АННОТАЦИЯ
Одной из важнейших проблем физики плазмы (иони-
зированного газа) является изучение распространения
s ней электромагнитных волн различных типов: радио-
волн, плазменных волн, магнитогидродинамических. волн
и т. д. Сюда же как частный случай относится пове-
дение плазмы в однородном в пространстве, но перемен-
ном во времени электрическом поле. Этот круг вопро-
сов, который освещается в книге, представляет интерес
при исследовании распространения радиоволн в ионо-
сфере и межпланетной среде, для радиоастрономии,
и астрофизики, а также при изучении плазмы в лабо-
раторных условиях.
В книге рассматривается распространение электро-
магнитных волн разной частоты как в изотропной, так
и в магнитоактивной плазме. При этом обсуждается
и случай однородной, и случай неоднородной среды.
Особое внимание уделено распространению радиоволи
в ионосфере и космических условиях. Отдельная глава
посвящена нелинейным явлениям в плазме, находя-
щейся в переменном электромагнитном поле.
Книга рассчитана на студентов старших курсов
физических и радиофизических факультетов, аспиран-
тов и научных работников.
Гинзбург Виталий Лазаревич Е
Распространение электромагнитных волн в плазме [
Редактор В. Д. Козлов i
Техн. редактор К. Ф. БруЭко Корректор Д. С. Бс&
Сдано в набор 26/V 1960 г. Подписано к печати 25/XI 1960 г. Бумага Ц
Фаз. neq. л. 34,5. Условн. печ, л. 34,5. Уч.-изд. л. 35,96. Тираж 81
Т-15005, Цена книги 20 р. С 1Д 1961 г. цена 2 р. Заказ >й 1471 '
5<ХВ. Цепа книги *и у. „ .,.
Государственное издательство физико-математической литературы.
Москва, В-71, Ленинский проспект, IS
Типография № 2 им. Ear. Соколовой УПП Левсовнархоза.
Ленинград. Измайловски* пр., 2S.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие
Принятые обозначения
Глава 1. Основы теории
волн в плазме
распространения электромагнитных
§ 1. Обшее введение. Параметры плазмы в различных случа
Различные случаи распространения
плазмы A6). Особенности плазмы A7).
Уравнения поля (IS). Одн
колебания B2). Пространствен
ных типов B4)
Глава И. Распространение волн в однородной и изотропной
плазме ,
§ 3. Комплексная диэлектрическая проницаемость плазмы (элементар-
ная теория) „
• Элементарный вывод выражений для е и <т BE). Вопрос о действующем
поле B9). Ооласть применимости полученные формул C2). Магнитная про-
ницаеиогть плазмы C5).
§ 4. Метод кинетического уравнения
§ 5. Несколько замечаний, о"-[микропроцессах
в плазме
сорта
нени
§ ^
проницаемость и проводимость плазмы (кинетиче-
плазме элек1Р°магнитных (поперечных) волн в однород-
ус^ииЛОщ
чата G8) О »».;
I о;. У вещест
Выражения для
затухший вол»
f) р для лик в п
венных и комплексных; значениях частоты (
при
слу.
9
11
15
ях .... 15
(IS). Параметры
18
26
26
35
49
58
74

ОГЛАВЛЕНИЕ
4
§ 8. Учет пространственной дисперсии. Плазменные и акустические
волны
Плазменные (продольные) волны. Феноменологический учет простран-
ственной дисперсии (SO). Кинетическая теория (&4). Черепковское излучение
в плазме. Поглощение плазменных волн {Щ. Учет влияния ионэв. Акусти-
ческие волны ($4). Каазигидродинамический метод (97). Продольные иолиы
в двухтемпературпой плазме (98),
§ 9. Сводка основных формул
Попер&чные волны A01). Продольные волны в плазме A05).
Г лава 111. Распространение волн в однородной магнитоактнвиой
плазме
§ 10. Тензор комплексной диэлектрической проницаемости
О влиянии постоянного магнитного поля иа свойства плазмы 1.108), Тен-
зор комплексной диэлектрической проницаемости (элементарная теория) [ПО).
Свойства тензора з^ AИ). Тензор е-^ в других, системах, координат (US),
Кинетическая теория A15), Влияние движения ионов A19).
§11. Распространение в магнитоактивной плазме высокочастотных волн
Выражения для показателей преломления ц поглощении п. а и *s „ A-2).
Некоторые частные случаи A25). Распространение волк под произвольным
- - MaroM-mnuv шлю A29). Поляризация золи A32). О нормальных
A35). Учет поглощения A39). Квази-
80
100
108
108
122
ОГЛАВЛЕНИЕ
17 Строгие решения волнового уравнения (линейный и параболи
ский слои; слой е' = -jf—jif
Введение ('241). Линейный слой без поглощения B41). Поглощающий лн-
иейный слой {;?Л'«). Параболический слой без поглощения B47). Слой ?.' ^
241
-тьЬ?т)
о ^g_ Отражение и прохождение волн в случае «симметричного н
' «переходного^ слоев произвольной толщины 251
ГЕлазный слой с четырьмя параметрами B51). «Симметринпыйа слоП B52).
«Переходный» слой. Предельный переход к резкой границе раздела B54).
- 255
263
V\.v;-'. падения B60). Уравнение для магнитного поля волны ^у^.
§20. Об одной особенности поля электромагнитной волны, распростра-
А":'.'.-. няющейся в неоднородной изотропной плазме. Взаимодействие
:::: электромагнитных и плазменных волн
.;;;;••;;•; Физическая картина явления B63). Решение волнового уравнения B65),
/;'.••./. Учет пространственной дисперсии B71). Учет образования плазменных волн.
/.'.. Взаимодействие между различными нормальными волнами B75), О взаимной
: трансформации н взаимодействии между продольными и поцеречаыми волнами
,::. в плазме B80).
§ 21. Распространение импульсов (сигналов) 281
....„ „п„п ттшгп^й i'2R11. Распространение квазимонохро-
Фурье-представленна поля импульса BS1). Распространение кна^илуиил^-
атического имп^л***\ббз умета его раенлываиия B83). Фазозая и группо-
1и скорости волн Щ^ДЦ Рас'пльшанне импульсов B87), Пределы применимости
—.^ччяаимлтл прио.шжения н более точные результаты B93),
черепковского поглощении Vfu-—- г--
повеикой волны при невысоких частотах. A65). Резюме A36).
§ 13. Некоторые замечания о динамике плазмы , . . „
1 """"fme приближение A86). 1
Магйитогидроаинамическое приближение A86). Квазигидродинамическое при-
ближение [18В). О движении чисго электроино-иоиной плазмы и слабо иоиизи-
ровзийою га&а. \192), Стационарную авнжеии^ слабо ионизированного газа в маг-
нитном поле. Случай земной ионосферы A95),
*" —«'jufMiHp. низкочастотных н мапштогидродияамических
НИТИОМ иоде, «-.., .— .
§ 14. Распространение низкочастотных
волн . .
Введение A-7). Магиито пирс динами ч
197
паедсаы^ I.--¦,- ^аги11тог11дрсдцнами15йскк.ц волны AУТ), Низкочастотные
вопий (каазитядродииамкческое рассмотрение) B05). Об области применимости
цагвитогияр о динамических формул (0^1, Углы «, близкие к л/2 B09) Об области
ионного гирорезонанса B10). Учет влияния молекул BП). Учет теплового авк-
сении. Некоторые результаты кинетической теории (изменение скорости, зату-
:ание при отсутствии Соударений) {2Щ,
218
Л«...— при отсу
§ 15. Сводка основных формул , . . .
Глава IV. Распространение води в неоднородной изотропной
среде (плазме) . - 224
§ Ш. Введение. Приближение геометрической оптики 224
Волновые уравнения. Плоскослоистая среда B2-1). Строгие решения для
плоскослоистой среды B25), О приближенных решениях B26). Приближе-
ние геометрической оптики B-26). Более строгое рассмотрение того же ао-
проса. (30). Случаи, когда приближение геометрической оптики неприменимо.
Полное TOytpe-ннее отражение B32). СО отражении радиоволн от ионо-
сферы B35^. Совершенно неотражающий слой B36]. Слабое отражение от
слоя B36). Отражение от скачка прояэвоаной -—- B38).
: : ИСПОЛЬЗОванНОГО Прио.шжеинм п uu.i^c i«-—,- r —
§22. Плотность энергии в диспергирующей среде. Скорость сигналов
-"¦¦¦'¦г-- в плазме при наличии поглощения t 296
•;-".': введение B96], Плотность энергии в неиюглощаюшей диспергирующей
':-'";.---. среде (37). Случай поглощающей среды C00). Плотность энергии а плаз-
''''••• ме C01). О плотности энергии в случае совокупности осцилляторов C02). Плат-
:':¦'}:/ ;:''иость энергии в плазменных волнах C03). Скорость сигналов в поглощающей
51, ;.-"¦ лсреде. Применение к плазме C04).
Глава \\ Распространение волн в неоднородной магнитоактив-
'¦:':,, ной плазме 307
§23. Введение. Приближение геометрической оптики йЙХ.
>v Волмоаые уравнении C07). Приближг«^° гепчш-тической оп'СШш C08). Гра-
ницы применимости прибляжения C11).
¦ _':-': ¦ нормальных волн в этом случае (ЗН).
§ 24. Распространение импульсов . . .
Вектор групповой скорости э магни.^» _-- .t ._
,:повой скорости, направление луча и вектор потока энергии C22). Раенростра-
, :; 'иение импульсов в неоднородной среие C24).
§ 25. Отражение волн от неоднородного слоя
••;; Отражение волн от слоя. Углы а=0 и &*-?-C25). Приближенное реше-
-,:, нпе при произвольном угле а C28),
§ 26. Предельная поляризация волн, выходящих из слой неоднородной
магнитоактивной плазмы ..,......«
Введение. Некоторые оценки A334), Приближенное решение C36), Резуль-
таты расчета C41).
.317

ОГЛАВЛЕНИЕ
27. Поведение поля волны, коэффициенты отражения и прохождения
при наличии особенности у показателя преломления ,
Взедение. Особенности (полюса) у показателя преломления C43). Стро-
гое решение для слоя -эфф^ТгТй^ ^346*' СтРогое Решеы"е Для слоя еэффет
ОГЛАВЛЕНИЕ
343
* ¦* -Физическая интерпретация C-Ш). Слой
C49)-
z+is ' -*¦--*--•—'"" \"^л v»w« сэфф ^l" 24-/S
лвдс функции (п—гх)| 2 B случае магнитаактивной плазмы C50). Механизм
резонанса. Эффект «разбуханий» поля в магнигоакпшной плазме C54), Слу-
чай земной ионосферы C5?\ Учет пространственной дисперсии C57).
§ 28, Эффект «утраивания» отраженных сигналов (взаимодействие нор-"
мальных волн при малых углах а)
Область малых углоз а между магнитным нолем и волновой нормалью. Кар-
тина явлении C57), Решение задачи методом возмущений (область очень ма-
лых углов а) C60). Вариационный метод (другой предельный случай) C67).
9*
Метод фазовых интегралов C75), Общие результаты при а =—¦%- <1 C77).
357
Формулы для v Учет соударений C80). Результаты при а
">#
> 1 CS4).
§ 29. Наклонное падение волн на слой. Теорема взаимности 388
Введение C88). Приближение геометрической оптики C90). Поле
в первом приближении геометрической оптики C92). Графики функций
^1 3 ^ C9-1). Траектории волнооых нормалей и лучей (ЗУ6). Некоторые
особые случаи D00), Просачивание волн и эффект «утраивания» сигналов при
наклонном падении D04). Просачивание волн ирп ;: = —»—>1 D06), Доказа-
тельство теоремы взаимности D03). Обобщение на случай магнита активной
среды D10). Среды с несимметричным тензором ц.,^ !- с пространственной
дисперсией D11).
Глава VI, Отражение радиоволн от ионосферных слоев . , . .
§ 30. Введение. Отражение от произвольного плавного слоя ......
у О распространения радиоволн в ионосфере D[з). Параметры ионо-
сферы D14). Отражение волн от произвольного слоя D16). Действующая вы-
сота отражения z . Высотно-частотные характеристики D21), Параболический
сдай D24). Учет изменений слоя во времени D27).
§ 31. Учет поглощения ¦
Влияние поглощения на отражение волн D29), Коэффициент отражения
в случае малости поглощения. Определение •> по измерению поглощения D32),
§ 32. Структура поля вблизи точки отражения
Структура доля D34). Геометриаооптическое приближение (-1373. Учет по-
глощения D38).
§ 33. Отражение и просачивание через слой волн с частотой, близкой
к критической .
Параболический слой D39). Произвольный слой (-140). Учет поглоще-
ния D44). Действующая высота для параболического слоя (строгое реше-
ние) D45). О времени установления амплитуды сигнала D48).
§ 34. Отражение при наклонном падении
413
413
429
434
439
Точка отражения. Критическа
емы связываюие
449
461
pacnpoi..,-- , .
магнитного ноля D@).
Глава
VII.
Распространение радиоволн
ВИЯХ
б космических усло-
s 36. Распространение радиоволн в солнечной атмосфере
Введение D72). Солнечная корона D73). Распространент
ронг D75). Излучение радиовола. Учет рефракция D79). Бл[
поля D85). Трапсформадия плазменных волн в радиополны D8D). О
нии, не связанном с соударениями D90). Теорема Кирхгофа в магни!
плазме D91),
472
472
е радиоволн в ко-
Блияние магнитного
поглоще-
ito активной
ерме E00).
Глава VIII. Нелинейные явления в плазме, находящейся в пере-
менном электромагнитном поле
§ 38. Введение. Плазма в сильном однородном электрическом поле . .
Условие слабости поля в плазме. Примеры (ЕОЗ). Постановка задачи
в случае сильного поля E05). Элементарная теория E05). Точность результатов
элементарной теории E12). Кинетическая теория EВ). Сильно ионизированная
плазма E17). Слабо иоинзкровакная плазма E19),
§ 39. Нелинейные эффекты при распространении радиоволн в плазме
(ионосфере)
Введение E1). Основные соотношения E22). Эффект самовоздей-
ствня E54). Нелинейное взаимодействие волн. Кроссмодуляция F29). Нелинейное
азанмодействиЕ немодулирозанных поли. Комбинационные частоты (оЗЗ). Нелиней-
ность, связанная с измек2ша--.& электронной концентрации E36).
Литература .
503
503
521
539

ПРЕДИСЛОВИЕ
Плазма, ее динамика и различные происходящие в ней процессы
в последние годы привлекают к себе все большее внимание. Одной
из важнейших проблем в этой области является изучение распро-
странения в плазме электромагнитных волн различных типов (радио-
волн, плазменных волн, магнитогидродинамических волн и др.).
Сюда же как частный случай относится поведение плазмы, т. е.
ионизированного газа, в однородном в пространстве, но переменном
во времени электромагнитном поле.
В настоящей монографии освещается именно этот круг вопросов,
существенных для теории распространения радиоволн в земной ионо-
сфере, для радиоастрономии и астрофизики, а также физики плазмы,
получаемой в лабораторных условиях.
При исследовании распространения волн в плазме приходится
сталкиваться с весьма большим числом различных задач, с разными
постановками вопроса. Относящаяся сюда литература огромна, осо-
бенно, если иметь в виду также и родственные проблемы физики
плазмы. В этой связи подчеркнем, что ниже не делается попытки
дать обзор соответствующих работ. Автор стремился к другому —
по возможности просто осветить ряд основных результатов и выво-
дов, уделяя особое внимание вопросам, в исследовании которых он
сам принимал участие. Таким образом, ни характер изложения ма-
териала, ни список литературы не претендуют на полноту. Вместе
с тем, насколько нам известно, как в советской, так и в иностран-
ной литературе отсутствуют книги, в которых распространение волн
в плазме рассмотрено даже с той степенью детальности, с какой
это сделано ниже. Поэтому, как можно надеяться, появление книги
будет оправдано. При ее составлении, там, где это оказалось
возможным, использован также материал, содержащийся в написанных
автором ранее монографии «Теория распространения радиоволн

10
ПРЕДИСЛОВИЕ
в ионосфере» (Гостехиздат, 1949) и второй части совместной
с Я. Л. Альпертом и Е. Л. Фейнбергом книги «Распространение
радиоволи» (Гостехиздат, 1963).
Для того чтобы облегчить чтение, а также использование книги
для справок, допускалось повторение некоторых формул в разных
разделах, а два параграфа специально посвящены сопоставлению
основных результатов. Кроме того, в список литературы включены
некоторые оригинальные и обзорные работы по вопросам, которые
в книге лишь затрагиваются или даже вообще не рассматриваются.
Важнейшей такой проблемой, оставленной в стороне, является рас-
пространение волн при наличии статистически неоднородностей.
За полезные замечания и советы автор признателен Е. А, Бене-
диктову, Б. Н. Гершману, А. В. Гуревичу, Н. Г. Денисову, В. В. Же-
лезнякову, Н. А, Митякову, №. С. Рабиновичу и В. П. Силину.
В. Л, Гинзбург
^ПРИНЯТЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ *)
N — концентрация электронов
iVmax — электронная концентрация в максимуме слоя
Nm — концентрация нейтральных частиц (атомов, мо-
лекул)
;V+ — концентрация положительных ионов
JV_ — концентрация отрицательных ионов -
jV( = .V+ -j- JV_ — концентрация ионов
Т — температура плазмы -или в случае.^«изотерми-
ческой плазмы температура ионов
Те — электронная температура. Температура везде при-
водится в градусах Кельвина^
Гя Т, — длительность импульса и период колебаний (обо-
значения встречаются преимущественно в § 21)
М — масса тяжелых ьчастиц (ионов, атомов, молекул)
J. — длина волны
1т.с
'-о = длина волны в вакууме
ш — циклическая частота, /—частота
плазменная частота
щ — комплексная частота, р = го/ = /о> — f
1 — показатель затухания (? = ?oe!l'J' ¦ e~i')J
? — напряженность электрического^поля
Н— напряженность магнитного' поля
(°) — напряженность внешнего (постоянного) магнит-
ного поля
кР—электрическая индукция, Р — поляризация среды
Ф — потенциал электрического поля (для^потенциаль-
ного поля ? = — grad Ф)»
*) Редко встречающиеся обозначения не приводятся. Во многих случаях.
опускаются также индексы (например, в тексте эффективные сечения обо-
значаются буквой q с соответствующими индексами m, l и т. д.; здесь же
дается только одно обозначение q). Большинство величии, обозначенных
одной и той же буквой, не встречается в одном и том же параграфе. Заряд
и масса электрона, скорость света и квантовая постоянная обозначены, как
обычно, через г, я, и Ь.

12
ПРИНЯТЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
j — плотность тока проводимости
Jt~J-j--p —плотность полного тока, связанного с движением
зарядов
р = т^ dlv D — плотность «.свободных зарядовз (той же буквой р
обозначается плотность микрозарядов)
„ 1
р — т- dlv E — средняя плотность микрозарядов
е =6 — l комплексная диэлектрическая проницаемость
е —диэлектрическая проницаемость
с — проводимость
— соответственно тензоры диэлектрической про-
ницаемости, проводимости и комплексной диэлек-
трической проницаемости
п — показатель преломления (индексы 1, 2, 3 у п
и других величин относятся соответственно
к необыкновенной, обыкновенной и плазменной
волнам)
я = (и — г'х) (вводится при о = 0)
х — показатель поглощения (затухания)
¦/. .= 1,38 ¦ 10~IS —~¦ постоянная Больцмана (фигурирует обычно в ком-
бинации ч.Т)
\>- — — ¦/. — коэффициент поглощения
[i. fig, ft,,Е — глубины модуляции и кроссмодуляции (обозна-
чения встречаются только в § 39)
¦: = ц d$ — оптическая толщина
t —времена релаксации, время свободного пробега
4 — число соударений (добавление индексов т и i
указывает на соударения с молекулами и ионами)
"'эфф — эффективное число соударений
•а — скорость, и —средняя скорость
5 — средняя относительная доля энергии, передавае-
мой электроном тяжелой частице при одном со-
ударении
oyn = 2mfM — значение 6 при упругих, соударениях
К = -я кинетическая энергия электронов
I =т zv = средняя длина свободного пробега
ПРИНЯТЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ 13
, z = *3, t — декартовы координаты и время
г — радиус-вектор
: = #0 — tq — волновой вектор I й0 = — л, q — — % =
\ с с
S — интеграл столкновений
f{t, г, V) — функция распределения
v), —?i-i—г симметричная и несимметричная части функции
распределения
/оо iv) ¦— максвелловская функция распределения
о (t. Г, •в) — отклонение функции распределения от равновес-
ного значения
при Ге = Т
D — дебаевский радиус [D =
и JV+ = N]
а = 16hD3jV
Ъ-TD
со
'Я
§. — элемент телесного угла
О — угол рассеяния
Й — угол между нормалью к фронту волны и осью г,
90 — угол 9 в начале слоя (угол падения); в §§ 19
и 20 a (z) = sin 9 (г) и а„ = sin 60
q — эффективное сечение
с <Э? с , с № , . . „ ,„ ,а.
фазовая скорость
групповая скорость
угол между волновым вектором к и внешним
магнитным полем Я*0'
угол между ДО) и осью г (обозначение встре-
чается только в § 29)
—гирочастота для электронов
—гирочастота для ионов
! — частота модуляции (обозначение встречается,
только в § 39)
X —
безразмерные параметры

14
ПРИНЯТЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
-4, В, С — коэффициенты в волновых уравнениях A1,3) для
магнитоактивной плазмы
= коэффициенты поляризации, характеризующие по-
ляризацию нормальных воли 1 и 2
ре — электронное давление, pt — ионное давление
Рл — плотность среды, р0 — иевозмущеииая плотность
среды
и0
= у (д-^-)—ск
скорость звука
; буквой С обозначена также переменная A7,2)
Т —величина, фигурирующая в выражениях типа
Е = Еае с ; Т'=Ц-Ит. д.
«р— фаза волны
R — амплитудный коэффициент отражения
D — амплитудный коэффициент пропускания
¦ = т- [ЕН] — поток электромагнитной энергии
/к — критическая частота
гт — полутолщина параболического слоя
ГЛАВА I
ОСНОВЫ ТЕОРИИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ
ВОЛН В ПЛАЗМЕ
§ 1. Общее введение. Параметры плазмы в различных случаях
Различные случаи распространения волн в плазме. С рас-
пространением электромагнитных волн в плазме, т. е. в частично
или полностью ионизированном газе, приходится встречаться в целом
ряде случаев. Важнейшие из них таковы:
Распространение радиоволн в высших слоях земной атмосферы
(в ионосфере).
Распространение в ионосфере и прилегающих к ней областях
межпланетного пространства различных низкочастотных электромаг-
нитных волн.
Распространение в солнечной атмосфере, в туманностях, а также
в межзвездном и межпланетном пространствах радиоволн космиче-
ского происхождения, исследуемых радиоастрономическими методам!'-.
Сюда же можно отнести распространение радиоволи при локаци •,
Луны и планет, а также в случае связи с далекими искусственным ;
спутниками Земли, космическими ракетами и т. п.
Распространение в космических условиях низкочастотных (магни-
тогндродинамическкх и акустических) волн.
Распространение в космических условиях (солнечная корона и т. д.),
а также в земной ионосфере плазменных волн.
Распространение электромагнитных волн различных типов в плазме,
созданной в лабораторных условиях (при изучении газового разряда,
в установках для исследования контролируемых термоядерных реак-
ций и др.).
Поскольку в космосе вещество почти во всех случаях находится з
состоянии плазмы, с распространением электромагнитных волн в плазме
оказывается связанной также вся оптическая астрономия. Однако
в оптической части спектра при встречающихся в звездных атмосфе-
рах плотностях основные специфические особенности плазмы не прояв-
ляются. Поэтому, естественно, мы не будем рассматривать волн, лежа-
щих в инфракрасной и еще более коротковолновых частях спектра.
Представление о плазме является закономерным и плодотворным не
только для газа, но и при изучении некоторых свойств твердых тел
(оптика металлов, дискретные потери энергии в твердых телах, цикло-
тронный резонанс в полупроводниках при наличии большого числа

16 ОСНОВЫ ТЕОРИИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВОЛН Е ПЛАЗМЕ [ГЛ. I
носителей тока). Тем не менее останавливаться на этом круге явлений,
относящихся скорее к области физики твердого тела, мы также не будем.
Параметры плазмы. Плазма, с которой приходится сталкиваться
в природных условиях или в лабораторных приборах, характери-
зуется параметрами, отличающимися в различных случаях на много
порядков. Так, электронная концентрация в межзвездной среде из-
меняется обычно в пределах IO~3^N.<-. 10 ^^2|?^? (значение
Л' ~ 10 относится к облакам межзвездного газа)*). В солнечной ко-
роне 104^Л'^3 • 108, в межпланетном пространстве N¦—¦ 1 -ь-104
(последнее значение относится к самым мощным корпускулярным пото-
кам, выбрасываемым Солнцем). В земной ионосфере 103^Л/^3- 10s.
В установках для контролируемого использования термоядерных
реакций N— 1015**)> а для ряда газоразрядных приборов типично зна-
чение N-~< 1012, Наконец, концентрация электронов проводимости
в металлах N ¦—3 ¦ 1022 и именно эта концентрация фигурирует, когда
плазменные представления используются в применении к металлам.
Вторым параметром, характеризующим плазму, является концен-
трация нейтральных частиц Л'т или степень ионизации г — 4т-.
В земной ионосфере: в нижнем D-слое Wm~ 1015 « г.—• 10~11-г- 10~12;
в Е-слое Л'т~-№ и г~1СГ7 н в f-слое Мт^1010 и r^lCT4
(подробнее о строении ионосферы см. § 30). В солнечной короне
практически Nn—Q. т. е. г = со; в других космических условиях
иногда Nm<^N, но часто (вдали от горячих звезд) N<^_Nm, т. е.
газ слабо ионизирован.
Если в плазме присутствуют лишь положительные ионы, то
в имеющих обычно место условиях квазинейтральности их концен-
трация N+ = .V. Если же могут присутствовать также отрицатель-
ные ионы, то N^_ = N J-N_ (все ионы считаем для простоты
однократными) и появляется еще один параметр N-IN+ или N-/N.
В соответствии с различием в концентрации в таких же при-
мерно пределах меняется также и длина свободного пробега частиц.
Температура плазмы в различных условиях такова (все значения темпера-
туры здесь и в дальнейшем приводятся а градусах Кельвина):
Земная ионосфера Т ~> 300-нЗООО
Межзвездный газ Т ~> 100 (слабо ионизированные области)
¦> * Г---101 (сильно ионизированные области)
Солнечная корона Т ~-> 106.
В экспериментальных установках для изучения контролируемых термо-
ядерных реакций 7"~106-=-107 *8). В соответствующих установках промыш-
ленного типа температура должна будет, вероятно, достигать 10»ч-109
градусов.
*) Все приводимые численные значения имеют лишь ориентировочный
характер.
**) Управляемые термоядерные реакции (сб. переводов), X» 11 A957) и
J6 26 A960), Атомиздат. rv v v >
ПАРАМЕТРЫ ПЛАЗМЫ В РАЗЛИЧНЫХ СЛУЧАЯХ
17
¦ to
о
Характеризуя состояние плазмы температурой, мы тем самым, строго
говоря, уже считаем ее равновесной (точнее, предполагается, что частицы
в плазме имеют максвелловское распределение по скоростям). Фактически,
однако, ряд формул, которые будут получены ниже, в определенных пре-
делах или совсем не зависят, или слабо зависят от формы распределения
плазменных частиц по скоростям. В других случаях несущественно распре-
деление по скоростям ионов и молекул. В § 8 будет, кроме того, рассмо-
трена двухтемпературная плазма, в которой электроны и ионы имеют макс-
велловское распределение скоростей, но с различными температурами.
В целом тем не менее можно сказать, что плазма везде в настоящей книге
считается равновесной или квазиравновесной в пространстве скоростей. Это
ограничение весьма существенно, так как при наличии а плазме различных
доюков и пучков частиц (т. е. в случае достаточно резкой асимметрии
функции распределения плазменных частиц по скоростям) распространение
волн в плазме приобретает качественно новые особенности. Важнейшая
такая особенность состоит в том, что при наличии пучков волны в плазме
могут не только затухать по мере их распространения, но и усиливаться.
Другими словами, при наличии пучков плазма оказывается, вообще говоря,
неустойчивой: возникающие в ней по какой-либо причине возмущения
{волны) в линейном приближении нарастают со временем. Все такого рода
явления, как ясно из сказанного, ниже рассматриваться не будут. Более
того, под самим термином «плазма.» будем без дополнительных оговорок
понимать не произвольную плазму, а только плазму, в которой при отсут-
ствии электрического поля распределение по скоростям либо равновесно
(плазма с температурой Т), либо, в интересующем нас плане, несущественно
отличается от равновесного или квазиравновесного состояния (двухтемпера-
турная плазма п т. д.).
Особенности плазмы. С указанной особенностью плазмы — боль-
шим разнообразием встречающихся значений параметров, связана
и вторая ее особенность, существенная при изучении распростране-
ния волн. Именно, плазма часто является существенно неоднородной,
так что речь идет о распространении волн в средах с изменяющимися
в пространстве параметрами. Разумеется, с неоднородностью среды
приходится сталкиваться и в других случаях. При этом обычно
встречаются резкие границы раздела и значительно реже лишь срав-
нительно небольшие плавные изменения свойств среды. В случае же
плазмы, наоборот, редко приходится сталкиваться с резкими грани-
цами, и типичным является наличие плавных, но весьма больших из-
менений свайств среды. Изменения эти часто настолько велики'7 что
диэлектрическая проницаемость е меняет знак.
Третьей характерной особенностью плазмы как . раз и можно
•считать то обстоятельство, что ее использование позволяет без осо-
бого труда реализовать среду с, гэдО и слабым поглощением.
С этим связаны возможность существования очень слабо затухающих
плазменных воли и некоторые другие важные моменты.
Четвертая особенность плазмы —сильное изменение ее свойств
под действием постоянного магнитного поля. В результате даже весьма
<лабые, по обычным представлениям, магнитные поля (например,
земное поле) существенно меняют характер распространения волн
в земной ионосфере и других
-э»„ 1171 И Л_

18
ОСНОВЫ ТЕОРИИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВОЛН В ПЛАЗМЕ
[ГЛ.
Пятая особенность плазмы — появление нелинейности ее электро-
магнитных свойств уже в сравнительно легко достижимых полях.
С этим связаны явления нелинейного взаимодействия (кроссмодуляции
и др.) волн, распространяющихся в плазме. В других же средах
(за исключением ферромагнетиков, сегнетоэлектриков и т. п.) не-
линейные эффекты появляются лишь в очень сильных полях.
Разумеется, выделение пяти, а не какого-то другого числа осо-
бенностей плазмы несколько условно. Но сам факт большой специ-
фичности плазмы бесспорен. В связи с этим естественно, как это
уже давно имеет место в практике, самостоятельное рассмотрение
различных вопросов физики плазмы и, в частности, распростране-
ния в плазме электромагнитных волн.
§ 2. Основные уравнения. Характер используемых приближений
Уравнения поля. Стоящая перед нами задача заключается в коли-
чественном рассмотрении распространения электромагнитных волн
в плазме. В большинстве случаев даже для самых коротких радио-
волн, с которыми приходится иметь дело, длина волны X много
больше среднего расстояния между электронами или ионами г-~-'.\'~'1'".
Действительно, при распространении волн в ионосфере и сол-
нечной короне Л;^Л03и г ^0,1 см; в то же время рассматри-
ваются в основном метровые и более длинные волны. Условие 'О5>г
для радиоволн может, таким образом, нарушаться практически только
в межзвездном пространстве. Этот случай будет рассмотрен в § 37,
в остальных же разделах будем считать сформулированное условие
выполненным. По этой причине распространение электромагнитных
волн в плазме можно и нужно рассматривать на основе обычных урав-
нений феноменологической электродинамики в сплошных средах:
rot Я = —j -j D,
div D = 4-p,
BЛ)
B,2)
B,3)
dlv//=0, B,4)
где Е и H— векторы напряженности электрического и магнитного
полей, D— вектор электрической индукции, j—плотность тока
и о — плотность «свободных зарядов»; здесь и ниже используются
абсолютная гауссова система единиц и общепринятые обозначения.
Уравнения B,1) и B,3) написаны сразу в предположении, что
все переменные зависят от времени по гармоническому закону, т. е.
пропорциональны еш. Этот множитель ниже часто будет опускаться.
Рассмотрение негармонических процессов при соблюдении принципа
суперпозиции достигается путем разложения всех величин в инте-
гралы или ряды Фурье.
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
19
§2]
Кроме того, в уравнениях B,3) и B,4) и везде ниже вместо маг-
нитной индукции В фигурирует напряженность магнитного поля Н,
так как магнитная проницаемость плазмы практически равна еди-
нице (см. § 3). Применяя к B,3) операцию rot и используя B,1)
и тождество rot rot ?= — A?-j-grad div?, получаем: ¦•»-—»
rotrot?-~ (p - -^ y) - A?-gtad div?+ ij (d-Щ = 0. B,5O
: Для того чтобы уравнения B,1) — B,4) или B,5) могли быть
использованы для решения электродинамических задач, необходимо
задать связь между векторами D и j с одной стороны, и векто-
рами Е и Н—с другой. Если не учитывать влияния на свойства
плазмы постоянного внешнего магнитного поля, то D и j зависят
только от Е и направлены параллельно этому вектору (з силу изо-
тропности среды), т. е.
/} = е?, у = о?, B,6)
где г — диэлектрическая проницаемость (диэлектрическая постоянная)
и с — проводимость. При учете влияния внешнего магнитного поля
среда становится анизотропной (магнитоактивной), и D, j и Е связаны
между собой более общей линейной зависимостью:!
Dt = bkEk, Л = 3^*. *. Ь= 1.2.3. B.7)
где по дважды встречающимся индексам производится суммирова-
ние; ?>! = Dx, D2^=Dy, Dzs=Dz и т. д. Кроме того, тензоры ди-
электрической проницаемости и проводимости eik и <s№ зависят от
напряженности внешнего магнитного поля W0'.
В уравнения поля B,1) — B,4) входят полные поля от всех ис-
точников, и, поскольку tik и Qik в B,7) зависят от внешнего маг-
нитного поля, эти уравнения формально можно считать нелинейными.
Однако в теории распространения электромагнитных волн внешнее
магнитное поле обычно считается заданным и к тому же независимым
от времени и, следовательно, уравнения поля относятся по сути дела
лишь к полю самих волн; поэтому эти уравнения в случае B,7)
являются линейными. В некоторых случаях, однако, имеют место
нелинейные явления в «истинном смысле», проявляющиеся во взаи-
модействии различных волн в плазме; при этом е и с (или zit, и а1к)
являются сами функциями напряженности электрического поля. Не-
линейные явления проявляются лишь в случае достаточно сильных
полей и будут специально рассмотрены в гл. VIII. Во всех других
местах книги мы будем, если это специально не оговорено, считать
уравнения линейными, т. е. е и с (или г1Р и <sik) не зависящими от
векторов поля, В подавляющем большинстве случаев при распро-
странении волн в ионосфере и космических условиях такое линейное
приближение отвечает действительности.
Неоднородность среды проявляется в том, что е и о (или гш
и aik) зависят от координат. В" силу наличия дисперсии все эти
величины являются также функциями частоты ш.
2*

20
ОСНОВЫ ТЕОРИИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВОЛН В ПЛАЗМЕ
[ГЛ. I
Диэлектрическую проницаемость и проводимость удобно объеди-
нить в одну величину — комплексную диэлектрическую проницаемость:
Аналогично для анизотропного случая удобно ввести тензор ком-
плексной диэлектрической проницаемости
(не путать мнимую единицу с и индекс И).
В изотропном случае B,6) уравнение B,5) принимает вид: ;_.
Д?— graddiv?-!-^U'? = 0. B,10)
В том же изотропном случае B,6), исключая из уравнений B,1)
и B,3) поле Е, получаем уравнение f
irottf]-j—^-s7/=0. B,11)
B, la)
Здесь принято во внимание, что B,1) при учете связей B,6):
rottf=-^-s'?\
При переходе к уравнениям B,10) и B,11) мы считали, что связи B,6)
соблюдаются во всем пространстве. Это, однако, не совсем точно,
так как в источниках поля (например, в антенне) J—z(,E-\-ECT09),
где Ястор — напряженность поля сторонних электродвижущих сил.
Поэтому, например, в правой части уравнения B,10) должно стоять
г-^гЛтор(м. х. у, г), где jm9 — ^Emt
— плотность тока, вызванного внешними источниками электродвижу-
щей силы. Этот член в B,10), а также соответствующий член в B,11)
опущены, так как в интересующих нас областях (вне источников)
они равны нулю.
Одномерные задачи. Плоские волны. В общем случае, когда
%' зависит от всех координат, упрощение весьма сложных уравне-
ний B,10) и B,11) невозможно. Поэтому весьма существенно, что
часто можно принимать во внимание зависимость г' лишь от одной
координаты. Например, в земной ионосфере наиболее ярко выражена
зависимость е' (или &'.^ от высоты над Землей. В пределах относи-
тельно небольшого участка земной поверхности, для которого зенит-
ное расстояние Солнца можно считать одинаковым (т. е. пренебречь
сферичностью Земли), изменение г' в горизонтальном направлении
обычно носит случайный характер (облака в ионосфере и т. п.)
и накладывается на регулярную картину распределения, при которой
в' зависит лишь от высоты (координата г). Для Земли в целом регу-
лярное распределение е' зависит не только от расстояния от центра
§2]
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Земли, но также от места земной поверхности в силу различного
зенитного расстояния Солнца в разных точках. Однако эта последняя
зависимость значительно более медленная, чем зависимость от высоты,
и может быть либо вообще не принята во внимание, либо учтена
приближенно. Аналогичным образом проницаемость г' в солнечной
короне в известном приближении можно считать зависящей только
от расстояния до фотосферы.
Итак, большую роль играют одномерные задачи и среди них
в первую очередь распространение волн в плоскослоистой среде
(в этом случае г'ш зависит только от одной декартовой координаты г\
Впрочем, часто проницаемость плазмы можно вообще считать постоян-
ной в пространстве и рассматривать, таким образом, распространение
волн в однородной среде. .Детальный анализ этого простейшего слу-
чая нужен также для решения ряда более сложных задач. В одно-
родной среде основное значение имеет, естественно, распространение
плоских монохроматических воли типа ?= ?oe'''-"'~*r1. Распро-
странение импульсов, и в частности, квазимонохроматических
импульсов, сводится к распространению монохроматических волн
путем разложения поля в интегралы Фурье по частотам и по волно-
вым векторам. В плоскослоистой среде наибольший интерес
представляет распространение монохроматических плоских волк
вида Е — Ео {г) el K-V-VV-
Поэтому ниже все изложение основывается на рассмотрении рас-
пространения плоских волн. Однако и здесь можно выделить очень
важный как теоретически, так и практически частный случай,
а именно, распространение плоских волн при нормальном их падении
на слой. Для изотропного случая задача о наклонном падении сво-
дится к задаче о нормальном падении. При учете же анизотропии
(влияния внешнего магнитного поля) весьма сложна уже задача
о нормальном падении, а для случая наклонного падения строгих
решений еще не получено. Вместе с тем на примере нормального
падения можно выяснить ряд основных особенностей распростране-
ния волн в плоскослоистой магнитоактивной плазме. Практическое
значение задачи о нормальном падении также велико. Этот случай
в известном приближении реализуется, например, при вертикальном
зондировании ионосферы, имеющем основное значение с точки зре-
ния ее исследований радиометодами.
В изотропной среде*) при з' = в'(г) уравнение B,10) при нор-
мальном падении плоской волны принимает вид:
= 0,
B,12)
*) Изотропной средой (плазмой) мы везде называем среду, которую точнее
было бы именовать локально изотропной средой. Это значит^ что предпола-
гаются справедливыми соотношения B,6) или, более общо, что в однород-
ной и изотропной среде считается отсутствующим какое-либо физи-

22
ОСНОВЫ ТЕОРИИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВОЛН В ПЛАЗМЕ
[ГЛ. I
причем это уравнение относится как к компоненте Ех, так и к ком-
поненте Еу (поэтому мы и пишем просто Е). При переходе от B,10)
к B,12) учтено, что поле Е может зависеть только от г (нормаль-
ное падение плоской волны). В тех же условиях уравнение B,11)
переходит в такое:
(PH.,
(ш, г) d!iv .,
= 0 BЛЗ)
(в силу B,4) dHJdz= 0, т. е. Wz = const и не представляет интереса).
Плазменные колебания. Третья компонента (компонента по оси 2)
уравнения B,10) эквивалентна равенству (если ш ф 0) • g
s>. 2)C2 = OJ B,14)
Если 2'(ш, г) =? 0, то из B,14) следует, что ?2 = 0, и мы имеем
чисто поперечные волны. Случай, когда е'(ш, г) —0, отвечает воз-
можности существования в изотропной плазме продольных колеба-
ний. При наличии этих колебаний ?,.= 0, ?у = 0, Е2 == 0, и частота
колебаний определяется как раз из условия в'(т, г) = 0 или для
однородной среды из условия
«» = а*ё-ЛШ B,15)
Частота ш, удовлетворяющая этому уравнению, является комплексной,
т. е, колебания затухают (отсутствие в равновесном состоянии нара-
стающих колебаний следует из общих свойств функции а' (ш), а физи-
чески совершенно очевидно из самого факта существования равно-
весия). Именно наличие затухания приводит к тому, что продольные
колебания поля в среде обычно не рассматриваются. Плазма пред-
ставляет здесь исключение как раз в связи с тем, что для нее затухание
во многих случаях весьма слабо в силу малости мнимой части s'(m).
В подобных условиях частота продольных колебаний, называемых
обычно плазменными, с достаточной точностью определяется из урав-
нения
г(ш) = 0, B,16)
имеющего вещественный корень — плазменную частоту и0 (см. § 8).
Для плоских плазменных колебаний Ег = ?2(т, г), магнитное поле
Я=0, как это непосредственно следует из уравнения B,3),
При более общем подходе к плазменным (продольным) колеба-
ниям, т. е. без перехода к плоским волнам, можно исходить из
чески выделенное направление. Если среда изотропна, но неоднородна, то
выделенное направление уже может существовать (например, при s' — г' (г)
выделенным является направление градиента — ось г). Термин ^изотропная
среда? в этом случае указывает на справедливость связей B,G) и отсутствие
выделенного направления, не связанного с неоднородностью среды.
§21
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
условия го1Я = 0, откуда (см. B,1а))
У е'О, г)?=0;
B,14а)
тот же результат получается, конечно, если исходить из условия
rotrot?—0 (см. B,5) и B,10)). Поскольку для плазменных ко-
лебаний rot#=0 и div#=0, при предполагаемом Отсутствии
источников и внешнего магнитного поля приходим к равен-
ству #=0.
Рассматривая плазменные колебания типа Ez = ElSleii.">t~kr\ мы
видим, что величины ш и й между собой совершенно не связаны,
поскольку уравнение B,16) определяет только частоту ш. Поэтому
выше и применялся термин плазменные колебания, а ке плазменные
волны (асли ш не зависит от к, то групповая скорость волн равна
нулю, т. е. они не переносят энергию; отсутствие потока энергии
для плазменных колебаний B,14а) ясно также сразу е силу равен-
ства нулю вектора Пойнтинга S — -j-[EH]). В действительности,
однако, связь между « и k существует и в этом случае, так что
имеются именно плазменные волны. Для нахождения соответствую-
щей зависимости ш = ш (к) нужно уточнить соотношения B,6), являю-
щиеся приближенными. Дело в том, что связи B,6) или B,7) не
зависят от характера изменения поля в пространстве, т. е. справедливы
лишь при пренебрежении пространственной дисперсией — зависи-
мостью г' (или е^) От длины волны.
Пространственная дисперсия. Величина пространственной дис-
персии при пренебрежении поглощением характеризуется параметром
а/Х = ал/Х0, где a — характерная для данной среды длина (размер
молекул, постоянная решетки или в случае плазмы^ебаевский радиус),
),0 = 2itc/(ti — длина волны в вакууме, Х = Х0/ге — длина*волнь: в 'граде
и п — показатель преломления. В-большинстве случаев даже в опти-
ческой части спектра, не говоря уже о радиодиапазоне, параметр а-к
ничтожно мал и пространственной дисперсией можно пренебречь.
Временная же дисперсия, приводящая к зависимости г' и г.[к от
частоты ш, в тех же условиях может быть большой, так как харак-
теризуется параметром ш;о>у, где Шу — собственные частоты среды;
в случае изотропной плазмы роль ш^ играет плазменная частота оз0
(корень уравнения B,16)).
Пространственная дисперсия тем не менее может оказаться суще-
ственной и в радиодиапазоне. Это имеет, в частности, место в слу-
чае плазменных колебаний, когда при неучете пространственно?,
дисперсии, как указывалось, вообще отсутствует связь между ш и к.
Пространственная дисперсия играет роль также вблизи областей
резонанса, где п—юс и, следовательно, параметр ап.;'ка сильно возра-
стает. Такой случай осуществляется в магиитоактнвной плазме —
плазме, находящейся в постоянном внешнем магнитном поле (о неко-
торых других проявлениях пространственной дисперсии см. [{]).

ОСНОВЫ ТЕОРИИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВОЛН В
[ГЛ. I
О распространении волн разных типов. Плазменные волны будут
рассмотрены ниже в § 3. В большинстве же других разделов мы
сможем не принимать их во внимание. Объясняется это тем, что
частота плазменных волн обычно отличается от частоты поперечных
волн, распространяющихся в плазме. Далее, в принятом линейном
приближении продольные волны в однородной плазме или в плоско-
слоистой плазме при нормальном падении совершенно не связаны
с поперечными волнами, описываемыми уравнением B,12) и условием
Е, = 0.
B,17)
Плазменные и другие электромагнитные волны (например, радио-
волны) не могут считаться независимыми между собой (если не
говорить о нелинейных эффектах и рассеянии на флуктуациях
электронной концентрации) только в неоднородной плазме и при-
том в области, где ш^(«(, т. е. вблизи точки s(u>, г) — О
(здесь га — частота радиоволн и mj — плазменная частота). При этом,
если речь идет о плоскослоистой среде, нужно также, чтобы паде-
ние не было нормальным. Вопрос о связи между радио- и плазмен-
ными волнами в подобных условиях будет разобран в § 20.
В анизотропной (магнитоактивной) плазме разделение волн на
продольные и поперечные, вообще говоря, не имеет места. Напри-
мер, даже в однородной среде, в волне, распространяющейся с опре-
деленной скоростью вдоль оси 2, отличны от нуля все компо-
ненты Ех, Ev и Ег. Картина упрощается только, если угол а между
направлением внешнего магнитного поля Н'0) и осью z (т. е. направ-
лением волнового вектора k) равен нулю или -^ . Понятие о плаз-
менных волнах в анизотропной среде также существенно иное, чем
в изотропном случае, являющемся в известном смысле вырожденным.
Вопрос о распространении электромагнитных волн в мапштоакгивной
плазме будет подробно рассмотрен в гл. III. Здесь ограничимся
оамечанием, что при нормальном падении плоских волн на плоско-
слоистую анизотропную среду уравнения B,5) и B,7) принимают вид:
• 4л
_ n
<РЬ
я,-'^Ч = °. Df-/±iA = e;>.
B,18)
Изучение распространения электромагнитных волн в плазме сво-
дится к решению двух задач. Сначала нужно выразить проницае-
мости г' или г'.л через параметры, характеризующие плазму, т. е.
через концентрации электронов, ионов и нейтральных частиц N, Nt
§2]
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
25
и Nm- При этом, конечно, учитывается также зависимость в' от ш и е'
от и и Нт. Вторая задача состоит в решении волновых уравнений
при заданных функциях г'(г) или s'lk(r). Например, а случае нор-
мального падения нужно проинтегрировать уравнение B,12) или
а анизотропном случае систему B,18), Впрочем, подобное разделе-
ние всей проблемы на две части имеет лишь ограниченное значение
и при учете пространственной дисперсии часто оказывается уже
нецелесообразным. Однако с точки зрения всего изложения в целом,
а также большинства приложений нам представляется наиболее пра-
вильным не стремиться с самого начала к возможно большей общ-
ности. Поэтому мы будем выделять различные частные случаи, харак-
теризующиеся возможностью пренебречь пространственной дисперсией,
считать высокой или низкой частоту волн и т. п. Именно так и
построено дальнейшее изложение. Вместе с тем не следует забывать,
что распространяющиеся в плазме волны различной частоты и раз-
ного типа (высокочастотные, плазменные, акустические, низкочастот-
ные, магнитогидродинамические) могут быть рассмотрены единым мето-
дом и в некоторых случаях образуют единые ветви волн (последнее
означает, что волны разных типов непрерывно переходят друг в друга
при соответствующем изменении параметров), Так, в магнитоактив-
ной плазме единую ветвь образуют высокочастотные и плазменные
волны (см. § 12). Магнитогидродинамические волны, распространяю-
щиеся вдоль направления внешнего магнитного поля, отличаются от
поперечных высокочастотных волн лишь своей частотой; другими
словами, на графике зависимости скорости распространения волн от
их частоты магнитогидродинамические и высокочастотные (радио)
волны лежат на одной кривой (ветви). В общем случае магнитогидро-
динамические волны также являются лишь частным видом электро-
магнитных волн низкой частоты (см. § 14). Итак, наряду с исследо-
ванием и учетом характерных особенностей волн разных типов не
следует забывать и об общих чертах и связях между этими волнами.
В заключение заметим, что обычная постановка вопроса о рас-
пространении электромагнитных волн в плазме связана с предпо-
ложением о том, что параметры плазмы известны. Но возможен
и встречается на практике также другой подход, когда изучение
распространения волн служит методом определения параметров
плазмы, например способом измерения электронной концентрации
и температуры плазмы и т. д.

ГЛАВА II
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В ОДНОРОДНОЙ
И ИЗОТРОПНОЙ ПЛАЗМЕ
§ 3. Комплексная диэлектрическая проницаемость плазмы
(элементарная теория)
Элементарный вывод выражений для г и ~. Диэлектрическая
проницаемость плазмы е и ее проводимость з в большинстве случаев
полностью определяются движением электронов и ионов. Вклад в г
н с, связанный с наличием нейтральных частиц, {атомов, молекул),
нужно учитывать, лишь если степень ионизации газа очень мала.
В области радио- и более низких частот речь при этом идет практи-
чески только о небольшой постоянной добавке к г. Ниже подобная
возможность приниматься во внимание не будет.
Для вычисления е и а достаточно рассмотреть плазму в одно-
родном электрическом поле. Если же рассмотрением однородного
поля ограничиться нельзя, т. е. существенна пространственная диспер-
сия, то вообще нельзя ограничиться использованием только локаль-
ных характеристик среды s(a>) н е(ш).
Вычисление г и с в общем случае нужно производить на основе
кинетического уравнения, как это и будет сделано в § 6. Здесь же
остановимся на элементарном выводе основных формул.
Обозначим радиус-вектор электронов через rk и радиус-вектор
ионов через /¦(*). Тогда плотность полного тока, связанного с движением
зарядов, равна ^ = «2 {rk—г*')' где е — заРя^ электрона (е < 0)
и точкой обозначено дифференцирование по времени; ионы для опре-
деленности считаются однократными, а возможность присутствия
отрицательных ионов не учитывается, в силу чего при квази-
нейтральности среды A/ = /V? = jV+. Высокая проводимость плаз-
мы приводит к тому, что условие квазинейтральности можно
считать выполненным с большой степенью точности *). Далее, по
*) Напомним, что термин «нвазянейтральностьг, ставший уже обще-
употребительным, означает, что среда нейтральна (т. и. средняя плотность
заряда g—e(N — Nt) = 0), но состоит из свободных заряженных частиц.
S 3] КОМПЛЕКСНАЯ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ПРОНИЦАЕМОСТЬ
определению
*i
C,0
где j— ток проводимости, Р — поляризация и, строго говоря, все
величины нужно считать усредненными по физически бесконечно
малому объему и по времени (в интервалах времени Дг1 <§;—-) *).
При наличии нескольких сортов ионов, разумеется, ничего не
меняется, и нужно лишь проводить суммирование по координатам
всех ионов. Условие квазинейтральности принимает при этом вид:
Af-S-2-^r- ? = 2^7+ !' где N-1- i — концентрация ± ионов сорта I
(с массами Мс).
Если не учитывать постоянного магнитного поля и пренебрегать
соударениями электронов между собЬй, с ионами и с молекулами,
то уравнение движения любого из электронов имеет вид:
тгк = еЕоеш = еЕ, C,2)
где Ео — постоянная в пространстве и во времени амплитуда элек-
трического поля и т — масса электрона.
Решение уравнения C,2) таково:
вЕ
т<лг
C,3)
где г^0' — радиус-вектор электрона при отсутствии поля.
*) Уравнение поля B,1) получается в результате усреднения уравне-
ния электронной теории
с ~dt '
агде:в и ft— микроскопические значения электрического и магнитного полей,
р и да -г- микрозначения плотности заряда и скорости частиц. Из сравнения
этого ^уравнения с B,1) ясно, что е — Е, Ji = Н (напомним, что магнитная
проницаемость (л = 1), и введенный выше ток равен
Jt=?V = j+-zT-=,
— Е
р & Е
4л—' а чеРта означает усреднение.
?РрЕ1„Уп НаС Случае пеРеме»ни^ полей величины j и Р можно
не вводить и пользоваться только «годным током,; у/и комплекс-
ной проницаемостью ,' = ,, _ и, = , _ i ±1. Hau представляется, однако,
теРМИ1ЮЛ0ГИИ и ^означениям,

28
ВОЛНЫ В ОДНОРОДНОЙ II ИЗОТРОПНОЙ ПЛЛЗМЕ
[гл. п
Для ионов с массой M-t уравнение движения и его решение
такие же, как C,2) и C,3), но с заменой т на Mt. Используя C,3)
и аналогичное выражение для И'>, из C,1) ясно, что з = 0 и
Р =
так как 2j|>^) — /-<0№) = 0, поскольку без поля Р = 0.
Таким образом,
?==1_i5?i 'Е. i yHi\
•jfi ni "^ АА Mi '
I ¦'
C,4)
где под A'j понимается концентрация ионов любого знака с мас-
сой Mt. "•*
Из C,4) ясно, что при отсутствии магнитного полч и поглоще-
ния ионы в смысле их влияния на z эквивалентны электронам с кон-
центрацией ;V--xm> — /,—й-1. Для ионов Ог отношение-п-= 1,7-10 ,
I
а для ионов О" — =.-3,1 ¦ 10~J. Таким образом, влияние ионов обычно
очень мало, и в силу условия квазинейтральностп оно может ока-
заться существенным при вычислении г только при наличии боль-
шого числа отрицательных ионов. Ниже в случае изотропной плазмы
мы обычно }!_е_будеа. явно .учитывать влияние иолов,.
Для одних электронов, или понимая под ,\г их эффективную кон-
центрацию, имеем:
К:' = 1—8,06
'~, C,5)
1CQSE и т =
где/ = -^~ и использованы значения: e = 4,S0- 10"
= 9,11 ¦ КГ28 г.
Равенство., нулю проводимости = при сделанных предположениях
вполне понятно: в силу отсутствия соударений электроны не отдают
своей энергии молекулам и ионам, а лишь колеблются под влиянием
поля. В рамках элементарной теории влияние соударений, приводя-
щее к появлению отличной от нуля проводимости с и к поглощению
энергии, можно учесть введением в правую часть уравнения C,2)
силы трения gr, причем смысл коэффициента g становится ясным из
следующих соображений. Выражение gr есть среднее изменение
импульса за секунду, связанное с соударениями; но это изменение
равно вместе с тем rnv^^r, где v3(-P4> — эффективное число соударе-
ний в секунду (при каждом ударе электрон в среднем передает
молекуле или иону импульс порядка тг, где г — упорядоченная ско-
КОМПЛЕКСНАЯ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ПРОНИЦАЕМОСТЬ
29
§31
рость, сообщаемая электрону полем). По сути дела мы таким обра-
зом определяем ч9фф как -|-, но все же ясно, что v = mAVm-D, где
а некоторый эффективный радиус молекулы и v — некоторая сред-
няя скорость электронов (соударений с ионами сейчас для простоты
не рассматриваем; соударения электронов с электронами в силу закона
сохранения импульса непосредственно к трению не приводят).
Таким образом, при учете соударений уравнение движения при-
обретает вид;
тгь -J- шч,м*Гъ — еЕаеш!. C,6)
Поступая теперь так же, как раньше, и используя C,1). без труда
получаем:
(ui — *'р'зфф)
Если, как это часто бывает,
ТО
5
Если же
то
4~ё2 Лг
4-
эфср'
¦ Уэфф-
т ^' -г "'Эфф;
'> C.7)
C,8)
C.9)
C,Ю)
C,11)
Как ясно из сказанного, точное значение чЭфф остается при
этом неизвестным; оно может быть определено лишь в результате
кинетического рассмотрения (см. § 6). Более того, как следует из
кинетической теории, точные формулы для г и а не сводятся к выра-
жениям C,7) с каким-то одним, не зависящим от частоты значе-
нием мЭфф. Таким образом, сами формулы элементарной теории
являются приближенными. Такое приближение, однако, в большинстве
случаев оказывается достаточно хорошим.
Вопрос о действующем поле. Остановимся теперь на вопросе о
законности использования в C,2) и C,6) в качестве действующего
на электрон поля среднего макроскопического поля Е. То обсто-
ятельство, что мы фактически считали действующее (эффективное)
поле ?афф, фигурирующее в C,2) и C,6), средним макроскопическим,
явствует:: из использования в дальнейшем соотношения C,1), где

30
ВОЛНЫ В ОДНОРОДНОЙ п ИЗОТРОПНОЙ ПЛАЗМЕ [ГЛ „
Г
= ?»
представлено в виде:
C.12)
поле ЕаффФЕ и для изо-
ограничимся, может быть
C,13)
некоторый коэффициент, могущий зави-
где Р — поляризация и а уй зави
сеть от плотности и т. п.
В рамках линейной теории формула C,13) для изотропной среды
является наиболее общей возможной. Значение коэффициента а может
быть вычислено лишь при известных модельных представлениях. Так,
если считать, что__молекулы среды являются точечными диполями,
расположенными совершенно хаотически, то а = -^ и
sthth :r=
-Е,
C.14)
4тс
где член -я- Р часто называют поляризационной поправкой Лорентца
(вывод соотношения C,14) при указанных выше предположениях
можно найти, например, в [2]).
К реальным телам формула C.14), вообще говоря, неприменима.
Это и понятно, так как в жидкостях и твердых телах междумоле-
кулярные расстояния того же порядка, как и размеры самих молекул,
которые поэтому нельзя уподобить точечным диполям. Однако если
значение а и не является универсальным, то из опыта во всяком
случае следует, что обычно аФО. В этой связи и возникает вопрос
о значении коэффициента а в случае плазмы. Вопрос этот довольно
существен, так например, если в C,2), где по смыслу поле Е есть
действующее поле, использовать выражение C,14), то вместо C,5)
получается формула
;=!__.
Разница между (з,5) н (ЗД5) может
C,15)
значительной;
=0 при
т*г 2 • Как б>'Дет показано ниже, отражение радио-
волн от ионосферы происходит как раз в области Ебл„зи точки г = 0.
§3]
КОМПЛЕКСНАЯ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ПРОНИЦАЕМОСТЬ
31
Таким образом, электронные концентрации в области отражения,
вычисляемые на основе формул C,5) и C,15), отличаются одна от
: другой в полтора раза. При учете влияния внешнего магнитного
•¦•'поля различие между формулами, получаемыми на основе соотно-
шений C,12) и C,14), в ряде случаев еще гораздо более значи-
тельно. Ввиду сказанного понятно, почему проблема действующего
йволя в ионосфере привлекала к себе большое внимание, оправданное
бтакже известной сложностью вопроса и наличием противоречивых
I мнений (см, [3—8); более ранняя литература указана в [4]). В ре-
;\зультате этот вопрос дискутировался до последнего времени, и не-
||:редко одновременно приводились формулы, полученные как без по-
SjipaBKH (т. е. считая, что а = 0), так и с лорентцевоа поправкой.
§¦:.¦:¦ Поступать так, однако, нет оснований. Детальное рассмотрение
^вопроса, предпринятое в [4, 5, 8] и § 6 книги [6], приводит к за-
йчключению, что лорентцевоЯ поправки вводить не нужно, и таким
.;;:юбразом, в плазме ?3фф = ?, где?—среднее макроскопическое поле.
^Соответствующее доказательство является относительно сложным и
-^-громоздким. Многочисленные более простые доказательства того же
^¦утверждения являются, к сожалению, неубедительными и позволяют
:д;при желании «доказать» и прямо противоположное заключение о не-
-.'; рбходиыости введения лорентцевой поправки. Поэтому мы не будем
yljip'o-водить этих доказательств, так же как и строгого анализа во-
? -Мроса (см. в особенности [61 § 6 и [8]). Отказываясь, таким образом,
1!/6т: подробного обсуждения проблемы действующего поля, сделаем
Д^гём не менее два относящихся сюда замечания. Тот факт, что в плазме
*Опри достаточно низкой частоте ?Эфф = ?, становится ясным из
/^следующих простых, хотя и не строгих соображений. При ш—>0
^{электрическое поле можно считать потенциальным и среднее макро-
-йекопическое поле Е= — V<1>, где Ф — потенциал. Далее, при про-
'йхождеиии электроном макроскопического пути L между точками А
;;;|,«иД совершаемая над ним работа равна е(ФА — Фв)=е??. Но, по
-Що'пределению действующего поля, сила, действующая на электрон,
Й-равна е?эфф, а ее работа на пути L равна е??офф. Таким образом,
fiftl?:— ег?эфф, т. е. ?эфф = ?*).
;^д уВторое замечание касается перехода от связанных электронов
3?;клсврбодным [7]. Допустим, что в случае связанных электронов
/^справедлива формула C,14), т. е. уравнение движения электрона
х!*йково:
ШШ. п1? + т4г = еЕафф^е(Е4-^Р), C,16)
-*%е- (о^ — собственная частота осциллятора, соответствующего рассма-
4:трйваемому связанному электрону.
/.;•.~<'.¦!;••¦*¦) В случае диэлектрика рассуждать таким же образом нельзя, так как
Лробный заряд (или диполь) считается локализованным в какой-то точке,
.;-•'?• которой и вычисляется действующее поле.

32
ВОЛНЫ В ОДНОРОДНОЕ И ИЗОТРОПНОЙ ПЛАЗМЕ
[гл. и
КОМПЛЕКСНАЯ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ПРОНИЦАЕМОСТЬ
33
Учитывая, что P = eNr, из C,16) следует, что для гармониче-
ской внешней силы Е=Е$еш поляризация равна
D_ e'NE s —1 „
откуда
4-e'N
C,17)
Если положить здесь <йу = О, то получается выражение C,15), кото-
рое, как сказано, неверно. С другой стороны, казалось бы, переход
от связанных электронов к свободным отвечает как раз устремлению
частоты ш;- к нулю. В действительности, тем не менее это справед-
ливо только лишь для крайне разреженной среды, когда JV->0 и
лорентцева поправка и без того стремится к нулю. Если же А/=?0,
то электрон, строго говоря, никогда нельзя считать совершенно
свободным, так как самое большое расстояние г между электроном
и ионом порядка Лг~ '*. Сила, действующая на электрон на этом
расстоянии, будет -=^
AV ¦*. Приравнивая эту силу некоторой
2-
квазиупругой силе ти>}-г
^
мы получаем значение
AV
Тот факт, что плазма является средой, обладающей в известном смы-
еле собственной частотой о)}~шо = - , следует и из других
соображений (см., например, § 8). Если же а C,16) положить
ш} = -д , то выражение C,17) перейдет а C,5), как это и должно
быть. Приведенные наглядные соображения, конечно, недостаточны
для строгого установления формулы C,5), но они объясняют почему
в C,17) нельзя полагать ш^ = 0. Таким образом, никакого парадокса
в вопросе о переходе от связанного электрона к свободному нет,
В силу всего сказанного мы везде ниже считаем, что ?Эфф = Е,
т. е, справедливо соотношение C,12) *).
Область применимости полученных формул. Помимо проблемы
действующего поля возникает также вопрос о законности примене-
ния к движению электронов и ионов классической теории, как эго
*) Заметим, что приведенное в [6], § 6 доказательство справедливости
соотношения C,12) предполагает, что поле Е является достаточно слабым.
То же относится к результатам работы [8], где показано, что в слабом полг
(функция распределения электронов и ионов в первом приближении считается
наксвелловской) эффективное поле равно среднему с точностью до вели-
чин порядка — = (\§-D3N)~1 {см. ниже § 4 и, в частности, формулу D,24);
в ионосфере и в короне г^§>1, и обычно даже
§3]
было сделано выше. При отсутствии соударений, когда имеют место
формулы C,4) и C,5), речь идет о применимости классической тео-
рии к взаимодействию свободных зарядов с переменным электромаг-
кчтрым полем (полем излучения). В этом случае классическая теория
применима, пока соблюдается неравенство
Дш <~4~.. тс2.
C,18)
Где /} = 1,05- 10 "' эрг ¦ сек и т — масса частицы, которую мы для
определенности будем считать электроном (в случае ионов условия
применимости во всяком случае не становятся жестче). Действительно,
рассеяние света (электромагнитных волн) на свободных электронах
при соблюдении условия C,18) описывается как в квантовой, так и
в классических теориях известной формулой Томсона, и квантовые
поправки (при малом отношении —~) оказываются порядка ¦—-^Г
(см. [9]); условие же C,18) выполняется не только в радиодиапазоиг,
но и в области мягких рентгеновских лучей (mc2 = fia)nl —0,51 ¦ 106э? =
= 8,2- 1<Г7 ярг\ шт = 7,8- 1021); X =—- = Й,4- Ю0 см). Даке,
как известно, рассеяние света полностью определяет значение пока-
зателя преломления, который при отсутствии поглощения равен у г
(см. § 7). Таким образом, формулы C,4) и C,5) при пргнебрс/кеняи
соударениями являются точными, они получаются как при любом
классическом выводе (см. выше и § 6), так и в квантовой теории
дисперсии.
Поглощение, связанное с наличием соударений, с квантовой точки
зрения обусловлено тем, что кванты излучения (фотоны) поглощаотся
электронами, которые при этом изменяют свое движение. Этот про-
цесс поглощения в случае свободного электрона невозможен, так как
противоречит законам сохранения энергии и импульса; поэтому он
и происходит только при учете влияния на движение электронов
молекул и ионов (т. е. под влиянием соударений). В радиодиапазоне,
где Йш много меньше ионизационных потенциалов даже сильно воз-
бужденных атомов и молекул, поглощение квантов излучения не со-
провождается переходом электронов гз связанных состояний в сво-
бодные и, таким образом, играют роль лишь переходы электронов
из одних состояний непрерывного спектра в другие (свободно-
свободные переходы по астрофизической терминологии). Процессом,
обратным по отношению к поглощению при подобных переходах,
является, очевидно, тормозное излучение электронов, при котором
электрон испускает кванты излучения в результате ускорения при
соударении с молекулой или гоном. Вероятности прямого и обрат-
ного процессов связаны универсальным соотношением Эйнштейна,
й сплу чего можно рассматривать любой из этих процессов
(см. § 37). К тормозному излучению нерелятивистских электронов

34 ВОЛНЫ 3 ОДНОРОДНОЙ И ИЗОТРОПНОЙ ПЛАЗМЕ [ГЛ. II
классическая теория применима, если энергия квантов излучения много
меньше кинетической энергии электрона, т. е. в нашем случае если
- " - C,19)
г^е *= 1,38.
0~16
при
ЗОО
если
Ш<:С4 ¦ 1013,
2-.е
• 10"
см.
J
неравенства
C,20)
Поскольку энергия порядка у.Т есть средняя энергия электронов, и
встречаются электроны и с меньшей энергией, можно осторожности
ради сказать, что классическая теория заведомо применима для волн
длиннее 1 см. Таким образом, при вычислении части s и с, связан-
ной с движением электронов и ионов, мы можем для нашей цели
использовать классическую теорию излучения без всяких ограниче-
ний. Для неограниченного применения классических формул нужно
также, чтобы классически можно было рассматривать и движение
электронов а процессе соударений, В кулоновском поле это условие
выполняется, если 2"<С^ 3 • Ю3 градусов (см, § 4); при соударениях же
электронов с нейтральными частицами эффективное сечение для упру-
гих и неупругих соударений всегда нужно вычислять квантовыми мето-
дами, хотя поглощение и излучение интересующих нас волн можно будет
затем рассчитывать классически. Отмеченное обстоятельство не при-
ведет ниже ни к каким осложнениям. Заметим также, что во всей
книге используется лишь нерелятианстское приближение. Релятивист-
ские поправки характеризуются параметром -^-j = 3,7- 10~107'и ста-
новятся заметными, вообще говоря, лишь при температурах Т^>, J 0s—г— 109
градусов (правда, в некоторых случаях, указанных в §§8 и 12,
¦Х.Т
члены, зависящие от —^, нужно учитывать; однако истинным
другая
§, нужно учитывать; одн
параметром задачи является при этом не отношение -^Чг, <. лругая
величина).
Для применения классической теории не только к отдельным
электронам, но и к плазме в целом существенно также, чтобы плазму
ложно было считать невырожденным газом.
Температура вырождения определяется соотношением
C,21)
МЕТОД КИНЕТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
35
'Физический смысл То состоит в том, что при этой температуре
V 2
Энергия ч.Та порядка нулевой энергии —=з ~—Л'3, связанной с ло-
"кализацией электронов в объеме порядка г3—'-q~~ При Л''~10<> и
7V-— Ю13 температура вырождения То соответственно порядка 10"
и 0,1 градуса, т. е. несравненно ниже температур, которые нас ин-
тересуют. Поэтому применение классической статистики вполне оправ-
дано не только в ионосфере и солнечной короне, но и в разряд-
ных трубках.
: J: Магнитная проницаемость плазмы. В § 2 мы уже указывали,
.что в ионосфере магнитная проницаемость ij, практически равна еди-
¦;{нйце. Сейчас можно полностью подкрепить это утверждение, указав,
• это для невырожденного электронного газа восприимчивость и. равна
Ш. ,. _ у,— 1 __ 2_ /_гй_\2 Л^
VV-:- '7~— 4г. — 3 \2rne) \Т '
C.22)
Здесь уже учтено наличие у электрона спинового магнитного момента
(без учета спина -/. < 0 и по абсолютной величине в два раза меньше,
чем согласно C,22)).
Поскольку -^— = 9,3 • 10~21, мы видим, что даже при Л'¦—¦ Юь
и Т~300°-(—KF1". т. е. отличие ;а от единицы действительно
исчезающе мало. Нужно, впрочем, подчеркнуть, что сказанное отно-
сится к случаю термодинамического равновесия (неравновесные со-
стояния плазмы могут обладать заметной и даже большой диамагнит-
ной восприимчивостью).
§ 4. Метод кинетического уравнения
Функция распределения и кинетическое уравнение. Диэлектри-
ческая проницаемость г и проводимость о, вычисленные в § 3, содер-
жат в качестве параметра эффективное число соударений тЭфф, значе-
ние которого было лишь оценено. Для нахождения '',фф или, точнее,
для нахождения общих выражений для виз как в слабых, так и в
сильных полях нужно использовать метод кинетического уравнения.
В методе кинетического уравнения состояние газа описывается
Функцией распределения fit, r, v), определяемой таким образом,
что среднее число частиц dN = .\>dr в объеме drdv — dxdydz'X.
'KdvJl.dvydvz равно dN — f dr dv, где да — скорость частиц и г —
соответствующий им радиус-вектор. При этом по определению
J
/ it, r, v) dv — ;V,
где: JV — концентрация частиц в точке г в момент t.
D,1)

36
ВОЛНЫ В ОДНОРОДНОЙ И ИЗОТРОПНОЙ ПЛАЗМЕ
[ГЛ. II
Кинетическое уравнение, из которого должна быть определена
функция /, имеет вид (см,, например, [11 —13]):
¦rfAre- (? + { [vH]j V,/ +S = 0, D/2)
где е и т— заряд и масса рассматриваемых частиц, Е а Н—напря-
женности электрического и магнитного полей,
и 5>— так называемый интеграл столкновений (соударений), опреде-
ляющий изменение функции /, обусловленное соударениями рассма-
триваемых частиц (например, электронов) со всеми другими части-
цами (т. е. электронами, ионами и молекулами). В 5 можно также
включить члены, учитывающие изменения /, связанные с различными
процессами, такими, как ионизация, неупругое рассеяние и т. д.
При отсутствии полей в равновесном состоянии функция распре-
деления есть известная функция Максвелла:
D,3)
Максвелловское распределение D,3), как легко видеть, удовлетворяет
условию нормировки D,1), так как Г /00dv — 4~ Г /0<уу2 dv = N.
Плазма в сильном электрическом поле. Если ионизированный
газ (плазма) находится в некотором переменном поле ? = ?ое'ш(, то
функция /, конечно, не является максвелловской и в достаточно
сильном поле может сильно отличаться от последней. Этот вопрос
подробно рассмотрен в § 38. Здесь же для выяснения характера
отклонений электронной функции распределения от равновесной рас-
смотрим стационарный случай, когда средняя энергия электронов
не. изменяется со временем. Это имеет место, если энергия, сооб-
щаемая электронам полем, равна энергии, передаваемой электронами
тяжелым частицам (ионам и молекулам) в результате соударений.
Энергия, передаваемая электрону от поля, в единицу времени равна
А = егЕ; здесь г — упорядоченная скорость электрона в направлении
поля, определяемая уравнением C,6). Как ясно из этого уравнения,
-, или для вещественного выражения ?=?в:о5м/,
\ г Эфф)
которое удобнее использовать при вычислении А,
фф cos <-4 -}- ы Ла at)
D,4)
§41
Отсюда
МЕТОД КИНЕТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
з1п ш1 cos
37
2т (
D,4а)
где черта над А означает усреднение по времени.
Энергия, передаваемая в единицу времени электронами ионам н
молекулам, в среднем равна U:
¦-г *1 \-Ч-.л
D,5)
где lt''*=-5l^ 'ц- у.Т\ — средняя энергия, перадаваемая при одном
соударении, п, = —^ средняя кинетическая энергия и а — средняя
относительная доля энергии, передаваемая при одном эффективном
— q
соударении в случае, если К ~^> -^ ч.Т.
При упругом соударении с тяжелой частицей электрон теряет
лишь незначительную часть своей энергии, и как для соударений
с ионами, так и с молекулами
("I, 6)
2пг
где m — масса электрона и М — масса тяжелой частицы.
Тяжелая частица считается при этом неподвижной (соответствую-
щее вычисление Svn приведено в § 5: учет движения тяжелых частиц
при условии /\"з>^-у.Т несуществен)*). Для атомов, молекул н
' ионов О, О = , О.„ Of согласно D,6) имеем:
6,8 ¦ КГ5,
D.7)
При наличии неупругих соударений в силу их относительной ред-
. кости обычно по-прежнему в среднем 8<g^l.
*) Выражение для ',.' можно записать иначе, например в виде: U = УК'>3фф.
В этом случае '"' есть средняя отаосигельная доля энергии, передаваемой
при одном соударении и любых /< и -„- т.Г. -Но величина V должна зависеть
от температуры даже при упругих соударениях, поскольку при К ^ -у-'-Т,
очевидяо, V — ?:t а при тепловом равновесии (при К —-,-; '>-Т\ V—0. По-
этому удобнее пользоваться именно параметром В, который в случае упругих
ударов можно считать постоянным.

38 волны в однородной и изотропной плазме [гл. п
В указанных стационарных условиях, когда А =77, очевидно:
9
D,8)
Если частота ш невелика, так что выполняется условие ш2^^
эффективное время ускорения электрона полем порядка времени
свободного пробега т = —— =4, где / — средняя длина свобод-
_ ''эфф V
ного пробега и г< — средняя скорость. В этом случае, как ясно
D,4),
ld, и при
т (vf
¦2Й / /
1 согласно D,8)
т.вх - eEQl
* у в v, к¦
В другом предельном случае, когда ш
ускорения порядка —, и при К :"§>¦-
m (t/J
Г /Т- D.9)
эффективное время
у.Т:
1
V a
eEs
ям }¦'
D.10)
Из D,9) и D,10) ясно, что энергия К заметно превосходит $-v.T
о и ? > -^- • - у g. функция
~'эфф
соответственно в полях Е > — г „ „ ,_ ^
распределения / при этом сильно отличается от равновесной функ-
ции /оо(г'» "О- Te»f не менее скорость упорядоченного движения г
мала по сравнению со средней скоростью v даже в сильном пиле
ввиду малости величины о.
Вид функции распределения и уравнение для нее в слабом
поле. Отсюда можно сделать существенный вывод о виде функции
распределения /. Действительно, представим функцию f в виде'
/ =/о (*) + ?(*>). где /„ зависит лишь от величины скорости v,
т. е. представляет собой симметричную часть /. Далее, плотность
тока Jt равна
jt — eNr = е J vf dv = е j щ (г<) dv.
D,11)
§4]
МЕТОД КИНЕТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
39
т е. определяется только асимметричной частью функции / (так как
Гp/od0 = o). Напротив, средняя скорость v = -^-lvfdv опреде-
ляется, вообще говоря, и симметричной частью / и ее асимметричной
частью, т. е. функцией '¦?(©). Но если выполнено условие r<^Lv,
как это имеет место в нашем случае, то это означает, что v опре-
деляется лишь симметричной частью функции /, которая значительно
больше ее асимметричной части.
Итак, в силу малости средней относительной доли энергии,
передаваемой электроном при соударении с тяжелыми частицами
(т. е. в силу того, что 3<С1 !)¦ электронная функция распределения
может быть представлена так:
I = /о (:у) + ? («О = /о («) + ^~
еще нуждается в осо-
где возможность записи y(v) в форме /[ к '
бои пояснении, сводящемся к следующему. Функцию <o(v) можно
записать в виде <o(v, a, ?!), где а и 8—'углы, определяющие направ-
ление вектора v. Разлагая теперь ф в ряд по шаровым функциям
Ylm{ot., fj) и выбирая полярную ось в направлении тока jt, можно
убедиться в том, что основную ррль в этом разложении играет
функция Y10= const cos а, откуда и следует, что <?(?>) можно пред-
ставить в виде <Sj(ti)cosa = ?^-^—, где вектор /j(f) направлен
по jt. Доказательство этого утверждения можно найти в § 38 (см.
также [11, 13, 34, 258]). На условиях, когда справедливо выраже-
ние D,12), мы еще остановимся в § 38. Здесь же заметим, что
в однородной плазме эти условия в интересующих нас случаях сво-
дятся к требованию 3<^1. В неоднородной плазме необходимо
также соблюдение условия
где z — направление, в котором изменяется функция распределения.
Зависимость / от координат нужно принимать во внимание, на-
пример, для рассмотрения таких вопросов, как теплопроводность и
диффузия, которые обсуждаться ниже не будут. Поэтому нам при-
дется столкнуться с зависящими от координат функциями распреде-
ления /(г) только при учете пространственной дисперсии. Суще-
ственно также подчеркнуть, что в то время как выражение D,12)
Для электронной функции распределения справедливо в поле любой
силы, в случае тяжелых частиц функция распределения / имеет вид
D,12) только в слабых полях.

40 ВОЛНЫ В ОДНОРОДНОЙ И ИЗОТРОПНОЙ ПЛАЗМЕ
Средняя кинетическая энергия электрона равна
[ГЛ. II
f-/uav. D,13)
Малость отношения -дт приводит еще к одному важному следст-
вию, а именно к том}', чго интеграл соударений S, учитывающий соуда-
рения между электронами и тяжелыми частицами, может быть записан
не в виде интегрального, а в виде некоторого дифференциального
выражения. Это выражение особенно просто в случае слабых полей,
когда К ^ -,j- у.Т, и симметричную часть функции распределения /
можно считать макевелловской функцией /м. В этом случае
5<inH-Se/=(vm+v)T(w) = (vrtn-1-vri)i^.1 D,14)
где Sl!m и Sei — интегралы соударений, отвечающие соударениям
с, молекулами (т) и ионами (/), а числа соударений равны:
^™ = ^ = r- = ?«.WI'-v- '
D,15)
) sin
J
где ,Vmil- — концентрация молекул или ионов и qmii(v, С)—диффе-
ренциальное эффективное сечение для упругих соударений электрона
с соответствующей частицей *),
К соотношению D,14) нетрудно прийти л результате соответ-
ствующих расчетов (см. A1, 13, 258]), но смысл его ясен и непо-
средственно. Действительно, Sem~\-Sel есть число электронов,
покидающих данный элемент фазового объема dr dv в единицу вре-
мени в результате соударений с тяжелыми частицами. Далее, равно-
весная функция распределения /№ обращает интеграл соударений S
в нуль и, таким образом, 5 зависит лишь от w(v). Наконец, по-
скольку тяжелые частицы можно считать неподвижными, так как их
скорости значительно (в отношении у ~тт — 100 раз) меньше ско-
рости электронов, Sern-\~Sei должно быть просто равно числу со-
*) Напомним, что дифференциальное эффективное сечение q{v, 8) для
упругого рассеяния есть, по определению, отношение числа частиц упруго
рассеянных под углом 0 в телесном угле ?' —¦ 2i= sin 9 d'l к числу рассеи-
ваемых частиц, падающих за го же время на единичную площадку," нормаль-
ную к их скорости. Угол рассеяния В есть угол между скоростями падаю-
щего и рассеянного электронов.
§41
МЕТОД КИНЕТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
41
ударений той части электронов, которая имеет неравновесные ско-
рости с тяжелыми частицами; это число соударений и равно
Единственный момент, нуждающийся при этом в более точном
доказательстве, связан с вопросом, почему в качестве сечения q
в D,15) фигурирует не полное сечение qt — 2r. j q (v, 6) sir. bdH,
а так называемое «транспортное сечение» qtr = 2- Г q (у. 6} ><
ч^A—,;оз 6) sin •') a'O. Впрочем, в качественном отношении и этот
пункт совершенно ясен. Дело в том, что рассеяние на разные углы
неэквивалентно, поскольку передаваемый тяжелой частице импульс
равен -иA—_~osO), т. е. мал при малом угле рассеяния 9 и велик
при большом угле 8. Появление R выражении для S транспортного
сечения вместо полного сечения как раз и является проявлением
этого обстоятельства, поскольку в транспортном сечении большие
углы рассеяния входят с большим весом, чем малые.
' Как сказано, в слабых полях
•'00 ;
D,16)
; Йо'дставляя теперь это выражение в кинетическое уравнение D,2)
„и учитывая D,14), получаем*):
1,« = 0, D,17)
где SlV = Sliee часть интеграла соударений, связанная с между-
электропными соударениями. В D,17) опущен член vVrf, учтено,
что ?„/0о = —,-?-°- —, и в члене, содержащем поле Е, пренебрежено
асимметричной частью функции распределения, так как она много
меньше симметричной функции /00. Из того факта, что магнитное
поле Н умножается в D,17) лишь на асимметричную часть функции
распределения, следует, что одно магнитное поле без электрического
не нарушает равновесного распределения скоростей. В этой связи
магнитное поле в A,17) не обязательно считать слабым (это ясно
из того, что поле множится на малую величину—функцию /2).
Условие слабости электрического поля Е получается в результате
ЙГ^ Легко видеть, что (г'Я] V^ /ш (о) -f ¦¦H
;||npwep, V,^^)»-^-. ^
= [Н/{] — , так как,
¦— и т. д.
V

42
ВОЛНЫ В ОДНОРОДНОЙ И ИЗОТРОПНОЙ ПЛАЗМЕ
[гл. и
-.^..u.u уравнения в следующем приближении (см.
,^j у и-г; и.ш в поле с любой напряженностью (см. § 38). В рамках
элементарных представлений критерий слабости поля ясен из соот-
ношения D,8) — он свплитго v т"^„~. -. " ¦" -- —
ношения D,8)
имеет вид:
рр
Ов сводится к требованию:
К
УГ т
> ¦
|/з^о(в2 + ^фф). D>8а)
Характерное поле f^ иногда называют «плазменным полем», о нем
еще пойдет речь в гл. VH1.
В отношении поля Е, фигурирующего в уравнениях D,2) и D,17),
нужно еще заметить, что в силу сказанного в § 3 под этим полем
нужно понимать среднее макроскопическое поле феноменологической
электродинамики.
Транспортные сечения. Дебаевское экранирование. Для того
чтобы использовать уравнения D,17) для решения конкретных задач,
необходимо осветить еще только один момент, а именно указать
выражения для транспортных сечений qm(v) и qt(v) для соударений
электронов с молекулами и нонами. В случае соударения электрона
с молекулой (под молекулой мы понимаем любую нейтральную
частицу, т. е. атомы и молекулы в собственном смысле этого слова)
строго вычислить сечение qm(v) не представляется возможным. На
этом вопросе мы еще остановимся в § б, сейчас же заметим, что
в ряде случаев с интересующей пас точки зрения молекулу можно
заменить твердым шариком с некоторым эффективным радиусом а.
Для соударений электрона с покоящимся твердым шариком получим:
Япг Ь>) = -Й.2,
D,13)
4 \ mvs ) к •
Sin4 -S-
Z"\mv*l 1Г1\ ' в* /'
у,- = qt (о) v.\r,
где 8min — минимальный угол отклонения и рт — ——,-ctg—?
малыши параметр удара, f — скорость электрона вдали
D,19)
— макси-
от иона
МЕТОД КИНЕТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
43
(«на бесконечности») и ион предполагается однократным (если заряд
иона равен eZ, то в D,19) везде появляется еще множитель Z2
перед е4). Необходимость ввести некоторый максимальный параметр
удара рт связана с расходимостью сечения qL (v) при больших р
в чис го кулоновском поле. Фактически же кулоновское поле данного иона
на больших расстояниях всегда экранируется полями другие ионов
и электронов, окружающих рассматриваемый ион. Учет этого об-
стоятельства и приводит к конечному выражению для cji(v).
Рассмотрим экранировку поля положительного нона с зарядом
е > 0, находящегося в начале координат. Потенциал поля иона и
экранирующих его частиц
уравнению Пуассона:
в стационарном случае удовлетворяет
'гдеучтена сферическая симметрия задачи, г — расстояние от централь-
ного иона и р — плотность заряда, с учетом вклада централ%ного иона
и экранирующих частиц. В состоянии теплового равновесия, согласно
формуле Больцмана, средняя концентрация положительных частиц
в точке с потенциалом Ф равна
где N — средняя концентрация положительных частиц во всем объеме
(вдали от иона при Ф = 0 должно, очевидно, выполняться равенство
N+ = N, так как для определенности считаем, что отрицательных
ионов нет и плазма квазинейтральна). Для концентрации электронов
имеем:
?Ф
;отсюда ясно, что плотность заряда экранирующих частиц равна
ф.-h.:где учтено, что в интересующем нас случае еФ-^у.Т.
Я">, Плотность заряда центрального иона можно записать в виде
||' ¦¦•¦ЛРо=еЗ(г), где Ь(г) — дельта-функция ( Г o(r)dr^= I, o(r) = 0 при
)
В результате для Ф имеем уравнение
dr2
г dr -I.T
¦ 4-еЗ (г).
D,20)

ВОЛНЫ 8 ОДНОРОДНОЙ И ИЗОТРОПНОЙ ПЛЛ.ЗМЕ
Решение этого уравнения таково:
[гл.
§41
МЕТОД КИНЕТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
45
где D — так называемый дебаевский радиус:
yM, D,21)
Выше мы считали температуру ионов и электронов одинаковой. Весь
расчет можно, однако, провести и не делан этого предположения,
причем, как легко видеть, для дебаевского ралиуса получается вы-
ражение
(Tl\Г2"
D,22)
где Tt — электронная температура, а Т — температура ионов. Если
Те~^>Т, то выражение для D отличается от D,21) заменой коэф-
фициента V8 на 1.'i. Если среда квазинейтральна, но N+ Ф N, то
в D,21) нужно заменить N на Л' + .
Использование понятия о дебаевском радиусе предполагает, что
среднее число частиц, имеющихся в сфере с дебаевским радиусом,
велико, так как в противном случае приведенное выше статисти-
ческое усреднение теряет смысл. Сформулированное условие экви-
валентно неравенств}"
tp3»l, D,23)
поскольку средний обьем, приходящийся на заряженную частицу,
равен -1-.. Очевидно, что -? D3.\'--~ а, где
з з
D,24)
и численный коэффициент, связывающий а и ^DW, выбран для
удобства в дальнейшем.
В условиях земной ионосферы всегда
2^>1- D,25)
и неравенство D 23) выполнено (при самых неблагоприятных усло-
при V^ 10s и Г—106 параметр а еще намного больше. В хро-
мосфере условие D,25) также выполняется.
физический смысл условия D,23) пли D,25) становится совер-
шенно ясным, если, раскрыв выражения для с. и D, переписать его
в эквивалентном виде:
Таким образом, условие D,25) выполняется, если средняя кинети-
ческая энергия электронов ^--/Т значительно больше средней энер-
гии их кулоновского взаимодействия, равной по порядку величины
f_rw?'2;V's. Отсюда ясно, что при нарушении условия D,25) плазму
г
нельзя считать газом, а следовательно, нельзя также пользоваться
кинетическим уравнением.
При учете экранировки нужно было бы, строго говоря, рас-
сматривать рассеяние электронов не в «обрезанном» кулоновском
?ехр(—r!D)
поле, а с самого начала в деоаевском поле с потенциалом —^ ¦— .
Однако в D,19) максимальный параметр входит под знаком ло-
гарифма, вследствие чего это уточнение несущественно, и при Т-—Те
можно воспользоваться решением задачи для кулоновского поля, по-
лагая вместе *с тем
%т
D,26)
Если электронная температура Те~~^>Т, то в D,26) по-прежнему
фигурирует температура Г, и нужно заменить коэффициент '/$ на 1/4;
последняя замена производиться ниже не будет, так как выражение,
стоящее под логарифмом, оказывается в силу D,25) очень большим
и появление множителя 2 совершенно несущественно. Следует также
иметь в виду, что установление экранирующего поля происходит за
конечное время, с чем связана возможность существования в пере-
менном поле некоторых дополнительных релаксационных потерь.
В случае ионосферы согласно [15] этот эффект несуществен при всех
частотах.
Здесь нужно сделать еше одно замечание. В D,18) и D,19) для
вычисления qmil(v) использована классическая теория, между тем как
для вычисления сечений, вообще говоря, нужно базироваться на
квантовой механике. Например, в случае твердого шарика (т. е. когда
потенциальная энергия взаимодействия электрона с частицей имеет
бид ?/(/•)=: 0 при г>й и U(r)=oo при г^Са) по классической
теории q(v) = -a2 (см. D,18)), а в квантовой теории для частиц.
с длиной волны л=~ ^>а сечение q(y) = 4rai2 (см., например, [16],
crp. 4G2). Поскольку, однако, величина а или qm(v) все равно не

ВОЛНЫ В ОДНОРОДНОЙ И ИЗОТРОПНОЙ ПЛАЗМЕ
46 _„....„, о идпш-иДНОИ И ИЗОТРОПНОЙ ПЛАЗМЕ [ГЛ. II
вычисляется, а должна быть определена из экспериментальных данных,
мы будем пользоваться выражением D,18). Вообще же для молекул
значение qm (v) нужно определять либо из квантовомеханичеекпх
расчетов (которые, по крайней мере в принципе, возможны, но
практически в интересующем нас случае оказываются обычно нена-
дежными), либо лучше всего находить из соответствующих экспери-
ментальных данных.
Что же касается соударений с ионами, то, как известно, формула
Резерфорда строго справедлива и в квантовой теории и, таким об-
разом, выражение D,19) для qt(v, В) всегда справедливо. Этого
нельзя сказать, однако, в отношении выражения D,19) для qi(v),
где использовано классическое соотношение рт = —-2 ctg -4j— . При
движении электрона в кулоновском поле классическая теория при-
менима, если
у!»!, D,27)
где eZ — заряд ядра и v—скорость электрона на бесконечности*).
Это условие, как легко видеть, при 2= 1 эквивалентно требованию
'<СЗ- 10* см/сек, Г.
¦ ю5ок.
D.28)
При соблюдении неравенств D,27) и D,28) для q{ (v) справедливо
выражение D,19). Если же эти неравенства не выполнены, то связь
6min c Рт может быть оценена из соотношения неопределенности.
Действительно, отвечающее углу 6ты<^.^ изменение скорости Дуга
-' 1>даиП^>,Z7T—. откз'Да прицельный параметр Рт~^-^?,—. Поэто-
' тРп,
"ЦЩ МЕТОД КИНЕТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ 47
? йехр (—r',D) _
Сразу для поля с потенциалом а== —^—^ '-. При этом
му в неклассическом случае
' ту%„
"Щ учтено, что ?>»~5-
у ::В условиях земной ионосферы неравенство D,28) всегда выпол-
нено, и можно пользоваться выражением D,19) с рт = D. В сол-
нечной короне, напротив, правильнее использовать формулу D,19а).
; Однако, учитывая факт выполнения неравенства D,25), легко видеть,
.что для ионосферы, короны и всех других сколько-нибудь близких
'случаев отличие между обеими формулами весьма мало. Поэтому
ниже, если не оговорено противное, будем применять формулу D,19).
О пределах применимости формул кинетической теории.
Выше мы не сделали, однако, одной существенной оговорки, свя-
занной с тем, что в случае кулоновского взаимодействия все обыч-
ное кинетическое рассмотрение, обсуждавшееся выше, оказывается
пригодным лишь для полей с достаточно низкой частотой. Дело
: в: том, что при выводе кинетического уравнения предполагается, что
время соударения \t много меньше периода высокочастотного поля —,
т.;,е. что каждое соударение происходит в постоянном во времени
..^внешнем поле. При соударениях электронов с нейтральными части-
: цами это условие в радиодиапазоне всегда выполнено, так как Дх ~
"fr^'i^^. 10" " (радиус молекулы а ~Ю~Й см, средняя скорость элек-
TjipHa v^>, 107 см(сек). При кулоновском взаимодействии ситуация
"совершенно другая, поскольку в этом случае радиусом рассеивающей
частицы является дебаевский радиус D и
4i (-о) -¦
\mvs
"in
w
где у — некоторый множитель порядка единицы, который практически
оказывается совершенно несущественным.
Если выполнено неравенство, обратное неравенству D,27), то
справедливо так называемое борновское приближение, и значение qt (v)
нетрудно вычислить с большей точностью, чем это сделано выше,
*) Условие D,27) получается сразу же из требования, чтобы в класси«
ческом приближении длина волны л = ^— была много меньше наименьшего
расстояния rm-m — —^, на которое электрон может приблизиться к ядру.
—^
где
'__ /~о—т*
V = 1/ ~ средняя арифметическая скорость электрона,
"Таким образом, условие строгой применимости обычного кинети-
1
ческого рассмотрения таково: „z
д
»1- D.30)
Если uJ^g>v? , то согласно C,9) условие D,30) выполняется
только для частот, для которых s < 0. Между тем наибольший
интерес имеют случаи, когда г^О, т. е. -^1^Ц-^1- Поэтому

48
ВОЛНЫ В ОДНОРОДНОЙ И ИЗОТРОПНОЙ ПЛАЗМЕ
[гл. и
в наиболее важной
с ионами не строго.
области проводимое рассмотрение соударений
Это обстоятельство может, конечно, оказаться
существенным лишь в условиях, при которых соударения с ионами
играют определяющую роль; если же речь идет о соударениях с ней-
тральными частицами, то кинетическое рассмотрение применимо вне
всякой связи с соблюдением или несоблюдением условия D,30). Но
и в случае соударений с ионами почти всегда можно не учитывать
ограничения, связанного с условием D,30). Дело в том, что пара-
метр рт входит в формулу D,19) и вытекающие из нее выражения
для эффективного числа соударений и коэффициента поглощения
только под знаком логарифма. Поэтому вопрос о точном значении р,п
относительно мало существен, тем более, чго при условии D,25) ло-
гарифмический множитель много больше единицы *). В дальнейшем
мы будем полагать рт — D и пользоваться методом кинетического
уравнения, имея в виду, что получающиеся формулы обладают,
вообще говоря, только логарифмической точностью. В условиях
ионосферы эта точность оказывается весьма высокой и практически
заведомо достаточной (подробнее см. §§ 6 и 37).
Ошибка, связанная с использованием равенства рт = D (см. D,26)),
оказывается, однако, существенной при рассмотрении поглощения
радиоволн в очень разреженной среде, например межзвездном элек-
тронном газе, где выполняется неравенство, обратное неравен-
ству D,30). Для этого случая задача о поглощении радиоволн ре-
шается в § 37.
Выше мы не касались влияния магнитного поля. При наличии
поля можно считать, что оно не влияет на характер соударений,
ii^радиус кривизны ча-
если r,r^>D (здесь г„ —
стицы в поле и ?>.-
Y-r-Ti
I H<f»lmc
I т.
—-дебаевский радиус]. Отсюда прихо-
дим к условию шо^?>и>#, при несоблюдении которого соударения
в поле протекают несколько отличным образом по сравнению с со-
ударениями без поля. Однако и это обстоятельство сказывается только
на логарифмическом множителе и может поэтому быть существенно
лишь при о)я^>о>0.
*) Кинетический расчет, связанный с представлением о постоянстве поля во
время соударения, заведомо непригоден уже в первом приближении, если на-
в2 2-х
рушается условие —= <^ — , которое можно записать также в виде
1
§5]
НЕСКОЛЬКО ЗАМЕЧАНИЙ О МИКРОПРОЦЕССАХ В ПЛАЗМЕ
§ 5. Несколько замечаний о микропроцессах в плазме
49
Микропроцессы в плазме и уравнения сохранения числа ча-
стиц разного сорта. Выше в кинетическом уравнении мы учиты-
вали лишь упругие соударения электронов с молекулами и ионами.
Между тем в плазме может происходить также ряд других процес-
сов: ионизация, рекомбинация, прилипание и отлипание (образование
и разрушение отрицательных ионов), диссоциация и различные не-
упругие соударения,
В этой связи, с одной стороны, возникает вопрос о влиянии пе-
речисленных микропроцессов на электронную функцию распределе-
ния и, с другой стороны, представляется необходимым установить
уравнения, определяющие протекание самих этих мнкропроцессов.
Включение микропроцессов в общую схему кинетического урав-
нения не представляет труда, но мы не будем останавливаться здесь
на этом вопросе, так как для дальнейшего достаточно установить
уравнения сохранения числа частиц различного типа. Эти уравнения
могут быть получены из кинетических ураанений для электронов,
молекул и ионоз в результате интегрирования их по скоростям. Од-
нако те же выражения проще установить непосредственно на основе
ечевидных соображений о сохранении числа частиц. Таким образом,
обозначая концентрации электронов, i ионов и молекул через ;V, Л'' =
и Ыт, мы получаем:
™ = J- аеЛ?Л'_
d-S'.
+ /Л'-.
dt
E,1)
E,2)
E.3)
Здесь i—число электронов (т. е. число актов ионизации), образую-
щихся в 1 смг газа в 1 сек под влиянием падающего излучения или
по какой-либо другой причине, не учитываемой остальными членами
Уравнения. В случае фотоионизации, играющей в ионосфере опре-
деляющую роль, './=?^VVm, где ?ф — эффективное сечение для
фотоэффекта и S,b —поток фотонов, равный потоку энергии i, де-
ленному на энергию фотона /ш; черта сверху над q$S$ означает
усреднение по спектру. Кроме того, в E,1) — E,3) длл определен-
ности считается, что имеются ионы и молекулы лишь одного сорта.
Далее, ав и аг —коэффициенты рекомбинации положительных ионов
с электронами и с отрицательными ионами, C — коэффициент прили-
пания электронов к молекулам, f — коэффициент отлипания элек-
тронов от отрицательных ионов при их соударении с молекулами
(аналогичный процесс при соударении отрицательного иона с каким-
либо другим ионом в уравнениях не учтен) и IN_ — число актов

50 ВОЛНЫ В ОДНОРОДНОЙ И ИЗОТРОПНОЙ ПЛАЗМЕ [ГЛ. II
отлипания, производимого светом в 1 смъ в 1 сек. Величина / зави-
сит от интенсивности и спектра излучения (А'"_ = ?ил5фЛ/_, где
<?отл — сечение для отлипания, т. е. процесса типа OJ" -+-Йш = О2 -f- e
или О~ -\~1ня=~ O-J-e, где е — электрон). Что касается коэффици-
ентов яг, аг J3 и -<•> т0 Для того, чтобы пояснить их смысл, рас-
смотрим несколько подробнее процесс электронной рекомбинации,
т. е. процесс типа 0г-г = О2-\-Тчч, N+ ~j-в — iV-f-#ш и т. п. й),
Среднее число актов рекомбинации между данным ионом и элек-
тронами, происходящее в единицу времени, равно q^vN, где qp—
сечение рекомбинации, v — относительная скорость электрона и иона,
практически равная скорости электрона, и черта сверху означает
усреднение по распределению скоростей, что необходимо, так как qp
зависит от v. Полное же число актов рекомбинации в 1 см3 в 1 сек
равно qvvNNj., откуда ясно, что as-~qpv. Если распределение ско-
ростей является равновесным, то
е Ъ'т vz dv.
E,4)
Величина 6 определяется совершенно аналогичным образом, т. е»
C = qav, где ди ¦— сечение прилипания и v — скорость электрона.
Что же касается коэффициентов s.t и у, то здесь в соответствую-
щем выражении типа qv под v нужно понимать относительную ско-
рость ионов или иона и молекулы. Как ясно из сказанного и, в ча-
стности, из E,4), коэффициенты %с, at, (J и •( не должны зависеть
от давления и при равновесии (или, точнее, когда распределение
скоростей всех частиц с достаточной точностью может считаться
равновесным) являются функциями только температуры Т. Подобное
положение, однако, должно иметь место только при достаточно
низком давлении, когда можно ограничиться рассмотрением только
парных (т. е. двойных) соударений. В ионосфере это условие обычно
выполняется; если же оно не соблюдается, то по-прежнему можно
базироваться па уравнениях типа E,1)—E,3), но коэффициенты %е, aL
и т. д. зависят от давления.
Не написав выше уравнения, определяющего изменение во вре-
мени концентрации молекул Nm, мы исходили из того, что вели-
чин}' Nm часто можно считать заданной. Если же это не так, то
к системе E,1) — E,3) нужно добавить уравнение
E,5)
и О"-возбужденные атомы О.
Где °'
НЕСКОЛЬКО ЗАМЕЧАНИЙ О МИКРОПРОЦЕССАХ В ПЛЛЗМЕ
51
»Далее, в E,1)—E,3) и E,5) не учитываются возможное расширение
среды и вообще движения в пей, а также диффузия. Наличие неко-
' торой макроскопической скорости среды и учесть очень легко: для
-этого достаточно, например, в E,1) заменить —г- на —*—j-div(:\'if),
где N и и зависят от координат и времени. Аналогичную замену
Лнужно сделать и в других уравнениях. Что касается диффузии в ионо-
сфере, то ее рассмотрение усложняется в связи с необходимостью
/учитывать при этом также электрическое поле,
¦(диффузии в ионизованном газе
э: ряде случаев и учет влияния земного магнитного поля.
Z поэтому довольно сложна, и мы здесь останавливаться на
Сбудем (см. [17—191).
С'Ц Пренебрегая диффузией и учитывая высокую проводимость, плазму
'.'..••можно обычно считать квазинейтральной, в силу чего
Г-У Л/-5-Лг_ = Л?+, E,6)
усло-
вводя
урав-
E,7)
возникающее при
также силу тяжести. Существен
Задача
ней не
'где все ионы для определенности считаются однократными.
/и Из E,1)—E,3) следует, что —— df_' ~' = —^-. т- е- чт0
:;вие E,6) сохраняется во времени. Используя связь E,6) и
^параметр ). — —тт-, легко показать, что из E,1)—E,3) следует
:йнение
:ЙЛИ
dt
-^1пA+>.). E,8)
Разумеется, введение эффективного коэффициента рекомбинации а'
вносит упрощения лишь, если отношение концентраций отрицатель-
ных ионов и электронов, т. е. X, постоянно или достаточно медленно
меняется во времени. В этом случае
а'— ле-[-Щ, E,9)
и в первом приближении X не зависит от jV. В этих предположениях
уравнение E,8) сильно упрощается и эквивалентно уравнению, опре-
деляющему изменение Л'" лишь в силу рекомбинации и фотоионизации
без учета "влияния отрицательных ионов. Действительно, это послед-
нее уравнение, получающееся из E,1) при ;V_ = 0, имеет вид:
E,10)
•где учтено, что при N_ = 0. в силу (о,6), jV+ = N.
:: " 4*

52 ВОЛНЫ В ОДНОРОДНОЙ И ИЗОТРОПНОЙ ПЛАЗМЕ [ГЛ. I!
При а = const уравнение E,10) по форме совпадает с уравне-
нием E,8). В стационарном состоянии, когда —*•—=0, получим:
,5] НЕСКОЛЬКО ЗАМЕЧАНИЙ О МИКРОПНОИЕССАХ В ПЛАЗМЕ
53
При 7 = 0 решение уравнения E.8) с /. — const таково:
1 -4- а Л $
E,11)
E,12)
где Лг0 — концентрация в момент t —¦ 0.
Нужно, однако, подчеркнуть, что полагать Х = const, вообще
говоря, нельзя. Действительно, если положить X = const в уравне-
нии E,7), являющемся следствием уравнения E,2) и E,6), то это
уравнение в общем случае несовместимо с уравнением E,1). Поэтому
использование соотношений E,9), E,11), и E,12), основанных на
предположении о постоянстве параметра /., возможно лишь в огра-
ниченных пределах.
Приведенные соотношения (т. е. в первую очередь уравнения
E,1)—E,3) и E,5)) являются исходными при рассмотрении процес-
сов, происходящих в плазме при наличии нейтральных частиц, излу-
чения и т. д.
Анализ этих процессов в различных условиях и, в частности,
в случае земной ионосферы не входит в нашу задачу (см. B0—24]).
Поэтому мы ограничимся ниже лишь несколькими замечаниями и
оценками, полезными с точки зрения целей дальнейшего изложения.
Речь при этом будет идти только о применениях к земной ионосфере.
В ионосфере, как следует из экспериментальных данных при их
обработке на основе уравнения E,8) с ). = const, имеем: для D-слоя
я'~1СГ6-т-1(Г7, лля Я-слоя а'~1~-3- 1(Г8, для /^-слоя 2~1(Г8-:-1(Г9
и для /\(-слоя я'— 10~10-^- 10-11. Принимая для ориентировки эти
значения, можно сразу же оценить время жизни электрона, т. е.
среднее время между процессом ионизации (или отлипания) и актом
рекомбинации (или прилипания). Это аремя, как ясно, например,
из E,12), порядка
.„-^L, E,13)
так как за время —г-^ концентрация электронов при выключении
ионизации убывает вдвое. Соотношение E,13) следует также непо-
средственно из самого определения коэффициента а' (например,
среднее число актов рекомбинации данного электрона в секунду есть
beN = q9vN~ и среднее время жизни 'o = ^~7v; если Речь идеТ об
эффективном коэффициенте рекомбинации у.', то, очевидно, по по-
! ~:±
8рядку величины также т0-
!lfc- и /ч-слоев имеем:
Щпр .— 103 сек, ^ — Ю3-
'—ттг ]• На основании сказанного для Е-,
104 сей.
, 10-S-r-iO6 сек, E,14)
"•UF:
Эгде принято Л1-е~Л'>.— Ю5 и A'>,~- 101
ШУ''..: Время замедления неравновесных электронов в плазме. Теперь
ччйбжно перейти к вопросу о влиянии процессов образования и лсчез-
Щовеиия электронов в газе на электронную функцию распределения.
"«Вопрос этот возникает потому, что образующиеся электроны заве-
домо не имеют макевелловского распределения скоростей и, вообще
¦«говоря, являются относительно быстрыми (в ионосфере они могут
Србладать энергией порядка одного или нескольких электроновольт).
дГ'Рекомбинируют и прилипают, напротив, преимущественно самые мед-
ленные электроны с энергией <i-/.T. Поэтому даже в отсутствие
^-электрического поля, но при протекании процессов ионизации,
/^рекомбинации и т. д. функция распределения в принципе может
/«заметно отличаться от максвелловской. Для того чтобы оценить это
¦Тот'личие, нужно сравнить время жизни электрона в свободном
йс'остоянии (см. E,14V) с временем замедления (релаксации), т, е.
йврёменем, за которое образовавшийся в газе быстрый электрон
'.^замедлится до тепловых скоростей.
•;.•?'.'-.'/.При соударении электрона со скоростью V с тяжелой частицей
•• -импульс электрона изменяется на некоторую величину т Д« =
'\.;!S=z'qi(v-—v'). Тяжелая частица получает при этом импульс —тДг>,
кДа^ее: энергия меняется па
>:&<'''¦'"?'. (V lit ADJ Рг 111 , , nt2 .. ,„
Щ$Яё~-:р — импульс тяжелой частицы до соударения. Если скорость
оДздектронов достаточно велика, так что их кинетическая энергия
^|S^ 2 ''^ (^"—температура газа тяжелых частиц), то тяжелые
'З-Частады можно считать неподвижными. Полагая, таким образом, р -= О
?\Й;Щли усредняя по направлениям в предположении о независимости р
Se|N^>- как это имеет место при К~^> -=-v.Tj, видим, что при одном
l-gfSape электрон передает энергию ^ут (ДдаJ. Отсюда средняя энергия,
^Передаваемая в единицу времени электронами со скоростью v, равна
i|i?^,i — концентрация тяжелых частиц (молекул т или ионов I).
'ЩЩ'тп,?[р>, Ь) — дифференциальное эффективное сечение D,15) н dii —.-.
'^S^r.^-sm 6 d6. Выбирая направление первоначальной скорости элек-
5;||И>0на v за ось 2, имеем: Двг = v A — cos 6) и (\vxf + (Дг1у)'2 = v- sin3 fi.

54
Поэтому
ВОЛНЫ В ОДНОРОДНОЙ II ИЗОТРОПНОЙ ПЛАЗМЕ
[гл. и
U (V) = ~}^ f 4mi г (г,, 6) A _ cos в) dQ =
~ М \T)''m.t =
¦2т
м
i- E.15)
= J ?,n, г (к, 9) A — cos в) tfQ
поскольку vm, ( = qnu , (v) vNm> t и
(cm. D,15)).
Итак, при K'^l>-^ у.Т для упругих соударений между электронами
и тяжелыми частицами U(v) = byriKvmti
Если
где оуп = -гг- (см. D,6)).
ymti уп г (см. D,6)).
г не зависит от скорости -у, то получается формула D,5)
при /C§>ij-v, Т. Этого и следовало ожидать, так как элементарная
теория строго совпадает с
= ''эфФ ~ const
кинетической именно при
_
U (ъ<)
1 Относительная доля передаваемой энергии о (v) = ту.—^
олько п
чпи t
равна
р о (v) = ту.^л равна ojrn
только при отсутствии неупругих соударений. Если же такие соуда-
рения не запрещены из энергетических соображений, то обычно
8 ;}»> 8уп. Низшие возбужденные электронные уровни атомов и моле-
кул отстоят от основного уровня на расстоянии порядка 1—г—10 за.
Для низкотемпературной плазмы возбуждение этих уровней особого
интереса не представляет (энергии в 1 эз отвечает температура
Те гк 104 градусов). Поэтому в атомарных газах и при соударениях
электронов с ионами для низкотемпературной плазмы 3 = Зу„ (это
равенство имеет место при средней энергии электронов К, суще-
ственно меньшей наинизшего потенциала ионизации). В молекулярных
газах, напротив, даже при электронной температуре 7^=^—-300°
имеем 8 = о G"г) ^?> ЗуЕ1, т. е. возможны неупругие удары, связанные
с возбуждением главным образом ротационных уровней молекул.
Последнее связано с тем, что расстояния между ротационными уров-
нями весьма малы и, например, у молекул О, и N2 составляют
— 1СГ3 эз, что отвечает температуре Т~^ 10°. Поэтому при Гг^10°
электроны могут терять энергию на возбуждение ротационных уров-
ней, в то время как возбуждение колебательных уровней, например,
в О2 и N3 еще почти не происходит и при Те<~.-ЗОО". Обработка
ряда экспериментальных данных, сопоставленная в [14] (см. также
[21, 25, 26]), приводит для Н2> О2, N,, воздуха и ионосферы на
разных высотах к значениям о, указанный в табл. 5,1.
Для смеси газов (воздуха, ионосферы и т. п.) значения I получаются по
формуле о = й, —\ р- о„ — , где Ь, , — значения о
б] НЕСКОЛЬКО ЗАМЕЧАНИЙ О МИКРОПРОЦЕССАХ В ПЛАЗМЕ
Таблица 5,1
Значения 3 ¦ 103
55
1
те
500
1000
2 000
3 000
4 000
5000
6000
7 000
8 000
9 000
Ǥ0 000
12 000
15000
На
2,3
2,5
2,2
2,2
2,5
3,0
3,4
3,9
4,4
4,85
5,3
6,1
7,2
i
0, ;
3,7
6,7
8,6
9,05
8,7
8,2
7,7
7.2
, 6,8
6,6
7,7
21
1
0,47
0,36
0,33
0,32
0,34
0,38
0,45
0,60
0,82
1,15
2,40
9,8
Воздух
0,89
1,2
1,6
1,7
1.7
1,7
1,7
1,7
1,8
2,0
! 3,2
11
Ионосфера |
100 км
0,86
1,2
1,5
1,6
1,6
1,6
1,6
1,6
1 г'7
2,0
1 з-1
10,6
200 км !
0,08
0,12
0,16
0,18
0,22
0,26
0,32
0,43
0,60
0,85
1,8
7,7
300 хм
0,06 1
0,06 |
0,06
0,06
0.06
0,07
0,07
0,08
0,09
0,11
0,23
1,13
для газов 1 или 2, а >Эфф|,2 — эффективные числа соударений элек-
гтроиов с молекулами газа 1 или газа 2 (обобщение на число ком-
понент, большее двух, очевидно). Изменение <5 при переходе к ионо-
: Сфере и на различных высотах в ионосфере связано с изменением ее
.состава (диссоциация и др.); использованных в [14] данных о составе
; ионосферы приводить здесь не будем, поскольку конкретные значе-
ния о ниже фактически используются только для оценок. Кроме
:того, даже данные для газов с определенным составом не могут еще
/считаться твердо установленными в связи с имеющимися в литературе
'•разногласиями. Заметим, наконец, что в табл. 6,1 средняя энергия
¦'электронов К выражена через электронную температуру Те=^ —
;;в; силу предположения о максвелловском распределении электронов
3 по скоростям. Результаты, однако, в довольно широких пределах
..нечувствительны к виду функции распределения (это связано со сла-
J бой зависимостью 8 от Те). Поэтому для немаксвелловских распре-
Лд,елений табл. 5,1 для ориентировки также можно пользоваться,
полагая по определению К = -$ v.Te,
!:,;¦: Из приведенных данных ясно, что даже в воздухе, не говоря уже
;рб ионосфере, Ь <g^ 1 (в то же время в воздухе о '^> 5уп). Поэтому
¦"'Для замедления относительно быстрого электрона до тепловых ско-
сростей ¦<?-—т/ -^- он должен испытать большое число соударений.

¦56 ВОЛНЫ В ОДНОРОДНОЙ 11 ИЗОТРОПНОЙ ПЛАЗМЕ [ГЛ. II
с молекулами и ионами. Считая в связи с этим число соударений s
непрерывной величиной, можно напихать:
где Ж —К — 7, ~'-Т (при од
E,16)
ном ударе rf (Д/П =— оЖ, откуда и
получаем E,16)).
Полагая о (К) — const, видим, что число ударов, необходимое для
снижения энергии от значения Ко ';>> vf-T до /С~ ту '>-Т, равно
in *•
s^—-¦-. E,17)
Время замедления электрона (время релаксации) -.' равно, оче-
видно, отношению необходимого для замедления числа соударений s
к числу соударений в секунду v.jlM):
Ко
х' .-_= ?L-±jy ¦'¦T
E. IS)
¦>¦/_?_
¦эф<р ¦ °''эфф
При этом следует иметь в зиду, что форм\'лм E,17) и E,18) со-
держат известную неточность, связанную с зависимостью о от К.
Отклонение функции распределения от равновесной. Оценки
для ионосферы. Отклонение функции распределения от равновесной
определяется величиной отношения -^~ , где т0 — время жизни элек-
тронов E,13) и E,14) и х' — время замедления E,18). Как ясно из
дальнейшего (см. § 6), для Е-с.юл ->3^—105 и для F-слоя
•'Эфф~3 ¦ I03: поэтому при Кй~\ эа, Г— 300" К и о —¦ 10-3,
согласно E,14) и E.18), грубо приближенно
E,19)
= ?V~5- Ю-5,
E,20)
Принимая для F-слоя более реальное значение
прн х0— 104 сек и ''Эфф~3 • 103 имеем;
Ш,
ю
Как ясно из сказанного, электрон обладает энергией порядка Ко
в течение времени порядка х', все же остальное время своего сво-
бодного существования до рекомбинации или прилипания *) его
*) Мы исходим здесь из предположения, что рекомбинация и прилипа-
ние особенно эффективно происходят для медленных электронов. Можно,
однако, указать условия, в которых это предположение несправедливо.
§ 5] НЕСКОЛЬКО ЗАМЕЧАНИЯ О МИКРОПРОЦЕССАХ В ПЛАЗМЕ
57
энергия близка к тепловой энергии -^ v.T, Поэтому разность средней
энергии электронов К и тепловой энергии -^--/.Т порядка
1К = ¦/. ДТ = К - 4 -'-т~ — «о-
E,21)
При Кл-—1 эв в ?-слое, согласно E,19), ДГ~--~~ 0Д=К,
;'а в F-слое, согласно E,20), Д71-—-КУК. Приведенные оценки носят
грубо ориентировочный .характер, но все же с несомненностью пока-
;.:зывают, что влияние ионизации, рекомбинации и других процессов
;; на функцию распределения электронов в ионосфере при сделанных
-предположениях весьма невелико. В случае F-слоя можно к тому же
г, утверждать, что электронная функция распределения с большой сте-
г- пенью точности является максвелловской, но с электронной темпе-
/ ратурой Те =^ Т (другими словами, все отклонение от равновесия
'/сводится в этом случае к неравенству температуры электронов и
)? тяжелых частиц). Это вытекает из рассмотрения междуэлектропных
^соударений, которых мы выше не учитывали. Между тем эффектив-
;4иое сечение для междуэлектронных соударений, как эго сразу ясно,
¦^•порядка сечения D,19) для соударений электронов с ионами (разли-
У=чие связано лишь с необходимостью учета равенства масс обоих
|:;;сталкивающихея партнеров). Далее, при каждом достаточно близком
.'^соударении между электронами изменение их энергии в среднем
ВЗторядка самой энергии. Поэтому, если имеется чисто электронная
Дплазма (без молекул), то время релаксации для установления равно-
?;|весия между электронами х'е в -д- раз меньше времени установления
с5;;йх равновесия с ионами (это последнее время х' по порядку вели-
?'й|чины определяется формулой E,18)).
5Щ1 В F-слое, пак это будет показано в § б, значение v^, связан-
i;iHoe с одними соударениями электронов с ионами порядка экспери-
ЙЙентально измеренной величины >'эфф. Условия, таким образом, близки
Дзк,имеющим место в чистой электронно-конной плазме к х'е--—jtt'~'
||; ln(fCofa:
Ш[. '''ФФ
К>.'-' m
;;рядка -g-.
Ж'; Если
так как Ь в
E,18) в случае соударений с ионами по-
7эфф '
.3 • 103 и Ко~ 1 эя, то
-10" сек, Л'
lfe;3.10-5 й ^__10-7 (при x^W). Таким образом, в F-слое
1ожно во всяком случае считать, что между электронами Равновесие
Успевает установиться, а значит, и функция распределения есть мако-
?велловская функция с некоторой температурой Тг Как уже указана

58
ВОЛНЫ В ОДНОРОДНОЙ И ИЗОТРОПНОЙ ПЛАЗМЕ
[гл. п
(см. E,21)), в силу относительной малости величины ~гК$, кроме
того, Te^iT G—температура ионов). Вычисление Те требует исполь-
зования кинетического уравнения, дополненного членами, учитываю-
щими возникновение и исчезновение электронов. В известных пред-
положениях, на которых мы не будем здесь останавливаться, подобное
рассмотрение проведено в [27] и находится в согласии со сказанным
выше. (В конкретном примере, приведенном в [27] для /•'-слоя,
Те— Т"0Ка, где Ко измеряется" в электроновольтах; в то же время,
согласно E,21), 7,—Г—~ -А~8 ¦ 103-КО~ ЮК0 при^'~ 10~s
и измерении Кй в электроновольтах.)
Резюмируя, можно сказать, что в отсутствие внешних полей пред-
положение о максвелловском характере электронной функции рас-
пределения в ионосфере вполне разумно и должно явиться хорошим
приближением к действительности. Поскольку, кроме того, надежные
сведения о конкретном характере или величине отклонения функции
распределения от максвелловской в случае ионосферы обычно полу-
чены быть не могут, выбор в качестве основы всего рассмотрения
равновесного распределения представляется также практически неиз-
бежным. То же можно сказать о солнечной короне. Таким образом,
влияние электромагнитной волны на функцию распределения, которое
нас интересует, мы будем исследовать на основе кинетического урав-
нения D,17), не учитывающего происходящих в плазме микропро-
цессов. Так же будем поступать и в случае сильных полей (см.
гл. VIII). Вместе с тем, вполне мыслимы случаи, когда подобное
приближение недопустимо. Так, если образующиеся при ионизации
Электроны рекомбинируют или прилипают при энергиях, больших
тепловой (средней кинетической) энергии молекул и ионов, то счи-
тать электронную температуру Ге близкой к температуре тяжелых
частиц Т, разумеется, нельзя. Кроме того, в подобных условиях не
всегда можно считать электронную функцию распределения максвел-
ловской даже для чистой электронно-ионной плазмы. Заметим, кроме
того, что даже в условиях, когда в основной своей части функция
распределения является максвелловской, сравнительно легко возни-
кают (например, в электрическом поле) отклонения от максвеллов-
ского распределения в области больших скоростей v ^$>
§ 38 и [258]).
- (см.
§ 6. Диэлектрическая проницаемость и проводимость
плазмы (кинетическая теория)
Общие соотношения. Перейдем к вычислению диэлектрической
проницаемости s и проводимости а изотропной плазмы на основе
кинетического уравнения.
§0]
ДИЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ПРОНИЦАЕМОСТЬ И ПРОВОДИМОСТЬ
?v Пренебрегая пока междуэлектронными соударениями, запишем
>исх6дные соотношения в виде:
Mi.
dt
m Ov
(Ф
/оо — iV
F,1)
Здесь '' —V+v;—число соударений, и в согласии со сказанным
•;|г:§::5, а также предположением о слабости поля симметричная часть
""функции распределения считается ыаксвелловской, причем электрон-
;:;йай температура Те равна температуре тяжелых частиц Т. Если
¦{йектрическое поле Е равно нулю, то, как следует из F,1), /i(x', 7*) —
!=/i('°. 0)e~v<4'", т. е. асимметричная часть функции распределения
•/•затухает, и в стационарном состоянии / = /00.
'-; ::Для вычисления е и з в однородном, переменном во времени
¦^электрическом поле в F,1) нужно положить ? = ?oe'w и искать
= "рёщёнпе в виде fx =/мв'шГ. Поступая таким образом, сразу же на-
'ходим:
еЕ
F,2)
Плотность полного тока равна (см. также D,11))
J, = е f vf dv = е j v -Ц^>- dz, = e fv (/» v dv dU
~ 3 J J^ zYr.m J ^-r-'(u)
о
о
Se'NE
4-'r da
Se'NE ! f v(a)iiV-"rfu . ja4-'r da
da
V (
ipe-введена переменная
F,4)
Цйтено, что ^=--i^/00 = -^(^)^--/C другой
:>рсшы, по определению величин г и а
сто-
F,5)
4 Приравнивая выражения F,3) и F,5), мы и можем найти г и

60
ВОЛНЫ В ОДНОРОДНОЙ И ИЗОТРОПНОЙ ПЛЛЗМЕ
[гл. и
Помимо г и з часто используют также эффективное число соуда-
рений 79фф, которое определяют соотношением
тСш' + уэФф)' т(«2-г -'эфш) '
Введение такой величины >эфф не всегда, однако, удобно и оправ-
дано [28]. Если >(о) не зависит.от v, т. е. v(о) = \,фф = const, то
из F,3), конечно, сразу же получаются выражения C,7), тождествен-
ные F,6). Такое приближение как раз и отвечает «элементарной
теории», использованной в § 3. При учете же зависимости v от о
в формулах F,6) нужно было бы считать чафф функцией частоты и,
причем эта функция неодинакова в выражениях для s и з (кроме
того, эта функция ^фф(ю) в выражении для з оказывается двухзначной;
см. [28]). Поэтому в кинетической теории целесообразно ввести вели-
чину 7Эфф только в предельных случаях высоких и низких частот ш.
Начнем с предельного случая
когда
эфф'
F,7)
4-.AV
; -— ]
зфй
F,3)
Величина 7Эф^ при этом, как ясно из формул F,3), F,5), F,7)
и F,3), равна
'•'эфф —
^
F,9)
где учитывается, что в существенной области интегрирования помимо
F,7) выполнено неравенство ч?"]:^--!1(а), о чем еще будет речь ниже.
В качестве v (u) в F,9) нужно подставить выражение D,15) с за-
меной у на у ~^~ а,
У т
Соударения с молекулами. В случае соударений с молекулами
сечение qm{v, 9), вообще говоря, лишь весьма слабо зависит or v
и 6. В частности, для воздуха при энергиях электронов, больших
примерно 0,25 эв, эффект Рамзауера (зависимость сечения от ско-
рости) выражен, по-видимому, весьма нерезко. При этом различные
данные, относящиеся к О.2, N, и воздуху, в известной мере противо-
речат друг другу. Поэтому самым правильным является сейчас при-
нять сечение не зависящим от скорости, тем более, что нас интере-
суют лишь тепловые скорости, в области которых ожидать ярко
выраженного эффекта Рамзауера, вообще говоря, нет оснований (см.
также ниже).
Щ-'61 ДИЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ПРОНИЦАЕМОСТЬ II ПРОВОДИМОСТЬ 61
Шх'Хчигая молекулу твердым шариком радиуса а и принимая, та-
||jbi образом, для \т выражение D,18), для -/эфф, согласно F,9),
Получаем:
F,10)
где
it =1/ — средняя арифметическая скорость электронов. При
ЩЩ:^= 300° г'^-1,08- 107 см'сек. По соображениям, указанным ниже.
2§|,ЯЯ -о2 в случае воздуха примем значение 4,4 • 10" " см2 или для
Ирадиуса значение а= 1,2 ¦ 10~а см, что находится в примерном соот-
ветствии с газок!1негическими данными. При таком значении и, со-
ШЩасно F,10):
'зфф. т.
= 1,7.10»-^
2 7 ¦ 101Э
300
FЛ1)
При атмосферном давлении и 7" = 300° К. очевидно. *'афф=1,7- 10й.
В дальнейшем для различных оценок мы будем исходить из зна-
чения F,11), хотя необходимо помнить, что в применении к ионо-
сфере, даже если не учитывать изменение состава и температуры,
при этом не исключена ошибка в десятки процентов (подробнее см.
ниже).
Заметим также, что при получении F,9) учтено, что в интегра-
лах F,3) существенна область интегрирования, где и ¦—¦ 1 (при «TS> 1
подынтегральная функция спадает экспоненциально, а при и <<^ 1 она
пропорциональна u'J). Поэтому использованное условие F,7) факти-
чески эквивалентно необходимому для перехода от F,3) к F,9)
условию ш5 ":р-чг(п). Эго ясно также из того, что, согласно FД0),
''эфф, т—"'(« = !)•
Соударения с ионами. Аналогичная ситуация имеет место и при
вычислении >3фф для соударений с ионами. В этом случае в (й,Э)
нужно подставить для > выражение D,19). В результате, учнтызая
также D,26), имеем:
эфф, i =
Щг Л^Л^-гЛ'.., Л'+ = Л/„+ЛГ, F,12)
Щ&;Л/± —концентрация ± ионов (см. [29]); аналогичные расчеты про-
Я&йлись также еще раньше в работе [30], где было положено

ВОЛНЫ В ОДНОРОДНОЙ И ИЗОТРОПНОЙ ПЛАЗМЕ
[ГЛ. I!
Интеграл
где Ci х
со к
/cos t ,, „. Г sin t ,,
—-—dt— интегральный косинус и Si.s: = / —-—dt—
х О
интегральный синус. В силу условия D,25), т. е. малости вели-
чины —, /я=; — СИ—J^alna— 0,577 = !п -jj$. Таким образом,
"'эфф, I — ~
(¦af
У.Т
Т'1'
F,13)
Ниже мы под знаком логарифма будем вместо Л'+ писать N 1 =
— Л'+ —j— /V_, так как Л"+ ^;V,. ^ 2Л'+, и ошибка, вносимая в F,13)
в связи с заменой Л*+ на Nt, ничтожна. Кроме того, в большинстве
случаев можно считать, что Л/'_ = 0, Лгг = ,\'+ = N, и, таким обра-
зом, пользоваться формулой
,„ B20
^V in @,37 -^-) = MJ1 ,„ (
FЛ4)
Если электронная температура Те не равна температуре ионов Т,
то, проводя вычисления, аналогичные приведенным, легко установить
формулу, заменяющую выражение F,13). Например, если Те^>Т
и Л', = /Vj. = ;V, то
5,5// (. 280Т, , 1 , Т 1 .,, , _,
Различие между формулами F,15) и F,13), если не говорить о за-
мене 7" на Те, лежит, вообще говоря, за пределами точности самих
этих формул. Действительно, как было указано в § 4, полагая
pm = D (см. D,26)), мы совершаем некоторую ошибку, сказываю-
щуюся на выражении, стоящем в F,13) под знаком логарифма.
Однако нужно подчеркнуть, что если (—^j-J ^1, то в фор-
муле F,13) нельзя ручаться лишь за множитель порядка единицы
под знаком логарифма, что обеспечивает очень высокую точность
вычисляемого значения >Эфф,; г при Т = 300" и N{= 106 In 1220-— ] =
= 6,5 и, если даже вдвое изменить величину, стоящую под лога-
рифмом, значение 7Эфф; t изменится только на 10% |. Точность фор-
мулы F,13) становится уже недостаточной только в условиях, когда
—'—2~) <^. !•
Щ$\ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ПРОНИЦАЕМОСТЬ И ПРОВОДИМОСТЬ 63
исчисление; коэффициента поглощения р в подобных условиях, когда ^
Щ^-^~Ьф^~~Щ'эфФ^*- § 7). проведено в §37. Полученные
f:|; § 37 результаты позволяют оценить точность формулы F,13)
гр. ионосферных условиях. Эта точность оказывается обычно не мень-
вщей 5^- 10%.
||j -Роль междуэлектронных соударений. Справедливость послед-
&него заключения существенным образом связана с тем обстоятель-
ством, что в случае F,7), когда иJ^*>чэфф> междуэлектронные соуда-
:|рения, которыми в F,1) пренебрежено, действительно оказываются
¦несущественными [31]. Этот результат не самоочевиден, так как
"Лечение для соударений электронов с электронами того же порядка,
1йак сечение для соударения электрона с однократным ионом. По-
•;|тому. вообще говоря, междуэлектронные соударения существенны
:€;игкак оказывается, при низких частотах, когда <«2<СЛэфф (в част-
Чнрсти, в постоянном поле), учет междуэлектронных соударений при
:ifi'f==N уменьшает проводимость в 1,73 раза (см. [32] к ниже).
"'::'¦¦ \:?В случае ш2 ^§> v^ междуэлектронные соударения в изотропной
Эдлазме несущественны по следующим причинам. При неучете между-
: Электронных соударений функция распределения подчиняется урав-
нению F,1), из которого ясно, что число электронов, покидающих
? нз-за соударений данный интервал скоростей, пропорционально v
'ёш отклонению функции распределения / от равновесной функции /00,
Ж,е,:пропорционально v/j. Далее, при условии ujs^>v2, согласно F,2),
/.=
вЕ ¦
civ
)—v) и, таким образом, значение /: в основном опре-
. делается ускорением, сообщаемым внешним полем, и только в сле-
дующем приближении — соударениями с ионами и молекулами (часть,
зависящая от соударений, пропорциональна числу соударений v,
которое мало по сравнению с ш).
Особенность междуэлектронных соударений состоит в том, что
в силу закона сохранения импульса эти соударения сами по себе
не могут изменить среднего электронного тока, пропорционального
среднему импульсу электронов. Поэтому, если бы соударений элек-
тронов с ионами и молекулами не было, то междуэлектронные
соударения никакого вклада в проводимость не внесли бы. Отсюда
следует, что с точки зрения эффекта междуэлектронных соударений
существенно не все отклонение функции распределения от равно-
весной, а играет роль лишь часть этого отклонения, обусловленная
соударениями с ионами и молекулами. Но эта часть в силу сказан-
ного порядка ~/г<^./у. Часть интеграла соударений Sj- ee, связан-
ная с междуэлектронными соударениями, которую нужно добавить
к F,1) (см. D,17)), по порядку величины равна числу междуэлек-

64
ВОЛНЫ В ОДНОРОДНОЙ И ИЗОТРОПНОЙ ПЛАЗМЕ
[гл. п
ДИЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ПРОНИЦАЕМОСТЬ II ПРОВОДИМОСТЬ
65
тронных соударений*) vee~vei, умноженному на существенное с точки
зрения роли междуэлектронных соударений отклонение функции рас-
пределения от равновесной. Как указано, эта существенная здесь
часть отклонения функции распределения о г равновесной порядка
^-/, к, следовательно, Sv ее ~~fv в т0 время как соударения
с ионами и молекулами приводят к появлению в F,1) члена v/j =
= (vem + vei)/i- Этот результат, который можно подтвердить более
строгим расчетом [31 j, свидетельствует о том, что даже при отсут-
ствии молекул (когда •> —¦ че1) вклад междуэлектронных соударений
в проводимость примерно в -—- раз меньше вклада соударений элек-
тронов с ионами. Поэтому в ионосферном F-слое, где v~''?i
(см. ниже) и обычно ——-¦ 10" , междуэлектронными соударениями
можно полностью пренебречь. То же относится, конечно, к солнеч-
ной короне. В более низких областях земной ионосферы это заклю-
чение также справедливо, так как здесь, помимо всего прочего,
число междуэлектронных соударений чее — че1 <С"'Эфф —'•'»<№>, т-
Прежде чем перейти к использованию формул F,11), F,13),
которые в силу сказанного обладают высокой точностью, заметим,
что выражение для среднего эффективного сечения для соударения
электрона с ионом q (v) = ¦
(у.ТJ
In @,37•
(см. F,13))
ясный физический смысл. Действительно, рассмотрим сначала соуда-
рение, при котором импульс электрона существенно меняется, т. е.
электрон отклоняется на угол 6 порядка единицы. Подобное соуда-
рение имеет место, если при приближении электрона на некоторое
прицельное расстояние р его потенциальная энергия порядка кинети-
"г- отсюда как раз ър3,— яу^^. Появление же
ческой, т. е.
/Т;
в выражении для сечения еще и логарифмического множителя связано
с учетом не только самых близких, но и более дальних соз'дарений,
вкладом которых нельзя пренебречь в связи с медленностью спада-
ния кулоновского поля. Поскольку логарифм велик, более того,
большинство соударений являются далекими, и с логарифмической
точностью можно считать, что все индивидуальные соударения про-
исходят с небольшим изменением импульса. Эффективное соударение,
происходящее с частотой \эфф, является поэтому результатом боль-
шого числа отдельных (индивидуальных) соударений.
Число соударений в ионосфере. Сечение для соударений с ионами
при температурах порядка нескольких сотен градусов значительно,
примерно в миллион раз больше сечения для соударений электрона
с молекулами. Это ясно видно из табл. 6,1, где приведены несколько
") Напомним, что ~»и- = чг — число соударений электрона с ионами;
~ -'ei, лишь если jV^iVj.
§61
округленные значения >>3$$,т и уэфф_ ( согласно формулам F,11)
И F,13). Цифры, помещенные в первом столбце, в случае ¦/Эфф1 m
дают значение Nт, а в случае чэффл— значение Nt.
Значения уэфф, т и
Таблица 6,1
- W
105
10е
10э
1012
10»
1O1S
"эф
-
Г-250° К
з, т
5.5
5,5
5,5
5,5
103
105
106
''эфф, 1
111
982
8.9 • W
5,6 ¦ 105
—
—
—
';эфф,
_
—
6
6-1
6.1
6-1
г=зсюд к
т
"эфф, 1
\ 85
768
6,9 • 103
1 4,4 • 106
О3 1 —
0«
—
—
Г"
^эфф, т
8,5
8,5
8,5
8,5
103
105
10s
600е К
''эфф, i
: 33
297
2,7 • 103
1 2,2 ¦ 10е
—
1 __
—
В D-слое ,V,n~1015-i-l016 и мэфф,ш — Ю7^ 108. В ?-слое
Wm~ 1Q12-H-1013 и -<Эфф;,п—> IО4-— 10s. Далее, концентрация электро-
нов в максимуме ?-слоя ;УП1ах<С2- 10э, и если Л';-==:Л', то '';,фф,|~
~3- 103. Если Л'(^Л', как это иногда предполагалось для Е-слоя
и, быть может, имеет место в D-слое, то. чЭфф] г может быть
больше мэфф)т (если Л'т~ 1013, то Ьффл~''*ФФ,т ПРН 'V?~2 ' 10?)-
Но, по-видимому, в ?-слое N~Nt и, таким образом, определяю-
щими являются соударения с молекулами. В этой связи заметим, что
при наличии соударений и с ионами и с молекулами, как ясно из F,9),
получим:
где значения v^,j,m и ''зффЛ прежние, т. е. определяются, например,
формулами F,10) и F,13). Для соблюдения равенства F,16) суще-
ственно, что мы здесь рассматриваем пока только высокочастотный
случай (см. F,7)).
При экспериментальном определении ч9фф в результате измерений
поглощения радиоволн в ионосфере определяется, конечно, как раз
суммарное значение ^фф = ¦'эфф1т-т-уэфф. с. В D- и Е-слоях, как
сказано, по всей вероятности, ''эфф,; <С!'"эфф, m* ^ отношении же
^"•сдоя, или точнее, его нижней части ситуация сложнее и интереснее.
Дело в том, что даже если считать, что в F-слое N1 = N+ — N, как
это следует из ряда соображений, то при .'V .< 2 • 10s -^фф| г <С 104; в то
время на опыте в f-слое (подробнее см. [22, 23]) 7эфф ~ 103-^—IО4,
к
ремя на опыте в fслое (
Таким образом, в F-слое уэ
5 Зак. M7I. В. Л. Гинзбург
'эфф,
но отсутствие тщательных

66
ВОЛНЫ В ОДНОРОДНОЙ И ИЗОТРОПНОЙ ПЛАЗМЕ
и соответствующим образом обработанных измерений не дает возмож-
ности сказать, какова разность v3(^ — ''эфф,;. которую следует при-
равнять ''эфф.л, (сказанное относится к нижней части F-слоя, так как
в более высоких областях >;Эфф — уЭфф, t <^ уафф и надежное опреде-
ление ^фф,ш из радиоизмерений невозможно). Вместе с тем опреде-
ление уЭфф, ,п очень важно, поскольку концентрация молекул в F-слое
недостаточно хорошо известна и меняется во времени. Измерение v3(j^ г„
дает возможность определить эту существенную с точки зрения
изучения F-слоя величину (точнее см. ниже). Для того чтобы откры-
вающиеся на этом пути возможности были более ясны, запишем
выражение F,16) в явном виде, подставив в него значения чэ^1ГВ
и ''эфф.г из (б-10) и С6-14):
ДИЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ПРОНИЦАЕМОСТЬ И ПРОВОДИМОСТЬ
67
20-^y F,17)
Здесь электронная концентрация Л7 может считаться известной, так как
легко определяется радиометодом. Поэтому, если бы была также
известна температура Т, то, измеряя '^фф, можно было бы сразу
определить тм-Nm (разумеется, если ''Эфф>ш <Оэфф,;, ™ из измере-
ний уЭфф представляется возможным лишь указать верхнюю границу
величины T.a2Nm). Фактически, однако, температура Т неизвестна,
и ее нужно определять из того же соотношения F,17) или каким-
либо независимым методом (см. [31]).
Если сечение -а от Г не зависит, то определение темпера-
туры Т с помощью формулы F,17) возможно в результате измере-
ния '^фф при разных Т, что может быть в принципе осуществлено
при измерениях ч'Эфф в разное время суток и на разных высотах.
Таким образом, если пренебречь температурной зависимостью
величины т.а2, то раднометоды, по крайней мере в принципе, дают
возможность определить значение величины -д2Л/"т, где ~а2 — сече-
ние молекулы, рассматриваемой как твердый шарик, и Nm — кон-
центрация молекул (точнее, вместо -а2Л*т нужно пользоваться выра-
жением 2 Tra|^m*> Где иыДекс к указывает на сорт атомов или мо-
k
лекул, присутствующих в слое).
В случае молекул О, и N, различные определения -xcfi приводят
к значениям, отличающимся почти вдвое. Такой большой разброс
связан, по-видимому, с тем, что сечение те2 зависит от скорости
электронов (в силу эффекта Рамзауера), а эта скорость в разных
случаях неодинакова. Значение м2 для воздуха при Т— 300°, по дан-
ным [26], известно с неплохой точностью и равно тга2 = 4,4 ¦ 10~16 см5
(это значение и принято в F,11)). Однако, если речь идет об F-слое,
Щф нужно иметь в виду, что там, помимо N2 и остатков О2, присут-
ствуют атомы О и возможно N. Экспериментальные данные относи-
Зтельно сечения -а? в О и N отсутствуют.
Щ: Некоторые же теоретические расчеты [33] приводят к заключе-
й|ню, что в О возможно аномально сильное рассеяние, которому
Щтвечает сечение, достигающее значения iras.<; 1000 • 10" D см-.
Ш|Подобное значение маловероятно, но окончательно отбросить его еще.
||о-видимому, нельзя в силу незнания некоторых характеристик
ЗЩгома О, от которых зависит соответствующий расчет сечения ко2.)
йЦоэтому до выяснения вопроса о величине сечения в О перейти от
Измеряемых значений na2;Vm к Л*Я! не представляется возможным.
эд|ЗМесте с тем при современном состоянии вопроса, несмотря на успехи,
Щостигнутые при измерениях с помощью ракет и спутников, опре-
¦йделение величины -us.Vm в -F-слое в разное время было бы суще-
Йщгвенным прогрессом в области изучения верхних слоев ионо-
Щферы *).
|||>гВ заключение обсуждения вопроса о числе соударений в F-слое
2"|аметим, что в литературе (см., например, [20], гл. VI, § 6) встре-
Щаются утверждения, что в F-слое *Эфф ~ ^фф, т. так как соударе-
йЩия с ионами не могут быть существенны в силу малости концен-
трации ионов. Как ясно из вышеизложенного, подобное мнение
|;6шибочно, так как основано на неверном предположении о том, что
<$^чения для рассеяния электрона ионом и нейтральной частицей при-
;3мерно равны. На самом же деле при Т.—'300° ноны рассеивают
зМримерно в миллион раз сильнее, чем молекулы.
1|||А^Низкочастотный случай. До сих пор рассматривался только
^Цйысокочастотный случай F,7), который обычно и встречается при
ЩЦдиоисследованиях ионосферы и в радиоастрономии. Вместе с тем
?fft/Практике приходится, конечно, сталкиваться и с частотами мень-
|?шими числа соударений и, в частности, с постоянным полем. Для
дЫЦиентировки укажем, например, что в земной атмосфере на высоте
|й||колр 70 км \\71'—'2- 1015 и ч'эфф,т-—' Ют, а на уровне моря
'Ш$Ь$,тг~- 2 • Ю11. Ясно таким образом, что нельзя ограничиться ис-
|||^|ёдованием только области высоких частот.
йЦЙ'яПомимо высокочастотного случая F,7), получение формул для е
'¦0&Щ1 особенно просто также в противоположном — низкочастотном
ЙЦяучае:
*) Точнее, речь может итти не обо всем F-слое, а только о его нижней
части и переходной области к ?-слою. Дело в том, что, используя формулу
№,17) и данные рис. 30,1—30,3 для высот, больших 200-н250 км, приходим
к уже указанному неравенству -/Эфф ¦—¦'эфф, г— ''эфф. от^^фф- В подобных
условиях сколько-нибудь надежное определение чЭфф>ж обсуждаемый здесь
способом, конечно, осуществить нельзя.

