Radiation and Scattering
of Waves
LEOPOLD B. FELSEN
Professor of Electrophysics
Polytechnic Institute of Brooklyn
NATHAN MARCUVITZ
Professor of Applied Physics
New York University
Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, New Jersey 1973
Л. ФЕЛСЕН, Н. МАРКУВИЦ
Излучение и рассеяние
волн
том
Перевод с английского
под редакцией
М. Л. ЛЕВИНА
Издательство «Мир» Москва 1978

Гл. 5. Поля в плоскослоистых средах
интерпретации волновых решений разного типа, отвечающих
вкладам точек перевала, полюсов и точек ветвления.
В § 4 рассматривается область с простейшей геометрией —
безграничный однородный диэлектрик. Так как в этом случае
можно получить замкнутые выражения для функций Грина, от-
отвечающих источникам различных типов, мы найдем их предста-
представления в виде разложений по собственным функциям и выведем
соответствующие асимптотические формулы для того, чтобы на
простых примерах разъяснить основные понятия и математиче-
математические методы. Далее (§ 5) речь идет о возбуждении полей ис-
источниками при наличии полубесконечной диэлектрической сре-
среды, когда поле в дальней зоне не сводится лишь к падающему,
отраженному и преломленному геометрооптическим полям, но
содержит также дифракционные составляющие в виде поверх-
поверхностных или боковых волн (последние связаны с явлением пол-
полного внутреннего отражения). Проводится также анализ пере-
переходных областей, где невозможно четко выделить из полного
поля волны указанных типов; аналитически переходные эффек-
эффекты объясняются близким расположением точек перевала к полю-
полюсам или точкам ветвления в интегральных представлениях поля.
Природа геометрооптических и дифракционных полей стано-
становится очевидной из исследования переходных процессов при им-
импульсном возбуждении (§ 5, п. «г»), позволяющего проследить
за распространением различных волновых фронтов и тем самым
разъяснить соответствующие явления для гармонических во вре-
времени процессов.
Параграф 6 посвящен полям, возбуждаемым источниками,
расположенными возле диэлектрической пластины. В этом слу-
случае наблюдаются эффекты многократного отражения от граней
пластины и, если диэлектрическая проницаемость пластины вы-
выше, чем у окружающей среды, захвата волн. Энергия захвачен-
захваченной, или поверхностной, волны сосредоточена в основном в объ-
объеме пластины и переносится в направлении, параллельном ее
границам, а потому при анализе подобных волновых явлений
удобно представлять поле в виде суперпозиции собственных
волн, распространяющихся вдоль поперечной оси р. Такое р-
представление можно либо построить непосредственно, исполь-
используя собственные функции пластины, выведенные в § 3, п. «в»,
либо вывести из г-представления, деформируя контур интегри-
интегрирования; в последнем случае используются характеристические
функции Грина, приведенные в § 3, п. «а», и вывод служит ил^
люстрацией к тому, что говорилось вообще об альтернативных
представлениях поля в § 3, п. «в». Аналогичные соображения
относятся к случаю (рассматриваемому .в § 7) границы с по-
постоянным импедансом, вдоль которой при подходящих условиях
также может распространяться поверхностная волна. В §7, п. «г»,
§ 1. Введение
на примере возбуждения волн раскрывом антенны показывается,
как, зная функцию Грина, можно построить решение при задан-
заданных' распределенных источниках.
Во всех упомянутых случаях исследовались слоистые среды,
свойства которых описывались кусочно-постоянными функциями
координаты z; при этом функции Грина могут быть выражены
через тригонометрические или экспоненциальные функции, как
показано в гл. 2, § 4. Для сред с непрерывным изменением
свойств, рассматриваемых в § 8 и 9, следует применять изложен-
изложенную в гл. 3, § 3, п. «б», теорию неоднородных линий передачи,
которая приводит к результатам (кратко изложенным в § 8,
п. «б»), формально справедливым при любых профилях неодно-
неоднородности. Решение в явном виде удается получить либо в слу-
случае «медленно меняющихся» неоднородностей, либо в случае
профиля специальной формы. В первом случае, подробно иссле-
исследуемом в § 8, п. «в», может быть использован метод геометриче-
геометрической оптики, изложенный в гл. 1, § 7. Можно также, как показа-
показано в § 8, п. «г», исходить из представления поля в виде интегра-
интегралов по собственным функциям и добиться ряда упрощений,
воспользовавшись ВКБ-приближением (гл. 3, § 5, п. «в») для
функций Грина, отвечающих отдельным собственным волнам.
Если это допустимо, то асимптотические оценки интегралов при-
приводят к геометрооптическим полям, но в отличие от результатов,
полученных в § 8, п. «в», прямым применением геометрической
оптики, решение оказывается справедливым также и в переход-
переходных областях вблизи каустик; в последнем случае при получе-
получении асимптотических оценок следует учитывать взаимное влия-
влияние двух точек перевала в подынтегральном выражении (гл. 4,
§ 5, п. «а»).
В качестве примеров неоднородностей специального вида в
§ 9 исследуются слой с обратноквадратичной зависимостью ди-
диэлектрической проницаемости и плавный переходный слой (слой
Эпштейна). Особенно тщательно рассматриваются среды с об-
ратноквадратичным профилем, обладающие рядом интересных
свойств. В частности, решение телеграфных уравнений в этом
случае выражается через хорошо известные функции Бесселя и в
результате оказывается возможным детально исследовать в § 8
различные аналитические и асимптотические соотношения об-
общей теории. Простотой решения отличается также исследование
волноводного распространения в неоднородных средах в § 9,
п. «б». Двумерные задачи об излучении и дифракции волн в сре-
средах с оВратноквадратичным профилем оказываются тесно свя-
связанными с трехмерными задачами о рассеянии при наличии сим-
симметрии вращения; анализ ряда двумерных и трехмерных
процессов излучения и рассеяния в § 9, п. «в», основан на этой
аналогии.

10
Гл. 5. Поля в плоскослоистых средах
подходящие представления решения. Рассматривая эквивалент-
эквивалентную линию передачи, проходящую вдоль оси г, и определяя соб-
собственные функции в каждом сечении, поперечном для оси г, мо-
можно получить следующее представление решения в виде разло-
разложения по собственным функциям [гл. 2, § 3, формулы B4а) и
B5а)]:
/сое (г
k>tl*0, Ea)
Eб)
а из выражений C26) и C36) гл. 2, § 3, следует
G' <г' г') = 7^7?) Е ф<(р) ф<(р/) Yi (г> г">-
i
G" ^г'> = т^п) Е т<
Eг)
Обозначения е(г') и \i{z') в многослойной области подразуме-
подразумевают, что эти величины следует брать для среды, содержащей
точку источника г'. Если аргумент е и ц не указывается, то нуж-
нужно использовать характеристики среды в точке наблюдения. На-
Напомним, что большое число скалярных собственных функций
Ф,(р) и Ч^(р) для различных форм поперечного сечения приве-
приведено в гл. 3. Величина Y\ (г, г') — это эквивалентный ток волны
электрического типа, возбуждаемый генератором напряжения с
единичной амплитудой (т. 1, фиг. 46), а величина Z" {г, г') — эк-
эквивалентное напряжение волны магнитного типа, возбуждаемое
генератором тока с единичной амплитудой (т. 1, фиг. 47); обе
величины связаны с одномерными функциями Грина для волн
типа Е и Н соотношениями
К"; (z, z') = /сое (г') g'zi (z; z'\ Ц (г, z') = /<вц (г') ^ (г, г'), Fа)
g'zi (z, z') и g"zi{z, z') удовлетворяют уравнению
F6)
& + *0 8,t (г, z')=-6(z- z'\ к] = &-
и граничным условиям, наложенным в краевых точках области
изменения г. Представления решений Eа) и E6) становятся оче-
очевидно неприменимыми, если допустимо нулевое собственное зна-
значение кн = 0, что возможно в случае непрерывных спектраль-
спектральных распределений [гл. 2, § 3, примечание к формуле B4а)].
§ 2. Представления поля
11
Из сказанного ясно, что основная задача сводится к опреде-
определению скалярных функций 9", 9"' или G', G", удовлетворяющих
дифференциальным уравнениям B) и C6); в некоторых задачах
с простыми граничными условиями удается провести прямое ин-
интегрирование этих уравнений и получить решение в замкнутом
виде, но в более общем случае приходится представлять реше-
решение в виде ряда или интеграла по собственным функциям.
б. Представление решения в виде разложения по собственным
функциям для поперечно-неограниченных областей
Если рассматривать поперечно-неограниченные области, то
задача о собственных значениях для поперечного сечения в силь-
сильной степени вырождается и для нахождения решения оказы-
оказываются пригодными различные системы координат. В случае по-
полей, возбуждаемых точечным источником, удобней всего взять
цилиндрическую систему координат, а в случае полей, возбу-
возбуждаемых поперечным линейным источником,—прямоугольную,
ибо и та и другая прямо соответствуют симметрии исследуемого
поля. Так как поперечные границы отсутствуют, задачи о собст-
собственных значениях для электрических и магнитных волн совпа-
совпадают, т. е. Фг- = W{ и функции Грина для волн Е- и Я-типов раз-
различаются лишь видом зависимости от продольной координаты.
Исходя из собственных функций прямоугольного волновода с
помощью соотношений Eв), Eг), Fа) и F6) данного пара-
параграфа и формулы D0) из гл. 3, § 2, получим представление
функции Грина в виде двойного интеграла Фурье
G)
— с» —с»
Хотя разложение по собственным функциям круглого волновода
может быть получено аналогичным образом [при этом следует
лишь вместо равенств D0) из гл. 3, § 2 использовать равенства
G8)], полезно вывести его непосредственно из выражения
G) [1, разд. 6.9—6.11]. Рассмотрим интеграл вида
/=
Gа)
— с» —с»
где kt = \kt\, a dkt = й^йц. Введем полярные координаты (р, ф)
в р-пространстве и (&<, а) в ^-пространстве с помощью соотно-
соотношений ' р = р (х0 cos ф + Уо sin ф), к( = kt (х0 cos а + у0 sin a);
с учетом равенства dkt = ktdktda перепишем Gа) в виде
/= 5 dktktf(kt)

14
Гл. 5. Поля в плоскослоистых средах
координат так, чтобы выполнялось условие р' = 0 (т. е. чтобы
источник был расположен на оси г). Электромагнитное поле
продольного диполя можно выразить непосредственно через
функцию Грина G(r, г') [формула Dв)], которая с учетом ра-
равенств /о(О)= 1, /т@) = 0 при m Ф 0 принимает вид
p' = 0.
A1)
При поперечной ориентации векторов тока поле выражается
через скалярные потенциалы ГГ и П" согласно формулам Dа)
и D6). Если р'->0, то разложение величины ^'t9>, которое можно
получить из формул A0а) и A06), содержит, как легко убе-
убедиться, лишь слагаемое с m = 1 и представляется в виде
A2a)
Ро^г \ HfHlP)g^(z,zf)dl, A26)
DO
i J H?4t9)gzi(z,z')dt,
где ро — единичный радиус-вектор в плоскости, нормальной к
оси z: р = х0 cos ф + у0 sin ф.
Возбуждение линейным источником
При возбуждении линейным распределением источников, ле-
лежащим в плоскости г = г', удобно воспользоваться разложе-
разложением по волноводным волнам прямоугольного волновода и на-
направить одну из поперечных осей координат, например ось х,
вдоль источника. Исходные выражения G) и (9) упрощаются
после интегрирования по х', которое необходимо провести для
получения линейного источника; это упрощение имеет место и
в том случае, когда фаза элементов источника изменяется вдоль
оси х1 как ехр(—jax'), где а — действительная постоянная.
Ориентация элементарных токов относительно линейной оси ис-
источника также может быть произвольной (фиг. 1). Выражения
для функций G(r, г') и 9"{г, г') в рассматриваемом случае полу-
получаем умножением формул G) и (9) на ехр(—jax') и интегри-
интегрированием по х' от —ее до +оо; изменяя порядок интегрирования
оо
и учитывая соотношение \ ехр[—/ (а — |) х'\ dx' = 2яб (а — |),
§ 2. Представления поля
15
приходим к следующему выражению:
оо
g(r> p')= \ e-iax'G(r, r')dx' = e-iaxG(p, p'), Р = (#. A A3)
• - - — ОО
где G(p, РО — двумерная функция Грина:
оо
Оф.р')-^ \ е-"<У-у')ёг1(г, zf)dr]. A3а)
— оо
юрмулы (9) получаем
A4)
A4а)
Продольное волновое число, входящее в функцию gzi (z, z')
в формулах A3а) и A4а), имеет вид щ = {k2 — а —т\Iг.
2я
— оо
Диалогичным образом из формулы (9) получаем
где
1
„¦**
-*- г
Фиг. 1. Линейный источник, состоящий из произвольно ориентированных
относительно линии источника элементарных токов, фаза которых вдоль
линии изменяется соответственно множителю ехр{—jax).
При а Ф 0 подынтегральное выражение в фор_муле^A4а) ре-
регулярно в точке ц = 0 и потенциалы П'(г.р') и П"(г, р') можно
вычислить по формулам Dа) и D6), подставив в них интеграл
- A4) и заменив оператор V< оператором —jaxo + yo(d/dy'). При
a = 0 подынтегральное выражение в интегральном представле-
представлении величины V( W имеет простой полюс в точке ti = 0. Но это

18
Гл. 5. Поля в плоскослоистых средах
Среди интегралов, представимых в форме A9а), можно отме-
отметить часто встречающийся в теории излучения интеграл вида
[§ 3, формула A4)]
, (L, a) = ^ e->kL cos {w~u)f (w) dw,
B0)
Где р — контур интегрирования, изображенный на фиг. 7, б. Па-
Параметры Л и а считаются положительными, причем 0<а<С
< л/2; функция f(w) не зависит от волнового числа k = а/с,
где С" (|Ае)-1/2 — скорость света в среде. Как будет видно из
t'\
а о
Фиг. 2. Изменение во времени дипольного момента й плотности тока им-
импульсного источника,
а—дипольиый момент; б—ток.
данной и следующей глав, в такой форме может быть представ-
представлено решение большого числа задач о дифракции и излучении
монохроматического поля. Поскольку в гл. 1, § 6 [формулы
C4) — D1)], была принята зависимость от времени типа
ехр(—iat), повторим основные моменты вывода при зависимо-
зависимости типа exp (jat), которой мы придерживаемся здесь. Произ-
Произведя замену со ->¦ —js, перепишем интеграл B0) в виде
г°
/w (L, a) = ] e~s <t/c~>cos ¦ f (w + a) dw,
B1)
-/00
где предполагается, что функция f(w) не имеет особенностей в
полосе 0< |Rew| < л/2. Деформация контура при выводе
представления B1) обосновывается по аналогии с интегралом
C8) из гл. 1,§6.
2. Представления поля
19
Производя сначала замену переменной р = —jw, затем за-
нену х — (^/c)ch p, получаем ')
(x)
dx,
Lie
Vt2 - (i/c)
Й (t) = / [o + / Arch (-J-)] + f [a - j Arch (-5"
откуда, сопоставляя с интегралом A9а), имеем
О при т < —,
\Ь (т)
А(х) = .
B2а)
B26)
B3)
- L2/c2
при
Если функция v(w) = jf(w) действительна при действительных
w, то v(w*) = v*(w) и, следовательно,
B3а)
Далее будут приведены примеры приложений этого результата.
г. Поле равномерно и прямолинейно движущихся зарядов
- - Нестационарные поля могут возбуждаться также при изме-
изменении положения источника во времени, даже если интенсив-
интенсивность источника не меняется. Простейшая из задач такого ти-
типа — задача о поле электрического заряда, движущегося с по-
постоянной скоростью по прямолинейной траектории. Решение
этой задачи представляет интерес с точки зрения исследования
взаимодействия бытрых заряженных частиц с материальными
средами разного типа (диэлектриками, плазмой и т. д.), а также
с точки зрения таких физических приложений, как расчет погло-
поглощения протонов в «погруженном» атомном реакторе или возбу-
возбуждения низкочастотных шумов в земной экзосфере потоками за-
зарядов, испускаемых Солнцем.
Пусть точечный заряд q движется с постоянной скоростью
о параллельно оси х прямоугольной системы координат. Плот-
Плотность тока J(r, t), соответствующая движущемуся заряду, имеет
вид
J (г, 0 - xoqvb (х - vt) 6 (у- у'), б (г - г'),
B4)
1 ) Если экспоненциальный множитель в формуле B1) представлен в виде
ехР[—s(L/c)h(w)], то переменную т следует ввести по формуле т = (L/c)h(w).

22
Гл. 5. Поля в плоскослоистых средах
изменив порядок суммирования и интегрирования и использовав
условие ортогональности векторных собственных функций [гл. 2,
§ 2, формула A16)], получим
§ 3. Методы интегрирования
23
(г) = -I Re Г ? V. {г, со) /[* (г, со) + ? *7
Wa (г) = -I
• C4)
Таким образом, величина W^ равна сумме мощностей, соответ-
соответствующих отдельным собственным волнам, и зависит лишь от
амплитуд собственных волн Vt и It. Полный поток энергии W че-
через площадку 5 на плоскости г = const, очевидно, равен
W(г) = J W(r) • zod5 = J Wm(z)dco.
C5)
Заметим, что, хотя все сказанное в связи с формулами B6) —
C5) относилось непосредственно к излучению движущегося за-
заряда, область применимости полученных энергетических соот-
соотношений и, в частности, разложения C4) намного шире.
§ 3. МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
а. Аналитические свойства интегральных представлений
Для нахождения многомерных функций Грина из интеграль-
интегральных представлений G) —A4) предыдущего параграфа необхо-
необходимо знать одномерную функцию Грина собственной волны
gzi(z, г'); эта функция определяется уравнением F6) из § 2, ре-
решение которого требует знания детальных свойств -рассматри-
-рассматриваемой области вдоль оси z. Хотя вид функции gzi зависит от
характера неоднородности области вдоль г, общие асимптотиче-
асимптотические характеристики поля можно установить, исходя из анали-
аналитических свойств подынтегральных выражений, даже в отсут-
отсутствие конкретных данных о свойствах среды. В данном пара-
параграфе мы рассмотрим вопрос о том, какой вклад вносят в
асимптотическое выражение поля стационарные точки (точки
перевала), полюсы и точки ветвления в указанных интегральных
представлениях решений, и постараемся дать физическую интер-
интерпретацию соответствующих волн. В других параграфах главы
эти общие результаты будут применены при рассмотрении ряда
конкретных задач.
Продольные собственные функции Грина gZi(z,zf), которые
пока еще не определены, зависят от переменных интегрирования
| или г\ через продольное волновое число х(. = (ft2 — ^и)'1'. В мно-
многослойной области с кусочно-постоянными параметрами ер и цр,
Р = 1, 2, . . ., N, функция gzi зависит от различных постоянных
распространения х.в = (Щ — Щ^, где k& = со(цвевI/2. для слоя
с номером р, имеющего конечную толщину, gZi, как будет пока-
звно, — четная функция величины к,р; в случае же полубеско-
полубесконечной по оси z области это неверно. В силу четной зависимо-
зависимости от и,р функцию gzi можно разложить в ряд по четным сте-
степеням (х,рJп, п = 0,1,2, ..., и, следовательно, она является
регулярной функцией в точке х,р = 0 на комплексной плоскости
kt{. Отсутствие же четной зависимости для полубесконечной об-
области с параметрами еь ц,1 (простирающейся до z = —оо) или
области с eN, iin (простирающейся до г = + оо) приводит к на-
наличию точек ветвления первого порядка в первом случае при
kH — ±ku а во втором — при kti = ±kN- Таким образом, про-
продольная функция Грина gZi для области с произвольным числом
слоев имеет точки ветвления при kti = ±&ь ±kN, если область
не ограничена по z, имеет точки ветвления лишь при ±k\ или при
±kN, если область ограничена непроницаемой стенкой соответ-
соответственно со стороны положительных или отрицательных z (§7),
и не имеет точек ветвления, если две непроницаемые границы
заключают область в конечном интервале z (фиг. 3). Наличием
Границ обусловлено также, в общем случае, появление у функ-
функции gzi простых полюсов (§ 5 и 6).
Точный аналитический вид функции gZi(z, z') зависит от де-
деталей слоистости среды вдоль оси г,ио способах построения та-
такой функции говорилось в гл. 2, § 4, и гл. 3, § 3, п. «б». Посколь-
Поскольку решение должно удовлетворять дифференциальному уравне-
уравнению F6) из § 2, его следует строить из тригонометрических или
экспоненциальных функций. В случае многослойной структуры
функция gzi(z,z') может оказаться довольно сложной, но она
имеет простой общий вид, если и источник и точка наблюдения
расположены в полуограниченной области (т. е. в области г < 0
на фиг. 3, а и б). В последнем случае функция Грина равна сум-
сумме «падающей» волны, соответствующей неограниченной обла-
области с волновым числом k\, и «отраженной» волны, амплитуда ко-
которой определяется детальным ходом изменения свойств среды
в правом полупространстве z > 0. В частности [гл. 2, § 4, фор-
формулы B9в) и B9г) при fj(z0) = 0],
8*(г, *') = -щЛе -'¦ ТГ,@)е '' J, z, z' < 0, A)
где Г,@) —коэффициент отражения (по напряжению) собствен-
собственной волны от плоскости г = 0 в полупространство г > 0 для
первой структуры, связанный с входным импедансом собствен-
собственной волны Zj(O):
lt @) - ¦
h @) + .
(la)

26
Гл. 5. Поля в плоскослоистых средах
постоянен и не зависит от ktu Аналогичным образом можно рас-
рассмотреть импеданс Z,@). Тем самым подтверждаются резуль'
таты, представленные на фиг. 3.
При действительных ftp (среда без потерь) точки ветвления
лежат на контуре интегрирования, а поэтому следует уточнить
способ проведения контуров в разложениях G) — A4) из § 2
вблизи особенностей. Так, например, в выражении (86) из § 2,
где kti = |, точки ветвления, соответствующие нулю функции
Xii, лежат при | = +k\. Правильный выбор контура интегриро-
интегрирования возможен и при действительных k\ (§ 3, п. «б»), но проще
-к,
§ 3. Методы интегрирования
27
Фнг. 4. Правило обхода точек ветвления на комплексной плоскости § [при
временной завнснмостн вида ехр Цв»!)].
предположить, что имеется небольшое затухание; тогда времен-
временной зависимости exp(/W) должно отвечать волновое число k =
= со[ц,(ег — /e,)]'/! с небольшой отрицательной мнимой частью,
где ег — действительная, а е, — мнимая части диэлектрической
проницаемости е. В результате точки ветвления смещаются с
действительных осей | и ц в четвертый и второй квадранты ком-
комплексных плоскостей | и г\. Если теперь перейти к пределу при
е, —* 0, то контур интегрирования должен, очевидно, обходить
точки ветвления, расположенные на положительной или отрица-
отрицательной действительной полуоси, по петле в первом или третьем
квадранте (фиг. 4). Что касается сходимости интеграла с дей-
действительным k2 (для среды без потерь), то напомним, что для
нераспространяющихся типов волн (волн с мнимым х,) по опре-
определению Xi = —/|ttt| и, таким образом, интеграл ограничен
[тл. 2, § 2, формула A5)]. В более общей форме можно сказать,
что если при рассматриваемых деформациях контура величина
| принимает комплексные значения, то на контуре интегрирова-
интегрирования считается выполненным условие Im л/k2 — I2 < 0, обеспечи-
обеспечивающее убывание экспоненциальных множителей в формуле A).
В § 3, п. «б», будут исследованы области на комплексной плоско-
плоскости |, отвечающие условию Im -\Jk2 — ?2 < 0, при различном вы-
выборе линий разреза, которые необходимо провести для обеспече-
обеспечения однозначности представления подынтегрального выражения
на многолистной поверхности Римана. Сходное рассмотрение
(южно провести также и для двукратного интеграла, входящего,
например, в выражение G) из § 2, где k2{ = I2 + Л2- Точки вет-
ветвления на 1- и т)-плоскостях в этом случае имеют место при | =
-= ± V^r7^2 и л = ± V^Fl5"-
На контуре интегрирования могут также лежать полюсы
функции gzi{z, г'), и способ их обхода следует устанавливать,
как и выше, либо по смещению с действительной оси при нали-
наличии малых потерь, либо анализируя вклады вычетов на основе
условия излучения на бесконечности.
. б. Свойства функции и (?) = V*2 ~ ?2
на комплексной плоскости I
Как мы видели ранее (§ 2, п. «б»), подынтегральное выраже-
выражение в представлении функции Грина может иметь точки ветвле-
ветвления, связанные, например, с зависимостью от волновых чисел
x( = V^2— |2. Чтобы определить подынтегральное выражение
на комплексной плоскости | однозначно, необходимо подробно
исследовать аналитические свойства квадратного корня и* =
jex(|). Если | — действительная величина и ||| <k, причем k
пока считаем действительным, то волноводная волна может рас-
распространяться вдоль оси z и, следовательно, постоянная распро-
распространения действительна и положительна, что согласуется с по-
положительностью импеданса для собственной волны [гл. 2, § 2,
формула A5)]. Таким образом, от функции и(|) нужно потребо-
потребовать, чтобы она удовлетворяла условию
V^rl5>0, -k<l<k. B)
Так как подынтегральное выражение должно быть ограничен-
ограниченным при |x(?)||z — z'|->oo, необходимо наложить условие на
поведение мнимой части величины х. При зависимости от вре-
времени типа ехр(/(о/) требуемое условие состоит в том, чтобы дей-
действительным | отвечало х = —/|х| (т. е. выполнялось неравен-
неравенство Im х < 0 при ||| > k) '). Если | может принимать также
н комплексные значения, то условие Im х < 0 должно выпол-
выполняться при всех допустимых комплексных значениях х. Анали-
Аналитическое продолжение | с действительной оси на комплексную
Плоскость потребуется в дальнейшем при деформации контуров
интегрирования.
Для полного определения двузначной функции х(|) необхо-
Димо ввести двулистную риманову поверхность комплексной
Г . ') Это требование, а также требование B) следуют из условия излуче-
ЧНя, согласно которому излучаемая источником энергия в удаленных точкяч
наблюдения должна быть ограничена, а поле должно носить характер уходя-
«№* волн (гл. 1, § 5, п. «б»)'.

30
Гл. 5. Поля в плоскослоистых средах
§ 3. Методы интегрирования
Da). В этом случае во всех квадрантах 0 < а + р < 2л, и, сле-
следовательно, на всем верхнем листе римановой поверхности
Im х > 0. [Такой выбор разрезов удобен при рассмотрении по-
полей с зависимостью от времени типа ехр(—Ш).] На схеме пока-
показано также поведение Re x в различных квадрантах комплекс-
комплексной плоскости. Если провести разрезы по линиям Im х = 0 так,
как показано на фиг. 5, а C), то Imx < 0 на верхнем листе, а
Rex имеет знак, указанный на схеме. Знаки величин Imx и
Re х в разных квадрантах на втором листе противоположны зна-
знакам соответствующих величин на первом листе римановой по-
поверхности.
Выше мы считали k действительным. Так как все физические
среды имеют потери, уместно рассмотреть случай диэлектрика
с потерями, диэлектрическая проницаемость которого при времен-
временной зависимости типа ехр(/со/) имеет вид е =_?г — /ст/со, где а —
проводимость среды. Волновое число k = со -у Iх8 ПРИ этом имеет
отрицательную мнимую часть. Так же как и при действительных
k, удобно провести разрезы по линиям, на которых Re и или
Imx обращается в нуль. Линии, на которых Im х = 0, можно
найти, положив а + р = 0, ±2я, ..., а линии Re х = 0 — поло-
положив а + Р = ±л, ±3я, и т. д. Поскольку
tga — k — e ' tgP= k +i ' Ea)
находим, что условия Rex = 0 и 1гах = 0 выполняются на ги-
гиперболах
Ui = КК E6)
где 1г и kr— действительные, а |, и ki— мнимые части величин
| и k. Нетрудно убедиться, что Re x = 0 на той части кривых,
где \%r\ > kr, a Imx = 0 при ||r| < kr. Поведение функции х на
комплексной плоскости \ при ki < 0 показано на фиг. 5, б.
В пределе при ki —> 0 линии ветвления, изображенные на
фиг. 5, б, очевидно, переходят в рассмотренные ранее и пока-
показанные на фиг. 5, а (/ и 3). При h > 0 [в случае полей с вре-
временной зависимостью типа ехр(—Ш)] можно выделить одно-
однозначные ветви корня на плоскости |, построив отражение всех
кривых на фиг. 5, б относительно действительной или мнимой
оси | (фиг. 30,6). При этом различные области должны быть
выбраны так, чтобы в пределе при k{ -* 0 они переходили в об-
области, изображенные на фиг. 5, а.
Знаки величин Re x и Im x в различных областях комплекс-
комплексной плоскости I можно установить, пользуясь простым прави-
правилом. Как было показано, знак величины Rex (или Imx) изме-
изменяется лишь в том случае, когда | пересекает линию Re к = 0
(или 1ти = 0). Поэтому если провести разрезы, например, по
линиям Im х = 0, то величина Im x будет иметь один знак на
каждом из листов римановой поверхности, так как пересечение
разреза Imx = 0 соответствует переходу на другой лист. Сле-
Следовательно, достаточно вычислить Re x и Im x один раз в един-
единственной точке на верхнем листе, например при | = 0, и затем
определять изменение знака Re x путем аналитического продол-
продолжения через разрезы Re x = 0. Сходным образом можно прове-
провести анализ и на фиг. 5,6B), если верхний лист римановой по-
поверхности выбран так, что и* = -\-k при | = 0.
¦ в. Преобразование \ = k sin xo
Для облегчения преобразования интегралов типа (II)—A4)
из § 2 на "комплексной плоскости перейдем к новой переменной
w, связанной с | соотношением
| = k sin w. F)
Переменную w можно рассматривать как некоторый комплекс-
комплексный угол, причем значению х, = (k2 — |2)'/2 = 0 отвечает регу-
регулярная точка на комплексной плоскости w. Трансцендентная
функция sin w определена однозначным образом. Поскольку это
периодическая функция, т. е. sin (w + 2nn) = sin w, n = ±1,
±2, ,.., очевидно, что одному значению | соответствует множе-
множество значений w. Поэтому всю комплексную плоскость | можно
отобразить на любую из полос шириной 2л на плоскости w. Об-
Обратная функция arcsin(^) многозначна на плоскости |, и, сле-
следовательно, в этой плоскости имеются точки ветвления. Они от-
отвечают нулям производной d\ldw на плоскости w, и их порядок
совпадает с порядком нуля функции d\ldw. В рассматриваемом
случае dydw = k cos w и, таким образом, точки ветвления пер-
первого порядка расположены при | = ±&.
Чтобы детально исследовать свойства отображения комп-
комплексной плоскости | на плоскость w, напишем равенство F) от-
отдельно для действительных и мнимых частей (величина k счи-
считается действительной):
|r = k sinov chwh li = k cos wr sh wt, G)
где
-. - . • l = tr + ilh w = wr-\-iWi, Ga)
причем величины |r, |,-, wr и wt действительны. Как показано на
фиг. 6, а, четыре квадранта комплексной плоскости | отобра-
отображаются на обозначенные теми же номерами области на плоско-
плоскости w, соответствующие равенствам G). Мы видим что эти об-
обвести на плоскости w периодически повторяются по мере того,
Нарс-шг изменяется на величину, кратную 2л. Следовательно, дву-
двулистную риманову поверхность функции х(|) можно отобразить,

34
Гл. 5. Поля в плоскослоистых средах
§ 3. Методы интегрирования
35
в случае точечного источника
оо
Г B) -/И
оо е~ ?п
в случае линейного источника
-J
,-/л <»-»')„-
(9а)
(96)
где z — положительный параметр, равный \z — z'\ или |z + z'|,
a U,i — функции, не зависящие от пространственных координат
и имеющие на комплексной плоскости | или ц точки ветвления
или полюсы (или то и другое). Типичное для таких интегралов
расположение особенностей подынтегральных функций и конту-
контуров интегрирования показано на фиг. 7, а; точки ветвления при
? = ±k\ и | = ±&лг и полюсы в точках ±ар слегка смещены
с действительной оси, что указывает на наличие малых потерь.
В отсутствие потерь следует, очевидно, использовать контуры
интегрирования, огибающие особенности по малым петлям. Точ-
Точка ветвления в начале координат на плоскости ? связана с при-
присутствием в подынтегральном выражении в (9а) функции Хан-
келя; на плоскости х\, отвечающей интегралу (96), этой особен-
особенности нет. Разрезы проведены таким образом, чтобы величины
Im xi и Im xjv были отрицательны на верхнем листе многолист-
ной римановой поверхности (фиг. 5).
Поскольку изложение в книге строится так, чтобы познако-
познакомить читателя с выражениями, соответствующими временной за-
зависимости и типа exp(/(of), и типа ехр(—Ш), мы преобразуем
интегралы (9а) и (96) к зависимости от времени типа
ехр(—iat). Чтобы перейти от одной зависимости к другой, за-
заменим / на —I, а все величины — комплексно сопряженными.
Наряду с внесением изменений в подынтегральном выражении
нужно перейти к новому контуру интегрирования, чтобы обеспе-
обеспечить выполнение условия излучения. Для затухания нераспро-
страняющихся волн вида eiK'z теперь необходимо выполнение
условия Im х > 0. При временной зависимости типа ехр(—i<at)
исследуемые типичные интегралы принимают вид
/,=
/2=
A0а)
A06)
а расположение особенностей и контуры интегрирования пока-
показаны на фиг. 8, а [в связи с интегралом A0а) см. т. 1, фиг. 70, а].
~ар -к,
X
X
к, ар
BCD
Фиг. 7. Контуры интегрирования [при временной завнснмоети типа ехр (/а>1I-
о —комплексная плоскость | или ц (на плоскости л точка ветвления прн л=0 отсутствует);
о—комплексная плоскость w (ai соответствует k w соотвтс а
о—комплексная плоскость w
соответствует
при ы)=0 соответствует точке ветвления при 1=0).
Для удобства перейдем от комплексных волновых чисел |
Или ц к комплексному углу w путем замены переменной | =
= k\ sin хю или г) = k\ sin w; при этом точки ветвления ±&ь по-
показанные на фиг. 7, а или 8, а, устраняются и последующие вы-
вычисления упрощаются. Расположение контура интегрирования Р
и особенностей подынтегрального выражения на плоскости ш,
2*

38
Гл. 5. Поля в плоскослоистых средах
где вид функции / зависит от того, рассматривается возбужде-
возбуждение точечным или линейным источником.
Асимптотическое выражение для интеграла / при больших
значениях k\L можно найти способом, изложенным в гл. 4.
Прежде всего нужно деформировать контур Р в контур Р, про-
проходящий через точку перевала w = а по линии наибыстрей-
наибыстрейшего спуска [т. 1, фиг. 107, где путь Р = Р, показан для вре-
временной зависимости типа ехр(—ia>t)]; указанная деформация
контура допустима, так как концы обоих контуров Р и Р распо-
расположены в областях с |оу| ->¦ оо, где подынтегральная функция в
формуле A4) экспоненциально убывает и потому участки кон-
контура, примыкающие к концам, не дают вклада в интеграл. Точ-
Точки перевала в ряде случаев могут быть расположены так, что
при деформации контура пересекаются особенности подынте-
подынтегрального выражения, лежащие в области с конечным значе-
значением w. Такие полюсы или точки ветвления нужно обходить по
петле Рр или Рь, как показано на фиг. 7, б и 8, б. При пересече-
пересечении точки ветвления wb перевальный контур переходит через
разрез на второй лист римановой поверхности; переход от кон-
концевой точки А на контуре Р к точке В на контуре Р происходит
по отрезкам AC, CD (вдоль петли Рь) и DB, причем отрезки
контура АС и DB не дают вклада в интеграл '). Следовательно,
при зависимости типа ехр(—Ш) интеграл A4) может быть
представлен в «перевальном» виде:
= \
... dw
+ U (й - йр) 2ш [(ш - wp) f (w)]Wp exp [ikiL cos (wp - a)], A5)
где U(x)—функция Хевисайда, равная единице при положи-
положительных х и нулю — при отрицательных, а а6 и ар — точка вет-
ветвления и полюс на комплексной плоскости а, пересекаемые кон-
контуром при его деформации. Согласно формуле B9) из гл. 4, § 2,
аР, ь = Re wp, „ — arccos sch (Im wp, „).
A5a)
Последнее слагаемое в формуле A5) представляет собой вклад,
обусловленный вычетом в простом полюсе при w = wp.
Интегралы по контурам Р и Рь в общем виде не вычисляют-
вычисляются, но при больших значениях параметра (k\L) можно получить
для них простые асимптотические выражения. В соответствии с
')' Риманова поверхность функции f(w) вводится при наличии точек
ветвления ±шь, обусловленных соответствующими особенностями в точках
+kit комплексной плоскости I или г\. Так как эти особые точки не входят
в показатель экспоненты в формуле A4), подынтегральная функция экспо-
экспоненциально убывает на обоих листах римаповой поверхности.
§ 3. Методы интегрирования
39
формулой Aа) из гл. 4, § 2, асимптотическое выражение, полу-
полученное методом перевала, имеет вид
Аналогично, если Рь — контур, охватывающий разрез, то, со-
согласно формуле C) из гл. 4, § 8, интеграл по этому контуру ра-
равен
f (w) exp [ik{L cos (w — a)] dw
2Vn
| kxL sin (a - wb) | h
dw
exp [ikxL cos (wb - б)] X
A66)
где величина л/w — wb df/dw считается ограниченной в точке
wb, что обычно выполняется для функций, встречающихся в
реальных задачах. При временной зависимости типа ехр(/м/) в
формулах A5) и A6) следует заменить i на —/. Очевидно, что в
случае действительных wp и Wb определяющим в выражении
A5) при больших k\L является вклад вычетов, поскольку он
представляет собой величину 0A), тогда как вклад точки пере-
перевала убывает ка больших расстояниях как (k^)-'1*, а вклад точ-
точки ветвления — как (kxL)-3!l. В случае же комплексных wv из-за
экспоненциального убывания слагаемого, соответствующего вы-
вычету в полюсе, основным может стать вклад точки перевала. От-
Отметим также, что вклад в поле, соответствующий точке перевала,
наблюдаем во всем пространстве, тогда как поля, связанные с
полюсом или точкой ветвления, наблюдаются, вообще говоря,
лишь в некоторых областях, где отличны от нуля функции Хе-
Хевисайда в выражении A5). В задачах, которые будут рассма-
рассматриваться в данной главе, наличие полюсов приводит к поверх-
поверхностным и вытекающим волнам, точками ветвления обусловлены
боковые волны, а вклад точек перевала дает падающее, отра-
отраженное и прошедшее поля в приближении геометрической оп-
оптики; выражение A6а) можно рассматривать как поле плоской
волны, распространяющейся в направлении L и имеющей пере-
переменную амплитуду.
Взаимосвязь между решениями в виде распространяющихся
волн на плоскости волновых чисел | (или ц) и на плоскости
комплексных углов w и их связь с условиями применимости ме-
метода перевала можно исследовать, рассматривая схематически по-
поверхность волновых векторов. Эта поверхность, геометрическое

42
Гл. 5. Поля в плоскослоистых средах
il i
11
При физической интерпретации полученных решений в виде пло-
плоских волн важное значение имеет их область существования (со-
(соответствующая асимптотическому выражению для поля), т. е.
приблизительно та область углов наблюдения а, для которой
при деформации исходного контура интегрирования Р в пере-
перевальный контур Р (фиг. 8, б) пересекается особая точка w^; чет-
четкое разделение вкладов в интеграл, обусловленных особыми
точками и точкой перевала, возможно лишь при «достаточном
удалении» этих точек друг от друга (гл. 4, § 1). Пусть а ^ — то
значение величины а, при котором контур Р пересекает особую
точку 10^ [формула A5а)]; тогда, если точка w^ расположена
выше или правее исходного контура Р на фиг. 10, а, эта особен-
особенность вносит вклад в интервале углов йц< а < л/2, причем
(ац — &Уцг) ^ 0 при wlil ^ 0. При ином расположении точки Wy.
в полуполосе 0 < wr < л/2, ш^.< 0 вклад особенности в инте-
интеграл отличен от нуля в дополнительной области 0 < а < пц, и
(ац— йУцг) < 0, где wv.i < 0. Как следует из выражения A7), со-
соответствующее поле экспоненциально убывает в своей области
существования вдоль любого радиального направления от точ-
точки L — 0 до удаленной точки наблюдения; поэтому поведение и
физическая интерпретация волны типа A7) в дальней зоне зна-
значимы, хотя взятое само по себе, безотносительно к механизму
возбуждения поле может оказаться неадекватным решением
уравнений Максвелла. В этой связи заметим, что неадекватные,
или немодальные (неспектральные), особые точки лежат в об-
об< 0,
fmlu
ласти
—k\
\ < 0, соответствующей при рассма-
рассматриваемой зависимости от времени типа ехр(—iat) неподходя-
неподходящему листу римановой поверхности комплексных поперечных
волновых чисел kt [например, область С на фиг. 10, а].
Для пояснения сказанного на фиг. 10 изображены волны
разных типов, отвечающие особым точкам в разных областях
комплексной плоскости w [5]. На первой схеме (фиг. 10, а)
штриховыми линиями показаны пути наибыстрейшего спуска,
проходящие через точки перевала w = 0 и w = л/2 и разделяю-
разделяющие комплексную плоскость w на три области. На остальных
схемах параллельными линиями (лучами) показано направление
распространения фазовых фронтов (и потока энергии) неодно-
неоднородной плоской волны, область существования которой ограни-
ограничена углом наблюдения аг; лучи параллельны прямой линии
а = Шц и нормальны к плоскостям постоянной фазы (не пока-
показанным на схеме); амплитуда волны постоянна вдоль луча, но
меняется в остальных направлениях. Увеличением расстояния
между лучами показано убывание амплитуды в этом направле-
направлении. Физической области излучения для точечного источника
-л/г
\ в
с \
\ E
D \
а
Re
Ч_\Л
\
р ими у р или у р или у
Область A (w/lr,a/t<0) Область В (ш^ < 0, а^ > 0) Область С (wMr ,а.р> О)
I
Ч
/
i
р или у р или у
0imcmbD{Wjl^>0, а./с<0) Область E{wfh.>О, а.р >О)
б
Область F(ш/Яг>|:,а/,>0)
Фиг. 10. Физические характеристики волн, соответствующих различным осо-
особым точкам коэффициента отражения Г; @) [формула A)] на комплексной
ПЛОСКОСТИ W.
в—расположение особых точек 1прн временной зависимости вида е.хр (-i(o()i; б —виды

46
Гл. 5. Поля в плоскослоистых средах
Полученные при этих предположениях асимптотические раз-
разложения описывают поля в дальней зоне, но неприменимы в
важном случае, когда k\ и k2 велики, а г и г' неограниченны.
В таком геометрооптическом режиме ни один из экспоненциаль-
экспоненциальных множителей в формуле A8) нельзя считать медленно ме-
меняющимся и они оба должны быть учтены при вычислении инте-
интеграла методом перевала. Так как простых отображений плоско-
плоскости % или г) на плоскость w, сводящих интеграл к виду A4), не
существует, необходим иной подход. В вычислениях, которые
будут проводиться ниже, преобразования выполняются непо-
непосредственно на комплексной плоскости поперечных волновых чи-
чисел. Как и прежде, будем рассматривать типичный интеграл, ко-
который при временной зависимости типа exp(/W) можно запи-
записать в виде
= J
q (r)) =
A9а)
при временной зависимости типа ехр(—mt) интеграл принимает
вид
/= J е'ч Mf (ц) dr\.
A96)
Контуры интегрирования изображены на фиг. 7, а и 8, а. Точки
перевала подынтегрального выражения расположены при значе-
значениях т) = T)s, удовлетворяющих уравнению dq/ац = 0, которое
в явном виде выглядит так:
^ ^ = Лв- A9в)
Довольно трудно точно найти полный перевальный контур Спер,
проходящий через точку перевала ц„ и удовлетворяющий усло-
условию Re<7(ri) = Re^Tb) (гл. 4, § 1, п. «б»). Но вид контура в
окрестности точки перевала r\s определить просто: в случае дей-
действительной точки перевала первого порядка его следует прове-
провести по прямой, проходящей под углом ±45° к действительной
оси т) [т. 1, фиг. 106; здесь мы рассматриваем лишь невытекаю-
щие волны, соответствующие действительным точкам перевала
с действительным значением 7in,2(r)s), т. е. |tis| <fe,,2]- Поэтому
в качестве пути интегрирования можно выбрать контур С, изо-
изображенный на фиг. 11: он совпадает с перевальным контуром
Спер вблизи точки т|Я) а остальные его части, проведенные для
простоты параллельно действительной оси, лежат в области «до-
«долины» на комплексной плоскости т), где экспонента exp[iq(r\)]
мала (разрезы на чертеже не показаны). Так как \r\s\ < &i, 2>
§ 3. Методы интегрирования
47
при деформации контура точки ветвления не пересекаются. Если
при деформации контура пересекаются полюсы, то их вклад в
интеграл учитывается так, как говорилось ранее.
Поскольку в заштрихованной области на фиг. 11 мы имеем
Im<7(il) > 0> основной вклад в интеграл вносит участок контура,
находящийся в окрестности точки перевала т)8. Если проводить
интегрирование по перевальному контуру не до бесконечности, а
до некоторой конечной точки в области «долины», то ошибка
вычисления интеграла экспоненциально мала и ею можно пре-
пренебречь [гл. 4, § 1, формула A7)]. На основании формулы A)
Плоскость 7]
Долинная область
Фиг. 11. Контур интегрирования, для которого d2q/dr\2 | ^ <0 [при вре-
временной зависимости типа ехр (—i<ot)].
илн B0а) из гл. 4, § 2, получаем следующее приближенное вы-
выражение для интеграла A96), найденное методом перевала:
'пер
f (Tls) ехр iiq (ть) +1 тsign
Если пренебречь в уравнении A9в) членом n^z и произвести
подстановку r|s = &isina, то полученный результат перейдет в
выражение A6а). Так как при выводе формулы B0) использо-
использовался не полный перевальный контур интегрирования, ограниче-
ограничения, связанные с экспоненциально малой ошибкой, оказываются
слабее, чем для разложения A6а) [гл. 4, § 2, замечания после
формулы A8)]. Но если экспоненциально малыми вкладами мо-
можно пренебречь, то разложение B0) является достаточно точ-
точным.
Условие, которым определяется точка перевала, можно пред-
представить графически. Введем величины а^ и а2:

50
Гл. 5. Поля в плоскослоистых средах
Bа) и имеет вид [нужно умножить выражение C1) из гл. 1, § 1,
на ехр(—hot') и проинтегрировать по всем f]
4. Источники в безграничном диэлектрике
51
где & = cdVVb> причем е и ц — диэлектрическая и магнитная
проницаемости среды. Среднеквадратичные значения составляю-
*- х
Фиг. 13. Система координат.
щих поля, вычисленные по формулам Aа), A6) и Dв) из § 2
(при G' = Gf), в сферических координатах имеют вид
Ег = Л/-Т 0^172 ( 1 + Т7 ). (За)
ilkl sin
~\Г ilkl sin Qeikr
J l_\
' kr (krJ J •
C6)
(Зв)
Cr)
"Ч> 4яг
Яг = Яе = ?ф = О,
где / и / — ток и длина диполя. В общем случае, когда г' Ф О,
для вывода формул, эквивалентных формулам C), следует за-
заменить г в выражении B6) величиной |г — г'|. Полученные ре-
результаты справедливы и при наличии потерь (т. е. при \mk >_
>0). Средняя по времени плотность мощности излучения S
дается выражениями
Sr = Re (?еЯ;) = д/^- ' Ш{lnSry 6 . Dа)
So=s9 = O, D6)
а полная мощность излучения Р [гл. 1, § 2, формула B9)] та-
такова;
E)
I ikl I2
Асимптотические выражения для поля в дальней зоне (kr 3> 1)
содержат лишь составляющие Ев и Яф порядка O(\/kr); они со-
соответствуют учету первого слагаемого в скобках в формулах
C6) и (Зв).
Замечания
Рассматриваемый источник возбуждает лишь волны ?-типа
(относительно оси z). Поле в дальней зоне поперечно относи-
относительно радиус-вектора, проведенного из источника в точку на-
наблюдения, и излучение энергии описывается поперечными со-
составляющими поля [формулы D)]. Перенос энергии в дальнюю
Лучи
'Разовый
фронт
Фиг. 14. Траектории лучей и поверхность равных фаз.
зону можно представить лучевой схемой (фиг. 14), причем нуж-
нужно помнить (гл. 1, § 6), что направление луча в данной точке
совпадает с направлением вектора потока энергии S (см. также
фиг. 9). Поверхности постоянной фазы (фазовые фронты) —это
сферы, нормальные к лучам, а амплитуда поля убывает вдоль
луча как 1/г.
Нормировка поля при падении плоской волны
При удалении точки г', в которой находится источник, в бес-
бесконечность, поле, наблюдаемое на конечных расстояниях г, ве-
Дет себя как плоская волна, ибо в любой конечной области кри-
кривизной сферического фронта можно пренебречь. Действительно,
перейдем в уравнениях B) после замены г —»- |г — г'| к пределу
при г'—»¦ оо и введем интенсивность источника ]°= II. С учетом
равенства
}\ F)
гДе у —угол между векторами г и г', и соотношения
cos v =
= cos 6 cos 8' -f sin 8 sin 8' cos (qp — q/) Fa)

54
Гл. 5. Поля в плоскослоистых средах
§ 4. Источники в безграничном диэлектрике
55
интегрирования. Например, перепишем [в случае временной за-
зависимости типа ехр(—гсо/)] выражение Gа) виде
A0)
причем путь интегрирования таков, как на фиг. 15 (см. также
фиг. 8, а). Выберем разрезы так, чтобы на верхнем листе римано-
вой поверхности корня выполнялось условие \тл//г2— ?2 > 0
(фиг. 5, а); тогда подынтегральное выражение в формуле A0)
*¦ С
Плоскость
Фиг. 15. Контуры интегрирования на комплексной плоскости | для различ-
различных интегральных представлений функции Грина.
будет экспоненциально убывать при |?|->оо. Поскольку
функция Hq1)Aр) экспоненциально убывает при |?|—>• оо в об-
области Im I > б [§ 3, формула A36)], контур интегрирования С
при всех значениях р и |г|, кроме нулевых, можно деформиро-
деформировать в контур С" -f- С", охватывающий разрез в верхней полу-
полуплоскости. Здесь С" — круглая петля малого, но конечного ра-
радиуса б = |?6— ^1 с центром в точке | = k. Хотя подынте-
подынтегральное выражение в формуле A0) на контуре С" возрастает
как l/Уб, сам интеграл есть О (У б), в чем нетрудно убедить-
убедиться, разложив регулярную часть подынтегрального выражения в
степенной ряд вблизи точки I — k и выполнив интегрирование
по С". Следовательно, вклад контура С" в интеграл стремится
к нулю при б —>О.
Переходя в оставшемся интеграле по контуру С (при 6 = 0)
к новой переменной
? = VF^F, т. е. ldl = -tdl,
замечаем, что Z, — действительная величина, которая изменяется
от -|-оо до —оо при обходе контура С" в направлении, показан-
показанном на фиг. 15 (знак Re ? определяется так, как на фиг. 5, а).
В результате выражение A0) преобразуется к виду
±
A1)
где для убывания функции Ханкеля при | ? | —»¦ оо следует по-
потребовать выполнения условия 1тУ&2 —?2>0, а корень
Jk2 — Z? считается положительным при —k < ? < k. Контур ин-
интегрирования по ? проходит относительно точек ветвления ? =
= +k так же, как изображенный на фиг. 15 контур на комп-
комплексной плоскости ?. После замены переменной интегрирования
?—>—? в выражении A1) приходим к аналогичному интегралу,
в котором множитель exp(t?|z|) заменен множителем
ехр(—*?|2i)- Следовательно, знак показателя экспоненты не су-
существен и можно заменить величину \z\ величиной z.
Приведем ряд альтернативных представлений функции G/
(при значениях параметров 0 < р < оо, —оо < z < оо), соот-
соответствующих выражениям B6), A0), A1) и формуле G) из § 2
в случае точечного источника, расположенного при р' = z' = 0
[временная зависимость типа ехр(—mt)\.
Gf(r, 0) =
4я Vp2 + z2 '
ОО ОО
i f f e'
8л2
— oo —oo
V*2 - I2 - Л2
oo exp (in)
^ \ HV
A2а)
1, A26)
A2в)
A2г)
Выражение A2а) дает решение в замкнутом виде, выражения
A26) и A2в)—разложения по волноводным волнам, распро-
распространяющимся вдоль оси г, в первом случае — по плоским вол-
волнам, а во втором — по цилиндрическим собственным функциям;
наконец, выражение A2г) дает разложение по радиальным вол-
волноводным волнам, представляющим собой плоские волны в z-
пространстве. Самое сложное из них — выражение A26), содер-
содержащее двойной интеграл. Сходимость более удобных интеграль-
ЯЫх представлений A2в) и A2г) неодинакова. В разложении
по продольным волноводным волнам A2в) подынтегральное вы-
выражение быстро убывает при ||| > k и при больших \z\, а \\

58
Гл. 5. Поля в плоскослоистых средах
откуда интегрированием [формулы B1)] находим
Электромагнитные поля могут быть выражены через функции
%9>f (г, г') == - Vt9>f (г, г') = - р0 (д/др) 9>f (г, г') по формулам Aа),
A6), Dа) и D6) из § 2. (Заметим: d/dz'-> — д/dz, a xo-Po = */p,
Уо • Ро = у/9-) Составляющая магнитного поля вдоль оси х
в точке г = (х, у, z) представляется в виде
НХ = Н'Х + Н$, B0)
где Н'х — часть поля, соответствующая ?-волнам,
а Я* — часть поля, соответствующая Я-волнам,
?~1е ~~те J
x2zeikr ( 1
полное поле таково:
Аналогичным образом можно найти выражения для остальных
составляющих поля. Плотность потока мощности излучения, как
и в случае элемента тока, ориентированного вдоль оси z, опре-
определяется формулами D) и E), где угол 8 теперь следует от-
отсчитывать от положительного направления оси х. Физическая
интерпретация результата соответствует фиг. 14.
Замечания
Полное поле в рассматриваемом случае дается формулами
C), если принять ось у за полярную ось сферической системы
координат; но, как показывают вычисления, поперечный эле-
элементарный ток возбуждает как электрические, так и магнитные
волны относительно выделенного направления [6]. Это очень
важно в случае среды, слоистой вдоль оси z, так как части поля,
отвечающие Е- и Я-волнам, неодинаковы (т. е. 9" Ф91"). Кро-
Кроме того, применив к формулам B0а) и B06) разные масштаб-
масштабные преобразования координат, можно найти поля, излучаемые
элементарным током, ориентированным поперек оптической оси,
в анизотропном одноосном кристалле, что делает весьма цен-
ценными эти явные выражения (гл. 7, § 2, п. «в»).
Выражение A96) можно получить из формулы A9а), если
учесть, что в силу симметрии вращения функции 9"s относитель-
относитель§ 4. Источники в безграничном диэлектрике
59
но оси г справедливо равенство V? = A/р)(<Э/ф)(рд/ф). Поэтому,
проводя интегрирование и учитывая, что производная d^fjdp ог-
ограничена при р = 0, получаем
d9>f
— S
gik
4я Vp2 +
B1)
что согласуется с A96). Заметим также, что если функции соот-
соответствуют формуле G), то интегралы в формулах A2) из § 2
вычисляются в замкнутом виде по формуле A96). (Здесь у—»•
Монохроматический магнитный источник с плотностью тока
М(г, 0 = ш
B2)
( В этом случае выражения для полей можно получить из со-
соответствующих выражений для электрического диполя путем
дуальной замены Е —> Я, Я —> —Е, I —*• V и ц -*-> е.
Импульсный электрический или магнитный ток
Соответствующие задачи подробно рассмотрены в гл. 1, § 1,
п. «б» [формулы D3) — D6)].
в. Линейные токи, ориентированные поперек оси z
Монохроматический электрический источник с плотностью тока
J(r, *) = /б(р-р')е-'«*х0.
B3)
Электромагнитные поля, возбуждаемые линейным источни-
источником, ориентированным так, как показано на фиг. 17, легко вы-
выразить через двумерную функцию Грина G/, удовлетворяющую
дифференциальному уравнению [двумерному аналогу уравнения
C6) из § 2]
И условию излучения на бесконечности. Решение этого уравне-
уравнения имеет вид
Gf(9, Р')=4
B5)

62
Гл. 5. Поля в плоскослоистых средах
Решение B5) уравнения B4) можно получить прямым инте-
интегрированием. При р' = 0 функция Gf должна обладать симмет-
симметрией относительно линии р = 0 и, следовательно, V2—>¦
—>(д/рдр)(рд/др). В случае рфО решение уравнения B4)
имеет вид
Gf(p) = AH{J)(kp) + BH$)(kp), C2а)
где А и В — постоянные. Если принята зависимость от времени
типа ехр(—ml), то для того, чтобы выполнялось условие излу-
излучения на бесконечности, следует оставить лишь функцию Ho\kp)
[§ 3, формула A3)], т. е. положить 5 = 0. Для определения по-
постоянной А нужно проинтегрировать уравнение B4) в круге S
радиусом р, где р—>0. С учетом приближенного соотношения
при р-> 0 имеем
- 1 = J (V2 + fe2) i
S
dG
С UKJf
C26)
C2в)
где s — граничный контур круга 5. В результате получаем А =
= г/4 и Gf(p) = (i/4) Hq]) (kp). Сдвинув источник в произвольную
точку р', приходим к решению B5). Аналогичным образом при
временной зависимости типа exp(-)-/W) получим Gf(p) =
(i/4)H^(k
Поле собственных волн
Поскольку рассматриваемый источник образован попереч-
поперечными электрическими токами, эквивалентную схему для собст-
собственной волны можно представить так, как на фиг. 18. При этом
собственная функция Грина дается формулой G) и в силу фор-
формулы A3а) из § 2 имеем
G«(p $') =
^=± [ ехр I- Ы (У ~ У')-г№ -
V k2 - r\2
•-Z'\]
dx\. C3)
Контур интегрирования обходит точки ветвления ц = +k так
же, как на фиг. 7, а; имеющаяся там точка ветвления при т) = 0
в данном случае отсутствует. Замена переменной интегрирова-
интегрирования г] — k sin w и переход к полярным координатам по форму-
формулам
' >, 0 < ф < f, C4)
§ 4. Источники в безграничном диэлектрике
63
приводят к следующим интегральным представлениям функции
Грина:
' 4 НЧ] (k | р - Ь' I) = - | Яо2) (kR), C5а)
Gf(p, P') =
L \ g-
L \ e-j
An J
(w-ф)
jkR cos w
C56)
C5b)
Здесь P — контур на комплексной плоскости w, изображенный
на фиг. 7,6. Приняв в выражении C56) разность ш — ф за но-
новую переменную, получим интегральное представление C5в).
Фиг. 18. Эквивалентная схема для определения собственных волн.
Поскольку величина ф лежит в пределах 0 < ф < л/2, а подын-
подынтегральное выражение не имеет особенностей (т. е. на фиг. 7, б
отсутствуют точки ветвления), контур Р эквивалентен любому
контуру, начинающемуся в полуполосе 0 > Re w > —л, Im w <
<0 и заканчивающемуся в полуполосе 0 < Re w < я, Im w >
> 0. Представление C5в) не зависит от ф, как это явствует из
решения в замкнутом виде C5а). Интегральное представление
(Збв) и приводимое ниже представление (Збв) для функции
Ханкеля впервые были получены Зоммерфельдом (подробнее о
них говорится в книге [7]).
В случае временной зависимости вида ехр(—Ш) аналогич-
аналогичным образом получаем
C6а)
1, C66)
(Збв)
ехр [щ (у - у') + i Vfe2 - tf I z - z'
— \
4я }^
J_ f elkR cos w (}w
4я J

66
Гл.
5. Поля в плоскослоистых средах
дуальны задачам с источниками B3) и C8). Поля можно найти
путем дуальной замены Е —> Н, Н —* —Е и / —* V. Эквивалент-
Эквивалентные схемы, представленные на фиг. 18 и 20, также меняются
местами.
Импульсные источники
Так же как монохроматические поля, возбуждаемые источни-
источниками вида B3), C8), D0а) и D06), выражаются через функ-
функцию Грина Gf(p,p') вида B5), поля, произвольно меняющиеся
во времени, можно выразить через соответствующую временную
функцию Грина G/(p,p'; t,t'), удовлетворяющую дифференци-
дифференциальному уравнению
и условию причинности Gf = 0 при / < V. Решение в случае
f = 0, р' = 0 имеет вид
Of-
о
при
при
D2а)
D26)
где р = Vу2 + z2. Решение при произвольных р', t' получается
из выражений D2) путем замены р —*- | р — р'|, t->t — t'. На-
Например, если временная зависимость распределения плотности
тока в источнике, изображенном на фиг. 19, такова:
J(r, t) =
D3)
где р— дипольный момент, то, согласно формулам C9) (см.
также § 2, п. «в»), меняющиеся во времени поля имеют вид
"* = (>туьь ^ = -^1ЙЛ ^-ptw^ D4)
[Отметим, что (д2/дфду) Ф (д2/дудф), так как у — у(р,ф).] Ана-
Аналогичным образом можно получить выражение для полей, возбу-
возбуждаемых источниками иного вида.
Функция Gf, даваемая формулами D2), описывает возмуще-
возмущение, обладающее цилиндрической симметрией, распространяю-
распространяющееся от источника со скоростью с и достигающее точки наблю-
наблюдения р в момент времени t = р/с. Хотя действие источника ог-
§ 4. Источники в безграничном диэлектрике
67
паничено лишь моментом / = 0, в точке р после прохождения
головного фронта волны (фиг. 21) остается отклик с убывающей
интенсивностью.
Решение D2) можно найти непосредственно методом, изло-
изложенным в § 2, п. «в». Интегральное выражение для функции
-*• t
Фиг. 21. Сигнал от импульсного скалярного линейного источника,
наблюдаемый на расстоянии р от него.
Грина C5в), соответствующей монохроматическому полю при
р' = 0, можно записать в виде формулы B0) из § 2, если поло-
положить в ней а = 0, L=p, f(w) =—//4я. Тогда решение для
меняющегося во времени поля следует из формул A9) и B3)
§ 2 (см. также гл. 1, § 6, п. «б»).
г. Линейные токи, ориентированные вдоль оси z
Монохроматический электрический ток с плотностью
J (r, t) = /6 (р — р') е1аге~шгй. D5)
Поскольку элементы тока направлены вдоль оси г, поля мо-
можно выразить через скалярную функцию Грина
G' (г, р') = e'^Gf (Р, р'), Р = (х, у) = (р, ф), D6а)
где Gf — двумерная функция, удовлетворяющая дифференциаль-
дифференциальному уравнению
(V? + ft2) Gf (р, р') = - 6 (р - р'), Й2 = k2 - а2,
^2 j_ _а_ _ _а_ , 1 д2
vt~~ р др р <Эр "^ р2 <5ф2 '
и условию излучения на бесконечности. При р' = 0 решение
в соответствии с выражением B5) имеет вид
Gf ((>, (>') = 4 н™ (ftp). lm и > 0» D7)
D66)

70
Гл. 5. Поля в плоскослоистых средах
§ 4. Источники в безграничном диэлектрике
D8) при мнимых й видно, что составляющие Ер и Яф имеют
одинаковую фазу, а составляющие Е2 и #ф сдвинуты по фазе на
90°]. Это относится не только к рассматриваемой задаче, в ко-
которой задано распределение токов источника, но и к задачам о
дифракции, где приходится иметь дело с наведенными токами
с быстрыми или медленными изменениями фазы.
Рассмотренные выше характеристики излучения линейного
фазированного источника можно найти и непосредственно из
диаграммы волновых векторов на фиг. 9. В рассматриваемом
случае продольное волновое число и имеет заданную величину
а 6
Фиг. 23. Построение, основанное на представлении о поверхности волновых
векторов.
а и поэтому существенно лишь пересечение плоскости х = а
с поверхностью волновых векторов. При а < k плоскость и = а
пересекается с поверхностью волновых векторов (фиг. 23,а) и
плоские волны, соответствующие этому пересечению (т. е. нор-
нормали к сфере), образуют конус лучей, изображенный на фиг. 22.
При а > k указанное пересечение отсутствует (фиг. 23, б) и,
следовательно, нет распространяющихся плоских волн с дей-
действительными значениями поперечного волнового вектора й.
д. Равномерно и прямолинейно движущийся точечный заряд
J(r, t) = qv6(x-vtN(p-p')x0. E4)
Электромагнитное поле, возбуждаемое точечным зарядом q,
движущимся (фиг. 24) с постоянной скоростью v по прямолиней-
прямолинейной траектории параллельно оси х в среде с диэлектрической
проницаемостью s = ёео, пе зависящей от частоты, и магнитной
проницаемостью вакуума ц = цо, можно выразить через функ-
функцию 0(г, t), удовлетворяющую дифференциальному уравнению
E5)
а также начальным условиям, которые будут рассмотрены ниже.
Решение при р' = 0 имеет вид
G(r, t) =
'~Т<с> E5а)
_ ± > ?1, E56)
если величина y = Vе — A/рJ положительна. Здесь ё=е/е0 —
относительная диэлектрическая проницаемость (приведенная к
Поток энергии (луч)
Фиг. 24. Точечный заряд, равномерно движущийся в неограниченном ди-
диэлектрике (е > c2/v2).
диэлектрической постоянной е0), р = v/c отношение скорости
заряда к скорости света в вакууме (т. е. р < 1). Выражения E5)
справедливы, если скорость заряда достаточно велика, так что
выполнено условие ё> (c/vJ. При низких скоростях, когда
ё<; (c/vJ, функция Грина имеет вид
&(г, /) = ¦
_ I vl = л/ ё.
Л2 ' ' Yl V в2
U - */яJ + (Р I V \/сJ
Решение при р ф 0 получается заменой р на | р — р'|.
E6)

74
Гл. 5. Поля в плоскослоистых средах
§ 4. Источники в безграничном диэлектрике
75
[формула D5)].Поэтому в данном случае прямо применимы ре-
результаты п. «г», если учесть иную зависимость от времени (i —>
—>—/) и ориентацию системы отсчета; мы приняли, что заряд
движется вдоль оси х, для облегчения рассмотрения в дальней-
дальнейшем более общего случая движения заряда в слоистой среде,
свойства которой меняются вдоль оси z. Из уравнений D6) и
D7) следует, что соответствующая функция Грина для монохро-
монохроматического процесса имеет вид
(О
с
1 = Т. F3)
где зависимость от со указана в явной форме. Соответствующие
монохроматические поля выражаются по формулам D8) и при-
приводят (с учетом замены d/dt *-> /со) к выражениям E7).
Функция G(r, со) удовлетворяет дифференциальному уравне-
уравнению [формула D66)]
F3а)
-J § - ~) G (г, со) = - б (р - р') e-i <a'D> *,
? = v2 -
дх2 '
которое можно записать в следующих различных формах с уче-
учетом временной зависимости типа ехр(/со^):
(V — -LJL
К с2 ot2
Vf с2 dt2 )
С (г,
где у2 = ё — A/РJ. Временная функция Грина
<3(г, /)=2? J G(r,
Jait-xlv)
, F36)
F4)
удовлетворяет уравнению, которое получается умножением
F36) на 1/2л и интегрированием по всем действительным со; при
этом первое из уравнений F36) переходит в уравнение E5).
Второе из уравнений F36) дает
3 ( |) F4а)
последнее совпадает с уравнением D1), если заменить в нем
положительную постоянную г2 положительной постоянной с2/у2
и принять t' = x/v. Координату х можно рассматривать как па-
па(V2 - -J-pr) G (г, t) = - б (р - 3') б (/ - |) ;
раметр, ибо она не входит в дифференциальный оператор в ле-
левой части уравнения F4а). Решение уравнения D2) непосред-
непосредственно приводит к выражениям E5а) и E56) для функции
Грина.
При отрицательных значениях у2 удобно использовать третье
из уравнений F36)
(V? + Р21 Y I2-j??) G (г, /) = - б(р - р') в ('-?)• F46)
Если ввести новую переменную х — х/$\у\, то дифференциаль-
дифференциальный оператор в левой части уравнения примет вид лапласиана
в координатном пространстве х, у, z. Помимо этого, происходит
замена 8(t — x/v)-+6(t — x\y\lc) = (c/\y\)8(x — x'), где ве-
величина х' = ct/\y\ играет роль параметра. Решение преобразо-
преобразованной таким образом задачи состоит в нахождении статической
функции Грина Gs в пространстве х, у, z^ которая с учетом нор-
нормирующего множителя с/|у| имеет при р'= 0 вид
G =c/lvl F5)
Перейдя в этом выражении к координатам х, у, z, получим функ-
функцию Грина E6).
В случае монохроматического процесса, как и в п. «г», нали-
наличие или отсутствие излучения определяется параметром а =
= &0/р = со/у. При а < k0 л/ё излучение имеется, а при обрат-
обратном условии а > k0 л/ё поток энергии от источника отсутствует.
Эти условия эквивалентны ранее установленным соотношениям
Р2ё ~> 1 и р2ё < 1. Направление распространения волн при на-
наличии излучения определяется углом \р (фиг. 23). Из фиг. 23
видно также, что характеристики излучения движущейся заря-
заряженной частицы могут быть установлены непосредственно по
виду поверхности волновых чисел для данной среды. Прежде
всего построим плоскость к = &о/Р> где в данном случае симво-
символом и обозначена проекция волнового вектора на ось х. Если
эта плоскость пересекается со сферой k = ko^/e, то излучение
распространяется от траектории частицы вдоль показанных на
схеме конических траекторий. Если же указанные поверхности
не пересекаются, то излучение отсутствует. В случае когда ё не
зависит от частоты, все излучаемые плоские волны испускаются
под одинаковым углом ty, которым и определяется волновой
фронт, показанный на фиг. 24. С физической точки зрения кар-
картина такова: заряд возбуждает плоские волны, фазовая скорость
которых vp > с/л/ё вдоль его траектории равна w; это «условие
когерентности черепковского излучения», очевидно, не выпол-
выполняется при vp < c/Ve-

78
Гл. 5. Поля в плоскослоистых средах
§ 4. Источники в безграничном диэлектрике
79
"*
параллельно оси кольца и вдоль его контура. Первые можно
назвать «дипольными кольцевыми источниками», вторые — про-
просто «кольцевыми источниками». В отличие от поля скалярного
точечного или линейного источника с постоянной амплитудой,
3°UJ7UM0
Фиг. 25. Кольцевые токи.
а. — дипольный кольцевой источник; б — кольцевой источник.
которое зависит лишь от расстояния до источника, поле, возбу-
возбуждаемое кольцевым источником, зависит от угла наблюдения,
отсчитываемого от оси кольца.
Монохроматический кольцевой источник с плотностью
продольного электрического тока
J (г, 0 = 7°6 (р — р') 6 (г — z') ein<fe~ 'w'z0.
G1)
Поскольку в данном случае элементарные токи — продоль-
продольные, поля, возбуждаемые кольцевым источником, можно выра-
выразить по формулам A) и Dв) из § 2 через скалярную функцию
Грина Gf(r; r', 8'), полученную путем интегрирования функции
Грина для свободного пространства G/(r, г') [формула B6), где
следует положить r —*- | г — г'|] по контуру кольцевого источ-
источника:
о с
Gf(r, г', в') = р/ )
— П
4л J
pik\T-r'\
| г — г
G2а)
G26)
причем выражение для величины |г — г'| в сферической системе
координат дается формулой F). Как видно из выражения G1),
распределение тока допускает фазовый сдвиг, соответствующий
множителю ехр(шф), где п — целое число или нуль. Вычислить
интеграл в формуле G26) в замкнутом виде не удается. Но при
оценке поля в дальней зоне (см. также § 9, п. «в») можно при-
приближенно положить |г —г'| ~ г — г' cos у, откуда получаем
[формула F)]
г fr I г r'l i Ь. (г — /¦'! гпц V
G3а)
„iftlr-r' |
На основании формулы
я
ik(r-r') cosy
— 2ne~inJl!2Jn (x),
G36)
заменив верхний и нижний пределы интегрирования в формуле
G26) величинами л + ф и —л -f- ф, из формул G26) и G3а)
получаем следующее приближенное выражение для функции G/,
описывающей поле в дальней зоне:
0 Jk(r-r' COS6 COS6')
Gf (r, г', 9) ~ Yr PV" «p-«/2>4 (krf sin 9 sin 6'), G4)
Зависимость этой величины от расстояния, соответствующая
множителю A/г)ехр(г&г), такова, что поле в дальней зоне ведет
себя как расходящаяся сферическая волна.
Замечания
Выражение G4) можно по-разному интерпретировать с фи-
физической точки зрения в зависимости от радиуса источника р' =
= г'sin 9'. Если х <С 1, то /„(*) ~ хп и, следовательно, Gf ос
ос L(kc,')n при очень малых значениях kc,', где L = 2яр' есть
длина контура кольцевого источника. Таким образом, поле, из-
излучаемое кольцевым источником с очень малым kp' в дальней
зоне, всегда очень мало, кроме случая, когда п = 0, отвечаю-
отвечающего источнику с постоянной амплитудой плотности тока; в этом
случае Jq{x) ~ 1, х—*0 и Gf-+ LGf. Если же произведение ftp'
велико, но гораздо меньше kr, то следует различать две области:
ftp'sin 9 > п и kg' sin 9 < п. Пусть п также велико; тогда при
х <; п мы имеем /„(*) ~ (х/п)п, а при х ^> п следует использо-
использовать соотношение 2Jn(x) — Н(п {х) + Я(„2)(х) и асимптотические
выражения для функций Ханкеля C7) [или A3) из § 3]. Таким
образом, при достаточно малых углах наблюдения 9, когда
ftp'sin 6 <с п, поле излучения кольцевого источника становится
очень малым.

