/
Автор: Корявов В.П.
Теги: ядерная, атомная и молекулярная физика физика прикладная математика естественные науки учебное пособие строение вещества издательство студент техника и технологии
ISBN: 978-5-4363-0032-0
Год: 2013
Текст
По строкам - номера пунктов, по столбцам - номера задач. На пересечении столбца и строки - номер
страницы, на которой задача, по книжке. Номер страницы в pdf-файле на больше на^.
1
2
СО
1
2
СО
4
5
1
б
50
91
51
76
112
1
138
2
9
51
93
52
76
112
2
139
180
3
10
51
93
53
33
77
3
140
180
4
9,10
52
93
54
36
77
4
140
181
5
10
52
94
55
37
77
5
181
6
10
53
94
56
37
83
112
6
134
182
7
10
95
57
37
84
7
135
183
8
95
58
39
84
8
184
9
10
53
96
59
42
85
9
10
9
96
60
85
10
141
185
11
11
97
61
86
114
11
143
12
12
97
62
11
86
115
12
144
174
13
14
97
63
12
87
116
13
145
178
14
13
58
98
64
19
88
116
14
188
15
59
98
65
15
88
116
15
146
187
16
59
99
66
89
117
16
147
17
99
67
15
89
117
17
150
189
18
16
60
99
68
26
89
118
18
151
19
16
61
100
69
41
89
119
19
152
178
20
17
61
70
42
62
120
20
153
21
17
71
63
21
154
192
22
69
101
72
43
61
22
154
192
23
17
78
101
73
44
121
23
155
193
24
18
63
102
74
79
122
24
155
194
25
102
75
123
25
157
194
26
19
103
76
79
123
26
157
27
19
70
104
77
87
124
27
158
195
28
64
104
78
81
124
28
159
195
29
20
57
104
79
124
29
196
30
20
79
105
80
125
30
160
175
31
21
81
105
81
122
31
161
32
21
69
105
82
122
32
175
33
22
70
106
83
125
33
162
175
34
22
70
84
34
174
35
71
85
126
35
186
36
23
71
86
127
36
164
196
37
23
72
107
87
127
37
163
38
26
72
108
88
128
38
170
39
27
72
89
128
39
168
40
28
73
108
90
129
40
136
41
29
73
91
130
41
137
42
29
92
130
42
153
43
30
108
93
131
43
146
44
30
109
94
131
44
147
45
74
109
95
132
45
165
46
38
74
110
46
167
47
31
75
110
47
167
48
75
110
48
159
49
31
111
49
50
32
111
50
145
v.- 4
В.П. Корявов
МЕТОДЫ!
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
В ОБЩЕМ КУРСЕ
ФИЗИКИ
СТРОЕНИЕ
ВЕЩЕСТВА
Рски.мс иди и;гно —-
Умебно-мстоднчсским объединением
высших учебных заведений
Российской Федерации
по образованию в области
прикладных математики и физики
в качестве учебного пособия
для студентов высших учебных заведений,
обучающихся по направлению
«Прикладная математика и физика»
и по другим направлениям и специальностям
в области математических и естественных наук,
техники и технологии
Москва «Студент» 2013
Generated by CamScanner
УДК 539.1
ББК 22.3
К66
Л
Рецензенты:
кафедра «Менеджмент* Московского пхударственного института радцл
техники, электроники и автоматики (техническою университета), зав ^
федрои — клнд. техн. наук. дои. И.Г. кудрявиева.
д-р экон. наук. проф. С В Смирнов (Московский государственный индуст¬
риальный университет)
Корявое В.П.
К66 Методы решения задач в общем курсе физики. Строение
вещества: Учеб, пособие / В.П. Корявое. — М.: Студент.
2013. — 199 с.: ил.
ISBN 978-5-4363-0032-0
В учебном пособии подробно разобраны методы решения задач по
теме строение вещества. Задачи систематизированы по разделам, каждый
из которых предваряется кратким изложением теоретического материал.
Ли студентов технических вузов. а также преподавателей физики выс¬
ших и средних учебных заведений.
УДК 539.1
ББК 22.3
ISBN 978-5-4363-0032-0
CamScanner
€ ООО «ТИД «Студент», 2013
Предисловие
Данная книга продолжает рассмотрение методов решения за¬
дач в общем курсе физики, начатое в уже вышедших книгах: Коря¬
вое В.П. Методы решения задач в общем курсе физики. Механика:
учеб, пособие. — М.: Высш. шк., 2007; Корявое В.П. Методы реше¬
ния задач в общем курсе физики. Термодинамика и молекулярная
физика: учеб, пособие. — М.: Высш. шк., 2009; Корявое В.П. Мето¬
ды решения задач в общем курсе физики. Электричество и магне¬
тизм: учеб, пособие. — М.: Студент, 2011; Корявое В.П. Методы ре¬
шения задач в общем курсе физики. Оптика: учеб, пособие. — М.:
Студент, 2012; Корявое В.П. Методы решения задач в общем курсе
физики. Атомная и ядерная физика: учеб, пособие. — М.: Студент,
2012 и издание второе, исправленное: Корявое В.П. Методы реше¬
ния задач в общем курсе физики. Механика: учеб, пособие. — М.:
Студент, 2012. Ссылки на них в тексте будут отмечаться 1 (на вто¬
рое издание), 2, 3, 4 и 5 с указанием соответствующих страниц.
Далее повторяем часть предисловия к вышедшим книгам.
Особенности преподавания физики в Московском физи¬
ко-техническом институте (МФТИ) заключаются, во-первых,
в значительности затрачиваемого времени (шесть семестров) и,
во-вторых, в привлечении к преподаванию по совместительству
сотрудников исследовательских физических институтов Россий¬
ской академии наук (РАН) и различных министерств, т. е. высоко¬
квалифицированных специалистов.
Любая практическая деятельность физиков фактически сво¬
дится к решению конкретных задач. Понимание этого привело
к тому, что и в процессе обучения, и при проверке знаний на экза¬
менах на кафедре общей физики МФТИ большое внимание уде¬
ляется умению решать задачи. Поэтому все экзамены включают
письменные контрольные работы. О достаточной сложности
предлагаемых задач свидетельствует то, что студентам на письмен¬
ных экзаменах разрешается пользоваться учебниками, книгами,
конспектами и другими учебными пособиями.
Придумывать новые задачи — обязательное требование к со¬
трудникам кафедры общей физики. О количестве задач можно су¬
дить, например, по тому, что в первом семестре, посвященном изу¬
чению механики, необходимо иметь 20 задач (контрольная работа
по первому заданию и экзаменационная работа по два варианта из 5
задач). Эта трудная работа (придумывание задач) проводится на ка¬
федре более полувека. Накоплено много хороших задач. Практиче¬
ски исчерпаны все возможные варианты. Лучшие и показательные
(представительные) задачи вошли в три тома сборника под редак¬
цией В.А. Овчинкина. В первом томе (Сборник задач по общему
курсу физики: В 3 ч. / Под ред. В.А. Овчинкина. — Ч. 1. Механика.
3
Generated by CamScanner
Термодинамика и молекулярная физика. — 2-е изд., испр. и доп. —
М.: Изд-во МФТИ, 2002) содержится 1060 задач по механике и 827
задач по термодинамике и молекулярной физике. Во второй том
(Сборник задач по общему курсу физики: В 3 ч. / Под ред. В.А Ов-
чинкина. — Ч. 2. Электричество и магнетизм. Оптика. — М.: Физ-
маткнига, 2004) включено 715 задач по электричеству и магнетизму
и 627 задач по оптике. В третьем томе (Сборник задач по общему
курсу физики: В 3 ч. / Под ред. В.А. Овчинкина. — Ч. 3. Атомная
и ядерная физика. Строение вещества. — 2-е изд., испр. и доп. —
М.: Физматкнига. 2009) содержится 625 задач по атомной и ядер-
ной физике и 576 задач по строению вещества.
В предлагаемой книге систематизированы и приведены мето¬
ды решения задач по строению вещества, содержащихся в указан¬
ном третьем томе задачника (номера задач даны в скобках). Каж¬
дый из пяти тематических разделов начинается с краткого изложе¬
ния основных теоретических сведений.
При подготовке данной книги автором в основном использо¬
ваны следующие издания: Сивухин Д.В. Общий курс физики.
Атомная и ядерная физика. — М.: Наука. — Ч. 1, 1986: Гольдин Л.Л.
Введение в квантовую физику / Л.Л. Гольдин, Г.И. Новикова. —
М.: Наука, 1988; Ципенюк Ю.М. Квантовая микро- и макрофизи¬
ка. — М.: Физматкнига, 2006; Белонучкин В.Е. Основы физики /
В.Е. Белонучкин, Д.А. Заикин, Ю.М. Ципенюк. — Т. 2. — М.:
Физматлит, 2001; Физика микромира / Под ред. Д.В. Ширкова. —
М.: Сов. энциклопедия, 1980; Орир Дж. Физика. — Т. 2. — М.:
Мир, 1981; Сивухин Д.В. Общий курс физики. Оптика. — М.: Нау¬
ка, 1980; Киттель И. Введение в физику твердого тела. — М.: Нау¬
ка. 1978; Ландсберг Г.С. Оптика. — М.: Наука, 1976; Залман Дж.
Принципы теории твердого тела. — М.: Мир, 1974. Весьма полез¬
ными были для автора методическое пособие для преподавателей,
подготовленное А.В. Степановым, и пояснения к решениям задач
в указанном ранее третьем томе сборника задач, написанные
В.А. Овчинкиным, А.О. Раевским и Ю.М. Ципенюком.
Предполагается, что основными читателями данной книги мо¬
гут стать преподаватели и студенты физических специальностей
университетов и институтов, а также учителя средних общеобразо¬
вательных школ.
Более 40 лет автор имел возможность общаться с сотрудника¬
ми кафедры общей физики МФТИ и благодарен им за все полез¬
ное, что смог от них получить. Автоп бляго/тяпры профессорам
Generated by UalTTSSlnneT
Введение
Методы решений новых задач создаются на основе общих све¬
дений о рассматриваемых явлениях и известных методах решения
аналогичных задач.
Затруднения при решении задач следует преодолевать допол¬
нительными усилиями, в частности, чтением учебников, беседой
с однокурсниками, обсуждением на семинарских занятиях с пре¬
подавателями. Данная книга может быть полезна, если самостоя¬
тельные упорные предварительные попытки найти решение зада¬
чи не дают результата. Автор старался, чтобы книга не была «ре-
шебником», а помогала освоить методы решения задач, проясняла
трудные вопросы. Если человек не хочет научиться решать задачи,
а стремится лишь к сдаче тетради с выполненным заданием, то он
найдет, откуда переписать готовые решения, может быть и непра¬
вильные, и сделает это без настоящей пользы для себя. Автор на¬
деется, что, воспользовавшись этой книгой, даже ленивый че¬
му-нибудь научится.
В общем курсе физики строение вещества существенно отли¬
чается от школьной программы.
Решение задач полезно проводить по следующему плану:
1) хорошо понять условие задачи, используя рисунки и до¬
полняя их затем по ходу решения;
2) обдумать условие задачи и возможные пути и варианты ре¬
шений;
3) используя нужные физические законы, выписать уравне¬
ния и, если они в векторном виде, то выбрать удобную систему ко¬
ординат, и записать уравнения в проекциях;
4) выписать дополнительные условия, которые необходимы
для решения задачи, и написать решение уравнений;
5) провести анализ результатов решения: по размерности,
правильности предельных значений полученных зависимостей
(с учетом области применимости решения), разумности порядков
вычисленных величин (по грубым оценкам и здравому смыслу).
Наша цель — показать, как общие физические законы, кото¬
рые кратко изложены, позволяют решить большое количество за¬
дач.
Generated by CamScanner
1. Излучение
Свет обладает свойствами как частиц (фотонов), так и эле*
тромагнитных волн (5. с. 6). Излучение света может происходи»'
в результате химического превращения (хемилюминисценц^д^
например, при гниении дерева, при облучении светом от внещНе’
го источника некоторых веществ (фотолюминисценция), электро
ческом воздействии на излучающую систему (электролюминис
пенция) — лампы дневного света, бомбардировке электронами
(катодолюминисценция) и нагревании тел (тепловое излучение)
Последний тип изтучения, в отличие от перечисленных выше, об¬
ладает замечательной способностью к созданию теплового равно¬
весия между излучением, падающим на тело, и излучением, уходя¬
щим от тела, из-за того, что оно нагрето.
Рассматривая равновесное тепловое излучение как идеальный
газ фотонов, содержащихся в вакуумированной полости с непод¬
вижными непрозрачными стенками, имеющими постоянную тем¬
пературу. получим формулу р = р/3, связывающую плотность
энергии теплового излучения р с давлением излучения р. Найдем
связь между энергетической светимостью R (интегральной излуча¬
тельной способностью) абсолютно черного тела и плотностью
энергии теплового излучения р(7) (№ 1.1). Воспользуемся тем же
метолом расчета, который применялся при рассмотрении молеку¬
лярного движения (2, с. 168). Фотоны, находящиеся внутри полос¬
ти. сталкиваются с ее стенками. Движение фотонов считаем изо¬
тропным с одинаковой скоростью с. Фотоны
падают под разными углами 0 к нормали
к площадке поверхности полости ds. На
рис. 1.1 показана площадка и элемент объема
газа фотонов, из которого фотоны попадают
на площадку под углом 0. Благодаря симмет¬
рии относительно нормали к площадке этот
объем можно записать так:
dy= rdQdr 2rtrsin0 = 2nr2drsmQdQ. (U)
Обозначая число фотонов, обладающих энергией в интервале
(Лео. А(ш + Л>)) в единице объема dKy получаем, что в объеме dVих
>дет пы . Используя изотропность, находим, что в направлении
площадки ds летит их доля </jcos0 / (4nr1).
1учаем|ИМ 0^)азом’для мисла Ударяющих в площадку фотонов по-
6
by uambeanner
d2z^ — d/i^lnrdrs'inQdQdscosQ / (4кг2) =
= (\/2)dn(idssinQcosQdQdr. (1.2)
Учитывая, что dr = cdt, лля числа фотонов, ударяющих в еди¬
ницу поверхности за единицу времени, имеем
х/2
d2z/(dsdt) = (\/2)dnac J sin 0 cos QdQ = dn ec/4. (1.3)
0
При упругом ударе каждый фотон, подлетающий к площадке
ds под углом 0 к нормали со скоростью с и импульсом ры =Ьсо/с,
передает стенке импульс 2pvi)cos0. Используя (1.2), для давления на
поверхность полости, которое обозначим р, получаем
к/2
р= fdP.*f I 2cos0(l/2)/ico^7(J sin 0 cos 0^/0 =
(о) (o>) О
= (1/3) Jф„ = p/3, (1.4)
<e>)
где p(j — спектральная плотность энергии излучения.
Для характеристики теплового излучения воспользуемся фото¬
метрическими понятиями, используемыми в оптике (4, с. 37).
Поток энергии Ф — это количество энергии, которое излуча¬
ется в единиц>' времени (мощность излучения). Поток, испускае¬
мый единицей поверхности излучающего тела по всем направле¬
ниям (в полупространство), называется испускательной способно¬
стью, или энергетической светимостью (обозначим L). Эта
величина является функцией частоты излучения и зависит от тем¬
пературы и природы тела. Поток будет определяться формулой
ж
Ф = (1.5)
О
Если на единицу поверхности тела падает световой поток
то часть этого потока d0a будет поглощаться телом. Поглощатель¬
ной способностью тела называют величину
KT=d<t>:/d0„. (1.6)
Максимальное значение этой величины равно 1. Кирхгоф на¬
звал тела, для которых Ат r = 1 для всех частот и температур, абсо¬
лютно черными, или абсолютно поглощающими телами.
7
Generated by CamScanner
Закон Кирхгофа: отношение испускателыюй и поглощательной
способностей тела не зависит от природы тела, а является универ
сальной зависимостью: испускательной способностью абсолютно
черного тела
А», т /А», г L, г-
(\.1)
Этот закон имеет обший характер и основан на взором намяло
термодинамики (2, с. 65), в силу которого тепловое равновесие,
установившееся в изолированной системе, нельзя нарушить обме¬
ном теплом между частями системы.
Моделью абсолютно черного тела можно считать малое отвер¬
стие в полости внутри твердого тела, в которой установилось теп¬
ловое равновесие. Используя (1.3), для плотности потока излучения
(энергия с единицы площади за единицу времени) абсолютно мер
ного тела
d2(*>/(dsdt) = у( 7) = р( 7)с/4. (1.8)
Вводя Вп — яркость протяженного источника в направлении
угла 0 относительно нормали к площадке — находим плотность
потока в телесный угол dQ.
djQ = B^cosQdQ. (1.9)
Если Bh не зависит от угла 0, т. е. Bti = В, то для такого источни¬
ка, называемого ламбертовым, для суммарной по частоте плотно¬
сти потока энергии излучения абсолютно черного тела с единицы
площади поверхности в телесный угол 2л получаем
п/2
у= f Bcos6-2n sin Ode = пВ. (1.10)
о
Имея в виду, что плотность энергии излучения р(7) связана
с равновесием теплового излучения с веществом и, следовательно,
может меняться в зависимости от температуры, получаем для
внутренней энергии фотонного газа dE = d(pV) - Vdp + pdV (здесь
V — объем фотонного газа). Поэтому для энтропии (2, с. 66), ис¬
пользуя (1.4), находим
dS = (dE + pdV)/T = Vdp/T + (4/3)p dV/T =
= (V/T)(dp/dT)dT + (4/3)(p/7) dV. (1.11)
Так как это полный дифференциал, то, учитывая, что р являет¬
ся функцией только Т, получаем
8
Generated by CamScanner
d[(V/T){dp/dT)\/dV= Э[(4/3)(р/7)]/д7,
откуда
Ф/р = 4dT/T.
Следовательно (№ 1.2),
Р = аТ\ (1.12)
где а — постоянная величина, которую можно связать с постоян¬
ной Стефана—Больцмана (ст = 5,67* 10-5 эрг/(с см2 К4)) (см. (1.45а))
а = 4 сг/с. (1-13)
Используя (1.3), для потока излучения с единицы поверхности
в полупространство имеем
Л 7) = рс/4 = асТ4/ 4 = стГ. (1.14)
Эту величину называют также интегральной излучательной спо¬
собностью.
Учитывая (1.4), при задании давления, из (1.12) можно найти
внутреннюю энергию в объеме.
Из (1.11) для энтропии фотонного газа в постоянном объеме
(учитывая, что при нулевой температуре энтропия равна нулю)
получаем (№ 1.2)
dS = 4aVT2dT и
S = (4/3)<з VT1 - (16/3)(ст/с) (1.15)
Так как Е= рК= а К'Г4, для теплоемкости при постоянном объе-
ме получаем
Су =T( = 4aVT!.
(Мб)
Давление в объеме
р = (1/3 )аТ\
(1.17)
откуда с учетом (1.16)
р/Т = (С./Ю/12.
(1.18)
Для идеального одноатомного газа молярная теплоемкость
С„ = (3/2)/?, а молярный объем К= ЯГ/р, поэтому
Cn/V=d/2 )р/Т.(1.19)
В результате получаем (№ 1.4, 1.10), что при одинаковых р и
Т теплоемкость единицы объема идеального одноатомного газа
Сп/У= (С„/!/)/8.
9
Generated by CamScanner
Из (1.17) и (1.13) имеем, что давление равновесного теплового
излучения (№ 1.8) равно р = I атм при температуре 7’= (Зр/я)|/4 «
* 1,4*105 К.
Если газокинетическое давление р = пкТравно давлению рав¬
новесного теплового излучения (1.17) при температуре Т= 300 К,
то концентрация молекул газа (N° 1.9) п = 4аТ'/Оск) * 1,8*10 7см~3.
Найдем, при каком давлении р газообразного неона, находяще¬
гося в замкнутом сосуде постоянного объема в равновесии с теп¬
ловым излучением, его теплоемкость равна теплоемкости тепло¬
вого излучения в том же объеме при Т— 500 К (№ 1.6). Используя
(1.19) и (1.16), находим
р = (8/3)аТ* = (32/3)(а/с)ТА = 1,26 10 3 дин/см2 =
= 1,26*10"4 Па = 1,26*10'4 атм к 10‘ft мм рт. ст.
Для свободной энергии фотонного газа (2, с. 104) получаем
(№ 1.4)
Ч* = Е - TS= -(4/3)(cs/c)VT*. (1.20)
Из (1.11) для адиабаты фотонного газа (№ 1.7) имеем
рК4/3 = const. (1.21)
С учетом (1.4)
ру*п = const. (1.22)
Таким образом, показатель адиабаты фотонного газа у = 4/3
(как для трехатомного идеального газа). Отметим еще, что изобара
совпадает с изотермой.
Поэтому для фотонного газа теплоемкость при постоянном
давлении (№ 1.7) Ср = оо.
Для изменения энтропии при расширении вдоль изотермы
(Nq 1.3) из (1.11) имеем AS = (4/3)аТ*АУ.
Найдем работу, которую совершает фо¬
тонный газ в цикле Карно (рис. 1.2) (№ 1.5).
Из (1.12) и (1.21) на адиабатах получаем
(TJТ2У = VJVS = Vy/V2. Из (1.11) для коли¬
чества теплоты на изотермах 012 = (4/3) х
х aT,\V2 - К,) и 034 = (4/3)аТ2\У4 - И3). Ра¬
бота в цикле Карно
А ~ Q\2 Qh =
= (4/3)д7’|3(7'1 - Т2)(У2 - К,).
Generated by CamScanner
Вселенная, возраст которой /, ~ 10'° лет, заполнена равновес¬
ным излучением, температура которого в настоящее время равна
Тх « 3 К. Начиная с эпохи, когда его температура составляла Т,, =
« 3000 К и образовались нейтральные атомы, излучение слабо
взаимодействовало с веществом, расширяясь вместе со Вселен¬
ной. Как указывают все космические данные, этот процесс рас¬
ширения можно считать адиабатическим. Оценим возраст Вселен¬
ной t к моменту образования нейтральных атомов, считая скорость
ее линейного расширения постоянной (№ 1.62). При адиабатиче¬
ском расширении энтропия постоянна. Используя выражение для
энтропии фотонного газа (1.15), получаем
УТЪ = const.
Объем V ~ Л так как скорость расширения постоянна.
В результате
t = txTJT^ « 107 лет.
Цилиндрический сосуд разделен на две части теплонепрони¬
цаемым поршнем, который может свободно перемещаться вдоль
цилиндра герметично и без трения. В одной части сосуда находит¬
ся идеальный газ, а в другой — равновесное тепловое излучение при
температуре Т = 103 К. Найдем концентрацию атомов газа, если
при малых изменениях температуры в обеих частях сосуда на одну
и ту же величину направление смещения поршня не зависит от
знака этой величины. Определим, чему была равна начальная тем¬
пература газа Тг (№ 1.11). Поршень неподвижен, если одинаковы
давления на него с разных сторон. Используя уравнение состоя¬
ния идеального газа (2, с. 9), (1.17) и (1.13), обозначая температуру
газа Г,, температуру теплового излучения Г2, получаем
рх = пкъТ\ = 4стГ24/(Зс) = р2. (1.23)
Здесь предполагается, что давление имеющегося в газе тепло¬
вого излучения пренебрежимо мало по сравнению с газокинетиче¬
ским. Для числа частиц газа, которое остается постоянным можно
написать: N= nV- const. При изменении температуры
(.дп/дТ)У + п(дУ/дТ) = 0. (1.24)
По условию направление смещения поршня, т. е. знак измене¬
ния объема не зависит от знака изменения температуры. Это воз¬
можно только при условии (дУ/дТ) = 0. В таком случае из (1.24)
и (дп/дТ) = 0. Используя это при дифференцировании (1.23) по Г,
находим
11
Generated by CamScanner
/; кк(П] - l6a7iV//;/(.V).
По условию dT{ = r/'/j, поэтому
n = 16аУуУ(ЗА,,с) 7..НО"1 см \
Подставляя это в (1.23), получаем начальную leMiieparypy law
Тг = Г/4 * 250 К.
Для давления теплового излучения и пне получаем
Р,«/А = (V'/V = 1/256 « I.
Это подтверждает, что давление теплового излучения в пне
можно не учитывать.
Оценим световое давление внутри ядсрноО урановой бомбы
в момент ее взрыва, предполагая, что излучение равновесное,
а температура внутри бомбы Т— 10 коВ. Найдем, каково при этом
газокинетическое давление. Плотность урана р IX,7 г/см1. Будем
считать, что происходит полная ионизация атомов урана (Nl> 1.63).
Используя (1.23), находим
рсн = 4а7’4/(3с) ^ 4,6-К)17 дин/см* ~ 4,5* 10м атм;
Ршш"кшТ= NApkhT/A* 710м атм.
Над плоскостью, зачерненной с обеих сторон, на высоте И рас¬
положен центр шара радиусом а « //, являющийся источником
равновесного теплового излучения с температурой Т{). Найдем ста¬
ционарное распределение температуры на плоскости, считая, что
система находится в вакууме, фон теплового излучения отсутству¬
ет и теплопроводностью вдоль плоскости можно пренебречь
(№ 1.12). Стационарность излучения шара поддерживается посто¬
янством его температуры. Стационарность каждого элемента
плоскости определяется тем, что поток теплового излучения, при¬
ходящий от шара равен потоку теплового излучения от элемента
поверхности в полупространство над элементом и полупростран¬
ство под ним. По условию источники являются черными телами.
По закону Ламберта для них поверхностная яркость, определяю¬
щая поток энергии (1.9), в соответствии с (1.10) и (1.14), В -
= аТ4/п. Поток теплового излучения с площадки dsx в телесный
угол dCl2 под углом 0, (рис. 1.3)
d2 Ф = (aTn*/n)ds{cosQ\dCli2. (1.25)
12
Generated by CamScanner
Телесный угол dfl2 определяется пло¬
щадкой ds2, на которую падает излучение
и расстоянием R от площадки dsx
dd, = *2cos02//?!. (1.26)
В случае излучающего шара задача
обладает осевой симметрией относитель¬
но оси, проходящей через центр шара
перпендикулярно плоскости (рис. 1.4).
Температура плоскости зависит только от рас¬
стояния г от оси симметрии Т = 7\г). В качестве
телесного угла dCl2 Для всех площадок на поверх¬
ности шара будем брать, учитывая, что а « Л,
угол, под которым видно кольцо радиуса г и ши¬
рины dr
dCl2 я 2nrdr cosGj//?2 ж
« 2nrdr -И/(И2 + г2)3/2.
Условие а « И позволяет считать cos03 я И/(1г +
+ г2)1/2 и 0, я ф, где ф — угол между нормалью к dsy
(радиус, проведенный к этой площадке) и осью
симметрии, поэтому
Рис. 1.3
Рис. 1.4
dsycos0, я dsxсоБф = dsu,
(1.27)
где dsn — проекция dsy на экваториальную плоскость шара. Сумма
этих проекций по поверхности полусферы равна тш2. Поток излу¬
чения от шара, поглощенный кольцом, равен потоку, уходящему
от кольца,
d<T> = iuP(gT0*/n)2nrdrh/(h2 + г2)3/2 = 2nrdr2aT*(r),
откуда
Т\г) = (\/2) T0W И/(И2 + г2)3/2. (1.28)
Вместо шара аналогичным образом над плоскостью, зачернен¬
ной с обеих сторон, можно поместить параллельно плоскости на
высоте h круглый диск радиусом а « А, являющийся источником
равновесного теплового излучения с температурой Г0. Найдем ста¬
ционарное распределение температуры на плоскости Т(г), где г —
расстояние по плоскости от оси симметрии, считая, что система
находится в вакууме, фон теплового излучения отсутствует и теп¬
лопроводностью вдоль плоскости можно пренебречь (№ 1.14).
13
Generated by CamScanner
Рис. 1.5
Используя обозначения предыдущей задачи и рис. 1.5,
получаем из (1.26) для площадки ds2, находящейся на
расстоянии г от оси симметрии (в данном случае нет
необходимости брать колечко),
dQ2 = ds2cosQ2/R2.
Подставляя это в (1.25) и имея в виду (рис. 1.5), что
О, = 02, имеем
(nT^/n)dS\COsQ^ds2cosQ2/R2 = 2aT\r)ds2.
Полагая cte, = па2, находим
Т*( г) = (\/2)T*a2h2/(h2 + г3)2. (1.29)
Еще один вариант подобной задачи,
когда источником теплового излучения
является бесконечный круглый цилиндр
радиуса а, ось которого параллельна плос¬
кости и находится на расстоянии h от нее
(N° 1.13). Эта задача, в отличие от преды¬
дущих, обладает плоскостью симметрии.
По координате параллельной оси цилинд¬
ра нет никаких изменений. Расчеты будем
делать на единицу длины в направлении
этой координаты. В данном случае вместо
телесного угла dQ. надо брать dQ. Исполь¬
зуя (1.9), (1.10) и (1.14), находим Вп = В =
= ст7’4. Из рис. 1.6 и аналогии с (1.27) на¬
ходим
cr7j,4tf ds2cos$/R = 2oT*ds2,
откуда
Г (г) = (1/2 )T^ah/(h2 + г2).
цилиндр
шар
диск
На рис. 1.7 качественно показа¬
но изменение равновесной темпе¬
ратуры на плоскости.
Для уничтожения в нижних
слоях атмосферы старого космиче¬
ского аппарата — шара радиусом
R = 1 м — с Земли запускают ракету,
Generated by CamScanner
которая летит навстречу цели. При спуске шар раскалился, при¬
чем температура его поверхности Т = Г0cos-0 (7; = 1000 К, угол
0 отсчитывается от направления его движения). Найдем, с какого
наибольшего расстояния L головка самонаведения ракеты начнет
регистрировать тепловое излучение шара, если ее чувствительность
j = 5*10-7 Вт/м2 (№ 1.65). Предполагая, что источник подчиняется
закону Ламберта (яркость не зависит от угла), и используя (1.25)
и (1.26), получаем для потока энергии от шара (рис. 1.8)
d2 Ф = (a7'o4/Tc)coss06/51cos0,i/n:.
где dCl2 = ds2cos02 /L2 и dsx = 2тг/&1п0/?с/0.
Считая, что 02 « 0 и 0, =в 0, получаем
- 1
j = d*<P/(ds2dt) = (стГ04/я)(2лЛ-7^г)/cos" 0</(-cos0) =
о
= oT0‘f?/(5L-).
Отсюда Lm„ = T0!R[a/(5jmJ\l - = 150 км.
В замкнутом вакуумированном объеме, стенки которого на¬
греты до температуры Т— 1000 К, подвешены два черных шарика
радиусом а = 1 см, охлаждаемые до низких температур. Расстоя¬
ние между шариками L = 1 м. Оценим направление и величину си¬
лы, действующей на каждый из шариков, пренебрегая дифракци¬
онными эффектами (N° 1.67). На шарик, находящийся в поле рав¬
новесного излучения, со всех сторон приходит одинаковый поток
энергии, дающий одинаковые импульсы. Из-за симметрии сила
отсутствует. При наличии второго охлажденного шарика из объе¬
ма, который он занимает не приходит поток энергии, т. е. отсутст¬
вует поток, который мог бы идти из этого места, если бы там было
излучение с равновесной температурой Т. Используя (1.25)
и (1.26), для плотности потока на второй шарик получаем
j = oT*4na2/(4nL2).
Умножив это на площадь поперечного сечения шарика и раз¬
делив на с, находим силу, которая не действует на шарик из-за от-
15
Generated by CamScanner
сугствия в объеме другого шарика равновесного излучения. Это
сила, которая тянет один шарик к другому:
F= [a7'‘W/(4jt.Z,J)]iw7c = аТ'па*/{сО) = 6-1 (Г7 дин.
Линза со светосилой 1:16 (это отношение D2/F2) собирает сол-
нечный свет на поверхность черного шарика, помещенного в ваку¬
ум. Найдем, до какой температуры Тможет нагреться шарик, диа¬
метр которого равен диаметру изображения Солнца, считая Солн¬
це абсолютно черным телом с температурой Тс = 6000 К (N9 1.18).
Обозначая расстояние от линзы до Солнца L и радиус Солнца R и
используя (1.10) и (1.14), получаем поток излучения, падающий на
линзу (диаметр D),
а Тс44пВ?[к(0/2)2/ L2]/(4n).
Этот поток приходит на шарик, диаметр которого d совпадает
с размером изображения Солнца, которое получаем в фокальной
плоскости на расстоянии F. Поэтому d = (2R/L)F. При равновесии
вся приходящая энергия излучается шариком (как черным телом).
В результате
oTc44KjF[n(D/2)2/L2]/(4n) = oT4n(d/2)2.
Подставляя радиус шарика, находим
Т= (TC/2)(D/F)W2 = 1500 К.
Объектив диаметром D = 5 см и фокусным расстоянием F= 5
см фокусирует солнечный свет на абсолютно черный шар диамет¬
ром d= 1 мм, обладающий высокой теплопроводностью и находя¬
щийся в высоком вакууме вне Земли, на ее орбите. Определим
температуру Т шара, принимая, что плотность потока солнечной
энергии равнаус = 0,14 Вт/см2, температура стенок сосуда Т0 = 300
К, потерями энергии в объективе можно пренебречь, а угловой
размер Солнца ас = 0,01 рад (№ 1.19). Эта задача отличается от
предыдущей задачи тем, что шарик находится внутри сосуда, в ко¬
тором установилось равновесное тепловое излучение. К потоку,
прошедшему через линзу на шарик, надо добавить тепловой по¬
ток, соответствующий установившемуся в сосуде тепловому излу¬
чению от стенок
jckD2/4 + ст T^4nd2/4 = oTA4nd2/4.
В результате
16
Generated by CamScanner
T- Toll +ycTt£)V(4ar04 * 2000 К.
Найдем отношение плотностей потоков энергии корпускуляр-
ного и электромагнитного излучения Солнца в околоземном про¬
странстве. Считаем, что корпускулярный поток представляет со¬
бой нейтральную плазму из протонов и электронов с концентра¬
цией п — 5 см частиц каждого сорта и скоростью потока v — 300
км/с, а Солнце источник равновесного теплового излучения
с температурой Т — 6000 К. Выразим результат через угловой раз¬
мер ас Солнца, т. е. угол, под которым с Земли виден диаметр
Солнца (ас = 0,01 рад) (№ 1.20).
Плотность потока энергии корпускулярного излучения при
изотропном движении частиц
Укор = 0/2)(awp + mc)v2nv/4.
Обозначая радиус Солнца г и радиус орбиты Земли R, получа¬
ем а = 2r/R и поток теплового излучения на орбите Земли
Лил = 4лг2аГ/(4тг/?2) = а Га2/4.
Отношение потоков энергий
Укор//изл = "К + We)v7(2ac2cjГ4) « 1,5-10“®.
Солнечная постоянная Jc означает мощность излучения, па¬
дающего на единицу площади, помещенной перпендикулярно
солнечным лучам за пределами земной атмосферы на расстоянии
от Солнца, равном среднему расстоянию между Землей и Солн¬
цем L = 1,5*10® км. Принимая /с = 0,14 Вт/см2 и радиус Солнца
Rc = 7-105 км, определим радиационную температуру Град излучаю¬
щей поверхности Солнца (№ 1.21). Используя (1.14), получаем
стГМл/^2 = Ус4лЛ2,
откуда Tvm = (Jc/c){/\L/Rc)m « 5,84-103 К.
Абсолютно черное тело подвешено в вакуумной установке так,
что через оптическое окно на него падает солнечный свет. Если
стенки установки охладить до температуры Гст1 = 77 К, то тело бу¬
дет иметь Г, = 275 К. Найдем температуру тела Т2 при Гст2 = 295 К,
если теплопроводностью остаточных газов и подвески можно пре¬
небречь (№ 1.23). Поток теплового излучения от стенок установки
определяется (1.14). В хнду-рапйорестпг излуч|ния~— 1 * —
У поверхности тела, пбгШШёМЪгр Оасвн
(государственный университет)
— . - пиАТП/ Д
2’ 189
Generated by CamScanner
акой же
площадь
17
тела s, находим поток, приходящий на тело от стенок а/‘Д?.
Столько же будет уходить от тела. Если кроме гою на гело прихо¬
дит от Солнца поток Q, то температура тела будет другой (/) и ухо¬
дящий от тела поток будет ранен сумме потоком от Солнца и сте¬
нок g7*s = Q + aTc*s. Отсюда следует, что при различных гсмисра-
турах стенок Т* - Гст|4 = 77* - Тт)\ откуда
Т, = (7Д + Гсг24 - 7;.т14),/4 ■= 339 к.
На графитовый шарик (радиус г — 1 см),
подвешенный точно в центре сферы с зер¬
кальными стенками, находящейся в око¬
лоземном пространстве, с помощью линзы
фокусируется изображение Солнца
(рис. 1.9). Радиус сферы R - 0.25 м. диа¬
метр линзы П = 2,5 см, фокусное расстоя¬
ние линзы F — 0,25 м, угловой размер
Солнца ас = 10 \ температура поверхно¬
сти Солнца Тс = 610' К. Считая графит аб¬
солютно черным телом, найдем установившуюся температуру ша¬
рика r(Nb 1.24). Все излучение от Солнца попадает на шарик, так
как изображение Солнца на поверхности шарика acF = 0,25 см
меньше диаметра шарика. На рис. 1.10 (не
в масштабе) изображены Солнце и линза, че¬
рез которую излучение Солнца попадает на
шарик. Используя (1.10) и (1.14), получаем
В = <jT*/n. С помощью (1.9), считая, что
L » Rc и 0, я ф, находим поток излучения от
Солнца, проходящий через линзу
я/2
f (оТ* / 7r)cos<p(27t/?c sin ф/?с<Лр/ L2)kD: /4 =
о
= а 7’с4( ас/2 )2 л Z) 2/4.
От зеркальной поверхности сферы все из¬
лучение шарика возвращается к нему обрат¬
но. Потери только через линзу. При темпера¬
туре шарика Т они* составляют
4тгг2аГ(7г7)2/4)/(4я/?2) = оТ\г/R)2nD2/4. При
равновесии
aTc\2nD2/\b = oT\r/R)2nD2/4,
откуда Т - Tc\RaJ{2r)\x'2 * 2000 К.
18
Generated by CamScanner
Оценим^емпературу Солнца, исходя из его видимого углового
размера ас 0,01 рад и температуры земной поверхности (Т3 ^
« 300 К) (№ 1.26). Предполагая, что Солнце и Земля излучают как
черные тела, и считая, что Земля излучает столько, сколько полу¬
чает от Солнца, имеем
<тТс4-4пДс2кЛ32/(4лДврЛ2) = gT34 4kR32,
откуда
Тс = Ч2^/ЯСУ'\
Таким образом, Тс = 273ас',/2 * 6000 К.
Звезда 51 в созвездии Пегас — почти двойник Солнца. Пред¬
полагается, что около этой звезды находится планета с атмосфе¬
рой, схожей с атмосферой Земли. Ее период обращения по орбите
составляет около тпл = 4 сут. Оценим температуру поверхности пла¬
неты Тпя (№ 1.64). Из (1.30) и (1.31) получаем Тпп/Т3 =
= (^орбз/^орбпл)'72- Используя закон Кеплера (1, с. 153), для перио¬
дов обращения имеем (Дорб 3/Rop6 пл)3 = (VO2- В результате
Тпя « ЧVO* = 300(365/4),/3 « 1300 К.
Космонавт оказался в свободном пространстве в тени Земли.
Считая, что его организм в процессе нормальной жизнедеятельно¬
сти выделяет мощность W = 100 Вт, оценим скорость изменения
температуры космонавта, учитывая, что коэффициент отражения
скафандра е = 0,95 (N? 1.27). Из условия следует, что коэффициент
поглощения 1 — е. При равновесии излучение определяется этим
же коэффициентом. С поверхности тела, площадь которого обо¬
значим 5, при температуре тела Т поток излучения (мощность) ра¬
вен (1 — e)<jT4s. Обозначая массу тела m и удельную теплоемкость
с и считая, что температура тела меняется не очень быстро, полу¬
чаем cmdT/dt = W — (1 - б)сгГ45. Полагая, что теплоемкость тела
близка к теплоемкости воды с = 4,2 Дж/(г-К), масса человека
m — 70 кг, площадь скафандра s = 1 м2, находим dT/dt = [ W -
— (1 — г) oT4s]/(cm) « 0,25*10"3 К/с « 0,96 К/ч.
В свободном пространстве находится железная пластина, одна
поверхность которой абсолютно «черная», а другая — идеально от¬
ражающая. В начальный момент пластина покоилась и ее темпе¬
ратура была равна Т — 103 К. Найдем, до какой максимальной ско¬
рости итах может разогнаться пластина при остывании, если тепло¬
емкость пластины можно считать подчиняющейся закону
2* 19
Generated by CamScanner
(1.30)
(1.31)
Дюлонга—Пти (N° 1.29). Для потока теплового излучения с еди¬
ницы поверхности пластины из (1.9), (1.10) и (1.14) находим
djQ = (a7'4/n)cos0'2rcsin0</e.
Для потока импульса в этот же телесный угол фв = djjc. Разго¬
няет пластину только составляющая импульса нормальная к по¬
верхности пластины (ось г). Интегрируя по углам для ускоряюще¬
го импульса с единицы поверхности пластины, получаем
р: = 2ст7’4 / с Jcos20sin0^0 = (2/3)a7l4/c. (1.32)
о
В поток излучения переходит внутренняя энергия пластины.
Обозначая массу пластины М, атомную массу вещества пластины
(в данном случае железа) А, для внутренней энергии пластины, ис¬
пользуя закон Дюлонга—Пти (молярная теплоемкость твердого
тела для достаточно высоких температур равна 3/?, где R — газовая
постоянная) находим Е = 3RTM/A. Эта величина равна потоку
энергии со всей площади пластины за все время излучения
E = uTisjdl.
Из (1.32) для полного импульса получаем
Ртт = (2/3
Такой импульс мог бы создать скорость пластины
«П» = P™JM = 2RT/и 0,1 см/с.
Отметим, что тепловая энергия пластины меньше использо¬
ванной выше, так как при температурах ниже температуры Дебая
(для железа примерно 500 К) молярная теплоемкость существенно
уменьшается.
В настоящее время мощность всех промышленных источников
энергии на Земле составляет W« 1013 Вт, а средняя мощность сол¬
нечной энергии, поступающей на Землю, Wc » 1017 Вт. Найдем,
к какому перегреву АТ поверхности Земли приводят промышлен¬
ные источники. Оценим максимальное значение И/Гтах, если пре-
дельный перегрев, допустимый из экологических соображений,
составляет примерно А Ттлх = 1 К (№ 1.30). При равновесии посту¬
пающей и излучаемой энергии имеем
И/. + И/ — 50(7; + д7у> * soT0\\ + 4АТ/Т0) = Wc + 4WCAT/T0>
20
Generated by GamScanner
где Т0 — средняя температура поверхности Земли
Отсюда АТ = Т0Wf{4tWc) « 710"3 К.
Допустимая по экологическим соображениям мощность всех
промышленных предприятий lVmax = 4И'ДГ!пах/710 * 1,510'5 = 150 W.
Считая Землю абсолютно черным телом, а орбиту Земли кру¬
говой с радиусом R — 1,510" м, оценим среднюю температуру зем¬
ной поверхности, если светимость Солнца Lc = 3,83-1026 Вт. Исходя
из экологических оценок, согласно которым величина допустимо¬
го перегрева планеты Земля составляет Д 71» 1 К., определим допус¬
тимый предел уменьшения радиуса земной орбиты Д/? (N9 1.31).
На орбите Земли плотность потока солнечной энергии
j = Аг/НяД2) = 0,134-104 Вт/м2. (1.33)
Обозначая радиус Земли /?3, получаем условие теплового ба¬
ланса
jnR32 = а Г4 4тг/?32, (1.34)
откуда Г= [//(4а)],/4 * 278 К.
Из (1.33) и (1.34) следует: T*R2 = const и 4Т}АTR2 + T42RAR = 0.
Поэтому AR = —2RAT/T « —109 м.
Оценим, до какой максимальной температуры может разо¬
греться в космосе сферический кусочек металлического урана-238
массой т — 4 г за счет естественной радиоактивности, считая, что
продукты распада не покидают его. Плотность урана р = 18,7
г/см ', полупериод спонтанного деления ТШсп = 10|Ллет, характери¬
стики а-распада: Tl/2a = 109 лет, Еа — 4,2 МэВ. Влиянием солнеч¬
ной радиации и космических лучей пренебрегаем (№ 1.32). Число
ядер в кусочке N= mNJ\x = 1022. Распады описываются (5, с. 198)
уравнением dN/dt = — XN, где X = 1п2/Г|/2. Из условия видно, что
а-распад происходит намного чаще, чем деление ядер. Он вносит
энергию в разогрев кусочка, так как по условию а-частицы не
покидают кусочек. Равновесие достигается, когда получаемое за
единицу времени тепло от а-распада равно излучаемому (1.14)
EaXaN = аГ45, где s = 4л[Зт/(4л:р)]2/3.
Отсюда Т = [Ea\aN/(os)]44 = 11 К.
В криогенной технике для уменьшения теплопотерь, связан¬
ных с тепловым излучением, в вакуумный промежуток между бо¬
лее холодной (Тх) и более нагретой (Тг) стенками вводят систему
21
Generated by CamScanner
I
г
N
1 2 3
Рис. 1.11
N
тепловых экранов (рис. 1.11). Считая
обе стенки, как и все экраны, беско¬
нечно протяженными и абсолютно
черными, найдем уменьшение радиа¬
ционного теплообмена между стенка¬
ми за счет введения N экранов в ста¬
ционарных условиях. Рассчитаем ус¬
тановившиеся температуры экранов
(№ 1.33). Если экраны отсутствуют, то
поток между стенками/0 = а( Т* - Тхл).
В стационарных условиях поток меж¬
ду любыми пластинами один и тот же
j = о{Т; - Г,4) = ст(Г,4 - Г24) = ... = a(7V -
Сложив все части, получим
(7V+ 1У = сг( Т* — О =у0,
откуда j = jJ(N + 1).
Температуры экранов
т; = [(n + 1 - п) т; + п t;\/(n + n, п = i, 2,..., м
При напряжении на диоде V— 500 В температура анода равна
800 К. Оценим температуру анода при напряжении 1000 В для двух
вариантов:
1) уже при напряжении 500 В анодный ток достигает насыще¬
ния;
2) в интервале напряжений 500 — 1000 В насыщения нет,
а сила тока определяется законом трех вторых: / ~ К3/2. Основные
потери тепла происходят за счет теплового излучения анода. По
сравнению с ними все прочие потери могут считаться пренебре¬
жимо малыми. При оценке анод считаем абсолютно черным телом
(№ 1.34). При равновесии вся выделяющаяся мощность излучает¬
ся в соответствии с (1.14), поэтому
WJW2 = (/,^)/(/2К2) = аГ/Да^4).
В первом случае /, = /2 и Т2 = T](V2/Vi)l/i « 950 К.
Во втором случае /,//2 = (VJV2fn. В результате
Т2 = TtVJVtf'* * 1230 К.
Межгалактическое пространство заполнено в основном прото¬
нами с концентрацией п = 1 протон/м3, а также пронизано релик-
22
Generated by uambcanner
.^ным тепловым и «лучением с Температурой /
Равновесное тепловое излучение н замкнутой полости можно
рассматривать как газ фотонов или как электромагнитные волны,
излучаемые стенками полости в результате их нагрева и соответст¬
венно тепловых колебаний атомов и молекул, из которых состоят
стенки. Внутри полости распространяются волны, число которых
определяет число возможных состояний излучений. Приведем
результат вычислений числа возможных состояний для интервала
частот от со до со + </со в объеме Ус учетом возможных двух поляри¬
заций волн
Если на каждое состояние приходится некоторая средняя
энергия <£>, то для интервала частот получаем
Плотность энергии равновесного излучения (функция распре¬
деления)
При равновесии на каждое состояние (степень свободы) при¬
ходится <Е> = кТ/2. Если использовать эту величину, то получаем,
что энергия излучения бесконечна и в основном связана с высо¬
кими частотами (ультрафиолетовая катастрофа). Такой подсчет
описывает экспериментальные данные только при малых часто¬
тах. Подобранные Планком формулы, хорошо описывающие экс¬
периментальные данные, затем получили замечательную интер¬
претацию в предположении, что осцилляторы излучающей стенки
dNm = |а>2КДяУ)|</(о.
(1.35)
dEta = <£>|а)2К/(яУ)|с/со.
(1.36)
рш(со, 7) = (\/V)dEJdm = <£>со2/(7гУ). (1.37)
23
Generated by CamScanner
могут излучать голько порциями (квантами). Гак шролилась киан
товая физика.
В качестве порции была взята величина
/•;=/iv»/hо. М 38;
где 6 = 6,6261 • 10~*? эрге, h = h/(2n) 1,0546’10 '' эрге.
Излучаемая энергия составляет целое число порций
£(, = п/1И = /|/ю>. ( 1.38а;
Вероятность возбуждения разных состояний по Ьольпману
Р„ = Лехр|-£и/(А/)|.
Величина /4 определяется из условия, что сумма пером*!нослсй
всех состояний равна единице
Ж 90
1=2^' =^2еХР1~,?Л‘» 1(к1 ^
я=0 и»И
Таким образом.
ап
Р„ = ехр[-л£0 /(АГ)]/^схр|-л£0/{кТ)\
п-О
Обозначим число всех квантов N и число квантов, обладаю¬
щих энергией £„, N„.
Для средней энергии получаем
ао on 9V
< £. > = (1/ *.£. = / /V)£, = 2 Р'К. =
л=0 я=0 я-О
30 on
£0^Л exp[-/j£0 /(АГ)|/^Техр|-я£0 / (А7 )1. (1.39)
я*0 я=0
Введем обозначение л: = EJ(kT). Знаменатель (1.39) представ¬
ляет бесконечную геометрическую прогрессию, поэтому
оо
2У“=1/<1-о.
я-0
Дифференцируя это соотношение по х, имеем
оо
^пе~пх =е~х /(1 —е-*)2.
