Автор: Виленкин Н.Я. Жохов В.И. Чесноков А.С. Александрова Л.А.
Теги: общее школьное образование общеобразовательная школа математика учебные пособия и учебники по математике учебник математики
ISBN: 978-5-09-102532-3
Год: 2023
Текст
(9
@t>c
Базовый уровень
Учебник
В двух частях
Часть 1
Допущено Министерством просвещения
Российской Федерации
3-е издание. переработанное
Москва
«Просвещение»
2023
УДК 373.167.1:51+51(075.3)
ББК 22.1м721
М34
Учгблшс сЛолушгм к* ислолыдашлию при реализации имеющих государственную аккредитацию ибралина-
телггныл программ пичильн'-гч -юшеги. иснинпого общего, средш. л «?.»Щ4’.’гл ипрц.юнцмил иргами :^ацилли/ . ucl-
щгг.ттллл nimu.nu udpo.irMtomr.f ъмцл» ihuimi •.iftmmh. « r*wmft:i mrm«uu । Припалим Министгрстни проснешениМ
Российской Федерации Л tfort от 21.()У.2(№2 г.
Авторы: Н. Я. Виленкин. В. И. Жохов, А. С. Чесноков. Л. А. Александрова» С. И. Шздрцбурд
Данное издание подготовили к печати В. И. Жохов и Л. А. Александрова
Математика : б-л класс : базовый уровень : учебник : н 2 ча-
М34 стах Н. Я. Виленкин* В- И. Жохов. А» (. Чоснскии [и др-]* —
3-е над*» нерераб- — Москва : Просвещение. 2023.
ISBN 978-5-09-102532-3.
Ч. 1. — 160 с. : пл*
ISBN 978-5-09-102533-0.
Учебник кмдак ал игшиынин каыдеишл и методы четких идей об у чеки л мяге-
MiiruKt1 ('. JI. Шиарш'урда. H. Я. Виленкина, Л. С. Чг-: кшит1.
Учебник спета ит n;i двух 'иигтей. Лермши чисть искплщгнл делимис!и чисел*
обы к Hcincnsi ы м дробим к действиям г ними. Chcttmii aiiAitsiiin п учебнике разделе-
на пи три основные группы: дли еннхггы ц класте, дли яьатирениы ранее пройден-
ного Marepiuxia и дли домашней работы. И лгих группах (!ш?иид:ъяы.чи значками
выделены за.ымил ли устного июни дне пип, 1.иынил дли работы в группах учп-
ших<П, мрдкти’ич дог рибиты.
Криме тоги, имеются рубрики, поморию ш. ле ммучм г ьсп ирива.шко гопормть,
рпгсуждать о мыслить. inii imlzhkiiil зе утаению овладевать v ип перс ал иными учеб-
ными дейетиаимм, а алюке рубрика, инслящёкиил истории мдгемлтн :и.
Каждый параграф, п спот очередь, завершается рубрикой * Применяем млте-
мвтихч содержащей аалдмкл. пикдаывапндне i илаь мшемшикн с другими иду
нами и сферами делгельногтн
Учебник рлирмйатал в соотштгтпмм гс» всеми тргбошхиинми ФГЧ)С ООО, •. г
нерждениого Лрикааом Мипмгтерства просвещении Рргсмйгксш Федераций! № 287
от 31.05.2021 г.
УДК 373.1Ь7.1: I • 51 (075.3 >
ББК 22.111721
Учебное издание
Внленкин Нах м Яковлевич
Жохов Владимир Иванович
Чесноков Александр Семёнович
Александрова Лидия Александровна
Шварийурл Семен Исаакович
МАТЕМАТИКА
6 класс
Базовый уровень
Учебник
В двух частях
Часть 1
Ilriirjj мазоитшм
ILi'r iuniii редактор Т. А. Бурмистр'юи~ (ЭтиетггвгнаЗДй ;i*i ci: Ji. .1. ipnujAjSwru. I’imuktuii И. А Бгссарионт.
Худи-жннм Л Я. л^р.чггиситйг. Ху.пчмихгглгшил* редакторы //. .7. A i^fhwrvuji, Т. 1L / Тгхничг- кие ре.ъисти-
римание Л/. И. Гететпикл^т. Кпмш-мт^кшп вёрстка fJ. С. И«гим<мкю, О. Я. П'-шииши Компьютерная графика
if. it. /'uticjiww, AJ. .7. ЗЗДмЯемскгш. Фигпг^хжфли u;i фигибиииш •SliuLterxiucIct. Кщфекрир ±2. Е. Никулина
Иодишлж? и urid-.i. 28.12.2022. Формат 84x10816. I’apnirrcpa SrlwaJHciok.
Уч.'ядд. _з. 8.7а. Уел. ие«и л. 16,80. Тираж ип. Баков V
Акции1МфШ1е cximcMTiKi < И л.зитглы’тцп * Просвет 1*±ше*.
Рсктяйская Федерации, 127173, г. Мискзд, ул. Кухм:псх1рлмтщи iuui, л. 16, 3. :ггдж 4. помещение I.
Алрсч «лелстринком hcpjtu • 1Ъркчен лммаш - - vopms.n. pruwv.ru.
ISBN 97В-5-09-102533 0 (ч. 1)
ISBN 978-5-09 102532'3
AC «11.1ДЛТСЛLXTtto «Пригпешелне*, 2021, 2023
fj ХудснкествелМие оформление.
АО • I1;i:ыг»!лыт1и> - Ирш нелц-иие». 2021, 2023
the правд защищены
УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
3
Условные обозначения
В объяснительном тексте используются следующие обозначения
— информация, на которую надо обратить внимание:
— информация, которую надо запомнить;
— самая важная информация, которую надо знать наизусть:
— вопросы для само контроля .
(•) — место в учебном тексте, где можно проверить, хорошо ли понята прочитанное,
отвечая на вопросы для самоконтроля.
Задания в пунктах разбиты на три группы:
— для работы в классе
— для повторения. Упражнения в которых есть номера: 1), 2), 3), 4) и т д.. пред-
назначены для самостоятельной работы по вариантам:
— для домашней работы.
В системе задании также выделены упражнения;
— для групповой работы;
— для устного выполнения.
В проверочных работах задания повышенного уровня сложности выделены
В тексте учебника встречаются специальные рубрики:
Л В рубрике, оплечен ной славянским обозначением числа 1000, вы найдёте ин-
формацию. связанную с историей возникновения и развития математики.
В рубрике, отмеченной славянской буквой слово', даны примеры правильной
математической речи. Если вы изъясняетесь грамотно, то быстрее сможете до-
нести свои мысли и получить нужные ответы на вопросы. Правильная речь по-
может вам успешно учиться, быть уверенными в себе.
ВБ рубрике, отмеченной славянской буквой «веди», дань: задачи, которые рас-
ширят ваши знания по математике помогут подготовиться к олимпиадам на-
i учат строить логическую цепочку рассуждений, используя наблюдения.
ЦБ рубрике, отмеченной славянской буквой «цы* даны задания для развития па-
мяти. внимания, воображения, мышления и др. Развитие этих качеств поможет
вам в учёбе.
4
ВВЕДЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
Дорогие шестиклассники, вы продолжаете изучать одну
из самых древних и важных наук — математику. Основа хо-
рошего понимания математики — умение считать, рассуж-
дать. находите интересные решения задач. Все эти навыки
и способности вы можете развить, если будете настойчивы,
грудолюбивы и внимательны на уроках, будете самостоятель-
но и с интересом заниматься дома.
Напомним кратко основные факты, изученные в 5 классе,
чтобы вы могли их использовать при решении задач.
Натуральные числа
сумма чисел
пере мести тел ьное
свойство сложения
сочетательное
свойство сложения
Для счёта предметов применяют натуральные числа:
1, 2. 3. 4. 5, 6, 7, 8. 9, 10, 11, 12, ... . Нуль не является
натуральным числом.
Число с. которое получают в результате сложения чисел а
и Ь, называют суммой. Числа и и Ь, которые складывают,
называют слагаемыми. Суммой называют и выражение вида
а + Ь.
а + b = с.
Сумма чисел не изменяется при перестановке слагае-
мых:
и + b = b + а.
Например, 234 + 375 = 375 + 234 = 609.
Чтобы прибавить к числу сумму двух чисел, можно снача-
ла прибавить первое слагаемое, а потом к полученной сумме
прибавить второе слагаемое:
и + (Ь + с) = (а - Ь) + с = а + b - с.
Например, 23 - (27 + 49) = (23 + 27) + 49 = 99.
свойство куля
при сложении
Ог прибавления нуля
число не изменяется:
а + 0 = 0 + а=а.
разность чисел
Например, 405 + 0 = 0 + 405 = 405.
Вычитание — это действие, с помощью которого по сум-
ме и одному из слагаемых находят другое слагаемое. Число
я. из которого вычитают, называют уменьшаемым, число Ь,
которое вычитают, называют вычитаемым, а число с, которое
получают в результате вычитания из числа а числа Ь. назы-
вают разностью. Разностью называют и выражения вида
a - h.
a - b = с.
ВВЕДЕНИЕ
5
свыйство вычитания
<?у,ЧМЫ U.J числи
Чтобы вычесть сумму из числа, можно вычесть из этого
числа одно слагаемое, а потом из полученной разности вы-
честь другое слагаемое;
а - (fi *• <?) “ а - 6 - <?, если b + с < а или b * с ~ а.
свойства вычитания
числа из Суммы
Например. 456 - (56 + 237) - 456 - 56 - 237 - 163.
Чтобы из суммы вычесть число, можно вычесть его из од-
ного слагаемого а к полученной разности прибавить другое
слагаемое:
(а + /») - с ~ а + (Ь - с), если с < b или с ~ Ь',
(а + fr} - с ~ (а - с) + Ь. если с < а или с - а.
свойства нуля
при вычитании
произведение чисел
п ере мест и тел ьное
свойство умножения
сонета т ел ь к ое
свойство умножения
Например. (118 + 236} - 18 - 118 - 18 + 236 - 336.
Если из числа вычесть нуль, оно не изменится:
о - 0 ~ и.
Например. 1003 - 0 ~ 1003.
При вычитании равных чисел получится нуль:
а - а - О.
Например. 349 - 349 - 0.
Умножить число а на число h — значит найти сумму b
слагаемых, каждое из которых равно и. Числа и и Ь которые
перемножают, называют множителями, а число с, которое
получают в результате умножения чисел « и Ь. называют
произведением. Произведением называют и выражение вида
а Ь.
a b ~ е.
Произведение чисел не изменяется при перестановке
множителей:
a - b ~ ba.
Например. 23 - 4 _ 4 23 - 92
Чтобы умножить число на произведение двух чисел, мож-
но сначала умножить его на первый множитель а потом по-
лученное произведение умножить на второй множитель:
и (Л-с} - (о •/1) • с.
pacn редел им ел ънве
свойство умножения
от носи те л ин и
сложения
Например. 5 • (2 87} - (5 - 2} - 87 - 10 87 - 870.
Для любого числа п:
л *1 ~ л: 1 • л ~ л; 0 и ~ 0 п • 0 - 0
Например, 1 ’45 ~ 45; 0 -87 ~ 0.
Чтобы умножить сумму на число можно умножить на это
число каждое слагаемое и сложить получившиеся произве-
дения:
(u + b}-r - ис + Ьс.
Например, 82 7 - (80 + 2} • 7 - 80 • 7 + 2 • 7 - 560 + 14 - 574.
6
ВВЕДЕНИЕ
раса редел и nt ел ьное
свойства ум поженил
отм оси т ел ьно
вычитания
степень числа
частное чисел
свойства деления
числовые
и буквенные
выражения
уравнение
делитель, кратное
Чтобы умножить разность на число можно умножить на
это число уменьшаемое и вычитаемое и из первого произ-
ведения вычесть второе:
(а - Ь} - с ~ ас - Ьс.
Например. 99 6 ~ (100 - I) • 6 - 100-6 - 1 6 - 600 - 6 - 594.
Умножить число и само на себя п раз — значит найти
степень числа а. Это произведение (а") называют энной сте-
и. Число и называют основанием степени, чис-
ло л — показателем степени, а а" — степенью числа.
ал ~ а а ... - а.
п раз
Деление — это действие, с помощью которого по произ-
ведению а и одному из множителей h находят другой мно-
житель с. Число и, которое делят, называют делимым, число
Ь, на которое делят называют делителем, а число с. которое
получают в результате деления числа а на число Ь называ-
ют частным Частным называют и выражение вида а : Ь.
а : b ~ с.
При делении любого числа на I получается это же число:
и : 1 ~ а.
Например 34 : I - 34
При делении числа (не равного нулю) на это же число
получается единица:
и : и ~ 1.
Например 34 : 34 _ 1.
При делении нуля на число (не равное нулю) получается
нуль:
0 : а - 0.
Например. 0 34 ~ 0
Числовые выражения составляют из чисел с использова-
нием знаков арифметических действий и скобок. Буквенными
выражениями называют выражения, содержащие буквы. Чис-
ла. которыми заменяют букву, называют значениями этой
буквы.
Уравнение — это равенство содержащее неизвестное
число, обозначенное буквой. Корень уравнения — это значе-
ние буквы, при котором уравнение становится верным чис-
ловым равенством.
Натуральное число а делится нацело (без остатка) на на-
туральное число Ь. если существует такое натуральное число
с, которое при умножении на b даёт а Число h называют
делителем числа а а число « кратным числа h.
a ~ b - с
Например. 9 — делитель 72, или 72 — кратное 9
ВВЕДЕНИЕ
7
простое число
свойство делимости
произведении
свойство делимости
суммы и разности
признак делимости
ни 10
признак делимости
пи 5
признак делимости
ни 2
признак делимости
ни 9
признак делимости
на 3
обыкновенная дробь,
числитель и знаме
нател в дроби
правильная,
неправильная дроби
Натуральное число называют простым если оно имеет
только два делителя: единицу и само это число.
Если один из множителей делится на некоторое число, то
и произведение делится на это число.
Если каждое из двух чисел делится на некоторое число,
то их сумма и разность делятся на это число.
Если запись числа оканчивается цифрой 0, то это число
делится без остатка на 10 Если запись числа оканчивается
другой цифрой, то число не делится без остатка на 10.
Например числа 10. 230, 4500, 5550 делятся на 10. а чис-
ла 23. 45, 609. 5505 не делятся на 10.
Если запись числа оканчивается цифрой 0 или 5. то это
число делится без остатка на 5. Если запись числа оканчи-
вается другой цифрой, то оно не делится без остатка на 5.
Например, числа 50. 235, 9505. 11 115 делятся на 5. а чис-
ла 17, 46, 1708 5551 не делятся на 5.
Если запись числа оканчивается чётной цифрой (0, 2, 4,
6. 8), то это число чётно (делится без остатка на 2) Если
запись числа оканчивается нечётной цифрой, то оно нечётно
(не делится без остатка на 2.1.
Например числа 10, 236, 554 4508 3332 делятся на 2.
а числа 15, 451. 807, 9003 2223 не делятся на 2.
Если сумма цифр числа делится на 9, то и число делится
на 9; если сумма цифр числа не делится на 9, то и число не
делится на 9.
Например, числа 18, 468, 4500, 9252 делятся на 9, а чис-
ла 23. 49, 808. 3529 не делятся на 9.
Если сумма цифр числа делится на 3, го и число делится
на 3; если сумма цифр числа не делится на 3, то и число не
делится на 3.
Например, числа 18, 780, 4572, 8751 делятся на 3, а чис-
ла 43. 65, 700. 5123 не делятся на 3.
Обыкновенные дроби
Запись вида £ , где и и Ь — натуральные числа, называ-
п
ется обыкновенной дробью. В записи обыкновенной дроби
знаменатель (под чертой) показывает, на сколько долей де-
лят. а числитель (над чертой} — сколько таких долей взято.
Черту дроби можно понимать как знак деления
Дробь, в которой числитель меньше (больше равен) зна-
менателя называют правильной (неправильной; дробью.
* 3 5 14 *
Например дроби — — правильные а дроби
7 8 14
. — неправильные.
□ I
8
ВВЕДЕНИЕ
основное свойство
дроби
Если числитель и знаменатель дроби умножить или раз-
делить на одно и то же натуральное число, то получится рав-
ная ей дробь:
Y где п — натуральное число.
Ь Ь' л
а - и' ,г\ где л — общий делитель чисел а и Ь.
b h : л
сложений (вычита
ние) дробей
с разными
JRU Л1£’Н Ц /72 4‘ДЯ ЛС U
С помощью основного свойства дроби выполняют сокра-
щение дробей и приведение дробей к общему знаменателю.
Н.пРИМеР. Ц - ||_| - |:
5 4 . 5 3 _ J5 4 2 = 8
6 9'6 3 18 9 2 18*
Чтобы сложить (вычесть} дроби с разными знаменателя-
ми. надо:
11 привести дроби к общему знаменателю;
2| сложить I,вычесть} числители а знаменатель оставить тот
же.
Например, 1<-^-Д5 24_5у.
