тяжелые молекулы пере-
ходят в область с низкой температурой, а легкие молекулы — в область с
высокой температурой. Плотность диффузионного потока массы z-ro компо-
нента, обусловленная термодиффузией, становится ощутимой величиной
только при больших градиентах температуры в смеси газов. При умерен-
ных перепадах температур, обычно встречающихся в инженерной практике,
> термодиффузией можно пренебречь.
Бародиффузией называют перенос вещества в газовой смеси под
влиянием градиента давления. При этом тяжелые молекулы стремятся
перейти в область повышенного давления. Бародиффузия ощутима лишь при
' значительных перепадах давлений и в большинстве случаев ее можно не
учитывать. В дальнейшем мы будем рассматривать условия, при которых
бародиффузией и термодиффузией можно пренебречь.
355
Как уже отмечалось выше, при движении смеси газов со скоростью w
молекулярная диффузия сопровождается конвективным переносом мас-
сы. Составляющая суммарной плотности потока массы за счет конвекции и
диффузии z-го компонента равна сумме плотности диффузионного потока
(17.3) и плотности конвективного потока массы:
def
(ibJ l = Pwx ci“ Р®
(jij)^=pWyCi- pD J- >
dcj
(iizl l ~Pwzci~ PD •
az
(17.6)
(17-7) '
(17.8) *
По аналогии с конвективным теплообменом, представляющим собой про-
цесс переноса теплоты одновременно конвекцией и теплопроводностью,
процесс переноса вещества в результате совместного действия диффузии и
конвекции называют конвективным массообменом.
Движение смеси газов описывается уравнениями, аналогичными уравне- ,
ниям для однородной жидкости (уравнениями Новье-Стокса). Однако в )
общем случае необходимо учитывать, что вязкость смеси газов может су- 1
щественно зависеть от состава смеси. В связи с этим нельзя считать
вязкость постоянной величиной. Например, уравнение движения в проек- j
ции на ось х для стационарного пограничного слоя на плоской стенке имеет
вид
3wv др д дик
pu^+pu^^^fp^), (17.9) ,
где р — вязкость смеси. _ !
Уравнение неразрывности для двумерного стационарного потока смеси
газов
д д
~ (PWjJ + ~ (р Wy)=0. (17.10)
ах ау
Распределение концентраций z-ro компонента смеси в потоке определяет-
ся из уравнения диффузии, которое выводится на основании закона сохра-
нения массы z-ro компонента. Уравнение диффузии для двумерного стацио-
нарного потока имеет вид
W*-Z ut, U UL, U UCf
PWX — +PWy~ (pD——) + ~ (pD
ax ay dx 3x dy dy
(17.11) »
Коэффициент диффузии D зависит от температуры и давления смеси. При is
умеренных перепадах температур и давлений можно считать его величиной
постоянной. ft
356
*, Перенос тепла в движущейся смеси газов происходит путем конвекции
’Н теплопроводности. Плотность теплового потока в бинарной смеси склады-
.ается из потоков энтальпии компонентов смеси и потока теплопровод-
остью
ЗТ
Яхs=“x + (PU>XC1 -pD
dc-i дс2
(17.12)
дт Г, дс2 дс2 + (pwvCi - pD — )if(pwyc2 - pD ~—)i2 (17.13) л ay y ay '
дТ V" ,1и dz дсх dq2 + (pwzCi pD )i! +(pu)zc2 pD )i2, (17.14) az az
де z’i = cpl Г — энтальпия первого компонента; i2 = ср2 Т — энтальпия вто-
Ц1 ого компонента; X — коэффициент теплопроводности смеси; qx%, Яу^,
"1* ''zs ~ составляющие суммарной плотности теплового потока.
й Если учесть, что с2 = 1 — Ci и i = + c2i2rrp,e i — энтальпия смеси, то
'равнение (17.12) можно преобразовать к следующему виду
дТ Зсх
Яхъ = (~7r)+PWxi-(ii -1г)рО( — (17.15)
ах ах
Аналогичным образом можно преобразовать уравнения (17.13) и (17.14).
Уравнение (17.15) можно преобразовать к другому виду, если учесть, что
di д 3ii дсх 3i2 дс2
4 = - (cih. +c2i2) = c1 ~ ) + c2(—)+i2(-—), (17.16)
ах дх ах дх дх дх
де (дс2}Эх) = - (дсх[дх), (di-Jdx) = ср t (ЗТ/дх)
I (di2ldx) = ср2 (дТ(дх), схсрХ+ с2ср2= ср.
Из уравнения (17.16) следует, что
дТ 1 di i! — i2 dci
_ ___ . (17Л7)
ах Ср ах Ср - ах
Подставляя формулу (17.17) в уравнение (17.15), получим
X di дсг
Яхх = -- +PWxi-(ii-i2)pD(l-U)(—), (17.18)
Ср ах ах
X а
с„ — теплоемкость смеси; Le =---- ----число Льюиса-Семенова. Ана-
Р C„PD D
логичные формулы получаются для составляющих qy Е и^гЕ.
Число Льюиса-Семенова характеризует соотношение между диффузией и
теплопроводностью. Для газовых смесей число Le обычно мало отличается
от единицы. Поэтому во многих случаях третьим членом в правой части
^уравнения (17.18) можно пренебречь.
357
Распределение температур в движущейся газовой смеси определяется из
уравнения энергии, которое выводится на основании первого закона термо-
динамики. Вывод этого уравнения для смеси газов аналогичен выводу
уравнения энергии для однородной среды, приведенному в гл. 13. С учетом
вышенаписанных уравнений для суммарной плотности теплового потока
получается для стационарного двумерного течения бинарной смеси урав-
нение энергии следующего вида
д д д дТ
Р wx (СРТ) + Р*Ру (ср Т} 7~
ах г Л ду и дх дх
Э дТ
—(X —
ду ду
Это уравнение справедливо при Небольших скоростях движения смеси
газов, так как при выводе его не учитывалась теплота от работы сил трения.
Из вышесказанного следует, что конвективный теплообмен, протека-
ющий совместно с массообменом в смеси газов, описывается системой
уравнений движения, неразрывности, энергии и диффузии. Совместно про-
текающие в движущейся среде процессы тепло- и массопереноса называют
конвективным тепломассообменом.
По аналогии с теплоотдачей процесс обмена массой между потоком газа
и поверхностью омываемого им тела называется массоотдачей. Интенсив-
ность этого процесса по аналогии с теплоотдачей характеризуется коэффи-
циентом массоотд ачи (3
Нс
(3= ------------> (17.20)
Р (cic ~ cio )
где Ис ~ плотность потока массы z-ro компонента на поверхности тела,
кг/ (м • с) ; сг-с — концентрация z-ro компонента на поверхности тела; с/0 —
концентрация этого же компонента в набегающем потоке.
В ряде случаев вместо коэффициента массоотдачи (3, относимого к раз-
ности концентраций, удобнее использовать коэффициент массоотдачи (3, отне-
сенный к разности парциальных давлений диффундирующего вещества'
Н’с
(3 = ---------- (17.21)
Pic ~ Pio ’
где pjc — парциальное давление z-ro компонента на поверхности тела, Па;
PIq — парциальное давление этого же компонента вдали от тела, Па.
Одной из задач массообмена, представляющих большой практический
интерес для инженеров противопожарной службы, является процесс испа-
рения жидкости с неподвижной поверхности в поток воздуха, омывающего
эту поверхность. -Поверхность жидкости является непроницаемой для воз-
духа. Следовательно, здесь выполняется граничное условие
дел
Ас = PVJnCi -pD(—±) 0 =0, (17.22)
dn "
358
%
де /1с - плотность потока массы воздуха на поверхности жидкости; Wn -
доставляющая скорости, перпендикулярная к поверхности жидкости; Cj —
концентрация воздуха.
Из условия (17.22) следует
D дсу
' (17.23)
Парциальное давление и концентрация воздуха уменьшается от макси-
мального значения вдали от поверхности испаряющейся жидкости до ми-
нимального у самой поверхности жидкости. Из-за градиента концентрации
возникает диффузия воздуха к поверхности жидкости. Однако при стацио-
г»
IC;
П’1
нарных условиях не может происходить накопления молекул воздуха у не-
проницаемой стенки. Следовательно, возникает встречный поток воздуха
эт поверхности жидкости. Этот поток называют стефановским. Скорость
этого потока определяется из уравнения (17.23).
Для пара граничное условие записывается с учетом уравнения (17.23)
И УСЛОВИЯ Ci + с2 = 1
D dci дс2 D дс2
/гс ~ (p^z п ~ 0 "з ^п=0’ (17.24)
Ci an an Ci ап
где с2 ~ концентрация пара; /2с — плотность потока массы пара с поверх-
ности испарения.
Уравнение (17.24) называют уравнением Стефана.
Используя условие (17.24) и формулу (17.20), можно получить уравне-
ние для определения коэффициента массоотдачи пара
(сС2 -CqJCcI дп П
(17.25)
Уравнение (17.25) называют дифференциальным уравнением массоотда-
чи. Это уравнение можно представить в безразмерном виде
Nud =7- ----(^-1
(Сс2 Со2^ Ccl 3N П °’
(17.26)
:'1 где Nud - диффузионное число Нуссельта; N = n/L - безразмерное
' расстояние; L - характерный размер поверхности испарения (например,
f длина вдоль направления течения набегающего воздуха).
При вынужденном обтекании воздухом обычно реализуются условия,
н. при которых вдали над поверхностью концентрация паров испаряющейся
жидкости равна нулю, т.е. с02 = 0. В этом случае формулы (17.20) и (17.21)
упрощаются
^ = Z2£ = (17.27)
Рс2
359
i
PD = ~ . (17.28)
P Pic
Из формул (17.27) и (17.28) следует, что 0 = О2TC,
Из уравнений тепло- и массообмена (17.9), (17.11) и (17.19) с учетом
массовых сил можно получить методами теории подобия определяющие
числа подобия:
М
PrD = — диффузионное число Прандтля;
pWL
Re -------_ число Рейнольдса;
М
Р
Рг = —— число Прандтля;
gLJ Рк
Gr =----- (----— 1) - число Грасгофа (здесь рж — плотность смеси вдали 1
п2 рс !
от поверхности испарения, рс — плотность смеси у стенки). I
Согласно второй теореме подобия, решение задачи о тепло- и массообмене 1
можно представить в виде критериальных уравнений:
Ни=Л (Re, Gr, Pr, PrD,...), (17.29)
Nu =f2 (Re, Gr, Pr, PrD,...). (17.30)
Вид функций (17.29) и (17.30) устанавливают на основе обработки и
обобщения опытных данных.
17.2. Тепл о масс о отдача при испарении жидкости
Для расчета тепло- и массоотдачи при испарении воды со свободной поверх-
ности в воздух рекомендуются следующие эмпирические формулы:
для свободного движения воздуха в
„ т 0,104 8
Nu = 4,67(GrРг) при GrPr = 1-106 - 1-10®, j
VT z 0,248
Nud = 0,665 (GrD PrD ) при GrD PrD = 1 -IO6 - 1 <108;
для вынужденного движения воздуха
при Re = 1 — 200 t
Nu = 2 + 1,05 Re0'5 Pr0’33 Gu0’175 (17.31) ,
NuD = 2 + 0,9 Re°>s Pr0’33 Gu0'135 , Io (17.32) *
360
lift ;ри Re - 200—6000
Nu = 0,69 Re0’57 Pr0'33 Gu0’175,
Me (
4
Nud = 0,87 Re0’54 Pr0'33 Gu0’135,
фи Re = 6000-70000
(17.33)
(17.34)
Nu = 0,202 Re0’73 Pr0’33 Gu0’175, (17.35)
0 33
Nud = 0,347 Re0'65 PrD Gu0'135,
(17.36)
T - T
де Gu =—-------- — число Гухмана; Гж — температура испаряющейся жид-
Т
ж
•сости; Тъ — температура воздуха.
Тепло- и массоотдача при испарении со свободной поверхности ацето-
з < ia, толуола, ксилола и различных композиций этих пожароопасных раство-
рителей (толуол+ксилол; ацетон+толуол+ксилол) при температуре набе-
ающего потока воздуха Тв = 303,..„373 К, температуре жидкостей
Гж = 291,..рЗО К и числах Рейнольдса Re = W /v=b-103 —1,5- 10s исследо-
валась в работе [17]. В результате обобщения опытных данных были полу-
юны критериальные уравнения
StD = 6-10“ 2' Re-0'2 я^4 /Г1’6 ,
(17.37)
St = 7,4 -IO2 Re-0’2 7rD ц’б6, (17.38)
-де StD = З/Woo— диффузионное число Стантона, St = afcp pw^ —тепловое
1исло Стантона, я0 = (рс-p^j/p - диффузионное число; рс — давление наси-
ненного пара жидкости при температуре поверхности испарения жидкости;
Роо - парциальное давление паров вдали (на „бесконечности”) от поверх-
ности испарения; р - полное давление (в опытах равно атмосферному);
Уоо — скорость набегающего потока воздуха; р — относительная молекуляр-
ная масса; /3 — коэффициент массоотдачи; а — коэффициент теплоотдачи;
L — размер поверхности испарения вдоль по потоку воздуха.
Парциальное давление насыщенных паров смеси определяется по прибли-
женной формуле
п
Рс=% Pci, (17.39)
i = 1
де рС1- — давление насыщенного пара z-ro компонента смеси.
Давление насыщенного пара z-ro компонента смеси определяется как
произведение давления чистого z-ro компонента на его модульную долю в
. нмеси о
1 Pci = Pci ™i •
(17.40)
361
Относительная молекулярная масса р определяется по формуле д =
где дж — молекулярная масса жидкости (или смеси жидкостей); дв — моле-
кулярная масса воздуха.
Плотность потока массы с поверхности испарения определяется по фор-
муле / - 3 (рс - рею), где рс - парциальная плотность паров жидкости (сме-
си) на поверхности испарения; p«> - парциальная плотность паров жидкости
вдали от поверхности испарения (в опытах роо = 0).
Парциальная плотность паров жидкости на поверхности испарения вычис-
ляется по формуле
Рс ~ Рс^^ж
Количество компонента, испарившегося из смеси с единицы поверхности
за единицу времени,равно
Массоотдача при испарении в воздушный поток со свободной поверхности
спиртов (этилового, изопропилового и Н — бутилового)при числах Рейнольд-
са Re = 3,8-103 — 1,4-105; температурах набегающего потока воздуха
Тв= 296,..433 К и температурах испаряющейся жидкости Гж = 291,..,340 К
описывается критериальным уравнением [29]
StD = 1,045 Re“ °'2 PrD 1 д1’2 , * (17.41)
где PrD -v'D — диффузионное число Прандтля, остальные обозначения те же,
что в уравнении (17.37).
С помощью формул (17.37) ,...,(17.41) можно рассчитывать количество
испаряющейся жидкости при определении категории производств по степени
пожарной опасности.
17.3. Тепломассоотдача при конденсации пара из парогазовой смеси
Конденсация паров из парогазовой смеси представляет собой также
процесс теплообмена, сопровождающийся массообменом. Этот процесс
часто наблюдается в различных технологических процессах производств. В
ряде случаев не пожароопасная паровоздушная смесь, т.е. такая, в которой
горючие пары содержатся в количестве, превышающем верхний концентра-
ционный предел воспламенения, в результате конденсации паров становится
пожаровзрывоопасной. Оценка пожарной опасности технологических уста-
новок или аппаратов, в которых возможна конденсация паров из паровоз-
душной смеси, связана с расчетом количества конденсирующихся паров.
Процесс конденсации паров из парогазовых смесей имеет отличие от кон-
денсации чистых паров. Имеющиеся в смеси неконденсирующиеся газы
затрудняют доступ пара к поверхности, на которой происходит конденса-
ция. Вследствие этого скорость конденсации будет меньше, чем чистых па-
ров.
На поверхности раздела фаз как температура, так и парциальное давле-
ние пара ниже температуры и парциального давления пара в основной массе
парогазовой смеси.
362
Средний коэффициент массоотдачи при пленочной конденсации пара из
движущейся паровоздушной смеси на горизонтальных трубах в шахматном
пучке рассчитывается по эмпирической формуле
Nud =CRe0,s ег^'6 (17.42)
® где С = 0,47 для одиночной трубы; С= 0,53 для первого ряда пучка; С =0,82
для третьего и последующих рядов; его = prJp - начальное содержание воз-
i[., духа в смеси; рго — начальное парциальное давление воздуха (газа); р —
полное давление смеси; 7Td = (рпо - рпс)/р — безразмерное число подобия;
’ рпс — парциальное давление пара около поверхности трубы; рпо — началь-
ное парциальное давление пара; Re = uoJ/mcm — число Рейнольдса; W - ско-
11 щость смеси перед трубой;^ - внешний диаметр трубы; дсм - коэффициент
11 .вязкости смеси, который вычисляется по формуле
Мсм = (С1” бго) Мп+ его дг] / (1 + 0,61его), (17.43)
» дп, дг — коэффициенты динамической вязкости пара и воздуха соответ-
J ственно. Коэффициент диффузии, входящий в диффузионное число Нус-
сельта NuD, вычисляется по формуле
,1 D = [ 3,31 • 10"5 /р ] (7/273) м,
(17.44)
363
где Т — температура смеси, К; р — давление смеси, бар.
Формула (17.42) применима в диапазоне чисел Re = 350—4800 и
его = 0,01—0,56 при давлениях смеси р - 0,0625—0,089 МПа.
17.4. Тепломассообмен при наличии химических реакций в потоке газа
При решении многих прикладных вопросов противопожарной заптитм
необходимо знание закономерностей процессов конвективного теплообме-
на при протекании химических реакций в потоке смеси газов. Например,
горение и воспламенение можно характеризовать как задачи тепло- и мас-
сообмена при наличии динамических источников вещества и тепла.
При протекании химических реакций в потоке необходимо учитывать
дополнительное выделение и поглощение тепла. Рассматривая движение
смеси реагирующих газов в целом, нужно иметь в виду, что физические
параметры ее — плотность, вязкость, теплопроводность, теплоемкость зави-
сят как от температуры, так и от состава смеси. Таким образом, коллектив- )
ный теплообмен описывается в таких случаях совокупностью уравнений J
движения, энергии и диффузии. Причем все эти уравнения взаимно связаны, j
В общем случае к этим уравнениям должны быть добавлены уравнения хими- I
ческой кинетики.
Ограничимся рассмотрением условий, характерных для практики проги- !
вопожарной службы. Будем считать, что скорость потока мала по сравнению
со скоростью звука и для каждого компонента смеси применимо уравнение j
состояния идеального газа. Будем рассматривать двумерный стационарный
поток.
При выводе уравнения диффузии необходимо учитывать появление
(или исчезновение) z-ro компонента в смеси реагирующих газов из-за проте-
кания химических реакций. Обозначим массовую скорость образования
z-го компонента символом mr-. Массовой скоростью образования z-ro компо-
нента называют количество (массу) компонента, образующегося (или
исчезающего) в единицу времени в единице объема. Размерность этой вели- [
чины — кг/(см3 >с). Уравнение диффузии для рассматриваемых условий вы-
водится также, как уравнение (17.11), и имеет вид (для z-ro компонента ।
смеси химически реагирующих газов) !
дс; дс; д dcj д дс;
PU>xy~ +pwyl~ = mi + (pDi~r~)+ ~r(pDi (17.45)
дх 7 ду дх дх ду ду
В частном случае, когда компоненты смеси не реагируют между собой, ?
ттц =0. Уравнение (17.45) при mj = 0 будет описывать диффузию в смеси хи-
мически не реагирующих газов.
Массовые скорости образования компонента mj зависят от скоростей '
протекания химических реакций. Значения mj определяются уравнениями t
химической кинетики. Таким образом, чтобы дать полное описание процес-
са диффузии, необходимо к уравнениям диффузии добавить уравнения хи-
мической кинетики. ..
364
< 1 Если скорости реакций очень малы по сравнению со скоростями перено-
а путем диффузии, членом в уравнении диффузии можно пренебречь,
I тогда концентрация z-ro компонента в каждой точке будет определяться
олько диффузией. Этот случай называется случаем „замороженного”
[ о т о к а. Если поверхность тела является каталитической, то поступа-
эщие к ней вследствие диффузии компоненты будут вступать между собой
1 реакции. Все реакции в таком случае будут протекать лишь на поверхности
"ела.
(1. Помимо рассмотренного предельного случая „з а м о р о ж е н н о г о”
' [ о т о к а, возможен другой крайний случай, когда скорости химических
>еакций очень велики по сравнению со скоростями диффузии и конвекции
-*°°). В этом случае в каждой точке потока устанавливается состав,
юответствующий химическому равновесию. Концентрации q- при химичес-
* том равновесии зависят лишь от давления и температуры в данной точке:
( ct=f(p, Т).
f Случай, когда в каждой точке имеет место химическое равновесие, назы-
>ается случаем „равновесного” потока.
