R&C

NOTES ON QUANTUM MECHANICS
A Cours Given by
ENRICO FERMI
at the University ef Chicage
The University of Chicago Press

Энрико Ферми
ЛЕКЦИИ
по
КВАНТОВОЙ
МЕХАНИКЕ
Издание второе
Перевод с английского
под редакцией
Н. В. Мицкевича
Научно-издательский центр
"Регулярная и хаотическая динамика"
Ижевск
2000

УДК 530.18
Ф 434
Ф 434 Ферми Э.
Лекции по квантовой механике. — Ижевск: НИЦ «Регуляр-
«Регулярная и хаотическая динамика». 2000. — 248 с.
Предлагаемая книга является конспектом лекций, прочи-
прочитанных знаменитым итальянским физиком Энрико Ферми сту-
студентам Чикагского университета. Этот курс представляет со-
собой предельно краткое изложение всей квантовой механики
(включая теорию электрона Дирака), причем содержащего ос-
основные математические выкладки полностью.
Блестящая научная индивидуальность Ферми проявляется
и в общей структуре курса, и в нетривиальном изложении от-
отдельных разделов математической физики, например, теории
гильбертова пространства.
Книга предназначена для студентов, аспирантов и полезна
для научных сотрудников и преподавателей.
© НИЦ «Регулярная
и хаотическая динамика», 2000

Содержание
Предисловие к американскому изданию 7
Лекция 1. Аналогия между оптикой и механикой 9
Лекция 2. Уравнение Шредингера 14
Лекция 3. Простейшие одномерные задачи 19
Лекция 4. Линейный осциллятор 23
Лекция 5. Метод Вентцеля —Крамерса —Бриллюэна .... 27
Лекция 6. Сферические функции 31
Лекция 7. Случай центральных сил 34
Лекция 8. Атом водорода 37
Лекция 9. Ортогональность волновых функций 45
Лекция 10. Линейные операторы 49
Лекция 11. Собственные функции и собственные значения 54
Лекция 12. Операторы материальной точки 61
Лекция 13. Принцип неопределенности 68
Лекция 14. Матрицы 71
Лекция 15. Эрмитовы матрицы. Задача на собственные зна-
значения 82
Лекция 16. Унитарные матрицы и преобразования 88
Лекция 17. Наблюдаемые 97
Лекция 18. Момент импульса 104
Лекция 19. Зависимость наблюдаемых от времени. Гейзен-
Гейзенберговское представление 108

6 Содержание
Лекция 20. Законы сохранения и сохраняющиеся величины112
Лекция 21. Стационарная теория возмущений. Метод Ритца120
Лекция 22. Случай вырождения и квазивырождения. Эф-
Эффект Штарка на водороде 130
Лекция 23. Нестационарная теория возмущений. Борнов-
ское приближение 134
Лекция 24. Испускание и поглощение излучения 140
Лекция 25. Теория спина Паули 147
Лекция 26. Электрон в центральном поле 152
Лекция 27. Аномальный эффект Зеемана 162
Лекция 28. Сложение векторов момента 165
Лекция 29. Атомные мультиплеты 172
Лекция 30. Системы тождественных частиц 179
Лекция 31. Двухэлектронная система (атом гелия) 186
Лекция 32. Молекула водорода 190
Лекция 33. Теория столкновений 195
Лекция 34. Теория свободного электрона Дирака 199
Лекция 35. Электрон Дирака в электромагнитном поле . . 209
Лекция 36. Электрон Дирака в центральном поле. Водородо-
подобный атом 214
Лекция 37. Преобразование дираковских спиноров 218
Комментарии 228

Предисловие к американскому изданию
Энрико Ферми читал курсы лекции по квантовой механике неод-
неоднократно. Еще в то время, когда только стали появляться в журнале
«Annalen der Physik» статьи Шредингера, Ферми разбирал их содержа-
содержание со своими студентами на неофициальных семинарах; позднее он дал
изложение нескольких статей Дирака в более привычной форме, отчас-
отчасти в дидактических целях. С течением времени его трактовка теории
и курсы становились все более систематическими; несомненно, должно
существовать какое-то количество конспектов его лекций, составлен-
составленных студентами Римского, Колумбийского и Чикагского университе-
университетов.
В начале 1954 г., менее чем за год до своей преждевременной кон-
чипы, Ферми снова прочел курс лекций по квантовой механике в Чи-
Чикагском университете. Однако на этот раз он лично подготавливал кон-
конспекты для слушателей, размножая записи основных положений лекций
на копировальном станке и раздавая их студентам перед каждой лек-
лекцией.
Следуя совету друзей и бывших учеников Ферми, мы решили вы-
выпустить эти конспекты в виде недорогого издания, с тем чтобы сделать
их доступными более широкому кругу студентов, а не только тем, кому
посчастливилось лично присутствовать на этих лекциях.
Мы надеемся, что молодые физики нового поколения, которые ни-
никогда не встречались с Ферми и для которых Ферми должен быть более
чем просто именем среди других имен великих ученых нашего века,
будут рады приобрести конспекты по столь важному предмету, как
квантовая механика, сделанные для них собственной рукой такого мас-
мастера.
Обрисовав происхождение этих заметок, нет нужды объяснять, что
их ни в какой мере нельзя рассматривать как окончательную трактов-
трактовку квантовой механики, какую Ферми мог бы дать в более отточенном
тексте. Гейзенберг, Паули, Дирак, де Бройль, Иордан, Крамере — если
упоминать лишь некоторых из создателей квантовой механики — все

8 Предисловие к американскому изданию
они дали свои собственные варианты изложения этой теории в кни-
книгах, пользующихся заслуженной известностью. Предлагаемые заметки
Ферми ни в каком отношении нельзя сравнивать с этими трудами. Дух,
в котором они написаны, и цели, которые они преследовали, в корне от-
отличны от духа и целей упомянутых книг.
Ферми в последние десять-пятнадцать лет жизни прочел едва ли
одну-две книги по физике. Тем не менее он стоял на переднем крае на-
науки, непосредственно получая информацию от исследователей и осмыс-
осмысливая ее по-своему. Практически с достоверностью известно, что при
составлении этих конспектов он не прибегал к помощи учебников по
квантовой механике, за исключением, быть может, очень немногих
пунктов. Если все же отдельные места в этом конспекте окажутся очень
близкими к тексту некоторых общепринятых учебников, мы должны
заключить из этого, что, обдумывая предмет заново, Ферми самостоя-
самостоятельно пришел к этим традиционным формулировкам, содержащимся
в его конспектах.
Мы повторяем, что эти конспекты были подготовлены только для
лекций и что их распространение за пределами учебных групп не входи-
входило в намерения автора. Лишь зная его большой интерес к преподаванию,
мы надеемся не погрешить против памяти Энрико Ферми, опубликовав
эти заметки с пользой для других студентов.
Беркли, Калифорния Э. Сегре
Январь 1960 г.

Лекция 1
Аналогия между оптикой и механикой
Между основными представлениями механики и оптики сущест-
существует глубокая и нетривиальная аналогия. Это обстоятельство дает воз-
возможность составить следующий «словарь», позволяющий переводить
утверждения механики на язык оптики и наоборот.
Словарь
Механика
Материальная точка
Траектория
Скорость V
Простой аналогии нет
Потенциальная энергия
функция координат:
U = U(x)
Энергия Е
В оптике
Оптика
Волновой пакет
Луч
Групповая скорость V
Фазовая скорость v
Показатель преломления (или
фазовая скорость v) как
функция координат
Частота v [в диспергирующей
среде v = v(u,x)]
= E(v).
A.1)
Разберем прежде всего следующее сопоставление:
Траектория = Луч
из принципа Мопертюи
Г VE-Uds = mm. A.2)
из принципа Ферма
|f = min. A.3)
Доказательство принципа Мопертюи. Варьируя интеграл A.2)
(в предположении его экстремума):

10 Лекция 1
пользуясь равенствами S ds = ^-Sdx, SU = -р—Sx, а затем прово-
ds ox
дя в первом слагаемом полученного таким образом равенства интег-
интегрирование по частям*, мы придем ввиду произвольности вариаций 8х1
внутри области интегрирования к уравнению экстремали:
1 dU
I Л/ Г<, I / I ^^
ds
Используя равенства
V
получим окончательно:
dt2 ax'
Отсюда следует справедливость принципа A.2), так как из него выте-
вытекают правильные уравнения движения.
Доказательство принципа Ферма. Заметим сначала, что оче-
очевидно следующее соответствие:
Самое правое из этих равенств констатирует минимальность числа
длин волн, укладывающихся на протяжении луча. Таким образом, опре-
определяемое принципом Ферма направление соответствует положительной
интерференции (главному максимуму), т.е. действительному направ-
направлению распространения света. Тем самым подтверждена вся серия ра-
равенств, включая самое левое — собственно принцип Ферма.
Из сопоставления принципов A.2) и A.3) следует, что
Траектория = Луч,
если выполняется соотношение
-J— = /И у/Е{у) - Щх), A.4)
v(v, х)
где f{y) и E(v) — произвольные пока функции частоты.

Аналогия между оптикой и механикой 11
Вид функций f(v) и Е(у) определим из условия, что скорость ма-
материальной точки
эквивалентна групповой скорости волнового пакета:
v = \А (е п
[dv \v
Вывод формулы для групповой скорости1. Волновой пакет,
гармоники которого укладываются в малом интервале частот, можно
представить как
а„ cos 2nv [ t у
Если все а„ > 0, то в точке х = О и t = О должна иметь место положи-
положительная интерференция всех гармоник (главный максимум). Найдем
теперь положение волнового пакета при любом t ф О, имея в виду, что
оно всегда определяется координатой его максимума. Для максимума
пакета справедливо равенство
v{v)
из которого следует, что t = х -у- ( ? • В духе нашей оптикомеханичес-
аи \ v I
кой аналогии эта связь между х и t эквивалентна равенству t = x/V.
Сравнение двух последних выражений дает формулу для групповой ско-
скорости
V dv\v{v))' к ' '
Вернемся теперь к условию эквивалентности скорости материаль-
материальной точки и групповой скорости волнового пакета. Его можно записать
в виде
, / \ /—
A.6)
dv\v{v)J V 2 y/E[y)-U{x)
1Подробнее о групповой скорости см., например, курс Д. И. Блохинцева, Основы
квантовой механики, М., 1962, стр. 35. — Прим. ред.

12
Лекция 1
Отсюда, используя условие A.4), получаем:
A.6а)
Рассмотрим полученный результат. Функция U{x) изменяется от точ-
точки к точке независимо от и; следовательно, величину \JE — U также
можно рассматривать как независимую переменную. Сравнивая коэф-
коэффициенты при одинаковых степенях >JE — U в уравнении A.6а), нахо-
находим условия
- Qp- = const, сле-
dv
— n I Hi — v ' arj
"U' *' - " 2 di/'
Первое из них дает vf(v) = const; тогда </тр = —s-
довательно, dE/du = const.
Введем обозначение %— = const = h; тогда Е = /ш+const. Положим
dv
здесь const = 0, выбрав подходящим образом начало отсчета энергии.
В результате имеем следующие формулы:
v) = 2m/hv,
hv 1
A.7)
A.8)
A.9)
Фазовая скорость A.9) определяет во всех точках значения показателя
преломления и дисперсию.
Перейдем теперь к циклической частоте и введем обозначения
2тг'
2тг'
A.10)
Окончательный результат.
A.11)

Аналогия между оптикой и механикой 13
Величину А называют дебройлевской длиной волны. Исследование явле-
явления дифракции материальных частиц позволяет определить Л, а следо-
следовательно, h и К. Приведем их численные значения:
h = 6,6252E) • 10~27 эрг ¦ сек [12МТ~г],
П = 1,05444(9) • 107 эрг ¦ сек [L2MT].
Константа h (или К) называется постоянной Планка.

Лекция 2
Уравнение Шредингера
Получим основное уравнение квантовой механики — уравнение
Шредингера. Выражение для фазовой скорости волны было найдено
в предыдущей лекции:
v = v{w,p) = ^=-j=k=. B.1)
Такая монохроматическая волна удовлетворяет уравнению
частное решение которого имеет вид
ф = ие =ие h ¦ B.2)
здесь по смыслу монохроматичности необходимо брать постоянную
частоту и>.
Функция ф представляет собой произведение двух функций: и,
зависящей от пространственных координат, и экспоненты, зависящей
только от времени. Подставив решение B.2) в волновое уравнение (а),
получим:
v2
или с учетом B.1):
о,™
¦ U)u = 0.
Заменяя ит с помощью соответствия
1 дф
сои-)- -4--KJ,
г at

Уравнение Шредингера 15
мы приходим к зависящему от времени уравнению Шредингера,
VV + ^^-f?^ = 0. B.3)
Перепишем его несколько иначе:
Заметим, что ф — комплексная функция*.
В случае решения B.2) мы имеем уравнение для стационарных
состояний
Еф=-^2ф + иф. B.5)
Это уравнение имеет смысл только для состояний с фиксированной
энергией** Е = Ьиз.
Уравнение непрерывности. Уравнению B.4) можно сопоставить
соответствующее уравнение непрерывности. Для этого запишем урав-
уравнение, комплексно сопряженное B.4):
Умножим B.4) на ф*, а B.6) — на ф и вычтем из первого второе:
0. B-7)
Представляется естественным дать следующее истолкование фи-
фигурирующим в уравнении B.7) величинам***:
ф*ф = \ф\2 = Плотность вероятности, B-8)
-.(ф*Уф — фУф*) = Плотность потока вероятности. B-9)
2тг
Нормировка. С точки зрения интерпретации величины B.8)
функцию ф следует определить так, чтобы
[\ф\2<1т= [ ф*фйт = \. B.10)

16
Лекция 2
Это в свою очередь приводит к следующим условиям:
а) вблизи сингулярной точки ф возрастает медленнее, чем г~^2;
б) на бесконечности ф стремится к нулю быстрее, чем г~ I'2. Ис-
Исключения из правила «б» будут рассмотрены позднее.
Обобщения. Рассмотрим ряд специальных случаев уравнения
Шредингера.
Точка на линии {одномерная задача):
дф п2 д2ф
или в стационарном случае [уравнение B.5)]
2ra dx2
Вращение вокруг неподвижной оси (А — момент инерции):
дф(а, t) _ tf д2ф(а, t)
dt ~ ~2A да2
или (стационарный случай)
B.11)
и(а)ф(а,Ь),
da2
B.12)
Точка на сфере (или «гантели») с фиксированным центром тяжес-
ти:
1 д
ъшвдв
. пЩ<Р,в,
дв
sin (9 дф
7Г7^> B-13)
где Л — угловая часть лапласиана в сферических координатах*. Полу-
Получаем:
t2A W(<P, в, t)
1 h dt '
или (стационарный случай)
.(if, в) = 0.
Здесь А — момент инерции (в случае точки А = тг2).
Au(tp, в) + ^ф(Е-
h
B.14)

Уравнение Шредингера
17
Система п материальных точек. Волновая функция берется в ви-
виде ф = i/>(t; xi, уг, zf, ... ; ,хп, уп, zn)
или (стационарный случай)
B.15)
Общий случай динамической системы. Для такой системы кинети-
кинетическая энергия (в обобщенных координатах) записывается в виде
Т = 2mikQiqk
B.16)
(по одинаковым индексам подразумевается суммирование). Определим
матрицу гпгк, обратную матрице то^, следующим образом:
т1ктц =
где бы = 1 при к = I и Ski = 0 при к ф1. Как известно,
т =
det[rrijk]'
где в числителе стоит алгебраическое дополнение элемента тц, а в зна-
знаменателе — детерминант матрицы rrijk- В дальнейшем обозначим
В таких обозначениях
,qn,t) =
запишется как
1 д
dqk
B.17)
B.18)
2 Э. Ферми

18
Лекция 2
а элемент объема — как
Aт = vS> dqi dq2 . ¦. dqn.
Уравнение Шредингера в этом случае принимает вид
B.19)
ih
at
или (стационарный случай)
Eu(qx, ... ,qn) = -
qn,
u ... , qn) + Uu(qi, ..., qn).
B.20)

Лекция 3
Простейшие одномерные задачи
Рассмотрим несколько частных случаев применения уравнения
Шредингера, не зависящего от времени,
и" + ^(E-U)u = 0. C.1)
а. Замкнутая линия1. Обозначим ее длину через а; пусть потенци-
потенциальная энергия U(x) = 0. Частные решения C.1) суть
и(х) ~ е V h . C.2)
Условие периодичности требует, чтобы функция и имела вид
и ~ е
.2тг ,
г— 1х
а
где / принимает любые целочисленные значения (положительные, отри-
отрицательные и нуль). Сравнивая это выражение с решением C.2), легко
определить Е:
5
та
Мы пришли к важному заключению. Значения энергии оказыва-
оказываются квантованными уже в этом простейшем случае! Нормированные
функции имеют при этом вид
-Л1х. C.4)
/а
хТакую линию можно рассматривать как отрезок прямой, введя топологическое
условие, заключающееся в том, что его начало и конец совпадают друг с другом,
откуда следует условие периодичности. — Прим. ред.

20
Лекция 3
б. Вращение вокруг фиксированной оси. Чтобы перейти к этому слу-
случаю, достаточно в предыдущем решении произвести замену
т —> А (момент инерции), а —> 2тг, х —> а;
тогда формулы C.3) и C.4) примут вид
= ^l2, Щ(а)=
C.5)
в. Потенциальный барьер бесконечной высоты. [Гра-
[Граничное условие вида U(x) = 0 при х ^ 0 и U(x) = оо
при х > 0 (рис. 1)] Чтобы найти решение при х > 0, мы
..,\ сначала положим, что потенциальная энергия конечна
и равна U(x) 3> Е при х > 0. Получим:
и
C.6а)
рис
х (решение с положительным знаком показателя экспонен-
ты мы отбросили, так как при х —> +оо оно расходится
быстрее, чем это допустимо). Теперь устремим U в точ-
точке х = 0 к бесконечности. На границе барьера (х = 0)
ML
и
-00.
Отсюда ясно, что на границе (х = 0) следует принять
= 0,
и = конечная величина.
C.66)
(З.бв)
г. Потенциальная яма с бесконечно высокими стенками (движение
в сегменте [0, а]). Потенциальная энергия U(x) = 0 внутри сегмента
и становится бесконечно большой на его концах. Следовательно, гра-
граничные условия для функции и(х) имеют вид м@) = и(а) = 0. Общее
решение уравнения
в этом случае можно представить как и(х)

Простейшие одномерные задачи 21
Граничное условие и@) = 0 исключает решение с косинусом; та-
таким образом, в нашем случае остается
и(х) ~ sin J^f х.
Граничное условие и(а) = 0 дает:
где п — любое положительное целое число. Следовательно,
^ C-6)
Здесь у/2/а — нормировочный множитель.*
д. Точка на бесконечной линии [U(x) = 0]
и"(х) + ^и(х)=0. C.7)
Решение этого уравнения имеет вид
и(х) ~ е V r2 . C.8)
Это решение ни при каком знаке в экспоненте не может быть обыч-
обычным образом нормировано! Существуют две возможности обойти это
затруднение:
1. Рассмотреть решение C.9) как предельный
случай задачи «а»:
при а -»¦ 00. Рис- 2- Энергети-
Энергетические уровни (для
квазинепрерывного
„ случая)
Энергетические уровни при этом квазинепрерыв- '
ны. Действительно (рис. 2), число уровней в интервале dE можно най-
найти следующим образом: расстояние (интервал энергий) между двумя

22
Лекция 3
соседними уровнями составляет
dE_
dl
2тгН . / 2
а то a
так что число уровней в интервале dE равно
2 ,р, _ _а^ /то dE
dE/dl ~ жН V 2 /Ё
(множитель 2 вводится для учета того, что / может принимать как
положительные, так и отрицательные значения). В предельном слу-
случае а —> оо мы имеем непрерывный спектр, допускающий все значе-
значения Е ^ 0.
Замечание. К этому же результату приводит предельный переход
а —> оо в случае «г».
Рис. 3. «Волновой пакет» Для функции ust
2. Альтернативная возможность: пусть резких дискретных энерге-
энергетических уровней нет, но вместо них имеются «размазанные» уровни,
соответствующие «размазыванию» волновой функции и(х) по интерва-
интервалу 5k вокруг точки к = ко, т.е. функция и представляется в форме
«волнового пакета» (рис. 3):
Щк(х) =
Л — I „ikx Jl, _ JL „ikx
J IX
Sk
= - Sill ^
Sk X I
Sk
Такое решение уже может быть нормировано при весьма малых 5к.
Тогда оно соответствует почти определенным значениям энергии. Об-
Обсуждение этого вопроса будет продолжено при рассмотрении принципа
неопределенности1.
1В конспекте соответствующей A3-й) лекции прямое обсуждение вопроса об
энергии такого волнового пакета отсутствует. — Прим. ред.

Лекция 4
Линейный осциллятор
В ряде областей физики и особенно в квантовой теории фундамен-
фундаментальную роль играет задача о линейном гармоническом осцилляторе.
Классически такой осциллятор реализуется в системе, лишенной тре-
трения и подчиняющейся законам Ньютона, если в этой системе действует
идеальная «возвращающая» упругая сила Гука (F = —тш2х).
Потенциальная энергия линейного осциллятора имеет вид
U(x) = ^Ч D.1)
и, следовательно, уравнение Шредингера записывается как
,2„,2 '
х) = 0. D.2)
п- \ /
Положим
/гт1, , 9 J71
^ / IHLU ^_Су /л о\
В этих обозначениях уравнение Шредингера принимает вид
-"^ + (?-С2)и(С)=0. D.4)
at,
Будем искать его решение в виде
<t) = v(Qe-t2'2. D.5)
Подставляя решение D.5) в уравнение D.4), приходим к уравнению для
функции г>(?):

24 Лекция 4
решение его представим в виде ряда по степеням ?:
гГ- D-7)
Подстановка этого выражения в D.6) дает рекуррентную формулу
для коэффициентов аг:
2г + 1 — е / л о\
аг+2 = /+1w +2л fflr, D.8)
откуда видно, что существуют два независимых решения, соответ-
соответствующих четным и нечетным г. При ? —> оо функция и ведет себя
как ехр ?2, если только не выполнено условие
е = 2п+1, D.9)
где п — любое неотрицательное целое число. Случай экспоненциальной
асимптотики недопустим с физической точки зрения1; в случае же D.9)
решение уравнения D.6) представимо в виде полиномов Эрмита как для
четных, так и для нечетных г.
Полиномы Эрмита. Рассмотрим некоторые свойства полиномов
Эрмита
Я°@ = -2 + 4?2, Я3@ = -12С + 8С3,... • DЛ0)
Общее выражение для полинома Эрмита n-го порядка
Убедимся в том, что это и есть общий случай решения уравнения D.6).
Подставив в него D.11), получим:
0 = 0, D.12)
что эквивалентно уравнению
I- A 4- 2п\ —
= 0. D.13)
1Такое решение (что совершенно неприемлемо) не поддается нормировке. —
Прим. ред.

Линейный осциллятор 25
При п = 0 уравнение D.13) удовлетворяется тождественно. Заметив
теперь, что при дифференцировании по ? тождество порядка п — 1 пе-
переходит в тождество порядка п, нетрудно применить метод индукции.
Приведем некоторые полезные свойства полиномов Эрмита.
Рекуррентное свойство: —" = 2n_ffn_i(?). D-14)
Доказательство.
Выражение D.14) эквивалентно уравнению D.13), если последнее
записать для п — 1.
+ ОО
Нормировка: / #?(?) е~? d? = л/ж ¦ 2™ • п\ D.15)
— оо
Доказательство проводится методом индукции. Для п = 0 спра-
справедливость D.15) очевидна. Используя D.11) и D.14), получаем рекур-
рекуррентную формулу
2п@ е-«2 d? = 2п
с помощью которой по индукции доказывается D.15).
+ ОО 2
Интегральное свойство: I Нп(х)е х еърх dx = гпл/ж ¦ рп ¦ е 4.
-L D-16)
Доказательство для п = 0 очевидно; для п > 0 оно проводится
методом индукции с учетом D.11).
Вывод. Нормированные собственные функции линейного осцилля-
осциллятора имеют вид
I t I ^^ -"nVsJ e , где ? — /
D.17)

26 Лекция 4
Для значений энергии Е получаем из D.3) и D.9):
Еп = Пи, (п + ±) . D.18)
Отсюда вытекает важный результат: энергия квантового линейно-
линейного гармонического осциллятора в принципе не может обращаться в нуль
(конечно, при отличной от нуля собственной частоте ш), причем мини-
минимальная энергия, соответствующая основному состоянию, равна Шо/2
(в классической теории энергия основного состояния — состояния по-
покоя — равна нулю). Возбуждение добавляет к энергии основного состоя-
состояния величину, составляющую целое кратное величины hu (квантование
энергии).

Лекция 5
Метод Вентцеля-Крамерса-Бриллюэна
Метод Вентцеля-Крамерса-Бриллюэна, называемый иначе квази-
квазиклассическим приближением, служит для приближенного решения не-
некоторых задач квантовой механики, позволяя определить первые члены
разложения волновой функции по постоянной Планка. ВКБ-метод при-
применим только в тех случаях, когда уравнение Шредингера допускает
разделение переменных, так что его можно взять в форме
^f[E-U(x)]u(x)=O. E.1)
Вводя обозначение
где V — классическая скорость, перепишем E.1) в виде
u"(x)+g(x)u(x)=0. E.2)
Первый случай, g(x) > 0. Используя подстановку
и{х) = eiv{x\ E.3)
запишем на основании E.2) уравнение для у(х):
У'2 ~ iy" = g- E-4)
Если в качестве первой прикидки взять у' (ж) и л/gjx), то будет иметь
место соотношение
У" g1
У
;ен
цию решения уравнения E.2) тогда, когда
следовательно, это предположение о виде у' дает хорошую аппроксима-
аппроксимаE.5)

28 Лекция 5
Теперь положим:
y'(x) = y/tfx) + e(x), E.6)
где добавка е(х) — малая, медленно меняющаяся величина (поэтому
членами в2, е' и в" можно будет пренебречь). Уравнение E.4) при под-
подстановке в него E.6) принимает вид
откуда е = i(g/&g); теперь интегрирование E.6) дает:
№)dx+\\n g(x). E.7)
Переходя к исходной волновой функции и(х), можно на основании E.3)
записать:
и(х) = eiy(x) х, 5__ eij\/g(v)dx. E.8)
Таким образом, одно приближенное частное решение уравнения E.2)
найдено; другое его решение запишется как
и{х) = е~1у{х) х Ц- e-ifVs(*)<i*. E.8а)
Очевидно, решением (приближенным) будет также вещественная ли-
линейная комбинация функций E.8) и E.8а)):
< sin / y/g(x) dx + const > .
I U 1)
и(х) ~ — < sin / y/g(x) dx + const > . E-9)
(g{x))b I U 1)
Это и есть искомое решение Вентцеля-Крамерса-Бриллюэна ВКБ-ре-
шение).
Замечание. Величина \и\2 ~ 1/^/g(x) ~ 1/V пропорциональна
времени, проводимому системой (в классическом смысле) в точке х.

Метод Вентцеля - Крамерса - Бриллюэна
29
Второй случай, g(x) < 0. Как и в случае g(x) > О, находим здесь
решение уравнения E.2) в виде
и(х)
для
0
E.10)
Рис. 4 иллюстрирует случаи g(x) > 0 и g(x) < 0: соответствующие
решения и, а также поведение U(x).
u(x)~sm(]4gix)dx+const)
-g(x)<0 ¦
Рис. 4
Сопряжение решений. Остается «сшить» полученные решения в
точках, где функция g(x) меняет знак. Мы воспользуемся для этой цели
следующей аналогией: уравнение
w"(x) + xw(x)=0 E.11)
по виду напоминает уравнение E.2) и имеет решение
w(x) =
E.12)
где J{x) — функция Бесселя, a N(x) — функция Неймана. Выбрав кон-
константы линейной комбинации E.12) так, чтобы при х —>¦ —оо решение
стремилось к нулю, получим следующую асимптотику:
при х
-сю,
w(x)
— sinua;
E.13)
7Г\
-т при ж ->¦ +оо.
4 /
Вывод. Сравнивая этот результат с ВКБ-решением E.9) и E.10),
можно заметить, что эти решения аналогичны друг другу, если на кон-
концах интервала, в котором g(x) > 0, добавить фазу тг/4. Этот прием
позволяет приближенно проследить поведение функции и(х).

30
Лекция 5
Обсуждение. Пусть g(x) > 0 между А и В и g(x) < 0 вне АВ
(Рис 5). ж п
фаза 04 л 2п Ъп \п Ъп
\J
Л Л
Рис. 5. К выводу условия квантования Бора-Зоммерфельда
Разность фаз между В и А равна
где п — число нулей волновой функции в интервале АВ. Так как пере-
переменная часть фазы, согласно E.9), равна J y/g(x) dx, условие сшивания
решений на интервале АВ (изменение фазы) имеет вид
А А
где р = mV — классический импульс.
Вывод. Мы пришли к условию квантования Бора-Зоммерфелъда,
pdx = 2irh (п+ | j .
E.14)
Замечание. При движении вдоль замкнутого контура имеет мес-
место несколько иное условие квантования, а именно
pdx = 2тгНп.
E.15)
Для движения на полном сегменте, ограниченном в точках А и В бес-
бесконечно высокими потенциальными стенками, получим:
dx = 2irh(n + l), E.16)
где п равно числу нулей волновой функции внутри сегмента1.
1См. также: Д. И. Блохинцев, Основы квантовой механики, М., 1961, стр. 121;
Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц, Квантовая механика, М., 1963, стр. 195 и далее.

Лекция 6
Сферические функции
Сферические функции в квантовой механике используются, как
правило, при решении уравнения Шредингера в случае центральных
сил (см. лекцию 7).
Полиномы Лежандра. Эти полиномы, определяемые дифферен-
дифференциальной формулой
на отрезке — 1 ^ х ^ +1 вводятся как решения уравнения Лежандра,
к которому приводит ряд физических задач:
A - ж2) Р/' - 2жР/ + 1A + 1)Р, = 0. F.2)
Нормировка полиномов Лежандра определяется интегралом
+1
э2(т) г1т — - 1(\ Ч)
Два свойства полиномов Лежандра.
1. Они образуют полную систему ортогональных функций:
+1
f P,(x)Pv(x)dx = 0 при 1ф1'. F.4)
-1
2. Полином /-го порядка выражается через полиномы низших по-
порядков рекуррентной формулой
1\ = Щ±хР1-1-1-=±Р1-2. F.5)

32 Лекция 6
С помощью F.1) вычислим некоторые полиномы:
Ро = I, Р± = х, Pi = 2 x — 2'
р ^^3_Н^ Р il^ ^4 _ К) 2 _|_ О /д рл
rz — 2 2 — 8 4 8' \и-и/
Альтернативное определение:
оо
I — V^ Р,(т\ г1 (п Т)
л/1 — 2гж + г2 ;=0
Здесь слева стоит производящая функция, а справа — ее разложе-
разложение по степеням переменной г @ < г < 1), причем роль коэффициентов
разложения играют полиномы Лежандра.
Сферические (шаровые) функции. С помощью полиномов Ле-
Лежандра строятся сферические, или шаровые, функции (сферические гар-
гармоники), определяемые как
21+1 (/-
F.8)
для то ^ 0 берется знак «+», для то > 0 берется знак (—1)т.
[Это правило можно записать короче так: нормирующая постоян-
постоянная в F.8) имеет знак (-1)(™+1™1)/2.]
Нормировка и ортогональность сферических функций определяют-
определяются равенством
Yl*mYl,m,tb> = 8w8mm.. F.9)
4тг
Дифференциальное уравнение для сферических функций получается
из уравнения Лапласа при применении метода разделения переменных;
оно имеет следующий вид:
AYlm + 1A + l)Ylm = 0, F.10)

Сферические функции
33
где Л — угловая часть оператора Лапласа,
11 - sin000 V I
Некоторые свойства сферических функций:
V2 (rlYlm) = 0;
V2 {г~1~^1т) = 0
F.11)
F.12)
везде, кроме начала координат (г = 0).
Полный лапласиан в сферических координатах (г, в, <р) имеет вид
F.13)
дг2 г дг г2
Разложение произвольной функции по шаровым функциям (сфери-
(сферическим гармоникам):
/@, <p) = Y^ CimYim(e, ip), Ctm = I f[0, <p)Y*m <ko. F.14)
4тг
Возможность такого разложения вытекает из свойств полноты и орто-
ортогональности системы сферических функции.
Явный вид некоторых сферических функций:
4тг
,o = \ т- cos^, У1>±1 =
Jj: sin^ • e±iv,
Y2,±i =
3 Э. Ферми

Лекция 7
Случай центральных сил
Важную роль в теории атома играют центральные силы; потенци-
потенциальная энергия в случае центральных сил зависит лишь от радиальной
координаты (если источник поля совпадает с началом сферической сис-
системы координат). Волновое уравнение при этом имеет вид
Перепишем его в полярных (сферических) координатах:
о и i 2 ои i 1 д „. i 2то гт71 тт/„\~\ „. п
Здесь Л — оператор, определяемый формулой F.11).
Разложим и(г, в, <р) по сферическим функциям:
G.3)
Суммирование охватывает все значения индексов п, I, то, но в кон-
конкретных случаях оно может сниматься, говоря формально, благодаря
специальному выбору коэффициентов разложения, входящих в Rni(r).
Подстановка этого разложения в уравнение G.2) дает:
Rni ¦^ Г 2 v dRni Rni K v \ 2to
+ Ъ \ Y + AYj +
E
Использовав F.10), придем к уравнению
i r ri
+ 2n±(E-U)Rnl\=0. G.4)
r

Случай центральных сил 35
Умножая его на Yj*m dto и интегрируя, получаем с учетом свойства F.9):
fc2 l{I -\- 1) I
hi — и (г) > tini = U. (J-5)
2то г I
Замечание. В этом уравнении уже не фигурирует число то.
В дальнейшем оно будет отождествлено с магнитным квантовым
числом. Не следует смешивать его с массой, обозначаемой той же бук-
буквой, но появляющейся всегда в характерных комбинациях [см., напри-
например, уравнение G.5)].
Важно, что каждому решению уравнения G.5) соответствует 2/ + 1
решений уравнения G.1). Сделаем полезное преобразование
Rni(r) = rvnl(r); G.6)
уравнение G.5) примет вид
<М + т^\е- U(r) - ^- Щ^-1 vnl(r) = 0. G.7)
Каждому состоянию (т.е. определенному значению /) принято сопо-
сопоставлять буквенное обозначение, именно
/ = 0 1 = 1 1 = 2 1 = 3 1 = 4 1 = 5 1 = 6
s p d f g h i
Позднее будет показано, что величина Ы равна моменту импульса М.1
Уравнение для двух материальных точек в поле централь-
центральных сил. Это уравнение имеет вид
где и = u(xi, X2), а г = \х2 — Xi\. Сделаем замену координат
х = Х2 — Х\ — относительные координаты двух точек,
v TOi Ж1 + ТО2 Ж2
X = ; координаты центра масс.
т,\ + то2 v v
G.9)
1Точнее, максимальному значению проекции момента на выделенную ось. —
Прим. ред.

36 Лекция 7
В новых координатах лапласиан распадается на два оператора:
V =~d? + df + ~d?' Vs='ox2 + dY2 + dz2'
причем
1 о 1 •> 1 о 1 о
G.10)
где m = mim2/(m,i + тг) — приведенная масса.
Уравнение G.8) приобретает вид
G.11)
Будем искать его решение в форме1
Подставляя этот вид решения в G.11) и производя обратное преоб-
преобразование Фурье, получаем:
V2w* + ^Р [??«„ - U(r)} wk = 0, G.13)
где
— приведенная энергия. Член (ftfcJ/2(mi + тг) представляет собой ки-
кинетическую энергию центра масс.
Вывод. Разделение координат на относительные и координаты
центра масс носит здесь такой же характер и приводит к такому же
разложению движения на движение центра масс и относительное дви-
движение пары частиц около друг друга, как и в классической механике!
1Это оправдано, так как координаты центра масс являются циклическими [не
входят явно в уравнение G.11)]. — Прим. ред.

Лекция 8
Атом водорода
В задаче об атоме водорода естественно пренебречь движением яд-
ядра; тогда вместо приведенной массы можно взять массу электрона т.
Волновое уравнение. Кулоновская потенциальная энергия элек-
электрона в поле ядра имеет вид
U = -
Ze2
(8.1)
где Z = 1 для атома водорода*. Запишем в этом случае уравнение G.7)
для радиальной волновой функции:
= 0.
Введем новые переменные
А =
Ze2
2т\Е\' " 2го\Е\
Уравнение (8.2) тогда приводится к виду
(8.2)
(8.3)
i.4)
где для Е > 0 берется знак «+», а для Е < 0 — знак «—». Выражение в
скобках удобно обозначить как g(x).
Графический анализ. Поведение g(x) изображено на рис. 6.
В случае Е < 0 решение v(x) имеет при х —> оо асимптотику ви-
вида v(x) —>¦ е±ж/2. Ввиду требования конечности волновой функции при
х —v оо мы должны отбросить решение е+ж/2; из этого дополнительного
требования вытекает, что возможны только дискретные значения Е.

38
Лекция 8
x)
/\
/ N
/
/
/ б
V—*—
\
sin
или
— —
X
2
X
2
X
Рис. 6. График функции g(x)
В случае Е > О решение г;(ж) —>¦ (ж/2) при х —ь оо, поэто-
v ; [cosj v ' ;
му дополнительных условий не требуется и, следовательно, возможны
любые значения Е > 0.
Случай ? < 0 (дискретные значения энергии). Уравне-
Уравнение (8.4) в этом случае имеет вид
v = 0.
Будем искать его решение в форме
3.5)
(8.6)
где у(х) — неизвестная пока функция, которую надлежит определить.
Подставив (8.6) в уравнение (8.5), имеем:
Это уравнение имеет два решения, причем их асимптотика следу-
следующая:
у(х —> 0) = < или
~1~х
. В этом
Второму [у(х) —ь х~1 при ж —>¦ 0] соответствует и(ж)
случае нормировка расходится в начале координат при I ) 1 и такое
решение неприемлемо. Решения этого типа при / = 0 также должны

Атом водорода 39
быть отброшены, ибо в этом случае и(х) ~ 1/г, т.е. содержит в начале
координат сингулярность типа
V2 ^ = -4тгД(г).
(Потенциальная энергия не имеет такой сингулярности!)
Итак, берем у(х —у 0) = xl+1. Решение уравнения (8.7) имеет вид
(8.8)
После подстановки его в уравнение (8.7) получим рекуррентную фор-
формулу для коэффициентов разложения (8.8):
s + I + 1 - А ,о ns
~s^ (я + 1)(я + 2/ + 2) s
В общем случае (8.8) представляет собой бесконечный ряд, слишком
быстро расходящийся на бесконечности: у(х) —у ех, т.е. и(х) —у ех12
при х —у оо. При этом функция и(х) ненормируема ни при каких зна-
значениях А, кроме
А = п = п' + I + 1, (8.10)
где п — целое число1. В этом случае бесконечный ряд вырождается в
полином. Из (8.10) и (8.3) находим:
п = 1 + 1,1 + 2, ..., (8.11)
2Н2п2
или в случае собственно водородного атома Z = 1
где
ROO=E1= 21,795 • 102 эрг = 13,605 эв = 109737,309A2) см'1.
1 Величина п, обычно называемая главным квантовым числом, играет важную
роль в классификации энергетических уровней атомов. — Прим. ред.