82
Гл. 5. Поля в плоскослоистых средах
4. Источники в безграничном диэлектрике
83
и объясняется его наличие в выражении G6). Наконец, множи-
множитель Vp'/P B формуле G6) обусловлен тем, что элементы тока
в точках Pi и Рг не коллинеарны, а лежат на кольце; в проек-
проекции на плоскость кольца расходимость лучевой трубки с сече-
сечением dA на величину р/р' больше расходимости лучей от пря-
прямолинейного- тока. Поскольку амплитуда поля вдоль луча убы-
убывает обратно пропорционально корню квадратному из сечения
лучевой трубки, мы приходим к выражению G6) [см. также
гл. 1, § 7, формула C7), где \|з — фазовая функция]. Множитель,
описывающий расходимость лучевой трубки, очевидно, характе-
характеризует преобразование цилиндрической волны вблизи от эле-
элемента кольца в сферическую волну в дальней зоне.
Выражения G5) или С76) непригодны в предельном случае
sin 8 -*¦ 0, в котором они дают бесконечные значения для поля.
В этой переходной области, когда точки наблюдения лежат
вблизи или на каустике, следует пользоваться формулой G4).
При выводе выражения G5) предполагалось выполнение ус-
условия kr'sin 8'sin 0 ;§> п, что дало возможность воспользовать-
воспользоваться простой асимптотической формулой C7) для функции Хан-
келя. Если же требуется асимптотическое представление поля
G4) в случае, когда велики и п, и kp' sin 0, то следует использо-
использовать более точные асимптотические формулы [§5, формулы C3)
и C4)]. При I — п/х > х-2'* имеем
Н^*(х)~л1—?-ье
V их cos p
При (nix)— 1 > .
¦v;
sh if
) sin
ex<*ch*-5
= -J. G7a)
chif = -,
x
G76)
sh if
При | 1 - nix | = О (*-'/«),
-2\)], x = tC\x-n\ G7в)
где Ai(a) и Bi(a) —функции Эйри [гл. 4, § 2, п. «д»]. В пред-
представленных выражениях для функций Ханкеля величины п и х
считаются действительными и положительными, но эти выраже-
выражения сохраняют силу в выделенных комплексных областях. Ве-
Величину Jn(x) можно найти исходя из выражений G7а) или
G7в) по формуле 2/„ = Н(п + Н™¦ При п/х > 1 требуется спе-
специальная формула, так как в соответствии с выражением G76)
//п'+ #«* ~ 0. Выражения G7) ясно показывают, что при а <.
<х функция Jn(x) описывает распространяющуюся волну, при
я ;> х — затухающую волну, а при п г» х мы имеем переходную
область.
Если исследовать выражение G4) в случае, когда п велико
и kp' > п, но условие kp' ;$> п не выполняется, то с помощью
формул G7) можно получить более сложное и более точное
асимптотическое представление, чем G5). Из-за наличия допол-
дополнительных фазовых множителей начальные точки двух лучей,
приходящих в точку Р, оказываются смещенными из ближайшей
и наиболее удаленной точек кольца. Механизм излучения в
этом случае показан на фиг. 26, б, где мы для простоты выбрали
точки наблюдения в плоскости кольцевого источника (8 = 8' =
= я/2). Как и прежде, лучи испускаются каждым элементом
кольца под углом гр = arccos (a/k). При волновых числах а, со-
соответствующих «медленным» волнам (а = п/г' > k), угол \|з —
комплексный, действительных лучей нет, поле сосредоточено в
окрестности кольцевого источника и распространяется вдоль на-
направления тока. В случае же «быстрых» волн (а < k) имеется
излучение, соответствующее лучевой картине, изображенной на
фиг. 26, б. Случай a m k относится к переходной области п «
« kr', о которой говорилось, когда речь шла о формулах G7).
При kr' > п [т. е. когда пространственный период Bпг')/п на-
намного превышает длину волны] мы приходим к картине излуче-
излучения, изображенной на фиг. 26, а, где \|з « л/2. В правильности
такой интерпретации можно убедиться, рассмотрев в формуле
G4) экспоненциальные множители exp(i'xi,2)> появляющиеся при
замене Jn(kr') асимптотическим выражением G7а). Результат
таков:
Xl = k(r — r' cos p) + п (ф - Р) + л/4,
%2 = k (г + г' cos Р) + п. (ф - л + Р) - я/4.
Физический смысл этих фазовых функций ясен из фиг. 26, в, где
исследуется поле излучения в отдаленной точке (г, ф), причем
г — расстояние от центра кольца. В соответствии с лучевой кар-
картиной, изображенной на фиг. 26, б, поле состоит из вкладов двух
лучей, исходящих из точек Р{ и Р-i (фиг. 26, в). Луч, вышедший
из точки Р\, проходит путь (г — г' cos P) и приобретает разность
хода k(r — г' cos Р). Фаза элемента тока в точке Р\ равна п(ц> —
— Р), и, следовательно, полная фаза в точке наблюдения (r,q>)
почти совпадает с фазой %,, отличаясь от нее лишь слагаемым
я/4, обусловленным, согласно формуле G66), свойствами поля
излучения линейного источника. Точно так же для луча, выхо-
выходящего из точки Рг, получаем фазу %¦, без фазового сдвига —л/2,
обусловленного пересечением этим лучом каустики на границе
тени (фиг. 26,6).

86
Гл. 5. Поля в плоскослоистых средах
Ч
Интегралы, входящие в потенциальные функции кольцевого
источника, можно вычислить по аналогии с формулой G2а) при
i—> — /• Отметим, что при пфО возбуждаются волны электри-
электрического и магнитного типов (т. е. поле излучения кольцевого ис-
источника содержит продольные составляющие электрического и
магнитного полей). В частном случае кольцевого источника с по-
постоянной плотностью тока (п = 0) потенциал П' отсутствует.
Возбуждаемые электрическое и магнитное поля находятся по
формуле A) из § 2 и формуле (82) данного параграфа. Электри-
Электрическое поле имеет только азимутальную составляющую, равную
о
Е (г) =
/соц ail"
d29"f
(83а)
где в соответствии с выражением A06) из § 2 и формулой G)
dp dp'
(|p) Л (|р') ехр (- / V*2 - I21 г - г |
Сравнив выражения G8а) и (836), находим
dp dp'
rt-0
(836)
(83в)
Поэтому полученные ранее асимптотические формулы для G-
можно непосредственно использовать для вычисления полей в
дальней зоне в рассматриваемой задаче. Результаты, соответст-
соответствующие временной зависимости типа ехр (—ко/), находятся пу-
путем замены / —¦ —i.
Монохроматические магнитные токи
Аналогичные результаты в этом случае можно получить из
приведенных выше формул путем дуальной замены
Е-+Н, Н-+ — Е, /o->Af>, I-*V и \i<^e.
§ 5. ИСТОЧНИКИ ВБЛИЗИ ПОЛУБЕСКОНЕЧНОГО
ДИЭЛЕКТРИКА
а. Монохроматический продольный элементарный
электрический ток
J (г, I) = //6 (р) 6 (г - г') е-шг0.
A)
Допустим, что в точке z' < 0 на оси г возле плоской границы
г = 0 полубесконечного диэлектрика (фиг. 27) расположен про-
продольный элементарный электрический ток с амплитудой /° = //,
§ 5. Источники вблизи полубесконечного диэлектрика
87
где / — переменный ток, проходящий по бесконечно малому от-
отрезку /¦ Свойства среды в полупространстве z < 0 характери-
характеризуются диэлектрической и магнитной проницаемостями ei и ц, а
в полупространстве z > 0 — соответствующими величинами е2
и ц. В отличие от задачи о диполе в свободном пространстве в
данном случае поле нельзя выразить через одну простую функ-
функцию пространственных координат и поэтому следует обратиться
к методу разложения по собственным функциям. Если принять
а о
Фиг. 27. Продольный элементарный ток возле границы полубесконечиого ди-
диэлектрика.
а —система отсчета для случая, когда точка наблюдения лежит в о_бластн /; б —система
отсчета для случая, когда точка наблюдения лежит в области 2 (Уе, sin 61=Уе2 sin 62).
ось 2 за направление передачи, то электромагнитные поля мож-
можно выразить через скалярные функции Грина G(r.r') для ?-волн
[§ 2, формулы A) и Dв)], которые удовлетворяют дифферен-
дифференциальным уравнениям
(V2 + k\) G[ (г, г') = — 6 (г — г') при 2 < 0, Bа)
(V2 + kl) Gr2 (г, г') = 0 при 2 > 0, B6)
а также условию излучения на бесконечности в обеих областях
и следующим граничным условиям при 2 = 0 [гл. 2, § 3, фор-
формулы C6) и далее]:
1 dG\ I dG'2
G\ = Go, н-5- = т^ при 2 = 0, Bв)
1 г> е, дг е2 дг r v '
где k\ 2 = со2це1 2. В цилиндрических координатах г = (р, z)
И r' = @, z') поле при г<0 можно выразить через функцию
G\(r, г') = С„ (г, г') + С. (г, г'), C)

90
Гл. 5. Поля в плоскослоистых средах
Если потери в полупространстве г > 0 очень велики (т. е.
|е| > 1, arg e « л/2), то величина G'Sb пренебрежимо мала, но
в том случае, когда точка наблюдения лежит близко от границы,
требуются дополнительные видоизменения. В этом случае полюс
подынтегрального выражения1), определяемый множителем
Волновой фронт
доковой волны
Область, в которой
доковая волна
отсутствует
Источник
а б
Фиг. 28. Боковая волна.
а — поверхность волновых векторов; б — ход лучей в физическом пространстве.
(Зд), расположен вблизи точки перевала и суммарное поле при-
принимает вид
Ant
G)
Ga)
где Г = 1 + Г,
b = A/2eiJI'4sin-
„-«Я/4
" 2T V|e|
,-«4
9 - wp V2 sin \{wp - 9)/2] '
00
Q(y)=\e-*dx.
G6)
Выражение G) справедливо при всех углах наблюдения 0 <
< 0 ^ л/2 в полупространстве г<0 и при любых ег; при 6 qb
qb л/2 оно, как можно показать, переходит в разложение E).
') Если область 2 заполнена плазмой, то может выполняться соотноше-
соотношение е2 < —в|. где 8| > 0, и тогда вклад полюса оказывается иным, чем
указано здесь (п. «л»).
§ 5. Источники вблизи полубесконечного диэлектрика
91
В частном случае, когда поглощение в среде 2 велико (arg e «
« я/2), а в среде 1 потери отсутствуют и 6 = л/2 (источник и
точка наблюдения расположены на границе), второе слагаемое
в формуле Gа) пренебрежимо мало по сравнению с первым сла-
слагаемым. В этом случае разложение G) для функции на границе
областей с учетом формул G6) принимает вид
G[
~2пТ
l, (8)
я
~2'
где % — введенное Зоммерфельдом [7, гл. 6] «численное расстоя-
расстояние»:
. С = ^Т- (8а)
Учитывая, что Q(-/VS) = Q(O)- ) e~x'dx, где Q@) = V«/2,
перепишем разложение (8) в виде
lkr г
G[ ~ -У~ 1 + /
-*VF
- 1
~* dx . (86)
Первый член разложения (86) представляет волны, распростра-
распространяющиеся вдоль идеально проводящей поверхности (|е| — оо);
наличие второго члена связано с тем, что |е| —конечная, хотя
и большая, величина. При малых Z все определяется первым
членом, но при увеличении Z, второй и третий члены возрастают
и их сумма стремится к —1 при ? > 1 [гл. 4, § 4, формула B0)].
Таким образом, характер решения довольно сильно зависит от
численного расстояния. Второй член разложения (86) соответ-
соответствует «поверхностной волне», что явствует из зависимости
вида (l/yf^r)exp(igpr), где |p(r) = k\.r sin wp « kxr + it, (см.
разд. «Замечания»). Но на очень больших расстояниях (при
больших ?) поле поверхностной волны гасится третьим членом
разложения (86), и поэтому утверждение о его основной роли в
поле диполя справедливо лишь в ограниченных пределах.
В области z > 0 вычисление интеграла (За) методом пере-
перевала при больших действительных значениях k\i, согласно фор-
формуле D) с учетом лишь членов первого порядка, дает
Апл/k^
cos9i
,/ ^
Л/ kx cos21
х
cos2 e2
(9)

94
Гл. 5. Поля в плоскослоистых средах
§ 5. Источники вблизи полубесконечного диэлектрика
95
в приближении геометрической оптики основано на предполо-
предположении, что поле распространяется вдоль луча локально как пло-
плоская волна с соответствующей поляризацией (гл. 1, § 7, п. «б»),
и проводится последовательно в четыре эгапа.
1. Определение траекторий лучей от источника до точки на-
наблюдения в соответствии с законами отражения и преломления
лучей (и плоских волн) на границе диэлектрика.
2. Вычисление начального значения поля G2'o на преломлен-
преломленном луче, равного падающему полю на границе диэлектрика,
умноженному па коэффициент прохождения для плоской волны.
3. Вычисление фазы поля в точке Р, равной сумме фазы поля
G'w, и изменения фазы вдоль пути L2.
4. Вычисление амплитуды поля в точке Р, равной произве-
произведению I G201 на корень квадратный из отношения площадей се-
сечения лучевых трубок на границе диэлектрика и в точке Р.
На первом этапе мы приходим к траекториям лучей, изобра-
изображенным на фиг. 27, б, где углы 6i и Э2 соответствуют закону от-
отражения плоской волны (закону Снеллиуса); оба луча лежат в
плоскости, нормальной границе диэлектрика, хотя это и не обя-
обязательно в случае анизотропных сред (т. 1, фиг. 25). Для нахо-
нахождения поля G20 на втором этапе напомним, что падающее поле
на границе диэлектрика равно DnLi)~1exp(tftiLi), а коэффи-
коэффициент прохождения плоской волны равен 1 — Г(jfei sin 9) [см.
также выражение E), где нужно положить г — г — L\ и учесть
условие непрерывности полей (G\ = G'2) при г = 0]. Изменение
фазы вдоль преломленного луча (третий этап) равно k2L2. При
определении амплитуды поля на четвертом этапе следует рассмо-
рассмотреть лучевые трубки для падающего и преломленного полей,
образованные близко идущими лучами B7,6). Отношение ин-
тенсивностей поля в точке Р и на границе диэлектрика пропор-
пропорционально отношению сечений лучевых трубок в этих точках,
равному
dA2 2я | г' 1 tg 61 ds2 (Q,
dA ~ 2лр ds ' У >
где ds2 и ds— длины элементов сечений в плоскости pz, разли-
различающиеся из-за конического расширения лучевой трубки; при
выводе выражения (9а) учтена симметрия конфигурации лучей
относительно оси г. В результате геометрооптическое приближе-
приближение решения для точки наблюдения (р, г) в области 2 имеет вид
[гл. 1, §7, формула C7)] [10]
- r (fe! sin
dA2
dA
(96)
Выражение в фигурных скобках соответствует полю G'2o на гра-
границе диэлектрика, а остальные множители учитывают изменение
фазы и амплитуды поля вдоль преломленного луча.
Для доказательства эквивалентности выражений (9) и (96)
можно воспользоваться следующими геометрическими соотноше-
соотношениями, которые легко выводятся из фиг. 27, б:
ds = ds2 + L2 d%2 = (L2 + L2f) d%,
. _ . cos62 _ . cos 9, ,fl . .. (9b)
2 ' cos 9i ' cos 9, ' 2f 2'
учитывая также, что dQi/dQ2 = {k2jk{) (cos 02/cos 0i) в соответ-
соответствии с законом Снеллиуса (k\ sin 0i = ?2sin02), имеем
(lS'~> Z^nf h спч^ ft
~dT = L2 + L2f ' 2f = i|17 cos29, ' (9r^
где L2f — длина лучевой трубки для преломленного поля от мни-
мнимого фокуса F до границы диэлектрика. Подставив выражения
(9г) и (9а) в формулу (96), приходим к выражению (9). Тем
самым мы показали, что вычисление отраженного и преломлен-
преломленного полей методом перевала в первом порядке приводит к тем
же результатам, что и вычисления на основе представлений гео-
геометрической оптики.
В случае когда в обоих диэлектриках отсутствуют потери,
причем источник находится в более плотной среде (т. е. ei > e2
или е<1 и е — действительная величина), дифракционное поле
G'sby описываемое формулой F), также допускает интересную
лучевую интерпретацию [10]. Фазу экспоненциального множи-
множителя kx У1 — е | z + z' | + kx Уе рможно записать в виде й, (Lj +
4- L3L- koL2, где Lu L2 и L3 — расстояния, указанные на
фиг. 28, б. В возможности такой записи нетрудно убедиться,
если учесть соотношения k2 = ?, Уе, р = (L, + L3) sin 0 + Z.,, | z -f-
+ z' | = (Z-! + Lz) cos 0, где 0 = arc sin У е — угол полного внутрен-
внутреннего отражения при дйествительных е <С 1 [формула Fа)]. Та-
Таким образом, фазу волны, соответствующей вкладу разреза, мо-
можно рассматривать как фазу луча, который распространяется от
источника до границы диэлектрика под углом 0~, преломляется
и идет параллельно границе во второй среде (соответствующее
изменение фазы L2k2), выходит из второй среды под углом 0 и
попадает в точку наблюдения. Имея в виду характер распро-
распространения этой волны вдоль границы диэлектрика, ее называют
«боковой» волной. С учетом того, что L2=p — | z + z' \ tg 0 (sin 0=
= уе, cos0 = yi — е), часть поля F), зависящую от коорди-
координат, можно записать в виде
Область существования функции G'sb совпадает, очевидно, с об-
областью, показанной на фиг. 28,6, когда боковой сегмент L2

Гл. 5. Поля в плоскослоистых средах
аргумента [§ 3, формула A3а)], интеграл, входящий в функцию
G's, можно преобразовать к виду A4), где
= —Ш~ Л/
nr Sin 6
w Г (ki sin w), a = 9, L =
A4)
Затем методом перевала можно вывести при действительных k{
асимптотические разложения типа A5) и A6) из § 3; в частно-
частности, эквивалентом асимптотической формулы A6а) из § 3 слу-
служит выражение E).
Для учета возможных вкладов, обусловленных различными
особыми точками подынтегрального выражения, следует опреде-
определить их расположение на комплексной плоскости. Исходный кон-
контур интегрирования на комплексной плоскости ш показан на
фиг. 30, а. Помимо точки ветвления ш = 0, обусловленной ана-
аналитическими свойствами функции Хаикеля, имеются точка вет-
ветвления и полюс, связанные с особенностями коэффициента от-
отражения F(ftisinoy). Будем считать, что \i и ei — действитель-
действительные величины, а в среде 2 имеются потери, т. е. при временной
зависимости вида ехр(—iat) мы имеем г.1 = ъ'2-}г is", где е' и
е?' — действительные величины, причем в'2 > 0, е" ^0. В этом
случае
е — — ___ I л 1 /jBip Л ^^*" «к ^^ ттIА. {\ ^о\
—¦ —^ — — I о I с • \J ^^> **> ^ч» jiytj i lOdl
д/ё = д/|Т[ е'А A56)
Если представить точки ветвления wb ± arc sin Vе в виде wb —
= wbr-\-iwbi, где wbr и wbi—действительные величины, то
в соответствии с соотношением
sin wb = sin wbr ch wbi + i cos wbr sh wbi =
= Vl e | cos г|> + i Vl e I sin ф A5в)
они расположены так, как показано на фиг. 30, а. При гр —»- 0
и | е | > 1 мы имеем wb —*¦ я/2 + iwbi, a при г|: —> 0 и | е | < 1 мы
имеем wbi-*0. Напомним, что на верхнем листе четырехлистной
поверхности Римана, изображенной на фиг. 8, а, выполняются
соотношенияkN = k2 = k{ л/е , д/&2 — ?2 ^ kx и д/я2е — |2 ^ k{ д/е
при | = 0. В соответствии с этим на верхнем листе двулист-
двулистной римановой поверхности, изображенном на фиг. 30, а, имеем
Ve — sin2 w = д/е при w = 0 (т. е. корень квадратный считает-
считается положительным, если подкоренное выражение положитель-
положительно). Поведение функций Rex2 и Im хг ясно из фиг. 30,6 и в, где
изображены линии Re хг = 0 и Im хг = 0. Поскольку знак функ-
функции Re хг (Im х?) может измениться лишь при пересечении линии
§ 5. Источники вблизи полубесконечного диэлектрика
99
ReX2 = 0 (Im хг = 0), при пробедении разрезов вдоль этих ли-
линий знак функции Re хг (Im хг) одинаков на всем верхнем листе
двулистной римановой поверхности. Что же касается знака
Imw
*¦ Reu)
-Ь -к,
«
\
\
\
О к,
-л/г
¦•_>
о
я/г
в
Фиг. 30. Контуры интегрирования и особые точки.
а—контуры интегрирования на комплексной плоскости ю; б —особые точки иа комплекс-
комплексной плоскости |; в —особые точки на комплексной плоскости w (l = fci sin w). Штриховые
линии соответствуют равенству Re Иг = 0, штрих-пунктирные —равенству 1га х>=0.
функции Im хг (Нехг), то он меняется при каждом пересечении
линии Im х2 = 0 (Re хг = 0).
Полюсы wp подынтегральной функции T(k[Sinw) [формула
(Зд)] удовлетворяют уравнению
; — sin wp = — е cos wp.
A6)

102
Гл. 5. Поля в плоскослоистых средах
Выбор знака в представлении B0в) согласуется с равенством
B06), в чем нетрудно убедиться, если учесть, что на левом бе-
береге деформированного разреза на фиг. 30, а мы имеем s>0
и arg(w — wb) = arg dw вблизи точки wb- В результате точка
ветвления w = wb отображается в регулярную точку s = 0 на
плоскости s. Поскольку
д/е — sin2ay = д/ш — wb д/ — sin 2 ку6 [I + О (w — wb)], B1a)
имеем
Г (k{ sin да) = — 1 —
е cos w,
[— sin 2ге;. 1~'1г
^т-т *5г- +O(s2). B16)
i sin (wb — 8) J ' к ' v '
Напомним, что л/в — sin2 w > 0 при sin w < Vе (т- е- ПРИ w =
= л/2 — i|o>i|, |ш,| < |оУЬг|). Правая часть равенства B1а)
удовлетворяет этому условию, так как —s\n2wbz=—t|sh2oybi|,
причем w — шг, = ([|ш&,-| — |и»г|]. И наконец,
¦л/sinw =
-\- о (s2).
B1 в)
Полученные результаты остаются в силе и при комплексных е,
если квадратные корни определены так, что переходят в приве-
приведенные выше в пределе при arg e —> 0.
Подставив выражения B1) в формулу A9а). нетрудно убе-
убедиться, что G@) =0. Поскольку в интеграл A9) дают вклад
лишь четные степени степенного разложения G(s) вблизи точки
s = 0, из выражения A7) гл. 4, § 2, следует, что первый член
асимптотического разложения Ib при больших значениях k\r
имеет вид
2V2n e-^'Uinw,,
(V)"'2 ед/cos^ [sln(wb-B)]'l> '
B2)
полученный результат совпадает с формулой F), так как
sin шй = Уе, cosa.'i = Vl — e. Все сказанное относится к слу-
случаю |е| > 1. При |е| < 1 точка ветвления wb\ на фиг. 30, а
смещается к действительной оси в интервале л/2 < wr < л, а
точка шЬ2 — к действительной оси в интервале 0 < wr < л/2.
Таким образом, существенной при вычислении интеграла осо-
особенностью становится точка ветвления wb2 и следует учитывать
ее вклад в интеграл.
Отметим, что выражение B2) теряет силу при 6 —> wb (т. е.
при 0-+8 в случае е <С 1). Это объясняется тем, что точка вет-
ветвления оказывается вблизи от седловой точки w = 6, когда ра-
равенства B0) и B1) не выполняются. Поведение интеграла /&
при 6 = wb нетрудно выяснить. Воспользовавшись преобраюва-
§ 5. Источники вблизи полубесконечного диэлектрика
103
нием A8) к переменной s, находим, что производная dw/ds ко-
конечна при s = 0, s ос w — 0 и интеграл Ib пропорционален
со
eikxr I e-fc,rs2 д/5 ds, откуда, переходя к переменной t = —
о
получаем для 1Ь оценку eik'r (k{r)~ и. Полный переход от ра-
радиальной зависимости вида (k\r)-zi* при 0 Ф wb к зависимости
вида (&ir)~3/< при 6 = wb можно представить посредством функ-
функций параболического цилиндра (гл. 4, § 4, п. «в», и гл. 7, § 5,
п. «г»). Подчеркнем, что при вычислении методом перевала ин-
интеграла для отраженного поля влияние точки ветвления прояв-
проявляется при 6 —> wh сходным образом, но геометрооптическое при-
приближение E) остается верным; эффект проявляется в членах
более высокого порядка O(l/fe2r2).
Полюс подынтегрального выражения A6а) в точке w = wp
не пересекается при переходе к пути наибыстрейшего спуска, но
его близость к седловой точке в случае 6 « л/2 и |е| S> 1 ока-
оказывает влияние на результат вычислений методом перевала; как
отмечалось ранее, влияние точки ветвления при этих условиях
незначительно. Чтобы дать читателю представление о некото-
некоторых трудностях, рассмотрим полученное методом перевала при-
приближенное выражение для коэффициента отражения E), спра-
справедливое при 6 ^6 л/2:
Г {kx sin 6):
1 — V е cos 9
1 -f Ve cos 9
Ve cos 9
I e | > 1 , B3)
где последнее равенство выполняется лишь при условии
д/| е | cos 6^> 1. Если 6—> л/2, т. е. источник или точка наблюдения
расположены вблизи границы, коэффициент отражения B3)
очень быстро изменяется отГ« —1доГ«+1 и потому функ-
функцию Г (^i sin ш), входящую в подынтегральное выражение в
формуле C6), нельзя считать медленно меняющейся в окрестно-
окрестности седловой точки w = 0 «а л/2. Фактически и числитель и
знаменатель функции Г(Й1 sin ш) могут стать очень малыми.
Чтобы обойти эту трудность в числителе, удобно воспользовать-
воспользоваться представлением
Г (ki sin w) = — 1 + Г (ki sin ш),
B4)
sinay) = ¦
2 Ve — sir
Ve — sin2 w + e cos w
Вклад в интеграл C6) первого члена этого выражения, т. е. —1,
есть функция Грина свободного пространства, отнесенная к точ-
точке изображения. Второе слагаемое и формуле B4), функция Г,
имеет полюс и точке w = wp, определяющийся уравнением

106
Гл. 5. Поля в плоскослоистых средах
Заметим, что функции G и 9" удовлетворяют одинаковым усло-
условиям на границе диэлектриков, нормальной к оси г, так как они
связаны поперечным оператором: —V2t9' = G. В цилиндрических
координатах функция V^ при z < 0 и р' = 0 выражается ин-
интегралом [§ 2, формула A2)]
A) (go)
C1)
= -|2-. C1а)
где для ?-волн У = 91' и
а для Я-волн 9> = 9>" и
C16)
причем k\ 2 = со fxe, 9.
Контур интегрирования следует проводить на верхнем листе
римановой поверхности, где по определению все квадратные кор-
х ни имеют положительную мнимую
часть (фиг. 8, а). Величина V^2 (r, г')
также определяется формулой C1),
где выражение в фигурных скобках
следует заменить следующим обра-
< зом:
3°
4-
z'
Фиг. 31. Поперечный элемен-
iV*?-&V). C2)
Решение для неограниченного ди-
диэлектрика с волновым числом ku опи-
описываемое функцией V^lf, которая оп-
определяется по формуле C1) с учетом
лишь одного первого слагаемого в квадратных скобках, можно
найти в замкнутом виде [§ 4, формула A96)]; как и в выраже-
выражении C), влияние границы в области 1 описывается функцией
V^s, представленной в виде интеграла. Можно также заме-
заметить, что поле в неограниченном диэлектрике (первичное) можно
вычислить по более простым формулам
C3)
§ 5. Источники вблизи полубесконечного диэлектрика
107
которые следуют из выражений A) и Dв) § 2 и учитывают, что
элемент тока возбуждает в неограниченной области лишь ?-вол-
ны относительно направления оси элемента. Функция Gf\ опре-
определяется согласно формуле C).
Методы, изложенные в п. «а», позволяют получить асимпто-
асимптотическое разложение интегралов, представляющих функции
Vtd"', и V^"; при этом окончательное выражение для поля со-
содержит волны такого же вида, как и в случае возбуждения про-
продольным диполем.
Z-,
<Ь\
зег
z'
2 = 0
Фиг. 32. Эквивалентная схема для определения собственных волн (Е- н
Я-типов).
Для вывода выражений C1), кроме общего соотношения
A2) из § 2, требуется знать функции Грина г'ж1 (г, z') для элек-
электрических волн и g"zl (г, г') для магнитных волн. На фиг. 32 при-
приведена эквивалентная схема рассмотренной задачи, а функция
Грина для собственных волн g'zi дается формулами A1) — A3).
Функция Грина для Я-воли удовлетворяет уравнениям A1), где
следует произвести замену gz-*g"z и записать второе из ра-
равенств (Ив) в виде dg"^jdz = dg'Qdz при z = 0, так как маг-
магнитная проницаемость ц одинакова для обеих областей на
фиг. 31. Коэффициент отражения Г"(|) для магнитных волн оп-
определяется формулой
— 7
C4)
которая с учетом соотношений Z = соц/х, x
совпадает с выражением C16).
Поле, возбуждаемое горизонтальным диполем, исследовал
несколько иным способом Зоммерфельд [7, разд. 33; 11, гл. 1],
использовавший для его описания вектор Герца П = х0Пх +
+ zollz, а не введенные выше потенциалы, описывающие Е- и
Я-волны в направлении оси г.

по
Гл. 5. Поля в плоскослоистых средах
§ 2 по собственным волнам прямоугольного волновода [15]. При
временной зависимости типа exp(jwt) соответствующий аналог
интегрального представления C6) имеет вид
l's (r, г', со) = g?j lj d|
• Г (х„ щ), D0)
где Z = | z + z' |, а
Г (и,, и2)=--
С1,2
Im
D0а)
Положим со—»-—js, s>0 и введем изменение масштабов | =
= a's, Ti = p's; последнее позволяет устранить зависимость ве-
величины Г от s, а зависимость от s показателя экспоненты све-
свести к явному множителю:
G
оо оо
'---5- [ [
s~ 8к2 3 3
r(Y;, YQda'dP', D1)
— оо —оо
где
Т, 2
D1а)
Введем теперь цилиндрические координаты (р,ф) в плоскости
ху так, чтобы вектор хоа' + уор' совпадал по направлению с ра-
радиус-вектором р = р (х0 cos ф + Уо sin ф) == хох + УоУ-
— р sin ф, р'= аэ1пф +
В результате имеем
а'х + р'г/ = аР> а'2 + р'2 = a2-f p2,
и выражение D1) принимает вид
— оо —оо
Yi
D2)
' ф' = da dp, D2 а)
,, Y2^ da, D3)
где
l,2
ReYi,2>0, Uli2>0.
D3а)
§ 5. Источники вблизи полубесконечного диэлектрика
111
Интеграл по а может быть представлен в виде, соответствую-
соответствующем формуле B0) из § 2. Для этого прежде всего произведем
замену
h D4)
откуда yi = ^i cn Х- Переходя затем к сферическим координа-
координатам (г, 6), по формулам р = г sin 0, Z = г cos 0, 0 < 8 < я/2,
получаем
'-S
,-s (/up+v, Z)
r(Yi.
D5)
Полагая %= — jw, имеем
Г (да) =
-yoo
e2 cos tw —
— sin2 да
юа)
e2 cos да + e,
=
— sin да
или, что эквивалентно,
/оо
D66)
-/оо
Переход от представления D6а) к представлению D66) допу-
допустим в случае, когда функция Г не имеет особых точек в полосе
0< |Re ву | < л/2. При Qi < Q2 (т. е. при е2 > ei) подынте-
подынтегральная функция имеет точки ветвления вуь. лежащие на ли-
линиях Re w = ±я/2. Полюсы wp функции Г определяются соот-
соотношением
соэш,
- V е_
- 1
е =
D7)
причем величина cos wp действительна при е> 1 и должна быть
выбрана отрицательной, поскольку ^/(Q2/^iJ — sin2 w > 0 при
положительном подкоренном выражении. Следовательно, по-
полюсы также расположены вне области |Reoy| <п/2 и выраже-
выражение D66) справедливо при 0 < 6 < л/2, если е > 1.

114
Гл. 5. Поля в плоскослоистых средах
§ 5. Источники вблизи полубесконечного диэлектрика
115
Как показывают асимптотические вычисления при больших
kiR где R — расстояние от источника-изображения (фиг. 33),
для' Gs справедлива следующая приближенная формула:
G = I + U (ф — ф) /(,; E7)
здесь и — единичная ступенчатая функция, a /s — асимптотиче-
асимптотическое значение интеграла E4), найденное методом перевала:
/s~ 4л
О
Г" (A!i sin "/>) =
cos ф — Ve — sin- ф
E7а)
E76)
cos* + Ve — sin2 Ф
Вклад h точки ветвления в интеграл таков:
1 exp [ib (УГ=7 1 г + г | + л/еу) + »я/4] ( * V' E7в)
7*~У2^ [*, (VII г + Z'|-Vr^7 </)]'" Vl~e;
Величина 5 — угол, соответствующий формуле Fа), а 0—по-
0—полярный угол, показанный на фиг. 33 [см. также формулу A0) и
фиг. 27].
Фиг. 33. Линейный ток, параллельный плоской границе диэлектрика.
Если параметр *,/? тоже велик, то можно воспользоваться
асимптотической формой функции Грина в свободном простран-
пространстве [§ 3, формула A36)] и представить G\ в виде
E8)
Первая группа членов в выражении E8) представляет собой
двумерное (цилиндрическая волна) поле в приближении геоме-
геометрической оптики, а слагаемое, пропорциональное /&, можно
интерпретировать как поле боковой волны [см. также т. 1,
фиг. 30, и гл. 1, § 7, формулы F46) и F4в)]. Относительная ве-
величина этих вкладов в поле такая же, как и в случае продоль-
продольного диполя, рассмотренном в § 5, п. «а». Вклад, обусловленный
интегралом по разрезу, имеет порядок величины O[(kiR)~3/2] и
потому, как правило, меньше геометрооптического поля; ис-
исключение составляет случай действительных е и </> —»¦ я/2 (каса-
(касательное падение), когда /?—>/?, a V"(ki) = —1. В этом случае
все поле—порядка O[(k[R)~V2] и для определения С следует
проводить асимптотическое разложение функций Gfl и Gs с уче-
учетом членов следующего порядка малости. Высшие члены асим-
асимптотического представления Gf] можно найти по формуле C7)
из § 4. Для вычисления интеграла E46) методом перевала с
учетом членов более высокого порядка можно перейти к новой
переменной по формуле cos (w — ф) = 1 + is2, —°° < s < оо
и воспользоваться выражениями A7) из гл. 4, § 2, а также Bв)
и Fв) из гл. 4, приложение 1.
Подчеркнем, что коэффициент Г" [формула E76)] при 0 ^
^г 0 =?^ я/2 регулярен, даже если |е|^ 1, и, следовательно, по-
поле, возбуждаемое электрическим линейным источником, не об-
обладает такими особенностями, как в формулах G) и (8).
Подробности вычислений
Выражения для полей E6) можно вывести аналогично фор-
формулам C1) из § 4. Поскольку электрическое поле имеет лишь
х-составляющую, возможны лишь магнитные волны относитель-
относительно оси г и, таким образом, G = G" представляет собой двумер-
двумерную функцию Грина (волны Я-типа). Дифференциальные ура-
уравнения E3а) и E36) следуют из уравнения C6) § 2 в частном
случае д/дх = 0, а граничные условия на плоскости г = 0 мо-
могут быть установлены так же, как в гл. 2, § 3, п. «г» [текст по-
после формулы C6)].
Интегральные представления для G., выводятся из формул
A3а) § 2 и A) § 3 (с заменой j—*—i)\ при этом коэффициент
отражения магнитных волн дается формулой C4). Отметим, что
Для описания волн Я-типа пригодна эквивалентная схема, пред-
представленная па фиг. 32, так как она тоже построена для источ-
источника с поперечным электрическим током; правда, сила генера-
генератора тока i в обоих случаях должна задаваться по-разному. Ин-
Интеграл, входящий в выражение E46), по своему виду совпадает
с общим интегралом A26) из § 3 [следует лишь учесть переход

118
Гл. 5. Поля в плоскослоистых средах
и. Импульсные поперечные электрические линейные токи
Если зависимость линейного тока (фиг. 33) от времени имеет
§ 5. Источники вблизи полубесконечного диэлектрика
119
вид
j (г, /) = 6 (р - р') / (/) х0, / (/) = /6 (О,
F3)
то возбуждаемое им электромагнитное поле дается выражения-
выражениями E6) (с заменой ш -*¦—d/dt):
Exl,2 = — pI-§fGU2, Ёу = Ёг = О, F4а)
НуУ2 = 1—Ь1ш2, Я21,2 = -/-|-О1,2, Нх = 0, F46)
где ~G" = Ъ есть двумерная зависящая от времени функция
Грина для магнитных волн, которая удовлетворяет дифферен-
дифференциальным уравнениям
ду2 dz2 c\ dt2
при г < О,
F5а)
2>0-FЭД
а также нулевым начальным условиям при t < t' и граничным
условиям
q=q _ с =-—- Go при г = 0. F5в)
1 ¦" дг ' дг
Скорость распространения электромагнитных волн в двух сре-
средах такова: с\, 2 = (jiei, 2)"'/2; кроме того, р= (у, г).
Решение в области г < 0 в случае f = 0 можно представить
в виде
G, (р, р'; и О = Gf, (р, Р'; Л /') + §s (p, р', /, Л F6)
Где Qn — функция Грина для безграничной среды 1 [§ 4, фор-
формула D2) с заменой с->с1( р->Я; см. фиг. 33], a Gs — функция
Грина, которая имеет вид
J_ Re Г [Ф + / Arch (с, t/R)] t> —
О при
F7a)
где
cos w
— Ve — sin2
е2 г?
cos Щ, + -ye — sin
При t' Ф 0 следует в этих формулах заменить t величиной t — t'.
Здесь R и ф — полярные координаты, отсчитываемые от изобра-
изображения источника (фиг. 33), и принято, что диэлектрические про-
проницаемости ei, 2 не зависят от частоты, причем е2 > в]. Поэтому
при е2 > ei поле, возбуждаемое в точке наблюдения {у, z), z <
< 0, импульсным источником, расположенным в точке @, г'),
г' < 0, равно сумме прямой волны Gf\ и отраженной волны бя;
амплитуда последней равна Re Г, и ее можно рассматривать как
Волновые фронты
первичного поля
Волновой фронт
дифрагированного поля
(боковая волна)
Фиг. 34. Волновые фронты в случае, когда источник находится на границе
диэлектрика. В область, отмеченную вертикальной штриховкой, сначала при-
приходит дифрагировавшая (боковая) волна, распространяющаяся так, как по-
показано на фиг. 28.
волну, испущенную источником-изображением, находящимся в
точке @, —z') в среде с фазовой скоростью волны с\. При
ei > e2 возможен дополнительный вклад в поле, соответствую-
соответствующий нестационарному аналогу боковой волны, представленной
на фиг. 28 (см. также фиг. 34).
Подробности вычислений
Решение E46) для монохроматической функции Gs по форме
совпадает с общим интегралом B0) из § 2 (если произвести в
нем замену /-*— i), так что результат F7) для нестационар-
нестационарного случая сразу следует из выражений A9) и B3) § 2. При
принятом ограничении е2 > ei (т. е. при е > 1) точки ветвления
шб=±агсэтУе функции r(fei sin ш) не пересекаются в про-
процессе деформации контура, в результате которого мы приходим
к интегралу типа B1) из § 2; в выражении F7в) для краткости
функция Г(^!sin ш) обозначена через Г(ш).
Если е < 1, то точки ветвления лежат на действительной оси
Э интервале | Re w\ < л/2 и их учет дает боковую ьолиу (фиг. 28

122
Гл. 5. Поля в плоскослоистых средах
выкладок записать заключенную в квадратные скобки часть вы-
выражения G36) в виде aktt (цЛ + f) \b (ц2 + gj] , где a, b, f и g —
величины, не зависящие от ц; в результате действительная часть
мощности, переносимой полем, которое представляет собой су-
суперпозицию Е- и Я-волн, характеризуемую индексом т), прини-
принимает вид
2пЩ12 - ё,)
Хехр[-2
kl (-1- - §,) | z' |], G4)
где
(ё, + e2)
5!>|L>s,.G4a)
Полный поток энергии в область z > 0 в малом спектраль-
спектральном интервале dco с центром на частоте со дается выражением
C4) из § 2; напомним, что интегрирование по ti проводится
лишь по тем значениям, при которых величины xi,2 действи-
действительны [17]:
W „ = —
2я2(82-ё,)
3
-¦По
G5)
здесь была проведена замена переменной л—Ло|> Ло —
= ^о[ё2 — A/Р2)]2 и введены величины
? = I * = е .-- ,
Интеграл в выражении G5) можно вычислить, если экспо-
экспоненциальный множитель равен единице [17]. Это условие выпол-
выполняется в случае, когда траектория заряда проходит по границе
раздела диэлектриков г' = 0 или когда параметры задачи та-
таковы, что выполнено неравенство 2k01 г' \ л/ё, — ё. <С 1, feo = ffl/c.
Во втором случае путем замены переменной ? = |(|2— 1)~'/г пре-
преобразуем выражение для энергии излучения к виду
2я2(е2 —
5. Источники вблизи полубесконечного диэлектрика
123
интеграл, входящий в это выражение, можно взять, вычислив
вычеты в полюсах, расположенных в верхней или нижней полу-
полуплоскости комплексного ?. Читатель может провести такие вы-
вычисления в качестве упражнения.
л. Поля в ограниченных областях с отрицательной
действительной диэлектрической проницаемостью
(монохроматический режим)
В предыдущих разделах рассматривались задачи о монохро-
монохроматическом излучении в обычных диэлектрических средах, в ко-
которых действительная часть комплексной диэлектрической про-
проницаемости считалась положительной. Но при определенных ус-
условиях действие макроскопически нейтральной ионизованной
плазмы на электромагнитное иоле можно характеризовать ком-
комплексной диэлектрической проницаемостью с отрицательной дей-
действительной частью [гл. 1, § 1, формула F4) при d2/dt2 —> — со2,
а = 0]. Влияние подобной среды на поле излучения электромаг-
электромагнитного источника и, в частности, эффекты, связанные с нали-
наличием поверхности раздела в случае ограниченной области, мы
будем исследовать на примере поля линейного источника E9)
с продольно-ориентированными электрическими токами1), рас-
расположенного в точке р' = @, г'), z' < 0, (фиг. 33). Возбуждае-
Возбуждаемые поля можно выразить через двумерную функцию Грина для
?-волн G'(p,p') = G(p, p'), которую для удобства представим в
виде (п. «е»)
G, = Gn + GS, z< 0, G7)
где Gf\ — функция Грина для свободного пространства, запол-
заполненного средой 1 [§ 4, формула B5)], a Gs соответствует отра-
отраженному полю
G,
= L [^1
4я J
-iK, («+«')
X,
х, = л/*!-Л2. G7а)
причем T(ii) = (e,x2 —e2xi)/(eix2 +82ki) —коэффициент отра-
отражения, который дается формулой (Зг). В области 2 (г > 0) поле
описывается функцией
-r—
[1 — Г (ti)l
х.
}di\,
G8)
') Рассматриваемые ниже иоверхпостпо-волновые эффекты проявляются
Аля ?-волн. Линейный ток E2) возбуждает лишь волны //-типа.

126
Гл. 5. Поля в плоскослоистых средах
волны от координат в области 1 имеет вид
Оим ~ exp [lkl ( V!=Lir j i/j exp
2, z'<0, |e|> 1
(82)
так что скорость ее распространения в направлении оси у мень-
меньше, чем у однородной плоской волны.
Поскольку при е < 0 функция хг в выражении G8) — чисто
мнимая при всех ц, поле в области 2 экспоненциально убывает
с ростом 2. Поэтому представляют интерес лишь точки наблю-
наблюдения вблизи границы раздела, для которых экспонента exp(tX2Z)
не может быстро меняться, а носит характер амплитудного мно-
множителя. Так как асимптотическое разложение интеграла G8)
легко находится при больших значениях у и z' [§ 3, формулы
A9)], будем для удобства считать, что источник расположен
вблизи от поверхности и что функция ехр(—iv.\z') медленно ме-
меняется по сравнению с экспонентой ехр(щу). Если перейти к
комплексной плоскости до, произведя замену ц = ?i sin w, то
путь наибыстрейшего спуска Р будет такой, как на фиг. 36, при-
причем точка перевала w = я/2. Деформация контура Р в Р прово-
проводится так, как было описано выше. Вклад интеграла по пути
наибыстрейшего спуска дает поле поверхностной волны, имею-
имеющее вид
)~Vtexp(ik{y - fe, лЛ + I e | z), kltj>l, z > 0; (83)
ос
в соответствии с тем, что Т{ЬЛ s\n<j>) ->¦ 1 при ф-+п/2, вычисляе-
вычисляемые методом перевала члены O[(kiy)-'^] обращаются в нуль.
Вкладом интеграла по разрез} также можно пренебречь, ибо ои
экспоненциально убывает с ростом как у, так и z. При е < —1
наиболее сущствен вклад полюса, соответствующий поверхност-
поверхностной волне вида
V|e|-
2 > 0, Z' < О,
> 1.
(84)
Как уже указывалось раньше, поле такой поверхностной вол-
волны убывает до нуля при удалении от границы в обе области.
О наличии поверхностной волны вблизи плоской границы
раздела двух сред при е <; —1 можно также заключить исходя
из условий поперечного резонанса (гл. 2, § 4, п. «д»). Условие
резонанса Z{ -j- Z2 = 0 в рассматриваемом случае принимает
вид
у-2 = — еиь х,, 2 = у «1,2 — Ц , k2 = y'e kx. (85)
§ 6. Монохроматические источники возле диэлектрической пластины 127
Поскольку обе области простираются до z = ±oo, для собствен-
собственных волн, удовлетворяющих условиям на бесконечности, должно
выполняться условие xi,2 ^= ' | >ei,21 - В этом случае уравнение
(85) удовлетворяется лишь при отрицательных е и при rj2 > k\.
При резонансных значениях ц2 получаем
К — |e|_i ' (86)
откуда в силу условия т\2 > 0 следует требование к диэлектри-
диэлектрической проницаемости е < —1.
§ 6. МОНОХРОМАТИЧЕСКИЕ ИСТОЧНИКИ
ВОЗЛЕ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПЛАСТИНЫ
а. Продольный элементарный электрический ток
J(r, t) = Il
'.-zf)e-^%. A)
Пусть, как показано на фиг. 37, продольный элементарный
электрический ток с амплитудой /° — //, где / — переменный
Г\ Идеально проводящая
плоскость
Фиг. 37. Продольный элементарный ток возле заземленной диэлектрической
пластины.
ток, проходящий по бесконечно малому отрезку /, расположен
в точке г' < 0 на оси z возле заземленной диэлектрической пла-
пластины. Пластина занимает область между плоскостями z = 0 и
z = d, диэлектрическая и магнитная проницаемости ее е2 и ц, на
границе z — d расположен идеальный проводник. Свойства сре-
среды во внешней области z <_ 0 характеризуются проницаемостью
ei и \i. Возбуждаемое здек! ромагннтпое поле можно выразить

130
Гл. 5. Поля в плоскослоистых средах
§ 6. Монохроматические источники возле диэлектрической пластины 131
легко вычислить точно при любых значениях ktp [см. текст перед
формулой A5)]. Полюсы wa, связанные с коэффициентом отра-
отражения Dа) и определяемые уравнениями G), можно разделить
на две категории:
1) полюсы wa = wv, соответствующие поверхностным волнам,
2) полюсы wa = Шц, соответствующие вытекающим волнам.
Суммы, входящие в выражение F), дают вклад соответствую-
соответствующих этим полюсам вычетов в поле в дальней зоне; они появ-
появляются при углах наблюдения 0 > 9а, где
Qa = Rewa — arccossch(lmayj, a = v, ц. (8)
Приведенные результаты справедливы вне переходных областей
0 ft* 9a. Уточненные решения, пригодные и в переходных обла-
областях, можно найти ниже [после формулы A6)].
Замечания
Первые два слагаемых выражения F) (не считая множи-
множителя в квадратных скобках) дают поле в приближении геомет-
геометрической оптики; их можно интерпретировать точно так же, как
К точке Р
Идеально
проводящая
плоскость
Фиг. 38. Схема хода лучей для вычисления коэффициента отражения.
в случае отражения от диэлектрического полупространства (§ 5,
п. «а»), с той лишь разницей, что теперь Г(^1 sin в) учитывает
отражение от пластины. Для сред без потерь входящий в фор-
формулу Fа) коэффициент отражения от пластины можно найти,
рассмотрев многократное отражение и преломление лучей на
границе диэлектрика (фиг. 38).
Остальные члены (суммы вычетов) дают дифрагированные
поля, которые вносят заметный вклад при достаточно больших
углах наблюдения 0. Расположение полюсов подынтегрального
выражения на комплексной плоскости w при наличии малых по-
потерь в пластине показано на фиг. 39; в отсутствие потерь полюсы,
соответствующие поверхностным и вытекающим волнам, лежат
на линиях Re wa = ±jt/2. Заметим, что для падающего и от-
отраженного полей мы имеем зависимость вида l/kif или \jk\r,
т. е. такую же, как и для сферических расходящихся волн, а по-
поверхностные и вытекающие волны ведут себя как цилиндриче-
цилиндрические волны с зависимостью от расстояния типа l/'vAfe^ sin 8 ==
= l/V&iP- Таким образом, в силу чисто геометрических соотноше-
соотношений поля поверхностных или вытекающих вплн должны убывать
Im ш
Полюсы \
цоверхяостяых\
волн /
-Л/2
V
Полюсы
, вытекающих
квот
я/2
Полюсы
' поверхностных
волн
Полюсы
вытекающих
волн
Фиг. 39. Контуры интегрирования и особые точки на комплексной пло-
плоскости w.
медленнее, чем поле в приближении геометрической оптики. Но
при оценке того или иного члена, соответствующего вычету в
полюсе, следует также учесть амплитудные и экспоненциальные
множители.
При действительных е, больших единицы, уравнения G) до-
допускают конечное число решений с чисто мнимыми значениями
q = i\q\ и действительными значениями р. Этим решениям со-
соответствуют поверхностные волны с экспоненциальной зависи-
зависимостью вида
feiVl+klV^PJ, (9)
распространяющиеся без затухания вдоль поверхности пластины
(по р), но имеющие заметную амплитуду лишь в том случае,
если источник и точка наблюдения расположены вблизи этой
поверхности. Название «поверхностная волна» как раз и выра-
выражает то обстоятельство, что поле подобных волн сосредоточено
вблизи поверхности. В отсутствие потерь при | z + zr\ —> 0 по-
поверхностные волны в диэлектрике составляют основной вклад в
поле, так как амплитуды этих цилиндрических волн убывают с

134
Гл. 5. Поля в плоскослоистых средах
6. Монохроматические источники возле диэлектрической пластины 135
рассматриваемые полюсы лежат на плоскости w вблизи действи-
действительной оси и, следовательно, затухание вытекающих волн, как
указывалось в предыдущем абзаце, может быть малым; для б,
определенного формулой A26), имеем w^ «V8 Vl + ti/k\d).
Таким образом, вклад этих волн в точках наблюдения с боль-
большим kxr, но малым k\r sin(9 — av)sn w^ может оказаться зна-
значительным [5].
Подробности вычислений
Вывод интегрального представления D) функции Gs можно
провести, используя одномерные собственные функции A1) из
§ 5, на которые следует дополнительно наложить граничное ус-
условие dgz2/dz = 0 при z = d [формула Bг)]. Эквивалентная схе-
схема для этой задачи представлена на фиг. 40, причем gz пропор-
Z,
Короткое
замыкание
Фиг. 40. Эквивалентная схема для определения собственных волн (?-типа).
циональна току в линии. Решение при z < 0 дается выражением
A) из § 3, где Z, = x/coei (?-волны), a Z@)—входной импе-
импеданс короткозамкнутой линии передачи относительно плоскости
2 = 0 [гл. 2, § 4, формула B4а)]:
A3)
Подставляя эти выражения в общую формулу A) из § 1 и учи-
учитывая, что \ = k\ sin w, получаем запись Dа) для коэффициен-
коэффициента отражения; выражения C) и D) для поля находятся при
этом из общего интегрального представления A1) § 2 (с заме-
заменой / -> —i соответственно иной зависимости от времени) [см.
также § 4, формула Gа)]. Если источник поля (точка z') распо-
расположен в области 0 < 2 «=: d, т. е. внутри пластины, то собствен-
собственная функция Грина gz выражается более общими формулами
B8) и B9) из гл. 2, § 4 (см. также гл. 3, § 4, п. «а»).
Поле в области пластины 0 < z <; d можно выразить через
функцию gz\ для внешней области z < 0 [§ 3. формула AI. По-
Поскольку dgz2/dz = 0 на границе z = d, функция gz2 должна быть
пропорциональна cosx2(d — 2). При этом в силу условия не-
непрерывности gz[ = gz2 при 2 = 0 имеем
n , cos v.2 (d - z) _ , , cos и, (d — г)
z2
(z, z') =
"' - > cos x2d szl v"' " >
чем и оправдывается замена E).
Асимптотическое разложение интеграла D) можно получить
так же, как и в § 5, п. «а», с той лишь разницей, что в ампли-
амплитуду f(w) в формуле A4) из § 5 следует подставить коэффи-
коэффициент отражения Dа). Метод перевала в первом порядке дает
второй член в выражении для поля F), а члены более высокого
порядка, обозначенные в этом выражении символом О(\/к[Г),
можно найти так, как показано в гл. 4, § 2, п. «б».
Среди особых точек подынтегрального выражения D) на
комплексной плоскости w отметим прежде всего точки ветвле-
ветвления, удовлетворяющие уравнению sin w = 0 и отвечающие об-
обращению в нуль аргумента функции Ханкеля. Интересующая
нас точка ветвления w = 0 и выбранный вид разреза показаны
на фиг. 39. Поскольку коэффициент отражения F(k\ sin w) пред-
представляет собой четную функцию величины Vе — sin2 w, точки ве-
ветвления при wb = ± arcsin -\]е, т. е. при \ь = ±k2, отсутствуют.
Это согласуется с общим выводом из § 3, п. «а», так как область
2 ограничена плоскостью z — d (и, следовательно, точка z =
= -|-°° не достигается). Точки ветвления на плоскости комплекс-
комплексных волновых чисел с. определяющиеся условием 1ь = ±&i,
устраняются при преобразовании % = k{ sin w. Подынтегральное
выражение имеет также полюсы в нулях w — wa знаменателя
коэффициента отражения Dа). Если ввести новые параметры
р и q согласно Gа), то мы придем к системе трансцендентных
уравнений G), которыми определяется положение полюсов. Эти
уравнения можно также получить из условия поперечного резо-
резонанса [гл. 2, § 4, формула C6)]. Для эквивалентной линии, пред-
представленной на фиг. 40, относительно входа при 2 = 0 имеем:
Z@) дается формулой A3), Z@) = Zj и, таким образом, усло-
условие поперечного резонанса Z@) -f- Z@) =0 приводит к уравне-
уравнениям G) (с заменой/-+—i).
В отсутствие потерь в среде величины ей/2 положительны;
при этом уравнение G) может иметь решение с чисто мнимыми
Я= i\q\ и действительными р. Этим значениям q отвечает ко-
конечное ЧИСЛО ПрОСТЫХ ПОЛЮСОВ при Wvr = Я/2, Шу,-<01).
1) Очевидно, что если wa — решение уравнений G), то и — wa также
Удовлетворяет им. При действительных е, введя комплексно сопряженные
величины, можно показать, что —q* также удовлетворяют системе G) и
Таким образом, при действительных /г, величина я — wa — тоже решение.