При выводе уравнения энергии необходимо учитывать теплоту, затрачен-
1ую (или выделенную) на образование единицы массы z-ro компонента при
Ханной температуре. Эту величину обозначим/??.. Количество теплоты, затра-
генное на образование z-ro компонента в элементарном объеме dV, составит
хеличину, равную nimi dV. Вывод уравнения энергии для смеси реагиру-
ющих газов аналогичен выводу уравнения (17.19). Это уравнение имеет вид
ЭГ 31 3 ЗТ " 3Ci
— + pwv — = — [X— + S pDJ; ——1 +
x 3x y 3y 3x 3x i=i fl3x
з a n Зе,
г—-[X— (V1A6)
f ay ay i= i ay
n
1 где I = S c^i~ полная энтальпия смеси химически реагирующих газов;
1=1
Г/ = ср (Т + h\ — полная энтальпия z-го.компонента смеси; — коэффициент
циффузии z-ro компонента смеси; X — теплопроводность смеси газов; п —
число компонентов газовой смеси.
Уравнение (17.46) можно преобразовать к виду
31 31 3 X 31 п дс;
owr------+ pwv — = — [— ----------+ S pD;( 1- LeJ/,------] +
x dx y 3y 3x cB dx i=i 1 1 1 Эх J
3 X 3r n dci
»Г[- T— + s p/yi-Le;)/,- -C], (17.47)
3y Cp ay i-1 ay
где Ср — теплоемкость смеси; Lef- = ХЦрсО^— число Льюиса-Семенова.
365
Для газовых смесей число Le обычно мало отличается от единицы. Поэто-
му уравнение энергии упрощается и записывается в виде
31 31 д X 31 д X Э1
Pwx + = <17>48)
дх 7 ду дх ср Зх ду ср ду
Уравнение (17.48) аналогично соответствующему уравнению энергии при
отсутствии химических реакций, но вместо температуры в нем стоит пол-
ная энтальпия I. Из этого уравнения следует, ЧТо в отличие от случаев, когда
нет химических реакций, поток тепла определяется не разностью температур, а
разностью полных энтальпий. В этом случае роль температуры играет пол-
ная энтальпия. В связи с этим коэффициент теплоотдачи а при наличии хи-
мических реакций определяют через разность энтальпий
а= > (17.49)
ср
где 7у=0 — полная энтальпия смеси на поверхности тела; 7* — полная энталь-
пия вдали от стенки (или некоторая средняя в потоке); qy _0 — тепловой
поток в стенку; ср — теплоемкость смеси.
Разность энтальпий (7* — 1у=0) называют энтальпийным напором. Из
формулы (17.49) следует: коэффициент теплоотдачи при наличии хими-
ческих реакций называется величина, равная тепловому потоку, поступа-
ющему (уходящему) в тело за единицу времени через единичную поверх-
ность при энтальпийном напоре, равном теплоемкости смеси. Таким обра-
зом,
а
«у=о=~ <17-5°)
СР
Формула (17.50) называется обобщением закона Ньютона на случай
теплоотдачи при наличии химических реакций.
Уравнение теплоотдачи будет иметь вид (при Le =1)
X д!
.(17.51)
Уравнения движения для реагирующей смеси газов имеют тот же вид,
что и для однородного нереагирующего газа. Влияние химических реакций
здесь проявляется лишь в коэффициенте вязкости смеси, значение которого
сильно зависит от состава смеси.
Современные методы расчета теплоотдачи при ламинарном обтекании
поверхности тела базируются на численном решении системы уравнений при
соответствующих граничных условиях. Наряду с этими методами для инже-
нерных оценок разработаны приближенные методы расчета теплоотдачи. В
основе их лежат следующие положения. Из формул (17.49) — (17.51) сле-
дует, что главное влияние химических реакций может быть учтено, если от
температуры перейти к полной энтальпии I. В первом приближении значе-
366
(ия коэффициентов теплоотдачи а можно вычислять по формулам, получен-
ным для теплоотдачи в потоках без химических реакций.
Например, при дозвуковом обтекании пластины ламинарным потоком
реагирующего газа тепловой поток в стенку вычисляют по формуле
а
Ч^-------(17.52)
Cpw
те
п п
I Ао ~ Ci оо Ij оо , А ~ Cic Ас
(= I 1= I
Значение коэффициента теплоотдачи а определяют по известной формуле,
юлученной из решения уравнений ламинарного пограничного слоя для
(ереагирующего газа
Nu = 0,332 Re0-5 Рг0,33. . (17,53)
Для определения и/с необходимо знать Тж , Т^,с^ и с (темпера-
уры и концентрации компонентов вдали от пластины и на стенке). Темпера-
уры Too и Тz обычно бывают заданы. Значения концентраций компонен-
ов вдали от стенки также могут быть заданы. Значения концентраций на
:тенке cci зависят от условий протекания химических реакций. Предельными
лучаями, характеризующими эти условия, являются „замороженные” и
,равновесные” течения.
Рис. 17.2. Зависимость энтальпии воздуха от температуры
367
В случае равновесного течения, а также в случае каталитической стенки
значения концентрации и энтальпий на стенке можно определить, зная темпе-
ратуру стенки и давление при помощи имеющихся (или заранее вычислен-
ных) таблиц и графиков. На рис. 17.2 приведена зависимость энтальпии
воздуха от температуры, учитывающая диссоциацию молекул.
Характерные задачи в практике пожарного дела обычно связаны с услови-
ями, при которых имеет место равновесное течение.
ГЛАВА 18. ТЕПЛООБМЕН ИЗЛУЧЕНИЕМ
18.1. Основные понятия и определения
Теплообмен излучением обусловлен совокупностью процессов луче-
испускания, переноса и поглощения лучистой энергии.
Лучеиспусканием (излучением) называют процесс превращения внутрен-
ней энергии тела в лучистую энергию (энергию излучения). Носителями
лучистой энергии являются электромагнитные волны, распространяющиеся в
вакууме со скоростью с0 = 300-106 м/с и характеризующиеся длиной волны
X. В зависимости от длины волны различают у-излучение
(X = 5-КГ11,...ДО-9 мм), рентгеновское (Х= 10'9,...,2-10-5 мм), ультрафио-
летовое (X = 2-10-5,...,4-10“4 мм), видимое (Х= 4-10^,...,8-10^ мм), инфра-
красное или тепловое (X = 8-Ю-4,..^ мм), радиоволны (X > 0,2 мм).
Природа всех этих видов излучения одинакова. Всякое тело, если его темпе-
ратура отлична от абсолютного нуля, непрерывно испускает собственное
излучение. Количество излучаемой энергии зависит от физических свойств те-
ла и его температуры. В зависимости от спектра излучения различают непре-
рывное и селективное (избирательное) лучеиспускание. Большинство твер-
дых и жидких тел имеют непрерывный спектр излучения — они излучают
волны всех длин от малых до больших. Газы имеют селективный спектр
излучения — их излучение характеризуется определенными диапазонами длин
волн. Излучение, соответствующее достаточно узкому диапазону <Адлин
волн, которое можно характеризовать одним значением длины волны,
называют монохроматическим излучением.
Общее количество лучистой энергии, испускаемой с участка поверхности
тела площадью dF в единицу времени, называется лучистым потоком dQ, Вт.
Лучистый поток, излучаемый с единицы поверхности по всем направлениям
полусферического пространства (полусферы), называется поверхно-
стной плотностью потока излучения F, Вт/м2:
dQ
Е=~- (18.1)
dF
Лучистый поток, исходящий со всей поверхности тела, равен
1 Распределение лучистой энергии (излучения) по отдельным длинам волн
^ектра излучения характеризуется спектральной интенсивностью излуче-
»я Е-^, Вт/м3:
dE
’ <183>
i,e dE — плотность потока излучения, приходящаяся на интервал длин волн
г X до X + JX.
. Из формулы (18.3) следует
E = ?ExdX. (18.4)
о
Переносом лучистой энергии называют процесс ее распространения. Харак-
jp этого процесса определяется физическими свойствами среды и спектраль-
мм составом излучения.
, Поглощением лучистой энергии называют процесс превращения во внут-
рннюю энергию тела части лучистой энергии, попавшей на поверхность
;ого тела. Поглощение, также как и излучение, присуще всякой вещестбен-
»й среде. Попавшая на тело лучистая энергия частично поглощается, частич-
D отражается от него, а частично проходит сквозь тело без превращения в
ругие виды энергии.
Для всякого тела, участвующего в теплообмене излучением с другими
;лами, можно записать следующее уравнение теплового баланса
(is-s)
ie 2пад — падающий на тело лучистый поток; QA, QR, QD - соответствен-
э, лучистая энергия, поглощенная, отраженная и пропущенная сквозь тело.
Если поделить все члены уравнения (18.5) на <2пад, то получится следу-
ющее соотношение
A+R+D=l, (18.6)
те A, R, D — соответственно поглощательная, отражательная и пропуска-
угьная способности тела.
Тела, поглощающие всю падающую на них лучистую энергию, называют-
аабсолютно черными (А =1, R = D =0). Тела, отражающие всю
адающую на них лучистую энергию (R =1, А = D =0), называются зер-
кальными (если отражение отвечает законам геометрической оптики),
ли абсолютно белыми (если отражение диффузное). Тела, пол-
остью пропускающие падающую на них лучистую энергию, называются
иатермичными (D = 1,А = R = 0).
В природе абсолютно черных, белых и прозрачных тел не существует,
большинство твердых тел практически не пропускают сквозь себя лучистую
нергию (А + R =1). Большую поглощательную способность имеют сажа,
<>архат, снег, иней (А 0,97). Полированные металлы имеют большую
f тражательную способность (R & 0,97). Одноатомные и двухатомные газэд
рактически являются диатермичными. Существуют тела, которые прозрач-
369
Рис. 18.1. К понятию угловой плотности
излучения
ны для лучей лишь определенной длины волны. Например, оконное стекло
прозрачно для световых лучей, а для ультрафиолетовых и тепловых оно
практически не прозрачно. '
Если на твердое тело извне не падает никаких лучей, то с единицы поверх-
ности отводится лучистый поток энергии £*,Вт/м2. Он полностью определяет- 1
ся температурой и физическими свойствами тела. Это собственное
излучение тела. Однако обычно со стороны других тел на рассматри- I
ваемое тело падает лучистая энергия в количестве ^пад. Это падающее |
излучение. Часть падающего излучения в количестве ^4^пад поглощается ।
телом, остальное — в количестве (1 — А) Епзд — отражается. >
Собственное излучение тела в сумме с отраженным называется эффектов- (
ным излучением тела^^ = Е + (1 — А) Епэд. Это фактическое излучение те- ,
ла, которое мы ощущаем или измеряем приборами. Эффективное излучение I
зависит от физических свойств и температуры не только данного излу-
чающего тела, но и других окружающих его тел,- а также от формы, разме-
ров и относительного расположения тел в пространстве. Так как падающее
излучение Епзл определяется температурой и свойствами окружающих тел,
то физические свойства собственного и отраженного излучений неодинаковы, ,
их спектры различны. Однако для тепловых расчетов это различие часто не
имеет значения, если рассматривается лишь энергетическая сторона процес-
са.
Лучеиспускание с элементарной площадки dF поверхности тела может
быть неравномерным по различным направлениям в пространстве. Коли-
чество лучистой энергии, излучаемой с единицы площади dF поверхности
тела за единицу времени в единицу элементарного телесного (пространствен-
ного) угла d£l, построенного около заданного направления 7, составля-
ющего угол с нормалью п к площадке dF (рис. 18.1), характеризуется
угловой плотностью излучения (угловой энергетической яркостью) Е^
Вт/(м2 • стер):
’ -
* dFdtt
Из (18.7) следует
Е - $ Еф d&l.
27Г
(18.7)
(18.8)
370
* Величина В =-------называется яркостью излучения. Отметим, что
cos
2Г 0 ~ Eft-В. Если яркость во всех направлениях одинакова, то такое излу-
чение называют диффузным. Для такого излучения из уравнения (18.8)
следует, что
Е = $ В cos ^dQ = nB. (18.9)
277
18.2. Законы излучения абсолютно черных тел
Формула Планка. Формула Планка выоажает зависимость спектральной
интенсивности излучения абсолютно черного тела Еу от длины волны X и
температуры.
Аналитическое выражение указанной зависимости было получено План-
ком на основе квантовой теории:
с сг/{Хт) -1
EXo=ClX-5[e -1] , (18.10)
где с, - 0,374-Ю-15, Вт-м2 и сг = 1,4388-Ю-2 мК — постоянные Планка;
X — длина волны, м; Т— абсолютная температура, К.
Излучение абсолютно черного тела характеризуется непрерывным спект-
ром с диапазоном длин волн от Х=0 до Х=°° (рис. 18.2).
Кривые спектральной интенсивности излучения характеризуются нали-
чием максимума с резким спадом в сторону коротких волн и более пологим
в сторону длинных.
Рис. 18.2. Зависимость спектральной ин-
тенсивности излучения абсолютно чер-
ного тела от длины волны и температу-
ры
371
1
Элементарная площадка на рис. 18.2, ограниченная сверху кривой при
данной температуре, а снизу — основанием dX, равна dE. Вся площадь между
любой кривой Т = const осью абсцисс равна поверхностной плотности излу-
чения Е.
Закон Вина. Закон смещения Вина устанавливает зависимость положения
максимума спектральной интенсивности излучения от температуры.
Указанная зависимость может быть получена аналитически из формулы
Планка (18.10), для чего необходимо вычислить производную dEy/dX и
приравнять ее нулю. В результате несложных преобразований получается
соотношение
ХтахГ= 2,896-Ю-3 м-К , ' (18.11)
выражающее закон Вина, согласно которому при повышении температуры
длина волны Хтах, соответствующая максимуму спектральной интенсив-
ности излучения абсолютного черного тела, уменьшается.
Наглядным качественным подтверждением закона Вина является измене-
ние цвета раскаленного металла при повышении температуры (красный,
оранжевый, желтый) в направлении более коротких волн в области видимой
части спектра.
Закон Стефана-Больцмана. Закон Стефана-Больцмана устанавливает за-
висимость интегральной плотности потока излучения абсолютно черного тела
Eq от температуры. I
Эта зависимость также может быть получена из формулы Планка (18.10) J
с учетом соотношения (18.4):
оо С.НХт) -1
Eq=SC1 Х-* [е 7 -1] dX. (18.12)
После ° преобразований получаем выражение закона Стефана-Больцмана
E0=UqT4, . (18.13)
где о0 = 5,75-10-8 Вт/(м2-К4) - коэффициент излучения абсолютно чер-
ного тела.
Таким образом, по закону Стефана-Больцмана плотность потока излуче-
ния абсолютно черного тела пропорциональна абсолютной температуре в
четвертой степени. В технических расчетах этот закон применяется в более
удобной форме
Т 4
Ё’о - Со ( IQQ ) ’
Вт
где со = о0 -Ю8 = 5,75 —----- - '
м2 • К4
Закон Ламберта. Закон Ламберта характеризует распределение энергии
излучения абсолютно черного тела по направлениям. Согласно этому закону
излучение абсолютно черного тела является диффузным (т.е. яркость Во во* «
всех направлениях одинакова), и следовательно
= -®о cos^=3ОП cos(Д (18.14)
где Eoti=Eq/it. f.
372
Из закона Ламберта (18.14) и формулы (18.7) следует
d2Qy=----- (cos<pdFd&). (18.15)
IT
* 18.3. Излучение реальных тел
Излучение всех твердых, жидких и газообразных тел, встречающихся в
j, природе, существенно отличается по характеру распределения спектральной
интенсивности излучения по длинам волн от излучения абсолютно черного
f тела. По абсолютной величине спектральная интенсивность излучения реаль-
ных тел Е\ всегда меньше спектральной интенсивности излучения абсолютно
р черного тела E\Q при той же температуре и длине волны X. Многие же тела
излучают энергию в небольших интервалах длин волн и имеют прерывистый
г спектр. Особенно это относится к газам, которые при умеренных темпера-
' турах излучают в определенных, сравнительно узких интервалах длин волн
(полосах). Для характеристики излучения реальных тел используется
коэффициент черноты^:
=
А_
о
(18.16)
представляющий собой отношение спектральной интенсивности излучения
реального тела к спектральной интенсивности излучения абсолютно черного
тела при той же длине волны и при одной и той же температуре.
Для большинства реальных тел спектральная степень черного е зависит от
длины волны и температуры.
При практическом исследовании лучистого теплообмена излучение и
поглощение многих реальных тел приближенно можно рассматривать как
излучение и поглощение серых тел.
Серым телом называется такое тело, спектр излучения которого непре-
рывен и полностью подобен спектру абсолютно черного тела при той же
температуре, а спектральная степень черноты постоянна во всем диапазоне
длин волн от X = 0 до X = °° .
Очевидно, величины спектральной и интегральной степени черноты для
серого тела равны = е- К серому телу применимы с поправкой на степень
черноты е законы Планка и Стефана-Больцмана. Формула Планка для серого
тела имеет вид
^=еС1Х-5[е2' -I]’1,
(18.17)
закон Стефана-Больцмана
Е=еайТ* = оТ4 = ес0 } 4 =с(~) 4 ,
100 100
где о = е о0 — коэффициент излучения серого тела; с =ес0.
373
i
Закон Вина полностью справедлив для серых тел.
Интегральный коэффициент черноты е для реальных тел может сущест-
венно изменяться в зависимости от температуры.
Применительно' к серым телам выражение (18.15), вытекающее из за-
кона Ламберта, преобразуется к виду
е Т
d2Q^= — cQ (-------/ dSldF cos <р. (18.19)
у л 100
Закон Ламберта, справедливый для абсолютно черного и серого тела,
т.е. для диффузного Излучения, применим к реальным телам лишь частично.
Диэлектрики (изоляторы) и окисленные металлы, к.ак правило, подчи-
няются закону Ламберта в диапазоне изменения угла<£ от 0 до 60°. Излуче-
ние полированных металлов подчиняется закону Ламберта в более узком
диапазоне изменения угла <р (от 0 до 30°).
Различные тела имеют различные поверхностные плотности излучения Е
и поглощательные способности А при данной температуре. Связь между
значениями Е и А устанавливает закон Кирхгофа. Рассмотрим систему,
состоящую из двух плоских бесконечно протяженных параллельных сте-
нок, находящихся в тепловом равновесии (т.е. имеющих одинаковую
температуру Г). Поверхность одной стенки абсолютно черная. Вторая стенка
является серой (е < 1; Л < 1). Количество энергии, излучаемой абсолют-
ной черной стенкой с единицы поверхности в единицу времени,
равно Ео - ооГ4. Количество энергии, излучаемой серой стенкой с единицы
поверхности в единицу времени, состоит из собственного излучения Е и
отраженного (1—Л)/Го. Из условия теплового равновесия следует
Ео =(1-А)Е0+Е,
откуда получаем
= Е0=с(Л_)< .
А 100
(18.20)
(18.21)
Это выражение представляет собой математическую формулировку закона
Кирхгофа. Сущность этого закона состоит в том, что отношение плотности
потока излучения тела к его поглощательной способности не зависит от
физических свойств тела и для всех тел равно плотности потока излучения
абсолютно черного тела при той же температуре, т.е.
Е\ _ Е2 _ Е3
Л1 А2 Аз
=Fo=cV
(18.22)
Сопоставляя формулы (18.21) и (18.18), получим
(18.23)
е - А.
(18.24)
374
s , 18.4. Теплообмен излучением между плоскими параллельными
!к стенками, разделенными диатермичной средой
Рассмотрим две параллельные серые стенки бесконечной протяженности
рис. 18.3) , имеющие разную температуру и разделенные непоглощающей
ведой. Первая пластина с температурой 1\ обладает собственной плотностью
этока излучения Ег и поглощательной способностью Аг. Вторая пластина с
емпературой Т2 характеризуется соответственно собственной плотностью
этока излучения К2 и поглощательной способностью Л2. Примем, что
!t j > Т2. Тогда пластины будут обмениваться лучистой энергией, в резуль-
* ате чего между ними установится стационарный лучистый тепловой поток,
аправленный от более горячей поверхности 1 к более холодной 2:
'ij
^1,2 --^1эф ~^2эф » (18.25)
де К1эф — полная плотность потока излучения тела 1, Вт/м2; Е2эф ~ пол’
ая плотность потока излучения тела 2, Вт/м2.
р По определению
*1эф + 0 ~ ^1)^2эф> (18.26)
Е2эф~Е2 + О _^зДЧэф-
(18.27)
Решив систему уравнений (18.26) и (18.27) относительно К1эф и Е2э$,
олучим
_ Ei + (1 -nj Е2
1эф (1-А2) ’
(18.28)
Рис. 18.3. Схема лучистого теплообмена
между двумя серыми плоскими парал-
ji лельными поверхностями
375
Е2 + (1 — А2)
1- (1-aJ (T-Aj'
(18.29)
Подставив выражения Е1эф и Е2эф (18.28) и (18.29) в равенство (18.25),
найдем величину лучистого теплового потока в Вт/м2
Fi — А2 — Е2А2
Я12 =--------------— , (18.30)
Л1 + А2 - AtA2
но согласно закону (18.18)
El =б! а0 Ti пЕ2=е2 а0Г2 . (18.31)
Подставляя выражения Ег и Е2 из системы (18.31) в равенство (18.30) и
учитывая, что е2 ~ А2 и е2 - А2, после преобразований получим окончатель-
ные формулы для расчета лучистого теплообмена системы двух серых парал-
лельных поверхностей бесконечной протяженности
<?п = —------------------о» (А -7? ), (18.32)
— + — -1
е2
или
4,4 Т 1 4 Т л
qi2^enpo0(Ti-T42)=enpc0 [(----) -(—)}, (18-33)
100 100
где — приведенная степень черноты системы тел 1 и 2;
1
₽ = -------------- .