В 5 40 40 40
1= 15 4 11
В 6 24 24 24 '
л редста вление
неправильной дроби
в виде смешанного
числа
Чтобы неправильную дробь представить в виде смешан-
ного числа, надо:
11 разделить числитель на знаменатель:
2) записать неполное частное целой частью, остаток (если
он есть) числителем, а делитель — зна-
менателем дробной части
Например, выделим целую часть из
46
дроби ц Разделим 46 на 14. неполное
частное равно 3. а остаток равен 4
Значит, - 3 4
14 14
46
42
4
14
целая
чийли1ель1/ЗСТЬ
□ма.ме.ча ie/гь
представлен ие
смешанного числа
и виде непрниильной
дроби
Чтобы смешанное число представить в виде неправиль-
ной дроби, надо:
I) умножить его целую часть на знаменатель дробной части:
2) к полученному произведению прибавить числитель дроб-
ной части
3.1 записать полученную сумму числителем дроби, а знаме-
натель дробной части оставить без изменения
НапрИ«ер. 7J1 7 13 " = 1“.
13 13 13
ВВЕДЕНИЕ
9
слсешиняых чигил
При сложении (вычитании) смешанных чисел целые части
складывают (вычитают) отдельно, а дробные — отдельно
Например б| 2у - д| 2^ - 2-|.
улскодеекде дробей
Чтобы найти произведение двух дробей можно:
I) перемножить их числители и перемножить их знаменатели:
2] первое произведение записать числителем, второе — зна-
менателем дроби
а . _ Ц £
b d b- d
Например.
12 14 _ 12 14 _ 4 2 = 8 _ .3
7 15 7 15 1 5 5 □’
одоилшо обрати ьи'
числи
деление дробей
Взаимно обратными числами называют два числа, произ-
ведение которых равно I.
Например. 8 и . | и | , 1-1 и и
Чтобы найти частное двух дробей, надо делимое умно-
жить на число, обратное делителю:
? • - у £ - Уг
b с b d bd
Например. . А - - 5Д1 - 3
4 ъ- I I О 4 О
Десятичные дроби
слежение
и нычитанис
десятичных дробей
Е^ЛСПОЖСНиС ни
десятичную дробь
Чтобы слождпьДеь1честд1^еся1ИУнь1е^],роби- надо;
1} уравнять в этих дробях количество знаков после запятой;
2} записать их друг под другом так. чтобы
запятая была записана под запятой;
3} выполнить сложение (вычитание), не об-
ращая внимания на запятую;
4| поставить в ответе запятую под запятой
в данных дробях.
Чтобы умножить на десятичную дробь, надо:
11 выполнить умножение, не обращая внимания на запятые:
2) отделить в ответе запятой столько цифр справа, сколько
их стоит после запятой в множителях вместе.
Если в произведении получается меньше цифр, чем надо
отделить запятой, то перед числом дописывают нули.
Например,
10
ВВЕДЕНИЕ
(it.iekui
десятичной дроби
пи натуральное
число
Ч тобы раздели т ь дес я т и1 ную дробь
на натуральное число надо:
I) делить её так же как натуральное
число на натуральное число;
2) поставить в частном запятую, когда
кончится деление целой части.
Если целая часть меньше делителя,
то частное начинается с нуля целых.
деление
на десятичную
дробь
Например.
5 и 2 2 6 0
0 0 0 8 7
tri 2 2
4 * 0
4 2 0
4 2 0
0
Чтобы разделить число на десятич-
ную дробь, надо;
11 в делимом и делителе перенести
запятую вправо на столько цифр
сколько их после запятой в делителе
2) после этого выполнить деление на
натуральное число.
Например,
9 3 щ 6 3 4 ос
б ч 6 7
2 2 4 4 3 3
0
ф|б|:|3|4 8|^]S|3|i>|K
:13И*1 I
Все свойства сложения, вычитания, умножения и деления
дчя натуральных чисел верны и для дробных чисел
округление чисел
Чтобы округлить число до какого-нибудь разряда, нужно:
1 ,| к цифре этого разряда добавить 1 если справа от неё
стоит цифра 5, 6. 7, 8 или 9;
2| оставить цифру без изменения, если справа от неё стоит
цифра 0, 1, 2, 3 или 4;
3] все следующие за этим разрядом цифры заменить нулями
в целой части, а в дробной части отбросить.
Геометрические фигуры
прямая, отрезок,
луч
Представление о прямой линии даёт натянутая нить. Часть
прямой между двумя точками вместе с этими точками на-
зывают отрезком. Точка разбивает прямую на два луча с на-
чалом в этой точке. На рисунке изображены отрезок Л/Л.
прямая Л/Л’ и лучи OL и ON.
ломаная
Линию, составленную из отрезков, у которой соседние от-
резки не лежат на одной прямой, называют ломаной. Отрез-
ки из которых состоит ломаная, называют звеньями лома-
ной а их концы - вершинами. Ломаные бывают замкнутые
и незамкнутые.
ВВЕДЕНИЕ
11
л н ою у го л ьник
Многоугольники образованы замкнутой ломаной звенья
которой не пересекаются. Замкнутые ломаные на рисунке
образуют треугольник FDL. четырёхугольник \I.\KL и ше-
стиугольник AOBCDF. Периметр многоугольника равен сум-
ме длин его сторон.
С
угол
Углом называют фигуру, которая состоит из точки — вер-
шины угла — и двух различных лучей, исходящих из этой
точки. — сторон угла. Угол на рисунке можно обозначить так:
ZABC ZCBA; ZB.
Угол называют развёрнутым, если его стороны лежат на
дополнительных лучах. Половину развёрнутого угла называют
прямым углом. Угол, меньший прямого, называют острым, а
угол, больший прямого но меньший развёрнутого — тупым.
Окружность — эго замкнутая линия, все точки которой на-
ходятся на одинаковом расстоянии г от точки О. Расстоя-
ние г называют радиусом, точку О — центром окружности.
Часть плоскости внутри окружности вместе с самой окруж-
ностью называют кругом.
плошадь кии дpuma
прямоугольника
а
объём куба,
прямоугольного
параллелен и педа
а
(Формула площади квадрата со стороной a: 8 - а2.
Формула площади прямоугольника с измерениями а и Ь:
S ~ ab.
Например, площадь квадрата со стороной 4,5 дм равна
4.S2 - 4,5 • 4,5 - 20.25 (дм2)
Площадь прямоугольника со сторонами 15 см и 2 см равна
15-2-30 (см2).
I Формула объема куба с ребром а. Г ~ а!.
Формула объема прямоугольного параллелепипеда с из-
мерениями a. b и с: V~abc.
Например, объём куба с ребром 6 м равен
6а- б-fi-fi - 216 (мэ).
Объём прямоугольного параллелепипеда с измерениями
5 см 7 см и 9 см равен
5-7-9 - 315 (см3).
Глава I
Смешанные
числа
§ 1. Вычисления и построения
§ 2. Действия со смешанными числами
§ 3. Отношения и пропорции
14
1. Среднее арифметическое
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА
♦ среднее ариф-
метическое
♦ средняя скорост L
Задача 1. Три девочки собирали клубнику. Первая собра-
ла 8 кг вторая 9 кг, а третья 4 кг. Всю клубнику они поде-
лили поровну. Сколько килограммов клубники получила каж-
дая девочка?
Решение. Девочки собрали 8 + 9 + 4 т. е. 21 кг клуб-
ники Каждой досталось 21 : 3, т. е. по 7 кг клубники.
И Средним арифметическим нескольких чисел называют
частное от деления суммы этих чисел на число слагаемых.
Задача 2. Катамаран плыл 4 ч со скоростью 16,1 км/ч и
3 ч со скоростью 15.4 км/ч. Найдите постоянную скорость,
с которой он должен был плыть, чтобы проплыть это рас-
стояние за го же время.
Решение Расстояние, которое проплыл катамаран,
равно
16.1 4 + 15,4 -3 ~ 64.4 + 46.2 - 110.6 (км)
Разделим расстояние на время, затраченное на этот путь:
110,6; (3 + 4) - 110,6 : 7 - 15,8 (км/ч).
Ответ Катамаран должен был плыть с постоянной ско-
ростью 15.8 км/ч.
I Такую скорость называют средней скоростью движения,
и она равна частному от деления пройденного пути на время
движения.
Ответ задачи можно получить, если найти среднее ариф-
метическое скоростей:
116.1 + 16,1 + 16 1 + 16,1 + 15.4 +• 15 4 * 15,4) : 7 - 15.8 (км/ч).
1. СРЕДНЕЕ АРИФМЕТИЧЕСКОЕ
15
Подобным образом находят среднюю урожайность, сред-
нюю производительность и т. д.
В повседневной жизни часто используются средние ариф-
метические значения величин. Например, средняя рождае-
мость а городе, среднее потребление сахара за год жителя-
ми страны, средний балл по математике за третью четверть
в классе и многое другое
Среднее арифметическое позволяет сравнивать числовые
показатели величин одного типа. Например, если среднее
арифметическое температур в августе равно 19 1 С, а в
июле 18.9 С. то июль оказался холоднее августа
Что называют средним арифметическим нескольких чисел?
Как найти сроднее арифметическое нескольких чисел?
Как найти среднюю скорость движения?
Приведите гриморь средних арифметических величин.
1.1 Отмсгые на координатной прямой наела 4 л 12. Найдите их среднее арифме-
гххческос а тоже отметьте его на кхюрдишггной прямой. Какое предположение
можно сделать?
1.2 На рисунке 1.1 отрезки Л'Л1 и NK равны. Найдите координату, точки Л/. Най-
дите среднее Арифметическое координат точек Л/ и К.
М N К
11,5 12,2 Рмс- 'О
1.3 Найдите среднее арифметическое чисел:
а) 83,4 и 84,5; в) 2.23; 2,26: 2,34 и 2,07;
б) 0,2; 0.3 и 0,4; г) 6,276; 3.864: 7,223; 9.106; 8.728 и 3,003.
1.4 В течение недоли ноября ежедневно а 12 часов дня школьники записывали
следующие показания термометра: 4.1: 3,8; 4,1; 4.2; 4,1: 4,0: 3.9 градусов
геила. Найдите среднюю температуру за arj неделю п 12 ч дня.
1.5 У ученика за четверть по литературе стоят следующие оценки: 3, 3, 4, 4, 5.
5. 4. 3. 3, 4. Найдите среднюю оценку ученика за четверть.
1.6 Чему равно среднее арифметическое чисел 42.43; 42,39; 42.64 и 42.57? Округ-
лите его до сотых.
1.7 Пешеход шёл 2 ч со скоростью 3,2 км ч, 2 ч со скоростью 4,8 км/ч и 1 ч со
скоростью 4.5 км ч. Чему равна средняя скорость пешехода на всём нугм?
1 .В Экскурсионный теплоход двигался 4.3 ч но озеру со скоростью 106,4 м,, мни,
затем 2,3 ч ио реке со скоростью 24 км ч. наконец, 1,2 ч ио заливу со скоро-
стью 10 км ч. Найдите среднюю скорость движения теплохода на всём пути.
1.9 Черепаха бежала 3 мин со скоростью 70.2 м мхш и 2 мин со скоростью
106.4 м мин. Найдите среднюю скорость черепахи на пройденном за это вре-
мя пути.
1.10 На нервом иоле вырастили 5264 хх, помидоров, а па втором 5423 д. Найди-
те урожайность хюмидоров на каждом из зтих нолей и найдите среднюю уро-
жайность на двух зтих нолях, если площадь первого ноля равна 29 ха, а нгп-
рохчэ 33 ха. Окрухлите результат до сотен. Предложите другой способ реше-
ния этой задачи.
1,11 Первое число равно 7. Чему равно второе число, если среднее арифмгт ичеекск*
двух чисел равно 5.3?
16
5 1. ВЫЧИСЛЕНИЯ И ПОСТРОЕНИЯ
I t 2 Среднее арифметическое четырнадцати чисел равно 4*5* а среднее арифмети-
ческое шести других чисел 2,75, Найдите среднее арифметическое этих
двадцати чисел*
Сумма чисел равна сред>юму арифметическому, умноженному на количество
чисел.
I 13 На нервом участке трассы лыжник шел 3 ч с некоторой скоростью, а на вто-
ром 2 ч со скоростью 23 км/ч. Найдите скорость лыжника на нервом участ-
ке трассы, если его средняя скорость на трассе рання 28 км ч.
1.14 Скорость 1снлохода ко течению 20.8 км ч, а против течения 14,4 км/ч. Най-
дите собственную скорость теплохода и скорость течения.
1.15 Среднее арифметическое двух чисел равно 42. Чему равны эти числа, если
одно из штх а 2.5 раза меньше другого?
1.16 Вычислите.
а) 35.5 : 5 б) 11 0.2 в) 0.7 : 5 г) 6.7 2,3
3.9 . 2 1 0,1 7 : 2 6 0,02
6.3 : 10 39 0,01 23.23 : 23 3,08 ♦ 0.2
0,64 : 8 31 0.4 25.75 : 25 2.54 + 0.06
1.17 0.7 : 100 0.5 • 48 Найдите частное: а) 60 : 0,6. г) 100 : 0,1; б) 0.9 : 0.3: д) 1000 : 0.01; в) 40 : 0.2. О) 8 . 0.4: 0.9 ; 18 ж) 0,42 : 0.7; з) 0.1 : 0.01; и) 1 : 0,5. 6.2 2.2
1.18 При покупке красных гвоздик в упаковках оказалось 35. 26, 39. 28. 20. 26. 29 иве-
тоо. Можно ли из всех этих цветов сделать 7 одинаковых букетов?
Вы знаете, что. 0.1 - 1„. 0,25 - . 0,2 - * ; 0.125 - J ; 0.5 - J.
10 4 5 В 2
Поэтому умкожить число на 0,25 означает найти четверть числа, умножить на 0.2
означает найти пятую часть числа и т. д.
Ifi 1.19 Как проще всего найти произведение.
а) 7000 0.1: б) 600 0.2 в) 43 0.25; г) 32 0.125. д) 114 0.5?
1.20 I) Может ли произведение двух чисел оказаться меньше:
a'i одного из множителей. б) обоих множителей?
Приводите примеры.
__ 2) Может ли частное оказаться больше делимого? Приведите? примеры.
R Папе, чтобы купить нужное количество материалов для починки забора, нужно опре-
делить его длину, ио нет рулетки. Петя заметил, что расстояние между двумя со-
седними столбиками забора равно пяти его шагам, а столбиков всего 40 Чему рав-
на длина забора если один шаг мальчика 0.45 м? Сколько решений имеет задача?
£J 1 22 Найдите частное:
а) 0.466 : 0,26; в) 3,648 : 4.56: д! 50.02 : 41;
б) 0.9775 . 0,425. г) 0,559 0,043: о) 142.4 . 178.
1.23 Найдите корень уравнения
а) 4.1л- 2.9.г + 7,5 - 7.98; в) (8.3 г) 4.9 = 5.8В;
б) 7.8р (5.6у » 10.6) - 3.7; г) (11,2 рГ 4.5-31.5.
1, СРЕДНЕЕ АРИФМЕТИЧЕСКОЕ
1.24
1.25
(fi 1.26
(f[ 1.27
1.28
1.29
1.30
1.31
1.32
1.33
1.34
1.35
1.36
1.37
1.38
Центр аттракционов занимает ’4400 м2. что составляет 0.01 всего парка. Найдите
площадь парка и выразите ее а квадратных километрах.
В 10 ч легковой автомобиль догнал грузовой, а в 19 ч был впереди него на 160 км.
Какое расстояние было между автомобилями а 7 ч того же дня. если скорости лег
косого автомобиля 66 км/ч? Есть ли в условии лишние (избыточные) данные?
Фотовыставка размещена в сквере на стендах. Стенды расставлены вокруг квадрат-
ного газона со стороной 46 м. Посетители рассматривают экспозицию, двигаясь со
скоростью 0.016 м с. Смогут ли они за час обойти всю выставку?
Заполните таблицу.
ОтДВ?>:й:>И#Э9ИаЙа»Ь1 Движим денежных средств
Остаток на начало дня. р. 204 920 006 В00
Поступило зв день, р 730 В40 342 700
Продано за день, р. 836 950 142 340
Остаток на конец дня. р.
Найдите значение выражения: I) (59 26.42) 3.5: 2) |9 4,58) 0.5.
д
Найдите среднее арифметическое чисел:
а) 43.25: 41,64: 38.24: 47.82 и округлите отпет ди десятых;
б) 7.126: 5.3(54: 3,275: 1,932 и округлите ответ до тысячных.
Найдите среднюю длину своего шага, измерив длину пяти своих шагов.
Три ноля имеют площадь но 100 га каждое. С первого ноля собрали 3610 и
гшюницы, со второго 3780 ц пшеницы, с г|Х‘тьего 3545 ц пшеницы. Oirjxj-
дедмте урожайность пшеницы на каждом доле и найдите среднюю урожайность
ria трёх нолях.
Велосипедист ехал 2.6 ч со скоростью 6.6 м с, а затем 1.4 ч со скоростью
5,2 м с. Чему равна ерегхилл скорость движения велосипедиста на всем пути?
Одно число равно 5.9. Найдите другое число, если среднее арифметическое
двух чисел 3.2.
Среднее арифметическое двух чисел 4,9. Одно из них в 1.8 раза меньше дру-
гого. Найдите эти числа.
Среднее арифметическое двух чисел 5. Найдите эти числа, если первое число
на 2,5 больше второго.