я*0
Подставляя полученные выражения в (1.39), находим
<£*> = £0 е~х/(\ - <?-*' = £„/(<”- 1) = Ьш/(еЫ(кТ)-\). (1.40)
24
Generated by CamScanner
Напомним, что усреднение идет по п.
Используя (1.37), для плотности энергии равновесного излуче¬
ния (функции распределения Планка) имеем
pJw> Т) = П/*0 dEJdto = Риаа2 /1п2с3(еЛы/{кГ) -1]. (1.41)
Правило перехода к переменным v = со/(2тг) и А. = с/\ заключа¬
ется в том, что не меняется полное число состояний (степеней
свободы)
р„(со, 7)Ло = pv(v, T)dv = p.(X, (1.42)
Приведем соответствующие выражения
pv(v, Т) = 8nhv\r/[ci(ehv/ik7) - 1)]; (143)
Р,А. 7) = 8яhc/\X\d,c/{kT>) - 1)]. (1.44)
На рис. 1.12 приведено рас- Рш
пределение Планка. Штриховой
линией показана зависимость,
приводящая к ультрафиолетовой
катастрофе (УФК). Площадь под
кривой распределения (1.41)
оо
Р(Т)= /р>0 = я2*47’4/
О
/(15b1ci) = aTi. (1.45)
Отсюда для а получаем
а = к2к4 /(15/i V)= 4ст/с. (1.45а)
Что совпадает с зависимостью (1.14), используя которую мож¬
но для интервала частот от со до со + dco записать
dj» = (с/4)рш(со, 7Уо>. (1.46)
Приравнивая производную (1.41) по со нулю, находим частоту,
дающую максимум функции рм(со, 7)
com * 2МТ/П. (1.47)
Длина волны (см), соответствующая этой частоте при темпера¬
туре Т (К)
\т * 0,52/71 (1.48)
Это известный из экспериментов закон смещения Вина.
Рис. 1.12
Generated by CamScanner
25
Из (1.41) можно найти, как меняется плотность фотонов
п„=Р./(Л«>) = и>1 /I.W"*" -1)|. <1.49)
Из (1.40)
<па> = l/(e*“/,<n -1). (1.50)
Оценим расстояние от наблюдателя до источника первичных
космических лучей (протонов) с энергией Е * I027 эВ, считая, что
оно определяется пробегом частиц до взаимодействия с фотонами
реликтового излучения с температурой Т = 2,7 К, взяв сечение
рассеяния а = 10~4 барн (N? 1.68). Используя (1.49) и учитывая, что
Тм/(кТ)>> 1 при достаточно больших частотах и —1 ~
~Ьы/(кТ) при малых частотах, находим
ас
п = f nwdb) = к ' Т3 / (л: /»V’) = 194 см"3,
о
Длина пробега (2, с.251) /= 1/(лст) « 5102s см » 1,67-107 парсек
(пк), что много больше размеров Галактики (~ 103 пк).
Напряжение в сети возросло на 5 %. Найдем, на сколько про¬
центов увеличится освещенность, создаваемая вакуумной лампой
накаливания с температурой нити 1500 К на длине волны 500 нм.
Нить считаем абсолютно черным телом. Рассмотрим случаи, когда
сопротивление нити R = const и когда R- R(T) = /?,, + а(Т — Т0)
(N9 1.38). При данной температуре нити получаем Лсо/(/с7) =
= 2nhc/(\kT) = 19 » 1. Используя (1.41), находим
р ~ е-*»лк7) и ф ~ [Лсо/(/с Т) 1 e~^,(kT)dT/Т,
откуда Др/р = \h(x)/(kT)]AT/T — 19 ДТ/Т. (1.51)
Считаем, что вся мощность, выделяемая в нити, отводится
только излучением. Обозначая напряжение в сети U, имеем
(U2/R)/T4 = const. Взяв логарифм и вычисляя дифференциалы,
находим
АТ/Т = (1/2)Д £//(/- (1/4)ДЛ/Д. (1.52)
В случае постоянного сопротивления из (1.52) АТ/Т ~
= (1/2)AU/U — 0,25 и из (1.51) Др/р » 0,475. В случае R ~ Т имеем
AR/R = АТ/Т и, используя (1.52) и (1.51), получаем Др/р * 0,38.
26
Generated by CamScanner
3 откачанной до высокого вакуума лампе накаливания с диа-
еТр0м колбы 2 см температура нити равна Г0 = 2500 К. Оценим,
сколько процентов изменится яркость лампы на длине волны
^ s= 5000 А, если из-за дефекта изготовления в колбу попал наруж¬
ный воздух при температуре Г, = 300 К и в ней установилось дав¬
ление р ~ & 10 мм Рт*ст* Молекула азота N2 имеет межъядерное
расстояние d — 0,77 А, энергию диссоциации 9,74 эВ, квант коле¬
бательной энергии Лсокол = 0,29 эВ (№ 1.39). Считаем, что харак-
терНая температура, определяющая порядок кинетической энер¬
гии теплового движения молекул азота, равна температуре нити.
3 таком случае находим кТ0 = 0,216 эВ. При такой энергии не про¬
исходит диссоциации молекул (0,216 « 9,74 эВ), и не возбужда¬
ются колебания атомов в молекуле. Молекулы обладают поступа¬
тельными (тремя) и вращательными (двумя) степенями свободы.
Средняя энергия одной молекулы <Е> = (5/2)/сТ0. Число молекул
в единице объема п = p/ikT^) = 1,93-1015 см-3. Длина свободного
пробега (2, с. 251) / = 1/(ла). Считаем, что сечение взаимодействия
определяется размером молекул, т. е. а = nd2. В таком случае /«
~ 2,8 см > 2 см (размера колбы). Число молекул, попадающих на
единицу площади стенки колбы (2, с. 169), z = n<v>/4. Предпола¬
гая, что в равновесии устанавливается максвелловское распреде¬
ление по скоростям, имеем (2, с. 162) <о> = [8/?7/(7ip)]1/2.
В результате поток теплоты, уходящий в холодную стенку колбы
(7;), равен Nnoj = (5/8)n<v>kT0. В результате из баланса энергии
следует, что фотонам (излучению) достается меньше энергии.
Обозначив уменьшение температуры излучения АТ, имеем баланс
стГ04 = а(Г0 - Д 7)4 + Nnar. Разложив выражение в скобках в ряд Тей¬
лора, получим ДГя NnJ(4oT03) 25 ^,6 К.
При X = 5000 А показатель экспоненты в (1.44) Ис/{ХкТ0) =
= 11,5. Поэтому экспонента много больше единицы. Используя
(1.44), находим
р « &кИсехр(—Ис/(\кТ)/Х5.
Взяв натуральный логарифм и дифференцируя по Г, получим
Др/р = hc/(kkT)AT/T0 * 0,0256 (2,56 %).
Используя (1.9) и (1.14), для яркости получаем АВ/В — 0,0256.
Кварцевая пластина расположена в вакууме перпендикулярно
солнечным лучам. В этих условиях полностью поглощающая пла-
СТИНа нагревается до Г, = 300 К. Найдем температуру кварца Т2.
27
Generated by CamScanner
Спектральную зависимость коэффи¬
циента поглощения А кварцевой пла¬
стины можно аппроксимировать
ступенчатой функцией, изображен¬
ной на рис. 1.13. Излучением окру-
^ жающих тел пренебрегаем, считая
0 5 мкм ех | + х ВПЖ)ТЬ дох* 0,5, а темпе-
Рис. 1.13 ратуру поверхности Солнца Тс =
= 6000 К (№ 1.40). При равновесии
пластина излучает столько теплоты, сколько получает от ее Солн¬
ца. Используя (1.14), (1.8) и (1.41) и учитывая, что пластина полу¬
чает поток излучения на одну поверхность, а излучает с двух,
и обозначая ее температуру Т, можно записать
2 оТ‘ = B(c/4)/ft№dm/[nV(e*“/“n-l)) = C/ (1.53)
Здесь В — постоянная величина, связанная с геометрией рас¬
пространения потока излучения от Солнца, х = Рна/(кТс), С — по¬
стоянная величина, не зависящая от интегрирования по спектру
излучения. При интегрировании по всему спектру (до jc = оо) полу¬
чаем табличный интеграл, равный л4/15. Кварцевая пластина по¬
глощает излучение с частотами от нуля до соф = 2ясДгр = 3,8-1014
с'1. При интегрировании до хф = Гклгр/(кТс) » 0,48 < 0,5 получаем
хф73. Предполагая, что кварцевая пластина излучает как абсолют¬
но черное тело, для отношения температур кварцевой пластины
и абсолютно черной пластины имеем
ТЦ т; = (*ф73)/(я4/15),
откуда Т2 а 82 К. Вычисляя частоту максимума спектра при данной
температуре (1.47), tom а 2,8 kTJh * 0,3-1014 с " 1 << соф = 3,8-1014 с"1,
убеждаемся, что предположение о том, что и при этой температуре
пластина излучает как черное тело правильное.
F
1 ■
0
28
3 X, мкм
Рис. 1.14
В оптическом криостате круглое окно
диаметром d— 2 см изготовлено из стекла.
Коэффициент прозрачности стекла F в за¬
висимости от длины волны можно ап¬
проксимировать ступенчатой функцией,
изображенной на рис. 1.14. Определим по¬
ток тепла, идущий внутрь криостата за
счет теплового излучения из комнаты
Generated by CamScanner
с температурой Т 295 К. Стекло охлаждается жидким гелием
и поэтому его излучением можно пренебречь (№ 1.41). Как видно
И3 рис. 1.14 внутрь криостата проходит излучение с частотами
выше (д0, т. е. выше х0 = Ы0/(кТ) = ЬЪic/(XQkT) * 16,5. Используя
#со/(£7), из (1.8), (1.14) и (1.41) получаем для плотности потока
излучения
00
j = (p/s=cf x2dx/(ex -1),
*0
где С — постоянная величина; s — площадь окошка.
В случае интегрирования от 0 получаем табличный интеграл и
о Г4 = Сл4/15.
Подставляя С в предыдущую формулу и интегрируя от х{) =
= 16,5, получаем
00
ф = этГ415/я4/x3dx/(ех -1) = saTa\5/x3e~*dx =
*0 хв
= s<jT 4 (\5/k4)Xq ехр(-х0)*8,ЫО_6 Вт. (1-54)
Слой вещества поглощает практически все фотоны солнечного
спектра с энергией £>0,2 эВ и полностью прозрачен для фотонов
с меньшей энергией. Оценим, какую долю X солнечной энергии
пропускает вещество, считая спектр Солнца планковским с темпе¬
ратурой Т= 6000 К (№ 1.42). Из условия следует, что через вещест¬
во проходят фотоны с х = йсо/(кТ) от нуля до хф = /ко^Д/сТ) =
Е/(кТ) = 0,36 « 1. Пропущенная веществом энергия определяет¬
ся (1.8) и (1.41)
/ = (с/4)7 йсо3Ло/[яV (еыпкТ) — 1)] - скТ / (4яV)J<o<fa> =
о О
= скТ(д3гр /(127Г 2с3).
• Для полного потока энергии по всем частотам имеем (1.45)
Лкми =(с/4)jf Йш3</со/1я2с3(е*“/{*Г) -1)]=
О
= (с/4)f ры(/со = (с/4)п2к4Т4 /(15й3с3);
АД- = (5/я4)хф3 * 0,0023 (т. е. 0,2 %>.
29
Generated by CamScanner
Если слой вещества поглощает практически все фотоны сол¬
нечного спектра с энергией ££ 12 эВ и полностью прозрачен для
фотонов с меньшей энергией, то имеем другой предельный случай,
когда хф = Ьы^^кТ) = Е/(кТ) = 21,6 » 1. Оценим, какую долю
Л"солнечной энергии пропускает вещество, считая спектр Солнца
планковским с температурой Т = 6000 К (№ 1.43). Используя
(1.54), находим Х= (15/л4)хф3ехр(—хф) » 1,63-10-7.
Поверхность некоторого тела подготовлена таким образом, что
коэффициент поглощения ею электромагнитного излучения А = 1
для частот со < со0 и А = 0 при со > со0. Это тело помещено в вакуум
и в отсутствие других источников излучения нагревается за счет
внутреннего источника энергии до температуры Т. Определим эту
температуру, если известно, что для такого же тела с абсолютно
черной поверхностью в тех же условиях равновесная температура
7* = 300 К. Граничная частота соответствует температуре 0 =
= /гсОоД = 300 К (№ 1.44). По закону Кирхгофа (1.7) данное тело
меньше излучает, чем абсолютно черное. Следовательно, темпера¬
тура его будет значительно выше. Предполагаем Тио/кТ « 1.
В результате для плотности потока энергии с поверхности тела,
в соответствии с (1.14) и (1.41), получаем
во Ш0
j = (c/4)Jp(co)/l(co)c(co = (с/4)f f)co3d(o/[it2c3(еЛы/(кТ) -1)]«
о о
®0
= кТ /(4тс! с2)fсо2 da = кТа>1 /(12 *V).
о
Так как при равновесии излучается столько же, сколько выде¬
ляется в источнике, то поток с учетом (1.14) равен <зТ*\ Используя
условие и (1.45а), находим Т = Т* л4/5 = 5845 К >> 7*. Это соот¬
ветствует сделанным выше предположениям. Следует отметить,
что при наличии источников тепла лучше говорить не о равнове¬
сии, а о стационарном состоянии.
Излучение Солнца регистрируется селективным приемником
на длине волны X = 300 нм с относительной шириной области чув¬
ствительности ДХ/Х = Ю"3 за промежуток времени т = 10"3 с. Най¬
дем относительную среднеквадратичную флуктуацию принимае¬
мого сигнала. Солнце считаем абсолютно черным телом с темпе¬
ратурой Т = 6000 К и видимым угловым размером ас = 0,01.
Площадь приемной площадки s = 1 мм2. Так как энергия кванта
30
Generated by CamScanner
ho) >> kГ* T° .c.p^^e панковское число заполнения (среднее чис¬
ло фотонов) (1.Х») п(л << 1, и поэтому к фотонам можно приме¬
нять классическую, а не квантовую статистику (JNfe 1.47). Исполь¬
зуя 0-46) и 0 означая радиус Солнца 7^., получаем, что на единицу
плошади на расстоянии Lop6 (на орбите Земле) плотность потока
энергии
^о) орб — (с/4)рш(со, 7)</со Lov0)2 =
= (с/4)рш(со, 7)с/со (ас/2)2. ' (1.55)
Из условия, (1.41) и (1.55) получаем
— орб/^co) = 5т(ас/2)2(^/(о/со)со'е_л<в/(А л/(4я2с2),1/4.
Так как ДАД = Дсо/со, со = 2лсД = 6,28 1015 с“\ Лео = 6,28 10 12
эрг, кТ = 8,28*10 1 эрг, то для среднего числа приходящих фотонов
имеем
<^(1> = эт(ас/2)2(ДХД)со3е-/Ко/(*7У(4тг2с2)*1/4.
Для относительной среднеквадратичной флуктуации из (2,
с. 220) получаем
[<(Д NJ2>]W2/<N> * 1/(</Уы>),/2 = 410“5.
Лазер на рубине излучает в импульсе длительностью т = 0,5 мс
энергию Е — 10 Дж в виде почти параллельного светового пучка
сечением s = 1 см2. Рабочая длина волны лазера X = 6943 А, шири¬
на линии АХ = 0,01 А. Определим по спектральной плотности из¬
лучаемой энергии эффективную температуру 7* (понимается такая
температура абсолютно черного тела, при которой оно дает излу¬
чение той же удельной интенсивности 1Ы на частоте со, что и лазер)
в лазерном пучке а) до фокусировки; б) при максимально возмож¬
ном сужении пучка (в фокусе) (№ 1.49). Из (1.9), (1.10), (1.14)
и (1.46) для энергии, уносимой излучением за время dt с площадки
ds под углом 0 к ней в телесный угол dQ:
dE = /(и 0 dcodQdsdt,
где /ш 0 = (c/4)(pu/n)cos0 — излучательная способность абсолютно
черного тела на частоте со под углом 0 относительно нормали к по-
^рхности. Используя (1.41), рассматривая излучение вдоль на¬
правления нормали (0 « 0, cos0 » 1) и переходя к конечным прира¬
щениям, получаем
АЕ ~ (с/4)(ри/я)ДсоДОД5ДГ, АЕ = Е, At = т, As = s.
31
Generated by CamScanner
В случае а) пучок испытывает дифракцию на выходном отвер¬
стии, диаметр которого D определяется через площадь пучка
s = ntf/4. Угол дифракции определяется (4. с. 125) так: sin<p * ф %
* Х/D. Для телесного угла получаем: АП * пф: = :rX2/(4s). Ширина
линии по частоте
До) = |Д(2лс/Л)| = 2лс АХД:. (1.56)
Используя (1.41), находим
Е = п'Ь(г(АХ/\})т/{ехр[Гно/{кТ^)) - Ц, (1.57)
откуда
ехр[Лсо/(Л7^)] - 1 = n}Tic\AX/\})x/E * 0,4- КГ'5 « 1.
Отсюда следует, что Лсо/(АТ,ф) « 1. В результате, используя
(1.57), получаем
Т= 2£Х7(л2сДЛт к); (1.58)
Т-зф ~ 4,7* 10“17 К.
Отсутствие постоянной Планка указывает на то, что результат
«классический» и может быть получен по теории Редея— Джинса
без предположений Планка.
В случае б) линза с фокусным расстоянием /'дает пятно радиу¬
сом FK/D и площадью s' = n(Fk/D)2 и телесный угол ДП* =
= nD2/(4F2). Отсюда следует, что ДОУ = 7гА2/4, т. е. такая же вели¬
чина, что и в первом случае. Поэтому результат будет аналогичным.
Определим температуру абсолютно черного тела, спектральная
яркость излучения которого равна яркости лазерного излучения
с энергией в импульсе Е— 1 Дж, считая, что расходимость лазер¬
ного пучка определяется только дифракцией на выходном отвер¬
стии, а немонохроматичность — длительностью импульса
(№ 1.50). Так как энергия импульса Е - 1 Дж - кТэф = 6,24-1018 эВ
» Лео, где со — частота излучения лазера (для красного цвета Лео ~
2 эВ), то можно использовать (1.58). Немонохроматичность и дли¬
тельность импульса связаны соотношением (4, с. 103) Дуг =
= тДсо/(2тг) = стДХД2 w 1. Здесь воспользовались (1.56). Из (1.58)
получаем
7^, = 2 Е/(п2к) = 1,47-1022 К.
т>
Generated by CamScanner
Измерение интенсивности реликтового излучения Вселенной
производится радиоскопом вблизи X. = 3 см. Его антенный тракт
находится при температуре Т — 300 К и поглощает а — 1 % посту¬
пающей мощности. Найдем, какой эффективной температуре аб¬
солютно черного тела 7^ соответствует тепловой шум антенного
тракта в области данной длины волны (№ 1.53). Для наблюдаемо¬
го излучения /гео = h-2nc/\ = 6,281(Г17 эрг « кТ= 4,14-КГ12 эрг. Из
(1.41) получаем: рш = &7ог/(л~с3). Плотность энергии в тракте, а,
следовательно, поток излучения пропорциональны температуре.
Так как тракт поглощает меньше чем черное тело, а значит и ис¬
пускает меньше, то и эффективная температура его меньше: 7L, =
= аТ= 0,01-300 = ЗК.
Рассмотрим взаимодействие излучения (фотонов) с веществом,
состоящим из частиц, способных при поглощении фотона перей¬
ти в возбужденное состояние, а при переходе в менее возбужден¬
ное состояние излучить фотон. При подсчете вероятностей пере¬
ходов можно рассматривать не много частиц в некоторый момент,
а одну за большое время. Для простоты будем считать, что воз¬
можны два уровня: основной и возбужденный, с энергиями Ех
и Е2, такими, что Е= Е2— /Г, = Лео — энергии фотона. Чтобы не ме¬
нялось число фотонов, поместим излучение и атом в полость
с зеркальными стенками. За большое время / атом много раз успе¬
вает побывать и в основном, и в возбужденном состояниях. Сум¬
марное время пребывания в основном состоянии обозначим /,, а в
возбужденном состоянии /2 = /— /,. Число фотонов, когда атом на¬
ходится в возбужденном состоянии, обозначим п. Число перехо¬
дов атома из основного состояния в возбужденное (А^) пропор¬
ционально числу попаданий фотонов в невозбужденный атом, т. е.
времени /,, и числу фотонов в течение этого времени п + 1
ли = HU(" + 04, '
1
где JV^2 — вероятность перехода из основного состояния в возбу¬
жденное, отнесенная к одному атому, одному кванту и единице вре¬
мени. При большом времени можно считать, что число переходов
из основного состояния в возбужденное и из возбужденного в ос¬
новное будет одинаково. Для числа возвратов из возбужденного
состояния в основное получаем
NM = Л^2 = W^2(n + 1)/, = W^2t, +WX^UV
Для описания перехода из возбужденного состояния в основ¬
ное имеем два слагаемых: первое не зависит от числа квантов из-
3- ’89 33
Generated by CamScanner
лучения (это число спонтанных, т. е. самопроизвольных, перехо¬
дов)
N = W t
;vcn2-»l rY l-»2'l»
второе пропорционально числу квантов п, имеющихся в полости.
Эти переходы стимулируются имеющимися квантами и по¬
этому называются вынужденными, или индуцированными. Соответ¬
ственно,
дг = W nt
уунын2-»1 l-»2ml*
В результате получаем
= п. (1.59)
Если в полости находится не один атом, а много (ЛО, но можно
пренебречь взаимодействием между ними, то число переходов
возрастет в Л^раз, но при этом соотношение (1.59) не изменится.
Отношение числа переходов равно отношению их вероятностей
И'-и / Кы = " П .60)
При установившемся тепловом равновесии с излучающими
стенками, имеющими температуру Т (как и излучение) в соответ¬
ствии с (1.50) получаем
И'ши/ 1]. (1.61)
Если ввести время жизни возбужденного состояния т, то
т = 1/ Wm. (1.62)
Рассмотрим взаимодействие излучения с атомами в состоянии
I и атомами в состоянии 2, отличающемся по энергии на Лео
(в возбужденном состоянии). Число атомов на единицу объема на¬
зывают населенностями (или заселенностями) соответствующих
уровней jV, и N2. Число переходов из первого состояния во второе
Ы1чЛ = К->2 nNxt. (1.63)
где п — число резонансных фотонов; t — время наблюдения;
К->2 ~ вероятность перехода на один атом и на один фотон.
Переходы из второго состояния в первое делятся на спонтан¬
ные и вынужденные 34^сп2-*1 Кп2->1 t]
(1.64)
^нын2-И ~
(1.65)
34
Generated by CamScanner
При тепловом равновесии число переходов из первого состоя¬
ния во второе и из второго в первое равны друг другу
t= Wm„2^nN,j+ (1.66)
Населенности уровней зависят от температуры, а вероятности
переходов — только от свойств атомов. При увеличении темпера¬
туры число фотонов (/?) неограниченно возрастает, а разница в на¬
селенности уровней уменьшается. В результате из (1.66) получаем
Так как вероятность от температуры не зависит, то это спра¬
ведливо всегда. Это соотношение является частным случаем прин¬
ципа детального равновесия: приведенные (рассчитанные на еди¬
ницу статистического веса конечного состояния) вероятности
прямого и обратного переходов равны. Используя (1.60), находим
= И/п2_и.
(1.67)
Это позволяет получить соотношение между вероятностями
поглощения и вынужденного излучения. Разделив (1.65) на (1.63)
и используя (1.59), (1.60) и (1.67), находим
И'вынг^./И'и = NJNx. (1.68)
Если населенность уровней падает с ростом их энергии
(в обычных равновесных условиях), то отношение интенсивно¬
стей вынужденного излучения света к интенсивности поглоще¬
ния, которое определяется больцмановским множителем (2,
с. 188) е~ы/(кТ\ мало. Если создать условия, при которых не устано¬
вилось равновесие (среду называют неравновесной или активной)
и N2 > N, (инверсионная населенность), то вынужденное излучение
будет преобладать над поглощением — получим усиливающую
(активную) среду, которая используется в лазерах. Спонтанное из¬
лучение дает фотоны произвольного направления и поляризации.
Вынужденное излучение всегда когерентно падающему на атом
излучению и имеет то же направление и поляризацию.
Полученные результаты можно выразить также через коэффи¬
циенты Эйнштейна. В (1.63) вместо числа квантов можно восполь¬
зоваться спектральной плотностью излучения р(0:
(1.69)
!
Число переходов из второго состояния в первое записываем
аналогичным образом
Л^, = B2^N2PJ +
3’
Generated by CamScanner
(1.70)
35
Коэффициент Я, ,2 называется коэффициентом Эйнштейна
для поглощения, а В2 и и Л2 ,, — коэффициентами Эйнштейна для
вынужденного и спонтанного излучения. Используя (1.63), 1.65)
п (1.64), находим
&\= >2Л, ^2-*lPw — ^иым2-»1^» ^2-»1 _ ^сп2-»1* (1*^0
Формула (1.67) позволяет найти связ*. между коэффициентами
Эйнштейна, используя (1.41), (1.50) и (1.67),
В7Ам = Ла>3^,/(nV). (1.72)
В некоторых книгах в уравнениях (1.69) — (1.71) используется
не pirt, a pv = 2яр(11. В таком случае
Ам = 2Лсо352_|/(яс3). (1.73)
Вынужденное излучение зависит от числа квантов, спонтан¬
ное — нет. Удобно ввести вероятность на число квантов:
= *Пинг_,/1. с-74)
Тогда имеем
= P..-S И Wm = А (1.75)
Атом Na находится в пучке лазерного света с плотностью пото¬
ка энергии j и длиной волны X = 0,59 мкм, совпадающей с одной
из спектральных линий Na. Время спонтанного испускания Na
для этой линии т = 16 нс. При больших плотностях потока j > j0 ус¬
корение а, приобретаемое атомом за счет давления света, перестает
зависеть от j. Оценим значение плотности потока насыщения jQ.
Определим также предельную величину а. Доплеровским сдвигом
частот при излучении движущегося атома пренебрегаем (№ 1.54).
Число поглощенных фотонов зависит от плотности потока (пс)
и сечения поглощения, которое в данном резонансном случае оп¬
ределяется из формулы Брейта—Вигнера (5, с. 258) а = 4яХ2 = Х7п.
Насыщение потока происходит тогда, когда скорость индуциро¬
ванных переходов сравнивается со скоростью спонтанной релак¬
сации псо — 1/т, где п — плотность фотонов. Для плотности пото¬
ка насыщения получаем
Уо = nctm — hсо/(ат) = 2я2Лс/(тХ3) = 18*104 эрг/(см2*с).
Давление электромагнитного излучения равно плотности
энергии, т. е. р — лЛсо = 2n2h/(xX3). Это давление можно считать
действующим на площадь а * Х2/п. Сила, действующая на атом,
36
Generated by CamScanner
F= pa = 2к2ЬХ2/{пхХг) = 2nh/(xX) = h/{ xX).
Отсюда ускорение
a = F/M = h/(MxX) = 1,73*10* см/с2.
Возбужденный атом с энергией возбуждения Е — 1 эВ находит¬
ся в поле равновесного излучения с температурой Т— 300 К. Най¬
дем отношение вероятностей индуцированного и спонтанного излу¬
чения атома. Найдем также аналогичное отношение для электрон¬
ного спина в магнитном поле с индукцией В= 103 Гс (N9 1.55). Для
излучения имеем Лео = Е. При заданной температуре получаем
кТ= 2,58-10~2 эВ. В результате tm/{kT) = 38,6. Из (1.61) получаем
WbJWm = \/№ы/{к1) - 1] * e-hm/(k1) * 1,6*10-'7.
Используя (5, с. 159) и учитывая поворот спина с магнитным
моментом, равным магнетону Бора цБ, получаем Еп = 2\ьъВ —
= 1,15-10-5 эВ. При этом отношение EJ(kT) = 4,45-10~4 << 1. От¬
ношение вероятностей в данном случае определяется средней
энергией (1.40) и равно \/{tx^[EJ{kT)] - 1} « кТ/Ев = 2,2-10 3.
Определим диапазон частот излучения, при котором вероят¬
ность спонтанного перехода более чем в 100 раз превосходит веро¬
ятность индуцированного перехода под влиянием равновесного из¬
лучения температуры Т — 293 К (N9 1.56). Из (1.61) fVHblH / IVcn =
= l/[e/><u/(k7) — 1] = 1/100. Следовательно, е?ы/{кТ> — большая величи¬
на. Возьмем Ьсо/(кТ) > In 100 = 4,605. В результате со > 4,6£7/Л =
= 1,910м с*1.
Система, состоящая из атомов, имеющих два невырожденных
уровня энергии Е1 и Е2 > /?„ находится в тепловом равновесии.
Выразим коэффициент поглощения света х( Д со) этой системой на
частоте со = (Е2 - Ex)/h через его значение х0 при Т= 0. Рассмот¬
рим два предельных случая: 1) кБТ» Лео и 2) квТ« Лео (N9 1.57).
Учитывая, что переход с уровня 2, где населенность УУ2, на уровень
1 населенностью 7V,, увеличивает поток фотонов, а переход с уров¬
ня 1 на уровень 2 уменьшает, для изменения потока фотонов в на¬
правлении оси z можно записать
dj = aj(N2 - Nx)dz.
Отсюда коэффициент поглощения
Generated by CamScanner
37
(1.76)
X = ct(/V, - Л(2) при vV, > yV2.
Для потока имеем уравнение
dj/j = -ydz. (1.77)
При равновесии для невырожденных уровней можно восполь¬
зоваться распределением Больцмана (2, с. 188)
NJN2 = ехр[/ко/(£в7)].
В результате для коэффициента поглощения из (1.76) имеем
Х(7', со) = g/V,{1 - ехр[-Лсо/(Ав7)]}- (1.78)
При Т0 все атомы, которых /V, + vV, будут находиться в ос¬
новном состоянии. Таким образом.
Хо = cj yV,{l + ехр[-Лсо/(АБ7)]}. (1.79)
f Для отношения коэффициентов из (1.78) и (1.79) находим
Х(7', со)/хо = {1 - ехр[-Лсо/(Ав7))}/{1 + ехр[-/ко/(Ав7)1} =
= /Л[йсо/(2Ав7)].
При кьТ » йо) получаем х(Т, со)/х^ = Лсо/(2Ав7).
При кБТ « tna имеем х(Т, со)/Хо = 1 — 2ехр(—Лсо/(£в7)].
Однородный слой плазмы находится в равновесии с излучением.
С помощью монохроматора выделяется спектральная составляю¬
щая собственного излучения плазмы на некоторой длине волны,
наблюдение ведется в направлении, перпендикулярном плоскости
слоя. Найдем, при какой толщине / слоя интенсивность такой со¬
ставляющей окажется равной 90 % интенсивности равновесного
излучения. Линейный коэффициент поглощения данной длины
волны х = 0.1 см"1.Показатели преломления плазмы и окружаю¬
щей среды считаем при этом одинаковыми (№ 1.46). При прохож¬
дении поглошаюшей среды изменение потока описывается (1.77).
Интенсивность равновесного ихтучения при прохождении слоя
толщиной z будет равна
/р = /ро е~г\ (1.80)
Такое ихлучение приходит на границу слоя плазмы, пройдя че¬
рез слой толщины г, вместе с собственным излучением плазмы
1 оно должно равняться интенсивности волны, падающей на эту
границу
3S
Generated by CamScanner
(1.81)
7р0 “ 7р + /.
Для слоя толщины г + dz, используя (1.80), получаем
7ро = /ро е~х(г + dz) + / + dl = I^e~xle~xdz + I + dl ~
* VW(1 - X^) + /+£//.
Используя (1.81), имеем dl = (/^ _ /) Разделяя перемен¬
ные, интегрируя и учитывая, что при z = 0 и / = 0, находим
lnI(/po - D/IJ = -хг,
откуда 1 = z = (1п10)/х м 23 см.
Оценим вероятность fVQn спонтанного излучения молекулы при
переходе с возбужденного уровня Еп на уровень Ет в случае, когда
молекула помещена внутрь объемного резонатора, настроенного
на частоту со = (Е„ — Em)/h. Соответствующая вероятность спон¬
танного излучения в свободном пространстве равна Wcn0. Объем
резонатора К, его добротность — Q. Считаем, что ширина Г моле¬
кулярных уровней все время остается меньше ширины со/(? линии
резонатора: Г < со/Q. Сделаем численную оценку для случаев:
1) V= 1 см3, X = 1 см, Q = 104; 2) V= 1 см3, X = 1 мкм, Q = 106
(№ 1.58). Из (1.75) имеем
Гшш = *>„. Wm = А. (1.82)
Используя (1.72), получаем
В/Л = l/[/koD(co)J,
где D(co) — спектральная плотность мод (осцилляторов, числа ко¬
лебаний) поля в единичном объеме (см. (1.35))
D(co)= co2/(rcV)- (1.83)
В результате имеем
KJKn = Pe/[^®D(o>)l = п(со, 7), (1.84)
где w(co, Т) — число фотонов данной моды колебаний.
Из (1.67) имеем равенство вероятностей вынужденного излу¬
чения и поглощения. Поглощение зависит от потока излучения,
падающего на молекулу. Этот потоку(со) ~ Коэффициент про¬
порциональности по порядку величины близок к 1 (он равен для
параллельного потока и 1/4 для изотропного излучения), огло-
щаемая молекулой мощность
39
Generated by CamScanner
(ll\ l dl f J((n)a(o>)d(<j>),
где о((п) сечение поглощения молекулы. Так как функция а(со)
ре юнпненою типи существенна только вблизи резонансной час¬
тоты о»,,, можно записать
dl'.' / dl ж J(<»„) f n(<i>)d(o)) ~ cpot(<*>„ )s. (1.85)
где л — значение интеграла (площадь под кривой поглощения
о((о)). Из (1.8) и (IАI) можно сделать вывод, что в вакуумеу(со) ~ со3,
а в резонаторе j(to) занимает частотный интервал Дю = со,/Q — ши¬
рину резонансного ника (1, с. 100), который по условию превыша¬
ет собственную ширину линии возбуждения, т. е. ширину кривой
поглощения ст(о>). Учитывая, что вероятность вынужденного излу¬
чения совпадает с вероятностью поглощения (1.67), для поглоще¬
ния (1.85) можно записать dli/dt = Ло)0И/нмн, и, следовательно,
Кш, ~ cpja>)s/(lw)lt).
Из (1.75) находим
В ~ cs/(ho)„).
Величина И не зависит с точностью до коэффициента от того,
где находится молекула: в свободном пространстве или в резона¬
торе.
Из (1.82) и (1.84)
К, = 7)1 = №,»№>&(“>)/Р„,= fto)D(o))В.
В свободном пространстве (вакууме) и в резонаторе при часто¬
те со,, отношение вероятностей спонтанного перехода определяется
отношением спектральных плотностей мод
Кп pe t / ^сп илк ^ре t <m„)/D
на к (о,,).
В свободном пространстве имеем (1.83). В резонаторе, настро¬
енном на частоту перехода, в интервале частот Дсо имеется только
одно колебание (мода). Для единичного объема
Dpjrn,,) ~ 1/(До
В результате
= *V<?/(a>3H- (1.86)
40
Generated by CamScanner
в первом случае при малых частотах W /IV ~ 4102 во
втором случае при больших частотах fVcn /W ~ 4-10'*.
СущсствусI и другой способ решения данной задачи. Если ши¬
рима спектра колебаний в резонаторе Дсо, то длительность сущест¬
вующих в нем волн из разложения Фурье (типа соотношения не¬
определенностей)
V* ~ 1/Лсо = @/со = QX/(2nc).
Характерный размер резонатора можно выразить через его
объем (V)1. Для резонанса волны с длиной волны X минимальный
размер Должен быть порядка Х/2 (стоячая волна), откуда
Vi = 0(У)'/3/(ПС).
Характерное время для такого же размера в свободном про¬
странстве
т ~ (У)'/3/с.
Вероятность поглощения волны молекулой пропорциональна
времени существования ее вблизи молекулы. Так как вероятность
спонтанного излучения равна вероятности поглощения (1.67), по¬
лучаем
Кп pel / «"on нак ^pei Q/^‘
То же самое получим, если в (1.86) подставим V= (Х/2)3 и со =
= 2пс/Х.
Полый резонатор электромагнитных волн изготовлен из листа
меди и имеет форму куба со стороной а = 32 см. Оценим, на каких
частотах пропадут его резонансные свойства, т. е. в спектре колеба¬
ний уже нельзя будет различить отдельные пики. Добротность ре¬
зонатора Q = я/(2/ск), где /ск — скиновая глубина проникновения.
Проводимость меди во всем диапазоне частот считаем постоянной
и равной ст = 51017 с"1. Плотность мод колебаний поля в резонато¬
ре считаем равной плотности мод в свободном пространстве
(№ 1.69). Расстояние между пиками в спектре из (1.35) (при dN(0 —
- 1, da = Дсо)
Дсо = л2с3/(со2й).
Ширина пика в резонаторе
Дсор = СОо/0.
Generated by CamScanner
41
Пики перестанут наблюдаться, когда их ширина будет больше
или равна расстоянию между ними (критерий Релея)
Да) < Дсор.
Используя зависимость скиновой глубины от проводимости
и частоты (3, с. 515)
/ск = с/(2гсосо)|/2,
находим
со > 7i[ac4/(2fl4)]l/5 = 2,3* 1012 с_|.
Предельная частота сотах = 1,4310й с-1 (для больших частот
пики сливаются), минимальная частота, возможная в данном ре¬
зонаторе (при Х/2 = a), comin = 4,1610^ с"1.
Зеркальный металлический прямоугольный волновод попереч¬
ным сечением 34 х 72 мм2 и длиной L = Юм замкнут накоротко
с обеих сторон и через малое отверстие соединен с абсолютно чер¬
ной полостью, нагретой до температуры Т = 600 К. Оценим плот¬
ность электромагнитной энергии в волноводе (эрг/Гц) в диапазоне
длин волн 10 см (№ 1.70). Закороченный с торцов волновод являет¬
ся резонатором (3, с. 510). Размеры сторон определяют моды (L =
= тХ/2 или v = mc/(2L), m = 1,2, ...) и число мод на интервале Ду
равно Дт/Ду = 2Z,/c. Поперечных мод мало по сравнению с про¬
дольными. Для волн с X = 10 см энергия hv = hc/X ~ 10~5 эВ << кТ=
= 0,05 эВ. Это означает, что приходящие в резонатор из абсолютно
черной полости волны заданного диапазона принадлежат, как вид¬
но из (1.41), классической области. В таком случае на каждую моду
приходится энергия кТ. Для плотности энергии получаем
dE/dv = 2kT2L/c = 5,2-10-21 эрг/Гц.
Резонатор лазера с кристаллом рубина имеет одно зеркало со
100 %-ным отражением, а другое — с коэффициентом пропуска¬
ния т = 0,1 на длине волны, отвечающей генерации лазера. Длина
кристалла /= 12 см. Известно, что коэффициент поглощения све¬
та в невозбужденном кристалле рубина в максимуме рабочей ли¬
нии кп = 0,4 см-1. Найдем, какую часть атомов хрома нужно пере¬
вести в возбужденное состояние, чтобы лазер начал работать. Рас¬
сеянием света в кристалле пренебрегаем (№ 1.59). Используя
(1.76) и (1.77), где х - кп, находим для отношения выходящего
и входящего потоков на длине /
42
Generated by CamScanner
Лых/Унх = ехр(ст(М - УУ,)/|.
Чтобы Уче£ть потери при отражении, нужно экспоненту умно¬
жить на коэффициенты отражения Л, и Я2. Условие начала генера-
ЦИИ 77 Равенство входящего потока после прохождения расстоя¬
ния 21 (туда и обратно) и двух отражений
Д,Л2ехр[2ст(Я2 - yV,)/] = 1.
Отсюда в точке начала генерации
W ~ NXr = Нп(/?,/?2)1/(2а/).
В отсутствие возбужденных состояний (УУ, = 0), как и в (1.79),
= о(Я, + М).
Отсюда а = kJ{Nx + ду и
(Ni ~ Я,)нг = ln( 1 - т)/|2/*n/W + N2)J.
Опуская индекс «нг», после алгебраических преобразований
находим
ЛУ(Я, + N2) = (1/2)[1 - 1п(1 - т)/(21кп)] = 0,5055.
Яркая желто-зеленая линия полярного сияния (aurora borealis)
возникает при возбуждении атомов кислорода в верхних слоях ат¬
мосферы под действием солнечного ветра (потока быстрых элек¬
тронов и протонов). Время жизни возбужденного состояния атома
кислорода относительно спонтанного перехода составляет т «
« 0,74 с. Однако столкновения атомов кислорода с молекулами ат¬
мосферы могут снять это возбуждение безызлучательным спосо¬
бом. Эффективное сечение этого процесса сг» 7*10-15 см2. Оценим,
на какой высоте над Землей «загорается» эта линия, если атмосфе¬
ру считать изотермической с Т — 240 К (№ 1.72). Высвечивание
атома кислорода произойдет, если в течение времени х не про¬
изойдет соударение с молекулой воздуха. Обозначив время между
соударениями /, из (2, с. 251) получаем /« 1 /(дао), где п концен¬
трация молекул воздуха на искомой высоте; и средняя скорость
молекул кислорода при заданной температуре. Условие высвечи¬
вания
п < 1/(ат).
Используя барометрическую формулу (2, с. 189), получаем
п = и0ехр[-ц^Я/(/?7)] = [pJ{kT)]e\v\-\x*gH/{RT)],
Generated by CamScanner
43
I до /;(| — атмосферное давление на поверхности Земли; р„ — моле¬
кулярная масса воздуха; Н — искомая высота; # — ускорение сво¬
бодного падения.
Предполагая максвелловское распределение скоростей, полу¬
чаем (2, с. 162): и = [8/?77(яцк)]|/2.
В результате находим
//> |У?Г/(ц[^)11п{(р0атД)[8/?/(лрк7)Г/'|} = 160 км.
Рекомбинация ионов и электронов в межзвездной среде при¬
водит к образованию атомов в высоковозбужденных состояниях
с главным квантовым числом п » 1 (ридберговских атомов). При
переходах с Ап = 1 очень высоковозбужденные атомы излучают
радиоволны, что было обнаружено в 1964 г. с помощью радиотеле¬
скопа РТ-22 в г. Пущино. В межзвездной среде есть и изотропное
излучение со спектральной интенсивностью в коротконолновом
радиодиапазоне /(со) « 210-15 эрг/(с см2 с"'). Оценим максимально
возможное п для атома водорода в этих условиях. Спонтанное вре¬
мя жизни высоковозбужденных состояний атома водорода в ва¬
кууме (п ~ 103) равно тсп(л) * 610~'V с (№ 1.73). Устойчивая атом¬
ная система перестает существовать, если ширина уровней стано¬
вится больше расстояния между ними, т. е. для существования
атомной системы, должно выполняться
8£„ <Е„-Е„,,
Ширина атомных уровней 6Еп состоит из двух слагаемых — ес¬
тественной ширины, определяемой временем спонтанного пере¬
хода, и ширины, обусловленной временем индуцированного излу¬
чения. Из соотношений неопределенностей (5, с. 42) имеем
5Е„ * й/тсп + »Дивд = Л/тия.
Время индуцированных переходов с л-уровня под действием
фотонов магнитотормозного излучения в соответствии с (1.84):
тинл = тсп(л)/УУ(со) = Tcn(fl)/?(oD(o))/ р(со) = ти1(л)/?со3/(4я3с2 /(со)),
где N(oо) — среднее число фотонов магнитотормозного излучения;
D(co) = со2/(я2с3) — плотность состояний (1.83); р(о>) = 4л/(сд)/с —
спектральная плотность изотропного излучения (1.41) на частоте,
Ш к Ry/n\ Это соотношение получаем из (5, с. 101) Еп — -Ry/n2
дифференцированием AEJAn = 2Ry/n} и подстановкой An = 1,
АЕп - /?о). В результате расстояние между уровнями убывает ~ л'\
Из условия получаем, что ширина уровня в результате спонтанно-
44
Generated by CamScanner
ГО излучения убывает ~ Поэтому спонтанное и
жет привести к перекрытию уровней
Предельное значение номера уровня опред
VtH(u < 2Ry/rf,
я’ <, 4ЛУ-6- 10~'У(лУй,/(в)) = 8,33-10*;
* 700.
пучение не чо-
■=\ляется ;*з условия
откуда
Generated by CamScanner
2. Кристаллическая решетка. Фононы.
Теплоемкость. Теплопроводность
Твердые тела в зависимости от их внутреннего строения на¬
зывают кристаллами, поликристаллами или аморфными телами.
Для кристаллов характерно упорядоченное и повторяющееся
расположение структурных элементов («кирпичиков»), которые
представляют атомы или несколько (до 100 тыс.) атомов или мо¬
лекул. Поликристаллы состоят из кусочков кристаллов, по-раз¬
ному ориентированных. Аморфные тела представляют собой
сильно переохлажденную жидкость с очень большой вязкостью,
которая через очень большое время может перейти в кристалли¬
ческое состояние.
Кристалл — это тело, построенное из структурных элементов,
расположенных в виде пространственной решетки. Для описания
пространственной решетки используются три вектора элементар¬
ных смешений (трансляций) а, Ь, с, обладающих тем свойством,
что расположение элементов имеет одинаковый вид, как при рас¬
смотрении его из некоторой произвольной точки с координатой г,
так и из точки
г' = г + я,а + /?,Ь + л3 с, (2.1)
где w,, А72, — произвольные целые числа.
Векторы элементарных смешений называются основными,
если векторы любых двух точек г и г’, по отношению к которым
расположение структурных элементов имеет один тот же вид,
всегда удовлетворяют (2.1) при некотором выборе чисел л,, л2, пу
Основные векторы смешений а, Ь, с обычно выбираются в качест¬
ве ортов системы координат, связанной с кристаллографическими
осями, хотя наряду с ними используются также другие (не основ¬
ные) тройки векторов.
Операция перемещения кристалла параллельно самому себе,
описываемая вектором
Т = л,а + п2Ь + /?3с, (2.2)
называется трансляцией.
Полный набор таких операций (для всех значений целых чисел
/7,, /72, А73) называется группой трансляций.
Параллелепипед, образованный векторами элементарных сме¬
шений а, b и с (как ребрами), называется элементарной ячейкой.
Элементарная ячейка обладает тем свойством, что применение
к ней операций трансляции заполняет все пространство кристал-
46
Generated by CamScanner
лз. Элементарная ячейка наименьшего объема намыкается прими¬
тивной, если она содержит узлы (структурные 'элементы) только и
своих вершинах.
Объем элементарной ячейки
V - [а, Ь|с. (2.3)
Кристаллические решетки могут обладать симметрией не
только по отношению к операции трансляции Т, но и по отноше¬
нию к ряду других операций (поворотов, отражений, инверсий,
поворотов с последующей инверсией). Возможные комбинации
приводят к 14 различным типам пространственных решеток, на¬
зываемых решетками Браве. К кубической системе относятся три
пространственные решетки: простая кубическая, объемно-цен¬
трированная кубическая и гранецентрированная кубическая. На
рис. 2.1 показаны элементарные ячейки. Элементарная ячейка
простой кубической ячейки является примитивной (рис. 2.1, а).
в
Generated by CamScanner
47
Для двух других на рис. 2.1, б и в показаны элементарные и при¬
митивные ячейки.
Кристаллическими плоскостями называются плоскости, в ко¬
торых находится бесконечное число атомов (структурных элемен¬
тов) кристалла. При определении направления кристаллических
плоскостей удобно воспользоваться осями, связанными с прими¬
тивными решетками. В таких решетках координаты атомов цело¬
численные. Кристаллическую плоскость можно описать уравне¬
нием
х/А + у/В + zJC = 1, (2.4)
где А, В, С — длины отрезков (в осевых единицах — элементарных
смещениях), отсекаемые плоскостью на координатных осях. Ум¬
ножая уравнение (2.4) на некоторое число (если у А, В, С нет об¬
щих множителей, то это их произведение), его можно привести
к виду
Их + ку + lz = Д (2.5)
где А, к, I — целые числа, не имеющие общих множителей, кото¬
рые называются индексами Миллера, или индексами данной плос¬
кости и всех параллельных ей. Принято записывать их в круглых
скобках: (И к I). Если индекс отрицательный, то над ним ставится
черта.
На рис. 2.2 показаны важные плоскости в кубическом кристал¬
ле и их индексы Миллера. Для плоскости, в которой лежит за¬
штрихованная грань, из (2.4) получаем уравнение
Ох + \у + Oz = 1.
В соответствии с (2.5) для нее и всех параллельных ей плоско¬
стей имеем индексы Миллера (010). Для плоскостей, перпендику¬
лярных оси г, имеем (001). Для плос¬
костей перпендикулярных оси х, со¬
ответственно, (100). Для плоскости,
в которой лежит прямоугольник
ADFB, (110). Для плоскости, в кото¬
рой лежит прямоугольник ОСНМ,
(1 10). Для плоскости, в которой ле¬
жит треугольник АС В, (111).
Линия, на которой в кристалле
лежит бесконечное число атомов
(структурных элементов), называется
узловой. Для указания направления
48
Generated by CamScanner
какой-либо узиной лiiпии кристпллимсскоП рписгки достаточно
указать р рдянаг дну* соседних yuioit (точек, и которых
расположен атом), лежащих на этой линии, Обычно дли указания
направления в кристалле кфут у нюную линию, проходящую через
начало координат. Координаты соседнею у щи па этой линии на¬
зываются индексами направлений. Их припню ишпочать а квад-
ратые ско ки. апример, индексы нанринлении пространствен¬
ной диагонали ОН элементарной ячейки кубической решетки» ко¬
торая изображена на рис. 2.2, записывают и виде |М1|.
Пространственным параметром решетки является длина ребра
куба, е называют постоянной решетки (в таблицах задастся обыч¬
но в ангстремах, 1А = К) * см).
По характеру взаимодействия (union связи) между структур¬
ными элементами, из которых состоит кристалл, можно дать при¬
ближенную классификацию кристаллов. И некоторых кристаллах
в энергии связи имеется вклад от различных типов связи и можно
говорить об их доле в полной энергии связи. Приведем эмпириче¬
скую классификацию типов кристаллов но характеру связи, взя¬
тую из книги Ч. Киттсля «Введение в физику твердого тела»
(табл. 2.1).