40 Лекция 8
Решение волнового уравнения выражается через полиномы Лагер-
Лагерра.
Полиномы Лагерра. Полином fc-ro порядка задается общей диф-
дифференциальной формулой
Lk(*) =exJri (хке~х)- (8.12)
Например,
Lq{x) = 1, L\{x) = 1 — ж,
?,2(ж) = 2 -4ж + ж2,
1,3(ж) = 6 - 18ж + 9ж2 - ж3,... .
В.13)
Дифференциальное уравнение Лагерра. Обозначим /(ж) = xk e х;
тогда (8.12) запишется как
Lk{x) = exf(k){x). (8.12а)
Очевидно соотношение xf'(x) = (к — х) /(ж); дифференцируя его к + 1
раз, получаем уравнение
xf{k+2) (ж) + (ж + l)/(fc+1) (ж) + (к + l)/(fc) (ж) = 0.
Но, согласно определению (8.12а), f^k\x) = e~x L^{x)\ подстановка в на-
наше уравнение дает:
xL'l{x) + A - x)L'k(x) + kLk(x) = 0. (8.14)
Это и есть дифференциальное уравнение Лагерра.
Нормировка. Производная j-ro порядка от формы (8.12) равна
Дифференцируя j раз уравнение (8.14), получаем уравнение второго
порядка для функции (8.15):
-^—:[хЬк'(х) + A — х)Ь'к(х) + кЬк(х)\ =
dx3
= xLkj)"(x) + (j + 1 - x)Lkj)\x) + (k- j)L(kj)(x) = 0. (8.16)

Атом водорода 41
Отсюда следует правило нормировки таких функций:
Итак, решение радиального уравнения G.7) найдено. Вернемся теперь
к задаче об атоме водорода.
Нормированные собственные функции. Полученное решение
выражается через шаровые функции и полиномы Лагерра. Частное ре-
решение имеет вид
Unlm = Rnl{r)Ylm{9, <?>),
И \ Br (818)
где
R Ar) ~ И"-*-1)' c-r/n. (\ L (
пКГ)"У34[( + 1)!]3 У] n+l \na
2 me2 Z' (8.19)
-^Ц = Боровский радиус = 0, 529171F) • 10"8сл
те
(массу ядра при этом считают бесконечно большой). Выпишем в явном
виде несколько собственных функций:
2 - -
и{1з) = —^- e~r/a, u{2s) = а е~г/2а,
л/тга3 4л/2тга3
(8.20)
ге-г/2а (- sin в -ег(р,
иBр) = ?—j= х { \/2cos0,
8V3 [
Замечание. Функции s-волны (состояния с / = 1) — единствен-
единственные, для которых и(г = 0) ф 0. Для них
«„.(г = 0) = -=±=. (8.21)
Полезно обсудить качественно спектр водорода и водородоподоб-
ных ядер (рис. 7) и характер вырождения энергетических уровней.

42
Лекция 8
Непрерывный
спектр
¦-Я/9 3s,3p
¦-R/4 2s,2p
-R Is
Рис. 7. Дискретный и непре-
непрерывный спектры атома водо-
водорода
Каждое состояние атома, харак-
характеризуемое определенными значениями
энергии и момента, помечают индекса-
индексами п, I. В общем случае каждому уров-
уровню с фиксированным главным кванто-
квантовым числом п соответствует п состоя-
состояний, различающихся квантовыми числа-
числами I = 0, 1, 2, ... , (п — 1). Такое вырож-
вырождение характерно лишь для случая куло-
кулоновского поля.
Каждое состояние с определенным /
вырождено 21 + 1 раз, так как ему со-
соответствуют различные значения маг-
магнитного квантового числа т = 0, ±1,
±2, ... , ±1. Таким образом, общая крат-
кратность вырождения стационарного состо-
состояния с данным квантовым числом п рав-
равна
Модифицированный кулоновский потенциал. Рассмотрим
случай «модифицированного» кулоновского потенциала, имеющего вид
Ч
(8.22)
Уравнение для радиальной волновой функции \g{x) < 0], соответству-
соответствующее уравнению (8.5), при потенциале (8.22) имеет вид
V" +
Если ввести обозначение
1 | А | 2A(i
4 х
/(/+1)
9
Го X
v = 0.
то это уравнение перейдет прямо в (8.5) (но вместо целого числа / здесь
фигурирует, вообще говоря, не целое число /'). Соответствующие соб-

Атом водорода 43
ственные значения определяются величиной
А = п' + I' + 1 = п' + 1 + I — (I — I') = п — (I — I') = п — ац
(п' — целое). Формула (8.11) записывается при этом следующим обра-
образом:
с, _ meiZ2
2H2(n-aiJ
Отсюда ясно, что отклонения формы поля от кулоновской, вообще го-
говоря, снимают вырождение (в рассмотренном случае лишь частично,
так как наряду с зависимостью от п появляется зависимость энергии
от /, но не от то).
Область положительных энергий. Рассмотрим собственные
функции водородного атома в области Е > 0. Радиальное уравнение
в этом случае имеет вид
R"(r) + ^Е'{г)Ы(е+^-)- 1-Ц^ } R(r) = 0 (8.24)
г [ h2 \ г ) г2 )
и имеет решения
R{r) = rleikrF(z), где к2 = ^Щ^-, z = -2ikr. (8.25)
Подстановка (8.25) в уравнение (8.24) дает уравнение для F(z):
¦ + B1 + 2 - z) ^ -A + 1- ia)F(z) = 0, (8.26)
az~ dz
где использовано обозначение
a=me2_ZL_ (8>27)
Решения уравнения (8.26) суть гипергеометрические функции
F(r) =F(l + l- га, 21 + 2, -2ikr). (8.28)
Определение и свойства их приведены на следующей странице.

44 Лекция 8
Асимптотические выражения для Rf.
Дг(г-Ю) =г\
r ->¦ 00) =
Bк)г|Г(/+1 + т)|
if /тг 1
х — sin < кг + а 1пBкг) —=— arg Г > .
кг { I )
Для / = 0, например,
(8.30)
оо) =
f^sm{kr + a
LL It ~\ %Gi) fv f
где
Г(п) = (п-1)!,
т)|2 =
-л-а _ g-я-а'
g-ла _ g
(8.31)
ГA + z) • ГA - z) = -I
TTZ
smnz
Гипергеометрические функции. Первые члены разложения ги-
гипергеометрической функции в степенной ряд имеют вид
Определение. В общем случае гипергеометрические функции по
определению удовлетворяют уравнению вида
zF"(z) + (b- z)F'(z) - aF(z) = 0. (8.33)
Асимптотика. Если b — целое число, аг — чисто мнимая вели-
величина, то асимптотика F(z) записывается следующим образом:
F(z -+ гоо) = -Ж-(-г)- + ^\z»-b • ег. (8.34)
1 (о — а) 1 (а)

Лекция 9
Ортогональность волновых функций
Проблема ортогональности волновых функций — решений волно-
волнового уравнения — в трехмерном и одномерном случаях имеет ряд осо-
особенностей; поэтому их целесообразно рассмотреть отдельно.
А. Одномерный случай. Волновые функции (без зависимости
от времени) имеют вид щ = щ(х). Произведем следующие очевидные
операции:
ч . У.ТП г-ж—i -г т / \л л.
Uk
-Щ (9.1)
- Щи'1 = -Ни*и{ - щи'к) = 4?(Ек - Е,)ики,.
ах /j
Проинтегрируем обе части этого равенства на отрезке аЪ:
ъ
- щи' Ь = Щ.(Ек- ЕЛ икщ dx. (9.2)
Н2 J
а
Обычно ик, щ —> 0 при х —у ±00. Устремляя пределы а и Ь в (9.2)
к бесконечности, а —ь —оо, Ь —ь +оо, получаем:
+ О0
0=^(Ек-Е,) ukuidx. (9.3)
— оо
Обсудим другие типы граничных условий.
Периодическое движение [граничное условие вида и(х) = и(х + г)]:
О = (Ек - ЕЛ ф икщ dx. (9.4)
Движение в сегменте (бесконечно большой потенциал в точках а
икщ dx. (9-5)
шЬ):
) /

46 Лекция 9
Общий случай. Очевидно, в общем случае можно записать
О = (Ek - Ei) ( щик dx, (9.6)
где интегрирование проводится по всей области определения решения.
При Ek ф Ei из (9.6) следует, что
О = / икщ dx. (9.7)
Это означает, что два независимых решения волнового уравнения
(к ф I) ортогональны друг другу, так как их скалярное произведе-
произведение (9.7) обращается в нуль.
В одномерных задачах, как правило, каждому собственному зна-
значению энергии Ek соответствует одно решение (с точностью до посто-
постоянного множителя). Если собственные функции нормированы, то
f
J
Л X X I1 ПРИ к = I, ,
uku, dx=Skl, 4, = |0 при кф1 (9.
В этом заключается свойство ортонормированности волновых функ-
функций.
Разложение произвольной функции. Всякую непрерывную функ-
функцию f(x) можно разложить в ряд по собственным функциям системы.
Разложение имеет вид
f(x) =^2ckUk(z), ck= f(x)uk(x)dx. (9.9)
(Интегрирование проводится по всей области определения независимой
переменной х.)
Б. Трехмерный случай. Собственные функции щ в этом случае
зависят, вообще говоря, от всех трех пространственных переменных.
Аналогично предыдущему имеем:
«,= 0
Uk
(9.10)
-щ
= ^{Ек - Еь)икщ (9.11)
n

Ортогональность волновых функций 47
Проинтегрируем (9.11) по трехмерной области определения т, ограни-
ограниченной замкнутой поверхностью а (п — внешняя нормаль к ней), при-
применяя теорему Гаусса-Остроградского:
Обычно решение выбирается таким, что на границе области интегри-
интегрирования, т.е. на поверхности а. функции м*, щ —> 0; при этом (9.12)
принимает вид
0 = (Ек - Ei) ( икщ dr; (9.13)
т
в случае Е/. ф Ei
I
(9.14)
Когда каждому собственному значению энергии соответствует одна
и только одна собственная функция, т. е. если ни одно состояние систе-
системы не вырождено, нормировка на единицу дает:
икщ dr = Ski- (9.15)
Этим соотношением определяется ортогональность полной системы
(нормированных) собственных функций невырожденной системы.
Случай вырождения. И в этом случае возможно выбрать базис
в гильбертовом пространстве (систему независимых функций) таким
образом, чтобы соотношение (9.15) сохраняло силу.
Волновые уравнения вида (9.10) представляют собой линейные диф-
дифференциальные уравнения. Если данному значению Е соответствуют
несколько собственных функций «,-, то можно составить линейную ком-
комбинацию этих функций; полученная функция также будет решением
исходного уравнения, соответствующим тому же собственному значе-
значению Е.
Пусть, например, Ei = E2, а щ существенно не равна г*2- Норми-
Нормируем Mi на единицу и выберем ее в качестве новой собственной функ-
функции: u"ew — «1. Вместо 1*2 возьмем сначала «промежуточную» функцию

48 Лекция 9
вида
1*2™* = 1*2 — Ml / Ml 1*2 d,T.
«Промежуточная» м2п< ортогональна к функции щ; действительно, бла-
благодаря единичной нормировке и\
/ MiM2ni dr = U1U2 dr — i I u\dr\ • U1U2 dr = 0.
Используя теперь введенные функции
unew _ fJOpMHpOBaHHaH Ml;
unew _ Нормированная иг2п1,
получаем две функции, удовлетворяющие равенству (9.15) — свойству
ортогональности.
Вывод. Даже в тех случаях, когда имеет место вырождение, воз-
возможно и удобно выбрать такой функциональный базис, в котором удов-
удовлетворяется требование ортогональности (9.15).
Укажем трехмерный аналог разложения (9.9):
f{x, у, z) = ^2ckuk{x, у, z), ck= Ukfdr. (9.16)
Важные моменты.*
а. Полнота системы собственных функций.
б. Роль комплексных решений.
в. Решение зависящего от времени уравнения Шредингера.
Решение волнового уравнения, не зависящего от времени (стационарные
состояния), вообще говоря, следует умножить на экспоненту, являющуюся
решением уравнения дф/dt = —(i/h)Eip. В общем случае состояние с не-
неопределенной энергией (смесь состояний) описывается, как обычно, линейной
комбинацией вида
^(х, у, z). (9.17)
к
г. Смысл |сй|2.

Лекция 10
Линейные операторы
1. Функции задаются на многообразии. Примерами многообразий
могут служить числовая ось х (одномерное пространство), трехмерное
пространство чисел х, у, z, точки на поверхности сферы, конечный
набор точек и т. д.
2. Функции можно интерпретировать как векторы в пространст-
пространстве. При этом пространство может иметь конечное или бесконечное чис-
число измерений (гильбертово пространство).
3. Оператор.
В общем случае оператор О определяет правило получения функ-
функции g из функции /:
g=6f. A0.1)
Операциям возведения в степень, возведения в степень с после-
последующим умножением на число, однократного и многократного диффе-
дифференцирования, умножения на некоторую функцию и т. д. можно сопо-
сопоставить соответствующие операторы. Тогда действие оператора О на
функцию / будет давать функции g.
Например: g=f, g=3/3, g=df/dx, g=d2f/dx2, g= Gx2 + l)f
и т.д.
Важно, что существует единичный, или тождественный, оператор,
обозначаемый как 1 или 1, действие которого на функцию дает функ-
функцию, тождественно равную исходной:
g=lf = f, (Ю.2)
т.е. единичный оператор оставляет функцию неизменной.
4. В квантовой механике важную роль играют линейные операто-
операторы, определяемые свойством
3(af + bg) = adf + bdg, A0.3)
где а и b — постоянные коэффициенты.
4 Э.Ферми

50 Лекция 10
Примерами линейных операторов могут служить:
единичный оператор: 0 = 1;
оператор умножения на число 3: О = 3;
оператор умножения на функцию 7х2 + 1: О = 7х2 + 1;
операторы дифференцирования: О = d/dx и О = d2/dx2.
Напротив, оператор, сопоставляющий некоторой функции ее куб,
не является линейным оператором. Начиная с этого момента в даль-
дальнейшем будут рассматриваться только линейные операторы.
5. Сумма (разность) линейных операторов определяется как опера-
оператор С = А±В, действие которого на / эквивалентно сумме (разности)
результатов действия на / операторов А и В:
Cf={A±B)f = Af±Bf. A0.4)
Свойства коммутативности (перестановочности) в сложении
А + В = В + А,
ассоциативности
А+ф + С) = (А + В) + С
и т.д., очевидно, присущи линейным операторам.
6. Умножение оператора на число эквивалентно умножению на это
число результата действия оператора:
(aA)f = a(Af). A0.5)
7. Произведение двух линейных операторов А и В, очевидно, обла-
обладает сочетательным (ассоциативным) свойством
(AB)f = A(Bf) A0.6)
и свойством дистрибутивности
Аф + С)=АВ + АС. A0.7)
Перестановочное свойство умножения в общем случае не имеет
места:
АВ ф В А,

Линейные операторы 51
т. е. два линейных оператора л и В в общем случае не коммутируют.
Например, оператор умножения на х, т. е. А = х, и оператор однократ-
однократного дифференцирования В = d/dx не коммутируют. В самом деле,
OS)/=(,?)/ = ,|.
8. Коммутатор, или перестановочное соотношение, для операто-
операторов А и В обозначается как
[А, В]=АВ- В А. A0.8)
Коммутатору, очевидно, присуще следующее свойство:
[А, В] = -[В, А]. A0.9)
В качестве примера можно взять играющее важную роль в кван-
квантовой механике перестановочное соотношение
[?, х] = 1, (ю.ю)
в справедливости которого нетрудно убедиться непосредственно.
9. Степени операторов определяются как операторы, дейст-
действие которых эквивалентно последовательному действию оператором-
основанием на данную функцию столько раз, сколько указано в пока-
показателе степени:
Ап f = А[А... А(А f)]; A0.11)
п
например, для л = d/dx
Т2 _ а лп _ а
"da;2'""' "da;""
Очевидны следующие свойства степеней операторов:
дп+т = дп . дт^ A0.12)
[Ап, Ат] = 0. A0.13)

52 Лекция 10
[Формула A0.13) означает, что любые две степени одного и того же
оператора коммутируют между собой.]
10. Оператор, обратный А, обозначим как А~х.
А~х оказывается определенным только тогда, . .
когда уравнение Af = g разрешимо относитель- ^ ' '
но /. Тогда, по определению, / = А~х g.
Укажем свойства обратного оператора:
иначе говоря,
АГ1-!^!, A0.15)
где 1 — оператор тождественного преобразования (т. е. единичный опе-
оператор).
В тоже время (АА~1)g = А[А~гg) = Af, т.е.
ЛМ = 1. (Ю.16)
Из A0.15) и A0.16) вытекает, что
[А, А.-1] = 0. A0.17)
11. Функции операторов. Формальное определение: пусть имеют-
имеются некоторая аналитически заданная функция Fix) [например, Fix) =
= sin x, Fix) = еах, Fix) = х2Ц1 — х) и т. д.] и оператор А. По аналогии
с разложением в ряд Тейлора этой функции определим F(A) как
о
пользуясь тем обстоятельством, что понятия суммы и степени опера-
операторов уже были введены. Заметим, что это определение не всегда имеет
смысл.
Пример 1. Для оператора А = d/dx разложение экспоненты имеет
вид
= 1 + «# + ^^ + ... = ^а"^
n! dx1

Линейные операторы
53
отсюда
Таким образом, получается оператор сдвига аргумента функции.
Пример 2. Для оператора А = х (оператора умножения на х)
F(A) = F(x), A0.20)
т.е. получается оператор умножения на F(x).
12. Функция двух (или более) операторов. Попытаемся обобщить
равенство A0.18) следующим образом:
F(A,B)=
п! то!
где
dn+mF(x, у)
дхпдут "
A0.21)
Это определение, однако, неоднозначно, если только операторы А и В
не коммутируют между собой: действительно, для некоммутирующих
операторов
РвфАВАфВА2.
Иногда в случаях, подобных данному, можно произвести симметриза-
симметризацию произведений операторов, положив, например,
АВ
АВ + ВА
A0.22)
и т.д.

Лекция 11
Собственные функции и собственные
значения
Задача на собственные значения. Вообще говоря, эта задача
заключается в том, чтобы исследовать и решить уравнение вида
Аф = аф, A1.1)
где А — линейный оператор, а — число, ф — функция, т.е. найти
класс таких функций, действие данного оператора на которые сводит-
сводится к умножению их на число. Эти функции называют собственными
функциями данного оператора.
Обычно функция ф считается регулярной и однозначной. Типичное
ограничение, накладываемое на такую функцию ф, — это требование
конечности ф повсюду, в том числе и на бесконечности. В случае огра-
ограниченных полей — замкнутых систем (например, на сегменте) — гра-
граничное условие есть обращение функции ф в нуль на границе. Вообще
говоря, решения уравнения A1.1) существуют только для специальных
значений а, называемых собственными значениями оператора А:
Афп = апфп, A1.2)
где ап — собственные значения, а фп — соответствующие им собст-
собственные функции.
Пример. Не зависящее от времени уравнение Шредингера
= Еф A1.3)
приводит к задаче на собственные значения Еп для оператора полной
энергии Е = (Й2/2то)У2 + U, которым соответствуют собственные
функции фп.

Собственные функции и собственные значения 55
Вырождение. Собственные значения называются невырожденны-
невырожденными, когда каждому из них соответствует (с точностью до постоянного
множителя) лишь одна собственная функция фп. В противном случае
собственные значения называются вырожденными (двухкратно, трех-
трехкратно и т. д.).
Ортогональность собственных функции. Пусть ai, аг, ...
... , ап, ... — все собственные значения оператора А в A1.2) (коли-
(количество совпадающих друг с другом собственных значений характери-
характеризует кратность вырождения). Далее, пусть фх, fat ¦ • ¦ •> "Фт ¦ • ¦ — со-
соответствующие собственные функции. Согласно лекции 9, функции фп
образуют ортогональную систему функций для уравнения A1.3), если
в качестве А взять оператор полной энергии (гамильтониан) системы.
Определение 1. Скалярным произведением функций / и g назы-
называется выражение
J*f- (П.4)
[Отметим, что (g | /) = (/ | g)*-] Здесь знак интеграла в зависимости
от характера функций fug означает либо просто интеграл по dx, либо
тройной интеграл по dr = dx dy dz, либо вообще сумму по всем точкам,
в которых определены обе функции.
Определение 2. Функции fug ортогональны, если
(g|/) = 0, т.е. yV/ = O. A1.5)
Вопрос. При каких условиях собственные функции уравнения
A1.2), соответствующие различным собственным значениям, будут ор-
ортогональны между собой?
Ответ. Для этого необходимо и достаточно, чтобы оператор А был
эрмитов, именно:
Эрмитовы операторы.
Определение 3. Оператор А называется эрмитовым, если выпол-
выполняется равенство
(g\Af) = (Ag\f) или Jg*Af = j(Agyf. A1.6)

56
Лекция 11
Примеры эрмитовых операторов:
' г дх1 ' 2то '
(для реализации эрмитовости этих операторов, вообще говоря, необхо-
необходимы соответствующие граничные условия).
Лемма. Если оператор А эрмитов, то форма (f | Af) ве-
вещественна.
A1.7)
Доказательство.
На основании свойства (g \ f) = (/ | g)* и определения A1.6) имеем
(/ | Af) = (Af \f) = (f\ Af)*, A1.7')
что и требовалось доказать.
Теорема 1. Если оператор А эрмитов, то все его собст- (И-8)
венные значения действительны.
Доказательство.
Исходим из уравнения A1.2) Афп = апфп обе части которого ум-
умножаем слева скалярно на фп:
(ф„ | Афп) = а„(ф„ | фп);
пользуясь теперь свойством A1.6), получаем:
(Фп | Афп) Действительное
ап =
(Фп | Фп) Действительное
что и требовалось доказать.
= Действительное,
Теорема 2. Если оператор А эрмитов и собственные зна-
значения ап и ат различны, то соответствующие собственные
функции взаимно ортогональны.
A1.9)

Собственные функции и собственные значения
57
Доказательство.
Следующие операции очевидны:
~ / Фп
Афп = апфп ,
^ (вспомним, что собственные значе-
Афт = атфт ния эрмитовых операторов вещест-
- венны: а*т = ат\)
{Афт)* = атф*т
/¦~~ f ^ I'
ф*т(Афп) - (A^m)*^n = (ап - ат) гф^Фп = (ап ~ а
= (ап ~ ат)(Ф
Левая часть полученного равенства равна нулю ввиду эрмитовости опе-
оператора А (то ф п); следовательно,
так что при ап ф ат
(а„ -ат)(фт | фп) = О,
(Фт \Фп) = ФтФп = О,
A1.9')
что и требовалось доказать.
Квазитеоремы.
Если произведение (/ | Af) вещественно для всех функций f,
то оператор А эрмитов [теорема, обратная лемме A1.7)].
Если все произведения фп \ фт равны нулю для всех ап ф
Ф ат, то оператор А эрмитов [теорема, обратная теоре-
теореме A1.9)].
Эти теоремы будут разъяснены позднее.
A1.10)
A1.11)
Нормированные ортогональные собственные функции.
Если А — эрмитов оператор, причем
ai, иг, ... , ап, ... — собственные значения А,
¦01, ф-2,1 ••• 1 Фп-, • • • — собственные функции А,
то любая фТ ортогональна любой "фв при аг ф as.
Если же имеет место вырождение (ar = as), то следует
применить процедуру, описанную в лекции 9 на стр. 47.
A1.12)

58 Лекция 11
Нормировка. Общий метод нормировки функций состоит в следую-
следующем. Каждая функция фп делится на \/{фп \ Фп)- После того как все фп
поделены, для новых фп справедливо равенство
(Фг | */>.) = Srs. A1.13)
Квазитеорема. Разложение «произвольной» функции f no собст-
собственным функциям фп содержит в качестве коэффициентов произведе-
произведения вида (фп | /):
^V>n, Сп = (фп\Л, A1-14)
п
иначе говоря, имеет место тождество
?> A1.15)
Справедливость этого утверждения будет показана позднее. Ес-
Если тождество A1.15) верно для всех функций /, то систему функ-
функций A1.12) называют полной системой ортогональных нормированных
функций (полной ортонормированной системой).
Полная система ортонормированных функций.
В конце лекции 9 уже говорилось о понятии полноты системы функ-
функций; к этому здесь следует добавить лишь соображения ортогональнос-
ортогональности и нормировки.
Определение. Среднее значение А оператора А относительно
функции ф равно
(ф | ф)
Пример. Если А = х, а функция ф нормирована на 1, то
х= [ф*хфа1т= ('х\ф\2а1т. A1-17)
Следовательно, статистический вес, использованный при усреднении
координаты х, равен l^l2.
Теорема. Среднее значение эрмитова оператора представляет со-
собой действительное число.
Доказательство следует из соотношений A1.7) и A1.16).

Собственные функции и собственные значения
59
Квазитеорема. Если среднее значение оператора относительно
всех функций вещественно, то этот оператор эрмитов.
Справедливость этой теоремы будет показана позднее; она просто
следует из свойства A1.15).
Дополнение: й-функция Дирака. По определе-
определению, J-функция Дирака обладает следующими свойст-
вами
*.
5(х) dx = 1,
A1.18)
когда интервал интегрирования включает точку
х = 0; в противном случае J д(х) dx = 0 (рис. 8). Мож-
Можно определить J-функцию Дирака и с помощью пре-
предельных переходов
или
ё(х) = lim М
пvrv-i V "
S(x) = lim
A1.19)
Рис. 8. Нагляд-
Наглядное представле-
представление E-функции
Дирака. Пло-
sin аз; /п 20) ЩаДь, ограни-
7ГЖ ' ченная кривой,
равна единице:
и др. * '
высота пика
Эти определения отражают также свойство чет- ,
ности ^-функции.
Перечислим некоторые основные свойства 8-
функции. Прежде всего
+ О0
/
f(x)S(x - a) dx= f(a).
A1.21а)
Взяв теперь производную от обеих частей равенства A1.21) по а, полу-
получим другое свойство:
f(x)S'(x — a) dx = f'(a).
Пользоваться осторожно!
A1.216)

60 Лекция И
Запишем теперь фурье-разложение ^-функции:
+ О0
8(х) = ± I eikxdk. A1.22)
— оо
Нетрудно видеть, что фурье-образ этой функции равен 1. По прави-
правилу A1.15) разложим J-функцию в ряд по собственным функциям неко-
некоторой задачи:
8(х -x') = Y, (Фп(х)\8(х - х'))фп{х);
п
учитывая A1.21), получаем:
Я(т — т'\ — \ Л ,/,* (t'\iI) (т\ (Л 1 9Ч\

Лекция 12
Операторы материальной точки
Простейшей физической системой является материальная точка.
Ниже рассматриваются некоторые операторы для этого случая.
Запишем шесть операторов, действующих на функцию ф(х, у, z):
Ж; У Z; 1Тх =
hd_
i ду
Пд_
i dz
= Pz]
A2.1)
все шесть операторов эрмитовы. Выяс-
Выясним, как они действуют на волновую
функцию системы.
А. Средние значения. Предполо-
Предположим, что ф описывает «малый» волновой
пакет (рис. 9)
8
п - единичный
вектор
, г = (х, у, z).
Рис. 9. Волновой пакет
Усреднив значения операторов по прави-
правилу A1.16), имеем:
х, у, z — средние координаты волнового пакета;
рх,ру, pz— средние значения компонент вектора
импульса mVn.
A2.2)
Замечание. Для координат этот результат вполне очевиден. Для
компонент импульса, например для рх,
Рх =
Ф
i дх
h
(Ф\Ф)
поскольку для рассматриваемой функции
h
-^пх = mvnx,
i дх

62 Лекция 12
Из определения средних величин A2.2) ясно, что операторы A2.1)
должны быть как-то связаны с координатами и компонентами импуль-
импульса в их привычном классическом понимании. Убедимся в этом.
Б. Дальнейшее подтверждение. Запишем сумму потенциаль-
потенциальной и кинетической энергий материальной точки:
Е = ^(р1 +Р2у+р1) + U(x, у, z) = Н(х, ...,Рх,...). A2.3)
Истолкуем записанное таким образом выражение для полной энергии
материальной точки как функцию операторов A2.1). Эта операторная
функция определяется также по правилу A0.21), но в данном случае
определение вполне однозначно. Итак,
U(x, у, z) -t U(x, у, z) [оператор умножения
на функцию U(x, у, z)],
Следовательно, оператор, соответствующий энергии Е (очевидно, эр-
эрмитов), может быть записан в виде
Н= -^-V2 +U. A2.5)
2т
Применяя этот оператор к функции ф, получаем:
Щ=-^\2ф + дф. A2.6)
Член 11ф имеет смысл обычного умножения функции координат
U(x, у, z) на волновую функцию ф. Оператор Н называют оператором
полной энергии или оператором Гамильтона (гамильтонианом). Из пре-
предыдущих примеров (особенно из рассмотрения линейного осциллятора
и атома водорода) следует, что
Собственные значения оператора Н представляют собой
энергетические уровни системы.
В. Напрашивающиеся обобщения. Постулаты. Рассмотрим
классические функции состояния системы (например, у-координату,

Операторы материальной точки 63
z-компоненту импульса, кинетическую энергию Т, ж-компоненту мо-
момента и т.п.). Все эти функции выражаются в классической физике
как функции переменных х, у, z, рх, ру, pz. Образуем соответствующие
операторные функции:
Ж' Vz~ i dz' ~ 2mV '
ит.н.
Замечание. Все эти операторы должны быть выбраны эрмитовы-
эрмитовыми, так как иначе их средние и собственные значения не будут вещест-
вещественными.
Постулат 1. Единственно возможными результатами измерения
функции, зависящей от координат и импульса,
F = F(x, у, z,px, py,pz),
являются собственные значения соответствующего этой функции эр-
эрмитова оператора.
Постулат 2. Квантовомеханическое состояние системы опреде-
определяется волновой функцией ф. Функция ф изменяется во времени таким
образом, как того требует зависящее от времени уравнение Шрединге-
ра.
Вопрос. Как следует выбирать начальные значения функции фЧ
Ответ. Измеряется некоторая величина F(x, p). Результат этого
измерения должен совпадать с одним из собственных значений опера-
оператора F, например с Fn. Если Fn является невырожденным собственным
значением, то функция ф непосредственно после измерения и будет
собственной функцией оператора F, соответствующей данному собст-
собственному значению. Если же имеет место вырождение, то необходимо
большее число измерений, как выяснится позднее.
Задача на собственные значения:
Ggn{x)=Gngn(x), A2.7)
где G — эрмитов оператор, зависящий от ж и р; Gn — его собствен-
собственное значение {число); gn(x) — собственная функция. Разложим ф по

64
Лекция 12
собственным функциям gn{x):
Ф =
Ьп = {ёп\Ф)= ёп'фйт;
A2.8)
здесь Ъп — коэффициенты разложения (числа), а ф определяет состоя-
состояние системы в момент времени t.
Постулат 3. При измерении величины G(x, p) вероят-
вероятность получить значение, равное Gn, пропорциональна \Ьп\2.
Отсюда следует
Утверждение 1. Если ф — нормированная функция, то
A2.9)
Доказательство.
= (Е ь-еп
g.) =
Таким образом,
Если функция ф нормирована на единицу, то
\Ьп\2 = вероятность получить при измерении число G = Gn.
A2.10)
Поэтому среднее значение возможных результатов измерения ве-
величины G (волновая функция ф нормирована на единицу) равно
G =
, I gn) =
Ьп8пОп)={ф\^ЪпСпёп) =
п
(ф
(ф\ф)'
знаменатель (ф \ ф) в силу нормировки равен 1 [ср. с A1.16)]. Отсюда
следует

Операторы материальной точки
65
Теорема. Среднее значение оператора G в смысле определения
A1.16) равно взятому с весовыми множителями среднему значению всех
возможных результатов измерения соответствующей физической вели-
величины G(x, p).
Усложнения. Случай непрерывного множества собственных зна-
значений оператора g~.
Пример 3. Рассмотрим операторное уравнение для оператора ко-
координаты х
xf(x) = х' f(x),
где х' — число. Решение этого уравнения имеет вид
f(x) = 5(х - х')
[8{х — х') — соответствующая х' собственная функция]. Функция
5(х — х') не нормируема.
Однако если суммирование типа A2.8) заменить интегралом:
п —> х'',
gn(x) ->• 5(х-х'),
то отсутствие обычной нормировки компенсируется бесконечно малым
множителем dx', и все формулы становятся корректными.
Таким образом, плотность вероятности того, что значение
координаты материальной точки есть х = х', равна
\F(х - х') | ф(х))\2 = \ 6(х - х') ф(х) dx = \ф(х')\2.
A2.11)
Знакомый результат! Среднее значение координаты х определяется как
х = (ф | хф) = ( х\ф\2 dx A2.12)
(функция ф нормирована на единицу).
5 Э. Ферми

66
Лекция 12
Пример 4. Рассмотрим импульс материальной точки; ему соот-
соответствует оператор
г dx
A2.13)
Уравнение для собственных значений имеет вид (р — оператор, р' —
число)
pf{x) = p'f(x),
или
A2.14)
Запишем общее решение уравнения A2.14):
f(x) = '
A2.15)
Это собственная функция, соответствующая собственному значению р',
которое может быть любым:
— оо < р' < +оо.
В этом случае снова возникает некоторое затруднение при нормиров-
нормировке, так как функция A2.15) непосредственно не нормируема. В таких
случаях суммы типа A2.8) нужно преобразовать следующим образом:
g*n(x)
теперь
8(х — х') =
I dp'
/ 2^
dp' ^p'(x-x') . ,.
е =8(х-х')
A2.16)
[отметим множитель 1/2тгЙ: он вводится ради полноты, см. A1.23)
и A1.22)].

Операторы материальной точки
67
Вероятность того, что импульс системы имеет величину в интер-
интервале р', р' + dp', равна (ф нормирована)
dp'
ф{х)
или
dp'
е h ф(х) dx
A2.17)
A2.18)
Замечание. Отсюда непосредственно следует вывод, что искомая
вероятность пропорциональна квадрату модуля коэффициента фурье-
разложения. Полезно убедиться, что полная вероятность равна единице,
как следует из A2.17) и A2.18) и нормировки ф(х).
Среднее значение импульса. Для среднего значения импульса
можно указать два выражения:
1) вытекающее из A2.18)
р = —— / р' dp' e hP Хф(х) dx
2whJ J
A2.19)
2) вытекающее из определения среднего (см. стр. 62-63) при учете
нормировки
р=(ф\рф) = %(ф \ф') = Ч (' ф*ф' dx= -Ч [ ф'*фdx =
ъ f J
= | j (Ф*Ф' - Ф'*Ф) dx
(интеграл J ф*ф' dx вычислялся по частям). Рекомендуется самостоя-
самостоятельно доказать, что равенства A2.19) и A2.20) эквивалентны.
[Указание: записать правую часть A2.19) в виде двойного интег-
интеграла по координатам ж и ж' и использовать A2.17) и 12.18).]

Лекция 13
Принцип неопределенности
Пусть частица имеет точно определенное значение координаты х,
а именно х = х'. Очевидно, соответствующая волновая функция должна
иметь вид ф(х) = 5(х — х'). Все коэффициенты ее фурье-разложения
равны между собой; следовательно, частица в таком состоянии с равной
вероятностью может иметь любое значение импульса:
5х = О ->• 8р = оо. A3.1)
С другой стороны, при определенном значении импульса р = р'
ф\2 = 1. A3.2)
ф(х) = еТгр'х,
Следовательно, в этом случае никак не фиксировано положение точки
в пространстве:
5р = 0 —> 5х = сю.
Можно рассмотреть также промежу-
промежуточный случай (рис. 10)
ф(х) =
Рис. 10. Одномерный вол-
волновой пакет шириной 2а т. е. случай
Из формулы A2.18) следует, что
+а . +а .
e-^e^dx= e
J J
Лкх
о,
8х = а.
< а,
> а,
A3.3)
p - hk
2/,

Принцип неопределенности
69
Рис. 11. График плотности вероятности распределения импульса в слу-
случае 8х = а
Плотность вероятности того, что значение импульса частицы равно р'
при этом будет пропорциональна величине
sin2 |"(p'-ftfc)|l /(p'-ftfcJ.
Распределение этой вероятности показано на чертеже (рис. 11); не-
нетрудно видеть, что разброс значений импульса укладывается в интер-
интервал
8p' = 2?.
Сравнивая формулы A3.3) и A3.4), получаем:
A3.4)
a^ йтг/г,
или 8х 8р к Н.
A3.5)
Этот результат известен как гейзенберговское соотношение неопреде-
неопределенностей. Строгий формальный расчет показывает, что для любой
волновой функции ф выполняется неравенство
A3.6)
Доказательство для одномерной области можно найти в учебнике

70 Лекция 13
Э.Персико1. Полезные для изучения примеры рассматриваются в
«Квантовой механике» Л. Шиффа, где отчетливо видна взаимная до-
дополнительность координаты х и импульса р в согласии с соотноше-
соотношением A3.5J.
Дополнительность временной координаты t и энергии системы Е
StSExh A3.7)
имеет ряд важных аспектов:
1. Частота, характерная для кратковременных явлений 5t, имеет
широкий разброс (полосу 8ш). Подобно соотношениям A3.3) и A3.4)
находим:
StSwml. A3.8)
В квантовой механике Е = Ни;, откуда непосредственно следует соот-
соотношение A3.7).
Энергетические состояния систем с коротким временем жизни не
могут быть определены более точно, чем допускает формула A3.7).
2. Анализ процесса измерений свидетельствует о том, что для точ-
точного определения энергии (для достижения достаточно малого значе-
значения SE) требуется по крайней мере промежуток времени
St ss h/SE.
Все это будет более детально обсуждаться позднее.
1Э. Ферми рекомендует курс Enrico Persico, Fundamentals of Quantum Mechanics,
ed. G. M. Temmer, N. Y., 1950, p. 110-119. Соответствующие разделы этого курса
приведены в комментарии (*) к настоящей странице в конце «Конспектов». Целе-
Целесообразно проштудировать эти выдержки прежде, чем продолжать изучение «Кон-
«Конспектов». — Прим. ред.
2См. Л. Шифф, Квантовая механика, ИЛ, 1959, стр. 17-27; кроме того, ввиду
важности вопроса полезно ознакомиться с его изложением у различных авторов:
см., например, П. А. М. Дирак, Принципы квантовой механики, М., 1960, стр. 143;
А.А.Соколов и др., Квантовая механика, Учпедгиз, 1962, стр. 146; Д. И. Блохинцев,
Основы квантовой механики, Высшая школа, 1961, стр. 55. — Прим. ред.