За 7 ч комбайнёр убрал кукурузу с 9.8 га ноля. С. какой скоростью двигался
комбайн, если ширина жлгки равна 3,5 м?
На одну порцию десерте аз клубники берут 120 г- ягод и 25 г сливок. Сколь-
ко килограммов сливок потребуется для приготовления десерта из 24 кг клуб-
ники? Сколько порций получится?
Биомасса .по шестой но запасам из ш гочннков энергии на Земле после
горючих сланцев, урана, угля. нефти и природного газа. Ежегодно на Земле
образуется около 170 млрд г первичной биологической массы. Биомасса рас-
тительности лугов, стопой и пашен составляет около 70' от первичной био-
массы. Найдите, сколько баррелей нефти они может заменить, если 380 г да-
ют столько же энергии, сколько одни баррель нефти. Ответ округлите до цело-
го числа ми.сгмюмоа.
18
i 1. ВЫЧИСЛЕНИЯ И ПОСТРОЕНИЯ
1 Найдите значение выражения:
а) 4,3л' + 6,9х + 7,7л* 5,9х при л* - 5.4: 0,6; 100;
б» 4,9а (3,9а +• О.бн) при а - 3,2; 9,38;
и) 19,84с (7,84с + 11.7с) при с - 0.4*. 5,02.
Вычислите: а) 42,885 27.885 : (0.72 + 4,35); б) 241.18 + 258,82 : (39 36.5).
Вбил*
В древности люди использовали для смога пальцы ру>. и ног. Затем
стали пользоваться камешками, палочками, воровками с узелками и др.
В Древнем Египте и Дровней Греции использовали счетную дос*
ку абйк. На доска были нанесены прямые, по которым передвигали
мотки (косточки, камешки). Это было первое вычислительное устрой-
ство, предназначенное для вычислений. Греки передвигали камешки
слова направо, а египтяне делали это справа налево.
В Древнем Римс абак называли calculi или abaculi. Его изготовля-
ли из бронзы, камня, слоновой кости и мотки передвигали по желоб-
кам (рис. 1.2, а). От латинского слова calculators (вычислять) произо-
шло современное название калькулятор.
В китайском абаке {суань папь) протянуто 9 или более проволок,
которые разделены линейкой на две неравные части, •землю», в ко-
торой по 5 шариков на каждой проволоке, и “небо- по 2 шарика
(рис. 1.2. б). Шарики в земле означают пять пальцев руки, а шари-
ки в •небе» две руки. Проволоки ото десятичные разряды, еди-
ницы, десятки и т. д.
От суань-паия произошел японский абак соробан (рис 1.2, а).
Он проще китайского абака. У него на небе - на один шарик меньше.
Абак просуществовал до XVII в., когда вычисления на нём были за-
менены письменными вычислениями.
В русских счетах (десятичный абак) применяется десятичная система
счисления, а также предусмотрена возможность использовать четверти,
десятые и сотые доли. Счеты возникли на рубеже XV XVI вв. и приме-
нялись активно в торговле до последнего десятилетия XX в. (рис. 1.2. г).
С момента своего появления счёты практически но менялись. С появле-
нием калькуляторов счёты почти полностью вышли из применения.
В 1623 г. Вильгельм Шикард придумал первый арифмометр, умев-
ший вылолнягь четыре арифметических действия. Это изобретение на
практике использовал его друг философ и астроном Иоганн Кеп-
лер. Затем последовали машины Блеза Паскаля (1642) и Готфрида
Вильгельма Лейбница (1673). В 1В20 г. Шарль до Кольмар создал
первый серийно выгускавшийся арифмометр. В 1S7S г. великий рус-
ский математик Пафнутий Львбвич Чебышев изобрел наиболее совер-
шенный для того времени арифмометр.
2. ПРОЦЕНТЫ
19
ПРОВЕРЬТЕ
Проверочная работа
Найдите среднее арифметическое чисел:
а) 5, 4. 1, О. 9. 3, 1. О. О. 5:
б) 10, 34, 65, 48, 96:
и) 4,9; 5,1; 5: 4,8; 5.2:
г) 20,1: 100.6; 21; 20.5; 105.8.
Одно число ранни 6,4. Чему равно другое число, если среднее арифметическое
этих двух чисел равно 3,25?
3 Среднее арифметическое двух чисел равно 146. Найдте эти чист, если одно
число больше другого на 22.
Велосипедист ехал 6 мин в гору, преодолев 1,2 км, ,игтем он проехал 5,3 км
но вслосгшедгюй дорожке, затратив на зюг участок дороги 12 мин. По лесной
гроншгко дротяягёшюсгью 2,3 км он ехал 15 мин. С какой средней скоростью
охал велосипедист? Отггсч загшгшгте и км ч.
а) Среднее арифметическое трёх ноеледсша гсльных натуральных чисел рав-
но 21. Найдите зги три числа.
01 Сформулируйте цравмдо дгн нахождения среднего арифметическою грех
гюсдед свате, гьггьгх натуральных чисел.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА:
2. Проценты
• процент
перевод числа
а проценты
и дроцемгмоа а число
На практике часто приходится использовать сотые доли
разных величин.
Например, сотая доля центнера - килограмм сотая доля
рубля — копейка. Эта доля, как и половина, треть, четверть,
имеет особое название.
Сотая доля называется процентом Её обозначают зна-
ком %:
1 % - -J- “ 0.01.
100
Чтобы найти I % величины, надо её значение разделить на
100. Так как 1 % равен сотой части величины, то вся вели-
чина равна 100 %.
Чтобы перевести число в проценты, надо его умножить
на 100.
Чтобы перевести проценты в число надо разделить
число процентов на 100.
Например
0,843 - {0.843 • 100} % - 84.3 %: 56 % "56:100- 0.56:
l|=[I-100|%»175%; 125%= 125:100=1,25;
2 - (2 • 100) % - 200 %: 2470 % - 2470 :100 - 24 7.
20
i 1. ВЫЧИСЛЕНИЯ И ПОСТРОЕНИЯ
Задача 1. Издательство выпустило 1500 наименований
книг. Из них 45 % составляют новинки Сколько новинок вы-
пустило издательство?
Решение Все 1500 наименований — это 100 % выпу-
ска. Найдём, чему равен 1 % выпуска. Для этого разделим
1500 на 100:
1500 100 - 15.
Найдём, чему равны 45 % выпуска:
15 45 ~ 675.
Издательство выпустило 675 новинок.
В этой задаче найдены проценты от числа
Задача 2. Все нормы ГТО выполнили 80 учащихся, что
составляет 20 % всех учеников, обучающихся в школе Сколь-
ко учеников в школе?
Решение. Найдём 1 % всех учеников в школе. Для это-
го разделим 80 на 20: ЛЛ пл
80 : 20 ~ 4.
Найдём, сколько учащихся составляют 100 %:
4 • 100 ~ 400.
В школе 400 учеников
В этой задаче найдено число по его процентам.
Задача 3. В лесу 1600 деревьев. Из них елей 528. Какой
процент елей в лесу?
Решение. Найдём какую часть составляет число 528 от
52S
числа 1600. 8 лесу ели составляют всех деревьев Об-
ратим дробь в проценты Для этого разделим 528 на
1600 и умножим на 100. Ели составляют 33 % всех деревьев.
В этой задаче найдено, сколько процентов одно число
составляет от другого.
Как называют сотую долю величины или числа?
Как найти 1 % числа?
Как найти число по его 25 %?
Как называют 1 % от центнера; метра, гектара?
Как перевести число а проценты?
Как пс ре вести проценты а число?
Как найти сколько процентов составляет одно число от другого0
1.41
1.42
1.43
Переведите проценты в число:
о) 1 %; 6)8%; а) 37%;
Переведите в проценты дробь:
а) 0.56; б) 0.09; в) 1.78;
г) 156%; д) 4,6%; е) 0.7%.
Переведи го обыкновенные дроби —<
веди те их и проценты.
г) 3.215; д)
J в
1 5 3 17
—» 8* -*0 U Десятич11ЬаСч а потом
2. ПРОЦЕНТЫ
21
GI Предложение "Коля прочитал 0,5 % книг а нашей школьной библио-
теке- читают так. -Коля прочитал полпроцонта книг в нашей школьной
библиотеке-, а предложение -В этом месяце цепь на молока снизились
на 10 %- читают так. -В атом месяце цены на молоко снизились на
десять процентов-.
2. Ударение в слово процент" во всех падежах ставится на втором
слоге и в единственном, и во множественном числе. Например:
• двести два процента; нс менее семнадцати процентов.
3. а) Словосочетание 1юсколько процентов (от чего?)...- применяют
с числительным. Например:
• двадцать пять процентов от пятидесяти.
б) Словосочетание -несколько процентов (чего?)...- применяют с суще-
ствительным. не имеющим количественного значения. Например:
• сорок процентов вылова рыбы
в) Если зависимое слово по смыслу связа1Ю с количеством, допустимы
обе конструкции. Например:
• шесть процентов цены и шесть процентов от цены.
4. Слово -процент- («проценты-) читается в большинстве случаев в том
же падеже, что и числительное. 11апримор:
Д. п. д п
• 1 - 25 % одна четвертая равна двадцати пяти процентам;
4 р. п. р. п.
• 0.01 < 40% ноль целых одна сотая меньше сорока процентов.
5. Поело любого падежа числительных, оканчивающихся словом тыся-
ча- или -миллион", слово проценты- ставится в родительном падеже.
Например:
д п. р. п
• прирост биомассы растений равен тысяче процентов.
13а агорой день продали одну сотую завезённых яблок. Сравните число яблок,
проданных и верный и второй дни.
' .46 В коробке лежало -ММ) гелевых ручек* Из них L ' составляли ручки зелёиохю
цвета, а 5 % ручки красного цвета. Сколько ручек зелёною и красного
цветов лежало в коробке?
1,47 За сутки комбайнёры убра-ш 25 Л пшеничного ноля. Сколько гектаров убра-
ли за сутки, если площадь ноля 340 га?
1.48 Протяжённость туристического маршрута ио Золотому кольцу России состав-
ляет 674 км. Сколько километров ироеду г m гешоствсшшки, когда преодолеют
10 ' всего пути; 25 % дуги; 40 % пути; 80 % нуги?
22
i L ВЫЧИСЛЕНИЯ И ПОСТРОЕНИЯ
1 49 В бочке было 430 л воды. На полни огорода ушло 60
этой воды. Сколько литрон воды осталось и бочке?
1.50 За день и саду было собрано 2420 ki слив, из них 5 -------------------
отправила и детский санаторий, а остальные на кон-
сервный завод. Найдите массу слив, отправленных на-------------------
консервный завод. -------------------
1.51 Оптовая цена книги 240 р., л розничная на 28
больше. Чему равна розничная цена книги?
1.52 Квадрат на рисунке 1.3 разбит ня 1(Ю долей. Найдите
площадь всего квадрат, если закрашено 20,25 ем1 2. Рис, i.3 z
1.53 План двора (рис. 1.4) ]зазбит на 100 равных частей. _____________
Закрашенная на сшапе часть двора площадью 80,52 м_
отведена нод клумбу и декоративные кустарники. Най------------------------
ди тс площадь всего двора. -------—-—---------
1.54 Сколько посети гелей было на выставке робототехники,__________________
если 2% всех посетителей составляю! 8 человек?
1.55 В 2014 г. в России нрошли ХХП зимние Олимпийские
игры. Путешествие олимпийского огня по нашей етра-
пе было самым протяжённым за всю историю проведе-
ния Игр. Маршрут ш Москвы до <’ашсг-Петербург дли-
ной 650 км это лишь 1 '< всего маршрута нутеше- . Рис. 1.4 ,
ствия. Сколько километров составил весь маршрут
путешествия олимпийского огня?
1 5( Площадь комнаты 18 mj, и она составляет 40 % площади всей квартиры. Най-
дите площадь всей квартиры.
l.iZ Путешественники проехали в первый день 210 км. что составляет 13 % на-
меченного пути. Какой длины намеченный путь?
1 58 Пирожное содержит 14 ' сахара. Сколько испек^ш 1шрожных, если для их
приготовления израсходовали 21 ю сахара, а масса каждого пирожного 100 г?
1.59 Bit время проведения акции цена ня спортивные товары бьыя снижена на
13 Сколько стоили кроссовки во връш акции, если их первоначальная
пена была 1260 р.?
1 50 Ня выставке современных технологий было представлено 650 экспонатов. Из
них 130 экспонаты {юбототохникн. Сколько процентов всех экспонатов со-
ставляла робототехника?
В см см?!! сухофруктов 130 1- изюма, 270 г кура, о и 200 г яблок. Какой процент
яблок в смеси?
1.62 Велосипедист проехал 6,5 км. Какой процент нуги он проехал, если весь путь
равен 10 км?
1 63 Ярослав запланировал прочитать 28 страниц повести, но они гак аонравнлась
мальчику, что он прочитал нее 49 страниц повести сразу. Найдите, ня сколь-
ко процентов он:
а) ны/юл/шл план; о) лсреаыло.иил план.
1.64 Сколько процентов сахара содержит раствор, нршптоиленный из 48 г сахара
и 352 ! воды?
2. ПРОЦЕНТЫ 23
1.65 Диша ирмлюуш>1ьиох*о идролло.мшиммл равна 60 см» его высота составляет
120 длины, а ширина составляет 50 - высоты. Найдите о&ьём цдралле.те*
шшода.
1.66 Вычислите
а) 0.5 4 б) 7,2 : 0,1 в) 57 0,1 Г) 4.4 1 11
: 0,1 : 7.2 1 3 . С. 1
0.8 0.36 • 4.4 0,25
; 30 » 0,7 : 0,9 , 20
7 7 7 7
1.57 Диктант а 6 -А- успешно написали 36 учащихся, а в 6 -Б» 35 учащихся. Какой
класс лучше написал диктант, если в 6 А- 45 учеников, а в 6 Б 40 учеников?
1.65 Найдите 0.4 числа:
а) 240; б) 900, fl) 80; г) 7.
1.69 Ширина прямоугольного параллелепипеда равна 50 см, длина в 1,5 рада больше
ширины, а высота составляет 0.3 ширины. Найдите объём параллелепипеда.
1 70 Переведите в десятичную дробь число:
а)51 б, 61; В)31; г)1±. д)Ю^.
,7{ Выполните вычисления. Объясните, почему получается одинаковый ответ.
I 72 Выполните действия;
а) 3.072В • 48.0433 . (9 2.1951:
б) 101,5898 103,1556 . (7.2572 . 7.3128'1.
в) 687.2 । (75,0602 71,7162) ; 0,055,
г) 3,05- ; 0,61 5,25.
1 7 ?> Турист шёл 2 ч по равниио, 1,5 ч поднимался в гору и 2,5 ч спускался с горы.
Скорость туриста на равнине в 1.5 раза больше скорости при подъеме в гору,
а скорость спуска с горы в 2 раза больше скорости при годъемс в гору. Найдите
скорость туриста при подъеме в гору, если ого средняя скорость на всем пути
4,75 км/ч.
1.74 На покупку тетрадей Наташа потратила 1 имевшихся у неё денег. Сколько денег
15
осталось у Наташи, если она потратила 60 р.?
1.75 В бакс автомобиля было 42 л бензина. Во время первой поездки за город было
2 3
израсходовано -- всего количества бензина. Во время второй поездки • осгаа-
7 5
шсйся части бензина в бакс. Сколько бензина осталось в бакс после этих двух
поездок?
1.76 Найдите значение выражения;
1) (7.3 1,5 7.31) : 2,8 » 0.7; 2) (27,93 4.2 5.6) : 2.1 0.1.
24
5 1. ВЫЧИСЛЕНИЯ И ПОСТРОЕНИЯ
1.77
1.78
1.79
I) Среднее арифметическое трех чисел равно 2.9. Найдите эти числа, если третье
число □ 3,2 раза больше гс-раого, а второе на 0,9 больше первого.
2) Среднее арифметическое трех чисел равно 2.64. Найдите эти числа, если первое
число в 2.7 раза больше третьего, а второе на 0.4 больше третьего.
Найдите значение выражения:
а) 1.63. Z; б|
9 64 7 2* 6 15
Вычислите.
а1 2__1+±
'-30 2 15 1 50 25 5 Г
6)39:(|
1|ЛА]2. 2.2.
б' 'to? з ia
fi -1| :;1- Д
3 • *. 3 *1 '
1.80
1.81
1.82
1.83
1.84
1.85
1.86
1.87
1.88
1.89
1.90
1.91
1.92
1.93
Зашипите в виде процентов дробь:
а) 7,49: 6)5.7: в) 0.013: г) Д)1^.
16 8
Запишите в виде числа:
а) 64 %: 6)3%: в) 9,73%: г) 293%.
Зимой для хорошею у дон каю и корове в сутки давили 12.5 ki сена. Из них
коза съедала 20 > всего соня. Сколько килограммов сена съедала корова?
В магазин завезли 130 кг яблок. В первый день продали 66 кг. Сколько про-
центов яблок осталось продать?
На ремонт дома израсходовано 273 тыс. р. На отыягу рабочим израсходовано
30 !<i пой суммы, на строительные материалы 50 , я остальная часть
на сантехнику. Сколько денег потрачено на сантехнику?