138
Гл. 5. Поля в плоскослоистых средах
§ 6. Монохроматические источники возле диэлектрической пластины 139
с точностью до замены ei ->-*¦ е2, которая учитывает различие в
обозначениях диэлектрических проницаемостей сред на фиг. 37
данного тома и на фиг. 81 из т. 1.
Подчеркнем, что выражение F) справедливо при углах 6 9fc
9^ 6v, v. (т. е. предполагается, что полюсы лежат достаточно да-
далеко от пути наибыстрейшего спуска). Если же путь наибыст-
наибыстрейшего спуска пересекает полюс или полюс расположен вблизи
от седловой точки, то для получения выражений, аналогичных
формуле F), следует воспользоваться обобщенным методом пе-
перевала (гл. 4, § 4).
Альтернативное представление поля (радиально
распространяющиеся волны)
Как отмечалось в предыдущем разделе, вблизи диэлектриче-
диэлектрической пластины, изображенной на фиг. 37 (при ег > е,), основной
вклад в электромагнитное поле, возбуждаемое расположенным
возле пластины продольным электрическим током, в дальней
зоне вносят поверхностные волны, обладающие зависимостью от
р цилиндрической волны и экспоненциально затухающие при
удалении от поверхности диэлектрика. Амплитуды этих волн в
выражении F) оказалось невозможным получить на основе раз-
разложения поля по волнам, распространяющимся в 2-направле-
пии, приводящего к представлению D); для определения ампли-
амплитуд понадобилось асимптотическое разложение ноля в дальней
зоне, наблюдаемого вблизи поверхности диэлектрика. Посколь-
Поскольку поверхностные воллы представляют собой ноля, распростра-
распространяющиеся вдоль границы диэлектрика, можно предположить, что
выражение скалярной собственной функции Грина G' для элек-
электрических волн через радиально распространяющиеся решения
(т. е. ее разложение по собственным волнам г-области) приве-
приведет к более прямому определению амплитуд возбуждаемых по-
поверхностных воли.
Искомое р-представление для G' сразу следует из общего
разложения C96), если положить и = р, v — <р. Ортонормиро-
ванные системы собственных функций для ф- и z-областей были
определены в гл. 3, § 4, но для удобства приводятся ниже. Ска-
Скалярные собственные функции 2-области Фг(г) должны удовле-
удовлетворять граничным условиям для Е-волн в структуре, изобра-
изображенной на фиг. 37. Эта структура совпадает со структурой, изо-
изображенной на фиг. 81 т. 1, если в последней заменить величины
х, х', ei и е2 величинами —z, —z', е2 и ei. Формулы B5) —B7)
из гл. 3, § 4, показывают, что спектр собственных волн имеет
дискретную (поверхностная волна) и непрерывную части; мы
приведем лишь функции, требуемые для представления поля в
Области z < 0 при z' < 0.
z-областъ
Дискретная часть спектра:
Ve, Av
A7а)
где qv = i\qv\ — корни системы уравнений G), выражающих
условие поперечного резонанса, a Av — величина, даваемая фор-
формулой F6).
Непрерывная часть спектра:
, A76)
где
=^(8-1) + ?2. A7в)
Здесь произведена замена / —¦—i в соответствии с принятой за-
зависимостью от времени вида ехр(—Ы). Кроме того, переменная
|, фигурирующая в формулах B5) —B7) из гл. 3, § 4, обозна-
обозначена здесь через I во избежание путаницы обозначений в на-
настоящей главе.
((-область
Собственные функции, зависящие от ф, определяются форму-
формулой E16) из гл. 3,'§ 2:
= 0, ±1, ±2,... .
A8)
Радиальная характеристическая функция Грина ^(р, р'; Кр, X )
определяется выражением (93) из гл. 3, § 4:
A9)
Соотношение Яр = ?? —А,* следует из формулы C86) гл. 3, § 3,
величина Хгг по определению равна
Подставив в формулу C96) из гл. 3, § 3, собственные функ-
функции A7) и A8), приходим к следующему разложению функции
Грина G'(r, г') по радиально распространяющимся волнам [по-
[поскольку р' = 0 на фиг. 37, следует учитывать в A8) лишь член

142
Гл. 5. Поля в плоскослоистых средах
0<arg|<jt; тем самым интеграл по контуру С сводится по
теореме Коши к интегралу по контуру С", охватывающему раз-
разрез, и сумме вычетов в полюсах поверхностных волн, определяе-
определяемых функцией Г(?) (интегралы по замкнутым контурам C'v).
В результате мы приходим к искомому представлению поля че-
через радиально распространяющиеся волны, в котором, как и в
выражении B0), используется система собственных функций
для 2-области. Дискретный спектр соответствует вкладу выче-
вычетов в полюсах поверхностных волн и в точности совпадает с сум-
суммой в формуле B0). Чтобы убедиться в том, что интеграл по
контуру С', охватывающему разрез, дает непрерывную часть
спектра [интегральный член в формуле B0)], введем новую пе-
переменную ? согласно формуле B1) [формула A0) из § 4 и да-
далее] и упростим выражением с учетом соотношения Г(—?) =
= Г*(?) при_ действительных ?.
Контур С на фиг. 41 переходит на комплексной плоскости w
в контур Р фиг. 39, а контур С отображается в контур Р', прохо-
проходящий по мнимой оси от w = ioo до w — 0, по действительной
оси от w = 0 до w = я и затем по вертикальной прямой от
w = я до w — я — ioo. Непрерывная часть спектра поля пред-
представляется в формуле B0) интегралом по бесконечному контуру
Р'\ при асимптотических оценках для дальней зоны следует де-
деформировать Р' в путь наибыстрейшего спуска Р, показанный
на фиг. 39, и вычислить интеграл методом перевала. В резуль-
результате приходим к выражению типа F). Если 0 Ф л/2, то при де-
деформации контура интегрирования он может пересечь один или
более из полюсов поверхностных волн, лежащих на плоскости w
вблизи действительной оси (фиг. 39). Вычетами в этих полюсах
компенсируются соответствующие члены суммы в формуле
B0), и в результате в асимптотическом выражении для поля,
наблюдаемого над поверхностью диэлектрика, присутствуют не
все возможные поверхностные волны. Кроме того, может ока-
оказаться, что необходимо учитывать один или более из полюсов
вытекающих волн. Окончательный результат при этом согла-
согласуется с выражением F), выведенным на основе представления
поля в виде волн, распространяющихся вдоль оси z.
Случай незаземленной пластины
Если источник расположен возле незаземленной диэлектриче-
диэлектрической пластины (фиг. 42,а), то для обобщения всего сказанного
выше достаточно просто ввести подходящую собственную функ-
функцию Грина gz, которую можно найти из эквивалентной схемы,
изображенной на фиг. 42, б. С учетом симметрии структуры от-
относительно плоскости г = d удобнее рассматривать не прямо
случай фиг. 42, а две вспомогательные задачи — случаи симме-
симме§ 6. Монохроматические источники возле диэлектрической пластины 143
тричного и антисимметричного возбуждающего напряжения,
представленные фиг. 43, а и б. Там же представлены соответ-
соответствующие физические условия задачи.
Как видно из эквивалентных схем, при антисимметричном
возбуждающем напряжении в плоскости z = d напряжение рав-
равно нулю (короткое замыкание), а при симметричном возбу-
возбуждающем напряжении в плоскости z — d ток равен нулю (раз-
(разрыв цепи). Соответственно этому в случае, когда возбуждающие
продольные электрические токи антисимметричны в плоскости
Z,
я,
z = o z = z&
Фиг. 42. Продольный элементарный ток возле незаземленной диэлектриче-
диэлектрической пластины.
а—физическая структура; б —эквивалентная схема для определения собственных волн
(Е-типа).
симметрии z = d, равны нулю касательные составляющие элек-
электрического поля, а когда токи симметричны, в этой плоскости
равны нулю касательные составляющие магнитного поля. Оче-
Очевидно, что суперпозиция возбужденных полей, или откликов в
эквивалентных линиях передач, в случаях, представленных на
фиг. 43, а и б, дает вдвое большее поле, нежели в случае, пред-
представленном на фиг. 42. Пусть Еа, На—электромагнитное поле
в некоторой точке при антисимметричном, a Es, H*—при симме-
симметричном возбуждении. Тогда электромагнитное поле в случае,
представленном на фиг. 42, а, оказывается таким:
H=1(HS+Ha).
B2)
Поскольку области z < d и z > d разделены стенками из
идеального проводника (фиг. 43, а) и идеального магнетика
(фиг. 43,6), достаточно рассмотреть задачу лишь для полупро-
полупространства Z <. (I,

146
Гл. 5. Поля в плоскослоистых средах
Различие состоит лишь в том, что величины Г'(?) и Г"(?), соот-
соответствующие формулам C1) из § 5, следует заменить коэффици-
коэффициентами отражения Е- и Я-волн, приведенными к плоскости z = О
на фиг. 37 или 43,6. Как и в п. «а», поле, возбуждаемое возле
диэлектрической пластины, можно представить в виде суперпо-
суперпозиции решений двух вспомогательных задач для изображенных
на фиг. 43 структур со стенкой из идеального проводника или
идеального магнетика в плоскости 2 = 0. Случай с идеально
проводящей стенкой эквивалентен случаю элементарного попе-
поперечного тока, расположенного в точке z', и противоположно на-
направленного тока той же величины в точке 2d — z'\ случай же
полубесконечной структуры со стенкой из идеального магнетика
эквивалентен случаю двух одинаково ориентированных элемен-
элементарных возбуждающих токов. Коэффициенты отражения ?-волн
для полуограниченных структур, отсчитываемые относительно
плоскости 2 = 0, определяются формулами Dа) и B3а). Для
Я-волн величину Z@) можно находить по формулам A3) и
B3), где следует теперь вычислять характеристические импе-
дансы как Z" 2 = соц/к" 2. Напомним также, что вследствие неог-
неограниченности области в поперечном относительно z направлении
мы имеем х' 2 = к" 2 = д/^f Q — ё2- Поэтому коэффициент отра-
отражения для собственных волн в полуограниченной короткозамк-
нутой линии принимает вид
B76)
дчя полуограниченной разомкнутой линии имеем
p//s /?\ \К\ Clg И2<2 + Х>
/Xi Ctg И2Й — И2
Подставив эти выражения (с заменой /—>¦—г) в формулы C1)
из § 5, находим интегральные представления функций V^' и
Wt^" для полуограничеиных короткозамкиутой и разомкнутой
линий и тем самым определяем поля в области z < 0 [по форму-
формулам A) из § 2]. Для отыскания полей в области 0 < z ^ d сле-
следует учесть замены E) и B4).
Асимптотические выражения для поля в области г<0 на
фиг. 37 и 43 или при z > 2d на фиг. 42 можно получить, как и
ранее, методом перевала; они аналогичны выражению F). За-
Заметим, что условия резонанса для Я-волн очень похожи на соот-
соответствующие условия для ?-волн [формулы G) и B5)]. В част-
частности, полюсы определяемого согласно формуле B7а) коэффи-
коэффициента отражения Г"(?) полуограниченной короткозамкнутой
линии удовлетворяют уравнению B5), в котором величину eq
следует заменить величиной q; аналогичная замена и формуле
§ 7. Монохроматические источники возле поверхности
147
G) приводит к уравнению, которым определяются полюсы ко-
коэффициента отражения B76) полуограниченной разомкнутой
линии.
Поперечно-ориентированный электрический линейный ток
J(r, /) = /о(р -р')е~шх0.
B8)
Случай такого тока возле диэлектрической пластины (фиг. 37
или 43) совершенно аналогичен случаю линейного источника
возле полубесконечного B > 0) диэлектрика (§ 5, п. «г»). Вход-
ные импедансы Z@) и коэффициенты отражения Г для полубес-
полубесконечного диэлектрика следует заменить их аналогами для ди-
диэлектрической пластины. Асимптотическая оценка описывающих
поле интегралов, близких по форме к интегралу E46) из § 5,
проводится практически идентично соответствующим вычисле-
вычислениям для точечного источника, так как функция Ханкеля в фор-
формуле C6) заменяется асимптотическим выражением A3) из § 3.
Полный вывод результатов мы оставляем читателю в качестве
самостоятельного упражнения.
§ 7. МОНОХРОМАТИЧЕСКИЕ ИСТОЧНИКИ
ВОЗЛЕ ПОВЕРХНОСТИ С ПОСТОЯННЫМ
ИМПЕДАНСОМ
Для полупространства или слоистой области z > 0 можно в
определенной области изменения параметров ввести поверхност-
поверхностный импеданс Zs, приближенно характеризующий соотношение
между касательными составляющими электрического и магнит-
магнитного полей в плоскости 2 = 0:
Е,(р, 0) = ZsH,(p, 0)Xzo.
A)
В тех случаях, когда можно ввести понятие поверхностного им-
импеданса, решение граничной задачи электродинамики для обла-
области г<0 весьма заметно упрощается, так как отпадает необхо-
необходимость анализа поля в области z > 0. В сущности задание им-
импеданса на плоскости 2 = 0 можно рассматривать как задание
нагрузки для области 2< 0 [фиг. 3 и 37; гл. 1, § 5, формула
D0)].
а. Продольный элементарный электрический ток
J (r, t) = lib (р) 6 (z — z') e~ шгй. B)
Пусть, как показано па фиг. 44, продольный электрический
ток с амплитудой /° = //, где /—переменный ток, проходящий

150
Гл. 5. Поля в плоскослоистых средах
С учетом формулы Fа) постоянная распространения той ча-
части поля в выражении F), которая соответствует вкладу вычета
в полюсе, просто выражается через поверхностный импеданс Z,:
iktr cos (»• -9) . _ , i ——..
е , s = -т=-ехр(- ibZs\г + г'\)exp(,7s, V1 - Zip). G)
у г sin 8 V р
Мы видим, что эта часть поля экспоненциально убывает при уда-
удалении от плоскости z = 0, если Im Zs < 0, и представляет собой
«правильное» решение уравнений Максвелла, если выбрать
ImVl—Z4'> 0. Обобщая понятие поверхностной волны, вве-
введенное в случае, когда потерь нет (Zs = —i|Zs|), можно назвать
найденное поле, распространяющееся вдоль поглощающей по-
поверхности с 1гп2\,<;0, «затухающей» поверхностной волной.
В случае сильного поглощения, Z, « е~'/2, sin wv « 1 + i/2|e|,
сравнение амплитуды поверхностной волны (при z = z' = 0)
в выражении F) с амплитудой второго слагаемого в формуле
(86) из § 5 показывает, что первая вдвое больше последней.
Причина такого расхождения в том, что при 0 = л/2 полюс под-
подынтегрального выражения лежит на пути наибыстрейшего спу-
спуска вблизи точки перевала и ПНС обходит полюс по полуокруж-
полуокружности. Поэтому соответствующий вклад в интеграл равен полу-
полувычету, а не целому вычету, как в выражении F) (гл. 4, § 4,
п. «а»).
Подробности вычислений
Интегральное представление рассеянного поля E) нетрудно
получить по аналогии с соответствующим выводом в § 6. На
фиг. 45 приведена эквивалентная схема для определения одно-
¦<?>¦
Фиг. 45. Эквивалентная схема для определения собственных волн (?-типа)
мерной собственной функции Грина gzi(z,zf) в формуле A) из
§ 3, причем эквивалентная линия передачи для данного типа
волны нагружена поверхностным импедансом Zs. При выводе
указанного выше результата следует воспользоваться представ-
представлением поля A1) из § 2 (с заменой j—*¦—i) и с помощью усло-
условия (За) найти граничное условие для собственной функции
§ 7. Монохроматические источники возле поверхности
151
Грина dg'zljdz = ia>z{Zsg'zi\ в результате с учетом соотношений
Fа) из § 2 и A5) из гл. 2, § 2, приходим к эквивалентной схеме,
изображенной на фиг. 45. Напомним, что величина У\{г, z'), a
следовательно, и g'zl — это нормированный ток; в соответствии
с формулой A5) из гл. 2, § 2, для линии передачи электрических
волн величина (l/iae^^dg^Jdz) равна соответствующему на-
напряжению, а отношение напряжения к току при 2 = 0 равно по-
поверхностному импедансу Z,,. Формула для коэффициента отра-
отражения Eа) сразу следует из выражения Aа) § 3, если положить
Zf@) = Zs и kti = I = k\ sin w.
Асимптотическое значение интеграла E) можно найти ме-
методом перевала так же, как и в § 6. В отличие от случая пло-
плоской пластины, когда подынтегральное выражение имело беско-
бесконечную последовательность полюсов, отвечающих поверхност-
поверхностным волнам, в рассматриваемом случае подынтегральное выра-
выражение имеет единственный полюс
cos wp== — Zs, т. е. wp =
m = 0, 1, 2,
(- Zs) ± 2тя,
(8а)
В случае пассивных поверхностных импедансов, когда на поверх-
поверхности поглощается конечная (или нулевая) мощность, требова-
требование, чтобы действительная часть потока мощности была напра-
влена к поверхност
ги Re \
Е, X HJ • z0 dS ^ 01, означает в силу
соотношения (I), что Re Z., ^ 0. Поэтому из уравнения (8а) сле-
следует, что рассматриваемый полюс лежит в области
Зл ^ п
-s- > Re wp.
л/2; Im wp ^ 0 при \mZs
0.
В случае поверхностей без потерь (Re Z, = 0)_ имеем Re wp =
= л/2. Из уравнений (8) явствует, что при Re Z, —> 0 полюс при-
приближается справа к линии Re wv = л/2. Поэтому если Im Zs <
< 0 и Re Zs = 0, то контур интегрирования должен огибать по-
полюс слева по полуокружности Re wv = л/2, Im wp < 0. Рас-
Рассматриваемый полюс можно, как и в § 6 и § 3, п. «д», отнести к
«полюсам поверхностной волны», поскольку вычет в нем дает
вклад в поле, соответствующий поверхностной волне [формула
G)]. Поэтому условие существования поверхностной волны воз-
возле поверхности без потерь (реактивной) записывается в виде
Zs = —i\Zs\ [т. е. импеданс должен быть индуктивным; напом-
напомним, что принята зависимость от времени типа ехр(—iat)]. Та-
Такое условие сразу же следует из условия поперечного резо-
резонанса [гл. 2, § 4, формула C6)], согласно которому в точке
> <
полюса должно выполняться равенстпо Z;@)-|- Z,@) = 0.

154
Гл. 5. Поля в плоскослоистых средах
связанную с прежней соотношением у = щ. Тогда получим
Im Z5 > 0.
Мы видим, что такое поле создается непрерывным распределе-
распределением точечных источников, лежащих в области z' ^ z < оо на
положительной оси z (фиг. 46). Отметим, что при условии
Распределение
источников- изображений
I
Фиг. 46. Метод изображений при Im Zs > 0.
ImZ,, > 0, при котором возмущающее влияние поверхности с по-
постоянным импедансом можно точно представить как действие
реальных физических источников-изображений, в системе невоз-
невозможна распространяющаяся поверхностная волна. Это означает,
что распределение источников изображений такого типа не может
возбуждать в области z < 0 поле, соответствующее формуле G).
б. Поперечный магнитный линейный ток
М (г, 0 = Vb (р - р') е~ шх0.
(Н)
Если на фиг. 44 заменить электрический диполь линейным
магнитным током с амплитудой V, направленным параллельно
оси х, то у возбуждаемого электромагнитного поля оказываются
отличными от нуля лишь составляющие Нх, Еу и Е2 [формулы,
дуальные формулам E6) из § 5 или C1) из § 4]:
и ;,,w и Г/ F — — V д° Р — V д° цп
которые можно выразить через двумерную скалярную функцию
Грина G' для электрических волн, удовлетворяющую дпфферен-
§ 7. Монохроматические источники возле поверхности
155
циальному уравнению
{W )'(v>9') = -b(9-b\ P = (y,z), A6)
а также условию излучения на бесконечности и граничному ус-
условию
да'
дг
¦ = i(aelZsG' = ikxZsG' при 2 = 0,
A6а)
где k\ — волновое число в среде, a Z.s = Zs/VM-/ei- Решение мо-
можно записать в виде
G'(p, p/) = G/(p, p') + Gs'(p, p'),
где Gf — функция Грина свободного пространства
Gf = -f M° (*il Р — р' I).
A7)
A7а)
a Gs —функция, учитывающая наличие импедансного экрана
при 2 = 0, которую можно представить в виде интеграла по
волнам, распространяющимся вдоль оси г:
, A76)
A7в)
Величина Г(^1 sin ш) —функция, даваемая выражением Eа), а
Р — контур интегрирования, показанный на фиг. 8,6. Если вве-
ввести полярные координаты R и <f>, отсчитываемые от точки изо-
изображения источника, то можно написать |z + z'| = R cos <f>,
У — yf = R sin ф.
Нетрудно получить асимптотическое выражение для инте-
интеграла A7в), соответствующее большим значениям kxR\ оно, как
и в формуле F), имеет вид суммы отраженного поля и поверх-
поверхностной волны:
где cos wp =—Z,, величина U(ф — фр) — единичная функция
Хевисайда, fp — величина, даваемая формулой (8) из § 6,

158
Гл. 5. Поля в плоскослоистых средах
согласно формуле Aа) из § 3, имеем
ГГ(О)= '„
к'-k.Y.
откуда с учетом соотношения x" = y\Jk2 — |2 = 61costiy получаем
L B26)
T(klsinw)L .
cos ш) + Ys
Асимптотические выражения для поля могут быть получены так
же, как это делается в пп. «а» и «б».
г. Непрерывное распределение поперечных магнитных
линейных токов
Возбуждение поверхностных волн плоским раскрывом
Пусть электромагнитное поле в области, ограниченной пло-
плоскостью 2 = 0 с поверхностным импедансом Zs, возбуждается
(фиг. 47) полем в отверстии (раскрыве) в идеально проводящем
ШеОлът проводящая
поверхность
\ (g. - 0)
Идеально проводящая
поверхность
\ ..„.м.
-Л, -hz О
-л, -л, о
Фиг. 47. Возбуждение поверхностных волн конечным раскрывом.
а — физическая структура; б — эквивалентная структура.
плоском экране, расположенном при у = 0 [19]. Среда, запол-
заполняющая рассматриваемую область, характеризуется диэлектри-
диэлектрической и магнитной проницаемостями ei и \i. Отверстие пред-
представляет собой щель шириной h = h\ — h2, бесконечно протя-
протяженную по оси х; предполагается, что поле в раскрыве не за-
зависит от х, имеет единственную составляющую магнитного поля
Н = х0Н и касательную составляющую электрического поля Ех.
Поле такого типа возникает, например, в раскрыве плоского вол-
I
7. Монохроматические источники возле поверхности
159
новода со стенками при z = —h\ иг = —/г2, у < 0, когда вдоль
него распространяется основная волна типа ТЕМ. В силу соот-
соотношения эквивалентности C3а) из гл. 1, § 5, поле в раскрыве
можно отождествить с эквивалентным распределением магнит-
магнитного тока М = Е X Уо = —Хо^г в идеально проводящем плоском
экране (фиг. 47,6). Как показано в гл. 1, § 5, п. «б», электро-
электромагнитное поле в области z < 0, у > 0 однозначно определяет-
определяется заданием магнитного тока Мх = —Ez. Поскольку рассматри-
рассматриваемая структура однородна относительно координаты х, поле
в области г < 0, у > 0 имеет единственную составляющую маг-
магнитного поля Нх(р); составляющие электрического поля выра-
выражаются через нее по формулам A5). Формулы A5) дают поля,
возбуждаемые линейным магнитным током с амплитудой V, а
поэтому магнитное поле, создаваемое распределением магнит-
магнитного тока в раскрыве, можно представить как их суперпозицию:
-л,
Нх (р) = 2/@8, J V (zr) G' (р; 0, г') dz', р = (у, г), B3)
-л,
где G' — функция Грина A7), а множитель 2 учитывает нали-
наличие изображений в идеально проводящей плоскости у = О
(фиг. 47,6).
При отыскании точного решения удобно пользоваться разло-
разложением B1) по волноводным волнам, бегущим вдоль оси у;
тогда вследствие непрерывной зависимости функции Грина от
z' облегчается интегрирование в выражении B3). При разложе-
разложении же по волнам, распространяющимся вдоль оси z [§ 4, фор-
формула C66)] такое упрощение не возникает. На больших расстоя-
расстояниях от раскрыва можно использовать в формуле B3) асимпто-
асимптотическое выражение A9) для функции G'. Если R Э> h\, где /г, —
координата верхнего края раскрыва (фиг. 47), то можно напи-
написать следующие приближенные формулы для R и R:
/?
z'cosф,
B4)
где R = -\]у1 + г2 — расстояние от начала координат до точки
наблюдения (y,z). При указанных приближениях получаем
Нх (р)
~юе
_ е1 <*¦«-«/«> [A (cos ф) - Г (Jfe, sin ф) А (- cos ф)] -
R
_ 2icoEl
V1
[exp (ik, Vl-2? у +
где
U (ф - фр), B5)
B5a)
-ft.

162
Гл. 5. Поля в плоскослоистых средах
Можно считать, что поле в квадранте у > 0, г < 0 на
фиг. 48, а так же, как и в случае, представленном на фиг. 47,
возбуждается эквивалентным распределением магнитных токов
Мх = — Ez в идеально проводящей плоскости у = 0 (фиг. 48, б).
Поскольку в рассматриваемой задаче «раскрыв» занимает полу-
полуплоскость у = 0, z < 0, эквивалентное распределение магнит-
магнитного тока простирается от г = 0 до z = —оо. Магнитное поле
Нх в области z < 0, г/ > 0 (фиг. 48, б) можно представить в
виде интеграла B3), положив hi — оо, /г2 = 0 и взяв в качестве
G' функцию Грина для полупространства с идеально проводя-
проводящей границей при z = 0. Выражение для функции G' легко по-
получить из формул A7) или B1), положив в них Zs = 0, что
соответствует идеально проводящей границе. Поле в дальней
зоне R-+oo, ф>0 (фиг. 48,6), согласно формуле B5), имеет
вид
НХ(Р)
о
[ V (z') cos (klZf cos j>)dz', B8)
т. е. выражается через значение величины Mx(z') = V(z') (или
величины ?г) в плоскости раскрыва у = 0.
Если реактивность поверхности Zs мала или, точнее, мал па-
параметр k\Xs, то поверхностная волна «слабо ограничена» [т. е.
поле B7) заметно отличается от нуля на больших расстояниях
от импедансной поверхности]. В этом случае скачок импеданса
в точке соединения двух граничных полуплоскостей на фиг. 48, а
также мал и в качестве первого приближения можно принять
за поле в раскрыве просто значение падающего поля
откуда находим
B9а)
B96)
Проводя элементарное интегрирование в формуле B8), для поля
излучения в дальней зоне получаем
C0)
Интересно сравнить приближенное представление поля C0),
точность которого должна возрастать при очень малых значе-
значениях Xs, с точным выражением [20, 21], полученным в резуль-
результате решения интегрального уравнения. Точное выражение ква-
§ 7. Монохроматические источники возле поверхности
163
драта модуля магнитного поля в дальней зоне имеет вид
I Я Л2 ¦
C1a)
приближенное же выражение, согласно формуле C0), таково:
I #о I2 2*У
I нх |2~-I-AL ,-2 * ч2. C16)
nkiR (Л. + cos2 «J
При замене поля, наводимого в бесконечном раскрыве, про-
просто падающим полем можно ввести ряд дополнительных прибли-
приближений. Пусть 5 — область у > 0, г < 0 (фиг. 48, а); применим
формулу Грина к функциям G' и Нх, определенным вместе с
первыми и вторыми производными в области S и на ее гра-
границе s:
\ [G' (р, р') V2HX (рО - Нх (рО V'2G' (р, р')] dS' =
s
= §s [& (р, рО -?г Нх (р') - Нх (рО -^r G' (р, р')] ds', C2)
где п — внешняя нормаль к поверхности s. Магнитное поле Нх
удовлетворяет в S однородному волновому уравнению
(V2 + к2) Нх (р) = 0, р = (у, г). C3а)
На идеально проводящей границе Si(y > 0, z = 0) должна об-
обращаться в нуль касательная составляющая электрического
поля Еу = 0 и, следовательно,
-^- = 0 на s,. C36)
Обозначим через s2 дугу окружности в рассматриваемом ква-
квадранте при R—•¦ оо; составляющая Я* должна удовлетворять на
s2 условию излучения [гл. 1, § 5, C4в)], поскольку все источники
поля сосредоточены в области у < 0. Пусть G' — функция Гри-
Грина, удовлетворяющая неоднородному волновому уравнению
(у + k\) G' (р, р') = — б (р — р'), р и р' в области S C4а)
с граничным условием
dG'
n
= 0 на su
C46)
а также условию излучения на s?. О поведении фикции С на
плоскости раскрыва у = 0, необходимом для единственности

166
Гл. 5. Поля в плоскослоистых средах
структуры, которую можно получить, заменив плоскость рас-
крыва стенкой из идеального магнетика с эквивалентным рас-
распределением электрического тока 1 г ос Нх. Взяв асимптотиче-
0,001 ¦ 1 i_
90° 80° 70° 60" 50° 40° SO" 20° 10° О"
0
Фиг. 50. Диаграмма направленности ограниченной антенны поверхностной
волны.
По оси ординат отложена величина
*' n(J2 + cos2,)?'
скую формулу для Gh, выполнив в формуле C7) дифференци-
поГчаем11 ^^ ВеЛИЧНну Нх равной падающему полю X B7),
да,
Можно, наконец, использовать непосредственно функцию
Грина Gh для полупространства. Как нетрудно показать мето-
§ 7. Монохроматические источники возле поверхности
1б7
10,0
Иг
0,3
0,4
>
\
\
\
\
1
\
0,3
0,2
0.1
0,4
Q.W0
0,010
a ooi
0,0001
0,00001
90" 80° 70" 60" 50" 40° 30° 20° 10° 0°
Ф
Фиг. 51. Диаграмма направленности ограниченной антенны поверхностной
волны.
По оси ординат отложена величина
_ 2?? sin ф
дом изображений, величина й(р; 0, г') вдвое меньше функ-
функции Грина, удовлетворяющей условию C66), а производная
(dG'h/dy')y,_0 вдвое меньше производной по у' от функции Грина,
удовлетворяющей условию C6а); при этом берутся значения

170
Гл. 5. Поля в плоскослоистых средах
газообразным средам, как земная атмосфера или «электронный
плазменный газ», образующий ионосферу, где изменение плот-
плотности частиц приводит к макроскопическим неоднородностям.
Можно указать также на искусственные неоднородные среды,
например линзы для ультракоротких волн.
Точные выражения для полей, излучаемых заданными ис-
источниками в неоднородных средах, можно найти только при тех
частных видах зависимости параметров среды от координат, при
которых получаются дифференциальные уравнения с известным
решением (см. примеры в § 9). Но если характеристики среды
мало меняются в пределах локальной длины волны, то можно
найти приближенные выражения для полей, пригодные при
любых медленно меняющихся в зависимости от координат ди-
диэлектрической проницаемости е(г) или магнитной проницаемо-
проницаемости jx(/) или, если пользоваться терминологией геометрической
оптики, при любом медленно меняющемся показателе прелом-
преломления п(г) = [п{г)г(гIцйЕй\!\ где ео и ,и0 — диэлектрическая и
магнитная проницаемости свободного пространства. Такие при-
приближенные выражения совпадают с выражениями геометриче-
геометрической оптики. Вместо волн в этом случае можно рассматривать
лучи, идущие по искривленным траекториям, которые опреде-
определяются зависимостью показателя преломления от координат;
направление луча в каждой точке совпадает с направлением по-
потока энергии. Правда, в некоторые области пространства из-за
своей искривленности не может попасть ни один реальный луч
(фиг. 56). В таких «теневых» областях приближение геометри-
геометрической оптики должно быть заменено более точным приближе-
приближением. Геометриечская оптика неприменима также в окрестности
каустики и в фокальной области, где расчет поля должен про-
проводиться более строгими методами. Подобные замечания общего
характера уже делались в гл. 1, § 6 и 7.
Плоскослоистыми называются среды, в которых показатель
преломления изменяется только вдоль оси г, т. е. n(r) = n(z).
Следовательно, электромагнитные поля в них могут быть выра-
выражены через два скалярных потенциала (§ 2), но дифференциаль-
дифференциальные уравнения для этих потенциалов следует модифицировать
с учетом непрерывного изменения свойств среды. Требуемые
формулы были выведены в гл. 2, § 3, п. «д», и ниже мы их вос-
воспроизведем. В случае сред с медленно изменяющимися пара-
параметрами мы найдем решение дифференциальных уравнений для
потенциалов асимптотическими методами. В первом приближе-
приближении оно всюду совпадает с геометрооптическим, кроме переход-
переходных областей, упомянутых выше (см. также гл. 1, § 7). Затем
мы найдем решение методом В КБ исходя из точного интеграль-
интегрального представления потенциалов и покажем, что в некоторых
областях приближение геометрической оптики допустимо, но в
§ 8. Источники в плоскослоистой среде (произвольные профили) 171
переходных областях, где поле быстро изменяется, как и ранее,
требуется некоторая модификация. Эти общие выводы конкре-
конкретизируются в § 9 путем анализа точных решений при некоторых
частных профилях п(г).
б. Вычисление монохроматических полей с помощью
скалярных потенциалов
В гл. 2, § 3, п. «д», было показано, что электромагнитные
поля, возбуждаемые гармоническим электрическим током с плот-
плотностью J(r, i) = J°6(r — г')ехр(/со/) и магнитным током с плот-
плотностью М(г,/) = Af°6 (г — г')ехр (/со?) в области, где диэлектри-
диэлектрическая проницаемость e(z) и магнитная проницаемость (х(г)
представляют собой непрерывные функции координаты г, дают-
даются выражениями [гл. 2, § 3, формулы B6) и D0)]
Е(г, г') =
е (г")
г (г)
V X V X zoir (г, г') - /<bji (г') V X 20П" (г, г'), A а)
Н (г, г') = /toe (zf) V X zoll' (г, г') +
V X V X zon" (г, г'), A6)
где П' — электрический, а П"—магнитный потенциал Герца,
причем потенциалы Герца связаны со скалярными функциями
9"'d и 9"d соотношениями [гл. 2, § 3, формула C9)]
/сое (г') ГГ <г, г') =
/со(х(г')П"(г, г') =
= jo • V X г^"й (г, г') + 1^щ МО • V X V X zo^(r, r'), (lr)
где векторные операторы соответствуют формулам Aд) и Aе)
из § 2. Функции ^ и 9"d связаны соотношениями [см. примеча-
примечание к формуле (За) из § 2]
-V=<^ (r, г') = /ше (z') G' (г, г'), - Ч\9>Ъ (г, г') = /coji {г') G" (г, r')
B)
со скалярными функциями Грина G' и G", которые удовлетво-
удовлетворяют уравнениям
[Щ {z)+Vj+k- (г)] G' (г, г') = - б (г - г'), k* (z) = ©> (г) е (z), (За)
\Р"^ (z) + VJ + k2 (г)] G" (г, г') = — б (г — г'), C6)
где
бТ) (~Л — п (у\ /ЧгЛ

174
Гл. 5. Поля в плоскослоистых средах
в. Прямое решение методом геометрической оптики
в среде с медленно меняющимися параметрами
В общем случае произвольной зависимости k (z) решить ура-
уравнения C) или соответствующие им уравнения для функций
g>'d и 9"а не представляется возможным, но при сравнительно
медленном изменении k(z) в пределах локальной длины волны
2л//г(г) можно воспользоваться приближенными методами. Ус-
Условие медленности изменения удобно выразить через показатель
преломления п(г) как неравенство
dn/dz
k0n2
где ko — волновое число в свободном пространстве, a k(z)z=
= kon(z). Это условие медленности изменения функции n(z)
можно обеспечить, выбрав достаточно большие kQ (короткие вол-
волны). Если ko — большой параметр, то целесообразно искать при-
приближенное решение для поля и скалярных потенциалов в виде
разложения в ряд по обратным степеням величины kQ. Такой
подход, при котором можно исходить непосредственно из диффе-
дифференциальных уравнений [гл. 1, § 7, п. «б»], в самом первом при-
приближении дает решение, допускающее геометрооптическое ис-
истолкование. Общий анализ, проведенный в гл. 1, § 7, п. «б», мы
конкретизируем в частном случае плоской слоистости. Будем
искать решение для поля или потенциалов в виде
и(г)~ио(г)е'*»*<г), A0)
где н0 и \|з — не зависящие от kQ амплитудная и фазовая функ-
функции [см., однако, то, что говорится после формулы B2а) в гл. 1,
§ 7]. Чтобы найти эти функции, нужно определить траектории
лучей.
Траектории лучей
Траектории лучей определяются уравнением [гл. 1, § 7, фор-
формула B3)]
d rfR „
где s — расстояние вдоль луча, a R = хох + уоу -+- zo2 — радиус-
вектор, идущий из произвольно выбранного начала координат в
точку траектории луча (кордината вдоль луча обозначается че-
через R, а не г как в гл. 1, § 7, п. «б»). Если п зависит только от г,
то уравнение A1) можно записать в виде уравнений для состав-
§ 8. Источники в плоскослоистой среде (произвольные профили) 175
ляющих:
dx
d dy
ln~d7
dn
d dz
ds ds dz
A2a)
A26)
Из уравнения A2а) следует, что величина n(dx/ds) и n(dy/ds)
постоянны вдоль луча и их отношение, а значит, и производная
dyjdx также постоянны. Постоянство производной dyjdx озна-
означает, что проекция траектории луча на плоскость ху есть прямая
линия, а все искривление луча происходит в плоскости, перпен-
перпендикулярной плоскости ху. Без потери общности систему коорди-
Л
ds
А
Луч
а и
Фиг. 53. Траектории лучей,
а —без точки поворота; б—с точкой поворота.
нат можно выбрать так, чтобы рассматриваемый луч лежал в
плоскости х = 0. В соответствии с фиг. 53 можно написать
dy_
ds
¦
= sin
A3)
где 0 — угол между лучевым вектором s и положительным па-
правлением оси z. В результате из уравнения A2а) следует ра-
равенство
nsin 0 = а = const вдоль луча, A4)
т. е. закон преломления (Снеллиуса). Из уравнения A26) полу-
получаем
dn d , m „ dn dz . n dQ
-г— = -т-(п cos 0) = cos 0 -r— —j n sin 0 -г-,
dz И" И? Hs ds
ds
где
dQ
Us
dz ds
sin9 dn
n d?
A5)
A6)

178
Гл. 5. Поля в плоскослоистых средах
Возбуждение поперечным электрическим линейным током
Чтобы показать, как определяется амплитуда поля, возбу-
возбуждаемого ограниченным распределенным источником, мы рас-
рассмотрим линейный электрический ток, направленный параллель-
параллельно оси х и расположенный в точке @, г') в среде с изменяющей-
изменяющейся диэлектрической проницаемостью e(z) и постоянной магнит-
магнитной проницаемостью (х0, как показано на фиг. 54 [22, 10, гл. 38].
Такой источник возбуждает элек-
электрическое поле, имеющее только
х-составляющую, что следует из
уравнения A) при д/дх = 0 [см.
также § 2, формула D), и § 4, фор-
формула C1)]. Все лучи представляют
собой плоские кривые, параллель-
параллельные плоскости г/г; каждый луч ха-
характеризуется углом 60, под кото-
которым он выходит из источников. Что-
у бы найти амплитуду луча из условия
сохранения энергии в лучевой труб-
трубке [гл. 1, § 7, формула C4)], необхо-
необходимо вычислить площадь попереч-
поперечного сечения дА трубки, ограничен-
ограниченной лучами, которые испускаются
источником под углами 90 и 90 + dQQ. Если опустить линейный
размер dx, то в соответствии с фиг. 54 имеем
Фиг. 54. Излучение линейного
источника
J(r, 0 = W
dA = dy cos 0 = -^- deQ cos I
B1)
где дифференциал dy при заданном значении z связан с 80 пара-
параметрической зависимостью у = у(во), 2 = z@o), следующей из
уравнения для лучей. Если ЯF0) —угловая плотность энергии
(мощность на радиан), испускаемой источником под углом 0О, то
энергия в лучевой трубке P(Bo)d&o сохраняется и интенсивность
(плотность энергии) в каждой точке вдоль лучевой трубки дает-
дается выражением
о
Р (90)
dA
(ду/dQo) cos В
B2)
Частную производную ду/дв при данном значении z можно най-
найти из уравнения A8) и соотношения а = n(z)sin &. В резуль-
результате получаем
ду ду да , /ч
-4S- = -^- -^5~ = ti(z) cos
f n2dz
) (n2 - a2)h
B3)
§ 8. Источники в Плоскослоистой среде (произвольные профили) 179
а на основании формулы C9) из гл. 1, § 7, имеем
n (z) cos Qn (z'J cos 60 ^ [(n2 dz)/(ra2
г'
г-
а2)/г]
B4)
е0
Это выражение, справедливое при z > г', применимо и при
г < г', если поменять г и г' в пределах интегрирования местами
и ввести, как и раньше, ограничение 0 ^ 9 < л/2. Такая сим-
симметрия относительно координат источника и точки наблюдения
согласуется с теоремой взаимности.
Для вычисления Я@о) необходимо рассмотреть поле линей-
линейного источника в окрестности точки его нахождения @, г'). По-
Поскольку k0 > 1 и параметры среды медленно меняются в преде-
пределах локальной длины волны в среде, можно выбрать точку на-
наблюдения г =(у,г) достаточно близко к точке нахождения ис-
источника г', чтобы выполнялось условие п (г) « «(г')> но все-та-
все-таки достаточно далеко, чтобы выполнялось условие
При этом локальное распределение мощности, излучаемой источ-
источником, будет совпадать с распределением в среде с постоянным
показателем преломления n(z). Если амплитуда источника вы-
выбрана равной /=(i^o?)~I, то х-составляющая электрического
поля Ef = \0Ef определяется функцией Грина свободного про-
пространства [§ 4, формула B5)]:
I /
4 Д/
2
nkon (z') I г — г' I
Таким образом, интенсивность излучения не зависит от угла
и Р(%) — Р = const определяется следующим выражением:
полная мощность n(z')\ Ef\2
2я I г — г' I = ¦
B6)
Подставляя выражение B6) в формулу B4), находим ампли-
амплитуду ?о электрического ноля, а само поле Е = хо? получаем под-
подстановкой Е ~ ?0 ехр((/го4'1)> гДе ф —фаза [формула B06)]. На-

182
Гл. 5. Поля в плоскослоистых средах
B6)], так что для произвольной точки R на луче, соответствую-
соответствующем параметру а = «(г')sin 60, имеем
G-
Va exp I ikoap + ik0 \ s/n2 — a2 dz\
4я
Vp W (г) - а2] ''< [п2 (г') - а2]'и I \ п2 dz/ [п- - а2]1' \
C1)
Для преломленного луча за точкой поворота это выражение из-
изменяется так же, как и в случае линейного источника.
Возбуждение падающей плоской волны
В предельном случае падающей плоской волны, вектор элек-
электрического поля которой перпендикулярен оси г, поля можно
вычислять по формуле B7), перейдя в ней к пределу при у'-*
—> —оо, z' —»• —со и положив у' = z' tg бзо. Чтобы обобщить эту
формулу на случай произвольной координаты точки источника
у', нужно заменить у разностью у — у'. Если при г—»—оо по-
затель преломления стремится к постоянному значению пи то
интеграл в знаменателе выражения B7) при z'—*— оо можно
положить равным п\\п\ — а?]~ ''(— z'). Фазовый же интеграл
нельзя аппроксимировать подобным образом, так как в этом
случае отбрасываемый член должен быть малым по сравнению
с единицей, но не с \z'\. Поскольку а =. я (г) sin 0(г) = п{ sin 0^,
где 0vx, — угол наклона луча при г-* —оо и у —* —оо, выражение
B7) можно переписать в следующем виде:
C2)
A = -
где
Если падающая волна имеет единичную амплитуду, то множи-
множитель А равен единице [§ 4, формула C06)]. Переставив экспо-
экспоненты таким образом, чтобы член n^'cosB^ оказался под зна-
знаком интеграла, можно перейти к пределу г' = —оо и получить
выражение для поля, возбуждаемого плоской волной с единич-
единичной амплитудой, падающей со стороны г — —оо под углом Вж
§ 8. Источники в плоскослоистой среде (произвольные профили) 183
к положительному направлению оси г:
- «i cos
Если n(z) > tix sin б,», то это выражение пригодно при любых z.
При наличии точки поворота г, выражение C3) применимо
лишь до точки поворота; для преломленного луча нужно рассма-
рассматривать «каноническую» задачу и соответствующее выражение
Каустика
Отраженный
луч
Фиг. 55. Падающая плоская волна и точка поворота.
можно получить из формулы E5) при г' —* — оо. _Поле при г—*
—>¦ оо дается выражением E7), а формула для_О2 получается
заменой г на г' и наоборот, поскольку функция G" симметрична
относительно z и z'. Выражение E7) получено в предположении,
что z,z' > г, и что га(оо) = 1. Применив этот результат к рас-
рассматриваемому случаю z' -* —оо, у' -*¦ —оо, zt > z, z', n (—оо) =
= пи с учетом выражения C2а) найдем поле вдоль преломлен-
преломленного луча:
\п (г) — п\ sin' 6^ J
'feoitY C4)
где
= 2
z
- \
- «? sin2
- n, cos 0
- П1 C0S
C0S 9o
Огибающая лучей (каустика) представляет собой в этом случае
прямую линию г = г, (фиг. 55), и множитель ехр(—т/2) дает

186
Гл. 5. Поля в плоскослоистых средах
В остальном интервале значений Щ1 > Щр\, где функция gzi
экспоненциально убывает, нет решений, описывающих распро-
распространяющиеся волны. Множитель —i во втором члене выраже-
выражения C56) представляет собой коэффициент отражения от кау-
каустики z = Z{ системы преломленных лучей [фиг. 55 при z —>—z;
см. также замечания после формулы E8)]; если при z = г0,
2о > Zi расположена реальная отражающая граница, то выраже-
выражение C56) останется пригодным, если положить г,- —* г0 и подста-
подставить вместо множителя —i соответствующий коэффициент отра-
отражения Г от границы. Хотя формулы C5) были получены при
действительных значениях kti, они верны и при прилегающих
комплексных значениях kti и, следовательно, дают функцию gn-
в соответствующей части комплексной плоскости kti.
Пример: возбуждение линейным электрическим током
Если подставить выражения C5) в формулы A1) — A4) из
§ 2, то мы получим явные интегральные выражения для скаляр-
скалярных функций, через которые выражаются электромагнитные
поля. Поскольку подынтегральные выражения содержат боль-
большой параметр k0, эти интегралы можно вычислить методом пе-
перевала. Хотя выражения для функции gzi соответствуют лишь
действительным значениям и,*, этого достаточно для нахожде-
нахождения действительных стационарных точек, которыми определяют-
определяются распространяющиеся волны. Остальная область значений kti
не дает вклада в такие поля, а потому в дальнейшем поведение
подынтегрального выражения в этой области интересовать нас
не будет. Мы проиллюстрируем процедуру асимптотической
оценки на примере источника, представляющего собой линейный
электрический ток, параллельный оси х и расположенный в точ-
точке z = г' (фиг. 54) в области, где показатель преломления мо-
монотонно убывает от значения п\= 1 при z = оо до значения
п\ = — оо при z = 0; при этом гс2(г()) = 0, го > 0. Затем можно
будет сравнить результаты с точным решением для частного
вида профиля этого типа (§ 9, п. «а»). В рассматриваемом слу-
случае поля могут быть выражены через скалярную функцию Грина
G"(p. р')> Р = (У'г) Для #-волн [§ 2, формула A3а) с заменой
/ —> —/, соответствующей временной зависимости вида ехр(—«о/),
и § 4, формула C1)]:
G"(p, P') = ^
ktl=r\,
C6)
где gZi — функция, которая в наиболее существенной области
значений подынтегрального выражения дается формулой C56).
§ 8. Источники в плоскослоистой среде (произвольные профили) 187
Как и в § 3, п. «в», для удобства введем комплексный угол
w, связанный с нашими переменными соотношением г| =
= &о sin w, и обозначим вклад первого члена выражения C56)
V
Источник^
Фиг. 56. Графическая иллюстрация к условию существования седловой точки.
Прямые лучи [формула D1I показаны тонкой линией, отраженные [формулы E2)] —жир-
нон линией.
через G" а второго — через G":
G"(P, p')~Gf(p,
где при у' —0 имеем
C7)
C8)
COS Ш
U{w) = -—- . 2 ™w гт-fTvT' /2N=-«7iN, C8a)
{[Я2 (z) — Sin2 w] [Я2 B ) — Sin2 w]\ '<
г>
gi (w) = ysinw+ \ V (?) — sin2 да dg, C9a)
г<
г г'
"- J У*2 (?)-sin2ш d^+ J ynz(?)-sin2te»rf?, C96)
причем точка zw определяется уравнением n2(zw) = sin2 да.
Асимптотическая оценка приводит к ложным точкам ветвления

190
Гл. 5. Поля в плоскослоистых средах
согласуется с выражением B7), полученным непосредственно
методом геометрической оптики. Если г-*оо, а г' — конечная
величина, то интеграл в знаменателе выражения D6) можно ап-
аппроксимировать функцией z/cos3 ws. Поскольку n(z) —*1 при
?_> оо и г/cos ws =р, где ws — угол наклона луча при z = оо и
р—радиус-вектор (фиг. 60, а), выражение D6) сводится к сле-
следующему.
exp < ikQ I у sin ws + \ У я2 (g) — sin2 ws rfg I + in/4 >
oP
[n2 (zr) - sin2 ws]'u
> oo.
D7)
Это выражение согласуется с выражением, которое получается
в частном случае, когда показатель преломления дается форму-
формулой A5а) из § 9. Для дополнительной проверки предположим,
что среда однородна и и (г) = 1. Тогда выражение D6) сводится
к виду
О"
exp {ik0 [у sin ws + I z — z' | cos ws] + in/4} ^ , > __ j
2 V2nfe0p
совпадающему с выражением для функции Грина свободного
пространства.
Интересно, что выражение D6) имеет конечный предел в
точке поворота n(zt) = sin ws или n(z't) = sin ws, хотя асим-
асимптотическая формула C5) в этой точке непригодна. Разложение
функций n2(z) и «2(и) в степенной ряд в окрестности точки zt
приводит к следующему пределу:
D9)
откуда получаем
ui -^^ /\
exp
| ik0 \ysi
sinws+ ^ Vn2 (g) - sin2 ws dt,
+ /я/4 j
X [«2B')-8т2ш5]г/ЧпB<)/{^(г<)/^})'/2 ' 2==2'-
Асимптотическое выражение для функции G" в формуле
C8) можно найти аналогичным путем; оно дает поле вдоль «пре-
§ 8. Источники в плоскоелвистой среде (произвольные профили) 191
ломленного» луча. Поскольку
~
Z
= \
~
[n2(zw) -
E1)
получаем
E2а)
и п2 (zw) = sin2 да, для седловых точек a's функции ^
уравнение
F(i/, г, а»,) = 0,
где zWs = zt, n(zt) = sin Ws и
F(y, z, w) = y — sinter [ dl -+ [ dt -1
E26)
Уравнение E2а) точно совпадает с уравнением геометрической
оптики для преломленного луча, который прошел через точку
поворота zt и траектория которого при г—>¦ оо наклонена под уг-
углом ws [формула B8) и лучи, проведенные на фиг. 56 жирными
линиями]. При вычислении функции
<?" К) = cos ws-~F{y,z, ws), E3)
входящей в асимптотическую формулу A6) из гл. 4, § 2, мы не
можем прямо продифференцировать выражение E26), посколь-
поскольку производная от подынтегрального выражения расходится на
нижнем пределе. Но после интегрирования по частям
{ ,-r-g-r- - V {'\-.Tl WS - ( V»2 - sin2 w. ±- (-L) dl
J Vn2-sin2a;s n{z)n(z) J s dt, \ tin')
t zt
E4)
и такого же преобразования интеграла, зависящего от г', полу-
полученное выражение можно продифференцировать, и в результате
получаем
7^~F(У> z> ws) =
= sin ws
L n (z) n'
1
¦ +
1
(z) Ул2 (z) — sin2 ws n (zr) n' (zr) Vn2 (z') - sin2 ws

194
Тл. 5. Поля в плоскослоистых средах
0; Ai(x) и Bi(x) —функции Эйри, введенные
E9а)
которой q"{w2)
в гл. 4, § 2, п.
причем
4 Г* = /[<72
и <7C) (ш0) > 0, поскольку w{<w2 и
E96)
В этих
соотношениях ш, « да2, да0«(о», + ш2)/2, Я2 (шо) = °> откуда
{) {)
q2{w2), и
E9в)
При больших значениях |л;| (поскольку ko ^> 1, это условие вы-
выполняется лишь при очень малых значениях W\ — w2) выраже-
выражение E9) с помощью асимптотических формул для функций Эйри
[гл. 4, § 2, формула E1)] сводится к выражению E5) при усло-
условии f2{wii2) xf2(wQ). Но при л:-*0 формула E9) сохраняет
свой вид и дает для суммы вычетов в точках Wi и ад2 выражение
'' eik, [?, (ш,)+?г (ш2)] я/2 Д{ (х) (gOaj
G"~(%>
jf Ы Г
z L
во<72 \wo)
В частности, при л; =
-V
F06)
Зависимость вида /г^"''3 в этой формуле, а не вида &~'/г, как в вы-
выражении E5) для обычной точки на луче, указывает на усиле-
усиление поля вблизи каустики.
Для вычисления поля в затененной области по другую сто-
сторону каустики рассмотрим выражение E26) в случае действи-
действительной функции F(y,z, w0) = q'2 (wQ) sec wQ, обращающейся в
нуль в точках у и z на каустике. Если точка наблюдения пере-
перемещается вдоль прямой z = const, у > 0, то знак функции F из-
изменяется при переходе через каустику, а, поскольку величина
^C)(ш0) положительна, из выражения E9в) следует, что произ-
производная оо(шо) отрицательна в освещенной области, где wx и ш2
действительны. Следовательно, в затененной области мы имеем
<?'(иуо)>О [это также явствует из выражения E26), поскольку
величина F положительна при достаточно больших значениях у],
и, значит, (a>i — ш2J<0. Поэтому параметр X в выражении
E96) положителен, а поле убывает, как это следует из асим-
§ 8. Источники в плоскослоистой среде (произвольные профили) 195
птотики функции к\{х) при больших положительных х [гл. 4,
§2, формула D2а)]:
Ai (x)
2 Vnx1'*
-2/Зх
F1)
Поскольку величина X положительна, из выражения E96) сле-
следует, что arg(o>i — w2) =—я/2 и, стало быть, точка w2 сдви-
сдвигается в верхнюю, а точка Wi — в нижнюю полуплоскость ком-
комплексной переменной w. Асимптотическая формула, получаемая
с помощью соотношений F0а) и F1), имеет тот же вид, что и
аналитическое продолжение функции G"\Wt, определяемой вы-
выражением E5), с действительной оси в область комплексных w2.
Интересно, что имеется сходство между описанием поля
вблизи каустики в рассмотренной задаче, где траектория лучей
и их огибающая искривлены, и в задаче из гл. 7, § 5, п. «д», где
лучи прямолинейны (см. также работы [10 (гл. 38), 23, 24]).
д. Распространение волн в волновом канале
(волноводные волны)
Если профиль показателя преломления описывается не моно-
монотонной функцией координаты г, а функцией, проходящей через
максимум при некотором конечном значении zm (фиг. 57, а), то
луч, соответствующий параметру а [формула A8)] в интервале
пр < а < пт, имеет две точки поворота Z\ и г2, поскольку
п(z\ г2) = а. Для распространения волн необходимо, чтобы вы-
выполнялось условие п (г) ^ а, при котором рассматриваемый луч
«захвачен» в области Z\ ^ г ^ г2. В таком случае мы имеем
как бы плоский волновой канал (фиг. 57,6). Вне волнового ка-
канала n(z) <йи поле экспоненциально спадает. Ширина волно-
волнового канала зависит от величины а; если профиль таков, как на
фиг. 57, а, то захват лучей происходит при условии щ < а < пт.
Лучи, для которых па < а < «р, меняют направление один раз
в некоторой точке поворота zt, такой, что —°о < zt <C z3, а лу-
лучи, для которых а < па, идут от —<х> до +°о, не меняя направ-
направления. Лучи же, соответствующие значению параметра а —
= n(zli2), касаются прямых z = Z\ и z = z2, которые, следова-
следовательно, представляют собой каустику, т. е. огибающую семей-
семейства лучей.
Для того чтобы поле лучей, изображенных на фиг. 57, б,
было направленным, т. е. сохранялось на неограниченном рас-
расстоянии по поперечной оси у или р, должны выполняться опреде-
определенные условия самосогласованное™. Эти условия можно сфор-
сформулировать в виде требования, чтобы амплитуда и фаза поля в
точках А и В, разделенных одним пространственным периодом,
были одинаковы. Пусть рассматриваемая собственная волна ха-
7»

198
Гл. 5. Поля в плоскослоистых средах
менением фазы на каустике. Расстояние L между точками А и
В вдоль луча можно найти по формуле B8):
'-m
amdz
- aL
F6)
где am = n(z) sin 0 — величина, постоянная вдоль луча.
Из сказанного нами относительно связи между направлен-
направленными волнами в среде с меняющимися свойствами и условием
поперечного резонанса F2) или F3) ясно, что эффект направ-
направленности, обусловленной неоднородностью среды, будет более
четко выявлен, если задачу об излучении рассматривать исходя
из представления о линии передачи, идущей вдоль оси у или р.
О переходе от представления на основе линии передачи вдоль
оси г [формулы E), F) или C6)] к альтернативному представ-
представлению на основе линии передачи в поперечном направлении го-
говорилось в общем виде в гл. 3, § 3, п. «в», а в гл. 5, § 6, был по-
подробно рассмотрен соответствующий пример (диэлектрический
слой). Вычислительная сторона перехода от одного представле-
представления к другому состоит в смещении контура интегрирования с
действительной оси для обхода особенностей продольной харак-
характеристической функции Грина gz(z, z'\ X2). Для области, неогра-
неограниченной по z, особенности представляют собой точки ветвле-
ветвления, а также возможно полюсы, если уравнение поперечного ре-
резонанса имеет дискретные решения, удовлетворяющие условию
излучения на бесконечности. Соответствующий спектр волн, рас-
распространяющихся в поперечном направлении, имеет как дискрет-
дискретную, так и непрерывную часть. При наличии реальных границ
в точках z\t о, не пропускающих волн, мы имеем обычный, хотя
и неоднородно заполненный волновод и спектр — строго дис-
дискретный. Если возможны захваченные волны, а источник и точ-
точка наблюдения расположены вблизи волноводной области, то
вклад непрерывного спектра пренебрежимо мал и поля доста-
достаточно точно описываются совокупностью одних направленных
волн [см. замечания после формулы (9) из § 6]. Таким образом,
решение задачи об излучении продольно направленного электри-
электрического тока полностью аналогично решению задачи в случае
однородного диэлектрического слоя [§ 6, формула B0)]. Если не
удается найти точного решения задачи о собственных значе-
значениях, то собственные функции Фг(г) можно найти в ВКБ-при-
ближении при условии, что волноводная область широкая и па-
параметры среды меняются плавно. Об удобстве того или иного
представления при вычислении поля в волноводной области го-
говорится ниже в связи с конкретным примером, рассматривае-
рассматриваемым в п. «б».
§ 9. Источники в плоскослоистой среде (специальные профили) 199
§ 9. ИСТОЧНИКИ В ПЛОСКОСЛОИСТОЙ СРЕДЕ
С НЕПРЕРЫВНО МЕНЯЮЩИМИСЯ СВОЙСТВАМИ
(СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВИДЫ ПРОФИЛЕЙ)
Хотя формальное решение, приведенное в § 8, п. «а», при-
пригодно для задач об излучении в среде с непрерывно меняющи-
меняющимися свойствами при любом профиле показателя преломления,
получить из него решение в явном виде можно только тогда,
когда функция n2(z) такова, что решение уравнений Gа) и G6)
выражается через известные функции. Из небольшого числа про-
профилей, упомянутых в § 6, мы выбрали для детального исследо-
исследования профиль с обратноквадратичной зависимостью, поскольку
он типичен для общего случая монотонного изменения показа-
показателя преломления. Другой пример — профиль Эпштейна, описы-
описывающий плавный переход, — будет рассмотрен более кратко.
а. Профиль с обратноквадратичной зависимостью
Свойство среды
Рассмотрение характеристик излучения источника в неодно-
неоднородной среде мы начнем с исследования области, диэлектриче-
диэлектрическая проницаемость которой изменяется монотонно от конечного
постоянного значения ео при г->оо по закону
eB) = <
A)
где р — произвольная постоянная, причем магнитная проницае-
проницаемость цо предполагается постоянной во всей области. Как будет
показано ниже, в этом случае телеграфные уравнения для не-
неоднородной линии передачи Gа) и G6) из § 8 имеют особенно
простое решение. При положительных действительных значе-
значениях р2, не зависящих от а, диэлектрическая проницаемость
е(г), соответствующая формуле A), приближенно описываег
электрические свойства холодной изотропной плазмы без по-
потерь, плотность электронов N(z) [или, что эквивалентно, плаз-
плазменная частота <x>P(z), даваемая формулой F0) из гл. 1, § 1]
которой имеет вид
(la)
где m и е—масса электрона и его заряд. Графики функций
е (г) и N (z) при действительных значениях р схематически пред-
представлены на фиг. 58.
При действительных р диэлектрическая проницаемость про-
проходит через нуль в точке поворота zt = p/kQ. При z > zt функ-

202
Гл. 5. Поля в плоскослоистых средах
z, описываемую уравнением F6) из § 8, для чего нужно знать
собственную функцию Грина g"zi (z, z') = (/соЦо)"' Z" (z, z'). Функ-
Функция g"zi удовлетворяет дифференциальному уравнению G6) из
§ 8, условию излучения при г-»м и обращается в нуль при
z = d; нахождение этой функции эквивалентно вычислению на-
напряжения Z" (г, г') в эквивалентной схеме на фиг. 60, б. Как от-
отмечалось ранее в связи с уравнением G) из § 8, волновое со-
\филив Источник
-• »- г
г'
_ Идеальный
проводник
а
б
Фиг. 60. Физическая структура и эквивалентная схема при наличии прово-
проводящей плоскости.
а—физическая структура; б—эквивалентная схема для Н-волиы.
противление Z'[ (z) пропорционально постоянной распростра-
распространения к" (z) и дается выражением Z" (z) = соц0/х" (z), причем
<( [V/U2f
Подстановка выражения A) для e(z) в уравнение G6) из
§ 8 приводит к следующему дифференциальному уравнению для
собственной функции Грина:
Это уравнение совпадает с уравнением C) из гл. 3, § 3; его ре-
решение дается выражениями D) и A4) из гл. 3, § 3, в которые
входят приведенные ниже решения однородных уравнения V{(z)
и Vi(z), удовлетворяющие граничным условиям: первое при
верхнем, а второе при нижнем граничном значении г. Решение
однородных уравнений C) выражается через сферические функ-
функции Бесселя:
я = л/Щ^Ц, p2=v(v+l), (За)
где С^(г)—произвольная линейная комбинация цилиндриче-
цилиндрических функций J^{z), N^z), H^(z), Н^(г). В отличие от функ-
§ 9. Источники в плоскослоистой среде (специальные профили) 203
ции x(z) здесь v, — значение этой функции при 2—юо. Из экви-
эквивалентной схемы, представленной на фиг. 60, б, видно, что ре-
решение будет иметь требуемый вид уходящей волны при z = со,
если с учетом соотношений A3) из § 3 выбрать функцию Vi(z)
[при временной зависимости ехр(/ш^)] следующим образом:
у G\ __ Ы2) („?\ (Ля\
На границе z = d напряжение равно нулю, так что
D6)
Комбинация функций в этом выражении упрощает вычисление
вронскиана, входящего в формулу A4а) из гл. 3, § 3. Поскольку
/, B) -?-ад - ад4- W -~> Eа)
из уравнения C) следует равенство
. , . d
/v \Z) ~fa П\ (Z) '
^/v(*)=l
E6)
и вронскиан функций V и V оказывается равным
-> <-
W (V V) = V V —— = /х
v ' ' dz dz
В итоге решение имеет вид
g"i B-z') = -— [К (*2<) - ~h
[см. также гл. 2, § 7, формулу A2а) для аналогичной задачи в
случае сферической области]. Из определения х = *jk\ — k\ сле-
следует х = k0 при kt = 0 и Im у, <С 0 при kt > k0.
Решение F) можно проверить, рассмотрев предельный слу-
случай р = 0 (т. е. v = 0), когда среда с диэлектрической прони-
проницаемостью A) представляет собой вакуум [e(z) = во]. Посколь-
Поскольку в этом случае
(8)
решение F) принимает вид
g"z. (Z, z') = ~ [sin nz< - sin Hde
что согласуется с выражениями D), E) и B1) из гл. 3, § 4,
если положить ei = ег = во и заменить d на —d в соответствии
с фиг. 60, а.

206
Гл. 5. Поля в плоскослоистых средах
a B{z',j>) —функция, описывающая возмущение поля в свобод-
свободном пространстве:
B(z', ф) = - ie~<™/M(z', </>), A3)
где A(z', ф) —функция, даваемая формулами A0а) и A06).
Подстановка соотношения (96) н выражение A1) из § 2 для
функции точечного источника G"(r, г') приводит к интеграль-
интегральному представлению типа A0), если величину exp(ikoy sin w)
заменить величиной 42kQsinwH[l)(k0psinw). При \kopsinw\ > 1
и | ?02 cos да | » v (т. е. при kop » 1, kQz >|v|, да qb 0, л/2)
функции Ханкеля Щ1) (fcop sin да) и ^"(fe^cos w) можно заме-
заменить их асимптотическими выражениями. Тогда подынтеграль-
подынтегральное выражение будет иметь такой же вид, как и в интеграле
A1), если не считать множителя У sin m\ и асимптотическая
оценка интеграла дает следующий результат:
G" (г, г') ~ GfB {zr, 6), г -> оо, 6 56 0, л/2,
A4)
где г = Ур2 + г:2> 2 = г cos 6 (фиг. 60, a), a Gf — функция Грина
свободного пространства:
Gf =
4лг
A4a)
В формулах A1) —A4) предполагалось, что источник располо-
расположен в конечной точке z', а точка наблюдения z стремится к бес-
бесконечности. Очевидно, что после замены г -«-»• г' представленные
выше результаты останутся справедливыми в обратном случае,
когда источник находится в бесконечности, а точка наблюдения
расположена произвольно.
Геометрооптическая интерпретация решения
Хотя функцию В(г\ф), которой определяется диаграмма из-
излучения, а следовательно, и электромагнитное поле, получаемое
из асимптотического представления функций Грина G" и G",
можно вычислить с помощью имеющихся таблиц цилиндриче-
цилиндрических функций, для геометрооптической интерпретации решения
желательно аппроксимировать цилиндрические функции, входя-
входящие в В(г',ф), выражениями G7а) из § 4. Если v — достаточно
большая величина, то в выражении (За) можно воспользоваться
приближенным равенством р2 « (v + '/гJ и представить функ-
функцию Ханкеля в виде A9). Формулу A2) можно переписать в
виде
G" (?, р') ~ G? (р, р') + Щ (р, Г/), A5)
§ 9. Источники в плоскослоистой среде (специальные профили) 207
где
У cos ф exp ikoy sin Ф + ik0 \ Уя2 (?) — sin2 Ф dt, + in/4 I
Щ (p, p') = ; ^ • A5a)
4 4
2 s/2nkop s/n- (z') — sin2 Ф
GT(p,p') =
Vcos Ф exp ikoy sin <H-t'6o \ + \ I V (S) — sin2 Ф dt, + in/4
L Id 2 1 J
2 V23iftop V B') — sin2 Ф
. A56)
Выражение A5а) применимо в интервале sin ф ^ sin фс = rt(z'),
а выражение A56) пригодно при углах наблюдения, удовлетво-
удовлетворяющих условию sin ф г=с sin ф0 = n(d). Если ф0 <.ф <. фс, то
аргумент функции Ханкеля tfy'2)(fc0dcos^) меньше ее порядка
р и #A)~ — Я^2) [§ 4, формула G76)]. В этом случае функция
Сг' по-прежнему определяется выражением A56) при условии,
что верхний предел интегрирования d заменен величиной zt, ко-
которая определяется уравнением
n(zt) = sin ф, A6)
а множитель —1 заменен множителем ехр(—/л/2). Если ф>
>¦ фс, то аргумент функций Ханкеля, входящих в A{z', ф), мень-
меньше их порядка и, следовательно, функция A(z', ф) убывает при
возрастании ф. В случае sin^>>rt(?) в выражениях A5) сле-
следует провести замену [я2(?) — sin2^>]'/2 = /[sin2^>—я2(?)]'/а. В пе-
переходной области ф « фо или ф « фс можно воспользоваться для
функций Эйри приближенными выражениями G7в) из § 4 [см.
также § 8, формулу F0)].
Выражения A5а) и A56) выделяют три области углов на-
наблюдения ф при расположении точки наблюдения Р на беско-
бесконечности. Во всех трех случаях поле излучения описывается ло-
локально плоской волной, распространяющейся под углом ф. По-
Поскольку «(?) —»¦ 1 при ?—юо, основной экспоненциальный мно-
множитель имет вид exp [ikoy sin ф + iko* cos ф] = exp(ikop) [см. так-
также выражение A2)]. Но формулы A5) можно переписать в дру-
другом виде, при котором удается проследить при z—* оо вклад ка-
каждой волны, испускаемой источником. Как было показано в § 8,
п. «г» [§ 8, формулы D7) и E7)], функции Gi и G'l описывают
поле вдоль лучей, распространяющихся в неоднородной среде по
искривленным траекториям, и это придает определенный смысл
тому, что иначе могло бы показаться произвольным преобразо-

210
Гл. S. Поля в плоскослоистых средах
чем дальше расположена точка поворота от отражающей пло-
плоскости, тем меньше поправка к полю преломленной волны. Эту
поправку можно объяснить наличием затухающей волны, кото-
которая проникает в область тени для преломленной волны, отра-
отражается от плоскости и выходит обратно в область распростра-
распространяющихся волн.
Поле в дальней зоне определялось выше в предположении
z>—»оо, которое позволяло пользоваться простой асимптотиче-
асимптотической формулой A3) из § 3 для функции h^ikozcosw) в подын-
подынтегральном выражении в формуле A0). Более точное приближе-
приближение получается при использовании формулы Дебая [§ 4, фор-
формула G7а)]. Если k0 — большой параметр, то, пользуясь этой
формулой для всех цилиндрических функций в подынтегральном
выражении A0), можно найти коротковолновую часть поля из-
излучения. Такое приближение справедливо для всех точек на-
наблюдения, удаленных от источника на большое число длин волн.
Чтобы сформулировать этот результат в виде, пригодном при
любой зависимости показателя преломления от координат, а не
только в частном случае A), необходимо записать соотношение
G7а) из § 4 в виде ВКБ-приближения [гл. 3, § 5, формула C7)]:
я<'-2)
cos w) ¦
oz cos w cos E
k*z cos w [cos е+(В-л/2) sin B1TW4 .
A8)
- ( . 2 V'2 exp Г ± ik0 \ V«2 (?) - sin2 w dl + ml A ,
\nkoz Vn*{z)- sin2 w) |_ V J
где
n2 (z) = 1 —
s2 -
9 о I I
с- ^ nz _1_
0 cos w
A9)
A9a)
n(zw) =
sinP =
koz cos w
— n2(zcosw), cos 6 « n (z cos w). A96)
Асимптотическое представление A8) можно использовать вдоль
всего контура интегрирования при условии, что контур обходит
окрестность точки w = л/2 (гл. 6, приложение 1). Приближен-
Приближенное соотношение A96) справедливо при достаточно больших s,
так что можно считать s2 — XU « s2. Это предположение вместе
с формулой
f A _^!__sin2aydg=2cos^[cosp+(p-|-)sinp]
B0)
§ 9. Источники в плоскослоистой среде (специальные профили) 211
было использовано для перехода от выражения A8) к A9). На
основании выражения A9) решение A0а) дифференциального
уравнения C) можно представить в виде, пригодном (асимпто-
(асимптотически при больших k0) при любом показателе преломления,
если только он возрастает монотонно от единицы при z = оо и
не содержит точек поворота или особенностей в интересующем
нас интервале. Это следует из сравнения данного выражения с
выражением C56) из § 8, полученным более общим методом
для частного случая d = 0. Последующая асимптотическая оцен-
оценка производится так же, как в § 8, п. «г», и допускает геометро-
оптическую интерпретацию всюду вдоль траекторий лучей на
фиг. 61.
Форма лучей в приближении геометрической оптики
Рассмотрим теперь семейство лучей, уравнения которых
даются формулами A8) и B8) из § 8, в случае обратноквадра-
тичной зависимости показателя преломления п (z) = д/е (z)le0,
даваемого формулой A). В этом случае интегрирование удается
провести в явном виде; в результате оказывается, что лучи об-
образуют семейство гипербол, уравнение которых имеет вид
(г'2 - z2) sin2 фс + у2 (cos2 фс + ctg2 a) + 2z'y sin2 фс ctg а = 0, B1)
где фс = arcsin [п(г')] — угол, которым определяется протяжен-
протяженность освещенной области на бесконечности (фиг. 61), а а или
л + ос — угол (измеряемый от положительного направления оси
г), под которым луч выходит из источника в точке @, г'). Со-
Соотношение между углом а и углом наклона луча на бесконечно-
бесконечности ф = ws находим из формулы A8) § 8 [см. также § 8, фор-
формула D1)]:
du sin Ф . /лл>
Ж @> У) = ^Д^ТГрТГЩ = tg а- B2)
Каустика также представляет собой гиперболу, уравнение ко-
которой получается исключением параметра ctg ос из уравнения
B1) и его производной по ctg a [27]:
z'2 cos2 Фс z'2 sin2 Фс
= 1.
B3)
Каустика касается линии z = z' cos фс = p/k0, на которой пока-
показатель преломления n(z) = 0. На фиг. 62 представлено семей-
семейство лучей для случая фс = л/4. Если имеется отражающая
плоскость (фиг. 61), то в точках пересечения ее с лучами возни-
возникают отраженные лучи. В этом случае освещенная область огра-
ограничена касательным лучом С (фиг. 61) до точки его касания с
каустикой, а затем — каустикой.