68
ВОЛНЫ В ОДНОРОДНОЙ И ИЗОТРОПНОЙ ПЛАЗМЕ
[гл, н
Соответствующие формулы пригодны, разумеется, и для постоян-
ного поля.
Введенное в F,18) эффективное число соударений vf^ опре-
деляем соотношением
Значения у№ и использованное ранее эффективное число соударе-
ний ~'Эфф в высокочастотном случае, совпадающие в элементарной
теории (см. § 3), фактически равны между собой, только если число
соударений v (я) не зависит от скорости -V.
Из формул F,3) и F,19), а также учитывая возможность замены
неравенства u>2<^v5(a) на условие F,18), получаем;
F,20)
Подставляя в F,20) выражение D,18), имеем;
Отличие этой формулы от F,10) состоит в замене множителя
4 Зт
-х- = 1,33 на ~= 1,18. Незначительность этого отличия, усугубляе-
мая неточным знанием радиуса а, делает практически достаточным
использование в случае соударений электронов с молекулами элемен-
тарной теории.
В обычных стационарных или квазистационарных газоразрядных
экспериментах из значений проводимости можно определить как раз
величину х^ф. Согласно данным [26], в воздухе длина свободного
пробега / = —-— = 5,4 • 10~2 см при v= 1,08 • Ю7 см/сек и давле-
эфф
мм Hg. Отсюда ~я'2 = 4,4- 10~16 и
нии
0 ¦ F'22)
Именно, используя значение F,22), которое рассматривается как
экспериментальное, и учитывая F,10) и F,21), выше было полу-
чено значение >эфф>т для другого предельного случая (см. F,11)).
При соударениях с ионами, подставляя в F,20) выражение D,19),
имеем:
эфф, I — -
¦ 6]
ДИЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ПРОНИЦАЕМОСТЬ И ПРОВОДИМОСТЬ
69
так как в силу условия D,25) появляющийся при расчете интеграл
ос
Г x''e'xdx 3
Шг: .1 1П A -j-atx1) ~ ln--« '
>К<'7:- 0
:||ie"f~l- Если не обращать внимания на несущественное различие
ЩЬвыражении, стоящем под знаком логарифма, формула F.23) отли-
Щается от F,13) множителем -^ , т. е. '4'фф, г меньше *>вфф, i при-
мерно в три раза. Однако непосредственное сравнение формул F,13)
2Щ6.23) не вполне корректно, так как формула F,13) справедлива
1||ч при учете междуэлектронных соударений, а формула F,23) опре-
Щеляет лишь соударения электронов с ионами и при учете между-
Щяёктронных соударений неверна. Дело в том, как уже было упомя-
}гнуто, что в низкочастотном случае F,18) междуэлектронными со-
ударениями пренебрегать нельзя, и если Nt^ifj, эти соударения
•щметно изменяют проводимость. Таким образом, формула F,23)
«справедлива, лишь если jVj3=>iV (в этом случае роль между-
;:;|шектронных соударений несущественна) *). Если же, например,
4||, —А/+ = N, то, как следует из результатов работы [32]:
--@1
,- = 1, I 3
'(°'54Т-^г). F.24)
Щак:ясно из F,23) и F,24), влияние междуэлектронных соударений
J;B;,;рассматриваемом случае приводит к появлению множителя 1,73.
Й|^авнение формул F,i3) и F,24) показывает, что при прочих рав-
|Ййх--;-условиях Удфф, в —ц-^2 раза больше, чем v(°)
_
2,8
чнсло
соударений в низкочастотном случае.
Кроме того, необходимо подчеркнуть, что в области низких
частот, как ясно из F,20), соотношение F,16) несправедливо, т. е.
^»|ф =? Чфф, m + Чфф, г Поэтому при сравнении формул F,13) и
F,24) мы считали, что имеется чисто электронно-ионная плазма
без молекул, в силу чего v@> = v(°) ..
Общий случай (любые частоты). Диэлектрическую проницае-
мость и проводимость плазмы при произвольном соотношении между
частотой и числом соударений удобно представить в таком виде
f28, 34]; J
где ч'эфф—-введенное выше число соударений F,9) для высоко-
частотного случая.
*) -Междуэлектронные соударения несущественны также в случае, когда
определяющую роль играют многозарядные ионы {Z'p>\).

70
ВОЛНЫ В ОДНОРОДНОЙ И ИЗОТРОПНОЙ ПЛАЗМЕ [ГЛ. II
—> оо К5 = К. = 1. При промежуточ-
ДИЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ПРОНИЦАЕМОСТЬ И ПРОВОДИМОСТЬ
71
По определению, при
¦<афф
множители К.
•'эфф
пых же значениях множители К,. определяют отклонение вы-
ражений для е и а от формул, получающихся в элементарной теории.
Рис, 6,1. Функции А.",. т (^—) « К,. т (
эфф, т l \ 'эфф, т
жен десятичный логарифм —
г.в
на оси абсцисс отло-
Для соударений с молекулами функции К^т и KCim представлены
на рис. 6,1 и в табл. 6,2.
Таблица 6,2
Соударения с молекулами
^Фф, Ш
0
0,01
0.05
0,1
0,2
0,5
1,0
Кг, т
1,51
1,51
1.50
1,48
1,40
1,19
1,07
1,13
1,13
1,13 1
1,12 [
1,09 I
1,02 1
0,94 !
'эфф, т
2,0
4,0
6,0
10.0
35,0
-о
К г, т
0,985
1,0
1.0
1,0
1.0
1,0
^I, m
0,95
0,98
0,99
1,0 1
1.0
1,0 i
1
fp]
f*; Значение К,, т @) = 1,13 находится, как это и должно быть,
^согласии с формулами F,10) и F,21). Тот факт, что К.,т@) =
SS= 1.51 фКз, т@) указывает на невозможность определить одно и то
-гм
9
щ
-зм -is
к*,i {-, и к,, i 1 ¦Спл011
¦ эфф, ( ' \ Эфф, II
. Сплошные кри-
Рис. 6,2, Функции
эфф, < эфф, J
вые — при учете междуэлектрониых соударений, пунктирные ла-
ний— без учета междуэлектроины.х соударений (по оси абсцисс
отложен десятичный логарифм
эфф, i I
Л?.:значение ¦/№ из получающихся в элементарной теории выра-
~Шщц а = ——— и е=1 ^4-^—, Поэтому в низкочастотном
случае F,18) мы и пользовались только выражением F,19) для
«проводимости с. Функции АГ,,, и /С,_; для соударений с ионами

72
ВОЛНЫ В ОДНОРОДНОЙ II ИЗОТРОПНОЙ ПЛАЗМЕ
[гл. п
в случае ЛГ; = Л;
в табл. 6,3.
+ = л" представлены на рис. 6,2, а и б, а также
Таблица 6,3
Соударения с ионами
'.Ц'ф. 1
0
0,01
0,05
0,1
0,2
0,5
1,0
2,0
4,0
6,0
10,0
35,0
СО
С уЧсЮМ МбЖ-
дуэлектронньЕХ
соударений
4,59
4,59
¦1,51
4,34
3.79
2,30
1.41
1,0.5
0,97
0,98
0,99
1,00
1,0
К-,, 1
без y^srii чёж-
с учетом меж-
дуэлек'гронны;<| дуэлектромиых
соударений
19,8
19,5
15,8
ИД
5д7
2.44
1,52
1,15
1,01
0,97
0.96
0,99
1,0
соударений
1,95
1,95
1,92
1,86
1,65
1,07
0,72
0,62
0,73
0,82
0,92
0,99
1,0
Kz, i
без узета меж-
дуэлемронных
соударений
3.39
3,38
2,76
2,12
1,40
0,90
0,68
0,59
0,63
0.72
0,78
0,91
5,0
Для того чтобы выявить роль междуэлектронных соударений,
данные приведены отдельно с их учетом и без него *). Для предель-
ных случаев эти результаты [34] находятся в соответствии с получен-
ными в работах [31, 33, 35]. При наличии одновременно соударений
и с ионами и с молекулами, приведенные выражения могут, строго
говоря, использоваться только в высокочастотном предельном случае.
-- Соударения ионов с ионами и молекулами. Остановимся теперь
кратко- на вычислении s и з в случае, когда основную роль играют
соударения ионов с ионами и молекулами. Подобная ситуация (при
отсутствии магнитного поля) может, конечно, иметь место только
для плазмы, совсем не содержащей или содержащей весьма мало
электронов.
Строгое рассмотрение соударений между тяжелыми частицами,
вообще говоря, значительно сложнее, чем в случае соударений
*) Приведенные в табл. 6,3 значения получены в приближении, исполь-
зованном в первой из статей [32]; при этом учет междуэлектронных соуда-
рений приводит к появлению множителя 1,74. В то же время в формуле
F,24) фигурирует множитель 1,73, получающийся яри учете более высоких
приближений [32]. Сказанным и объясняется небольшое различие между-
значениями з согласно F,19), F,24) и согласно F,25) и та5л. 6,3 при
"'эфф
§61
ДИЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ПРОНИЦАЕМОСТЬ И ПРОВОДИМОСТЬ
73
электронов с ионами или молекулами. Однако, если не обращать
внимания на численный множитель порядка единицы, выражение для
числа соударений иона с молекулами можно получить из формулы F,10)
для соударений электрона с молекулами, если в качестве величины а в
/6,10) взять сумму радиусов обеих частиц и заменить среднюю скорость и
на среднюю относительную скорость vQ= у %\[.,\{ . где УИЛ
и _Д4„; — соответственно массы иона и молекулы. Если уИ? = /И,„ и
радиусы частиц одинаковы и равны а, то г'() = ]/2 г'; и с точно-
•стью до множителя порядка единицы [vt = Т/ -^ц) получим
•4*ф. m ^ —Ц — t',.VM. (b,26)
Для ионов О.г и :V*, принимая а такое же, как в F,1!), имеем:
При соударениях ионов с ионами для yW. . можно с той же
оговоркой, как и выше, воспользоваться формулой F,13) до пере-
хода к численным коэффициентам (понимая под v среднюю скорость
иона и умножив все выражение на множитель У~2). Кроме того,
нужно учесть, что к ионам одного знака относятся соображения,
•связанные с сохранением импульса, о которых упоминалось выше в
¦связи с междуэлектронными соударениями. Поэтому в выражении для
vW . правильнее под \'( понимать концентрацию ионов одного знака,
равную половине полной концентрации. В результате можно принять
F,28)
где 7«~1 и множитель 0,37 под логарифмом, сохранен лишь для
¦удобства сопоставления с формулой F,13).
Получающаяся таким образом формула для ¦/'' ;, так же как
формула F,26) для ч/>) м, непосредственно относится к высоко-
частотному случаю *). Однако, как мы видели, даже при соударениях
-заряженных частиц при переходе к низкой частоте в выражении для
числа соударений появляется лишь множитель порядка единицы.
*) В рамках элементарной теории независимо от частоты v^, = ч'эфф,га ~|~
~"|~va*>d> i Т''э"фф «' ПРНЧ€М эффективное число соз'дарений ионов с элект-
ронами ;тЙф ,_, = ^j тэфф. :¦ Здесь чЭфф, i определяется выражением F,13).
т
Отсюда и из F,28) ясно, что
<
при условии .V < ]/

74
ВОЛНЫ В ОДНОРОДНОЙ И ИЗОТРОПНОЙ ПЛАЗМЕ
1гл.
Введение такого множителя в приближенные формулы F,26) и F,28)
было бы превышением точности исходного расчета. Другими сло-
вами, для ионной плазмы в рамках изложенного подхода можно
использовать лишь формулы элементарной теории *).
В приближении, отвечающем элементарной теории, для плазмы
с произвольным отношением концентраций электронов и ионов
получим:
- — 1 4а?2Аг 4~<?2ЛГ; )
F,29)
т. ш2 -г-с,,
Эти формулы часто можно упростить. Например, в ионосферном
D-слое для некоторой области частот, по-видимому, "^^'(НлфJ
2 С! 1 П
и оJ
Ч1Ф:Ь- При этом
4-й2Si
:~_i^ ЬЧЯ**- F.30)
Дисперсионные соотношения. Как ясно из всего изложенного,
функции s (ш) и ' (ш) для плазмы в общем случае являются довольно
сложными. Поэтому может оказаться полезным иметь в виду, что
для произвольной среды г и з связаны между собой так называе-
мыми дисперсионными соотношениями:
=8 f^^-,
J ш'2_шг
о
F,31)
где интегралы при ш = ш' нужно понимать в смысле главного зна-
чения (подробнее см. [36], § 62 и 1.22], § 83),
§ 7. Распространение электромагнитных (поперечных) волн
в однородной плазме
Показатели преломления и поглощения. При распространении
электромагнитных волн (в отличие от квазистационарного случая)
диэлектрическая проницаемость s и проводимость а играют, скорее,
*) Изменение '4фф. т с частотой (речь идет об использовании формул
элементарной теории с зависящим от » числом v3(j.^)t как и для соуда-
рений электронов с .молекулами, в большинстве случаев будет весьма
небольшим. В случае соударений ионов с ионами частотный эффект больше
и можно думать, что значение ч^щ t для низких частот (т, е. при и2 <g;
^С' if) примерно вдвое меньше, чем для высоких частот, когда
J
§7]
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В ОДНОРОДНОЙ ПЛАЗМЕ
75
^вспомогательную роль. Непосредственный же физический смысл
1вй'ёют показатели преломления и поглощения, а также некоторые
Щругне, связанные с ними величины.
5;J Для введения всех этих величин рассмотрим распространение
||лоской электромагнитной (поперечной) волны { ¦
If у: ?=?ое? <<«*-»>•) G,1)
5%: неограниченной изотропной и однородной среде. Исходным при
йэтом является уравнение B,10) с s'= const. Для поперечной волны,
Иногда div?—0, это уравнение имеет вид:
Щ. А?+^'(»)?=0. G,2)
^Подставляя сюда решение G,1), получаем соотношение, которое
часто называют дисперсионным_ удавнениед:
G,3)
¦'Связь между полями ? и Я получается из уравнений поля B,1а) и
B^3), которые для плоских волн G,1) дают
¦Ji'% m'E—~c\kH\, u,H=c[kE]. G,4)
Оусюда при скалярном умножении на k получаются условия попе-
:,р,ечности ft?==0 и fe//=0 (первое из этих условий следует из
:|7,4) только при г' Ф 0); если же s' = 0, то возможно существование
также продольных волн (см. §§ 2 и 8), В общем случае при веще-
ственной частоте <и волновой вектор к является комплексным и
;М0жёт быть представлен в виде fe = fe0 — tq, где fto и q — веще-
ЬстВенные векторы. Поле G,1) принимает вид: ?= Eue~qrel^"'t~l!^\
Зйричем несовпадение направлений fe0 и q отвечает несовпадению пло-
|екостей равных фаз и амплитуд. Такие плоские волны называются
йдаогшороднымц. В однородных плоских волнах плоскости равных
5ФДЗИ амплитуд совпадают и вектор k удобно записать в виде:
|||р fc = -7(ft-ix)T- G,5)
5|Выбйрая за ось z направление, параллельное вектору -^
|||0^едG,1) в форме
запишем
- 7.Z I
е *
рйе^всилу G,3) и G,5)'
||||; % (и — hf = i
G,6)
G,7)
•знаки i в G,6) отвечают волнам, распространяющимся в иаправле-
нии положительной оси z (знак —) и в противоположном направлении

76
волны в
ВОЛ1Ш Е однородноП и изотропной плазме [,-л. I,
Л" *-"«"-™и преломления „ погло.
РеДе> КЗК ЯСН° 11Э «Ы Рав»а О-о-Длина
а фазовая скорость равна
G,8)
G.9)
Формулы G,8) и G,9) являются, собственно, определением показа-
теля преломления. Показатель поглощения ¦/. имеет тот смысл, что
на пути длиной в ~гг~ амплитуда волны изменяется в е раз. Коэф-
фициентом поглощения называют величину
характеризующую изменение потока энергии излучения S = т~
На пути — поток изменяется в е раз.
Согласно G,7)
G,10)
Отсюда, очевидно,
п — /, , ——- = 2nv..
2га
;^Р п--=~- :* = •
G.11)
G,11а)
G,12)
где, для того чтобы обеспечить вещественность п к х, внутренний
корень всегда считается положительным; например, если с-=0 и
е < 0, то внутренний корень равен ~4j——— -J . Перед внешним
корнем также всегда берется знак плюс, так как возможность дру-
гого знака уже учтена в G,С).
Поскольку все приведенные выражения могут использоваться
в применении к любой среде, заметим, что введение комплекс-
ной диэлектрической проницаемости г' имеет смысл и тогда,
когда трудно говорить о проводимости в обычном смысле этого
слова (например, когда имеются диэлектрические потери и т. п.).
В этом случае мнимая часть s' определяет поглощение энер-
гии и в этом - отношении эквивалентна члену ¦— i —^—. Очевидно,
что, обозначая мнимую часть % по-прежнему как —г-— , мы вклю-
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В ОДНОРОДНОЙ ПЛАЗМЕ
77
*-|а|й в рассмотрение и явления, в которых нельзя говорить о про-
П|о|имости, при этом а просто играет роль некоторой эффективной
'приводимости. Поскольку 3^.0, из G,11) следует, что знаки п. и х
^одинаковы. По последней причине волна затухает в направлении ее
'Распространения (другими словами, если волна «бежит» в направ-
лении положительной оси г, то ее амплитуда при этом уменьшается;
|рк G,6)). Подобная ситуация вполне естественна, но в самом
Шэщем случае не обязательна. Действительно, если групповая ско-
Йрость *) направлена противоположно фазовой, то это как раз соот-
ветствует возрастанию амплитуды волны в направлении ее распро-
'фтранения, т. е. в направлении перемещения поверхности равных
йфаз. При введении s и с, т. е. при пренебрежении пространствен-
?}'ной дисперсией в силу сказанного, направления фазовой и груп-
1ПОВОЙ скорости должны совпадать (другое доказательство этого
Зфакта см. [36], § 64). При учете пространственной дисперсии труп-
*повая скорость может быть напраалена противоположно фазовой.
i/ О затухании волн при отсутствии поглощения. При з = 0
Поглощение электромагнитной энергии отсутствует, так как выде-
ляемое в единице объема в единицу времени тепло равно jE = oE2.
ИЭто; не значит, однако, что волны не могут затухать. Действительно,
:,есдй с = 0 и г > 0, то
¦¦}';:% П=Уг, х=0, G,13)
..и;р0шение G,6) имеет вид чисто бегущих волн. Но если j=0j
ff?ij;O, TO
ЩФ « = 0' * = V". G,14)
Щйдрешение является затухающим (для волны, распространяющейся
Упояоложительной оси г, в G,6) нужно брать знак минус).
ё^Ач:Затухаиие волны в этомг случае означает, что в среде бегущие
• ^олны распространяться не могут, поток энергии S = -|— [ЕИ\
ув':среднем по времени равен нулю, и волна от среды с е < 0 пол-
>аос;ть10 отражается (полное внутреннее отражение) **). При этом
.«термин «показатель поглощения» не является уже удачным и удобным,
||:?йедСТВИе чего часто вводится мнимый показатель преломления
ЙЖЙ=:^-~^К — е = --{7.. Таким образом, при о = 0 удобно ввести
|?:|йличину
Щ^' п2 = (п — Uf = г. G,15)
|::Угв *) Если поглощение является достаточно сильным, то понятие о группо-
5;1ЛИ скорости ввести нельзя (см. § 21). С точки зрения существа обсуждае-
|=Я|рго; вопроса важно, однако, совпадают ли или не совпадают направления
гйЩТ0Ка энергии и фазовой скорости. Говорить же о потоке энергии можно
;?ЯЧ?И' любом поглощении.
§|»:~-ss*) Записывая вектор Пойнтинга 5 или потери jE в обычном виде, под-
:|;::*??Умеваен, что берется лишь вещественная часть полей.

78
ВОЛНЫ В ОДНОРОДНОЙ И ИЗОТРОПНОЙ ПЛАЗМЕ
оГ т ?71?
При соблюдении неравенства
получаем: при г > О
«*>-;-= ,/1—^hl
(гл. п
G,16)
2га
и при г < О
G,17)
4xeW
— 1.
G,18)
В противоположном предельном случае, к
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В ОДНОРОДНОЙ ПЛАЗМЕ
79
характеризует глубину проникновения переменного поля
в толшу материала.
Выше в этом параграфе, если не считать правых частей в фор-
мулах G,17), G,18) и G,20), значения г и а не конкретизировались.
Это и понятно, поскольку сказанное относится к любой среде без
заметной пространственной дисперсии. В случае изотропной плазмы
в качестве s и z нужно использовать выражения, приведенные
в §§ 3 и 6.
О вещественных и комплексных значениях частоты. В за-
ключение заметим, что мы везде до сих пор считали частоту ш
вещественной; то же будет обычно приниматься и во всей книге.
Нужно подчеркнуть, что речь при этом идет не о каком-то оче-
видном утверждении, а об определенной физической постановке
вопроса. Действительно, мыслима и фактически встречается другая
постановка задачи, когда задается вещественный волновой вектор k,
т. е. задается гармоническое в пространстве волновое поле (в при-
менении к плазменным волнам см. об этом в § 8). Связь G,3) между е>
и k сохраняется, очевидно, вне зависимости от предположения о ве-
щественности этих величин. Отсюда (и, конечно, из самого существа
задачи) ясно, что при вещественном k частота ш, вообще говоря,
является комплексной (т. е. поле затухает или нарастает во времени).
Если k вещественно и частота равна ш' = ш —г,', причем ^<j^o>,
то, учитывая связь ск = (u>-j~r()[>i(io —rf) — /¦/.(и --)-?¦')], получаем:
когда
~1п~
wy. (to)
с
G,23)
получаем:
G,19)
G,20)
раза на
G,22)
каВметД^г Щ0Й ИЛИ ГЛубиной ^кий-слоя, так
как в металлах, где ооычно выполнено условие G,19), именно длина
^ = ^|/3/ = 4ir|/il,
СЛУЧЯе НапРЯЖИ1НОСТЬ поля убывает в . = 2,72
где v,.,, =
1Р
г—
d (tun)
•групповая скорость волн (см. § 21). Связь G,23)
между показателем затухания волны во времени и определяющей про-
странственное затухание величиной—(см. G,6)) вполне естественна,
поскольку энергия в волне бежит именно с групповой скоростью г>ц.
(использованное условие ~ <$^ ш обеспечивает малость затухания, по-
зволяющую употреблять понятие о групповой скорости). Соотноше-
ние G,23) получено выше, отправляясь от известного дисперсионного
соотношения c^k2 = (re — Ь.J а>2 при вещественном ш. Совершенно
ясно, однако, что тот же результат получается, если сначала была
выяснена связь между к и ш для комплексного си, но вещественного k;
тогда из G,23) по заданному f мы находим /..
Если
2'.чгп
¦ - п2) ^,фф
2шл

80
ВОЛНЫ В ОДНОРОДНОЙ И ИЗОТРОПНОЙ ПЛАЗМЕ
(см. G,17) при условии ш2 -5> -,2 (ог_4ж>2
эфш' 0 Z,
[ГЛ. II
т =, <tmp** = !!-2^!фф. s «К**
G,24)
n'ZT ПроСтРа»"венной дисперсии.
Плазменные и акустические волны
Плазменные (продольные) волны. Феноменологический учет
пространственной дисперсии. Вопрос о существовании продольных
(плазменных) электромагнитных волн в изотропной среде уже был
затронут в § 2. При пренебрежении пространственной дисперсией
частота этих волн со0 определяется из условия г'(шо) (см- B.15))
или при достаточно малой проводимости из условия
-=0, «>„ =
где уже имеется в виду конкретный случай плазмы и не учитывается
движение ионов.
iMarHHTHoe поле в продольных волнах равно нулю, поэтому тер-
мин «электромагнитные волны» в этом случае носит несколько услов-
ный характер, Лучше говорить об электрических волнах или волнах
заряда, но ниже будет употребляться еще более распространенный
термин «плазменные волны»; впрочем, о волнах может с полным осно-
ванием идти речь лишь при учете пространственной дисперсии. Учесть
пространственную дисперсию — это значит выйти за рамки локальной
связи D = гЕ, т. е. принять во внимание зависимость индукции D
в данной точке от поля не только в той же точке, но и е ее
окрестностях.
В общем виде для произвольной изотропной среды учет про-
странственной дисперсии можно осуществить, считая, что индукция D
линейно зависит не только от поля Е, но и от соответствующих
производных этого поля. В результате получаем:
D ^=sE-\~b^E-\-a%gta&Ai\E,i (8,2)
Членов, содержащих первые производные поля, в разложении
типа (8,2) не может быть из соображений симметрии *)¦ Других
*) Среда считается негиротрошюй и поэтому обладает центром симмет-
рии. В то же время связь D,- = чш -^Л. не инвариантна относительно
инверсии (замены Xj ка —,Х{). Подробнее см. [1, 36].
с 8]- УЧЕТ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ДИСПЕРСИИ 81
членов второго порядка в (8,2) также не может быть, поскольку ХЕ
Hgraddiv? — единственные инвариантные выражения второго по-
рядка. Учет же производных более высокого порядка в выражении,
связывающем D и Е, вообще говоря, незаконен, о чем пойдет еще
речь ниже. Плотность тока j при учете пространственной диспер-
сии связана с полем Е также выражением типа (8,2). Для простоты.
ннже эта связь использоваться не будет, т. о. поглощением пренеб-
регается.
¦ Уравнения поля B,1) — B,4) справедливы, разумеется, независимо
от характера связи D с Е. То же относится поэтому к волновому
уравнению B,5). Подставляя в B,5) выражение (8,2), получаем:
ЦК 1? —grad div? + ^(s-bS,i + S2 grad div)?=O.
||йсюда для однородных плоских волн Е — Еое1 («¦'-*'¦) = Евв
::;имеем: для поперечных волн, когда &?¦=(),
1йю продольных волн, когда kE — kE,
ШУ/. иР . ....... . -с, rlbl
(8,3)
(8,4)
(8,5)
Из (8,4) ясно, что в случае достаточной малости коэффициента Ь1
учет пространственной дисперсии для поперечных волн несуществен.
Для продольных же воли, как ясно из (8,5), этот учет существен
при любых значениях Sj —(— о2. При (Ъх -f-82) ~> 0 показатель прелом-
ления п\ может оставаться конечным лишь при s = 0, что и является
условием существования продольных волн при пренебрежении про-
странственной дисперсией (см. (8,1))*).
В рамках феноменологического подхода определить коэффициенты
?i и 82, конечно, нельзя. Их можно тем не менее оценить, исходя
из следующих соображения. Выражение (8,2) представляет собой
Первые члены разложения в ряд, причем параметром разложения
является отношение некоторой характерной длины а к длине волны
в среде Х== i —-^ (фактически роль ), "играет '¦ —2^ = ~-) • Длина
волны здесь входит потому, что именно на этом расстоянии существенно
*) При учете пространственной дисперсии (как и без ее учета) общее
Условие для плазменных волн имеет вид: rot Я = — /-! ^ = 0, т е, при
с с tit '
отсутствии поглощения сводится к равенству
до
-¦ 0, причем Е =з= О

82
ВОЛНЫ В ОДНОРОДНОЙ И ИЗОТРОПНОЙ ПЛАЗМЕ
[гл. п
изменяется поле волны. Если поле заметно изменяется также на длине с,
т. е. при ?~й, неоднородность поля весьма существенна и индукция
определяется, грубо говоря, в равной мере и полем и его простран-
ственными производными. Таким образом, |81Д?['---—— ?~г| E~E
при л-—а. То же относится и к члену о2grad divE. Отсюда
3j — о3—а2. (8,6)
В плазме характерной длиной а является путь, проходимый
электроном за период одного колебания, т. е. а-- ¦, гдещ — сред-
няя скорость электрона. Действительно, при /,^>и электрон ко-
леблется в почти однородном поле; если же X ¦<.а, то за период
колебаний электрон побывает в областях с разным полем. По этой
причине ясно, почему при учете теплового движения плотность тока
в данной точке плазмы зависит не только от поля в той же точке,
но и от его производных. Итак, в плазме
(8,7)
В случае наксвелловского распределения скоростей электронов
лГ'-Т
хТ
«"о
где D — дебаевский радиус D,21). Таким образом, в максвелловской
плазме
3,-^-1-1J = ^. (8,8)
Этот результат вполне понятен, поскольку именно дебаевский ра-
диус играет в плазме роль радиуса ыеждуыолекулярпого взаимодей-
ствия или радиуса экранировки (см. § 4).
Из выражений (8,5) и (8,8) ясно, что показатель преломления
плазменной волны д3 —wii имеет вид:
1-^
/Ц = п~ = -
тп '
C,9)
где 5 — некоторый численный множитель порядка единицы (обозна-
чая показатель щ, для продольных воли в плазме через я3, мы сле-
дуем обозначениям, используемым в гл. III и далее).
При переходе от (8,5) к (8,9) учтено, что в знаменателе частоту
«и можно заменить на to д. Это связано с тем, что при заметной раз-
§8]
УЧЕТ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ДИСПЕРСИИ
83
<ниие между частотой волны ш и плазменной частотой <о0 показатель пг
'становится очень большим, и все использованное приближение не-
законно. В самом деле, ограничиваясь в разложении (8,2) членами
второго порядка, мы считаем по существу, что следующие члены
Шпи, т. е. *)
"Учитывая, что Х = —- = —, это неравенство принимает вид;
(8,11)
;';В применении к плазменной волне (8,5) и (8,9) это означает, что
Т. е. частоты ш и idq весьма близки.
'/¦.¦у В применении к поперечным волнам условие (8,10) означает,
тчто роль пространственной дисперсии незначительна (см. (8,4)).
Действительно, для плазмы, учитывая (8,4), (8,8) и (8,10), можно
^записать:
1 "
о — 1 К'
2 V2
(8,13)
Даже при
¦Vt
-/?•
3 • 10s cMjcm и
На первый взгляд может показаться, что разложение (8,2) можно
дополнить более высокими членами, получив, таким образом, и бо-
лее общие результаты. Фактически же это, вообще говоря, не так.
Старшие члены существенны, очевидно, только при приближении
длины волны X к характерному расстоянию о. Но в областях с раз-
мерами порядка а весь используемый макроскопический подход
*) Члены третьего порядка в разложении типа (8,2) отсутствуют по
соображениям симметрии; члены четвертого порядка меньше членов второго
порядка как раз в отношении
величина ~.
ибо параметром разложения является

84 ВОЛНЫ В ОДНОРОДНОЙ И ИЗОТРОПНОЙ ПЛАЗМЕ [ГЛ. П
к задаче становится неприменимым*). Для конденсированных сред
это сразу ясно, поскольку, как уже отмечалось в § 2, а--—-d—
— 10~э-^-10~' см. Для плазмы положение аналогично, так как ма-
кроскопическое (квазигидродинамическое) описание невозможно для
областей с размерами, меньшими дебаевского радиуса D. Достаточно
сказать, что возможное на основе кинетической теории рассмотре-
ние волн с длиной волны, меньшей D, приводит к заключению, что
эти волны сильно затухают (см. ниже). Таким образом, область при-
менимости выражения (8,9) для показателя преломления плазменных
волн действительно ограничена условием (8,12); при несоблюдении же
этого условия незатухающие или, точнее, слабозатухающие плазмен-
ные волны вообще не существуют.
Кинетическая теория. Вычисление коэффициента \ в (8,9) и опре-
деление показателя поглощения требуют детализации картины и в слу-
чае неплотной плазмы достигаются в результате применения кинети-
ческого уравнения [37—43]. При пренебрежении соударениями
и отсутствии магнитного поля линеаризованное кинетическое урав-
нение D,2) принимает вид:
-v./o=o.
(8.14)
Здесь о — отклонение функции распределения от иевозмущенного
распределения /0; ниже будет для определенности предполагаться,
что это невозмущенное распределение является равновесным, т. е.
функция /о равна максвелловской функции /00. При работе методом
кинетического уравнения учет пространственной дисперсии произво-
дится автоматически. Формально это связано с тем, что в уравне-
нии (8,14) имеется член с?га, зависящий от пространственных про-
изводных.
Уравнение (8,14) нужно решать совместно с уравнениями поля,
которые получаются в результате усреднения из уравнений элек-
тронной теории:
rot<? = —i??
с dt '
divA= i
(8,15)
(8,16)
*) Мы уже не говорим здесь о том, что при ~ ~ 1 ряд типа (8,2) не
сходится или плохо сходится и вместо него нужно использовать интеграль-
ную связь между D и Е.
Заметим, что термины «макроскопический^ и «гидродинамический» под-
ходы, как обычно, применяются в смысле возможности рассматривать среду
как сплошную.
§81
УЧЕТ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ДИСПЕРСИИ
85
где гк — радиус-вектор А-ro электрона и рг — плотность зарядов
ионов (считаем их неподвижными). При усреднении микрополей для
плазмы получаем (е — Е, h = H, черта означает усреднение):
с at
— О,
jt —z e J vf dv, p = e j a dv.
(8,17)
Здесь принято, что в равновесном состоянии с распределением /№>
плотность тока jt и средняя плотность заряда р равны нулю.
Из (8,17) обычным путем (см. § 2) получаем волновое уравнение:
jt = e jvs dv.
Подставляя в (8,14) решение
?(/, r, i))==-fo(»)e;
получаем;
(8.18)
(8,19)
(8,20)
-Если не обращать пока внимания на возможность обращения вели-
: дины ш — kv в нуль, из (8,20) находим:
'-':¦': la FT f
(8,21}
:,: r ' " т (« — kv)'
:Подставляя это выражение и решение вида Е= Eoe'<"t~ir'> в вол-
:йовое уравнение (8,18), получаем;
ло~ т J itl^i
5,22)
- dv.
Условие существования у системы однородных уравнений (8,22) не-
тривиального решения Ео ф() называют дисперсионным уравнением;
это уравнение связывает ш с k. He обращая по-прежнему внимания

ВОЛНЫ В ОДНОРОДНОЙ И ИЗОТРОПНОЙ ПЛАЗМЕ
1гл. и
на возможность обращения величины ш —?г> в нуль и считая, бо-
лее того, что значение Уя определяется областью, где va*^>kv, по-
лучаем:
i -le2 p
f ie? N
-i.T k'\ _ .
й ^)E* (ДЛЯ
x волн),
tn
(8.23)
(для продольных воли).
Здесь при проведении интегрирования функция fm считается макс-
велловской функцией (см. D,3) или F,1)) и, следовательно,
V f — ~-^-°- — — *¦'
vj 00 А*/ ,, ., т -^00"
В силу (8,22) и (8,23) дисперсионное уравнение для поперечных
волн принимает вид:
/ -а <Л\ I
(8,24)
me2 w2
Получеиный результат (8,24) находится в полном согласии со ска-
занным ранее (см. (8,4), (8,8) и (8,13); таким образом в (8,14) для
плазмы uj =
¦ При этом нужно все же заметить, что попра-
вочный член ^?-^г тог° же порядка, что и релятивистские эффекты.
Поскольку последние во внимание не принимались, температурная
поправка в (8,24) не может считаться точно установленной. Прово-
дить соответствующий релятивистский расчет мы не будем, так как
для поперечных волн при Т.<. 106 температурная поправка ничтожно
хТ
мала. Укажем лишь, что при—^--^1 результат релятивистского рас-
чета таков [267J:
7.7"
УЧЕТ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ДИСПЕРСИИ
87
Для плазменной (продольной) волны из (8,22) и (8,23) полу-
чаем *):
(8,25)
что совпадает с (8,9) при <; = 3.
Заметим, что в (8,25) в отличие от (8,24) температурная поправка
для не слишком длинных волн установлена корректно. Действительно,
учет релятивистских эффектов, т. е. зависимости массы от скорости
г. 'Л* О
2 ^
-,
3
3
A-
1—-
дГ
тс?
~ъ
ч,г
%Т
m
А2
1-
3
_ j4_
%т '
чТ
3 —— А2
m '
В (8,24) это приводит к изменению самой температурной поправки,
а в (8,25) только к появлению малого по сравнению с единицей
- т
члена типа —\ ^ в числителе. Все дело, другими словами, в том,
что для продольных волк в дисперсионном уравнении нет большого
члена сгкг и содержащий температуру член не может, собственно,
. считаться поправкой, он является единственным членом, зависящим
от к2.
Релятивистский расчет [42] приводит при —-5-<С. 1 к диспер-
сионному уравнению
о'
—, (8,25а)
что подтверждает сказанное выше. Вместе с тем поправочный член
—-к-—-=-<й?, хотя и мал, но все же имеет значение в области отно-
l me2 u
сительно небольших значений «!, т. е. достаточно длинных волк
2т; „ * ~, 3 7.Т
Т"' ^апРимеР' согласно (8,2t)) щ =1 при <в — mo ^; Y мЗ шо'
1 У Т
а согласно (8,25а) при м — иH =ь -г- —^j- и0. Другими словами, фор-
иула (8,251 верна, если i m — шJ ;^>-^ шп.
- г ' °' ^ тс2 °
¦") Б продольной волне магнитное поле Н—Л). Поэтому можно не пере-
ходить к волновому уравнению, используя вместо него' уравнение поля
cuv Е = i~e J a do, a также ввести электрический потенциал, положив
*~ —^Ф. Для тех вопросов, которые освещаются в тексте, учет этих воз-
можностей не внес бы, однако, никакого упрощения.

88
ВОЛНЫ В ОДНОРОДНОЙ И ИЗОТРОПНОЙ ПЛАЗМЕ
[гл. и
§8]
УЧЕТ ПРОСТРАНСТВЕННО!! ДИСПЕРСИИ
89
Для фазовой и групповой скоростей плазменных волн, со-
гласно (8,25), имеем:
с
л/Т*-
V m
dk
(8,26)
Здесь учтено, что температурный член в дисперсионном уравнении
считается поправочным, и с принятой точностью можно положить *)
от (8,25) к (8,27) и заменять 1 "т на 2A
Условие малости температурной поправки к частоте плазменных волн
можно, очевидно, записать в следующем виде:
Т)
АЛ! = -г-<?^ 1. (О, Jo)
Это условие, очевидно, эквивалентно использованным ранее усло-
виям (8, 11) и (8, 12) и позволяет везде при принятой точности переходить
—). Для простоты
мы не будем тем не менее проводить такую замену во всех выражениях.
Черепковское излучение в плазме. Поглощение плазменных
волн. Вопрос о плазменных волнах, длина волны которых мала и не
удовлетворяет условию (8,28), тесно связан с возможностью соблю-
дения равенства
о> .-=&». (8,29)
кЕсли это условие может выполняться, то выражение (8,21) и после-
дующие, строго говоря, не имеют смысла. Это и понятно, так как
от (8,20) к (8,21) можно перейти только, если ю — Ы Ф 0. Для
поперечной волны в плазме условие (8,29) выполняться не может,
так как -|- = г>ф ~ -~—• = ~ — > с, a v<c. Правда, при
использовании нерелятивистского максвелловского распределения усло-
вие v < с автоматически не учтено. Тем не менее справедливость сде-
ланного утверждения не только может быть подтверждена релятивист-
ским расчетом, но и совершенно ясна из физических соображений.
*) Заметим, что в литературе часто используется для дебаевского
радиуса выражение у -~?—t получающееся для плазмы с электронной
температурой Те, значительно превосходящей температуру ионов (см. D,22)).
По существу эти соображения уже приведены, но в дополнение
заметим, что условие (8,29) тождественно с условием черенковского
излучения, которое обычно записывают в форме
(8,30)
где — = -^- = ггф — фазовая скорость и 0—угол между скоростью
частицы v и волновым вектором к. Черепковское излучение (эффект
Вавилова — Черепкова) возможен, очевидно, только, если v > — . Для
поперечных волн в плазме »ь 2 < 1 и черенковское излучение не-
возможно.
В случае плазменных волн условия (8,29) и (8,30) могут соблю-
даться, что соответствует черенковскому излучению частицей (элек-
троном) плазменных волн. Но если частица может излучать волну
данного типа, то она должна ее поглощать — получать энергию от
такой же распространяюшейся волны. Таким образом, плазменные
волны должны затухать даже при отсутствии соударений *).
Величина затухания определяется в первую очередь относитель-
ным числом частиц плазмы, для которых могут выполняться усло-
вия (8,29) и (8,30). Для плазменной волны с фазовой скоростью
•Цф=:~, распространяюшейся в максвелловской плазме, число погло-
щающих частиц велико при щф — vT и экспоненциально мало при
ум.
г m
(8,31)
Это условие (8,31) совпадает, очевидно, с условиями (8,12) и (8,28).
Если исходная функция распределения /00 не является максвелловской,
а отличается от нее отсутствием очень быстрых частиц, то затуха-
ние вообще будет равно нулю. Впрочем, ясно, что достаточно малое
затухание и затухание, равное нулю, физически эквивалентны. Таким
образом, при условии (8,12), (8,28) или (8,31) приведенные выра-
жения для частоты или показателя преломления плазменных волк
*) При отсутствии соударений затухание плазменных волн приводит
к повышению энергии электронов, для которых соблюдается условие а = kv.
В дальнейшем, если учесть, что фактически соударения всегда происходят,
полученная от волны энергия переходит в энергию хаотического теплового
Движения. Не связанное с соударениями затухание плазменных волн впер-
вые было выявлено в работе f38]; физическая интерпретация этого затуха-
чня была дана в работе [43], где не было, однако, явных ссылок на черен-
ковское излучение. Мы не можем указать на статью, в которой такие ссылки
Иоявились впервые, но в настоящее время о черепковском механизме пог-
лощения речь идет как о хорошо известном (см., например, [82, 83]).

130
ВОЛНЫ В ОДНОРОДНОЙ И ИЗОТРОПНОЙ ПЛАЗМЕ
[гл. и
справедливы и пренебрежение областью черепковского излучения, где
и = kv, законно.
Сделанные выше вычисления недостаточны, однако, для нахожде-
ния коэффициента затухания, а также анализа распространения корот-
ких плазменных воли, для которых Х= -г^.0. Для ответа на эти
вопросы нужно решить совместно кинетическое уравнение (8,14) и
волновое уравнение (8,18), например, в такой постановке задачи [38]:
в начальный момент времени t = О задано некоторое отклонение функ-
ции распределения »@, г, v) от равновесного распределения /ао и
нужно найти функцию <f(t, r, <») в последующие моменты времени.
При этом беа потери общности достаточно ограничиться рассмотре-
нием функций
'fit, r, v) = <?(t, v)el!!r, (8,32)
где волновой вектор k считается вещественным и заданным. В моменты
времени t, близкие к начальному моменту / = 0, функция ts(t, v)
не является, вообще говоря, гармонической и, следовательно, нельзя
говорить о существовании какой-то связи между ш и ft. С течением
времени начальное возмущение о @, г») «рассасывается» и трансфор-
мируется, так что при достаточно больших t электрическое поле Е
зависит от времени по закону е1'*'1 = el"de~"J (га' -= ш -f-if — ком-
плексная частота). Допустим, что начальное возмущение <р@, г, г»)
является гладкой функцией, а невозмущенное распределение скоро-
стей /0 также не имеет никаких особенностей (это, конечно, выпол-
няется, если /0 есть максвелловское распределение /00). В подобных
условиях решение Е <~ е'"''' — еме~'<е устанавливается за время порядка
— ~—— (D — дебаевский радиус D,21)).
Итак, связь между <в' и k устанавливается, так сказать, асимпто-
тически, ко практически достаточно быстро*).
Для того чтобы указать способ вычисления показателя затуха-
ния f, не решая здесь задачи с начальными условиями (см. выше),
поступим следующим образом. Если не обращать внимания на воз-
можность появления полюса, из (8,22) получаем для продольных
колебаний дисперсионное уравнение:
где и — проекция скорости электронов на k, no перпендикулярным
проекциям произведено интегрирование и fm (а) = N ( д-^=-J е 2"-т .
*) Вопрос о поведении поля при малых временах t< —, насколько нам
известно, детально еще не проанализирован.
§31
УЧЕТ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ДИСПЕРСИИ
91
В условиях, когда возможно равенство <а = ки, соотношение (8,33)
просто не имеет точного смысла, поскольку результат зависит от
способа вычисления интеграла. Это и означает, что в общем случае
никакой связи между ш и ft не существует. Такая связь существует,
однако, если речь идет о волнах, слабее всего затухающих во вре-
мени при данном вещественном k. Решение сформулированной выше
Ркс. 8,1. Контур интегрирования С в ди-
сперсионном уравнении (8,34).
задачи с начальными условиями [38] показывает, что эта связь опре-
деляется уравнением (8,33) при интегрировании в плоскости ком-
плексной переменной а по контуру С, указанному на рис. 8,1, т. е.
при условии обхода сверху полюса но=-?-=-^--М-у:
miii' J
- м' \ biN U ш' —
= 1. (8,34)
Здесь а> заменено на (o' = o>-!-(f поскольку при вещественном к
уравнение имеет решение лишь для комплексной частоты *).
При малых k полюс а„ лежит далеко от вещественной оси, где
функция /м(и) очень мала. Поэтому при пренебрежении затуханием
можно ограничиться интегрированием вдоль вещественной оси и, что
и приводит к формуле (8,25). Для вычисления затухания (в пред-
положении, что k мало и т <С шо) интеграл в (8,34) сводится к инте-
гралу по вещественной оси плюс интеграл по полуокружности, ука-
занной пунктиром на рис. 8,1. Последний интеграл равен умножае-
мому па ~Л вычету относительно полюса. В результате из (8,34)
чмеем:
I
к2
л
du
.= 1. (8,35)
*) К тому же условию (8,34) можно прийти [39], подыскивая такое
Начальное возмущение о @, v) еШг, при котором для всех значений t поле
равно В — Eoeh/t.
Отметим, что при вычислении коэффициента поглощения плазменных
волн в особом рассмотрении нуждается вопрос о границах применимости
линейного приближения. Насколько нам известно, соответствующее иссле-
дование еще ие проведено, хотя оно и представляется весьма актуальным
в свете результатов работы [40],

ВОЛНЫ В ОДНОРОДНОЙ И ИЗОТРОПНОЙ ПЛАЗМЕ
[гл. н
Решая это уравнение приближенно, при учете условия т <d т Для ш
получаем старое выражение (8,25), а для коэффициента -[ = ^0 находим:
-w 1
Т-- Ю
D
То'
(8,36)
j
Из (8,2о) и (8,25а) ясно, что при со— ш0 ,<; JL_ Шо показатель
преломления па невелик и может быть меньше единицы. При л3< 1
черенковское поглощение плазменных воли, конечно, невозможно
{см. выше аналогичное замечание для поперечных волн). Таким обра-
зом, при и3<1 затухание равно т0 —0. В формуле (8,36) это
обстоятельство не отражено в связи с нерелятивистским характером
расчета. В релятивистской теории плазменных волн [42] при л3 < 1
автоматически То=°- Вместе с тем из (8,25), (8,25а) и (8,36) легко
видеть (см. также табл. 8,1), что при
формула (8,36)
перестает быть справедливой при таких ничтожных значениях т0, кото-
рые не представляют абсолютно никакого интереса.
При распространении волн встречается обычно постановка задачи,
отличная от приведенной в том отношении, что волна считается
затухающей не во времени, а в пространстве. Систему уравне-
ний (8,14) и (8,18) нужно тогда решать, задавая функцию распре-
деления (о в каждый момент t на некоторой плоскости г = 0 и отыски-
вая решение при любых z (ось г — направление нормали к волне).
В условиях, когда существует связь между <о и k, перейти от вре-
менного затухания к пространственному можно и непосредственно.
Дело в том, что при нахождении связи тек обе эти величины
с самого начала можно считать комплексными. Поэтому выраже-
ния (8,27) и (8,33) справедливы и при комплексном к. До сих пор
мы имели
где То определяется формулой (8,36).
Теперь положим р = /ш (ш вещественное) и fe = ?0 — lq, где
4<^_kc^k (соблюдение этого неравенства обеспечено, если Т"^шо)-
Тогда в качестве связи йо=а& си получаем опять выражение (8,27) и
§ 8]
УЧЕТ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ДИСПЕРСИИ
93
(см. (8,26) и (8,36)); формула (8,38) по своему типу совпадает, как
этого и следовало ожидать, с формулой G,23) для поперечных волн.
Выше соударения в плазме не учитывались. При наличии соуда-
рений в области длинных плазменных волн, но при соблюдении усло-
вия (о2 Э> ^|фф зависимость ш от k определяется по-прежнему фор-
мулой (8,27) и появляется затухание с коэффициентом
ТГсоуд = '
I соуд
(8,39)
где ''8фф — эффективное число соударений F,9).
К формуле (8,36) приходим из основного условия
г' (и>0 =
- = о,
определяющего комплексную плазменную частоту ш' = ш-4-г'т (учиты-
вается также, что при j<^ti> в хорошем приближении ш = ю0).
При учете затухания (8,36) и затухания от соударений (8,39) имеем:
Т= Го "г коуд> ~ г ~^~~
'эфф-
(8,40)
Специфическое плазменное затухание мало, лишь пока длина волны
значительно превосходит дебаевский радиус. Если же kD ¦—'1, то
1-0~ш0. При kD~!:^>\ уже -(~^>и>. В подобных условиях никакие
плазменные волны существовать не могут. Экспоненциальный харак-
тер выражения (8,36) приводит к тому, что обрыв спектра плазмен-
ных волн происходит весьма редко примерно при &D=aO,l, т. е. при
i 63D
(8,41)
В нижних частях солнечной короны, т. е. при Т ^ 10е и Л'~ 108,
\9 — 30 см. При том же значении Л/~ 108 частота будет <в0^—>5 • 108
и ноле в волне с длиной ),„. затухает за время —- порядка секунды
v 7о
(см. табл. 8,1). Всего вдвое более короткая волна будет затухать
уже за время —~ 10""' сек.
То
При kD < 0,1 -ь-0,05 затухание у0 весьма мало (оно может, однако,
заметно возрасти, если невозмущенная функция распределения отли-
чается от максвелловской в том отношении, что имеется большее
число электронов со скоростями э^вА В этой области поэтому
более существенно обычно затухание, обусловленное соударениями.
В нижних частях короны, например, -(доуд=-^ З-s-lQ и больше
затухания -f0 уже при kD = 0,1. В земной ионосфере ниже макси-
S
мума Р-слоя
1Q3
(ПРИ
чмеем

94 волны в однородной и изотропной плазме
шо~5- 10т), Таким образом, в ионосфере ^сотя^5" То ПРИ
или Хкр^, 10 см; вместе с тем уже при f =а Тсоуд"-1 Ю3 и г/гр<
(см. (8,26)) плазменная волна заметно затухает на пути <
Таблица 8,1
Значения пиу, для плазменных волн
[гл. и
§81
УЧЕТ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ДИСПЕРСИИ
10* см.
HD
0,01
0,1
0,15
0,2
0,3
1
<я
«0
1,0003
1,03
1,07
1,12
1,27
4
Ко
,о_шо
0,5 • 1<Г9
1,7 • 10~4
0,01
— 0.16
~0,04
Примечание
Формулы (8,27) и (8,36)
в этих случаях, строго
говоря, неприменимы
и могут использо-
ваться только для
оценок
Учет влияния ионов. Акустические волны. Влияние ионов выше
совершенно не принималось во внимание, если не говорить о ком-
пенсации заряда электронов в равновесном состоянии. Поэтому фор-
мулы этого параграфа сохраняются и для плазмы, в которой элек-
тронная температура Те не равна температуре ионов Г *). При этом
в формулах нужно, конечно, заменить Т на Те.
Для рассмотренных плазменных волн пренебрежение ролью ионов
законно потому, что ионы вносят (при jV; ~ Л/.,, ~;V) лишь малый вклад
порядка -ту в выражение для показателя преломления (см. § 3). Влия-
ние ионов вместе с тем может оказаться существенным для другой
ветви волн в плазме. В случае достаточно длинных волн в плазме,
как и во всякой квазинейтральной среде, должны распространяться
продольные акустические (звуковые) волны. В этих волнах в пер-
вом приближении электроны и ионы движутся вместе, так что не-
*) Мы отвлекаемся от того факта, что в неравновесной плазме элек-
тронная функция распределения может оказаться заметно отличающейся от
максвелловской.
компенсированный заряд ке появляется *). Упругость среды, обеспечи-
вающая распространение обычной акустической волны, связана, как
известно, с давлением. Для передачи давления частицы должны доста-
точно часто сталкиваться между собой. Поэтому акустические волны
в газе слабо затухают только, если средняя длина свободного про-
бега
значительно меньше длины волны
3.42)
При зтом условии применимо обычное гидродинамическое прибли-
жение, т. е. уравнения для скорости v и плотности плазмы
MN в линейном приближении таковы:
SN'
—0,
где Л" — отклонение концентрации от равновесного значения
(8,43)
Принимая, что давление р совпадает с давлением идеального газа
электронов и ионов р='2-/.ЫТ и для простоты считая колебания
изотермическими, из (8,43) для волн г> = ©0«г('-*''I ЛГ' = Д/^'К-йг)
получаем:
Э-tT / 9у7"
М ' Ч— К ~м
3,44)
Здесь, как в любом газе, скорость звука г>ф порядка тепловой ско-
рости тяжелых частиц. Если в плазме присутствуют помимо элек-
тронов и ионов также молекулы с концентрацией Nm, то при
N
Nm
m
N — Л'( для скорости звука получается обычное для газа
выражение (например, в изотермическом приближении, могущем слу-
Г~7г
жить лишь для оценок, «ф = у ^-; формула (8,44) также носит,
вообще говоря, лишь оценочный характер).
При нарушении условия (8,42) акустические волны в газе начи-
нают сильно затухать и для волн с длиной k<il затухание проис-
ходит уже на расстоянии порядка У-.. Таким образом, для звука в газе
длина пробега I играет роль, аналогичную роли дебаевского радиуса
Для плазменных волн.
Сказанное о распространении акустических волн в газах отно-
сится также и к плазме лишь при пренебрежении ролью иекомпен-
*) Акустические волны в плазме, как сказано, аналогичны акустическим
волнам в газах, жидкостях и твердых телах. Высокочастотные же продоль-
ные (плазменные) волны в плазме аналогичны борновским (оптическим)
волнам или колебаниям в твердом теле.

96
ВОЛНЫ В ОДНОРОДНОЙ И ИЗОТРОПНОЙ ПЛАЗМЕ
[гл. н
§8]
УЧЕТ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ДИСПЕРСИИ
97
сированного пространственного заряда. Другими словами, предпо-
лагается, что в акустической волне квазинейтральность плазмы почти
не нарушается и упругость среды обусловливается только соударе-
ниями, а не кулоновским взаимодействием макроскопических зарядов,
возникающих при распространении волны. В действительности же
в плазме квазинейтральность в какой-то мере нарушается и в аку-
стических волнах. Поэтому условие (8,42) является в случае плазмы
достаточным, по не необходимым для существования относительно
слабо затухающих волн акустического типа.
Если условие (8,42) не выполнено, то количественный анализ
характера распространения акустических волн в плазме может про-
изводиться только на основе использования кинетических уравнений
для электронов, ионов и молекул в сочетании с уравнениями поля.
Соответствующие результаты, о которых еще пойдет речь ниже
(см. также [44]), свидетельствуют о том, что при отсутствии соуда-
рений и равенстве (или близости) электронной и ионной температур
акустические волны в плазме все же сильно затухают (f ~ ш,
-ь~~У ~ц)*)- Такой вывод физически довольно естествен, так как
в акустических волнах (в отличие от плазменных) пространственный
заряд должен быть невелик, и поэтому электрическое взаимодействие
не может обеспечить распространения волны без ее затухания. Поло-
жение изменяется только в плазме, в которой электронная темпе-
ратура Ts значительно выше ионной температуры Г= Tt (см. ниже).
Такая плазма может существовать лишь в довольно специальных
условиях, в большинстве же случаев температуры электронов и ионов
близки между собой или даже практически совпадают. Таким обра-
зом, обычно слабозатухающие акустические волны в плазме должны
быть очень длинными, чтобы удовлетворялось условие (8,42), т. е.
была применима обычная гидродинамика (для примера укажем, что
в солнечной короне длина свободного пробега ii>, 107 см). Поэтому
в области радиодиапазона приходится сталкиваться практически только
с поперечными и плазменными волнами. Именно по этой причине
выше в ряде случаев продольные волны в плазме без дополнитель-
ных оговорок отождествлялись с плазменными.
Заметим, между прочим, что продольные волны плазменного типа,
не говоря уже об акустических волнах, могут существовать не только
в газовой плазме, но и в жидких и твердых телах — металлах, полу-
проводниках и диэлектриках. С возбуждением плазменных волн
связаны, в частности, дискретные потери энергии, испытываемые
быстрыми частицами при их прохождении через тонкие пленки раз-
*) При ¦[.— и от волны, очевидно, что-то еще «остается^, и в этом
смысле учет пространственного заряда существен. В газе же из нейтраль-
ных частиц при отсутствии соударений вообще не приходится говорить
О распространении волн, или формально "(З^10-
личных веществ. Рассмотрение этих интересных вопросов выходит
за рамки настоящей книги (см. [45—47, 1], где имеются также
ссылки на ряд других статей).
Квазигидродинамический метод. Для решения задачи о распро-
странении волн в двухтемпературной плазме, а также имея в виду
цели дальнейшего изложения (см. §§ 12, 14), остановимся на вопросе
о квазигидродинамическом подходе к исследованию волн в плазме.
Мы видели, что простой феноменологический учет простран-
ственной дисперсии позволяет в качественном отношении правильно
выяснить влияние теплового движения на распространение достаточно
длинных волн в плазме. В то же время метод кинетического урав-
нения, являющийся количественным, связан со значительно более
сложными вычислениями, особенно при учете влияния ионов и по-
стоянного магнитного ноля. Поэтому для описания процессов в плазме
широко применяется так называемое квазигидродинамическое при-
ближение, которое при большой простоте сочетает, хотя и непо-
следовательным образом, некоторые положительные стороны фено-
менологического и кинетического методов. Конкретно, в случае
изотропной плазмы используются уравнения (предполагается, что
молекулы отсутствуют; соударениями между частицами пренебрегаем):
M^^-eE-
ос
' _1_ iYo div ve = 0, ^f + No div vt = 0,
5.45)
Здесь сразу же используется линейное приближение, N' и JV' — от-
клонения от равновесных значений концентрации электронов и
ионов iVf0 == Л*ю == Лг0, ve и vt — средние скорости электронов и
ионов, а ре и pL — давление электронов и ионов.
При пренебрежении давлением уравнения (8,45) являются, конечно,
точными, но локальными соотношениями. Члены, пропорциональ-
ные ?/>е и Vpt, содержат пространственные производные и тем самым
учитывают пространственную дисперсию — зависимость движения
частиц, от распределения скоростей и поля в пространстве.
Суммируя два первых уравнения (8,45), получаем гидродинами-
ческое уравнение (8,43) с р —p^-bft- Отсюда, естественно пред-
положить, что pe = v.NTe и Pj = -/.;V?T. Для большей общности
положим
%е и lt—некоторые постоянные.

9-8
ВОЛНЫ В ОДНОРОДНОЙ И ИЗОТРОПНОЙ ПЛАЗМЕ
Продольные волны в двухтемпературнои плазме. Решая си-
стему (8,45) для продольных плоских воли, в которых все величины
пропорциональны е'<"¦¦'~"г}, получаем дисперсионное уравнение:
^UH2 '—
3,47)
где температуры электронов и ионов Те и 1\ считаются постоян-
ными, но могу г сильно отличаться одна от другой.
В случае, если
пол\гчаем:
•»i^»o-t-—m—-
(8,48)
(8,49)
(8,50)
здесь, как н ниже, опускаются также поправки, содержащие множи-
тель -rj-^ 9шпГ > условия (8,48.) при Ti,<.Te означают, что частота
акустической волны m, <ST_ т/ -g- <я0 = шA1 (физический смысл ча-
стоты шц; указан ниже).
Решение (8,49) совпадает с кинетическим дисперсионным уравне-
нием (8,25) для плазменных волн, если положить ;е = 3. Очевидна
также связь формулы (8,49) с феноменологическим результатом (8,9),
где также нужно, таким образом, положить ;е=3. Для выбора
значения ;в=3 можно, кроме того, привести известные основания
независимого характера (см. [19]).
Решение (8,50) при ;,. = 5i=l и Te=Tt переходит в выраже-
ние (8,44) для акустической волны.
В другом предельном случае, когда
M '
имеем:
M
(8,51)
C,52)
а для uij сохраняется выражен,le C,19).
§ 81
УЧЕТ ПРОСГРАНСТВЕНКОЙ ДИСПЕРСИИ
Если вместо (8,51) соблюдаются более сильные неравенства
то
_
93
(8,53)
(8.54)
причем второй член в правой части является поправочным.
Частота шшгг=шо
есть, очевидно, «плазменная
частота» для ионных колебаний. Для ионной плазмы, состоящей
из ± ионов без электронов, именно частота такого типа появля-
лась бы вместо электронной плазменной частоты ш0, В электронно-
ионной плазме появление частоты u>w при условии достаточно высо-
кой электронной температуры тоже вполне естественно. В самом
деле, в этом случае электроны быстро и свободно движутся, созда-
вая неизменный отрицательный фон, компенсирующий средний заряд
ионной составляющей. Ионы при этом как раз и должны колебаться
с частотой ujqj, подобно тому как электроны колеблются с часто-
той ч)() в условиях, когда роль ионов сводится только к компенса-
ции среднего заряда электронной компоненты плазмы.
Акустические волны (8,50) и ионные плазменные волны (8,54)
лежат на одной непрерывной ветви низкочастотных колебаний, т. е.
здесь
и
на одной кривой «j ——j- =дЦ-~.
ш2 — и%— решение (8,47), отвечающее выбору знака минус перед
корнем (см. [50]).
Мы видим, что квазигидродннамический метод анализа движений
в изотропной плазме прост и эффективен (о связи этого метода
с кинетической теорией см. в § 13). Основной недостаток квази-
гидродинамического приближения — невозможность автоматически по-
лучить затухание, не связанное с соударениями.
Приведенные ранее результаты свидетельствуют о том, что плаз-
менная волна (8,49) слабо затухает в случае (8,48) и очень сильно
затухает в случае (8,51); волна (8,50) при Те—Tt также довольно
сильно затухает.
Так, при (-¦),-, <^ шA,- и у2<^ш.) имеем:
— ~ У -5-11/ тт + гг') ехР i — ~тг ¦ • C>оа)
Для ориентировки эта формула верна и при у2.—-ш2; поэтому ясно;
что при Tf'-^T^ действительно, -'г—'ш^ и затухание велико.
Пусть теперь, помимо условий (S.48), выполнено более сильное
условие
Te~^>TL. (8,56)

100
ВОЛНЫ В ОДНОРОДНОЙ И ИЗОТРОПНОЙ ПЛАЗМЕ
[гл. и
Тогда кинетический расчет, предполагающий максвелловские распре-
деления электронов и ионов с температурами^ и Tt, дает [48—52]:
,} уТ( 37*- \ 7
-И '
в отношении — этот результат при условии (8,56) прямо следует
также из (8,55).
Для протонов — = т/ -^ у ~ = 1,46 • 10~2, т. е. затухание за
<i>2 ^ о г .VI
период еще не так велико, чтобы не было возможности говорить
о распространении волн. Вместе с тем затухание волны в несколько
раз на расстоянии в сотню длин волн при обычно встречающейся
постановке задачи может считаться сильным (мы видели, что для
достаточно длинных плазменных волн при отсутствии соударений
затухание несравненно слабее).
В условиях (8,53) кинетический результат тзков *):
¦¦V
— I „„,„„„ ___. I *"*wJ I/ . | I
' m \ 1-i.Te № I ~^ г М \ Ь.Те k1 I '
(8,57)
Выражение (8,57) для <Щ совпадает с (8,54) при Е? = 3. Затуха-
ние в этом случае (8,53), (8,57) значительно меньше, чем согласно (8,55а),
поскольку отношение - . 2 много меньше единицы (см. (8,53)).
§ 9. Сводка основных формул
Для удобства приведем здесь вместе важнейшие формулы, отно-
сящиеся к случаю распространения волн в однородной и изотропной
плазме. При этом большинство сделанных в тексте замечаний и
оговорок будет опущено. .
") Более общее выражение имеет вид [50]:
" [ М I Ш <*1; \ I 1
,rs
-ехр —
ft.
(8,57a)
Me2
¦'¦Tt
Формула (8,57а) справедлива при "(;^тг*! и Te~S§>Ti", в таких усло-
виях о>2~шо; и 7а/-~м2, как это ясно из (8,57) и (8,57а).
Используя формулу (8.57а) для ориентировки и при сильном затухании,
приходим к заключению, что Т2 ^" ш2 ПРИ им~~т/а2' когда h^i ~ 1.
9]
СВОДКА ОСНОВНЫХ ФОРМУЛ
101
Волновое уравнение, применимое для любой среды, таково: ' :
Л? — оrad div ? + 'ф (d — i ^ /j = 0, B,5)
где рассматривается область вне источников поля.
В изотропной среде при пренебрежении пространственной дис-
персией
D^zE, j=zE, D-l—j-г'Е. B,6)
sr = г — I-
ЛЯ • - grad div ?-f- т- s'? = 0,
(¦2,8)
B,10)
где г', е и з зависят в общем случае от частоты ui и координат.
Для поперечных волн
Для продольных волн
rot#=0, rotrot? = —,
B,14a)
В однородной среде комплексная диэлектрическая проницаемость
?' = ?'@)) не зависит от координат. Ниже будет идти речь о вол-
нах в однородной среде, причем только о плоских и монохромати-
ческих (гармонических) волнах:
Для таких волн уравнения поля B,1а) и B,3) дают:
1ВЕ'?= —с [*//], u>H—c[kE\:
G,4)
Отметим, что условие поперечности волн kE = Q следует из уравне-
ний G,4) только при г' Ф 0, что находится в согласии с соотноше-
нием B,14а) для продольных волн. В продольных волнах Н—-0.
Поперечные волны. Из G,1) и G,2) получается дисперсионное
Уравнение, связывающее to и k в поперечных волнах:
*2 = ? «' = "J (е -' V °) = ? <" ~ «?¦ <7'3) " <7-7)
Это уравнение применимо для комплексных k и ю, причем в общем
случае k~k§ — iq. Здесь приведем формулы для случая, когда

102
ВОЛНЫ 8 ОДНОРОДНОЙ И ИЗОТРОПНОЙ ПЛАЗМЕ
[гл. и
§9]
сводка основных формул
103
частота и> вещественна, а плоские волны G,1) являются однород-
ными, т. е. векторы Йо и q параллельны и
k — - (п. — h.) —
? = i
A,0)
G,(is
Длина волны в среде л и фазовая скорость волны г% равны
}-=Т"' 'f* = ~- v* = i = ~- G.8) и G,9)
Коэффициент поглощения а определяет изменение с рассеянием
потока энергии 5 = SAe~<±:: и равен
Из G,3), G,7) следует:
9а,
1 С
G,10)
G,П>
/-¦
„...}/1
<
где оба корня всегда считаются положительными (см. § 7). При
отсутствии поглощения, когда з = 0.
г > 0: я = У~?, -/. = О,
? < 0: М = 0, х —V^Tl
В этом случае часто вводится одна величина
п'2 --= (п -— iv.'f = г.
При условии
А--
имеем
ГО: n^-
4-3
В другом предельном случае, когда
получаем:
G,13)
G,14)
G,15)
G,16)
G,17)
G,18)
G,19)
п^:у. ^]/ -^-, |i=;l/ -42— = 4-1/ JL. G,20) и G,2!)
Формулы, приведенные до сих пор, относятся к любой среде.
Для изотропной плазмы (т. е. при отсутствии в плазме внешнего
магнитного поля) в рамках элементарной теории имеем:
'=-. 1
— 1\эфф) '
1 — г
4г.
^"'эфф
т ы- —
C,7)
Пользуясь обозначениями v — —¦—5- — —5- и s — ' ' , которые
будут применяться в гл, III, можно написать:
1—is
Формулы элементарной теории строго соответствуют случаю, когда
число соударений электрона не зависит от его скорости. Вклад,
связанный с ионами, в C,7) опущен. В случае поперечных волн
в нерелятивистской плазме роль пространственной дисперсии прене-
брежимо мала. Дело в том, что в плазме учет влияния простран-
ственной дисперсии автоматически достигается, если не пренебрегать
тепловым движением. Получающиеся таким образом поправки—по-
рядка —— (по сравнению с единицей), т. е. того же порядка, как
и релятивистские эффекты.
При условии (высокочастотный случай)
получаем:
±^= 1-3,18. 1094=1-8.06- Ю74>
ЯМ8 л2 Р
C,8) и F,7)
\ C,5) и C,9)
= 2,53-
= 6,42.
В важном частном случае, когда ш2 Г5>-^ и г ^р- -^— (здесь г > 0),
имеем:
m-fi
1 _ яа
Ълп
\ —
г/" 1
г
-3,18- 10s ^*г
G,17)
Приведем теперь формулы кинетической теории.

104
ВОЛНЫ В ОДНОРОДНОЙ И ИЗОТРОПНОЙ ПЛАЗМЕ
[гл. и
§9]
СВОДКА ОСНОВНЫХ ФОРМУЛ
105
, . В высокочастотном случае C,8), F,7), в формулах C,5) и C,9)
ДЛЯ 3
"'«?.<!> =''эфф.т + ^фф, I F,16)
(значения ч^ф, т и \„фф, j относятся соответственно к соударениям
с молекулами и нонами),
(последнее выражение относится к воздуху);
и F,11)
F,13)
(при отсутствии отрицательных ионов в равновесном состоянии
,V — V " Vi
В низкочастотном случае
J01L
^- эф*'
C,10), F,18) и F,19)
=U5- 10»
т
"ЗбсГ
(см. F,21) и F,10), F,11); последнее выражение относится к воз-
духу);
эфф, i
2.8.V
Т'"'
1пC24т
F,24)
(.у. = ,\"+ = Л''; учтены междуэлектроипые соударения).
Соотношение F,16) в низкочастотном случае несправедливо.
При произвольном соотношении между частотой <н и эффек-
тивным числом соударений чэфф нужно пользоваться формулой F,25)
с функциями К,(—^—) и КА——\, определенными в табл. 6,2 и 6,3.
\"'Эфф/ \''эфф/
Вклад в проницаемость и проводимость, обусловленный ионами,
таков:
F'29)
где используется элементарная теория и •/',> —эффективное число
соударений ионов со всеми другими частицами. Масса и заряд всех
ионов считаются одинаковыми. Приближенно имеем:
эфф, т
{здесь v,—I/ -1-tj- и последнее значение относится к
= 3!9Д^ /Z щ/2-20Т,-П. Tj~l. F,28)
Кроме того, ''эфФ.е —"'эфф-г^г • Г-36 ''эфф. ( — выражение F,13).
Продольные волны в плазме. Слабозатухающие высокочастотные
продольные (плазменные) волны существуют в области, где
ш'2^''9фф* C>8) и F>7)
При пренебрежении затуханием и тепловым движением частота плаз-
менных волн равна ш0, причем
J. (8,1
8 присутствии соударений для колебаний вида
при условиях C,3) и F,7) получаем:
">' (">' — '''эфф
.= 1 J _
+ "'эфф)
=^ 0, р =
''зфф
О' Тсоуд-^ 2 '
(8,36)
Учет теплового движений, эквивалентный для плазмы учету простран-
ственной дисперсии, приводит к формулам (k—волновой вектор):
"^ = шо О
). (8.27)

106
где
ВОЛНЫ В ОДНОРОДНОЙ II ИЗОТРОПНОЙ ПЛАЗМЕ
Dk<e: \, d ="
или, что то же,
Согласно (8,27)
,т
I
___
2 тс
Ъ.Т
[гл. и
(8,28)
(8,12)
(8,25)
(8,26)
Здесь, конечно, тоже можно заменить 1 •— —i- на 2 I 1 — ] . При
условиях (8.28) и (8,12) и отсутствии соударений для плазменной,
волны f =fn, причем
з
(8,36)
Специфическое затухание -j-0 становится обычно существенным для
волн с длиной /. < ).К9. [фичем
¦2т.
300
§9]
СВОДКА ОСНОВНЫХ ФОРМУЛ
ii-L
107
Соотношение —-/3 = ii-i. является при этом общим, т. е. относится
и к поперечным волнам (см. G.23)). Если имеются и соударения и
затухание (8,36), то в области слабого затухания
7 = Тмуж + То- (8,40)
При условии
(см. C,42) и (8.44)) в плазме могут распространяться слабозатухаю-
щие акустические волны, для которых
ж
(8,44)
При несоблюдении условия (8,42) акустические волны в плазме
сильно затухают '). То же относится к плазменным волнам при со-
блюдении условия (8,42).
*) Здесь имеем в виду изотермическую плазму. Вопрос о распро-
странении волн в двухтемпературной 4 плазме, когда" Те Ф Т, рассмотрен
в конце § 8.
(см. в этой связи табл. 8Л). Вопрос о роли релятивистских попра-
вок освещен в § 8.
При <о вещественном для плазменной волны типа
е с е
между ш и k справедлива связь (8,27) и

ГЛАВ A III
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В ОДНОРОДНОЙ
МАГНИТОАКТИВНОЙ ПЛАЗМЕ
§ 10. Тензор комплексной диэлектрической проницаемости
О влиянии постоянного магнитного поля на свойства плазмы.
Постоянное магнитное поле оказывает сильное влияние на свойства
плазмы. Это относится, в частности, и к распространению в плазме
воли различного типа.
Влияние магнитного поля #<0) характеризуется в первую оче-
редь отношением частоты поля волны ы к гироскопической частоте
электронов
см
и гирочастоте ионов
A0,1)
A0,2)
и Qf! суть частоты, с которыми свободный электрон
Частоты ff f! р етрон
или нон (заряд е, масса М) вращаются вокруг силовых линий
поля Hi0K Помимо inff и S2/f будут использоваться также безразмер-
ные параметры:
il%r
Если скорость электрона сравнима со скоростью света, частота ш,
определяется уже релятивистской формулой
Е
A0,4)
„ тс1 г V
где Е — - г __. полная энергия, Ь — — и v—скорость элек-
трона.
§
ТЕНЗОР КОМПЛЕКСНОЙ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПРОНИЦАЕМОСТИ
109
При
(солнечная корона) скорость основной массы элек-
тронов vT—y — 3- 108 и р| = ~—-.—- 10~4. Несмотря на ма-
лость Щ., учет эффектов, пропорциональных Щ., в условиях короны
и даже ионосферы в некоторых случаях существен (см. § 12). Тем
не менее условие 6^.<^1 дает возможность в целом пользоваться
нерелятивистским приближением. По последней причине магнитное
поле самой волны, вообще говоря, учитывать не нужно, как это уже
принималось в гл. II. В самом деле, в электромагнитной волне маг-
нитное поле Н обычно не превосходит электрическое поле Е (для
плоской волны \kE\ = ~ Н, k2 = ~ («. — п)^ . Поэтому магнитная
сила — VoH\ меньше электрической силы еЕ на множитель по-
рядка —, если только п
\. Поэтому, даже если понимать под v
тепловую скорость, магнитная сила меньше электрической примерно
:в 100 раз при Т'~~- 106 и примерно в 3000 раз при Г~30ОЛ Фак-
дтически же сила определяется упорядоченной скоростью электронов,
•которая значительно меньше тепловой *).
::: В земной ионосфере магнитное поле /fto>.— 0,2-^0,5 эр cm и,
таким образом, м>н — 3-=-9 • 10s (/,#—200-^500 м); например, для
ионов О* Й#—100-т-ЗОО. В короне для максимальных встречаю-
щихся полей Я1-1" ~ 5000, шл~10П и Qn — -—¦ ~ 10s.
Влияние ионоа обычно несущественно при условии
zj.. W^>-rt, A0,5)
va влияние магнитного поля па движение электронов несущественно,
¦"-если
; «С><"н. A0,6)
Приведенные значения гирочастот таковы, что сразу же ясна
возможность сильного влияния магнитного поля на распространение
электромагнитных волн в ионосфере и короне. К этому нужно доба-
вить, что даже при выполнении условия A0,6) влиянием поля пре-
небречь можно далеко не всегда. Например, в межзвездной среде
Я№)~10~~6- 10~J spent и 1)я~- Юч-100. Однако даже для рас-
пространения волн метрового диапазона (ш.-— 109) влияние поля
*) При использовании кинетического уравнения D,17) возможность пре-
небрежения магнитным полем волны в линейном приближении очевидна, так
как поле Н умножается на малую величину /j.

no
ВОЛНЫ В ОДНОРОДНОЙ МАГНИТОАКТИВНОЙ ПЛАЗМЕ
[гл. in
существенно, когда речь идет о вращении плоскости поляризации
космического радиоизлучения, которое проходит огромные расстояния
(см. § 37).
Тензор комплексной диэлектрической проницаемости (элемен-
тарная теория). Находящаяся в магнитном поле плазма становится
анизотропной, и ее электромагнитные свойства при пренебрежении
пространственной дисперсией характеризуются зависящим от частоты
тензором комплексной диэлектрической проницаемости
<* = *«-'^. Л-'Л. о, = *Л. <10'7>
Мы начнем с того, что найдем тензор г'.л в рамках элементарной
теории (см, § 3) и при условии A0,5), т. е. пренебрегая ролью
ионов. Использование «элементарной теории» по существу означает,
что число соударений электрона с другими частицами считается не
зависящим от скорости электронов и равным некоторому значе-
нию *',фф- В этом случае можно воспользоваться уравнением
тг
A0,8)
которое отличается от C,6) учетом действия магнитного поля.
При наличии магнитного поля, так же как и при его отсутствии,
плотность полного тока равна
где г — вынужденное решение уравнения A0,8), пропорциональ-
ное ?ое'ш'. Поэтому если принять направление поля /М1 за ось г и
ввести комбинации j,x ± tjt , то, как легко видеть,
».V (Ьх ± iEy)
A0,9)
здесь нужно в обеих частях равенства брать либо верхний, либо
нижний знаки и учитывать, что для электронов е < 0, и поэтому
е |
Поскольку в основные уравнения B,5) и B,18) входит вектор
4тс 4г 4г
О — (__/~?_|_4тпР — i—~/ = ?-| -/,, мы приведем соответ-
§ 10] ТЕНЗОР КОМПЛЕКСНОЙ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПРОНИЦАЕМОСТИ 111
ствующие выражения:
A0,10)
п-/-/.=
, 4;cAV
где, как и везде ранее, »¦ = - — ,
Далее, по определению (не путать нижний индекс / и мнимую
единицу г, фигурирующую в качестве множителя!):
in = ™pi -4- Ji = {'" ^ьГ1
~4г. VIк r'lb) *-1/ ¦
D. _. j ±L j. = ^.k _
_ }
A0,11)
где по дважды встречающимся индексам производится суммирование
от 1 до 3 и 3it = 1 при г = ?, &и = 0 при 1фк.
Из A0,10) и A0,11) получаем:
^ !
9 ^»_иадн_1-м,5ф
(
1 —-
'" l("J ~~ г'эфф)" ~ u'll\
" 'эфф
3" "yi
A0,12)
Свойства тензора z'lk. Разумеется, при ан=0, как это и дотжь
быть, ?j'A = s'S^ = ( 1 — -—^- -\?Чк. Тензор г'и
ясно из

112
ВОЛНЫ В ОДНОРОДНОЙ МАГННТОАКТИВНОЙ ПЛАЗМЕ
[гл. ш
ТЕНЗОР КОМПЛЕКСНОЙ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПРОНИЦАЕМОСТИ
113
A0,12), удовлетворяет условию г^(<дя) = г'ы (— u>ff) или, что то же,
условию
г\к{НЩ = г'ы(- НЫ). A0,13)
Это соотношение является общим для любой среды, находящейся
в магнитном поле (см., например, [36], § 82). Весьма важно, что
в этом случае и при отсутствии поглощения, когда v^ = 0 и oik — 0,
тензор г'1к = г к не является вещественным, а удовлетворяет лишь
условию эрмитовости
*« = *« A0,14)
(звездочка — знак комплексного сопряжения).
Для плазмы соблюдение условия A0,14) ясно сразу, так как при
''эфф = 0 И3 A0,12) получаем:
2ы (и — а>я) 2и (a J-
= 1—-
„ j U
гхг = ~-zi — Si ~ ггч = 0.
A0,15)
Заметим, что в общем случае разделение тензора г'.к:~^№—i —¦'¦—
на г1к и з1к может быть однозначно произведено в результате тре-
бования, чтобы г1Ь и о-л (но не ¦—'1—~\ были эрмитовыми тензо-
рами. При этом поглощение энергии (джоулево тепло) в среднем
по времени в единице объема равно (см. [36], §§61 и 77)
1 /
16-я I
р* ''ik ' "*' р с* 1&р р*
т. е. зависит лишь от aift, как это и должно быть.
Приводить здесь отдельно формулы для г1к и zUl мы не будем,
так как обычно удобнее сразу пользоваться тензором г-л (см., однако,
формулы A0,31) и A0,32)).'
Находящаяся в магнитном поле среда называется магнитоактив-
ной. причем термин «активная» (или «гиротропная») среда указывает
на то, что и при отсутствии поглощения тензор s',,(«>) ==,-й(ш) "е
является вещественным. При отсутствии магнитного поля и прене-
S 10]
бреженин пространственной дисперсией все среды неактивны. Однако
для кристаллов без центра симметрии или для растворов молекул,
ие обладающих центром симметрии (например, растворов сахара),
учет пространственной дисперсии приводит к появлению членов пер-
вого порядка относительно — (см. §§ 2 и 8), влияние которых
обычно можно учесть, вводя комплексный тензор =[к (подробнее
см. C6], § 83 и [1]). Соответствующие среды называют естественно-
активными. В естественнонеактивной, но магнитоактивиой среде тен-
зор 1ц, комплексен только при наличии внешнего магнитного поля.
Итак, находящаяся в магнитном поле плазма является магнито-
активной средой, причем ее активность может быть сильно выражена
даже в магнитных полях, которые обычно считаются весьма слабыми.
В негиротропной (неактивной) анизотропной среде тензор г'^
симметричен и при отсутствии поглощения веществен. Поэтому суще-
ствуют три главных направления, в которых вектор D параллелен
вектору Е. В магнитоактивиой среде это не так: в направлении маг-
нитного поля Dz = s.z,E2, но Dr± iDy = (i_tx — izAy)(Er± 1Ку) (см.
A0,10); поглощение считается отсутствующим). Поскольку величина
&xx'^.Uxy вещественна (см. A0,15)), отсюда следует, что в плоско-
сти ху вектор D пропорционален Е для постоянного по величине
поля Е, вращающегося по или против часовой стрелки (для такого
поля Ех = Е^еш, Еу — + iEoela>t, ReEx~E0costat, RaEy=± E^sinco/i.
Именно подобная связь между D и Е и является характерным физи-
ческим отличием гиротропной среды от негиротропной.
Тензор г'1к в других системах координат. В использованной
координатной системе с осью z, параллельной полю W(o), тензор s'.
принимает простейший вид. Бывает, однако, удобно пользоваться и
другими прямоугольными координатными системами. Тензоры в раз-
ных таких системах связаны соотношением
^= ~tlm~(nnZmn{Xl)'
A0.16)
где sjjjfjfj) — компоненты тензора в системе координат хс и -[[т —
косинусы углов между осями xt и х'т (х'т —- старые координаты).
Особенно существен частный случай, когда вектор //@> образует
угол а с осью z, угол ~j —к с осью у и перпендикулярен к оси х
(рис. 10,1) *)¦ Именно такой случай имеет место при нормальном
падении волны на слой плазмы (распространение по оси z при лю-
бом г) при произвольной ориентации магнитного поля (ось х всегда
*) В случае земного магнитного поля, если ось z совпадает с верти-
калью, угол / = ~—а называется магнитным наклонением.

114 ВОЛНЫ В ОДНОРОДНОЙ МЛГНИТОЛКТИВНОЙ ПЛАЗМЕ [ГЛ. Ill
можно выбрать перпендикулярной к вектору //<0>). При этом
Тп — 1 • 712 = Tis —¦ T-2I — Тз1 ~ ^- Таз =:: Va-2 ~ cos а>
Т23 = — Тз-2 — sin а.
В новой системе координат х, у, г, изображенной на рис. 10,1,
компоненты тензора A0,12) равны:
„, , _ v {(\ — is)* — и sin* i\
"yy "" A — is) 'A —Isf — a} '
_, _ , _ ?'{.A- is)* — kcos2?!
"" (T^/s) !A— isI — u) '
! f i У и V i 1 n a
A0,17)
A _ iSyt — u> I
iv V и cos rt
uv cos a sin l
Рис. 10,1. Координатная си- *¦'
стена, в которой тензор г1к _,
имеет вид A0,17). °уг
При распространении плоской волны вдоль оси г, согласно уравне-
ниям поля B,18):
откуда
Е =-
7"» A — 15) t' o
— ii-) u — A — TsFU-— '* ~
ii^ COi a sill ,
^
При соблюдении равенства A0,19)
^- J\, = e^t =
° •2 ° •*
A0,21)
^ 10] ГЕНЗОР КОМПЛЕКСНОЙ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПРОНИЦАЕМОСТИ 115
где
(Ь_ is) и--(I— ts) (J_— /s — f J — uv cos2 a
Л ~ A — (,S) ti — (T^isf ( f—Tv — U) — UV COS2! '
и. A — is — ц) — A — Is) A — is -- a)g _
С-=-
Б важных частных с
A — JX) Ы — A — isJ A — /4 — f) — ?№ COS2 I '
'ti tr A /S — V) COS I
A0,22)
случаях (при а = 0 и я = -^\ имеем
1 - р_
— isJ — и
isJ — и '
A0,23)
и — A — is — -
v
A — is)* — a — (I—is) v'
A0,24)
- is '
С -— 0. )
При условии A0,19) и отсутствии поглощения, когда s = 0 (r. е.
г; — A — цу — wv схк* г i
и — A--11) — uv zos* 1 ' I
и A — и) _-_A — tp2 j
II— A V) — UI/ СОЬ2 т ' i
Yuv A — v) cos q I
и
( V U V sill I
cos л sin ¦!
в — A — tij — uv cos2'.! x • a —(I—v) — uv cos2 r
A0,25)
?„- A0.2E)
Кинетическая теория. При получении выражений для компонент
тензора г'.к на основе метода кинетического уравнения нужно исхо-
дить из уравнений (см. 4,16), D,11)):
A0,27)

116
ВОЛНЫ В ОДНОРОДНОЙ ЫЛГНИТОЛКТИ8НОЙ ПЛАЗМЕ
(гл. щ
В пренебрежении междуэлектронными соударениями, т. е. опуская
в A0,27) член Sl>ee, находим в системе координат с осью г, на-
правленной по полю Я@):
Ov
m (la -j- v) '
,„ [,¦ (ш - вя) -f- vj
4,
Jf, ± ij!y ^
f A-'da
J [i^-o,j,f} + y(u)l'
A0,28)
здесь а = у tj—=r v и все выкладки аналогичны проводившимся
в § 6 для изотропной плазмы.
Из сопоставления выражений F,3) и A0,28) ясно, что для маг-
ннтоактивной плазмы можно использовать результаты вычислений для
изотропной плазмы, заменяя в некоторых случаях о на и ~ ш„. Кон-
кретно компонента г'гг совпадает с г' в изотропной плазме, и таким
образом, все формулы § 6 применяются непосредственно. В случае
других компонент тензора г'ш характер необходимой замены ясен из
выражений:
с- 1
-it' =е' -*«' =-.1 ;
' ху уу — 'ух
^ f "V"d"
ш J i (и -. шн) -j- ¦. (и
=' = е' = 1 —
32 у-г. e*N
,/ ш 4- -' (и)
) '
A0,29)
Если v (v) = const, т. е. число соударений не зависит от скорости,
получаем приведенные раньше формулы «элементарной теории»
, со
напомним, что / ц4е~""du = —ъ—
\ J a
\ о
В предельном случае высоких частот и вне области резонанса,
т. е. при условии
§ 10] ТЕНЗОР КОМПЛЕКСНОЙ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПРОНИЦАЕМОСТИ 117
имеем;
V 1" '"'"I'M "^ Т V j.* V V Г11
==1 —.
"'н
2 г» —в.
.2 •]
-=1
2г. (со2
A0.31)
J
где '^фф совпадает с эффективным числом соударений, введенным
а § 6 для высокочастотного случая (см. F,9)).
Для произвольных частот удобно воспользоваться выражениями:
1 __г
Г /|д> Ь,н\ V
\ 'эфф /
"эфф
''эфф
(ш J- Ш
''эфф'
- -яJ -г чФфj - [(»- -яJ + -<;Ф
I'
ИГ) | К, (-^~
(в -1-
'эфф
''эфф'
A0,32)
Здесь функции Ks(x) и Ка(х) как при учете, так и без учета между-
электроиных соударений совпадают с соответствующими функциями,
введенными в изотропном случае (см. F,25)). Напомним, что при
х^-оо Ке (х) = Ке (х) = 1. Поэтому при условии A0,30) фор-
мулы A0,32) переходят в A0,31), как это и должно быть. Заметим,

118
ВОЛНЫ В ОДНОРОДНОЙ МАГНИТОЛКТИВНОЙ ПЛАЗМЕ
§ 10] ТЕНЗОР КОМПЛЕКСНОЙ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПРОНИЦАЕМОСТИ 119'
что вблизи резонанса, когда
('10,33')
доведение магнитоактивной плазмы в некотором отношении близко
к поведению изотропной плазмы в низкочастотной области (т. е.
в области, где ш2<С!''Lj,)- Например, при о> = ш и <а2'^>~/-
имеем: зхх -= зуу = 5—> в изотропной же плазме эпаче-
"'•"'эф<|)
ние К,,,@) фигурирует лишь при ш—>0. Кроме того, в области A0,33),
как и в низкочастотном случае для изотропной электронно-ионной
плазмы, существенны междуэлектронные соударения (в A0,32) вклад
этих соударений при любых частотах учитывается при использова-
нии соответствующих значений Кг и К,, приведенных в табл. ti.i
и 6,3). В рамках «элементарной теории», когда v (v) — const,
конечно, Л?^/Сг=1. Представляющая наибольший интерес функ-
ция К,{х) в случае соударений с молекулами—твердыми шариками —
¦изменяется максимум на 13%; при соударениях с ионами и учете
междуэлектронных соударений функция К/(х) меняется не более чем
^ два раза (см. табл. 6,2 и 6,3). Поэтому в большинстве случаев
применение результатов элементарной теории вполне оправдано, тем
более, что частота соударений чЭфф обычно известна лишь прибли-
женно (последнее может быть связано, например, с недостаточно
точным знанием температуры или состава рассматриваемой плазмы).
Возможность такого упрощения весьма существенна, так как фор-
мулы A0,32) значительно сложнее формул элементарной теории A0,12).
При переходе же к другим координатным системам это усложнение
еще более значительно.
Выше не учитывалось тепловое движение электронов (если,
конечно, не говорить об учете соударений). Другими словами, не
принималась во внимание возможная роль пространственной диспер-
сии, Такой учет связан с отказом от использования локальных харак-
теристик среды — компонент тензора s's, зависящих только от ча-
стоты. Поэтому учет пространственной дисперсии в случае магнито-
активной плазмы будет проведен в §§ 12 и 14 непосредственно для
распространяющихся волн.
Следует также еще раз подчеркнуть, что все наше рассмотрение
ограничено случаем нерелятивистской плазмы. Движущийся в магнит-
лом поле релятивистский электрон излучает не только волны с часто-
той ш^ — —— —, но и обертоны этой частоты. Поэтому реля-
тивистская плазма будет резонансным образом поглощать на частотах
sm^(s= 1, 2, 3, . . .), в то время как приведенные выше выражения
для s'.b имеют резонанс лишь на частоте шд. Релятивистская плазма
в этой книге рассматриваться не будет, но в § 12 будет учтена
роль теплового движения (при Г5т = ^5'<^1) и- в частности, рас-
смотрено резонансное поглощение на частотах ш//:"). -и'н и 3c»w,
Влияние движения ионов. Перейдем к рассмотрению влияния
ионов, определив тензор z'ik при учете их движения.
Ограничиваясь элементарной теорией, будем исходить из таких
уравнений движения для электронов, ионов и молекул (этим части-
цам соответствуют индексы е, I и т):
Mi, =
- eE — e- [
- m->em ~-
тяе1 (vt -- ve) t- m*tm (vm - ve), A0,34).
-+-m;el (ve - v,) — Ab,m {t>m - vt), A0,35)
ve) ~ M-Um-?- (vm — V;). A0,36)
Здесь для простоты принято, что все ионы однозарядные, <V; =
= ,V._ —= Л", а масса ионов и молекул одинакова и равна М (напом-
ним также, что заряд электрона обозначен через е п поэтому е < 0).
При отсутствии соударений характер написанных уравнений ясен
без дополнительных пояснений. Заметим лишь, что под ve, vt и vm
понимаются средние значения скоростей, взятые по большому числу
частиц. Члены, описывающие соударения, пропорциональны относи-
тельным средним скоростям сталкивающихся частиц, так как, напри-
мер, при равенстве средних скоростей электронов и ионов эти сред-
ние скорости уже не могут изменяться в результате соударений.
В использованном же раньше уравнении A0,8) скорость ч>1 отсут-
ствует просто потому, что ионы считаются неподвижными. Сила
трения, действующая со стороны электронов на ноны, равна.
m-ill{re— rj) = m')ei{ve—4>i), поскольку она должна равняться взягой
с обратным знаком силе трения, с которой ионы действуют на элек-
троны. Аналогичное соображение определяет вид членов в правой
части уравнения A0,36). При этом нужно только учесть, что, на-
пример, число соударений электрона с молекулами равно чет =
= qatfu \т. а число соударений молекулы с электронами будет
^•"¦"^^"''етТ''""- Числа соударений -iel, *>en и -<im в уравне-
ниях A0,34) — A0,36) представляют собой некоторые эффективные
значения и могут зависеть только от концентрации и температуры.
*) При пренебрежении тепловым движением резонансное поглощение
волн на частоте <»н имеет место лишь для необыкновенной волны при % — О
{см. § II). При учете теплового движения резонансное поглощение на
частоте ^t! имеет место уже при всех углах а и для волн обоих типов.

120 аолны в однородной магнитоактивной плазме [гл. ш
Плотность тока, которую нужно подставить в уравнения поля,
равна
I = е\> (V, — »г) = e\'w, jtl = ^-(Vs — у Eft. A0,37)
Считая все величины пропорциональными с""' и направляя внешнее
поле Н{ч по оси z, из A0,34) и A0,35) при пренебрежении соуда-
рениями получаем:
eEz
(?л. :::/Я,,)
г (?л. :± /?j,
vf-u%=~iMT^^k- *™=°. «=»,—»,.
Шя=^ЙГ
Мс
A0,38)
A0,39)
На параллельные полю /f@) компоненты скоростей и тока поле не
влияет, и поэтому, как и в изотропном случае, вклад ионов (при
Nt—M) в ~ раз меньше вклада электронов.
Что касается перпендикулярных к полю Н компонент скоро-
стей и тока, то ролью ионов можно пренебречь при условии, что
и ;*> QH (см. A0,5)). Если же
«><€^я. (Ю,40)
перпендикулярные к полю скорости электронов и ионов примерно
равны, в силу чего ток очень мал. Действительно, при ш = 0
«« = ^=-^5}. я«- = ^у = --^;' Л, = Лу = °> (Ю.41)
так как ;M//=M2/f=— -. Результат A0,41) сразу ясен,
конечно, уже из исходных уравнений A0,34) и A0,35).
Итак, в низкочастотном случае A0,40) роль ионов весьма суще-
ственна. В изотропной плазме Й// = 0 и вся такая низкочастотная
область вообще исчезает.
•"••S/10J ТЕНЗОР КОМПЛЕКСНОЙ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПРОНИЦАЕМОСТИ 121
''/'/При учете соударений }'Д°бно записать систему уравнений
уA0,34) — A0,36) для пропорциональных еил величин в виде:
е
—
N
A0.42)
¦ 'i.Vm— Л' ' "* *''
¦ '':¦¦'.; ¦v m.
.где в коэффициентах перед переменными пренебрежено величинами
пррядка -^ и у -^- по сравнению с единицей (при этом учтено.,
Ж0 uim'~~Jy ~\i~ vtm) • ^ак же будем поступать ниже без дополни-
тельных оговорок.
: : Из A0,42) легко получить общее выражение для тензора г'1к
Для компоненты е'^ в принятом приближении получается старое
0
выражение г =1 — —-, —, г=
. Кроме того, по-прежиемг
A0,43)
где
А = [» х Ш// _ г- (V<i _u vJ(B)]
= QH -J
;ГГрй отсутствии молекул, когда v(.mr=vem=0, получим:
Ий =' х,,' = 1 ^
A0,44)
в высокочастотном случае A0,5) выражения для е' , разумеется,
переходят в A0.12),

122
ВОЛНЫ В ОДНОРОДНОЙ МАГНИТ0АКТИ8Н0Й ПЛАЗМЕ
ГЛ. [Ц
§ 111
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВЫСОКОЧАСТОТНЫХ ВОЛН
1 га-
Характерно, что при резонансе для электронов (при м = шJ
Ч'хк г'-1у =1 ~Г~^~' а ПРИ Резоиансе для ИОНОВ (при (!) = Q/i)
, ¦)
/ / , (мо М
2VV — Jsiv ~ —75~t—' т' е- ионный резонанс в — раз «выше»
| точнее, соответствующие компоненты тензора проводимости ~ik
в -— раз больше).
Точность выражений A0,43) и A0,44) ниже аналогичных формул,
полученных в рамках элементарной теории без учета движения
тяжелых частиц. В этом последнем случае элементарная теория
строго соответствует предположению о независимости числа соуда-
рений от скорости и пренебрежению междуэлектронными соударе-
ниями. Для столкновений между тяжелыми частицами использованное
приближение является менее определенным, поскольку в этих усло-
виях незаконно учитывать соударения в кинетическом уравнении
членом типа ¦//, (см. F,1)).
Формулы элементарной теории тем не менее удобны и полезны
для оценок поглощения и, главное, при пренебрежении простран-
ственной дисперсией совершенно справедливы для вычисления тен-
зора zik при слабом поглощении:::). Между тем именно с последним
случаем приходится часто сталкиваться на практике. Заметим, наконец,
что при учете движения ионов тензор г'1к можно было бы также
определить иначе, а именно в системе отсчета, где средняя скорость
движения всех частиц равна нулю. Подобное определение приводит,
вообще говоря, к существенно другим выражениям для г'[к, хотя
физические результаты, конечно, от выбора системы отсчета не за-
висят **).
§ 11. Распространение в магнитоактивной плазме
высокочастотных волн
Выражения для показателей преломления и поглощения п1Л
и иь2. Рассмотрим вопрос о распространении в магнитоактивной
однородной плазме монохроматических волн с частотой ш, значи-
") Имеется в виду предельное значение =-[к — г1к, получающееся при
полном пренебрежении соударениями.
**) Если забыгь об этом обстоятельстве, то можно прийти к кажущимся
противоречиям. Так, например, из формулы A0,44) следует, что при «>^Ф0
> = 0 электропроводность среды равна нулю,
Н" Н
плотность тока jt — 0. Этот результат правилен, но нужно помнить, что в рас-
сматриваемой системе отсчета вся плазма движется со скоростью A0.4)).
Поэтому в системе отсчета, связанной с плазмой, электрическое поле равна
нулю к равенство нулю тока j, вполне понятно (см. также A0,39)).
тельно большей гирочастоты ионов 12W (см. условие A0,5)). Для
таких волн, которые будем называть высокочастотными, влиянием,
ионов можно пренебречь (речь идет о случае, когда Л*;~-.\'). По-
этому для г'.к будут использоваться выражения A0,12), что связана
также с пренебрежением зависимостью числа соударений от скорости.
Исходное волновое уравнение таково (см. B,5). B,7) и B,9)):
rot rot ? — -j (D — t — j
— Л? — grad div ?-|-^D - I j^-
j = 0.
A1,1)
Отсюда для плоских волн вида ?-—?,/'('"'" *г) имеем:
-4(Д-^У) = 0. A1,2)
В случае однородных плоских волн, которыми ограничимся, плоско-
сти равных фаз и амплитуд совпадают и к = — (п — М. Величина.
(я — Ы)- находится при этом из системы уравнений A1,2) как усло-
вие существования у этой системы нетривиального решения. Поскольку
система A1,2) состоит из трех уравнений для трех величии Et, Ey
и Ег, можно было бы ожидать, что уравнение для (п—Л/-J будет
3-й степени (т. е, 6-й степени относительно (п — ;•/.)). Это, однако,
4"
не так, поскольку проекция вектора D — I -'¦'¦- j на направление k
равна нулю (это сразу ясно, если умножить выражение A1,2) ска-
k I 4~ \
лярно на к). Б то же время выражение -~[D — l—j) от к не за-
висит, так как тензор з,-^ при пренеореженип пространственной ди-
сперсией зависит только от ш, но не от k = -^ (п — /•/.).
Таким образом, в волне между компонентами Ех. Еу и Ех суще-
ствует линейная связь, не зависящая от (п—/у.J, и, следовательно,
условие существования решения у системы A1,2) приводит лишь
к уравнению 2-й степени относительно (л — iv.J. Этот результат по-
лучается, разумеется, автоматически при проведении вычислений..
Вместе с тем, имея и виду цели дальнейшего изложения, удобно
сразу же выбрать направление к за ось г и воспользоваться усло-
вием Dt-—/--—7г--0. Тогда Е, выражается через ЕК и Еу с по-
мощью формулы A0,20), а компоненты ?) —/ — у определяются

124
ВОЛНЫ В ОДНОРОДНОЙ МАГНИТОАКТИВНОЙ ПЛАЗМЕ
ГЛ. И]
A1,2а)
выражениями A0,21) и A0,22). Что же касается системы A1,2), то
она принимает вид:
[А — (п — Uf]Ex-i-iCEy = 0,
—- iCEx -4- [В — (« — i-'-f\ ?y — °-
К тому же результату проще придти непосредственно из A1,1), по-
скольку для плоской волны, в которой поле зависит лишь от коор-
динаты г, это векторное уравнение приводит к системе B,18) или,
¦согласно A0,21) и A0,22), к системе
_
uv cos2 г
- + — (— iCE r -j- BE у) — 0,
A — is) и — A — is) A — is — v)'2
_______.^ ^ _~5 _ W) _ uvTossT'
а (j — is — V) _ A — is) A — is — f )г
A — Is) и — A — IsJ A — is — v) — h-j cos2 a
V и и A — is — v) cos i
A — is) и — A — ИJ (i — is — v) — uv cos2 a
A1,3)
"Используемая здесь система координат ясна из рис, 11,1. Подставляя
•в A1,3) решение в виде плоской гармонической волны ?\у—
~-EOs. е~ с , приходим к A1,2а).
Условие существования у системы A1,2а) нетривального решения
приводит к уравнению, определяющему п — Ы. В нераскрытом виде
это уравнение, очевидно, таково:
А — (п. ~ г/.J 1С
— iC B — (n — iv.f
Решение этого уравнения имеет вид:
(п — iv.)\2 = п2и., — -/.^ , — 2inu 2v.b.-, =
= 0.
2A — is) (I — is — v) — a sin2 ах>' к2 sin4 a -f 4и A — is — иK cos2 г
(П.5)
Выбирая здесь у корня верхний знак, получаем величину (п—«)iis
е=(к2 — г'-оJ, отвечающую «обыкноаенной» волне; выбор нижнего
знака соответствует «необыкновенной» волне (ее показатели прелом-
§ 11] РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВЫСОКОЧАСТОТНЫХ ВОЛН 125
дения и поглощения суть я, и /.[ *). При отсутствии поглощения
2A —и) —u
iin4 о -J-4u A — vI cos2 2
A1.6)
здесь предполагается, что п2и, > 0, так как при отсутствии погло-
щения только в этом случае * = 0. Если правая часть выражения
A1,6) меньше нуля, то, как ясно из A1,5), ее нужно считать рав-
ной — *1, г- Однако удобнее при отсутствии по-
глощения не вводить «показателя поглощения» у.
и употреблять формулу A1,6) и при п\ , < 0;
.2 . = — v
в этом случае просто п* ,=
''I, 2-
Именно
так мы будем поступать в дальнейшем, обозна-
чая во избежание недоразумений я?_2 через n\,-i
(см. § 7). Другими словами, при отсутствии по-
глощения (п — 1хJ = п2, причем пъ вещественно.
Показатель преломления принимаем равным
Рис. 11,1. Координат-
,2, решение ге1г2= — У га], 2 со-
ответствует волне, бегущей в противоположном
направлении, что будет ниже учитываться не-
посредственно в выражении для фазы волны.
Некоторые частные случаи. Если магнитное поле Н'0) =
т. е. и = 0, то
(п — и)], -г = (и — и% ~ 1 — ~, JU—
_^_=1____L__> (п,7)
как это и должно быть (см. C,7)).
В важном частном случае «продольного распространения», когда
волна бежит по полю, т. е. угол а = 0, имеем:
(п — i*)i, 2 = (re — «)~- —
или при отсутствии поглощения
l—is-У и
— ге+ — 1 ^^— — 1 -
1 — у и '
1-г/»
A1,8)
(П.9)
» Иногда применяются противоположные обозначения, при которых
того Н°ве"И0Й волне отвечает индекс 1, а необыкновенный — индекс 2. Кроме
™. часто вместо индекса 1 употребляются индексы х или е и вместо 2 индекс о.

126
ВОЛНЫ В ОДНОРОДНОЙ МЛГН1ГГОЛКТИВНОЙ ПЛАЗМЕ
[ГЛ. Hi
§111
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВЫСОКОЧАСТОТНЫХ ВОЛН
127
Смысл обозначений «•'_.;==«- становится ясным при выяснении ха-
рактера поляризации волн при продольном распространении.
В общем случае поляризацию, т. с. соотношение между компо-
нентами Ех п Еу, находим сразу же из одного из уравнений A1,2ai.
куда в качестве (п—г/.)'2 представляется решение A1,5). В случае
продольного распространения удобнее с самого начала ввести выра-
жения
F±~Ex±iEr A1.10)
для которых из A1,3) получаем;
I — is .z: ]' и
Гармоническое решение этого уравнения в согласии с A1,8) таково:
1
(п
w
|_ _ 1 _.
A1,12)
1 — /5 + 1 Ц )
Таким образом, в рассматриваемом случае продольного распростра-
нения имеются две «нормальные волны», характеризуемые опреде-
ленной фазовой скоростью v- = , затуханием (коэффициент по-
глощения р._ — ^—х±\ и поляризацией. Так, если имеется волна (-!-).
то для нее F... — 0 и, следовательно, Ех — 1Еу; в волне (—) соот-
ветственно /\ = О и Яг = — iEy. Записывая выражение для поля
волны с учетом временного фактора, т, е. в виде
F± = F0,-ev c '
и переходя к вещественным величинам, легко видеть, что волны (—i
поляризованы по крзту, причем в волне (-^) вектор Е вращается,
если смотреть по полю (т. е. по оси г), по часовой стрелке.
а в волне (—) — против часовой стрелки. Другими словаки в вол-
нах (±) при z = 0
?_ — -Ensinu>/. Е„ =--1
cos u>t.
Направление вращения вектора Е в волне (-J-) совпадает с на-
правлением вращения электрона в магнитном поле //"'. Естественно
поэтому, что, когда частота волны D-) приближается к гиромагнит-
ной частоте шИ, наступает резонанс (для волны (-J-) в П 1,12), в зна-
менателе формулы для (п — i'-/-)i фигурирует разность со— w/f).
Волна (-!-) называется также необыкновенной или волной 1, а волна
(—) — обыкновенной или волной 2 (см. выше).
Наличие двух нормальных волн, т. е, волн с определенной ско-
ростью, поглощением и поляризацией, характерно для любой анизо»
тройной среды; в изотропной же среде имеет место вырождение,
заключающееся в том, что поперечные волны любой поляризации
имеют одинаковые скорость и поглощение. В интересующем пас слу-
чае магнитоактивной среды нормальные волны, вообще говоря, по-
ляризованы эллиптически. В частном случае продольного распро-
странения (т. е. при а = 0), как выше было показано, поляризация
является круговой.
При «поперечном распространении», когда а—^-, имеет место
другой предельный случай и эллипсы, описываемые вектором ?
в плоскости ху, вырождаются в прямые линии. Этот вывод сразу
ясен из выражений A1,3), из которых следует, что уравнения рас-
пространения при а=-у разделяются, т. е. имеют вид:
,{l-iS-V)
dlEsL _U if Г 1 _ i' (I -iS-У) 1 f _
dz1 ' c2 L (\—isy — u. — {\--ls)v\x~
= 0.
A1,13)
Из A1,13) явствует, что нормальными являются волны, у которых
вектор ?=?0^> с " имеет равные нулю проекции или по
оси х или по оси у. Волна с Ег = 0 и вектором Е. направленным
по оси у, т. е. по направлению поля tttS) (см. рис. 11,1, где в рас-
сматриваемом случае с. —-4у). называется обыкновенной, так как
скорость ее распространения не зависит от силы поля Н011. Это
вполне понятно, поскольку магнитное поле не оказывает влияния на
движение зарядов в направлении этого поля. Во второй нормаль-
ной волне, называемой необыкновенной волной, Еу — 0 и вектор Е
лежит в плоскости хг ''¦).
Согласно A1,13) в этих волнах
(ll - //.)? = 1 —
"A — isJ
—is)v
t A1.14)
U)i =.- (п _ и)] =
"
1— is
) В необыкновенной волне даже при i. = 4J- вектор Е является эялип-
СКн поляРизованным и имеет слагающую не только по оси х, но и по
г. напротив, вектор D в этом случае направлен только по оси х (см. ниже).

128
ВОЛНЫ В ОДНОРОДНОЙ МЛГНИТОЛКТИВНОЙ ПЛАЗМЕ [ГЛ. Hi
§Ц]
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВЫСОКОЧАСТОТНЫХ ВОЛН
129
Tor же результат, конечно, сразу следует и из общего выраже-
ния A1,5) при а — -^-.
Рис. 11,2, Функции п\ 2 (v) = n2± (v) при u — const в случае про-
дольного распространения (т. е. при а — 0): а) а < 1; 6} а > 1.
-I.C
-г,в ¦
Рис. 11,3. Функции >г'| , (с) при и = const в случае поперечного рас-
пространения (т. е. при а = 90"): а.) и < 1; б) и > 1.
Зависимость показателей п и /. от параметров v, и, s и л удобно
представлять графически. При отсутствии поглощения такие графики
для величины л2=(я — nf для углов к=0 и а = ^-, а также для
изотропной плазмы представлены на рис. 11,2—11,4. При этом на
оси абсцисс отложен параметр v = ^, a параметр и =—j- фикси-
Иногда бывает полезно те же функции п\г 2
других координат, например от
руется дополнительно»
изображать в зависимости от
Л- = -у=т, при фиксированном а
или фиксированной частоте ш^.. При-
меры таких графиков приведены на
рис. 11,5. При исследовании рас-
пространения волн в среде, в кото-
рой с расстоянием изменяются и кон-
центрация и поле, т. с. меняются
оба параметра v и и, используются
графики третьего типа; они будут
приведены в §§ 35 и 36.
Распространение волн под
произвольным углом х к магнит-
ному полю. Перейдем к исследо-
ванию характера распространения
волн под произвольным углом а
к магнитному полю.
Считая поглощение отсутствующим,
Рис. 11,4. Функция п{ v(v) = nl (г1)
для изотропной плазмы.
начнем со случая, когда
Н"'
A1.15)
=214 м;
таким образом, в земной ионосфере случай A1,15) отвечает диапа-
зону коротких радиоволн.
При условии A1,15) показатель преломления обыкновенной
волны til обращается в нуль в точке
' г» = — ==1 ш, =@2==i^^. A116)
так же как это имеет место при отсутствии магнитного поля (см.
A1,8) с s = 0). В бесконечность функция га? (г1) не обращается.
Показатель преломления необыкновенной волны п\ обращается
в нуль в двух точках:
( —) ш0 - — ^ Н
При Н~ '=0,5 эрст гирочастота ш„=8,82- Ю6
Показатель щ обращается в бесконечность в точке
1 —а
¦J-ZZiL
1 — и, cos2 л 1 — и.
»?»-
A1,18)

130
ВОЛНЫ В ОДНОРОДНОЙ МАГНИТОАКТНВНОЙ ПЛАЗМЕ
[гл. ш
Очевидно, чтог!1СС^1; заметим, что при«=1 для любых значений
и и а «.1=1. Далее, значения о20 и v[q не зависят от угла а.
Вместе с тем угол а = 0 (продольное распространение) является
Рис. 11,5. а — функции г?г ,
— 3 .
5.0
отвечающие
углу а = 0при = 1; б—функции nj\— =1 — —^ ?¦
и л| = Лд = 1 J-, отвечающие углу а = 90° при ¦ = 1 (выражение
п\ = 1
не зависит от <*н и относится также к изотропной плазме).
исключительным, о чем речь будет идти несколько ниже. Зависи-
мость «1, з от v при и = -г (m = 2iaII) и д = 0,01 для а =45° по-
казана на рис. 11,6; на рис, 11,7 приведен график функций
ри — = 1 и а— 45°,
A1,19)
Если
показатели п$ и п\ обращаются з нуль соответственно в точках vi0
и fliJ. Корень v\a — 1—У и в этом случае при интересующих нас
§ 11] РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВЫСОКОЧАСТОТНЫХ ВОЛН 135
вещественных значениях ш фиктивен, так как ©ш < 0- Далее, если
то при a > 1 (cm. A1,19)) ни п\, ни nl в бесконечность не
1.0
JM <J> и
J-4
Рис. 11,6. Функции п\ ,(и)при i — 4S': a) s^j;f) a = 0,01.
обращаются (речь идет об обращении в бесконечность при конечных
значениях г1)- Если же
«,=Mcos=a>l, A1,21)
то в точке
и —1
о cos21 — 1
A1,22)
обращается в бесконечность показатель /й. Из A1,22) ясно, что
w?oo> »—, ггончем равенство имеет место при и —> го. Крн-
^ ^ cos2 a * *
вые н-1 и п~: в случае A1,19) для «=i,08 и а = 4 при а=20'
показаны на рис. П.8. Представляет также интерес предельны;':
случай
с-гн
и cos2 г = —4- cos-
= —~ "Vs> I,
. A1,23)
часто осуществляющийся при распространении в ионосфере свистя-
щих атмосфериков (whistlers) [53, 541. В условиях (И.23)
A1,24)
]¦ и ел? a

S32
ВОЛНЫ В ОДНОРОДНОЙ МАГНИТОАКТИВНОЙ ПЛАЗМЕ
[гл. ш
т. е. волна 1 (необыкновенная) распространяться не может, в то
время как для волны 2 712=яг>0 и часто п^~^>{. Разумеется,
формулой A1,24) можно пользоваться только, если одновременно
с условиями A1,23) выполнено условие высокочастотное™ to 3> 2#,
позволяющее пренебречь влиянием ионов.
/' г.с
J.0 ш. ш:
-юо\-\
i i
-293 .-'
f
Рис. 11,7. Функции n\ti{-^-) при
= 1' " = 45°-
Поляризация волн. Поляризация необыкновенной и обыкновен-
ной волн находится из уравнений A1,2) — A1,24), причем в силу A1,4)
только одно из уравнений A1.2а) является независимым. Отношение
компонент Еу и Ех в волнах каждого типа следующее:
--¦=^.2 = — /.
2]ru A — is — ч) cos a
и sin2
sin4 a -^-
- иJ coss a
A1,25)
где, как и раньше, верхний знак перед корнем относится к обык-
новенной волне —волне типа 2 (л2. -/.3,
Бу2) и нижний знак
S П]
распространение еысокочлеготных волн
133
к необыкновенной волне — волне типа 1 {nv -/,, Ех,\, ЕуА). Коэффи-
циенты /<"Ь2 иногда называют коэффициентам» поляризации.
-5,0 \
-4,0
S)
Рис, 11,8. Функции ЛJ , (v) при « = 20°: а) и =1,08;
б) и = 4.
При отсутствии поглощения
1.2 ,, 1С Л
ги A — v) cos
it sin2 л. ху и- sm4 «-}-4a A — uJ cos2 а
A1,26)
Как ясно из A1,25) и A1,26), в общем случае волны обоих ти-
пов эллиптически поляризованы, причем при отсутствии поглоще-
ния оси эллипсов, описываемых концом проекции вектора Е на
плоскость ху, параллельны осям х и у (напомним, что оси
выбраны так, что магнитное поле лежит в плоскости уг). Далее

134
ВОЛНЫ Е1 ОДНОРОДНОЙ МЛГНИТОАКТИВЫОЙ ПЛАЗМЕ
[гл. ш
легко видеть, что
KjK2= 1, (П.2/)
причем 1^1,2: есть отношение полуосей эллипса.
При 7. — О К1 =— L, ЛГ2 = —!— (Г, т. е. обе волны поляризованы
ло кругу. При л = ~ Л=—too и К1 — 0, т. е. Е^ = О и
Еу1 = 0, что соответствует линейной поляризации проекции вектора ?
на плоскость ху. Сказанное находится, конечно, в соответствии
с результатом, полученным ранее при непосредственном рассмотре-
нии продольного и поперечного распространения.
Поле Ez в волнах определяется формулой A0,20) или при от-
сутствии поглощения формулой A0,26):
р I
а — A —• v) — iiv cos21
-Е-
UV COS 7. Sill Л
Г— A — vy^uv cos2 a. V'
A1,28
Отсюда ясно, что при отсутствии поглощения компонента Ег нахо-
дится в фазе с ?у и сдвинута по фазе на ^ относительно ?с. Та-
ким образом, вектор Е описывает эллипс в плоскости, параллель-
ной оси х (напомним еще раз, что вектор k направлен по оси г,
а поле Н1 ¦ лежит в плоскости yz; см. рис, 11,1). Вектор D лежит
при этом в плоскости ху, поскольку ?>г = 0. Поэтому вектор D и
в непоглошаюшей магнитоактивной плазме является поперечным, но
о векторе Е этого, вообще говоря, сказать нельзя. (При наличии
поглощения поперечным является вектор D—i--—]¦)
Что касается зависимости поляризации волн обоих типов от па-
раметра v, то в случаях а =0 и а = -~ такой зависимости нет, если
речь идет о компонентах С.г. „. Компонента Ег при 2 = 0 и для
волны 2 при а.= -?;- равна нулю при всех v; компонента Е^ для
волны 1 при а~т|- зависит от v (в этом случае вектор ? описывает
эллипс в плоскости xz, причем отношение полуосей зависит от ?')¦
При других значениях а поляризация зависит от v, причем волна
типа 2 при -v = 1 всегда линейно поляризована (при v-- \ к2> ->со,
?'л., — 0, вектор Е линейно поляризован в плоскости yz). В волне 1
при v=l вектор Е, вообще говоря, эллиптически поляризован
в плоскости xz (при -о = 1 jATj[-s-co, Еу, = 0). Зависимость вели-
чины iKit<2, т. е. отношения полуосей эллипсов в плоскости .ту, or v
при некоторых значениях а н т. ясна из рис. 11.9. Помимо точки
v= 1 поляризация весьма специфичным образом ведет себя также
в точке г'1,2°^> гяе показатели преломления волк 1 или 2 обращаются
в бесконечность (см. A1,18) и A1,22)). Из формулы A1,28) ясно,
что при v->vllVS, \Ег\—>..--с при конечных значениях Ек и Е .
§ 11]
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВЫСОКОЧАСТОТНЫХ ВОЛН
135
Другими словами, при в—>г»!>2со волны линейно поляризованы в на-
правлении вектора распространения k, т. е. являются продольными.
О нормальных волнах. Случай малых углов ж. Формулы A1,5),
A1.25) и A0,20) или при отсутствии поглощения формулы A1,6),
A1.26) и A1,28) полностью определяют характер воли, распростра-
няющихся в однородном ионизированном газе, находящемся в по-
стоянном магнитном поле. В этом случае, как и в других анизо-
тропных, двоякопреломляющих средах в каждом направлении,
Рис. 11,9. Отношение полуосей эллипса поляризации tKi
(пунктир) и 1Кг (сплошные линии); а) а = -т-, а. — 45';
б) п = 1,08, а = 20°; в) и = 4, а = 20°.
характеризуемом углом а между №°> и волновым вектором k, могут
распространяться плоские волны двух типов. Эти, как иногда гово-
рят, «нормальные волны», в нашем случае «обыкновенная» волна 2
и «необыкновенная» Волна 1, отличаются скоростью распростране-
ния [фазовая скорость г^ = —), показателем поглощения и поля-
ризацией.
В изотропной же среде, как мы видели, существуют три высо-
кочастотные волны, одна из которых является продольной плазмен-
ной волной. Возникает поэтому вопрос о возможности существования
плазменных волн при наличии магнитного поля и о характере пре-
дельного перехода от магнитоактивной плазмы к изотропной. Эти
вопросы будут обсуждены в следующем § 12. Сейчас же остано-
вимся на несколько другом вопросе о предельном переходе от рас-
пространения под углом а Ф 0 к продольному распространению,
когда а = 0(в § 12 мы увидим, что этот вопрос фактически ока-
зывается тесно связанным с предыдущим). Проблема предельного

136
ВОЛНЫ В ОДНОРОДНОЙ МАГИИТОАКТИВПОЙ ПЛАЗМЕ [гл. Ш
11]
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВЫСОКОЧАСТОТНЫХ ВОЛН
137
перехода к yiviyjx —О возникает потому, что при а = 0 для обык-
новенной волны Л2 = л?- =0 при v = v{q}= 1 -ЬУп, а для необык-
новенной волны nl = nl. — 0 при v — v\o)=l~ У'и (см. A1,9)).
Между тем при a =fc 0, как указано, л2 = 0 в точке «25=1 и«1 —О
Рис. 11,10а, Квадрат показателя преломления
(функции n{j2(u)) для г=10' (сплошные ли-
нии), а = 0= (пунктир) и и = -т-.
при fio — 1 ± У н. Характер особенности, имеющей место при
а-> 0, становится ясным, если рассмотреть кривые п? z(v) при ма-
лых углах а. Из рис. 1!, 10, на котором представлен случай я= !0э,
и—-% и и =4, а также из более детального анализа явствует, что"
при а->0 кривые я;.2(а) переходят в прямые (И,9) и прямую
f— 1 (см. также рис. 11,11). Этим объясняется и тот факт, что
при а = 0 выражения A1,9) для li\/x в бесконечность не обра-
щаются, в то время как согласно общей формуле A1,18) приа=0
.цH0 = 1 (т. е, имеется точка, где величина п\ при отсутствии по-
глощения равна бесконечности). Дело, очевидно, в том, что фор-
мула A1,13) получена из формулы A1,6), переходящей при а—>0
в A1,9) н прямую v=l, на которой п{ принимает, в частности,
Рис. 11,106. То же, что на рис. 11,10а для » = 4.
бесконечные значения, В случае неоднородной среды такой нетри-
виальный характер предельного перехода к продольному распро-
странению приводит к интересным следствиям (см. § 28).
Предельный переход а—>0 специфичен также с точки зрения
зависимости поляризации от параметра v. При малых а поляризация
волн близка к круговой, причем при переходе через точку ¦»= 1
знак вращения изменяется на обратный (рис. 11,12). Поэтому при
ояз 1 волна типа 2 из области г1 > 1 может «перейти» в волну
типа 1 из области и-<1, как это и должно быть согласно рис. 11,10

138
ВОЛНЫ 3 ОДНОРОДНОЙ МАГНИТОА.КТИВИОЙ ПЛАЗМЕ
[гл. щ
(другими словами, при а—» 0, v—±1 поляризация волны 2 при v <
и поляризация волны 1 при г'>1 совпадают)'*).
5,0
-50\ '
i-T.
Рис П,И. Функции Ц JJL) при
1 ' \ и10 /
- = 1 И а = 10е
Заметим также, что обе волны эллиптически поляризованы
и в пределе при и -*¦ 0:
2\га cos
и sin2 a - }' и2 sin* a-j-4u i
===-. A1,29)
*) Прослеживая предельный переход а -> 0, мы называем волны волнами
типа 1 или 2 в соответствии со случаем а === 0. Кривые п'2 для волн 1 и 2
(или х) при а = 0 составлены, как ясно из рис. 11,10, из частей кривых Л|2
для этих воли при а ^= 0, Таким образом, при а-*0 происходит также из-
вестное переименование волн.
§ щ
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВЫСОКОЧАСТОТНЫХ ВОЛН
139
2.5
Вместе с тем ясно, что при г>= •=-= О, т. е. при отсутствии
электронов (другими словами, в вакууме или практически в воздухе),
никакого двойного лучепреломления быть не
может; в согласии с этим по формуле A1,6)
при г> —0 /[{,2=1- Разумеется, здесь нет про-
тиворечия, так как в вакууме в качестве «нор-
мальных волн» можно выбрать волны любой
поляризации, и в частности эллиптической.
Однако в случае неоднородной среды в начале
слоя (npiif—>0) возникает вопрос о характере
изменения с расстоянием поляризации падающей
из вакуума волны, которая может иметь произ-
вольную поляризацию; на этом вопросе мы
остановимся в § 26.
Учет поглощения. Особенности кривых
п\. 1 {v, а, а) и K-i^iv, a, а) продискутироваиы
выше лишь при отсутствии поглощения. Учет
поглощения сильно усложняет картину, и раз-
бирать этот вопрос во всей полноте мы не
будем (см. [55—60])*), ограничившись рассмо-
трением важнейших частных случаев, а также
:••' конкретными примерами.
:; При продольном распространении (а= 0) формулы для (п — i
7 уже были приведены и при наличии поглощения (см. A1,3), A1,
:: Приведем здесь отдельно вещественную и мнимую части:
v(l±Yu)
ifi
'Кг
/Л- U
\
!
!
Рис. 11,12 Отношение
полуосей iK\,2 при
a = 10' и а = -г ¦
41, 2
¦2 ___
¦/.- —¦ У
A + У
»J 4- ^
~ 0)гг
^_ i .
Ar.,,,
A±-
"¦'эфф
зфф
A1,30)
*) В ряде работ исследование кривых я,,г(а, a, s, a), «[,,(o, и, 5, а)
и Ki s(о и s, a) приводилось с учетом лорентцевой поляризационной по-
правки т е принимая для действующего поля выражение C,14). Как ука-
зано в '§ 3, в плазме учитывать эту <поправку» не нужно. Поэтому в на-
стоящей главе, как к во всей книге, принято соотношение C,12): ?эфф ¦= ?¦
Кривые п -I. и К с учетом лорентцевой поправки в ряде случаев (главный
образом при а > 1) довольно сильно отличаются от получающихся без ее
учета,

140
ВОЛНЫ В ОДНОРОДНОЙ МАГНЙТОАКТИВНОй ПЛАЗМЕ
[гл. ш
где волне 2 или (—) отвечает верхний знак плюс, а волне ! или
(+) отвечает нижний знак минус перед ш//.
Величины 2Ь2 и о1:2 введены здесь по аналогии с формулами
G,11) для изотропного случая, где г и с суть диэлектрическая про-
ницаемость и проводимость. В анизотропной среде роль ги; играют
тензоры zik и ?1к или гш = г1к — i-~^, а величины sLJ и сь,
являются лишь обозначениями соответственно для га: „ — ¦/" , или
2?1]>2хЬ2. Введение этих обозначений удобно потому, что л1|2 i-; кьг
выражаются через гь5 и оь2, так же как п и ¦/. через г и -, т. е.
по формулам G,12).
При поперечном распространении (а —-^| для
волны 2 имеем:
«обыкновенной»
(и — 1У.}2 = 1 — ; г2 == га — у.о = 1 — у-т-5 = 1 — .,¦
A1,31)
В этом случае, как и при отсутствии поглощения, обыкновенная
волна (волна 2) ведет себя совершенно так же, как при №°- = О
(см. C,7)).
Для необыкновенной волны * получаем:
(и —?¦,){= I—
1/A —iS —V)
Громоздкость этой формулы A1,32) для простого частного слу-
чая «=-?- позволяет составить представление о сложности соответ-
ствующих выражений при произвольном угле а (получение выраже-
ний для гь2 и сь2 в общем случае из формулы A1,6). конечно, не
составляет труда). Заметим, кроме того, что при учете поглощения
(формула (!!,5)) использована только элементарная теория. Если же
исходить из точных выражений A0.32) для е№ и -j,k, формулы су-
щественно усложняются. К счастью, использование кинетической тео-
рии (формулы A0,32)) в большинстве случаев не нужно, так как
обычно приходится рассматривать различные предельные случал.
§
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВЫСОКОЧАСТОТНЫХ ВОЛН
141
Так, дело сводится к формулам элементарной теории с соответ-
ствующим выбором величины чЭфф, если
или
(со -
¦ ''эфф1
(И,34}
где неравенства должны выполняться при обоих знаках перед шя
(разумеется, если (<и — »нJ >> '4ф. то и (ш-f шяJ»->1фф\.
В радиодиапазоне случай A1,33) имеет наибольшее значение, так
как он обычно осуществляется и в ионосферном f-слое, и в сол-
нечной короне.
При условии A1,33) формулы для дЬ2 и zi,2' вообще говор:",
существенно упрощаются. Так, в A1,31) можно при этом зачерк
' 33
нимают вид:
ур ( р
знаменателе; формулы A1,32) при условии A1,33) при-
•и A — v) , га
sv к1—уJ --
A1,35)
Нужно иметь в виду, что для применимости формул A1,35) одного
условия A1,33) недостаточно, так как при отсутствии поглощения
^.знаменатель в A1,33) обращается в бесконечность при vlta= I — i-
И см. A1,18) для а — — |. Поэтому ясно, что в окрестности точки vim
./.'поглощение всегда существенно. и пренебрегать величиной s2 в зна-
менателе формул A1,32) нельзя, даже если условие A1,33) выпол-
нено. Вдали от точки г/1СО для перехода от A1,32) к A1,35) до-
статочно соблюдения неравенства (П,33).
5 Квазнпродольиое и квазипоперечное распространение. Слож-
: ность выражений для ге]>2 и хь5 при произвольной угле а делао
'^'-практически важной возможность приближенной замены точных ::-i:j-
: чений пь2 и у.1г2 формулами типа A1,30) и A1,35).
Так, если
4и,
~ 4 CDS2 a ~
1 — \ и cos a
A + V) и sin2 а
Г
= и cos2 a.
A1,36)

142
ВОЛНЫ В ОДНОРОДНОЙ МАГНИТОАКТИВНОЙ ПЛАЗМЕ [г.Т. Ш
то, как можно показать, исходя из A1,5) (см. также [61]), прибли-
женно получим:
(я —*¦/)?,= !—-
v
1 ± У и cos л —is'
г1,2= «1,2 Ki, 2 =
1-и(ш
7Г~ =2н1. 2*1,2 =- —
ы
где
"'эфф
A1,37)
ик -=
cos а = V г/ ш cos « = j/"a? ш.
A1,38)
Формулы A1,38) отличаются от формул A1,30) для продольного
распространения лишь заменой ю# на mL. Поэтому случай A1,36)
и A1,37) называется «квазипродольным».
При соблюдении неравенств
0
A1,39)
имеет место «квазипоперечное» распространение: в этом случае при-
ближенно справедливы формулы A1,31) и A1,32) или A1,35) для
поперечного распространения, но с заменой и на ит или ш на шГ, где
ат = и sin2a, (fly,— cousin а = ]/"игш. A1,40)
Второе из условий A1,39) относится только к обыкновенной
волне, а третье условие только к необыкновенной волне. Следует
подчеркнуть, что условия «квазипродольности» или «квазипопереч-
ности» A1,36) и A1,39) накладывают известное ограничение не
только на угол а, но и на параметры V, и и 5. Неравенства A1,36)
и A1,39) являются при этом достаточными, но не необходимыми
условиями для справедливости квазипродольного и квазипоперечного
приближений. Необходимые условия применимости этих приближе-
ний громоздки, и при несоблюдении указанных достаточных условий
лучше обращаться непосредственно к формуле A1,5).
Критическое число соударений. Графики «1,2A1) и xbj(»).
Анализ выражения A1,5) при произвольных v, и, $ и а достигается
построением соответствующих графиков. Единственное замечание
§ 11]
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВЫСОКОЧАСТОТНЫХ ВОЛИ
143
общего характера, которое мы здесь сделаем, относится к введению
'«критического числа соударений» '<Эфф, к, или критического пара-
: метра:
„нь
ila'a
п
1.0
\Ч
\
• \
' \
1
1
I
I f
\ \
\\
\ \
I h
2 cos a
= —?= A1,41)
2Уаь
(если допустить выбор углов,
для которых cos х < 0, то
в A1,41) нужно заменить
cos а на |cosoc|). Смысл
критического параметра sK
состоит в том, что при
s = sK н у — 1 подкоренное
выражение в A1.5) и A1,25)
; обращается в нуль, в резуль-
тате чего (ft — iy.)-L = (п—(>.)о
и Kl = Ki = — 1, т. е.
в этой «точке» (при этих
значениях $ и -v) среда пе-
рестает быть двоякопрелом-
.: ляющей.
При -'зфф <С-Эфф, к ха-
рактер кривых »Ь2(Ч») и
хЬ2(г') близок к имеющему
место при отсутствии по-
глощения. Если же v^.,;>
: !>, ¦^Эфф] к, то изменение вида
функций пиг, и -/1>г весьма
: существенно'.' В "условиях рк показатели преломления и по-
земной ионосферы случай ГЛ0Щения для X = 80 м и различных значе-
v,*^1'»*,*., может иметь JH
указаны
значение, если не говорить ний чзфф (значения а и и = -~у
О высоких широтах, лишь б тексте; пунктир относится к волнам
в области нижних ионо- типа 1, сплошные линии — к волнам тина 2).
сферных слоев D и Е.
Для иллюстрации поведения кривых «liS и хь4 приведем не-
сколько графиков, рассчитанных в ]57] для ряда конкретных случаев
(см. рис. 11,13—11,15). Во всех примерах Я<°> cos a=0,447 и №» sin a=
==0,218, т. е, №°) = 0,497 гаусса, шя=8,8.106 и а=25°50'.