В клубнике содержится в среднем 6 % сахара. Сколько килограммов сахара
в 12.3 ki клубники?
Сколько граммов жира содержит В(Ю г молока 3,2". жирности?
Ученик прочитал 105 страниц, что составляет 21 "-о числа всех страниц в кни-
ге. Сколько страниц в книге?
Масса котёнка еостамдяет 7 . массы кошки. Найдите массу кошки, если мас-
са копенка 350 г.
В магазин завезли шшвы, ил них 13 ' оказались испорченными и в продажу
не поступили. Сколько с,шй было завезено в магазин, если в продажу носту-
нмло 263,3 кг слив?
Красный железняк и магнитный железняк содержат около 60 железа.
Сколько нужно добыть руды, чтобы получить 70,5 т железа? Сколько железа
налу читая из 120.5 т руды?
Масса варёного мяса составляет 76 массы сырого. Сколько надо купить сы-
рого мяса, чтобы получить 1,3 к: отварною? Сколько получится отварною
мяса из 2.4 кт сырою?
На соревнование но плаванию приехали 40 спортсменов. из них 4 из Крымя.
Какой процент всех спортсменов составляли крымчане?
В партии ручек нз 300 штук пишут 294. Какой процеш составляют ручки,
которые но пишут?
sl пенивши 25
1 94 В математическом круэккс занимаются 8 цепочек, а .мтшьчлкои на 4 больше.
Сколько процентов всех ребят, занимающихся а кружке, составляют мальчи-
ки; девички?
На клумбе рлегут белые, розовые и бордовые пионы. Белые пионы составляют
40% всех нионоы, розовые 58 ' , остальных, а бордовых шюнои на клумбе
126. Сколько всего пионов на клумбе?
Найдите значение выражения:
а) 2,34 : 0,39 - (10.7 2.3) : ((8,9 5,7) (2.11 + 1.04)):
б) (9.9 5.52 : 0.69 + 8.1) - ((5 0,125) : (3,7 - 0,05)).
Слова процент происходит от латинского pro centum. что псрсво-
/Ж дится "На сто-. Процентами очень удобно пользоваться на практике, так
. VI. как они выражают части целых чисел □ одних и тех же сотых долях. Это
даёт возможность упрощать расчёты и легко сравнивать части между
собой и с целым
Идея выражения частей целого постояшю в одних и тех же долях
(шестидесятых) родилась ещё в древности у вавилонян, пользовавших-
ся шести десятеричны ми дробями. Уже а клинописных таблицах вавило-
нян содержатся задачи на расчёт процентов Были известны проценты
и в Индии.
В Древнем Римс задолго до существования десятичной системы
счисления вычисления часто производились с помощью дробей, кото-
рые были кратны одной сотой. Например, а I в. Октавиан Август взимал
налог в размере на товары, реализовавшиеся на аукционе. По-
добные расчеты были похожи на вь числение процентов. От римлян
проценты перешли к другим народам.
В Средние века в Европе в связи с широким развитием торговли
много внимания обращали на умение вычислять проценты. Для облег-
чения труда гри вычислениях процентов разрабатывались особые таб-
лицы. которые составляли коммерческий секрет фирмы. Впервые опу-
бликовал такие таблицы для расчёта процентов в 1554 г. Симон Стевии
который ввел в практику и десятичные дроби. В России понятие про-
цента впервые ввёл Петр I.
Проценты из коммерческой практики постепенно стали применяться
в различных отраслях техники, а также и в повседневной жизни. Об-
ласть применения процентов быстро расширилась, охватьвая различ-
ные науки.
Знак % происходит от слова сел го (сто) которое в процентных рас-
чётах часто писалось сокращённо: cto. Отсюда путём дальнейшего
упрощения в скорописи буква f постепенно преобразовалась в наклон-
ную чорту, таким образом произошёл современный символ для обо-
значения процента.
Пс другой версии, этот знак произошёл в результате опечатки в ру-
ководстве по коммерческой арифметике в 1685 г., где по ошибке на-
борщика вместо его напечатали о,о. Постепенно математики стали при-
менять этот знак. D середине XIX в. он получил всеобщее признание
как символ процента.
Применяют и более мелкие тысячные доли целого, т. е. десятые
доли процента, так называемые промилле (от лат. pro millc *с тыся-
чи-), и обозначают %о.
26
S L ВЫЧИСЛЕНИЯ И ПОСТРОЕНИЯ
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ
Проверочная работа Ns 1
1 Переведи ге десятичную д|м>бь и проценты:
а) 0.3: б) 5.4; в) 0.324.
Предстаньте проценты и виде десятичной дроби:
а) 4%; 6) 246%; в) 7.3 4.
Какие ил утверждений верны?
а) 1 мм составляет 1 ' от 1 дм;
б) I м составляет' 1 % от 1 км:
в) 100 см" составляют 1 ' от 1 м*;
г) J а составляет 1 от 1 га;
д) 1 мм* составляет 1 '•> от 1 дм*;
е) 1 см составляет 1 % от 1 м\
1 От плитки шоколада массой 100 г сначала отломили 10% , а затем ещё 10 %
оставшейся части.
а) Какова масса первого отломленною ш шоколадки кусочка?
б) Какова масса второго отломленного от шоколадки кусочка?
в) Сколько всего нрацентоа шоколадки отломили?
Проверочная работа № 2
Найдите:
а) 3% от 15; в) 130% от 4.5; A)j).6% от 20 кг;
б) 0.12% от 4; г) 25 иг 3 246 р.; е) ' 4 %, от 2 ч 15 мин.
2 Сколько человек было в кинотеатре, если 3 всех зрителей составляли 15 че-
ловек?
В нарке 2400 деревьев, 30 . всех деревьев составляют березы, 10 ’ . всех берёз
были досажены вххгогг горами.
а) Сколько берёз в парке?
б) Сколько берёз посадгьш волонтеры?
в) Какой процент составляют берёзы, посаженные волонтёрами, от числа всех
деревьев в парке?
Проверочная работа № 3
В различных Сынках были открыты вклады иа год. В габлггце представлены
данные о суммах вк-гадов и начислениях в конце года но каждому вкладу.
Название банка Сумма вклада, р Начисления по вкладу, р. Процентная ставка
Первый банк** 39 000 1755
-Хороший банк** 450 000 15 750
-Надежный банк- 120 000 4680 |
«Солидным банк? 3 000 000 111 ООО
Под какую процентную ставку был открыт каждый вклад? В каком банке
наиболее выгодно открыть вклад на юд?
3. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЛОВОЙ ИНФОРМАЦИИ В КРУГОВЫХ ДИАГРАММАХ
27
2 Сравните:
а) 20 /. от 100 и 5% о г 1000;
б) 50 A in 300 0(H) и 150 or 20 000;
и) 10 or 5,6 и 0,1 % аг 560.
2 Найди iv число, если:
а) 23 '•<> ею равны 138; в) 5.6 % его равны 28:
_ _ A I
б) 0,17% его равны 5.1; г) 43 А его равны 2—.
4 Найдите величину. если 3,8 ‘>’i or неё равны:
а) 15 км 200 м; б) 1 ч 54 мин.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА:
* круговая
диаграмма
С
□ Евразия
П Африка
□ Северная Америка
J Южная Америка
~| Австралия
I Ангарюкда
Данные на диаграмме
а млн км-
Ряс. 1.6 ,
3. Представление
числовой информации
в круговых диаграммах
На рисунке 1.5 изображена круговая диаграмма, на ко-
торой показано соотношение площадей воды и суши на зем-
ной поверхности Видно какую часть этой поверхности за-
нимают океаны и моря, а какую — материки и острова т. е.
отношение суши к воде.
Разберем, как построить эту диаграмму.
В круге 180 + 180 . т. е. 360 . или 100%. Суша занимает
около 30 % всей земной поверхности, поэтому найдём 30 %
от 360 Получим 360 : 100 30 _ 108
Построим сектор с углом 108 и закрасим его (см.
рис. 1.5).
Остальная часть круга показывает площадь поверхности
воды.
Рассмотрим пример, когда для построения круговой диа-
граммы приходится разбивать круг на много частей.
Составим круговую диаграмму распределения площадей
материков. Приблизительная площадь
Евразии — 55 млн км2, Африки — 30 млн км2,
Северной Америки — 24 млн км2
Южной Америки — 18 млн км2, Австралии — 9 млн км2,
Антарктиды — 14 млн км3.
Так как 55 + 30 + 24 + 18 + 9 + 14 _ 150 (млн км2), то
1 млн км2 изображается на диаграмме двумя целыми четырь-
мя,, десятыми градуса (360: : 150 - 2.4 ) Поэтому в круге
(рис. 1.6) проведём радиусы ОД. ОВ ОС. OD, ОЕ и OF
так, чтобы
дЛОВ ~ 132 . Г ВОС ~ 72', —COD ~ 57.6 ,
-DOE ~ 43,2“, -EOF - 21,6 -FOA - 33,6'
(при построении диаграммы градусную меру углов можно
округлить до целых). Затем закрасим секторы разными цве-
тами.
28
§ 1. ВЫЧИСЛЕНИЯ И ПОСТРОЕНИЯ
Круговые диаграммы используют тогда когда хотят на-
глядно показать соотношение целого и его частей
Сколько градусов в развернутом угле?
0 каких случаях используют круговые диаграммы?
Почему Землю называют голубой планетой?
й*
1.97
1.9В
1.99
1.100
1.101
По круговой диаграмме, шт которой представлено распре-
деление продаж новых смартфонов по четырём кварталам
года (рис. 1.7). найдите:
а) в каком квартале было наибольшее количество продаж
смартфонов:
б) в каком квартале было наименьшее количество про-
даж;
в) в каком квартале количество продаж смартфонов соста-
вило 25'; от продаж всею года;
г) верно ли. что количество продаж смартфонов в первом
квартале было таким лее. как во втором и третьем вместе.
На круговой диаграмме никавани содержание питательных
веществ в твороге (рис. 1.8). Определите но диаграмме, вер-
но ли. что а твороге:
в) углеводов меньше всего:
б) белков больше, чем углеводов;
в) жиров больше, чем белков, и больше, чем углеводов;
г) белков и жиров более 25%;
д| жиров и углеводов меньше 25 '%
В классе 36 учеников. За четверть до математике пятёрки
имеют 9 человек, четверки 12 человек, а остальные плю-
ют тройки. Какая диаграмма на рисунке 1.9 показывает
успеваемость згого класса?
2
В клубничном варенье сахар составляет- - массы. Построй-
О
тс круговую диаграмму содержания сахара в клубничном
варенье.
Используя калькулятор, постройте круговую диаграмму
площадей поверхностей океанов, преддаритсльно ;ипго.тцив
таблицу. (Площади океанов даны приближенно.)
Название сжеана Тмхий Площадь, мли км? ТВО Сектор диаграммы, градусы
Атлантический 90
Индийский 75
Северный Ледовитый 15
Южный 20
Всего 350
. Рис. 1.7 >
I । Ьелки
□ Жиры
I Угле веды
к Рис- LS >
3. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЛОВОЙ ИНФОРМАЦИИ В КРУГОВЫХ ДИАГРАММАХ 29
1 102 Мшнмгный железыяк содержит О»7 чистого железа. Постройте крупною диа-
грамму распределения железа и пустой руды в маши гном железняке.
1.103 Вычислите.
а) 2 0,6 б) 7.5 10 в) 0.82 0.4 г) 0.25 2 д) 1.17 0,93
• 0.3 ; 50 : 0.6 0.6 ; 0,6
: 6 : 5 5 < 3.7 г 0.6
♦ 0.23 0.4 2.5 •. 10 ’ 1.8
? ? ? ? ?
1.104 Вычислите:
а) 50 % от 8 ц; 1 мим; 13 см; 180-; б) 10% от 1 т. 5000 р.: 10 а 1 л; 90-.
1.105 11айдите, сколько гроцентоп составляют: а) 8 г от 1 кг; в) 15 м от 1 км; д) 25 см2 от 1 м2;
б) 15 мин от 1 ч; г) 300 л от 1 м3: с) 3 см3 от 1 м3.
1.106 Найдите число;
а) 10% которого равны 1. 10; 0.4, 1,8: б) 25 % которого равны 4; 15; 25, 1,6. 10.3, в) 1 % которого равен 1; 3: 0.3: 2.4 г) 0.2% которого равны 4, 5; 0,8 1.2.
1.107 Найдите значение выражения.
т- 1 (М ’-I 1 г-J I +— •Z ч 1 «1 — 4- 1Л| 001 СП я 5
’ 13 13 39 13" ' ЗБ з 6 '
101 Решите уравнение.
а) х < —
18
11
36 г
в) — • X - - ;
16 8
7 £
3.1 9 ‘
б)
12
г) х:
Угль Л/Л К и KND составляют раз пернатый угол. Каким является угол МУК. ес-
ли угол К ND:
а) острый; б) тупой; о} прямой?
1.110 Верно ли. что.
а) угол меньший тупого острый.
б) половина тупого угла острый угол.
в) угол больший прямого тупой;
г) сумма градусных мер острых углов больше 90-?
1.111 Найдите градусную меру угла КОТ на рисунке 1.10.
30
5 L ВЫЧИСЛЕНИЯ И ПОСТРОЕНИЯ
1.112 а) Постройте угол МХК. градусная мера которого равна 60 . На сторонах угла от-
ложите равные отрезки Л’В и Л'С и соедините отрезком точки В и С.
б) Измерьте стороны и угль треугольника СЛВ и сравните его стороне и углы.
в) найдите сумму углов и периметр треугольника наиболее удобным способом.
13 Масса масла составляет 4.6% массы молока. Сколько коров необходимо для полу-
чения 6 т масла за 10 дней, если каждая корова даст в сродном 2С кг молока
в день7
1.114 Практическая работа
Оборудование. линейка, карандаш, циркуль, транспортир.
Порядок работы:
1) Проведите окружность и ей диаметр АВ.
2) На окружности отметьте точки Л\ L. М и .V.
3) Соедините точки К. L, Л/ и Л с точками Л и В.
4) Измерьте углы ЛАВ, .1LB. АЛ/В и АЛ’В. Сделайте предположение о величине
этих углов.
5) Ответьте на вопрос: -Как построить прямой угол, имея только линейку и циркуль?*
1.115 Практическая работа
Оборудование. циркуль, линейка, карандаш, транспортир.
Порядок работы.
I) Проведите окружность с центром О и её диаметр CD.
2) Используя транспортир, разделите оба развернутых угла COD на три равных уг-
ла. Отметьте точки пересечения сторон углов с окружиостыю буквами С, Л, В. D.
.V и .V. Сколько получилось равных частей в круге?
3) Соедините отрезками точки С. Л, В. D. М и .V Как называется этот многоуголь-
ник?
4) Сравните стороны многоугольника и радиус круга. Сделайте предположение.
1.116 Постройте развёрнутый угол РОТ и проведите луч OS. Чему равны угль' РОВ
и SOT, если:
а) угол PO.S вдвое меньше угла SOT.
б) угол POS на 80 больше угла SOT.
в) угол SOT в 5 раз больше угла РОВ?
1.117 Внутри прямого угла ЛВС проведён луч BD. Чему равны углы ABD и DBC.
если:
а) угол ABD в 4 раза меньше угла DBC;
6} угол DBC больше утла ABD на 32\
в) угол ABD в 8 раз больше угла DBC?
1.118 Вычислите 6 %. 12 %. 24 %. 30 %. 60 % от числа 420. Предложите разные способы
решения этой задачи.
1.119 Вычислите I %, 15%, 25%, 30%. 50%, 75 %, 100% от числа, если 3% этого чис-
ла равны 15-
1.120 Вместимость стадиона ‘Спартак45 360 человек.
а) Сколько человек посетило футбольный матч, если было занято 5%; 10%: 40 %:
65 % всех мест?
б) На сколько процентов был заполнен стадион, если было занято 9072: 22 680:
38 556 мест?
1.121 а) На сколько процентов увеличилось число 90, если его увеличили на 45?
б) На сколько процентов уменьшилось число 115, если его уменьшили на 23?
в) На сколько процентов увеличилось число, если его увеличили в 4 раза7
г) На сколько процентов уменьшилось число, если его уменьшили в 4 раза?
3. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЛОВОЙ ИНФОРМАЦИИ 8 КРУГОВЫХ ДИАГРАММАХ
31
Вокруг школы посадили 36 деревьев: 16 берёз. 8 клёион, а остальные каш-
гапы. Изобразите в круговой диаграмме видовой состав деревьев.
Миша составил свой режим дня:
7:00 8:30. Подаём, утренние процедуры, завтрак, дорога в школу.
8:30 13:30. Замятия в школе.
13:30 16:00. Догма а из школы, обед, прогулка.
16:00 18:00. Домашние задания.
18:00 19:00. (Спортивные занятия.
19:00 22:00. Ужми. свободное время, подготовка ко гну.
22:00 7:00. Сом.
Представьте зги данные на круговой диаграмме.
Построй те столбчатую и круговую диаграммы длим крупных рек России но
таблице.