Таблица 2. /
Тип кристалла
Пример
Энергия свя¬
зи*, ккал/моль
('войсши кристаллов данного типа
Ионный
NCI
180
Сильное инфракрасное поглощение.
LiF
240
малая электрическая проводимость
при низких температурах; хорошая
ионная проводимость при высоких
температурах
С ковалентной
Алмаз
-170
Высокая твердость, малая проводи-
связью
SiC
283
мость при низких температурах в слу¬
чае чистых образцов
Металлический
Na
26
Высокая электрическая проводи-
Fe
94
мость
Молекулярный
Аг
1,8
Низкая точка плавления, низкая точ-
CH4
2.4
ка кипения, сильная сжимаемость
С водородными
связями
н2о
(лед)
HF
12
7
Обнаруживают тенденцию к полиме¬
ризации (г. с. к образованию групп из
многих молекул); энергия связи меж¬
ду молекулами больше, чем у анало¬
гичных молекул без водородных свя¬
зей
* Энергия связи определяется для комнатной температуры, за исключением моле¬
кулярных кристаллов, для которых она берется дли точки плавления. При пере¬
счете на одну молекулу имеем I эВ/молскулу ** 23,05 ккал/моль.
4- 189
Generated by CamScanner
49
Электрически нейтральные атомы могут приобретать или те
РЯ7Ь электроны на верхней оболочке (превращаться в ионы), если
при этом оболочка становится замкнутой, как у инертных газов
Образующиеся ионы имеют сферически симметричные заряды
и взаимодействуют подобно заряженным шарам. При этом вокруг
одного шара находятся шары с противоположным зарядом. Число
их называется координационным числом. Оно определяется отно¬
шением радиусов ионов противоположных знаков. При одинако¬
вых радиусах оно максимально и равно 12. Электростатическое
взаимодействие всех шаров приводит к образованию системы —
ионного кристалла.
Кристаллы, называемые атомными, образуются за счет кова¬
лентной (гомеополярной) связи между атомами, возникающей бла¬
годаря общим электронам (обменное взаимодействие).
В металлических кристаллах в узлах решетки находятся поло¬
жительные ионы, а между ними обобщенные «свободные» элек¬
троны (электронный газ).
Взаимодействие между дипольными электрическими момен¬
тами (так называемые силы Ван-дер-Ваальса) приводит к образо¬
ванию молекулярных кристаллов.
В кристаллах с водородными связями сильно электроотрица¬
тельные атомы связываются через водород, который! в результате
ковалентной связи с одним атомом практически лишается своего
электрона и поэтому благодаря кулоновским силам притягивает
другой атом, приобретший электрон. Из-за широкого электронно¬
го облака электроотрицательного атома и малого размера протона
взаимодействие с третьим атомом невозможно.
Рассматривая атомы, из которых построены кристаллические
решетки, как твердые шары, найдем плотность упаковки (т. е. за¬
полненную часть объема элементарного куба) для простой, гране-
центрированной и объемно-центрированной кубических решеток
(N9 2.1). На рис. 2.3 представлены соответствующие упаковки.
В простой кубической решетке (рис. 2.3, а) на объем куба ах при¬
ходится один шар, радиус которого г = а/2, а объем (4/3)лг\ Отку¬
да плотность упаковки
(4/3) лгУ(2г)3 = тс/6 = 0,523.
В случае гранецентрированной решетки шары соприкасаются
по диагонали грани (рис. 2.3, б), поэтому а-2|/2 = 4г. В результате,
так как на куб приходится 4 шара, получаем
50
4(4/3)7гг3/а3 = л*2|/2/6 = 0,740.
Generated by CamScanner
Рис. 2.3
В случае обьемно-пентрированной решетки шары соприкаса¬
ются по Диагонали куба (рис. 2.3, в). Следовательно, а*3|/2 — 4г. На
куб приходится 2 шара, поэтому
2(4/3)71/*У^ = тг31/2/8 = 0,681.
Найдем число атомов, приходящихся на примитивную ячейку
для лития, кристаллизующегося в объемно-центрированную ре¬
шетку, и то же самое для кристалла CsCl, когда в вершинах куба
находятся атомы Cs, а в центре — атом С1 (№ 2.2). В случае лития
элементарная ячейка, соответствующая объемно-центрированной
решетке, содержащая 2 атома не является примитивной. Соответ¬
ствующая примитивная ячейка представлена на рис. 2.1, б. Она
представляет ромбоэдр (деформированный куб), с ребрами в V3/2
раз больше ребра элементарной ячейки. Этот ромбоэдр содержит
один атом лития. Бесконечными трансляциями можно построить
всю решетку. Так как на элементарную ячейку приходится 2 атома,
и плотность упаковки постоянна, то на один атом объем в два раза
меньше. Это и есть объем ромбоэдра (примитивной ячейки).
В случае CsCl в вершинах куба и в центре атомы разные. Эта
элементарная ячейка является примитивной. На нее приходится
два атома (один — цезия и один — хлора).
В некоторых металлах при определенной температуре проис¬
ходит структурный фазовый переход от объемно-центрированной
к гранецентрированной кубической решетке, практически не со¬
провождающийся изменением объема тела. Найдем отношение
djd2, где dxnd2 — кратчайшие расстояния между атомами в гране¬
центрированной и объемно-центрированной решетках (№ 2.3).
Используя рис. 2.3, находим, что для гранецентрированной ре¬
шетки на объем куба а3 приходится 4 атома и кратчайшее расстоя¬
ние между атомами dt = 21/2/2, а для объемно-центрированной
решетки на объем куба а3 приходится 2 атома и кратчайшее рас¬
стояние между атомами d2 = о2 3|/2/2. Так как по условию объем
и масса тела не меняются, то не меняется объем на один атом
°i3/4 = а2/2. В результате dj d2 = 2,/3(2/3)|/2.
t 4*
Generated by CamScanner
51
Рис. 2.4
Ионные кристаллы хорошо описываются моделью соприка¬
сающихся шаров. Вычислим на основе этой модели период решет¬
ки NaCI (гранецентрированный куб), исходя из его плотности
р = 2,17 г/см3 и молярной массы ц = 58,45 г/моль (№ 2.4). На
рис. 2.4 показана ячейка, в которой находятся частично 14 атомов
Na (центры их обозначены точками) и 13 атомов С1 — один цели¬
ком и 12 частями (центры их обозначены кружками). Размеры ато¬
мов показаны штриховыми линиями. В результате в ячейке име¬
ются 4 атома натрия и 4 хлора, т. е. 4 молекулы NaCI. Период ре¬
шетки равен ребру куба, длину которого обозначим а. В объеме ау
находятся 4 молекулы. Объем одного моля (2, с. 8)
К = М-/Р = я3^а/4,
откуда а = [4ц/(рУУА)]1/3 = 5,64 А.
Для простой кубической решетки, постоянная которой равна
о, найдем расстояние dhkl между соседними атомными плоскостями
с миллеровскими индексами Л, к, I (№ 2.5). Из (2.5) для кубиче¬
ской решетки имеем
Их + ку + lz = а. (2.6)
Если ввести нормаль к плоскости — вектор N = Nxi + N) + №
то уравнение плоскости в векторном виде Nr = о. Из (2.6) видно,
чго индексы Миллера это компоненты вектора N. Вводя угол
w между векторами N и г, получаем Nr = Nrcosa = а. Для длины
вектора г в направлении вектора N (а = 0) находим
52
Generated by CamScanner
Г = <*Ш = */W = a/(h2 + Аг + /2)’/2. (2.7)
Выразим расстояния ^l00, */IIOJ </1п для 1) простой, 2) объем¬
но-центрированной и 3) гранецентрированной кубических реше¬
ток. Ребро элементарного куба равно a (N° 2.6). Для простой куби¬
ческой решетки из (2.7) получаем
1) dm = a, dm = а/2,/2, dU] = а/У'2.
В случае объемно-центрирован ной решетки для первого
и третьего расстояний переносим начало координат в центр куба.
А во втором случае центр куба находится в плоскости такой же,
как для простой решетки
2) dm = а/2, dm = а/2'п, = (а/2)/Зш.
В случае гранецентрированной решетки первое и второе рас-
стояния уменьшаются вдвое по сравнению с простой кубической
решеткой, а третье расстояние такое же как для простой решетки,
так как атомы на гранях попадают на эту плоскость
3) dm = а/2, dm = (а/2)/2|/2, dm = а/Уп. (2.8)
Рентгеновское излучение с частотой v= 1,1*1018 с падающее
в направлении [100] на моноатомный кристалл с гранецентриро¬
ванной кубической решеткой, испытывает брэгговское отражение
первого порядка в направлении [122]. Найдем наименьшее меж¬
атомное расстояние dmin в кристалле (N° 2.9). Обозначим волновые
векторы падающего и отраженного лучей к, и к2, прошедшей вол¬
ны К. Для импульса, переданного решетке, в соответствии с (5,
с. 6) и законом сохранения импульса имеем
АК = А(к, - к2).
Учитывая, что к = 2яД = 2яу/с, и используя обозначения для
направлений векторов, получаем
к, = 2яу/с [100], к2 = (1/3)2яу/с [122].
Так как отражение упругое, то |k,| = |k2|. Чтобы это выполня¬
лось, введен коэффициент (1/3). Для прошедшей волны получаем
К = 2яу/с [2/3, —2/3, —2/3].
Направление вектора К есть [111]-
Плоскости, перпендикулярные этому вектору, имеют индексы
Миллера (ill). Используя (2.8), получаем для расстояния между
плоскостями
Generated by CamScanner
53
d = а/ 31/2.
Для отражения Брегга—Вульфа (4, с. 189) имеем
2dsin<p = пк,
где ф — угол скольжения, показанный на рис. 2.5; п — целое число,
При отражении в первом порядке
2^1пф = к.
В данном случае для синуса угла скольжения
имеем
sin<p = (1/2)| K|/|kJ = 1/3|/!.
В результате а = (3/2)к. Минимальное расстоя¬
ние между атомами в гранецентрированной куби¬
ческой решетке
dmin = а/2'п = (3/2)Х/2|/! = <3/2)c/(V2v) = 2,893 А.
Брегговское отражение возможно лишь при
к й 2d.
Для исследования дифракции и отражений на кристалличе¬
ских решетках можно использовать рентгеновские лучи, а также
волны, связанные с нейтронами и электронами. Условия дифрак¬
ции пучка лучей удобно записывать, пользуясь обратной решеткой.
В связи с этим рассмотрим построение обратной решетки.
Если а, Ь, с — векторы основных трансляций кристаллической
решетки, то для основных трансляций в обратной решетке (отме¬
чены звездочками *) имеем
а* а = b* b = с*с = 1; (2.9)
а*Ь = а*с = Ь*с = Ь*а — с*а — с*Ь = 0. (2.10)
Эти соотношения определяют величины и направления векто¬
ров а*, Ь*, с*. Вектор а* перпендикулярен плоскости векторов b и
с. Для него можно записать
а* = [Ь, с]/(а[Ь, с]), ' (2.11)
т. е. вектор перпендикулярен к плоскости, в которой лежат Ь и с
а длина его выбирается из условия (2.9) о*ясо5ф — 1, где ф — у\о)\
между а* и а.
Аналогичные формулы для векторов Ь* и с*.
54
Generated by CamScanner
Св°йства °братной решетки, которые определяют ее значение
для описания результатов дифракции, следующие:
1) вектор г (hkl), проведенный в точку (hkl) обратной решет¬
ки, перпендикулярен плоскости (hkl) решетки кристалла;
2) длина вектора г (hkl) равна обратной величине расстояния
между плоскостями (hkl) решетки кристалла.
Для доказательства этих утверждений введем вектор (я/И - Ъ/к),
лежащий в плоскости (hkl). Скалярное произведение
г*(Ш)(а/Л - Ъ/к) = (Аа* + kb* + /с*)*(а/А - Ъ/к) = 0.
Это доказывает первое утверждение. Для доказательства вто¬
рого введем п — г*/|г*| единичный вектор нормали к плоскости.
Тогда межплоскостное расстояние (2.7) а-п/А. Используя (2.9)
и (2.10), получаем для расстояния между плоскостями
d(hkl) = п-а/А = г*-а/(А|л*|) = \/\г*\.
Структурные элементы, например атомы, находящиеся в узлах
решетки, могут смещаться относительно узлов решетки. Эти дви¬
жения связаны либо с приложением напряжений (сил), либо
с подводом теплоты к кристаллу. При рассмотрении твердых тел
без учета их кристаллического строения, т. е. как сплошной одно¬
родной среды, получаем, например в случае тонкого стержня из
материала с модулем Юнга Е и плотностью р при малых по срав¬
нению с модулем приложенных напряжениях, что в нем вдоль его
длины распространяется упругая волна со скоростью (1, с. 272,
345)
= (Е/р)1'2. (2.12)
Для смещения и в волне имеем волновое уравнение
д*и/д? = с/^и/дх1. (2.13)
В общее решение входят две произвольные функции, которые
определяются из начальных и граничных данных
u=f(x- C,t) + f2(x + сЛ
Для гармонической бегущей в направлении х волны в комплекс¬
ном виде получаем
и = Ле!(кх ~ ы'\ <214)
где А — амплитуда; со — круговая частота волны, к 2п/Х вол
новое число; X — длина волны.
Generated by CamScanner
55
Моделью сплошной среды можно пользоваться, если длина
волны значительно больше постоянной кристалла. При уменьше¬
нии длины волны необходимо учитывать, что среда coctomi iu
частиц.
Рассмотрим цепочку одинаковых атомов массы т, которые при
равновесии находятся на одинаковых расстояниях а (постоянная
одномерной решетки) вдоль оси х и могут смешаться на неболь¬
шие расстояния по сравнению с а вдоль этой оси. На рис. 2.6 по¬
казана цепочка и смещения пронумерованных атомов. Будем учи¬
тывать взаимодействие только ближайших соседей и считать, что
силу, действующую на п-й атом, можно представить в виде
К = Р(". Р(". - ", - |). (2.15)
где р — постоянная величина, называемая силовой постоянной.
п-2
—Q-
I
I
л-1
О
п
о
л+1
-о
положения равновесия
-о-
rv
1 1
Хп=ап
л+2
-О-
Рнс. 2.6
Смысл этой величины можно понять из сравнения с законом Гука
(1, с. 329). Для единичной площади поперечного сечения
F = <за2 = Е{Ы/1)а2 = а2Е(и„ - и„_ ,)/д = р(ип - ип_ ,),
откуда
Р = Еа. (2.16)
Используя (2.15), получаем уравнение движения л-го атома:
= Р(". + I + ". -1 - 2и„), (2.17)
где штрихами обозначены производные по времени.
Решение уравнения (2.17) будем искать в виде бегущей гармо¬
нической волны типа (2.14), где вместо х используем па
ип = Лё{кпа ~ *'). (2.18)
Вычисляя производные и подставляя в (2.17), находим усло¬
вие, при котором (2.18) является решением (2.17), т. е. по цепочке
могут распространяться гармонические волны: "<
56
Generated by CamScanner
<0(*) = 2(p/m)l/Jsin(£<3/2). (2.19)
Зависимость (2.19) между to и Л,представленная на рис. 2:7, яв-
ляется дисперсионным законом для гармонических колебаний од¬
номерной цепочки одинаковых атомов. Это периодическая функ¬
ция с периодом 2к/а. Значения к в интервале от —п/а до п/а дают
все возможные значения частот и называются приведенными вол¬
новыми числами, а сам этот интервал называется первой зоной
Бриллюэна.
Как следует из (2.18) и (2.19) при к = ±п/а волна превращается
в стоячую (соседние атомы колеблются в противофазе)
и„ = /te‘'“'cos(wi)
с длиной волны
X = 2а (2.20)
и максимальной возможной частотой
о)тах = (4Р/т),/2. (2.21)
Учитывая, что со/к = иф = cs и ктАХ = п/а, получаем
Ют«х = CsK/a• (2-22)
В случае малых к получаем s\n(ka/2) » ка/2. Используя (2.19)
и (2.12), а также учитывая, что
р = т/а\ (2.23)
находим
о) = с,к. (2.24)
Эти волны аналогичны волнам в сплошной среде.
Оценим частоту колебаний атомов в кристалле меди, считая ее
решетку простой кубической с постоянной а = 3,6 А. Модуль уп¬
ругости кристалла равен Е — 130 ГПа (N9 2.29). Из (2.19) и (2.16)
57
Generated by CamScanner
0)„ = 2(Ea/m)'n = 5.4310'3 c*' Hvm = 8,6Ю12 cf1. Такая частота бу-
дет в стоячей волне при к = л/д, т. е. X = 2а. Для X = 1 2а частота бе¬
гущей волны будет в два раза меньше.
Цепочка из 7V атомов замкнута в кольцо. Подсчитаем число
возможных (допустимых) бегущих волн и сравним его с числом
степеней свободы системы. Рассмотрим случай продольных и по¬
перечных колебаний, когда атомы смещаются вдоль цепочки
и перпендикулярно ей (№ 2.14). Обозначим размер примитивной
ячейки, которая содержит один атом, а (постоянная решетки).
Длина цепочки из /V атомов L = aN. Используя (2.18), для замкну¬
той цепочки получаем
giknu _ ^ка(п + N) _ ^kan^kaN
откуда efkaN = 1 и, так как aN = L,
kL — 2л/, где / = 0, ±1, ±2, ...
Возможны только дискретные значения волновых чисел. Это
и понятно, так как длина цепочки обязательно должна составлять
целое число длин волн
L = XI.
Для возможных волновых чисел, которые называются собст¬
венными значениями системы волн, имеем
к, = (2n/L) /, где / = 0, ±1, ±2, ... (2.25)
Соответствующие им колебания называются нормальными,
или модами, а, соответствующие зависимости — собственными
функциями. При / = 0 (к, = 0) имеем отсутствие движения. Из
(2.25) минимальное к, - ± 2n/L соответствует X = L. Отрицатель¬
ный знак у к означает изменение направления бегущей волны. Из
(2.19) и (2.20) пределы изменения волнового числа (первая зона
Бриллюэна)
-л/д < к < +п/а. (2.26)
Здесь один знак нестрогого равенства, так как точка —л/д эк¬
вивалентна точке л/д.
Расстояние между соседними модами
Ак= (2n/L) А/ = 2n/L. (2.27)
Число мод в первой зоне Брюллиэна (данной замкнутой пе¬
ночке)
58
Generated by CamScanner
(2n/a)/(2n/L) = L/a = N.
ЯП, я 1 имеется три типа независимых коле¬
бании. о ~~ пР0Дольное (ндоль оси цепочки) и два
поперечных Всего 3N независимых колебаний. Это и
rteUPH ГЙПППЯКТ пянилм
есть ЧИСЛО
Одномерная цепочка состоит из атомов массой /и. среднее рас¬
стояние между которыми равно а, а жесткость связей между ними
р. Энергия взаимодействия атома с ближайшими соседями имеет
вид P(w/j± 1 ~ ип) /2» где ип — смещение //-го атома относительно по¬
ложения равновесия. Найдем все продольные нормальные колеба¬
ния и спектр их частот со (к), к — волновое число. Найдем фазовую
и групповую скорости волн как функции волнового числа к. По¬
строим графики полученных зависимостей. Укажем область, отве¬
чающую звуковым волнам, и выразим скорость звука сх через /и и
р (№ 2.15). Заданной зависимости энергии взаимодействия атомов
соответствует закон взаимодействия (2.15). В предположении
о взаимодействии ближайших соседей получаем уравнение (2.17)
и все приведенные затем результаты.
Из (2.18) и (2.19) для фазовой скорости получаем
уф = со(к)/к — a(P/tny/:lsin(ka/2)]/(ka/2). (2.28)
Зависимость фазовой скорости от к и, соответственно, от дли¬
ны волны называется дисперсией, поэтому (2.19) и называют дис¬
персионным соотношением. При ка « 1, как следует из (2.28),
(2.16), (2.12) и (2.23) фазовая скорость совпадает со скоростью
«звука»
с, = (E/p)W2 = аф/т)1/2. (2.29)
Для групповой скорости из (2.19) находим
цф = dco/dk = a(P/m)l/2cos(ka/2) = cscos(ka/2). (2.30)
При ка « 1 групповая скорость совпадает с фазовой и скоро¬
стью звука. На границах зоны Бриллюэна групповая скорость рав¬
на нулю, что соответствует стоячей волне.
Найдем импульс одномерной цепочки, состоящей из /V одинако¬
вых атомов массой т, в которой возбуждена волна с волновым
вектором к. Используя периодические граничные Условия, пока¬
жем, что этот импульс равен нулю для всех к*0 (№ 2.16). Исполь¬
зуя (2.18), найдем импульс цепочки, как сумму импульсов атомов
59
Generated by CamScanner
(2.31)
\ I
Л'-I
S-l
p- ^ p„ = mdu Jdt = -komAe^e'nka =
fr«i) w*0 ti—Q
= -«ow/lf- (l-e'v‘")/(l - e*»).
Периодичность граничных условий заключается в том, что
ип + Л = и„. Из (2.18) следует, что dNku = 1. Если к * 0, то р = 0. Этот
результат можно получить и из четности функции со(к) (см.
рис. 2.7). Всегда есть к и -к. Знак «—» соответствует противопо¬
ложному направлению волны. При к = 0 дробь в (2.31) равна N и
р — —/со mNAe^*'.
В цепочке конечной длины при четном числе атомов одно из
колебаний соответствует границе первой зоны Бриллюэна к = п/а
и ему нет симметричного колебания к = -п/а, так как в первую
зону (2.26) включается только одна граница. Это непарное колеба¬
ние, как следует из (2.30), соответствует стоячей волне, в которой
соседние атомы колеблются в противофазе, и импульс цепочки
для такого колебания также равен нулю.
Потенциальная энергия в кристалле хорошо описывается
функцией U(x) = y.v2 — &с\ причем можно считать, что U(a) я 0, где
х — отклонение атома от положения равновесия; а — постоянная
решетки. Оценив параметры у и 6, найдем энергию связи атома
(в эВ) в кристалле серебра, считая ее примерно равной глубине
потенциала, если скорость звука в серебре с, — 2,6-105 см/с
(N9 2.18). При х « а потенциальная энергия U(x) » ух2. Это соот¬
ветствует (2.15) и гармоническим колебаниям, для которых из
(2.29) cs - а(у/т)'/2. Из этого соотношения у а тс2/а2. Из условия
U(a) а 0 получаем 8 *= у/а « тс2/а1. Глубину потенциальной ямы оп¬
ределяет максимум потенциальной энергии. Из условия dU/dx = 0
находим хП1ЯХ = 2у/(35). Ему соответствует
= 4у3/(952) - 8у3/(2752) = 4у3/(27б2) * (4/27)тс,2.
Считая, что эта величина примерно равна энергии связи ато¬
ма в кристалле (£сн), для серебра с массой атома т « 2-10'22 г, Есш »
* 1,12 эВ.
В одномерной цепочке, построенной из одинаковых атомов,
скорость звука равна с, = 2105 см/с, а постоянная решетки
а — 0,3 нм. Найдем, при какой частоте колебаний со сдвиг фаз меж¬
ду двумя атомами, находящимися на расстоянии Юл, составит п/2
60
Generated by CamScanner
(jsfo 2.20). Смещения атомов
соседними атомами
описываются (2.18). Сдвиг фаз между
Д<р, ка (« + П - кап = ка = 2ла/Х = ат/с,. (2.32)
Для атомов на расстоянии Юс сдвиг фаз Дф,„ = 10 ка. По уело-
вию это должно равняться тс. 2. Поэтому ка = тс/20. Используя
(2.19) и (2.29), находим
со
2(е,/<;)$т(т/40)
-(сг/а)к/40 = -с,/(20л) = 1,05-Ю'2 с"'.
На11дем, как изменится частота колебаний одномерной моно-
атомной цепочки, если сдвиг фазы между колебаниями соседних
атомов возрастает от гс/З до д (j\o 2.19). Из (2.32) находим со2/со, =
= Дср2/Дф1 = 3. Частота увеличится в 3 раза.
В очень длинной (.У>> 100) одномерной цепочке, на один из
атомов, расположенный далеко от концов, воздействуют внешним
источником с частотой/= 1,001 /0, где— максимальная частота
собственных колебаний цепочки. Найдем отношение смешения
данного атома и атома, отстоящего от него на N — 100 межатом¬
ных расстояний (№ 2.72). В длинной цепочке смещение п атома
описывается (2.18) ип = А^кяа ~ ы\ где к и со — волновой вектор
и частота волны; а — межатомное расстояние. Используя диспер¬
сионное соотношение (2.19), получаем со(А:) = w0sin(A:tf/2). Из усло¬
вия
со/со0 = f/f0 = sin(fca/2) = 1,001.
Представляя синус в комплексном виде, получаем уравнение
для определения к
sin(**/2) = - e~ika/2)/(2i) =1,001.
Обозначив ёка/2 = Z, имеем уравнение Z2 - 2,002/Z -1=0.
Корни этого уравнения Z, ~ 1,0457/, 7^ ~ 0,9563/. Соответственно,
к]0 = п - / 0,0447, к2а = л + / 0,0894. Первый корень дает возрас¬
тающую экспоненту в решении и поэтому не подходит. В резуль-
тате м)00/ы, = ехр(/£2*100д) = е'*'94 = КЗ* 10 4.
При малых (упругих) деформациях сдвига, когда сдвиг х много
меньше постоянной решетки а, выполняется закон Гука ст ^ Gx/l,
где а — напряжение сдвига; G — модуль сдвига, / расстояние
между атомными плоскостями, вдоль которых приложено напря¬
жение сдвига. Для идеализированной молели кристалла
Generated by CamScanner
Я.И. Френкель дал теоретическую
оценку критического напряжения
сдвига, при котором произойдет не¬
обратимая деформация кристалла
стс « (7/6. Получим эту оценку
(№ 2.70). На рис. 2.8 показано рас¬
положение атомов в равновесии
(отсутствие сдвига) (1) и в состоя¬
нии сдвига (плоскость атома
В сдвинута относительно плоскости
атома А) (2). Ниже показано изме¬
нение потенциальной энергии ато¬
ма В. В зависимости от смешения
атома л: она имеет вид £/пот(х) =
= -U0cos(2nx/a). Так как сила, а,
следовательно, и напряжение являются производными потен¬
циальной энергии, то можно записать а = As\n(2Tix/a). Чтобы вы¬
полнялся закон Гука, должно быть А = Ga/(2nf). Максимальное
значение напряжения
ас = Ga/(2nl) ~ (7/(2л) « (7/6.
Одномерная цепочка может состоять из разных, чередующихся
атомов массой т и массой М. Будем считать, что атомы массой
т находятся в нечетных узлах решетки с номерами 2п — 1, 2п + 1,...,
а атомы массой М — в узлах с четными номерами 2п, 2п + 2, ...
Если, как и в (2.17), учитывать взаимодействия только ближайших
соседей, то получим уравнения движения
. Миъ — Р(м2я + , + и2п _ j — 2м2я); (2.33)
ти2п + I — Р(^2п + 2 и2п ~ 2м2я + ,). (2.34)
Аналогично (2.18) решения ищем в виде
и2п = Aei(2nka ~ w/);
и = + l)*« - te/)|
uln + I
Подставляя эти соотношения в уравнения (2.33) и (2.34), полу¬
чаем систему уравнений
-со2МЛ = РB(efka + eika) - 2рЯ; (2.35)
.. . -со2тВ = рА{ёка + е~(ка) - 2рВ. (2.36)
Для существования решений этой системы относительно неиз¬
вестных А и В необходимо, чтобы детерминант системы был равен
нулю, что сводится к выполнению условия
62
Generated by CamScanner
Ып\ка)/{тМ)\ш.
а,2 = Р(‘/т + ЧМ)± |1|(| /т) \/ш
При кчI имеем дни корми;
' ЩI (2.38)
и
^ 2|Ц',/'/(,«
При к - п/(2 а)дна корим:
- 2|1 /Л/
И
** 2|l/m,
Зависимость о>(А), определяемая
(2.37) (No 2.24), показана па рис. 2.‘)
для случая М > т. Верхняя пе ня, luni.i
вается оптической, нижняя акусти-
ческой. При малых ка для оптической
ветви из (2.35), (2.36) и (2.3N) получаем
А/ /У = -т/М.
Это означает, что разные атомы
движутся навстречу друг другу, причем
их центр масс неподвижен. Такое дви¬
жение, например, для разноименных ионов можно возбудить ин¬
фракрасной световой волной. Отсюда и название — оптическая
ветвь.
Для нижней ветви из (2.35), (2.36) и (2.39) при малых ка нахо¬
дим
А - В.
Атомы (и их центр масс) движутся вместе, как при акустиче¬
ских колебаниях.
Из (2.35) и (2.36) получаем
(В/А)1 - (2(1 - м’М)/(2\\ - м2т). (2.42)
При к - п/(2а), т. с. соответствующих м имеем в акустической
ветви /У * 0, а в оптической А - 0. Для предельно коротких волн
(к = п/(2а)) в акустической ветви неподвижны более легкие ато¬
мы, а движутся более тяжелые, а в оптической ветви — наоборот.
Для частот от (2()/Л/)|/; до (2|3//я),/; действительные решения
отсутствуют, и тта зона называется запрещенной.
Generated by CamScanner
I Л/). (2.39)
(2.40)
(2.41)
63
При т = М (2.37) для акустической ветви дает (2.19;, а 0|(
тичсской — со сдвигом на п/а.
В одномерной цепочке SnO найдем отношение средних квадро
тов амплитуд нулевых колебаний, соответствующих акустически
и оптической ветвям в узком диапазоне волновых векторов вблизи
границы первой зоны Бриллюэна (N9 2.71). Как следует из (2А2,
при к = к/(2а) в акустической ветви неподвижны более легкие а го
мы, а движутся более тяжелые, а в оптической ветви — наоборо/
Энергия гармонических колебаний (1, с. 98)
Е — гтйгАс*/2.
Квантовые осцилляторы кроме энергии (1.38а) обладают еше
нулевой энергией £0 = hсо/2. Используя это, можно записать
N/2Mu>J<A.J> = tuoJ2 и (N/2)muJ<Bj> = Йо)„„/2,
откуда, используя (2.40) и (2.41), <Атг>/<Вот1> = ото)ОТ1 /М<ии =
= (m/M)l/1 = (16/119)|/2 = 0,37, где N — число атомов олова, равное
числу атомов кислорода.
Из экспериментов по неупругому рассеянию нейтронов на кри¬
сталле КВг известно, Нто максимальная частота поперечных акусти¬
ческих фононов (волн), бегущих вдоль ребер элементарного куба,
составляет сотах = 7,85* 1012 с-1. Оценим в рамках модели одномерной
цепочки скорость звука. Плотность кристалла р = 2,75 г/см3. Решетка
КВг — гранецентрированная кубическая, типа решетки NaCl
(N° 2.28). На элементарную ячейку приходится по 4 атома К и Вг (см.
рис. 2.4). Обозначим массу атома брома М, массу атома калия т.
Ребро куба, в соответствии с принятыми обозначениями в предшест¬
вующем тексте обозначим 2а и найдем его из связи с плотностью
2а = [4(М + ет)/р],/3 = 6,6*КГ8 см.
Максимальная частота акустических колебаний из (2.40)
и рис. 2.9 при к = п/(2а) равна сотах = (2р/М)['2. Отсюда, используя
условие задачи, можем найти (3. Скорость звука соответствует наи¬
большей фазовой скорости. Из рис. 2.9 видно, что наибольшее
значение соД будет при стремлении к к нулю. Из (2.39)
с, = с[2р/(Д/ + т)Г/2 = aa)mJM/(M + m)],/2 = 2,12105 см/с.
Колебательные движения атома в кристаллической решетке
можно уподобить осциллятору. Кинетическую энергию колебаний
<4
Generated by CamScanner
считать внутренней энергией и связывать ее с тепловым движени¬
ем, соответствующим некоторой температуре. Так как на каждую
сТелень свободы осциллятора приходится энергия кв Т, где кв -
достоянная ольцмана, Т — температура в градусах Кельвина,
внутренняя энергия системы из N осшиляторов. обладающих
^рсмя степенями свободы равна
(2.43)
U = 3 NLT
На 1 моль вещества
= 3 RT. (2.44)
Таким образом, классическая теория теплоемкости для твердо¬
го тела, состоящего из атомов, гармонически колеблющихся отно¬
сительно своих положении в кристаллической решетке, дает для 1
моль
С = dUJdT = 3R « 24.9 ДжДК моль). (2.45)
Это закон Дюлонга и Пти, который находится в хорошем соот-
ветствии с экспериментальными данными для многих твердых тел
(в том числе и для металлов) от умеренно высоких до комнатных
температур (во многих случаях). Однако опытные данные показы¬
вают, что при уменьшении температуры теплоемкость падает
и при Т —> 0 для неметаллов уменьшается по закону Т\ а для ме¬
таллов — по линейному закону.
Для объяснения снижения теплоемкости при уменьшении
температуры Эйнштейн воспользовался идеей Планка о кванто¬
вых осцилляторах — дискретности частот колебаний.
Для средней энергии квантовых осцилляторов (1.40) имеем
<Е ш> = Лсо/{ехр[Лсо/(А:Б7) J - 1}. (2.46)
Для среднего числа, соответственно
<лш> = 1/{ехр[Лсо/(£в7) ] - 1}. (2.47)
Для 3N осцилляторов, предполагая их независимость друг от
Друга, получаем
U = 3 N<E>. (2.48)
Если ввести некоторую характеристическую температуру 0, на¬
зываемую температурой Дебая, и определяемую как
к Q = Лео,
5* 189
Generated by CamScanner
(2.49)
65
для теплоемкости на 1 атом в зависимости от Т, используя (2.49)
находим
с = 3Mfct(e/7)V'7 i)!.
Эта модель Эйнштейна дает закон Дюлонга и Пти при Т» g и
согласуется с экспериментальными данными при уменьшении
температуры, но плохо описывает теплоемкость при очень низких
температурах.
Дебай предложил использовать в качестве закона дисперсии
линейную зависимость
со = схк, (2.50)
которая соответствует сплошной упругой среде и кристаллам при
ка « 1.
Приведем (без вывода) полное число колебательных состояний
с волновым вектором из интервала от к до к + dk. Обозначим V —
объем кристалла; g — число состояний поляризаций (возможные
направления колебаний: продольное и два поперечных). В трех¬
мерном случае
dNk з = gVAnk?dk/{2Ti)\ (2.51)
Так как существуют кристаллические системы, которые допус¬
кают движение только по двум координатам или даже только по
одной, приведем соответствующие им результаты.
В двумерном случае, обозначив площадь кристалла s,
dNk2 = gs -2nkdk/(2n)2. (2.52)
В одномерном случае, обозначив длину кристалла L,
dNkX = gL -2dk/(2n). (2.53)
Если задано дисперсионное соотношение со (к), то, используя
(2.46), находим внутренние энергии
U= /h(odNm /{exp[ftсо/(fc67’))-l}, (2.54)
0
где 10та* — максимальная частота, от которой зависит полное чис¬
ло мод, которое определяется числом атомов и возможных поля¬
ризаций их колебаний (см. далее (2.59)).
Скорости звука для продольных и поперечных колебании
обычно различны. При расчетах теплоемкостей часто вводят ско¬
рость звука, которая определяется из соотношения
66
Generated by CamScanner
<2.55)
3/ с] = 1 /с3
Используя дисперсионное соотношение в виде о = cjc (дебаев¬
ское приближение) и вводя максимальную частоту сол, которую на¬
зывают де аевскои частотой, из (2.51) получаем полное число коле¬
баний (мод) в трехмерном случае
^Ч»з ^^’4ясо2^со/[(2я)3с,3], со < содз;
(2.56)
= 0, СО > СОдз.
В двумерном случае из (2.52) находим
^«2 = *2ясос/со/[(2я)2с,2], со < соД2;
(2.57)
^Ч,2 - 0, со > соД2.
В одномерном случае из (2.53) имеем
^ = #//2с/со/(2л с,)], со < соД|;
(2.58)
dN*\ = о, со > соД|.
Полное число мод определяется числом атомов в решетке
и числом поляризаций. В трехмерном случае для числа атомов 7V0
и g = 3, получаем
тЛ 3
JdN = Уч>3дз/(2ягс,3) = ЗЛ,0>
0
(2.59)
откуда для дебаевской частоты имеем
СОдз = ка =
(2.60)
В случае простой кубической решетки NJV= 1 /а\ Получаем,
используя (2.22), что содз близка к comax = csn/a.
Для нормированной функции распределения мод получаем
Доз) = 1/(3jV0) (dNJdm) = За>7/а>ю\ со < сод};
(2.61)
Дсо) " 0, со > содз.
Вычисляя соответствующие интегралы для (2.57) и (2.58), на¬
ходим
озД2 = c,(4nNJs)'n
и
(2.62)
С0Д| = c,nN0/L.
5*
(2.63)
67
Generated by CamScanner
Для температуры Дебая имеем (подстаазяя соответствующие озл)
0 = ЛсОд/ къ. (2.64)
Энергия в интервале от со до со + dco, используя (2.56) и (2.46),
dU = <E>dNut =
= Лсо^К{47гсо2^со/[(2л)3с/]}/{ехр[Лсо/(^Б7)] - 1}. (2.65)
Число квантов (фононов) в одном колебательном состоянии
/1„ = dU/itmdu) = <?К{471со2/[(2тс)3с/]>/{ехр[йсо/(А:Б7) ] - 1}. (2.66)
Энергию колебаний находим, пользуясь (2.46) и (2.56)
Ц|д
U= U= f<E>dN,.,. (2.67)
О
Для трехмерного случая и g = 3 из (2.46) и (2.56) получаем энер¬
гию единицы объема кристалла в приближении Дебая
U/V= Зй/(2тг!с,3)f со1 d(a/{ехр(Л<в/(/сЕ7)] - 1}. (2.68)
О
Введем обозначение
х = Н(о/(къТ). (2.69)
Учитывая (2.64) и ха = Q/T, получаем
0/Г
U/V= 9kbT(NJV)(T/Q)1 jx'dx/(<? - 1). (2.70)
0
Входящий сюда интеграл не берется. Поэтому надо рассмот¬
реть предельные случаи.
При высоких температурах х « 1. Разложив знаменатель в вы¬
ражении под интегралом в ряд Тейлора и интегрируя, имеем закон
Дюлонга и Пти (2.43). При низких температурах х » 1 знамена¬
тель в интеграле сильно возрастает, что делает малым вклад при
распространении верхнего предела до бесконечности. В результате
при Т « 0 из (2.70) находим
U = (3/5)7гХ*б770\ (2.71)
На единицу объема в случае трех поляризаций волн из (2.68)
и = и/ V = (1 /10)яг(*Б 7)7(йс/. (2.72)
68
Generated by CamScanner
Для теплоемкости из (2.71) получаем
С= (12/5)я4УУ0Л6(7'/О)’ 234/VAJ//«)’. (2-73)
Используя (2.60) и (2.64), находим шпиля Оолсс удобное иыра-
жение теплоемкости единицы объема
(2/5 )n2kh'T'/{h'ct').
— - Я г
Оптическая ветвь соответствует большим чисто him и па ее воз
буждение не хватает тепловой энср!ии.
Для двумерных и одномерных кристаллических структур, ис
пользуя (2.46), (2.67), (2.57) и (2.58), подучаем (№ 2.32):
“д2 = c^nNJs)42, 0; = Uict/kJ(AnNJ.s)i/}\ (2.75)
U2 = ti / (nc]){kbT / h)' з $ х' dx / (е'I)
0
= 4N„kbT(T/0,)* ‘2,404; (2.76)
С2 = 28.85/V,7/0(2.77)
Шд, = c,nNJL, 0, = (hc,/kjnN„/l.-, (2.78)
*
£/, = (h/c,){kJ/h)2(L/n)fxdx/(e'-\) =
= N0kbT(T/0,)л2 /6; (2.79)
с, = (я2/3)Л(Л(77е, )• <2-80>
Здесь предполагается, что для двумерных кристалов есть две
поляризации, а для одномерных — одна поляризация волн.
Найдем, каково отношение числа фононов с дебаевской часто¬
той й)д = £в0//) к числу фононов с о>;1/2 в кристаллах, описываемых
моделью Дебая, при температурах 7] = 0 и Т2 = 0/10 (№ 2.22). Ис¬
пользуя (2.66), получаем:
при Г, = 0: л7(сод)/л(сод/2) = 4(Ve — !)/(<? - 1) * 1,51;
при Г2 = 0/10: п((Од)/п(<»д/2) = 4(е' - !)/(<?'" - 1)* 0,027.
- ггпятной оешезки одинаковых ато-
Для колебаний плоской кв др характеризуются постоянной
мов, упругие силы между которыми характеру _ ^ ^ ^
Р, закон дисперсии имеет вид со•а _ постоянная решет-
дси у направлены вдоль сторон ' ’ ЛИС|,ерсии изотропен,
ки. Покажем, что для длинных Используя
т. е. со зависит только от модуля вол ново. ^
Generated by CamScanner
приближение Дебая, определим граничную дебаевскую частоту
<ил и величину волнового вектора кЛ (№ 2.27). Для длинных волн,
г. е. малых волновых чисел, можно разложить косинусы.
It результате получаем
со2 = (2р/т)(*х2 + к}2)а2/2 = (P/m)|k|V.
Используя (2.62) (в данном случае N/s = 1 /а2) и приближение
Дебая (2.50), где сх = я(Р/т)|/2, получаем сол = 2(тср//м)|/2, кл -
- 2к'/2/а.
Используя аналогию между фотонами и длинноволновыми
фононами, выразим низкотемпературную решеточную теплоем¬
кость кристаллов через скорость поперечного (cj и продольного
(сл/) звука (№ 2.33). Используя (2.46), (2.56) и (2.67) приходим
к (2.68). Подставляя (2.55), получаем для единицы объема
С = (2тг2/15)/г,;(2/с/ + 1/с,3)(*б7УЛ)\
Одномерная цепочка состоит из атомов массами т и М = 9т.
Оценим относительный вклад в теплоемкость продольных оптиче¬
ских колебаний атомов цепочки при температуре Т— 0/10, где 0 —
температура, соответствующая максимальной энергии реального
спектра акустических колебаний. Для оценки считаем 0 равной
дебаевской температуре в соответствующей модели (№ 2.34). Так
как М >> w, то оптическая ветвь (см. рис. 2.9) имеет практически
постоянную частоту соопт « (2p/m)1/2 = const. Обозначим число ато¬
мов в цепочке N. Тогда N/2 — число колебательных мод в одной из
ветвей колебаний одномерной цепочки, содержащей атомы двух
сортов. Используя (2.46) для энергии оптических колебаний це¬
почки, имеем
Еш = (ЛУ2)йсоопт /{ехр|Лш01П/(Л, 7) I - 1}.
Соответственно теплоемкость
с. nr = dEcJdT = (Лу2)*Е[Й0)<,пт/(*Б7)|!ехр|А(о„п,/(Лв7)|/
/{ехр[/коолт/(*Б7)| - I}2. (2.81)
Для максимальной частоты акустической ветви (см. рис. 2.9),
которую полагаем равной дебаевской, имеем (2.64) шл = АБ0/7/. Из
рис. 2.9 видно , что соопт/сод = (M/m)l/2. Используя условие задачи,
получаем йсоопт/(&Б7) = 30 >> 1. Из (2.81) находим
70
Generated by CamScanner
Com - (Л'/2)^[Лсо„„т/(А:п7)|!ехр|-Л(о0,и/(А'1,741.
Для теплоемкости акустических колебаний из (2.80), учитывая,
что число мод N/2, имеем
= (я!/6)Мб(Г/0).
В результате
Qm/C« = (3/я!)[йсо0„т/(А:67)]!(е/7)ехр|-Л(йолУ(*БЛ] = 2.56 10,в.
Следуя приближениям модели Дебая, определим отношение
теплоемкостей образцов бериллия Be и меди Си одинакового объе¬
ма при Т— 400 К. Плотность рВс = 1,85 г/см3, рСи = 8,96 г/см3. Тем¬
пературы Дебая Og, = 1481 К, 0Си = 347 К (№ 2.35). Для меди 7/0-1,
для бериллия 7/0 « 0,2. Из (2.70) видно, что для меди выполняется
(2.43), т. е. можно воспользоваться законом Дюлонга и Пти ССи =
= 3NCukB. Для бериллия надо воспользоваться (2.73) СВс =
= (12/5)тг47УВе/:Б(7у0в<.)3. Отношение теплоемкостей
Ое /Сси= (4/5)я4(7/0Вс)3рВс AcJ(pcJBt) « 2,2,
где А — атомная масса.
При измерении теплоемкости металла в области низких тем¬
ператур (Т « 0) получены следующие результаты:
тл к
1,08
1,24
1,46
1,62
1,91
С, мДж/град моль
2,18
2,62
3,31
3,89
5,10
Оценим величину дебаевской
температуры этого металла
(№ 2.36). Известно, что теплоем¬
кость металлов при очень низких
температурах меняется линейно
с температурой, а при более высо¬
ких как для диэлектрических кри¬
сталлов пропорциональна кубу
температуры. Поэтому предпола¬
гаем С— аТ+ ЬТ3. В координатах
х = Т\у= С/Т — это прямая ли¬
ния с наклоном Ь. На рис. 2.10 показана эта зависимость с нане¬
сенными на нее точками из таблицы. Из (2.73) молярная теплоем¬
кость (N = Na) равна
С = (12/5)я4ЛВДЭ)3 = 234/?(7/0)'\
Generated by CamScanner
71
Из рисунка С/Т = ЬТ\ В результате
О = (234Л/«|/1 = (234-8,31 •10J/0,265)I/J = 200 К.
В кристалле поваренной соли NaCl (гране центрированная ре-
тетка) при температуре Т— 10 К теплоемкость единицы объема
с = 6,210 'ДжДКсм3). Оценим усредненную скорость звука с.
и кристалле и его дебаевскую температуру 0. Постоянная решетки
2а = 5,63 А. Считаем, что дебаевская температура относится ко
всему спектру колебаний (№ 2.37). Используя (2.60), (2.64)
и (2.73), получаем
с, = (kJ/h)\2n1kJ(Sc)\'li * 2,810s см/с.
Для температуры Дебая из (2.64) и (2.60), учитывая, что на гра¬
нецентрированный куб приходится 4 молекулы NaCl т. е. N/V —
- 1/(2д'), получаем
0 - (АсД)(б7гУУ/Ю,/3 * 230 К.
Найдем максимально возможное увеличение ДГ температуры
кусочка серебра с исходной температурой Т0 при падении его с вы¬
соты h = 1 см. Рассмотрим два случая: 1) Т0 = 4,2 К и 2) Т0= 300 К.
Температура Дебая для серебра 0 = 227 К. Теплоемкостью электро¬
нов по сравнению с решеточной теплоемкостью пренебрегаем
(№ 2.38). В расчете на 1 моль при ударе максимальная получаемая
теплота равна pg/7. Изменение внутренней энергии при температу¬
рах, много меньших температуры Дебая, определяется (2.71), при
температурах порядка температуры Дебая — законом Дюлонга
и Пти (2.44). В первом случае Т= Т{\ 1 + 5|1^Л(0/Го)3/(Зл4/?7;,)],/<4 =
= 4,86 К, А Т= 0,66 К. Во втором случае ДГ = рgh/(3R) = 4,2-10"4 К.
Железный шарик радиусом R= 1 мм находится в центре сосуда
откачанного до высокого вакуума. В начальный момент времени
температура шарика Т0— 10 К. Оценим время т, через которое тем¬
пература его изменится на а = 1 %. Дебаевская температура железа
® — 477 К, концентрация атомов п = 8,5-1022 см-3. Температура сте-
нок Т- — 80 К. Поверхность шарика и сосуда считаем абсолютно
черными (№ 2.39). Поток теплоты, приходящей к шарику, опреде¬
ляется разностью потоков от стенок и потока, излучаемого шари¬
ком. Используя (1.14) и (2.71), получаем
°<7;4 - Т4)т4кЯ2 = (3/5)тс4д7(4/3)тс/?3А:Б(Г4 — Го4)/03.
Используя малость изменения температуры шарика, получаем
72
Generated by CamScanner
T 1UbnRa(TJTcy/(atf) * 0,038 с.
Одинаковые массы свиння 208рь т 2x0 •
мпмшю жилкогп г^гтыо ,1 РЬ 11 кРемния Si охлаждают С ПО¬
МОЩЬЮ жидкого гелия от температуры Т. = 20 К до '/’= 4 2 К Оце¬
ним отношение масс жидкого гепмст u Л ' К' ;цс
„of_„lrQ .. д иго гелия, необходимое для охлаждения
о пс ^сли известно, что дебаевские температуры
тппнпи Шо 1 дт рИ ^Si ~ ^ пРенебрегая теплоемкостью элск-
Трынмy 1н' « ’ асход гелия пропорционален изменению внут¬
ренних энергии. Для внутренней энергии имеем (2.70). По усло¬
вию для о оих веществ 0 » 1. В результате внутренняя энергия
единицы объема
и/ у = 9(АУКК*Б^4/в3)(тг4/15).
Если обозначить массу атома /я, то общая масса М = Nm.
В результате
и = U/M = (3/5)(l/«)(*B77eV.
Отношение изменений внутренних энергий
AwSi/AwPb = (тр^КерУОз.)3 = (208/28)005/645) * 3,2-10 2.
После предварительного охлаждения куска железа 4,Fc с мас¬
сой М= 1 кг жидким азотом до температуры Г, = 77 К производят
дальнейшее понижение температуры до Т2 = 4,2 К с помощью жид¬
кого гелия. Определим объем испарившегося при этом гелия, если
теплота испарения жидкого гелия q = 2,6 Дж/см3 и дебаевская тем¬
пература железа 0 = 477 К (№ 2.41). Вкладом электронной тепло¬
емкости железа пренебрегаем. Теплота, забираемое гелием, qV
равна изменению энергии железа, описываемой (2.71). В резуль¬
тате
V= 3k4RM(T4 - T24)/(5ArtQ}q) «1,1л.