пр J J
— + — -1
61 б2
(18.34)
18.5. Теплообмен излучением между телами, одно из которых
заключено внутри другого
Рассмотрим стационарный теплообмен между твердым телом с выпук-
лой поверхностью F2 и облекающей его поверхностью F2 (рис, 18.4). Темпе-
ратуры тела и оболочки соответственно равны 7\ и Т2, а степени черноты
поверхностей тела и 1 и тела 2-е i и е2. Среда, заключенная в пространстве
между телами диатермична. При этом все излучение с поверхности тела 1
попадает на поверхность тела 2, излучение же с поверхности F2 тела 2 толь-
376
As*
Рис. 18.4. Схема лучистого теплообмена
между телом 1 и оболочкой 1
ко частично попадает на поверхность первого тела; другая часть этого излу-
чения проходит мимо тела 1 и облучает собственную поверхность тела 2.
Чтобы определить падающие лучистые потоки, введем понятие коэффи-
циента облученности <р2 _ j:
е2эф
где б1пад ~ излучение, падающее на тело 1; <22:)ф — эффективное излучение
поверхности тела 2.
Коэффициент облученности есть доля эффективного излучения поверх-
ности F2, падающего на поверхность Fx. Величина <р22 -1 — ^21 есть Для
излучения поверхности F2, падающего снова на поверхность F2. Величину
(р22 называют коэффициентом самооблучения.
Полный (эффективный) лучистый поток, посылаемый телом 1 в едини-
цу времени, равен
^1эф 61 + (1 ^i) 62эф ^21 (18.36)
. и соответственно эффективный поток от второго тела
б2эф=:е2 + (1-и2)^22е2Эф + 1 (1-л2) 61 эф. (18.37)
Здесь 61 и Q2 — собственные лучистые потоки тел 1 и 2; Аг и Л2 — погло-
щательные способности тел 1 и 2.
Количество тепла Q, переданного от тела 1 к телу 2
6 = 61эф~ 62эф $21. (18.38)
Решая систему уравнений (18.36) и (18.37) относительно (21эф. и 62эф,
получим после несложных преобразований формулы
_ б2+(1-Я2)61
62эф = —-----------, (18.39)
Л2 + Аг $21 Ai А 2 $21
377
2 — ....-J........ - , ---------* •—-- * (Ж<г Д
$
Подставив выражения (18J9) и (I8.4Q) В йОДЧиы
ga~. ..._---------t (ж<ц
\ if.
,4*
'«h.
'‘ft
" ’ . ’ 3?
СогдасТО закону Стефана-Бо^тмата, собственен луздстые ТОТОВ» у
обоих тел равны соответственно * "г
Я’
Qi =Ki7i “«i <>о ?1 Qt Т* :£
* life
Учитывая, ад© Л1 «* «1»а Аа ~ йа,ТОяучйм :•?„'.
F * 1 К
°o{Ti~V21 TgA- Tt. } Л?
Q- ^..^, .,— Л.......... . ; 41842,) <„
М*-)- ‘
<1 $2 ь '-• ,'
Дня того чтобы «айтн коэффидаент о&гучетигтйг у^, пр®да<жожии,
чт® система находатся в термодана&цяеском равйовеейа, В атом едуч«
темперюу£& обоих, W адамова Tt •» Тй =* 7, $ дуйвСтый
тентовой ноток Q додец нужй. Тшда ^равенства (18Д^| цкэдрчадо <
Л А ''
. 1-^31—^2*“ (1W) :
О ’ , , . - ;;,
Окончателык) ревуза wy»W^ oyramit тентовой гтй щаки» приставить 4
в виде
а*%*® И ' ом*) 4
иди ' • , _ .
«н*
<?“«**. { Г~/4 - t~-)* 1 Fv . . ' (IMO S
ЮЙ >Сдя gxF
. 1 х Л ’, t . 4
гйе%>Н—* ~ t-----------1)1 .- nputoWMwt^eeis» черноты сда>
темы/ <£ '^г «а
к >
fl '
'. Веди 7i <&?2 ^5)г то фо^уда д^аимает
й-%®; н~-/~ г-^/зл. .' ’ . <1М6)Л
э>» '.)
18.6. Теплообмен излучением между твердыми телами, произвольно
расположенными в пространстве
Рассмотрим два абсолютно черных тела, разделенных диатермической
средой и имеющих изотермические поверхности F1 и F2 с температурами
соответственно 1\ и Т2 (рис. 18.5). Требуется определить тепловой поток
Q, передаваемый от одного тела к другому при 1\ > Т2.
' Выделим на поверхности каждого из рассматриваемых тел элементар-
ные площадки dF^ и dF2, бесконечно малые по сравнению с расстоянием г
между их центрами Ot и О2. Углы, которые образуют нормали к этим пло-
щадкам с отрезком Oi О2, обозначим (ft и (ft.
Телесный (пространственный) угол, под которым из точки Ох видна
площадка dF2, равен dSl^ =cos ft dF2]r2. Телесный угол, под которым
видна из точки О2 площадка dFi, равен d£l г = cos <ft dFi /г2.
Элементарный поток излучения, падающий с площадки dF) на
ку dF2, согласно закону Ламберта равен
площад-
d&i dFi cos (ft /тт
откуда
(18.47)
Tl Л
COS (ft COS (ft
100
7ГГ 2
dFr dF2.
(18.48)
Аналогично вычисляется поток
ку dFi
излучения с площадки dF2 на
площад-
То 4 COS 0i CCS 0o
100
7ГГ 2
dFx dF2.
(18.49)
Теплота, передаваемая от площадки dFi к площадке dF2, равна
d Qi ~UL’100' '100
Ti 4 T2 4 COSft COSft
---------------------------dFi dF2.
ur
(18.50)
Интегрируя это выражение по Fi и F2, получим
Т. ,4 „ Т2
100
100
(18.51)
cos <ft cos (ft
i где H = J dFi J ------=---dF2 — взаимная поверхность излучения тел 1 и 2.
F.
Величину Н можно выразить через коэффициенты облученности
Я - F\ ф i2 - F2 ,
(18.52)
379
Йва» 1Я^. С$бж «нмкювмш»
йещу жшададдаим», ^Wsa»
Шкя^зимяв {фавдэедсзда
Рис. 18.6. Схема лучистого теплообмена
двух параллельных кругов
где \Р12 и 1//21 — средние по поверхности коэффициенты облученности тела 1
на тело 2 и тела 2 на тело 1.
Коэффициенты ф12 и ф21 зависят от формы тел и их взаимного располо-
жения.
Для двух бесконечных параллельных плоских полос одинаковой шири-
ны а, отстоящих друг от друга на расстоянии h, коэффициенты облучен-
ности определяются по формуле
/ h 2 h
0i2=^2i = Vl + (----) . (18.53)
а а
Коэффициенты облученности системы, состоящей из двух параллельных
кругов диаметрами и d2 с центрами на одной общей нормали к их плос-
костям и отстоящими друг от друга на расстоянии h (рис. 18.6), определя-
ются по формулам
1 ( d2 г h 2
*12 = V1+(‘3_'r +/'2—/ ~
L d\ d\
d\ 2
^21 = Ф12 (~ ) »
«2
(18.54)
(18.55)
Еслис?1 - d2, то формула (18.54) упрощается:
h
Ф12 = ^21 ~ ~
d
(18.56)
: Для других систем значения коэффициентов облученности можно найти в
справочниках.
381
18.7. Расчет безопасных в пожарном отношении расстояний
Тепловое излучение от нагретых до высокой температуры поверхностей
технологических, отопительных и других установок, а также от факела пла-
мени при пожарах может представлять опасность воспламенения горючих
материалов или недопустимого облучения людей.
Для предотвращения указанной опасности горючие материалы или люди
должны находиться от излучающих Поверхностей на некотором безопасном
расстоянии г.
Основой для расчета безопасных расстояний является уравнение лучи-
стого теплообмена между телами, разделенными непоглощающей средой.
(18.57)
где /3 — коэффициент безопасности; <?кр — критическая плотность теплового
потока для горючего материала или кожи человека, Вт/м2; Ти — температу-
ра излучающей поверхности, К; Гдоп — допустимая температура на облучае-
мой поверхности материала или кожи человека, К; — приведенная сте-
пень черноты системы; с0 — коэффициент излучения абсолютно черного
тела, равный 5,7 Вт/(м2-К4); ф12 ~ коэффициент облученности между
излучающей и облучаемой поверхностями, в который в неявной форме
входит искомое безопасное расстояние г .
Под критической плотностью теплового потока дкр понимается такая
величина теплового потока, при которой возможно самовоспламенение
горючих облучаемых веществ, материалов или ожоги незащищенной кожи
человека.
Величина q для кожи человека при длительном воздействии принимает-
ся равной 560 Вт/м2 и при кратковременном воздействии — 1120 Вт/м2.
Таблица 18.1
Материалы £?кр, Вт/м2Лпри продолжительности облучения, мин
3 5 15
Древесина (сосна с влажностью 12 %) с шероховатой поверх- ностью 20600 17500 12900
Древесина, окрашенная масля- ной краской по строганой по- верхности 26700 23300 17500
Торф брикетный 31500 24500 13300
Торф кусковой 16600 14300 9800
Хлопок-волокно 11000 9700 7500
Картон серый 18000 15200 10800
Стеклопластик 19400 18600 15300
Резина, 22600 19200 14800
Уголь — 35000 35000
382
Величина qRp для горючих веществ и материалов зависит в основном от
их природы и времени облучения.
В табл. 18.1 приведена экспериментально установленная критическая
плотность теплового потока для некоторых горючих материалов.
Температура излучающей поверхности от нагретых поверхностей техноло-
гических, энергетических и других установок определяется в конкретных
случаях по соответствующим регламентам.
Средняя температура поверхности факела пламени, измеренная экспери-
ментально, следующая: при горении легковоспламеняющихся и горючих
жидкостей — 1150 К, древесины и изделий из нее - 1300 К, сжиженных
газов — 1500 К.
Допустимая температура на поверхности кожи человека может быть при-
нята равной 313 К. Допустимая температура на поверхности горючих твер-
дых материалов или на поверхности резервуаров, емкостей, где хранятся
горючие жидкости и газы, представляет собой температуру самовоспламе-
нения этих материалов, жидкостей и газов, которая может быть найдена в
справочной литературе.
В табл. 18.2. приведена температура самовоспламенения некоторых твер-
дых материалов и жидкостей.
Таблица 18.2
Материал или жидкость
Температура самовоспламенения, К
Древесина сосновая
Хлопок
Бензин авиационный и автомобильный
Спирт этиловый
679
680
573
681
Приведенная степень черноты определяется приближенно по уравнению
1
С = ---------------------- .
пр 1 1
г--- + ------ — 1
6м
Степень черноты излучающей и облучаемой поверхностей находится в
справочной литературе. Степень черноты факела пламени может быть прибли-
женно принята следующей: при горении древесины и изделий из нее — 0,7,
нефтепродуктов и других коптящих жидкостей — 0,85.
Коэффициент облученности ф21 в общей случае определяется методами,
изложенными в § 18.6.
При определении безопасных в пожарном отношении расстояний характер-
ны несколько частных случаев.
1. Воспламенение облучаемой сгораемой поверхности наиболее вероятно
в точке dFx, лежащей против геометрического центра излучающей поверх-
ности F2, приведенной к форме прямоугольника (рис. 18.7).
В этом случае коэффициент облученности для одной четвертой части
площади поверхности F2 вычисляется по формуле
, 1 а в в а
ф21 = Т~(~--------- arctg —------- + ~* 1 ' arctg -----Л (18.58)
V а1 + \П? 7- г2 * * * * * В в2 + г2 в2 + г2
383
Рис. 18.7. Схема лучистого теплообмена
между плоскопараллельными элементом
поверхности и площадкой конечных раз-
меров
Полный коэффициент облученности
021 = 4 1^21 •
По уравнению (18.58) составлена номограмма, приведенная на рис. 18.8.
На номограмме по оси абсцисс отложено отношение меньшей стороны одной
четвертой части площади излучающей поверхности к расстоянию между по-
верхностями F2 и dFi, а на поле номограммы — отношение большей сторо-
ны одной четвертой части излучающей поверхности к тому же расстоянию г;
на оси ординат — величины ф21 •
Площадь поверхности излучения F2 технических, отопительных и других
установок определяется по проекту или в натуре.
Размеры площади F2 факела пламени при пожарах определяются следу-
ющим образом.
Горизонтальный размер равен ширине оконного проема при пожарах в
зданиях I и II степени огнестойкости, ширине (длине) сгораемых зданий,
складов лесопиломатериалов и т.д. Высота факела пламени в оконных
проемах и складов лесопиломатериалов принимается равной их удвоенной
высоте, сгораемых зданий — их высоте до конька крыши.
При горении ЛВЖ и ГЖ в резервуарах форма пламени близка к конусу с
основанием, равным диаметру резервуара D, и высотой 1,42) для ЛВЖ и
1,22) для ГЖ. При приведении проекции конуса к площади прямоугольника
высота факела пламени соответственно составит 0,7 D и 0,6 D.
2. При излучении пламени через технологические топочные отверстия,
щели коэффициент облученности 021 умножается на полный коэффициент
излучения ф, определяемый по номограмме (рис. 18.9).
На оси абсцисс номограммы отложено отношение глубины отверстия 5
к меньшему размеру (ширина, даметр) сечения отверстия в. На поле номо-
384
Рис. 18.8. Номограмма для определения коэффициента облученности между плоско-
параллельными элементом поверхности и площадкой конечных размеров
> граммы расположены кривые, характеризующие форму сечения отверстия,
а на оси ординат — величина коэффициента полного излучения ф.
3. При излучении поверхности длинной трубы с радиусом/? на элементар-
ную площадку dF2 и расстоянием от поверхности трубы до элементарной
площадки на сгораемой поверхности г коэффициент облученности опреде-
ляется по формуле
R
Ф21 =sin/3 = ------ • (18.59)
R +г
4. При излучении поверхности шара с радиусом на элементарную пло-
щадку на плоскости dF2, отстоящей от поверхности шара на расстоянии
г2, коэффициент облученности определяется по формуле
Ф 21 =—-(arctg - -Г1 (18.60)
г2 Г2 _ г2
v 2 Л 1
Методика определения безопасного расстояния г во всех случаях одина-
кова: из уравнения (18.57) находится численное значение коэффициента
облученности ф21, а далее, зная остальные геометрические размеры, из фор-
мул или номограмм находят численное значение г .
385
386
Рис. 18.9. Номограмма для определения коэффициента полного излучения через отверг
стие в стенке:
А — очрнь длинная щель; В - прямоугольное отверстие с соотношением сторон 2:1;
С- квадратное отверстие; Д - круглое отверстие; Е — изменение масштаба
Очевидно, что уравнение (18.57) может быть использовано для определе-
ния плотности теплового потока при исследовании и экспертизе распростра-
нения пожаров с одних объектов на другие. В этом случае в уравнении
(18.57) вместо критической плотности теплового потока определяется фак-
тическая плотность теплового потока, которая сравнивается с критической,
и делается вывод о возможности распространения пожара с одного объек-
та на другой вследствие теплового излучения.
18.8. Тепловые экраны и особенности их расчета в практике пожарного дела
Под тепловыми экранами понимают технические устройства, размещен-
ные между излучающей и облучаемой поверхностями и предназначенные
для ослабления результирующего теплового потока между ними в лучистом
теплообмене.
Если тепловые экраны имеют малое термическое сопротивление, то они
ослабляют поток лучистой энергии только вследствие их отражательной
способности. Такие экраны называются отражательными. Примерами отра-
жательных экранов являются тонкие металлические листы, применяемые
для защиты от воспламенения строительных конструкций или людей и по-
жарной техники при тушении пожаров.
При значительном термическом сопротивлении тепловые экраны ослаб-
ляют поток лучистой энергии не только вследствие отражения, но и вслед-
ствие поглощения тепловой энергии. Такие экраны называются поглащатель-
ными. Примерами поглащательных экранов являются противопожарные
стены, перегородки, перекрытия, занавесы в театрах, облицовки и др.
Выведем уравнение лучистого теплообмена бесконечных параллельных
поверхностей й Р2, между которыми установлен отражательный экран
1 F3 (рис. 18.10). Температура и степень черноты поверхностей и экрана со-
ответственно Тг, Т2, Тэ, е15 е2, еэ. Температура принимается одинаковой на
обеих поверхностях экрана вследствие малого термического сопротивления
отражательного экрана. Результирующая плотность теплового потока между
i поверхностями Fr й экрана F3 в лучистом теплообмене
у» 4 Т 4
413 = ei3 Со [ ]’ <18-61)
► между поверхностями экрана Гэ и F2
Т 4 Т2 4
= (18-б2)
где
1 1
е1э J j > еэ2 - - •
---- +---- -1 -------------------- + ------ -1
е1 ез еэ е2
387
тогда
Поддав*® аырадс^йе (1&64) % ^даит» (Ж61) ж» (Ш£> кюмк
»W Уравйевйе ®W< фз$№$ЭДГ aywrsw меж?®^
гшо«ж^а5ядавдийМИЖЕ^ ' / >
Если степени черноты ej, ё2 и еэ равны между собой, то результирующая
шотность теплового потока между поверхностями Fr й F2 при установке
«крана вдвое меньше, чем без экрана, т.е.
412 ~ — 412 • (18.66)
При установке между поверхностями п экранов результирующая плот-
юсть теплового потока
«Й = . (18.67)
п + 1
Аналогично можно получить расчетные уравнения лучистого теплообмена
при установке экранов для других случаев взаимного расположения тел.
Тогда в исходные уравнения необходимо подставить соответствующие вы-
ражения для приведенной степени черноты и коэффициенты облученности.
В практике пожарного дела уравнения (18.61) — (18.67) могут быть
использованы для вычисления результирующей плотности теплового потока
912, которая затем сопоставляется с ее критической величиной 9кр для
горючих материалов или людей.
Если 912 9кр, то соответственно подбирается меньшая степень черноты
экрана или увеличивается число экранов.
В качестве температуры Тг принимается допустимая температура для
облучаемых поверхностей.
Определив по уравнению (18.64) температуру экрана Тэ и вводя в урав-
нение (18.62) коэффициент облученности, можно вычислить, как это пока-
зано в § 18.7, безопасное расстояние от экрана до защищаемых людей или
горючих материалов и конструкций.
Особенностью расчетов поглощательных экранов является то, что темпера-
туры на противоположных поверхностях экрана существенно различны.
Для их вычисления необходимо дополнительно использовать уравнения
теплопроводности и конвективного теплообмена.
18.9. Лучистый теплообмен в ослабляющей среде
Пары жидкостей, молекулы трех и более атомных газов, находящиеся
во взвешенном состоянии капли жидкостей, пыль, сажа и другие способны
поглощать и излучать лучистую энергию.
В практике пожарного дела наибольший интерес представляет излучение
* водяных паров и двуокиси углерода, в значительном количестве содержа-
щихся в продуктах горения, образующихся в топках отопительных, энергети-
ческих установок и при пожарах.
В отличие от твердых тел излучение и поглощение паров и газов имеет ряд
особенностей.
Во-первых? излучательной и поглощательной способностью обладают
трех- и более -атомные газы. Одно- и двухатомные газы являются практи-
чески диатермичными (прозрачными).
389
Во-вторых, если твердые тела излучают и поглощают лучистую энергию -
во всем диапазоне длин волн от 0 до то газы — лишь в некоторых интер-
валах (полосах) длин волн, т.е. обладают селективным (избирательным)
спектром излучения и поглощения. В табл. 18.3 приведены диапазоны длин
волн излучения и поглощения двуокиси углерода и водяного пара в микро-
нах. Излучение и поглощение лучистой энергии двуокиси углерода и водя-
ного пара имеет место и в других диапазонах. Однако излучение и погло-
щение в этих диапазонах малы и в инженерных расчетах не учитываются.
В-третьих, в твердых телах излучение и поглощение происходят в тонком
поверхностном слое. Газы излучают и поглощают лучистую энергию значи-
тельным слоем, равным длине пути луча. Под длиной пути луча понимается
то расстояние, на которое он проникает в ослабляющую среду. Чем больше
слой ослабляющей среды, тем она в состоянии больше ’ излучать и погло-
щать лучистую энергию. Интенсивность излучения и поглощения паров и
газов зависит также от их парциального давления, концентрации. Чем больше
парциальное давление, тем больше излучательная и поглощательная способ-
ность паров и газов. Кроме того, степень черноты и поглощательная способ-
ность паров и газов зависят от их температуры.
Таблица 18.3
Диапазон Двуокись углерода Водяной пар
1 2,36-3,8 1,7-2,0
2 4,01-4,8 2,2-3,0
3 12,5-16,5 4,8-8,5
4 — 12-30
Указанные особенности учитываются в инженерных расчетах лучистого
теплообмена между сильно нагретыми парами и газами, с одной стороны, и
замыкающей их оболочкой — с другой стороны.
В практике пожарного дела необходимость таких расчетов возникает при
определении коэффициента теплоотдачи в лучистом теплообмене между
дымовыми газами и стенами дымоходов (газоходов) отопительных и техно-
логических нагревательных установок для последующего расчета безопасных
толщин противопожарных разделок и отступок или расчета теплообменных
аппаратов, в каторых в качестве теплоносителя используются дымовые
газы.