Лекция 14
Матрицы
Функции на многообразии. На многообразии, включающем
конечное число точек (назовем их 1, 2, ...,п), некоторую функ-
функцию / можно понимать как совокупность п (комплексных) чи-
чисел /i, /2, ... , /„. Переход к непрерывному многообразию (например,
к пространству одного или более измерениий) можно рассматривать
как предельный переход п —> сю; при этом функцию в дискретных про-
пространствах (до предельного перехода) можно изображать с помощью
таблиц.
Перейдем теперь к рассмотрению многообразия, включающего
лишь п точек.
Функция на многообразии как вектор. Итак, функция
/=(Д,/2,...,/п) A4.1)
рассматривается как вектор с комплексными компонентами ( п-мерный
комплексный вектор). Переход к пределу п —> сю (причем возможен
случай даже бесконечного непрерывного множества) ведет к отождест-
отождествлению понятий функции и вектора в гильбертовом пространстве. Ни-
Ниже будут доказаны теоремы для ограниченного числа точек щ в ряде
случаев эти теоремы могут быть обобщены. Введем понятие скалярного
произведения функций
/ = (Л, /г, •••, fn) и g= (gi, g2,..., gn);
8=1
[это аналог формулы A1.4)]. Заметим, что
(g\f) = (f\g)*-
A4-3)

72 Лекция 14
Модуль «вектора» / определяется соотношением
Единичный «вектор» представляет собой такой «вектор», мо-
модуль которого равен единице: (е | е) = 1.
Векторы / и g ортогональны, если (/ | g) = 0, или, что то
же самое, (g | /) = 0.
A4.5)
A4.6)
Базис. Введем базис из п линейно независимых векторов:
еA\е^,...,е^. A4.7)
Необходимым и достаточным условием линейной независимости п век-
векторов является отсутствие какой-либо линейной комбинации их, рав-
равной нулю, когда хотя бы один коэффициент в ней отличен от нуля. Это
условие можно выразить в форме
det||e|||^0. A4.8)
Любую функцию / можно представить в виде линейной комбинации
базисных векторов е^:
A4.9)
Чтобы определить коэффициенты сч в таком разложении, необходимо
решить систему п линейных уравнений, причем детерминант, состав-
составленный из коэффициентов при неизвестных, должен быть отличен от
нуля.
Ортонормированный базис. Базис называют ортогональным и
нормированным, если
(е* | ek) = Sik. A4.10)
В этом случае коэффициенты разложения определяются особенно прос-
просто. Действительно, умножая левую и правую части равенства A4.9)
скалярно на ек и используя условие ортогональности A4.10), очевидно
получаем:
(/ | е1) = ai. A4.11)

Матрицы
73
Таким образом, можно записать тождество
/)е\
A4.12)
Операторы. Оператор в есть операция, при которой «вектор» /
переходит в «вектор» g, определенный на том же многообразии:
g=Gf.
A4.13)
Равенство A4.13) означает, что «вектор g равен результату действия
оператора в на вектор /». Таким образом, компоненты вектора g явля-
являются функциями от компонент вектора /:
gk = ffk(h, • •• ,/„)•
A4.14)
Иначе говоря, п функций в\, 02, ... , вп, каждая из которых зависит
от п переменных, в совокупности определяют оператор в.
Линейные операторы. Линейные операторы определяются (ана-
(аналогично случаю, рассмотренному в лекции 10, стр. 49) свойством
d(af + bg) = adf + bdg, A4.15)
где а и Ь — постоянные, а / и g — произвольные «векторы».
Теорема 3. На конечном многообразии самый общий линейный
оператор сводится к линейной однородной комбинации, иначе гцворя,
если g = 6f, то
g\ = aufi + ¦•¦ +ainfn,
или
gn = anifi
gk =
annfn,
l+l
A4.16)
где aui — постоянные.
Доказательство.
Оператор A4.16), очевидно, линейный. Требуется доказать, что он
имеет форму, единую для всех линейных операторов. Допустим, что

74
Лекция 14
оператор ff, определенный по A4.14), является линейным. Воспользу-
Воспользуемся равенством A4.15) в форме
d(p + ef) = dp + edf, A4.17)
где р и / — функции, а е — бесконечно малая константа; тогда
Ф \, ¦¦¦ ,Рп),
l5 ... ,Pn+efn) =
, , двк(р)
др2
-h
В последнем выражении член 6u(j>i + sfi, •••) разложен в ряд Тейло-
Тейлора в окрестности каждой его «точки» р\, ... , рп, а затем члены раз-
разложения, содержащие бесконечно малые порядка, выше первого, были
опущены. Сравнивая этот результат с условием линейности A4.17), на-
находим:
dpi Jl'
Коэффициенты в этой сумме не зависят от компонент /, и, следова-
следовательно, постоянны, что и требовалось доказать.
В дальнейшем будут рассматриваться только линейные операторы
типа A4.16).
Матричное представление операторов. Линейный оператор
A4.16), записанный в виде квадратной п х n-матрицы, составленной
из коэффициентов а^, имеет вид
«11 Я12 «13
Я21 «22 «23
О31 «32 «33
«In
а3п
ппЗ
A4.18)
(оператор-матрицу не следует смешивать с детерминантом той же мат-
матрицы; детерминант представляет собой одно число).

Матрицы
75
Можно ввести также прямоугольные матрицы ( п строк х т столб-
столбцов). Например, «вектор» / можно записать в виде вертикального столб-
столбца (матрицы п х 1)
A4.19)
Алгебра матриц. Определим основные операции над матрицами:
Умножить матрицу на число а значит умножить все ее эле-
A4.20)
ЦЦ ЦЦ
менты на число а:
Сложение и вычитание (допустимое только для матриц,
имеющих одинаковое число строк и одно и то же число столб-
столбцов, причем число строк и число столбцов не обязательно долж-
должны совпадать) приводит к матрице-сумме (разности), все эле-
элементы которой являются суммами (или разностями) соответ-
соответствующих элементов первоначальных матриц
1.
ЙЦ Я12 «13
Я21 Я22 Я23
&12 &13
&21
a12+b12 a13+b13
A4.21)
Теоремы. Элементарные свойства операторов A4.15) совпадают
со свойствами матриц.
Это означает, что алгебра матриц, определяемая операциями
A4.20) и A4.21), полностью эквивалентна алгебре линейных операто-
операторов, определенных свойством A4.15).
Произведение двух матриц А и В
АВ = С
A4.22)
определено только в том случае, если матрица А имеет столько же
столбцов, сколько матрица В строк. Операция умножения двух матриц
1 Существует ряд теорем, касающихся свойств введенных здесь операций над
матрицами (см.: Ф. Р. Гантмахер, Теория матриц, М., 1953; А. Г. Курош, Курс выс-
высшей алгебры, М., 1955; Б. Л. Ван-дер-Варден, Современная алгебра, М.-Л., 1947, ч. 1).
— Прим. ред.

76
Лекция Ц
определяется следующими свойствами:
А = ||а»*||; г = 1, 2, ... , п, где п — число строк,
k = 1, 2, ... , т, т — число столбцов;
В = \\bji\\; j = 1, 2, ... , m, где m — число строк,
/ = 1, 2, ... , р, р — число столбцов. A4.23)
Произведение С = АВ есть матрица
С = \\сга\\; г = 1, 2, ... , п, где п — число строк,
s = 1, 2, ... , р, р — число столбцов.
Перемножение матриц А и В дает матрицу С, у которой столько
строк, сколько их у матрицы А, и столько столбцов, сколько у матри-
матрицы В:
t
т
р
т =
С
A4.24)
Элементы матрицы, получаемой в результате операции умножения, на-
находят по правилу
A4.25)
А=1
Правило перемножения: Строка х Столбец.
Чрезвычайно важный частный случай. Произведение квад-
квадратных матриц (п х п), подобных матрице A4.18), имеет следующие
свойства:
а. Произведение АВ также является квадратной матрицей поряд-
порядка п.
б. Произведение матриц, взятых в обратном порядке, есть также
квадратная матрица порядка п, но в общем случае произведение В А
отличается от АВ:
(AB)re =
{BA)rs =
A4.26)

Матрицы
77
Вплоть до формулы A4.34) речь будет идти исключительно о квадрат-
квадратных матрицах.
Теорема. Детерминант произведения двух квадратных
матриц равен произведению детерминантов этих матриц:
det(AB) = detA-detB.
A4.27)
Доказательство этой теоремы очевидно: умножение квадратных
матриц производится точно по такому же правилу, как и перемножение
детерминантов (Строка х Столбец)*.
Определение. Коммутатор или перестановочное соотношение
(допустимое лишь в случае квадратных матриц) есть форма вида
[А, В] = АВ-ВА.
Очевидное свойство коммутатора:
[А,В] = -[В,А].
Определение. Единичная матрица есть матрица вида
1 =
A4.28)
1
0
0
0 ..
1 ..
0 ..
. 0
. 0
. 1
A4.29)
т.е. квадратная матрица, элементы главной диагонали в которой суть
единицы, а остальные элементы — нули**.
Свойства единичной матрицы:
1А = А1 = А,
[1А] = [А1] = 0.
Эти свойства непосредственно следуют из A4.26).
Определение. Матрица В, обратная матрице А,
A4.30)
определяется соотношением
A4.31)

78
Лекция 14
Вопрос. Когда существует обратная матрица?
Ответ. Обратная матрица существует, когда det А ф О, так как
лишь в этом случае реализуемо правило
A4.32)
Рекомендуется проверить это правило непосредственно.
Два свойства обратных матриц:
= deb'
[А'1, А] = 0.
A4.33)
A4.34)
Важное свойство. Для матриц, представляющих операторы [на-
[например, A4.16)], все данные выше определения алгебраических опера-
операций могут быть выведены также из алгебры операторов, изложенной
в лекции 10, и согласуются с ней (рекомендуется провести проверку
этого утверждения шаг за шагом для всех операций). В частности, для
квадратных матриц можно установить функциональную зависимость
одной матрицы от другой точно так же, как это было сделано в лек-
лекции 10 [см. равенства A0.18) и A0.21)].
Определение. Произведение квадратной матрицы на вертикаль-
вертикальную матрицу-столбец [соответственно матриц типа A4.18) и A4.19)]
определяется как
A4.35)
где g— вертикальный столбец, полученный согласно правилу умноже-
умножения матриц A4.25) в соответствии с выражениями A4.16).

Матрицы
79
Следовательно, равенство A4.35) можно понимать с рав-
равным правом
либо как правило
Квадратная матрица в х Вертикальный столбец / = /-^ 4fi)
= Вертикальный столбец g,
либо как правило
Оператор б, действуя на функцию /, дает функцию g.
Транспонированная матрица.
Транспонированная матрица, соответствующая матрице А, будет
обозначаться как А.
Определение. А = Матрица А, в которой строки и столб-
столбцы поменялись ролями, или (эквивалентно)
(A)ik = Аы.
A4.37)
Частные случаи. Пусть А — квадратная матрица (например,
матрица-оператор); тогда А получается путем замены каждого элемен-
элемента матрицы А на элемент, расположенный симметрично данному отно-
относительно главной диагонали. ^
Пусть / — вертикальный столбец (функция или «вектор»); тогда f
есть горизонтальная строка ||/i, /2, ... , fn\\.
Матрица, комплексно сопряженная данной. Такая матрица
будет обозначаться как А*.
Определение. Матрица А* есть комплексно сопряженная
матрице А, если каждый ее элемент — комплексно сопряжен-
сопряженное соответствующего элемента матрицы А:
(A*)ik=A*k.
A4.38)
Матрица, эрмитово сопряженная данной. Операция эрмито-
эрмитова сопряжения играет чрезвычайно важную роль в квантовой механи-
механике. Матрицу, эрмитово сопряженную матрице А, мы будем обозначать
как А+.

80
Лекция Ц
Определение. Матрица А+ получается из А путем после-
последовательного применения к матрице А операций транспониро-
транспонирования и комплексного сопряжения:
= A
кг-
A4.39)
Пример 1.
А =
Пример 2.
1 2 +
2 1-Й
0 0
3
1-
1
А+ =
1
2-
3
2
1-г
1-И
A4.40)
Свойства эрмитово сопряженных матриц. Пусть / и g —
«вертикальные столбцы», т.е. функции. Тогда [см. определение A4.23)-
A4.25)]
Произведение g+ f есть матрица с одной строкой и одним
столбцом, т.е. просто число:
A4.41)
Пусть А, В, С, ... , К, L — матрицы с таким (вообще говоря, не-
неодинаковым для разных матриц) числом строк и столбцов, что может
быть определено их произведение, т.е. матрица
Р = А-В-С ...KL.
Чтобы такое произведение существовало, необходимо, что-
чтобы число строк у матрицы, получаемой при каждом шаге пе-
перемножения, равнялось числу столбцов следующей матрицы.
Важное свойство произведения A4.42а) состоит в том, что A4.42)
Р+ =L+ -К+ ...С+ -В+ -А+,

Матрицы 81
т.е. эрмитово сопряженное произведение матриц есть произведение
в обратном порядке эрмитово сопряженных матриц. Справедливость
этого утверждения очевидным образом вытекает из приведенных опре-
определений операций.
В случае матрицы g+ f, состоящей из одной строки и одного столб-
столбца A4.41), эрмитово сопряжение совпадает с обычным комплексным
сопряжением:
(g+f)+ = (g+fY = f+g = U I g). A4-43)
6 Э. Ферми

Лекция 15
Эрмитовы матрицы.
Задача на собственные значения
Определение. Квадратную (и х и)-матрицу называют эр-
эрмитовой (или самосопряженной), если каждый из ее элементов
комплексно сопряжен элементу, симметричному данному от-
относительно главной диагонали; иначе говоря, матрица А эрми-
эрмитова, если
aik = a*ki-
A5.1)
Отсюда: эрмитова матрица тождественно равна своей эрмитово
сопряженной и наоборот (самосопряженность):
0
1
1
1
0
0
1
0
0
0
i
e-ia
—i
0
eiP
e-i0
3
5
и
—г
и
А (эрмитова) = А+.
Например, все следующие матрицы:
1 О
О -1
— эрмитовы (самосопряженные). Следует заметить, что
Диагональные элементы эрмитовых матриц есть либо дей-
действительные числа, либо нули:
аи = Действительное число (или нуль).
Из предыдущих определений очевидным образом вытекает:
Теорема. Если А, В, С, ... — эрмитовы матрицы и ес-
ли а, Ъ, с, ... — действительные числа, то комбинация
аА + ЬВ + сС + ...
также есть эрмитова матрица.
A5.2)
A5.3)
A5.4)

Эрмитовы матрицы. Задача на собственные значения
83
Теорема. Если матрица А эрмитова, то возведение ее
в любую степень дает эрмитову матрицу:
А8 = (As)+.
Доказательство.
{As)+ = (АА...А)+ = А+ ...А+А+ = {A+)s = As.
Теорема. Если матрица А эрмитова, то
det A = Действительное число.
Доказательство.
det A = det(A+) = [det(A+)]* = [det(A)]*.
Теорема. Если матрица А эрмитова, то обратная ей
матрица А~х также эрмитова:
А-1 = (А-1)".
A5.5)
A5.6)
A5.7)
Доказательство.
1 = АА~Х = (А+)~1А+ = (А)-1А, так как А и 1 — эрмитовы
матрицы, (А~1)+ должна быть также эрмитовой.
Из этих теорем вытекает следующая
Важная теорема. Пусть F(x) — вещественная функция
вещественной переменной х, такая, что ей можно сопоста-
сопоставить матрицу F(A), т.е. определенную функцию от матри-
матрицы А в соответствии с A0.18). Тогда если матрица А эрми- A5.8)
това, то и F(A) эрмитова:
F(A)+ = F{A).
Доказательство.
В самом деле, разложение функции Fix) в ряд содержит лишь
действительные коэффициенты и справедливы теоремы A5.5) и A5.4):
F(A)+ =F{A).

84
Лекция 15
Существенны следующие
Два свойства эрмитовых матриц:
Если матрицы Аи В эрмитовы, то их произведение АВ в об-
общем случае не является эрмитовым, но симметризованное про-
произведение эрмитово:
С= ^
ВА) =С
=С+
A5.9)
Доказательство.
С+ = \(В+А+ + А+В+) = ±(ВА + АВ) = С.
Свойство A5.9) позволяет во многих случаях определить
матрицу F(A, В), являющуюся функцией двух (или более)
матриц, таким образом, что:
Если символ F означает действительную функцию своих A5.10)
переменных и если матрицы А и В эрмитовы, то
F(A, В) — эрмитова матрица.
Такую матричную функцию F(A, В) особенно легко определить, если
эрмитовы матрицы А и В коммутируют: основанием для этого служит
следующая
Теорема. Пусть А и В — эрмитовы матрицы и [А, В] =
= 0; тогда произведение Р = А ¦ В ¦ А ¦ А ¦ В ¦ В или другие
подобные произведения А и В также являются эрмитовыми:
Р+ = Р.
A5.11)
Доказательство.
Записав выражение для Р+, последовательно переставляем в нем
сомножители, пользуясь условиями, указанными в посылке теоремы,
пока не получим равенство Р+ = Р.
Укажем теперь одно важное
Свойство. Определение эрмитовых операторов A1.16) на-
находится в согласии с определением эрмитовых матриц A1.1).
Действительно, если А = А, то A5.12)
(g | Af) = g+Af = g+A+f = (Ag)+f = (Ag | /).

Эрмитовы матрицы. Задача на собственные значения
85
Задача на собственные значения. Рассмотрим вопрос о собст-
собственных значениях эрмитовых матриц-операторов. Пусть А = А+. Тогда
задачу на собственные значения можно в операторной форме записать
следующим образом:
Аф = аф, A5.13а)
где а — собственное значение. В матричной форме записи задача фор-
формулируется в виде системы уравнений
A5.136)
а12ф2 + а13фз + • • • + а1пфп = аф1:
а2\ф\ + а22ф2 + а23фз + ¦¦¦ + а2пфп = аф2,
ап\Ф\
ап3фз
аппф„ = афп,
где коэффициенты щи — элементы матрицы А. Однородная система
уравнений A5.136) разрешима, если детерминант ее равен нулю:
an -
аи
O-nl
a
ai2
«22-
an2
a ...
din
0-2n
ann —
a
= 0.
A5.14)
(Это детерминант, но не матрица!) Уравнение A5.14) представляет со-
собой алгебраическое уравнение и-й степени для собственного значения а
(секулярное уравнение). Вообще говоря, такое уравнение имеет п корней
(некоторые из них могут совпадать между собой в случае вырождения).
Важно, что все корни действительны [доказательство подобно A1.8)].
Следовательно, эрмитова матрица-оператор имеет п дей-
действительных собственных значений, причем некоторые из
них могут совпадать между собой. Собственным зна-
значениям ai,a2,...,an
ции ф1у ф2, ... , фп.
соответствуют собственные функ-
функТеорема. Собственные функции, соответствующие раз-
различным собственным значениям, ортогональны:
Если (ц
то (ф^ | ф{к)) = 0.
A5.15)
A5.16)

86
Лекция 15
Доказательство аналогично доказательству теоремы A1.9).
Теорема. Если все п корней секулярного уравнения обла-
обладают кратностью 1, то каждому собственному значению as
соответствует единственная собственная функция фв (с точ-
точностью до постоянного множителя).
A5.17)
Доказательство этой теоремы дается в алгебре детерминантов.
Правило построения фв. Подставим в секулярный детер-
детерминант A5.14) as вместо а. Тогда п алгебраических дополне-
дополнений любой строки детерминанта будут пропорциональны ком-
компонентам вектора ф("\
Задачи.
1. Построить собственные векторы матрицы-оператора
А =
и нормировать их на единицу.
2. Проделать то же самое для матриц
A5.18)
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0 1
1 О
0 -г
1 О
1 О
О -1
Случай вырождения. Рассмотрим вопрос о вырождении в случае
эрмитовых матриц-операторов.
Собственное значение, являющееся решением секулярного
уравнения и обладающее кратностью q, соответствует q ли-
линейно независимым собственным функциям. Этот вывод еле- A5.19)
дует из алгебры детерминантов. Такие собственные функции
могут быть выбраны ортогональными и нормированными на
единицу.
Полезно обсудить геометрическую аналогию (с эллипсоидом).
Выберем ортонормированную систему собственных функций
A5.20)

Эрмитовы матрицы. Задача на собственные значения
87
в качестве базиса векторного пространства. Разложим произвольную
функцию / в ряд по этим собственным функциям:
}. A5.21)
В результате мы получили уже известное выражение A1.14) или
A1.15), «доказав» тем самым соответствующую квазитеорему лек-
лекции 11; все остальные квазитеоремы этой лекции могут быть также
просто доказаны путем сведения их к простым алгебраическим свой-
свойствам матриц.
Построим теперь аналог формулы A1.23) для случая дискретных
собственных значений. Положим в A5.21)
где а — фиксированный, a g — переменный индексы:
О
так что (ф^ | /) = ф*^.
Следовательно,
Иначе можно записать:
А —
°Q<r —
A5.22)
A5.23)
где 1 — единичная п х и-матрица (матрица тождественного преобра-
преобразования).
Вывод. Матрица-оператор полностью определяется заданием сво-
своих собственных векторов и соответствующих собственных значений.
Действительно, при этом правая сторона уравнения
Y, A5.24)
S
определяется однозначно, что и соответствует определению оператора.

Лекция 16
Унитарные матрицы и преобразования
Пусть А и В — эрмитовы операторы, а
, A) , B) , („) ч ортонормированная система
' ' \ собственных функций и собст-
ai а2 • • • Bn J венные значения оператора А.
A6.1)
(!) B) („) ч ортонормированная система
' \ собственных функций и собст-
&i  • • • оп J венные значения оператора В.
A6.2)
Задача. Требуется найти матрицу преобразования Г, которая пе-
переводила бы <p(s) в ^(s):
Tip(s)=ip(s). A6.3)
Решение. Умножим это равенство справа на
r<^(sV+(s) = ^(sV+(s)-
Суммируя по s и используя свойство A5.23), получаем:
(sV+(s)- A6.4)
Здесь обнаруживается аналогия с преобразованиями координат.
Преобразованию векторов при переходе от одной системы коор-
координат к другой можно придать матричную форму. Как станет ясно в
дальнейшем, при таких преобразованиях особенно важную роль играют
преобразования, описываемые унитарными матрицами.

Унитарные матрицы и преобразования
89
Определение. Матрицу Q называют унитарной, если она
имеет следующее определяющее свойство:
Q+Q = l, или Q+=Q~1.
Теорема. Матрица Т унитарна:
Т+Т= 1.
Доказательство.
Производя эрмитово сопряжение, получаем:
т+ =
а на основании A5.20) и A5.23) находим окончательно:
т+т = ^y
A6.5)
A6.6)
Теорема. Если матрица Т унитарна, то
(Tf | Tg) = (f | g).
Доказательство.
(Tf | Tg) = (Tf)+Tg=f+T+Tg= f+g=(f
Теорема. Если матрица Т унитарна, а ф^ — ортонор-
мированная система п векторов, то результат преобразова-
преобразования Тф^ = (р^ также дает ортонормированную систему
векторов.
A6.7)
A6.8)
Доказательство очевидным образом следует из теоремы A6.7).
Вывод. Унитарные преобразования переводят один ортонормиро-
ванный базис в другой.

90
Лекция 16
Пример 1. Преобразование ортонормированнои системы функций-
«векторов» e(s)
e(D =
еB) =
е(п) =
с помощью унитарной матрицы Т дает другую систему орто-
нормированных «векторов» ^(s):
A6.9)
Пример 2. Преобразование координат «вектора» /
хх
Х2
К НОВЫМ «ОСЯМ»
/,(*)
A6.10)
где ж^ — «старые», а х'к — «новые» координаты «вектора» /, произво-
производится с помощью матрицы Т.
Зная, таким образом, связь между базисами, найдем теперь связь
между «старыми» и «новыми» координатами:
x'k = 1>tf = E ^k)x° = (T+)ks*s, A6.11а)
[где в последнем шаге использована формула A6.9)]. В матричной за-

Унитарные матрицы и преобразования
91
писи для вертикальных столбцов,
X =
это соотношение принимает вид
х1 = Т+х = Т~гх, х = Тх'.
A6.116)
Вывод. Преобразование координат описывается той же матрицей,
что и обратное преобразование базисных векторов.
Преобразование, индуцируемое матрицей-оператором А.
Вопрос. Если матричный оператор А определяет некоторое ли-
линейное преобразование координат х некоторого вектора, то какое соот-
соответствующее линейное преобразование А' действует на координаты х'
этого же вектора в другой координатной системе?
Ответ. Пользуясь преобразованием A6.116), заметим, что
х = Тх', Ах = АТх' = ТА'х'.
ОтсюДа: rr,-i ?^,, = ?,х,
A6.12)
для произвольных значений х'. Следовательно,
А! = Т~ХАТ = Т+АТ
и наоборот,
- =
Таким образом, матрица Т преобразует оператор А в оператор А'.
Свойства преобразований. Рассмотрим ряд свойств матриц-опе-
матриц-операторов, широко используемых в квантовомеханических расчетах.
1. Если А' = Т-гАТ, В' = Т-гВТ, то
А'±В' = Т~1(А±В)Т, А'п = Т~1АпТ,
А'В' = T^iAfyT, F(A') = r1
1 = Г1Г
A6.13)
и т.д.

92
Лекция 16
Доказательство этих свойств производится путем непосредствен-
непосредственной проверки.
2. Алгебра операторов А', В', ... совпадает с алгеброй операто-
операторов А, В,
3. Оператору А' соответствуют те же самые собственные
значения, что и оператору А, а их собственные функции связа-
связаны между собой следующим образом:
A6.14)
или
'{з) = ф{а).
Определение. След, или шпур, квадратной матри-
матрицы А есть
s=l
A6.15)
т.е. равен сумме элементов, стоящих на главной диагонали.
Существенно, что шпур имеет смысл только для квадратных мат-
матриц.
Полезно знать следующее свойство шпура: циклическая переста-
перестановка матриц в произведении под знаком Sp оставляет значение шпура
этого произведения неизменным:
Sp(AB ... YZ) = Sp(ZAB ... Y).
Теорема. Шпуры матриц А и А' совпадают:
Sp(A') = Sp(T+AT) = Y^ (T?kAkrTri) = ^2A
ikr kr
kr
A6.16)

Унитарные матрицы и преобразования
93
Задача. Определить унитарную матрицу Т, приводящую
заданную эрмитову матрицу А к диагональному виду А':
А' = Т+АТ.
Решение (см. A6.9)). Г = X>(s) e+W.
S
В самом деле, А' = Т+АТ =
' e v ' =
JO
00
00..
00..
1)
0
.1..
.0..
t
8
0
0
.0
.0
0
0
0
0
a2.
0.
0.
1)
0
..as
.. 0
... 0
0
... 0
...an
A6.17)
(Здесь использованы равенства Aip^ = а^ф^ и ф+^ ф^ = Ssa.)
Таким образом, матрица А преобразована в диагональную матрицу А'',
на главной диагонали которой стоят собственные значения матрицы А.
Матрица Т преобразует первоначальный базис е^8^ в базис ф("\ Это
означает, что А приводится к диагональному виду с помощью перехода
к новому координатному базису, а именно к базису, в котором роль
базисных векторов играют ее собственные функции. Отсюда вытекает
Теорема. Шпур оператора А равен сумме его собственных
л п
значений: Sp(A) = ^а8.
A6.18)
Доказательство очевидно следует из A6.17) и A6.16).
Теперь можно дать новое определение матрицы F(A). Сделаем это
в три шага.

94
Лекция 16
Определение. Первый шаг: приведем матрицу А к диаго-
диагональному виду А' методом A6.17):
А' = Т+АТ, А = ТА'Т+.
Второй шаг: возьмем в качестве F(A') матрицу
F(A') =
F(ai) 0 0 ...
О F(a2) 0 ...
О 0 F(a3)...
A6.19)
Третий шаг: вернемся к прежнему базису
F{A) =TF{A')T+.
С помощью равенства A6.13) легко доказать справедливость этого
определения. Определение A6.19) эквивалентно общему определению,
данному в лекции 10, во всех случаях, когда последнее имеет смысл.
Однако определение A6.19) не накладывает ограничений на функции F.
Теорема. Перестановочное соотношение [A, F(A)] = 0
выполняется и тогда, когда функции от матрицы определены
правилом A6.19).
A6.20)
Доказательство.
Коммутатор [A', F(A')\, очевидно, равен нулю, так как обе матри-
матрицы диагональны. Воспользовавшись теперь преобразованием Т в соот-
соответствии с A6.13), легко получить равенство A6.20), что и требовалось.
Обратная теорема. Если матрицы А и В коммутируют,
причем А — невырожденная матрица, то имеет место соотно-
соотношение В = F(A).
A6.21)

Унитарные матрицы и преобразования
95
Доказательство.
Приведем А к диагональному виду, следуя методу A6.17):
А' = Т+АТ =
сц О
О а2 ...
Сделаем то же с матрицей В:
В' = Т+ВТ
(при этом заведомо неизвестно, диагональна ли матрица В'). Из
[а, В] = 0 следует, что [А1, В'] = 0, так что в компонентах
[A',B']ik = (ai-ak)b'ik = 0.
Но поскольку ai ф аи при г ф к, то отсюда следует, что b'ik = 0 при i ф к.
Следовательно, матрица В' также диагональна и равна
В'=
Тогда можно записать равенство В' = F(A'), если в качестве функ-
функции F взять одну из того бесконечного множества функций, для кото-
которых
F(oi) = bi, F(a2) = b2, ... , F(an) = bn.
Остается лишь произвести обратное преобразование и использовать
определение A6.19). Теорема доказана.
Заметим, что по ходу дела фактически была доказана следующая
h
0
0
0
0
0 ...
0 ...
Ь3 ...
Теорема. Если невырожденная матрица В коммутирует
с диагональной матрицей А, то матрица В должна быть так-
также диагональна.
A6.22)

96
Лекция 16
Если в теореме A6.22) диагональная матрица А является
вырожденной, то В не обязательно должна быть диагональна,
но имеет характерный вид, который можно усмотреть из сле-
следующего примера, с легкостью поддающегося обобщению:
если А =
ах О О О О
О сц О О О
О 0 а2 О О
О 0 0 а2 О
О 0 0 0 а2
, то В =
Ьц Ь12 О О О
ъ21 ъ22
О 0 ЬзЗ
О 0 &43
О 0 &53
о о о
A6.23)
Важное приложение. Устанавливаемые теоремой A6.22) и обоб-
обобщением A6.23) факты находят в квантовой механике важное приложе-
приложение:
Пусть А и В — эрмитовы матрицы и пусть [А, В] = 0.
Разрешим задачу на собственные значения оператора А, как
указано в лекции 15 [см. A5.13) и A5.14)], затем приведем к
диагональному виду по A6.17) матрицы А и В:
А' = Т+АТ; В' = Т+ВТ.
Матрицы А' и В' коммутируют; значит, если матрица А не-
невырожденная, то, по A6.22), матрица В' диагональна: тем са-
самым решена задача на собственные значения оператора В.
Если же А вырожденная, то В' имеет вид, подобный A6.23);
тогда ее секулярное уравнение распадается на более простые
уравнения, порядок которых равен кратности вырождения соб-
собственных значений матрицы А.
A6.24)

Лекция 17
Наблюдаемые
Наблюдаемая есть функция состояния системы1.
1. В квантовой механике каждой наблюдаемой Q ставится в соот-
соответствие линейный оператор (также обозначаемый через Q).
Если значения наблюдаемой представляют собой существенно дей-
действительные числа, то соответствующий ей оператор Q — эрмитов.
2. Измерение наблюдаемой величины Q может дать только одно из
собственных значений оператора Q:
Qfg'=q'fQ', A7.1)
где q' — собственное значение оператора Q, а /9< — соответствующая
собственная функция оператора Q.
3. Состояние системы описывается функцией -ф (обычно нормиру-
нормируемой на единицу — нормирующий множитель не играет принципиаль-
принципиальной роли).
4. Как определить -ф?
При измерении Q находят Q = q'. Отсюда, если собственное зна-
значение q' невырожденное, заключают, что
Ф = и- A7.2)
Если q' — вырожденное собственное значение, то волновая функция ф
равна линейной комбинации всех собственных функций, соответству-
соответствующих этому значению q' (вектор -ф принадлежит подпространству q').
При этом уравнение
ЯФ = я'ф A7.3)
определяет подпространство q'.
1О понятии наблюдаемой более подробно см. в книге П. А. М. Дирака, Принципы
квантовой механики, М., 1960, гл. П. — Прим. ред.
7 Э. Ферми

98 Лекция 17
Чтобы определить ф внутри подпространства, выберем новую на-
наблюдаемую р, такую, чтобы она коммутировала с Q:
[Р, Q] = 0. A7.4)
Теорема. Если [Р, Q] = 0 и Цф = q'rp, т. е. если ф принад-
принадлежит подпространству q', то Рф также принадлежит под-
подпространству q', т. е.
A7.5)
Доказательство.
§(Рф) = §Рф = Р§ф = Рч'ф = д'(Рф).
Рассмотрим Р как оператор в подпространстве q'. Число соответ-
соответствующих собственных значений и собственных функций равно числу
измерений подпространства q', задаваемого совместными решениями
уравнений
Qi> = Я'Ф,
Z A7.6)
Рф = р'ф,
где р' — собственное значение оператора Р в подпространстве Q = q'.
Система уравнений A7.6) определяет под-подпространство (Q = q',
Р =р'). Если это под-подпространство имеет только одно измерение,
то система A7.6) определяет ф (с точностью до множителя). В против-
противном случае ф сводится к под-подпространству. В таком случае вводят
в рассмотрение третью наблюдаемую R, такую, что
[R, Q] = 0, [R, Р] = 0. A7.7)
Оператор R действует в под-под-подпространстве, определяемом
системой уравнений
С}ф = 4ф, Рф = р'ф, Щ = г'ф. A7.8)
Если это под-под-подпространство обладает лишь одним измерением, то
функция ф определена. Если же нет, то следует продолжать процедуру
до тех пор, пока не будет получено одномерное подпространство.

Наблюдаемые
99
5. Если волновая функция ф известна, то при измерении наблюда-
наблюдаемой А вероятность получить А = а' равна
\(fa' \Ф)\2-
6. Изменение «вектора состояния» ф во времени. Пусть опера-
оператор Н — гамильтониан (разумеется, эрмитов, поскольку энергия —
действительная величина). Тогда уравнение Шредингера с временной
частью записывается в виде
таким образом,
гНф = Нф;
-гНф+ = ф+Н+ = ф+Н.
Теорема. Величина ф+ф (т.е. норма волновой функции)
есть константа, не зависящая от времени. Тем самым, ес-
если волновая функция ф@) нормирована в начальный момент
времени, то она, ф(Ь), также нормирована и в любой другой
момент времени.
Доказательство.
A7.9)
A7.10)
A7.11)
отсюда, учитывая A7.9) и A7.10), имеем:
ф+ф + ф' + ф = A/гН)ф+Нф - A/гН)ф+Нф = 0,
что и требовалось доказать.
7. Имеет место следующее соответствие между классическим га-
гамильтонианом Н и кванто во механическим оператором Н:
Если классически Н = H(qi, q%, ... , pi, р2, ...), то для
получения квантовомеханического оператора полной энер-
энергии Н следует заменить
A7.12)
Однако эта операция не всегда дает однозначный результат.

100
Лекция 11
Введенные операторы действуют на функции вида
/ = S(Qi, ••• , &>)•
Каждый из индексов 1, 2, ... , s у величины q' представляет собой
сокращенную запись даже сколь угодно большого набора индексов (s —
сокращенная запись всех индексов).
8. Переход к матричной записи. Часто удобно преобразовать опе-
операторы к матричному виду в ортонормированном базисе, выбрав в ка-
качестве базисных векторов собственные функции какого-либо часто ис-
используемого оператора, например гамильтониана или невозмущенного
гамильтониана. Будем для простоты рассматривать систему, имеющую
только одну обобщенную координату q, и положим q = х.
Систему ортонормированных базисных функций запишем как
A7.13)
Унитарная матрица преобразования [см. A6.9)] имеет вид
Т =
A7.14)
Матрица вдвойне бесконечна! Действительно, число строк и столб-
столбцов бесконечно, причем номера столбцов 1, 2, ... , и, ... могут быть
дискретными, а могут быть и непрерывными; все значения «номеров»
строк х', х", ... , х^п\ ... обычно образуют бесконечное непрерывное
множество. Работая с матрицей A7.14), необходимо быть осторожным
в выкладках!
«Вектор-функция» f(x) =
ложения
п Ф^ обладает коэффициентами раз-
раз<Рп = (Ф{п) | /) = I Ф*(п) f dx = jУ<")/ dx,
где
Six1),
<P3,
— старые компоненты /,
— новые компоненты /.
A7.15)

Наблюдаемые
101
Оператор А переходит в Т+AT = А', причем
А =
АцА12...А1п...
A2iA22. ¦ ¦ А2п...
Anrn —
А31А32...А3п...
{т)) = I' ф<пЦх)Аф{т){х)<1х.
Если А — эрмитов оператор, то Апт = А*тп.
АПт — матричный элемент оператора А между состояниями п
и т.
В другой записи
A7.16)
V>(m) = \т) = кег(кет),
ф+(п) = ^и| = Ьгас(браI.
Пример. Волновые функции гармонического осциллято-
ра D.17)
ф^{х) = ип(х)
являются собственными функциями оператора
A7.17)
A7.1о)
2тР
После унитарного преобразования A7.14) матрица гамильтониана Н
приводится к диагональному виду
0
0
0
0
0
0
0
0
\Ьш
0
0
0
0
\Ъи, ...
Н =
Нпт = Нпт8пт =
A7.19)
2 j $nm-
1Это так называемые дираковские обозначения, широко используемые в совре-
современной квантовой теории. — Прим. ред.