волны в однородной млгнитолктивной плазме
144 „„,ша в ОДНОРОДНОЙ МЛГНИТОЛКТИВНОЙ ПЛАЗМЕ [ГЛ. III
Значение ~'афф,н при этом равно 9,5 • 10°. На рис. 11,13—11,15, а
и d приведены значения nh2 " xj,s пРн ''зфф~0 для волн с длиной
Хо == SO м (и = 2,36- 107), л„ = 225 м I»-"» '"- 10=Шм
,-,„ _ л ?о^ . «- ^ напри.мер,
..,-, ..«««о другого зна-
"*? ' чения а — -»-, состоит а том, что
указаны величины п1:, и 5<ьг, а не
/if, j и в согласии с формулой A1,5)
всегда «ь2>0, z,i2>0. Та-
ким образом, значения zfs на
~Й? j;j~*b рис. 11,13—11,15 отвечают вели-
чине — П]:2 на рис. 11,6 и анало-
гичных рисунках. На рис. 11,13—
11,15, в и г приведены значе-
ния яьз и хь2 для -тех же волн,
что и на рис. 11,13—11,15, а и б,
но при чэфф = 4,7-105 ^эфф =
— 0>30уафф;к) «Я h~ S0 Л(; ПРИ
-.эфф = 4,2. !05(узфф = 0D4-,эфф1К)
для >.о — 225 м и при у,фф =
= 3,9 • №>эфф = 0,4Ьэфф, к) для
На рис. 11,13—11,15, дне
приведены аналогичные кривые
__, при v^$==2,0v^$>I( для Ло= 80
:.е г.о и и 490 л и при "'эфф = 1,8Чэфф> к
1 для а0 -= 225 .«. Кроме того, на
Рис. 11,14. Показатели преломления Р11С' П,13 Ж и з приведены кри-
и поглощения для А = 225 м и раз- вые пь 2 (Р) й Ч, 2 (v) Д-1Я '-о ~ 80 м
личных значений уЭфф (значения а ни и Vзфф — ^фф| к.
указаны в тексте). Отметим, что даже при v^^^i
== О.О'-зфф, к, не говоря уже о боль-
ших значениях ''Эфф, поглощение волн велико. Действительно, в од-
нородной гл"»
^.0 v
дородной ч.
= е
и при
поля затухает по
расстоянии
а с ii, гг
осла-
г -слое, где v Л ^
Для разобранного
§ И]
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВЫСОКОЧАСТОТНЫХ ВОЛН
145
п.
'•1,2
весьма олизки к изо-
Ясно, что в этом случае кривые
бражеиным на рис. 11,13, а и б.
Поглощение влияет также на поляризацию обеих волн, и, в ча-
стности, при учете поглощения оси эллипсов, описываемых проек-
цией вектора Е на плоскость ху, не совпадают с осями ~
малых поглощениях поляризация, разумеется, близка
: место при отсутствии погло-
' щения; наибольшие откло- v"'9
нения наблюдаются вблизи
точки V = v2l) = 1, где поля-
ризация сильно изменяется ,jL_.^
О
2 0
i
х и у. При
к имеющей
I,
¦0 1д
3.0
0
19 W*=
го\
i
i.O 6.0 ~,д
г
А
и
1,0
3.0 о S 1.0 2.0 ЗМ
с изменением v (см. рис. 11,9
и 11,12 и формулу A1,25)).
Громоздкость общих вы-
ражений A1,5) для (я—r<0s.-2
Р
;и A1,25) для Кьг = ^''~2- 1в\
делает иногда целесообраз- щ
:ным использование для
определения и, •/ и К номо-
грамм, которые можно найти
ев [58].
Влияние ионов. В ниж-
«их ионосферных слоях,
;в особенности в D-слое, на
/распространение радиоволн
могут оказывать влияние не
только электроны, но и
„ионы. При отсутствии зем-
ного магнитного поля влия-
ние ионов учтено в § 3,
где показано, что при пре-
>¦ небрежении поглощением ионы с концентрацией ;V., массой М и
^единичным зарядом вносят в выражение для г такой же вклад, как
^электроны с концентрацией ?уГэфф =-^-,Vj (си. C,4)). При учете
^поглощения положение несколько усложняется, так как эффективные
Ьчисда соударений для электронов и ионов различны. Электроны и
гионы неэквивалентны также при учете влияния земного магнитного
«поля, так как влияние магнитного поля на электроны и ионы
Определяется соответственно значениями гироскопических
Рнс. 11,15. Показатели преломления и по-
глощения для I = 490.« и различных значе-
ний чЭфф (значения а а и указаны в тексте).
ЮН-
тс
' 150 и
101
- и 9,„ = -
2т.
, .
частот
- = -^- а>н (для ионов О* при Н -~ 0,5 эр cm
f = -i^.^-10 000 km). Поэтому в высокочастотном
::С.лучае, когда циклическая частота радиоволн ш "_5> 2Я (см. A0,5)),
10 Згк. 1471. В. Л. Гинзбург

146 волны в однородной мдгнитодктиеной плазме [гл. ш
влиянием магнитного поля на ионы можно пренебречь. Это обстоя-
тельство, на которое уже не раз указывалось, обеспечивает возмож-
ность вообще пренебречь ролью ионов только, если их концентра-
ция Nt сравнима с концентрацией электронов. Обычно именно такой
случай и предполагался имеющим место, что не всегда вновь огова-
ривалось. Если же Nt~~J§>N, то ионы могут оказывать заметное
влияние и в случае высокочастотных волн. При этом выражение для
тензора г'ы имеет вид:
A1,42)
(Н.43)
где ••'a'qxp-—эффективное число соударений ионов с массой М (для
простоты считаем, что все ионы однократные и масса их одинакова)
со всеми частицами, присутствующими в среде (электронами, иоками,
молекз'лами). Выражение A1,43) есть, очевидно, просто комплексная
диэлектрическая постоянная изотропной плазмы при учете движения
одних только ионов.
Исходя из A1,43), можно так же, как это сделано при прене-
брежении движением ионов, найти значение величины (и — i%)\ ,.
При этом вместо A1,5) получаем:
(Л - U){ „ =
2<l-*)/l-i-&\_eslnS
A1,44)
где v, и. и s имеют такой же смысл, как и при отсутствии ионов.
При сравнении A1,44) с A1,5) ясно, что учет ионов сводится
к замене в A1,5) величины и = -
всего выражения на е' .
1 я НЯ
и к умножению
4 И)
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВЫСОКОЧАСТОТНЫХ ВОЛН
147
В частных случаях: при /^' = 0, при продольном и при попе-
речном распространении — имеем:
Н® ~ 0: („ - Hfl 2 = (я-^==й -rib-s - ^^
— IS I — IS;
= 0:
v \ 1 ; is
A — is) II j is\—u
/
',')
г
¦Г A1.45)
!> Подробный анализ формулы A1,44) проведен в [57]. Ограничимся
!:здесь тем, что приведем на рис. 11,16 кривые ni.2 — (n-—йI, ? при
^отсутствии поглощения для того же случая, что и на рис. 11,13—11,14
^Х0=80 и 225 м, 0)^=8,8 ¦ 10«, ?.= 25°5(У) при \ = ^j- — ^д-= 0>
¦¦%. n'i з-
:--'&. О
¦ •;:-:; -г
Рис. 11,16. Квадрат показателя преломления в случае смеси электро-
нов и ионов г = -ггтг ' где ^ и ^i — концентрации электронов и ио-
нов, a m и М — их массы: а) X = 80 м\ б) X = 225 м. Жирная линия:
5 = 0, тонкая линия: ? = со, пунктир: 5 = 1.
1 и со (? = 1 — одни электроны, % = со — одни ионы, ; = 1 — вклад
электронов и ионов в значение е при отсутствии магнитного поля
•одинаков).
О поглощении и излучении электромагнитных волн магнито-
активной плазмой. В заключение остановимся на одном моменте,
существенном для понимания Еопроса о поглощении и излучении
электромагнитных волн магнитоактивной плазмой. Из общего
10*

148
ВОЛНЫ 3 ОДНОРОДНОЙ МАГНИТОАКТИВКОЙ ПЛАЗМЕ
(ГЛ.
2
выражения A1,5) для (п — i/.)\ , можно видеть, что при s2 = —'—- <g; I
поглощение является наибольшим вблизи резонанса, т. е. в области,
где при отсутствии поглощения п^ j неограниченно возрастает (это
особенно ясно из относящихся к частным случаям формул A0,30)
и A1,32)). Другими словами, при достаточно малом 52 = —'—¦ плазма
заметно поглощает лишь вблизи точек %2«> (см- (И>18) к A1,22)).
При з = 0 точке t']co отвечает частота мш — ш^. Однако
при всех других значениях л имеем ми = шн и, напри-
мер, при я = ~- получим ю^ = у wjj-I-uj^ (см. также ниже формул1'
A2,3)). Как известно, если система поглощает волны на какой-то
частоте, то она и излучает волны той же частоты; в частном случае
термодинамического равновесия этот вывод непосредственно следует
из теоремы Кирхгофа. Таким образом, нагретая магнитоактивная
плазма должна излучать волны преимущественно вблизи частоты ш,-л,
С другой стороны, нерелятивистски?* электрон в магнитном поле
вращается с частотой ш = -—-—-— и в вакууме излучает волны
только этой частоты. При переходе к разреженной плазме, когда
е>^~^$>'Kфф, электроны ббльщую часть времени, так же как в вакууме,
вращаются с частотой ши и должны, казалось бы, по-прежнему
излучать только частоту о>н и весьма близкие к ней.
Получающийся парадокс разрешается [62], если учесть, что среда
влияет ка излучение движущейся в ней частицы, причем в некоторых
случаях это влияние меняет весь характер излучения. Простейшим
таким примером является гармонический осциллятор частоты ш, по-
иещен.чый в изотропную плазму с s = ti2 = 1 г" ¦< 0. Поскольку
поле в таклх условиях затухает, излучение при ш < ш0 вообще не-
возможно. В случае электрона, вращающегося в магнитоактизноЯ \
плазме, положение не так просто. Однако из относящихся сюда
общих формул (см. [63]) можно показать, что в нерелятивистском
пределе электрон в рассматриваемых условиях при отсутствии соударе- ;.
ний вообще не излучает. При учете соударений электрон излгчаег, ;..
конечно, н в магнитном поле, но это излучение является тормозным.
Именно такое тормозное излучение и испускается нерелятквисгской
плазмой; ояо особенно сильно вблизи частоты шк, так как интен-
сивность тормозного излучения (как и дипольного излучения вообще)
увеличивается с pocтo^f показателя преломления *),
*) Нужно заметить, что при учете членов порядка 1— I и более высоких
t)?. = у скорость электрона j появляется излучение и на частоте «я
ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ДИСПЕРСИЯ И ПЛАЗМЕННЫЕ ВОЛНЫ
149
S$//Может возникнуть также такой вопрос. Из уравнений движения
ЗЙр,8) и их решения A0,9) как будто следует, что резонанс в плазме
«liMeeT место на частоте ч> ,, фактически же он смещается к частоте шг .
Iga счет чего же происходит это смещение? Ответ, разумеется, дается
>?дсем проведенным в §§ 10 и II рассмотрением, но кратко можно
|сказать, что сдвиг резонансной частоты связан с учетом коллекти-
вного движения электронов в плазме, приводящим к изменению поля-
|;ризации нормальных волн в среде по сравнению с их поляризацией
йвлвакууме. В качестве пояснения рассмотрим поведение одного из
^электронов плазмы под действием необыкновенной волны в случае
Тй;==-^- (поле //(°> направлено по оси у, соударений не учитываем).
^Компоненты скорости вынужденных колебаний электрона при этом
гравны (подробнее см. 162]):
_ се Ех — ЦгиЕ. __ ie{v—\)Ex
Ш'ч И 1 Г'Ш A — V il) '
, = 0,
te
ma
Ez — / у и ?д.
ieE,
яГДе учтено, что для необыкновенной волны при ¦J-^-i имеем Еу — О
/И Е v \! и = i?2 [и A--v — 1).
Ш 4<
.',:".¦ Резонансный знаменатель и—Л --~f — 1 заменяется здесь на
::, , шо '4-;
/Г—V — й=1 г- j потому, что в волне, распространяю-
щейся е магкитоактнзной плазме по оси г, компонента будет Ег == 0,
¦¦;&¦ роль действующего поля играег выражение Ех—I ]/ иЕ. (в изо-
тропной среде, если действующее поле не равно среднему, собствен-
ная частота поглощения осциллятооа также смещается).
0: § 12. Пространственная дисперсия и плазменные волны
./:\ при наличии магнитного поля (учет теплового движения)
%л Предельный переход к изотропной плазме. При переходе от
/Магнитоактивкой к изотропной плазме (т. е. при стремлении к нулю
/внешнего магнитного поля Н'^'Л должны в высокочастотном случае
,/быть получены три нормальные волны: две поперечные 'л одна про-
дольная (плазменная). Между тем в ыагкятоактивной плазме суще-
/ствуют только две волны: обыкновенная и необыкновенная. Ответить
: и на ее обертонах. Этот эффект приводит к заметному поглощению уже при
1003K
vl %T
солнечная корона
у
\
на 1. Учету влияни
яния теплового
Движения на распространение зслн в магнитоактивной плазме посвящен
следующий <> 12.

150
ВОЛНЫ В ОДНОРОДНОЙ МЛГНИТОАКТШШОЙ ПЛАЗМЕ
[ГЛ. in
на вопрос о характере предельного перехода к изотропной плазма
наиболее просто, рассмотрев кривые д?, г при малых значениях
и = -^г и при а->0 (рис. 12,1; ниже, если не оговорено противное,
поглощения не учитываем). Мы видим, что причг-+0 кривые я?,
переходят не просто в прямую л|5 = 1 —v, но также в вертикальную
6 12]
ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ДИСПЕРСИЯ И ПЛАЗМЕННЫЕ ВОЛНЫ
131
Рис. 12,1. Функции 2* „<«); а) , ^ 45е, а = 0,01: б) u^Q (переход
к изотропной плазме).
прямую^ =1 при неучете пространственной дисперсии пря.ая
т<о* — Щ2 — 1 "а рис. 12,1, б как раз и отвечает плазменной
волне в изотропном случае (см (8,1)). Характер того же предель-
ного перехода легко проследить и на графиках функции 1\ , в зави-
симости от аргумента — .
Впрочем, указанная особенность хода кривых п\ , ясна и без
построения ^рафиков, если учесть, что при ы^1 случаем
г/ь2сО = 1^_цсм2Т^1 и всегда при я ф 0 будет tj20 = 1 и vlf} =
Z, \~ VU^L Если иметь в виду не только .ход кривых п\ .,(г>)
но также „ поляризацию нормальных волн, то требования связан-
ные с предельным переходом, тоже соблюдаются (напомним!'что при
.у _э-иьг, ет волны 1 или 2 линейно поляризованы в направлении рас-
пространения; см. § 11),
Точно с таким же в качественном отношении предельным пере-
ходом мы имели дело в § 11 при любом и и угле с. —>0 (см. рис. 11,10).
Это совпадение не случайно, так как при я = 0 обыкновенная и не-
обыкновенная волны являются чисто поперечными(Ez — 0, Ех= ~iEy)
и при пренебрежении тепловым движением (т. е. без учета про-
странственной дисперсии) магнитное поле заведомо не влияет на
упорядоченное движение частиц по полю. По последней причине
в любом поле при а=0 должна существовать продольная волна,
бегущая вдоль поля, т. е. должна существовать плазменная волна
•»= !. Это обстоятельство видно не только на рис. 11,10, но и из
исходных уравнений (при «=0 условие ?)г=0 имеет вид Ог =
= 8г2^г = гСг> что и приводит к «дисперсионному уравнению» для
плазменной волны v = —j- — 1; см. §
Заметим также, что отмеченные особенности предельных пере-
ходов при и—>0 (или ш'^ —>0) и а-*0 отнюдь не являются типич-
ными только для магннтоактивной плазмы. Напротив, они характерны
для любой анизотропной среды (переход а —>0 соответствует исчезно-
вению анизотропии, а переход а—>0 отвечает приближению к одной
на главных осей).
Может возникнуть все же некоторое недоумение, связанное с тем,
что при пренебрежении пространственной дисперсией в изотропном
случае в точке v = 1 существуют три волны, а в анизотропной
среде в любой точке (при любом у) только две волны. Поскольку
предельный переход, как показано, осуществляется нужным образом,
здесь вряд ли есть основания для беспокойства. Ситуация становится,
однако, значительно более прозрачной, если вспомнить, что при пре-
небрежении пространственной дисперсией о плазменных волнах можно
говорить лишь в довольно условном смысле. При учете же про-
странственной дисперсии кривая n^{v) для плазмы имеет вид (см.
(8,25)):
¦*> / \ 1 и. . * ~~ v П-1 *'1 ПО 1\
Поэтому три волны (три значения ft2) имеются не только в точке
¦о=1, но в целой области в окрестности этой точки (границы этой
области определяются условием малости затухания; см. (8,12) и
(8,31))*).
*) Как было указано з $ 8, в силу требования, малости затухания плаз-
менных волн в выражении для н3 можно заменить 1 j- на 2 \ 1 I .
Здесь и в дальнейшем удобнее, тем не менее, не всегда пользоваться упро-
щениями такого типа.

152 ВОЛНЫ В ОДНОРОДНОЙ МАГНИТОЛКТИВНОЙ ПЛАЗМЕ [ГЛ. III
Об учете пространственной дисперсии в анизотропной среде.
Учет пространственной дисперсии в анизотропной среде и, в част-
ности, в магнитоактивной плазме приводит к такому же результату.
Этот вывод можно понять без всяких расчетов (см. [1, 22]). Дей-
ствительно, в начале § 11 указывалось, что дисперсионное уравне-
ние для п% должно было бы быть уравнением 3-й степени для п2,
но фактически является уравнением 2-й степени. Таким образом, имеет
место некоторое вырождение: коэффициент при и6 равен нулю, и
третий корень til уходит на бесконечность. Естественно, что при учете
нового эффекта — пространственной дисперсии — вырождение сни-
мается и появляется конечный третий корень п\. В изотропной плазме
этот третий корень определяется выражением A2.1). При Г—>0
п\ (v)—> ~о, за исключением одной точки г»= 1» Появление этой точки
связано с другим вырождением — изотропией, причем и в изотропной
среде при Г=0 уравнение для п2 2-й степени и условие существо-
вания 'продольного ноля s{v)=\—v — Q не определяет какого-то
значения nj.
Приведенные соображения позволяют также заключить, что третья
волна (третий корень) п2 должна быть существенна в районе, где
kj или п\ стремится к бесконечности. В самом деле, если в уравне-
нии а«6+ &i4-f-cn2-i-?i = 0 коэффициент а очень мал, то корень п\
очень велик (т. е, /г|—>оо при а—>0); при этом корень n'i мини-
мален, если при данном а стремится к нулю коэффициент Ь, т. е.
уходит на бесконечность еще один корень уравнения. Таким обра-
зом, в плазме можно ожидать, что значения я^ будут не слишком
велики только вблизи точки #ь2Ос. т. е. при условии *)
1 —d — v-L~«c'cos4= 1 —Ц-— -т~ ^^cos2a = 0. A2,2)
сйг i.-j- ь^
Частоты <?, удовлетворяющие этому условию, таковы:
ш2 = -^lifi ~ 1 /(,4+а'нТ ~
« 2 ~ у 4~— %«i^cos2a.
*) Уравнение
A2,2а)
отсутствии поглощения имеет вид:
Я-чя vu^ получается проще всего из условия равенства нулю
*та при «* в уравнения A3,3) т. е т 1Т™,
§
ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ДИСПЕРСИЯ И ПЛАЗМЕННЫЕ ВОЛНЫ
153
Учет пространственной дисперсии в анизотропной среде можно
осуществить в общем виде феноменологически [1], подобно тому
как это было сделано в начале § 8 в отношении продольных волн
в изотропной среде. Имея в виду только случай магнитоактивной
плазмы, поступим иначе, сразу же рассматривая пространственную
дисперсию, обусловленную тепловым движением электронов. При
строгом анализе этой проблемы нужно использовать кинетические
уравнения, что при наличии магнитного поля приводит к довольно
громоздким расчетам (см. |43, 49, 64—70]). Поэтому, прежде
чем остановиться на некоторых результатах кинетической теории,
рассмотрим задачу в квазигидродинамическом приближении, уже
использованном в конце § 8 (см. также [19, 69—72] и § 13).
Квазигиародинамическое приближение. В квазигидродииами-
ческом приближении исходим из уравнений (здесь учитывается только
движение электронов):
fill.
N
A2,4)
— arad div?-
1 д*Е _ 4n dj. . _
е- ot
J
Если пренебречь членом с давлением, отсюда получаются, конечно,
результаты § 11.
Учитывая давление, производя линеаризацию (скорость ve мала,
изменение концентрации Л'-'<^ Л') и пренебрегая затуханием, для
плоских монохроматических волн из A2,4) получаем дисперсионное
~, c2ft2
уравнение для п2 — —^- :
Р2 A — и cos2?.) /1« — S! — а ¦— v -f- uvcosh. + 2^2 A —v,—u соьЩ я4 4-
[2A
иJ — и B — v — -V cosaa) -j- f A — 2-е -i- v2 — a cos2*)] n2 +
__(l_l,)[u_(l_yJ] = 0l A2,5)
где
Р = |/ ia~^-:=Y'ie?'r — величина порядка отношения средней
^тепловой скорости электрона к скорости света. В отсутствие теп-
.лоеого движения (при 8-ч>0) уравнение A2,5) переходит в A2,3).
:В интересующей нас нерелятивистской плазме
/Например, в солнечной короне (при Т~-- 10s =К) Ц-— -~г ~ iO.
,". В силу условия A2,6) ясно, что во всей той области значений
/Параметра v, где корни п'_ и tin, вычисленные при fi2=0, не слишком

154
ВОЛНЫ В ОДНОРОДНОЙ МАГНИТОАКТИВНОЙ ПЛАЗМЕ
[гл. ш
велики, тепловые поправки малы. Третий корень уравнения A2,5)
при этом велик, т. е. определяется первыми двумя членам» и поэтом?
равен
~, ^ 1 — и — о-!- м> cos2а
A2,7)
Корень A2,7) может быть не очень велик только вблизи точки vx.,
определяемой условием A2,2). Таким образом, принятая квазигидро-
динамическая модель, как этого &
и следовало ожидать, приводит
к следствиям, находящимся в со-
ответствии с изложенными ранее ( , .
соображениями общего характера. юво \ \ :
При а = 0 (продольное распро- '
/03
ч
9
-IS
-да
~ШйВ
твое
\
¦
\
s
/У,' ~~»
Рис. W Функции ~п\ (сплошная Рис. 12,3. Функции ~п{ (сплошная ли-
лмния) и я.5 (пунктир) при « = 0.1, ния) и Ц (пунктир) при „ ^ Г"
-х = 90° и рз = ю-й (квазигидродииа
мическое приближение).
р)
0~4
— 10° и рг = 10~4 (квазигидродина-
мическое приближение). Пунктиром
из точек показаны кривые "п\ при
тех же значениях и и я, но р3 = 0.
страиение) уравнение A2,5) приводит для поперечных воли к вы-
ражениям A1,9) д-1я riti^=n±, а для продольной волны к выраже-
нию A2,1) для «з. Уже здесь подчеркнем, что полная независимость
выражений п"± от р2 является лишь следствием использованного
приближения и не имеет места при кинетическом расчете (см. ниже).
§12]
ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ДИСПЕРСИЯ И ПЛАЗМЕННЫЕ ВОЛНЫ
155
При я = -w (поперечное распространение) получаем старое реше-
нне й5 = 1 — v для обыкновенной волны и уравнение
р2я4 + l(v — 1) (I -4- f) -+- и] «2 4- [(г- — IJ — и] = 0, A2,8)
которому отвечают решения п\
ранее корень
1 —а
очень велик
= 1 — и; ко-
и п\. В соответствии со сказанным
везде, кроме окрестности точки
рень и! вне окрестности этой
точки практически опреде-
ляется старым выражением
(см. A1,14) с s = 0). Вблизи
точки Uico ход кривых п~1,з(у)
при и <С 1 ясен из рис. 12,2
и 12,3, где пунктир относится
к решению «з- Напомним, что
в области отрицательные значе-
ний п- соответствующие волны
сильно затухают (затухание
'происходит по закону е
поскольку ге2=—¦!? при
•> Особенно важно подчерк-
нуть, что решение п'ь не обра-
зует какой-то независимой ветзи
¦¦•функции я2. Появление третьего
¦/решения связано с другем —
"•^исчезновением разрыва функ-
ции п\ и такой деформацией
"кривых, что данному значению v
Отвечают уже два значения ii1
¦ (об обыкновенной волне речь а=ю= и 3Z = 10
сейчас не идет). Если при ? —>0
;>полюс имеет обыкновенная
'Долна, т. е. ni (у;ж)--> со (это имеет место в области /г>1,
<:U:l=-'¦ "cos2a > I), то плазменная волна является продолжением ветви
лКу); сказанное ясно из ряс. 12,4.
:\::::: О плазменных волнах в магнитоактивной плазме. В силу такого
хода кривых ясно, что деление волн на необыкновенную и плазмек-
,ную (при и-С 1) или обыкновенную н плазменную (при а >• 1,
-100
-10SS
Рис. 12,4. Функции :ij и ni при и — 2,
(квазигидродина-
мическое приближение).

156
ВОЛНЫ В ОДНОРОДНОЙ МЛГНИТОЛКТНВНОЙ ПЛАЗМЕ
['"Л- III
acos2a>-t) является весьма условным, Собственно, в магнптоактиз- :
ной плазме никаких особых плазменных волн нет и лишь по сооб- ;
раженияи удобства и с точки зрения характера предельного пере- }
хода к изотропной плазме соответствующая часть кривых п\ или >ц
будет называться кривой для плазменных волк. Принятое определе- ¦
ние соответствует, очевидно, тому, что плазменными волнами назы-
ваются волны, для которых при д-—.>0 не существует конечных
значений п\ (см. рис. 12,2—12,4).
При квазигидродинамическом подходе в пренебрежении соуда- ;
рениями волны не затухают, даже если их фазовая скорость сравнима
со скоростью теплового движения электронов. Между тем кинетн- ;
ческое рассмотрение приводит (как и в случае продольных волн
в изотропной плазме) к возможности появления затухания, не связан-
ного с соударениями. Кроме того, нужно подчеркнуть, что и для
вычисления я2 в области, где затухание мало, квазигидродинамический
подход в случае магнитоактивной плазмы значительно более огра-
ничен, чем в изотропном случае. Дело в том, что в изотропной ;
среде для продольной волны просто по соображениям симметрии ;
в дисперсионное уравнение может входить лишь один неизвестный :
коэффициент (см. § 8 и [I]). Именно поэтому, выбирая в (8,42) ,
значение %е равным 3, мы могли получить полное совпадение квази- ,
гидродинамического и кинетического результатов. В случае же
анизотропной среды учет пространственной дисперсии приводит ¦
к появлению более сложных выражений с несколькими коэффициен-
тами. Между тем в уравнениях A2,4) мы считали тензор напряже-
ний сводящимся к давлению, т. е, по-прежнему вводили только
одну неизвестную постоянную %. Сказанное приводит к тому, что
ни при каких значениях %е дисперсионное уравнение A2,5) не сов- •
падает с приводимым ниже уравнением A2,52), получаемым в кине-
тической теории. Практически отличие сводится к разнице в коэф-
фициентах у ft6, которые в обоих случаях порядка Щ., но по-разному
зависят от и, v и а. В частности, при квазигидродинамическом \
подходе как при а < 1, так и при и :os2a > 1 (и всегда используемом
условии ^2<^1) все три корня яГ, 2, з уравнения A2,5) всегда веще- ;
ственны. В кинетической же теории, как мы увидим ниже, это
не так.
Для однородной среды, поскольку кинетическое рассмотрение
проведено, квазигидродинамический расчет в силу сказанного, по
меньшей мере, излишен. Ценность такого расчета состоит в воз-
можности его провести и в тех случаях, когда кинетическая теория
сталкивается с большими математическими трудностями (многоком-
понентная плазма, содержащая ионы разных сортов или молекулы;
неоднородная плазма и т. д.).
Кинетическая теория. Перейдем к кинетической теории высоко-
частотных волн в однородной магнитоактивной плазме.
ffi§:12] ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ДИСПЕРСИЯ И ПЛАЗМЕННЫЕ ВОЛНЫ
'¦к: Исходными являются уравнения (см. D,2) и (8,18)):
dt
¦ grad div E - fT -%г = -^ -^, Л =
s / щ
d<o;
! 57
A2,9)
ts&ecb соударениями пренебрегается и кинетическое уравнение уже
^линеаризировано (функция распределения / = /0-j-<fi |?i<C!i/oi>
Шмагнитное поле волны \Н \<^Н- , если невозмущенное распределе-
ние является максвелловскнм, как это будет ниже предполагаться,
,= fm==\'t^L-\- е
1-j.T
:fr: Система A2,9) отличается от использованной в § 8 только членом,
^содержащим внешнее магнитное поле Н^о\ Этот член приводит к очень
Шильному усложнению всех вычислений даже при решении задачи
^методом Фурье, т. е. путем подстановки <р = <ро(©) е' Of-*'), Вместе
:УС тем, в принципиальном отношении расчет ведется так же, как
|?в изотропном случае (см. § 8). В результате получается дисперси-
!фнное уравнение, определяющее связь между ш и k, причем в зна-
йМенателях подынтегральных выражений типа (8,33) вместо ш — kv
^фигурируют величины
ш — swff—fti'.,cosa,
s=0, ±1, ±2, ± 3, . . .,
где vz — проекция скорости электрона плазмы на направление
магнитного поля /г , выбранного за ось z, и а. — угол между
Я<0> и к.
Если эти знаменатели обращаются в нуль, т. е.
A2,10)
то решение уравнений методом Фурье незаконно, и нужно решать
задачу с начальными условиями. В результате для нахождения ком-
плексной частоты a/ —(D-f-i-f в зависимости от k оказывается при-
годным дисперсионное уравнение, получаемое методом Фурье, но
с интегрированием по v3 по контуру, обходящему сверху резонанс-
ш — ?ш//
ные точки v, = ~г ¦.
z к cos a
Природа поглощения, не связанного с соударениями. Прежде
чем привести получающиеся таким образом выражения для ч> (ft)
и ~[(k), остановимся на физическом смысле условия A2,10) и тем
самым на природе поглощения, не связанного с соударениями.
В магнитном поле электрон вращается вокруг линий поля
I e I #f0> me2
с частотой ш^=——; —, равной в нерелятивнстском пределе

158
волны в однородной магнитоактивной плазме
[ГЛ. Ill
частоте ш// =
И!Я@)
кроме того, электрон может иметь произ-
вольную скорость v2 < с вдоль линий поля. Движущийся таким
образом электрон (или другая заряженная частица) излучает элек-
тромагнитные волны как вследствие наличия ускорения (магнитотор-
мозное или синхротронное излучение), так и при выполнении соот-
ветствующего условия в силу эффекта Вавилова — Черепкова*).
При вычислении спектра и интенсивности излучения в произ-
вольной среде практически единственным пригодным методом является
использование разложения поля на нормальные плоские волны, могу-
щие распространяться в данной среде [73 —77]. Векторный потен-
циал поля представляется при этом в виде:
А ~ ^d —~~<hjQ\iй' >r-f-комплексно сопряженный,
где a-,j — комплексные векторы поляризации, отвечающие нормаль-
ным волнам /=: 1 и у — 2 (разумеется, в негиротропной среде
векторы a>sJ- вещественны, если не говорить о случае вакуума, когда
их можно выбрать и вещественными и комплексными). Подставляя А
(в_виде ряда) в уравнение поля для А, после умножения на
Л 4~ С * -ik.r
п,. а"'4е '¦ и интегрирования по пространству получаем урав-
нения для qxr.
§12]
ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ДИСПЕРСИЯ И ПЛАЗМЕННЫЕ ВОЛНЫ
159
Частоты, излучаемые движущейся частицей, могут быть сразу же
определены, если учесть, что излучению отвечают нарастающие во
времени решения для qkj (при излучении энергия поля все время
возрастает, что возможно лишь в случае возрастания q,). В свою
очередь нарастание д., во времени может иметь место только при
резонансе, когда в спектре «силы» f (t) в A2,11) присутствуют
частоты, равные каким-либо возможным значениям частоты ш^ = -~- ,
Рассмотрим, например, равномерное движение электрона, когда
г =vt. Тогда в спектре силы f (t) присутствует лишь частота kv,
и условие излучения «у s ш = kv есть как раз условие появления
черепковских волн (подобный способ [78] получения условия черен-
ковского излучения представляется нам одним из простейших). Для
электрона в магнитном поле получаем:
ге — [r0
[r0 :os wHt,
= {— VL sin Ш
r0 sin a*
vz\>
f(t) = const (— a*xv , sin u>*Ht-{-a*vLcosu>*Ht-f-й*иг) X
где оси координат для простоты выбраны так, что kx = 0. Используя
разложение плоской волны по бесселевым функциям
A2,11)
exp f— ifC\r0 sin a sin <*>*Ht\ -— \,
где ш^.= —^, rc и ^e=-^/ — радиус-вектор и скорость излучаю-
щего электрона.
Если не говорить о численном множителе, то вид «силы» / (t)
в A2,11) ясен сразу же — достаточно вспомнить, что плотность тока,
связанного с движущимся электроном, равна
je — е-ve (t) Ь if — ге), Г el {r — re) dr =— e,
а в уравнениях поля в правой части стоит выражение — f,; следо-
вательно,
f
e-lkir,
что и отвечает правой части в (!2,П).
*) При наличии соударений к магнитогориоэному и черенковскомг излу-
чению прибавляется тормозное излучение, возникающее в результате уско-
рения электрона во время соударения.
без труда убеждаемся в том, что условие резонанса имеет вид:
cos a, s = Q, ±1, ±2, A2,10a)
и в нерелятивистском случае переходит в A2,10).
Условие A2,10а) при s = 0 есть условие черепковского излуче-
ния для частицы, движущейся со скоростью vz. При $ Ф 0 вместо
A2,10а) можно написать yk = — n(w, cos an:
s > 0: ш = -
I —n cos а
с
— П COS а — 1
С
-, A2,106)
причем частота ш, как и в формулах A2,10), A2,10а) и всех других,
всегда положительна *).
*) Излучение, отвечающее значению s~0, называют обычно черепков-
ским, а излучение при s^0 — магнитотормозным или синхротронным; нужно,
однако, иметь в виду, что такое разделение носит несколько условный
характер (см. [81]). Например, при vz = 0 (движение по окружности) из-
лучение при s = 0 отсутствует. Б то же время из физических сообр^аже-

160
ВОЛНЫ В ОДНОРОДНОЙ МАГНИТОЛКТИВНОЙ ПЛАЗМЕ [ГЛ. Ш
Если скорость v , <^ vz, то электрон в магнитном поле излучает
подобно двум соответствующим образом выбранным диполям, дви-
жущимся вдоль поля со скоростью vz~v; этому случаю отвечают
значения s== ± 1 (точнее, более высокие обертоны не играют роли,
если кгй sin a = ~nv ( шдsin я<^ 1 j, В подобных условиях фор-
мулы A2,106) являются частным случаем формулы для эффекта
Доплра е [79 80]
у (,)
Доплера в среде [79, 80]
I 1 — fi/Z COS a. !
i 1 — {in COS a |
A2,12)
где uig — собственная частота излучателя в системе отсчета, в кото-
¦его частота в
рой он покоится,
(в случае движения в магнитном поле
V
лабораторной системе
ш^); далее, в A2,12)
8 = y> 'J- — Угол между волновым вектором k и о и в общем случае
п = п ш, —
Область углов внутри черенковскою конуса, на котором
Висо5я=1, отвечает аномальному эффекту Доплера, а область
S«eosa< 1 отвечает нормальному эффекту. Появление аномального
эффекта Доплера, как и черепковского излучения, возможно, разу-
меется, только при сверхсветовой скорости, т. е. когда Зя=—п> 1.
В случае движения в магнитном поле аномальному эффекту отвечают
значения .у<0 в A2,10) и A2,10а, б).
Если частица испускает излучение с какой-то частотой ш, то и
поглотать она будет излучение такой же частоты, как это хорошо
известно и нз классической, и из квантовой теории.
Таким образом, становится совершенно ясной природа*) не свя-
занного с соударениями поглощения волн в магнитоактивной плазме
на частотах, удовлетворяющих условию A2,10). К тому же резуль-
тату можно придти, рассматривая при движении электрона в магнитном
поле частотный спектр силы, действующей на этот электрон в поле
ний очевидно, что при достаточно большом радиусе кривизны излучение при
1'г = 0н Зл>1 будет но своему характеру весьма близко к черенковскому.
В случае же использования упомянутой терминологии излучение при vz ==¦ 0
является чисто магнитотормозпым, и формально такое название оправдано,
поскольку спектр при неучете эффекта Доплера или при о. = -L дискретен
(а, — saiHy а интенсивность излучения не стремится к нулю при переходе
к вакууму. Таким образом, пользуясь термином емагннтотормозное излуче-
ние», не нужно забывать, что при движении заряда в среде такое излуче-
ние по своему характеру может радикально отличаться от излучения
в вакууме.
*) См. также [82, 83].
§ 121
ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ДИСПЕРСИЯ И ПЛАЗМЕННЫЕ ВОЛНЫ
161
волны (частота силы не равна частоте поля Е, так как электрон пере-
мещается и в разные моменты находится в поло разной напряженности:
см. [341). Поскольку появление частот иш'и, кроме частоты т'и,
связано с присутствием множителя е~1кг, ясно, что мы имеем дело
с учетом пространственной дисперсии, т. е. зависимости поля от коор-
дп'наг. В нерелятивистском случае а при пренебрежении множителем fer
по сравнению с единицей условие излучения имеет вид ю = uifc., что
соответствует теории, рассмотренной в предыдущих разделах.
При отсутствии соударений задача о поглощении и рефракция
(вычислении показателя преломления) и магнитоактивной плазме в силу
изложенного может быть тесно связана с задачей об излучении; про-
изводя необходимое усреднение по скоростям на таком пути (см. § 37
и [S2, 85]). многие результаты можно получить и без использования
кинетического уравнения. Однако метод кинетического уравнения
позволяет проводить усреднение по скоростям наиболее естественным
образом и, главное, позволяет без дополнительных затруднений
учесть и влияние теплового движения на показатель преломления, и
влияние соударений.
В этом последнем случае в дисперсионном уравнении в знамена-
теле вместо «) — $и>ц ~ kz cos я стоит выражение
ш — 5to// — &х',соза
t (v).
A2,13)
как это cpajy же ясно из A2,9) при добавлении к уравнению для -f
члена v (v) ъ.
Пренебрежение влиянием теплового движения отвечает в A2,10)
и A2.13) пренебрежению членом с v_, а также использованию только
значений s= ± 1. Последнее ясно из того, что при v—>0 в спектре
силы f (t) остается лишь частота и>я, которая и может излучаться
и поглощаться *); при этом для волны с электрическим полем, вра-
щающимся в направлении, противоположном направлению вращения
электрона, поглощение при отсутствии соударений невозможно, но
наличие магнитного поля влияет на показатель преломления: этому
случаю и соответствует значение s — —1 в A2.13). Сказанное,
разумеется, автоматически получается при расчетах. Итак, при пре-
небрежении тепловым движением вместо A2,13) в дисперсионном
Уравнении фигурируют знаменатели вида и — ч>н — v>(v) и полу-
чаются результаты, приведенные в §§ 10 и 11.
Вдали от частот ш = sm ($ > 0) влияние теплового движении
мало, если m-'^>(kvzfcos2?., т. е.
A2,14)
*) Здесь
и связанных
его среды.
мы отвлекаемся от моментов, обсуждавшихся в конце § 11
с влиянием на излучение данного электрона окружающей

162
ВОЛНЫ В ОДНОРОДНОЙ МЛГНИТОАКТИВНОЙ ПЛАЗМЕ
[ГЛ. Hi
причем в_качестае vz можно обычно подставить среднее значение
г'г~Г ^Г: таким образом, условие A2,14) будет выглядеть так:
fjii- cos15 a <g' I,
fv-
/? = яь,(ш, cos a). A:2,15)
При 7.—>~- это условие всегда выполнено и тепловое движение
приводит лишь к появлению резонансного поглощения на частотах swH,
s ¦.> 0. Физически это вполне понятно, поскольку при а = -^- и
конечных значениях п черенковское условие |3/icosa=l никогда не
может выполняться*). Нужно также, заметить, что неравенство A2,15)
является необходимым, но не. достаточным условием слабости зату-
хания при отсутствии соударений и вдали от резонаисов (см. ниже).
Даже в солнечной короне (при Т-~ \0h) 3Г~1СГ" и тепловое
движение сильно сказывается на распространении волн только вблизи
частот мм (см. A2,2а)), где возрастает показатель преломления,
а также вблизи частот su>H, При более высоких температурах
(ко внутренних областях звезд, в соответствующих лабораторных
установках) положение, разумеется, изменяется и картина, имеющая
место при ?jj.—>0, не может служить даже для ориентировки, Здесь
эта интересная область очень высоких температур не рассматри-
вается **), и поэтому при произвольном 1 ограничимся условиями,
*) В особом рассмотрении нуждается случай достаточно слабого .магнит-
ного поля, когда осуществляется переход к изотропной плазме. В то же
Бремя результат предельного перевода <»н -> 0 известен: в изотропной
плазме при отсутствии соударений существует только черенковское погло-
щение плазменных волн.
**) Сколько-нибудь полное исследование плазмы при Зг~0,1-=-1 (т. е.
изучение распространения волн в релятивистской плазме) далеко от завер-
шения; некоторые результаты в этом Отношении см. в [83, S6, 88]. Используя
лерелятивистское кинетическое уравнение, как это здесь делается, разу-
меется, нельзя учитывать членов порядка 'z\ и более высоких в тех слу-
чаях, когда эти члены действительно являются поправками (т. е., например,
Щ- меньше аналогичных членов, присутствующих в тех же условиях). Вместе
с тем подобное нерелятивистское рассмотрение при гЛ, <^ 1 достаточно
для вычисления не связанного с соударениями затухания или значений "п\,
которые ни в коей мере не являются «поправками;» к каким-то величинам,
определяемым уже при 3j. = 0. Известная оговорка в stom отношении нужна
в случае значений nj_ 2> 3, близких к нулю (длинные волны). При отсутствии
магнитного поля об зтом уже была речь в § 8, где приведены формулы
'" "" * " «^ 1. При наличии
'•§ 12] ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ДИСПЕРСИЯ И ПЛАЗМЕННЫЕ ВОЛНЫ 163
;;в которых
> «2»1. A2,16?
>а также областью частот га и' ш ш з^ 2ш и ш ^к 3^,
: Результаты кинетической теории для продольного распро-
странения. Переходя к результатам кинетической теории, начнем
::с простейшего случая продольного распространения (а —0), когда
^дисперсионное уравнение распадается на уравнение (8.34) для про-
дольной плазменной волны и следующее уравнение для поперечных,
необыкновенной (знак —) и обыкновенной (знак ~|-) волн:
1 /^!!±_
-V,/ m' + (,>w — ku
где /и (v,) = Л7 у -^—е ~xT » u==vz и интегрирование ведется
по контуру С, обходящему сверху полюса знаменателя.
Подчеркнем, что уравнение A2,17) является точным в том смысле»
что следует из уравнений A2,9) без пренебрежений. Таким образом,
при a = 0 в дисперсионном уравнении фактически отсутствуют все
значения $, кроме s-— zz 1. Это вполне понятно, поскольку при
а=0 в спектре «силы» /= const(•aa'ije~i'1:'-it присутствуют лишь
частоты <а{/ ~: kv,. Отсутствие черенковского излучения формально
связано с тем, что при а=0 имеем а* = 0 и, следовательно,
й*1»г = 0; физически же этот результат связан с тем, что условие
ш = й'Уг или cos п. -= 1 отвечает порогу эффекта, когда интенсивность.
излучения равна нулю.
магнитного поля и продольном распространении (а = 0) формула (8,25а).
для гц, конечно, сохраняется. Для поперечных же волн 1 и 2 имеем (пред-
полагается, что | 1 —У'и\ ^g> rf\) [267]:
•Для n
'j 2 з с точностью до членов порядка jif- = -
1
1
I
1
V
-У
V
¦-1
{¦
1
1 (
/
>-п \
1 _1_.
L 5
9
yTv
1 5
2
?TV
,'Т
Tif
1
1
1
1
-1_ \
— \
- ™ 
+ 1
vj
пг\

164 ВОЛНЫ В ОДНОРОДНОЙ МЛГНПТО-VKTIIBHOtt ПЛАЗМЕ |ГЛ, nt
При пренебрежении тепловым движением, формально положив
в A2,!7) в знаменателе ft« = 0, получаем*):
с-к2
0 (ш + ыя)
A2,18)
что совпадает с формулами A1,9).
Для обыкновенной волны 2 в нереллтивистской теории тепло-
выми поправками можно пренебречь (и в известном отношении даже
нужно пренебречь, чтобы не превысить точности самого расчета).
Для необыкновенной волны 1, которой отвечает знак минус в A2,18),
достаточно далеко от резонанса, когда
\ a / '^ me1' l ' T I q> @1 — q>/
получаем F5, 6Sj:
¦v и л
I . . __ 1
(w — Off)
'¦Т \ 2
A2,19)
A2,20)
о — ш , ЛЗ
Очевидно, тепловые поправки малы при условии (сразу полагаем
~" 'я)
также ю•-—¦ о> „)
которое при j ftj • ^> 1 эквивалентно условию A2,19):
л ^1
При
1 для земной ионосферы это дает
A2,21)
A2.22)
¦ i
и для солнечной короны --———-^>5 • 10 2 (соответствующие зна-
чения n'j<^200 и n-[<g^20 и в то же время «j^> I).
*) В этом случае при ш == вд интегрирование ведется по вещественной
оси в пределах от — то до -f- со и
Г /со («•) du — ;\', так как j
§ 12] ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ДИСПЕРСИЯ И ПЛАЗМЕННЫЕ ВОЛНЫ 105
При учете соударений роль их невелика, если
Для ионосферного F-слоя (''Эфф
103,
o/f.~10"j это значит, что
^ Ю~ ; для короны условие A2,23) принимает вид
-^й>10 уже при v . —¦ 10 и «„ —¦ 10'. Таким образом.
даже в земной ионосфере влияние теплового движения на ход «'j(uo)
может быть сильнее влияния соударений *).
В то Я же области A2,22) для показателя затухания х{ имеем [91]:
-т - — L«Р -[—Л ¦
2 'ътпх с- [ 2rTn\'-,- \
A2,24)
Сравним затухание -,'j. связанное в данном случае с магнитотормозным
излучением на частоте юf{-\-kvг, с затуханием из-за соударений ",'с.п.д-
Для этого напомним формулу A1,3) для (n — i-/.)\:
(П — iv)\ = —j- = I ¦
A2,25)
и заметим, что она пригодна и при вещественном k, но комплекс-
ном i»' = u)-^iY (см. § 7). Тогда при условии A2.23) и ¦; <4^ ш
получаем ('учтено, что в этом приближении —j-=ra'j=:l :
1 ли 1 «и Лл — и!.Л /
'и'эфф
Отметим, что связь
A2,26)
A2,27)
'"') Во избежание недоразумений необходимо указать, что в F-c:io&
с распространением волн с частотой ш ~ <"Я практически никогда не при-
ходится иметь дело (в нижних же слоях v -^ 105-г- 106 и условие A2,23)
дает . ^jsj> ю ' ~- !0 ")'. кроме того, даже в /'-слое при вэдай
'"н
тепловое движение существенно лишь в ошосительно весьма узкой полосе
частот | ш — ю? ; ^ Ш-,.^ — 103.

166
ВОЛНЫ В ОДНОРОДНОЙ МАГНИ10АКТИВНОЙ ПЛАЗМЕ
[гл. т
является независимо от природы затухания обшей для всех волн и
с учетом анизотропии (в силу анизотропии вектор групповой ско-
рости ог?= -Tjr B общем случае направлен иначе, чем волновой век-
тор k). К выражению A2,27) приходим так же, как к G.23),
поскольку учет анизотропии на этом выводе не сказывается (анизо-
тропия приводит к тому, что п и /. зависят помимо in также от —);
кроме того, в A2,27) учтено, что -
f
1~~
-- = t)rpcos(&prp), r-Le
-gfa\ (см- § 24). Связь A2.27) ясна также непосредственно,
поскольку пакет волн, затухающих во времени по закону e~i', будет
двигаться в пространстве в направлении г' вдоль vrf, затухая
по закону е "гр (рис. 12,5); в направ-
лении г вдоль k это отвечает затуханию
/" вида е ' =е '"'ф "" ( *'Р' , так как
г — j-'cos(АдаГр). При а — 0, разумеется,
^k.^Aw cos (?»,.р) = 1, и из A2,27) получаем
ткт A2,26)*).
Из A2,26) при
Рис. 12,5. Движение волно-
вого пакета.
получаем:
A2,28)
И, соуд эфф"
В то же время магнитотормозное затухание jl при
I... — „>ЛГ j
когда формулой A2.24) можно еще пользоваться для грубой ориен-
тировки, составляет;
¦s) Для применимости выражения A2,27) нужно, чтобы имело смысл
понятие групповой скорости и соблюдались неравенства -,¦ <*?С щ н q <*Z k.
Конкретно в случае магнитоактивнои плазмы формула A2,27) непрнкпм
в области резонансов (»ед»№ б,^;2шя), когда" нарушается условие
-- <^J-Tn cos « = |/ -^- — cos а (см [93]).
§ 121
ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ДИСПЕРСИЯ И ПЛАЗМЕННЫЕ ВОЛНЫ
167
В солнечной короне, полагая и^-^ш^ и 3^,^—-10"", имеем:
Ti~5- 10^- @//::>Tl ^д.-10. При —J^- = -ro., rv=l(j-: и
^з zr=: й)'2 в области и) --^ ш получаем hj=10 и "Cj = 3 • 10 "d>w;
аля J ^Ll = 0,2 в тех же условиях — уже п] %-: 5 и
*'н
¦t г—- 10 ~17 ия*^. Ti cov' Т"аким образом, в рассматриваемом примере
при — >0,15 нужно учитывать только поглощение, связанное
'"и
с соударениями, а в области —
¦ < 0,15 — только магнитотор-
мозное поглощение, которое при дальнейшем приближении к ^н
становится очень большим,
Отмеченные особенности поглощения вблизи резонансной частоты
<!)ff при а = 0, как и в других аналогичных случаях {яф<д, co = s<n^,
характерны для линий поглощения в любой газообразной среде при
учете доплеровского уширепия линии и уширения из-за соударений
{или естественного затухания). В центре линии основную роль играет
доплеровское уширение, экспоненциально спадающее на «крыльях»
линии. Уширение из-за соударений спадает с удалением от центра
линии значительно медленнее (по степенному закону) и поэтому
играет основную роль в «крыльях» линии — в области частот, доста-
точно далеких от резонансной. Случай магнитоактивнои плазмы
отличается в этом отношении от встречающихся в оптике только
в связи с необходимостью учета также поляризации и рефракции
{не равного единице показателя преломления) поглощающихся волн.
Резонансное поглощение при произвольном угле а. Вблизи пер-
вого резонанса м = шд, но при любом угле а имеем [91]:
±1
A2,29)
где
.4 — -И|1 [2 (v — 1) rtf , — 2 (и2 — 4v + 2) >i\t, — Ы- -L- 6-t> — 2],
2
Тпг .у cos a
?,Тпг .у
C=(i;cos2a- \)n.\ 2
D = {(-a—
2 'jij-n\ 2 cc)s* a j
-j- sin2я — 2«cos2a — 2) n\ 2 +
_ x.) Bv —1)}
^^(:os=a — 3)] «j
-f-(tr — 2J1,

168
ВОЛНЫ В ОДНОРОДНОЙ М\ГШ1ГО\КТП1)НО!.1 ПЛЛЧМЕ [гл I..
-иесь р.-- (.|2-, u — ~L и для воли ! н 2 нужно вчять соответ-
ствующие значения я, „ я,. ДЛ!! волны 3 вблизи первого рмонапса
при оольшнх значениях /;,. как показано ниже (см. A2,56)), й <" П
Разумеем, при л? < О учигывагь загубив у бессмысленно.
И".|.(зн вюрого резонанса м ^- 2.о„ получаем:
" вблизи третьего резонанса ш = З
Г1г
где
? ; =, ;(*; 4~ и - - 2) я4 — [2A — vf 4-
— itv (У -\---os2 л) [а 4- 4A— v)]ii2 —
-4-(-t> —2,i[(l — -c-J2 — «I -f-(l — г»)(н-4-2'и —2)\
В A2.30) --- A2,32) соударения не учтены и в зависимости от типа
волны нужно подставить значение л, или я.,. При я—>0 фор-
мула A2,29) переходит в сумму выражений A2,24) и A2,28), как
это н должно быть (см, также ниже условие A2,34) при 5=1).
Из A2,29) — A2,31) можно видеть, что при v^i(] = 0
¦г (s) -— "¦-'- -^— ехр —,—, Г- , ш ^su>... A2,33)
и'" \ ''Щт-п' cos-1 j п ¦ ¦
Эга оценка, если не говорить о численном множителе, справедлива
и при s > 3; при .5 — 1 нужно также иметь в виду, что появляется
малый множитель A —]/ uf (см. A2,29)).
Формула A2,31) пригодна и вблизи резонанса (в «крыльях»
линии) и в области самого резонанса. Формулы же A2,29) и A2,30)
пригодны лишь вблизи резонансов, но не в самом резонансе. Точнее,
предполагаются выполненными неравенства (s = 1, 2)
¦'> — -I'»,, ' /"-/If A—S Ylif
: Л-^i/ —cosa или ___. —•¦?>{, A2,34)
,§ 121 простечкствЕннАЯ дисперсия и плазменные волны
а также условия
"'¦Т к" Ь'тп' oirr а
Ъ 3
,-. sin3 a = ~
m in j,
169
A2,35)
— /е- cos- я ;» V- (и- ->> — ft2 cos- я, oj- ".й> ¦/-. ..
ТО - эфф' " >Я и --- афф
Первые два условия A2.35) нужны и для применимости формулы
A2,31); формулы A2,29) —A2,31) непригодны также при %->--.
При распространении волн в плазме обычно нужно знать не т,
а q=-^--t при вещественной частоте to (при этом поле волны изме-
няется по закону e'">''-'*.'-^). В случае слабого поглощения -{ и ц
связаны соотношением A2.27), но при сильном поглощении и замет-
ной дисперсии неприменимо понятие о групповой скорости, а сле-
довательно, и соотношение A2,27). Поэтому при сильном поглоще-
нии нужно решать задачу непосредственно с граничным условием
(см. § 8); при слабом затухания это хотя и не обязательно, но бывает
более целесообразных, чем вычислять сначала ~ и затем перехо-
дить к д.
В «крыльях» линии поглощения ш^ки>я при условиях A2,34)
A2,35) имеем (здесь А:=/г0):
1 -.1,—
•-• k ~~ я ~~ '
{2 (v — 1) п* 4- 2 {V2 — -\ь -]- 2) л2 — Зй2 — 6и — 2}
2 -|- sin21 — 2v — 2ri2 dn
4A—1
2t- cos» я+2
Г
[2 + ьц,
-2tr - 2 n»s-in»a 4- il
v) „2
У
X^-5-expj-iI^l^Ll (,2,30)
•>тп cos 2 | 2р^./г cos" 7. j
Затухание при этом считается слабым, т. е, ^<<^1. При а — 0
: из A2,36) получаем:
/f^^f-^^l' M2.37
fe 21У«—1)
причем предполагается выполненным неравенство
^г; -т= ^ 1.
] 1 ' '
—)а ]«—!¦

170
ВОЛНЫ В ОДНОРОДНОЙ МЛГНИТОАКТИВНОЙ ПЛАЗМЕ
, § 12] ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ДИСПЕРСИЯ И ПЛАЗМЕННЫЕ ВОЛНЫ 171
Волна 2 при а = 0 затухает только в силу соударений. Как мы
видели в § 11 (см. рис. 11,2, б и 11,10, б), при и >- 1, малых углах
а =?= 0 и а2 '_3> 1 место необыкновенной волны (при 2=0) занимает
обыкновенная волна. В соответствии с этим при | 1 —v \ ^>. ^^sin'2 a,
i 1 — Т «•!
—-р=. '^> 1 формула A2,37) относится уже к обыкновенной волне
\ и — \ '
в области п\"^$> 1.
Для оценок формулы A2.36) и A2,37) годятся и при
| 1 — У и 1 ¦ т — гоя
in cos
l
^
1;
ft COS
~
при a = 0 в этой области «^ "^g> 1 и —~ ~¦ 1, но при я
и —
и ii\
Ь2
fJr <g; 1. Для первого резо-
1 уже, грубо говоря, —
углы а^-0 выделены в том отношении, что здесь
1.2
нанса (о — (
имеется резонанс уже при отсутствии теплового движения — при §г — О
(см. [62| и конец § 11).
Если
A2,38)
то в центральной части линии ю яа ш^. получаем;
2 -jt cos a I Г / 7 \  Г .'5 7
_ _!__ {J l-( 1 - т am2 -,) v | Л4_ 2^, I. - -_т ,«п2«; +
Bt) — 2 — sin2 я — 2 sin2 a n2)
3 U2
-. B cos 2я- t
Bt/ — 2 — sin2
A2.39)
При пи2'~~- 1 отсюда j-~- }т в согласии со сделанной выше оценкой
1 ш — ш ,, I
для области —j^==—-!iJ—— 1. Для угла а = 0 формула A2,39)
непригодна, так как здесь q-~--k и одно из условий A2,38) не выпол-
нено. Случай а = 0, для центра линии рассмотрен в [82]. Следует
указать, что в центре линий cow^ (s=l, 2, 3 ...), не говоря
Для второго и третьего резонансов (линий поглощения) для
волн 1 и 2 имеем:
—~ |(ц —3 + 2v) л4 ¦-- Bt'
—2а -6) л2 - ( —Зиг -- 6t- ^u —3)}
[2 (Г^17^Г?Г_ at, L.(JP a) „2~Г: [2 AГ^J _ (I +. cos2 a) ui' —2u]
(U—1) ?r«Sln2a
2cos a {2A — u — v-y uvcos2a) /г!—[2A— оJ +A - cos* a) «f — 2«]>
L I 2 ^ !+/
здесь при
сить ехр
I 5-
(.2,40)
нужно подставить значение a = -j и можно отбро-
¦ а ПРИ
нужно подставить u^-q-
и можно отбросить первый экспоненциальный член (в экспонентах,
разумеется, величина 1—sy и сохраняется без замены на и = -j-
или « = -i-j. Формула A2,40) пригодна для обеих волн и на краях
и в центре линии | условия 8 <^ 1, у — A cos а ^> у9фф и ш "j^> -^Зфф
предполагаются выполненными I. Кроме того, исключается область
углов а—>-?-*). При п~~>\ в центре линии (при ''эфф^^)
их «крыльях», при условии
я cos a поглоще-
уже
ние определяется соударениями и можно пользоваться формулами.
приведенными в § 11.
:;: л~1, а#0. аф~, k = jtl. A2,41)
: : Область углов а—>0 для первого резонанса ш == юя здесь исклю-
чена по уже указанной причине —в силу появления поглощения и
;: *) Нужно иметь в виду, что для волны, распространяющейся под
углом -7. — -а к полю, значения п и •; (или q) такие же, как для волн
*; углом а^-к-. Поэтому, например, в A2,40) под cos а следует подразуме-
вать i cos 11.

172
ВОТНЫ В ОДНОРОДНОМ МАГНИГОАК!1ЩКОЙ ПЛАЗМЕ
[гл. ш
при 3?.->0 (см. [62] и конец § 11). Для резонансов ш = su>H (s > i)
область углов я->0 исключается, поскольку при а =¦= 0 резонансное
поглощение имеется только для первого резонанса ш = ш Наконец,
для угла 2==-^-(и углов з, очень близких к -^-1 *) в резонансе
нельзя считать, что « ~ 1. Дело в том, что при я -~ -? доплеровское
уширение резонансных линий и черепковское поглощение отсутствуют
(см., например, выражение A2,10), которое при а = -|- имеет вид
ш=зш „)**)• Поэтому эти линии поглощения уширены только
за счет соударения и при отсутствии или достаточной малости
последних являются весьма резкими. В подобных условиях резко
изменяется и показатель преломления в аналогично тому, как это
имеет место (и хорошо известно) в области аномальной дисперсии
в оптике. В частности, вблизи резонансов ш — $ч>нпоявляются «щели» —
области с я2<0, где волны затухают (подробнее см. [43, 49, 67, 91]) **).
Если же угол а не слишком близок к -?-, доплеровское ушпре-
ние линий их сильно размывает, так что я~1. Точнее, при а -Ф -^
и в области резонанса (но при зшя =а ш^ можно с точностью до
членов порядка ^ пользоваться обычными формулами A1,6) для tij ,.
Поглощение при этом нужно вычислять по формулам A2,36) — A2,40).
Эти формулы и приводят к оценке A2,41). где множитель v оставлен
потому, что при -v —> 0 поглощение должно исчезать.
л) Формула A2,40) при аг^-2а>н непригодна, грубо говоря, при усло-
вии coia^iJ, а при <иЛйЗ«^ она непригодна, если cnsi-iC'^.
*'") Под доплеровскнм уширением здесь понимается уширенне из-за эф-
фекта Доплера первого порядка. При учете членов порядка :? уширение будет
иметь, конечно, место и при а™ л/2 за счет эффекта Доплера* второго поряд-
ка. Последний автоматически учитывается при использовании релятивист-
ского выражения для частоты «,/ =
¦с-\ И тс2
тс
В
Очевидно, при а = ~ и вг <g^~ 1 излучаются частоты sa/L = s<j>,, — -1-1« п
^ 2 и
ширина линий определяется-параметром ^з|ыя ™ s f-^Л Ш//. В результате
для волн 1 и 2 уже при з = 3 (но не при s = I, 2) область углов г -> к/2 факти-
чески ничем особенно не выделяется. Для обыкновенной волны существенных
особенностей не возникает и при ш=2«я (для ш = <,>н особенность при
1->я/2 имеется); для необыкновенной волны и а->-/2 имеется особенность
при со = 2шя, но ее нет при а = в„. В случае плазменной волны 3 специ-
фических особенностей не возникает и при а->-/2, если s>4 (см. [86,327]).
§ 12]
ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ДИСПЕРСИЯ И ПЛАЗМЕННЫЕ ВОЛНЫ
173
Поскольку A = fc= — и, <j = —-л, ;j.= —¦'¦= 2<7. согласноA2.4S)
с с - &
получим:
Вообще же [85]
5>2.
A2.42)
I. A2.43)
Эти формулы, дающие лишь порядок величины, формально говоря,
относятся и к волне 1 и к волне 2. Фактически, однако, при учете
численных множителей оказывается, что формулы A2,41)- A2.43)
справедливы для необыкновенной волны, а для обыкновенной волны
дают значения, завышенные на один-два порядка (см. ниже).
При учете одних лишь соударений (т. е. при %Т—.>Щ
?coyi = 7 ''¦ '
"'эфф
1
A2,44)
(см. A1,5) при условии и>2;Э>-'Эфф). Сравнивая A2,42) и A2,44),
видим, что для центра линий
'эфф
Для ионосферного F-слоя (при rfiT — 3-10 4, >дфф-~103,
-0,3;
.!=Л..Я
¦ ю6,
A2,45)
-8-106)
A2,46)
т. е. резонансное поглощение на частотах <а>н и 2шя больше погло-
щения из-за соударений, но при ш = 3мя резонансное поглощение
ничтожно. По ряду причин, однако, ионосферное поглощение в f-слое
при ш = ш и (й = 2<ин трудно наблюдать (с распространением такик
волн в F-слое при радиосвязи иметь дело вообще не приходится).
В солнечной короне (при ->эфф—10, Sf—10~2 и и) — б- 10s) уже
10"
-ю-2
•НУ2.
Таким образом, в короне при ш = sa>H E=1, 2, 3) резонансное
поглощение, вообще говоря, должно учитываться (см. § 36). При-
веденные формулы A2,41)'—'A2,46) позволяют, конечно, только
выяснить, является ли более точное вычисление не связанного
с соударениями поглощения необходимым или же этим поглощением

174 волны в однородной магнитоактивной плазме [гл. in
заведомо можно пренебречь. Д,я самого же определения величины ?|
а тем оолее величины q, формулы A2,41) —A2,46) непоигочны „
например, пр„ ^2^'п ^3^ нужно пользоваться г?омоз"кИм
выражением A2,40). Значения
f^r' (ПРИ и = 2шя) и Ь+pf (при с^^Зш^),
вычисленные [92] по формуле A2,40)'для угла « = 45<, приведены
<7.
Рис. 12,6. Величины -
?Ы
т. е. <« =
эависи"ОСТ1[ ОГ V =
при
а — 45' II -^фф = 0.
на рис. 12,6 и 12,7. При этом v^ =¦ 0, а отложенный на оси абсцисс
параметр v = — определяет зависимость поглощения только от
<Dj° ;= — , поскольку частота ш фиксирована (напомним также, что
§ 121
ПРОСТРЛНСТВЕННДЯ ДИСПЕРСИЯ И ПЛАЗМЕННЫЕ ВОЛНЫ
175
для волны 1 в области т/'^ •' <' v 'С vx .o будет п* ¦< 0 и вычислять
здесь поглощение имело бы смысл только в задаче с граничными
условиями). Для нахождения величин (уьг = — ¦/.,_, приведенные на
рис. 12,6 я 12.7 значений нужно умножить соответственно на
Рис. 12,7. Величины -VJj-Lji"^ в зависимости от v = —Ц- при
Я
к = -^- = -^ (т. е. ... =
а = 45' и мэфф = 0.
^12Pr=-7/!i i?r и ^1 •Щ-^~~п\ $%•  гРаФ»ков ясно, что в рас-
сматриваемых условиях, вообше говоря, да на два порядка меньше qv
Область черенковского поглощения (район резонансной
частоты Woo). Перейдем к результатам вычислений для области
частот, примыкающих к резонансной частоте ®х, когда основным
v'P11 "'эфф~>0) является черепковское поглощение. Если это погло-
щение является сильным, его вычисление представляет уже обычно

3 76 ВОЛНЫ В ОДНОРОДНОЙ МАГНИТОАКТИВНОЙ ПЛАЗМЕ [ГЛ. Щ
¦небольшой интерес; практически важно определить поглощение,
лишь пока оно невелико, а также оценить значения параметров, при
которых поглощение начинает резко возрастать. Имея это в виду,
примем условие A2,15), Физический смысл этого условия уже был,
по существу, выяснен раньше: он состоит в том, что черенковское
поглощение (и излучение) возможно только для относительно неболь-
шого числа электронов, находящихся в «хвосте» максвеллОвского
распределения но скоростям. Тем не менее, ввиду большой важности
этого вопроса поясним здесь условия малости поглощения также на
другом языке, с помощью других представлений (см. [89]).
Возникающее в плазме, возмущение, отвечающее одной из нор-
мальных волн, затухнет за время t.<, — , если при этом электроны
плазмы в силу их теплового движения сместятся по нормали к волне
(вдоль k) на расстояние порядка л = ~. Действительно, при таком
перемещении электроны за период колебаний «переносят» также
сзою упорядоченную скорость, приобретенную под действием поля
волны, в область пространства, где фаза волны отличается на вели-
чину A-.fi>, 1 от ее фазы в начальный момент, Ясно, что в таких
условиях нельзя уже говорить о существовании слабо затухающего
упорядоченного движения в волне. Итак, сильное затухание инее!
место, если
Ъ'ь
Ъ'ь v. ¦, I
— ¦>,): = —.
A2,47)
где vk—средняя скорость, с которой плазменные электроны дви-
жутся в направлении к. Другими словами, если за время t, меньшее
периода колебаний —, электрон в силу своего теплового движения
пройдет вдоль к путь порядка или больший т., то он не сможет
приобрести заметную упорядоченную скорость (причина состоит
в резком ослаблении среднего действующего па электрон поля в связи
с усреднением его вдоль траектории). Невозможность создания упоря-
доченной скорости и означает как раз, что соответствующие волны,
в которых эта скорость отлична от нуля, сильно затухают.
В изотропной плазме vll
мает вид:
V in ' " Условне A2,47) прини-
Если же говорить об условии слабого затухания, то оно таково *):
6-л-.<^ 1. A2,48)
*) Здесь, как и в ряде аналогичных случаев, неравенство типа x<g^\
мы записываем также в виде хг<^1 (в данном случае сделан переход от
§12|
ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ДИСПЕРСИЯ И ПЛАЗМЕННЫЕ ВО'НЫ
177
Это условие в нерелятивистской изотропной плазме может нарушаться
только для плазменной волны; критерий A2,48) совпадает при этом
с полученным в § 3 условием (8,31) слабого затухания плазменной
волны.
В мапштоакгивной плазме условие A2,48) также сохраняется,
если только магнитное поле не препятствует перемещению электро-
нов на расстояние порядка Г, вдоль ,%. Последнее имеет место (поле
не препятствует перемещению), если проекция радиуса вращения элек-
трона на к будет
Л'. (z — угол между к а //'"
($/!• S1Q2 а) 1 VTk .
A2,49)
В условиях A2,48) и A2,49) поглощение волн в магпитоактивной
плазме мало. Напротив, если
и
T
= | -^— sin a
-'и
A2,50)
электрон может сместиться на X по нормали к волне только за счет
движения вдоль поля #'0), когда vt — arcosa. Отсюда следует, что
при 3-^1 критерий сильного поглощения A2,47) имеет вид:
fTn\ cos2
A2,51)
т. е. в качестве условия слабого поглощения приходим к нера-
венству A2,15), которое слабее неравенства A2,48). Таким образом,
условие A2,15) является не только необходимым, но и достаточным
условием слабости затухания только в области A2,50). В не слишком
слабых магнитных полях условия A2,15) и A2,50) обычно соблю-
даются одновременно. На этом важнейшем случае сейчас и остано-
вимся *).
неравенства -—— )T<iL-<^l к неравенству f.j.-i'j-^lj. Такая замена свя-
зала с тем, что при количественных расчетах оказывается достаточным
соблюдение условия х'г<?^1, которому легче удовлетворить.
*) Если поле #'IJ'~>0, то распространение волн мало отличается от
имеющего место при изотропии. Заметим, что условие A2.50) можно записать
г„-~\а2 г vT
также в виде —¦-Гг <С[1. где ''я^— радиус кривизны траектории
1
частицы в магнитном поле н /. = --,
12 Зак. ЦП В. Л. Гинзбург

-4-at/coss
3sln'a
[ГЛ. IP
A2,52»
178 ВОЛНЫ В ОДНОРОДНОЙ МАГНИТОЛКТИВНОИ ПЛАЗМЕ
При пренебрежении затуханием для и- имеем уравнение
Щл/Rn6 — 11 ~ и — v -г- tiv cos2 -л] п* — [2 A — vJ —
4— и B ~v)\ «*2-}~A —v)\u~{\ —vf] = 0.
( i -L (T=7,7 j sm" a cosi a -f- 3 0 - a) cor з, ^
где в коэффициентах при п4 и п'2 опущены выражения О, (j3j.) и Сл'З;.;,
пропорциональные Щ. и содержащие члены, в знаменателе когорьгч
стоят величины A—а/ и A—4м). Выражения О1 и О2 заведомо
незначительны, если
A2.53,
СЧИТЗТЬСЯ "«полненными, означают,
(I-4tt) = l_.
нансов ш ~-zz ui{f и и = ^о>я. Более высокие резонансы (ш = Зшя и т. д.)
не появляются здесь только потому, что их рассмотрение отвечало бы
учету членов порядка Ц, Щ. и т. д., что в A2,52) не сделано.
Разумеется, при достаточно малых значениях В7'1 это законно.
В области, где /i^,~l, поправки к п'^ , порядка Jjj. считаются
пренебрежимо малыми, поскольку используется нерелятивистская тео-
рия. Поэтому тепловые поправки имеют реальное значение только
при я2^Э> 1. Ниже об этой области и пойдет речь.
Если не говорить о малых в обсуждаемых условиях членах О, (р)
и О.2(Яг), то уравнение A2,52) отличается от получающегося в кваз!.-
гидролиналнческом приближении дисперсионного уравнения A2,5)
функциональной зависимостью коэффициента при и* от и, v и 2.
Например, для уравнения A2,52) этот коэффициент при г-=-? равен
YZZ^JT и имеет разный знак при и )> т я к < -! й т° 'ке время
в A2,5) упомянутый коэффициент равен р|.A—и cos2 г); при г = -j
он .не зависит от и и всегда положителен при и < 1.
В области, где третий корень уравнения A2,52) велик по сравне-
нию с корнями п'~ и я;, значение этого кормя п{ определяется двумя
первыми членами уравнения A2,52) и равно
'TV 11 - 4к ' (! + (Г—;rjr j CO52 « si « + 3 A - „) COS4 ,1
П2.5+)
S 12]
ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ДИСПЕРСИЯ И ПЛАЗМЕННЫЕ ВОЛНЫ
179
-Если не обращать для простоты внимания на множители типа и, v.
¦•cos2а и т. п., то решение A2,54) справедливо при условии *)
Х;:.::. 1 — ы — v-\-uv cos2 a^> 'ir. A2,55)
: ;-: При а=-. О, согласно A2,54), я2лй-—^-, т. е. получается выра-
жение A2,1) для плазменной волны в изотропной плазме. Так это
•н должно быть, поскольку при 2 = 0 волны 1 и 2 являются попереч-
•ными, а продольная волна не должна отличаться от плазменной волны
, в-изотропной среде.
/ При 0 < а < ^- и приближении к резонансам гг э- 1 или а-^-~
{насколько это позволяют условия A2,53) и A2,55)) из A2,54)
¦получаем:
A-й)'
п\(а-
1)'
гет. (и -» -Л ;
[3 — ь D — cos2 а)] A
A2,56)
Отсюда ясно, что в области первого гирорезонакса и ^к 1 (т. е. при
¦сь=ыоя) плазменная волна распространяться не может {п\ < 0).
;ч:: Для частного случая а=-^ дисперсионное уравнение с самого
.^начала расщепляется на два сомножителя. Условие обращения в нуль
Одного из них определяет «2 для обыкновенной волны. При
¦•Й- "т-ПТ,
;.5== —¦ — <^ 1 получаем:
У: п\ = —'~,° ¦. A2,57)
¦% 1 — и
^Вдалеке от резонанса и — 1 тепловые поправки малы и не имеют
реального значения, но с приближением к резонансу они представляют
С интерес.
; Дисперсионное уравнение для других воли при a = 4j- и Ъ<^_\
таково:
— A — vf—u =
A2,58)
*) Это условие получается из требования, чтобы при подстановке A2,5-1)
в A2,52) в этом последнем уравнении члены с п2 и п" были малы по сравне-
нию с членами я6 и п.К Упрощающее предположение, сделанное при выводе,
состоит в том, что коэффициенты у «2 и и0 считаются по порядку величины
равными единице.
V2*

ISO ВОЛНЫ 3 ОДНОРОДНОЙ МЛГШПОАКТИВНОЯ ПЛАЗМЕ [ГЛ. 1П
Вдали от резонанса « = -т (т- е- ш<а>я), и при условии
корни уравнения A2,58) приближенно равны:
A2,59)
I — и — v J 3iJ.f
Этот результат для и* совпадает с имеющим место при отсутствии
поглощения, а для /Ц получается также из A2,54) при у.-~~ , Урав-
нение A2,58) и условие A2,59) также следуют из A2,52) и A2.55)
Рис. 12,8. Функции п\ и л| при ы= Рис. 12,9, Функции п\ и Ло при
= 0,1, о—90: и [5^.= 1СГ5. По оси « = 0,5, а = 90' и jsf. = 10.
ординат на рис. 12,8—12,12 исполь-
зуется логарифмический масштаб.
при 2 = ~. При несоблюдении условия A2,59) для «j и и| полу-
чяютго rimoA сложные выражения: по rrnt,..<a^n —,же\(, что при
1 — и — -у = 0 (т. е. v-
урашеення A2,58) таковы:
или (о = (в =.
/"A_4„)а
A2,61)
(индексы 2 и 3 в данном случае не ставим, поскольку в точке -Vio-.
деление на волны типов 1 и 3 совсем уже не имеет смысла; см. выше).
Ход кривых я2, согласно формулам A2,58) и A2,52), ясен из
рис. 12,8—12,12. На всех этих графиках показана (в логарифми-
ческом масштабе по оси ординат; лишь область вблизи точек i>i,2cc-
S 121
ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ДИСПЕРСИЯ II ПЛАЗМЕННЫЕ ВОЛНЫ
131
Кривая iil при «< 1 или ;ij при я cos2 a > 1 на графиках не приве-
дена. Поглощение не учитывается. Из сравнения рис. 12,8 с 12,2,
рис. 12,11 с 12,3 и рис. 12,12 с 12,4 можно видеть разницу между
результатами квазигидродинамического и кинетического расчетов. Для
этих примеров различие носит количественный характер. Но иногда
••' I Ч
Ода j-
> w -
г и
-100
s
\
\
ч^л
г'.'//та f :¦'!!}
Рис. 12,10. Функции п\ и ?!j при я ==90' н 'i2T — 10 "*: а) и — 0,2; о) и = 0,5..
оно является уже качественным. Например, в квазигидродинамическом:
приближении, как уже отмечалось, кривые всегда имеют вид, изобра-
женный на рис, 12,2 и 12,3. В кинетической же теории в зависимости
от значений и и % ход кривых ni может выглядеть или так, как на
рис, 12,8, 12,Ю,о и 12,11, или так, как на рис. 12,9 и 12,10,E.
Оба эти типа кривых отвечают разному знаку знаменателя в фор-
муле A2,54), Для случаев, изображенных на рис. 12,9 и 12,10, а,
имеется область значений v (т. е. область частот или область концен-
траций), где нет вещественных значений и'1 (эта область на рис. 12,9
заштрихована). В этих областях решения для rfi комплексны, т. е,
волны затухают уже при предполагаемом отсутствии поглощения.
То же имеет место при вещественных, но отрицательных значениях и'1.

i 82 ВОЛНЫ В ОДНОРОДНОЙ МАПШТОАКТЙВНОЙ ПЛАЗМЕ [ГЛ. Ill
Разница состоит только в том, что при п- < 0 волна при углублении
р <
в среду затухает монотонно (,??¦—'<? е /, а при га2 комплексном
она затухает, осциллируя. Указанное свойство — появление комплекс-
ных я2 даже при отсутствии поглощения — имеет место вблизи
а при га2 комплексном
1000
.ISO
up! 0)
я-
'00000
worn
что
то
г „
-ш
-то
-шов
-шооо
г и
ч я;
Рис. 12,11. Функции "п\ к "п\ при Рис, 12,12. Функции п\ и п\ при
и = 0,5, а = 10° и ?Т = Ю-4. и = 2, а = 10° и fT = КГ4.
резонансов в любой среде при учете пространственной дисперсии и
отрицательном знаке коэффициента при старшей степени п в дисперси-
онном уравнении (см. [1]).
Необходимо подчеркнуть, что все обсуждаемые графики физи-
чески отвечают распространению волн с заданной частотой в среде
¦с переменной концентрацией, находящейся з однородном поле
a=~ = const, ¦<;'=;—?- изменяется). Возможны, конечно, и яру-
гие постановки задачи, когда и и v изменяются при ю — const
§ 12]
ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ДИСПЕРСИЯ И ПЛАЗМЕННЫЕ ВОЛНЫ
183"
(см. § 36) или ш изменяется при wH — const и ша = const. На соот-
ветствующих кривых п~ также могут появляться «щели», отвечающие
отсутствию вещественных значений л-. Например, при г = -^,
ш; = const и ш^= const для частоты и> —
у _>_ю^ значения п^ .,
комплексны, если и < 2и>н (см. A2.61)).
Вычисление групповой скорости плазменных волн по формуле
0rp= —г приводит к заключению [268], что эта скорость может
составлять как острый, так и тупой угол с ft. Направления vrp и к
совпадают при и — —j- >0. а также при г'-»0, а—»0 и с. ->-у . При
других значениях 2 и не слишком малой величине параметра и вектор orp
составляет с k угол, близкий к тт/2.
Перейден к вопросу о поглощении плазменных волн.
Как уже указывалось, при а== ж черепковское поглощение отсут-
ствует и, таким образом, затухание волн в районе точки г'!^— 1 —и
обусловлено только соударениями (предполагается, что резонанс и = 1
лежит достаточно далеко от vx.x, т. е. параметр г>!=<, = —?- не елнш-
ком мал; кроме того, мы не касаемся сейчас предельного перехода
и—>0). При углах а == -^ черепковское затухание существует, но
вблизи точки i'x будет заметно только при больших значениях пЯ,
в частности для плазменной волны 3. Интересуясь, кроме того, только-
относительно слабым затуханием -f <g; m, примем также условия A2,15)
и A2,50) *). Тогда при одновременном учете затухания из-за соуда-
рений [здесь и ниже предполагается, что №'^>"'1фф) [67, 91) получим:
1
A
П^ COS"
СОъ
ехр
.A2,62)
*-) Помимо условий A2,15), A2,50) к n'j^> 1 удаленность от резонансов
,1 ,.¦ 5 COS2.! „ ,
к = 1 ни = — отражается в использовании неравенств чгя* ——— ,_ „ <к I
4 " (I — V «J ""
__. <*^ 1. Ир,, и л 1 плазменная волна 3 примыкает (является
LL
и ^j.k L_L__.
продолжением) к ветви необыкновенных волн, а при и cos2 я > 1 примыкает
к ветви обыкновенных волн (в области а> 1, «соз2я< 1 слабозатухающая
плазменная волна не существует). Отметим также, что в A2,62) нельзя пе-
реходить в область t'!;>> 1 (см. ниже).

1S4
ВОЛНЫ В ОДНОРОДНОЙ МАГНИТОЛКТИВНОЙ ПЛАЗМЕ
[ГЛ. II
ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ДИСПЕРСИЯ И ПЛАЗМЕННЫЕ ВОЛНЫ
185
Показатель преломления плазменной волны, затухание которой
здесь приведено, определяется выражением A2,54). При предпола-
гаемой малой роли соударений и слабом затухании использование
уравнения A2,52) и формулы A2,54), конечно, оправдано. Если же
затухание сильно (-;^>,<л), то выражения A2,52) и A2.54) уже не-
справедливы. Учет соударений также изменяет ход кривых (п — t/.fi,
причем такое изменение особенно существенно вблизи резонанса.
Легко видеть, что влияние теплового движения на показатель пре-
ломления значительно больше влияния соударений, если
(подробнее см. [90]).
В силу сказанного результаты, получаемые на основе использо-
вания уравнения A2,52), должны контролироваться с помощью крн-
"терпев •{<-.: м, —.—<^1.
">,т
При з--=0 из A2,62) получаем:
у1м
ex р ! ¦¦—
''эф 6
9 '
Г- -± „;i
A2,64)
что совпадает с выражением (8.36), определяющим -@ для плазмен-
ной волны в изотропной плазме; в (8,36) уже учтено, что ш'- = ш|-]-Ц
-4~ 2, (-'—) к'2; то же сделано и при переходе к последнему выраже-
нию A2,64). Этого, конечно, и следовало ожидать, поскольку
¦va~. (р. --= 0) = 1 и происходит уже обсуждавшийся переход волны 3
в плазменную волну для изотропной среды. Такой же результа!
(переход к изотропной плазме) должен, очевидно, иметь место и при
«=—1~->0. Из A2,62) это не следует просто потому, что сама
¦Лп^ от2 а
формула A2,62) пригодна только при условии 2=-—'- <гГ 1.
которое не позволяет совершить переход и->0.
При условии ^пу:оз'-я <^i 1 (см. A2,15)) затухание слабо в том
смысле, что -(<^<ii. Последнее и предполагалось при выводе фор-
мулы A2,62). Однако для грубых оценок эта формула пригодна и
при $тп cos z ~ 1, когда затухание уже может быть сильным. Тем.
самым с помощью формулы A2,62) удается не только вычислить
§12]
слабое затухание плазменных волк, но и указать условия, при кото-
рых это затухание становится сильным. В области применимости
формулы A2,62) для | с помощью соотношения П2,'271 можно для
фОрМУЛЫ tl^JYZ) ДЛЯ |
плазменной иолны найти q:
С(] —U —V — UV COS2 г)
• iJJ t M~SLA n 2,6 5!
С Г1 — и. — V -г UV COS2 а) ' ¦¦
;/гак как tl^.___r-.
'¦'/¦" Заметим, что при некоторых значениях параметров дя — — -/.3 <'0,
:Т. е. пола волны с вектором k. направленным по оси г, проноршю-
;• -!-1«,-!'1,|)г
нально выражению е с ; в таких случаях проекция груп-
:;повой скорости на волновой вектор k отрицательна и волна, зату-
•хающая вдоль оси z, пропорциональна е с
5: Случай обыкновенной волны при невысоких частотах. Пока-
йзатель преломления может быть очень велик помимо области резо-
::нансо8 ш ^а saH и окрестности точки vca также для обыкновенной
;; волны при малых частотах. Именно при условиях
для обыкновенной волны
V и cos о.
A2.67)
в то время как п-г < 0 (см. (И,24); распространение является при
этом квазипродольпым).
Формула A2,62) к этому случаю неприменима, поскольку при ее
выводе не предполагалось, чтогС>>1 (см. соответствующее примечание).
Вместе с тем, согласно (S2,(i6) и A2,07), ri~~fp-[ и учет теплового
движения может оказаться существенным. Расчеты показывают [91, 92],
что в области A2,17) тепловые поправки к значению п:2 невелики,
а для -.', и q2 получаются выражения;
Vhcosi
\, A9,68)
j
с "
2c
и; =
]' и cm
Определяемое второй частью этой формулы для -;2 черенковское
затухание при некоторых условиях может играть роль, например
при распространении свистящих атмосфериков в верхних слоях ионо-
сферы.

186 ВОЛНЫ В ОДНОРОДНОЙ МЛГНИГОАКТИВНОЙ ПЛАЗМЕ [ГЛ. ш
Резюме. Резюмируем приведенные результаты, касающиеся влия-
ния теплового движения на распространение высокочастотных вол»'
з нерелятивистской магнитоактивной плазме.
Тепловое движение дает пренебрежимо малые поправки порядка
3j. — —-<<С. 1 везде, кроме ооластей «плазменного резонанса» (здесь
Vi i^^-j —г— " ft7 или пт стремятся к оесконечности при
1 —и COS* a 12^ г
Вг ~> 0 и ';3фф —> 0) и областей гпрорезоаансоп ш tt swh, 5=1.2.3, ...
Вблизи плазменного резонанса учет теплового движения приводит :;
появлению третьего корня квадрата показателя преломления пЛ, (волны
с п = п^ условно называем плазменными). Ход кривых Л1.2.?,(V)
и их взаимосвязь (например, то, что пг и пг или п., и п3 отвечают
там же ветвям дисперсионных кривых) ясны из приведенных графи-
ков. Тепловые поправки для п- или и.'-' е области резонанса суще-
ственны при At' = Iv, 0 —v\.<^,$T\ в то же время соударения изме-
няют ход кривых п'2 в области Аи—-——. Не связанное с соударе-
ниями поглощение плазменных волн заведомо слабо, пока Ътп% cos a.<%_\.
При а = 0 коэффициенты поглощения в области гирорезонансов
ш —<оя и ш = 2шя порядка — рру, а в области ш — Зшя — порядки
— гЩ (см. A2,42)). При z^-О поглощение на частотах, кратных соя>
исчезает, а на частоте со,, сильно возрастает [а — — ч, ~ — v). Вне
окрестности точки w, .,.,, показатели преломления при w = ш№
(о = 2ш^, ш = 3d)я и т. д. особенностей не имеют и могут вычис-
ляться по формулам A1,6), т. е. без учета теплового движения
/исключение составляют углы а—>0 для резонанса ш = ш„ и углы
а—>-1у для одного—двух первых резопансов),
§ 13. Некоторые замечания о динамике плазмы
Магнитогияродинамкческое приближение. Прежде чем перейти
к исследованию распространения в плазме низкочастотных волн, когда
нужно учитывать движение ионов, сделаем несколько замечаний
о динамике плазмы.
При строгом анализе произвольных движений в плазме исход-
ными являются, помимо уравнений поля, кинетические уравнения для
электронов, ионов и молекул. Подобная полная система уравнений
чрезвычайно сложна; кинетическое уравнение, как известно, далеко
не всегда может быть практически использовано даже а значительно
более простом случае газа частиц одного сорта (например, одно-
НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ О ДИНАМИКЕ ПЛАЗМЫ
187
(I 13]
атомного газа). Поэтому большое значение имеют различные при-
ближенные методы решения динамических задач в плазме.
' :: Одним из важнейших таких приближений является описание газа
/с помощью уравнений гидродинамики или, если речь идет о плазме,
'магнитной гидродинамики. Это приближение справедливо, если длина
^свободного пробега частиц / мала по сравнению с характерной дли-
нной L, встречающейся в задаче (длиной волны, размерами тоер-
>дых тел или сосудов). Кроме того, время свободного пробега
:;х фф = = — и период обращения ионов в магнитном поле
• 2я 'ir.XU
',-,—— = -, должны быть малы по сравнению с характерным вре-
Лменеы t~ —. в течение которого заметно изменяется гидрогинами-
•<ческое движение (роль этого времени играет, например, период
колебаний). Последние условия при использовании употреблявшихся
ранее обозначений сводятся к требованию, чтобы выполнялись нера-
венства *) о><^'"'»фф. и> <С. 2«- Выполнение условия ш<^-^фф заве-
домо обеспечивает соблюдение неравенства l<g_'_L, если скорость
макроскопического движения v не превосходит существенно тепло-
г~
¦I.T
• вую скорость vT=\/ ^j-. Далее, лля того чтобы среду в системе
отсчета, где ее скорость равна пулю, можно было считать изотроп-
ной и при наличии магнитного поля Н, нужно считать выполненным
также условие шя= - '¦—<<? -<Эфф (см. ниже уравнение A3.24)). На-
конец, для рассматриваемого низкочастотного случая можно обычно
пренебречь током смешения по сравнению с током проводимости
; (условие—^ 3> s), а также считать проводимость не зависящей от
частоты, что будет предполагаться ниже.
Ч: Не имея в виду излагать здесь основы магнитной гидродинамики
подробнее (см. [36], гл. VIII и [94—98j), приведем исходную си-
стему уравнений:
:Й rot//==^y, div// = 0, rot ^ = — 4 Ж"' (:'3'1)
A3,2)
¦ -« dt
1 [jH\ - -
-±[H rot H\.
A3.3)
A3,4)
*) Если
'-эфф
<С
т0 условие <о
эфф фф
излишним, так как среда оказывается практически изотропной и магнитное
поле не играет роли. Таким образом, с точки зрения возможности гидроди-
намического описания условие а> <^ '--ц достаточно, но не необходимо
(необходимым является требование ш <g^ Y &2f[+ '>1фф)-

ISS ООЛНЫ В ОДНОРОДНОЙ МШ-ШТОАКТИВНОЙ ПЛАЗМЕ [ГЛ. 1ц
где с и— плотность среды, нязкостью пренебрегается *) и учтено, что
при принятых предположениях для рассматриваемого нерелятнвнст-
ского случая плотность свободных зарядов и плотность конвективного
тока могут считаться равными нулю (см. [95]).
Для получения полной системы уравнений к A3,1)—A3,4) нужно
добавить уравнение состояния р==р(рч, Т) и уравнение переноса
тепла. Если ограничиться для простоты изотермическим случаем
/7= const), то последнее уравнение писать не нужно. Выражение A3,2)
представляет собой закон Ома для движущейся среды [Е-^-~
НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ О ДИНАМИКЕ ПЛЛЗМЫ
189
электрическое поле в системе отсчета, движущейся вместе со средой].
Из A3,1) к A3,2) для однородной среды (з = const) получаем:
-Jl-ЛЯ. A3,5)
В изотермическом случае уравнения A3,3)—A3,5) и уравнение со-
стояния образуют полную систему.
Если проводимость достаточно велика (формально при о—>:>::},
из условия конечности плотности тока / и закона Ома A3,2) выте-
кает соотношение
E~—~[vff\. A3.6I
Вопрос о распространении волн в магиитогидродипамическом при-
ближении будет рассмотрен в § 14. Результаты магнитогидродина-
мических вычислений иногда оказываются пригодными и при несо-
блюдении указанных общих условий применимости магнитной гидро-
динамики (с примером такого типа в случае распространения волн
мы встретимся в § 14). Однако, если не говорить о подобных исклю-
чениях, магнитогидродинамический подход непригоден или, во всяком
случае, совершенно недостаточен для анализа движений в плазме пру
нарушении условий
Й)<^>ЦкЬ' ЮяОЭфй' A3'7-!
Вместе с тем большинство актуальных проблем физики плазмы отно-
сится именно к области, где неравенства A3,7) не выполнены.
В частности, представляют большой интерес задачи, в которых со-
ударениями вообще можно пренебречь.
Квазигидродинамическое приближение. Основной приближенный
.метод *"). применяемый в динамике плазмы вне пределов применимости
магнитной гидродинамики, можно назвать квазигидродинамическим.
":) При учете вязкости к правой части уравнения A3,3) нужно добавить
члены т] Ли — I ; — 7/) grad div ¦», где т н ; — первый и второй коэффициенты
вязкости.
'*'¦) Этот метод иногда называют оцпоикоростным Приближением.
-речь идет при этом об использовании уравнений для средних вели-
чин (уравнений переноса), которые по своей форме весьма близки
¦'к гидродинамическим уравнениям. Такой подход уже использовался
выше (см. §§ 10,12). Однако для удобства и внесения несколько
¦•большей ясности в этот вопрос остановимся здесь на выводе соот-
ветствующих соотношений.
'•'";•: Если мы имеем газ, состоящий из частиц л сортов, то нужно
в качестве исходных написать п кинетических уравнений для функ-
ций распределения Л"' (t, r, v) частиц каждого сорта:
где F<n> (t, r, v) — сила, действующая на частицы сорта п, и S'-"'1 —
интеграл столкновений (см. § 4).
Среднее по скоростям от произвольной скалярной или векторной
функции О" (/, г, v) имеет вид (:\:С"' —концентрация часгиц сорта /()
. г, v)fn\t. г.. v)dv.
A3,9)
\"nl(t,
r,
цУмножая кинетическое уравнение A3,8) па зависящую лишь от v
.функцию О'"] (у) и интегрируя по dv. получаем:
(
\dvk
;ГДе подразумевается суммирование по k (k—1, 2, 3) и при полу-
гдении третьего члена произведено интегрирование по частям с уче-
том того обстоятельства, что /<я) —>0 при vk~> zz со. Полагая О„— 1
и считая, что -у.-— = 0, получаем уравнение непрерывности:
Здесь учтено, что f S^'dv = 0, поскольку соударения не могут из-
менить числа частиц (процессы ионизации, рекомбинации и т. п.
не рассматриваются). В A3,11), очевидно,
dv

190
ВОЛНЫ В ОДНОРОДНОЙ МАГНИТОЛКТИВНОЙ ПЛЛЗМЕ
(указывающая на усреднение черта будет ниже, когда это возможно
OF1-'1'1 "
опускаться). Заметим, что условие —,—• — 0 соблюдается для силы
Лоренца /?(л) ¦=- eljl) j?-j—[vH]l и поэтому фактически не связано
ни с какими ограничениями (ниже это условие используется без до-
иолнительных оговорок).
Полагая теперь Ol"' = m'"'о, имеем:
- :V"V"> -\-J m{'%S[n)dv ^ 0. A3.1;;
Вводя скорость беспорядочного движения и» = 1» — v'"> ==» — %>'¦">.
можем записать:
где тензор напряжений равен
Vi!f=,,^N"^w. A3.13)
Учитывая далее, что в силу A3,11)
d(
r)f
можем переписать уравнение A3,12) в виде:
(, 3,14J
где сила F считается лоренцевой силой и «сила трения» равна
Уравнение A3,14) является, очевидно, аналогом закона сохранения
импульса (т. е. аналогом уравнения движения в гидродинамике).
Выбирая 8 качестве функции О(л) выражение U^L_ можно получить
НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ О ДИНАМИКЕ ПЛАЗМЫ
191
-уравнение, аналогичное гидродинамическому закону сохранения
энергии.
Все подобные уравнения становятся содержательными только
после конкретизации выражений для Пй и R, что при последова-
тельном подходе требует использования тех же' кинетических урав-
нений. Вместе с тем. если исходить из уравнений A3,14), пред-
ставляется более ясным характер тех или иных используемых при-
ближений, являющихся часто недостаточно обоснованными и точными.
Простейшим таким приближением является предположение, что
тензор напряжений П;,г сводится к давлению, т. е. 11$ = pn)^-iP-
Несколько более общая аппроксимация получается, если считать
тензор Q.ik диагональным, но «давления» Пи, П и И„ не равными
друг другу. Наконец, можно дополнить \lik вязкими, членами.
'Ниже мы положим П^1 = //%, р{п) = у,У(я1Т1"\ Что касается
«силы трения» R , то она связана с соударениями частиц разного
сорта it обращается в нуль, если средние скорости всех частиц
•одинаковы. Поэтому для /?'"' используем аппроксимацию, уже при-
менявшуюся в § 10.
В результате для плазмы, содержащей электроны, однократные
положительные ионы и молекулы с концентрациями Л', Лгг и Л'т,
имеем:
(^ ),) = е\' \Е-^\ [veti\\-
- V (у.Те V) ^ w,Vv,( (v, - vt) -r m
+ {Vl V) c.) = _ вЛ'. iE +¦ 1 [^l
+ /иЛ>е! (ve — v,) -4- M
vm- ve). A3.15)
^ {vm — «,), A3,16)
:Л1ЛГ
р
dt
{vm - vt)
\'? {vm
A3Д7)
A3,18)
здесь заряды и массы электронов (г), ионов (г) и молекул (т) соот-
ветственно равны е < 0, -е, 0 и да, М и М- Силы трения можно
было бы записать также несколько в другом виде, например, ввояя
приведенные массы. Мы не будем этого делать, так как для соуда-
рений электронов с тяжелыми частицами mJ_ ^-<^m, а для соуда-
рений между тяжелыми частицами при использовании уравнений
A3,15)—A3,18) речь идет лишь об аппроксимации, носящей экстра-
поляционпый характер.

192 ВОЛНЫ В ОДНОРОДНОЙ МАГНИТОАКТИеНОП ПЛАЗМЕ [гл. щ
Уравнения типа A3,15) — A3,18) уже неоднократно использо-
вались (см., например, (A9, 7S, 72. 98, 99)]); в ряде работ развиты
также белее строгие методы в динамике плазмы (см., напри-
мер, [100. 101]).
Уравнения A3,15) — A3,18) нужно, разумеется, дополнить урав-
нениями поля:
div//=0.
A3,t<»
? = *(:V-V,). J
Кроме того, для получения полной системы уравнений нужно
использовать уравнения сохранения энергии или переноса тепла,
которые зависят от температуры электронов, ионов и молекул Те,
TL и Тп.. Ниже для простоты будем обычно ограничиоаться изотер-
мическим случаем, причем положим Te=.TL=^Tm~T.
Распространение волн в плазме на основе уравнений A3,15) —
A3.19) будет рассмотрено в § 14. Здесь же приведем е не лишь
некоторые результаты общего характера, а также соотношения, спра-
ведливые при стационарном движении плазмы.
О движении чисто электронно-ионной плазмы и слабо иони-
зированного газа. Введем обозначения:
РР ~ /'<¦ -г Р;. /' = Р, -+- Р> -^ я™ = -'¦ Г (-V -f- Лг/ -Ь А'т) ¦ J
Складывая уравнения A3,15), A3,16) и A3,17), получаем:
где введено также обозначение —=—¦ -— —-j f-f»*
Если скорости всех частиц приближенно равны, т. е, ve z&Vj~vn>
то уравнение A3,21) переходит в основное уравнение магнитной гид-
родинамики A3,3) (в A3,3) принято, что jt—-j и плотность заряда
о = 0, как это и имеет место в соответствующем приближении с до-
статочной степенью точности); разумеется, в выражении для jt нельзя
полагать ve = vi.
Такой результат (переход к уравнению магнитной гидродинамики)
физически вполне понятен, поскольку в условиях, когда соударения
между частицами происходят очень часто (см. условия A3,7)), сред-
ние скорости различных компонент газа как. раз и должны быть
НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ О ДИНАМИКЕ ПЛАЗМЫ
.193
§ 13]
практически одинаковы. Формально это также ясно из уравнений
A3,15) — A3,17), где при достаточно больших значениях ->ei, чет
и '>im силы трения могут быть уравновешены другими членами только
в случае малости разностей скоростей {¦ol—ve), (vm—ve) и (vm—t>i)-
При использовании обсуждаемых уравнений учтем, что
Г м
¦(Ж
гКроме того, пренебрежем всеми членами, содержащими производные
/по координатам, и ограничимся предельными случаями или чисто
электронно-ионной плазмы (.'Vm —0, рт —0) или слабо ионизи-
«.ррваниого газа, когда
|f A:«A'i<A;ffi. A3,22)
"При ^7m —0 и принятых упрощениях из A3,15) и A3,16) в резуль-
'/тате умножения уравнений соответственно на — и гт и их сло-
жения получаем:
//:i dj' e2N e e^N
'&¦: -& = —E-^—\JtH\-*Jri-—[vlH\. A3,23)
Из ' A3,20) ясно, что в данном случае v = vp
если только
-^-ve. Для достаточно низких
частот это последнее условие, как можно видеть, выполнено. В этом
случае (осуществляющемся, например, при С^2 Ц
Цй—
\vltT\\-^-vtH\ выражение A3,23) принимает вид:
<*„ Г Hi е!Лг
1 )
J \vH\\. A3,24)
Шри условиях A3,7) это выражение переходит в основное соотно-
шение магнитной гидродинамики A3,2) с а = ^—. Если же чле-
о'/// *' ' eil
ном —\vH\ можно пренебречь, то A3,24) для гармонического дви-
жения эквивалентно выражениям A0,9), где поле Я = Я1"' напра-
влено по оси z. При наличии также молекул аналогичным образом
'полуЧаем (v, = ->el+ >em):
е
тс
J
m — vt). A3,23)

194
ВОЛНЫ В ОДНОРОДНОЙ МАГНИТОАКТИВНОЙ ПЛАЗМЕ
[гл. щ
В то же время суммирование уравнений A3,15) и A3,16) в исполь-
зуемом приближении дает:
Для слабо ионизированного газа можно считать, что vmw (это
справедливо при условиях A3,22) и m,t\'vt-^-MNivl<^iMi\l!nvn:y,
кроме того, при vi'^>'j-fl'e можно положить j>i=s:-vp. Уравне-
ния A3,25) и A3,26) для стационарного случая приводят в таких
условиях к соотношениям:
> - ~ IW - ж Ufl) и=
\е\Н
jj —
ff тс '
о —
Мс
A3,27)
A3,28)
Выражение A3,27) бывает }-добно записать также в виде:
Ь ^+ГЩ E> = E~\[vH\, A3,29)
e2h4maH
A3,30)
где ?.' и ?', — параллельная и перпендикулярная к Н составляю-
щие ?'.
Если не пренебрегать малыми членами, содержащими множители
порядка!/ -тг- и еще меньшие, то получается выражение A3,29), где
1
"to
,„_ e».v J
A3,31)
§
НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ О ДИНАМИКЕ ПЛАЗМЫ
195
^Выражения A3,31) ввиду их компактности не менее удобны, чем
¦приближенные выражения A3,30), с которыми они совпадают при
Шренеорежепии членами порядка у -тт- ?j -ттг .
> Стационарное движение слабо ионизированного газа в ма-
^гнитном по.че. Случай земной ионосферы. Рассмотрим теперь ста-
йционарное движение слабо ионизированной плазмы во внешнем
;1 поле /г°\ с чем приходится встречаться при исследовании движений
Св земной ионосфере при учете влияния земного магнитного поля,
% 'Из выражения A3,28) ясно, что средняя макроскопическая скорость
s газа v (для рассматриваемого случая практически совпадающая со
=;-средней скоростью молекул vm) равна
¦скорости движения ионизированной
компоненты vp^ -^гтйут^-»*
^только при отсутствии тока jt.
|lB свою очередь, согласно A3,29),
:Р ток равен нулю, только если
V=; ?' = ? — у[фЯ@)] = 0. A3,32)
Остановимся на связи между v, <ир
:;и ? несколько подробнее [102]
•в предположении, что
:.':::. <я„яи^> v,_^, пз.зз)
Рис. 13,1. Координатная система,
используемая при записи соотно-
шений A3,34), A3,37) и A3,38).
которое автоматически приводит к условию "'jf^''^ (в рассматри-
ваемом случае Ne = v<J — v<m^v^m, ¦'tm~y -jf->em> 2я=1дшя]-
Направляя поле Z/1"' по оси z и выбирая ось у в направлении,
перпендикулярном к v (рис. 13,1), из A3,28) и A3,27) или A3,29)
после отбрасывания малых членов получаем:
-?' —¦
(в..
7-Е'
" ''~imj
F'
A3,34)
(здесь е—заряд электрона, —е — заряд положительного иона).

196
ВОЛНЫ В ОДНОРОДНОЙ МАГНИТОЛКТИВНОЙ ПЛАЗМЕ
отсутствии поля Е vpiX^.vx
[гл. щ
В земной ионосфере условие A3,33) удовлетворяется для высот,
больших 90-i-100 км. На меньшей высоте среду можно считать
изотропной*). В области, где могут применяться формулы A3,34),
характер движения сильно изменяется в зависимости от соотношения
между О.н?=-—L_ н .;^ (в земной ионосфере для ионов О* и N*
(см. 6,27)). Если 7;ж";3>2я, то при
Р.„
¦I'p.y'^—^'-C-V Другими сло-
вами, в этом случае (при ? = 0) ионизированная компонента увле-
кается нейтральной компонентой.
Если же
2tf3>v,m, A3,36)
что в земной ионосфере имеет место в/•'¦слое, то при ?=0 ионизирован-
ная компонента увлекается вдоль поля Я1', но практически неподвижна
в перпендикулярном направлении
-и -и
Поэтому «ионосферный ветер» в F-cnos, т. е. появление там ско-
рости vp**) возможно только при наличии электрического поля.
При этом в условиях A3,36) независимо от значений vx прибли-
женно получим:
— сЕу - сВ*
г'р. х — 7/W'
vp. у :
A3,37)
Более точные выражения, вытекающие из A3,34), для случая A3,36)
таковы:
сЕУ
м
A3,38)
¦b>-~Kv* J
*) Ясное из A3,29) и A3,30) условие изотропности сводится к требова-
нию практического равенства проводимостей а ^ игр а также малости про-
водимости 1Я; это достигается, если
следствием неравенства A3,35) является также неравенство «#2// <С! ^''fe-
**) При наблюдении радиометодами фиксируется именно перемещение
ионизации (например, движение ионосферных гоблаковз), т. е. определяется
скорость lip.
§
НИЗКОЧАСТОТНЫЕ а МЧГНИТОГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ЗОЛНЫ
197
Зная Vp, т. е. измеряя- скорость перемещения ионизации, согла-
сно A3,37), можно определить Е. Величина же v^vm, т. е. ско-
рость всего газа, приближенно совпадающая со скоростью молекул,
остается при этом неизвестной. Для того чтобы ее определить,
нужно знать также ток jt (см. A3,23)). При этом, если /( = 0, то
имеет место связь A3,32) и при пренебрежении малыми членами
<op~v (полное увлечение), поскольку выражения A3,37) можно за-
писать в виде Е-»—[г>р//A}|] =0j С другой стороны, если помимо -vp
как-то определить независимым образом скорость г>„ то можно вы-
числить ток j(.
Более детальное обсуждение затронутой проблемы, важной для
физики ионосферы и теории вариаций земного магнитного поля, вы-
ходит за рамки настоящей книги.
§ 14. Распространение низкочастотных
и магнитогидродинамических волн
Введение. Влиянием ионов на распространение волн, как уже
неоднократно указывалось, можно обычно пренебречь при условии
(аи A0,5); предполагается, что Л
Мс
A4,1)
Соответствующие волны l называются высокочастотными; они были
рассмотрены в §§ 11 и 12, Низкочастотными будем называть волны,
частота которых удовлетворяет обратному неравенству.
«<^*. A4,2)
Ниже рассматриваются низкочастотные волны, а также волны «про-
межуточной» частоты. В последнем случае не удовлетворяется ни
одно из неравенств A4,1) или A4,2) и, следовательно, движением
ионов пренебречь нельзя, хотя их влияние и может быть не столь
радикально, как для низкочастотных волн.
Магнитогидродинамические волны, К числу низкочастотных
волн относятся, в частности, магнитогидродинамические волны, ча-
стота которых удовлетворяет условиям A3,7), что позволяет рас-
сматривать их на основе уравнений магнитной гидродинамики [94.
36, 71, 951. С этого случая мы и начнем, ограничившись сначала
незатухающими волнами (т. е. пренебрегаем вязкостью и теплопро-
водностью и полагаем з—»-х>). Здесь же заметим, что некоторые
из получающихся таким образом результатов имеют более широкое
значение и справедливы даже при отсутствии соударений, когда
условия A3,7) заведомо не выполнены.

198
ВОЛНЫ В ОДНОРОДНОЙ МАГНИТОЛКТИВНОЙ ПЛАЗМЕ
[ГЛ. Щ
Исходная система уравнений при принятых предположениях та-
кова (см. A3,1)—A3,5)):
, ulvH=0,
d-d
A4,3)
Электрическое поле выражается через V и Н с помощью A3,6).
Для однородной невозмущенной среды уравнение переноса тепла
при отсутствии диссипации сводится к требованию постоянства эн-
тропии 5 (адиабатическое приближение).
При рассмотрении волн малой амплитуды, аналогичных звуку
в обычной гидродинамике, положим н=Н®)~\-Нг, p1f—(о0-4-с',
р=^ро-'—р\ <о^<о', Е = Е', где величины со штрихами малы. Тогда
после линеаризации получаем уравнения (//*и) = const):
dv
divtf' = 0. E — — l
A4,4)
где
S-j-t—\ — квадрат скорости обычного звука в данной среде.
В условиях, когда распространение волн можно считать ье адиа-
батическим, а изотермическим, но также явно не вводятся диссича-
тианые члены, имеет место та же система уравнений с ц2__/__?_| _
Будем искать решения системы A4,4), пропорциональные е'("¦'-*'),
причем выберем k за ось г, а ось х направим перпендикулярно к к
и полю Я@) (таким образом, ff лежит в плоскости yz, составляя
угол а с k; рис. 11.1). После подстановки искомого решения в A4,4)
и исключения '/ получаем (¦% = ^, tif — M{il) sin a, Hp = Н№ cos a):
, = 0, Hv = 0;
9 ^-~-
A4,5)
A4,6)
Из A4,5) и (N,6) ясно, что могут существовать независимо рас-
пространяющиеся возмущения (волны) двух типов: в волнах одного
§ 14] НИЗКОЧАСТОТНЫЕ I! МАГННТОГИДРОДИНЛМИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ 199
типа отличны от нуля величины Нх и vx, в волнах другого типа
это относится к Н'ч, г1^,, f, и о'. Из A4,5) следует, что для волн
соответствующего типа, которые можно назвать собственно магннто-
гядродииамическими, фазовая скорость равна
/ а \ Hf Я'0' COS a
A4,7)
Эти волны отмечаются индексом 2, так как они относятся к обык-
Рис. 14,1, Волны типа 1, 2 и 3 в магнитной гидродинамике.
новснным нормальным волнам (см. ниже). В этом случае в волнах
(рис. 14,1 а)
Согласно A4,7) связь между <в и k в этой волне можно записать
в виде (в = —т=- Я@)й, откуда для групповой скорости имеем
V 4яр
(см. § 24):
V 4яр
Таким образом, групповая скорость в волне 2 всегда направлена
по внешнему полю rf0'. При а = 0 (продольное распространение)
¦Оф3 = t)r]J z= -j==; при а = -к- (поперечное распространение) ^2=0,
а групповая скорость перпендикулярна к fe и, как и при всех других

200 ВОЛНЫ В ОДНОРОДНОЙ МАГНИТОАКТИВНОЙ ПЛАЗМЕ [ГЛ, HI
углах, равна (в рамках магнитогидродинамического приближе-
ния) тому же значению — ,
у 4лр0
Магнигогидродинамические волны, отвечающие соотношениям
A4,6), часто называют магнитозвуковыми. Дисперсионное уравнение
для этих волн, очевидно, таково (•», =-vr}'¦
отк\-да
A4,10)
Для этих волн (см. рис. 14,1,E}
A4,!
где в качестве г<ф нужно выбрать одно из значений г/ф1 или »фЬ
согласно A4,10).
Волной 1 или (-J-) будем называть волну, которой отвечает
знак плюс в A4,10), причем сам корень всегда считается положи-
тельным; волне 3 или (—) отвечает в A4,10) знак минус. Зависи-
мость скоростей *» о k Я(о)
(о)
показана на по-
() чает в A4,10) з
мость скоростей *»ф1,2, з от угла а между k и Я показана на по-
лярной диаграмме (рис. 14,2), где длина радиуса-вектора из начала
координат до кривой равна «ф = щ— (направление магнитного
поля Я*0' совпадает с направлением оси абсцисс; кривые приведены
для значений ? = —%С~> равных 0,2; 0,8; 1,0-; 1,2 и 2,0).
Рис. 14,2. Фазовые скорости магиито-
1 2 3
2, 3
гидродинамических волн 1, 2 и 3
в зависимости от угла » между Я1"'
(направление оси абсцисс) и волновым
вектором к: а) ? ^ ~7да~ — °'2;
(У) ? = 0,8; в) : = 1,0; t) i = 1,2; d) ; = 2
(на этом графике масштаб вдвое меньше,
чем на остальных).

202 волны в однородной магнитоактивной плазме
При ? = —f?__< 1 и а=0 из A4,10) получаем:
гл- щ
#<»)
= «л,
¦/' =0. Е'^0,
A4,12)
причем значения переменных для волны 3 находятся проще всего
непосредственно из A4,6) с г»фз = м0. При С = —%— > 1 и а = 0,
кого
наоборот, т/ф! = «о и t^g = —^=^. Целесообразность именно такого
выбора названий волн 1 и 3 ясна из рис. 14,2; заметим также, что при
С->0 (т. е. ио->0 или /f0—>оо) волна 1 непосредственно примыкает
к необыкновенным нормальным волнам (см. ниже), что и оправды-
вает выбор для нее индекса 1, Волна, скорость которой при а=0
равна Uq, представляет собой обычную звуковую волну, распростра»
ияюшуюся вдоль поля Н \ не оказывающего на нее поэтому ника-
кого влияния.
При а = -^-, когда Н1Р — 0, имеем:
1 /
= [/ и1 "К
-Sjl_ я' = 1*11^1
A4,13)
Для слабого поля, т. е. при условии
для волн 1 получаем:
АО)
tff
A4,14)
vn. A4,16)
При Нт —> 0 эти волны совпадают со звуковыми.
§ 14] НИЗКОЧАСТОТНЫЕ И МАГНИТОГИДРОДИВАМИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ
Для волны 3 при условии A4,14) находим:
¦т ят
¦ cos a = :
У 4г.Ро
203
A4,16)
?:;¦ D~?оJ 4
Эта волна близка, таким образом, к собственно магнитогидродина-
;мической волне 2, с которой она, если не говорить о поляризации,
^совпадает для несжимаемой жидкости (при и\—>оо) или при Я<и'-^-0
? (в обоих случаях С: "" /
при
?:'. Н^'1 rt w C0i5a
волны с фазовой скоростью v*, = —>-=-=—7==— и двумя неза-
й жидкости (при и\) р
аях C->co)s). Итак, в пределе С2—>оо (или лучше
имеются две собственно магнитогидродинамические
Л Ро
висимыми направлениями поляризации, причем
-Jf ^ ——^zz=r
Б сильных полях, когда
получаем:
= 0 и ? = -
A4,17)
A4,18)
'. В большей части книги вместо фазовых скоростей используются
показатели преломления п-—-—. Заметим поэтому, что показатель
преломления для магнитогидродинамических волн обычно очень велик.
/Так, например, в чисто электронно-иоиной плазме для собственно
магнитогидродинамической волны находим:
с с У 4nMN
: П2 == -- —
*) Переход к полю Н^-* 0 нужно здесь понимать несколько условно по-
скольку в случае плазмы в области нагнитогидродинамическнх волн Должно
также соблюдаться условие A4,2). Заметам также что иногда несжимаемой
называют жидкость не при и„-> со, а при пренебрежении членом с давле-
нием, т е при и0 -+0. Принятая в тексте терминология, конечно, правильнее.

204
ВОЛНЫ В ОДНОРОДНОЙ МЛГНИТОЛКТИВНОЙ ПЛАЗМЕ
[гл.
В солнечной короне при Л'—-'10s, //<<»<— 10 имеем ?z2!^,102 н
'Уфа^З- 108 см/сек; в более низких слоях солнечной атмосферы и
в толще Солнца показатель л2, разумеется, может быть еще несра-
вненно больше. В межзвездной среде при Лг ¦—< 1 и Н®'~ 10~°
«2^,104 и ©фз^З- Ю6. Выше затухание магнитогидродинамическнх
волн считалось отсутствующим. При учете вязкости и конечной
электропроводности, но пренебрежении теплопроводностью система
линеаризованных магнитоптдродинамических уравнений, аналогич-
ная A4,4), имеет вид.;
dv
ЛЯ',
~
ioi H'\-r } A4,19)
+• ¦§) ьгас; div c-
Решение этой системы, в принципе, не составляет труда, но полу-
чающиеся выражения в общем случае несколько громоздки. Огра-
ничимся поэтому рассмотрением предельных случаев. В несжимаемой
жидкости #'jj— >oo, p' = 0, div 1) — 0 для волн типа f<("i'~*r) получаем
дисперсионное соотношение:
Отсюда, при з-^оо и т; = 0. для фазовой скорости волн с любой
Я0 i-os a
поляризацией получается выражение г'ф ——?г=гг=—, как это и должно
быть в несжимаемой жидкости. Полагая к = — (,<; — //.), причем v.<-J;." я
(слабое затухание), получаем
2,з
A4,21)
В другом предельном .случае положим и^=0. Тогда для волны 2
получаем результат A4,21), а для волны 1 (в волне 3 в этом при-
ближении г>фз = 0 (см. A4,17) и A4,18)):
A4,22)
«¦Ф!:
A4,23)
j§ 14] НИЗКОЧАСТОТНЫЕ И МАГНИТОГИДРОДИНЛМИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ 20о
ртсюда, при слабом поглощении
:: Помимо волн, носящих характер малых возмущений, в магнитной
гидродинамике, как и в обычной гидродинамике, могут рассматри-
ваться волны большой амплитуды и различные разрывы. В той или
с иной мере такие волны большой амплитуды и разрывы сохраняются
;. и вне пределов магнитогидродипамического приближения. Весь этот
Л.интересннй вопрос мы рассматривать не будем (в области магнитной
¦"^гидродинамики картина выяснена [36, 951; в более общем случае, в
• частности в разреженной плазме, напротив, вопрос о характере раз-
рывов в настоящее время только начал исследоваться [83]).
: Низкочастотные волны (квазкгндродинамическое рассмотре-
1ние). Магнитогидродинамические волны, о которых шла речь, пред-
: вставляют собой лишь предельный случай низкочастотных волн
-с о><С 9-н, для которых выполнены условия ш<С>эфф и »н<^''Эфф
: (см. A3,7)). Переходя к низкочастотным и «промежуточным» волнам
:-вне области применимости магнитной гидродинамики [71, 72, 103,1041,
= будем исходить из квазигидродинамических уравнений(!3,15)—A3,18).
(;::При этом, имея в виду волны малой амплитуды, воспользуемся ли-
•••:¦'•'нейным приближением. Соответствующая полная система уравнений.
ч 'при Te—Tt— Tm =7'= const такова:
dt
~w
dt
dN
m
Ж
A4,24)
, —Я,),
J' Ж
I d2E
— graddiv?—^- -gp-
c1 dt
здесь
.КО
==Л'
@) .
M0> и W^' — невозмущенные значения Л', Л'( и JVm
индТкснуль, если это не повлечет к недоразумениям, оудет
опускаться).

206
ВОЛНЫ В ОДНОРОДНОЙ МЛПШТОЛКТИВНОЙ ПЛАЗМЕ
1гл. щ
Подставляя в A4,24) решения, пропорциональные е1 №-'"'>, полу-
чаем дисперсионное уравнение, определяющее зависимость (п — t/.f
от ш. Ввиду громоздкости общего случая пренебрежем ролью членов
с давлением (к тому же уравнения A4,24) при этом значительно
более точны) *). Тогда система A4,24) эквивалентна системе A0,34) —
A0,36), и можно ввести тензор s;j,(w), имеющий вид A0,43). При
введении тензора =« Для нахождения (п — Ь1-J нужно использоватч
лишь волновое уравнение A4,25), которое для плоской монохрома-
тической волны запишется так:
—/х)*. A4,26)
A4,27)
-tfEj+ *,(*?)+ -?.>;,?, = 0, # = -?
где при отсутствии .молекул (см. A0,44)):
(ш +
хх' ух'
остальные компоненты е'[к равны нулю.
Из A4,26) и A4,27) для волны, распространяющейся под
к направлению внешнего поля Н , когда можно положить
углом а
получаем:
_ ¦ *
к — {0, к sin я, A cos я},
cos8 g>+4s1
* = К*п* * + *'„*'„{!¦ -r-co^^ + ^sln**]1- [<I4'28>
— 4(?«sin*a + < cos2a)Ce/S-4-8/i!)f'
^ xx ' « /\ «т°лу;е ,г- j.
При продольном распространении (я = 0) получаем:
(я — /x)J , = (п — i-,:f =&> +1-' ^ ! _4
Т *у ("> + Шя)(Ш:рЬ2я)-гш
A4,29)
*) Давление ре =
без молекул, когда
*^, а скорость звука а0 ~> У"х7уД1 Поэтому в плазме
плотность f>offsJWA', условие A4,17) имеет вид
Н(°'/8к^>ре. Таким образом, пренебрежение давлением частиц, вообще говоря,
возможно в достаточно сильном магнитном поле, так как в этом случае основ-
ную роль играет магнитное давление //'°' /8п.
| 14] НИЗКОЧАСТОТНЫЕ И МАГНИТОГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ 207
где в последнем выражении опущены индексы el у ve! и пренебре-
жено величиной Яя по сравнению с »я. Последнее недопустимо
вблизи ионного гирорезонанса <и « 2#, о чем еще пойдет речь ниже.
В высокочастотном случае A4,1) выражение A4,29) переходит
в формулу A1,8); если же
ш<С;Оя, co-,<C.W A4,30)
то при пренебрежении слабым поглощением из A4,29) получаем:
42=1+^оТ7-
Н@J
я<(«
Обычно
, 2
шн9-н
A4,31)
A4,32)
и скорость XI*, согласно A4,31), равна скорости магнитогидродина-
ыических волн »ф = -^ , поскольку M.V = рд1 = р0 с точностью-
до пренебрегаемых членов порядка -=-г.
Мы видим, таким образом, что высокочастотные волны (например,
радиоволны, распространяющиеся в ионосфере или солнечной короне)
и магнитогидродинамические волны, столь сильно отличающиеся друг
от друга в отношении ряда свойств, тем не менее тесно связаны
между собой и, по существу, отличаются лишь значениями параме-
тров: соответствующие выражения для (я — iv.J получаются из общих
формул (см., например, A4,29)) [71].
Условие A4,32) соответствует возможности пренебречь частью
тока смещения —Е по сравнению с умноженной на —- плотностью
«полного тока» jt^j-\-l«iP. Вместе с тем, как ясно из A4,31),
условие A4,32) означает, что п2^>\ и фазовая скорость волн равна
1Рф = -1<^с. при условиях A4,30) и A4,32), как ясно из A4,27),
находим:
уу
о (to — 1ч)
(остальные компоненты равны нулю или малы).

208
ВОЛНЫ В ОДНОРОДНОЙ МАПШТОАКТИВНОЙ ПЛАЗМЕ
[гл. ш
Пусть теперь угол я между к и Я@) не слишком близок к ~ ,
что соблюдается \' | 2
так что соблюдается условие Is' icosaa^s>е,,sin2a¦
its cos2 a
Тогда из A4,23) получаем:
т. е.
rii = s =
2 — То^Т
С
с
A4,34)
A4,35)
Эти выражения совпадают с магнитогидродинамическими формулами
A4,7) и A4,10) при «0=0 (напомним, что еще при переходе к
формулам A4,27) было пренебрежем давлением, т. е. положено
Об области применимости магнитогидродинамических формул.
Весьма важно подчеркнуть, что условия применимости магнитогидро-
динамических формул A4,35), т. е. неравенства A4,30), A4,32) и A4,34),
могут быть значительно слабее общих условий справедливости маг-
нитогидродинамического приближения (см. A3,7)),
Объясняется это следующим образом. Условия A3,7) нужны для
того, чтобы более общее соотношение A3,24) приняло вид:
т. е. совпало с основным мапштогидродинамическим уравнением A3,2);
кроме того, для справедливости самого соотношения A3,24) нужно,
чтобы частота ш была достаточно мала (для этого достаточно усло-
вия «) <з^ 2#). Однако при переходе к бесконечной проводимости
используется лишь связь ?=. \vtf\, которая имеет место и без
пренебрежения током смещения*).
Действительно, для гармонического процесса уравнение A3,24)
можно записать в виде (> — v?i);
Ml esN
{}
Отсюда ясно, что при достаточной малости ш и v или достаточно
большом Л' связью ?== [vH\ можно, вообще говоря, пользо-
С
ваться и при несоблюдении условий A3,7). В результате даже при
*) Для применимости же магнитной гидродинамики (уравнения
A3,1) — A3,4))возможностьпренебречьтоком смещения, конечно, необходима.
Щ 14] НИЗКОЧАСТОТНЫЕ И МАГИИТОГИДРОДИНЛМИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ 209
Еполном пренебрежении соударениями (разреженная плазма) предель-
Еные формулы A4,35) справедливы без учета теплового движения
¦'(формально при Т=0) и при условиях:
;Й со? «„Я „ cos2 a
(D«T2W. —^-»1, -^-45 :>!• A4,37)
: В свете изложенного представляется довольно естественным, что
/о магнитогидродинамических волнах часто говорят не только в обла-
уети применимости магнитной гидродинамики, но и всегда, когда спра-
1'ведливы формулы A4,35), например при ''Эфф = 0 и соблюдении не-
равенств A4,37).
: Углы а, близкие к -?-. Остановимся теперь на области углов а,
Рблизких к -у.
¦••••'¦. Если о = -=-, формула A4,28) при любых значениях других па-
:;раметров дает:
(л - 1%)\ = —
A4,38)
Такой результат для (и —!/.)! очевиден с самого начала, поскольку
при а=-5у- обыкновенная волна в квазигидродинамическом прибли-
жении распространяется точно так же, как и при отсутствии магнит-
ного поля (поле Я'0' в этом случае не влияет на движение частиц,
так как их средние скорости параллельны полю). Для необыкновен-
ной волны 1 из A4,38) в условиях A4,33) по-прежнему получается
выражение A4,35), и, таким образом, углы я—.*^ для этой волны
не являются исключительными. Для волны 2, напротив, согласно
A4,35) при л=— получим гс§ = со и «^=0, а согласно A4,38) и
A4,33) имеем:
и волна очень сильно затухает даже при v = 0. Подставляя значе-
ния A4,33) в A4,28), при условии
Д; cos2a<Cl A4-39)
"получаем:
Разумеется, при достаточном удалении от угла a=4f, когда соблю-
дается требование A4.34). формула A4,40) дает значение A4,35):

210
ВОЛНЫ В ОДНОРОДНОЙ МАГНИТОЛКТИВНОЙ ПЛАЗМЕ
1ГЛ. И!
я@>
—. Если же я—э-тг (или, точнее, если
а
нарушено условие A4,34)), то магнитогидродинамическое выражение
A4,35), как сказано и видно из формулы A4,40), непригодно. При
о.—>4у магнитная гидродинамика при бесконечной проводимости при-
водит к неверным результатам даже при сколь угодно малых ш и м,
потому что для обыкновенной волны при а = 4- векторное произ-
ведение [irH '] = 0. Таким образом, в магнитной гидродинамике
при о—>со для рассматриваемой волны Е— \vH('] = 0, и
следовательно, о волне может идти речь только при конечной про-
водимости или при учете тока смещения. Оба эти момента и учтены
в выражении A4,40). Заметим также, что в области углов а—>-^-
сильно изменяется и поляризация волны 2. Несколько подробнее
распространение низкочастотных волн в области углов %, близких
к 4-, рассмотрено в статье [105].
Об области ионного гирорезонанса. Приведенные формулы
позволяют составить весьма полное представление о распространении
низкочастотных волн в плазме без молекул. Переход к «промежу-
точным» частотам не составляет труда: соответствующие результаты
уже содержатся, по существу, в общей формуле A4,28). В каче-
ственном отношении важнейшей особенностью области частот ш ~ Уд-
ивляется появление ионного гирорезонанса. Наличие при а = 0 ре-
зонанса на частоте ш •= QH сразу ясно из формулы A4,29) для
(п — «)j 2. При л == 0 положение резонанса смещается (см. ко-
нец § 11). На исследовании области ионного гирорезонанса мы ос-
танавливаться не будем (см. [88, 109]) и сделаем здесь только одт>
замечание. На первый взгляд кажется, что при пренебрежении ма-
лыми членами порядка -гт- в выражении для (п—/хJ можно все-
гда пренебречь частотой Q# по сравнению с и>н. Это заключение,
однако, неверно, что особенно ясно видно па примере формулы
A4,29). Без пренебрежений знаменатель в этой формуле имеет вид:
(ш ± шя) (ш - QH) — /o)ve. = ш2 ± <йяа) + iaQH — шн9н — »v(|;
при ш=Йя и выборе верхнего знака (волна 2) это выражение равно
— iw>el (резонанс). Если же пренебречь членом ш2я по сравнению
с що>я, как это сделано при переходе к последнему выражению
A4,29), то при ш = 2я знаменатель равен Q%—Шче1, т. е. уже нет
подлинного резонанса. Сказанное, конечно, совершенно элементарно
S 14j НИЗКОЧАСТОТНЫЕ И МАГНИТОГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ 211
и имеет целью только подчеркнуть необходимость проводить вычис-
ления в «промежуточной» области частот с большей точностью, чем
в низкочастотной области. В результате формулы становятся не-
сколько более громоздкими.
Учет влияния молекул. Формулы существенно усложняются и
при учете влияния молекул. В этом последнем вопросе мы ограни-
чимся здесь для иллюстрации только одним примером. Именно, при
наличии молекул, когда тензор s.'[t: имеет вид A0,43), для продоль-
ного распространения формула A4,28) приводит к выражению [71]
{п
A4,41)
о>— f> ± и„
ф$ ve=-- vei + ''em и уже учтено, что M->im 3> m->em и vem^> vim (кроме
того, в A4,41) отброшены члены, которые вне области ионного
i гирорезонанса всегда малы по сравнению с выписанными членами).
|При низких частотах, когда соблюдаются неравенства A4,30) с v = ve,
.имеем:
5 МЫ
{п — Н)\ 3=1-г-
В предельном случае, когда
Nl
A4,42)
A4,43)
{qim — эффективное сечение, vim —- относительная скорость), при прене-
брежении относительно слабым затуханием из A4,42) получаем
магнитогидродинамическое значение п? —.—^-—-—^—;, так как плот-
дасть среды ри=Ро=Л1(Л' + ^т). В другом предельном случае
получаем:
A4.44)
/(«Г
A4>45)

212 ВОЛНЫ В ОДНОРОДНОЙ МАГНйТОАКТИВНОЙ ПЛАЗМЕ [ГЛ. in
где переход к последнему выражению предполагает, что
____:>1, ^^,. A4,46)
При пренебрежении затуханием, согласно A4,45), п2 — —тттгт- '• этот
результат может радикально отличаться от магнитогидродинамиче-
п~ — — -—MslJju
ского значения п~ — — -
Msl
(другими словами, в случае
A4,44), A4,46) и слабом затухании волна распространяется так, как
если бы молекул совсем не было). При #(-,b~10~s и vim-—¦ КM
условие A4,43) принимает вид w<^10~10/V, что для земной ионо-
сферы приводит к весьма сильному неравенству ш <sj' 10~', поскольку
<V<;iO6. В противоположном случае A4,44) примем, например, что
о>~10.
Тогда для Г-слоя (,V~10S, Л'т~ Ю10, *(т~1, Я@)~0,5)
получим:
' ] 0е1,
//(ОJ ¦ ч- „
— — <~ 3 ¦ 107, h —
II
¦ 200 км,
для ZT-слоя
600 к.«;
I7
^ОИ-ь-Ю'Л vte~103 4-10"),
s^l-н-з. 10c — 3 - 103^-104,
'3 ¦ 106~^-
с
Учет теплового движения. Некоторые результаты кинетиче-
ской теории (изменение скорости, затухание при отсутствии
соударений). Скорость низкочастотных (магнитогидродинамическн*)
волн в ряде случаев весьма мала. Например, как уже указывалось,
в межзвездном пространстве при Н —¦ 10~5 и р0 = MN ~ 10"'4 zIcm"
скорость будет г% — — = —- 3 • 10 : в солнечной короне при Н ~\
)•' 4-с„
и р0 —- 10—1 имеем г!ф~108. Тепловые скорости электронов в эти"<
случаях порядка или больше v$, и поэтому может оказаться суще-
ственным учет теплового движения *).
*) Учет влияния теплового движения, например, в случае изотропной
плазмы* (см. § 8) свидетельствует о том, что это влияние не может пол-
ностью определяться просто параметром
л/~у.Т
-. Вместе с тем как
из результатов расчета, так и в связи /отмечавшейся в §§ 8 и 12 ролью
НИЗКОЧАСТОТНЫЕ И МАГННТОП1ДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ
213
§ 141
При сохранении членов с давлением система уравнений A4,24) —
A4,25) может быть использована для исследования распространения
волн и с учетом теплового движения частиц. Однако, как и в высоко-
частотном случае (см. § 12), в квазигидродинамическом приближении
не только отсутствует поглощение, не связанное с соударениями, но
л нельзя придавать количественное значение зависящим от темпера-
туры поправкам к скорости волн. Поэтому квазигидродинамический
метод в силу относительной простоты получающихся выражений
интересен главным образом с точки зрения возможности проведения
общего анализа формул для в — и в зависимости от разных пара-
метров, вблизи резонанса и т. п. Поскольку ны не предполагаем
здесь проводить такой анализ, остановимся сразу на результатах
кинетической теории в применении к плазме без молекул и только
для низкочастотного случая A4,2).
По своему характеру и технике расчеты в этом случае [106—108]
(см. также [51]) отличаются от обсуждавшихся в § 12 лишь использо-
ванием кинетического уравнения не только для электронов, но и для
ионов. Величина тепловых поправок к скорости распространения и
затухания магнитогидродинамических волн оказывается различной
при а—>0 (продольное распространение), при a—i>-^ (для обыкно-
венной волны) и при 0 < о. < -^ . Случай а—>0 выделен потому, что
обе волны 1 и 2 являются при этом поперечными; об особенностях,
имеющих место при а—>-^- для волны 2, мы уже говорили; по-
скольку волна 2 при а ->-^ сильно затухает уже без учета тепло-
вого движения, рассматривать сейчас эту задачу более полно пред-
ставляется излишним.
При 2.= 0 кинетический расчет [106] приводит в области сла-
бого затухания (-г <=g.! ш) и при отсутствии соударений к следующим
выражениям для скоростей волн 1 и 2, которые поляризованы по кругу
(с противоположными направлениями вращения электрического вектора):
4*?
1 —
"hJ
»\.
A4,47)
черенковского излучения ясно, что значение параметра -^ весьма суще-
ственно (достаточно скамаь. что именно при vT~4 становится значитель-
ным поглощение волн, носящее характер обратного эффекта Вавилова-
Черепкова; см. § 8).