Коэффициент теплоотдачи в лучистом теплообмене между дымовыми
газами и внутренними поверхностями дымоходов определяется из закона
Ньютона
<7?с
ап~ > (18.68)
1 2 ~ 1 с
гДе <7 2с ~ результирующая плотность теплового потока, Вт/м2; Т2 — темпе-
ратура дымовых газов, К; Тс — температура внутренней поверхности дымо-
ходов, К.
390
‘1 Рис. 18.11. Зависимость степени черноты двуокиси углерода б£о2 от произведения пар-
циального давления на длину пути лучаРСОг1 и температуры t
Результирующая плотность теплового потока определяется по уравнению
, Т2 4 Т 4
' <72с=^о Ь (—) -А2 ], (18.69)
! 100 100
j где ес — эффективная степень черноты стенок; е2 — степень черноты дымо-
। 391
вых газов при температуре газа Г2; А2 — относительная поглощательная
способность дымовых газов при температуре стенок Тс.
Эффективная степень черноты е'с несколько больше степени черноты
чистых поверхностей стенок газоходов ес, принимаемых по справочным
таблицам, так как в процессе эксплуатации стенки газоходов покрыва-
ются копотью
е'с = 0,5 (ес + 1). (18.70)
Степень черноты дымовых газов определяется по формуле
е2 =есо2 + 0ен2о - Де2, (18.71)
где всо2’ ен2о ~ степени черноты соответственно двуокиси углерода и водя-
ного пара, определяемые по графикам (рис. 18.11 и 18.12), из которых
видно, что степени черноты еСО2 и еНгО зависят от температуры газов '(па-
ров) Т2 и произведения парциального давления рСО2 илирНгО на длину лу-
ча /, см; /3 — поправка, учитывающая более сложную зависимость степени
черноты водяного пара от его парциального давления и произведения пар-
циального давления на длину пути луча, величина /3 определяется по графи-
ку (рис. 18.13); Де2 — поправка на взаимное поглощение лучистой энергии
двуокиси углерода и водяного пара, которая для продуктов горения состав-
ляет менее 5 % от их степени черноты и в инженерных расчетах не учитывает-
ся.
Относительная поглощательная способность определяется по уравнению
Л2 = ЛСО;2 +/3 ЛН;2о — &А2, (18.72)
где ЛС02 — поглощательная способность двуокиси углерода;
Т2 0,65
лсо2=есо2 ;
1 с
есо2 ~ степень черноты СО2 при температуре поверхности стенки, опреде-
ляемая по графику (рис. 18.11); >^н2о — поглощательная способность
водяного пара,
^н2о 6н2° ’
ен2о ~ степень черноты водяного пара при температуре поверхности стенки,
определяемая по графику (рис. 18.12); ДЛ2 — поправка на взаимное погло-
щение лучистой энергии двуокисью углерода и водяным паром, которая
аналогично Де2 в инженерных расчетах принимается равной нулю; (3 —
имеет то же значение, что и в формуле (18.71).
Парциальные давления двуокиси углерода и водяного пара в зависимо-
сти от низшей теплоты сгорания Q? и коэффициента избытка воздуха при
сжигании твердых и жидких топлив могут быть определены по графикам
(рис. 18.14, 18.15, 18.16).
392
и температуры t
t< При сжигании природного газа парциальные давления рСО2 иРн2о МОГУТ
быть приближенно определены по графикам для жидких топлив.
393
।
Рис. 18.13. Поправка (3 на взаимное поглощение СО2 и Н2О
В топках печей и котлов лучистый теплообмен между факелом пламени,
внутренними поверхностями топливника и технологическими трубами
существенно преобладает над конвективным теплообменом.
В практике пожарного дела расчет лучистого теплообмена ведется для
определения коэффициента теплоотдачи излучением с целью последующего
расчета необходимой по соображениям пожарной безопасности толщины
стенок топливника и температуры теплоносителей при выходе из топок пе-
чей и котлов.
Длина пути луча для объема произвольной формы определяется по фор-
муле
V
1=т , (18.73)
где V — объем замыкающей оболочки, м3; F — площадь поверхности замы-
кающей оболочки, м2; т — коэффициент, принимаемый равным т=3,6
при I > 1 м и щ=3,4 при Z < 1 м.
При теплообмене между дымовыми газами и пучками труб теплообмен-
ных аппаратов
Z=1,O8J(—— — 0,785) (18.74)
сг
где d — наружный диаметр труб, м; и $2 - шаги по ширине и глубине
пучка, м.
При пожарах в помещениях лучистый теплообмен между факелом пла-
мени и продуктами горения с одной сюроны и ограждающими помещение
поверхностями имеет еще более сложный характер. Продукты горения для
394
Рис. 18.14. Парциальное давление двуокиси углерода и водяного пара в продуктах сго-
рания твердого топлива (кроме кокса) при атмосферном давлении
* факела пламени являются ослабляющей средой, а для ограждающих поверх-
-> ностей излучающей средой. В продуктах горения содержится значительное
количество сажистых частиц. Для таких условий теоретические методы рас-
чета лучистого теплообмена в настоящее время отсутствуют.
Некоторые обобщения результатов экспериментов приведены в гл. 20.
18.10. Излучение факела пламени в замкнутой оболочке
При сжигании топлива в топках печей и котлов отопительного и техноло-
гического назначения образуется факел пламени. Различают светящееся и
s несветящееся пламя. В светящемся пламени излучающими компонентами в
основном являются двуокись углерода и водяной пар. В светящемся пламе-
, л ни, кроме того, значительная доля излучения приходится на раскаленные
1 сажистые частицы.
395
Рис. 18.15. Парциальное давление двуокиси углерода в продуктах сгорания жидкого
топлива
Рис. 18.16. Парциальное давление водяного пара в продуктах сгорания жидкого топлива
Плотность теплового потока определяется по уравнению
4 Г 4
?*.e = WU-^ 1. (18.75)
где ес — степень черноты тепловоспринимающих поверхностей, принимаемая
по справочникам; £ф — степень черноты факела пламени, берется по
табл. 18.4j с0 — коэффициент излучения абсолютно черного тела,
Вт/(м2-К4); Тф - температура факела пламени, К; Тс — температура
тепловоспринимающих поверхностей, К.
396
Температура факела пламени определяется по уравнению
i где Тя — теоретическая (адиабатная) температура горения, К; Тух — темпе-
j ратура дымовых газов на выходе из топки, К.
Теоретическая температура горения для различных топлив в зависимости
f от коэффициента избытка воздуха приведена в табл. 18.5.
Таблица 18.4
Степень черноты факела пламени в топках печей и котлов
Вид пламени Степень черноты
Несветящееся газовое пламя и пламя антрацита
при слоевом сжигании 0,4
Светящееся пламя антрацитовой пыли 0,45
Светящееся пламя тощих углей 0,6
Пламя каменных углей, древесины, торфа и др. 0,7
Светящееся пламя мазута 0,85
Теоретическая температура горения может быть также рассчитана по мето-
дике, излагаемой в курсах по процессам горения.
Температура дымовых газов на выходе из топки может быть приближен-
но принята равной 120 К.
Таблица 18.5
Теоретическая температура горения топлива
Топливо Та, К,при коэффициенте избытка воздуха
1 1,3 1,5 2
Антрацит 2450 2115 1925 1570
Донецкий уголь 2535 2135 1915 1555
Мазут 2395 2010 1850 1535
Подмосковный уголь 2145 1860 1695 1420
Дрова с влажностью 30 % 2125 1845 1705 1435
Торф 1970 1780 1640 1380
Природный газ 2300 1940 1760 1460
ГЛАВА 19. ТЕПЛООБМЕННЫЕ АППАРАТЫ
19.1. Классификация теплообменных аппаратов
Тёплообменными аппаратами (теплообменниками) называют устройства,
предназначенные для передачи теплоты от более нагретого теплоносителя
(жидкости или газа) к менее нагретому. Их широко применяют в различных
областях техники.
397
Теплообменные аппараты делятся по принципу их действия на контакт-
ные (смесительные) и поверхностные.
В контактных (смесительных) теплообменных аппаратах теплообмен
происходит при смешении греющей и холодной жидкостей. Примером смеси-
тельных теплообменников являются градирни тепловых электрических
станций, скрубберы и др. В градирнях, например, вода охлаждается атмосфер-
ным воздухом.
Теплообменные аппараты поверхностного типа имеют твердую поверх-
ность (поверхность нагревания), которая принимает участие в передаче
теплоты. Поверхностные теплообменники делятся на регенеративные и
рекуперативные.
В регенеративных теплообменниках одна и та же поверхность омывает-
ся то горячим, то холодным теплоносителем. Аккумулированное стенкой
тепло в результате омывания ее поверхности горячей жидкостью затем
отдается холодной жидкости. Такие теплообменники работают циклически в
нестационарном режиме. Примерами теплообменников этого типа являются
регенераторы мартеновских и стеклоплавильных печей, воздухоподогрева-
тели доменных печей и др.
В рекуперативных аппаратах тепло передается от одного теплоносителя
к другому через разделяющую их твердую стенку. Как правило, такие
теплообменники работают в стационарном режиме. Примерами рекуператив-
ных теплообменников являются поверхностные конденсаторы, радиаторы,
экономайзеры, бойлеры, пароперегреватели и др. Рекуперативные аппараты
имеют наибольшее распространение в технике, и поэтому в дальнейшем
ограничимся рассмотрением аппаратов этого типа.
Рекуперативные аппараты (рекуператоры) классифицируются по роду
теплоносителей (парожидкостные, газожидкостные, газовые, паровые,
жидкостные), по конструктивному оформлению поверхности теплообмена
(трубчатые с прямыми гладкими трубами, спиральные, змеевиковые, пла- 1
стинчатые, ребристые), по компоновке поверхностей нагревания („труба в
трубе” , кожухотрубчатые и др.), по виду взаимного направления потоков
теплоносителей (прямоточные, противоточные, с перекрестным током, со
сложной схемой движения теплоносителей) и ряду других признаков. Основ-
ные положения теплового расчета для всех вышеуказанных видов рекупера-
торов являются одинаковыми. Тепловой расчет теплообменных аппаратов
может быть конструктивным (проектным) или поверочным.
19.2. Основные положения и уравнения теплового расчета
теплообменных аппаратов
Основу теплового расчета рекуперативного аппарата составляют уравне-
ния теплового баланса и теплопередачи.
Уравнение теплового баланса для теплообменника при отсутствии потерь
в окружающую среду !
Gdil ~h) = G2(i2 -i'2 ) = Q, (19.1) '
398
где Q — количество теплоты, передаваемой в единицу времени от одного
[теплоносителя к другому через разделяющую их твердую стенку, Вт; Gx
<1 G2 — расходы теплоносителей, кг/с; zt и z2 — энтальпии теплоносителей,
Дж/кг; индексом „1” отмечены величины, относящиеся к теплоносителю
эолее высокой температуры, а индексом „2” — к теплоносителю более низ-
кой температуры; индексом „один штрих” помечены энтальпии теплоноси-
телей на входе в аппарат, а индексом „два штриха” — энтальпии геплоноси-
телей на выходе из аппарата.
I
Если в теплоообменнике отсутствует фазовое превращение (кипение,
конденсация) одной или обеих жидкостей, то уравнение теплового баланса
Можно записать в виде
Wi (G - ti )=W2(t2 - t2 ), (19.2)
где ti и t2 — температуры теплоносителей на входе в аппарат; t" и t2 —
температуры теплоносителей на выходе из аппарата; =ср1 Gj и
W2 =ср2 G2 — водяные эквиваленты потоков теплоносителей; ср1 и ср2 -
средние теплоемкости теплоносителей.
Уравнение теплопередачи для теплообменного аппарата
Q = K^tF, (19.3)
где F — площадь поверхности теплообмена (поверхность стенки, разде-
пяющей теплоносители); Дт — средняя разность температур теплоносите-
лей, называемая средним температурным напором; к - коэффициент тепло-
передачи.
Средний температурный напор
Д,= -Е J &txdFx, (19.4)
F F
где Дтх — локальный температурный напор; dFx — элемент поверхности в
точке х.
Величина среднего температурного напора зависит от схемы движения
греющего и нагреваемого теплоносителей. Схемы движения теплоносителей
показаны на рис. 19.1. Схема движения называется прямотоком, если тепло-
носители движутся в теплообменном аппарате параллельно и в одном направ-
:лении (рис. 19.1, а). Если теплоносители движутся параллельно, но в проти-
воположном направлении, то такая схема называется противотоком
(рис. 19.1, б). Если теплоносители протекают во взаимно перпендикуляр-
ных направлениях, то схема движения называется перекрестным током
। (рис. 19. 1, в). Помимо этих трех простых схем движения на практике при-
меняются и более сложные (рис. 19,1, г, д, е, ж).
Характер изменения температур теплоносителей вдоль поверхности
теплообмена F определяется схемой движения и соотношением теплоем-
,костей массовых расходов (водяных эквивалентов и JV2). Изменение
температур теплоносителей вдоль поверхности теплообмена при прямотоке
и противотоке показано на рис. 19.2. На графиках по оси абсцисс отложена
399
2
Рис. 19.1. Схемы движения теплоносителей в теплообменных аппаратах:
а - прямоток; б - противоток; в - перекрестный ток; г — одновременно прямоток с
противотоком; д, е, ж — многократно перекрестный ток; 1 — греющая жидкость; 2 —
нагреваемая жидкость
поверхность теплообмена, а по оси ординат -- температура теплоносителей.
При прямотоке конечная температура нагреваемого теплоносителя г2 всегда г
ниже конечной температуры греющего теплоносителя ti- При противотоке i
н
температура нагреваемого теплоносителя на выходе из аппарата t2 может
быть больше конечной температуры греющего теплоносителя .
Изменение температур рабочих жидкостей вдоль поверхности теплообме-
на при прямотоке и противотоке можно описать аналитически. Рассмотрим $
простейший аппарат, работающий по схеме прямотока (рис. 19.3). Выделим
400
I
-?йс. 19.2. Характер юменешя темвератур теплоносителей при прямотоке (а) и проти-
эотоке (в)
j: ₽ис, 19.3. К выводу формулы определения температурного йапорм
i
Н
.{Мемейт «зверхяостн dF. уравнение тевлойерейачи ДЛЯ этого элемента заж-
istiBearis& ийс
j &Q* K(tt - /,k OF^ к &tx dF, (19.5)
iff
й jf где ~ taJ =* &tj( — твмвературиадй нанор в месте расположения элемента
' Из теппов&го баланса для выделенного элемента аппарата вытекают спе-
s * уравнения:
р откуда
tc О9?)
f жм
I
I
1
/
i
Изменение температурного напора при этом
1 1
dktx = d(ti - t2) = dti - dt2 = - (- + —) dQ = -mdQ, (19.8)
Wi W2
где +W2)IWi W2.
Подставив в уравнение (19.8 ) значение dQ из уравнения теплопередачи
(19.5), получим
d&tx = - тк &tx dF, (19.9)
откуда
d(&tx)/Atx = - тк dF. ' (19.10)
Принимая т v к постоянными, проинтегрируем уравнение (19.10)(левуЮ=
часть от 0 до Fx, а правую от Д f до Д?х)
1п(Дтх/Дт') =-тк Fx, (19.11)
откуда
Atx = At' emKFx. (19.12) ,
Из формулы (19.12) следует, что в аппаратах прямого тока температур* I
ный напор убывает вдоль поверхности теплообмена по экспоненциальному [
закону. ।
Для определения среднего температурного напора воспользуемся уравне- i
нием (19.4). Подставим в это уравнение значение Дгх из формулы (19.12). !
После интегрирования получим
Д? = Д?' (е~ткр-1)/(ткР). (19.13)
Подставив в уравнение (19.13) значения ткр и e~WK^H3 выражений
(19.11) и (19.12), получим
Дт = (Д/- Д?)Дп(Дг7Д/'), (19.14)
где Дг = ti - t2, At =ti - t2.
Формула для определения среднего температурного напора при противо- •
токе выводится аналогичным путем
f fl
f tf ft t tl —
-------- (19.15)
t; -
Формулы (19.14) и (19.15) можно объединить в одну, применимую как
при прямотоке, так и при противотоке
Дг = (Дгб - ДГМ) / In (Дгб/Дгм), (19.16)
где Д/б — большая разность температур; Д/м — меньшая разность темпера-
тур.
402
Средняя разность температур, подсчитанная по формуле (19.16), назы-
1вается среднелогарифмическим температурным на-
бором.
Если температура теплоносителей вдоль поверхности теплообмена из-
меняется незначительно, среднюю разность температур можно вычислять
как среднюю арифметическую из Дгб и Дгм
ДГ = О,5 (Дгб +Дтм). (19.17)
При Д?б/'Дгм < 2 ошибка в вычислении среднего температурного напора
по формуле (19.17) не превышает 3 %.
При расчетах среднего температурного напора для аппаратов с перекрест-
ным ходом и с более сложными схемами движения теплоносителей исполь-
зуются вспомогательные графики. При этом вначале определяется средне-
логарифмический напор по формуле (19.16) и вспомогательные величи-
ны Р и R:
Р = (t-i ~ I (t^—f R= (t\ — t\) j (t\ — t2). (19.18)
Затем по вспомогательным графикам, составленным для рассматрива-
емой сложной схемы движения, находят по известным величинам Р и R
поправку едг Средний температурный напор определяется по формуле
. _ (П — t2) — (t1 ~t2'
At ~€&t-------7----T'--------
, ‘1 -?2
In -------
(19.19)
t" ~tr2
Формулы для определения температур теплоносителей на выходе из
аппарата (г" и t2), необходимые для поверочного расчета, нетрудно полу-
чить из уравнений (19.2) и (19.12):
ИЛ
г'' -f' = ---(19.20)
ил
1 1
- t’i = /t’t - е ~KF 1 + . (19.21)
Решая эту систему уравнений, получим следующие формулы для прямо-
точной схемы:
ti=t{ -(t[-12)ф (19.22)
-t'2) ф, (19.23)
ИЛ
kF И/,
- ---- (1+ -----)
где ф= [1-е Wi И^2]/(1 +-------------------/
ИЛ
403
Таблица 19.2
Значение функции Z для противотока
^1/^2 kF/W2
1 30 1 10 Г 3 1 2 1 2 3 оо
1 2 3 4 5 6 7 8 9
ад 0,0 0,033 0,1 0,28 0,39 0,63 0,86 0,95 1,0
0,01 0,033 0,1 0,28 0,39 0,63 0,86 0,95 1,0
0,05 0,033 0,1 0,28 0,39 0,62 0,86 0,94 1,0
0,1 0,033 0,1 0,28 0,38 0,61 0,85 0,94 1,0
0,2 0,033 0,1 0,28 0,38 0,60 0,83 0,93 1,0
0,5 ,0,033 0,1 0,26 0,36 0,57 9,78 0,89 1,0
1,0 0,033 0,1 0,25 0,34 0,51 0,68 0,77 1,0
01 2,0 0,033 0,09 0,23 0,29 0,39 0,46 0,49 0,5
5,0 0,032 0,08 0,16 0,18 0,2 0,2 0,2 0,2
10,0 0,028 0,06 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1
V 20,0 0,024 0,04 0,05 0,05 0,05 0,05 0,05 0,05
V 50,0 0,016 0,02 0,02 0,02 0,02 0,02 0,02 0,02
100,0 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01
0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
19.3. Поверочный расчет теплообменного аппарата
Поверочный расчет выполняется для уже имеющегося теплообменника
или, по крайней мере, спроектированного. Целью такого расчета является
определение конечных температур теплоносителей tj, t2 и переданной тепло-
ты (?при заданных расходах теплоносителей С?! и G2, начальных температу-
. рах теплоносителей t\ и t'2, поверхности теплообмена К Поверочный расчет
необходимо выполнять специалистам пожарной охраны при установлении
! причины пожара, при разработке рекомендаций противопожарной защиты и
экспертизе производственных зданий и т.д.
, При прямотоке конечные температуры теплоносителей определяются по
формулам (19.22) и (19.23); При противотоке используются формулы
(19.24) и (19.25). Предварительно рассчитывается коэффициент теплопере-
• дачи
(19.26)
где «1 и - коэффициенты теплоотдачи со стороны горячего и холодного
теплоносителей, Вт (м2-град); Хг- — коэффициент теплопроводности /-го слоя,
Вт(м-град); Зг- - толщина /-го слоя, м; п - число слоев, из которых состоит
стенка.
405
Для цилиндрических стенок большой толщины используется другая фор-
мула
1 и 1 Д; j- 1 1 ч -1
kz=(-------- + S -------- In —, (19-27)
«1^1 i =i 2 Хг- df a2dn +1
где di - внутренний диаметр трубы; J„ + 1 - наружный диаметр трубы.
Значения коэффициентов теплоотдачи и а2 можно вычислить, так как
известны виды теплоносителей и их скорости Wi и или расходы Gi и
G2 и площади „живых” сечений каналови/2 для прохода теплоносителей.
Чтобы вычислить значения коэффициентов теплоотдачи аг и а2, нужно
знать средние температуры теплоносителей, т.е. знать и величины f" и t2i
которые являются искомыми. Обычно этими величинами задаются. После
подсчета конечных температур теплоносителей их сравнивают с принятыми и
при существенном расхождении расчет повторяют во втором приближении.