102
Лекция 11
Определим матрицу х и матрицу р. Из A7.18) и перестановочного со-
соотношения рх — хр = Н/г получим:
Н
im
р = Нх — хН,
или
—Prs = {Нх - xH)rs = (Hrr - Hss)xrs = hw(r - s)xrs.
Аналогичным образом из перестановочного соотношения
Нр-рН = -%тш2х
следует, что
Н 2 i-l \
--moj xrs = ш\г - s)prs.
Отсюда после очевидных преобразований имеем:
Xrs = {Г ~ sJXrs.
A7.20)
A7.21)
0,1
oj
Следовательно, rs ~_, "' \ только при г = s ± 1,
Pr,r+i =
A7.22)
Найдем величину av,r+i- Прежде всего из A7.18), A7.19) и A7.22) име-
имеем:
I™ |2
,2 _ ТШ
Ь1 1,г| — 9
Отсюда
Учитывая произвольность выбора фазы в рассматриваемых комплекс-
комплексных выражениях, возьмем
Рг, г+1 = —Pr+l,r = ~г
2гпи)
¦ / Hmu)
г+ 1,
г + 1.
A7.23)

Наблюдаемые
103
Эти результаты удобно изобразить в виде матриц как
х =
0
71
0
0
71
0
72
0
0
72
0
7з
0 .
0 .
7з .
0 .
p =
hmui
о
z
0
0
0
-iy/l
0
«72
0
0
-«72
0
г'ТЗ
0
0
-гТЗ ...
0
A7.24)
Читателю предлагается, исходя из представления A7.24), вновь прове-
проверить равенство рх — хр = Н/г.
Важные линейные комбинации:
а+ =
х —
-Р =
0
71
0
0
0
72
0 ..
0 ..
0 ..
а =
0
0
0
71
0
0
о ...
72 ...
о ...
A7.25)
здесь а и а+ — неэрмитовы операторы (операторы уничтожения и по-
порождения частиц в квантовой теории поля).
Предлагаем читателю проверить перестановочные соотношения
для операторов а и а+:
аа+ — а+д, =
A7.26)

Лекция 18
Момент импульса
Момент импульса, или момент количества движения, в кванто-
квантовой механике, как и в классической физике, определяется выражением
(в квантовой механике — операторным*)
М = ххр. A8.1)
В компонентах
Мх = ypz - zpy = X,
Mv = zpx - xpz = Y, A8.2)
Mz = xpy - ypx = Z.
Оператор квадрата момента импульса строится, как обычно:
М2 = M2X + Ml + Ml. A8.3)
Нетрудно доказать следующие перестановочные соотношения:
[мх, му] = ihMz, [My, mz] = шмх,
-^ — — (i-оЛ)
[Mz, Mx] = ihMy,
или
[M xM]= ihM, A8.5)
[Mx, M2} = 0, [My, M2} = [Mz, M2] = 0. A8.6)
[r2, Mx] = [f2, My] - [f2, Mz] = 0, A8.7)
[f2, M2} = 0. A8.8)
При использовании системы единиц, в которой h = 1, перестано-
перестановочные соотношения A8.4) принимают в обозначениях A8.2) вид
[X, Y] = iZ, [Y, Z] = iX, [Z, X] = iY. A8.9)

Момент импульса
105
Теперь нужно перейти к представлению, в котором матрица М2 диа-
гональна.
Найдем собственные значения оператора М2. Операторы A8.2)
и A8.3) в полярных координатах запишутся как
Mz = 4 -?-, М2 = -П2А,
г оср
A8.10)
где Л — угловая часть лапласиана F.11).
Из выражений A8.2) видно, что любые две компоненты М не ком-
коммутируют друг с другом и, следовательно, в любом представлении мо-
может быть диагональной только одна из трех компонент Мх, Му, Mz.
Однако все три компоненты М одновременно коммутируют с операто-
оператором М2 [см. A8.6)]. Поэтому одновременно с матрицей-оператором М2
можно диагонализировать одну из компонент М (например, Mz). Та-
Таким образом, в квантовой механике наблюдаемыми могут одновремен-
одновременно быть М2 и одна из компонент М.
Вывод.
М2 имеет собственные значения h2l(l + 1); / = 0, 1, 2, ...;
Mz имеет собственные значения Km; т = ... — 2, —1, 0,
1,2,....
Здесь т — магнитное, а / — орбитальное квантовые числа.
Собственные функции оператора М2 (в единицах Н = 1):
М2 =1A+1), il> = f(r)YlmF,<p).
Итак, собственные функции B/ + 1)-кратно вырождены по маг-
магнитному квантовому числу т (это вырождение накладывается
еще на вырождение радиальных собственных функций).
На каждое значение М2 = 1A + 1) приходится B1 + 1) зна-
значений Mz:
Mz = m= (I, /-1, 1-2, ... , -/).
A8.11)
A8.12)
A8.13)

106
Лекция 18
Укажем в использованном представлении конкретный вид мат-
матриц Мх, Му и Mz:
/
0
0
0
0
/ — 1
0
0
I
0
0
-2 ..
0
. 0
. 0
. 0
. -I
м„ ='4
E = i
0
ibi
0
0
0
0
h
0
0
0
0
—ibi
0
ibi-i
0
0
k
0
bi-i
0
0
0
0
-ibi-i
0
0
0
0
bi i
0
bl-2
0
0
0 ...
0 ...
-ibi-2 ¦ ¦ ¦
0 ...
0 ...
0 ...
0 ...
bl-2 ¦ ¦ ¦
0 ...
0 ...
0 ...
0
0
0
0
ib-i+i
0
0
0
0
0
b-i+i
0
0
0
—ib-i+i
0
0
0
0
0
b-i+i
0
A8.14)
где bs = <J(l + s)(l + 1 - s) (см. у Шиффа, стр. 170).
Справедливость этих формул можно доказать, исходя либо из
свойств сферических гармоник, либо из перестановочных соотношений.
В дальнейшем мы проведем более общее рассмотрение свойств опера-
оператора момента импульса.
В заключение выпишем вид матриц момента при I =0 и 1 = 1:
1 = 0,
= 1,
м1 =
м„ = м„ =
A8.15)
Мх
м
0
1
л/2
0
=
0
0
0
2=2
1
л/2
0
1
л/2
V2
0
0
1
0
0
0
1
л/2
0
0
V2
0
0
1
0
?
•}
0
0
1
0 -
%
0
мж - г Д,
1
0
0
г
л^
0
г
=
0
0
0
0
V2
0
0
0
-1
0
г
V2
0
0
0
ч
0
0
0
A8.16)

Момент импульса
107
Отличные от нуля матричные элементы последних двух неэрмито-
неэрмитовых операторов равны соответственно
a<
1\МХ + гМу\т) =
- т);
±(т- \\МХ - iMy\m) =
A8.17)
Замечание. Оператор Мх + гМу переводит состояние \т)
в состояние \т + 1), а оператор Мх — гМу переводит то же
состояние \т) в состояние \т — 1), так что оператор Мх + ъМу
увеличивает, а оператор Мх — ъМу уменьшает значение т на
единицу.
A8.18)

Лекция 19
Зависимость наблюдаемых от времени.
Гейзенберговское представление
Унитарное преобразование S(t). Зависящее от времени урав-
уравнение Шредингера
гЩ = Нф A9.1)
может быть использовано для определения следующего унитарного пре-
преобразования, зависящего от времени:
Преобразование S(t) переводит вектор у@), соответствую- , .
щий моменту t = О, в вектор <p(t), соответствующий момен- ^ ' '
ту*.1
Заметим, что в теории дифференциальных уравнений <р получают,
интегрируя уравнение
гНф = Hip A9.3)
на интервале от 0 до t, причем в качестве начального значения tp бе-
берется величина у@).
Из теоремы A7.11) непосредственно следует, что оператор S(t)
должен быть унитарным:
если
?>(*) = S(t)<p(O),
то
= s-1(tMt) = s+(tMt).
В частности, для волновой функции
i>(t) = s(t)i>(o),
A9.4)
A9.5)
1 Напомним, что в классической механике переход от момента времени t = О
к другому моменту t можно рассматривать как каноническое преобразование. —
Прим. ред.

Зависимость наблюдаемых от времени. Гейзенберговское представление 109
Если гамильтониан Н не зависит от времени, явное выражение для S(t)
имеет вид
S(t) = е~лШ,
A9.6)
что легко проверить, непосредственно подставив A9.6) в равенст-
равенство A9.5), а затем в уравнение A9.1):
= е* , A9.7а)
так как гамильтониан Н — эрмитов оператор. В общем случае S-мат-
рица определяется уравнением
S(t) =-±
или
A9.76)
Шредингеровское представление. В этом представлении сис-
система описывается «вектором» состояния ф{€), зависящим от времени.
Переменные во времени «векторные» компоненты амплиту-
амплитуды ip(t) задаются в гильбертовом пространстве с не зависящим
от времени базисом -В(О):
e(D =
еB) =
Любая не содержащая временной зависимости наблюдаемая А, будь
то х, или ру, или любая другая функция координат и импульса, описы-
описывается матрицей в базисе -В(О). Элементы этой матрицы не зависят
от времени. Однако вероятность получить при измерении, проводи-
проводимом в момент t, определенные результаты зависит от времени, так
как вектор состояния ф{€) в шредингеровском представлении является
функцией времени.
Гейзенберговское представление. В этом представлении зави-
зависящая от времени прежняя амплитуда («вектор») состояния ф(Ь), свя-
связанная со своим начальным значением через ^-матрицу соотношением
ф{1) =
A9.9)

110 Лекция 19
задается в зависящем от времени базисе B(t) векторов:
e^(t) =S(?)e(s)@). A9.10)
Компоненты «вектора» ij)(t) в базисе B(t) не зависят от времени и рав-
равны компонентам «вектора» ^@) в базисе -В(О), так как выполняются
соотношения
@)^@).
Содержание этих соотношений иногда кратко выражают в форме
утверждения, что вектор состояния не зависит от времени. Однако луч-
лучше говорить, что вектор состояния оказывается отнесенным к сопут-
сопутствующей ему системе координат и представляется постоянным лишь
в этой системе.
Матричные элементы наблюдаемой А — функции координат и им-
импульса, не содержащей явной зависимости от времени, постоянны во
времени лишь при рассмотрении их в базисе -В(О), но не в гейзенбер-
гейзенберговском базисе B(t), зависящем от времени.
Гейзенберговское уравнение движения. Соответствующая
оператору А матрица при переходе от t = 0 к моменту времени t при-
принимает вид
A(t) = S+(t)AS(t),
A9.12)
A = SA(t)S+.
где А — не зависящая от времени матрица, описывающая наблюдае-
наблюдаемую в шредингеровском базисе -В(О). Найдем производную по времени
от A(t), используя уравнения A9.76):
4:A{t) = S+(t)AS(t) + S+(t)AS(t) =
(ХЪ
= Us+HAS - S+AHS].
Приняв, как и в A9.12),
H(t) = S+HS, A9.13)

Зависимость наблюдаемых от времени. Гейзенберговское представление 111
получим:
dA(t)
dt
A9.14)
Это гейзенберговское уравнение движения для операторов, не зависящих
явно от времени. Смысл A(t) можно понять, заметив, что среднее зна-
значение A(t), взятое по состоянию ^@) в момент времени t = 0, равно
среднему значению А по состоянию ij}(t) в момент времени t.
Уравнение A9.14) обнаруживает явное сходство с соответствую-
соответствующим уравнением классической механики, в котором фигурируют скоб-
скобки Пуассона. Поэтому коммутатор в правой части A9.14) обычно на-
называют квантовыми скобками Пуассона от Я и А (см. также последние
уравнения этой лекции).
Если гамильтониан Я не содержит явной зависимости от t, то
из A9.14) следует, что
dH(t)
dt
= j_[H(t),H(t)]=0,
A9.14')
т.е. что
H(t) = const = Я@) = Я. A9.15)
Это, однако, верно лишь при условии, что гамильтониан не зависит явно
от времени.
Связь между A9.14) и уравнением Гамильтона.
Положим, что гамильтониан Я = H(qi, q2, qz, ••• , Pi, P2,
Рз, ...) явно не зависит от времени. Перестановочные соотно-
соотношения [ps, qe] = h/i в простых случаях приводят к уравнениям
hdH
НдН
Отсюда с учетом A9.14) получим уравнения
d(ls _ irff -1 _ дН
[Hq]
A9.16)
dt fi ' aqs
которые являются уравнениями Гамильтона, имеющими ту же харак-
характерную форму, что и соответствующие уравнения классической меха-
механики.

Лекция 20
Законы сохранения и сохраняющиеся
величины
В этой лекции будет предполагаться, что гамильтониан Я
не зависит явным образом от времени t.
То же предположение примем относительно других опера-
операторов А, В, С,
Согласно A9.15), в рассматриваемом случае
B0.1)
B0.2)
Я = const. B0.3)
Это закон сохранения энергии.
Аналогичным образом из A9.14) следует, что физическая
величина А сохраняется, если
[Я, А] = 0.
B0.4)
Это равенство означает, что измерение А в данный или любой после-
последующий момент времени дает один и тот же результат.
Преобразования симметрии. Классические законы сохранения
импульса и момента связаны со свойствами симметрии физического
пространства, именно:
сохранение импульса — с симметрией относительно трансляций
(сдвигов) системы координат*;
сохранение момента импульса — с симметрией относительно по-
поворотов системы координат.
Обратно, из наличия законов сохранения можно сделать заключе-
заключение о свойствах симметрии системы. В связи со сказанным полезно
ввести преобразования симметрии для физических систем.
Примеры преобразований симметрии:
1. Преобразование трансляции (сдвиг) координат (симметрия име-
имеет место лишь в случае чисто внутренних сил).

Законы сохранения и сохраняющиеся величины
113
2. Преобразование ротации (поворот) координат (симметрия имеет
место лишь в случае чисто внутренних сил или в случае центральных
внешних сил, если поворот совершается вокруг источника сил).
3. Поворот вокруг выделенной оси z (аксиальная симметрия также
требует определенных условий).
4. Отражение относительно плоскости симметрии.
В каждом из этих случаев можно ввести оператор Т, определяемый
равенством
B0.5)
Tf (в исходном положении) = / (в положении, измененном
действием преобразования
симметрии).
Пример. Отражение относительно плоскости ху для функции двух
частиц:
1\x2, 2/2, z2) =
2, 2/2, -z2)-
Теорема. Оператор преобразования симметрии Т являет-
является унитарным:
Т+Т = 1.
B0.6)
Доказательство самоочевидно, так как Т явно сохраняет нормиров-
нормировку волновой функции /.
Теорема. Оператор преобразования симметрии Т комму-
коммутирует с гамильтонианом Н:
[Я, Т] = 0.
B0.7)
Доказательство. ^
При рассмотрении одного собственного значения Ег оператора Н,
определяющего вектор подпространства (одной или более) собствен-
собственных функций гамильтониана Н, соответствующих этому значению Ег,
заметим, что оператор действует внутри этого подпространства. Это
означает, что матричные элементы Trs оператора Т в представлении
Гейзенберга равны нулю при Ег ф Es, что эквивалентно утверждению
теоремы.
Э. Ферми

114
Лекция 20
Теорема. Эрмитово сопряженный оператор преобразова-
преобразования симметрии Т+ коммутирует с гамильтонианом Н:
[Н, f+} = 0.
B0.;
Доказательство сводится к тому соображению, что Т+ = Т х пред-
представляет собой также преобразование симметрии (обратное преобразо-
преобразованию Г).
Теорема. Собственные функции унитарной матрицы преобразо-
преобразования симметрии Т ортогональны (подобно собственным функциям эр-
эрмитовой матрицы), а модули их собственных значений равны единице.
Доказательство.
Матрицы А и В эрмитовы и коммутируют друг с другом; следователь-
следовательно, они имеют общую систему собственных функций, причем эти функ-
функции ортогональны. Очевидно, эти же функции являются собственными
функциями оператора Т (первая часть теоремы доказана). Возьмем те-
теперь собственные векторы этих функций в качестве базиса и приведем
матрицу Т к диагональному виду. Тогда из равенства ТТ+ = 1 следу-
следует, что диагональные элементы исследуемой матрицы по модулю равны
единице (тем самым доказана и вторая часть теоремы). Таким образом,
Собственные значения оператора Т равны ега'.
Собственные значения оператора Т+ равны е~гае.
Собственные значения оператора А равны cosas.
Собственные значения оператора В равны sina8,
где числа as — действительные.
B0.9)
Все четыре собственных значения соответствуют одной и той же вол-
волновой функции ф("\
Все четыре матрицы B0.9) коммутируют друг с другом и с
гамильтонианом Н. Следовательно, они не меняются во време-
времени, а их собственные функции ф^ могут быть выбраны так,
что совпадут с собственными функциями оператора энергии
(гамильтониана).
B0.10)

Законы сохранения и сохраняющиеся величины
115
B0.11)
Определения. Группой* симметрии называется совокупность
всех преобразований, соответствующих определенному свойству сим-
симметрии. Например, все повороты вокруг осей х, у, z образуют группу
вращений.
Представлением группы называется совокупность унитар-
унитарных матриц, соответствующих всем преобразованиям группы
и обладающих общей алгеброй.
Неприводимым представлением называется такое представ-
представление, все матрицы которого не могут быть одновременно при-
приведены к виду
B0.12)
B0.13)
§§§
0
0
§§
Свойства. Неприводимые представления однозначно
определяются абстрактной структурой группы.
Полезный прием состоит в том, чтобы выбрать такую сис-
систему базисных векторов
что она распадается на подсистемы
,('«)
каждая из которых (система /) под действием всех преобра-
преобразований группы симметрии переходит сама в себя. Такое раз-
разделение на подсистемы, не зацепляющиеся друг за друга при
преобразованиях, соответствует явному нахождению неприво-
неприводимых представлений рассматриваемой группы Щ.
Теорема (Вигнера). Если величина А {например, гамиль-
гамильтониан Н) коммутирует со всеми преобразованиями группы,
то матричные элементы <?>+(*) Аср^ при выборе базисных век-
векторов B0.14) равны нулю, коль скоро векторы у>М и (р^ соот-
соответствуют различным неприводимым представлениям. Иначе
говоря,
где щу\ — число, причем Д/ = R\
B0.14)
B0.15)

116 Лекция 20
Приложение 1 (Трансляционная симметрия и закон сохра-
сохранения импульса). Для замкнутой системы (действуют лишь внут-
внутренние силы, что означает однородность физического пространства)
имеет место симметрия относительно сдвига (трансляции), описывае-
описываемого преобразованием
Т(а) = Т(а, Ь, с) = Сдвиг всех координат на а ,„„ .„-.
[а = (а, Ь, с)].
Замечание. Все операторы Т, соответствующие различным век-
векторам (сдвигам) а, а1 и т. д., коммутируют между собой, а также, ко-
конечно, и с гамильтонианом Н (образуя тем самым так называемую абе-
леву группу). Именно поэтому целесообразно выбрать такое представ-
представление, в котором Н и все Т описываются диагональными матрицами.
Тогда, обозначая волновую функцию через ф, можно записать
Т(а)ф = егс"(а>ф [а = а(а) — функция вектора а].
На основании Т(а)Т(а') = Т(а + а') заключаем, что ,„„ 17.
а(а) + а(а') = а(а + а')
т.е. а = к ¦ а = кха + kyb + kzc,
где к — постоянный для данной волновой функции ф вектор. Для дру-
другой волновой функции вектор к — другой. Отсюда
Т(а) = егка — неприводимое представление B0.18)
группы трансляций.
Вывод. Величина Нк есть импульс системы. B0.19)
Доказательство.
Возьмем бесконечно малый сдвиг вдоль оси х (а = е, Ь = с = 0);
тогда
Т = eik*e х 1 + гкхг
и
Тф(хг, ?/1, zt;x2, 2/2, z2;...) я A + кхе)ф = ф + гкхеф;
с другой стороны,
Тф(х±, г/1, z±;x2, 2/2, z2;...) =
., , . / дф дф
= ф(х1 +?, 2/1, z1;x2 + e, 2/2, z2;...) и ф + е I ^ h ^ h ...

Законы сохранения и сохраняющиеся величины
117
Сравнивая эти выражения, находим:
...),
откуда hkx =
B0.20)
или ^ =
Здесь суммирование проводится по всем материальным точкам.
Волновые функции, зависящие от р, имеют вид
ф =
ж3 -
B0.21)
р — вектор, компоненты которого есть числа, а не операторы; эти ком-
компоненты — собственные значения операторов рх, ру и pz.
Часто используются преобразования к движущейся системе отсче-
отсчета (преобразование Галилея или преобразование Лоренца); например,
чтобы перейти к системе центра масс (центра инерции). В такой сис-
системе отсчета
р = 0 и волновая функция ф зависит только от отно-
относительных координат материальных точек1.
B0.22)
Системы центра масс важны и с более общей точки зрения*.
Приложение 2 (Симметрия относительно поворотов и за-
закон сохранения момента импульса). Рассматриваемый случай ре-
реализуется, когда на систему действуют только внутренние силы (замк-
(замкнутая система) или когда внешние силы обладают центральной симмет-
симметрией. В последнем случае центр вращения должен совпадать с источни-
источником внешних (центральных) сил. Пусть
Т — оператор поворота на бесконечно малый угол uiz вокруг
оси z; этот оператор дает преобразование
так что
Тф(х±,
= ф(х± -
Образуем эрмитов оператор
B0.23)
1 Конечно, если систему можно считать изолированной. — Прим. ред.

118
Лекция 20
Аналогичным образом можно построить эрмитовы операторы Мх, Му
и оператор
М2 = Ml + Ml + М2.
Следовательно,
Физические величины (наблюдаемые) Мх, Му, Mz, M2 яв-
являются константами движения.
Это закон сохранения момента импульса.
B0.24)
B0.25)
Из определения операторов B0.25) следуют также перестановоч-
перестановочные соотношения:
[Mx, My] = fl
т.е.
ty, Mz] = 41
%
[М х М] = 4
[мг, мх] = 4i
[Мх, М2] = [Mv, М2} = [Mz, М2} = 0.
B0.26)
Полученные для системы частиц перестановочные соотношения имеют
в точности тот же вид, что и соотношения для одиночной материальной
точки A8.1)-A8.3).
Можно показать, что матричная структура B0.15), отраженная
в серии равенств A8.12)—A8.14), A8.17) и A8.18), следует только из
перестановочных соотношений, и тем самым доказать в общем случае
теорему B0.15), но со следующим важным отличием: в лекции 18 было
показано, что орбитальное квантовое число / принимает целые значе-
значения; в общем случае, однако, оказываются допустимыми также полуце-
полуцелые [Bи + 1)/2] значения /. Последнее обстоятельство особенно важно
в квантовой теории спина.
Например, преобразование Т(а), соответствующее повороту на
угол а вокруг некоторой оси z, при действии на свою собственную
функцию дает
Т(а)ф =
B0.27)
если использовать представление, в котором матрицы Mz и М2 диаго-
нальны, то т будет целым или полуцелым числом.

Законы сохранения и сохраняющиеся величины 119
Приложение 3 (Симметрия относительно отражения (ин-
(инверсии) и закон сохранения четности). Если в физической систе-
системе действуют лишь внутренние и центральные внешние силы, то мож-
можно постулировать существование симметрии относительно отражения
(инверсии) координат. В этом случае преобразование Т соответствует
замене
х —>¦ —х, у —>¦ —у, z —>¦ — z
и представляет собой отражение относительно начала координат. (Ис-
(Источник центральных сил, как обычно, помещается в начале координат.)
Условие симметрии относительно отражения физически означает
эквивалентность правой и левой систем координат.
Из данного определения Т следует, что
Тф{х±, ух, zx;x2, 2/2, z2;...)= ф(-хх, -ух, -zx\-x2, -y2, -z2;...).
B0.28)
Свойства преобразования инверсии. Нетрудно видеть (применив
преобразование Т дважды), что
Г2 = 1. B0.29)
Кроме того, оператор инверсии координат Т коммутирует с оператора-
операторами B0.25) и, конечно, с гамильтонианом Н.
За основу обычно берут собственные функции опера-
операторов М2, Mz и Т
(все они коммутируют между собой). Из равенства B0.29) следует, что
собственные значения оператора инверсии Т [в общем случае даваемые
формулой B0.9)] равны
Собственные значения Т = ±1. B0.31)
Это обстоятельство позволяет ввести следующую классификацию со-
состояний физических систем:
Состояние
четное — при Т = +1 (положительная четность); ,„_ „„,.
нечетное — при Т = — 1 (отрицательная четность).
Четность есть свойство системы, сохраняющееся пока и поскольку на
систему действуют только центральные внешние силы и произвольные
внутренние силы1.
B0.30)
1С того времени, как Э.Ферми читал эти лекции, было открыто несохранение
четности при слабых взаимодействиях. См. основные работы в сборнике «Новые
свойства элементарных частиц», ИЛ, 1957. — Прим. ред.

Лекция 21
Стационарная теория возмущений.
Метод Ритца
Первый шаг теории возмущений — представление оператора Га-
Гамильтона системы и форме
Н = Н0 + Ж, B1.1)
где Ж — малая, не зависящая явно от времени добавка (возмущение)
к невозмущенному оператору Но. Собственные значения и собственные
функции невозмущенного гамильтониана Яо определяются из уравне-
уравнения
Яо4п)=4ПЧП\ B1-2)
где Uq — собственные функции гамильтониана Яо (ортонормирован-
ные). Из соображений удобства будем писать в дальнейшем
Я = #о + ХЖ, B1.3)
где постоянная А считается малой; этот прием позволит более нагляд-
наглядно разделить уравнения различных приближений, причем в конечном
результате А —>¦ 1. Разложим собственные функции и собственные зна-
значения полного гамильтониана Я в ряд по степеням А:
+ A*4 + • • • ; B1.4)
Е(п) = Е(п) + ХЕ(п) + х2Е(п) + _ _ _ . BL5)
тогда уравнение для собственных функций и^ и собственных значе-
значений Е(п) полного гамильтониана
(Яо + \Ж)и{п) = Е(п)и{п) B1.6)

Стационарная теория возмущений. Метод Ритца 121
примет вид
(Но + \Ж)(и{оп) + \и[п)
= (Е{оп) + ХЕ[п) +...) (и{оп) + Хи[п)
или
+ Х(Нои^ + Жи^) + Л2 (Щи^ + Жи^) +...=
Приравнивая коэффициенты при Л в соответствующих степенях, полу-
получаем систему уравнений
Ii0U0 — Ьо Uo , (/¦¦¦•',)
Нои[п) - Е{оп)и[п) - E[n)uF> = -Жи{оп\ B1.8)
Н0иBп) - Е(оп)иBп) - ЕBп)и(оп) = -Жи[п) + Е[п)и[п), B1.9)
[Уравнение B1.7) совпадает с уравнением B1.2) и тем самым подтверж-
подтверждает его.]
Разложим функции и\ в ряд по собственным функциям и0 :
Штрих в суммах означает, что суммирование ведется по всем зна-
значениям т, кроме значения т = п.

122 Лекция 21
Подставив эти разложения в B0.8) и B0.9) и, использовав B1.2)
или B1.7), получим:
\,,(m) p(«),,(n) _
т
) - ЕоПЫот) - Я|"ЧП) = ~^«iw) + E[n)u[n\ B1.12)
Матричный элемент возмущающей добавки Жтп равен
Хгп = Dт)|5?4п)) = (т\Ж\п) =
= f 4т)'^4П) da; = 4(т)-^«оП)- B1-13)
Найдем добавку первого порядка к энергии Е[ ; для этого умножим
уравнение B1.11) слева на Uq и, использовав свойство ортогональ-
ортогональности системы функций нулевого приближения
,,+(n),,(m) _ х С21 Ш
"О "О ~ "пли V^1-1^^
получим
Е[п) = ирп)Жи{оп) = Жпп. B1.15)
Вывод. Член первого порядка теории возмущений для собствен-
собственных значений энергии равняется среднему значению оператора Ж по
функциям невозмущенного состояния.
Далее, умножая B1.11) слева на и0 , получим выражения для
коэффициентов разложения
) ^тп . С21 16)
отсюда собственные функции первого приближения равны
+2L (п) p(m)U0 • W-V)

Стационарная теория возмущений. Метод Ритца
123
Аналогичным образом из уравнения B1.12) получим:
Е2 = У —~ ~>—г = ' —~ ~
-Е,
О
S = E
B1.18)
B1.19)
Пример З (Линейный осциллятор, возмущаемый постоянной
силой F). Возмущение гамильтониана имеет вид
Ж = -Fx.
Матричные элементы Ж равны
согласно соотношениям A7.23) записываем:
П
B1.20)
у/п,
... — ^n,n-3 — %п,п—2 — %пп — &П, п+2 — &П, п+3 — • • • — *-»•
B1.21)
Итак, в первом порядке теории возмущений поправка для энергии равна
нулю:
B1.22)
Во втором порядке
|2 | 2
<Еп, П + 1 | 1*^71, П—1
B1.23)
F2
2тш
2 '
Таким образом, энергии всех состояний уменьшаются по сравнению
с невозмущенными значениями на величину F2/2тш2.

124 Лекция 21
Проведем непосредственную проверку полученного результата.
Для этого произведем тождественное преобразование полного гамиль-
гамильтониана:
B1-24)
2
Этот гамильтониан отличается от невозмущенного лишь смещени-
смещением положения равновесия (координаты х) на величину F/mu>2, не
изменяющим величины энергии, и добавочным постоянным слагае-
слагаемым —F2/2mbj2, представляющим собой уже полученную поправку.
Пример 4 (Эффект Зеемана для частиц со спином нуль). В ка-
качестве невозмущенной системы рассматривается заряженная бесспи-
бесспиновая частица, движущаяся в кулоновском центральном поле (см. лек-
лекцию 8, где также не учитывался спин электрона). Чтобы учесть в волно-
волновом уравнении взаимодействие с внешним магнитным полем, использу-
используется обычная замена р > р — |j4, где А — электромагнитный вектор-
потенциал (магнитная индукция В = V х А). При этом полный га-
гамильтониан принимает вид
ш {* - -сАУ + w = ш?2 - ш^ ¦А)
B1.25)
(Членом, квадратичным по А, в дальнейшем пренебрегаем*.)
Коммутатор р ¦ А — А ¦ р = ?(V • ^4) в статическом случае равен
нулю. Пусть вектор индукции магнитного поля В будет параллелен
оси z, так что
Тогда
где, очевидно,
А
и-
f +
¦* = -
= ^
U (г)
fv, Ay
= н0,
--S-X
еВ
, Az
т
= 0.
-VV
-УРх
,,
)-
Ж.
B1
B1
.26)
.27)

Стационарная теория возмущений. Метод Ритца
125
Собственные функции невозмущенного гамильтониана Но, как было
установлено в лекции 8, имеют вид
9, ф).
B1.28)
В этом случае расчет по теории возмущений осуществляется триви-
тривиально, так как собственные функции B1.28) одновременно являются и
собственными функциями гамильтониа-
гамильтониана B1.27). Получим
/=0; т = 0
— 1л@)
— hinl Unl
еВ
' АМс
еВ
АМс
еВ
АМс
- урх) Unim =
Mz
так что
/ = 1;т=-1Д1
1=2; -2<т<2
B1.29)
Рис. 12. Эффект Зеемана без
учета спина электрона при
различных значениях орби-
орбитального квантового числа /
Из B1.19) видно, что в результате наложения внешнего магнитного
поля вырождение по т снимается и энергетические уровни атома водо-
водорода расщепляются (это расщепление показано на рис. 12). Напомним,
что спин электрона здесь не учитывался.
1. Правила отбора*
Темы для обсуждения:
л то ± 1
и принцип соответствия.
'ТО
2. Роль констант движения в предельной форме невозмущенных
собственных функций, входящих в суммы теории возмущений.
Магнетон Бора. Запишем возмущающий гамильтониан в форме
энергии взаимодействия орбитального магнитного момента с внешним

126 Лекция 21
магнитным полем, т. е. подставим в выражение B1.27) в качестве Ж ве-
величину
Ж = -B[i,
B1-30)
где /i, — орбитальный магнитный момент, а М/Н — орбитальный ме-
механический момент, выраженный в единицах действия К.
Интерпретация. Каждой единице h орбитального момента
соответствует единица магнитного момента
B1.31)
и0 = т^- = 9,2732 • 10~21 см^ • & ¦ секГ1.
2тс
«Квант» магнитного момента fj,o называют магнетоном Бора.
Темы для обсуждения:
1. Доказательство формулы B1.31), исходя из классических пред-
представлений о движении электрона по непрерывной орбите.
2. Доказательство формулы B1.31) с помощью представления о
плотности тока. Плотность тока j, как следует из уравнения непре-
непрерывности B.7) и определения B.9), есть
^с- B1-32)
Кроме того, учтем, что
IJ-z = I \{x xj)zd3x,
ф = F(r, 9)eimv, ф* = F(r, e)e-imv, B1.33)
<\2d3x=l.
Отсюда без труда получим:
М* = о^™- B1-34)

Стационарная теория возмущений. Метод Ритца
127
Метод Ритца. Волновая функция ф. соответствующая уравне-
уравнению B1.2), аппроксимирует точную функцию ф^ с возможной ошиб-
ошибкой первого порядка малости. В стационарной теории возмущений вы-
выражение
Н =(ф\ Нф) = ф+Нф = / ф*НфAх
B1.35)
дает значения энергии Е^ с точностью до величин второго порядка.
Это обстоятельство служит основанием для приближенного вариацион-
вариационного метода Ритца.
Эскиз практической процедуры: берется пробная волновая
функция ф. Вычисляется значение ф+Нф.
Приближение по энергии Е оказывается более точным, чем
приближение по волновой функции ф.
Изложим это более подробно.
Теорема. Вариационная задача на минимум 8{ф+Нф) = О
при условии ф+ф = 1 приводит к уравнению Шредингера.
Доказательство.
Выполняя варьирование, получаем:
ёф+Нф + ф+Н6ф - Хф+дф - Х6ф+ф = 0.
или
B1.36)
B1.37)
B1.38)
ёф+(Нф - \ф) + {Нф - \ф)+ёф = 0,
откуда следует уравнение
Нф-Хф- 0,
т. е. уравнение Шредингера с Е = А.
Коэффициент А выполняет здесь роль лагранжева неопределенного
множителя, обычного для задач на условный экстремум.
Вывод. Решая задачу на экстремум (минимум) B1.37), получаем
в качестве минимального значения функционала наименьшее собствен-
собственное значение энергии; экстремальным же значениям вообще соответ-
соответствуют все другие собственные значения энергии.

128
Лекция 21
Практическое приложение теоремы {метод Ритца): выберем
разумную пробную волновую функцию ¦0° яз f(x, а, /3, ...), где
а, /3, ... — подлежащие варьированию (подгоночные) параметры. Вы-
Вычислив величину
J f*(x, a, 0, ...)Hf(x, a, 0, ...)dx
(а>Р>-~>- //*(ж, a, /3, ...)f(x, a,0,...)dx'
найдем такие значения параметров а, /3, ..., при которых
Е(а, /3, ...) = min.
B1.39)
B1.40)
Это минимальное значение Е будет близко к низшему энергетичес-
энергетическому уровню, если пробная функция f(x, а, /3, ...) является хорошим
приближением к точной собственной функции, соответствующей этому
уровню.
Пример. Рассмотрим задачу о гармо-
гармоническом осцилляторе с точки зрения ме-
метода Ритца. Гамильтониан имеет вид
Я = \f + \х2 B1.41)
(здесь приняты единицы Н = 1, т = 1,
Рис. 13. Вид пробной функ- ш ~ -*-/•
ции /(ж) Обозначим пробную волновую функ-
функцию через f(x) и зададим ее в форме «тре-
«треугольника» с высотой 1 и основанием 2а (рис. 13). Здесь всего один
варьируемый параметр а. Простые выкладки дают
+а +а
\j' x2f(x)dx-\j f(x)f"(x)dx
Е(а) =
+а
J p{x)dx
— а
B1.42)

Стационарная теория возмущений. Метод Ритца 129
Минимум «энергии» Е(а) соответствует значению
а =<т =2,34,
откуда ЕB,34) = 0,548;
это с погрешностью не более 10% (достаточно хорошо для первого при-
приближения!) совпадает с точным наименьшим собственным значением,
равным 0,500000.
Темы для обсуждения:
1. Доказать следующее утверждение. Величина Е(а, /3, ¦¦¦), дава-
даваемая формулой B1.29), удовлетворяет неравенству
Е(а,0,...)>Ео, B1.44)
где Eq — низшее собственное значение энергии рассматриваемой сис-
системы.
Указание. Функцию / следует разложить по собственным функ-
функциям гамильтониана Н.
2. Обсудить практическое применение доказанного утверждения.
9 Э. Ферми

Лекция 22
Случай вырождения и квазивырождения.
Эффект Штарка на водороде
Процедура теории возмущений, изложенная в лекции 21, теряет
смысл, когда разности
ЕоП) - Еот) = ° (вырождение)
или очень малы (квазивырождение) [см. B1.18) и B1.16)]. В таких слу-
случаях необходим другой подход.
Запишем собственные функции невозмущенной системы; пусть
Функции «^, «Г, • • • , 4g) Функции u{og+1), u(t2),...
соответствуют вырожден- соответствуют остальным ^2 1)
ным или квазивырожден- (невырожденным) состоя-
ным состояниям системы. ниям системы.
Будем искать приближенные решения задачи (в первом порядке)
в форме
с*и(о*\ B2-2)
я=1 a=g+l
где Са — малые первого порядка, Cs — предположительно велики.
Искомая функция должна приближенно соответствовать гамильто-
гамильтониану Н, заданному, как и раньше, в виде
Н = Hq + Ж,
так что уравнение Шредингера имеет вид Ни = Ей, причем
Е = Е0+е

Случай вырождения и квазивырождения. Эффект Штарка на водороде 131
(е — добавка первого порядка к собственным значениям энергии сис-
системы). Подставляя в уравнение Шредингера функцию B2.2), получаем
в первом приближении:
g
8 = 1
- Ь)и0 + 2_^ ^«(-"о - Ь0)и0 = U.
a=g+l
B2.3а)
Но так как, по определению, щ1 — собственные функции операто-
оператора Но, уравнение B2.3а) переписывается в виде
B2.36)
я=1
a=g+l
Умножим это уравнение слева на функцию и$ , где / = 1, 2, ... , g\
в силу ортонормированности функций нулевого приближения получим:
я=1
Это секулярная задача. Условие ее разрешимости —
Ъч ... Hi.
Равенство нулю
детерминанта
ц — Е Hi2
Н21 Н22 — Е
нв
Hgg~E
= 0.
Условие разрешимости представляет собой алгебраическое
уравнение степени g для определения энергий Е, соответству-
соответствующих первым g вырожденным или квазивырожденным состо-
состояниям невозмущенной системы.
Затем находим: Са =
сяна
причем знаменатель
о*' — Eq) велик!
B2.4)
B2.5)
Эти коэффициенты дают поправку к волновой функции в первом по-
порядке теории возмущений.
Следует отметить роль законов сохранения при упрощении секу-
лярного уравнения B2.4) в процессе его решения.