214
Гл. 5. Поля в плоскослоистых средах
вательно, условие поперечного резонанса имеет вид
d
kQ\ ^n2(T\)-a2mdT\ = (m + ^)n, m = 0, 1, 2, .... B4)
где n2 (zA — a2m. Этот интеграл был вычислен ранее [формула B0)],
так что мы получаем соотношение
kod cos 0m Г cos pm + Грт
am = sin 9m, pm =
т) Л>
Область применимости этого соотношения устанавливается
путем сравнения с точным решением. Рассматривая распростра-
распространение двумерных Я-волн относительно оси z (т. е. Е = ?жх0 и
д/д* = О), мы ищем решение Q(y,z) однородного уравнения
C6) из § 8: [SJ2 -\-k2(z)]Q(y, z) = 0, ограниченное при z = 0 и
обращающееся в нуль при z — d. Согласно формуле (За), это
решение таково:
Q (у, z) = ехр (щ{у) V* /, (V*2, ~ Л? *), s = д//>2 + -J-«р, B5)
где т\1 удовлетворяет уравнению
Если 7г — /-Й корень уравнения /s(x) = 0, то
—лъ2-
B5а)
B6)
Корни хг положительны и действительны и образуют возрастаю-
возрастающую последовательность, так что волновые числа г|/ при распро-
распространении вдоль оси у действительны только при %L < kod; если
же хг > kod, то y\i — мнимая величина и, следовательно, волны
не распространяются вдоль оси у. Таким образом, рассматривае-
рассматриваемые волны аналогичны волнам в круглом волноводе с идеально
проводящими стенками и однородным диэлектрическим запол-
заполнением. Особой точке показателя преломления при х = 0 соот-
соответствует виртуальная граница, так что область оказывается
замкнутым волноводом. Функции Бесселя, входящие в выраже-
выражение B5), можно записать в виде Js(xiz/d). Поскольку /5(х) при
s ^ X — убывающая функция, 1-я волна, распространяющаяся в
направлении оси z, осциллирует при z > sdjxi и затухает при
# 9. Источники в плоскослоистой среде (специальные профили) 215
z < sd/xi- Эффективная высота волновода для 1-Й волны равна
d — zu где
Zl = ~td==Zu^%~- B7)
Данное равенство вытекает из определения n2(z0) = 0. Таким
образом, высота волновода увеличивается с ростом номера /.
Волновая функция Q не меняется при изменении r\iy на 2л; дли-
длина волны
li = Wf B8)
увеличивается с ростом /.
Приближенные значения нулей %t можно найти, заменив
функцию /s(x) асимптотическим выражением G7а) из § 4, спра-
справедливым при больших s и при 1 — s/x > х~2/з- Тогда получим
уравнение
Если положить т) = k0 sin 0, х = kod cos 6, то уравнение B9)
совпадет с уравнением B4), откуда следует, что приближение
геометрической оптики пригодно для вычисления нулей высшего
порядка функции /s(x)-
Излучение линейного источника
Если линейный электрический ток находится в области 0 <
< z < d (фиг. 60, а; см. также фиг. 63,6), то эквивалентная
схема для собственной волны, изображенная на фиг. 60, б, дол-
должна быть заменена схемой, представленной на фиг. 64. Вели-
Величины Vi(z) и Vi(z) в выражении D) должны быть теперь та-
такими:
% (xz) *<2>m) v ( }t C0)
чтобы обеспечивалось выполнение граничных условий Vf@) =
= 0= Vi(d). При этом [гл. 3, § 3, формула A4а)] получаем
следующее выражение для собственной функции Грина [при вре-
временной зависимости вида ехр(—mi)]:
lKZ>) Hf (xd) - Hf (»«Ь.) Щ1) W] jmT • C 0
где s==v+'/2 " x=V^o~Tl2- Подстановка в формулу A3а)
из § 2 (с учетом замены / на —i) или в формулу C6) из § Ь

218
Гл. 5. Поля в плоскослоистых средах
§ 8, вычисление которых методом стационарной фазы непосред-
непосредственно дает решение в приближении геометрической оптики.
Функцию Бесселя в числителе выражения C1) легко разбить на
два члена, содержащих требуемые функции Ханкеля. Для полу-
получения аналогичного разбиения функции Js{y.d), стоящей в зна-
знаменателе, воспользуемся разложением в степенной ряд
2/,
Hf
m=-0
C5)
который сходится при \t\ < 1. Контур интегрирования можно
слегка деформировать для выполнения этого условия. Подста-
Подстановка в формулу C1) данного параграфа и C6) из § 8 приво-
приводит к следующим рядам:
= ? Оя,
т=-0
36)
где Gm — сумма четырех интегралов:
4
Gm = Z gu
оо
g, 2 = (-l)m ^- \ Hf !)(хг<) Я<" (хг>)t
— оо
/ 1ЧЛ1 + 1 «'Vzz' f „B. I) Л_ л „B)
. 4 =
Я<
C7)
C7а)
Ь C76)
Поскольку z, z' < d и Ira x > 0, на основании асимптотической
формулы A3) из § 3 можно показать, что интегралы сходятся.
Но каждый член ряда для g"xi теперь не является четной функ-
функцией переменной х; следовательно, точка к = О есть точка вет-
ветвления, и мы определяем контур интегрирования исходя из ус-
условия lmx> 0.
Подстановка ВКБ-приближения A9) для различных функ-
функций Ханкеля сводит эти выражения к общему виду, остающе-
остающемуся пригодным даже в случае (медленно меняющегося) пока-
показателя преломления, отличного от представленного на фиг. 63, а,
После замены ц = k0 sin w асимптотическая оценка интеграла
проводится так же, как в § 8, п. «г», и мы ее здесь приводить не
§ 9. Источники в плоскослоистой среде (специальные профили) 219
будем. Но мы исследуем различные седловые точки и сопоста-
сопоставим их с лучами на фиг. 63, б. Седловые точки определяются
следующими уравнениями (для удобства принято г/' = 0):
• Г? di
smwA \ ,
\_J V A) — sin2 ws
2m
\пг (?) — sin2
C8a)
Для gu
для g2, C86)
r d d d-,
\-z' z zt-l
для g,
smw.
Cz< d-i r d *< d d
j + Bm + 2) U = sinws\ \ + \ +\+2m
C8в)
C8r)
Для git
где все подынтегральные выражения имеют такой же вид, как
и в формуле C8а), a n(zt) = sin ws.
Чтобы показать, что этими уравнениями определяются лучи,
соответствующие приближению геометрической оптики, по-
построим кривые в случае, когда ws — заданное положительное
число в интервале 0 < sin ws < n(d), где n(d) —значение по-
показателя преломления вблизи плоскости z = d. Если в точке
F@,z'), где расположен источник, мы имеем n(z') >0 и если
sin ws < n(z'), то уравнениям C8) соответствует семейство лу-
лучей, изображенных на фиг. 66. Как отмечалось в § 8, п. «г», лучи
касаются прямой линии z = zt, а при z-*oo образуют угол ws
с осью z. Можно выделить две отдельные группы лучей: первая
образована лучами, приходящими в граничную точку А непо-
непосредственно от источника F, вторая — лучами, распространяю-
распространяющимися сначала в обратном направлении и затем поворачиваю-
поворачивающими назад в точке А'. Напомним, что лучи идут направо (на-
(налево), когда точка наблюдения является верхним (нижним)
пределом в интеграле. При пг = 0 уравнение C8а) описывает
падающие лучи FA' (z < z') и FA (z > z')\ при m = 1 — па-
падающие лучи F'C и F'C, соответствующие первому повторению
цикла периодичности; при m = 2 — лучи F"E' и F"E и т. д. Ура-
Уравнение C86) при пг = 0 описывает отраженный луч А'В', при
m = 1 — луч CD' и т. д. Уравнение C8в) описывает при m = 0

222
Гл. 5. Поля в плоскослоистых средах
следующим граничным условиям:
<5-v4 на 6',
D2а)
где п — направление нормали к контуру S, а у — некоторая по-
постоянная. Выполняя преобразование D0), получаем
G = v(-3- irr-^r-)G на S.
<42б>
В данном соотношении выражается то обстоятельство, что при
о
у = 0 условие G = 0 на контуре S требует также обращения в
Кольцевой,
источник
1"
У бесконечная
^~ плоскость
kg = const
Фиг. 67. Эквивалентные дифракционные задачи.
Справа к {z) = t
нуль функции G на этом контуре. Поскольку в рассматриваемом
случае функция G(y,z; y',z') пропорциональна электрическому
полю Ех [§ 8, формула A), и § 4, формула C1)], последнее гра-
граничное условие пригодно в случае идеально проводящих препят-
препятствий в неоднородной среде, описываемых уравнением Дг/, z)= 0.
Поэтому такой класс дифракционных задач в случае неоднород-
неоднородной среды при возбуждении линейным источником эквивален-
эквивалентен классу задач в случае свободного пространства, когда пре-
препятствие обладает симметрией вращения, а поле возбуждается
кольцевым источником (фиг. 67). Поскольку показатель прелом-
преломления п2@) = —оо, поле обращается в нуль на плоскости 2 = 0
и потому не возмущается из-за наличия проводящей плоскости.
На фиг. 68 и 69 представлены различные эквивалентные конфи-
конфигурации. Отметим, что показатель преломления может изме-
изменяться произвольно (но монотонно) вдоль поверхностей, изобра-
изображенных на фиг. 68, в и 69, а и б, для которых известно точное
Трехмерные конфигурации
{возбуждение кольцевым источником)
Двумерные конфигурации
{возбуждение линейным источником]
k{z)
f=p-ct =
Бесконечный цилиндр
а
Бесконечная плоскость
а
г ¦*
k(z)
Z-*-
Иолубесхонечный цилиндр
б
Полубесхонечная плоскость
б
пилитдра
в
Фиг. 68. Некоторые эквивалентные структуры.

Освещенная
область
Гиперболоид
Освещенная
одласть
Кольцевой источник
Кольцевой источник
Конус луней
6
Фиг. 70. Излучение кольцевого источника с фазой, изменяющейся вдоль
кольца пропорционально ерср (ip<$).
и — освещенная и теневая области; б — конус лучей.
§ 8. Источники в плоскослоистой среде (произвольные профили) 227
нию D3), лежат на правильном круговом конусе с полным уг-
углом при вершине 2</>с; вершина расположена при q/ = ф5, а ось
является касательной к кольцу (фиг. 70,6). Как явствует из
фиг. 22 и 26 (с учетом замены $>-+фс), этот конус образован
лучами, испускаемыми элементом кольцевого источника q/ = cps.
Каустику, соответствующую уравнению D6), можно найти пово-
поворотом конуса лучей на фиг. 70, б вокруг оси кольца.
Исходя из найденного решения можно найти траектории лу-
лучей, испускаемых линейным источником в неоднородной среде:
фазовую функцию для первой задачи получим из фазовой функ-
функции для второй, если исключим переменную ф [формулы C9) и
D0)], заменив р координатой г, а переменную // оставив без из-
Фиг, 71. Соответствие между лучами кольцевого и линейного источников.
д — луч кольцевого источника; А' — луч (в плоскости yz) линейного источника.
менения. При геометрооптической интерпретации дело обстоит
так: элемент лучевой поверхности (р, ф,у) в задаче с кольце-
кольцевым источником переходит в элемент поверхности (р = г, у),
где координаты z и у во второй задаче соответствуют координа-
координатам р и у в первой. Как показано на фиг. 71, лучи в двумерной
задаче строятся путем поворота трехмерных лучей вокруг оси
у в радиальной плоскости ф = ф, пересекающей кольцо в точке
испускания луча, Такое построение делает очевидным следую-
следующее: точки поворота в неоднородной среде совпадают с точками
наибольшего приближения луча к оси у в задаче для кольцевого
источника, прямой и преломленный лучи проходят через ка-
каждую точку B1(г/[) в освещенной области (сечением конуса лу-
лучей плоскостью у = у\ является гипербола, которая пересекает-
пересекается в двух точках с цилиндром р = Z\, и лучам, проходящим че-
через эти точки, соответствуют лучи плоской задачи); каустикой
Для освещенной области является гипербола B3).
Для получения уравнения, описывающего лучи, испускаемые
источником в неоднородной среде под углом а к положитель-

230
Гл. 5. Поля в плоскослоистых средах
причем xi — постоянная распространения в среде слева от пере-
переходной области, ширина которой определяется величиной т. Если
|г| и \z'\ достаточно велики, так что ехр(тг) и ехр(тг') очень
малы, то множители в кадратных скобках в выражениях E1а)
и E16) очень медленно меняются и почти не отличаются от еди-
единицы [гл. 3, § 6, формула B1b)J, а потому их можно рассматри-
рассматривать как возмущение поля падающей и отраженной волн.
Для проверки соотношений E1) рассмотрим предельный слу-
случай, когда v = 0 (однородная среда от z — оо до z = +оо) и
т = оо (скачкообразное изменение диэлектрической проницае-
проницаемости в плоскости z = 0). Если v = 0, то а = 1, р= 1 +B1хг/т) =
— |2. Поскольку Г@) = оо, мы имеем А — 0
E2)
= Y, и2 = д
в выражении E1 в). Кроме того,
F (a, P; P; Q = A - ОЛ F (а, Р; а; 0 = d - 5Г
так что выражение в квадратных скобках в формуле E1а) рав-
равно единице, чем обеспечивается правильное выражение для
функции Грина свободного пространства. При т = оо выраже-
выражения в квадратных скобках в формулах E1а) и E16) также рав-
равны единице. В этом случае а = Р = у-* 1, а точнее
1Р4( + ) 1 YP (x*) (б3а>
что вместе с формулой
при да->0
E36)
приводит к следующему выражению для коэффициента отраже-
отражения А [см. также гл. 3, § 6, формула C06)]:
и, +и2' '
данное выражение совпадает с выражением E4в) из § 5 для
скачкообразного перехода. Собственная функция Грина, как и
должно быть, переходит в функцию, полученную в § 5, п. «г».
Подставив выражение D9) в формулы A1) или A3) из § 2,
можно найти функцию Грина для задачи об излучении продоль-
продольного магнитного диполя или поперечного линейного электриче-
электрического тока в среде с диэлектрической проницаемостью D8).
Чтобы обеспечить однозначность подынтегрального выражения
на контуре интегрирования, проходящем от | = —оо до g = оо
вдоль действительной оси | (или таким же образом вдоль дей-
действительной оси т)), необходимо исследовать особенности функ-
функции g"ti{z, г')-Напомним [гл. 3, § 6, формулы C7)], что по опре-
определению квадратные корни имеют положительную мнимую
§ 8. Источники в плоскослоистой среде (произвольные профили) 231
часть, если подкоренное выражение отрицательно. Легко пока-
показать, что в таком случае интегралы экспоненциально сходятся
при |?| —* оо. функция g"zi{z, z') имеет точку ветвления первого
порядка при xi, 2 = 0, т. е. при
l = ±k0, l = ±k0 VTTv". E5)
В то же время функция Г (и») имеет простые полюсы в точках
w = — п = 0, — 1,— 2, ..., функция F(a, P; у; ?) имеет простые
полюсы, совпадающие с полюсами функции Г (у) и, в частно-
частности [4],
„ f (с, Р; у; ?) _ а (а + 1) ... (а + я) Р (Р + 0 • • • (Р + я) w
Д™ (МЛЦ Х
Г (у)
Zn+l
XZn+lF(a + n+l, р + я+1; « + 2; ?). E6)
Кроме того, функция Г (и») не имеет нулей. Из сказанного ясно,
что функции gi и g2 имеют простые полюсы при у = —п; но бо-
более детальное исследование на основе формулы E6) показы-
показывает, что сумма gi + g2 регулярна при у = —п. Функция gi или
g2 имеет также полюсы в комплексной плоскости в точках |, где
2—Y = — п, 1— Р = — п, а+ 1 — y = — га, « = 0,1,2,.... E7)
Соотношения E7) могут выполняться только в том случае, когда
Y, Р и a — у — действительные величины (т, е. х\ и хг мнимые).
Если они выполняются, то соответствующие решения при xj, 2 =
= t|xi,2| описывают поверхностные волны, каждая из которых
удовлетворяет условию излучения при г—¦ ±оо; они образуют
дискретную ветвь спектра волн, которые могут распространяться
вдоль неоднородности в направлении, перпендикулярном оси г.
Но исследование уравнений E7) и выражений C7) из гл. 3, § 6,
показывает, что подобных решений нет. Если разрезы проведены
таким образом, что Imxi,2>0 на верхнем листе четырехлист-
четырехлистной римановой поверхности |, то на этом листе нет полюсов и
контур интегрирования проходит так, как показано на фиг. 8, а.
Асимптотическая оценка интегралов A1) и A3) из § 2 при
произвольных z и z' весьма затруднительна. Но если \z\ и \z'\
достаточно велики, так что множители в квадратных скобках в
выражениях E1а) и E16) можно считать медленно меняющи-
меняющимися, то асимптотическую оценку интегралов можно провести
тем же способом, что и в § 3, п. «г». Седловые точки, соответ-
соответствующие частям ?i и gi подынтегрального выражения, распо-
расположены при Is = ku(\ +v)sin8, где 9 — угол между осью z и
радиус-вектором, проведенным в точку наблюдения (р, z) в пер-
первом случае из точки источника (р', z'), а во втором — из точки
изображения (р',—z'). Асимптотическое приближение в первом
порядке (в котором пренебрегают вкладом интеграла вдоль раз-
разреза, описывающего вторичные волны) дает выражение, апало-

234
Гл. 5. Поля в плоскослоистых средах
6. Электрические токи, параллельные оси z, распределены на
цилиндрической поверхности р = р' по закону exp(imcp), где
m — целое число. Составляющая электрического поля Е2, воз-
возбуждаемого такими токами, пропорциональна скалярному потен-
потенциалу ы(р, ф;р'), который определяется уравнением
4-p4- + -1Tlf?+k2)u(p, ф;р') = -^?2е*»Ф (8)
р др г др ' р2 дер2 ' ) v' ^ г ' р v '
и условием излучения на бесконечности [предполагается времен-
временная зависимость вида ехр(—ш()].
Показать, что потенциал и дается выражением
м(р, ф; р') =
(9)
Положив kp' >> 1 и (m/kp') < 1, на основании асимптотиче-
асимптотической формулы Дебая G7) из § 4 вывести асимптотическое выра-
выражение для и. Показать, что это выражение совпадает с геомет-
рооптическим выражением, полученным в задаче 29 гл. 1.
7. Исходя из асимптотического разложения монохроматиче-
монохроматической двумерной функции Грина свободного пространства
/71 = 0
-^^> Л = ^. A0)
Bikp)m с
где
. @,0)^1,
A0а)
и формул (80) и (81) из гл. 1, § 7, исследовать поведение моно-
монохроматической функции Грина Gf вблизи волнового фронта.
Проверить правильность полученного результата путем разло-
разложения точного решения [§ 4, формула D2)] 0^ = {4я2[/2—
— (plcJ]}~'l2U(ct — р) в ряд вблизи точки ct = р.
8. В диэлектрике без дисперсии и потерь, заполняющем полу-
полупространство (фиг. 33), в точке р'= @, г'), z' < 0 имеется на-
направленный вдоль оси х импульсный электрический ток с плот-
плотностью J(r, t) = I6(t)b(p — р')хо- Электромагнитное поле можно
вычислить, найдя зависящую от времени двумерную функцию
Грина б|,2 [§ 5, формула F5)]. Если е2 > еь где ei и е2 — ди-
диэлектрические проницаемости областей г < 0 и г > 0, то функ-
функция §i в области z <С 0 дается выражениями F6) и F7) из § 5,
Показать, что в случае, когда ei > 82, выражения F6) и F7)
остаются верными при ф < arcsin -у/г, где е = ег/ei, а ф — угол
наблюдения, измеряемый от точки изображения на фиг. 33. По-
Показать, что в случае ^> arcsin л/ г в полупространстве г<0
Задачи
235
к указанному выражению необходимо добавить функцию G&,
имеющую [при временной зависимости ехр(—to/)] следующий
вид:
Gb = -±
sin w) dw,
(И)
p,
где R — расстояние от точки изображения, Ci — скорость рас-
распространения волны в области z < 0,
sin и») —
cos w — Vе — sin2 w
cos w
+ s/e —
sin2 w
(lla)
a P\ — контур интегрирования, идущий от точки до = ф -}- Ю до
точки до = ф — ?0 вокруг точки ветвления wb = arcsin Vе. ПРИ"
чем разрез проводится вдоль линии Re Vе — sin2 да = 0. С уче-
учетом формул A9) — B3) из § 2 показать, что во временном пред-
представлении функция Грина имеет вид
cos р - i
- е
Ц(Ф-
U{t- [(R/c,) cos (wb - »)]}
- <]
2я У(«/?,)»-
U }
где Р = ^ + arccos(c,t/R), a t/(a)=l при a>0 nt/(a) = 0
при a < 0. Показать, что выражению A2) соответствует боко-
боковая волна, связь которой с падающей и отраженной волнами та-
такая же, как на фиг. 34 при z' = 0. Изобразите схематически вол-
волновые фронты падающей, отраженной и боковой волн при z' ф 0
и укажите область, где существует боковая волна.
9. Пусть в полубесконечной диэлектрической среде, ограни-
ограниченной плоскостью раздела z' = 0 (фиг. 33), распределенный
источник возбуждает только Я-волны относительно оси z.
а. Показать, что в точках наблюдения, расположенных на
границе раздела B = 0), напряжение собственной волны та-
таково:
]/==_
A3)
в бесконечной
где &2=(о2ц0еа, a=l, 2, а Vfa — напряжение
линии передачи, эквивалентной среде с номером а.
б. Поскольку возбуждаются только Я-волны, электромагнит-
электромагнитное поле можно определить, вычислив соответствующую ска-
скалярную функцию Грина G(r, г'). На основе принципа суперпози-
суперпозиции собственных волн показать, что при z = z' = 0 функцию G
можно выразить через элементарные функции Грина Gfa для не-

238
Гл. 5. Поля в плоскослоистых средах
из радиальной линии передачи (§ б, п. «а») п объяснить полу-
полученное выражение.
13. Поле излучения монохроматического линейного электри-
электрического тока в плоскослоистой среде с показателем преломления
n(z) в приближении геометрической оптики дается выражением
B7) из § 8. Это выражение справедливо, если точка наблюде-
наблюдения лежит на выходящем из источника луче в промежутке ме-
между источником и точкой поворота zt (если такая имеется), где
n(zt) — a (a — параметр луча). Исходя из уравнения для пре-
преломленного луча [§ 8, формула B8)] вывести выражение для
поля, пригодное для части луча за точкой поворота. Показать,
что результат согласуется с асимптотической оценкой точного
решения [§ 8, формула E5)].
ЛИТЕРАТУРА
1. Stratton J. A., Electromagnetic Theory, McGraw-Hill, New York, 1941
(имеется перевод: Дж. А. Стрэттон, Теория электромагнетизма, Гостех-
издат, М., 1948).
2. Morse P. М., Feshbach И., Methods of Theoretical Physics, McGraw-Hill,
New York, 1953, Sec. 4.8 (имеется перевод: Ф. Морс, Г. Фешбах, Методы
теоретической физики, ИЛ, 1958).
3. Кпорр К-, Theory of Functions, Pt. II, Dover Publications, New York, 1947,
Sec. II.
4. Magnus W., Oberhettinger F., Formulas and Theorems for the Special
Functions of Mathematical Physics, Chelsea Publishing Co., New York,
1954, p. 22.
5. Tamir T.fliiner A. A., Proc. 1EE (London). UO 310 A963).
6. Clemmow P. C, Proc. IEE (London), HO, 107 A963).
7. Sommerfeld A. N.. Partial Differential Equations in Physics, Academic
Press, 1949 (имеется перевод: А. Зоммерфельд, Дифференциальные урав-
уравнения в частных производных математической фнзикн, ИЛ, 1950).
8. Франк И. М., Тамм И. Е., ДАН СССР, 14, 109 A937).
9. Panofsky W. К. Я., Phillips M., Classical Electricity and Magnetism, Addi-
Son-Wesley Publishing Co., Reading, Mass., 1962. Ch. 19 (имеется перевод:
В. Пановский, М. Филипс, Классическая электродинамика, М., 1963).
10. Бреховских Л. М., Волны в слоистых средах, Изд-бо АН СССР. М., 1957.
11. Banos A., Dipole Radiation in the Presence of a Conducting Half Space,
Pergamon Press, New York, 1966.
12. Wait J. R., Electromagnetic Waves in Stratified Media, Macmillan, New
York, 1962, Ch. 2.
13. Clemmow P. C, The Plane Wave Spectrum Representation of Electromag-
Electromagnetic Fields, Pergamon Press, New York, 1966, Ch. 5.
14. Фок В. А., Проблемы дифракции и распространения электромагнитных
волн, Изд-во «Советское радио», М., 1970.
15. de Hoop А. Т., Frankena H. /., Appl. Sci. Res., В 8, 369 A960).
16. Jones D. S., The Theory of Electromagnetism, Macmillan, New York, 1964,
Sec. 10.1.
17. Ситенко А. Г., Ткалич В. С, ЖТФ, 29, 1074 A959).
18. Collin R. Е., Field Theory of Guided Waves, McGraw-Hill, New York, 1960.
19. Cullen A. L. Proc. IEE (London), 101, Part IV A954); 104, Part С A957).
20. Barlow H. E. M., Brown J., Radio Surface Waves, Oxford University Press,
London, 1962, Ch. 12.
21. Kay A. F., IRE Trans, on Antennas and Propagation, AP-7, № 1 A959).
Литература
239
22. Seckler B. ?>., Keller J. В., Journ. Acoust. Soc, 31, 192 A959); 31, 206
A959).
23. Ludwig ?>., Comm. Pure and Appl. Math., 19, 215 A966).
24. Кравцов Ю. А., Изв. вузов, «Радиофизика», 7, 664 A964).
25. Budden К- G., The Waveguide Mode Theory of Wave Propagation, Prentice-
Hall, Englewood Cliffs, 1961, Ch. 8.
26. Watson G. N., A Treatise on the Theory of Bessel Functions, Cambridge
University Press, Cambridge, England, 1944, Ch. 15 (имеется перевод:
Г. Н. Ватсон, Теория бесселевых функций, ИЛ, 1949).
27. Courant R., Differential and Integral Calculus, Vol. II, Interscience, New
York, 1947, Sec. 3.5.
28. Bremmer H., Terrestrial Radio Waves, Elsevier Publishing Co., New York,
1949, Ch. 8, 9.
29. Bremmer H., в книге: Handbuch der Physick, Bd. 16, Berlin, S. 350.
30. Felsen L. В., Levey L., IEEE Trans, on Antennas and Propagation, AP-14,
308 A966).
31. Epstein P. S., Proc. Natl. Acad. Sci. (USA), 16, 627 A930).
32. Eckart C, Phys. Rev., 35, 1303 A930).
33. Rawer K-, Ann. dd. Physik, 35, 385 A939).
34. Eckart O., Wellenoptische Behandlung der Strahlung eines magnetischen
Dipols in einem eben geschichteten Medium mittels der Methode von Ep-
Epstein, Bayerische Akad. d. Wissenschaften, Mathematish-Naturwissenschaft-
liche Klasse, Munchen, BRD, 1960.
35. Леонтович М. А., в книге: «Исследования по распространению радио-
радиоволн», Изд-во АН СССР, М., 1948.
36. Senior Т. В. A., Appl. Sci. Res., B8 A960).

242
Гл. 6. Поля в цилиндрических и сферических областях
ного источника, исходя из соответствующих результатов для дву-
двумерного линейного источника. Поскольку в уравнение границы
тени входят только угловые координаты, можно предположить,
что дифрагированные поля в области тени лучше всего описы-
описываются с помощью бегущих по углу волн. Справедливость такого
предположения подтверждается анализом (§ 3—7), который по-
показывает, что угловое представление для полей дает решение,
содержащее в явном виде квазиоптические (геометрооптические
и дифракционные) члены, которые можно приближенно вычис-
вычислить при высоких частотах. В диапазоне же низких частот не-
невозможно четко различить хорошо освещенную и затененную об-
области и для приближенного вычисления полей удобно использо-
использовать быстрее сходящееся при таких частотах радиальное пред-
представление. Хотя представление в виде набора бегущих вдоль
оси z волн не дает никаких преимуществ при расчете полей, ког-
когда имеется препятствие типа изображенного на фиг. 74, оно мо-
может служить удобной исходной формулой при выводе других
представлений скалярных функций 9"{г, г') и 9*"{г, г'), а следо-
следовательно, и общих выражений для векторного электромагнитного
поля. Эти общие положения развиваются в § 2 (цилиндрическая
геометрия) и в § 8, п. «б» (сферическая геометрия).
При высоких частотах поле в освещенной и затененной обла-
областях можно почти всюду характеризовать лучами, которые рас-
распространяются локально как плоские волны и позволяют объяс-
объяснить не только эффекты геометрической оптики, но и дифрак-
дифракционные эффекты. Такой подход непригоден вблизи границ об-
области существования определенного типа лучей. Примером мо-
может служить, например, граница свет — тень для падающих лу-
лучей или аналогичная граница для геометрически отраженных лу-
лучей. В подобных переходных областях поля изменяются на-
настолько быстро, что локальное представление в виде плоских
волн, справедливое в том случае, когда поля изменяются слабо
на длине порядка длины волны в плоскости постоянной фазы,
оказывается непригодным. Хотя угловые размеры таких обла-
областей очень малы (фиг. 80 и 85, случай цилиндрической геомет-
геометрии), их роль велика, поскольку именно в этих областях проис-
происходит плавный переход от одного типа геометрооптического поля
к другому. В следующих параграфах подробно изучаются негар-
негармонические функции для клина. Ввиду того, что тень образуется,
как отмечалось ранее, одинаково в случаях точечного источника,
линейного источника и источника плоских волн, соответствую-
соответствующие негармонические функции тоже обнаруживают сходство.
Сказанное выше о возможности замены волновых фронтов
лучами относится и к случаю импульсных источников, так как
между гармоническим по времени высокочастотным полем и не-
негармоническим полем в момент прихода различных волновых
§ 2. Функции Грина для цилиндрических областей
243
фронтов существует тесная связь (гл. 1, § 6, п. «в»). Оказывает-
Оказывается, однако, что негармонический отклик для различных конфи-
конфигураций клина можно вычислить в замкнутой форме во все мо-
моменты наблюдения, и это позволяет проследить за поведением
поля как непосредственно после прихода волнового фронта, так
и по истечении длительного периода времени. Особое внимание
уделяется задаче об идеально проводящей полуплоскости, кото-
которая является одной из классических дифракционных задач при
импульсном и гармоническом возбуждении.
Поскольку угловое представление является основным при
квазиоптическом описании полей, естественно исследовать вна-
вначале те конфигурации, которые наиболее просто анализируются
с помощью бегущих по углу волн. Как и в случае областей, ко-
которые описываются бегущими вдоль прямолинейной оси коорди-
координат волнами, к такого рода конфигурациям относятся двусто-
ронне согласованные (неотражающие) структуры. В угловых ко-
координатах условие согласования выполняется на «идеально по-
поглощающих» границах при ф = 0, ф в случае цилиндрической и
при 9 = 6ч, 2 в случае сферической геометрии (т. 1, фиг. 87). Со-
Согласованное граничное условие эквивалентно представлению о
бесконечном угловом пространстве, в котором распространяю-
распространяющаяся волна не испытывает отражений. Такое понятие беско-
бесконечного углового пространства, введенное в гл. 3, § 4, п. «б», ис-
используется и в данной главе. На основании решений, получен-
полученных в случае идеально поглощающих границ, можно методом
изображений (мнимых источников) синтезировать эффекты, об-
обусловленные либо наличием отражающих границ при ф = 0, ф
или 9 = &1,2. либо условием периодичности в отсутствие физиче-
физических границ в угловом пространстве (гл. 3, § 4, п. «б»). Метод
изображений позволяет выявить различия между областями с
распространением поля вдоль прямолинейной и криволинейной
координат. В областях первого типа все изображения видны из
точки, где расположен источник, а потому они дают вклад в гео-
метрооптическое поле; в областях же второго типа удаленные
изображения заслонены из-за «кривизны пространства» и дают
вклад только в дифрагированное поле.
§ 2. ФУНКЦИИ ГРИНА ДЛЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ
ОБЛАСТЕЙ
а. Вычисление полей на основании скалярных потенциалов
Электромагнитные поля произвольно ориентированного гар-
гармонического по времени элемента электрического или магнит-
магнитного тока при наличии идеально проводящего препятствия, изо-
изображенного на фиг. 74, можно выразить, как в гл. 5, § 2, п. «а»,

246
Гл. 6. Поля в цилиндрических и сферических областях
Интересно отметить, что для описания неоднородных по z
конфигураций или поглощающих границ не требуется никаких
других компонент полей, кроме приведенных в формулах A6) и
B6). Более того, если внутренние относительно поверхности s
области заполнены произвольным однородным по z диэлектри-
диэлектриком, необходимо лишь соответствующим образом модифициро-
модифицировать граничные условия. Читатель может убедиться, что набор
компонент, приведенных в формулах A6) и B6), достаточен
для удовлетворения условий непрерывности тангенциальных со-
составляющих электрического и магнитного полей.
б. Угловое представление
В угловом представлении скалярные функции Грина G' и G"
или G' и G" выражаются через собственные функции в простран-
пространстве (р, z) и одномерные функции Грина вдоль угловой коорди-
координаты ф. Ввиду инвариантности структуры на фиг. 74 по отноше-
отношению к перемещениям вдоль оси z трехмерные функции G' и G"
связаны с двумерными G' и G" преобразованием (Зв). Для про-
простоты исследование различных задач дифракции будет прово-
проводиться в основном для двух измерений; соответствующие резуль-
результаты для трехмерной геометрии, относящиеся к возбуждению то-
точечным источником, будут выведены из двумерной задачи.
В случае двумерного (не зависящего от z) гармонического
по времени источника условие полноты для собственных функ-
функций радиального оператора
р Зр "Зр
из формулы C) записывается в следующем общем виде [гл. 3,
§4, формулы (91) и (94д)]:
р'б (р - р') = ? Фр (kp) Фр (V), D)
где Фр(/гр)—собственная радиальная функция, а Фр(?р') —
сопряженная собственная функция, приведенные в гл. 3, § 4,
п. «в», для различных граничных условий. В трехмерном слу-
случае при гармонической зависимости от времени и при —оо <
< z < оо зависящая от р и г часть оператора V2 + /г2, а именно
I д did ¦ 12
~р~~др~91р~~Л~~д?'А~ '
превращается в алгебраическое выражение для двумерных соб-
собственных функций, удовлетворяющих условию полноты
p'6(p_p'N(z-2') =
оо
(г)ф"
E)
§ 2. Функции Грина для цилиндрических областей
247
которое получается из результата для двумерного случая D)
по правилу, указанному в формуле (Зв): величина k в формуле
D) заменяется величиной V'k2 — ?2, а затем выполняется опера-
операция
2^- \
При импульсном возбуждении k2 в левой части формулы C) или
в соответствующем трехмерном выражении заменяется времен-
временным оператором —d2/c2dt2, превращающимся в алгебраическое
выражение для собственных функций, которые удовлетворяют
условию полноты
'') da, со = kc.
Соответствующие условия полноты для
О и р'б(р-р')в(г-г/)в(/-0
F)
получаются затем применением интегрального оператора F) к
формулам D) и E), относящимся к случаю гармонической за-
зависимости от времени (см. также гл. 5, § 2, и. «и*).
В угловом представлении зависимость от координаты ф опре-
определяется угловой функцией Грина g,IP((p, ф'), которая удовле-
удовлетворяет дифференциальному уравнению
G)
с соответствующими граничными условиями на концах области
определения ф. В гл. 3, § 4, п. «б», приведены различные реше-
решения G), позволяющие получать формальные выражения для
скалярных функций Грина методом, изложенным в гл. 3, § 3,
п. «в».
Гармонический линейный источник
Двумерные функции Грина G' и G" удовлетворяют уравне-
уравнению C), и на основании формул D) и G) можно написать его
формальное решение:
G (Р, р') = ? Фр (kp) Фр (V) ё*р (Ф, Ф').
(8)
Явный вид функций Фр и gl(P для Е- и Я-волн зависит от
конкретной формы границ клинообразной или цилиндрической
конфигурации, изображенной на фиг. 74.

250
Гл. 6. Поля в цилиндрических и сферических областях
с необходимыми граничными условиями. Очевидно, что
«пад (г; Э', <р'; k) = ппад (р, Ф'; k sin в') е-'** «=«» «'
A7)
и, поскольку конфигурация на фиг. 74 однородна по z, волно-
волновая функция и имеет такую же зависимость от z. Таким обра-
образом, не зависящий от z сомножитель в функции и удовлетворяет
двумерному волновому уравнению, в котором величина k заме-
заменена величиной k sin б', так что
: cos 9'
и (г; в', ф'; /г) = м(р, ф'; k sinG') e~i
A8)
В связи с замечаниями, сделанными после формулы E), отметим,
что переменная ? равна постоянной величине fecos 0' и необходи-
необходимость интегрирования по t отпадает, а V'k2 — ?2 —>¦ fe sin 6'.
Все сказанное выше нельзя непосредственно применить к ска-
скалярным функциям 9" и 9"', поскольку поперечная часть диффе-
дифференциального оператора (V? + d2/dz -\-k)Vj в формуле B) из
гл. 5, § 2, становится алгебраическим выражением в г-представ-
лении, но не в ф-представлении [гл. 5, § 2, формула E) с заме-
заменой V? = — /г?]. В этом случае лучше воспользоваться контур-
контурным интегралом, полученным из формулы E) гл. 5, § 2 (гл. 3,
§ 3, п. «в»), и вывести угловое представление из г-представле-
ния, деформировав контур интегрирования в комплексной пло-
плоскости kt. Полученные таким способом результаты аналогичны
выражениям для G' и G", но только содержат дополнительный
множитель, соответствующий величине 1//г?; в формулах Eа)
и E6) из гл. 5, § 2, и могут содержать вклад дополнительного
полюса kt = 0 в комплексной ^/-плоскости.
Прежде чем переходить к применению полученных результа-
результатов, напомним, что разложения по собственным функциям (8),
A0), A2) и A4) являются формальными и их можно исполь-
использовать только для класса «представимых» функций (т. е. функ-
функций, для которых эти разложения сходятся). В связи с несколь-
несколько аномальным поведением радиальных собственных функций
фр(?р) [§ 3, замечания после формулы A)] разложения схо-
сходятся лишь при определенном взаимном расположении источни-
источника и точки наблюдения. При произвольном же взаимном распо-
расположении источника и точки наблюдения нужно обращаться к
модифицированной процедуре [§ 3, формула (8)].
§ 3. ЗАДАЧИ О КЛИНЕ (ТЕХНИКА ИНТЕГРИРОВАНИЯ)
К первому классу задач, которые мы будем рассматривать,
относятся геометрические конфигурации, получающиеся, когда
па фиг. 74 радиус цилиндра а стремится к нулю. Граничные ус-
условия для области 0 < р < оо состоят из условия излучения
§ 3. Задачи о клине (техника интегрирования)
251
при р —»• оо и условия ограниченности при р = 0, которое ставит
предел возрастанию полей вблизи ребра клина (гл. 1, § 5,
п. «б»). Соответствующее условие полноты дается теоремой Ле-
Лебедева— Конторовича [гл. 3, § 4, формула (946)]:
-(ОО
(оо
= 1 $ ц A -
^) HM (*p) HW (V
(la)
A6)
Сравнивая эти выражения с формулой D) из § 2, можно уста-
установить вид собственных функций ФР (kp) и Фр(?р), где р — не-
непрерывный индекс в формулах A) —обозначен через \х1). Под-
Подстановка выражений A) в формулы (8), A0), A2) и A4) из
§ 2 дает модальное представление двумерных и трехмерных
функций Грина на основе собственной функции Грина ?(рр(ф,
ф') —*g(q>, ф'; ц), явный вид которой зависит от используемых
граничных условий на гранях клина при ф = 0 и у = ф (ин-
(индекс ф у функции ?ф будем для удобства опускать). Из формулы
A9а) приложения 1 следует, что, поскольку при ц —»¦ ioo функ-
функция H^ikp) растет как ехр(|ц|я/2), разложение по радиаль-
радиальным собственным функциям (угловое представление) можно ис-
использовать только в том случае, когда g((p,(p';\i) убывает бы-
быстрее множителя ехр(|ц|л) под знаком интеграла в формуле
A6). Так как в силу формул A) из § 4 и B) из § 5
g (ф, ф'; ц) ос ехр (— | ц 11 Ф — ф' I) при ц -> i оо,
B)
разложение применимо при |ф — ф'| >я (т. е. в области гео-
геометрической тени).
Следствия такой аномальной сходимости разложения по-
подробно анализируются в случае двумерной функции Грина для
задачи о возбуждении линейным гармоническим источником.
') В остальной части данной главы (г будет обозначать параметр разде-
разделения. Его не следует путать с магнитной проницаемостью, которая всюду в
других разделах книги обозначается той же буквой.

254
Гл. в. Поля в цилиндрических и сферических областях
где D(w) — функция, регулярная в точке wv. Следовательно, ве-
величина G отличается от величины, даваемой формулой E), вы-
вычетом в полюсе wp, так что при всех |ф — ф'|
G (р, Р') = -j Я&° (k | р - р' |) U (я - | Ф - Ф' |)
-i оо
— [
8я J
гоо
I Р - Р' 1 = Vp2 + Р'2 - 2рр/соз(ф -ф'),
>ф/; w)dw,
(8)
где U(x) = 1 при х > 0 и U(x) = О при х < 0, а под А подра-
подразумевается результат интегрирования в формуле F). Первый
член выражения (8), функция Грина для свободного простран-
пространства [§ 4, формула B5)], отличен от нуля лишь в «освещенной»
области |ф — ф'| < я (фиг. 75), из которой виден источник. Вто-
Второй же член представляет собой поправку к полю в свободном
пространстве и учитывает дифракционные эффекты, обусловлен-
обусловленные наличием клина. Отметим, что зависимость дифракционного
поля от (р, р') одинакова и в освещенной, и в затененной обла-
областях. Если функция А (ф, ф'; w) имеет другие полюсы, пересе-
пересекающие путь интегрирования при определенных значениях ф, ф',
то их вклады нужно учесть аналогичным образом. Эти вклады
дополнительных полюсов описывают отраженное поле в геомет-
геометрической оптике (§ 5).
Асимптотическое приближение
Для асимптотической оценки дифракционного интеграла в
формуле (8) методом наибыстрейшего спуска необходимо ис-
исследовать аналитические свойства квадратного корня для х из
формулы E) в плоскости комплексной переменной w. Функция %
имеет точки ветвления первого порядка при
W = Wh=:
=i, з, 5
(9)
где а2 — р2 + р'2 > 2рр'. Если провести разрезы вдоль линий
Re % = 0 (фиг. 76), то знак Rex может измениться лишь при пе-
пересечении разреза. На верхнем листе римановой поверхности мы
полагаем
Х = р + р'>0, когда ау = О, A0)
и Re х > 0 на всем остальном верхнем листе. Знак Im % изме-
изменяется при пересечении кривых Im x = 0, изображенных пункти-
пунктиром на фиг. 76. При определении знака Im % в разных областях
§ 3. Задачи о клине (техника интегрирования)
255
нужно исходить из того, что вблизи точки ветвления
х « -y/i(w — wb) sh wbl, wttwb,
A1)
где величина -\jw — wb определена таким образом, что Rex > 0.
Например, при wb = п -\- i\wbi\ мы имеем -^w—wb =
= j\w — wb\ еш\ я/2>а>— Зл/2, т. е. argx = а/2 + л/4.
Следовательно, Im % > 0 при —л/2 < а < я/2 и Im x < 0 при
—Зя/2 < а < —я/2. Проводя такие же рассуждения примени-
применительно к другим точкам ветвления, получаем знаки Im x во всей
плоскости w, показанные на фиг. 76. На основании этого иссле-
исследования и асимптотического поведения функции Яо* (х) ex exp (ix)
при х —*¦ оо можно заключить, что контур интегрирования в фор-
формуле (8) можно сместить с мнимой оси и совместить с контуром
Р (фиг. 76), вдоль которого Im х > 0.
Если произведение kp или kp' в формуле (8) велико, то %
тоже становится большой величиной и функцию Ханкеля можно
заменить ее асимптотическим выражением A36) из § 3:
A2)
Тогда подынтегральная функция будет содержать экспонен-
экспоненциальный множитель exp [ik%(w)\, где k играет роль большого
параметра, и, следовательно, соответствующая седловая точка
функции x(^) расположена при w = 0; функции А, представ-
представляющие для нас интерес, не содержат экспоненциальной зависи-
зависимости от w. На основании формулы E) из гл. 4, § 2, заклю-
заключаем, что вдоль пути наибыстрейшего спуска (ПНС) при w = 0
A3)
т. е. ПНС пересекает седловую точку под углом —45°. В общем
случае можно написать вдоль ПНС x(^) = х@) + 's2> s2 > 0,
так что
RexH = Rex(O) = p + p'- A4)
При Wi —»• /оо мы имеем cosay—>(chffi^)e~im>r и %{w) —*¦
—*¦ [2рр' cos w]'1*. Величина Rex(^) должна быть конечной [фор-
[формула A4)], а потому wr—*-+n при wt—>¦ ±оо. Поскольку между
мнимой осью и ПНС особенностей нет, можно исходный контур
деформировать в ПНС и полученный интеграл вычислить по фор-
формуле A6) из гл. 4, § 2. В результате получим с точностью до
O(l/-\/&p) или O(l/V&p') при |ф — ф'| 9& я (т. е. когда по

258
Гл. 6. Поля в цилиндрических и сферических областях
где х = xwp — расстояние от этой кривой (параболы) до гра-
границы тени, причем, когда р' — очень большая величина, множи-
множитель т приблизительно равен координате вдоль границы тени
(фиг. 80). Из фиг. 115, а т. 1 явствует, что асимптотическое вы-
выражение A8а) достаточно точно при Ъ, ^ 3, так что в формуле
A9) мы можем положить |,„ = 3; если нужна более высокая
точность, то можно взять большее значение величины gm.
С учетом формул A6) и A7) получаем следующую поправку
G* к G для переходной области |ф — ф'| « я:
G'(P, р') =
[(g)-^=J, B0)
где | и С(а) —величины, даваемые формулами A76) и A5а),
а т = рр'/(р + р')- Если это выражение добавить в формулу
A5), то она будет справедливой при любом положении точки
наблюдения. Интересно, что при |ф — ф'| —>я мы имеем F(?,) —*
-* 1 и сумма выражений A5) и B0) принимает вид
G(p, р')~Г
где Gnafl — волновая функция падающей волны:
Спад = i Н{0[) (ft | р - р' |) ~ С (ftp + ftp');
B1)
B1а)
здесь было учтено, что |р — р'| —>(р + р') при |ф — ф'| = л.
Таким образом, при больших кр и кр' поле на границе тени
равно половине поля падающей волны.
Мы рассмотрели лишь случай, когда функция А в формуле
G) имеет один полюс при wp = я— |ф — <р'|; если А имеет
другие полюсы, описывающие отраженные волны, то в угловых
областях, соответствующих каждому полюсу, возникают сход-
сходные переходные явления.
б. Гармоническое возбуждение плоской волной
и точечным источником
Решение в интегральном представлении
Если сместить линейный источник на бесконечность (р' —>
—> оо) вдоль угловой координаты ф', то в пределе получится ре-
результат, соответствующий падению плоской волны. В этом слу-
случае одну из функций Ханкеля в формуле C) можно заменить ее
асимптотической формой A2). Хотя параметр ц в формуле C)
изменяется в бесконечных пределах, подынтегральная функция
убывает по экспоненте с ростом ц, и можно показать, что ошиб-
§ 3. Задачи о клине (техника интегрирования)
259
ка, вносимая при использовании формулы A2), при любых ц
пропорциональна величине ехр(—aN), где а= |ф — ф'| —я и
1 <С N <С kpr, причем N ^ |ц| для значений параметра ц, при
которых справедлива формула A2). При р' -* оо величину JV
можно сделать сколь угодно большой, и тогда ошибка будет
стремиться к нулю. Используя для #?," (ftp) интегральное пред-
представление при мнимых ц
dw,
B2)
получим выражение, сходное с (8), если произвести замену
| /#>(* VP2 + Р'2 + 2РР' cos р) - С (ftp') eikp cos 6, B3)
где С (ftp') —величина, даваемая формулой A5а). Если ампли-
амплитуда падающей волны равна-единице, то С si 1 [§ 4, формула
C06)] и для волновой функции имеем
й(р; ф') = е-'*рС03(ч)-1Р'N'(я-|ф-ф'|)-
— -^ ^ elk?cos WA (ф, ф'; w) dw, B4)
i oo
где А — результат интегрирования в формуле F). Первый член
в выражении B4) соответствует полю падающей волны, а вто-
второй— дифракционному полю [см. замечания, сделанные после
формулы (8) относительно возможных вкладов отраженных
волн]. Результат для случая наклонного падения плоской вол-ны
можно получить из формулы A8) § 2.
Трехмерная скалярная функция Грина G(r, г') для случая
возбуждения точечным источником, расположенным в точкег'=
= (р', ф', г'), получается из формулы (8), если воспользоваться
правилом, сформулированным в § 2 после формулы E). По-
Поскольку ft входит лишь в аргумент функций Ханкеля, примене-
применение формулы A2г) из гл. 5, § 4,
\ Я<» (V& - I2 q)
= - 21
B5)
сразу же дает результат
-и
-ер- \ -ЧгМъч'; w)dw, B6)

262
Гл. 6. Поля в цилиндрических и сферических областях
C7) или C8) из гл. 1, §6. Именно такой вид имеют выражения
B4) и B6), и потому негармонический отклик при возбуждении
плоской волной или точечным источником можно вычислить пря-
прямо по формуле C9) из гл. 1, § 6 (см. также гл, 5, § 2, п. «в»;
буквой А здесь обозначена другая величина).
Поскольку гармоническая по времени плоская волна
ехр[—ikpcos(q> — q/)] соответствует импульсу плоской волны
8[t — ? + (р/с)cos(ф — ф')], негармонический отклик при нали-
наличии клина выражается на основании формулы B4) данного па-
параграфа и формулы C9) из гл. 1, § 6, при произвольных р,р', t,
t' в виде
б(р,
[Ф. ф'; t Arch (с (< - П/РI
У(< - t'f - (р/сJ
u
(t_t' _?\
V с )'
где с — скорость распространения сигнала в среде, Л{ф, ф'; w) —
результат интегрирования в формуле F). Первый член в вы-
выражении C2) описывает падающий импульс плоской волны
в освещенной области на фиг. 75, а второй — дифрагированное
поле. Поскольку падающий импульс достигает ребра клина р =
= 0 лишь в момент t = t', дифракция происходит только при
t > V. Дифрагированный импульс распространяется в виде ци-
цилиндрической волны, исходящей из ребра клина, и он эквивален-
эквивалентен полю линейного источника [гл. 5, § 4, формула D2)], распо-
расположенного на ребре клина, с учетом амплитудного множителя
Re Л. О других физических следствиях говорится в связи с при-
примерами в § 4 и 5 (фиг. 81). Если у функции А (ф, ф'; w), кроме
полюса w = я—|ф — ф'|, имеются другие полюсы, то возни-
возникают дополнительные импульсы плоских волн, описывающие от-
отраженное поле геометрической оптики [см. замечания после
формулы (8) и § 5].
При возбуждении импульсным точечным источником функ-
функция Грина G(r,r'; t, t'), удовлетворяющая уравнению A3) из §2
при произвольных г, г', t, t', получается на основе формулы B6)
так, как говорится в гл. 1, § 6, после формулы C7):
б (г, г'; t, П =
{t - ::1Г - Г'
4я I г - г' |
U (я - 1 Ф - Ф' |) +
Re4((p, q/; if)
4я
рр' sh
U(t-t'-l/c), C3)
где
= Arch {[c2(t - t'J - р
р'2
(z — z') 2]/2PP'}, а / - ве-
вер р р ( PP
личина, даваемая формулой C06). Интерпретируется этот ре-
результат так же, как и ранее полученный [фиг. 79 и формула
§ 3. Задачи о клине (техника интегрирования)
263
A46) из гл. 5, § 4, а также замечания о дополнительных вкла-
вкладах функции А].
Двумерная функция Грина (8) не обладает структурой вы-
выражения C7) из гл. 1, § 6, так что непосредственно использо-
использовать формулы из гл. 5, § 2, п. «в», нельзя (вспомним иное значе-
значение символа А в гл. 5, § 2, п. «в»). Но необходимый результат
можно получить после некоторых предварительных преобразо-
преобразований. Полагая к-* isle, где s — положительная величина и с —
скорость света в окружающей среде, и вспоминая, что
HV{iz) = ^re-iml2KAz), C4)
где Kv{z) — модифицированная функция Бесселя, получаем
(я-1Ф-ф'| + /(р, р'; s), C5)
А(Ф, ф'; w) dw. C6)
где
1(9, р'; s) =
= ~Ь \ К°{т Vp2 + p'2
Обратное преобразование Лапласа для первого члена в выра-
выражении C5) дается формулой D2) из гл. 5, § 4. Для преобразо-
преобразования второго члена к виду C4) из гл. 1, § 6, воспользуемся
формулой
л/t2- 1
¦dt, x> 0,
в результате чего получим
/ (Р, Р'; s) = -^
dwA (ф, ф'; w)
flc
Ут2 - Г-1с-
C7)
dx, C8)
где
hp>0, р = _ш. C8а)
Нужный результат получается после изменения порядка инте-
интегрирования в формуле C8) по области f (р) < сх < оо и —оо <
<С р <с оо. После изменения порядка интегрирования —ty(x) <
< Р < $ (х), $ (х) = Arch [ (cV - р2 - р'2) /2РР'], a f@) < сх <
¦< оо. В результате имеем
Ир, р'; s)=J e-"Q(x)dx,
C9)

266
Гл. 6. Поля в цилиндрических и сферических областях
то электромагнитные поля Ez, Яр, Яф и Hz, Ep, ?<р, возбуждае-
возбуждаемые в первом случае электрическим, а во втором магнитным то-
током, можно найти, если известна двумерная скалярная функция
Грина [§ 2, формулы A) и B)]. Поскольку граничные условия
на идеально поглощающих гранях клина в обоих случаях одина-
одинаковы, функции Грина для Е- и Я-волн совпадают, и мы будем
Падающие
лучи.
\ /
¦Линейный, источник
Дифрагированные
лучи
<р= О
Фиг. 77. Идеально поглощающий клин и линейный источник.
обозначать их символом С<х>(р,р')- Эта функция удовлетворяет
неоднородному волновому уравнению
в области 0 < (р, р') < оо, —оо < (ф, ф') <Г"°о, а также усло-
условию ограниченности при р = 0 и условию излучения при р —> оо,
|ф| —>оо. Индекс оо означает, что решение найдено в предпо-
предположении, что угол ф может изменяться в бесконечных пределах
—оо < ф < оо. Решение для области геометрической тени |ф —
— ф'| >я получается из формулы C) § 3 и формулы A) дан-
данного параграфа:
=| \ A -
а из формулы (8) § 3 и формулы B) данного параграфа полу-
получается результат, справедливый при всех значениях |ф — ф'|.
Если kp^> 1 и kp' S> 1, по |ф — ф'|т6 л, то справедливо аснм-
§ 4. Идеально поглощающий клин
267
птотическое приближение [§ 3, формула A5)]:
Goo ~ Goo Ч~ Goo,
F)
Fа)
Gax =-2A (ф, ф'; 0) С (kp) С (kpr) = - iA (ф, ф'; 0) ¦==-, F6)
4я6 Vpp'
А (ф, ф'; 0) =
1
1
Я — | ф — ф' | ' Я + | ф — ф' |
Fв)
при произвольных же значениях величины |<р — ф | к выраже-
выражению F) следует добавить негармоническую поправку [§ 3, фор-
формула B0)]:
5-(р, р') =
gi \k (р+р')+л/41
^2nk (p + p')
где
р + р'
COS
ф — ф
G)
G а)
F.{\)—функция, даваемая формулой A8) из § 3, U(a)—еди-
U(a)—единичная функция Хевисайда, а С (а) —функция, даваемая фор-
формулой A5а) из § 3.
Замечания
области
Член Gio дает падающее поле в освещенной
|ф —ф'|<я, a Gl — с точностью до O(l/V^p) и O(/Vp)
дифрагированное поле вне переходной области у границы тени
[члены более высокого порядка вычисляются в формуле (9)].
Дифрагированное поле, содержащее множитель C(fep), можно
интерпретировать как цилиндрическую волну, расходящуюся
от ребра клина, угловое распределение которой определяется
множителем —2Л(ф, ф';0). Эта волна возбуждается цилиндри-
цилиндрической волной, идущей от источника, причем множитель C(kp')
характеризует амплитуду падающей волны на ребре клина. Все
сказанное можно наглядно представить, изобразив дифрагиро-
дифрагированные лучи (гл. 1, § 7, п. «г»), На фиг. 77 падающее поле изо-
изображается в виде лучей, выходящих радиально из источника;
амплитуда падающей волны вдоль луча дается выражением
,• m ;f {* | Р-Р' I+JV4)
\н''(feip-p'D-ctfeip-p'D^-^T-, ,,¦ .
4 2 V2itft | р — р' |
Падающие лучи имеются во всей освещенной области |ф —
— ф'| < я. Попадая на поверхность клина, луч полностью по-

270
Гл. 6. Поля в цилиндрических и сферических областях
при |ф — ф'| > я. Очевидно, что член наинизшего порядка
р')Лю(ф.ф')
') совпадает с выражением F6), которое
было выведено иначе.
б. Импульсный линейный источник
Если линейный источник на фиг. 77 импульсный, т. е. его ин-
интенсивность меняется во времени пропорционально дельта-функ-
дельта-функции б(^ — f), то поля можно вычислить, найдя функцию Грина
§°°(р, р'; t,f), удовлетворяющую уравнению
р + G(P р'; ' '')
A3)
а также условию ограниченности при р = 0 и условию равенства
нулю при t < V. Решение дается формулой D1) из § 3, если для
Л(ф, ф'; ip) взять выражение B6). Для моментов времен наблю-
наблюдения t « f + (p + р'Iс второй член в формуле D1) из § 3, ко-
который мы будем обозначать через (?1, можно упростить сле-
следующим образом [§ 3, замечания после формулы D1)]:
§1~_ AD,0'lV)c u(t_f_?±2L\ (Иа)
4яУрр' V с ) '
Он описывает поведение дифрагированного поля в окрестности
волнового фронта дифрагированной волны. Вблизи же волно-
волнового фронта падающей волны, где / « t' -\- |р — р'|/с, первый
член в формуле DГ) из § 3 дает
01
2ял/2|р-р'|
X
(Мб)
откуда видно, что вследствие дифракции уменьшается скачок
поля на волновом фронте.
Как уже отмечалось, первый член в выражении D1) из § 3
описывает отклик в отсутствие клина и отличен от нуля лишь
вне затененной области (фиг. 77); этот член дает поле в при-
приближении геометрической оптики. Второй же член описывает
дифрагированный импульс, распространяющийся в виде цилин-
цилиндрической волны, существующий во всех областях вне клина и
достигающий точки наблюдения Р(р, ф) при t — ^ = (р + р')/с,
т. е. через промежуток времени, необходимый для прохождения
волной расстояния р' от источника до ребра клина и расстоя-
расстояния р от края клина до точки наблюдения. Поскольку грани кли-
$ 4. Идеально поглощающий клин
271
на считаются полностью поглощающими, отраженный сигнал
отсутствует. Волновые фронты для падающей и дифрагирован-
Фронт падающей
' волны
Фронт отраженной
волны
Фронт дифрагированной
волны
Фиг. 78. Дифракция импульсной цилиндрической волны на клине (в случае
идеально поглощающего клипа отраженная волна отсутствует).
Центр фронта падающей волны расположен в источнике, отраженной —в зеркальном
изображении источника относительно горизонтальной грани клина и дифрагированной —
на ребре клина.
ной волн изображены на фиг. 78. Нормали к фронтам, т. е. лучи,
соответствуют лучам, проведенным на фиг. 77.
в. Гармонический точечный источник
Электромагнитные поля, которые возбуждаются ориентиро-
ориентированным вдоль оси г элементом электрического тока
или магнитного тока
М (г, t) = М°Ь (г - г') е~шгь A56)
при наличии идеально поглощающего клина, можно найти (§ 2,
п. «а»), вычислив скалярную функцию Грина, удовлетворяющую
уравнению

274
Гл. 6. Поля в цилиндрических и сферических областях
нормировке можно представить в виде ехр [—ikp cos (ф — ф') —
— iatt]. Соответствующая волновая функция н«.(р,ф') в случае
идеально поглощающих граней клина удовлетворяет однород-
однородному волновому уравнению
? + ?+
в области О <Г р < оо, —оо < (ф, ф') < оо и условию ограни-
ограниченности при р = 0. Та часть функциин^ (р, ф'), которая описы-
описывает рассеянное поле, должна удовлетворять условию излучения
при (р, |ф|) —> оо. В области тени |ф — ф'| > л решение можно
получить исходя из формулы E), если заменить в ней функцию
Я[1'(&р') первым членом асимптотического разложения (8а) и
использовать в формуле C06) из гл. 5, § 4, условие нормировки
~" " ' e'W+дМ) _-*!/ B0)
чтобы амплитуда падающей плоской волны была равна еди-
единице. Тогда
«оо(Р, ф') =
= j $ 0 -el2
B1)
При произвольных р, ф, ф' можно использовать также фор-
формулу B4) из § 3, подставив в нее Л(ф, ф'; w) из формулы B6)-.
Когда /гр » 1, асимптотическое решение пм ~ п^ + «1 + «^
дается выражение B8) из § 3, в котором А (ф, ф'; 0)— величина,
даваемая формулой B6). Функция «^ [§ 3, формула B8а)] опи-
описывает плоскую волну, падающую под углом ф'; из-за наличия
клина эта функция отлична от нуля только в области |ф — ф'| <
< л, т. е. в области, освещенной прямыми лучами геометриче-
геометрической оптики (фиг. 80). Функцию «^ [§ 3, формула B86)] можно
рассматривать как расходящуюся цилиндрическую волну, воз-
возникающую на ребре клина при р — 0; вклад цилиндрической
волны меньше вклада падающей плоской волны: их отношение
равно O(l/V^p)> поскольку в выражении для первой волны
имеется множитель l/У/гр. Цилиндрическая волна дает вклад
как в освещенной, так и в затененной области и почти всюду
описывает дифракционные эффекты; столь простая интерпрета-
интерпретация дифрагированного поля оказывается неверной лишь в ок-
окрестности границы тени |ф—ф'| = л, где амплитуда цилиндри-
цилиндрической волны расходится как 1/(л — |ф — ф'|)- В этой переход-
§ 4. Идеально поглощающий клин
275
ной области, ширина которой дается выражением A9) из § 3,
основную роль играет негармоническая функция п^ [§ 3, фор-
формула B8в)]. Все сказанное поясняется на фиг. 80.
Члены более высокого порядка асимптотического разложения
дифрагированного поля «^ можно найти так же, как и в случае
линейного источника. Оказывается, что «^ дается выражением
(9), в котором С (kg') = 1, а под знаком суммы стоят лишь
члены /то, где m = 0, 1, 2 Замкнутые выражения для /т0
Дифрагированные
лучи
I
Падающая
волна
Цилиядрический фронт
Ошрраа/роватой
волны
Фиг. 80. Геометрическая интерпретация асимптотического решения в случае
падающей плоской волны.
даются формулами A1) и A2), так что получающаяся в ре-
результате формула для м^, справедлива при всех |ф — ф'| qb л.
Необходимые формулы для случая наклонного относительно
оси z падения волны можно получить как прямое следствие со-
соотношения A8) из § 2.
е. Импульсная плоская волна
"'- Если падающее поле имеет вид импульса плоской волны
6 [* — *'+ (р/с) cos (ф — ф')], то волновая функция н«,(р, ф'; t, tr)
в случае идеально поглощающего клина удовлетворяет завися-
зависящему от времени волновому уравнению
-w^)^^ Ф': '• П«0 B2)
в области 0 < р < оо, —оо < (ф, ф') < оо, —оо < (t, ?) < оо,
а также условию ограниченности при р = 0 и условию отсутст-
отсутствия возмущения при / < /' (с —скорость распространения в
среде).

278
Гл. 6. Поля в цилиндрических и сферических областях
а выражение для В можно упростить, используя формулу
следует понимать в таком смысле, т. е. мнимые источники по
предположению так сгруппированы, что ряд сходится. Тогда
G)
(8)
Аналогичное выражение получается для случая ф > q/.
Если эти результаты подставить в формулы (8), B4) или
B6) из § 3, то мы найдем выражения для различных функций
Грина в произвольных точках наблюдения. Кроме полюса функ-
функции A((p,(p';w) в точке я— |ф — <р'|, который был точно учтен
в § 3, следует учитывать другие возможные полюсы [§ 3, текст
после формулы (8)]. Поскольку множители перед А(ср, cp';w)
в дифракционных интегралах являются четными функциями
переменной w, а путь интегрирования симметричен относительно
точки w = О, вклад в дифракционные интегралы дают лишь чет-
четные (по ш) части функций А или В. Следовательно, результат
не изменится, если в Вх или В2 заменить w на —ш; это значит,
что можно построить много разных функций В(ф, <p';a»), даю-
дающих один и тот же дифракционный интеграл (т. е. обладающих
одинаковой четной частью) '). Ниже мы приводим различные
представления функции В, встречающиеся в литературе и полу-
полученные разными методами. Из формул G) и (8) непосредствен-
непосредственно следует
В (Ф,
= ± sin
,}_cos (я2/0) ;
(9а)
заменив в выражении для В2 величину w величиной — w, полу-
получим [1, 2]
sin [(л/0) (я — w)]
В (ф, ф ; w) ф
л
ф cos
Используя равенство 2В{ (w) = B{ (w) + В\ (— w), находим
D я sin [(я/0) (я + ф — ф'I
20 cos (ящ>/0) — cos [(я/0) (я + ф—ф')] '
Об)
(9в)
так что [4]
В(Ф>Ф';а0 = ^
sin [(я/0) (я + ф — ф'I
_ cos
^Г +
_, sin [(я/0) (я — ф + ф'I I ,Q >
"•" cos (яш/0) - cos [(я/0) (я - ф + ф')] J • ^ '
') То же самое относится и к сказанному в § 4.
§ 5. Идеально проводящие клин и полуплоскость
279
Эти представления функции В эквивалентны, конечно, только в
том смысле, что дают один и тот же дифракционный интеграл.
Отметим, что четная часть величины В является четной функ-
функцией разности ф — ф', т. е. зависит только от |ф — ф'|.
Полюсы функции А (ф, ф'; w) в плоскости комплексной пере-
переменной w видны сразу, если эта функция представлена в виде
ряда E). Когда |ф — ф'|>л и 0^(ф,ф')^^, ни один из по-
полюсов не пересекает пути интегрирования, идущего вдоль мни-
мнимой оси плоскости w, и вклад полюсов равен нулю; этот случай
соответствует, как и в выражении E) из § 3, тому, что точка на-
наблюдения находится в области геометрической тени (фиг. 77),
что возможно лишь при углах клина ф > п. Но когда угол ме-
между направлением на точку наблюдения ф и направлением на
источник ф' или на мнимый источник ф^, q/ меньше ±я, соот-
соответствующий полюс пересекает путь интегрирования и дает
вклад в интеграл. В результате первый член в формуле (8) из
§ 3 выражается через конечные суммы:
где п = 0, ±1, . .. , 0 ^ (ф, ф') ^ ф. Верхний знак в формуле
A0) относится к ^-волнам, а нижний — к //-волнам, и
Ф„ = Чпф + ф', ф; = Ъгф - Ф',
R (а) = yp2 + p'2-2pp'cos^-a),
(Юа)
где R(oc) —расстояние от точки наблюдения (р, ф) до (действи-
(действительного или мнимого) источника в точке (р', а). Аналогичным
образом изменяются выражения B4) и B6) из § 3, относящиеся
к случаям возбуждения плоской волной и точечным источни-
источником. Член с фд = ф' в формуле A0) описывает падающую волну
в освещенной области, остальные же члены — однократно и
многократно отраженные волны, соответствующие геометриче-
геометрической оптике. Ясно, что при малых углах клина <р возможно
большое число отражений, а при ф > п ряд в формуле A0) со-
содержит не более трех членов: ф^, ф^, ф^. Сказанное поясняется
на фиг. 82, где видно, что в точку наблюдения Р, находящуюся
в вырезе ф < я, могут попасть прямой луч а, два отраженных
луча Ьи 2, дважды отраженные лучи сит. д., каждый из которых
описывается одним из членов ряда A0), где знаки «+» учиты-
учитывают, что коэффициент отражения от идеального проводника
равен 1 для ?-волн и +1 для //-волн. В области же ф > л

282
Гл. 6. Поля в цилиндрических и сферических областях
ходим следующие выражения для волновых функций:
sin ц.ф sin цф'<
п' (р, ,/) « ±L
тп
Ф
м" (р, ФО = ^ | /о (*Р) + 2 X /ц (*Р) cos цФ cos
m-l
A6а)
A66)
Аналогичные результаты для случая наклонного падения полу-
получаются сразу же из формулы A8) § 2.
в. Гармонический линейный источник
Электромагнитные поля, возбуждаемые линейным источни-
источником электрического или магнитного тока, можно найти^ вычис-
вычислив скалярные функции Грина G'(p,p') для Е-волн и G"(p,p')
для Я-волн [3]. Эти функции Грина удовлетворяют в области
О < (р, р') < оо, 0 < (ф, ф') < Ф волновому уравнению C) из
§ 2 с граничными условиями
да"
= 0 при ф = 0,
A7)
а также условию ограниченности при р = 0 и условию излуче-
излучения при р—»• схз. При произвольных р,р' решение дается форму-
формулами A2) и A3) в радиальном представлении и формулой (8)
из § 3 с модификациями D) и A0) в угловом представлении.
Если угол клина ф > л, то вклад в формулу A0) дают лишь три
члена и
G(9, p') = G°(p, p') + G,(p, рО,
A8)
где
G0 (р,
- -j-Я^ [kR (ф'I U(n - | ф - ф' |) +
=F \ //{," [kR (- ф')] U (л - ф - ф') =F
Т i Я^1 [kR Bф - ф')] t/ [я - Bф - Ф - ф')]. A8а)
Здесь U(x) —единичная функция Хевисайда [§ 3, формула (8)],
a G\ — дифракционный интеграл:
Верхний знак соответствует функции Грина G' для ?-волн, а
нижний — функции Грина G" для Я-волн. Функция R опреде-
§ 5. Идеально проводящие клин и полуплоскость
283
лена в формуле A0а), различные выражения для В приведены
в формуле (9) и
При 6р» 1, V» 1 и |ф-ф'|, (ф +
справедливо асимптотическое выражение
G~G° + Gd,
'Ь Bф — Ф-
A9)
где G° — функция, даваемая формулой A8а) [при больших ар-
аргументах ее можно упростить с учетом формулы A2) из § 3], а
Gd находится так же, как и в формуле A5) из § 3:
Gd = ~-2C (kp) С (kpr) [В (ф, ф'; 0) ± В (ф, - Ф'; 0)] =
_ ieik (р+р')
4k Vpp' Ф
1
cos [(я/*) (ф + ф')] - cos (п2/Ф)
COS [(Я/*) (ф - ф')] - COS {П2/Ф)
ДЛЯ
Я-волн '
A9а)
При произвольных ф и ф' в формулу A9) необходимо добавить
следующие негармонические функции:
С? (р, р0 = Gl (Р; р', Ф') Т GL (р; р', - фО Т
-, , , ?-волн
±О1(9;Р',2ф-<!') для я.волн , B0)
где GL(p; р', фО — функция, даваемая формулой G) из § 4. При
этом следует помнить, что условие ?~-*0 означает л— |ф —
— ф'| —0.
Замечания
Выражение A9) можно интерпретировать так же, как и в
случае идеально поглощающего клина (§ 4, п. «а»), рассматри-
рассматривая геометрооптические и дифракционные эффекты. Дифрак-
Дифракционный член Gd (фиг. 77) описывает цилиндрическую волну,
расходящуюся от ребра клина и проникающую во все области,
доступные для нее с точки зрения геометрической оптики. По-
Поскольку грани клина считаются теперь идеально проводящими,
геометрооптический член G° описывает не только падающую
волну в освещенной области, но и волны, отраженные от гранен
клина, вклад которых был уже исследован (фиг. 82). Амплитуда
дифрагированного поля A9а) расходится на границе тени |ф —
— ф'| = л, а также на линиях ф = л — ф' и ф=B^ — ф' — л),
которыми ограничена область существования волн, отраженных
по правилам геометрической оптики от гранен клина при ф = 0
и Ф = Ф (угловое распределение дифрагированного поля пред-

286
Гл. 6. Поля в цилиндрических и сферических областях
шению, как и в формуле A0), добавляются геометрооптические
члены. Таким образом,
G(r, r') = G°(r, г') + G, (г, г'), B4)
где G°(r, r') — геометрооптическое слагаемое:
<* I r~Tn I
Е-волн
для
B4а)
а /^ — функция, даваемая формулой A0а). Слагаемое G, запи-
записывается в интегральной форме:
l(г, гО = --8^
для
Е-волн
Я-волн'
B46)
где у = [Р2 + р" + B - 2'J + 2РР cos wt
Если произведения 6р и kp' велики, то для О (г, г) имеем
асимптотическое выражение
G (г, г') ~ G0 (г, г') + Gd (г, г') + G' (г, г'), B5)
где G° —функция B4а), Gd — дифракционный член в формуле
C06) из § 3,
А (Ы+пЦ)
Аф У2я?рр
¦> . я^ Г
=- sin — -
>7 * L
cos
COS [(Я/0) (ф — ф')] — COS (я2/0)
j -. для ?-волн
[(я/0) (ф + ф'I — cos (я2/0) J для Я-волн'
B5а)
для Р-волн
а О* — негармоническая функция:
G'(r; р', Ф'. 2') =
для волн
= Е [GL (г; Р', ,?. О Т GL (г; р', Ф;, 2')] для я-волн'
причем G^(r; p', q/, z') — функция, даваемая формулой (ЗОв) из
§ 3, а / дается формулой C06) из § 3 (см. также фиг. 79, где
поясняется физический смысл различных величин). При углах
§ 5. Идеально проводящие клин и полуплоскость
287
клина ф > л вклад в выражения B4а) и B56) дают лишь чле-
члены с фц = ф', Фо= — ф' и ф' = 2ф — ф'. Функция G* всегда пре-
пренебрежимо мала, кроме случаев, когда точка наблюдения лежит
в переходной области | ф — ф^ | да я или | ф — ф'\ да я.
е. Импульсный точечный источник
Когда источник импульсный с зависимостью от времени вида
б(/ — ?), поля можно найти, вычислив скалярные функции Гри-
Грина О'(г, г';/,/') для ?-волн и О" (г, г'; /, f) для Я-волн. Эти
функции удовлетворяют уравнению A8) из § 4 в области 0 < (р,
р') < оо, 0 < (ф, ф') ^ ф, —оо < B, 2') < оо, —оо < (t, t') <
< оо и перечисленным ранее граничным условиям с соответ-
соответствующей модификацией для области переменной ф, как в фор-
формуле B2). Решение при произвольных г, г', t, t' дается формулой
C3) из § 3 с добавлением членов, описывающих геометрооптиче-
геометрооптическое отраженное поле:
'. ''¦¦'¦ О"
, с [Re В (ф, ф'; ф) Т Re В (ф, — ф';
4я рр' sh p
для ?-волн
B6)
для Я-волн'
где х'п, г'п, I, р —те же величины, что и в формулах B4а) дан-
данного параграфа и C06) и C3) § 3, Re В — функция B1а).
ж. Гармоническая плоская волна
Когда на идеально проводящий клин падает в направлении
ф' плоская волна ехр [—ikp cos (ф — ф') — iat], волновая функ-
функция ы(р,ф') удовлетворяет уравнению A9) из § 4 в области
0 < р < оо, б ^ (ф, ф') < ф, условию ограниченности при р -~
= 0, условию излучения при р—»оо (этому условию удовлетво-
удовлетворяет рассеянная часть функции п) и граничным условиям
п' (р, ф') = 0, дй"^ ф'} = 0 при Ф = 0, ф.
B7)
Функция и! для ?-волн относится к случаю, когда вектор Е па-
падающей волны параллелен оси г, а функция й" для Я-волн — к
случаю, когда вектор Н параллелен оси z [2, 3].

