-
~,
11'
•111
111
-
---
-----
-...,,
111----- ......
~--- --- --- --
'
.

,,
..,
.•,
~.
\.

Б. В. НОВОЖИЛОВ,
кандидат физию)-математ11чес1{ИХ наук
МЕ
мо
ИЗДАТЕЛЬСТВО «ЗНАНИЕ:~
Москва 1966
ло
/'
/

518
Н74
"'·
<.
)
"

И-СЛ ·
Изучение матем.атjи1ки в ·чр·едней п1кюле н.ачина·е-гся с ариф 4
меwки. Шко:дь,ни1ки н.ача..[Iьных классов 1про.из1в.одят дейс~в1ия
тнль:К:о ··над числа1ми - л·ибо О:Qв.п:е~.хенным.и · (1в· пример.ах), л.и:б·о
именованными - при 'р ешени и задач. Присrуг.rив к о.сновам
а.мебры, учащиеся быс11ро п.он1имают преимуще с ТJво -буквен- ·
ных обозначений. О.ка.зы1вает ся, однотипные а1рифметwчео.~и е
за1дачи .уд10Jбнее реша·rь, .и·сшолызуя вме.сто чисел 6уп~вы. Ал~
геб:ра 1{,а1к 1~наука и вознwк~Ла 1в р~зультате поие~к.с)~в .обn.~·их ме-<
тощ"ооз реше:ния· .~по~оЖи.х друт на друга арифм-~1шческих задач"
·
Ра:оо~·о11рй'М простой .пр1имер. Д1оволь.но часrо при решении
з.адач .всr.реча,ет.ся к1в.адраТ1ное уjравнение х2 + 2Ьх + -с== 01(
I-Iужно одреде{IИТЬ неизв·естную ·величину х, К·G1ю1рая удовлет""!
нор.яла бы..налисанн.ому .ео:отнош.ению (Ь и с·- неко'fi{},рые чи:с~
.лаJ . Я..сн-0, ЧTi!J ее.ли J\lfЫ ·емо;кем ~выразить KOJJH·И этого у1ра:вне~
. ни.я·
{т. е. те значения · х, .подстаноiз·ка :к~ото·рых 1в ура1в1нения
ОО;р.аЩаеТ ее ЛеВу.Ю Ча~СТЬ IB НОЛЬ) Через бу1 К:ВЫ Ь И С~ ТО ера.зу
будут решены .все арифметшчес·1и1е задачи, пр.и1водяш.-ие к та­
. ком1·
уравнению. д.ейс1lвительно 1 '1в школьн.ом кур;се алгебры
ПО!КаiЗ.аи.о, ЧТ·О
и
явля.tq'f.СЯ рt;rпе.ния.ми этог·о ура~вненияq Тепе_рь, имея эт.и вы-:
ра)кения,, мы можем выч:исл1ит0 кор'ни люб.ого 1<!ва,д1ратного
ура~внения -с оиредешенными численным.и к:оэффициент·ами Ь ,
и с т,01лъко при помощи ар1 ифметичеоких дейсr1вий ~I таiбл.иц ·
к1вадратшы.х .корней"
Дру~гой пример. В·се зна!qт, как найт1и О1дну С'ГО)р;ону пря~
моутГОiН~но~го т.реу~голЬ'нJИка по д1вум друг-им его. стнронам. дл·я
этого .н;уJкно вспо.мнить .~георему ,Пифаrора: квадрат гипотену-·
·в,ы равен с.)f!м.ме .~вадратоrв ка :r.етG1в" И котя миоr~ие_ из нас
.о.разу iКе: 1п:осле Э~<аамена ПО ГСОЪ!·е:r~рии: ,за:был.и ДО:Ка3атеЛЬСIШ·О
этой ·тeG!pe.rYiы? н.и~ка~кик труДiно~rей мы не иотт.ыты1вае.~vс ·воп·ом ...
.
НИВ -Пр1ОС'ГУЮ фо~р1му.iIУ с42· = q, 2 + Ь 2, ОП!ра~вед.nи~вую ДffH~ БСе'Х
пряwн3угольи:ык треу:ло.:льн.ико1в, ~всегда 1\{РОtкне . П·О,Ц·ст~:вать .вме-с­
-то а ·и ,Ь ч1и·слен,ное зла1чени·е ка1ето-в интересующего на-с тре,.,
угольника и полу1 ч·_и 1ъ числ-ен ный ·OJ\seт для си потен узы!
3

Таким образ~·м, Т.1:fпичные задачи могут бьнь решены толь"
ко оди-r--1 раз. После этого мо.жно, забыв сам метод решения,
получать ог.веты для любых задач, относюдих·с-.Я к данному
типу, Зная .лишь от1вет в букв.енных обоз.нач.ениях.
Было бы очень заманчиво научить..ся 1ре.iпать все задачи iВ
бук1вах. Тогда, .имея бу.кшен:,ные от1веты, мы могли бы получать
-решения К·онкретных задач, пользуясь только четырьмя дей­
ствиями а!рифметики и .не~оторыми таблицами (например,
таблицами к.вадратных корней или Jiоrарифмов). К сожале­
нию, на практ.ике ~в редких случаях удает· ся получить бук1нен­
ное решение, приходится г1 ораздо раньше, чем получен око[I­
чатель.ный от1вет, переходить к числам.
Возь.мем опять цример Из алгебры. Алгебраическ!Ие у1раiв­
н~ния ~выше чет:Вертой стеr:~ени уже не :имеют такого прост.ого
~решения, как квадратное. Более того, доказано, что и искать
ответ в 6Ук1венных обоз.начениях нег смыс"~а - его· проег.о не
сущесТ1вует. В ка/кдо-м конкретном случае уравне~н~ие нуж·но
·решать заново, исполь~уя заданные значен.ия коэффициенто~в. ·
Корни ура1внения х6 + Ьх2 + х - 1 == О нельзя выразить в ви­
де некоторой формулы; в которую ~входил бы коэффициент Ь"
Нужно знать его значение и после этого тем или иным епосо­
бом искать значения х, при которых левая часть равна нулю.
Пускай Ь === -3 . Тогда, перебирая знач~ния х, скажем, через
0,01, и вычисляя левую часть при этих з,начениях, можно най­
ти · величину корн~й. Чем ·чаще мы будем брать nр.обные !Ве­
личины х, тем точнее найдем корни. Та1иiм образом, для Ура1в­
нениЯ х6 - 3х2 + х - 1 ==о МО/КНС по.лучить Х1 = 1,29,
х2=
- 1,43 (кроме того, имеются четыре ком~nлекС'ных ко1рня).
Если изменить ве.лич~ину коэффициента Ь, то в-ею процедуру
придется пр!Qlвести за,но1во.
Другим примером подобного типа является У1Ра1внение 1 ·
Ьх = cosx. Опять для того, чтобы найти то значе.н .ие х, пр~и ко­
тором правая чаеть равна левой, нужно сначала задать· j~онк-
. , , ретное значение Ь. Если Ь = ·с тоi пользуясь таблицами . коси­
нусов, можно найт.и х == 0,739.
Ясно, что так;их нерешаемых в ' буквах ура1в.н~ний можно
написать · сколь.ко угодно. Конечно, нехото~рые из них 1всТ1реч~­
ются пр.и решенИ.и . задач очень · часто. · Например, с уравне-
.
лием tgx == Ьх 1вст1речается каждый студент-фиаик. В та1кiq1м
случае удобно . ииеть уже г.отовые таблицы _ корней . уранн~ни~ ..
для разных значений Ь. Таблицы корней это.го уравн. ения, ка::f5:
и многих других, существуют, и . ими широко по·льзу19тс,я. О\д­
нако на ~все случаи жизнИ габл.ицы соста1нить невозмОLI{1НО~
поэтому задача выполнения численных расчетов остается. Ре­
шением этой задач-и и занимается раздел · математики, н_азы- ·
l}аемый вычислительной математикой.
·
·
Конечно, численные ра.счеты нужны не толь-к·о для того,
чтобы находить корн.и алге6раических или трансценден_ т:ных
4

ура~внений. На простых r~~рймерах из области эле мен та :рной
•1
м ·атематики мы хоте.пи лишь показать, . что от1веты на многие
задачи могут быть получены только после выполнения боль­
Ш·оrо кr0личест1ва 11рудоемкИх дейст~ний над чи .слами.
В высшей математ·пке поло:жение аналогичное, но задачи,
стоящие перед азычислительн·ой математикой, значительно ус­
л.ожняют.ся. д·еЛо в том, чrо JB большинстве случа 'ев результа­
~ та\МИ решения ~здесь являютс_я не ч~сла~ а . функцJ:IИ. Читатели,
не знакомые е э11им _ понятие м, легко уяснят себе, чт6 такое
функция, на следующем примере.
Все з.нают, . что да1вление атмосферного :воздуха - уменьшает­
ся 1с высот.ой - на высоте 4-5 к.м, над · урО1внем моря да1влвние
уже 1в 2 раз· а меньше норм .аль'ного .. Попробуем найти за:ви.си­
rмо~ть давления от_ в~rсоты, или' да1влвние как .функдию вы­
соты. Д.руг.ими слО1вами , мы дОЛ)КНЫ указать способ, цри по­
.мощи KOTODOriO ~ПО задаН'НОЙ ВЫСОТе МО./КНО ВЫЧИС"1ИТЬ давле-
·-
.L
ни е в.оздуха на этой .высоте. I\-ратко эта за1висимость записы-
ва~тся в виде ·р . f (h), где р - давление, h - высота, а бук1ва
f показывае~, · что р есть фу,нкциЯ h. Еrце более крат1кая
за:пись· - р (li), т. е. да.в.пение за1висит от ~высоты.
·
Раосм9трf1.м с11олб воздуха сечением 1 см 2 • Да1вление на
высоте h · +лh будет отличаться от дав.пения на высоте li на
ве.личину неса слоя . ~воздуха толщиной .Лh, т. е. на Р gЛh, где
Р, ·_.
.плот:нО:сть в_9здуха, а ·g -
. у· сК!орение
. силы
тяжести (g·
будем считать 1пост·оян.ным 9 та.к как его 1измен·ение в . пределах
атмосферы мало). Таким ,образом, им.еем"
'p(h) - p(h + Лh) == PgЛ/i.. .
В.спомни~в, ·что п,лотность ~nоздухр. Р сама ,за1висит от да1вления
Р . pμ/RT,
где . μ-· молеку~11ярный ~вес ~воздуха; R .-
rазО1вая постоянная,­
а "Т - ··· :абоолю ·т.на ·я
темrfе.ратура, найдем
,
..
· ..:
.'.
.
-
· Лр == - pp,gЛ-h/RT.
Им~я эту ов~зь, м~I можем шаг за шалом последоват_ельно
находить давленИ·е на нее больших и больших высотах. Нач­
нем с · ~ь!,сотьr ~ · == . q, 'т: е. с уровня моря. П1риня1в здесь давле­
ние ра1вным р (О) == 760 мм ртуп-19го ст·олба, найдем величину
р .(О) μg/RT, а слеД._ов-а-!ельно, и. изменение да1нления при пере­
ходе от высоты h :-- О к ~высоте Лh. Затем таК!им же обра~зом .
можно найти з~ачения да-в.ления на выеотах 2Лh, 34.h и т. д.,.
.причем в левую . ~асгь нужно !~,се время подставлять давление,
полученное inpи цредыдущем шаге.
Конечно, шаги по выооте не . ,цолщны быть большими -
·!Ведь при соста1влении уравнения мы считали, что члот.ность
воздуха, а следо1вателы:rо, и его да~вление . в слое высотой ·Лh
{IОСт·оянны. Чем меньше мы . буде_м брать шаг, тем точнее бу"
5·

дут ~полученные результаты. Есл:И ле~рейт•и 11~ . 110JЧНЫЙ ЯЗЫ!К
математик·и, т.о ~еле,щует с-казать, ч1ю 1выраженrие
Л,v .
μg.
-=== -р· -
Лh.
RT
с1пра1ведлrи1во, когда выбра1нная ·,нами выеота элеме.r-гrар.ног.о
сгалба Лh ст1ремин~я к нулю (это З-а1пм.сывается в ви,де
Лh -+ V). и.змеRение д.аrвления Лр тоже, К!ОJiечн-о, будет стр·е­
IVJИТЬСЯ к нулю, одна1~0 отношение Лр/Лh будет конечной ве­
личиной~ (Полная ан-а.JНУГ1ИЯ с определением MtГHQrВeFFнoй еко­
. 1ростrи ка1~ предела отнош·ения пути, пр- 0JG0.димога за Е-ремя Лt,
к·оrг1да Лt ст~рем.иr~ся к нулю).
.
·
.
.
Ура1внения, с'одер:жащие отн1ошение двух величин, наж~дая
из которых с.тр_ем1ится к нулю, назы1ваю-гс·Я _диффе~ренц1иаль­
ньrми (от латинского· слова differentia - разность}. Решения
их не чис.ла, а функции, в нашем случае функция p{h} .. О ре~
шении дифферен~циальнь1х уравнений м.о.жно оказать то же
самое, Ч;ТО ~ о решении а.лге1бtраiиче~оких Уiравнений. Есть ура1в­
нения ХО!рошо изученные, и.х решения - . из,весгные . фуRrКЦИtИ,
для кюторых с-оставлены под1р:обные таблицы. !fаобор.от,
оплошь и рядом 1&ет~реча~отся ура 1внения, решения КrОТ· (}рых не
выра2каются через та6у;лиро:ванные функ1ции, а сле-довательно,
поста1вле.нная задача может быть решена то-льхо числе1шrыми
методами.
Ра1ссматри~ваемая на м и задача п1ривела к очень просто1му
ур.а1внению. Скорость .из м енения да1вления с 1высотой оказа -
- л а1сь · пр.опорциональ·ной ·са1мому давлению. Ура,в,нения так1ого
типа очеrнь ч асто встречаю"гся 1в различных. науках. Это . свя ­
за·но .. с тем, ч.то многие процессы и Я.В.JJения в при.рюд·е проис ­
ходят так, что окс:>рость изменен1ия каыой-либо величины пр·о­
по:рц и ональна са'М-ой велич ине. Числ;о ра1спадающихся ради.о -
. а кти1вных ·ядер
за некото,ры й пр~о.м ежуток вре м ени п ропордио ­
налы-10 их количеству, а э то значит, ч то 1скор·ость убывания ра­
диоа·кти~вного 1вещ·е1ст~Ва будет - т·оже ~пролорц.иояальна его ко­
личест1ву. У м еныпение инте1-r~с и вност·и овета, .проходУi щего-через
ПОГЛОЩающую ореду, ПрО'ПО!рдИОНаЛЬ'НО И Н Те НСИ1В В:.QСТИ ОВетао
Скоро,сть · изменеНlия эле~ктричеокого тока оо време н е м в цепи,
состюящей из ко.нден1сатора и сопротивления, пр.опорци·ональ­
на току. Рост колон ий бактерий, окор.ость некоторы х химич е­
ских реакций, развитие iВЗ1рыва во времен.и - 1все эт о п рим еры
нроцес.еов, описывающиХ!ся диффере н щиальны м· п у раrвн ен ия ­
м.и; fПохожими на ура.внение для да1влени я атмос ф е рног о во~з-­
духа.
Не удивительно ~оэтО1му, чт,о это т тип ура1в н е~чий х о ро шо
изучен и функция, удо1вле11воряющая е м у, з а та були~р.ава,на.
Она называется экспон ентной и обоз н ача е тся ехрх ил и ехф
Ре~ен1ие ра1ас..мотренной на:м:.и зада1чи qудет им е ть. в ид
6

p(h) ~ . р(О)ехр(-· μgh/RT).
Для получения численного ответа нам не нужно теперь
последовательно двигаться малыми шагами к интересующеf
нас 1выооте - достаточно иметь таблицу эН!споыенциальноИ
функции, а за неимением ее можно пр'осто возвес1")и_ число
е = 2,72 1в степень - μg·h/RT, чт·о ле,~:ко проделывается при
помощи таблицы логарифмов.
Что же делать, если полученн·ое ,нами ура~в.нен.ие не пр_и- .
над.лежи·т нИ · к одному из из-веетных :гипов ура1внений? На- ·
пример, если бы мы усло:жнили нашу задачу и захотел~~ учесть
~изменение температуры и молекулярного веса .воздуха с
высот.ой, то возникли бы ура,вне:ния горq.здо более' слюжные.
Есть, крнеч.н:о, .слабая надежда на то, ч110 в какой-либо другой
О'бЛ'асти науки аналогичные уравнения у}ке вс1)речались и их ·
удаJtос.ь решить. Поэт·ому нам следует обратиться к спра1во:ч­
ннку по дифференциальным урз.1внениям, _в ·к.оторы,х собраны
Б·с.е типы ура1внений, ав одящ1ихся к решаемым ~в йз1весг·ных
фун1:кциях. Однак·о, как пока,зывает 01пыт, ус1пех такого пред­
приятия мало.вероятен. О·стается один путь - путь численно1го
решения ура1внен.ия, который мы наметили выц1е. Беря доста­
точно малые изменения а1ргум ·ента (т. е. той вели1чи_ны, от
кото)р·ой зависит функция), можно последо~вательно~ ша.г з.а
шаг:ом, восста1новить фун.кцию. Даже дJ!Я п~ростых уравнений
точныШ расчет - функций занимает · много 1време:ни --- нужно
«Шатать» очень часто, чтобы получить достаточно т·очное ре­
шение. А ведь встречают·ся ура1внения для функций, за~вися­
щих не от одиой, а от двух и более пЕ:ре·ме.нr-п~Iх. Это сразу ~во
много раз увел.ичи1вает объем численных расчетов. Кроме то­
го, та~к же как и в алгебре, при реinении м.ноrих зада·Ч мы
·сталкиваемся с системами ура·ннений для несколью1х функ­
ций. Чи.сленное интелр.иро1вание (т.- е. решение) таких уrрав­
нений может оказаться не под силу даже большому В?IЧисли­
·тельному бюро.
Такое . положение веш,ей и привело к бурному ·раз~витию
~вычислитель.ной ма.те.матиюи. д·о ~второй мировой нойны ма­
темати1чеокая "(ехника была предста1влена арифмометрам~ и
ручными счетными машмнами. Во время и после войны поя1ви"
,лись эл-екnронные вычислительные машины, с1пособные совер­
шать десят11нr тысяч ар1ифметичесжих дейст1вий в секу,н:ду .. На
:машинах были получены численные реше.ния .мно:rих задач·
·физ1Ики~ х1иl\11ии, техник·и 1 эко:rlОМИrt·И, ~ранее считавшихся не­
~раз1реiпимь1м1и (не принципиально, _а технИчес:·1пr - у)к очень
6ол·ьшое число арифм.етичееких ~опер"а~.ий нулиr.о был .о с.:ЦелатЬ'
для того~ чтобы получить 011ве-F) _ .
В этом в1ведеI-И1IИ) цель котороrq ~ !ПсJказа ть J!еобходнм·ость
численных методов в математике" i llЬI ограничились. лишь
примерамя кJ~З обла·с~rи ал,гебраическ.их, Т!раноцен.де.tl.ТflЫХ и

nр·остейших дифференциальных уравнений. На -сам.ом де.пе
есть еще .горазд о · более сложные зад·ачи, треб_ующие числен-·
нога с:чета. Мы не буд,ем 1ка·саться этоrю вопроса, хотя бы
лрос'Го пото~му~ что одно объЯ:снен.ие терминов и . сим~в·олов
заняло бы сли:шк,ом многю 1в1р.емени и места.
Очевидно одно: численные методы. н.еобход~имы. Цель этой
1;-ниж:кш - по.зна~к.омИ:ть · читателей с одним из наиболее мощ-.
-ных из них - ;методом Монте-Кар.по.
.
Монте-Карло - один из т1рех городов, о6разующих карли-·
iКон~е :княя<ес~во Мона1ко (площадь его .всегю 1,5 км 2 ) на по­
,бережье Средиземног,о моря. Этот · город знаменит своiИ.М
.иrгорНЫМ . ДО'МОМ, сущес11вуЮЩiИМ уже боле~ С'Та лет. Ч1ИСЛеН­
НЫЙ метод, о К·О'])Ором мы хотим рассказать, . назван та'к пq­
тому, что элемент случайности, ха;ра1ктеР'ный для. азаiрт,ных
1щр типа ~рулетки, - 1неогъемлемая ча1сть метода Монте-Ка·рло.
Закономерносгя.ми случайных · величин ЗсiнИмается спе-·
циа.пьяь1й ра.зде.л математики, назь{ваемьrй теорией нероятно­
етей. П·оэтюму з_нак.омст·ву с методом Мрите-Карло мы пред­
. rпошлем
К·раткое 1в~ведение, ·поовЯщенное · э'лемен·там эт,6й те·о·­
р.ии. Мы упомянем лишь то , что будет необх,одимо для пон~и­
:а:ания . даль.нейшего материала 1•
ВЕ ОЯТ ОСТ . ИХ СЛО)КЕНИЕ И У1 f ЖЕНИЕ
С понятием 1верояп-rости мы очень ча,сто вс11речаемся в
наш.ей обыденной жизни. ОснО1вные элементы теории ве~роят­
ностей можно .пояснять просто на примере тек·С'Та эгоЙ'книги.
Ее.ли ~взять наугад от.рынок, соде1р.жащий тысячу зна1юов
('включая и пробелы ме)кду словамiи), и под,сч.итать количе- ·
ство ра1зличных ~у~кв в этом отрыв:к,е, 1ю мы у1видим, что .не­
I\от01рые из них, на:пример о, а, т, :встречают. ся очень ча1 сто,
другие - ц, э, ф, ··наоборот, редк·о. Можно сказать, что вероят­
·ность ,встрет,ить бу1к1ву т в .вЬ1бранном отрывке больше ~вероят­
нос'ТИ найти бук;ву э. От так·ого _качест1вен.ного . определения
пе~р.ейд,ем к количественному. Д.ля этого поделим число инте­
ресующих нас букш в отрывке на 1полн1ое число зн~1ков (тыся- -
ча). Это часгпое· и бу1де~ ко.л.ичественно'й мерой ~вероятности.
Ее.ли, окажем, бук1ва т 1нстретила·сь нам 23 раза, то вероят­
ность ~поя1вле.ния е е ·В руос.ком теК!сте близка к 0,023. Наиrболее
ра1сiпространенный в.на,к - .пробел между словами. Бго вер·оят-·
ность 0,175. Реже всего встречаются буквы э и ф: по два. раза
на тысячу зна~ков - .
их вер~оя11ноС'ть O,Q02:
·
:Конечно, ·от оr.рывка к о.11рывку э·ти числа М·оrут ИЗ'менять­
ся. На1пр.им1ер, бу~к1ва у 1в одном из от1рыв~~о1в м:ож.ет ~в~третить-
i Читатель, желающий получить более основательные сведения по
теории вероятн о сте~, может воспqльзовать<;я книжкой Б . .В. Гнеденко и
А. Я.. Хинчина « Элементарное введенце в теорию аероятнос.тей»~
~
8