В этом случае величины и t"2 принимают равными результатам расчета в
первом приближении. В большинстве случаев к третьему приближению при-
бегать не приходится, Ориентировочные значения коэффициентов теплопере-
дачи в Вт/(м2 • град): при теплопередаче от газа к газу — 10, от газа к воде —
50, от воды к воде — 1000, от воды к маслам — 300. ,
После определения конечных температур теплоносителей вычисляется
количество переданной теплоты по формуле (19.1). Вычисленные значения
температуры теплоносителей на выходе t\ и t2 сравниваются с допустимы-
ми (по условиям пожарной безопасности и технологического регламента)
значениями температуры для данных теплоносителей.
Если значения температуры теплоносителей выше регламентируемых и
это создает повышенную опасность процесса, работники пожарной охраны
должны дать свои предложения.
19.4. Конструктивный расчет теплообменного аппарата
Конструктивный (проектный) тепловой расчет выполняется при проекти-
ровании нового теплообменника. Целью такого расчета является определе-
ние поверхности теплообмена F при заданных термодинамических пара-
метрах состояния теплоносителей на входе и выходе из аппарата (ix, i”,
i'2, h, t'i, t[', t'2, (2)- При этом также заданым является расход одного из
теплоносителей. Если задан расход нагреваемого теплоносителя G2, то
определяется требуемый расход греющего теплоносителя Glt Если задан
расход греющего теплоносителя, то определяется возможный расход нагре-
ваемого теплоносителя.
Расход греющего теплоносителя (или нагреваемого) определяется из
уравнения теплового баланса (19.1):
.ff f г
Z2 - I2
g1=g2(---------7).
z'i -Zi Ч
406
f
I
Поверхность теплообмена находится из уравнения теплопередачи (19.3):
к Д t
Коэффициент теплопередачи к в этом уравнении, вычисляется по фор-
мулам (19.26) и (19.27). Среднелогарифмический температурный напор
\t вычисляется по формулам (19.16), (19.17), (19.19).
При определении коэффициента теплопередачи к необходимо учитывать
шияние на его величину загрязнений поверхностей теплообмена (отложе-
ше накипи, сажи и т.п.). Существуют два способа учета этого влияния.
Тервый способ заключается в том, что в знаменатель правой части формул
щя коэффициента теплопередачи вводят термические сопротивления от
гагрязнений Язагр, равные:
для плоской стенки
81 82
^загр 7 + "Т ’ (19.28)
А1 Л2
для цилиндрической стенки
8 j 6?2 2
(19.29)
где 8 j и 62 — юлщины слоев загрязнений на внутренних и наружных поверх-
ностях стенки, м; Xi и Х2 — коэффициенты теплопроводности загрязня-
ющих отложений, Вт/ (м-К).
Второй способ учета влияния загрязнений на величину к заключается в
। том, что действительный коэффициент теплопередачи определяется путем
умножения коэффициента теплопередачи, подсчитанного по формулам
(19.26), (19.27), на коэффициент использования поверхности теплообмена у
О 9-30)
где у= 0,7 — 0,8 .
После определения поверхности теплообмена F выполняется расчет кон-
структивных размеров теплообменника. Для одноходового теплообменни-
. ка с гладкими прямыми трубами, заключенными в кожухе (один из тепло-
носителей движется по трубам, а другой в пространстве между трубами),
f расчет проводится в следующей последовательности. Сначала вычисляется
> число труб, наружный и внутренний диаметры которых были выбраны при
i проектировании теплообменника
4G
. «= ——2--------- , (19.31)
где п — число труб; G — расход теплоносителя, движущегося по трубам,
кг/с; dm — внутренний диаметр труб, м; р — плотность теплоносителя,
кг/м3; w — скорость теплоносителя в трубах, м/с.
407
досками), м; d^ =~(dBH +
Скорость теплоносителя ш для жидкости принимается обычно в пределах
от 0,5 до 1,5 м/с, а для газов — от 5 до 15 м/с.
Затем вычисляется длина труб
F
1= ------- , (19.32)
П Я^ср
1
где I — длина труб (расстояние между трубными
+ JHap) — средний диаметр труб, м.
Диаметр корпуса (кожуха), внутри которого заключен трубный пучок,
определяется из условия обеспечения выбранной скорости движения второго
теплоносителя в междутрубном пространстве и технологических требований.
Расположение труб на трубной доске осуществляется обычно по сторонам
равностороннего треугольника или по концентрическим окружностям.
ГЛАВА 20. ТЕПЛООБМЕН ПРИ ПОЖАРАХ В ПОМЕЩЕНИЯХ
20.1. Теплообмен горизонтально расположенного стержня круглого
сечения, омываемого пламенем
В современных промышленных зданиях, где обращается в производстве и
хранится значительное количество горючих и легковоспламеняющихся жид-
костей, существует вероятность возникновения локального пожара,, т.е.
пожара на относительно небольшой площади. Такие отучай пожаров связа-
ны с воспламенением жидкостей в закалочных и пропиточных емкостях,
ваннах для окраски и обезжиривания деталей и т.п. Строительные конструк-
ции, попавшие в зону горения, подвергаются значительным тепловым нагруз-
кам, уровень которых может не соответствовать их запасу огнестойкости.
При горении жидкости над ее свободной поверхностью образуется светя-
щийся факел пламени. Горючая жидкость предварительно испаряется, а за-
тем пары ее нагреваются и воспламеняются. Поток паров к пламени под-
держивается благодаря непрерывному испарению жидкости. Кислород, не-
обходимый для горения, поступает в зону реакции из окружающей газовой
среды. Структура и размеры светящегося факела пламени зависят от
свойств горючей жидкости и площади очага горения. При значениях диамет-
ра круглого очага горения d > 0,15 м факел пламени является турбулент-
ным. Граница светящегося факела практически совпадает с изотермой
t = 500 °C. Осредненная во времени конфигурация светящегося турбулент-
ного факела описывается уравнением [19]
J’Amax'0’51 - ТО’ААтюА + 2>15 ААтах)* ~ 1-84 ААтм)’ +
+ 0,74 (z/zmaxr- 0,12 (z/2max)s, (20.1)
где у — координата границы факела, отсчитываемая по горизонтали от цент-
ра поверхности горения; z — координата, отсчитываемая по вертикали от
408
> -ОЛ о «4
№ !
in «
| PSo. 2ОД. Конфигурация факела пламени:
’ • 1 - расчет дю формуле (20» 1); опшаьщ дагааде при горении; 2 - изопропилового спир-
* f та на йлоадат 0,09 м1; 3 - ацетона на площади 0,04 м? ; 4- ацетона на площади
за I 0,16 м®; 5 - ацетона на нлооаади 0,25 м3 ; 6 - бутилового спирта на площади 0,04 м2
« ,
» ;
№ , дйн^хйоетм лощкости; гщя — коордавата точки, в которой температура
й- факйа мжовймйит1«а,
№ < На рис. 2ЙД прйведааы1Веэразмерная конфигурация светящегося факела
я пламен^ в^тшзтбшйя по формуле (20,1), и данные экспериментальных ис-
едедриэдзй Для ацетина, ffywo&oro и л^проиадового спиртов при раз-
; лячнкх одага горения 0^/4=* 0,04; 4^09; 0,1 б и 0,25 м’).
; Высота факела плжмеии 4^,, как это следует из уравнения (20.1)
I ,
Лци в 2»33 . (20.2)
j.' Тем^ачн3» 8 равпдаэда точках турбулентного факела пламени
й 4 ври дореедв яа^госхяй неодажковы. У поверхности жядасооти температура
409
близка к температуре кипения жидкости. На некотором расстоянии от По-
верхности жидкости реализуются максимальные температуры. В верхней
части факела пламени температура плавно убывает вследствие перемешива-
ния продуктов горения с холодным воздухом. Распределение температур!.!
вдоль оси факела пламени в диапазоне значений относительной координаты
от z/zmax =0,1 до z/zmax =2,6 описывается уравнением
Г/ГгааХ = 0,3 + 3,35 (z/zmaJ142 exp [ - 1,21 (z/zmax) ] (20.3)
Значения zmax и Ттах зависят от природы горючей жидкости и размеров
очага горения
Гтах'С. (20-5)
где <7ЭК = х/ (4F/tt) — эквивалентный диаметр очага горения, м; F — поверх-
ность жидкости, м2; Qf - теплота сгорания, МДж/кг; D - коэффициент
диффузии пара жидкости при температуре кипения, м2/с;
Ci = 3,08105 м0'33 (МДж/кг)3'9;
С2=2,87 [(м/с2) (кг/МДж) 1/2 ] °’47 К.
Распределение осредненных скоростей газа вдоль оси факела пламени в
диапазоне значений координаты от z/zmax =0,1 до z/zmax = 3,5 описывается
уравнением
^z/^max = i>58 (^Amax)1’32 ехР I “ °>69 (2Дтах)] > (20-6)
где wmax = 2,15 V gd3K. (20.7)
Теплообмен тел, омываемых пламенем, является сложным процессом,
включающим в себя конвективный и лучистый теплообмены. В результате г
обобщения экспериментальных данных о теплоотдаче в лобовой (нижней) в
точке О горизонтально расположенного круглого цилиндра, находящейся
на оси факела пламени (рис. 20.2), получили расчетную формулу к
S!
<7с=впрС0 [(Т/100)4 - (Тс/100)4] + 0,7 (X/R) VW(T-TJ, (20.8) й
где qc — суммарная (конвективная и радиационная) плотность теплового й
потока в лобовой точке омываемого пламенем цилиндра, Вт/м2; Г—абсолют- ®
ная температура на оси факела пламени на высоте z (координата лобовой
точки), вычисляемая по формуле (20.3); Тс — температура поверхности
цилиндра, К; R — радиус цилиндра, м; X — коэффициент теплопроводности
410
d
Рис. 20.2. Схема расположения горизонтального стержня в факеле пламени
газа при температуре Т, Вт/(мК); Со =5,7 Вт/(м2-К4) — коэффициент
излучения абсолютно черного тела; v — коэффициент кинематической вяз-
кости газа, м2/с; Re =(2Rwz)lv — число Рейнольдса; wz - скорость набега--
ющего потока, определяемая по формуле (20.6); епр — приведенная степень
черноты системы цилиндр-факел пламени (для стали еПр = 0,35).
20.2. Теплообмен перекрытия, омываемого восходящим от очага
горения потоком газа
/
Рассмотрим взаимодействие газового потока, восходящего от очага
горения, с горизонтальной поверхностью перекрытия, расположенной на
высоте h от уровня жидкости (рис. 20.3).
Восходящий от очага горения поток газа после соударения с поверх-
ностью разворачивается и начинает растекаться под перекрытием, образуя
веерную струю с возрастающей толщиной. При набегании потока газа на по-
верхность его кинетическая энергия переходит в потенциальную энергию
г давления, а затем происходит обратное превращение вследствие чего наблю-
дается зона ускоренного движения газа в пристенном слое. Давление вдоль
< линий растекания меняется от максимального в лобовой точке 0 до мини-
> мального у края перекрытия. Скорость и температура То газа на оси
потока перед лобовой точкой 0 определяются мощностью очага горения и
высотой А . Они могут быть вычислены по формулам, приведенным в § 20,1.
411
Рис. 20.3. Схема взаимодействия восходящего потока над очагом горения с горизон-
тальной поверхностью перекрытия
На поверхности перекрытия образуются динамический и тепловой погра-
ничные слои, толщина которых 5Д и 8t нарастает вдоль линий растекания.
Скорость ит на внешней границе пограничного слоя изменяется от нуля в
лобовой точке до некоторого максимального значения и* в точке, удален-
ной от лобовой на расстояние г*, и далее затем падает (рис. 20.3). Координа-
ту г* можно определить, как показали эксперименты, по формуле
'•/гпж=°.51 (W"'
(20.9)
Координата zmax определяется по формуле (20.4). Значение и* опреде-
ляется по формуле
m*/w2q = 0,92 fA/zmax)-o,oe, (20.10)
где wzq — скорость набегающего на лобовую точку потока, определяемая по
формуле (20.6). Формулы (20.9) и (20.10) справедливы в диапазоне значе-
ний параметра h/zmWi от 0,6 до 6.
Относительная скорость ит[и* на внешней границе пограничного слоя яв-
ляется функцией координаты т.е. ит/и* = f (г/г*) . В окрестности
лобовой точки перекрытия в зоне ускоренного течения ( 0 < г < г*) рас-
пределение скорости вдоль внешней границы пограничного слоя описывает-
ся уравнением
ит!и* = 1,5 (г/г* ) - 0,5 (г/г*)2.
(20.11)
412
1
Решение интегральных уравнений пограничного слоя без учета радиацион-
4 ного переноса дает формулу для определения локальных коэффициентов
i конвективной теплоотдачи на поверхности перекрытия в зоне ускоренного
jтечения, т.е. при ООО*
Nu*= 0,835 Re0-5 Pr1/3 (1 -F/3)1-2 (1 + F)-°’62, (20.12)
; где NuK = ак r*/X, Re = u*r* /и, Pr = v/a - 0,6,
aK = q(T0 — Tc) — коэффициент конвективной теплоотдачи; г = rfr* —
относительная координата; X, v, а — коэффициенты теплопроводности,
кинематической вязкости и температуропроводности набегающего на лобо-
вую точку потока газа, определяемые по средней температуре
Тт TJ,' Тс — температура поверхности перекрытия.
Как показали эксперименты с различными очагами горения, формула
(20.12) справедлива при 103 < Re < 10s.
s r В рассматриваемых условиях наряду с конвективным теплообменом су-
щественной является теплоотдача излучением. Когда высота h меньше
высоты факела пламени при 0,6 < hjzmsx < 2,3, значение плотности
радиационного потока qK в зоне 0 <г <г* при горении многих горючих
жидкостей можно определять по полуэмпирической формуле
<?K=%.C0 [ ГГо/1ОО)4 - (Г/100)4 ] i/'i exp [-Afr/rJ], (20.13)
где Со =5,7 Вт(м2-К4) — коэффициент излучения абсолютно черного тела;
Тс — температура поверхности перекрытия; То — температура газового
потока, определяемая по формуле (20.3)
, 1^1= 0,88 (A/z )0’6^ (20.14)
/ kLLQ-Л. 1
1 X = 0,28(/z/z Г0'2. (20.15)
Д 1 llrCIjlb
Приведенная степень черноты епр вычисляется по формуле
11 е^ = Ц(1/ес+1/^-1), (20.16)
® где ес — степень черноты поверхности перекрытия; бф — степень черноты
н факела пламени.
Величина еА определяется по формуле
|0 ***
; ( £ф = 1 - Ф (Kh) - Ф (xd3K/2) - Ф (к у/ (4й2 + J2k)/4), (20.17)
где функция Ф (z) равна
Ф (z) = (1 — z) е~ z + z2 J (e~z/z) dz.
413
Значения Ф (z) затабулированы в [5].
В формуле (20.17) использованы следующие обозначения: d3K -у/ bF/if-
эквивалентный диаметр очага горения; к — коэффициент ослабления лучей,
который вычисляется по формуле
к = 1,6 • 10'3 Го -0,5. (20.18)
Для условий, когда высота факела пламени Гпл меньше высоты h, т.е.
при /г/2тах > 2’3 можно использовать формулу
q =1,49епрС0 [ (То /100)4 - (Гс/100)4 ] ф2 exp [ - A(r/r J], (20.19)
R У
где ф2 = 3,95 (h/zmaJ-1’65 .
Суммарная плотность теплового потока в окрестности лобовой точки пере-
крытия определяется по формуле
(20.20)
20.3. Теплообмен ограждающих конструкций при пожаре в помещении
В условиях пожара тепловые потоки в разные элементы ограждающей
поверхности помещения (стены, перекрытие, пол) существенно отличаются.
Суммарный тепловой поток Q-% в ограждающую поверхность
F=FC + Fn + Fnep можно представить в каждый момент времени как сумму
тепловых потоков
а2=ес+еп+еПер- (20-21)
гае Fc;Qn = an (tm-tj Fn;
() = an (t - r J F-, a , a. a — средние коэффициенты тепло-
^пер пер 1 тп пер' пер’ с п’ пер г
отдачи, соответственно, на вертикальных поверхностях (стенах), на поверх-
ности пола, на поверхности перекрытия (потолка); tm — среднеобъемная
температура газовой среды в помещении; tc, tn, fnep — средние температуры
поверхностей, соответственно, стен, пола и перекрытия.
При больших среднеобъемных температурах газа в помещении, когда
концентрация продуктов горения велика, становится существенным ослаб-
ляющее действие среды на лучистый поток от факела. Процесс переноса
теплоты в излучающей, поглощающей и рассеивающей среде обусловлен сов-
местным действием конвекции, теплопроводности и радиации.
Задача о сложном радиационно-конвективном теплообмене в условиях
естественной конвекции на вертикальных поверхностях рассмотрена с по-
зиций тёории пограничного слоя в работе [1]. Средние коэффициенты тепло-
отдачи при сложном радиационно-конвективном теплообмене на вертикаль-
ных поверхностях (стенах) при числах Граегофа Gr >108 —109 и средне-
414
объемных температурах в помещении tm > 400 °C рекомендуемся рассчи-
тывать по формуле
Л 1 /• Рг2/3
а = 0,2 — (Gr Рг) /3 [------------------11/3 (1+Л7 Г20 22)
с Н 1 2,14(1+7V)+Pr2/3 J 4 Л U°-22)
где Gr = [gj3 ( - TJH3 ] I v2 - число Грасгофа; Pr = v/a - число Прандтля;
N— аналог числа Кирпичева, характеризующего радиационно-кондуктивный
перенос теплоты в пограничном слое; X, и, а - коэффициенты теплопровод-
ности, вязкости и температуропроводности среды при температуре
= 0,5 (Tm+Tc); Н — высота стен; Тт — среднеобъемная температура
среды в помещении; Тс — температура поверхности ограждений.
Зависимость чисел N от температуры tm = Tm- 273 для условий пожара,
когда горючая нагрузка в помещении является в основном древесиной, была
найдена экспериментально и приведена на графике (рис. 20.4). Эта зависи-
мость справедлива до снижения среднеобъемной температуры (т.е. до стадии
затухания).
Средний коэффициент теплоотдачи на поверхности горизонтальных пере-
крытий при tm 400 °C можно определять по формуле
Опер = 1,4 (Х/г* ) Рг1 /3 Re0-5 + 13,3 (а0 TJB), (20.23)
где а = 5,7-10~8 - коэффициент излучения абсолютно черного тела,
Вт/(м2 К4); В — аналог числа Бугера, характеризующий эффективную опти-
Рис. 20.4. Зависимости В = f ((щ) W.N-f (tm)
415
ческую плотность в пограничном слое; г* — расстояние от лобовой точки на
поверхности перекрытия, которое определяется по формуле (20.9);
Re-/u* r*)/v* - число Рейнольдса; и* - скорость, которая определяется по
формуле (20.10).
Зависимость чисел В от температуры tm для условий пожара, когда горю-
чая нагрузка в помещении является в основном древесиной, была найдена
экспериментально и приведена на рис. 20.4.
Средний коэффициент теплоотдачи на поверхности пола рекомендуется
вычислять с помощью соотношения «п = 0,7 ас.
При определении тепловых потоков в ограждающие конструкции
fQc> Qn> Qnep) необходимо знать помимо средних коэффициентов тепло-
отдачи еще средние температуры поверхностей этих конструкций (Гс, tn,
Г ) и среднеобъемную температуру газовой среды в помещении tm. Таким
образом, в тех случаях, когда среднеобъемная температура газа в поме-
щении и средние температуры поверхностей ограждающих конструкций не
заданы, расчет тепловых потоков ведется одновременно с расчетом термо-
газодинамических параметров пожара и процесса нагревания ограждающих
конструкций (сопряженная задача). Алгоритм такого расчета применитель-
но к пожарам в помещениях жилых, общественных и административно-хо-
зяйственных зданий подробно излагается в „Руководстве по расчету темпера-
турного режима пожара в помещениях жилых зданий” (— М.: ВНИИПО
МВД СССР, 1983). Этот расчет выполняется с помощью ЭВМ [34] .
В ряде работ были предприняты попытки установить эмпирические зави-
симости, позволяющие вычислять тепловые потоки в ограждения без одно-
временного расчета процесса нагревания ограждающих конструкций. Такие
эмпирические зависимости имеют ограниченный характер, однако позволяют
существенно упростить решение некоторых задач. Так, например, на осно-
вании экспериментальных исследований теплообмена ограждающих кон-
струкций, проведенных в разных помещениях натурных размеров с ограж-
дающими конструкциями из кирпича и бетона, была получена во ВНИИПО
МВД СССР следующая эмпирическая формула для расчета тепловых потоков
в ограждения (см. кн. „Огнестойкость строительных конструкций. - М.:
ВНИИПО МВД СССР, 1979, с. 12-20):
С = «.^ГТи-ГОтА (20.24)
где F — поверхность ограждения, м2; Тт — среднеобъемная температура
газовой среды в помещении, К; Тцт~ температура газа в помещении перед
пожаром, К; a* =<?max/(^max _ — приведенный коэффициент тепло-
отдачи, Вт/ (м2 -К); Ттзх — максимальная среднеобъемная температура
газовой среды при пожаре в помещении, К; <?тах — максимальная средняя
плотность теплового потока в ограждение, Вт/м2.