Река Обь (с Иртышем । Длина, тыс. км 5,41 Се кт of? диаграммы градусы
Амур (с Аргунью! 4.44
Лена 4.4
Енисей 4.1
Волга Всего 3.52. 36D
Пограничный нёс Мухтар взял след и начал догонять нарушигшш границы,
когда между ними было 2.7 км. а догнал его через 0.18 ч. Найдите скорость
Мухтара, если скорость нарушителя была в 3,5 раза меньше сю скорости.
Чему равен у юл между часовой и миму гний стрелками часов в:
а} 6 ч: б) 3 ч; в) 13 ч; г) 10 ч?
В партии из 500 лампочек 3 лампочки оказались бракованными. Какой про-
цент составляла исправные лампочки?
Площадь однокомнатной квартиры 37 м*. Площадь кухни и коридора состав-
ляет 30%, площадь санузла 10' площади квартиры. Найдите площадь
комнаты. Решите задачу двумя способами. Какой из згих способов проще?
Объясните смысл предложения:
а) «Вклад иод 8годовых*: б) «Жирность кефира 3.2
Магазин предоставляет скидку 25 от суммы покупки. Сколько заплатит по-
купатель, если он выбрил товары на сумму: а) 280 р.; б) 960 р.; в* 1240 р.?
При хранении на складе морковь теряг! .га месяц в среднем 0.7 . своем мас-
сы. На склад мосту пило 6.3 т моркови. На сколько килограммов уменьшитея
масса моркови на складе через месяц хранения?
Белый чу чун содержи! 4,3 ' углерода. Сколько углерода содержится в 45 740 г
белою чугуна? Сколько тонн белою чугуна содержит 5289 кг углерода?
В цех ггривехгм 600 т глинозёма с содержашгсм гшомишш 7,2’ и 800 т гли-
нозёма с содержанием алюминия 5.6 '<>. Из какого глинозёма после электро-
лиза получи гея больше а. помпш1я?
32
i 1. ВЫЧИСЛЕНИЯ И ПОСТРОЕНИЯ
ч Рис. 1.11 ,
I
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА.
♦ остроугольный,
прямоугольный,
тупоугольный
треугольники
* рааносгоронний.
ра □ । «обо дрог 111ый,
разносторонний
треугольники
4. Виды треугольников
Из всех многоугольников наименьшее количество углов и
сторон у треугольника. Среди окружающих нас предметов
предметы в форме треугольника встречаются очень часто
{рис. 1.11)
В зависимости от вида углов различают следующие виды
треугольников: остроугольные, прямоугольные и тупоуголь-
ные.
Треугольник называют
остроугольным, если все три его угла острые;
прямоугольным если один из его углов прямой;
тупоугольным если один из его углов тупой
На рисунке 1.12 треугольник А К В — остроугольный тре-
угольник C.WD — прямоугольный, а треугольник РИН — ту-
поугольный с тупым углом
В зависимости от длин сторон различают следующие ви-
ды треугольников: равносторонние, равнобедренные и раз-
носторонние.
Треугольник называют
равносторонним если все три его стороны равны;
равнобедренным, если только две его стороны равны:
разносторонним если все его стороны разной длины.
На рисунке 1.13 треугольник ЛВС — равносторонний, тре-
угольник L.V/.V — равнобедренный с боковыми сторонами
LA и .МЛ и основанием .ML, а треугольник IIDK — разно-
сторонний.
Равные стороны и углы обозначают одинаковым числом
штрихов и дуг соответственно.
Мы провели классификацию треугольников по углам
и сторонам.
Пример 1. Используя линейку и транспортир, построим
треугольник ЛВ.М у которого угол А равен 110 , сторона АВ
равна 2 смг а сторона АЛ/ равна 3 см. {Говорят, построим
треугольник по двум сторонам и углу между ними.}
<_ВИДЫ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
33
Сначала, используя транспортир, построим угол Л. рав-
ный 110 (рис 1.14, а).
Затем с помощью линейки на сторонах угла отложим от
точки .1 отрезок АВ. равный 2 см, и отрезок АЛ/, равный
3 см (рис. 1.14 б).
Соединим точки В и Л/ Получили треугольник АБЛ/
(рис. 1.14. в).
Пример 2. Используя линейку и транспортир построим
треугольник KIID, у которого угол К равен 30 , сторона Л’II
равна 3 см. а угол II равен 80 . (Говорят, построим тре-
угольник по стороне и двум прилежащим к ней углам.}
Сначала, используя линейку, построим отрезок КП, рав-
ный 3 см (рис. 1.15 а).
Затем с помощью транспортира отложим от луча К11
угол, равный 30 а от луча НК — угол, равный 80 как по-
казано на рисунке 1.15, б.
Продлим стороны углов до пересечения в точке D. Полу-
чили треугольник K1ID (рис. 1.15, в).
^Рис. 1.15 j
'Назовите виды треугольников при классификации их по углам.
Назовите виды троугольников при классификации их по сторонам.
Как построить треугольник по двум сторонам и углу между ними7
Как построить треугольник по стороне и двум прилежащим к ней
углам?
в
1 134 На рисунке 1.16 изображены треугольники.
а) Используя чертёжный треугольник. определите и аашшитг шщы треуголь-
ников по углам.
б) Используя линейку, определите н .йшшште налы греуюльмикин ни сторонам,
и} По результатам. полученным в пунктах а) и и), заполните таблицу на с. 34.
34
5 h ВЫЧИСЛЕНИЯ И ПОСТРОЕНИЯ
._ Стораны Углы —- __ Прямоугольный Тупоугольный Разносторонний Рав набе дранный Равносторонний
Остроугольный
i 135 Используя линейку и трансноргир, постройте треугольник ЛВС, у которою:
а) у юл Л равен 60 , а стороны АВ и АС равны но 4 см:
6) угол А прямой, а стороны АВ л АС равны по 5 см;
в) угол Л ранен 120 . а стороны АВ и АС раины ио 4 см.
Какой треугольник построен? Измерьте транспортиром еги углы В н С.
Какое можно сделать предположение об углах при основании равнобедренного
грсу гольникд?
1.136 а) Используя линейку и циркуль, постройте но алгоритму треугольник ЛВС,
у которого сторона ДВ равна 5 см. сторона ЛС 3 см и сторона ВС 4 см.
1. Начертите отрезок АВ. равный 5 см.
2. Прове дню* окружность с центром в точке А и радиусом 3 ем.
3. Проведите окружность с центром в точке В и радиусом 4 см.
4. Обозначьте одну из точек пересечения окружностей буквой С.
5. Проведите отрезки ЛС и ВС.
б) Измерьте транспортиром угол С треугольника. Какой треугольник построен?
в) Используя линейку и циркуль, постройте по алгоритму равносторонний
треугольник АВС, сторона которого равна 6 см.
1.137 а) Постройте равнобедренный треугольник, у которого основание равно 4 см,
я боковые стороны равны но 5 см.
6) Постройте равнобедренный треугольник, у которого основание* равно 4 см.
а боковые стороны равны но 6 см.
в) Можно ли построить равнобедренный треугольник» у которою основание
равно 4 см. а боковые стороны равны но 2 см?
(.'делайте предположение: «Сумма любых двух сторон ipeyдольника ... третьей
стороны ♦.
' 136 Периметр одного треугольника в два раза больше другого. Могут ли эти тре-
угольники бы ть равными?
1 139 Всет'да ли равны треугольники, у которых равны периметры?
1.140 Одна сторона треугольника в два раза больше другой, а третья сторона рав-
на 13 см. Периметр треугольника равен 42 см. Найдите стороны треуголь-
ника.
1.141 Могут ли стороны треугольника быть равными:
а) 4 м. 4 м. 4 м: б) 3 см. 3 см. 12 см?
1.142 Измерьте углы г|м>уго.тьлика F/tS на рисунке 1.17.
Наяда те сумму утлой треугольника.
1.143 а) Начертите прямоугольный треугольник ЛВС и
остроугольный треугольник XZY. Измерьте транспор-
тиром их удлы. Найдите сумму углов в этих треугешь-
пиках.
б) Какое предположение можно сделать из решения за-
дач 1.142 а 1.143. а?
4* ВИДЫ ТРЕУГОЛЬНИКОВ 35
свойство углов треугольника : Сумма углов треугольника равна 180:.
1.144 Найдите угол треугольника. если два других угла раины 65 и 25 .
' . 145 Найдите углы треугольника, если два угла равны* а третий равен 136 .
1,146 В треугольнике два угла равны, а третий учил ранен 70 * Найдите углы тре-
у голышка. Рассмотри it два способа решения.
' 147 Вычислите.
а) 0,01 + 1,1+ 0.09 б) 15 - 2.3 в) 2.5 • 2.7 4 г) 1 I 10
8,1 + 2.99 + 1.01 0.3 - 0.29 3,9 0,5 2 8.08 : 8
1,88 + 3,7 + 0,12 7 - 0,2 1.25 -1.9 -8 9 : 100
2,8 + 1.85 + 2.15 6 - 2.75 4 5.6 • 0.25 6.73 : 10
1,07 + 0,88 + 1.93 16.4 - 4 0,5 30 0,1 0,3 ; 0 1
149 Существуют ли натуральный значения е, при которых произведение 31 с является
простым числом?
1.149 Может ли выражаться простым числом периметр или площадь прямоугольника, сто-
роны которого выражены натуральными числами?
J..1-5-J Но выполняя вычислений, сравните значения выражений:
а) 14 0.76 и (14 76). 100: в) 0.6 0.2 и (6 2) 1 100:
6)340 0,02 и (340 2) . 10: г) 1.234.0,02 и 123.4 ; 0.2.
1.151 Фермер посадил на поло прямоугольной форме свеклу. Длина поля равна 73,4 м.
что в полтора раза больше ого ширины. Сколько свеклы фермер собрал с поля,
если урожайность равна 2.25 ц с одного ара. Запишите полученный ответ в тоннах
и килограммах.
1.152 Масса ведра с водой равна 12.5 кг. После того как из ведра вылили половину во-
ды, масса оставшейся воды с ведром стала 6.5 кг. Найдите массу пустого ведра.
J:.153 Решите уравнение:
JUL а) .г • 2 3 - 3 1; в) 2 : .г - 7 16 8 9 1В
б) х 1- - 2—; г) - х 4 12 5 7
Н а рисуй г о г । л.’у 1 олышк:
а) прямоугольный;
и I оег;юу 1 ильный;
ui тупоугольный;
г) рааносгоронний;
д 1 раинобсдрсццый;
е) рашюстороннмй:
ж) тупоугольный и |»1Ш1йбед|Л'нный;
з) оси । нагольный и равнобедренный;
п) прямоугольный л равнобедренный.
Используя линейку и транспортир, постройте треугольник Л/Л'Л.', у которого:
а) угол Л/ равен 90 . сторона Л/Л’ равна 7 см и XIK равна 5 см;
б) угол Л/ равен 60 , а стороны Л/Л’ и Л/Л' равны но 6 см;
и) угол Л/ равен 135 . а стороны Л/Л и Л/А" раины но 4 ем.
Определите вид треугольников.
§ L ВЫЧИСЛЕНИЯ И ПОСТРОЕНИЯ
36
1.156
1.157
1.158
1.159
1.160
1.161
1.162
1.163
Используя линейку и транспортир, постройте треугольник .\I.\K. у которого:
п) угол Л/ равен 90 , сторона Л/Л равна 7 см и yixxi К равен 40 ;
б) угол Л/ равен 60 , сторона Л/Л рання 7 см и уюл К равен 60 ;
ь) учил Л/ равен 30 , сторона Л/Л равна 7 см я угол Л равен 30 .
Определите вид грсучильников.
Найдите периметр треугольника со сторонами 6,1 ем. 3,7 см, 10,2 ем.
Найдите периметр треугольника АВС1, если сторона АВ равна LK см. сторона АС
в два |лала больше еторшты АВ, а сторона ВС на 10 гм меньше стороны АС»
Найдите сторону ранносторошк'Ю трсуюлышка, если сю периметр равен 6,09 дм.
В г[л". I ольнике KLAI уюл KL.M равен 80 , а угол AIKL и 4 раза меньше.
Найда те угол K.ML.
В треугольнике АВС угол А в 2 раза больше учла В а на 20 меньше учла С.
Найдите углы треугольника АВС.
Найдите корень уравнения:
а) | 2 1- j jc - £ ; б) х : I - + -1 - —.
Ч 3,! 9 13 9 1 35
Вычислите:
а) 31 (3,73 : 3 + 86.45 : 24,71 • 2.4: б) (630 000 : 3125 196.5) - 3,14.
А
Вь познакомились с различными фигурами: отрезком, углом, мно-
гоугольником, прямоугольником, треугольником, гараллолепиподом,
окружностью, кругом. Эти фигуры называются геометрическими, а на-
ука, которая изучает их свойства, называется геометрией.
Геометрия (от гром, гео земля, а могрео измерять! зародилась
в древности. Более 4 тыс. лет назад а Вавилоне, Китае. Египте уже
существовали начальные знания о геометрических фигурах, которые
получали огыным путем. Возникала потребность в измерении рассто-
яний, размеров участков земли объемов некоторых материалов, про-
дуктов и товаров. Стоны первых значительных сооружений нужно было
возводить под прямым углом, чтобы они но рушились. Необходимость
измерять промежутки времени требовала систематического наблюде-
ния за движением светил и, значит, измерения углов. Эти знания пере-
давали от г о колония к поколению в виде правил и рецептов.
Например, а долине реки Нил в Египте и в районах рек Тигр и Ев-
фрат в Вавилоне ежегодно после разлива рек требовалось восстанав-
ливать границы участков и уточнять их площади для сбора налогов.
Греческий историк Городот. живший около 2500 лот назад, писал, что
Сосострис (египетский царь) произвёл деление земель, отмерив каж-
дому египтянину участок по жребию, и сообразно этим участкам с их
владельцев ежегодно взимал налоги.
Единственным первоисточником, дошедшим до нас и показываю-
щим уровень познаний египтян в области геометрии является папирус
Ахмеса (2000 1700 гг. до н. з.). Этот папирус содержит задачи и их
решения, большинство из которых относится к арифметике, а меньшая
часть к геометрии. Геометрические задачи почти всо связаны с из-
мерением площадей прямолинейных фигур и круга.
Греческие ученые нс только усвоили достижения египтян, но и уз-
нали много новых свойств геометрических фигур. В Древней Греции
2500 лот назад геометрия стала наукой, а нс только использовалась для
измерения земли. Древнегреческий учёный Аристотель ввел для науки
об измерении земли новое название геодезия (деление- земли).
5* ПОНЯТИЕ МНОЖЕСТВА
37
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА
* множество
♦ пустое MflOXQCTBQ
• элемент
множества
• подмножество
* пересечение
mi южесто
• объединение
множеств
5. Понятие множества
Отметим на координатной прямой числа от 0 до 9:
0. 1, 2. 3, 4. 5, 6; 7. 8, 9.
Получим множество однозначных чисел. Обозначим его
буквой А Вообще множества принято обозначать прописны-
ми буквами латинского алфавита. Множество Л записываю г
с помощью фигурных-скобок. так:
А = {0, 1. 2, 3, 4. 5, 6, 7, 8, 9}.
Каждое из чисел 0. 1, 2 3 4 5. 6, 7, 8, 9 принадлежит
множеству {0, 1,2, 3. 4. 5. 6, 7, 8, 9} Никакое другое число
этому множеству не принадлежит.
ГЛножество натуральных чисел расположенных на коорди-
натной прямой между числами 1 и 3, состоит только из од-
ного числа 2. Это множество обозначают {2}.
Множество натуральных чисел, расположенных между
числами 1 и 2. не содержит ни одного • исла. Такое множе-
ство называют пустым множеством. Пустое множество обо-
значают знаком 0.
Множества могут состоять не только из чисел, но также
из точек, фигур, людей, городов и т д В жизни различные
множества называют по-разному: группа людей стая птиц,
колонна грузовиков.
Каждый предмет, входящий в множество, называют эле-
ментом множества Множество однозначных чисел состоит
из следующих элементов: 0 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. 9. В мно-
жестве материков содержатся элементы; Евразия. Африка,
Северная Америка. Южная Америка. Австралия и Антарктида.
Фигурные скобки используются для записи множества с
любыми элементами Запишем множество планет Солнечной
системы {Меркурий Венера, Земля. Марс, Юпитер. Сатурн,
Уран, Нептун}.
Элементы множества можно записывать в любом порядке.
Например {25. 35, 15} и {35, 15, 25} — это одно и то же
множество, состоящее из чисел 15. 25, 35:
{25, 35. 15} - {35 15, 25).
Чтобы записать, что элемент входит в данное числовое
множество, используют специальный символ принадлежно-
сти = С его помощью утверждение: -Число 9 принадлежит
множеству А» — можно записать так; 9 = А.
Если число не принадлежит данному множеству то для
записи этого факта используют перечёркнутый знак принад-
лежности. Например, 14 < А.
Множества могут состоять из разного количества элемен-
тов. Например, множество натуральных чисел А’ состоит из
бесконечного числа элементов, множество Z естественных
спутников Земли состоит из одного элемента; Z ~ {Луна},
38
5 L ВЫЧИСЛЕНИЯ И ПОСТРОЕНИЯ
ВеЛ
vPmc. 1.18
К '* L - Л/
В й D - Z
vPwc. 1.19,
В D ~ А
. Рнс. 1.20
а множество натуральных чисел, меньших I, не содержит
ни одного элемента.