214 ВОЛНЫ В ОДНОРОДНОЙ МАГНИТОАКТИВИОЙ ПЛАЗМЕ [ГЛ. lit
здесь предполагается, что
о _
(.4.48,
{знак плюс относится к необыкновенной волне I и знак минус —
к обыкновенной волне 2). Условия A4,48) совместимы с соотноше-
нием ~Щ-—- = ~—_-5L^_i и, таким образом, изменение скоро-
4-р
стей г)фЬ2 за счет теплового движения может быть значительным
уже в области применимости формул A4,47). Еще более важно то
обстоятельство, что при учете теплового движения скорости t^t
и г'ф, не равны друг другу и зависят от частоты. Поэтому будут
иметь место поворот плоскости поляризации и изменение формы
импульсов, образованных из низкочастотных волн с разными часто-
той и поляризацией.
Затухание поля в этих волнах со временем, происходящее по
закону e~i(, определяется значениями:
A4,49)
viT «
V--,. ш У 2
-^- ехр - -^
Из A4,47) и A4,49) ясно, что при я=0 изменения скорости и за-
тухания волн, обусловленные тепловым движением, определяются
параметрами:
"о -н
A4,50)
Если
пренебречь. При этом \
1, то и подавно \-^-<^ 1, и тепловыми эффектами можно
-и
даже при г'0 =
м •
поскольку -х—<СГ1. На этом примере, кстати сказать, ясно, что
-н
роль тепловых поправок не всегда определяется отношением - ,
но может характеризоваться и значительно меньшей величиной: в дан-
ном случае параметром с в случае скорости и параметром \ -^—
~~н
в отношении затухания. В результате при я = 0 влияние теплового
§ 14]
НИЗКОЧАСТОТНЫЕ И МАГНИТОГИДРОДИНАМИЧЕСКНЕ ВОЛНЫ
215
движения на распространение поперечных низкочастотных волн в усло-
виях, представляющих реальный интерес, оказывается весьма неболь-
шим.
Положение, вообще говоря, изменяется при углах а, отличных
от нуля, или, точнее, углах х, не слишком близких к нулю *). При-
ведем соответствующие результаты (см. [1081, а также [107]), полу-
ченные в предположении, что
Если, кроме того,
-^ --,- sin3 a =
]iT
A4,51)
A4,52)
для скоростей v^ и v^2 получаются магнитогидродииамические зна-
чения A4,35); при этом для волны 2 предполагается выполненным
также последнее условие A4,37), т. е. угол я не должен быть слиш-
ком близок к 4- (как уже указывалось, область углов а —> i- с точки
зрения выяснения роли тепловых поправок интереса не представляет).
Декременты затухания в условиях A4,52) равны:
_ Г т. . sin2 'j. m [ 1 \
l У 8 '' 1 cos а М ^ | 23"Х cos-а Г
\
A4,53)
где (Зг = у ^— и опущены малые члены, в частности члены порядка
значений A4,49) для fb, при а = 0. По последней причине понятен
тот факт, что по формулам A4,53) при а~0 ¦fi = "fo—0.
Согласно A4,52) формулы A4,53) справедливы лишь, пока
Pr^cosa <C11. но для ориентировки их можно использовать и при
pr"cosa^l. Даже в этом последнем случае, не говоря уже об
области A4,62), -^ и -f2 малы в том смысле, что всегда -fb2<gTw.
Однако по абсолютной величине значения fl и ^2 ПРИ Pr'jcosa'^1
могут быть не так уже малы и, во всяком случае, не экспоненциально
малы. При этом "иЗ^Тг-
*) Поглощение особенно мало при a -> 0, потому что при г = 0 обрат-
ное черенконское поглощение отсутствует (см. § 12), а резонансное погло-
щение на частотах ионного гирорезонанса шяй^Зд- (s = 1, 2, 3, ...), оче-
видно, здесь не рассматривается, поскольку используется условие ш <гЛ 2//„
Заметил* также, что при a -=r. 0 волна 3 является продольной и сильно
затухает при отсутствии достаточно большого числа соударений (см, § S).

216
ВОЛНЫ В ОДНОРОДНОЙ МАГНИТОАКТИВНОЙ ПЛАЗМЕ '
[гл. щ
Мы видим, таким образом, что при а—• 1 условие заметного
затухания имеет простой вид:
Но уже при я-^-тг Для волны 1, для которой приведенные фор-
мулы справедливы, затухание сильно ослабляется и не экспоненциально
мало только при f ф —-< vj cos a.
Рассмотрим теперь область меньших скоростей волн, когда
j/^cosa^^.^-j/'jcosa. A4,54)
Тогда с точностью до членов порядка ~jj включительно получим:
yii=—j'= г-'тг-йш2х, г1^==_ = -cos2», A4,55)
где опущены малые (в условиях A4,51) и A4,54)) добавки порядка
_±_—„, фигурирующие в формулах A4,47). Далее, обозначая -g-j
1 (H.56)
Одно из условий A4,54) означает, что p,«cos«<C; 1. но для ориенти-
ровки формулами A4,56) можно пользоваться и при ^«cosa-—-1,
т. е. при -1'ф-—у -|j-cosa. В этом случае при |а~1 затухание
волны 1 является очень сильным {¦[ ¦—¦ ю) и при уменьшении угла а
ослабляется лишь за счет множителя sin2ж.- Затухание волны 2 при
а.-—I примерно в -^- раз меньше затухания волны 1,
я
Как уже указывалось в §§ 8 и 12, при наличии помимо рассмо-
тренного затухания fo —Ть 2 также слабого затухания 7соуя> вызван-
ного соударениями, полное затухание равно Т == То ~1~ Тсоуд> а затуха-
ние в пространстве будет q = — * — ——, где vtB s — проекция
€ игр, к
групповой скорости на направление волнового вектора к. Поэтому
J4]
НИЗКОЧАСТОТНЫЕ И МА.ГНИТОГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ
217
:;?для выявления роли специфического затухания достаточно сравнить у0
Щ>- Тсоуд; ПРИ этом для оцеиок можно использовать значение -[ссуд
Идой a = 0, поскольку зависимость этой части затухания от угла a
!в общем мало существенна. Согласно A4,29), A4,30) и A4,32)
л?так как в данном случае г(гр ц = —. В галактической «короне»
Щри "hT'I'~j 10" hi "концентрации протонов Л/.—-0,1-5-0,01 имеем:
:«;•;' г»ф =-4L=-~ 7 • I06^-2 - 10s,
л , ф :У4л?0
5;в яо время как
106
t^ = T/ — ~4- 10'
: Лл,г.. ."—Ю4 градусов). Эти значения таковы, что при а—1 можно
^использовать формулы A4,56); например, при г>ф--=7-108, vt =
г = 9 • 10s и а — 4о имеем 15=1,3-10 ш и — * = -^- = -—^ =
'¦"'' ft 9 ¦ 10—'^
f=b——j . Такое затухание в несколько раз за время порядка
/Сотен периодов или на пути в сотни длин волн может быть весьма
i"'Существенным. Для волны 2 в тех же условиях затухание *fs значи-
тельно меньше в связи с наличием множителя -~— /при 2д~~ 0,1,
?'• о^ ^
i что имеет место для протонов в поле Н ¦—• 10~в, множитель
?.-у^-< 10~8 для частот ш < 10~5\ ,
'¦¦•¦¦¦ и ' i
''¦.:¦: В то же время для межзвездной плазмы с плотностью Лг~0,1—0,01
], при Т—'"04 число соударений ч — 10~=—10~6(/ == ^-—10а2-+-1013слЛ
= и Тсс-д == "9™"~о ^10~'uJ, т. 'е. при и—¦ 10~D на девять порядков
:: меньше, значения -^ (см. выше), но сравнимо с f2.
4 В нижней части солнечной короны при N-—- 108, Н ~- 10 эрсш
ги Т~ Ю6 получаем 1/ф — " ~ 3 . 10s, где юг.— 4 ¦ 108 и х)г~107-
В данном случае в известной области углов г
-.'•оценок используем формулы A4,53). В резз'льтате -,-, ^
¦; и -у2—С~с2~—) Ti- в т0 вРемя как-Тсоут'"—Ю. поскольку v~10,
— и — ll)~Ji

218
волны в однородной млпштоактивной плазме
[гл.
щ
|S; даже при ш—'0,Ш#—'104 получаем 7, — 10, y2 — 0,1 и
10 . В более глубоких областях Солнца и других звезд
скорость магнитогидродинамических волн уменьшается в связи
С РОСТОМ ппптнпстм и чогп,,.,.- «-¦- liiO) .л - ---I фазовая
плотности и, например, при Н¦''¦—'10 и р0
/-/@)
скорость равна ги — —т=--~ !0d; в то же время при 71 -— i0s
скорость равна vt — у -^- ~ 3 • 105 и, следовательно, вф <§^ ъ';.
Последний случай количественно не рассчитан, но в подобных
условиях, вероятно, затухание еше сильнее, чем в случае A4,54).
При этом, вообще говоря, ~fi ~^$> у3 и при достаточно малых часто-
Приведенные примеры выбраны довольно произвольно: их цель
состоит лишь в том, чтобы продемонстрировать необходимость
помнить о возможной роли не связанного с соударениями затухании
низкочастотных волн. Такое затухание может быть тем интереснее,
что оно весьма различно для обыкновенной и необыкновенной волн
и довольно сильно зависит от ряда параметров, в частности от
угла я между полем Н и волновым вектором k,
§ 15. Сводка основных формул
Распространение волн в магиитоактизной плазме отличается
многообразием различных частных случаев, в которых значительно
упрощаются общие весьма громоздкие выражения для показателей
преломления и других величин. По этой причине, а также для
справочных целей приведем здесь ряд важнейших формул.
В высокочастотном случае, когда
A0,5)
ролью ионов можно обычно пренебречь, и тензор &'№ имеет вид:
е _ | то
¦ ш{ш-'%фф)'|
"ух
A0,12)
: + ^=1-
м
здесь осьдсовпадает с направлением внешнего магнитного поля Н{й)
« <=~. o^-HL^l^ue. 10:ято При отсутствш по.
СВОДКА ОСНОВНЫХ ФОРМУЛ
219
§ 151
глОш.ения нужно в A0,12) положить v3lN, = 0; при этом ait = Q и
6' =е№. В координатной системе, изображенной на рис. 10,1, ком-
поненты тензора г\к определяются выражениями A0,17). Вопрос
0 вычислении v (или при кинетическом подходе нахождении тен-
зоров % и а1к в зависимости от уэфф) освещен в § 10 (см. в осо-
бенности выражения A0,32)). При учете движения не только элек-
тронов, но и ионов имеем:
:1
(ш з
A0,44)
' — "эфф) J
(остальные компоненты равны нулю), где молекулы считаются отсутст-
вующими (чистая электронно-ионная плазма; че1 — эффективное число
соударений электрона с ионами). При наличии молекул тензор sjs
определяется формулой A0,43).
Волновое уравнение для волн, распространяющихся в магнито-
активной плазме, таково:
+ -?@-<i^) = O. О,_/^у, = 8^. A1,1)
Это уравнение имеет такой же вид, разумеется, и в других средах,
и конкретизация среды определяется выбором тензора г'1к.
г В используемой системе координат с волновым вектором ft, на-
правленным по оси г (см. рис. 11,1), для плоских волн имеем:
d2Ev ш2
dz2
LL.. ^^^ ¦— -
u A—is) v sin a
-is)u — {l — isJ (Г— is — v) — uv cos2a
uv cos a sill a
A — is) a — A — isJ (i — Is — v) — at) cos2 a
— -н
|W@)
s —~-
A1,3)
A0,20)
A0,18)
где коэффициенты .4, В и С, зависящие от a, v, s и «, опреде-
ляются выражениями A0,22) (см. также A0,23)—A0,25) и A1,3)).
Подстановка в A1,3) решения в виде
= Е
Охуе
при-
водит к уравнениям A1,2а) и A1,4); отсюда в общем случае

220
ВОЛИЫ В ОДНОРОДНОЙ МАГНИТОАКТИВНОЙ ПЛАЗМЕ [гл, щ :/р
отсутствии погло- :Щ
(п-—bc)j2 определяется формулой A1,5), а при
щения
2v A —
2 A — v) — a sin2 a = |'V sin4 я + 4ц A — и)* cos3" a
.
2 ((о2 — o)q) »2 — ш^ш^ si
A1,6)
Знак (-J-) отвечает здесь обыкновенной волне 2 и знак (—) отве-
чает необыкновенной волне 1.
При Я@) = 0 (изотропная плазма)
(я - №, = (д — Ш = 1 _ «
При а=0 (продольное распространение)
A1.8)
или
при отсутствии поглощения (при s=—~
j=# =1
При я = 4- (поперечное распространение)
Гге _ ;х« _ | г,A-гд-«)
(Л - «J = (Я - Щ\ = 1 - т-^7- .
В предельном случае, когда
имеем:
A1.9)
A1,14)
Q^ AU23)
A1.2J)
> и cos к
Эта формула для я2 применяется, например, при изучении распро-
странения в ионосфере свистящих атмосфериков.
§15]
сводка основных формул
221
При всех аФ-Q имеем: п; —0 при ti,0—1, а гг'| = О при
4о)= 1±У«; если ц<1, то показатель я2 в бесконечность не
обращается, но я|(щ100)~оо при tI<M = -j^riw^ • В области- где
И)>1 и к cos3 2 < 1, функции ii,2 (и) полюсов не имеют; при и> 1
и acos2a>-l функция n^('i)) не имеет полюса, но ft; (fjo.) = оо
при ^ ^
г - И COS* a — i *
)..;к Поляризация нормальных волн 1 и 2 (необыкновенной и ооык-
< новенной) определяется соотношением
' ?.., п 2Ya(\ — v)cosa A1.26)
•Едя,2 ' и sin2 arpVu2 sin4 a-j-4w(l—aJ cos3 a
.или при наличии поглощения — формулой A1,25); компонента Ел ,
..находится с помощью связи A0,20).
'>'; При критическом числе соударений '/Зф^,к, причем
V- " в 2ш cos ее 2 cos я ' \ • /
Середа является как бы изотропной, так как («— r/.)[ = (/i — /хJ и
;!:.-¦ При учете теплового движения электронов плазмы дисперсион-
:_ное уравнение при данном ш имеет три корпя (п — (V.)| 2 3. Появле-
- ние корня п\ тесно связано с плазменной волной, распространяю-
;.'. щейся в изотропной плазме. Весь этот вопрос подробно освещен
•:'*. § 12. Здесь отметим лишь, что третий корень п\ не слишком
велик и имеет реальное значение только в окрестности точки *]i2oj>
где п^ ИЛ1( ll2 стремятся к бесконечности при пренебрежении погло-
, щением к тепловым движением. Точка v1 2oo или соответствующая
частота »м определяются соотношениями (см. также выше):
1 — и — 1
-4- 1/ ( "Р М//'
A2,2)
A2,2а)
В области больших значений п\~^>п\ 2 для нахождения п\ можно
пользоваться формулой A2,54). В общем случае при соблюдении
¦условий A2,15) и A2,50) величины «j 2 , находятся из уравнения
A2,52). Приводить здесь это уравнение, а также другие формулы
из § 12 не будем, поскольку изложение в этом параграфе уже само

222
ВОЛНЫ В ОДНОРОДНОЙ МАГНИТОАКТИВНОЙ ПЛАЗМЕ
[ГЛ. щ
МЕ [ГЛ. щ
носило характер сводки результатов, касающихся влияния теплового
движения на значения п\ 2 а и величину не связанного с соударе-
ниями затухания. Помимо области вблизи точки г^.гж. У11ет теплового
движения существен вблизи частот ш = и>я, w = 2шя, ш = Змд ц
т. д., а также для обыкновенной волны в области частот ш<*;'шя,
ш <^ юд = у (эта область частот интересна, например, при
исследовании свистящих атмосфериков).
В § 13 приведены основные уравнения магнитной гидродинамики,
а также квазигидродинамические уравнения для плазмы, содержащей
молекулы. Там же рассмотрен вопрос о связи между скоростью
движения ионизированной компоненты плазмы vp, средней скоростью
всей плазмы v и электрическим полем Е (предполагается, что
Nm^>N, как это имеет место в земной ионосфере).
В области низких частот, когда
распространение волн в плазме обязательно должно проводиться при
учете движения ионов (§ 14).
Если применимо приближение магнитной гидродинамики, то при
отсутствии диссипации (a-t-oo, вязкостью и теплопроводностью
пренебрегаем) в каждом направлении распространяются три волны
с фазовыми скоростями (я — угол между k и ff'-°\ р0 — невоз-
мущенная волной плотность плазмы, и0 — адиабатическая скорость
звука в данной среде):
//@)СО5«
В предельных случаях
A4,10)
а;@) "-is--. ' •
У4-Ро
ф1
В § 14 приведены также связи между различными величинами в ма-
гнитогидродинамических волнах и показатели поглощения этих волн,
зависящие от электропроводности а и коэффициентов вязкости
§ 15]
СВОДКА ОСНОВНЫХ ФОРМУЛ
223
1(см. 14,21) — A4,23)). Выражение для (и — НJ при учете движения
1;йонов получено не только в магнитогидродинамической области, но
iЪ для более общего случая распространения волн в среде с тен-
:;:iopoM z'ik, определяемым согласно A0,41). Соответствующую общую
формулу A4,28) для (п — iv.){ 2 приводить здесь не будем. При про-
йдольном распространении (у. — 0)
й о,— .мг —1 "о A4,29)
»яия
^Отсюда при высоких частотах (ю^>13я) получается формула A1,8).
i'-Ёсли же
1, A4,30) и A4,32)
то из A4,29) получается магнитогидродииамическая формула
ф1, 2
A4,31)
Щ7
При я Ф 0, условиях A4,30), A4,32) и условии
-.3>1 A4,34)
риз общего выражения A4,28) следуют магиитогидродинамические
^формулы для случая «0 = 0 (тепловое движение здесь не учит-
ывается, что формально как раз эквивалентно использованию равной
Чнулю скорости звука а0). Таким образом, полученные при а-*со
'!. магнитогидродинамические формулы для v t 2 оказываются справед-
t ливыми и вне общих пределов применимости магнитной гндро-
: динамики A3,7). Подробнее об этом см. § 14, где обсуждаются также
-следующие вопросы: особый случай, когда «—>¦=¦ и условие A4,34)
~ не выполняется; распространение низкочастотных волн в плазме
с молекулами (случай я = 0; A4,41)—A4,45)); влияние на распро-
; странение низкочастотных (магнитогидродинамических) волн теплового
движения (см. формулу A4,47) и дальше).

§16]
ВВЕДЕНИЕ. ПРИБЛИЖЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИКИ
225
ГЛАВА IV
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В НЕОДНОРОДНОЙ
ИЗОТРОПНОЙ СРЕДЕ (ПЛАЗМЕ)
§ 16. Введение. Приближение геометрической оптики
Волновые уравнения. Плоскослоистая среда. При распростра-
нении электромагнитных волн в изотропной неоднородной среде
(в частности, в плазме) поля ? и Н должны удовлетворять волновым
уравнениям B,10) и B,11):
Д? — graddiv? + ~s'(co, r)?=0, A6,1)
д#_}_ L_[grade'(<о,
f- —е' {<о, г)Я=0. A6,2)
)
Разумеется, решать нужно лишь одно из этих уравнений, поскольку,
зная Е или Я, найти другое поле (т. е. Н или ?) можно сразу же
с помощью уравнений поля rot// — —~е'2Г или rot? = //. Вместе
с тем полезно иметь в виду оба уравнения A6,1) и A6,2), так как
в зависимости от характера задачи более удобным для исследования
может оказаться или первое или второе из них (см. § 19).
Распространение волн в неоднородных средах отличается исклю-
чительно большим разнообразием возможностей, что в первую очередь
связано с различным выбором функций е'(ю, г). Поэтому необходимо
доставить задачу более конкретно, например, считая среду плоско-
слоистой или сферически слоистой; в первом случае s' = e/(co, г),
а во втором s'= е'(<!>, R), где R—расстояние от некоторого центра.
Ниже мы будем иметь дело почти исключительно с важнейшим слу-
чаен плоскослоистой среды. Распространение волн в средах, свойства
которых постоянны на сферических или цилиндрических поверхно-
стях, во многих отношениях сходно с распространением в плоско-
слоистой среде (о распространении в сферически слоистой среде
см. §§ 34 и 36).
Распространение волн в плоскослоистой среде целесообразно рас-
сматривать сначала для важного частного случая нормального падения ">
волны на слой неоднородной среды. В этом случае поля ? и Я
Жйависят лишь от координаты z, и уравнение A6,1) для ? принимает
аивид:
Ш. ^ + 1Тг>(ш,г)Е = (К A6,3)
Щ'(де под Е можно понимать любую из компонент Еt или Еу. Компо-
I Дёиту Ег считаем равной нулю, что при нормальном падении автома-
(ьртически следует из уравнения A6,1) при г' (ш, z) =h 0; если же
К?'((и, г) = 0, то могут существовать плазменные волны с ЕгФ0, но
С'|)ни при нормальном падении в используемом линейном приближении
уЩовершенно независимы от поперечных волн, удовлетворяющих урав-
Щнению A6,3).
Щ:\ В случае наклонного падения задача о распространении воли
Kg плоскослоистой среде сводится к задаче о нормальном падении
s:::(cm. § 19), если не говорить об одном исключительном случае
Щсм. §§ 19 и 20).
Jif., Уравнение типа A6,3) встречается также в акустике и вообще
щеории распространения волн любого типа. В частности, в квантовой
г|#еханике волновое уравнение Шредингера для одномерного движения
HfraKOBo;
5:|де lF— волновая функция, m — масса частицы, Л=1,05Х
'Щ( 10~"' эрг • сек—квантовая постоянная, W—энергия частицы и
;Щ (г) — потенциальная энергия.
Щ' Строгие решения для плоскослоистой среды. Математические
^результаты, относящиеся к уравнению A6,3), в связи со сказанным
й'Ймеют непосредственное отношение к акустическим, квантовомехани-
is ческим и другим задачам. Понятно поэтому, что исследованию урав^
•¦нения типа A6,3) посвящено большое число работ. Поскольку при
^'••произвольной функции ?'(«>, г) это уравнение не имеет решения,
'которое можно записать через известные функции, приобретают зна-
чительный интерес те частные случаи, когда имеется такая возмож-
ность, Так, в очень важном случае линейного слоя г' = a -\-bz реше-
тние уравнения A6,3) выражается через функции Бесселя порядка 1!я
*или функции Эйри A10—113]. Для параболического слоя &'— a-^-bz-
, решение выражается в функциях параболического цилиндра (функ-
Уциях Вебера) [111, 114]. Если s' имеет вид г' = а -\- !'¦—-Д^ "• ^'
/(здесь, как и в двух предыдущих случаях, а, Ь, с и f — некоторые
/комплексные постоянные), то уравнение A6,3) приводится к гипер-
'¦{ геометрическому, и его решение исследовано [115, 116].
В бесселевых фз'нкциях выражается [117, 118] решение для слоя
: s' := (а -~ bz)'" с целым m (при т = — 2 решением является степен-
ная функция). Известны решения [119, 120] также для некоторых
15 Зак. 147!, В. Л. Гинзбург

226
ВОЛНЫ В НЕОДНОРОДНОЙ ИЗОТРОПНОЙ СРЕДЕ
IV
других функций г' (z). Некоторые из перечисленных решений приво-
дятся и обсуждаются также в монографиях [12J, 122].
О приближенных решениях. Все эти решения в своей совокуп-
ности позволяют составить представление о распространении и отражении
воли от слоев самого разнообразного профиля. Соответствующие
точные решения и вопрос об их использовании будут рассмотрены
в §§ 17 и 18, а также в гл, V.
Нг меньший интерес имеет, однако, проблема приближенного
решения уравнения типа A6,3). Во-первых, это связано с тем, что
приближенные решении могут быть'получены для произвольной функ-
ции г'(со, г). Во-вторых, методы приближенного решения простейшего
уравнения A6,3) могут обычно быть перенесены на более сложные
случаи (например, на неоднородную магнитоактивную плазму'), когда
точные решения задачи либо вообще неизвестны, либо малоэффек-
тивны с точки зрения их практического использования.
Важнейший приближенный метод решения волновых уравнений, и
в частности уравнения A6,3), основан на использовании приближения
геометрической оптики; этот же метод и родственный ему в квантовой
механике часто называют квазиклассическим или методом Вентцеля —
Крамерса—Брпллюэна (ВКБ-метод). Метод геометрической оптики
позволяет найти хорошее приближение к точному решению уравнения,
ест свойства среды достаточно медленно изменяются с расстоянием.
В случае плазмы, например в ионосфере или в солнечной короне,
соответствующее условие медленности изменения свойств среды обычно
хорошо выполняется.
Приближение геометрической оптики. Отправным пунктом для
нахождения приближения геометрической оптики является решение
уравнения A6,3) для однородной среды, т. е. при г' = г'(ш); это
решение таково:
В = Е()е с — Яое ' е с . A6,4)
Если среда неоднородна, но на длине электромагнитной волны
свойства среды меняются мало, то распространение волн в небольшой
области очень близко к распространению в однородной среде с пока-
зателями преломления и поглощения, соответствующими данному
участку неоднородной среды. Другими словами, распространение
в неоднородной среде должно быть примерно таким же, как в одно-
родной среде с меняющейся диэлектрической проницаемостью. Послед-
нее означает, что решение должно в основном иметь вид A6,4)
с заменой
VT'z^=(n~U)z на jY7'dz = j (n — iv.)<tz.
Условие медленности изменения свойств среды на длине волны
выполнено, если соблюдается неравенство
?*<С«; A6,5)
V;§ 16] ВВЕДЕНИЕ. ПРИБЛИЖЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИКИ 227
Й . /.„ ).о /. 0т.с
«здесь А— — — —>——длина волны в среде (<¦{] = длина волны
I.: 11 Т ? \ (О
¦•^'вакууме j и для простоты поглощение предполагается отсутствующим.
!~ - Указанные соображения приводят к выражению
I;; Е = ?0«* ' ~ ¦' ' * d\ Ео — const,
;:б то время как при условии A6,5) можно легко получить еще лучшее
^приближение к точному решению уравнения A6,3). Для этой цели
:;>можно применить два метода. Первый из них, менее строгий состоит
Je том, что ищется решение уравнения A6,3) в виде:
Г E{z)^E(s(z)e"i^4'U\ A6,6)
йгде E()(z) и ЧГ(г)—-подлежащие определению медленно меняющиеся
¦:.функции г.
I Подставляя A6,6) в A6,3), имеем:
i E;^2i^W'E'l)-i^W"E() + -fr(s'-{Wf)EQ=-.Q, A6,7)
; Здесь штрихи над ЕГ) и Т означают дифференцирование по z (штрих
¦над е имеет другой смысл, что после настоящей оговорки не должно
•"-.повести к недоразумению).
( Медленность изменения поля, грубо говоря, означает, что Ей(г)
и \F' (г) заметно меняются только на некотором характерном расстоя-
нии !,:^>).о. Поэтому в A6,7) ^о~Х' E"~JJ> ?"~5-- и, сле-
': с2 Ч
довательно, если умножить все уравнение на — — ^—а- , ясно, что
' с2 $
первый член порядка ^?0'—'^TjJ Ео' ВТОРОЙ » третий члены,
¦ В сумме равные —2t — ^P'E'o — t—WEa, — порядка ^-~-Ч'Ей и
последний член (г' — (Ф')г)^о от "9^'Г не зависит. Приближенное реше-
ние уравнения можно найти, приравнивая нулю отдельно выражения
разных порядков, т. е. выражения, содержащие множители — и —
в A6,7).
Таким образом, находим:
(с' №^ F Л Р' — F П
Первое из этих равенств приводит к соотношению
A6,8)
г' = (Vf, Т =
где za — некоторая постоянная.
15*
[«(г) — п (гI (iz, A6,9)

228
ВОЛНЫ В НЕОДНОРОДНОЙ ИЗОТРОПНОЙ СРЕДЕ
[гл. lv
Выражение A6,9) определяет фазу поля в A6,6) в полном согласии
со сказанным выше о необходимости замены в решении A6,4) фазы
± I ~]/а'2 интегралом т. /— / ]/"е'' (z)dz.
Второе из уравнений A6,8) имеет решение
Я, (z) = -^=г = -т—^— = —^=4=, A6,10)
где С — постоянная.
Таким образом, решение уравнения A6,3) в приближении гео-
метрической оптики таково:
E(z) =
±.--H"*«
± ~- \ J. (г) иг ± i ~ f я (г) rf*
= -;======-« * ¦ * . A6,11)
1- я (г) — гх(г)
В приближении геометрической оптики волны, распространяющиеся
в обоих направлениях (знаки ± в A6,11)), очевидно, совершенно
независимы, так же как это имеет место в случае однородной среды.
Можно поэтому сказать, что общее решение в приближении гео-
метрической оптики имеет вид
+ i-
V •-'¦ dz
A6,12)
и зависит от двух произвольных комплексных постоянных С.,, и С_,
поскольку любое изменение постоянных z0+ и га_ может быть све-
дено к соответствующему изменению величин С+ и С_.
Соблюдение равенств A6,8) обеспечивает обращение в A6,7)
в нуль всех членов, кроме ?0'. Поэтому решение A6,11) — A6,12)
может оказаться действительно приближающимся к истинному реше-
нию только, если, подставляя его В A6,7), окажется, что член Е"л
меньше всех других. Таким образом, для справедливости приближе-
ния естественно потребовать, чтобы член Е'^ был значительно меньше
каждого из членов в A6,7), содержащих множитель —, т. е. чтобы
соблюдалось неравенство
A6,13)
Щ-Л61 ВВЕДЕНИЕ. ПРИБЛИЖЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИКИ 229
WJr Подставляя сюда выражения A6,9) и A6,10), получаем условие
Применимости приближения геометрической оптики в виде:
V" , 3 (У'J
,,. ..... ' 24"' "¦" 4 ~Щу
Што неравенство будет заведомо выполнено, если соблюдаются нера-
венства (W — п — Н):
<1, A6,14)
"-хг Y(n'J —
%шш при отсутствии поглощения неравенства
A6,15)
«Гздесь и1 = -J— и т. д. I.
в.С ? Легко видеть, что при соблюдении неравенств A6,14) и A6,15)
«Заведомо соблюдается также неравенство
Ж: | е" I ^=- — №'? F — ' -'Я
,6т.: е. член ?^ действительно много меньше всех других членов в урав-
;§НЙНИИ A6,7).
|)& :; Заметим, что первое из условий A6,15) практически совпадает
Щс A6,5), так как е —л2 и Х=^. В A6,14) — A6,15) входит не >,„,
fja::X0==—-; это является общим для всей теории электромагнит-
;,; ных волн, — истинным параметром служит именно л0 = -^ -— — ,
;? 3 не Ао. В силу экспоненциального характера ряда выражений теории
к* это отличие, вообще говоря, существенно.
S;;;: Условие A6,5) или первое неравенство A6,15) можно также
«записать в виде (Х-=
~Lr\:
т., §<:
A6,16)
Приведенный способ нахождения приближения геометрической
оптики и условий его применимости не может считаться вполне удовле-
творительным, так как основан на оценке и пренебрежении различ-
ными членами в исходном уравнении A6,3). «Между тем небольшой
Член в уравнении может сильно сказаться на решении, и единственным
вполне законным методом является пренебрежение малыми членами
в решении, а не в уравнении.

230
ВОЛНЫ В НЕОДНОРОДНОЙ ИЗОТРОПНОЙ СРЕДЕ
[гл.
где 1", Е-Су, ?A) и т. д. — неизвестные функции от 2.
Подставляя A6,17) в A6,3), получаем уравнение типа
If (Л
с • A6,17)
^ + *|
= 0,
где А, В, С ...—некоторые выражения, содержащие E{iy, ? и их
производные. Поскольку приведенное равенство должно иметь место
при всех значениях — , оно выполняется только, если А — В = С==:
— п~ '' =0. Таким образом, после несложных вычислений:
= 0,
A6,18)
Решение первых двух уравнений совпадает соответственно с A6,9)
и A6,10). Решение уравнения для Е^ таково (Ч"—]/ г):
Z
Z „
1 Г ?т. 1
в' (г)
A6,19)
где мы ограничиваемся вынужденным решением, так как решение
однородного уравнения для ?A) имеет такой же вид, как и решение
уравнения для В\оу
Приближение геометрической оптики '¦'), как ясно из предыдущего,
применимо, если в A6,17) можно ограничиться первым членом, т. t.
^(!):<!f(o,L A6,20;
причем предполагается, что более высокие ч (енм все меньше Е(,>.
Условие A6,20) в силу A6,19) имеет интегральный характер; мы
ограничимся нахождением более слабых неравенств, выполнение
которых лишь достаточно для соблюдения неравенства A6,20).
*) Точнее, речь идет о первом приближении геометрической оптики.
Поскольку, однако, высшие приближения обычно не применяются (если -,-
близко к единице, ряд A6,1") сходится плохо), условие применимости гео-
метрической оптики можно отождествить с условием справедливости рассмат-
риваемого первого приближения.
ВВЕДЕНИЕ. ПРИБЛИЖЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИКИ
231
>:'$;- Полагая для простоты г' = е~= д2 > 0 и учитывая, что в этом
?Йучае ?=_.__==__ > МЫ| согласно A6,19), имеем:
{Ё1.\ i2"
3 \ dz) I dz*
1т J [ Si n'* 4/ n2
dn
_
di
z*( dn у
\6i- J n*~
г dn
±2.J±.\ h- f lz rf(inre). A6,21)
2- Ни*]. 16r<- J я2
if-: Допустим теперь, что функция u(z) является монотонной на всем
(интервале (z0, z). Тогда оба сомножителя в последнем интеграле,
^стоящем в A6,21), всегда одного знака и
';-.,•'-., г г
;А Г 1 dn ... , /' 1 dn ... . ./ 1 i1-i\ , п(г)
I __(((пA)= / ¦-=- -,— d (In n) < \-г --г-) !n—;M-,
j где индекс max означает, что берется максимальное значение па интер-
1'вале (Zq, z) (при преобразовании предположено, что рассматриваемый
: интеграл положительный, иначе при оценке в соответствующем месте
'.нужно поставить знак минус). Из сказанного ясно, что для собдюде-
кС¦: ' Ао ! ?A) |
л/яия интересующего нас неравенства ^~ ,-v,—г <СС ' достаточно, чтооы
,;на всем интервале соблюдалось условие
d-i
"dz
A6,22)
'и значения
1п
я (.г)
" v~' | или просто |AпяIгг]ах не были очень велики.
Последнее требование представляется обычно совершенно несуще-
ственным; поэтому достаточное условие для применимости приближе-
ния геометрической оптики и записано в виде A6,22), а не непосред-
d-i I
)„¦
;ственно в форме ^ ~?г 1п/г [^ !• Условие A6,22) совпадает с пер-
вым из неравенств A6,15); второе неравенство A6,15), накладывающее
d2n
ограничение на значение производной -—^s/г , оказывается, таким
.образом, для справедливости приближения геометрической оптики

1'i2
ВОЛНЫ К НЕОДНОРОДНОЙ- ИЗОТРОПНОЙ СРЕДЕ
[гл. IV
излишним. Однако, как б)'дет выяснено в конце настоящего параграфа,
oicvrcTBue скачков -Д- (или, что то же, больших значений — ---)
иг \ dz2 I
весьма желательно для того, чтобы поправка к решению геометри-
ческой оптики была не только мала, но и очень мала.
Необходимо еще раз подчеркнуть, что условие A6,22) является
лишь достаточным, но не необходимым, так как исходное усло-
вие ПС,20) носит интегральный характер (см. A6,19)). Более суще-
ственно, что при получении достаточного условии A6,22) функция га(;>
предполагалась монотонной. Для исследований распространения воли
о плазме такое предположение обычно вполне допустимо (вопроса,
об отражении волн от хаотических неоднородностей мы здесь
не касаемся). Если функция п. (г) не монотонна [например, если она
имеет вид и (г)—- 1 4-й cos (Qz)\, to интегральное условие A6,20),
вообще говоря, не сводится к дифференциальному условию типа A6,22).
и отношение -л-— может расти с увеличением проходимого волно!)
пути, т. е. разности г — г0 *).
Заметим также, что выше не было проявлено тщательности при
использовании в неравенствах модулей величин Е^, Е{1) и т. д.
Строго говоря, при использовании модулей нужно было бы записать
неравенства также для фаз соответствующих выражений. Мы не делали
этого потому, что в условиях плазмы поглощение обычно является
с точки зрения характера распространения волн вторичным эффеккш
(поглощение слабо). В результате ложно, как этой сделано в A6,21).
ограничиться случаем отсутствия поглощения, когда при г > 0 вели-
чины ?@) и "F' вещественны. Поэтому в неравенствах нужно лишь
следить за тем, чтобы входящие выражения были одного знака.
Именно потому е A6,16) и A6,22) фигурируют абсолютные значений',
иначе левая часть неравенств может быть отрицательной, и они
потеряют свой подлинный смысл.
Случаи, когда приближение геометрической оптики неприме-
нимо. Полное внутреннее отражение. Условие применимости прибли-
жения геометрической оптики A6,22) не соблюдается в двух случаях:
*) Например, если я= 1 -f- a cos Qz, где \й\<^\, то при отбрасывании
осциллирующего члена
f„)
Аналогичный результат получается при наличии статистических неоднород-
ностей (см. [269]). Из A6,21) сразу можно получить достаточное условие
>-о ' ?A) ¦'
малости отношения -г— г -=—^-1
условия J (-yz ) п~3\ ¦¦<2~
волной
>-о ' ?A) ¦
малости отношения -г— г -=—^-1 в виде неравенства A6,22) и одновременно
J () ~3\ ( где г — *0— путь, проходимый
ВВЕДЕНИЕ. ПРИБЛИЖЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИКИ
если имеется достаточно резкий градиент п (т. е. производная
233
dn
Hz
сйелика I или если показатель преломления л достаточно мал *),
Ц В разреженной плазме резкие градиенты могут иметь место лишь
Екак спорадическое явление; при регулярном же, сглаженном ходе г (г)
Двойства среды ничтожно мало изменяются иа расстояниях порядка
|длин волн, относящихся к радиодиапазону. Так, в ионосферном
рЕ-слое показатель преломления n(z) обычно меняется для отражаю-
щихся от слоя волн на величину порядка единицы на пути ~ 10 км
Ьм, таким образом, -г--—¦ !0~ь; в /""-слое ~—10"'. При ~>-п =
Й== 6 • 104 c.u = 600 м условие A6,22) для Я-слоя принимает поэтому
йвид п-~_^>10~~. Для F-слоя при )ч=6- 103 см соответственно имеем
гЛа> Ю" . Таким образом, геометрическая оптика в этих случаях
гбудет неприменима лишь при малом п. В солнечной короне средние
^градиенты п еще значительно меньше, чем в земной ионосфере.
^Поэтому, если речь идет о радиодиапазоне, для плазмы типично
«несоблюдение геометрической оптики не при больших -г,а« области
шалых значений п.
Г:;! При отсутствии поглощения для плазмы (см. C,5))
3,18
A6,23)
м при достаточно большом Л'(г) или при достаточно малой частоте ш
квадрат показателя преломления п2 обращается в нуль. Во всех дру-
гих средах область гя^О имеет несравненно меньшее значение, так
как концентрация Л'(г1) фактически изменяется в несравненно более
узких пределах, чем в газовой плазме; кроме того, во всех средах,
кроме плазмы, обычно нельзя пренебрегать поглощением, в силу чего
значения s.-^О уже не столь специфичны, как при отсутствии погло-
щения.
Неприменимость геометрической оптики при малом п имеет ясный
физический смысл. Дело в том, что для справедливости геометрико-
оптического приближения нужно, чтобы свойства среды мало менялись
на длине волн в среде X. Но >. = — и при л^>0 длина будет X—>оо,
вследствие чего даже при плавном ходе я (г) изменения п с расстоянием
становятся существенными.
Выше уже указывалось, что в приближении геометрической оптики
волны, бегущие вверх и вниз, совершенно независимы. Поэтому отра-
жение волн может происходить лишь в областях, где геометрическая
волной.
'"') Поскольку речь идет об одном условии A6,22), выделение двух ука-
занных случаев, конечно, условно. Вместе с тем оно удобно и, по cvth дела,
оправдано*.

волны в неоднородной изотропной сре
среде
|Г1
:«рп„, S.,.J-
/л (г)
Z:Z^Q,
dn
' "
lc ~-z \Е
2ш л
A6,24)
Из условия применимости геометрикооптического приближения A6,22)
^ dn ^
ясно, что в этом приолижении члены, содержащие ~т- , пренебрежимо
малы. Таким образом, в приближении геометрической оптики
u>t
~ j >idz\ и 5=^
^ = const.
Впрочем, если сохранить члены
dn
то средний по времени поток
энергии 5 по-прежнему ранен у-^Е^~— const, так как упомянутые
малые члены в выражении лля Н сдвинуты относительно основного
члена на -i по фазе.
Итак, отражение волн должно происходить тем сильнее, чем менее
точным является приближение геометрической оптики. В частности»
отражение имеет место при наличии резких градиентов л, причем
коэффициент отражения не слишком мал только, когда переходная
область о г одного значения п к другому порядка ¦?,— и меньше.
В пределе при стремлении толщины переходной области к нулю
(граница раздела) получаются известные формулы Френеля (см. § 18).
От области, где n-~Q, также имеется отражении. Это отраженье
при отсутствии поглощения является полным, если только за точкой.
е--=п2.= 0, со стороны отрицательных значений г, коицентрацил
§ 1б1
ВВЕДЕНИЕ. ПРИБЛИЖЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИКИ
235
^электронов продолжает возрастать на значительном расстоянии
'^расстоянии, много большем -g™)- Физически наличие полного отра-
жения ясно из того, что в области, где е < 0, волна затухает. В этой
айбласти л = 0, ¦/. = ]/г[2|, Е = Еое с ' ' и на расстоянии
йв несколько длин волн за точкой г = 0 поле практически равно нулю
Месли производная -^- не слишком мала). Поскольку, далее, погло-
¦щение энергии по предположению отсутствует (з = 0), ясно, что вся
'¦энергия должна отразиться от слоя, так что образуется стоячая волна.
:' Об отражении радиоволн от ионосферы. Приведенные сообра-
жения объясняют тот фундаментальный факт, что радиоволны могут
-полностью отражаться от ионосферы и аналогичных слоев неодно-
родной плазмы даже при нормальном падении. Это отражение анало-
гично полному внутреннему отражению в оптике. Действительно,
согласно закону преломления углы падения и преломления волны,
падающей на границу раздела, связаны соотношением
31Г1 Ьу п2
':¦'¦' ЯП 02 Л, '
где 6j и 92— углы падения и преломления, а п1 и я, — показатели
преломления первой и второй сред (угод 62 относится к среде 1).
;; Если «j > Пг„ то для углов Oj^-arcsin— имеет место полное внут-
реннее отражение (так как при этом sin Ь„ формально больше еди-
ницы)- При нормальном падении фх = 0) полное внутреннее отражение
возможно лишь, когда и, =-0. что как раз и может иметь место
е плазме (отсутствие резкой границы раздела в данном случае несуще-
ственно).
. Для плавной среды о точке отражения в буквальном смысле этого
слова говорить нельзя, так как отражение происходит в некоторой
области. Однако несколько условно за точку отражения можно счи-
тать то место, где s = n2~-0, поскольку за этой точкой в глубь
слоя поле быстро убывает и обычно может не учитываться (см. подроб-
нее гл. VI).
Согласно A6,23) в точке отражения
V — "ш — — — 1 94.10
д/ _ jsr __ gjgT^- —1,-4 1U
"V2.
A6,25)
Формула A6,25) является одним из основных соотношений, ис-
пользуемых при интерпретации ионосферных данных, а также при
радиоастрономических исследованиях солнечной атмосферы и в ряде
других случаев.
Вопрос об отражении радиоволн от ионосферы более подробно
оЗсуждается в гл. VI, которая тесно примыкает к настоящей главе .V

236
ВОЛНЫ В НЕОДНОРОДНОЙ ИЗОТРОПНОЙ СРЕДЕ
|ГЛ.
и содержит ряд сведений, относящихся не только к конкретной за-
даче об отражении волн от ионосферы, но и ко всей проблеме рас-
пространения волн в неоднородной среде. Радиоастрономические
вопросы разбираются в гл. VII.
Совершенно неотражающий слой. Отсутствие резких гради-
ентов п или области, где я = 0, обеспечивает отсутствие сильного
отражения волн. Однако и в этих условиях в произвольной неод-
нородной среде, вообще говоря, имеется некоторое слабое отраже-
ние волн (малость этого отражения гарантируется самими условиями
применимости геометрической оптики). В общем можно сказать, что
чем функция г (г) более гладкая и плавная, тем отражение меньше.
Отражение полностью отсутствует только в однородной среде,
а также в неоднородной среде со специального вида зависимостью г (г).
Так, отражение полностью отсутствует для сред, в которых ре-
шения типа A6,11), т. е. решения
*I<
Е =
YfH
A6,26)
являются точными решениями волнового уравнения [123]. Действи-
тельно, выше было показано (см, A6,24);, что для таких решений
при вещественном /(г) средний поток энергии не зависит от -
и, таким образом, отражение отсутствует. С другой стороны, не-
трудно найти такую функцию г'(г) в волновом уравнении A6,Зк.
чтобы решение A6,26) было точным. Именно непосредственной под-
становкой легко убедиться в том, что функция A6,26) удовлетво-
ряет уравнению
г' (г) = Г- (>1 -I—?1 rf~2 3 W
dfV
A6,27
Любопытно, что требование вещественности /, необходимое для от-
сутствия поглощения, еще не гарантирует положительности г (г) (при /
вещественном, разумеется, г'(z) вещественно и равно е(г)). Таким
образом, и при наличии области, где г (z) < 0, волна может не отра-
жаться в отличие от ситуации, имеющей место в приближении гео-
метрической оптики.
Слабое отражение от слоя. В некоторых случаях представляет
интерес то слабое отражение волн, которое имеется в условиях,
когда первое приближение геометрической оптики является хорошим
приближением к точному решению. Для решения такой задачи пред-
§
ВВЕДЕНИЕ. ПРИБЛИЖЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИКИ
237
ставим решение волнового уравнения A6,3) при отсутствии погло-
щения в виде:
n (z) dz
¦"if»(
A6,28)
Неравенство | Е1 i <С'
А
как раз и гарантирует, очевидно, спра-
ведливость в первом приближении геометрикоолтического решения,
которое выбрано в виде волны, бегущей вдоль оси z.
Функцию Е, (г) и амплитудный коэффициент отражения R най-
дем методом теории возмущений. Именно, подставляя A6,28) в A6,3)
с е' = s (z) •= я3 (*), получаем уравнение
tin
dz
(In \ -21- Г пс
7Г-. е J
A6,29)
где приближение состоит в пренебрежении членом -г& • Интегрируя
уравнение A6,29), получаем:
/ ctn
?, (г) = >-_^г /1/и (г) у dz = -^= I -~-~г —г-
01 Г
- 2l -(; Я ClZ
X
~ 4<o \rn (z)
dn -2i— in
Hi c J
E,
Y
Z
dn --,;^ fn,u
?0 fdi V
-j Fie "' c
dz, A6,30)
где 20 и zv — произвольные постоянные. Несколько конкретизируя
постановку задачи, будем теперь считать, что застоем (при г—*оо)
среда однородна и имеется только проходящая волна, а поле нас
интересует при значениях г, лежащих перед слоем, где среда также
однородна (п — const). Именно такие граничные условия и осуще-
ствляются при падении волны на слой-со стороны отрицательных зна-
чений г и отсутствии волны, падающей па слой с противоположной

238
ВОЛНЫ В НЕОДНОРОДНОЙ ИЗОТРОПНОЙ СРЕДЕ
стороны. В таких условиях ?,(г~>со) = 0 и в A6,30) нуж;
дожить г1 = со, (у") = 0. Далее, в рассматриваемой области
dn ., „
неоднородным слоем •т- = 0. Гаким ооразоги, в
ним A6,30) первый член равен нулю, а
вия A6,22) значительно меньше второго и
г
[''Л. iy
w гю-
яеред
771 27ге
• = — е *с
f
J Ъге z" d
A6,31)
Это выражение совпадает с приведенным в § 17 книги [121], где
оно получено другим, несколько более громоздким методом, при-
годным вместе с тем и при сильном отражении.
Нужно сказать, что выражение A6,31) не всегда удобно, и иногда
выгоднее использовать для R более общую формулу, получающуюся
из A6,30):
R = -?'f_.
2i7 f1""
J Z
&-'?!¦
(lfi,32)
Отражение от скачка производной -г-. В качестве интересного
» важного примера применения этой формулы рассмотрим отраже-
ние волн от скачка производной -т;. Скачок (граница разрыва ве-
личины -т-) должен быть, как это ясно из физических соображений,
эквивалентен резкому изменению -^ на расстоянии, малом по срав-
нению с длиной — —.j;. В области такого изменения -р в A6,32)
'§ 111] ВВЕДЕНИЕ. ПРИБЛИЖЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИКИ 239
можно считать постоянными все величины, кроме -р^. Поэтому, по-
мешая скачок в точку z = 0, имеем:
\
A6,33)
x ~ 8-л2 @) l\dz)i \dz
!@)
;idn\ (dn\ i
Jj - R (г) dZ
'й 'v ¦ fe (i2 @) ' J
:= /dn\ dn , '-•¦/ ,
«где I-,-) t—значения -у- с ооеих сторон скачка для фиксации фазо-
вого множителя положено го = О, так как величина 2l— I n{z)dz
¦¦ о
/имеет ясный смысл: она равна набегу фазы при распространении от
точки г до скачка при ? = 0и обратно до точки г.
Формула A6,33) получается также сразу при решении задачи об
отражении от скачка -у- в условиях, когда с обеих сторон скачка
'применимо приближение геометрической оптики и поле можно пред-
ставить в виде:
,i С ... г"
-/— \ lid: '— I ndz
Р <¦' J r с J
в среде 1 (падающая и отраженная волны),
A6,34)
?B) 4Lc
V "
в среде 2 (проходящая волна).
На границе разрыва ^ (при г = 0), как и всегда, должны быть
непрерывны тангенциальные компоненты нолей Е и Н, т. е. о дан-
ном случае значения') Е и j-. В применении к полям A6,34) эти
"О Тот факт, что в разбираемой задаче граничное условие ЯB) ^ ЯA),
т. е. равенство тангенциальных компонент поля И, эквивалентно непрерыв-
ности производной —г , ясен, например, из A6,24). То же следует из фор-
мальных соображений, поскольку для уравнения второго порядка типа A6,3)
на границе должны быть непрерывны и функция Вtn ее производная - -_.

240
ВОЛНЫ В НЕОДНОРОДНОЙ ИЗОТРОПНОЙ СРЕДЕ
[ГЛ. IV
граничные условия сразу же приводят к результату A6,33), если
отбросить малый член, который в -^ -?¦ раз меньше оставленного.
Подобное пренебрежение, разумеется, вполне законно, поскольку
вне разрыва предполагается справедливым геометрикооптическое при-
ближение (см. A6,22)). По последней причине коэффициент отра-
жения R в A6,31) — A6,33) всегда мал, т. е. |/?(<^1,
В связи с получением условий применимости приближения гео-
метрической оптики выше уже отмечалось, что это приближение
действительно аппроксимирует точное решение для монотонной функ-
ции s.(z) при соблюдении одного неравенства A6,22) независимо от
„ d?n ' „ dhi
значений —,. В то же время, если производная -г-г также везде
мала и поэтому соблюдается второе условие A6,15), приближение
геометрической оптики является еще более хорошим. Сказанное ясно
из формул A6,32) и A6,33), свидетельствующих о падении отра-
din
жения от среды при уменьшении производной -т—2,
Отражение от границы разрыва (скачка) производной '-г- анало-
гично отражению от границы разрыва самого показателя преломле-
ния и (мы, таким образом, не согласны с противоположным мне-
нием, высказанным в {121], § 17,5). В обоих случаях разрыв можно
считать резким и его структура*) в широких пределах не сказы-
вается на коэффициенте отражения, если толщина разрыва мала по
сравнению с длиной J~. Другими словами, в обоих случаях эффект
отражения можно считать либо происходящим на резком разрыве,
либо рассматривать его в качестве результата отражения во всем
переходном слое, где происходит интересующее нас резкое изме-
нение — ИЛИ tl(z\. Ряянмпа "~ *
„...„^^jiumee нас резкое изае-
и.1и n(z). Разница между обоими случаями состоит, правда,
в том, что скачок я может иметь место на границе между двумя
однородными средами, когда все отражение происходит только от
области самого скачка. Если же имеется скачок -^-, то, по крайней
мере, одна из сред с обеих сторон скачка является неоднородной
и отражение, вообще говоря, не локализовано только на скачке.
Этот момент, однако, представляется мало существенным, поскольку
отражение от неоднородной среды вне скачка (т. е. вне всего пере-
*) Под структурой разрыва понимается, очевидно, характер изменения
функций -j~ или п(г) в пределах той области, которая при более грубом
рассмотрении считается точкой на оси г, в которой происходит скачок ве-
dn
личин -г- или п.
dz
% 171
СТРОГИЕ РЕШЕНИЙ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ
241
«^одного слоя, рассматриваемого в качестве скачка) может быть сколь
Йгодно малым или даже равным нулю (последнее имеет место для
|||лоя типа A6,27)).
Щ § 17. Строгие решения волнового уравнения
Щ (линейными параболический слои; слой =' = ;. _, .3)
1J Введение. При исследовании распространения волн в произволь-
ной неоднородной среде ограничиться первым приближением гео-
Кметрической оптики, очевидно, нельзя. То же можно сказать и о дру-
}1тих общих методах: методе возмущений, изложенном в конце § 10
;ft являющемся, по сути дела, вторым приближением геометрической
:!}.штики, а также методе фазовых интегралов, в котором широко нс-
;й пользуется приближение геометрической оптики (см. A24J и указан-
ную там литературу; кроме того, об этом методе еще пойдет речь
л'.в § 28). Ни одно из подобных приближенных решений общего ха-
:i рактера (общего в том смысле, что конкретный вид функций г'(г)
&/не фиксируется) не может быть использовано для нахождения коэф-
Р'фициента отражения и, тем более, поля волны в самой области от-
ображения от произвольного слоя. Поэтому большое значение имеют
•¦¦точные решения волнового уравнения A6,3), известные для ряда
%функций г'(г), уже указанных в начале § 16. Сейчас остановимся
йна важнейших таких точных решениях: для «линейного слоя» г'=
¦}.'¦= a-\-bz и «параболического слоя» г' = a-\~bz2, а также для слоя
-;>.g' — ...-—_; последний случай интересен главным образом потому,
:; что для пего точное решение выражается в элементарных функциях
ч и, следовательно, особенно просто.
;V Линейный слой без поглощения. Рассмотрим раньше всего ре-
К шение для линейного слоя плазмы при отсутствии поглощения
;" [110, 111], полагая в A6,3) при z >- 0
I г^=1 -4^М_1_?, о = 0. A7,1)
При г -г' 0 можно считать, что е—1, но лучше вообще не детали-
аироиать свойства среды в этой области, рассматривая только
область z,^0 и задаваясь при z — 0 граничным условием — выра-
жением для падающей волны. При этом следует иметь в виду, что
если при 2 = 0 производная — терпит разрыв, то па этой границе
раздела будет иметь место отражение волны идущей из области
z < 0. В силу сказанного мы отвлекаемся от этого вопроса, задавая
сразу поле волны при z —:-f-0.
Производя замену переменных;
16 Зак. 1471. В. Л. Гинзбург

2--12 волны в неоднородной изотропной среде [гл. iv
легко видеть, что уравнение A0,3) для слоя A7,1) принимает вид.:
??+<? = 0. A7,3)
Уравнение A7,3) приводится к уравнению Бесселя (см., например,
[12б|), и его решение выражается в функциях Бесселя порядка 1;3,
Нас интересует решение, отвечающее случаю, когда волна падает
на среду в направлении положительной оси z (рис. 17,1) При г—>со
Рис. 17,1. Линейный слой
(т. е. С —!•—- со) волновое поле должно затухать, так как при z — z}
(т. е. С = 0) s — 0 и при г > zx (т. е. С < О) г < 0. В области z < z,
имеется, очевидно, стоячая волна. Соответствующее решение, кото-
рое является однозначно определенным, таково:
при
при
'О,
A7.4)
I
где Л — постоянная, J брегртлпа а
(см. A25]). Необходимость ра Гого^ГГ " '-^'"Ч^)
влешш поля Е при С > 0 и С< 0 Гя° Г, внешнемУ В1«У предста-
при С=--0. Разумеется при ~п п Млением величины О'.
р«од.т оДио ,• друго; п$нТЛоТоТЛш:1Гшетя для Е ns-
непрерывиы). Решение уравнения П7% - «Роизводная по z
т. е. решение A7,4), можно ТагL , }' уОывающее "Р" ^<0,
интеграла Эйри (см., например! ПЩ) * В'Ш ПК «""ваемого
A7,5)
СТРОГИЕ РЕШЕНИЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ
243
|f 17|
выражения A7,4) и A7,5) тождественны (коэффициенты при этом
»выбраны таи, что постоянная -4 в обеих выражениях одинакова).
•Щри ь<0 (z>Zj, г < 0) поле ? экспоненциально затухает, а при
!:,?;> 0 (z < zv г > 0) иоле осциллирует. Детальнее вид поля A7,4) —
Щ7,5) будет обсужден в § 32.
?/ При большом ч(| ^! ^> 1) можно воспользоваться асимптотическим
^представлением функций Бесселя [125] или интеграла Эйри [126],
;Vb результате чего имеем:
Ш ?*|^~'Мт;''Ч)' :»1- A7X0
¦:¦:'.' В силу A7,2) условие справедливости приближения A7,6), т. е.
(¦ условие (.^> 1, имеет вид |^1==р^п, -т^=—):
1.
A7,7)
Неравенство A7,7) совпадает с условием применимости геометри-
ческой оптики A6,22), поскольку е(й) ==re2(z); само решение A7,6)
также, конечно, представляет собой геометрикооптическое решение
типа A6,12), так как
„_и, const
ч -— ~
\ П (Z)
4 Будем считать, что в начале слоя (при г — 0) амплитуда падаю-
щей волны ?+ равна единице (т. е. при г^0 поле ?+ с учетом
^временного множителя равно Е.,.—е'"'1). Решение A7,4)-—A7,5)
^представляет собой стоячую лолиу, и при 2-^0 его можно иред-
.ставить в виде (множитель е'т1 опускаем; используем A7,6)):
lit'
A7,9)
Поле в любой точке (при г^>0) определяется формулами A7,4)
и A7,5) с постоянной А из A7,9). Сдвиг фаз между отраженной
и падающей волнами, очевидно, равен
f=77;
A7,10)
16*

244
ВОЛНЫ Ё НЕОДНОРОДНОЙ ИЗОТРОПНОЙ СРЕДЕ
[ГЛ. IV
где у. н .3 •—вещественные постоянные.
Замена переменной
Поглощающий линейный слой. Полученные результаты легко
обобщить на случай, когда есть поглощение [113], причем для линейного
слоя:
A7.11)
приводит волновое уравнение A6,13) опять к виду A7,3), где С
является, разумеется, комплексной переменной Ц и ij вещественны).
Решение уравнения, удовлетворяющее условиям задачи (Е —>0 при
г-~>ж), по-прежнему имеет вид A7,4)—A7,5), причем условия
CSgO нужно заменить условиями ;3?0. Асимптотическое представ-
ление поля при E^s>l также сохраняет вид A7,G), и, если Е4_~ I,
при z = 0 можно написать:
-e-iV
A7,13)
гае ?('.<))•—значение С при z-—Q.
Здесь во избежание недоразумений нужно еще раз. подчеркнуть,
что поле падающей волны Е,_ считается равным единице при z = -МК
т. е. отражение от границы слоя при 2 = 0 не рассматривается.
Если же линейный слой при z—О граничит, например, с однород-
ной средой с г'-= 1, то при отсутствии поглощения на границе г = 0
u dn ,-,
г__ г,„,яи iiuiлощения на границе ;
„ dn
имеет место скачок производной — и происходит отражение.
отражение является слабым в случае малости градиента
Если же слой поглощающий, то даже при малом ~р- отражение
слабо только для малых значений параметра с. в A7,11). Последнее
вполне понятно, так как при я Ф 0 на границе с вакуумом имеется
скачок проводимости, равный т^-. Поэтому при больших а. отра-
жение на границе будет практически полным (отражение от зер-
кала й').
¦) Для слоя A7,11) на границе с вакуумом скачок испытывает только
проводимость а. Для слоя несколько более общего типа, когда на границе
имеется также скачок проницаемости е, отражение от границы, конечно,
может быть большим и при малом значении ~т- '.
§17]
СТРОГИЕ РЕШЕНИЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ
245
Решить задачу о распространении и отражении волн от линей-
ного слоя с учетом границы при z — 0 не составляет труда, но мы
не будем на этом останавливаться. Дело в том, что при а = О
и малом градиенте -^ область г = 0 расположена далеко от гра-
ницы z — Q, и задача об отражении по существу разделяется на две
(отражение от области s-5^0 и отражение от границы при 2 = 0);
кроме того, сглаживая слой вблизи границы 2 = 0, можно сделать
отражение от этой границы совсем незначительным.
Для линейного слоя типа г == 1 -i- — (z~^> 0), когда г в нуль не
обращается, отражение волн от слоя не является полным. В случае
ёг !
малости градиента -т^^=— это отражение слаоо и сводится к отра-
жению от границы г = 0; (предполагается, что при г<0 ==1);
при этом, конечно, можно воспользоваться формулой A6,33). Ко-
эффициент отражения от рассматриваемого слоя при любом гл.
и наклонном падении приведен в [121], § 17,3.
Возвращаясь к вопросу об отражении от поглощающего слоя!
A7,11), укажем, что'согласно A7,13) сдвиг фаз отраженной волны
равен 'j — Re(*!'). а амплитудный коэффициент отражения равен
i? = eIm С1'), причем можно записать (см. 17,12)):
)=2Г :''<л,= 1
A7,14)
так как С=0 при z—-r-zl и d",= —\г~)
В интеграле A7,14) верхний предел равен
1 — /'/
A7,15)
и переменная интегрирования г является комплексной. Для простоты
положим вначале fi = 0; тогда, согласно A7,11),
Ат.з
= у. — COllSl,
A7,10)

*) 'i С
«олны в неоднородной изотропной
-¦ проводимость не зависит т коордивдт>
СРЕдЕ [;
I о J
4f. A7,17)
Согласно A7,17) и A7,
И -^=: % =^
16)
l
A7.18)
- 1п/? = ^
где
"-Г!Г[-) *.}• A7,19)
С 7.18) и A7,19) можно получить
3 '^
A7,20)
^ 2—^7 ,/ (« —K)rf^
проводимости ?
и A7 19) где
п»"имать зна-
17] СТРОГИЕ РЕШЕНИЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ
Вообще же с точностью до членов порядка а2, р2 и ар
]/ 1
— lnR =к— а
A7,20а)
Приведенные формулы позволяют ответить на все вопросы, ко-
торые могут возникнуть в отношении волн, отражающихся и рас-
пространяющихся в линейном слое. Обсуждение этих формул в при-
менении к ионосфере будет проведено в §§ 30, 31 и 32,
!¦¦ \
Рис i7,2. Параболический слой: а) Лг(г); о) s (г) при -^т = 1
f2
Параболический слой без поглощения. Перейдем к случаю па-
раболического слоя без поглощении, когда, при \z\4^.zm
A7,21)
где координата z отсчитывается от максимума концентрации N =
1 —.r_ j (дг @) = Л'шах — концентрация в максимуме слоя),
^'" ' ^TTJ
f г Ш]- 1 / й А max ¦ С
7К—критическая частота: /K==^?r=j/ — , /,к = — и гш —
полутолщина слоя (рис. 17,2). Отражений от точек z= ± г)В мы
рассматривать не будем (см. [127)); эти отражения отсутствуют,
если несколько сгладить переход к области s =. 1 так, чтобы про-
d-
чзводная — не. терпела разрыва.

248
соглЙ ОЛ
ВОЛНЫ В НЕОДНОРОДНОЙ ИЗОТРОПНОЙ СРЕДЕ
A6,3) с
замену
Ir.i
е, вэ
мы приводим его к виду:
Зто уравнение решается в функциях
.D
не
-=°- . A7,23)
параболического цилиндра
называемых также функциями Вебера
(см. [128], гл. 16).
Как будет показано в § 38, точное решение для параболического
слоя с точки зрения теории распространения радиоволн в ионо-
сфере имеет весьма ограниченный интерес. Соответствующим реше-
яием не нужно даже непосредственно пользоваться, и оно предна-
значено лишь для контроля некоторых приближенных решений. По
этой причине, а также некоторым другим, ясным из дальнейшего
мы не будем детально исследовать решение для параболического
слоя и ограничимся указанием результатов [114, 127].
В начале слоя (при г = — 2п,) разность фаз между отраженной
и падающей волнами равна
¦f^_?lnDtt3j+argr<2fP)!
-|. A7,24)
В случае параболического слоя область, где ;(«>)< О, является
всегда конечной (если / > /к, то такой области нет вообще; см.
A7,21) и рис. 17,2), Поэтому в принципе всегда имеется некоторое
просачивание волны через слой. Для параболического слоя без по-
глощения коэффициент отражения \ R\2 (отношение интенсивности
отраженной и падающей волн) определяется соотношением
т~2 = е-"9 = е
A7,25)
Эта формула справедлива и при / > /„, и при / < /,.. При / < /к
коэффициент отражения \R? для толстого слоя, когда
P':>U A7,26)
§
СТРОГИЕ РЕШЕНИЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ
24»
Л|§§>;;т}авен единице уже в самой непосредственной близости от критн-
ЖИЙческой частоты /к. Так, например, при "г— ~ 10 коэффициент|А! |2=
= 0,999 при ^/ =
-= 1,7 ¦ 10"-. При / > /к коэффициент | /? \2
[2-=0,001 уже при
'{быстро стремится к нулю; так, при 7-"'= 10
?^ = -1,7. Ю-2.
•; Нужно иметь в виду, что формула A7,25) справедлива, если не
'учитывать отражения волн от начала и конца слоя, об этом уже
'было сказано выше. Подобное условие, однако, невыполнимо, если
Зслой очень гонок (ги^)-к), так как в этом случае нет возможности
< без отказа от параболичности слоя в целом «закруглить» его гра-
; ницы, обеспечив тем самым плавность изменения г от z. Поэтому
; формула A7,25) вообще строго справедлива лишь при условии
: A7,26). Если не имечь в виду этого замечания, то можно ошибочно,
-заключить [114], что при zm->0 будет i/?j2->0,5 при всех /, как
¦> это вытекает из A7,25). На самом же деле при гщ—>0, разумеется,
;-|R|2—>0 (при конечной частоте /к). Отражение от плавного купо-
лообразного слоя произвольной толщины рассмотрено в § 18.
V Если учесть, что в силу неравенства A7,26) интерес предста-
вляет лишь область малых значений А/, когда
~-L — ¦ "¦ .-*"" 1
/к ~~" А ""
то формулу A7,25) можно переписать в виде;
A7,27).
\R\
— е ''« 'к = е
1 — | R
D i2 = 1 — i R |2 =
-1---г if '
14-е
A7,28).
где D :2 — коэффициент пропускания.
Вопрос о просачивании воли через слой будет подробно про--
дискутирован в § 33.
Слой s' = -jf~T~W " ^ нача.'1е § '6 уже упоминалось о том, что
волновое уравнение A6,3) имеет точное решение, выражающееся
в известных функциях, не только для линейного и параболического
слоев, но также и для ряда других. На одном таком довольно об-
щем и важном случае мы остановимся в § 18. Сейчас же укажем,.

250
ВОЛНЫ В НЕОДНОРОДНОЙ
ИЗОТРОПНОЙ СРЕДЕ
[гл. ,v
что волновое уравнение A6,3) имеет точное решение, иыраж
яшеся через злрмрнтяптлл ,и
через элементарные функции для слоя (см. [129])
а
де а II b—произвольные комплексные числа.
где
ыражаю-
A7,29)
Рис. 17,3. Слой t = ~ при j > 1.
Прямой подстановкой решения в уравнение A6,3) с такой функ-
цией г' (г) легко проверить, что это решение таково:
? = С,(ЛЧ-г)г +С„(Л -^zY; r]-s = i± |/I-Ja. A7,30)
В качестве примера рассмотрим здесь огражение от слоя типа A7,29).
Именно пусть (рис. 17,3)
% ~- 1 при z -< у., г—л при z > а. A7,31)
(среда 1) (среда 2)
Волна пусть падает из среды 1 (из вакуума), где поле имеет вид:
Е=^е '¦ —R<t?
В среде 2 поле таково:
так как в A7,30) нужно положить b~0, a a =- у2 (кроме того,
учтено, что в среде 2 имеется только бегущая во.тна, уходящая от
границы; предполагается, что волна может распространяться, для
чего должно соблюдаться неравенство — я > ^-j*)- На границе (при
::) Если— о<-ту, средний но времени поток энергии S = -т,[ЕН] ра-
_вен нулю.
S 18] ОТРАЖЕНИЕ И ПРОХОЖДЕНИЕ ВОЛН
2 = я) должны соблюдаться условия:
с г ld'E\ (dE\
1 2 \dzji \dz 2
251
Ж*5?:Откуда
1- п
¦ — 1 ^^ Ах- ' =1-
I D
i I ' ^ /'
А = -
1 -г I-
1
•ТГ-'!'
} A7,32)
Если проницаемость s медленно изменяется на длине волны,' то
— а "
с
у — с/., т. е.
с
4 .
с
1 b-.\dzj.2 г.
A7,33)
так как при z = % имеем -г = — — 1 = . Эта формула нахо-
дится в соответствии с общим результатом A6,33). поскольку
в A7,33) к@)—-1. Мз сопоставления выражений A7,32) и A7,33)
ясна также степень точности предельной формулы A7,33).
§ 18. Отражение и прохождение волн
в случае «симметричного» и «переходного» слоев
произвольной толщины
Плавный слой с четырьмя параметрами. Параболический слой
A7,2!), рассматриваемый в § 17, не может служить и качестве хо-
рошей модели полупрозрачного тонкого слоя в силу необходимости
дополнительно учитывать отражения от точек г—±zm. где произ-
водная -г терпит разрыв. Поэтому преимущество простоты для
тонкого параболического слоя места не имеет. Кроме того, парабо-
лический слой имеет только два свободных параметра /к и zm (см.
A7,21)). В то же время интересно выяснить характер отражения
и прохождения волн через слои более общего типа. Наиболее под-
ходящим таким слоем, для которого известно и подробно продн-
скутировано точное решение (см. [115, 116], а также [121], § 14).

252
ВОЛНЫ В НЕОДНОРОДНОЙ ИЗОТРОПНОЙ СРЕЛЕ
[гл. Iv
является слой
где а, Ь, с, у — комплексные постоянные.
При отсутствии поглощения, полагая а=1, запишем выражение
A8,1) а виде (Р, М и у — произвольные вещественные коэффи-
циенты):
Решение волнового уравнения в случае слоя A8,1) — A8,2) выра-
жается в гипергеометрических функциях.-. Выписывать это решение
не будем и приведем лишь выражения для коэффициента отражения
|/?|2, т. е. для отношения потока энергии в отраженной волне к по-
току энергии з волне падающей (R есть отношение амплитуд отра-
женной и падающей волн).
«Симметричный» слой. Если положить в A8,2) Р = о, а М
и у считать положительными, то получается «симметричный»
Рис. 18,1. «Симметричный? слои.
.слой с одним минимумом функции г (г), изображенной на рис.
18,1, где начало координат помещено как раз в точке минимума.
.Значение s(z) в минимуме =min — 1—¦ М.
Ширина слоя характеризуется безразмерным параметром
5 = ^==.^-. A8,3)
Для «симметричного» слоя, который можно записать в виде
Й 18] ОТРАЖЕНИЕ И ПРОХОЖДЕНИЕ ВОЛИ 253
полуширина слоя равна ; = 0,145а0, т. е. при 2=;
1—= = 0,5^ = 0,5A—smin).
Если Л1 -= 0 при положительных Р а у, то получается «переходный»
слой, представленный на рис. 18,2; при .г ->—'х> имеем г= 1, как и
Рис. 18,2. «Переходный* слой.-
для «симметричного» слоя. Однако при z —*¦ -\~ оо для «симметричного»
слоя также s=l, а для «переходного» слоя а=1—Р.
Коэффициент отражения от слоя A8,2) равен
r(/s)r|
V(-IS)V
\i-
i— i
di-Y
-T-Vl-
_yi_
p) + d,j
p) — d.
b<
где Г — гамма-функция и 2 (rf2-4-Wi) — V"l—4.S2;V1.
Для «симметричного» слоя A8,4)
где Х,. = -г- и обычно (г-^)>1. В этом последнем случае
= 0. V 1 — -Й2Л1 = "iith-
ch - (а1, + S) ch л (d! — S) '
A8.5)

254 ВОЛНЫ В НЕОДНОРОДНОЙ ИЗОТРОПНОЙ СРЕДЕ (ГЛ. jv
Коэффициент пропускания — отношение потока энергии в лро-
шедше.Ч волне к потоку в падающей волне — равен 1/)|2=1—\Rr-
величина У >D\2 равна модулю отношения амплитуд электрического
поля в прошедшей и падающей волнах, так как для «симметрич-
ного» слоя при ;= + .зз значение s одинаково и равно единице.
Зависимость (У?,'2 от М—-'~г при разных 5 ясна из рис. 18,3. Уже
\лу% при S— Юзначение \Rf для Ж>,\,Ъ
'"" - (т. е. /^0,9/j) практически равно
единице.
«Переходный» слой. Предельный
переход к резкой границе раздела.
Для «переходного» слоя (Ж--0;
Р > 0, d.2 = \, dx = о]
~Ц ehS Г" г Г,
Рис. 18,3. Коэффициент отражения '
для «симметричного» слоя. [2
В этом случае при z = + oo получим е —1
личина )Dp--=l—| /? р не есть отношение
плитуд электрического поля в прошедшей и
ствительно, в среде с диэлек-
трической постоянной е = л2
поток энергии по абсолютной
величине равен
-- ЕН — -— F2
2S,r!
шслшей „ падающей волшх
о..
Put. iS,4. Коэффициент отражения для
«переходного > слоя.
= — со положено е=1).
Вид функции J R (Я, S) Г- для «переходного* слоя.
«переходного» слоя ясен из
рис. 18,4. Заметим, что формула A8,6) справедлива лишь, если Р< 1
Если же /->>1, то имеет место полное внутреннее отражение, ка»
это ясно с самого начала, так как в этом случае при z—> — со бу-
дет г < 0.
При S ¦> 0 «n,"'npvi-i-.....« ¦ -
дела, и для . , ...,,„ ..— .-.."-. ¦ Фрсне
;.:к 19] наклонное падение волн на слой 255
%ч Из A8,6) ясно, что это действительно имеет место, и
A8.7)
)где и — значение показателя преломления при z > 0.
Простые формулы A8,5) и A8,6) позволяют без труда оценить
коэффициент отражения для любого слоя, близкого по форме к до-
вольно типичным «симметричному» и «переходному» слоям. Более
подробные сведения об отражении и прохождении волн в случае
слоев A8,1) — A8,2) можно найти в [116, 121].
§ 19. Наклонное падение волн на слой
Общие соотношения. Волна с электрическим вектором, пер-
пендикулярным к плоскости паден-и. Рассмотрим теперь случай
наклонного падения плоских гармонических волн на плоскослоистую
среду. Исходными здесь являются уравнения AE,1) или A6,2)
с г' =": =¦' ('<>. z), где ось z совпадает с нормалью к слою.
.•:';• Рлс. 19,1. Наклонное падение волны на слон. При z < 0
показатель преломления равен п — л @) = 1, при z > 0
он равен п -= п (z).
Выбор направления осей х и у содержит известный произвол,
чгм удобно воспользоваться, считая волновую нормаль лежащей
в плоскости vz (рис. 19,1). Тогда вне слоя (на рис. 19,1 при z < 0)
падающая (плоская) волна имеет вид:
A9,1)

25<5
ВОЛНЫ В НЕОДНОРОДНОЙ ИЗОТРОПНОЙ СРЕДЕ
[гл.
cos0oJ,
где fto = —¦ [О, sin t>0, coso0j, r-=\x, у, z], поглощение предпола-
гается отсутствующим, а показатель преломления равным единице.
Очевидно, что такой выбор осей, при котором kQx — 0, всегда воз-
можен и не нарушает общности задачи. Поскольку падающая волна
не. зависит от координаты х, то же будет иметь место и для «пре-
ломленной» волны в неоднородной среде, свойства которой от х не
зависят. Следовательно, в A6,1) производные по х можно считать
равными нулю.
Поэтому уравнение AС,() в компонентах имеет вид:
(ЙЕ,
i
д>., -Г-ЭР-Ч-ТГМ^-О. A9,3)
Поле волны Е всегда можно разложить на волны с двумя
взаимно-перпендикулярными направлениями поляризации. В качестве
одного из этих направлений выберем ось х. Тогда, как ясно из A9,2)
и A9,3), компонента поля Ех совершенно не зависит от компонент Еу
и Ez, т. е. если на слой падает волна, у которой вектор Е напра-
влен по оси х, то направление вектора Е в среде остается неизмен-
ным. Для волны, у которой вектор Е лежит "в плоскости v
напротив, компоненты Еу и Ez связаны и зависят от координат, что
я тпарктппич ч™-• '---
,^ 1,} n uz связаны и зависят от коордиш . ..
вполне понятно из рассмотрения траектории лучей (см. ниже). Заме-
тим, что в общем случае неоднородной изотропной среды независи-
мость падающих воли обоих типов поляризации друг от друга места
не имеет, а в нашем случае она явилась следствием неизменности г'
в направлении оси х.
Рассмотрим сначала волновое уравнение A9,3) для компоненты ?,.,
которое отличается от уравнения A6,3) лишь членом -*~. Положим
Ex~F(z)e±'T'i г'*'""'У ^F(z)e±l»*y, A9,4)
где
*C*) = ~Vi4O и e(z) = sin6(;r).
Тогда из A9,3) получаем:
о, d (ka) dP
-tr-J \F- A9.5)
§ 191
НАКЛОННОЕ ПАДЕНИЕ ВОЛН НА СЛОЙ
257
Поскольку это уравнение должно удовлетворяться при всех у, ясно,
что правая и левая части равны нулю, т. е.
0
d (ka)
dz
- = 0.
A9,6)
A9,7)
'^Переход от равной нулю правой части A9,5) к A9,7) также обу-
йсловлен произвольностью координаты у. Из A9,7) следует:
sin Go = const
Ы = ^ У г'а. = у УЩ7) sin 0 (г) ^ Vo = ~ >'"'
При отсутствии поглощения ]/=' =
можно записать в виде:
A9,8)
]/ г^д(г), и соотношение A9,8)
п (г) sin 9 (z) — sin 60,
A9,9)
где 60—угол падения волны на слой, в начале которого « = д@)=1
(отождествление введенного выше угла 6 с углом волновой нормали
с осью z ясно из приводимой ниже формулы A9,13)).
Соотношение A9,9) соответствует закону преломления на границе
раздела двух сред:
п1 sin 6] — «2 sin 62.
Поэтому формулу A9,9) легко получить также элементарным путем,
рассматривая неоднородную среду как предельный случай среды,
составленной из большого числа однородных слоев.
Уравнение A9,6) имеет вид A6,3) с заменой — з'(г) на
Таким образом, решение уравнения A9,6) сводится к решению
уравнения A6,3) с той же функциональной зависимостью г' от z
(линейный слой остается линейным и т. д.). Например, для линейного
слоя A7,1) коэффициент у F в A9,6) равен -^- (l —s@)siri260— ~),
и уравнение A9,6) переходит в A7,3) путем введения переменной
Приближение геометрической оптики. Отсюда ясно, что в при-
менении к уравнению A9,3) можно сразу же написать решение
17 Зак. 1471. В. Л. Гинзбург

258
ВОЛНЫ в НЕОДНОРОДНОЙ ИЗОТРОПНОЙ СРЕДЕ
эической оптики, сравнивая A6,3),
A9,6) и A9,8). В результате
{ г |
г' @) й-^ = г' @) sin2 0О = const,
или при отсутствии поглощения
J '¦'"'!-'» ~л; (Ч Л|Л, ,!г гл {и. si,, Г,,,.,, |
V Я3(г) —42@)Lin*\
(i
l)
Эта формула помимо зависимости от у отличается от имеющей к
место при нормальном падении заменой n{z) из. ' |
^, ___________ ^ ^ ^ ^ ^ ^^ |
Уже отсюда, а также непосредственно из A9,6) ясно, что отражение |:
волны от слоя имеет место в области около точки гд, где |:
п(г0) = rt(O)sin'Jo. A9,12) ij
Из A9,9) явствует, что равенство A9,12) есть просто условие з
полного внутреннего отражения, имеющего место при 9 ._ ~~ (в A9,9) S
принято, что /t@)=l). Поскольку, как уже отмечено, различие ||
между случаями нормального и наклонного падений сводится в соот- :?
ветствуюшем уравнении к замене п(г) на л (я) cos 9, ясно, что уело- (>
вне применимости первого приближения геометрической оптики (l(i,22) :>
аменится при наклонном падении на условие <iT
2* Г
d (n cos 0)
7/F
-,<?; 1,
A9,13)
где л (-) sin Ь (z) ^ п @) sin % =, const, "o^ 6 =¦_ l"^i?ir_^bl!!ili .
Это условие, очевидно, нарушается при cos 9 -s. 0, т. е. вблизи ючки
¦отражения A9,12).
Лучевая трактовка, В приближении геометрической оптики можно
перейти от волновой к лучевой трактовке. В однородной изотрои-
!ОЗ среде направление луча (направление, потока энергии или нагтра-
. вление движения волнового импульса; см. § 24) совпадает с напря-
НАКЛОННОЕ ПАДЕНИЕ ВОЛН НА СЛОЙ
259
Явлением нормали к волновой поверхности. То же имеет место
Щ;: области применимости геометрической оптики, так как в этом
&;Йучае среду можно считать квазноднородпой, и на относительно
пребольших участках волна распространяется так же, как в однород-
|;нЬй среде с соответствующими значениями г и - (см. также § 24).
fi Направление нормали сразу же получается из A9,11) путем
Нахождения gratify причем и силу медленной зависимости знамена-
Л^еля от z дифференцировать нужно лишь экспоненциальный множи-
Цель. Таким образом, находим компоненты волнового вектора к:
|| *,= (}, Av=^H@)sinU0=-|-/iB)sin?l, j
hz = ^
-= | n (z) -:os b,
A9,14)
k
Единичный вектор нормали к волновому фронту равен у .
Вектор — в изотропной квазиоднородной среде, как сказано,
является одновременно касательным к траектории луча.
Вблизи точки отражения zb (в этой точке п (г0) = и @) sin 80)
приближение геометрической оптики неприменимо и направление нор-
мали к волновой поверхности не совпадает с направлением движения
центра тяжести волнового импульса. Об этом еще будет идти речь
в § 34. Сейчас же заметим, что для линейного слоя A7,1) и для
произвольного слоя вдали от критической частоты имеет место пол-
ное внутреннее отражение, причем, сравнивая A6,3), A7,10) и A9,4),
A9,0, легко видеть, что изменение фазы волны и результате отра-
жения от слоя при наклонном падении равно
ё\dz -V j n @)чп 6()(у, — 3',) — | =
= 2 f kz dz -4- А, (у2 - л) —|; A9Л 5)
6
здесь n(z0) — и @) sin 00 = 0, поглощение для простоты считается
равным пулю и у.-,, у,—точки на оси у (при 2 = 0), для которых
определяется разность фаз f.
Вообще в области применимости геометрической оптики измене-
ние фазы волны на пути / равно (см. A9.11). A9,14))
A9,16)

260
ВОЛНЫ В НЕОДНОРОДНОЙ ИЗОТРОПНОЙ СРЕДЕ
[1'Л. IV
где (is — элемент траектории луча, направление которого такое же
как и направление вектора k-
Траектория луча, падающего на среду в точке у = \\ и 2 .•=-.-О р
где /t@)—1, под углом 9() (см. рис. 19,1), определяется, очевидно,
уравнением (см. A9,14), откуда ясно, что вдоль траектории луча
dz
bin 0„
У = .
%dz
A9,17)
О волнах с электрическим вектором, лежащим в плоскости
падения. Перейдем теперь к рассмотрению распространения волны,
электрический вектор которой лежит в плоскости yz (см. уравне-
ния A9,2)), Физически отличие этого случая.от предыдущего связано
с тем, что при изменении направления волнового вектора по мере
углубления волны в слой должен происходить также поворот век-
тора Е.
Раньше всего удобно несколько преобразовать уравнения A9,2),
воспользовавшись соотношением
A9,13)
вытекающим из уравнения поля B,
В нашем случае
i—J) ~ divt'E = (?grade') 4- s' div?.—
г di' , ..
din e'\
'=0, A9,19)
откуда
g-rad div E = — gtad ?г -
Разумеется, в однородной среде из A9,19) следует, что div?=0,
а также div/) —0 и divj = 0, поскольку D-~-zE и j=cE.
Используя приведенное выражение для graddivj? и считая для
простоты, что поглощение отсутствует (т. е. полагая -J = г), мы можем
за!1исать уравнения A9,2) в виде;
дЕг
ду
_—p
A9,20)
НАКЛОННОЕ ПАДЕНИЕ ВОЛН Н,\ СЛОЙ
261
||Д9]
Ограничимся сейчас рассмотрением второго из уравнений A9,20)
,1%ля ?г- Подставляя а это уравнение решение в виде
ff Ег =3B)^B) в*'*<*>*«У, \
| k(z)='afyW) = ^n(z), г (г) ^ sin 6 (z) j (l9'21)
?|i отделяя так же, как и в случае A9,5), члены, содержащие у и у2,
'^получаем для /га уравнение A9,7) и для F, уравнение
В A9,22) уже учтено,
глощением
что в силу A9,7) и пренебрежения no-
da
' dz
d In г
тг~
SlerKO видеть, что при наличии поглощения в A9,22) нужно просто
^¦заменить г на г'.
;: Заметим, что в формулах A9,2) и A9,3) переход к случаю нор-
мального падения очевиден, так как при этом производные по у
.равны нулю, и (в силу того, что div?—-—) уравнения A9,2)
^принимают вид B,12) и B,14). В A9.6) переход к нормальному па-
:;дению также достигается сразу, если положить а = 0. Что касается
/уравнения A9,22), то при у. —>() использовать его для вычисления
'^компоненты Ег не нужно, поскольку при я—>0 компонента будет
. Ег—>0 (последнее следует из A9,21) и совершенно очевидно сразу же
в силу поперечности поля).
i Уравнение A9,22) отличается от A9,6) лишь членами, содержа-
"гщими производные от *. Легко видеть, что в приближении геоме-
-трической оптики этими членами можно пренебречь, и, таким обра-
~;!зо.м, для Ег получается выражение A9,11), но умноженное еще па
;;'aB) = sin8(z) (см. A9,4) и A9,21)). Появление этого множителя
t вполне понятно, так как при пренебрежении производной ~ , соглас-
'чно A9,19), dlv?=0 и вектор Е перпендикулярен к волновому векто-
ру k\ поэтому проекция Ег на ось г должна быть пропорциональна
¦'¦..;¦«(г) — sin6, где 9—угол между k и осью z (см. A9,14) и рис. 19,1).
> В области, где геометрическая оптика неприменима, в частности
„вблизи «точки отражения» z0, характер волнового поля для воли
"различной поляризации уже не одинаков, так как уравнение A9,22)
эквивалентно волновому уравнению A6,3) для нормального падения
;;с эффективным значением г, равным
dz
A9,23)

262
ВОЛНЫ В НЕОДНОРОДНОЙ ИЗОТРОПНОЙ СР
ЕДЕ
здесь учтено, что
[r/I.
iv m
)
В то же время уравнение A9,6), отвечающее наклонному падению
волны с вектором Е, направленным по оси х, эквивалентно уравне-
нию A6,3) с 1<,фф — 'B)~ - @) sin" &„.
Выражение , 19,23) при г—*0 стремится к бесконечности, т. е.
вид эффективного показателя преломления в этом случае радикально
изменяется; в районе точки г0 различие между г3фф и г (^r) — s @) sin2 fj.
особенно существенно при малых значениях а0—-sinOo, так как
в (.-;,) =.-з@) sin flr, и. следовательно, е (_?о) —> 0 при sin Ьо —> 0.
Для линейного слон множитечь перед Z7, в A9,22), т."е. поеден-
ная выше величина &3щ, принимает иид:
и обращается и нз'ль при а<2"A. где г0 определяется из условия
е(гп) =^-г @J;% Таким образом, и(;лия начинает затухать несколько
раньше, чем при я = sin 6 = 1. В условиях ионосферы это смешение
«точки отражения» обычно ничтожно мало. В особом исследовании,
как уже только что было отмечено, нуждается лить область малых
углов падения. Вместе с тем при а,, — 0 мы имеем просто известный
случай нормального паления, когда Ег~ 0, п. следовательно, резгль-
тат предельного перехода гц->0 известен.
Область выше точки отражения для достаточно толстого с юя
казалось бы i e представляет интереса; при нормальном падении волна
в этой области экспоненциально затухает, и аналогичного поведения
можно Оыло бы ожидать и при наклонном падении, В действитель-
ности, однако, в случае, наклонного падения волны с лежащим в пло-
скости падения вектором Е подобное экспоненциальное падение поля
нарушается вблизи точки s (ш, г) —-¦ 0. При приближении к этой точке
снизу (и.) области больших значения з) поле начинает расти, и при
отсутствии поглощения в самоЛ точке s --- 0 компоненты Еу и Е,
стремятся даже к бесконечности (фактически значения Еч и if,- ста-
новятся конечными ):е только при учете поглощения, но и по другим
причинам, о которых еще будет идти речь в § 20). Этот интересный
результат связан в формальном отношении с уже отмеченной осо-
бенностью функции е,фф при s=0 (см. A0,23)).
Уравнение для магнитного поля волны. Вопрос о поведении
поля в области г^О при наклонном падении подробно разбирается
в § 20. Здесь же отметим, что при исследовании наклонного падения
волны с вектором Е, лежйднм в плоскости падения, удобнее рабо-
§Sv20] OB ОДНОЙ ОСОБЕННОСТИ ПОЛЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ 263
Щать с уравнением для магнитного поля волны. Действительно, в этом
Эрлучае, как ясно из уравнения rot//¦=-— г'Е, можно положить*)
р|- с >?^«Нл_ f - ic дИ* ^
]
A9,24)
Йоле Н подчиняется при этом общему нолновому урапнению AG.2),
8;крторое в данном случае принимает вид:
Щ. O4ij. , д2Нх 1 Aг дНх , о>2
Jjloc.ie подстановки в это уравнение выражения
A9,25)
A9,26)
'рриходим, так же как при переходе ог уравнения A9,3) к A9,6)
?и A9,7), к закону преломления A9,8) и уравнению для G:
Это уравнение несколько сложнее уравнения
= 0. A9,27)
A9,6) для
F(z)=-Ex". '¦ ', но проще системы уравнений A9,20). Ко-
нечно, уравнение A9,27) и уравнение A9.22) для F'г== ——~Х
X в с уже мало чем отличаются в смысле сложности,
но, зная О, мы сразу же получаем и Е и Е., в то время как пере-
ход от Fz к Еу непосредственно не производится. Итак, в рассма-
триваемом случае, как в ряде аналогичных, в силу характера симме-
трии задачи более целесообразно исследовать уравнение для Н,
а не для Е.
§ 20. Об одной особенности поля электромагнитной волны,
распространяющейся в неоднородной изотропной плазме.
Взаимодействие электромагнитных и плазменных волн
Физическая картина явления. Для того чтобы довольно гро-
моздкие расчеты не помешали ясно представлять себе физическую
картину явления, начнем сразу же с качественного изложения резуль-
татов.
Если волна падает нормально на слой неоднородной непоглошаю-
Шей плазмы, то полное отражение волны происходит вблизи точки
*) Если Ну или Нг не равны нулю, то, вообще говоря, и Ех Ф 0.
Нас же интересует случай, когда ?v==0. Ему как раз л отвечает выбран-
ное поле И с 11 у = Н", — 0.

2C4
ВОЛНЫ В НЕОДНОРОДНОЙ ИЗОТРОПНОЙ СРЕДЕ
[гл.
а (си, 2j) = 0 и. таким образом, образуется стоячая волна; амплитуда
этой волны осциллирует б области z < zx и экспоненциально .чату,
хает в области z у-z}, где г < 0, Зависимость поля от г в области
отражения для этого случая подробно обсуждается в § 32, а о ка-
чественном отношении ясна на основании сказанного и из рис. 20,1, а.
a;
7*0
\ЕХ\2
n=sir,ss л-в /
О"'1'
Рис. 20,1. Квадрат модуля компоненты электрического
поля при отражении от- неоднородного слоя волны, па-
дающей под углом 0о. Показатель преломления равен
п = п(г): а— волна с электрическим вектором, пер-
пендикулярным к плоскости падения; б— волна с элек-
трическим вектором, лежащим в плоскости падения.
На этом рисунке указана зависимость квадрата модуля поля \ЕХ\-
при наклонном падении волны на слой, когда вектор Е перпендику-
лярен к плоскости падения (?^ = ?, = 0, ?r=fc0; см. рис. 19,1).
При переходе к нормальному падению, как сказано, картина сохра-
няется, но, конечно, sin 60 = 0 и в «точке отражения» я(<и, z{) =
При интересующем нас сейчас наклонном падении на слой волны,
в которой вектор Е лежит в плоскости падения (Яг=0, ЕуФ(),
Егф0), картина поля уже другая (рис. 20,1,E). В области «точки
отражения» г0, где «(си, гп) = sin 60. поле ведет себя так же, как
для волны с Еу —:?г = 0 или для нормального падения, т. е. так же,
как на рис. 20,1, а. Но в дальнейшем по мере углубления в слой
§ 20]
015 ОДНОЙ ОСОБЕННОСТИ ПОЛЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ
265
и приближения к точке, где п(ш, з^) =^у г(ц>, z{) — 0, поле начинает
возрастать. Более того, это возрастание, при пренебрежении погло-
щением, образованием плазменных волн и нелинейными эффектами
(см. ниже) оказывается бесконечным для обеих компонент Еу и Ег
Такая особенность поля в точке п — 0, очевидно, исчезает при
нормальном падении. Кроме того, при достаточно больших углах
падения 6fl и учете сколь угодно малого поглощения, когда поля Еу
и Ег везде конечны, возрастание поля в точке я -- 0 с ростом угла 0о
становится все менее выраженным. Этот результат, вытекающий из
проведенных ниже расчетов, вполне естествен физически. Дело
в том, что с ростом угла 60 расстояние между «точкой отражения»
я(ш, z0) = sin Ьв и точкой, где и (ш, г,) — 0, все больше увеличивается.
Поэтому при больших 0fl волне «трудно» просочиться в область п — 0.
Поскольку рассматриваемый эффект исчезает и при 9 = 0 и при
больших углах 00, ясно, что он наиболее ярко выражен при неко-
торых «средних» значениях угла падения б0.
Решение волнового уравнения. Вопрос о наклонном падении
на слой волны с вектором Е, лежащим н плоскости падения, и
об особенности поля при д - - 0 рассматривался в работах [112,
130—133, 70]. Ниже мы будем следовать работе [ 132], где эта про-
блема получила наиболее полное решение (см. также [70]).
Исходным при исследовании является уравнение A9,27), которое
перепишем еще раз:
i
= Q(z)e
dz2
г'Тг)
—+:&• ?.=-t^- "='•"'
B0,1)
В качестве ъ' (z) воспользуемся выражением C,7) для плазмы, причем
сразу же будем считать, что "»2 ~5>'^ф- Тогда
Д,ля простоты предположим также, что поглощение мало меняется
¦ с высотой, т. е. 7Эфф слабо зависит от z. В таком случае мнимую
часть г' (г) можно считать постоянной и равной ее значению при
"«> = ш0 ==т: 1/ —^-—. В результате для линейного слоя получаем*):
''афф
B0,2)
*) Для произвольного слоя выражение B0,2) также обычно пригодно
малой окрестности нуля функции в'(г), где неприменимо приближение

ВОЛНЫ В НЕОДНОРОДНОЙ ИЗОТРОПНОЙ СРЕДЕ
266 ВОЛНЫ В НЕОДПОРОДНОЙ ИЗОТЙ [:•¦:_ 1у
где а > 0, так что для значений z > 0 диэлектрическая пронпцле-
мость г(г') < 0.
Дифференциальное уравнение B0,1) запишется теперь в виде:
cPQ a dG ^
az~is ~ *У ° ^ 0-
Вводя нопую переменную ~--~- az Jl-ls и обозначение р •= ~ , получим
dO
' са ' Т„а '
B0,3,
! -?f_f
: dz !¦
Вид уравнения B0,3) при переходе к случаю $ = 0, очевидна, не
меняется. Единственное отличие задачи с учетом поглощения заклю-
чается в том, что в ней «математическая» точка отражения ^ —. — ?.(-
соответствует комплексным значениям координаты г. Отметим, кроме
того, что для среды с медленно меняющимися свойствами, входящая
в уравнение B0,3) величина о =— --'- ~^>> 1.
Так, в ионосферном f'-слое (rt~!0~'j для частоты to—10*
имеем р ~ 3 • 104.
Как будет показано ниже (см. [130, 131]), решение уравне-
ния B0,3), удовлетворяющее необходимым физическим требованиям
принимает некоторое не равное нулю значение О@) в точке на ком-
плексной плоскости, где ;.'(z) обращается и нуль. Поэтому верти-
кальная компонента электрического поля
Е. == -J-. ™i ,_: _2а.
B0,-11
обращается в этой точке, в бесконечность. Характер этой особенное™
зависит от поведения функции t''(z), причем для линейного слоя Li.
1 1
ооращается в бесконечность как --— '-,—т~ , а компонента t. . как
будет выяснено ниже, имеет логарифмическую особенность. Эти осо-
бенности находятся на вещественной оси только при отсутствие
соударений, когда s-~—-—=—0. При учете же поглощения макси-
мальное значение Е, будет равно
\Е ! .^^iii(flL=^ii)?^.L2W)J_> B05)
геометрической оптики (см. § 30). Вь:йор в B0,2) других обйяначенкн и дру-
гого начала коорлшшт по сравнении с принятыми в $ 17 диктуется сооб-
ражениями удобства и не должен повести к недоразумениям, поскольку
.мы приводим здесь же все яеооходимые выражения.
с 20] 0Е ОДНОЙ OCOREHHOCTI1 ПОЛЯ ЭЛЕКТРОМЛГНИТНОЙ ВОЛНЫ 267
0 при достаточно малых s может быть очень большим. При этом
величина поля существенным образом зависит от того, какие значе-
ния принимает функция О @). Эта функция зависит от угла падения 90
и определяет, таким образом, величину | Е,', , во всем интервале
значений параметра ;to = sin9o.
Сравнительно легко установить вид (р}гикции О (г) при больших
г l
углах падения, когда точка отражения С— -а-' (точка г' -¦= ч\\г lJ0)
и особая точка i = 0 (т. е. точка г' = 0) отстоят друг от друга на
значительном расстоянии. Для этой 203
удобнее исследовать уравнение
) оо дру ру
цели вместо уравнения B0,3)
• -•—¦•! и = 0,
которому подчиняется функция
1 .
B0,6)
B0,7)
Предположение о том, что расстояние, между точками 'U = — э.|- и
? = 0 велико, означает в данном случае, что это расстояние много
больше длины волны, Для соеды с медленно меняющимися свойствами
(p~Ji> I) это имеет место даже при довольно малых значениях
О/л-S/
Рис. 20,2. Картина, изображенная на рис, '20,1, о', в но-
вых, координатах - -¦- — '¦ ¦— qz.
*5 - - 5in 0о. В подобных условиях приближенное решение уравне-
ннч i20.fi), справедливое всюду за исключением малой окрестности
точки С = 0 н представляющее слева от С = — а? стоячую волну
1рис. 20,2), можно записать в виде (см. [13-1]):
ПАгъ
B0,Я)

268
где
ВОЛНЫ В НЕОДНОРОДНОЙ ИЗОТРОПНОЙ
СРЕДЕ [гл_
l+W-fP^f- *'=? B0i9)
—6
" Я«>-функция Ганкеля первого рода порядка V3. Постоянна
B0,10)
B0,11)
Легко показать, что функция
ет == .4 | / -|г- Я!'11 (/;) (.4 — const)
удовлетворяет уравнению
B0,1 Э>
-°' **"
, если исключить из рассмотрения некоторую окрестность точки
t = — й„, где функция — —г начинает резко расти. Следбва-
тельно, вдали от точки С=- — я|| совтеетствующим образом выбран-
ные решения этих уравнений будут мало отличаться друг „¦. друга.
При этом функция B0,11) аппроксимирует то решение, которое
стремится к нулю при t ->oo (в области отрицательных значений s(z))-
Мы получили, таким образом, приближенные решения B0,8)
и B0,11), передающие асимптотическое поведение искомого решения
(при р"^>1) в различных областях значения переменной ?: слева от
V —0 (функция B0,8)) и справа от *~ — а2 (решение B0,11)).
В интервале —aj- < ^ < 0 справедливы оба приближения, что дает
возможность связать эти решения так, чтобы они передавали пове-
дение одного и того же частного решения нашей задачи. Это сши-
вание решений дает для константы А значение [132] .
А ¦=.
(:t-S,
||!201 об одной особенности поля электромагнитной волны 269
fee
дГ^а d; = 4. Ойз. B0,14)
Ш Учитывая B0,11) и B0,13), окончательную формулу, передающую
Доведение функции О (С) в области ^>—zj, можно записать в сле-
дующем виде:
'-g- нГЧй). B0.15)
к'Ёсли величина С, настолько мала, что ' = рао^<^ 1, то при вычнеле-
#нии компонент поля мы можем использовать разложение функции
ВН*11 (г;) в степенной ряд. ограничиваясь первыми членами разложения
| М'ЧФ--— Ь:— -|1п^. B0,16)
i Теперь легко видеть, что амплитуды компонент поля ведут себя сле-
>: дующим образом. Амплитуда Н1Ш при С—>0 стремится к постоянному
{значению (см. B0,1)):
B0,17)
Горизонтальная компонента электрического поля ?у, согласно B0,1),
равна (при ''-. —> 0)
lf,|«^L|.41n;|. ^р*0;, р = -^, а = |?|; B0,18)
таким образом, компонента Еу имеет логарифмическую особенность.
И, наконец, вертикальная компонента электрического поля Е2 обра-
тится в бесконечность по закону (см. B0,4))
г
Используя для величины !O@)j выражение B0,17), окончательн
B0,20)
При 2 = 0 поле j?2l принимает максимальное значение (в среде
с поглощением 'С = az-\-is):
B0,13)
Напомним, что полученные формулы применимы лишь при относи-
тельно больших углах падения: при ao = sin0o—>0 формула B0,17)

270
ВОЛНЫ В НЕОДНОРОДНОЙ ИЗОТРОПНОЙ СРЕДЕ
'-Т- IV
дает явно неверный результат. Так как при хA — 0 (нормальное пд/ге.
ние) строгое решение задачи свидетельствует о том, что Пг--.[).
Для верхних слоев земной ионосферы, где p^s» 1, приближенные
формулы B0,17), B0,18), B0,20) и B0,2!) оказываются пригодными
вплоть до углов падения 00 порядка 4~:-5'\ и, как легко убедиться,
в этих условиях эффект нарастания поля вблизи точки 4 ¦—- 0 (и-=-0)
был бы незначительным (SfJ '.;>> 1), даже если не учитывать влиянии
земного магнитного поля, о чем речь пойдет в § 27. (Большие зна-
чения электрическое поле может принимать лишь при очень малых
значениях '>Э|1)ф, и то время как в ионосфере до максимума г-е юя
уэфФ^-М3-) При этом наличие особенности в точке, где ='=.-(), не.
сказывается на поведении ноля в области, расположенной ниже точки
отражения, т. е. отражение полны, имеющей компоненту Е„ к этих
условиях происходит так же, как это имеет место для волны, элек-
трический нектор которой перпендикулярен к плоскости падения*).
Формула B0,19) показывает, что величина поля в точке, где
е—0 (т. с, в точке z — 0), помимо ''9фф, определяется значениями
функции 2flG @). При нормальном падении, когда я0 — 0, поле равно
Е-, -~ 0; при больших значениях 6'0, как ясно из B0,20), поле /:",
надает с ростом ап. Следовательно, как уже отмечалось, при некотором
малом угле падения эффект нарастания поля у точки г -- 0 будет
максимальным. В связи с этим интерес представляет поведение функ-
ции а0О@, Яр! при всех углах паления. Исследование решений урав-
нения B0,3) показывает |132j. что функция к,, | О @, %) [ во всем
иптерпа.те значений параметра y.t) может быть приОлижеино представ-
лена в виде:
где v и v'
— Функция Эйрп я
я ее производная (см. A26]), а
. .... .j -jn=.- [- — I1 sin V BO.2.-J)
i) I са } ° v '
Зависимость максимальной величины ) li, j от угла падения опреде-
ляется, таким образом, функцией Ф (~), график которой приведен на
":) Вся задача рассматривается здесь для стационарного случая. Поэтому
остается открытым вопрос о времени установления полученной картины
распределения поля. Вместе с тем из физических соображений ясно, что
при значительном удалении точки е=0 or сточки отражениям г т= sin-2 ¦?„
время уешювлмшя распределения поля, показанного на рис. 20,!, б, чотел
быть весьма большим. Дело в том, что волна при атом может л;ьш> мед-
ленно <'проса'швагься> в область г д^ 0 и достаточное количество :->иергни
попадет в эту область только по истечении некошрого времени. В Долее
рашшс моменты времени ноле в области точки е --= 0 будет слабее стацио-
нарного, а в самом начале вся картина будет ближе к изображенной на
рис 20,1. а, чел к стационарной картине, показанной на рис. 2E.i, С.
об одной особенности поля электромагнитной волны
|Й'-'2О] " " """"' ""''" «сотапч.гнигмии вчяни 271
%jic. 20,3; на этом рисунке, кроме того, параллельно оси абсцисс
^Приведен масштаб для угла падения в градусах при е — 10 ' ел
|игш==2~. 10т (),0^30 м).
1й:- Существенно, что функция Ф (-) принимает значение порядка еди-
Щицы для очень узкого интервала значений угла падения. Максимум
Щривой, равный 1.2, прихо-
Йщится для рассматриваемого '"^'
|"а|эимера на угол ^=1,5°, '¦* Г
|:.:а:;уже при 0и = 5° получим ,в \
?i~. Оценим, основываясь на
формулах B0,19) и B0,22),
агзначення, которые может до-
8?сткга1ь поле Е, в различных
условиях. Максимальное зна-
SijieHne j В, | равно
&. 1.2 с. 1,2 н_
эфф
Поэтому в С-слое ионо-
сферы, где можно положить
и — КГ'\ при >.0=100 м (
С :" --'" 2' *J 5" б" еа
Рис. 20,3. Функция Ф (-) = VI^o: а0О @, я0) I;
1 6„.
- = f "-'-а —
V са
Для -'Эфф
¦-== Ю5
и
..0
и >.0=100 м (ш^С10) г[г=() фф
'iii для уЭфф= 104. Для ионосферного /-'-слоя (а—10 ',
104 ?| 20 а при - =
ло^ЗО м) при v9l№=
имеем ?г|,„0 ^=--20, а при
- = i U'Ji уже
Е, |г_.о =s 200. В солнечной короне при а = | -^-' ¦-- 10 " ,
~ —.-,. ... (/,0 = 3 м) ч ''9фф=^10 максимальное значение бзгдет
?г'|,„п ¦^2000. Нужно, однако, подчеркнуть, что в этих оценках
пренебрегаете» влиянием магнитного поля, чего в случае земной
ионосферы заведомо нельзя делать (см. об этом ниже и в § 27).
Напомним также, что по предположению на нижней границе неодно-
родного слоя |Е| = 1 и J iTrl—i ?| sinf^, = я„.
Известный интерес представляет также аффективный размер об-
ласть, где поле велико. Из формулы B0,19) легко установить, что
величина ] Ег р спадает до половины своего максимального значения
на расстоянии
_
¦1С4 I!
B0,24)
— Ю~~7,
та лт. Си
от точки z— 0, где поле, максимально, lip i v3T
очевидно, Az—'/,0.
Учет пространственной дисперсии. Резкое нарастание напряжен-
ности электрического поля вблизи точки, где е@, z) —0, может
привести к необходимости учета пространственной дисперсии, т. е.

272
волны в неоднородной изотропной
-- - w^ [ГЛ. I
невозможности ограничиваться использованием локальной характери- -I
стикк среды s'(u>, г). Л
При отсутствии соударений пространственной дисперсией можно S
пренебречь, если проходимый частицей за период путь —-— мал по -Щ
сравнению с характерными размерами неоднородности поля, В рассмат- rj
риваемой задаче при отсутствии соударений и использовании вели- "Щ
чипы г(г) поле ? в точке s-—О возрастало бы до бесконечности. Щ
Но в достаточно сильном поле электрон приобретает большую ско- ?{
Зет -1
рость -v, так что величина -—— возрастает и использование локаль- -Щ
ной проницаемости s(«) становится недопустимым. В результате ин- -к
дукцпи D(z) отлична от величины sE(z") и в точке е=0 раина |
не нулю, а определяется полом Е в точке, смещенной на расстояние :!
порядка амплитуды колебаний электрона т. е,-—— . Поэтому, как было :||
отмечено в [131], в формуле типа B0,19) в точке г = 0 (т. е. при v|:
s = 0) в знаменателе стоит не нуль, а величина a j v,dt, где v,— В"
скорость электрона в направлении оси z и i1 — 0 — момент, когда Р
поле обращается в нуль. В сильном поле скорость v, значительно II
превосходит скорость теплового движения у-—у -i_.^_-iO~ (при '1:1
Т-—'300°К) и по порядку величины вг ~ . Отсюда а / vzdl~ К
^ш^ -~!^~5^ (пРи a~-iO~' и со = 2-107). Поскольку зависящая %t
от ?"г величина a j о^Л появляется в знаменателе выражения типа :.';,;
B0,19) для ?^, ясно, что задача перестает быть линейной. Это и по- ~;
нятно, так как в гармоническом во времени, но сильно неоднород- S
ном поле электрон движется уже не по гармоническому закону. .;?;..?
Обсуждаемый нелинейный эффект в реальной среде становится -'?>
существенным, если значение a I vsdt сравнимо с величиной —*'?-, |v:
которая появляется в знаменателе выражения B0,19) при )'чете по- nS
глогцения. В /'-слое, как мы видели, -^И.^/ Ю и а то же время ;•?
a j vzdt ~~- 10~DIi\,— 10^4 только при Ег—¦ 10 = 3000 в 1см; но в тех >
же условиях поле в точке г = 0 больше поля в начале слоя лишь is
в 20 раз (см. выше) и, таким образом, нелинейный эффект нужно -;•
[гл. iv I " § 20] об одной осовенности поля электромагнитной волны 273
было бы учитывать только в очень сильных полях, с которыми не
приходится иметь дело в случае ионосферы (мы уже не говорим
о том, что в таких полях линейное рассмотрение распространения
радиоволн в плазме становится недопустимым не только в окрест-
ности точки s=0, но и во всем слое). Итак, при учете поглоще-
ния, а также возможности генерации плазменных волн (см. ниже),
вообще говоря, нет необходимости принимать во внимание нелиней-
ные эффекты.
Вместе с тем в задаче об особенности поля в точке е = 0 возни-
кает другое осложнение, также связанное с пространственной дис-
персией. Дело в том. что при учете поглощения для пренебрежения
пространственной дисперсией сформулированное условие малости
пути уже недостаточно. Этот вопрос имеет оощее значение,
в силу чего остановимся на нем несколько подробнее.
В плазме пренебрежение пространственной дисперсией эквива-
лентно отбрасыванию в кинетическом уравнении члена, содержащего
пространственные производные. Допустим, например, что для вели-
чины э —отклонения функции распределения от равновесной функ-
ции /(ю, можно воспользоваться уравнением *)
да , Й?
d'i ¦ г>г дг'
' dvK
B0,25)
-Тогда отбрасывание члена tiz~=~ приводит к локально!) связи/) и j
с Е (см. § 6), т. е., действительно, эквивалентно пренебрежению
-.•пространственной дисперсией. Законность такой операции может быть
проверена в результате вычисления члена v—^—, исходя из решения
' задачи при пренебрежении этим членом, т. е. из решения
m x dv
:'*= , , где поле Ьх уже считается монохроматическим.
Для волны, распространяющейся вдоль оси г в однородной среде,
: Ех = Ex, e l с *' и Уг?~— i ^V'-'v^ — — (in4-z)-^-vz's. Для
того чтобы пренебрежение этим членом было оправдано, он, как
ясно из сказанного, должен быть мал по сравнению с остающимся
в B0,25) членом (!.ш-\-ч)ф. Отсюда при сравнении отдельно веще-
ственной и мнимой частей получаем условия:
с
E^l
v
или — •
''эфф I
' 2г.п — 2г.) '
~'эфф
С
B0,26)
B0,27)
*) Уравнение B0,25) получается пз (8,14) при учете соударений и в пред-
положении, что ?у = Ег = 0, a f и ?г зависят только от г.
18 Зак. 1471. В. Л. Гинзбург

274
ВОЛНЫ Я НЕОДНОРОДНОЙ ИЗОТРОПНОЙ СРЕДЕ
здесь частота соударений vUO
а™ самой скорое™ ,(в с.,
б070ле для ма—кой плазмы _г, [ '
ot ;
U- Училось, ОЗначает ч?о ! у ™шенИе „п!
Должна быть шла по сравне " ДЛПНа «ободного пробе, а /
Д.-'Я волн, распросгрантоши т", У погл°ВДния *).
ot ;,е °Т0Р0М В § S '« был, реч[ ИЫМ В § 8- ^ловие С
"Н0 ИЗМе'
н™ч, меньших
- »р«терНОИ
вм B
В задаче об особенности поля в
существенно изменяется на
(см. B0,24)). Поэтому
.,__ -V 'Jr. vca
10"
т, е. на расст0(;_
''^~LJ- B0,28;
; = 0 амплИТуда поля ?
B0,28) ПРИ1ГНМ-Т «;;:
B0,29,
Э1'0
принимает вид '^фй'.§>''К Такое неравенство в ионосферном
/""-слое не соблюдается, к, следовательно, лля строгого вычисления
поля вблизи точки е = и нужно было бы использовать кинетическое
уравнение. Если иметь в виду применение к ионосфере, в соот-
EeicT-вуюшем исследовании нет. однако, необходимости. Дело в том.
«то выше не учитывалось влияние земного магнитного поля, в сил\'
чего только и можно было считать ионосферную плазму изотропной.
Как мы увидим в § 27, учет влияния магнитного поля в при-
менении к ионосфере существенно изменяет картину. Поэтом}", когда
*) В применении к металлам условия B0,26) к B0,27) отвечают возмож-
ности использовать теорию нормального скин-эффекта (см., например, [135J).
20] ОБ ОДНОЙ ОСОБЕННОСТИ ПОЛЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ
275
квыше при численных оценкам речь шла об ионосфере, это но-
ЙЬило условный характер и служило, собственно, только для целей
Эвыбора каких-то параметров среды. Аналогичным образом мы будем
^'поступать и ниже при обсуждении еще одного эффекта, обеспечи-
вающего конечность поля в точке е = 0.
%к: Учет образования плазменных волн. Взаимодействие между
^различными нормальными волнами. Этот эффект состоит в том,
*что в области вблизи точки г -- 0 падающая наклонно на слой волна
Qc электрическим вектором Е, лежащим в плоскости падения, час-
этично переходит в плазменную волну. Другими словами, как раз
Js этом случае нельзя игнорировать возможность появления плазмен-
>/-ных волн в связи с тем, что в точке г— 1- —-тт- =0 (поглоше-
йнием пренебрегаем) частота волны а) как раз равна частоте плазмен-
?;ных колебаний (в,.-- 1/ —'—- . Уже поэтому можно думать, что ха-
:Se; IJ } m - ¦
Црактериое поведение вертикальной компоненты Ег в окрестности
S точки s — 0 связано с резонансными свойствами плазмы. Функция,
^изображающая зависимость \Е..р от ,г, представляет собой при этом
Sjpoei'o рола резонансную кривую (см. рис. 20,1, б и 20,2), которая
(г = 0, 2 = 0) имеет вид [Яг;2~-
const
вбли:-!п максимума
;эФФ\-
г (см. B0,!9)). Физически появтсние плазменных волн в результате
-/падения на слои пз вакуума поперечных волн объясняется очень
'"просто. В неоднородной среде в общем случае падающая волна не
^остается чисто поперечной, так как для плоскослоистой среды
^см. (.9,10))
*¦¦< niv E-- -¦, ;—— ;—. B0,30)
Очевидно, div?>^0 как раз тля рассматриваемого здесь случая,
поскольку при нормальном падении или для волны с вектором ?,
перпендикулярным к плоскости падения, ?, = 0 и div?^0. Далее,
в плазме div ?--4я>. где о = еАЛ' и ЛЛ' --отклонение электронной
концентрации от равновесного значения (движение ионов не учиты-
ваем). При Е. =ь 0 и —— = 0 з волне происходит, следовательно.
появление зарядов V, и при г --= 0 плотность этих зарядов колеблется
с плазменной частотой о\у Таким образом, падающая на слой волна
c?,iO вызывает плазменные колебания, амплитуда которых ра-
стет по мере приближения к резонансной точке з = 0. Эти локальные
колебания не являются при этом независимыми, поскольку всякое
изменение плотности электронов к одном из участков среды np.i
yneie теплового движения передастся соседнему участку, что приво-
дит к появлению шшменчых полн, уносящих с собой некоторую

276 ВОЛНЫ В НЕОДНОРОДНОЙ ИЗОТРОПНОЙ СРЕДЕ [гл. IV
долю энергии стоячей электромагнитной полны. В конечном итоге,
при учете диссипации (соударений) энергия, связанная с плазмен-
ными волнами, идет на нагревание плазмы.
Таким образом, при достаточно общей постановке задачи нужно
учитывать возможность возникновения плазменных волн, что приво-
дит к устранению особенности решения и конечному значению поля
в резонансной точке. Соответствующий анализ в первом приближе-
нии можно провести, используя квазигидродинамический метод, о ко-
тором была речь в §§ 8 и 13. Для удобства выпишем здесь еще pas
исходную систему уравнений при пренебрежении соударениями:
c
n о
0. P =
roiE =
ff,
B0,31)
Отсюда для гармонических во времени колебаний после линеаризации,
очевидно (/V — отклонение электронной концентрации от равновесного
значения Л'):
'»«
условиях, когда все. величины не зависят от х:
р Jl
' Чтите
Уравнение
дг.
пр„
AV
B0,32)
ul'x ш
B0,33)
Для волны с вектором Е, перпендикулярным к плоскости падения
(Ex-frQ, Еу — Ег = 0, Нх — 0, НуФй, Нгф<У), учет электронного
давления, как ясно из B0,32), ничего не меняет. Для интересующей
§ 201
ов одной особенности поля электромагнитной волны 277
)Ке нас волны с Я,. Ф 0, Ну = Нг = 0, Е,= 0, ?у =± 0, Яг =#= 0 из B0,32),
B0,33) и уравнен
ения поля rot?= Я получаем:
ш, дЕ, E?v
нХ=^Г Г1
dy йг
___
B0,34)
с2 I 1
— обычная диэлектрическая проницаемость плазмы
пгде 6==i_:^_
,: При Ру—>0 система B0,34) эквивалентна исследованной ранее
¦..системе A9,2) с г' = е. Поскольку в нерелятивистской плазме [3|<?1 1
(например, в земной ионосфере f/T— 10 ') учет теплового движения
(т. е. пространственной дисперсии) может быть существен лить
:в исключительных случаях. К их числу и относится задача об особен-
; ности поля в точке г = 0.
• Будем искать решение системы уравнений B0,34) в виде
¦< Нх=*О(г)е~1'*у, Ег = Рг(г)е~' <'" , Ey = Fy{z)e ' '
Тогда исключая Fy(z), получаем систему двух связанных между со-
бой уравнений второго порядка для О и Fz:
di dG
rf; dF'
?2,22 dz
Гг==_^1(^_1)О.
B0,35)
При pr = 0 первое из этих уравнений переходит, конечно, в урав-
нение B0,1) с г' = s (в B0,35) поглощение считается отсутствующим;,
заметим, что точность рассмотрения повышается при замене р^. нл
Щ; см. § 8).
Учет теплового движения электронов приводит, таким образом,
к уравнениям более высокого порядка. Решения системы B0,35)'
описывают нормальные волны двух типов, которые только в неко-
торых частных случаях, или вне области, где величина з мала, дают
возможность представлять волновое поле в виде суперпозиции электро-
магнитных и плазменных волн. Так, при г0 =. sin 6U = 0 (нормальное

278
волны в неоднородной изотропной ср^де
]гл,
]гл,
падение) система B0,35) распадается ня два независимых уравнения
Первое из :-лих уравнений совпадает с уравнением B0.1), с;'^з
и у.о ~ 0, и его решения описывают электромагнитные волны. Вто-
рое же из уравнений B0.35) переходит при этом в уравнение :;,тя
плазменных волн в квазпгидродшшшческом приближении:
+ -?r ~Z~ Fz~0.
B0,%)
Для однородной среди отсода в согласии с (8,9) полуазм для по-
казателя преломления плазменных волн п.3 выражение
'''
В случае наклонного падения (х,, =i= 0) разделение поля на электро-
магнитные и плазменные волны, строго говоря, невозможно. Поэтому,
если выбрать нормальное решение, которое в области отрицатель-
ных t(z) затухает, то ниже некоторой точки «взаимодействия», где
z~?ija~Q, асимптотическое поведение этого решения будет представ-
лять электромагнитные (падающую и отраженную) и плазменную Гоi-
раженную) волны.
Легко убедиться в том, ч;о если г(,г) не имеет особых точе<
и рг Ф 0, то решенчя системы B0,36) я интересующей нас облястл
будут аналитическими функциями. Особенность же решения в точке,
где г(г) = 0, появляйся только при стремлении к нулю .малого па-
раметра C/-, стоящего при старшей производной s эквивалентно i
системе B0,33) уравнении четвертого порядка.
Таким образом, учет теплового двп;кс;шя электронов действи-
тельно приводит к устранению особенностей электромагнитного ночи.
Как уже отмечалось, эго связано с тем, чго падающая на ciol
электромагнитная волна в резонансной области вызывает плазменную
волну, энергия которой затем при учете соударений переводи;
в энергию теплового движения электронов. Такой механизм диссипа-
ции энергии естественно приводит к конечному значению плотности
эпергш; в резонансной ооласти *).
*) Примененный ква.тппродппачшческип метод, разумеется, не моле:1
иметь строго количественною значения. Имеются, однако, основания пола-
гать, что. по крайней мере, и изотропной плазме stgt метод позволяв!1
зфйвплмю описать ка-гествениу!;' сторону дела и прпюд^т к фооч\'ла;.г,
правильным с точностью до миожшелен порядка единицы Вместе с ie.«
Jiua'ia об особенности ноля п точке s—0 несомненно должна быть иссле-
дована также методом кинетического уравнения. Последнее, строго гоьоря,
необходимо не только при пренебрежении соударениями и учите появлении'
плазменных волк, но н при достаточно малых значениях л^фф, когда в об-
ласти i *.'О нельзя пренебречь пространственной дисперспсГг ^см. пьппе).
§ 20]
ОВ ОДНОЙ ОСОБЕННОСТИ ПОЛЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ
279
Если величина а0 = sin &,, не мала, то взаимодействие между элек-
тромагнитной и плазменной волнами незначительно. Решая систему
уравнений B0,35) методом последовательных приближений, можно
при атом показать, что значение Е в резонансной точке по порядку
npv
величины будет
ч i О @. г,.5)
B0,ЗНа)
;<K этому резулы-ату можно придти также при помощи следующих
простых рассуждений, которыми мы здесь и ограничимся. Напишем
уравнение движения электронов под действием компоненты Ег при
.учете и соударений, и градиента давления:
f — uPNmr -\-iullMW\'t)ir= eXE. —v.T —; B0,37)
.здесь движение для простоты с ралу предполагается гармоническим
; (все величины пропорциональны '•'¦"Ч н, очевидно, г = 4 смеще-
;:.'ние эчектрона. Если учесть, кроме того, уравнение непрерывности
•;; ¦ о t
::.'и положить ^~~-'^:k\7'. U— — ;o),V, divA'r ^ iuikNr, где Л'' — малое
;¦'. r7^ a;
¦', отклонение концентрации электронов .V от равновесного значения,
с: a j—некоторый размер, характеризующий волновое поле, то урав-
,;:'нсние B0,37) можно записать в виде;
— ш2:У;«г -\~ iury3,,v-fI\:mr = eNtz — v.Tk'Xr. B0,'i4)
¦ Из этого уравнения ясно, »ло учет градиента давления (".лен vTk-Nr)
родствен учету соударений (член ivii.^nXr). Следовательно, можно
: думать, что для учета градиента давления (т. е. плазменных волн)
в пренебрежении соударениями нужно в полученной ранее при учете
.. соударений формуле
заменить -—^- на -—^k'2. Что касается характерного размера -j,
то а качестве него естественно выбрать расстояние Лг, на котором
величина ?,:2 уменьшается, скажем, в два раза. Очевидно, такое
уменьшение будет иметь место, если a\z —--j — —-sli2 (см. B0,19),

280
ВОЛНЫ В НЕОДНОРОДНОЙ ИЗОТРОПНОЙ
СРЕДЕ
глс величина ^ заменена на ^>). Отсюда
.и значение поля ?_ в резонансной точке 2 =
¦будет равно
по порядку величины
что полностью совпадает с B0,36а).
Таким образом, влияние плазменных волн в пашой задаче можно
сравнить с аналогичным влиянием поглощения, если ввести некоторое
эквивалентное число соударений
B0.40)
2 ¦ 10'
a--I
.«)
¦ КJ (при й—
) н
Для f-слоя ('}т -
Р-слоя (Зу~2-г--
v3KB~2- 103 (при . ,.
f !з этих цифр видно, что учет влияния плазменных волн в не-
которых случаях (и—- 10~б) мог бы быть столь же существен, как
и учет соударений (при у,фф ~ 103). Однако в условиях ионосферы,
даже если отвлечься от влияния земного магнитного поля (см. § 27),
поглощение вес же играло бы доминирующую роль.
Обсуждаемый эффект взаимодействия поперечной и плазменной
волн представляет, быть может, еще больший интерес при другой
постановке задачи. Именно, это взаимодействие приводит к возмож-
ности трансформации в неоднородной среде плазменных волн в элек-
тромагнитные. Последнее существенно, например, в условиях солнеч-
ной короны [133].
О взаимной трансформации и взаимодействии между про-
дольными и поперечными волнами в плазме. До сих пор речь
шла о регулярной трансформации волн. Если же в плазме имеются
достаточно мелкие хаотические неоднородности электронной концен-
трации, то на этих неоднородности* рассеяние плазменных волн
с превращением их в электромагнитные и наоборот происходит
и вне области е^О. Механизм такого рассеяния состоит в том.
что под действием поля падающей волны (плазменной или электро-
магнитной) рассматриваемая плазменная неоднородность поляризуется,
т. е. приобретает некоторый индуцированный дипольный момент
•(предполагаем, что неоднородность мала по сравнению с длиной
§21]
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ИМПУЛЬСОВ (СИГНАЛОВ)
28 Г
волны, так что высшие мультипольные моменты несущественны)-
Такой, находящийся в плазме диполь излучает, вообще говоря,
и электромагнитные и плазменные волны. Механизм трансформации
плазменных волн в электромагнитные п результате рассеяния, по-
видимому, играет важную роль в солнечной короне (см. [136) и § 36).
Выше мы употребили термин «взаимодействие» в применении
к рассмотренному случаю трансформации поперечных волн в плаз-
менные и наоборот. Во избежание недоразумений необходимо под-
черкнуть, что речь, конечно, здесь идет не о взаимодействии, обус-
ловленном нелинейностью плазмы, а совсем о другом понятии.
Нормальные волны в неоднородной среде (плазме) близки к нор-
мальным волнам в однородной среде, вообще говоря, только
в приближении геометрической оптики. В тех же случаях, когда это-
приближение неприменимо, распространение волн в неоднородной
среде существенно отличается от имеющего место в однородной или
квазиоднородной среде. Это отличие при соответствующей постановке
задачи может быть связано или даже сведено к взаимодействию волн,
которые являются нормальными в областях, где справедливо при-
ближение геометрической оптики, Именно о таком «взаимодействии»
и была речь выше в случае изотропной неоднородной плазмы в усло-
виях, когда электромагнитные (поперечные) и плазменные (продоль-
ные) волны являются практически нормальными везде вне непосред-
ственно* окрестности точки s((», z) —0. Вблизи же этой точки для
волны с Нг Ф 0 дивергенция div E отлична от нуля и возрастает
с уменьшением ? (см. B0,30)); в то же время частота падающей волны
и =t ш0 и даже приближенное разделение волн на поперечные и про-
дольные может здесь оказаться совершенно недопустимым. Но при
рассмотрении волн вдали от точки г(ы, г) = 0 существование области
неприменимости геометрикооптического приближения эквивалентно
тому, как если бы вблизи точки г — 0 (в «области взаимодействия»)
нормальные волны разных типов взаимодействовали друг с другом.
В этом смысле, например, появление отражения от слоя при нор-
мальном падении также, можно считать результатом «взаимодействия»
волн, бегущих в противоположных направлениях, в районе «точки
отражения» s — 0, С понимаемым в указанном смысле взаимодействием
волн в неоднородной среде нам придется еще столкнуться в гл. V
для случая неоднородной магнитоактивной плазмы.
§ 21. Распространение импульсов (сигналов)
Фурье-представление поля импульса. До сих пор речь шла
о распространении и отражении монохроматических волн. Между
тем, как известно, на практике часто приходится иметь дело
с импульсами (сигналами), представляющими собой некоторую группу
воли. 8 линейной теории для рассмотрения этого случая нужно раз-
ложить волновое поле в интеграл Фурье и провести его исследование-

В°ЛНЫ В НЕадно^лной п,огрогшой ср,,е
Где "° теореме Фурье
+ .1О
В СЛучае мо»охроматической р01гп г
„ „, • , ЧаСТ0Т°Я юо имеем ?.-.,,„
" ^^-3(Ш-„,„), ,.ле з_,е...Т1 . / +» °
— ^-функция J 8(a,-M(i)rfM^.
-I)
о (и> — ы0) = 0 при м ¦¦*= m0 I .
Для квагщмо
Для квагщмоно^роматаческо'} группы волн, по определению.
фЗ'нкиия g(y>) является чгсь.ма «острой» существенно отличной от
нуля лишь в небольшой области частот вблизи несущеЗ частоты
сигнала <ва; друпшл с-овамч, спектральная ширина сигнала Лю в этом
случае удовлетворяет непаванству
Поле E0(t) я случае ква:шмонохроматаческоЗ группы \'добно прел-
стаочть в оиде:
F,(t)^A(f)eij'-<r, Bi,t!
где A(f)— медленно меняющаяся функция t (за исключение»! отдель-
ных точек, где Ait) может меняться быстро). В простейшем случае
«оборванной синусоиды»:
A{t)=-.\ при _.?.<;<-?,
; '
.4 (t) — 0 при / ;>-f- «/
'' е' ~:о —е1 в интервале г_ ^,.
ва-"М21,2)сра,у находим ^(ffl) 2
», нигермте
„ -™° B1.3) выполнено,
Зк.Идывается много периодов ^2^ ^
1 **0
§21]
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ИМПУЛЬСОВ (СПГНЛ.ЮИ)
283.
После, отражения импульса от слоя или, более< общо, после про-
хождения им какого-то пути иоле можно представить в виде:
L @ = f R (ш) g (а) е' ("'¦'-=
B1.")
где R («) = R (ю) \ и -f (ш)—соответственно амплитудный коэффи-
циент отражения (фактор ослабления амплитуды) и сдвиг фая для
монохроматической волны с частотой ю.
В B1, Г) и B1,7) явно укачана лишь ^зависимость поля от /, так
как зо.1ны предполагаются плоскими, зависишими. помимо t. лишь от
одной координаты, например координаты z. При этом в каждой
точке z можно ставить вопрос о вреыешюп форме импульса, что
мы и делаем. Разумеется, аналогичным образом можно при данном t
интересоваться пространственной формой импульса, т. е. зависи-
мостью Е от z.
Линейность уравнений поля в B1,7) уже используется, так как
волны с разными частотами предполагаются распространяющимися
независимо друг от друга (R (to) и «(™) в ('21,71 не зависят от харак-
тера импульса).
Согласно B!,1) — B1,2) и B1,4) поля Я„ и Е можно записать
в виде:
Uluuir,,
('"..-»;ч-!-"'-м"'>]
B1,8 >
>drr B1,9)
При отсутствии поглощения и полном отражении R(w)~~\; это
равенство будет ниже предполагаться имеющим месю, если не ого-
ворено противное.
Распространение квазимонохроматнпеского импульса без учета
его расплываниа. Для квази.чонохроматического импу.чься (группы)
в первом приближении
B1И0)
где