-СЯ 20 раз, а В ДrpyiroM, СОДер ж ащ.ем ТО)Ке ТЫСЯЧУ ЗНаrК·ОВ, -~
23 раза. Од.наrко ис.следование большого числа литературных
теК!с1'ов 1пока1зы~ает, что ? среднем част·ота появления бу1ювы У'
равна 21 раву. П-оэтому следует 01кидать, чтю и в выбрани.ом.
нами О1)рывке эта буква jвстрети11ся ок,оло 21 1раза.
Таким обра·зо~м, 1вероят.ностью некото!р-ого со~бытия (напри-·
м-ер , поянления бук1вы у) ·следует назвать отношение числа
интересующих на·с событий (1поя.в.лен.ий буквы у) ко_ ~в·сем у
числу событий (rв ,рас.смагри~ваем:ом п.р, имере - .
·К тысячи) ..
М.нолие - !Примеры, привлекаемые для Пояс.нения теор и и
rвер·оятност.ей, час-го кажутся очень :и.скусст1ненными и наду­
·м анными. Это, на пе~рвый взгляд, относится .и ко 1в~се.му на пи­
санному ~выше. Ка1кая .польза в 1101м, что мы знаем ча1стоту
~появления раз.ла1чных З1на1к101в 1в ~русаком · теl<!сте? О1казывается,_
болышая. Типо:г1раф-01~ие .ра16~)чие при ручном на1боре поЛьзуют­
·ся так называемым.и на:бор.нымi1 1ка·ссами" I(a.cca пред,ста ·вляет ·
·собою ящик, ~разделенный пер.е~горчц1ками на клетки, в каж1дой
из которых нах·о1дят·ся л1итеры одной б)l'квы или знака . .Яс,но~
чт9 бессмысленно ПQ1дгота1вли1вать для набора одинаковое . ко­
личест1 во всех з· на1ко1в - некоторых может не хватить, друtГИе·
останутся. Поэтому в 1ру1сс~кой на1бо1р.ной кассе 1клет:к-и для н а и­
боле·е ра·спростра·неr~11ных бу1К·В делаюТ1ся бо.r.:ьш.ими, а для ред.:_
ко ~нст!р:ечающих·ся - меньше. Кроме таг.о, лер1вые 1помеш,аются
rв центре као~ы 1 .вторые - по бока·м. То же. относит~сЯ: и к кла--
1виатуре пишущей мап1и'Н'ки - :для наиболее ловких указа~
т.е.льных пальд.еl? ра1 боты больше. За НIИМИ за1креплены такие·
буквы, как к, е, _ и, р. На долю :ж"е 1непослу.u1ных мизинце·в до-·
стались нстречающ-иеся ред~ко ф, я, й и им подобные.
Очевид.но, что для ·того Ч\r_Обы указать в~р.оятно·сть -оцре~дс-:
ленного оо:бытия, ну~:жно иметь каки~-то сведения об это \f
событии. в .нашем 1П1рим·ере эти с1веде.ния мы получил .и из ана­
лиза различных отрывков. Затем, предполо:ж1~в, что повторяе­
мость буыв ~в·о В·еех РУСС!КИХ тек1стах приМе·рно одинакова., мьr
смогли предС'казать ·вероятно.сть ·поя1вл.ен11я той или иной бу ·к-
iвы в еiце не изученном теК~сте.
·
.
Точно таiк же, ожидая а.вт.обус н .а останов1 к.е, на ко11орой
оста1Наtв.л.и1ваю11ся ма~ш,ины 11рех маршрутов, .на1прим~р No 5" . '
·No 8 И No 12, МЫ не rмо.жем у~казать 1верt0ЯТ,НО{:ТЬ ПОЯ.ВЛеНИЯ ма ­
ШИНЫ того или иного маршрута до тех · пор, пока не обратим
внимание J{a интервалы дви:жения машин. Пусть No 5 ходит-
· череj_з 2 минуты, а No 8 и No 12 -_1чере~ 4. Тог.да можно сказа~.ь?..
что вероЯ:тности появления машин · No 5, :No 8 и No 12
равны соответственно 0,5.О, 0,25 и 0,25. Дей~твительно,
из 60 машин, · прох·одящ.их в течение ча .са через . о·с.та -
1новку,30б~дутподJ\Jo5и.по15- ~подNo8иNo12.Еслинас­
,у:страи1вает то1лык.о 8-й ма'Р:Ш(рут, 110 вероятность появления
1ну.жного нам автобуса .ра1вна 1/ 4 , т . е. из ка1ж;дых четырех · м а­
шин мы с.мож_.ем_ вос1поль1З·О1ватыся толь.ко одной. Г11ре\д1полож:и м
4.279---;'2

·О мы ~vюж.ем ехRть ;и по~ ·5-'Му · и по 8-му маршрутаМо:
случае из 60 машин :Ну}к.ных нам б_удет 45, иначе го-·
~ я, ~вероятность ~появления подходящей машиньi · 6yДiet
45/60 == О, 75. Эта · вероятность складывается из вероятностей
n оя1влениЯ машин 5-го (О,50) и 8-го (0,25) мар ·шрутов.
Так~им об:разом, мо.:жио сформулировать правило сложенf1Я
.в~роятносте1й: ~вероятность наступления одного из событий
(б е.зразЛИiЧНО какого) из некоторой tовокуп.н:-ости событий ра~в­
в а сумме 1вероят.ностей кажд·оrго из событмй этой сонокупн.о.ст.и.
Зде·сь, ко.нечно, .ну:жно оговориться: суммировать моЖно · толь­
ко вероятности неза1висиJ i\1ЫХ событий, т. е. таких, для которых
1н.аетуплен1ие одного из -с.обытий исключа.ет 1воз· м· ожность на.;
ступления дpy,ro·rio. Автобус МG)кет быть 1·· 0.лько · 5-ito либь 8-1го
1а1ршрутов, но ·не · 5-:го и 8-го одновр-ем.енно. Сумма 1верояг­
ноС'тей нсех независимых событий ~всегда равна единице.
Прави.ло слож·ения .ве1роятностей , незц1в,исимых с.обытий
можно проиллюстрировать и на пер 1впм ра1с·смотренном при-
1ере. 3.ная вер6Ятн·остш ~nоя1вления - различных букш в русоком .
тек1с.те: а - 0,062, о - 0,090, е - 0,072, -
.легко установить, что
iВероятшость ·Вегретить одну из этих трех бу,кв р·авна 0,224.
Другими словами, этн буквы со.сrавляют цримерно · 1/ 4 в·сел
знаК· QJВ 1В ТС~К·СТе.
"
..!
1
'·
,
Нам понадобится ещ·е одно пра1в.ило т еор ии вероятностей -
·пр а1нило .}т:множ'е·ния. · Гiонс-ним ·, ет.о та1к>ке на ~Пр имерах. Пре;д-­
nол.ож·им, что мы .бросаем ~6ДJто1вр.ёМ'ен·но" монету ' И 1 иnр·альную
1{ость·; на гранях К·О111орой · на-несены _ ц11фры от l да 6. I(а-ко1ва
·вероятность одн·овременноr.о вьrпадения ··орла · и четве~рхи?
Будем рассу1кдать следующим- обр·азом. Всего может реаЛ'И­
за-ва~ъся 12. ра1в,новt:роятных"' ·с·6
1
бь(tнй : соiз' бкупноеть .,/ ор.ша -"·- - 1 1
оJо+ой из 6 цифр .и совокупность решк1и и одной из цИфр: Я·сно~
что · каждая .из этих 1возмо1ж:нЬ1ст·ей дол.жна .- · о :ЖiИ'д:аться-· с ве­
qJ{).йТJI+остью 1/12. .
=·
Д,ру.гоЙ С'ПОС..Об рас:сужденйЯ." В_ .ерЬЯ1'НО:с·ть· -·в1яп-адения · Oif>Лa
1} 2; а · 1вероя'п1 оетf) ·-~ыпаде.ния· чет~верхи 1 /в. · очевидно, · ДЛЯ
-тог.о чтобы вьrч:ислить ве·р.оятность одновре\1енного их · выпа­
.де1 ния:, .неабхощимо .пер ·емнож1ить · вероятнuс:1и ~выhаден:Ия их по
отд'ельности. Ведь при 1выпаде.1+ши орла толь:К·Q в одном· слу­
чае"· из"· ш.естИ '' п.ояв.пяет.ся четвt:р iка, но орел 1вьr1падает в ~' одном
случае .из :п/вух. Такипvt· · ь.О:ра~зом",' · в~ерюятность · · совмеа'Т!н·ог'о на~­
..ступления д1вух ~.обытий " р.а1вна · iпр-оиз1веД-ениЮ ' · · вер·dятноt'ти
одного из собьft~ий ·на в~роЯ·тноtт:ь другоrо " событи11 - при усло-
вии,- что пер~во·е С·обьгr.ие ·состоялось.
···
·
8
,"
_"
#(
~·"
.
•
"
,
"
'~"
, В , о:зь ! ме:м · более -сложный п:1р1име.р. Пу lсть
ма1Ш1Iпrы . у~поми-·
. на1вшихся
вытnе маршрутов окрашены ли1бо ·1в .зеленый, ли:бЬ
в крас.ный ц1вета, п1рлчем К~ра·сньrх .машлн ла S--м и 8-м маршру­
т-ах ··по 40 tП1роцентов,· а на 12:..м только 20 прюrцен'Jiов. Вытчис:_.
·л и. м, :.ка·ко~ва б у~д ет вероятность того, что на ост а·новку цр идет
кrраоный автобус лю~боrо марШ1рута· . · и-з ~всех пр и.ходя·щих на
.о

остановку машин 50 1процент:ов идет по ма1р,шруту No 5. Крас·-­
ных среди них 40 1Пр:оцент·ов. П оэтому вер·оя гн~ость - п оя1вдения ·
юрасной ~машины .5-го ма1р1прута ра1вна 0,5 Х 0,4 == 0,2. Для
8-.го маршрута аналогично полу,чаем 0,25 Х - 0,4 == О, 1 и для
: 12-rю - О,2Б Х 0,2 == 0,05. Сум·ма1рная -вероятность цр1ибытия
·красной маш,ины iра1вна 0,35. Для зеленых м аш1ин имееl'vг
0,5 Х 0,6 == 0,3 (марiшрут No 5), 0,2,S Х 0,6 === 0,1 5 (1ма1ршру г
No 8) и 0,25 Х 0;8 = 0,2 ·(,мар1ш·рут No .12). ·Полна.я вероят­
ность подхоща зеленой машины !ра1вна 0,65. Каiк и доJIЖН-9 ·
быть·, вероятность прибытия машины лю:бого ма1рш·рута и LГI1ро- ­
·из.вольного цвета 1ра1вна единице (0,3-5 + 0,65 == 1).
Этим.и сведе::ния.ми из теор·и1и ~ве~рояглностей мы и олрани­
чим.ся. Их будет 1нпюлне достаточно для 1пtрвого знакомст1ва··
с методом . стат:истичеСiк·их иапытаний - методом · М·онте-··
:Карло.
1\ЕТОД СТАТИСТИ ЕСl(ИХ · ИСПЫТАН Ий
1\!lы .рассмотрели очень пр-о-стые 1пР'имеры , иллю_.стр.ирую- ­
щие по1-Iятие •ве~роя'f1нюсти .::и основные правила тео~рии ве1роят- -·
ностей. Мо.жно пр·и~вес11и много ·цри:ме1р.ов и из об.ласп1 есте-··
:е-гвенных наук, напр-имер физ;и~ки. П-ри исследОJвании кос.ми- ·
ческих лучей говорят о в.ер· ояг.ност1и по:паДания определенно,го···
числа час11иц на 1~- см2 ло~верхноет:и Земли зз 1 мину.ту. Ра·с- ·
сматривая д·в.ижение м олекул :в газе, мо:жно поста.nить ~нопрос -·
о вероятности того, что выбранная молекула будет-·
иметь скорос:гь, ~е.ка1кем, больше 100 м/ сек. ФиЗики- -·
ядерщики оперируют ~ ве~роятностью ра1сла1дов рад;иоа1клигв­
ныхядерит.д.
. Очень
ча сто 1в точных науках возникает необходимоеть.
,рас·смотре.ния сложных процессов, с-остоящ,их из набора 60- ·
л.ее простых, элементар,ных актов, ,вероЯт.ности которых Из1ве- .
-
стны. Задача , ученого - найти нац1более ~вероят.ный исход та-··
КОЛО ряда ПО'СЛедоватеЛЬН.ЫХ е-лу1чаЙНЫХ СОбЫТИЙ. И·СС.ЛедуеМ, .
нацример, задачу · о так называемых . случайных блуж,да,ния-х .
частицы .
.
Из1вест.но, что достаточн·о мелюие частиuы, помеще1и-1ые в ­
жидкость, начинают ха;от.ичеоки д!вигать1ся. Это д1виЖ·енше на­
зывается бр.оунов-ск1им и обусJi.0tвлено беопорядочными i уда-· ·
·рами молекул . жиJJ,1кости о част.ицу. Путь частицы преде.та~~­
ляет собой чрез,вычайно Запута\нную линию - час-тица меняет
. СJвое
на1пра1вление д~вижения и е~орость ·совершенно случайным
образ.ом. Т!раектор1ц~ д1виж.ен:ия одной ча1стицы . обычно никого ·.
не интересует. ГJоразl(о более интересен вопрос о том, ка1к1им·
, закоrнам
.подчиняется совокупность чэ.ст,иц, находивши хся
'вначале .в некотором ма~пом объеме :жидкости. Путь отдельной
час~яцы случаен; но в движении на1бора част1и_ц мо:жно найти

определ енные статистичеокие закономе;рности. 1-Iапри.мер,
моЩJj О по.ставить iвопрос о сред,нем расстоя.нии, проходимом
ча,ст.ицей з' а заданный промежут·ок времени. Эrо ереднее зна ~
чени е1 полученное из наблюдений за очень большим числ-ом
час-гиЦ, будег у:же не случайной величиной, как о"Лкл.а.не.ние
одно й частицы, а ~вполне предоказуемой физической величи­
ной, измерение кот,орой на опыте будет давать всегда о.дин и
?f'OT ж~е результат.
Описанная задача достаточно сложна, чтобы. ·С нее мо:жно
-бы ло начинать разговор о методе М·онте-Карло. Предполо­
ж.им, что частица может двигать·ся только 1вв.ерх и вниз, пр.и--:
чем ее ~перемещение за каждый шаг одинак-01во. Так ·Как на-~
правления ударов ,молекул с.овершенно олучайны, примем, что
вероятности перемещения частицы ~вверх или · вниз. при каж­
·дом шаге одинаковы и равны 0,5. Наша за~ача
-
!ВЫЯСНИТЬ,
J-Ia с:коль, ко в ореднем удалит,ся . частица от первоначального
положения, скажем, за 15 шагов. Ясно, что Для того, чтобы
u
,
'{
наити среднее о-гклонение, нужно иеследовать д'вижение
достаточно больш.ого чис.ла ча,ст%ц.
Каждая фи.зичеокая задача может быть · решена Двумя
.путями - · опы..тным .и теоретическим. Вся физиiка ·сейчас соот­
ве11ст1венно делится на экепериментальную физику и физику
-те0~р·етичеокую. Экспериментаторы изгот.01вляют различные
приб оры и устанонки для опытного .иоследования интересую­
щих И?< явлений, теоре.тики, пользуясь только пер·ом и бу­
маiгой, пытаются н·а оенове опытных данных и различного ро­
да предполо)кений и г.ипотез понять внутренние причины тех
,или иных процеесов. Та,к было и е броуновским движени;ем.
Беспорядочное движ.ение мелкмх частиц в жидкости впер-
1вые набл-юдалось английок1им ботаником Броуном в 1827' г-оду.
в начале на1пего етоле-rия Пер 'реном были цроведены .КО.7IИ­
_чест1венные опыты по изучению с.мещ-ения броуновских час~иц,
а Эйнштейн и Смолухо~вокий, ссн01вываясь на гипотезе атомно-
l\>1олекулярного -стр·оен-ия веш.е;с11ва,' смогли рас.считать заiв-иси­
:м-ость смещения частицы от азремен1и движения. Совпадени·е
~еор ет ич еских . и · опытных результатов под-гвердило правиль­
нос ть взгляда на вещес'Лво, как на совокупность атом.ов или
мол екул, ·Совершающих ·тепловое д1вижение.
Вернемся к нацrей задаче. Поста1в.ить опыт мы не МО}Кем,
так как у нас 'нет частиц, кот.орые бы случайно двигалась·
в1верх и :вниз, да еще равнqмерными шага.м.и - мы цросто при-.
~ду.мали их. Гlо.пробу~м' ре·ши-ть · ее ,теоретичес,ки. Очевидно, чт·о
некоторые частицы после 15 шагов окажут2я ~выше нача~ьной ,
Т·очки, другие ниже . Для пер1вых смещение будем сч,итать . по­
ложит.ельяьrм, для ~вторых - о-г.рицательным. И те и другие
прос'f1о из с-оображений с.им.метрии равновероятны. Е·сли мы
Х:оти\1 · узнать qр еднее смещение для большого количест;ва час·
тиц, то вна~к смещения во ~внимание ,принимать не НУ?КНО!
J2

О1 6оз1начя.в е~1ещенйе П·осле п uta:rio1в ч.ер1ез fi п .,
мы мо:же·м
(Жазать, что ну:жно найти среднюю велиiчину абсолют.нюг,о
значевшя h п' т. е. Тhпl, верти~калы-~ые черточк1и ~показыва­
ют, что :вел.и чин ·а всегща берет1ся с;о знаком ~nлюс, а гор1ивон­
тальная черта вверху за. меняет слова «с:реднее з.начение» ..
О~а_,на(К·О, как будет ~ВИДНО ИЗ результата, удобнее ПОЛЬ'ЗОВ3ТЬ'СЯ
не ji1 п1, а h2 п . , т. е. сред1ним квадратом омещения. Ква1д­
рат лт-обой величины всегда полож,ителен, поэтому 1вер:тика,ль-
ные черточки оlПуiцены.
.
После >Пеiр1вого шага длиной ед·ин:и~а h1 == -+ 1, .смот1ря по
тому, ~вверх или в:низ с.мес11илась ч:аеnица, . а h1 2·==
1. ГJ.01сле
.в11ороrю ша1га h2 == h1+ 1, а h22 ·== h12 + 2h1 + 1. Та1к. ка1к 1Ве­
роят•ност:н з,наков п.лю1с и минус есть 0"5 (вто вер~оя·пtо~стщ
с:мещения 1В1Вер·х и 1ННИЗ) ' то
h22
==
1
[h12.+2hт+1-~h12
-
2h1 + 1] =='h12 + 1..
2
· 2\ 11.о:жн о
!Перейти ·к 1ра·С·СМ·отрен1ию третьего шата, одна·ко ·мы
достiиг1нем цели быстtрее, ее.ли ра1с.смотрим сразу п-й ша'г. Со­
вершенно аналог1 ичню тому, ка 1к ·мы п:ис.ал~и для 1втор ; ого шагаf
м Q:Ж:HQ ут1в.е~р!Ж1Да'ТЬ, что
·
hп·== hп-1 +1ИЛИhп ==hп-1 - 11
.пр!ичем оба эти ;р21Ве:нст1ва рав1новероят.ны, т. е. осуще1ст1вляк~»т­
ся с .вероятностью 0,5. Воз1нодя ·В 'К1вадра'т И--У·Ср·ед.няя, получи~м
h2 =h2п-1-+lv
·п
Теперь, ·~:сло.м1и;ная, 'ЧТ·О h12 = 1, и последователыно приме­
няя,. последню;ю формулу, легко получить
~
2
пll ·== п,
т. е . .аредi1ий квадрат смещения чаеr~ицы за п шагов -ра1в.е~н про~
сто числу шюю1в. И.ными словами, ес..[Iи мы ис.следуе~л:, е.ка:жем
100 ча1ст1иц, ка2кдая из которых делает 15 ша1го~в, а затем
найд.ем ~средний к1ваД~рат смещения, то получим число, бшив­
·К!ое 1к 15, приче~у.r .тем бли:ж.е, че_м больше ча.стиц ~ы рассгм:·qт·-
:р1им..
.
·
Таким об~раз·ом, 01пытное ,исследование эт1ой задачи а~ка­
залось J1евозм-ож·ным,. а ..тео~р·ет:ическое привело .к усiПеху. А
что .бы мы де.пали, если бы задача оказалаiсь .потруднее, l~ .JYI,*'I
не c;.м:qrJI.И . QЫ г{iеп.i1ить ' :ее. 1 т а1к " Пр1.С}СГ-О? М·оnло бы получ1ИТЬ1СЯ
какое-нИбудь уравнение, для решения которого понадобилось
бы слищ1к10!\1 много ~времени. Оказыва,етiсЯ, есть еще один
путь-· .мет1ад моделирования. Поясним его .на ~примере толь"
, ко ч110 1 ра , ссм.отрен.н~ой задачи. ·
С!лучайные ·д1ви.ж.е~н~ия ча,стицы вверх и в.низ мо:ж:но заме­
нить ка1{)-ИМ-~~1~ибо д1ругим _ процессом, цр .ои·сходящим по тем
·Ще Сg,1NoЫМ верОЯТ'Ц·ОСП-Iр_П~ за11{О_I!. а~м"_ k{1ВИ12_!_(е~ие _Ча1СП1ЩЫ щрои1С· .
13