132 Лекция 22
Пример. Эффект Штарка. Рассмотрим сдвиг энергетических
уровней атома водорода во внешнем электрическом поле напряженнос-
напряженности F для уровней с п = 2 (эффект Штарка).
Будем считать, что электрическое поле направлено по оси z, так
что возмущающий гамильтониан Ж (энергия взаимодействия электро-
электрона с внешним полем) равен
Ж = +eFz, B2.6)
где F — напряженность электрического поля.
Возмущающий гамильтониан B2.6) является нечетной функцией z.
Таким образом, вычисление диагональных элементов Жпп по B1.13)
с невозмущенными функциями даст нулевой результат. Отсюда следу-
следует, что в основном состоянии атома водорода эффект Штарка в первом
порядке отсутствует, так как при п = 1 вырождения нет (используется
формализм предыдущей лекции); именно поэтому следует рассмотреть
следующую оболочку (п = 2).
Невозмущенное состояние с главным квантовым числом и = 2 че-
четырехкратно вырождено, так что энергии уровней
2s0, 2рь 2р0, 2р_! B2.7)
совпадают (см. рис. 7, стр. 42).
Из того факта, что координата z коммутирует с Mz, следует:
[Ж, Mz] = О, B2.8)
так что возмущение влияет только на состояния с одинаковым значе-
значением магнитного квантового числа то, т. е. на состояния 2so и 2ро (сме-
(смешивает их), в то время как два других уровня 2pi и 2p_i, как и в от-
отсутствие вырождения, сохраняют невозмущенные значения энергии.
В первом приближении добавочную энергию уровня 2pi можно за-
записать [см. B1.15)] в виде
Е2Р1 = BPl\eFz\2Pl) = eF Гг\ф2р1\2 d3x = 0 B2.9)
(вследствие нечетности z и четности IV^pJ2)- Аналогичный результат
получается и для уровня 2p_i. Следовательно, уровни 2pi и 2p_i в пер-
первом приближении оказываются невозмущенными. Волновые функции

Случай вырождения и квазивырождения. Эффект Штарка на водороде 133
уровней 2s и 2ро имеют вид
B2.10)
B2.11)
Матричные элементы Bs|z|2s) и Bpo\z\2po), как и матричный эле-
элемент B2.9), равны нулю1.
Вычислим следующий матричный элемент:
Bs\z\
ОО 7Г
|2P0) = 32^//B"«)e""«
о о
sin6»d0 =
где a = -^—z- — боровский радиус (8.19).
me z
Матрица, соответствующая возмущающему гамильтониану,
B2.12)
eF
О -За
-За О
имеет собственные значения,
равные ± 3eFa.
B2.13)
Отсюда следуют энергетические уровни (в первом приближении) и со-
соответствующие волновые функции (в нулевом приближении):
Энергия уровней Собственные функции
(первое приближение) (нулевое приближение)
те4 1
4
те
2/г2
те4
2ft2
2ft2
те4
2ft2
i +
i
4
4
1
4
Зе^а
Зе^а
¦Ф2Р-1
V2
B2.14)
1Ср. замечание после формулы B2.6). — Прим. ред.

Лекция 23
Нестационарная теория возмущений.
Борновское приближение
Пусть гамильтониан системы имеет вид
Ятт | 'ЯР. /ОО 1 \
— До + ж; \А*>-ч
Но — невозмущенный гамильтониан — не зависит от времени, Ж — га-
гамильтониан возмущения — может содержать временную зависимость.
Стационарное (невозмущенное) уравнение Шредингера
¦ J- / тт I /ОО О\
Ifllpo = Holpo \Zo.Zj
имеет решение
/ \ Л @) (п) — "г-En * /оо o^
ipo = У ayn'UQ е п ° , \Zo.o)
п
где а„ — постоянные коэффициенты, а Ид (г) — собственные функ-
функции уравнения
ощ = щ и0 . B3.4)
Требуется найти решение уравнения Шредингера для системы с га-
гамильтонианом Н B3.1), которое точно мы не можем решить. Для на-
нахождения приближенного решения можно воспользоваться нестацио-
нестационарной теорией возмущений.
Представим решение возмущенного уравнения Шредингера
гНф = (#о + Ж)ф B3.5)

Нестационарная теория возмущений. Борновское приближение 135
в виде
где ara(i) — коэффициенты разложения, подлежащие определению. Под-
Подставим B3.6) в уравнение B3.5); затем, умножив полученное равенст-
равенство слева на и$ и воспользовавшись свойством ортонормированности
функций Uq и UqS и уравнением B3.4), получим:
• % ^ / I /US) I \ fc V 0 0 ' /ли fyA
где
(з\Ж\п) = u+(eK?i4n) = f и*о{а)Жи{оп) dx = Ж8П. B3.8)
Система уравнений для as B3.7) является точной, а не приближен-
приближенной, так что фактически она эквивалентна точному уравнению Шредин-
гера B3.5). Будем, однако, решать эти уравнения приближенно, ме-
методом итераций: подставим в правую часть B3.7) коэффициенты не-
невозмущенного решения ап@) в качестве первого приближения к an(t).
Приближенное выражение для as(t) после интегрирования по времени
запишется как
t
o,(t)«fl,@)-i) о„@) / Ж8ПЦ)е^ ° ° ' dt. B3.9)
Важный частный случай. Пусть при t = 0 система находится
в состоянии п. Тогда ап@) = 1, а все другие коэффициенты равны
нулю. Отсюда
t
as(t) = -i Г Ж.пЮеЬ^'*1™
при s ф п. B3.10)
Матричный элемент M?sn(t) определяет переход из состояния п в со-
состояние s.

136
Лекция 23
Переходы из состояния п во все прочие состояния вообще.
Положим Ж8П не зависящим от времени. Интеграл в B3.10)
Равен i,Eo>_E<»>w .
Вероятность перехода за ? — время действия возмущения из
состояния п в одно состояние s (рис. 14) — равна
B3.11)
Рис. 14. Пере-
Переход с уровня п
в континуум
состояний
)
Отсюда вероятность перехода во все состояния вообще
B3.12)
e(En) /
аш2
Здесь интегрирование дает nt/2h (известный несобственный ин-
интеграл
+ 0О
/. 2
111 аж dx
X1
равен ж а).
д(Еп) = число состояний s в единичном интервале энергий
в окрестности Еп;
[Вероятность перехода] 2-к
\_в единицу времени J Н
B3.13)
Тема для обсуждения: Зависимость конечного распределения по со-
состояниям от времени t и связь между характером этого распределения
и принципом неопределенности*.

Нестационарная теория возмущений. Борновское приближение
137
Пример. Борновское приближение.
Рассмотрим процесс рассеяния
заряженной частицы на потенциа-
потенциале U(x), понимая его как гамильто-
гамильтониан возмущения. Он не зависит от
времени (сохранение энергии). Им-
Импульс падающей частицы обозначим
через р, а импульс рассеянной — че-
через р' (рис. 15). Итак, условия зада-
задачи:
пучок
Рис. 15
B3.14)
Рассеяние на потенциале [/(ж).
Объем взаимодействия («ящик») п.
Сохранение энергии \р\ = \р'\.
и(х) = Ж — возмущение.
Начальное и конечное состояния представим как падающую и рас-
рассеянную волны (функции нормируются на «ящик» Щ. Поскольку вре-
временные части волновых функций одинаковы (ввиду сохранения энер-
энергии), запишем их пространственные части и матричный элемент пере-
перехода р —>• р' (из начального состояния в конечное):
Начальное состояние (падающая волна) —^—
Конечное состояние (рассеянная волна) —=eh ,
(Нормировка на Г2.)
Матричный элемент перехода р —>• р'
У) = 11 Щх)е>-^
п
dx=uUp.p..
B3.15)
Таким образом, матричный элемент равен фурье-образу потенци-
потенциальной энергии U, взятому с аргументом р — р'. Число конечных со-
состояний в телесном угле du> на единичный интервал энергий равно
- уЩ> Р^г = ~?г ^ B3Л6)
BтгЙK vdp 8tt3H3v

138
Лекция 23
v — начальная скорость частицы, v dp = dE (что верно и в релятивист-
релятивистском случае).
Тогда скорость переходов в телесный угол dco (вероятность рассе-
рассеяния в du> за единицу времени) равна
2
отсюда
U(x)
v da 2тг
=
da
пи*-%
Up2
¦ dco;
dco 4тг2Й4 v2
B3.17)
U
Формула B3.17) дает эффективное дифференци-
дифференциальное сечение рассеяния da. В нерелятивист-
нерелятивистском случае т = ^(= const)
da
dco
т
B3.18)
Рис. 16
Пределы применимости полученных резуль-
результатов. Рекомендуется обсудить пределы при-
применимости борновского приближения. В част-
частности, в случае рассеяния на прямоугольной яме
(рис. 16) такое условие имеет вид
- 2mU)
B3.19)
где L — ширина потенциальной ямы, a U — ее глубина (модуль рассеи-
рассеивающего потенциала). Это соответствует слабому возмущению (в скоб-
скобках стоит разность импульсов частицы вне и внутри ямы).
Рассеяние на кулоновском центре.
Потенциальная энергия заряда ze в поле рассеивающего за-
заряда Ze равна
U = zZe2/r;
отсюда фурье-образ матричного элемента Up-P' [см. B3.15)]
есть . B3.20)
т(р-р')-х
Up-pi = zZe-
1
х =
A-KzZe2
J_
ft2
\P\ = \P'\ =P-
P-P
4p2 sin2 \

Нестационарная теория возмущений. Борновское приближение 139
При интегрировании здесь полезно учесть соотношение*
V2(l/r) = -AttS(x).
Для сечения рассеяния получим:
da _ z2Z2 I me2] I -4 в B4 2П
fa-~Г \y-j I Sm 2' B3-21)
т.е. известную классическую формулу Резерфорда.
Темы для обсуждения:
1. Рассеяние на потенциальной яме и ядерные силы.
2. Предел больших длин волн — изотропное рассеяние.
3. Предел малых длин волн — рассеяние вперед.
4. Роль массы покоя (случай нейтрино).
5. Экспоненциальный закон распада некоторой первоначально свя-
связанной системы [случай B3.11)].

Лекция 24
Испускание и поглощение излучения
Здесь будет рассмотрено дипольное излучение, появляющееся уже
в первом порядке теории возмущений, когда 5-матрицу можно счи-
считать пропорциональной гамильтониану (см. лекцию 19). Будем предпо-
предполагать, что на атом действует возмущение в форме электромагнитной
волны, описываемое гамильтонианом
Ж = ezB- cos cot, B4.1)
где В — амплитуда напряженности возмущающего поля. Пусть в мо-
момент t = 0 атом находится в состоянии Е^ и под дей-
Elm) t rr. ствием возмущения может перейти на более высокий
уровень i?(m) (рис. 17). Согласно B3.10),
am(t) = -\eBZmn cos wte^^dt, B4.2)
E 1 n n, J
о
Рис. 17 ,
где величина сотп, называемая воровской частотой пе-
перехода между энергетическими уровнями тип, поло-
положительна:
fa>™ = Е(т) ~пЕ(П) > °"
Заметим, что
cos cot = к(е + e ).
Когда частота возмущающей волны приближается к частоте перехо-
перехода со рй сотп, в этом выражении существенно только второе слагаемое.
В таком случае B4.2) принимает вид
nJ
z [edt
2HmnJ 2ft

Испускание и поглощение излучения 141
Вероятность того, что в момент времени t атом окажется на энергети-
энергетическом уровне Е^т\ равна
2 2 sin2 \(ш ~ штп)
\am(t)\2 = ^Izmnl2—1 rj—. B4.3)
Здесь обнаруживается интересное обстоятельство: при ш —>• штп веро-
вероятность перехода достигает максимума; тогда говорят о резонансном
вынужденном переходе.
Энергия электромагнитной световой волны равна сВ2/8тг; рассмат-
рассматривая поглощение в случае, когда падающая волна имеет непрерывный
спектр в окрестности резонансной частоты и>тп, следует принять,
B4.4)
Подставив это выражение в B4.3) и интегрируя по о; с учетом тождест-
тождества Г sm аж dx = тга, получим: \ат\2 = t47r f \zmn\2^- (и> — цикли-
-оо ж сЬЛ aoj
ческая частота, а не телесный угол!). Итак,
\Скорость поглощения падающей] 4тг2е2 .2 dl ,г,Л к\
~ , о zmn\ -J-- B4.5)
р щ щ
|_ (вынуждающей) волны J
В случае изотропного излучения следует ввести объемную плотность
энергии U(oj)du>; тогда B4.5) приобретает вид
Л 2 2
Скорость поглощения = ж ^ \xmn\2U(u>mn) B4.6)
(множитель Уд возникает при усреднении по всем возможным направ-
направлениям поляризации).
Связь между излучением и поглощением можно было бы вывести
методами квантовой электродинамики, однако проще воспользоваться
методом коэффициентов Эйнштейна я/, SS и с€. Скорость вынужденного
перехода из состояния п в состояние то:
Скорость перехода п —>• то = SSU(u>) JV(п).

142
Лекция 24
Здесь Jf{n) — число атомов в состоянии п (или то). Естествен-
Естественно предположить, что скорость обратного перехода из состояния то в
состояние п равна
с;
с;
где d — коэффициент спонтанного
(самопроизвольного) перехода, а Ч> —
коэффициент вынужденного перехо-
перехода то —>• п.
Установим связь между коэффици-
коэффициентами d, SS и Ч>. Числа атомов со-
соответственно в состояниях пито рав-
Рис. 18. На более высокий уро- ны jf^ и ^(ш). Из B4.6) следует, что
вень возможны лишь вынуж-
вынужденные переходы, а на более ,, _ 4тг2е2 .2 /од 7\
низкий — как вынужденные, ЗЙ2 "* ' '
так и спонтанные
При термодинамическом равновесии
система атомов подчиняется распределению Больцмана, так что
Е(т)_Е(„)
= е
B4.8)
(к — постоянная Больцмана).
По самому смыслу равновесия скорость перехода п —>• то должна
быть равна скорости обратного перехода то —>• и; следовательно,
= е хт .
По формуле Планка
B4.9)
B4.10)
подставляя B4.10) в B4.9), получаем:
7Г2С3 80_/ Кш/хТ _ i\ , Чо_ _ Пш/>сТ
h3 @[ ' @~
Это равенство должно выполняться при любой температуре Т, так что
7Г2С3 d =1 ^ =1

Испускание и поглощение излучения
143
Отсюда следуют соотношения Эйнштейна
Нш3 ,
7Г2С3'
B4.11)
Используя значение коэффициента Sf> B4.7) для спонтанных (само-
(самопроизвольных) переходов, находим:
3 he3
mnl
B4.12)
где т — среднее время жизни возбужденного состояния т по отноше-
отношению к спонтанным переходам.
Результат B4.12) можно обобщить на случай системы многих час-
частиц с помощью замены
еж
B4.13)
(суммирование проводится по всем частицам); таким образом,
1
т
4
B4.14)
Итак, поток энергии спонтанного излучения пропорционален квадрату
матричного элемента радиус-вектора (для одного электрона) или квад-
квадрату электрического момента B4.13) для системы заряженных частиц1.
Темы для обсуждения:
1. Границы применимости формулы B4.12) (размеры атома «С А),
т.е. длины волны излучения.
2. Квадрупольное излучение (следующее приближение теории воз-
возмущенийJ.
Случай центральных сил. Правила отбора. Вспоминая ре-
результаты лекции 7, выпишем некоторые тождества для сферических
1 Последняя интерпретация более физична и, конечно, правомерна также в случае
одного электрона, который в волновой механике считается «размазанным». — Прим.
ред.
2См., например, Гайтлер, Квантовая теория излучения, ИЛ, 1956. — Прим. ред.

144
Лекция
функций:
т
B/ + 1)B/
l)BZ
1 12-т2 ,
BZ + 1)BZ-1)'
B4.15)
M = -sinfle**',
B4.16)
Из этих тождеств следует, что в центрально-симметричном поле мат-
матричные элементы координат отличны от нуля только тогда, когда
I' = I ±1, т' = т ± 1 или га.
B4.17)
Эти условия называют правилами отбора1; они определяют воз-
возможность того или иного акта излучения и поглощения и налагают
так называемые «запреты» на переходы, не удовлетворяющие услови-
условиям B4.17). Исходя из правил B4.17), можно записать следующие выра-
выражения для матричных элементов:
(и', / + 1, т + 1\х + iy\n, I, т) = —1а
l)BZ
(и', / + 1, т + 1|ж — iy\n, I, m) = О,
и', / + 1, m\z\n, I, т) = I
(Z+lJ-m2
BZ + l)BZ +
(и', I + 1, т - 1\х + гу\п, I, т) = О,
B4.18)
(и', I + 1, т — 1\х — гу\п, I, т) = I
(I + 1 - т)A + 2 - т)
1 Правила отбора для магнитного квантового числа уже рассматривались в лек-
лекции 21. — Прим. ред.

Испускание и поглощение излучения 145
Здесь
1= I Rm{r)Rn,a+1{r)rzdr. B4.19)
о
Из формул B4.18) следует, что
\(п', 1 + 1, т + 1\х\п, I, то)|2 + \(п', / + 1, т\х\п, I, т)\
\2
B4.20)
1 4-1
+ \(п', I + 1, то - 1\х\п, I, т)\2 = ±±± I2,
так что скорость перехода из состояния (и, I, т) в состояние
п', I + 1, т' = < . ., ) равна
[т± 1)
Скорость перехода 1 _ 4 е2ш3 1 + 1 Т2 19, 91 ч
(п, /, т) -»¦ (п;, / + 1, т')\ ~ 3 йс3 2Z + 1
Отметим, что как соотношения B4.20), так и скорость перехода
в B4.21) не зависят от магнитного квантового числа то, что прояв-
проявляется в одинаковой яркости спектральных линий.
Аналогично скорость перехода из состояния (и,/, то) в состоя-
( i 1 1 / \т \
I п , / — 1, т = < 1 I равна
Скорость перехода ] _ 4 e2w3 / p /24 22)
ние
[(п, /, m) -^ (и', / - 1, т')\ 3 he3 2/ - 1
Пример. Время жизни 2р-состояния водорода. Согласно пра-
правилам отбора, возможен лишь спонтанный переход в состояние Is; сле-
следовательно,
R — _?_ю-г/а г? _ 1 Г -г /2а
а '2 л/24а3 а
192\/2
a.
= / RisR2Pr3 a
¦I ^° B4.23)
294912 e2w2a2 _
Скорость перехода Bр —>• Is) =
177147
6561 VW 2Й3
10 Э.Ферми
П52(е2\3 me*= w9ceK-

146 Лекция 24
здесь е2/he = 1/137 — постоянная тонкой структуры, или констан-
константа электромагнитного взаимодействия;
те4/2П3 = 2,067- Ю^сек = Постоянная Ридберга/Н;
ш = C/4)(те4/2Й3)—энергия первого боров- ,_. „
ского уровня;
а = h2/me2 — боровский радиус.
Темы для обсуждения1:
1. Разрешенные и запрещенные переходы.
2. Метастабильные состояния.
3. Обобщение правил отбора.
4. Излучение линейного осциллятора.
5. Правило суммы и эффективное число электронов.
6. Поляризация излучаемого света.
1 Большую помощь в изучении этих вопросов читателю могут оказать Кур-
Курсы квантовой механики Л. Шифа (в частности, см. стр. 292-297, 303-306),
Д. И. Блохинцева (стр. 300-317), а также книга А. Зоммерфельда Строение атома и
спектры, т. II, М., 1956 (см. гл. I, §8, 9; гл. II, §§8, 10). — Прим. ред.

Лекция 25
Теория спина Паули
Понятие спина.
Физически спин представляет собой собственный механический
момент (момент импульса) частицы и является таким же первичным
свойством частицы, как ее масса покоя. Спин ведет себя как векторная
(точнее, псевдовекторная) величина. Итак,
Спин — это внутренняя степень свободы.
Рассмотрим в первую очередь спин электрона; проекция его на вы-
выделенную ось может принимать лишь два значения: +х/2 и —1/2. Волно-
Волновая функция электрона при учете зависимости от спина — величины,
имеющей два собственных значения, — становится «векторной» функ-
функцией, имеющей две компоненты ф = < . >. Таким образом.
Спин — переменная, принимающая два значения.
Операторы спина. Общий вид матриц-операторов, действующих
на новую переменную, таков:
А =
а12
0,22
B5.1)
Найдем вид трех операторов ах, ау, <т2. соответствующих новым
физическим величинам — проекциям спина на координатные оси. Нор-
Нормируем собственные функции этих операторов так, чтобы их собствен-
собственные значения были равны ±1.
Отсюда следуют условия:
= Э1 = Ъ1 = 1 =
1 О
О 1
кроме того. (аах + (Зау + ydzJ = 1,
B5.2)
B5.3)
ю*

148
Лекция 25
где a, fi, 7 — направляющие косинусы вектора спина. Из B5.3) выте-
вытекают правила антикоммутации для компонент оператора спина
— -**- I — -**- г» -**- — I -**- -**- г» — -**- I <Ь ^ /Л /<)Г J \
(Тх(Ту < (Ту(Тх — U, ОуGz ~г (УZ(Jу — U, иzuх ~г ОХОz — U. (ZO.41I
Выберем базис, в котором матрица <tz диагональна:
1 Oil
0 -l||
B5.5)
Общая форма матрицы Эх следует из условия ее эрмитовости:
а Ъ
Ь* с
Тогда из правила dxdz + crzax = 0 следует:
а
Ь*
т.е. а =
с =
b
с
0,
1
0
так
0
-1
+
что Э
х —
1
0
0
ь*
0
-1
а
Ь*
ъ\\
о ¦
b
а
2а
0
0
-2с
С другой стороны, а\ = \VQ ,&,2
матрица Эх должна иметь вид
1 0
0 1
, т.е.
= о,
= 1. Таким образом,
0
Выберем значения фаз базисных векторов так, чтобы получить
а = 0. Тогда окончательно
0 1
1 0
B5.6)
Поскольку к матрице Эу приложимы те же самые соображения, что
и к Эх, получаем:
О eip
,-ip о
Но следует удовлетворить еще условию Эхау + ЭУЭХ = 0, откуда

Теория спина Паули
149
Следовательно, Эу = . I. либо
вый вариант матрицы ау. Пусть
О г
1 О
О -1
О -г
0 1
1 О
. Попробуем исключить пер-
перст,, =
О г
-ъ О
Произведем теперь преобразование <х
свойств матриц:
а, =
-1 О
О 1
О -г
г О
—<х, не меняющее общих
О -1
-1 О
Тогда унитарное преобразование Т = ау дает спиновые операторы Па-
Паули в их стандартной форме (второй вариант):
B5.7)
Так как оба преобразования унитарны, то в целом преобразование так-
также унитарно; тем самым доказана эквивалентность обоих выборов вида
матрицы Эу. В дальнейшем будет использоваться стандартная (вторая)
форма спиновых операторов.
0
1
1
0
1 aV —
0
г
—i
0
' °z ~
1
0
0
-1
Свойства операторов Паули. Прямо из B5.7) получим:
К + К =
— 0,
B5.8)
B5.9)
ахЪу = iaz, dy(rz = гах, azax = iay, B5.10)
[<7ж> &у] = 2%az, [ay, az] = 2гдх, \az, ax] = 2iay, B5.11)
или в общем виде
[Э х а] = 2ia.
B5.12)
Все эти свойства удобно выразить в виде одной легко запоминаю-
запоминающейся формулы OiOj = iSijuO]. + &ij, где е — символ Леви-Чивита.
Вектор спина. Рассмотрим вектор
Q /г
B5.13)

150 Лекция 25
Из B5.12) для оператора 5 следует соотношение
[5x5] = ihS. B5.14)
Оно имеет в точности форму соотношений A8.5) и B0.26). Следова-
Следовательно, величину B5.13) S = (Й/2)<х можно интерпретировать как
собственный момент импульса {собственный механический момент)
электрона. Очевидно,
Собственные значения Sx, Sy, Sz равны ±Й/2; кроме того,
с2 с2 _i_ с2 _i_ с2 ^2 ~2 3 h2 h2
Последнее явно напоминает собственные значения М2
[см. A8.11)].
Вывод: Спиновый момент электрона = /г/2.
Магнитный момент. Из экспериментального эффекта Зеемана
следует, что спину должен соответствовать магнитный момент
/х = /хосг Ыо = тг магнетон Бора). B5.16)
В точности такой же вывод следует из релятивистской теории элек-
электрона Дирака. В более точной теории, учитывающей радиационные по-
поправки, Швингер в 1948 г. нашел:
) ^ B5-17)
что еще лучше согласуется с экспериментом.
При движении электрона во внешнем магнитном поле В (В \\ z)
к гамильтониану B1.27) прибавляется член
^. B5.18)
Следует обратить внимание на характерное соотношение:
Магнитный момент _ ГМо для орбитального момента
Момент импульса/h \2/x0 для спина
_ ГМо д
\2/x0

Теория спина Паули 151
Темы для обсуждения:
1. Движение изолированного вектора спинового магнитного момен-
момента в постоянном или переменном магнитном поле*.
2. Смысл «направления» вектора спина**.

Лекция 26
Электрон в центральном поле
Потенциальная энергия заряда е в центрально-симметричном элек-
электростатическом поле
U= -eV(r).
B6.1)
Рис. 19. Движение элек-
электрона в центральном
Рассмотрим сначала классическое спин-
орбитальное взаимодействие электрона, дви-
движущегося в центрально-симметричном поле
ядра (рис. 19).
При движении в кулоновском поле со
скоростью v электрон испытывает воздейст-
воздействие эффективного магнитного поля, напря-
напряженность которого приближенно равна Н =
= — (l/c)v х Е. Выражая напряженность ку-
электростатическом поле \ i i r r j
лоновского поля в виде градиента его по-
потенциала, можем ввиду его центральной симметрии записать Е =
= (dV/dr)(x/r).
Итак, напряженность эффективного магнитного поля для электро-
электрона
Н
Н
Е =
с г
dr r '
B6.2)
= 'Lly'MM = —
ft V'(r)
me r r v- j— mc r '
где «штрих» означает производную по радиальной координате
М = Орбитальный момент = HL,
[Собственный (спиновый)] _ е%
[магнитный момент
2тс
а.
B6.3)

Электрон в центральном поле 153
Энергия взаимодействия собственного (спинового) магнитного момен-
момента электрона с эффективным магнитным полем равна
еП2У'(г)(т
(Знак «минус» соответствует отрицательному знаку заряда электрона.)
Поправка Томаса представляет собой релятивистский член умень-
уменьшающий энергию взаимодействия B6.4) вдвое. Этот вывод подтверж-
подтверждает и последовательно релятивистская теория Дирака.
Окончательно примем следующее выражение для энергии спин-
орбитального взаимодействия:
4m2c2
Полный гамильтониан электрона, движущегося в центрально-сим-
центрально-симметричном электрическом поле, запишется в виде
Й=^Р2 eV{r) f^ B Э)
1т 4т с г
Положим
S = f, B6.7)
где S — собственный (спиновый) механический момент электрона
в единицах h. Тогда B6.6) примет вид
1т 2т с г
Оператор полного момента. Определим
J = L + S = Оператор полного момента (в единицах К).

154 Лекция 26
Коммутационные свойства введенных операторов:
[2, 2] = г'2, или [S, S] = iS или
[Lx, Ly\ = iLz и циклические [5Ж, 5У] = iSz и циклические
перестановки; перестановки;
[Lx, L2] = 0 и то же [Sx, S2] = 0 и то же
для Ly и Lz; для Sy и 5г;
B6.10)
[Lx,Sx] = [Lx,Sv} = ... = 0, B6.11)
S2=S* + S2 + S* = !. B6.12)
Из соотношений B6.9)-B6.11) следует:
J xJ = iJ или [Jx, Jy] = iJz
и циклические перестановки.
Отсюда ясно, что оператор J обладает свойствами вектора момента
импульса. Из соотношений B6.13) следует:
[Jx, J2} = [Jy, J2] = [Jz, J2} = 0. B6.14)
Все компоненты L, S, J,
а также операторы L2, S2(= 3/4), J2 B6.15)
коммутируют с Hi и с Hi.
Поскольку все эти величины, очевидно, коммутируют с невозму-
невозмущенным гамильтонианом Hi, достаточно доказать, что они коммутиру-
коммутируют с Н2 — тем самым будет доказана их перестановочность и с полным
гамильтонианом Н. Итак, докажем перестановочность с Н^, например
для компоненты оператора J:
[(L-S),Jx]=0. B6.16)
Доказательство.
[B • S), Jx] = [(LXSX + LySy + LZSZ), фх + Sx)} =
= U.

Электрон в центральном поле 155
Согласно B6.15)
[B • S), J2} = [(I ¦ S), 22] = [B ¦ S), S2] = 0; B6.16а)
имеем также соотношения
[Я, J2} = [Я, 22] = [Я, S2} = 0, B6.17)
[Я, B • S)] = 0, B6.18)
[Я, Jx] = [Я, Jy] = [Я, Л] = 0, B6.19)
причем
J2 = 22 + S2 + 2B • S). B6.20)
Отсюда
[J2, 22] = [J2, 52] = 0, B6.21)
[Л, 22] = [Jz, 52] = [Л, J2] = 0. B6.22)
Состояние атома. Будем характеризовать состояние атома, диа-
гонализировав предварительно следующие коммутирующие друг с дру-
другом величины:
Xz = mi, Sz = ms, Jz = mi + ms = m,
где указаны диагональные элементы (собственные значения):
mi = I, I - 1, ... , -I + 1, -/; ms = ±|;
Полный гамильтониан Н, вообще говоря, не приводится при этом к диа-
диагональному виду, так как (L- S) не коммутирует с Lz или с Sz. Однако
величина (L ¦ S) коммутирует с Jz:
[(L-S),Jx]=0,
так что (L ¦ S) объединяет состояния с одинаковым магнитным кван-
квантовым числом Jz = т и различными значениями Lz, Sz.

156
Лекция 26
Существуют два типа таких состояний:
Собственные значения:
Lz = т — ;г, Sz = ^,
состояние
Lz = т+ у, Sz = — у, состояние
Собственные функции:
1
W-2'2/ =
т 2,2
т+ н, -н
Из формул A8.17), A8.18) и из лекции 25 следует, что
Кроме того,
1,
B6.24)
О 1
О О
д -о 110011
» sx-tsy= 10
1 0
0 -1
B6.25)
(L- S) = ^(Lx + iLy)(Sx - iSy) + ^(Lx - iLy){Sx + iSy) + LZSZ.
B6.26)
Отсюда
2)
i,m+y2;
B6.27)
-j - m2
где величина (т ± У2) — целое число; далее
(Sx + iSv)
= 0, {Sx + iSy)
= 0, {Sx - iSy)
0
1
1
0
1
0
0
1
B6.28)

Электрон в центральном поле
157
находим:
V 2
(L-S)
V 2/ 2
B6.29)
так что в выбранном представлении матрица (L • S) принимает вид
{L-S) =
B6.30)
Отсюда следуют
Собственные значения оператора (L ¦ S) и соответствующие
(нормированные) собственные функции:
а) Для (L ¦ S) = \l
т
2 2Л-1
771 ~ 2' 2
б)
1 1\, /1 , т
I _1\
2' 2/-
1 1
B6.31)
B6.32)
Из выражений B6.20)-B6.32) находим

158
Лекция 26
Собственные значения оператора J2:
а) Для B • S) = \\
J2 =/(/+ 1) + | + /=(/+ |) (/+ \ + l) •
Спин s либо параллелен /, либо — векторная модель*; тогда
Собственные функции для этого случая уже даны в B6.31).
б) Для2-§ = -±(/+1)
J2 =/(/+ 1) + | - / - 1 = (/+ |) (/- |) .
Спин s антипараллелен I;
l J2 = J(J + 1) =2 I
B6.33)
2'
4'
B6.34)
Соответствующие собственные функции уже даны в B6.32).
Дублетное расщепление энергетических уровней. Послед-
Последний член гамильтониана B6.8)
ей2 У'(г)
2т2 с2 г
(Х- S)
B6.35)
можно рассматривать как возмущение, сдвигающее энергетические
уровни; величину этого сдвига дает теория возмущений:
V'(r)R?(r)rdr
i, если J = I + -,
2 2 B636)
t±i5 если J = J-|.
Здесь V'(r) обычно положительна; через Ri(r) обозначена радиальная
волновая функция.
Дублетный спектр. Типичным примером таких спектров могут
служить спектры атомов щелочных металлов (рис. 20).

Электрон в центральном поле
159
п = \
D-линии натрия
d
1 = 2 J
\
5/2
3/2
/t,=5890 A
А,=5896 А
Рис. 20
Уровни атома водорода при п = 2. Из лек-
лекции 8 без учета спина находим:
Е= -
те
2П2 х 22
для уровней 2s и 2р.
¦2s
1/2
2ft
- + 1/2
'3/2-
Таким образом, получается всего одна линия 2р , Т
(вырождение).
Расщепление 5\Е вследствие различных Рис- 21- Расщепление
ориентации спина. Если потенциал V в B6.36) УР°вней при различных
взять в форме V = е/г, а в качестве ра- °Риентациях спина (не-
л. - ni \ л. релятивистская теория)
диальных волновых функции Щг) — функ- '
ции (8.20),
ге-г/2а
Р V24a5 '
то изменения собственных значений энергии за счет спин-орбитального
взаимодействия будут равны1
S1EBs) = 0,
c2 a-5
\ ДЛЯ J= |,
\ Т 1
-1 для J = |.
B6.37)
Релятивистский расчет возмущения. Результаты B6.37) являются
нерелятивистскими. Отыщем релятивистскую поправку 62Е к энергии
хСм. более общую формулу у Шиффа, стр. 332, 333. — Прим. ред.

160 Лекция 26
уровней. Так как кинетическая энергия равна
8mJc
Ek = ^/т?с± + с2?2 -тс2 = %-- -2— + ..., B6.38)
lm 8Jc2
то возмущающий гамильтониан следует взять в виде
При таком подходе полностью игнорируется существование спина
электрона.
В первом порядке теории возмущений*
L0 ?^. B6.40)
Вместе оба рассмотренных эффекта приводят к поправкам
p \ , х <тг \ ( 1 7 ^ е8т 5 е8т
2pyJ + S2(E2pyJ _ ^-_ - ^j
V "^^V "I 48 3847 ffc2 ~ 128
I 7_\ e8m _ J_ e8m
X j тр \ / ^L I \ С 111, _ 1 С lib
02{J^2P%) - ^9g 384^1 Й4С2 - 128 Й4С2-
(Общие формулы см. у Шиффа, стр. 368, 369.)
Отметим, что первые две поправки совпали, т.е. соответствующие
уровни не разошлись! Общая картина для уровней 2s, 2py , 2р^ , когда
присутствует возмущение Si, а затем и возмущение Si + S2, дана на
рис. 22.
Картина расщепления уровней при учете спин-орбитального взаи-
взаимодействия, спин-орбитального взаимодействия и релятивистской по-
поправки к нему, спин-орбитального взаимодействия с релятивистской
поправкой и сдвигом Лэмба.
На том же рис. 22 изображено дальнейшее (и окончательное) снятие
вырождения уровней 2s и 2ру , носящее название лэмбовского сдвига.
Впервые этот эффект измерили Лэмб и Ризерфорд в 1947 г. Лэм-
бовский сдвиг — это относительный сдвиг 2s- и 2ру2-уровней водородо-
подобных атомов, предсказанный и теоретически рассчитанный Бете в

Электрон в центральном поле
161
Возмущения нет
8г+82 + сдвиг Лэмба
0,365 см
¦ 2s
2s,2Pl/2^ J°'035- 2Ри,
Рис. 22. Картина расщепления уровней при учете спин-орбитального взаи-
взаимодействия, спин-орбитального взаимодействия и релятивистской поправ-
поправки к нему, спин-орбитального взаимодействия с релятивистской поправкой
и сдвигом Лэмба
том же 1947 г. По идее Бете (и Крамерса) лэмбовский сдвиг представ-
представляет собой изменение энергии электрона за счет его взаимодействия с
полем излучения (вакуумом фотонов, приводящим к перенормировке
собственной энергии, различной для разных состояний, если говорить
в терминах квантовой теории поля). Теория и эксперимент дают в хо-
хорошем согласии друг с другом численное значение лэмбовского сдвига
около 1057,8 Мгц для водорода.
Формула Бете для лэмбовского сдвига ns-уровней:
8 roe4
Зтт3 2П2
тс2
\Еп - Es
In
Поправки более высоких порядков.
11 Э.Ферми

Лекция 27
Аномальный эффект Зеемана
«Аномальным эффектом Зеемана» называется расщепление спек-
спектральных линий некоторых атомов в слабых магнитных полях. Таким
образом, «аномальный» эффект является более обычным, чем «нормаль-
«нормальный», так как для реализации последнего необходимы более сильные
поля. Названия этих эффектов сложились исторически в связи с тем,
что «нормальный» эффект удалось объяснить на более раннем этапе
развития теории. Вместе с тем нормальный эффект Зеемана является
частным случаем аномального*.
Усложним задачу предыдущей лекции, введя магнитное поле В
вдоль оси z. Энергия взаимодействия атомного электрона с внешним
магнитным полем равна
+2SZ), B7.1)
а невозмущенный гамильтониан имеет вид
Hi = ^f ~ eV(r).
Гамильтониан возмущения можно записать как
Отметим, что все величины, L2, S2 = 3/4, т = Lz + Sz
коммутируют с Ж.
В отсутствие возмущения имеет место 2/-кратное вырож-
вырождение.
Невозмущенные собственные функции имеют вид
ф1т(г, в, <р) = Ri(r)Ylm@, <p) х Спин {t либо J.}.
B7.2)
B7.3)
B7.4)
B7.5)

Аномальный эффект Зеемана
163
(Спиновая волновая функция характеризует только ориентацию спина
и нормирована на 1.)
Обозначая коэффициент в формуле B6.36) через
к = -
еН2
2т2с2
\R2(r)rdr,
B7.6)
запишем матрицу возмущающего гамильтониана, которая объединяет
состояния, согласно B6.24) [см. также B6.30)], как
т-\
А I _ т2
1
+
т+ ±
т ~ 2
B7.7)
Собственные значения энергии возмущения являются корнями уравне-
уравнения
(т2 - |
1) = 0 B7.6
и равны
SE = -Ц
т
Полученная формула для значений JS справедлива при
в случае же т = ±(/ + У2) энергия возмущения принимает вид
B7.9)
I —
В случае слабого магнитного поля Bfio <C fc сдвиг уровней равен
8Е =
B7.10)
[знак в формуле B7.9) выбирается из сравнения с B6.36)].

164
Лекция 27
Этот случай соответствует расщеплению всех уровней и носит на-
название аномального эффекта Зеемана.
Вырождение частично восстанавливается, когда напряженность
магнитного поля становится большой, Bfio ^ к; тогда
B7.11)
SE=- ( 1
\m~ 2
и имеет место нормальный эффект Зеемана.
В = 0 В мало
]
3/2
1/2
В велико
Рис. 23
Картина расщепления уровней J = 3/2 и J = xj2 в магнитном поле
для случаев, когда В = 0, когда .В мало и когда .В велико, изображена
на рис. 23.