Параметры кристаллических решеток кремния и германия
практически одинаковы, так же как одинаковы их модули упруго¬
сти. Оценим, как соотносятся между собой дебаевские температу¬
ры этих элементов (N? 2.42). Используя (2.64) и (2.19), находим
V0Gc = Мс.Мк),/2 * J’6.
Оценим, при какой температуре энергия тепловых колебаний
кристаллической решетки AI равна тепловой энергии жидкого ге¬
лия при 1 К (в обоих случаях сравниваются энер1ии на единицу
объема). Считаем все возбуждения акустическими фононами.
Bnerated by CamScanner
73
Скорости звука: в гелии сН1е = 240 м/с, в алюминии продольного
cs, = 6260 м/с, поперечного с„ = 3080 м/с (N° 2.45). Для алюминия
можем воспользоваться (2.72) и (2.55), для жидкого гелия над(>
(2.72) уменьшить в три раза, так как в гелии возможны только
продольные волны. В результате для температуры алюминия полу¬
чаем
Т= 7'иЛ(сл)У[с,„Д2с„3 + с„3)|)|/4 = 5,65 К.
Энергетический спектр фононов в кристаллах в силу конечных
размеров кристаллов является дискретным. Оценим наибольший
размер L кристалла поваренной соли, имеющего форму кубика,
при котором это обстоятельство сказывается на его удельной теп¬
лоемкости при температуре Т= 1 К. Дебаевская температура кри¬
сталла 0 = 275 К, плотность р = 2,17 г/см3, молярная масса р «
« 58,45 г/моль. Считаем, что вкладом поверхностных волн можно
пренебречь (№ 2.46). Ограниченный размер кристалла приводит
к дискретности (2.27) Ак = 2к/L. В дебаевском приближении (2.24)
Дсо = cJSk = c,2nlL. Этому соответствует дискретность энергии
АЕ — ЬА со = 2ncsh/L. (2.82)
Термически возбужденные фононы имеют энергию hо> ^ кьТ
при Т « 0. Дискретность сказывается, если
АЕ>кьТ. (2.83)
Используя (2.64) и (2.60), а также, что N/V- M/(mV) = р/т =
= рЛ/д/р, где р — молярная масса; Nд — число Авогадро, находим
0 = hc^Jk, = (hcJk^fm'N/V)'» ш (nhc,/kb)(2pNJц)|/3.
Из (2.82) и (2.83) находим
L < 2пПсДкъТ) = 2(0/7)[p/(2p7VA)]1/3 * 0,14 мкм.
Оценим, насколько изменится количество теплоты, требуемое
для нагрева единицы объема кристаллического кластера, состоя¬
щего из нескольких сотен атомов, от Тх = 0 К до температуры Т2 *
= 0/30, по отношению к количеству теплоты, требуемой для тако¬
го же нагрева единицы объема того же вещества бесконечных раз¬
меров, если характерный размер кластера L = 10а, где а — посто¬
янная решетки; 0 — температура Дебая. Считаем, что возбуждают¬
ся только объемные фононы, а вкладом поверхностных колебаний
можно пренебречь. Не учитываем также движение кластера как
74
Generated by CamScanner
целого и его вращение (Si 2.47). Для среды ограниченного разме¬
ра возможные моды колебаний определяются (2.25). Максималь¬
ная длина волны лт^ = 2L. Это означает, что интегрирование
в (2.70) нужно начинать с некоторого хтш = TJT, где Т0 определя¬
ется из соотношений kLT = hc^n = Лс^т|.п = Лс,л:/1 и къв = Лсотах =
-bcjc^ = he pi/а. Используя условие, получаем *mjn = 0,10/77 Для
отношения количеств теплоты из (2.70) имеем
и
класт
-V 30
/и,ак= jx'dx/<e‘-1)/JV <£<:/(<>'-1)
В обоих интегралах можно пренебречь I по сравнению с
и верхний предел заменить на бесконечный. В результате получа-
ем д. * 0,6.
На часть плоской поверхности диэлек-
трического кристалла, граничащего с вакуу¬
мом, нанесена металлическая пленка тол¬
щиной а = 0,1 мкм (рис. 2.11). По пленке
течет электрический ток с поверхностной
плотностью / = 1 А/см. Кристалл охлажден
до температуры Т =г 0 К. Определим темпе¬
ратуру пленки, пренебрегая тепловым сопротивлением границы
между пленкой и кристаллом и полагая пробег фононов в кри¬
сталле много большим поперечного размера пленки. Удельное со¬
противление пленки р = 10"* Ом см, усредненная скорость звука
в кристалле с, = 3-105 см/с (Sz 2.48). Из (3, с. 119, 120) получаем со¬
противление пленки R = pb/(af). Мощность, выделяемая при про¬
пускании тока /, равна W= RI2 = pbt2/(at). Вводя линейную плот¬
ность тока / = ///, получаем W= pbli2/a. Мощность, выделяемая
в пленке на единицу плошали поверхности раздела (5 = Ы) равна
W{; - w/s = pi2/а. (2.84)
При равновесии эта мощность равна плотности потока фоно-
нов через границу подобно молекулам (2, с. 169) или фотонам (1.8)
АТ) = и{Т)с,/ 4, (2.85)
где и определяется (2.72). Из равенства (2.84) и (2.85) находим
Т= |p/240(Ac,)V(<mV)r4 = 1К.
В обмотках больших сверхпроводящих соленоидов механиче¬
ские напряжения, обусловленные пондеромоторными силами,
; 75
Generated by CamScanner
лосшг.ткл ирслсла упругости материала. При низких температурах
и таких механических нафузках. как показывают опыты, нозмож
нм скачкообразные изменения величин механического наприже
ним в кабеле, в результате которых происходит тепловыделение,
способное нарушить работу сверхпроводящего соленоида. И со¬
временных сверхпроводящих кабелях основную массу кабеля со
ставлиет не сам сверхпроводник, а медь, плотность которой р
= Х,% г/см', модуль Юнга Е * 10 Н/см2. температура Дебая О
= 347 К. Пренебрегая теплоотводом от обмотки, найдем макси¬
мально возможное повышение температуры некоторого элемента
обмотки сверхпроводящего соленоида, работающего при темпера¬
туре Т- 4,2 К, при скачкообразном уменьшении напряжения а =
= 101 Н/см на величину 6 = 5%, считая, что освобождающаяся
упругая энергия целиком переходит в теплоту (№2.51). Упругая
энергия единицы объема (1, с.333) £'упр = 6сг/(2/Г). Эту энергию
приравниваем внутренней энергии единицы объема меди (2.71),
где /V,, = р/Уд/Л(и. И mole находим температуру меди в результате
нагрева
7) - \ /А + 5ггО'бЛСо/(Зл4р£Л)Г/4 * 7,5 К, АТ* 3,3.
В ферромагнетиках при низких температурах заметный вклад
в тепловые процессы вносят колебания в системе поляризованных
спиновых моментов — спиновые волны, для которых закон дис¬
персии имеет вид со = ЛК\ где А — некоторая константа; К — вол¬
новой вектор, а среднее число квантов (магнонов) в тепловом рав¬
новесии определяется той же формулой Планка, что и для фоно-
нов. Выясним характер температурной зависимости вклада
магнонов в теплоемкость ферромагнетиков (№ 2.52). Используя
сходство с фононами при тепловом равновесии при 0, для те¬
пловой энергии из (2.46), (2,51) и (2,67) получаем
u~f K2dKK2/{zxp[Ah
О
Если ввести переменную ^ = AhK2/(k^T), то имеем
u~\(kJ)/{Ah)\i/2 $
0
Таким образом.
76
и ~ Г/2, С = du/dT ~ Т1,г.
Generated by CamScanner
В антиферромагнетиках (спиново упорядоченных магнетиках
с антипараллельными магнитными моментами соседних атомов)
закон дисперсии длинноволновых магнонон имеет вид to = |К|и,
где фазовая скорость и — const. Отличительным свойством магно¬
нов в антиферромагнетиках является то, что для каждого значения
волнового вектора К возможны два состояния поляризации. Най¬
дем отношение вкладов магнонов и фононов в теплоемкость при
низких температурах для кристалла со скоростью v — 3,0*105 см/с
и усредненной скоростью звука сг = 5,0*1 O'* см/с (№ 2.53). Сходст¬
во дисперсионных соотношений фононов и магнонов позволяет
воспользоваться (2.74), учитывая, что у фононов три поляризаци¬
онных состояния, а у магнонов только два,
^,ги/Сф0Н = (2/3)(с»3 *3,1.
Капиллярные волны на поверхности (закон дисперсии со2 =
= аА^3/р) могут вносить при низких температурах значительный
вклад в теплоемкость жидкого гелия. Найдем, какова температур¬
ная зависимость «поверхностной» (на единицу площади) теплоем¬
кости гелия при Г* 0 К (№ 2.54). Коэффициент поверхностного
натяжения ст и плотность р гелия считаем постоянными и вводим
А =ст/р. Используя заданный закон дисперсии и в данном двумер¬
ном случае (2.52), находим
dNm = Дсо,/3Жо,
где В — постоянная величина.
Внутренняя энергия определяется (2.54). На единицу площа¬
ди, вводя обозначение (2.69), получаем
u~TV3fx*ndx/(ex-l).
0
При Г» 0 верхний предел равен бесконечности.
Для теплоемкости на единицу площади имеем С — du/dT~ Т1.
В 4Нс, который при атмосферном давлении остается жидким
при Г» 0 К, колебания в области низких температур целиком опи-
сываются продольными акустическими фононами. Получим фор¬
мулу для низкотемпературной теплоемкости и вычислим ее для ге¬
лия при Т = 0,1 К, приняв для скорости звука значение cs =
= 240 м/с (№ 2.55). Учитывая, что в жидком гелии могут сущест¬
вовать только продольные волны, т. е. в (2.56) g= 1, и что Т& 0, из
(2.54) получаем, используя (2.69),
Generated by CamScanner
77
и = (къТ)‘ /(2я 2с?h5)/х /(е* -1).
О
Интеграл табличный
jх dxЦе' -1) = л4 /15.
о
Для теплоемкости (И= 1 см3) имеем
С = Л/А/Г = (2/15)л?кБАТ3/(с,3Ь3). (2.86)
Подставляя числовые значения, находим
С * 40 эрг/(К см3).
Для некоторых металлоорганических соединений индия моде*
лью молекулы может служить одномерная цепочка из 105 оди¬
наковых атомов "51п. Цепочка находится при Т— 0 К и полностью
изолирована от окружающей среды. Ядро одного из атомов, нахо¬
дившееся в возбужденном состоянии, испускает у-квант с энерги¬
ей Еу = 350 кэВ. Определим температуру цепочки после установле¬
ния теплового равновесия между атомами ||51п, учитывая все типы
колебаний и считая усредненное значение скорости звука cs =
= 1,5-105 см/с, а межатомное расстояние а — ЗА (№ 2.23). Им¬
пульс излученного кванта р = EJc. Предполагая, что такой же им¬
пульс передается одному атому и отсутствуют релятивистские эф¬
фекты, для энергии отдачи получаем
Етг = Р?/( 2т,„) = Е*/(2тУ).
Затем эта энергия передается всей цепочке, начальной энерги¬
ей которой пренебрегаем. Учитывая три типа возможных колеба¬
ний и, что L = Na, из (2.79) и (2.78) находим
00
и, = 3(й/с, )(ktT/h)*(L/n)Jxdx/(ex-1) =
= 3(ti/c, )(ksT/h)1 (L / к)п2 /6 = nNa(k„T)2 /(2he, )= Em,
откуда
T= [EyhcJ{nNak^mXn<^)]1/2 * 1,3 K.
Оценим, какую долю постоянной решетки a — 5,8 А твердого
криптона составляет амплитуда продольных колебаний атомов
вдоль одного из ребер элементарного куба при температуре плав-
78
Generated by CamScanner
ления Т л 117 К, учитывая, что дебаевская температура криптона
q = 72 К (№ 230). Энергия гармонических колебаний зависит от
массы атома /я, частоты колебаний ю и амплитуды Л (1, с. 98)
- ты2Л2/2. (2.87)
При тепловом равновесии эта энергия равна (2, с. 158) ЗА:Г.
Считая, что частота колебаний близка к дебаевской частоте, а тем¬
пература равна температуре плавления, используя (2.64), находим
отношение
А!а - (kTJm)'nh/(kOa) * 0,0187.
Найдем в дебаевском приближении среднеквадратичную ам¬
плитуду нулевых колебаний атомов в кристалле с плотностью р =
— 19,2 г/см , дебаевской температурой 0 = 383 К и усредненной
скоростью звука с, = 3,13*10 см/с (N9 2.74). Используя (2.87), при
возбуждении одного нормального колебания всех атомов (считая
амплитуды колебания одинаковыми для всех атомов) получаем
среднюю энергию кристалла для этого нормального колебания
N
/2 = Мы2 А 2 /2=(п +1 /2)Ло>, (2.88)
/-1
где М — масса кристалла.
Энергия приравнена энер/ии колебаний квантового осцилля¬
тора. Отсюда для нулевых колебаний в трехмерном случае
А2 = 3 Н/Ш(а). (2.89)
Используя функцию распределения (2.56), получаем
<А2>= ] A2(o>)dfi/-Mb О)2 2йрс/).
0
В результате (<А2>),/2 » 0,059 А.
^ оазмер I двумерной квадратной
Оценим в лебаевско^м отношеНие среднего квадрата ам-
решетки атомов при ктоР реШетки составит при
плитуды колебаний к квадрат Относительная масса
температуре Г = 650 К f скорость звука с, =
атома А = 150, межатомное расе м в ПЛОСкости решетки.
= 4105 см/с. Учитываем колеГ* чт0 суммирование по всем
Граничные условия нулевые. С ин’тефалом (№ 2.76). На каж-
модам колебаний можно замен ^
Generated by CamScanner
дую ячейку приходится 1 атом. Общее число атомов N = L L/a2.
Учитывая, что для двумерной решетки число поляризаций g = ],
из (2.52) получаем
dNk = L2kdk/(2n).
Максимальное значение кй определяем из условия
А <= f L2kdk/(2n)=L2k2a/(4n)=L
О
откуда
кд = 2п'12/а.
По Дебаю Лсод = hcjiд = 2п'/2hcja « 1,4-10“2 эВ. Так как кБТ =
— 5,6-10-2 эВ, то для всех мод средние числа фононов пк велики
(даже для дебаевских фононов пк « къТ/(Ыа) = 4 >> 1). Аналогич¬
но (2.88), учитывая, что п велики и случай двумерный, получаем
Мы2Л2/2 = 2 лЛсо.
В данной задаче, чтобы произвести интегрирование по всем
модам, надо найти нижний предел волнового вектора. Полагая
Ь-ахнх — ЛL, находим kmin = 2'/2n/L. Используя (2.52) (g = 1), полу¬
чаем
2-J~n/a
<Аг>= L2kBT/п J2kdk/(Mcjk2) =
Ля/L
2 Ля / а
= 2а2 к J/ (юпс])/ dk / к = 2а2квТ
• , Ля/L
Здесь использовано М - Nm = (L/a)2m.
Минимальное значение длины цепочки находится из условия
<А2> = ад2, откуда Lmm = (71/2)|/2Аехр[ть4трс/а/(2ЛБ7)) = 6,27-10~У744 =
= 2,36 см.
В алмазных наковальнях сжатие твердых образцов осуществля¬
ется до мегабарных давлений. Потенциал отталкивания между
атомами можно аппроксимировать степенной функцией б^Дх) ~
~ xn (rj >> 1), где х — относительное расстояние между двумя со¬
седними атомами. Определим, во сколько раз изменится темпера¬
тура Дебая такого кристалла при увеличении давления от -
= 200 кбар до р2 = 1,8 Мбар. Жесткость кристалла в сжатом со-
80
Generated by CamScanner
стоянии определяется второй производной err отгадки нательной
части потенциала (JVfe 2.78). Потенциальная 'энергия от внешнего
давления приводит к появлению линейного потенциала UKH ~
' ~ х'* **овое положение равновесия при приложенном дав-
дении определяется минимумом суммарного потенциала U— UMi +
+ а жесткость кристалла определяется второй производной
этого потенциала, т. е. жесткость определяется только отталкива-
тельнои частью потенциала
Р = ^2£/отт/^~^п-2
Давление внутри кристалла
Р = -dUJdV= -dUJdtf) ~ 1/(2У) * ~ х'п"3.
Это давление равно внешнему давлению.
Используя (2.64) и (2.19), находим
0 ~ р|/2 - /?(п + 2,/|2(п 4 3,1.
При больших г] получаем
е,/е, = (p2/pt)m = з.
Идея де Бройля, что частице соответствует волна, пригодилась
в кристаллах тем, что волнам в кристалле может соответствовать
некоторая квазичастица — фонон. Это не настоящая частица, так
как и она и волны существуют только благодаря кристаллической
системе — только в ней. Ее энергия
Еф = Ы. (2.90)
Импульс фонона
рф = hk. (2.91)
Заметим, что (2.19) можно трактовать, как связь между энерги¬
ей и импульсом
£ф = 2Л( р//я) l/2si п [дфд/(2Л) ].
Пользуясь законами сохранения энергии и импульса, рассмот¬
рим в идеальном кристалле неупругое рассеяние нейтронов с рожде¬
нием и поглощением фононов. Обсудим возможность восстанов¬
ление закона дисперсии фононов с по нейтронному рассеянию
(№ 2.31). Обозначим энергию и импульс нейтрона до взаимодей¬
ствия Епи рг, а после взаимодействия и р„, и в соответствии
..." 81
Generated by CamScanner
с (2.90) и (2.91) энергию и импульс фонона Лео и Лк. Законы сохра¬
нения энергии и импульса при отражении нейтрона от кристалла
(слоев решетки) дают
= Е„±Йсо; (2.92)
р; = р„ ± ftk + 2лйа*, (2.93)
где а* — вектор обратной решетки, замечатель¬
ный тем (2.9) — (2.11), что направлен перпен¬
дикулярно плоскостям решетки. Слагаемое
2лЛа* можно трактовать как импульс, переда¬
ваемый кристаллической решетке в целом. Зна-
Рис. 2.12 ки перед энергией и импульсом фонона соот¬
ветствуют: «+» поглощению фонона, «—» ис¬
пусканию фонона. Возможна ситуация, когда фонона нет —
упругое брегговское отражение. На рис. 2.12 показана картина та¬
кого отражения нейтрона (положительная ось направлена внутрь
кристалла перпендикулярно отражающей плоскости). Получаем
условие Брегга—Вульфа:
2/?„sin0 = 2лЛя* = 2п/а или X = 2osin0,
где а — межплоскостное расстояние (орт обычной решетки).
Рассмотрим так называемое однофононное рассеяние, напри¬
мер, с поглощением фонона.
В эксперименте можно измерять (£п' — 2ГП)/Л и (рп' — рп). Как
видно из (2.19) дисперсионная зависимость периодична с перио¬
дом 2па*. Поэтому можно положить а* = 0 и воспользоваться за¬
конами сохранения (2.92) и (2.93), предполагая также, что для
оценок можно в качестве дисперсионной зависимости взять (2.24)
со = сгк,
Д,7(2 т) = />„7(2/я) + tike;, (2.94)
Рп'2 = Рп2 + Лк + 2hkp„cos<p,
где (р — угол между направлением движения падающего нейтрона
и фонона.
Из полученных соотношений находим
hk = 2(mcs - рпcostp). (2.95)
Предполагая, что падающий пучок нейтронов имеет максвел¬
ловское распределение с температурой Г, для импульса нейтрона
82
Generated by CamScanner
получаем (тк^Т) . Оценим отношение
(2.95) ко второму:
первого сла/асмого в скоб
гле
тс,/Р* - тс,/(тк, Т)'/2 - (7,./7)1/2,
г.р = «С,2Д,..
Сравним использование нейтронов и электронов для получе¬
ния дисперсионном зависимости в кристалле. Полагаем скорость
звук* в кристалле с, - 210 см/с. В случае электронов, имеюших
массу 10 г, получаем TKV % 1 к. Поэтому для Т> Тши - 1 К имеем
А. = (2pJh)c,osy. В уравнении сохранения энергии для электрона,
аналогичном (2.94), это малая лобавка, поэтому происходит прак¬
тически упру гое отражение. При рассеянии нейтронов, так как их
масса примерно в 2000 раз больше, сохраняется второе слагаемое
в (2.95) и неупругое рассеяние легче выделить из обшего процесса
рассеяния, т. е. измерить импульс фонона. При увеличении к уже
нельзя использовать (2.24). В этой области одновременное изме¬
рение энергии и импульса нейтронов при неупругом рассеянии
уникально для получения дисперсионной зависимости фононов.
На рис. 2.13 приведена фононная область
экспериментально определенного закона лис- F К
Персии квазичастичных возбуждений в жид¬
ком 4Не. Энергия квантов выражена в кельви¬
нах: Е = heоДБ. Исходя из этих данных, опре¬
делим скорость нейтронов, для которых при
рассеянии в жидком 4Не на 180е в результате
испускания или поглощения одного фонона
происходит максимальное изменение энергии нейтронов (N° 2.56).
Обозначим импульс нейтрона до взаимодействия р, после взаимо¬
действия р*, массу нейтрона ш, энергию фонона Е() — h<a0, импульс
фонона hk. Законы сохранения энергии и импульса дают:
при испускании фонона
рЧ(2ш) = р,г/(2т) + Е{„ р = -р* + Ьк;
при поглощении фонона
р2/(2т) + Е„ = р */(2т),-р*,
откуда получаем скорость нейтронов
v = р/т = hk/(2m) ± EJ(hk).
О 1,0 ю'см 1
Рис. 2.13
6'
Generated by CamScanner
83
)иак «•+*> соответствует испусканию, «—» — поглощению. Из
нрпвелеиной зависимости находим: v = (3 ± 2)104 см/с.
Тепловые свойства жидкого гелия 4Не при Т< 0,6 К в основном
обусловлены длинноволновыми фононами. Исходя из данных,
приведенных на рис. 2.13, определим теплоемкость жидкого 4Не
при /'=0,1 К. Найдем, какова энергия фононов, возбужденных
в наибольшем количестве при этой температуре, во сколько раз
среднее число фононов с энергией Ет больше средних чисел фо¬
нонов с энергиями Е = 3Enr Е = EJ3. Температура Дебая 19 К
(№ 2.57). Из рис. 2.13, используя (2.30), находим ct = dw/dk =
- dE/dp * 210 м/с. Теплоемкость подсчитываем по (2.74): С =
= (2/5)rt2/c647^/(cAV) * 40 эрг/(см3*К).
Для распределения числа фононов по частотам при некоторой
температуре Т из (2.46) и (2.56) можно получить распределение,
аналогичное планковскому
dn/diо = Я<о) = А х/(ех - 1), (2.96)
где А — постоянная величина; х - h(a/(kbT).
Максимум (2.96) находим, приравнивая производную нулю.
Получаем трансцендентное уравнение xev — 2ех + 2 = 0. Корень его
можно найти, например, графически х * 1,59. В результате £тах =
= /копш = 1.59кьТ = 1,3-10"' эВ. Вычисляя соответствующие х для
других энергий и пользуясь (2.47), находим n(EJ3)/n(Em) = 0,62;
п{ЪЕя)/п(Ея) = 0,30.
При температурах Т- 0 К газ фононов в жидком гелии можно
считать идеальным. Полагая, что энтропия жидкого гелия опреде¬
ляется фононами, найдем ее удельное значение при температуре
Г - 0,5 К, если плотность гелия р = 0,145 г/см3 и скорость звука
с, = 240 м/с. Температура Дебая 19 К (N? 2.58). Звуковые фононы
аналогичны фотонам. Отличие в том, что фононы существуют
только в среде, в которой могут распространяться волны (в упру¬
гой — продольные и поперечные, в жидкой — только продоль¬
ные). Частота фононов (волн) ограничена максимальным значе¬
нием. У фотонов возможны две поляризации, в упругом теле у фо¬
нонов три поляризации, в жидкости у фононов одна поляризация.
Плотности энергий фотонного (1.14) и фононного (2.72) газов за¬
висят только от температуры. Из первого начала термодинамики
(закона сохранения энергии) (2, с. 104) при постоянном объеме
IdS — du, где энтропия S и внутренняя энергия
и = awT (2.97)
отнесены к единице объема.
Х4
Generated by CamScanner
Учитывая, что в жидком гелии тппи^ л
плтш-,.. ии только продольная поляриза¬
ция, из (2.72) получаем к р
^ине= (1/30) п2къУ(Ьсу. (2.98)
Используя аналогию с фотонами, из (1.15) находим энтропию
единицы объема к
S = (4/3)flJBHe Г\ S(0) = 0.
Чтобы получить удельную энтропию, надо разделить на р:
‘Яд — (4/3)<7,иНеГ3/р ~ 0,7-104 эргДг-К).
Два сосуда, разделенные теплонепроницаемой перегородкой
с отверстием площадью А = 1 мм2, заполнены жидким гелием
и поддерживаются при температурах Т} = 4 К и Г, = 0,5 К. Считая,
что при этих температурах фононы являются единственным ти¬
пом тепловых возбуждений и представляют собой идеальный газ,
найдем тепловой поток Ф между сосудами, если скорость звука cs =
= 240 м/с, а температура Дебая 19 К (№2.59). Учитывая (1.14)
и (2.72), можно связать постоянную Стефана—Больцмана с анало¬
гом ее для фононов в жидком гелии
<*,нИе = (1/2)(с/сЛ)2а = 4,45* 107 эрг/(с-см2-К4).
Поток теплоты
Q = ЛазнНе(Г24 - Т*) = 1,7-Ю'3 Вт.
Получим формулу тонкой
структуры линий релеевского рас¬
сеяния, исходя из представлений
о фотонах и фононах (№ 2.60). На
рис. 2.14 показано сложение им¬
пульсов при рассеянии. Показа¬
тель преломления п учитывает из¬
менение длины волны света в ве-
Ществе. Частоту и волновой вектор обозначаем для фотона со и ,
Для фонона П и К. Отмечая звездочкой * параметры фотона после
взаимодействия из законов сохранения энергии и импульса при
рассеянии получаем:
Йсо* = /ко ± ЛП;
nhk*cosQ = nhk ± fiAcosa;
Поглощение фонона Излучение фонона
Рис. 2.14
(2.99)
(2.100)
Generated by CamScanner
85
/?M*sin0 = ±ЛАыпа,
где 0 — угол рассеяния фотона (относительно направления пада|0
щего); a — угол между направлениями движения фонона и падаю'
щего фотона (см. рис. 2.14). Знак «+» относится к поглощению
а знак «—» — к излучению фонона. *
Используя для фонона дебаевское приближение hK =
где cs — скорость звука в веществе, получаем из системы уравне¬
ний после исключения а и к*
(4Ai2co2/c2)sin2(0/2) ± (4w2coQ/c2)sin2(0/2) — (1 /с32 - п2/cl)Ol = о.
Так как со >> Г2 и с/п » cs, то, отбрасывая свободный член, на¬
ходим
Q = 2fc/ic5sin(0/2).
Найдем максимальную частоту фонона Q, который может ро¬
диться в жидкости под действием света с длиной волны X = 4000 А.
Показатель преломления среды п = 1,5 скорость звука в жидкости
cs = 1,5* 105 см/с (N? 2.61). Используем те же обозначения, что и в
предыдущей задаче. Максимальная частота фонона будет при рас¬
сеянии фотона на 180°. Из (2.99) и (2.100) при 0 = 180° и a = О
в случае рождения фонона получаем
со = П + со*;
пк = К — пк*.
Используя со = ск и Q = схК, находим
Q = ctK = 2kncs{\ + cjc) » 2kncs = 4nncJX « 2,4T0" c_1.
rihk9
c?„
rihk
4."
Спектрометром анализируется свет от лазера
с длиной волны X = 6328 А, рассеянный под углом
0 = 90° в воде (п = 1,33). Найдем, какова должна
быть разрешающая способность спектрометра, что¬
бы различить линию, соответствующую неупругому
рассеянию света с рождением фонона. Скорость зву¬
ка в воде cs = 1,5* 105 см/с (№ 2.62). Используем те
же обозначения, что и в предыдущих задачах. На рис. 2.15 показа¬
ны импульсы при рассеянии с рождением фонона. Используя за¬
кон сохранения энергии и соотношения со = ск и Г2 = с,К, получа¬
ем из (2.99)
ПК
Излучение фонона
Рис. 2.15
86
Generated by CamScanner
J
^ &* + CsK/c fa к*.
В таком случае а — тг/4. Из рис. 2.15 получаем К — 2/iAsin(Tt/4) и
а = С*К = (4ялс, A)sin(n/4). (2.101)
Числовое значение Q « 3-1010 с"1.
разрешающая способность (4, с. 190):
R = Х/ЬХ = со/5со = со/П = 2кс/(ХП) ж 105.
Излучение рубинового лазера рассеивается на звуковых коле
баниях в воде. При рассеянии происходит доплеровское смещение
частоты света. Оценим число штрихов N дифракционной peiuc i
ки, с помощью которой в первом дифракционном порядке можно
обнаружить смещение частоты света, рассеянного под прямым уг¬
лом. Скорость звука в воде равна сх = 1500 м/с, показатель прелом
ления п = 1,33. Считаем, что в воде есть звуковые волны всевоз¬
можных направлений (№ 2.63). Из формулы предыдущей задачи
(2.101) имеем: Av = (2ncJX)sm{n/4). Используя (4, с. 190), получаем
R — mN > у/Av.
При т — 1 находим
N> c/(2nc£inn/4) « 1,Ы05.
Нерадиационные переходы для подуровней электронного
ls-состояния атомов парамагнетика в магнитном поле могут проис¬
ходить за счет передачи энергии фонону, а момента импульса —
всему кристаллу (за счет спин-решеточной релаксации). Оценим
минимальные линейные размеры кристаллов парамагнетика, при
которых такое снятие возбуждения возможно. Усредненная ско¬
рость звука в кристалле cs = 3,2 км/с, индукция магнитного поля
В = 0,1 Тл, смещение атомов на границах кристалла считаем рав¬
ным нулю (№ 2.77). Минимальное значение к = 2п/Х определяет¬
ся тем, что размер кристалла L = Х/2. Используя дебаевскую связь
(2.24) со = eje и (5, с. 159) для полного поворота магнитного мо¬
мента АЕ = 2щД получаем
L « fincJ(2\i%B) = 0,57 мкм.
Передача тепла в кристаллической решетке происходит благо¬
даря связи между атомами. Нагрев (увеличение колебательной
энергии) одного передается соседнему атому. Используя представ¬
ление о фононах, можно говорить, что нагрев тела в некотором
_ 87
Generated by CamScanner
месте приводит к увеличению числа фононов, которые диффуНли
руют подобно частицам при молекулярном движении. ДиффуЛи,.
фононов — это и есть теплопроводность. Как и в (2, с. 284; получи
ем для коэффициента теплопроводности
X = (1/3)СсЛ, '2.102,
♦
где С — теплоемкость единицы объема кристалла; А — длина сво¬
бодного пробега фонона, которая определяется аналогично
(2, с. 251)
А = 1 /(да), (2.]()3)
где п — число рассеивающих центров в единице объема; о — сече¬
ние взаимодействия между фононами, либо с примесными цен¬
трами и другими дефектами.
Для объяснения взаимодействия между фононами необходимо
учитывать ангармонические эффекты.
Фононы рассеиваются в кристалле на примесных центрах
с поперечником рассеяния а порядка геометрического (10" см*т
Оценим фононную теплопроводность кристалла при температуре
Т — 30 К, если концентрация примесей п = 1015 см-3, а скорость
звука ст = 3* 105 см/с. Оценим также толщину d кристалла, при ко¬
торой начнет сказываться рассеяние фононов на границах образца
(№ 2.64). Из (2.102) и (2.103) получаем
X = (2/\5)п2кьАТ3/(с2Ь3псу) « 1,2-10“ эрг/(см-с*К).
Рассеяние фононов на границах образца происходит, когда
толщина образца будет порядка пробега фонона d * А = \/(пп) ^
~ 1 см.
Измерения коэффициента теплопроводности х кристалла LiF
показали, что в области температур, меньших 7 К, величина х/Г
не зависит от температуры, а зависит только от толщины образца
6, и для 6 = 1 мм величина х/Т3 = 22,5 мВт/(см К4). Найдем, как
изменится эта величина при увеличении толщины образца в 4 раза
(№ 2.65). Из (2.74) теплоемкость С = АТ\ где А — постоянная ве¬
личина. Из (2.102) х/Т3 = #А, где В — постоянная величина: А —
длина пробега фонона. В случае малых толщин образца (А > 5)
пробег определяется толщиной образца б. При увеличении толщи¬
ны образца в 4 раза, во столько же увеличится отношение =
= 90 мВтДсм-К4).
88
Generated by CamScanner
При достаточно высоких температурах (от 30 до 100 К) в твер-
дом аРгоне v *- > произведение коэффициента теплопровод-
ности х на температуру Тв пределах ошибок принимает постоян¬
ное значение, равное примерно 235 мВт/см. Оценим, как изме¬
нится длина свооодного пробега фононов в твердом аргоне при
изменении температуры от 50 до 100 К (.V: 2.66). Для твердого ар¬
гона рассматриваемая область имеет примерно постоянную тепло¬
емкость. Из (2.102) находим А = В Т. где В - примерно постоян-
ная величина. В рез\льтате имеем А!О0/А5о = 50'100 = 1/2.
При Т < 0,6 К основным типом возбуждения в жидком гелии
являются фононы, и, как показывают эксперименты, величина
теплопроводности пропорциональна диаметру капилляра, в кото¬
ром производятся измерения. Найдем, чему равен коэффициент
теплопроводности х при Т— 0,3 К. если при 0,6 К он в таких экс¬
периментах равен 0,2 Вт/(с.мК) (№ 2.67). Пропорциональность
теплопроводности диаметру капилляра, свидетельствует о том, что
пробег надо считать равным диаметру капилляра. Из (2.102) следу¬
ет, что при постоянном диаметре капилляра коэффициент тепло¬
проводности пропорционален Т\ В результате х03 = Хо 6(0,3/0,6)3 =
= 0,025 Вт/(смК).
Оценим максимально возможное значение коэффициента тепло¬
проводности цилиндра диаметром d = 3 мм из кристаллического
искусственного сапфира при температуре 30 К. Температура Дебая
у сапфира 0 = 1040 К, скорость звука с, = 104 м/с, теплоемкость
при Т « 0 определяется выражением су = 0,1 Г3 Дж/(м3 К)
(N? 2.68). Максимально возможный пробег фонона равен диамет¬
ру цилиндра. Из (2.102) получаем
X = (l/3)cycsd * 2,7-104 ВтДм К).
импмиппя из сапфира максимальна при
тЛ
максимумом коэффиииент т Р Темп£ратура дебая у сап-
ется зависимостью х 1 expi^/^^/i ЙМпяжении
фира е = 1040 К.
то^ко^процёссьТ^р^роса) (№ 2.69). Используя заданную зави¬
Generated by CamiScanner
симость х(7) для значения максимума из предыдущей
Хтях» находим
задачи
Х/Х.шх = (777'm>x)Jexp[(0/2)(l/r- \/Ттш)\.
Подставляя значения, получаем % ~ Ю Вт/(м*К).
Процессами переброса называются процессы, происходящи
с добавлением импульса (см. (2.93)). Это добавление приводит
к обращению результирующего импульса и уменьшению потока
теплоты.
1
Generated by CamScanner
3. Электроны в металлэх. Ферми-частицы
Взаимодействие большого количества атомов при и\ сближе¬
нии приводит к «расщеплению» уровней. образованию энергети¬
ческих зон. где могут находиться электроны, и созданию периоди¬
ческого поля, связанного с решеткой кристалла. Характер запол¬
нения зон электронами определяет, является ли тело металлом —
хорошим проводником тока, или изолятором, который не прово¬
дит ток, или полу проводником, проводимость которого зависит от
температуры.
При сближении атомов происходит перекрытие волновых
функции внешних валентных электронов, которые получают воз¬
можность двигаться по кристаллу благодаря туннельному эффекту.
При этом А стационарных атомных уровней расщепляются в по¬
лосу (зону), содержащую N квазинепрерывных (при jV>> 1) ста¬
ционарных уровней. Считая, что в атоме электрон находится в од¬
номерной прямоугольной потенциальной яме шириной а = 2 А на
глубине, равной энергии ионизации U0 = 10 эВ, а ширина барьера,
разделяющего ямы. / = я, оценим ширину зоны. Формально шири¬
на зоны может быть оценена, как уширение уровня энергии элек¬
трона при туннелировании в соседнюю яму. Учтем, что при слабом
перекрытии волновая функция электрона в кристалле является
линейной комбинацией атомных волновых функций (jNfe 3.1 >.
Скорость электрона в яме из соотношения неопределенностей (5,
с. 42) v ~ ti/(ma). Частота попыток пройти через барьер v ~ v/a. Для
проницаемости барьера (вероятности пройти через барьер) имеем
(5, с. 88). Учитывая суперпозицию волновых функций, получаем,
что электрону, чтобы попасть в соседнюю яму, надо пройти только
половину барьера. В результате находим D ~ ехр[—(2 mU^xal/ti\.
Время между прохождением электронов т ~ \/(vD). Из соотноше¬
ния неопределенностей
АЕ - ti/x = ftvD = rfD/ima1) = /гехр \-(2mU0)'nI/hy(mcr) = 1 эВ.
Предположение о том, что в металле обобщенные электроны
могут беспрепятственно передвигаться, так называемая модель
свободных электронов, привело к успеху в получении аналитиче¬
ской формы закона Ома и подтверждению закона Видема-
на—Франца, связывающего электро- и теплопроводность метал¬
лов. Измерения теплоемкости металлов показали, что модель сво¬
бодных электронов для теплоемкости дает неправильный
91
Generated by CamScanner
результат. Необходимо учесть взаимное влияние электронов. По¬
ведение электронов (частиц с полуцелым спином) определяется
принципом Паули (5, с. 130).
Число состояний, одно из которых может занять электрон, об¬
ладающий импульсом в интервале (р, р + dp), в объеме V
dN = 2УАкргс1р/(2пЬ)\(3.1)
Удобно записать это соотношение для интервала энергии dE
dN = Vg(E)dE = 2V-4Kp'-(dp/dE)dE/(2nti)\ (3.2)
В случае слабых внешних полей обычно используют квадра¬
тичный закон дисперсии (как для свободных электронов)
Е = р2/(2т) и dE/dp = р/т = и. (3.3)
Применяя (3.2) и п = N/V получаем
g(E)= dn/dE = 2[ 1/(2тгЛ)'|4тс/72/у =
= 2| 1 /(27гЛ),)4я-2,/2т3/2£,/2. (3.4)
Связь между плотностью электронов и максимальной энерги¬
ей Ег, которую называют энергией Ферми, получаем интегрирова¬
нием
е,
п = N/V= f g(E)dE = (2m)>/! Е /(Зл!й3),
откуда
Ер = fi2/(2m)(3n2n)2/i. (3.5)
Соответствующий импульс называется импульсом Ферми
Рр = h(3n2n)w\
Скорость Ферми определяется формулой
(3.6)
^ = Ру/т-
(3.7)
Зависимость (3.4), представляющая
число состояний g(E), показана на рис. 3.1.
Вероятность заполнения состояний, на¬
зываемую распределением Ферми, приведем
без вывода
ЛЕ, Т) = 1/{ехр[(£- Ep)/(kbT)] + If. (3.8)
Рис, 3.1
92
Generated by CamScanner
Зтз зависимость показана нл рис ? ■>
(сплошной линией хая 7' = о К и
штриховой при Г * О К).
Влияние поля решетки в кристалле
приводит к тому, что в приведенных соот¬
ношениях надо брать так называемую зф-
фективную массу т*.
Т)
I
о
Рис. 3.2
Вычислим фермиевекле энергию, импульс и скорость при Т= О К
для металла с изотропным квадратичным законом дисперсии
электронов с эффективной массой /л*, ранной 0,8 массы свобод¬
ного электрона, и концентрацией электронов // = 10:з ем 3 (№ 3.2).
Используя (3.5) (3.7), находим ^ 9,7 эВ, рг * 1,510'19 гсм/с,
Vf х 2,1 10s см/с.
Для электронов с квадратичным законом дисперсии найдем
связь между средней энергией </Гч и фермиевскон энергией EF при
температуре Т = 0 (№3.3). Используя (3.4), находим
* * Г,
<£> =/ EgdE/fgdE = J Е' f Е' 'dE = (3/5)£>. (3.9)
О 0 II I)
Металлический Na кристаллизуется в кубическую объем¬
но-центрированную решетку с расстоянием между ближайшими
атомами d — 0,37 нм. Найдем среднюю кинетическую энергию элек¬
тронов, предполагая, что их закон дисперсии является квадратич¬
ным (№ 3.4). Ребро куба вычисляем через заданное расстояние от
угла куба до центра а — 2d/}1 *. На куб приходится 2 атома Na и,
соответственно, 2 валентных электрона. Это позволяет вычислить
энергию ферми (3.5) и среднюю энергию (3.9)
<Е> = (3/5)/)У(2/ие)13тгЗлУ(4</3)|: 3 * 1,9 эВ.
На рис. 3.3 показано распределение плотности электронов по
энергии, зависящее от температуры.
dn/dE = fg ~
= [ (2/я3)1 п/(я2Л3) | Еха/
/{ехр[(£ — £р)/(АБЛ| + 1}.
(3.10)
Сплошная линия соответствует 7
~ 0 К, штриховая Т * 0 К.
Для плотности энергии электронов по¬
лучаем
Рис. 3.3
Generated by CamScanner
93
1/(7) =f Ef(E,T)g(E)dE =
О
= |(2тУ/2/(п2Ь!)]} EyldE/{txp\(E- Ef)/{k„T)| + 1}. (3 U)
0
Электронная теплоемкость единицы объема сэл = du/dT.
Поскольку точное интегрирование (3.11) затруднительно, по¬
лучим теплоемкость приближенно из следующих соображений
Изменить свое состояние могут только те электроны, энергия ко¬
торых близка к энергии Ферми, причем на величину порядка кьТ.
Для нахождения этого числа воспользуемся (3.10). Из рис. 3.3 вид¬
но, что/« 1/2. Из (3.4) и (3.5) #= (3/2)п/ЕР В результате для числа
электронов, изменяющих свое состояние, и учитывая, что откло¬
нения от энергии Ферми идут в обе стороны, находим
An *fgAE* (\/2)\3n/{2Ev)\2kJ = (3/2)пквТ/ЕР * пкьТ/Е?.
Считаем, что энергия этих электронов увеличится на кБТ. По¬
этому
и(Т) * и(0) + пкь2Т2/ЕР. (3.12)
Приближенно электронная теплоемкость на единицу объема
c.in = du/dT « 2пкБТ/Е?. (3.13)
Точное значение
с.лп = (%2/2)nk2T/EF = n2nm* k2T/pF\ (3.14)
где m* — эффективная масса электрона, /?р определяемая (3.6).
Оценим, каково относительное увеличение средней энергии
электронов в металле с Ef = 5 эВ при увеличении температуры от
Т= 0 К до комнатной (№ 3.5). Используя (3.12) и (3.9) и считая на
1 электрон, получим
ДЕ/<Е> = (5/3)(кБТ/Е¥)2 * 10'4.
Найдем при температуре Т = 0 К среднюю длину волны де
Бройля <Х> свободного электрона в одновалентном металле
с простой кубической решеткой, имеющей постоянную а (№ 3.6).
Из (5, с. 28) для волны де Бройля электрона X имеем р — кк "
= h-2n/X. Используя (3.1), находим
dN = -2V-4л (\/X*)dX.
94
Generated by CamScanner
Дня среднего значения Л получаем
а> / ШАШ/f (I Л)«Л / (l/X'),/x/j (|д4),д = (3/2)Х,.
° О
Максимальное значение к = л■/,» п. , ^ ,,
s 7 с ЛЬ' ^А7- Поэтому Л, = 2л/к. * 2л, и в
итоге <А> « За. ' ' '
Найдем фермиевский имгткг п
, импульс ру: электронов проводимости
в а, если максимальное отклонение угла разлета двух у-квантов,
возникающих при аннигиляции замедленных до тепловых скоро-
сте11л.°3,ДТр0Н0В С электР°нами проводимости, от 180° равно ср =
-0,20. Поверхность Ферми считаем сферической (№3.7). По¬
верхность Ферми это поверхность в пространстве волнового век¬
тора к или импульса р = Лк, на которой энергия электронов равна
энергии Ферми. Она может быть сложной по форме, которая за¬
висит от структуры металла и определяет его электрическую про¬
водимость. При сферической поверхности имеем изотропию и ра¬
венство импульсов электронов по абсолютной величине.
Электроны проводимости имеют энер¬
гии порядка фермиевских. Соответственно,
и скорости у них фермиевские, значительно
превосходящие тепловые при нормальных
условиях. Поэтому начальный импульс сис¬
темы позитрон-электрон определяется им¬
пульсом электрона ре. На рис. 3.4 показан
разлет у-квантов. Энергия, выделяющаяся
при аннигиляции электрон-позитронной пары, в расчете на один
у-квант примерно равна энергии покоя электрона тс » 0,5 МэВ, ко¬
торая значительно превышает энергию ферми электрона, а импульс
Рис. 3.4
ру * тс. Из рис. 3.4 ре = 2/>rsin(<p/2) * /ур. Максимальное значение им¬
пульса электрона равно рр, который в случае сферической поверхно¬
сти Ферми определяется (3.6). В итоге pF * тар ~ 10 гсм/с.
При температуре Т ^ 0 К электроны в металле рассеиваются,
испуская или поглощая фононы. Считая, что Т« 0, где 0 деба¬
евская температура, оценим средний угол рассеяния <р (№ 3.8).
Используя положения максимума распределения (2.96), получаем,
что наибольшую роль в процессах рассеяния играют фононы
с энергией Лео « кЕТ, так как их больше всего. Из (2.24) со - eje, где
с, - скорость звука, а к — волновое число фонона. Обозначим им-
95
Generated by CamScanner
пульс фонона р — кк tno/cs. Так как свою энеп
р"Лк ГИЮ и импульс могут изменить только электро¬
ны с параметрами вблизи уровня Ферми, буДем
считать, что импульс электрона рс ~pF. Исполь¬
зуя рис. 3.5, получаем ф * {Тт/сх)/рг * (къТ/сз)/р
Для одновалентного металла с простой кубической решеткой из
(3.6) находим ру = /#(3тг~//)1/4 * h(3n')w /а, т. е. ру. ~ Ьк/а.Скорость
звука можно выразить через дебаевскую температуру (2.64)
*,;е = Л(ол = ticjcjy « Нп/а)сх * срF.
Поэтому ф « Г/0 << I рад.
На какой максимальный угол может откло¬
ниться электрон при поглощении или испуска¬
нии одного фонона в одновалентном металле
с простой кубической решеткой, хорошо описы¬
вающемся моделью Дебая и моделью свободных
электронов (№ 3.9). На рис. 3.6 показано взаимо¬
действие, приводящее к максимальному углу отклонения ф. Для
импульса электрона, как и в предыдущей задаче, из (3.6) имеем
Ру = П(3п2п)ш - Л(Зя2),/*7а. Из (2.60) для максимального импульса
фонона находим рф — fi(bn2)wi/a. В результате
<Р„т = 2arcsin(2 г/)) * 78°.
Свойства электронов в монокристалличе-
ских образцах металлов с большими длинами
пробега электронов могут изучаться с помо¬
щью двух микроконтактов, прижатых к по¬
верхности металла вдоль линии, перпендику¬
лярной напряженности магнитного поля
Н (рис. 3.7). Один из контактов является эмит¬
тером электронов, а второй — зондом (коллек¬
тором), регистрирующим приход электронов.
Определим максимальное значение Ншх, при
котором электроны еще могут достичь коллектора. Концентрация
электронов проводимости равна п = 8,5*1022 см-3, а расстояние ме¬
жду микроконтактами d = 1 мм. Пользуемся моделью свободных
электронов (N? 3.10). Для радиуса окружностей, по которым дви-
жутея электроны в магнитном поле, имеем (3, с. 257)
г = рс/(еН).(3|5)
Рис. 3.7
Generated by CamScanner
На рис. 3.8 показаны траектории
движения электронов для // > //(),, и <
< #0, где ft соответствует г0 = d/2. Ис¬
пользуя для импульса электронов (3.6).
находим ft* = 2с(3тг:/;)' y/ed ъ 180 Э.
Электронным спектр щелочных ме- рис 3 8
галлов хорошо описывается моделью
свободных электронов с концентрацией один электрон на атом
В магнитном поле напряженностью Н траектории электронов яв¬
ляются спиралями. Определим максимальный диаметр спира¬
ли для электронов в калии п н т э 0бмм
на атом, равен 74-10 J мм' (№ 3.11). Максимальный импульс
электронов равен фермиевскому (3.6). Используя (3 15) находим
dm = 2Йс(37С-’/Ю1Л'/(еЯ) = 0.1 см.
Оценим отношение средней потенциальной энергии Uвзаимо¬
действия двух электронов к энергии Ферми £рдля одновалентного
металла, электроны которого наполовину заполняют зону прово¬
димости. Концентрация атомов п — 3-10 ~ см-3, эффективную мас¬
су электронов считаем равной массе свободного электрона
(№ 3.12). Ширина зоны проводимости определяется числом воз¬
можных состояний. В атоме на каждом уровне могут находиться
два электрона с различными спинами. Говорят, что «вырождение»
равно 2. Зона могла бы вместить электронов в два раза больше
числа атомов. Так как каждый атом отдает один электрон — зона
заполнена наполовину. Среднее расстояние между электронами
определяется числом атомов /•« /Г1А\ потенциальная энергия U ^
к£/г= е2//173. Используя (3.5), находим
U/E¥ = 2те2/[Гг(Зк2)2/}п1/}] * 1,3.
Из этой формулы видно, что при п —> ос (увеличение плотно¬
сти) роль взаимодействия между электронами уменьшается, т. е.
имеем идеальный ферми-газ.