290
Гл. 6. Поля в цилиндрических и сферических областях
ления по-прежнему наблюдаются, большинство из ранее полу-
полученных решений можно привести к более простому виду [3
(гл. 8), 4].
Гармонический линейный источник
При ф = 2л дифракционный интеграл в формуле A86) мож-
можно представить в более изящной форме, полученной впервые
Мак-Дональдом [5]. Вместо того чтобы исходить прямо из фор-
формулы A86), возьмем импульсное решение C9) и, умножив его
на ехр (—iat') и проинтегрировав по ? от —оо до +оо, получим
гармоническое решение. Поскольку
»= \ u[i-fi[
О—Ш?
-\J(ciJ - R2
= r
„-{at'
¦ - R* (ф')
dt', p — действительно,
C1)
где t — t — tr, замена переменной ct = R (ф')сп*, где R (ф')—та же
величина, что и в формуле A0а), дает
_ji k=s^ C1a)
Если р = /?(фО/с, то ?' = 0 и мы имеем [§ 3, формула B2) при
0]
eikR
C2)
где
Опуская общий множитель ехр(—Ш), получаем требуемое вы-
выражение для стационарной функции Грина (ф' < л):
G (р, р') = 7(р; р', ф') Т 7(р; р', - ф'), C3)
7(р; р', ф') = 4 Я«) [kR (Ф')] U (я - | Ф - Ф' |) -
оо
— -^ sign (я — | ф — ф' |) [ eikR w) ch * dx,
1 C3a)
Верхний знак в формуле C3) относится к ?-волнам, а нижний—
к Я-волнам. С учетом равенства C2) выражение C3а) можно
§ 5. Идеально проводящие клин и полуплоскость
291
также представить в виде
оо
7"(р; р', Ф7) = is- J *'*«(ф>) ch x dx, | Ф - Ф' | < л, C4)
-г
т. е. функция С(р,р') выражается только через интегралы от
ехр[/6/?(ф') chx].
Представление этого решения в виде ряда дается формулами
A2) и A3) при ц = т/2.
Импульсный линейный источник
Когда ф = 2я, интеграл в формуле B1) можно взять в ква-
квадратурах [4], поскольку возможно следующее упрощение:
, = 2я. C5)
Производя в формуле B1) последовательно замены переменных
chp=l +v2, ch|dp = V2dy C6a)
и
и ¦ ил / (ciJ - (Р + P'
v = bsmy, b = /\J- ' уг-гу
получаем
2рр'
C66)
Я/2
Т Т ^ 2л2 Vpp' J • + cos 4 ¦+ "
C7)
где i = t — t', a D (ф, q/; ?) — вклад р. Tjp'i Ktitiic ^21) члена
Кей(ф, ф'; t'P). Интеграл в формуле '37'< берется ь квадратурах:
?>(Ф, ф ; f) = р=г
Vpp' 4ji V^cub- up/2;
с
cos \$ +
C8)
где signx = ±l, х ^ 0, а /?(ф') — функция, указанная в фор-
формуле A0а). В результате формула B1) дает следующую функ-
функцию Грина для полуплоскости:
G'(P, Р'; t)\ ъ /
> =^— ^ |Л — ' ф — ф
G"(p,p';ol 2Л
2я
¦ - /?-(-
1_ ,, Ti __ tp + р ) 1 ' sign 1я - | ф — г' I ) _ s'g" 'я - - ф — фО 1
C9)
10*

294
Гл. 6. Поля в цилиндрических и сферических областях
Если многомерная функция Грина строится на основе одно-
одномерной характеристической функции Грина g(cp, ф'; jj.) , то она
должна также удовлетворять граничным условиям A) на гранях
клина ф = 0, ф. Это требование можно сформулировать, введя
понятие поверхностного импеданса Zs, как будет показано на
примере гармонического линейного источника. В случае линей-
линейного электрического тока [§ 2, формула Aа) или Bа)] электро-
электромагнитные поля выражаются через скалярную функцию Грина
^(р, р' [§ 2, формула A6)], которая удовлетворяет двумерному
волновому уравнению C) из § 2. Граничное условие
dG _.
d<f
можно переписать в виде
при ф =
О
Ег = =F ZsU 2Нр при ф== I (для случая ?-волн),
где
1. 2
= С-
B)
C)
(За)
— поверхностные нмпедансы на гранях ф = 0 и ф = f ? — вол-
волновое сопротивление неограниченного внешнего пространства и
k — волновое число. В случае магнитного тока Bа) из § 2 элек-
электромагнитные поля можно найти вычислением той же скалярной
функции Грина при условии, что в силу равенства [§ 2, фор-
формула B6)]
О
Ер = + ZsU2Hz при Ф= ¦ (для случая Я-волн), D)
поверхностные импедансы связаны с ah2 соотношением
kp
Dа)
Таким образом, постоянство параметров d, 2, необходимое для
разделимости граничного условия B), имеет место при условии,
что поверхностные импедансы прямо пропорциональны величине
р в случае ?-волн [формула (За)] и обратно пропорциональны
ей в случае Я-волн [формула Dа)]; кроме того, Reai,2>0 в
случае реактивного поверхностного импеданса. Отметим, что
ввиду соотношений B) — D) задача о дифракции на клине с гра-
гранями постоянного импеданса не решается методом разделения
переменных, т. е. требует для своего решения гораздо более
сложной математики, чем рассмотренная здесь задача о клине
с гранями переменного импеданса.
Гл. 6. Клин с гранями переменного импеданса
295
Хотя угловую характеристическую функцию Грина g, удовле-
удовлетворяющую уравнениям A) данного параграфа и G) § 2 (при
р —> |ы), нетрудно получить при произвольных а^г [гл. 3, § 4, фор-
формула E1)], для выяснения основных зависимостей электромаг-
электромагнитного поля, связанных с наличием переменного импеданса,
достаточно рассмотреть случай, когда такой импеданс задается
только на одной грани клина. При этом другая грань клина счи-
считается либо идеально поглощающей (п. «а»), либо идеально про-
проводящей (п. «б»).
а. Клин, одна грань которого идеально поглощающая,
а другая — с переменным импедансом
Представление, подчеркивающее квазиоптические свойства
Если грань клина ф = 0 характеризуется поверхностным
импедансом Zs (в случае ?-волн) или адмиттансом \\ZS (в слу-
случае Я-волн), который линейно возрастает при удалении от ребра
клина р = 0, а грань клина ф = ф является идеально погло-
поглощающей, то соответствующая угловая характеристическая функ-
функция Грина удовлетворяет уравнению G) из § 2 (где р s ц) с
граничным условием A) при ф = 0 и условию отсутствия отра-
отражения при ф = ф (последнее эквивалентно условию излучения
в продолженном до +оо пространстве ф). Решение имеет вид
[гл. 3, § 4, формула E1) при Г = 0]
в (9, ф'; и) = ?»(ф. ф'; ц) + г (ц) г» (ф, -ф';
E)
где величина
(ф, ф'; I*):
Im ц ^ О,
есть функция Грина [§ 4, формула A)] для продолженного в обе
стороны до бесконечности углового пространства, а
О
Eа)
— коэффициент отражения при ф = 0 [величина С\ в формуле
E3) из гл. 3, § 4, соответствует величине —а\\. Этот результат
можно интерпретировать как отклик, обусловленный наличием
источника при ф' и одного мнимого источника при —ф' в беско-
бесконечном угловом пространстве.
Двумерную функцию Грина для линейного источника, изо-
изображенного на фиг. 75, можно получить, подставив выражение

298
Гл. 6. Поля в цилиндрических и сферических областях
Асимптотическое приближение
Чтобы найти асимптотическую форму выражения A1) при
больших k, заменим, как в § 3, функцию Я(о" (k%) ее асимптоти-
асимптотическим выражением [§ 3, формула A2)]. Первый интеграл в
формуле A1) совпадает по форме с выражением (8) из § 3, так
что его асимптотическое представление получается сразу же [§ 3,
формула A5)]:
4ш, [N (Ф + Ф' - я, а,) - N (Ф + ф' + я, а,)] С (kp) С {kp%
С (х) = ,-— ,
2у2я*
где ./V — функция, даваемая формулой A06). Поскольку
exp (ik%) убывает вдоль Рь, основной вклад во второй интеграл
дает окрестность точки ветвления wb = я— (ф + ф')- Полагая
%(w) «/? + {pp'/R) (cos w — cos wb), где R s= %(wb) [§ 3, фор-
формула A66)], находим
Q2 *= J eia c°s WN (w - wb, a,) dw = i J e
dw.
рь рь A26)
Для упрощения произведем замену переменных w = wb — iz;
тогда получим
J eia cos (wb~u)N (- iz, a,) dz,
„ A3)
где P'b — контур, обходящий разрез вдоль положительной дей-
действительной оси z в положительном направлении. Поскольку
интегральную показательную функцию можно представить в ви-
виде ряда [7]
оо
у = 0,5772,
A4)
ее многозначность содержится лишь в логарифмическом члене,
так что вклад в интеграл по контуру Р'ь дает только этот член.
В силу соотношения lnzei2lt = 1п2 + /2я интеграл A3) сводится
к виду
dz, шь = я-
A5)
При больших и положительных а интеграл Q2 можно прибли-
приближенно вычислить, положив cos (Wb — iz) ~ cos Wb + iz sin Wb\
a sm wb + a.
§ 6. Клин с гранями переменного импеданса
299
Таким образом,
Q, — С (Л/?)
R =
2я
sin (ф + Ф') + а, '
A7)
р2 + р'2 - 2рр' cos (ф + ф').
Подставив эти выражения в формулу A1), на основании
формулы асимптотического представления функции (/«, [§ 4,
формула F)] получим [6]
G (p, p') ~ G0 (р, р') + Gd (p, р'), A8)
где геометрооптическое поле имеет вид
(я-ф-ф/). A8а)
<-
Функция Г(ц) дана в формуле Eа), а C(jc) = (8njc)-'/jexp(tJC +
+ ш/4). Дифрагированное поле таково:
Gd = C(kP)C(kp'){-2A(<!, ф'; 0)-2Л(Ф, -Ф'; 0)+
+ 4ia, [Af (Ф + ф' - л, а,) - Af (Ф + Ф' + я, а,)]}, A86)
где
;тт + -
A8в)
а N — функция A06). Если а, = 0, то Г=1 и atN(а, а^-э-О,
так что
G (р, р') = G^ (р; р', Ф') + <?„, (р; р', - q>'), A9)
т. е. мы получаем правильный результат для случая идеально
проводящего (с нулевым импедансом) клина и возбуждения
магнитным током [формула Dа)]. Если а, —» оо, то Г—>¦—1 и [7]
arg у К -f • B0)
m=-0
В результате
4/a, [iV (a, a,) - tf (p, a,)] = -4 [4
и выражение для G сводится к выражению A9), если в нем из-
изменить знак плюс на минус. Получающаяся формула дает пра-
правильное решение для случая идеального проводника и возбужде-
возбуждения электрическим током [формула (За)]. Интегральная пока-
показательная функция A06) позволяет подробно вычислить ди-
дифракционные эффекты при любом конечном поверхностном им-

302
Гл. 6. Поля в цилиндрических и сферических областях
Выражения A8) неприменимы в переходных областях, при-
прилегающих к границе тени |ф — <р'| = я, и на границе отражен-
отраженной волны (ф + q/) = л. Поскольку зависимость от |ф — ф'| со-
содержится лишь в члене Gco(p,p') в формуле A1), переходная
область вблизи границы тени описывается и в этом случае функ-
функцией GL [§ 4, формула G)]. Отсюда вытекает важный вывод,
уже доказанный в § 4 и 5, о том, что поведение поля вблизи гра-
границы тени не зависит от физических свойств клина и в низшем
порядке асимптотического представления напряженность поля
на границе тени равна половине напряженности падающего по-
поля. Поведение же поля вблизи границы отраженной волны зави-
зависит от физических свойств отражающей поверхности. Мы здесь
не будем останавливаться на негармонической функции для от-
отраженной волны при наличии поверхности переменного импе-
импеданса с конечным значением а\ (результаты для предельных
случаев а\ = 0, оо содержатся в § 5).
На основании сходства формальных решений F) данного
параграфа и C) § 3 можно заключить, что способ вычисления,
изложенный применительно к формуле (9) из § 4, пригоден и в
данном случае для получения членов более высокого порядка в
асимптотическом разложении Gd [6]. Коэффициенты /тп(ф. ф')
находятся путем дифференцирования функции /Оо(ф, ф') в фор-
формуле A86). Подчеркнем, что при вычислении G с точностью до
членов более высокого порядка по \\k (k ^> 1) необходимо более
аккуратно оценивать интеграл A1) по берегам разреза, так как
дифракционные эффекты в освещенной области возникают не
только на ребре ь ;ина, но и на локальных неоднородностях по-
поверхностного импеданса.
Представление, подчеркивающее волноводные свойства
(поверхностная волна)
Анализируя излучение, возникающее при наличии бесконеч-
бесконечной плоской поверхности постоянного импеданса Zs (гл. 5, § 7),
мы отмечали, что электрический (магнитный) линейный ток, па-
параллельный границе, возбуждает поверхностную волну, если им-
импеданс Zs носит емкостный (индуктивный) характер. Волновод-
Волноводные свойства поверхности лучше всего выявляются, если ис-
использовать разложение по собственным волнам, бегущим вдоль
оси, параллельной поверхности. При исследовании волноводных
свойств клинообразной поверхности с переменным импедансом
удобнее всего должно быть, по-видимому, радиальное представ-
представление. Такое представление, содержащее явно радиальную ха-
характеристическую функцию Грина gp [гл. 3, § 4, формула (93) с
т = k% формально дается выражением A1) из § 5 и может быть
получено из соответствующего выражения в угловом представ-
§ 6. Клин с гранями переменного импеданса
303
лении [§ 3, формула C)] деформацией контура интегрирования
вблизи особенностей функции g(y, ф'; ц). Как отмечалось в свя-
связи с формулой E5) из гл. 3, § 4, функция gM претерпевает раз-
разрыв на положительной действительной оси ;i, на которой распо-
расположен непрерывный спектр собственных значений, связанный с
введением бесконечно протяженного углового пространства. По-
Поскольку исходный путь интегрирования можно выбрать вдоль
всей мнимой оси ц [§ 3, формула A)], все другие особенности
функции ?(ф,ф'; ц), расположенные в правой части комплексной
плоскости ц, дают вклад в представление в виде спектра угло-
угловых собственных волн; следовательно, необходимо исследовать
<¦
аналитические свойства коэффициента отражения Г(ц) из фор-
формулы E). Так как [формула Eа)]
Г(ц) =
Ц — fli
М- + а,
при 1тц > О,
B5а)
B56)
и Re п\ > 0 для реактивного поверхностного импеданса [фор-
[формулы (За) и Dа)], функция Г(ц) не имеет особенностей в пер-
первом квадранте комплексной плоскости \у. Однако в четвертом
квадранте у нее имеется простой полюс при
= аи если Ima,<0.
B6)
Условие Im ai < 0 означает, что Ira Zs > 0 (емкостной импе-
импеданс) при возбуждении электрическим током и Im Zs < 0 (ин-
(индуктивный) при возбуждении магнитным током [напомним, что
зависимость от времени берется в виде ехр(—iat)]. Следова-
тельно, полюс Г(ц) дает вклад в виде поверхностной волны при
условиях, аналогичных тем, которые были найдены для поверх-
поверхности постоянного импеданса.
Требуемое представление дается теперь непосредственно фор-
формулами (93) из гл. 3, § 4 (т = k2, X = ц2), Aа) из § 3 и (8)
из §2:
G (Р, РО = т J
(kP>) S (Ф.
B7)
где ?(ф, ф'; ц) — функция, взятая из формулы E). Путь инте-
интегрирования можно замкнуть, добавив по четверти окружности
при |ц|-*оо в первом и четвертом квадрантах, где функция
А() ^* (^) У бывает [формулы A2) и A6) приложения 1].

306
Гл. 6. Поля в цилиндрических и сферических областях
Если интеграл в формуле B9а) можно вычислить до конца, то
полученное выражение для /оо(ф, ф') будет справедливо при всех
ф,ф'. Члены более высокого порядка в асимптотическом разло-
разложении можно, как и в формуле (9) из § 4, найти, зная /Оо.
Путем таких же рассуждений, как и при выводе формулы
B8), можно получить представление, выявляющее волноБодные
свойства поверхности клина. Поскольку величина ?(ф, ф'; ц) в
формуле E1) из гл. 3, § 4, — четная функция переменной ц, у
нее имеются только особенности типа полюса в комплексной
плоскости ц, так что угловой спектр оказывается дискретным.
На основе интегрального выражения B7) можно представить О
в виде суммы вкладов полюсов функции g, замкнув контур ин-
интегрирования на бесконечности в правой половине комплексной
плоскости \i. Ниже приведен результат для частного случая
а2 = 0, ах = i\ax\ (т. е. для случая, когда грань <р = ^ —
идеально отражающая, а грань ф = 0 характеризуется чисто
мнимым импедансом). В этом случае полюсы разбиваются на
две группы: бесчисленное количество дискретных полюсов на по-
положительной действительной оси ц и только один полюс на от-
отрицательной мнимой оси ц; последний приближается к мнимой
оси со стороны четвертого квадранта, поэтому его вклад учиты-
учитывается. Окончательный результат [8, 10] таков [гл. 3, § 4, фор-
формула F2)]:
сЬЛ(»Ф)сЬ|,(»ч0 ч {kp>) +
+ ^7T10
cosE(»-q>)cosg(«-<in
где собственные значения | и ц являются положительными кор-
корнями трансцендентных уравнений
ctg AФ) = —
C0a)
Ряд в формуле C0) быстро сходится, если источник или точка
наблюдения находится вблизи ребра клина.
При |ai| —>¦ 0 мы имеем г\ -* 0 и уравнение для | C0а) сво-
сводится к виду sin \ф = 0, так что % = тп/ф, т = 1, 2, ...; кроме
того, можно показать, что rJ^/|ai|-*l и (l/|ai |) sin2|</>—»-0,
В результате выражение C0) сводится к выражению A3) из
§5.
Первый член в формуле C0) описывает поверхностную вол-
волну, интенсивность которой убывает при удалении от поверхно-
поверхности ф = 0. Это особенно очевидно при больших |ai|, когда х\ та
& |а||. В таком случае вклад поверхностной волны приближен-
приближенно дается формулой B8), подробно рассмотренной нами ранее,
7. Дифракция на круговом цилиндре
307
§ 7. ДИФРАКЦИЯ НА КРУГОВОМ ЦИЛИНДРЕ
а. Линейный источник
Круговой цилиндр получается в геометрической конфигура-
конфигурации, изображенной на фиг. 14, если убрать границы при ф = 0, ф.
При не зависящем от z возбуждении линейным источником,
параллельным оси цилиндра, область вне цилиндра можно рас-
рассматривать либо как радиальный волновод с распространением
Освещенная
область
Переходная область
Щеточник
Идеально поглощающая
плоскоащ
Фиг. 85. Различные области в приближении геометрической оптики при ди-
дифракции на цилиндре.
вдоль координаты р, либо как азимутальный (угловой) волно-
волновод, в котором волна распространяется в направлении измене-
изменения координаты ф (гл. 3, § 3, п. «в»). Хотя в данном параграфе
рассматриваются оба представления, особое внимание уделяется
угловому представлению, которое, как отмечалось в § 1, осо-
особенно удобно при исследовании высокочастотных явлений. В раз-
разных геометрических областях на фиг. 85 поведение высокоча-
высокочастотного поля неодинаково. Мы подробно исследуем асимптоти-
асимптотическое поведение поля в освещенной и затененной областях и
укажем физический смысл решения, основываясь на представле-
представлениях геометрической оптики. При этом мы не будем касаться
более сложных явлений в переходных областях (заштрихован-
(заштрихованных на фиг. 85), прилегающих к границам тени (эти вопросы
рассматриваются в работах [3 (разд. 1.2.13.5—1.2.13.6 и гл.2),
11—14]; в книге [3] можно найти соответствующую библиогра-
библиографию).

310
Гл. 6. Поля в цилиндрических и сферических областях
В угловом представлении решение дается формулой E1 в) из
гл. 3, § 4 (мы опускаем здесь индекс <р у величины ?Ф):
— cos jl [я — | ф — <р' [ ]
2р. sin jbi
(ф, 2«я + Ф'),
G а)
G6)
где (ь — ук и ^»(ф, ф'; Я) — характеристическая функция Гри-
Грина для бесконечного углового пространства:
Дф, ф'; *) = ¦
-, 1тр.>0.
Gв)
Условие полноты [гл. 3, § 2, формула E0в)] имеет вид
а'ТП (ф— ф ) /О\
2я Lj ' W
ГП™ —оо
Разные представления для двумерной функции Грина <5(р, р')
получаются непосредственно из формул C7) и C86) из гл. 3, § 3,
Фиг. 86. Контуры интегрирования и особенности в комплексной плоскости ц.
если считать, что в последних отсутствует зависимость от г.
В частности, представление в виде контурного интеграла имеет
вид
G(p, р') = -А- \
(9)
с,+с4
где Сз и С4 — контуры, изображенные на фиг. 86. Вблизи по-
полюса ц = 0 контур остается незамкнутым, и в этой точке вычис-
вычисляется главное значение интеграла. Поскольку подынтегральное
выражение в формуле (9) является нечетной функцией перемен-
§ 7. Дифракция на круговом цилиндре
311
ной ц, контур С4 можно зеркально отразить относительно на-
начала координат в контур С'3 и тогда получим \ = \ .
В представлении, основанном на введении мнимых источни-
источников [формула G6)], выражение (9) записывается в виде
П=" — оо
где в силу формулы Gв)
, A0а)
A06)
Поскольку подынтегральное выражение в формуле A06) не
имеет особенностей на действительной оси ц, интегрировать мо-
можно от ц = —оо до ц, = +оо. Так как gp — четная функция ве-
величины ц, замена ц на —ц дает то же самое подынтегральное
выражение, но с заменой |ф — ф'| на—|ф — ф'|. Следовательно,
вместо абсолютной величины |ф — ф'| можно писать просто
Ф — ф'. Тогда связь функций G^ и gp можно трактовать как пре-
преобразование Фурье в бесконечном угловом пространстве. Член
с п = 0 в формуле A0а) —это функция Грина для конфигура-
конфигурации, изображенной на фиг. 85; как показывается ниже, он дает
основной вклад в квазиоптической области ka > 1. При п Ф 0
быстро сходящееся представление для случая больших ka можно
получить, замкнув контур интегрирования в верхней полупло-
полуплоскости переменной ц полуокружностью бесконечного радиуса и
вычислив интеграл как сумму вычетов в полюсах функции gp.
В результате получается следующее представление, быстро схо-
сходящееся при ka S> 1, но справедливое при любых радиусах ци-
цилиндра и любых значениях |ф — ф'| ^ я:
G(p, P')=2F
т Е' Е _±
дц
{k9) я^{kp/)
lip
где ц = -у/х ; штрих над суммой по п обозначает отсутствие чле-
члена с п = 0, а сама сумма дает вклад мнимых источников, рас-
расположенных в бесконечном угловом пространстве, и восстана-
восстанавливает требуемую периодичность вдоль границы |ф —ф'| = д.

314
Гл. 6. Поля в цилиндрических и сферических областях
Хотя величины H^p(kp) и НЦр {kp')расходятся при ?-+оо, ряд
сходится при всех п благодаря наличию множителей ехр(—? |ф—
— фд|), если ф=т^Ф^ (т- е. ф ф ф')- Чтобы оценить скорость
сходимости «ряда по вычетам», исследуем первые члены разло-
разложения (подробнее сходимость ряда исследуется в работе [14]).
Поскольку Н™ (ka) и (<Э/ф.р) нЦр (ka) не содержат экспонен-
экспоненциальных множителей [приложение 1, формулы B4) и B6)], до-
достаточно рассмотреть оставшиеся члены в формуле A1). При
больших ka величина цр в низшем порядке ведет себя как
O[ka + а(ка)Ц, где а = const, Im a > 0 [приложение 1, фор-
формула C5)]. Если kp, kp' > O[ka + a(kaL*], то функции Ханкеля
аргументов kp и 6р' можно приближенно заменить их асимпто-
асимптотиками Дебая [приложение 1, формула A)]. Тогда для функции,
стоящей под знаком суммы в формуле A1), получаем
Я<'> (kp) нУр
ехр
'f-»f}] X
X ехр { щр [| Ф - ф: | - arccos ^ - arccos -^] }. A7)
Поскольку nP = ka(l+A), где ImA>0, а величина А возра-
возрастает с ростом номера члена ряда, можно утверждать, что экс-
экспоненциальный множитель в формуле A7) убывает, если
|ф — ф«|> V, + Y2, Y, = arccos у, у2= arccos j. A8)
Физическая интерпретация ряда по вычетам
Как явствует из фиг. 87, условие A8) допускает простое фи-
физическое истолкование. При п = О оно означает, что источник
Q должен быть невидим из точки наблюдения Р (т. е. точка
наблюдения должна находиться в области геометрической
тени позади цилиндра). Величина A7) пропорциональна
ехр[— Aтцр)уз]. где уз —угол, под которым видны из начала
координат точки касания линий L\ и L3, проведенных из источ-
источника и точки наблюдения, с поверхностью цилиндра. Выражение
A7) можно представить в виде
ik
A9)
т, е. можно считать, что каждый член в ряде по вычетам при
п = 0 описывает падающую волну, которая приходит к ци-
цилиндру под углом касания и огибает его, постепенно теряя по
пути энергию; из-за потерь энергии амплитуда волны убывает
§ 7. Дифракция на круговом цилиндре
315
как ехр (—%PL2). Соответствующий ход лучей показан на фиг. 87.
Поскольку волна огибает поверхность цилиндра, она получила
название «стелющейся волны» [16], а соответствующий луч —
«стелющегося луча» [17]. Стелющиеся лучи, возникающие как
продолжение лучей, падающих под углом касания, соответст-
соответствуют дифракционным эффектам, за счет которых энергия пере-
переносится в область геометрической тени. Каждому значению u;j
соответствует свой стелющийся луч; но из-за возрастания мни-
мнимой части }ip для каждого последующего члена ряда сущест-
существенны лишь несколько первых лучей. Поскольку амплитуда сте-
Фиг. 87. Геометрическая интерпретация поля в области тени.
лющейся волны убывает по экспоненте, а амплитуда волны, ди-
дифрагированной на ребре клина, убывает по степенному закону
[§ 3, формула A5)], тень от закругленного препятствия гораздо
темнее, чем от заостренного.
На основе представления о стелющихся лучах можно легко
истолковать каждый член в формуле A1), соответствующий
мнимому источнику-изображению при п Ф 0. Предположим, что
0 < (ф — ф') < я. Поскольку ф^ == ф' + 2шг, мы имеем | ф — ф^ | =
= 2|п|я + (ф —ф') при л<0 и |ф — ф^| = 2ш1 — (ф — ф)'
при п > 0. Таким образом, члены, содержащие изображения
с п < 0, описывают лучи, которые идут вдоль L\ и приходят в
точку наблюдения Р, сделав п оборотов вокруг цилиндра. Члены,
содержащие изображения с п > 0, описывают лучи, идущие
вдоль L\. Так, член с я=1 соответствует лучу, проходящему
путь (L'\ + L'2 + Ц); в общем случае я-й член соответствует лучу,
выходящему вдоль L[ и достигающему точки наблюдения Р по-
после (п—1) оборотов вокруг цилиндра. Ввиду убывающего экс-
экспоненциального множителя, содержащего в показателе длину
пути луча вдоль поверхности цилиндра, существенны лишь не-
несколько первых членов ряда. Поскольку |ф —ф^|Г>B|п| — 1)я
при всех |ф — ф'| < я и п ф 0, a (yi + v?) < я (фиг. 87), ряд
по вычетам быстро сходится, причем члены ряда, содержащие
мнимые источники в безграничном угловом пространстве, дают
вклад лишь в дифракционные эффекты.

318
Гл. 6. Поля в цилиндрических и сферических областях
а С —контур интегрирования, показанный на фиг. 89. Как уже
отмечалось, такая деформация контура интегрирования допу-
допустима и полное подынтегральное выражение в формуле для G«,
убывает в верхней полуплоскости комплексной переменной ц.
Поэтому можно рассматривать только участок контура, лежа-
лежащий вблизи действительной оси, где можно использовать фор-
Фиг. 89. Контур интегрирования в комплексной плоскости ц при вычисле-
вычислении методом седловой точки.
мулы Дебая для цилиндрических функций [приложение 1, фор-
формулы A) —G)]. Тогда для Gil* получим
' 4я J
4я J [ftp (sin p,) ftp' (sin P2)]
B2)
где
г|з, = ц | ф-ф' | + kP> (sin p,-p, cos Р,)-*р< (sin p2-p2 cos р2), B2а)
Р,= arccos-^-, р2 == arccos-г^—, B26)
«р> «р<
причем должно выполняться условие 0 < Re Pi>2 < я [приложе-
[приложение 1, формула D6)]. Седловые точки \is функции ty\(\i) нахо-
находятся из условия dty\/d\i = 0:
arccos
-arccos
-ф''=0:
кроме того,
pls kp< sin
B3)
B4)
где pi, и p2s — значения величин Pi и р2, соответствующие значе-
значениям \x,.
Физический смысл условия B3) поясняется на фиг. 90, а. По-
Поскольку pi, и Рг» — положительные величины (ввиду условия
0 < Re (h, j < я), действительное решение возможно лишь в том
§ 7. Дифракция на круговом цилиндре
319
случае, когда |<р — ф'| < я/2. Контур интегрирования легко де-
деформировать так, чтобы он проходил через седловую точку ц8 =
= ^p<cos p2s = kp> cos (Jls под углом —45° [формула B4) с уче-
учетом того, что Рь > p2s]; следует отметить, что полюсы, изобра-
изображенные на фиг. 89, отсутствуют в подынтегральном выражении
Р
а 6
Фиг. 90. Физический смысл условия для седловой точки,
а —прямой луч; б—отраженный луч.
в формуле B1а). На основании формулы Aа) из гл. 4, § 2, и
схемы, представленной на фиг. 90, а, получаем
_,,. Jk |P-P' | + ш/4
G-~2V2nv*iP-p4 при I'-o'Kf' <25>
что совпадает с асимптотическим выражением для функции Гри-
Грина свободного пространств_а [гл. 5, § 4, формулы C6) и C7)].
Таким образом, интеграл G» описывает падающее поле в обла-
области |ф — ф'| < я/2; в области же |ф — ф'| > я/2 этот интеграл
дает пренебрежимо малый вклад.
Интеграл Gi из формулы B16) можно исследовать точно
так же, помня, что асимптотическое приближение для нЦ'2) (ka)
зависит от того, ц < ka или ц, > ka. В последнем случае
НЦ] (ka) ~ — н?] (ka) [приложение 1, формулы A) и F)], так
что получающееся выражение под интегралом сходно с подын-
подынтегральным выражением в формуле B1а). Действуя, как и
раньше, получаем условие существования седловой точки в виде
Pi, + Pi, = l4> —ф'1, l*, = *P>cospie = *p<cos^f>jfea, B6)
которое графически можно представить так, как показано на
фиг. 90, а, при условии что |ф —ф'| > я/2. Отметим также, что

322
Гл. 6. Поля в цилиндрических и сферических областях
ответствующие угловому и радиальному представлениям, а так-
также представлению в виде контурного интеграла (гл. 3, § 3,
п. «в») [3, 14]:
оо оо
П=—то —oo
, tZ S «e Z
G(r, r') = { "V -~ "—°°
"a I, C06)
-L
, C0b)
где k^ = ^k2 — ?2 (причем Im&E^0), а q>^ — величина, указан-
указанная в формуле A0а). Поскольку цилиндр считается идеально
Фиг. 91. Проводящий цилиндр и точечный источник.
проводящим, С = оо в формуле Eа) в случае ?-волн относи-
относительно оси z (элемент электрического тока) и С = 0 в случае
Я-волн (элемент магнитного тока). Подчеркнем также, что в
функциях Ь(ц) и d(\i) следует произвести замену k-*k^.
Другие представления можно получить из представлений
C0), деформировав контур интегрирования в комплексной пло-
плоскости ? вблизи точек ветвления функции &j. В результате полу-
§ 8. Поля в сферических областях
323
чаются выражения в г-представлении, например такое:
сю
G(r>r')=8S Z *"•<»-»'> X
X
C1)
где &n = V^2 — Л2, Im ^п^0. Читатель может сам вывести эту
формулу в качестве упражнения.
Выражение C1) удобно для исследования случаев, соот-
соответствующих векторным точечным источникам с произвольной
ориентацией. Напомним [гл. 2, § 3, п. «в»; гл. 5, § 2, формула
A)], что поля в этих случаях можно выразить через потенциаль-
потенциальные функции 9"(г, г') и 9"'{г, г'), которые в г-представлении от-
отличаются от G'(r, г') и G"(r, r') только множителями l/fet'? и
\\k"?. Для цилиндрического волновода k'tl = k"t = ц [гл. 3, § 2,
формула D66)], так что выражение для 9" получим, разделив
подынтегральное выражение в формуле C1) на ц2. При истолко-
истолковании этого результата следует учитывать сказанное в гл. 5, § 2,
после формулы A0).
§ 8. ПОЛЯ В СФЕРИЧЕСКИХ ОБЛАСТЯХ
а. Введение
Основная конфигурация для исследования полей в сфериче-
сферической системе координат представляет собой комбинацию сфер,
круговых конусов и плоскостей (фиг 92; см. также т. 1, фиг. 53).
Хотя на схеме изображены лишь одна сферическая и одна кони-
коническая поверхности, излагаемым ниже методом можно исследо-
исследовать области, заключенные между двумя концентрическими сфе-
сферами и двумя коаксиальными конусами. Некоторые закономер-
закономерности в распределении полей, возбуждаемых при наличии непро-
непрозрачных сферических препятствий (например, эффекты тени),
такие же, как и для полей в случае цилиндрических рассеивате-
лей (§ 1 и 7), но на других характеристиках сильно сказывает-
сказывается различие между цилиндрическими и сферическими координа-
координатами (например, поля при рассеянии на ребре клина р = 0 и при
рассеянии на острие г = 0). Цель данного параграфа — полу-
получить различные представления полей в сферических областях и
сравнить их с аналогичными результатами для цилиндрических
областей. Ввиду формального сходства представлений, в кото-
которых используются бегущие по радиусу или углу волны в цилин-
цилиндрической и сферической системах координат, нетрудно сразу же
11*

326
Гл. 6. Поля в цилиндрических и сферических областях
где J°r и М°г — моменты электрического и магнитного диполей.
При г' —> 0 вклад дает лишь член с п = 1 [гл. 2, § 7, формула
Dв)] и
1 dG
г' дв
г'-0
fer
Dа)
Таким образом, в скалярной задаче основной является собствен-
собственная волна с п = 0, а в векторной— собственная волна с п = 1.
Чтобы получить выражения для 9'\п' и 9>"{гг' в формулах
(9) из гл. 2, § 6, нужно ввести множитель [и (и -f- 1)]-' под знак
суммы в формуле A) и отбросить член с п = 0.
Сфера
Если некий источник расположен вне идеально проводящей
сферы, то возбуждаемые им электромагнитные поля можно най-
найти, вычислив скалярные функции G' и G" или 9" и 9", радиаль-
радиальные представления для которых получаются из представлений
для свободного пространства, если заменить собственные функ-
функции Грина A1) из гл. 2, § 7, функциями A2) из гл. 12, § 7. На-
Например, если источником служит вертикальный (радиальный)
электрический диполь, а система координат выбрана так, что
ось z совпадает с осью диполя, то для нахождения полей нужно
знать лишь функцию G', которую на основании формул A2) из
гл. 2, § 7, F7) из^гл. 3, § 4, D3) из гл. 3, § 3, A01) из гл. 3, § 4,
Bа) и условия ht{2){ka) — 0 можно представить следующим об-
образом [18]:
{2п
X
п=0
(г, г') =
in (ka)
h' W (Ьл
Ajnkr/
Bt+\)ft(ka)
X
sin tn (д/dt) h't B) (ka)
X^(-cos0)^2)(fer)/42)i
Ea)
E6)
возможно также промежуточное представление в виде контур-
контурного интеграла [гл. 3, § 3, формула D3в)]. Переход от предста-
представления Eа) к представлению E6) называется преобразованием
§ 8. Поля в сферических областях
32?
Ватсона; но в работе Ватсона [19] не использовалось представ-
представление о характеристических функциях Грина.
В формуле Eа) функция Грина для сферы представляется
в виде поправки к функции Грина для свободного пространства,
и это выражение быстро сходится при малых ka. В случае же
больших ka поля в области геометрической тени удобно вычис-
вычислять с помощью «ряда по вычетам» E6). Поскольку t — O(ka)
[приложение 1, формула E)], для функции Лежандра можно
взять асимптотическое выражение [гл. 3, § 4, формула F66)],
если 0 9^ 0, я. Получающийся при этом ряд имеет такой же вид,
как и ряд, рассмотренный нами в § 7, п. «а», где речь шла о рас-
рассеянии на круговом цилиндре, а потому поля в различных гео-
геометрических областях можно вычислять путем такого же ана-
анализа. Физический смысл различных составляющих полей оказы-
оказывается тоже аналогичным, поскольку в данном случае распреде-
распределение лучей, хотя и трехмерно, обладает вращательной симмет-
симметрией (фиг. 87 и 88), Простая лучевая интерпретация невозможна
вдоль оси 9 = 0, я, где функцию Pt(—cos 0) нельзя приближен-
приближенно заменить экспонентой: с физической точки зрения это озна-
означает, что на оси 0 = 0, я все стелющиеся лучи пересекаются, об-
образуя каустику. Как и в случае цилиндра, можно расширить об-
область изменения 6 от —оо до -f-°o и выразить угловые характе-
характеристические функции Грина g'e и g'$ через мнимые источники
(изображения) в этом пространстве 0. Такое представление лег-
легко получить, если функции Лежандра можно аппроксимировать
тригонометрическими функциями (т. е. при достаточно больших
v), но его можно написать и при произвольных v, если ввести
функции Лежандра «для бегущей» волны [гл. 3, § 4, формула
G1)]-
Если элемент электрического тока лежит на оси г, но ориен-
ориентирован нормально к ней (например, Jo = 90/°, 0' = q/ = 0), то
по формулам (9) из гл. 2, § 6, можно выразить через 9" и 9"'
потенциалы Герца П' и П":
/авгП' (г, г') = ?г -^т 9" (г, г'),
ГИ ^'г^— r'sine' d(f' ^ (Г> Г >'
Fа)
F6)
где после дифференцирования следует положить 0', q/->0. Ра-
Радиальное представление для 9'/гг' будет совпадать с выраже-
выражением A), если заменить радиальную функцию A1) из гл. 2, § 7,
функцией A26) из того же параграфа, ввести под знак суммы
множитель (и+1)-'«-' и отбросить член ряда с п = 0. Со-
Согласно формуле G9г) из гл. 3, § 4, при 0' —* 0 в ряде останется

330
Гл. 6. Поля в цилиндрических и сферических областях
бенностей функции gr (точка ветвления при К = —'Д, причем
сделан разрез вдоль отрицательной действительной оси), в ре-
результате чего было получено 8-представление (9в) [см. также
§ 3, формула C)]. Кроме того, при выводе использовалось то
обстоятельство, что величины h^\ h^ и g'9 — четные функции
переменной v + '/2- Аналогичные представления можно написать
для функции Грина G", относящейся к Я-волне, если заменить
Pvm(±cosQ0) величиной (d/dQ0) P^m (± cos 60) [20], и для функ-
функций ЯР' и ЯР", если добавить в формулу (9а) множитель 1/р(р +
Исшочнйк
в0 г
Граница, отраженны^
лучей
Фиг. 93. Коническое препятствие (а = 90 — я/2 — 6').
-J- 1). В последнем случае угловое представление принимает сле-
следующий вид [21]:
где 9>'s = 9" - 9>t и
(
Ц.
l
, cos m (ф — ф'
;тсоэт(ф — i
П(т, г'),
In] (вычет в Я = I
A0)
ш=0
'/г
], (Юб)
а скобками [ ] обозначено подынтегральное выражение в фор-
формуле (9в). Выражение для 9" отличается от выражения A0)
только тем, что в нем вместо Р^т (± cos 0o) стоит (d/dQo) Р^т (±
0o). На основании формул F5) и F6а) из гл. 3, § 4, можно
§ 8. Поля в сферических областях
331
показать, что
ш
X [tg I tg ~ tg2
+ член с m = 0. (Юв)
Подставив выражение (Юв) в формулу A0) из гл. 2, § 6, не-
нетрудно убедиться, что член с ш = 0 не дает вклада в электро-
электромагнитные поля, выраженные через 9" и Я'"; поэтому в даль-
дальнейшем его можно не учитывать.
Взяв для функций, входящих в формулу (9а), асимптотиче-
асимптотические выражения, соответствующие большим р [гл. 2, § 7, фор-
формула D), гл. 3, § 4, формула F6)], можно показать, что радиаль-
радиальное представление сходится всегда, но оно быстро сходится толь-
только в том случае, когда либо источник, либо точка наблюдения
находится вблизи вершины конуса (т. е. когда либо kr, либо
кг'—малая величина; § 5, п. «в»). Такое представление позво-
позволяет проверять, выполняется ли «условие на вершине» [гл. 1,
§ 5, формула C9)], ограничивающее скорость роста полей вбли-
вблизи данной особенности. Указанный ряд можно, например, исполь-
использовать для вычисления токов, наводимых вблизи вершины ко-
конуса падающей плоской волной [для чего нужно заменить функ-
функцию /i^)(fer>) асимптотическим выражением при г'->оо и вве-
ввести новую нормировку], или для расчета диаграммы излучения
при наличии источников, расположенных вблизи вершины, если
конечно, известны собственные значения р. Когда kr и kr' ве-
велики, представление в виде ряда (9а) неудобно для расчетов,
поскольку члены ряда убывают по абсолютной величине лишь
при р > fer<. В этом случае удобнее интегральное представление
(9в), которое в явном виде описывает возмущение, вносимое ко-
конусом. Поскольку теорема о представлениях связана с преобра-
преобразованием Конторовича — Лебедева, а оно применимо лишь к
ограниченному классу функций, необходимо ввести ограничения,
которые обеспечивали бы сходимость интеграла. Путем точно
таких же рассуждений, как и в задаче о дифракции на клине
[см. замечания после формулы C) из § 3], можно показать, что
деформация контура, необходимая при переходе от формулы
(96) к формуле (9в), допустима, если 6 + е'<260 —я. Как и
в случае клина, данным условием определяется область, в кото-
которую не попадают лучи, зеркально отраженные от поверхности
конуса (область 6 > 6'+ 2а на фиг. 93). Поэтому второй член
выражения (9в) должен учитывать (в своей области примени-
применимости) дифракционные эффекты, которыми обусловлено отли-
отличие высокочастотного поля от геометрооптического иоля.

334
Гл. 6. Поля в цилиндрических и сферических областях
рассеянной волны определяется «коэффициентом дифракции»
Ао. Сказанное поясняется на фиг. 94. Здесь полное поле равно
сумме поля в свободном пространстве и дифрагированного поля.
Все это относится к области 0 < 6С, в которой нет лучей, зер-
зеркально отраженных от поверхности конуса. В области 0О ^ 6 >
> 9С картина значительно сложнее, поскольку интегралы, вхо-
входящие в формулы (9в) и A06), здесь расходятся. Как и в за-
'ифрагированныи
луч
Сферическая}
волна
Отраженный луч
Фиг. 94. Интерпретация высокочастотного дифрагированного поля.
даче о клине (§ 3, п. «а», и § 5, п. «в»), интегралы становятся
сходящимися, если из них выделить вклады зеркально отражен-
отраженных полей. В случае клина это довольно просто сделать, по-
поскольку плоские грани клина возбуждают отраженное поле, ко-
которое по своему характеру совпадает с падающим полем, но в
случае конуса анализ осложняется тем, что поверхность конуса
криволинейна. Такая задача была решена в случаях простой
зависимости от азимута [3 (гл. 18), 22] [например, в случае коль-
кольцевого источника, центр которого лежит на оси конуса, с зависи-
зависимостью от азимута типа exp (tmqp)] и было показано, что функ-
функциональный вид коэффициентов дифракции А'п, А"п или В'п, В'п
одинаков во всей области 0 < 6 sg; 60, хотя их указанное выше
интегральное представление справедливо лишь при 6 < &с. Та-
Таким образом, если интеграл удается вычислить, то получающая-
получающаяся функция 0, 0', ф, ф' должна быть всюду применима, Выделе-
§ 8. Поля в сферических областях
335
ние геометрооптического вклада упрощается, если сформулиро-
сформулировать задачу в угловом представлении с введением мнимых ис-
источников в бесконечном В-пространстве [гл. 3, § 4, формула G4)].
Подчеркнем, что простой анализ высокочастотного поля, осно-
основанный на вычислении вкладов падающих, отраженных и ди-
дифрагированных лучей, невозможен в переходных зонах, приле-
прилегающих к границе области существования отраженных лучей.
Приближенные выражения для случая малых углов
при вершине конуса
Хотя коэффициенты дифракции вычисляются, как правило,
численными методами [3 (гл. 18), 23], в случае малых углов
при вершине конуса можно получить приближенные аналитиче-
аналитические результаты. В этом случае 60 « я и функции Лежандра, со-
содержащие Во, приближенно выражаются через элементарные
функции. Поскольку F(a,b;c;0) = 1, из F5) гл. 3, § 4, следует,
что при ф —> О
1 '*V" т>0, A6а)
-?, (m = 0).
-1
1, A66)
A6в)
,. , . ...^1, A76)
¦ v) Т (т — v) \Ф )
а выражения для/п = 0 получаются из A6а) и A66) с помощью
формулы
4~ /\ (cos ф) = Р\ (cos ф) = - v (v + 1) Р71 (cos ф). A7в)
причем [24]
Кроме того,
d р-п
Ж v
m+I
Таким образом, при 0о->-я
Pv (— cos 90) я cosec vn
, (cos 90) 2 In [(я - во)/2)] '
fv {
при т>\,
A8а)
-Г(т)ГA+ш)
nv(v+ 1) /я —I
sin vn
при т=0-

338
Гл. 6. Поля в цилиндрических и сферических областях
в замкнутом виде; соответствующие кривые, рассчитанные чис-
численными методами, приведены в работах [3 (гл. 18), 23]. Поля,
вычисленные с использованием этих кривых, в хорошем прибли-
приближении описываются выражениями, полученными методом фи-
физической оптики; кроме того, при больших углах % « я/2 мож-
можно вывести приближенные аналитические формулы. Сказанное
иллюстрируется в разделе «Задачи» в конце главы.
ПРИЛОЖЕНИЕ 1. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
ДЛЯ И™ (г) И Hl2)(z)
Во многих задачах, рассматривавшихся в данной главе, тре-
требовались асимптотические выражения для функций Бесселя при
больших значениях комплексного аргумента z или порядка v.
Здесь мы приведем соответствующие формулы для двух случаев:
1) когда |v/z| > 1 или |v/zj < 1 и 2) когда \v/z\ « 1. Фор-
Формулы для 1-го случая были выведены Дебаем [26], а для 2-го —
в основном Лангером [27] и Олвером [28] (см. также [29]).
а. Большие и неодинаковые аргумент и порядок
Если аргумент и порядок нельзя считать приблизительно
равными [точнее, если |v — z\ < 0(|v|l/s)], то вся комплексная
Imv
Im v
IV
-*- Re v
а б
Фиг. 95, Различные области в комплексной плоскости v.
а—для
): б-для
< nil.
плоскость, разделенная на области так, как показано на фиг. 95,
охватывается тремя разными асимптотическими представления-
представлениями для H[l)A2)(z),
Приложение 7
Для Я"' (z) имеем:
В области I
(г) ~ а/
,lz (sin Y-Y cos Y) У " ^ ~^~ 'г' е
L-i [B Si
л-0
В области II
шя/2
л-0
22sinY
-v) cos у] V ^"
Z
e ""
n-0
[(z sin v)/2Jn *
В этих формулах Г (х) — гамма-функция,
причем угол у удовлетворяет условию
О < Re у < я.
Первые несколько коэффициентов Ап таковы:
Для #v' (z) имеем:
В области IV
f
-й (,Ш Y-Y cos Y)
Zj [(z si
(„ + «/,)
л=0
[(z sin Y)/2]
В области V
В области VI
2 e-W4ete(slny-ycosv)
SinY
n-0
sin
L_ e-hi/4e(* [sin у+Bя-у) cos vl
Чг)е-Ыя12
/-, [BsmY)/2]n
n-0
339
B)
C)
Dа)
D6)
E)
F)
G)
где у по-прежнему дается соотношением D). Нули функции
Hv](z) при больших v, 2 лежат на кривых Cj и С2, являющихся

342
Гл. 6. Поля в цилиндрических и сферических областях
заны между собой соотношением vi = vmei2n. To же самое от-
относится и к выражениям A3а) и A3в). Абсолютная величина
множителей Bv/ez)±v стремится к единице вблизи кривых С2 и
Са, a \2ve±i7l/ez)v\ —* 1 вблизи кривых С{г3- В окрестности лю-
любого из этих контуров пригодно любое из двух выражений для
#v>>B\ написанных для областей, лежащих по обе стороны от
контура.
Асимптотическая формула для функции Бесселя получается
непосредственно из ряда
,\v+2n
л=0
A4)
если подставить в него следующее приближенное выражение
для гамма-функции при большом аргументе:
^а, М—оо, | arg v |< л, а > 0. A5)
В результате имеем
ег
A6)
Выражения A2) и A3) можно было также получить исходя из
выражения A6) и формулы
-. A7)
± i sin vat
Чтобы оценить величину множителя Bv/ez)±v, положим
Тогда
A8a)
. A86)
Это выражение растет быстрее экспоненты при ±cos ib > 0,
убывает при ±cos \|з < 0 и стремится к единице лишь при |»|)| —>
->я/2 [формула B1)]. Следовательно, функции Ханкеля всегда
растут быстрее экспоненты при |v| —»• оо, кроме случая, когда
|ф| —»• я/2. В последнем случае (т. е. вблизи кривых Ci,2>3, 4)
простые соотношения A2) и A3) следует модифицировать ука-
указанным выше способом, и тогда оказывается, что при |v| —> 00
функция ЯУ'(г) мала в области между кривыми С\ и С4, но ве-
велика вне этой области, а функция H^{z) мала в области между
кривыми С2 и С3, но велика вне ее. Функция Jv{z) из A6) убы-
убывает справа от кривых Сг и С4 и возрастает в остальных обла-
Приложение 1
343
стях. На мнимой оси при положительных действительных z
имеем
О
п/2]; Я<2)(г)~О[Г
Ц, = f, A9а)
= -f. A96)
^'2>
Посмотрим теперь, каково поведение функций Щ'* (z),
(д/dz) H^(z), (d/dv)H^)(z) и Jv(z) и Н^ (у), где уфг, на кри-
кривой С2, ибо это существенно при решении задачи о дифракции
на цилиндре, рассматриваемой в данной главе. Вблизи кривой
С2 асимптотическое выражение для #У (z) получается сложе-
сложением выражений A2а) и A26):
B0)
Каждый член в квадратных скобках становится равным единице
по абсолютной величине при
2 In BЦег)
или С —-
B1)
где для удобства считается, что z — положительная действитель-
действительная величина. Условием B1) фактически определяются далекие
участки контура С2, на которых расположены нули функции
Н^ (z), поскольку величина B0) обращается в нуль только в том
случае, когда экспоненциальные члены равны по абсолютной ве-
величине. Сравнивая A9) и B1), мы видим, что все функции край-
крайне быстро изменяются при |\|з| —*-п/2.
Поскольку для далеких нулей функции #v" (у) при у > 0 и
у ф z мы имеем |»|з| —¦ я/2, выражение для //У (у) вблизи кри-
кривой С2 также состоит из двух членов B0). На кривой С2
еу
= п'"(zly) 4- -
2 In ^
так что
/
,nBS/e2)
B26)
Таким образом, при z > г/ в выражении B0) (где вместо г
стоит у) преобладает первый, а при г <С у — второй член, и при
любом положительном у имеем
при
ос.
B3)
Дифференцируя выражение B0) по v и учитывая, что
| Bv/ez) *» | ;= О A) на кривой С2, а два члена в квадратных

346
Гл. 6. Поля в цилиндрических и сферических областях
мы рассмотрим те и другие функции. Если произвести замену
переменной
¦|<т3/. = |е-'я C3)
и воспользоваться формулой A7), то можно показать, что нули
\р функции Нч1 Aе~'я) совпадают с корнями уравнения
¦/. A„) = 0. C4)
Корни этого уравнения действительны. Положив а = 2Н, где
т= (г — v)v~'/s и z — фиксированная величина, получим на ос-
основании формул B9), C3) и C4) нули ±?р функции НУ (г):
C5>
СA)
В первом приближении нули функции яСA)(г) совпадают
с нулями функции Ах (—21гт)^А\ (— а), которые в силу соот-
соотношения
C6)
при ц = 7з и формул A7), C2) и C3) можно выразить через
чисто действительные корни г\р уравнения
/•/.Ы-'-'/,(Лр) = 0. C7)
Если обозначить через ±tip нули функции H'v{l){z) в комплекс-
комплексной плоскости v, то
r]p~z + 2-'l>(±rlpyl°el«l5z4\ я;;Чг) = 0, % > 0. C8)
При положительных действительных z нулями Н{?{г) и яСB)(г)
будут величины, комплексно сопряженные величинам |р и цр.
Нули \р и цр можно также выразить через нули функции
Эйри Ai(—а) или ее производной. На основании формул C2) и
C4) из гл. 4, § 2, можно показать, что
(|)!/ C9а)
C96)
D0)
Л2(-ае-''2л/3)==ег2я/3Л,(-а), A2,l(x)
откуда следует, что |р удовлетворяет уравнению
Ai(-ap) = 0, ap = (-|
Приложение 1
347
а Лр ~ уравнению
Ai'(-pp) = O, РР=(|
D1)
Корни ap и рр табулированы в работе [30]. Несколько первых
корней таковы:
а, = 2,3381, а2 = 4,0879, а3 = 5,5205,
Р, = 1,0188, Р2 = 3,2482, р3 = 4,8201.
На основании формулы B9) можно показать, что
дм
D1а)
D2а)
dz2
(последнее равенство следует из дифференциального уравнения
Бесселя).
Все написанные выше выражения соответствуют асимптоти-
асимптотическим приближениям низшего порядка, и их можно уточнить,
введя в асимптотические ряды дополнительные члены, содержа-
содержащие обратные степени z. Это было проделано многими авторами,
и было показано [3, 14, 31], что с точностью до членов второго
порядка
, z \'/з Г /2 \!/' f 1
h ~z+Ы 1л+Ы -й + • • • J - *р=йРе'л/з>
е~ы/3
D46)
где при нескольких первых значениях р имеем
Ai(-p,) = 0,5356, Ai(-p2) = -0,4190, Ai (-p3) = 0,3804,
Ai'(-a,) = 0,7012, Ai'(-a2) =-0,8031, Ai/(-a3) = 0,8652.
D4b)
, , Мы исследовали нули функции Hv'2)(z) и H'^'2)(z) в ком-
комплексной плоскости v при фиксированном большом параметре z

350
Гл. 6. Поля в цилиндрических и сферических областях
(где Мо = const), имитирующее излучение системы осевых ли-
линейных источников, фаза которых возрастает в направлении р;
вторая грань клина расположена при ф = ф. Магнитное поле из-
излучения Н = Hz параллельно ребру клина (ось г) и дается вы-
выражением
B)
Нг (р) = Ik д/| \ [G" (р, р') М (р')]ф, _0 dp',
где С"(р,р') —функция Грина для Я-волн (§ 5, п. «в»), асим-
асимптотическое выражение для которой (при больших р) дается
формулами A9) и B0) из § 5. Покажите, что при р—юо, kl\ >
^> 1 и ф > я магнитное поле B) при любых ф можно предста-
представить в виде
Нг(р)~Ш, aJ±. Moe . [А A, К Ф)+ВA, k, ф)+С(i, k, ф)], C)
V A У2я&р
где
I, к, ф) = -
= —sin
2/ = /2 — Л, (За)
1
X
С A
, й, Ф) = sign (я - Ф) -щЬщ {
- f F (Y2)] -
(Зв)
lt2="V «4,2
Cr)
A-0 У
Покажите, что Л (g, fc, ф) — функция углового распределения из-
излучения для случая, когда источник распределен по бесконечной
плоскости, что функция fi(|, k, ф) учитывает эффекты, обуслов-
обусловленные наличием ребра, вне переходной области ф « л и что
только все выражение C) позволяет оценить поведение поля в
Задачи
351
переходной области. Именно, поскольку вне переходной области
6i ^> 1, а С~О(бГ2), членом С можно в этом случае пренебречь.
Проверьте правильность следующих формул, необходимых для
вывода выражения C):
'1 =
где
«Y
причем
0-0 3Vp
S(y) =
E)
). Eа)
E6)
F)
(l-Off
Чтобы найти /г, нужно изменить порядок интегрирования:
A-0 0 V*" «ж!/20»)
A-0
2 :
+
.-jL —JL f7\
откуда
(8)
6. На идеально проводящую полуплоскость г/ < 0 при 2 = 0
падает плоская волна под углом 9о к оси z (фиг. 96). Падающая
волна поляризована так, что ее электрический вектор колеблется
параллельно краю полуплоскости; ввиду трансляционной симме-

354
Гл. 6. Поля в цилиндрических и сферических областях
Прибавьте к падающему полю ?,¦ вторичное поле ?s) -f- Es2 и
объясните результат г точки зрения геометрической оптики.
В частности, объясните, какова роль седловой точки y's и конце-
концевой точки у' = 0 при выборе тех частей распределения наведен-
наведенных токов, которыми определяется поле в заданной точке на-
наблюдения {у, г). Сравните свои выводы со схемой хода лучей,
представленной в т. 1 на фиг. 29, при л( = п2 [множитель
exp (ik0nR8)/Rs в формуле F4г) из гл. 1, § 7, следует положить
равным единице для падающей волны]. При y's —*¦ 0 уточните
асимптотическое выражение, перейдя к равномерному приближе-
приближению [гл. 4, § 6, п. «а»].
в. Сравните результаты п. «б» с асимптотическим приближе-
приближением точного решения [§ 5, формула B9) при ф = 2я]. Объяс-
Объясните, почему геометрооптическая часть поля в п. «б» найдена
верно, а дифракционная — нет. Покажите на основании точного
решения [§ 5, формула D3)], что точное распределение наведен-
наведенных токов имеет вид
' slne° +2
я/4] у/
X sin 4- [1 - 2 V2~ |e-' №+w«>iq [(i _ /) y] J. A5)
где Q[(l — 01] есть величина 5(|) из формулы F) и
«, / г 7" ф / Jt л /1 г? ч
ё = V—^У COS—р-, ф =-2 «о. U"a/
Первый член в формуле A5) —ток в приближении физической
оптики [формула A1)'], а второй — строго вычисленная поправка,
учитывающая вклады как освещенной, так и затененной сторон
полуплоскости. Покажите, что данная поправка существенна
лишь вблизи края (т. 1, фиг. 115), и в связи с этим выясните,
верны или нет формулы A4а) и A46).
г. Выведите уточненное выражение для дифракционного поля
Es2, подставив выражение A5) в формулу (9) и взяв, как и рань-
раньше, асимптотическое выражение для функции Ханкеля. Учтите,
что вклад концевой точки, обусловленный членом выражения
A5), соответствующим приближению физической оптики, дает
величину A4). Покажите, что поправка E's к Es, обусловленная
первым слагаемым в больших квадратных скобках в формуле
A5), имеет вид
V 2 V
Задачи
355
При этом нужно учесть, что |р —р'| =р — у' sin 9 + О (у'2)
вблизи у' = 0 и в связи с этим приходится вычислять интеграл
¦¦-\
,-ife(l+sin8) у'
'-у'
' = л/ . A6а)
V -ik(\ + sin 9)
При отыскании поправки E's, связанной с последним членом в
больших квадратных скобках формулы A5), приходится вычис-
вычислять интеграл
о
/2 = J exp [- Ik A + sin 6) у' - i2|2] Q dy' = A7a)
о
= \ exp [ik (sin 90 — sin 6) y'\ Q dy' =
Интегрируя по частям и учитывая, что Q@) = V3T/2, dQ/dl =
= — A — /) exp Bi|2), получите выражение
/*=¦
Ik (sin 90 — sin 9) B V2 2
A7в)
и вычислите интеграл по формуле A6а). Покажите, что оконча-
окончательно
cos90 fi Vl + sin 90
(sin 9,
:os90 Г j _
i0 - sin 9) L
Vl + sin 9
J '
A8)
Полное дифракционное поле Es2 равно сумме E's, E's и члена, со-
соответствующего приближению физической оптики [формула
A46)]. Покажите, что окончательное выражение согласуется с
точной формулой B9) из § 5 при f = 2я.
7. а. Идеально проводящий клин, образованный двумя по-
полуплоскостями ф = 0 и ф = ^, — это конфигурация, допускаю-
допускающая разделение переменных как в цилиндрических, так и в сфе-
сферических координатах. Покажите, что в случае элемента тока,
расположенного вдоль прямой, проходящей через ребро клина в
точке А, анализ значительно проще в сферической системе коор-
координат, поскольку элемент тока радиален относительно начала
координат, выбранного в точке А. [Отметим, что поля радиаль-
радиальных элементов тока выражаются через единственную сфериче-
сферическую потенциальную функцию; гл. 2, § 6, формула A1).] Ука-
Укажите, как можно использовать это упрощение при наличии не-
неаксиально ориентированных тангенциальных элементов магнит-
12*

358
Гл. 6. Поля в цилиндрических и сферических областях
10. Умножьте выражения C0а) и C1) из § 7 на exp
где m — целое число, проинтегрируйте полученные выражения по
ф' и найдите тем самым альтернативные представления функции
Грина для цилиндра, возбуждаемого кольцевым источником ра-
радиусом р' > а и с фазовой зависимостью exp (imq). Сравните
полученный результат с выражением A) из гл. 5, § 9, для дву-
двумерной функции Грина в случае среды с меняющимися свой-
свойствами [см. также гл. 5, § 9, формула (9) и т. д.].
П. Считайте, что либо точка наблюдения, либо источник
расположены на фиг. 91 далеко от поверхности цилиндра.
а. Оценив методом седловой точки асимптотическое значение
интеграла в формуле C0а) из § 7, выведите формулу для слу-
случая ?-волн [при fep> sin B>> 1 и временной зависимости типа
ехр(—Ш)\.
G'(r,r')
> п 0
cos я (ф — фО
?-in7i/2e-ikz<i
X
X [/„(*/¦< sin в sin в')--
HV (kr< sin 6 sin 6')] . B6)
где z>, r>, 6>— величины г, г, В при р > р' и величины г', г',
9' при р < р'. Наоборот, г<, г<, 8< — это величины г, г, 6 при
р < р' и величины г', г', В' при р > р'. Величины г, 8 — сфериче-
сферические координаты, причем r>cosB. = z>, r>sin6. = p> и т.д.,
а гп = 1 при п = 0 и е„ = 2 при п Ф 0. Найдите аналогичное
выражение для G"(r, г'), относящееся к случаю Я-волн. Вычис-
Вычислите компоненты электромагнитного поля, возбуждаемого элек-
электрическим или магнитным диполем [гл. 5, § 2, формула A)].
б. Сместив источник в бесконечность, примените формулу
B6) к случаю падения плоской волны и покажите, что если па-
падающая волна описывается функцией
и'пЛЖ = exp [— ikr sin В sin В' cos (ф — ф') — ikr cos 9 cos В'], B7)
то соответствующее выражение для полной волновой функции
' ' '
имеет вид и' == и'паж + u's, где
u's= — е-'fcr cos в cos в'
6n соэп(ф — ф")е-'"л/2 X
п=0
X
6 )
B8)
Найдите аналогичное выражение для функции и"(г, г'), относя-
относящейся к случаю Я-волн. Суммируя вклады Е- и Я-волн, полу-
получите выражения для полей, возбуждаемых произвольно поляри-
поляризованной ПЛОСКОЙ ВОЛНОЙ:
Задачи
359
в. Примените аналог выражения B6), относящийся к случаю
Я-волн, к задаче, где источник расположен на цилиндре, и по-
покажите, что поле в дальней зоне выражается через функцию
Грина
p'kr p. -tfe*'cos9 J^ -гпя/2
" (r, r ) = > е„ cos n (ф — ф ) —Т7Г\ • B9)
Anr JT^.jsin9 *—' Н„( ' (kas'mQ)
Исходя из этого найдите поля, излучаемые аксиально направлен-
направленной щелью в цилиндре, предполагая, что электрическое поле в
щели имеет лишь компоненту ?ф, которая считается заданной
КточпеР
"К точке Р
Фиг. 98. «Стелющиеся» по цилиндру лучи (выходящие по винтовой линии).
(такой источник эквивалентен распределению осевых магнитных
токов М = Е г X ро на гладкой поверхности цилиндра).
12. Решите задачу 11 исходя из представления C06) из § 7
для G(r, г'). Покажите, что для функции G"(r, г7) из формулы
B9) возможно альтернативное представление
G"(r, r')
eikr
1Г
o — ikz' cos ?
X
^р (ka sin 6) H'J-V (*я sin в) cos [цр (я - | q> - q/ | )] е
sin в)
C0)
/d),
где Яир'(ka sin 9) = 0. Исследуйте сходимость этого ряда. Пока-
Покажите, что при ka sin 9 ^> 1 ряд быстро сходится в затененной об-
области |ф — ф'| > я/2; упростите выражение, стоящее под зна-
знаком суммы. Покажите, что поле в затененной области можно
рассматривать как соответствующее стелющемуся лучу, который
выходит из источника по винтовой линии на поверхности ци-
цилиндра, а затем идет касательной к этой поверхности в сторону
удаленной точки наблюдения Р (фиг. 98).