х1одит последовате.nьным.и шагами, причем пе.ред 'Ка.ждым ша­
гом частица должна ,выбрать одно из двух ра1вновероятных
напра1влений. Нельзя лrt придумать какой-ниб)ТtдЬ процес.с,
состоящий: -из последовательности двух ра·вновероят~ных ообы­
тий? Пр·остейш~ий пример такого типа - 1по·следователы-1ое
б;росание монеты. При 1каждом бросании с вероятностью по- •
"11овина выпадает либо орел, либо решха. Если брос-ить м1 оне­
ту 1"5 . раз и дот6вориться, что выпадение орла соответствуеr
дни:ж.ению ча· стицы ~ввер х ; а ~выпадение решки - шагу вниз,
то та,кой опыт замен~ит нам опыт по исследованию движения
час']}ИЦ. Таким образом, -каждой траектории частицы мы ео­
поста·вим серию из 15 бросаний монеты. Для последования
10 т1раекто,рий нуж:но броеить монету ~50 раз. Нот_ ·что полу ~
чилось цри -1моделир.ов~нии · IО траекторий.
2
3
4
5
6
7
"Q
.р
р
.О
О
О.
р
о
о
о
р
о
о
о
о
р
о
р
р
р.
о
р
о
р
р
р
о
р
р
о.
р
о
о
р
о
р
.р
о
о
о
.о
-
р
о
р
о
р
о
р
о
о
о
о
о
о
о
р
р
о
·р
р
о
·р
о
р
р
р
р
р
о
р
·р
о
о
о
о
р
о
р
о
р
р
р
о
р
·р
р
р
р
о
р
о
р
.о
о
р
.·р
о
:о
о.
о
.р
о
р
р
р
-з+з-1-з+з+5
+1
9
9
1
99
25
1
8
о
р
о
р
р
р
р
о
р
р
о
р
р
о
р
-
-5
25
9
10
р
р
о
о
о
о
р
р
о
р
р
р.
р
р
о
р
о.
.о
р
.о
р
р
о
р
о
р
о
р
р
р
+1 -9
1
81
В этой таблице - о
--
орел, р - 1решка. Внизу указаны
величины смещения вместе с их зна!(ами (плю.с - нверх, мл ...
нус - вниз). П·оследняя строчка
.
тоблицы - ювад.раты сме­
щений.
Несмотря на то, что р а зличные частицы двиг~л_ись по-1раз­
иому (дес~тая почт.и :все время опускалась вниз, а седыу1ая
. топталась
около исходного положения), 1в совокv.пности из
•
•
•
.,J
1
ут.есяТtи частиц уже проявляются так называемые статистич.е-
€кие закономерности. Например, мы видим, что . слишком
~о.льшое о·т1клонение от исходного состояния маловер9я1lно"
Толь-.:к:о одна из ча·стиц ушла на 9 шагов и две - на 5. Осталь-:
вые сместились нсего на 1 или 3 шагз. Количеств-о частиц,
ушедших от начального полож:ения вверх и вниз, одинаково.
Сумма к1вадрат~t)1В смещени й 1ра~вна 170, а средний к1вадрат -
17 , чтю достаточно близ· ко к теuретическо:\11у значению - 15..
Различие обусловлено тем , ч то чи сло · ра·ссмоГrренных на м и
ча1с тиц невелшко .
14
')
'•

[,)
Чем .больше <С·ерий. ис.пы~аний мы будем брать~ тем 6ли·я\е-
. п одойдем
к те:оре1л1чтескому з.начедию ·ср едне квадра.ти~ ноrо
смещения. Точно так же .нс·е набJ]юдаемые на опыте макрю-:
ок·опичесжие величины ( т . е. ф изически е вел ич ины, характери :­
зующие тела, образав сн-тню1·е из. отромного числ а м·оле.кул ·ила
атомов).~ о.бусловленные большим кол ичес"Гвом м.ИI!(роскопи­
че с к~их ир1оцеес.ов, я~в ляютс я оредн и м и ст а 'Пi стrгч еакн ми вели ­
чинамИ . Давл ение газа на ·Стенку сосуда , на цр·и м ер, ·,возт-нrка ет'
из-за х аоти~ч ееки х уд аров отдель:эъ1х 1м.олекул таз.а. Хотя уда-;.
ры молекул различны по ои.ле, ч:нсла М~Qлекул, уд2>ряю.щихся
о .разл·ичнь~е уча1С-ТК·И .с.тепки; отличаю тся. друг о.т дру11""а - ер~д­
нее давление-" из м е р ен н ое tlf аном е11ром , яв дя еТ~ с я ~вполне опре:­
д ел енной предоказуе l\1fоf1 ~вел ичиной .
Нельзя ли ка к -нибудь уеоверш енствовать наш МQд ельный
оп ыт - ведь броса ть монету да же 150 ,р.аз п: овольно хлоп отно?­
Мо }кн10 обой тись .и без монеты .. Есть, и други е и а::,то1Чи1~ппJ1
случа йнь:iх в еличин. В озь:мем ка гую -нибудь та.б лицу тиража
u
u
в
u
/
в ы.иF1рышеи пю денеж·но-.вещевои лот:ер ее . : .к аi~.tКдои се.ри:и ~ ее
на м.ер в дер·в ой ,колон~ке таблиц ы ) · ,200 билетов. На один и-з;
ни х - 1в11орая колонка
-
падает ~в ы игрыш. Эта колонк а та~б-·
лицы мо:жет изба1вить нас 01· ут·омителЪ)ного бр-осания монеты.
·
Номер а билетов, написанные ,на бум ажках, nри р о-зъ1грыrше вы­
т асхи~в а ~отоя &ш лот ерейноло к о.леса сов ершенн о е.пгуча йны м
образом. П'Оэтому сле:Дует ожидать, ч11Ь . с вер·оят:н-остью поло­
вина будет вытащен билет с ном·ером от' 00.t ·до 100 и с· такой·
Же верСЯТ·НОСТЫО - С HOMBJJOM ОТ' 10 1 д~о 200. д.еЙст:виi.елЫ-J1О,
:в люб.ой ·Табл ице тех 1и друr~их но м t1ров п1р:а:м ер н·о о динаковюе
колич.ес11во и р аспределены они по та·бл ице. .совер1пенд'lо слу­
ч айно. ~и же , пр и~в_е;день1 '!)ри у ч а~т.ка ~ТО J±Н)~~ ·:: ~ОJ!·G'НкИ· таблм -
цы тир ~Ж:?' со~11оя1вш еrося 13 а1нгус:т а 1964 .год а " '~.
.
146
о
о~н
р
136.
о
.,
04Ю
р
094
р
046
о
"119 .. ""._
о
169
о
· 139
о
047-
р
",
. 025
р
075 .. ·р
.
.~
l4
о
t17
()
160
о
02~
р
080
р
004
р
L
I06
о
·186 ,· ..
;(),r
.113'•',..о
\~...
022' .
р
·об·з
Р·
. 043.
р
1,.
134
(J
00'0 •I
•
t
!
о
,.
.l7:5
·".о..
,.
• r-...
".
-.
~•111!
jjQ
о
057 "
..
р1.., ·•. ,. ,, - 054
р·
106
о
058
р
117
.о
...
149
о
f14
ь
023
-р
":·
·
·· r44 ..
а
бlТ
fЭ<
031 -.
р·
-·-...
· 040
р
012
р
1l
о
.;
.'
16;9.
о
149
О'
0 161
Р:
'\
+s
._
.
-
5·
-
r
25
25'
1
Б у1де:м- сч1:г:r.ать 1 что r~·o-ri!ep.a - .001 ~ 100 соо1iве11с1~:вуют д1ви.;
жениrо. ча с.тя.:цы в.верхg. а билеты 101 - 200 - ~вниз.. Н~01М;ера би~
il5:

летов .в таб.Лиц е переведены на язык «орел-решка». В н изу
опять приве~ены результируюrцие смещения ча ·сТ~иц и их квад "
;раты.
С лотерейной таблицей работать, конечно, легче, чем с мо­
нетой, однако то.же не очень удо·6но. Оъ:азывается, есть еще
более про-стой . с'Пособ осущест1вить нац~ .01пыт с ча.стица ми. ·
.
Воополызуе:м.ся для этот9 так .называемой та·б.лицей случайны ~{
чисел. Эти таrблицы довольно с:воеобразны. Все ~видели т а б ­
лицы лагар~ифмов, 11ригонометр·ичес1ы1х или д· ругих фун кций. /'
Таблицы синусов, соста1вленные 1раз.личными авГ>о-рами, п ох о- ·
жи друг на д~руга. Если в ОД'НОЙ из та1блиц мы находим
sin 60° = 0,705, то мы уверены, что и 1но 1нсех остальных таб­
лицах для синуса шееr~идеrсят1и nрадусов мы найдем то .ж: е зна ­
чение. Та.блицы случайных ЧII-Iceл, ·составленные разными уче­
ным-и, непохожи дру;г на другq.. Они цредс.та.вляют собой
набор чисел, расположенных ~В случайном порядке. Я.с.но, что
так1их та'6лиц -мож·но со.ста1вить сколько угодiн:.о, И ~все о.ни бу­
дут р~эными. Нот, например, 1нерхняя часть седьмой страни­
цы та~б.л.иц · с.лучайных чисел, опубликованr~ых ]\!\. Кадыро1вым
в 1936 году:
.
3590 3265 · 6446 7401 7958 3485 4920 9755 2791 3473
~151 1681 8778 2516 1923 6550 3834 4568 7606 8108
4899 8244 5442 4155 9051 0294 0841 8705 3779 5847
6410 4612 · 1643 8285 5988 4926 5184 2945 2516 0808
9679 9403 6525 5555 9042 ' 1780 7926.'
2544 0303 5777
1434 2216 2917 1871 3074 5215 6834 2415 4714 2852
2597 3617 3476 2452 7094 0693 2764 1789 1436 . 1998
7715 5229 0348 86-47 4767 6781 7701 6876 5181 5891
4430 6673 9585 3762 5675 4894 1686 8337 9701 2530
17.68 . 2443 7108 2814 9453 6462 3473 2124 3585 0600
4619 3956 6853 4251 1080 9203 9646 0202 . 4564 5764
7086 7398 7538 2886 9759 6060 0661 3253 5491 6677
1748 5537 1487 6627 7070 396·3 8550 0424 2542 5656
2679 8038 0149 0762 1149 8465 4623 6545 4224 0219
2315 3981 8352 1673 4812 4220 1532 2264 1479 8454
Пер1ное, что бросается в глаза при раеомот1ренм.и этой
табл'И!цы, -- полное отсут!СТIВ'Ие ка1кого бы то ни было ПОIРЯдка
в под~боре чи·с.ел. Это и есть основная отличителЬ'ная черта
таблиц случайных чисел. 1( та.кмм таблицам часто приходится
прибегать при ~.ровер·ке р ,азличного рода стат,11·стичеоких тео-
рий. Чуть ниже нос;поль-зуем.ся ими и ' мы.
_
-
·
В.пер.вые идею о соста.влении таблиц случайных чисел вы­
д1винул английский матема-гик Карл П1ирсон. Он понял, что
можно заменить неудо6н~?1е и очень 'Грудоемк:Ие · -операции ,
связанные с получен·ием случайных чисел, пут·ем бр· осс.ни>J
~1:.онет, иnральны~ костей и т. п., соста~влением таблиц, числ а
1в кото1рых был1и бы распо.,q:ожены 1в полном беспорядке.
'Есть много способюiв соста1вления таблиц с~учайных чи сел .. ·
Мож,но , наприм ер, восл оль.зов аться газе11рй с л·отерейной та б­
ЛiИдей. Первые та1блицы, выпущенньrе в 1927 году уче~ни.к.о-rv1
16
".l
J)

Пирсона Типпетом, бы_ли составлены по данным переписи на.:.
селения Англии. Пятьдесят· тысяч одно.з·начных чисел, содер­
.~жащмхся в таблицах :Кадырова, были вып.исаны из да·нных
по переписи населения СССР в 1926 году. Ц·ифры 6ра.лись
одна за другой 1в том порядке, в каком о.ни ~вст·речаются 1в
С!Вод· ках по городам И 1 губерниям. Последние цифры данных
о численности на·селе~ия в каком-либо 1райо~е отбрасывалисf?,
для того, чтюбы из·бежать возможной неслучайност1и, которая
.r~л отла · Возникнуть из-за тенденции к округлени10 чисел пере·
писчикам:и.
Наверное, читатель у}ке дотадал.ся, ка-к воспольз.оваться
этими таблицами для решения нашей задачи. Есл~и мы хотим
воспроизвес-ти lб шагов какой-либо частицы, достаточно
взять Qдин столбик из пятнадцати цифр, причем условИться,
что ц.dфры О, ·1, · 2, 3 и 4 соот1ветс11вуют д:ВИ)Кению _ частицы
1внерх или выпадению орла, а цифры· 5, 6, 7, 8 и 9 - д~виж.е­
нию вниз или вы.падению решки. Для пер1ного С!толби:ка по­
лучи. м:
pppoo1pipoppp-opp1p
В результате частица 011ойдет от п~р;ноначального положения
на 7 шагов ~вниз. Данных нашей табл1ицы х.вагит на об.счет
сорока траекторий частИ:д. Их. смещен·ия бу~ут равны: -7,
-1, +5, .~·+5, - 1, ~1, -
·
з, +1, +3, - -I, -:3, +7, -5, +5, +з,
-1, +з, -1; +s,--з,·~-1,· +1, +7, -7, -·
3, +.i1, -з, - 9J
·-5, + 1, -_з, ·+з, :---5, +з, - 1, -З; + 1; +1·, +3, +.i.
На рис. 1 предста,вЦуны истор~и движ.ения трех частиц
1\~
;,
./'
:/.'12
~
•
~
't•
... 4":
...
•
j
~,•
"
...;
"
•
j_...1
..-21
•
,
f·
-4
-6
,
-8
\
Рис. l. История блуждания трех·
· частиц.
17

· (1i€р1воИ, чеr~1вер11ой и двенадцатой). По горизо:нт.ал:ыной ~ос.и or...
L11ожен номер шаг.а" :по ве1ргикальн:ой - ··смеще.иие частицы
после данного шага.
Да1ке из рае.см-011рения в1сего пят1идесяти с небольшим час ...
т.иц мы модТ{ем получить некоторые о:ведеНия о поведении роя
ча,ст,ид" блужд.аюд.дих по направлениям вверх-1вниз. Вшд.но3.
что одинаконое число частиц ушло от иолов(ен.ия·равыо·весия в
разные .стороны {27 вниз и 26 вверх). Б-о~ьп1ая часть часr-иц
сместилась 1в-се1го на 1-3 шага., 1и лишь одна отклонила·сь на
11 шагов. Все это следст1вие ра·вновероятности отклоые;-IИЯ ~в
обоих .н.апра1влениях при каждом шаге~ 1\1.ожно сосчитать
средне1ша.др.атгичное отклонение - оно ока.зыв rается · ~равным
14,3, т.. е. близким к значеняю.~ п:олученыому точным расчетом.
М.ет:Од ·рас~СМ·ОтреН.ИЯ ПОВедеН.ИЯ С.-ИСТеМЫ" КаЖДЫЙ ЭГаП ДВИ­
:жеНИ:Я которой 1\10,деллруется на иЗБестнътм законам ~ттри ri-o .. .
мощи ка1К·О1го-либо и1сточника случайных I_Jисел, ff называется
мег·одом Монtе-I(арло. Мъ{ проиллюстрировали его на ripo- .
стейшей задаче одномер·ного дВИ)Кения частиц. · Совершенно
аналог.ично JУ~ож:но было бы изучить ДiВИЖЕшие час11иц, спо­
·еобных церемещать-ся · не -голько вверх и вниз, но и вцра1в-о и
iВЛеrво. При ка,_ждом шаге такая частица молл.а бы - уйти с ве-
роятностью Jf4 по о,~но1му. из четырех напра1влений. Для.1
vпреде.пения напра:в.ления при ка:ждом ша·ге мажно воеполъ-
З·НВа ть.ся подбрасыван1ием Д1вух моне.т ·. ·Они могут упа·сть в че­
tыр.ех комбинациях еэрлов · Н решек: оо, рр, ар · '1и · ,р-о. ' Г айкдой
ИЗ · ЭТИХ ра1В"I-IОВер-ОЯТНЫ~ кQ-мбинадий · НУ.ЖНО ~:оПОСТаfJЗИТЬ ОДНО
из возможяых на1пра1вл,ен:Ий: д1вижения. Гораздо удобнее опять
воспользо~ватыся та·блицами 'случайных чи1сел. Если · взять дву-
. .знаЧ11fые
случайные ЧЯСЛа 9 то числам .в инт~\р.ваJ[·ах 00-24~
25-49, 50-74 и 75 -99 мо!Жно с61поста~вить шаt1и ·вверх; 1в.н.из,
впра1во и влево.
.
·
·' ··
·
··
·
Для исслед·ования трехмерного движе:ния ··(в1верх-· · 1вн-изр
нпра1во--вле1во; 1впе~реД--·.на.зад) ну:жно ~взять игральную костьо
Цифры 1-6, нанесенные на грани- й!!ра:льного 1~убика, можно
сопоставить с· од.ним из шести нозмо:жных напра1влений дви­
жения. Конечно, и в ЭТОМ случае предп9ч11ит ельнее польза~ .
·1ватъся табшицамя ·случайных Чисе.iI.
·
.: Метод Мон:те-Ка рло хак .способ · исследования слоrк1ных
• • 1вер«~ЯТrНJ'стных я·р·одессов "с-одерж.ит· в · себе элементьr и· теоре ...
· тичеакого i1· Эксперимента.льного способов изучения· я~вленийо
r Его
нель·.ЗЯ ' наз1вать ЭКС'Гiериментом, так как мы йе •, п·о.Льз,ова~
лись"'· никакй1V1И · из·'м'е~р,ИтелЪНЪilviИ ' ;приборами -'·.· ~все · -.· было еде­
.
ла.но на бумаге. В 110 · же .время в методе !Vlонте-Ка1р.П-о ес1ъ
элементы эксперимента. Т1раектории движения от.дельных час~
·тиц·, - построенные пр.и помощ,и источни1ка сJiучаИных _ чисел; ~в
.
'
.
u
.·
.
~
!Принципе ничем не отличаю11ся от траектории. которые оы мы
на~блюда.Л·И на опыте, ·будь У. на.с lВОЗМОЖНОСТЬ его ПО·СТ3ВИТЬо.
18

В связи с этим ме110д 1\t\.онте-Кар Л Q час.то называют <.(тео'Рети­
ческим э1к.опер.иментом», подчеркивая, таким образом, его про-
межуточное положение _ меж:ду опытом и теорией. ·
Ра·ОGМот1ренная нами задача довольно проста. Она точно
. решает·ся
п·р-и пом. ощи теории вероятностей. Од:на·ко есть l\1IHQ-
гo стат:ис11иче.еюих я~влений, воспр·оиз·ве.сти которые на опыте
трудно, а теоретическое реше.нше просто невозможно из-за
большой -сложности задачи. В этом случае единегвенным сно­
еоqом Р'~'шения о:казывается метод Монте-Кар~ло. В . следую­
щем Rазде.ле мы подробно ра1осмотрим одну из такшх ЗJ-дач .
В отличие от ~ого воlцроса, который мы толь~ко что разбирали,
эта задача не учебная и иллюстративная~· а практически нуж­
ная и важная. Речь:. ,цойдет о зашите от радиоактивных излу­
чений.
ЗАЩИТА ОТ ГАММА-ИЗЛУЧЕ 11 Я
П1ри лЮ'6ом . иопользовании я~~рной энергии - мирном или
.военном - .
1ноз.никает задача заш.иты от рад.иоактивных излу­
чений. 1Дейс11витель·но, физичес1кие :проце:ссы, лежащ.ие в оо~ов~
полу~ен1ия этого ~вида энерги«и - ~е.~ение и е~интез ..ядер,
--
всеrща оq~про'Вождаю'Гся излучением электронов, .нейтр-оно1в,
гамма-к~ва,нтов и других ча·с·т,иц. Вредн·ое влияние, оказывае­
мое им.и на человеческмй 01рганизм, обуславливает необход.и-
. :м.ость
соору.жен1ия ~всякого рода защитн~1х устройств . .В связ.и·
~ эт.им в последние два десятилетия 1нозникла новая область
при:кладной фивик.и - ф~з.ика защиты, предметом .которой ЯiВ­
ляет.ся из:у.:~е:r.ие закою)1в ~прохождения.- и ослабления ядерных
· из .лучений
в разл1ичных с-редах при заданном расположении и
свойс-лвах исто_чников излучений и защитных сред: Конечной
целью та:кого ис·с.ледования является подбор материала, раз­
.
меров и ко~фигу,рации. защиты, обеспечиваюrцих ослабление
яд~рных и~лучений до .у;р1ов~я, безопасног.о для организма.
~адача расчета з~щ-иты доста1тючно сJ1о.жна. 1\.онечно, МiGЖ­
t~o воспользовать·ся принципом - «чем голщ·е, тем лучше».
Однако нужно иметь. 1в виду, что !Всякое чрезмерное усиление
.защиты
приводит к удорож.анию ус.таао:в-ки, а в некот~Q1рых
случаях вес за .щиты ( на 1пр.I:J;мер, в реакторах, установленян·х
.нд. д1нцжущих·ся . объектах - самолетах, ракетах) , является
своего рода r-с~ригич·еским параl\1етром - от ег.о величины за­
ВуJ<;И'f:, будет ли .. такое
·устройсг. во
вообще работоспособн:ь~·м.
В .связи .с этим в настоящее ~вре.мя большое · внимание уделяет­
Сf! расчету опгималь.ных защит, т. е. на~ождению наименьn1е­
го ~веса защиты пр.и заданном ослаблении потока радиащии .'· ·
·
Наи. более Gпасны нейтр·онное и гамма-излучения .. Дпина
их . про~б~rа составляет несколько сантим,е-гров и даже метро~.
С одной cropor-1ы, они могут проI-iикать через толстые слои
-19