Лекция 28
Сложение векторов момента
В лекции 26 были введены
L — оператор орбитального момента L,
S — оператор спина или собственного момента 5, B8.1)
J = L + 5 — оператор полного момента J.
Пусть, как было показано, имеют место перестановочные соотно-
соотношения
[2, 5] = 0, B8.2)
[2x2]= г'2, [5x5] = iS, (П = 1); B8.3)
тогда, как нетрудно показать,
[lxl]= il. B8.4)
Таким образом, можно построить две системы операторов, таких, что
внутри каждой операторы коммутируют между собой:
Система 1: L2, S2, Lz, Sz; B8.5)
Система 2: L2,S2,J2,JZ. B8.6)
Очевидно, это обстоятельство можно использовать для классификации
состояний физических систем (см. лекцию 20).
Взяв первую систему, следует пользоваться таким представлени-
представлением, в котором ее операторы диагональны; тогда в основу классификации
кладутся собственные значения
L2 = 1A + 1),
B8.7)
где
\ = -1, -1 + 1, ... ,1-1,1,
/х = -s, -s + 1, ... , s -1, s,

166 Лекция 28
причем Ins принимают как целые, так и полуцелые значения. Ес-
Если / — результирующий орбитальный момент, то I должно быть целым.
Если s — результирующий спин, то s должно быть целым в случае
четного числа электронов и полуцелым в случае нечетного числа элек-
электронов. В классификации B8.5) и B8.7) собственная функция системы
имеет вид
Lz = A, Sz = fi) или, короче, |Л, /х). B8.8)
В общей сложности число таких собственных функций («собственных
векторов» гильбертова пространства) равно B1 + 1) х Bs + 1).
Перейдем теперь от этого представления к представлению (и, соот-
соответственно, к другой классификации), использующему вторую систему
операторов — B8.6).
В этом случае операторы системы B8.6) диагональны, а их собст-
собственные значения равны
L2 =1A + 1); 52 = s(s + l);
где j — целое или полуцелое число,
т = -j, -j + 1, ... , j -1, j.
B8.9)
Собственная функция системы во второй классификации записывается
как
J2 = j(j + 1), jz = m) или, короче, \j, m). B8.10)
Вопрос: какие значения может принимать число j при данных /
и s:
Ответ:
Правило векторной модели:
= l + s, 1 + 8-1, ... , \l-s\. B8.11)
Набросок доказательства:
т = X + fi, X ^ I, m ^ I
B8.12)
следовательно, jmax = I + s.

Сложение векторов момента
167
Для нахождения jmin учтем также, что Л ^ —I, /х ^ —s; тогда наи-
наименьшее из наибольших положительных значений т [см. также B8.12)]
будет равно |/ — з\, так что jmin = \l — s\. Остается показать, что реа-
реализуются все возможные значения, указанные в B8.11).
Многократно действуя на волновую функцию
|Л = I, /х = s) = \j = I + s, m = I + s)
оператором
J— = Jx — ijy = Lix — i-Ly + Jx ~ ijy?
получаем последовательно функции
\j = I + s, m = I + s); \j = I + s, m = I + s — 1);
\j = l + s, m = -(l + s)).
B8.13)
B8.14)
В полученной совокупности имеется 2A + s) + 1 собственных функ-
функций типа B8.10), причем значению магнитного квантового числа т =
= 1 + s — 1 могут соответствовать две функции:
либо
|А = /- 1, /х = я)
|Л = /, /х = s — 1).
B8.15)
Совокупность функций B8.14) уже содержит одну линейную ком-
комбинацию функций B8.15), другие же линейные комбинации получают-
получаются при многократном действии оператора J_ на следующие 2A + s) — 1
собственные функции типа B8.10):
\j = 1 + 8-1, т = j),
\j = l + s - 1, т = j - 1),
B8.16)
\j = 1 + 8-1, т = -j)
и т.д.1
1 Полученные результаты характерны для так называемого кронекеровского про-
произведения в теории групп. — Прим. ред.

168
Лекция 28
Коэффициенты Клебша — Гордана. Указанный выше метод поз-
позволяет показать, что
(Л, fi\j,m)=0
при Л + /х ф т.
B8.17)
Кроме того, с его помощью можно получить численные значе-
значения величин (Л, т — X\j, m), т.е. указать коэффициенты разложения
функций одного представления по функциям другого представления
(сравнение классификаций). Коэффициенты такого разложения называ-
называют коэффициентами векторного сложения или коэффициентами Клеб-
Клебша-Гордана. Общие формулы этих коэффициентов имеют весьма слож-
сложный вид. В важных, частных случаях s = У2 и s = 1 [см. B6.31)
и B6.32)] они могут быть записаны следующим образом:
,• = !+!
lz=m- -
-i
/1 m
V 2 2/ + 1
/l m
V 2 21 + 1
Iz = m + i
--J
/l m
V 2 2/ + 1
/1 . m
V2 2« + l
B8.18)
s = 1
i-/+l
i i
i = i-i
/г = m - 1
вг = 1
/(« + m)(« + m-|-l)
У B/ + 1)B/ + 2)
/(г + т)(г-т + 1)
V 2г(г + 1)
1 (I - m)(l - т + 1)
V 2гBг + 1)
/z = т
Sz =0
/(г-т + 1)(/ + т + 1)
V B/ + 1)(/+1)
д/'С + 1)
1A-т)A + т)
V IBZ-h 1)
lz = m + 1
s* = -1
j{l-m){l-m + l)
У B/ + 1)B/ + 2)
/(г-т)(г + т + 1)
У 2г(г + 1)
1A + т+ 1)A + т)
У 2гBг + 1)
B8.19)
Другие подобные формулы можно найти в книге Кондона и Шортли1.
1См. Кондон Г., Шортли Е., Теория атомных спектров, ИЛ, 1949, стр. 80. — Прим.
ред.

Сложение векторов момента
169
Значение произведения (L • S) равно
B8.20)
что следует из соотношений
L + S = J,
J2 = 22 + S2 +2B-5).
Заметим, что результат B8.20) не зависит от т\ Это обстоятельство
можно выразить следующим более общим образом:
Теорема. Если собственные функции задаются в класси-
классификации \п, j, m) и А есть некоторый оператор, инвариант-
B8.21)
ный относительно поворотов [что означает [A, J = 0]), то
(п1, j', m'\A\n, j, т) = бц,бтт./(п, п', j). B8.22)
Эта теорема тесно связана с теоремой Вигнера* B8.15).
Теоремы о величине матричных элементов векторного операто-
оператора А: Л
(п', j', m'\A\n, j, m) = 0,
если только не выполняются условия
j" = j + 1, j, j -I; m' = m + 1, m, m - 1;
кроме того,
(n', 0, 0|2|n, 0, 0) = 0.
На основании этих теорем можно сформулировать следующие
Правила отбора для оптических переходов:
Разрешены переходы
-1 „т + 1
B8.23)
Л
^
'т-1
Переход j- = 0 —>¦ j = 0 запрещен.
B8.24)

170 Лекция 28
Правила отбора по четности:
При разрешенных переходах четность меняется, (+) ^ (—). B8.25)
(Это обстоятельство связано с тем фактом, что электрический момент
является полярным, а не аксиальным вектором.)
Темы для обсуждения:
1. Правила отбора для электрического квадрупольного, магнитного ди-
польного и других переходов1.
Матричные элементы компонент некоторого вектора выра-
выражаются через произведение функций вида /(n, n', j, j') на не-
который множитель, зависящий от j, j', m, m' и от того, какая
компонента вектора была взята.
Укажем единственные отличные от нуля матричные элементы ком-
компонент некоторого вектора А = (X, Y, Z):
26)
(т + 1\Х + iY\m),
(m\Z\m),
{т-1\Х -iY\m).
В различных случаях они следующим образом зависят от квантовых
чисел:
Переход j ->¦ j + 1:
m + 1|Х + iY\m) ~ -\/(j + m + l)(j +m
m\Z\m) ~ ^/(j-m + l)(j+m + l), B8.27)
(m - 1\X - iY\m) ~ ^/(j - m + l)(j - m + 2).
Переход j —>¦ j:
(m + 1\X + iY\m) ~ \J(j +m + l)(j - m),
(m\Z\m) ~ m, B8.28)
(m - 1\X - iY\m) /
'См. А. Зоммерфельд, Строение атома и спектры, т. II, М., 1956,
стр. 611, 619, 620, 622. — Прим. ред.

Сложение векторов момента
171
Переход j —>¦ j — 1:
(m
'У|т) ~ -^/(j - т - l)(j - m),
B8.29)
(т - 1|Х - г?|т)
m - 1).
Внимание! Не следует забывать, что коэффициенты пропорцио-
пропорциональности во всех формулах B8.27)-B8.29) различны (это отражено
знаком «~»). Заметим, что во всех трех приведенных случаях B8.27)-
B8.29) сумма
(т'
X
т)
2
+
(т'
У
т)
2
+
{m'\Z\m)
B8.30)
не зависит от магнитного квантового числа т. Таким образом, от т не
зависят соответствующие вероятности переходов (в качестве А можно
было бы взять вектор электрического момента), и, следовательно, время
жизни относительно спонтанного перехода для возбужденных состояний
при различных значениях т одинаково1.
1См., например, В.Хейне, Теория групп в квантовой механике, ИЛ, 1963, стр. 119
и далее. — Прим. ред.

Лекция 29
Атомные мультиплеты
Под мультиплетами понимают тонкую структуру спектральных
линий, обусловленную снятием вырождения из-за наличия спина у элек-
электрона. Теория, игнорирующая взаимодействие спинового магнитного
момента с орбитальным, приводит к многократному вырождению ря-
ряда уровней; при учете же указанного взаимодействия это вырождение
часто снимается, причем соответствующие энергетические поправки
бывают малыми, линии в спектре разрешаются слабо, чем и вызвано
представление о «тонкой» структуре линий.
Как и прежде мы запишем
H = H1+H2(L-S), B9.1а)
где Hi — (релятивистский или нерелятивистский) гамильтониан без
учета спина, a H2(L ¦ S) — гамильтониан спин-орбитального взаимо-
взаимодействия. Если иметь в виду самый общий случай, то представляется
нецелесообразным уточнять заранее форму множителя Дг в гамильто-
гамильтониане B9.1).
Так как Hi и i?2 коммутируют с операторами L и S, то полный
гамильтониан Н коммутирует с X2, S2, J2 и Jz.
Для оператора (L ¦ S) верна формула B8.20),
B9.16)
B • S) = \{J{J + 1) - L(L + 1) - S(S + 1)}.
Перейдем к принятым в спектроскопии обозначениям:
L, S, J — векторные операторы,
L, S, J — числа (целые или полуцелые), соответствую-
соответствующие собственным значениям операторов.
При фиксированных значениях L и S число J может при-
принимать все значения \L — S\ ^ J ^ I-L + S'l, изменяясь целочис-
целочисленными ступенями.
B9.2)
B9.3)
B9.4)

Атомные мультиплеты
173
Для системы уровней с одинаковыми числами п, L, S запишем:
! H2{J(J + 1) - L(L + 1) - S(S + 1)}.
B9.5)
Выберем представление, в котором матрица Hi, (а также I?, S2, J2)
диагональна. Пусть добавка Н2 будет мала: тогда можно использовать
теорию возмущений. В случае изолированной группы уровней операто-
операторы Hi и Н2 ведут себя подобно числам: вместо Н2 берется его среднее
значение, а вместо Hi — диагональный элемент соответствующей мат-
матрицы.
Каждому значению полного момента J в мультиплете соответ-
соответствует один вполне определенный энергетический уровень. Из форму-
формулы B9.4) видно, что число J принимает 25+1 значение при S ^ L
и 2L + 1 значение при S > L. Несмотря на это, мультиплет всегда на-
называют BS + 1)-плетом, т.е. говорят «(S =)-синглет, (S = У2)-дублет,
(S = 1)-триплет» и т. д. Мультиплеты различают нормальные и ано-
аномальные:
при Н2 > 0 — нормальный мультиплет,
при Н2 < 0 — аномальный мультиплет.
B9.6)
ЗН,
1Н,
Каждое значение орбитального числа L обозна-
обозначается соответствующей буквой: S, P, D, 3?K
Таким образом, состояние можно указать, ис-
используя одну такую букву с индексами, причем
сама буква указывает значение орбитального
квантового числа L, индекс слева вверху — зна- D2
чение 2S + 1, индекс справа внизу — значение
полного момента J. В качестве примера приве-
приведем нормальный D-триплет (рис. 24): D\
3Di соответствует S = 1, L = 2, J = 1; „ „. тт
,,c,lW J ' ' ' Рис. 24. Нормальный
вообще же BS+1'(i)(J). О-триплет
Замечание.
Правило интервала. Расстояние между двумя энергетическими
уровнями мулътиплета, характеризуемыми соответственно J и J + 1,
пропорционально J + 1.
Г

174
Лекция 29
Каждый уровень мультиплета BJ + 1)-кратно вырожден. Это вы-
вырождение снимается магнитным полем, выделяющим в пространстве
некоторое направление z (В \\ z) и дающим добавку к энергии возму-
возмущения:
Я3 = Bfio(Lz +2SZ) = Bfio(Jz +Sz)=Bfi0(m
Пусть
#3«tf2;
B9.7)
B9.8)
тогда рассмотрение ведется в первом порядке теории возмущений. За-
Заметим, что имеет место перестановочное соотношение
[Н3, J] = О,
благодаря чему не происходит комбинирования функций BJ +^-крат-
+^-кратно вырожденных уровней. При этом
S3E=(J,m tf3 J,m)=Bfj,0(m + (J,m\Sz\J,m)). B9.9)
Из второй формулы B8.8) следует, что
m,
причем
(J, m Sz | J, m) =
S(S + 1)+J(J + 1)-L(L + 1)
(J, J SX\J,J) =
2(J
B9.10)
B9.11)
Набросок доказательства. Из определения L = J — S следует, что
2(J • S) = J(J + 1) + S(S + 1) - L(L + 1)
или
2(J • S) = 2JZSZ + S-J+ + S+J- = 2(JZ + 1)SZ + S-J+ + J-S+,
где использованы обозначения
J± = Jx ± iJy, S± = Sx ± iSy

Атомные мулыпиплеты 175
и соотношение
Имея далее в виду, что J+|J, J) = 0 и (J, J|J_ = 0, получаем:
(J, J | 2J • 5 | J, J) = 2(J + 1)(J, J | 5Z | J, J),
откуда ясна справедливость выражения B9.11).
Энергию B9.9) теперь можно представить в виде
S3E = Bfj,ogm, B9.12)
где коэффициент
J(J + 1) + S(S + 1) - L(L + 1) _
g~1+ 2J(J + 1) ~
B9.13)
= i + s(s
2 2J(J + 1)
есть множитель Ланде.
Рекомендуется сравнить полученный результат с формулой B7.10)
для случая S = У2.
Тема для обсуждения.
Предельный случай Bfio 3> H.2 и эффект Пашена-Бака1
B9.14)
Правила отбора и поляризации можно получить, исходя из фор-
формул B8.27)-B8.29).
Переходы J —>¦ J > разрешены.
\j-lj B9.15)
Переход J = 0 —>¦ J = 0 запрещен.
1См., например, Е. Кондон и Г. Шортли, Теория атомных спектров, ИЛ, 1949,
стр. 373. — Прим. ред.

176 Лекция 29
Разрешены такие переходы, при которых:
т —>¦ т — линейная поляризация излучения па-
параллельно полю,
т —>¦ т + 1 — круговая О поляризация излучения
в плоскости, перпендикулярной полю,
т —>¦ т — 1 — круговая О поляризация излучения
в плоскости, перпендикулярной полю.
B9.16)
В двух последних случаях направления поляризации параллель-
параллельны между собой и перпендикулярны главному магнитному мо-
моменту.
Запрет по четности разрешает переходы между состояниями:
Четное —>¦ Нечетное,
B9.17)
Нечетное —>¦ Четное.
Более слабые правила отбора:
SL + 1
S ->• S, L^L B9.18)
\L-1
(эти правила существенны главным образом для легких элементов).
Темы для обсуждения1:
1. Общие данные о структуре атома; экранировка.
2. Принцип Паули (как эмпирическое правило).
3. Атомные оболочки (таблица на следующей стр. 177).
4. Спектры атомов щелочных, щелочноземельных и других метал-
металлов; спектральные серии, спектры ионов.
5. Электроны и «дырки» в оболочке атома.
6. Сверхтонкая структура мультиплетов.
1По этим темам будут полезны стандартные курсы квантовой механики,
например курсы Л. Шиффа, Д. И. Блохинцева, а также двухтомная монография
А. Зоммерфельда, Строение атома и спектры (М, 1956). Отдельные вопросы можно
найти в простой книге Г. Семата, Введение в атомную физику (ИЛ, 1948). — Прим.
ред.

Атомные мулътиплеты
177
Электронные оболочки атомов
L
1H
2He
3Li
4Be
5B
lONe
UNa
12Mg
13A1
18Ar
19K
20Ca
29Cu
30Zn
31Ga
36Kr
37Rb
38Sr
47Ag
48Cd
49In
54Xe
55Cs
56Ba
79Au
80Hg
81T1
86Rn
87Pr
88Ra
92U
lOOFm
n = 1
К
0
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
n
0
1—i
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
= 2
L
1
1
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
n
0
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
= 3
M
H
i—i
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
2
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
0
1—1
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
n
H
1
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
N
2
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
i
3
14
14
14
14
14
14
14
14
0
1
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
n =
1
1—i
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
О
2
10
10
10
10
10
10
10
10
5
3
3
11
4
0
1—i
2
2
2
2
2
2
2
2
r
1
1
6
6
6
6
6
/ = 6
P
2
1
1
3
4
5
n = 7
Q
0
i—i
2
2
2
1
2
3
4
5
6
12 Э.Ферми

178
Лекция 29
3d
Энергетические уровни на-
натрия (z = 11). Дублетное
расщепление для наглядности
утрировано
3s
Зр
Зр
Энергетические
уровни магния
(z = 12). Триплет-
ное расщепление
для наглядности
утрировано
3d
Энергетические уровни алюми-
алюминия (z = 13). Расщепление для
наглядности утрировано
Зр

Лекция 30
Системы тождественных частиц
Удобно начать со случая системы двух тождественных частиц. Тог-
Тогда из самого понятия тождественности* следует, что волновая функция
должна удовлетворять одному и тому же уравнению Шредингера при
перемене частиц местами (при этом не изменяется также и собственное
значение энергии):
Нф(х1,х2) = Еф(х1,х2),
Нф(х2,х1) = Еф(х2,х1). [ ' '
Ввиду эрмитовости гамильтониана в случае отсутствия вырождения
по энергии (при данном Е) можно заключить, что
ф{Х1, х2) = кф{х2, ц); C0.2)
однако , . , . 2 / / \
ф(хх, х2) = кф(х2, хх) = к ф(хх, х2),
откуда следует, что
к2 = 1, к = ±1. C0.3)
Имеем две возможности:
к = +1; тогда ф(х±, х2) = ф(х2, Xi) — симметричная вол-
волновая функция;
C0.4)
к = —1; тогда ф(х±, х2) = —ф(х2, х±) — антисимметрич-
антисимметричная волновая функция.
Когда собственное значение Е вырождено, равенство C0.2) мо-
может и не выполняться. В этом случае, однако, вместо базисных функ-
функций ф{х\, х2), ф(х2, х\) можно взять их линейные комбинации:
либо ф(хх, х2)+ф(х2, Xi) — симметричная (по координатам
тождественных частиц) комбинация,
либо ф(хх, х2) — ф(х2, Х\) — антисимметричная (по коор-
координатам тождественных частиц) комбинация.
C0.5)

180 Лекция 30
Обе новые функции снова оказываются собственными функциями
гамильтониана при том же значении энергии Е, и картина совпадает
с уже рассмотренной, однако новые функции обладают тем преиму-
преимуществом, что автоматически оказываются ортогональными друг другу.
Конечно, новые функции нетрудно нормировать.
Общий вывод:
Волновую функцию системы, состоящей из двух тождест-
тождественных частиц, всегда можно выбрать симметричной либо
антисимметричной относительно операции перестановки этих
частиц.
C0.6)
Теорема. Если волновая функция в начальный момент
времени ф(х\, Х2, 0) является симметричной (антисиммет-
(антисимметричной), то в любой другой момент времени t эта функ-
функция ф{х\, Х2, t) сохраняет свои свойства симметрии.
C0.7)
Доказательство.
Гамильтониан симметричен относительно перестановки тождест-
тождественных частиц, поэтому функция Нф обладает той же симметрией, что
и функция ф(х1, х2, 0).
Г Симметричная функция "j Г Симметричная функция "|
Н л Антисимметричная | = | Антисимметричная } • C0.8)
^функция J [^функция J
Таким образом, ясно, что производная волновой функции по времени
также симметрична (антисимметрична) в тот момент, когда функция ф
симметрична (или соответственно антисимметрична). Следовательно,
волновая функция сохранит свои свойства симметрии и в последую-
последующий момент t + dt, так как ее изменение определяется производной,
взятой в момент времени t. Распространение этого доказательства на
конечный интервал времени по методу индукции очевидно.
Существуют два различных типа элементарных частиц.

Системы тождественных частиц 181
Постулат. Частицы одного типа (электроны, протоны, нейтро-
нейтроны, нейтрино и т. д.) описываются антисимметричными волновыми
функциями; частицы же другого типа (фотоны, ж-мезоны и т. д.) опи-
описываются симметричными волновыми функциями.
Таким образом,
.. ,Xi,... ,xk,... ,хп) = ±ф(хг,... ,хк, ¦ ¦ ¦ ,xt,... ,ж„), C0.9)
где знак «+» берется для волновых функций фотонов, тг-мезонов, ...,
а знак «—» — для волновых функций электронов, протонов, нейтро-
нейтронов,
Важный факт. Паули показал, что частицы, описываемые
антисимметричными волновыми функциями, имеют полуце-
полуцелый спин, частицы, описываемые симметричными волновыми C0.10)
функциями, — целый спин.
Исключения из этого правила неизвестны.
Рассмотрим сложную частицу (например, атом), состоящую из
других частиц (например, из электронов, протонов и нейтронов).
Такая сложная «частица» имеет четность (—1)^, где N —
число антисимметричных частиц, входящих в данную слож- C0.11)
ную частицу.
Примеры симметричных и антисимметричных «частиц»:
атом водорода Н"
а-частица ^ — симметричные,
d (дейтрон)
атом дейтерия
ядро трития ^ — антисимметричные.
атом азота (N14)
Случай системы, состоящей из т независимых (не взаимодействующих
между собой) частиц. Гамильтониан такой системы представляет собой
сумму гамильтонианов отдельных частиц:
Я = #i + Я2 + ... + Нт, где
Hi действует на волновую функцию частицы 1,
В.2 действует на волновую функцию частицы 2, /^ ^
причем Щ = 2~P2i + Vi(xi), (г = 1, 2, ... , т).

182 Лекция 30
Не будем сначала предполагать, что частицы, составляющие сис-
систему, тождественны. Собственные функции этой системы, очевидно,
выражаются как
Ф{ХХ, Ж2, ... , Хт) =
причем Е = Ех+Е2 + ... + Ет.
Собственные значения энергий отдельных частиц задаются *¦ ' '
уравнениями
Вывод. Собственные функции систем независимых частиц суть
произведения собственных функций отдельных частиц; соответствую-
соответствующие собственные значения равны суммам собственных значений для
отдельных частиц.
Теперь предположим, что частицы, составляющие систему, тож-
тождественны.
Тогда волновые функции всех состояний одной и той же системы,
состоящей из тождественных частиц, должны иметь одинаковую сим-
симметрию; в противном случае волновая функция состояния, представля-
представляющего собой суперпозицию состояний различной симметрии, не будет
ни симметричной, ни антисимметричной. Поскольку сначала предпола-
предполагалось, что частицы, составляющие систему, независимы друг от друга,
но в то же время не тождественны, то волновая функция такой систе-
системы не имеет в общем случае определенной симметрии.
Из этого следует, что собственные функции вида C0.13), вообще
говоря, неприемлемы, так как
форма фП1 {х\)фп.2 (жг) ¦ • ¦ Фпт (хт) в общем случае ни сим-
симметрична, ни антисимметрична.
Функции вида C0.14) являются решениями уравнения
т
Нф = Еф, где ? = ^ Eni. C0.15)
г=1
Другие вырожденные решения, обладающие такой же энерги-
энергией, получаются путем перестановок нижних индексов щ, п2, ... , пт
в C0.14). (Все перестановки индексов щ, п2, ... , пт обозначим со-
соответственно через РП1, Р„2, ... , РПт.) Тогда симметричное решение

Системы тождественных частиц
183
строится по следующему рецепту:
V'sym = ^2ФрП1 (XlL
(Р)
рпт (Хт),
C0.16)
где суммирование производится по всевозможным перестановкам,
а нормировка будет указана ниже [см. C0.21)]. Рецепт же построения
антисимметричного решения следующий:
V'antisym =
Рпг (xl) ФРп2 (Х2) ¦ • ¦ фрПт (хт),
C0.17)
(р)
или, что то же,
Ф
'antisym —
Фт
Фп2
Фпт
(xi)
(xi)
(xi)
Фп
Фп
Фп
ЛХ2) ••
2(ж2) ..
„Ы ..
• Фт
• Фп2
¦ Фпт
{хт)
(хт)
(хт)
C0.18)
C0.19)
(это детерминант, а не матрица!I. Нормировочный множитель к нему
см. в формуле C0.22).
Волновые функции C0.16) или C0.17) выбираются соответственно
типу частиц.
Принцип Паули. В случае антисимметричных час-
частиц решение C0.18), очевидно, обращается в нуль, если
состояния двух или более частиц, обозначаемые индекса-
индексами щ, ii2, ••• , пт совпадают. Следовательно, в случае таких
частиц (электронов, протонов, нейтронов и т. д.) система не
может находиться в таком состоянии, в котором (полностью
определенные) состояния хотя бы двух входящих в нее тож-
тождественных частиц совпадают.
Числа заполнения. Величины JVi, N2, ... , Ne, ..., представ-
представляющие собой числа тождественных частиц, находящихся в ин-
индивидуальных состояниях 1, 2, ... , s, ..., причем JVi + N2 +
+ ... + Ns + ... = m (общее число частиц) и называются чис-
числами заполнения.
Сделаем теперь некоторые дополнительные замечания о волновых
функциях.
C0.20)
хЭтот определитель называют также детерминантом Слэтера. — Прим. ред.

184
Лекция 30
а. Частицы с симметричными волновыми функциями. Соб-
Собственная функция C0.16) полностью определяется числами заполне-
заполнения C0.20); следовательно, задание чисел заполнения полностью опре-
определяет состояние системы. Перепишем выражение для волновой функ-
функции C0.16) с нормировочным множителем:
(Р)
рпт (Хт).
C0.21)
б. Частицы с антисимметричными волновыми функция-
функциями. Собственная функция C0.17) или C0.18) также полностью опре-
определяется числами заполнения C0.20), однако единственными возмож-
возможными значениями этих чисел могут быть нуль и единица. Перепишем
выражение для волновой функции C0.18) с нормировочным множите-
множителем:
Vantisym —
1
vm!
Фт
Фп2
Фпт
(xi)
(xi)
Фпг
Фп2
Фпт
ы ...
ы ...
ы ...
Фпг
Фп2
Фпт
(хт)
(хт)
(Хт)
C0.22)
Квантовая статистика* определяется свойствами частиц, образу-
образующих квантовомеханическую систему. Статистический вес состояния,
определяемого числами заполнения C0.20), равен
В статистике Больцмана
7V!
В статистике Бозе-Эйнштейна 1
В статистике Ферми-Дирака
1, если ни одно число
заполнения не превы-
превышает 1;
0, если какое-либо чис-
число заполнения превы-
превышает 1.
C0.23)

Системы тождественных частиц 185
Рекомендуется обсудить вопрос о том, что по сравнению со ста-
статистикой Больцмана статистика Бозе-Эйнштейна благоприятствует
накоплению частиц в одном и том же состоянии, а статистика Фер-
Ферми-Дирака препятствует увеличению числа частиц в одном и том же
состоянии.

Лекция 31
Двухэлектронная система (атом гелия)
Обозначим спиновые функции электронов через а и /3:
а =
— спин t) C =
— спин I C1.1)
[матрица а изображает ориентацию вектора спина «вверх» (в положи-
положительном направлении оси z), а матрица /3 — направление спина «вниз»
(в отрицательном направлении оси z)]. Направление оси z обычно опре-
определяется либо направлением внешнего поля, либо ориентацией импульса
частицы.
Спиновая волновая функция системы двух электронов получается
перемножением спиновых функций отдельных электронов, например
= а/3 C1-2)
и т. п., так что четыре спиновые функции
аа, аC, (За, CC C1.3)
составляют базис всевозможных двухэлектронных спиновых функций.
Переход к другому базису. Полный спин системы равен
S = S1 + S2. C1.4)
Приведем матрицы S2 и Sz к диагональному виду
S2 = diag и Sz = diag; C1.5)
тогда, использовав метод лекции 28 (либо непосредственно), получим
характеристику различных спиновых состояний нашей системы:

Двухэлектронная система (атом гелия) 187
Базисные ., ,., „
5 \S\ Sz Спины Спиновая симметрия
функции ' '
аа 2 11 Параллельны Симметричная
(af3 + f3a)/V2 2 10
ДО 2 1 -1
(аC — (За)/л/2 0 0 0 Антипараллельны Антисимметричная
C1.6)
Отсюда видно, что когда
/¦параллельны, /-симметричны,
Спины < антипарал- Спиновые функции < антисиммет-
[лельны, [ричны.
C1.7)
С другой стороны, полная волновая функция системы двух электро-
электронов (включающая как обычную, так и спиновую часть) должна быть
антисимметричной. Поэтому имеются следующие возможности выра-
выражения волновых функций двухэлектронной системы:
, , а/3 + /За , ,
aau(xi, ж2), ——u(xi, ж2),
V2
C1.8)
ДОЦЖ1,ж2), /v(Xl, ъ);
л/2
здесь и(ж1, жг) — антисимметричная, v{x\, жг) — симметрич-
симметричная функции координат.
Случай I. Система двух независимых электронов. Гамиль-
Гамильтониан такой системы можно записать в виде
Я0=ЯA)+ЯB). C1.9)
Если спин-орбитальным взаимодействием пренебречь, то волновая
функция одночастичнои задачи находится из уравнения
Н(\)фп(Х1) = Епфп(Х1). C1.10)
Замечание. Задача для одного электрона приводит здесь к дваж-
дважды вырожденным решениям: сгфп{х\) и 13фп{х2)-

188 Лекция 31
Следовательно, система, состоящая из двух электронов, имеет соб-
собственные значения энергии Еп+Ет, соответствующие следующим (вы-
(вырожденным) полным волновым функциям:
11 <»- V5
„ч а/3 + /За фп(х1)фт(х2) - фт(х1)фГ1(х2)
>^д ^ ' C111)
оч по Фп{х1)фт{х2) ~ фт(х1)ф„(х2)
3) ДО - ,
.ч a/3-/3a ^(si)^ra(i2) + »|'m(a;i)^n(i2)
Функции 1-3 соответствуют спину S = 1 и предполагают про-
пространственную антисимметрию и спиновую симметрию.
Функция 4 соответствует спину S = 0 и предполагает пространст-
пространственную симметрию и спиновую антисимметрию.
Случай II. Кулоновское взаимодействие между электрона-
электронами. Соответствующий гамильтониан имеет вид
Йг; C1Л2)
- Ж2|
будем рассматривать его как возмущение (взаимодействие между дву-
двумя электронами считается слабым). В первом порядке теории возму-
возмущений добавка к энергии системы равна
SEC =
~гг ff
JJ
функция
Спин
Волновая е , ,
C1ЛЗ)
Спиновым состояниям S = 1 (триплетное состояние) и S = 0 (синг-
летное состояние) соответствуют различные значения 8ЕС. При этом
недиагональные члены в матрице гамильтониана отсутствуют. Считая
функции фх и ф2 вещественными, находим:
= JJ f^ l^i(*i)Г \ф2(х2)\2 dan dx2 т
=F // ^Ф1(х1)ф2(х1)'ф1(х2)'ф2(х2)Aх1Aх2; C1.14)

Двухэлектронная система (атом гелия) 189
знак «минус» соответствует триплетному состоянию системы, знак
«плюс» — синглетному. Первый интеграл справа интерпретируется как
энергия электростатического взаимодействия двух электронов; второй
интеграл представляет собой специфически квантовую, так называе-
называемую обменную энергию.
Темы для обсуждения в связи с формулой C1.14):
1. Обменный интеграл как эффективное очень сильное спинспино-
вое взаимодействие.
2. Связь с теорией ферромагнетизма.
3. Роль спин-орбитального взаимодействия и триплетного расщеп-
расщепления уровней.
Спектры гелия (термы даны в см~1)
Парагелий
(синглет)
Ортогелий
(триплет)
Is2
2s Is
3sls
2s Is
3s Is
1So
1S0
1S0
3s,
35i
= 198305
= 32033
= 19446
= 38455
= 15074
2pls
3d Is
2pls
2pls
2» Is
XPO = 27176
!p0 = 12206
3P0 = 29223,87
3P! = 29223,799
3P2 = 29223,878
Если при расчете воспользоваться методом Ритца (см. лекцию 21), взяв
в качестве пробной функции ехр[—a(ri + Г2)/а], то вариационный па-
параметр будет равен а = 27/16. При этом основному уровню соответ-
соответствует значение [2 ¦ B72/162) - 4] ¦ R = 186000 см~г (R — постоянная
Ридберга)*.

Лекция 32
Молекула водорода
Электронные уровни молекулы водорода. Будем считать яд-
ядра а и Ъ двух атомов водорода покоящимися на расстоянии гаь — г друг
от друга. Обозначим: га\ и г%\ — радиус-векторы
1* 2» первого электрона относительно ядер а и Ь, га2
и Гь2 — радиус-векторы второго электрона относи-
а r b тельно ядер а и Ь, Г\2 — радиус-вектор второго элек-
электрона относительно первого (рис. 25). Тогда гамиль-
Рис. /5. «Поло- тониан системы можно записать как
жение» электро-
электронов И ядер В МО- _ ?2 + Щ е2 е2 е2 &2 g2 g2
лекуле водорода Н = 2т +Т + Ш~^~^~П^~Ч^-
C2.1)
Метод Гайтлера —Лондона.
Гайтлер и Лондон предложили идею объяснения гомеополярной хи-
химической связи, исходя из соображений минимума энергии. Они по-
показали, что минимальная по энергии комбинация волновых функций
невозмущенной задачи правильно описывает свойства молекулы водо-
водорода, что после усовершенствования расчетов явилось большим триум-
триумфом квантовой механики.
Рассмотрим две волновые функции нулевого приближения (систе-
(систему двух невзаимодействующих атомов водорода)
¦ф = аA)ЪB)±аB)ЪA), C2.2)
где знак «плюс» соответствует S = 0 (синглет), знак «минус» соответ-
соответствует S = 1 (триплет); аA) и ЬA) представляют собой волновые функ-
функции атома водорода для первого электрона, движущегося около ядра а
или Ъ соответственно; аB) и ЬB) — аналогичные волновые функции
второго электрона.

Молекула водорода 191
Произведем прежде всего нормировку волновых функции C2.2):
/V dXldx2 = ( I a2(l)dxi\ ( j Ъ2{2) dx2 j + ( f a2B)dx2) x
x ( f b2(l) dxA ±2 f a(l)b(l) dxx f a{2)bB) dx2 = 2A + /32),
\J / J J
C2.3)
где
13= f a(l)b(l) dxt. C2.4)
Нормированные волновые функции C2.2) принимают вид
, оA)ЬB)±аB)ЬA)
Ф± = . C2.5)
V2(l±/?2)
Отсюда, как обычно в теории возмущений, находим энергию системы
в первом приближении:
Е±= Ф*± НФ± dxl dx2- C2-6)
J J
Чтобы выразить эту энергию явно, воспользуемся уравнениями вида
где R — постоянная Ридберга, равная в единицах энергии 13,6 эе; по-
получим:
НаAЩ2) = (-2R +^ + ?--?--^1 ОA) Ъ{2). C2.8)
Окончательное выражение для энергии C2.6) имеет вид
±

192
Лекция 32
Обсуждение. Рассматривая здесь член — 2R как нулевую энергию
(суммарную энергию системы двух пространственно разделенных ато-
атомов), можно интерпретировать член е2/г как потенциальную энергию
ядер, а первый двойной интеграл в выраже-
выражении C2.9) (не считая малой величины /3) —
как энергию электростатического взаимо-
взаимодействия двух электронных облаков еа2A)
и еЬ2B) между собой и с дополнительным
ядром (вторым ядром для первого электрон-
электронного облака и первым — для второго). Вто-
Рис. 26. График обменного Рой Двойной интеграл есть обменный ин-
интеграла как функции г теграл. Он представляет собой отрицатель-
отрицательную величину (его зависимость от расстоя-
расстояния между ядрами изображена на рис. 26).
В сумме эти члены дают (в зависимости от знака при обменном
интеграле) энергии Е- и Е+, принципиально различным образом зави-
зависящие от г (см. рис. 27).
Ясно, что состояние молекулы водоро-
водорода, характеризуемое в первом приближении
энергией Е-, не может быть связанным, в то
время как состояние, соответствующее энер-
энергии Е+, устойчиво (атомы действительно
связаны в одну молекулу), причем из рис. 27
можно составить наглядное представление о
равновесном расстоянии Го между ядрами
двух атомов водорода в молекуле Нг. Следо-
Следовательно, в основном состоянии молекулы Нг
спины двух электронов могут быть только
противоположными S = 0.
Метод Уонга. Метод Гайтлера-Лондо-
Гайтлера-Лондона, схематически изложенный выше, приводит к количественно неудов-
неудовлетворительным результатам. Основное состояние молекулы водорода
может быть более успешно рассчитано по методу Уонга, использовав-
использовавшего пробную функцию (по Ритцу) вида
ф{х\, х2) = е~а(Га1+ГЬ2) + е~а{гь1+Га2\ C2.10)
где а — боровский радиус, z — варьируемый параметр Ритца.
Рис. 27

Молекула водорода
193
Исследуя на минимум среднюю энергию
—
, х2) dxi dx2
х2)\2
dx2
C2.11)
при каждом значении г, находим, как обычно, соответствующие зна-
значения параметра z. Результаты вычислений и сравнение их с экспери-
экспериментальными данными имеют вид
C2.12)
Вращательные уровни и роль ядерного спина. При опреде-
определении вращательных энергетических уровней значительную роль иг-
играет спин ядер. Приближенный вид чисто вращательного гамильтони-
гамильтониана [см. B.14)]
-|тЛ C2.13)
приводит к следующим результатам для вращательных уровней:
Энергия связи ...
Момент инерции ...
Частота (см~1)...
Расчет по методу
Уонга
0,278Д
0,459 • 100
4900
Эксперимент
0,326Д
0,467 ¦ 100
4360
Ф1 = YlmF, ip)
= 0,1,2,
C2.14)
Полученные значения энергии реализуются лишь в случае, когда в
двухатомных молекулах результирующий момент электронов относи-
относительно оси симметрии молекулы Н2 равен нулю. При этом, однако,
возникают некоторые усложнения, если входящие в молекулу атомные
ядра одинаковы.
Пример. Два одинаковых ядра, ядерный спин S каждого из кото-
которых равен нулю, подчиняющиеся статистике Бозе-Эйнштейна, требу-
требуют симметричной волновой функции. Однако функция Yim(9, ф) сим-
симметрична относительно перестановки ядер только тогда, когда чис-
число / четное, поэтому все нечетные значения квантового числа / долж-
должны отсутствовать. (Усложнения могут возникнуть в случае симмет-
симметрии между электронными уровнями.) В молекуле водорода оба протона
13 Э.Ферми

194 Лекция 32
имеют спины, равные г/2, и описываются антисимметричными волно-
волновыми функциями. Поэтому, как и в системе с двумя электронами (атом
гелия), вращательные термы разделяются на
параводородные термы, для которых спины ядер антипараллель-
ны, причем / = 0, 2, 4, ...;
ортоводородные термы, для которых спины ядер параллельны,
причем / = 1, 3, 5,
Замечания и темы для обсуждения*:
1. Соотношение интенсивностей вращательных полос и очень мед-
медленные (пара т± орто)-переходы в водороде.
2. Теплоемкости вращательных степеней свободы в водороде.
3. Полосатые спектры двухатомных молекул.