Значение 4тах зависит от вида ограждения (стены, потолок, пол), объе-
ма помещения V, проемности П, удельной горючей нагрузки G и ряда дру-
гих величин. Для горючей нагрузки, состоящей в основном из древесины,
при условиях, когда выполняется неравенство
G<G* [Я3/(1+5ООЛ3)] + И1/3/6 Ио (20.25)
416
4здесь G* =4500 кг/м3; П V — объем помещения, м3; К© — ко-
личество воздуха, необходимое для полного сгорания 1 кг древесины,м3 /кг;
Я — суммарная масса горючего материала, кг; 5^ — площадь проемов, м2;
— площадь иола, м*; — суммарная площадь поверхности всех ограж-
дений, м2 ; G - Jf/F^), значения 0max рекомендуется определять по форму-
лам:
для стен
।
' «max = <7oi ^G>°’75> (20.26)
Де 0щ = 3,57 кВт/м2; д — коэффициент, зависящий от размерности величи-
ны G (jjl = 1, если величина G имеет размерность кг/м2); G=M/F^ — удель-
ная горючая нагрузка, кг/м2; М — суммарная масса горючего материала,
Icr; — суммарная площадь поверхности ограждающих конструкций,
включающих в себя площади пола, стен и перекрытия за вычетом площади
проемов, м2;
для перекрытий
002/д с;075
^тах _ ’
1 -0,127 (дС)5 e-1’6^G
где <?<й =3,85 кВт/м2; ц, G — то же, что и в формуле (20.26);
для пола
0П = 0,7 0е
чтах ’ чтах
I
Значение Гтах рекомендуется определять по формуле
Гтж = Т0 [1+Г^/ТоЯдСЛ528 ],
де 7\ = 224 К; }i9G — то же, что и в формуле (20.26).
Приведенные выше формулы (20.26) — (20.30) применимы при
,04 < П < 0,35 и 0,8 < G С 12 кг/м2 для помещений с ограждающими
конструкциями из- кирпича и бетона с горючей нагрузкой, состоящей в
сновном из древесины, если выполняется условие (20.25).
Если выполняется условие (20.25), то количество кислорода, находя-
егося в помещении в любой момент развития пожара, оказывается доста-
очным для процесса горения. В том случае, когда удельная горючая нагруз-
а велика так, что
G>G, [П3/(1 + 500Л3)] + К1/3 /6 Ко, (20.30)
ожар в помещении протекает при недостатке кислорода. В этом случае
намика пожара иная. Для расчета тепловых потоков в ограждения при
аких условиях формулы (20.26) —(20.29) применять нельзя.
На основании экспериментальных исследований теплообмена огражда-
щих конструкций, проведенных при горении горючих жидкостей (дизель-
(20.27)
(20.28)
(20.29)
417
ного топлива, бензина и различных спиртов) в помещениях разных разме-
ров (объемы которых К = 0,045 м3; 2,5 м3 и 420 м3, 6000 м3) с огражда-
ющими конструкциями из кирпича и бетона, была получена в ВИПТШ МВД
СССР формула для расчетов суммарного теплового потока в ограждения
й2= Fsa01 [я (Тт -Т0)-в )Тт - То)2 ]еп<тш - То) . (20.31)
где Тт — среднеобъемная температура газовой среды при пожаре в помеще-
нии, К; Го - температура среды перед пожаром, К; а01 =11,63. Вт/м2; Fj -
суммарная поверхность ограждающих поверхностей, м2; а- 0,8 К*1 ;
в = 0,00065 К’2; п= 0,0023 К -1.
Эта формула применима лишь при среднеобъемных температурах среды в
помещении Тт > 333 К. При среднеобъемной температуре TQ < Тт < 333 К
рекомендуется применять формулу вида
e2=F2a02 [a(Tw-To)-e(Tw-To)]4/3, (20.32)
где F^ — то же, что и в формуле (20.31); а02 = 4,07 Вт/м2 а ив — тоже, что
ив формуле (20.31).
В работе [15] на основании экспериментальных исследований теплообме-
на при пожаре в помещении с двумя проемами, расположеными на разной
высоте, была получена формула для расчета суммарного теплового потока
в ограждения
Qz=cpO Г° ^Н/Р) [0,0105 (0 - 1) + 0,0118 (0 - I)2 ], (20.33)
где cpQ — изобарная теплоемкость газовой среды в помещении перед пожа-
ром, Дж/(кг-К); р0 — плотность среды перед пожаром, кг/м3; TQ — темпе-
ратура среды перед пожаром, К; V — объем помещения, м3; Н — высота по-
мещения, м; Р — периметр помещения в плане, м; g — ускорение свободного
падения, м/с2; 0 = 1т/Т0\ Тт— среднеобъемная температура газовой среды
в помещении. Формула (20.33) была получена на основании опытов в помеще-
нии объемом V = 200 м3 при сжигании древесины (горючая нагрузка
G = M/Fy = 2,5—4,3 кг/м2) и оргстекла (горючая нагрузка G = 1,1 кг/м2)
при значениях проемности П = 5np/Fn = 0,02—0,08.
Формулы (20,24) — (20.33) являются эмпирическими. Общим для всех
этих формул является вытекающее из них положение о том, что изменение
теплового потока в ограждения в процессе развития пожара однозначно
определяется изменением среднеобъемной температуры газовой среды в
помещении.
20.4. Подобие и моделирование пожаров в помещениях
Характер развития пожара в помещении зависит от площади проемов и
их расположения, от вида и количества горючего материала, от теплофи-
зических свойств ограждающих конструкций и других факторов. Всевоз-
4Щ
можные пожары в помещениях можно разделить с позиций термогазодина-
мического анализа на группы (классы). Пожары, входящие в группу, опи-
сываются одинаковыми по форме размерными уравнениями и условиями
^однозначности. В частности, пожары можно относить к одной группе лишь
<в том случае, если они протекают в геометрически подобных помещениях.
Пожары, входящие в группу, могут быть подобными, если выполняются
определенные условия. Условия подобия можно установить при помощи
хорошо разработанных в теплофизике методов. Одним из методов анализа
«подобия является метод приведения уравнений пожара к безразмерному
|виду. Сущность этого метода рассмотрим на примере анализа конкретной
(Труппы явлений.
Рассмотрим группу пожаров в геометрически подобных помещениях, у
которых свободный объем не изменяется во времени, т.е. K=c6nst, а газо-
обмен с окружающей средой осуществляется все время через один прямо-
угольный проем. Расположение проема в каждом помещении определяется
координатами нижнего и верхнего краев проема уj иу2> отсчитываемыми
по вертикали от поверхности пола. Расходы поступающего воздуха и ухо-
дящих газов через такой проем вычисляются по формулам [1; 14; 18]:
При <у* <у2
Т. ,____________
7Г =у£г V 0 (1 -0) о2 - А >3/2> I
2 _______
ув=- ев
при У\ > у*
2 ,_________
тг = у $rV 0 (1 -0) [<y2-yj3/2 -
Ув = °1
при у2 <у*
у = О,
'г ’
7в=у *в V1 - 0 [(7*-773/2 - <7*-?2>3/2 b
где у* = у* /h, 71 =У1 /к у2 = y2/h, 7Г = Gr/Go,
Ув ~ Gb^Gg’G° = ^От eh ? =
h — половина высоты помещения; в — ширина проема; g — ускорение сво-
бодного падения; рОт — плотность среды в помещении перед началом пожа-
419
ного топлива, бензина и различных спиртов) в помещениях разных разме-
ров (объемы которых F = 0,045 м3; 2,5 м3 и 420 м3, 6000 м3) с огражда-
ющими конструкциями из кирпича и бетона, была получена в ВИПТШ МВД
СССР формула для расчетов суммарного теплового потока в ограждения
е2=Р2аи [а (Тт - Т0)-в (Тт - Т„;‘ }еп<т>п ~ гоЛ (20.31)
где Тт — среднеобъемная температура газовой среды при пожаре в помеще-
нии, К; То — температура среды перед пожаром, К; а01 =11,63.Вт/м2; —
суммарная поверхность ограждающих поверхностей, м2; а= 0,8 К-1 ;
в = 0,00065 К-2; п= 0,0023 К -1.
Эта формула применима лишь при среднеобъемных температурах среды в
помещении Тт > 333 К. При среднеобъемной температуре То < Тт < 333 К
рекомендуется применять формулу вида
(20.32)
где — то же, что и в формуле (20.31); а02 = 4,07 Вт/м2 а ив — то-же, что
и в формуле (20.31).
В работе [15] на основании экспериментальных исследований теплообме- ;
на при пожаре в помещении с двумя проемами, расположеными на разной j
высоте, была получена формула для расчета суммарного теплового потока
в ограждения
е2=ср0 То £°’0105 (^ - 1) + 0,0118 (0 - I)2 ], (20.33) I
где cpQ — изобарная теплоемкость газовой среды в помещении перед пожа-
ром, Дж/(кг-К); р0 — плотность среды перед пожаром, кг/м3; То — темпе- 1
ратура среды перед пожаром, К; V — объем помещения, м3; Н — высота по-
мещения, м; Р — периметр помещения в плане, м; g — ускорение свободного
падения, м/с2; 0 = Тт/Т0; — среднеобъемная температура газовой среды
в помещении. Формула (20.33) была получена на основании опытов в помеще-
нии объемом V = 200 м3 при сжигании древесины (горючая нагрузка
G = M/F^ = 2,5—4,3 кг/м2) и оргстекла (горючая нагрузка G = 1,1 кг/м2)
при значениях проемности 77= 5np/Fn = 0,02—0,08.
Формулы (20,24) —(20.33) являются эмпирическими. Общим для всех
этих формул является вытекающее из них положение о том, что изменение '
теплового потока в ограждения в процессе развития пожара однозначно
определяется изменением среднеобъемной температуры газовой среды в
помещении.
20.4. Подобие и моделирование пожаров в помещениях
Характер развития пожара в помещении зависит от площади проемов и
их расположения, от вида и количества горючего материала, от теплофи-
зических свойств ограждающих конструкций и других факторов. Всевоз- »
4'Щ
Ножные пожары в помещениях можно разделить с позиций термо газодина-
мического анализа на группы (классы). Пожары, входящие в группу, опи-
сываются одинаковыми по форме размерными уравнениями и условиями
^однозначности. В частности, пожары можно относить к одной группе лишь
]в том случае, если они протекают в геометрически подобных помещениях.
Пожары, входящие в группу, могут быть подобными, если выполняются
'определенные условия. Условия подобия можно установить при помощи
.хорошо разработанных в теплофизике методов. Одним из методов анализа
‘подобия является метод приведения уравнений пожара к безразмерному
'виду. Сущность этого метода рассмотрим на примере анализа конкретной
группы явлений.
Рассмотрим группу пожаров в геометрически подобных помещениях, у
которых свободный объем не изменяется во времени, т.е. V =const, а газо-
обмен с окружающей средой осуществляется все время через один прямо-
угольный проем. Расположение проема в каждом помещении определяется
координатами нижнего и верхнего краев проема уг ну2, отсчитываемыми
по вертикали от поверхности пола. Расходы поступающего воздуха и ухо-
дящих газов через такой проем вычисляются по формулам [1; 14; 18]:
при 71 <7* <72
2 ,________
7Г V 0 О ~0) (у2 - У* J3/2, ,
2 ______
ув=- VO-ЙЗ) (л -.yj3/2,
при 71 > 7*
2 ,________ _ _ ,
?г= з- ^0-0) [/>2-yJ3/2 - fn-yj3/2],
7в = (х
при у 2 < У*
у = О,
'г ’
7в=у *в Vl-0 «7* -7J3/2 - /7* -7г>3/2 ],
где 7* =у* /h, 71 =Уг1К у2 =y2lh, 7Г = GjGo,
y3 = GJG^G^=PQm eh ^ = Pm/PQm,
h — половина высоты помещения; в — ширина проема; g — ускорение сво-
бодного падения; рОт ~ плотность среды в помещении перед началом пожа-
419
pa; £г и £в — коэффициенты, учитывающие гидравлические потери в прое-
мах; у* — координата плоскости равных давлений
К = 1 - я/(1 - 0),
где я = (рт- pQm) КPQmgh) = ($0 - 1) (RljJgh) - относительное избыточ-
ное давление; 0 ~ безразмерная среднеобъемная температура;
TQm ~ температура среды перед пожаром.
Ограничимся условиями, при которых в рассматриваемых помещениях
температура, плотность и состав газовой среды перед пожаром такие же,
как в окружающей атмосфере, а тепловой поток в ограждения при пожаре
можно определять при помощи формулы (20.31)
ТОт [а(0 — I)— в ТОт (0 — 1)2]е" Т0т/в- «.
Запишем уравнения (см. гл. 8), описывающие изменение параметров сре-
ды при пожаре в помещении, в безразмерном виде:
dfi/dr = 7В+Ф~7Г, (20.34)
PfdxJdT) = ув(х1в - xj + 7rxi,(l -nJ- i/Yxi + pLJ, (20.35)
$(dx2 /dr) = $(L2 - x2) + Тв(х2в - x2) - 7rx2 (n2 - 1), (20.36)
$(dx3/dT) = 7в (x^ _ Хз) _ 0Хз _ угХз fn3 _ I;, (20.37)
(llK)(d^/dT) = К, ф+ yB + K3 ф- mi 0yr - K2f(0 ). (20.38)
В этих уравнениях используются следующие обозначения:
r = rG0/p0mK-J=^/Go,«=rm/r0m,
*• = < /^вГ0т. = <'“» ^/^рвСоЛ «3 ЧМ»
f(0)^ [а(0 - I) - вТат(е - I)2] ехр [пТОт(в- 1)].
Начальные условия после перехода к безразмерным величинам (перемен-
ным) принимают вид
3 1?= 0 = К 9 1?= 0= 1,xJ-=q=Q,23,x2\-=q=0,x3\7=q-Q,71. (20.39)
Если '<'зразмерные комплексы и числа L2, Кг, К2, К3, ^,У\,у2 в -
двух сравниваемых пожарах соответственно равны друг другу, то безразмер-
ные уравнения (20.34) —(20.38) для обоих пожаров будут тождественны. За-
висимости величин 0, хг, х2, х3 от г при обоих пожарах будут одинаковы.
Такие пожары называются подобными.
Чтобы при моделировании обеспечить условия = idem, L2 = idem,
Kr = idem, K3 = idem, необходимо сжигать в модели те же горючие материа-
лы, что и в натурном объекте.
420
Из условий yi = idem и у2 = idem следует, что расположение верхних и
нижних краев проема в помещении должно удовлетворять условиям
Лм=ЛнШ’ (20.40)
(20.41)
где w = здесь и далее индексом „м” отмечены величины, относящиеся
к модели, а индексом „н” - величины, относящиеся к натуре; I — характер-
ный размер помещения; ш— масштаб модели.
Из условия равенства чисел К2 для модели и натурного объекта при
rQw2= idem вытекает соотношение, с помощью которого определяется шири-
на проема в модели
вм = вн“’,/!- (20.42)
Сходственные моменты времени для натурного объекта и модели опреде-
ляются из условия равенства временных комплексов
(20.43)
Из условий (20.42) и (20.43) следует, что тм = тн W. Чтобы удовлетворить
условию ф - idem, необходимо иметь в модели скорость выгорания, равную
К = К™2-
Проведенный анализ подобия и сделанные выводы относятся к частной
группе пожаров. Аналогичным образом можно выполнить анализ для других
видов пожаров, отличающихся от рассмотренной группы, например, законо-
мерностью отвода теплоты в ограждения.
20.5. Расчет среднеобъемных параметров состояния газовой среды при
пожаре в помещении с проемами
Необходимость расчета термодинамических параметров среды при пожаре
в помещении и их изменения во времени возникает при определении требуе-
мых пределов огнестойкости строительных конструкций зданий и сооруже-
ний, проектировании противопожарных преград, разработке планов эвакуа-
ции людей и организации тушения пожаров, а также при анализе процесса
развития происшедшего пожара и производстве пожарно-технической
экспертизы.
Изменение среднеобъемных параметров состояния газовой среды в поме-
щении в процессе развития пожара описывается системой дифференциальных
уравнений, вывод которых приведен в гл. 8. Эта система уравнений совмест-
но с начальными условиями и зависимостями, определяющими расходы воз-
духа и газа через проемы, тепловые потоки в ограждения и скорость выгора-
421
ния горючей нагрузки, является весьма сложной. Для решения этой системы
уравнений необходимо использование быстродействующих электронных
вычислительных машин (ЭВМ).
В этом параграфе излагается разработанная в ВИПТШ МВД СССР методика
расчета среднеобъемных параметров состояния газовой среды при развитии
пожара в помещении с прямоугольными проемами, через которые происхо-
дит естественный газообмен с окружающей средой, когда отсутствуют при-
нудительная вентиляция и влияние ветра (или им можно пренебречь). В
этой методике используется эмпирическая формула (20.33) для определе-
ния тепловых потоков в ограждения, применимая лишь для помещений с
ограждениями из кирпича и бетона.
Настоящая методика может быть использована для расчета параметров
пожара в подвальных помещениях зданий, в помещениях спортивного и
культурно-развлекательного назначения, в административных помещениях,
в помещениях предприятий торговли и бытового обслуживания, в склад-
ских и производственных помещениях, если площадь пола не превышает
150 м2, а горючая нагрузка представлена твердыми материалами с относи-
тельно равномерным распределением по всей или большей части площади
пола.
Описываемая ниже методика позволяет рассчитать значения усредненных
по объему помещений таких термодинамических параметров газовой среды
при пожаре, как плотность, температура, избыточное статическое давление,
концентраций кислорода, двуокиси углерода и паров воды, а также величи-
ны массовых расходов поступающего в помещение воздуха и уходящего из
него газа через проемы, положение плоскости равных давлений, суммарные
тепловые потоки в ограждающие конструкции.
Исходными данными при расчете пожара в помещении являются:
геометрические параметры помещения — объем V, м3; высота 2h, м
(здесь и далее h — половина высоты помещения); суммарная площадь по-
верхности ограждений F^, м2; периметр помещения в плане Р, м; i — число
всех проемов; ширина каждого проема в/, м; координата нижней кромки
каждого проема у^, м; координата верхней кромки каждого проема
м (координатау отсчитывается по вертикали от поверхности пола);
характеристики горючего материала — теплота сгорания Q^, Дж/кг; тео-
ретически необходимое количество кислорода для полного сгорания 1 кг
горючего материала кг/кг (стехиометрическое соотношение по кисло-
роду) ; теоретическое количество двуокиси углерода, образующееся при
полном сгорании 1 кг материала Z2, кг/кг (стехиометрическое соотноше-
ние по двуокиси углерода); стехиометрическое соотношение по парам
воды L3, кг/кг; энтальпия продуктов пиролиза zn, Дж/кг; скорость выго-
рания материала пожарной нагрузки ф, кг/с (задается в табличном виде
как функция времени т или в виде аналитической зависимости ф от т);
среднеобъемные термодинамические параметры состояния среды в по-
мещении перед пожаром - температура 70т = Тв, К; давление РОг}уРъ, Па;
плотность РОт=Рв, кг/м3; концентрация кислорода х01 =х1в = 0,23; кон-
центрация двуокиси углерода х02 =х2в =0; концентрация паров воды
х03 =х3в (здесь индексом „в” отмечены величины, относящиеся к наруж-
ному воздуху).
422
%
1»
’<1
t
При численном решении системы дифференциальных уравнений пожара
удобно использовать обобщенные переменные и обобщенные параметры за-
< дачи, представляющие собой безразмерные комплексы, составленные из па-
раметров математического описания процесса. Как уже. отмечалось в гл. И,
это позволяет, с одной стороны, придать результатам численного решения
• обобщенный характер (что представляет интерес при анализе процесса), а
’ с другой — исключает промахи при расчетах, обусловленные использованием
внесистемных единиц измерения.
В качестве безразмерных переменных удобно использовать следующие
величины: (3 /рйт — безразмерная среднеобъемная плотность газовой
среды в помещении; 0= Тт/ ТОт — безразмерная среднеобъемная температура
среды в помещении; тт = (рт- рОт)/рОт — безразмерное избыточное давле-
ние в помещении.
При приведении уравнений пожара к безразмерному виду в качестве
масштаба для расходов воздуха и газов через проем удобно использовать
величину Go = % eh р Qm у/ 2gh, где g - ускорение свободного падения,
м/с2; % - коэффициент расхода проема. Величина Go входит в формулы
для вычисления расходов воздуха GB и газов Gr, полученные в теории газо-
обмена помещения с окружающей средой [14, 18].
В случае, когда в помещении имеется лишь один прямоугольный проем,
эти формулы записываются с учетом введенных выше обозначений следу-
ющим образом:
приу1
7В = 0>
2
V V /3(1-(3) 1/У2 - у,)3/2 - <Уг ~ У*)3/2 1 , J (20.44)
При У! <у*<у2
тв = V’~l - 3 (у*~У1)3/2,
Tr = |-V0 (1-Ю />2-J^3/2> .