362
Гл. 6. Поля в цилиндрических и сферических областях
дифракционный интеграл асимптотически при больших kp и
произвольных ф. Объясните полученный результат с точки зре-
зрения лучевой оптики.
15. В этой задаче рассматриваются альтернативные предста-
представления для не зависящих от г двумерных функций Грина и трех-
трехмерных функций Грина С (г, г'), G"(r,r'), 9>'{х, г'), У (г, г') в
случае (идеально проводящего) клина с закруглением, изобра-
изображенного на фиг. 74.
а. Исходя из того, что радиальная характеристическая функ-
функция Грина (97) из гл. 3, § 4, состоит из двух частей, из которых
Источник
Фиг. 99. Многократно отраженные лучи в случае хлина с цилиндром.
первая соответствует клину без цилиндрической поверхности, а
вторая учитывает наличие такой поверхности, покажите, что пол-
полные функции Грина в радиальном представлении можно предста-
представить в виде суммы двух слагаемых — функции Грина для клина
без цилиндра и поправочного члена, учитывающего наличие ци-
цилиндра. Покажите, что такое представление удобно при малых
радиусах цилиндра.
б. Решите задачу «а» в угловом представлении, пользуясь
методом мнимых источников (изображений) в бесконечном уг-
угловом пространстве [§ 7, формула A0), измененная в соответст-
соответствии с формулой E7) из гл. 3, § 4]. Покажите, что в окончатель-
окончательном выражении для функции Грина мы имеем сумму функции
Грина для цилиндрической конфигурации, изображенной на
фиг. 85, и поправочного члена, учитывающего наличие граней
клина при ф = 0, ф. Покажите, что такое представление удобно
в случае, когда радиус цилиндра велик и обе грани клина не
видны из точки, где расположен источник. Методом, изложен-
изложенным в § 7, выведите асимптотические формулы для полей.
в. Методом седловой точки покажите, что в случае, когда ра-
радиус цилиндра велик, а одна из граней клина видна из точки, где
расположен источник, основной вклад в рассеянное поле в осве-
освещенной области соответствует лучам, отраженным только ци-
Задачи
363
линдром и только гранью клина, и лучам, испытавшим много-
многократное отражение (фиг. 99). На основании геометрической оп-
оптики напишите выражения для амплитуды и фазы поля вдоль
многократно отраженного луча и сравните их с асимптотиче-
асимптотическим решением.
г. Решите задачу «в» в случае, когда обе грани видны из
точки расположения источника,
16. На вершине конуса 0 = 0о имеется сфера радиусом г =
= а, причем все поверхности — идеально проводящие. Найдите
различные представления функций Грина для такой конфигура-
конфигурации. В частности, получите радиальное представление, в которое
в явном виде входит функция Грина для конуса, а влияние сфе-
сферы описывается поправочным членом, и угловое представление,
в которое, наоборот, в явном виде входит функция Грина для
сферы, а член, учитывающий влияние конической поверхности,
имеет вид возмущения. Исследуйте сходимость таких представ-
представлений (см. также задачу 15, где исследуется аналогичная цилин-
цилиндрическая конфигурация) и покажите, что радиальное пред-
представление удобно при малых размерах сферы и произвольных
углах при вершине конуса, а угловое — при больших радиусах
сферы и малых углах при вершине конуса.
17. Рядом с цилиндром, радиус которого равен а, имеется ли-
линейный источник магнитных токов с единичной интенсивностью,
лежащий параллельно оси цилиндра при ф = ф', р = р' > а.
Граничные условия на поверхности цилиндра задаются в виде
импеданса, зависящего от угла:
^- [l+acosp(q>-q>0)] при
= а.
C7)
Здесь Z — нормированная амплитуда импеданса, -у ц/е — волно-
волновое сопротивление свободного пространства, а — действительная
постоянная, характеризующая глубину модуляции, р = 2na/L —
целое число, причем L — пространственный период модуляции
импеданса, и ф0 — начальная фаза. В случае пассивной системы
выполняется условие ReZr^sO [подразумевается временная за-
зависимость типа ехр(—iwt)].
а. Покажите, что единственная компонента магнитного поля
дается выражением Нг = icoeC, где G(p.p') —скалярная функ-
функция, которая удовлетворяет неоднородному волновому уравне-
уравнению
(V2 + k2) G (р, р') = - 6 (р - р') C8)
с граничным условием
да
~- = — ikZ [I + a cos/? (ф —Ф0)]С при р = а,
C8а)

г
366
Гл. б. Поля в цилиндрических и сферических области»
точки наблюдения (фиг. 100); 0„ = ±04) причем знак зависит от
рассматриваемого падающего луча. Покажите, что первый член
в выражении D4) можно рассматривать как луч, зеркально от-
отраженный (8Г = 0,) от поверхности цилиндра с постоянным им-
импедансом Z [§ 7, формула B9) при Lr—> оо и с нормировкой для
плоской волны], а второй и третий члены — как лучи, соответст-
соответствующие отражению первого порядка «дифракционной решетки».
Покажите, что выражение для коэффициента расхождения
Pip, f)
Фиг. 100. Ход лучей в случае цилиндра с переменным поверхностным импе-
импедансом.
< я/2; — я/2 < вг < л/2.
D(np) получается из закона сохранения энергии, примененного
к трубкам падающих и отраженных лучей в общем случае, ког-
когда угол падения не равен углу отражения (гл. 1, задачи 30 и
32). Исследуйте свойства симметрии поля D4) при <р' = <р0 и
ф' = ф0. Рассмотрите поведение лучей, соответствующих отраже-
отражению «дифракционной решетки», и определите области их суще-
существования относительно поверхности цилиндра.
б. Покажите, что в случае, когда поверхностный импеданс
изменяется медленно [(p/ka) <С 1], траектории трех отраженных
лучей, соответствующих значениям л = 0, ±1 в формуле D4г),
почти совпадают, пересекаясь в точке наблюдения Р, и выходят
из трех близко расположенных точек на поверхности цилиндра,
две из которых находятся на одинаковом расстоянии от точки,
где происходит зеркальное отражение. Докажите, что вклады
трех отраженных лучей эквивалентны вкладу одного зеркально
отраженного луча типа первого слагаемого в формуле D4), если
заменить величину Го локальным коэффициентом отражения Го
в точке отражения ф:
¦ о —
Задачи
cos Qi — Z (ф)/Уц/е
cos 6; + Z
367
D4д)
где 2(ф) —поверхностный импед?нс [формула C7)]. Исходя из
этого покажите, что поле можно вычислять простым лучевым ме-
методом, пользуясь локальными параметрами поверхности вблизи
точки отражения [§ 6, формулы B3)].
19. Линейный источник электрического тока расположен вне
идеально проводящего цилиндра, уравнение поверхности кото-
которого имеет вид р = а + b cos /?ф, где р — целое число [41]. Пока-
Покажите, что в случае, когда b — малый параметр, решение данной
задачи является частным случаем решения задачи 17.
20. Исходя из формул A6) § 8 и соотношения [42]
-4- Я7" (cos во) = cos (v - q) л -%=- Pv" (— cos 0O) +
D5)
покажите, что при 0о ~ я приближенное решение уравнения
Pp"(cosво) = 0 имеет вид
k-
+д)Г(\+п)Г(д)
D6)
где п = 0, 1, 2, ... и Т(х) — гамма-функция. Найдите также ре-
решение уравнения Рр" (cos 0O) = 0. Пользуясь асимптотической
фомулой F66) из гл. 3, § 4, найдите приближенные значения
корней при 0о ~ я/2.
21. Напишите выражение для функции Грина G"(r, г') (Я-
волны) в случае идеально проводящего полубесконечного конуса
в представлении типа (9а) из § 8 и перейдите к частному слу-
случаю обратного рассеяния аскиально падающей плоской волны
(г' —*¦ оо с последующей нормировкой, а 0,0' —> 0) [примите вре-
временную зависимость типа ехр (— Ы)]. Замените функцию jp(kr)
соответствующим интегралом Зоммерфельда
jp(kr) = JL л^Щ- \ ехр {ikr cos w + i (p + 72) (w - я/2)} dw, D7)
где P — контур интегрирования, показанный на фиг. 101. Изме-
Измените последовательность операций суммирования и интегрирова-

370
Гл. 6. Поля в цилиндрических и сферических областях
26. а. Используя формулы (п. «б», задача 5 из гл. 4)
lim v«P;T'(cos е) = /,И). E4a>
e->o
v«/>-' (- cos 9)
lim „, ¦ .„
arg^O
e-+o
и выражения G1) из гл. 3, § 4, покажите, что
am ?<;-2)E,в)=гЧ1>2)Eв). аге^°- <54в)
11
е-» о
Исходя из этого выражения и формулы G2) из гл. 3, § 4, выве-
Кольцевой,
источник
Полуплоскость
Конус
Фиг. 102. Комбинация полуплоскости и конуса.
дите асимптотическую формулу, справедливую при малых и
больших углах 9:
VS E5)
б. Выведите формулу E46) на основании формулы E4а), вы-
выражения A7) из приложения 1 и формулы
Р7" (— cos 0) ¦¦
sin (v-у) я
= f5^(cos0)- ,м„
- Р% (cos 9). E6)
27 Когда угол при вершине конуса 90 ~ я, а источник и
точка наблюдения расположены далеко от вершины, но вблизи
Задачи
371
поверхности конуса, коническая поверхность локально эквива-
эквивалентна поверхности цилиндра (фиг. 103). Покажите, что от слу-
случая рассеяния на конусе можно перейти к случаю рассеяния на
круговом цилиндре, если сместить начало координат в бесконеч-
бесконечность, закрепив неподвижно, например, точку Р. Введите пре-
предельные величины р и р' соответственно равенству
lim г (я — в) = р = lim r' (я - 0) F7)
для р и аналогичному равенству для р' (с заменой 6->6'). По-
Покажите, что радиус а получающегося при этом цилиндра можно
Фиг. 103. Переход от конуса к цилиндру.
найти, положив 0 или 0' равным 0о и приняв (г> —r< ) -v|z—
f—z'\ — |f — z'|, где г отсчитывается от нового начала коорди-
координат, расположенного на оси z вблизи р = 0 или р' = 0.
Покажите, что в результате такого преобразования радиаль-
радиальная характеристическая функция Грина A1) из гл. 2, § 7, заме-
заменяется функцией A0) из гл. 2, § 7 [преобразованной к временной
зависимости типа ехр(—ia>t)], т. е.
поскольку отражения от бесконечно удаленной вершины конуса
нет (считайте, что среда является слегка поглощающей). Учи-
Учитывая, что gT — четная функция аргумента v + V2, как и g? в
формуле F8) из гл. 3, § 4, покажите, что нижняя часть пути ин-
интегрирования в формуле (96) из § 8 (где вместо g'e стоит g^ и
член Gf опущен) может быть отражена в третий квадрант ком-
комплексной плоскости v, в результате чего путь интегрирования
будет целиком проходить над действительной осью v.
На основании асимптотических формул для цилиндрических
функций (приложение 1) покажите, что
g i expfrV^gl^ji, ImVF3I2>0> E9)

глава 7. Электромагнитные поля
в одноосных
анизотропных средах
§ 1. ВВЕДЕНИЕ
В данной и следующей главах рассматриваются эффекты, об-
обусловленные анизотропией среды. С учетом определенных огра-
ограничений макроскопические электромагнитные свойства таких
физических сред, как кристаллические твердые тела, намагни-
намагниченные ферриты, магнитоактивная плазма и искусственные ди-
диэлектрики, можно характеризовать тензором диэлектрической
проницаемости е или тензором магнитной проницаемости ц (или
и тем и другим). Плоские волны в подобных средах рассматри-
рассматривались ранее в связи с вопросами распространения света в кри-
кристаллах [1, 2], радиоволн в ионосфере [3, 4] и высокочастотных
колебаний в волноводах, нагруженных ферритами. В последнее
время актуальными стали задачи об излучении покоящихся и
движущихся источников в таких средах, а также задачи о ди-
дифракции волн на различных телах. При исследовании электро-
электромагнитных волн, распространяющихся в средах, свойства кото-
которых зависят от направления распространения, лучше всего на-
начать с простейших анизотропных сред — одноосных. Свойства
таких сред в соответствующим образом выбранной системе ко-
координат можно характеризовать диагональным тензором с дву-
двумя одинаковыми (поперечными) компонентами, отличающимися
от третьей (продольной). К подобным физическим средам отно-
относятся одноосные кристаллы, а также плазма и ферриты, находя-
находящиеся в очень сильном внешнем магнитном поле. Постановка и
решение задач об излучении и дифракции волн в таких анизо-
анизотропных средах, а также физическая интерпретация полученных
решений и составляют содержание данной главы. Некоторые за-
задачи для таких сред иногда удается свести к эквивалентным за-
задачам для изотропных сред, что существенно упрощает все рас-
рассмотрение. В более сложном случае гиротропной среды, харак-
характеризуемой недиагональными тензорами е или ц, такие упроще-
упрощения невозможны. Эффекты, обусловленные гиротропией среды,
рассматриваются в гл. 8.
Как и в случае изотропной среды, при исследовании распро-
распространения волн в анизотропной среде можно ввести понятие вол-
§ 1. Введение
375
новодных волн, но при этом неизбежны существенные различия.
Чтобы показать, каковы эти различия, рассмотрим сначала не-
неограниченную однородную среду. В неограниченной изотропной
среде без пространственной дисперсии ') собственные волны с
поперечной зависимостью поля вида exp[t(k(-p— со^)] распро-
распространяются вдоль оси z с волновыми числами ±и(кг, со); при за-
заданных к(, со существуют два вида таких волн (Е и Н), так что
всего имеются четыре волны с волновыми числами ±и, ±х для
каждого выбранного направления (гл. 1, § 4 и § 2 данной гла-
главы). В неограниченной анизотропной среде без пространствен-
пространственной дисперсии тоже существуют волноводные волны с такой же
поперечной зависимостью полей; и в этом случае имеются четыре
возможных вида волны для каждого набора к()со, но теперь их
волновые числа для выбранного направления распространения
отличаются друг от друга не только знаком. Правда, в частном
случае одноосной анизотропии, если выбрать в качестве оси z,
вдоль которой происходит распространение волиоводных волн,
оптическую ось среды, то четыре волны при заданных kt, со рас-
распадаются на две пары с волновыми числами ±и', ±и"(и' ф х").
Волновое сопротивление для этих волн такое же, как в изотроп-
изотропной среде, и им соответствуют такие же несвязанные эквивалент-
эквивалентные линии передачи. Собственные волны остаются несвязанными
друг с другом и при наличии одноосных анизотропных плоских
слоев или границ вдоль оси z, если для всех областей оптическая
ось совпадает с осью z. Но при наличии слоев или границ, рас-
расположенных под углом к оптической оси, возникает связь между
собственными волнами.
Чтобы пояснить сказанное, рассмотрим дисперсионное ура-
уравнение для плоской волны с продольным и поперечным волно-
волновыми числами у. и к( в однородной анизотропной среде. Если
электрическое поле записать в виде Е(г) =Eexp(tk-r — iat),
где Е — вектор, характеризующий амплитуду и плоскость поля-
поляризации, то, исключив Н(г) из уравнений поля D1а) из гл. 1,
§ 5, свободных от источников, получим для среды с изотропной
магнитной проницаемостью щ и тензором диэлектрической про-
проницаемости е следующее уравнение:
A)
В одноосной среде тензор е имеет вид
е = \tzt + zozoe2, I, = 1 — zozo.
B)
') То есть в среде, диэлектрическая и магнитная проницаемости которой
не зависят от пространственного дифференциального оператора V или, п
представлении (к, со), от волнового вектора к.

378 Гл. 1. ЭлектроМагн. Поля в одноосных анизотропных средах
направление векторов k, vg или S в цилиндрической системе ко-
координат (р, г), сопоставим оси риге осями kt и и. В случае
Я-волн, распространяющихся так же, как волны в свободном
пространстве, векторы к и \g параллельны друг другу. В случае
же ?-волн эти векторы различаются по направлению. Это видно
из фиг. 104, где 0—угол между положительной осью z и векто-
вектором к, а 8 — между осью z и вектором vg. Мы видим, что при
е > 0 ?-волны могут распространяться во всех направлениях, а
при е < 0 их вектор групповой скорости (или лучевой вектор)
заключен внутри конической области I tg0 | < tg9e= l/Vl е1-
Предельный угол 0С определяется нормалью к асимптоте для по-
поверхности волновых векторов (фиг. 104,6), и поскольку асимп-
асимптота образует угол 0 = arctg Vl е I c осью г, для 0С получаем при-
приведенное выше выражение. При углах 0С < 0 < я — 0С вектор к
является комплексным и волны экспоненциально затухают. Та-
Таким образом, при е < 0 распространение плоских волн ограни-
ограничено определенными углами в пространстве и, если волны в сре-
среде возбуждаются точечным источником, энергия должна быть
локализована в области «действительных лучей». Такой вывод
подтверждается анализом (§ 3). При е>0 (фиг. 104, а) р- и
z-составляющие векторов к и vg для ?-волны одинаковы по зна-
знаку, а потому механизм распространения волны такой же, как в
случае изотропной среды. В случае же анизотропной среды, ког-
когда поверхность волновых векторов для ?-волн незамкнута
(фиг. 104,6), этого нельзя сказать. Различие в знаке попереч-
поперечных составляющих волнового вектора и вектора групповой ско-
скорости говорит об «обратном» характере волны, при котором на-
направление распространения фазы противоположно направлению
потока энергии.
Поскольку дисперсионное уравнение имеет простой вид, не-
нетрудно установить соотношение между углами 0 и 0. Так как на-
наклон касательной к кривой по отношению к оси •/. при данном 0
определяется производной dkt/dx, наклон нормали к данной кри-
кривой по отношению к той же оси равен —dx/dkt, и на основании
уравнения E) получаем
?^48 СП
При е < 0 углы 0 и 0 отсчитываются в противоположных на-
направлениях относительно оси z (фиг. 104, б).
Из фиг. 104,6 видно, что, поскольку поверхность волновых
векторов представляет собой поверхность вращения с осью z,
два значения к' или х", отвечающие данным кь ю, различаются
лишь знаком, причем положительные значения х соответствуют
волнам, переносящим энергию в положительном, а отрицатель-
отрицательные — в отрицательном направлении оси z. Как будет показано
§ 1. Введение
379
в § 2, это позволяет исследовать распространение волны, рассма-
рассматривая эквивалентную линию передачи подобно тому, как это де-
делалось в случае изотропной среды, даже при наличии идеально
проводящих граничных поверхностей, расположенных парал-
параллельно оси z, а также в случае плоскослоистой среды. Представ-
Представление поля Я-волн оказывается таким же, как в изотропной сре-
среде, а представление ?-волн можно получить из решения для изо-
изотропной среды, изменив масштаб вдоль осей координат. Такой
подход проиллюстрирован на ряде примеров в § 3, где получены
в явном виде решения для различных источников в неограничен-
неограниченной одноосной среде. При этом основное внимание уделяется фи-
физической интерпретации поведения поля (особенно на основе лу-
лучевого метода) и вопросу о «бесконечной» интенсивности излуче-
излучения точечного источника в среде с незамкнутой поверхностью
волновых векторов.
Если, как это иногда бывает необходимо, цилиндрическая си-
система координат (р, г) повернута относительно главных осей по-
поверхности волновых векторов для ?-волн, то два решения
и[(к,, ю) и ^(к,, со) не связаны между собой соотношением
х[== — у! (фиг. 125). Отсутствие зеркальной симметрии относи-
относительно новой оси z не позволяет вычислять поле методом экви-
эквивалентных схем, поскольку в обычной линии передачи постоян-
постоянные распространения в противоположных направлениях должны
быть одинаковыми. Повернутая система координат используется
для описания плоских границ или поверхностей раздела, состав-
составляющих угол с оптической осью. Наличие подобных границ при-
приводит к связи между Е- и Я-волнами, и поле в этом случае при-
приходится вычислять более общими методами, рассматриваемыми
в гл. 8 для случая сред с произвольной анизотропией. Упрощение
возможно лишь в двумерных задачах, когда источником являет-
является магнитный линейный ток, перпендикулярный оптической оси,
но параллельный плоской или цилиндрической граничной по-
поверхности; в этом случае возбуждаются лишь ?-волны. Когда
границы являются идеально проводящими или имеют заданный
поверхностный импеданс, чтобы перейти к соответствующей за-
задаче для изотропной среды, можно изменить масштаб вдоль ко-
координатных осей. Как показывается в § 4, в одноосной анизо-
анизотропной среде возможны такие специфические явления, как не-
незеркальное отражение лучей, приводящее к искажению изобра-
изображения линейного источника в идеально проводящей плоскости.
Рассматриваемая там же задача о дифракции на полуплоскости
показывает влияние анизотропии среды на вид дифракционной
картины.
Если поверхность, отделяющая одноосную анизотропную сре-
среду от изотропной, составляет некоторый угол с оптической осью,

382
Гл. 7. Электромагн. поля в одноосных анизотропных средах
Чтобы решить уравнения C) —E), будем, как и в гл. 2, ис-
искать величины Е, и Н, в виде разложения по решениям уравне-
уравнений для данной области, свободной от источников. Из геометрии
рассматриваемой структуры следует, что в отсутствие источни-
источников поперечные составляющие электрического и магнитного по-
полей могут быть представлены в виде произведений Vi(z)ei(p) и
/,(z)h,(p), где е* и h,— поперечные векторные функции, завися-
зависящие лишь от двумерного радиус-вектора р в поперечной плоско-
плоскости. Ввиду однородности поперечного сечения волновода и про-
простого вида уравнений (За) и C6) задача о собственных значе-
значениях для поперечных составляющих поля (определяемая опера-
оператором VfVt) совпадает с соответствующей задачей для изотроп-
изотропной среды и систему собственных функций можно разбить на Е-
и Я-волны по отношению к оси z (задача о собственных значе-
значениях формулируется в гл. 8, § 2). Поэтому имеем [гл. 2, § 2, фор-
формула (8)]
Е, (г) = ? V\ (г) < (р) + ? V! (z) е[ (р), Fа)
(р), h. = z0Xe,, F6)
Н,(г) = ? /,(z)Wt(р) + ? 1"
?
(г) =?v't (z) ь; (р) + ? v; (г) w: (P),
Fв)
Fг)
где одним штрихом обозначены величины, относящиеся к Е-
волнам, а двумя — к Я-волнам. Векторные собственные функции
ер е"> h;. h", так же как и в волноводе с изотропным заполне-
заполнением, удовлетворяют уравнениям A0) из гл. 2, § 2, и условиям
ортогональности [гл. 2, § 2, формула A16)]. Источник «напряже-
«напряжения» Vi и источник «тока» ц считаются заданными, и необходимо
найти «напряжение» Vt и «ток» /* данной собственной волны.
Подставив выражения Fа) —Fг) в уравнения (За) и C6),
на основании соотношений A0) из гл, 2, § 2, получим телеграф-
телеграфные уравнениядля амплитуд У* и U (отметим, 4Todiv<e"=div,h? =
= 0 на 5):
dz
h
Gа)
= - ixt (z) Y, (z) Vi (z) + it (г), Y{ (г) = ^~, G6)
где щ — постоянная распространения, a Z{ — волновое сопроти-
сопротивление, которые в случае ?-волн даются выражениями
У\ (г) сое, (г) ' '
§ 2. Вычисление поля методами теории цепей
383
а в случае Я-волн имеют следующий вид:
h
t? ¦ (86)
Отметим, что волновое сопротивление для анизотропной среды
отличается от волнового сопротивления для изотропной среды и,
что еще более важно, неодинаковы постоянные распространения
¦л\ и %" (§ 1). Источники напряжения и тока vt и U следующим
образом выражаются через заданные J и М [гл. 2, § 2, формулы
A4)]:
vt = \ mte ¦ ь;ds = J м ¦ h]ds + z; J j
s
; = J j
s
s
rt\m
s
где
i — z
o _
(96)
(9b)
ZV, = z-—-, e"=0 Ш
^r'zi "o — late г *' \ >
Согласно теории цепей, величины Vt и /< представляют собой
напряжение и ток в линии передачи, возбуждаемой заданным
источником, и их можно найти методами этой теории.
Если величины г и ц терпят разрыв при z = zu то в силу
требования непрерывности составляющих Е, и Н,, даваемых
формулами Fа) и F6), должны быть непрерывными величины
Vi и U, так как поперечные векторные собственные функции не
зависят от z. Поэтому эквивалентная схема для данного случая
неоднородной среды представляет собой соединение двух линий
передач, одна из которых соответствует области z < z\, а дру-
другая — области z > Z[.
Активная мощность, переносимая i-й волной в положитель-
положительном направлении оси z, дается выражением
xi = Re
(/
dS = Re(iy;), A0а)
z0 dS =
где подразумеваются среднеквадратичные значения всех вели-
величин; при выводе данного выражения было использовано соот-
соотношение ортогональности A16) из гл. 2, § 2. Если область за-
заполнена однородной средой без потерь и простирается до г = оо
и если все источники сосредоточены в области z < zQ, то i-я соб-

386
Гл. 7. Электромагн. поля в одноосных анизотропных средах
Здесь а обозначает либо е, либо fx. Выражения (Па) и A16)
справедливы для любой точки г, в которой нет источника [т. е.
где и,- (г) = it (г) = 0]. Нетрудно убедиться, что потенциальная
функция для ?-волн /'(г) в любой свободной от источников точ-
точке г удовлетворяет волновому уравнению [гл. 2, § 3, формула
D4)]
7'(г)== 0,
A2а)
026)
а потенциальная функция для Я-волн V"(r) — уравнению
На идеально проводящей боковой поверхности s функции /' и
V" удовлетворяют следующим граничным условиям [гл. 2, § 3,
формулы C6а) и C7а)]:
/'(г)-0,
= 0 на
A2г)
в. Тензорная функция Грина
Общий случай
В случае волноводной области, заполненной одноосной ани-
анизотропной средой, поле в которой определяется уравнением A),
выражения для тензорных функций Грина выводятся так же, как
были выведены формулы D0) из гл. 2, § 3. Пусть Yt(z, z') и
T\{z,z') — напряжение и ток, возбуждаемые в точке z генера-
генератором напряжения с единичной амплитудой Vi(z') = —1, распо-
расположенным в точке z', a Z"(г, z') и T[{z, z') — напряжение и ток,
возбуждаемые в точке г генератором тока с единичной амплиту-
амплитудой ii(z) = —1, расположенным в точке z' (фиг. 106). Тогда ток
?-волны l\{z, z') и напряжение Я-волны V"(z, z'), обусловлен-
обусловленные наличием одновременно источников Vi(z') и ij(z'), даются
формулами A9) и B0) из гл. 2, § 3, с заменой величин е и ц ве-
величинами et(z') и щ(г'), а также с заменой /->—i, соответ-
соответствующей временной зависимости вида ехр (—io)t). Вместо вы-
выражения C9) из гл. 2, § 3,теперь получим
/'(г, г') = - L[9d (г, г')-М" - 1—1^-%Гй (г, г') • Р, A3а)
V" (г, г') = ЦЩ (г, г') • jo - -^-^ Qp« (г, г') • М°, A36)
§ 2. Вычисление поля методами теории цепей
387
где S?d и 9"'d — скалярные функции, разложение которых по
собственным функциям имеет следующий вид:
^-У;(г,г/)Ф((Р)Ф;(РО. A3в)
A3r)
9>"d (r, r') = У -L- Zf (г, г') V, (p)
i k"
Штрих у операторов L' и Q^ [формула (Ив)] означает, что все
переменные заменяются их значениями со штрихами. При выводе
выражений A3а) и A36) предполагалось, что операции диффе-
дифференцирования и суммирования можно менять местами, в связи
с чем и появились множители \/k2ti под знаком суммы в выраже-
выражениях для 9"d и 9"d. Поэтому сюда полностью относится заме-
замечание, сделанное по поводу выражения B4) из гл. 2, § 3.
Тензорные функции Грина [гл. 2, § 3, формулы B6)] оказы-
оказываются такими:
*(•¦• r'>=-i^ki^V) ^(r> f/)+L'L'^'(r' г'}'A4а)
V (г, г') =
(г, г') -
91 (г,
A46)
[9''d(r,r')-Ltl^^(r,r% A4в)
^ С, О = L, ^^ 9, (г, г') + ^^ Ц9"й (г, г'). A4г)
Здесь 9d{T,r') = 9d{Tr,T) и ^(г, г') = 9"d (г', г), так что тен-
тензорные функции удовлетворяют обычным соотношениям взаим-
взаимности [гл. 2, § 3, формула B8)]. Это оказывается следствием
симметрии тензоров е = е и ji = ц, характеризующих среду
[формула A); гл. 1, § 5, п. «6»]. В силу уравнений Gа) и G6)
тензорные функции Грина удовлетворяют дифференциальным
уравнениям второго порядка
\D\ -f <2 (z)] У; (г, г') = icoe, (г') б (г - г'), A5а)
[D* +^72 (г)] Z- (г, г') = to^i, (г') б (г - г'), A56)
где D2a — дифференциальный оператор A26), в котором част-
частные производные заменены полными производными. На основа-
основании формул A3в) и A Зг) данного параграфа, а также формулы
13*

390
Гл. 7. Электромагн. поля в одноосных анизотропных средах
Функция Грина для анизотропной среды G' связана с Gi сле-
следующим соотношением [заметим, что б (ах) = 6(х)/|а|]:
О'(Р, г;
-Г-z'l. B4)
Граничные условия для функции G^ следуют из условий A9)
и B0) для функции G'. Даже если отношение е</е2 не есть поло-
положительная действительная величина, то и в этом случае можно
выразить функцию G' через функцию G? для изотропной сре-
среды, если получаемая функция может быть аналитически про-
продолжена в соответствующую область комплексных значений
е«/ег.
Относительно функции G" [формула A76)] можно сделать
аналогичные выводы дуального характера.
Изотропная среда
В случае изотропной среды, когда et(z) = ez(z) == e(z),
\it(z)— \iz(z)= \i(z), оператор Qa [формула (Ив)] сводится
к произведению V X V X zo и результаты полностью совпадают
с полученными в гл. 2, § 3, п. «г».
§ 3. ИСТОЧНИКИ В НЕОГРАНИЧЕННОЙ СРЕДЕ
Применим теперь результаты, полученные в § 2 при решении
задач об излучении в неограниченной однородной одноосной
анизотропной среде, описываемой тензорной диэлектрической
проницаемостью е и скалярной магнитной проницаемостью \iQ:
1 О О'
О 1 0 |, ц = 1цо,
О 0 е.
A)
где 1 —единичный тензор, \t = 1 — zozo— тензор в поперечной
по отношению к оптической оси (оси г) области, z0 — единич-
единичный вектор вдоль оси z, е0 и цо — диэлектрическая и магнитная
проницаемости свободного пространства. Поскольку поле Н-
волны в рассматриваемой среде такое же, как в свободном про-
пространстве, а поле f-волны можно найти из решения для свобод-
свободного пространства путем изменения масштаба вдоль координат-
координатных осей (§ 2), поля и потенциалы в анизотропной среде рас-
рассматриваемого вида могут быть написаны непосредственно на
основании решения для изотропной среды, полученного в гл, 5,
§ 3. Источники в неограниченной среде
391
§ 4. Поэтому основное внимание в данном параграфе уделяется
интерпретации решения, получаемого путем изменения масшта-
масштаба, и выявлению тех свойств излучения, которые характерны
именно для анизотропной среды. При этом мы будем пользо-
пользоваться методом графического построения поверхности волновых
векторов и лучей для обобщения найденных характеристик из-
излучения в одноосной среде на анизотропные среды более общего
вида.
При е > 0 поверхность волновых векторов представляет со-
собой эллипсоид, но она имеет много общего со сферой, описы-
описывающей изотропную среду. Процесс распространения волн в
этом случае можно анализировать путем непрерывного перехода
от изотропной к анизотропной среде. При е < 0, когда поверх-
поверхность волновых векторов незамкнута и возможно распростране-
распространение волн с произвольно большими поперечными и продольными
волновыми числами, это уже недопустимо. Дифференциальные
уравнения в частных производных, описывающие распростране-
распространение волн в случае незамкнутых поверхностей волновых векто-
векторов, относятся к классу гиперболических, и, следовательно, мо-
могут существовать разрывы полей и особенности на «характери-
«характеристических конусах» (границе тени), сходные с особенностями во
временном представлении импульсно-возбуждаемых полей в изо-
изотропной среде. В случае точечных и линейных источников осо-
особенности на границе тени столь сильные, что полная мощность
излучения становится бесконечной (это явление называется в
литературе катастрофой бесконечности). Бесконечная мощность
излучения указывает на то, что холодную плазму без потерь не
всегда можно рассматривать как диэлектрик, характеризуемый
тензорами A), но представляет интерес исследовать причину
появления бесконечности и способ ее устранения. Это подробно
делается в пп. «а» и «д».
Сначала в п. «а» рассматривается излучение элемента тока,
меняющегося во времени по гармоническому закону и ориенти-
ориентированного вдоль оптической оси. После анализа решения в
замкнутой форме, полученного из решения для свободного про-
пространства путем изменения масштаба вдоль координатных осей,
рассматривается решение в виде интегрального разложения, ко-
которое пригодно при более общих условиях, когда результаты не
удается выразить в замкнутой форме. Аналитические свойства
подынтегрального выражения, в частности седловые точки и
особенности, сопоставляются с характерными особенностями ре-
решения в замкнутой форме, что позволяет лучше понять меха-
механизм излучения. В пп. «б», «в» и «д» рассматриваются другие
источники, меняющиеся во времени по гармоническому закону,
а в п. «г» исследуется излучение равномерно движущегося за-
заряда.

394
Гл. 7. Электромагн. поля в одноосных анизотропных средах
излучения в анизотропных средах. При е > 0 эффект анизотро-
анизотропии приводит в основном к искажению (без принципиальных
изменений) поверхности равных фаз, диаграммы излучения и
т. д., относящихся к изотропной среде. Отрицательные же зна-
значения е приводят к новым аномальным свойствам. Это следует
уже из вида дифференциального уравнения в частных производ-
производных (За), которое является эллиптическим при е>0 и гипер-
гиперболическим при е ¦< 0, что приводит в последнем случае к по-
появлению поверхностей с особенностями (характеристик). В ре-
результате оказывается, что теперь уже недостаточно определить
дальнюю зону условием kor ^> 1, как в случае изотропной среды,
а вместо этого необходимо условие kQrN(Q) ^> 1. При е>0
дальняя зона существует на достаточно больших расстояниях
от источника, и поле излучения, определяемое формулами D),
в которых выражения в скобках следует приравнять единице,
поперечно относительно г и убывает как 1/г. При е < 0 это не
так, поскольку величина N@) обращается в нуль на конусе
9С = arctg |e|~1/2, на котором все составляющие поля обращают-
обращаются в бесконечность при всех значениях г. Еще хуже то, что со-
соответствующая плотность потока мощности Eа) ведет себя
вблизи 0С как @,. —0)-s/*. Эта особенность — неинтегрируемая, и
в результате появляется расходимость F6). Если ввести поня-
понятие сопротивления излучения R = Р/\1\2, то получается, что
R = оо при е < 0. То же самое мы имеем, когда речь идет о
диполе в более общем случае гиротропной среды с незамкнутой
поверхностью показателя преломления (гиперболоид вращения;
гл. 8, § 3). Но нужно иметь в виду, что бесконечности исчезают,
если ввести потери (е — комплексное), и что характеризовать
плазму простым тензором A), где е=1—со2,/©2, допустимо
лишь в приближении малых амплитуд волн (малых сигналов),
которое, очевидно, нарушается вблизи 0,.. Указанные особенно-
особенности у полей не так уж страшны, поскольку даже в рамках рас-
рассматриваемой здесь идеализированной модели среды они исче-
исчезают, если считать источник распределенным и описываемым
более плавной функцией, чем б (г — г'), которая характерна для
.элементарного диполя Герца [8, 9]. Данный вопрос рассматри-
рассматривается далее в п. «д».
Из выражения Eа) видно, что поток энергии излучения на-
направлен по радиусу от источника, чем подтверждается сказанное
в гл. 1, § 6, о переносе энергии вдоль лучей. Распространяющие-
Распространяющиеся лучи существуют лишь в освещенной области, где -V(9) > 0,
а в область тени WF) = i\N (В)\, где поле затухает, никакой
энергии не поступает. Освещенная область, где |tg 8| < tg 9С =
= (е|-'/г, и область тени, где |tg 61 > tg 6С, показаны на
фиг. 107,6. Из-за анизотропии лучи не совпадают с нормалями
к поверхностям равной фазы, определяющимся условием
§ 3. Источники в неограниченной среде
395
rN(Q) — const или
где г = г cos 0, р = г sin 0, В — положительная постоянная.
Очевидно, что такие поверхности представляют собой эллип-
z
Волновой вектор к
Луч Луч
0<Е<Г
а
Луч
Волновой вектор к
t<0
0<е<1
е<0
Фиг. 108. Поверхности равных фаз и поверхности волновых векторов.
а — поверхности равной фазы, волновые векторы н лучн; 6 — поверхности волновых векто-
векторов 6С = arctg I e|-'/a.
соиды при е>0 и гиперболоиды при е < 0 (фиг. 108, а). Срав-
Сравнив эти поверхности с поверхностями волновых векторов, изо-
изображенными на фиг. 108, б, можно сразу сделать ряд выводов
относительно поля излучения (гл. 1, § 6). Например, на основа-

398
Гл. 7. Электромагн. поля в одноосных анизотропных средах
абсолютно, а условно. Поскольку вычисление электромагнитных
полей требует повторного дифференцирования функции G', же-
желательно перейти к представлению, которое обладало бы экспо-
экспоненциальной сходимостью при |—¦ оо. Очевидно, что для этого
можно деформировать контур интегрирования в комплексной
плоскости. Если разрезы проведены вдоль линий Re x = О
,пнс
1ка\ДГ\
Фиг. 109. Путь наибыстрейшего спуска (ПНС) в комплексной плоскости ?.
а —при |tg 6| < tg 6fi = (освещенная область); б—при |tg в I > tg вс (область тени)
(фиг. 109), то Re х > 0 на всем верхнем листе двулистной по-
поверхности {•. Таким образом, при | —¦ оо мы имеем x~±?,Vlel>
Reg«с 0, так что в правой полуплоскости экспоненциальная
зависимость имеет вид ехр п|з, где я|) = |р + к | z — z' | ~ g (p ~f-
+ I z — z'\ / Vl e | ), а в левой полуплоскости я|) ~ \ (р — | z —
— z' |/Vl e I )• Итак, 1птф>0, когда
Im?>0 при 11.1 —* оо и Re?>0, A0а)
Гт?>0, |tg9|>tg8e
Im?<0, |tg9|<tgee
где G — угол наблюдения, который входит в выражения D), а
8с — предельный угол, показанный на фиг. 102,6. Смещение ко-
конечных точек пути интегрирования с действительной оси %, со-
согласно этим условиям, обеспечивает экспоненциальную сходи-
сходимость интеграла (8) при arg e = я. Различие в условиях сходи-
сходимости A06) для случаев |tg8| ^ tg 9C (т. е. для точек наблю-
наблюдения в освещенной области и области тени) указывает на важ-
важную роль граничного конуса |tg6| = tg Gc- Для точек наблюде-
наблюдепри
Re?<0, A06)
§ 3. Источники в неограниченной среде
399
ния, лежащих на границе тени, мы имеем i|) ~ 0, и подынте-
подынтегральное выражение ведет себя как ?~1/2, что приводит к расхо-
расходимости интеграла.
Асимптотическую оценку интеграла (8) можно произвести
точно так же, как и в гл. 5, § 3, с тем исключением, что в дан-
данном случае более предпочтительно оставаться в комплексной
плоскости \, чтобы проще было находить седловые точки путем
анализа поверхности показателя преломления. При больших
значениях аргумента функции Ханкеля заменяются их асимпто-
асимптотическими выражениями [гл. 5, § 3, формула A36)], так что в
результате экспоненциальная зависимость в подынтегральном
выражении имеет вид ехр (п|>) = ехр [ir(l sin 8 -f «|cos 0|)].
При больших значениях г основной вклад дает окрестность сед-
ловых точек ?„, которые находятся путем решения уравнения
[I sin 8 -f x.|cos 8|] = 0, а именно
А^Ш is 1 tgei.
d\
ex F,)
(lla)
Это уравнение легко решается относительно
6 ?ов sin 8 . > fe0 1 cos 8|
jVF)
(9)
A16)
где N(Q) — функция, определенная так, что N (в) = — argx(gs).
При kt = I уравнение (Па) совпадает с уравнением G) из § 1
и потому допускает простую графическую интерпретацию: дей-
действительные значения |.„ x(ls), которыми характеризуется рас-
распространяющаяся волна, соответствуют точкам на кривой зави-
зависимости k от 9, в которых нормаль наклонена в сторону поло-
положительного направления оси z при данном угле 8 (фиг. 108).
Поскольку нормаль к поверхности совпадает с направлением
лучей, из условия для седловых точек следует, что лучи идут от
источника к точке наблюдения радиально. Можно, наоборот, ис-
использовать кривую зависимости k от 8 для нахождения седло-
седловых точек: седловые точки |s отвечают тем точкам на поверх-
поверхности, в которых нормаль v направлена под углом 9 и k-v^0.
Как указано в гл. 1, § 6, это общее требование остается в силе
и в случае сред более общего вида, когда х(%) не является про-
простой функцией, указанной в формуле (8).
Седловая точка {-, расположена на положительной действи-
действительной оси, когда е— положительная величина, на отрицатель-
отрицательной действительной оси, когда е < 0 и N (в) > 0, и в верхней
полуплоскости комплексной плоскости |, когда е < 0 и N(8) —
положительная мнимая величина. Два первых условия можно
также получить в результате анализа фиг. 104, а и б. Более де-
детальное исследование выражения A16) для ?s в среде с неболь-
небольшим поглощением @<Ime^l) показывает, что седловые

402
Гл. 7. Электромагн. поля в одноосных анизотропных средах
асимптотическая оценка с точностью до членов первого порядка
такова:
-V I ЛГ(в) |
GHr'r/)~ 4nH.VF)|- kQr\N(Q)\>\. A5)
Это выражение является аналитическим продолжением функции
A4) в область положительных мнимых значений N@). Прове-
Проведенная асимптотическая оценка подтверждает правильность сде-
сделанного выше разделения на освещенную область и область тени
при е < 0, но не дает информации о поведении поля вблизи гра-
границы области тени.
При наличии потерь, когда Im e > 0, седловая точка распо-
расположена в верхней полуплоскости |, так что получающиеся асим-
асимптотические выражения совпадают с выражением A4) при
lmN(Q) >0.
Монохроматический магнитный ток с плотностью
М(Г, 1) =
е~шг0. A6)
В силу формулы A) данного параграфа и уравнения A76)
из § 2 соответствующая скалярная функция Грина для Я-волн
G''(r, г') совпадает с функцией Грина для свободного простран-
пространства [формула C) при jV(G) = 1] и выраженные через нее поля
также совпадают с полями в свободном пространстве [гл. 5,
§ 4, формула A6) и далее].
б. Диполь, ориентированный перпендикулярно
оптической оси
Монохроматический электрический ток с плотностью
7 (г, /) = /Й(г)е-'ш'х0. A7)
Диполь, ориентированный перпендикулярно оптической оси
(оси z), возбуждает в анизотропной среде, описываемой тензо-
тензором A), Е- и Я-волны, поля которых по формулам A4) из § 2
выражаются через скалярные потенциальные функции ?^(г, г')
и &"j(r, г'), удовлетворяющие дифференциальным уравне-
уравнениям [§ 2, формулы A6) и A7)]
r')=efl (r - r°' - r =
(COEq
= 6(r-r'),
9>" = "
f /мцо
A8a)
A86)
§ 3. Источники в неограниченной среде
403
и условию излучения на бесконечности, Потенциальная функ-
функция для //-волн совпадает с функцией 9"i{r, r') для неограничен-
неограниченной изотропной среды с волновым числом k = k0 [гл. 5, § 4, фор-
формула A8)]. Потенциальную функцию для ?-волн при положи-
положительных действительных е можно найти, изменив в выражении
для функции 3Pj масштаб вдоль координатной оси, согласно ра-
равенству ? = ze~'la, поскольку из уравнения
( = Ve б (р - р') б (С - ?0
следует, что
; P', ^
A9)
B0)
при условии, что функция 9>f вычислена для среды с волновым
числом fe = fe0Ve- Как и в п. «а», путем аналитического про-
продолжения можно расширить область применимости полученного
результата так, чтобы она охватывала интервал 0 < arg e ^ я.
Электромагнитные поля можно вычислять непосредственно
по формулам гл. 5, § 4, для изотропной среды. Составляющие
поля Я-волиы — такие же, как в гл. 5, § 4, п. «б», а составляю-
составляющие поля ?-волны находятся путем указанного выше преобра-
преобразования масштаба в выражениях для поля в изотропной среде
[7]. Подробности вычислений мы опускаем, оставляя читателю
возможность поупражняться самому.
Монохроматический магнитный ток с плотностью
М(г, t) =
o—i(i>t v /О 1 \
По формулам A4) из § 2 поля выражаются через скалярные
функции 9"', и 9"'!, которые определяются уравнениями A8).
в. Линейные токи с линейным изменением фазы,
ориентированные вдоль оптической оси
Монохроматический электрический ток с плотностью
J (г, t) = /e'«fi (р) е~ шг0. B2)
Поскольку в этом случае ток направлен вдоль оптической
оси (фиг. ПО), электромагнитное поле можно выразить через
двумерную скалярную функцию Грина для Е-волн (§ 2), удо-
удовлетворяющую уравнению
, 2 2 д2
V )> t QZ2 •
B3)

406
Гл. 7. Влектромагн. поля в одноосных анизотропных средах
К тем же выводам приводит и анализ поверхности волновых
векторов. Вследствие трансляционной инвариантности физиче-
физической картины в направлении оси z продольная зависимость из-
излучаемых полей (на больших расстояниях от оси — локально
плоских волн) имеет вид ехр(г'аг), обусловленный распределе-
распределением тока источника. Поэтому роль продольного волнового чис-
числа х играет величина а и, как явствует из фиг. 111, распростра-
распространение волн (т. е. пересечение плоскости х = ос с поверхностью
Излучения нет
I Л
к0 I Излучения нет
а б
Фиг. 111. Интерпретация результатов на основе анализа поверхности волно-
волновых векторов,
а —при I > 8 > 0; б —при е < 0 (9c = arctg | 8 |'/г)
волновых векторов) возможно при а < ko, если е > 0, и при
а > ko, если е < 0. Очевидно, что, когда 5Р > 0 (в соответствии
с условием излучения), для поперечного волнового числа
имеем: kp > 0 при е > 0 и kp < 0 при е < 0, что согласуется
с выводом, сделанным ранее. Если поле в дальней зоне считать
локально плоской волной, то kp можно рассматривать как вол-
волновое число при прямолинейном распространении, что придает
физический смысл отрицательным значениям kp. Поскольку по-
поверхность волновых векторов симметрична относительно оси ис-
источника, лучи, направленные вдоль вектора S и определяющие-
определяющиеся пересечением с плоскостью х — а, направлены под углом
0 = arctg[ |х|/ад/| е |] к оптической оси и образуют правиль-
правильный круговой конус (фиг. 110). Такая симметрия отсутствует,
когда ось источника не совпадает с оптической осью.
§ 3. Источники в неограниченной среде
407
Монохроматический магнитный ток с плотностью
М(г, 0 =
-'^z0. B9)
Такой источник возбуждает лишь //-волны, и все поля такие
же, как в свободном пространстве (гл. 5, § 4, п. «г»).
г. Излучение заряда, движущегося прямолинейно
и равномерно вдоль оптической оси
Плотность тока источника дается в этом случае выражением
i(r,t) = qv6(z-vtN(p)z0, C0)
где q — заряд, а v = const есть скорость частицы (фиг. 112).
и
Фиг. 112. Точечный заряд, движущийся вдоль оптической оси.
Параметры среды: е=е0 (l< + zozoe), Ц=1ц0
Исходя из интеграла Фурье
Q(r, «)=
найдем фурье-образ плотности тока
J(r, oa) =
C1а)
j, C16)
который совпадает с плотностью тока монохроматического ис-
источника B2), если положить / = q, a = со/о. При такой замене
поля определяются формулами B5), а спектральная плотность
радиального потока мощности излучения дается выражением
B6а) и имеет вид
C2)
где р = vie, k0 = со/с, ас — скорость света в свободном про-
пространстве. Поскольку Р < 1, выполняется соотношение k0 <.
<Ca(=&o/P) и излучение возможно лишь при отрицательных

410
Гл. 7. Электромагн. поля в одноосных анизотропных средах
Асимптотические выражения для составляющих поля находятся
путем замены в выражениях C8) функций Ханкеля их прибли-
приближенными значениями при больших значениях аргумента
Н**п (да) ~ B/лда)'/г ехр [/ (да — л/4 — «л/2)].
Замечания
Формулы C8), в которых поля выражаются через функцию
Грина, следуют непосредственно из уравнений Максвелла при
условии д/дх г= 0. Но их можно получить иначе — упрощая фор-
формулы A4), A6) и A7) из § 2 [см. также аналогичное выражение
для изотропной среды — гл. 5, § 4, формула C1)]. При выводе
формулы C9) был использован вронскиан цилиндрических
функций, а также справедливое при мнимых N равенство
Н{У (/да) = B/лг) ехр (— vnf/2) Kv (да), где Kv (w) — модифициро-
модифицированная функция Ханкеля, действительная при действительных
v и w. Из формулы C9а) видно, что при е > 0 излучение ис-
источника попадает во все точки пространства, а при е < 0 имеет-
имеется область тени, где |tg^| > |e|-!/s, и поле быстро затухает
(N — мнимая величина). На границе области тени, где |tg^| =
= igфc = |е|-'/2 и N = 0, поля и плотность потока мощности
излучения бесконечны. Расходимости слабее, чем в случае то-
точечного заряда [формулы Eа) и C9а)], но достаточно сильные,
чтобы обратились в бесконечность полная мощность излучения
и, следовательно, проводимость излучения S/|V|2.
Все сказанное можно объяснить также, рассматривая по-
поверхность волновых векторов. Поскольку поля не зависят от ко-
координаты х, волновые числа | (или kx) соответствующих пло-
плоских волн в дальней зоне равны нулю. В таком случае все опре-
определяется кривыми пересечения поверхности волновых векторов
с плоскостью kx = 0, которые совпадают с кривыми на
фиг. 108, б, если kp считать волновым числом ky = т). Поскольку
нормали к поверхности волновых векторов при kx =¦ 0 лежат в
плоскостях цк, лучи (вдоль которых распространяется мощность
излучения) перпендикулярны оси х и радиальны относительно
источника [это следует из формулы C9)]. В связи с этим остает-
остается з силе все сказанное по поводу фиг. 108, если произвести за-
замену kp —> т), р -*¦ у.
Устранение бесконечного значения мощности излучения
Выше было показано, что поля, излучаемые точечным или
линейным источником в одноосной анизотропной среде, для ко-
которой поверхность волновых векторов незамкнута, обращаются
в бесконечность вдоль границы тени 0С или фс = arctg |e|-'/2 и
что бесконечной оказывается также полная мощность излуче-
§ 3, Источники в неограниченной среде
411
ния. Хотя мы уже отмечали в п. «а», что эти особенности про-
пропадают при правильном учете физических свойств реальной
среды, покажем теперь, что в случае распределенных источни-
источников поля и мощность излучения оказываются конечными и в
одноосной среде без потерь [6, 8, 9]. Ниже все вычисления про-
проводятся для двумерного случая, но окончательные выводы спра-
справедливы и для трехмерных объектов.
Из самых общих соображений можно сказать, что в случае
распределенного источника особенности полей точечного источ-
источника будут сглажены, поскольку из-за наличия соседних эле-
элементов в распределенном источнике граница тени размывается.
Это видно из сравнения результатов для точечного [формулы
D) и E)] и линейного [формулы C8) и C9)] источников: в слу-
случае линейного источника особенность поля слабее, чем в случае
точечного.
Для удобства перейдем к интегральному представлению
функции Gf, аналогичному представлению (8). Соответствую-
Соответствующий базис образуют плоские волны Фц(у) = Bл)~'/г ехр(щу),
—оо < т) < оо; на основании формулы A8а) из § 2 получаем
для магнитного поля следующее выражение:
= С J
gH\y+iv. | z-z'|
dr\, х(л)-
D1)
где С — множитель, в который входят различные постоянные.
Сходимость этого интеграла точно такая же, как и интеграла
(8), так что все сказанное выше остается в силе. Если источ-
источник распределен в плоскости z = z', причем его амплитуда рав-
равна f(y'), то соответствующее ему магнитное поле имеет вид
Я = |
elr\y+iy. \z-z'\
F{y\)dx\,
где F {у\) — фурье-образ функции f (у'):
D2)
D2а)
а интеграл берется по области, занятой источником. В случае
линейного источника мы имеем f(y') = б (у'), F(r\) = 1, так что
снова получается формула D1). В случае же более плавно рас-
распределенного источника функция F(r\) стремится к нулю при
г)-»оо и тем самым уменьшается вклад удаленных областей в
интеграл D2). Если интеграл сходится абсолютно, несмотря на
то что у, принимает во всей области интегрирования лишь дей-
действительные значения, то отмеченная ранее расходимость полей
при ф^-фс исчезает. Если функция Г(т).,), где t]s — седловая

414 Гл. 7. Электромагн. поля в одноосных анизотропных средах
где учтено, что djdy = —д/ду', д/dz = —д/dz', поскольку аргу-
аргументами функции Gf являются разности у — у' и г — z'. Опе-
Оператор, стоящий в скобках в выражении E3), можно записать
в виде v-V = v(ctydv), где v — вектор с составляющими \у =
= A/е) sin a, vz = —cos а. Следовательно,
v • (y0cosa -\- zosin a) = A/е — 1) sin a cos a = vcosP,
v = У cos2 a + (l/e2)sin2a, E4)
где p — угол между вектором v и вектором плотности тока ис-
источника J.
В среде без потерь (е — действительная величина) р — дей-
действительный угол, и на основании формулы C7) решение E3)
Эквивалентные
линейные
магнитные токи
Фиг. 114. Линейный электрический диполь.
»=eo(i( + zoz0e), ц=|ао1.
можно рассматривать как поле двух близко расположенных,
противоположно направленных магнитных токов, т. е. линейного
магнитного диполя, параллельному вектору v. В случае изо-
изотропной среды с е — 1 векторы v и J взаимно перпендикулярны
и формула E3) переходит в формулу C9а) из гл. 5, § 4. В од-
одноосной среде мы имеем v-J —0 только тогда, когда электри-
электрический диполь ориентирован параллельно или перпендикулярно.
оптической оси (а = 0, я/2). Источник рассмотренного типа ин-
индуцируется, например, когда на узкую проводящую полоску,
расположенную при р = р' и ориентированную под углом а, па-
падает поле, в котором Н = Нх.
Высоконаправленный распределенный источник с плотностью
i cos~eiaJ-6(v)e~i<s>tx(l при —а^и^а, E5а)
М (г, /) = |
[ 0
в остальной области, E56)
§ 3. Источники в неограниченной среде
415
где и и v — координаты, указанные на фиг. 115. Такой вид функ-
функции М соответствует фазированной антенной решетке с убы-
убывающим к краям распределением амплитуды, достаточно глад-
гладким, чтобы обеспечивалось отсутствие особенностей на границе
области тени, имеющих место в случае уединенного линейного
источника при е< 0 (см. выше в данном параграфе). Когда
размеры антенной решетки намного больше длины волны
Распределенный
источник
Фиг. 115. Высоконаправленный распределенный источник магнитного тока.
)
(koa ^ 1), диаграмма излучения оказывается высоконаправлен-
высоконаправленной. Такие источники имеют важное значение в антенной тех-
технике и осуществляются либо в виде системы близко располо-
расположенных отдельных элементов, либо в виде системы с непрерыв-
непрерывным распределением, как предполагается здесь.
Диаграмма направленности такой антенны находится путем
интегрирования поля C8а) в дальней зоне
aRN (Ф)
V ;
по всей области, занятой источником. Здесь R = -у/ у
ф
д R у/ у2 -\- z2 —> оо
ф — угол между R и положительным направлением оси z,
Uo — единичный вектор вдоль оси и, к — волновой вектор, со-
соответствующий лучу, распространяющемуся под углом ф. В ре-
результате для магнитного поля НТ получаем выражение
HT~H\U=OF, E7)
где F — коэффициент решетки, который имеет следующий вид:
t Пп (я/2)» - [a (g - k ¦ но)]я •
Поскольку произведение k-Uoa = (zox -\-уог\)-Иоа пропорциональ-
пропорционально величине 1/jV(^>), отношение FJ^N (ф) стремится к нулю при

418
Гл. 7. Электромагн поля в одноосных анизотропных средах
приводит лишь к слабому смещению главных максимумов от-
относительно направления лучей S' и S". Из-за анизотропии среды
диаграмма направленности асимметрична относительно оси ис-
источника и, и лепесток, отвечающий лучу S", оказывается на-
направленным назад, хотя фаза в антенной решетке возрастает в
сторону положительных и. Путем графического построения, по-
показанного на фиг. 116, можно решать также обратную задачу:
находить те значения величины ? и направления вектора и0,
которые соответствовали бы заданному максимуму диаграммы
направленности.
Изложенный выше метод определения положения макси-
максимума диаграммы высоконаправленного источника в анизотроп-
анизотропной среде пригоден и в том случае, когда поверхность волно-
волновых векторов имеет более сложную форму или дополнительные
ветви. Суть метода в том, что определяют направление лучей,
для которых проекция волновой нормали на ось антенны совпа-
совпадает с волновым числом заданного источника.
Для иллюстрации на фиг. 117 представлен численный при-
пример, соответствующий частному случаю, когда Uo = Zo, e = —1,
а = 4Х0 и t/k0 принимает значения 1, У 1,25, У2 и 2. Сравне-
Сравнение истинного распределения магнитного поля, рассчитанного по
формуле E7), с положением максимумов, определенным на ос-
основе условия E9), показывает хорошее совпадение в случае до-
достаточно узких лепестков.
§ 4. ДИФРАКЦИЯ НА ПРЕПЯТСТВИЯХ,
НАХОДЯЩИХСЯ В НЕОГРАНИЧЕННОЙ
ОДНОРОДНОЙ ПЛАЗМЕ
Расчет влияния возмущающих структур на излучение рас-
распределенных источников существенно усложняется, если окру-
окружающая среда анизотропна. Правда, в некоторых случаях воз-
возможны упрощения: так, для одноосной анизотропной среды мож-
можно выделить два специальных класса дифракционных задач,
которые путем изменения масштаба вдоль координатных осей
легко сводятся к эквивалентным задачам для изотропной среды.
а. Оптическая ось параллельна образующим
идеально проводящего цилиндра
К первому из указанных классов задач относятся задачи о
дифракции поля произвольного источника на идеально прово-
проводящем цилиндре с произвольной формой поперечного сечения
(например, круговой, эллиптический, параболический цилиндры,
клин, полуплоскость, полоска и т. д.), образующие которого
§ 4. Дифракция на препятствиях в плазме
419
параллельны оптической оси среды. Такой цилиндрический рас-
сеиватель представляет собой граничную поверхность однород-
однородной волноводной области, а соответствующие задачи об излуче-
излучении или дифракции решаются методами, изложенными в § 2.
По формуле B4) из § 2 решение в этом случае прямо выра-
выражается через решение для изотропной среды, что позволяет ре-
решить целый класс задач о дифракции в одноосной анизотропной
среде путем простого изменения масштаба вдоль оси г. Анализ
таких решений в пределе коротких и длинных волн, позволяю-
позволяющий выяснить некоторые дифракционные эффекты, характерные
для анизотропной среды, мы оставляем читателю в качестве
упражнения. Напомним лишь, что поле //-волн идентично с по-
полем в изотропной среде и изменение масштаба необходимо
только в случае ?-волн.
б. Оптическая ось перпендикулярна оси идеально
проводящего цилиндра
Формулировка краевой задачи и сведение ее к более простой
Ко второму классу задач, допускающих сведение к эквива-
эквивалентной задаче для изотропной среды, относятся задачи о ци-
цилиндрических рассеивателях произвольного сечения, ориенти-
ориентированных перпендикулярно оптической оси среды, при условии
что распределение тока источника не изменяется вдоль оси ци-
цилиндра (ось г). В этом случае решение позволяет учесть эф-
эффекты, обусловленные плавным изменением ориентации опти-
оптической оси относительно граничной поверхности препятствия,
тогда как в задачах п. «а» оптическая ось всегда должна быть
параллельной образующим цилиндра.
Пусть ось цилиндра параллельна оси х и источником воз-
возбуждения служит магнитный ток с плотностью
М(г, 0 = ™(Р-Р')е-'т'хо, 9 = (У, г) A)
(линейный электрический ток возбуждает только //-волны в
направлении, перпендикулярном оси х; на них анизотропия од-
одноосной среды не оказывает никакого влияния). Среду будем
характеризовать проницаемостями
В отсутствие рассеивателя отличны от нуля составляющие
Нх == //, Еу, Е2. Будем считать, что на поверхности препятствия,
уравнение которой напишем в виде А (у, z) = О, выполняются
импедансные граничные условия
?кас = ZH, (За)
14*

422
Гл. 7. Электромагн. поля в одноосных анизотропных средах
Как явствует из формул Fг) и G6), во вспомогательной за-
задаче для изотропной среды мы имеем, вообще говоря, другую
форму поверхности препятствия') н другой поверхностный им-
импеданс. Форма препятствия изменяется согласно преобразова-
преобразованию E), так что, например, круговой цилиндр радиусом а (т. е.
А = у2 + 22 — а2 = 0) преобразуется в эллиптический цилиндр
А = (у2/е) + z2 — а2 = 0, клин, образуемый двумя полуплоско-
полуплоскостями А\ = у — z ctg ai = 0, Л2 = у — z ctg аг = 0, z ^ 0, пре-
превращается в клин, образуемый полуплоскостями А\ = у —
— z ctg ipi = 0, А2 = у — z ctg ip2- = 0, г>0, ит.д. Постоянный
в пространстве yz поверхностный импеданс Z становится, вооб-
вообще говоря, поверхностным импедансом Z, зависящим от коор-
координат, поскольку а изменяется вдоль искривленного контура
препятствия А. Имеются только два исключения:
а) когда Z = 0; б) когда a — кусочно-постоянная функция на
поверхности А. (8)
Первое условие выполняется в случае идеально проводящей по-
поверхности в пространстве yz, и в этом случае 1 = 0 и в про-
пространстве yz. Второе условие выполняется, когда поверхность
препятствия состоит из плоских участков (например, бесконеч-
бесконечная плоскость, полуплоскость, клин, многоугольник). Все ска-
сказанное ранее справедливо, очевидно, лишь при действительных
положительных е, поскольку о геометрической эквивалентности
задач, схематически представленных фиг. 118, а и б, нельзя го-
говорить при наличии у величины -уе мнимой части. Но если
решение, найденное при положительных действительных е, мо-
можно аналитически продолжить в область 0 ^ arg e ^ я, то ре-
результат будет верен при всех е.
Применим теперь данный метод в различных конкретных
случаях, которые позволят выявить ряд дифракционных явле-
явлений, характерных для анизотропных сред.
в. Полупространство, ограниченное идеальным проводником
Рассмотрим линейный магнитный ток в точке @, z') в среде,
ограниченной бесконечной идеальной проводящей плоскостью,
наклоненной под углом а к плоскости 2 = 0 (фиг. 119, а). В си-
системе координат и, и, повернутой на угол а относительно си-
системы у, z, уравнение граничной плоскости имеет вид и = 0.
') Преобразование 2 = z/Ve (§ 2) оставляет форму цилиндрического
препятствия, ориентированного параллельно оси г, неизменной. В данном же
случае форма не остается инвариантной при изменении масштаба как вдоль
оси г, так и вдоль оси у, поскольку теперь образующие цилиндра перпендику-
перпендикулярны оси г.
§ 4. Дифракция на препятствиях в плазме
423
Вспомогательная задача в изотропном yz пространстве сидеаль-
сидеально проводящей плоскостью, наклоненной под углом г)) =
==arcctg(Ve ctg а), и при том же расположении источника лег-
легко решается методом изображений. Изображение расположено
в точке у' z'\
в точке у', z'\
z' = — z' cos
(S)
и для магнитного поля в полупространстве и > 0 получаем
выражение
Я (у, z; 0, z') = Ht {у, z; 0, z') + Ht [у, z; -^ , /), A0)
где Ht — решение для неограниченного пространства [§ 3, фор-
формула C8а)].
* У
а б
Фиг. 119. Полупространство, ограниченное идеальным проводником @ < е < 1).
а — реальная конфигурация; б — вспомогательная задача.
Представляет интерес положение изображения источника в
системе координат и, v, наиболее удобной для описания гранич-
граничной поверхности и = 0. По формулам E) и Fв) вычисляем по-
положение изображения источника (у1, z') в системе координат
yz:
, = 2
/sinacosa
, ? = i' = z
, sin2 a — е cos2 a
еЛ2 = sin2 a + е cos2a.
(П)
Соответствующая точка в системе координат uv находится сле-
следующим образом:
u' = 2'cosa — у' sin a, v' = у' cos a -f- z' sin a. A2)