/
1вешест1ва, а с д1ру1гой - достато·ч.но ·Сильн·о поr·лощают1ся че .. .
л~о1вечес1к1и~ орга 1н_измом . В этом разделе мы под1ро~б:но оста.до­
в1им·ся · на овойетва х га1мма-~излучения и расчет.е прохождения
еюо через защитные слои .по методу Монте-Ка:р.ло. ·
Гамма-.лучи, так же ка1к и ~видимый нами .с~нет, представ-·
.тrяют со6ой электрома1гниmные колебания, т.. е. колебания на­
пря~ен.ности элек11ричеоr~ог·о и магнитного полей, ра.с;пр.остра-:
няющ-иеся в пустоте_ со с:к·оростыо 300 тыс ~ км/сек. Ча·с­
тота колебаний видимого света 10 1-4 1/ cetc. Частоты, соответ ­
с11вующ=ие . rамм-а-1из.лучению, в м.илли оны раз больше.
Промежуточным ЧqLстотам соо11вет.ст1вуют улы1раф~о.летовое и
1рен~ге1-101нсК!ое излучения.
.
\
Гамма-излучение воз1ни1кает либо при превращениях ядер
(1ра.диоа1кти~вный ' распад, ядерные реа.к~щии, делен·ие ядер), л:.н-
60 при торм о 1кенши за1ряженны~ частиц вьюо1кой энергии в
еtреде (торм.озное излу~че~ие), либо при та1к .на.зываемой реа1к­
ции анниги·ляции ча·сгиц (~нащример, при встрече эJtектрона и
позитрона они исчезают и дают д1ва гамма-кв-а·нта). /
.
·
Р азличие меж.ду гамма-излучением и . в и.дI:IМЫМ овето·м не
т.олыко количест:ве.нное. П1р1и боль:ш•их частотах у электромаг-
н итного из,лучения начинают " проявляться 1К:орпускулярные
()Нойсг.ва, т. е. такое излучение может ра1ссматр1и1вать. ся_ ка1 к
пот:ак частиц, которые назЬI1ВаютсЯ к1вантаъ1м или· фотонами)
д~ви:ж:ущихся со сЕю;ростью света ,и oiблaдaJOiiI;Иx определенной
э.нергией и колиЧест~во.м движен·ия. И ' та и другq_я !Величины
:пропо1рдиона. лы-IЫ ча;стон:~." излучения. ЭI,Iер-гию K·Ba·I):TOB удобно
выражать в еди·н.ицах, принятых 1в атС?мной физ·ике, --- элвктро­
нонолыах. Такой энергией , обладает электр.011, у,ск·оренный
разностью потенциалов 1в один ~вольт. Наиболее част;о вст1ре­
чаю·-гся К!ванты с энергией ~В нескюльк·о· милл1ионов электроно­
вольт (Мэв). Большинст1во · и·скус.ст;в~нных и
·
естественных
гамма-излучателей дают кванты в интер1вале O,Oi-10 Л1эво
!<~ванты М1еньш:их энергий на.з ·ываются О'бычно рентгенов. скими.
При тормозном из.лучении могут ~возникать и более энергич-­
ньiе к1ванты .с ·эт~е1рг1iей 1вллоть до сотен и Т1?Iс~ч миллионов
элект1р о новольт.
Что )Ке происходит с к1вант.ом, когда он попадает в какую..,
либо с:реду? Каждое вещес11во _ состоит из тя:ж:елых поло:tК'И-
,
'
-гельно заря:ж-енных атомных ядер и л егких отрица~е.льных
частиц - электронов. Так как квант по природе евоей элвк­
трома.лнитен, то он должен взаимодейст'вовать с любо й ' заря­
женной чает.иuей. Однако вследсТ~вие боль,ш о й массы · ядер их
·,1воз.Д-ейст1ви·е на кванты мало, и поэтому кванты, ПР'охо.д я через
·1~ещееnво, 1нз- агимодействуют в основном с легк·_ими отрицатель-
ными электронами.
.
_
Попа~в в вещество, гам.ма-ывант проходит некото;рый путь
" без :столкн{)вен.ий с электр·онами. Здесь 1Б с иv1 у ~вступ ают за-·
-коны · случая .. Одному ~в·анту мо1кет повезти и ". он .rвс т_р.етиr .
..·20
1
1

элекТ1рон сразу ж:е после попада1ния 1в вещество, друтой про­
летает без ·стол1~новений гора1здо большее рас-стояние. Ясно"
что если среда однородна, т. е. в - каждом кубическом санти~·
метре нахоJJ.ится 01динак~01ное число элеитронов и ядер, то
~вероятность столкновения на каком--то отрез'Ке пути Лх будет
пропо1рди-ональ.на длине этого отрез-ка Лw === . кЛх. Коэффи­
циент 1пропорц.иональноетiи , естесТ~венно, зависит от .'овойств ве­
щест1ва .и энертии ювантов ·. Его размер.ность-абратная длина,
например см- 1 • Если N 0 квантов попадают в среду ripи х = О,
то изменение числа ~квантов на отрезке пути от х до х + Лх
будет
ЛN === -кN (х) Лх.
С таыим ура~вяением мы у:rке . ~встречались. Er·o решен,ие­
М(х) == N 0e-icx, т. е. число к1вантов, дошедших до
точки х,
эк;опоненциа.льно падает с расс11оянием. На пути х прi)взаи-·
модейст1вовало, та·ким образ·ом, .Л/0 - N (х) или N0 ( 1 - е- "х .~.
wвантов. На рис. 2 изобра.жена КJРИ:вая 1 - е - кх в за1~ис:и..­
мост,и от х для К!вантов энергии Е === 0,661 Мэв_, рас.пр.остра ...
ня1ощихся в железной_ пласт1ине. К1ванты такой энергии ис1пу~-
\А!
А
lO.
0,8
0,б
0,2
1
0,5
'10
.
1.5 2.0 2,5 .з.п 3,5
.х(см)
Рис. 2. График ! для роз_ьп~рμщ1а пробега
к&ант а в желез·е.
w - доля квантов, имеющих пробе-Г боль .­
.
ше х._
кает ,радмоакт.и~вный . изотоп · цезия Cs 137 . РассмоТ!рение этой
11<rр·и~вой показывает, Ч'ГО лишь небольшое число кванто1в про­
ходит большие расстояния. Путь более 3 см. сумеет одолеть
· ' менее 20 процентов кв.ан1юв. То Я\е .самое О'Fносится и к са-:
мым .малым рас.стояниям. Почти 80 процентов кванто~в име·ют.
, пробег брлрщ.е 025 OJt!_ M .oJI'"HO ВЫ9;исл1пь ·. сiредн~ий пр,о.бег _юван-
"21

~та. Он оказывается равныrм 1/к. Д.ля рассматриiваемо1г10 при­
мера он ;ра1ве.н 1,4 слt.
Для того чт.обы 1вынснить, ·Ка'К меняется средний пробег
1.юва1н1ч:~1в ·с энерлией, ра:осмо11рим 1П()Дробнее их взаимодейст1в.ие
-.с электрона м.и. Наиболее ~вероятными являются три элемен­
тарных цроцес.са - !ра1есея,ние электронов, или комптоно~вс.к:ий
эффект, ф~тоэ л е ктричес~кий ~эффект и лрюцес-с р'D}К1де~ния па1р.
_ Пер1вый из них пр.и.водит 1к изменению энерлии и на:пра!Вления
дви}кения ква.r-fта, в результате двух дру1гих ,К~вант исчезает.
.В~роятности
эги х процес.со1в м·огут быть 1ра-с.счита1ны на основе
к1в а1н1товой электроД-:и.намик-и - .1-1ау1ки, изучающей 1вза~:им.одей­
·С~вие электронов, позит1р~0нов и элект1ромагнитных коле:баний
1высокой частоты·.
К!аrмптоновс~нй процесс - .столк,но1вэние кванта с одним ·из
-элект1р~0но~в 1вещес.тва . . Это .я~вление вю !МНОГЮМ подобн·о ·СТО~ЛК­
" новен1ИЮ обычных КЛ'?-·Ооических ча1с1ш1ц. Одна частица .Уrдаряет
п0 другой, покоящ·ейся, ·причем первая -меняет оною энергию
и на1пра1вле;ние движ:ения, а 1вт~орая, пр.и.ня1в во 1В1ремя удара
~ прещеле1нную э.r-гертию, начинает двигаться -с неко~ор~ай око-·
" ~ость,ю. Так )Ке, как .и в -обычной механике, из за1конов со­
х-ранения энер :гии и количеетва днижеtr•ия следует о.вязь меж­
ду углом 1ра1с-сеяния к.ва1нта 0 и ег.о энерг,иями Е0 и Е до и пос­
.ле
стю1лкно 1вения.
Е===
Ео
1
1+
тс2 (l - соs<Э)
rде т - 1ма1с:са электрона, а с
-
скорОiсть ,с1вета. Чем боль-ше
1
~уг ол откло.нения кванта, тiем меньше энергии у него остается.
Мак1смма.льная потеря энергии 1пр•И е =--== 180~,_
при этом
2Ео
.Е=Е0/1+
. Кванты, сохранившие направление движения
тс2
,
(0 · О), имеют эне1ргию Е, равную на~чаль_ной энер1гии Еа. ·
П1ри~веденН:ой фор.мулы недостаточно для 1riо~ттной хараrкте-­
рис11и:к:и .ком1щго1ню1всколо процес-са. Iiaм .ну.ж.но еще знать ~е·
роятность рассеяния кванта под данным углом. Это МО}КНО
найти только ·мет·одам1и ювант.овой электрод.инамик·и. Мы, ко­
нечно, не будем оста1навливастыся на вычисл-~ни11 вероятности.
Приведем пр-qста ·p·mc. ·3 . На нем nрафичеюки .изображены не"
роя-гносТ~и ра ·с.сеян.ия квантов 6ольш.ой (пунктlи!рная :к~ривая):
и ·малой (1сшло·ш~ная к·р1и1вая) энергий. О11рез·ок" ОА, проведен"
ный из тпч!{jи О до пер·есечения -с крив-ой, характ·ер11зует 1В
:некюТ~о1ром ма,сшта·бе 1вер-оя'-nн6сть 1раосея.ния на данный у,гол 0.
Вид:нiО, чт,о ,к1ванты 6оль1ш:их энертшй раосеивают;оя преимуще-
,,ственно под ма,лым1и у~гла.м1и, -т. е. ,нпе1ред. С угvrет-1ь·шен·и·ем
~-энерли:и ~раосеяrние ·С!тано1вится .;нс~ ба.лее еиммеТ~ричным 1и для
tквантов очень малой энер.г.ии вероятшюсти 1ра1ссеяния вrпер ·~д и
назад 1с.равнивают~ся. На -:рис._
.
4 ,К:ри~в.а.я" по~т.роенная
:· 22
!
)
!\

для .квантов, нс.пусr{аем~1х цезием, показывает вер ·оя.r~
ность отклонения их на угол, косинус которого ле.жит 1в ин~
терв<~:ле от 1..до заданного значения cose.
Фотоэлектрический эффект представляет собой процесс
поглощения гамма-.wванта атомом вещества . Элект1роr~ы ато -
..
fJOo
о\
.
...
.
.
' ...
~ .....
-"_
--
1210°
Р11с . . 3 . Вероятность рассеяния квантов под раз­
ными углами при комптоновском процессе.
'!
,"
ма овнзаны с его ядром оилами · притя:tкения. Для того чrобЫ
удалить один из · э.лектронов атома,. нужно затратить опреде­
ленную энергию, называемую энергией .связи. Эту энергию
мо:жет предоставить налеТ.е~вш11й на атом квант. в результате .
rr!
~1•
w
1,о
:.
'"-r1'
'
11\t~,
...
"'"
•
1 ,,..
0.4
"
: ....
.+t
1
-
,
/.t
.;
",
J·
о
о s...
-1
Cos 9
Рис. 4: График для розыгрыша yгJla рас:..
. с~яния
кванта при н:омлтоновском процесс'е. ·
~ -- доJ~я квантов, косинус угла рассеяния
которых больше "cose.
.
'\•
••J
•
t
.. ...
,•.,.'lt}-
.· 23

.
/
·таr~ого процесса ~вся энергия кванта передает~,я одному из
1
;
электронов атО'ма -- часть ее уходит на отрыв электро.на, а
остаток переходит в · кинеп-:rчесжую эне1ргмю элекгрона. В.ероят ­
.ность такого прQце'~'са тем больше, чем ближ:е энергия нале-
1
(
тающего к1ванта к энерлии -с.вязи электрона. Так как энергии
евязи леzкат в обласг.и рентгеновс.ких кrвант~01в, то этот про­
цесс сущес1'вен для ква·нтав малqй энергии. Повышается его /
р о ль и при увеличении заряда ядра атома, например для
за щитных сред-, содержащих свинец, ур _а.н и т. п. -
Рождение пар - эффект, противополg:.жный аннигиляции
чаеr,ицы и ант и част и цы. О.н сущест1вен толыко для т·ех к1ванто.в ,
кqт,орые по свои м энер_;:е11ическим iВОЗ1М10.жностям способны
·образовать . пару элекrлр~он - позитрон. Для эт·ого необходимо ,
Чт·обы ·К1вант обладал энергией болыпе 1,02·2 Мэв. П1ри у1нели­
ч;ении энергии и заряда ядер ~вещества р.оль этого эффекг.а
бысТ]ро возраста. ет.
Таким образом, мы видим; что изменение энерг,ии кванта "
n р.и1водит к тому, что вероят.ност.и различ1ных процес· сов то:же
меняют·оя. При малых Э'нергиях сущес11венно фотоэлектриче~
-екое- пог,лощение, при больш1их - 1проц.еюс рождения п_ар.
В-ер.оятность комптонЬвсколо rпроцес.са с у1величен-ие:м энеР'гии
"Тоже меняется, а именно, уменьшае1'ся. На rрис. 5 цри1веден
\
4
з
2
5
15
Е (МэВ)
Рис. 5. Зависимость пробега квантов в же­
лезе от их энергии. ,
. ·р·~фик
~величин ~пробегов Для юванто~в раз.Лtичной энерnии в
Железе. Видно, что 1при малых .энергиях пробег уменьшается
-За счет фотоэлек11рического поглощения, пр'И 1боль·ш.их - iВ
·результате · процес.са рож:дения пар. При энергии около 9 1v1эв
пр обег максимален. Для юван11О1в; эн~ргия · I<от.орых меньше
1 ~ илли-она электроновюльт, эффект образования пар О'ГСУ'гст­
вует, поэтому достаТ'qчно раосматр,ивать - толнка К!омптонов-
_
2

\ ,скОе рас.сеяние и фотоэщж·11рическое П·оглош.ен·ие. t·сли rовант
участвует 1в каком-либо из этих пр·оцессов с вероятностью wк
и w Ф, то, приня~в суммар~ую вероятность за единицу, мо :ж·юэ
проиллю·ст1рир ·овать роль этих цр.ацес..с.ов при различных э :f_! ер­
гия:х р·исунком 6. Нертикальный отрезок между осью энергий и
кривой чис.ленно ра1вен нероятности фо;оэффекта; дополняю-
" щ·ий его до е.д.и.ницы отрез·ок (выше криной) численно харак...
теризует ~вероятность комптоновского процес~~а.
w
1,0
0,8
0.6
0,4
о
0,5
-
101
Е(МэВ)
Рис. 6. Относительные вероятности фотоэф­
фекта (w Ф) и компто'новского рассеяния
(wк), Wф +wk =1. ·
И,сследуем теп~рь поведен~ие пучка к1вант.ов, падающих на
н1екот·орую защиту. Предполо:Жим, что у нас имеется исrгочн·ик
монохр-оматическ,их у-квантов и детектор, рег.истрирующий
часло ·юванто:в, попа1вrпих в него.- Рассмотрим прохождение
у-·КВа~ТОВ через СЛОЙ ~вещест~ва НСКО'rО1рОЙ ·тоЛЩИНЫ Х (рис. 7).
Гамма.:-лучи, вышедш.ие .из ис'Гочника S в направлении SA,
попадают на поглотитель, !Выполненный в 1ви~е . тонколо ци­
линдра. Кванты, попа1вшие 1в цилиндр, могут либо пр.ойти че­
рез вещест1во без взаимодейст1Вия с его эле!\11ронами и ядра­
ми, либо :и.с. пытать один .и.з трех рассмотренных выше проде·с"
ссJв. В пер1вом случае они попадают 1в Детектор А (путь а). Во
вт1ором -
_ . ·кванты
либо поглощают1с·я в результате фотоэффек­
та или проц·есса образования . пары э ..пектр1он - ~позитрон
· (iпуть 6), либо ра()с~и1ва-ют·ся .на нек·оторый ·угол в проц.ессе
комптоновского эффекта_ (пу ~п~ в). Будем считать~ что 1рассе-
25

янные кванты не 1попадают 1в детект.uр А. Это предположение
будет спра~ведливым, е.сли радиус цилиндра взять очень ма ...:
лым. В -этом случае рассеянные кзанты с большой вероят-·
ностью выходят · за пределы цилиндра и никак не могут по­
пасть в детектор. Рассм·отренная геометрия опыта называетсн
«хорошей геометрией».
1
•
~
s
*
t~'"-----.x -----
,,
'
А
Рнс. 7. Распреде л ение rшантов в условиях «хорошей геометрии».
1
Если на левую грань цилиндра падает N0 квантов, то де­
тектор отметит попадание в· него N 0 e- кх
квантов, цри этоv~
м,ы считаем, что пучок, падающий на поглотитель, я·iвляется
па~раллельным.
Если }Ке радиус цилиндра (рис. 8) · сра1вним с длиной сво­
бодного пробега рас·сеянных ювантов, то · ослаби1ение пуч·ка
у-лучей вещес11вом rимеет ияой хар1актер. _ В эт-qм с.лучае экс:по".
.ненциальный зак·он у:же не будет выполняться. Действительно 1
s.
-
__ .,.,,.,
'
г\_,
t..----<
~~"-=~.z.,_,..=--
--.J.........,,. -
Ри .с. ~· - Распространение квантов в условиях «пло­
хой геометрии» .
iВ детектор будут · попадать теriерь не только кванты, вылетев ... -
-
_ш-ие _нз источника в направлении SA~ но и кванты, на:пр·авле·
.ние ~вылета шСrгорых не совпадает с SA. На рис. 8 изображеf~-о
несколi:»ко " возможньiх путей v-ю3анто~в. }\-вант может не:П'о­
с1редсТ1венн·о riot.Iacrь в детектор (Путь а), рассеяться на i:-ieкo;
торыЙ ' уг·ол ''И затем -попасть в детектор (путь 6)' рассеяться·
д1ва иЛ·й ба.Лее ра-з перед · попаданием в точку А (пути ·в · и г)
и т. д. Некоторые ·r<ва·нты не попадают 8 детектор из:.за погло­
щения их .в веще.с-лве (путь д). Часть ~вантов, В?Iйдя из цн ...
, линдра, ·· не попадает в дег.е.ктор (путь е)_.
26