284 ВОЛНЫ В НЕОДНОРОДНОЙ ИЗОТРОПНОЙ СРЕДЕ
В этом приближении
[п.
IV
— СО
=--A(t— -J (а
так как согласно B1,8) и B1,4)
L СО
1 /' /"
2i\/ ,/ A(ri)e'Sii-''}dT:d?
^ =
B1,11)
: Л (г).
Следует заметить, что фаза o(w) непосредственно определена
лишь для положительных значений ю. По самому своему смыслу
фаза '? входит всегда в комбинации I [ | ш \t -— о (| ш I)], и, следова-
тельно, при со < О в интеграле B1,9) и аналогичных нужно вместо
i [tut — -t (ш)] писать выражение i [ \ ш \t — о (¦ ш I)] = — / [at -4- ?(( ш | _i].
Поэтому при работе с интегралами типа F8,11) следует соблюдать
известную осторожность (см. в этой связи, например, [137]). В нашем
случае, когда функция g (ш) имеет острый максимум в точке G — О
(т. е. при oj = св0), никаких осложнений не возникает, так как область
отрицательных значений ш не играет роли; действительно, при ш ¦— О
частота будет Я = — м^, причем (Ол'^-Ла и, таким образом, винте-
трале B1,11) за.мана нижнего предела с— >о на — <в0 несущественна.
По пученный результат B1,1 1), как ясно из сравнения его с B1,4],
¦означает, что в первом приближении B(,10) импульс не меняет своей
формы (как функция от t), по в результате отражения и прохожде-
ния через слой фаза волны изменилась па ^(ia0), а весь импульс как
целое запаздывает во времени на «время группового запаздывания»*):
., _{ ds\
г (-о)
B1,12)
которое
B1,13)
Вместо времен lfv9 и lt{p часто используются длины группового
п оптического пути, соответственно равные
Z..f, = c^rp, ?ф = /.0^а^. B1,14)
*) Эго означает следующее; если падающий импульс появляется в вы-
бранной точке наблюдения в момент ? = 0 и при ( < 0 ?,)(<*) — (), то отра-
женный импульс в рассмотренном приближении появится в той же точке
в момент г — <f'("if,), а до этого момента Е (!) — 0,
§21]
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ИМПУЛЬСОВ (СИГНАЛОВ)
285
Групповой путь Lrp равен, очевидно, расстоянию, проходимому груп-
пой за время Д?гр, если бы она двигалась со скоростью света
в вакууме. Аналогичный смысл (с заменой Д^гр на \t§) имеет опти-
ческий путь i0.
Фазовая и групповая скорости волн. Для того чтобы связать
времена ltr9
с групповой и фазовой скоростями, как это
обычно делается, рассмотрим распространение импульса в однород-
ной изотропной среде. При этом под -з будем понимать сдвиг фаз
при прохождении пути z, т. е. Ей{() в этом случае есть поле
при ~ = 0 и E{t) — поле в точке z. Тогда а = — и (ю) z (см. G,6)),
ив приближении B1,10), согласно B1,1 S), имеем:
?(9= Я
\ B1,15)
Отсюда видно, что фаза распространяется с фазовой скоростью
"где k = — п (т) — аосолютное значение волнового вектора.
Весь же импульс как целое распространяется без искажений
у: групповой скоростью
•/ „, с, , - С С / dm
~ ~ ~~ " =\dk
B1,17)
Заметим, что если л2 определяется формулой C,5), т, е.
¦ I 2. , 1
ТО
vfp — cn B1,18)
и, таким образом, «Грг'ф = с2.
Кстати, зависимость я2 = —=— =1 =- характерна не тотько
Для плазмы, но имеет место и в ряде других случаев, например
Б простых волноводах (смысл величины ш0 при этом, конечно, со-
. всем другой; кроме того, в теории волноводов обычно не пишут
выражения для п, а ограничиваются рассмотрением эквивалентного
выражения ш" = («:, -1-с2А2). Большинство результатов настоящего

286
ВОЛНЫ В НЕОДНОРОДНОЙ ИЗОТРОПНОЙ СРЕДЕ
безотиостсльг
Уетс,
«me не^;,
неводов. ¦°ЛЬК0 » »*
В однородной среде
но и, „апри,1ер, „
B!, 19}
J
где г — проходимое группой расстояние.
Поскольку в ионосфере (при пренебрежении влиянием магнитного
поля) всегда п1 ¦-;' I, echo, ч го "j>rj. > с и v,-p < с. Таким образом, сигма ты
распространяются со скоростью (групповой скоростью), меньшей ско-
рости света, как это и должно быть и согласии с теорией относительно-
сти. Вместе с тем групповая скорость г\.„ определяемая формулой
B1,17), при некоторых зависимостях п от «может быть п больше ско-
рости свега в вакууме с. Например, н области аномальной дпеперепл
ело нс с
„,
^
ло линейного члена относительно Й'"' " РЯ;-, !ей-10Ра с точность;
"О" ограничении членом юн'п с"Г Ш° == '^ То^ко „рм Г!Ояои.
«Улье распространяется Е Iv~ L't разложснни Ф^ы в ряд „м-
«оей формы. п в в --пер,иргюще„ среде .ез И>
меняется-о„ расплылся „ поняТ» СТеПе"еЯ " Ф°рМа инп"-'«"
викня оез Дальпейшсго не u„о не о Г 1руппоной "«Рости с.-ано-
Введенное поняти,- ,-„,.„„„."„ 0ПР^е-«1шым.
"и, вообще говоря, непри-
слп только зависимость R
малой в пределах сне-
также 1фи
ог « не может считаться
«тральной ш„р„„ы сигна"
небречь аависимостьюТот
тение сильно ЗМис„т От '
й дисперсии форм
просо „е пмееГ
скорости сигнала). Нгж, о
в некоторых слг.-,аях\ож..
^о малой в л . _
ДаГаСТ" Я"°Маль"йй Диверсии пре-
;:
все
все
"елЬДЯ- ^^'ольку погн,-
°6разом- в об^"сти ан,-
ССе ег0 Р^пространсни;.
! <2!'!7> в этой облает,!
СМЫСЛа 'Т- ?' Не ^Р^ляег
ЧТ0 110"Я™Ю ° СК°Р0С™" "™"
придать известный смысл и при
§21]
РАСПРОСТРАПЫШЕ ИМПУЛЬСОВ (СИГНАЛОВ)
287
лалччии поглощения, но, конечно, без непосредственной связи с фор-
мулой B1,17), На этом вопросе мы остановимся в § 22.
Расплывание импульсов. Распространение сигнала в однород-
ной, изотропной диспергирующей среде с учетом его искажения
(расплывания) было псследозапо и работах [13S]. При этом было
показано, что самый передний фронт ctsmaia всегда распространяется
со скоростью света в вакууме. Эго i рез;'льтат вполне понятен, так
как в спектральном разложении csirnaia конечной ширины присут-
ствуют и скочь угодно высокие частоты, для которых и -> 1 н vrp —>
—>г!ф —>с. Однако удельны! вес эти\: высоких частот в случае длин-
ного сигнала совершенно ничтожен. Поэтому примыкающая к самому
переднему краю часть елгнала, так называемый «предвестник», обычно
имеет ничтожную интенсивность. Основной же интерес имеет та часть
сигнала, где его интенсивность значительна '«основная часть» или
«тело» сигнала). В случае однородно') среды характер изменения
интенсивности сигнала исследован в _\>i..e упомянутых работах [138],
а для плазмы боле^ детально в работе [!39]; случая неоднородной
среды и конкретно плазмы (ионосферы) рассмотрен в [137, 140. 141].
Дтя вычисления изменения формы основноП части квалимонохро-
лгатического имш'льса при его pacnpocipaneunn в произвольной не-
поглошаюшей среде обычно достаточно дополнить разложение фазы
н ряд Сем. B1,10)) еще одним членом, полагая
(в) =
- ¦:' (ш0) 9. -к- ?'^1 У?.
Поле H(t) принимает при этом вид (см. B1.9)):
^)^"'-^//л(,),ЙИ"''(*?
со
Полагая здесь
B1,-20)
dr:dl.i. B1,21)
B1,22)
т. е. заменяя переменную 2 га ;, и учитывая, что
I е ' - '"(/¦ ттг 1 —г,
по 1учаем:

28a
ВОЛНЫ В НЕОДНОРОДНОЙ
ИЗОТРОПНОЙ СРЕДЕ
Заменяя теперь Qszi+jJl
[гл.
-2~. имеем окончательно*):
•f о:
I
Проведенные вычисления, однако, недостаточно корректны, так как-
ие учтена уже отмечавшаяся необходимость замены при ш < О знака
у фазы о([ш|). Это обстоятельство несущественно, если при инте-
грировании по ?2 в B1,21) можно в хорошем приближении заменить
предел —со на —ю1у После подстановки B1,22) эта замен
водит к появлению в
рр
предел —со на
водит к появлению
по Ь
р
) можно в хорошем приближении заменить
ю1у После подстановки B1,22) эта замена при-
выражении типа B1,23) следующего интеграла
?= f е
' ~ °J'~" 1 --г
где Z7 — интеграл Френеля:
а
/=¦(,,) = J / "г "^, = С-Ь/5, F* =
о
С (г/) ^-j + ~ sin
5(«)=:-c
- и2, (при а
j
B1.25)
") Для определенности считаем, что о" > 0; если у" < 0, то, меняя при
замене переменных знаки, приходим к тем же результатам, причем вместо
у*™?" (ш0) стоит У т. | с" (<о„) |. Если же -/'= 0, то, разумеется, для выясне-
ния характера расплывания сигнала необходимо учитывать следующие члены
в разложении v (м) в ряд.
?¦:¦
§211
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ИМПУЛЬСОВ (СИГНАЛОВ).
289
Точность приведенных выражений для С и 5, пригодных при
1. порядка -^j-|-; поэтому уже при к!>,3 приближенные выра-
жения справедливы с точностью ^,1%.
Выше при переходе от B1,21) к B1,23) в выражении B1,24)
было положено F* = F* (со) = —F)—. Если этого не делать, то
в B1,23) вместо множителя 1—t будет под знаком интеграла
стоять величина B1,24) с заменой -±~7т^~-'- на и, т. е. выражение
.ЦТ-'-.-)--f' ly 1- пH — и\. Это выражение равно 1—i, как это
принято б B1,23), если
/YBL^, B1i26)
и, кроме того, если в интеграле B1,23) существенны значения к = «0,
для которых (при и0 > 0)
)/ ^»о»"сг. B1,27)
Условия B1,26) и B1,27) можно заменить одним требованием, чтобы
величина |/ — т0 — и была велика по всей существенной области
интегрирования в B1,23).
При условиях B1,26) и B1,27) расплывание сигнала определяется
формулой B1,23), которая может быть конкретизирована лишь при
заданной функции A (t), определяющей форму падающего (первона-
чального) сигнала. В случае «оборванной синусоиды», т. е. прямо-
угольного импульса B1,5), имеем:
Fl-J:
\ _ F
1
Y'l i \W (Ио) / ^ \Y~f ы
Здесь f — интегралы Френеля B1,25) и
B1,28)
6 =¦?-!-'—?>«).
B1,29)

290
ПОЛНЫ В НЕОДНОРОДНОЙ ИЗОТРОПНОЙ СРЕДЕ
) + l B1,31)
Для заднего края сигнала справедлива эта же формула, но с заме-
ной —В на 0, — время, отсчитываемое от момента -^~\~'•?'(<°о) ПРИ"
хода в точку наблюдения заднего края нерасплывшегося сигнала.
Выражение B1,31) хорошо известно, так как оно определяет
интенсивность волнового поля при дифракции Френеля у края пло-
ского экрана. График функции \Е(и)\, где
Т
е -у + * — ?' (шо)
Y
Y^fi^o) Y*'-f" (ш„)
приведен на рис. 21,1. Положение максимумов этой функции отве-
чает значениям -у=^=-, равным 1,22; 2,35; 3,08; 3,67; 4,18
У
По
чает значениям -у=^=-,
У *<?" (щ)
р 1,22; 2,35; 3,08; 3,67; 4,18
и т. д.; минимумы расположены в точках 1,87; 2,74; 3,39; 3,93;
4,42 и т. д. Значения |?| в максимумах указаны на рис. 21,1; от-
метим, что в первом максимуме при ~^=-= 1,22 интенсивность |?|
равна 1,36 (интенсивность первоначального сигнала принята равной
единице). При 9 = 0, т. е. в момент, когда без учета расплывания
в точку наблюдения должен прийти передний фронт сигнала и его
амплитуда должна измениться скачком от 0 до 1, согласно B1,31)
амплитуда равна
7*
Очевидно, 0 есть время, отсчитываемое от момента —тт^Ь ?'(">)
т. е. от момента прихода сигнала в точку наблюдения без учета его
расплывания.
Если длительность сигнала
Т
[Я| = 1. B1,32)
Время установления амплитуды сигнала определяется, как ясно
из B1,31), параметром
§211
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ИМПУЛЬСОВ (СИГНАЛОВ)
291
То обстоятельство, что время установления должно определяться
величиной а" (ш0), ясно сразу: появление же в B1,33) квадратного
корня можно было предвидеть из соображений размерности.
Точное определение времени установления может быть произве-
дено, если задать требуемую точность установления амплитуды. На-
пример, интервал времени t между моментами, когда амплитуда
устанавливается с точностью до 5% при 9>0 и |?j = 0,Q5 при.
6 <; 0, согласно рис. 21,1 равен тзь8.
035
'ОД
1 !.г \i,/7
I .'..' Y\
1 -'и
1 OS
0.8
0.7
\
}
0.6
7
! /
* \
I \ US
1
/
DA
а,г
UO \l,0? , „
/\Длп
1
wj—:
/ V/i V у ^
1),УЗ-ч,
1
I
!
-ч -3
-г
Рис. 21,1. Форма переднего края импульса, который до прохожде-
ния среды был прямоугольным.
Если условие B1,30) не выполнено, то нужно использовать фор-
Т Т
мулу B1,28), и форма сигнала определяется параметром — = ->-.^=___..
Амплитуда отраженного сигнала \Е\ согласно B1,28) представлена
на рис. 21,2 как функция переменной — для значений —, рав-
иых 1, 3 и 5 (амплитуда падающего сигнала принята равной еди-
нице).
Условие B1,26) применимости используемого выражения B1,28)
можно записать в виде (см. B1,33)):
B1,26а)
lfl*

292
ВОЛНЫ В НЕОДНОРОДНОЙ ИЗОТРОПНОЙ СРЕДЕ
[ГЛ.
В ионосфере, как ясно из оценок ~0, приведенных в § 30, это
условие обычно хорошо соблюдается. Что касается неравенства B1,27),
то в случае B1,28) под и0 можно понимать пределы интегрирова-
Г — В — о
ния —^==г- и - / , если только они положительны. Полагая для
У г.а'' у r.-t"
.определенности 6 | < Т, получаем условие B1,27) в виде:
?"О0)ш0;$>7\ B1,27а)
При соблюдении неравенства B1,3), когда Т -г—;^р — , j-сло-
вия B1,27) и B1,27а) слабее условий B1,26) и B1,26а), которыми
-з,о -г.о -1,о с • го г.
Рис. 21,2. Форма отраженного сигнала при —= 1, 3 и 5.
Пунктиром показана первоначальная форма импульса в том
же масштабе.
поэтому можно ограничиться. Точнее, условие B1,27) имеет в этом
случае независимое значение лишь в областях, где Г—6 ~J>> T или
— 6 ^5> Г; эти области соответствуют, очевидно, далеким «предвест-
нику» и «хвосту»- сигнала, где поле ]?' | "ничтожно мало.
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ИМПУЛЬСОВ (СИГНАЛОВ)
293
Величина
проходимый
так же как сама фаза о, тем больше, чем больше
сигналом путь. Поэтому условия B1,26а) и B1,27а)
y смысл требования, чтобы этот путь был достаточно велик.
При наличии поглощения, вообще говоря, необходимо рассмо-
трение всего вопроса заново. Если, однако, как это иногда имеет
место, в области спектральной ширины сигнала амплитуда волны
с частотой ш или коэффициент отражения R(u>) меняется мало,
ложно положить R (ш) = R (u>0), и таким образом, все полученные
формулы остаются без изменения, конечно, за исключением появле-
ния множителя /?(u\i). Вместе с тем не следует забывать, что погло-
щение сказывается и па фазе ?(ш), но в проведенном общем рас-
мотрении это обстоятельство, разумеется, несущественно.
Пределы применимости использованного приближения и более
точные результаты. Полученные результаты ограничены также
в силу приближенного характера исходного соотношения B1,20),
в котором опущены члены, пропорциональные Q3, Й4 и т. д.
Условие применимости полученных результатов можно найти,
учитывая роль, которую играет в разложении типа B1,20) следую-
¦"'Ы.оз
щий член, равный
6
Если не говорить о далеких «предвестнике» и «хвосте» сигнала,
в которых представлены волны с частотами, существенно отличными
от ш0, то во всех интегралах важна область изменения 2~Дш, где
Дм — спектральная ширина сигнала. Поэтому членом ——V^SiQ3 можно
пренебречь по сравнению с предыдущим членом при условии, что
?'"(«
Ц" Ы
B1,34)
Если, например, э (ш) = const ш"!, где показатель m не слишком ве-
лик, то неравенство B1,34) является следствием условия квазимоно-
хроматичности B1,3). Таким образом, нужьо думать, что для квази-
монохроматических сигналов, т. е. когда
То,
B1,3а)
в основной части сигнала пренебрежение членами, пропорциональ-
ными Q3, Q4 и т. д., будет несущественно. Это утверждение под-
ttt i \
г^-23, которая
тверждается количественной оценкой роли члена —
Может быть произведена путем проведения всего расчета поля на
основе разложения
B1,35)

294 ВОЛНЫ В НЕОДНОРОДНОЙ ИЗОТРОПНОЙ СРЕДЕ [ГЛ. IV
В этом случае вместо B1,28) для Е (t) получается выражение [141]
2 у и
||;21] РАСПРОСТРАНЕНИЕ ИМПУЛЬСОВ (СИГНАЛОВ)
Щголучеио простое окончательное выражение:
295
~Р
,)
B1,36) !
где v
При ®"'
1 С I X3 \
-¦-?=¦ / cos (-5—\-xy\dx — функция Эйри.
1-+j V i^T
выражение B1,36) переходит, как это и должно
-f со
быть, в B1,28), так как Г г/(у) tfy = ]Лг. В приближении B1,35), ¦'
J ' ¦ j
— со
как ясно из B1,36), сигнал характеризуется, помимо т0 = у m" (u>0), ,
также параметром
Д (йH) =
-|/;
B1,38)
mail
^" ы
B1.37)
на форт-ie f2i 4*fii
лооФ т'очность^ф ;у
тов. Применение этой ф
™ узких сигналов,
- B1.3-). Столь короткие
пространении
¦™» (при
"оказывают расчеты
ГГ ЧаС
чЗдесь предполагается, что сигнал вышел из точки z = 0 в момент
|f=— у (при 2 = 0 сигнал прямоугольный с длиной Т, т. е. в точке
*г=0 сигнал оканчивается при t — -^\; формула B1,38) справедлива
йголько в том случае, когда сигнал прошел в среде достаточно длии-
;|ный путь, в результате чего выполняется неравенство
с
cn
„„„о-
казать „а основе рассмотрения пп,/
Дальнейшего, вбл„зи точек 0 'о ^
и ^случае коротких сигналов ~
Го. B1,39)
;Д ^ Смысл этого неравенства состоит, очевидно, в требовании, чтобы
^разность между временем t~n, необходимым для прохождения пути z
«."ипилриматичесмх |»Ж ' ' г
не меньше нескольких процен- евй°: групповой скоростью vvp = on, и временем —, необходимым для
метимо ппа»™,.»л„.. - :^той цеди переднему фронту («предвестник)'») сигнала, движущемуся
:со скоростью света в вакууме с, была значительно больше периода
:крлебаний То — ——. Кроме того, предполагается, что (У-ту-i—•
;Это условие означает, что рассматривается лишь поле на доста-
точном расстоянии от переднего фронта сигнала, распространяю-
щегося со скоростью с и достигающего точки z в момент t1 = — — -g
(заднийкрай первоначального сигнала, если бы он двигался со ско-
ростью с, достиг бы точки z в момент ^> = —+тг).
В рассматриваемом сейчас случае однородного ионизированного
я
'''ьш„нстве случаев
В"р0Чем' как можно no-
'°"° В [Ш!' и вщ™ «з
Мула B1>28) применим
газа
S? <Ч) = -
_ «о" К)

296
ВОЛНЫ В НЕОДНОРОДНОЙ ИЗОТРОПНОЙ СРЕДЕ
[гл. iv
Учитывая эти соотношения, из B1,38) можно видеть, что вблизи
точки t' = trp—^= —— — с точностью до членов порядка
Т \ ¦>
имеем:
7
Аналогично, разлагал «, в ряд вблизи точки t" = /гр-|--у , получаем
Подставляя в B1,38) полученные значения а1 и «,,, мы видим, что
в данном случае формула B1,38) совпадает с выражением B1,28).
Для достаточно длинных сигналов этого, разумеется, заранее следо-
вало ожидать, так как формула B1,28) должна быть применима и
в частном случае однородной среды. Однако теперь мы видим, что
формула B1,28) вблизи точек 6 = 0 и 6 = 7, по крайней мере в
однородной плазме, применима и в случае коротких сигналов (о чем
иы уже упоминали). При значительном удалении от точек 6 = О
и 6 = 7, что для сильно расплывающихся коротких сигналов предста-
вляет интерес, пользоваться формулой B1,28) уже нельзя, но в
случае однородного ионизированного газа пригодна формула B1,38).
§ 22. Плотность энергии в диспергирующей среде.
Скорость сигналов в плазме при наличии поглощения
Введение. Для выяснения некоторых моментов нужно получить
выражение для плотности энергии в диспергирующей среде.
Плотность энергии электрического поля в изотропной среде
часто полагают равной
ED е?
В случае монохроматической волны Е — Еа sin u>ut это выраже-
ние даст:
а sin" ш0* =
—cos 2<
B2,2)
J
где черта означает усреднение по времени.
Пусть теперь г (ш0) < 0, что для пепоглощающего ионизирован-
ного газа, где s (о>) = 1 ^Цр- , вполне возможно. В этом случае
U^g.^0, a WE < 0. Но отрицательное значение плотность электрп-
,22]
ПЛОТНОСТЬ ЭНЕРГИИ В ДИСПЕРГИРУЮЩЕЙ СРЕДЕ
297
оеской энергии принимать не может. При м^—>0 (в статическом
роле) это ясно из термодинамических соображений: в состоянии тер-
модинамического равновесия WE есть плотность свободной энергии
(см., например, [2]), и в изотермическом случае значение W будет
минимально; если же WE < 0, то минимум отвечает значениям.
Vfg—>—со и Ег —> со, что явно не имеет места. Далее, при пре-
небрежении поглощением и тепловым движением, чему соответствует
приведенное выражение для г(ю), плотность энергии в среде есть сумма
(шотностей энергии W(P =-*— в вакууме и энергии, связанной
•с поляризацией среды. В случае свободных зарядов (в плазме) эта
последняя часть энергии есть кинетическая энергия упорядоченного
движения зарядов, т. е. величина заведомо положительная. Отсюда
ясно, что в плазме при любой частоте и при отсутствии поглоще-
ния WE^2-Q. Итак, выражения B2,1) и B2,2) в общем случае не
могут быть справедливы,
Плотность энергии в непоглощающей диспергирующей среде.
Для выяснения поставленного вопроса обратимся к исходной тео-
реме Пойнтинга, выражающей закон сохранения энергии и вытекаю-
щей из уравнений поля (см., например, [2]; магнитная проницае-
мость 11 = 1):
4z di^r 4- dt dt J
4-
д №
at Sr
= —jE — 4-&nEH\. B2.3)
Отсюда следует, по крайней мере при отсутствии поглощения (т. е.
npii/?=0), что плотность электрической энергии равна
B2,4)
Для монохроматической волны Е = ?'о sin mut имеем D = е (ш0) Е
и W^CO —~-оГ —+ const. Входящую сюда произвольную постоян-
ную*) для монохроматической волны, которая задана во всем интер-
вале — чоо <; t <; -j-oo, определить нельзя, и поэтому в этом случае
утверждение об отрицательном значении WЕ при е ¦< 0 не имеет
смысла. Но на первый взгляд кажется, что вывод об отрица-
тельности Wr справедлив и для квазимонохроматической волны: до-
статочно считать, что волна не монохроматическая, а квазимонохрома-
'гическая, и тогда при t—>—"л имеем ?(-- эо) = 0 и плотность
¦") Точнее, речь может идти о произвольной функции координат, не за-
висящей от времени, которую можно было добавить еще к выражению B2,4).

298
ВОЛНЫ В НЕОДНОРОДНОЙ ИЗОТРОПНОЙ СРЕДЕ
[ГЛ. IV
энергии поля равна WE (— со) = 0, а значит, получающаяся аддитив-
ная постоянная равна нулю. Повлиять же на выражение для плот-
ности энергии переход от бесконечно длинного сигнала к конечному,
но сколь угодно длинному сигналу, казалось бы, не может; в резуль-
тате получается, что для квазимонохроматической волны при г < О
опять WE < 0, а это как раз и не может быть верно. Однако,
как мы сейчас покажем, для диспергирующей среды переход от
монохроматической волны к квазимонохроматической нужно делать
более тщательно, в результате чего сформулированный парадокс pas-
решается. Рассмотрим некоторое поле E(t):
Е (О = J g (и) eiw da> = J \g О) е™ + g* (ш) е-Ы] dm, B2,5)
—со О
где переход ко второму выражению связан с вещественностью Е(I)
(при рассмотрении энергетических соотношений удобно использо-
вать вещественное поле с самого начала).
Очевидно,
D(t)= Г 8 (ш) [g (ш) еш -г- g* (u>) е~ы\ dm.
B2,6)
где учтено, что e((o)=:s(—со); этому последнему условию функ-
ция е(и) удовлетворяет в самом общем случае*).
Общее выражение для плотности энергии получается теперь в ре-
зультате подстановки B2,5) и B2,6) в B2,4); оно имеет вид;
t , со
wP = 4-
к. с! dm dm'dt~
J I
о 'о
Lfff'
u'^, B2,7)
о о
где к. с. означает комплексно сопряженное выражение.
Рассмотрим теперь случай квазимонохроматического импульса,
когда функция g(<a) имеет острый максимум вблизи несущей ча-
стоты ша. Полагая ш = ш0 -
и <в' = шо-4-У', можем в первом при-
ближении записать г(ю) в виде ^(ш0)-}-[-—-) Q. Для достаточно уз-
кого импульса членом, пропорциональным Q2, действительно можно
пренебречь; но членом, пропорциональным Й, пренебречь, как мы уви-
дим, уже нельзя. Далее, в первом из слагаемых в B2,7) появляются
*) Равенства s(—ш) = г (ш) и о(—ш) = с(т), из которых следует, что-
г'(—oj) = e'*(m), вытекают из требования, чтобы величины D и у были ве-
щественными при любом вещественном Е (см, B2,5), B2,6) и аналогичное
выражение для У).
§22]
ПЛОТНОСТЬ ЭНЕРГИИ В ДИСПЕРГИРУЮЩЕЙ СРЕДЕ
299
ин и й~2гшЛ и при усреднении по времени это сла-
гаемое дает нуль (ср. B2,2)). Второй член в B2,7) равен средней
пЛотности энергии WE и при пренебрежении членами порядка О2
имеет вид (точнее, речь все время идет только об усреднении за
время, большое по сравнению с 2-/<«0):
s')'
SdQ'rf/; B2,8)
здесь нижние пределы интегрирования заменены на —со, так как фак-
тически существенна лишь узкая область частот вблизи частоты ш0
(квазимонохроматический импульс).
Легко видеть, что часть выражения B2,8), содержащая член шое(шо),
равна нулю (в этом случае комплексно сопряженное выражение равно
выписанному выражению, взятому с обратным знаком). В результате
получим;
t +с
О —со
B2,9)
где индекс 0 у скобки означает, что производная берется при ш = <и0,
„ .-^7 ltd @>t) \ -„j-, „ч
Если используется комплексное поле Е, то WE= -yg-1 (la> I tic -)¦
Переход от первого выражения B2,9) ко второму сделан, учи-
тывая, что
j
о 6
(можно положить П@) = 0, так как в начале процесса поля не было,
а выбор точки t — Q произволен); с другой стороны, записывая
t
^) == / ?~ it через интегралы Фурье,опираясь на B2,5) и отде-
о
ляя высокочастотную часть от постоянной во времени, можно видеть,
что выражение ~ равно как раз интегралу, фигурирующему в B2,9)
<вывод формулы B2,9) можно найти также в [22, 36, 120, 142, 143];
см. также [143а]).

300
ВОЛНЫ В НЕОДНОРОДНОЙ ИЗОТРОПНОЙ СРЕДЕ
(гл.
Выражение B2,9) показывает, что при наличии дисперсии \-чет
немонохроматичности существен; он приводит к замене s(m) „a
а о
случае, когда г = 1 — , имеем:
_u_^. -- ( .4- ^_^_ ._,- 2 — г. B2.10)
dm • тш2 v J
Выражение B2,10) всегда положительно, тем самым парадоксаль-
ный результат, сформулированный я связи с выражением B2,2),
действительно ошибочен, и плотность энергии в плазме без погло-
щения положительна, как это и должно быть.
Может возникнуть вопрос, а что же будет в непоглошающей
среде без дисперсии, но с г < 0; в этом случае производная -т— рола
не играет и WE < 0. Ответ на этот вопрос состоит просто в тон,
что подобная среда существовать не может, что доказывается при-
веденным абсурдным результатом и получается, конечно, автомати-
чески при вычислении г для любых реально существующих сред.
Парадоксальность же вывода о том, что WE < 0 для кваэпмоно-
хроматпческой волны, к которому можно было бы прийти, если ис-
ходить из B2,2), состояла именно в том, что этот вывод был спра-
ведлив и для реально существующей среды с г—1 g--.
Случай поглощающей среды. Приведенный вывод форму-
лы B2,9) остается в силе и при наличии поглощения, отсутствие
которого нами при выводе нигде не предполагалось. В этой связи
можно сформулировать еще один вопрос. Для плазмы при ш2<?.'" v23(Jkk
имеем s -=й 1 '-— (см. C,11)), и при соответствующих значе-
ниях /V и -<эфф величина г может быть отрицательной, в то же время
дисперсия отсутствует, а значит, согласно B2,9) все же WE<C0.
В этом случае, однако, выражение B2,9) не имеет смысла полной
средней плотности энергии. Вообще нужно подчеркнуть, что при нали-
чии поглощения не представляется возможным в общем случае феноме-
нологически ввести понятие о средней плотности электромагнитной
энергии. Формально это связано с тем, что при наличии поглощения
в выражении для закона сохранения энергии B2,3) присутствуют два
/ '
объемных члена: { i/ ? ^ di+^) = Jf (Wb + ^ и) " JE;
поэтому, особенно при усреднении по времени, остается неясным, каким
образом однозначно разделить эту сумму на части, отвечающие изме-
нению энергии и диссипации (приведенный выше пример свидетель-
ствует о недопустимости при наличии поглощения выбрать в качестве
полной средней энергии по-прежнему величину WE, определенную
согласно B2,9)). Вместе с тем, если воспользоваться конкретной
§22]
ПЛОТНОСТЬ ЭНЕРГИИ В ДИСПЕРГИРУЮЩЕЙ СРЕДЕ
301
моделью среды, вопрос об энергии при наличии поглощения можно
понять более глубоко.
Плотность энергии в плазме. Рассмотрим движение электронов
в плазме с помощью кинетического уравнения D,2) без учета
члена vVr/ (пространственно однородный случай). Тогда после умно-
, л ,,. mv2
жения уравнения D,2) на —;— и интегрирования по dv легко получить
соотношение (,,?? — кинетическая энергия; подробнее см. [143а]):
д
?2
- 5 dv,
где учтено, что для плазмы
B2,11)
r = f*ffdv. B2,12)
Последний член в B2,11) есть энергия, передаваемая в единицу вре-
мени электронами тяжелым частицам.
В сочетании с теоремой B2,3) из B2,11) имеем:
д
?2 4-
B2,13)
При отсутствии соударений J=Q, S = 0 и для квазимонохромати-
ческого поля ,э^" = -д—(_i^i \) Е2. При наличии соударений для
da ,-, ,
квазимонохроматического поля для простоты полагаем — =0 (по-
дробнее см. [143а]):
Здесь черта означает усреднение за время, большое по срав-
нению с 2г/ш0, но малое по сравнению с характерным временем
изменения амплитуды сигнала. Поэтому все величины в B2,14)
могут зависеть от t. Отсюда ясно, что &'{' не имеет, вообще говоря,
вида const • ?2 и зависит от характера функции S.
Не лишено, однако, интереса рассмотрение энергетических соотно-
шений при использовании уравнения для средней скорости электрона г:
dmt
~dt
¦ = е?—Ш-
''эффЛ
dt
= егЕ —
B2,15)
где U — потенциальная энергия, отвечающая некоторой силе, которая
Для свободных (плазменных) электронов равна нулю. При ?--

409
ВОЛНЫ В НЕОДНОРОДНОЙ ИЗОТРОПНОЙ СРЕДЕ [гл , ,
J_ Л ' '' —" из B2'15) получаем (см., например § 4).
о"
поскольку из B2,15) следуют выражения C,7) для s и а. Очевидно,
энергия W^. всегда положительна в отличие от выражения
1 / d (<¦>?) \ 1 / 4-«s
с которым она совпадает при уэфф = О, В этой связи на первый
взгляд представляется разумным считать W'F плотностью зависящей
от поля части энергии плазмы (of. [22], § 68 и [143, 144]). Сопо-
ставление с результатом кинетического рассмотрения показывает,
однако, что использование уравнения B2,15) и выражения B2.16)
отвечает вполне определенному конкретному предположению о виде
интеграла j — ^— Sdv. Именно, при усреднении за время, большое
по cDanHftmiin г - '¦ должно соблюдаться равенство [143а]
по сравнению с
= f-tf-Sdv. B2,17)
Такое условие является по меньшей мере весьма частным, и его использо-
вание для плазмы, вероятно, в большинстве случаев не оправдано.
О плотности энергии в случае совокупности осцилляторов.
Если вместо плазмы мы имеем совокупность независимых осцилля-
торов с собственными частотами мг, то при использовании уравне-
ния B2,15)
w'E s= |
8
:-{>¦*
Н +
B2,18)
где ;VZ—¦ концентрация осцилляторов с частотой ш-, значением
уЭфф = ¦Удфф ?, зарядом (?; и массой иг, (в B2,15) при этом Ut=— m^'irA.
Если нет поглощения т
; , (в B2,15) при этом Ut=— m^'irA.
Если нет поглощения, т. е. ''Эффгг—0, то WEn B2,18) выра-
жается через г с помощью формулы B2,9). Однако при наличии
поглощения даже в такой простой осцилляторной модели W'E уже
§22]
ПЛОТНОСТЬ ЭНЕРГИИ В ДИСПЕРГИРУЮЩЕЙ СРЕДЕ
303
|яе выражается через е или г'. Аналогичный факт известен для элек-
jf-едрических цепей (двухполюсников), где. роль е' играет импеданс;
кболее того, энергия в различных цепях с одним и тем же заданным
импедансом Z = R-\-lX может быть в широких пределах призволь-
!";ной (предполагается, что R ¦-¦?= 0). Отсюда становится ясным, что при
{наличии поглощения нельзя указать какое-то выражение для средней
^'плотности энергии, которое получалось бы феноменологически, т. е.
1::как-то однозначно выражалось через е'(ю). Таким образом, для вы-
числения энергии поля в среде с поглощением нужно прибегать к
•микроскопической теории, к конкретной модели среды. Плазма при
'.-¦¦пренебрежении энергией взаимодействия между частицами и исполь-
: зовании элементарной формулы ь' — 1
-" .-, а также урав-
рвения B2,15) является при этом известным исключением: для такой
'плазмы и при наличии поглощения средняя плотность энергии W'B
'> о .
'-.-¦выражается через s'(из B2,18) при шг=:0 видно, чтоЖ"„=—=-^Е2 =
-Е2 и для плазмы, состоящей из частиц разных сортов).
гг:
Плотность энергии в плазменных волнах. Приведенное выра-
ражение WE—
р
для плотности энергии в плазме носит ло-
ч'кальный характер, т. е. не зависит от характера изменения поля
в пространстве. Другими словами, пространственной дисперсией нре-
' небрежено и поле можно с равным правом считать и продольным и
поперечным (поляризация поля волны g'(»t-*r) определяется значе-
нием div? = —ikE и становится неопределенной при к—>0). По-
этому средняя во времени плотность энергии в плазменных волнах
(колебаниях) равна
WE=~, B2,16а)
как это следует из B2,9) и B2,10) или B2,16), при отвечающем
плазменным волнам условии s = e(u)tf) = 0 (соударениями пренебре-
гается).
Результат B2,16а) не противоречит тому факту, что для плазмен-
ных волн, для которых -^ = 0, выражение B2,4) равно нулю, т. е.
4* J '
' — 0. Дело в том, что теорема Пойнтинга (см. B2,3))
теряет смысл, если с самого начала положить rot //= ^i- —0.
г с at
Е%
Если же исходить для плотности энергии из выражения №? = -g^-|-
t
. f mv2 ,>¦/•,, - 1 С г, dD ,.
+ / —7— (f — /о) dv, то оно преооразуется к виду -^ IE ~^r dt, где
— со

304
ВОЛНЫ В НЕОДНОРОДНОЙ ИЗОТРОПНОЙ СРЕДЕ
[гл. IV
-ч— -= —gj- -f- 4~е / vf dv, только при двух предположениях. Во-пер-
вых, нужно считать, что при t = —гх> функция будет / ((= — со) =¦- /
и E(t ----- :уо) :=.(), т. е. W(i-= — я) .= 0; во-вторых, используется
кинетическое уравнение типа -тт — ^v/ (выше /0 — равновесная
функция распределения). Первое из этих предположений означает, что
сначала (при t —-—"») никаких плазменных колебаний не было, как
и нужно считать при рассмотрении квазимонохроматических волн.
Но эти волны не могут возникнуть сами по себе: их создание требует
либо действия пеэлектрических сил, либо движения каких-то внешних
по отношению к плазме зарядов с плотностью р. В первом случае
(например, когда электроны и ионы «раздвинуты» с помощью сил
, df
тяготения) несправедливо приведенное уравнение для -~— , в котором
не учтено действие неэлектромагнитных сил. Во втором, значительно
более реальном случае (например, при излучении плазменных волн
движущимся зарядом) div/? = 4тгр, и нельзя во всем временном ин-
тервале положить ~jj- = O. Итак, кажущееся противоречие, связан-
ное с использованием выражения B2,4) для плазменных волн, сни-
мается, и формула B2,16а) действительно определяет плотность
энергии в плазменных волнах. Формула B2,16а) определяет также
плотность энергии в поперечных волнах с несущей частотой ш = «>,,.
для которой s-((ao)-—O. В этом случае можно исходить из выраже-
ния B2,4), но величина -у- не равна тождественно нулю, так как
рассматривается квазимонохроматическая волна. По последней при-
чине в спектре присутствуют частоты, отличные от ш0, для которых
значения s и O=s? не равны нулю (именно учет этого обстоятель-
ства и привел к замене формул B2,1) и B2,2) на B2,9)).
Скорость сигналов в поглощающей среде. Применение к
плазме. В условиях, когда можно воспользоваться выражением для
плотности энергии в поглощающей среде, представляется возможным
ввести также понятие о скорости сигналов (импульсов), распростра-
няющихся в такой среде [143, 144].
Групповая скорость была введена в § 21, по существу, из кине-
матических соображений, и, действительно, выражение г/гр •= -jj- го-
дится для квазимонохроматических волн любой природы. Вместе
с тем групповая скорость как скорость распространения сигналов
должна иметь и энергетический смысл скорости переноса энергии.
Это действительно так, в чем легко убедиться, определив скорость
переноса энергии как отношение среднего по времени значения
плотности потока энергии S к средней плотности энергии W:
ъ'8„ = Jr. B2,19)
|Ш*22] ПЛОТНОСТЬ ЭНЕРГИИ В ДИСПЕРГИРУЮЩЕЙ СРЕДЕ
|»|я диспергирующей непоглощающей среды
305
B2'20)
let
||д'е в последнем выражении используются комплексные поля ? =
§§=.?02'ш* и Я^=Яое'ш( (квазимонохроматический характер поля уже
рйтен в B2,20) путем замены г на -4~Е-- ; поэтому в B2,20) поля
Йфжно считать монохроматическими).
i0: Далее, в любой среде, как и в вакууме, поток электромагнитной
Цйергии
|| ^ЩЕ^у-ЕуН\), B2,21)
*гае рассматривается поперечная волна, бегущая по оси z, и в по-
следнем выражении используются комплексные поля.
вЗ Для плоской, поперечной, монохроматической и однородной волны
\ B2,22)
J
= 0, k? = ^- z' = ^i (ji — ixf, Re V? = п.
При отсутствии поглощения у г' ¦—¦ У = = п, fe=
=?n(EE% W
_п_ d(an) „
"~ 8" da CC '
da
B2,23)
"Т. е., как и утверждалось, vsa = vrsi.
;;'•:. При наличии поглощения выражение vrp~~ir • вообще говоря,
утеряет смысл и может, например, приводить к значениям, большим
/Скорости света в вакууме с (см. § 21). В то же время, если из-
вестна плотность энергии W'E при наличии поглощения, скорость г>Э11,
-'/определяемая формулой B2,19) и "уже не равная -^, должна в ка-
;-:Кой-то мере характеризовать скорость распространения сигнала.

306
ВОЛНЫ В НЕОДНОРОДНОЙ ИЗОТРОПНОЙ
СРЕДЕ
[гл.
получим:
! *' I ) ??* B2,24}
2с
en.
B2,25)
При отсутствии поглоасения х=0 и %„ — сп = —j- (см. B1,18));
если а = 0 и s < 0, то п — О и vm = 0, как это и должно быть
при полном внутреннем отражении без поглощения. Отсюда, а также
из рассмотрения других примеров ясно, что формула B2,25) для
скорости сигналов в плазме приводит к вполне разумным результа-
там. Нужно, однако, иметь в виду, что использованное выражение
B2,16) для WE является частным и не может иметь места в общем
случае. Кроме того, даже отвлекаясь от этого момента, формула B2,25)
может оказаться совершенно непригодной, если волна заметным образом
затухает уже на длине рассматриваемого квазимонохроматическога
импульса (подробнее см. [144J). Последнее вполне естественно,
поскольку понятие о скорости сигнала в среде по самому своему
смыслу является приближенным понятием, характеризующим распро-
странение сигнала при пренебрежении его изменением (с искажением)
во времени, В произвольном же случае все сведения о распростра-
нении сигнала в линейной среде с учетом его искажения, очевидно,
могут быть получены из анализа соответствующего интеграла Фурье
(см. § 21)..
ГЛАВА V
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В НЕОДНОРОДНОЙ
МАГНИТОАКТИВНОЙ ПЛАЗМЕ
§ 23. Введение. Приближение геометрической оптики
Волновые уравнения. При исследовании распространения эле-
ктромагнитных волн в неоднородной анизотропной среде и, в част-
ности, в магнитоактивной плазме исходной является система урав-
нений (см. B,5) и B,9)):
д
дх.
?s' («о, г)Ек = 0.
B3,1)
Для изотропной среды, когда ?^ = ?'8^, эти уравнения, разумеется,
переходят в A6,1). Что касается аналогичных уравнений для магнит-
ного поля волны Я, то они в общем случае неудобны в связи с их
громоздкостью (эти уравнения можно получить, исключая поле Е
из уравнений Atf-j--^-rot (д — ^-j\ = 0, roiE= — ~H, D-L —
В частном случае плоскослоистой среды, когда ?^ = г'(ш, z),
при рассмотрении плоских волн уравнения B3,1) заметно упрощаются,
но даже при нормальном падении волн на слой получаются два
уравнения второго порядка (см. B,18) и A1,3)):
_.
B3,2)
здесь А, В и С определяются формулами A1,3), в которых пара-
Петры v = ——j-, и =
-, и = —г- и s= зависят от z (в частных
случаях зависеть от z может, конечно, только один или два из этих
параметров; зависимость а от z отвечает случаю, когда плазма на-
ходится в неоднородном внешнем магнитном поле

308
ВОЛНЫ В НЕОДНОРОДНОЙ МАГНИТОАКТИВНОЙ ПЛАЗМЕ
Система B3,2) эквивалентна уравнениям четвертого поряа,ка
для Ех или Еу, в то время как при нормальном падении во щ На
изотропный слой компоненты ?\. и Еу подчиняются уравнению вто-
рого порядка A6,3). Усложнение, связанное с переходом от этого
уравнения A6,3) к системе B3,2), в математическом отношении на-
столько велико, что исследование точного решения этой системы д0
сих пор не проводилось. При этом, конечно, имеется в аилу, что
магнитное поле //№ составляет с осью z (т. е. с нормалью к волне)
угол а, не равный нулю или -^ ¦ При а —0 и а.=-,~ система i.Jj 2}
строго разделяется на два независимых уравнения второго порглка.
Поэтому эти частные случаи имеют особенно большое значение как
сами по себе, так и при их использовании (с некоторыми модифи-
кациями) в качестве приближенных решений, пригодных иногда и при
других значениях а.
Сказанное объясняет, почему в теории распространения оолн
в неоднородной магнитоактивнои плазме еще большее значение, чем
в случае изотропной среды, имеют приближенные решения. К их
числу в первую очередь относится приближение геометрической
оптики, а также метод фазовых интегралов и метод теории возму-
щений.
Приближение геометрической оптики. Широкая область при-
менимости приближения геометрической оптики связана с тем. что
в ионосфере, солнечной короне и для некоторых других объектов,
свойства плазмы обычно медленно изменяются в пространстве. При
этом медленность изменения означает, что показатели tili2 и v.uz
весьма мало меняются на расстояниях порядка длины волны в среде.
Очевидно, что в подобном случае в каждой относительно небольшой
Области слоя распространение можно считать таким же, как в одно-
родной среде, с соответствующими этой области значениями чь>
И У.1>2.
Характер распространения и отражения волн от слоя неоднород-
ной плазмы в приближении геометрической оптики становится ясным
из рассмотрения кривых nllO(i>) при заданных а и л (см. рис. 11.2;
11,3; 11,6 и др.; поглощение для простоты не учитываем). В начале
слоя при v~0 (т. е. при N(z)=-—0) волна расщепляется на лве:
обыкновенную и необыкновенную, которые в дальнейшем распро-
страняются независимо. Если, например, й<;1, то при vx=vll~'=-
= 1 — У и показатель /г, =0, и дальше необыкновенная волна рас-
пространяться не может (при п\ < 0 волна затухает). Поэтому.
так же как для изотропной среды (см. § 16), можно заключить,
что в области п\тО происходит полное отражение необыкновенной
волны от слоя. Обыкновенная волна, как ясно из аналогичных рас-
суждений, отражается в точке « = %,—1, Исключение составляет ;
случай малых углов а, когда область отражения должна «персско-
§23]
ВВЕДЕНИЕ. ПРИБЛИЖЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИКИ
309
v[p
йчить» из окрестности точки «20 = 1 к точке v\i' = 1 ~\-У и, . По-
добный «перескок» не может быть понят на основе приближения гео-
метрической оптики и рассматривается в § 28. То обстоятельство,
«что в окрестности точки t>20= i при малых углах а, геометрическая
1оптика неприменима, сразу становится ясным из рис. 11,10 — в этом
:;случае свойства среды с изменением v резко меняются.
'>..¦ На основании сделанной в § 16 и выше идентификации прибли-
жения геометрической оптики с возможностью рассматривать среду,
.'.как квазиоднородную, ясно, что в этом случае изменение фазы волны при
¦ распространении должно определяться выражением типа-^ / nlt2(z)dz,
:так же как это имеет место в изотропном случае. Однако для пол-
Ьного определения иапряженностей поля Ех>уЛ:2в приближении гео-
метрической оптики необходимо более детальное рассмотрение во-
проса, которое аналогично проведенному в § 16 (см. [145]).
Г:: Будем искать решение системы B3,2) в виде:
Е (г) =
Г) . B3,3)
где вместо г можно поставить z, так как в B3,2) дифференциро-
вание происходит только по z. Подставляя B3,3) в ('23,2) и при-
равнивая нулю члены, стоящие у разных степеней отношения —,
получаем:
{А —
- iCEf +{В — (?')*} Ef> = 0, j
'Jj ?0)-f ;-C?W ^= i {W'Ef -j-2?'
[В — (ЧГ')г! EW — i {$¦"?•») -+-'2^'
+ \B-($>f)Ef = i\
у (
B3,4)
B3,5)
B3,6)
и т. д., причем штрих означает дифференцирование по
Уравнение B3,4) для Е{^у совпадает с уравнением A1,2а), имею-
щим место в однородной среде, при замене га2 на D")- (для про-
стоты мы считаем поглощение отсутствующим). Таким образом, усло-
вие существования нетривиального решения для С^'у определяет
функцию (WJ:

310 ВОЛНЫ В НЕОДНОРОДНОЙ МАГНИТОАКТИВНОЙ ПЛАЗМЕ [ГЛ. у
где ;tj „ определяется уравнением A1,6). Отсюда
Ч'ь2=± fnh2(z)dz, B3,8)
причем решение с плюсом соответствует распространению по поло-
жительному направлению оси z, а решение с минусом — распростра-
нению в обратном направлении. Ниже мы будем выбирать всегда
в B3,8) знак плюс, учитывая, если это нужно, знак Ф в самом вы-
ражении для поля.
Далее, согласно B3,4)
e$12~'b-(w[_2f~ ic <ь2> { >]
т. е. поляризация волны в первом приближении геометрической
оптики в каждой точке такая же, как в однородной среде с соот-
ветствующими значениями и, а и v(z) (см. A1,26)). Разумеется, этого
и следовало ожидать.
Условие существования нетривиального решения у системы B3,5)
приводит к уравнению, определяющему зависимость E\i, % и ?$' з
от координат:
) _ л
B3,10)
где для волн 1 и 2 нужно под Ч/ и К понимать выражения B3,8)
и B3,9) соответственно с индексами 1 или 2. Согласно B3,10)
^>2_T7=?=?^L=__==__=_A0?st—, B3.il)
v'K,^-k12)
W 0 - *1, 2
а компонента Ef] в согласии с B3,9) равна Kll2Elx\
В результате в первом приближении геометрической оптики
,2 —'
const
± t —
1
B3,12)
J
Если бы мы учитывали поглощение, то получился бы такой же ре-
зультат с заменой везде ЦТ' — иь 2 на W ~ (пи 2—tv.h 2), где (nli2—hus)
определяется выражением A1,5); величина Kh2 при учете поглоще-
ния определяется формулой A1,25).
S 23]
ВВЕДЕНИЕ. ПРИБЛИЖЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИКИ 311
Общее решение системы B3,2) в приближении геометрической
• оптики имеет вид:
С,-
-г- J 0>i-hi
B3,13)
^Выражение для Cv отличается от B3,13) появлением множителя Кг
Ыпри С1+ и Cj_ и "множителя Ко при С2+ и С2„. Компонента Ег вы-
Эражается через Et и Еу с помощью формулы A0,20). Решение B3,13)
1-зависит, как это и должно быть, от четырех произвольных постоян-
ных Ci± и Со±, поскольку любое изменение г0 эквивалентно неко-
|;Торому изменению этих постоянных.
!;•¦; Формула B3,12) отличается от формулы A6,11), установленной
Ж'для изотропной среды, лишь своей зависимостью от характеризую-
?*щей поляризацию величины /<ГЬ2- В изотропном случае поляризация
Г-волны при нормальном падении (уравнение A6,3)) с изменением ко-
*ординаты z не меняется, т. е. ^!2= const, и B3,12) переходит
Ш A6,11).
%] Границы применимости приближения. Границы применимости
^приближения геометрической оптики, которые мы отождествляем
¦-.0 условиями применимости первого приближения B3,12), можно
унайти, определяя поле во втором приближении, т. е. вычисляя Ех,у
Йиз B3,5) и B3,6).
rk Из B3,5) находим связь Ех и ?у :
Ш=]
4- 24
>1 B3 л 4>
Где С — один из коэффициентов в уравнении B3,2).

312
ВОЛНЫ В НЕОДНОРОДНОЙ МАГНИТОАКТИВНОЙ
Условие существования
нению для ?'!?':
решения у системы B3,6)
ПЛАЗМЕ [Гл_ у
приводит к урав.
\?«
геометрической ОПТИК)( пригодно
B3,15)
const
УГ-. B3,16)
где Х==ЧГ'A_^^ЯA , ^
взята компонента Е ° ш" " ДЛЯ определенности
5 2П , „ ""'^'Рирование по частям
^0, и огРан„ч„мся самой ^.^
¦/.(¦?) является монотонной то пп«
^". то при выполнении
B3,17)
означает, что Ю
"ом, достаточно
* B3,16). Условие B3
ражение для /(г), (в '
олюдаются неравенства:
Требование
как * /Г ' " П°АСТаВИТЬ <-23^
^ ^"видеть, используя явное вы-
04LP«b заведомо выполнено, если со-
?«-<:!. ?-•
B3,18)
r
§23]
ВВЕДЕНИЕ. ПРИБЛИЖЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИКИ
313
Некоторые из этих неравенств можно было бы упростить или со-
всем ликвидировать подобно тому, как это было сделано в § 16 в от-
ношении второго из неравенств A6,15). Мы не будем на этом оста-
навливаться, так как легко видеть, что при плавной, медленной за-
висимости v от z условия B3,18) практически (за исключением,
¦указанным ниже) сводятся к одному неравенству:
B3,19)
{которое вполне аналогично условию A6,22) и имеет совершенно
/ясный физический смысл.
•• Для того чтобы убедиться в законности замены условий B3,18)
>ва B3,19), нужно учесть, что функции С и С стремятся к беско-
лнечности лишь при v—>v!iiOD и стремятся к нулю при v—> 1 и г'—>0;
'г\Кч\—*со и \ К[ ,|—>оо при v—.>1. Параметр /С, к бесконечности
?не стремится и при v —> 1 (см. рис, 11,9), Вместе с тем из сказан--
v'Horo в § 11 о поведении кривых п}>2(у) (см. рис. 11,3 и др.) яв-
;"'-хтвует, что в точках ii = v20=l и v}iim геометрическая оптика
;•; неприменима к соответствующим волнам уже в силу невыполнения
;; условия B3,19).
: В приближении геометрической оптики волны обоих типов 1
? и 2 и волны одного типа, но с противоположным направлением
распространения совершенно независимы, Поэтому, в частности,
;.- отражение волн может наблюдаться только в областях, где геоме-
'¦:¦ трическая оптика неприменима. Последнее имеет место при малых
или больших значениях
dz
может отражаться
говорим, в точках
точек
Поэтому волна типа 1
или, как мы условно-
в окрестностях
i'lo'— 1 ± У и , где п] — 0 (ограничиваемся для
простоты разбором случая, когда и < 1). В то же время к волне '2
в точках v^ геометрическая оптика применима и, таким образом,
отражение волны 1 не затрагивает волну 2. К волне.2 (обыкновен-
ной волне) геометрическая оптика неприменима при f = -i>,0=l, где
ге'5 —0. И опять-таки к во.'ше 1 в этой точке геометрическая оптика
применима. Исключение составляет случай малых углов я, когда
в окрестности точки v—\, как ясно из рис. 11,10, геометрическая
оптика неприменима к волнам обоих типов (при я—>-0 nvst; I «2-=s(>
—5-со). Поэтому при а—>0 возможно превращение
и
— = п[
у— = п[ ,
волны типа 2 в волну типа 1, что действительно имеет место и объ-
ясняет указанную в § 11 особенность предельного перехода к слу-
чаю продольного распространения (см. § 28).
Выше мы, разумеется, имели в виду случай плавного, медлен-
ного изменения v в зависимости от z. Если же имеются большие

[ГЛ.
314 ВОЛНЫ В НЕОДНОРОДНОЙ МАПШТОАКТИВНОЙ ПЛАЗМЕ
•градиенты концентрации /V или, что то же, v, то производные ШЬ±г_
могут быть велики для обеих волн при любом v. Иначе говоря,
рисунки типа рис. 11,2; 11,3 и т. п., на которых отложена функ-
ция nlti(v), позволяют судить о поведении функции яь2(г), только
если v является на всем протяжении линейной или во всяком слу-
чае плавной монотонной функцией г. Только при этом условии на
dn
основании малости производной ~т- можно заключить о малости
производной п.' е— —- , которая входите B3,19). При наличии рез-
ких градиентов -~г~ волны разных типов и направлений, вообще
говоря, переходят друг в друга. В пределе, когда имеется резкий
.скачок свойств среды на некоторой границе, отражение и прелом-
ление волн описываются известными формулами Френеля для анизо-
тропной среды.
Область начала слоя и взаимодействие нормальных волн
в этом случае. В самом начале слоя (при v -> 0) соблюдение усло-
вия B3,19) не является, однако, достаточным для справедливости
приближения геометрической оптики (именно этот случай и был при
лереходе к B3,19) оговорен как исключительный).
При малых v, если
л
,2 .
'1, S"
Д« = п2 — пх
С =
-1 —
Ki.3 = -t-
_ ^"^гиТ+Т/Гс^^
_2Vj^cos <х A — и)
B3,20)
имеем (см. A1,3х- ¦
Vuvtosa. 1
B3,21)
a sin2 a ^Vu2 sin4 <x -t- 4s cos2 a
¦Обратимся теперь ко второму из условий B3,18):
А Е. пп'кк-' ^ 1
2* С X' A —К2) "^
Учитывая B3,21) и в первую очередь пропорциональность вели-
чины С параметру v, мы видим, что при v->0 C->0, и, таким
образом, указанное второе из условий B3,18) не выполнено; в то же
время неравенство B3,19) выполняется, если только производная -^
Ц23]
ВВЕДЕНИЕ. ПРИБЛИЖЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИКИ
315
Jie слишком велика (в ионосфере и солнечной короне это послед-
нее требование обычно можно считать выполненным).
Если в начале слоя записать v в виде:
v = az, B3,22)
то, не обращая для простоты внимания на множители типа и—1,
QOi2a, sin2 я и т. п. (т. е. предполагая эти множители не слишком
большими или малыми), вместо рассматриваемого второго из нера-
венств B3,18) получаем условие
2т.г 2-
-^-<1; B3,23)
Надесь я2— а\ — '^ll ~" v ^^ az и координата z отсчитывается от на-
5чала слоя. Если вместо B3,22) положить v = axm, где показатель m
Хне слишком мал или велик, то практически получается также усло-
sfine B3,23). Вообще же при любой зависимости v от z, если по-
-прежнему не обращать внимания на множители типа и-—1, вместо
5B3,23) получается условие -!~ 4^-<С 1-
;; Из B3,23) ясно, что при достаточно малых z геометрическая
.оптика неприменима. Точнее, геометрическая оптика в этом случае
^неприменима для рассмотрения поляризации распространяющихся волн,
итак как при-у—>0 показатели будут я1B—>1 и в отношении скорости
^распространения или изменения фазы среда приближается к вакууму.
j-Цепригодность приближения геометрической оптики в начале слоя
'.'(пр^и v—>0) является частным случаем неприменимости этого при-
ближения к рассмотрению поляризации в неоднородной среде при
Тйсчезающе малой анизотропии. Дело в том, что в анизотропной
-;'среде поляризация нормальных волн остается фиксированной (см.,
«например, A1,29)) и при стремлении анизотропии (т. е., например,
разности п2-—Я[) к нулю. В изотропной же среде имеет место вы-
рождение, так как скорости распространения обеих нормальных
волн одинаковы, а сами эти волны можно в известных пределах
выбирать произвольно: их можно считать линейно поляризованными,
поляризованными по кругу или эллиптически поляризованными. Да-
лее, в изотропной среде при нормальном падении волны на слой
(т. е. если волновая нормаль параллельна градиенту г) изменения
поляризации не происходит (в A6,3) компоненты ?\. и Еу незави-
симы)*). В магиитоактивной среде, напротив, как ясно из A1,25)
и всего вышеизложенного, поляризация зависит от v (z) и согласно
*) В общем случае изотропной среды изменение поляризации, разу-
меется, происходит ("см., в частности, § 19) и связано с нераспадением вектор-
ного уравнения A6,1) на независимые уравнения для Ех, ?у и Ег. Если
луч имеет кручение, т. е. траектория луча не является плоской, то происхо-
дит также вращение плоскости поляризации.

316
ВОЛНЫ В НЕОДНОРОДНОЙ МЛП1ИТОЛКТИВНОЙ ПЛАЗМЕ
1гл. v
,24]
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ИМПУЛЬСОВ
317
приближению геометрической оптики должна начать изменяться с са-
мого начала слоя. С другой стороны, очевидно, что наличие пре-
дельно слабой анизотропии не может быть существенно и, таким
образом, геометрикооптическое приближение непригодно.
Сказанное особенно ясно на примере распространения света
в кристаллической среде со слабой анизотропией и изменяющимися
вдоль луча направлениями главных осей эллипсоида диэлектрических
постоянных [146]. Пусть свет распространяется по оси z, а две
главные оси расположены в плоскости ху и вращаются при изме-
нении 2 так, что на пути \z угол главных осей с каким-либо фик-
сированным направлением в плоскости ху изменяется на ЛЧ;'=аД.г.
В приближении геометрической оптики нормальные волны, которые
линейно поляризованы в направлении главных осей эллипсоида ди-
электрических постоянных, совершенно независимы одна от другой
и в каждой точке их поляризация такая же, как в соответствующей
однородной среде. Таким образом, в приближении геометрической
оптики плоскость поляризации волн, распространяющихся в рассма-
триваемой среде, должна на пути Дг поворачиваться на тот же
угол ДФ —ад?:, па который поворачиваются главные оси. Вместе
с тем, если разность показателей преломления волн Ля достаточно
мала, то вращение плоскости поляризации должно, очевидно, ста-
новиться сколь угодно малым, так как при Ди = 0 вращение пло-
скости поляризации отсутствует (вращение осей имеет в этом слу-
чае чисто формальное значение).
Противоречие снимается, если учесть, что при Дп—>0 геометри-
ческая оптика непригодна. Условие пригодности приближения гео-
метрической оптики в разбираемом случае таково [146]:
dz 2т. An 2гЛп <4s-
Если Ди—Л, то это условие приобретает обычный при переходе
к геометрической оптике смысл требования малости изменения свойств
среды (в данном случае угла чУ) на длине волны. Но приДи<^1
условие B3,24) приобретает самостоятельное значение.
В магнитоактивной среде роль -т— играет ь:
dz
в начале ионо-
сферного слоя ^М-~-.~"~-а, Дя~~ v~~> az, и условие B3,24)
переходит в B3,23). Распространение волн в начале слоя магнито-
активной плазмы, когда геометрическая оптика неприменима, рас-
смотрено в § 26. Пользуясь терминологией, уже применявшейся
и поясненной в § 20, можно сказать, что в начале слоя имеет место
взаимодействие нормальных волн типа 1 и 2.
Другими словами, нормальные волны 1 и 2, полученные в при-
ближении геометрической оптики, в начале слоя не передают харак-
тера точного решения уравнений B3,2). В определенном приближе-
5|§й,/.вместе с тем, правильное решение можно сконструировать на
:Щ$6ве некоторой комбинации связанных между собой («взаимодей-
ствующих») геометрикооптических решений. Взаимодействие волн,
Донимаемое в таком же смысле, имеет место и в области г>« 1
1р;упомянутом случае малых углов а (см. подробнее § 28).
1|*:- Наконец, такое же по существу взаимодействие ответственно за
Йо|ражение волн типа 1 или типа 2 от точек «io'=l ± Vй или
>ч|}*==1, где величины п^ или п% обращаются в нуль. Здесь, однако,
5§ля:' достаточно протяженных слоев неоднородной плазмы возможно
Имущественное упрощение, о котором уже шла речь. Именно, если
|точки via и %, далеки друг от друга, неприменимость геометри-
Щёской оптики в каждой из этой точек относится лишь к волне
Йодного типа. В подобной ситуации выход за пределы приближения
Щоыетрической оптики требует, по существу, исследования не си-
¦Щемы B3,2). а одного уравнения второго порядка, аналогичного
«уравнению A6,3) для изотропной среды. Соответствующие вычисле-
ния* ..проведены в § 25.
А § 24. Распространение импульсов
ji;i; Вектор групповой скорости в магнигоактивной среде. Выше
-ijviyi. Ill и § 23 рассматривалось лишь распространение плоских
/монохроматических волн Е = Е^е^т(~кг'> в однородной магнитоак-
Эшвной среде, а также распространение волн Е = Ей (z) е'"'с в неод-
нородной магнитоактивной плазме. Теперь необходимо выяснить
:;также вопрос о распространении в магнитоактивной среде импуль-
/coi, т. е. ограниченных в пространстве и во времени волновых па-
кетов или групп. Направление движения такого пакета, по опреде-
лению, есть направление луча, а скорость пакета называется лучевой
'.-.'¦(йй групповой скоростью. В анизотропной среде направление луча
и направление волнового вектора к (т. е. нормали к волне), вообще
чговрря, не совпадают.
Я: ^Направление луча (направление движения волновой группы) в про-
; йзвольной однородной непоглощающей среде может быть найдено
путем разложения волнового поля в интеграл Фурье по «нормаль-
:Нйм» плоским волнам, распространяющимся в среде:
;<;;>!¦ E{r, t)= Г?(*)е'1«'(*)'-*<¦} rfjfe. B4,1)
здесь dk = dk v dky dkz, и под Е нужно понимать любую компоненту
электрического поля (с таким же успехом можно, разумеется, рас-
сматривать компоненты векторов Н и D; считая функцию g (k) век-
торной, в качестве Е в B4,1) можно взять сам вектор поля Е).
Как уже сказано, волны Е ¦=== const -е'[«•(*) '~*г] предполагаются удо-
влетворяющими уравнениям A1,1) и A1,2) при У=0 (отсутствие
поглощения) и Dt = =ik (u>) Ек (линейная однородная диспергирующая
сРеда). Именно такие волны и были ранее названы «нормальными».

318 ВОЛНЫ В НЕОДНОРОДНОЙ МАГНИТОЛКТИВНОЙ ПЛАЗМЕ [ГЛ, у
В произвольной (с указанными ограничениями) анизотропной среде
в каждом направлении, характеризуемом единичным вектором вот
новой нормали А, =-г—=з-г-, могут распространяться две нормаль. ¦
ные волны (о плазменной волне мы здесь не говорим); эти волны >
отличаются поляризацией и фазовой скоростью г>л:
с
\k\ '-'Т>
:t г
г.
B4,2);
::,: „
¦'¦
. с ,-,. -/. 1.^.3)
и обратно, а> —a>(&j, A) — ш (к). В конкретном случае ионизован-
ного газа в магнитном поле значение п—-пи2 определяется форму-
лой П I.fn <--" -
-?-, и от на-
лой A1,6), где nh2 зависит от ю через w —^ и я ==?
правления волновой нормали через угол а между kx и /Л0'.
Предполагая, что импульс является квазимонохроматическим, т. е.
достаточно протяженным во всех направлениях, так что функция g (k)
имеет острый максимум вблизи «несущего волнового вектора» k0,
мы можем разложить частоту а>(й) в B4,1) в ряд. Ограничиваясь
двумя членами разложения, получаем:
Е (г, 0 = е' I" f*J '-V] J g-(А) й Vt)* ;rfA, B4,4)
где
А* = *-*о и ?-g
(здесь /, у, А' — орты осей х, у,
k = ku. Из B4,4) явствует,
распрос
z), причем значение ^беретсяпри
u B4,4) явствует, что в рассматриваемом приближении
весь импульс распространяется как целое с групповой скоростью *)
причем значение ~ нужно брать при А = А0. При учете более вы-
соких производных в разложении u>(k) в ряд импульс расплывается
(для простейшего случая расплывание было рассмотрено в § 21).
s) Фигуриру1ОЩНй в B4,4) интеграл постоянен еси б"
откуда для скоро№1пакегаиполучастсяформ--^
-г — const,
§241
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ИМПУЛЬСОВ
319
Направление вектора »гр есть направление луча, величина vtg
скорость движения группы вдоль луча.
В изотропной среде, по самому определению изотропности среды,
= — п((о), т. е. к не зависит от направления. Поэтому, например,
да йы дк dakx
dFr Ж '§k~x ~dk~k
{так как А =
do) Й da,
B4,6)
if. e. групповая скорость, как это и должно быть, равна по вели-
кдане выражению B1,17) и направлена так же, как вектор к,
й* В интересующем нас случае магнитоактивной среды показатель
>?н. = геЬ2 помимо о) зависит лишь от угла между вектором A1 = pg-j
Щ: полем /Л°). Поэтому, выбирая направление Я(°) за ось z' и обо-
Йзначая cos a = cos (к, Н1®) = ~[ъ = ~(, имеем:
| к=$п[». %) = -еп{». Т); B4,7)
^•отсюда ясно, что u) = o)(ft, kz,), и, дифференцируя выражение B4,7),
?,41Ы имеем:
dk 1 йо) оз дп йо)
4ky, ' с Ok,, ' с дшдк,,
В результате получаем:
Vrv*'~dk7,—~
бо,
dn
2\ „ ~
-г—
п д (шп) '
д (Vi)
грУ dky, ~~ п д (an) '
с дш
П - - ш -з-
f\ -
n д (an)
с да>
д (я COS а.)
да
п д (мл) '
с дю
B4,8)

320
где
где у3 и ~j2 — косинусы З'глов между вектором k и осями х' и
(напомним еще раз, что в B4,8) у =sy3 — cos а — косинус угла
между вектором k и осью .г', направленной по полю №0>). Дале
дь> j
cos (*, ? _.__
О—г1)
(-49)
*
"rpCOsf*, ^
с
B4,10)
J
Эти формулы B4,9) и B4,10) справедливы, очевидно, при лю-
бом выборе системы координат, причем под у нужно понимать ко-
синус угла между k и //№. В ' качестве п(и>, у) в B4,8) и B4,9)
нужно взять значение A1,С), т. е. п1 для необыкновенной волны
и п3 для обыкновенной (кроме того, j-¦=--cos о:); при этом мы считаем
величину лЬ2 вещественной и, таким образом, значения «j 2 < 0 не
рассматриваются (в этом случае волны обычно сильно затухаю/
и понятие групповой скорости, вообще говоря, неприменимо). На-
личие поглощения, так же как это было указано в § 21, не меняет
приведенных результатов, только если коэффициент поглощения
в пределах спектральной ширины сигнала достаточно слабо зависит
от частоты *).
Из сказанного явствует, что в общем случае векторы групповой
скорости волн типа 1 и 2, т. е. векторы vrill и дагр2, не парал-
лельны вектору нормали k и друг другу, но лежат в плоскости H{'"k
(рис. 24,1). Останавливаться на выяснении направления и величины
векторов #rpj и w,.pj в различных случаях мы здесь не будем (см.
§ 29). При нормальном падении волны на неоднородный слой вопрос
о направлении vn> не имеет большого значения, поскольку вектор к
всегда направлен по оси z, а проекция vrp на k, которая в этом
*) Для поглощающей магнитоактивной ллазмы можно получить выраже-
ния для средней плотности энергии W? и скорости течения энергии анало-
гично тому, как это было сделано в § 22 для изотропной плазмы.
1Шщ1 распространение импульсов 321
Шйчае определяет время группового запаздывания (см. ниже фор-
fejiy B4,15)), согласно B4,10) равна
П1,2 + й1-
дп.
другими словами, проекция групповой скорости на к (в данном
случае на ось г) имеет такой же вид, как групповая скорость в изо-
тропной среде (см. B!, 17)) с заменой, конечно, п на яь2.
Рис. 24,1. Направление векторов групповой скорости z>,pi,2-
Ввиду сложности выражения A1,6) величина vrpi,2, выражается
через v, и и я довольно громоздким образом. Здесь мы ограни-
чимся указанием на то, что при «квазипоперечном» и, в частности,
поперечном распространении для обыкновенной волны величина orp9j 2
согласно A1,14) совпадает с групповой скоростью
без
без учета влияния поля. При «квазипродольном» распространении
(см. A1,37) при чэфф = 0).
1 X
'2r.eiNaL
i (w ± ш^
B4,11)

322
ВОЛНЫ В НЕОДНОРОДНОЙ МЛГНИТОЛКТИВНОЙ ПЛАЗМЕ
„ ..„„.u.nurv.uiujn МЛ1Ш1Т0ЛКТИВН0Й ПЛАЗМЕ [iYl. у 'Ш
Заметим также, что для низких частот, когда справедлива фор щ
мула пт, = ._" (см. A1,24)), из B4.9) получаем
у и cos a
Из последнего соотношения следует, что для функции м3 = -Н__
'-OS а
угол между ? и-ч- зависит только от а. Далее, легко видеть, что
угол между -тт и полем Я<0> не может в этом случае превосходить 1ЕР28'.
Вектор групповой скорости, направление луча и вектор по-
тока энергии. Приведенный выше способ нахождения направления
луча как направления групповой скорости эквивалентен нахождению
луча на основе принципа Гюйгенса, согласно которому поверхность
лучей является огибающей семейства плоскостей волны. Действительно,
семейство плоскостей волны в параметрической форме (параметры kx,
к , k.) имеет вид kr' == о> (к) — — -.—гт, а уравнение огибающей
в параметрической форме есть г' — гт . Другими словами, при за-
данном к луч направлен no -jt, причем вектор ^v при заданном -г-
в силу дисперсии зависит еще от ш,
В изотропной среде направление луча совпадает, очевидно, не
только с к, но и с вектором потока энергии S — j-\EH\. В неги-
ротропных кристаллах, когда тензор г[к симметричен и веществен,
направление луча (т. е. urp) не. совпадает с направлением к, но па-
раллельно вектору S (см., например, [361, § 77). В гиротропных
кристаллах, т. е. кристаллах, обладающих естественной оптической
активностью, и в случае магнитоактивной среды (в частности, в слу-
чае ионизированного газа в магнитном поле) тензор г1к эрмитов, но
не веществен, и «нормальные волны» в общем случае эллиптически
поляризованы. Поэтому вектор S = -;~[EH\ с течением времени ме-
няет свое направление, причем его конец описывает за половину
периода, т. е. за время ~ некоторую замкнутую кривую. Приво-
дить выражение для компонент вектора S мы не будем, так как
в этом нет никакой необходимости. Укажем, однако, что компоненты
вжтора Е определяются по формулам, приведенным в § 11, а маг-
нитное поле плоской волны e'(<".'-*rt равно
Я= - rot ?= - [kE\ = я \~ Е
со ш U А
с 24] РАСПРОСТРАНЕНИЕ ИМПУЛЬСОВ 323
рри вычислении вектора потока энергии S нужно перейти к веще-
ственным векторам Е и Н, т, е. использовать Re? и Re Я. Соот-
ветствующие формулы можно найти, например, в [147]; характер
вращения вектора ясен из схематического рис. 24,2. Поскольку век-
тор $ вращается, его мгжзвеннное направление не может, разумеется,
иметь особого физического смысла. Можно предполагать, однако,
, что среднее ио времени направление S совпадает с направлением
Рис. 24,2. Вектор Пойнтинга S, средний по времени
вектор S, и вектор групповой скорости -пгр (индексы
1 и 2 относятся к необыкновенной и обыкновенной
оолнаи).
потока энергии (как ясно из рис. 24,2, вектор S направлен по оси
конуса, описываемого вектором S, и, таким образом, этот последний
никогда не совпадает с S, если только конус не вырождается в сек-
тор или прямую).
В интересующем нас случае магнитоактивной плазмы параллель-
ность S и вектора групповой скорости vrp была доказана в [147];
этот результат имеет место в произвольной однородной, непогло-
щающей линейной среде (см. [142] и [36], § 77). Вычисление век-
тора vTV в однородной среде _ проще, чем нахождение вектора S.
Таким образом, оперировать с вектором S в случае однородной
среды нет ни особых оснований, ни какой-либо необходимости (по-
этому мы выше и не останавливались па этом вопросе подробнее),
"прочем, возражать против нахождения направления луча путем вы-
числения S тоже не приходится. При этом удобнее всего сразу

324
ВОЛНЫ В НЕОДНОРОДНОЙ МАГНИТОЛКТИВНОЙ ПЛАЗМЕ
вычислять так называемый комплексный вектор потока энергии, раи_
ный S. Именно таким путем направление луча вычислялось в ра_
боте [58], па которой мы еще остановимся в § 35.
Распространение импульсов в неоднородной среде. Распр0.
странение импульсов в неоднородной среде в приближении геоме-,
трической оптики происходит так же, как и в однородной среде
с изменяющимися свойствами (квазиоднородность). Другими словами,
в каждой области среды импульс распространяется с групповой V
скоростью t»rp, отвечающей однородной среде со значениями пара- =
метров v, а и а такими же, как для данной области неоднородной
среды. Траектория луча есть кривая, в каждой точке которой на- •
правление касательной совпадает с направлением вектора г>гр. :
Сказанное ясно из самого смысла приближения геометрической
оптики и может быть формально оправдано следующим образом.
В неоднородной среде разложение B4,1) с произвольной функцией
g(k) незаконно, так как плоские волны не удовлетворяют в этом
случае волновому уравнению. Однако, если справедливо приближе-
ние геометрической оптики, можно, по крайней мере в ограниченной
пространственной области, разложить поле E(r, t) по решениям
типа B3,12). Если при этом не обращать внимания на медленно
зависящие от координат предэкспоненциальные множители, то поле
можно записать в виде:
Г с 1
Разлагая теперь ш(к) в ряд, получаем:
B4,12)
L J
rfr
B4,|3)
где кй{г) — волновой вектор несущей волны импульса.
Отсюда следует, что уравнение движения импульса имеет вид:
¦/¦
и скорость импульса, сети производные от k по г достаточно малы.
равна ф,.р = --?- —- -?¦; при этом по смыслу разложения, предпри-
нятого в B4,12), производная берется при k--=ko(r).
¦ • Если приближение геометрической оптики неприменимо, то поле Е
нужно разлагать в интеграл по собственным функциям волново] о
уравнения в данной неоднородной среде; для линейного слоя в изо-
тропном случае такими функциями являются функции Бесселя и.':и
Эйри, как это ясно из § 17. Подобное рассмотрение, необходимое,
.например, дли определения направления групповой скорости в вер-
§25]
ОТРАЖЕНИЕ ВОЛН ОТ НЕОДНОРОДНОГО СЛОЯ
325
траектории луча при его отражении от слоя, непосредственно
не проводилось. В условиях ионосферы и солнечной короны гео-
метрическая оптика неприменима лишь в узких областях, в связи
с чем рассмотрение траектория лучей вне пределов геометрикоопти-
ческого приближения малосущественно (см. также § 34).
В приближении геометрической оптики при нормальном падении
(волновой вектор k параллелен осп z) согласно B3,12) изменение
фазы волны при прохождении пути z равно
-rj th,
B4,14)
=:В;:том же приближении время группового запаздывания вдоль траек-
тории луча (is равно (см. B4,10))
§;гр / "*«¦» / costO)^,,, / *¦*...*
|f ^flll^i-i^I^^ B4,15)
где предполагается, что интегрирование вдоль луча происходит до
той же высоты г, что и в B4,14); точка г может быть, в частности,
точкой отражения волны от слоя. Формула B4,15) отличается от
имеющей место в изотропном случае (см., например, C0,10)) лишь
заменой п на ti\ti- Несовпадение направлений vIf, и вектора нормали
и отличие величины vrp от значения групповой скорости в изо-
рту
йгропной среде в B4,15) ни в чем, кроме замены п на «i,;, не про-
являются, как это ясно уже из B4,10). Нужно, однако, подчеркнуть,
идт'о это утверждение справедливо только при предполагаемой не-
зависимости свойств среды от координат х и у (см. в этой связи
§ 35). Заметим также, что соотношение Д!?го = -7?- не связано
^конкретным видом функции ф, а является общим, так как соответ-
л-Ствующее доказательство, проведенное в § 21, совершенно не за-
,{;Висит от свойств среды. То же относится к рассмотрению расплы-
/Йация сигналов, и, таким образом, результаты § 21 полностью
^Справедливы и для данного случая.
; § 25. Отражение волн от неоднородного слоя
й: Отражение волн от слоя. Углы « = 0 и а=^. Приближе-
нием геометрической оптики нельзя ограничиться даже в простейшем
-.случае, когда одна из воли отражается от слоя, достигая области

326
ВОЛНЫ В НЕОДНОРОДНОЙ МАГНИТОАКТИВНОЙ ПЛАЗМЕ
[гл.
отрицательных значений п1. Вместе с тем, в подобных условиях еще
нет обычно необходимости исследовать общее решение системы
B3,2), Напротив, как уже упоминалось в § 23 и ясно из качествен-
ных соображений, решение задачи об отражении одной из золн
может быть в хорошем приближении сведено к исследованию одного
уравнения второго порядка, а именно уравнения типа
(В
О,
B5.1)
где функции g1?r, как-то связаны с Ех и Еу. Обобщение получаю-
щихся на таком пути результатов на случай наличия поглощения
в принципиальном отношении не составляет труда. В дальнейшем
поэтому ограничимся рассмотрением непоглощающей магнитоактив-;
ной плазмы.
Если я = О
И"Р
—¦ ~ (продольное и поперечное распростра-
нение), система B3.2) строго распадается на два независимых урав-
нения второго порядка. Так, при продольном распространении
введем новые переменные:
Учитывая, что при а =- 0 (см. § 1
О
легко видеть, что
нениям:
в переменных F± система B3,2)
Каждое из уравнений B5,4) совпадает с уравнением B5,1), если
положить g-,i2=F±; в частности, если v есть линейная функция z, т. е,
v~az^-b, B5,5)
то каждое уравнение B5,4) эквивалентно уравнению ГB5,1) для
линейного слоя со всеми вытекающими отсюца следствиями
(см. § 16).
/ 71 \
При поперечном распространении /а =4-1 получим:
B5,2) Ш
=±1, B5,3)
сводится к урав-
С25,6>
ЩЩ5] ОТРАЖЕНИЕ ВОЛН ОТ НЕОДНОРОДНОГО СЛОЯ
'^{система B3,2) принимает вид:
•gii\: dz1 ' с2 l x йгг ' с2 \ 1 — и — v j x
327
B5,7)
___
т. е. уравнения разделяются и имеют форму B5,1) с g^—Ex и
Второе из уравнений B5,7) совпадает к тому же с уравнением
для изотропной плазмы, поскольку ге| —?i2_-j—щ_ Уравнение же
для Ех и при v=az нелинейно зависит от z. Однако для справед-
ливости ряда формул нужно лишь, чтобы функцию п.2 (z) можно
было заменить линейной только в области, где неприменима гео-
метрическая отгика. Выбирая начало координат в точке п1 — О,
положим
v—\±Yu ~4-аг, B5,8)
где знак (-(-) или (—) берется в зависимости от того, вблизи какой
из двух точек п~ •-— 0 ведется рассмотрение.
Тогда при условии
имеем:
B5,9)
B5,10)
и первог уравнение B5,7) сводится к B5,1) с линейной зависи-
мостью а1 от z.
Использование условия B3,19) и выражения B5,10) показывает,
что геометрическая оптика применима, если
8а
4г.«
B5,11)
sj Таким образом, если условия B5,9) и B5,И) выполнены одно-
временно, то функцию ti\{z) в первом уравнении B5,7) можно счи-
Я|ть линейной во всей области, где неприменимо приближение гео-
метрической оптики (это обстоятельство позволяет получить некоторые
важные общие формулы, на которых мы остановимся в § 30). Для
Ионосферного F-с.чоя а— 10-6н- 10, Хо -~ 6 • 103 см, и при
ti/i-Vu ~ 1 условие B5,9) означает, что z <^_ 10s~h 107 см, а усло-
ЗЙие B5,11), что z ^> 104 см, т. е. оба неравенства вполне совме-
стимы.

328
ВОЛНЫ В НЕОДНОРОДНОЙ МЛГНИТОАКТИВНОЙ ПЛАЗМЕ
i-л. v
B5,12)
где в зависимости от характ
ктера задачи К~Кг или К~К2, то урав-
нения B3,2) принимают вид [К' =¦ -т—. К"¦= —
A" rf/\.
dz2
К dz
<«2 iA + B ,
2K~i ' +
;w 2AJ + ; A dz i^T^j—2 1 ~TK~ \F-~
B5.13,
Учитывая, что в силу A1,3) и A1,26)
А + В
B5,14)
¦ = 0,
и оценивая порядок отдельных членов
¦1скать реш<
ы членов в уравнениях B5,13) и B5, И)
оказывается естественным искать решение этой системы в виде
Приближенное решение при произвольном угле я. Распадение
уравнений B3,2) на два независимых уравнения второго поряпкя Щ
при а—-0 и а = -^- связано с тем, что п этих случаях поляризация л
волны не зависит от z (т. с. Af]i2 = const). Вообще же К-=К{г) Й
уравнения B3,2) не распадаются и могут быть приведены только ^
к одному уравнению четвертого порядка для Ег или Я Здесь ~i:
целесообразно поэтому прибегнуть к приближенному решению Щ
(см. [148]; несколько другим методом этот вопрос рассмотрен в ра- i
боте [149]). Щ
Если перейти к переменным ,'.»
где
B5,15)
B5,16)
Я;:од] отражение волн от неоднородного Слоя
Жрвеличины FV удовлетворяют решениям:
dz1
К
""K ~dl'
К
)_ n
329
B5,17)
Таким образом, будет применен, по существу, метод теории возму-
щений.
Легко убедиться в том, что в приближении геометрической оптики
отвечающие нормальным волнам решения систем B5,13) — B5,14)
и B5,17) совпадают с результатами, приведенными в § 23 (в при-
ближении геометрической оптики F+ — 2Ey — '2KEr и F_ — 0).
Используя B5,15) — B5,17), из B5,13) и B5,14) получаем урав-
нения для F^:
К'
К IF"
( /С
=•(')
pin
К'
К'
X
7Г х ~
dz2 ^ К dz
К' W
B5,18)
('
Исключая в B5,17) и B5,18) соответственно F(_' и fl!', после
простых преобразований имеем:
?И=^
2К'
i2Ff = Q, B5,19)
B5,20)
- " /К ~ N| F@) — Д
Если условие Bо, 16) выполнено, то приближенное решение имеет
вид /"¦;? и получается из уравнений B5,17) или B5,19).

330
ВОЛНЫ В НЕОДНОРОДНОЙ МАГНИТОАКТИаНОЙ ПЛАЗМЕ
Для дальнейшего существенно поведение функций Клл (см. A1,2E)
и A1,27)) вблизи точек отражения г/20=1 и v{v)']' =¦ 1 ±У и. С точ.
ностью до членов высшего порядка относительно (v — с,ц) и
(v — ¦yjf') имеем:
/ sin2 а о<\^ а.
j B5,21)
Ж1
Должны положит ;^ди7
Уравнениях нужно ПОлОЖ[|ть „, =
интересен, так как ди „о-шн 9
-оТ,„, применимо приели^,
Полагая в B5,19) 'IMAl-miL
об,ади
В B5,13)_С25.20) мы
В°лны типа 2 в этих
г "^2' Но этот С-Ч'чай не
Т°Ч6К ^'-попредпо-
ическоя оптики).
Ф^*1
f получаем:
К
A",(At:
B5,22)
B5'23>
, (А, 1)/
Это уравнение имеет вид B5,1), но отличается от него членами,
содержащими Kv Эти члены порядка (~гг-\ и (-^-). т. е. в ионо-
ых условиях порядка 10~12-f~ 10'!'! {v~az а \0~~а±- 10~;).
~~а
v Эти члены порядка (~гг-\ и (-^
сферных условиях порядка 10~12-f~ 10'!'! {v~az, а—-- \0-±- 10;).
Одновременно -^ 10~J и, следовательно, члены с Кх С}'ществен1(Ы
только при nj<i 10~o-v- 10~', в то время как первому максимуму
напряженности поля отвечает значение
-[ dz
| ?«? | ?.„
•10"
ОТРАЖЕНИЕ ВОЛН ОТ НЕОДНОРОДНОГО СЛОЯ
331
Ш5]
il^'T
l||jj, C2,2) и далее). Таким образом, влияние членов с Кх ничтожно,
1|нр сводится к смещению точки, где коэффициент у g^> обращается
1^Э"нуль, на Дг ¦—0,1 —;— 1 см (для ориентировки принимаем, что
Щр^аг\ и к ничтожному изменению фазы у на А<в<—' 10""°.
С^ГИтак, вблизи точки отражения решение уравнений распростра-
нения сводится к уравнению B5,1), причем для самих полей по-
fЯвляется также амплитудный фактор —;—il— (см. B5,22)), необ-
i
ходимость присутствия которого выясняется еще в приближении
геометрической оптики B3,11).
Разумеется, этот вывод справедлив только, если соблюдено
условие B5,16), т. е. величины FV действительно являются прибли-
женным решением системы {25,13)'—¦B5,14).
Решение уравнения B5,20) имеет вид:
Щ
/fa —\)dz' \ rtz, B5,24)
йгде Fq—решение того же однородного уравнения, т. е. выраже-
ния B5,22). Согласно B5,17)
:it- ,m с2 К' dFi0]
;:далее, вблизи точек viq -— \iz\fa величина С не стремится к нулю,
; а АГ; не стремится ни к нулю, ни к бесконечности (см. B5,21)).
Шоэтому в рассматриваемом случае
!\ 2~ ,т
(здесь для простоты опущены факторы, содержащие и и sin2 я, ко-
торые обычно порядка единицы). Для обоснования соотношения
B5,26) учтем, что в приближении геометрической оптики
а в области, где ге^'ЗйО, отклонение от приближения геометрической
оптики порядка самой величины поля, т. е.
dzs
.где дЦг — -^
• значение п* при z — -? (см. результаты § 32); далее,
2" р@)
~,rz- T-"if-' <^/-4"'' и согласно B5,17) -^ F'i'J ~l^-
; откуда и вытекает выражение B5,261.

332 ВОЛНЫ В НЕОДНОРОДНОЙ МАГНИТОЛКТИВНОЙ ПЛАЗМЕ [гл. v
Подставляя в B5,24) значение f (г) из B5,26), можно видеть, чТи
( ~г
В интересующей нас области вблизи точки п\ — 0 и.моец
-) 2 ~ яг-.-^ 1; таким образом, условие B5,16) выполнено, и реше-
ние /+ является хорошим приближением, тем более, что фактически
уже в B5,27) знак < можно заменить знаком <^_.
Для волны типа 2 вблизи точки отражения v,,0 = 1, где п~2 — 0„
напротив, приведенное приближение незаконно. Действительно, как
следует из A1,3) и B5,21), вблизи этой точки С— A — г»), Л",—¦-, ,
в B5,25) F-^-j ~ ив /(г) главный член —¦-r—гл"^'-'-
Поэтому условие B5,16) не выполнено и все приближение не годится.
Это связано с тем. что как раз вблизи точки v-~ L поляризация
волны 2 резко изменяется (см. рис. 11,9). Областью sxl придется
поэтому заняться особо.
Положим в этой области
v=l-±-az, B5,28)
где
1 -•-! •"-" B5,29)
система B?>;2)
™
С* I
Далее,
аг г- 1
B5,30)
В приближении
sin* a • 2 5^5JT- • B5.31)
геометрической оптики и при условии, что
j _!_ ( I ^^ COS а
I'^^iV^^I ^^ B;3,32)
выполняется неравенство I ?*? ! _ i *- I -* w
[ ?х! f ~ I «2 [ >> 1 (при w= 1 волна 2 в слу-
ым использование приближения
?* = &. B5,33)
§25]
Причем
ОТРАЖЕНИЕ ВОЛН ОТ НЕОДНОРОДНОГО СЛОЯ
dz2
333
B5,34)
B5.35)
||ля ?^у имеем (см. B5,30), B5,34) и B5,35)):
Решение уравнения B5,36) таково:
B5,37)
B5,38)
где E(fj — решение однородного уравнения B5,33). Для оценки вели-
чины B5,38) можно положить Er0 = e~ c ; учитывая далее, что
в рассматриваемой окрестности точки г»=1 будет п% <^ 1 и поэтому
симость от
у
для
зависимость Еу от z значительно слабее (см. B5,35)), чем эта зави-
E
имеем:
a cos a
При условии B5,32) и, строго говоря,
1 B539)
B5,39)
это условие B5,32)
справедливо и для z
р
из B5,39) вытекает второе неравенство
р
B5,34); первое из этих неравенств следует из второго уравнения
B5,37). Таким образом, при условиях B5,29) и B5,32) принятое
приближение законно. Заметим, что в разбираемом случае примени-
мость приближения геометрической оптики, как следует из B3,19)
и B5,31), эквивалентна соблюдению неравенства
B5,40)
: Например, при а — 10"D, -^— 10'' см и ]/"u-~sina — cosa^ 1 усло-
ч'.вия B5,29) и B5,32) означают, что г<С^Ю6 й-«. а условие B5,40),
что 2^>=Ю4 см. В этом случае, таким образом, выбранное прибли-
жение справедливо и в области, где уже применима геометрическая

334
ВОЛНЫ В НЕОДНОРОДНОЙ МЛГНИТОА.КТИВИОЙ ПЛАЗМЕ
j ГЛ.
ОЙ ПЛАЗМЕ
оптика. При малых а положение ухудшается, но даже ри
sine. — a'~win условия B5.32) и B5,40) таковы: z<^104 см и
г^>2- 103 см. При меньших значениях а приближение уже не
может быть справедливо из-за эффекта «утраивания», связанного
с взаимодействием волн 1 и 2 в области v^sl (см. § 28).
Уравнение B5,35) имеет вид B5,1) с g2~Ey, т. е. на рассма-
триваемое решение непосредственно переносятся все результаты,
получаемые для изотропной среды.
Выше мы не только стремились показать, что в области точек
отражения можно пользоваться уравнением тина B5,1) для отражаю-
щейся волны, но и переходили в этой области к линейному слою.
Последнее связано с тем, что в подавляющем большинстве случаев
для толстых слоев достаточно ограничиться точным решением вол-
нового уравнения для линейного слоя (см. § 30). Линейная аппрокси-
мация функции tit: I (z) вблизи точки отражения недопустима практи-
чески только вблизи критических частот, когда точка «1. гОг^ — О
приближается к максимуму слоя. В этом случае, при соблюдении
условий, ясных из вышеизложенного, волны 1 и 2 также можно счи-
тать независимыми. Распространение каждой из них поэтому также
может быть рассмотрено на основе уравнения типа B5,1).
Полученными в этом параграфе результатами мы еще восполь-
зуемся в § 35, посвященном вопросу об отражении радиоволн от
ионосферы при учете влияния земного магнитного поля,
§ 26. Предельная поляризация волн, выходящих из слоя
неоднородной магнитоактивной плазмы
Введение. Некоторые оценки. При распространении электро-
магнитных волн в неоднородной магнитоактивной среде приближение
геометрической оптики неприменимо, в частности, в начале слоя при
¦о = _1_с._>о. Причина этого была выяснена в § 23 и, коротко
говоря, связана с «поляризационным вырождением», имеющим место
в вакууме или любой изотропной среде (вырождение обусловлено
тем, что в изотропной среде нормальными являются волны любой
поляризации).
Остановимся здесь на выяснении влияния области малых концен-
траций (т. е. начала слоя) на поляризацию и фазу выходящих из слоя
волн (например, волн, возвращающихся на землю после отражения
от ионосферы).
Проще всего произвести оценку того вклада, который вносится
в значения фазы волны и коэффициентов ее поляризации Klti в резуль-
тате распространения в области с малой концентрацией. Для этой
цели можно рассматривать [148] непосредственно уравнения B3,2)
с подстановкой в качестве А, В и С значений B3,21), относящихся
Г
20]
ПРЕДЕЛЬНАЯ ПОЛЯРИЗАЦИЯ ВОЛН
335
как Раз к области тх^1. Приближенное решение получающейся
системы можно найти, выбирая за нулевое приближение либо реше-
ние типа Ех'у — const е с , либо более точное решение к при-
ближении геометрической оптики. Не останавливаясь на вычислениях,
укажем лишь их результат для случая, когда -v = az (для зависимо-
сти типа v—azm, где т. не слишком велико, результат получается
такой же).
Поправки к нулевому приближению (точнее, отношение членов
первого приближения к нулевому) — порядка az и —^— . В области,
где геометрическая оптика уже применима, т. е, выполнено условие
i_
2кг
az)
¦. В верхних слоях
¦¦(см. B3,23) *), основным является член ~ :
^ионосферы это отношение много меньше единицы. Действительно,
?при а~ 10"°-н-10 и i~103 см имеем:
Ы ^1_(Ю-9-^10-10)^.
таким образом, при z >—• 104 см получим
'2naz2
An
-0,1-^-0,01 <
;и в то же время геометрическая оптика применима, так как
•v<5ri~0,l <^ 1. Отсюда следует, что поправка к фазе и отношению
амплитуд Klt г,
много меньше единицы, и, таким образом,
у lt
фаза и, глазное, поляризация волн, отражающихся от ионосферы,
в хорошем приближении получаются при применении геометрической
оптики с самого начала слоя, т. е. без учета области, где условие
B3,23) не выполнено и геометрическая оптика неприменила. Для
поляризации волн, отраженных от слоя, можно поэтому пользоваться
формулой A1,29). Объясняется этот результат просто тем, что
в начале слоя (при v —> 0) в рассматриваемых условиях верхней
*) Напомним, что условие B3,23) было получено в §23 в предположении,
. что множители типа и — 1, cos2 а, з1п2 я и т. п.'—порядка единицы. Поэтому
•при и -> 1 (область гирочастоты) и при i-?0 и а. -> ~ оценки нужно делать
более тщательно. При этом, очевидно, при а = 0 и а. —. ~ геометрическая
оптика может быть в начале слоя всегда применима, поскольку в этих слу-
чаях поляризация от v не завысит, т. е. К' =0. Уже отсюда ясно, что при
;<* -*¦ 0 и а -> -JJ- неравенство B3,23) является более сильным, чем нужно.

336 ВОЛНЫ В НЕОДНОРОДНОЙ МАГНИТОАКТИВНОЙ ПЛАЗМЕ [ГЛ. v
ионосферы разность фаз обеих волн и изменение их поляризации
настолько малы, что не представляют интереса безотносительно к тому
точно или не точно они выражаются в приближении геометрической
оптики. Например, разность фаз в начале слоя порядка ~-\—, т. е
как показано выше, обычно весьма мала. Сама же фаза каждой из
волн определяется значением rebS, которое в начале слоя близко :
к единице, так что фаза <рь2^- — z~~j~ в первом приближении не :
содержит никакой ошибки.
Неприменимость приближения геометрической оптики в начале
слоя могла бы быть существенной для ¦~~103 см при а^10~"
см. приведенные выше оценки величины —.— .
'ч /
Поскольку « = —т—.— =3,18- 109 — Щ, параметр а при -^- =
- = J и° см
порядка а — 3,18 • 109
ч-5
нужно значение
Для того чтобы в этом примере было а-—-10"
dN Q dN n , .
T7'-~r3, в то время как в /^-слое ооычно-^--^-0,1 (полутолщнна
слоя zm—¦ 100 км, М.тх— 109). В начале слоя естественно к тому лее
' 'dN „ _
ожидать уменьшения —;— . В Е-слое величина
dz
¦2%ааг 3.18 - 109Хс
2
обычно больше, чем в /-'-слое, так как волны, отражающиеся от
.F-слоя, длиннее. Вместе с тем в ?'-слое по той же причине условие
применимости геометрической оптики д^г *^ ' жестче, чем в .Г-сдое.
То же в еще большей степени относится к области ионосферы, рас-
положенной ниже f-слоя. От этой области отражаются длинные и
очень длинные волны, для которых геометрическая оптика становится
неприменимой не только из-за «поляризационного вырождения»
в начале слоя, но и в силу недостаточной медленности изменения
показателей (л (г) —-г'к(г) )ь.2 на расстояниях порядка длины волны.
Таким образом, для длинных волн вопрос о предельной поляризации
должен рассматриваться лишь как одна из сторон более общей про-
блемы. На этой проблеме отражения от ионосферы длинных и очень
длинных волн мы останавливаться не будем (ее исследованию как
без учета, так и с учетом влияния земного магнитного поля посвя-
щен'ряд работ; см."[22,.23, 121, 122, 150—157]).
Приближенное решение. Для не слишком длинных волн вычи-
сление предельной поляризации может, очевидно, производиться на
§26]
ПРЕДЕЛЬНАЯ ПОЛЯРИЗАЦИЯ ВОЛН
337
основе использования геометрикооптического приближения. Точнее,
решение можно искать в форме «взаимодействующих» нормальных
волн геометрикооптического типа. Выше при оценке роли начала
слоя для вычисления коэффициентов Kh 2 и фазы ?ll2 мы, по суще-
ству, так и поступали. Использованный метод возмущений позволяет
без труда установить критерий малости отклонения величин fCb2
и срь2 от их геометрикооитических значений. Для того же чтобы
более полно выяснить характер взаимодействия нормальных волн
в начале слоя, нужно решить задачу в условиях, когда это взаимо-
действие достаточно велико.
Вопрос о предельной поляризации выходящих из слоя волн рас-
смотрен в нескольких работах (см. [158—-162, 148]). При этом при-
водимые ниже вычисления [160] основаны на применении некоторой
системы «связанных волновых уравнений», широко используемой
также при решении других задач [149,103]. Эта система тожде-
ственна с основной системой уравнений B3,2), но иногда более
удобна. Впрочем, подобное утверждение об удобстве является довольно
условным и часто определяется только привычкой. Соответствующие
уравнения уместно, тем не менее, привести, учитывая хотя бы факт
их использования в ряде статей.
Введем вместо Ех и Еу новые функции Ех1 и В_х2:
Ех
?vl
2fa(\ — is--
B6,1)
Г,В0ЛНе 1 отвечает ниж,^ знак и вол не 2^- =Р=-к). Смь,л
производимой замены состоит в т.ч. ч« г
?у' „ еу% ,,„, же как для необыкновенной и обыкно-
¦ отношения -g— и -g— такие /ке, ич»
однако, еще'одно'преобразование, а именно вводятся функции
: 22 Зак. 1471. В. Л, Гинзбург
B6,2)

338
ВОЛНЫ В НЕОДНОРОДНОЙ МАГНИТОЛКТИВНОЙ ПЛАЗМЕ
[ГЛ. v
где Exlii— функции, определенные согласно B6,1). Для функций Hj
система B3,2) приводит к эквивалентным ей уравнениям:
dz'
a* l ~ dz ' }
причем функции («_fx?, определяются формулой A1,5) и
? = 1 г- ^ i n JkzzL ^ _L_ d/v ___
B6,4)
2 cos
Нужно заметить, что преобразование B6,2) недопустимо при К\ = (
или к\=\. Поскольку всегда К1К2= 1 (см. A1,27)), условие К\—- 1
влечет за собой равенство Ki~l и наоборот. Далее, к[ = К\—\-
4-e2N(z) ^'эфф y~2
только i
только при v ¦=
1
1, .? =
(см. A1,4)),
,9,. = 4п г (см. A1,4)),
mm- ш л 2 [ cos a)
и, таким образом, системой B6,3) нельзя пользоваться лишь в этом
случае.
Если внешнее магнитное поде // может считаться однородным,
то в B6,4) нужно дифференцировать по z только v и s. При этом
„.
I — W —/SV! -L- -^nif_ ^2 '
ds
B6,5)
Характерно, что даже при полном отсутствии ионизации, когда
г/ —0, функция Ц" отлична от нуля, если —-=- ?— =4 0. Этот
¦ dz а йг
результат вполне понятен, поскольку при v = 0
И Sill2 a + У и* Sin* Ct -f 4« A — !5K COS2 a
B6 (j)
т. е. коэффициенты поляризации и при v--— 0 зависят от г через «(г).
Система B6,3) является точной, и из нее при отсутствии иони-
зации, конечно, следует очевидный с самого начала вывод о неиз-
менности поляризации т. е. постоянстве отношения —-=
хотя в
тношения =-=i. ^^-1
хотя вспомогательные величины 1ГЬ2 и зависят от z. Вместе с тем.
ПРЕДЕЛЬНАЯ ПОЛЯРИЗАЦИЯ ВОЛН
339
§26)
уже этот пример перехода к неионизированной среде, как и упомя-
нутое требование К\шъ Ф 1, свидетельствует о том, что система B6,3)
отнюдь не всегда может считаться удобной для применения.
Задача о предельной поляризации решается на базе уравнений
B6,3) в предположении о применимости в начале слоя геометрико-
оптического приближения для уравнений
1::и!ЕёЬответствующие частные решения таковы (см. A6,11)):
Ц$Ш\ ттР» - !__й='т/<'-">¦'" ]
у
-/— \ (n-h),
B6,7)
B6,8)
|i.'.; При отсутствии поглощения эти выражения хорошо аппроксими-
руют точные решения уравнений B6,7) при соблюдении условия
dz
1 (см. A6,22)); при наличии поглощения аналогич-
:н,ые условия в несколько символической форме записываются так
iff <f(я—.'v-)i,z
(я — Ь.); ,
Уравнения B6,3) можно записать б виде;
' \ B6,9)
ft:. Принимая в качестве решений однородных уравнений B6,7) вы-
кражения B6,8), мы можем теперь найти решения системы B6,9) по
С?известным формулам, получающимся в методе «вариации постоянных».
>,;Именно, если Hi, + и 11^ _ являются решениями однородного урав-
нения B6,7), то частное решение неоднородного уравнения B6,9)
:аля П, таково:
dllly ..
B6,10)
-: wi — ~~dz~~^-+ l-~ dz ¦
Решение для П2 получается просто заменой индекса 1 на 2. Для
'решений B6,8) вронскианы равны W-i=W2 = — —
Кроме того,

340
BO.1HL
В НЕОДНОРОДНОЙ МЛГНИТОЛКТИБНОЙ ПЛАЗМЕ
[ГЛ. у
в задаче о предельной поляризации для плавного слоя можно огра-
ничиться рассмотрением волн, идущих только в одном направлении
(из слоя). По последней причине в решениях типа B6,10) с функ-
циями B6,8) в качестве HliitT нужно оставить лишь члены, пропор-
циональные п{0-2..:-. В результате имеем:
11,= —
г=-- ~ fM'-dz.
B6,11)
сражения еще не являются решениями задачи, поскольку
сами
Эти si ^ .__ ... _ , ..„..„
функции /ь2 зависят от Qlf2. Тем не менее, они могут с успехом
использоваться при слабом взаимодействии между волнами 1 и 2,
когда функции /Ь2 малы. Проще всего воспользоваться здесь мето-
дом последовательных приближений, называемым также методом тео-
рии возмущений. В применении к выражениям B6,11) этот метод
сводится к подстановке в /ь2 в качестве ГТЬ2 _,_ решений П^, +¦ Так
мы, по существу, уже поступили в начале настоящего параграфа
с применении к исходным уравнениям B3,2). В работе [1G0] прово-
дится более полное решение, но лишь для конкретного ионосфер-
ного слон. Все вычисления в своей совокупности довольно громоздки,
хотя и просты по идее. Ограничимся поэтому только указанием об-
щего хода расчетов и их результата.
Решения П1|2 ищутся в виде:
-'•?-/<«.-«,)
г
to Г
А,, = и2 (z) e г<>
B6.12)
где точка
г0
0 р
поглощения здесь и везде
выбрана вне слоя, так что
г^} = п1 (z0); при наличии
ро
л^ 1 @); ри
ниже нужно просто заменить я
ь,
Функции Alt, (г) при слабом взаимодействии могут считаться мед-
ленно меняющимися по сравнению с П™з. х.
Далее, для конкретных условий, отвечающих началу ионосфер-
ного С-слоя, как показывают оценки, можно пренебречь множите-
лями W'n^'j.n'11'- и -tj Па?-. П[, + и аналогичными им по сравнению
26]
ПРЕДЕЛЬНАЯ ПОЛЯРИЗАЦИЯ ВОЛН
341
d!l\u\..
и 2ЧТ1Ь_.
Впрочем, возможность такого
по-
от-
:%Ъенебрежения вполне естественна и без дальнейших оценок,
скольку производные jp— содержат оольшой множитель —,
?сутствующий у отбрасываемых членов. В итоге для функции яьа
йполучается уравнение
^Ёсли
> — «i) .
B6,14)
уравнение B0,13) оказывается практически таким же, как при «,=«.-,.
Но для изотропной среды результат решения уравнений известен
заранее и состоит в том, что поляризация волны остается неизмен-
ной (поэтому мы и не будем проводить здесь соответствующего до-
казательства, связанного просто с переходом от и1ш2 к Пь2 и затем
к полю Сл., „). В обратном предельном случае
\ BВ''5)
в уравнении B6,13) можно пренебречь членом с Т2 и, учитывая
±2-^-1 (я,-я,)<*г
медленность изменения уь2 с z, найти uli 2~ const e 2с ¦>
Отсюда для Льа и nli2 получаются, в частности, решения Ль2 =
:;= const и Пь2= const П^'а, + (см. B6,12)), т. е. волны Пь ^ и II3i...
не взаимодействуют. Таким образом, область взаимодействия при
определении предельной поляризации отвечает условию
; i ^ i ~ | -у IT f "а — Jli)a —JTTz ^ — "i) 1 • Bb'! 6)
: Обычно один из членов в правой части этого выражения мал по
: сравнению с другим. Так, например, для модели слоя, принятой
в [160], при />1 мггц (Х<300.«) можно пренебречь членом
• YIP ( — "^ п0 сРавнению с ~(п2—кзJ' а ПРИ / < 0,5 мггц
('•о > 600 м), наоборот, доминирует второй член.
Результаты расчета. Уравнение B6,13) имеет вид волнового
уравнения в изотропной среде (см. A6,3)), и его исследование может
быть доведено до конца. Это и сделано в 11 СО] для случая, когда
гц — п{~--constе*:, 4'--const и ).0<1300 л.

342
ВОЛНЫ В НЕОДНОРОДНОЙ МЛГНИТОАКТИВНОЙ ПЛАЗМЕ
(ГЛ.
Результат расчетов состоит в том, что предельная поляризация
выходящей из слоя волны 1 или 2 равна
М =к _KS%
B6,17)
Здесь Г (jc)—гамма-функция и Kifi(zb)— обычные коэффициенты
поляризации (см. A1,25) или B6,1)), в которые нужно подставить
центрации э
значение
условия
концентрации электронов на уровне zb, определяемом из
* i4) = -?г («2 Ш - «1 (*») )• B6,18)
Для конкретного примера [160], относящегося к началу Е-слоя и
\0 = 300 м, в области взаимодействия | Ч&* | -=; 2 ¦ Ю""8^, гя:2- 10~'!
0,973 (для более коротких волн значение jl'j еще меньше,
F \ F
— еще ближе к единице!. Если же — =—1,
& /а
и —
8
а отношение
то
, = *,, г = *№(**)• B6'19)
Таким образом, в рассматриваемом примере для волн короче 300 м
.предельная поляризация практически такая же, как в приближении
геометрической оптики для среды с параметрами, отвечающими точке zb,
определяемой условием B6,18). Эта точка комплексна, так как в на-
чале слоя поглощением, вообще говоря, нельзя пренебречь и везде
выше вместо я,— п1 фактически фигурирует разность (п — иJ —
— (я — iv.)v Однако для достаточно коротких волн (здесь для волн
с Хо < 300 м) опять имеет место упрощение и координата zb может
считаться вещественной- Более того, оказывается, что точке zb отве-
чают весьма небольшие значения параметров v и $. Это и понятно,
так как в начале слоя v^\ и s<^[, В итоге получается почти
тривиальный результат: в качестве /<Ь2=- K^}z нужно взять предель-
ное значение
и sin2 a-T-Yч2 sin4 <г Л-4и cos2 a
B6,20)
вытекающее из A1,2э), B6,1), B6,6) при v — Q и s = Q.
Другими словами, в конкретных условиях, рассчитанных в [160]
до конца, приближение геометрической оптики фактически приме-
нимо и для вычисления поляризации в начале слоя, К такому выводу
§27]
ПОЛЕ ВОЛНЫ, КОЭФФИЦИЕНТЫ ОТРАЖЕНИЯ И ПРОХОЖДЕНИЯ
343
можно было бы прийти уже на основе оценок, приведенных в на-
чале этого параграфа. Мы осветили тем не менее путь более по-
дробного расчета, имея в виду методическую сторону дела и воз-
можность подобрать другие примеры, в которых взаимодействие
более существенно. В ионосферных условиях,, в области взаимодей-
ствия B6,18), все же, по-видимому, всегда г1 =¦—~—if- <=t'L s =
= -—- <C-. U и значение предельной поляризации определяе-тся только
земным магнитным полем, т. е. величинами а и а. Отсюда ясно, что
экспериментальное определение предельной поляризации не может
служить источником новых сведений об ионосфере (поле fr в ниж-
ней части ионосферы известно, разумеется, с достаточной точностью).
В случае солнечной короны, напротив, магнитное поле плохо из-
вестно и измерение предельной поляризации могло бы быть очень
интересным. Здесь встречается, однако, другая трудность — она свя-
зана с отсутствием информации о характере поляризации или типе
волны до достижения ею «границы» короны или, точнее, области
взаимодействия. Не исключено, тем не менее, что из дополнитель-
ных соображений можно будет иногда считать выходящую из короны
волну обыкновенной без примеси необыкновенной или наоборот;
измерение поляризации такой волны позволило бы получить ценные
сведения о магнитном поле в короне на «уровне взаимодействия».
§ 27. Поведение поля волны, коэффициенты отражения
и прохождения при наличии особенности у показателя
преломления
Введение. Особенности (полюса) у показателя преломления.
Одной из характерных черт неоднородной магнитоактивной плазмы
является возможность обращения показателей преломления ль2 в бес-
конечность в условиях, когда электронная концентрация Л' {г}
остается конечной. Действительно, как об этом уже говорилось,
при данном значении a = —!f < 1 будет п\ —» оо при v —> г>ко =
ты2 1 — и cos%'
±же*- А',_ а -
если же
1, то
при
. _ Ход кривых ill oOv) в районе полю-
ш»- и coss а — 1  *, -\ / i
:Сов ясен из рис. 11,3; И,6; 11,8 и 11,10. Величина п\ может иметь
.полюс, в частности, в простом случае поперечного распространения
. («= -к-), когда волновое уравнение для волны 1 имеет вид (см. B5,7)):
?-и?^Е,= 0.
У(\—У)
I — а — v
С27.1)

344 волны в неоднородной магнитолктивной плазме г...
Отсюда или ,и приведенного общего выражения для vla> ясно, Что
sr.
to
со
^
"
B7,2)
-- <-
-nl- полюса нет (при а->0 параметр будет i'm —j--
раметры v и а в виде v = —5- и
¦(п ¦ ¦-'• -•""-" -ю ~"" Г-ГТГТБл ^ J •
но получающаяся в этом пределе прямая v = 1 отвечает плаз-
менной волне; см. § 121. Если з*0 или я ф ^, система волно-
вых уравнений B3,2) не разделяется строго на даа уравнения вто-
рого порядка, но для достаточно протяженного слоя такое разделение
обычно все же может быть эффективно произведено в хорошем
приближении (см. § 25). Исключение составляет, во-первых, область
малых концентраций (а—>0), рассмотренная в § 26. Вопрос о по-
люсе функций «1,з для этого случая мало интересен {v\m —> 0 только
при й~->1; кроме того, в начале слоя обычно велика роль соуда-
рений и полюс расположен далеко от вещественной оси; см. ниже).
Второе исключение, когда невозможно ограничиться исследованием
уравнения второго порядка, имеет место при с. —>0. Этот случай,
соответствующий эффекту «утраивания» сигналов, рассмотрен в § 28.
Здесь же в силу сказанного можно ограничиться исследованием
уравнения типа A6,3):
S + ЙффК;О ^ = °. B7,3)
где Р — некоторая функция, связанная с полем волны Е (см., на-
пример, B5,22), B5,23) и B5,4)).
В магнитоактивной плазме при а = -^ имеем г'Эфф==(«— w)I.
или при отсутствии соударений ?''Эфф —Яь при других углах а, как
указано в § 25, также можно обычно положить г'Эфф = (п — ir-)\j. Урав-
нение B7,3) с функцией ='9фф, имеющей полюс, интересно и для
изотропной плазмы при наклонном падении на слой волны с векто-
ром Е, лежащим в плоскости падения. В этом случае (см. A9,22) я
A9,23))
— ,' @)
— «in 6 {г
6 {г) Ре <
B7.4)
к 27]
поле волны, коэффициенты отражения и прохождения
345
При отсутствии соударений эта функция г',фф —еЭфф имеет полюс
в точке, где г = 0, Например, для линейного слоя =' = — az — is
при е' @) = 1 получим:
— лг — is — sin8 60 —14
7—
B7,5)
1; В изотропной плазме при нормальном падении
'¦::': еэфф~ * —' шо[„-,\эфф(.г)]
fii, следовательно, при конечных значениях концентрации N и ве-
Нцествешюм z функция е' не имеет полюса. Для других же сред
^.проницаемость t' при отсутствии поглощения имеет полюс- и в изо-
тропном случае (см., например, выражение B2,18)).
>... Итак, для решения ряда задач о распространении волн нужно
^исследовать уравнение B7,3) с функцией ^фф(г), имеющей полюс.
><При этом очевидно, что полюс лежит на интересующей нас веще-
Кствешюй оси г только при гэ&ф = ?Эфф, т. е. для вещественной
^функции =зфг(,. Если же в плазме учитываются соударения, то по-
люс е
'яфф
отвечает комплексным значениям z (см. B7,5)). Для маг-
нитоактивной плазмы при наличии соударений (п —1''-)\<)
4AV() ' {\isfu
{\-isf-u.
со при*)
B7,6)
где в самом общем случае плоскослоистой среды
эфф'
Поскольку при учете соударений на вещественной оси г все ве-
личины конечны, может показаться, что обсуждаемая задача не имеет.
по сути дела, никаких характерных особенностей. Это, тем не
менее, не так. При наличии у функции sV^.?) полюса первого по-
рядка проходящая через сингулярную область волна, как оказы-
вается, ослабляется даже при s= -~ ->0. Кроме того, при малых
значениях s волновое поле в области больших значений I г' I ведет
себя весьма своеобразно (в этом мы уже убедились в § 20). Таким
образом, вопрос о распространении волн в условиях существования
«резонансной области», т. е. полюса функции е' , действительно
заслуживает специального разбора (эта проблема в различных ее
аспектах рассмотрена в [221, § 79 и статьях [130—132, 167—169].
*) См. общее выражение A1,6) для (л — "О? 2- К формуле B7,6) можно
сразу прийти также, учитывая, что значениям (п — /x)j, = со отвечает об-
ращение в нуль знаменателей в выражениях для Л, В и С в исходном.,
уравнении A13)

346
волны в неоднородной магнитолктивной пллзмв
Для
[гл.
Строгое решение для слоя г' =__?__ ч
¦>¦»«««¦ <ФФ(-). обладающих пол^ом> ?Н?ш ^ "—Рь.х
Г0С РеШСН- -Ра-ощееся е ж^^™^^
,97 т
•общее решение уравнения B7,3) уже приводилось в конце § 17
и имеет вид:
F = С,
B7,8)
i Г 4 [IS' 1^.°>
иJ 1
Если постоянная g вещественна и -s?>-r, коэффициенты rj 2 ком-
плексны и волны являются бегущими в противоположных направле-
ниях. Обе эти волны независимы, и, таким образом, в точке z~~ О
или ее окрестности никакого отражения не происходит. Функция F
при z-—0 конечна и стремится к нулю при 5—>0. Для изотропной
среды при нормальном падении в качестве Р в B7,3) можно вы-
брать само поле Е, причем г' равна комплексной проницаемости
данной среды г'. Для такой среды с g > 0, как мы видим,
наличие полюса второго порядка у г' не приводит к появлению
особенности у волнового поля. Положение изменяется, если в B7,8)
g < 0 и один из корней г\» отрицателен. Функция F при s—>0
имеет теперь особенность в точке z~Q (если г1 > 0 и г, < О,
то особенность имеется, конечно, только при С2 == 0), Эффект
разбухания компонент поля Ег и Еу при наклонном падении
волны на изотропный слой (см. § 20) связан именно с этим случаем.
Действительно, в § 20 функция г^АД имела вид B7,5), т. е. при
Sri -¦>
>0 и .s-
близка к B7 7)- -'
'' "эфф —
s -> 0 получим /-j:
= ! sin 6/>| =|_i!l
is
Отсюда при
"¦¦'--. Далее, [?z[ —
(см. A9,21)) и, таким об-
разом, при ,s —> 0 будет Е2 ~ --^- (постоянная равна С2 — 0 в силу
требования об исчезновении поля для z —> со). Этот результат
для Ег совпадает с полученным в § 20 (см. B0,19)), но, разумеется,
соответствующая постоянная может быть определена лишь при
исследовании решения во всей области (это как раз и сделано
в § 20).
Строгое решение для слоя 5эфф — ^Z-i • Физическая интер-
претация. Для проницаемости г'~—{a~\-bz)m с тФ—2 уравне-
ние B7,3) имеет решение [117, 118] в бесселевых функциях.
11:27] поле вотны, коэффициенты отражения и прохождения 347
jig?частности, если /
Ш. е' = _11_, B7,9)
Щл 2^ IS' V > /
Ддбщее решение уравнения B7,3) имеет вид (см. [125, 167]);
P = B + 's)?{ciM1)Bfi-(z + ^)^)^C2Hf)Bg-B-f-'5)T)f , B7, 10
'где Н\ и Hi — функции Ганкеля и сразу же положено а3фф —«
,;"и F = Еху = Е, т. е. имеется в виду задача о распространении волн
¦:в изотропной среде и притом нор-
<: мально к слою. _.,., i
Выберем перед корнем У z знак
8;:таким образом, чтобы Уz > 0 при
:<:г > 0 и У ~z — IV \г\ при z < 0
? (т. е. 0<arg {z-{-ts)<Ti). Тогда
(из требования конечности ноля при
, г—>—so приходим к выводу о не-
¦; обходимости в B7,10) положить "^~_
::С2 = 0. При \г, '.^>1, как известно,
V ъ',~ рИС| 27,1. Слой е(г) = -?-.
Другими словами, при г < 0
остается только затухающее реше-
ние, как это всегда имеет место в области =<0 (рис. 27,1). При
i_ |
больших положительных значениях z, когда 1g (z-t-isJ ] 3> 1, по-
лучим;
Пайщице* Зсля-'
Е « С, |/i B -i-is
г+")'ч'-т1),
B7.10а)
т. е. имеется волна, бегущая из области z = со к началу коорди-
нат z ¦= 0- Никакой отраженной волны здесь нет, при г —> — со
поле равно нулю, и, следовательно, волна полностью поглощается
в районе начала координат z = 0, где при s = 0 имеется полюс
проницаемости г' (z).
При igKz-^isf-'l-^l имеем:
р [2g (z -г-is)''1]
— ^ e'w, B7,106)
т. е. поле конечно.

348
В01НЫ В НЕОДНОРОДНОЙ МАГНИТОЛКТИВНОЙ
ПЛАЗМЕ [гл_ ir
отражения не мо.л.а„,
и вещественное поле равно
:,—.~~$тш1 (см. B7,10 6)). Если же s—>0, отражения по-прежнему
нет, потому что поглощение не исчезает и при $ —> 0. В самом деле,
при малых ^ полные потери будут:
Г _
~?л s™2 <<
т. е. поглощение не зависит от s и в этой связи, естественно, не
исчезает и при s-->0**).
Здесь возникает все же вопрос о том, что будет, если положить
s=0 с самого начала. Поглощение энергии при этом происходить
не может и становится непонятным, куда уходит энергия падающей
волны. Ответ заключается в том, что при s--=0 физически не оправ-
дано решение задачи о распространении волн, как стационарного
процесса. Действительно при $ =—() в районе полюса а стационарном
состоянии должна скопиться бесконечная энергия, приток же энергии
в единицу времени конечен. Таким образом, нужно рассматривать
*) Вблизи полюса показателя преломления п производная — велика, и
dn
п
него.
>• со.
(см. 11,22) вблизи полюса выполняется даже
Это связано, конечно, с тем, что длина
!1Ы
__ „^липидпан -г; велика, и
.поэтому, на первый взгляд, может показаться, что здесь геометрическая
оптика становится неприменимой и должно иметь место отражение, Факти-
чески же критерий ^~
лучше, чем вдали от
равна >. — — ->• 0 при п
**) Этот результат соответствует тому хорошо известному факту, что
полная энергия, поглощаемая затухающим гармоническим осциллятором иод
действием силы с непрерывным спектром (т. е, площадь резонансной кри-
вой), при слабом затухании не зависит от декремента затухания. Условие
малости поглощения в приведенной в тексте выкладке использовано при
замене пределов в интеграле на ~«5 и замене поля Е на постоянную Е (г — 0);
такая^операция законна, поскольку
6>0 Ь
« 27]
ПОЛЕ ВОЛНЫ, КОЭФФИЦИЕНТЫ ОТРАЖЕНИЯ И ПРОХОЖДЕНИЯ 349
^переходной процесс, при котором энергия падающей волны будет
Гвсе время накапливаться вблизи полюса и отсутствие поглощения
гулять не явится парадоксальным.
'¦'§¦¦¦ В физических задачах переход к отсутствию поглощения целесо-
образно обычно понимать как некоторый предел, осуществляющийся
sfiipii стремлении поглощения к нулю. Именно в этом смысле мы и
Сбудем понимать утверждение об отсутствии соударений. Наличие
йв этом пределе не равного нулю поглощения является следствием
^некоторого резонанса и после всего изложенного представляется до-
статочно ясным (см. также ниже).
2 -. В работе [LG7] решена задача о про-
B7,11)
хождении и отражении волн для слоя с
>,когда при s~>0 имеется не только полюс г:с = 0. но и нуль
&
Решение у равнения B7,3)
с такой проницаемостью
е' = =' выражается в ги-
пергеометрических функ-
циях определенного типа, на-
: зываемых иногда функциями
Уиттекера [128]. Исследо-
¦ вание показывает, что при
падении волны на полюс
слева — со стороны пуля
функции г(г) (см, сплошные
стрелки на рис. 27,2), мо-
дули амплитудного коэффи-
циента отражения \RC\ и амплитудного коэффициента прохожде-
ния I D()' равны (s ~> 0)
|/?oj,= l— e~*~^, ID0!=rT^iT. B7,12)
: В районе полюса поглощается, очевидно, относительная доля энер-
гии | Аа ]2 = 1 — ¦ /?0 р —; Ов I2 > 0. Если расстояние между нулем
А
Рис. 27,2. Слой t (z) = gi 4- -j- ¦
z0 = .— -;г и полюсом
= 0 велико, так что -—
то ; /?0 j = 1, ] Dq j = 0 и | Аа | = 0. Этот результат вполне понятен —
между ' нулем и полюсом функция » (г) < 0 и волна затухает;
поэтому поглощение, происходящее при s—>0 лишь в полюсе, может

350
ВОЛНЫ В НЕОДНОРОДНОЙ МАГНИТОАКТИВНОЙ ПЛАЗМЕ
[гл,
ВНОЙ ПЛАЗМЕ
быть сколько-нибудь заметным только в случае близости по-
люса к нулю. При gg-^О полюс и нуль исчезают, и |/?о|--*о
\D(j\->¦ 1 и 1А0\—*0. Наконец, из B7,12) ясно, что доля поглощае-
мой энергии
максимальна при 30 — 1п2 = 0,6931; в этом случае в резонансной
области поглощается V4 падающей энергии.
Пусть теперь волна падает справа — со стороны полюса (см.
пунктирные стрелки на рис. 27,2). Тогда
B7,14)
При #1~>0 функция B7,11) переходит в B7,9), в согласии с чем
в этом предельном случае не только [/?м| = 0, но и ]Do;j —0, т. е.
вся энергия поглощается в районе полюса. Коэффициент прохожде-
ния jAol. естественно, очень мал и при gt Ф 0, но достаточно боль-
шом расстоянии между полюсом и нулем функции г (z). С другой
(о .
при -я—'— <S' 1 1
волна «не успевает» поглотиться в районе полюса и свободно про-
ходит через эту область (\D№\—.> 1). Заметим также, что полученное
равенство JDcol = |Z?oi Бе случайно, а является общим для всех
задач такого типа в изотропной среде, так как следует из теоремы
взаимности''').
Полюс функции (я— iK)%2 B слУчае магнитоактивной плазмы.
Обратимся, наконец, к основной интересующей нас здесь проблеме:
влиянию полюса функции (и — iv.)j,, на распространение волн в маг-
нитоактивной плазме. Как уже указывалось, если исключить из рас-
смотрения область малых углов а, картина распространения воли
при наличии полюса может быть выяснена на примере поперечного
распространения [168. 169]. Соответствующее уравнение B7,1) для
линейного слоя v-= аг при отсутствии поглощения принимает вид:
РЕ- ' -; + iii1^)?_r^0, B7,15)
— 1 р = 0 в точке via =1 — и, где
где р = _^_ ±о ,
«i—>сс; см. рис. 27,3).
*) В магнитоактивной среде теорема взаимности в ее обычной форме,
ще говоря, несправедлива. Об обобщенной теореме взаимности, npir-
ж в магнигоактивной среде, речь пойдет в § 29.
ПОЛЕ ВОЛНЫ, КОЭФФИЦИЕНТЫ ОТРАЖЕНИЯ И ПРОХОЖДЕНИЯ
351
1|271
!??? Сопоставление выражений B7,11) и B7,15), а также рис. 27,2
§••'27,3, указывает на большую близость функций а' (. в обоих этих
!Цгучаях до тех пор, пока можно не обращать внимания на второй
•!йгравый) нуль v[?' функции п\. Последнее представляется законным,
ййли расстояние между этим нулем vW — 1 4-V« и полюсом
Sik>=1—а достаточно велико
v-ji'o сравнению с длиной волны -<—- ^v/
У для линейного слоя v = az это рас-
5Гстояние равно Дг= ^—'—- =
Итак, отвлечемся вначале от рас-
смотрения нуля u(jj> и тем самым
будем считать, что волна может
уходить в область больших значе-
ний v на рис. 27,3 (того же можно
достичь, если слой не является
линейным и максимальная концентрация Л'Шах
2М'
27,3. Функция «=(«) при а =
нем меньше, чем
— = 1 -L- Yи I, Тогда в извест-
? соответствующая точка уЦ> = -
-ном приближении можно воспользоваться результатами B7,12) —
|{27,14) для слоя B7,11) с заменой 4~>ii^f-^. g\ ->^^t.l—}
••и г—>С (при такой замене полюс v\:OD функции п\ и ее левый нуль
y^io'^l—yu^^^'-f-l —и, Z{<)^ ~ — У«('—Vй) совпадают
'¦с полюсом и нулем функции B7,11)). В результате получим:
0\ = \
| Do ? = е-<« A -
\АГХ р = 1 — e~s
\ B7,16)
Поглощаемая в районе полюса энергия при падении волны слева
(со стороны малых значений v) по-прежнему, конечно, достигает
максимального значения 1ji при о0 = In 2.
Модули коэффициентов отражения и прохождения для доста-
точно протяженных слоев, а обычно в хорошем приближении и для

ВОЛНЫ В НЕОДНОРОДНОЙ МЛГНИТОАКТИВНОЙ ПЛАЗМЕ
352 „ „ „ьидиигиднии МЛГНИТОАКТИВНОЙ ПЛАЗМЕ [ГЛ. у
более об!.цего случая могут быть получены методом фазовых инте-
гралов. Несколько замечаний об этом методе будет сделано в § 28
Здесь же укажем только результат [169] в применении к уравне.!
нию B7,15).
Если не учитывать отражения от второго нуля »^>, то выраже-
ния для \R\ и \D\ имеют вид B7,16) с
чп =.
я,,
B7,17)
^
Комплексная плсслосгт
чеши ?
Рис. 27,4. Контур интегрирования в выражении
B7,17), причем контур нужно обойти два раза
(двулистный характер поверхности на рисунке
не отражен).
(рис. 27,4) ?). Стягивая контур интегрирования к отрезку веществен-
ной оси между точками CiiT и v», можем также записать (делается
замена ; = — У~п{\ —Yu)fl):
ао = — 2/p / «jrf; =
б-)
= 4«Tp(l -/«)A +Y~u)\f j/(> -*2) (l +-=?§¦**) dt.
B7,18)
Если йо>1, то коэффициент |/?oj=l—e~':» очень близок к еди-
нице. Интерес поэтому представляет случай, когда 80^1. При
р = — 3>> 1, т. е. для толстого слоя, это может иметь место только
*) Необходимость обходить точки -_\$' и *т два раза связана с анали-
юстью функции Л| (О лишь на ят-лиг-™^» r.^-.
димость обходить точки -}?' и *т два раза связана с анали-
тичностью функции Л| (С) лишь на двулистной поверхности; на рис. 27,4 это
обстоятельство не учтено.
? 27] ПОЛЕ ВОЛНЫ, КОЭФФИЦИЕНТЫ ОТРАЖЕНИЯ И ПРОХОЖДЕНИЯ
353
||ри и — ~^-<
j; 1. Тогда выражение B7,18) принимает вид:
о0 = 4 •--«•' / /1— ^-=3,5 —и", «<1, B7,19)
0 са ,1 са
так как
"^¦¦(i:
^ 0,875 (Г(х) — гамна-
функция). В то же время согласно B7,16) при а <^Г. 1 получим
са
Результат B7,10), по-видимому, более точен, несмотря на прибли-
женный характер метода, приводящего к формулам B7,18) и B7,19)
при сближении точек йо} = — Уа(| —-Vй) и С™. Это'заключение
можно сделать по следующей причине. Формула B7,16) для слоя
типа B7,11) получена в результате точного решения волнового урав-
нения. В то же время применение общего выражения B7,18)
j = —2if> Г
i B7,11) опять дает эту же формулу B7,16).
|'|Гаким образом, видимо, для рассматриваемых задач и им подобных
Цметод фазовых интегралов фактически позволяет получить точные
У ^формулы для | R | и | D ].
ШиЖ Второй вывод, который можно сделать, состоит в том, что
|м'йзамена слоя B7,15) на соответствующий слой типа B7,11) приводит
Щпо крайней мере, при и <С 1) к весьма близким выражениям для 8„
*;(замена коэффициента 3,5 в B7,19) на коэффициент ж = 3,14 в B7,16)
рпри «<?; 1).
,;;; При учете отражения от второго нуля «ю = 1 -{~У и == 'Ч) +1 и-
|^о' ~ У "и (l — Y~u) метод фазовых интегралов приводит к формулам:
— е--») sin2 S,
B7,20)
г Х
;Где о0 по-прежнему определяется выражением B7,18).
¦ 23 Зек. 117!. В. Л. Гинзбург

354
ВОЛНЫ В
НЕОДНОРОДНОЙ МАПШТОЛКТИВНОЙ ПЛЛЗ.ЧЕ
[Г-'l.
Если расстояние между полюсом
из B7,20) получается,
Сх — 0 и нулями ilo"'
велико
конечно, правильный
результат R0 = g'l
Из B7,20) получается правильное значение R0 = e 'l и при и-->.о
когда среда становится изотропной и имеет место полное отражение
от слоя е=1—v. Этот результат не вполне тривиален, поскольку
метод фазовых интегралов не может, вообще говоря, считаться при-
годным при сближении особых точек.
При и <?! I (см. B7,19)) получим:
1
1.75-
(
B7.21)
""" 2 ¦ j
Коэффициент отражения \Rg\* как функция о0 в этом приближении
изооражен на рис. 27,5. Минимальное значение |/^Р равно пр„!
'-" близительно 6о9-о
-/г ,т
Рис. 27,5. Коэффициент отражения | Ro [2 в
зависимости от параметра 50.
%, т. е. в ре-
зонансной области теряется
максимум 35 9-6 падающей
энергии. При неучете же
отражения от второго нуля,
как указывалось, погло-
щается не более 25 96 за-
дающей энергии. Сказанное
относится к предельному
случаю у—>0. При s Ф 0
расчет также может быть
проведен, причем в методе
фазовых интегралов при
полное поглощение
о -^ х пилное поглощени
просто складывается из вычисленного выше резонансного поглоще-
ния и поглощения, испытываемого волной на пути до точки отра-
жения Uo ¦ и обратно.
Для угла а Ф -?- до тех лор, пока можно пренебречь взаимодей-
ствием между нормальными волнами, задача об отражении и про-
хождении волн при наличии резонансной области отличается при
разных а лишь видом функций п-г r,(v, a, s, а) в волновом уравнении
типа B7,!). Метод фазовых интегралов приводит при этом к ре-
зультатам B7,17), B7,20) с заменой n1lv, и, H---JJ- на Hj,j(w, «> а).
Механизм резонанса. Эффект «разбухания» поля в магнито-
активной плазме. Поглощение энергии вблизи .полюса функции s'
называлось выше резонансным, по сути дела, лишь по аналогии
с резонансным поглощением гармонического осциллятора. В дей-
271 ПОЛЕ ВОЛНЫ, КОЭФФИЦИЕНТЫ ОТРАЖЕНИЯ И ПРОХОЖДЕНИЯ
355
сТВцтельности же для реальных сред здесь имеет место не аналогия"
одно и то же явление, изучаемое в разных условиях. Особенно
л од
•просто это увидеть для изотропной среды, состоящей из совокупно-
сти гармонических осцилляторов с собственной частотой ю когда
, ; (см. B2,18)). Если изме-
j r j ш)
' = » — i ~ 1 -+- ¦
)
дя'гь частоту падающего излучения ш, то поглощаемая осциллято-
рами энергия з?2 изображается в зависимости от га резонансной кри-
const E2
вой т~.,—~Гг (принято, что (со—- ojj) <jj^(i>.). Пусть теперь
частота ю постоянна, но собственная частота u>i меняется в зависи-
мости от координаты z. Ясно тогда, что результат Судет такой же,
как в предыдущем случае, только резонансная кривая «растянется»
не в шкале частот ш, а вдоль координаты г. Дли осцилляторов такая
постановка задачи несколько искусственна, но в неоднородной маг-
нитоактивной плазме именно с ней приходится иметь дело. Роль
, /~Т«2Л' (г)
собственных частот при этом играет частота <оо = у — .
В полном согласии с этим в точках «ую, где nf, 2—>со, как раа
появляются плазменные волны (см. § 12).
При переходе к изотропному случаю ^i.2a»->l. и плазменная
волна существует только при v=l. Для нормального падения на
изотропный слой плазменная волна, однако, не возбуждается. Поэтому
резонансный эффект в изотропной среде и имеет место только при
наклонном падении волны с Ег Ф 0 (см. § 20).
В магнитном поле плазменная волна в окрестности точки «i^m
может при лфО возбуждаться и при нормальном падении. Это
снязано с тем, что (см. A1,28))
С = — i
a v
uv соз 1 sin а
11. — A—V) — til1 COS2 а х~Т~ и — ^1—^ — utl COS2 а у'
;и, следовательно, в большинстве случаев Ez Ф 0 и при нормальном
{Падении (исключение составляют обе нормальные волны при а = 0
:^-^-^, В частности, при а = -^г для
"и обыкновенная волна при
необыкновенной волны Е, Ф
0, Е.,—0 и
F
B7,22)
-z— ?i — A — /s) A — is — -u)
где учтено поглощение (см. A0,20)),
Итак, из физических соображений ясно, что эффект «разбухании»
волнового поля, имеющий место в изотропной плазме вблизи точки
5 = о (т. е. при t)=yl) для наклонного падения волны с Ь'гф0,
в магнитоактивной плазме, должен наблюдаться вблизи точек п\:2->оо
23*

356
волны
НЕОДНОРОДНОЙ МАПЩТОЛКТ1ЩНОП ПЛАЗМЕ
[ГЛ. ?
(т. е. при owi^x) как при нормальном, так и при наклонисщ
падении. Далее, очевидно, что «разбухание» при прочих равны*
условиях тем больше, чем ближе точка ni,2 —> 'х> к точке отражения.
При нормальном падении волны 1 в точке отражения п\ ¦— о и
-oi<5^~ 1—У и. Для наклонного падения точка отражения, onp-:-ie-
ляемая условием «b2 = sin90, лежит ниже, чем при нормальном па-
дении, и, следовательно, эффект «разбухания» ноля менее выражен ::).
В условиях ионосферы и короны, т. е. для толстых слоев, точки
^ и v и 1 б ругу лиш б
и vl0 или 1
%
р и короны, т. е. для толстых слоев, точки
,2со l0 или 1%= 1 близки друг к другу лишь при небольших
значениях и. В то же время при и—>¦() эффект для нормального
падения исчезает, так как Ег~>0. Для наклонного падения эффект
при и —* 0 становится, конечно, таким же, как для изотропной плазмы.
Такова довольно ясная в физическом отношении картина.
Получение же количественных результатов при наличии магнит-
ного поля в общем случае остается еще нерешенной задачей. Для
нормального падения и а = ¦=¦ вопрос о «разбухании» поля вблизи
точки i>ict—1—и может быть для линейного слоя выяснен путем
решения уравнения B7,15). В самой окрестности полюса это урав-
нение эквивалентно волновому уравнению для слоя B7,9), т. е, можно
„ - i и(\ — и) и (I — и) т, ,-_ . „,
положить 2а — ,~J—~у—-да—~—-. При этом, как ясно изBслО),
поле Ех в самой точке полюса конечно. Но отсюда и из B7.2.1)
следует, что в полюсе
где поглощение считается малым (.s2 <<S^ 1) и положено u-\-v—1 — й;'
(при s = 0 аг' = -)¦
Этот результат [168] вполне соответствует формуле B0,19) ля
изотропной плазмы. Постоянная С в B7,23) стремится к нулю при
а— >0 (это сразу ясно уже из формулы B7,22), согласно которой
при « = 0 будет ?^ = 0), Далее, как следует и из соответствующего
расчета для изотропной среды (см. B0,14)), и из более общих
соображений, постоянная С должна определяться множителем
1? /
Г5?
B7,24)
SCbLTh^ И "^ СКа3аШЮе ЛУЖДае'СЯ В ИМе«Н0М ,1.0ИИИ
-™ (сМС§Н!9СHЙПаДе!1[{е" точек «ра-жен- Для луча „ для волновой нор-
§28]
ЭФФЕКТ «УТРАИВАНИЯ» ОТРАЖЕННЫХ СИГНАЛОВ
357
Случай земной ионосферы. Для ионосферных слоев, где--эфф^.1О3
я магнитное поле есть Я<й ¦-—'0,5 эрст, эффект «разбухания» поля
ничтожно мал. Дело в том. что значение а ¦¦=—^- нельзя сделать
очень малым, поскольку частота ш не должна превосходить крити-
ческой частоты слоя о)к, иначе полюс функции п\ вообще будет
08 (Х> 20 30 м) и при
ческой частоты слоя о)к
отсутствовать. Для F-слоя 2-/к-=
<°' 5 ) ~> 1
106
0,5 эрст) и~>, 10
фу п\ у
^ 108 (Хк>> 20 -i- 30 м) и при
-. При и. <С 1 согласно B7,13)
И B7,24)
Отсюда при
C~?r1lT5^"\ B7,25)
Отсюда при ю^Ю8, а <—¦ 10~' и <»//—'8- Ю6 получаем С ¦-— е~ т>' .
В изотропной же плазме эффект «разбухания» поля мог быть более
значительным только потому, что, уменьшая угол падения 60, что
эквивалентно уменьшению и, можно было сблизить точку отражения
л(г„) — sin 00 и полюс функции Е,фф. расположенный при иBсо) = 0.
Таким образом, для земной ионосферы, по крайней мере при
регулярном ходе ионизации, разбухание поля вблпзу точек я12 —> со
не играет никакой роли, В условиях солнечной короны, когда
частоты ш выше, а поле Н^ может быть очень слабым, этот эффект
иногда мог бы оказаться более существенным.
Учет пространственной дисперсии. Компонента поля волны Ez
и энергия поля в точке п\ г—>оо становятся конечными не только
при учете соударений (т. е. при s Ф 0 в формуле B7,33)), но и
при учете пространственной дисперсии. Положение здесь по существу
такое же, как в изотропной плазме (см. § 20). Различие состоит
лишь в том, что при наличии магнитного поля плазменные волны
выступают не как изолированная ветвь волн, а непосредственно при-
мыкают к ветвям волны, для которой я2—>со. По последней при-
чине физически совершенно ясно,' что при учете пространственной
дисперсии бегущая к полюсу волна просто переходит в плазменную
{см. § 12). Плазменные же волны затухают и при отсутствии соуда-
рений. Впрочем, если принять во внимание наличие даже небольшого
числа соударений, можно утверждать, что в конце концов вся
поглощаемая энергия переходит в тепло.
§ 28. Эффект «утраивания» отраженных сигналов
(взаимодействие нормальных волн при малых углах я)
Область малых углов « между магнитным полем и волновой
нормалью. Картина явления. При малых углах а между направле-
нием внешнего магнитного поля Н и волновым вектором k (при
рассматриваемом нормальном падении вектор k направлен по оси z)

358
ВОЛНЫ В НЕОДНОРОДНОЙ МЛГПИТОЛКТНВНОЙ ПЛАЗМЕ
[¦"Л. v
11 л. v
имеет место взаимодействие между обыкновенной и необыкновенной
4ie2V(г)
волнами в области точки w20 = ~™-==1. Об особом характера
распространения волн при малых а речь уже была (см. § 11, lj>
23 и 25). Повторим поэтому лишь кратко, в чем здесь дело, на при-
мере радиосигналов, отражающихся от неоднородного слоя (напри-
мер, от ионосферы).
При продольном распространении (а = 0) радиосигналы отражаются
точек v[q' = I i У и; если же угол а достаточно ве
от точек v о±] = 1 -1- УТг ес 1И.ГР ,.Р ч ' ; ^дии":1 налы отражаются
ние происходит ot'toU' ™ ' - ^ *°"*™™ ~- ™ отра«е.
ю •• V и и г'и = 1 (СМр рис_ 28 1 п г,^
Рис. 28,1. Функции /r} ., при малых углах а (схематический рисунок;
пунктир относится к углу а = 0): й) a < 1; б) в > i.
рассматривается случай в<1 л предполагается, что частоты меньше
критических). В соответствии с этим запаздывание обоих сигналов
друг относительно друга при продольном распространении значи-
тельно больше, чем когда я Ф 0. Формально, если опираться на кри-
вые nll2(v), непрерывного перехода от случая г^Ок случаю а = 0
нет, т. е. отражение обыкновенного сигнала должно скачком перейти
от точки г'од к точке v['q . Физически же ясно, что переход должен
быть непрерывным, и будет наблюдаться следующее.
При v < 1 волна 1 (необыкновенная волна) во всех случаях распро-
страняется лишь до точки ¦vfy, где претерпевает полное отражение.
Что касается обыкновенной волны 2, то, пока угол а достаточно
велик, имеет место ее полное отражение от точки v20=l. Однако
при уменьшении угла о. геометрическая оптика в области v -=ы 1 стано-
ЭФФЕКТ «УТРАШШШЯ» ОТРАЖЕННЫХ СИГНАЛОВ
359
§281
яится неприменимой к волнам обоих типов, основываться на рассмо-
трении кривых nXti(v) нельзя, и будет происходить лишь частичное
сражение волны 2 от области vzxl. Частично же волна пойдет
дальше в форме волны типа 1, которая как раз может распростра-
няться при v',>> v-[ са. То, что подобный переход возможен, делается
понятным из рассмотрения рис. 28,1, а, на котором ясно, что при
х.^() кривые п1 и «л очень близко подходят друг к другу, так что
волны 1 и 2 обладают и области перехода почти одинаковыми свой-
ствами (эти области обведены кружками). Последнее относится не
только к фазовой скорости, определяемой показателем преломле-
ния /1ьо. но и к состоянию поляризации, так как согласно рис. 11,12
при малом угле а поляризации волны 2 при v.<.\ и волны 1 при
и^ 1 очень близки.
Распространяющаяся вверх (при v > 1) волна типа 1 полностью
отразится в точке -UkJ = 1 -4-у а и пойдет обратно вниз (предпо-
лагается, что слой простирается на достаточное расстояние в сто-
рону значений v, больших v^'y Идущая вниз волна 1 в области
¦us^l частично пройдет дальше, превратившись в волну типа 2,
и частично поглотится в резонансной области. Отражаться от этой
области волна 1, идущая сверху, не будет, как это следует из реше-
ния уравнений и вполне аналогично отсутствию отражения в род-
ственных примерах, обсуждавшихся в § 27.
В результате, если речь идет о радиозондировании ионосферы,
будут наблюдаться не два, а три отраженных сигнала — в этом и
состоит эффект «утраиваиия» сигналов *). Как будет показано ниже,
при пренебрежении поглощением (кроме резонансного поглощения)
амплитуда третьего сигнала j Z?31 в сумме с амплитудой второго сиг-
нала | ?21 равна амплитуде падающей волны | Ео \. Соответствующая
картина схематически изображена на рис. 28,2, где |?jj — ампли-
туда первого отраженного сигнала (отражение от точки т>^ —
= 1—У и), которая считается равной амплитуде \Е0\ падающей
обыкновенной волны **).
Если и> I, то при к— 0 имеется только один сигнал, отражен-
ный от точки Vvi^ ~ I-\-У и (см. рис. 28,1, б). При достаточно
большом я имеются два сигнала равной интенсивности (поглощением
пренебрегается, амплитуда падающих воли типов 1 и 2 считается
'*) В [22] § 79 мы уже при а < 1 говорили также об «умножении^
отраженных сигналов, так как предполагалось, что волна 1, идущая сверху,
может отражаться от области os:l.
**) Под амплитудами выше понимаются, собствемно, модули амплитуд.
По оси абсцисс на" рис. 28,2 отложено время прихода сигнала на Землю,
причем это время для первого отраженного сигнала во всех случаях условно
считается одинаковым; на рисунке изображен частный случай, когда
2 1
ti —12 — is — tt и при малом угле а амплитуды равны | ?21 = -=- и | ?( | = -я-.
о о

360
ВОЛНЫ В НЕОДНОРОДНОЙ МЛГНИТОАКШВНОЙ ПЛАЗМЕ
одинаковой). С уменьшением угла а, как будет выяснено в конце
утого параграфа, имеется уже несколько отраженных сигналов, прц.
чем интенсивность всех этих сигналов, кроме одного, уменьшается
с уменьшением угла с. и стремится к нулю при я —> 0. Существенно
что при а = 0 одна из волн свободно проходит через слой, а при
, малых углах а происходит
частичное просачивание si од
волны опять-таки за пределы
слоя. Этот эффект весьма ва-
жен с точки зрения возмож-
ности прохождения через ионо-
сферу длинных волн, для кото-
2-0
рых а-— ->? > 1,
намного ниже
частоты
но частота u>
критической
— для.
Рис. 28,2. Эффект «утраивания;» отра-
женных сигналов при и < 1 и разных
углах а (схематически).
обыкновенной полны.
Эффекты «утраивания» it
«просачивания» радиоволн че-
рез слои магнитоактивноп
плазмы представляют большой
интерес не только в земной
ионосфере, но также и в ионо-
сферах других планет и в сол-
нечной короне. Этим эффектам
посвящено довольно большое
количество работ (см. [145, 22.
70, 124, 148, 164, 170—174];
экспериментальные данные при-
ведены в A64, 175—177], роль наклонного падения обсуждается
в статьях [177—183]).
В случае «утраивания», как сказано, в области v ^ 1 геометри-
ческая оптика одновременно неприменима к обеим волнам и при-
ближенные решения типа исследованных в § 25 пригодны быть v.c
как это ясно ужо. из условия B3,19). Таким образом, для
гения коэффициента отражения ] R | нужно обратиться к уран-
пениям B3,2). Решение их в общем виде не представляется возмож-
ным или, точнее, должно быть весьма сложным, н мы прнбегнем
поэтому к приближенным методам.
:ние задачи методом возмущений (область очень малых.
). Начнем со случая, когда амплитудный коэффициент отра-
. весьма мал, что имеет место при достаточно малых углах я
(см. [22], § 79). Итак, пусть
!/?1<С.1. B8Л>
|gg:j ЭФФЕКТ «УТРАИВАШ1Я» ОТРАЖЕННЫХ СИГНАЛОВ 361
|Ж;Нулевое приближение примем решение F± уравнений для про-
";:" - распространения, справедливых при ». = 0:
B8,2)
Если поглощений отсутствует, то s ¦= — -= 0. Однако в рассма-
триваемом случае в рамках используемого метода пренебречь погло-
щением с самого начала нельзя, это можно будет сделать лишь
5 конечном выражении для \R\ '¦'¦). Если угол х достаточно мал, т. е.
а<С1. B8,3)
то условие B8,1) должно выполняться и естественно искать реше-
ние уравнений B3,2) в виде:
F± = Ех ± г?у = F^) -4- F^, B8,4)
где
! Fl='! <C I Ff \. B8,5)
Как можно показать, исходя из B3,2), величина Fj удовлетво-
ряет уравнениям:
1
-7 [(l _ i$y~— а\ (Г- -ts-v) — *2uv
— к
B8,6)
здесь в силу B8,3) в B3,2) положено cosa=l—-g- и cos2 2 -=
= 1 — а2, т. е. проведено разложение и ряд с точностью до членов
порядка я2.
Дтя конкретизации задачи примем, что неоднородная среда зани-
мает некоторую область значений v вблизи точки v = 1, так что
v=l+az, -20 <*.<?„, «rQ<Cl, BS.7)
:) Необходимость учитывать поглощение Объясняется тем, что при s •— О
в фигурирующих ниже выражениях (см. B8,11) и B8,13)) появляется расхо-
дящийся интеграл. Введение поглощения, которое затем можно стремить
к нулю, эквивалентно указанию пути, по которому нужно при интегриро-
вании обходиги особую точку. Неучет а того обстоятельства привел к тому,
что в [148] допущена ошибка (в частности, в выражении для К пропущен
множитель 2), исправленная в [22], § 79.