приу*>^2
7г = 0,
V 1 - Р [(у*-У1)3/2 -(у*-уг)3/2 ] ,
(20.45)
(20.46)
где ув = GB/G0 — безразмерный расход воздуха, поступающего через проем;
уг =Gr/G0 — безразмерный расход газа, уходящего через проем; yi=yi/h -
безразмерная координата нижнего края проема; у2 = y2/h — безразмерная
координата верхнего края проема; у* = y*/h — безразмерная координата
плоскости равных давлений, определяемая по формуле
. я
У *= 1 -
(20.47)
423
гй? /Г*
В cnyw, когда в жэд&эдшзд имштся йва paawoBfcew* в® доздой >»i-
еоте лрвмоугйиьйых вроем* одайаковой ширины, Идам ия* Ш«йсде-
яия расходов^газа и воздуха ймдог ящ:
1фиХ4и^У*
7Г= (f-Д) f ff& - - z«/s/? *
+ /%* -У*№ - fy&“ ^3/il > ,
1фиЛв<У*<7«
%I Л- >K> 1
£ V >
8 _______’ _ _ '
V > C -^ - У^Я - I^b - W*/2 + :
лриЯзц^г*^» ; .
*
ъ =4- vci-’jb
' c
Tre \ ;
Ч» Лв<
Ъ eX Л -Яа/3/г
e 7~ V &(1ft*- у*/э^а,
№48)
(Ж49)
(Ж5ф
(2OS!>
*фИЪв <Я* '
гв V й“й 1/Л "Jje/;
* $* - Л# //3чЯ*- ?з/л1; ;
г . *
В HWx £2£М$> — (М52) ш^0^39йй№е «ss^W;
яш ^JrA у^*ъ?ь Тя
*Г r? w
где ylw Угн ~ координаты нижнего и верхнего краев проема, расположен-
ного снизу; _у1в, у2в — координаты нижнего и верхнего краев проема, рас-
положенного вверху; у* - координата плоскости равных давлений, которая
"’’Пе- вычисляется по формуле (20.47);
Go = £ в hpom у/ 2gh, £ = 0,8.
Методика вывода формул для вычисления расходов газа и воздуха под-
робно описана в работах [14, 18].
? Система дифференциальных уравнений пожара в безразмерном виде за-
писывается с учетом ранее введенных обозначений:
<^/dT = yB+^ -уг, (20.53)
pfdXi/dr = (0,23-x-J yB + (1 ~'п)х^г -(х2 + qLx) ф, (20.54)
Q (dx2/d:r) = (qL2 -х2)$-х2ув -(п2 - 1)х2Тг, (20.55)
&(dx3ldT ) = (qL3 -x3)W-(x3 -хоз)73 ~(п3 - 1/хз7г, (20.56)
\lK(ditJdT}=(i)K2 + К3) т(срг/срв) 7гв -dur (20.57)
0 = (тг+1)/0. (20.58)
Начальные условия для этих уравнений имеют вид
~ 7 = 0 ~ 1’7Г1т = 0=0’Л'11т=:0 — ^522,
*2lf=o = O, x3|f = х03. (20.59)
В уравнениях (20.53) — (20.57) использованы, наряду с ранее указан-
ными, следующие обозначения: _
т =(rG0)/(pQm V) — безразмерное время; = ^/(70 — безразмерная скорость
выгорания материала пожарной нагрузки; К} =QB/cpBTOm — безразмерный
комплекс; К3 = in/cpBTQm — безразмерный комплекс; qw=Qw/cpBTQmGo —
безразмерный тепловой поток в ограждения; срв — изобарная теплоемкость
воздуха при температуре TQm, Дж/(кг-К); срг — изобарная теплоемкость
газа при среднеобъемной температуре среды в помещении, Дж/(кг-К);
«1, п2 — соответственно, коэффициенты неравномерности распределения
концентраций кислорода и углекислого газа; т — коэффициент неравномер-
ности распределения температуры; 1? — коэффициент полноты сгорания;
К— показатель адиабаты (К = 1,4).
Для вычисления величин ??, nit п2, п3, т, qw и (срт]сръ\ используются
следующие зависимости, установленные экспериментальным путем
т? =0,63 + 0,2xi + 1500xi,
(20.60)
425
= 1,44 — (0,101/ххЛ (20.61)
n2 = 1 + O,O3/(x2 + 0,01), (20.62)
n3=n2, (20.63)
m = 1 +0,08 { 1 - exp [- 50(0 - 1)]} (1 - 0,24 0), (20.64)
cpr/c„B = 1 + 0,0426 (m/P - 1), . (20.65)
Г*- г
qw=(2V/£ehP) [0,0105(0-1) + O,O118(0-I)2]. (20.66)
Значения коэффициентов расхода проемов, через которые осуществляется
газообмен помещения с окружающей средой, при размерах в > 0,3 м и
(У 2 - yj >1м составляют величину £ = 0,8.
При численном решении системы уравнений (20.53) — (20.58) на первых
нескольких шагах счета можно положить, что изменение полной внутрен-
ней энергии среды, заполняющей помещение, пренебрежимо мало. На этом
основании можно принять, что chi/dr =0. Это позволяет существенно сокра-
тить время расчетов. На последующих шагах счета указанное ограничение
снимается и уравнение энергии (20.57) решается в полной форме.
В ВИПТШ МВД СССР разработана программа вычислений, написанная на
алгоритмическом языке Фортран-IV для ЭВМ ЕС-1035 под управлением
операционной системы ОС ЕС. При реализации программы используются
следующие технические средства: процессор ЕС-2635, накопители на магнит-
ных дисках ЕС-5061, перфокарточное устройство ввода ЕС-6012, печатающее
устройство ЕС-7032. Для удобства пользования программой ввод исход-
ных данных и вывод результатов расчета на печать производится в размер-
ном виде (в системе СИ), а их трансформация в безразмерную форму и
обратно осуществляется автоматически.
Исходные данные подготавливаются для ввода в ЭВМ на перфокартах в
соответствии с разработанной инструкцией. Результаты расчета выводятся
на печатающее устройство.
При использовании исходных данных о скорости выгорания пожарной
нагрузки, представленных в табличном виде как функция ф от т, програм-
мой вычислений предусмотрено выполнение кубической сплайн-интерполя-
ции этих данных по специально разработанной программе.
Как показали проведенные исследования, использование известных ме-
тодов Рунге-Кутта и Кутта-Мерсона для решения системы уравнений пожа-
ра в помещении требует значительные затраты машинного времени, что не-
экономично и не позволяет быстро производить расчеты при оперативной
необходимости. Для сокращения машинного времени, затрачиваемого на
численное интегрирование системы дифференциальных уравнений пожара,
в разработанной программе используется метод представления решения в
виде сплайн-функции. Рассмотрим основные положения реализации дан-
426
J ного метода решения подробнее. Пусть дано дифференциальное уравнение
первого порядка с начальным условием (задача Коши)
у =f(x,y),a<x<e, у(а) = у0.
На отрезке [а, в] построим сплайн S(x)
(20.67)
S(x) = yi [3 (1 - t)2 - 2(1 - f/] + y/+1 [3t2 - 2t3] + himi [(1 - t)2 -
-d-^3] -himi+1 [t2-t3],
(20.68)
где k{ = хг-+1 - x,-; t=(x - x^/kj; mi+1 — значения производных в узло-
1 вых точках;у^, уг-+1 — искомые значения функции.
Из начального условия известно значение у0. Для определения остальных
параметров потребуем, чтобы в точке х =а совпадали значения первой и вто-
рой производных функций у и сплайна S
у (а) = m0 = f(a, у). (20.69)
После дифференцирования уравнения (20.67) и подстановки значения
х=а получим
. У(а,Уо) df(a,y0)
У = —----------+ —-----------У (а).
Эх ду
Дифференцирование выражения (20.68) дает
(20.70)
(20.71)
$'(а) = - (6//?о )Уо + (б/ко/у! - (^к^)т^ - (2//г0/ш1.
Для определения последнего параметра сплайна на /г0 обращаются к
равенству (20.68) для сплайна в точке х=хх т- f(xif у х).
Итак, для вычисления значений ylf mQ, тх получена система уравне-
ний:
Уо =у(а),
тй = f (а, у
mrf(a + ho,yx),
тх + 2то=(3/ко)(у1 - у0) - (h0/2) [fda,y*) + f (a, yQ) m0].
л, у
(20.72)
На следующем этапе необходимо, считая параметры ух и тх уже извест-
ными, определить у2 ит2 на отрезке [хъ х2]
т2 =f(x2,y2)
и добавить условие непрерывности второй производной при переходе через
точку X =Xi
+2тг + (1 -ajw2 = 3 [(1 - аг)(у2 —yx)/hx + аг(У1 ~Уо)М, (20.73)
где Gi ^hiKhi +kQ) .
Таким образом, уравнения (20.72), (20.73) позволяют по циклу вычис-
лений получить все искомые значения у t на отрезке [а, в].
I 427
(
' Рассмотрим уравнение сохранения массы (20,53). Из начальных условий
имеем при т =0
0о = 1, 0о = 0.
Далее принимаем значение т = h 0 и
^ = ф1-т] +К3) фъ
0'1=ЗМо(01-1)-(М2)₽,
откуда
01 =hQ/3 +3//г0+(/г0/2)? - + К3) ф, ] =
I
(20.74)
= 1+^/6)1//о+(/го/3)0;. (20.75)
Теперь перейдем к построению циклического процесса счета с использо-
ванием формул (20.72), (20.73). Принимая т =hQ + hi, получим систему
уравнений _
02 = 7В +^2 ~7Г,
02=-^----- з [^(l-i)^^]-^-^. (20.76)
1-сц hi h0
Массовые расходы воздуха и уходящего газа через проемы в огражде- j
ниях помещения зависят от координаты плоскости равных давлений у*. j
Значение данной координаты входит в системы уравнений газообмена для |
однопроемного (20.44) — (20.47) и двухпроемного (20.48) —(20.52) помеще-
ний (или построенной аналогично системы при произвольном числе прое- •
мов).
Решение уравнения (20.53) по подпрограмме ZEROIN с учетом указан-
ных зависимостей при т= hQ позволяет определить значения;/#, ув, уг. После
этого система уравнений (20.74) позволяет вычислить значение
- [i3Ul-0|) + 7- (3, <1 - aj+a,(Sa'+ - (20.77) !
3 (1 - «i) h 1 '
i
«1 * * * * * * В ?
Для момента времени т = hQ + hi +h2 полагаем
00 ~ 01 > 01 = 02 , '
0о=01> 01 = 02 ;
Значения 02 и 02 находятся с помощью системы уравнений (20.74),
(20.75) и уравнений газообмена, причем уравнение энергии пожара решается 0'
при T=ho+hi. Таким образом, циклический процесс для численного ин-
тегрирования дифференциального уравнения сохранения массы построен. [
В качестве примера на рис. 20.5 приведены результаты расчетов пожара f
(сплошные линии) в сопоставлении с данными экспериментов (кружочки, 1
428 !
- безразмерное время; - безразмерное избыточ-
ное давление; xt - койцецтрадия кислорода; х3 - концентрация двуокиси углерода;
0 = - безразмерная сре^феобьемная температура; уг = G^Gq - безразмерный
даеход та через проемы; у* =GB/G0 - безразмерный расход воздуха через проемы;
ф е №&а - безразмерная скорость выгорания древесины; Gq = 9,45 кг/с;
<Дбт ^/®о) = Т* = 24,7 a TQm » 290 К
. треугольники, креетйки й ш)» Яе®УШй«ИК Ирй ПйЖерГ» ЖШИТИРИЮХ
размерами 5Дх$,Ях5^ м с дауыя яршоуголыаы&й! йт«^№^Ш
разнесенными йп высоте. Размеры проешв: йярШг'« » зд
(у$ - Уil a М* м. Координата края вещего ^юе»и
7 у, = 4,13 м, а т&ею края ийжиего вроемл — » <Ц? м' &0ЭДф*%&
Грузка в зкс^ймеотаяшоМ помещении еосШда «з др&имйэд й Bw
ков и досок в к@яОД0ОДаеМ*66йдо.
Наряду с описанной вьиав метщдпсой расчета шфая^р^ иэфий
в помещении яри пожаре на практике дримешивтея таасдф разлагание
рические формулы, полученные для некоторых кедзфй&зх
лаеть применимости таких формул отфедадяется дашшж уевюаий,
которых они получены.
Экспериментальные aeffl®(®ws темпер^туфйого рТяйИии и
НИЯХ и их моделях рж»мвдх размеров (^5x0^34x02 М> «*'
14x6x3,2 м; 66x16x5,2 м) с ограждениями таз кирЩза g
жидкостей (3MW®ro и летает© Tf&m> ЙВЗИЙя* ШтШКйго
метрового сжрюь) жисазаОД что опытные дайИй» ж«
температуры газовой среды в щмдешш удавие^^а®и»»аа
зависимостью вида
Т„/Тв=Л Во\ СШ7»)
не 3^, - срздиовмия* ммадоэф. гаоцсй egmt * потипхитг. К;
Тл - йдаабатаая температура вьтвдяемая ио формула
•% ;
Гж-2« + (пО^,ГЛ . (Ю.7?)
Ж» определения тешк^емкосхй в форезе (2й.?Я тамт»ратур« Тд Вы*'
чаотяется по уравнещио
подучендое зяачея^е ^дсетЕйЕтя в формулу ££&$$) .
В© — безразмерным комидекс (^швдааемвй в датэкмю теории ;
к тадачнзым йроДесеам форму-
ле
* . * •
Up- n^PpF^^FT^; (Шф '
К*СЦ7а₽йВФ<1; К>^Ши₽»М|В>15 «
JSS ** егсфяййк ^фсг; ф.^'вдвффодш ййййош .'. >
«Еораиия; я? —' объемт. тято$1ймот резол apt. ;
шдааратуре 7^ F- суммарная ^«вэйе^Ж№»гп» о^г^Ж№й»О№№.
«ойстружий! (втж шти - ".
кдекэдкзд излучйЯйя й&зовдйа ч?^»№ *m J? ^йй^®*601 <Ж£»»Ь
червд; » -* расход торйвдх ааядодздь -я^П^ ч '
4» '. ' : /- '. ?
( горения, м3 /кг, который вычисляется по формуле
Гг = Кго + Ко/ат-1), (20.81)
1 где Иг° — объем продуктов горения, образовавшихся при сгорании 1 кг
* топлива при теоретически необходимом количестве воздуха, м3/кг; Ко —
i объем воздуха, необходимого для полного сгорания 1 кг топлива, м3 /кг
(см. табл. 20.1); ат — коэффициент избытка воздуха, который вычисляет-
j ся по формуле
® ат= К+ (Fn Pt/TPo) ] /В Ио, (20.82)
jit ? где Ив — объемный расход воздуха, поступающего в помещение вследствие
й » естественной и вынужденной вентиляции, приведенный к нормальным
й условиям, м3/ч; Ип — приведенный к нормальным условиям объем газа в
; помещении, поделенный на время в часах, м3 /ч; р t — плотность дымовых
# газов при температуре Тт , К; р0 — плотность дымовых газов при 273 К
11 Pt = _____________}_____________
1+ (Тт - 273)
1 Величина В вычисляется для горючих жидкостей по эмпирической фор-
муле
в =frM0 (03 + 0,7 х/7/Г0), (20.83)
где — площадь поверхности горения разлитой жидкости, м2; Мо — уста-
। повившаяся массовая скорость выгорания жидкости с единицы поверхности,
кг/(м2-ч) (см. табл. 20.1); т— время, отсчитываемое от начала горения,
мин; т0 = 30 мин — время достижения установившейся скорости выгорания.
Приведенная степень черноты вычисляется по эмпирической формуле
1
' % = 1/ [ 1 + 0,0022 (Тт - 273) ] . (20.84)
Объемная теплоемкость при постоянном давлении
ср = 1,25+ [1,2 + 1/(О,25 + ат) ] 10" 4 (20.85)
где Тт — среднеобъемная температура, К,
Коэффициент А в формуле (20.75) зависит от температуры газов в поме-
щении и определяется по формуле
А = 0,7 NiT° 01, (20.86)
a L
где Nu= —---------- ;
Хг
431
ак = [1,63 — 0,001 (Тт - То) ] 3>/ Тт - Тс — коэффициент теплообмена ’
конвекцией, Вт/(м2К); Тс = 0,2 (Tm - Tj + 0,00065 (Тт — 7’0?2+ То - -
температура на поверхности ограждающих конструкций,________________К;
Хг = 8,5 Тт • IO"5 — теплопроводность дымовых газов, Вт/(м-К);£=\/ Не -
характерный линейный размер помещения, м; Н~ высота помещения, м; в — '
ширина помещения, м; TQ — начальная температура газов в помещении, К.
Как показали расчеты, величина Nu001 изменялась в условиях опытов '
незначительно — от 1,035 до 1,085. С достаточной для практики точностью
значение коэффициента А можно принять постоянной величиной, равной
А = 0,66.
На рис. 20.6 представлено сопоставление формулы (20.78) с опытными
данными. Формула (20.78) описывает изменение среднеобъемной темпера-
туры газа (0 = Тт/Тд) при пожаре в помещении со временем в период от
т = 0 до т = 30 мин.
Формула (20.86) описывает распределение температуры в помещении в
области, окружающей факел горения. При этом величина 0 изменялась от
0,28 до 0,9; число Во — от 0,0087 до 6,35; число Nu — от 24 до 1700.
Расход воздуха Ев, поступающего в помещение за счет естественного газо-
обмена, определяется по формулам теории стационарного процесса аэрации
[18].
Расход воздуха через вертикальные проемы, расположенные на одном
уровне общей шириной в j й высотой h, можно определить по формуле
= 2400 Д в 1
хэ * *
2/г3 g(po - Pt) Ро Pt
W/3 + >/3)3
Ро
(20.87)
где
где д 0,64 — коэффициент расхода через проемы; g — ускорение свобод-
ного падения, м/с2.
Если известен расход поступающего в помещение воздуха за счет естест-
венной вентиляции до пожара (при температуре воздуха в помещении
7ВД = 20 °C и температуре наружного воздуха Гн = 5 °C), то при пожаре
расход газа можно определять по формулам:
VB=nVB ,
(20.88)
где VB - расход поступающего воздуха при Гвн - tH = 15 °C, м3 /ч; п - коэф-
фициент, определяемый по формулам:
а) при Дг = t - t„ = 0 - 300 аС,
х х on М 3
п = At/(12,1 + 0,408 Дг), (20.89)
б) при At > 300 °C
п= 2,4- 5,67 ДНО'4.
(20.90)
432
ftrc. 20.6. SaWMKJCTb &,= Nu)r
CX Д — модели; CX “Л — натурные cCwtcTw;
(20.78)
езяонжа* линия - расчет по формул’
Таблица 20.1
Горючие материалы и вещества M0-2 кг/(м -ч) Vw, кДж/кг ^0, ' м /кг кг, м3/кг Т емперату- ра воспла- менения, °C
Ацетон 158 28 800 7,26 8,14 610
Бензин 160-200 41 870 11,6 12,5 250
Диэтиловый эфир Древесина (бруски, ме- 216 33 500 8,64 9,55 180
бель) 54 13 800 4,2 4,9 —
Дизельное топливо 150 48 870 11,2 12,0 300
Карболитовые изделия 22 26 900 6,8 7,5 —
Каучук натуральный 48 42 000 10,0 10(76 —
Каучук СКС 32 40 000 10,16 10,82 —
Керосин Кинопленка целлу- 160 41'870 11,36 12,29 250
лоидная 4200 16 700 4,5 5,0 —
Книги на деревянных
стеллажах 20 13 400 4,2 4,9 —
Мазут 125 38 700 10,44 11,35 300
Натрий металлический 42-63 10 900 1,15 0,915 —
Нефть 85 41 870 10,8 11,8 380
Органическое стекло 58 25 000 6,0 7,2 —
Полистирол 52 39 000 10,0 11,0 —
Резина 40 33 500 9,97 10,52 —
Текстолит 24 20 900 5,5 6,0 —
Хлопок разрыхленный Штапельное волокно 15 15 700 3,75 4,52 —
разрыхленное 24 13 800 4,2 4,9 —
Этиловый спирт 96-120 27 200 6,69 7,76 465
Уравнение (20.78) представляет собой алгебраическое выражение отно-
сительно среднеобъемной температуры Тт, так как Т.л = f (а и
Во = f (Tm, т). Значение Тт для каждого фиксированного момента време-
ни т можно вычислить, используя метод последовательных приближений или
графический метод решения уравнений.
Уравнение (20.78) можно преобразовать к виду
7,„= 0,66 Т,1 [ 1+ 0,0022 (7^ 273)(20.91)
ао7о z
где q = qBQV/F — приведенное тепловыделение, Вт/м2; z=,qQH/cpTQ 7Г =
=f(Tm , am) — безразмерный комплекс, зависящий от температуры Тт и
коэффициента ат.
Из формулы (20.91) видно, что среднеобъемная температура в помеще-
нии может быть представлена функцией
I
тт ат)- (20.92)
434
9W
0,50,60,70,80,91 2 3 9 5 6 7 85/0
mum iiiiHiui'.ifiaiiHHintiii иiiiiiiiini
•IIIIIIIIUI III ........................................................................... !!>!!!! .I
...........и;;;;;;;:..;;;;;:;:;;:;;;;;;;;:::;;:::;:;::;:;::::;:;:;:;:;::::;:::: ; :
.....in. .............................................................. >•...... ..........................I...:!: .!:!!!!
iiiiiuiiiiiiiiuiiiiiiiifiiitiiiiiuiiiii iiiiiiikUiiiiiiMlill uillllh iiiiiiui ‘iniiniiiiiiiiiiuiii.
iiiiiifitaifitiiiiii'iHiiiiifiiiiiiiiiiiii шин ii i i Ji । iJii и." 11 । ! ||| ! । и । !!