426
Гл. 7. Электромагн. поля в одноосных анизотропных средах
Вклад поверхностной волны заслуживает более присталь-
пристального внимания. Если й и v — координатные оси, параллельная и
перпендикулярная поверхности в эквивалентной задаче об изо-
изотропной среде (фиг. 119,6), то магнитное поле Rs поверхност-
поверхностной волны имеет следующий вид [гл. 5, § 7, формула B1)]:
— 22й — ik0Zv),
A4)
где Im 2 < 0, Re 2 ~^> О и б ;=г 0. Это решение можно преобра-
преобразовать в решение для анизотропной среды, если вспомнить, что
й = # cos ip + z sin ip, и = 2 cos ip — у sin ip, и использовать со-
соотношение E). Окончательное выражение в координатах и, v
получается на основании соотношений у = v cos a — и sin a,
z = о sin а + и cos а и дает следующую функциональную зави-
зависимость поля #s поверхностной волны:
A5)
Hs =
где q и р — волновые числа вдоль осей ы и и:
q ~~ ~"""~ р""~"~~ ~~ ^о ~"^~~» Р ^^^ о 'v
о а л
-Z'2), Z' =
A5а)
Здесь величина е предполагается положительной, Z и А2 опре-
определены соотношениями G6) и A1). Такая связь между q и р
является прямым следствием дисперсионного уравнения E) из
§ 1, написанного в повернутой системе координат и, v [§ 5, фор-
формула E)]. Если поверхностный импеданс чисто реактивный, т.е.
Z' = —i'IZ'I, то поле, определяющееся обоими выражениями
A4) и A5), убывает при удалении от границы. Но в случае изо-
изотропной среды волновое число в перпендикулярном направле-
направлении й чисто мнимое, а в анизотропной среде оно комплексное.
Поэтому плоскости постоянной фазы в анизотропной среде на-
наклонены по отношению к оси и, направленной вдоль границы.
Если Hs — поле поверхностной волны, то последняя должна
переносить энергию вдоль оси v параллельно поверхности. По-
Поскольку
д . д д . д
ду
= cosa
dv
я„ ' a, sin а , -p-cosa (Ib)
ди
и Eu = Ezcosa —EyS'ma, Eo = Ez sin a + Ey cos a, на основа-
основании формул C8) из § 3 для электрического поля получим
(Ах ~дТ + ~Г ~Ш) н'
гше0
дТ + Г
А3 д
A7)
§ 4. Дифракция на препятствиях в плазме
427
где А2 и А3 — величины, определяющиеся соотношениями AГ
и A3), а
Л, = sin2a + — cos2a = — N2(a).
A7а)
Вычисление усредненного по времени вектора Умова — Пойн-
тинга для случая поверхностного импеданса Z' = —i\Z'\ приво-
приводит к выражениям
B = - Re
= 0,
A8а)
A86)
подтверждающим, что поле A5) имеет характерный для поверх-
поверхностной волны вид.
д. Клин и полуплоскость
Мы лишь кратко рассмотрим задачу о дифракции на идеаль-
идеально проводящем клине, которую можно, пользуясь формулами
F), свести к аналогичной задаче для изотропной среды, по-
подробно рассмотренной в гл. 6 [6, 10J. При этом можег быть ис-
использовано (в соответствующей области значений параметров)
любое из представлений, перечисленных в § 5. Если источник
или точка наблюдения расположены вблизи ребра клина, то
удобнее пользоваться быстро сходящимся рядом A3) из § 5.
Поле же в дальней зоне, возбуждаемое удаленным источником,
лучше вычислять по асимптотическим формулам A9) из § 5.
Приближенное выражение для поля в дальней зоне состоит
из трех слагаемых, каждое из которых допускает простую
геометрооптическую интерпретацию: а) поле в неограниченном
пространстве в отсутствие препятствия, б) отраженное поле, со-
соответствующее всем лучам, зеркально отраженным от плоско-
плоскостей клина (фиг. 82), и в) дифрагированное поле, имеющее
вид неоднородной цилиндрической волны (радиально расходя-
расходящиеся лучи), излучаемое ребром клина (фиг. 75). Столь про-
простая картина оказывается неадекватной вблизи границы геоме-
геометрической тени и границы области отраженных волн и должна
быть дополнена решением для переходной области (гл. 6)."
Если е > 0, то никаких трудностей при преобразовании этого
решения на случай анизотропной среды не возникает; при этом
угол клина изменяется в соответствии с тем, что было сказано
после формулы G), и при у'ф 0 меняется расположение ис-
источника. Получаемое в результате асимптотическое выражение
для поля содержит перечисленные выше слагаемые и допускает
такую же физическую интерпретацию. Первичное поле «а» опре-
определяется выражением C7) из § 3 и существует лишь в осве-

430
Гл. 7. Электромагн. поля в одноосных анизотропных средах
с единичной амплитудой на ребре, 1{ф,ф',фо) —функция угло-
углового распределения дифрагированного поля:
, / 1 \ 1 f 1 (Ф, Фо) Ь (Ф', Фо)
где
f2
е sin 0о sin 0 + cos 0O cos 0"|V2
N @O) Л' @) J '
e sin 0o sin 0 + cos 0o cos Ф
.V (Фо) Щф)
A96)
A9b)
и N (ф) = cos2 ф + е sin2 ф. В этих формулах, справедливых при
положительных и отрицательных значениях е, если Im N Гз= 0,
W&zH
i
W/
1
i
ii
же
у/ У
Л?= -0.333
Фиг. 122. Графики амплитудных функций ((ф,фг, <р0) прн
и различных е.
а —при е=1,0; б —при е—~ 0,333; в —прн е=-3,0.
^45°, 0„ = :
величины ф, ф' нф0 — это угловые координаты точки наблюдения,
источника и полуплоскости относительно оптической оси (ось z)
(фиг. 121). Вблизи области геометрической тени и границы отра-
отраженных лучей, где fo$, Фо)-* — Ы0'> 0о), можно перейти к мо-
§ 4. Дифракция на препятствиях в плазме
431
дифицированному представлению, основанному на интегралах
Френеля [гл. 6, § 5, формула B0)]. При е < 0 эта формула ока-
оказывается неприменимой вдоль границы тени А^ (ф'\ = 0 и N (ф \—
= 0 вследствие анизотропии среды.
Множители, заключенные в квадратные скобки в формуле
A9), имеют простой физический смысл: произведение fQ(p)
Фиг. 123. Различные волновые области в случае, когда полуплоскость нахо-
находится в области тени источника в среде с тензором е = е0 (\t + zozoe), e < 0.
Косой штриховкой отмечена область тени, где поле затухает, а точками —область, в кото-
которой распространяется только дифрагированное поле, штриховой линией показан затухаю-
затухающий луч.
описывает дифрагированное поле, обусловленное падающим по-
полем с единичной амплитудой на ребре, а произведение FQ(p')
дает отклонение напряженности падающего поля от единицы.
Из этого следует, что падающая плоская волна вида
ехр [—i{r\ijj + Хг^)], переносящая энергию в направлении, соот-
соответствующем углу ф', возбуждает дифрагированное на ребре
поле с напряженностью fQ(p). Влияние анизотропии окружаю-
окружающей среды на диаграмму направленности показано на фиг. 122,
где представлены графики функции f при е= 1, е = —'/з и
е = —3; при этом направление падающей волны определяется
углом ф' = 45°, а положение полуплоскости — углом фо = 75°.
Угол фч соответствует границе области, где имеются отраженные
волны. В случае е = 1 мы имеем изотропную среду, а в двух
других случаях е < 0 и поэтому волны распространяются лишь
в области углов, ограниченной условием |tg^| <i tg</>c = |е|~1/г,
причем при е = —'/з мы имеем дело с распространяющимся па-
падающим полем, а при е = —3 — с затухающим. Необходимо
различать две зоны тени, заштрихованные на фиг. 122: первая —

434
i л. 7. Электромагн. поля в одноосных анизотропных средах
а. Постановка задачи (линейный источник)
Полупространство и < 0 заполнено одноосной анизотропной
средой (фиг. 124), а область м > 0 — изотропной средой с ди-
диэлектрической проницаемостью
ео. Система координат uv, наи-
наиболее соответствующая гео-
геометрии задачи, повернута на
угол а относительно системы
г/г, наиболее подходящей для
описания анизотропных свойств
среды. Опуская множитель
ехр (—1Ы) и нормируя ампли-
амплитуду источника, находим, что
единственная отличная от нуля
составляющая магнитного поля
удовлетворяет в области //, за-
заполненной анизотропной сре-
средой, однородному волновому
C6) § 3
Фиг. 124. Геометрия структуры.
ру у
уравнению C6) из § 3, которое
после перехода к переменным uv имеет вид (величина ео для
большей общности заменена величиной ец) [11]
3 ди dv
Н2 =
— v'), и<0, A)
а составляющие электрического поля Еи2 и Ev2 вычисляются по
формулам A7) из § 4. Постоянные Aiy2> 3 даются формулами
A1), A3) и A7а) из § 4. В области /, заполненной изотропной
средой с диэлектрической проницаемостью ео и магнитной про-
проницаемостью [I, магнитное поле #i удовлетворяет однородному
уравнению
Г,=0, ы>0, B)
а составляющие электрического поля таковы:
1 дН, „ 1 дН{
Е„] =
dv
icoeo ди
Bа)
Решения для областей I н II связаны между собой условием не-
непрерывности полей при и — 0: Ht = Н2, Evi — Ev2; условием
излучения на бесконечности обеспечивается единственность ре-
решения для Н.
§ 5. Излучение из полупространства, заполненного плазмой
435
б. Отражение и прохождение плоских волн и условие
излучения
При указанной в п. «а» постановке задачи об излучении ее
удобнее всего решать, рассматривая структуру как волновод,
ось которого направлена вдоль оси и, а собственные функции
представляют собой плоские волны с зависимостью от попереч-
поперечной координаты вида ехр (фи), —°о < Р < °°. Таким образом,
мы будем искать Н2 в виде разложения по плоским волнам не-
непрерывного спектра
ехр (ik • R) = ехр [lq(p) и + фи]-
C)
Поскольку такие волновые решения имеют важное значение, мы
рассмотрим их подробнее. Будет показано, что продольные вол-
волновые числа <7i(P) и <7г(Р), которыми характеризуются плоские
волны, переносящие энергию в положительном и отрицательном
направлениях оси и, не связаны между собой простым соотно-
соотношением <7i = —<72, соответствующим зеркальному отражению
волн. Поэтому, как отмечалось в § 1, теперь нельзя пользоваться
эквивалентной схемой в виде двусторонней линии передачи с
постоянной распространения q; вместо этого приходится рас-
рассматривать две однонаправленные линии передачи с разными
характеристиками: одна для прямой волны, другая для обрат-
обратной. В связи с таким усложнением, типичным для анизотропных
сред, более подходящим оказывается разложение по бегущим,
а не стоячим волнам. В связи с этим эквивалентная схема в
виде линии передачи не дает таких преимуществ, как в задачах
с зеркальным отражением.
Плоская волна C) удовлетворяет однородному волновому
уравнению, и поэтому волновые числа q и р связаны между со-
собой дисперсионным уравнением
которое имеет два решения:
<7i,2(P) = -
2А2
_
гу
E)
В уравнении D) содержится та же самая информация, что и в
уравнении E) из § 1, но последнее проще, так как в нем вол-
волновые числа kt = ц и х соответствуют главным осям поверх-
поверхности волновых векторов. Поэтому действительные решения E)
соответствуют кривым, представленным на фиг. 104, если q и р
измеряются в повернутой системе координат (фиг. 125). Если
квадратный корень в выражении E) определен -/аким образом,
что он положителен при действительных значениях, то решение

438
Гл. 7. Электромагн. поля в одноосных анизотропных средах
отражения и преломления лучей на границе одноосного
сталла с изотропной средой:
Аз , sin Фо
= 4- ¦
2 An —
фо)/е
кри-
кри(96)
Во всех случаях, кроме случая Л3 = 0 (т. е. е = 1 или а = О,
я/2), мы имеем ^т^я — ф\ и, значит, отражение от границы
раздела, вообще говоря, незеркальное. Это уже отмечалось ра-
ранее в задаче об отражении от идеально проводящей плоскости,
решенной в § 4, п. «в», методом, при котором связь между на-
направлением падающего и отраженного лучей находится путем
построения изображения. Приведенное здесь решение также
пригодно для полупространства, заполненного анизотропной
средой и ограниченного идеально проводящей плоскостью, если
положить коэффициент отражения по току —Г равным единице,
чтобы выполнялось условие Ev = 0 при и = 0.
Если е < 0, то знаки углов ф\ и ф0 могут оказаться разными,
что приводит к явлению обратного преломления лучей по отно-
отношению к направлению нормали к границе раздела (когда па-
падающий и преломленный лучи лежат по одну сторону от нор-
нормали). С волновыми векторами дело обстоит иначе, поскольку
оба вектора ki = <7iU0 + Pvo и k0 = <7(>uo + Pvo имеют одинаковую
касательную составляющую pvo- Кроме того, еслид/е^Л2 — 1/е —
действительная величина, то в полупространстве, заполнением
плазмой, возможно полное внутреннее отражение. Угол полного
внутреннего отражения дается выражением (96) для фи если
положить в нем фо = ±я/2.
Отметим, что у функции Г могут быть полюсы и тогда в вы-
выражении для поля излучения появляются отличные от нуля
вклады поверхностной или вытекающей волны. Ранее мы рас-
рассматривали анизотропную среду, характеризуемую параметрами
еу и ez тензора диэлектрической проницаемости, и внешнюю изо-
изотропную среду с диэлектрической проницаемостью ео. Теперь
предположим, что анизотропная среда представляет собой плаз-
плазму, а внешняя среда — свободное пространство. В таком случае
е' = 1. Знаменатель выражения для Г в формуле G) имеет нуль
первого порядка рр, когда
A0)
Возводя в квадрат и решая уравнение относительно рр, полу-
получаем рР = ±?о sin а, так что д/^g — $* — действительная поло-
положительная величина. Поскольку корень в правой части равен-
равенства тоже определен так, что он положителен, если действите-
действителен (т. е. расположен на верхнем листе соответствующей рима-
§ 5. Излучение из полупространства, заполненного плазмой
439
новой поверхности), то найденное значение рр не может быть
решением уравнения A0), а вместо этого приводит к обраще-
обращению в нуль числителя в выражении G). Таким образом, рр—
это нуль коэффициента отражения, а полюсы не существуют.
Из фиг. 125 видно, что при kv = k0 волна с волновым числом рр
распространяется вдоль оптической оси (ось z) в среде и не ис-
испытывает отражения на границе, поскольку Г = 0. Это можно
объяснить следующим образом: если поперечные диэлектриче-
диэлектрические проницаемости в обеих средах одинаковы, то для волн,
распространяющихся вдоль оси z, область оказывается как бы
однородной, поскольку электрическое поле имеет лишь состав-
составляющую Еу.
в. Разложение решения по собственным волнам
При построении полей линейного источника #i и Н2 в виде
разложения по плоским волнам #i и П2 будем исходить из сле-
следующих интегральных представлений:
, и>0, A1)
u>u >и', A2а)
g (р) е'Во [h (Р) е^и - Г (Р) е^и] dp, 0 < и' < 0. A26)
Эти выражения уже удовлетворяют условию излучения, по-
поскольку плоские волны, описывающие первичное поле (соответ-
(соответствующее значению Г = 0) в формулах A2), переносят энер-
энергию от источника, а отраженная и прошедшая волны несут энер-
энергию от границы раздела. Выражением G) для Г определяется
связь между fag. Амплитуду падающей волны можно найти,
если записать первичное поле в виде
;i&vQ(u, P)dp A3)
и подставить этот интеграл Фурье в уравнение A), помня при
сю
этом, что 2яб(и — v')= \ е'р (в" "'> с/р. В результате получим

442
Гл. 7. Электромагн. поля в одноосных анизотропных средах
-y/e = /'\/lel- Чтобы можно было представить вклад отражен-
отраженного поля в разложении A2) в виде экспоненциальной функции
exp [iy cos (w — ws)], где у и ws не зависят от w, нужно принять
для параметра ws
(V - у') _ (Дз/2Л2) (и - и')
B1)
Тогда интегральное представление отраженного поля в области
// можно будет записать в виде
B2)
у А2
cos
удобном для асимптотической оценки при больших у.
Единственными особенностями на плоскости w являются
точки ветвления w = ±arcsin (ko/k). Точки ws ± пп, п = О, 1,
2, ..., представляют собой седловые точки подынтегрального
выражения. При положительных е величина ws действительна
и седловые точки расположены в интервале —л/2 < ws < л/2, а
соответствующие точки ветвления w комплексны и лежат на ли-
линиях |Reoy| = л/2. Деформация контура Р в путь наибыстрей-
наибыстрейшего спуска и асимптотическая оценка интеграла производятся
так же, как в гл. 5, § 3. При е < 0 величины ws комплексны и
удобно ввести действительный параметр б:
• »и А (о - у') - (А3/2А2) (и - и')
ws = iarcthо, о = - .,,/¦. , = •
\и + и' /V е А2
B3)
Если _1 < б < 1, то ws = i(fs, где ф, — действительная вели-
величина, изменяющаяся от —оо до + оо; если +8 > 1, то ws =
= ±л/2 + i arccth б. Поскольку ws — седловая точка подынте-
подынтегрального выражения в формуле B2), при асимптотической
оценке интеграла следует различать случаи |8|<1и|б|>1.
При |б| < 1 величина у действительна, а величина Im cos (w —
— ws) = sin wr sh (qps — wt) положительна либо при sin wr > 0,
Wi < ф8, либо при sin wr < 0, Wi > ф8, где wT — действительная,
а да; — мнимая часть величины w. Поэтому интеграл вдоль кон-
контура Р на фиг. 126,6 сходится экспоненциально. При ±6 > 1
мы имеем у — i\y\, и поэтому 1т[у cos (w — ws)] > 0 при
sin wr ^ 0, а значит, интеграл вдоль контура Pi, 2 сходится экс-
экспоненциально.
Для асимптотической оценки при больших |y| контур инте-
интегрирования Р деформируется в путь наибыстрейшего спуска
(ПНС), проходящий через данную седловую точку. При |8| < 1
ПНС определяется условием Re cos (w — ws) = 1, которому со-
соответствует контур Р на фиг. 126,6. Контур Р можно деформи-
деформировать в контур Р, если добавить путь Pi или Р2 обхода точек
§ 5 Излучение из полупространства, заполненного плазмой
443
ветвления (линии разреза показаны) и точки \wt\ — оо. Ввиду
отмеченного выше экспоненциального убывания подынтеграль-
подынтегрального выражения вклад в интеграл дают именно эти участки кон-
контура. Таким образом, получаем [11]
„ _ foe0V|e| г/ + [/(|й)| + ф5)/1 + [/(|й)|_ф5)/2-|; B4J
4я
где
h = \
B4a)
F — подынтегральное выражение в формуле B2), a U — функ-
функция, определенная следующим образом: U(x) = 1 при х > 0 и
U(x) = 0 при х < 0.
При |б| > 1 величина у оказывается мнимой и седловая
точка ws лежит на линии wr = л/2 при б > 1 и на линии wr =
= —л/2 при б < —1. Путь наибыстрейшего спуска при б > 1
определяется условием Im cos (w — ws) = 0 и совпадает с ли-
линией wr = л/2. Поскольку подынтегральное выражение экспо-
экспоненциально убывает в полосе sin wT > 0, контур Р можно де-
деформировать в контур Рь если исключить интеграл по разрезу.
Таким образом, при б > 1
гг — к»е0 V|
п2г —
4я
= \ F dw,
B5а)
а при б < — 1 точно так же получаем выражение
2г
_ - ЙЙ80 У| В |
~
= С F dw.
Рг
B56)
Поле в приближении геометрической оптики
Асимптотическая оценка интеграла вдоль пути наибыстрей-
наибыстрейшего спуска производится без особого труда, и на основании
формулы G) из гл. 4, § 2, получаем в приближении низшего
порядка выражение
Но
юе0 Уе
„i (Y-Jl/4)
1ПНС :
Г (k sin ws) + О (Y-3/!),
B6)
справедливое как при положительных, так и при отрицатель-
отрицательных е; если у — мнимая величина, то следует выбрать у =
= i|y|- Это выражение далее интерпретируется как геометро-
оптическая часть отраженного поля. Учитывая асимптотическую
оценку для падающего поля [§ 3, формула C8а)], получаем дли

446
Гл. 7. Электромагн. поля в одноосных анизотропных средах
уравнение B8) в другом виде:
где
B9)
B9а)
Уравнение B9) представлено графически на фиг. 127, где
tg^i = 5/|ы|, tg</>2 = — (v — v)/\u\. Поскольку величину р
следует считать фиксированной и равной ps, уравнение B9а)
эквивалентно уравнению (96). Таким образом, уравнение для
седловой точки B8) выделяет те значения р.„ при которых па-
падающий и отраженный лучи направлены так, что отраженный
луч S2 проходит через точку наблюдения Р. Фазовая зависи-
зависимость отраженного поля, определяемого седловой точкой ps, a
именно у = М + <7i(Ps) |«'|» соответствует выражению B76).
Интересно, что метод изображений, строго применимый при
вычислении отраженного поля в случае идеально проводящей
плоскости (§ 4, п. «в»), пригоден и в случае асимптотического
решения B7). Для проверки достаточно показать, что измене-
изменение фазы L\ на пути от источника до границы раздела вдоль R\
(фиг. 124) такое же, как изменение фазы L[ на пути от изобра-
изображения до границы раздела вдоль Rs, при условии что анизотроп-
анизотропная среда заполняет все пространство. Величина L\ дается вы-
выражением B7в), а
-яг«' + д) - *2 (Р.) I"' I = ko
Но поскольку <7i + <?2 = — $А31А2 [формула E)], легко пока-
показать, что L| = Li. И при е<0 путем построения изображения
можно найти область, освещенную отраженным полем (фиг. 120),
и границу области тени. Нетрудно убедиться, что направления
падающего и отраженного лучей, даваемые аналитическим вы-
выражением B9), можно также определить путем анализа поверх-
поверхностей волновых векторов (фиг. 125).
Боковые волны
Интегралы по разрезам 1\ [формула B4)] и /2 [формула B5)]
дают вклад в поле, который можно отождествить с боковыми
волнами. При 1 > е > 0 точки ветвления до= + агсзтA/УеЛ2)=
= ± arcsin (l/v'sin2 a + ecos2a) комплексны, и если источник
и точка наблюдения не лежат одновременно на границе раз-
раздела, то интеграл по разрезу экспоненциально мал, как и в ана-
аналогичной задаче для изотропной среды (гл.5, § 5, п. «д»). Но
при е < 0 точки ветвления расположены на мнимой оси, где
5. Излучение из полупространства, заполненного плазмой
447
экспоненциальный множитель подынтегрального выражения в
формуле B2) не убывает, и интеграл может давать существен-
существенный вклад в поле в полупространстве, заполненном плазмой.
Фактически вклад интеграла по разрезу оказывается главным
в области тени, где обе величины % и у, определяемые форму-
формулами B7), мнимые. В рассматриваемом случае их роль гораздо
важнее, чем в соответствующей задаче для изотропной среды
(фиг. 28), где геометрооптические поля всегда сильнее (напом-
(напомним, что интеграл по разрезу есть О [(расстояние)~3/г]; но при
наличии потерь геометрооптические поля экспоненциально зату-
затухают и могут стать слабее поля боковых волн). Таким образом,
при е < 0 интегралы по разрезу требуют более тщательного
анализа. При сопоставлении их с боковыми волнами обнаружи-
обнаруживаются совсем иные закономерности, нежели в случае изотроп-
изотропной среды [11].
Асимптотическая оценка интеграла по разрезу 1\ [формула
B4а)] при условии, что седловые точки не лежат вблизи точек
ветвления (т. е. — qps qb |до|), проводится точно так же, как в
формулах A7) —B2) из гл. 5, § 5. При |б|< 1 следует произ-
произвести замену переменной
cos (a; — ws) = cos (до + w) + *'s2, — oo < s < oo, C1)
где s — величина, действительная на контуре Pi (фиг. 126,6) и
возрастающая от —оо до -f-oo в направлении, указанном стрел-
стрелкой. В окрестности точки s = 0, которая дает основной вклад в
интеграл при у > 1,
dw
~аТ
2s
C2а)
+ I до I) л/w -\
, , 2e~inli
w,
0 < arg (да -f до)< 2я, C26)
Интеграл можно переписать в виде
C3)
и, значит, главный член в асимптотическом разложении при
больших у обусловлен членом с s2 в степенном разложении функ-
функции Fdw/ds. Окончательно получаем [гл. 4, § 2, формула A7)]
C4)

450
Гл. 7. Электромагн. поля в одноосных анизотропных средах
ляя Lz фиксированным. Полная траектория, для которой выпол-
выполняется требование ps = &о, соответствует боковой волне на гра-
границе раздела анизотропной среды (случай изотропной среды
представлен на фиг. 28).
С учетом введенных обозначений вклад интеграла по раз-
разрезу в отраженное поле в полупространстве, заполненном плаз-
плазмой, можно записать в виде
X
r/(ts+t4
L W
L4
где U(x) — единичная функция Хевисайда, а
C8)
C8a)
и изменения фазы вдоль бокового луча соответствуют значению
ps = —k0. Таким образом, можно считать, что интегралы
вдоль разрезов описывают поле вдоль боковых лучей, идущих
параллельно поверхности раздела в свободном пространстве, ко-
которые возбуждаются лучом, падающим под критическим углом,
и постепенно теряют энергию, отдавая ее обратно в плазму за
счет преломления. В отличие от боковых волн, возбуждаемых на
границе раздела изотропных сред, в анизотропной среде наблю-
наблюдается обратное преломление, в связи с чем в некоторые точки
наблюдения попадают два боковых луча. Кроме того, боковые
лучи проникают и в область тени (по лучу для каждой из за-
заштрихованных областей на фиг. 128,6), чем обеспечивается пе-
перенос энергии в область, недоступную при каких-либо других
механизмах. В этой области геометрооптическое поле H2g [фор-
[формула B7)] экспоненциально мало. Амплитуда поля боковых лу-
лучей убывает как L~3/i или ^4~'1гг и для удаленных точек наблю-
наблюдения в освещенной зоне такое убывание быстрее убывания гео-
метрооптического поля. Исключение — углы, близкие к углу
полного внутреннего отражения, который определяется усло-
условием L4 = 0 или L'4 = 0. В его окрестности выражение C8) ста-
становится неприменимым и должно быть заменено более точной
формулой D5), которая позволяет вычислить поле в переходной
области или вблизи от нее.
Поля в окрестности угла полного внутреннего отражения
Для асимптотической оценки интеграла 1\ в окрестности уг-
угла полного внутреннего отражения, где qps —>• — |ш»|, замена пе-
переменной C1) не дает преимуществ, поскольку теперь нельзя
If S. Излучение из полупространства, заполненного плазмой
451
считать, что производная dw/ds [формула C2а)] медленно изме-
изменяется вблизи точки s = 0. Трудность обусловлена близостью
точки ветвления и седловой точки. Теперь удобнее ввести новую
переменную ')
bfn2 w
Th2]
w
V |8 | Л2 '
e < 0, C9)
так что точка ветвления w = —w соответствует точке т. = 0.
Производная
dx (sin w cos ay) | e | A2 *• '
не имеет особенностей вблизи точки т = 0, и при w та —i\w\
имеем
cos w = ch I w
1 + I e | A2 ~
x2
2A +|е|Л2)
sin w = — i (sh | w |) -\J 1 — t2 «г — t s
? ch|w |[l —
D1a)
w
I 1 ^ g ... J ,
D16)
где квадратные корни определены положительными при поло-
положительных подкоренных выражениях. Поведение функций тг =
= Ret и т, = Imx в разных областях комплексной плоскости
w показано на фиг. 129, а; мы видим, что контур Pi + P2 пере-
переходит в контур Ci 4-С2 на фиг. 129,6. Поскольку
cos {w — ws) = sh | w | (ch qps V1 + I e | A2 — т2 + sh qps V1 —
D2)
подынтегральное выражение в формуле B4а) для 1\ имеет сед-
ловые точки
т = 0, ±ts, где xs = л/\ — (sh<pJsh\w\J^0. D3)
Следовательно, на действительной оси т имеются три равноуда-
равноудаленные друг от друга седловые точки первого порядка, сливаю-
сливающиеся в одну при ф8 -> — |ш|. Подынтегральное выражение, убы-
убывающее от точки т = 0 вдоль контуров С], 2, имеет также точки
ветвления т= ±1 и ±т' = ±cth \w\ (фиг. 129,6), которые,
однако, теперь далеко отстоят от седловых точек, расположен-
расположенных в окрестности точки т = 0. Таким образом, интеграл с близ-
близко расположенными седловой точкой и точкой ветвления нам
1 Введенную здесь переменную интегрирования т не следует путать С
функцией t(s)= <?(г), которая фигурирует в гл. 4.
15*

454
Гл. 7. Электромагн. поля в одноосных анизотропных средах
Хотя асимптотическая оценка интеграла / в формуле B4а)
по пути наибыстрейшего спуска Р дает вклад низшего порядка
малости B6), не изменяющийся при ф8-¦ — |до|, на членах бо-
более высоких порядков сказывается близкое расположение точки
ветвления к седловой точке. При ф8-¦ — |до| получаем
(фиг. 129)
/ =
о-
S
= \ F^
w
D7а)
D76)
Съ+С,
где F = Гехр [iy cos (w — ws)]. Напишем Г = 1 + (Г—1), и
тогда вклад первого члена можно будет точно выразить через
функцию Ханкеля. Для оставшегося же члена следует исполь-
использовать описанный выше способ выражения интеграла по кон-
контуру С\> 2 через функцию D-v, [?ехр(—'л/4)]. Интеграл по кон-
контуру С3 сводится к функции D-s/J—texP (—'я/4)]. В результате
получаем [11]
/ = /' + /", D8)
0
-и,
X
X [/)_./,(-
± »D_
D8а)
D86)
где 1\ — величина, даваемая выражением D5).
Хотя интеграл /" терпит разрыв на границе полного внутрен-
внутреннего отражения ф„ = — \w\, функция 1 = I" + I\U{\w\ -\- ф8),
входящая в выражение B4), непрерывна. В силу равенства
D.A (z) =
можно написать
-./f (fe)
4D_3A (- fe)]
D.A (—
D9)
E0)
Это выражение остается справедливым и при — ф8 ^ |да|. При
—? 3> 1 выражение E0) можно преобразовать на основании
асимптотической формулы F6а), а при ? > 1 можно восполь-
воспользоваться формулой F66). Если применить эти асимптотические
приближения к приведенным выше выражениям для 7 + /', то
в окрестности точки —„ ~ |$| они сведутся к формулам B7)
V C8),
§ 5. Излучение из полупространства, заполненного плазмой
455
д. Асимптотические оценки в случае свободного
полупространства
Лучевая интерпретация седловых точек (каустика
и точка возврата)
Поле в свободном полупространстве и > 0 определяется фор-
формулой (И):
=_^ г
где
2qa-A2(q2-qx) '
E1)
E1а)
'I. E16)
Здесь нам удобнее не переходить к плоскости w, а провести ин-
интегрирование в плоскости р. Изменив масштаб в соответствии с
соотношением р = /гор', можно написать if(P) = &оф(Р')- Тогда
если k0 — большая величина, то подынтегральное выражение
имеет вид, удобный для асимптотической оценки. Мы не будем
переходить к переменной р', но нужно помнить, что функция
if(P) содержит большой параметр ho. Следовательно, стационар-
стационарные точки ps, определяемые уравнением dty/d$ = 0, должны иг-
играть важную роль при асимптотической оценке:
при P =
E2)
где tg *, е= - efy/dp и tg</»oS-^o/rfp = p(A;2-p2)-I/2. Решение
этого уравнения имеет вид рз = k0 sin ф0, а отвечающее ему зна-
значение <р\ находится по формуле (96). В дальнейшем мы ограни-
ограничимся частным случаем е < 0 и Лг > 0. Для простоты (но без
потери общности) положим v' равным нулю.
Наиболее важную роль играют те седловые точки, в которых
функция ij5(ps) принимает действительные значения, ибо тогда
соответствующее слагаемое поля ~ехр [nj;(ps)] не затухает. Эти
действительные решения соответствуют действительным углам
падения ф\ и преломления ф0 лучей, проходящих из плазмы в
свободное полупространство (п. «б»). Уравнение преломленного
луча точно совпадает с уравнением E2), а соответствующий ход
лучей показан на фиг. 130. Из выражения (96) (при е < 0 и
А2 > 0) видно, что фо и ф\ могут иметь разные знаки (обратное
преломление); увеличение угла ф0 приводит к уменьшению угла
ф\ (т. е. |</>i| возрастает, поскольку ф\ < 0 при </>о>О), в связи
с чем последовательные лучи пересекаются. Если фо = ±п/2, то
соответствующее значение ф\ и есть критический угол преломле-

458
Гл. 7. Электромагн. поля в одноосных анизотропных средах
Другая ветвь, соответствующая значению фо < 0, получается
заменой величины v0—v величиной v — vq. Очевидно, что из
уравнения E46) получаются правильные выражения E3а) и
E36) для координат граничных точек.
Асимптотическая оценка поля
При оценке интеграла E1) методом седловых точек контур
интегрирования деформируется в путь наибыстрейшего спуска,
проходящий через различные седловые точки, которые дают
вклад в интеграл. Деление комплексной плоскости р на «горы»
и «долины» в окрестности каждой седловой точки зависит от
знака второй производной функции ()
где
А2
E5)
1 = k0 sin <f>0. E5a)
Поскольку знаки производных q'? и q" противоположны в
представляющей для нас интерес области |р| < k0, где обе ве-
величины действительны, производная ^"(Р) может быть положи-
положительной или равной нулю. Если рассматривать луч с заданным
углом преломления </>о, то при перемещении точки наблюдения
вдоль луча производная if"(P) положительна в начальной точке
и — О, поскольку q" (Р)> 0, и отрицательна при достаточно
больших значениях и, где доминирует член q"u. Изменение
знака происходит в точке касания каустики, где if"(P) = 0. Из
схемы хода лучей (фиг. 131) видно, что из трех лучей, попадаю-
попадающих в данную точку наблюдения, находящуюся внутри кау-
каустики, два касаются каустики, а один нет и что угол ф0, под ко-
которым распространяется этот луч, занимает промежуточное по-
положение между углами, под которыми распространяются два
первых луча. Таким образом, для трех седловых точек ps =
= Pi, 2,з мы имеем ij/'(Pi) < 0. V(fc) > 0, 1|з"(Рз) < 0, тогда
как при наличии одной действительной седловой точки, внешней
по отношению к каустике, ij/'(Ps) < 0. Поэтому пути наибы-
наибыстрейшего спуска, показанные на фиг. 132, наклонены под уг-
углом 45° и можно показать, что на остальной части контура аб-
абсолютная величина подынтегрального гыражения в формуле
E1) экспоненциально мала по сравнению с его величиной вбли-
вблизи седловых точек. Следовательно, интеграл можно аппрокси-
аппроксимировать вкладом лишь окрестностей седловых точек. Линии
разреза, обусловленные точками ветвления р = ±&0> прово-
проводятся так, что Im<7o>0 на всем верхнем листе четырехлист-
§ 5. Излучение из полупространства, заполненного плазмой
459
ной плоскости р. Разрез, обусловленный точкой ветвления функ-
функции <7ь определимой выражением E), проводится так, чтобы
величина Re -у/ > 0 была положительной на всем верхнем
листе.
Фиг. 132, а соответствует точке наблюдения Р, показанной
на фиг. 131, а фиг. 132,6—точке наблюдения, лежащей на луче
3 вне каустики. Если наблюдатель перемещается вдоль луча 3
(т. е. точка р3 фиксирована), то точки Pi и Рг сближаются и сли-
сливаются в двойную седловую точку на каустике; во внешней по
771 Jh P\-J
а б
Фиг. 132. Контуры интегрирования при разном расположении точек наблю-
наблюдения.
а—внутри каустики; 6—вне каустики.
отношению к каустике области седловые точки §х и р2 комплекс-
комплексные и основной вклад в интеграл дает окрестность точки fi3.
Хотя решить уравнение E2), которым определяются седловые
точки ps, при произвольных и и v в явном виде весьма затруд-
затруднительно, это легко сделать в том случае, когда точка наблюде-
наблюдения лежит на луче v = v0, падающем нормально к границе раз-
раздела. В этом случае
, _ " I e | А2
ь=-
E6)
и, значит, величины р, и р3 мнимые при и > й, где
й = \и' |[| е|Л2г]~' — ордината точки возврата. Поскольку в точ-
точке возврата Pi = р2 = р3 = 0, мы имеем ф'@) = ф"@) =
= г|/"@) = 0, так что для асимптотической оценки необходим
учет седловой точки третьего порядка.
Теперь можно непосредственно выписать асимптотические
формулы для магнитного поля, определяемого интегралом E1)

462 Гл. 7. Электромагн. поля в одноосных анизотропных средах
функции переменной р на линии v = Vo, формулу E7) можно
переписать в виде
и < й, v = v0-
Если «>й, то формула E8) пригодна и при CS = 0, так что
фаза поля вдоль луча v = Vo уменьшается на 90° при прохожде-
прохождении точки возврата и = й. Указанные выше формулы становят-
становятся неприменимыми при и -* й, поскольку в этом случае if"@) —»¦
—>О. На линии v = v0 мы имеем ij/@) == 0 и производная
ij/"@) тоже обращается в нуль, так что первая отличная от
нуля производная есть if""@). Поэтому точка возврата (фо-
(фокальная область) характеризуется слиянием трех седловых то-
точек.
Для подробного описания поля в фокальной области следует
пользоваться формулой
Н-
'*
X
F5)
где DJ/2(z) —функция параболического цилиндра порядка —1/2,
величина —^""@) положительна и величина arg[if(Pi) — -ф@)]
равна 0 при и < й и л при и~> й. Используя асимптотические
оценки при больших значениях аргумента
Зя
О
я . . 5я
-T>argz> J-,
Т' F6а)
F66)
можно свести выражение F5) к выражениям E8) и F4), что
обеспечивает полное прохождение через точку возврата. При
этом необходимо использовать приближенное равенство
- 2V @),
Г—^—f » - ^
L — + @) J
*' (Pi)
F7)
и предположить, что аргумент функции параболического цилин-
цилиндра достаточно большой, хотя $\ и не сильно отличается от нуля
(т. е. k0 или и и \и'\ велики). Мы видим, что поле вдали от кау-
каустики ведет себя как |г|1"|~Ч вблизи от каустики — как |iJj'"|-Vj
и вблизи точки возврата — как |ij/'"|-v\ Поскольку if содержит
§ 5. Излучение из полупространства, заполненного плазмой
463
большой параметр, эти зависимости характеризуют и увеличе-
увеличение напряженности поля при приближении точки наблюдения к
каустике и фокальной области.
Описанное выше явление фокусировки имеет место в огра-
ограниченной области вблизи поверхности раздела и не проявляется
на больших расстояниях от границы. Это следует из схемы хода
лучей (фиг. 131), которая показывает, что в точку наблюдения,
находящуюся вне каустики, попадает только один луч; при этом
поле в дальней зоне описывается единственным членом в выра-
выражении E8). Заметим, что то же самое относится и к средам с
анизотропией более общего вида (например, гиротропным),
когда поверхность показателя преломления имеет более слож-
сложную форму, чем показанная на фиг. 125 (гл. 8, § 3, п. «б»). Пре-
Преломленное поле в общем случае описывается интегралом E1),
но зависимость волнового числа qi от р обычно определяется бо-
более сложным дисперсионным уравнением, чем D). Фокусировка
возможна при $"($)—*0 [формула E5)], т. е. когда действи-
действительные величины <7д' и q" имеют разные знаки. Знак величины
q" определяется кривизной кривой <7(Р), чт0 позволяет по виду
поверхности показателя преломления судить о том, могут ли су-
существовать фокальные области. Так, например, фокусировка от-
отсутствует, когда полупространство заполнено одноосной анизо-
анизотропной средой с поверхностью показателя преломления, изо-
изображенной на фиг. 125, а, поскольку в этом случае знаки вели-
величин <7о' и Я" одинаковы.
е. Излучение поперечного электрического диполя
В предыдущих разделах рассматривалось излучение линей-
линейного магнитного тока, помещенного в полупространство, запол-
заполненное анизотропной плазмой. Благодаря симметрии, присущей
такому источнику возбуждения, задача нахождения электромаг-
электромагнитного поля сводилась к одной скалярной граничной задаче и
для математического представления полей было достаточно
лишь ?-волн. Поскольку плазма, вообще говоря, по-разному
влияет на распространение Е- и Я-волн, что связано с разли-
различием двух поверхностей показателя преломления (фиг. 104), по-
полезно рассмотреть пример, в котором необходимо учитывать оба
типа волн [13]. Сюда относится задача об излучении поперечно
направленного диполя. В этой задаче проявятся и трехмерные
эффекты, отсутствовавшие в случае возбуждения линейным ис-
источником.
Условия задачи представлены на фиг. 133, где источником
служит электрический диполь, ориентированный вдоль оси у:
J(r, /) = уов(г-г')е -'«', г' ^(x',y',z') = @,0, г'), г' < 0. F8)

466 Гл. 7. Электромагн. поля в одноосных анизотропных средах
Поскольку л: —0, мы имеем р = -\J х1 -\- у2 = у. Полное магнит-
магнитное поле в плоскости х = О равно Н = Н' -f- H".
Для облегчения асимптотической оценки интеграла G1)
удобно отделить точки наблюдения, лежащие на оси z (р = 0),
от точек, удаленных на большое расстояние от оси. Для пер-
первых на основе соотношения
_„ = 4 G3)
получаем выражение
G4)
а для вторых более удобным оказывается интегральное предста-
представление по бесконечному интервалу [гл. 3, § 2, формула F8) и
далее]:
Н' = — — \ -Л-т Н\» фр) е1 ^+< I*'') ф. G5)
4л <?р _J и, + *2
Здесь путь интегрирования проходит в верхней полуплоскости
комплексной переменной р для обхода точки ветвления р = 0.
Асимптотическая оценка интеграла для произвольных значений
р приведена в работе [14].
Асимптотическая оценка интеграла G5) проводится обычным
способом с заменой функции Ханкеля асимптотической форму-
формулой для больших значений аргумента [гл. 5, § 3, формула A36)]
и выбором пути интегрирования, обходящего точку р = 0. В ре-
результате подынтегральное выражение оказывается идентичным
с подынтегральным выражением в формуле E1), если не счи-
считать различий в определении амплитудной функции F(P), и, зна-
значит, расположение седловых точек такое же, как в п. «д», при
условии что переменная v отождествляется с радиальной пере-
переменной р. Геометрическая трактовка вклада седловых точек при-
приводит к схеме хода лучей, представленной на фиг. 131, но изме-
измененной так, что а = 0, причем точки наблюдения лежат в обла-
области v > 0, поскольку радиальная переменная р всегда положи-
положительна. Вследствие симметрии лучей относительно оси р = 0
каустика на фиг. 131 представляет собой поверхность вращения
и точка возврата, являющаяся в двумерной задаче линией, пре-
превращается действительно в точку. Замечая, что угол наклона
преломленного луча, прошедшего через точку наблюдения с
р > 0 (т. е. v > 0 на фиг. 131), есть фо, и вспоминая формулу,
которой определяется седловая точка ps (ps = k0 sin <j>0), не-
нетрудно убедиться, что контур интегрирования для интеграла
§ 5. Излучение из полупространства, заполненного плазмой
467
G5) можно деформировать в путь наибыстрейшего спуска с раз-
различных седловых точек без пересечения каких-либо точек вет-
ветвления. Поэтому асимптотическая оценка вклада ?волн в поле
дает формулу, аналогичную формулам E7) и E8) для точек
наблюдения, лежащих вдалеке от каустики, и формуле E9) для
точек наблюдения на самой каустике или вблизи от нее. По-
Поскольку приведенная выше асимптотическая формула для функ-
функции Ханкеля содержит множитель р~'/2, трехмерное поле убы-
убывает как (расстояние) в отличие от зависимости вида (расстоя-
(расстояние) ~'/j для двумерных полей, возбуждаемых линейными источ-
источниками.
В предшествующем рассмотрении, справедливом для точек
наблюдения, расположенных вдали от оси о = 0, седловые точ-
точки, дающие вклад в интеграл, не были расположены вблизи
точки р = 0 на комплексной плоскости р. Если же р = 0, то
подынтегральное выражение имеет седловые точки
Pi = ko (-
— b2
+Ь2/\е
G6)
как это следует из формулы E6) при а = 0. Асимптотическая
оценка вклада в поле н\ седловой точки р, при 0 < z < z, где
2= |г'|/|е| — координата точки возврата, производится так
же, как и в двумерной задаче, и дает следующий результат:
1 / 2я
4я" V ф"(Р
т.е. поле убывает как (расстояние)-1'2. Такое поведение поля
объясняется тем, что в точки на оси симметрии преломленные
лучи попадают со всех углов в интервале 0< ф< 2л, так что
ось z представляет собой каустику для системы преломленных
лучей. Итак, на оси структуры имеет место усиление поля, ко-
которое не столь очевидно для точек, удаленных от оси.
Седловая точка Рг = 0 соответствует лучу, проходящему
вдоль оси г, и дает обычный вклад в поле, на котором не ска-
сказывается описанная выше фокусировка. Поэтому данная часть
поля убывает в соответствии с обычным законом обратной про-
пропорциональности расстоянию. При асимптотической оценке ин-
интеграла G4) необходимо учитывать обращение в нуль ампли-
амплитудной функции g(p) = P^[x[ +Ц] в точке р = 0. При ис-
использовании метода, изложенного в гл. 4, § 2, п. «б», в случае
полубесконечного интервала 0 <g; р < оо седловая точка C = 0
на основании соотношения i|>(P) = ф @) -)-/s2 преобразуется в
седловую точку s = 0 и амплитудная функция G(s) =
= g(P)dp/ds разлагается в степенной ряд в окрестности точки

470
Гл. 7. Электромагн. поля в одноосных анизотропных средах
где е = уоуоео + zozoeoe, N (9) = У cos2 е + е sin2 9, m = d92/d9,,
n = <Э92/с?в0; последние величины можно вычислить на основа-
основании закона отражения [§ 5, формула (96) при </>->9-)-а, 90 =
= я/2-а].
Покажите, что при е = 1 эти выражения переходят в реше-
решение задачи 30 из гл. 1 для цилиндрической поверхности в изо-
изотропной среде, а при Ь —* оо — в решение для плоскости (§ 4,
п. «в»).
Проводящая
поверхность S
Радш/е привиты
поверхности в точке В
Фиг. 134. Искривленный рассеиватель в анизотропном диэлектрике.
6. Взяв оптические пути L\i и L23 от источника в точке /
до точки наблюдения 3 вдоль падающего и отраженного лучей,
проходящих через точку 2 на плоской границе раздела, пока-
покажите, что закон отражения (96) из § 5 можно вывести на осно-
основании принципа Ферма
ь
' Ids, B)
требующего, чтобы длина оптического пути была экстремальна.
Здесь через б обозначена вариационная производная, а через
N — лучевой показатель преломления.
Литература
471
7. Однородная волноводная область ограничена в попереч-
поперечном направлении идеально проводящей поверхностью и запол-
заполнена анизотропным диэлектриком, для которого е< = const, a
ez(p, z) —произвольная функция. Магнитная проницаемость
среды скаляр {\it = цг = ц.) и однородна по всей области.
а. Покажите, что Я-волны в этой области могут существо-
существовать и распространяются, как в изотропной однородной среде с
волновым числом k = со vVe*.
б. Покажите, что ?-волны также существуют, и сформули-
сформулируйте соответствующую краевую задачу.
Каустика
Злуча
Фиг. 135. Каустика в случае, когда источник расположен вне полупростран-
полупространства, заполненного плазмой (jz.l) = z'| е|).
8. Линейный магнитный ток расположен в свободном полу-
полупространстве z >¦ 0, а полупространство z < 0 заполнено одно-
одноосной анизотропной плазмой с тензором диэлектрической прони-
проницаемости е = уоУо?о + zozoeoe (фиг. 135).
а. Покажите, что при е- < 0 система преломленных лучей об-
образует каустику, уравнение которой имеет вид
Wl + |e|
z'|e|
= е
б. Найдите асимптотическое поведение поля (при больших
k0) в полупространстве, заполненном плазмой.
ЛИТЕРАТУРА
1. Born M., E. Wolf, Principles of Optics, Pergamon Press, New York, 1959,
Ch. 14 (имеется перевод: Борн М., Вольф Э., Основы оптики, «Наука»'
1970, гл. 14).
2. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Электродинамика сплошных сред, Гостех-
издат, М., 1957.
3. Budden К- G., Radio Waves in the Ionosphere, Cambridge University Press
Cambridge (England), 1961.
4. Гинзбург В. Л., Распространение электромагнитных волн в плазме, Физ-
матгиз, М., 1960.

474
Гл. 8. Поля в анизотропных областях
ка, в которых переменные электромагнитных и неэлектромагнит-
неэлектромагнитных полей равносильны, то многие из таких трудностей отпа-
отпадают. Тем не менее метод приведенных уравнений часто встре-
встречается в литературе, и мы в дальнейшем будем использовать
оба подхода. В некоторых случаях, например при анализе вол-
новодных волн в холодной магнитоплазме без пространственной
дисперсии, метод приведенных уравнений вполне удовлетвори-
удовлетворителен и не наталкивается на упомянутые выше затруднения.
При вычислении однородного линейного поля методом волно-
водных волн (гл. 1, § 4) полное поле представляется в виде су-
суперпозиции собственных волн Wa exp (ixaz). Здесь z — коорди-
координата вдоль волноводной оси (оси симметрии), ка — собственное
значение (волновое число), а Wa— собственный вектор поля,
который зависит от пространственной переменной р, перпенди-
перпендикулярной оси z, и от времени /. В явном виде полное поле (в
точках, не содержащих источников) представляется выраже-
выражением
(г, 0 = Z аа @) Ча (р, 0 eix** = I аа (г) Ча (р,
B)
где aa{z) — амплитуда собственной волны с номером а в точке
z. Если рассматривать гармонические колебания, то в случае не-
неограниченного поперечного сечения ^„(р.О = vFaexp[t(k(-p —
— ©01. а в случае ограниченного ^а(р, /) = 1Ра(р)ехр(—Ш);
в том и другом случае, если функции Wa и свойства их орто-
ортогональности известны, то несложно определить амплитудные ко-
эффиценты aa(z), исходя из значения полного поля W в какой-
либо плоскости отсчета z. В следующих параграфах будут при-
приведены необходимые сведения о собственных функциях Wa и
волновых числах ка для анизотропных (§ 2) и гиротропных (§ 2
и 3) сред.
Различия в характере распространения волн в изотропных
и анизотропных областях обнаруживаются при сопоставлении
поведения собственных волн с амплитудами aa(z) в эквива-
эквивалентных линиях передачи для таких сред. В обоих случаях, если
среда однородна в направлении оси z, зависимость аа от z в
точках, не содержащих источников, определяется уравнением
-^аа = Ыааа. C)
Только для областей, зеркально-симметричных относительно оси
z, в которых для каждой волны аа существует отраженная вол-
волна с соответствующей симметрией поля и постоянной распро-
распространения х~а = —иа, можно ввести эквивалентную схему в
виде обычной линии передачи для расчета амплитуд напряже-
напряжения и тока, как это было сделано для изотропных и одноосных
§ I. Введение
475
областей. Как отмечалось в гл. 7, § 1, при описании распростра-
распространения в изотропных (неограниченных) областях с помощью вол-
новодных волн вводится базис kt, ш для собственных волн с за-
зависимостью ехр[г(к,-р—о)/)], что позволяет свести общую за-
задачу вычисления поля к двум независимым задачам анализа Е-
и Я-волн в линии передачи с одинаковыми постоянными распро-
распространения ± v!a = ± Хд = ± ха, но с разными характеристиче-
характеристическими импедансами ± Z'a Ф + Z". В одноосной области с на-
направлением распространения, выбранным вдоль оси (т. е. с век-
Z'.x
-Z', -ж
Е-волна.
Z",
-Z",
. -ж'
ж"
1
> Е- волна
Г
Vh-волна
-z'*,-x
Z", эе"
E-mun
а
в
Фиг. 136. Характеристики эквивалентных линий передачи для неограничен-
неограниченных однородных сред (направление распространения совпадает с направле-
направлением симметриии, если оно есть).
а — изотропная среда (линия передачи обычного типа); б — одноосная среда (линия передачи
обычного типа); в — гиротропная среда (линия передачи необычного типа); г—общий
случай анизотропной среды.
тором Ьо, параллельным вектору z0), задачу поля также можно
свести (гл. 7, § 2) к обычным задачам анализа Е- и Я-волн в
линии передачи, но с параметрами ±v.'a Ф ± v."a и ±Z'a Ф ±Z"a,
характеризующими прямую и отраженную волны. В гиротроп-
гиротропных же областях (§ 2, п. «з») и вообще в любых областях, где
могут быть волны с ±ха, метод эквивалентных схем дает ре-
результаты, не совсем соответствующие обычным представлениям
о линии передачи. Для гиротропнон области с распространением
вдоль гиротропной оси получаются прямые и отраженные волны
±к'аФ ±х„. Более того, соответствующие характеристические
импедансы различаются не только по знаку, а и по величине,
и мы имеем Z'a и — Z'*\ кроме того, мы имеем Z'^ и — Z'?,
причем величины с двумя штрихами отличаются от величин с
одним штрихом. Правда, для гиротропной области с направле-
направлением распространения, перпендикулярным гиротропной оси (§ 4,
П, «О»), волновые числа прямых и отраженных волн одинаковы

478
Гл 8 Поля в анизотропных областях
где Ч;а(р)—собственные функции, а ка — собственные значе-
значения и г = р -f- 2z0. Наличие множителя exp (ixaz) означает, что
свойства среды не зависят от г; впоследствии это ограничение
будет снято. Как и в гл. 1, § 4, подстановка Dа) в уравнение
Aа) в отсутствие источников приводит к уравнению для собст-
собственных значений
D6)
с тензорным импедансным условием на поперечной границе s
(если она существует) вида
vXEa = 2-Ha на s Dв)
или, в базисе s0, z0,
so ¦ Ea =
zo ¦ Ea =
la • z0,
la • z0,
Dг)
где s0 — тангенциальный, а v — нормальный единичные векторы,
причем они связаны соотношением v X zo = s0. Поперечная за-
зависимость электромагнитного поля позволяет выразить г-компо-
ненты полей собственных волн через поперечные компоненты.
Если разложить поля собственных волн следующим образом:
= H
ta
Hzaz
zaz0,
E)
и исключить продольные z-компоненты, пользуясь соотношения-
соотношениями [уравнение (За)]
¦ Hia =
— iaezEza — tc
(z0 X Efa),
E(a = V, ¦ (Hta X z0),
Ea)
то уравнения для собственных значений D) будут только содер-
содержать поперечные компоненты (гл. 2, § 2, п. «а»):
F)
+ i [^ z0 X Vt - zo X V, Jg-] ¦ H,a = xaH(a X Zo,
- ^f- - i-/o X V, J-V( X z0] • H(a -
Очевидно, что в случае гиротропной среды еи = etz = iizt =
к |хгг = 0 и уравнения F) существенно упрощаются.
§ 2. Разложение по волноводным волнам
479
Чтобы вывести соотношения ортогональности для собствен-
собственных функций Ч^а, рассмотрим задачу на собственные значения,
сопряженную с уравнением D6),
Ч?, G а)
где сопряженные операторы и собственные функции имеют вид
ше* — /V, X
7, XI
при условии на границе (если она существует)
Г
V, X 1 I
G6)
vXEJ=2-Hj. Gв)
Сопряженные поля Е„ и Н„ Удовлетворяют уравнениям в от-
отсутствие источников в транспонированно-сопряженной (эрмито-
во-сопряженной) среде с параметрами в* и ц*, полученной из
первоначальной среды путем следующей замены (тильдой обо-
обозначены транспонированные, а звездочкой — комплексносопря-
женные величины):
Щ,
Gг)
Обычным способом (гл. 1, § 4) из уравнений для собствен-
собственных значений D) и G) выводится соотношение ортогонально-
ортогональности:
в). (8а)
где 6ag — символ Кронекера, который равен единице при
ха = хв и нулю при %а Ф х3, Na — константа нормировки соб-
собственной функции с индексом a, a tya и Wa — поперечные соб-
собственные векторы с компонентами (Е(а, Н/а) и (Е(+а, Hta). В раз-
развернутом виде соотношение ортогональности (8а) записывается
следующим образом:
J J [E,+; • Н,в X zo + Н,+; • zo X Е,„] dS = 2^абар, (86)
s
где интегралы берутся по поперечному сечению 5, перпендику-
перпендикулярному оси z. Как подчеркивалось в § 1, в общем случае в
волноводе не существует волновых решений с собственными
значениями -\-ка и —ка, а потому оказывается невозможным
рассматривать стоячие волны в линии передачи, возникающие
в результате интерференции волн с -\-%а и —уса. Это возможно
только в случае областей с отражательной симметрией.

482
Га 8. Поля в анизотропных областях
Таким образом, из уравнения (8а) вытекают соотношения орто-
ортогональности
(ч?, Г^в) = О, если хо?=х„,
(Wt, r«Wp) = 0 = (/?4fJ, ПРв). если ха^-хр,
а также
(?+, Г (?в + Я?ц)) = 0 = (Vu+ + /?4tf, rWB), если %i Ф 4, A4а)
или, в записи через компоненты,
, если х2афщ- A46)
Отметим, что в соотношениях ортогональности A4) различия
между волнами с ±х не играют роли.
В "эрмитовом случае, когда нет потерь, в силу равенств A0а)
уравнения A46) приобретают вид
A5)
а* ¦ z0 X Ew dS = 0, если х* Ф %\.
В симметричном случае при наличии потерь, в силу равенств
A2а), уравнения A46) приобретают вид
J J H<a • z0 X Etp dS = 0, если %\ Ф %\. A6)
д. Изотропные области
В случае изотропной среды и изотропной границы волно-
волновода (если она имеется)
е=1е, и =
soso),
A7)
где е, ц и i? — скаляры, as — вектор, который определяется
соотношением Dг). Если потери отсутствуют, то е, ц и iS? —
действительные величины и справедливо соотношение ортого-
ортогональности A5). При наличии же потерь указанные параметры
становятся комплексными, а потому применимо уравнение A6).
е. Области с разложением на Е- и Н-волны
У полного поля, соответствующего поперечным собственным
функциям Е1а и Н(д, вообще говоря, имеются обе продольные
компоненты Eza иНт. Чтобы выяснить, можно ли разложить та-
такое собственное поле на Е- и //-волны относительно направле-
направления г, нужно посмотреть, выполняются ли уравнения F) в пер-
§ 2. Разложение по волноводным волнам
483
вом случае при HZa = 0, а во втором — при Eza = 0. Продоль-
Продольные компоненты поля выражаются через Eta и Н(а по формулам
Eа); в общем случае эти уравнения в сочетании с уравнениями
F) не позволяют особенно надеяться на указанное упрощение.
В случае же волновода с изотропным заполнением уравнения
F) приобретают вид
A8а)
= со
7J7 v< у V<] " (Zo X Eta)'
A86)
причем на границе s изотропного волновода, которая характе-
характеризуется импедансом Z [формула A7)] и единичным вектором
нормали v, выполняется условие
Для ?-волны из уравнения Eа) следует равенство Vf-(z0X
X Eta) = 0, а поэтому из соотношения A86) получаем
<Eia. A9а)
Для //-волны имеем V^ • (Н<аХ zo) = O, так что
х Е = (ouHv Xz A96)
Таким образом, требование EZa = 0 или Нга = 0 приводит к
взаимной перпендикулярности векторов Е/а и Н/а.
Влияние граничного импеданса и неоднородности среды на
возможность разложения поля собственных волн на Е- и //-вол-
//-волны удобно рассмотреть по отдельности. Импедансные граничные
условия A8в) означают, что
— s0 • E/a =
= Eza на s.
B0)
т. е. с тангенциальной компонентой вектора H(ct на границе свя-
связана продольная компонента Е:а, а с тангенциальной компонен-
компонентой вектора Eta на границе связана продольная компонента Н1а.
Таким образом, даже если поле ?-волны может существовать
в волноводной среде, его поперечная тангенциальная электри-
электрическая компонента на границе зависит от продольного магнит-
магнитного поля, а это несовместимо с определением ?-волны при %?ф
Ф 0 и Sl, Ф оо. То же самое относится к Я-волнам. Следова-
Следовательно, волновод, ограниченный стенками с конечным импедан-
импедансом, в общем случае не допускает разложения полей на Е- и Н-
волны, хотя такое разложение возможно при определенных ви-
видах симметрии. Например, при возбуждении ?-волны, для кото-
которой поперечная компонента электрического поля, параллельная
границе, равна нулю, //-волна не возбуждается.
16*

486
Гл 8. Поля в анизотропных областях
тору источника. Для определения амплитуд aa(z) собственных
волн прежде всего примем во внимание, что из соотношения ор-
ортогональности (86) и из равенства B66) следует выражение
aa = BNa)~' (Wa, ГЧ'), в которое не входит 0г. Преобразование
урапнений поля Aа) и Bа) путем умножения на сопряженную
собственную функцию Wt (p) и интегрирования по поперечному
сечению волновода дает уравнение, которым определяется ве-
величина аа (z) [напомним, что в соответствии с уравнением Gа)
мы имеем (ч?, КЧ>) = (K+4>t, Ч) = (м*аТ+Ч+, W) = 2Na%aa^[:
а(г) = -Ьа(г), B7)
где Ьа — амплитуда источника1), которая дается следующими
выражениями:
= BNa
Vl
[J, • Е+* + /*?+' + М, • Н+* +
B8а)
Х] dS. B86)
Интегрируя второй и четвертый члены выражения B86) по ча-
частям (в предположении, что Jz обращается в нуль на стенках
волновода), получаем
ba = BNar
+
Н f] dS,
где
М2 EztJz
MM _L ' U V ^г
B9a)
B96)
e2
Здесь he и M(e — эквивалентные плотности поперечных токов,
соответствующие описанию поля только его поперечными компо-
компонентами.
Наряду с абстрактным анализом на основе уравнений B6)
и B7) можно получить альтернативное представление поля, ис-
исключив его продольные компоненты из выражений A) и B),
что позволяет вывести уравнения для поперечных компонент
поля в явном виде (гл. 2, § 2, п. «а»). При этом получаются ура-
уравнения для поперечного поля, сходные с уравнениями F), но в
них величина i%a заменена символом d\dz и в них входят экви-
эквивалентные поперечные токи J(e и М(е [формула B96); относи-
относительно частного случая однородных изотропных областей, огра-
') В случае произвольных источников анализ можно упростить, если пе-
перейти к функциям Грима. При этом телеграфные уравнения принимают фор-
форму уравнений A5) из гл. 1, § 4.
§ 2. Разложение по волноводным волнам
487
ничейных непоглощающими стенками, см. гл. 2, § 2, формулы
D) и E)]. Разложение поперечных полей по собственным вол-
волнам имеет теперь следующий вид:
(г) = Z «а (г) Е,„ (р), Н, (г) = Z «а (г) Н<а (р).
C0)
Подстановка этих выражений в уравнения поперечных полей с
учетом уравнений F) и соотношения ортогональности A06)
дает приведенное выше уравнение линии передачи B7) для ам-
амплитуд собственных волн аа (z). Поскольку в общем случае нет
решений, допускающих наличие ха и —%а в одной и той же об-
области, линии передачи, эквивалентные уравнению B7), оказы-
оказываются однонаправленными, т. е. волны в них распространяются
лишь в одном направлении. В связи с этим метод эквивалент-
эквивалентной линии передачи обычного типа не представляет особой цен-
ценности при такого рода общей формулировке.
Как видно из уравнения B66), для полного представления
полей в области, содержащей источники, необходимо указать
в каждой точке г не только полные поля собственных волн Еа =
= Eta = Е2ах0 и На = Hta + Hzaz0, но и продольные токи источ-
источника J2 и Mz. В таком отсутствии полноты системы векторов для
полных полей нет ничего неожиданного, поскольку задача на
собственные значения относится только к поперечному простран-
пространству.
з. Эквивалентная линия передачи необычного типа
Излучение энергии источником в неограниченной однород-
однородной стационарной среде можно представить как возбуждение
волноводных собственных волн, уносящих энергию от источника.
В полный набор таких собственных волн (гл. 1, § 4) входят
волны, переносящие энергию не только от источника, но и к ис-
источнику, однако в неограниченной среде возможно возбужде-
возбуждение волн лишь первого типа. Граничная поверхность рассеивает
волны излучения; описание этого процесса рассеяния требует в
общем случае применения сложных аналитических методов тео-
теории дифракции. Но если граничная поверхность и среда доста-
достаточно просты, то процесс рассеяния удается рассчитать сравни-
сравнительно простым методом эквивалентной линии передачи. Такой
метод был рассмотрен в гл. 2, § 4, для простого случая изотроп-
изотропной среды. Здесь же мы изложим аналогичный метод, основан-
основанный на линии передачи необычного типа для некоторых выбран-
выбранных направлений распространения в соответствующих гиротроп-
ных средах, и с этой целью введем более общую форму теории
линий передачи.