®
В множестве, имеющем несколько элементов, можно вы-
делить некоторую часть и составить из неё новое множества
Например, из множества однозначных чисел А можно вы-
делить множество чётных однозначных чисел и обозначить
его В:
В ~ {0, 2, 4. 6. 8}.
Часть данного множества называют подмножеством
В приведённом примере множество В является подмноже-
ством множества А Записать это утверждение с помощью
букв и символов можно так:
В - А
Схематично подмножества множества можно изобразить
так, как на рисунке 1.18.
Пустое множество является подмножеством любого мно-
жества.
Рассмотрим два множества:
К ~ <10, 12, 14, 16. 18. 20} и L ~ <5. 10, 15. 20. 25}.
Только числа 10 и 20 входят в оба множества, т, е. со-
ставляют общую часть двух множеств. Множество М ~ {10. 20}
называют пересечением множеств К и L. Пересечение
множеств записывают так:
К ’I £ = М.
Символ й читают как -пересечение
Пересечение множеств можно изобразить схематично так,
как на рисунке 1.19. а.
Пересечение множеств может не содержать ни одно-
го элемента, т. е. являться пустым множеством. Например,
пересечение множества В ~ (0 2, 4. 6 8} с множеством
D ~ <1 3 5. 7, 9} является пустым множеством (рис. 1 19. б)
С помощью сим.волы1о^записи это можно записать так
В ' D ~ 0.
Если объединить множества В ~ (0, 2 4, 6. 8} и D ~
~ {1, 3, 5, 7, 9} получится множество однозначных чисел
которое мы обозначили буквой А. Таким образом, объеди-
нение множеств В и D есть множество А. С помощью сим-
вольной записи этот факт можно записать так:
В и D - А,
где символ ' читают как «объединение».
Схематично—объединение множеств можно изобразить
так. как на рисунке 1.20.
Изображённые схематически соотношения между множе-
ствами позволяют упростить решение некоторых задач.
5. ПОНЯТИЕ МНОЖЕСТВА
39
Задача. Из 46 учащихся 6 класса 29 человек посещают
спортивные секции. 21 — кружок по математике, а 11 чело-
век посещают и кружок по математике и спортивные секции
Сколько человек не увлекаются ни математикой, ни спортом?
Решение Множество учащихся увлекающихся матема-
тикой обозначим буквой А/ а множество учащихся, увле-
кающихся спортом - буквой С. Увлекаются и математикой
и спортом 11 человек, поэтому в пересечении множеств Af
и С пишем 11 (рис. 1.21). Тогда только математикой зани-
маются 21 - 11 ~ 10 (человек), а только спортом —
29 - 11 ~ 18 (человек). Узнаем, сколько человек увлекают-
ся математикой и спортом: 10 + 11 + 18 - 39 (человек).
Значит, не увлекаются ни математикой, ни спортом
46 - 39 - 7 (человек)
увлекающей математикой не уилекаю!Сн ниспорюм.
Приведите примеры числовых множеств: нечисловых множеств.
Что такое элемент множества?
Сколько элементов может содержать множество9
Приведите примеры бесконечных множеств.
_Что такое- пустое множество9 Как его обозначают?
Г Что такое подмножество, пересечение множеств; объединение
множеств?
1.164 Придадите примеры нечисловых множеств, связанных: а) с неживой приро-
дой; б) с бытом людей: в) с живой природой; т ) с человеческим обшечтвом.
1.165 Найди ге обобщающее слово, которым можно назвать множество:
я) нгии: б) овец; в) лошадей: г) корон.
1 1 66 Запишите числовое множество. состоящее из всех двузначных чисел:
а) от 40 до 50 включительно;
б) которые делятся на 9 без остатка:
ui запись которых состоит ил двух одинаковых илфр;
__ г) и запись которых входит цифра 2.
ft 1.167 Составьте множество всех грёхзначных чисел, запись которых состоит:
а] из илфр 2. 4. 7 без повторений;
б) из цифр 0, 5, 9 с возможным повторением.
1 168 Запишите множество:
а) всех правильных дробей со знаменателем 6:
б| всех иеирлян-тьиых дробей с числителем 5.
1.169 Дано множество X - {0.1: 0.2: 0.3: 0.4: 0.5; 0.6; 0.7: 0.8: 0.9}. Верно ли, что:
а) 0.3 = X; б) 0.21 = X; в) 0.60 = X; г) 1.0 * X?
40 __________________________________Ц^ВЫЧИСЛЕНИЯ И ПОСТРОЕНИЯ
1.170 Дано множество Л - |5. 10. 15, 20, 25, 30, 35. 40, 45, 50.. Составьте его под-
миажестао В, элементами которого являются все:
а) числа, которые делятся на 10: а) одиоэначныс- числа:
б) нечётные числа; г) числа, большие 50.
1.171 Запишите множество всех натуральных чисты, на которые делится число:
а) 6; б) 12; в) 15; г) 2.
1.172 Составьте миожостно Л всех натуральных чисел, ня которые делится без остат-
ка число 20. и множество В всех натуральных чисел, на которые делится без
остатка число 30. Найдите пересечение и объединение множеств .1 я В.
1.173 Составьте множество А всех натуральных чисел, на которые делится без остат-
ка числи 9, и множество В всех натуральных чисел, на которые делится без
________ остатка число 8. Найдите пересечение и объединение мложесги Л и В.
fil.174 Запишите множество Л всех двузначных чисел, которые делятся без остатка
на число 15. и множество В всех двузначных чисел, которые делятся без
остатка на число 10. Найдите пересечение и объединение множеств Л и В.
1.175 На со|к‘шювалия шестиклассников пришли родители: 27 пап и 39 мам.
У скольких учащихся пришли мама с напой вместо, если в соревнованиях
принимали участие 53 ученика и у каждого учащегося пришел хотя бы один
из родителей?
1.176 При опросе 1(H) учеников выяснилось, что у 33 из лих есть браг, у 54 се-
стра, л у 37 учеников нет ни брата, нм сестры. У скольких учеников есть
и брат, и сестра?
Р>
1.177 Вычислите. а) 1 - 0.2 б) 4,9 + 1,4 в| 0.4 10 : 3 : : 40 - 3.9 : 4 3,8 : 12 * ? ? 20 г) 63 : 90 д) 15 2.5
0.2 100 2.6 ? t 0,5 . 4 0,9 ? 4 2,1 : 2,7 0.6 ?
1.178 Выполните действия: 1) 18 408 : (268 75 19 746) • 959: 2)(86 217 । 275 116) : 659 । 279 569.
1.179 Найдите значение выражения. а) 85 • 203х < 102;г 4 91. .г - 76; 201; б) 791/ (231/ 151/), 1/ = 15; 309.
1.180 На лесопорерабатывающсм предприятии по заказу было изготовлено 150 мэ пило-
материалов: бруса, головой доски и вагонки. При этом бруса было изготовлено
72 м' половой доски 45 м*. Сколько кубометров вагонки было изготовлено?
1.101 Длины двух сторон четырехугольника составляют — и — ого периметра, а сумма
длин этих сторон равна 28 см. Найдите периметр четырехугольника.
1.182 Найдите значение выражения:
а) ((3.2 + 0.32) : 0,1 (50 7,2) 0,1) 100.
б) ((4,3 1.08) : 0,1 < (40 8.4) 0,1) 100.
1.1 33 За 14 дней завод изготовил 560 стиральных машин, а в следующие 6 дней стал
выпускать на 5 машин в день больше. Сколько машин выпустил завод за 20 дней?
R1.184 В классе 7 человек хорошо умеют плавать. Сколькими способами из них можно
— отобрать трёх человек для участия в школьных соревнованиях?
5. ПОНЯТИЕ МНОЖЕСТВА
41
I. IВ 5 Решите уравнение:
a) (0.87m 0,66m) -10:2:3-0: б) 10 (1,37ft 0,12ft) 5.8-0.
1.196 Если число лет Кати увеличить на II и полученный результат уменьшить в 6 раз,
то будет 4. Сколько лет Като?
1.197 Из одного пункта в противоположных направлениях отправились два велосипедиста,
и через 1,5 ч расстояние между ними стало 39 км С какой скоростью двигались
велосипедисты, если скорость одного из них была на 2 км/ч больше скорости дру-
гого?
.' Составьте множество, элементами которого являются:
а) оксаны; г) моря, омывающие российские берега;
б) материки; д) все правильные дроби со знаменателем 12:
а) континенты; в) неправильные дроби с числителем 10.
Запишите множество из трех-чегырёх элементов, состоящее из единиц измо-
рения:
а) длины: б) массы; в) площади; г) обьёма.
Дано множество Л/ ~ ?0,4; 3; —; 8; 2,5; —; 3—: 1: О]. Составьте ид ею элемен-
1 3 8 2 1
тон подмножество Р всех:
а) натуральных чисел; в) десятичных дробей:
б) обыкновенных дробей; г) целых чисел.
1.191 Запиши и? множество всех трёхзначных чисел. и закиси которых используют-
ся только цифры 1 и О.
Найдите пересечение множеств Л и С, если Л множество всех натуральных
чисел от 1 до 30. которые при делении на 3 дают остаток 1, а С множество
всех натуральных чисел до 30, которые делятся на 4 без остатка.
Найдите пересечение и объединение множеств X и У', если X множество
всех натуральных чисел, на которые число 24 делится без остатка, a Y
множество всех натуральных чисел, на которые число 18 делится без остатка.
Найдите пересечение и объединение множеств Л/ и Лт, если Л7 множество
всех степеней числа 2 с показателем от 1 до 10. Л’ множество всех степеней
числа -1 с показателем иг 1 до 5.
В зимние каникулы каждый из 18 детой побывал на спектакле или на ново-
годнем иредставленин. Из них 12 человек смотрели спектакль, а 9 ново-
годнее представление. Сколько детей было и на спектакле, и на новогоднем
представления?
Выполните действия:
а) (97 548 + «9 432) : (16 400 15 388):
б) 1 067 154 : 4 807 189 + 707 • 390.
В пяти маленьких и двух больших коробках 54 цветных карандаша, а в трех
маленьких л двух бо.гьпшх коробках 42 карандаша. Гко.гысо карандашей
в одной маленькой и сколько в одной большой коробке?
Вьшо.шию действия:
а) 1,7 - (3,9058 + 16.0142) 8,591 : (7.1 5.68):
б) ((4 : 0.128 + 14628,25) : 1,011 ’ 0.00008 + 6,84) : 12.5.
42
f 1. ВЫЧИСЛЕНИЯ И ПОСТРОЕНИЯ
ПРИМЕНЯЕМ МАТЕМАТИКУ
1. Расход гоцллвп у автобуса был 33 л на 100 км. После регулировки двигателя
расход уменьшился на 10 "•>. Найди ге расход гошиша после регулировки.
2. Банк начисляет вкладчику 6 ". годовых ежегодно на всю сумму денег на вкла-
де. Вкладчик положил на счёт 30 000 р. и не снимал деньги со счёта в тече-
ние трёх .нт и нс брал процентные начисления. Сколько дене! было на счёте
вкладчика через год; через гри года?
3. В таблице црсдсган-тены цены на одни и те же продукты в трёх магазинах.
Название магазина •По соседству» Цена товара, р.
хлеб. 1 батон 37 Молоко. 1 пакет 85 Сыр, 1 упаковка 144
'По пути- 35 94 150
Рядом г: домом 3»! 90 140
В каком магазине стоимость покупки упаковка сыра, двух батонов и трёх па-
кетов молока будет наименьшей и чему она будет равна, если на покупки в
магазине «По соседству» имеется скидка 5 . по дисконтной карте, а я мага-
зине «Пи пути* проходит акция: при покупке двух пакетов молока третий
бесплатно?
4.
5.
6.
Холодильник стоил 30 (ИМ) р. В мае цена хилодальника была снижена на 20 '
а в декабре ещё на 5 'Какой стала стоимость холодильника в декабре?
В начале года тариф на электроэнергию составлял 1,47 р. за 1 кВт ч. В сере-
дине юда он увеличился на 15 ' а а конце годе ещё на 5’ ' . Как вы счита-
ете, увеличился ли тариф на 20' : менее чем на 20 ' более чем на 20' >?
В школу привезли мебель. Рост учеников 6 к-тяеса в сантиметрах записали
так:
143 150 132 142 142 165 137 1 15 146 138 15 5
147 162 159 155 137 138 142 156 153 146 144
160 139 143 157 L62 158
151 139 151 144
Составьте частотную таблицу роста учеников. Исполь-
зуя таблицу ниже, и составьте заказ мебели для класса.
152 139 140 155
Компьютерные игры
I Спорт
~ Кружки
Помощь по дому
__ Прсяулки
L_ Чтение
, Рис. 1.22j
Рост ученика, см 130-145 145—160 150—175
Высота стола, см 5В 64 76
Высота сиденья см 34 38 46
1) На круговой диаграмме (рас. 1.22) показано исполь-
зование свободного времени за неделю шсстшслаесшт-
ком Димой. Определите:
а) на что он тратит меньше всею времени:
б) сколько процентов свободного временя Дима тратит
на компьютерные игры.
2) Нужно ли что-то изменить Димс а распределении
свободною времени?
3) Составьте диаграмму использования своего свободно-
ю времени за неделю И проанализируйте её.
43
§ 2. Действия
со смешанными
числами
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА:
• составное число
• простое число
• разложение числа
на простые
множители
• контрпример
6. Разложение числа
на простые множители
Напомним, что натуральное число называют простым,
если оно имеет_шльки два делителя: единицу и само это
число.
Натуральное число, которое имеет более двух делителей,
называют составным.
У числа 1 только один делитель — само это число, поэто-
му оно не является ни составным, ни простым числом.
Вот первые десять простых чисел:
2, 3. 5, 7. 11, 13, 17, 19. 23. 29.
Число 2 — наименьшее простое число. Оно единственное
чётное простое число, все остальные простые числа — не-
• ётные. Число 90 — составное оно делится не только на 1
и 90, но и. например, на 5, т. е. 90 ~ 5 - 18. Говорят, что
число 90 разложено на множители 5 и 18.
Любое составное число можно разложить на мнажите^ли,
каждый из которых больше 1. Простое число нельзя разло-
жить на множители, каждый из которых больше I.
Определить, является ли число простым или составным,
бывает сложно, например 827 и 837 Таблица, в которой за-
писаны все простые числа первой тысячи, приведена на вто-
рой сторонке обложки.
Любое составное число можно разложить на простые
множители.
Например, число 770 — произведение чисел 77 и 10:
77 10 ~ 770. Но числа 77 и 10 тоже составные, и их также
можно представить в виде произведений: 77 ~ 7 11
и 10 “ 2-5. Получим
770 - 7 11’2’5.
44
§2. ДЕЙСТВИЯ СО СМЕШАННЫМИ ЧИСЛАМИ
В правой части равенства все множители — простые чис-
ла Число 770 разложено на простые множители:
На простые множители разложить 770 можно и так
770 - 70-11 = 7-1011 = 7-2-5-11.
В этом разложении те же простые множители, но запи-
санные в другом порядке.
Обычно записывают множители в порядке их возрастания:
770 - 2-5-7-11.
I Представление числа в виде произведения его простых
делителей называют разложением числа на простые мно-
1 жители
I Любое составное число можно разложить на простые
множители. В таком разложении может быть только разный
порядок записи множителей.
Признаки делимости помогают при разложении числа на
простые множители Разложение на простые множители
удобно записывать с помощью вертикальной черты.
Пример. Разложим на простые множители число 660.
Проведём вертикальную черту и слева за пи и ем делимое
660
11 Число 660 оканчивается чётной цифрой и потому де-
лится на 2: 660 : 2 - 330. Справа от черты запишем делитель
2. а под делимым 660 запишем частное 330.
2) Число 330 тоже делится на 2: 330: 2 - 165. Опять за-
пишем справа 2, а слева 165.
3) Число I65 делится на 3 гак как сумма цифр 12 делит-
ся на 3: 165 :3 - 55.
4) Число 55 делится на 5, так как оканчивается цифрой 5:
55:5 - 11.
5) Простое число 11 делится само на себя: 11:11 ~ 1.
Разложение закончено:
660 - 2 2 3-5-11.
Какие натуральные числа называют простыми составными?
Какое простое число наименьшее?
Какое натуральное число но является ни простым, ни составным?
Назовите простые числа, меньшие 20.
Что называют разложением числа на простые множители?
Все ли составные числа можно разложить на простые множители?
6. РАЗЛОЖЕНИЕ ЧИСЛА НА ПРОСТЫЕ МНОЖИТЕЛИ 45
2 1 Назоните делители чисел 37. 35. 99.
2.2 Используя таблицу простых чисел, определите, какие из чисел 107, 123, 367.
409. 531. 557. 853, 977 являются простыми.
2.3 Числи 2876, 4500, 777 777, 595 599 составные. Докажите это утверждение.
2.4 Может ли нронзведенис двух простых чисел быть простым числом?
2.5 Каким числом может быть выражена площадь квадрата. если его сторона вы-
ражена натуральным числом?
2.6 Каким числом може т быть выражен объём куба, ст ли его ребро выражено на-
туральным числом?