Ультрахолодные нейтроны содержатся в ловушке при столь
низкой температуре, что газ нейтронов вырожден. Найдем, как
изменится средняя кинетическая энергия нейтронов при изотер
мическом включении сильного магнитного поля, пол”°стью'
ляризующего магнитные моменты нейтронов, пРе^® Р
Нессами распада нейтронов (№3.13). Поле насто
нто мд » £ при включении магнитного поля плотность состс
7' 189 4,7
inerated by CamScanner
ним ЫЕ) уменьшается в два раза (так как все нейтроны Должны
быть поляризованы по полю). До включения поля из (3.4) и (3.5)
п = (2m),/2£F(0)v7(3 я3й’).
После включения поля
п = (l/2)(2m)v-£P(5)vV(3n!fr').
Отсюда, так как концентрация нейтронов не меняется, полу¬
чаем
£,.-<*)/£«, ...СО) = £р(£)/£р(0) = 22/3 « 1,6.
Оценим, сколько ультрахолод¬
ных нейтронов может быть накоп¬
лено в медной ловушке (рис. 3.9)
объемом V = 10 л. Количество по¬
ступающих нейтронов компенси¬
рует их убыль за счет распада. Кри¬
тическая скорость нейтронов для
меди укр = 5,7 м/с. Принимаем, что
температура стенок ловушки 0 К,
а нейтронный ферми-газ вырожден
(N? 3.14). Для нейтронов, имеющих
полуцелый спин (1/2), можно вос¬
пользоваться распределением Фер¬
ми-Дирака и всеми результатами, полученными для электрона.
Импульс Ферми равен Используя (3.6), находим N = пУ =
= ^nvJb)2V/ /(Зп2) а 2,5*1020 нейтронов.
Рассматривая гипотетическое тяжелое ядро с Z = N и считая
распределение нуклонов в ядре однородным, оценим их фермиев-
скую скорость в модели свободных нуклонов (№ 3.15). Считая, что
уровни энергии нуклонов распределены квазинепрерывно и веро¬
ятность занятия состояний с р < р? равна единице, для нуклонов,
которые являются ферми-частицами, используем (3.1) с учетом
того, что не делается различия между протонами и нейтронами
(пренебрегаем различием за счет кулоновского взаимодействия
протонов)
нейтронов
Рис. 3.9
Pt
N - f 4V -4кр2 dp / (2к)\
о
98
Здесь V= (4/3)4 V = (4/3) кга1А
Из (3.7) и (3.6) находим
— объем ядра (г0 а 1,3*10 13 см).
Generated by CamScanner
(3.16)
Pf ~ (97Г/8)'Л/0*„ = 1,23* 10~'4 гсм/с:
vr = (97r/8),/ V(2wr0) * ЗЛ/(тг„) = 7,3*10v см/с * c/4.
Оценим среднюю энергию на один нуклон в модели нуклонно¬
го ферм и-газа. Считаем N= z = А/2 (№3.16). Пользуясь (3.9)
и результатами предыдущей задачи, получаем <Е> = (3/5)ЕГ =
= (3/5) р?ш/(2т) * 17,1 МэВ.
Оценим минимальную энергию Еу гамма-кванта, необходимую
для однонуклонного возбуждения тяжелого ядра с Z — N, А — 238,
рассматривая нуклоны в ядре как ферми-газ. Найдем, каким будет
по порядку величины эффективное сечение этого процесса
(№3.17). Возбуждение ядра состоит в поглощении гамма-кванта
нуклоном, находящемся на уровне Ферми, который после этого
переходит на ближайший свободный уровень. Расстояние между
уровнями находим, используя (3.5)
dE/E = (2/3 )dN/N. (3.17)
Отсюда
dE/dN (при Е = Ег) = (2/3)£>/№
При dN = 1 dE= Ег Используя также результаты предыдущих
задач, получаем
Еу = й2(Зп2У/г/(4тАг02) * 80 кэВ.
Сечение фотопоглощения оценим как сечение образования
составного ядра (5, с. 224)
ст = я(Л + Ху)2, где Ху = Ху /(2я) = Лс/ Е.. = 2,47-10" " см;
= V*'/J ~ 8-IO-'3 см « Хт.
Окончательно а = яА,2 = 1,9'Ю 1 см — 1,110 бн.
Оценим в модели ферми-газа глу¬
бину нейтронной потенциальной ямы
в ядре 238U, если энергия отделения
нейтрона в этом ядре (его энергия свя¬
зи) равна Есн = 7,6 МэВ (№ 3.18). На
рис. 3.10 показана связь между глуби¬
ной потенциальной ямы и энергиями.
Учитывая нерелятивистскую связь
энергии с импульсом Е — р2/(2т) и по-
Г
Generated by CamiScanner
и
СВ
Еу
Рис. 3.10
99
лученный выше результат (3.16), для глубины потенциальной я * •,.
получаем U = Еу + Екл = ру/{2тп) + Е^ ~ 40 МэВ.
Для тяжелого ядра с 7 = N вычислим кулоновскую энергии
атомного ядра и кинетическую энергию нуклонов в модели
ми-газа при равномерном распределении протонов и нейтронов
в ядре и в гипотетическом случае, когда протоны полностью вы¬
теснены кулоновским отталкиванием на периферию. Найдем, ка¬
кое состояние является энергетически более выгодным. Ядро счи¬
таем имеющим жесткую сферическую форму, «объем* нуклонов
считаем равным объему ядра (№ 3.19). В случае равномерного рас¬
пределения нуклонов плотность заряда р = Ze/V= Ae/dV). где V=
- (4/3)я/?(1Л3 = (4/3) пГцА — объем ядра. Электрическое поде (3.
с.21) Е- (4/3)ярг, потенциал (3, с. 34) <р = (2/3)яр(3/?ял2 - г2), энер¬
гия (3, с. 99) W- (3/5)(Zp)2//?w. В случае распределения протонов
на периферии ядра р* = 2р. Нейтроны занимают объем ядра от
центра до /?„, где /?,/ = /?ня3/2. В слое протонов имеем по соответст¬
вующим формулам
Ф*(г) = (Ze/R)0 - г1/!? — R/r)
и для электростатической энергии
W* = (3/5)(Ze)2/R (6-2"5/3 - 1).
Разница кулоновских энергий
W- W* = (3/5)(Ze)2/R 6-2~5/i =
= (18/5)2“V3(/le)2/(4/?) = 0,075Я5/3 МэВ.
При равномерном распределении протонов в ядре из (3.6)
рР = 2тг[ЗЛ/(16л Р)]|/3. (3.18)
Используя (3.9), получаем соответствующую кинетическую
энергию нуклонов в ядре
К = (3/5)Я/?Р7(2т).
В случае распределения протонов на периферии объем в (3.18)
в два раза меньше. Поэтому
pF* = 2яЛ[ЗЯ/(8яК)]1/3 = 2,a>f.
Такой же импульс и у нейтронов.
Соответственно, кинетическая энергия нуклонов в ядре
1C = 2(А/2)(3/5)ру‘1/(2т) = (3 = 2vi К.
Generated by CamScanner
м
|’;t шипа кинетических энергий
А'* - Л = (У5)АрР2/(2т) (21/у - 1) * Ю А |МэВ|.
Для полных лнергий (кинетическая и кулоновская) получас*!
Е - Е* = 0,075/1v' - 10/1 = 0,075/1 V3(l - 10/(0,075/1т)) |М >Н|
Эта величина положительна только при А > 1540, т. е. дли всех
реальных ядер полная энергия при равномерном распределении
протонов и нейтронов по ядру оказывается меньше, чем при не¬
равномерном распределении. Более устойчивым является состоя¬
ние с меньшей полной энергией.
.и •»п«11 ,ИС j;iCKTPOHHoro газа является основным фактором, оп-
рс с. > ( п,м сжимаемость металлов при низких температурах.
лидом давление р и сжимаемость Рг электронного газа для меди
при температуре / — 0 К, если концентрация электронов проводи¬
мости равна п — 8,5*10** см \ Эффективную массу т* считаем рав¬
нин массе свободного электрона mt (№ 3.22). В случае изотропно-
ю распределения по скоростям частиц газа и квадратичного зако¬
на дисперсии Е = р2/(2т) имеем (2, с. 9, 163) р = пкуТ и <1> =
- (3/2 )куТу откуда
р = (2/3 )/?<£>. (3.19)
Используя (3.9) и (3.5), получаем
р — Л2 (3 7т2) 2/3/rV3/( 5/w); (3.20)
р = 3,84*10" дин/см2 55 3,79* 10" атм.
Для коэффициента объемной изотермической сжимаемости
(2. с. 40) имеем
Р7 = -0/У)(дУ/др)г= (1 /п)(дп/др)т.
Из (3.20) находим
(др/дп)т= fi2(3n2n)2/i/(3m) = (2/3 )EF.
В результате рг « 1,9*10-6 атм-1.
Найдем скорость звука с, в нейтронном газе при температуре
Т= 0 К, если максимальная скорость неитроноввгало МОм/с
(No 3 23) Для скорости звука в газе имеем (2, с. 46). В данно у
мае это будет и адиабатическая и изотермическая скорость звука
с = (др/др)ш = (1 /т)'п(др/дп)'п.
Используя (3.20) и (3.7), находим с, - о/(3) 115.5 м/с.
Generated by CamScanner
101
Твердый водород является диэлектриком, плотность которого
при нормальном давлении равна 0,076 г/см'. Чтобы водород стал
металлом, энергия Ферми его электронов должна быть равной по¬
тенциалу ионизации. Найдем, при каком давлении возможен пе¬
реход водорода в металлическое состояние, а также какой плотно¬
сти водорода это соответствует (Ne 3.24). Используя (3.5) и, что но
условию, энергия Ферми равна энергии ионизации 13,6 эВ, нахо¬
дим
Умножив это на массу атома водорода, получим плотность
Сравнение с начальной плотностью показывает, что в давле¬
нии главную роль играет давление электронного газа. Из (3.19),
(3.9) и (3.5) находим
где Ер = £и = 13,6 эВ.
Оценим температуру в центре «железной» звезды (А ~ 60), пред¬
ставляющей собой полностью ионизованный плазменный шар ра¬
диусом R = 106 км и плотностью р = 10 кг/см3 (N9 3.25). Для оцен¬
ки гравитационного давления в центре звезды воспользуемся (1,
с. 138)
dp = —pgdr, g = gur//?, gtl = yM/R1 = y(4/3)7i/?'p/E2 = (4/3)яурЕ.
Обозначим давление в центре звезды Р. Считая его на поверх¬
ности звезды равном нулю, получаем
п
= (2»/£,..//r)v7(3rr).
Р = пти Ъ 0,6 г/см3.
р = (2/5) пЕ,. s= 0,4-И)13 дин/см2 » I07 атм,
о
R
J dp = -р(4/ 3)яур f rdr = —(2 / 3)яур2 /?2,
р
о
откуда
Р = (2/3)яур2/?2.
Для железа Z = 26 « А/2. Концентрация электронов
п = pZ/(/lwp) » p/(2wp) « 3 1027 см-3.
Энергия Ферми этих электронов (3.5)
Ef = Л2/(2т)(Зя2я)2/3 » 1,2*10"* эрг = 7,5 кэВ.
(3.21)
102
Generated by CamScanner
Соответствующая температура вы рождения
Т< = £рДг. = 0,87-10* К.
Из оценки равновесия толкал г™.
__„ма трпгшплгл К° ^интаиионпого давления П.21)
„ давления теплового излучения (1.17) и (1.14) I’ - (4/3)o7H/t-, от-
куд^
Т = (У7СФ2/?2/(2а)),/4 « юч к.
значительно больше температуры вырожлс-
ния. Это значит, что электронный газ можно считать классиче¬
ским. Его давление
Рэ пкъТ * 1,38-1020 дин/см2 « Р = 2,5-К)21 дин/см'.
Давлением ядер можно пренебречь, так как, во-первых, /» 1,
а, во-вторых, тепловая энергия кьТя= 0,1 МэВ, что недостаточно
для деления ядра на нуклоны.
Покажем, что для белых карликов (звезда, состоящая из полно¬
стью ионизованных атомов с зарядом Z) из условия равенства гра¬
витационного давления и давления электронного газа следует со¬
отношение МЯЪ = const. Электроны считаем нерслятивистскими
(№ 3.26). Масса звезды А/, радиус R. Обозначим массу ядер =
= ШрА, где тр — масса протона; А — массовое число (атомная мас¬
са). Концентрация электронов пс ~ (M/mjZ/R' = MZ/im^AR').
Расстояние между электронами а ~ яе'|/3. Скорость можно оценить
из соотношения неопределенностей (5, с. 42) ve ~ h/(mKa). Энергия
одного электрона
Ее = теи2/2 ~ mji2/(2m2a2) ~ h2n2p/(2mj.
Давление электронного газа с точностью до коэффициента по¬
рядка единицы равно плотности энергии (2, с. 18)
ре « пЛ ~ *Ч*У<2mt) ~ (h2/mt)(M/mpf\Z/A)W/R\
Из (3.21) следует, что гравитационное давление р ~ уM2/R\ Из
равенства этого давления давлению электронов ре — С, Л/5 /R —
= C2M2/R\ где С, и С2 - постоянные величины, следует: М R =
= const.
В плотном холодном веществе звезды (белых карликах) суще¬
ствуют только голые ядра и электроны, образующие вырожден¬
ный электронный газ. Найдем уравнение состояния этого газа в пе¬
ременных (Р, V) для случая столь сильного сжатия (р >> Ю г/см ),
ЮЗ
Generated by CamScanner
что энергия Ферми t] » тсс2 (№ 3.2Х). При таких условиях ЗЛск
тронный газ становится ультра релятивистским £, = срг Как и
предыдущей задаче давление электронного газа Р « „/, _
= перу ~ /;4/3. Здесь использовано (3.6). Так как п ~ |/д' = /у/|/ .,()
уравнение состояния /JT4/' = const.
Определим плотность энергии и давление электронного газа
в котором максимальная энергия электронов = 1 ГэВ, темпе¬
ратура Т— О К, а кулоновское отталкивание компенсируется од¬
нородно распределенными положительными зарядами (идеаль¬
ный вырожденный ультрареляти висте кий газ) (№ 3.27). В случае
ультрарелятивистского газа в (3.2) вместо формулы (3.3) надо ис¬
пользовать формулу Е = рс. Вместо (3.4) получаем
gyv = ciN/dE = 2V-4nE2/(2nric)\
Вместо (3.9) для релятивистского случая получаем
х » ЧI £/
< £>,, = / EgdE/J «</£•=/ £*</£// E2dE = <3/4)£F.
О О II О
Плотность энергии и = п<Е>>р (концентрацию электронов
найдем из (3.6): п = 4.42* 10'1’ см-3) * 5,3* 1036 дин/см2. Давление
ультрарелятивистского газа, как и в случае фотонного газа (1.4),
р = нср ур/3 = 1,77- 10v’ дин/см2 * 1.747-1030 атм.
Пульсары — космические радиоисточники, излучающие пе¬
риодические последовательности импульсов — представляют со¬
бой вращающиеся нейтронные звезды. При радиусе порядка 10 км
пульсары обычно имеют массу порядка солнечной (1033 г). Выся-
ним, почему звезда таких размеров и массы не может состоять из
протонов и электронов (№ 3.29). Свободный нейтрон распадается
по схеме
п р + е + v, + Q,
где (7 ж 1,3 МэВ — выделяемая при распаде энергия (дефект мас¬
сы).
Если бы в условиях нейтронной звезды, где количество ней¬
тронов N ~ М/тп - КГ7, произошел распад, то электронов ока¬
залось бы также 1057, а их плотность пе ~ TV//?3 ~ 1039 см-3. При та¬
кой концентрации электронный газ становится ультрарелятивист-
ским (£, >> ткЕ), поэтому
Ер = рус = tic/(2m) (Зл2л)|/3 * 600 МэВ.
104
Generated by CamScanner
Из (3.9) средняя энергия на один электрон <£> = (3/5)£г=
= 360 МэВ. Эта энергия значительно больше, чем выделяемая при
распаде, что и делает распад в условиях нейтронной звезды невоз¬
можным. Давление электронного газа стабилизирует распад боль¬
шого числа нейтронов.
При всестороннем сжатии металла относительное изменение
энергии Ферми электронов составило 0.1 %. Оценим относитель¬
ное изменение температуры Дебая решетки, считая скорость звука
постоянной (№ 3.30). Полагая, что концентрация электронов,
обеспечивающая проводимость в металле, и концентрация атомов
в кристаллической решетке одинаковые, получаем из (3.5) £Р ~
- п21\ а из (2.64) и (2.60) 0Д - n'J\ Так как
А0д/0л = (1/3)Дл/я и АЕР/Е¥ = (2/3)Ап/п,
то Д0;1/0Л = 0.5Д£Р/£, = 5-10Л
Оценим фермиевскую энергию электронов проводимости неко¬
торого одновалентного металла с простой кубической решеткой,
зная усредненную скорость звука с, = 2 км/с и дебаевскую темпе¬
ратуру 0 = 200 К. считая эффективную массу электрона равной
массе свободного электрона (№ 3.31). Для данного металла плот¬
ность электронов равна плотности атомов. Из (3.5), (2.64) и (2.60)
находим £Р = кь2в2/{2' 'тс;) « 4,1 эВ.
Вычислим частоту'обращения электрона сос (циклотронную час¬
тоту) в постоянном однородном произвольно ориентированном
магнитном поле В при квадратичном анизотропном законе дис¬
персии £(р) = р;/(2т*) + ру2/{2т*) + р:/(2т*) (№ 3.32). Уравне¬
ние движения электрона в магнитном поле (3, с.256)
dp/dt = (е/с)fv. В]. (3.22)
Скорости получаем дифференцированием дисперсионного со¬
отношения. В общем случае
v = дЕ(р)/др. (3.23)
В данном случае
и, = pjmv, = pjm,*. = .*. (3.24)
Векторное произведение раскрываем через определитель
|v, В] = ЦоуВ, - цД) + jДД - uyBr) + к(цД - уД). (3.25)
105
Generated by CamScanner
Подставляя это в (3.22) и проецируя на оси декартовых коор.
динат, получаем:
mjn.dpjdt = (е/с)(т.руВ— тур.Ву),
mjnxdpy/dt = (е/с)(тхр,Вх - mzpxBz), (3.26)
m/nydp.Jdt = (е/с)(турхВу — мхруВх).
Решения этой системы ищем в виде
рх = PxoQX P(«V) = wvyxoexp(/cot7),
Ру = Л«ех р(/сос/) = wyy^exp(/cocr),
/?. = /7ч)ехр(/сос/) = т.цЧ)ехр(/'сос/).
Подставляя в уравнения, имеем:
mxi(ocvM - (e/c)Bzuyi) + (е/с)Вуил = О,
(e/c)B:uxi) + - (е/с)Вуи$ = О,
-{е/с)Врл + {e/c)BxVfl + т/а>сил = 0.
Чтобы существовало решение этой системы, определитель из
коэффициентов при компонентах скоростей должен быть равен
нулю. Вычисляя этот определитель, находим
-/сос3 + /сос(с/ с)2[ /?д2/ (tnjny) + Ву/{т.тх) + B?/(mjny)\ = 0.
Решения этого уравнения:
<ос = 0;
а)с2 = (е/с)21Вх2/(т/пу) + В;/(т/пх) + ^/(луиД
Электрон с законом дисперсии Е = Е(рг) движется в магнитном
поле В, параллельном оси х. Решим уравнение движения (N9 3.33).
Так как Ву = В, =. 0, то из (3.25) получаем
* t f i u -
fv, В] = ivzBx - kvyBx.
Из условия, так как Е не зависит от ру, vy = 0. Из предыдущего
уравнения и системы уравнений движения (3.26) и v = dE(p,)/dp.
следует: 1
106
рх const, ру - СeB/c)vtt, /7. = const;
х = const, у = const, г = vzt.
Generated by CamScanner
Электрон с законом лиспсрсии /: Е^тк,а л нижется в посто¬
янном однородном электрическом иоле напряженностью Е, на¬
правленном вдоль оси х. Решим уравнение движения и дадим фи¬
зическую интерпретацию результата. Выполним численный рас¬
чет для тока 10 А, текущею по медному проводу сечением I мм;
(удельное сопротивление меди р = 1,710 6 Омсм), а = 3 А, шири¬
на зоны проводимости АЛ’* 5 о В (№ 3.37). Из (3, с. 256) получаем
уравнение движения злектрона dpjdi vEt, Решая это уравнение
и используя (5, с. 28), получаем
к. - Pjh = (eEJh)U - /„),
откуда с учетом <йс/<Л = о и
иж = дЕ/()р, = —(Л;,а/Л)siп|(е/:’а/Л)(/ - /,,)|
найдем
(3.27)
(3.28)
•*(') = + (^о/e/:,)cos| еЕа(t - /„)//, | - ^/(еЛ;.).
Электрон осциллирует около
равновесного положения хм -
/(е£х) с частотой со = eExa/h,
и средний ток равен нулю. Так
как кинетическая энергия Е =
= E0coskxa является ограничен¬
ной функцией £х, то, вследствие
закона сохранения энергии,
и потенциальная энергия СИх) =
= -eEjc ограничена, и движение
электрона ограничено. Из (3.27)
получаем, что средняя скорость равна нулю. Из (3.28) находим
<х> = *о - EJ(eEx). На рис. 3.11 изображена зависимость kx(t). Ус¬
коряясь электрон достигает границы первой зоны Бриллюэна, от¬
ражается и оказывается в эквивалентной точке кх — —п/а. Далее
картина повторяется.
Подсчитаем частоту и амплитуду осцилляций электрона Ах по
медному проводу Ех — IpfS ~ 5,7*10 6 ед. СГСЭ = 1,71*10 3 В/см;
со = eExa/h * 7,8* 10 V.
Так как ЕЕ = 2Е0, то Ах * АЕ/(2еЕК) «15м.
Простейший модельный закон дисперсии электронов в металле
с простой кубической решеткой имеет вид Е(р) = Еп\3 — соs(kxa) —
- cos(kya) - cos(/c.fl)], p = Лк, где a — постоянная решетки. Металл
107
Generated by CamScanner
находится в постоянном однородном магнитном поле напряжем
ностью Н. направленном вдоль оси t- Рассматриваем электро,
квазиимпульс которого в заданный момент времени напрасен
вдоль оси .V и равен р = 5л/(6с). Найдем скорость с* и ускорен^
dv/dt в этот момент (S* 3.38). Используя 0.23), а также величину
и направление импульса, получаем
i\ = {E,a;h)s\n(pta/h) = (Е a/hft\r\(j-/b) = k/i/dh,
Так как /?, и р. отс\тствуют. то v/ = о. = 0.
Из системы (3.26). так как И = 0 и р, = 0, находим dpjdt о
Поэтому
dvjdt = (£aJh)cos(p,a/h)<a/h)dpJdt - 0.
Учитывая, чтор = р_ = 0. из (3.26). используя (3.23), получаем
dvjdt = (£o//?)cos(p a/t\)(a/h)dpjdt =
= -< е/с)(£ д/й) (р, И. /т,) (а/1\);
dvjdt = (£ aJh)cos(p.a/h)(a/h)dp/dt = 0.
Для нахождения исходим из того, что из дисперсионного
соотношения имеем
= ЛМ = {E.ta/nys\n(pta/h) * (Ecrfh^p,. (3.29)
Отсюда находим ш, и соответственно
dvjdt = -еНД2а*/( 2с/г).
Покажем, что в металле, описанном в предыдущей задаче, для
малых импульсов закон дисперсии электронов проводимости изо¬
тропен. Определим эффективную массу электронов (N> 3.40). Раз¬
лагая косинусы в законе дисперсии в ряд Тейлора, получаем
Е = (E„a-/tr)ip;/2 + />//2 + р.2/2) = Е^р‘/(2h‘,.
Эффективная масса определяется выражением
1 /т* = dlE/d[r = £,У/Л2.
Оценим ширину зоны проводимости в кристалле с простой ку¬
бической решеткой, используя модельный закон дисперсии £(р) =
= £„[3 — cos(^fl) — cosC^a — cos(к.а)\сЕ{) > 0. Считаем эффектив¬
ную массу электрона т* вблизи дна зоны проводимости равной
массе свободного электрона. Постоянная решетки а = 3 А
(№ 3.43). На рис. 3.12 показана дисперсионная зависимость. Мак-
108
Generated by CamScanner
симальное значение энергии £ш — 6£0. Минимальное значение
энергии £min = 0. Ширина зоны Д£ = 6£0.
По определению
\/т* = [&Е{$)/др;\ (при р, = 0).
В результате т* = (Е0а2/Гг)~1.
В данном случае т* = те. Поэтому £, = tr/(ifme) и Д£ =
= 6й2/(^^с) = 5 эВ.
Для значений параметров металлов первой группы Na (£,. =
= 3,22 эВ, 0 = 158 К) и Си (£F = 7 эВ. 0 = 347 К) найдем температу¬
ру 7*, при которой электронная и решеточная теплоемкости стано¬
вятся равными (№ 3.44). Так как это металлы первой группы, у них
одинаковая плотность атомов и валентных электронов. Пз (2.73),
имея в виду, что N = nV и (3.14) и учитывая, что это на единицу
объема, получаем
Г = [5АгБ07(24тг£р)],/2.
Для Си это приблизительно 3,3 К, для Na примерно 1,5 К.
Оценим решеточный и электронный вклады в теплоемкость
серебра при температурах 300 и 3 К. Дебаевская температура равна
0 = 220 К. Электронную теплоемкость считаем по модели свобод¬
ных электронов, концентрация которых равна п — 5,9-10“ см''
(№ 3.45). При температуре выше дебаевской теплоемкость решет¬
ки определяется законом Дюлонга и Пти (2.45) на один атом 3къ.
При низких температурах имеем (2.73)
= <12/5)я4*б(7/0)3.
Получаем примерно 5,85* 10-4 кБ.
Учитывая, что число валентных электронов равно числу ато-
м°в, электронную теплоемкость на один атом получаем из (3.14)
и (3.5)
109
Generated by CamScanner
С.ш = 1п/(Зп)]г/3т .
При 3 К это примерно 2,32-10-% ПРИ 300 К’ ^ответственно.
2,3210-%
Для одновалентного металла, описываемого моделью свобод¬
ных электронов, энергия Ферми ЕГ — 7,0 эВ, а отношение эффе^_
тивной массы к массе свободного электрона т /т — 1,5. Найдем
электронный вклад в теплоемкость кристалла при 1 К и величину
дебаевского волнового вектора фононов KD (№ 3.46). Используя
(3.14) , для электронного вклада в теплоемкость одного моля кри¬
сталла получаем См = (n2/2)k^TNJ ЕР ~ 5*103 эрг/(К моль). Из
(2.60) и (3.5) находим К0 = (6л2/7)1/3 = 2w\EF-2m*)l/‘/ti = 2,1 10s см'1.
Оценим дебаевскую температуру некоторого одновалентного
металла с простой кубической решеткой, если известно, что ско¬
рость звука сг = 3000 м/с, а коэффициент пропорциональной зави¬
симости электронного вклада в теплоемкость при низких темпера¬
турах у = 60 Дж/(м3,град). Эффективную массу считаем равной
массе свободного электрона (№ 3.47). Для одновалентного метал¬
ла в единице объема число электронов равно числу атомов. Из
(3.14) и (3.5) у = п2текь2п1/*/[Ь2(Зк2)2/у]. Используя это и (2.64),
(2.60) , находим 0 = уЛ3с/54)|/3/(£Б3етс) = 330 К.
В модели свободных электронов найдем энергию Ферми Ev
магния, если его теплоемкость Сп = 6 мДж/(моль К) при темпера¬
туре 7] = 4 К и Сп = 2,25 мДжДмоль К) при температуре Т2 = 2 К
(№ 3.48). Для твердых веществ из-за малой сжимаемости можно
пренебречь (как и в данном случае) различием теплоемкостей при
постоянном давлении и постоянном объеме. В области низких
температур для молярной теплоемкости имеем
С/Т = А + ВТ2,
где из (3.14)
А = (я72 )N^(3.30)
определяет электронный вклад, В — вклад решетки в теплоем¬
кость.
Для А \л В имеем систему уравнений
С,/Т, =А+ ВТ,1 и ш ВТ2\
из которой находим
110
Generated by CamScanner
А *Сг/Гз (ci/7’i)('A/'/’,)2|/|| _ (7’J/7’I)2|.
Используя (3.30), получаем EF - 7,3 эв
^т°г irvr^Mne^T^0^ ^ =0,1 К приводится в тепловой
контакт с куском золота той же массы, имеющим температуру Т2 =
35 ппинякппые К0Нечную температуру, учитывая, что металлы
имеют типы и практически одинаковые параметры
кристаллических решеток (№ 3.49). При таких температурах внут¬
ренняя энергия (3.12) определяется электронами. При умножении
Н3 °^М полу^^м’что внУтренняя энергия кусков массы m равна
и ~Ni , где — N^m/A. Один кусок получил теплоты столько,
сколько отдал другой (Г2 - Т2)/А^ = (Т2 - 7)/А
откуда конечная температура
Т= КГ.Ч. + + Аы)]'п = 0,144 К.
При измерении теплоемкости металла в области низких тем¬
ператур (Т << 0) получены следующие результаты:
Г, К
1,41
2
2,45
3
Су, 10-4 кал/(град моль)
3,1
6,26
9,8
15,7
Оценим температуру Ферми этого металла (№ 3.50). Теплоем¬
кость складывается из линейной зависимости от температуры для
электронной составляющей (3.14) и кубической для решетки
(2.73) Су= АТ + ВТ}. В координатах (Cv/Ty Т2) это прямая линия,
показанная на рис. 3.13, которая пересекает ось ординат в точке,
как следует из (3.14) для 1 моль с учетом Ег = kbTF, А = n2R/(2TF) =
= {Су/Т)т _ 0 = 1,5*10-4 кал/(град*моль), откуда TF =n2R/(2A) =
= 6,4* 104 К.
Энергетический спектр электронов в кристаллах конечных
размеров является дискретным. Используя модель свободных
электронов, оценим наименьший линейный размер L кристалла
Generated by CamScanner
мели, при котором это обстоятельство еще не сказывается на ei0
удельной электронной теплоемкости при температуре Т— 1 к p^J
щетка меди является гранецентрированной кубической, плот¬
ность меди р = 8,96 г/смя (№ 3.51). Из (3.5) п — Njy ^
= (2/д£,//?2)3/2/(Зл2). Отсюда
dN/ N = (yi)dEF/Er.
При A/V = 1 получаем расстояние между уровнями
АЕ = (2/3 )Er/N~ (2/3)£Р/(4/.УА (3.31,
Дискретность не сказывается, если АЕ < кьТ. В результате
L > а|£|./(6Л|;7)|1/3. а = |4Л/(рАд)]|/5 = 3,62 А,
Е, = tr/Qm) (Зп:п)г/,= fr(l2n:)w/(2ma!) = 7 эВ,
L > 86 А.
В отсутствие электрического тока внешнее статическое элек¬
трическое поле, нормальное к поверхности, проникает лишь
в тонкий приповерхностный слой металла. Определим закон, по
которому потенциал ср(лг) убывает в глубь металла, считая, что пол¬
ное падение потенпиала ф << Е?/е. Оценим глубину проникновения
поля (длину экранирования Томаса—Ферми /п) для обычного ме¬
талла Na (я0 I023 см-3, £р х 5 эВ, диэлектрическая проницаемость
г. ж 1) и полуметалла типа Bi (nn * 3-1017 см-3, Е? « 2* 10-2 эВ, е * 100).
Температура Т— О К. Диэлектрическая проницаемость е определя¬
ется поляризацией электронов внутренних оболочек, не участвую¬
щих в электрической проводимости (N° 3.52). Используя (3, с. 31
и 65), для одномерного случая уравнения Пуассона получаем
Аф = с^ф/dx2 = — 4лр/е, (3.32)
где ф — потенциал; р = — е(п - п0) — плотность заряда; п0 — кон¬
центрация электронов в отсутствии поля; е — диэлектрическая
проницаемость металла за счет поляризации внутренних электро¬
нов.
На рис. 3.14 схематично показано, как распределение Ферми
«опускается» под действием электрического поля, что приводит
к переходу электронов в опустившуюся часть, так как при равно¬
весии уровень Ферми должен быть одинаковым. Малость потен¬
циальной энергии по сравнению с энергией Ферми позволяет на¬
писать разложение
112
Generated by CamScanner
Ek
п - п0 « (dn/dEP)AEF = (dn/dEf)ey.
Подставляя это в (3.32), получаем
dV&c2 = (1//TF)‘V
(3.33)
где
/TF= [{dEF/dn)e/(4nel)]'/2. (3.34)
Решение уравнения (3.33), которое удовлетворяет нашим гра¬
ничным условиям
Ф = — (1 / е)ехр(—х/ /ТР). (3.35)
Используя (3.17), находим
/Тр= (^реАбтг^л)]'72.
(3.36)
Таким образом, для металла /ТР - 4.3-10- Для полуметалла
^ - '.610- СМ. В^е“^ческиПполностью экранируется
'Ч£ПдГ« по’стоянной решетки и внутрь металла
не проникает.
Получим закон преломления электро-
плоскую границу раздела двух м Qn еделим, в каком из метал-
нов п, = НО32 см" и л, - ™ е внутреннее отражение. Закон
лов электроны претерпевают п°л Найдем угол полного внут-
Дисперсии в обоих металлах изотр 'евской энергией (№ 3.56).
реннего отражения электронов с Ф Р „ла где меньше работа
При контакте металлов эле?тр°"д'льШОе количество электронов
выхода, переходят в другой. Небольшое коли ^
8" 189
Generated by CamScanner
достаточно, чтобы создать поле, которое сдвигает границы уроищ,
Ферми на одинаковый уровень. Разница уровней дна зоны npoiU)
димости соответствует разнице потенциальных энергий электро
нов в созданном электрическом поле. При переходе через границу
фермиевский уровень электрона не меняется, а меняется кинещ
ческая и потенциальная энергия. Используя (3.5) и вводя кинети¬
ческую энергию через импульс электрона, получаем
(/V + A,V(2т) = (р,2 + pj)/(2m) + /iV(2m)<3nJ)J/’(/»l v* - П]‘\
где р, и рп — тангенциальная и нормальная к границе раздела ме¬
таллов компоненты импульса электрона. Изменение потенциаль¬
ной энергии на границе металлов свидетельствует о действии нор¬
мальных к границе сил. В таком случае тангенциальная компо¬
нента импульса на границе не меняется. Из предыдущею
соотношения находим
pj = pj + «W - О-
Вводя углы падения а, и ос,, имеем sina, = р,/р{, sina2 = pjpv
Показатель преломления л,2= sina,/sina2 = p2/pv Для фсрмисвских
импульсов (3.6)
sina,/sina2 = (я2/л,)|/3 = 2.
При п2 > п] имеем а, > а2, т. е. в данном случае полное внутрен¬
нее отражение может произойти только при движении из второго
металла в первый. Получаем sina, = 1, sina2 = 1/2, a2 = 30е.
В области температур от 3 до 100 мК жидкий гелий 3Не ведет
себя во многих отношениях подобно слабовзаимодействующему
вырожденному газу ферми-частиц. Из экспериментов известно,
что при Т — 3 мК молярная теплоемкость гелия-3 равна С =
= 4,5-105 эргДК-моль), а его плотность р = 0,115 г/см3. Оценим эф¬
фективную массу атомов 3Не при этой температуре (№ 3.61). У ге¬
лия замкнутая оболочка и спин электронов равен нулю. Спин ядра
из двух протонов и одного нейтрона равен 1/2. Ядра подобно элек¬
тронам в металлах являются ферми-частицами. При таких низких
температурах фононная теплоемкость мала. Теплоемкость едини¬
цы объема определяется, как для электронов в металле (3.14),
с = п2пт*кь2Т/р2, ре = Й(3п2п)'*\ п = /УАр/Л,
откуда
114
Generated by CamScanner
J
тЧт = (с/Г)Л:(Згп)2,,/{г.къ-гт) =
= сЛ;(Зя!);'![Л/(Л,лр)||'3/( Tkt42m) = 2.
Так как с = Ср/А. то
тЧт = СТг(Згр/А): 3/( TN^ktfm) = 2.3,
где /я — масса свободного атома 3Не.
Считая, что электроны в проводниках имеют эффективную
массу т*, а их концентрация п, и они находятся в среде с диэлек¬
трической проницаемостью е, найдем частот}' их собственных
хтинноволновых продольных колебаний — плазменную частоту сор,
пренебрегая диссипацией энергии (№ 3.62). Диэлектрическая по¬
стоянная связана с поляризуемостью внутренних электронов
и ядер в решетке. Подвижность электронов проводимости (сво¬
бодных) приводит к отклонениям плотности электронов п от рав¬
новесной л0. Плотность зарядов р = е(п - /;0) << еп0. Возникающее
электрическое поле (напряженность Е) удовлетворяет дифферен¬
циальной теореме Гаусса (3, с. 65)
divE = 4лр/е. (3.37)
Скорость электронов, приобретаемая под действием электри¬
ческого поля, намного меньше фермиевской скорости (3.7). По
второму закону Ньютона
m*d\/dt « m*d\/dt = еЕ.
Здесь пренебрегаем слабой зависимостью скорости от коорди¬
нат.
Возникающее движение электронов — плотность тока j = еп\ «
%ся0у. Сохранение заряда (3, с. 117) дает
dp/dt + divj = 0. (3.38)
Дифференцируя это по времени и подставляя j и Е, получаем
&p/dtl + 4пе1п0р/(т*е) = 0.
Из этого уравнения колебаний находим плазменную частоту
сор = [4яеЧ/(т*е)],/2. (3.39)
Для типичного металла, например Си, имеем п„ = 8,5‘1022 см-3,
m* = we, е* 1 и сор « 2* 1016 с'1.
Гели рассматривать смещения электронов как целого относи-
Тельно положительного заряда решетки, то можно воспользовать-
Ся Методом, использованным в плазме (3, с. 522).
8'
Generated by CamScanner
115
Найдем отношение среднего расстоянии между эленци,,,
и вырожденном электронном газе к классическому радиусу **
трона в условиях, когда фермиевскаи jiicpnoi >лск фонов
энергии кванта плазменных колебаний (N\? 3.6.^). Mciinjn, |уи (\
и (3.5), получаем
Лсор = Ер А|4пг’п/(ш*с)|'1 = ЛУ(2т)(Зп’м
Среднее расстояние получаем из числа электронов в олинщц;
объема
гт = аГ 1/3 = /г(Зтг)4 }/{\Ьппи**),
где т ~ т*, с ~ 1.
Классический радиус находим из равенства электрической
энергии (3, с. 99) энергии покоя (1, с. 179). Так как распределение
заряда внутри электрона неизвестно, берем просто <'//;„ щс1
В результате
rjr„ = Л2(3тг)4 3<г/(16ле4) = (Зг)4 7(1 блог) * 3,4-К)4,
где а = г/(йс) = 1/137 — постоянная гонкой структуры.
Найдем энергию плазмона (кванта плазменных колебаний)
в металле, в котором фермиевскаи энергия равна /:, — 5,5 эВ. Эф¬
фективная масса равна массе свободных электронов, диэлектри¬
ческой восприимчивостью атомных остовов пренебрегаем
(№ 3.64). Используя (3.5) и (3.39), получаем
/ко. = |4m,l/lr(2fF)w/(3itA)|w = 8,4 oil.
Характерное значение удельного сопротивления металлов при
комнатной температуре р ? 10“5 Ом см. Приняв для постоянной
кристаллической решетки а — ЗА, оценим длину свободного пробе¬
га электрона А (№ 3.65). Из закона Ома в дифференциальном виде
(3, с. 118) для связи плотности тока j и напряженности электриче¬
ского поля Е имеем
j = Е/р.
Поле разгоняет электрон до некоторой скорости
и ~ еЕт/т,
i/ie т — время свободного пробега А между соударениями, которые
практически останавливают электрон. Время пробега опрс'ДсЛ>,е^
ся возможной скоростью хаотического движения (3.7) vP в
116
Generated by CamScanner
или фермиевским импульсом (3.6) pF = Ц3к2п)^ = щк2)'/у/а, где
а - постоянная решетки. Так как у - епи = ЛиЕ/ю, то удельная
проводимость
ст = Vp = е*пт/т. (3.40)
Подставляя т и п = 1/я3, получаем
А * Л(Зя2),/3о2/(Ре2). (3.41)
В результате Л а 1,1 ТО"6 см.
В тонких металлических проволоках длины свободного пробе¬
га электронов при низких температурах обычно лимитируются
диаметром проволоки. Исходя из этого, оценим эффективную
удельную проводимость о тонкой металлической проволоки диа¬
метром d — 0,1 мм, приняв для остальных необходимых парамет¬
ров значения типичные для металлов (№ 3.66). Используя (3.41)
и для серебра п = 1 /аь = 5,85Т022 см'3, получаем
а = 1/р = е2Л/[Л(Зтг)|/3я2] а 1,2Т09 Ом"1 • см”1.
Здесь А = d.
Найдем закон растекания объемного заряда в проводниках
и характерное время этого процесса — так называемое максвел¬
ловское время релаксации тм. Определим тм для кристалла чистого
германия при комнатной температуре (а = 0,014 Ом"1 * см"1, е =
= 16). Считаем, что избыточная концентрация электронов, соз¬
дающих объемный заряд, мала по сравнению со средней концен¬
трацией электронов проводимости (№ 3.67). Используя (3.38),
(3.37) и закон Ома в дифференциальном виде (3, с. 118)
j = стЕ,
получаем
dp/dt + (4яа/с)р = 0.
Решение этого уравнения
р(г, /) = р0(г)ехр(-Г/тм),
где = е/(4яа), а р0(г) — распределение заряда в начальный мо-
мент / = 0. Видно, что начальное распределение плотности в каж¬
дой точке пространства падает экспоненциально со временем. Ток
Тсчет по всем пространстве в соответствии с законом Ома и распрс-
117
Generated by CamScanner
лен*ином напряженности поля. Для чистого германия тм х ю ю
Длч хорошо проводящих металлов данное рассмотрение не годится
Найдем частотную зависимость комплексной диэлектрической
проницаемости е(о>) проводника. Объясним причину прозрачности
металлов в ультрафиолетовой области спектра. Считаем, что элек¬
троны проводимости описываются эффективной массой т* и вре¬
менем свободного пробега т (N° 3.68). Уравнения Максвелла (3(
с. 4б(>) приводят к волновым уравнениям (3, с. 480). Решением их,
в частности, является плоская гармоническая электромагнитная
волна
Е = £0ехр[/(&х — со/)]. (3.42)
В случае диэлектриков в отсутствие зарядов и токов для фазо¬
вой скорости волны имеем
v = оа/к = с/п = 1/(ер)|/2,
где со — частота водны; к — волновое число; с — скорость света
в вакууме; п — показатель преломления; е — диэлектрическая про¬
ницаемость; pal— магнитная проницаемость.
Материальные уравнения в среде
D = еЕ, j = сгЕ,
где D — электрическая индукция; j — плотность тока; а — элек¬
трическая проводимость среды.
Чтобы для проводящей среды получить соответствующие соот¬
ношения для гармонической волны (как для диэлектрика), надо
ввести для диэлектрической проницаемости выражение
£*(со) = £ + /*4лсг/со, (3.43)
где £ — эффективная диэлектрическая проницаемость, обуслов¬
ленная связанными зарядами.
Вдали от области аномальной дисперсии и линий поглощения
связанных электронов она практически постоянна.
Проводимость среды связана в данном случае с движением
электронов как бы в вязкой среде. Будем силу сопротивления счи¬
тать прямо пропорциональной скорости. Тогда уравнение движе¬
ния электронов (второй закон Ньютона) можно записать следую¬
щим образом
m*dw/dt = еЕ — т* и/т,
где т* — приведенная масса (результат влияния решетки); т — xil'
рактерное время набора дрейфовой скорости и.
118
Generated by CamScanner
It cooim*ivmini e (3.42) решение этого уравнения ишем в виде
11 “ u«exp[/(Ajc - со/)).
Так как для плотности тока имеем] = епп, то в результате полу¬
чаем
Ст(«) = о А I - /сот),
где сг0 я jnx/m*.
Окончательно
*• (to) ь * /Чла/со = е + /'•4л/7с2т/[/77*со( 1 — /сот)] =
= С{1 - (а>р2/со2)/| 1 + //(сот)]},
где а)р2 = 4nne2/(m*i:).
Из дисперсионного соотношения
еф(со) = е' + /с" = я2 = (л' + in")2
можно найти показатель преломления п' и коэффициент затуха¬
ния л". На высоких частотах сот » 1 е" и л" -> 0, п'2 = е(1 - сор2/со2).
Следовательно при со > сор показатель преломления является чисто
вещественной величиной и проводник (металл) становится про¬
зрачным для электромагнитных волн.
При прохождении электромагнитной волны через тонкую мед¬
ную пленку ее интенсивность уменьшается в а = 20 раз. Волна
распространяется по нормали к поверхности пленки, длина волны
в вакууме X = 4500 А. Оценим толщину пленки /, если энергия
Ферми электронов в меди ЕР = 7 эВ, эффективная масса близка
к массе свободного электрона. Столкновения электронов с решет¬
кой не учитываем, статическая диэлектрическая проницаемость
е = 1 (№ 3.69). По пленке распространяется бегущая электромаг¬
нитная волна (3, с. 480) с фазовой скоростью
v = со/к = с/ппр = с/[е( со)]1/2, • •
где е — динамическая диэлектрическая постоянная, которая для
бесстолкновительной электронной плазмы (3, с. 523)
е(со) = 1 - о)р2/со2, сор2 = 4ке?п/тг
Концентрацию электронов выразим через энергию Ферми (3.5)
п = (2т £р)3/7(Зт12Л3).
В данном случае сор = 1,64* 1016 с_| > со = 2тг с/Х = 4,2-1015 с-1 и
Generated by CamScanner
119
п„?(м) - ±(i/ui)((J)pJ in)4*.
Для гармонической волны имеем изменение ее ;«мплиiyyu.i
А(х, t) = Д,схр|/Ш
В показателе степени при л получаем действительный ко м|н|>п
цмент. По смыслу должно быть затухание (знак при л отрицатель
ный). В результате
А(х, Г) = Д,ехр(-/оП)ехр|-бв|/ - (»)ч’х/с\
Так как интенсивность волны равна квадрату амплитуды, из
условия имеем
Л(/, t)2/A(0, I)г = ехр|-2(о.„' - с.>г)'"//с| I/и.
Отсюда следует
/ = с7ла/|2(шпг - o>J)l/J| = \1па/14п\<Хь,1У/12лс)г I Г') к
~ с/жх/(2о>р) « 280 Л.
Определим толщину скин-слоя 6, т. с. глубину проникновения
касательного к поверхности электромагнитного поля с частотой м н
металл с удельной проводимостью п. Считаем, что on << I, где т —
время свободного пробега (время релаксации импульса). Вычислим
5 для меди при комнатной температуре (а ~ 0,6* I С/’ Ом ’ см"1) на
частоте v = 101" Гц (№ 3.70). При не слишком высоких частотах
(сот << 1) токами смещения можно пренебречь по сравнению с то¬
ками проводимости. В таком случае из уравнений Максвелла (3,
с. 466, 514) получаем для напряженности электрического поля
в однородных проводниках с магнитной проницаемостью порядка
единицы
ЛЕ = (4nn/c2)r)E/()t.
Для гармонического поля Е = E0(jc, у, i) ё** получаем уравнение
ДЕ0 — (4яа/с2)двЕ(, = 2/Е„/62, (3.44)
где введено обозначение
6 = с/(2яао>)|/2. (3.45)
Предполагаем, что проводник занимает полупространство
z > 0, так что его поверхность совпадает с плоскостью z — В, а элек¬
трическое поле, следовательно, и ток направлены по оси х парал¬
лельно граничной поверхности (Ку — Кг = 0), причем напряжен*
120
Generated by CamScanner
цость П0ЛЯZn° °Т расстояния Z рассматриваемой точки
проводника от его поверхности, но не зависит от л и у. Из (3.44)
получаем
ДЕ0д = д2Е Jdz2 = 2/Е0х/52.
Обшее решение этого уравнения
К = А<*г + Ве~к\
где Л и В ~~ постоянные интегрирования; к — корень уравнения
к2 = 2//52,
т. е.
к = (2/),/2/6 = (1 + /)/5.
Таким образом,
/Г(н = Aer/bd'Jb + Be~'Jbe~i!/b.
Для ограниченности решения следует положить А = 0.
В результате для гармонического решения находим
Ех = £0/,u' = Be- ~J6).
Опуская мнимую часть, получаем
Ех = Be"z/bcos(o)t — zj 5).
Для толщины скин-слоя (3.45) в меди имеем
5 = с/(27сосо)1/2 « 2-10-4 см.
Электронная теплопроводность х тонких металлических прово¬
лок, как и их электрическая проводимость, при низких температу¬
рах лимитируется диаметром проволоки. Оценим в этих условиях
ХДля проволоки диаметром d— 0,1 мм при температуре Т= 10 К,
принимая для остальных параметров значения, типичные для ме¬
таллов (№ 3.73). Для электронного газа воспользуемся соотноше¬
нием для идеального газа (2, с. 284)
X = (1/3) Си/,
где С — теплоемкость единицы объема газа; v — скорость частиц
и333’ I — длина свободного пробега частиц.
Для теплоемкости используем (3.14), для скорости — (3.7),
Длину пробега полагаем равной диаметру проволочки. В резуль-
полагая
121
pF = й(Зп2пУ/у a tm(\/ayy/y = hn/a,
находим
x = c\m2Tp2d/h? =
= (1/9)&в27я2<//(/ш2). (3.46)
При a = 3 А получаем x ~ 240 Bt/(cm*K).
В тонких проволочках длины свободного пробега лимитиру¬
ются диаметром проволочки; поэтому длины свободного пробега
электронов и фононов практически совпадают. Оценим, при ка¬
кой температуре в этих условиях сравниваются электронная и ре¬
шеточная теплопроводности (N? 3.74). Для коэффициентов тепло¬
проводности воспользуемся выражением для идеального газа (2,
с. 2X4), но в случае электронов в качестве скорости берем скорость
Ферми (3.7), а в случае фононов — скорость звука. Теплоемкость
электронного газа определяется (3.14), теплоемкость фононного
1аза (2.73). В результате получаем Т* [5/сБ03/(12n1c/nevД|1/2 % 70 К
(для меди с, = 3.7* 105 см/с, vF = 1,6*108 см/с, 0 = 347 К).