490
Гл. 8. Поля в анизотропных областях
В однородной изотропной или анизотропной эрмитовой среде
соотношение C6) между полными полями Е и Н и амплитудой
волны аа(к(, со; г) сохраняет силу в любой плоскости г. Рассмо-
Рассмотрим теперь связь, обусловленную наличием в точке z плоской
граничной поверхности, перпендикулярной направлению рас-
распространения z0. Если плоская граница пространственно одно-
однородна и не изменяется во времени, то на этой граничной поверх-
поверхности волна с амплитудой aa(kt, со; 2) будет связана только с
собственными волнами, соответствующими тем же к,, со. Как от-
отмечалось выше, имеются четыре собственные волны с данными
к,,со. Таким образом, если yV(z) == W (к,, со; z) есть (к(Со)-ком-
понента полного поля x?(r,t) на плоскости г, то, опустив аргу-
аргументы к(, со, получим из выражения C1)
x?(z)=Zaa(z)Va, C8)
а
где в случае приведенного описания электромагнитного поля (в
средах без пространственной дисперсии) индексом а разли-
различаются четыре возможные волны. Задача состоит в том, чтобы
найти соотношение между коэффициентами aa(z), обусловлен-
обусловленное наличием плоской границы при некотором значении z = z0.
Мы рассмотрим частный случай эрмитовых сред, которые до-
допускают существование волн с волновыми числами (собствен-
(собственными значениями) ±ха и поперечными собственными векторами
еа = е_а, ha = h_a. Это более общий случай, нежели случай
среды с отражательной симметрией (п. «г»). При заданных к(, со
находим две разные пары волн с волновыми числами1) ± -л'а
и ± Хц. Таким образом, для каждых к(, со поперечные поля
Ej(z), Н((г) в точке z на основании формул C2) и C8) можно
представить в виде
E<(z) = V/«(z)e/o + VS(z)eS,
H,(z) = /a(z)ha + /a»ha\ ^
где для волн и с одним и с двумя штрихами величины Va и 1а
имеют вид
l/a(z) = Zaaa(zH-Z-aa-a(z),
Вообще говоря, между «характеристическими импедансами» Za
и Z_a нет простого соотношения (§ 4, п. «б»), тогда как в обыч-
обычных линиях передачи Z_a = —Za. Поскольку предполагается,
что ea = e_a, ha = h_a, из соотношений ортогональности C3) и
') Для различия этих волн можно было бы также ввести обозначения
§ 2. Разложение по волноводным волнам
491
нормировки C4) можно вывести дополнительные соотношения
ортогональности (в пространстве поляризаций):
ер • ha« X z0 = 6ap, hR • z0 X ea* = 6aB, D0)
где ea, ha — собственные векторы, соответствующие собствен-
собственным значениям %2а. Отметим (как и в гл. 2, § 2), что попереч-
поперечными векторными собственными функциями eaexp[/(k(-p —
— со/)], haexp[i(krP — coOl определяется полный набор собст-
собственных векторов в пространстве р, t и в поперечном векторном
(поляризационном) пространстве. Эти векторы, различающиеся
значениями х2а, не следует путать с собственными векторами
Wa ехр [г(к(-р — iot)], собственные значения которых равны %а.
Таким образом, суммирование в разложении по собственным
волнам для собственных векторов ea, ha (гл. 2 и 3) производит-
производится только по положительным индексам а, тогда как в случае
собственных векторов Wa при суммировании собственных волн
учитываются все значения ±а.
На основании формул C6) и D0) можно вывести следую-
следующее соотношение между амплитудами «бегущих волн» аа и ам-
амплитудами «напряжения» и «тока» Va и 1а в точке z:
a-a(z) =
2ЛГ-П
Z'-a.Ia(z)]t
D1)
где, поскольку амплитуды напряжения и тока связаны с %2а,
разница в индексах +а и —а у этих величин несущественна.
В теории линий передачи обычно вводят по направлению воз-
возрастания z «коэффициент отражения» (по напряжению) Ta(z)
и «концевой импеданс» Za(z):
г м— a-a(z)N-a „ / ч _ Уд (г)
1*Уг>— aa{z)Na ' Za^— /aB)
для описания связи между волнами с ±ос. Тогда из равенств
D1) получаем соотношение
D3а)
и обратное ему
ra (г)
~aw— j—v~lT\ • D36)
Соотношения D3) отличаются от соотношений для обычной ли-
линии передачи
Zg(z) 1 +ГаB)
Г„(г) =
- Га B) '
D4)

494
Гл. 8. Поля в анизотропных областях
лельны. Мы найдем выражения для стационарных волновых
векторов Уд, описывающих волноводные собственные волны в
такой среде, и проиллюстрируем их применение к теории излу-
излучения гармонических источников. Как отмечалось в § 2, поля
излучения можно выразить либо через векторы Л? «первого по-
порядка», т. е. через все электромагнитные и динамические пере-
переменные поля, либо через «приведенные» векторы W, к числу ко-
которых относятся только электромагнитные переменные.
Волноводные волны в однородной гиротропной среде, напри-
например в бесстолкновительной холодной магнитоплазме, описы-
описываются волновыми векторами вида ^(г, t) = Wa exp[/(raf —
¦—k-r)] '), где индекс собственной волны а учитывает как поля-
поляризационный индекс а, так и постоянные периодичности со, к(,
причем kt — к — z0Xa — есть поперечное волновое число. В по-
поляризационном пространстве при заданных со, к( векторы Ч?а
удовлетворяют уравнению для собственных значений [§ 2, фор-
формула B)]
(la)
где К и Г — эрмитовы операторы, а Ка — собственное значение.
Векторы Wa удовлетворяют соотношению ортогональности [§ 2,
формула (8а)]
(чС, ГЧ^) = 2vVa6ag = AFj, ГЧ?в). A6)
В случае среды без потерь, как было показано в § 2, п. «б», для
сопряженного волнового вектора выполняются соотношения
Чг+ = ipа при ха = Ха и Ч^ = Чга» при комплексных хп. Хотя
эти свойства можно априори вывести из общей формы оператора
L [формула Aа)], для определения в явном виде различных
компонент волнового вектора Wa нужно знать конкретную
структуру этого оператора.
Для магнитоплазмы, в которой подвижны только электроны,
форма оператора L первого порядка представлена в формуле
F8) из гл. 1, § 1, а приведенная форма — в формулах A) и B)
из § 2; компоненты векторов первого порядка W задаются в виде
W —* (Е, Н, р, v), а компоненты приведенных векторов — в виде
W —¦ (Е, Н). Исключение динамических переменных: электрон-
электронного давления р и средней скорости v, характерно для приведен-
приведенного описания. Если, кроме того, исключить магнитное поле Н
из уравнений поля в плазме без источников, то окончательное
уравнение для электрического поля Е(г,/) можно записать в
форме
Е(г, /) = 0. B)
') В данном параграфе принята временная зависимость типа ехр(+/ш<).
§ 3. Волноводные волны в магнитоплазме (вдоль гиротропн. оси) 495
Отметим, что тензорный оператор «полной проводимости» W
равен обратной величине электрической компоненты f/"u плаз-
плазменной функции Грина [гл. 1, § 1, формула E7)].
Хотя решение уравнения B) желательно получить в базисе
к(, со, мы будем искать решение в базисе к, со, где к = kf + xzq.
При базисе к, со (причем V = —/к и d/dt = /со, гл. 1, § 2) опера-
оператор проводимости °У для гиротропной среды с диэлектрической
проницаемостью е и магнитной проницаемостью ju == pol имеет
вид
W (к, со) = /со80 Ге + kX(fek2X1)l, Щ = coV0e0, (За)
причем
— = e,U — /e2b0X
C6)
где 1& = bobo и li = 1—bobo — единичные тензоры, продоль-
продольный и поперечный по отношению к единичному вектору bo, ха-
характеризующему направление гиротропной оси [в соотношениях
C) штриховые индексы, используемые в других разделах для
обозначения нормировки по отношению к ео, для простоты опу-
опущены]. В частном случае холодной бесстолкновительной магни-
магнитоплазмы
1 — -
со- — со;
е2 =
со со' — со*;
со
где в соответствии с формулами B0) —B2) из гл. 1, § 5, вели-
величины сор и сос — это плазменная и циклотронная частоты элек-
электронов.
Для определения в явном виде собственных значений %а и
собственных векторов Wa в общем случае удобнее решать при-
приведенное уравнение вида B), чем первоначальную задачу на
собственные значения A). Как было показано в гл. 1, § 4, и как
отмечалось здесь в связи с уравнением Aа), в однородной, не
ограниченной в поперечном направлении среде с волноводной
осью вдоль оси z0 существует набор волноводных собственных
волн вида Ч^г, t) = 4raexp[j(at — k-r)], где k = k, + xaz0.
Таким образом, поскольку Ea (г, t) = Ea exp [j(at — k-r)], из
уравнения B) получаем
, co)-Ea =
Eа)
и, следовательно, поле Ea собственной волны отлично от нуля
при таких значениях х = ха, которые при заданных величинах
со, к( удовлетворяют секулярному уравнению
det^ (к, со) = О. E6)

498
Г л 8. Поля в анизотропных областях
откуда с помощью уравнения F) находим соответствующее соб-
собственное магнитное поле
Н = Et»z0 -jj- Кю Н
Параметры
'2\
A26)
A2в)
в изотропном случае, когда 82 = 0, г\ = 1, сводятся к характе-
характеристическим импедансам Е- и Я-волн [гл.2, §2, формулы A5в)
и A5г)]. Не выписывая компоненты скорости для собственной
волны ха, которые легко определяются по формулам F) и
A2а), найдем только приведенные волновые векторы фа:
ZaCa
A3a)
Из уравнений A2) и (8), приравняв ?>/(У2Za) единице, полу-
получаем равенства [2]
ь'2
Д-fc
40
_/±С«, У2ега=-
сое0е
0е3
Л + ft'2
ь'2
A36)
где 6 = 2ег/(е'—1), а импеданс собственной волны в выраже-
выражении A3а), имеющий вид
A3в)
выбран так, чтобы выполнялись условия нормировки A5). От-
Отметим, что при заданных со и к, векторы еа и ha оказываются
фиксированными, а величина Za в зависимости от выбора знака
перед собственным значением ка в выражении A1) может при-
принимать четыре разных значения, которыми определяются разные
волновые векторы Ч*^. Сопряженные собственные векторы еа*
и ha* и сопряженный импеданс собственной волны Zu« полу-
получаются из выражений A36) и A3в) при замене
А -> А* и
A3г)
Заметим, что Za* = Za, но еа Ф еа* и ha=^=ha*; таким образом,
справедливы выражения для обычной линии передачи, но в фор-
формулу для мощности входят амплитуды как первоначальной, так
ц сопряженной собственных волн (п. «з»).
§ 3. Волноводные волны в магнитоплазме (вдоль гиротропн. оси) 499
Поперечные собственные функции [формула A3а)] с таким
же успехом можно вывести из уравнений поперечного поля [§ 2,
формулы B5)], которые можно записать в виде (ег = ез)
xaZaea = <оц0
ha X z0>
= «е0 ( е
) • z0 X ea,
A4)
где Уа = l/2a, ef = e\\t — /егго X 1<. а индекс а у величин еа и
ha означает, что в них включен множитель ехр[/(ш/ — к^-р)]. Из-
Изложенный вывод на основе приведенного уравнения B) или
Eа) для электрического поля Е носит более общий характер
и справедлив также в случае систем с пространственной дис-
дисперсией.
Благодаря наличию отражательной симметрии относительно
гиротропной оси в рассматриваемом случае возможны собствен-
собственные значения ±ха. Следовательно, условия ортогональности
A6) или G) можно упростить, различая собственные волны по
значениям %2а, а не %а. Тогда из уравнения A3а) с учетом соот-
соотношений G) для +ха и —ха, положив Na = Za, получаем сле-
следующие соотношения ортонормальности при заданных со, kt:
ea • hfi X zo = 6ag при действительных xa,
ea* • hp X Zo = 6а(з при комплексных xa,
A5)
где теперь 6ap=l, если х^х2, и 6ae = 0, если у.\Ф%\. Та-
Таким образом, собственные функции, обозначенные индексами a
и а*, соответствуют собственным значениям ха и х*, т. е. вы-
выбору противоположных знаков перед А в выражении A1).
На основе собственных функций еа и ha, различающихся
собственными значениями х2а, стационарные поперечные элек-
электрическое и магнитное поля и их источники в холодной магнито-
магнитоплазме можно выразить через параметры эквивалентной линии
передачи:
A6а)

502
Гл. 8. Поля в анизотропных областях
§ 3. Волноводные волны в магнитоплазме (вдоль гиротропн. оси) 503
ной плоскости k't [2, 6]. Наибольший интерес представляют те
из таких точек, которые соответствуют действительным значе-
значениям k't и которыми определяются границы по k't интервала рас-
распространения незатухающих собственных волн с действитель-
действительными х'. Положение таких точек ветвления k'u можно опреде-
определить на фиг. 138 из условия dx'/dk't = <x>. Уравнениями k'n = 1
Фиг. 137. Подразделение плоскости XY (показанная часть плоскости не вклю-
включает в себя низкочастотную область со -> 0).
Граничные частоты различных областей таковы: частоты (Oj 4 соответствуют равенству
е2=е2, частота а —равенству 8 =0, частота ш—равенству ?8 2=( е + 1 \ (" е'2 — е 2\.
и k'tl = (е'2 — 822)/е[ определяются значения k't, при которых
%'о е = 0, а точки ветвления при k'tK =± б [F/2) — УF2/4) — 1 ]
соответствуют равенству Д = 0 в выражении (Па). Напомним,
что величина б равна 2в2/(е'—1). Знак величины v!0,t, если
она действительна, следует выбирать в соответствии с усло-
условием излучения, которое требует, чтобы волны с зависи-
зависимостью ехр(— jkvfo, ez) переносили энергию в положительном на-
направлении оси z. Из сказанного в гл. 1, § 7, п. «в», следует, что
средний вектор плотности потока мощности S = Re(EXH*)
нормален к поверхности волнового числа и направлен так, что
k'-S>0, где k' = k't + zox' — нормированный волновой вектор.
Поскольку нас интересуют волны с S-z0 > 0, это означает, на-
например, что для диапазонов распространения, представленных
на фиг. 138, а и д, мы имеем к'о, е > 0, на фиг. 138, в мы имеем
хо > 0 при k't < 1 и хо < 0 при k'tl < k? < оо и на фиг. 138, и
мы имеем %'е > 0 при — оо < k't2 < оо. При переходе от диапа-
диапазона распространения к диапазону, в котором распространение
невозможно, аналитическое продолжение функции к'о. е следует
осуществить так, чтобы выполнялось условие Imxo, е<0, кото-
которым определяется и соответствующий знак перед величиной
R'
Выражения для собственных функций еа = е0] е, ha = h0] e (и
сопряженных функций), соответствующих обыкновенной и не-
необыкновенной собственным волнам, следуют из формул A3) при
е3 > 0:
У2 ео. е = ^д kt0 =F /-д- k@,
±д*-^'2 б A9а)
У2 е0.. е* = —. .. l kt0 + j-тт kiQ,
<y/2bo,. = i —
+
,- k'2 ± Д'
t0, A96)
причем характеристический импеданс Z0,e [формула A3в)] при-
принимает вид
Д2±.
ky.'n'.
1
. = — х„
B0)
Согласно формуле A5), собственные функции в формулах A9а)
и A96) удовлетворяют условиям ортонормальности
Xzn = 0, eeo-h* oXz0= 1 при действительных А, B1а)
е. о о,
ее«. о- ' К, е X zo = °. ee,iO,-h*iOXz0=l при мнимых Л, B16)
причем х0 = — к'*, если Д — мнимая величина (знак минус вы-
выбран, чтобы обеспечивалось неравенство Im к'0> е < 0). Тогда из
соотношения B0) следует, что
Zo— — Ze, если Д — мнимая величина.
B1 в)
Если потери в среде отличны от нуля, то матричные элемен-
элементы D) оказываются комплексными и в соотношение ортогональ-
ортогональности собственных воли [§ 2, формула (86) или A46)] в рас-
рассматриваемом случае отражательной симметрии входят собст-

506
Гл. 8. Поля в анизотропных областях
Можно иначе: по формулам A7) и B2) вычислить для сре-
среды, свободной от источников, величины
Индексами а> и а< обозначены собственные волны, перенося-
переносящие энергию в направлении увеличения (z > 0) или уменьше-
уменьшения (г<0), а суммирование производится по тому или иному
типу собственных волн в зависимости от неравенства z ^ 0. Да-
Далее, формула A8в) при ba(z) = ba8(z) дает
B4в)
Благодаря наличию отражательной симметрии каждому значе-
значению ха соответствует собственное значение —%а (§ 2, п. «г»),
поэтому весь интервал г ^ 0 можно охватить одним выраже-
выражением для а>, если в интервале z < 0 величину %а заменять ве-
величиной —ха. В этом случае выражения B4) дают тот же ре-
результат, что и формулы A6) данного параграфа и C) из § 2.
Поскольку подынтегральные выражения в формулах B4а) и
B46) зависят только от kt н р, можно воспользоваться азиму-
азимутальной симметрией и перейти к разложению Фурье—Бесселя
(по цилиндрическим волнам). С учетом того, что k(o=po cos ср —
— фо sin ф, к@ = р0 sin ф + фо cos ф, на основании формул G) из
гл. 5, § 2 [при f(kt) — 1, р' = 0], получаем
t, dkt = kt dkt
B4r)
тогда как дифференцирование по р тех же формул при f(kt)==
= l/kt, р' = 0 дает
оо 2Я °°
J dkt J rtpft, cos фе"'*'" cos ф = - /2я J /, (ktP) kt dkt. B4д)
оо о
Кроме того, прямое интегрирование по ф дает
2Я
B4е)
На основании этих результатов из формул B4а), B46) и A3)
(при фиксированных р0 и <р0) путем преобразования, приводя-
§ 3. Волноводные волны в магнитоплазме (вдоль гиротропн. оси) 507
щего в гл. 3, § 2, от формулы F2) к формуле F9), получаем
при z Ф 0 и е3 > 0 [2] ')
'о, е
/Л (sign г) ^ а2(
.Po-
±А
Ez =A
а2 ТА
1*1
± А 1 - а
XH?(kop)e~' °-'"'do, B5a)
'•e //^(^pje"''*-»1*1^, B56)
°-e do, B5b)
'd0> ст=/г{, B5r)
где верхний знак относится к вкладу обыкновенной, а ниж-
нижний— к вкладу необыкновенной волны, Л = fe2^0/16л при ? =
= (цо/ео8зI/2; ро, фо. z0 — единичные векторы цилиндрической си-
системы координат. Для краткости введено обозначение о = k\,
где k't определяется формулой A0а). Теперь полные поля вы-
вычисляются как
Контур интегрирования деформирован в нижнюю половину пло-
плоскости о для того, чтобы исключить точку ветвления о = 0, об-
обусловленную наличием функций Ханкеля. Особые точки ветвле-
ветвления, обусловленные наличием А и к'о, „, в случае отличных от
нуля потерь смещены с действительной оси, а поэтому их место-
местонахождение в предельном случае, когда потерь нет, определяет-
определяется однозначно. Можно и иначе — сразу выбрать контур, дефор-
деформированный около существенных действительных точек ветвле-
ветвления, на основании сказанного в п. «б». Это связано с условием
излучения, требующим, чтобы на контуре интегрирования вы-
выполнялось неравенство Im %'о, е ^ 0. В отсутствие потерь, когда
величина к'о, е может быть действительной в некоторых интер-
интервалах изменения о, знак величины хо,е можно определить так,
как говорилось в п. «б», или путем перехода к предельному слу-
случаю нулевых потерь.
') При е3 < 0 следует произвести замену Уе -> — / Vl е |
> /V
о-*/о,

510
Гл 8. Поля в анизотропных областях
обретает вид [гл. 1, § 6, формула B2), при А == L, г|з = krM,
i -* —j, kt ->¦ ka]
7 = (j L (ст) e-'krM @) do, C2)
где
M (a) = -/ (a) | cos 0 | + ct sin G, C2a)
причем г, 0 — сферические координаты с началом отсчета в точ-
точке расположения источника г = 0:
= rsin6, z = r cos6.
C26)
При kr > 1 основной вклад в интеграл вносит окрестность сед-
седловой точки at, где
1 = 1) ИЛИ
C3)
Действительным решениям к (о{)^х'{, о{ соответствуют рас-
распространяющиеся волны в дальней зоне, а комплексным седло-
вым точкам — экспоненциально затухающие. Геометрическая
интерпретация условия седловой точки C3) проводилась в гл. 1,
§ 6, п. «б», а также в связи с излучением в одноосной среде [гл. 7,
§ 3, формула A1) и далее]. При этом было установлено, что
действительными седловыми точками определяется положение
таких точек v!t, ai на поверхности волновых чисел для данной
среды [т. е. на графике действительных решений х', ki = a ура-
уравнения (П)], в которых нормаль образует угол 0 с положитель-
положительным направлением оси у!. Нормаль к поверхности волновых чи-
чисел направлена в сторону потока энергии (направление луча),
так что вклад каждой седловой точки представляет собой волну,
которая, по крайней мере в дальней зоне, переносит энергию в
радиальном направлении от области источника. Это условие ра-
радиальности потока энергии не обязательно выполняется для пол-
полного поля, соответствующего нескольким седловым точкам, так
как, вообще говоря, возможна интерференция между разными
составляющими поля. Сказанное поясняется в общем виде на
фиг. 139 (подробнее о такой диаграмме см. т. 1, фиг. 14), а на
фиг. 138 показана фактическая форма кривых, соответствующих
различным параметрам плазмы с тензором диэлектрической про-
проницаемости C6).
Для асимптотического вычисления интеграла C2) остается
показать, что контур интегрирования можно деформировать в
пути наибыстрейшего спуска (ПНС), проходящие через различ-
различные седловые точки. ПНС, проходящие через седловую точку
ои определяются уравнением ReM(a) =ReM(at), которое
трудно решить из-за сложной зависимости х'(ст). Но по ПНС
г
I
$' 3. Волноводные волны в магнитоплазме (вдоль гиротропн. оси) 511
можно точно следовать только в окрестности точки ст< (где его
ход легко определить), если остальные участки С контура ле-
лежат в долинах ниже уровня различных седловых точек, которые
тоже дают заметный вклад. В долинах комплексной плоскости а
имеем 1тМ(ст) < 0, и, следовательно, вклад любого участка С
равен О [ехр (—akr)], где а >0 — минимальное значение вели-
величины | Im Л1(a) j вдоль С. Этим экспоненциально малым членом
можно пренебречь в сравнении с вкладом окрестности седловой
точки, в которой ImAf(CTi) = 0'). Для случая, представленного
*¦ о,р
Фиг. 139. Поверхность волновых чисел и седловые точки.
на фиг. 139, картина на комплексной плоскости а в окрестности
седловых точек показана на фиг. 140. Нетрудно видеть, что
контур можно деформировать относительно действительной оси
таким образом, чтобы при а ф Oi он целиком располагался в
долинах. Для этого необходимо, чтобы знак производной
(РМ(вЛ1йо2 изменялся от одной седловой точки к другой, по-
поскольку аргумент векторного элемента а — аи указывающего
направление от седловой точки вдоль ПНС, равен +л/4 при
d?M(a^jda* ^ 0 [гл. 4, § 2, формула A), а также гл. 7, § 5,
п. «д»]. Такое условие выполняется, если к'{а) — регулярная
функция аргумента а на соответствующем интервале действи-
действительной оси. Можно также показать, что ни одна из точек вет-
ветвления в подынтегральном выражении не пересекается при де-
деформировании контура. Поэтому асимптотическое выражение
для интеграла C2) соответствует только седловым точкам, при-
причем вклад низшего порядка каждой точки имеет такой вид, как
в формуле A6) из гл. 4, § 2 (относительно аналитических
СВОЙСТВ фуНКЦИИ %о,е СМ. П. „б").
•) Эта оценка экспоненциальной малости ошибки, возникающей при пре-
пренебрежении вкладом С, дополняет оценку ошибки метода седловой точки
в гл. 4, § 2, п. «б», основанную на рассмотрении расстояния между седловой
точкой и ближайшей особенностью подынтегрального выражения.

514
Гл. 8. Поля в анизотропных областях
§ 3. Полноводные волны в магнитоплазме (вдоль гиротропн. оси) 515
величины cti и ст2 являются комплексными и вклады соответст-
соответствующих лучей пренебрежимо малы; этот диапазон углов наблю-
наблюдения соответствует «области тени» для упомянутых лучей. Все
сказанное никак не влияет на луч, соответствующий точке аз,
который вносит вклад во всех точках наблюдения. Аналогичные
соображения высказывались в гл. 7, § 3, при объяснении явле-
явлений, наблюдающихся в том случае, когда у поверхностей волно-
волновых чисел имеются незамкнутые ветви.
Переходная область (слияние двух седловых точек)
Как отмечалось выше, асимптотические выражения C4) те-
теряют силу при Rt—*oo, например, в точке перегиба дисперсион-
дисперсионной кривой (точки Т на фиг. 139). При приближении угла на-
наблюдения 0 в дальней зоне к значению 0С, которое соответствует
направлению нормали в точке Т, две седловые точки первого по-
порядка ai и 02 сближаются и сливаются в одну седловую точку
второго порядка на границе тени & = 0С. В этом случае асим-
асимптотическое вычисление интеграла следует проводить с по-
помощью функций Эйри (гл. 4, § 5, п. «а») и результат полностью
аналогичен полученному в гл. 7, § 5, п. «д» [член формулы E9)
из гл. 7, § 5, обусловленный седловыми точками ($i и р2]. В об-
области тени @ > 0с на фиг. 139) вклады двух лучей, соответ-
соответствующих точкам 0i, 2, экспоненциально малы, а потому ими
можно пренебречь [лучевой показатель преломления N(Q) уже
не является действительным], тогда как на границе тени поля
изменяются пропорционально (fer)-5/« ехр [—jkrN(Qc)]. Таким об-
образом, поля на границе сильнее, чем при других углах наблюде-
наблюдения, когда зависимость от расстояния имеет обычный вид (kr)~l.
Следовательно, усиление поля должно быть больше в переход-
переходной области, где оба луча, соответствующие точкам 0i и а2, вно-
вносят почти одинаковый вклад и поэтому сильно взаимодействуют.
Чтобы дать представление о модификации асимптотического
метода при а,- —> оо, нам достаточно рассмотреть подынтеграль-
подынтегральные выражения в формулах B5) в области больших 0. Из вы-
выражения A1) и такого же выражения при е3 < 0 получаем в
случае, когда \а\ > 1,
— Д/е
V
О,
C6 а)
e3 < 0, г[ < 0, C66)
где н'о < 0 и х'е > 0 (фиг. 138), а незамкнутая ветвь связана с
обыкновенными при ез > 0 и необыкновенными при ез < 0 соб-
собственными волнами. Чтобы аппроксимировать множители, стоя-
стоящие перед экспоненциальной функцией и функцией Ханкеля в
подынтегральных выражениях в формулах B5), следует поло-
положить к ~ 0, Д « —а2. Тогда получаются простые степени 0,
которые можно представить в виде соответствующих простран-
пространственных производных остающихся подынтегральных выраже-
выражений. Таким образом, поля можно выразить через пространст-
пространственные производные интеграла, имеющего тот же вид, что и ин-
интеграл (8) из гл. 7, § 3. Последний можно вычислить [гл. 7, § 3,
формула C6) 41. Поскольку потенциальная функция в формуле
C6) из гл. 7, § 3, ведет себя как [rN(Q)]~l ехр [—jkrN(Q)], оче-
очевидно, что при 0-->¦ 0С [т.е. при 7V @) —>¦ 0] имеется особая точка
истинного поля и что поведение поля вблизи такого типа гра-
границы тени в гнротропном случае такое же, как и в более про-
простом случае одноосно анизотропной среды [2]. Данный вопрос
подробно рассматривался в гл. 7, § 3, пп. «а» и «д». Еще раз
подчеркнем, что сильные особые точки поля и потока мощности
при 0 = 0С исчезают при наличии потерь, а также при замене
точечного диполя тока плавным распределением источников.
Переходная область (седловая точка удаляется в бесконечность)
Радиус кривизны дисперсионной поверхности неограниченно
возрастает и на удаленных участках незамкнутых ветвей. Про-
Простой, но типичный пример уже встречался нам в случае одноос-
одноосной анизотропной среды в гл. 7 (фиг. 108); в нашем случае
трудность возникает при 0 —* 9С@; —* оо), где 0С — угол, соответ-
соответствующий нормали к асимптоте поверхности. Ветви диспер-
дисперсионной кривой могут быть незамкнутыми, когда е' < 0, что
вытекает из исследования действительных решений уравнения
A0) при и', <т-*оо; уравнение асимптот, как легко показать,
имеет вид 9 =_8 = ± arclg \—1/е', причем о =/г*.
г. Функции Грина в плоскослоистых областях
Представление в виде разложения по обыкновенным или необыкновенным
собственным волнам
В среде, состоящей из кусочно-однородных слоев, границы
которых перпендикулярны оси z прямоугольной системы коор-
координат, выполнение электромагнитных граничных условий на ка-
') Следует учитывать, что в данной главе принята временная зависи-
зависимость типа exp(jwt). Несмотря на то что формула (8) из гл. 7, § 3, имеет
вид, прямо соответствующий формуле C66), можно показать, что интеграл,
соответствующий выражению C6а), приводит к результату того же типа.

518
Гл. 8. Поля в анизотропных областях
a cos(fex'd) —диагональная матрица с элементами cos{k%'od)
в одном и cos (kx'ed) в другом случае; подобным же образом
интерпретируется и sin(kx'd). Значения 1Л и 1\ векторов напря-
напряжения и тока на передней границе слоя г = zx связаны с их зна-
значениями на плоскости z = z2 того же слоя соотношениями
1Л
D1)
а переходу через поверхность раздела между слоями соответ-
соответствуют соотношения C9). Путем многократного применения
формул C9) и D1) можно последовательно рассчитать напря-
напряжение и ток в любой точке плоскослоистой области и найти
полную матрицу передачи, равную упорядоченному произведе-
произведению всех отдельных матриц Т2 и Tz.
Если область замыкается при z = а плоскостью с постоян-
постоянным анизотропным поверхностным импедансом Z (т. е. Et =
= 3Z-Ht X zo при z = a), то на основании таких же соображе-
соображений, что и при выводе выражений C8), получаем
V=ZI, D2)
где V и /—столбцы, как и в формуле C9), a Z— BX2) -ма-
-матрица импеданса:
К. X zn
h0Xz0
h0 X z0
h*. X zn • Z ¦ h V zn
D2a)
причем собственные функции относятся к среде, примыкающей
к концевой плоскости. Нетрудно видеть, что наличие даже ска-
скалярного поверхностного импеданса 3CS, для которого Z= \tSZs,
приводит к связи между собственными волнами во всех случаях,
кроме случаев Sl, = 0 (идеальный проводник) и kt = 0 (нор-
(нормальное падение собственных волн).
Из того что резкое изменение свойств среды приводит к свя-
связи между собственными волнами о и е, соответствующей фор-
формуле C9), следует, что в гиротропной среде с непрерывным из-
изменением свойств вдоль оси z существует непрерывная связь
между такими собственными волнами. Поэтому разложения по
собственным функциям C7) применимы лишь локально, а сами
собственные функции зависят от z (дискретный индекс v пре-
превращается в непрерывную функцию координаты г). Подобные
трудности отпадают в частном случае одноосной анизотропии
(гл. 7, § 2) и, разумеется, в случае изотропного диэлектрика
(гл. 2, § 3, п. «д»). Анализ связанных уравнений см. в работе
[10].
§ 3. Волноводные волны в магнитоплазме (вдоль гиротропн. оси) 519
Быстрые изменения параметров среды приводят к сильной
связи между собственными волнами о и е, что усложняет вы-
вычисления. При этом может оказаться более удобным другой ме-
метод, основанный на несвязанных уравнениях для собственных
функций при ег = 0 и при произвольной зависимости ei и ез от
г; связь же между собственными волнами вводится за счет не-
диагонального элемента тензора диэлектрической проницаемо-
проницаемости C6). «Невозмущенное» решение в этом случае, очевидно, со-
соответствует либо одноосной (гл. 7, § 2, ei =^= ез), либо изотроп-
изотропной (гл. 2, § 3, п. «д», ei = е3) среде. В гиротропной плазме,
описываемой формулами D), мы имеем ег = 0 при сос = 0 или
(ос = оо, и поэтому в широких пределах изменения электронной
концентрации X (г) = со^ (г)/со2 можно пользоваться методом тео-
теории возмущений, при малых значениях сос рассматривая возму-
возмущение изотропного, а при малых значениях 1/сос — возмущение
одноосного случая [11].
Асимптотическое вычисление полей
Если расстояние от точки наблюдения до области источника
намного больше длины волны, то интегральные выражения для
полей можно упростить так, как это делалось в гл. 5, § 5 и 7. На-
Например, решение задачи об излучении дипольного источника в
однородном гиротропном плазменном полупространстве г<0 в
том случае, когда точка наблюдения находится в плазме, имеет
вид интегралов B5), описывающих основное поле, к которым
добавляются аналогичные интегралы для возмущения, обуслов-
обусловленного наличием поверхности раздела; подынтегральные выра-
выражения последних дополнительно содержат соответствующие ко-
коэффициенты отражения собственных волн, которые выводятся
методом эквивалентных схем, изложенным ранее в данном па-
параграфе. Экспоненциальные множители в подынтегральных вы-
выражениях имеют вид
ехр {- jk К в (a) I z | + <_ , (a) \z'\ + ар]}, D3)
где индексы о и е могут быть в любой комбинации. Экспонента
такого же типа исследовалась в связи с выражениями A2) из
гл. 7, § 5, где вместо v!0 е стоит ^i, 2(Р); дальнейший вывод и ин-
интерпретация условия в седловой точке справедливы и в данном
случае, если учитывать, что лучи направлены перпендикулярно
поверхности волновых чисел. Здесь вновь поверхности волно-
волновых чисел играют важную роль при выяснении физического
смысла решения, как это уже отмечалось в гл. 1, § 6 и § 7,
п. «г». Если, например, поверхность волновых чисел для плазмы
имеет такой вид, как на фиг. 138, е, то все лучи А — D на

522
Гл. 8. Поля в анизотропных областях
§ 4. ВОЛНОВОДНЫЕ ВОЛНЫ В ХОЛОДНОЙ
МАГНИТОПЛАЗМЕ (ВОЛНОВОДНАЯ ОСЬ
ПЕРПЕНДИКУЛЯРНА ГИРОТРОПНОЙ ОСИ)
Как говорилось в § 2, п. «з», анализ краевых задач в гиро-
тропной среде в общем случае весьма сложен. Но при специаль-
специальном выборе геометрии, параметров среды и источников возбу-
возбуждения анализ становится вполне доступным и его можно про-
проводить методом эквивалентных линий передачи. Например, в
гл. 7, § 2, п. «б», и § 4, п. «б», было установлено, что некоторый
класс краевых задач в одноосной анизотропной среде можно
свести к эквивалентным задачам в изотропной среде. Такие же
упрощения оказываются возможными и в гиротропной среде,
если поля не зависят от координаты, отсчитываемой в направ-
направлении гиротропной оси (т. е. если волна распространяется пер-
перпендикулярно этой оси). Для исследования подобных задач ус-
установим сначала возможные волноводные волны в гиротропной
среде с гиротропной осью bo, перпендикулярной волноводной оси
z0. В таком волноводе рассматриваемые задачи соответствуют
частному случаю волн с волновыми векторами к в плоскости,
перпендикулярной вектору Ьо и содержащей ось z0; однако я
такой системе существуют и другие волны, например такие, вол-
волновые векторы к которых лежат в плоскости, проходящей через
векторы Ьо и z0.
а. Собственные функции и собственные значения в случае,
когда вектор Ьо перпендикулярен вектору z0
В волноводе с вектором Ьо, перпендикулярным вектору z0,
волноводные волновые векторы Wa и собственные значения ха,
введенные в гл. 1, § 4, а также в § 2 из данной главы, сущест-
существенно зависят от угла ф, которым характеризуется ориентация
гиротропной оси bo = k@cos^ + k(Osin^ в плоскости, перпенди-
перпендикулярной оси волновода z0. Здесь обозначения такие же, как и
в приведенном электромагнитном описании гиротропной среды
в случае, когда вектор Ьо параллелен вектору z0 (§ 3, п. «а»). За-
Зависимость величин Wa и х,а от ф можно установить, решив за-
задачу на собственные значения Aа) из § 3 методом, указанным
в формулах B)—F) из § 3. Компоненту Еа вектора Wa для
случая, когда вектор Ьо перпендикулярен вектору zo, можно вы-
вывести из уравнения Eа) § 3 с базисом z0, k@, k«>, в котором напи-
§ 4. Волноводные волны в магнитоплазме (поперек гиротропн. оси) 523
сана формула (8) из § 3 (в предположении со ф 0):
tckf
— + \Ч sin ф
— /е2 cos ф
^-4 /e2sin0 e, sin2 ф + е3 cos2 ф — -^- (е, — e3)sin ф cos</>
о—
е, cos2 ф + е^ sin2 ф
/e2cos0 (e, — e3)sin0
*8
х
A)
причем обозначения и способ вычисления такие же, как и в
формуле (9) из § 3 и далее в случае, когда вектор Ьо паралле-
параллелен вектору z0.
Ненулевые решения уравнений A) существуют при тех зна-
значениях х = ха, которые удовлетворяют детерминантному урав-
уравнению [заметим, что в данном случае нормировка х' = x/k0, k't =
— kt/kQ отличается от нормировки (Юа) из § 3]:
в± + ч- Щ2 + С1 - тг) К2 cos2 ф] у. +
- К2) (е3 - К2) - cos2 ф [4 (е, - е3) sin2 ф - (е± - е3) k? +
которое при ф = я/2 приобретает вид
[*'2 - (ej. - К2)] \*'2 - (е3 - К2)] = 0, B6)
а при 0 = 0
хм _ [ех + е3 - A + f) k?] *'2 + f [(е, - k'tJ - е2] = 0, Bв)
где е± = (е2 — е2)/е, и ei, 2, з — величины, которые даются фор-
формулами D) из § 3.
Волновые векторы Ч*"а, соответствующие корням х = ха урав-
уравнения B), довольно сложны при произвольной ориентации ф
гиротропной оси в поперечной плоскости. Для простоты рассмо-
рассмотрим сначала случай ф = л/2, когда гиротропная ось перпенди-
перпендикулярна как волноводной оси z0, так и направлению к0. При за-
заданных к(, со получаем из формул A) данного параграфа и F)

526
Гл. 8. Поля в анизотропных областях
§ 4. Волноводные волны в магнитоплазме (поперек гиротропн. оси) 527
равно нулю, а поэтому существенна только перпендикулярная
оси bo часть тензора диэлектрической проницаемости.
Интересно сопоставить решение задачи в случае линейного
магнитного тока на основе приведенных уравнений Максвелла
и на основе эквивалентной линии передачи [12]. Выберем пря-
прямоугольную систему координат х, у, г, ориентированную таким
образом, что х0 = к(о, уо = Ьо = к@, а вектор z0 направлен
вдоль оси волновода. Пусть М = Му0 — плотность линейного
магнитного тока, причем д/ду = 0; обозначим отличные от нуля
й Н Н
компоненты полей через
E
у
= Ну-=Н, Ef = Ex и Ег. Исклю-
Исклюр у
чив Ez, приведенные уравнения Максвелла [§ 2, формула A)] с
учетом выражения C6) из § 3 для е можно записать в виде
дЕх
дг
дН
дг
Исключая теперь Ех, получим
+ + k2
— 1 — — Ех — М,
г дх
Eа)
Н = WxM, E6)
где ех = (е^ — ei)/8i — эффективная относительная диэлектри-
диэлектрическая проницаемость. Уравнение E6) имеет такой же вид, как
и уравнение для изотропной среды с относительной диэлектри-
диэлектрической проницаемостью ej., но анизотропия проявляется в нали-
наличии членов, содержащих р2, в выражениях Eа). На основании
формулы C6) из § 3 нетрудно показать, что в холодной элек-
электронной плазме
<0 ПРИ О) < (D4 И ЙЬ < G) < (О,,
Fа)
е±>0
при
при
СО4
О <
И @ > СО,,
где (фиг. 138)
©4, 1 = ¦
/г2
F6)
В рассматриваемом случае линейного магнитного тока зави-
зависимость полей необыкновенной волны от z можно также иссле-
исследовать методом эквивалентной линии передачи. Это особенно
удобно в случае волн с зависимостью полей от х вида
ехр (—jktx) и в случае плоскослоистых рассеивателей (ось z
перпендикулярна слоям). Как показано в § 2, п. «з», при методе
эквивалентной линии передачи общего вида поведение собствен-
собственной волны с номером а характеризуется коэффициентом отра-
отражения (по напряжению) Га(г), который связан с импедансом
Za(z) на некоторой рассеивающей плоскости, расположенной в
точке z, соотношением D3) из § 2. При заданных kt, со характе-
характеристические импедаисы необыкновенных собственных волн
даются формулами D6) и Dв), откуда на основании формулы
D3) из § 2 получаем следующее выражение для коэффициента
отражения собственных волн, распространяющихся в сторону
увеличения z с действительными ха:
Za (г) — Za
Za (z) + Z*a
G)
Например, если в точке z = 0 расположена идеально прово-
проводящая плоскость, так что Za@) = 0, то по формулам D6) и G)
находим коэффициенты отражения з точке z = 0, соответствую-
соответствующие распространению в положительном и отрицательном напра-
направлениях:
_ Z-g __ __ 1 — j (ktB2/xaEi
(8)
и затем по формуле D5) из § 2 нетрудно вычислить коэффи-
коэффициент отражения в любой плоскости z. Несимметричными выра-
выражениями (8) для коэффициента отражения случай гиротропной
среды резко отличается от случая изотропной среды, где коэф-
коэффициент отражения от идеально проводящей плоскости имеет
единственное симметричное значение, равное —1. Кроме того,
в силу требования Ех = 0 на идеально проводящей плоскости
при z = 0 и соотношений Eа) величины дН/dz и дН/дх оказы-
оказываются взаимосвязанными, тогда как в изотропной среде
дН/dz = 0. Анизотропия среды приводит к нарушению прин-
принципа взаимности, поскольку величина Га@) не является четной
функцией переменной kt (т. е. волны с поперечной периодич-
периодичностью, характеризуемой величиной —kt, отражаются иначе,
чем волнв1 с +&().
Изложенный выше анализ распространения волноводных
волн вдоль оси z становится неприменимым, если рассеивающий
объект представляет собой идеально проводящий цилиндр про-
произвольного поперечного сечения с осью, параллельной оси Ьо и
направлению линейного магнитного тока. В этом случае падаю-
падающая волна с заданным значением kt связана с бесконечным чис-
числом рассеянных волн, для которых —оо < kt < оо. Даже если
рассеивающая поверхность S лежит на координатной поверхно-
поверхности и = const в ортогональной системе координат (и, и), что
позволяет разделить переменные в уравнении E6), и поле па-
падающей волны выражается через собственные функции, завися-

530
Гл. 8. Поля в анизотропных областях
импедансом; различие только в форме выражения A3а) для Г.
Следовательно, асимптотический подход при вычислении поля в
дальней зоне остается почти таким же, как в гл. 5, § 7, п. «б».
Как отмечалось выше, важное значение имеет то обстоятель-
обстоятельство, что Г E) Ф Г(—1); это означает, что граница по-разному
воздействует на волны с одинаковой пространственной перио-
периодичностью, падающие на поверхность по разные стороны от нор-
нормали к ней. Такое нарушение принципа взаимности является
следствием гиротропных свойств среды.
Однонаправленная поверхностная волна
Поскольку выражение A3а) для Г(|) имеет вид, соответст-
соответствующий индуктивному поверхностному импедансу в изотропной
среде, в силу сказанного в гл. 5, § 7, должна существовать по-
поверхностная волна, которая экспоненциально затухает в напра-
направлении оси г и распространяется без затухания в направлении
оси х. Действительно, коэффициент отражения Г имеет полюсы
1р при
Это уравнение л^гко решить относительно |р, что дает
|р = ± &oVEi " Чтобы получить поверхностную волну с действи-
действительными ЪР, нужно, чтобы величина ei была положительной,
откуда |2 > к2; следовательно, х,р = —/|ир| есть мнимая вели-
величина. Знак величины ?р совпадает со знаком отношения —ег/еь
а поскольку е, > 0, мы имеем sign gp = —sign 62; знак вели-
величины ег определяется направлением внешнего постоянного маг-
магнитного поля [§ 3, формула D)]. Таким образом,
|р = ±&оУ^ при е2^0, е,>0. A5)
При наличии слабого поглощения выполняется неравенство
Im Vei < 0, чем фиксируется положение полюса по отноше-
отношению к контуру интегрирования. В отличие от изотропного слу-
случая здесь имеется лишь один полюс, а не обычная симметричная
пара ±|р, как в гл. 5, § 7. Это приводит к однонаправленному
распространению волны, как будет показано ниже [12].
Исследование элементов тензора диэлектрической проницае-
проницаемости показывает, что величина е: = (со2 — со2 — со;;) (со2 — со;!)"
положительна, если со > д/со^ + а2с или со < сос, где сос и сор —
циклотронная и плазменная частоты электронов. В частности,
аH<81<1, если со > л/а2 + <л2с;
б) е{ > 1, если со < сос.
§ 4. Волноводные волны в магнитоплазме (поперек гиротропн. оси) 531
Таким образом, фазовая скорость поверхностной волны c/Vei
в направлении оси у, параллельной плоскости, превышает ско-
скорость света в вакууме с (быстрая волна) в случае «а», но мень-
меньше с (медленная волна) в случае «б». Эти выводы представляют
интерес в связи с задачей об излучении линейного источника,
находящегося в магнитоплазменном слое конечной толщины; в
такой системе возмущенная медленная волна (случай «б») ос-
остается поверхностной, а возмущенная быстрая волна, соответст-
соответствующая случаю «а», превращается в вытекающую, что может
сильно изменить картину излучения; быстрая волна уносит энер-
энергию от границы (гл. 5, § 5, п. «ж»). На основании формул E),
A4) и A5) компоненты поля поверхностной волны можно пред-
представить в виде
Н = Ну =
(±/v
k0
i >hz),
H, Ex =
A7a)
A76)
где С — постоянный амплитудный коэффициент, причем верх-
верхний знак соответствует значениям ег > 0, а нижний —¦ значе-
значениям ег < 0 при ei > 0. Поскольку Ех = 0, поверхностная волна
является волной ТЕМ (поперечной электромагнитной) относи-
относительно направления оси х. Это можно установить непосредст-
непосредственно, потребовав, чтобы поверхностная волна была решением
уравнений Максвелла в отсутствие источников, удовлетворяла
граничным условиям при г = 0 и имела компоненты поля, про-
пропорциональные ехр [—jlpX—-|хр|.г]. Поскольку компонента Ех
должна обращаться в нуль при z = 0, она должна быть равна
нулю всюду. Поверхностная волна распространяется (и перено-
переносит энергию) только в направлении —х, если ег > 0, и только
в направлении -\-х, если ег < 0, т. е. является однонаправлен-
однонаправленной, как говорилось выше.
Сравнение выражений F) и A6) показывает, что поверх-
поверхностные волны могут распространяться, даже если сама среда
непрозрачна; так обстоит дело при ej. < 0, е\ > 0 [т. е. при
иг < со < соз или со < min (шс, coi)]. Можно даже представить
себе физическую ситуацию, в которой мы сталкиваемся с «тер-
«термодинамическим парадоксом», когда энергия поглощается кон-
концевым элементом, не имеющим потерь. Рассмотрим систему,
изображенную на фиг. 143, в отсутствие линейного источника и
с непоглощающей границей в плоскости х = 0; параметры сре-
среды выберем так, чтобы выполнялось условие е± < 0 и поверх-
поверхностная волна могла распространяться в направлении -4-х. По-
Поскольку в направлении х = —с» распространение волн невоз-
невозможно ни в самой среде, ни вдоль плоскости, нет никакого ме-
механизма, которым можно было бы скомпенсировать перенос
18*

534
Гл. 8. Поля в анизотропных областях
ланные в гл. 1, § 5, п. «б». В рассматриваемом случае плазмы
транспонирование соответствует изменению направления внеш-
внешнего магнитного поля на противоположное.
Полученный результат имеет прямое отношение к измере-
измерениям антенных диаграмм в анизотропной области. В изотроп-
изотропной среде диаграмму направленности обычно определяют, изме-
Фиг. 145. Эквивалентные задачи.
ряя энергию, которая поступает в антенну от плоских волн, па-
падающих под разными углами. При аналогичных измерениях в
гиротропной среде необходимо также транспонировать пара-
параметры среды [15].
г. Дифракция на полуплоскости
Допустим, что идеально проводящая граница на фиг. 143
простирается только от х = 0 до х = оо, а все пространство
заполнено одной и той же анизотропной средой. Такую краевую
г, И-о
Отраженной.
волны нет
Падающая волни
Отраженная волна
Фиг. 146. Полуплоскость.
I
задачу нельзя решить путем разделения переменных, но она ре-
решается методом Винера —Хопфа [16]. Мы не будем останавли-
останавливаться на деталях и отметим лишь некоторые физические харак-
характеристики решения. Если выбрать условия таким образом, что-
чтобы сверху вдоль экрана могла распространяться поверхностная
волна в направлении х = —с», то это будет означать, что снизу
вдоль экрана может распространяться поверхностная волна в
направлении х = +°о (достаточно повернуть фиг. 143 на 180°
вокруг оси у). Это единственные возможные типы волн; распро-
Задачи
535
странение вдоль экрана в направлении х = оо сверху и в на-
направлении х = —оо снизу невозможно. Следовательно, падаю-
падающая поверхностная волна, идущая вдоль экрана сверху, возбу-
возбуждает отраженную поверхностную волну, идущую вдоль экрана
снизу, и поле излучения, если е± > 0; при отрицательных е±
излучение с края экрана отсутствует и падающая энергия пол-
полностью возвращается вдоль экрана снизу (фиг. 146).
ЗАДАЧИ
1. Покажите, что уравнения для поперечных полей в среде
с произвольными тензорами диэлектрической е(г) и магнитной
fi (г) проницаемости имеют вид [при зависимости от времени
типа exp (jatt)]
dEt • Г v ^ , 1 у 1 у , г0 X VtzVzt X
H, X z0 - [Vf ± zzt X z0
z0 X
,e X
(la)
A6)
где z — продольное направление, по отношению к которому в и
ц выражаются формулами Bв) из § 2, a J<e и Mte — эквивалент-
эквивалентные электрический и магнитный токи источника, которые дают-
даются формулой B96) из § 2 (при i—*—j). Показать, что продоль-
продольные компоненты полей выражаются через поперечные компо-
компоненты следующим образом:
х Zo) ~/с
Ba)
B6)
2. Хотя в однородной гиротропной среде обыкновенная и не-
необыкновенная собственные волны распространяются независимо,
при наличии пространственной неоднородности возникает связь
между ними. Эта связь слаба (что облегчает вычисления), если
при произвольной анизотропии свойства среды изменяются мед-
медленно. В одноосной анизотропной среде неоднородности вдоль
гиротропной оси не приводят к связи между собственными вол-
волнами (гл. 7, § 2). Следовательно, в сильно неоднородной среде,
которая своей анизотропией незначительно отличается от одно-
одноосной среды (или от изотропной как частного случая одноос-

538
Гл. 8. Поля в анизотропных областях
§ 2, формула A56) и фиг. 106], а затем выполнив интегриро-
интегрирование по области источника, распределенного непрерывно вдоль
оси z:
V; <¦> (z) = - юе0 \ Z\ <°> (z, z') X (z') V'( <°> (z') dz', Gа)
V'.^(z')dz', G6)
К; (¦) (z) = - юе0 J Z; @) (z, 2') XB') [У;' <¦> (zr) + jV't<«> (г')] rfz' =
= - /ше0 \ Z\ <°> (г, г') X {z') V\ <» (*') dz' -
- (<oe0J J dz' Z'. <°> (z, г') X (zf) J rfz" Zf <°> (г', г") * (г") V! <°> (z") Gв)
и т. д. Интервал интегрирования в уравнениях G) охватывает
всю протяженность области источника в продольном направле-
направлении. Покажите, что в аналогичные выражения для 1[п) входит
Фиг. 147. Система координат (ось у не показана).
токовая функция Грина Т1, и что в приближение п-го порядка
входит /г-кратный интеграл решений нулевого порядка. Обра-
Обратите внимание на то, что, поскольку в каждый интеграл входит
функция плотности X(z), в члене /г-го порядка в формуле E)
имеется множитель [X/Y]n. Проанализируйте условия сходимо-
сходимости решения.
3. Исходя из уравнений для собственных значений F) из § 8,
примененных к гиротропной плазме, описываемой диэлектриче-
диэлектрическим тензором C6) из § 3, покажите, что векторы поляризации
еа и ha для собственных волн с поперечной пространственной
зависимостью и временной зависимостью вида ехр [—/krp +
+ jmt] удовлетворяют уравнениям
где Р = R ¦ S и
(8)
(8а)
Задачи
539
Обозначения те же, что и в уравнениях (Юа) и A3а) из § 3.
На основании представления тензоров еа и ha в векторном ба-
базисе к@, 1с;о [§ 3, формула (8)] покажите, что решение уравне-
уравнений (8) приводит к формулам A36) из § 3.
4. В системе координат (v,y,u), изображенной на фиг. 147,
одноосная среда (с оптической осью, направленной вдоль оси и)
характеризуется тензором диэлектрической проницаемости (нор-
(нормированным к е0)
1 0 0\
(9)
а. Покажите, что в системе координат (х,у, г), повернутой
вокруг оси у на угол 8, тензор е представляется в виде
(Ю)
где
е„ = cos2 8 + е sin2 8, е13 = (е — 1) sin 0 cos 0,
833 == е cos2 8 + sin2 8.
A0а)
б. Покажите, что [при временной зависимости типа ехр (/©/)]
в этой среде могут существовать не зависящие от х решения в
виде плоских волн
Еа (у, z) =
**: k, = kt/k0, «a = xa/k0,
(И)
при условии, что ха принимает одно из четырех значений:
«a
= ± Ke,
(Па)
Здесь Y.o соответствует обыкновенным собственным волнам, ко-
которые распространяются так же, как в вакууме, а з<е — необык-
необыкновенным собственным волнам. Поясните эти решения, в кото-
которых й выражается через kf, рассмотрев поверхности волновых
чисел, изображенные на фиг. 104, с учетом того, что оси системы
координат (х, у, z) не совпадают с основными осями среды и что
для рассматриваемых волн kx = 0. Покажите, что значениям
Ио, е > 0 соответствуют волны, переносящие энергию в направ-
направлении -\-z, а значениям ко,в<;0 — в направлении —z.

542
Гл. 8. Поля в анизотропных областях
ЛИТЕРАТУРА
1. Clemmow P. С, The Plane Wave Spectrum Representation of Electromag-
Electromagnetic Fields, Pergamon Press, New York, 1966, Sec. 8.2.
2. Arbel E., Felsen L. В., в книге: Electromagnetic Theory and Antennas,
ed. E. С Jordan, Pergamon Press, New York, 1963, p. 391.
3. Clemmow P. C, Mullaly F., в книге: The Physics of the Ionosphere, The
Physical Society, '.ondon (England), 1955. p. 340.
4. Allis W. P., Buchsbaum S. J., Bers A., Waves in Anisotropic Plasmas, John
Wiley and Sons, New York, 1962, Ch. 3 (имеется перевод: В. Эллис,
С. Буксбаум, А. Берс, Волны в анизотропной плазме, «Атомиздат», М.,
1966).
5. Deschamps G. A., Weeks W. L., IRE Trans, on Antennas and Propagation,
AP-10, 305 A962).
6 Seshadri S. R., Wu Т. Т., Quart. Journ. of Mech. and Appl. Math., 23,
part 2, 285 A970).
7. Бункин Ф. В., ЖЭТФ, 32, 338 A957).
8. Kogelnik H., Motz #., в книге: Electomagnetic Theory and Antennas,
ed. E. C. Jordan. Pergamon Press, New York, 1963, p. 477.
9. Барсуков К- А., Радиотехника и электроника, 4, 1759 A959).
10. Budden К- G., Radio Waves in the Ionosphere, Cambridge University Press,
Cambridge( England), 1961, Ch. 18.
11. Gross 5., Felsen L. В., Radio Science (NBS), 69D, 333 A965).
12. Seshadri S. R., IRE Trans, on Microwave Theory and Techniques, MTT-10,
573 A962).
13. /shimaru А., в книге: Electromagnetic Theory and Antennas, ed. E. C. Jor-
Jordan, Pergamon Press, New York, 1963, p. 591.
14. Hurd R. А., в книге: Electromagnetic Theory and Antennas, ed. E. С Jor-
Jordan, Pergamon Press, New York, 1963, p. 569.
15. Tai С. Т., IRE Trans, on Antennas and Propagation, AP-9, 502 A961).
16 Seshadri S. /?., IEEE Trans, on Microwave Theory and Techniques, MTT-11.
238 A963).
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ (К I и II ТОМАМ)
Альтернативные представления I:
126, 127
характеристической функции
Грина I: 354
Анизотропная среда II: 474
Антенна поверхностной волны II:
165—168
— диаграммы направленно-
направленности II: 165—168
Асимптотические представления поля
акустического I: 169
векторного гармонического
для изотропной среды I: 176
— «квазиоптическое» прибли-
приближение I: 8
— лучевая интерпретация I:
169
метод перевала I: 8
метод седловой точки 1:
8, 131
Асимптотические разложения функ-
функций I: 474
Бесселя 1: 48, 162, 163, 328;
II: 338—348
— — — — сферических I: 285, 286
Ханкеля I: 215, 328, 426,
445, 514—517; II: 37, 255, 268,
338—348
Эйри I: 485—489
Безграничный диэлектрик, возбужде-
возбуждение движущимся зарядом II: 70,
71
возбуждение плоской вол-
иой II: 51, 60, 61
Бесселя функции I: 446
асимптотическое представле-
представление I: 48, 162—163, 328; II: 338—
348
Дебая формула I: 516
— — интегральное представление I:
162, 479
модифицированные II: 263
¦ сферические 1: 285; И: 202,
325
Бесселя функции сферические I: 285;
II: 202, 325
асимптотическое представле-
представление 1: 285, 286
Боковые волны (см. Волны боковые)
Вавилова — Черенкова излучение II:
20, 73, 75, 408
Ватсона преобразование II: 327, 357
Вебера функции (см. Параболиче-
Параболического цилиндра функции)
Ветвления точки II: 22—27, 35, 36,
39—41, 501, 502, 504
Взаимности соотношения I: 27, 28
— — для вакуума I: 29
для неоднородных анизотроп-
анизотропных сред I: 122—126
для ограниченных цилиндриче-
цилиндрических областей I: 41, 42
— — для однокомпонентной плаз-
плазмы I: 53
Взаимности теоремы I: 248
Винера — Хопфа метод II: 534
ВКБ-приближение I: 419, 422—425,
430—433
— критерий справедливости I: 433
— область применимости I: 447
Внутреннее произведение векторов I:
51, 52
эрмитово 1: 74, 76, 77, 93
Волновод однородный с идеально
проводящими стенками I: 40—42
— регулярный I: 235
— с неоднородным заполнением II:
213
траектории лучей 11:213,
220
эквивалентная схема для
собственных волн II: 216
— сферический I: 235
согласование I: 289
Волноводная ось I: 105
Волноводное интегральное представ-
представление поля I: 144
— — для мапштоплазмы I:
157

546
Предметный указатель
«Каноническая» задача II: 183
Канонический интеграл I: 458, 460
Каустика I: 159, 176; II: 84, 183, 193,
211, 212, 456—463
Кирхгофа приближение (см. Физиче-
Физической оптики приближение)
Клин II: 250—252
— идеально поглощающий II: 264—•
266, 271, 275
— идеально проводящий II: 276, 287
— с гранями переменного импе-
импеданса II: 293—295, 305
контуры интегрирова-
интегрирования II: 297
— скругленный (клнн с цилиндром)
II: 240, 241
Кольцевой источник II: 78—81
дипольный II: 78
с азимутальным током II: 85
Конторовича — Лебедева преобразо-
преобразование I: 404, 507; II: 331
Концевой импеданс I: 248, 257
Коши — Римана соотношения I: 467,
468
Критические точки I: 131
Лапласа интеграл II: 17
Лапласа интегральное преобразова-
преобразование II: 17
Лебедева — Конторовича теорема II:
251
Лежандра полином I: 541
Лежандра функции II: 327, 332, 335
— — присоединенные I: 391, 396,
540
Линейный источник II: 14, 15
— — волновых векторов поверх-
поверхность II: 70
— — дипольный II: 65
импульсный II: 66, 67
магнитный II: 65
электрический II: 59—61, 64,
65, 67—69
Грнна функция II: 62, 63,
67, 69
— — — эквивалентная схема для
определения собственных волн II:
63, 65
Линии передачи, возбуждение точеч-
точечным источником I: 261—263
— — двустороннее согласование I:
381
для анизотропной среды II: 475
— — для гиротропной среды II: 475
для заряда, движущегося вдоль
границы диэлектрика II: 120, 121
Линии передачи для звуковых воли
I: 97
для изотропной среды II: 475
для кусочно-однородной среды
II: 517
для одноосной среды II: 475
для электромагнитных волн I:
101
короткое замыкание I: 266
необычного типа II: 475, 487,
488
неоднородные II: 7
обычного типа II: 475, 492
рызрыв I: 267
резонанс I: 272
угловые I: 381
Логарифмические производные (нор-
(нормированные импедансы), I: 270,
271
Лучевая поверхность, лучевых скоро-
скоростей поверхность I: 139
Лучевое приближение, лучевой ме-
метод, приближение лучевой оптики
(см. Геометрическая оптика)
Лучевой показатель преломления I:
181, 182
Лучи боковые I: 184, 193, 194;
II: 433, 449, 450, 520, 521
— в волноводе с неоднородным за-
заполнением II: 213, 220
— в волновом канале II: 195
— в геометрической оптике I: 132
— геометрическая теория дифрак-
дифракции I: 164, 183—186
— дифрагировавшие I: 183, 184, 191,
192; II: 208, 209
— длина оптического пути I: 173
— захваченные II: 196
— изменение фазы вдоль II: 177
— канонические препятствия I: 185
— коэффициент расходимости I: 183
— критические углы падения II: 448
— направление I: 106
— необыкновенные II: 520, 521
— обратное преломление в плазме II:
438. 448
— обыкновенные II: 520, 521
— отражение и преломление I: 183,
186, 203, 204; II: 191
— — — — в анизотропных средах
I: 188, 189
в горячей изотропной
плазме I: 190, 191
— — — — в изотропной среде I:
187, 188
— — — — на границе плазмы II:
455, 456
Предметный указатель
547
Лучи, отражение и преломление на
искривленной поверхности I: 219,
220
— ползущие I: 184, 185
— пространственно-временные I: 131,
132, 136, 137, 160
— прямые II: 189
— стелющиеся II: 315, 359
— траектории I: 151, 154, 171—173,
174—177, 208
— трубка I: 141, 142, 148; II: 94, 178
— — сохранение энергии I: 171, 174,
175, 181, 182, 203; II: 179
— фокусировка II: 433, 456, 463
Магнитный ток I: 117, 118
Магнитоактивная среда, I: 136
Магнитоплазма II: 494, 495, 499, 500
Мелера функции II: 333
Мощность излучения источника зву-
звука I: 60, 61
— плазменного поля I: 70
электрического и магнитного
токов I: 64, 65
Наведенные токн I: 6, 26, 117, 120
Непрерывный переход (см. Плавный
переход)
Обратноквадратичный профиль II: 7,
199—201
возбуждение линейным элек-
электрическим током II: 201
возбуждение магнитным дипо-
диполем II: 201
— — траектории лучей II: 208, 212
эквивалентная схема II: 202
Общая задача теории поля I: 6
Одноосная среда II: 374, 380
— — волновых векторов поверх-
поверхность II: 377—380, 391, 395, 406
дисперсионное уравнение для
плоской волны II: 375, 376
— — неограниченная II: 390
— — равных фаз поверхность II-
394, 395
собственные функции II: 391
телеграфные уравнения II: 382
Ортогональности соотношения I: 90
91
для гиротропной среды II"
479—482
Особые точки коэффициента отраже-
отражения II: 43
Осцилляторное представление функ-
функции Грина I: 78, 79
— акустической I: 81
— — для однородной среды I:
132
для слабонеоднородной
среды I: 142
плазменной I: 87
— — электромагнитной I: 84
Отражательная симметрия II: 481
Отражения оператор II: 481
Параболического цилиндра функ-
функции I: 425, 427, 516, 517; II: 41,
453, 462
Парсеваля теорема I: 65, 135
Перевала метод II: 39, 103—105
— точки II: 39—41, 46, 47
Переноса уравнения I: 166, 170, 201,
202
поляризации вектора I: 179
Переходная область (полутень) I:
10; II: 256—258
Плавный переход I: 434; II: 7, 199,
228
Эпштейна решение I: 438
Плазменная частота электронов I:
112
Плазменное поле I: 43—45
— — дисперсионное уравнение I: 68,
69, 86
— — плазменные колебания I: 86
приведенная формулировка за-
задачи I: 49
—¦ — статические колебания 1: 86
Плоские волны I: 7
Плоский раскрыв II: 158
Плоскослоистые среды, возбуждение
движущимися зарядами II: 19
— линейным источником II: 14
точечным источником II: 13
— — — импульсным II: 16
— — контуры интегрирования и
точки ветвления II: 35, 36
— — эквивалентная схема для
определения собственных волн II:
24
Поверхностный импеданс II: 147—
150, 237, 294
Поверхность раздела, геометрические
особенности I: 120, 123
— — граничные условия I: 117
— — «импедансное граничное усло-
условие» I: 122
наведенные токи I: 117
— — сторонние токи I: 117

550
Предметный указатель
Фурье — Лапласа распределение I: 7
Фурье-образы функций Грина I: 58,
63
Фурье четырехмерный интеграл I: 54
Хапкеля преобразование (см. Фу-
Фурье — Бесселя преобразование)
Хапкеля функции II: 63, 82
— — аналитические свойства II: 253
— — асимптотические выражения I:
215, 328, 426, 445, 514—517, II: 37,
255, 268, 338—348
Дебая формула I: 516; II: 320
— — модифицированные I: 474
— — первого рода I: 403
¦ сферические I: 294
Характеристик метод I: 167
Характеристическая функция Грина
(резольвента) I: 9, 342, 343; II:
328
• альтернативные представ-
представления I: 354
— — — для Е-волн I: 353
для Н-волн I: 348
— для неограниченной области
I: 377
для ограниченной области I:
361
для полубесконечной об-
области I: 369
для сферической области I:
390
— определение с помощью эк-
эквивалентных схем I: 343—345, 362
представление в виде кон-
контурных интегралов I: 357
— радиальная I: 401; II: 139
— угловая I: 385
Характеристический импеданс I: 60
Хевисайда функция I: 32, 36
Ценнека поверхностная волна II: 92
Циклотронная частота электронов
(гирочастота) I: 44
Цилиндрические функции II: 348
Частотиомодулированныи (ЧМ) им-
импульс, распространение в плазме
I: 230, 231
Черенкова излучение (см. Вавило-
Вавилова — Черенкова излучение)
«Черный экран» II: 264
Шварца принцип симметрии I: 155,
441
Шварца производная I: 417
Штурма — Лиувилля задача I: 9,
303, 342, 343
оператор I: 302
уравнение I: 302, 303, 408
Эйконала уравнение I: 167, 170, 177,
181
Эйлера уравнения для заряженной
невязкой жидкости I: 44
для звукового поля I: 14
Эйри волна I: 159
Эйри дифференциальное уравнение
II: 345
Эйри функции I: 158, 422—424, 483—
485, 533—537; II: 82, 345—347
— — асимптотическое разложение I:
485—489
— — контуры интегрирования I: 484
неполные I: 466, 522, 523, 527
Эквивалентности принцип I: 6
Эквивалентные линии передачи (см.
Линии передачи)
Эквивалентные схемы (см. также Ли-
Линии передачи) для возбуждения
точечным источником I: 262—264
— — для звуковых волн I: 59
— — для изотропной плазмы I: 68,
69
для однородной задачи I: 271
для определения собственных
волн в волноводе с неоднород-
неоднородным заполнением II: 216
— — — в диэлектрической
пластине II: 134, 143, 144
— — — — — — в одноосной среде
II: 384
— в плоскослоистых
средах II: 24
— — в полубесконечном
диэлектрике II: 97, 107
— в среде с обратно-
квадратичным профилем II: 202
— на импеданснсй
поверхности II: 150
при возбуждении
линейным источником электриче-
электрического тока II: 63, 65
— — для определения характеристи-
характеристической функции Грина I: 343—345
для падающей волны в регу-
регулярном волноводе I: 260
— — для «поперечного резонанса»
I: 273
Предметный указатель
551
Эквивалентные схемы для сфериче-
сферических волноводов I: 289—291
— — для угловой линии передачи I:
383
для электромагнитных волн I:
64
Электрический диполь I: 32
— — «ближнее поле» I: 33
импульсный I: 207
— — «гЮле излучения» I: 33
— — статическое поле I: 33
Электроакустическая волна I: 190,
191
Элементарный электрический ток
вблизи диэлектрической пласти-
пластины II: 145—147
— — — вблизи полубесконечного
диэлектрика поперечный II: 105
Элементарный электрический тек
вблизи диэлектрической пластины
продольный II: 87
Энергия звукового поля I: 60
— плазменного поля I: 70
— электромагнитного поля I: 64,
65
Эпштейна профиль (см. Плавный пе-
переход)
Эрмитова среда II: 489, 490
— — без диссипации I: 304
• с отражательной симметрией
II: 493
Эрмитово внутреннее произведение
векторов I: 74, 76, 77, 93
Эрмитово-сопряженные аффиноры I:
109
Эрмитовы операторы I: 99, II: 494

554
Оглавление
ж. Гармоническая плоская волна 287
з. Импульсная плоская волна 289
и. Особый случай: полуплоскость 289
§ 6. Клин с гранями переменного импеданса 293
а. Клин, одна грань которого идеально поглощающая, а другая —
с переменным импедансом 295
б. Клин с двумя гранями переменного импеданса 305
§ 7. Дифракция на круговом цилиндре 307
а. Линейный источник 307
б. Точечный источник 321
§ 8. Поля в сферических областях 323
а. Введение 323
б. Различные представления для полей 324
в. Высокочастотное поле при дифракции на конусе 332
Приложение 1. Асимптотические выражения для Я^,11 (г) и Яу2) B) • -338
а. Большие и неодинаковые аргумент и порядок 338
б. Большой аргумент 340
в. Большой порядок 341
г. Большие и почти одинаковые порядок и аргумент 344
д. Нули функций Н{» (г) и H'V{1) (г) 345
Приложение 2. Формулы для цилиндрических функций . 348
Задачи 349
Литература 372
Глава 7. Электромагнитные поля в одноосных анизотропных средах . . 374
§ 1. Введение 374
§ 2. Вычисление поля методами теории цепей 380
а. Вывод телеграфных уравнений 380
б. Метод потенциальных функций 385
в. Тензорная функция Грина 386
§ 3. Источники в неограниченной среде 390
а. Диполь, ориентированный вдоль оптической оси 392
б. Диполь, ориентированный перпендикулярно оптической оси . . 402
в. Линейные токи с линейным изменением фазы, ориентированные
вдоль оптической оси 403
г. Излучение заряда, движущегося прямолинейно и равномерно
вдоль оптической оси 407
д. Линейные токи, ориентированные перпендикулярно оптической
оси 408
§ 4. Дифракция на препятствиях, находящихся в неограниченной од-
однородной плазме 418
а. Оптическая ось параллельна образующим идеально проводящего
цилиндра 418
б. Оптическая ось перпендикулярна оси идеально проводящего ци-
цилиндра 419
в. Полупространство, ограниченное идеальным проводником . . . 422
г. Полупространство, ограниченное поверхностью с реактивным им-
импедансом 425
д. Клин и полуплоскость 427
§ 5. Излучение из полупространства, заполненного однородной плаз-
плазмой 432
а. Постановка задачи (линейный источник) 434
б. Отражение и прохождение плоских волн и условие излучения 435
в. Разложение решения по собственным волнам 439
Оглавление
555
г. Асимптотические оценки в случае полупространства, заполненно-
заполненного плазмой 440
д. Асимптотические оценки в случае свободного полупространства 455
е. Излучение поперечного электрического диполя 463
Задачи 468
Литература. 471
Глава 8. Поля в анизотропных областях 473
§ 1. Введение 473
§ 2. Разложение по волноводным волнам в анизотропных средах
(приведенная формулировка) 476
а. Общий случай произвольной среды 476
б. Области без потерь 480
в. Симметричные области с потерями 480
г. Поперечная анизотропия (отражательная симметрия) 481
д. Изотропные области 482
е. Области с разложением на Е- и Я-волны 482
ж. Разложения по собственным функциям для приведенного элек-
электромагнитного поля 485
з. Эквивалентная линия передачи необычного типа 487
§ 3. Волноводные волны в холодной магиитоплазме (волноводная
ось параллельна гиротропной оси) 493
а. Определение собственных функций 493
б. Поверхности волновых чисел 501
в. Функции Грина для неограниченных областей 505
г. Функции Грина в плоскослоистых областях 515
§ 4. Волноводные волны в холодной магнитоплазме (волноводная
ось перпендикулярна гиротропной оси) ... 522
а. Собственные функции и собственные значения в случае, когда
вектор bo перпендикулярен вектору zo 522
б. Двумерные краевые задачи в гиротропных средах .... 525
в. Излучение линейного магнитного источника в присутствии иде-
идеально проводящей плоскости 528
г. Дифракция на полуплоскости 534
Задачи 535
Литература 542
Предметный указатель (к I и II томам) 543