\
Таким о:бр~.зом, в детектор будет попадать большее чт~ло
) 1к1вант0~в, чем при измере.ния х в условиях «хорошей геомет­
'РИИ». Иэо6ра·женные на 1р ис. 8 у.6лови_я опыта называются
«ллох·ой ге:о м етр.ией». О.ни возникают всегда, когда размеры
с1ре:ды , в 1которой ра1спроrс трю-1яют:ся rаl\п\1а~кванты, сра1вн~имы
с длиной п1робега.
,
Гамма-rЛ·уЧи, прм.rпещ ш·и е в детектор после одного из не­
.С:коль·кliх ра.с·сеян·ий, об л а д ают энергией, отличающ(ейся от
энерлии ыва·нтов, ислуокае м ы х источн·иком, та1 к · ка 1к в 1резуль-
1'ате комiптоно1нок~01г·о процесса 1происходит потеря э не рги·и.
П·оэтому детект·О:Р буд ег реги·стр1и~ро~вать кванты с непрерыв­
·ным спек11ром, простирающи м ся от r-гуля де энер1ли1i ~ква,нт0~в,
·ИС·пущен.ных источником . В условиях «хо-р<)Шей гео'М етрии»
·спек11р К!Ва1нтов, достигши х детек·тора, таiкой же, как и -спектр
.источника.
К1р~оме того, .в у.слов.ия х «хорошей геомет1рии» .все кванты,
по1падающ1ие в детектор, л етят в ощно~ на~пра1влении - по пря­
мой, соед1иняющей источник с детек1 .ором. В опыте с «плохой
.геометрией» 1в детектор будут приходить .и к1ванты-, на1пра1в­
ление движения 1котО'рых изменилось в результат·е д1вух или
большего числа к·омптоновоких ра1ссеяний. П·римером служат
!ПУТИ 1K1Ba1HTIQIB 6, 8 1И г На рис. 8.
.
,
Таким об;ра1зом, задачу о ра 1спростра1нен:~ии гамма-излуче­
ния 1в ра1с.сеиваюшей и поглощающей ~среде 1мож·н.о ·еформул.и­
р~о1вать следующим образ·ом: по раiсiположе.нию ист.Qiчнш1~ов
изл)Лчения и защи-гного устройства, ·спектральному ооста1ву
.источник:01в, х1и.м1ичес:кому составу и плотности ра· С·сеи1ваю1цих
и :пог.лощающих ср~д найти р~спределение га,м·ма-квантов по ·
энергии и на1пра1в.лению дви :жения !В л .юбой: Т~очке 1прос~ранст1ва.
Теоретическое изучение .проце~оеов много! щратного ра;с.сея­
.н,ия встречает боль.ш.ие т1ру~носги. Обычный путь решени.я за­
да.чи - ооста1вление ура·внения для интересующей нас · функ~
ции -· даже в прост·ейших случаях не пря1водит ·К усюеху.
У1ра.внения, 01писываю1ц1ие процес.с ра·с1црост,ранения квантов
1В среде, соста1влены, но их решение 1нозм.ожно только числен-
1НЫМ1И ·мет;одами, причем это не ;нсегда удает1ся сде:лать да.ж·е
1пр1и .иопо.льз1ова·нии эле~кт1р~нно-счетных ма1шин. С другой сто­
Jроны, процесс мнот:о1крат~ноло ра.о~еяния очень напоминает
· (1wонечно, ·С 6оль·ш1им усло:жнением) . случайные блуждан1ия
ча·стиц,~ раосмотренные нами 1в пр·едыдущ·ем раiЗделе. Здесь
1мы т.о:ж·е .имеем послед~ователыность элемента1рных а;ктов (~ви...
Жение 1~ва1н·та без взаимодейсТlвия, ра.есея.ние его на .. опреде­
Л·енный yiroл или исчезновение в - 1проце1с.се фотоэффекта
и т. д.), каж~дый .из ~которых ~происходит с оп1ределенной не-·
1роя'т'Ность19. П-опрюбуем ·Пр.иrменить .метод Монте-Карло к этой
зада1че .
.
.
_
•
.
Для кон:Кр.ет~ностiи раоомотрим прох·ожден~ие ;Га·мма-лучей .
1исп~с.1ка_~мр11х яд1рами μезия Cs 137 , (1на~. а.ль·на~я Э'неrrия
27
1

'l?o === 0,661 Мэв) через .железную плаеrину толщиной 4,5 сл11
п1ри ус.rюви.и, что кванты п. адают перпендикуляр ·но плоскости
пластины. Нашей задачей будет опр-еделение чи сла квантов,
пр.ошед1пих через пла.сп-rну и отрази:вш,ихся от нее. Для реше­
ния ее нам понадобя11ся вер.оятносТtи отдель,ных эле-мёнта·р·..:
ных процессов. (их мы исследовади iВЫше) и и:.сточник ·случай ""' ·
1
ш
11
1
-
'
ных чисел (в качест":
·Х
1Cf·1
(J
о·
о
!/
·
Рис. 9·
.
Траектория трех квантов в
железной пластине.
ве последнего возьи
мем таблицу, пр иве- ~~
денную нескольки~1й
страницам.и
рань ...
ше). ·
Как и при ,расче­
т·е случайных -блуж-1
даний ча·стиц, по ...
cтpo.}UI :пути отдель­
ных к·вантов, находя
их при пом.:1щи по"
·следовательного рае­
смотрения случай-
. ных
процессов, .про­
исходящ-:Их с к~ван­
том.
Возьмем квант
N<? 1. Попав в пласти­
ну, он проходит не"
который путь до пер ...
вого столкновения с
электроном. Д,лину
его молпtо опреде~
.пить при помощи
графика на рис. Z.
Каждому числу в
интервале
ноль
единица (вертикаль"
ная ось) мо.жно со­
поставить
оп реде."
,
ленный пробег кван"
та ·(горизонтальная ось). Если приписать ка:tкдому случайно ...
му чИслу :н ашей таблицы ноль и ·запятую, .то мы получии1 набор
случайных чисел., равномерно распределенных в. нужном Ha1"vi
интервале (обычно такими чис.!fами и пользуются). Первое
случайное число равно 0,3590. Ему на графике соответствует
пробе.г l 0 ==0,78 CJrtl. Та~к как ,к1вант летит :вдоль .оси z (см. рис. 9~
изо'бр.ажаю1дий ~пути -I{fванто:в в дtВух проекциях), то ·смеще.н.ие
его вдоль этой оси будет Лz 0 ==~ 0,78 c1vi, а вд_,,оль двух других
Лх0 ......:: . Лу0 == · О. Операция сопоставления случайному числу
· hу~и определенной длины называется Р.озыгрышем пути _кванта!
~--
-
--
28

\
\ Далее ра!зыгрывает.ся тип взаимодейс11вия юванта с веще-
ст1вом. П!ри эне~рnии 1кванта Ео === 0,661 Мэв о.н с вероя-Гностью
(0,02 претер.пе~ва.ет фотоэффект, а ~вероятность к·омtпоно~J,>ского
1 раесеива1ния ра1вна 0,98. Если бы выбранное нами ·случайное
, число оказалось бы меньше 0,02, то рассмат~ри~ваемый wвант
исчез бы в результате фотоэффекта. Но второе случайнпе
число в та:бл1ице ра1вно 0,2115, иначе го~во1ря, произошло рас­
.се яние· юванта под определенным углом, ко-торый нам пред-
ст1оит разыграть.
У1гол рассеяния мо.жн·о найТ~и, воопольз,о.вавшись следую­
w,им случайныи чr~,слом, рав.ным О,4--8Ч9, и Графиком на рис. 4"
ЭтО'му у:ислу соот1ветс~вует cos8 === 0,565. По формуле, овязы­
вающей кооину·с угла рассеяния с энер.гиям,и до и после комп­
тононако1Го пр.оцес.са, находим новую энергию к1ванта. Она
равна 0,424 iИэв (пр.и ра,счете следует по1м1~1и1ъ, что энергия
ПОК:ОЯ Э.ЛЕJКТlрОНа mc2 ра:вна 0,511 м·эв).
У~гол Р?1Ссеяния еще не определяет н.апра1вление· д'В~ижен.ия:
шванта :по~ле КО{МП'ГОНОВС:КЮГО процесса. чтобы ПОЛ1НОСТЫО
1
определи1;ъ на:праrвление, нужно рас.смотреть еще оди;н у.гол -
аз1имуталь,ный. Ведь кв~нт после рас.сеяния может лететь в
любой плоокости, проходящ.ей / через rгра,ект:ар.ию н~рассеянно­
го кiванта. Азимутальным углом назовем угол ме.жду плос­
костью xOz и пло1скос;:тью, образо1ван-зой на1пршвлениями д~ви­
.жения ква!fта до и !После рассеяния. Аз1имутальное распреде­
ление к1вантов после рас.сеяния с достат·очной точ.ностью мо.:ж­
но считать ·симмет~ричным, т. е. к1ваr-iт с равной вероятностью
м·ожет ·рассеятыся и \На угол 30~ И на угол 153° и на лю:бой
другой угол. Il.оэтому для розыгрыша азимутальн·ого угла
можно 1ноопол_ьэоватьея ф·о1рмулой ер=== А · 360°, где
А- слу­
чайнче число из интервала ноль - ед1иница. Следующее в
таблице 1случайное число ра1вно 0,6410, поэтому ер === 231°.
Таким образ-ом, мы получили. расстояние, ко11орое прошел
jк;вант до столкн· ов~ния с электроном, н~чранлен1ие его движе­
)ния ~по сле 1к· омптонqiв~е~кого рассеяния и новое значвние энергии
ишанта пооле рассеяния.
Если повт_юр.ить про!-Lе:с.с розыгрыша .всех 'характерис·тИJК
кванта ~ено:ва, т10 мы получи1м состояние к:вант__а после •второго
.ра1сrееяния .и т. д. ·
·
Д.ля того чтобы знать, . когда к1вант по1киt-1ет пла·стину, не­
сбхо1димо следить за ним до тех пор, П·о:Ка .сумма ег·о ~меще-
__ н.ий
~вдоль _ ос1и z, 1Т. е. ~Лzп после нее~к;оль'ких ·сто лкнонений
не .станет боль.ше толщины .ПсГiа1с·nины или _меньше _нуля. В пер­
вом с.лучае ювант прошел через пластину, во !Втором - отра­
зился от нее. И в том и друrюм случа,е мы знаем энвргию
вылетевшего I\!Ва1нта 1и напра1вление его дв11пк.ения. .
Относительно вы6ора случайнь1х чисел из таблиц сделаем
следующее замечан:ие . п,ер1ное с.лучайное число для розыгры­
ша прр6ега ,~ер~вого _к1ва1нта 1выбwрает10я и1з . таблиц н аугад"
29

. Сл.едую_щие
числа должны 1выби1ратьr:я по ппределенному за...
кону (напр.им ер, подряд, через одно из ка:кого--л.ибо етолбц~
и т. д.). В наш.ем примере случайные . числа для расчета траек-
1юри~и определеннаго к1ванта берутся одно за дру.гим подряд.
ПосЛе расчета траектории одного кванта ~возникает воп­
рос о выбо1ре· первого -елучайноr·о числа д.п:я ра .счета траекто­
рии следующего кванта. Здесь мож·но поступ.ить двояким
образом. Но-пе:рвых, это 1!Исло можно . выбрать в.след за по"
следним случайным числом предыдущего кванта по тому же
закону, по ко'Лорому мы "выби·рали случайные ч.исла для пер­
вого кшанта. В эт.ом случае расчет . траектории (п + 1)-го кван­
та может быть проведен только после раечета траекто1рии п-го
·юванта. Однако можно поступить иначе, а именно, пер1вые
~лучайные числа для ~разных к;вантов ~Выбирать та~кЖе по 16лре­
делен;но(МУ. закону (на:пример, брать ~Х ПОJ!.1РЯ!д ИЗ К31К1ОЙ-либ:о
еr·роК\И та1бл.ицы). Так · им1енно и выбирались 1Пер1вь1е е.лучайные
ч.иола_ для трех ква.н'Гов, траек~ории которых приведены нз
р.ис. 9. В таблице; пр1едста1влен ход pacчer:ra ·траектории одно1rо
1юва1нта (No 1).
1
/бzп/
п
Еп (Мэв)I cos~ п
СРп
ln
Процесс
(0,3590)
(0,2151) .
о
0,661
l,000
0,000
0,78
0,78
Комптоновский
эффект
•1
(0,4899) (0,6410) (О,9679)
(О, 1434)
1 1 0,42-3
0,565
231
4,92
3,56
Комптоновский
1
1
эффект
1
(О,2597) (0,7715) (О,4430)
(О, 1768)
1
2 ~ 0,361
Q,790 .
278
.
0,78
3,96 Комптоновский
(О,4619) (0,7086) 1 (О, 1748)
эффект
(0,2679)
3
0,265
0,490
-
254
0,21
3,97· Комптоновский
эффект
(012315) (0,9779) (0,7096)
4
0,240
0,790
351
1,30
4,84 Вылет из пластины
.
(
Здесь п - номе~р столкнонения, Е 11 ·Ч l п - энергйя и про-
бег кванта после п-го столкновения iI бzп - Гс!!убина пр·оник-·
.но~вения КJВЩ-IТ? внутр_ь .пласJ:ины in9.cлe n-·го столrкновения. Ну- ·
левое стол1~новение (п = О) сооliвет·ствует попаданию к:ва1нта
в _ .плас:рину. . В ш<:обках приведены случайные 9.исла, пр1и по_.. .
мощи которых производился розыгрыш того или иного . про-
деоса.
,
.
Рисунок пр~дGта.вляет собой проекцJ:Iи тр_аекторий квантов
на д.ве координатные плоекосги xOz и yOz (эт:и плоскоети пер""
пендикулярны _д1ру1г к _ ,Щру.гу и к повер.хнос11и пластины). В~ид-~
но, что судьба этих квантов совершенно различна. К.вант I1
претерпев четыре · комп~.онон()~Их ра,с·сеяния~ прох.~дит !-!ер·ез
30

плаеrинуо К~Ванг II пос:ле трех рассеяиий на· эл.ектрснт.ах п:оtГЛО-4
щается ~в р-е.зу.пьт.ате фртоэффекта. Кю .аrнт Ill при m:ерrво.м р.:а·.с...
сеянии отклояяет·ся на большой угол :и J:ЗЬ!Лета:ет из J11:J1:;a,cти.в1лriI
О б1р а 'iГНО.
Число квантов.,_ ко-гор .о:е нужно «.запустить.» в· рас•щ:ет, щик~
тует(ся необходимой точностью ре~ые.ыия за.ддч1и:. Яено, чт:о че:м
меньше вероятность проник.ыов1еняя м-антов через пт~:аtС·т.ину~
тем большее чис:ло испытаний нул{НО брать (чтобы из ни..:тJ.ае:...;
тины вышло достаточно большое числп кв2н11ов). Нап:рим~е}:>.1
ДЛЯ ТОГО Чтобы ошибка расчет.а QЪIJ!Ia Не бошее lQ Kil{:Н:~HДteH"J'1013
при условии, что ·ч:ерез пластину проходиLr .::ffic:er~ 11 шрюn:е.нт
I<!в21нт·о1в~ ну;но11:0 исследсшать 10 тьгснч траек:г·G1р1ий" .П1ри мre:myfD...:
шей 1вероятн·ости пр-оник:новения ну2кно -и(сс.ледов.ат:ь :еще боль"".
Ш·е квант1ов.
·
Та'км.м образом, описанный выше :rмеJГ'ОД руиш1ог10 tеТТ[~т ·а np:И-i
~н:еним лишь для ы:е:6ольш:их толщин пл.а:ст.ин ·и л:еrJ:к!ИХ мaJr.e-:
риаЛоЕ, ибо при уве.пи:чен1:ши тgлщ1iны ллаетины ;ш.ли з.аря1да
ядер 1Вещест1ва силiЬно увели:чи1JЗ..ается ше.обхG>д, имtо,е число 1юС.-·
пытаишй., что прив0>дит к уг:в~личеши:ю времени., ·зат·р:а"Ч1;и1ва-емG>u.- о
ы:а раече~; К1ван:rыu оо слиш.~юом большой илrи ~е.JiГИШ1К[) .д f'll.aЛOCYЙ
н.ач:альнои энер1rиеи иеследовать ·rаюим обр ;азсэм ше·аъгго,щШiп.~
так как О!f[И ешлъно п:оглощаются ве1rцес1ГtВюм.
Прим-ен,енiИl:е , .элекпронных ·'СtЧ1е1Гнык м.ашин рас1п:и:.;ряе:r в:Фзщ.
МrОИПi.QСТИ мет~да Мошге-Ка·рл·о" сх~ем_а :.ВЫ1ЧШlРСJI1еfl'ШЙ: дт:и ЭJilt.e~к~:
чэонн1ой · машины . вполне а.нал9ги1чна оrrирамной выш-ео П;{!>'И
,. ..,
.
машинном .,сч:ете oтJJ адае·r., конеЧiнн, неооходщмо;е'['lЬ :n:юлъ-зсФ-·
ватыся таблицам:и и графиками .Вме(С'Т'G -т.a6.лllif.ц 111J1yч:afu11лx
чясел 11Iри ·1счеr1е на м :аrыинах !Ые:по.юьзу.ют :rшк н:а.зы1на 1е:мъrе :и ·с1 епв-~
дос.луч:~йные ч1иела, КtСD1торы(е rенерирую·Т~с:я: JВ самmхй м:а~m.и1Ъи:~ ...
3 ,аКОШЫ '[):ОЗЫГрЫШа Г'О~О :И.ЛПI !ИН~ОГQ lJJI}pCO>iIIOe.cc;a ВВ'Од1.~9ГГ'-С':ЯI J3 М~аIJИ:ш~
ну ·!В ви:.д·е проtrраммы.
.
Вп:р1очrем, . к технике метода 1\1:онте--К.аq».лl0· .мы ~еще B'eJP1Pile;м,eя
в~:шже~ после того как н 1СЛ~дующе!\t.1 ·:р ;а :здеьте -fР> :асt!:;~м:ю:I"рим д:ру... •
гше пр :именения Maililтe-Kapл-G .
п .li 1!\'
· .ЕТЭД
. ОНТЕ-КА ·
ЛО
Метод ,ст а 1.г1НI'СТИ1Ч ее кй: х и1сn ы та н.и:Ш" ,rв 01ен,а>rв\е кп·-г0>JID Q)JfYO лд~~-
- ж:и т ·в:ероятно~тшый пG>дх-од к решелнпо .з:аJJiдч., явzFiяе1\си lEI~ffi,m.-.
:менимым мнсТJру-1'11еыто:м: при · исследовани!а .п;роблrем" с1вяв ;аJЖ,~
НЫХ С rю·с.лед:О;В а тедЪН~Э<СТhЮ . бо.ЛЬПUЮ!ГО 'Ч:ИСд;rа :СЛ:fЧ@.Й11ЫХ ШI:ро . . .
ЦеСОG·В. В Н.ауке, теХ1.Ш1ИК1е" I-~°арО>ДНН.М хrозЯЙСТ'В·е МЫ В~С11:р1:ч,а.е.ме:Я1
с т,ан:ими за1да чам·и [[а к.а2к1дп.м: mra Jry4 <<И"сгивиая .J1юг.и.:к:а на­
Ш:€го мирд -' '!Ир шви.лын ьтй .по.д.-очег
iВер.оят-нGс.тей)>" - вам,.е'iГИJil
веЛИ1ШИЙ .аштлийекий физ:и:1к Джеймс М:211КС1ВеЛЛо Н:е ущив:ИтеЯЬ>-·
ш10 иоэтому; Что l\аетсэд Мо-в:те-.I(арл:01 лл:оя1ви:в!ilъиИся :е:ов,с-ем н.е....
даrвн:о - в
.l 949 r·оду, егал одним из rсамых par..H(f~ :Gcт.p_-a .J-1_~-!'JJIЬГK
м·~тодов _численн·ой математ:и~wи.~
'
~

Мы достаточно ПОiдробно остановились на способе реше- ·
ния задачи~ о проникновении га ·мма-излучения через защит-.
ные слои. В настоящее врем~ при помощи мегода статистиче·
ск&rх испьiтаний получены рещения многих задач такого рода.
И·сследованы защ'Ит1ные св.ойства оред, различных по е1воему
химическому соста1ву, плоти.ости, размерам и конфигураци·н.
Получены рас:пределения к1вантов по энерлии ил.и углу цри
прохождении или отр. а:жен~ии их -от защитных устройств, .::::rри­
чем условия падения к1вантов на защитную среду широко
~варьировались: брались гамма-лучи . различных начальных
энер.лий ил.и напр,а1влений дВИ}Кен.ия. Jакие раочеты чрез·вы...
чайно важны цри проектирова·нии ядерных реакторов, уско"
ригелей Ча1СТИЦ, ИСТОЧНИКОВ гамма-1ИЗЛуЧеНИЯ И Т. - П.
.
Расчет защиты от нейтронного излучения в-о многом на1по­
минает решение задачи о гамма-лучах. Здесь мы тоже имеем
последовательность случайных эл.ементарных актов, предста'В­
ляющих собой столкновения ней11рон·ов с яд·рами ~вещест1ва.
КО'~ечно, за1к~01номер.ност1и эrrих СТОЛКНО!Вений другие. Нейт~рон,
являясь ·сравнительно тяжелой част.идей (его масса почт'l-1 1в 2
'ТЫСЯЧИ раз цре~вышает массу ЭЛеiК'Грона), rrра.К'ГИЧеСКИ Не ·чув­
ствует наличие электронов в сред~ -- ·ОН . сильно взаимодейст-
1вует то.льк·о с атомным.и ядрами. При этом ней11р.он может
у~пру.го ра1ссеяться на ядре, церевест.и яд.ро в ~возбужденное
{Ю·стояние _(эт1с)т про1:-J.·ес-с называется неу.пр1у.гим рассеянием),
или ж·е, ~попав lВ ядр·о, поглотиться им. Наконец ,некоторые
яд1ра под дейстшием ней11ронов сэпределенной энертм.и могут
_разделить.с.Я на д·ве чаеги. Та,кой прqцесс при1в.одит к ра·зм.но­
жению нейтронО1в, так как при реакции деления вместе с ос­
~ола.ми ядер появляются 2-
.
3 В'Горич:-rых нейтрона. Зная ве­
роят1ности отдельных пр-оце.осов, можно) та~к ж:·е кзк и ·рри изу~ .
·чении гамма-квантО1в, по · очереди разы1г1рывать событ1ия, про- _
.исходящие с ней11р-аном ·при его движении в ереде. Если среда
. оостоит из разли~чных СОР'ТОВ атомо!В, приходится, конеч:но, пр·и
каждом СТОЛК·НО!Вении ~ВЫЯСНЯТЬ, с К?.КИМ .именно ИЗ ядер 1про.­
.изошло взаимодейст1вие. Пооле розыгр .ыша. и·сторий ·д,вижения
многих нейтронов моЖ-но пр11ближ;енно оцределить все инте-
.1ресующи·е нас характеристики ней-гронното потока, проходя­
_ щ,его через заданную среду. В ча·стност,и, так~м · образом оп.­
- . Ределяе11с.я
и количест.во энергии, теряемой нейтронами в еди­
. нице объема, т. е. доза ней'Гронного облучения.
БольшИ:м пре~и~мущест1вом метода статистических испыта­
-ний является его .применим.ость к з·ад-ачам, связанным со
-сло.жя1ой к·0нфигу1рацией защиты . . Возмо:ж:.ность пр-имвн:ения
друлих · методов при и.с.следовании,, на·пр·имер, защиты, оостоя­
щей из i-Iес~к.олы.~<шх слоев различных ~вещес11в, сове1р·ше~:ы10
исключается. Метод Монте-К:арло хорошо работает и. в этом
_и 1в . дру.лих случаях, где ц1риход'И'ГСЯ ' им·е!Ь дело с защ,итными
'У•СТрОЙСТIВiiМИ СЛ·ОrЖ1НЫХ форм~
.32