362
ВОЛНЫ В НЕОДНОРОДНОЙ МАГНИТОАКТИВНОЙ ПЛЛЗМЁ
В ]
ваемой задачТпрт"? сТать\тГГИИ ° ХараКтеРом Рассматр
™па 2 (типа М!Рус], Сег^^е™ т.Т ТолТ^"^"^ "
B&,Ч>
Волна Fi' есть по своему тип}' волна, которая в слз'чае неоднород-
ной среды отражается от точки -fio — 1 -4-]/"и. Для нас здесь волна,
отраженная от точки г1^', интереса не представляет, тем более, что
волны одного типа «минус», но разных направлений в области г>^:1
независимы. В B8,9) не учтено также поглощение, которое мы счи-
таем малым и учитываем в уравнении для FJ только потому, ато-
там нельзя пренебречь даже малым поглощением. Подставляя B3,9>
в B8,6) и пренебрегая членами порядка s по сравнению с единицей,
в частности, полагая в левой части уравнения
1 — is + Лги ,
для интересующей нас волны F'i' имеем:
2с2 A -р X н)" (д* — Is -+- =
+- = ) аг + ;s — -г
B8, iO')
Общее решение уравнения п области—zo^z -^.г,,, где оно
справедливо, таково (считаем, что s не зависит от г):
этого уравнения п области—zo
ово (счите сит от г):
l*7*."J «+7Й^'*- <**'">
ЭФФЕКТ «УТРАНВАНИЯ» ОТРАЖЕННЫХ СИГНАЛОВ
363
§28]
ЙоэффиЦиенть1 ^i и ^2 должны быть определены из граничных усло-
вий, учитывающих, что при z > г0 должна быть только проходящая
/??';г?"
Рис. 28,3, Отражение от слоя неоднородной
плазмы при a <g^ 1.
волна, а при г < —za — волны падающая и отраженная (рис. 28,3), т. е
1
B8,12)
г<—гп: F_ -~ е
F_ = Da c '
-1 -^1 п,г
Re
При 2 = ± г0 поле F_ = Fl':'J -j- /-4!' и его первая производная должн
быть непрерывны, откуда
С2 -= R = —
-2i --- R Z
= 0,
2' 7 «2 -Ч
— и ia
B8,13)
где везде пренебрежено членом у—— , что законно, если ^ j- <C' "-о-
При — °~->-с, т. е. при достаточно малом поглощении 5 и не слиш-
ком мало.-i толщине неоднородного слоя zu, aictg —у- - > -^ • и мы

364
имеем:
ВОЛНЫ В НЕОДНОРОДНОЙ МАГНМТОАКТПВНОИ ПЛАЗМЕ
[r.i.v:
2 -- п,а
здесь учтено, что
\ d
ОЙ, 14)
поскольку вблизи точки v ¦=¦ 1
v =*?».= г
az.
Амплитудный коэффициент отражения R для достаточно толстого сТОЯ
( -zQ. z0), когда —л^^! и az^ s (одно н по
положению B8,7), ага <- ,;. стремится к верхнему пределу, равная
| R \м = 2 A - D) = ^^»
W. ¦ ,.'-А/ 1 rf.Vv ' BЬ,1о)
так как при
)
. Л'
-1 —
а
Практически всегда можно считать, что | R \ m\R [.„; так, например,
при г0-—¦ Ю5 с-« и Хо--=—"- ^— 6 ¦ Юэ см величина 2 — n2?g-—'10-*-100
и Для в~ 10~"~-10~ , с одной стороны, выполнено услоине B8,7;»
и. с другой стороны, как можно показать,
\R\M-\R\
Поэтому ниже используется только величина R.u, причем индекс №
будет опускаться. •
Даже в рассматриваемом пределе s—>0 общее поглощение в слое
конечно: поглощаемая в слое энергия пропорциональна выражению
|Л|2[1 (|Ор
. <)S] ЭФФЕКТ «УТРАИВАНИЯ» ОТРАЖЕННЫХ СИГНАЛОВ 365
так как, по предположению, |#|<С11- Этот результат, полученный
[22Ь § 79, подобен обсуждавшемуся в § 27 и имеет, конечно,
ту же резонансную природу (в уравнении B8,10) правая часть имеет
р'олюс первого порядка). Впрочем, в рассматриваемом случае взаимо-
действия волн при малых углах к ситуация несколько сложнее, о .чем
сщс пойдет речь ниже.
Амплитудный коэффициент пропускания О непосредственно опре-
деляет напряженность поля Еъ сигнала, отражающегося от точки
,у~ =_-1 -\-у и (этот сигнал является третьим при а<1; амплитуда
падающего сигнала принята равной единице):
-ъ —
= 1 —
1.64-l<rMo/W
B8,16)
здесь учтено, что коэффициент |D| для прохождения волны в пря-
мом и обратном направлениях одинаков (в этом можно убедиться
путем расчета, аналогичного приведенному; это же следует из более
общего результата, обсуждаемого ниже). В качестве примера укажем,
0
что
при и = -г и
> = 2ш =i 1,76 • 10'
= D г » 1 - 17
/dN
B8,16а)
Амплитуда сигнала, отражающегося от точки v.2Q — 1, равна:
-Я,
B8,17)
(этот сигнал является вторым при и < 1 и первым при а > 1), Таким
образом, поглощение существенно меняет картину распределения
интенсивности между сигналами по сравнению с той, которая имела бы
место при недопустимом полном игнорировании поглощения (в этом
последнем случае, если EJ=^\R[, то Й3=1—| R J2).
1 —5" I " точке
имеем:
точке v =
^ 1
A^) =±^(^\ ,= ^l^2\z(v-
а* \ dz
— V- B8,18)

366
ВОЛНЫ В НЕОДНОРОДНОЙ МАПШТОАКТИВНОЙ ПЛАЗМЕ
[гл. v
j—1- — критическая циклическая частота
для обыкновенной волны и учтено, что отражение обыкновенной
волны с частотой ю, происходящее в точке »•=!, имеет место при
формула B8,16) для параболического с/
з
слоя
f~
B8,19)
При / = 2.8-
_ 3/ ^ 8,4 • 10" и
=l)=10S И Ю
=- 1,76- W, )
100
0,17, имеем:
1(И ,.,), /„= 1,4. 10". f .--=
=107= ЮО ,см, что отвечает значениям и = 1
1 — iZ>!2 = |/?|.^ 102а2. B8,20)
Условие B8,1) означает, что формула B8,20) применима, пока
а2<^10~2, т. е. практически пока а<2-г-3'. По порядку вели-
чины | /? f'—-1 при а~5° и, таким образом, в рассмотренном при-
мере эффект «утраивания» разыгрывается в области углов а— 53.
Однако при вполне возможном (спорадически) значении ¦ -~ ^~1 эта
область может достигнуть 10~-20с, т. е. быть легко доступной для
наблюдений (см. также ниже) *). В связи с этим нужно заметить,
что, как ясно из качественной картины эффекта «утраивания» (см.,
в частности, рис. 28,1, а), область, в которой происходит переход
'-') Если магнитная широта места наблюдения равна 0 (т. е. угол между
вертикалью и магнитной осью Земли есть ^—0), то, считая магнитное
поле Земли полем диполя, расположенного в ее центре, имеем следующую
связь между углом я (углом между вектором Н('}> и вертикалью) и углом 0:
cos я
sin I) = —.
2 sin О
,i и I.U5- I
Угол а = 5° соответствует геомагнитной широте (з = 80', vr.iy * = 20'' отве-
чает 6 = 54е,
§281
ЭФФЕКТ «УТРАИВЛНИЯ» ОТРАЖЕННЫХ СИГНАЛОВ
367
1|лны 2 в волну типа 1. есть, грубо говоря, область между точками
8А; ., „ _i__Ji?^-. Ширина этой области равна \v =
a sin2 с '
It sin2 a
-^^, ИЛИ A2 = -J-=J(r-«coS»a)
.При а-=-|
или
,»ч , U.UJ
¦|;даже большом угле у. =- 20- имеем ^ ^ — ^
Щя параболического слоя B8,18)
/ / 1 \
Л О4 = ЮО м (при zm ~ ЮО кл« и -^- =- "з j •
ко
/dN
Отсюда ясно, что изменение -т~ в зоне всего в несколько сотен
метров уже приведет к соответствующему изменению коэффициента
«пропускания D.
;: Вариационный метод (другой предельный случай). В другом
;::более интересном предельном случае, когда
X |Oi2-<l. B8,21)
v задачу при и < 1 можно решить, выбирая за нулевое приближение
/стоячую волну типа 2, полностью отражающуюся в области около
f: точки щ2о==^ Соответствующее решение нулевого приближения
: в явном виде сразу может быть получено на основании результатов
•Г§ 25 и решений для изотропного случая (см. §§ 30—32), Для полу-
:: чения коэффициента \D\~ ([145] и [22], § 79) использовался вариа-
ционный метод типа метода Ритца.
•'.*: Рассмотрим здесь этот вопрос лишь весьма кратко. Система
; уравнений B3,2) может быть получена из вариационного принципа,
-'. т. е. как условие обращения в нуль первой вариации интеграла
г..
/= j Ldz, где L — «функция Лаграпжа»:
+r(jcHy) ^^
-•- комплексно сопряженное выражение.
B8,22)
В B8,22) штрих означает дифференцирование но г, звездочка —
комплексно сопряженную величину и коэффициенты А, В и С, разу-
меется, те же, что н в B3,2). При варьировании функции B8,22)
все вариации ЪЕХ и bE'*t , нужно считать независимыми. Например,

368 ВОЛНЫ В НЕОДНОРОДНОЙ МАПШТОАКТИВПОЙ ПЛАЗМЕ
вариация L по ?* равна
IL = _ Е'х ЪЕ? + -? (АЕх + fC/Г,) ой* =
[|Л. у
Необходимым условием экстремума интеграла / — j Ldz является
обращение в пуль вариации of, которая при варьировании величины Е*
сводится к
По-
скольку вариация o/?'*v произвольная, из условия о/= 0 следует уравнение
^-^—(Л^ + гСе ) = 0, т. е. первое из уравнений B3,2). Ана-
логичным образом, варьируя L по Е", получаем и второе из этих
уравнений. Кроме того, однако, должны еще обращаться в нгль
вариации на границах, т. с, как ясно из выражения для о/, должны
равняться нулю величины \Е' ]г> = Е'х (z,)—Е'(г{). Другим» сло-
вами, если Г/Г'? 1"' = 0, то уравнения B3,2) обеспечивают обращение
г»
в нуль вариации 5/= | oLdz, где функция L определена выраже-
нием B8,22).
Из сказанного в согласии с идеей прямых методов вариационного
исчисления (см., например, [184]) явствует, что подбор функции,
приближающих интеграл / к экстремуму, является вместе с тем спо-
собом нахождения приближенного решения системы B3,2).
Будем искать решение системы B3,2) при условии B8.21) в вило:
E*.y=Ex.yi^-Dl-x,yl. BS.2II
где ЕХг>,., — стоячая волна типа 2, т. е. решение, имеющее месго
лри пренебрежении эффектом просачивания волны далеко в область
¦г/>1, и EXiyl—волна типа J, распространяющаяся в области
v > «[со- Неизвестной величиной в B8,24) является параметр L),
который имеет смысл коэффициента пропускания.
Подставляя B8,24) в B8,22) и выбирая параметр D таким обра-
зом, чтобы интеграл /= Г Ldz был экстремален, мы в силу ска-
занного получаем приближенное, значение коэффициента пропускания.
Поскольку исходная функция B8,24), как ясно из физических сообра-
жений, при условии B8,21) передает характерные особенности решс-
23)
ЭФФЕКТ «УТРЛИВАЛИЯ» ОТРАЖЕННЫХ СИГНАЛОВ
369
Й11Я задачи, нужно думать, что полученное приближение будет хорошим.
Строго доказать это можно лишь, как и в методе Ритца, выбирая
пробную функцию типа B8,24), но с двумя неизвестными параметрами
И т. Д-
Для исследуемого метода решения существенно, чтобы, вариация
интеграла / на границах zx и г2 обращалась в нуль при любом изме-
нении параметра D. Действительно, только в этом случае, как ясно
из сказанного ранее, уравнения B3,2) являются необходимым усло-
вием экстремальности интеграла /. На нижней границе гг, за кото-
рую можно выбрать начало слоя, землю и т. д., EXil)l — Q и, таким
образом, вариация автоматически исчезает. На верхней границе при
•д~>\-\-У~и. можно считать, что Ex,yi~e с ¦ 0
Вариация / на верхней границе равна 3/ = —1Е'ха
-\-Е' ЪЕ",А-?'*&Е | и, как легко видеть, пропорциональна i~nl{z2))K
X CD" — oD). Таким образом, для обращения вариации в нуль нужно
считать параметр D вещественным, т. е. отказаться от вычисления
фазы проходящей волны (нас это предположение устраивает, и мы
его сделаем).
Интеграл / при подстановке в него функции B8,24) экстремален,
и ?\.1у, =
если -,-^ =
т. е. если
Ь*1
dz
-. B8,25)
2/
d*
Значение D согласно B8,25) вещественно, и, таким образом, сделач-
;ное выше допущение о вещественности D ж противоречит методу
РаСВ"качестве функций Ex,,hi в B8,24) и B8,25) наиболее пра-
вильно было бы выбрать Сближенные решения уравнений B3,2).
¦рассмотренные в § 25 (для волны 2, например, речь идет об урав-
нениях B5 35;-B5.37)). Однако в этом случае решение bx,yh,
: для линейного'слоя выражается в бесселевых функциях и Для Даль-
: нейших применений довольно сложно. Вместе с тем в B8,2о) наи
боГишо роль играет не точка «=1. где геометрикооптическое
пр'ГженГнепритодно, а другая точка, отвечающая комплексному
значению v (см. ниже). Поэтому естественно сделать дальнейшее
приб. "жепие, конструируя Е,,у1>2 из решений геометрической оптики
B3 \Ъ\ Пои этом волна типа 2, отраженная от точки -гь=1, в рас-
B3,13). При э'^ближении интереса не представляет и в качестве

37A
ВОЛНЫ В НЕОДНОРОДНОЙ ЫЛГНИТОЛКТИОНОЙ ПЛАЗМЕ
поля Е можно взять лишь волну типй 9 <,
того, в отношении волны типа 1 которая со , ' У'° Мерх' КР°»*
нужно уЧеСТЬ, что при наличии novno~T В°ЛНОЙ г'т 2
ресующей нас области с ростом Г/'" ее.ИНТенСИВН0СТЬ в Нтй[
В результате имеем- ~ ( И ^ Должна возрастать
j) ^
B8.26)
)
где ге1>5, x1i2h /<"i,2 определяются формулами A1,5) и A1,25) и ниж-
ний предел в интегралах—точка Z--0 — отвечает точке отражения
•иО|1=1, Выбор именно этого нижнего предела наиболее удобен и
в то же время не изменяет конечного результата, — это ясно уже
из того, что выбор другого предела приводит лишь к появлению
дополнительного фазового множителя, не могущего сказаться
па Dj2.
Единственный момент в B8,26), требующие специальных пояс-
нений, связан с вопросом о том, почему в Ех1 фигурирует выраже
"»° - ' -' вместо и,—//¦!, как этот ил*..-..- «--
ние п.
как этого
можно было бы ожидать.
шей при удалении от точки -t т
выше, диктуется физическим характером
ИТУдой-
УЖЙ -
нарастаю-
коэффициент про-
ривых „? и ^ (дос.,ТОЧГьч^ ШеГ° СбЛИЖС"
-1 просто касаются друг дпуггП Пп - 'к ЭТИ Кривые ПР"
и учитывается заменой л, - Л „ _^?ДО°пОе влияние поглощения
сматрнваемого метода против подобно! raf "T°M " рйМках рае"
каких возражений, так как я„Гп ельзя вы"азать нн-
функцш. типа B8,24) в известны,"Роксимирующие решение задачи
является то семейств этихфункций ?"** П»т™^ « лучшим
интеграла /, наиболее бл„ к его точноТ ПР"В°ДИТ К зна1|ениям
ченню. е1° точному экстремальному зня-
Фициента пропускания D совпадают со ^и!.°А10ЩЫ°п Значения коэ(!"
совершенно другим способом ( „,1 *' Д
Подставляя B8 26) в С2Я 9М ' J'
ЭФФЕКТ «УТРЛИВАННЯ» ОТРАЖЕННЫХ СИГНАЛОВ
371
нножигели. Поэтому точное вычисление D по формуле B8,25) за-
труднительно, но определение D с точностью до предэкспоненин-
яльиого множителя весьма просто.- Дело в том, что числитель вы-
ражения B8,25) имеет вид Re./, где
У-=//(г)?
' dz,
?(z) = ||
и / (г) — медленно меняющаяся функция z. Интеграл J имеет такой
вид, что для его вычисления можно, продолжая подынтегральную
функцию в комплексную область, применить метод перевала. В точке
перевала, как известно, производная от стоящей в экспоненте функ-
з> т- е- производная 4- Г [ (пг — iv.2) — («j — i/.^)\dz, должна
ции
о
равняться нулю. Отсюда следует, что в точке перевала
B8,27)
•Используя выражение A1,5) для tilr2 — ^/-i,2> находим:
k vJI±^l-ls±l^^^l-ls±tsu; B8,28)
здесь s.. = — ^-;— ; критический парамето, введенный в S 11
h <о 21 cos a| r 1 к> j
(см. A1,41)); при s = s[t и г»^=1 получаем (п„ — iv.2) ^^ («t — i-/.,) и
ifj^/-f,2, т. е. имеется точка, в которой среда становится изотроп-
ной (другими словами, при s-—sK точка перевала vs лежит на ве-
щественной оси и может быть достигнута волной).
При учете поглощения точки г>ао, v[f}> и v\io, в которых (я — г/.)ь 2
обращаются в нуль или в бесконечность, таковы:
v20 = 1 — is,
vfa= I - is ± Y7,
A — is) и sin2 i
B8,29)
При этом существенно, что точка vico, в которой функция («t — /¦/.,)
обращается в бесконечность, лежит в нижней полуплоскости ком-
плексной переменной v (см. рис. 28,4). Поэтому, трансформируя
путь интегрирования в интеграле J, мы можем провести этот путь
через точку перевала -ил,. = 1 — is^-is^, лежащую при $ < sK, т. е.
при (для простоты ниже вместо | cos a. \ пишем cos a)
™ B8,:50)
94-1

372
ВОЛНЫ В НЕОДНОРОДНОЙ МАГНИТОАКТИВНОЙ ПЛАЗМЕ
Vi+ ~v-~
B8,31)
Применение метода перевала связано с заменой интегрирования по
вещественной оси v (мы предполагаем, что v=i-\-az и, таким
образом, комплексные плоскости v и г равноправны) интегрирова-
нием по контуру, указанному пунктиром на схематическом рис. 28,4.
V
Osr,HS-iSK
Рис. 28,4. Комплексная плоскость пере-
менной v.
При этом, как известно, значение. J, а значит, и D с точностью до
предэкспоненциальпого множителя равно вещественной части подын-
тегральной функции в точке перевала, так что
" ""
B8,32)
части и г, —значение г
-•) Заметим, что если не вводить поглощения, т. е. считать v.( = -л2 = О,
как это делалось в [145], то точка г/к» лежит на действительной оси, и
вопрос о выборе между точками Vs± усложняется; в [145] был получен
правильный результат, для чего выбиралась точка о^_, но вместо л2 — «i
использовалась функция я, — /jj. Удобнее, однако, поступить так, как это
сделано здесь, т. е. ввести затухание, в результате чего приходим к B8,31).
S 2§1
ЭФФЕКТ «УТРАНЗ.АНИЯ» ОТРАЖЕННЫХ СИГНАЛОВ
Теперь остается только иычислить величину
2 V
== — Im Г [ (л, — iv.j) — (п* —iv-i) ] rfa- = =- Im j ((п{ —
n • i
373
B8,33)
Г где
dv
i> 1 rf.V\
VlV ~dz }v = i
v =
''K 2"ens a
2 cos a
B8,34)
F|f:':' Итак.
2.,K Л _. 'L\ 5 о) У и ill— '¦'-) sin2 «
1П'МъУи '¦> ( 1 -- — ] Siil2 7-
"'1^7
, B8,35)
-— cos a.
где
p =Re
rfS = Re
t./¦-
B8,36)

374
НЕОДНОРОДНОЙ «АГ„иТ0ЛКТЙВН0а ,,,
,,,,ЗМЕ
= --
<n~i-'\2=
Учитывая, что ппн ™ а
„ ,, п рн ^ = ° разность л __„ . ,
«, —«э —0, нетрудно видеть что 3-1 п При ^ = !
как ясно из B8,37) /г ,7 Ро^.1- При малых угтач я
при а = т ,.,
малом
ЭФФЕКТ «УТРАИВЛНИЯ» ОТРАЖЕННЫХ СИГНАЛОВ
375
Впрочем, в предположении о близости кривых пх (v) и n2(v), когда
можно положить пх +'г2 = 2лг(х' -= 1, a = 0) =-—-
Во можно вычислить [124| и в результате получить:
интегра
, гц1'" (l -I- V it) '• сов i
(другими словами, 6 — ^ '— ---и в согласии со сказан-
' 2 A -\- у u cos a)"
ным при и = -г- и cosa^l имеем po = U,6). Приведенный вывод
формулы для \D\2 может заранее претендовать на получение пра-
вильного ответа лишь при не слишком малых углах я и только
с точностью до некоторого предэкспоненциального множителя, Ока-
зывается, однако, что с довольно высокой точностью при всех углах
|D:2 = e-s4 B8,39)
где 2?() определяется выражениями B8,37) и B8,38). Сказанное сле-
дует из того факта, что при малых 80 (т. е. малых а) формула
B8,3.9) приводит к результату [D;2—1—230, который совпадает
с получающимся из B8,14). Действительно, согласно B8,14) и.
B8,38):
ш , ,,
Я— Ы"Я- , , ,,,
D '•
—^~ — — 1 — 23
2A1Т'п)!- ' и>
так как при ?.<<i^ 1 в B8,3S) можно положить cos a— 1 и sin2 a = у?
(к тому же сама формула B8,38) получена в предположении щ-г-
-4-/г2 = 2п2, которое заведомо верно именно при малых углах а).
Другими словами, нредэкспоненциальный множитель в формуле-
B8,39) определие1ся (и оказывается равным единице) из соображе-
ний предельного перехода к области малых углов а, когда значение
I D г вычисляется независимым способом.
При малых х, согласно B8,16), модуль амплитудного коэффи-
циента отражения обыкновенной волны от области взаимодействия
R
p — 2Ъ0. По аналогии с переходом от B8,40) к B8,39)
можно заключить, что в более общем случае
| # | ~ 1 — j D ¦? = 1 — е-я-.
B8,4!)
Метод фазовых интегралов. Формула B8,41), а также B8,39)
подтверждается в результате расчета, проведенного методом фазовых
интегралов [124, 173).
Зтот метод основан на представлении решения дифференциаль-
ного уравнения или системы уравнений в виде общего решения

376
ВОЛНЫ В НЕОДНОРОДНОЙ МАПШТОАКТИВНОЙ ПЛАЗМЕ
ческом приближении. Например, для
С = 0 решение записывается в виде:
'ё- J * ' "
[гл. v
"Ия
}¦
B8,42)
Если бы удалось корректным образом определить коэффициенты С.
и С2 в этом решении, то оно могло бы рассматриваться просто как
асимптотическое приближение точного решения 'задачи. Знания же
асимптотики достаточно при вычислении коэффициентов отражения
и пропускания для рассматриваемого слоя. Для нахождения С1 и С3,
не решая самого уравнения, можно воспользоваться тем фактом, что
решение Е{г) должно быть аналитической функцией, если такой
функцией является г' {г).
Отсюда действительно возникают некоторые, условия для С, и Сь
поскольку выражение B8,42) представляет собой комбинацию много-
значных функций (yV имеет точку ветвления при s' = 0; предпо-
лагается, что у г' имеются нули и решается задача, например, об
отражении от какого-то слоя). Решение B8,42) может аппроксими-
ровать строгое решение только, если коэффициенты С, и С, раз-
личны в разных секторах комплексной плоскости г. При переходе
границ, секторов коэффициенты Сх и С, изменяются скачками (этот
факт иногда называют явлением Стокса). Сами эти границы (лини»
•Стокса) определяются из требования, чтобы на них функции
е г принимали вещественные значения.
После полного обхода точек ветвления решение должно остаться
неизменным, что и определяет интересующее нас отношение коэф-
фициентов Сг и С2 на вещественной оси г. Такова идея, лежащая
в основе метода фазовых интегралов. С конкретным использованием
этого метода и проведением расчетом можно познакомиться в [124,
185—187] (см. также [169, 170, 172); в [124] этим методом в ка-
честве примера решена также известная задача об отражении и про-
хождении волн в случае параболического слоя).
Свое название метод фазовых интегралов получил потому, что
при вычислениях, в связи с обходом нулей функции е' или других
выделенных точек, появляются интегральные выражения для фазы
i—?Vs'dz (см., например, B7,17) и ниже). На вопрос о точности
метода в общем виде трудно ответить. Во всяком случае правильные
(строгие) выражения для \ R\ и j D \ при использовании этого метода
могут быть, вообще говоря, получены не только для толстых, но и
для тонких слоев [124]. В задаче об отражении от изотропного слоя
с максимумом (при отсутствии каких-либо подлежащих обходу то-
§281
ЭФФЕКТ «УТРАИВЛННЯ» ОТРАЖЕННЫХ СИГНАЛОВ
ът,
чек, кроме двух нулей функции г'(г, и)) такой результат естествен.
Ситуация сложнее в задачах, в которых нужно обходить несколько
точек, так как явление Стокса имеет место на целом ряде перссе-
¦ кающихся прямых и фактически приходится ограничиться учетом
только части этих линий 1124, 174].
В задаче об «утраивании» сигналов (при а < 1) линия Стокса
выходят из перевальных точек vst, (см. B8,28)), и уравнения для
этих линий можно записать в виде;
arg
m — 0, 1, 2,
/•здесь C = ti—1 -4-ij — az -4- is (слой в области взаимодействия счи-
"тается линейным); на комплексной плоскости ", точкам перевала vs±
-Ri>: Rti
Рис. 28,3. Контур интегрирования в выраже-
нии B8,43).
отвечают значения X,si. — 'hisK (см. рис. 28,5, на котором линшг-
Стокса показаны пунктиром).
2
Общие результаты при й=—^<1. Если на область взаимо-
действия слева (со стороны отрицательных значений z и ч, т. е. us
области меньших значений v) падает обыкновенная волна, то появ-
ляются отраженная обыкновенная волна (амплитуда /?,) и проходящая
необыкновенная волна (амплитуда D,j, причем
! са J
А
B8,43).

378 ВОЛНЫ В НЕОДНОРОДНОЙ МАГНИТОАКТИВНОЙ ПЛАЗМЕ [ГЛ, V
где поглощение не учитывается и интегрирование в первом интеграле
ведется по замкнутому контуру L, охватывающему обе особые точки
С.5- =— ± ist. функции (rtj—яа); повтором интеграле интегрирование
ведется между точками А и В по полупетле, охватывающей точку 4~w
(см. рис. 28,5). Существенно, что пунктирная линия, соединяющая
точки ±('sK, на рис. 28,5 проходит между полюсом функции п1 при
ч1к ="¦ -у—-—,г~—1 и нулем функции и2 при С2() = 0, Обе эти
точки в расчете считаются несущественными, с чем и связан его
приближенный характер.
Стягивая и B8,-13) путь интегрирования к линии, соединяющей
точки izsK (законность этого оправдывается результатом, не содер-
жащим никаких особенностей), можно убедиться в том, что значение
2о0 определяется выражением B8,38) и, таким образом, формулы
{28,43) совпадают с B8,39) и B8,11). Уже в отношении коэффици-
ента отражения \ R2\ этот результат при немалых о0 является новым,
поскольку формула B8,41) выше не была, по сути дела, выведена,
Более существенно, что при расчете методом фазовых интегралов
становится ясным наличие еще одной волны — необыкновенной волны,
отражающейся от области взаимодействия вниз. т. е. в сторону
полюса функции пх. Конечно, наличия такой волны следовало ожи-
дать из общих соображений (если существование какой-либо волны
возможно и не противоречит граничным условиям задачи, она может
не появиться только в особых случаях). Но найти ее амплитуду Rt
удалось именно методом фазовых интегралов [124]:
!Л]!==е-^угТ=7г^ B8,44)
Очевидно,
I«ii8-H*j|1-t-[?>,!s=1, B8,45)
т. е. при отсутствии соударений E = 0) нет поглощения. Это заклю-
чение вполне понятно, поскольку в проведенном расчете наличие
полюса функции пх было несущественно и оно никак фактически не
учитывалось. Резонансное же поглощение, присутствующее и при
$ —у 0, возможно только в районе полюса. Вместе с тем, полученный
вывод о появлении бегущей вниз волны 1 никак не противоречит
расчету методом теории возмущений для области углов а<^1 (см.
выше). Дело в том, что бегущая к полюсу волна 1 отражаться не
будет и полностью .поглотится (см. § 27). Таким образом, энергия
/?J2= 1—1/?2|2 —!D2|2 = e-K-(l—й-1"-) B8,46)
в конечном итоге переходит в тепло (максимальное значение \R1{i.
равное :/4, достигается при 2оо—in2). Этот вывод сохраняется и при
учете пространственной дисперсии, когда рассматриваемая волна пре-
вращается при v < vxm в «плазменную» (см. § 12), которая затем
и поглощается. При 23О<?^1 поглощаемая энергия \R1\2 равна по-
глощаемой энергии |Л|г=1—1?*|2—|/?s2=2oc, вычисленной ме- |:
? 28] ЭФФЕКТ «УТРАИВАНИИ» ОТРАЖЕННЫХ СИГНАЛОВ 379'
•годом возмущений. Более того, интерпретация энергии | Аг2, как
поглощенной в резонансной области при а <С' 1. правильна и сама
по себе, так как в методе возмущений рассматриваются только волны,
распространяющиеся при а—0, а также возмущение, связанное
с наличием полюса. Бегущая же вниз необыкновенная волна при
неучете пространственной дисперсии и а-*0 полностью сосредото-
чена вблизи полюса и о ней не приходится говорить.
Приведем здесь же результат [169) расчета 8 случае необыкно-
венной волны, падающей на область взаимодействия справа, т. е. со
стороны нуля 1%' — 1 -4- \/ и (см. рис. 28,1, а). Эта волна разби-
вается на две: обыкновенную, проходящую в область малых значе-
ний v с амплитудой D'o, и необыкновенную, бегущую к полюсу
функции п.* (ее амплитуда равна Djj). Никакой отраженной волны 1
при этом не получается и согласии со сказанным в § 27 и выше*
Другими словами, идущая справа (сверху, если речь идет об ионо-
сфере) волна 1 частично просачивается вниз, а частично уходит
в область полюса, где и поглощается. Количественно имеем;
; i=o.
w:\
B8,46а)
где &0 определяется так же, как в B8,43).
Сравнивая формулы B8,43) и B8,46а), видим, что |
т. е. коэффициент прохождения через область взаимодействия оди-
наков в обоих направлениях. (Этот вывод не самоочевиден в связи
с несправедливостью обычной формы теоремы взаимности для маг-
нитоактивпой среды.) Отсюда следует, что амплитуда третьего отра-
женного сигнала, проходящего через область взаимодействия вверх
и вниз, равна Dx \ ¦ | D'^ \ = \рх Г = «--*=, т. е. определяется форму-
лой B8,39). Отсутствие отражения бегущей вниз волны 1 приводит
к появлению именно трех отраженных сигналов, а не большего их
числа, как это имело бы место при наличии многократного отра-
жения от области взаимодействия.
С точки зрения некоторых возможных приложений (например,
вопроса о генерации радиоволн в солнечной короне) представляет
интерес еще и третья постановка задачи. Именно пусть иа область
взаимодействия падает необыкновенная волна, бегущая от полюса
функции п\ (эта волна, например, могла быть создана в области
полюса пучком частиц). Тогда после взаимодействия в область боль-
ших значений v побежит необыкновенная волна с j D" \ = ]/ 1—e~v'-,
а для отраженной необыкновенной волны ! R". = е~-Ч Кроме того,
вниз (в область малых значений v) побежит обыкновенная волна,
Для которой I D" \ = е-^'У 1 — й~м> .

380
ВОЛНЫ В НЕОДНОРОДНОЙ МАГНИТОАКТИВНОЙ ПЛАЗМЕ
1ГЛ. у
Формулы для о0. Учет соударений. Приведенные формулы
\ и R | получены при пренебее
р
\D\ и R |
пригодны, если
для
0 р рд формулы для
получены при пренебрежении соударениями и поэтому
сли
_ 7'ФФ
к = —— -y^-^iT Uh.47)
<от поглощения на пути вне области взаимодействия, которое может
быть существенно и при малых v, сейчас отвлекаемся). В случае
/¦"-слоя (который и имелся в виду в [145], где была получена фор-
мула B8,39)) условие B8,47) обычно выполнено. Это ясно из
30 60
Угол в (S градусах)
Рис. 28,6. Критическое число соударений чх в за-
висимости от геомагнитной широты 0. Справа
даны высоты, для которых по грубо ориентиро-
вочным данным -'9фф = >*„ при /д = 1,44 мггц,
рис, 28,6, па котором приведены значения v1( в зависимости от гео-
магнитной широты 6. Одновременно справа указаны высоты, на ко-
торых примерно уэфф .¦%; vK. Мы видим, что на высоте, большей 200 км,
''эфф сравнимо с vK только на геомагнитных широтах (J 3> 85е; так,
ЛР11 чэфф=Ю3, *Эфф = -/к для углов аяйО,8° и 6^ 88,4".
Формулы B8,38) для 2о0 молено записать также в виде:
3 1 .1 1
та>»в4 A -\-\"п У1 sin2
(l-I-/Г
cos о.J D^
d
так как N (v = 1) — -Ш— _
B8,
§28]
ЭФФЕКТ «УТРАИВАНИЯ» ОТРАЖЕННЫХ СИГНАЛОВ
3S1
Я' При и = -г , «> = 2шя= 1,76 • Ю7 (?,0= 107 .«)> полагая cosa ^ 1,
%меем 280^17 . ^Тг-,~—'• соответствующее значение |D|2 = <;-23-
представлено на рис. 28,7. Из этого рисунка или непосредственно
из формулы B8,48) ясно, что в рассматриваемом благоприятном
примере (|Dj2 падает с ростом со) | Dp ^0,1 при 0125
ПРН
это значение
0,125;
-.отвечает углу я ^6°, т. е. геомаг-
•аштной широте 8 = 80". С ростом а
«поле | Еъ | ~~ | D j2 третьего сигнала
?резко уменьшается.
;'•'"' Для более детальных оценок
^удобно записать формулы B8,38)
&и B8,39) конкретно для параболи-
гческого слоя B8,18). В этом случае
1
)
Рис. 28,7. Коэффициент пропуска-
(\+fu cos*J i/ 1-i
2A -
ния \D\l как функция от
у
Sill
1
при и = -j- и ш = 1,76 ¦ 10г (Хо =
('28,49) ~ Ю7 л). Сплошная кривая |?)j2 =
= е~"''", пунктирная кривая \D\'' —
При г/ = 1,
^1 „ /,0=107 м (шя=8,82- 106)
25л
B8,50)
где ко втором выражении положено
¦ 100 км. Из B8,50) ясно,
/к»
что для параболического слоя, например, при /= -j- коэффициент
2on~10'2sin2a и 2В0 — 1 при a~0,l—-6°, что находится в соот-
ветствии с оценкой, сделанной выше. Таким образом, для парабо-
лического F-слоя и, собственно, любого регулярного слоя тех же
размеров эффект «утраивания» сигналов при нормальном падении

382
ВОЛНЫ К НЕОДНОРОДНОЙ МАГНИТОЛКТШШОЙ ПЛАЗМЕ
может систематически наблюдаться лишь на высоких широтах (ЬЪ-
^75—80г). На средних широтах, где я—¦ 20° (sin2a— 0,1), «утраншП
ние» сигналов в F-слог может наблюдаться лишь спорадически
когда (-^) —1 вместо регулярного значения •-—0,1. При этом
значение [—^—1 должно быть аномально велико только в об-
ласти слоя толщиной в несколько сотен метров или несколько кило-
метров (см. выше) *). Поэтому появление спорадического эффекта
на средних широтах (а—'20°) не исключено.
Однако в большинстве случаев наблюдающееся на средних и низ-
ких широтах появление трех и большего числа сигналов, отражен-
'¦) Если бы градиенты Лг могли быть столь велики, что концентрация Л"
в области v ~-< 1 заметно менялась бы на расстояниях порядка или мень-
ших -'j— , то появление в области v > 1 необыкновенной волны носило бы,
так сказать, тривиальный характер, — оно в этом случае следует из формул
Френеля для коэффициентов отражения и прохождения волн для резкой
границы раздела между двумя анизотропными (в данном случае магинто-
активными) средами. Однако сколько-нибудь длительное существование
в ионосфере таких резких градиентов Лг (т. е. значений -^— ~ 102, так как
V dz
-^•'—Ю3 и А'-~< 10! —10*1, необходимых хотя бы для ориентировочного
использования формул Френеля, представляется невозможным. Действи-
тельно, в .F-с.чое длина свободного пробега электронов равна
I ^^:
1Оз
и, следовательно, резкий градиент указанных размеров, если бы он даже
ног возникнуть (на что нет никаких оснований), размылся бы за время,
меньшее времени свободного пробега х = -> 10~3 сек. В Е-слое для
электронов уэфф —> 10°, I = 102, - — ~10"s и время диффузионного
^ ''зфф
размывания границы на величину -2— ~/ 10/ также порядка At — — —
= —- - = 50т ~ 10~3 сек (здесь D = -д- — коэффициент диффузии для элек-
тронов: если размывание обусловлено диффузией ионов, то в рамках сде-
ланной оценки At ~ 0,1 сек).
Сделанное замечание о роли диффузии свидетельствует о том, что даже
dN
сравнительно небольшое значение —-—~1 в слое с толщиной ~1 км не
dz
может наблюдаться в течение длительного времени. При регулярных же
еще меньших значениях I—'¦—)
\ dz
, как уже было сказано, эффект «утраи-
вания» в /-"-слое на средних широтах наблюдаться не может (речь идет
о нормальном зондировании ионосферы без учета рассеяния на иеоднород-
ностях; см. g 29).
§281
ЭФФЕКТ «УТРАИВЛНИЯ» ОТРАЖЕННЫХ СИГНАЛОВ
383
ных от ^-слоя, объясняется, по-видимому, появлением спорадиче-
ских слоев [23). Наблюдается [177, 178] также своеобразное «утраи-
вание» сигналов, происходящее при наклонном падении при наличии
на уровне отражения рассеивающих неоднородностей (см. § 29).
Экспериментально отличить эффект «утраивания» от появления отра-
жений от спорадических слоев можно, в частности, в результате;
поляризационных измерений (при «утраивании» сигналы ?2 и /:"а па
рис. 28,2 должны быть обыкновенными, а сигнал i\ — необыкно-
венным).
При переходе к высоким широтам эффект «утраивания» должен
наблюдаться все чаще, что и имеет место на опыте [164, 176],
В отношении Г-слоя, как указывалось, влияние поглощения
обычно несущественно. Иначе обстоит дело б Е-слое [164], так как
амплитуда третьего сигнала Е3 = | О |2 возрастает с приближением
частоты столкновений v^ssv к критической частоте vK. При этом,
как ясно из рис. 23,C, па геомагнитных широтах не слишком вы-
соких, по больших 55—60°, в Я-слое как раз v~vK и эффект
«утраивания» может проявиться самым резким образом. Увеличение
|D!2 с ростом v определяется нетолько множителем A — —J в B8,85),
но и тем обстоятельством, что при > 1 будет [3 ->• 0 (это ясно
из B8,36), учитывая, что [(»,—щ) (п.2 — (у..2)}->0 при т, -> 1).
Как указано в [164], при a-^sl3D
B8,51)
Используя выражения B8,35), B8,37), B8,49) и B8,51), для
параболического слоя B8,18) имеем:
28
J
B8.52)
причем предполагается, что v < v,,; если же ч > vK, то \Df— 1
<в рассматриваемом приближении | D ~2 ¦-> 1 при v ^> vh и |Dj2=±=l
при v > vK); при этом не следует забывать, что обусловленное по-
глощением затухание волны в области v < 1 здесь не учитывается.
Зависимость !/Jj2 от -'- по формуле B8,52) для конкретных уело-
'к
-вий наблюдения, осуществляющихся is [164], ясна из рис. 28,4. При

384
ВОЛНЫ В НЕОДНОРОДНОЙ МАГНИТОЛКТИВНОЙ ПЛАЗМЕ [ГЛ, v
проведении расчета методом фазового интегрирования также полу.
чается результат B8,52), причем [70]
fl = 4. (
где интеграл берется по петле, охватывающей точку -\-is.
(рис. 28,9). При s—~ = 0 эта формула переходит в B8,43).
Стягивая контур к пунктирной линии, соединяющей точку -*-isK
с прямой Re г, придем к фор-
мулам B8,35) и B8,36) и
в частном случае к B8,52),
Вместе с тем, из B8,53) и
рис. 28,9 сразу же ясно, что
при s > sK (т. е. v > vK) в рас-
сматриваемом приближении
о ¦— 0, поскольку контур инте-
грирования уже не охватывает
точку lsx. При 5 > $к осуще-
ствляется, таким образом, ква-
зипродольное распростране-
ние. 28,8. Коэффициент пропускания |?>|* ™е с отражением от точки
, - ч .- 1 . . «(+>=1.д_т/гг
|
как функция — при и -- — и м = 1,76-10
Выше по существу приня-
лось, что v = const. Если же
м„sin2a s '" " """' "' зависимость v от г заметна, но
¦"к — "Т~ПГя~~ = "'"^' ^!; критическая все же является более слабой,
частота" для"' волны 2 /к2 ~/к0 =4 мггц, чем зависимость .-V от г. то все
ыи формулы остаются в силе, но
/=3,47 мггц, /я = ~—= 1,44 мггц под v нужн0 понимать эффек-
а а. ~ 13°. тивное число соударений в
точке f= 1.
Заметим также, что в области взаимодействия должно быть осо-
бенно заметно рассеяние радиоволн на ионосферных неоднородно-
стях, поскольку при v-*l и й—>0 значения —~^-, а значит, и
—-j^r- особенно велики. В результате даже сравнительно небольшие
изменения N влекут за собой значительные изменения показателей h]i2.
Результаты при и = —j- > 1. Выше эффект «утраивания» рассмо-
трен для нормального падения и в основномтолько при и = —,^<^\. О ро-
ли наклонного падения речь пойдет в следующем § 29, сейчас же кратко
ЭФФЕКТ «УТРАИВАНИЯ» ОТРАЖЕННЫХ СИГНАЛОВ
385
§281
остановимся на случае а > 1 (в условиях земной ионосферы, в средних и
высоких широтах это отвечает волнам X > 214 м). При очень малых уг-
лах?-, когда применим метод возмущений, для обыкновенной волны ре-
зультат при и > 1 уже получен выше (см. B8,14), B8,16)). Проведенный
методом возмущений расчет годен для обыкновенной волны при лю-
• бых и потому, что нулевое приближение B8,9) одинаково и при
и<1 и при а>1, а первое приближение вычисляется без всяких
предположений о величине и. Совершенно аналогичный расчет можно
. при и > 1 произвести и для необыкновенной волны, считая, что
Рис. 28,9. Контур интегрирования в выраже-
нии B8,53).
в нулевом приближении имеется только необыкновенная волна, т. е.
F+ = е с ' , ге?=1-(—-~ . Тогда для коэффициента отра-
' у и — 1
жения | Rx j2 и коэффициента прохождения \D1f получаем*):
10^=1-2:
2S0, 2 = "
B8,54)
сравнения приведем здесь же. еще раз результат такого же
*) Индексы 1 и 2 в формулах B8,54) и B8,55) характеризуют невозму-
Щенную волну при а —0 и поэтому отличаются от индексов, использован-
ных в формуле B8,43) и др.

386 ВОЛНЫ В НЕОДНОРОДНОЙ МЛГНИТОАКТИВНОЙ ПЛАЗМЕ [г.'(. у
расчета для обыкновенной волны (см. B8,14)—B8,16)):
2*0.1 = -
(Раньше величина SOil обозначалась просто через о0; см. B8,38)
:B3,55)
прижгу 1.)
О \ 1
Рис. 28,10. Различные случаи взаимодействия волн при uL = и cos2 a > 1.
На графиках приведены квадраты модулей амплитуд волн, причем ампли-
туда падающей волны (жирная стрелка) считается равной единице. Отра-
жение от точки i/jg1"' не учитывается.
При u? = Kcos2a>l имеются пять основных случаев взаимо-
действия воли, в то время как при и < 1 было три таких случая *).
) Область и > 1, ы? = исой2а< 1 требует особого рассмотрения, что
™ Не сделано- Практически взаимодействие происходит лишь при малых
углах а и, следовательно, при и > 1 обычно также и, > 1.
ЭФФЕКТ «УТРАИВАНИЯ» ОТРАЖЕННЫХ СИГНАЛОВ
387
§28]
Значения \D\2 и ] /? f при iii > !, полученные [174] методом фазо-
вых интегралов, приведены на рис. 28,10. Вместо B8,54) и B8,55)
получаются выражения, содержащие е~ J°> i>!, I—е °>1»2 и т. п.
Положение в этом отношении аналогично имеющему место при « < 1.
Для удобства уже обсуждавшиеся выше результаты для частот ил,
больших ия (т. с. при и < S), сопоставлены на рис. 28,11.
Рис. 28,11. Различные случаи взаимодействия волн при и, < 1.
Все остальные обозначения и условия такие же, как на рис. 28,10.
Строго говоря, выражения для о0>1,г при произвольных углах а
отличны от приведенных в B8,54) и B8,55) и относящихся к ма-
лым а. Практически, однако, взаимодействие существенно именно
при очень малых а и в качестве SOi 1f 2 можно пользоваться форму-
лами,
де
¦i.T
¦ими, указанными на рис. 28,10 и 28,11, со значениями \л>г, опре-
1еляемыми согласно B8,54) и B8,55). Учет теплового движения мало
изменяет 8,
0. 1,
если только р; —
Поглощение волн

388
ВОЛНЫ В НЕОДНОРОДНОЙ МЛГНИТОЛКТИВНОЙ ПЛАЗМЕ
[ГЛ. V
не сказывается существенно на результатах, пока в области вза-
имодействия
Весьма важной особенностью рассмотренного взаимодействия волн
является тот факт, что оно само по себе не приводит к образова-
нию отраженных волн (см. рис. 27,10, в, г и рис. 28,11,6'). По-
явление отражения всегда связано поэтому с достижением какой-
либо волной нуля функции п?г
Во всех случаях, представленных на рис. 28,10 и 28,11, отра-
жение от нуля t/Vo'—l-j-У в не учитывается. Из рис. 28,10, а и б
ясно, что при посылке вверх обыкновенного сигнала обратно при-
дет также и необыкновенный, и наоборот. Таким образом, при nL > 1
и малых углах 'л, когда существенно взаимодействие, при зондирова-
нии ионосферы неноляризованным сигналом должно появиться четыре
отраженных сигнала (при отсутствии отражения от точки v^ =
— [ _j~ у и у Если же имеется отражение от точки i/io= 1 4-У и >
то падающий обыкновенный сигнал даст два обыкновенных и два
необыкновенных отраженных сигнала. То же имеет место для па-
дающего необыкновенного сигнала (здесь учтено, что необыкновен-
ный сигнал, возвращающийся после отражения от точки «+ = 1 -4-
-L У и , по прохождении области взаимодействия превращается в два
сигнала: обыкновенный и необыкновенный; см. рис. 28,10 в). В ре-
зультате падающий на ионосферу неполяризованный сигнал может
дать целых восемь отраженных сигналов. Однако в области и > 1
более интересно не появление «умножения» отраженных сигналов,
а возможность прохождения необыкновенной волны через весь слой
при нормальном падении на него, несмотря на то, что а Ф 0 и ча-
стота ниже критической частоты, отвечающей точке •?)<+>. Этот эф-
фект в той или иной мере имеет место и при наклонном падении,
когда он при определенных условиях даже усиливается (см. § 29).
§ 29. Наклонное падение волн на слой. Теорема взаимности
Введение. При решении задачи о наклонном падении воли на
слой магнитоактивной плазмы исходным является общее волновое
уравнение B,5) для произвольной среды:
roUol E-?(d-I*?-j) = 0; B9,1)
для плоского слоя магнитоактивной плазмы уравнение принимает вид:
B9,2)
(см. B3,1); тензор t'ik определяется формулами, проведенными а § 10).
%-29] НАКЛОННОЕ ПАДЕНИЕ ВОЛН НА СЛОЙ 389
Ъ; Уравнение B9,2) имеет важное частное решение типа
Ш Е(г) = /=¦(?) r'V-f^i"''7" B9,3)
"отвечающее волнам с нормалью, расположенной в плоскости yz
1(Магнитное поле Я(о) в плоскослоистой среде однородно или зави-
сит только от z, но может иметь любое направление; поэтому, вы-
йбйрая решение в виде B9,3), мы не предполагаем, что поле //@)
илежит в плоскости падения yz; таким образом, используется система
>;координат, отличная от изображенной на рис. 10,1).
?; Подставляя B9,3) в уравнение B9,2), получаем;
с2
dz2
p
dz
B9,4)
хгде уже принято, что р = — ?у —const. В справедливости этого
.-существенного обстоятельства можно убедиться, считая вначале, что
?р=р(г). Тогда для Fxyr получаются уравнения, которые удовлег
створяются при всех у только в случае постоянства р (см. в § 19
.'.^аналогичные вычисления для изотропной среды). При нормальном
^падении волн на слой р — 0 и уравнения B9,4) очевидным образом
^упрощаются, переходя в систему двух уравнений второго порядка, иссле-
?дованную ранее (см. B3,2) и дальше). Уравнения B9,4) сводятся [166]
«системе двух уравнений второго порядка также для магнитного полюса
^(внешнее поле Н1°- направлено по оси z) и при распространении
? волн на экваторе в плоскости магнитного меридиана (поле fr0' на-
;~правлено по оси у, и рассматриваются волны типа B9,3))*). Однако
j даже в этих частных случаях, не говоря уже об общем случае, урав-
ч нения B9,4) не только не были строго решены хотя бы для одной
t-модели слоя, но и не использовались для приближенного учета вза-
• имодействия нормальных волн при наклонном падении. В результате
гРри наклонном падении на слой магнитоактивной плазмы анализ ре-
"шения проведен лишь в приближении геометрической оптики, кроме
того, в качественном отношении ясна картина взаимодействия волн,
-приводящего к их просачиванию через слой, а также появлению
"'¦.;. '*) Из соображений симметрии выделен также случай распространения
волн на экваторе в плоскости, перпендикулярной к плоскости магнитного
-Меридиана.

390
ВОЛНЫ В НЕОДНОРОДНОЙ МЛГНИТОАКГИВНОЙ ПЛАЗМЕ
своеобразного эффекта «утраивания» сигналов при наклонном паде-
нии (этот эффект существенно отличен от имеющего место при пор.
мальном падении). Именно на этих моментах мы и остановимся
В заключение будет, помимо того, доказана обобщенная теорема
взаимности, пригодная в магнитоактивной среде и могущая быть по-
лезной при решении некоторых конкретных задач.
Приближение геометрической оптики. Решение в приближении
геометрической оптики в общем виде получается для произвольной
среды. Для этого нужно искать решение основного уравнения B9,1)
в форме
...U-'t*")
и аналогичных рядов для D и j. у„
приравнивая нулю члены, стоящие у разных степеней
[W{VWE№>]]+Dm~
B9,5)
в B9,1) и
. получаем:
B9,6)
- -/ |rot [ГЧ??«>] + [7Ф rof ?O)j j
<o,
и т. д.
Полагая D( — i — jt -— г1к (г) Ек и сопоставляя первое уравнение
B9,6) с уравнениями A1,2) — A1,5), убеждаемся в том, что
GЧ^_ а = (я (/¦) — /«(/¦)K2; B9,7)
здесь для магнитоактивиой плазмы (л — 1'*-)\ <> — выражения A1,5),
могущие теперь зависеть от координат (другими словами, в A1,5)
V, и, s и у. могут зависеть от /')• При этом существенно, что угол
я в A1,5) есть угол между внешним полем //'°* и V4T, т. е. напра-
влением нормали к волне; поэтому правая часть уравнения B9,7)
сама зависит от (V1F)lj „ хотя в B9,7) мы и не указали этого
в явном виде.
Выражение B9,7) получается из условия существования нетри-
виального решения у первого из уравнений B9,6). Условие раз-
решимости второго из этих уравнений дает уравнение для поля Е
и т. д.
НАКЛОННОЕ ПАДЕНИЕ ВОЛН НА СЛОЙ
391
§29]
Геометрикооптическог приближение к решению B9,3) получается
в результате подстановки в уравнения B9,4) ряда
Г'"*'". B9,8)
результат можно записать в виде (х+-+.\, v * >¦ 2, г<—?-3; по
дважды встречающимся индексам проводится суммирование):
^igf и т. д.
"lz
0** < , mW
dz dz ' r* rf^2 '
B9,9)
Условие существования решения у системы уравнений для Ff>, т. е.
'равенство нулю детерминанта Д = |а^|, должно совпадать (и, ко-
Чнечно, совпадает) с выражением B9,7), принимающим для решения
^29,3) и B9,8) вид:
% (Й-)Ч-р2=(«-«)Ь- B9-10)
'Вектор V4f~J0, p, -^-\ направлен по нормали к фронту волны
(пренебрегается малыми в приближении геометрической оптики про-
изводными от pf*; величины Ф'(г) и 'Мг) входят, соответственно,
в выражения B9,5) и B9,8)). Поэтому естественно положить
2
... . У) =
= (я — h.)\ , sin2 6 (г), B9,11)
где 6 угол между V4T и осью z, а сами я и х зависят от р и
В силу постоянства р отсюда получается закон преломления:
[nui(z, b) — lv.13(z, 9)-] sin 9 (z) -= sin 60; B9,12)
причем, по предположению, в начале слоя угол падения Й — 00,
ге],2~ 1 И У., 0 = 0.
^-\ =р>Э1*

392
ВОЛНЫ В НЕОДНОРОДНОЙ МАГНИТОАКТИВНОЙ ПЛАЗМЕ
[гл.
В B9,12) в nlt2 и к2 |S поставлен также аргумент 6, поскольку
(й — 'y0i,2 зависит от угла я между полем Я*0' и нормалью к волне
направленной по VW, Угол а меняется с изменением б, в силу чего
изменяются с 6 и показатели /гьз и -/<ь2 в B9,11) и B9,12). Поэтому
траектории, описываемые волновой нормалью, а также траектории
лучей (т. е. траектории волновых пакетов) в неоднородной магнито-
активной среде, вообще говоря, весьма сложны. Нахождению этих
траекторий в различных условиях посвящено большое число работ
(см. [58, 147, 156, 158, 177—183, 188—1901).
Поле в первом приблизкении геометрической оптики. Прежде
чем остановиться на характере траекторий волновых нормалей и
лучей, выясним вид функций -,-'-~ q(z) и F^ (z) в B9,8), т. е. напдем
поле в первом приближении геометрической оптики.
Для нахождения -^- = q нужно, очевидно, явно выразить правую
часть уравнения B9,10) через q. Это значит, что в выражении A1,5)
для (и — /7.)?, 2, где я есть угол между //*0) и Vlf, нужно положить
cosia — LlJL.:—U_L, B9,13)
Разумеется, то же самое получается непосредственно из условия
существования нетривиального решения у первого уравнения B9,9).
В результате из B9,10) получаем уравнение четвертой степени
для q:
p и
где коэффициенты зависят от v-= —,«=
4 ^ raw2
направления поля ff® в пространстве.
В используемой в настоящем § 29 системе координат, когда
волновой вектор # = {0, р, q\ лежит в плоскости \>z, а вектор
tffi) =: { Я$}) ,Н{у\ Hf}\ направлен произвольным образом, имеем [189]:
«P-=A—*S)[A— LSf— U]—[(l tf
®p ¦= '2pv У иу11г ,
— tsf — Uz
tP = — 2 A — is) {[A — p2) A — is) — v\(l
Здесь
2)(l ~ JS)_D] [ [A -
X A — is - v) - A —
eH^ el If
ls — v) —
X
Pt)tt}~{\-^)p2ttv_ I
B9,15)
29]
НАКЛОННОЕ ПДДЕНШ: ВОЛИ НА СЛОЙ
393
¦@)
Pi- Заметим, чго в системе координат с вектором Н , лежащим
.Плоскости yz, и волновым вектором k = ^ [pl, p2, q], pl=s\nB0cos<9u,
Щ == sin 90 sin»0, i/ = cos90, коэффициенты в уравнении B9,14) имеют
«вид [183]:
?|? = A-й)[A—feK-a]-v[(l—fcja-ffj.
= — 2 A - is) {[A - /-) A - is) - Dl(l - is — v) -
)aL — u\, \ B9,15a)
Op = — 2 A — P2) Pi '<¦' V ilLUT •
2){\—ts) — v\\\{\—p-){[ — is) — «IX
X A - is —J) — A -- /) « I — A — i»'2) Pi«T«. j
Здесь рг = p\
5 == sins 60 =, 1 — ?2 B = 0), 1 — />2 = cos3 0o =
= q2(z = 0), «i = j?cos2/_, //r
/
угол между
Я;о)
и
осью z (при нормальном падении ;/--а — углу между //'°* и нор-
малью к волне — осью z; см. § 11 и Др.). При распространении
волн в плоскости магнитного меридиана в B9,15а) р1 — 0, р2 — р —
= sin'J(J. Переход от B9,15а) к B9,15) осуществляется заменой р,2
на р, us па гг, и пТ на а .
В однородной среде q не зависит от координат, и всегда можно
выбрать оси так, что р —0 и q2 ¦= (я — г/.J (см. B9,11) при cosO =
= cos0o=l). Уравнение B9,14) становится при этом биквадратным,
и его решение есть выражение A1,5).
^0' f
Отношение компонент.:/^0', Fy0) и Ff} получается с помощью любой
)
пары из уравнений
= 0 (см. B9,9)):
B9,16)
Здесь Тц — алгебраические дополнения элементов aif в детерминанте
Д === | й..,. f, (Напомним, что по определению 1 = J аш > = Таап^~
Mik i
т- е-
—(—
ГДС Жis —минор эле-
мента о'г,,.) Коэффициенты К и В в B9,16) зависят, очевидно, от р
и q; поэтому они различны для волн 1 и 2, когда для q берутся
значения q1 или q2. Наконец, зависимость Fj от z определяется из

394
волны в неоднородной мдгнитодктивной плазме
условия разрешимости уравнения B9,9) для F{i) В
М°»=.
const
П
а поле Е в первом приближении геометрической оптики имеет
р _ const
dz
!гл. v
результате [183]
B9,17)
ВИД;
B9,18}
где сразу выделены знаки ± у фазы, которые были раньше скрыты
в /; и q.
Графики функций цхл (о). По- <
лучить представление о характере
распространения волн при наклон-
ном падении и отсутствии погло-
щения в приближении геометриче-
ской оптики легче всего, используя
Я'Ц
Рис. 29,1. Функции ?1(J {v) прн нор. PlK 2дд
мальном падении («=.'_ 45° . пР°«раненкя на полюсе' (вертика^
У ное магшггаое поле Я«"). Использо-
ваны значения 6а = 20° и = 2.
4 •
графики величины q в зависимости от v =- i^fl'X /,
г 158 ISci is4n гт m»>2 ^ ' напРимер,
1 оа> 1ау' 1Й^])- пРи наклонном падении эти гпяЛи,
графиков функций nU(v\ ,-пт„„/„!™ рафиКИ игРают Р^ь
§291
НАКЛОННОЕ ПАДЕНИЕ ВОЛН НА СЛОЙ
395
2 ДЛЯ
волны, бегу-
пормальном падении
.-^эквивалентны, так как при отсутствии поглощения ql: 2 =
Йаолны, бегущей вверх (cos 8=1), и quiv= —
хщёй вниз (cos 8 = — 1). Таким образом, при
5'графики q (v) представляют собой
1просто графики a (v) и их зеркаль-
<ное отражение относительно оси
|абсцисс v (рис. 29,1). Симметрич-
•=Ные кривые получаются, в частно-
сти, также на полюсе (вектор tv
^направлен по оси z; рис, 29,2) и
?на экваторе при распространении
«волн в плоскости магнитного ме-
сридиана (вектор Н{0) направлен по
Коси у, рис. 29,3). Если же магнит-
Гное поле ЯA'' направлено произ-
вольным образом и даже если оно
Рис. 29,3. Функции ?i, 2 С1') Для
распространения на экваторе
в плоскости магнитного мери-
!)
диана в„=
Рис. 29,4. Функции qi: г (и) при
распространении в плоскости маг-
нитного меридиана для случая,
когда вектор //'"' направлен под
углом /_ — 45' к вертикали {оси г):
1 ; б) fvO,if=i.
а) в0 = 10°, и = -1- ; б) fv=
лежит в плоскости \>z (распространение в плоскости магнитного меридиа-
на), то кривые q (v), вообще говоря, несимметричные (рис. 29,4 и 29,5)*).
*) На всех этих кривых, а также проводимых ниже в начале слоя
•*h,2 = l и <уь 2 = ± cos 60 @о — угол падения волны на слой). Поглощением
во всех случаях пренебрегается. Заметим, что симметричным кривым (/ (и)

396
ВОЛНЫ В НЕОДНОРОДНОЙ МЛГНИТОАКТИВНОЙ ПЛАЗМЕ [г;
В общем случае кривые q^.^iv) ухолят в бесконечность в точке ~'Ь2с:
_ 1-а /
~ Т^Г^Т- U, —Уол между
Я
и осью г). Этот резуль-
тат вполне понятен, поскольку величина G = «cos 9
в бесконечность при п—>>о, когда в силу закона
B9,12) sin 0 ==— -— - >0. Но если sin 9— о, то нормаль к волне на-
правлена по оси г и угол у равен использованному в предыдущих
параграфах углу а между нормалью и полем И{"]. Поэтому при-
веденное выражение для z>i *» и совпадает с полученным ранее
(см. A1,18) и A1,22)). Нули функций
^\ ?ь2(г') являются корнями некоторого
i кубического уравнения [1S9]. Суще-
ственно, что нули cji^ip) при изменении
угла падения 60 и направления поля Hi<y>
меняются лишь в известных пределах,
которые часто довольно узки. Это
ясно из рис, 29,0, где вертикально
заштрихованные области отвечают ну-
лям q2 и горизонтально заштрихован-
ные— пулям <7, (при каждом данном
sin 0о нули <7Ь2 при любых направле-
ниях //"' лежат в заштрихованных об-
ластях, т. с. в определенном интервале
значений -и). Кривые Т, ограничиваю-
щие заштрихованные области, опреде-
ляют нули qlt2 при распространении в плоскости, перпендикуляр-
ной к плоскости магнитного меридиана | в этом случае iy = 0 при
v = coi2b0 и v — 2~[l -j-cos2fi0 ± y'sin4S0^4«sin26l)], что и опре-
деляет кривые T(v)j. При распространении в .меридиональной пло-
скости на магнитном экваторе </ь, = 0 при v = 1 и v = co?,2bc;-(
X(liV^), что определяет кривые L на рис. 29,6 а (на рис. 29,EG,
т. е. при ц> 1, граничные кривые L не всегда отвечают распро-
странению в меридиональной плоскости на экваторе).
Траектории волновых нормалей и лучей. Несимметрия кривых
q (г>) соответствует тому, чго падающая волна (q > 0) и отраженная
волна (q < 0) на том же уровне v имеют разные направления вол-
новой нормали. Другими словами, траектория, описываемая волновой
отвечает обращение в нуль коэффициентов Ь,, и Ьр в уравнении B9,14)
Поэтому кривые q(v) симметричны не только в'указанных в тексте частных
случаях, но и всегда при иу = 0 или и-, = 0 (см. B9,15); случай и, ---- 'i
отвечает распространению на магнитном экваторе).
Рис. 29,5. Схематический вщ
функций f/!l2 (и) при « < 1 (про-
ведена лишь одна ветвь кри-
вой д, (v)).
§291
НАКЛОННОЕ
ПАДЕНИЕ ВОЛН НА СЛОЙ
397
Нормалью, весьма сложна (для этой траектории ^-|_ctg8 —-у).
% качестве примера па рис. 29,7 приведены траектория нормали ям
sin28.
Рис, 29,6. Области изменения нулей функции qu - (v):
а) и — -j-; б) и = 4.
случая, изображенного на рис. 29,5. Своеобразная петля а вершине
траектории связана с тем, что для необыкновенной волны после
р
необыкновенной волны пос
достижения значения
— 0 (нормаль горизонтальна) дальнейшее-
Рис 29 7 Траектории, описываемые волновой нормалью
в случае," отвечающем рис. 29,5. Точки a, b, d, в яа кри-
вых соответствуют точкам a, b, d, e на рис. ^j,j.
уменьшение а (в области q < 0) на некотором участке отвечает
росту Г Для обыкновенной волны, наоборот, максимальное значе-
Le« достигается при ?>0 и ? = 0 Лшь в точке е траектории,
соответствующей точке е па рис. 29,о.

398
ВОЛНЫ В НЕОДНОРОДНОЙ МАГНИТОАКТИВНОЙ ПЛАЗМЕ
Причудливый ход кривых на рис. 29,7 и на аналогичных гра-
фиках (см. [188, 189, 147]), вообще говоря, не свидетельствует
о наличии в области отражения каких-либо физических особенностей.
Этот вывод связан, во-первых, с тем, что на кривых g(v), изобра-
женных на рис. 29,1—29,5, нет каких-либо особенностей (речь
идет об области значений х>, отвечающих петле на рис. 29,7).
Во-вторых, непосредственное физическое зна-
чение имеют не траектории нормалей, а дру-
гие кривые — траектории лучей (волновых
пакетов, сигналов). На этих же траекториях
«петли» нет, и, если не говорить об осо-
бых случаях, они ведут себя плавным об-
разом.
Траектория луча определяется уравнением
J^^Jl-^J^, B9,19)
da
где ¦Z'ip — 'jb вектор групповой скорости
(см. § 24).
В то время как нормаль к волне всегда ле-
жит в плоскости падения (выше—¦ пло-
скость уг), вектор групповой скорости,
вообще говоря, имеет слагающую и по оси х.
Таким образом, сигнал описывает некоторую
пространственную кривую типа изображен-
ной на рис. 29,8. Проекции траекторий лу-
чей на координатные плоскости изображены
на рис. 29,9 и 29,10; на рис. 29,11 приведены
при том же угле 0о = 5°, как и на рис. 29,7
и 29,8, траектории волновой нормали. На
рис. 29,7—29,10 относящихся к обыкновен-
ной волне [147], слой считается линейным и
<ря — угол между осью у и проекцией магнитного поля на пло-
скость ху. Ряд траекторий лучей, значения групповой скорости ра-
диоволн в ионосфере и другие относящиеся сюда данные приведены
в работах [58, 147, 156, 158, 178—182, 190]); кроме того, о траек-
ториях лучей при нормальном падении речь еще пойдет в § 35.
К этому же кругу вопросов относится вычисление траекторий «сви-
стящих атаосфериков» [53, 54]. (В этом случае и :^> 1 и обычно
можно пользоваться формулой A1,24) для «|.)
Остановимся на некоторых особенностях лучевых траекторий.
Из соображений симметрии ясно, что при распространении волн
в плоскости магнитного меридиана траектория луча лежит в той же
плоскости. Далее, вершине траектории луча (точке отражения луча)
Рис. 29,8. Траектория лу-
ча в плоском слое ма-
гнитоактивной плазмы
(угол падения в0 ^ 5°
обыкновенная волна угол
между осью у и горизон-
тальной проекцией ма-
гнитного поля aN = 27°)
§29]
НАКЛОННОЕ ПАДЕНИЕ ВОЛН НА СЛОЙ
399
"I произвольном случае отвечает не точка q — 0 (горизонтальное на-
правление волновой нормали), а точка, где горизонтален вектор
Сгрупповой скорости vnv т. е.
Й г, =-^-;=^_.ei-i-^r,,..B.f^,-0, = O. B9,20)
; Здесь vre ^'Ч'г компоненты г>гр в системе координат с вектором Я \
десь yrpjryV коп гр
аправленным по оси z' (см. B4,8)), a
Рис. 29,9. Проекции траекторий лучей на координатные плоскости при
различных углах о^ и й0 = 5" (для обыкновенной волны).
углов между осями х', у', г' и используемыми нами осями х, у, z
(ось z направлена по нормали к неоднородному слою или, условно
говоря, направлена вертикально). В силу B4,8) можно видеть, что
условие г>,.рг —0 принимает вид f' ~ут ~ ?з~л~ > или
n^KzzjL-^-, B9,21)
5 v
где f' = cos6 — косинус угла 0 между нормалью к волне и осью z
(нормаль к слою), т — косинус угла между нормалью к волне и
полем //(с) и Рз"—косинус угла между осью z и Я*о) (т. е. осью г').

ВОЛНЫ В НЕОДНОРОДНОЙ МАГНИТОЛКТИВНОЙ ПЛАЗМЕ
400 _ [гл. v
При нормальном падении у' = 1, 7 = р3 = cos а и получается извест-
ное условие отражения п. = 0. В изотропной среде, когда Н^1>.-- о
и -^- — 0, из выражения, предшествующего B9,21), получается
очевидное сразу условие отражения ~['п =¦¦ га cos 8 — 0; отсюда при
наклонном падении cos 8 = 0 и,
учитывая закон преломления, по-
лучается известное условие
п sin в ¦= « —: sin 60. Обращаясь
к рис. 29,4 и 29,5 естественно
думать, что отражение луча бу-
дет иметь место в точках, где
кривые поворачивают вниз и до-
стигается максимальное значение v.
Этим точкам отвечает, очевидно,
условие
¦?««,. B9,22)
предположение подтвер-
ждается расчетом [189] (другими
словами, условия B9,21) и B9,22)
эквивалентны). Разумеется, в тех
•зг
Ряс. 29,10. Проекции траекторий лу-
че!! при различных углах 60 и ч^ — 27е
(для обыкновенной волны).
частных случаях, когда кривые
тории луч/
норшлей и пр
из рис. 29,12
Рис. 29,11. Траектории волновой нор-
мали при 90 = 5° и различных значе-
ниях ifff (для обыкновенной волны)
симметричны, вершина траек-
нормалью к волне „
гК*° симметРичны. «Р^ина траек-
тпяД^ , М0СВЯЗЬ Межд>' тРае«ториями
траекторий лучей на плоскость падения "ясна
СГГ" ПРИВВД— ^Ф-™ Функции ь 2 („)
я иеадУ
§29]
НАКЛОННОЕ ПАДЕНИЕ ВОЛН НА СЛОЙ
40!
В применении к наклонному падению картину можно выяснить
на графиках qu2(v), а также в результате построения поверхности
волновых векторов. Для последней цели из некоторого центра про-
водится радиус-вектор с длиной яЬ2 и иод углом 9 с вертикалью
(с осью г); направление Я*0', а также параметры v и и при этом
фиксируются. Сечение получающейся поверхности яь2(б, Н
,@)
Рис. 29,12. Взаимосвязь между проекциями траекторий лу-
чей на плоскость падения и траекториями волновых нор-
малей в случае, отвечающем рис. 29,5 в 29,7. Стрелки на
траекториях лучей указывают направления нормалей.
плоскостью падения определяет некоторую плоскую кривую. Такие
кривые для обыкновенной волны, распространяющейся в плоскости
магнитного меридиана, проведены на рис. 29,13 для различных зна-
чений v (см. [180]; ось z направлена вверх, ,*г2 = 1 при v — L
\ — -^— = 80m, Я*0' = 0,5 врет; ^ = 25°, т. е. магнитное накло-
нение / = ¦?- —-/_.— 65°) *).
Вся поверхность л2 при данном v получается из соответствую-
щей кривой рис. 29,13 в результате ее вращения вокруг ноля ff°-
*) В северном полушарии земное магнитное поле направлено вниз в со-
ответствии с направлением стрелки на рис. 29,13. При нормальном падении
па слой это означает, что в формулах предыдущих параграфов cos a < 0,
а в некоторых случаях фактически фигурирует fcos щ.

402 волны в неоднородной мапштолктивной плазме гг„
те™а СтРГпЛИВ0> К°НеЧ"°' ™ЛЬК0 ПР" ""падении плоскости чеп
На оис" VltT nMeHMl С ПЛОСКОСТЬЮ магнитного неридиД"
На рис. 29,13 обращает на себя внимание тот факт что „п! ''
кривые ,нФ) стягиваются к прямой; на конца, эУ^рГ^Точ^
+Y V \-rfu'
что отвечает значению «2 при f— ! и
а = 0(см. A1,9)).
Из графиков ЯJ_ 2, приведенных
в § 11 для и <?, I, легко видеть, что
при значениях v, близких к v—-\,
кривые н2 = const действительно будут
как бы обволакивать прямую аа на
рис. 29,13. Значениям n(v,6), удовле-
творяющим закону преломления B9,12),
отвечают точки пересечения кривых
п (v, 6) на рис. 29,13 с пунктирной
вертикальной прямой, проходящей на
расстоянии sin 90 от центра графика
(в точках пересечения кривой ге, с вер-
тикальной прямой имеет место равен-
ство я, sin 8 =. sin 60). Таким образом,
в точке пересечения кривой я2 и вер-
тикальной прямой направление волно-
вой нормали совпадает с направлением
радиуса вектора, а направление луча
совпадает с нормалью к кривой я, (Ч', 0). На рис. 29,13 направления
лучей указаны пунктирными стрелками. Если бы плоскость падения
не совпадала с плоскостью магнитного меридиана, то пунктирные
стрелки соответствовали бы проекциям направлений лучей.
Из рис. 29,13 ясна одна интересная особенность. При малых
9 fi
Рис. 29,13. Показатель прелом-
ления п2 для Обыкновенной
волны в зависимости от угла О
и параметра и (//(°) — 0,5'эрст,
а = 25°, *0 = 80 м).
—— •=- sin/, вертикальная прямая нере-
углах 9„, пока sinfio< /, ртикальная прямая
секается с прямой аа. В точке пересечения обыкновенный луч, оче-
видно, перпендикулярен к прямой аа и, следовательно, перпендику-
лярен к направлению магнитного поля; направление луча при пере-
сечении прямой аа меняется на противоположное. Таким образом,
при 60 < вк2 отражение обыкновенных лучей происходит при -v--~l,
т. е. всегда на одной и той же высоте. При этом угол 6к2 опреде-
ляется из соотношения
B9,23)
НАКЛОННОЕ ПАДЕНИЕ ВОЛН НА СЛОЙ
403
§29]
Траектория луча при во<0к2 имеет своеобразное «острие»
в точке отражения, как это ясно из рис. 29,14, б (на этом рисунке
приведены траектории лучей, отражающихся от линейного слоя при
О'!
Передатчик
u-t
-угол между полем Я@) и осью г).
Рис. 29,14- Траектории лучей, отражающихся от линейного слоя
(обыкновенная волна, Ао — 80 м): а) изотропный слой; б) //'"' =
— 0.5 эрст, '!_ ¦= 25Q (магнитное поле лежит в плоскости падения).
Пунктиром показан отраженный луч при критическом угле па-
дения йк2.
Н- =: 0,5 эрст, ^ = 25°, >.о _= 80 м\ на рис. 29,14, а приведены
траектории для того же слоя, но при W(ll) -= О). При углах падения
^о > вк2 отражение носит уже характер, в качественном отношении
близкий к имеющему место в изотропном случае (речь идет о рас-
пространении' волн в плоскости магнитного меридиана, когда лучи

404
ВОЛНЫ В НЕОДНОРОДНОЙ МАГНИТОЛКТИВНОЙ ПЛАЗМЕ
[''Л. V
не выходят из этой плоскости). При распространении не в плоскости
магнитного меридиана, как легко видеть, лучи в точке отражения
не могут иметь «острия», так как прямая аа никогда не достигается
(в этом случае на рис. 29,13, если считать вектор Н лежащим
в плоскости чертежа, плоскость падения уже не совпадает с пло-
скостью чертежа и, следовательно, волновая нормаль тоже не лежит
в плоскости чертежа). Физически, конечно, не может быть суще-
ствешюй разницы между «острием» и траекторией луча вблизи точки
отражения при распространении в плоскости, очень близкой к мери-
диональной. Сглаживание разницы связано не только с близостью
траекторий в этих случаях, но и с тем, что вблизи точки отражения
неприменима геометрическая оптика, а следовательно, и сама лучевая
трактовка. Тем не менее лучевые траектории позволяют составить
известное представление о распространении волн и в области отра-
жения, поскольку для плавного слоя область применимости геометри-
ческой оптики обычно весьма широка и не включает в себя лишь
весьма небольшой район у самой «точки отражения».
Просачивание волн и эффект «утраивания» сигналов при на-
клонном падении. Критический угол падения вк2 (см. B9,23)) имеет
тот смысл, что при этом угле в точке отражения — при о= 1, вол-
новая нормаль для обыкновенной волны параллельна магнитному
полю H'J'r>. В соответствии со сказанным ранее нормаль W может
быть параллельна #AJ) только при распространении в меридиональной
плоскости, поскольку нормаль всегда лежит в плоскости падения.
Как известно из рассмотрения распространения волн при нормальном
падении, если направление волновой нормали приближается к напра-
влению поля, то точка отражения «перескакивает» от значения v = 1
к значению v=\-\-\'a (в этом и состоит эффект «утраивания»,
причем имеется в виду случай а =-- —~ < 1; см. § 28 I . Таким обра-
зом, ясно, что при критическом угле падения 6к2 луч не отразится
на уровне и= 1, а пойдет дальше. Однако, отразившись на некотором
более высоком уровне, луч при регулярном распространении уже
не сможет вернуться обратно, так как он пойдет по другому пути,
волновая нормаль уже не станет при v — 1 параллельной Н1-01 к
энергия волны поглотится в резонансной области. Чтобы яснее про-
следить характер распространения вблизи критического угла падения,
когда геометрическая оптика неприменима, целесообразно опять обра-
титься к кривым ?1>2('У).
На рис. 29,15 представлены такие кривые [183] для случая и — -т
и /_ = 22°, когда 9к2=12,5°. Как ясно из рис. 29,15, б, при д==Ьк„
в точке »— 1 обыкновенная ветвь 2 переходит во вторую необыкно-
венную ветвь 1; в дальнейшем эта волна после отражения уйдет
в область больших значений q (область ниже точки t'i+)), где и
$29]
НАКЛОННОЕ ПАДЕНИЕ ВОЛ» НА СЛОЙ
405
поглотится на уровне v\ca. При углах (J0, близких к 8к2, формально,
если опираться на графики q^iiv), обыкновенная волна не должна
/
0,5
0
-0,5
"\\
\
N
\
A
i
o>\
1
1
1
/ У
1
1
\
\
\
7
/
ail
iiit~'x
\
i
/
/
/
/
щ
Рис. 29,15. Функции (]i, г (v) при распространении в меридиональной
плоскости при и= :-и/=22::; a) fH = W; 5) 6. ='1..2 = 12330':
4 ' е) 0о = 15".
переходить в необыкновенную. Физически же ясно, что такой пере-
ход будет иметь место в некотором интервале углов вблизи Йк2,
В этой области геометрическая оптика при v йй 1 неприменима к обеим
волнам, имеет место nv взаимодействие и, следовательно, эффект

406 ВОЛНЫ В НЕОДНОРОДНОЙ МАГНН'ЮЛКТИШЮЙ ПЛАЗМЕ [ГЛ. V
просачивания; по своей природе этот эффект такой же, как и при
¦нормальном падении (см. § 28). Количественная теория явления в слу-
чае наклонного падения еще не развита.
Весьма любопытно, что при зондировании ионосферы просочив-
шуюся через область v ^ 1 обыкновенную волну все же удается
наблюдать. Дело в том, что до сих пор речь все время шла о регу-
лярной картине, имеющей место для плавных слоев. Фактически же
в ионосфере имеются неоднородности, приводящие к рассеянию волн.
Поэтому просочившаяся волна в результате рассеяния вблизи точки
¦отражения [т. с. точки -~ — со на правой кривой дг на рис. 29,15,
а практически вблизи точки v[~]) частично пойдет обратно по тому же
пути и вернется на Землю. Пропутешествовавший таким образом
сигнал вернется позже сигналов 1 и 2, отразившихся на более низких
уровнях, т. е. будет наблюдаться эффект «утранвания» сигналов при
наклонном падении. Именно о таком эффекте мы упоминали в § 28.
Этот эффект генетически связан с эффектом «утраивания» при нор-
мальном падении, по радикально от него отличается — он наблю-
дается только при участии рассеяния волн. Кроме того, эффект
наблюдается, конечно, только при излучении передатчиком волн под
углами 90з^:0к2, а также при приеме отраженных воли в этом же
направлении. Такой эффект, наблюдался [177, 178] при отражении
радиоволн от f-счоя в условиях, когда /_=18\ ш = 2~ ¦ 4,65 • 1015,
-10^=-2тт-1,55-106, (т. е. \/"и~ 0,334), 9в2:=8,73. Амплитуда третьего
сигнала в зависимости от разности Чо — Вк0 имеет вид гаусеоподобной
кривой, причем в опытах [178] квадрат амплитуды (мощность) умень-
шался в два раза при Йо — Ьк2 =i 0,42°.
Итак, независимо От того, какова его дальнейшая судьба, при
fj, sa 9K, обыкновенный сигнал проходит через «дыру» в слое на
уровне ¦!» = —т~ ~ !• Помимо отмеченных выше двух возможностей:
поглощения сигнала в области В[Л и частичного его рассеяния (в том
числе рассеяния в обратном направлении), сигнал может вообще
пройти через слой; это имеет место, если электронная концентрация
не достигает значения N я^ —-^-^— , необходимого для отражения
ш
необыкновенного сигнала от области вблизи точки -v^' (см. рис. 29,! 5, а).
Другими словами, сигнал проходит через слой, если критическая
частота для третьего отражения Аз—/кг ниже несущей частоты
сигнала / (см. также § 35). ,
Просачивание волн при а —
Л
¦ !. Эффект просачивания волн
¦может „меть^место и при «> 1, т. е. для волн с длиной, большей
длины '•„ = '— ¦ Как и в рассмотренном выше случае а< 1, Про-
§29]
НАКЛОННОЕ ПАДЕНИЕ ВОЛН НА СЛОЙ
407
: сачивание возможно, когда направление волновой нормали в области
¦. t»i=jl достаточно близко к направлению магнитного поля Н1*0'1. Напра-
вление нормали и вектор Я@) параллельны, если плоскость падения
а п. cos 0 , г,
¦является плоскостью магнитного меридиана и~ = —r-j— = ctg9 =
р sin tj0
'. = ctgx> Ti e- угол 6 волновой нормали с осью z равгн углу х между
полем Я и осью г. Как сказано и ясно из графиков функций
ti\ r,(v) при ц> 1 (см., например, рис. 28,1, б), взаимодействие волн
при Х~*0 происходит при wA. Для г/— 1 и /_ ¦¦—0 находим:
' Г ' 1 ± У и
Таким образом, для критического угла 0к получаем:
«1,2 (V= 1) COS'/.
sill f)K
или
B9,24)
где знак (-(-) относится к обыкновенной волне 2 и знак (—) к не-
обыкновенной волне 1. (Заметим, что для обыкновенной волны 0к2 < х.
и для необыкновенной волны 9К1 > •/_.) При и < 1 и рассматри-
ваемых положительных значениях я; , критический угол существует
только для обыкновенной волны. Формула B9,24) при этом тождест-
венна с формулой B9,23), полученной в результате геометрического
построения. При и = —f- > 1 для обыкновенной волны критический
угол также всегда существует. Для необыкновенной волны взаимо-
действие имеет место и критический угол существует только при
лГТ.
. 1, т. е, условии
условии
- sin' y_ <
' - ens- v
B9,25)
Для очень низких частот У и—> ее и rJK^-x, т. е. взаимодействие
происходит при распространении вдоль силовых линий магнитного
поля. Этот случай реализуется для «свистящих атмосфериков» [53, 54].
При углах падения Од, близких к вк]>2, кривые 91,а(щ) ПРИ и^> *
имеют ряд особенностей, подобно тому как это было продемонстри-
ровано на рис. 29,15 для области н< 1. Мы не будем здесь по-
дробнее останавливаться на этом вопросе, который исследован далеко
не исчерпывающим образом (см. [180 ,189]). С точки зрения прило-
жений особенно важна возможность прохождения волн через слой.

408
ВОЛНЫ В НЕОДНОРОДНОЙ МАГНИТОАКТИВНОЙ ПЛЛЭМЕ
[гл.
При нормальном падении и и} ^ucossa |> 1 этот вопрос рассмотрен
в конце § 28. Роль наклонного падения состоит в том, что эффект
просачивания может сильно возрасти и оказаться заметным при нема-
лых углах 'I между полем и вертикалью, т. е. проявляться не только
на высоких широтах. Физически дело сводится просто к тому, что
из-за рефракции в слое волновая нормаль может приблизиться к напра-
влению поля Я'01 как раз в области взаимодействия v^:\. Именно
это и имеет место при углах падения, близких к 0к]>2.
Иа рис. 28,10. б, таким образом, ясно, что при Ьо ^ 6К] необыкно-
венная волна будет проходить через весь слой, как бы толст он ни был
{речь идет о волне, являющейся необыкновенной при v <i 1). Обыкно-
венная же волна при 50^у6к, может пройти через область v ^ 1 и
распространяться дальше в виде необыкновенной волны *). Эта волна
пройдет через слой только в том случае, если точка Vm — 1 -j- V и
ею не достигается (т. е. если максимальная концентрация электронов
в слое AU*<—^^ ¦
-ir I
Доказательство теоремы взаимности. Решение задачи о рас-
пространении и отражении волн от слоев магнитоактивной плазмы,
даже в пределах применимости геометрической оптики, обычно свя-
зано с использованием графических или численных методов. Картина
еще больше усложняется, если нужно учитывать взаимодействие волн,
вычислять их интенсивность и т. д. В этой связи особенно полезно
знать общие свойства решений уравнений ноля. Примером таких
общих свойств является известная электродинамическая теорема взаим-
ности (см., например, [22], § 9, [36], § 69 и [143], § 77). Правда,
в своей обычной форме теорема взаимности при наличии магнито-
активной среды, вообше говоря, неприменима. Именно этот факт
позволяет создать световой или радиовентиль-—систему, пропускаю-
щую излучение только в одном направлении (см. [192]). Однако
некоторая обобщенная теорема взаимности справедлива и в случае
магнитоактивной среды; кроме -юго, и некоторых частных случаях
и при наличии магнитоактнвной среды можно использовать обычную
теорему взаимности или ее следствия.
Для удобства проведем доказательство теоремы взаимности
с самого начала. Для этой цели рассмотрим два источника поля 1
и 2, в которых плотности сторонних токов равны соответственно
*) Точнее, как мы указывали в § 11. волна, отражающаяся от точки
и^Г'— 1 -]гУ~п, в области v > 1 называется необыкновенной при а = 0 и
назыпается обыкновенной при а = 0.
**) При наклонном падении необыкновенная волна отражается несколько
ниже, чем от области, где о •= и^; здесь, очевидно, этот факт не учиты-
вается, так как при AК2 <? 1 соответствующее отличие от случая нормального
падения невелико.
§ 29]
НАКЛОННОЕ ПАДЕНИЕ ВОЛН НА СЛОЙ
40!)
¦A) wffl
/A) (г) и 7И (г). Создаваемые этими источниками поля Е
J стор v J J стар ч *
W^-i^BO), B9,26)
и Ei2\ ЯB) удовлетворяют уравнениям:
rot W > = l — i
if /<-)
с •'стор'
rot Eы — — i — i
B9,27)
здесь все величины считаются изменяющимися по закону в'"*', а под D
при наличии поглощения нужно понимать D—-i — j (D — электри-
ческая индукция, j — плотность тока проводимости); среда пока
считается совершенно произвольной, в силу чего и введена магнит-
ная индукция В.
Умножая уравнения B9,26) соответственно на ?<2) и //B\ а урав-
нение B9,27) на —?A) и —Н , складывая все эти уравнения
и производя переход к дивергенциям с помощью формулы div[;4B| =
= StotA — Л rotS, получаем:
div ((?«Я<3']-[?«Я<')]} ^^(j'^-j^ ,
При интегрировании этого выражения по объему первый член
преобразуется в поверхностный интеграл и исчезает (поле предпола-
гается должным образом убывающим на бесконечности; легко видеть,
что поверхности разрыва также не дают вклада в интеграл). Поэтому
теорема взаимности в своей обычной форме
J /"ор С") Ет (г) dr = f yfT'op (r) ?« р (г) dr B9,28}
справедлива, если
J \{DmE{T> - EluDni) -U. (ЯA)ВB) - В(»ЯB))} dr = 0. B9,29)
Для покоящихся сред при пренебрежении пространственной диспер-
сией и в предположении о линейности среды Dt — i — ]. — в.кЕк
и В. = \1''шНк, где комплексные тензоры e'lk и \i'lt могут зависеть
от и и координат. При этом выражение B9,29) принимает еид
(по дважды встречающимся индексам проводится суммирование,
¦и учтено, что $'ikEf* ЕЧР zs г'ыЕ(ь]Е?} и т. п.):
J {D - 4)EiM0 ¦!-Gi - т) «№I dr = 0. B9,30)
Отсюда очевидна справедливость теоремы взаимности B9,28) для
сред с симметричными тензорами г'.к и у-'№. Для сред с несимметрич-
ными тензорами теорема взаимности B9,28) верной, вообще говоря,

410
ВОЛНЫ В НЕОДНОРОДНОЙ МАГНИТОАКТИВНОЙ ПЛАЗМЕ
[ГЛ. v
быть не может, что ясно из упомянутой возможности создать вентиль,
пропускающий волны лишь в одном направлении.
Обобщение иа случай магнитоактивной среды. Обобщение
теоремы взаимности на случай магнитоактивной среды (тензор t'.k
несимметричен, (if6 = р.8^; в плазме практически у-=1) достигается,
если учесть, что из обобщенного принципа симметрии кинетических
коэффициентов вытекает общее соотношение
в» (//«") = S«(-//@>) B9,31)
(см. A0,19) и [36], § 82); для магнитоактивной плазмы соотноше-
ние B9,31) следует из выражений A0,12) для тензора t'.X В силу
B9,31) и условия B9,30) приходим к обобщенной теореме взаимности:
/О')^ ^V^/CO-)^11!/-. -«<>/-. B9,32)
Здесь поле Е^(г, —Н^) есть поле, создаваемое источником 1
в случае, когда постоянное во времени (внешнее по отношению
к рассматриваемым полям) магнитное поле равно —Я(щ (г), т. е.
имеет везде !другой знак, чем при нахождении поля ? (г, Н )
от источника 2. Если среда не магнитоактивна, тензор е,-* и поля ?( '
и Ёг от ff0> вообще не зависят, и мы приходим, конечно, к сим-
метричному тензору г'и и старой теореме B9,28). Соотношение B9,32),
являясь более общим, естественно, слабее обычной теоремы взаим-
ности B9,28), поскольку оно связывает поля ?*1} и ?B) не в одних
и тех же условиях, а при противоположных направлениях поля На.
Тем не менее теорема B9,32) содержательна и показывает, например,
что теорема взаимности справедлива в старой форме, если в силу
симметрии или характера задачи
?<»(,.. -tf@')-?A)(V, н<-6)) или Е«Чг, -Я[1)) = ?йМй).
Именно к отысканию таких случаев и сводится рассмотрение, про-
веденное в [193, 194].
Для источников, являющихся электрическими и магнитными то-
чечными диполями в B9,32), нужно положить
"' p"-sW2)«e—',.2)
•..»). где 8-дельта-фу„кцин. Тогда получаем.
§291
НАКЛОННОЕ ПАДЕНИЕ ВОЛН НА СЛОЙ
411
где при преобразовании члена с т. использовано уравнение х<лЕ =
= — I—В, магнитная проницаемость р. принята равной
единице и,
например, Е (l, H ) есть поле электрического диполя /)№ и маг-
нитного диполя /»Р) в точке, где находятся диполи рA%> и /»<'), причем
внешнее поле есть Я(о).
Среды с несимметричным тензором \i.'ik и с пространственной
дисперсией. Для сред с несимметричным тензором >/jk из обобщен-
ного принципа симметрии кинетических коэффициентов следует,
что \хц, {В@'J = ji,,; (—В-у), где i?@) — магнитная индукция, которая
считается здесь «внешней» (независимой) по отношению к рассматри-
ваемым полям с частотой ш (приведенный результат ясен из [36],
§ 88, если учесть, что среднее макроскопическое магнитное поле
равно В и может заменяться на Н только в немагнитной среде).
Отсюда следует, что теорема B9,32) справедлива и для среды
с несимметричным тензором р.^, если только заменить в B9,32) //@>
на В , что можно было сделать и с самого начала. Впрочем, для
ферритов, когда нужно вводить тензор ij.^, изменение знака B{tt}
достигается обычно изменением знака внешнего поля Я№) и можно
непосредственно пользоваться выражением B9,32).
При учете пространственной дисперсии векторы D и Е (для
простоты считаем сразу, что В = Н) связаны интегральным или
дифференциальным соотношением (ьместо алгебраической связи
Dt = -[fpt)- ^3 принципа симметрии кинетических коэффициентов
следует (см. 136], § 83), что при отсутствии внешнего магнитного
поля Нв имеет место как раз равенство B9,29), и таким образом,
теорема взаимности справедлива в своей обычной форме. Тот же
вывод получаем, если пространственная дисперсия учитывается путем
использования связи типа [1]
дЕь
B9,34)
Свойства симметрии тензоров -(т и 3Ши (Тш = — -(ш, Ь№ш^ЬЫ1т)
позволяют тогда прийти к B9,29) в результате интегрирования
по частям (этот вывод эквивалентен предыдущему, поскольку сами
свойства симметрии тензоров уги и ^it,tm следуют из принципа
симметрии кинетических коэффициентов).
Естественноактивные среды, как известно, — это среды, где
нужно учитывать пропорциональный ~<liSll член в B9,34). Таким
образом, в естестиенноактивных средах при Я№) = 0 справедлива
обычная теорема взаимности (в соответствии с этим, как хорошо
известно, используя естественноактивную среду нельзя создать опти-
ческий вентиль).

412
ВОЛНЫ В НЕОДНОРОДНОЙ МАГНИТОАКТИВНОЙ ПЛАЗМЕ [ГЛ.
При учете, пространственной дисперсии (теплового движения)
в магнитоактивной среде справедлива обобщенная теорема взаим-
ности B9,32), т. е. пространственная дисперсия и здесь сама по себе
изменений не вносит.
В качестве примера приложения теоремы взаимности в магнито-
активной среде укажем на такой результат [194]. При отражении
волн От ионосферного слоя в плоскости магнитного меридиана (т. е.
когда магнитное поле лежит в плоскости падения) теорема взаимности
в своей обычной форме (т е бе з // ' /'')
о оле лежит в плоскости паден
в своей обычной форме (т. е. без замены // '
р ости
на //'') справедлива
для антенн, излучающих и принимающих поле Е, лежащее в пло-
скости падения; то же имеет место, если обе антенны излучают
и принимают поле Е, перпендикулярное к плоскости падения. Для
двух антенн, одна из которых принимает поле Е в плоскости паде-
ния, а другая излучает поле Е, лежащее в перпендикулярном на-
правлении (или наоборот), тоже справедлива обычная теорема взаим-
ности, но только для модулей поля (т. е. без учета фазы).
В §§ 27 и 28 мы также могли убедиться в том, что в ряде
случаев в согласии с обычной теоремой взаимности и в магнито-
активной плазме модули коэффициентов прохождения волн противо-
положного направления равны друг другу. Из теоремы B9,32), как
уже отмечалось, ясно, что для доказательства полной применимости
обычной теоремы взаимности в той или иной задаче для магнито-
активной среды достаточно показать, что электрическое поле волны
не изменяется при замене Н^ ив. —Я<0'. Именно это и имеет место
в тех из упомянутых случаев, когда в магннтоактивной плазме
справедлива обычная теорема взаимности.
Г Л А В А VI
ОТРАЖЕНИЕ РАДИОВОЛН ОТ ИОНОСФЕРНЫХ СЛОЕВ
§ 30. Введение. Отражение от произвольного плавного слоя
" О распространении радиоволн в ионосфере. Земная ионосфера
явилась исторически первым объектом, в применении к которому
был изучен ряд вопросов теории распространения электромагнитных
волн в неоднородной плазме. Понятно поэтому, что уже в преды-
дущих разделах мы неоднократно приводили примеры в применении
именно к ионосферным слоям. Ниже рассматривается ряд существен-
ных моментов, касающихся отражения волн от неоднородной среды,
также преимущественно в приложении к ионосфере. Необходимо,
однако, подчеркнуть, что большинство результатов имеет более
общее значение. Кроме того, весь этот материал тесно связан .
с изложенным ранее, и его выделение в особую главу носит в зна-
чительной мере условный характер.
Распространению и отражению радиоволн от ионосферы и род-
ственным проблемам посвящено огромное количество работ. Здесь
приходится встречаться с многочисленными особенностями, касающи-
мися распространения волн разной длины в различное время и на
разных широтах; сюда же относятся разнообразные ионосферные
возмущения, спорадические явления и т. п. Большинство этих
интересных вопросов ниже оставлено без внимания, и пас по су-
ществу будет интересовать только одна задача: распространение
и отражение радиоволн от плавного слоя плазмы. Со всем осталь-
ным материалом можно познакомиться в первую очередь в [20, 22,
23, 190, 191] (подробная библиография работ, вышедших до 1947 г.,
имеется в [195]; история ионосферных исследований в СССР осве-
щена в [22, 197]). Особо нужно при этом указать на работы, посвя-
щенные распространению волн при учете случайных неоднородностей.
В последние годы со всей ясностью выяснилось, что и в зем-
ной ионосфере и в солнечной короне всегда присутствуют те или
иные неоднородности, приводящие к ряду эффектов. Упомянем о флук-
туациях амплитуды и фазы отражающихся от ионосферы радиоволн,
а также о флуктуациях амплитуды и угла прихода космического радио-

ОТРАЖЕНИЕ РАДИОВОЛН ОТ ИОНОСФЕРНЫХ СЛОЕВ
414 - - [гл. у,
излучения, возникающих в результате прохождения ионосферы
К этому же кругу во просоа относится рассеяние радиоволн, идущих от
Крабовидной туманности, при их прохождении через солнечную корону
Могут оказаться существенными, кроме того, рассеяние и рефракция
космического радиоизлучения при его распространении в статисти-
тт чески неоднородной меж
межпланетной
0,5 Юв 1,0- Iff" 1.5-10° ZP-'OS
N
Рис. 30,1. Электронная концентрация Л'
в ионосфере (средние широты, полдень,
годы максимума солнечной активности; при-
водятся некоторые усредненные значения).
звездной
среде,
Распространение волн
разных типов при учете ста-
тистических неодпородно-
стей составляет в настоящее
время большую и в значи-
тельной мере самостоятель-
ную область исследования,
представляющую интерес
с точки зрения радиофизики,
практики радиосвязи, акус-
тики, радиоастрономии и
оптической астрономии. Эта
область затрагиваться в на-
стоящей книге не будет. Для
известной ориентировки ука-
жем лить на некоторые
относящиеся сюда обзор-
ные и оригинальные работы
[23, 156, 198—214, 269].
Параметры ионосферы.
Еще сравнительно недавно
основным и практически
единственным надежным ме-
тодом определения элек-
тодом определения элек-
тронной концентрации в ионосфере являлся метод радиозондирования
с поверхности Земли. Сейчас для той же цели с успехом исполь-
зуются также радиоастрономические методы (исследование космиче-
ского радиоизлучения), наблюдение отражения радиоволн от Лупы и.
наконец, измерения с помощью ракет и искусственных спутников.
Полученная в результате усредненная зависимость электронной кон-
центрации JV от высоты над земной поверхностью приведена на
рис. 30,1 (данные относятся к средним широтам, в полдень, в годы мак-
симума солнечной активности; см. |23], откуда взяты рис. 30,1—30,3).
Концентрация молекул (всех нейтральных частиц) приведена на
рис. 30,2, а температура в верхних частях атмосферы — на рис. 30,3)
На этих рисунках свойства ионосферы отражены лишь в общих
чертах. Фактически же в зависимости от ряда факторов (широты,
сезона, времени суток и т. д.) распределение ионизации заметно
& 30] ВВЕДЕНИЕ. ОТРАЖЕНИЕ ОТ ПРОИЗВОЛЬНОГО ПЛАВНОГО СЛОЯ 415
Ш№ IB'5 IO'S Ю'7 Ю'а Ю "
a I —-Ha'/™*
200
10" W
Рис. 30,2. Концентрация нейтральных частиц (молекул) Nm в атмосфере;
а — высоты, меньшие 120 км; б — высоты, ббльшие 10;) км.

ОТРАЖЕНИЕ РАДИОВОЛН ОТ ИОНОСФЕРНЫХ СЛОЕВ
416 - -¦ - [ГЛ. V1
изменяется. В качестве примера можно указать на появление летом
в нижней части F-слоя некоторого /-",-слоя, на появление споради-
ческого Е-слоя и т. д.
Реальные ионосферные слои, даже если не обращать внимания
на локальные неоднородности концентрации электронов, не имеют
какой-либо простой геометрической формы. Правда, весьма часто,
/?„/, ^ ^ например, F-c.wft в нижней
ЩЩ^§$ I sro части хорошо аппроксими-
*:*:S**'sy__ ! руется параболическим слоем
ir
= 1_- П
Рис, 30,3. Температура в верхних частях
атмосферы (значения температуры ле-
жат в пределах заштрихованной области).
(ЗОЛ)
Однако в начале слоя от-
ступления от параболичности
весьма значительны и вообще
нет никаких оснований считать
слой строго параболическим;
не является, в частности, пара-
болическим так называемый
ак называемый
«простой слой», часто используемый в ионосферных расчетах (см. [20,
22, 23]).
Отражение волн от произвольного слоя. Поэтому весьма важно,
что распространение и отражение радиоволн могут быть рассмот-
рены для произвольного (в широких пределах) ионосферного слоя.
Именно, это имеет место в отношении любого плавного достаточно
толстого слоя с одним максимумом, типа слоя, изображенного на
рис. 30,4.
Дело в том, что вдали от точки отражения для волн данной
частоты ю (точка А на рис. 30,4, а*) можно воспользоваться при-
ближением геометрической оптики, пригодным при известных пред-
я) Точкой отражения везде несколько условно называем точку, где
г (ш) = 0, т. е. точку z{°- — 0).
К 30] ВВЕДЕНИЕ. ОТРАЖЕНИЕ ОТ ПРОИЗВОЛЬНОГО ПЛАВНОГО СЛОЯ 417
положениях для любой зависимости г' (z). В области же вблизи точки
отражения А слой обычно можно считать линейным или, если точка А
расположена вблизи максимума, параболическим. В пернф из этих
случаев при отсутствии поглощения имеет мгсто полное отражение
волн от слоя, поведение которого при значениях Z, существенно
больших z (г = 0), не играет никакой роли. Во втором случае, имею-
щем место при частотах, близких к критической, может сказываться
просачивание воли через слой. Решения для линейного, а также для
параболического слоев известны (см. § 17), и таким образом, смы-
кая эти решения с решением геометрической оптики, получаем реше-
ние для произвольного слоя. Условие применимости этого послед-
него решения (при замене слоя вблизи точки А линейным) состой;
Рис. 30,4, Произвольный плавный слой с одним максимумом.
в том, чтобы уклонение рассматриваемого слоя от линейного вблизи
точки /1 было мало, т. е. чтобы соблюдалось неравенство
Дг-
C0,2)
здесь производные берутся з точке JL{z — 0) и Az—расстояние от
точки А, начиная с которого отклонение ""точного решения от решения
геометрической оптики достаточно мало,
Как будет ясно из дальнейшего, описанный прием имеет широкую
область применимости, причем основной интерес имеет первый слу-
чай, когда слой вблизи точки Л можно считать линейным. Замена
слоя параболическим нужна лишь в непосредственной близости от
критической частоты, имеет очень небольшое практическое, значение
и будет рассмотрена в § 33.
С точки зрения изучения ряда нерегулярных явлений представ-
ляет также интерес исследование прохождения и отражения радио-
волн через топкие слои, где использование приближения геометри-
ческой оптики, вообще говоря, недопустимо. Отражение и прохож-
дение волн в случае слоев произвольной толщины и, в частности,
тонких слоев уже были рассмотрены в § 18.
27 Зак. 1471. В. Л. Гинзбург

418
ОТРАЖЕНИЕ РАДИОВОЛН ОТ ИОНОСФЕРНЫХ СЛОЕВ
[ГЛ. vi
Итак, будем слой вблизи точки отражения считать линейным (ре-
шение для линейного случая определяется приведенными в § 17 фор-
мулами A7,2), A7,4), A7,5), A7,6) и т. д.).
Если поглощение отсутствует и расстояние Дг от точки г (г— = 0)
достаточно велико и поэтому удовлетворяет неравенству (см. A7,7))
,Л2
ITz ,
4-2
~dz~\0
C0,3)
то поле Е для лилейного слоя имеет вид (см. A7,6), A7,2)):
„ 3.4 ._¦/, /2 .=/,
X:-
\de |
X
г (г).
C0,4)
Единственное изменение, которое внесено здесь в формулы § 17,
состоит в том, что там з ~ 1 —- — 1 — \-f- z, а здесь г =
г, s Лг 0
j de
[z(s = 0) — z\; поэтому в формулах § 17 нужно положить
1
j
i
^—z — Дг =-z(г = 0) — г.
Условие C0,3) означает, что^^З5"!. и именно поэтому для поля ?
можно пользоваться асимптотическим представлением бесселевых
функций C0,4), имеющим смысл приближения геометрической оптики.
Последнее ясно, в частности, из того, что условие C0,3) есть по
существу условие применимости геометрической оптики A6,22)
\-dn '
•dn
~Iz
пг
-<CL
Tai
как
dn
~d7
Выражение C0,4) можно записать в виде:
ЗА
—
C0,6)
ВВЕДЕНИЕ. ОТРАЖЕНИЕ ОТ ПРОИЗВОЛЬНОГО ПЛАВНОГО СЛОЯ
419
§301
Сравнивая C0,5) с общим выражением A6,12) для поля в прибли-
жении геометрической оптики (в нашем случае •/. = (), п = У~в и
нужно взять решение, отвечающее стоячей волне), мы видим, что
эти выражения совпадают. Поэтому, если при дальнейшем удалении
от точки отражения слой не является линейным, но к нему приме-
нимо приближение геометрической оптики, то это скажется лишь на
том, что в C0,5) функцию z(z) нужно считать не линейной, а отве-
чающей рассматриваемому слою. Итак, выражение C0,5) как раз и
представляет собой искомое решение для произвольного слоя,
Если в начале слоя (при 2 = 0) амплитуда падающей волны разна
единице, ее фаза равна нулю и г = \, то поле при г = 0 представ-
ляется в виде Е — -Ej_ 4~/?_ = 1 —е~'?, где согласно C0,5)
-.^ f n(a,z)dz—^.
C0,6)
Далее, в этом случае в C0,5) (см. также A7,9))
-г I -г '
' е
C0,7)
Поле в области вблизи точки г(е==0) определяется формулами
A7,4) и A7,5), где постоянная А равна выражению C0,7); в этом
случае в начале слоя, как указано, поле имеет вид:
C0,8)
при 2 = 0
Е=
Полученное решение для произвольного слоя справедливо, во-первых,
если ко всему этому слою при Дг, удовлетворяющем неравенству C0,31.
применима геометрическая оптика; во-вторых, для расстояния ±z,
еще удовлетворяющих неравенству C0,3), должно выполняться не-
равенство C0,2), т. е. должно выполняться условие приближенной
линейности слоя в области отражения.
Выражение C0,4) справедливо с точностью до членов порядка
-л (см., например, [126]); поэтому уже при ч^-5 точность
72 • 4 ?'
о
формулы. C0,4) больше 1?'о. Значению С = 5 соответствует согласно
C0,3) и C0,4) расстояние
¦10
I dz
получим Дгп-~
. При
2 • 104 —200 я.
27*

420 ОТРАЖЕНИЕ РАДИОВОЛН ОТ ИОНОСФЕРНЫХ СЛОЕВ [гл. VI
Если Лгг=Лг0, то условие C0,2) переходит в следующее:
^- 5 j dz I
'! 'di ,п
Выполнение этого неравенства необходимо для справедливости
предпринятой замены слоя в области отражения линейным слоем.
Особенно важной является формула C0,C), определяющая сдвиг
фаз отраженной волны по сравнению с падающей, так как, зная
фазу, можно определить также время группового запаздывания
Л^гр = ?'(%>- " _ ¦
Выражение C0,6), за исключением члена — -?, получается из гео-
метрической оптики, если считать, что она справедлива до точки
отражения z(e~ 0), Другими словами, если дополнить геометрическую
оптику условием отражения в точке г(г = 0), то получается фор-
мула C0,6) без добавки —4-. Однако подобное «дополнение» гео-
метрической оптики условием отражения может быть, разумеется.
строго получено только на основе проведенного исследования. Что
касается фазы — ¦?, то этот член много меньше основного члена
z (. = 0)
2— / n(z)dz, так как применимость геометрической оптики к ос-
о
новной части слоя (вдали от точки z (г = 0)) предполагает, что тол-
щина слоя значительно больше Хо = —— / поэтому, действительно,
I
Время группового запаздывания согласно B1,12), C0,6) равно
г(е(»)-0) 2(е(и)-0)
— о f dz .
J Vm Ы, z) '
C0,10)
здесь г/гр(о), z)-—групповая скорость B1,17), индекс нуль у и onv-
щен, так как теперь имеется лишь одна частота — несущая частота
сигнала о>; кроме того, при дифференцировании интеграла C0,0)
по верхнему пределу учтено, что, по определению, п(г(е = 0)) — 0.
S 30] ВВЕДЕНИЕ. ОТРАЖЕНИЕ ОТ ПРОИЗВОЛЬНОГО ПЛАВНОГО СЛОЯ
\ Далее, согласно B1,13), B1,14) и C0,10) имеем:
421
dz
h.
с
CA^=2 f
m, z) '
C0,11)
V
!
где «ф — фазовая скорость B1,16) и в выражении для Д/ф отбро-
шен исчезающее малый член — -л—,
Действующая высота отражения .?,. Высотно-частотные ха-
рактеристики. При нормальном (т. е. вертикальном) зондировании
ионосферы, отряженный от слоя сигнал возвращается назад через
время Д^,-„, причем место отражения — координата 2(s = 0) — непо-
средственно не определяется. Поэтому вместо истинной высоты
г., = г (s = 0) обычно пользуются кажущейся или действующей высо-
той точки отражения гд, которая, по определению, равна высоте
отражения сигнала, движущегося со скоростью света в вакууме в те-
чение времени -|Р (множитель J/s возникает из-за двух путей —
вверх и вниз). Таким образом,
с А^гр -_irj, Г cdz
' 2 ~ 2 ""./ i/rp{», гI
C0,12)
Действующая высота гж всегда больше истинной высоты za = Z (s = 0),
так как «„„ •< с. При пренебрежении влиянием магнитного поля
~4ne2N{z) , ,-,,,04 4
^73^ (см- (^1»18)) и
—_..^ . 1 - ^=?-^?«1=0. C0,13)
У т<я3
Уравнение C0,13) можно разрешить относительно zK, При этом
получается следующий результат (см. [1141 и [22], § 94):
C0,14)
где zA(ios'my_) — .шачентге функции гл (см. C0,13)) с заменой в ней
на msiny.

422 ОТРАЖЕНИЕ РАДИОВОЛН ОТ ИОНОСФЕРНЫХ СЛОЕВ |гЛ
Таким образом, зная действующую высоту z, как функцию от ш („е.
сущей jwcTOTb, сигнала), в рассматриваемом случае (при ,[==
= i/~, 4т.еЧГЩ\
У 1^^~) с помощью C0,14) можно найти истинную вы-
соту z (щ). Функция г», определяющая зависимость действующей (ка-
->цейсЯ) высоты ионосферы от частоты, называется высотно-члстотпо,
характеристикой ионосферы. Именно эта величина непосредственно „о-
>л тется на ионосферных станциях путем измерения времени группового
Й? h
Рис. 30,5 Высо-ню-частотные характеристики ионосферы
(схематически): а — детом н б — зимой.
запаздывания ЛСгр = JfiW для сигиалов с разлиЧ1)ОЙ несущей
ионосферных станциях вся кривая гд(ш)'
см (99 9чп~---:атически за вреыя, меньшее минуты (подробнее
на' cDe"iH»v Г1Ш"чные "'«тчо-частотные характеристики ионосферы
на средних широтах схематически представлены на рис. 30.5, при-
§30]
ВВЕДЕНИЕ. ОТРАЖЕНИЕ ОТ ПРОИЗВОЛЬНОГО ПЛАВНОГО СЛОЯ
423
чем, как обычно, па оси абсцисс откладывается не циклическая ча-
стота ш, а обыкновенная частота f = -^- в мегагерцах.
На опыте вследствие влияния земного магнитного поля высотно-
частотные характеристики расщепляются на две близкие кривые;
это расщепление особенно заметно вблизи критических частот и ука-
зано пунктиром на рис. 30,5, б. На рис. 30,5, а расщепление не
показано: для Е-слоя оно обычно незаметно. О влиянии магнит-
ного поля на отражение радиоволн от ионосферы еще будет идти
речь а § 35.
Обсуждение экспериментальных данных об ионосфере и, в част-
ности, подробный анализ различных высотно-частотных характе-
ристик проводятся в [22, 23]. Здесь же мы остановимся лишь на
некоторых качественных особенностях высотно-частотных характе-
ристик, которые ясно видны на рис. 30,5. Именно вблизи критиче-
ской частоты Е-слоя высотно-частотная характеристика Е-слоя
довольно резко поднимается вверх; значительно более ясно это прояв-
ляется в случае. Fx- и Е2-слоев, Кроме того, вблизи критической ча-
стоты /К(Е) Е-слоя высотно-частотная характеристика Fj-слоя летом
и /\2-слоя зимой имеет «загиб»; загиб этот такой, как если бы на этих
частотах Fx- и Е,-слои лежали выше, чем для несколько больших частот.
Последнее, конечно, невозможно, и здесь проявляется существенное
отличие между действующей и истинной высотами.
Крутой подъем высотно-частотных характеристик вблизи крити-
ческой частоты объясняется тем, чго в этом случае сигнал распро-
страняется в области максимума слоя и поэтому проходит относи-
тельно большой путь в области малых показателей преломления п.
В интеграле же C0,13), определяющем действующую высоту zx,
л входит в знаменатель (групповая скорость ъ\^ = сп) и, таким об-
разом, вклад области вблизи максимума слоя в значение гд особенно
велик. В количественном отношении это ясно из приводимого ниже
примера параболического слоя. Что касается загиба характеристики
для Е-слоя в области частот больших, но близких к критической
частоте /К(С) для Е-слоя (см. рис 30,5.E), то этот загиб объяс-
няется дополнительным запаздыванием сигнала при его прохождении
через Е-слой. Поскольку в этом случае. />/й(Е), сигнал проходит
через Е-слой свободно, практически не отражаясь (если / больше
/к хотя бы на несколько процентов; см. § 33). Но пока частота /
близка к /к, показатель преломления для частоты / в Е-слое все же
заметно меньше единицы, и Е-слой также вносит свой вклад в выра-
жение C0,13), определяющее действующую высоту гд дли Е-слоя.
В областях, близких к критической частоте, отличие действую-
щей высоты zs от истинной высоты отражения г., = г (г = 0) может
быть очень велико. Это ясно из рис. 30,6 [127], на котором для од-
ного конкретного случая показана как экспериментально полученная
кривая 2д(ш) (т. е. высотно-частотная характеристика), так и истинная

424
высота
что для
т. е. г„
тывать
Зная
делить
ОТРАЖЕНИЕ РАДИОВОЛН ОТ ИОНОСФЕРНЫХ СЛОЕВ [гл
гк, вычисленная с помощью формулы C0,14). Заметим
линейного слоя истинная высота вдвое меньше действующей'
, (ш) = ^2я((в), причем обе высоты, разумеется, нужно отсчи-
от начала слоя.
истинную высотI отражения г., (ш), сразу же можно опре-
распределение плотности электронов в слое, так как по
определении) на высоте ,г„(ш)
имеем е(ш) = 0, и концептра-
III;: чия электронов равна
= 3,14- 10" "V= 1,24-i (Г5/2.
Параболический слой. Из
экспериментальных данных сле-
дует, что /-',-слой, а также
другие стоп (или, точнее, ниж-
ние части этих слоев) часто хо-
рошо аппроксимируются пара-
болическим слоем (см. [22, 23]),
Кроме того, параболический
слон является наиболее про-
стым и в то же время в качс-
гзяольному плавному толстому
все полученные общие фор-
и отражения для частоты /
Рис. 30,6. Действующая (кажущаяся) и
истинная высота отражения для /"-слоя.
стзешюм отношении близким к прои
слою (рис. 30,4). Применим поэтому
мулы к параболическому слою.
Согласно C0,1) координаты точь
таковы:
C0.15>
где начало координат помещено в максимуме слоя и знаки ± соот-
ветствуют симметрично расположенным двум точкам, где ?=-0. Если
направить ось z так, как это сделано на рис. 17,2 (при этом в на-
чале слоя z-~ — zm), то нижней точке г(е —0), которая только нас
и интересует, в C0,15) отвечает знак минус. Для фазы •? и длины
оптического пути ?0 согласно C0,6), C0,11) и (ЗОЛ) имеем:
гп=С>
с .1 "¦<.-•"¦- 2 — 7~Lo~ 'Г'
Li ^!!f I " Л лг ' 1.
"' (
C0,16)
§30)
ВВЕДЕНИЕ. ОТРАЖЕНИЕ ОТ ПРОИЗВОЛЬНОГО ПЛАВНОГО СТОЯ
425
Для времени группового запаздывания Д^.р, длины группового
пути LTS и действующей (кажущейся) высоты zx согласно C0,10),
C0,11)'," C0,12) п C0,1) получаем:
xtгр = ?'(ш) = — ~ — "> -д = ~2~ /7 '1П А — / ' C0>!7)
Посмотрим теперь, каково в случае параболического слоя усло-
вие справедливости формул C0,16) и C0,17); это условие, очевидно,
совпадает с условием C0,9) применимости основной формулы для
фазы C0,6). Согласно C0,9) и C0,1). как легко показать, условие,
: о котором идет речь, таково:
д/==/„-/:>
3z,n'
C0,18)
C0,19)
причем )vK = y- и предположено, что ±f<^_fK (условие A7,27)).
Как будет показано в § 33, отличие формулы C0,17) от точной, по-
лученной в результате решения волнового уравнения для параболи-
ческого слоя, совершенно ничтожно уже при -J— = ,,"л . Таким об-
разом, по сути дела, услови:: C0,18) я C0,19) можно заменить такими:
Подобная возможность ослабления условий C0,18) и C0,19) свя-
зана, в частности, с тем, что исходное неравенство C0,9) было на-
писано на основе требования точности, большей \% (но, разумеется,
основным аргументом в пользу замены формул C0,18) и C0,19) на
C0,20) является сравнение со строгим решением для параболического
слоя).
Для F-слоя полутолщина г.^^ЮО км, и условие C0,13)
переходит в требование А/'^§> 103, Поскольку в этом случае
/К~Ю мгщ=\{У' (Хк.—-30 .1/), приведенные формулы приме-
нимы при —ir'^> 10~4, а практически уже при ~-f~~^ 10"'1.
Для ZT-слоя г -— 20 км, /к~ 3 лг<ц, Кк'—-100 м, и условия C0,13)
и C0,19) принимают вид А/^5>5 ¦ 10аи -/-^>2 ¦ 10 ; в этом слу-
чае формулы C0,16) и C0,17) вполне применимы уже при
~7~~^ Ю~3, т. е, также, практически всегда.
/к
Произвольный плавныЧ слой типа, изображенного па рис. 30,4,
в области максимума всегда можно, если не говорить о каких-либо
специальных случаях, аппроксимировать параболой C0,1) с соот-
ветствующим значением г,„ и критической частотой /к , равной

426
ОТРАЖЕНИЕ РАДИОВОЛН ОТ ИОНОСФЕРНЫХ СЛОЕВ
[ГЛ.
критической частоте рассматриваемого произвольного слоя. Поэтому
приведенная оценка области применимости основной формулы C0,6)
и следствия из нее полностью относятся и к произвольному слою.
Таким образом, формула C0,6) практически всегда применима,
В особом рассмотрении, как уже упоминалось, нуждается лишь
небольшая область вблизи критической частоты слоя (см. § 33').
Кроме того, результаты настоящего пара-
графа неприменимы к тонким слоям, для
которых приближение геометрической
оптики несправедливо во всем или в боль-
шей части слоя. Подобные, слои, по-
видимому, могут спорадически появляться
в ионосфере, и их исследование представ-
ляет поэтом^' известный интерес. В силу
тонкости слоя основной вопрос, стоящий
в этом случае перед теорией, состоит
б нахождении коэффициента отражения f{
в зависимости от частоты и параметров
слоя (этот вопрос был рассмотрен в § 18),
Расплыванис сигнала согласно B1,33)
характеризуется «временем установления»
тс = у --с" (d)lt); для параболического слоя.
Рис. 30,7. Время устаповле-
ния
г . ~"™"~ В/ ""л Z"~ i 11 I -"
параболиче-
2<
ского слоя.
!_ /
1 &
'/к
1-f^2
C0,21)
Зависимость t0 (/ —-^- от-— ясна из рис. 30,7. В качестве
типичного примера укажем, что для --- = 0,8 при гт—100 км л
'к
/к—10 яггц (Р-слой) или при ?,„ ~ 20 кл/. и /Е-~ 3 мггц(Е-
слой) то= 10~° сек. Время та особенно велико вблизи критической
частоты; при условии A7,27), когда Д/<^/к. получаем:
Х»~-К 2с~А/ ' C0,22)
д/=л-/<:/«. I
При 2т~ 100 к.и и Д/^—104 имеем т0-—^Ю сек и, следовательно,
ta того же порядка, как и длительность Т обычно используемых для
301 ВВЕДЕНИЕ. ОТРАЖЕНИЕ ОТ ПРОИЗВОЛЬНОГО ПЛАВНОГО СЛОЯ
427
зондирования ионосферы сигналов, для которых Т¦-—• Ю~4 сек.
Таким образом, вблизи критической частоты расплывание сигнала
может быть вполне заметным. Для оборванной синусоиды, т. е. прямо-
угольного сигнала B! ,4) и B1,5), форма квазимонохроматического
отраженного сигнала определяется выражением B1,8). При условии,
что Т3>"о (условие B1,30)), форма переднего и заднего краев сиг-
нала показана на рис. 21,1 (см. также формулу B1,31)). Если же
условие B1,30) не выполнено, что может иметь место вблизи кри-
тической частоты, то согласно B1,28) форма сигнала определяется
параметром — и при значениях этого параметра, равных 1, 3 и 5,
ясна из рис. 21,2 (просачивание волны через c.ioli не учитывается).
Учет изменений слоя во времени. До сих пор всегда пред-
полагалось, что в отражающем слое не происходит никаких измене-
ний во времени. Между тем экспериментальные данные свидетель-
ствуют о том, что временные изменения, происходящие а отражающей
среде, часто существенны и приводят к заметному Г1оплер-эффекту.
В этой связи выясним, чему разно изменение частоты отраженной
волны в зависимости от временного хода показателя преломления
Если свойства среды меняются со временем достаточно медленно,
то выражение для фазы ? отраженной волны остается по форме
неизменным. Зависимость же о от времени t проявляется при этом
лишь в том, что определяющая -^ функция я теперь зависит от t.
В подобных квазистацпонарных условиях при отражении от плавного
слоя согласно C0,6) имеем:
?(lV 0 =
9<о
C0,23)
где ш0 — частота при пренебрежении эффектом Доплера. Частота
колебаний ю, по определению, есть производная но времени от пол-
ной фазы волны, т. е. в нашем случае, когда поле отраженной
волны "'имеет вид Е = const ¦ el <»..f-v<<"=- !!\ <d -= (»0 — -^f = »0-fA«.
В случае C0,23)
¦йг
C0,24)
(дифференцирование выражения C0,23) по верхнему пределу не-
существенно, поскольку при г(г(«){|) = 11г(«1,) —1)|, по определению,
п = 0). Если отражение происходит не от области « = 0, а от

428 ОТРАЖЕНИЕ РАДИОВОЛН ОТ ИОНОСФЕРНЫХ СЛОЕВ [гл, VI
некоторой одинаковой при всех частотах границы (например, от ионо-
сферного облака), то
t
где Zq—положение границы раздела, на которой
а = п (<«,.„ „-,,) = «„.
В этом случае
' — """«
C0,25)
Наиболее простая и, по-видимому, типичная картина имеет место,
когда все изменение частоты связано просто с движением границы
раздела, т. е. когда в C0,25) можно пренебречь первым членом и
положить ?с — vot. Тогда
дш •= — -р_ Пд,,0§ C0,26)
т. е. мы приходим к обычной формуле для эффекта Доплера при
движении отражающего зеркала в однородной среде; заметим, что
скорость v0 > 0, если граница движется вверх; если же граница
движется вниз, то vB < 0 и, как это и должно быть, Дш > 0. На-
помним также, что здесь разбирается только случай, когда граница
раздела перпендикулярна к оси г, по которой направлен волновой
вектор падающей волны к: в однородной среде при любом угле
между k и vB
С ° | И | С
где в — угол между к и щ.
Упомянутое несколько раньше з'словие медленности изменения п
со временем (условие квазнстационарностн) сводится к неравенству
^^<О<»,0. C0.27)
т, е, треоованшо, чтооы изменение г за период /(=— оыло зна-
чительно меньше самого значения г. Довольно очевидное усло-
вие C0,27) легко получить также, рассматривая распространение
волн в однородной среде с г = е(/); при условии C0,27) в cooi-
дг дЕ
иетствуюшем уравнении можно прснеоречь членом типа -,— ~j- no
сравнению с членом типа г-^-2-. Помимо использования усло-
вия C0,27), в выражении для п выше всегда в качестве аргумента
§31]
УЧЕТ ПОГЛОЩЕНИЯ
429
использовалась несмещенная частота <и0. Это возможно, разумеется,
лишь, если
-^1дш<:пК), C0,28)
В условиях ионосферы, если не говорить о рассеянии радиоволн
на высокочастотных «плазменных волнах», неравенства C0,27) и
C0,28) должны хороню выполняться.
§ 3S. Учет поглощения
Влияние поглощения иа отражение волн. Обобщение резуль-
татов § 30 на случай, когда имеется поглощение, не составляет
труда. Можно было, собственно, сразу рассматривать задачу с по-
глощением, и это не сделано лишь по соображениям удобства.
Кроме того, поглощение в ионосфере, если не говорить о D-слое.
обычно невелико, и в ряде случаев его можно игнорировать.
Получение формул для фазы о и коэффициента отражения R
отраженной водны для произвольного слоя рис. 30,-I при учете
поглощения производится так же, как это было сделано в § 30 для
непоглощающего слоя. Сопрягая вблизи точки отражения г(е —0)
решение геометрической оптики A6,12) с решением для линейного
слоя A7,4), A7,12) — A7,14), A7,18) — A7,20), мы без труда полу-
чаем следующие выражения для произвольного слоя с поглоще-
¦пием *):
г(е-С)
C1,1)
гт-—• C!-2)
где значения о @) и —"- j отвечают точке г (е (ь>) = 0). Для слоя,
линейного при всех z, формулы C1,1) и C1,2), разумеется, пере-
ходят в A7,18) и A7,19), так как в этом случае .г(г = 0) = .г, и
dz
*) Под Я везде ниже понимается модуль амплитудного коэффициента
отражения, который обозначался также через | R \.