2.7 Число и делится: а) аа 7; б) на 12. Какое это число: простое или составное?
2.8 Разложите на два множителя числа:
а) 44 и 333; 6} 98 и 453: в) 156 и 225.
2.9 я) Сколькими способами можно разложить на два множителя число: 20; 46;
77?
б) Какими могут быть размеры теплицы площадью 24 mj, ее ш они выражены
натура.тьными числами?
2.10 Все ли чётные числа являются составными?
контрпри мер Пример, опровергающий верность некоторого утверждения, на-
зывают контрпримером
2. ’ 1 С помощью контрпримера опровергните утверждение:
а) любое число, оканчивающееся нифрой 7, является простым:
и) сумма любых двух простых чисел есть простое число.
2.12 Найдите произведение простых чисел:
а) 37 и 3; б) 7. 11 и 13: в) 11 и 101.
2.13 Используя результаты, подученные в предыдущем задании, вычислите:
а} 101-3-37: в) 3 • 7 - 11 ’ 13 • 37:
б) 7 • 13 • 11 • 101; г) 3 37 > 11 101.
2.14 Разложите на простые множители числа:
а> 108, 225, 270. 512. 945, 1024;
б) 90, 180. 270. 350. 450, 1350. 4500;
в) 13, 2002, 1225. 14 014. 90 720.
2.15 Напишите все двузначные числа, разложение которых па простые множители
состоит из двух или трёх одинаковых множителей. Как называют -mi числа?
2.16 Напишите нее двузначные числа, в разложении которых два различных про-
стых множителя и один из них равен:
а) 7; б) 19; в) 29; г) 43.
2.1/ Делится ли число // на число т нацело, если:
а) я-2-2 Сс й ч / и tn -2-2-7;
б) /? - 2 • 5 • 5 47 * 17 н т -2-3-5;
к) п - 3 3 5 ’ 7 ' 19 и т -3-3-7- 19;
1) /! - 2 3 • 5 • 7 • 7 • 7 и т - 35;
д) п - 2 2 •3*3*5г7в 11 и т - 308;
el /1-2-2 * 2 г 3 * 5 3 • 11 и т - 1000?
46
62. ДЕЙСТВИЯ СО СМЕШАННЫМИ ЧИСЛАМИ
2.18 Вычислите.
а) 4,78 г 5,22 б) 0,7 0,03 в) 5.7 : 100 г) 0,29 0,2 5
5.7 4 0.03 1 0.36 4 : 10 4.2 1,5 3.2 1.5
9.21 <• 2.09 3 2.09 6В ЮОО 4 12.5 ’ 2.5
8,37 • 1,63 1.7В 0.6 5.7 . 0,01 4.8 6.2 » 3.8 4.8
2.19 а) Выразите в процентах число: 0.003; 0,02: 0.37 0.7. 1. 3.
6) Выразите десятичной дробью 3 Ч»; 7%. 10%; 20 %: 50%; 74 %; 100%, 140 %.
2.20 Найдите удобным способом значение выражения:
а) <а • й) ♦ с при а - 498, Л - 317, е - 383.
б) а • с) при а - 51,9, b - 31,7, с - 1,9.
2.21 Одно измерение параллелепипеда равно 20 см. а два других выражаются произ-
вольными натуральными числами сантиметров. Будет ли объем этого параллелспи
педа всегда выражаться числом, кратным а) 2; б) 3. в) 4. г) 5. д) 6?
f ft • Разбираемся и решении Сколько чётных четырёхзначных чисел можно составить из
4— цифр О. 5. 7. В, 9 если цифры повторяются?
Решение. На первом место в записи числа может стоять любая цифра, хромо
нуля. 4 варианта На втором и на третьем местах может стоять любая из данных
пяти цифр ещё до 5 вариантов. 11а последнем месте может стоять только одна
из двух цифр: 0 или 8, так как число четное Получаем ещё два варианта.
Значит из данных цифр четных четырехзначных чисел можно составить
4 5’5 2 - 200 чисел.
2.23 Припишите к числу ЮОО по одной цифре справа и слова так, чтобы число делилось
на 2, 3, 6 и 9.
2.24 Из множества А - {726 245. 2977 385. 4224 423, 65 358. 111 888. 876555. 909 237)
выпишите та числа, которые.
а) кратны 5;
б) кратны 3:
bj делятся без остатка на 3 и на 2.
г) кратны 9 и 5.
В предложении словосочетания а делится на с без остатка-, -ц на-
цело делится на е», с делитель а-, -а кратно е- означают одно
и то же.
Приведите контрпример, опровергающий утверждение.
а) любое число, которое оканчивается цифрой 5. делится на 7;
б) любое число, которое делится на 7, оканчивается цифрой 7.
2.26 Поставьте вместо знака вопроса цифру так, чтобы число делилось без остатка на 3
и на 5. а) 25?5, б) 3174?: в) 133?.
5
2.27 1) Для приготовления песочного теста потребовалось - пачки сливочного масла.
Сколько граммов масла потребовалось, если всего а пачке 180 г масла?
5
2) Для приготовление крема kta расходовал и — упаковки сливок. Сколько граммов
8
сливок израсходовали, если и упаковке было 600 г сливок?
6. РАЗЛОЖЕНИЕ ЧИСЛА НА ПРОСТЫЕ МНОЖИТЕЛИ
47
(? 2.28
Даша пообещала: Я прочитаю сказку Диме и вытру пыль- Можно ли обещание
считать выполненным, если Даша.
а) вытерла пыль, но не прочитала сказку;
б) прочитала сказку, но но вытерла пыль:
в) и вытерла пыль, и прочитала сказку,
г) нс вытерла пыль и не прочитала сказку?
В чем сходство этой задачи с нахождением решений
5 < д- < 9 среди чисел 4. 6 3 и 10?
двойного неравенства
2 29 Найдите множество всех простых делителей числа: 64. 72: 221, 247. 7777, 7007.
2,30 Найдите простые числа, которые являются решениями двойного неравенства
2В < р < 53.
2.31 Существую- ли среди точек Л, В, С и D точки, координаты которь> простые числа
(рис. 2.1), если р простое число?
0
v Рис. 2.1 ,
2.32 Представьте в виде дроби со знаменателем 7 числа 5 и 14.
2.33 Вычислите значение выражения.
а) 4 # 3 , 13 13г Q) 4^1 2-: 9 9 Д) 3-2- • 2— 16 16 Ж) 9- И. 22 27
б) (Ъ 2.34 В 7 1 , 11 11* псрсрыое г) 8- 7-; 5 5 соревнований е) 5— -3—. 13 13 было подано 43 3) —: 27 В1 порции чая. из них; 24 порции
с лимоном. 29 порций с сахаром и 5 порций без лимона и без сахара. Сколько
порций чая с лимоном и с сахаром было подано?
2.35 а) На сколько процентов масса апельсина меньше массы грейпфрута, если масса
грейпфрута на 100% больше массы апельсина?
б) У Саши средняя оценка по математике на 25 % выше средней оценки по мате-
матике у Коли. На сколько процентов средняя оценка по математике у Коли ниже
средней оценки у Саши?
2.36 Запишите значение числового выражения, которое вычисляли на калькуляторе по
следующему алгоритму:
а) 19,3 + 8,98 0,028 ► 4.2 61 11.3 - 2,4 + 3,9 0,2-.
2,37 а) Найдите периметр треугольника, стороны которого равны 8 см, И см и а см.
б) Может ли а быть равным 1, 3 или 5?
признак
делимости
на 4
Полезно знать некоторые другие признаки делимости например
признак делимости на 4. если ддс последние цифры числа образу-
ют число, которое делится на 4. то и само число делится на 4.
2.38 Укажите числа, которые делятся на 4.
а) 234 856, б) 1 094 178. в) 48 954 036: г) 73 581300.
2.39 Какие цифры можно поставить вместо знака вопроса, чтобы число делилось на 4:
а) 45 16?; б) 37 4?2; в) 36 35?, п 84 9?6?
2 40 Какие из чисел 3552, 4712, 6576, 4836 делятся на 3 и на 4? Как вы думаете, числа,
которые делятся на 3 и на 4. делятся на 12? Ответ обоснуйте.
48 $2. ДЕЙСТВИЯ СО СМЕШАННЫМИ ЧИСЛАМИ
2.41 Какие из чисел 7284, 2708. 3912, 9096 делятся на 12?
2.42 Какие цифры можно поставить вместо знака вопроса, чтобы число делилось на 12:
а) 765?: б) 3?68; в) 45?8; г) ?260?
.2.- 1) За два перегона поезд проехал 156,5 км. При этом первый перегон был короче
второго на 17,В км. Найдите протяженность каждого перегона.
2) Междугородный автобус сделал в пути одну остановку. При этом расстояние от
начала маршрута до остановки оказалось на 23.7 км боль
шо, чем остальной путь. Найдите расстояние до остановки
и после нес. если протяжённость всего пути составила ----------------s.
142.4 км. \\
2.44 Выполните действия:
I) 0.3 <13 11.5 : 4.6): 3) (2.4 • 1,3 ♦ 3) : 0.6:
2) (13,3: 3,8 3,05) 0.4; 4) (2,8 • 3,1 4) . 0,4 [
Ц2.45 Развивай воображение. Найдите кратчайший путь на по- II__________{
всрхмости куба (рис. 2.2) из точки А' в точку L.
а) который проходит через точку Л/.
б) который пересекает асе горизонтальные ребра куба,
кроме ребра KL.
< Рис- 22 j
Числа 1083, 20 403, 702 366, 999 123 составные. Докажите это утверждение.
Используя таблицу простых чисел, лашшште, какие из чисел 152, 169, 187,
191. 489. 499, 570. 627, 775. 937 и 999 простые.
Найдите все делатели числа 120. Подчеркните то, которые являются состав-
ными числами.
Всеми возможными способами разложите на два множителя числа 27. 46. 90.
Объём прямоугольного параллелепипеда равен 1001 см'. Найдите измерения
дараие-тениподв. если они выражаются натуральными числами и ни одно из
них не равно 1 см.
В инкубатор заложили 1200 яиц. Из всех яиц вылупились цыплята. При
этом оказалось, что петушки составляют всех вылупившихся цыплят.
Сколько лету иксов и сколько курочек вылупилось из яиц?
Разложите на простые множители числа:
и) 63. 85, 102. 132. 100000;
Найдите значение выражения:
б) 1600. SIMM). 2248. 5148.
9 9 9
в) 5— + 4 —
39 78
2 :. Цветочная клумба имеет форму прямоугольника, длина которого в 1,8 раза
больше ширины. Найдите площадь цветочной клембы. если её периметр равен
11,2 м.
6. РАЗЛОЖЕНИЕ ЧИСЛА НА ПРОСТЫЕ МНОЖИТЕЛИ
49
Определит г. чёншм или нечётным числом будет результат действия и каждом
случае (а и с да гуралыше числа).
N” Множитель и Множитель с Произведение а с
1 чётный чётный
2 четный нечётный
3 нечётный нечётный
4 нечётным чётный
Вычислите значение выражения:
а) (13,815 : 4,5 2,3) • 0.2:
б) (4.6 3,5 - 15,32) : 31,42 + (7,26 5,78) : 0,148.
проверьте
Проверочная работа № 1
। ВыбериIV верные утверждения:
а) любое натуральное число, которое имеет более двух дели it лей, называется
простым;
б) любое мату рольное число, которое имеет более двух доли голей, называется
составным;
в) любое? натуральное число, которое имеет только два делителя. называется
простым;
г) любое натуральное числи, которое имеет только два дели геля, называется
составным;
д) 1 является простым числом:
е) 1 является составным числом.
Выпишите из чисел 1, 7, 20, 23. 31, 33. 43, 49, 60 те, которые являются:
ai простыми; б) составными.
Запишите все делители числа 24. Сколько среди них простых?
Запишите все делители числа, представленного в виде нроизведения:
а) 2 3 ’ 11; б) 3? ’ 7.
Проверочная работа № 2
i а) Сколько существует простых чисел, меньших 20?
б) Сколько существует составных чисел, меньших 20?
в) Существуют ли составные нечётные числа? Если да, приведите пример.
г) Су шествуют ли простые чётные числа? Если да, приводите пример.
2 Разложите на простые множители число:
а) 6; б) 9: в) 72; г) 124.
Найди и? частное удобным способом:
а) (3 • 4 - 2) : 3;
б) (5 • 2 • 7 • 3 ’ 2) : (5 * 2 * 2);
в) (7 • 2 5 • 2 ’ 11 7 ’ 13) : (7 ’ 2 • 11 13).
50
$Z ДЕЙСТВИЯ CO СМЕШАННЫМИ ЧИСЛАМИ
4 Делится -jh ироизвсдеиие 2’2’3’ 5*7’ II* 13 нацело на:
й) 2 ’ 2 ’ 5; и) 22 • 13; д) 4 ’ 15 143;
б) 2 3 ’ 3 ’ 7; г) 2* • 7 ♦ II1; е) 60 ♦ 11 • 143?
В случае положительного ответа найдите результат деления.
Проверочная работа № 3
Найдите все цристые делителя числа:
а) 45: б) 56; в) 154; г) 1395.
Для числа 512 запишите:
и) множество Л
б) множество В
и) множество С
1) множество D
д) множество Е
с) множество Е
всех прос тых делителей;
всех составных делителей:
всех чётных делителей;
всех нечётных делителей:
всех простых чётных дели гелей;
всех составных нечётных делителей.
Представьте число 36 ы виде произведения грех множителей, отличных от еди-
ницы. Сколько существует таких разложений?
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА.
• наибольший
общий делитель
• взаимно простые
числа
7. Наибольший общий делитель.
Взаимно простые числа
Задача. В детском саду детей нарядили к празднику
«Весна пришла»; 18 детей в костюмы зайчиков и 24 а костю-
мы белочек На какое наибольшее число групп можно раз-
бить детей для танца, чтобы в каждой группе было одинако-
вое количество «зайчиков- и «белочек»?
Решение. Число 18 и число 24 должны' делиться на чис-
ло групп Поэтому выпишем все делители чисел 18 и 24.
Делители 18: 1, 2. 3, 6, 9. 18.
Делители 24: 1, 2 3, 4. 6 8, 12 24.
Общими делителями этих чисел будут: 1 2. 3, 6.
Самым большим из этих делителей является 6.
Детей можно разделить на 6 групп. В каждой группе
будет 3 -зайчика» (18 ; 6 _ 3) и 4 -белочки» (24 : 6 - 4)
Ответ. 6 групп.
Число 6 называют наибольшим общим делителем чисел
I8 и 24.
Наибольшим общим делителем (НОД) нескольких чи-
сел называют наибольшее натуральное число, на которое де-
лятся эти числа без остатка.
Например, найдём наибольший общий делитель чисел
21 и 40.
Делители числа 21: 1, 3 7, 21.
Делители числа 40: 1,2 4, 5. 8, 10. 20, 40
7. НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ. ВЗАИМНО ПРОСТЫЕ ЧИСЛА
51
алгоритм
нахождения НОД
(Числа 21 и 40 имеют только один общий делитель —
число 1. Такие числа называют взаимно простыми.
(Натуральные числа называют взаимно простыми, если
их наибольший общий делитель равен I.
Наибольший общий делитель можно найти по-другому.
Числа I 8 и 24 разложим на простые множители:
18 - 2 3 - 3. 24 - 2.' 2 ’ 2 • 3.
Подчеркнём множители, которые входят в разложение и
первого, и второго числа. Это множители 2 и 3, и их произ-
ведение равно 6. Число 6 — наибольший общий делитель
чисел 18 и 24.
Пишут: НОД (18 24) _ 6. Так же находят наибольший об-
щий делитель нескольких чисел.
Чтобы найти наибольший общий делитель нескольких
натуральных чисел, надо:
1) разложить числа на простые множители:
2) подчеркнуть общие множители в каждом разложении:
3) найти произведение общих множителей.
1Если все данные числа делятся на одно из них (делитель
данных чисел), го это число и является наибольшим общим
делителем этих чисел.
Например НОД (14, 42. 84. 140) ~ 14. так как на 14 делят-
ся все остальные числа: 42, 84 и 140.
Что такое наибольший общий делитель натуральных чисел?
J Какие числа называют взаимно простыли? Приведите примеры.
_Чсму равен наибольший общий делитель взаимно простых чисел0
"Расскажите алгоритм нахождения наибольшего общего делителя
нескольких натуральных чисел
Чему равен НОД двух чисел, одно из которых кратно другому?
яь
2.57 Найдите все общие делители чисел:
а) 20 и 70; 6) 36. 48 и 144; в) 22 и 105.
2 58 Рахтожите каждое число мл простые множители, подчеркните общие множи-
тели л запишите наибольшее число, на которое делятся числа каждой дары:
а) 36 и 48; б) 84 и 96; в) 45 и 60: г) 72 и 90.
2.59 Назовите разложение ни upix гые множители наибольшего общего делителя
чисел m и п, если:
a) /п — 2 • 2 • 2 » 3 • 3 к п = 2 • 3 3 * 3 • 5;
б) rti = 2 5 • 5 • 7 * 7 • 7 к п — 3 * 3 • 5 * 7 - 7.
2.60 Найдите наибольший общий делитель чисел:
а) 42 и 63; б) 30 и 40: в) 45 и 30; г) 66 и 88.