В области температур от 1 до 10 мК растворенные в 4Не атомы
Не ведут себя как идеальный ферми-газ. Найдем, насколько
уменьшится удельная теплопроводность такого раствора в этом
диапазоне температур, если концентрацию 3Не в 4Не уменьшить с
5 до 1,25 %. Теплопроводностью атомов 4Не можно пренебречь
(№3.81). Используя (3.46) и (3.6), получаем, что х пропорцио¬
нально плотности частиц ферми-газа в степени 2/3. Поэтому
Х(5)/хО,25) — (5/1,25)2/3 » 2,5.
Термодинамические свойства жидкого 3Не хорошо описыва¬
ются ферми-газовой моделью. Определим на основе этой модели,
насколько уменьшится вязкость 3Не при уменьшении температуры
с 2 до 1 К (№ 3.82). Для идеального газа коэффициент вязкости (2,
с. 270) r| = (l/3)piA, где р — плотность газа, скорость частиц в дан¬
ном случае равна скорости Ферми (3.7), длина пробега X = uFx, где
х — характерное время, связанное с вероятностью перехода части¬
цы из одного состояния в другое. Диапазон возможных изменений
связан с размазкой уровня Ферми за счет теплового движения, оп¬
ределяемого энергией кБТ. Время обратно пропорционально веро¬
ятности найти два свободных уровня (квадрату размазки), т. е. об¬
ратно Г2. В результате г|(2)/т|(1) = 1/4.
122
Generated by CamScanner
Удельное сопротивление сплава Ag + 1 % Ni при температуре
j ~ О К равно р — 10 Омсм. Считая, что это сопротивление опре-
лсЛЯстся только примесными атомами никеля, оценим величину
учения рассеяния электронов на атомах никеля. Постоянная ГИК
перетки серебра а — 4,1 А (№ 3.75). Число электронов в единице
объем3 п ~ Wa • Число рассеивающих центров л, = 0.01л. Длина
пробега (2, с. 251) при рассеивании на примесных центрах / =
- 1/(л,о,). Время пробега определяется фермиевской скоростью
(3.7)
т = !/vF,
= Л(Зтг’л)1 V/w * 3ti/(та).
Для проводимости (3.40), имеем
а = 1/р = е1 т/т - e^n/(mnxaxvf).
В результате
ст, = гллрДЗл,) = 2* 10'16 см*.
Оценим удельное сопротивление одновалентного металла с от¬
носительной атомной массой А = 100 при температуре Т— 300 К,
считая, что эффективный радиус рассеяния электронов на тепло¬
вых флуктуациях решетки по порядку величины равен амплитуде
тепловых колебаний атомов, фермиевская скорость v¥ =
= 1,4*10“ см/с. Считаем эффективную массу электрона равной
массе свободного электрона. Температура Дебая 0 = 200 К
(№ 3.76). Обозначив массу атома А/, взяв для частоты колебаний
дебаевскую частоту (2.64) Лсод = кьв и соотношение для амплитуды
гармонического осциллятора (1, с. 98) л, получаем Meaner =
= M(kBQ/ti)2a2 = 2къТ. Отсюда
а2 = 2Ь2Т/(Мкьв2).
По условию это эффективный радиус рассеяния. Для свобод¬
ного пробега (2, с. 251) получаем /= {/(пс^п), где п — число атомов
в единице объема, для которого предполагаем, что оно совпадает
с числом электронов в единице объема (для одновалентного ме-
талла). Время пробега электрона т = 1/иР Используя (3.40), нахо¬
дим
р = 2mth2n TvF/(Am^ksQV) * 10 6 Ом см.
123
Эффективное сечение рассеянии электронов на фононах ири
Т> 0 можно считать равным а = где (<i/>),/2 — амилигудц
тепловых колебании атомов. Оценим для одновалентного металла
с концентрацией свободных электронов п * 5*10 см и постоян¬
ной решетки а * ЗА при комнатной температуре среднюю длину
свободного пробега электрона А, обусловленную электронно-фо¬
нонным взаимодействием (модуль Юнга считаем равным Е= 1о12
дин/см2) (№ 3.77). Длина свободного пробега (2, с.251) электрона
/= 1 /(/? д<£:>). Введем силу, действующую на атом,/= а^. Здесь
а — жесткость этой силы. Считаем, что в условиях теплового рав¬
новесия а<^-’>/2 = къТ/2, Сила, действующая на единицу плоша¬
ли,
F/S = ЕЦа = Ммл « аф\
откуда а = Ка. В результате <^ > = кгТ/а и А = Fa/(nnkhT) *
* 4,6- \0~ь см.
Оценим скорость звука в металлическом стержне с плотностью
р = 9 г/см3 при комнатной температуре, Т» 0. Кристаллическую
решетку считаем простой кубической с постоянной а & ЗА. Сме¬
щение атомов при тепловых колебаниях (<^2>)|/2 к 0,04а (№ 3.78).
Скорость распространения звука в стержне (1, с. 345) с, = (£/р)1/2 *
= [(а/(ар)]|/2 = (А:Б77(ар<^>)||/2, как это следует из предыдущей за¬
дачи. Таким образом, с, = 3,3-105 см/с.
На поверхности металлической пластины толщиной d = 0,1 см
выделяется некоторая энергия, так что изменение температуры
пластины АТ« Т0 = 300 К, Т0 — начальная температура (Г0 » 0).
Полагая, что длина пробега электрона в металле А = 10-6 см, оце¬
ним характерное время, за которое противоположная поверхность
пластины «почувствует» это изменение температуры. Считаем ме¬
талл пластины одновалентным с простой кубической решеткой
и а ъ 3 А (№ 3.79). Время выравнивания температур определяется
коэффициентом температуропроводности (2, с. 286), он же явля¬
ется и коэффициентом диффузии (2, с. 268) D ив данном случае
/~ d2/D. Коэффициент диффузии равен отношению коэффициен¬
та теплопроводности к теплоемкости единицы объема кристалла.
Теплоемкость кристалла в этих условиях определяется решеткой
и по закону Дюлонга и Пти (2.45) С = ЗпкБ. Здесь п — число ато¬
мов в единице объема, которое для одновалентного металла сов¬
падает с числом свободных электронов в единице объема. Тепло-
124
Generated by CamScanner
„роводиость в данных условиях осуществи,,....
тоонами. Для идеального газа к/™., свободными элек-
^ектроны в металле, коэффициент тепТп*"0 СЧИТаТЬ своболныс
% <1/3 )С,М.Используя ^я элеК™ " Р0В0ДН0СТИ (2’ С' 2Х4)
аДЛЯ скорости фермиевскую скорость '(Г?), Гл^чаеГ™
X ~ к rt£B27A/(3weoF).
В результате
t * 9cfmcuF/(п2кь ТА) * 2-КГ2 с,
где Vf * Л(Зтс2/7) 1/3/(/?7егЗ) а Ю8 см/с.
Оценим эффективное время выравнивания температуры в мед¬
ном стержне длиной L — 10 см в вакууме. Плотность меди р -
= 8,96 г/см , коэффициент теплопроводности х = 3,8 Вт/(см*К),
Т» 0, где 0 дебаевская температура. Остыванием за счет излу¬
чения пренебрегаем (N9 3.80). Как и в предыдущей задаче D =
= х/ОпЮ = XlV(3p/0 (молекулярная масса меди ц = 64, газовая
постоянная R = 8,3 ДжДмольК)). В результате
t = 3Z/p/?/(xp) « 90 с.
Вычислим плотность токау(7) термоэлектронной эмиссии с по¬
верхности металла (формула Ричардсона). Считаем, что работа
выхода А» ksT, А — разность между энергией электрона в вакуу¬
ме и на уровне Ферми металла. Эффективная масса электронов
в металле равна т* (N° 3.83). Число состояний, одно из которых
может занять электрон, обладающий импульсом в интервале (р,
р + dp), в объеме V вместо (3.1) можно записать в декартовых ко¬
ординатах
dN = 2 Vdpxdpydpz/{2nh)\
Учитывая вероятность заполнения такого состояния (распре¬
деление Ферми) (3.8), для потока заряда через плоскую границ>
металла получаем
dj = (2/(2nhf)vxedp^dpt.dp./{exp{{Е - Ег)/(къТ)\ + 1}. (3.47)
Предполагаем, что для удаления на бесконечность свободного
электрона, находящегося в наинизшем энергетическом состоянии
в металле, необходимая работа Е0 = Ег +А. Л/д'С"
сии определяется условием р*/( 2т*)> + ак « *’
То
Generated by CamScanner
125
uxdpxdptdp. =
Подставляя это в (3.47) и интегрируя по всем электронам
торые могут составить эмиссию, получаем
Ко-
/ = 2/(2яЙ)’е// f dpydp.dE/{exp\(E-Ее )/(*вГ)1 + 1} =
-<x> — u>A+Et
ОС ж
= 2/(2nti)iкБТе f f ln(1 + e~^)dpydp.
— oc — oo
У
где
Р = И + (Ру1 + р:)/(2т*)\/(къТ).
При обычных условиях р >> 1, поэтому логарифм в подынте¬
гральном выражении можно разложить в ряд и оставить первый
член разложения
у = 2 / (2 яЛ) X 7> ехр|-Л / «:„ Г)) х
00 ос
х// ехР|-(А. + p2.)/(2m*kBT)]dpydpl.
— ОС — 00
Входящий сюда двойной интеграл можно вычислить, перейдя
в полярную систему координат по импульсам. Обозначим р2 +
+ р2 = р2, элемент площади рdydp. Полное изменение ф равно 2л.
Изменение р от нуля до бесконечности. В результате получаем
формулу Ричардсона—Дэшмана
j = (4пп1*е/(2пЬ)})(кьТ)2 ехр[-А/(кьТ)\.
"Серебро кристаллизуется в гранецентрированную кубическую
решетку с периодом а = 4,1 А. Красная граница для серебра Х0 =
= 2680 А. Оценим (в электрон вольтах) положение дна зоны прово¬
димости серебра относительно вакуума, считая эффективную мас¬
су электрона равной массе свободного электрона (№ 3.85). Ис¬
пользуя формулу Эйнштейна для фотоэффекта (5, с. 13), для рабо¬
ты выхода получаем А = hc/\ = 4,63 эВ. Для гранецентрированнои
решетки на элементарную ячейку (ее ребро равно а) приходится 4
атома и столько же электронов в случае одновалентного металла.
Дно зоны проводимости определяется суммой энергии Ферм11
(3.5), где п = 4/а\ и работой выхода
Епр = -\hc/\п + />2(12т12)2/7(2*ш2)] = -10,1 эВ.
126
Generated by CamScanner
Для описания свойств металлов часто используется так назы¬
ваемая модель «желе», в которой считается, что точечные ионы
лоГрУ^ены в электР0ННУю жидкость. Найдем на основе этой мо¬
дели скорость звука в металлическом калии, у которого постоян¬
ная OUK-решетки равна а — 5,23 А. Считаем, что упругие свойст¬
ва калия обусловлены только электронами, которые можно рас¬
сматривать как свободный электронный газ. Эффективную массу
электронов считаем равной массе свободных электронов (№ 3.86).
Давление электронов определяется (3.19) и (3.9)
рэл = (2/5 )п,лЕ? = (2/5)Л2(Зя2)2/3лэл5/3/(2/?7*).
Для скорости звука (2, с. 46)
CS = Фз./Ф = l}/M)dp.Jdn„ =
где Z— число валентных электронов в атоме, масса которого М.
В случае ОЦК-решетки приходится два атома на ячейку. По¬
этому п.зл = 2Z/д3. Вычисляя производную, находим
с,2 = (2/3)(Z/ M)h2(3n2)2/in.M2/3/(2m*) = m*v?2Z/(3M)
и, так как для калия Z — 1, в результате
cs - vF[m*/(3M)]]/2 = h(6n2)l/i[m*N/</(3A)]'/2/(m*a) = 1,85* 105 см/с.
Электронные и решеточные свойства некоторых типов угле¬
родных нанотрубок можно описать в рамках одномерной модели.
Оценим отношение теплоемкостей решетки и электронов в таких
нанотрубках при низких температурах, считая, что скорость звука
с, = 106 см/с, а скорость Ферми uF = 10й см/с (N? 3.87). Для одно¬
мерной решетки теплоемкость единицы длины (2.80) Срсш =
= (n2/3)NkE(T/Q), электронная теплоемкость (3.14) Сэл =
= (п2/2)ЫкъТ/Ер. Их отношение С^ш/С.м ~ EF/(kBQ). Используя
(2.64), (2.60) и то, что ктах = п/a, находим /сБв * (n/a)hcs,. Из (3.5) —
(3.7) и п = \/а1 следует:
Среш/Сэл ~ (1/2)^f/с, * 50.
Согласно А.Ф. Иоффе и А.Р. Регелю (1960) кристалл сохраняет
металлические свойства до тех пор, пока длина свободного пробега
электронов превышает дебройлевскую длину волны. Исходя из
ЭТОго> оценим максимальную величину удельного сопротивления
Р&зупорядоченного металла (в омах). Эффективную массу элек-
трона считаем равной массе свободного электрона, концентрация
127
Generated by CamScanner
I
электронов n = 1022 см 3 (№ 3.88). Используя (5. с. 28), для
левской длины волны электрона имеем ; с
Считая, что
(3.40) получаем
Кь = h/P = •
характерное время в (3.40) равно т = >
ДБ/0|., из
р = т/{пе\) = /гшР/(/1е\Б) = ^(лЛлБ).
Подставляя (3.6), находим
р = h/(4«I/V) « 310-4 Ом-см.
Рис. 3.15
С помощью туннельного микроскопа в 1993 г. исследовалось
распределение плотности двумерного электронного газа на поверх¬
ности монокристалла меди, где есть два точечных дефекта, на ко¬
торых происходит интерференция волн де Бройля (рис. 3.15). Рас¬
стояние между дефектами равно 42 А. Оценим поверхностную
плотность электронов проводимости этого образца меди (№ 3.89).
От дефектов интерферируют встречные волны, расстояние между
максимумами (4, с. 70) равно Х/2 (как и для стоячих волн). Так как
на фотографии можно различить между дефектами 6 интерферен¬
ционных максимумов, то длина интерферирующих волн X = 14 А.
Фермиевское волновое число кг = 2nti/X * 4107 см-1. Число со¬
стояний для двумерного электронного газа (поверхностная плот¬
ность электронов)
п = 2прг2/(2пЬ)2 = /:Р2/(2л) » 31014 см-2.
В области низких температур от 3 до 100 мК свойства растворов
'Не в 4Не можно описать, рассматривая процесс растворения как
обратимое расширение вырожденного ферми-газа 'Не с эффектив¬
ной массой т* = 2,4 т} в объеме 4Не. Найдем конечную температу¬
ру системы при адиабатическом растворении 1 моля 'Не в 19 молях
4Не, если исходная температура компонент Т = 50 мК. Опенку1еП
лоемкости 4Не проводим по дебаевской модели с 0 = 19 К. Плот
128
Generated by CamScanner
ность жидкого Не равна р3 — 0,08 г/см3, а плотность жидкого
4Не — р4 = 0,14 г/см- (№ 3.90). Используя (3.5), для температуры
Ферми неразбавленного 'Не получаем
мера jo ^V/^Ь ^~/(2/Hj^g)( J Л"р3 jV^/p^)"73 = 2,05 К.
После 19-кратного разбавления гелия-3 гелием-4
^разб = Л7(2т3/сБ)(Зтгл3 ра1б)2/3 *
« Й2/(2т3&Б)[3л2р4Л^/(20р4)]2/3 = 0,33 К.
Так как начальная температура 0,05 К, а при расширении она
будет уменьшаться, то гелий-3 можно рассматривать как вырож¬
денный газ ферми-частиц.
В адиабатическом обратимом процессе (2, с. 66) 5Q — TdS =
= CdT.
Используя (3.14), вычислим зависимость энтропии 1 моль 'Не
при температуре Т.
т
S, = f CydT /Т =
о
= f(ji2/2)k6NA(T/Tf)dT/T = (K2 /2)RT/2Tr) = C,.
о
Учитывая различие для фермиевских температур, для разбав¬
ленного и неразбавленного 3Не при Т= 0,05 К получаем
S3(MJ6 = 124-107Г = 6,2* 107 эргДКмоль);
S3HCpaj6 = 20- 107Г = 107 эргДКмоль).
При низких температурах молярная теплоемкость жидкого 4Не
равна теплоемкости фононного газа (независимых осцилляторов),
что в 3 раза меньше теплоемкости решетки (2.73):
С4 = (4/5 )л4/?( 7/0)3.
Соответственно, для энтропии находим
S4 = }c,dT/T = f (4/5)п /0] = С4 /3.
0 I)
При заданной температуре Т — 0,05 К эта величина порядка
40 эргДКмоль). Этой величиной можно пренебречь по сравне¬
нию с энтропией гелия-3.
В адиабатическом процессе энтропия не меняется, поэтому
9-189 129
Generated by CamScanner
S3 p« л ^
IlCptl if»
= (n!/2)RTKJ(2TF„J - (iC^л) = 0
Отсюда Г„,„ = 7; ,«p.« Я мК.
Можно вычислить количество теплоты, которое поглотц1а
система при растворении I моля Не в 19 молях Не при постоян-
ной температуре 50 мК (№ 3.91). В изотермическом процессе
@ ^*(^3 нерий “ Sя,*,*,*) {ТС/2) RI { 1//р,wjf, ^/Триера*) 2,6' 10° Эрр
С понижением концентрации в электронной ферми-жидкости
в металлах может произойти фазовый переход с образованием ре¬
шетки электронов на фоне однородного «размазанного» положи¬
тельного заряда ионов — так называемый вигнеровский кристалл
Однако нулевые колебания электронов могут приводить к их дело¬
кализации, если отношение амплитуд нулевых колебаний к меж¬
электронному расстоянию превысит а = 1/4. Оценим, при каких
концентрациях электронов это произойдет. Кристалл рассматри¬
ваем как систему сферических элементарных ячеек, суммарный
объем которых равен объему кристалла. Ячейки считаем не взаи¬
модействующими (№ 3.92). Так как суммарный объем сфериче¬
ских ячеек считаем равным объему кристалла, то для межэлек¬
тронного расстояния получаем а = (4/3) nR\ где R — радиус эле¬
ментарной сферической ячейки. Ячейку представляем в виде
электрона в центре и равномерно распределенного положительно¬
го заряда, обеспечивающего электронейтральность ячейки. Поле
положительного заряда направлено от центра ячейки и растет
пропорционально расстоянию от центра (3, с. 15). При отклоне¬
нии электрона от центра ячейки на него действует сила, стремя¬
щаяся вернуть его в центр, равная F — (e2/R}) г: Из уравнения ко¬
лебаний электрона
mci2r/dt2 — —F
получаем для частоты колебаний со2 = ег/(тК}). Нулевым колеба¬
ниям трехмерного осциллятора соответствует энергия (5, с. 134)
(3/2)/ио. Условие для определения амплитуды may А1/! = (3/2)Ло),
откуда А = |ЗЛ/(мсо)1'/2. Из условия устойчивости А < аа получаем
а > 27/г7(4л/и<га4) = 27ов/(4ла4), где аБ — боровский радиус. ДлЯ
концентрации электронов находим
п = \/а3 < 41016 см'3.
В металлах основной вклад в энергию связи, т. е. в работу, коТ^
рую надо совершить для превращения кристалла в совокупное
130
Generated by CamScanner
Е
Ион + свободный электрон
W- энергия ионизации атома
СВ
Дно зоны проводимости
Рис. 3.16
невзаимодействующих атомов, дает понижение средней энергии
электронов по сравнению с таковой в свободном атоме. Используя
данные по теплотам плавления и парообразования металлической
меди q = 13 кДж/моль и А = 302 кДж/моль, найдем положение дна
зоны проводимости, если ее ширина АЕ = 14 эВ, а энергия иони¬
зации 4s-электрона меди W = 7,7 эВ, считая электроны в металле
свободными (Nq 3.93). В результате плавления и испарения твер¬
дый металл превращается в газ. При этом на каждый атом тратит¬
ся энергия, являющаяся энергией связи, Есн = (q + А)/Ал =
= 3,26 эВ. Электроны в металле обладают средней энергией (3.9)
<Е> = (3/5) Ef. Для металлов первой группы, имеющих один ва¬
лентный электрон, зона проводимости заполнена только наполо¬
вину, и уровень энергии Ферми находится на половине зоны, т. е.
Е? = АЕ/2 = 7 эВ. На рис. 3.16 показаны уровни энергии. Добавле¬
ние к средней энергии электронов энергии связи превращает ме¬
талл в свободные атомы. Для появления свободных электронов
надо затратить энергию ионизации. Таким образом, для уровня
дна зоны проводимости получаем
Ес = —(3£р/5 + Е„ + W) -15,16 эВ
от уровня вакуума.
В задаче (№ 3.94) может быть непосредственно задана энергия
связи £.н = 0,941 эВ, а вместо ширины зоны проводимости — то
что металл, например калий, кристаллизуется в объемноцентриро-
9‘ 131
Generated by CamScanner
ванную кубическую решетку с периодом а 5,22 А )\т t
лентного металла с ОЦК-рсшеткой концентрации элск 1\н,ц,>У
= 2/а\ Для калия п = 1,4* 1022 см \ и из 0.5) Е, 2,12 эВ ц л
тате, используя предыдущую задачу, для уровня дна зоны пион
мости получаем £с = -(4,34 4- 0,941 + 1,27) 6,55 эВ <//
вакуума.
Длина волны характеристического излучения и iазообра ^
натрии (переход 35 — 2р) составляет А - 485 А. Оненим отж,ои
тельное уширение ДА/А этой линии в металлическом натрии ц4
трий кристаллизуется в объемноцентрированную кубическую, г/.
шетку с постоянной <7 = 4,23 А. Закон дисперсии электронов счи
таем квадратичным с эффективной массой, равной масо*
свободного электрона. Образованием зоны из 2/?-состояний атом*
натрия пренебрегаем (№ 3.95). Зона проводимости в кристалл»:
натрия образуется в результате растепления Зл-уровнсй атомов
Для одновалентного металла, каким является натрий, зона лрово
димости заполняется только наполовину. При этом максимально
заполненный уровень в зоне проводимости (уровень Ферми,
практически совпадает с положением 35-уровня в изолированном
атоме. При характеристическом излучении свободного атома на
освободившийся 2/7-уровень переходит электрон с 35-уровня
В случае кристалла на уровень 2р может перейти любой из элек¬
тронов, находящихся в зоне проводимости. Различие их энергий
равно энергии Ферми (неопределенность равна £,.). За счет лого
и происходит уширение линии характеристического излучения
hc/X — hc/(X + ДА) = Еу.
Считая ДА << А, получаем ДА/А » AEy/(hc).
В объемноцентрированной решетке на элементарную решетк)
приходится 2 атома и, следовательно, в данном случае 2 электро¬
на. Поэтому плотность электронов п = 2/а\ Из (3.5) находим £f =
= 3,23 эВ. Это много меньше Ис/А = £(35) — Е(2р) = 25 эВ. В итоге
ДА/А * 0,126.
Generated by CamScanner
4. Электроны в полупроводниках
и низкоразмерных системах1
Движение электронов в проводниках под действием электри¬
ческого поля возникало потому, что валентная зона конечной ши¬
рины (определенное число возможных состояний электронов)
имела незанятые уровни энергии, на которые и переходили элек¬
троны, получая энергию в электрическом поле. Если в валентной
зоне электронами заняты все уровни, то такое вещество не может
проводить электрический ток, как это было у металлов. Всегда
возможен электрический пробой при очень большом напряже¬
нии, когда электрон переходит в зону, образованную возбужден¬
ными уровнями атомов (зона проводимости), преодолевая так на¬
зываемую запрещенную зону, или энергетическую щель. Однако су¬
ществуют вещества, у которых запрещенная зона достаточно мала,
чтобы некоторое количество электронов даже за счет теплового
движения могло попасть в зону проводимости. Такие вещества на¬
зывают полупроводниками. Ширина запрещенной зоны порядка
3 эВ определяет границу между изоляторами и полупроводника¬
ми. Удельное сопротивление полупроводников при комнатной
температуре ~Ю'2—109 Омсм. Они по величине сопротивления
находятся между хорошими проводниками (металлами) ~10-6 Омсм
и изоляторами ~1014—1022 Ом см.
Возможен случай, когда перекрываются валентная зона и зона
проводимости. Запрещенной зоны нет, и электроны частично пе¬
реходят в зону проводимости. Вещества, обладающие такими
свойствами, называются полуметаллами. Электрическая проводи¬
мость их значительно меньше, чем у металлов, но также сохраня¬
ется и при низких температурах. На рис. 4.1 показано изменение
концентрации электронов проводимости.
Переход электрона в зону проводимости освобождает состоя¬
ние в валентной зоне. Образуется так называемая «дырка» (вакан¬
сия). Это состояние может занять некоторый электрон из валент¬
ной зоны, и дырка сдвигается, создавая дырочную проводимость.
Под действием электрического поля дырка движется в противопо¬
ложном движению электрона направлении, как бы имея положи¬
тельный заряд.
Электрическая проводимость веществ может быть связана так¬
же с наличием примесей или дефектов кристаллической решетки.
Влияние примесей бывает очень большим. Например, добавление
' Почти во всех задачах этого раздела энергия электронов отсчитывается от дна
зоны проводимости.
Generated by CamScanner
133
И,. CM *
10
2i
10
22
-•-Си
• N« Металлы
-К
10л ■
10
io
As
Sb
10'
10
18
10
17
10
16
ю1
15
10
м
ю1
,13
Полуметаллы
- Графит
— Bi
Полупроводники
(при комнатной
температуре)
Ge (чистый)
Рис. 4.1
бора в кремний в количестве 1 атом
бора на 105 атомов кремния увеличи¬
вает проводимость чистого кремния
(при комнатной температуре) в 1000
раз.
Атомы примеси, которые переда¬
ют электроны в зону проводимости,
называются донорами. Другие приме¬
си, забирающие электроны из ва¬
лентной зоны, создающие там дыр¬
ки, называются акцепторами. В пер¬
вом случае вещества называются
полупроводниками «-типа, во вто¬
ром — полупроводниками /ьтипа.
Полупроводники, не имеющие
примесей, называются собственными
полупроводниками. Вычислим для
них концентрацию электронов в зоне
проводимости и дырок в валентной
зоне (N° 4.6).
При комнатных температурах те¬
пловая энергия кБТ * 0,025 эВ, что
значительно меньше ширины запре¬
щенной зоны Д ~ 1 эВ. В таком слу¬
чае в распределении Ферми (3.8)
можно пренебречь единицей по
сравнению с экспонентой, и получа¬
ем распределение Больцмана (2,
с. 188)
Л£, Т) * ехр[—(£ - Ер)/(кьТ)]. (4.1)
На рис. 4.2 показаны зоны и уровни энергии. Энергию элек¬
трона £п отсчитываем от дна зоны проводимости, энергии дырок
£р от верха валентной зоны (вниз). Положение уровня энергии
Ферми пока определяем отрезками £ и ц. Используя (3.1), (3.3)
и (3.10), с помощью (4.1) получаем
"п - (2мп*)3/2ехр[—(£бт)]/(2я2Л3)J* Enx/1txp[~EJ{khT)]dEn. (4.2)
о
Здесь интегрировать следовало до потолка зоны проводимо¬
сти, но подынтегральное выражение за счет экспоненты так быст-
134
Generated by CamScanner
ро уменьшается, что изменение пре¬
дела не вносит существенной погреш¬
ности. После интегрирования
получаем
лп = 0пехр[-$/(*БГ)]. (4.3)
Величина Qn играет роль эффек¬
тивного числа уровней в зоне проводи¬
мости
ft - (2/П')[т„*кьТ/(2п)]*'2 = (4.4)
= 2,5* Ю,9(/ял*//ие)3/2(7/293)3/2 см"3. (4.5)
Это выражение удобно для вычис¬
лений (m*/me — эффективная масса
электрона отнесена к массе свободно¬
го электрона, 293 — комнатная температура в К). Существенно,
что эффективная плотность уровней у полупроводников значи¬
тельно меньше, чем плотность ионов в решетке. У металлов они
близки.
Действуя аналогичным образом, находим для дырок
ЛР = 0рехр[-ту'(*ь7’)], (4.6)
<2Р = 2,5-10l,(mp7me)J/,(7’/293)w см'5. (4.7)
Для собственных полупроводников число дырок в валентной
зоне равно числу электронов в зоне проводимости. Из предыду¬
щих формул следует:
Л - % “ kiT\n(Qv/Q„) = (3/2)ЛБ71п(етр7т„*).
Дырки имеют эффективный положительный заряд и эффек¬
тивную положительную массу, которая не сильно отличается от
эффективной массы электрона. Можно считать, что In(mp*/wn*)
порядка единицы. Учитывая, что % и г\ порядка А » кьТ\ находим
Л - 5 * kB7\n(m*/m*) « А.
Отсюда следует, что
Л ~
Таким образом, получаем, что в собственных полупроводниках
Уровень Ферми находится практически посредине запрещенной
зоны (Nb 4.7).
135
\dEn Зона
проводимости
Валентная
зона
Рис. 4.2
Generated by CamScanner
Заметим, что уровень Ферми в полупроводниках не имеет тако¬
го простого физического смысла, как в металлах, так как он зави¬
сит от температуры и поэтому не является параметром вещества.
Если перемножить (4.3) и (4.6) и учесть, что £, + г| = Д, то име¬
ем
я„я„ = 0„£?рсхр|-Д/(£67)|- (4.8)
Отсюда следует, что произведение концентраций электронов
и дырок не зависит от положения уровня Ферми, который может
меняться при введении в полупроводник примесей. В полупро¬
водниках я-типа (донорных) концентрация электронов (в зоне
проводимости), в которую доноры отдают свои лишние электро¬
ны, превышает концентрацию дырок (в валентной зоне), и уро¬
вень Ферми смещается в сторону зоны проводимости. В полупро¬
водниках /7-типа концентрация электронов меньше концентрации
дырок за счет забора электронов акцепторами, и уровень Ферми
смещается в сторону валентной зоны.
Для собственных полупроводников
л„ = Яр = я = <Qn<2p),/2exp[—А/(2Лб7>]. (4.9)
По порядку величины это 1012 см~\ что примерно на 10 поряд-
ков меньше числа атомов в единице объема.
В показателе экспоненты появилась двойка, так как половина
энергии перехода приходится на долю электрона, а половина — на
долю дырки.
Законы дисперсии:
в зоне проводимости
. Е(р) = Ех + р1/{2т*)\
в валентной зоне
Е(р) = £2 + р1/(7т*).
На рис. 4.3 изображены положения химического потенциала
ц, дна зоны проводимости и потолка валентной зоны в собствен¬
ном полупроводнике типа InSb при температуре Т = 600 К. Ис¬
пользуя данные рис. 4.3, найдем концентрации электронов и дырок
при заданной температуре. Эффективные массы электронов и ды-
“ 0,05 w* 171р* = 0*4 m (т — масса свободного электро-
на)(№ 4.40). Вероятность заполнения состояний определяется
распределением Ферми (3.8). Среднее число заполнений
<п> = 1/{ехр[(£- EF)/(khT)\ + 1). (4-и»
136
Generated by CamScanner
Здесь энергия Ферми £Р совпадает с хи¬
мическим потенциалом ц. При низких тем¬
пературах уровень Ферми для собственных
полупроводников находится посередине за¬
прещенной зоны. Положение уровня Ферми
зависит от температуры, и при заданной
температуре его положение показано на рис.
4.3. Вычисляя ksТ и подстааляя в (4.10), по¬
лучаем:
для электронов
<п> = 1/{е\рЦ£ - £F)/(A:b ЛI + 1} < 0,6;
11 я дырок
Е, эВ
Рис. 4.3
<Ч> = 1/{ехр[(£Р - Ех)/(кБТ)] + 1} < 0,05.
Поэтому электроны в зоне проводимости не являются ни
сильно вырожденными, ни невырожденными. Дырки в валентной
зоне образуют невырожденный (больцмановский) газ. Учитывая
(4.9), (4.7) и (£F — Ех)/(кьТ) = 3, находим
пп = лр = (?рехр[—(£F - Ех)/(кБТ)] =
= 2.5-10I<,(mp7/ne)3/2(£/293)3/V3 = 8,9-1017 см
-з
Найдем отношение ширины зоны проводимости к ширине ва¬
лентной зоны в кристалле Ge, у которого отношение подвижно¬
стей электронов и дырок при низких температурах равно = 2.
Считаем, что закон дисперсии электронов и дырок одномерный,
типа Е(к) = Е0 — Z4cos(taz), и что проводимость определяется рас¬
сеянием на нейтральных примесях, причем сечение рассеяния
подчиняется закону Бете и обратно пропорционально квадрату
эффективной массы носителя (формула Эрджинсоя) (№ 4.41). За¬
кон дисперсии вблизи экстремума можно записать так:
£(*) = £0 - 2А + 2/1AV/2.
Последний член можно связать с кинетической энергией через
импульс
Acrk2 = p2/(2nf) = fi2*7(2m*).
Учитывая, что ширина зоны (при изменении косинуса от -1 до
О равна 4А, и что из предыдущего выражения А обратно пропор¬
ционально w*, получаем для отношения ширины зоны проводи¬
мости к ширине валентной зоны
Д£,УД£Р = AJAv =
137
Generated by CamScanner
Для подвижности носителей TOKi'l, которая и Of Л ИМИС Г и (2,
с. 276) отнесена нс к силе, и к напряженности поля, имеем
р = ех /т*,
где время релаксации — это время свободного npo6cia
х - l/v т 1 /(ппо).
Здесь а — сечение взаимодействия; п — концентрация приме¬
сей, на которых происходит рассеяние; / длина свободною про¬
бега.
Так как по условию сечение взаимодействия обратно пропор¬
ционально скорости (закон Бете) и квадрату массы (формула Зрл-
жинсоя), то для проводимости получаем
р = ех/т* = el/(m*v) = e/{m*vnn) ~ т*.
В результате
А£,УЛ£'П = AJA, = т*/т* = ц,/м„ “ >/2.
В полупроводниках, как и в металлах, внешнее электрическое
поле экранируется электронами проводимости. Отличие состоит
в том, что поскольку в полупроводниках концентрация электро¬
нов проводимости намного меньше, чем в металлах, то электрон¬
ный газ обычно является невырожденным, т. с. подчиняется рас¬
пределению Больцмана. Определим закон, по которому и этих ус¬
ловиях поле, нормальное к поверхности, убывает в глубь
невырожденного полупроводника, считая внешнее поле слабым.
Оценим глубину проникновения 1Ш (длину экранирования Де¬
бая—Хюккеля) для полупроводника со статической диэлектриче¬
ской проницаемостью е * 15 и концентрацией электронов прово¬
димости п„ х Ю14 см'3 при температуре 7’* 350 К (№ 4.1). Обозна¬
чая расстояние от поверхности полупроводника г, для изменения
концентрации электронов и дырок, которые в отсутствие поля от¬
мечаем нулем (0), получаем 5nn = njr) - пт, 8лр = np(r) - п^
Используя распределение Больцмана (2, с. 188) для электронов
в электрическом поле с потенциалом ф(г), имеем
п«(г) = пмехр\-еф)/(ккТ)\.
Здесь е> 0 абсолютное значение заряда электрона. Поле на-
правлено противоположно направлению роста потенциала.
В слабом поле еу(г) « ккТ и в результате
ПМ ~ * -nMey(r)/(khT)\.
138
Generated by CamScanner
Для дырок, имеющих положительный заряд,
n,(r) = Vxp[«f>(r)/(*67)]
и соответственно,
«pW ~ "ро * «р,«Р(г)/(*б7’)1-
Возникающий объемный заряд имеет плотность
р(г) = е(Ъпп - 5лр).
Используя уравнение Пуассона (3, с. 31, 65), для собственного
полупроводника (лп0 = п^) получаем
Дф = 8леглп0ф/(Е&67’).
В одномерном случае
d2<p(r)/d? - 8ле2«п0ф(г)/(с кьТ) = 0.
Решение этого уравнения
ф(г) = ф(0)ехр(-г//он),
где /сн = [ЕЛБ77(8яе!лп0)]'/2, а ф(0) — потенциал поверхности.
Подставляя числовые значения, находим /пн ^ 3,5* 10~5 см.
Напряженность электрического поля (3, с. 29) E(r) = -dy/dr.
Используя известные формулы для энергии связи электрона
в атоме водорода и боровского радиуса гБ, получим аналогичные
формулы для примесного центра большого радиуса в проводнике со
статической диэлектрической проницаемостью £ и эффективной
массой электрона т*. Оценим эти величины для донорных цен¬
тров в кристалле InSb, где т * * 0,01 Зт — масса свободного элек¬
трона, а £ « 16, считая радиус центра большим, если он значитель¬
но превышает постоянную решетки (№ 4.2). Если размер атома
примеси значительно больше постоянной решетки, то можно счи¬
тать, что атом погружен в среду с диэлектрической проницаемо¬
стью кристалла е. В таком случае потенциальная энергия электро¬
нов (3, с. 66) будет равна U = —еУ(е г). В формулах для энергии
связи электрона и радиуса орбиты (5, с. 100) Еп — —meA/(2h2n2) и г„ =
= Пп2/{т&) надо провести замену т на т* и е2 на е2/е
Еп = —т*еА/(2Ь2п2г2) = -6,7* Ю*4//?2 эВ
и
rn = h2n2e/(m*е?) = л2*6,2* 10~6 см.
139
Generated by CamScanner
Электрон слабо связан с донором и находится в зоне проводи¬
мости.
Найдем энергию связи ЕжУ радиус гэк и эффективную массу М к
экситона, т. е. водородоподобного образования, построенного из
электрона и дырки. Эффективные массы электрона и дырки рав¬
ны тс* и тр*, статическая диэлектрическая проницаемость полу¬
проводника равна б (№ 4.3). Так как массы электрона и дырки
близки по величине, то необходимо ввести приведенную массу (5,
с. 102) р = т*т*/(т* + т*) и учесть, что заряды находятся в ди¬
электрической среде (как в предыдущей задаче). Используя (5,
с. 100), получаем Еж = -ре4/(2/12£2), гж = /?2б/(|дЛ Л/,к = т* + т*.
Толстая пластинка полупроводника находится в вакууме при
температуре Т = 300 К. Она помещена во внешнее электрическое
поле Е= 105 В/см, направленное перпендикулярно к поверхности
пластинки. Определим объемную концентрацию носителей тока
вблизи поверхности полупроводника, считая статическую диэлек¬
трическую проницаемость полупроводника е = 10 (№ 4.4). Ис¬
пользуя теорему Гаусса (3, с. 65), находим, что поле при переходе
в полупроводник с диэлектрической проницаемостью б уменьша¬
ется, и вдали от границы равно Епл = Е/е. Обозначая объемную
концентрацию носителей тока п и используя уравнение Пуассона
(3, с. 65), получаем
div/Tn;i = 4лр/е = -4яе/?/е,
♦ ,
где е — абсолютное значение заряда электрона.
Из этого уравнения находим (в одномерном случае)
-пе = z/(4n)dEnJdx. (4.11)
Электроны, пришедшие на поверхность под действием элек¬
трического поля, в результате теплового движения диффундируют
внутрь пластины. Этот процесс описывается законом Фика (2,
с. 256) для плотности потока частиц
j = -Ddn/dxy
где D — коэффициент диффузии.
Стационарность распределения электронов в пластинке обес¬
печивается равенством этого потока, умноженного на заряд части¬
цы, току, вызываемому электрическим полем (3, с. 118):
оЕпл + eDdn/dx = 0.
140
Generated by CamScanner
Здесь проводимость полупроводника ст » <7,^ ГдС ^ —подвиж¬
ность электрона, связанная с коэффициентом диффузии форму-
10fl Эйнштейна (2, с. 276):
М = eO/(kJ).
Из предыдущего уравнения получаем
~пе^пл = ки Tdn/dx.
Подставляя это соотношение в уравнение (4.11), имеем
ЫЕ» = (4яА'ь T/e)dn.
Откуда, учитывая, что вдали от границы нет зарядов, и Ет =
= Е/г « £. находим
^ = zEj/i&nksT) = Е2/(ШКП) = 1,07-10“ см’3.
Исследуем и схематически изобразим на графике температур¬
ную зависимость концентрации электронов //„( Т) и дырок лр( 7) в по¬
лупроводнике с мелкими донорными уровнями. Энергия связи
электрона на донорах Ел « А, Л — ширина запрещенной зоны.
Концентрация доноров /id задана. Спиновые состояния электро¬
нов на доноре учитывать не будем (N9 4.10). Обозначим концен¬
трацию неионизованных (нейтральных) доноров nd(), а энергию
электрона на донорном уровне £2. Пока в уравнение входят разно¬
сти энергий безразлично откуда их отсчитывать. В дальнейшем
удобно будет отсчитывать от верхней границы валентной зоны.
Вероятность нахождения электрона на этом уровне (его заполне¬
ние) описывается распределением Ферми (3.8)
/е = 1/{ехр|(£2 - EF)/(kbT)\ + 1}.
Число неионизованных доноров
"do = V<exPK^i “ £f)/<*h7)I + 0;
число ионизованных доноров
л„* = "d - "do = л„/(ехр|(£г - £j)/(*e7)] + 1}.
Именно столько электронов от доноров будет находиться
в зоне проводимости. Полное число электронов в зоне проводи¬
мости равно сумме числа электронов от доноров и от дырок в ва¬
лентной зоне
пп ~ пр + л<1+* (4.12)
141
Generated by CamScanner
Используя (4.3), (4.6) и то, что £ — А — Ер а Л Е % ЕР, на¬
ходим
0nexp|(£F - А)/(&Е7)] =
= ()рехр|—£Г/(А:Г>7)) + nJ^xpliE, - Е2)/(кБТ)] + 1}.
Числом дырок можно пренебречь по сравнению с числом
электронов в зоне проводимости. В результате получаем
Q^xpKEp - д)/(*б7)1 = nJ{txp\{Ef - Е,)/(кьТ)\ + 1}.
Из этого соотношения можно найти энергию Ферми. Обозна-
чая
exp\EF/(kbT)] - х,
имеем уравнение
х2 + ехр[Е2/(кБТ)]х - Aidexp[(£2 + А)/(кБТ)]/(2п = О-
Решение этого уравнения
ехр[£р/(£Б7)] =
= (— 1 ч-{1 +4/vdexp|(Д - £2)/(/:B7)l/Qn},/2)/(2exp[-£i/(AB7)].
В случае 4«dexp[(A - E2)/(kbT)]/Qn «1, который соответствует
высоким температурам (малым 1/7) или малым wd, получаем
ехр[Ер/(кьТ)\ « Mdexp[A/(/:B7)l/0n. (4.13)
При очень малом пй (слабое легирование, т. е. просто собствен¬
ный полупроводник) из (4.9) следует линейная зависимость 1пл„ от
1/7’с наклоном —Д/(2кБ).
При уменьшении температуры возрастает роль доноров. Из
(4.13) получаем
Ер * А + kbT\n{nJQn).
Используя (4.3), находим
", = <2„ехр[-(Д - Ег)/(къТ)] ~ и„.
Почти все доноры ионизованы и число электронов в зоне про*
води мости меняется слабо.
Из (4.8) находим, что 1п/7р от 1 /Т имеет наклон —А/кБ.
В случае 4fldexp|(A — Е2)/(кБТ)\/Qn >> |, который соответствует
низким температурам (большим 1/7) или большим пл, получаем
ехр|£р/(*Б7)1 = (nj (?п),/2ехр((Д + Е2)/(2кг7)\.
Generated by CamScanner
В результате
п„ = Q,expl(EF - Д)/(*БТ)] = («0С,„)'/2ехр|-(Д - £2)/(2Ав7)| =
= («„&,)^/2exp|-£d/(2/t,.7)).
Видно, что Еа играет роль ширины запрещенной зоны. Ыаклон
зависимости уменьшается. Все зависимости показаны на рис. 4.4.
Рис. 4.4
Пластинка собственного полупроводника с шириной запре¬
щенной зоны Д = 1 эВ, площадь боковых поверхностей которой
S = 1 см2, а толщина много больше дебаевской длины этого полу¬
проводника, отделена от электродов слоями изоляторов. Толщина
слоев / = 1 мкм, их диэлектрическая проницаемость г = 200.
К системе подводится прямоугольное импульсное напряжение с
амплитудой импульсов U0= 100 В и частотой следования v = 103 Гц.
В момент приложения импульса в полупроводнике происходит раз¬
ряд, подобный газовому. В результате ударной ионизации образу¬
ются свободные электроны и дырки, которые разводятся полем
к краям пластинки и полностью экранируют от поля внутреннюю
часть полупроводника. После снятия импульса электроны и дыр¬
ки рекомбинируют. Определим полный световой поток Ф данного
источника света, считая, что все рекомбинации излучательные
и поглощение света отсутствует (№ 4.11). Обозначая поле в слоях
изолятора Е и учитывая, что в пластинке полупроводника поля
| 143
Generated by CamScanner
нет. получаем (3. с. 29) Ua = НЕ. Обозначая число свободных носи
телей заряда (электронов и дырок) на единицу площади поверхно¬
сти пластинки п и учитывая изменение диэлектрической прони¬
цаемости (в пластинке считаем £ = 1), находим (3, с. 65) еп =s
= е£У(4п) = eUJ(S-xf). Отсюда
п = zUJ(%nle).
После снятия напряжения импульса электроны и дырки, нахо-
лившиеся на краях пластинки, устремляются навстречу друг другу
и рекомбинируют, излучая свет. Число квантов света nS. Энергия
каждого кванта равна А. Так как в единицу времени это повторяет¬
ся v раз. то полная энергия, излучаемая за 1 с (полный световой
поток), равна Ф = £U0SvA/($Kle) s: 0,92 Вт.
Полуметаллом называется вещество, в котором имеется слабое
перекрытие валентной зоны и зоны проводимости. При этом экс¬
тремумы соответствующих законов дисперсии расположены в раз¬
личных точках зоны Бриллюэна. В результате при 7 = 0 К в одной
из них имеется небольшое число электронов проводимости, в дру¬
гой — такое же число дырок (рис. 4.5). Найдем концентрацию
Электроны
Дырки
Рис. 4.5
Рис. 4.6
144
Generated by CamScanner
электронов и дырок п и их энергии
Ферми £Рп и £Рр, если величина пере¬
крытия зон АЕ = 0,04 эВ, эффектив¬
ная масса электрона т* = = 0,05 т,
дырки т* = 0,03 т, где т — масса
свободного электрона (№4.12). Пе¬
рекрытия зон связаны с различными
свойствами в зависимости от направ-
ления в решетке. На рис. 4.6 показа
ны дисперсионные зависимости
(энергия от волнового вектора) по на
правлению (100) (ребро кубической
решетки) и направлению (П®) (д,и
гональ основания куба) (см. рис. 2.2). При Т-О К вероятность за
волнения состояния (3.8)/= 1. Используя (3.10) и (3.4), для элек
тронов и дырок, концентрация которых (п) должна быть одинако
вой, имеем
“Яр = Л = J (E)'p-dE =
о
&Е— Е я,
= / (E)'ndE.
о
Отсюда
t
= тр3/!(Д£ - £f„)3/!.
Энергии Ферми:
£рп = Д£ Wp/(wp+ mn) = 0,015 эВ;
^fp = ДЕ mj(mp+ mn) = 0,025 эВ.
Концентрация электронов и дырок
п = 23/VA„)v7(3rc2/j3) = 1,2-Ю'7 см"3.
При малом содержании примесей других атомов в полупро¬
водниковых материалах энергетические состояния примесных
атомов можно описывать аналогично состояниям водородоподоб¬
ного атома. Исходя из этого, оценим для примесных атомов мышь¬
яка в германии энергию ионизации £ион (вблизи Т— 0 К), если из¬
вестно, что эффективная масса электронов проводимости в Ge
с внедренными в него атомами As m* = 0,25 m, где m — масса сво¬
бодного электрона, а диэлектрическая проницаемость Ge е = 16,3
(Nq 4.13). Для атома, находящегося в диэлектрической среде, по¬
тенциальная энергия электрона оболочки уменьшается в соответ¬
ствии с (3, с. 66) в £ раз. Удобно считать, что во столько же раз
уменьшается е2. Используя решения для водородоподобных ато¬
мов (5, с. 100, 101), получаем
= (1/е2)(/яп7'я)£и«,н = 0,0128 эВ.
У кристалла InSb статическая диэлектрическая проницаемость
е ~ 17, усредненное значение эффективной массы электрона т* =
~ 0,015/ле. Оценим, при какой минимальной концентрации до¬
норных атомов начнется образование примесной зоны. Температу¬
ра Т~ 0 К (№ 4.50). Для водородоподобных атомов (5, с. 101), учи-
Ю- 189
145
тывая их положение в диэлектрике с диэлектрической проницае¬
мостью е, радиус первой боровской орбиты
/*, = гБе(те/т*) = 600 А.
Минимальная концентрация примесей
п * 1/(2г,)3 = 5,8* 10й см'3.
Спектр фотопоглощения (зависимость коэффициента поглоще¬
ния от энергии квантов) кремния, легированного бором, при ге¬
лиевых температурах и энергиях фотонов, меньших 50 мэВ, пред¬
ставляет собой серию пиков. При этом пик, соответствующий
максимальной энергии поглощаемых квантов, расположен при
/?о)ц = 43 мэВ. Оценим по этим данным эффективную плотность
состояний Qp (стат-фактор) в валентной зоне кремния при темпе¬
ратуре Т = 4,2 К. Диэлектрическая проницаемость кремния е = 12,
ширина запрещенной зоны в кремнии при данной температуре
порядка 1 эВ. Закон дисперсии в валентной зоне считаем изотроп¬
ным и квадратичным (№ 4.43). Бор — элемент третьей группы и в
кремнии является акцептором, т. е. дает уровни в запрещенной
зоне вблизи потолка валентной зоны. Энергетические уровни
примеси в модели водородоподобного атома в соответствии с (5,
с. 101) описываются формулой
Е, = -13,6(тр*/т)(1/(Егп2)] эВ.