Лекция 33
Теория столкновений
Рассеяние на короткодействующем центральном потенци-
потенциале. В этом случае естественно задаться следующим асимптотическим
(при г —>• оо) видом волновой функции:
ф^е1к-* -fF)^, C3.1)
где
к = \р. C3.2)
Первый член C3.1) описывает плоскую падающую волну, распро-
распространяющуюся в положительном направлении оси z; эта волна соот-
соответствует первоначальному потоку частиц, обладающих определенным
значением импульса р. Второе слагаемое, имеющее вид радиально рас-
расходящейся волны, соответствует потоку рассеянных частиц.
Формула C3.1) приводит к следующему выражению для диффе-
дифференциального сечения:
^ = |/(<9)|2 (dto — элемент телесного угла). C3.3)
Разложим падающую волну в C3.1) в ряд по сферическим функ-
функциям:
Ц? г). C3.4)
Этот прием напрашивается ввиду центральной симметрии рассеи-
рассеивающего поля; вместе с тем ввиду существования выделенного направ-
направления (в падающей волне к || Oz) на картину рассеяния накладывает-
накладывается аксиальная (цилиндрическая) симметрия, ответственная в разложе-
разложении C3.4) за появление функций Бесселя Jj+y (fc • г).

196 Лекция 33
Используя асимптотику функций Бесселя
придем к выражению
оо
C3.5)
\ ь I КГ
1=0 ч '
(в волновой функции представляет интерес лишь асимптотика, так как
рассеяние исследуется на больших расстояниях от центра).
Разложим по сферическим функциям также функцию /(#):
ив) = ^>, Pilose) = v^y,^= y',o№- C3-6)
Подставив найденные разложения в формулу C3.1), получим:
Заметим, что сходящаяся и расходящаяся волны должны иметь равные
амплитуды (сохранение числа частиц). Из этого условия следует, что
L 2l+1 - P2ia'
2 k -e
или
C3.9)
(Здесь путем введения вещественной величины щ учтена возможность
различия фазы волн; в дальнейшем будем называть щ фазовым сдвигом
или разностью фаз, соответствующих данному значению /.) Радиальная
волновая функция при этом должна зависеть от / и иметь вид
Щ = щ(г)/г,

Теория столкновений
197
где асимптотически
щ(
кг-4
C3.10)
Очевидно, разности фаз оц полностью определяют картину рассеяния;
в частности, дифференциальное сечение обращается в нуль, если все
фазы оц равны 0 или тг.
Для определения сдвига фаз оц воспользуемся радиальным уравне-
уравнением Шредингера в форме
2т
или
= о,
C3.11)
щ = 0.
C3.12)
Решение уравнения C3.12) ведет себя при малых значени-
значениях г как
щ(г) ~ rl+1,
при больших г как
щ (г) яз const ¦ sin ( кг + щ —»- ) ;
тг/
C3.13)
поведением решения C3.12) и определяются сдвиги фаз оц.
Выразим da/du) через фазы оц, используя формулы C3.9), C3.6)
и C3.3):
C3.14)
интегрируя это выражение, получим полное сечение рассеяния (рис. 28)
о-= 4тг*2 ^ B/+ 1) sin2 а/. C3.15)
I

198
Лекция 33
ukr)
Рис. 28. Поведение волновой функции в присутствии рассеивающего центра
При малых энергиях достаточно знать величину а^ (I = 0). В этом
случае
«о = —к х Длина рассеяния = —kbo- C3.16)
Тогда полное сечение принимает вид
а -> 4тгЬ2. C3.17)
Можно показать, что в простейших случаях при малых энергиях
Темы для обсуждения:
В качестве примеров полезно рассмотреть:
1. Рассеяние на кулоновском потенциале (см. у Шиффа, § 20).
2. Рассеяние на идеально твердой сфере и эффект теневой области
(см. там же, стр. 132).
3. Рассеяние с поглощением1.
1Для рассеяния с поглощением доказывается «оптическая теорема» (см. курс Бло-
хинцева, стр. 275, 276). — Прим. ред.

Лекция 34
Теория свободного электрона Дирака
Релятивистское волновое уравнение. Общее уравнение ТТТре-
дингера (зависящее от времени) для частицы массой т
в высшей степени несимметричным образом включает координа-
координаты t, х, у, z. Это обстоятельство явно противоречит традиционным
требованиям частной теории относительности, и в целях обобщения
нерелятивистского уравнения Шредингера на случай частиц больших
(сравнимых с с) скоростей проведем следующее исследование: попы-
попытаемся найти такое релятивистское уравнение для электрона, которое
включало бы производные только первого порядка по t, х, у, z. Введем
стандартные обозначения:
х = х\, у = а?2, z = жз, id = Х4 (d = жо),
Pi —
"-IA- ,34.1)
9 _ Н д _ i p
7j—7Т7
1 дх4 cdt
В последней строке использовано операторное выражение [Е =
= ih(d/dt).] Итак, вместо трехмерных векторов
ж = (ж1, ж2, ж3), р = {р1,р2,рз) C4.2)
введем четырехмерные векторы D-векторы)
ж= (ж1, ж2, жз, ж4), р= (pi, P2, Рз, Ра)- C4.3)
Если бы волновая функция ф была скаляром, то простейшее уравнение
первого порядка имело бы вид (коэффициенты а^ считаются постоян-
ОХ2 ОХз ОХ4

200 Лекция 34
здесь и далее используется правило суммирования Эйнштейна по по-
повторяющимся индексам от 1 до 4. Оказывается, однако, что волновую
функцию ф необходимо выбрать такой, чтобы она имела несколько ком-
компонент (именно четыре.) Вместо записанного уравнения для ф тогда
следует составить другое уравнение:
, (д) ^- I Н (Д) ®tyl /О Л А \
I ОХц
Уравнение Дирака. Матрицы Дирака. В матричных обозначе-
обозначениях ф представляет собой вертикальный столбец, состоящий из четы-
четырех элементов, а матрица 7д = ||7ы II квадратная и состоит из четырех
строк и четырех столбцов D х 4-матрица).
Таким образом, получаем матричное линейное дифференциальное
уравнение первого порядка (по ц — суммирование):
h дф
гтсф = '-уцРцф = ~7д д— 1 C4.5)
* t/Жд
называемое уравнением Дирака. Дифференциальные операторы
g. = H д
действуют на волновую функцию-столбец ф, зависящую от всех коор-
координат жд, а матрицы 7д следует толковать как операторы, относящиеся
к внутренней переменной, подобной спиновой переменной Паули, одна-
однако имеющей, как выяснится, четыре компоненты.
Следовательно, матрицы 7д должны коммутировать с опе-
операторами 4-импульса р„ис координатами xv
= 0.
C4.6)
Из равенства C4.5) следует, что
{гтсJф = GдРдJ^
или [символически опуская ф, используя соотношения C4.1), C4.6)
и очевидное равенство р\ = —Е2/с2]
99 99 9 /*/
|р2 + 72р2 72^ +
+ Gi72 + i2ii)PiP2 + аналогичные члены.

Теория свободного электрона Дирака
201
Последнее соотношение можно отождествить с известным релятивист-
релятивистским соотношением между импульсом и энергией
C4.7)
если постулировать, что
7i = 72 = 7з = 74 =
= 0 при [I фу.
C4.8)
Как можно показать, наиболее низкий порядок матриц, при кото-
котором выполняются условия C4.8), равен 4. Ограничиваясь 4 х 4-мат-
рицами, можно построить много вариантов набора 71, 72; 73: 74; по су-
существу эквивалентных. Выберем «стандартную» систему:
71 =
72 =
7i =
0
0
0
г
0
0
0
-1
0
0
г
0
0
0
г
0
0
0
1
0
0
0
0
—i
1
0
0
0
0
—i
0
0
0
1
0
0
—i
0
0
0
0
1
0
0
—I
0
0
0
-1
0
0
0
0
г
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
-1
0 -го-i
го-i 0
1
0 — г «72
г<7г 0
0 -гстз
гстз 0
111 0
~ 0 -1 '
C4.10)
Тройка 7ъ 72: 7з во многих отношениях ведет себя как компоненты
вектора; удобны обозначения:
C4.9)
«вектор» 7 = G1; 725 7з)> аналог 4-вектор 7 = {ji, I2, 7з5 74)- C4.11)

202
Лекция 34
В этих обозначениях уравнение C4.5) принимает вид
( i \
гтсф = I 7 • p + g^74 1 ф =
= 7 "
C4.12)
Умножим это уравнение слева на матрицу 74 = Р и используем свой-
свойство 74 = Р2 = 1; получим эквивалентное уравнение
Еф = (тс2р + са ¦ р)ф,
C4.13)
(другая запись уравнения Дирака), где введена тройка матриц
а = г/37 или
C4.14)
Здесь
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
, a2 =
0
0
0
г
0
0
—г
0
0
г
0
0
—г
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
-1
1
0
0
0
0
-1
0
0
0
о-з
о-з
0
a3 =
L X} X} X} C<3 U
0-100
C4.15)
Свойства введенных матриц (проверяемые непосредственно):
C4.16)
C4.17)
C4.18)
=о,
ч =
р
0, a
2=a? =
/Заг + a;
2a3 + a3l
«2 =
iP =
»2 =
= a
o,
o,
2
3
= i;
Pa
a3ai
3 +
+ c
a3p
ча3
= 0,
= o,
т.е. квадраты матриц /3 и ац, а?2, аз равны единичным матри-
матрицам;
матрица /3 и все матрицы а антикоммутируют друг с другом;
матрица /3 и все матрицы а эрмитовы.
Можно показать, что физические следствия, вытекающие из урав-
уравнения C4.13), не зависят от способа выбора системы матриц а.\, а?2, аз

Теория свободного электрона Дирака
203
и /3, имеющих в частном случае вид C4.15) и C4.10). Иными слова-
словами, все следствия, вытекающие из теории, останутся прежними при
переходе к другой системе 4 х 4-матриц, если только матрицы новой
системы также имеют свойства C4.18). В частности, с помощью уни-
унитарного преобразования можно прийти к такому представлению, в ко-
котором прежние четыре матрицы поменяются ролями. Таким образом,
их различие является лишь кажущимся.
Рекомендуется проверить, что собственные значения каж-
каждой из матриц
74 = C, ах, а2, а3,
72, 7з
C4.19)
равны +1 и — 1, причем оба эти значения дважды вырождены.
Уравнение C4.13) можно записать в виде
Нф = Еф, C4.20)
где
Оператор Н должен, очевидно, интерпретироваться как га-
гамильтониан: Н = тс2C — са. • р.
C4.21)
Не зависящее от времени уравнение Шредингера для спинорной
волновой функции
ф =
распадается на четыре «зацепляющихся» уравнения
ch \ дф4 . дф\ , дф3
г { дх ду dz
} ,
Еф2=
дх
C4.22)
тр i
Еф4 = -
с/г Г дф\
i { дх
ду dz
. дфг дф2 \
ду dz J

204
Лекция 34
Нетрудно записать также уравнение Шредингера с зависимостью от
времени, воспользовавшись заменой
Е -»¦ ih
д_
df
Решение с плоской волной. Волновая функция свободного элек-
электрона должна, очевидно, представлять собой плоскую волну:
zp-x
C4.23)
где спинорные компоненты щ, и2, из, щ постоянны, а компоненты век-
вектора р — просто числа.
Подставим функцию C4.23) в уравнение C4.22); разделив левую
-р-х
и правую части на общий множитель eh , получим систему алгебра-
алгебраических уравнений
Еи\ = mc2ui + с(рх - ipy)u4 + cpzu3,
Еи2 = тс2и2 + с(рх + ipy)u3 - cpzu4,
Еи3 = -тс2из + с(рх - гру)и2 + срхщ,
Еи\ = - mc2u4 + с(рх + ipy)u\ - cpzu2,
C4.24)
однородную относительно четырех неизвестных постоянных щ. Такая
система имеет решения, только если детерминант из коэффициентов
при неизвестных равен нулю. Детерминант C4.24) приводится к виду
(Е2-т2с4-с2р2J,
откуда следуют дважды вырожденные собственные значения Е:
E=+<
E=-<
с2р2,
C4.25)
Таким образом, каждому данному значению импульса р соответствует
дважды вырожденное значение Е = +л1/т2с4 + с2р2 и дважды вырож-
вырожденное значение Е = —^/т2сА + с2р2.

Лекция 33
Теория столкновений
Рассеяние на короткодействующем центральном потенци-
потенциале. В этом случае естественно задаться следующим асимптотическим
(при г —>¦ оо) видом волновой функции:
ф^^-'-т^, C3.1)
где
* = \р. C3.2)
Первый член C3.1) описывает плоскую падающую волну, распро-
распространяющуюся в положительном направлении оси z; эта волна соот-
соответствует первоначальному потоку частиц, обладающих определенным
значением импульса р. Второе слагаемое, имеющее вид радиально рас-
расходящейся волны, соответствует потоку рассеянных частиц.
Формула C3.1) приводит к следующему выражению для диффе-
дифференциального сечения:
^ = |/F»)|2 (dw — элемент телесного угла). C3.3)
Разложим падающую волну в C3.1) в ряд по сферическим функ-
функциям:
y2 C3.4)
,=0
Этот прием напрашивается ввиду центральной симметрии рассеи-
рассеивающего поля; вместе с тем ввиду существования выделенного направ-
направления (в падающей волне к \\ Oz) на картину рассеяния накладывает-
накладывается аксиальная (цилиндрическая) симметрия, ответственная в разложе-
разложении C3.4) за появление функций Бесселя J;+y2(fc • г).

206 Лекция 34
ную энергию), то в «море» возникнет «дырка» с Е > 0 и зарядом, проти-
противоположным заряду электрона (позитрон) (рис. 29). Импульсу и энер-
энергии позитрона соответствуют — р и — Е > 0 «дырочного» состояния.
Тогда волновые функции
тр-<» описывают электронные состояния
h
тс
с ориентацией спина
2 u^e~hV X «вверх» и «вниз» C4.28)
с импульсом р и энергией +у/т2с4 + с2р2, а волно-
волновые функции
i описывают позитронные со-
иC)е ft стояния с ориентацией спи-
иD)е ftp'x «вверх» и «вниз»
Рис. 29
с импульсом — р и энергией —^т2с4 + с2р2.
Если задана функция
%_
ф = ueh ,
где и — четырехкомпонентный спинор, то полезно сконструировать
также два оператора Ф> и Л — операторы проектирования — так, что-
чтобы произведение Ф>ф содержало только обычные электронные волновые
функции, а Лф — только электронные волновые функции отрицатель-
отрицательной энергии, соответствующие позитронным состояниям.
Операторы проектирования спиноров Ф и Jf определяются равен-
равенствами
д?иA) = иA), 2?иB) = иB\ 2?и(ъ) = 0, 5t>u(i) = 0; C4.30)
7/и^ = 0, 7/и^ = 0, 7/и^ = и^\ 7/и^ = и{4\ C4.31)
Эти свойства однозначно определяют вид операторов & и Jf. Заметим,
что
=-RvS*>,

Теория свободного электрона Дирака
207
где
R =
с2р2.
Здесь р есть с-вектор (т.е. вектор, все компоненты которого с-числа),
а Я — гамильтониан C4.21). Тогда
 + 2Д '
— I L_ if
 2Д
C4.32)
Момент импульса электрона. Особый интерес представляет
метод введения момента импульса электрона. Используя гамильтони-
гамильтониан C4.21), можно записать
, хру - урх] = ^{агру - а2рх) ф 0;
C4.33)
следовательно, для свободного дираковского электрона обычная комби-
комбинация хру — урх не постоянна во времени. Однако легко проверить, что
величина
УРх
l h
C4.34)
коммутирует с гамильтонианом Н. Поэтому ее следует интерпретиро-
интерпретировать как компоненту вектора момента импульса. Оператор же вектора
момента может быть тогда записан в виде
M = xxp + -^,{a3
а2
= x x p+ '^a ,
C4.35)
где первый член справа представляет собой орбитальную часть момен-
момента, а второй — спиновую часть, описываемую матрицами
^/ 1 ^
ах = -а?2
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
а\ = —(Х\ • OL2 =
Э'у
1
0
0
0
1 ~
i
0
-1
0
0
0
0
1
0
Si =
0
0
0
-1
0
г
0
0
—i
0
0
0
0
0
0
г
0
0
—г
0
C4.36)

208
Лекция 34
Здесь бросается в глаза сходство 4 х 4-матриц Э' с уже известными 2x2-
матрицами Паули Э. Действительно, можно записать
0 а
, где 0 =
0 0
О О
— нулевая 2 х 2-матрица;
Действуя матрицей Э' на спинор и, получим:
а и =
a ¦
a ¦
i
Ml
1*2
из
т. е. операторы спина Паули действуют при этом по отдельности на
первую и вторую пары компонент 4-спинора; следовательно, каждой
паре компонент могут соответствовать оба значения спина (t и ]г).

Лекция 35
Электрон Дирака в электромагнитном поле
Введем обозначения:
А = {Ах, A2, A3) — векторный потенциал,
(р = - А± — скалярный потенциал, . .
1 C5. 1)
А = {Ах, A2, As, A4) — четырехмерный потенциал электро-
электромагнитного поля;
„ дАк dAi „ . оЧ
I'ik = -т. -т. антисимметричный тензор напря- C5.2)
1 к женности электромагнитного поля;
(Fi2, ^23; Fzi) = В — индукция магнитного поля;
{Fi\, F42, -F43) = iE, где Е — напряженность электричес- C5.3)
кого поля.
Взаимодействие электронов и позитронов с электромагнитным полем
может быть включено в уравнение Дирака C4.12) или C4.20)-C4.21),
если воспользоваться заменой
р^р-%А, Е-> Е-е<р, C5.4)
{Е — полная энергия частицы с зарядом е) или эквивалентно
= 1,2,3,4);
При этом получаются следующие эквивалентные формы уравнения для
электрона в электромагнитном поле:
гтеф = 7 • (р — f A\ ф, C5.6)
14 Э.Ферми
p
д
dxi
V
-лр-
-»• д
дхг
-л V-
1^
ie
/гс
he

210
Лекция 35
или
или, наконец,
Нф = Еф,
где гамильтониан Н есть
Н = е<р - еА ¦ а + тс2C + са- р.
C5.7)
C5.8)
C5.9)
Уравнение C5.8) эквивалентно системе четырех уравнений, подоб-
подобной C4.22):
(Е-е<р-
(Е -ер-
ch (дф\ .дф\ дфз\
г \ дх ду dz )
- е{(Ах - гАу)ф4 + Агфз},
= ch {дфз {дфз_ _ дфЛ _
i \ дх ду dz )
-е{(Ах +1Ау)фз -;
(Е - е<р + тс2)фз = ^
дф2 . дф2 дф\
дх ду dz
(Е-е<р+
- е{(Ах - гАу)ф2 + Агфг},
ch [дфг .дф\ дф2\
г \ дх ду dz )
- е{(Ах + 1Ау)ф1 - Агф2}.
Введем две двухкомпонентные переменные
и =
v =
C5.10)
C5.11)
и спиновые операторы Паули

Электрон Дирака в электромагнитном поле 211
Тогда уравнения C5.10) примут вид
\{Е- тс2 - ею)и = о- • (V - Ща) v,
СП \ СП I „
) ( C5-12)
¦\(Е + тс2 - eip)v = a ¦ [V -Щ;А)щ
СП \ СП )
\{Е- тс2 - ею)и = а ¦ (р - ^а) v,
\ C5.13)
±{Е + тс2 - eip)v = а ¦ [р - ^
Исключим из уравнении C5.13) переменную v, используя операцию
квадрирования*:
\(Е + тс2 - е<р)(Е - тс2 - еф)и = \{(Е - есрJ - т2с4\и =
с1 с1
= \{Е + тс2 -еф)а- [р - %А) v =
Е + тс2 -ею
с
2
ic2 at ic
|j4J x [p - ъА)\ u ~ ff (CT ' -E)v;
здесь U = — VV1 — (l/c)(dA/dt) — вектор электрической напряженнос-
напряженности. Если теперь принять во внимание, что
[(р - f .AJ х (р - ^А)] = -|(р х ^ + ^ х р),
р х j4 = I ^
то получим окончательно:
f (^ - еюJ
Ф(а-Е)у, C5.14)
с2

212 Лекция 35
где B = Vx4 — вектор магнитной индукции. Только левая часть
этого уравнения приводит к уравнению Клейна-Гордона; правая дает
искомые поправки к нему. Пренебрегая в дальнейшем членами поряд-
порядка 1/с3, приведем выражение для энергии к виду
Е = тс2 + W, C5.15)
где W — кинетическая энергия. Тогда из второго уравнения C5.13)
в наинизшем приближении следует:
1 (Т-ри. C5.16)
2пгс
Это выражение достаточно точно с точки зрения его подстановки
в уравнение C5.14), так как дает в нем порядок 1/с2. Используя ра-
равенство
(а • Е)(<т ¦ р) = Е ¦ р +га ¦ Е х р,
приведем уравнение C5.14) к виду
Wu = Жи, C5.17)
где Ж — приближенный гамильтониан
4im2c2 Am2 с2
C5.18)
Первые два члена C5.18) представляют собой классический гамиль-
гамильтониан заряженной частицы, находящейся в электромагнитном поле.
Следующий член — не зависящая от спина релятивистская поправка.
Интересны, однако, лишь последние два слагаемых; одно из них равно
^-В C5.19)
и имеет смысл энергии взаимодействия спинового магнитного момента
электрона
J

Электрон Дирака в электромагнитном поле 213
с внешним магнитным полем В; другое слагаемое
eh
4т2с2
а-Е хр C5.20)
представляет собой энергию взаимодействия спинового магнитного мо-
момента электрона /хос с эффективным магнитным полем:
в = Iе х v ~ шЕ х р.
уже автоматически уменьшенную в два раза (поправка Томаса; см. лек-
лекцию 26).

Лекция 36
Электрон Дирака в центральном поле.
Водородоподобный атом
Для описания центрально-симметричного электрического поля до-
достаточно в формулах предыдущей лекции положить
ip = ip(r), A = 0, C6.1)
где г — радиальная координата сферической системы координат. Га-
Гамильтониан для электрона с зарядом —е, находящегося в центрально-
симметричном поле [ср. с C5.9)], имеет вид
Я = -еу(г) + тс2/3 + сар. C6.2)
Уравнения C5.13) в этом случае переписываются следующим образом:
-(Е - тс2 + eip) и = сг • pv,
С ^ C6.3)
— (Е + тс2 + ер) v = ст • ри.
Момент C4.35)
hJ = х хр + ^ст' C6.4)
коммутирует с гамильтонианом Я C6.2), так как имеет место симмет-
симметрия относительно поворотов около центра.
Диагонализируя операторы J2 и Jz, необходимо принять
J2=j(j + 1), Jz=m, -j^m^+j. C6.5)
Заметим, что матрица ст' подчиняется тем же перестановочным соот-
соотношениям, что и ст, так что
,2 ,2 ,2
ov, = о-,. =о-. = 1, . ,
C6.6)*
а' х & = '""

Электрон Дирака в центральном поле. Водородоподобный атом 215
Тогда уравнения C6.4) и C6.5) дают допустимые значения чисел I и lz.
l = 3±\, h = m±\. C6.7)
Из уравнений C6.3) и псевдоскалярных свойств произведения (сг • р)
следует, что спиноры и и v обладают противоположными четностя-
ми. Это обстоятельство приводит к следующим двум типам реше-
решений [ср. с C4.26) и C4.27)]:
Первый тип (I = j — 1/2). Волновая функция ф имеет две мат-
матричные компоненты аи»
и =
R(r
v = —-
iS(r)
1-я компонента
по Дираку
2-я компонента
по Дираку
3-я компонента
по Дираку
C6.8)
4-я компонента
по Дираку
Здесь двухкомпонентные функции Z^j±y играют роль сферических
функций при решении задач с учетом спина. Заметим, что для них
I = j ± 1/2. При подстановке их в волновое уравнение C6.3) с учетом
соотношений
(о- • х) (/(г) ZjJ±1/2tm) = г/(г) ZjjTl/2tm,
, / f(r)\
(а ¦ х) (/(г) %j±y2,J = f I/'(г) + (l ±3 ± \) J~Y \ Zjtl
получим систему уравнений для определения R(r) и S(r):
C6.9)
C6.10)
C6.11)

216 Лекция 36
Полученные два уравнения первого порядка соответствуют одному не-
нерелятивистскому радиальному уравнению второго порядка. Вспоми-
Вспоминая, что в рассматриваемом случае / = j — г/2, найдем в нерелятивист-
нерелятивистском пределе, что функция R(r) принимает большие, а функция S(r) —
малые значения.
Второй тип (I = j + 1/2). В этом случае
" C6.12,
v = -iS(r)Zj}j_y2}m,
т.е. сферические спинорные функции меняются в равенствах C6.8)
местами и изменяется знак получившейся при этом функции v. Вместо
уравнений C6.11) получим теперь два новых «зацепляющихся» уравне-
уравнения:
±{Е - тс2 + еф) R(r) = -S'(r) + (j - ±) ^,
C6.13)
±{Е + mc2 + eip) S{r) = R'(r) ^
В случае кулоновского потенциала
Ze2
е<р= -jr-
уравнения C6.11) и C6.13) могут быть решены точно (см. у Шиффа,
§44).
Пример (Водородоподобный атом). Основное состояние водоро-
доподобного атома соответствует значениям квантовых чисел j = 1/2i
1 = 0 [используем первый тип решений C6.8) и C6.11)]. Уравне-
Уравнения C6.11) в этом случае принимают вид
C6Л4)
где
Е_ _ тс ^ _ __
Нс> ** ~ h ' Z ~ He - 137-

Электрон Дирака в центральном поле. Водородоподобный атом 217
Зададим решение системы в виде
Д(г) = г7е"Аг,
где 7 и А — подлежащие определению константы. Подставляя эту функ-
функцию в уравнения C6.14), заметим, что она удовлетворяет им при
причем
Кроме того,
или
S(r)
R(r)
= const.
C6.16)
= тс —
Z2e4m
2ft2
т
8ft4 с2
C6.17)
где последовательные члены разложения энергии в ряд по степе-
степеням (Ze2/ftcJ имеют соответственно смысл энергии покоя, энергии
нерелятивистской задачи, первого релятивистского приближения и т.д.
Нормированное решение имеет теперь вид
Д(г) =
C6.18)
Предлагается найти два нормированных решения для основного
состояния, соответствующих электрону со спином, ориентированным
«вверх» или «вниз», путем подстановки этих функций в выражения для
волновых функций C6.8), взятых при j = У2, m = ±V2-

Лекция 37
Преобразование дираковских спиноров
Найдем закон преобразования волновой функции уравнения Дира-
Дирака при переходе от одной системы координат к другой.
Запишем уравнение Дирака C5.7):
— +7- V - — 7 • А] Ф = О- C7.1)
й Не )
Предположим, что оно не зависит от выбора системы отсчета, т. е. по-
потребуем, чтобы при переходе к новой системе
т -л г' — п т D7 9\
где пцц — коэффициенты ортогонального преобразования, выполнялись
следующие соотношения*:
ф ->. ф' = Т~гф C7.3)
(Т — квадратная 4 х 4-матрица типа матриц Дирака**),
Напомним, что по повторяющимся греческим индексам автоматически
производится суммирование от 1 до 4 (правило Эйнштейна). Нетруд-
Нетрудно проверить, что при указанных преобразованиях уравнение Дира-
Дирака C7.1) не меняет вида и в новых координатах записывается как
если сделать определенные предположения о свойствах матрицы Т. Для
выяснения этих свойств умножим записанное выше уравнение слева
на Т и заменим ф' на ф по закону ф' = Т~хф. Тогда
пс

Преобразование дираковских спиноров 219
или
hf + TlxT~1aXvVv - '^сТ1хах„А„Т-Л ф = 0.
Полученное уравнение должно совпадать с C7.1); сравнивая их, нахо-
находим соотношение TavX^vT~1 = 7л или
ТъТ~г = aiiXlv. C7.5)
Здесь использовано свойство ортогональности преобразования C7.2)
в форме а^а»х = auflaXfl = ёиХ.
Рассмотрим бесконечно малые преобразования
аци = &ц„ + e^v C7.6)
{s^v « 1) и будем пренебрегать высшими степенями едг/, что, одна-
однако, не нарушит общности выводов. Из ортогональности преобразова-
преобразования C7.2) следует, что
?дг/ = Sufj,, так что evv = 0. C7.7)
Для того чтобы координаты х, у, z, t всегда оставались вещественны-
вещественными, необходимо также сделать следующие предположения:
?пт — вещественные величины 1
\ п, т = 1, 2, 3. C7.8)
J
—?
4 — чисто мнимые величины
Предположим, что Т отличается от единичной матрицы в первом
порядке по е
Г = 1 + S, C7.9)
где матрица S имеет порядок е; тогда с той же точностью
Т = 1 - S, C7.10)
и формула C7.5) примет вид
Si» - i^S = е^„. C7.11)
Это равенство автоматически удовлетворяется, если
\ C7.12)

220
Лекция 37
Следовательно, матрица трансформации спиноров Т при преобразова-
преобразованиях координат C7.2) и C7.6) имеет вид
—1 / j
-1—1
C7.13)
Группа преобразований Лоренца, играющая фундаментальную роль в ре-
релятивистской теории, складывается из бесконечно малых преобразова-
преобразований координат C7.6) и из преобразований C7.13) спиноров ф, так как
отсюда можно получить путем интегрирования соответствующие ко-
конечные преобразования.
Пример. Бесконечно малый поворот вокруг оси z
х\ = Xi — SX2, х'3 = Хз
соответствует следующим значениям емг/: C7.14а)
?12 = -?,
?21 =?
(все остальные компоненты ?мг/ равны нулю).
Тогда
Т = 1 + |7i72 =
0
0
0
0
1-|е
0
0
0
0
1 + §?
0
0
0
0
1_
C7.146)
Поворот вокруг оси z на конечный угол ф описывается матрицей Tv:
взять (Te)vls и устремить е к 0
C7.15)
I
0
0
0
0
0
0
0
0
iip
е2
0
0
0
0
е

Преобразование дираковских спиноров
221
При этом спинорная волновая функция ф преобразуется как
ф1 = е 2 фг, ф2 = е 2 ф2,
г if iip
ф'3 = е 2 ф3, ф\ = е 2 ф4.
C7.16)
Заметим, что при повороте на угол <р = 2тг, т. е. при полном повороте
системы координат вокруг оси, спинорная волновая функция ф меняет
знак.
Пример. Бесконечно малое преобразование Лоренца
4 = ж3,
соответствует матрице
Х4 = Х4 — 1ЕХ\
C7.17)
Те = 1- f 7174 = 1 + |«i =
1 0 0 е/2
О 1 е/2 О
О е/2 1 О
е/2 0 0 1
C7.18)
Для конечного преобразования Лоренца
x'i = Х\, 1°' жо = Ж°, I1 > хо = ct
C7.19)
следует итерировать преобразование C7.17) п раз, причем п =
= (l/e)Arth/3 (е ->¦ 0, п ->¦ ос); тогда
ai =
= (Ге)" = (l + |
= ch Щ- + ax sh Щ- = ch QArth/з) + ax sh QArth/з) =
\
\
-. C7.20)
Здесь был использован тот факт, что а\ = 1.

222
Лекция 37
Инверсия (отражение) пространственных координат. Пре-
Преобразование координат и спинорной волновой функции ф в случае про-
пространственной инверсии производится по правилу:
Xn — Xny Я-4 — Я-4; n — J-) ^t 3,
ф ^ ф' = Trefф.
C7.21)
C7.22)
Из условия C7.5) находим:
,_i C7.23)
Эти равенства удовлетворяются, если матрицу Т выбрать в виде
Tref = 74 = Р- C7.24)
Очевидно, что матрица Tref обладает свойством
re/ = Гге/ = Тге/' C7.25)
При выборе Tref = 74 компоненты спинорной волновой функции в но-
новых координатах принимают вид
ф[ = ф\, ф'2 = ф-1, Ф'з = -
Ф\ = ~Ф4-
C7.26)
Отсюда видно, что пары компонент фи фъ и фз, Фа обладают взаим-
взаимно противоположной четностью относительно пространственной инвер-
инверсии.
Следовательно,
в четном состоянии имеет место закон
ф1{х)=ф1{-х), ф2{х) = ф2(-х),
Фз(х) = -фз(-х), ф4(х) = -ф4(-х),
в нечетном состоянии — закон
ф\(х) = -фх{-х), ф2(х) =-ф2(-х),
фз(х) = фз(-х), Фа{х) = ф±(-х),
C7.27)
Сравнивая законы C7.27) с выражениями C6.8) и C6.12), находим,
что четности состояний электрона равны четностям, определяемым

Преобразование дираковских спиноров
223
квантовым числом /. Для состояний позитрона доминирующими компо-
компонентами являются г/>з: ф4: четность которых противоположна четности
компонент ipi, ip2-
Некоторые свойства оператора пространственного отражения:
Т
п+ _
-7л, М = 1,2,3,
-C-ур, /х = 1, 2, 3,
, А* = 4.
C7.28)
Построение с помощью спиноров и матриц Дирака вели-
величин, обладающих различными тензорными свойствами. Напом-
Напомним, что в наших обозначениях латинские индексы пробегают значе-
значения 1, 2, 3, а греческие индексы — 1, 2, 3, 4; соответственно использует-
используется правило суммирования Эйнштейна. Тогда из формул C7.8) и C7.13)
следует, что
7m 7n ~ J
где член — 4emn lm In — действительный,
filn — чисто мнимый.
7-матрицы удовлетворяют равенствам:
член — k
= 74,
Заметим, что
lv.lv + Ivlv = 2<V/.
|?mn lm In + ^
?*
T+ = 1 + |?*j, 7p 7„ = 1 + |?mn 7m 7n ~ ^in Pin-
В общем случае Т+ ф Г (т. е. матрица Т не унитарная). Лишь
при ?4п = 0 (чисто пространственный поворот) Т становится
унитарной.
C7.29)
C7.30)

224 Лекция 37
Вообще же справедливы соотношения
= Г, T+f3 = РТ'1, f3T+ = Г/?. C7.31)
Приступим теперь к решению важной задачи о построении вели-
величин различных тензорных размерностей. Найдем прежде всего такую
матрицу и, которая в квадратичной конструкции со спинором ф дает
скалярную величину.
Иначе говоря, при преобразованиях системы отсчета C7.2) жр —>
—) х'^ = ар„ж„ и соответствующем преобразовании спинорной волновой
функции ф —> ф' = Тф выражение ф+иф должно обладать свойством
ф+иф -»• ф'+иф1 = ф+иф. C7.32)
На основании закона C7.3)
ф'+иф' = (Тф')+иТф = ф+Т+иТф,
и из требования C7.32) следует эквивалентное условие
ф+иф = ф+Т+иТф.
Отсюда: матрица и должна удовлетворять требованию
и = Т+иТ при всех Т.
Пользуясь соотношениями C7.31), находим:
Т+иТ = (ЗТ-г(ЗиТ = и,
а так как /З2 = 1, отсюда получим:
(J3u)T = T(J3u),
где матрица Т должна иметь вид C7.29). Это условие удовлетворяется,
если выбрать
j3u=l или j3u = 71727374 = 75- C7.33)
Полученные два решения показывают, что матрицу и можно выбрать
двояко: и = Р ¦ 1, либо и = /3j5- Заметим, что при отыскании вида и

Преобразование дираковских спиноров 225
использовались инфинитезимальные преобразования C7.29) и, таким
образом, не учитывалось отражение (существенно конечное преобразо-
преобразование); между тем именно при пространственной инверсии Tref = /3
конструкции C • 1 и /З75 ведут себя прямо противоположным образом:
т+ я -IT ? — /3/31 я — л я — ял
T+fPl5Tref=PPl5p = 75/З = -/375-
Поэтому
матрице /31 соответствует истинный скаляр ф+C1ф,
матрице /З75 — псевдоскаляр ф+ (З'уьф.
Введем обозначение ф = ф+ /3; тогда
квадратичная форма ф\ф преобразуется как скаляр,
квадратичная форма ф^ьф — как псевдоскаляр.
C7.34)
Замечание. Лагранжиан спинорно-тг-мезонного взаимодействия
Ч>Ф~1ьФ-> используемый в теории поля, предполагает псевдоскалярные
свойства мезонной волновой функции <р (псевдоскалярные мезоны).
Аналогичным путем нетрудно найти и другие дираковские матри-
матрицы-операторы, приводящие к квадратичным формам типа фиц...\ф, об-
обладающим различными тензорными свойствами. Тогда величина фи^ф
должна быть вектором (псевдовектором), а величина фи^ф — анти-
антисимметричным тензором второго ранга. Например, для фи^ф сказанное
означает, что
ф и^ф' = ар„ фи„ф,
где х'^ = a^vXt, [см. преобразование C7.2)].
Важно, что любую 4 х 4-матрицу (оператор, действующий на спи-
спиновую переменную) можно представить как линейную комбинацию 16
базисных матриц, служащих для построения соответствующих тензор-
тензорных величин; именно,
1 —> скаляр;
75 —> псевдоскаляр;
7i 5 72; 73: 74 —> четырехмерный вектор;
727з74, 7з7174, 717274, 717273 ->• четырехмерный псевдотен-
псевдотензор (аксиальный 4-вектор);
727з, 7371, 7i72, 7i74, 7274, 7з74 ->• антисимметричный тензор.
15 Э.Ферми
C7.35)

226
Лекция 37
Обращение времени. При обращении (инверсии) временной ко-
координаты имеют место преобразования
х -} х, V -> V, А -> -А
х4 -> -х4, V4 -> — V4, А4 -> А4.
C7.36)
Пусть спинорная волновая функция ф является решением уравне-
уравнения C7.1)
- ^А4 ф = 0;
C7.37)
тогда для получения решения ф', соответствующего обращению време-
времени, следует решить уравнение C7.37), в котором также производится
обращение времени:
' = 0-
C7.38)
Ясно, что эта задача не сводится к преобразованию типа ф' = Тф. Если,
однако, положить
ф' = Бф*, C7.39)
то задача легко решается. Уравнение, комплексно сопряженное C7.37),
дает:
тс
V>*-74*(^T
ф* = 0. C7.40)
Умножив C7.40) слева на S, получим уравнение, которое можно отож-
отождествить с временным обращением уравнений C7.38), если потребовать
выполнения условий
SYS'1 = 7, SitS-1 = 74, Ф' = Эф*. C7.41)
Условия C7.41) будут соблюдены при выборе стандартной фор-
формы 7р-матриц [см. C4.9) и C4.10)], если взять матрицу S в виде
S = «
0
i
0
0
— I
0
0
0
0
0
0
i
0
0
—i
0
/
— (Ty
C7.42)
[ср. C4.36)].