Это ·с~вrойс т.во мет1одз позволяет применять его для рае.чета
различных консгру~к.ций ЯДЕ:jрных реактор.ев. С · принци1по м­
дейсгвия ре.акто~р·ОIВ знакомы мноrие. Возмо·ж.ность создания
.их возникла в 1939 году ~после открытия физ...иками реакц~пr
делен ия ядер урана ней11ронами. Ка!к уже говорил.ось, осно'В­
ной . отличительной чертой таких реакций являе-l~ся нозни:к.н-о-
1вение несколь'Ких вторич.ных :f-1ейтрО!iОВ. Таким образ·о м.,
п оявила ;сь наде:жда .на С·Озда1н.ие устройс1.ва, в которо,м проте­
кала бы само:поддер:ж1и1вающаяся цепная ядерi-rая реакция, · в
результате -кото:рой МОЯ{НО было бы получать энерлию за счег·
деления· тя:ж: елых ядер - урана и тория. Пр ·ошло вс-е~го три.
года, и 1в 1942 году был f!ОС.троен первьrй действующий реа1к-·
тор. А в 1954 Г1оду в Советюком Со19зе -. была пуще~на пе1ршая в
мире атомная элек·троста1ндия. Это совсем не говорит о Т·ом,.
что созда·ние реахтор·ОiВ - простая задача. Скорее мы имеем
перед собой еше один пример чрезвычайно · быстрого 1в напн~­
вр~мя проникновения но:вейших физичесr~их открьrт1чй в тех- ·
Ни ку.
Уран, в.сТJречающ·ийся в природе, состоит из д1вух изото ­
поrв - 0 23 5 и U 238 . на,и1 более ценным является лелкий изотоп
U235 , его ядра делятся и быст.рыми .нейтронами (энерлия их
нес колько миллионов электроновольт), и тепловыми, т. е. та­
кими, которые пр:ишли в тепловое ра1вно,весие с-о средой, -
энергия таких нейтр.онов около 0,025 эв. Но, к ·с·ож:ален-ию, сg­
д·ержание U 235 В пр.ирОДН'ОМ у1ране крайне мало - БСеГО 0,7
, п1р~0цента. Остальные 99,3 пр,оцента соста·вляет тя.1келый изо­
топ U23 B, СПОС.ОбНЫЙ де.ЛИТЬСЯ ТОЛЬКО ПОР- деЙСТВ1ИеМ быстрых_ ,
нейТtронов.
Хотя вторичны1е ней .-гроны и~еют энергию поряд1ка 2-3·
миллионов элекгроновольт и, в принципе, могут выз1вать де­
ление тяж,елоло изотопа /урана, цепная . реактхия :в куске при­
род·ного у~рана не~возм.ожна. Дело в том, что сущест1вуют два·
пр·оцесса, препятст1вующие раз.витию цепной реакции. Во-1Пе:р-
1вых, чаегь _быстрых нейт1ронов мож:ет просто поглотиться яд­
рам1и U 238 без деле1ния. в результате этой реакции нейт1рон·
выбыв .ает из итры.. Во-·вторых, прИ неупру1гих столкноввниях
с яд1рами нейтроны бьн::'I]ро теряют свою энер1гию и замедля­
iотс:~, а медленные н:еЙТ1рО'НЫ СПОС·ОбНЫ делить ТОЛЬ1КО U. 235 ,
1~оторого в есте~т1венном уране содер:жится нез.начительное ·
количест~во. Расчеты похазывают, что цепной цр·оцесс может -
осущеСТIВЛЯТЬСЯ ~при СОДе1р:ЖаНИИ U 235 , patBHOM . ДО , крайней.
мере 8-1 О пр.оценто~в.1 Этот результат получен в предпJло­
жении, ч-го .Qtбъем .а,кти~вной зоны, т. е. зоны, содержа·щ1ей . де­
лящееся вещест1во, очень велик. Иначе говоря, цренебрегается
утечка нейтронов 1в окружающее прост1ранст1во. Если же:
учесть и этот эффект, то необходимое для по.дде-ржания це,п..;
н о й ре акции количестшо легкого изотопа урана . будет еще
больш е.
. 33.

. Таким
образом, пр.и и·спользов.ании обогащенного ура­
Н0'м-2Э5 яд·ерного rорю,чего МО)КНО создать условия, qла,ло­
прият:ные для протекания цепной реаКции нд медленных
~теплов.ых }, ~rейтр:онах. Пфи этом в актм1вную з:о:ну · полезно,
1ввест~и з. амедли'Fель, т. е. ве1п:ест1во с лег1кими атомными , яд­
рами. Пр::и · ет"олrтн.овении с ними нейтроны будут быст·ро за"
м~длять.ся, ч.то приведет к уменьшению ро~и вредного flip~o­
цec,e a ,JЛ01ГJ С!)iЩ ения бьJос11рых ней11ронов тяжелым изотопом ypa-
itra .. В ·к. а~"!iiествс за?\il едлителя иопользуются вещест1ва с лелкими
~~:томным и ядра3ли - 1водородс·одержащие соединен·ия" углерrrд
И! Т. :П. 0,LJЩ3Kt} обычная ВОДа Hue применима ДЛЯ ЭТОЙ цели\ ­
'П({!Жu:Г([}IНЫ ожотшо по:лло.щают неитроиы. Поэтому можно пр.и-
, мrе ш1 ятъ1 ']'Олrrь.r<ю · соед r,ыt}jе-ния, ·С:Одержащие тяжелый иаотоп
1Во­
д1аJDо.да1 -,
де-РгFерий, . напр:и.мер тяжелую ноду. У~·обны·м замс:.д"
л~.ителе:м яв .пя.ется и графит. Замедлин::ль и ядерное горючее
о:б:~ы.чжо не· пер,~&~.еш·иваются, а раслолагаю11ся отдельно .: При
тан<:ой к10И1~труr<;ции реакт.ор~ нейтр:оя:, обр~а1зо1в,аJв:шийея в об"
J1ас11и, содер:жащей уiран, и 1попа1вший в бло:i:\: .замедлит е ля, уж~:
н~\ уча·ст1вует -во: 1нр~едном прю;деесе иоглощения без деления_.,
из . з.а.-медJ]ителя он ·IВ.ь1х1GJдит с теплов.ой энергией. Эт,и нейтро..._
ШЕЫJ и. ш:о:дде·р·ж:NoNoанот ц~1пно.й 1пр:о.це-ес'. О·стальные неJ~.т.роны ли.б~_,
псот~пощ.аю/F·G:·~· ,ядр·ами ··ур<1н~а.-2·зв., либо ух@!дят за пределы ре-:
а.:кто:ра .. Пюс.mЕ~;1"ний. э·ффе.н;т NН:J::жню ум.ень.ш:итъ., о:кр:уж:и::в ~ акги1в-­
~ную З!СО~Noу 1ШfЩ~~т1но,м, оrража1ющи:м I+Iri:Йтpoimъr.
Для шюр-м~а:льной ~работы р~ак1юра пр)нбыль нейт;:роно.в" за
счет д!€'Л~·Noиrя ядер y,f уменьшеи~е . .их чшсла .в. рез.ульта те у·ю,·ечки
tИ i ПG)FЛощеш.ия должJ-IЬI' быть. ·G:' Июмпе1-н~.~ир·о1ва~mъr:. -- в. этом случа~·.
число делен,ий ядер в еди.ницу времени, а следователь·но', и
М!СJТI:Г;ЫО с11JЬ·, р.е\а кто.р а " б.удут по~~т.ояr.ч::ны ми. Ум еипыm енwе с·од ер ...
жаыия ней:т1}о:нов · ·в p,eru~'PD;pe, · .со 1врем· еяем п.ришод:ит к аа~туха-:
I-пнm. яд®р:нюй реакцип4. Наtобю.рот~ ~рост. :К·ОНJ1J;·~нтрации нейтрю ...
нпqз 1в~ьn3ыв1 а1 ~т неу~правляемую цепную реаrн1щю, в резулы~атс
к0r1ю"р1о•й p.€·a1I<;'FC}p раз р.уш. а е~ея.
Осн:сонЕЧ1ь1м иа·раметрюм" хара:к"Реризую1ж,им работу яде.рн·ОГ·О
р·еакт:пра,. являе~с.я коэфф.IJдиеыт размнож.еIИ!'!Я нейтр· о.~ов К.
о:н онр;е~елУrется ка'К произ1вед ение числ.а вов·н~ик:ших в о.дном
~ш:'Fе Д(t·JF.ения вто-ричных нейrрронов на rв.ерюяТ~нюсть, тa·rio, что
быстрый не·йт.-рон после . з. а ·~;11ед~·ени~г и нозмо.ж;.н@гоi захiвата 1въ~-­
ао-в-ет F>€а.кщ"Рио деленI4!Я р:. Д·руг,иrми ;слова.мн: , · ес·ли при пер1ню1м­
де·дениш нСJнникло. v нейт:jр.онов., т.·0· .:в с.ледую.щ~м пон·<Dлениш.т их
будет· к. == Pv. Е€'ЛNo к< 1\ .1)0 ч;исло нrейтр· о1}1f,(!)В . в ре.акт.о;р~· со
В]~н~:·NoN::ъFем уrVLеньшИ'F·СЯ, реающия: затух·~._ет.. lГ_а·к.ой ~режим назьr­
ш а ет1ся л0д1R:рNo1\ичееJr~иrм. В. . н ад±{iр.итиТ1IJес-к<0:м .реяоrм е (К > l )'
1В"ОЗНIИП~Яt?!F ' ррюза взры:в!ill. Ра,бот~ реаьпrора !Вtх3:мо..жна 'FCJ\!fь1к·o
п·р·иN.'=·Е.
Ясн~, I<FJIO· скннс'Fр.уиро:вать устройr~т~в"о: ·е. т-очным.
в-на-чен:ием: .итоэффиц.r;rента разм:но.жения нейт·роно1в..очень труд ...
~НО'. · Поэтому н· еотъемлемой деталью. каждого яд~рного реак­
'"Гора являет1ся регулирующее уст-рюйсТiВО - вд1нигающиеся в
34.

а,кtивную зону стер·:жни из материа~а, хорош10 поглощающе11J
нейтроны, например кадмия или бора. Регулируя положение
стержней, можно добиться заданного значения коэффицие.нта
размножения нейтр.оно.в. О LВ1ведении в реактор исходных
нейтронов заботить,ся не нужяо - .
они Jвоз·никают там за ечет
реакции ·Саiмопроизвольннго Д~л1е~ния ядер урана.
'
Таким образом, коэффидиент размно}кения 1 за1висит от
очень большого числа пара 1чет1ров - формы и объема р= еа .кто­
ра, хараtктера раапюлож:ения блоков гор1оч. его и замедлителя,
положения регулируIQrцих сте~р:ж:ней . и отражателя, содер:жа­
ния легк· ого из.ото.па :в горючем, с.остава за1 м,едлителя и _ от­
ражателя, материала регули1рую1цих етержяей и т. д.
П·олное - р.ешение задачи ·о поведении нейтронов внутри ре- ,
актора получить очень трудно. Ведь концетрациЯ нейтронов
за~вясит и от координат точки внут1ри реактора, и ог их энер­
гии и на,пра1вления д1вижения. 'Одна~о для получения к~0:эффи­
циента размно1'кения такая пол.ная информация не ну)Iпrа.
При исполь_з·01вании метода Монте-Карло рассматри1вает.ся
несколы~о .послdдователы1ых поколений нейтронов. Бели мы
поместим в. · реактар. N 1 нейтронов и paccv10-ripи:м судЬ'бу каж­
дого из них (замедление, оrгражение, утечку,, пог.лощ.ение и,
. наконец,
.вызванное ими делвние ядер урана), то в 1р~зуль.тате
получим- N 2 нейтронов . второго поколен.ия, возникших в ре­
зультате а~ктов деления, вызванных пер~вы!\1 поколением. От­
ношение N 2/N1 не ра~вн·о, конечн"о, коэффициенту размн·о ;же­
ния;, так как мы riомест1и.ли исх·одные нейтроны произ·воль.ным
образом. П·рИ ра·счете · следующего !ПОКОЛеНИЯ Mlfl ПОЛУЧЯ:М N.з
новых нейтр~0J1ов. Отношение N 3 /N2 будет от.личать.ся от N2/N1,
однако после ИС'следования большого числа поколений мьt _
найдем, что от;ноше.r-:~ие ЛТ i+ 1 N / i уже не зависит от номера
поколения i. Это отнор.rение и является коэффициентом раз­
множения нейТtр·онов цр~и раосмагри~ваемыi условиях. Меняя
какой-либо из параметров · реактора, можно выя:енить его:
влиян.ие на коэффициент р·азмноЛ{1ения и, сл~довате.(.Iьно" оri­
Jимальным образом еконструир.овать реакто,р. О.лромное зна-·
•1е~ие\ так~их .расчетов .п~и современно:М бур,ном разв1итии ядер­
ном энергетики оченид· НО.
Об.ратиися те1пе1рь к применениям метода статистических
испытаний в ядерной физике. В последнее время он стал ис­
по.льзовать.ся для изуiчепия м.еханизмов ядерных ~реакций под.
дейст1вием частиц ~высокой энерлии - порядка сотен миллио­
нов электроно.в-о..льт. ·Част,ицы такой и больших эз.ергий ветре-·
··
чаются в космических лучах, а такж, е могут быть получе,ны
на ·СОВ ременных.ускорителях.
·
К:а1к _известно, ядерные силы имеют - ма;лый радиус дейст1в1и.я._
Ядерная реа1кция не начинает·ся до тех пор 1 ~пока яд1ро и па­
дающая на него rчастица не сблизятся на рас·с'Iiояния О1коло
10- 13 . см. И, нао·бор.от2 реакция цре~р ащает1СЯ тогда, колда
35

nродукты реакции (нозникшие ноrвые ядра и частицы)· уда"
л ятся друг от дру.га на расстояние, превышающее радиус
Д~йст.в1ия ядерньrх сил. Сиl\tгволически пр.оцесс реакции ме·:жду
:исХ!одным-и - частицей а и ядром Х мо:жно за.писать · та1к:·
а+Х-7С~ Ь1+Ь2+У1+У2+···~ гдеЬ1,Ь2,У1иУ2- новые
ядра и част.ицы, а С-- образова1вшаяс.Я во 1вр1емя 1взаимqдей ­
с твия соста1нная ·Сiистема. Свойства ее имеют 1решающее з!на.,,
ч ение для далЬн~йшего хода :реакции ..
.
Бс.ли энергия ча1стицы невелика, ска1жем меньше 30-
50 Мэв, то можно считать, что обе стадии р.еа1кции (о~бра1зо1ва ...
ние соста1вной -с.истемы и рас.пад ее) происход1ят неза1нисимо
друг от друга. :VIнымм словами, с-ос·та~нное ядро С при раопаде
уж~е за·было, ка·ким о6раэ:ом оно нозникло. Э110 пред,поло:жение.
щпер1вые :Выд1винул знаменитый дат:ск1ий ученый Нмль·с Бор, а
обоснО1вывае~ся оно следующим образом. Ча1стица а, :попа ...
дающая в ядро, отдает цри сто~кновениях овою энергию сос"
та~вным час;гям ~дра - ·нейтронам и ~протонам (общее их на"
звание - 1!fу1клоны). Ну~клоны ядра си.льна . нзаимо~дейс"лвуют
друг с дру,гом, поэтому вскоре после проникно1вения ча,ст1иды
в ядро энер:лия, прянесен.ная извне, почти поронну рас;п1реде­
ляегся между ну1клонами. При этом на каждый нуклон пр·и­
ходит. ся эне~р 1ГИЯ iB несколыко М/И)ЛЛИОНОIВ эл.ект:р·оНОIВОЛЬТ.
Сrвязаны же нуклqны в ядре еильно - для 'ГО1ГО чтоlбы ка1кой,­
. нибудь нейтрон или протон ~вылетел iIЗ я.дра, нео1бх1од1имо,
чтобы он получил из1 быт·О1К энергии, ра1вны~ пример-но 8 мил-.
ЛИrонам элект1рt о1ноно.пьт.
Б ·Конце концо:в од,ин из нук..т:юнов ~по.лучит достаrочную
для вылета из яд.ра энер'Гию, но до эт.о:го моN1.ента. произойдут
1МНОГ·о численные ·ст.олкновения нуклонов, т. е. ядро · «За1будет», .
от~куда и ка1ким о6ра;зом полу.чило оно энергию воз.буикдения.
Та1к,им образом, способ раопад.а сос.та;в.ного яд1ра С будет за ...
.в :исетJ? только от его овойс11в (эн,ер1гии ноз,буЖщ•ения, момента
К!о.лич~с'flва д1вижения и т. п.)" но не от .способа е~гю .о'бра1зова~
ния. Бстест1ве.нно, чт~о ~вылетающие из еостав:но.го ядра час.ти-'
цы будут -распределены сферичес:юи оиммет:рично - .Н1ика1кой
связи между напра1влениями д1вижения частицы а и ч.а,ст~иц"
.продуктов Ь 1 , Ь2, .не будет" I(.онцепц1ия соста1вного яд.ра на пра..,,
тяж.ении д1 вух де с ятков лет оота:вала~сь 1ИсХ:одным пунктом для
анализа ядерных ~реакций.- ·
Од1накю~ при переходе к б:олее rвыс:ок1им энер:гяям бо·м~ба:р ...
ди1рующiИх ·ядра частиц картина -сущес-г.венно меняется. Боль-.:
шая эн е рлия может расшределиться между м1ног.им-и ну~клона ...·
·МИ яд1ра и при эт9м каждый из них будет обладать достаточ--:
1ным и~збьглкюм ее для того, чтобы 1ПОIНI1н.уть яд1р.о. Качес11венiно
ха1ра1кт•ер яд·ерной р.еа1кци~и мож·н·о описать оледующим . обр1а,;;
зом. Частица выоокой энер1гии, попадая 1в ядро, сталкивается
с одним из ну,клоно1в. Поделив между собой и:з1 быточную энер -1
лию, они ~n.роДюлжа.ют ,fчни~ение и да овоем пути ~вза1имо~·еЙ"!
36

;ст:вуют со ~встречающимися им протонам1и и нейт1р:0·нами. Ясно"
Ч'ГО при этом одни частицы получают возм · о:жность вылетать
1из ядра, друг.не п родолжают 'Разда1вать свою энергию нук­
.лонам ядра. Этот процес.с. длится до тех пор, пока э :н-ерлия
.нукл онов не уменьши:гся до 7-8 Мэ~. Здес ь уже стано1вит,ся
.у ме ст.ным .привл еч ен.не идеи еоста1вного ядра.
·
Таr~им .о6раз·ом, ядерную реакци~, 1Вы званную част.Ицами
~высоки х энергий, мо.ж:н о рассматривать, к ак Двухстадийную.
На пер1вой стадии яд.р о ~п о кид ают нуклоны (а такж·е связан­
н. ые еост. ояния их -. :наприм ер, а"част1ицы, предста1вляющие
комбинацию двух протонов И: двух пейтронов) с энергиям и
поряд~ка ·нескольких десятков милл.ионов эле1<:'11роновольт"
Число этих част.иц, их энергия .и наiир.авление выЛета будуr
опредеЛяться х ара,ктером ~попадания час-гицы в ядро~ Сущ.еiст- ·
1Венно, например, попал·а л.и бомбардирующая частица в центр
.ядра ·и ли -скользнула по юериферии. В пер;вом случае разовьет-
ся МОЩНЫЙ КасКа1ДНЫЙ процесс, Т. е. МНОГИе НУКЛОНЫ ядр· а
окажутся 1вовлеч-енным1и 1в ядерную реакцию, во вт~ором - · .
мо :ж-ет быть выб ито лишь небольшое число нуклонов.
Последний эта!П _ реакции полностью подобен раuпаДу
сильно воз·бужденноРо соста1вного ядра. На эгой стадии про-
1исх·од1ит множест1венное ис.парение нуклонов из ядра, обла­
дающего избыточной энергией. Как уже указывалось, ·та1пlе
_" частицы испускаются еферичес.ки симмеt1рично. Число иСiпу­
щенных ядром частиц и их энергетичес·кое распределение . в
- результате яД,ерного ет.ол1~новения пря больших энергиях мо·­
жет быть :ис.следовано при помощи толеllослойных фотоэмуль- ,
сий или камеры Вильсо;на. При этом наблюдаюrся хдра.ктер­
ные «з1везды», т. е. еледы мнолих час11нц, выходящих из одн·ой
точr~и, а именно из ядра, -в которое попала сверх.быст·рая ча1с­
тица.· По ·,виду лучей (1их длине, толщине и другим осо:беннос­
,~ям) определяют заряд испущенной частицы, ее мае.су и э"J-rep-;
гию. Эксперименты, пр-оведенные .как на искусс11венно полу­
ченных ча·стицах высокой энер1лии (на уок:0рителЯх), так и на
естественных косм.ических . ~астицах, показали слраведлиность _
и.зложенной кар11ины реакции. Испущенные частицы достаточ­
,но \ четко разделяю1~ся на 1выснк·оэнергичные пер1вич.ные и
и:спа·ри·тельные частицы малой энерлии.
Теоретическое исследование каскадной я.дерной 1реакц.ит~1,
·естест1ненно, можно провести при помощи метода Монте--К.аμ­
~по. Ра,с;чет ос.но~вывается на рассмотрен.Ии ядра, как еовокуп­
ностм нуклонов, .на •КОТ·орых налетающая частица испытывает
ряд последоазательных столкновений. Для пр·оведения вычiИС­
лений необходимо знать ~вероятности элемент<tрных процес­
сов, имеющих место при с-голи:новении нуклонов · больших
энергий с нуклонами ядра. Эти данные м9:жно пол учи ть и з
экспе~р~менто-в, ·в которы·х было иееледовано ра, с·сея:ние про­
тоно~в на отдельных .нейтронах 1и 1про11онах.
37