430
ОТРАЖЕНИЕ РАДИОВОЛН О Г ИОНОСФЕРНЫХ СЛОЕВ
[ГЛ. VI
Формулы C1,1) и C1,2) отличаются от часто употребляемы*
наличием поправок: " '
/ 4-c @) NJ
_
2/2
Зс
здесь v^fO) — эффективное число соударений в точке z (= = ())
4^j *'эфф
и учтено, что при г = 0, согласно C,7), = —'—. Поправка
Д(—In/?) —— Дз обычно невелика; так, например, при
<1> = ^. = 1!9.
^-о ~ ! 00° м) и '' 1°) =
Л (— In R) — — Лс? = 0,23.
Таким образом, поправка к фазе Да обычно меньше даже члена ;у ,
который сам мал по сравнению с о (см. § 30), и, следовательно,
наличие поглощения практически не сказывается на виде выражения
для о; это последнее сохраняет вид C0,6). При этом, разумеется,
показатель преломления в C1,1) нужно брать с учетом поглощения,
т. е., строго говоря, в виде G,12).
В отношении коэффициента отражения поправка Л(—In/?),
вообще говоря, мала по сравнению с —In/?, но все же без даль-
нейшего анализа отбрасываться не может. Произведем поэтому
оценку величины Д(—In/?) для параболического слоя C0,1), когда
-Л;
C1,4)
здесь учтено, что при условии <°2 ~S> ^фм, выполняющемся для
/¦"¦-слоя, выражение для г при наличии поглощения остается таким же,
как без поглощения. Вблизи критической частоты
У- ¦ C1.5)
При гт = 100 км, /к = 10 мггц и Д/ = 105 имеем -|i-{ = 2,8 ¦ 10~\
Далее, в F-слое v^lO4, и таким образом, Д(—In/?)<<-Q, 15-+-0,20;
в то же время — !п/? в рассматриваемых условиях порядка не-
скольких единиц, и, следовательно, поправка Д(—In/?) составляет
максимум 10% по отношению к —In/?.
Область применимости формул C1,1) и C1,2) ограничена требо-
ванием, чтобы слой был плавным и достаточно толстым (см. § 30),
УЧЕТ ПОГЛОЩЕНИЯ
431
¦;•§ 31]
а также условием C0,2), которое при относительно слабом погло-
щении сводится к C0,9) или практически к условию C0,20):
. Д/>-«;—¦ Заметим, что в C0,2) фигурируют модули только для
того, чтобы неравенство имело смысл и при разных знаках \-т~)
и (-рг) ¦ При наличии поглощения условие, аналогичное C0,2),
нужно наложить на вещественную и мнимую части в' в отдельности.
Поэтому, помимо C0,9), строго говоря, нужно требовать такжс-
выполнения неравенства
%' . C1.6)
Если з меняется с высотой не быстрее, чем а, что имеет обычно
место в ионосфере, условие C1,6) не сильнее условия C0,9). Кроме
того, как уже упомянуто, само неравенство C0,9) получено из усло-
вия -т4- Дг <з^ -г- в предположении об относительной слабое:и
поглощения (это ясно в связи с использованием при соответствую-
щем выводе выражений C0,3) и C0,4), справедливых при отсут-
ствии поглощения).
Предположение о слабости поглощения в ионосфере обычно
: выполняется. Так, для Р-слоя всегда, а для Е-слоя в большинстве
случаев соблюдается неравенство
^¦Э> ¦/?.„,,. C1,7)
и поэтому для изотропной плазмы (см. C,9))
4те2Л' 1 _ е
^ т«2 '
Далее, как всегда.
4-
При = = 0, т. е. в точке z (s — 0), в общем случае
C1,8)
C1.fl)
C1,10).
Если выполнено условие C1,7), то значение п. мало отличается
от У s и от значения п при отсутствии поглощения. Так, при
v@)~3 • 103 и /— 107 имеем я@)— 10~2. Вместе с тем для пара-
болического слоя C0,1) вблизи точки z (г = 0) получим г = -j^ Дг,

432
ОТРАЖЕНИЕ РАДИОВОЛН ОТ ИОНОСФЕРНЫХ СЛОЕВ
rfs
(ГЛ. VI
определяется формулами C1,4)
где Дг — z (е =г- 0) — г и
и C1,5). При /к=107 и zra=100 км даже в практически наихуд-
шем случае, когда Д/—105, ]/s=10~2 при Дг=^40 м, или
~-яй4. 10~''. При больших Дг (например, при Дг==100 м), как
чсно яз приведенных формул и оценок, уже можно считать практи-
чески, что ;/ ~ |/ г, Поэтому в /-'-слое, за исключением области
частот, непосредственно примыкающих к критической (см. § 33),
Cm' (со)
для фазы волны ^ я действующей высоты z3~ —!-ту~ можно поль-
зоваться выражениями, полученными при отсутствии поглощения
(см. C0,16) и C0,17)).
Коэффициент отражения в случае малости поглощения. Опре-
деление уЭфф по измерению поглощения. Малость поглощения по-
зволяет также сильно упростить выражения для —In/?. Учитывая,
что согласно C1.8) и C1,9)
и опуская з выражении C1,2) поправку Л (—
— 1П /? = -/ ^ф
имеем:
C1,11)
C1,12)
Далее, в /-"-слое, где выполняется условие C1,7), в силу C1,9),
C1,10) и C1,11) и сказанного выше в отношении точности соот-
ношения и — \г& , получаем15):
] ЭФФ ,
C1,13)
*) Строго говоря, выражение {31,13) пригодно, очевидно, если I — лг^>
^>7.". Поэтому им можно пользоваться только в области, где «2 не слиш-
ком близко к единице. Такую область обычно называют (-отклоняющей?.
Другое выражение для !пй, справедливое при условии -<$L\, полу-
чается из A7,20а). Именно, обобщая выражение A7,20а) на случай плавного
слоя (см. & 30 и [263]), имеем:
Для U[<C1 неравенство —— <^1 заведомо выполнено
]- C1,13а)
при условии C1,7).
;§ 31] УЧЕТ ПОГЛОЩЕНИЯ
-Здесь LcA и Lo — групповой и оптический пути C0,11):
г{з-0) г(г = 0)
ndz.
433
C1,14)
В C1,14) принято, что vrv = ca, как это имеет место, если
Величина /эфф в C1,13) есть некоторое среднее значение эффекти-
вного числа соударений. Для r-слоя неточность формулы C1,13),
: связанная с переходом отC1,12)
и пренебрежением поглощением
в выражении для п = У^= , не
превосходит нескольких про-
центов [113].
' На опыте непосредственно
^.измеряется величина irp((o) =
= 22i(o)), которая вблизи кри-
тической частоты быстро растет
с частотой (см. C0,17) и
рис. 30,5 и 30,6), в то время
как Lo возрастает весьма мед-
ленно (см. C0,16)). Поэтому,
вводя разность значений otr^
:для двух частот /j и /2 в об-
ласти, где L-v круто растет,
можно положить:
70
НО
5,0
?
3,0
2,0
',0
j
|
v-S
¦w1
j
•HOi
1 I
\
S 0,2 S,i 0,6 0,8
Рис. 31,1. a — значения —-p- и -
U
o(— \nR)~
параболического слоя как функции -—-;
Jfc
C1,15) б — логарифм коэффициента отражения
р' * для параболического слоя при гт -=
= 100к.« как функция -?- для сред-
него эффективного числа соударений
¦^ФФ — W3, 5 ¦ 103 и W.
где теперь чэфф усредняется по
Области высот между точками
отражения частот Д и /2. Если
не пренебрегать величиной Lo,
то умножая C1,13) на /, а затем дифференцируя это выражение по
частоте и используя равенство d(Lof)~Llydf (см. B1,19)), получаем:
— d{f\i\R) = ^-fdLT9. C1,16)
Для параболического слон C0,1) значения 1гр и Lg в формуле C1,13)
определяются выражениями C0,16) и C0,17); отношения —¦¦¦- и —,
вычисленные по этим формулам, приведены на рис. 31,1, а. На

434
ОТРАЖЕНИЕ РАДИОВОЛН ОТ ИОНОСФЕРНЫХ СЛОЕВ
[ГЛ. VI
СТРУКТУРА ПОЛЯ ВБЛИЗИ ТОЧКИ ОТРАЖЕНИЯ
435
рис. 31,1. йГ приведены значения —In/? по формуле C1,13) для
~эфФ=103. 5- 103 и 104 при zm=100 км.
Об измерении коэффициента отражения R и определении от-
сюда -*Эфф см. [22], § 102 и [23], а об усложнениях, связанных
с учетом влияния земного «магнитного поля, см. ниже § 35.
Заметим в заключение, что в общем случае s приближении гео-
метрической оптики ослабление амплитуды волны R при прохожде-
нии некоторого пути /, как ясно из A6,1!) и A9,10), равно
-!„/? = — / -,.(s)ds,
C1,17)
где ds—элемент траектории луча и показатель поглощения -/. опре-
деляется формулой C1,9) или в частных случаях формулами G,17)
или G,20). Интенсивность волны Л убывает при этом по закону
-2-? J *(s)ds - J u-МЛ-
S = V ; =-V l * C1,15)
где (j. — коэффициент поглощения G,10).
§ 32. Структура поля вблизи точки отражения
Структура поля. В большинстве случаев интерес представляют
лишь фаза и амплитуда отраженной от ионосферного слоя волны.
Однако при исследовании ряда вопросов, например нелинейного
взаимодействия радиоволн в ионосфере, важно также знать, какова
структура поля в области отражения. В этой области, если отно-
шение ~~ не слишком мало (см. §§ 30, 31), слой можно считать
/к
линейным, и, таким образом, полное решение задачи содержится
в формулах A7,2), A7,4), A7,5) (при наличии поглощения С опре-
деляется не выражением A7,2), а формулой A7,12)). При этом
удобнее, имея в виду произвольный слой, записать параметр С не
в виде A7,2), а так же, как в C0,4):
Дг,
C2,1)
где Дг — расстояние от точки
в той же точке ( —
\ dz
ds. ds
__ — значение —,—
dz о dz
, ,, h очевидно, есть длина волны
в вакууме.
Постоянная А в A7,4) и A7,5) зависит от значения поля на гра-
нице слоя; для произвольного плавного слоя при амплитуде падаю-
щей волны, равной единице, А определяется формулой C0,7). Даль-
нейшая конкретизация вида поля вблизи точки отражения может быть
§ 32]
достигнута, если обратиться к свойствам функции Бесселя или, проще,
' интеграла Эйри (см., например, [125, 126]).
При отсутствии поглощения отношение -т- j согласно форму-
лам A7.4) и A7,5) представлено сплошной линией на рис. 32,1, где
tOp !Zp ftfi fSfl ЩОЦ
' Рис. 32,1. Структура поля вблизи точки отражения (сплошная
: ' I Е 2
линия). Пунктиром нанесено отношение [ -ц~ в приближении
геометрической оптики C2;7). Параметр '(, — {-'— ! ?-
по оси абсцисс отложен параметр C2,1). Поле Е обращается в нуль
;в точках, отстоящих от точки z(s = 0) на расстоянии
C2,2)
где га — номер нуля (корня) и pj = 2,338; р2---= 4,088; j33 —5,521;
:Р4 = (:'>787; В5 = 7,944; 81(,= 12,8 и т. д. Значения Зт иногда удобно
т;10 = 30,63 и вообще
-=-¦';,„!' . где гп = 2,38; yj2 ^= 5,61; т;3 = 8,64;
0,08328 ,
- ( l\ j_°'°^l?i 0,083
Максимумы поля Е лежат в точках гм,т, определяемых выра-
жением C2,2), но с заменой рт на ¦;„,¦ где fi = 1,019; у2== 3,248;
Tj = 4,820; T4=6.163; Ts = 7,372.
В качестве примера укажем, что для >>() = 60 м (/ = 5«10б)
и 1^1 =
\ds\
520 м и

436
ОТРАЖЕНИЕ РАДИОВОЛН ОТ ИОНОСФЕРНЫХ СЛОЕВ [|
Если бы слой отсутствовал и в точке z(s — 0) находилось идеаль-
ное зеркало, первый узел образующейся при отражении стоячей
волны находился бы на расстоянии -^-.= 30 .«, а первый максимум •
на расстоянии -----15 .« от зеркала. Таким образом, в рассмотрен-
ном примере из-за малости и в области отражения поле «растяги-
вается» более чем в 15 раз.
¦ ? ,2
в первом максимуме равно 2,68, и, так как со-
Значение
гласно C0,7)
М !2 =
4* /
\ •:,
dz
к i
квадрат напряженности поля в первом максимуме равен
\ _
Вдали от точки отражения, согласно C0,4), имеем:
C2.3)
)
В работе [120] была рассмотрена структура поля вблизи точки
отражения на основе строгого решения волнового уравнения для слоя:
при
0
4 я* — I
-4-
при z > 0
C2,5)
где р, а и Ь— некоторые постоянные, удовлетворяющие тому усло-
вию, что при z -— 0
с3 с2
(фактически в [120] рассматривается лишь частный случай слоя C2,5),
а именно полагается е, = е2 = 1 и e = b).
Решение волнового уравнения для слоя C2,5) выражается в функ-
циях Бесселя порядка р. Если имеет место полное отражение, то
в области точки отражения слой C2,5) можно заменить линейным
с таким же значением/уЛ ; при этом величина j Е.щ f отличается
(^j ; р эом в
от C2,3) не ближе, чем в третьем знаке
321
СТРУКТУРА ПОЛЯ ВБЛИЗИ ТОЧКИ ОТРАЖЕНИЯ
437
Геометрикооптическое приближение. Как было указано в § 30,
несмотря на то, что при j/s—я. ~>0 геометрическая оптика непри-
менима, фаза отраженной волны C0,6) может быть с большой точ-
ностью получена нз геометрикооптического приближения, дополнен-
ного условием отражения в точке е = 0. В этой связи представляет
известный интерес посмотреть, как в этом приближении выглядит
волновое поле. Конструируя стоячую волну с узлом в точке г (= — 0)
из решений A6,11) при отсутствии поглощения, мы приходим к та-
кому выражению (n—\''i):
\
J
C2,6)
где z отсчигывается от точки z (г — 0) и коэффициент 2 выбран
в соответствии с тем, что амплитуда падающей волны вне слоя счи-
тается равной единица, так же как в решении A7,4) при
dz
dz\0
Для линейного слоя, где е —
нимает вид (вместо z пишем Дг):
• п ! da \ иг
¦у , г, квадрат выражения C2,0) при-
dz |о
__4_
(Hi
' ¦ 9 / 2 <-- \ 9 ¦ 1 12
C2,7)
Сравнение C2,7) с C2,4) показывает, как этого и следовало
ожидать, что при СЗ->1 асимптотическое приближение строгого ре-
шения и решение C2,6) отличаются лишь фазой — (см. §§ 17, 30).
Нули функции C2,7) определяются формулой C2,2) с заменой Зж
на т? п~
2,8,
^ \?>,0; для
т. е., например,
первого нуля разница составляет -^20%, для второго ~ 10% и для
десятого ~2% от рт, Положение первого максимума поля и его
высота определяются теперь формулами C2,2) и C2,3) с заменой
Yj ~ 1,019 на -f^ .¦==! 1,75 и коэффициента 3,6 на 3. Таким образом,
уже начиная с области первого максимума функции C2,6) и C2,7)
могут оказаться для ряда задач неплохими приближениями к точному

438
ОТРАЖЕНИЕ РАДИОВОЛН ОТ ИОНОСФЕРНЫХ СЛОЕВ
(гл.
Рвению. Отношение I |f согласно C2>7) 1Шнесен0
пунктиром*). -•'
Если бы слоя не было совсем, а вместо нет &„„
идеальное зеркало, то значение ?и'2 равня ось 6 4 Стапле«°
падшо^й волны считается равной адиниц^При „ал ^""'"^
7"
i dz l0
При >.о^
имеем 82^20. Для ?-слоя,
I 1"г „ - ~*.и. дли С-СЛОЯ, rip
рязоухание ноля могло бы представить известный интерес с ТОЧк„
зрения нелинейныг ,**„„..„„ _. _.. ун \ -
рдставить извес
зрения нелинейных эффектов, по-еидимому Э
=— 1 Ann .. ., .. * ' \dz
П ДЛЯ /.Q:
= 1000 м получим S2,<S.
Учет поглощения. При наличии поглощения исследование струк-
туры поля также достигается путем использования формулы A7,4),
но с С, определяемым согласно A7,12). Основное изменение в вы-
ражениях для | Едн I2 и о2 состоит теперь в появлении в качестве
множителя амплитудного коэффициента отражения R. Кроме того,
численные множители в C2,2) и C2,3) заменяются несколько дру-
гими, зависящими от величины поглощения. Если, например,
Полагая
C2,9)
C2,10)
= 10~7, л0 --= 1000 м и R = j- (— in R =й 2), для с3
получаем значение 1,6. В то же время в разбираемом примере со-
*) Заметим, что в то время как электрическое поле в области малых
значений п «разбухаете, магнитное поло, напротив, уменьшается. Это сразу
ясно из того, что, например, в бегущей волне при отсутавии поглощений
поток энергии постоянен и, следовательно, ЕИ-- const. К тому же выводу
приходим, отправляясь от выражения C2,6): если поле В направлено по
•оси х, то поле И направлено по оси у, причем
И,,?-- г—:
W?_/
§33]
ВОЛНЫ С ЧАСТОТОЙ, БЛИЗКОЙ К КРИТИЧЕСКОЙ
439
гласно C2,9) ^эфф = 1,3 ¦ 104, т. е. даже меньше, чем это обычно
бывает в Б-слое. Из приведенного примера явствует, что роль
«разбухании» поля в общем сводится к тому, что поле в ионосфере
ложно оценивать по формулам, выведенным для случая, когда ионо-
сферный слой заменен идеальным зеркалом (полностью отражаю-
щей поверхностью раздела). Наличие разбухания при этом примерно
компенсирует затухание поля вследствие поглощения. Разбухание
нужно учитывать, так сказать, явно лишь в случаях, когда погло-
щение и производная -г- \ одновременно очень малы.4- Влияние на
эффект разбухания поля вблизи точки отражения неоднородиостей,
находящихся в этой области, исследовано в работе [209].
§ 33. Отражение и просачивание через слой волн
;!: с частотой, близкой к критической
Параболический слой. В § 30 уже было указано на необходи-
мость особого рассмотрения вопроса об отражении волн от слоя
в области частот, близких к критическим. Так, для параболического
'слоя формулы § 30, полученные в результате линеаризации слоя
в области точки отражения, справедливы лишь при условии
C3,1)
Для частот, не удовлетворяющих этому неравенству, слой в области
отражения нельзя считать линейным, но обычно можно аппроксими-
ровать параболой. Вместе с тем для слоя с максимумом, в част-
. ности для параболического слоя, вблизи этого максимума (при ма-
лых А/) имеет место частичное просачивание волн через слой. Как
было указано в § 17, коэффициент отражения волны от параболи-
ческого слоя без поглощения при Д/<?^/к равен (см. A7,21); ниже
1 —
г.= 1-~
C3,2)
Из C3,2) явствует, что условие C3,1) является вместе с тем усло-
вием малости просачивания (малости коэффициента пропускания D2),
так как
при
D2<3.i0~
C3,3)
Таким образом, требования малости просачивания и возможности
замены слоя в области отражения линейным совпадают. Оценки,
произведенные в § 30, показывают, что для ионосферных слоев
область просачивания ничтожно мала (это ясно также сразу из C3,3),
так как для F-слоя при zm= 100 км D2=3-10~6 для Д/=103)..

440
ОТРАЖЕНИЕ РАДИОВОЛН ОТ ИОНОСФЕРНЫХ СЛОЕВ
[гл. vi
Зависимость R(±f) по формуле C3,2) для слоев с гт — 20 км
и гт = 100 л'.в показана на рис. 33,1.
При строгой волновой трактовке отражения от слоя критическая
частота /„ с точки зрения значений коэффициента R ничем не вы-
делена, так как отражение имеет
¦^ место и при / < /к и при
/ >/к. Однако большая рез-
кость функции R (/) приводит
к тому, что практически обычно
можно считать, что R — 1 при
/</„ И Я=0 ПРИ />/к.
В этом случае критическая
частота /'..=- |- —, т. и.
частота, при которой точка
z (з — 0) достигает максимума
слоя, имеет очевидный физи-
ческий смысл предельной ча-
стоты bow, отражающихся от
слоя.
Произвольный слой. В связи с вопросом о просачивании волн
через слой укажем на возможность получения выражения для коэф-
фициента пропускания ?>2= 1—R2 для довольно произвольного
слоя, но при условии, что
[й|<1. C3,3а)
Представим себе слой типа, изображенного на рис. 33,2, для кото-
рого при z — а и z = b диэлектрическая проницаемость равна г (ai) = 0.
0.2 V-
Рис. 33,1. Коэффициент отражения
|Я| = /? для параболических слоев
с полутолщиной zm — 20 км (кривая J)
и 100 км (кривая 2) при отсутствии по-
глощения.
Рис. 33,2. Диэлектрическая проницаемость
е для плавного слоя с одним максимумом.
Область а ^.г s^b предполагается настолько большой, что на этом
пути волна сильно затухает, е силу чего как раз и выполняется
условие C3,3а). Мы можем при этом считать, что R^aiX, и, таким
образом, снизу образуется стоячая волна, в первом приближения
Й 33]
ВОЛНЫ С ЧАСТОТОЙ, БЛИЗКОЙ К КРИТИЧЕСКОЙ
441
; такая же, как при полном отражении. Поэтому, согласно C0,5),
i с2 \'''
-'вдали от слоя при (в—z)^> [—гтт~г I получим:
_
C3,4)
В области a j^z < Ь волна затухает, и (в том же приближении) при
/ г
существенно меньшем Ь, но условии (г—- d)"t
dz
ходим:
4
VI.
C3,5)
V
Выражение C3,5) представляет собой асимптотическое (в области
е<0) представление строгого решения A7,4) и A7,5), обобщенное
на произвольный (вдали от точки z (г = 0)) слой. Важно подчерк-
нуть, что в C3,4) и C3,5) стоит одна и та же постоянная Сх (для
достижения этого в C3.4) как раз и нужен множитель 2; см. [126]).
Запись решения внутри области а < z < b в виде C3,5) справедлива
при пренебрежении волной, отражающейся от области i^i (или,
как мы обычно говорим, от точки z = Ь). Если область отрицатель-
ных значений г велика, как это имеет место при условии C3,3), ю
волна, отражающаяся от точки z-=-b, даже если бы коэффициент
отражения был заметным (это, кстати, не так), действительно не
играла бы при удалении от точки z-=b никакой роли просто из-за
л
малости множителя е "
За точкой b (при z ^> 1>) имеется лишь слабая уходящая волна и
при (z — b) ">
i dz
поле таково:
C3,6)
Для нахождения коэффициента пропускания | D р э= D2 == j ~ |
(предполагается, что при г=±г» будет г=1), нужно, очевидно,

442 ОТРАЖЕНИЕ РАДИОВОЛН ОТ ИОНОСФЕРНЫХ СЛОЕВ [ГЛ. vi
связать С2 с Cj. Если незаконно продлить решения C3,5) и C3,6)
до точки b и там положить Ег—-Р.г, то получаем С2 = С,й °
Вместе с тем именно этот результат в применении к модулям, т. е.
ь
~2~ J V'TsTdz
равенство [С, |2=]Cjpe a , ясен также из энергетических
соображений. Действительно, волной, отражающейся от точки z ~- ь
внутрь слоя, можно пренебречь (см. выше). Но это означает, что
в область z^>b попадает практически вся энергия, доходящая снизу
(от z < Ь) до точки z — b. Ослабление же потока энергии в точке
z =.• b по сравнению с точкой z = а с большой точностью опреде-
е а если -^-- / y\z\bdz~^> 1
ляется множителем
Наконец, связ
лишь множителем
соб
^ а
связь между С2 и Сх, отличающаяся
елем — г может быть о
ду С2 и Сх, отличающаяся от приведенной
ь множителем — г, может быть получена ni следующих строгих
соображений. Любое решение волнового уравнения равно сумме двух
линейно независимых решений и и v: В ~av(z)-\-$u(z). Заменяя
слой вблизи точки b линейным, мы получаем возможность выписать
оба решения и и v в явном виде: одно из них совпадает с A7,4)—
A7,5), другое отличается знаком перед функциями Л,, и /у, в A7,4)
(подробнее см. [126]). Одновременно выражения C3,5) и C3,6)
представляют собоИ искомое решение задачи с двух сторон от
точки Ь в достаточном от нее отдалении. Следовательно,
?- (
3Q.
где, как ясно из предыдущего, неравенства z Cig b означают, что
\sb\"^ При z C-Sj h можно, с другой стороны,
ь /
заменить функции а и v их известными асимптотическими предста-
влениями (см. A7,C) и [126]). В результате легко показать (см.
C3,5) и C3,6)), что « —С2 и $ = iC2~C1e
образом,
С2 = - 1С
. Таким
C3,7)
§33]
ВОЛНЫ С ЧАСТОТОЙ, БЛИЗКОЙ К КРИТИЧЕСКОЙ
443-
. C3,8>
Для параболического слоя C0,1) в качестве точек а и b нужно,
очевидно, взять значения z(s = 0)— ± 1/ h ,2— zm (см. C0,15)).
Проводя для этого случая в C3,8) вычисление стоящего в экспо-
ненте интеграла, получаем:
Q2 __
-'к
C3,9)
где переход от /jj — /2 к 2/кА/ сделан для случая, когда А/=/к —
Выражение C3,9) при условии C3,3) тождественно, как этого
и следовало ожидать, с формулами A7,25) и A7,28) или C3,2),
полученными путем решения волнового уравнения для параболиче-
ского слоя C0,1)- С помощью формулы C3,8) можно определить
границу просачивания для произвольного (в широких пределах) слоя.
В количественном отношении формула C3,8), полученная еще
в [6], пригодна только при условии Ь2<^ 1, что было использовано
при ее выводе. Методом фазовых интегралов можно получить [124]
более общую формулу *)
J i ^ D2 =
Ц-в-^1
\
C3,10)
Здесь в контурном интеграле путь интегрирования охватывает оба
нуля функции а (г) и при переходе к интегрированию по оси г пред-
полагается, что нули г расположены на вещественной оси, т. е.
/</к- ПРИ условии D2<1 формула C3,10) для D- переходит
в C3,8). Формулы C3,10) справедливы и при / > /к, если положить
26О=_ — I — ф Yг (г) dz с интегрированием по контуру, охватываю-
щему расположенные в этом случае на мнимой оси нули функции s (г).
Для параболического слоя выражения C3,10) совпадают с выраже-
нием A7,25), получающимся в результате точного решения задачи.
*) Записывая тождества ; D |2 = D2 и i R |2 = й2, мы хотим лишь подчерк-
нуть, что здесь везде через D2 и Л2 обозначаются квадраты модулей
амплитудных коэффициентов СиЛ

444
ОТРАЖЕНИЕ РАДИОВОЛН ОТ ИОНОСФЕРНЫХ СЛОЕВ
ВОЛНЫ С ЧАСТОТОЙ, БЛИЗКОЙ К КРИТИЧЕСКОЙ
445
Таким образом, метод фазовых интегралов а этом случае прииодит
для \Df и 1й|2 к точным результатам даже для тонких слоев (для
фазы отраженной и прошедшей волн метод фазовых интегралов для
тонких параболических слоев уже не приводит к правильным значе-
ниям). Для произвольного плавного слоя с одним максимумом фор-
мулы C3,10), вообще говоря, не могут считаться точными при любой
толщине слоя, но область их применимости шире, чем у фор-
мулы C3,8), Вопрос о вычислении малого коэффициента отражения
ог плавного слоя при распространении волн с частотами, существенно
большими критических, можно выяснить, используя результат ра-
боты [215J. Для параболического слоя ответ и на этот вопрос со-
держится в формуле A7,25).
Учет поглощения. Выше не учитывалось поглощение. При усло-
вии C3,1-) влияние последнего рассмотрено в ¦§ 31. В непосредствен-
ной близости от критической частоты условие C3,1) не соблюдается,
и нужно обобщить формулы C3,2) и C3,8) на случай наличия по-
глощения. В отношении формулы C3,2) это сделано в [127] и весьма
•ш-зоо-шшо s т т ш <ioo wo ш кю шт ш
Рис. 33,3. Коэффициент отражения | R ] для
параболического слоя гт = 120 км, Ак =
= -т- = 30 м при различных значениях числа
Ik
соударений чЭ[Ьф ээ у.
сложно. Поскольку просачивание заметно лишь в ничтожном интер-
вале частот, .мы ограничимся тем, что приведем графики R в неко-
торых случаях (рис. 33,3 и 33,4).
Выражение типа C3,8) можно получить и с учетом поглощения.
Не останавливаясь на детальном выводе, укажем, что в этом случае,
как легко видеть, по порядку величины
¦%
"V J ;
§33]
Здесь Rg — используемый нами модуль амплитудного коэффициента
отражения (от всего слоя) в приближении, не учитывающем просачива-
ния (поле в области точки z = a отличается от C3,4) множителем
'j^Ro^6 " , так как коэффициент Ro отвечает двукратному про-
хождению волны через среду), и х — показатель поглощения C1.9),
| . При отсутствии поглощения фор-
¦¦Пхги
Рис. 33,4. Коэффициент отражения при
zm — 6 км и лк = 90 м.
который при о = 0 равен ]/~! г
мула C3,10а) переходит в C3,8)
и знак =г: поставлен потому,
что при более точном расчете
в ней могут появиться неболь-
шие дополнительные множи-
тели, как это, например, имеет
место в формуле C1,2) з отно-
шении слагаемого Д(—In/?).
При наличии поглощения роль
просачивания меньше, чем при
отсутствии поглощения, так
как уменьшение наблюдаемого
коэффициента отражения R
происходит и из-за поглоще-
ния и, кроме того, в области
слоя, где начинается просачивание, волновое поле уже ослаблено из-за
того же поглощения (множитель Ra в C3,10а)).
Метод фазовых интегралов при учете поглощения приводит
к формулам C3,10) с заменой 230 на 2о -fji/s' (z) dz, где кон-
тур интегрирования охватывает нули функции е' (г).
Действующая высота для параболического слоя (строгое
решение). Вблизи максимума слоя при несоблюдении условия C3,1)
не только появляется просаливание, но и, как это многократно от-
мечалось, становятся непригодными формулы § 30 для щ, La, Lrp и гж.
Это обстоятельство особенно ясно проявляется з выражении C0,17)
для 2Д, согласно которому действующая (кажущаяся) высота гд—>оо
при /— >/к. В действительности же действующая высота стремится
к конечному пределу. В § 17 уже было приведено выражение для
фазы отраженной волны для параболического слоя (см. A7,21)).
С помощью этого выражения можно получить A14, 1127] следующую
формулу для гж в- случае параболического слоя C0,1):
C3,11)
C3,10а)

446
ОТРАЖЕНИЕ РАДИОВОЛН ОТ ИОНОСФЕРНЫХ СЛОЕВ
[ГЛ.
VI
где отброшен очень малый в обычных условиях член ~ и пара-
метры р и и определены согласно A7,22). При / = /к высота г
максимальна и равна
0,5772
C3,12)
При условии C0,19), эквивалентном неравенству р = тг---^—^—'
К /к"
выражение C3,11) переходит в C0,17), т. е.
Можно показать, что
{33л3}
При --2t -
'¦к
График функции ~
-т
на рис. 33,5 для гт =
C3.14)
где (гд)с,рото и (гд)Пр„б.-1 определяются соответственно выражениями
C3,11) и C3,13).
О-
по формулам C3.11) и C3,13) представлен
20 км и К = 30 м Dй1 = 4000) . Из" ри-
д/
сунка ясно, что уже при -— =
= 10~4, т.е. Д/=г-103, выра-
жения C3,11) и C3,13) при-
водят к неотличимым друг от
друга результатам,
Функция C3,11) при / « /it
зависит от частоты только че-
рез параметр р = 2-х —^- Л/ —
= —г-"^ ~- . Поэтому на осно-
0 -I -2 W " no -
f-t вании рис. За,о можно утвер-
г* ждать, что отличие формул
Рис. 33,5. Высотно-частоткая мрактери- C3,1 I) и C3,13) ничтожно уже
стика для параболического слоя (гт— при о > 2 или при Д/, удовле-
—. 120 км, 1К = SO м) вблизи критической т-n,,1™,,,.» vrm,lm /ъъ'л \ Тем
частоты: а — приближение геометри- твоРяюЩем>словшо F6,1}. 1ем
ческой оптики; б— строгое решение. самым доказывается справедли-
вость этого последнего условия
в качестве критерия замены слоя в области отражения линейным, как это
делалось в § 30. Что касается величины отношения —— (см. C3,11)).
zm
то, помимо параметра о, она зависит также от значения -f1.
Ш 9 8 7 6 5 i
§33]
ВОЛНЫ С ЧАСТОТОЙ, БЛИЗКОЙ К КРИТИЧЕСКОЙ
447
Поэтому общий ход кривых гд(р) при разных <р аналогичен, но не
совпадает. Вместе с тем кривые zA-J-\ зависят лишь от отноше-
Рис. 33,6. Высотно-частотная характеристика
и коэффициент отражения j R | для параболи-
ческого слоя (zm — 12 км, Х„ = 30.м): а —
приближение геометрической оптики; б —
строгое решение.
'А Г
12 ^
ЕЕЁШ
Ю9876543210 -I-W*
Рис. 33,7. Высотно-частотные характеристики
для-; параболического слоя (гт = 120 им,
Хк = 30 м) при различных значениях числа
соударений чэфф = ч. Кривая а ¦—приближение
геометрической оптики при ч ¦= 0; все осталь-
ные кривые — точные решения.
ния-~-. На рис. 33,6 приведены значения , а также коэффи-
циент отражения • R для слоя с zm= 12 км и Хк ¦— 30 м, т. е.

448
ОТРАЖЕНИЕ РАДИОВОЛН ОТ ИОНОСФЕРНЫХ СЛОЕВ
[ГЛ. v,
if = 400 (рисунки настоящего параграфа, кроме рис. 33,1 и 33 9
взяты из [127]).
При наличии поглощения, как указывалось в S 31 знчч^-,,
ооычно меняется очень мало, так как в F-слое Lt^\" На"г' "д
заметное влияние „а гд поглощение может оказ^ГЙизи к ^Г
ческой_Частоты, так как в этом случае область иалых знаСй
п~\ г особенно велика (см. C0.13)). Изменение ^ для парабо-
лического сдоя"* при разных
значениях *эфсЬ -= const ясно нз
рис. 33,7 и 33,8. Межд- nnol
чим, из рис. 33,5—33,8 зидно
какие большие значения при-
нимает
Рис. 33,8. Высотио-частотные характе-
ристики для параболического слоя
{гт = 36 км, \к — 90 .и) при различных
значениях чЭфф =-. ч. Кривая а.— прибли-
жение геометрической оптики при v = 0;
все остальные кривые — точные ре-
шения.
отношение ¦—— вблизи
zm
критической частоты.
О времени установления
амплитуды сигнала. Приве-
денные на рис. 33,5 — 33,У
кривые дают по существу
время группового запаздызания
Д^гр = -"— в зависимости от
несущей частоты сигнала. Необ-
ходимо теперь заметить, что как
раз вблизи критической частоты
время установления амплитуды
сигнала т0 особенно велико (см.
C0,22)); например, при zm =
— 120 км и Д/ = 102, где отли-
чие (za)CTpuro от (гд)пЭиол велико (см. рис. 33,5), т0—10~3 сел-, т.е.
в 10 раз больше длительности обычно употребляемых сигналов.
Кроне того, формулы § 21 получены в предположении, что коэф-
фициент i? f'ra) = const или во всяком случае мало меняется в области
спектральной ширины сигнала. Вблизи критической частоты это
условие, очевидно, не выполняется, тан как при наличии просачи-
вания R резко зависит от частоты (см. C3,2)). Поэтому даже если
не обращать внимания на расплывание сигнала, его форма изменяется
в силу различного просачивания разных частот, входящих в разло-
жение сигнала в интеграл Фурье, и говорить о групповой скорости
без дальнейшего анализа нельзя. Из рис. 33,3 явствует, что при
отсутствии поглощения для слоя с гт=120 км и Хк = 30 м коэф-
фициент R сильно зависит от частоты в интервале .—-200 гц вблизи /!(.
Поэтому в нашем примере, когда Д/—-/к — /=Ю2, где /—не-
сущая частота сигнала, для того чтобы пользоваться формулами
§ 21 и обычным понятием групповой скорости, нужно во всяком
§34]
ОТРАЖЕНИЕ ПРИ НАКЛОННОМ ПАДЕНИИ
449
случае, чтобы спектральная ширина сигнала 8/ была много меньше
200 гц, т. е. длительность сигнала была Т^-^т~^> 3 ¦ 10~2 сек;
в этом случае одновременно ~.й^_Т.
Таким образом, в разбираемом примере определить на опыте
высоту ?д, соответствующую C3,11) и кривым на рис. 33,5—33,8,
можно, лишь работая с очень длительными сигналами Г^, -щ сек
и проводя при этом измерения для середины сигнала (время уста-
новления при этом !>Л0~ сек, что приводит к Дгд2>300 км, так
что пренебрегать временем установления нельзя и для длительных
сигналов).
§ 34. Отражение при наклонном падении
Точка отражения. Критическая частота. Основываясь на резуль-
татах § 19, нетрудно рассмотреть вопрос об отражении радиоволн
от ионосферного слоя при наклонном падении аналогично тому, как
это было сделано в § 30 для нормального падения. Так, например,
при отсутствии поглощения фаза отраженной волны при наклонном
падении определяется формулой A9,15), где функцию n{z) можно
считать произвольной с теми же оговорками, как и в § 30. Отра-
жение волны происходит при г = 201р, причем (см. A9,12))
А (готр) = sin 6„; г (zas?) = ft2 Batp) = sin 2 60
C4,1)
(принято, что в начале слоя я@) = 1; в C4,1) 80 — угол падения
волны на слой, как это показано на рис. 19,1), При z > готр вол-
новое поле экспоненциально затухает, и сама точка z = zm-v выде-
лена тем, что в ней равен нулю коэффициент у функции F в вол-
новом уравнении A9,6) (для волны, у которой вектор Е лежит
в плоскости падения, согласно A9,22) аналогичный коэффициент
обращается в нуль при г •< г01р, но в условиях ионосферы соот-
ветствующее отличие обычно ничтожно). При нормальном падении
sin 60 = 0 и отражение происходит при п(готр) = 0.
Если
то из C4,1) ясно, что на данной высоте г, где N = N(z), при
наклонном падении отражаются волны большей частоты, чем при
нормальном падении; при этом
C4,2)
В соответствии с этим, если критическая частота слоя равна /к
(т. е. при Нормальном падении точка, где ге(/к) = 0, лежит в

450
ОТРАЖЕНИЕ РАДИОВОЛН ОТ ИОНОСФЕРНЫХ СЛОЕВ
[гл.
VI
максимуме слоя), то критическая частот-! f
нии равна частота /к_ накл при наклонном паде.
/к.
наш =
cos L
C4,3)
Лучевая трактовка. Весьма большое значение, в частности
практическое, имеет лучевая трактовка распространения и отражения
радиоволн от ионосферных слоев при наклонном падении. Наиболее
общее понятие о луче связано с рассмотрением распространения
сигналов (другими словами, импульсов, волновых групп или волно-
вых пакетов), ограниченных в пространстве и во времени. Траек-
тория движения «центра тяжести» такого сигнала при условии, что
он мало расплывается и искажается при прохождении среды, и
есть траектория луча. В любой однородной среде и в среде неодно-
родной, но в приближении геометрической оптики касательная
к траектории сигнала совпадает с вектором групповой скорости,
как это было показано в § 24. Далее, в однородной и квазиодно-
родной среде направление вектора групповой скорости совпадает
со средним по времени направлением вектора потока энергии
S = -~[EH] (см. § 24). В изотропной среде направление вектора
групповой скорости а свою очередь идентично с направлением вол-
нового вектора k, т. е. вектора, нормального к фронту волны и
в интересующем нас случае равного (см. § 19)
, = -^-/i@)sIn90=ii.,
sin 6,
'o= — n(z) cos6,
^пЦг).
C4,4)
>
Таким образом, в случае наклонного падения сигнала на плоский
изотропный ионосферный слой с &=z(z), при выборе плоскости уг
за плоскость падения, направление луча в каждой точке определяется
согласно C4,4). Это значит, что для угла 6 между касательной
к лучу и осью z имеем:
sin 6 = !1Щ»1А
oose = JL2l<?)n^@
я Or)
C4,5)
Уравнение траектор!1и луча определяется выражением A9,17).
Вблизи .точки отражения, где sin в ;==; 1 (при z = zorp, согласно
C4,1) и C4,5), sin 6=1), геометрическая оптика неприменима, и
поэтому использовать выражения C4,4) или C4,5) для определения
направления луча уже нельзя. Для нахождения траектории луча
в области, где происходит отражение, нужно исследовать движение
в этой области волнового пакета, составленного из, близких друг
§34]
ОТРАЖЕНИЕ ПРИ НАКЛОННОМ ПАДЕНИИ
45!
другу решений волнового уравнения A9,2)—A9,3); в случае линей-
ного слоя соответствующие решения выражаются через функции
Бесселя или функции Эйри. При этом в общем случае волновой
пакет может сильно расплываться и искажаться и, таким образом,
чисто лучевая трактовка в области, где неприменима геометрическая
. оптика, вообще говоря, непригодна.
Однако в условиях ионосферы окрестность «точки отражения»,
где нужно использовать строгое решение волнового уравнения, как
это уже неоднократно указывалось, весьма невелика, Еще более
существенно то обстоятельство, что направлением луча мы обычно
интересуемся только по выходе импульса из слоя, В этом же слу-
чае, как сейчас будет видно, направление луча правильно опреде-
ляется из приближения геометрической оптики при том единствен-
ном условии, что это приближение хорошо применимо для опреде-
ления фазы отражающейся от слоя волны, что, как правило, имеет
место.
Для доказательства сделанного утверждения и нахождения место-
положения точки прихода на землю отраженного от ионосферы луча
рассмотрим следующую задачу. В некоторой точке Q с координа-
тами @, уг, 0), лежащей на земле (при .г —0), в ионосферу излу-
чается узкий пучок лучей, т. е. пакет волн с волновым вектором к,
близким к некоторому «несущему» волновому вектору kg. Протя-
женность этого импульса во времени будем для простоты считать
бесконечной, т.' е. примем, что для всех направлений -=- излучение
К-
является монохроматическим с частотой ш. Поле падающего сигнала
(при z — 0) можно тогда представить в виде:
?, = f g(k) е'*»*-*уУ>) dk,
— k0. Поле
где g(k) — «острая» функция, имеющая максимум при 0
отраженного сигнала в точке Р с координатами @, у, 0) будет
таково:
> = J ff(k)
где а — сдвиг фаз отраженной плоской монохроматической волны
¦по сравнению с падающей (поглощение считаем отсутствующим; пло-
скость, в которой распространяется сигнал, считаем плоскостью уг,
в силу чего в точках Q и Р можно положить не только 2 = 0, но
;. и x~Q). Поле Е2, очевидно, будет велико не при любом значении у,
а только вблизи некоторой точки у — у2, соответствующей месту
прихода отраженного луча. Для нахождения этой точки разложим
фазу со в ряд по Дй —& — ft0:
о (ft, yv у) ==cp(fe0, yv у).4-(||-
да
да
fc
-gr- k' (i, j, k' — орты осей х, у, z).

452
ОТРАЖЕНИЕ РАДИОВОЛН ОТ ИОНОСФЕРНЫХ СЛОЕВ
[ГЛ. VI
Из этого разложения ясно, что если ~А = 0, то с точностью до
членов более высокого порядка малости поле Е2 = е-Ъ^Е-^, т. с
напряженность поля отраженного сигнала по своей абсолютной
величине такая же, как для падающего сигнала. Отсюда следует, что
местоположение точки у2 определяется как раз из условия
, уь
K г-О
0,
C4,6)
Таким образом, если фаза <р с достаточной точностью опреде-
ляется из приближения геометрической оптики, то и расстояние I
Рис. 34,1. Траектория луча при наклонном падении
на плоский изотропный слой.
между точками Q и Р (рис. 84,1) также может определяться с по-
мощью геометрикооптического приближения. В этом приближении
имеем (см. § 19):
) — ^ @) si % dz -f—ft @) sin в0 (y2 — yj — Jl
и в то же время при z = 0:
kv = 4- я @) sin е0, йг = ~ п@) cos eft.
C4.7)
§ 34] ОТРАЖЕНИЕ ПРИ НАКЛОННОМ ПАДЕНИИ
Поэтому согласно C4,4)
453
-orp
9 , Я @) StllJ[gjtf?_
V А!2 (г) — л« @) bin* a0
, г, /
= - ctg 0о (у2 -
п @) cos 60 dz .
C4,8)
Отсюда, полагая сразу №@)=1, имеем (оба равенства ^- = 0,
^- = 0 в рассматриваемом случае приводят, очевидно, к одному
и тому же соотношению):
^уг-у1==0 f
sin в0 dz
V it2 (г) — sin2 0„
готр
= 2./ -^iF^iT = 2smeo./ 1W' C4'9)
где ds = f элемент длины вдоль траектории луча.
cos 0 '
Если для вычисления фазы ? на земле геометрическая оптика
неприменима, как это может иметь место для очень длинных волн или
при углах 60, близких к -% (в обоих случаях волна отражается от
самого начала слоя), то для нахождения расстояния I по-прежнему
нужно использовать формулу C4,6), но с фазой о, определяемой
на основе строгого решения волнового уравнения (см. [121, 216]).
В тех же случаях, которые пас в основном интересуют, когда
геометрическая оптика применима, для нахождения расстояния I
между корреспондирующими пунктами Q и Р, а также для реше-
ния йсех других вопросов нет особой нужды опираться на соотно-
шение C4,6). Вместо этого удобнее с самого начала пользоваться
понятием о траектории лучей и просто игнорировать неприменимость
лучевой трактовки вблизи точки отражения (обоснование этого
приема вытекает из совпадения формулы C4,9) с получаемыми
ниже на основе чисто лучевой трактовки). Поступая таким образом,

454
ОТРАЖЕНИЕ РАДИОВОЛН ОТ ИОНОСФЕРНЫХ СЛОЕВ
[ГЛ. V!
запишем изменение фазы отраженной волны по сравнению с падаю-
щей в виде (интегрирование ведется по траектории луча, изобра-
женной на рис. 34,1; малым членом —-1- в выражении для фазы пре-
небрегаем):
<в = _ U9 — / ll(z)ds~: j- + 2u) / -—-. г, C4,10)
COS IUT ? J w С COS fl0 ' ,/ f,p (a, z) K '
А В АВ
где ггф(ш, г) = фазовая скорость B1,16), ds — элемент траек-
тории луча, точка А находится в начале слоя и точка В — в вер-
шине траектории (при z=-zmf,). Время группового запаздывания
равно
C4,11)
где vrp — групповая скорость B1,17), равная в нашем случае сп.
Теоремы, связывающие групповые пути при наклонном и
нормальном падении. Длины оптического и группового пути при
наклонном падении, очевидно, равны:
АВ
L ~c\t -
^- -г- J n («, F) — A J F(^
ds
C4,12)
Из рис. 34,1 ясно, что rf5 = -f_=_^.
COS в sill b~ '
тп п <z) sin в = sin в.,
так как
W,^+2/^ = 2(^^ =
cos е„
C4,13)
огооко: сумме
показано на рис. 34В соответстйи """""^ ТраекТ0Рин 1ак-
запаздывания Д^ „„ ^'и L00TBelclB™ = этим время группового
волне, для прохождения со скор'стью^свет?61"^ неОбх^™«'У
т. е. двух сторон указанного треугольника 11 " КуУ"е Пу™ QCP>
иногда теоремой Брайта „ ZTS по^ж^ называют
' ^ап-и[л *д, яа|(л (н0, _/) называется
§ 34]
ОТРАЖЕНИЕ ПРИ НАКЛОННОМ ПАДЕНИИ
455
действующей или кажущейся высотой при наклонном падении под
; углом 90.
Расстояние между точками QP, т. е. расстояние между коррес-
пондирующими пунктами, равно (см. рис. 34,1)
/ = 2гд, кжл tg 0а -~ Lrp. мхл sin % = Affp. наклС sin %. • C4,14)
Это выражение совпадает с получающимся на основе формулы C4,9).
Чем больше угол падения волны на слой 80, тем при больших
значениях п (готр) = sin 90 происходит отражение, и, следовательно,
волны некоторой частоты / > /к станут отражаться от слоя, начи-
ная с некоторого угла вОШ(П, который согласно C4,3) равен
cos6fttnIn=^- C4,15)
(другими словами, по самому определению, углу 60mjn отвечает
частота / = /„, иакл). С увеличением угла (т. е. при 80>eon,h,) рас-
стояние l=-.QP вначале уменьшается до тех пор, пока при некото-
,ром угле во=^вот1п это расстояние становится минимальным и рав-
ным (Ш1П. Область / < /mln называется мертвой зоной. Значение /min
определяется из условия (подробнее об этом [22,23])
AL
= 0.
C4,16)
Установим теперь связь между действующими высотами при на-
клонном падении г, Н1№л и при нормальном падении гд. Согласно
C4,12), C4,13) и C4,14)
w(/.eo)^+coSe0 /_^ = A + /_^yj_=
так как
= ?i2 (/, г) — sin« 90 = ft2 (/, 2) cos2 8 и rt (/ cos 80, готр) = О
(здесь учтено, что л. (готр) = sin 80 и л (г) sin 9 = л @) sin 80).
Из C4,17) ясно также, что если /j cos8M = /2cos60,, то
^д,вакл(Л. V) = гд, накл (/2. V — г (Д cos В01) = гд (/3cos 8C2)
(здесь, очевидно, 801 и 803 — углы падения на слой волн с частотами
} / В
01 03 у
и /2). В этом случае, кроме того, равны истинные высоты
2отр

456 ОТРАЖЕНИЕ РАДИОВОЛН ОТ ИОНОСФЕРНЫХ СЛОЕВ
отражения волн обеих частот, так как
п (/,, 4тр) = sin 901, п (/3, 2ЙР) = sin 602,
/, cos е01 = /2
[ГЛ. V!
§ 34]
ОТРАЖЕНИЕ ПРИ НАКЛОННОМ ПАДЕНИИ
457
т. е.
»B) __,
огр отр-
Далее, согласно C4,13) и C4,17)
?гр. нам (/, б0) COS 90 == Lrp
COS 9„),
C4,18)
где Lrp = 2zx—групповой путь при нормальном падении.
Соотношения C4,17) и C4,18), которые иногда называют теоре-
мой Мартина, позволяют определить г^иао. ?гр, накд. Д^гр, нао и рас-
стояние / из высотно-частотной характеристики, снятой при нор-
мальном падении в условиях, когда можно пренебречь влиянием
земного магнитного поля. Так, например, согласно C4,14) и C4,18)
имеем:
/(/, 60) = 2z,(/cos60)tg60. C4,19)
Поглощение волны при прохождении ею пути QABP приводит
к уменьшению ее амплитуды в /?Накл раз, где
л = е
— In
-п*)
, = 2 -^-
АВ
!>•
s= v.ds
АВ
~ en. aS 7~ ^ГР. '«"« — Lc
C4,20)
причем использовано такое же приближение, как в C1,13).
Так же как это было сделано выше в отношении формулы C4,17),
легко находим:
1п/?накл(/,
C4,21)
0 фф ()
где R — коэффициент отражения C1,13) при нормальном падении.
Отражение от сферического слоя. До сих пор ионосфера пред-
полагалась плоской — ее свойства зависели только от координаты г-
Однако в случае наклонного падения при средних и больших углах
падения нужно учитывать сферичность Земли, причем в первом
приближении можно считать, что е = е(г), где г — расстояние от
центра Земли. Мы не будем подробно' разбирать этот случай —
сделать это можно совершенно так же, как в § 19, но записав,
волновое уравнение в сферических или цилиндрических координатах.
Укажем лишь, что для сферической Земли (при г = г (/-)) траекто-
рия луча лежит в плоскости, проходящей через центр Земли и дугу
большого круга, соединяющую корреспондирующие точки Q и Р
(рис. 34,2). Траектория луча определяется при этом из обобщен-
ного закона преломления *):
и (г) г sin 6 = const, C4,22)
где 6 — угол между направле-
нием луча и радиусом в дан-
ной точке.
На поверхности Земли
г = р зй С360 км (о есть радиус
Земли), я (г) = У а (г) = 1 и
в = в0 — углу между лучом и
радиусом (направленным на
центр Земли) в точке Q. По-
этому
п (г) г sin 9 = ? sin 00. C4,23)
В вершине траектории
sin 0 =-- 1 и
„(, )==ii^- C4.24)
'ОТр
При том же угле 6(), но с учетом
400 км и —р-—-<-гг.
'"отр ]D
ф
Рис. 34,2. Траектория луча при наклон-
ном падении на сферический изотроп-
ный слой,
сферичности' Земли, отражение
происходит выше, чем для плоской земной поверхности и ионосферы,
так как в этом последнем случае п (готр) — sin 90. Практически это отли-
чие невелико, поскольку г„р — о-—100 -
С необходимостью учета рефракции радиоволн в ионосфере при-
ходится сталкиваться не только при расчете линий связи между на-
земными станциями, по и в радиоастрономических исследованиях,
при локации Луны, а также локации и связи с ракетами и спутни-
ками Земли. В основе соответствующих расчетов лежит закон пре-
ломления C4,22) (уравнение траектории и конкретные примеры
можно найти в [150, 217, 219, 23)).
Напряженность поля отраженных от ионосферы сигналов.
В реальных условиях распространения радиоволн в ионосфере имеют
место различного типа многократные отражения волн от Земли и
ионосферных слоев (см. схематические рис. 34,3, а и б). При этом
необходимо иметь в виду, что на расстояниях, сравниваемых с ра-
диусом Земли р, считать свойства ионосферы одинаковыми нельзя,
даже если отвлечься от спорадических явлений. Это понятно уже
") Формулу C4,22) легко получить, рассматривая траекторию луча в среде,
образованной концентрическими сферическими слоями с меняющимся от
слоя к слою показателем преломления.

458
ОТРАЖЕНИЕ РАДИОВОЛН ОТ ИОНОСФЕРНЫХ СЛОЕВ
[ГЛ. VI
из того, что на подобных расстояниях высота Солнца в точках из-
лучения, отражения и приема сигналов неодинакова.
В результате многократных отражений волновое поле- в точке
приема складывается из волн, пришедших по различным путям, Много-
кратные отражения существенны и при нормальном падении пли
падении, близком к нормальному, так как коэффициент отражения
Рис. 34,3. Возможные пути лучей при отражении от ионосферы (схема-
тические рисунки): а — в точке Р показан луч лишь одного направле-
ния; б — пршшто во внимание отражение лишь от одного слоя-
волн от земной поверхности обычно велик и при малых углах паде-
ния. В согласии с этим при наблюдении отраженных от ионосферы
импульсов при нормальном падении в ряде случаев наблюдаются
многократно отраженные сигналы; отличить их легко, так как, напри-
мер, для двукратно отраженного сигнала действующая высота вдвое
больше, чем для однократно отраженного сигнала, и т. д. Наличие
многократно отраженных сигналов может быть использовано для
определения коэффициента отражения R радиоволи от ионосферы
(см. [22], § 102).
В силу наличия многократных отражений и множественных пу-
тей лучей (см. рис. 34,3) вычисление напряженности поля в точке
приема связано с большими затруднениями. Для изотропной ионо-
сферы (т. е. пренебрегая влиянием земного магнитного поля) общее
решение задачи, правда, получено, но в весьма сложном виде (см.
§34)
ОТРАЖЕНИЕ ПРИ НАКЛОННОМ ПАДЕНИИ
459
[127, 150, 220]). Громоздкость общих точных решений и одновре-
менно сложность реальных условий распространения радиоволн, свя-
занная с неоднородностью ионосферы и электрических свойств зем-
ной поверхности, наличием поглощения и т. п., приводят к тому,
что вычисление напряженности поля отраженных волн производится
обычно приближенно. При этом, особенно в случае коротких воли,
использование приближенных методов диктуется и самим характером
задачи. Именно возможность существенного упрощения расчетов свя-
зана с тем, что расстояние до ионосферы порядка 100 км, т. е.
значительно больше длины радиоволн, в особенности коротких.
Другими словами, ионосфера находится в волновой зоне наземных и са-
молетных излучателей, вследствие чего весь процесс распростране-
ния радиоволн в ионосфере можно рассматривать независимо от усло-
вий, в которых находятся передатчик и приемник. Эти условия суще-
ственны лишь с точки зрения нахождения волнового поля передат-
чика на большой высоте (у основания ионосферы) и для определе-
ния напряженности поля отраженного сигнала в месте нахождения
приемника (учет отражения от Земли и т. п.).
Таким образом, вся задача как бы разделяется, и вопрос о рас-
пространении в ионосфере выступает как независимый; в случае
необходимости найти напряженность поля, решения «внизу» (у Земли)
и «наверху» (в ионосфере) могут быть известным образом соеди-
нены. Целесообразность такого разделения становится еще более
ясной, если учесть, что само вычисление напряженности поля от
сложного излучателя (передающая антенна и окружающие предметы)
является весьма сложным делом. Подчеркнем, кроме того, что при
исследовании ионосферы методом радиозондирования напряженность
поля отраженной волны или сигнала обычно особого интереса не пред-
ставляет, так как в этом методе измеряется лишь сдвиг фаз отра-
женной вОяиы или время запаздывания отраженного сигнала по сра-
внению с падающим. Нужно также иметь в виду, что для доста-
точно коротких сигналов интерференции различных волн, многократно
отраженных от ионосферы и поверхности Земли, не играет роли и,
в общем, применима лучевая трактовка, при которой «отрыв» рас-
пространения в ионосфере от условий на Земле становится особенно
ясным. О приближенных методах расчета напряженности ноля
см. [22, 221]. Здесь же сделаем еще лишь несколько простых заме-
чаний, которые помогут ориентироваться в этом круге вопросов
и производить простые оценки.
Как известно, напряженность электрического поля вертикального
диполя (вибратора Герца), расположенного на поверхности идеально
проводящей Земли, такова:
г: _ '20г.Лд/?Ш Ч ЛСв _
'' ~ "кГ М
)^, C4,25)
где Е:, — напряженность поля при наблюдении в направлении, соста-
вляющем угол 6 с осью вибратора (рис. 34,4), Р — полная излучаемая

460
ОТРАЖЕНИЕ РАДИОВОЛН ОТ ИОНОСФЕРНЫХ СЛОЕВ
ГЛ. VI
мощность, /гд — действующая высота вибратора, X — длина полны
в вакууме, г — расстояние от вибратора до точки наблюдения (рас-
стояние QP) и / — сила тока у осно-
вания вибратора (в пучности тока).
В C4.25) коэффициенты выбраны
так, что поле измеряется в милли-
вольтах на метр, Р— в киловаттах,
л и Ад — в метрах, г—в киломефах
н / — в амперах*). В случае произ-
вольного излучателя поле удобно
представить в виде:
Рис, 34,4, Поле вертикального ди-
полп, находящегося на земной по-
верхности в точке Q.
F _iriz *у'
I (.«) г (км)
функция 4 F)
C4,26)
где функция ш @) характеризует
направленность антенного устрой-
ства (для вибратора в свободном пространстве <Ь F) = sin 6; в слу-
чае вибратора, расположенного над идеально проводящей землей,
й F) = 2 sin 6, если 0 < 8 < -J и О = 0 при 6 < 0).
Простейшее предположение, при котором легко рассчитать напря-
женность поля отраженной от ионосферного слоя волны, состоит
в замене слоя зеркалом с коэффициентом отражения R. Тогда, на-
пример, для плоского случая (рис. 34,5, а) напряженность поля отра-
женной волны в точке Р равна
if
E^R^±
,27)
где для простоты излучатель считаем вертикальным вибратором,
расположенным на идеально проводящей Земле; последнее приводит
также к тому, что в точке Р имеется лишь вертикальная слагаю-
щая поля, которая к тому же из-за отражения удваивается (по сра-
внению с нолем в свободном пространстве на таком же расстоянии).
Это обстоятельство в C4,27) учтено. Обобщение этого результата
на случай сферической Земли с конечной проводимостью и любого
излучателя в принципиальном отношении не составляет труда. Вычи-
сление коэффициента отражения R должно производиться из ионо-
сферных данных. Если в точку Р попадает несколько лучей, то поле
можно найти, суммируя поля волн, приходящих по разным путям.
*) Если пользоваться абсолютной гауссовой системой единиц, то в C4,25)
нужно ' заменить коэффициенты 300 и 120 соответственно на 10~с и
2/31(Г10
§35]
ОТРАЖЕНИЕ ВОЛН ПРИ УЧЕТЕ ВЛИЯНИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ
461
До тех пор, пока лучевая трактовка распространения применима,
а в случае ионосферы это почти всегда имеет место, приведенный
способ расчета напряженности поля страдает лишь следующим де-
фектом. При отражении волн от неоднородного слоя в отличие от
их отражения от зеркала (г. е. резкой границы раздела) убывание
напряженности поля с расстоянием, строго говоря, не пропорцио-
I i
пально — . В самом деле, при зеркальном отражении закон у имеет
место потому, что отраженная волна имеет такой же вид, как если
Рис. 34,5. Отражение волн: а — при замене слоя зеркалом; б—для изо-
тропного протяженного слоя.
бы она излучалась мнимым излучателем, расположенным в точке, в ко-
торую зеркально отражается реальный излучатель Q. В неоднород-
ной среде действующие и истинные высоты отражения лучей разного
направления неодинаковы (рис. 34,5, о) и, следовательно, отраженный
пучок расходится не так, как при отражении от одного зеркала.
В рамках лучевой трактовки расхождение пучка при отражении
от изотропного неоднородного слоя можно вычислить без особого
труда (см., например, [222]). Однако для относительно тонких D-
и />слоев -эффект расхождения невелик и поэтому маловажен, а для
F-слоя нужно обычно учитывать анизотропию среды, вызванную
земным магнитным полем. В анизотропном же случае путь луча весьма
сложен (см. § 29) и рассчитать расхождение пучка нелегко. Оста-
навливаться на этом вопросе подробнее мы не будем и ограничимся
замечанием, что при грубых оценках напряженности поля, которыми
пользуются обычно на практике, учитывать отличие характера отра-
жения от ионосферы от зеркального отражения вряд ли имеет смысл,
так как в обычных условиях это обстоятельство не может изменить
результатов по порядку величины.
§ 35. Отражение воли при учете влияния магнитного поля
Влияние магнитного поля. Критические частоты. Как в зем-
ной ионосфере, так и в солнечной короне (и, вероятно, в ионосферах
планет) существенное влияние на распространение и отражение радио-
волн оказывает постоянное магнитное поле. Влияние поля, вообще

462 ОТРАЖЕНИЕ РАДИОВОЛН ОТ ИОНОСФЕРНЫХ СЛОЕВ (гл. VI
говоря, определяется значением параметров
\e\H
@)
L
Yv
¦/"~
В земной ионосфере на высоких и средних широтах Я@)~0,
, = 8,82.10*. /„^-g^l.-i.ioe и
5 эрст;
при
= —— = 214 м, В то же время в максимуме .F-слоя юо.<8- 10'
(Л/тах^ 2 • 106), и, следовательно, -^-^
волн —2-.
•jg-; в диапазоне метровых
а для самых длинных используемых волн и «сви-
стящих» атмосфериков ¦— 102-^— 103. При распространении радио-
волн в ионосфере приходится, таким образом, сталкиваться с весьма
разнообразными условиями, и невозможно дать единый ответ на вопрос
о роли земного магнитного поля. Ниже мы будем иметь в виду
преимущественно диапазон коротких волн, для которого у а = —<^1.
Если же речь будет идти о случае ]/~гг > '¦ то предполагается, что
длина волны все же не очень велика, и поэтому в большей части
слоя пригодно приближение геометрической оптики.
Общая картина распространения и отражения монохроматических
волн и сигналов от неоднородного магнитоактивного слоя, по сути
дела, уже выяснена в гл. V. При попадании на слой волна (или
сигнал) разбивается на две: обыкновенную и необыкновенную. Обе
эти волны в случае плавного слоя и не слишком малого угла а рас-
пространяются совершенно независимо. Если и< 1, то волна 1 (не-
обыкновенная) претерпевает отражение при <о = v\q ' ==1 — У и (везде
предполагается, что речь идет о нормальном падении). При отсутст-
вии поглощения и условии, что максимум концентрации в слое лежит
значительно выше точки v[^\ отражение является полным. Поэтому
при больших значениях v волны 1 нет, хотя при v ^> г']Со она и
могла бы в среде распространяться. Волна 2 отражается от точки
v=tJa=l' Если гг>1, то отражение волны 1 происходит в точке v[q\
как это ясно, например, из рис. 11,3, 6,
Итак, при зондировании ионосферы сигналом с несущей часто-
той и отражение обыкновенной волны происходит от уровня, где
электронная концентрация N равна
т">2
feJT^ L24. 10-8/3,
C5,1)
§ 35] ОТРАЖЕНИЕ ВОЛН ПРИ УЧЕТЕ ВЛИЯНИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ 463
так как
4r.e2N r a
Отражение необыкновенной волны при и = —у- < 1 происходит
от уровня
Г8/
1.24. КГ8/(/-/„), C5,2)
а при и > 1 — от уровня
") = ll24 ¦
где
! е !
2птс "
Критической называется частота /к, для которой точка отраже-
ния отвечает максимуму слоя, где Лг = Лгиах. Из C5,1) — C5,3)
ясно, что
/к2 ^ /к0 = /^- = 0,9 • 104 /ЛГШ„ ,
C5,4)
C5,5)
у -j4-0.81.
C5,6)
Из этих формул следует соотношение
f / /¦ — Ifii/ — 9 я .
кроме того, если
/я
. т0
f f —- _^.= ! 4 •
или в следующем приближении:
f — f -' fff 1 fifI
C5,8)
C5,9)

464
ОТРАЖЕНИЕ РАДИОВОЛН ОТ ИОНОСФЕРНЫХ СЛОЕВ
[гл. vt
Фаза волны и коэффициент отражения. Ход лучей. В области
вблизи точек отражения, где /ib2 = 0, геометрическая оптика непри-
менима, и для получения точного выражения для фазы отра'женной
волны нужно обратиться к уравнениям B3,2). Решение этих уравне-
ний сложнее, чем при отсутствии магнитного поля. Однако, как пока-
зано в § 25, за исключением особых случаев (например, малых углов а),
отражение радиоволн при учете влияния магнитного поля практически
сводится к задаче об их отражении от некоторого изотропного слоя.
Именно, если точки отражения z(niti = 0) лежат достаточно далеко
от максимума слоя, то фаза отраженной волны равна
ri. 2~'Т~ / Л1,г(ш' z)dz~-j-. C5,10)
о
Эта формула отличается от C0,6) лишь заменой и на «ь2,
При наличии поглощения также получаются результаты, анало-
гичные имеющим место в изотропном случае. Опуская малые члены,
о которых была речь в § 31, для ср1;9 получаем опять выраже-
ние C5,10), а для коэффициента отражения—формулу
_ I л
¦>-*¦
' с .1
1. Т
где точка z (ii
¦/7,-0
играет,
= п2
?.ь2(ш, z)dz, C5,11)
очевидно, роль точки 2(г —
= п? — z2 = 0) в изотропном случае
(при наличии поглощения и в формуле
C5,10) интегрирование нужно прово-
дить до этой точки; ггь, в этом слу-
чае в нуль нигде не обращается).
Точно так же остаются справедли-
выми при замене «их на ль2 и -/-ь2
и все другие результаты §§ 30—33,
в которых не использовался конкрет-
ный вид функций н и ¦/.. В силу B4,15)
это относится и к времени группового
запаздывания AtTf (а следовательно, и
Рис. 35,1. Отражение обыкновен- к групповому пути Lrp-=c\trp и дей-
иого и необыкновенного сигналов. ствующей высоте гд==-^), несмотря
на то, что в анизотропной среде направления луча и волновой нор-
мали не совпадают. Последнее приводит, однако, к тому, что при
нормальном зондировании ионосферы сигнал отражается не точно над
местом его попадания на слой, а в стороне; при этом обыкновенный
§ 35] ОТРАЖЕНИЕ ВОЛН ПРИ УЧЕТЕ ВЛИЯНИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ 465
и необыкновенный сигналы отражаются от различных областей слоя
в горизонтальной плоскости, не говоря уже о том, что эти области
находятся на разной высоте (рис. 35,1).
Подобное отклонение сигналов может быть существенно, если
учитывать неоднородность ионосферы в горизонтальном направлении,
что в действительности, и известной мере, имеет место, хотя и не
соответствует принятой идеализированной регулярной картине. Рас-
, стояние, на которое смещаются области отражения обыкновенного
и необыкновенного сигналов, зависит от угла х между полем Н"
: и вертикалью, а также от характеристик
соответствующего ионосферного слоя. 7>.„,
; В качестве примера на рис. 35,2 приве-
дены некоторые результаты вычислений, , _,
произведенных в [58] для параболического BS> "гНг!'
слоя JV = Nmrl I 1 -^- | . В начале слоя
на него нормально падает o,S\
;(при «¦= — zm
радиосигнал, который затем расщепляется flj|__J j
на обыкновенный и необыкновенный. В север-
ном полушарии обыкновенный сигнал откло-
няется от вертикали на север и необыкновен-
ный сигнал — на юг, а в южном полушарии
наоборот.
На рис. 35,2 дана траектория сигналов,
лежащая в плоскости уг, в которой находится
магнитный вектор Я1)) (другими словами,
плоскость yz есть плоскость магнитного мери- Рнс 35Д отклонение
лиана). По оси ординат отложено расстояние лучей от вертикали при
~~ " " ' ' в единицах z,:, по нормальном падении для
от начала слоя г„^
и а — 45" при
от вертикали в тех же единицах zm (zm есть -'я==1'4 мгги- 06ыки°-
оси абсцисс отложено отклонение Ду сигнала а —
, р. венный луч (сплошные.1И-
полутолщина слоя). При этом предполагается, нии)/_? V9 чггщ не-
что отражение происходит от максимума слоя, обыкновенный луч (п'уик-
т. е. предполагается, что несущая частота тир)/ — /к.г^к9,75 мггц.
сигнала / равна критической частоте/к0==/к2
для обыкновенного луча и критической частоте fKx^f%x для не-
обыкновенного луча. Частота /к0 принята равной 9 мггц, откуда
в силу сказанного для обыкновенного луча / = /к0 = 9 мггц и для
необыкновенного луча / — /кх — —^--\- 1/ •—^-(-/«о ^^9,75 мггц,
так как гиромагнитная частота fн принята равной 1,4 мггц (Я<0) =
= 0,5 зрст). Кроме того, при построении кривых, показанных на
рис. 35,2, поглощение предполагается отсутствующим, а угол « по-
ложен равным 45 и 15°.

466
ОТРАЖЕНИЕ РАДИОВОЛН ОТ ИОНОСФЕРНЫХ СЛОЕВ
[гл.
Существенное предположение, сделанное при расчетах, состоит
в том, что они проведены полностью на базе приближения геоме-
трической оптики и, таким образом, вблизи самой точки отражения
(т. е. при \z\ —s-0) неточны. В условиях ионосферы при не слишком
малых углах а и нормальном зондировании неточность, связанная
с этим обстоятельством, по-видимому, несущественна.
Обращаясь к рис. 35,2, мы видим, что, например, при а =— 15°
область отражения обыкновенного луча смещена от места, где сигнал
входит в слой, примерно на
!""¦¦• расстояние ~. _|L , которое для
/•'-слоя равно 50—100 км, т.е.
довольно значительно. Обсу-
ждаемое отклонение луча от
направления нормали особенно
ярко проявляется в случае на-
клонного падения волн на ионо-
сферу, о чем уже говорилось
в § 29.
Смещение точки отражения
от вертикали в зависимости
от угла я ясно из рис. 35,3
За $0 5u
70 83 9!)
(90-аГ
Рис. 35,3. Смещение точки отражения от
вертикали в северном полушарии в зави- (предполагается, что Л,, =
симости от угла а. между вертикалью _ - .„ ^ , in
(направлением волнового вектора) н на- ~~'-1кх== '^ мггц, / = 1U мггц,
правлением земного магнитного поля. /я—1,44 мггц и v = 0).
При этом для обыкновенного
луча приведенная на рисунке кривая при малых углах а неверна:
она неверна там, где наступает эффект «утраивания» сигналов (см. § 28).
При а = 0 точка отражения обыкновенного луча, так же как и не-
обыкновенного, от вертикали не отклоняется,
Время группового запаздывания сигнала, согласно B4,15), равно
C5,12)
здесь з;1 = 2НЬ9 — точка отражения, в которой ftli2 —0 (другими
словами, г„ есть «истинная высота» отражения). Действующая вы-
сота, по определению, равна
hi, 2 ги1, г
•' "грг1,2 J дш Z-
C5,13)
Ввиду сложности функции nlt2(v, и, о.) анализ зависимости гдЬ 2 о-г
различных параметров обычно приходится производить графически [223|.
В работе [224] указывается метод определения электронной концен-
§ 351
ОТРАЖЕНИЕ ВОЛН ПРИ УЧЕТЕ ВЛИЯНИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ
467
¦грации из высокочастотных характеристик при учете влияния магнит-
ного поля. Мы ограничимся здесь тем, что приведем на рис. 35,4
графики функции -^—= - g" ~ для ). = 250 .и (ш — 0,756 ¦ 107),
П@) cos а =0,447 и Яй sin a = 0,218 (к = 25с50'; Я<0) = 0,479 эрст).
Рис. 35,4. Отношение скорости света
к проекции групповой скорости на
ось г (нормаль к слою) в зависимости
от v — —=- . Значения а и и ука-
заны s тексте.
Рис. 35,5. Действующая высота отра-
жения гж и истинная высота отра-
жения гв для линейного ионосфер-
ного слоя в зависимости от частоты ш.
Пунктир относится к волне типа 1,
а сплошные линии — к волне типа 2
(обыкновенной).
На рис. 35,5 представлены высотно-частотные характеристики
ионосферы для тех же значений а и Н!'и\ вычисленные для линей-
ного слоя (Zj — действующая высота, za — истинная высота отраже-
ния). На рис. 35,5 ясно выступает особенность кривой гд (о>) для
необыкновенной волны вблизи частоты ш = B \
(/.
.я
21
м\ При
ш^11>я, если не учитывать поглощения, в приближении геометри-
ческой оптики zx очень сильно возрастает; подробнее об этом см.
1223, 225, 226]*).
Квазипродольное и квазипоперечное распространение. Слож-
ность выражения для nui и xli2 заставляет широко использовать на
"*) Поведение действующей высоты гх для необыкновенного луча вблизи
гнрочастоты существенно зависит [225] от связи между действующим по-
лем ?, и средним макроскопическим полем Е, Это обстоятельство и пыта-
лись использовать для экспериментального решения вопроса о необходи-
мости введения «поляризационной поправки^, Как было указано в § 3, вво-
дить эту «поправку* не нужно и в плазме с большой точностью ? = Ех,
что и учитывается нами во всех случаях. Согласно [156] (см. стр. 278)
весьма сильным экспериментальным аргументом против введения «поляри-
зационной поправки» являются результаты исследования «свистящих» атмо-
¦сфериков [f3].

468 ОТРАЖЕНИЕ РАДИОВОЛН ОТ ИОНОСФЕРНЫХ СЛОЕВ [ГЛ. VI
практике приближенные формулы для «квазипродольного» и «квази-
поперечного» распространения (см. § И).
В так называемой «отклоняющей» области ионосферы, где пи2
заметно отличается от единицы, для обыкновенной волны часто спра-
ведливо квазипоперечное распространение, а для необыкновенной
(при а < 1) — квазипродольное. В этом можно убедиться из рис. 11,2,
11,3 и 11,6, а также в результате оценок, использующих неравен-
ства A1,36) и A1,39). При этом, например,
__ ц, щ = ~~l. (irp2 _ Lo2), C5,14)
так как в случае квазипоперечного распространения волна 2 не от-
личается от распространяющейся в изотропной среде; в последнем
же случае при указанных в § 31 условиях справедлива формула C1,13),
тождественная C5,14). Для волны 1 в квазппродольном случае обычно
C5,15)
действительно, согласно A1,37), B4,И), C5,13) и при
(условия справедливости этого после
, огласно A1,37),
(условия справедливости этого послед
имеем:
B
), E,3) и при г.грг1 р=> сп}
него соотношения ясны из B4,11)}
1 с J ' с J Э*Ф
2с
Кроме того, при выводе приведенных формул для !п/?ь2 делаются
предположения, аналогичные подробно оговоренным в § 31, и нужно
иметь в виду, что и в C5,14) и C5,15) под /?ь., понимается только
часть полного коэффициента отражения, связанная с прохождением
волн в «отклоняющей» области.
В «неотклоняющей» области, где ль2як1 и v мало (этот случай
имеет место в D- и ?'-слоях для волн, отражающихся от /-'-слоя),
для обеих волн обычно имеет место квазипродольное распростране-
ние (см. условие A1,36)). Поэтому согласно A1,37) имеем:
"'эфф
Ш (г)
C5,16)
где знак плюс соответствует, очевидно, обыкновенной 2 и знак ми-
нус — необыкновенной 1 волнам.
1§ 35] ОТРАЖЕНИЕ ВОЛН ПРИ УЧЕТЕ ВЛИЯНИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ 469
%¦¦ На частных случаях, когда
<1> - 4>Lf ИЛИ Чэфф Ч; (!) ± Ш?,
V2.,
эфф
мы останавливаться не будем, — их стоит обсуждать лишь в связи
с экспериментальным материалом.
Влияние магнитного поля па высотно-частотные характеристики
в качественном отношении ясно из сказанного, а также рис. 30,5
И 35,5. В последнем случае типичный загиб характеристик при при-
ближении к критическим частотам отсутствует просто потому, что
слой считается линейным
(другими словами, рис. 35,5
в какой-то мере передает
ход гд(">) и -ги(">) только
для частот, существенно
меньших критической). При
нормальном зондировании,
и <[ 1 и не слишком малых
углах 7. регулярное отраже-
ние oi слоя приводит—об
этом уже много раз говори-
лось, — к появлению только
двух сигналов. Соответ-
ствующие критические ча-
стоты для обыкновенной и
необыкновенной волн /1;0
и /Kt определяются форму-
лами C5,4) и C5,5). При
уменьшении угла а появится эффект «утраивания», причем гре-
тий сигнал, отражающийся от точки «iq*= I-f-V« с ростом ча-
стоты, исчезает первым (рис. 35,6). Критическая частота для
третьего сигнала /s. — fkx — /я (см. C5,7)), и, гаким образом, из-
меряя частоты fKt и /кг, можно определить поле /f'0) в слое. То же,
впрочем, достигается и по измерению частоты /кA и разности частот
Рис. 35,0, бысотно-частотные характери-
стики (схематически) при нормальном зон-
дировании под малыми углами а.
-/ко =
/«! —/ко (см. C5,5), C5,8) и C5,9)).
Наклонное падение. Влияние земного магншного поля на рас-
пространение и отражение радиоволн от ионосферы при наклонном
падении рассмотрено в § 29. Здесь заметим лишь, что при наблю-
дении эффекта «утраивания», обусловленного наклонным падением
и рассеянием волн (см. § 29), высокочастотные характеристики отли-
чаются от изображенных на рис. 35,6 в двух отношениях. Во-пер-
вы.ч, интенсивность «-отражения (третьего сигнала) всегда заметно
меньше интенсивности 0- и лг-сигналов. Во-вторых, разность /Kj. — fXi.
несколько меньше, чем при нормальном падении, и, следовательно,

470 ОТРАЖЕНИЕ РАДИОВОЛН ОТ ИОНОСФЕРНЫХ СЛОЕВ [гл. VI
меньше гирочастоты /я. Объясняется это тем, что при наблюдении
обсуждаемого эффекта «утраивания» при наклонном падении за х-
отражение ответственны в основном нормально отражающиеся волны.
В то же время .г-отражение по самой сущности эффекта происходит
Тгоо зон зов'
'009
1500
3000 «и
Рис. 35,7. Функции п{ ., в зависимости от высоты над по-
верхностью Земли (при г < 300 км и z > 300 км масштабы
по оси абсцисс различны).
при наклонном падении, а значит, волна отражается от уровня, ле-
жащего несколько ниже точки o*J>= I ~j-]/« ; в соответствии с этим
J kz накл ^ Iкг норм ^ J их норм I кг кйкл ^ /Я*
Учет неоднородности земного магнитного поля. Во всех зада-
чах и примерах, рассмотренных до сих пор, внешнее поле //'°' счи-
талось однородным п пространстве. Такое предположение оказы-
вается, однако, недопустимым не только при исследовании распро-
странения радиоволн в солнечной короне (см, § 36), но иногда и
в земной ионосфере.
)":§ 35] ОТРАЖЕНИЕ ВОЛН ПРИ УЧЕТЕ ВЛИЯНИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ 471
а; Земное магнитное поле в первом приближении носит дипольный
'характер, и на высоте z над земной поверхностью
ыо
C5,17)
чгде р .^6360 км — радиус Земли, Н1-0) — поле на земной поверхности;
.кроме того, формула, строго говоря, относится только к полюсу или
'экватору, так как не учитывается угловая зависимость. Из C5,17) ясно,
что при изменении z, например, на 200 км разность /я (р)—fи (р -\-г) ;^
«1,5- 10'~°/я(р). Поэтому при зондировании ионосферы, если не
ставить цели специально измерять зависимость f'п от г, магнитное поле
/действительно можно считать однородным, Положение изменяется при
"исследованиях ионосферы и космического радиоизлучения с помощью
/искусственных спутников Земли или высотных ракет, а также
при изучении свистящих атмосфериков и в некоторых других слу-
чаях. Так, при приеме на Земле или на спутнике длинноволнового
космического радиоизлучения [227] нужно считаться с влиянием на
распространение этого излучения неоднородности земного магнитного
"поля. Достаточно сказать, что для данной частоты /<///(р) с при-
ближением к Земле на некоторой высоте произойдет переход от
условий и —
Ti
<1 к условиям а > 1.
В качестве примера [228] на рис. 35,7 приведена зависимость
п\ „(с) при /я(р)= 1,4 ¦ 106, / = 0,6 • 106 и я, = 20° для слоя с элек-
\
тронной концентрацией N = iVmas 1 —
1810J<306>
Г
при 100 < 2
<300 км и JV = /Vm,1K?-1.8-10"~J<J-306> при ^ > 300 км; значение Nm!ii
выбрано равным 1,25 • 104, что отвечает ночным часам (зависимость fH
от z находилась по формуле C5,17)). Из рис. 35,7 ясно, что при
нормальном падении и выбранной частоте ни обыкновенная, ни необык-
новенная волны внеземного происхождения достичь поверхности Земли
не могут (эффект просачивания при нормальном падении в условиях
рис. 35,7 совершенно ничтожен). При наклонном падении в опреде-
ленных условиях обыкновенная волна уже сможет перейти в необык-
новенную волну и достичь Земли в результате эффекта просачивания,
обсуждавшегося в § 29.

§36]
РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН В СОЛНЕЧНОЙ АТМОСФЕРЕ
473
Г Л А В А VII
РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН В КОСМИЧЕСКИХ
УСЛОВИЯХ
§ 38. Распространение радиоволн в солнечной атмосфере
Введение. С развитием радиоастрономии земная ионосфера пере-
стала служить основным объектом применения теории распростране-
ния электромагнитных воли в плазме, Более того, в настоящее время
центр тяжести интересоз в этой области все больше перемешается
от ионосферы в сторону радиоастрономии, космической (магнитной)
гидродинамики и исследований плазмы в лабораторных условиях.
Современная радиоастрономия, несмотря па свою молодость, охва-
тывает широкий круг проблем. Сюда относятся: радиоизлучение
Галактики и Метагалактики (общее излучение и излучение дискретных
источников), радиоизлучение Солнца, радиоизлучение планет (в осо-
бенности, излучение Юпитера), радиолокация метеоров и Луны, моно-
хроматическое .радиоизлучение нейтрального межзвездного водорода:
кроме того, нужно упомянуть теоретические вопросы, связанные
с выяснением природы спорадического солнечного радиоизлучения и
нетеплового космического радиоизлучения, а также радиоастрономи-
ческую теорию происхождения космических лучей. Далее, развились
радиоастрономические методы изучения земной ионосферы, не говоря
уже о том, что радиоастрономия тесно переплелась с многими дру-
гими разделами астрономии.
Ниже не предполагается осветить даже часть перечисленных во-
просов (см. B05, 229—240], а также [85, 89, 136, 204, 206, 207,
227, 228]). Цель последующего изложения состоит лишь в том,
чтобы охарактеризовать некоторые особенности и специфику распро-
странения радиоволн в солнечной атмосфере (§ 36) и в межзвездной
ионизированной среде (§ 37).
Помимо распространения радиоволн большое внимание привле-
кает к себе распространение в космических условиях плазменных,
акустических и, особенно, магнитогидродинамических волн и разры-
вов. В условиях, когда плазма может считаться однородной, распро-
странение этих волн рассмотрено в гл. II н III. Что же касается
распространения плазменных и низкочастотных волн в неоднород-
ной среде, то сюда также относится ряд выводов, содержа-
щихся в гл. IV—VI, В целом, однако, распространение плаз-
^менных и низкочастотных волн в неоднородной среде в различных
/мыслимых условиях изучено значительно менее полно, чем это имеет
гместо для радиоволн. Некоторые результаты в этом отношении
¦^имеются, например, в работах [241, 242]. Ниже рассматриваются
только волны, лежащие в радиодиапазоне.
Ч Солнечная корона. Солнечная корона представляет собой как бы
(гигантскую ионосферу. Если не говорить о масштабах и о количе-
,• ствеином различии в значениях электронной концентрации и темпе-
?> ратуры, условия в солнечной хромосфере и короне отличаются от
ионосферных в двух отношениях.
•"!• Во-первых, солнечная корона и верхняя часть хромосферы почти
;/'.полностью ионизированы и практически состоят только из электро-
¦-'нов и протонов. Из условия квазинейтральности следует поэтому,
\ что электронная концентрация N равна концентрации протонов N+.
: Во-вторых, при распространении радиоволн в хромосфере и короне
¦¦•;•'. нужно считаться с существованием неоднородных магнитных полей.
Ч Поскольку корона простирается на несколько солнечных радиусов,
,„•:¦ на пути волны не может считаться постоянным даже общее магнитное
; поле всего Солнца (в последние годы напряженность этого поля на
; уровне фотосферы порядка эрстеда; в некоторые периоды оно бывает,
v. возможно, значительно более сильным). Что же касается поля пятен,
;, достигающего тысяч эрстед, то оно быстро убывает с удалением от
V':' фотосферы и не может считаться однородным уже на расстояниях,
: значительно меньших солнечного радиуса. Впрочем, в ряде случаев
,;: в существенной для распространения волн области поле слабо
(и>я<^иЛ и корональную плазму можно считать изотропной.
:••••: Электронная концентрация в короне определяется из оптических
~; наблюдений (излучение короны в непрерывном спектре обусловлено
... рассеянием света фотосферы на корональных электронах). Соответ-
¦у ствующие значения приведены в табл. 36,1 согласно [243] и часто
'..;;¦ используемой [229. 244] эмпирической формуле:
N
@0,1)
где г — расстояние от центра Солнца и го —6,96 ¦ Ю10 см — радиус
фотосферы *).
*) Нужно иметь, в виду, что сама корона и концентрация Лг(т,) в ней
изменяются в течение цикла" солнечной деятельности, а также в зависимости
от отдельных спорадических процессов. Кроме того, корона в действитель-
ности не является сферически симметричной. В связи с этим значения, при-
веденные в табл. 36,1, могут служить лишь для ориентировки, а различие
между вторым и третьим столбцами невелико (оба ряда значении .V(tj)
приведены потому, что оба они использовались при конкретных расчетах).
Отметим также, что в плоскости солнечного экватора по данным [230]
jV(ч| = 6) =-• 4¦ КL, Л'(8) — 1 8-10*, NA0)- 1,0-10*, Л'A2) ~ 6,6-103, jVA4) =
=-? 4.8 • I03, N A6) = 3,7 ¦ 103, Л' A8) — 3,0 • 103 и N B0) -= 2.6 ¦ 103 (измерения
[230] проведены в период минимума солнечной активности).

474
РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН В КОСМИЧЕСКИХ УСЛОВИЯХ [Гл,
Таблица 36,1
_^онцентраци^электронов Е солнечщ)й нороне
согласно [243]
.V
по формуле
(ЗИЛ)'
1,03
1,06
1,10
1,2
1,3
1,4
1,6
1,8
2,0
2,9 ¦ №
2,1 • 10s
1,4 • 10е
5,8.10?
3,0-10?
1,8 -107
7,5 • 10«
3,8 • Ю6
2,0. 10s
N
(согласно [243]
3,2.10а
2,3 • 108
1,5-Юа
6,8 ¦ 107
3,7.107
2,2 • 10'
9,4- 10е
4,6 • 10«
2,4 ¦ Ю6
2,2
2,4
2,6
2,8
3,0
3,5
4,0
5,0
1,2- 10е
7,0- 10=
4,2 • 105
2,9 • 106
1,9- 106
8- 104
4- 10<
1 -Ю'
1,4.10е
8,1 ¦ 10=
5,0. 105
3,2-10s
2,1 ¦ 10s
8,4 ¦ 104
3,8 • 10»
1- 10«
Основанию короны отвечает примерно значение ij=l,03 (r—r0^
«20 000 км). Впрочем, часто для границы между хромосферой и
короной принимают значение г — гв —10 000/сл (т;—1,014). Для
хромосферы можно использовать эмпирическую формулу (см., напри-
мер, J244]):
Л^ = 5,7-10пехр [•—7,7-10~4(/2— 500)]; 500 < h < 10 000 км, C6,2)
где А-—высота над фотосферой в километрах (более подробные све-
дения см. в [245]).
Температура в хромосфере возрастает от Г=ы5000° у ее осно-
вания до значений Гк«3^-5-105 при Нты 10 000 км (т) = 1,014),
в короне Гкг=Ю6 при 1)^,1,05; с дальнейшим ростом т\ темпера-
тура изменяется сравнительно мало *),
Из табл. 36,1 ясно, что при i\ <i 2 электронная концентрация
в короне выше максимальной концентрации N^С2 • 10s в ионосфер-
ном F-слое. Еще более разительно различие в температурах. Коро-
иальная температура так велика, что корона является источником
интенсивного теплового излучения, лежащего в радиодиапазоне.
Большая интенсивность этого радиоизлучения связана с тем фактом,
что в радиодиапазоне оптическая толщина короны не только не мала,
ко может быть весьма большой (см. [246—248] и ниже). Помимо
теплового излучения солнечная атмосфера служит источником еще
более мощного спорадического радиоизлучения.
*) Имеется в виду температура корональны.х электронов и ионов, кото-
рые при отсутствии потоков нмеюг практически .«аксвелловское распреде-
ление скоростей. Тепловое излучение в оптической части спектра в силу
малой оптической толщины коро'ны не находится в равновесии с частицами
и имеет температуру порядка температуры гЬгти-Алгч.. т ~,гт»
__ „,w. и/ищаш короны не находится в равно;
и имеет температуру порядка температуры фотосферы Те
^6000°.
§ 361
РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН В СОЛНЕЧНОЙ АТМОСФЕРЕ
475
Щ: Распространение радиоволн в короне. Для интерпретации экспе-
риментальных данных о тепловом и спорадическом радиоизлучении
К|§олнца необходимо рассмотреть характер распространения радиоволн
-в.короне. Для этой цели можно воспользоваться теми же формулами,
^которые были установлены для ионосферы. Для удобства приведем
||х здесь вновь, причем сразу учтем, что в интересном с точки зре-
йния эксперимента диапазоне всегда
I; «2»^фф- C6,3)
Щ .этом случае при отсутствии магнитного поля имеем:
-е2ДГ ]_е г2ДГ
е=1
4т.
эфф>
C6.4)
где N — концентрация электронов и влиянием ионов (протонов) всегда
можно пренебречь, так как N+ = N и -^- = ^щ--
Для чЭфф нужно использовать формулу F,14);
-Nvln @,37-^-
C6,5)
где предполагается, что Л)Т; = .V+ = N и Т— электронная температура.
Как указано в §§ 4 и 6, точность формулы C6,5) не превосхо-
дит 5%. Кроме того, выражение, стоящее в C6,5) под знаком ло-
гарифма, справедливо только при Т<^3- 103 (см. D,28)), При
вместо !nfo,37
^
e'N»
—Win B20-4-
нужно использо-
|ать значение In [ Tl (jg,)'"-*Z_ j = ЦТ2 10^) . где Tl и Ъ-
^множители порядка единицы. Эта замена ясна из сопоставления фор-
?йул D,19) и D,19а) и расчетов, проведенных в § 6 (при этом чи-
Хсленные множители Yi и Т2 под знаком логарифма не уточнялись,
рак как, например, при Т—106 и Л''-=^106 имеем 104—г«106 и
'множителем у2.—- 1 можно пренебречь). В области Г~'3- 105 обе
^формулы, относящиеся к предельным случаям, дают примерно один
"и тот же и довольно точный результат. В C6,5) предполагается, что
-электроны сталкиваются с протонами. Если же электрон сталкивается
?не с протонами, а с ионами с зарядом eZ и концентрацией Л'г> то
5Э C6,5) появляется множитель Z2 и вместо N фигурирует концен-
трация Л/j. В результате имеющиеся в короне высокоионизированные
гатомы железа, никеля и других элементов в Z раз эффективнее про-
/Тонов (ион с зарядом eZ в Z2 раз эффективнее протона, но в силу
уКвазинейтральности короны при данной электронной концентрации N

476 РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН В КОСМИЧЕСКИХ УСЛОВИЯХ [ГЛ. VII
появление одного иона должно сопровождаться удалением Z прото-
нов). В короне Z <С20 и, по-видимому, .всегда NtZ<^N, т. е. влия-
нием чонов можно пренебречь.
В общем случае
— \2 у—*? _ 2ujx
но практически везде пригодны формулы, справедливые при условии
. 1 -^ 4Л5
[г'!^>~ C6,7)
и имеющие вид:
1 —tts
2 т/ j _ ilze
C6,8)
Рассмотрим радиоволну, распространяющуюся по радиусу из
внешнего пространства к Солнцу. Поток энергии излучения в случае
плоской волны будет, очевидно, ослабевать по закону S = Soe""'rW,
где Sq—¦ поток излучения вне короны и х — так называемая «опти-
ческая толщина» (термин, мало удачный в радиодиапазоне):
СО
WJ СО
j V.dr=r0 j a (t,) d-q =:-f-j
—^y dr;. C6,9)
Формула C6,9) записана в приближении геометрической оптики
и при условии C6,7). Если волна не полностью затухает в короне
и достигает точки, где г = 0, то оба указанных предположения
в некоторой области значений ? несправедливы. Коэффициент отра-
жения |/?р в этом случае равен (см. C1,2))
г@)
C6,10)
где /-@),
0 и 7эфф@; — значения соответствующих величин
ГО, ПОД и, НУЖНС
ниже, значение х0 определяется формулой C6,9),
§36]
РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН В СОЛНЕЧНОЙ АТМОСФЕРЕ
477
нужно проводить до точки, очень близкой к г@), но все же такой,
для которой условие C6,7) еще выполнено.
Приведем некоторые результаты вычислений [249], проведенных
по указанным выше формулам и с использованием значений N из
второго столбца табл. 36,1. В табл. 36,2 приведены для различных
длин волн значений п2 по формуле C6,8). Разумеется, соответствую-
щие цифры не очень точны в силу приближенности значений кон-
центрации Аг в табл. 36,1.
Таблица 36,2
Квадрат показателя преломления пг в короне для волн
различной длины
где ин?егрирован
Х?1 ;'/•''
: :{Л .;¦;{. ¦
¦¦А:-:;: ¦
i j'>•••'
1
1
1,03
1,06
1,10
1,155
1,157
1,200
1,245
1,247
1,30
1,40
1,60
1,723
1,726
1,80
2,040
2,043
Wf: 2,20
"Ш 2.40
%]¦'', ¦". :'¦•[
v.~~:; ;,
т
2,580
2,584
2,60
2,80
3,00
3,20
3,40
3,60
3,80
4,0
&
1С СО
1! II
_
_
—
—
.
,
_
_
^.0
0,01
0,06
0,35
0,57
0,71
0,81
0,85
0,89
0 91
Г
Zf.
II 'Л
г< 3
_
—
—
—
.
—
—
—
—
—
—
—
—
«0
0,01
0,33
i 0,6!
_
. —
.._
0,84
| 0,89
ъ 1
* L-1
тоГ
II II
'< 3
!
—
—
—
—
—
—
—
«0
0,01
0,22
—
i
0,76
0,86
_
—
—
\ 0,941
1 0,961
I 0,928 0,973
0,952
0,963
0,972
0,977
! 0,983
0,987
0,990
! 0,992
О
Т
Л«
_
—
—
•=й0
0,01
0,32
0,59
0,83
—
—
0,915
—
—
0,973
0,984
__
—
—
0,993
0,996
0,997
0,998
0,9985
0,9989
! 0,9991
?>„
<-% з j
_ 1
\
—
«0
0,02
0,26
—
—
0,62
0,77
0,904
—
—
0,952
—
—
| 0,985
| 0,991
1 ~~
—
1
0,996
! 0,9976
0,9984
0,9989
0,9992
j 0,9994
0,9995
ь
Ч !
0,40
0,57
0,72
—
0,882
—
—
0,939
0,963
0,985
._
—
0,9922
—
0,9976
0,9986
—
—
—
0,9994
0,9996
0,9997
1 0,9998
0,9999
0,9399
—¦
ь
я и
0,74
0,81
0,88
—
—
0,948
—
—
0,973
0,984
0,993
—
0,997
—
0,9989
0,9994
_
—
0,9997
0,9998
0,9999
0,9999
0,9999
—
i
&
к1"?
«3
;. '1
>< Z
0,906
0,932
0,956
—
—
0,981
—
—
0,990
0,994
0.99S6
—
0,9988
—
—
0,9996
0,ы998
s
—
—
0,9999
—
—
—
—
—

478
РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН В КОСМИЧЕСКИХ УСЛОВИЯХ [гл
VII
В таол. 36.3 приведены значения уэфф по формуле C6 5) Д1Я
различных температур (значения 7'= 6 ¦ 10^ и 7=, 6 • 10'» для кооот
нереальны ^ и приведены только для иллюстрации). Грубо говоря
~^ Т '", но логарифмический член see же заметен.
Таблица 36,3
Значения уэфф для различных температур
1,03
1,06
1,1
1,2
1,3
1,4
1,6
1,8
2,0
2,2
2,4
2,6
2,8
3,0
3,4
3,8
4,0
4,4
4,8
5,0
290 ¦ 106
210
137
58
30
18
7,5
3,8
2,0
1,2
0,7
0,42
0,29
0,19
0,085
0,050
0,040
0,025
0,014
0,010
2,71
1,99
1,32
5,80-
3,10-
1,88 -
809
420
226
138
82
50
35
23
11
6,4
5,2
3,3
1,8
1,3
104
10*
10*
103
10»
103
1103
811
537
233
124
75
32
36
8,9
5,4
3,2
1,9
1,4
0,9
0,4
0,25
0,20
0,12
0,07
0,05
115
84
55
24
12,7
7,7
3,3
1,7
0,9
0,55
0,32
0,20
0,14
0,09
0,04
0,025
0,020
0,012
0,007
0,005
— I
43
31
20
9,0
4,7
2,9
1,20
0,6
0,3
0,2
0,12
0,07
0,05
0,03
0,015
0,007
0,006
0,0035
0,0026
0,0019
21
15
10
4,3
2,3
1,4
0,59
0,30
0,16
0,10
0,06
0,04
0,024
0,016
0,007
0,004
0,0035
0,0022
0,0013
0,0009
Из табл. 36,3 ясно, что условие C6,3) в короне всегда выпол-
нено с большим запасом. Так, даже в худшем случае, когда >, = 50 м
и 7"= 6- 103°К,
6; к тому же столь длинные волны
в глубь короны проникнуть не могут (так как там е < 0) и пред-
ставляющие интерес значения -^— порядка 10~п и меньше
>.= 1,5 м и 7=3- 105 имеем
.2
чэфф
V2
Малость отношения —244- приводит также к^уже отмеченной воз-
можности использовать форьчулу C0,9) и при наличии отражения,
36]
РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН В СОЛНЕЧНОЙ АТМОСФЕРЕ
479
пренебрегая малой областью, где вместо формул C6,8) нужно при-
менять формулы C6,6). Например, при Г= 106 и Х = 50 .it в точке г @),
2
где 2 =
^„,.= ^ = ^1 = 5,1.10
при
поэтому г Зе>
"уже на ничтожном расстоянии от точки г@) (так, г = 5,1 • 10~w
/- — = Atj = 2.0 • 10" ) и изменение -: из-за учета отличия л.2
;>/ ге 6
Йот s порядка 3- 10" , в то время как само значение т = 0,0553.
;;При Х = 5 м и Г=3 ¦ 105 в точке г@) га2@)^=8,56 ¦ 10~3 и соот-
гветствующее изменение х порядка 10 при ^ = 2,037.
'¦¦. По той же причине в силу малости отношения —-^- незначи-
тельна также добавка Дт со ч'^^ в формуле C6,10). Так, при ). = 50 м
Нц Г=106 имеем Дт^Ю; для X — 50 м и 7 = 6- 104 получим
;!Дтяа5- 10~\
1 В качестве примера в табл. 36,4 приведены результаты вычи-
{слений х(«) для разных длин волн и 7 = 6- 10s. В этой таблице
^приведены также значения \R[2 по формуле C6,10) для тех случаев,
'когда коэффициент отражения не слишком мал*).
''эфф (rj' 'Л)
Как ясно из табл. 36,3, отношение тттгтт практически не
фф
зависит от т]. Поэтому согласно формуле C6,9) имеет место равен-
х (T|. Tl) ^эффС?1!)
ство —;—=-г = т^гт-, и, таким ооразом, если оптическая тол-
t (ч. Тг) -'Эфф (Т2)
щина ¦z для одной температуры известна, ее легко найти и для дру-
гих температур. Заметим также, что точность значений, приведенных
в таблице, существенно меньше, чем это может показаться на осно-
вании числа значащих цифр (неточность связана с экстраполяцией
значений N, графическим методом расчета и т. п.).
Из табл. 36,4 явствует, что даже при температуре Г = 6- 105,
одинаковой во всей короне, все волны длиннее 1 .«, практически
полностью поглощаются в короне. Более короткие волны, особенно
¦ сантиметровые, заметно поглощаются уже только в хромосфере, рас-
четов для которой мы приводить не будем, — в принципе они вполне
аналогичны проведенным вычислениям для короны или ионосферы.
Излучение радиоволн. Учет рефракции. Поскольку метровые
волны поглощаются короной, то, очевидно, при любом механизме их
генерации в солнечной атмосфере они должны исходить также из
короны. Таким образом, источником радиоизлучения Солнца в метро-
вом диапазоне является корона. При этом излучение с длиной волны к
*) В таблицах имеются также значения х при ti = 1,0, носящие условный
характер. Они получены путем экстраполяции концентрации N, проведенной
во втором столбце табл. 36,1 до самой фотосферы (при этом для -ц = 1,0
получается значение N — 4,3 • 103).

480
8
s
с
=5
О
С.
о
аи
РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН В КОСМИЧЕСКИХ УСЛОВИЯХ [ГЛ, VI]
о" о" о" о" о" о о" о" о"
ими
11|§| I
о" о"
I (NCO
'ОО
о"
МММ
-tf*CC
I SS М
iS I
I 83
о о"
¦ I I
о" о" о" о" о" 1—Гч#~
| СОЮ , | <LD
! I
88888 !oS ' 'fe-SS MI
o" o* o" o" o" o~ ©" о1 о" о о"
II II [ I
о о о о ' ocojco
о" о" о* о" о" о* о" о" о"
I II I II I М II ! I
I И
5:
ооооо— ' '
оо'оооо'
11
I I I
мм
§36]
РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН В СОЛНЕЧНОЙ АТМОСФЕРЕ
481
исходит из области т] = т](Х), где х(Х) порядка единицы (из области,
для которой т = 2,3, наружу выходит лишь !/ю ) отока излучения).
Интенсивность излучения может быть сразу указана лишь в слу-
чае, если оно носит температурный характер (тепловое излучение).
В этом случае с единицы поверхности (черного тела) в единицу вре-
мени в интервале частот Д/ излучается энергия
C6,11)
¦,-16
где * =1,38 • 10 эрг/град — постоянная Больцмана и использован
закон Рэлея — Джинса, так как для Солнца в радиодиапазоне.
Если считать корону сферически симметричной и полностью по-
глощающей волны с длиной )., то на Земле поток теплового излу-
чения равен 5 Д/, где
1,86 -КГ21
2т.-/.Т
1,11-
ж2 ¦ мггц
м2 ¦ мггц
C6,12)
здесь \ж—длина волны в метрах, го = 6,965 • Ю10 — радиус фото-
сферы, R= 1,495- 1013 см — расстояние от Земли до Солнца
Го =6000 — условная температура фотосферы и т• (X) — значение т),
при котором т (X) =s 1 и температура равна Г.
В C6,12) предполагается, что значение tj()-) одинаково как при
радиальном, так и при нерадиальном распространении волн, т. е, что-
источником радиоизлучения является сферическая поверхность с ра-
диусом т](Х)г^. Это, конечно, строго говоря, неверно. Для лучей,
идущих не по радиусу Солнца, должна наблюдаться рефракция и,
кроме того, для этих лучей и«1 на другом расстоянии от фото-
сферы, чем для радиальных лучей. Поэтому радиояркость диска
в его центре и на краях будет неодинаковой, так же как это имеет
место в оптической области.
Для количественного анализа этих вопросов нужно рассмотреть
распространение в солнечной атмосфере радиоволн, попадающих затем
на Землю. При этом имеются все основания воспользоваться лучевой
(т. е. геометрикооитической) трактовкой задачи [229, 244, 250, 251]).
Для лучей, распространяющихся в сферически симметричной пре-
чомляющей среде, закон преломления имеет вид:
п (г) г sin <f (r) = rm sin 9 (/"со) = р.
C6,13)
где п{г) — показатель преломления в точке, находящейся на расстоя-
нии г от центра Солнца, 9 — угол между направлением луча и
радиусом-вектором г и р— расстояние входящего в атмосферу Солнца„
31 Зак. ,1471. В. Л. Гинабург

482 РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН В КОСМИЧЕСКИХ УСЛОВИЯХ [ГЛ. VII
еще не рефрагирующего луча от радиального луча (рис. 36,1)-
в C6,13) предполагается, очевидно, что л(гсо}=1. Учитывая C6,13)
и простые геометрические соображения, можно видеть, что элемент
Рис. 36,1. Траектория луча в солнечной короне.
dr
длины луча равен ds = —— =
со,,
вдоль луча равна
и оптическая толщина
<-*J OS
х (г) = J u.ds = rQj
C6,14)
где
¦ _ Р
и [i (tj) —коэффициент поглощения C6,8).
Траектория луча в полярных координатах гиб такова:
6 = 1
pdr
C6,15)
где мы ограничиваемся рассмотрением лучей, падающих на Солнце
параллельным пучком ("поэтому 8 — о к г sitio = о)
В точке отражения или, лучше, «точке поворота» ?=-?j-> r = rQ
и 8 = 90, причем
Vl(ro) = P- C6,16)
Траектория луча симметрична относительно прямой, проходящей через
центр Солнца и точку поворота, В этой точке знаменатель в инте-
гралах C6,14) и C6,15) обращается в нуль, но это обстоятельство
несущественно ни при графическом построении, ни при расчетах,
использующих линейную аппроксимацию функции я3 (г) вблизи точки
поворота (чтобы не заботиться о знаках, удобно применять выраже-
ния C6,14) и C6,15) только при 9 < 0о, поскольку в силу симметрии
задачи значений т при 9 > 80 вычислять не нужно).
§36]
РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН В СОЛНЕЧНОЙ АТМОСФЕРЕ
483
Траектории лучей в короне показаны на рис. 36,2 для излучения
с частотой / = 60 мггц (/,.= 5 м). Все лучи приходят справа парал-
лельно друг другу и, следовательно, отличаются лишь значениями
«прицельного параметра» р (см. рис. 36,1).
Интенсивность радиоизлучения вдоль различных лучей опреде-
ляется уравнением переноса, широко используемым в астрофизике.
Отличие рассматриваемого случая от оптического состоит лишь в том,
что в оптике обычно можно пренебречь отличием п от единицы.
Останавливаться на использовании уравнения переноса мы не будем,
в частности, потому, что в практически важнейшем случае результат
Рис. 36,2. Траектории лучей б солнечной короне для радио-
излучения с длиной Ао — 5 м. На рисунке указаны значения
«прицельного параметрам р, выраженного в"единицах радиуса
фотосферы rQ.
может быть получен непосредственно. Дело в том, что при совре-
менном уровне наших сведений о температуре и концентрации элек-
тронов в короне представляется обычно целесообразным считать тем-
пературу короны постоянной, т. е. не зависящей от г. Резкое падение
температуры при переходе к хромосфере в свою очередь удобно
учитывать, считая, что на некоторой границе г = гх температура
скачком меняется от значения Тк до значения Тх (Тк и 7"х — темпе-
ратуры в короне и хромосфере). Даже в такой весьма схематизиро-
ванной модели солнечной атмосферы 1244] остаются неизвестными
параметры Тк, Тх и /\, не говоря уже о лишь ориентировочно изве-
стной функции N (/•).
Определение этих неизвестных параметров должно быть произ-
ведено из сравнения теоретически вычисленного распределения интен-
сивности радиоизлучения по солнечному диску с соответствующими
опытными данными. Если же задаваться более сложным распределением
температуры в солнечной атмосфере, то интерпретация ограниченных
экспериментальных данных станет, вообще говоря, неоднозначной.

484 РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН В КОСМИЧЕСКИХ УСЛОВИЯХ [ГЛ. VIJ
Считая температуру короны постоянной, можно определить интен-
сивность радиоизлучения вдоль луча непосредственно с помощью
теоремы Кирхгофа. Для лу.чсй, не попадающих в хромосферу, удель-
ная интенсивность теплового излучения / вдоль данного луча, иду-
щего на расстоянии р от радиального луча (см. рис. 36,1), равна
где
с'
1К(\ — (Г"' ">), C6,17)
Тк есть удельная интенсивность *) черного излучения с тем-
пературой Тк и 2-к(/"о) — оптическая толщина короны вдоль луча
(тк(г0) есть оптическая толщина до точки поворота го = —~—г-;
п v о)
значение ~к(г0) определяется формулой C6,14) с ij = tj0 == -^5-\, Для
лучей, проникающих в хромосферу:
ЦР) = *f. Та A - е-* ('*>)+-??- ЪГ1* (г*\ C6,18)
где тк(гх) — оптическая толщина короны вдоль данного луча до
точки гх, где начинается хромосфера, и учтено, что в самой хромо-
сфере луч всегда полностью поглощается (т. е. тх^§>1).
Интенсивность излучения C6,18) соответствует интенсивности из-
лучения черного тела с эффективной температурой
¦%«С"))^Т^е~''к(г^. C6,19)
В случае C6,17), очевидно,
Г.Фф
7;A
C6,20)
F,0)
На Земле поток излучения Д5 Д/, исходящий из кольцевой области
на Солнце с площадью 2-р^р, и полный поток 5Д/ равны:
= -^-Д/ ft(p)pdp.
C6,21)
*) Напомним, что по определению /Д/ДЙ есть количество энергии,
протекающее в единицу времени через единицу нормальной к направлению
луча поверхности и приходящееся на интервал частот Д/ и интервал телес-
ного угла Дй. Выписанное выражение для / справедливо при п = 1. В об-
щем случае для нашей задачи / = —'^—- Тк, т. е- в выражении, справед-
ливом для вакуума, нужно заменить с на - (п — показатель преломления
для частоты /). Вывод выражения C6,17) приведен, между прочим, в конце
настоящего параграфа в сяязи с вопросом об его обобщении на случай
магии гоактивной плазмы.
§36]
РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН В СОЛНЕЧНОЙ АТМОСФЕРЕ
485
Если излучающая поверхность есть черная сфера с радиусом
r — r^r^k), то 1=—?~Тк при р<г, /=0 при р>г, и фор-
мула C6,21) для S переходит в C6,12).
Для характеристики интенсивности радиоизлучения Солнца как
целого удобно пользоваться понятием эффективной температуры
Солнца Г3фф, определяя TQ:3^ как температуру, которую должна
была бы иметь фотосфера для того, чтобы ее радиоизлучение равня-
лось наблюдаемому. Очевидно,
Т9
= 5 (^-
= 5,4
C6,22)
где S Л/ — наблюдаемый на Земле поток радиоизлучения от всего
Солнца, отвечающий длине волны к (в последнем выражении А.
нужно брать в метрах и S — в «да/.и2 • мггц).
С помощью приведенных формул вопрос о тепловом радиоизлу-
чении Солнца для принятой модели может быть разобран без
каких-либо трудностей принципиального характера. На соответствую-
щих расчетах мы здесь останавливаться не будем (см. [205, 229,
234, 244, 250] ). Отметим лишь, что одним из очевидных следствий
принятой модели является эффект уярчения при приближении к краю
солнечного диска. Этот эффект имеет место для волн, которые
в центральных областях диска (т. е. при г < 0,8-r-0,9rG) сильно
поглощаются только в хромосфере, где Т—Ту^^Т^.
Влияние магнитного поля. Спорадическое солнечное излучение
в метровом диапазоне носит неравновесный (нетепловой) характер,
причем его интенсивность достигает иногда огромных значений
(Гэ,8фф'—- 1012-т- 10й градусов). Независимо от того, каков механизм
спорадического радиоизлучения (см. [136, 252]), для вопроса о рас-
пространении и выходе этого излучения из короны все приведенные
выше сведения сохраняют свое значение. Вместе с тем ограничиться
рассмотрением изотропной корональной плазмы уже нельзя. Соб-
ственно, учет влияния магнитного поля может быть существен уже
и в случае теплового радиоизлучения. Это влияние, однако, относи-
тельно невелико, потому что общее магнитное поле Солнца слабо
(для теплового радиоизлучения Солнца как целого существенна вели-
чина именно общего магнитного поля). В тех случаях, когда спора-
дическое радиоизлучение не поляризовано или слабо поляризовано,
корональную плазму также можно, вообще говоря, считать изотроп-
ной. Но спорадическое излучение часто сильно поляризовано, и тогда
несомненно нужно считать корональную плазму магнитоактивной.
Все общие формулы, необходимые для соответствующих расчетов,
уже были приведены в гл. III и V. В отличие от ионосферы в ко-
роне магнитное поле обычно нельзя считать однородным. Кроме того,
в связи со значительно более высокой температурой в короне
32 Зак. 1471. В. Л, Гинзбург

486 РАСПРОСТРАНЕНИЕ Р.1ДИОВОЛН В КОСМИЧЕСКИХ УСЛОВИЯХ [ГЛ. VII
сильнее сказывается влияние теплового движения (пространственной
дисперсии),
В качестве примеров, позволяющих составить впечатление о роли
магнитного поля, приведем результаты расчетов [89] показателей
преломления «ь2 над солнечным пятном (поглощением пренебре-
гается —в короне оно, вообще говоря, очень мало сказывается на
виде функций яь2 (->])). При этом источник поля считается протя-
женным магнитным полюсом, расположенным на уровне фотосферы *).
Тогда поле на оси равно
г0=г0A,—1). C6,23)
Здесь Ь — радиус магнитного полюса и Нк — поле на уровне фото-
сферы (рис. 36,3). Концентрация электронов определялась выраже-
нием C6,1). На рис. 36,4—36,6
приведены графики функций и| 2 (tj)
при « = 0, 15 и 90° и /4 = 250 и
//? = 2500 эрст; кроме того, поло-
жено (о — 2я ¦ 108 (Хо = ~ := 3 м\
и й2 = 10ш afi, т. е. порядка пло-
Рис. 36,3. Протяженный магнит- щади Довольно большого пятна,
ный пплик- .,..„„ х , Различие е
ный полюс, имеющий форму
окружности с радиусом Ь и нахо-
дящийся на уровне фотосферы.
~..~ uu.iumuiu ПЯТНа.
Различие между случаями, изо-
браженными на рис. 36,5, а и б за-
ключается в том, что для Нь =
==2,5- 103уровень ш/:Г=ш(т. е. и—\)
лежит в короне выше слоя, где <а0 = <о (т. е. ».= 1); в случае же
//(, = 2,5- 10г положение уровней обратное. Отсюда, в частности,
следует, что в первом варианте (рис. 36,5, а) взаимодействие нор-
мальных волн происходит з области, где шн > <и, тогда как во
втором варианте (рис. 36,5, б) области взаимодействия расположены
в слое, где <я^ < ш (на рис. 36,5 области взаимодействия обведены
кружками). Заметим, что указанное различие в ходе .кривых для
сильного и слабого поля возникает лишь для промежуточных значе-
ний угла а @ < у. <тт); из рис. 36,4 и 36,6 ясно, что при z = 0
и а = 90° изменение величины магнитного поля не приводит к резкому
изменению кривых nj ,} (tj).
На рис 36,7, а показана зависимость Я; ,, (f|) в слабом магнитном
поле Нь = 25 эрст при я =15° (при учете теплового движения
*) Такая модель позволяет хорошо аппроксимировать поля униполярны*
пятен, к числу которых принадлежит примерно 35% всех пятен [253]; для
биполярных групп пятен используемое приближение также в известных
пределах пригодно в области над пятном с определенной полярностью.
36] РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН В СОЛНЕЧНОЙ АТМОСФЕРЕ 487
/I
А I
! 1,1 12 itfi IA 1,5 г
\т i
\!,1 I 1,2 1,3. IA I,S ц
\ I
I ,'
Рис. 36,4. Функции П|,2(т|) в коро.чалы-юй плазме при а = 0 (верти-
кальные пунктирные линии отвечают точке ?'11Д): &) Нь — 2,5 ¦ Ю3;
б) Нь = 2.5 ¦ 10-'.
i I a)
Рис. 36,5. Функции «г 2 d) в корональной плазме при а — 15°
(вертикальные пунктирные линии отвечают точкам vloo и f!cn):
а) Иь ^ 2,5 • Ш3; б) Н„ = 2,5 • Ю2.

488 РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОООЛН В КОСМИЧЕСКИХ УСЛОВИЯХ
[ГЛ. VIг
Рис. 36,7. Функции "а[ , 3 в корональной плазме при а = 15":
а) /'/г = 25 зрст; б) /4 = 0 (изотропная плазма).
§ 36]
РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН В СОЛНЕЧНОЙ АТМОСФЕРЕ
489
в квазигидродинамическом приближении). На рис. 36,7, б приведены
графики п\л и п\ в тех же условиях, но при отсутствии магнитного
1 —-i \
. Существенно, что в доста-
поля | ti\ ,= 1
точно слабом ноле штрих-пунктирная часть кривых на рис. 36.7, а
по всем своим свойствам соответствует штрих-пунктирной части
кривой п\ на рис. 36,7,G. Этот факт, находящийся в согласии со
сказанным в § 12, позволяет при гг = ^-<<^1 в ряде вопросов
ограничиться рассмотрением поперечных и плазменных волн в изо-
тропной плазме вместо исследования более сложной задачи о гене-
рации и распространения волн в магнитоактивной плазме.
Трансформация плазменных волн в радиоволны. Потоки частиц
генерируют в короне плазменные волны (в магнитоактивном случае
это значит, что образуются волны в районе полюсов функций ri\ A.
На «выходе» же — вне короны — с радиоастрономической точки зре-
ния интерес представляют только радиоволны. Тем самым одно из
центральных мест в теории спорадического солнечного радиоизлуче-
ния приобретает проблема трансформации и выхода волн из короны.
Не останавливаясь на этом вопросе подробнее (см. [89, 133, 136,
252)), подчеркнем несколько моментов.
В однородной плазме трансформация воли разного типа возможна
только за счет рассеяния на неоднородностях (флуктуациях) как
теплового, так и нстеплового происхождения№). При этом, например,
в изотропной плазме имеются флуктуации двух типов: флуктуации"
плотности плазмы, практически не связанные с появлением простран-
ственного заряда, и флуктуации с неизменной плотностью ионов, т. е.
флуктуации плотности одних только электронов. Флуктуации послед-
него типа представляют собой, собственно, флуктуациоиные плазменные
волны, на которых может рассеиваться рассматриваемая плазменная
или поперечная волна. При рассеянии плазменных волн, созданных
каким-либо способом в короне, на флуктуациях обоих типов обра-
зуются поперечные (радио) волны, которые затем при благоприятных
условиях выходят из короны. Аналогичный механизм трансформации
нормальных волн разного типа путем рассеяния имеет место и
в магнитоактивной плазме.
В неоднородной плазме трансформация волн может происходить
и регулярным образом, т. е. без учета процессов рассеяния. Именно
*) Термин «однородная плазма> применяется здесь, конечно, в условном
смысле — речь идет об однородности «в среднем» (при отсутствии флуктуа-
ции или локальных неоднородностей).

490
РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН В КОСМИЧЕСКИХ
УСЛОВИЯХ [ГЛ. VII
в изотропной плазме в районе точки s(«, tj) — 0 плазменная волна
может переходить в поперечную в результате взаимодействия, рас-
смотренного в § 20. В магнитоактивной плазме трансформация
связана с взаимодействием волн, приводящим к эффекту «утраивания»
(см. §§ 28 и 29; соответствующие области взаимодействия обведены
кружками на рис. 36,5).
О поглощении, не связанном с соударениями. В магнитоактив-
ной короналыюй плазме в связи с ее высокой температурой нельзя
ограничиться учетом только поглощения, обусловленного соударе-
ниями. Помимо этого механизма поглощение происходит также в ре-
зультате процессов, обратных магнитотормозному и черепковскому
излучению (см. § 12). Черепковское поглощение будет иметь место
только в области, где л1>2 > 1, С точки зрения проблемы выхода
излучения этот механизм поглощения имеет сравнительно небольшое
значение (см. рис. 36,4—36,6; черенковское поглощение отлично от
нуля для волн, которые могут выйти из короны только в резуль-
тате взаимодействия). Магнитотормозное поглощение при а Ф 0 будет
наблюдаться и для обыкновенной и для необыкновенной волн на
частотах <a—sa>lf (s=l, 2, 3, . . .). Соответствующие значения
коэффициентов поглощения а =— 2q = -— у. уже были приведены
в § 12 (см. формулы A2,36) —A2,46)).
В то время как при s=S и s=2 коэффициент резонансного
поглощения up" (s— 1) ~ \>.fe3(s — 2) ~ ,; р., коэффициент по-
г лощения из-за соударений ^''У-1--^—~~ ~. Отсюда
ell
при v
- 10, о>
¦ 10« и
Ю
Таким об-
разом, резонансное поглощение весьма сильно. Некоторые грубые
оценки показывают [85, 89], что в короне связанная с резонансным
поглощением оптическая толщина для необыкновенной волны
T1(s=l)~-1E = 2)~i03, t1(s==3)~60, t,(s = 4)~7- 10-'
C6,24)
при <о~2-. 10", шо~ш, pr = |/"^L _ю-2, 7V~io« „ 1н„
r~ 1010 см (Lfi — характерное расстояние, на котором заметно из-
меняется поле Him и, следовательно, частота шА Для обыкновен-
ной волны значения т = х2 в тех же условиях на один-два порядка
меньше. Тем не менее т, ($ = 1).~ т., ($ — 2) ^>, 103 2s> 1.
Итак, резонансное поглощение при а —-< 1 может резко ослаблять
волны, проходящие через уровень » ^ шд, «я ^ 2ш„, а для необык-
новенной волны также уровень шяаЗшя. Для модели короны над
§36]
РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН В СОЛНЕЧНОЙ АТМОСФЕРЕ
491
пятном, использованной при построении рис. 36,4—36,7, при Я(,=
= 2,5- \03 эрст уровни ш = ш^, » = 2<йя и u)j=3<o^ расположены
соответственно при -/j = 1,27, ij=l,38 и tj = 1,47. Из рис. 36,5, а
следует, что в этом случае резонансное поглощение резко меняет
условия выхода волн нз короны, Напротив, в поле /f,, = 2,5 • Ю2 эрст
влияние резонансного поглощения мало существенно, поскольку
уровням to = &н, (о — 2шя и и — Зи>я отвечают значения -^ = 1,85,
¦<)=- 1,121 и 71 = 1,148.
Теорема Кирхгофа в магнитоактивной плазме. В заключение
остановимся на вопросе об использовании теоремы Кирхгофа в ма-
гнитоактивной плазме (см., в частности, [62]).
Для удобства повторим вначале соответствующие рассуждения
для изотропной среды.
Интенсивность излучения I'Oii, выходящего в вакуум из .ограничен-
ной изотропной среды, складывается из собственного излучения этой
1 1
среды
и падающего на среду излучения 1й
уменьшенного на
множитель е~
!L = L+i^-\ - = -2^r / u.ds
C6,25)
(здесь it — коэффициент поглощения и ds — элемент траектории
<туча, показанного на рис. 36,8; предполагается, что луч не рас-
щепляется на отраженный и проходящий, т. е. отражение либо от-
сутствует, либо является полным). Соотношение C6,25) выражает
Рис. 36,8. Изменение интенсивности излуче-
ния при прохождении луча через поглощаю-
щую среду.
закон сохранения энергии и, кроме того, основывается на использо-
вании понятия о лучах, что отвечает приближению геометрической
оптики.
В случае полного термодинамического равновесия
— 1
C6,26)

492
РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН В КОСМИЧЕСКИХ УСЛОВИЯХ [ГЛ. VU
§ 371
РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН В МЕЖЗВЕЗДНОЙ СРЕДЕ
493
где учитываются обе поляризации и /0^ = /— использовавшаяся ранее
интенсивность, отнесенная к интервалу частот а/=-=—.
В вакууме равновесное излучение однородно и изотропно, в силу
чего в равновесии /^G) = /Оо> G) и выражение C6,25) принимает
вид:
I 1"П—! (Т\!\~—р-т-\ гас от»
Интересно отметить, что по самому характеру вывода 1Ш есть из-
лучение, выходящее из среды направо (см. рис. 36,8), a i есть
оптическая толщина также при прохождении волновой среды слева
направо. Однако вследствие обычной теоремы взаимности, справедли-
вой в немагнитоактивных средах, оптическая толщина х при прохожде-
нии среды в противоположных направлениях одинакова. Только
поэтому теорема Кирхгофа, т. е. соотношение C6,27), может фор-
мулироваться без указания па направление распространения волны.
Переходя к излучению в вакуум, исходящему из магнитоактив-
ной плазмы, заметим, что это излучение при термодинамическом
равновесии должно быть неполяризованным. (Магнитное поле не вы-
водит плазму из состояния термодинамического равновесия, а равно-
весное излучение в вакууме неполяризовано.) Далее, равновесное
излучение в вакууме можно представить в виде суммы двух нско-
герентпых волн, эллипсы поляризации которых взаимно-перпенди-
кулярны и имеют одинаковое отношение осей (см. [255], § 50).
Интенсивность каждой из этих волн, очевидно, равна Iaoi^T). Q дру-
гой стороны, эллипсы поляризации нормальных волн при выходе из
магнитоактивной плазмы также взаимно-перпендикулярны и имеют
одинаковое отношение осей (см. § 11). Отсюда следует, что интен-
сивность равновесного излучения в вакууме может быть представлена
как сумма интенсивностей нормальных волн, соответствующих рас-
сматриваемой магнитоактивной среде. При этом каждой из нор-
мальных волн отвечает интенсивность —ssi—L.
Предполагая, что нормальные волны в плазме не претерпевают
частичного отражения и не взаимодействуют между собой (т. е.
отвлекаясь от эффектов типа «утраивания» и вопроса о предельной
поляризации; см. §§ 26, 28 и 29), приходим в результате к такой
форме теоремы Кирхгофа для магнитоактивной среды:
г /-/Л '0и> (-" )
причем
.—е~-'.г), C6,28)
Ti, 2 = — J V-i,2cas[k> Yk)ds' fM.2 —— Ч г- C6,29)
Разумеется, при i,>1 в -.2 >= 1 имеем lw(T) =/ш1 (Г) -4-/0J(Г) =
— /(><«(Л> как это и должно быть. В выражении C6,29) появляетс
косинус угла между волновым вектором k и направлением луча
(вектором групповой скорости) ~т-г, потому что хь2 и |i1>2 харак-
теризуют поглощение вдоль направления ft, а при вычислении т1>2
нужно знать поглощение вдоль луча (элемент траектории вдоль нор-
мали ds' = cos (ft, ~~)ds, где ds — элемент траектории луча; см.,
например, рис. 35,1).
Поскольку в магнитоактивной плазме обычная теорема взаим-
ности, вообще говоря, несправедлива, в C6,28) интенсивность излу-
чения /„1,2 в каком-либо направлении определяется значением тьг
для волны того же направления. Поэтому, например, система типа
оптического или радиовентиля будет сильно излучать в данном на-
правлении только те волны, которые она сильно поглощает при их
прохождении через вентиль именно, в этом же направлении.
С помощью формулы C6,28) может быть выяснен вопрос о теп-
ловом излучении изотермической короны при учете влияния магнит-
ного поля. Кроме того, как и в изотропном случае, легко получить
более общие выражения, относящиеся к слоистой среде с различ-
ными температурами в разных слоях (см., например, C6,18)).
§ 37. Распространение радиоволн в межзвездной среде
Поглощение радиоволн в межзвездном газе (замечания об-
щего характера). Космическое радиоизлучение, если не говорить
об излучении Солнца, планет и комет, генерируется в межзвездном
пространстве, в отдельных галактических и внегалактических туман-
ностях, а также в межгалактическом пространстве. Некоторая доля
этого излучения носит тепловой характер, но основная его часть
имеет неравновесное происхождение и образуется при ускорении
входящих в состав космических лучей релятивистских электронов
в слабых магнитных полях [205, 231—233]. Кроме того, наблю-
дается монохроматическое космическое радиоизлучение нейтрального
водорода (Х = 21 см\ это излучение возникает при переходах между
подуровнями сверхтонкой структуры основного уровня атома водо-
рода).
Независимо от того, какова природа космического радиоизлуче-
ния, важно, чго межзвездный электронный газ, несмотря на его
разреженность, уже заметно поглощает радиоволны интересующего
нас диапазона (космическое радиоизлучение наблюдается в диапазоне
от сантиметровых волн до волн с длиной в сотни метров) [205, 227,
229—233]. Именно на этом вопросе мы здесь и остановимся, оста-
вляя в стороне поглощение в атомарном водороде на волнах, близ-
ких к 21 см (см. [232]), а также поглощение в межзвездной среде
низкочастотных (магнитогидродинамических) волн (см. § 14).