Так как энергии фотонов меньше ширины запрещенной зоны,
то они вызывают только переходы между уровнями примесного
атома. Пик при наибольшей энергии падающего фотона соответ¬
ствует ионизации примесного атома. Таким образом, Лсо0 =
= 13,6(wpVw)£2. Используя (4.7), находим Qp « 1,2-1016 см-3.
При Т— 0 К электроны, находящиеся в инверсном слое полу¬
проводника, могут рассматриваться как двумерный вырожденный
газ. Найдем фермиевский импульс таких электронов, если их кон¬
центрация в расчете на единицу поверхности ns ~ 1013 см2 (№ 4.15).
Для двумерного вырожденного газа воспользуемся (2.52) и учтем,
что импульс р — hk и электрон может иметь два различных направ¬
ления спина. Полное число электронов на площади S
N = 2S-2n f pdp/Qn = S2npmJ/(2nf,)\ (4.14)
146
Generated by GamScanner
отку дл
Рх 1Ш ~ Щпп5У'\ (4.15)
Подставляя числовые значения, находим р « 8,32-10"21 гсм/с.
Вблизи поверхности гетероструктуры GaAs — AlGaAs сущест¬
вует инверсны»! слон, электроны в котором представляют собой
двумерный вырожденный газ с поверхностой плотностью ns ~
= 5-10 см"*. В наиболее совершенных образцах при низких тем¬
пературах сопротиыение любого квадратного участка такого
слоя имеет порядок 10 Ом. Оценим длину свободного пробега
Л электронов в слое (№ 4.16). Обозначая проводимость а, получа¬
ем пя сопротивления квадратного (со стороной L) участка слоя
тсаишны а
И, = (1 /a)L/(La) = 1 /(са).
Отсюда а = 1 /(R^a).
Подставляя в (3.40) т = А/(рг/т), находим
а = пеА/р^
где концентрация электронов п = nja.
В результате
Л = <ур?/(пег) = pF/(Rne2ns).
Используя (4.14) и (4.15), получаем
Л = й(2л/я,),/2/(Д,е*) = 14,5 мкм.
Электроны в гетероструктуре AlGaAs/GaAs при низких темпе¬
ратурах образуют вырожденный двумерный электронный газ.
Если отношение средней потенциальной к средней кинетической
энергии на один электрон превышает 50, то возможно образова¬
ние устойчивого периодического расположения электронов в про¬
странстве — так называемого вигнеровского кристалла. Оценим,
при какой поверхностной плотности электронов это возможно.
Эффективная масса электронов в структуре т* = 0,067те, статиче¬
ская диэлектрическая проницаемость решетки е = 12. Оценку
средней потенциальной энергии электрона проведем для ближай¬
ших соседей в центрированной гексогональной решетке (№ 4.44).
В центрированной гексагональной решетке элементарной ячей¬
кой является ромб с углами 60° и 120°. На один ромб приходится
4d/4) = 1 электрон. Для концентрации электронов получаем
п, = 1/(о: у/з /2). Для ребра ромба (кратчайшего расстояния между
электронами) имеем
КТ 147
Generated by CamScanner
я = |2/(я,л/3)|,/2.
Потенциальная энергия — это энергия электрического взаи¬
модействия (3, с. 76, 99). Учитывая, что в данной структуре число
ближайших электронов равно 6, получаем
<Епт> = 6*7(2 са).
Используя (2.52) и выражение для кинетической энергии элек¬
тронов
EF = рг2/(2т*) = (hkF)2/(2m*),
получаем для средней кинетической энергии
к ^ I
< Емш >= f (hk)2 /(2m*)2nkdk /(j2nkdk)=(hkr)2 /(4m*).
о »
Из (2.52) находим ns = 2л kt2/(2n)\ откуда
к2 - 2кпх.
Отношение энергий
<£„,„>/<£„,„> = бв1|'Л/2|,/2/и*/(я,1ЛЛ1ея).
Отсюда, используя условие задачи, получаем
ns < W3(wV'we)V(2 252e'Vrb2) = 1,4* 109 см :.
В собственных полупроводниках электроны и дырки вносят
сравнимый вклад в электрическую проводимость. Небольшое раз¬
личие связано с отличающимися эффективными массами. В при¬
сутствии доноров основной вклад в проводимость дают электроны
в зоне проводимости, которые и являются основными носителями.
Это так называемые полупроводники я-типа. В присутствии ак¬
цепторов основной вклад в проводимость дают дырки в валентной
зоне, которые являются основными носителями. Это полупровод¬
ники — /7-типа. При соприкосновении полупроводников и-
и /7-типа область их контакта называется (п — /7)-переходом. Раз¬
личие концентраций носителей приводит к их диффузии — элек¬
тронов в полупроводник р-типа, дырок в противоположном на¬
правлении. Это происходит до тех пор, пока возникающая раз¬
ность потенциалов не прекращает этот процесс. Наступает
динамическое равновесие. На рис. 4.7 показаны уровни энергий
для полупроводников п- и /?-типа до контакта (рис. 4.7, а) и при
контакте (рис. 4.7, б). Возникающее на контакте электрическое
148
Generated by CamScanner
Потенциальная энергия дырок
Зона проводимости
Валентная юна
л-тнпа /»-тнпа
а
контактная рдикччн потенция,юв
Рис. 4.7
б
поле направлено от полупроводника //-типа к полупроводникх
//-типа (на рис. 4.7 вправо). Электроны. иодхо тише к {п — /^-пе¬
реходу справа, пересекаю г его, гак как пекгрнчеекое iuvie на кон
такте способствует их движению. Дна логично i hi дырок. no i\o и
щих к переходу слева. Таким образом, {п /*)-переход беепрепчг-
ственно преодолевают неосновные носители, которые еоддают гак
называемый дрейфовый ток /г
Рекомбинация дырок и электронов приводит к и пучению фо¬
нонов и фотонов. Поэтому сущеетв\х'т слабый ток дырок t/lV4) \\ \
//-области в //-область (рис. 4.S. </). где они рекомбинируют. Лют
а
4 4
f -
4 4
4- 4
4
о
Рис. 4.8
N4
Generated by CamScanner
ток будет уравновешиваться током ды.
пок (/ ) образующихся в л-области
вследствие тепловых флуктуаций и диф¬
фундирующих в p-область. При равнове-
СИИ /рек = АеаТ
Рассмотрим выпрямляющее дейст-
вие (р _ /;)-перехода. Если на /7-область
накладывается отрицательное напряже¬
ние, а на я-область — положительное
(обратное смешаюшее напряжение)
(рис. 4.8, б), то разность потенциалов
между этими областями увеличивается.
Дырки практически не преодолевают
потенциальный барьер, и ток рекомбинации падает до очень ма¬
лой величины. На величину /тепя смешаюшее напряжение влияет
мало, так как пробег дырок значительно больше ширины
(р—/?)-перехода. При прямом смешаюшем напряжении (рис. 4.8.
в) потенциал Р помогает движению дырок и в соответствии с зако¬
ном распределения Больцмана (2, с. 188) ток возрастает
/ре. = /„п,ехр[с170.'ьЛ|.
Суммарный ток дырок из /7-области в ^-область:
(+)
в
Рис. 4.8, окончание
(-)
+ + -.
+ - ■
+ + -t
+ —
+ + -+
- + -
/ = ^ - /„„., = /,„,{ехр[сК/Ц-6Л] - 1}. (4.16)
При V— 0 он равен нулю, при увели¬
чении Vон экспоненциально возрастает,
а при отрицательном V уменьшается,
достигая насыщения (—/_crLJ. Эта зависи¬
мость показана на рис. 4.9.
Рассмотрим (р — /;)-переход. изготов¬
ленный из материала, характеризующе¬
гося при Т = 300 К концентрацией соб¬
ственных носителей ni = 2-10м см"3. Кон¬
центрации доноров и акцепторов по обе
стороны перехода одинаковы и равны
п = 610‘ см-3. Определим величину по-
тенциального барьера на переходе (№ 4.17). Как отмечалось выше,
электроны стремятся диффундировать из л-области в л-область.
В ПР0ТИВ0П0Л0ЖН0М направлении. Взаимное притяже-
(л—с) пепеГо!Г|В И лырок приводит к образованию на границе
р)-перехода двойного электрического слоя, в области которого
150
Generated by CamScanner
notiiMK^ir I иокгримсскос ноле с раэно-
,iitMviiiiiuiной Г, препятствующее
(,i'ihneiimeil диффузии. Изменение
„oivMinui'wi iioKtruiuo Iж рис. 4. К).
Iloito'ii. ty>i рис проделе мне Больн¬
ицы (*\ с. ISS>. получаем отношение
кончен граций JH*ipoK е разных сторон
перехода
“ ехр\е
II гак же дли электроном
“ схр\-еУ/(к,,7)\.
По усложни п)1} п)Л - п, а концентрация неосновных носите¬
лей. иеночмум (4.К),
",.i = = «//«• (4|7>
И ре »улып ге
«,7м' • «„,/« = «,„/и„; = схр|-еК/(*67)].
Окончательно
-2£,, ЛпЦ/л) * 0,75 эВ.
Найдем, как изменится ток насыщения полупроводникового
диода при понижении температуры от 20 до 0 вС. Определим, за
счет какого механизма возникает этот ток, а также вследствие ка¬
кой) процесса и примерно при какой температуре Т* эффект вы¬
прямлении начнет исчезать. Диод изготовлен из материала с ши¬
риной запрещенной зоны Л = 0,7 эВ и с одинаковыми эффектив¬
ными массами электронов и дырок т* = 0,3/и, где т — масса
свободного электрона. Концентрация примесей по обе стороны
перехода равна л||р = I0IS см \ Считаем, что время жизни неравно¬
весных носителей тока от температуры не зависит (No 4.18). Кон¬
центрация собственных носителей в материале диода (и в полу¬
проводнике л-типа, и в полупроводнике p-типа) при 20 “С опреде¬
ляется (4.3), (4.4), (4.6) и (4.7)
п, *= 2\т*кх- 7У(2тсЛ2)J V2cxp| —А/(2kh 7) 1. (4.18)
Видно, что при комнатной температуре п3,84* 1012 см’3 << лпр.
Следовательно, в полупроводнике л-типа основные носители
обеспечиваются донорами, а в полупроводнике р-типа — акцепто-
Generated by CamScanner
151
рами. Концентрация неосновных носителей (дырок в я-обдщ*^
м электронов в /ьобласти)
я+ = = п}/пщ = П = 4[/и*/сб 7У(2тсЙ2)]3ехр[—Л/(Л(> 7) |/пщу
Ток насыщения диода /Л(7) (см. рис. 4.9) возникает при запор
ном напряжении (потенциальный барьер, см рис. 4.8, б). Этот ток
определяется произведением концентрации неосновных носите
лей на их подвижность. По условию задачи время жизни, а, следо¬
вательно, и их подвижность не зависят от температуры. Поэтому
/Л(Г- АТ)/ЦТ) = п(Т- АТ)/п(Т) =
= (1 - Д7у7)3ехр{1—Д/(/сБ Л]Д7/(Г — АТ)} * 0,106.
Ток насыщения возникает за счет тепловой генерации неос¬
новных носителей вблизи (р — я)-перехода, где из-за запирающе¬
го напряжения, приложенного к переходу, концентрация носите¬
лей меньше равновесной. Темп этой генерации, стремящейся вос¬
становить нарушенное равновесие, пропорционален равновесной
концентрации неосновных носителей.
Выпрямление значительно падает с ростом температуры, когда
концентрация основных носителей, существующих из-за присут¬
ствия примесей, и неосновных носителей, возникающих вследст¬
вие теплового возбуждения через запрещенную зону, сближаются
между собой п = япр или
япр = п, = 2[m*kb Т* / (2тгй2)]3/2ехр[—Д/(2&в 7*) |.
Это трансцендентное уравнение относительно 7*. Так как
сильная зависимость от температуры в показателе экспоненты, то
температуру в коэффициенте можно считать постоянной и равной
Т. В результате
Г * A/(2kB\n{2[m*kbT*/{2nh2)]y2/nJ * 490 К.
Сопротивление {р — я)-перехода при небольшом положитель¬
ном напряжении (eV/(kBT) « 1) равно R = 400 Ом, а его площадь
S = 0,5 см2. Предполагая, что ток переносится главным образом
дырками, оценим максимальную плотность обратного тока jx (токи
насыщения) при температуре Т = 300 К (№4.19). В соответствии
с (4.16)
/ — /Д ехр(еУ/(кБТ)\ - 1} *jsSeV/(kET) = V/R,
откуда л = krtT/(eSR) = 1,29 А/м2.
152
Generated by CamScanner
Полупроводниковый диод используется в качестве переменного
резистора в аттенюаторе (рис. 4.11). Смещение на диоде задается
источником постоянного тока /, а связь между сигналами осуще¬
ствляется через конденсатор, реактивное сопротивление которого
пренебрежимо мало по сравнению с сопротивлением резистора
R- 10 кОм. Ток насыщения диода /0 = 1 мкА. Т = 300 К. Найдем,
каково ослабление входного сигнала по напряжению при /= 1 мА
в децибелах (я(дБ) = 201g(Kl/J<))) (№4.42). Из (4.16) имеем
/ = /0{ехр[еК/(*Б7)] - 1}.
Для производной получаем
dl/dV =IQeexp[eV/(kbT)]/(kbT) = (/ + 19)е/(къП
Дифференциальное сопротивление
= dV/dl = кБТ/[{1 + /0) е] ж кБТ/(1 е) = 25 Ом.
Из схемы цепи (рис. 4.11) видно К,/И0 = RJ(R2 + R) ~ 2,6-10-4,
откуда
д(дБ) = 20\g(V{/V0) ж -52 дБ.
В некоторых полупроводниках длина свободного пробега
электронов оказывается порядка межатомных расстояний. В та¬
кой ситуации движение электронов можно рассматривать как слу¬
чайные «прыжки» между соседними узлами. Оценим при темпера¬
туре Гж 300 К удельную проводимость а такого полупроводника,
если концентрация электронов л ж 10'* см~\ средняя частота
прыжков уж Ю13 с-1, а межатомное расстояние а ж 3 А (№ 4.20).
Для среднего квадрата смещения вдоль одной координаты за вре-
мя т при коэффициенте диффузии D имеем (2, с. 277)
<х2> — 2ГН.
Generated by CamScanner
(4.19)
153
(2. с. 276)
D = BkJ,
(4.20)
для которой получаем
В = a*v/(2kBT).
По определению подвижность
В = v/F,
(4.21)
где v — скорость; F — действующая сила.
Для плотности электрического тока имеем (3, с. 118)
j — <зЕ = nev = пе BE,
откуда а = A?e2fl2v/(2/cB7) « 0,03 Ом ‘-см '.
При освещении электронного полупроводника вблизи его по¬
верхности генерируются дырки, которые затем диффундируют
в объем, где рекомбинируют с электронами проводимости. Опре¬
делим эффективную глубину проникновения /. дырок, если их вре¬
мя жизни т = 10-3 с, подвижность р = 2000 сму(Вс), а температура
полупроводника Т = 300 К (№ 4.21). Заданная здесь подвижность
р = v/E отличается от обычно используемой (4.21) В = р/е. С по¬
мощью (4.19) и (4.20) находим <х2> = 2^къТх/е, откуда =
= (<х2>)|/2 = 0,3 см.
В кристалле кремния, легированного донорными примесями
с энергией ионизации Еи = 0,01 эВ, концентрация носителей
в зоне проводимости возрастает в а = 10 раз при повышении тем¬
пературы от 0 до 100 °С. Оценим концентрацию доноров л<,, прини¬
мая, что ширина запрещенной зоны в кремнии равна Д = 1,1 эВ,
эффективная масса носителей т* = 0,2 m (№ 4.22). Так как энер¬
гия ионизации доноров меньше тепловой энергии при заданных
температурах, то доноры полностью ионизованы. Из (4.12), (4.9)
и (4.8) получаем
Пп = + лр = па + л2/ лп.
Из этого квадратного уравнения находим корень
"п = (1/2Ж + (л,2 4- 4л2)|/2].
Используя (4.4) и (4.9), имеем
154
Generated by CamScanner
л(0“С) = 1,4-1 о8 см 3, «(100 °С) = 1,2-10" см"3.
Из условия, предполагая, что «(100 °С) » пй » «(0 °С), полу¬
чаем
а = Ю = К + (я„2 + 4л(100 °C)2)l/2]/[«d + (и/ + 4я(0 -Q2)l/21 «
* К + 2/?(100 ”C)]/(2nd).
В результате «d = 0,1«(100 °С) * 1,2-Ю:0 см"3, что оправдывает
сделанное предположение.
Кристалл кремния Si плотностью р = 2,4 г/см3 легирован ак¬
цепторами концентрацией «а = 1012 см"3 и энергией ионизации
£и = 0,01 эВ. Облучение нейтронами вызывает реакцию: n + 2RSi ->
2ХА1 + р. Найдем, во сколько раз изменится концентрация «р ды¬
рок в кристалле при комнатной температуре. Сечение реакции
а = 1 бн, плотность потока нейтронов j = Ю10 нейтрон/(см2-с), вре¬
мя облучения / = 106 с (№ 4.23). Реакция приводит к появлению
большого числа атомов алюминия, которые являются акцептора¬
ми для кремния. Используя (5, с. 243), для плотности появляю¬
щихся атомов алюминия получаем
ЯЛ1 = ° *яА
где «Si = AAp/Asi (2, с. 8).
Так как энергия ионизации алюминия меньше тепловой энер¬
гии при комнатной температуре, то все акцепторы оказываются
ионизованы. В результате находим
пы/п, = opNJt/iA^,) * 514.
Если нанести пленку металла на плоскую поверхность легиро¬
ванного кремния, то получится контакт Шоттки — выпрямляю¬
щий переход. При определенной полярности напряжения Кмежду
пленкой металла и объемом полупроводника ток через контакт
пренебрежимо мал. При этом контакт эквивалентен плоскому
конденсатору, у которого роль одной из обкладок играет слой ио¬
низованных примесей. Найдем толщину Н этого слоя объемного
заряда Q и дифференциальную емкость С= (dQ/dV) контакта пло¬
щадью S = 1 см2, считая, что примеси ионизованы однократно
в поле Е * 0 и нейтральны в поле Е = 0. Концентрация примесей
п ~ Ю16 см'3, напряжение V— 5 В и диэлектрическая проницае¬
мость е = 12 (№ 4.24). На рис. 4.12 показана система — полупро¬
водник «-типа (с донорами, ионизованными на участке от х = 0 до
155
Generated by CamScanner
£
—
+
+
+
—
+
4-
+
—
+
+
+
—
0 4-
+
+
—
+
+
+
—
+
+
4-
—
+
+
4-
—
+
+
4-
-*0
+
+
+
Рис. 4.12
у. — Электроны находятся на по¬
верхности металла (х — 0). Используя
теорему Гаусса для диэлектриков (3.
с. 65), получаем
edE/dx = 4ппе.
Поле внутри полупроводника на¬
правлено противоположно направле¬
нию оси х. Интегрируя это уравне¬
ние, находим
Е = 4ппех/е — £„.
При условии, что при х = 0 напряженность поля Е Е{), а при
х = Н. соответственно, Е = 0, получаем £0 — ЛкпеН/z. Поэтому
Е = (4кпе/е)(х — И).
Используя связь поля и потенциала (3, с. 29), получаем
—dip = (4 ппе/г)(х — H)dx.
Интегрируя, находим разность потенциалов
V= (2тте/Е)Н-\ И = \zV/{2nne)\41 = 0,81 мкм.
Для заряда имеем Q — enSH= enS[e V/(2nne)]1'2 = A[e Vne/(2n)]]/2.
В результате С = (dQ/dV) — Se/(4kH) — 1,17104 см = 0,013 мкФ.
В германий введены примеси золота (nMl = 1014 см-3), атомы ко¬
торого могут захватывать один (на уровень Аи-) или два (один на
уровень Ап-, а второй — на уровень Аи2-) электрона, и сурьмы
Е а
Л3,г
Sb
■ Аи
2-
(//Sh = 1,5-10 см ). Акцепторные уровни атомов золота Аи- и Аи
лежат выше потолка валентной зоны
на £, = 0,15 эВ и £2 = 0,5 эВ соответ¬
ственно. Донорный уровень атомов
сурьмы лежит на £3 = = 0,01 эВ ниже
дна зоны проводимости (рис. 4.13).
Определим тип проводимости легиро¬
ванного кристалла и оценим кон¬
центрацию носителей при темпера¬
туре Т— 77 К. Ширина запрещенной
зоны А = 0,7 эВ, а эффективные
плотности состояний для зоны про¬
водимости и валентной зоны (стат-
факторы зоны) Qn = 0р = Ю
156
Generated by CamScanner
IX
CM
-з
Рис. 4.13
Специфика акцепторных уровней Ап состоит в том, что уровень
с энергией Е, А появляется только после того, как будет запол¬
нен электронами уровень с энергией £, — д (так называемые аль¬
тернативные уровни) (Nq 4.25). При температуре Т — 77 К тепло¬
вая энергия кБТ — 0,007 эВ. Поэтому все электроны с доноров Sb
перейдут на уровни Ап и Ап2 , причем, так как nSh/nMl = 1,5, то
уровни Аи будут полностью заняты, а уровни Аи2- только наполо¬
вину. Для перехода электронов из валентной зоны на свободные
места уровня Аи (образование дырочной проводимости) требует¬
ся^)^ эВ. Для перехода электронов, уже имеющихся на уровне
Аи , в зону проводимости (образование электронной проводимо¬
сти) требуется 0,2 эВ. По энергии этот процесс более вероятен. Он
и будет реализовываться. Проводимость электронная — полупро¬
водник /7-типа. В соответствии с (4.3)
Л" = <2ne*Pl-(A - Е2)/(кБТ)\ = 10,!*ехр(—0,2/0,007) * 3,7* 105 см'3.
Оценим отношение электронной теплоемкости чистого Si к его
решеточной теплоемкости при температуре Т = 1000 К. Считаем,
что концентрация электронов проводимости пп = 1,5*1018 см-3, ши¬
рина запрещенной зоны Д = 0,75 эВ, дебаевская температура 0 =
= 540 К, концентрация атомов N = 5* 1022 см-3 (№ 4.26). Учитывая
(4.3), (4.4) и энергию при переходе через запрещенную зону, полу¬
чаем для энергии
Е= (2/Й3)[т^БГ/(2л)]3/2ехр[-Д/(2^Б7)](ЗА:БГ+ Д) = лп(3*БГ+ А).
Для теплоемкости находим
С, - дЕ/дТ = 3квп„ + (3квТ + А)дп„/дТ =
= 3 кьп„ + (ЗкъТ + Д)л„[Д/(2*б7*) + 3/(27)] =
= 3*вл„15/2 + А/(квТ) + (1/6)д7(*б7)2].
Решеточная теплоемкость при Т> 0 по закону Дюлонга и П ги
(2.43)
3 kBN.
В результате
CJC = (nJN)\5/2 + А/(къТ) + (1/6)д7(А:б7)2] *
« (я„/Л0( 1/6)Д2/(Лб Т)1 ~ 4-10-4.
Квантоворазмерная структура GaAs — InGaAs — GaAs пред¬
ставляет собой слой InGaAs, расположенный между толстыми
слоями GaAs. В такой структуре движение электронов в парал-
157
Generated by CamScanner
лельном к слоям направлении является свободным, а в перпенди¬
кулярном к слоям направлении электроны оказываются в одно¬
мерной потенциальной яме (рис. 4.14). В этом потенциале имеется
только одно связанное состояние электронов с знср1 ией связи
Е{) = 50 мэВ. Эффективная масса электронов т * — 0,08/w, где т —
масса свободного электрона. Найдем, какова максимальная по¬
верхностная плотность электронов ns, которые могут быть локали¬
зованы в слое InGaAs при нулевой температуре (№ 4.27). Для дву¬
мерного вырожденного газа воспользуемся формулой аналогич¬
ной (2.52), учитывая, что для электронов имеются два состояния
с противоположными спинами
dN = 2S-2nkdk/(2n)\
Интегрируя до максимального (фермиевского) значения, по¬
лучаем
N = 2S (kf-/2)/(2к).
Для поверхностной плотности находим
и = N/S = кг 7(2л).
(4.22)
Фермиевская энергия
Ef = Pf/(2m*) = (hkff/Qm*).
(4.23)
Электроны будут локализованы в слое, если £Р < Е(). В резуль¬
тате должно быть п < Et)m*/(Kh2) = 1,7-1012 см-2.
В тонких металлических пленках поперечное движение элек¬
трона ограничено, т. е. его волновая функция на граничных по¬
верхностях должна обращаться в ноль, и появляется квантование
поперечного импульса. Оценим, какова должна быть длина сво-
бодного пробега электрона / вдоль пленки висмута, чтобы в ней
можно было наблюдать два первых уровня размерного квантова¬
ния. Толщина пленки d= I 3.jo-5 см и
движения Е, = 1<Г! эВ Эббектияи’^ Р ФермИ Пр0Д0ЛЬ “ "
f . Эффективную массу электрона считаем
158
Generated by CamScanner
изотропной и равной /ип* = 0,01/ие. Температура пленки много
меньше комнатной (№ 4.48). Ширина уровней потенциальной
ямы определяется соотношением неопределенностей (5, с. 42)
Л£л„н ~ лд,
где г — время жизни уровня, которая определяет длину пробега
здектрона / = от. Скорость электрона считаем фермиевской vF =
= (2Ef/mn*y/\ Чтобы наблюдать два первых уровня энергии (5,
с. 70)
Д^ур = ^2 ~ Е\ = (22 ~ \2)h2n2/(2md2) = (3/2)h2n2/{md2),
необходимо иметь ДЕт > А
ЛИН
В результате
/ > 2d-m*v/Otm-) =
= 2rf;m„*(2£,F/'«„*)l/!/(3fm!) = 5,8-10-" см = 580 А.
Современная технология позволяет изготовлять так называв-
мые квантовые проволоки — проводящий канал на полупроводни¬
ковой структуре AlGaAs — GaAs — AlGaAs, в котором электроны
ведут себя как одномерный газ с эффективной массой т* =
= 0.07т, где т — масса свободного электрона. При этом в попе¬
речном направлении электроны находятся в потенцивльной яме,
в которой имеется только один уровень с энергией связи £0 =
= 50 мэВ (рис. 4.15). Найдем, какова максимальная погонная
плотность электронов п, (на единицу длины), которые могут быть
локализованы в такой структуре при нулевой температуре
(№ 4.28). Для одномерного вырожденного газа воспользуемся
формулой, аналогичной (2.53), учитывая, что для электронов име¬
ются два состояния с противоположными спинами
dN = 2L2dk/(2n).
Интегрируя до максимального (фермиевского) значения
и учитывая, что возможны два противоположных направления,
получаем
AlGaAs AlGaAs
GaAs
Рис. 4.15
159
Generated by CamScanner
N = 4LkF/(2n),
Для погонной плотности находим
пI — N/ L = 2kF/n.
Фермиевская энергия
Ер = Рр/(2т*) = (Ькр)2/(2т*).
Электроны будут локализованы в слое, если ЕР ^ Е0. В резуль¬
тате должно быть И/ й 2(2£0m*),/V(7ift) = 1,93*106 см'1.
Тонкие пленки характеризуются сопротивлением «на квадрат»
т. е. сопротивлением квадрата произвольного размера L х L.
Определим R^ (в омах) для двумерной системы с минимальной ме¬
таллической проводимостью, в которой длина пробега электрона
равна межатомному расстоянию. Решетка кристалла — простая
квадратная, концентрация носителей — 1 электрон/атом, темпе¬
ратура Т = О К (N2 4.30). Обозначая удельную проводимость а, для
сопротивления квадратного участка слоя толщиной b (3, с. 120)
имеем
К = (l/a)Z,/(Z, Ь) = 1/(а Ь).
В квадрате, образуемом межатомными расстояниями а, один
электрон. Поэтому число электронов на единицу поверхности п =
= 1 /а2. Число электронов в единице объема п^ = п/b. Используя
закон Ома (3, с. 118), и считая, что время между соударениями оп¬
ределяется фермиевской скоростью vF = pF/m, а для фермиевского
импульса берем (4.22), получаем для пробега
А = pF/{Rne2) = h(2n/n)W2/(Re2).
По условию А = а и п = l/а1. В результате
Ru = h (2п)'/2/е1 « 10,3 кОм.
В инверсных слоях на поверхности легированных полупровод¬
ников электроны образуют двумерный вырожденный газ фер-
ми-частиц с поверхностной плотностью ns, определяемой степе¬
нью лигирования. Методами литографии в таких слоях можно
формировать длинные и узкие мостики шириной d « 1 мкм между
широкими «берегами» ББ (рис. 4.16). При приложении к «бере¬
гам» мостика напряжения по обе стороны мостика возникает раз-
ность плотностей электронов. Однако при температуре Т~ 0 К 11
160
Generated by CamScanner
пр,1 малых я, в силу волновых свойств электронов
проводимость мостика равна нулю. Определим,
при каком значении ns появится конечная прово-
niMOcrb мостика. Оценим при данном ns сопро¬
тивление мостика. Оценку проведем в модели
свободных электронов. Считаем, что длина сво¬
бодного пробега электрона много меньше длины
мостика (No 4.31). Для двумерного ферми-газа из
(4.22) имеем kF = (2nns)'/2. Из (5, с. 28) дебройлев-
ская длина волны электронов проводимости X ~
c-XF = 2к/кг. Мостик в данном случае подобен
волноводу (3, с. 504). Условие прохождения волны
через мостик
X = 2n/(2nns)wl < 2d,
откуда
ns > n/{2d2). (4.24)
В результате ns > 1,6-108 см~2.
На рис. 4.16 представлено сечение мостика. Его длина b про¬
стирается перпендикулярно рисунку и значительно превосходит
его ширину d. Используя (4.22) и (4.23), для поверхностной плот¬
ности электронов получаем
ns — EFm*/{nh2). (4.25)
При приложении между «берегами» напряжения Vпоявляется
разность концентраций электронов на берегах. Соответственно,
возникает поток электронов. Поверхностная плотность потока (на
всю длину b мостика) (3, с. 119)
J, = (\/4)eeV(dn,/dEF)vF.
Здесь 1/4 связана с двумерностью и тем, что половина идет
в одну сторону, а половина — в другую. В одномерном случае ко¬
эффициент был бы равен 1/2, а в трехмерном 1/6. Используя
(4.25), получаем
J, = (\/*yVm*vr/{Khi) = (1/4 WVpr/W?) =
При критической концентрации электронов (4.24) находим
js = (1/4 )(?V/{hd).
Истинная плотность тока в мостике / — jjb. Полный ток через
мостик
2*1*189 цс!
Б
Рис. 4.16
Generated by CamScanner
/ = js = (jjb)bd =
По закону Ома сопротивление R = ~~ ~ 16,4 кОм,
При конечных температурах продольное сопротинление в дну.
мерном электронном газе в условиях целочисленного квангоього
эффекта Холла оказывается хотя и малым, но конечным. Оценим
величину проводимости в кремниевой МОП-структурс с поверх¬
ностной плотностью электронов п0 ~ Ю12 см 2 при целиком запол¬
ненном первом уровне Ландау (фактор заполнения v — 1, т. е. чис¬
ло квантов потока равно числу электронов) и температуре 7 =
= 1,5 К. Время релаксации электронов, определяемое примесями,
равно т = Ю-10 с. Эффективная масса электронов т* — 0,2т, где
w — масса свободного электрона (№ 4.33). Рассматриваемая здесь
структура представляет систему из контактирующих слоев метал¬
ла, оксида и полупроводника. Эта система также называется МДП
(металл-диэлектрик-полупроводник). В такой системе при прило¬
жении электрического напряжения возникает инверсионный слой
металлического типа, в котором электроны представляют двумер¬
ный (плоский) ферми-газ. Ограничение третьей координаты при¬
водит к квантованию энергии в этом направлении. Магнитное
поле с индукцией В, нормальное к плоскости слоя, вызывает цик¬
лотронное движение электронов (3, с. 257) в слое с частотой
со = еВ/(т*с).
Энергия электрона связана с направлением спина относитель¬
но направления поля. Разность уровней при повороте спина
Д Е = 2\хъВ.
Эта разность играет роль запрещенной зоны. Для концентра¬
ции электронов на более высоком уровне по аналогии с (4.3)
п2/пх = ехр[-Д£/(2/:Б7)1.
Так как по условию число квантов потока
= hc/e (4.26)
равно числу электронов, то
В = л0Ф0 * 4105 Гс.
Используя (3.40) и учитывая проводимость дырок, образую¬
щихся на нижнем уровне, для проводимости получаем
о = ss 210-9 Ом'1 -м"'
162
Generated by CamScanner
Найдем магнитный момент М единицы площади двумерного
электронного газа с плотностью ns = 4,8* 1011 см-2, образованного на
поверхности кремниевой структуры во внешнем магнитном поле
В = 8,28 Тл. Температуру считаем равной Т = О К, эффективную
массу m* ~ 0,2т, где m масса свободного электрона. По опреде¬
лению
М = —дЕ/дВ, (4.27)
где Е — энергия системы (№ 4.37). Уровни энергии электрона
в двумерном слое в магнитном поле В
Кп, = Люс(л + 1/2) + g/ns\LhB(ms = ±1/2). (4.28)
Здесь циклотронная частота (3, с. 257)
сос = еВ/(т*с), (4.29)
магнетон Бора
цБ = eh/(2mc)
спиновый g-фактор, который для электрона gs = 2.
Используя (4.26), для эффективной площади, приходящейся
на 1 электрон
^ = Фо/В,
где Ф0 = Ис/е — 4,НТО"7 Гссм2 — квант магнитного поля.
На рис. 4.17 показаны уровни энергии, заполнение которых
с учетом заданной плотности ns равно ns/(B/Ф0) = 2,4. Таким обра¬
зом, целиком заполнены два нижних уровня, а следующий —
только на 40 %. Используя (4.28), получаем для энергии единицы
площади электронного газа
Е = [еЬ(В/2)/(т*с) - еЬ(В/2)/(тс)]В/Ф0 +
+ [еП(В/2)/(т*с) + еЬ{В/2)/{тс)]В/Ф0 +
+ [еЬ(ЗВ/2)/(т*с) - еЦВ/2)/(тс)](п, - 2В/Ф0) =
= (3nsB - ЛВ2/Ф,)еЪ/{2т*с) - (п5В - 2В1/Ф,)еП/(2тс).
Используя (4.27), находим
М = цБ[л, - 4Я/Ф0 - (т/т*){3п, - 8Д/Ф0)] =
= 4,45* 10 10 эрг/(Гс см2).
Построим зависимость магнитного момента М и химического
потенциала Ef единицы площади двумерного металла от магнитно-
163
Generated by CamScanner
частично
Заполнена
целиком
го поля В при Т = О К. Для упрощения не будем учитывать спин
электрона (№4.36). Из (4.28) следует
Ещ = Л(ос(л + 1/2). (4.30)
Используя, как и в предыдущей задаче, кратность вырождения
(число мест на уровне) на единицу площади g — В Ф получаем,
что при g > п% (плотность электронов в слое) все электроны нахо¬
дятся на уровне п = 0. Из (4.30) и (4.29) получаем для энергии
Е = nfEH = n,ehB/(2m*c).
С помощью (4.27) находим магнитный момент единицы пло¬
щади слоя
М = —дЕ/дВ = —nseh/(2m*c) = const.
Химический потенциал (энергия на одну частицу) совпадает
с энергией Ферми при Т = 0 К
1
Ef = дЕ/дп} = eh В/(2т* с) = Л со./2.
При уменьшении магнитного поля при 1 < njg < 2 часть элек¬
тронов перейдет на уровень с п = 1. Учитывая, что число электро¬
нов на нулевом уровне равно В/Ф0, а на следующем ns - В Ф0. по¬
лучаем для энергии
Е = еЦВ'/Ф„)/(2т*с) + 3, - =
= eft(3 п,В- 2В
Отсюда
Л/ - 45/Ф„)/(2т*с).
Соответственно,
164
Generated by CamScanner
Ef - Щдп, = Зй(ос/2.
При В-> л,Ф0 магнитный момент „ип ,,■> , ,
ется скачком. Следующий скачок при В - „а/п ’ Т' С' МС"Я'
= я,Фр/3 и т. д. В промежутках имеем динейн™ 1^“ "РИ В =
показано на рис. 4.18, о. На рис 4 1S я, УЮ зависимость- как
линейные зависимогтн г ' 6 штриховой линией показа¬
ны линейные зависимости £„ от В для каждого п Сплошная линия
соответствует полной зависимости с учетом
штриховой линии на другую. перехода с одной
Сплав 95 % Bi и 5 % Sb является полуметаллом т е вещест¬
вом у которого потолок (максимум) валентной зоны и дно (Гни-
мум) зоны проводимости перекрываются. В квантующем магнит¬
ном поле, большем 5, = 46,5 Тл, происходит переход металл-ди¬
электрик и сопротивление сплава резко возрастает. Оценим
величину перекрытия зон при 5 = 0. Эффективные массы элек-
тронов дыРок и Ихд-Факт°ры равны: т* = 0,128ете, т* = 0,21/ие,
& Ь,М), £р 1,34. Смещение экстремумов зон в магнитном поле
рассматриваем, учитывая орбитальное и спиновое квантование
спектра носителей тока (№ 4.45). Дисперсионные зависимости
(энергии от импульса) электронов в зоне проводимости и дырок
в валентной зоне в отсутствие магнитного поля (В— 0) имеют вид
Generated by CamScanner
£е(0)= £„(0) + Л2^/(2/и/), £„(0) £.(0) №/Пт;>
где £п(0) и £и(0) — положения дна 'юны ироиодимос/и и по/олка
валентной зоны при отсутствии машитно/о поля, Чиак * * во ы»,
рой формуле связан с тем, что спечет энср1ии дырок п|юи нюдин.я
вниз от потолка валентной зоны, т. е, в отрицательную мором/
оси энергии.
В магнитном поле, направленном вдоль оси z, возникаю/ к',
мановское растепление по спину и квантование Ланда/ oj/би/адь
ного движения (4.28) и соответственно
£с(£) = £п(0) + h%l/(2m *) + fuajn + 1/2) * <A ih
Ep(B) = £H(0) - h2kr2/(2mv*) - hu\(n + 1/2) + V'U'/A m *2,
где циклотронная частота определяется (4.29).
Для дна зоны проводимости /с, « 0, л 0, т4 - 1/2 и
£„(£) = £п(0) + /ко,/2 - (1/2) д„ц(,/У
= £п(0) + Ц,Д/и,МФ - #„/2).
Так как wc/mc* - &,/2 = 5,03 > 0, то дно зоны проводимое г и
в магнитном поле поднимается.
Для потолка валентной зоны в магнитном поле И (к/ 0, /I - 0.
т, = 1/2) получаем
£н(£) = £„(0) - Аос/2 + (1/2)^ь£ = £и(0) + pb//(xv/2 m./m//.
Так как g1/t/2 - mjm * = -4,09 < 0, то потолок валентной юны
опускается.
Перекрытие зон прекращается при /У ** /У,, т. с. ЕЛ(И,) А'//У,),
откуда
£и(0) - £п(0) = Ц,Д(тв/тс* - д,,/2 - *v/2 + (4.33)
Подставляя данные, находим
£й(0) - £„(0) - 24,6*10'5 эВ.
Таким же методом можно рассмотреть полупроводник с друг и
ми параметрами.
Сплав 91 % Bi и 9 % Sb является полупроводником, у которою
дно (минимум) зоны проводимости и потолок (максимум) вален/
ной зоны нс перекрываются. В квантующем магнитном поле, пре
вышающем ВК = 40,2 Тл, происходит переход полупроводник — ме¬
талл и сопротивление сплава резко надает. Оценим ширину заире
щенной зоны Л при В — 0. Эффективные массы электронов, лмр°*
166
Generated by CamScanner
„ И\ ^-факторы равны: т* = 0,065 те, т* = 0,064 тс, gc = 18,18,
л = ъО.6. Смешение экстремумов зон в магнитном поле рассмат¬
риваем. учитывая орбита-1 ьное и спиновое квантование спектра
носителей тока (№ 4.46). Действуя, как и в предыдущей задаче,
вместо (4.33) подучаем
Д(0) = £п(0) - £в(0) =
= МьДД&р/З - mjm* - mjm* + gfe/2) = 19,5 мэВ.
Полупроводник с шириной запрещенной зоны Д = 0,85 эВ по¬
мешен в квантующее магнитное поле В = 40 кГс. Полупроводник
облучается циркулярно поляризованным относительно направле¬
ния В светом. Найдем минимально возможные энергии поглощае¬
мых фотонов правой и левой поляризаций. Эффективные массы
электронов и дырок, а также их g-факторы равны соответственно
т* — 0.1 те. т?* = 0,35 те, gc = —2,5, gp = +1,8. Смещение экстре¬
мумов зон в магнитном поле рассматриваем, учитывая орбиталь¬
ное и спиновое квантование спектра носителей тока (№ 4.47).
Спектры электронов и дырок в квантующем магнитном поле
(4.31) и (4.32)
Е'(В) = £п(0) + h2k2/(2m*) + hajn + 1/2) + gcms\xbB\
Е7(В) = £„(0) - h2k2/{2m*) - ficojn + 1/2) + gpms\xbB.
Ширина запрещенной зоны A = £n(0) — £„(0).
У электрона спин и магнитный момент анти параллельны, и по¬
этому при положительном g-факторе ниже по энергии лежит поду¬
ровень с проекцией спина т} — —1/2, а при отрицательном g-факто¬
ре — с проекцией ms = +1/2. У дырки моменты параллельны и при
положительном g-факторе ниже по энергии дырок (т. е. выше в аб¬
солютном смысле) лежит подуровень с mi = —1/2 (рис. 4.19).
Так как для обоих типов носителей т* < 2 mjg, спиновое рас¬
щепление меньше орбитального. Поскольку «правый» фотон не¬
сет проекцию момента + 1, то согласно правилам отбора он осу¬
ществляет переходы с Ат} = 1 (с подуровня т, — —1/2 на подуро¬
вень с ms = +1/2). «Левый» фотон — с подуровня т3 = +1/2 на
подуровень с т3 — —1/2. Таким образом, можно записать
= Д + + <0^/2 +(|&| + gv)»tB/ 2 =
= Д + \xbB[mJm• + mjm* + (|&| + gj/2] = 0,8535 эВ;
йсо„„. = Д + й(т„ + ш„)/2 - (|&| + g„)^rB/2 =
= Д + + mjmj — (|gj + gp)/21 = 0,8525 эВ.
167
Generated by CamScanner
В 1986 г. Осакабе с соавторами в целях проверки эффекта Ааро¬
нова—Бома провел следующий эксперимент. Монохроматические
электроны из источника S проходили вне и внутри тороидального
магнита, покрытого достаточно толстым слоем сверхпроводника
с 7[ = 9,2 К, и, попадая на экран, создавали интерференционную
картину (рис. 4.20). Эксперимент проводился вначале при Tj =
= 15 К, и магнитный поток через тороидальный магнитный сер¬
дечник, создаваемый внешним источником тока, Ф = 2,8Ф0 =
= 2,8hc/e. Затем при неизменной силе тока через обмотку магнита
температура понижалась до Т2 = 5 К. Найдем, на какую часть по¬
лосы сдвинулась при этом интерференционная картина. Слой
сверхпроводника, которым покрыт магнит, значительно превыша¬
ет лондоновскую глубину проникновения А. Учтем, что квант маг¬
нитного потока в сверхпроводниках составляет Ф0сп = Ис/{2е) =
= Ф0/2 (№ 4.39). Эффект Ааронова—Бома состоит в том, что име¬
ется воздействие на движущиеся заряды там, где напряженность
магнитного поля равна нулю (В = 0), но отличен от нуля вектор¬
ный потенциал магнитного поля А (3, с. 160) (В = rot А). Из урав-
168
Generated by CamScanner
нений Маь велла (3, с. 466) при слабом изменении магнитного
ПОЛЯ, когд; можно считать dB/dt * dB/dt, получаем
rot Е = —(1/с) rot dA/dt.
При интегрировании по пространственным координатам
с точностью до постоянной интегрирования, которая в дальней¬
шем не нужна, находим
Е = -(1/с) dA/dt.
Возникающая сила F = сЕ дает добавление к обычному им¬
пульсу р = mv. Полный импульс
Р = р —(е/с)А. (4.34)
Для дебройлевской волны электрона (5, с.28) получаем изме¬
нение фазы. Разность фаз при прохождении по траекториям 1 и 2
(см. рис. 4.20) в воздействии магнитного поля и при его отсутст¬
вии
ф,(Я) - Ф.(0) = -(e/hc)f Adi, ф2(Д) - ф2(0) = -(е/Пс)/ АсА.
(1) (2)
Изменяя движение по одной из траекторий на обратное для
разности фаз на экране в присутствии и в отсутствие поля, получа¬
ем
8(5) - 8(0) = (е/Ьс)ф\А. (4.35)
Используя теорему Стокса, находим
ф\л = / rot AdS = f = Ф. (4.36)
s s
где Ф — магнитный поток через контур, ограниченный траекто¬
риями. Это поток, который идет внутри тора. Используя выраже¬
ние для кванта магнитного потока
Ф0 = hc/e = 2nhc/e, (4.37)
из (4.35) и (4.36) получаем
! 8(5) - 8(0) = 2лФ/Ф0. (4.38)
| '?• т |69
Generated by CamScanner
В следующем разделе будет показано, что в сверхпроводнике
из-за спаривания электронов квант магнитного поля уменьшается
в два раза. При том же токе через обмотку Ф = 5,6 Ф(Чп. Так как по¬
ток может быть кратен только Ф0сп, то возможный поток Ф =
“ 5Фосп= 2,5Ф0, что меньше значения в отсутствие сверхпроводи¬
мости на 0,3 Ф0. Таким образом, фаза изменится на 2л0,3. т. е. на
0,3 полосы.
На поверхность длинной кварцевой нити нанесен тонкий слой
лития. На рис. 4.21 приведен результат измерения продольного
(вдоль нити) магнитосопротивления этого слоя, т. е. зависимость
изменения сопротивления от величины приложенного продоль¬
ного магнитного поля, при температуре ~ 1 К (Д.Ю. Шарвин,
Ю.В. Шарвин, 1981 г.). Оценим диаметр нити (№ 4.38). При при¬
ложении разности потенциалов вдоль образующей цилиндриче¬
ского слоя по нему идет электрический ток (поток электронов).
Упругие соударения электронов с решеткой (рассеяния на фоно¬
нах) и их диффузионное движение по слою, представляющее
благодаря малой толщине слоя двумерное движение, можно опи¬
сывать, как распространение дебройлевских волн. Пока не воз¬
никает неупругих соударений, которые при данной температуре,
когда мало фононов, очень редки, волны являются когерентны¬
ми. Сложение их определяется фазовыми сдвигами. Изменение
фазы в слое лития, где нет магнитного поля, определяется век¬
торным потенциалом (4.35). Так как интерферируют волны, со¬
ответствующие круговому обходу магнитного потока в одну сто¬
рону и в противоположную, то в (4.38) разность фаз надо увели¬
чить в два раза.
Аф = 2-27гФ/Ф0.
0 20 40 60
Generated by CamScanner
Эта разность фаз приводит к осцилляциям интенсивности вол¬
ны при интерференции (4, с. 72) ~ (1 + С08дф). Период осцилля¬
ций находим из условия к
Аф = 2п и ДФ = Ф0/2.
Учитывая (4.37), для периода изменения магнитного поля, по¬
лучаем
ЛВ nd2/4 = Ф,/2,
откуда d = [2Ф0/(яДД)],/2 = 1,4 мкм.
12*
Generated by CamScanner
5. Сверхпроводимость
Сопротивление прополи икон электрическому току обусловле¬
но взаимодействием электроном с кристаллической решеткой.
Атомы решетки тормозят движение электронов. Этот процесс
можно также трактовать как соударение электронов с фононами.
Так как число фононов при уменьшении температуры уменьшает¬
ся (2.46), то сопротивление также уменьшается. Это наблюдается
при измерениях. Созданный Камсрлинг—Оннесом метод получе¬
ния низких температур позволил ему провести измерения сопро¬
тивлений ниже К) К. Для твердой ртути при 4,3 К он получил, что
сопротивление составляет 0,0021 от значения, которое имела бы
твердая ртуть при 0 “С (с учетом фазового превращения). При
дальнейшем понижении температуры (ниже Тс — критической)
произошло резкое уменьшение сопротивления до значений, мень¬
ших одной миллионной от значения при 0 °С. Это явление было
названо сверхпроводимостью и обнаружено у ряда других веществ.
Объяснили его действием решетки кристалла на электроны. Схе¬
матически это выглядит следующим образом. Электрон поляризу¬
ет ближайшие к нему атомы решетки (рис. 5.1). Вокруг электрона
образуется повышенная плотность положительного заряда, кото¬
рая притягивает другой электрон. Так возникает спаривание элек¬
тронов (куперовская пара). Пара электронов имеет целый спин
и превращается в бозон. Принцип Паули уже не действует. В лю¬
бом состоянии может находиться любое число бозонов. Взаимо¬
действие электронов можно трактовать как обмен фононами.
В процессах обмена при температуре Т < Тс могут участвовать
Рис. 5.1
е 9
О
О
О
о
лишь электроны, расположен¬
ные в очень узком слое вблизи
поверхности Ферми (ширина
слоя кьТс « £Р). Тенденция свя¬
зываться в пары наиболее сильна
у электронов с равными по вели¬
чине и противоположными по
направлению импульсами. При
этом в силу принципа Паули для
системы двух электронов состоя¬
ние, в котором спины электро¬
нов направлены анти параллель¬
но, более устойчиво и энергети¬
чески более выгодно, чем
с параллельными спинами.