РоQылрыш кас1кадного процесса начинается с выяс'Нения
точ1\и ~в хода налетающей ча·сти.цы .в ядре. Зате1н ра·ссчитынает".
1СЯ цробег частицы ~в ядре до пер1вого столкновения. П·осле пер-
1ного СТ{~лю-1 .овения нам ну.ж: но следить уже за .дву, мя част.ицами,.
так как обе они имеют большие энерг.ии~ Каяс:Lая из них после
~пролета некотор - ого расст.оя-ния 1в ядре испытыва ет стол1кно-.
вение-возникают. четыр~ частицы и т. д. Такой развивающий": .
ся лавинооб~разно процеос дол:жен ис·следоваться до тех ~пор,
пока часть высокоэнергетичных частиц не покинет ядrро, а
остальные не раздадут овою эн~ргЕю оста 1ВШ1 имся в ядре нук-
-
лонам. В результате расчета определ яются энергия, ти~п ча1с­
тицы и напра 1в.пени е ее д1В~и:жения.
Каскадные процессы с участием элемента·рных частиц мо­
.rут происходить не -голько в ядрах, но и 1в несра:вненно боль­
ших объемах~ На.пример, цри прохожден-ии · К·ОС·мичееКJИХ лучей
через атмо.сферу Земли 1в озникают так назыuаемые ливни, т. е"
r·руппы час11иц, движущих·ся приблизительно в одЙ·Оl\11 на·пра1в­
лении со скор·ость-ю, близкой к с.коростм овета. Образо~вание
ливня начинается ·с одной частицы, энерги~ котор1QЙ . очель
fflел-ика. Если эта част}rцй склонна к сильному ядер'Ному взаи­
м:одейст~вию (л-мезон, нейтрон, протон), то ·,при етолюно1вении
ее с каким-либо яд1ром цроисх-одит ро.ждение новых частиц -
:в основном нейтральв:ых и заряженных л-мез-онов и ну1клонов.
Возникшие частицы при · аналог.ичных столкновениях дают
третье поколение ча·стиц ·высокой энергии_ и т. д. Так·им обр~-
. эо:\1 ,
одна частица энергии порядка 10 14 -1018 ЭJiектроно1вольт
м.ожет .привести к образованию большого количества частиц
меньшей эне.р' гии. Э11от ли~вень частиц приходнт на поверх­
ность Земли широким фронтом.
П-одобные ж-е я;в.л ения дроисходят И в электронно-фотон­
·ных ли~в-нях. Эл.е.ктрон, обладающий энергией много большей
энерлии покоя электрона, т. е. большей, чем тс2 = О,бl 1 Мэв, .
пр.и своем д:вижен .ии iB ·вещест1ве . ис!lускает га~1ма-ывант 1С э:1ср­
rией, ра1~1-юй приме.рно полов·ине эн-ергии эле.кг:рона. На~пра.в- .
ления движения кванта и электрона приблизительно совпа­
дают. Кванты в оною очередь способны к образ·ован.ию элек­
тронно-позитронных пар. Поэтому _через некоторое время
ювант превращается в пару частиц -.
теперь движут1ся yfi{e
~.ри ча1стицы: д1ва эле:ктрона и пози-rрон. Направление их по­
лета и энергия цримерно одинако~ы; Далее идет кас.кад.ный
процесс - -ка/кдая ча1стица иопу.ска~т квант, кrJторый обра­
зует пару, и т. 1Д. Конечно, такой процесс не может проДол­
JI{ать·ся беокон-еч·но - пoc.Jie образования большой ла1нины час-· ·
тиц ка)к.дая из них будет иметь эн~.ргию 1порядка тс 2_ и ливень·
затухнет. Гамма-·к·ванты ~в процес-се К·омптон01нского раосеяния
потеряю'!' энергию . и пог.л·отятся в . результате фотоэфф-екта, а
э~ект.р·оны и п9эитроны отдадут сной за1пас _э.не,ргии на иони--·
, зацию среды.,
38

·Час1 ·О
:sо:зн~икают и смешанные л.и:вни. Ядерноа ктивная
частица, ~входящая в состав ливня, мо.жет при столкновении
дать начало --- электронно-фотонной К·омпоненте. · Каскадные
. ли;вни, состоящие из нуклонов, мезонов,. позитронов, элекгро-:
нов и га:мма-к1вантов, называют1 ся ядерно-электронными, про- _
никающим1и ил.и смеLuанными. Изучение л и___вней - ·ра зличных
-
типов пр.и1вело к на:кю~лению большого количес11ва сведений
от1 носительно характера процесоо~в, ) протекающих ~цри етr0лкно- ·
вении частиц выоакой энергии, и поз1волило объяснить м но,гле
я1вления, происход.ящ· ие при прохождении: космическ1пх лучей
чер·ез атмосферу Земли.
В последнее время расчеты каскадных ли1;н-1ей стали про-·
нодить·ся _ :ттр:и помощ1и ме11ода статистических ИСПI?Iтаний. Ме-'
тодика 1ра1счета аналог.ична тем, -которые мы рас-смат.риваJiи
·выше - 1по вероятностям 0'1щельных случайных актов строиТ~ся
последовательность большог.о числа событий. В печати уже
поя.вились ра~боты, где метод Монте-Карло применен для · ра~­
смотрения 1процееса возн~И:К·НО1вения каскадных ливней в раз-·
личных средах, например 1в ев1инце или ф·отоэмуль·сии.
С появлением мет.ода статистическиfС и·с·пытаний ока~алось·
'возможным приступить к решению некоторых сложных за-
. дач
.статистичес:~ой физ·ики. Окружаюшие нас макроскопич~-­
сКJие тела ·с.оде~ржат ·огр .омное чиоло ми~роскопических ча , стиц ..
Так, 1в одном ку6ичес.ком сантиметре ~воздуха находит.ся при­
мерно 2. 10 19 молекул кислорода · и азота, д·вижущихся с -са-·
мыми различными скоростями. Очевидн-о, ч110 детально изу-:-·
чить движение каждой частицы не предста1вл~нет1ся ~возм-01ж­
ным --··
соста1вление 1и решение уравнений механики, опи.сы­
.вающих ~поведение такого огромноr1Ь числа .объектов, требует
невоо-брази-мого колич~с"r.ва .времени ·и бумаги.. ·Одна-ко ока­
.зыва€т1ся, что макрошс_опич-еск·ие тела ~п.ро?1вляют законом~р­
.Ности особог·о · р-ода, так называемые статистические законо­
м~рности. Нау,ка, ,изучающая эти за.кономе:рност1и, называется
~ста т.ист1иче·с1<:ой физикой : О·сно1вы .ст'а тистической физики были
за.ло:жены е1це - во вт·о-р~ой половине прошлого века в трудах
К~аузиуса, Ма,кс.велла :, Больцмана · и Гиббса.
.
Наличие оч'ень бо~ьшог·о числа частиц 1и приводит к тому,
что ~поведение системы оказывается на,сто ,пЬ'~{О пр.оегым, что t-ia
6оль·шую ча·сть 1вопр-01сов, интересующ,их , нас на пра1ктике,
мо-ж-но ответить, не ·вда!ваясь в детали · · д1Зи:жения ка1кдой от­
дельной ча·стиuы. ·
Так, при некоторых. предпо.лож·ен:иях МОЯ{1Но ~показать, что
.
.
'
да~вление в-о.здуха пропорционально его темпе;ратуре и , кон-
центра.ции молекул и не за1висит от кон1кретных микрое~ко1пи­
чеаких свойсiш - СТ~роен1ия 1мо.лекул и их взаим-одейст.вия меж­
ду собой. В течение поюледнего столен1я уiче.ныс при nомощ:и
мето\д-ОIВ статистичеек·оij[ · физ'ики достигли огрю м.ных успехов в
изучении газообразного) :zкидкого и кристаллического состоя-
39

Н•И Й вещества, ово й ст1в тел при высоких · и низких те м пературах
и да1в.лениях и т. д .. Од на1ко имеются явления и процессы, ко ­
торые во многом опреде л яются конкретными овойст1Вам и ми к·~
·,рос,1<:опичеоких 1вел1ичин. Т аrк, например, овязь давления с те м -·
п ераттрой и объе м о м для жидкостей за1висит от овой стн
молекул ж,идкост и . Е щ е сл ожне-е дело обстоит в об.ласт-и фи ­
зичеокой кинетики, т . е . прп исследованиИ тел, не нах·од я­
щtИхся в .ра1вно~веси и . Ока:же м , если те.ло нагре'ГО неравяам е рн о ,
то с течением врем ени · его состояние будет ·стремиться к ра:в-·
н онееию. ' П-роисходит выра1внивание _ те м пературы по объе м у .
Этот процесс также с и льно зависит от конкр·еп-1ых вза и VIO-'
дейст~вий микрочастиц, .об1разующих тело. Для изуче~н и я п ро ­
цес.сов подобного рода общ1их мет·одов нет. В овязи с э тим
большой интерес представляют попытт~и ис.гюльзо1вать м е то д
Монте-Карло для реrпения ·некото.рых задач статист·ическ·о й
физи1ки и физичеокой кинетик;и. У rке ·л:ред пiринят10 исследо ва ­
ние поведения ряда простейш1их систеl\1 из большого кол-и че -
·с т1ва
частиц, на.при м ер со:воку1П:ност.и т:вердых шар·ов. Расче т а­
м и 1получе_яы овойс Т1ва т аки·х сис-гем в равновес.ных состояниях
и ~К-инетика прибли ж ения их к ,равновесию.
В на1родном хозяйс ·гве метод .статист.ичес-ких испытани й
· будет, ~видимо, в -ско:ром времени . шир·око п~рименять·ся 1К ,и;:::-
слеiдованию ра·боты м.нагих предприятий, зс~п~ятых 1выполне­
· н ие:м 1различного рода зая1вок 1no обслужива.нию заказчиков.
·П1р·Имерамя
подобного рода пред1пр-ият.ий масс-о в ого обслужи- -
· ван.ия нвляются телефонные станции, а1втоматы, у.пра1вляю-
щие -елош{1ным·и а.гре1гатами, бензозапра 1но.чные станции, базь1
· и еклады · !различного оборуJI.ования," а1втохозяйс11ва и т. п.
· Каждая
·система ·масс·ового обслу.жи~вания .имеет определен ~
· н·ые огран.иченные возмо°Lкности для iвыполнения заявок. Так,
· тiелефонная станция может обеспечить связь одно~в1р·еме:нно
· определенному числу абонен'Гов, с-оо'Гветствующему числу ка-
."нал;Dtв
овяз,и, имеющих·ся у этой GТанции, 1на бензок·олон1ке
заправляется одновременно только небольшое число маш·Jп-1
и т. д. ЗаЯ'вки :же на об.слухп~:вание поступают случайным об­
равом, так как отдельные за1казчики дейс11вуют независи м. о
·,
1руг от д1руга. Поэтому иногда -обслуж:и1вающая с.и-стема ока ~
зывается ~перегруженной - образуется ·очере1дь на 1вылолн~--
. 1-1 и-е
зая1вок, в других случаях при малом · 1поток-е -зая1вок сие~
тема 1пр-остаивает . илм ~работает не .на 1пол.~-т1ую м~0щ·н~0сть. В овя -t·.
з1и е этим ·олром.ное . з н ачени~ приобретает 1Р'ешение 1вопрос-ов 1
относящихся к изучению обслужи~вающ1и ·х еиеrем ·и ,к отыс1Е: а -.·
н.и:ю опти-м·альных .реж·имо~в их 'Работы 1пря случайных 1по11охах
з а я1вак.
.
До 1поя1влвния м е'Года статистических :испыта·ний 1юру.г за ~
д ач масс.оного об слу.ж-иван!ия, .ко11орый мог быть исс ле~дов а н1
· был чр ез1вычайно ма л . В то ж е ~время 1Прак т;и;чес:кая деят е·л ь ~
ностъ требуе т не отл а гатель ного решения м ног их 1слоин-1ых
40

п.рйкла·дных ~задач . .Оказывается, что мно}кесrво задач такого
рода МО}Кет быть решено м·ето1дом Монте-Карло. Чягатель,
вид;иiмо, уже в:е ну:>кдаеТ1ся в деталь:ном обгняснении 1во:з-мо1ж-·
ности применения м1етода статисТ~ических испытаний к таким
вопро.са'м. Раосматрива1емь~е задачи относятся 1нсе 1к тому :же
ти1пу п1роцесо61в, характ,еризующихся наличием боль1пого ко"
личест1ва случайных явлений. П·оэтому всегда м·ож.но Приду-
мать модель · р·ассматри~ваемой системы и. сфор .Мi.Ировать сЛу­
чайный ~поток заявО1к, 1посту.пающих в систему. Очевидно, что
подобные ·статистические иопытания ·различных .сист~м маосо­
ного обс.лу?К·и1вания будут .иметь решающую роль при проек­
тирова·нии ·Новых 1И модернизации дейст1вующих п-ред,цриятий.
Все ~приведенные ·Выше ·примеры приложения метода Мон­
те-Ка1р..ло овяза1ны ·С задачам.и, сама пост~новка ~которых носит.
веро1ятностный характер, т. е. содерж-ит я~в.нь~м об.разом тот
или .и.ной ~случайный процеос. Блуждание rчаст~иц, раопроет~ра­
нение тамма-к1Ва1нтов .или ,ней-гр.оно13 1в ·с-реле, раз:вит.ие , ~осми­
чес-ко,г10 лиrвня, 1ра·бота с:астемы массового обслу.ж·и1вания - ~все
это ба.лее ~или ·менее 1слож·~ые цепи ;последователь~ных случай­
ны х со~быт.ий. Одна'I<!о круг задач, к п~отюрым :при;·мени м . 1м етод
Монте-:Карло, не олраниЧи~вается ~проблемами, связанными оо
случайными ~nр·оцесс:ами. О1ка.зывает1ся, его можно ·С у.спех·Ь:м
использовать .и 1i3 больш·ом к.л.ассе задач, не имеющ.:их 1в оноей
П.О1стаН.ОВ~Ке Н'ИКа1КОЙ СIВЯЗИ С ТеОр1ИеЙ 1ВерОЯТRОСТ~И .
J1ачнем ·С прост.ого :цримера. К.аждый .знает, ~ка1к вычислить
площадь круга - 1ну1кно умножить к~вадрат ег.о радиуса на
ирра~циюналь1ное число Jt, ·котор 1ое приближенно ра1вно 3, 14.
Ну а ·есл,и бы мы ·не знали значения чис.л а :rt? Или н ам Н)'\ЖНО
было ~бы ;вычислить пло111ддь каl<!Ьй-нибудь другой более слож­
ной ·Фигуры? f\1l·o:ж11·0, 1К·онечно, нарисовать ее на клетчатQЙ
бума~ге 'И 1подочитать приближенно количес11во клеточек, со­
держащ:их·оя -внут~Р'и фffгуры. :Более удобный · юпособ .из'Мере­
ния оонdва1н на 1црименении точных ~весов - ну:жно сравнить
веса 1вырезаr-1нюй из 1ка:р110на фигуры и к1вадратrы(а извес11ной
площади. От.ношение 1вес.01в, естестве-нно, будет ра1вно отно­
шению площадей:. Конечно, такие методы ~вычисления пло­
щадей 1сейча1с прим.еняютс:Я очень редr<:о. _ (:ущест1вует с.пе­
циа:п:ыный ~раздел , математики - инт·еградьное · исчисление,
ощнпй 1из задач ~которого и я~вляется '1вычислени;е площад~й,
объемов, длин и т. 1п.
п,g1ка}кем теперь, 1как мо:жн·о решить задачу о в.ычислен~и
пv~ощади к1ру~га ·методом 1V1онте-l\а.рло. :На1р:исуем ;кiвадрат,
стю.ро~ну 115·о~'IЮ1рого примем за единицу ДЛИНЫ. Впи:μ.~ем iB ~ЭТОТ
квадрат ~четверть круга, ~как показано на -рис. 10. Если та~кой
rчер;теж ~некоторое 1В.р:емя 'подержать ·.qюд до:ждем, то на его
1ПО1не~рх~ности .останутся с.леды ка1пель. П~од~читае.м чи1сло еле­
д101в 1ннутри ·~ва.драта ·и :внутри ~руга.· Оч:евищ·но, ч~о их отно··
шение 'б)'iдет 1ра1нно 10Т~ношению ~площадей эт.их д·вух ф:игу,р,
41

та!\ :юн< 1nопадание ка1nель ~в . раз.J1иЧн:ые места. ·ч~рtе~жа раrвно­
же,роя.тно. Этот эксперl1менr ан-алог,и,чен rвз.в.ешив_анию фиrур? .
:но 1 коr-н~чно, д,ает мень1пую точность .
.
Теперь замен.им: дождь таблицей ,случайных чисел .. Кая<­
дому следу капли мож:но сопо:еrавитЬ два ,случайных числа"
У.
r,o
}(
\
1х:·
_;__
1
)(' 1.
t
><
,.
rx
0,2
0,4
О,6
08
1,,0
Рис. 10. Набор случайных точек, исгrоль-зуе ...
мых для вычисления площади круга мето·
-
~
дом статистических и с п~rтании.
характ·еризующ-их его положение 1вдоль ос.ей х и у. Пары чисел
М~О}КНО iвыбирать из таблицы 1в ,каком-либо iПОрядке, например
подряд. ·Пер1вое четырехз.начное случайное число 1в таблице
(стр. 16) 3590. Из него можно· цриготовить пару двухзнач-
1ных чисел, 1кшжJI,ое .из которых больше нуля и мэньше еди­
ницы, 1ра·з~би~в его пополам и пр1ипя·са.в- ,нули ·е,переди. Пе.р:вое
из них буд1ем считать абсцисс.ой следа ,ка1пл.и, вт0ро~ ордина·
той. Таким обр.аз·ом, коордиlнаты .пврво~го .след-а :кап.ли есть,
Х1 == 0,35 и У1 == 0,90. ~~-1алогично посту.паем и оо всем ,и ос"
талыными с.n:учайными чмслаrvи1 в та1блице. Коорд·инаты пят"'·
надца~и капель ~ ,ооответст1вующих пер~в-ому столбцу с.лу1чай н ы _{
б.
•
1
~чисел, у.дут:.
No
:Х
у
No
х
у
No
х
у
1 .0,35 0,90 6 0,14 0,34 11 0,46 0,19
20,21,0,51 '7
0,25 0,97 12 0,70 0,86
1
3 0,48 0,99 8 0,77 0,15 13 0,]7 0,48
4 0,64 0,1о 9 0,44 0,30 14 0,26 0,79
5 0,96 0779 10 о~11 0.68 15 0,23 0,15
42

На ри'с: 10 на·не0сены ·случайные точки, от.веч·ающие этим.
ко-ординатам - внутрь нруrа не .попаJН1 1нсегсr четыр·е т~чкt-1
(т.ретья, пятая, ·седьмая и д~.венадцатая). П-опр- ~1бу"ем грубо.
· ··подсч.итать плопJ,адь чет1верти крута. Она будет ра!вна от1но-.
шению числа точек, лежащих 1внутри него, к 1по.лному ~х чгислу,
т: е. 11/15 = 0,73-.
Точное значение площади n/4 === 0,79. Инач·е·
говоря, да:ж-е при .иопольз·е~вани.и ~всего 15 т·очек мы можем
довольно сносно опр-едеЛить ~площадь 'Круга. Э~ту же задачу
MOLI{·Ho 1ра.ссматр.ивать ка1к_ приближенное определение чmела
п. Д.ля не.го 1поцуча·е:м Jt = 0,73 Х 4 === 2,9 с ·ошибкой около
10%. Нанося на нап1 черте-ж все большее и большее числJ
точек, мы будем 1в -снсrоян1ии подойти !к точному з:наченяю и1р­
радионального числа л; с какой угодно точностью. Э-готпример,_
на наш взгляд, достатючно хор-ошо ил.люстrрирует богатые !ВО.3-
м.ожности таблицы с.лучайных чисел.
Вrообще-Т~о черте:ж рис-0'1зать. необязательно. Есть прост·ой
~ритерий, по которому мо~жно устано,вить, поrпадает ли ·с.лу­
чайное- 'ЧИ1СЛО {ВНУТРЬ круга или rReт. Если х и у - коорд~инаты
·110ЧК!И, ro :qrp·и х 2 + у2 > 1 точrка лежит ·вr-re круга, та1к ~как
,сумма ювадрято~в lк·оордцнат есть не ЧТiО иное,_ F;а1к tl)ас1стоян:r-н~,
точки от цен-гра 1к1руга, а радиус круrга единица. Координаты
·~очек, tпопадаюш,.и.х на границу нгруга; удо1влетвьряюг 'с100.тно­
шени1е х2 +. у 2 = l. :В·ну'Г·ри ·круга лежат ·точки с .суммой к~вад­
ра-го1в 1к:оор~д1инат ме~ньшей единицы. Пользуясь эт~ими -сообра­
ж-е-ния.м~и, л-егк.о ~подсчитать, что Из 150 точек; еоотвегiСТtвую·щих
всем числам rнаш.ей таrблицы, 12.9 будут вну:лри · круга. Для
п iПолучаем з1наче....ние 3,4.
·
АналоF:ичным 06р' а3ом мож·Н10 выrr_rи;слить и площадь лю,бой
друг.ой фигуры. К-он:е:чно, rприменение. метода Монге-Карл-о для
решения с1~оль простых за.Дач не является . целесооiбразньJм -
есть, 1ка·к у:ж:е го1воrрилось ранее, более мош.ные и хорdш·о раз­
работанные ·способы ·вычис.ления ~площадей фигур. Э-тот при­
мер нужвн лишь для пояснения методики при м енения метод.а
статисти_9:еоких исшытаний к н_аХО)Кдению та1к называемых
много-м ерных интегралов..
Jiюбая плоская фигура имеет д1ва из~1ереr-и1я, ·С'Оот~ветст­
вующие д1вум к·оординатным осям: х 1и у. П1ри изучвн·ии про·ет-
---· ранствен н ых
тел нам нужна уУке третья ось-ось z, перпенди-·
1{улярная 1пл~0с~кос1ш ху. Оче~в·~iдно, определение объе.ма т1рех­
мерноI10 тела можно пр:оводить т·ем 1ке опооо.бом, что и вычис­
ление площади. По·м.естим :интересующее нае тел.0 в К)Т!СJ .и
вапо.п.ним &о объем ~равномерно распре.деленными iслучай·­
,ными числам.и. Отноrпен.ие объема тела ·к объему .к)'iба · опреде­
ЛЯ€:Т1ся оТ~нощением 1числа точек, находящ·ихся в 'Теле, к н ол-
1ному числу точек. Положение точиш характ~р.изуется т1ре мя
.I<о;ординатами 1 по.этому ка}КД·ОЙ точке ну :жно 1с-опоставить . трой­
ку случайных чисел. В случае шара ед.и·ничного радиу,са точка
попадает .в1-rут1рь его1 е·сли х2 _+ у2 _+ z2 __< 1, и · н ах·одится .сна-
4' •)>
,_J J