494 РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН В КОСМИЧЕСКИХ УСЛОВИЯХ [ГЛ. VII
Плотность электронов в межзвездном газе колеблется в широких
пределах, по обычно не превосходит значения /V = 10 электрон'см^,
а в большинстве областей Галактики значительно меньше этой вели-
чины (см. [205, 232, 233, 254]). Поэтому даже для самых длинных
волн, о которых идет речь (Х~ 1 км, ю~-2 ¦ 106), 1—ггг = 3,13 >(
X UP—j-^10 *, т. е. при определении поглощения всегда можно
считать, что л=1. Поэтому, казалось бы, в качеств коэффициента
поглощения |* нужно взять выражение (Зь',8) с в—1, т. е. выра-
жение *)
/sir /
/ '-In" \ Л '' I
¦ C7,0
I
Однако эта формула в случае сильно разреженного газя оказывается
обычно неприменимой. На первый взгляд может показаться, что такая
неприменимость связана с несоблюдением условия ).3]^>Л''~' (дру-
гими словами, межзвездный газ настолько разрежен, что для ко-
ротких радиоволн в объемах ~Х3 имеется лишь небольшое коли-
чество электронов). Между тем при получении формул для п и •/.
неравенство /.~^> N~" предполагалось выполненным (см. § 2). Тем
не менее нетрудно видеть, что и при несоблюдении указанного не-
равенства формула C7,1). если не говорить о других причинах,
должна остаться справедливой.
Дело в том, что и при несоблюдении неравенства К^> Ы~''' про-
водимое ги з и диэлектрической постоянной г также можно придать
известный смысл, поскольку при вычислении этих величин и § 6
методом кинетического уравнения никаких допущений о значении
концентрации Л' не делалось и предполагалось лишь, что рассматри-
вается область среды с размерами, значительно меньшими длины
волны X (поле в этой связи считалось однородным). Поэтому, если
в объеме .—'Л3 .мало частиц, т. е. )А\'.<Л, то вычисляемые методом
кинетического уравнения значения з и г приобретают характер ве-
личин, усредненных по большому числу рассматриваемых маленьких
объемов или же усредненных за длительное время А1 ^> -~.
Другими словами, а и е не могут теперь считаться обычными
макроскопическими параметрами среды просто потому, что к раз-
реженной среде, если не выполнено неравенство X^>.V~''S, нельзя
применять феноменологические уравнения волн. Но если нас инте-
ресует поглощение волн на пути L ~^>> I, то коэффициент поглоше-
*) Температура межзвездного электронного газа, даже в наиболее го-
рячих сильно ионизированных областях, порядка 10 0OO'J, и, таким образом,
условие D,28) может считаться выполненным.
§ 37]
РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН В МЕЖЗВЕЗДНОЙ СРЕДЕ
495
ния и, вычисленный из значений з и г, усредненных указанным обра-
зом, приобретает такой же смысл, как обычно. Таким образом,
с этой точки зрения формула C7,1) сохраняется, если понимать
под и- средний коэффициент поглощения, применимый для вычисления
поглощения волны при прохождении ею достаточно большого пути.
К такому же выводу можно придти, не вводя вообще величин - и г,
а ^оставаясь с самого начала на базе микроскопической теории и
вычисляя коэффициент поглощения как среднее значение энергии,
передаваемое волной отдельным электронам. Разумеется, здесь пет
двух постановок вопроса, а лишь несколько различное освещение
одной и той же задачи.
Итак, если бы формула C7,1) была сама по себе правильной,
у нас не было бы основания проводить еще какие-либо вычисления.
Однако, как это было указано в §§ 4 н 6, формула C7,1). строго
говоря, справедлива только, если
/4-е2Аг'
C7,2)
и в интересных
случае же межзвездного газа имеет место обратное неравенство;
C7,3)
случаях о) > 2 ¦ 106 (при Л7 — 1 и
iL-oi -V \ l/i -¦¦> \
<о = 2 • 10s параметр -~) яй 3 • КГ" .
Проведем здесь поэтому вывод формулы для а именно в случае
C7,3). Смысл этого неравенства C7,3), как ясно из сказанного в § 4,
состоит в том, что при его соблюдении путь, проходимый электроном
за один период высокочастотного поля (поля радиоволны), много
меньше дебаевского радиуса D. В силу этого, как подтверждается
дальнейшими результатами, экранировка поля нона другими ионами
и электронами несущественна и роль максимального параметра удара рт
играет расстояние, проходимое электроном за один период, т. е.
2-v
m
Вычисление коэффициента поглощения в сильно разреженной
плазме. Задача состоит, таким образом, в вычислении коэффициента
поглощения радиоволн, связанного с движением электронов в поле
кулоновского центра. Вычислить коэффициент поглощения \j. проще
всего, воспользовавшись соотношениями Эйнштейна между вероят-
ностью излучения и поглощения света. Действительно, с квантовой
точки зрения поглощение радиоволн при соударениях есть процесс
поглощения фотонов, сопровождающийся переходом электрона из
данного состояния в непрерывном спектре в другое состояние, также

496
РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН D КОСМИЧЕСКИХ
УСЛОВИЯХ [гл. VI:
принадлежащее непрерывному спектру, по отвечающее большей энер.
гии. При переходе же из состояния с большей энергией в состояние
с меньшей энергией имеет место спонтанное и индуцированное излу-
чение радиации. При этом спонтанное излучение такого типа есть
не что иное, как известное тормозное излучение.
Для любой системы число поглощаемых в единицу времени фото-
нов при переходе из состояния 1 в состояние 2 равно 2П = 612<Vj?/,,,
где Вр — постоянный коэффициент, .'V!—число атомов в состоянии 1
и Um — плотность энергии излучения, отнесенная к интервал}7
частот dot. Число испускаемых фотонов при переходе из состояния 2
в состояние 1, равно Zll = (A11^~B21Ua)N2, где Ап — вероятность
спонтанного испускания в единицу времени и B4;V,t/m —-число актов
индуцированного испускания. Если статистические веса состояний 1 и
2 одинаковы, то справедливы соотношения Эйнштейна в виде *):
В,, ~1?
C7,4)
В случае тормозного излучения с частотой м переход происходит
между двумя состояниями непрерывного спектра, отличающимися на
Энергию /но. При этом, если соблюдаются неравенства:
пю'
'-Т,
ту2
у.
• i о3),
C7,5)
для вычисления энергии, излучаемой электроном, движущимся в куло-
новском ноле, можно применять классическую теорию. При клас-
сическом расчете (см. [2551, § 70) сначала вычисляется энергия chh,,
излучаемая электроном, движущимся с определенным прицельным
параметром р, а затем получается интересующая пас величина
2т: I dsapdp~dqaliu), равная энергии, излучаемой в интервале частот tf<*
электроном, движущимся с любым прицельным параметром. Общее
выражение для dqjiui довольно сложно, но оно сильно упрощается,
если речь идет об излучении достаточно малых или достаточно боль-
ших частот. В нашем случае интерес представляет случай малых
частот, когда соблюдается неравенство
%Г
__
C7,6)
'") См., например, [9]. Б тех случаях, когда используется плотность L'/
на интервал частот df, нужно учесть, что О'ш = ¦*—[//. Кроме того, отно-
шение AnjB21 выписано здесь для изотропного излучения, причем А2, есть
полная вероятное!ь спонтанного перехода, уже не зависящая от направления
фотона и состояния поляризации.
§37]
РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН В МЕЖЗВЕЗДНОЙ СРЕДЕ
497
Даже при Г~ Ю2 (а меньшие температуры не представляют интереса)
условие C7,6) означает, что ш<^10п, т. е. выполняется в радио-
диапазоне.
При условии C7,6) имеем *):
<**-*•=зда>??*'- C7,7)
где v — скорость электрона на бесконечности, f = 1,781 = ес = е°$77;
написанное выражение обозначено через dqjiw, так как здесь dqm —
эффективное сечение для тормозного излучения (по определению,
dqa есть число излучаемых фотонов с частотой в интервале tn-\-du>, <u
вне зависимости от значения р и в условиях, когда поток падающих
частиц равен единице). Число фотонов, испускаемых в единицу вре-
мени из-за тормозного излучения, равно dq^N2v, где Л/2» — поток
падающих частиц. Если, кроме того, учесть, что в единице объема
содержится N ионов, то полное число актов спонтанного излучения,
отнесенное к единице объема газа, равно
Z-v ai = o—t—ft2- П—=— da>. C7,8)
Считая распределение скоростей электронов максвелловским
5_ mv \ _
0()dn = 4r [ц~— у е 2^v2dvj, для среднего значения ZU|C1I =
= ( Z-,ucJ
получаем:
dm.
C7,9)
Зная Z,hav с помощью C7,4) можно найти и полное число актов
испускания:
*) Заметны, что при соблюдении неравенства, обратного C7,6) имеем:
16-е6
- d oj;
C7,7а)
в этой формуле, так же как в C7,7), предполагается, что электрон сталки-
вается с однократным ионом, движением которого пренебрегается. Если
ион имеет заряд eZ, то в C7,7) и C7,7а) появляется множитель 2г f в C7,7)
под логарифмом прибавляется также множитель -у\- Кроме того, в то время ¦
как формула C7,7) справедлива для ионов любого знака, формула C7,7а)
относится лишь к случаю положительных ионов (при столкновении с от-
2А
рнцательным ионом в выражение C7,7а) нужно ввести множитель е '"" ;
см. [255], § 70).

498 РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН В КОСМИЧЕСКИХ УСЛОВИЯХ [ГЛ. VII
Измеряемое на опыте поглощение равно, очевидно, разности между
«истинным» поглощением и индуцированным испусканием. Если число
электронов с энергиями 1 и 2 было бы одинаково, то, как ясно из
предыдущего, поглощение полностью исчезает (в этом случае
Bt^\l1Ua ~ B2lN\Ua, поскольку Вп = В21 и Л'] = Л72). В состоянии
теплового равновесия или если хотя бы одни электроны имеют мак-
свелловское распределение скоростей, N2—/Vj = N ~= (предполагается
выполненным первое условие C7,5); ;V — среднее число частиц в со-
стояниях 1 и 2, которое в нашем случае в связи с осуществлением
интегрирования по скоростям равно концентрации ионов или электро-
нов N). Учитывая сказанное и равенство C7,4), для числа актов
измеряемого поглощения получаем:
Поглощаемая в единице объема энергия (для волны, распростра-
няющейся по оси z) равна —— =— ^п.эфф'1' а поток падающего
излучения есть 5 = cU^dm, так как скорость излучения считается
равной скорости света (показатель преломления д—1). Отсюда
находим окончательную формулу для коэффициента поглощения
1 dS .
In
0.58ЛГ2
" Г-V3
4,6 ¦ 1057
C7ло)
Эту формулу можно получить таким же методом, как в § б, если
положить в формуле F,12) максимальный параметр удара рт равным
р™о~ 15
C7,11)
т. е. равным J/15 пути, проходимого электроном, движущимся со сред-
ней тепловой скоростью, за один период изменения поля. Разумеется,
получить этот результат с коэффициентом без проведенного иссле-
" ;?2Л"
—г-, и, таким
D
дования было бы невозможно. Отношение
образом, в согласии с C7,2) и C7,3) именно значение параметра
-~г определяет области применимости формул C7,1) и C7,10).
Эти формулы приводят к одному результату при
4:wW
=^-?.~1. C7,12)
§ 37] РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН В МЕЖЗВЕЗДНОЙ СРЕДЕ 499
Однако не следует забывать, что формулы C7,1) и C7,10) относятся
к предельным случаям j- ^- 1; поэтому сравнение их между собой
при
4-AV
имеет характер экстраполяции, которая показывает,
4яЛУ
что при ——j- ~ 1 формулы практически совпадают. Появление пара-
метров рт0 или D только под логарифмом приводит к тому, что
при
0,1 -н-10 можно с достаточной точностью пользоваться
любой из формул C7,1) и C7,10), так как в этом случае величина
3 • 4кг2/V
C7,13)
In ¦
3 In f 220-4
ц C7,10) — р- C7,1)
{«.C7,1)
весьма мала. Так, например, даже при -—-—- — 1—е~10 " имеем
|Д|^ь15% только при 7"=.-104 и ,V^109; поскольку в короне
У —- 10е и N <Ц 109, значения Д фактически меньше, В ионосфере
при^Н^-^Ю и Г~300 получим 1Д|?ь;15о/о при N~3 ¦ 104
(в этом примере ш-—¦ 10s, т. е. этот случай также «неблагоприятный»,
4яеаЛГ
поскольку при меньшей частоте ш и таком же значении ;¦- вели-
чина |Д! будет меньше). Таким образом, использование везде, кроме
настоящего параграфа, величины а с pm = D (т. е. формулы C7,1)
и ей аналогичных) не могло привести к ошибке, большей 5—10%.
И только в случае межзвездного газа, как уже отмечалось, исполь-
зование формулы C7,1) недопустимо.
Зная коэффициент поглощения ji, определяемый выражением
C7,10), можно вычислить оптическую толщину газа в Галактике
в любом направлении. Если вдоль всего пути Л' и Т постоянны, то,
разумеется,
,л-2 .г2 Г т'и 1
C7.14)
где L — длина пути.
Электронная температура в сильно ионизированных областях меж-
звездного газа Т—104. Поэтому, если т^.1, Галактика должна
быть источником теплового радиоизлучения с заметной интенсивностью.
Эффективная температура этого излучения в некотором направлении
согласно теореме Кирхгофа равна
7U* = ГП — t
C7,15)

500
РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН В КОСМИЧЕСКИХ УСЛОВИЯХ
где т (?.) — оптическая толщина в рассматриваемом направлении для
интересующей нас длины волны А.. Удельная интенсивность этого
излучения есть интенсивность черного излучения с температурой Та^,
т. е.
_ 2:ТСМ(Г^_
• 10
,-17
¦Т,
эфф
¦ cmepad ¦ мггц
. сек ~
C7,16)
Очевидно, при т 3&. 1 имеем Ts^ = 7", т, е. эффективная температура
не может быть выше температуры Т. Между тем на опыте для длин-
ных волн (\^>, 10 м) Улфф^.105, и к тому же в большинстве случаев
оптическая толщина Галактики т < 1. Поэтому тепловое излучение
межзвездного электронного газа заведомо не может быть ответственно
за все галактическое радиоизлучение. Как уже упоминалось, нетепло-
вая составляющая космического радиоизлучения имеет магнитотор-
мозную (синхротронную) природу, т. е. связана с ускорением реля-
тивистских электронов в межзвездных полях.
Вращение плоскости поляризации радиоволн в межзвездной
среде. Межзвездные магнитные поля /f('<;i0~a эрст настолько
слабы, что учет их влияния на распространение радиоволн кажется
совершенно излишним (при Н ~ 10~J, гирочастота шя-—¦ 200 и для
волн с длиной ),~1~-10 м имеем У и = —>~ 10~6-^- 10"'). Такое
заключение действительно справедливо, если речь идет о вычислении
оптической толщины или показателя преломления межзвездной плазмы.
Но в одном вопросе даже слабое поле Н^^.W~ оказывается суще-
ственным. Именно это поле приводит к вращению плоскости поля-
ризации и процессу деполяризации космического радиоизлучения.
Магнитотормозное радиоизлучение, возникающее в однородном
магнитном поле, сильно поляризовано [231, 233, 256]. Можно
было бы ожидать поэтому заметной поляризации космического радио-
излучения, принимаемого на земной поверхности. Фактически же поля-
ризация хотя, по-видимому, и наблюдается, но весьма невелика [2571.
Объясняется это двумя обстоятельствами: во-первых, в различных
областях межзвездного пространства магнитные поля имеют различные
направления и, таким образом, поляризованным должно быть излу-
чение только от одного «облака» (области с квазиоднородным полем);
во-вторых, вращение плоскости поляризации излучения в межзвездной
среде приводит к деполяризации излучения и пределах каждого
«облака» (для немонохроматического радиоизлучения, с которым
и приходится иметь в данном случае дело, наблюдается также депо-
ляризация, обусловленная дисперсией вращения плоскости поляриза-
§371
РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН В МЕЖЗВЕЗДНОЙ СРЕДЕ
501
ции, т. е. зависимостью угла поворота плоскости поляризации от
длины волны) *).
Для распространяющихся а межзвездной среде радиоволн получим:
C7,17)
и, следовательно, условия «квазипродольного» распространения
A1,36) принимают вид:
4 COS2
1, и sin2 a <^ 1.
C7,18)
Выше уже указывалось, что при л =10 .и и Н^ ~ 10~° параметр
и~10~и (даже при Х=1 км u~^10~8). Таким образом, условие
«квазипродольности» в межзвездной среде соблюдается практически
при всех углах а между Я*01 и волновым вектором k. Применяя
поэтому формулу A1,37) и учитывая, что и<^_\, s<^l, и swl,
имеем:
д2 — «j = п_ — п+ -=si V
uv cos a = -
-cos a = 0,0
. C7,19)
Отсюда следует, что no прохождении пути L плоскость поляризации
волны поворачивается на угол
C7,20)
(к этой формуле легко придти из A1,10), A1,12)
к вещественным выражениям для полей Ех и Еу
и
с переходом
представляющих
5
собой сумму волн 1
Л/—!, cosa~l и ш
W—1 для 1 — 3. 10
1 для 019
и д х у р
2 с равными амплитудами). При /г —Ю~'5,
6- 108 (л~3 м) Имеем ЧГ~3- Ю7, т. е.
см; если же Л/ — 10" и Н~Ъ- ПГ\ то
парсека. Между тем области с квазиодно-
Г б
47 ~1 для ?~10«3 парсека. Между тем области с квазиодно
родным магнитным полем в Галактике, по-видимому, обычно больше
1019 см и, следовательно, даже при Л/~ 10~2 будет наблюдаться
") Плоскость поляризации космического радиоизлучения поворачивается
также в земной ионосфере. На этом эффекте, как и вообще на влиянии
ионосферы на космическое радиоизлучение, мы здесь останавливаться не
будем (см. [238, 240]).

РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН В КОСМИЧЕСКИХ УСЛОВИЯХ
502 .... - - (гл. vii
деполяризация излучения, идущего от одной области («облака») '¦'),
Таким образом, наблюдаемая поляризация космического излучения
в результате вращения плоскости поляризации в межзвездной среде
оказывается зависящей от электронной концентрации N. Тем самым
появляется, в частности, возможность оценивать Л' из поляризацион-
ных наблюдений.
Рассмотренный эффект вращения представляет собой типичный
пример, показывающий, что влиянием магнитного поля па свойства
плазмы иногда нельзя пренебречь даже в случае очень слабого поля.
*) Совершенно аналогичная ситуация имеет место в дискретных источ-
никах (галактических и внегалактических туманностях). Например, поляри-
зация длинноволнового радиоизлучения Крабовидной туманности практически
равна нулю; в то же время мапштотор.мозное излучение этой туманности,
лежащее в оптической части спектра и в диапазоне сантиметровых волн,
частично поляризовано. Различие связано с тем, чю угол 5" обратно про-
порционален »2 (см, C7,20)).
ГЛАВА VIII
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ПЛАЗМЕ, НАХОДЯЩЕЙСЯ
В ПЕРЕМЕННОМ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ
§ 38. Введение. Плазма в сильном однородном
электрическом поле
Условие слабости поля в плазме. Примеры. Одной из харак-
терных особенностей плазмы, перечисленных в § 1, является появлея
аие нелинейных эффектов уже в сравнительно небольших и легко
достижимых электрических полях. Объясняется это медленностью
передачи энергии от электронов тяжелым частицам (атомам, моле-
кулам и ионам), что связано с малостью отношения -jj ', вместе с тем,
электроны в плазме могут получать от поля большую энергию, по-
скольку длина свободного пробега бывает весьма значительной.
В результате плазменные электроны в электрическом поле разогре-
ваются и комплексная диэлектрическая постоянная г' ( или а'Л
начинает зависеть от напряженности поля. Другими словами, поля-
ризация Р и ток проводимости j уже не пропорциональны полю Е,
вследствие чего электродинамические процессы в плазме (в частности,
распространение волн) приобретают нелинейный характер (нарушается
принцип суперпозиции и т. д.).
Вопрос о влиянии поля на свойства плазмы разбирается несколько
ниже (см. также § 4). Полезно, однако, с самого начала указать,
что этим влиянием можно в первом приближении пренебречь, если
напряженность поля ? = ?^e'w' удовлетворяет условию
,//я*.
= 4,2- 10~10У8Г(ш2-
Ъфф
.о)
C8,1)
Здесь "'Эфф,о G)— эффективное число соударений в равновесной
плазме, которое использовалось везде в предыдущих главах, 3 -—эф-
фективная (средняя) относительная доля энергии, передаваемой элек-
троном при соударении с тяжелыми частицами (см. § 5; при упругих

504
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЯВЛЕНИЯ D ПЛАЗМЕ
[г.1. V!II
соударениях о = 8уп~~); в C8,1) внешнее магнитное поле ffW
считается для простоты отсутствующим.
Характерное поле Ер называют иногда «плазменным полем».
В этом поле средняя энергия электронов изменяется на величину
порядка %Т (см. ниже, а также § 4).
Поле, удовлетворяющее условию C8,1), называется слабым. В силь-
ном поле (Ей~^,Ер) и, особенно, а очень сильном поле (Е0^>Е }
свойства плазмы уже существенно изменяются.
Для низких частот (при условии со2 <С v^ 0) в ионосфере
Ер~10~^-~10~7 в/см, поскольку \,фф|[)~ 10s, 7"<-<300, 3~1СГ3
(в ?-слое) и ч9ффг 0 ~ 10s, Г~103, о ~ Ю* (в f-слое). В солнечной
короне, как и любой полностью ионизированной водородной плазме,
8 = Syn = gjo. Поэтому в короне для низких частот при v—10 и
Г— 10s поле Ер~\^"' в/см.
Для более плотной плазмы, или в области высоких частот
(о" ;^>> 7дфф; о, «плазменное поле» Ер уже значительно больше. Так.
в ионосфере при ш=2 • 10б(/ч)~-1 км)Ер~ 10~3 в/см и при ш— 2. 10'
(к0—100 м) Ер*-~¦ 10~2 в/см. В короне в диапазоне метровых волн
Ер—10 в/см, а при \~ 1 см уже ?р.—• 104 в/см. Наконец, в лабора-
торных установках (уэфф,0 ~ \<N~ Ю9, Т~104, й~ Ю-,- 10)
в поле низкой частоты ?р~ 10~а-5- 10 в/см, а при высоких часто-
тах Ер~(№и — \0-16)УТ<1> в/см.
Таким образом, в плазме, действительно, нелинейность может
проявиться в полях, которые не представляются особенно большими
с точки зрения значений, обычных для лабораторных условий или
в волновой зоне мощных радиопередатчиков. В непроводящих чистых
жидкостях и твердых телах (кроме сегнетоэлектриков) положение
иное: здесь влиянием поля на свойства среды можно пренебречь
вплоть до полей порядка 105-+- 107 в/см, которые уже приближаются
к лолям атомного масштаба Еа—J^-^IO8 в/см (d — размер атомов
или постоянная решетки). В металлах и полупроводниках электроны
проводимости могут в известных пределах быть уподоблены элек-
тронам в рассматриваемой нами газообразной плазме (об этом уже
упоминалось в § 8). Однако область нелинейности в металлах прак-
тически почти недостижима, так как созданию в металле достаточно
сильного поля препятствует большая электропроводность (кроме того,
нелинейность уменьшается в связи с вырождением электронов, когда
роль температуры Г играет температура вырождения То '-—)•
В полупроводниках нелинейность наблюдается без особого труда, к
в качественном отношении здесь справедливы многие выводы, полу-
§38]
ПЛАЗМА В СИЛЬНОМ ОДНОРОДНОМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ
505
чающиеся при исследовании нелинейных явлений в газообразной плазме.
Останавливаться на полупроводниках мы тем не менее не будем *).
Постановка задачи в случае сильного полз. Уравнения дина-
мики плазмы сами являются нелинейными (см., например, уравнения
A3,1)—A3,4) или A3,15) — A3,19), и, таким образом, в широком
плане теория нелинейных явлений охватывает весьма значительную
область физики плазмы. Ниже имеется в виду осветить существенно
более узкий, но довольно ясно очерченный круг вопросов. Именно
в настоящем параграфе будет рассмотрено влияние на нерелятивисг-
скую и невырожденную плазму однородного электрического поля
Е=Еоеш с произвольными ?0 и и, Плазма может при этом нахо-
диться также во внешнем постоянном магнитном поле Н . Макро-
скопические (гидродинамические) движения в плазме считаются, отсут-
ствующими.
Влияние поля на плазму в такой постановке задачи сводится
к изменению функции распределения плазменных электронов по ско-
ростям (эту функцию нужно найти в зависимости от ?0, ш, Яу' и
параметров плазмы). Функция распределения тяжелых частиц будет
считаться максвелловской с температурой Т; в стационарном режиме,
которым ограничимся, последнее предположение обычно оправдано.
Зшя функцию распределения электронов по скоростям, можно
найти среднюю кинетическую энергию электронов (или в случае
максвелловского распределения — их температуру Те) и плотность
полного тока jt. В частном случае слабого поля Те — Т, а ток jt
пропорционален полю ?.
Выяснение свойств плазмы в однородном поле любой силы пред-
ставляет интерес при анализе ряда вопросов физики газового раз-
ряда, проблемы разогрева плазмы и т. п. Вычисление тока jt является,
кроме того, необходимым предварительным этапом при решении
электродинамических задач. Сюда относятся, в частности, задачи
о распространении в плазме электромагнитных волн. Нелинейные
эффекты, возникающие при распространении волн, рассмотрены в § 39
в применении главным образом к ионосфере. Что же касается газо-
вого разряда (в том числе разряда на высоких и сверхвысоких
частотах [259]), разогревания плазмы в неоднородном поле, теории
нестационарных процессов (в том числе вопроса об «убегающих
электронах» [83, 88]) и некоторых других проблем, то их мы здесь
касаться не будем.
Элементарная теория. В общем случае для решения поставлен-
ной задачи необходимо использовать кинетическое уравнение для
*) Ссылки на работы, посвященные нелинейным эффектам в металлах
и полупроводниках, можно найти в обзоре [258]. Там же указаны много-
численные статьи, в которых рассматриваются нелинейные эффекты в плазме.
В этой связи ниже, помимо статьи [258], будут даны ссылки лишь на не-
большое число работ.

506
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ПЛАЗМЕ
[ГЛ. VIII
электронной функции распределения. Об этом еще пойдет речь, но
начать целесообразно с «элементарной теории», которая и в сильном
ноле часто оказывается достаточной не только для выяснения суш
дела, но даже и для получения практически пригодных количественных
формул.
В элементарной теории состояние плазмы характеризуется двумя
величинами: средней скоростью направленного движения электро-
нов г и эффективной электронной температурой Те. По определе-
нию скорости г она связана с плотностью полного тока /( (см. C,1)):
J,=J + ^ = *N'r. C8,2)
Что касается электронной температз'ры Те, то она в элементарной
теории определяется соотношением
\*Т^К = Щ- C8,3)
(здесь усреднение ведется по всем электронам). Поскольку распре-
деление электронов по скоростям далеко не всегда является максвел-
ловским,' введенная температура Те имеет, вообще говоря, смысл
некоторой эффективной электронной температуры.
Уравнение для г уже было получено в § 3 и имеет вид:
m — — i
— ""8фф (Те) г.
C8,4)
Это уравнение можно использовать в любом поле с той разницей,
что в сильном поле v^ уже зависит от поля. Действительно, м9фф =
— ?зфф (у) ^m, I, fl и> таким образом, эффективное число соударении
зависит от средней скорости электронов v или, если угодно, темпе-
ратуры Те. Так, при соударениях с молекулами (см. F,10))
•^ФФ==-'«,о|/ -у'' <-38'3)
а при соударениях с ионами в первом приближении (см. F,14))
:) , C8,6)
причем vm,,-, 0 s3 уэфф,т. (, о—эффективные числа соударений при
столкновениях с молекулами (т) или ионами (/) в условиях, когда
В слабом иоле как раз Те = Т и величина уЭфф в C8,4) является
независимым параметром. В сильном поле плазма разогревается, при-
чем, очевидно, Те зависит от силы поля. В результате необходимо
решать уравнение C8,4) совместно с уравнением для Те. Последнее
уравнение а рамках элементарных представлений получается просто
из соображений о балансе энергии.
§38]
ПЛАЗМА В СИЛЬНОМ ОДНОРОДНОМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ
507
Электрическое поле производит над плазмой в единицу времени
работу jfE—eNrE. С другой стороны, электрон теряет при соуда-
рениях с тяжелыми частицами в единицу времени в среднем энер-
гию
эфф
К — т,- v.T
о
т,-
— -к- ¦/¦ йуэфф (Те — Г); выбор именно такого
выражения был обоснован в § 4 (см. A,5)), причем в общем слу-
чае о ^ Вэфф (Те) == 3 (Те) и уэфф =. -,т) (Те). Баланс энергии можно,
следовательно, записать в виде:
d
lit
| 7..VT,) -=jtE-1 v. Чфф -V(Те - Т),
или
*Ь-^*_гЕ-1 (Г.) у„
(Т,) (Те - Г).
C8,7}
Совместное решение уравнений C8,4) и C8,7) и должно послужить
для определения г и Те в зависимости от поля Е.
Успешное использование этих уравнений тесно связано с тем
фактом, что в стационарных условиях о<^1. Благодаря этому даже
в сильном электрическом поле хаотическая скорость электрона ii
много больше величины его направленной скорости г (см. ниже,
а также § 4). Именно по этой причине можно считать, что Ь
, в C8,4) зависят только от Те = —=—, но не от г *).
и
При отсутствии поля ?, если о ~= const и
и ~'Эфф не зависят от Те), получим:
=~ const (т. е. 5
C8,8)
?{t)~'r(Q)e 'эфф', C8,9)
причем в последнем случае для простоты принято также, что fr ' = 0
(с другой стороны, в C8,9) условие уЭфф = const не обязательно и
можно считать, что уэфф — у,фф (Те), если только Те не зависит от
времени).
Из этих соотношений ясно видно, что время релаксации для тем-
пературы (энергии) ~к — в — ;§> 1 раз больше времени релак-
сации для направленной скорости (импульса) х = . Ниже в связи
''эфф
*) Речь идет о стационарных или квазистацнонарных условиях. Если же
процесс существенно нестационарен, то скорость г может быть срав-
нима или больше ii (последнее имеет, например, место в течение некоторого
времени после включения достаточно сильного постоянного электрического
поля).

508
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ПЛАЗМЕ
[ГЛ. VIII
с ограничением стационарными или квазистационарными процесс™,,
релаксационные решения C8,8) и C8,9) учитываться не будут Поэтому
в поле E^EacoS.t при //«» = о, 5 = const и ?,фф = const получаем"
т §¦ =¦ еЕ0 cos Ы - т,г, г = —^щ (v cos ы + * sin at), C8,10)
dTp e2Ei
(v+v cos ш+ш sin 2orf) -Sv
Ev- — 2ш-)
C8,11)
Здесь и во многих случаях ниже индекс «эфф» опускается, т. е.
Для очень низких частот,
когда
с точностью до малого члена порядка — получим:
C8,i2)
4 а ,
'—, C8,13)
где учтено, что при условии C8,12) заведомо uxg^v, поскольку
о<С1-
В другом предельном случае, когда
ч>'^>Ьч, C8,14)
-с точностью до членов порядка ~ а о, имеем:
'« ' ~~ Amw (ш2 ¦+¦ v2). ~ Зям (га! -L v2) C8,15)
(?2 — среднее значение величины E" = ?ocos*(o? по времени).
Таким образом, в случае C8,14) температура Т в первом при-
ближении постоянна; переменная составляющая Те имеет частоту 2<о
и малую амплитуду порядка — или S. Факт приближенного постоян-
ства электронной температуры (средней энергии) в переменном элек-
трическом поле с частотой ш ^§> 3v вполне понятен. Дело просто
в том, что время релаксации для температуры -к — - ~—jg>—,
и поэтому температура не может существенно измениться за период
колебаний поля -— . В результате температура и устанавливается на
некотором среднем уровне C8,16), отклонения от которого калы.
§ 38) ПЛАЗМА В СИЛЬНОМ ОДНОРОДНОМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ 509
Весьма существенно, что картина не изменяется и при учете зави-
симости 3 и у=='^Эфф от Те. В этом случае уравнения C8,4) и C8,7)-
можно при условии C8,14) и Ь <^ 1 решать с помощью разложения
в ряд по параметрам — и 3. Однако и без этого сразу ясно, что
р
в первом приближении температура Те постоянна и равна
C8,16).
Это решение получается, очевидно, из C8,7) и C8,10) при пренебре-
жении членом
у
—-т4
, который мал в силу условий о
1 и
(см. C8,14); в сказанном легко убедиться, вычисляя зависящую от
времени часть Те в первом приближении, причем выражение C8,16).
играет роль нулевого приближения).
В постоянном поле Е — const в стационарном состоянии
т. е. температура Те такая же, как средняя температура C8,16)
при ш = 0 и с заменой Еа на У'IE; это вполне понятно, поскольку
при ш <^ v^jj, переменное поле в среднем действует как постоянное
поле Е = ?эф41 = .р|.
Из C8,16) и C8,17) сразу же видно, что в стационарном поле'
любой частоты средняя скорость хаотического движения и~у —
значительно больше г. Действительно, согласно C8,16) даже при
еЕ„
!4_^2
C8,18)
то время как
: ^b==7T^y?iV C8,19)
(см. C8,10); сделанная оценка, разумеется, эквивалентна приведенной
в § 4). В постоянном поле или в тех случаях, когда можно огра-
ничиться приближением C8,16), т. е. считать температуру Те постоян-
ной, уравнение C8,4) может быть решено независимо от C8,7). При
этом для поля
г =
= Еое
еЕ
получаем:
v (Те) _ .
jt
C8,20)
В подобных условиях, как и в § 3, удобно вместо jt или г пользо-
ваться диэлектрической проницаемостью ? и проводимостью з, кото-
рые определяются соотношением C,1): jt— \ o-j--1 -~г-—ш)?. Для f

510
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ПЛАЗМЕ
[ГЛ. VII,
и с тогда получаются формулы C,7), где * = v.
чить отсюда окончательную фор-
мулу для '/;, запишем выраже-
ние C8,16) в виде:
C8,21)
где введено «плазменное поле» Е
(см. C8,1)), ^ = уаф|М(Г) и дЛЯ
простоты величина Ь считается по-
стоянной; последнее предположе-
ние принимается также ниже, по-
скольку оно часто вполне оправ-
дано (например, для упругих
ударов В = oy[t = -xj—J • Отсюда
5Г (из C8,21)) сразу же очевиден
Рис. 38,1. Зависимость электронной смысл критерия C8,1): в поле
температуры от напряженности элек- с амплитудой E0<g^Ep плазма
з^овЗ Га1:ыЛ5(:^ктроны°со: СЛаб,° возмущается „ Т.* Т.
ударяются с молекулами). Для соударений с молекулами
воспользуемся выражением C8,5),
которое подставим в C8,21). В результате (здесь v = '<,щ,т, о ('/'))
получаем:
ЛГ$[Т, -Ч\- C8,22)
Зависимость Т. от ^. „ри т, -^ vj и щ2 ^ v, изображе
монотонно
При высоких частотах «о*»у»(Г,),
,), как ясно из C8.16),
т
Это выражение не зависит от v и v0 и, следовательно, справедливо
и при соударениях с ионами.
§ 38] ПЛАЗМА Ё СИЛЬНОМ ОДНОРОДНОМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ 511
При частотах и2 <g; vj- . в случае соударений с ионами возникает
интересная особенность: связь Те с -^- перестает быть однознач-
ной [34]. В результате в области ?".<1Яо< Е* данному значению Со
отвечают три значения стационарной температуры Те (рис. 38,2).
Устойчивыми являются, однако, только два из них: нижнее и верхнее.
Отсутствие стационарного состояния при Еа > ?# — 0,28?р(и>=—0)
обусловлено тем, что энер-
гия, сообщаемая электронам j
полем, резко растет с ростом ^ Т
3
о Т~е'\, В ТО
время как передаваемая
ионам энергия падает
(Bv7V go Те"). Поэтому в
достаточно сильном ноле
температура Тг должна на-
чать расти до тех пор, пока
число соударений ч (Tf) не
станет меньше ш и поя-
вится возможность суще-
ствования второго «высо-
котемпературного» стацио-
нарного состояния C8,23).
Переход из низкотемпе-
ратурного состояния в вы-
сокотемпературное пока-
зан на рис. 38,2 стрел-
кой. Обратный переход
происходит в поле. Ек ^t-
^1,7(^)'°?р(»-0)<:/;1,
0>
Рис. 38,2, Зависимость электронной темпера-
туры от напряженности электрического поля
в случае соударений электронов с попами
(со -^ 0,0Ь0).
т. е. должен наблюдаться гистерезис
Vo/
зависимости Те от Ей. Неустойчивость низкотемпературного состоя-
ния плазмы (в случае соударений с ионами) имеет место и в постоян-
ном поле ? >Efe.= -~ = 0,2?/, (ш = 0). Второе устойчивое состоя-
ние при этом, конечно, отсутствует. Кроме того, в некотором поле,
еще большем ?й, перестает существовать стационарное состояние и
для средней направленной скорости электронов г, с чем связана
также проблема «убегающих» (ranaway) электронов (подробнее
см. [258]).
При наличии внешнего магнитного поля //l0) температура Те
в области C8,14) в первом приближении также оказывается постоянной,

512
причем
т
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ПЛАЗМЕ
! (Г,) ]
sin2 р
?) ]
[гл.
C8,24)
К этому результату приходим из C8,7) при ~jj-~^ путем подста-
новки для г — -jj- выражения A0,9), которое при Те~~ const сохра-
няется и для мЭфф = v(Te). В C8,24) fi есть }тол между Е и Я1'4;
при o)//=J—j-^ >0 формула C8,24) переходит, конечно, в C8,21).
При (о—>и>я электронная температура резонансным образом возрас-
тает (при р == 0), что связано просто с соответствующим возраста-
нием проводимости (см. A0,12) или A0,32)).
В рамках элементарной теории уравнения C8,4) и C8,7) являются
исходными при анализе поведения плазмы в произвольном поле, в том
числе при любой частоте о) или в случае более сложной зависи-
мости от времени (например, если переменное поле промодулиро-
вано по амплитуде низкой частотой 2). Именно эти уравнения
обычно и используются в теории нелинейных эффектов в ионосфере
(см. § 39), а также в ряде лругих случаев.
Точность результатов элементарной теории. Элементарная тео-
рия строго справедлива, только когда о и v одинаковы для всех
электронов, т. е. не зависят от их скорости. В плазме же факти-
чески v = v (у) и о = о (v). Замена v и о их эффективными значе-
ниями Ь(Те) и ''^ф(Те), как и само использование этих величин
в уравнениях C8,4) и C8,7), не являются последовательными. Ясно,
таким образом, что точность полученных результатов должна контро-
лироваться на основе кинетической теории. Для слабого поля это и
было сделано в §§ 6 и 10. Из табл. 6,2 и 6,3, а также рис. 6,1
и 6,2 явствует, что неточность элементарных формул является наи-
большей для постоянного поля (ш = 0) и исчезает при и>-^> Vj^
(последнее связано с тем, что в формулах элементарной теории число
соударений >Эфф выбирается как раз таким, каким оно получается
в кинетической теории при ш'2 ^g> ¦¦'g,ilA При ю —0 и соударениях
с молекулами — твердыми шариками —элементарная теория при вычи-
слении з обладает точностью 13%, а при вычислении s — точ-
ностью 51%. Для соударений с ионами при учете междуэлектронных
соударений кинетический расчет приводит уже к появлению в выра-
жениях для о и ? множителей 1,95 и 4,59.
В сильном поле в условиях, когда Те = const, точность элемен-
тарной теории в большинстве случаев такая же, как в слабом поле
.(конечно, при том же самом значении чЭфф(Те)). Этот вывод связан,
§38]
ПЛАЗМА В СИЛЬНОМ ОДНОРОДНОМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ
513
прежде всего, с возможностью и в сильном поле считать максвел-
ловской симметричную часть функции распределения сильно ионизи-
рованной плазмы. При этом плазма в данном случае называется
сильно ионизированной, если
•^~-';»Чг C8,25)
Здесь vm — число соударений электронов с молекулами и Уее — число
междуэлектронных столкновений, которое одного порядка с числом
столкновений электронов с ионами v; (ионы считаются положитель-
ными и однократными). При междуэлектронных ударах передача
энергии и импульса происходит с одинаковой скоростью и, таким
образом, условие C8,25) имеет простой смысл: время релаксации
для перераспределения энергии между электронами zee, меньше
времени релаксации для передачи энергии электронами молекулам
тй = у—. Итак, при условии C8,25) величина Те представляет собой
не некоторую эффективную величину, равную -ir-K, а действительно
является кинетической температурой электронов,
В слабо ионизированной плазме, когда ^ <d 3vm, а также в про-
межуточном случае электронная функция распределения отлична от
максвелловской. Но при этом v{<^vm и соударения происходят
в основном с молекулами, т. с. сечение обычно слабо зависит от
скорости; поэтому изменение функции распределения мало меняет
эффективное число столкновений м,фф (при той же средней энергии
К = -^у.Те, что и для максвелловского распределения скоростей).
Кинетическая теория. Помимо количественных уточнений, ясных
из сказанного, кинетическая теория в стационарных условиях не вносит
ничего качественно нового, пока мы интересуемся такими средними
9 —
величинами как ток jt = eNr или температура Те = ~ К. Положе-
ние, вообще говоря, изменяется для нестационарных процессов. Кроме
того, интерес представляют не только средние величины, но и сама
функция распределения. Наконец, кинетическую теорию, вообще
говоря, нужно использовать, если нужно учитывать пространствен-
ную дисперсию, или, более общо, в случае существенной зависи-
мости состояния плазмы от координат.
Кинетическое уравнение, служащее для определения функции рас-
пределения электронов fit, r, v), имеет вид D,2):
j( = efvfdv, K = jff-ffdv. C8,26)

514 НЕЛИНЕЙНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ПЛАЗМЕ [ГЛ, VIII
Кинетическое уравнение можно обычно существенно упростить. Для
этой цели рассмотрим вначале изотропную плазму (//@' = 0), причем
пространственный градиент параллелен полю Е. Тогда имеется лишь
одно выделенное направление Е (ось г), и функцию распределения
можно разложить в ряд по полиномам Лежандра РА (cos а.), где
а ¦— угол между Е и V.
со
/ (t, г, V) = 2 Р, (cos а) Д (t, r, v). C8,27)
Подставляя разложение C8,27) в уравнение C8,26), умножая на
Pk'(cosy.) и интегрируя по углам с использованием соотношения
, _ Af B.I-!- gf
получаем систему зацепляю-
н
_ , ^ df , ?ain2a
щихся уравнений для функций Д, /,, Д, .,.:
аг ~г" 3 д'г г" 3^
dt
dt
^ 5 йг
т
D-)+w-w WJ}+S2 = o.
C8,28)
Здесь S^^
Переход к функциям Д. приводит к упрощениям, разумеется,
только в случае, когда можно ограничиться немногими такими функ-
циями. Конкретно, двумя функциями Д и Д можно ограничиться.
dfB i ! df, dfr. -.1 й . ,,. _
если |_д_|»|^. и -д^|>-^- ^Г(^3Д) - В пространственно
однородной плазме (при -^-=0) в стационарных условиях
"'(^'¦ = *ШЛ> ~sf~ г~" г'шД и ПРИ предполагаемой малости функции Д
имеем:
-,)
m (to -j-
(здесь учтено также, что 5, = уД и б'^^-уД (см. ниже)). В резу л
тате необходимое условие |^- :Э>-^-1^-(г'3Д) принимает
вид
р. § 38] ПЛАЗМА В СИЛЬНОМ ОДНОРОДНОМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ
515
Id
нием этого условия для средней скорости
• df0 /о
-z—'—~~=f • то приходим к требованию
9 ,-Л
в ?,",
0, Если ограничиться использова-
-и -—¦ 1/ -:-5- и
положить
C8,29)
В то же время условие слабости поля C8,1) отличается от C8,29)
появлением в знаменателе величины о. Поэтому поле может быть
сильным, а условие C8,29) выполняться. Выражая в C8,29) Те
с помощью C8,16), приходим практически к условию 8<г?Ч. Это
неравенство в интересующих нас случаях можно считать всегда
выполненным. При наличии пространственных неоднородностей суще-
считая для про-
ственно также упомянутое условие
dz
dz
стоты поле отсутствующим или несущественным, из уравнения C8,28)
для /а имеем (г*ш —|- v) /2
условие малости функции /2 в виде:
-y~
откуда получаем необходимое
dz2 I
df0
dz
C8,30)
Это условие уже приводилось в § 4. С ним связано еще одно
условие, существенное для нестационарных процессов. Именно
из первого уравнения C8,28) ясно, что в некоторых случаях
dfr, df, I
-4~<~^1}—~ I это имеет место, например, при отсутствии поля и
большом значении -зг-, поскольку интеграл 50-—'Sv/0 невелик!.
В подобных условиях из C8,30) приходим к условию
C8,31)
Здесь и в C8,30) частота ш, по существу, определяется как отно-
д
шение ш -
dt
h
Для того чтобы можно было пренебречь функ-
цией /2, условие C8,31) должно выполняться и в пространственно
однородном, но нестационарном случае при наличии электрического
поля (в этом можно убедиться, оставляя а C8,28) только члены
dt
Sv S2 и члены с полем Е\.
При получении всех этих условий C3,29) — C8,31) не было
проявлено большой тщательности, так как производилась замена величии
на средние и т. п. Тем не менее вполне отчетливо видна весьма

516
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ПЛАЗМЕ
[гл.
VIII
широкая область, в которой можно ограничиться двумя первыми
уравнениями C8,28), отбросив члены, содержащие функцию /2 *)
При наличии магнитного поля и любом направлении простран-
ственного градиента эти уравнения записываются так [13, 258]:
-ЬА=-0. C8,32)
•4-S1 = 0. C8,33)
функция распределения / имеет при этом вид:
г, *) =
г, v) -U^-^-!^2_. C8,34)
В слабом поле можно считать, что симметричная часть /, т. е.
функция /0, полем не возмущается и в однородном случае является
максвелловской функцией /ш (см. D,16)). Уравнение C8,33) ста-
новится тогда не зависимым от уравнения C8,32) и в форме D,17)
или F,1) использовалось в §§ 4, 6, 10 и др.
Выше оставался нераскрытым явный вид интеграла столкнове-
ний S и его «моментов» Sk. Этот вопрос подробно освещен
в статье [258J, и здесь будет приведен только результат. В силу
того, что при каждом соударении электрона с тяжелой частицей
о <^ !, модуль скорости изменяется лишь незначительно, и в хорошея
приближении
Si = v (V)fv *|. т <«) = Л'|, т* / Я (». 6) A - COS В) dQ C8,35)
(этот результат уже приводился и комментировался в § 4, где ука-
заны также все обозначения). Заметим, что с той же точностью
S2 = v2 (и) /2, v2(-u) = Nh mv f q (v, 6) [1 — Я2 (cos 6)[ dQ; очевидно,
v2(t>)—'v(-y) — это обстоятельство уже использовалось при получении
условия C8,29),
В присутствии только упругих соударений I ь = оуп = —гг-1
1 д Г ,, , . ГхГ д/0 ,
m dv '
C8,36)
Здесь 4{v) — то' же выражение, что и в C8,35), а Т—температура
тяжелых частиц, которые по предположению имеют максвелловское
распределение скоростей. Как в C8,35), так и в C8,36) между-
электронные соударения не учитываются (последнее законно прп
достаточно большом числе нейтральных частиц). Выражение C8,36)
*) Говоря о возможности отбросить функцию /2, мы имеем в виду вычи-
сление основных («больших») членов. При вычислении же малых поправок
порядка — отбросить функцию /г можно только, если — ~^-> Ъ (си. [258]).
§ 3S] ПЛАЗМА В СИЛЬНОМ ОДНОРОДНОМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ 517
имеет ясный физический смысл. Во-первых, при пренебрежении
обменом энергией с тяжелыми частицами соударения с этими части-
цами не могут изменить распределения электронов по модулю ско-
рости. Поэтому понятна пропорциональность So.фактору о. Во-вто-
„ 6 1
рых, если перейти к средним величинам и заменить — на -z_- то
dv v
ir4
1
где т/г — время релаксации для энергии. Временем -:л, = -— и должна
определяться скорость изменения fQ(v) из-за столкновений с тяже-
лыми частицами (более детальную интерпретацию выражения для So
и отдельных его частей можно найти в [258]).
Сильно ионизированная плазма. В сильно ионизированной плазме,
когда выполнено условие C8,25), а также в промежуточном случае
пренебречь междуэлектронными соударениями, вообще говоря, уже
нельзя, и в C8,32) и C8,33) нужно, помимо членов C8,35) и C8,36),
внести соответствующие вклады S]iee, и SOi(!e, обусловленные между-
электронными соударениями (см. [2581). О роли таких соударений
при определении е и а, т. е. влиянии члена Sbee, речь уже была
в § 6. Влияние междуэлектронных соударений на функцию /0
несравненно сильнее. Дело в том, что So м-—•-^-¦~wVee/oi поскольку
при соударении между электронами энергия передается столь же
эффективно, как и импульс. В связи со сказанным ясно, что в сильно
ионизированной плазме (см. условие C8,25)) междуэлектронные
соударения обеспечивают близость функции /0 к максвелловской с элек-
тронной температурой Те. Сама эта температура определяется
из того же ураанения C8,32), которое приводит к соотношению
dt ~ 3tlN JtE~
СО
11 Г v (V) v* ехр {-
mo1
Ъ-Т,
dv,
Ь (Те) = Вэфф (Те)
2m.
C8,37)
Здесь В11еуп — вклад в о, связанный с неупругими соударениями. Соот-
ветствующее выражение, как и вывод уравнения C8,37), можно
найти в [2581. На последнем моменте — выводе уравнения C8,37) —
мы не останавливаемся, поскольку это уравнение совпадает с C8,7)
и имеет очевидный смысл закона сохранения энергии. Единственное
уточнение здесь связано со значением Vg,^^), которое теперь
вполне определено и равно в точности выражению F,9), конечно,
с заменой Т на Те.

518
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ПЛАЗМЕ
(ГЛ. УВД,
расп]еде™н1„: Т°КЗ Л °ПреДеЛЯе1" «-«тричной частью фуНКЦИй
¦/'=='/'^" = '/J^^ = ^M(,)rf*. C8.38,
™™S) "npSe"Z: ПЛЗЗМе " °ДН0РОДНОН СЛУЧ- *»-
<??
Л = о.
., ~_5?± C8,39)
nt
где не учитываются междуэлектронные соударения (при и>2^>у- это
законно; при «>2^j2, таким образом, вносится ошибка порядка еди-
ницы; см. § 6).
При обсуждении уравнения C8,7) уже было выяснено, что
в наиболее интересной области температура Те постоянна с точностью
до малых членов. В приближении, в котором Те = const, очевидно,
~~ = 0, и легко видеть, что решение уравнения C8,39) можно
записать в форме
C8,40)
Отличие между этим уравнением для вводимой таким путем вели-
чины f и уравнением C8,4) состоит в замене ''эффС-О иа 'JA')-
В случае постоянства v оба уравнения совпадают; тем самым дока-
зывается сделанное ранее утверждение о том, что элементарная
теория дает точный результат при v (в) = const.
При Те — const вычисление тока jt в сильном поле формально
совпадает с его вычислением в слабом поле. Другими словами, для
г'.к получаются выражения A0,32), но с v^, = v.j,^ (Te), причем Т..
зависит от Я5- Само стационарное значение Те, согласно C8,37),
пропорционально jt, и, следовательно, учет распределения по ско-
ростям приводит к появлению множителя Ка( -Wv)< введенного
в § 6 (см. F,25)). В результате, например, выражение C8,21) заме-
няется следующим:
71
ЦТе) ^7f
C8,41)
причем
§ 38] П.1ЛЗМА В СИЛЬНОМ ОДНОРОДНОМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ 519
к C8,21) нужно положить ЛГ,=—1 и о = const (последнее было пред-
положено при переходе от C8,16) к C8,21)).
Слабо ионизированная плазма. В слабо ионизированной плазме,
когда
vM<CSv«iSvm C8,42)
Ки га ?Эфф| m G,) — эффективное число соударений электронов с моле-
кулами), междуэлектронными соударениями можно пренебречь даже
(
уравнении C8,32) для /0. При
const (j. e.
уравнения C8,33) имеет вид C8,40) с -J-- вместо -4
это решение в C8,32), получаем*):
й/л 1 д [ , Г/^ / \ ъТ | 1егЕ \ dfa
0
р
j решение
¦ Подставляя
11 „ ,„о ,„,
J.f=0'C8>43)
где учитываются только упругие соударения (использовано выра-
жение C8,36)).
Как в постоянном или квазистационарном электрическом поле,
когда ш <0^ 3v, так и в быстропеременном поле (нри а> ^> Ъч) в первом
приближении ~i7- = 0 и. кроме того, в C8,43) можно положить
-. В результате в этом приближении получаем:
2m (or
' 3m2
Умножая это уравнение на tfidv и интегрируя его от нуля до v,
убеждаемся, что v2j,j{v) — Q, поскольку при отсутствии источни-
ков [v'ljv{v)\v^f] = Q. Интегрируя теперь по скоростям уравнение
./^(¦и)— 0, находим функцию /0:
f I 1
/^Cexpj-y-p—-—^-—j- . C8,44)
»8фф(Гв) определяется формулой C8,37). При переходе
*) Б условиях, когда Tezn const, как указано, можно пренебречь про-
изводной ¦—- при переходе от C8,39) к C8,40), Однако в уравнении для
самой функции /0, которая медленно изменяется во времени, производную
-^jj- в общем случае нужно оставить. Заметим также, что для немаксвел-
ловского распределения, конечно, под Те понимается величина, пропорцио-
нальная средней энергии /<\

520
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ПЛАЗМЕ
Здесь С — постоянная, определяемая из условия нормировки:
f fode = N.
В очень сильном постоянном поле из C8,44), заменяя также
на 2?2, получаем распределение
[ГЛ. VIU !
i = С ехр { — /
Зт2 Synv2 (ц) v dv
где при переходе к последнему выражению положено 5уп = -~-
4ЛШ2Ж(' C8,45)
но 5уп =
и v = vm = Tia2Nn-v = у (соударения с молекулами). Полученное рас-
пределение Дрювестейна C8,45) при больших скоростях электронов
сильно отличается от даксвелловского. При учете неупругих соуда-
рений в C8,44) нужно заменить оу„ на о (v) (подробнее см. [258]).
Зная функцию /0, уже легко найти функцию /j с помощью урав-
нений C8,39) и C8,40) (с заменой /00 на /0). Представляющие
интерес при решении электродинамических задач величины ft u s
выражаются при этом так:
dv
3 J ~^p
C8,46)
J
Все эти величины являются интегральными и поэтому сравнительно
слабо зависят от вида функции /0 и, в частности, от зависимости /0
от скорости в «хаосте» распределения. Понятно поэтому, что К,
г и о в слабо ионизированной плазме обычно мало отличаются
от соответствующих значений, вычисленных с помощью максвел-
ловской функции faoiTg) с Те — -^-К. Например, в сильном постоян-
ном поле при упругих соударениях с молекулами для слабо ионизи-
— elE
рованной плазмы К~ 0,604 -?•=, а для сильно ионизированной
плазмы К— 0,613 ~г=г. В подобных условиях вполне естественно, что
н для промежуточного случая чее-—8v также получаются результаты,
близкие к имеющим Aiecxo для сильно ионизированной плазмы, когда
'ее 3> 8''. Итак, мы пришли к тем же выводам, которые уже были
сделаны несколько раньше при обсуждении вопроса о границах при-
менимости элементарной теории.
В заключение заметим, что соблюдение критерия слабости
поля C8,1) гарантирует возможность считать возмущение функции
§ 39]
ЭФФЕКТЫ ПРИ РАСПРОСТРАНЕНИИ РАДИОВОЛН
521
распределения малым *), но, разумеется, не обеспечивает полного отсут-
ствия нелинейных эффектов. Дело в том, что эти эффекты в силу
их качественной специфики могут быть замечены и в условиях, когда
функция /0 мало отличается от максвелловской (другими словами,
условие C3,1) обеспечивает малость нелинейных эффектов, а воз-
можность полностью ими пренебречь определяется постановкой задачи
и точностью измерений). В подобных условиях —в слабом поле,
но при необходимости учитывать начинающие появляться нелинейные
эффекты, весьма удобным и эффективным иногда оказывается метод
возмущений (последовательных приближений). В этом методе полагают
/0 = /Q0-S— /01, причем |/oil<C/oo. где /ю — максвелловское рас-
пределение. Такой подход подробно изложен в [22], § 64 (см.
также [260, 2611).
§ 39. Нелинейные эффекты при распространении радиоволн
в плазме (ионосфере)
Введение. Нелинейность электромагнитных процессов в плазме
ярко проявляется, в частности, при распространении достаточно
мощных радиоволн. Так, при распространении одной волны вслед-
ствие влияния ее на плазму имеет место нелинейный эффект «само-
воздействия», состоящий в изменении поглощения и фазы волны,
а также появлении обертонов основной частоты. При распростра-
нении нескольких волн нарушается принцип суперпозиции: падающая
и отраженная, обыкновенная и необыкновенная ивообще любые две вол-
ны перестают быть независимыми — они нелинейным образом взаимо-
действуют в силу того, что сами меняют свойства среды (плазмы), в кото-
рой распространяются. Подобное нелинейное взаимодействие, имеющее
место уже в однородной среде, разумеется, совершенно отлично от
«взаимодействия» нормальных волн, обсуждавшегося в § 20 и др.
В слабом поле (при условии C3,1)) влиянием поля на плазму
обычно пренебрегают, как мы и поступали в гл. I—-V11. Важно,
однако, еще раз подчеркнуть, что даже в слабом поле могут наблюдаться
некоторые небольшие нелинейные эффекты, которые выделяются
в силу своей качественной специфики. Для выявления таких слабых
нелинейных эффектов естественно воспользоваться методом после-
довательных приближений (см. [22], § 64). С другой стороны, нели-
нейные эффекты в слабом поле могут, конечно, быть рассмотрены
и на основе общих выражений, справедливых при любом значении
(
отношения
При этом для сильных
и, особенно, для
очень сильных полей (-=А "J§> 1) нелинейные явления уже ярко выра-
*) Речь идет о возмущении основной части функции распределения
(область скоростей v *^у !¦

522
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ПЛАЗМЕ
[ГЛ. VIII
жены, и обычной линейной теорией распространения радиоволн
вообще говоря, нельзя пользоваться даже в первом приближении
Основные результаты нелинейной теории распространения радио-
волн в плазме кратко излагаются ниже в применении преимуще-
ственно к земной ионосфере. Поэтому в дополнение к сказанному
н начале § 38 приведем в табл. 39,1 значения «плазменного поля»
' л ля ионосферы а также
9,1 значе
ионосферы, а также максимальные
изменения электронной
!'„ л ля ронной
температуры в поле станций разной мощности (учитываются только
столкновения электронов с молекулами, поле ?'о на границе ионо-
сферы определяется по формуле C4,22) с sin 6—1; 3 ~ 2 ¦ I0"'1 для
D- и С-слоев и 3— 10" 4 для f'-слоя). Из таблицы видно, что мощные
волны средне- и длинноволнового диапазонов могут существенно
изменить энергию (температуру) электронов в нижней части ?-слоя.
Напротив, воздействие на ионосферу коротких волн, а также средних
и длинных поли небольшой мощности незначительно.
Основные соотношения. Имея в виду произвольную немагнитную
среду, запишем уравнения поля в виде:
div D ^ 4тср,
"ff, divtf=O;
C9,1)
здесь D—гЕ, J — зЕ и ь и з — некоторые операторы, зависящие
от свойств среды и являющиеся линейными операторами лишь
в достаточно слабом поле. В плазме
IT
C9,2)
Несмотря на то, что поле волны неоднородно в пространстве,
при определении функции /, а значит, и г и б эту неоднородность
обычно можно не учитывать, т. е. пренебречь членом v^rf в урав-
нении C8,26). Тем самым предполагается, что операторы = и з
локальны, т. е. плотность тока jf в данной точке определяется
полем Е в той же точке. В слабом ноле такое предположение отве-
чает пренебрежению пространственной дисперсией*). В сильном поле
локальное приближение справедливо, если амплитуда поля слабо
изменяется не только на длине свободного пробега 1-— , но и
¦'эфф
*) Термин ^пространственная лнсперсня» связан с возможностью вве-
дения величин е (ю, k) и s ('и, ft), зависящих не только от <¦> (зреыеннаи
дисперсия), но и от волнового вектора к. В нелинейной теории использо-
вание метода Фурье ограничено и, вообще говоря, s и а являются сложными
операторами, в применении к которым термин «дисперсия*, по крайней
.мере, нуждается в уточнении.
§ 391
ЭФФЕКТЫ ПРИ РАСПРОСТРАНЕНИИ РАДИОВОЛН
523

524
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ПЛАЗМЕ
[ГЛ. VIII
на большей длине релаксации для энергии -т=.= =: л липа
М ''эффУг \
-== = ]/ —— ~ l^b",,—-диффузионный путь, проходимый элек-
троном за время т,, = ).
" «эфф/
При распространении волн радиодиапазона поле можно считать
быстропеременным в том смысле, что выполняется условие
'"'эфф
C9,3)
В ионосфере это условие выполнено для волн с длиной л "С 100 —=—
-:— 1000 км, в солнечной короне при А< 105 км, а в электронных
приборах и экспериментальных установках обычно при X < 10^-100 .«.
При соблюдении неравенства C93)
р р установках
При соблюдении неравенства C9,3),
как мы видели в §
38,
р деии нераве () дл в § 38,
электронная температура Те в поле любой напряженности (в ста-
ционарном состоянии) в нервом приближении постоянна и плотность
тока jt изменяется с частотой поля Е. Поэтому при выполнении так-
же упомянутого условия локальности задача о распространении волн мо-
жет быть разделена на две. Во-первых, как и в слабом поле при от-
сутствии пространственной дисперсии, находится ток jt в зависимости
от Е; во-вторых, решаются уравнения поля с полученным ранее током.
Именно в таком приближении и будет ниже проведено рассмотрение
эффекта самовоздействия и кроссмодуляции радиоволн. И только при
обсуждении вопроса о «боковых» волнах с комбинационными частота-
ми, когда вычисляются не основные величины, а малые поправки к ним,
й''эйф ,
членами порядка ——— пренебрегать нельзя, и задача усложняется.
Эффект самовоздействия. Остановимся теперь на нелинейном эф-
фекте самовоздействия радиоволн. Для этой цели рассмотрим распро-
странение в изотропной плазме волны, поле которой на границе среды
(в плоскости 2 = 0) равно EQ @) :os wt. В стационарном состоянии
(т. е. через достаточно большой промежуток времени Л/^§>\
после включения поля) электронная температура Те устанавливается
на некотором постоянном значении (малые члены порядка — не
учитываются). В соответствии с этим яолна распространяется с не-
изменной частотой <о в среде с постоянными во времени г и о, кото-
рые зависят от амплитуды поля волны Ев. Из уравнений поля C9,1)
обычным образом (см. § 1) получается уравнение
г, Ео(г))Е=0.
C9,4)
§ 39] ЭФФЕКТЫ ПРИ РАСПРОСТРАНЕНИИ РАДИОВОЛН 525
Выражение для s'— е—I—— было получено в § 38 и имеет вид:
,' —- j ^__
т« [
(здесь и везде ниже используются формулы элементарной теории;
температура Те является функцией ?0(г), которая определяется
из C8Л 6)).
В связи со сложностью нелинейного уравнения C9,4) остановимся
на его решении только при ряде упрощающих предположений.
Именно, будем считать плазму не только изотропной, но и плоско-
слоистой с медленно меняющимися свойствами, так что обеспечена
применимость приближения геометрической оптики. Уравнение C9,4)
принимает«гогда вид ~трг~1~~г E'(ffl. 2> Е0)Е-=0, а его приближенное
решение можно записать в форме (см. § 16)
е'((в, г, ?0(г))^(п —iv.J, C9,6)
где в нулевом приближении С = const и рассматривается лишь волна,
бегущая в одном направлении (по оси z). В силу зависимости п
и х от Ео формальное решение C9,6) является по существу инте-
гральным уравнением, которое для амплитуды можно записать
в форме
-— j *{ш, а, ел ах I
?о = С, '* j C9>7)
В предположении, что U|3>——-, показатель поглощения равен
-^—гг^Г—— н в слабом поле (см. G.17))
у. =. х„ («1,г) = Щ^^=^=^. C9,8)
В сильном поле, в рассматриваемых условиях выражения для sso
такие же, как в слабом поле, но с заменой чо=эчЭффG) на
Ьфф{Те)~вЧ(Те}. Поэтому
г,
(о», г)-
«г
C9,9)

526
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ПЛАЗМЕ
[гл. vm
' от Те (это
где для простоты не учитывается зависимость л
верно, если п *'!, а также всегда при m2^>v4).
Для нахождения поля E0(z) нужно, очевидно, решить уравне-
ние C9,7), учитывая выражение C9,9) и связь между Те и Ео.
В случае соударений с молекулами —^— = у -^-Ч—- н, вводя
переменную х = у —~-г^- , можно переписать соотношение C8,21)
и уравнение C9,7) в виде:
=—~. C9.10)
v
d-.
dz \ -J — ;
--yv(z) = 0 C9,11)
(при переходе от C9,7) и C9,9) к C9,11) амплитуда ?'о выражена
через -: с помощью C9,10)).
Из C9,11) в результате интегрирования получаем следующее
выражение для ¦z:
_ 1
Yexp\^nz
4м;
(«) = у/*о (*)<**.
= х @) =
C9,12)
(везде предполагается, что Т и >0 от г не зависят; напомним также,
г
что ZT0@) — амплитуда поля при г = 0н Q%'=— I y,aiz)dz- - вели-
о
чина, определяющая поглощение слабой волны на пути z).
Используя выражения C9,10) и C9,12), можно определить ампли-
туду поля ?qB), которую удобно записать так:
Ee(*) = ?0@)e-^Wp(-^9>, '-, а/ГС?)). C9,13)
Множитель Р (в слабом поле он, очевидно, равен единице) харак-
теризует эффект самовоздействия волны при ее распространении.
В глубине плазмы при ГЖ (г) 3> ' волна всегда становится слабой
и т-9-1. В этой области [258]
ехр
ч
C9,14)
§ 391
ЭФФЕКТЫ ПРИ РАСПРОСТРАНЕНИИ РАДИОВОЛН
527
В предельном случае «?^'ф и ~.q J^> 1 множитель Р не за-
висят от ~ls н
со(г) -.= 2Я„ схр {— ,^/' (г)}. C9,15)
При соблюдении обратного неравенства ш2-^/^70 множитель Р
растет с ростом tl1 (т. е. с ростом Eti@)), поскольку коэффициент
поглощения на низкой частоте падает с возрастанием Те. В резуль-
тате получим:
Г" з
@)
Еп
е.хр \~-
Зависимость отношения — ^~—-!¦ в глубине плазмы от
(в обоих предельных случаях) ясна из рис. 39,1.
го ?.,{о%
Рис. 39,1. Зависимость -iML^Zi:.:. от ±Щ
(соударения с молекулами).
При произвольном ?yf (z), т. е. при любом расстоянии от
начала слоя плазмы, простое выражение для поля ?0(г) получается
лишь при высоких частотах (o2^g>v'~ когда
?0(^)^2..._о j/ -_—г
^ C9,17)
Очевидно, независимо от значения
сильным только при ¦,/{' (;) <i 1.
^>, Е поле С0(г) остается

528
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ПЛАЗМЕ
[гл. vm
В случае соударений с ионами достаточно рассматривать только
волны высокой частоты. Действительно, условие справедливости
газового приближения *) ~rpf- <С 1 приводит к неравенству
\
Отсюда е = 1
т ~ (¦i.Tf'-m1''' ' а2 4 -гй. '
т.е. волны могут распространяться только при ui!^.ao^>vw (высокочастот-
ный случай). При этом коэффициент поглощения волн высокой частоты,
как ясно из C9,9), резко падает
с ростом температуры Те (так как
v.азТе ). В результате фактор
самовоздействия Р резко возрас-
тает с ростом ?0@), и волна
бы сама
рогу в
f
прокладывает себе
плазме; при
f{)p волна
чески не поглощается
данной толщины
как
до-
Ео @) >
практи-
в слое
(г) =.
/
ч.й (г) г/г; зависимость
Рис. 39,2. Зависимость
от —-~.— при двух значениях
•Ж Щ ясна из рис. 39,2).
Воздействие волны на плазму
приводит, помимо рассмотренного
изменения амплитуды, также к из-
менению фазы волны (имеется
в виду отклонение фазы от зна-
(z) dz, отвечающего
¦ (соударения с ионами).
случаю слабой волны). Соответ-
ствующее изменение фазы неве-
лико. Больший интерес предста-
вляет изменение модуляции волны в результате ее самовоздействия.
Если частота модуляции S<S^8v0, то процесс можно считать квази-
стационарным. Это значит, что задача решается так же, как для поля
с постоянной амплитудой, но в окончательные формулы вместо Еа@)
подставляется промодулированное поле ?'0@, t) = EQ(O)(l -f-p,0cos Ш).
*) Это условие означает, что кинетическая энергия электрона %Т велика
по сравнению с потенциальной - - ~ е2.\г'"°.
г
§ 39]
ЭФФЕКТЫ ПРИ РАСПРОСТРАНЕНИИ РАДИОВОЛН
529
Выражение C9,13) принимает тогда вид:
= е0@)A ¦
} C9,13)
Поскольку фактор самовоздействия Р нелинейным образом зависит
от ' ,,' '• , уже из C9,13) ясно, что самовоздействие приведет
к изменению глубины модуляции, а также появлению обертонов 2У,
3S и т. д.
Если же 2^?«0, то задачу считать квазистацконарной нельзя
и нужно совместно решать уравнение для поля C9,7) и уравне-
ние C8,7) для температуры Те.
На всех перечисленных эффектах самовоздействия (изменение
фазы, глубины модуляции и частотного спектра), а также на выясне-
нии роли самовоздействия при распространении радиоволн в ионо-
сфере останавливаться здесь не будем, отсылая к обзору [258].
Нелинейное взаимодействие волн. Кроссмодуляция. Возму-
щения, вызываемые в плазме мощной водном, не только влияют на
характер ее распространения, но должны сказываться и на других
волнах, проходящих через возмущенную область.
Здесь можно указать на эффекты трех типов.
Если мощная волна промодулирована по амплитуде низкой
частотой Q, то промодулированиыми оказываются и возмущения,
вызываемые ею в плазме, и, следовательно, другие волны, проходя-
щие через возмущенную область. Это явление называется перекрест-
ной или кроссмодуляцией, а также Люксембург-горьковским эф-
фектом. Оно без особого труда наблюдается при распространении
радиоволн в ионосфере и имеет практическое значение для радио-
вещания в диапазоне средних волн.
Если же распространяются мощные неиодулированные волны, то,
возмущая плазму, они, во-первых, вызывают постоянные во времени
изменения электронной температуры, а, значит, также проводимости
и диэлектрической проницаемости среды. Поэтому в возмущенной
области меняются условия распространения (поглощение, рефракция)
всех других волн. Во-вторых, помимо постоянных возмущений г и о,
возникают еще и слабые переменные возмущения с частотами, крат-
ными частоте возмущающей волны. Такие возмущения приводят (при
распространении в плазме других волн) к появлению волн с комби-
национными частотами *),
*) Волны с комбинационными частотами появляются, конечно, и при взаи-
модействии модулированных волн, но наличие модуляции здесь принципиаль-
ной роли не играет. Поэтому, естественно, вопрос о комбинационных часто-
тах будет обсуждаться именно для немодулированных волн.

530
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ПЛАЗМЕ
Чтобы рассчитать глубину и фазу кроссыодуляции, нужно сначала
определить величину низкочастотных возмущений, вызываемых
в плазме мощной волной 1 (волной с полем Ег), & затем найти,
как эти возмущения скажутся на другой волне с полем Е-,. Если
хотя бы одна из воли 1 и 2 является сильной, то расчет нужно
проводить с учетом самовоздействия. Мы, однако, ограничимся слу-
чаем, когда не только волна 2 является слабой, но и возм\щающая
волна 1 может считаться слабой с точки зрения критерия CC,1).
Вместе с тем, возмущения плазмы, обусловленные распростране-
нием волны 1, будут, разумеется, учитываться и могут ока-
заться заметными. Дело здесь в том (как это уже упоминалось), что
специфические нелинейные эффекты (в особенности, ироссмодуляция)
могут без труда наблюдаться и в условиях, когда —~<
1. Более
того, в земной ионосфере именно этот случай и осуществляется для
волн короче 1 км и станций с мощностью, меньшей 500 кат (см.
табл. 39,1).
Амплитуда электрического поля промодулированноЯ слабой
волны 1 с частотой о>, в приближении геометрической оптики имеет
вид:
здесь Sj @) и Е((г) — значения г(г, ш,) == г,(г) в точках г=0 и z,
г
c4Ti (г) = ™- I /,, dz, ¦/.] = у.0(ш,) и поглощение считается слабым
о
(поэтому в амплитуде C9,19) величина г' заменена на г; подробнее
см. § 16).
Поле волны 1 с учетом временного множителя равно
где о,-—некоторая фаза и ?'О1 определяется выражением C9,19).
Обычно при этом
")»", C9,20)
и можно считать, что при нахождении упорядоченной скорости г
процесс является квазистационарным. Другими словами, для ско-
рости г используем выражение C8,10) с заменой Ео на ?1 и u>t на
injt — (fr ^ отношении температуры Те, которая меняется медленно,
поступать точно так же нельзя, но в уравнении C8,11), как указано
в § 38, можно отбросить члены с cos (of и cos 2ш/. В результате это
уравнение в рассматриваемом случае принимает вид:
I. — ^'_j i_L' ?v it Ti r4Q 9 1 i
dt "" 3mx(J -i- Mf) ~~ A e (OJ.-4
§39]
ЭФФЕКТЫ ПРИ РАСПРОСТРАНЕНИИ РАДИОВОЛН
531
Подставляя сюда выражение C9,19), для части возмущения темпера-
туры ±Те = Те — Т, изменяющейся с частотами Й и 2S2, получаем:
In CO» AШ — в,„ 1 1
Ar=====^-f. C9,22)
, = arcta"'
Изменение температуры приводит к соответствующему изменению
числа столкновений, так что v = vo-j-Av. Ограничиваясь рассмотре-
нием соударений с молекулами, имеем *):
C9,23)
Амплитуда любой другой слабой волны 2 (считаем ее смодули-
рованной) также, конечно, имеет вид C9,19):
) «Р {—
C9,24)
где интегрирование ведется по траектории луча.
Показатель поглощения ¦/. зависит от числа соударений, и, таким
образом, возмущающее действие волны 1, изменяя v, приведет к по-
явлению амплитудной модуляции волны 2, Действительно, x,(v) =
= ¦/.-, (¦)„) + 4^- ^?У и амплитуда C9,24) волны 2 по прохождении
возмущенной области может быть записана так:
со2 = Яв2@) ехР | - -*-
X
"} При соударениях с ионами в неплохом приближении
Г
Т
л jiuV = я- ( ¦.—) —'—--, г. е. изменения \,.у п igf имеют разный знак.
В соответствии с этим характеризующие глубину кроссмодуляции коэффи-
циенты ;j.c, и jx,s (см. ниже) при соударениях с молекулами и ионами имеют
разные знаки.

532
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ПЛАЗМЕ
[гл. VIII
где использованы соотношения C9,23) и C9,24), опущен член
у yj-r и глубина кроссмодуляции считается малой; по последней
причине произведена замена exp j —
i' m, f dr., Ы) 4„7\. ]
xp J "- / v0———~-==^-1!s ^
первые два члена разложения экспоненты в ряд.
Сопоставление выражений C9,22; и C9,25) показывает, чго поле
равно
?02 = const \l — pscos(Qt~-<?2)
причем глубина кроссмодулиции равна
ЗъТтЪ
МО
Хехр(—2^,
X exp {— 2pJf, (s)irfs. j
C9,26)
Чтобы найти окончательные выражения для глубины кроссмодуля-
ции, нужно еще провести интегрирование по пути s, а также исполь-
зовать выражение C9,8) для у..2(г,2~-7.A(чз2)}. Получающиеся формулы
(см. [25SJ) зависят, конечно, от геометрии задачи: взаимного рас-
положения точек отражения води 1 и 2, углов падения обеих волн
на слой и т. п. Отметим здесь лишь наличие характерного множителя
__—~—??> свидетельствующего об уменьшении глубины кроссмоду-
ляции с ростом частоты S2 (в области G^Sv^). Кроме того, в рассмот-
ренном приближении при ^0<С1. очевидно, ;л,2 — <г^пп
При учете влияния постоянного магнитного полл Н{A) получаются
результаты, аналогичные приведенным: в принципиальном отношенин
вся разница сводится к замене в выражениях C9,22) и C9,26):
Е-о1 @, 0)
?ji, @, 0) sin2 |i
где 0 — угол между Еш и Н{"\ Если угол р — 0,
C9,27)
то возмущения
§ 39]
ЭФФЕКТЫ ПРИ РАСПРОСТРАНЕНИИ РАДИОВОЛН
533
в плазме могут сильно возрастать вблизи гирорезонанса, когда
u)j—xDj^, Отсюда, однако, еще нельзя в общем случае сделать вывода
о резонансном поведении кроссмодуляции (т. е. о возрастании jig
и (i,2S при uij -> а>ну Дело в том, что, помимо величины возмущений
Д7а и iov, глубина кроссмодуляции зависит, очевидно, от размеров
возмущенной области, В то же время вблизи резонанса эта область
уменьшается, поскольку волны сильно затухают и, например, в усло-
виях ионосферы просто не проникают в ее толщу. Поэтому кросс-
модуляция в условиях ионосферы не носит, вообще говоря, ярко
выраженного резонансного характера. В некоторых случаях тем
не менее резонанс может быть выражен достаточно отчетливо. За-
метим в этой связи, что выражения типа C9,27) нужно использовать
с известной осторожностью еще и в связи с необходимостью учиты-
вать изменение поляризации волн, распространяющихся в магнито-
активной плазме. В результате, как об этом подробно говорилось
в § 11, резонанс на частоте ш = и>н имеет место только при я = 0
(продольное распространение), в то время как при других углах а
резонансная частота отлична от шя и определяется формулой A2,2а).
В применении к нелинейным эффектам смещение резонансной частоты
рассмотрено в [262]; в условиях земной ионосферы это смещение
невелико [263], так как волны с частотами, близкими к резонансной,
проникают лишь в нижнюю часть слоя, где плазменная частота <оа
невелика и, следовательно, <ярея?=1юн.
Характер кроссмодуляции в ионосфере в зависимости от ряда
условий и значений параметров ((i0, Й, <5v0, ш,, а, и т. д.) исследо-
вался в различных работах, результаты которых сопоставлены в B58].
Нелинейное взаимодействие немодулированных волн. Комби-
национные частоты. Нелинейное взаимодействие немодулированных
радиоволн, как уже упоминалось, приводит прежде всего к изме-
нению поглощения и рефракции слабой волны, проходящей через
возмущенную область плазмы. Заметить этот эффект для монохро-
матических волн, вообще говоря, довольно трудно. Если же на волну
«наносятся» какие-то «метки», то дело, по существу, опять сводится
к модуляции и кроссмодуляции. Особо здесь нужно отметить только
нелинейное взаимодействие коротких импульсов [264, 265].
Мощная немодулированная волна JS, с частотой ш3 вызывает
в плазме помимо постоянного возмущения также возмущения с часто-
тами, кратными вг Если при этом волну 1 все же можно считать
слабой (т. е. Ейх<<^Е^, то появляются практически только измене-
ния температуры Те, происходящие с частотой 2и>1 (см. C8,11))*).
*) Для сильной волны 1 появляются также более высокие обгртоны, но
и в этом случае напряженность поля убывает с ростом номера обертона
здесь сказывается роль параметра — <ЙГ 1 j

534
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ПЛАЗМЕ
[ГЛ. VIII
Такие обертоны возникают и для модулированных волн, но при
условии C9,20) наличие модуляции не вносит здесь ничего принци-
пиально нового, поэтому ниже мы и считаем для простоты мощную
волну немодулированиой. Ограничимся, кроме того, простейшим слу-
чаем, когда справедливо решение C8,11) для Т€ и, следовательно,
изменения Те и а можно записать в виде:
C9,28)
(изменение г не учитываем, как это и имеет место в однородной и
изотропной плазме при ш'2 ';.-3> vj-V Таким образом, свойства среды
становятся непостоянными во времени и распространение в этой среде
других волн (поле ?'.2, частота ш2) будет сопровождаться появлением
«боковых» волн с комбинационными частотами ш2 _;; 2ш1, Действи-
тельно, при наличии полей ?, и Е2 плотность тока, вызванного до-
статочно слабым полем ?, =¦ Е(пе1">>*: равна
j,(Ev ?2) = 3оЕО2е<Ч'-}-Д3т. ?02с"Ч--
До
C9.29)
Расчеты с помощью кинетического уравнения, на которых не будем
останавливаться [258], приводят при высокой частоте (mj'^-/-, ш1^ *s>vj,
выражениям:
3*^4 (fK_ j _
C9,30)
где поле 1 с амплитудой ?01 (г) = Евх @) ехр {— r-J/fx(z)\ считаем для
простоты слабым.
С приближением частоты <о2 к 2ся, имеет место резонансное воз-
растание величин ДзЛ, которые достигают при оJ=--2ш, максималь-
ного значения:
Д3+^ Лз_ =---^?^1.. C9,31)
Существенно, чго амплитуды Лз_ малы по сравнению с о0 не только
в слабом, но и в сильном поле, если только выполнено условие
-¦'--<С I (см, § 38).
В отличие от случая кроссмодуляции, когда соблюдение условия
ui'f^>il (см. C9,20)) обеспечивало возможность использования квази-
стационарного приближения, вопрос о распространении «боковых»
волн нуждается в более подробном рассмотрении (см. [2?j, § 64 и
[258], § 3,56). Смысл соответствующих вычислений состоит в реше-
нии уравнений поля или, конкретно в данном случае, вытекающего
из них уравнения -^ ^ с~?~ ^ ~ 5^- с током j2, определяв-
§ 39]
ЭФФЕКТЫ ПРИ РАСПРОСТРАНЕНИИ РАДИОВОЛН
мым выражением C9,29). Поскольку в правой части этого уравне-
ния присутствуют члены с частотами ш2 и ш2 ± 2ш], очевидно, чго
и поле Ег, не может обладать только исходной частотой ш,. Подста-
новка решения в виде
^ + '-) (
C9,32)
приводит к результату ([22], § 64):
Ar.i (<»2 + 2<о,) Дз_ |l — ехр [
C9,33)
Здесь плазма считается однородной и предполагается, что при z = 0
(начало слоя) амплитуда «боковых» волн ?02> = = 0, т. е. все поле ?2,
имеет вид Еа,-,{0) е'"'', Что же касается поля 1, то оно предпола-
гается не зависящим от z (поле в конденсаторе). Если же, как это
имеет место при распространении радиоволн в ионосфере, поле ?t
зависит от z, то на результате существенно сказываются размеры
области взаимодействия [258].
По мере прохождения волной 2 слоя плазмы, возмущаемой более
или менее мощным полем 1. амплитуды ?02~ сначала возрастают,
затем они убывают лишь по мере поглощения всего поля 2; доста-
точно далеко от границы z = 0:
1 Д.,
C9,34)
где в знаменателе произведена также замена г' на г (это законно
при | г | 'Зг> ——¦). В условиях ионосферы при учете неоднородности
поля ?] (г), как показывают оценки [258], ij~10 °—-10 при
Bj^Bj—106-г-107 и мощности станции 100 квт. При той же мощ-
ности в резонансе ii^3-10~5 (при ш2 = 2ш] = 4 ¦ 106), в то
время как при св1^ш3^=2- 106 будет т(;==.10~6. Малость отноше-
ния т] в ионосфере объясняет, почему появление комбинационных
частот не играет практической роли при радиосвязи и еще даже не
наблюдалось. Тем не менее этот эффект довольно своеобразен и не-
сомненно может быть обнаружен при специальном исследовании.

636
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ПЛАЗМЕ
ilVi. VIII
Главное же, появление комбинационных частот может оказаться инте-
ресным в условиях, отличных от имеющих обычно место при рас-
пространении радиоволн в ионосфере.
Нелинейность, связанная с изменением электронной концент-
рации. Нелинейные явления, рассмотренные выше, в конечном счете
все обусловлены изменением скорости электрона под действием поля:
именно в силу изменения скорости меняются также такие величины,
как Те, Ч;,фф=. v, г и о. Нелинейное взаимодействие волн в плазме
(и вообще нелинейная зависимость тока jt от поля Е) может, вместе
с тем, иметь и 'совершенно другу» природу. Именно нелинейность
может быть вызвана изменением не скорости, а электронной концен-
трации [266, 258]. Действительно, тензор t'ik зависит от /V и, напри-
мер, в изотропной плазме ^ = ^ = (l -^(!-Хфф) )^ Ш~
этому, если электрическое поле вызывает некоторое изменение кон-
центрации электронов -\Ы, свойства плазмы также начинают зави-
сеть от поля и, таким образом, среда становится нелинейной.
При пренебрежении движением ионов, которые лишь компенси-
руют средний заряд электронов еМ, очевидно, имеем:
C9,35)
dtv?
и обсуждаемый нелинейный эффект существует, если
При распространении поперечных (электромагнитных) волн в од-
нородной и изотропной плазме div? = 0. To же, конечно, имеет
место в однородном поле. Но уже в плазменных продольных волнах
в однородной и изотропной плазме, как известно, div?=*=0. В ре-
зультате происходит, например, рассеяние электромагнитных волн
на плазменных и, вообще говоря, нелинейное взаимодействие волн
этих двух типов (см., например, [136]). В изотропной, но неоднород-
ной плазме при отсутствии «сторонних» токов rot if — — г'Е и, сле-
довательно, div(s'?) = 0. Отсюда и из C9,35) находим:
? grad %'
4r.ee'
C9,36)
В магнитоактишюй плазме, вообще говоря, divi; — 0 даже для одно-
см. гл. III; условие divl/?— i -^-j] = ТГГ" ?y,?j.'— О
в общем случае означает, что div Е— -4ft ф 0 уже при г'ш -~ const).
Для плоской монохроматической волны в однородной магнито-
активной среде эллиптическое поляризованное поле имеет вид ? =
;ino и
]. C9,37)
§39]
ЭФФЕКТЫ ПРИ РАСПРОСТРАНЕНИИ РАДИОВОЛН
537
Здесь 9 = (.о — kr, rt = nli2 = —— показатель преломления для рас-
сматриваемой обыкновенной или необыкновенной волны (поглощением
для простоты пренебрегаем) и 0а, Ьь — углы между ЕОа, ?,-,,, и к.
Если внешнее магнитное поле Я(A1 не является слишком слабым или
не рассматриваются исключительные направления (т. е. углы а между k
и Я@), близкие к а —0 или я —у), то cosOe и сок66 являются
величинами порядка единицы (углы Ьа и &ь легко вычисляются по
формулам, приведенным в§ 10). В подобных условиях эффект C9,37)
больше эффекта C9,36), если длина X — ~ = -^ меньше характер-
ной длины L, на которой существенно изменяются свойства плазмы
(другими словами, L —¦ I rad Е- 1 ¦
Итак, под действием поля ?( с частотой ш, в плазме возникают
Дс As iA;
изменения s и з порядка ~~'——^r jr
Лз.-(, Aeji, ЫПЕ\ .
—.«. Ш—, _ ' (для простоты принимается.
Частота этих изменений совпадает, разумеется, с частотой ноля lv
При распространении в среде, возмущенной волной ?], другой
волны Е2 с частотой шг возникают «боковые» волны с частотами о>., ± шГ
В то же время частота «боковых» волн, появление которых обсужда-
лось раньше и связано с влиянием поля на скорость электронов,
равна щ ± 2(и,. Это различие обусловлено тем, что изменение AJV
пропорционально полю Iz1 (см. C9,36) и C9,37)), а изменение хао-
тической скорости, Те, -/Эфф (Те), биз пропорционально Е\ или в более
общем случае, также другим четным степеням Ех.
Дс
~-, или изменения
чго =~;is~l).
Для эффекта C9,30) при шг^-'0I, грубо говоря, —¦-
е2 Л'-.»
. Поэтому отношение амплитуды «боковых» волн, связан-
ных с изменением электронной концентрации (как указывалось, при
этом — ~ Г'Л у')¦ к амплитуде «боковых» волн перзого типа будет
C9,38)
где опущен численный множитель (он оказывается близким к еди-
нице), и — показатель преломления для волны с полем Ev ш'о —
/—:^Т~" -2
и Epil — «плазменное поле» C3,1) для волны 1, При у тдД ~- 10

538
НЕЛИНЕЙНЫЙ ЯВЛЕНИЯ В ПЛлЗМЕ
G-.—500, 8—10-"), -4- — 1-
р
-10 и ~(
1., параметр;-
[ГЛ. VIII
10---10 "
Таким образом, в данном случае в ионосфере амплитуда «боковых»
волн с частотами <я, г; о^ в 10-:-100 раз меньше амплитуды вот
с частотами щ ± 9.wv Вместе с тем, при ; > I сильнее волны с ча-
: 1 отвечает полю
стенами вJ±и1- Условие Z-.
2 ~-
1 I
j При —2 1^-10 И У -
~(г)'
¦КГ1-=-10""
промоду-
лирована по амплитуде, то возникающая за счет эффекта C9 37)
дополнительная кроссмодуляция волны Е2 очень мала — ее глубина
порядка отношения амплитуды «боковой» волны с частотой ш, ± ш
к амплитуде самой волны Е2. Этот результат вполне понятен, по-
скольку изменение концентрации с полем, в отличие от изменения
электронной температуры, не имеет постоянной (или медленно ме-
няющейся) составляющей.
ЛИТЕРАТУРА
1. В. Л. Гинзбург, Об электромагнитных волнах в изотропной я кри-
сталлической средах при учете пространственном дисперсии диэлектри-
ческой проницаемости, ЖЭТФ 34, 1593 A958).
2. И. Е. Тан», Основы теории электричества, Гостехиздат, 1957.
3. Л. И. М а в д е л ЫЕ т а м, О показателе преломления среды со связан-
ными и со свободными электронами, Journ. of Phys. USSR 4, 9 A941).
\ I 4, C. G. D a r w i n, The refractive Index of an ionized medium, Proc. Roy.
Soc. 182, 152 A943), см. также Proc. Roy. Soc. 146, 17 A934).
5. В. Л. Г и и з б у р г, К вопросу о показателе преломления для ионизи-
рованного газа, Изв. АН СССР, сер. фаз., 8, 76 A944).
6. В. Л. Гинзбург, Теория распространения радиоволн в ионосфере,
Гостехиэдат, 1949.
7. О. Burkhardt, Dispersionvermogen und Eigenschwingung eines ioni-
sienen Gases, Ann. d. Phys. 5, 373 A950).
8. Б. Б. Кадомцев, О действующем поле в плазме, ЖЗТФ 33, 1э1
A957).
9. В. Г а й т л е р, Квантовая теория излучения, ИЛ, 1956.
10. Ф. Блох, Молекулярная теория магнетизма, ОНТИ, 1936.
11. S. Chapman and Т. Q. Cowling, The mathematical theory of non-
uniform gases, Cambridge, 1953.
12. А. Зоммерфельд, Термодинамика и статистическая физика, ИЛ
1955.
13. В. И. Давыдов, К теории движения электронов в газах и полупро-
водниках, ЖЭТФ 7, 1069 A937).
14. А. В. Г у р е в и ч, О влиянии поля на распределение по скоростям элек-
тронов в молекулярной плазме (ионосфере). Радиофизика (Известия ву-
зов) 2, 355, A95У).
15. К. F. N iessen, Ueber die Absorption der Dcbyc —Falkenhagenschen
Relaxationskrait in eineni neutralen, teils ionosierten Оаче, Phys. Zs. 33,
70S A932).
16. Л. Д. Ландау а Е. М. Л и ф ш и ц, Квантовая механика, ч. !, Гостех-
издат, 194Н.
17. М. Н. Johnson and В. О. Н u I b и г t, Diffusion in the lonsphero, Phys.
Rev. 79, 802 A950).
18. Б. Н. Гсршман, О диффузии в ионосфере. Радиотехника к электро-
ника 1, 720 A956).
39. Л. Сиитцер, Физика полностью ионизированного газа, ИЛ, 1957.
20. С. К. Митра, Верхняя атмосфера, ИЛ, 1955.
21. Г. Мее с и и Е. Бархоп, Электронные и ионные соударения, ИЛ,
1958.
22. Я. Л. Альперт, В. Л. Гинзбург и Е. Л. Фойнберг, Распро-
' ' странение радиоволн, Гостехиздат, 953.
23. Я. Л. А л ь п е р т, Распространение радиоволн и ионосфера, Нзд-зо
АН СССР, 1960.
¦24. А. Энгель, Ионизованные газы, Физматгиз, 1959.,

25.
26.
27,
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
' 36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
ot slow electrons in
¦j ЛИТЕРАТУРА
R. H. He a ley and J. W. Reed, The behaviour
gases, Sydney, 1941.
L. G. H. H u x 1 e у and A. A. Z а а г о u, Experimental and theoretical
studies of the behaviour of slow electrons, In air, Proc. Roy. Soc. 196, 402,
427 A949); см. также Proc. Rov. Soc. 218, 507 A953); Nuovo Cimento
Suppl. 9, 59 A952).
Г. Друкарев, Средняя энергия электронов, образующихся при иоып-
зацпи газа, Journ, of Phys. USSR 10, 81 A946).
A. В. Г у р е в н ч, О влиянии радиоволн на свойства плазмы (ионосфевы),
НЭТФ 30, 1113 A956).
B. Л. Гинзбург, О поглощении радиоволн и числе соударений
б ионосфере, Journ. of Phys. USSR 8, 253 A944).
R. С. M a j u m b a r, Die T'heorie der Ionosphere, Zs. i. Phys. 107, 599 A937).
В. Л. Гинзбург, О влиянии междуэлектронных соударений на по-
глощение радиоволн в f-слое и солнечной короне, ЖТФ 21, 943 A951).
R. Landshoif, Transport phenomena in a completely Ionized gas in
presense or a magnetic field, Phys. Rev. 76, 904 A945), 82, 442 A951).
H. С. Герзон, Критический обзор данных о температуре ионосферы,
УФН 47, 561 A952).
А. В. Г у р е в к ч, О температуре электронов в плазме в переменном
электрическом поле, ЖЭТФ 35, 392 A958).
R. С. Н w a, Effects of electron-electron interactions on cyclotron resonances
in gaseous plasmas, Phys. Rev. 110, 307 (I95S).
Л. Д. Ландау и E. M. Л ифгаиц, Электродинамика сплошных сред,
Гостехнздат, 1957.
A. А. В л а с о в, О вибрационных свойствах электронного газа, ЖЭТФ
8, 291 A938).
Л. Д. Л а н д а у, О колебаниях электронной плазмы, ЖЭТФ 16, 574 A946).
N. G. van К а ш р е n, On the theory oi stationary waves in plasmas, Physlca
21, 949 A955).
I. Bernstein, J. M. Grene and M. D. Kruskal, Exact nonlinear
plasms oscillations, Phys. Rev. 108, 546 A957).
F. 3 e r z, On [he theory oi plasma waves, Proc. Phys. Soc. 69B, 939 A956).
P. C. Clem mow and Л. J. Wilson, The'dispersion equation in
plasma oscillation, Proc. Roy. Soc. 237, 117 A956).
D. В ohm and E. P. Gross, Theory of plasma oscillations, Phys. ReT.
75, 1SSI A949); S2, 232 (J95I); см. также «Электромагнитные волны
в плазме^, сборник переводов из серии ^Проблемы современной физики?,
вып. II, ИЛ, 1952.
B. П. С и л и к, Исследование спектра системы многих частиц методой
квантового кинетического уравнения, Тр, Физ. ин-та АН СССР 6, 199
A955); ЖЭТФ 28, 649 A952).
u. D г е s з е 1 h а ц s, Л. F. К 1 р р and С. К i 11 с 1, Plasma resonance in cryst
als, Phys. Rev. 100, 818 A955); см. также Phys. Rev. 98, 368, 556 A95'5).
Д. Паинс, Коллективные потери б твердых"телах, УФН 62,399A957);
Rev. Mod. Phys. 28, 184 A956): см. также Nuovo Cim., Suppl X» 2,329 A958).
E. Л. Ф е й н б е р г, Коллективные колебания электронов в кристалле,
ЖЭТФ 34, 1125 A958).
Г. В. Гордеев, Низкочастотные колебания плазмы, ЖЭТФ 27, 19,
A954).
I. Bernstein, Waves in plasma in magnetic iield, Phys. Rev. 109, 10 A958).
Б. Н. Г ерш ман, О продольных волнах в неизотермической плазме,
Радиофизика (Известия вузов) 2, 654 A959).
К. Н. Степанов, Низкочастотные колебания плазмы в магнитном
поле, ЖЭТФ 35, 1155 A958).
Л. М. К о в р и ж н ы х, О колебаниях электро-ионной плазмы, ЖЭТФ 37,
1832 A959).
ЛИТЕРАТУРА
541
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
61.
62.
63.
64.
65.
66.
67.
68.
69.
70.
71.
72.
73.
74.
75.
76,
77.
L. R. О. Store у, An investigation of whistling atmospherics, РШ1 Trans.
Roy. Soc. 246, 113 A953); см. также Canad. Journ. Phvs. 34, 1153 A956);
35, 1107 A957).
Б, Н. Гершман и Ю. С. Коробков, К теории распространения
свистящих, атыосфериков. Радиофизика (Известия вузов) 1, J* 2, 51 A958).
Е. V. Appleton and G. Builder, The ionosphere аз a doublyrefrac-
ting medium, Proc. Phys. Soc. 45, 218 A933).
H. G.Booker, Some general properties ot the formulae of the mag-
neto-ionic theory. Pmc. Roy. Soc. 147," 352 A934); см. также Proc. Roy. Soc.
ISO, 267 A935).
G. Goubau, Zur Dispersionstheorie der Ionosphere, Hochtr. u. Elektro-
akusi. 45, 179 A935); 46, 37 A935).
J. Scott, The Pointing vector in the ionosphere, PIRE 38, 1057 A950).
К. С W estf old, The interpretation of the magneto-ionic theory Journ,
Aim. Terr, Phys. 1, 152 A951).
V. А. В a i i e y, Some methods for studying wave-propagation in a uniform
magneto-ionic medium, Journ. Attn. Terr. Phys. 12, 118 A958).
E. Л. Б ен е диктов, О кваэипродолыюм распространении радиоволн
в ионосфере. Ученые записки Горьковского ун-та 27, 43 A954).
В. Л. Гинзбург и В. В. Железняков, О поглощении и излучении
электромагнитных волн магннтоактивной плазмой, Радиофизика (Изве-
стия вузов) 1, № 2, 59 A95S).
В. Я. & й д м а я. Излучение электрона, движущегося в магнитоактивной
плазме, ЖЗТФ 34, 131 A958); Зй, 1335 A959); Радиофизика 3, 192 A960).
А. И. Ах1иезер к Л. Э. П ар г а м а и и к, Свободные колебания элек-
тронной плазмы в магнитном поле, Уч. зап. Харькова;, ун-та 27, 75
A948).
Б. Н. Гершман, О распространении электромагнитных волн в плазме,
находящейся в магнитном поле, при учете теплового движения электро-
нов. ЖЭТФ 24, 659 A953).
Г В. Гордеев, Колебания плазмы в магнитном поле ЖЭТФ 23 660
A952); 27, 24 A954).
A. Г. Ситенко и К. Н. Степанов, О колебаниях электронной
плазмы в магнитном поле, ЖЭТФ 31, 642 A956); см. также ЖТФ 2S,
1789 A958); ЖЭТФ 35, 283 A958).
Т. Р г ad han, Plasma oscillations in steady magnetic field: circularly
polarized electromagnetic modes, Phys. Rev. 107, 1222 A957).
Б. К. Гершман, О нормальных волнах в однородной плазме, нахо-
дящейся в магнитном поле, Сборник памяти А. А. Андронова, стр. 599,
Изд-во АН СССР, 1955; си. также ЖЭТФ 31, 707 A956).
Б. Н. Гершман, В. Л. Гинзбург и II. Г. Денисов, Распростра-
нение электромагнитных волн в плазме (ионосфере), УФН 85, 561 A957).
B. .4. Гинзбург, О магннтогидродинамических волнах в газе, ЖЭТФ
21, 788 A951).
J. H. P i d d i n g t о n, Hydromagnetic waves in ionized gas, Mon. Not. Roy.
Astronom. Sol:. 115, 671 "A955); см. также Phil. Mag. 46, 1037 A955).
В. Л. Гинзбург, О5 электродинамике анизотропной среды, ЖЭТФ
10. 601 A940)."
A. А. Коломенский, Об электродинамике гиротропной среды,
ЖЭТФ 24, 167 A953).
Ю. А. Рыжов, К электродинамике анизотропных поглощающих сред,
Радиофизика (Известия вузов) 2, 869 A959).
B. Л. Гинзбург и В. Я. Эпдыаи, О силе реакции излучения при
движении заряда в среде, ЖЭТФ 36, 1823 A959).
В. В. Железняков, О магнитотормозном излучении и неустойчи-
вости системы заряженных частиц в плазме, Радиофизика (Известна
вузов) 2, 14 A959); 3, 57 A960).

78. В.
81.
82.
83.
84.
85.
86.
87.
ЛИТЕРАТУРА
¦збург, К квантовой электродинамике III, ДАН 24, 1.30
90
91
92
93
94.
95.
96.
97.
98.
9.9.
100.
101.
102.
В. Л. Гинзбург и И. М. Франк, Об эффекте Допилера при сверх-
световой скор'ости, ДАН 56, 583 A947); см. также ЖЭТФ 35 817
A958).
В. Л. Гинзбург, Некоторые вопросы теории излучения при сверх-
световом движении н среде, УФН 69, 537 A959).
В. Д. Ш а ф рано в, Распространение электромагнитных боли а среде
с пространственной дисперсией, ЖЭТФ 34, 1475 A958),
Труды Второй международной конференции по мерному использованию
атомной энергии (Женева, 1958), т. 1, Главатомиздат, 1959.
М. К. Герцен ш те й н, Диэлектрическая проницаемость плазмы, нахо-
дящейся в стационарном магнитном поле, ЖЭТФ 27, ISO A954).
В. В. Железняков, О резонансном поглощении з магнитоактивнои
плазме, Радиофизика (Известия вузов) (в печати),
В. А. Трубников, Излучение плазмы в магнитном поле, ДАН I1S,
913 A958);
J. E. D г u m га о n d, Microwave propagation in hot magneto-plasmas,
Phys. Rev. 112, 1460 A958).
. Физика плазмы и проблема управляемых термоядерных реакций, I—IV,
Изд-во АН СССР, 1958.
. В. Л. Гинзбург и В. В. Железняков, О распространении элек-
тромагнитных волн в солнечной короне при учете влияния магнитного
поля, Астрон. ж. 36, 233 A95v)) ,
.5. Н. Г е р ш м а и и М. С. К овне р, О некоторых, сказанных с уче-
том соударений особенностях распространения волн в магнитоактивнои
плазме, Радиофизика (Известия вузов) 2. 28 A959).
Б. Н. Гершман, О нерезонансном поглощении электромагнитных
волн в магнитоактивнои плазме. ЖЭТФ 37, 695 A959).
. В, [{. Гершман, К вопросу о распространении свистящих зтмосфе-
риков в верхней атмосфере, Радиофизика (Известия вузов) !, > 5—6, 49
A958). ,
Б. Н. Гер ш м а н, О гнрорезомансном поглощении ^лектромагннтных
волн в плазме, ЖЭТФ 38, 912 A960).
X. А л ь ф в е н, Космическая электродинамика, 11Л A952).
СИ. С ы р о в а т с к и й, Магнитная" гидродинамика, УФН 67, 247 (Ю57).
D. М о п 1 g о m e r у, Development of hydrornagr.etic shock fro<K largeani-
plitiidc Alfven 4'avcs. Phys. Rev. Letters 2, 36 A959),
J. 3 a z e r and Yv\ Б- E r i e s о n, Hydromagnctic shocks. Atttrophys. Journ.
129, 758 A959).
«Динамика плазмы;, сборник переводов из серии сПроблемы современ-
ной физики?, вып. 2, 1956; см. также сборники той же серии «Магнит-
ная гидродинамика», вып. 2 A954) :¦¦ вып. 7 A957).
Б. Н. Г е р ш м а н и В. Л. Г и и з б у р г, О влиянии магнитного поля
на конвективную неустойчивость в атмосферах звезд и в земной ионо-
сфере, Астроп. ж. 32, 201 A955). Труды ГИ'Р'ГИ я радиофака ГГУ (Уч.
зап. ГГУ) 30, 3 A956).
S. С handrase k h а г, Л. W. К а и т т а п and К. W. W also n, Pro-
perties Oi an ionized gas of low density in a magnetic field, -\nnals of
Physics 2, 435 A957); 5,' 1 A95S).
О. 1-. Che \v, AS. I... Goldberger and P. E. L о w, The Bolfzmaiin
equation and the one fluid hydromagneiic equations in the absence ot the
particle collisions, Proc. Roy] Soc. 230, 112 A956).
Б. H. Гершман и В. Л. Гинзбург, Об образовании ионосферных
неоднородностей, Радиофизика (Известии вузов) 2, S A959).
103.
104.
105.
106.
107.
108.
109.
ПО.
111.
112.
113.
114.
115.
116.
117.
118,
119.
120.
121.
122.
123.
124.
125,
126.
127.
12S.
129.
ЛИТЕРАТУРА Г^з
Г.. Astro ги, On waves in an ionized gas, Ark. f. Fvsik 2 443 A951)
HHir r^tli"""' ° "шах колебан"й плазмы в магнитном ноле!
Ь. Н. Г е р ш и а н и М, С. К о в и е р, Об особенности квазннопереч-
ного распространения магинтогндродннамических волн в плазме Разно
физика (Известия в;,зов) 1. .\Ь 3, 19 A958). '
Б. Н. Гершман," Кинетическая
магнитогидродннамнческих
теория магнитогидродинамическнх
распространения магнито-
A958)
теория
волн, ЖЭТФ 24, 453 A953).
К. Н. С т е и а н о в, Кинетическая
волн, ЖЭТФ 34, 1292 A958).
D. И. Гер ш к а н, К кинетической теории
гидродинамических волн в плазме, Радиофизика (Известия вузов) 1,
Ка 4, 3 A958); Астрон. ж. 36, 190 A959).
Т. Н. S t i x. Generation and thermaiization ot plasma waves, Physics oi
Fluid 1, 308 A958),
R. Can s, FortpSlanzung des I.(elites durcb ein inhoinogenes Medium,
Ann. d. Physik 47, 709 A915).
D. R, H a r t r e e, Optical and equivalent paths in a stratified medium
treated from a wave standpoint, Proc. Roy. Soc, 131, 428 A931).
Я. А. Ж е к у л и н. Исследование распространения электромагнитной
волны в негомогенной ионизированной среде, ЖЭТФ 4, 70 A934).
Я. Л. Аль и ер т и В. Л. Гинзбург, О поглощении радиоволн
в ионосфере, Изв. АН СССР, сер. физ., 8, 42 A944).
О. R yd bee k, The reflection of electromagnetic waves irora a parabolic
ionized layer, Phil. Mag. 34, 342 A943); Phil. Mag. 30, 282 A940).
P. Epstein, Reflection of waves in an inhomogeneous absorbing me-
dium. Proc. Nat. Acad. Sci. Amer. 16, 627 A930).
K. Rawer Elektrische Wellen in einera geschichlelen Medium, Ann.
d. Physik 35, 385 A939); 42, 294 A942).
J. W a 11 o t, Der senkrechte Durchgang elektromagnetischer Wellen durch
eine Schicht raumlich veranderlicher Dielektrizitats Konstante, Ann. d.
Physik SO, 734 A919),
K. For sterling, Cber die Ausbreitung des Llchtes in lnhomogencn
Medien, Ann. d. Physik 11, 1 A931).
G. J. Elias, Reflection of electromagnetic waves at ionized media with
variable conducting and dielectric constant, Proc. Inst. Radio ring. 19,
891 A931).
C. M. Рытое и Ф. С. Ю дневич, Об отражении электромагнитных
волн ог слоя отрицательной диэлектрической постоянной, ЖЭТФ 10,
285 A946).
.'I. М. Бреховски.х, Волны в слоистых средах, Изд-во АН СССР,
1957.
Н. В г е m m e r, Propagation of electromagnetic waves, llandbuch
Physik 16, 423 A958).
\V- К of ink, Reflexion eleclromagnetiseher Wellen an elner inhomoge-
nen SL-hicht, Ann. d. Physik Ы, 134 A948).
H. Г. Денисов, К теории распространения радиоволн в ионосфере,
Труды Горьковского исследовательского физико-технического ин-та
и радиофака (Уч. записки Горьковск. ун-та) 35, 3 A957).
Р. О. К у з ь м и н, Бесселевы функции, ОНТИ, 1935.
В. А. Ф о к, Таблицы функций 5ири, Москва, 1946.
О. R у d Ь е с k, On the" propagation of radio waves, Trans. Chalmers
Univ. Gothenburg, Sweden, Mi! 3 A944).
Г.. Т. Уитткер и Г. Н. В а т с о н, Курс современного анализа,
ч. II, Гостехиздат, 1934.
Дж. В. Стретт (лорд Рэлей), Теория звука, 1, § I486, Гостехиздат,
1955.
d.

544
ЛИТЕРАТУРА
130. К. Forsterling, Die Ausbreltung elektromagnetlscher Wellen in ei-
лега geschichtelen Medium unier der Mltwirkmig eines Magnelieldes
bei schiefer lnzidenz, Arch. Eleldr. Uberirag-. 3, Ш A949); 5, 209 A950).
131. K. Forsterling und H. 0. W ii s t e r, Entstheung yon Oberwellen in
der Ionosphare, Journ. Atni. Terr. Physics 2, 22 A951).
132. H. Г, Денисов, Об одной особенности шля электромагнитной волны,
распространяющейся в неоднородной плазме, ЖЭТФ 31, 609 A956).
133. В. В. Железняков, К теории спорадического радиоизлучения
Солнца, Радиотехника и электроника 1, 840 A956).
134. В. А. Ф о к, Приближенное представление волновых функций прони-
кающих орбит, ДАМ 1, 24! A934).
135. В. Л. Гинзбург и Г. П. М о т v я с в и ч, Оптические свойства .ме-
таллов, УФН 55, 469 A955). ¦- " ¦
136. В. Л. Г и н а 6 у р i' и В. В. Ж е д е з н я к о в, О возможных механизмах
спорадического радиоизлучения Солнца (излучение в изотропной плазме)
Астрон. ж. 35, 699 A95S).
137. В. Л. Г и н в б у р г, Об отражении электромагнитного импульса От
ионосферы. ЖЭТФ 12, 449 A942); Journ. of Phvs. 6, 167 A942), си.
также УФН 2S. 155 A940).
138. A. So m merf eld, L. Brillouin, Ober die Fortflanzug des Lichtes.
in dispergierenden Medien, Ann. d. Phys. 44, 177, 203 A914).
139. H. Г. Денисов, Распространение электромагнитных сигналов в иони-
зированном газе, ЖЭТФ 2i, 1354 A951).
140. Л. А. Жекулин, Отражение импульса от неоднородного ионизиро-
ванного слоя, Изв. АН СССР, сер. фнз., 4, 409 A940).
141. Б. Н. Герщма и, О расшшвании электромагнитных сигналов в иони-
зированном газе, ЖТФ 22, 101 A952).
142. С. М. Рыт о в, Некоторые теоремы о групповой скорости электро-
магнитных волн, ЖЭТФ 17, 930 A947).
143. Л. А. Вайнште й п, Электромагнитные волны, "Сов. рално», Москва, 1957.
143а. В. Л. Гинзбург, О законе сохранения и выражении для плотности
анергии в электродинамике поглощающей диспергирующей среды, Радио-
физика (Известия вузов) (в печати).
144. Л. А. Ваннштени, Групповая скорость затухающих волн, ЖТФ 27,
2507 A957).
34о. В. Л. Гинзбург, О влиянии земного .магнитного поля иа отражение
радиоволн от ионосферы, Journ. oi. Phys. USSR 7, 289 A943).
146. В. Л. Гинзбург, Об исследовании напряжений оптическим методом,
ЖТФ 14, 181 A944).
147. Я. Л. Альперт, О траектории лучей в мапштоактивной ионизиро-
ванной среде--ионосфере, Изв. АН' СССР, сер. фиа., 12, 241, 267 A948).
148. И. Л. Гинзбург, К теории распространения электромагнитных воли
в магнитоактивной среде, ЖЭТФ 18, 487 A948).
149. К. F 6 г s t е г I i n g, Ober die Ausbreitimg elekiromagnetlscher Wellen
in einem magnefisierten Medium bei senkrechter inzidsnz, Hochfrequentech.
u. Elektroakust. 59, 10 A942).
150. H. Б г е m m e r, Terrestrial Radio Waves, Theory of Propagation, Amster-
dam, 1949.
151. Я. Л. А л ь п е р т, О распространении электромагнитных волк низкой
частоты над земной поверхностью, Изд-во АН СССР, 1955.
J. Shraoys, Long-range propagation о: low-frequency radio waves bet-
ween earth and the ionosphere, Proc. Inst. Radio Eng. 4, 163 A956).
W. O. Sc!) u man, Der Einfluss des Erdmagnetfeldes auf_die Ausbreltung
elektrischer Langvvelien, Zeits. angew. Physifc 7, 234 A9,55).
J, Heading, The reflexion of vertically-incident long radio waves from
th ih h h's magnetic fild i b
152
153.
154.
eading, The reflexion of vertically-incident long radio waves from
the ionosphere when the earth's magnetic field is oblique, Proc. Roy, Soc.
231, 414 A955).
ЛИТЕРАТУРА
545
155. К. G. В о d d e n, The numerical solution of differential equations governing
reflection of long radio waves from the ionosphere, Proc, Roy. Soc. 22?,
516 A955).
156. Physics of the Ionosphere (Report of the Physical Soc. conference at Cam-
bridge), London, 1955.
157. H. Poeverlein, Low-frequency reflection in the ionosphere, Journ.
Atni. Terr. Phys. 12, 126 A958).
158. H. О. В о о k e r, Oblique propagation of electromagnetic waves in a slowly-
varying non-isotropic medium, Proc. Roy. Soc. 155, 235 A936).
159. J. j. G id dons and R. J. Nerntney, Wave solutions, including coup-
ling of ionosphericaily reflected long radio waves for a particular ?-region
model, Journ. Oeophys. Rev. 57, 323 A952).
160. К. О. В ud den, The theory of the limiting polarization of radio waves
reflected form the ionosphere", Proc. Roy. Soc, 215, 215 A952),
16(. N. Davis and R. W. Parkinson, \Vave solutions for critical and non-
critical coupling conditions in the ionosphere. Journ. Atni. Terr. Phvs. 7,
173 A955).
162. R. Roy and J. K. D. V e г m a. Polarization of electromagnetic waves for
vertial propagation in the ionosphere, Journ, Oeophys. Res. 60, 457 A955).
163. O. Rydback, On the propagation o: radio waves,'Trans. Chalmers Univ.
Qethenburg, Sweden, № 34 A944).
164. O, Rydback, Magneto-ionic triple spliting of ionospheric waves, Journ.
Appl.'Phys. 2i, 1205 A950); см. также сборник «The theory of electro-
magnetic waves.), стр. 193, 1951.
165. J. M. К e 1 s o, On the coupled wave equations of magneto-ionic theory,
Journ. Geophys. Res. 53, 431 A953).
166. P. C. Clem mow and J. Heading, Coupled forms oi the differential
equations governing radio propagation in the ionosphere, Proc. Carabr.
Phil. Soc. 50, 319 A954): продолжение там же 53, 669 A956).
167. К. О. В u d d e n. The non-existence of tfourth-reflection conditions for radio
waves in the ionosphere, Physics of the Ionosphere 320 A955) (см,
ссылку 156).
168. H. Г. Д е н и с о в, Влияние постоянного магнитного поля на резонансный
эффект, наблюдающийся при отражении электромагнитной волны от
неоднородной плазмы, Радиотехника и электроника 1, 732 A956).
169. Н. Г. Денисов, О поглощении радиоволн в резонансных областях
неоднородной плазмы, Радиотехника и электроника, 4,388 A959) (краткое
сообщение см. ЖЭТФ 34. 528 A958)).
170. Т. L. Е с к е г s 1 е у, Coupling of the ordinary and extraordinary rays in the
ionosphere, Proc. Phys. Soc. «3B, 49 A950),
171. W. Becker, Em Beitrag zur Frage der Dreifachaulspaltung in die Iono-
sphare, Zs. f. angew. Physik 3, S3' A951).
172. W. Pfister, Magneto-Ionic multiple splitting determined with the me-
thod of phase integration, journ. Geophys. Res. 58, 29 A953).
173. H. Г. Д е н и с о в, О взаимодействии необыкновенной и обыкновенной
волн в ионосфере и эффекте умножения отраженных сигналов, ЖЭТФ
29, 380 A955).
174. В. В. Железняков, О взаимодействии электромагнитных волн в плазме.
I и 11, Радиофизика (Известия вузов) 1, Л° 4, 32 A959); 2, 858 A959).
175. Н. Д. Булатов Об ионосферно-иагннтны.х возмущениях, Тр. Сиб.
ФТИ 6, 122 A940).
176. В. М. Д р и а ц к и й, О магиитоионном расщеплении в спорадическом
?-слое, ДАН СССР 58, 775 A947).
177 G. R. Ellis /^-region triple splitting, Journ. Atffl. Terr. Phys. 3, 263
A953).
178 G. R. E 11 i s, The Z-propaoation hole in the ionosphere, Journ. Atni. Terr
Phys. 8, 43 A956).

546
ЛИТЕРАТУРА
179.
180.
181.
182.
183.
184.
185.
186.
187.
188.
189.
190.
191.
192.
193.
194.
195.
196.
197.
198.
199.
200.
201.
202.
П. С. \V. .Scot!, Longitudinal and
Journ. Geophys. Res. 55, 65 (i960).
transverse propagation in Canada,
H. Poeverfein, S'trahhvege von Radiowelled in der ionosphere 'Is I
angew. Physik 1, 517 A949); 2, 152 A950).
J. E. Tl trie ridge, Ray-paths in ihc ionosphere, Approximate calcula-
tions in ihe presence of the earth's magnetic Held Journ. Akr- Terr Phys
M, 50 A959).
G. M ill In gton, Ray-paih characteristics in the ionosphere Proc Inst
Eiectr. Ing. 101, Part ill, 193; part IV, 235 A954).
H. А. Л1итяков, О наклонном падении радиволн на анизотропную
ионосферу, Радиофизика (Известия вузов) 2, 159 A959).
Р. Курант л Д. Гильберт, Методы математической физики. 1,
гл. IV, 1934.
Е. С. G. S ( u eke I b er g, Theorie der unelastlschen Siosse zwischen
Аютеп, Helv. Phys. Acta 5. 369 A932).
W. H. Furrv, Two notes on phase-integral methods, Phys. Rev. 71 360
A947).
Propagation of short radio waves, Edited by D. E. К е г г. Русский пере-
вод: f Распространение ультракоротких радиоволн?, стр, 73, sCos. радиол,
1954.
Л. А. Ж е к у л и н, Распространение электромагнитных волн в иони-
зированной магнитоактивпой среде, Вестник электротехники, 2 63
A930).
Н. О. Booker, Propagation oi wave-packets incident obliquely upon
a stratified doubly refracting ionosphere. Phil. Trans. Roy. Soc. 237, 411
A938); см. также Journ. Geophys. Res. 54, 243 A949).
Распространение радиоволн и физика ионосферы, сборники переводов
ил серии ^Проблемы современной физикиэ, вып. 6 A950); вып. 12 A952);
вып. 5 A953); вып. 4 A954); вып. 7 A952); вып. 10 A957).
Сборник статей по распространению радиоволн в ионосфере, Proc. Inst.
Radio Eng. 47, № 2 AУ59).
Л. И. И а н д е л ь ш т а м, Лекции по избранным вопросам оптики, Пол-
ное собрание трудов, т. 5, стр. 87, Изд-во АН СССР, 1950.
О. С о u b a u, Reziproziiat der Wellenausbreltung durch magnetisch dop-
pelbrcchende Medfen, Hochfrequenztechn. u. Elektroakust. 60, 155
A942).
K. G. В u d d e n, A reciprocity theorem on the propagation of radio waves
via the ionosphere, Proc. Carnbr. Phil. Soc. 50, 604 A954).
Я. Л. А л ы] е р т, Распространение радиоволн (специализированный
библиографический справочник), Изд-во АН СССР, 1949.
«Плазма и газовый разряд-, (библиографический указатель за
1955—1957 гг.), издание Библ. АИ СССР, Москва, 1958. * .
A. Н. Казанце в, Исследование ионосферного распространения радио-
волн в СССР, Радиотехника и электроника 2, 1360 A957).
J A. R a t с 1 i I f e, Some aspects oi diffraction theory and their application
to the ionosphere, Reports of Progress in Physics. 19, 188 A956). Русский
перевод см. выше [178], вып. 10"(!957).
Л. А. Черно в, распространение волн в среде со случайными неодно-
родностяии, Изд-во АН СССР. 1958.
Д. Н. Высоковский, Некоторые вопросы дальнего тропосферного
распространения ультракоротких радиоволн, Изд-во АН СССР, 195В.
B. >!. Татарский, Флуктуяцпонные явлений при распространении
волн в турбулентной атмосфере, К:.;д-во АН СССР, 1959.
В Л. Г п и з'б у р г и В. Ь. Писарев а, О природе колебаний интен;
снш.'осги солнечного радиоизлучения и неодпородиостях в солнечной
короне, Труды 5-го совещания но вопросам космогонии, стр. 229.
Изд-во АН "СССР, 1955,
ЛИТЕРАТУРА
547
203. В. В. В и т к е в и ч, Наблюдение рассеяния радиоволн на электронных
неоднородное!ях солнечной короны, Труды 5-го совещания по вопросам
космогонии, стр. 203, Изд-во АН СССР, 1956.
204. А. Не wish. The scattering of radio waves in the solar corona, Mon.
Not. Roy. Astron. Soc. 118, 534 A958).
205. Paris Symposium on Radio Astronomy. Edited by R. N. Bracewell,
Stanford, 1959.
206. H. Schefilcr, Sfretumg von Radiowellen in der Sonnen Korona, Zs.
fur Astrophvsik 45, 13 A958); см. также Astronom. Nachrlchten 282, 193
A955).
207. В. В. Писарева, О дифракции радиоволн на хаотических неоднород-
ности*; и колебания интенсивности солнечного и космического радио-
излучения. Астрой, ж. 35, 112 A958); см. также Акуст. ж. 6, 87 A960).
208. Я. Л. Альперт, Некоторые вопросы физики ионосферы (флуктуации
электронной плотности и рассеяние радиоволн), УФН 61, 423 A957).
209. М. L. Р 111 e w а у, The reflection of radio waves from a stratified iono-
sphere modified by weak irregularities, Proc. Roy. Soc. 246, 556 A958);
254, 86 A959).
210. H. Г. Денисов и В. А. 3 в е р е в, Некоторые вопросы теории рас-
пространения волн в средах со случайными неодпородностями, Радио-
физика (Известия вузов) 2. 521 A95Э).
211. Н. Г. Денисов, О распространении вол» в плоскослонстой среде,
содержащей статистические неоднородности, Радиофизика (Известия
вузов) 1, № 5—6, 34 A95S).
212. Н. Г. Я е н н с о в. Рассеяние волн в плоскослоистой среде. Радиофизика
(Известия вузов) 1, ЛЬ 5—6, 41 A958): 3, 208 A960).
213. Н. Г. Денисов, О флуктуация* амплитуды и фазы волны, прошедшей
через слой со случайными неолнородиостями, Радиофизика (Известия
вузов) 2, 316 A95:-)"); см. также Радиофизика 3, 393 A960).
214. К. А. Бенедиктов и Н. А. Л1 и т я к о в, О рассеянии радиоволн
в ионосфере, Радиофизика (Известия вузов) 2, 344 A959).
215. В. Л. Покровский, С. К. Саввиных и Ф, Р. У л и н и ч. Над-
барьерпое отражение в квазиклассическом приближении, ЖЭТФ 34,
1272, 1629 A958).
216. К- Artmann, Bereclinung der Seitenversetzung des tor.alreFlektierr.en
Strahles, Aim. d. Phys. 4, 271 A949): ил. также С. Fragstein, Aim. d.
Phys. 4. 271 A949).
217. E. С h v о j k о v a. Refraction of radiowaves in an ionised medium, Bull.
Astronom Inst. Czechoslovakia 5. 104 A954); 9, 1, A958)- Nature 181, 105
A958); Journ. Atin. Terr. Phys. 16, 124 A959).
218. M. M. Koniessrofl and C. A. Shain, Refraction of extraterrestrial
radio waves in the ionosphere, Nature 183, 1584 A959).
219. Я. Л. Альп ер г, Ф. Ф. Добр я ков а, Э. Ф. Чудесен ко н
Б. С. Шапиро, О некоторых результатах определения электронной
концентрации внешней области ионосферы по наблюдениям за радио-
сигналами первого спутника Земли, УФН 65, 161 A958); см. также
УФН 71, 369 (I960).
220. Г, А. Г р и н 6 е р г, О распространении радиоволн от вертикального
излучателя в атмосфере с меняющейся по высоте диэлектрической
постоянной и проводимостью, Изв. АН СССР, сер. физ., 4, 401 A940);
7, 99 A943).
221. А, Н. Щукин, Распространение радиоволн, Сеязьиздат, 1940.
222 С П. Целищев. Отражение радиоволн от ионосферы, Тр. Сиб. ФТИ
6, вып. 1, 105 A941).
223. О. О о u b a u, Zusammenharig zwischen scheinbarer nnd wahrer Hohe
der Ionosphare unter Bertlckslchtigung der magnetischen Doppelbrechung,
Hochfrequenztechn und Elektroakust. 44, 17, 138 A934).

ЛИТЕРАТУРА
224. К. О. Bud den, A method lor determining the variation of eiektron den-
sity with height from curves of equivalent height against frequency,
«Physics of the Ionospheres, стр. 332, 1955; см. ссылку 156.
225. H. G. Booker and L. V. Berk пег, An ionospherie investigation con-
cerning the Lorentz polarisation correction, Terr. Mag. 43, 427 A938).
226. t, А. Бенедиктов, О некоторых особенностях высокочастотных
характеристик ионосферы вблизи гиромагнитной частоты, Уч. зап. Горь-
ковск. ун-та 27, 32 A954).
227. Г. Г. Гетманце в, В. Л. Гинзбург и И. С. Шкловский, Радио-
астрономические исследования с помощью искусственных спутников
Земли, УФН 68, 157 A958).
228. Е. А. Бенедиктов, О прохождении радиоволн через ионосферу,
Радиофизика (Известия вузов) 3, 33 A960).
229. J. Ц Pavvsey and R. К." В г ас ewe 11, Radio Astronomy, Oxford, 1955.
Русский перевод: Дж. Л. П о з и, Р. П. Б рейсу э л л, Радиоастроно-
мия, ИЛ, 1958.
230. D. E. Black well, A study of outlier corona. Mon. Not. Roy. Astr.
Soc. 116, 56 A956).
231. Труды 5-го совещания по вопросам космогонии, Изд-во АН СССР,
1956.
232. И. С. Шкловский, Космическое радиоизлучение, Гостехиздат, 1956.
233. В. Л. Гинзбург, Происхождение" космических лучей, УФН 57,37
A957); см. также УФН 71, 411 A960).
234. В. 6. Железняков, Радиоизлучение Солнца и планет, УФН 64, ИЗ
A958).
235. К. L. Franklin and В. F. В u r k e, Radio observations of the planet
Jupiter, Journ. Geophys. Res. 63, 807 A958).
236. «Солнечная система? т. 1 <Солнцеэ, под редакцией Дж. К о й п е р а,
ИЛ, 1957.
237. Н. G. Booker, The use of radio stars to study Irregular refraction of
radio waves in the ionosphere, Proc. Inst. Radio Eng. 46, 298 A958).
238. E. А. Бенедиктов. Об одном радиоастрономическом методе иссле-
дования поглощения радиоволн в ионосфере, Радиотехника и электроника
4, 1201 A959).
239. В. В. Виткевич, Исследование ионосферных неоднородностей радио-
астрономическими методами, Радиотехника и электроника 3, 478 A958).
240. G. Little and H. Leinbach, Some meassurements of high-latitude
ionospheric absorption using extraterrestrial radio waves, Proc. Inst. Radio
Eng. 4Й, 334 A958).
241. R. Hide, Waves in a heavy, viscous, incompressible, electrically conduc-
ting fluid of variable density in the presence of a magnetic field, Proc.
Roy. Soc. 233, 376 A955).
242. V.'C. Ferraro and C. Plump ton, Hydroniagnetlc waves in a hori-
zontally stratified atmosphere, Astropbys. Journ. 127, 459 A958); см. также
Astrophys. Journ. 129, 752 A959).
243. H. С van d e H u I s t, Zodiacal light in the solar corona, Astrophys.
Journ. 105, 471 A947). Перевод: Астрофизический сборник, стр. 90, ИЛ,
1949.
244. S. F, Smerd, Radio-frequency radiation from the quiet sun, Austr. Journ
Sci. Res. 3, 34 A9S0).
245. C. W. Allen, Astrophysical Quantitues, London, 1955.
246. В. Л. Гинзбург, Ьб излучении Солнца в области радиочастот, ДАН
32, 491 A946).
247. И. С. Шкловский, Об излучении радиоволн Галактикой и верхними
слоями атмосферы Солнца, Астрон. ж. 23, 333 A946).
248 D F Martin, Temperature radiation from the quiet sun In the radio
spectrum. Nature 158, 632 A946); см. также Proc. Roy. Soc. 193, 44 A94S).
ЛИТЕРАТУРА
549
249. В. Л. Гинзбург, О поглощении радиоволн 8 солнечной короне
^Астрон. ж. 26, "84 A949).
250. И. С, Шкловский и С. Б. Пикельнер, Тепловое радиоизлучение
Солнца, Известия Крымской астрофизической обсерватории "б, 29
251. М. Я. Атлас, Распространение радиоволн в атмосфере Солнца Уч
зап. Горьковск. ун-та 21, 69 A951).
252. В. Л. Гинзбург и В. В. Железняков, О механизмах спорадиче-
ского радиоизлучения Солнца в случае магнитоактивной корональной
плазмы. Астрон". ж. (в печати).
253. М. Вальдмайер, Результаты и проблемы исследования Солнца, ИЛ,
1950.
254. С. А. К а п л а н, Межзвездная газодинамика, Физматгиз, 1958.
255. Л. Ландау и Е. Лифшнц, Теория поля, Физматгиз, 1960.
256. Г. Г. Гетнаицев и В. А. Разин, К вопросу о поляризации нетепло-
вого космического радиоизлучения, Труды 5-го совещания по вопросам
космогонии, стр. 496, Изд-во АН СССР, 1956.
257. В. А. Разин, Поляризация космического радиоизлучения па волнах
1,45 и 3,3 метра, Астрон. ж. 35, 241 A958).
258. В. Л. Гинзбург и А. Б. Г у р е в и ч, Нелинейные явления в плазме,
находящейся в переменном электромагнитном поле УФН 70, 201, 393
A960); Fortschr. d. Phys. 8, 97 A960).
259. В. Е. Го л ант, Газовый разряд на сверхвысоких частотах, УФН 65.
39 A958). i-1-i
260. S. Л. Гинзбург, К теории люксембург-горьковского эффекта, Изв.
АН СССР, сер. физ., 12, 393 A948).
261. И. j\I. В и л е и с к и й, К теории взаимодействия радиоволн в ионосфере
ЖЭТФ 22, 545 A952); 26, 42 A954): см. также Радиофизика 3, 367 A960).
262. В. В. Железняков, К вопросу о нелинейных эффектах в магнито-
активиой плазме, Радиофизика (Известия вузов) 1, Л'« 5—6, 29 A958).
263. А. В. Г у ре вич, К теории кроссмодуляцпи радиоволн. Радиофизика
(Известия вузов) 1, j\'k 5—6, 17 A95S).
264. J, A. F с у е г, The interaction of pulsed radio waves in the ionosphere.
Journ. Atm. Terr. Phys. 7, 322 A955).
265. J. M. Anderson arid L, Goldstein, Interaction of microwaves,
propagated through a gaseous plasmas, Phys. Rev. 90, 151, 485 A953);
см. также Journ. Atm. Terr. Phys. 12, 216 A958).
266. В. Л. Гинзбург, О нелинейном взаимодействии радиоволн, распро-
страняющихся в плазме, ЖЭТФ 35, 1573 A958).
267. Б. И. Гершман, К вопросу о распространении электромагнитных
вола Б слаборелятивистской плазме. Радиофизика 3, 534 A960).
268. Б. Н. Гер ш м а н, О групповой скорости плазменных волн при нали-
чии магнитного поля, Радиофизика 3 146 A960),
269. Е. Л. Фейнберг, см. [22], часть 1.
Литература, добавленная при корректуре
270. М. Nice let. Collision frequency of electrons in tiie terrestrial atmo-
sphere, Phys. of Fluids 2, 95 A959).
271. A. J. D ess i er. Ionospheric heating by hydromagnetic waves. Journ.
Geophys. Res. 64, 397 A959). ь
272. J. A. Ratcliffe, The magneto-ionic theory and its applications to the
atmosphere, Cambridge, 1959.
273. L. M. Tannenwald, Coulomb scattering In a very strong magnetic
field, Phys. Rev, ИЗ, 1396 A959).
274. H. К. К a 11 m a n n, A preliminary model atmosphere based on rocket
and sattellite data, Journ. Geophys. Res. 64, 615 A959).

550 ЛИТЕРАТУРА
275. Т. Ф. Волков, О ионных колебаниях в плазме, ЖЭТФ 37, 422 A959).
276. К. А. Барсуков и А. А. Коломенски й, Эффект Доплера в элек-
тронной плазме с магнитным полем, ЖЭТФ 29, 954 A959).
277. С. Браун, Использование высокочастотных электромагнитных полей
для исследования плазмы, Радиотехника и электроника 4, 1244 A959).
278. В. П. Силин, Об электромагнитных свойствах релятивистской плазмы
I и II, ЖЭТФ 38, 1577 A960) и в печати; см. также ЖЭТФ 38, 645 A960),
279. j. M. D u n g e у, Cosmic electrodynamics, Cambridge, 1958.
280. Ю- Л. К л и м о нт о в ич, Релятивистские кинетические уравнения для
плазмы, ЖЭТФ 37, 735 A959); 38, 1212 A960).
281. Ю. «П. К л и м о н т о в и ч, Потери энергии заряженных частиц на воз-
буждение колебаний в плазме» ЖЭТФ 36, 1405 A959).
282. Г" К аул инг, Магнитная гидродинамика, ИЛ, 1959.
283. R, Lust, Uber die Ausbreitung von Weilen in einem Plasma, Fortschr.
Phys. 7, 503 A959).
284. A.'V. Phelps and J. L. Pack, Electron collision frequencies in nitro-
gen and in the lower ionosphere, Phys. Rev. Letters 3, 340 A959).
285. И. Dreicer. Electron and ion runaway in a fully ionized gas, Phys.
Rev. 115, 238 A959); 117, 329 A960).
286. в. П. Силин, Кинетическое уравнение для быстропсременных про-
цессов, ЖЭТФ 38, 1771 A960). "
287. S. A. Colgate, Collision less plasma shock, Phys. of Fluids 2, 485
A959).
288. В. Л. Гинзбург, О возможности определения напряженности магнит-
ного поля во внешней солнечной короне при ее просвечивании поля-
ризованным радиоизлучением дискретных источников, Радиофизика
(Известия вузов) 3, 341 A960).
289. D. W. В а г г о n, The «waveguide modes* theory radio wave propagation
when the ionosphere is not sharply bounded, Phil. Mag. 4, 1068 A959).
290. International Symposium on fluid mechanics in the ionosphere, Journ.
Geophys. Res. 64, No. 12 A959).
291. L. Osier, Spectral and angular distribution of cyclotron radiation emitted
by colliding particles, Phys."Rev. 116, 474 A959)"
292. M. S. Sod ha, Transport phenomena in slightly ionized gases; Phys.
Rev. 116, 486 A959); 118, 378 A960).
293. L. Mower, Conductivity of warm plasma, Phys. Rev. 116, 16 A959).
294. Э. Е. Митя к об а, Н/А. Митя ко в и В. О. Раппопорт, К во-
просу об измерении электронной концентрации в ионосфере к межпла-
нетном пространстве. Радиофизика (в печати) (I960).
295. Л. М. Коврижных и А. А. Р у х а д з е, О неустойчивости про-
дольных колебаний электронно-ионной плазмы, ЖЗЭТФ 38, 850 (I960).
296. С. В. Wharton and D. M. SI age r, Microwave determination of
plasma density profiles, Journ. Appl. Phys. 31, 428 (I960).
297. С. В. Б о р*о дина, Ю. К. К а л и н и н, Г. А. Михайлова и
Д. С. Флигель, Обзор современного состояния исследований распро-
странения сверхдлинных электромагнитных волн, Радиофизика 3, 3A960).
298. Proceedings of the fourth international conference on ionization pheno-
mena in gases, edited by N. R- Nilsson, Amsterdam, 1960.
299. С. В. Has el grove and J. Haselgrove, Twisted ray path In the
ionosphere, Proc. Phys. Soc. 75, 357 A960).
300. Распространение длинных и сверхдлинных радиоволн, Сборник статей,
ИЛ, 1960.
301. В. В. Вит к ев и ч, О степени однородности спокойной ионосфер!
Астрон. жури. 36, 623 A959).
302. К. М. Case, Plasma oscillations, Annals of Phys. 7, 349 A959).
303. O. H. Mill man, The geometry of Earth's magnetic field at lonosi
heights. Journ. Geophys. Res. 64," 717 A959).