172
Generated by CamScanner
Энергии электронов при температурах порядка Тс отличаются
от энергии Ферми на величину
кьтс * //(2m) - pFV(2m) =
= iP + Pf)(P - Pr)/(2m) * 2PpAp/(2m) =
= bpp?/m{p * p - pF = Ap).
Отсюда неопределенность импульса электрона
ДР ~ mKTJpf,
неопределенность в положении электрона из соотношения неоп¬
ределенностей
Ах = h/Ap ~ hpF/(mkBTc).
По порядку величины это составляет при Тс ~ 10 К около
1(Р см. Эта величина характеризует размеры области, в которой
локализованы электроны, образующие куперовскую пару, т. е.
«размеры» этой пары. Еще можно сказать, что это расстояние, на
котором отсутствуют сверхпроводящие электроны. Искажения
плотности сверхпроводящих электронов не могут проявляться на
расстояниях ^ ~ Ах. Величину ^ называют длиной когерентности.
Среднее расстояние между электронами проводимости в металле
ПО-6 см) значительно меньше Между электронами, «связанны¬
ми» в пару, находится очень много других электронов. Пары элек¬
тронов беспрерывно обмениваются друг с другом электронами,
т. е. все время исчезают и возникают в новом составе. Поэтому все
электроны в системе связаны друг с другом. Для разделения элек¬
тронов один электрон надо «отрывать» от всей системы, что сде¬
лать труднее, т. е. надо затратить некоторую конечную энергию.
Возбужденное состояние с одним свободным, оторванным от
пары электроном, лежит выше основного состояния системы
взаимодействующих электронных пар и отделено от него конеч¬
ным интервалом энергии — энергетической щелью, внутри которой
нет разрешенных уровней энергии. Энергетическая щель располо¬
жена возле уровня Ферми. На рис. 5.2 приведена зависимость
плотности состояний электронов пе от энергии Е в нормальном
проводнике (рис. 5.2, а) и в сверхпроводнике вблизи поверхности
Ферми (рис. 5.2, б). Заштрихованные области заполнены электро¬
нами при Т= О К. Ширина щели (2Д) при температуре Т- 0 К со¬
ставляет величину порядка 10~4—10~3 эВ. Хотя она мала, но ее су¬
ществование приводит к качественному изменению свойств сис¬
темы электронов, так как очень слабые воздействия уже не могут
173
Generated by CamScanner
а б
изменить энергию и другие характеристики электронов. Ширина
щели
Д
*ьТ-
(5.1)
Область запрещенных значений импульсов электронов опре¬
деляется условием
Е, - Д < р2/(2т) < ЕР + Д. (5.2)
Энергия Ферми Ef = mvF2/2. Толщина слоя в импульсном про¬
странстве Ар а 2Д/о|: (Д << £F). Соотношение неопределенностей
Ар Ах ~ Л. Поэтому для длины когерентности получаем
^ а Да* ~ h/Ар a twр/(2Д). (5.3)
Используя это, в частном случае (№ 5.12) находим ^ = 1,110-5 см.
Оценим радиус эффективного взаимодействия сверхпроводящих
электронов, исходя из следующих соображений: проходящий око¬
ло иона электрон «толкает» его, создавая тем самым поляризацию
решетки. Радиус взаимодействия соответствует расстоянию, на
которое успел уйти этот электрон за время, равное полупериоду
колебаний иона. Оценку проведем для одновалентного металла
с простой кубической решеткой. Скорость звука s = 3-105 см/с, эф¬
фективную массу электрона считаем равной массе свободного
электрона (№ 5.34). Используя результаты для колебаний в кри¬
сталлической решетке (2.20) и (2.24), получаем Т— 1/v = 2а/s, где
а — постоянная решетки. Фермиевскую скорость движения элек¬
трона находим из (3.6) и (3.7) vF = h(3n2n)ui/m. Учитывая, что п =
= 1/д\ получаем для радиуса эффективного взаимодействия
сверхпроводящих электронов (длины когерентности)
£, = у,,7/2 * nh/(ms) * 1200 А.
174
Generated by CamScanner
В сверхпроводнике, содержащем примеси, электрон упруго рас¬
сеивается на примесных атомах без потери фазы. Если среднее
расстояние межд\ примесными атомами много меньше длины ко¬
герентности то электрон движется подобно броуновской части¬
це. Исходя из этих соображении, оценим эффективную длину ко¬
герентности с в сверхпроводнике с постоянной решетки а — 3 Л,
средним расстоянием между примесями b & 30 А и критической
температурой Тс = 25 К (JSfe 5.30). В данной схеме длина когерент¬
ности это тот путь, который броуновская частица пройдет до
«спаривания». Время движения определяется с помошью соотно¬
шения неопределенностей из (5.1) т * щ2 кБТс). Используя (2,
с. 277), для пути броуновской частицы имеем
<^> = (6Z>r)l/2.
Коэффициент диффузии D (2, с. 256) определяем следующим
образом. Постоянная решетки позволяет оценить из соотношения
неопределенностей импульс и скорость электронов pFa » fi и yF *
~ h/(mea). Так как длина пробега — это расстояние между примеся¬
ми, то D — bvf/3. В результате
<£,> « [trb/(makbTc)\'2 « 1,8-КГ6 см.
Найдем, при каком напряжении начнет течь ток через туннель¬
ный переход нормальный металл—изолятор—сверхпроводник,
если Тс = 92 К, а измерения проводятся при Т« Тс (№ 5.32). Как
видно из рис. 5.2 и уравнения (5.1), ток начнет течь, когда eV =
= Д » къТс. Откуда V~ k^TJe » 0,008 В.
В 1960 г. Гиавер измерил вольт-амперную характеристику
сверхпроводящей системы алюминий — свинец при температуре,
меньшей критических температур обоих металлов (рис. 5.3). Она
имела максимум при Vx = 0,82 мВ
и минимум при V2 = 1,4 мВ. Найдем
величины энергетических щелей
(в эВ) и критические температуры
свинца и алюминия (N° 5.33). На
рис. 5.2, б представлены результаты
применения «полупроводниковой
модели» к сверхпроводнику. При Т —
= 0 К все энергетические уровни от 0
До — д заняты электронами, а все
Уровни выше £F + Д свободны. Поло-
Generated by CamScanner
175
а
б
в
са шириной 2Д является запрещенной зоной. Плотность состоя¬
ний вблизи щели резко возрастает, так как для пар электронов
уже не действует принцип Паули. Для двух одинаковых сверх¬
проводников, разделенных туннельным барьером, действие при¬
ложенной разности потенциалов V показано на рис. 5.4 (при ну¬
левой температуре в отсутствие разности потенциалов — на рис.
5.4, а). Увеличение разности потенциалов приводит к возникно¬
вению тока после преодоления величины щели eV= 2Д (рис. 5.4,
б). Зависимость тока от разности потенциалов (напряжения) по¬
казана на рис. 5.4, в. При Т> О К возникает возможность преодо¬
ления щели за счет тепловой энергии.
Рассмотрим контакт сверхпроводников с разными величинами
щелей для случая Д, < кБТ<<Д2 (рис. 5.5, а — г). В отсутствие раз¬
ности потенциалов (напряжения) распределения показаны на рис.
5.5, а. При данном условии можно пренебречь термически возбуж-
а б
176
Generated by CamScanner
Рис. 5.5
денными состояниями справа. При подаче напряжения сразу на¬
чинает протекать ток (из-за термически возбужденных состояний
слева). Ток возрастает с напряжением. Зависимость тока от напря¬
жения показана на рис. 5.5, д. Максимальное значение при У{ =
^ (А* Л,) с. До этого возрастает плотность электронов, превос¬
ходящих щель справа. Затем начинает уменьшаться плотность
мест, на которые могут перейти электроны. Это происходит, пока
не появится возможность перехода электронов из состояний под
щелью. При значении напряжения V, = ^ + А2)/е — снова начи¬
нается рост тока. Решая систему уравнений
еУх =(Д2-Л,)
eV2 = (А, +А,)
находим А, = е( У{ + К)/2 =1,11 мэВ и А, = е(У2- К,)/2 = 0,29 мэВ.
Для вычисления критической температуры вместо приближен¬
ного соотношения (5.1) надо взять результат теории Дж. Бардина,
Л. Купера и Дж. Шриффера (БКШ)
2А = 3,52 АбГс. (5.4)
В результате Г., * 1,9 К, Т.2 * 7,3 К.
У сверхпроводников были обна¬
ружены особые магнитные свойства.
При переходе в сверхпроводящее со¬
стояние (при понижении температу¬
ры) сверхпроводник вытесняет маг¬
нитное поле (эффект Мейснера), при
этом на его поверхности возникают
такие поверхностные электрические
токи, которые обеспечивают отсутст¬
вие внутри него магнитного поля
(индукция магнитного поля В = 0).
Электрическое поле внутри сверхпроводника также равно нулю.
Сверхпроводящее состояние разрушается при возрастании маг¬
нитного поля. На рис. 5.6 показано изменение критического маг¬
нитного поля Яс(0) в зависимости от температуры. Приближенная
аналитическая зависимость
Нс( Т) = Яс(0)(1 - 77 ГД
где Тс — критическая температура, при которой проводник пере¬
ходит в сверхпроводящее состояние в отсутствие магнитного
поля.
177
Generated by CamScanner
Сверхпроводящее состояние разрушает также сильный элск-
трический ток через сверхпроводник (по существу действие тока
и магнитного поля одинаково) и высокочастотные электромаг-
нитные поля, когда
Лео ~ кьТс.
В сверхпроводнике электроны образуют пары с противопо-
ложно направленными спинами. Найдем, в каком магнитном
поле произойдет разрушение таких пар, сопровождаемое измене¬
нием спина одного из электронов пары, если в нулевом магнит¬
ном поле критическая температура сверхпроводника равна
Гс = 92 К. Считаем, что разрушение пары происходит при
Г = О К (No 5.13). Магнитная энергия, затрачиваемая на развал
пары, рв/?(рБ — магнетон Бора) по порядку величины равна энер¬
гии связи пары Я ~ кьТс, откуда В ~ ^ /ць = 1,4-’0 Гс.
Тантал (Та) кристаллизуется в объемно-пентрированную куби¬
ческую решетку с постоянно)! а — 3 А и является сверхпроводни¬
ком I рода (Гс = 4.4 К). Считая, что каждый атом Та отдает в зону
проводимости один электрон, эффективная масса которого равна
массе свободного электрона, оценим из энергетических соображе¬
ний величину критического магнитного поля #с при Г * О К, как
поля, в котором разрушаются куперовские пары (Sk 5.19).
О сверхпроводниках I и II рода будет сказано позже. В соответст¬
вии с (5.2) и рис. 5.2 энергия связи одной пары равна 2Д. Если
плотность пар пГАР, плотность сверхпроводящих электронов п.ч. то
плотность энергии связи Есь = пплр 2Д = (лс,/2)2Д. Размытие рас¬
пределения, приведенного на рис. 5.2. определяющее число сверх¬
проводящих электронов, дает * л-2Д/£и где п = 2/а — плот¬
ность электронов в зоне проводимости для объемно-иентрирован-
ной решетки. Считая, что Д * 2кьТс и учитывая (3.5), получаем
£■„ * 16 (kJc)2/(a}EF) = 32(А:вГс)Ч/[вЙ2(Зя2)!Л2
Магнитное поле разрушает сверхпроводимость, когда его
плотность энергии становится равной энергии связи, т. е.
н,с2/т =
В результате Яс * ^22/\Тс(тек/аУ/2/[МЗк2)1/}] * 730 Гс.
Рассмотрим отличие сверхпроводников от так называемых
идеальных проводников, у которых очень малые сопротивления
особенно при низких температурах (3, с. 188). Магнитное поле
178
Generated by CamScanner
при температурах выше критической проникает как в будущий
сверхпроводник, так и в идеальный проводник. При понижении
температуры магнитное поле выходит из сверхпроводника, а и
идеальном проводнике остается, и остается его намагничивание.
После выключения поля вокруг сверхпроводника поля нс будет,
а вокруг идеального проводника будет поле от приобретенного
магнитного момента. Если предварительно понизить температуру
ниже критической, а затем включить магнитное иоле, то в возник¬
ший сверхпроводник магнитное поле не проникнет. Оказывается,
что оно не проникает и в идеальный проводник, т. е. имеется зави¬
симость от последовательности включения поля и охлаждения.
При выключении поля его не будет нигде.
Важно рассмотреть также прохождение через полый цилиндр
из сверхпроводящего проводника магнитного поля, направленно¬
го вдоль образующей цилиндра (рис. 5.7). При температурах выше
критической магнитное поле равномерно (рис. 5.7, а). При охлаж¬
дении ниже критической температуры магнитное поле вытесняет¬
ся из сверхпроводника, но не может выйти из полости цилиндра.
На стенках цилиндра идут соответствующие поверхностные токи
(рис . 5.7, б). После выключения магнитного поля только внешнее
магнитное поле уходит в бесконечность, а внутреннее не в состоя¬
нии пройти через сверхпроводник и остается захваченным цилин¬
дром (рис . 5.7, в). По внутренней поверхности цилиндра течет по¬
верхностный ток. Поле подобно полю соленоида. При достаточ¬
ной длине цилиндра ни поля снаружи, ни поверхностного тока на
наружной поверхности нет.
б
в
Рис. 5.7
Generated by CamScanner
179
Из широкой сверхпроводящей лепты был свернут длинный
цилиндр радиусом <; I см п края ленты сварены вдоль образую¬
щей. Измерении показали, что электрический контакт в месте
сварки оказался не очень хорошим, ибо за I ч ток в цилиндре
уменьшился на I г<\ Найдем, каково сопротивление R единицы
ллины сварного шна (№ 5.2). Цилиндр можно рассматривать как
соленоид с одним витком на длину. Индуктивность его (3, с. 165)
L = = 4к\г. По правилу Кирхгофа (3, с. 315) для тока по по¬
верхности цилиндра получаем
dlt/dt = -Rc1 l/L
Интегрируем jto уравнение, считая, что в начальный момент
ток был /„
/(/) * /„exp(-/?г7/А),
откуда
/г =iln|/,//(rt|/(rV) = 4nVln 1,01/(rV) ~ ю-11 Ом.
Используя метод зеркальных изображений, найдем распределе¬
ние поверхностных токов на плоской поверхности сверхпровод¬
ника, если на расстоянии // = I см от нее расположен прямолиней¬
ный достаточно длинный тонкий провод, параллельный плоско¬
сти сверхпроводника. По проводу течет ток силой / = 10 А.
Найдем также силу f действующую на единицу длины провода
(№ 5.3). Эта задача уже решалась (3, с. 196). Распределение плот¬
ности поверхностных токов j и силу/ишем, используя условие от¬
сутствия магнитного поля в сверхпроводящей среде (эффект
Мейснера). Поле на плоской границе будет иметь только каса¬
тельную к границе составляющую //,, если симметрично под ней
расположить провод с противоположным направлением тока. Для
бесконечно длинного прямолинейного провода на расстоянии
г имеем
Н = 21/(сг).
Из рис. 5.8 получаем
Нх = 2//sin0 = 4 Jh/icr1). (5.5)
Используя теорему о циркуляции фНсА = (4л/с)£/(3, с. 148)
для поверхностного тока, учитывая, что внутри сверхпроводника
магнитного поля нет, находим
Ах) = Н,с/(4п) = + У)|.
180
Generated by CamScanner
Для дальнейшего необходимо воспользоваться законом Ампера
для взаимодействия тока с магнитным полем dT = (//с) [dI, В1 (3,
с. 196). Здесь, сЛ элемент тока /; В — индукция магнитного поля.
Использчя (5.5) и Н = В, налодич! для противоположно направ¬
ленных токов силу отталкивания
/= Г-/{с И). (5.6)
Подставляя числа, находим / = 1 дин/см.
Над сверхпроводящей плоскостью на изолирующем слое вы¬
сотой И = 3 мм лежит проволочное кольцо из тонкой проволоки
радиусом г = 10 см. Масса кольца т = 1 г. По кольцу течет посто¬
янный ток /. Оценим, при каком значении / кольцо начинает па¬
рить в воздухе (левитировать) (,\Ь 5.4). Каждый небольшой элемент
кольца можно рассматривать, как элемент прямолинейного про¬
вода и силу рассчитывать по формуле (5.6), откуда для левитации
из/= I2 /(с2 И) — т #/(2тгг) получаем
/> c[mgh/{2nr)]xrl = 6,4910'° ед. СГСЭ * 21,6 А.
На расстоянии а = 9 см над поверхностью сверхпроводника
парит в поле тяжести тонкий постоянный магнит, длина которого
мала по сравнению с расстоянием а. Если магнит слегка вывести
из равновесия, то он совершает малые колебания в вертикальной
плоскости. Найдем период этих колебаний (№ 5.5). Магнитное
поле постоянного магнита на расстояниях больших по сравнению
с его размером соответствует полю магнитного диполя (3, с.215)
В = Зг(р„г)/г5 - р (5.7)
Для удовлетворения граничного условия (отсутствие магнит¬
ного поля в сверхпроводнике) по методу зеркальных отображений
181
Generated by CamScanner
мало симметрично относительно поверхности поместить второй
диполь. Оба диполи параллельны поверхности и направлены
в одну сторону. Между ними действует сила отталкивания. Ис¬
пользуя (5.7) для поля второго диполя в месте расположения пер¬
вого получаем
В, = -р
Сила, действующая на первый диполь, равна (3, с. 14)
F = ри<Щ/дг = )PJ/rA = (3/16)/v>4.
При равновесии эта сила равна весу магнита nig = (3/16)pJ/o>.
При увеличении расстояния магнита от поверхности на х воз¬
никает возвращающая сила./ = 3pJ/(2a + 2х)А — mg = —(4mg/a)x =
= —кх, откуда к = 4mg/а. При гармонических колебаниях (1, с. 98)
период колебаний Г = 2п(т/к)'/2 ~ K(a/g)' * = 0,3 с.
Шар массой М = Юг и радиусом R = I см, изготовленный из
сверхпроводника I рода, покоится в магнитном поле В = 1 кГс,
меньшем критического при температуре ниже точки перехода.
Температура шара постепенно повышается так, что сверхпроводи¬
мость исчезает, а шар начинает вращаться. Найдем угловую ско¬
рость о вращения шара (№ 5.6). О сверхпроводниках I и II рода
будет сказано позже. В магнитном поле сверхпроводящий шар об¬
ладает дипольным магнитным моментом (3, с. 190) рм = —/?3В/2.
Используя гиромагнитное соотношение (3, с. 272), для механиче¬
ского момента импульса получаем
L — mecR'B/e.
Носителями тока в сверхпроводнике являются куперовские
пары, и для них гиромагнитное соотношение совпадает с соотно¬
шением для отдельного электрона.
Учитывая, что момент инерции шара / = (2/5)MR?, и выполня¬
ется закон сохранения момента импульса L = /со, получаем
о» = L/I = (5/2)mtcRB/{Me) = 1,42-10"5 с"'.
Возможен и другой способ решения (3, с. 273).
Маг нитное поле внутрь сверхпроводящего шара не проникает.
На поверхности шара магнитное поле направлено по касательной
(3, с. 190) В\ *= (3/2) /fcinG, где G — угол отклонения от направления
внешнего магнитного поля. По поверхности идет ток плотностью
182
Generated by CamScanner
j cBJ(4k). Движение электронов создает момент количества дви¬
жения
я/ •
1 = 2 / "V'tflsin0)-' - 2—/гsinO .'fisin tV tf-ivitt.
Этот момент количества движения должен сохраниться при
исчезновении сверхпроводимости и тока электронов. Для враще¬
ния шара получаем: (2/5)Д//?чо = mtcR'B с, отк\да находим угло¬
вую скорость О).
В классическом опыте, поставленным 11 к. кмкопнным. ци¬
линдр из сверхпроводника 1 рода массой М — SO г. высотой h —
= 20 см, радиусом R = 0.5 см при температуре ниже точки перехода
подвешен вертикально на упругой нити в магнитном поле, мень¬
шем критического и направленном вдоль оси цилиндра. Нигь под¬
веса в исходном состоянии не закручена. При постоянной темпера¬
туре величину магнитного поля постепенно повышают, и при поле
Н = 1 кЭ сверхпроводимость исчезает В результате этого цилиндр
поворачивается, а нить закручивается. Определим максимальный
угол закручивания, если модуль кручения нити а = 1 эрг рад
(№ 5.7). Задача аналогична предыдущей и задаче в (3, с. 2~2V
Магнитное поле внутрь сверхпроводника не проникает (эф¬
фект Мейснера), а по поверхности идет ток плотностьюу. С вели¬
чиной внешнего поля Н— В в соответствии с (3. 1W имеем соот¬
ношение И = 4xj/c. Магнитный момент цилиндра
ры = BRlh/4.
Используя гиромагнитное соотношение (3. с.2'2). находим ме¬
ханический момент импульса
L = (2тес/е)ри = (1 2Мтес e)BhR\
При исчезновении сверхпроводимости прекращается поверх¬
ностный ток и магнитный момент, с которым связан механиче¬
ский момент импульса. Так как механический момент импульса
должен сохраняться, то возникает вращение цилиндра с угловой
скоростью со (со = dy/dt = ф’). Лля абсолютного значения момента
импульса имеем L = Уф’ = mfcBR1h/(2e). где J — те/?/2 — момент
инерции цилиндра, а гпе и е — масса и заряд электрона. Получен¬
ная кинетическая энергия затем переходит в упругую энергию за¬
кручивания нити aip:/2 = В результате имеем ф =
~ mcBhR/\e(2am)' :\ = 4.5-10"' рад.
183
Generated by CamScanner
JT
I r
Нш-руэка
-CZZh
d^D
Рис. 5.9
Для исключения потерь электроэнергии на джоулеву теплоту
в линиях передачи постоянного тока предложено использовать ко¬
аксиальный кабель, внутренняя жила и наружная оболочка которо¬
го выполнены из сверхпроводника. Кабель подключен к нагрузке,
как это показано на рис. 5.9. Максимально допустимые значения
магнитной индукции на поверхности сверхпроводника В = 500 Гс
и напряженности электрического поля изолирующей прослойки
кабеля £=30 кВ/см. Найдем, при каком соотношении диаметров
d/D жилы и оболочки можно передать наибольшую мощность И'.
Найдем также величину W, приняв диаметр наружной оболочки
D = 20 см (№ 5.8). Линия передачи обладает осевой (цилиндриче¬
ской) симметрией. Электрическое поле направлено по радиусу,
магнитное поле — по окружностям. Обозначим максимальные
значения на поверхности внутренней жилы: напряженность элек¬
трического поля £0 и напряженность магнитного поля Я0. Исполь¬
зуя теорему Гаусса (3, с. 65), теорему о циркуляции (3, с. 148)
и обозначая расстояние от оси г, радиус жилы г0 и радиус оболочки
R. получаем
£ = E,rjr = t//[rln(/0o)];
Я = HQrJr = 2I/(cr),
где U — разность потенциалов между обкладками конденсатора:
I — сила тока по внутреннему проводу (жиле) кабеля.
Для мощности тока имеем (3, с. 120)
N = IU = £0г01п(Л/г)Я0г0с/2 = (1/2)с£0Я0г0г1п(Л/г0).
То же самое соотношение получим, если воспользуемся векто¬
ром Пойнтинга (3, с. 482)
R
N = / \cE(r)H(r)/(4n)]2nrdr.
го
Условие максимума: dN/drn = 0, откуда 2г01п(£/г0) — г0 = 0, или
1п(£/г0) = 1/2 и R/r0 = D/d = е'п. В результате
N = (1/2)с£0Я0г021п(/?/г0) = (1/16)с£0Я0/)2А * 1,4 ГВт.
184
Generated by CamScanner
Поверхностный электрический ток и снижение внешнего маг¬
нитного поля до нуля внутри сверхпроводника происходит в узком
поверхностном слое. Задача о распределении тока у поверхности
сверхпроводника была решена Фрицем и Гейнцем Лондонами. Ха¬
рактерная величина слоя называется длиной проникновения, или
лондоновской длиной.
Найдем лондоновскую шину проникновения А для типичного
сверхпроводника с концентрацией сверхпроводящих электронов
п,с = Ю22 см 3 (№ 5.10). В электрическом поле напряженностью
Е движение электрона описывается вторым законом Ньютона
mds/dt = еЕ.
Так как и — это скорость дрейфа электронов под действием
электрического поля, которая мала по сравнению со скоростью их
кинетического движения, равной скорости ферми, то второй член
в выражении dv/dt= dv/dr + vdv/dx будет второго порядка малости
и им можно пренебречь.
Для плотности электрического тока имеем
i = nKes.
В результате получаем
Е = т/(пхг) (cj/dt).
Используя уравнения Максвелла (3, с. 466), находим
rotE = rot [ т/( пх£) ((%/df) ] = dim/in^TOlfi/dt = -(\/c)dB/dt,
или
d[m/(nxe1)Toti + (l/c)B]/dr = 0.
Так как внутри сверхпроводника нет ни магнитного поля, ни
токов, получаем
rotj = —пхе/{тс) В. (5.8)
Вводя вектор-потенциал (А) для магнитного поля (3, с. 160)
В = rotA, имеем
J = -пхе/{тс)К. (5.9)
Это аналог закона Ома (3, с. 118) для сверхпроводников.
Используя уравнение Максвелла (3, с. 466)
rotH = (4*/c)j + (1 /c)dD/dt,
13- ’89 IOC
Generated by CamScanner
п полагая, что в сверхпроводниках В ~ // и токами смещения мож¬
но пренебречь, а также учитывая математическую связь и (5.8),
получаем
rot rotB = graddivB — ЛВ = — 4кпнхг/(тс2)В.
Так как divВ = 0, то, вводя обозначение
Л= \тс2/(4ппе2)\'/2, (5.10)
находим
ДВ = В/А\ (5.11)
В случае однородного внешнего магнитного поля, параллельно¬
го плоской поверхности сверхпроводника, получаем
дгВ/д^ = Д/Л2. (5.12)
Здесь х — координата, направленная вглубь сверхпроводника
по нормали к его поверхности.
Решение представляет сумму экспоненциальных зависимо¬
стей. Возрастающая экспонента не подходит. В результате
В(х, /) = £((), t) е~х/л. (5.13)
Величина Л, определяемая (5.10), называется длиной проник¬
новения, или лондоновской длиной. При заданной концентрации
А = 0,53Т0-5 см.
Если магнитное поле направлено по оси г, то используя урав¬
нение (5.8), получаем плотность тока в направлении у, равную
j,(x, /) = с/(4лА)^(0, t)e-x/\ (5.14)
Для металла, описываемого моделью свободных электронов,
найдем отношение предельной длины прозрачности для электро¬
магнитных волн в нормальном состоянии к лондоновской глубине
проникновения в сверхпроводящем состоянии (№ 5.35). Имеется
в виду длина волн, которые проходят через металл. Для прохожде¬
ния волны должен быть действительный показатель преломления,
т. е. положительная диэлектрическая проницаемость (3, с. 523)
е = 1 - сор2/со2 где сор = (4лпе?/т)42. Частота волны со > о>р или для
длины волны, учитывая (5.10)
X < Хр = 2лс/сор = 2л(тс2/(4яле2)11/2= 2лЛ.
Найдем, какой максимальный ток течет по поверхности сверх¬
проводника I рода, находящегося во внешнем касательном маг-
186
Generated by CamScanner
нитном поле, если величина критического магнитного поля Ис —
= 400 А/см, а лондоновская глубина проникновения Л =
= 0,5-10 5 см (№ 5.15). О сверхпроводниках I и II рода будет сказа¬
но позже. Из (5.14) находим максимальную плотность тока
./max = сНс/(4пЛ) = 8-107 А/см2.
^СМ ^ИС‘ в^ говоРилось о захвате потока магнитного
поля ) сверхпроводящим цилиндром. По цилиндрической по-
электоонп«(Р гТ Г) ИДеТ Т°К /= Ne/T= Nevftlnr), где N- число
пеРи°Д обращения; и — их скорость. Энергию
электпонт< ЯГ° 10Ка можно записать как кинетическую энергию
с 16? 316)’ М0ЖН0 вь'Разить через поток магнитного поля (3,
Nmv-/2 = /Ф/(2с) = ЫеиФ/(4кгс).
Отсюда для потока магнитного поля получаем
Ф = 2nnwrc/e = 2 пргс/е, (5.15)
где р — импульс электрона; рг — момент импульса электронов, ко¬
торый по правилу Бора (5, с. 99) квантуется: pr= nh, где п — целое
число.
В результате для потока имеем
Ф = nhc/( 2е). (5.16)
Здесь учтено, что сверхпроводящий ток — это движение купе-
ровских пар с зарядом 2е.
Таким образом, получаем, что поток равен целому числу кван¬
тов потока магнитного поля
Ф0 = Ис/(2е) = 2,07-10'7 Гс см2. (5.17)
В 1962 г. Литтлом и Парксом была обнаружена осцилляционная
зависимость продольного сопротивления пленки сверхпроводника
толщиной d, нанесенной на диэлектрическую нить диаметром
D » d, от внешнего магнитного поля В, направленного вдоль
нити. Измерения проводились в области сверхпроводящего пере¬
хода при постоянной температуре пленки Г0. Зависимость сопро¬
тивления пленки от температуры в нулевом и конечном внешнем
магнитном поле показана на рис. 5.10, а. По результатам измере¬
ний была построена зависимость критической температуры плен¬
ки от магнитного поля (фазовая диаграмма), изображенная на
рис. 5.10, б. Используя обобщенную формулу квантования о-
13* 187
Generated by CamScanner
Рис. 5.10
pa—Зоммерфельда (pN, <Л) = 2дл//(рч 2м\\ ♦ 2с.\ с обобщен¬
ный ИМПуЛЬС Пары), обЪЯСПИМ ПОЛУМСННУЮ КИЧ 1C и м ос гь 7'.( в)
и вычислим диаметр нити, учитывая, чго глубина проникновения
Л(Г0) >> dy и поэтому эффектом квантования магнитного потока
можно пренебречь (№ 5.14). Так как Ач П и J чч ,\( /0). то можно
считать, что поле в диэлектрике равно внешнему. Используя фор¬
мулу квантования для движения сверхпроводящих электронов
в пленке, подобно (5.15), получаем
ф (ps, сЛ) = ф (2mv, + 2eA/chA * 2nnh, (5.18)
где А — векторный потенциал магнитного ноля (3. с. 160) и. соот¬
ветственно, В — rotA.
Так как скорость сверхпроводящих электронов постоянна по
величине и направлена по </1, то интеграл от первою члена 2nwtnD.
Для вычисления интеграла от второго члена воспользуемся теоре¬
мой Стокса
Adi — f rotAds ш f Bds - Ф. (5.19)
S S
В результате находим
vx = (л - Ф/Фа)Л/(т/>), (5.20)
гае
Ф ** nl?B/4 и Ф„ * лАс/с ■ Ае/(2е). (5.21)
188
Generated by CamScanner
Включение магнитного поля создает дополнительную плот¬
ность энергии сверхпроводника
Aw = птуГ,)2то;/2 + !f/(Hn)t (5.22)
где концентрация сверхпроводящих пар яг = д./2 (д„ — концен¬
трация сверхпроводящих электронов).
Чтобы обеспечить минимум полной энер/ии, квадрат скорости
электронов не должен превосходить некоторую величину и1т2. Это
достигается изменением п в (5.20). При п — 0 имеем — (Ф^/ф0)2 х
X tr/imD)1. При п = I получаем uj = (I - не-
прерывности ojm должно быть Фт - Ф„/2. Пользуясь соотношени¬
ем (5.21), получаем зависимость, изображенную на рис. 5.11. По¬
скольку |Aw| ~ &ЬА7С(/?), то периодическая зависимость и,2 приво¬
дит к периодической зависимости 7', а второй член /УУ(8л) в
(5.22) приводит к монотонному изменению 7, (штриховая линия
на рис. 5.10, в такого же вида, как
линия на рис. 5.6). Период осцил¬
ляций связан с «вхождением» (или
«уходом») кванта магнитного пото¬
ка АВп1?/4 = Ф„. Откуда I) =
= [4Ф0/(яД/?)|,/2. Из рис. 5.10, в
А В « 14 Гс. Следовательно, имеем
7)« 1,37*10'4 см.
Рассматривается тонкая пленка сверхпроводника I рода тол¬
щиной d « А, нанесенная на поверхность диэлектрической нити,
радиусом R » d. Сначала нить вносят в продольное магнитное
поле при комнатной температуре, а затем температуру нити пони¬
жают до температуры Тс. После этого внешнее магнитное поле вы¬
ключается. Найдем, как квантуется магнитный поток, захваченный
нитью с пленкой (N9 5.17).
При переходе пленки в сверхпроводящее состояние магнитное
поле из нее вытесняется. При этом по поверхностям пленки начи¬
нают течь круговые поверхностные токи. После выключения
внешнего магнитного поля магнитное поле остается только внут¬
ри диэлектрической нити (см. рис. 5.7). Плотность тока в сверх¬
проводящей пленке /, = где п« плотность сверхпроводя¬
щих электронов, п, — скорость центра масс пар. Линейная плот¬
ность тока id соответствует магнитному полю в диэлектрике (3,
с. 192)
В = 4 iy\d/c.
Рис. 5. И
Generated by CamScanner
189
Пользуясь условием квантования Бора—Зоммерфельда (5.18)
и (5.19), имеем
2rrr2nRjs/(nKe) + 2еФ/с = 2nnh,
где Ф = В л/?2.
Подставляя сюда js из предыдущего соотношения и пользуясь
(5.10) и (5.21), получаем
Ф = п Фц/[2\2/(Rd) + 1].
В соответствии с эффектом Мейснера внутри сверхпроводни¬
ка, помещенного во внешнее магнитное поле Я, поля нет {В — О,
т. е. имеем идеальный диамагнетик) и в соответствии с (3, с. 173)
для тонких длинных сверхпроводящих образцов (это необходимо
для однородности поля и намагниченности)
В = 0 = Н + 4лЛ/ или М = —Я/(4л), (5.23)
где М — намагниченность, создаваемая поверхностными токами.
На рис. 5.12 показано изменение намагни¬
ченности длинного цилиндрического по фор¬
ме сверхпроводника в зависимости от внеш¬
него поля, параллельного оси цилиндра.
Сверхпроводники, у которых при достижении
критической напряженности внешнего поля
(Яс) намагниченность падает до нуля (сверх¬
проводимость разрушается), называются
сверхпроводниками I рода. Имеются также
сверхпроводники II рода, для которых зависимость намагниченно¬
сти от внешнего поля имеет вид, показанный на рис. 5.13. Сверх¬
проводники II рода обладают сверхпроводимостью до напряжен¬
ности поля Яс2, которое называется верхним критическим полем.
Уменьшение намагниченности начинается при Яс|, которое назы¬
вается нижним критическим полем. Говорят, что между Яс1 и Яс2
сверхпроводник находится в вихревом (смешанном) состоянии,
когда в нем имеются трубки нормального проводника, окружен¬
ные токовыми вихрями. Вихри от¬
талкиваются друг от друга и обра¬
зуют регулярную систему. Поток
магнитного поля через трубки
квантуется и организуется таким
образом, чтобы энергия системы
была минимальной. Каждому вих¬
рю выгодно содержать только
190
Generated by CamScanner
пин квант магнитного потока (5.17). Нити нормального состоя¬
ния проводника называются флюксоцдами. Остов флюксоида на-
ноЯится в нормальном состоянии и имеет радиус порядка длины
когерентности. Решая уравнение Лондонов (5.11) для цилиндри¬
ческого случая, находим внутри трубки (£ < г < X)
Н = Ф0[1п(Уг) + const]/(2rcA,2)
и вне трубки (г > X)
Н= Ф0[пХ/(2г)У/2е~г/х/(2пХ2).
На рис. 5.14 показано распределение напряженности магнит¬
ного поля (рис. 5.14, д), плотности сверхпроводящих электронов
(рис. 5.14, б) и плотности тока (рис. 5.14, в).
л,
б
Для энергии остова (равновесная энергия, умноженная на
площадь сечения остова) имеем
Generated by CamScanner
191
Зс = Яе2я^2/(8я),
где Яс — термодинамическое критическое поде, определяемое и;
равенства Яс2/(8л) разности свободной энергии в нормальном
и сверхпроводящем состояниях в нулевом магнитном поле.
Эта энергия уменьшается из-за проникновения внешнего маг¬
нитного поля в сверхпроводящий материал, окружающий остов,
на величину
/Гвн = Я2лА.2/(8л).
Остов устойчив, пока эта величина больше энергии остова.
Приведем соотношения для определения нижнего и верхнего кри¬
тических полей
Яс1/яс * и (Яс|Яс2)|/2 * яе.
Длинный цилиндр из сверхпроводника II рода, у которого
нижнее критическое поле Яс1 = 400 Э, помешен в магнитное поле
Я= 500 Э, параллельно его образующей, и при этом его намагни¬
ченность составила половину того значения, которое было при
Яс1. Оценим среднее расстояние между вихрями магнитного потока
в поле Я (№ 5.21). В соответствии с (5.23) при Я = Яс| поле внутри
сверхпроводника отсутствует и 4пМ , = -400 Э. Если внешнее
поле возрастает, то в сверхпроводнике также растет и при задан¬
ном Я будет равно В = Н + 4кМ2 = Я + 4лЛ/,/2, откуда В = 300 Гс.
Поток через площадку в 1 см2 равен просто В, а число вихрей на
эту площадку В/Ф0. Расстояние между вихрями d « \/(В/Ф[)Уп »
а 2,6* 10-5 см.
В 1964 г. Крибье с коллегами с помощью упругого рассеяния
нейтронов на ниобии экспериментально подтвердил, что в сверх¬
проводниках II рода в магнитном поле В > В0 образуется треуголь¬
ная вихревая решетка Абрикосова. В опытах наблюдался максимум
первого порядка в отражении нейтронов с длиной волны X = 5 А
под углом 0 = 20’ по отношению к падающему пучку от плоско¬
стей, разделенных расстоянием И (высота равностороннего тре¬
угольника структуры). Найдем, в каком магнитном поле прово¬
дился эксперимент (N9 5.22). Число вихрей на площади S опреде¬
ляется из равенства BS= MPW. Отсюда плотность вихрей п- N/S =
- В/Ф0. Площадь равностороннего треугольника SA = d2(3)1/2/4,
где d — длина стороны треугольника. Каждый вихрь принадлежит
шести треугольникам. На площадь треугольника приходится 1/2
вихря. Плотность вихрей
192
Generated by CamScanner
" = N/S = ЙФ„ = (1/2)/$л = 2/|rf!(3)l/J).
Огсюла
В = 2Ф,/1</!-3,/1].
На рис. 5.15 показана картина отражения нейтронной волны.
Отражение Брегга Вульфа от ряда вихрей описывается соотно¬
шением (4. с. 1$9)
2/Tsina = /нХ,
где расстояние между отражающими рядами вихрей h = d-3|/2/2,
угол скольжения а = 0 2, т = 1 (по условию).
/ \
Рис. 5.15
Учитывая, что угол 0 мал, получаем
В * 3,/:ФО02/(2Х2) * 2430 Гс.
Найдем выражение для кинетической энергии Е электронов на
единицу длины вихря магнитного потока, проникающего в сверх¬
проводник II рода при Н > Яс1, считая заданными плотность
сверхпроводящих электронов п}с, глубину проникновения А и
длину когерентности ^ << А. Считаем, что вихрь занимает по ра¬
диусу размер от £ до А, а пары обладают минимально возможной
проекцией углового момента (№ 5.23). При ^ << г << А можно
пренебречь вторым членом под интегралом в (5.18). Поэтому
2mv(r)r = h (для минимального момента п = 1). Отсюда
u(r) = h/(2mr). (5.24)
Для кинетической энергии на единицу длины вихря
Л л
Е —J (2mv2/2)(niC/2)2nrdr =J trnw-2nrdr/(&mr2) =
= Л2лкл1п(ЛД)/(4т). (5.25)
Generated by CamScanner
193
Найдем магнитную энергию единицы длины вихря во внешнем
поде // N //(1, считая заданными плотность сверхпроводящих элек¬
тронов н,с н глубину проникновения А >> \ (длина когерентно»
сти). Считаем, что иихрь занимает по радиусу размер от \ до д
а пары обладают минимально возможной проекцией углового мо¬
мента. Получим выражение для //с, с помощью результатов преды¬
дущей задачи (№ 5.24). Используя выражение для магнитного мо¬
мента как произведение тока витка на его площадь, деленное на
скорость света (3, с. 142, 215) и результат предыдущей задачи
(5.24), а также выражение (5.10), находим магнитный момент еди¬
ницы длины вихря
л
А/ = (1/с)/ njicnr2dr/(mr) = ehnnS(A2/(4mc).
к
Магнитная энергия единицы длины вихря во внешнем поле
// в соответствии с (3, с. 245)
wm = -мн.
т
При И = //с1 поле в сверхпроводнике отсутствует (В — 0) и вих¬
рей нет. Используя (5.25), из условия Е + Wm — 0 получаем
Яс1 - ch 1п(ЛД)/(еЛ2) = Ф01п(ЛД)/(2тгЛ2). (5.26)
Для высокотемпературного сверхпроводника YBaCu307_6, где
5 < 1, критические поля //с1 = 103 Э и #с2 = 106 Э. Оценим глубин)
проникновения Л и длину когерентности ^ при 7’ = О К (№ 5.25).
Критическому полю Ис1 соответствует низкая концентрация вих¬
рей, и квант потока Ф() распределен в области размером ~ Л. Для
оценки полагаем Ф0 = tfcl7tA2, откуда
Л = [Фо/(я #С|)],/2 * 0,8-КГ5 см.
Для более точных оценок можно использовать (5.26).
При увеличении магнитного поля концентрация вихрей рас¬
тет. Исчезновение смешанной зоны и возникновение полностью
нормального состояния проводника происходит при расстояниях
между вихрями равном В результате
i
5 = 1Ф„/(*Яс2)Г. (5.27)
Подставляя числовые значения, находим £ » 3*10-7 см.
Плоская лента шириной b = 0,5 см из сверхпроводника II Рода
в смешанном состоянии помещена в магнитное поле В = Ю Тл.
Generated by CamScanner
J
// << В « Яс2, перпендикулярное по¬
верхности ленты (рис. 5.16). По ленте без
диссипации течет ток / = 10 А. При этом
вихри, удерживаемые структурными де¬
фектами сверхпроводника, неподвижны.
Вычислим силу Fy действующую на от- Рис. 5.16
дельный вихрь со стороны дефектов кри¬
сталла. Считаем, что ток / однородно распределен по образцу,
а вихревую структуру создают другие, независимые от / токи
(jsfe 5.27). Удерживание вихревых нитей дефектами в кристалличе¬
ской структуре сверхпроводника называется «пиннингом*. Для
этого размер дефекта должен превышать длину когерентности с,.
Чтобы вихрь пришел в движение нужно приложить силу, превы¬
шающую силу «пиннинга» F. Магнитное поле в вихревой нити (В)
взаимодействует с током, идущим по пластине, в соответствии
с законом Лоренца (3, с. 200)
F = (1 /c)qvB = (\/с)1М(1/М)В = (1 /с)1В1,
где / — длина ленты вдоль направления тока, приходящаяся на
один вихрь.
Для одного кванта потока имеем Bib = Ф0. В результате получа¬
ем
F = (\/с)1Ф0/Ь. (5.28)
Подставляя числа, находим F» 4Т0~7 дин.
Пластинка из сверхпроводника II рода расположена в магнит¬
ном поле Н (при Н> Яс1), перпендикулярном ее плоскости. Если
вдоль пластины пропустить ток плотностью], то в результате взаи¬
модействия с этим током вихри приходят в движение с конечной
скоростью и, определяемой силой трения (приходящейся на еди¬
ницу длины вихря) /\р = лv. Такое движение называется вязким те¬
чением вихрей. Найдем, какое электрическое поле появится
в сверхпроводнике (№ 5.28). Обозначим плотность тока j = ///>.
Из (5.28) следует:
F = (1/с)ЦФ0Ь Ф„ = hcB/(2eB). (5.29)
Отсюда и закона Лоренца (3, с.200) получаем, что скорость'
вихря v, создаваемая этой силой, образует правую тройку с векто¬
рами j и В. При равномерном движении вихря с этой скоростью
f = р в результате
;j и = (i/cj/Фо/л.
Generated by CamScanner
195
В системе отсчета, связанной с вихрем и движущейся со ско¬
ростью v, присутствует только магнитное поле В. В таком случае
в неподвижной системе (лабораторной) должно существовать (3,
с. 256) электрическое поле
Е = (1/с)|В, v|
(Е пар&а.пельно j). В результате
Е = (1 /с)иВ = OJB/(r\c2). (5.30)
Найдем эффективную проводимость сверхпроводника II рода
в режиме вязкого течения вихрей (№ 5.29). Используя (3, с. 118),
для эффективной проводимости получаем
1/а,ф = E/j = Ф0Я/(Пс2).
Так как при В = Нс2 проводник перейдет в нормальное состоя¬
ние и его проводимость станет нормальной стн, то в результате на¬
ходим
<*иФ = aJUB-
В сверхпроводниках II рода, находящихся во внешнем магнит¬
ном поле Нс2 > И> Нс], электроны в коре вихрей находятся в нор¬
мальном состоянии. Найдем, как зависит вклад этих электронов
в теплоемкость сверхпроводника от величины внешнего поля
и температуры, считая, что корреляционная длина не зависит от
температуры (№ 5.36). При внешнем поле равном Нс2 все электро¬
ны находятся в нормальном состоянии, расстояние между вихря¬
ми в соответствии с (5.27) равно и Фп = п^2Нс1. Доля нормальных
электронов будет уменьшаться линейно с уменьшением внешнего
поля. Для вклада нормальных электронов в теплоемкость получа¬
ем АС(//,Т) = С^(Т)Н/Нс2, где С, — теплоемкость нормальных
электронов, которая в соответствии с (3.14) пропорциональна
температуре.
Generated by CamScanner
Предметный указатель
А
Акустическая ветвь дисперсионной за¬
висимости 63
Акцептор 134
Б
Брегговское отражение 53
В
Взаимодействие фотонов с веществом
33
Вероятность заполнения состояний
(распределение Ферми; 93
Верхнее критическое поле 190
Вигнеровский кристалл 147
Вынужденные (индуцированные; пере¬
ходы 34
Г
Групповая скорость 59
Д
Дебаевская частота 67
Дисперсионный закон 57
Длина когерентности 173
Длина проникновения (лондоновская
длина) 185
Длина свободного пробега электрона
116
Донор 134
Дырка (вакансия) 133
3
Закон Дюлонгп и Пти 65
Закон Кирхгофа 8
Закон смешения Вина 25
Запрещенная зона 63, 133
Зона проводимости 133
И
Импульс Ферми 92
Индексы Миллера 48
Индексы направлений 49
Испускательная способность излучаю¬
щего тела 7
К
Квантование магнитного потока 187
Ква:-ггы 24
Классификация кристаллов 49
Комплексная дизлектр;гческа.? -т<:- -
иаемостъ проводника II;
Координационное чид~р 50
Коэффициенты Эйнд-теЯна 55
Кристаллическая ндгскгсть
Критическое магнитное пите i’i
Куперезская пара 1*2
Л
Ламбертоз источник ;
М
Модель Дебая 66
Модель свободных электронов 91
Модель Эйнштейна 66
Моды < нормальные колебания 5;
Н
Нижнее критическое пале 19*3
О
Обратная решетка 54
Оптическая ветвь дисперсионной за¬
висимости 63
П
Первая зона Бридлюэна 5"
• Пиннинг* 195
Плотность потока излучения S
Поверхность Ферми 95
Поглощательная способность тела ~
Полное число мод 66
Полуметалл 133
Полупроводник 133
Постоянная решетки 49
Приведенное волновое число 5"
Примитивная ячейка 47
Принцип детального равновесия 35
Р
Распределение плотности электронов
по энергии 93
С
Сверхпроводники I и N рода 190
Скорость звука 64
10'
Generated by CamScanner
Скорость Ферми 92
Собственный полупроводник 134
Средняя энергия 93
Т
Температура Дебая 65
Теплопроводность кристаллической ре¬
шетки 88
Толщина скин-слоя 120
Трансляция 46
У
Узловая линия 48
Ультрафиолетовая катастрофа 23
Упругая волна 64
Уровень Ферми 136
Ф
Фазовая скорость 59
Флкжсоид 191
Фонон 68. 81
Формула Ричардсона—Дэшмана 12б
функция распределения Планка 25
Ч
Число состояний электрона 92
Число фононов в интервале частот 68
Э
Электронная теплоемкость 94
Элементарная ячейка 46
Энергетическая шель 174
Энергия Ферми 92
Эффект Ааронова-Бома 168
Эффект Мейснера 177
Эффективное число уровней 135
Я
Яркость 8
Generated by CamScanner
Оглавление
f
j
Предисловие 3
Введение 5
1. Излучение 6
2. кристаллическая решетка. Фононы. Теплоемкость.
Теплопроводность 46
3. Электроны в металлах. Ферми-частнцы 91
4 Электроны в полупроводниках и низкоразмерных системах 133
5. Сверхпроводимость 172
Предметный указатель 197
*
Generated by CamScanner
Учебное издание
Корявое Владимир Павлович
Методы решения задач в общем курсе физики.
Строение вещества
Внешнее оформление: Н.Е. Ильенко
Компьютерная верстка: В.И. Щербак
Изд. № 068. Подл, в печать 04.01.13. Формат 60x88'/Бум. офсетная.
Гарнитура «Ньютон*. Печать офсетная. Объем 12,25 усл.печ.л.
12,75 уел. кр.-отт. Тираж 400 экз.
Заказ № 189
ООО «ТИД «Студент»,
109004, г. Москва, ул. Земляной Вал, д. 64, стр. 2, офис 717(31)
Тел.: (495)915-08-96, 649-93-71
E-mail: sales_student@mail.ru
ООО «Великолукская городская типография»
182100, Псковская область, г. Великие Луки,
ул. Полиграфистов, 78/12
Тел./факс: (881 1-53) 3-62-95
E-mail: zakaz@veltip.ru
Сайт: http://www.veltip.ru/
Generated by CamScanner