ружи при обратном нера1венст1ве. Таким образt)М мож.но вы­
чrrсл~ть _ не ~оль1ко объемы и плошади, но и д.рулие характе...
ристи:!<и д:вумерншх ? трехме,рных тел, например массу -и по ...
л-ожение центра тя:жести тела 1по заданному распрмелению
пjют.ности в его объеме, суммараый заряд нера1вноме~эно за­
ря.ж·ен11~?~0 тела, площадь по1верхносги тела и ·т. п. Классиче"' · ·
с.кая математика сводит . задачи такого рода к вычислению
интвгралов, т. · е. бес.ко.нечным .суммам бес-конечно малых 1ве­
л·ичин.
В нашей обыденной жиЗ~ни мы .встречаемся только с тре.~­
мерн~rми т~лами -- это . следсг.вие т1реХ:мерности пространст1ва,
в · .котором мы :живем. Однако формально мо':1кно пос~ро~ить
пр·остранст1во и большего числа измерений, например четырех­
мерное, за1полнен-ное . точками, двумерным.и, трехме.рными , И·
Ч-етырехме1рныl\1IИ объектами. Наглядно nредстанить та'К·Ое
цр ·остранс~1ВО, конечно, Н~IВОЗМОЖНО, ДЛЯ ЭТО!О ~Ведь ,нужно
~
~
.
.
~воооразить сеое четыре взаим.но пер 1пендикулярны..х нацра:вле-
ния! А для нашего мышления, привыкшего - к 1lре~мерному
.м1иру, ЭТ'О непосильная задача. Фор м альное же о.пис~ние четы",
ре~мер·ного пространства не предста;вляет трудностей. Поло­
_ж:ение точки 1В нем характе;ризуется четырьмя ЧИС.J!ами, с· оот­
ве.тс-лвующи:м·и четырем коорд·и.натным ос Я'м х 1 , х2, · х3 и х4•
. Постр.о·ение . и _ изучение
многомерных прост1рсП1ст1в и объек­
Т·QВ 1не явля. ется никому не 1н.ужной игрой 1вообра:ж:ения. Ра~­
-с мотр ·ение мнотих задач математик1и, физики и других ,наук
·част·о 1пр·инодит к flе.обход.имоеr~и -нс.пользования лространсгв
·более чем трех измерений. При этом 1~озникают 1ноцросы, С'ВЯ­
.з.аннь~е с .вычислением многомерных инт~:tралов, т. е~ вел-ичин,
.ан:~-.лог~Чf!ЫХ длИнам, . ПJ.щщадям, объемам, но 1в . пр·остран.ст1в~
бо.льШ.его числа измерений. в · частности, в теории относитель­
ности ра·са:м:f}т.ривается . четырехмерное ·
. пространслво,
три .
наг;r1ра.:в.цения ,ко~·о:рого соответствуют обычным и.з:мерениям .
на.шег.о (Пространс1ша - длине, ширине и высоте, а по - четвер­
т..qй :а~си откладыв~ется ~время. В1ведение такого проt.:тр;анеr~ва-.
не iПрОСТО удо6н·~IЙ формаЛЬНЫЙ . 1прие~vl, .а :имеет 1ПОД · собой глу-
. бокое физичеокое обосновани~. Ка1к ·было показано Эйнштей­
ном, 1простра.нст1во и ~врем.я с.вязаны друг е другом, и их совме­
. стное рассмот~рение нс только 1возмоясно, но и необходимо. ·
·
Ряд задач к1вант.овой физ·ики, теории элемент~р- ных. Чq.стиц,
·теории в_ероятности, стаТlистическ·ой фиЗики Чцсто · rа -1пке :могуr
. быть. ·p~ш,e~I~I 1:ОJЦ:>КО после !Вычисления некоторых мноr.омер~
ны·х_, а _инодда даж.е так нq.зывае-мых континуальных инте11ра­
". ЛОIВ, т. е. _ин.тегралов 1в пространстве ·бесконечного числа из­
мерений.
О·казы~ается, что вычисление мно11омерных .инт.еnра.Лов
. очень удо·бнq произ·водить при помощи метода ста11истических
и;спытаний. Сх~ма ~расчета их отл·ичаеr.ся от того прост~ого
~·с.лучая, 1который мы рас.смотрели, н9 нозможность его доста:.
.44

·точно очевидна. Jvlетодом Nioнre~ Ка ·РЛ·6, в чс~стности, получены
ценные -р.езульта-ты в теории передачи сообщений. Решение­
многочис.ле:~-ч1ых задач теории обнару.ж:ения .полезнь~х сигна :-­
лов .на фоне стат.истичееких помех,' возникаюш.их в приемнике ,_
~передатчике и ~каналах овЯЗJ:!, требует оденки м1ногомерлых ин­
тегралов, чт.о и делается iПРИ . помощи метода статис11ических
!ИСПЫТа.НИЙ.
.
Таким образом, к,лассическая задача 1вычисления интегра­
лов, не овязываемая обычно с теорпей вероятностм, может­
быть пе1реф-0~рмулир0~ва1на так, что к ней становится -примен.иrvi:
метод Монте-Карло. Это же огнос.ится 1к некоторым дру.гим·
матемагичес:к.им про·блемам, на.прииер решению дифферен-­
циальных уравнений,, исс"пе;довани:ю сло.}кных систем алгебраи-­
ческих ур.а1внений пер ной . ·степени и т. д. Овежая ст.руя, в.не­
·сен~ая методом статист.ических испытаний в старые, клас­
·сические разделы мат~матики, делает ·его еще боле~ ценным
и привлекателы-~ым.
~
TEXI- ИКА МЕТОДА
Пер-вый в-опрос, хоторый ~возникает цр·и использовании ме­
тода Монте-Ка.р.ло, С'Вязан с 1количеегвом испытаний, необхо­
димых для решения задачи .{~ заданной точностью. Из ока­
занного ~выше ясно, что точность отве"Га повышается . с v1вели..­
чением числа иопытаний. Ож:идаемая ошибка может " быТI:~
вычислена на основе тео.р-ии !Вероятностей. Л1.ы ·не будем оста­
на1вливаться на этом вопросе, укажем лишь, что· ее "о-гнос·и­
тельная ~величина . (т. е. отношение ошиб~и к самой опреде­
ляемой вел!j·чине) . обратr-rо пропорциональ~а к1вадратному­
корню .из чис.ла и,е~пытаний. Иными словами, · ее.ли мы , иссле".
довали N случайных процес.сов (например, т1раекторий час­
тиц) для определения инт~ресующей нас ве.пичины А, то по-­
следняя будет. получена с ошибкой ЛА, наиболее 'Вероятное.:
значение 'КОТО!р·ой определяется из соотнсшен1ия
ЛА
1
--~
--
А
~ VN-"
.r·
На1приме.р, для ~вычисления числа Л мы ис:Пользо~вали 15С1
точек и получили л ===ЗА. Э1ют резу.ль.тат получен с ·точ1ностыо
Лл: - 3,4/ -V l50 == 0,28. Таким образом, опр·еделенное нама~
чИсло · л должно быть записано в виде л == 3,4+0,3. Точное ·
значение л == 31 14 ... , кат-\ и должно быть, лежит внутри указан- ­
нога интер1вала ошибок.
·
. П1риведен.ная . фG>рмула ~nоз1воляет _ r:-iайти и ·количест1в·о ис- ­
пьп ·а.ний, нулпiых д~я получен.ин ·~величины с заданной точ- ­
:ноетью. Оно ра!ВНО N == А 2 /(ЛА) 2 . Чтюбы получмть ' л; · с тюч-·
- ностью до одной сот,ой, нуж-но, ·следО1ватель.Н·о,- N == 32/ (0,01) 2~.
т. е. около ·ста тыс.яч испытан_ий. Таким образ-ом _7 число необ--
45:.

~.
ход.им.ых испы ,rани·Рi быстро увеличи~ва.ется 1ЦJHI по.пытке . сде­
лат-ъ ~эасчеты 9·олее точным,и.
О·с.Gееын~о лромо·зt1.1к·им~и явля~тся задачи_~ .где часть ·сЛучай­
нык исшытаыий оказьы~а.ет.ся еiеопол,езиой. Так, пр.и ра.счете
. П р @ Н! И К Ы О i В Е М - I И Я 1КВа·kГОLВ tИ.Л)И .н eЙii.p1C1Jl OIB ·~ерез Т!OJICTbie IПЛ~СГИНЫ
вбЩ~еегва боЛъшинст~~,Q ч. ас--тиц поiг!Н)Ща,ется внутри пла·,с~ины.
Пt1·сть числ0 1пр·gШ:едшик ·t!f~астиц сос~аiвляег ,dотую час•ъ от
ЧИG{I-а .. ~паДающ·их tI1a "п.п:а'tтину_, q'(}l:Д\1 лишь ·мно ~1ис;пы .та.ние ,ив
.ста t~vдет поле~:ным., т. е. пр~ич,всеi' нам ка~~:ую-то и1нформацию
о ~ча1с11ице, .п~~·шедшеi~ через · барь~р. Так ма·~ 1V ,в на·шей фор ­
муле - ч.ислg п@п.езнык иопыт·а.ни:й, то обrцее ·чясл.о испытаний
ДО.ЛЖИ'@ быть В iCif·O раэ . б'ОЛЬШИМ, чем рас·считанное 1П:-О ЭТОЙ
формfле.
Та1к1ое u:1С>ло-жение дел пр.и1води·т к тому, ч~о возможность
п.рим~нения описанных 1~ыше меr~одо1в ру1чно1го счета п~рlИ _ре·
:1ПениИ с.л10,:rкных · задач сов-е_ршенно иекл ю.чается" .Б·ез ·исполь ~
.з·оваiН!ИЯ элект,Р·ОI.IН()·сче:rных ~ машин метод статист.ичеоких 1ис ­
пытат-!ий М<С))}Кет быть полезен топр~ко д.пя 1раочета небо1льшого
колиЧест1ва " ТJЭаек тори:й. 13 пе;р1вые ·Годы 1пo:ci.Ie огкрыт,иJk ме;года "
таки·м об1раз·ом бы:ли · решены не~о:r:орые пр.остые ·задачи, не
11ре.бующие слищ1КО'М · бьльш:ог-о чиста . и·спытаний. Напр1имер,
~при п1 сJм.о.щ;и ~#чноr~ с1fета бъц1и .иоследова:ны ·кае к адные пр.а·­
цессы, 1возни~к ающие ·пр,и :пон~чJ.аи:и:и ирогоно:В ~высокой энер1гии
:в ядр ,с1· ур а н_~. Чис{УI(} 1исслеt.до1ва~ных траекторай п_ри этом
·н е · ,преыышало несколыкик десн:rков. Точность расч&а была
яенел~Щ~(а, тшк tК_а:к Сf.Щес;rнЕМЦ{Ое :ее у1в.е111и ч ен1ие требо1вало o:r ..,
.ро1м1нl?Iх. 1затр а_т 'Т'Руда и 1време.ни.
П~~,м ен.~ние Э.ЛеКТ\!)О Н'I-:IЫ :К IВЫЧ'ИСЛИ Т е Л ЬНЫХ М а Ш ИtН, ·со·вер­
ШаК)Щ~Ж . ДеОЯТ~И ~И сотни т.ыс и ч опера пий в с екуццу, .~поз1внляет
.ир1и ~ е.нить дv1ет.0Д IV\.~·нте-..Каv ло и 1R за.да ч ах с оч ень боль ш и.1\;1·
.кол.ичес:т~во м м ои ытаний . При э ~ом ·отп ада~)~~, ·коне~н~ о,. н адоб "
ность JВ трr,д_9емкик, ·з,а.нима~щик мно.rСУ времени ·оттерац·иях,
К ОТВ_:РЫ..~._=Х q;р а.юr~р НЫ .Д д ·~ ~p~П.fH<Jt'G 'С'1.Н~Т а.
Т аб'"i..и.щы с.лучай::нык чи1сел могут быть в~веделы 1в ячейки
паNoЯru м ~-щ,ины. Однако та~_ой ·С1п-ос0б при:м·еняется дОiВО!JЬНО
peit)~o . 'П-а.м .Ять м а rнины д о.джна ра·сходqвать с я чрез1вычайно
эк~а но:мы о, т а. к · к ак 1в ц1ро цес.с е {_:чет-а яч ейки п а мят1и быв'fi.ют
.
•
..
\
1
,U
,
U
сИЛf?ЯО· за,гр3пкены 1ра з личн:о1го рода Иf-нрормаци еи, отно сяще и-
С5Г J~ _.с мJG,му и сс.ледуем·о му ·.ир·оцессу . Поэтому дополнительно ~
1введер.и е .в !lа'{V{ят.ь та б лиц с.11у!{.айных чисел н.ецеле сюобра з но.
Сл~ч:айtнjr е чиСУла обычно r.ен ери:ру-юу.ся: ·са м<С)й машиной ао
.неко т оzР·GЙ ·Гl'i_Uогра~мме. · Наиб~О.УТее ,ча сто .п:рим еняют~я так на зы-
1в ае М.м.е р е.кwрр ен тны е со отно.шен:ия , .'ко торы е 11оз1воляют найт·и ·
..сл~у.ч~·ь!М;о е. ч~исл~ а· п П (} о)(н о му r1л-и н·еск.ольким предыд ущ.им
..а п - { J ап:~ _., а n -3 ·И -т. д. П1риведем -r:r;ро с той п-р:имер. Возьмем
-ка~.ко·е-ыибJдЬ И.рраЦ·ИОtiаЛЬНОе ЧИ!СЛ-0, Тч е. такое ЧИ-СЛ0 9 ·КОТОрое
не ·мо!}КВТ :бъРъ лредсга!Влено обыкновенной др·обыо. Остано.,.
·ВИМ1СЯ .хотя · бы н.а 1Осно~ва.ни:а .н;а ypa,Jibl:IЫ: X .лоrа1рифмов ~ ЧИ·С-Ле
46' •

1
е == 2,71828". Построи~vr ряд чисел пе, где п == 1, 2, 3, 4, ... , · т. е.
2,71828... 5;43656... fj,15484 ... 10,87312... 13,59140... Выпишем
теперь первые четыре знак~ пасл.е запятой. Тогда · п@J!учим
а1 == 7182, а2 == 4365, t13 == 1548, а4 == :8731, as == 5914..
Продол}кая этот -процесс далее, можно получить сколью:э
угод.но четырехвнач.и~r.х чисел, равн~мерн@ раооределенн~Iх п
интервале . от 0001 д<1 9999. Если бы мы взяли любQе рацио­
нальное число, то, начиная с некотGрнго п, числа сталм бы
повторяться. Дшя ·иррациональны;х чисел ряд бесконечен.
Правда, числ-Сft, иолучаемые таким или ПGдобным спос0бамиэ
не являются настоящими случайными числами - догадливый
человек может определить, но какому закону составлен ряд
ап· Одна.ко, как показывает опыт, набор таких псевдослу·­
чайных; чисел юстаточен для проведения расчетов методом
статиегических испытаний. В то же время генерирование их
требует · нее5ольшой загрузки машинной иамяти -
.
ма·ши~а
должн· а ыом:нить лиrрь закон по.лучения · чисел,
11.ногд~ прибег~ют . к . Физическому генерированию случай­
ных чисел" Д_ля этого ;электронносчетные Ма.UJ.ИНЫ с~н1б .ж~а ются
приставк2tми~ з~дача которых· ~- подавать :в . ~машину . потаи~
электриче~к~х импульс@?, слwчайно распределе1~1ных по вре­
мени. В I<ачестве датчика и:м:пульсов м@гут быть использова­
ны приборы, фи-3ич:еские процессы в которых прGтекают по
1вероятносr,ыьиvr законам, ~-ин1ример шумы в радиоехемах, ра~i.~­
пад радио·активн:ых ядер и т. п.
Графики · и табли.Цы, необх<Эдимые прrИ ручном счете, заме­
нянэтся ф1~нкционалы-rыми з"ави:симостя~у1и, вводимыми в па­
мять машины. Последовательность р озы грыша отдельных
эле.ме~11парJ~1ых актов и по,рядок проведения про:Меж:уточных
расчетов зад,аются машине . в, виде программы.
Тш:{ИМ 0 Gf)a30M, прй ~эасчетах по метюду Монте-Карло на
. б ыстро ~ей. ствую щих
элек1рсоныых вычислительных машинах
удаетоя автомfl1'И$ И. ровать веоь п ,ро-цесс решения зацачи -от
получения случайы>ь1к чисел . до ~выведения из маПJJ1НЫ р_е­
зультр.rrо-в в виде табл иц.
CJ1Jepa применения метода стаq'истических ис:пытаний по"
стоЯ1iно .увеurичивается ..l\Jl@iKИO не сомневаться, что этот мощ­
ный метод вычисл ительной ма:rематнки в бли:жайшем буду­
щем помо,1J~ет решить много .ва1кн·ь1х и интересных проблем! ·

СОДЕР)КАНИЕ
Стр.
Числа и буквы .
Вероятно.сти . .Их сложение и умножение
.·
Метод статистических испытаний .
Защита от ·гамма-излуче.аия
Применения метода Монте-Карло .
Техника метода ,
.81
-~
!
БОРИС ВАСИЛЬЕВИЧ · НОВОЖИЛОВ
Редактор И. Б. Файнбойм
Худож . редактор Е. Е. Соколов
Техн. редактор М. Т. Перегудова
Корректор Р.. С. Колокольчикова
Обложка А. Г. Ординарцева
.
•
!'
Сдано в ·набор 7/XII 1965 г. Подп. к печ . 4/1 1966 г~
Изд" No 28.
Формат бум. 60Х90 1 /1в.· Бум. л. 1,5.;
Печ " л. 3,0. Уч.-изд. л. 2,75. А 00504.. Цена 9 коп.:
Тираж s2·900 экз. ·
Зак., 427'9i ·
. Опубликовано тем. план 1966 r. No 210~
Издательство «Знание».
-
Москва, Центр, Новая пл., д. 3/4.
Т и пография изд-ва «Знание».
Москва2 Центр, Новая пл_.> д~ 3/4~
3
8
11
19
31
45
~-
.

/
,.
•~•••1

9 коп.
Новые се
научно-популяр~ых брошюр
·индекс
70072
1. Радиоэлектроника и связь. Индекс 70091.
Брошюры этой серии охватывают ~uирокий круг проб­
лем современной электроники, рассказывают о всем но­
вом, что характерно для передового фронта · этой обла­
сти техники.
В то же время, поскольку брошюры рассчитаны не
только на специалистов, в них объясняются физические,
математические и химические основы действия современ­
ных приборов) даются спр~;вочные сведения о приложе-
~,. "
ниях электроники. ,
~1•
В 1966 году выйдут сл ~;дующие работы:
«Лазеры сегодня и завiр _а», «Искусственные спутники
Земли и радиосвязь», «J\tloж~o 1ли 1vтоделировать мозг?»,
«1Помехоустойчивоеть, наде:ж~'i:1ость, кибернетика», «Кри­
сталл вместо лампы», 1«,Машина распознает образы»,
«Радиолокация планет», «Цветное телевидение», «Что
такое бионика» и др.
2. Наука о Земле. Индекс 70090"
В серии выпускаются работ:qr о новейших Достиже­
ниях географии, геологии, океанологии и других наук,
изучающих нашу Пс-Тiанету. Среди авторов - ведущие со­
ветские и зарубежные ученые.
В 1966 году Читатели получат следующие брошюры:
Щербаков Д. И., Сидор · енко А. В. «Актуальные
проблемы науки»; Б ломбер г Р. «Змеи-гиганты и ,
страшные ящеры» (перевод со шведского); Варен- · , ~
ц о в М. · И., Рябух ин Г. Е. «Месторождения-гиганты»; .
1\11 у ром ц ев А. М. «<Исследования Аlирового океана»; '
По го с я_н Х. П. «Новое в изучении атмосфер2~»; Ба н-
ии,ков А.Г. «раповедникиООСР»; Анучин В.А.·
«·Природа и общество» . и др . .
Любую брошюру .можно предварителыю за.< {1,зать в ближайшем
кн~жном магазине по аннотированно."1tу те.матическому плану изда­
тельства.
Тот, кто хочет получать брошюры регулярн.о, из номера в номер,
может подписаться на них в почтово.м, . отделении · или у обществен­
ного распространителя печати по лtесту работы.
Подписная цена на одну серию:
с 1 апреля до :конца года - 81 коп.
ИЗДАТЕЛЬСТВО «ЗНАНИЕ»