Преобразование дираковских спиноров 227
Зарядовое сопряжение. Среди решений уравнения C7.37) содер-
содержатся как электронные, так и позитронные. Поэтому естественно пред-
предположить, что из каждого решения ф этого уравнения можно получить
другое, удовлетворяющее уравнению C7.37) решение -фс', описывающее
частицы с зарядом противоположного знака, т.е. осуществить преоб-
преобразование
е -»• -е, C7.43)
причем уравнение C7.37) примет вид
V |j с = Q C7.44)
Для описания рассмотренного перехода к частицам с противоположным
знаком заряда попытаемся ввести новое преобразование
фс = СУ* C7.45)
(назовем его преобразованием зарядового сопряжения). Применяя опе-
оператор С слева к уравнению, комплексно сопряженному C7.40), найдем,
что оно переходит в C7.44), если удовлетворяются условия
С7*СГ-1 = 7, С^С'1 = -74. C7.46)
Легко проверить, что для стандартной формы 7-матРиЦ [см- C4.9)
и C4.10)] оператор С совпадает с матрицей 72:
С = 72.
Таким образом, зарядово сопряженное решение связано с исходным че-
фс=12ф*. C7.47)
рез равенство*

Комментарии
К стр. 10 (*). Подставляя равенства Sds = ^ ё dx и SU = -тг~ ёх
as ox
в вариацию действия, получим:
ds J 2VE-U
Интегрируя первое слагаемое по частям, будем иметь:
2
as as
Первый член справа обращается в нуль вместе с вариациями ёх1 на кон-
концах отрезка интегрирования. Теперь выражение для вариации действия
приобретает вид
, Г ,1 ЯТТ/Я* 1
ёх ds = 0.
В силу произвольности вариаций 8х мы заключаем, что подынтеграль-
подынтегральное выражение должно быть равно нулю, откуда и имеем уравнение
экстремали.
К стр. 15 (*). В классической физике комплексные величины игра-
играют роль лишь способа одновременной записи двух независимых реше-
решений (что особенно полезно при исследовании линейных дифференциаль-
дифференциальных уравнений второго порядка с вещественными коэффициентами),
причем мнимая единица i не позволяет тогда этим решениям смеши-
смешиваться друг с другом. Напротив, в квантовой механике роль комплекс-
комплексности волновой функции ф выходит за рамки простого технического
приема, так как мнимая единица фигурирует в коэффициентах урав-
уравнений [например, B.4)]; тем самым вещественная и мнимая части ока-
оказываются нетривиальным образом «взаимосвязанными».

Комментарии 229
К стр. 15 (**). Стационарным состояниям соответствуют опреде-
определенные значения энергии системы. Прочие состояния можно предста-
представить как суперпозицию (смесь) различных стационарных состояний.
В последнем случае волновая функция будет линейной комбинацией
волновых функций стационарных состояний.
Уравнение Шредингера для стационарных состояний называют
также уравнением, не зависящим от времени, и хотя фактически время
должно входить в его решение в форме B.2), соответствующая экспо-
экспонента часто не пишется.
К стр. 15 (***). Уравнение B.7) — типичное уравнение непре-
непрерывности, аналогичное дифференциальному закону сохранения заря-
заряда в электродинамике. В согласии с интерпретацией, предложенной
М. Борном, величину B.8) следует понимать как отнесенную к единице
объема вероятность найти частицу в окрестности данной точки. Тог-
Тогда из уравнения B.7) естественно следует интерпретация вектора B.9)
как плотности потока вероятности. Заметим, что в стационарном со-
состоянии плотность вероятности не зависит от времени (распределение
вероятности стационарно).
К стр. 16 (*). Оператор Лапласа (лапласиан)
дх2 ду2 dz2
в сферических координатах имеет вид
г2 дг V дг) ' г2 sinfl 90 \" "дв) ' sin2 0 V •
Так как точка все время остается на сфере, то достаточно взять угло-
угловую часть лапласиана Д, которую мы обозначим через Л
80
г
дг \ дг
При этом Д = — t^-I^t^-I+A-B этих обозначениях следует за-
2 [дг \ дг) \
писать B.13).
К стр. 21 (*). Заметим, что ситуация (в смысле вероятности на-
нахождения частицы в разных точках прямоугольной ямы) резко отлича-
отличается от аналогичной ситуации в классической механике (мяч, упруго

230 Комментарии
скачущий между двумя стенками). Полезно для иллюстрации получен-
полученных выводов изобразить волновую функцию графически при различ-
различных п.
К стр. 37 (*). Обсуждая атом водорода, Ферми в выражении для
потенциальной энергии (8.1) и в последующих формулах употребля-
употребляет величину Z, так что все полученные им выводы годятся для Z —
1-кратно ионизованного атома любого элемента (Ze — заряд ядра,
где Z — порядковый номер элемента в периодической системе Менделе-
Менделеева). В частном случае Z = 1 эти выводы относятся к атому водорода.
К стр. 48 (*). Говоря о полноте системы (набора) собственных
функций, имеют в виду тот факт, что не существует функции, ортого-
ортогональной (в смысле Гильберта) всем функциям системы и при этом не
равной тождественно нулю.
Коэффициенты разложения с& в (9.17) имеют следующий физичес-
физический смысл: квадрат модуля \си\2 представляет собой относительную
вероятность нахождения исследуемой системы в состоянии с энерги-
энергией Ек.
К стр. 59 (*). Существенно, что J-функция Дирака (как и ряд дру-
других так называемых несобственных функций) не является функцией
в обычном смысле, так как не может быть задана никаким обычным
методом задания функций (аналитическим, графическим или таблич-
табличным). Ее определение существенно опирается на операцию интегриро-
интегрирования, т.е. все ее свойства имеют чисто интегральный смысл. Записан-
Записанные без связи с операциями интегрирования, как это часто делается,
они приобретают символический характер.
В квантовой механике J-функцию часто используют при норми-
нормировке собственных функций непрерывного спектра.
Подробно об аппарате J-функции можно прочесть в книге Д. Д. Ива-
Иваненко и А.А.Соколова «Классическая теория поля», (М., 1960).
К стр. 70 (*). Доказательство формулы A3.6) (по курсу
Э. Персико, стр. 110-119).
Возьмем волновую функцию /(ж, t) в виде
+ ОО
I А(к)е}{кх-Шг) dk.

Комментарии 231
Тогда центр спектральной линии (в смысле частот) или «центр тяжести»
интенсивности можно определить как
+ OO
|2
k= - / k\A\2dk, A)
— oo
где полная интенсивность спектра обозначена через
+ ОО
\A\2dk. B)
Полуширину Ак спектральной линии следует определять по форму-
формуле, аналогичной формуле средней квадратичной погрешности в теории
ошибок:
+ ОО
(АкJ = ± Г (к - кJ \А\2 dk. C)
— оо
Совершенно аналогичным образом определим «центр одномерного вол-
волнового пакета» х:
+ ОО
х= у / x\f\2dx, D)
где интеграл
+ ОО
\f?dx, B')
очевидно, совпадает с B) по определению волновой функции /(ж, t).
В качестве полуширины пакета Ах возьмем величину, определяемую
соотношением
+ ОО
(AxJ = ±J (х - хJ \f\2 dx. E)

232
Комментарии
По предположению о существовании пакета волн функция / заметно от-
отличается от нуля только внутри некоторой одномерной области и прак-
практически равна нулю за ее пределами.
После этих предварительных замечаний покажем, что «более ком-
компактному» одномерному волновому пакету должна соответствовать
большая ширина спектральной линии, точнее: полуширина пакета Ах
и полуширина линии Ак связаны неравенством
^ 4тг'
играющим весьма важную роль в волновой механике; оно следует из
теоремы Фурье и выполняется независимо от конкретного физического
смысла входящих в него величин.
Чтобы доказать это утверждение, введем функцию
2
D =
х - х
8F
2(ДжJ* ' дх
Раскрывая это выражение, получаем:
G)
FF
2(ДжJ
(х - хJ
4(ДжL
¦FF*
дх
1
dE) | 9F8F* =
дх) дх дх
2(ДжJ дх'
FF* , д
2(Дж)
l
дх
дх
Умножим последнее равенство на dx и проинтегрируем в бесконечных
пределах. Заметим при этом, что FF* = //* = |/|2. Используя обозна-
обозначения E) и B), можно записать
+ О
/
Ddx =
4(ДжJ
2(Дж)

Комментарии 233
Если F достаточно быстро стремится к нулю при х —> ±ос, то второй
и четвертый члены обращаются в нуль, так что
+ ОО
xf
— оо
Здесь второе слагаемое можно связать с Ак, именно: используя C)
и G), а также равенство
+ ОО
А(к) = Г f(x,0)e-ikx dx,
— оо
получаем
+ ОО +ОО +ОО
^ = I Г (к- к)АА* dk=± j (к- кJ A dk j f(x, 0)e-2"kxdx =
— оо —оо —оо
+ ОО +ОО
(АкJ
= 1 f(k-kJAdk Г F*(x)e27riik-li)xdx.
— оо —оо
Меняя порядок интегрирования, просто найдем
+ ОО +ОО
J = i j F*(x) dx j (к- к)Ае2^к~Ъ)х dk. (9)
(АкJ
Чтобы освобиться здесь от интегрирования по к, прежде всего за-
заметим, что с помощью очевидного равенства
+ ОО
гкх
/(ж,0)= / A(k)elkxdk
— оо
выражение G) можно переписать в виде
+ ОО
F(x)= I А(к)е2™(к~к)х dk;

234 Комментарии
дважды продифференцировав это равенство, получим
+ ОО
d2F(x)
дх
2
/(*-:
Подстановка полученного выражения в (9) дает:
+ ОО
дх2
Таким образом, здесь получается интеграл, уже знакомый нам по со-
соотношению (8), которое теперь можно переписать в виде
Отсюда на основании неравенства / > О следует соотношение F). Про-
Произведение Ак-Ах принимает минимальное значение D7Г) при D = О,
иначе говоря, при выполнении условия
2(ДжJ дх
Интегрируя последнее равенство, получаем:
= ce
или
(J Ж)
f(x, 0) = сехр{- (J ДжЖJ + 2шкх) A0)
(синусоида, модулированная кривой типа Гаусса с максимумом при
х = х).
Интересно (и вполне закономерно), что фурье-амплитуда А(к) име-
имеет при этом форму, аналогичную F(x), причем вместо ж и ж в ней фи-
фигурируют, конечно, к и к.

Комментарии 235
Доказательство равенства F) можно без труда распространить на
случай трехмерной области. Учитывая, что к = A/Н)р, получаем соот-
соотношение A3.6), что и требовалось доказать.
К стр. 77 (*). При определении детерминантов удобно использо-
использовать символ Леви-Чивита ?,j ...i — полностью антисимметричный ак-
аксиальный тензор ранга (валентности), совпадающего с размерностью п
рассматриваемого пространства, т. е. в данном случае с порядком мат-
матрицы, причем ?i2...n- Тогда
или
J „j. A J-
p,q,
Отсюда нетрудно получить алгебраическое дополнение к элементу сцр
матрицы А (т.е. Adja^), взяв просто
Adj aip = -— det A = — V] ?ij...i?pq...s(iqj • ¦ • asi-
oaip [n - 1J! g)...jg
Эти формулы позволяют автоматически получать ряд важных соотно-
соотношений, используемых в «Конспектах».
К стр. 77 (**). Элементы единичной матрицы можно записать в ви-
виде
1 = ||eij||,
е..-х..- J1 при г = J,
13 - °ч - |о при % ф j.
Введенный таким образом тензор второго ранга Sij носит название
дельта-символа Кронекера. Его можно назвать «оператором замены ин-
индекса при суммировании» (в самом деле, (ii8ik = а&) точно так же,
как E-функцию Дирака — «оператором замены аргумента при интегри-
интегрировании» [см. формулы A1.21)]. Более того, переходя от матрицы A4.29)
к бесконечномерной матрице (и —> об) и тем самым к гильбертову про-
пространству функций, мы непосредственно получим J-функцию в мат-
матричной записи, причем сама единичная матрица переходит при этом в

236 Комментарии
матрицу E-функции, умноженную на элемент объема соответствующе-
соответствующего пространства.
К стр. 112 (*). Векторное произведение двух векторов (операто-
(операторов) а и Ь удобно представить в форме [а х b]i = ?ijkajbu и учесть
соотношение е.ц^пт = $ц$кт — SjmSki (sijk — трехмерный символ Ле-
ви-Чивита; по повторяющимся индексам подразумевается суммирова-
суммирование от 1 до 3).
К стр. 115 (*). Полезно заметить, что в релятивистской механи-
механике энергия представляет собой четвертую компоненту четырехмерного
вектора импульса; ее сохранение следует из свойств однородности (сим-
(симметрии по отношению к трансляциям) времени. Важно, что и струк-
структура сохраняющихся величин может быть получена при рассмотрении
соответствующих свойств симметрии.
К стр. 117 (*). Группой G называется совокупность элементов про-
произвольной природы, для которых определена групповая операция («ум-
(«умножение») и которые удовлетворяют следующим условиям:
1) Результат «умножения» двух элементов группы является также
элементом этой группы: если А ? G, В ? G, то АВ ? G.
2) Среди элементов группы должен быть единичный элемент (IA =
= AI = A, /? G).
3) Каждому элементу группы соответствует обратный ему эле-
элемент, содержащийся в этой же группе (А~гА = АА~Х = I, A ? G,
А-1 е G).
4) Групповая операция подчиняется ассоциативному закону:
А(ВС) = (АВ)С.
Заметим, что, вообще говоря, групповая операция некоммутативна,
т.е.
АВ ф В А.
Важным примером группы является совокупность всех неособенных
квадратных п х и-матриц; из них группу же образуют все унитарные
матрицы (подгруппа предыдущей). Если между всеми элементами не-
некоторой данной группы и соответствующими элементами группы уни-
унитарных п х и-матриц можно установить однозначное соответствие, то
исследование исходной группы сводится к исследованию группы уни-
унитарных матриц, и последняя называется представлением первой.

Комментарии 237
Теория групп широко используется в теоретической физике, осо-
особенно в квантовой механике и в теории элементарных частиц. Преж-
Прежде всего, как мы сейчас видели, симметрия относительно групп пре-
преобразований связана с законом сохранения физических величин. Эти
законы сохранения в их групповой интерпретации полезны при класси-
классификации элементарных частиц и их взаимодействий. Естественно, что
и в квантовой механике состояния систем удобно классифицировать на
групповой основе (см. Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц, «Квантовая механи-
механика», М., 1963, § 96). Если симметрия, свойственная невозмущенному
гамильтониану (в теории возмущений, см. лекции 21-23), нарушается
при наложении возмущения, то снятие исходного вырождения уровней
можно определить, исходя из поведения возмущающего гамильтониана
относительно рассматриваемых групп преобразований.
Наконец, эта же связь законов сохранения с группами преобразова-
преобразований определяет вероятности допустимых квантовых переходов между
различными состояниями физических систем, т. е. позволяет просто по-
получать правила отбора и оценивать матричные элементы, соответству-
соответствующие этим переходам.
Из теории представлений групп следуют, с другой стороны, транс-
трансформационные свойства волновых функций, описывающих частицы
и системы частиц, и простейшие формы дифференциальных уравне-
уравнений, которым должны удовлетворять эти функции. Так можно, напри-
например, прийти (исходя из группы Лоренца) к уравнению Дирака (другой
подход к которому см. в лекции 34) и к (би-) спинорам. Этот аспект
проблемы, конечно, тесно связан и с законами сохранения; он в равной
мере существен в теории квантованных полей и элементарных частиц.
Для изучения этих вопросов читателю следует рекомендовать сле-
следующие книги: Б. Л. Ван-дер-Варден «Метод теории групп в квантовой
механике» (Ижевск, 1999), Г.Я.Любарский, «Теория групп и ее приме-
применение в физике», М., 1957; В.Хейне, «Теория групп в квантовой меха-
механике», ИЛ, 1963, и Е. Вигнер, «Теория групп и ее приложения к кванто-
вомеханической теории атомных спектров», ИЛ, 1961, где можно найти
более полное перечисление соответствующей литературы.
К стр. 124 (*). В задаче многих тел (и ^ 2, где п — число тел)
количество неизвестных равно Зи (число степеней свободы); однако не-
нетрудно упростить эту задачу, снизив число неизвестных на 3. Именно,
переходя к системе центра масс, заметим, что координаты центра масс
системы являются циклическими переменными (см. стандартные курсы

238 Комментарии
классической механики), и их можно отбросить, не нарушая общности
рассмотрения. Отсюда следует универсальность использования отно-
относительных координат частиц, составляющих рассматриваемую изоли-
изолированную физическую систему, и практическая предпочтительность
системы центра масс.
К стр. 124 (*). Здесь U(r) — энергия взаимодействия заряженной
частицы с кулоновским центром. Таким образом, выражение B1.25)
представляет собой гамильтониан одной бесспиновой частицы, движу-
движущейся в магнитном и центральном кулоновском полях.
( \2
Раскрывая квадрат [р — \А\ , необходимо иметь в виду, что опе-
оператор р = ?V, вообще говоря, не коммутирует с вектором А. Одна-
i
ко р ¦ А — А ¦ р = ?(V • А); при этом стоящую справа величину div A
в статическом случае можно обратить в нуль с помощью градиентного
преобразования, что здесь и используется.
К стр. 136 (*). Несколько замечаний по поводу «правил отбора»,
характеризующих возможные переходы между различными энергети-
энергетическими уровнями; вспоминая, что эволюция системы (т.е. измене-
изменение ^-функции во времени) описывается ^-матрицей (см. лекцию 19),
можно без труда заключить, что переход между состояниями фа и фь
возможен, если только (фь \ Sipa) ф 0. В противном случае переход
запрещен. Правила, по которым должны изменяться квантовые числа
при разрешенных переходах и называются правилами отбора. Посколь-
Поскольку эволюция системы рассматривается в рамках теории возмущений,
в первом порядке достаточно ограничиться членом разложения ?-мат-
рицы, пропорциональным первой степени гамильтониана Ж. Разрешен-
Разрешенными будут, таким образом, те переходы, для которых матричные эле-
элементы гамильтониана отличны от нуля. На основании гамильтониа-
гамильтониана B4.1) и свойств ортогональности волновых функций легко найти
соответствующие правила отбора:
Am = ±1 или 0
К стр. 139 (*). Выражение B3.11) для вероятности п —> s пере-
перехода системы, очевидно, характеризует распределение конечных энер-

Комментарии 239
гетических состояний в зависимости от времени t. С другой сторо-
стороны, согласно соотношению неопределенностей A3.7), St SE яз Н. Между
этими обстоятельствами существует следующая взаимосвязь (которую
и предлагает на обсуждение читателю Э.Ферми): границы центрально-
центрального (соответствующего наименьшим изменениям энергии) максимума
функции B3.11) определяются равенством (t/2h) (Eq ' — Eq) = ±тг
или t ¦ У2 {Eq — Eq) = ±ft; подобным же образом определяются и гра-
границы побочных максимумов вероятности перехода. С ростом времени t
эти области постепенно суживаются, концентрируясь около исходной
энергии Eq , что соответствует смыслу соотношения неопределеннос-
неопределенностей A3.7).
К стр. 139 (*). Так как Д A/г) = — 4тг<$(г), то на основании фор-
формулы A1.22) для фурье-образа функции 1/г имеем 1/Bтг2&2). При под-
подстановке в интеграл B3.20) получим при этом
J
2тг2 j e \P- p'
К стр. 151 (*). В однородном магнитном поле вектор спинового
магнитного момента должен, естественно, прецессировать, но в слу-
случае неоднородного поля кроме пары сил имеется еще сила, приводящая
к поступательному движению. Именно это обстоятельство привело к
известным результатам опыта Штерна и Герлаха, правильно интер-
интерпретированным Уленбеком и Гаудсмитом (см. курс Д. И. Блохинцева
«Основы квантовой механики», М., 1961, стр. 24, 196 и далее).
К стр. 158 (*). Векторная модель. Можно сформулировать прос-
простые и удобные правила для определения основных характеристик
(квантовых чисел) сложных систем, содержащих несколько электронов.
Прежде всего проекции результирующих векторов моментов должны
быть кратными Н, причем кроме целых коэффициентов (квантовых чи-
чисел), как при сложении орбитальных моментов, в случае участия спи-
спиновых моментов электронов возможны также полуцелые числа. Это со-
соответствует дискретным допустимым поворотам векторов моментов

240 Комментарии
в пространстве. Например, при сложении моментов двух электронов
с / = 2 и / = 3 соответственно получается следующая совокупность
возможных результирующих значений / : 1, 2, 3, 4, и 5. Для каждого из
этих состояний по отдельности значения магнитного квантового числа
определяются обычным образом. Этот способ нахождения результиру-
результирующих квантовых чисел можно связать с теорией групп; он значитель-
значительно проще, чем использование в вычислениях модулей соответствующих
векторов [например, \/1{1 + 1) и л/з(з + 1)] с последующим требовани-
требованием, чтобы взаимная ориентация этих векторов соответствовала целым
значениям результирующего I и целым, либо полуцелым, значениям ре-
результирующего s. Вместе с тем оба подхода полностью эквивалентны.
Применяя метод векторной модели, удобно пользоваться нагляд-
наглядными диаграммами [не отражающими, однако, непосредственно реаль-
реальной ориентации соответствующих векторов в пространстве и даже не
учитывающими правильного определения модуля этих векторов (ти-
(типа \/l(l + 1))]. На таких вспомогательных диаграммах в качестве дли-
длины новых (вспомогательных) векторов принимаются значения проек-
проекции соответствующих, реальных физических векторов на выделенную
ось. (См., например, книгу Г. Семата «Введение в атомную физику»,
ИЛ, 1948, гл. 6. § 84).
К стр. 160 (*). Здесь Ферми, по-видимому, привлекла наглядность
интерпретации «в s-состоянии / = 0 и, следовательно, sZ-взаимодействие
равно нулю». Помня результат строгого расчета 8\Е{2з) + 82EBs) =
= -E/128)(e8m/ft4c2), он записал 62ЕBз) = - E/128) ... . Более точный
расчет дает 81EBs) = - A/16) e8m/h4c2, 82EBs) = - A3/128) e8m/ft4c2
и в результате 8\E{2s) + 82EBs) = - E/128)(e8m/ft4c2) [см., например,
формулу D2.21) у Шиффа для п = 2, 1 = 0].
При I = 0, вообще говоря, получается не нулевое значение 8\Е,
если учесть контактное взаимодействие [см. книгу А.А.Соколова,
Ю. М. Лоскутова и И.М.Тернова «Квантовая механика» (М., 1962),
стр. 338-339, формулы B0.10) и B0.15)]. Однако этот подход все же
можно применять при / = 0, если одновременно J = L + г/2, так как
расходимость типа 1/1 компенсируется тогда линейной зависимостью
числителя от / [см. формулы C9.4) и C9.5) у Шиффа].
К стр. 162 (*). Приведенные в этой лекции выводы не являются по-
последовательными с точки зрения полного синтеза релятивистской тео-
теории и теории, учитывающей спин электрона. Даже в такой теории учет

Комментарии 241
спин-орбитального взаимодействия приводит к белее полным результа-
результатам, если использовать некоторые простые следствия теории представ-
представлений групп (см. лекцию 29), после рассмотрения которых тем не менее
полезно оглянуться на выводы этой лекции.
С более детальной теорией эффекта Зеемана можно ознакомиться,
например, по учебнику Д. И. Блохинцева.
К стр. 169 (*). В микромире частицы одного «сорта» тождествен-
тождественны не только в том смысле, что их свойства (масса покоя, заряд и пр.)
в точности совпадают между собой, но и ввиду принципиальной невоз-
невозможности проследить эволюцию индивидуальной частицы в системе
(вследствие соотношений неопределенности не существует траектории
частиц!).
К стр. 184 (*). Полученный вывод очень просто вытекает из те-
теоремы Вигнера B8.15). В самом деле, так как кеты \п, j, m), взятые
в качестве базисных векторов, при различных j или т приводят к раз-
разным неприводимым представлениям группы поворотов (или, как гово-
говорят чаще, но менее точно, вращений), то матричные элементы опера-
оператора А, коммутирующего со всеми операторами этой группы, должны
быть равны нулю при т' ф т и j' ф j.
Следующие теоремы и их следствия вытекают из теоремы B8.22).
К стр. 179 (*). Квантовая статистика представляет собой обшир-
обширный раздел науки. Здесь мы приведем лишь несколько основных по-
понятий и результатов этой теории. Хорошее систематическое изложе-
изложение квантовой статистики можно найти в монографии А.Я.Хинчина
«Математические основания квантовой статистики», М., 1951; вопро-
вопросы, затронутые в этой части лекций Э.Ферми, у Хинчина излагаются
в гл. III, (§§ 3 и 5).
Соответственно свойствам симметрии волновых функций систем
частиц следует говорить о статистике Бозе-Эйнштейна (симметрич-
(симметричная статистика) и о статистике Ферми-Дирака (антисимметричная
статистика). Принцип Паули и дальнейшее обсуждение, приведенное
Э.Ферми, достаточно хорошо характеризуют основные утверждения
указанных альтернативных статистик. Таким образом, в статистике
Бозе-Эйнштейна одинаковые частицы симметричны в отношении за-
занимаемых ими положений (в широком смысле, включая как просто ко-
координаты, так и всевозможные внутренние характеристики в совокуп-
совокупности) и не «мешают» друг другу занимать одинаковые физические со-
16 Э.Ферми

242 Комментарии
стояния. Напротив, в статистике Ферми-Дирака одинаковые частицы
в указанном смысле антисимметричны, и действует принцип исклю-
исключения Паули. Здесь существенно подчеркнуть принципиальную нераз-
неразличимость рассматриваемых одинаковых частиц. Если же из понятия
«неразличимости» исключить хотя бы соображения принципа неопре-
неопределенности Гейзенберга, то мы пришли бы (в симметричном варианте)
к известной из классической теории статистике Больцмана («полная
статистика», по терминологии Хинчина). Однако с другой точки зре-
зрения можно говорить, что в некотором смысле статистика Больцмана
лежит между двумя альтернативными квантовыми статистиками, и по
сравнению с ней статистика Бозе-Эйнштейна более благоприятствует
накоплению одинаковых частиц в одном и том же физическом состоя-
состоянии, а статистика Ферми-Дирака соответствует своего рода «растал-
«расталкиванию».
Для различных статистик характерны различные определения ста-
статистических весов состояний физических систем. Именно: каждому
конкретному набору чисел заполнения Ni, N%, ... , Ns (при данном чис-
числе частиц в системе и данной полной энергии) соответствует, вооб-
вообще говоря, несколько конфигураций. Иначе говоря, каждое состояние
должно браться с некоторым статистическим весом, который нетруд-
нетрудно вычислить для каждой конкретной статистики.
В статистике Больцмана (неразличимости нет!) статистический
вес состояния, задаваемого конкретными значениями N : Ni, N2, ... ,
Ns, ..., равен
и определяется как число различных способов, с помощью которых
можно расставить группу из одинаковых (но различимых) TV-элемен-
TV-элементов, распадающуюся на подгруппы из ЛГ1; ЛГ2, ... , i\Tg, ... элементов.
В статистике Бозе-Эйнштейна все частицы неразличимы (рас-
(рассматриваются частицы одного и того же сорта, например фотоны или
тг-мезоны), а волновые функции симметричны по всем частицам. Тогда
при попытке переставить частицы (как в статистике Больцмана) мы
в противоположность статистике Больцмана вовсе не получим нового
состояния системы. Следовательно, в статистике Бозе-Эйнштейна ста-
статистический вес любого реализуемого состояния всегда равен единице:
пв_Е = 1. C0.236)

Комментарии 243
В статистике Ферми-Дирака статистический вес может прини-
принимать два значения: 0 и 1. Первое (нуль) — в том случае, когда хотя бы
одно число заполнения больше 1; второе (единица) — во всех остальных
случаях (когда все числа заполнения равны либо 0, либо 1:
^' C0.23в)
Для знакомства с основами квантовой статистики можно также ре-
рекомендовать книгу Э.Ферми, «Молекулы и кристаллы», ИЛ, 1947, ч. III.
К стр. 189 (*). Следует заметить, что пара- и ортосостояния ато-
атома гелия в некотором смысле изолированы друг от друга, так как су-
существует запрет перехода от одних к другим (соответствующие мат-
матричные элементы в низшем порядке теории обращаются в нуль). Этот
запрет, конечно, не абсолютен, и существует возможность интеркомби-
интеркомбинаций состояний, характеризуемая, однако, весьма большим временем,
так что соответствующие линии в спектре гелия очень слабы (Зоммер-
фельд, «Строение атома и спектры», т. II, стр. 529).
К стр. 194 (*). Переходы между пара- и ортосостояниями молекул
водорода [как и между пара- и ортогелием (см. лекцию 31)) запреще-
запрещены, так что эти состояния не «смешиваются». Так как полный ядерный
спин параводородного атома равен нулю, ему соответствует лишь одна
(нулевая) проекция на выделенную ось; в случае ортоводорода возмож-
возможны три проекции (+1, 0 и —1), так как полный ядерный спин в этом
случае равен единице. Таким образом, с точки зрения равновероятнос-
равновероятности статистического распределения по состояниям можно заключить,
что в условиях термодинамического равновесия молекулы пара- и ор-
ортоводорода представлены в пропорции 1 : 3. Это обстоятельство приво-
приводит к важным следствиям, отлично подтверждаемым экспериментом.
Именно таково, например, соотношение интенсивностей соответству-
соответствующих линий вращательных спектров молекулярного водорода. Только
таким распределением удается объяснить также поведение вращатель-
вращательной теплоемкости газообразного водорода Нг при низких температурах.
Эти эффекты представляют собой весьма наглядные макроскопические
проявления таких своеобразных квантовых законов, как принцип Пау-
Паули, запреты переходов и, наконец, наличие спина у протона. Конечно,
и здесь существует (весьма малая) вероятность переходов между пара-
и ортосостояниями, приводящая к появлению слабых спектральных ли-
линий. По этим вопросам и в связи с полосатыми спектрами двухатомных

244 Комментарии
молекул см. монографию А. Зоммерфельда, «Строение атома и спектры»
(т. I, стр. 488 и далее, т. II, стр. 553), а также книгу Э.Ферми, «Моле-
«Молекулы и кристаллы».
К стр. 205 (*). Рассмотренные выше соотношения касаются одно-
частичного состояния, хотя нетрудно было бы рассмотреть случай сис-
системы N частиц. Тогда было бы полезно вновь ввести числа заполнения,
с помощью которых удобно дать предварительное определение понятия
физического вакуума. В этом смысле вакуумом можно назвать такое
состояние, при котором все числа заполнения, соответствующие реаль-
реальным частицам, равны нулю. Читатель заметит осторожность выраже-
выражения «реальные частицы»; дело в том, что состояния с отрицательными
энергиями не имеют непосредственного физического смысла, и Дирак
предложил считать электроны с Е < 0 принципиально ненаблюдаемы-
ненаблюдаемыми. Говоря о различных значениях чисел заполнения, мы апеллируем
уже к теории с переменным числом частиц — к квантовой теории
поля (вторичное квантование!), где и дается наиболее полное опреде-
определение понятия физического вакуума (см., например, Н.Н.Боголюбов
и Д.В.Ширков, «Введение в теорию квантованных полей», М., 1957,
стр. 75; С.Швебер, «Введение в релятивистскую квантовую теорию по-
поля», ИЛ, 1963, стр. 135, 216, 245, 616).
Если, следуя Дираку, считать ненаблюдаемыми все электроны от-
отрицательных энергий, то, во-первых, устраняется трудность, связанная
с принципом минимума энергии. Именно, если бы состояния с Е < 0
были свободны, а с Е > 0 имелось хотя бы одно занятое состояние,
то электрон стремился бы перейти оттуда в состояние с Е < 0, при-
причем Е —>¦ —оо, а \р\ —>¦ +оо [см. C4.25)], и мы пришли бы к бес-
бессмысленному результату (самоускорению электронов!). Следует заме-
заметить, что в классической теории указанная трудность отсутствует, так
как между уровнями Е > 0 и Е < О существует свободный интер-
интервал АЕ = 2тс2, а дискретные скачки энергии в классических системах
невозможны. С другой стороны, возможно (затратив соответствующее
количество энергии) «вырвать», например, один электрон из состояния
с Е < О и придать ему положительную энергию, так что он станет
наблюдаемым. (Здесь содержится неявное предположение о «косвенной»
наблюдаемости и электронов с отрицательной энергией ввиду сущест-
существования взаимодействия, переводящего их на положительные энерге-
энергетические уровни.) Одновременно на фоне вакуума появится «дырка»,
которая будет вести себя во всех отношениях как частица с Е > О, но

Комментарии 245
знака заряда, противоположного знаку заряда электрона (см. рис. 32).
Электрон и «дырка» могут снова встретиться и электрон вновь попа-
попадет на уровень с Е < 0, став тогда ненаблюдаемым (аннигиляция); при
этом будет излучен фотон (к тому же не один, а по крайней мере два
или три), унося затраченную вначале энергию.
К стр. 215 (**). «Море» ненаблюдаемых электронов Дирака с от-
отрицательной энергией. В нем изображена одна «дырка» — позитрон:
в области положительной энергии виден один электрон, вырванный из
ненаблюдаемого состояния (пара электрон-позитрон).
К стр. 211 (*). Здесь полезно воспользоваться свойством а^а^ =
= ^V + i?iki&ii гДе ?Ш — 3-мерный символ Леви-Чивита (см. коммен-
комментарии к стр. 77 и 112).
К стр. 218 (*). Здесь существенно предположение о независимости
матриц Дирака 7Р от выбора системы отсчета. Другая формулировка
теории Дирака была предложена А. Зоммерфельдом (см. «Строение ато-
атома и спектры», т. II, стр. 220 и далее).
К стр. 218 (**). Мы изменили выражение C7.3) (Т —>¦ Т~г), что-
чтобы сохранить форму дальнейших рассуждений автора, однако ниже в
аналогичном случае формула, предшествующая C7.32) и последующие
формулы оставлены без изменений, так как это не отражается на по-
полученных результатах.
К стр. 227 (*). Последний результат важен для квантовой теории
поля и является основой альтернативы «дырочной» интерпретации по-
позитрона. Тогда оказывается, что последовательный учет статистики
Ферми-Дирака приводит к положительно определенной энергии элек-
тронно-позитронного поля, в то время как знак заряда этого поля ста-
становится неопределенным (без учета принципа Паули все было бы на-
наоборот!). Поэтому уже нет необходимости вводить гипотезу о «море»
ненаблюдаемых электронов отрицательной энергии.
Лагранжиан свободного электронно-позитронного поля имеет вид
Для учета взаимодействия с электромагнитным полем к нему следует
добавить лагранжиан взаимодействия

246 Комментарии
Варьируя полный интеграл действия, получим уравнение C7.1) и со-
сопряженное ему. Легко проверить, что в силу этих уравнений полный
лагранжиан электронно-позитронного поля обращается в нуль.
Последние вопросы, рассмотренные Ферми в его лекциях, чаще из-
излагаются в курсах квантовой теории поля, с которой связано и все
их дальнейшее развитие (см. многочисленные курсы и монографии по
квантовой электродинамике и квантовой теории поля).

Энрико Ферми
Лекции по квантовой механике
Дизайнер: М. В. Ботя
Технический редактор: А. В. Широбоков
Компьютерный набор и верстка: О. В. Максимова
М. А. Килин
Компьютерная графика: В. Г. Бахтиев
Корректоры: Е. Ф. Осипова, А. В. Лигу зова
Подписано к печати 21.04.00. Формат 60 х 84У16.
Усл. печ.л. 14,42. Уч. изд. л. 14,73.
Гарнитура Computer Modern Roman. Бумага офсетная №1.
Печать офсетная. Заказ № . Тираж 1000 экз.
Научно-издательский центр «Регулярная и хаотическая динамика»
426057, г. Ижевск, ул. Пастухова, 13.
Лицензия на издательскую деятельность ЛУ №084 от 03.04.00.
Отпечатано с готовых диапозитивов
в ГИПП «Вятка», 610044, г. Киров, ул. Московская, 122.

426057, Россия, г.Ижевск, ул.Пастухова, 13
НИЦ "РХД"
Тел.: C412) 76-82-95, 78-39-33
^Г\. л л*' л E-mail: borisov@uni.udm.ru
http://www.rcd.com.ru
Уважаемые читатели и авторы.
Научно-издательский центр
«Регулярная и хаотическая динамика»
специализируется на выпуске учебной и научной литературы, в том
числе монографий, журналов;
издает дополнительную учебную литературу для школ и высших
учебных заведений физико-математического профиля;
переводит книги естественно-научного направления;
развивает направление, связанное с использованием сети Internet и
внедрением новых информационных технологий в издательское дело:
обучающие программные комплексы, электронные учебники, журна-
журналы, книги и энциклопедии.
Наши партнеры:
• Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова;
• Российский фонд фундаментальных исследований;
• Физико-технологический институт Академии наук;
• Саратовский учебно-научный центр «Колледж»;
• Издательство Turpion (Великобритания);
• Удмуртский государственный университет.