..................... innii imu ' ii.! !| iiii uu i>.'!iiiiii!i !!!!»!!!
mK!!!!!!!!!!!1!!!!!!!!!!!!!!!!!1!.1!!' ,,u,,!‘ •** !»Hh*!iniiin iiiiiiii, н"пи!шш|щ.
!!!!*!!!!'!'!!;«!!!! !!!!!!!!!!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!..>|||}|»>»>**а*Ми«НшНМ|!иВа||ш1Вмич2Ни;;!;
йз
iiiiiiiiiiiHiiiiiiiiiiiiiiiiii iiiiiiui liiuiiiiiiiiiiiiiiiHiiiiiii uiiiiin пиния
huihi itiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii iiiaiuii iiiiiii»
!JSJ1T1!*111,1 и,,тшинii mum ruumiuiiiuiifiiiiiuiii niiiiiii iiiiiiui
IIIIIIIIIIIIIIIIHIII«lUIIIIII IIIIIIUI IIIIIIUIUHIIIIIIIIIIIHIII IIIIIUII lllllliu
1111 1111111111.......шит inn..................................aiiiti niinia iiiiraira
"!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 'I!111111 iimiiuumiiimniuiui шипи uiiiuii
,*iiliiian!aai!!iia !>! !!!!!!! !!!!!!!!!!!>,!|||,>>а|,|,>............... ••ume
imillllVfllHIlIll.miHIIIIIItlllllllllHUH .....
iiitiniiaiiiHiiiiiiiiiniiiiiiiiiiiiriiiiirii ii
.................................... iiiiiuiii iiii!
>!• 1111111 lllllllll I Ilf IIIIIII llllilll) Blll|
mnaiii* iiiiiuiii шиши Ницци ВЦ.Ц...1-..1
RiliiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiitiiiJnHifl mil । !!i!
.......
lllll IIIIIIUI IIIIIIUI
Рис. 20.8. Зависимость Тт - Tq= f (7) при горении жидкости в помещениях
Зависимость (20.92) представлена на рис. 20.7 в полулогарифмических
координатах.
Для сокращения однотипных расчетов по формуле (20.86) и зависимости
(20.92) можно вычислить Тт для времени т0 и далее приближенно опреде-
лить Тт для любого момента времени по графикам, приведенным на
рис. 20.8 при горении жидкостей и на рис. 20.9 при круговом развитии пожа-
ра в помещении по древесине с линейной скоростью 0,1 м/мин. Коэффи-
циент избытка воздуха вычислялся по формуле (20.82) при Кв =0
до ат > 1 и далее принимался равным единице.
436
Рис. 20.9. Зависимость Тт - То = f (т) при горении в помещениях древесины с линей-
ной скоростью 0,1 м/мин
Результаты вышеуказанных экспериментов показали, что при т > 2 мин
температурное поле в помещении удовлетворительно описывается уравне-
нием
Т(х,у) = Тт [0,8 + 0,2 (у/у0 Л [1,33-х/(2х+хоЛ, (20.93)
где Тт — среднеобъемная температура, вычисляемая по формуле (20.78)
или рис. 20.7, К; у0 — половина высоты помещения, м; у — координата,
отсчитываемая по вертикали от поверхности пола, м; х0 ~ половина рас-
стояния от очага горения до места выхода газов из помещения, м; х —
координата, отсчитываемая по горизонтали от очага горения, м. Зависимость
(20.93) представлена на рис. 20.10.
437
ЛИТЕРАТУРА
1. Материалы XXVII съезда КПСС. — М.: Политиздат, 1986.
2. Алексашенко А.А., Кошмаров Ю.А., Молчадский И.С. Тепломассопере-
нос при пожаре. — М.: Стройиздат, 1982.
3. Андрианов В.Н. Основы радиационного и сложного теплообмена. — М.:
Энергия, 1972.
4. Арнольд Л.В., Михайловский Г.А., Селиверстов В.М. Техническая тер-
модинамика и теплопередача. — М.: Высшая школа, 1979.
5. Блох А.Г. Основы теплообмена излучением. — М.: 1962.
6. Бушуев В.П., Пчелинцев В.А., Федоренко В.С., Яковлев А.И. Огнестой-
кость зданий. — М.: Стройиздат, 1970.
7. Жукаускас А., Макарявичус В., Шланчяускас А. Теплоотдача пучков
труб в поперечном потоке жидкости.— Вильнюс: изд. Минтис, 1968.
8. Задачник по термодинамике и теплопередаче в пожарном деле. Под
ред. М.П. Башкирцева. - М.: ВИПТШ МВД СССР, 1979.
9. Зайцев А.М., Крикунов Т.Н., Яковлев А.И. Расчет огнестойкости эле-
ментов строительных конструкций. — Воронеж: изд. Воронежского универ-
ситета, 1982.
10. Исаченко В.П., Осипова В.А., Сукомел А.С. Теплопередача. — М.:
Энергоиздат, 1981.
11. Кириллин В.А., Сычев В.В., Шейндлин А.Е. Техническая термодинами-
ка. — М.: Энергия, 1974.
12. Кошкин В.К., Калинин Э.К. Теплообменные аппараты и теплоносите-
ли. — М.: Машиностроение, 1971.
13. Кошмаров Ю.А. Конспект лекций по курсу „Теплопередача”. — М.:
МАИ им. С. Орджоникидзе, 1972.
14. Кошмаров Ю.А. Газообмен помещения при пожаре. Сб. трудов „По-
жарная профилактика”, вып. 15. — М.: ВНИИПО МВД СССР, 1979.
15. Кошмаров Ю.А., Астапенко В.М., Зернов С.И., Шевляков А.Н. Экспе-
риментальное исследование процесса развития пожара в помещении. Сб.
трудов „Пожарная профилактика”. — М.: ВНИИПО МВД СССР, 1983.
16. Кошмаров Ю.А., Астапенко В.М., Шевляков А.Н. Анализ и разработ-
ка алгоритма пожара в помещении с проемами. Сб. трудов „Пожарная про-
филактика”. - М.: ВНИИПО МВД СССР, 1981.
17. Кошмаров Ю.А., Арсов М.М. Исследование тепло- и массообмена при
испарении взрывопожарных растворителей. — Химическое и нефтяное ма-
шиностроение. - М.: ЦИНТИХИМНЕФТЕМАШ, 1979.
439
18. Кошмаров Ю.А., Башкирцев М.IL, Светашов И.Т., Сидорук В.И. По-
жарная профилактика систем отопления и вентиляции. — М.: ВИПТШ МВД
СССР, 1981.
19. Кошмаров Ю.А., Лимонов В.Г., Решетор Я. Экспериментальное ис-
следование теплового воздействия пламени. — М.: Сб. трудов ВИПТШ МВД
СССР, вып. 5, 1979.
20. Кошмаров Ю.А., Рыжков Ю.А., Свирщевский С.Б. Экспериментальные
методы в механике разреженного газа. — М.: Машиностроение, 1981.
21. Кутателадзе С.С., Леонтьев А.И. Тепломассообмен и трение в турбу-
лентном пограничном слое. — М.: Энергия, 1972.
22. Лабораторные работы по курсу „Термодинамика и теплопередача в
пожарном деле”. Под ред. Ю.А. Кошмарова— М.: ВИПТШ МВД СССР, 1983.
23. Лыков А.В. Теория теплопроводности. — М.: Высшая школа, 1967.
24. Нащокин В.В. Техническая термодинамика и теплопередача. — М.:
Высшая школа, 1975.
25. Новиков И.И., Воскресенский К.Д. Прикладная термодинамика и
теплопередача. — М.: Атомиздат, 1977.
26. Осипова В.А. Экспериментальное исследование процессов теплообме-
на. — М.: Энергия, 1979.
27. Основы теплопередачи в авиационной и ракетно-космической техни-
ке. Под ред. В.К. Кошкина. — М.; Машиностроение, 1975.
28. Оцисик М.Н. Сложный теплообмен. — М.: Мир, 1976.
29. Поповский В.И. Особенности испарения при обтекании поверхности
жидкости воздушным потоком. Сб. трудов „Тепло- и массообмен в техно-
логических процессах производств и при пожарах”. — М.: ВИПТШ МВД
СССР, 1983.
30. Развитие пожара в помещении и его математическое моделирование.
Под ред. И.Г. Романенкова. — М.: Госстрой, ЦНИИСК им. Кучеренко, 1982.
31. Романенко П.Н., Кошмаров Ю.А., Башкирцев М.П. Термодинамика и
теплопередача в пожарном деле. — М.: ВИПТШ МВД СССР, 1977.
32. Романенко П.Н., Кудаленкин В.Ф. Тепло- и массообмен при испаре-
нии растворов. — М.: ВШ МВД СССР, 1965.
33. Романенко П.Н., ОбливинА.Н., Семенов Ю.П. Теплопередача. — М.:
Лесная промышленность, 1969.
34. Руководство по расчету температурного режима пожара в помеще-
ниях жилых зданий. - М.: ВНИИПО МВД СССР, 1983.
35. Сперроу Э.М., Сесс Р.Д. Теплообмен излучением. — Л.: Энергия, 1971.
36. Сукомел А.С., Величко В.И., Абросимов Ю.Г. Теплообмен и трение
при турбулентном течении газа в коротких каналах. — М.: Энергия, 1979.
37. Техническая термодинамика. Под ред. В.И. Крутова. — М.: Высшая
школа, 1981.
38. Теплофизика лесных пожаров. Под ред. В.Е. Накорякова. Новоси-
бирск, институт теплофизики СО АН СССР, 1984.
39. ТрайбусМ. Термостатика и термодинамика. - М.: Энергия, 1970.
40. Шорин С.Н. Теплопередача. — М.: Высшая школа, 1964.
41. Юдаев Б.Н. Теплопередача. — М.: Высшая школа, 1981.
42. Ястржембский|А.(^ и история ее развития. - М-Л.:
Энергия, 1966. | „ „гс,гГ.
| Свердлов ьсго
440 I П1 У А-ССР
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие . . . , » , . . . , ............. 3
ЧАСТЬ I. ТЕРМОДИНАМИКА
Глава 1. Основные понятия и определения
1.1. Термодинамика и ее метод.............................. 4
1.2. Термодинамическая система. Рабочее тело............... 6
1.3. Термодинамические параметры состояния. Уравнения состоя-
ния ...................................................... 9
1.4. Термодинамический процесс. Цикл...................... 13
1.5. Внутренняя энергия термодинамической системы. Энтальпия . . . 16
1.6. Аналитическое выражение работы, совершаемой рабочим телом
при изменении объема...................................... 19
1.7. Теплоемкость.......................................... 22
1.8. Идеальные газы........................................ 25
1.9. Смесь идеальных газов................................. 28
1.10. Реальные газы ................................... 34
Глава 2. Первый закон термодинамики
2.1. Уравнение первого закона термодинамики для закрытых термо-
динамических систем..................................... 36
2.2. Уравнение первого закона термодинамики для открытых термо-
динамических систем..................................... 38
Глава 3. Термодинамические процессы изменения состояния идеаль-
ного газа
3.1. Политропные процессы ................................. 41
3.2. Энтропия идеального газа и ее изменение в политропных процес-
сах .................................................. 47
3.3. Смешение газов........................................ 5 3
3.4. Адиабатное истечение газов............................ 5 6
3.5. Процессы сжатия газа в компрессоре.................... 73
3.6. Рабочий процесс турбины............................... 82
Глава 4. Второй закон термодинамики
4.1. Сущность второго закона термодинамики. Термодинамическая
вероятность и энтропия.................................... 83
4.2. Обратимые и необратимые процессы..................... 88
4.3. Теорема Карно......................................... 90
4.4. Математическое выражение второго закона термодинамики для
произвольных циклов....................................... 96
4.5. Эксергия теплоты....................................... 100
Глава 5. Термодинамические свойства жидкостей и паров
5.1. Основные понятия и определения ....................... 102
5.2. Диаграмма Ts для водяного пара........................ 108
5.3. Диаграмма is для водяного пара........................ 111
5.4. Уравнение Клапейрона-Клаузиуса . . ................... 112
441
5.5. Расчет термодинамических процессов изменения состояния пара
5.6. Дросселирование.........................................
Глава 6. Влажный воздух 12(3
6.1, Параметры влажного воздуха .............................
6.2. Диаграмма Id для влажного воздуха .................... 325
6.3. Смешивание потоков влажного воздуха ....................
Глава 7. Циклы тепловых машин 131
7.1. Классификация циклов тепловых машин.....................
7.2. Циклы поршневых двигателей внутреннего сгорания ........ 333
7.3. Циклы газотурбинных установок........................ • 333
7.4. Циклы воздушно-реактивных двигателей.................. 33?
7.5. Цикл паросиловой установки............................. 342
7.6. Циклы атомных энергетических установок................. 144
» 147
7.7. Циклы холодильных установок.......................... 149
Глава 8. Термодинамический анализ пожара, протекающего в поме-’
щении
8.1. Исходные положения................................... 151
8.2. Среднеобъемные параметры состояния газовой среды в помеще-
нии ........................................................151
8.3. Уравнения пожара..................................... 15g
ЧАСТЬ II. ТЕПЛОПЕРЕДАЧА
Введение. Теплопередача и ее метод................................
Глава 9. Основные положения теории теплопроводности
9.1. Основной закон теплопроводности.......................... 168
9.2. Коэффициент теплопроводности............................... ^gg
9.3. Дифференциальное уравнение теплопроводности.............. Uj
9.4. Условия однозначности для процессов теплопроводности..... ^g
Г л а в а 10. Стационарная теплопроводность
10.1. Теплопроводность в плоской однородной стенке............ 1
10.2. Теплопроводность в плоской многослойной стенке.......... 182
10.3. Теплопроводность в цилиндрической однородной стенке..... 184
10.4. Теплопроводность в многослойной цилиндрической стенке ... 189
10.5. Тепловая изоляция труб. Критический диаметр изоляции .... 191
10.6. Теплопроводность в сферической стенке .................... 193
10.7. Теплопроводность в тонком стержне....................... 194
10.8. Теплопроводность в концентрических ребрах........... 198
10.9. Теплопроводность в телах сложной формы............... . 200
10.10. Применение уравнений стационарной теплопроводности к
решению задач противопожарной безопасности..................... 205
Глава 11. Нестационарная теплопроводность
11.1. Обобщенные переменные и уравнения нестационарной тепло-
проводности .............................................. . 210
11.2. Нагревание тела конечных размеров в среде при малых числах
Био........................................................... 212
11.3. Нагревание неограниченной плоской стенки, омываемой средой
с постоянной температурой..................................... 213
11.4. Нагревание круглого цилиндра» неограниченной длины, омыва-
емого средой с постоянной температурой ........................ 224
11.5. Нагревание шара в среде с постоянной температурой......... 229
11.6. Нестационарная теплопроводность в полуограниченном теле
при постоянных граничных условиях первого и третьего рода . . 234
11.7. Нагревание тел при постоянной плотности теплового потока на
их поверхности............................................... 236
11.8. Нагревание параллелепипеда в среде с постоянной температу-
рой .......................................................... 239
442
11.9. Регулярные тепловые режимы.............................. 241
НЛО. Численные методы решения задач нестационарной теплопро-
водности ............................................. 246
Глава 12. Особенности решения задач нестационарной теплопровод-
ности в пожарном деле
12.1. Изменение физических параметров при нагревании и охлажде-
нии тел в условиях пожара..................................... 249
12.2. Применение аналитических решений уравнения теплопровод-
ности для тел простейшей формы.............................. 252
12.3. Применение приближенных методов решения уравнения неста-
ционарной теплопроводности.................................... 255
Глава 13. Основные положения теории конвективного теплообмена
13.1. Дифференциальные уравнения конвективного теплообмена . . . 266
13.2. Условия однозначности . .............................., 271
13.3. Дифференциальное уравнение теплоотдачи................ 273
13.4. Классификация процессов теплоотдачи................... 275
13.5. Обобщенные переменные и уравнения для процессов тепло-
отдачи ...................................................... 282
13.6. Теория подобия (моделирования)......................... 290
13.7. Анализ размерностей ................................... 295
13.8. Экспериментальный метод исследования процессов теплоотда-
чи ............................................................ 296
Глава 14. Теплоотдача при вынужденном движении жидкости
14.1. Теплоотдача при продольном обтекании плоской поверхности
безграничным потоком жидкости................................ 299
14.2. Теплоотдача при течении жидкости в каналах...........
14.3. Теплоотдача при поперечном обтекании труб.............. 2
Глава 15. Теплоотдача при свободном движении жидкости
15.1. Теплоотдача вертикальной стенки в неограниченном простран-
стве .................................................. ..... 321
15.2. Теплоотдача горизонтальных цилиндров (трубы, проволоки)
и шаров при свободном движении в неограниченном простран-
стве ................................................. 2 25
15.3. Теплообмен на горизонтальной стенке при свободном движе-
нии в неограниченном пространстве ........................ 2 26
15.4. Теплоотдача при свободном движении в ограниченном про-
странстве ................................................... 328
Глава 16. Теплоотдача при изменении агрегатного состояния вещест-
ва
16.1. Теплоотдача при конденсации пара на'поверхности тела . . . . . .
16.2. Теплоотдача при кипении жидкости........................
16.3. Вопросы пожарной безопасности при конденсации пара и ки-
пении жидкостей..............................................
Глава 17. Конвективный тепломассообмен
17.1. Основные понятия, законы и уравнения конвективного тепло-
массообмена .................................................
17.2. Тепломассоотдача при испарении жидкости............. .
17.3. Тепломассоотдача при конденсации пара из парогазовой смеси . .
17.4. Тепломассообмен при наличии химических реакций в потоке
газа.........................................................
Глава 18. Теплообмен излучением
18.1. Основные понятия и определения..........................
18.2. Законы излучения абсолютно черных тел................
1^.3. Излучение реальных тел..................................
18.4. Теплообмен излучением между плоскими параллельными
стенками, разделенными диатермичной средой...................
18.5. Теплообмен излучением между телами, одно из которых заклю-
чено внутри другого..........................................
330
337
346
354
360
362
364
368
371
373
375
376
443
18.6. Теплообмен излучением между твердыми телами, произволь-
но расположенными в пространстве . ......................»
18.7. Расчет безопасных в пожарном отношении расстояний ......
18.8. Тепловые экраны и особенности их расчета в практике пожар-
ного дела................................... . . ..........
18.9. Лучистый теплообмен в ослабляющей среде.....
18.10. Излучение факела пламени в замкнутой оболочке.... . .
Глава 19. Теплообменные аппараты
19.1. Классификация теплообменных аппаратов......
19.2. Основные положения и уравнения теплового расчета тепло-
обменных аппаратов ................................... . . .
19.3. Поверочный расчет теплообменного аппарата............
19.4. Конструктивный расчет теплообменного аппарата
Глава 20. Теплообмен при пожарах в помещениях
20.1. Теплообмен горизонтально расположенного стержня-круглого
сечения, омываемого пламенем......................
20.2. Теплообмен перекрытия, омываемого восходящим от очага
горения потоком газа.......................................
20.3. Теплообмен ограждающих конструкций при пожаре в помеще-
нии .......................................................
20.4. Подобие и моделирование пожаров в помещениях..........
20.5. Расчет среднеобъемных параметров состояния газовой среды
при пожаре в помещении с проемами...........................
Литература.....................................................
379
382
387
389
395
397
398
405
406
408
411
414
418
421
439
Св. план 1987, поз. 107.
Юрий Антонович Кошмаров,
Михаил Прокофьевич Башкирцев
. ТЕРМОДИНАМИКА И ТЕПЛОПЕРЕДАЧА В ПОЖАРНОМ ДЕЛЕ
Учебник
%
Редактор А.А. Симонов Корректор Д.Э. Даулбаева
Сдано в набор 25.У 1.87 г. Подписано в печать 9,Х( 1.87 г. Л - 78430.
Формат 60x90/16. Бумага типогр. Я» 1 офсет. Печатных листов 27,75.
Учетно-издательских листов 23,5. Тираж 3000 экз. Внешторгиздат. Изд. № ЗбЗбэс.
Цена 90 к.
ВТИ. Зак. 2248
167. 25сверху
' 185 -У;- Icsepxy
186 формула(1О.31)
193 формула(10.55)
"• • Г. • *1 • , • , ,
200 ; формула ( 10.82)
:Я^в’:: - :••? ^1$: ;cwepx^’<v-';,-
281 .' :: формула(13.54)
неоднок
^6
г ®
Ях*
/ C2J
/1Т-Г
302
304;
формула (14.10 )
формула (14; 1S);
313
' 34в
375
37Z
'".404’
405
<<32
430
14
11 Сверху
18сьерху
• /• форму ла(18.30)
формула (18.35:1
• • * • I
15 снизу
формула(19»24)
г.у 7У©Й!РЖу^;
‘<.y;l£rcert»i
- г
нарке
.М;<
0Cirii>4l
УС*.