2.61 Найдите наибольший общий целитель чисел:
а) 21 и 84; б) 27 и 81; а) 32 и 96; г) 75 и 300.
52
12. ДЕЙСТВИЯ СО СМЕШАННЫМИ ЧИСЛАМИ
В словосочетаниях общий делитель, наибольший общий делитель чис-
лительные читают в родительном падеже, если перед ними нет слова
чисел, а если есть слово чисел, то в винительном падеже:
Р. л. Р. п.
• шесть общий делитель двенадцати и двадцати четырех.
В. п.
• число шесть наибольший общий делитель чисел двенадцать
в п.
и двадцать четыре
2.62 Найдите наибольший общий делитель числителя и знаменателя дроби:
324. я. 225. ч 111 . 575
а) —; о) —; и) ; г) — .
132 275 501 825
2.63 Найдите наибольший общий делитель чисел:
а) 45. 60 и 105; и} 108. 72 и 96;
б) 162. 222 и 432; г) 240. 480 и 720.
2.64 Найдите наибольший общий делитель чисел:
а) 35 и 39; 6) 79 и 97; в) 44, 21 и 5; I*) 15» 26 н 77.
2.65 Укажите взаимно простые числа:
а) 45 и 50; б) 99 и 40; а) 15. 30. 47; г) 249 и 310.
2.66 Среди чисел 6, 15, 30 и 77 найдите все нары взаимно простых чисел.
2.67 Найдите все правильные дроби, знаменатель которых равен 16. а числитель
и знаменатель взаимно простые числа.
2,68 В магазине помидоры и огурцы расфасовали в одинаковые упаковки, сделав
ассорти.
а) Какое наибольшее число таких упаковок получилось из 84 помидоров и 112
огурцов?
б) Сколько помидоров и сколько огурцов было в каждой упаковке?
2.69
В спортивных соревнованиях приняла участие 108 мальчиков д 144 девочки.
И мальчиков, и девочек разбили па группы с одинаковым количеством че-
ловек а каждой группе. Какое наибольшее количество человек могло быть
в каждой группе? Сколько получилось труни мальчиков и трупп девочек?
2 70 Вычислите
а) 0.75 0.7 б) 1 0.25 в) 0.9 0.09 г) 23.9 3,9
20 2 . 9 0.15
0.2 : 0.3 + 0.6 о.а
: 0.4 0ХЭ5 - 10 : 0,1
7 ? 7 7
2 71 Определи го с помощью линейки, какими числами (простыми или составными) яв-
ляются натуральные числа a. b и с па рисунке 2.3. Запишите координаты точек К,
.V. D. .М.
О К
. pwc- 2-3 >
7, НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДБЛИГЕЛЬ. ВЗАИМНО ПРОСТЫЕ ЧИСЛА
53
2.72 Существует ли куб. у которого выражаются простыми числами ребро и.
а) сумма асах рёбер б) площадь повсрх1юсти?
2 73 Разложите на простые множители числа:
а) 525. 2310 и 3750: б) 1029. 9375 и 19 633.
2 .74 Разложение одного числа состоит из двух простых множителей, а другого из трёх
простых множителей. Могут ли эти числа быть рапными?
2 . Существуют ли четыре таких различных простых числа, что произведение двух из
них равно произведению двух других?
I В 2.76 а) Сколькими способами могут разместиться 9 зрителей домашнего спектакля на
4— девяти стульях?
б) Сколькими способами могут разместиться зрители на этих стульях, если один из
них пойдет помогать артистам?
2.77 Выполните действия
а) (2 5 • 5 1 11) : (5 11); в) (2 5 • 7 ' 19) . (5 7):
б) (2 2 3 5 13) : (2 5 13): г) (3 5 7 7 17 23) : (3 7 17).
2.78 Сравните числа:
а) 7 и б) Т1 и 3 : в) F3 и г) 4- и зЛ
9 9 23 23 5 5 5 7
2 7 • Используя транспортир, постройте A’LAJ - 65 и PHS - 170 .
I) Развернутый угол ЛОВ разделён на два угла. ДОС и СОВ. Чему равны эти углы,
если угол СОВ в 5 раз больше угла ДОС? Постройте эти углы.
2) Развернутый угол COD разделён на два угла: СОЕ и FOD. Чему равны эти углы,
если угол FOD в 3 раза меньше угла COF9 Постройте эти углы.
2.. 1 1) На молокозаводе было 960 л молока. Из ' всего молока приготовили творог, *
16 9
оставшегося молока переработали на сливки, а остальное молоко разлили в бутыл-
ки по 1.5 ли отправили в магазин. Сколько бутылок молока отправили в магазин?
5
2) В плодоводческом хозяйстве собрали 720 о вишни. Из — всей вишни сварили
9
варенье, оставшейся вишни переработали на сок, а остальную вишню расфасо-
1 *1
вали в ящики по 7,5 кг и отправили па продажу. Сколько ящиков вишни отправили
на продажу?
2.32 Числа 0,7; 0,29, 0.2 представьте в виде обыкновенной дроби, а числа -.3
8 2
12
6— в виде десятичной дроби.
25
2.62 Запишите числа в виде десятичной дроби и найдите сумму.
а) т 1 у; б) 2— * 3-
эИ 25 4 Оора зец.
II, 2.84 Развивай мышление. Представьте в виде суммы с наименьшим
числом простых слагаемых (слагаемые могут повторяться) числа,
а) нечётные, большие 5, по меньшие 20.
б) четные, большие- 2. но меньшие 20.
Сформулируйте предположения о представлении чисел а виде
суммы простых слагаемых.
54
52. ДЕЙСТВИЯ СО СМЕШАННЫМИ ЧИСЛАМИ
Найдите НОД ш, б), сели:
а) и - 2 • 2 • 3 * 3 ♦ 5 - 7 • 19, b - 2 * 3 11 • 13;
б) а 2’3’3г<)*5’<1'11, 3’5*5’ t л
Найдите наибольший общий целитель чисел:
а) 975 и 750: а) 80. 140 и 56:
б) 572 и 440; г) 170, 306 л 255.
Являются .ш числа 675 и 896 взаимно простыми?
Сократите дробь:
Процедите луч ВС и достройте х_ДВС - 80 и _DBC - 60 . Найдите угол ABD.
Проверьте ответ е помощью транспоршра. Сколько решений имеет задача?
На трёх факультетах колледжа обучаются 540 человек. При этом на факуль-
тете менеджмента обучается ншиоро. а на юридическом втрое больше сту-
дентов, чем на финансово-экономическом факультете. Сколько человек обуча-
ются на каждом факультете?
Найдите площадь прямоугольника, если сю периметр равен 81 см, а одна из
2
ею сторон составляет — периметра.
Запишите ь виде, обыкновенной дроби числа 0.5; 0.24; 0,75.
о ПЛ о - I . 11 . 8 . - I
Запишите в виде десятичной дроби числа —: р—: —;
2,9-1 Вычислите:
а) 78,9 - (65,65 5.5 ’ (54.54 : 5.4)) * 1.3;
б) 36,9 + (76,76 6,6 • (95,95 : 9,5)) - 27.4.
11 ^1]:] 3 I 3 Z
Проверочная работа
1 Какие из данных чисел являются взаимно простыми:
й) 12 и 15; в) 25 и 30;
б) 29 и 34: г) 72 и 73?
2 Даны разложения иа простые множители двух чисел:
2 - 2 • 5 • 7 и 2 7 * 11.
Найдите их наибольший общий делитель.
3 Найдите наибольший общий делитель чисел:
а) 34 и 56; в) 102 и 204;
б) 45 и 65: г) 1005 и 960.
Разложите на простые множители числа 1440 и 240. Во сколько раз 1440
больше 240?
5 Дана прави.1ьная дробь ™ . Найдите вое значения т такие, чтобы числитель
1 □
и лламенап’-Хь д]хх5и бы_ш хкаитмно иростыми.
8. НАИМЕНЬШЕЕ ОБЩЕЕ КРАТНОЕ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
55
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА.
* паи меньшое
общее кратное
алгоритм
нахождения НОН
8. Наименьшее общее кратное
натуральных чисел
Задача. Дима покупал пирожки с яблоками по 45 р.,
а Витя — с мясом по 60 р. Какую наименьшую сумму должен
заплатить каждый мальчик чтобы расходы ребят были оди-
наковыми?
Решение Так как мальчики заплатили одинаковую сум-
му за покупку, то эта сумма должна делиться без остатка
и на 45, и на 60. т. е. должна быть кратной и 45. и 60.
Выпишем числа, кратные 45 и 60.
Кратные 45: 45, 90, 135. 180, 225, 270. 315, 360. 405.
Кратные 60: 60, 120 180 240 300 360 420, 480, 540,
600, 660..
Общими кратными чисел 45 и 60 будут числа 180, 360, ... .
Наименьшим из них является 180.
Следовательно, наименьшее потраченное на покупку пи-
рожков количество денег — 180 р. На эти деньги Дима купил
4 пирожка 1180 45 ~ 4). а Витя — 3 пирожка (180 : 60 ~ 3}
Ответ. 180 р.
Число 180 называют наименьшим общим_краП1ым чисел
45 и 60.
Наименьшим общим кратным (НОК) нескольких нату-
ральных чисел называют наименьшее натуральное число, ко-
торое делится на каждое из этих чисел.
Наименьшее общее кратное чисел 45 и 60 можно найти
по-другому. Для этого числа 45 и 60 разложим на простые
множители:
45 3 • 3 5,
60-2-2-3-5.
Выпишем все множители из разложения большего из этих
чисел Для того чтобы произведение 2 2 3 5 делилось
на 45. добавим к нему недостающий множитель 3 из раз-
ложения числа 45.
Это число является наименьшим общим кратным чисел 45
и 60.
Так же находят наименьшее общее кратное нескольких
чисел.
Чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких
натуральных чисел, надо:
1) разложить числа на простые множители
2) выписать множители из разложения большего из чисел;
3) добавить к ним недостающие множители из разложений
остальных чисел;
4) найти произведение этих множителей.
56
5Z ДЕЙСТВИЯ CO СМЕШАННЫМИ ЧИСЛАМИ
I Если одно из данных чисел делится на все остальные
числа, то их наименьшее общее кратное равно этому числу.
Например, НОК {8, 16. 40. 80) _ 80 так как 80 делится
на все данные числа.
) t Что такое наименьшее общее кратное натуральных чисел?
[.Какое число является наименьшим общим кратным чисел 3, 9. 27?
LРасскажите алгоритм нахождения наименьшего общего кратного
нескольких чисел.
2.95
2.96
2.97
2.98
2.99
Назовите разложение на простые множители наименьшего общего кратного
чисел и н Ь, если:
а) а - 2 • 7. 6-79;
б) а - 2'3 • 3 * 3 ’ 7. b - 2 ’ 3 • 3 • 11.
Найдите НОК (/я, л)« если:
а) m - 2 3 ’ 3 • 5 ’ 11 И п - 2 • 2 • 3 • 3 3 * 11;
б) m — 2 ’ 3 • 5 ’ 5 и Г- та та в. м II
в) /п ~ 2 • 2 • 5 ’ 5 ’ 13 и II ф CaL 4 ч
i) гп - 2 . 2 • 5’5* 17 и II а ге С0 С» 4 СП 4 а
Найдите наименьшее общее кратное чисел:
а) 12 и 8; в) 108 и 132; д) 10. 15 и 30;
б) 14 и 42; г) 90 и 315; е) 6. 8 и 12:
ж) 6, 9 и 18;
а) 77. 91 и 143.
Найдите наименьшее общее кратное знаменателей дробей:
. 7 5 х 13 17
а) и —: б) и —.
1S 12 20 25
Рассмотрите нары чисел: 9 н 13; 15 и 19; 24 и 35; 27 и 32.
а) Являются ли числа, представ ле иные и каждой паре взаимно простыми?
б) Найдите наименьшее общее кратное чисел в каждой паре. СДелайге пред-
положение.
2.100 Рассмотрите нары чисел: 26 и 78: 32 и 96: 24 и 72: 25 и 100.
а) Какая особенность объединяет эти нары чисел?
б) Чем> равно наименьшее общее кратное чисел каждой нары?
2.101 а) Владелец машины меняет каждые 15 тыс. км моторное масло, а каждые
60 гыс. км приводной ремень. Через сколько тысяч километров совпадут
замены масла и приводного ремня?
б) Спутники По, Европа» Ганимед и Каллисто планеты Юпитер обращаются
вокруг неё ;ta -12. 85, 172 и 400 ч соитветсгвснии. За какое наименьшее время
они все вместе повт-оряю! своё положение на орбите?
fj 2. 102 В магазин раз в два дня привозят хлебобулочные изделия, раз в три дня
кисломолочную продукцию и каждые десять дней кондитерские изделия.
Первого декабря в магазин привезли эти три вида товаров. Когда в следующий
раз эти товары привезут в одни день?
8. НАИМЕНЬШЕЕ ОБЩЕЕ КРАТНОЕ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
57
2.103 Вычислите. 0,7
а) 0,7 • 10 б) 5 : 10 в) 4 0,8 г) 0,9 ♦ 0,06 Д) 1
: 2 0,2 : 0,8 0,3 4 2 : 10 : 0,4 : 0,7 0,5 ? ? ? : 0,3 0,2 ’ 0,1 ? • 5 : 15 100
2.104 Дроби 4 11 гдс п и с натуральные числа, можно представить в виде дсся-
гичных. Могут ли числитель и знаменатель каждой из этих дробей быть взаимно простыми?
2.105 Найдите наибольший общий делитель числителя дробь; а) ± б) я зз 52 8 '25' ' 9Э '95 и знаменателя дроби и сократите
2.106 li Какие числа могут быть взаимно простыми а) два чётных числа. 6) четное и не-
чётное числа: в) два простых числа; г) простое и составное числа: д) два последе
вательных натуральных числа?
2) Какие числа всегда взаимно простые: а) два четных числа. 6) четное и нечётное
числа; □ > два простых числа, г) простое и составное числа: д) два последовательных
натуральных числа?
2.107 Найдите наибольший общий делитель чисел
а) 13 и 26; 6} 8 и 12: в) 60 и 75. г) 64 и 128: д> 3375 и 5625.
2.108 Для изготовления круглых подставок под цветы диаметром 15 см нужно сде-
лать заготовки квадратной формы. Имеются пластмассовые листы размером
80 - 140 см. 105 х 145 см и 120 х 150 см. Какие из этих листов нужно взять, что-
бы было меньше отходов?
2.109 Докажите, что если число у кратно 14, то оно делится на 7.
2.1 10 Найдите наибольший общий делитель всех двузначных чисел, записанных одинако-
выми цифрами,
[fi ;’.11 I Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1. 3. 5. 7 9. если цифре не
повторяются?
2.1 12 Запишите в виде обыкновенной или десятичной дробей частное:
а) 2 : 5; б) 4 : 13; в) 17 : 20; г) 19 : 43.
2.113 Запишите в виде частного дробь, а) 6j 11; в) г) 0,7. д) 0,24.
г о 10
2.1 U Запишите в виде смешанного числа частное.
а) 19 : 5: б) 20 : 7: в) 21 1 5: г) 392 : 16.
2.11: 1 Найдите среднее арифметическое четырёх чисел:
а) 2.6; 3,8; 4.3 и 3,7; в} 13.46, 17.24; 21,39 и 7.91,
б) 4,7. 5,6: 3.9 и В,2: П 14.33; 19,42: 3.47 и 10.48.
2.116 Сроднее арифметическое двух чисел равно 48. Найдите числа, если одно число
в 3 раза меньше другого.
2.117 п На овощной базе было 23 т овощей. В первый день предали в 4.6 раза меньше
овощей, чем во второй день. К угру третьего дня на базе осталось 3,4 т овощей.
Сколько тонн овощей продали во второй день?
58
§2. ДЕЙСТВИЯ СО СМЕШАННЫМИ ЧИСЛАМИ
2) Туристы запланировали пройти за день 33 км. До обода они прошли а 2.2 рапа
большей расстояний, чем поело обеда. К вечеру им осталось пройти 2.6 км. Сколь
ко километров прошли туристы до обода?
чйй;« б •« иииы Диа ПРОС1Ъ1Х числа, разность которых равна 2. называют близ-
нецами 3 2013 г. ученые доказали, что существует босконоч-
I ио много пар таких чисел.
.116 Развивай мышление, а) Найдите о таблице простых чисел пары чисел-близнецов
среди первых 500 нагуральньх чисел. Сколько таких пар получилось?
б) Все пары чисел-близнецов, кроме 3 и 5, имеют вид 6/? 1 или 6/г * 1. Найди
то по этим выражениям пары чисел для п. равного 87. 135 и 165.
в) Не все пары чисел вида 6k I и 6k 1 являются числами-близнецами. Найди
то все пары двузначных чисел вида 6k 1 и 6Л г 1, которые нс являются числами-
близнецами.
д
Найдите наименьшее общее кратное чисел:
а) 22 и 35; б) 40 и 50; в» 270 и 450; г) 40. 60 и 13.
Найдите НОД (л, d), сели:
а) л - 3 ’ 5 * 7 ’ 7 • 11, </ - 5 ’ 3 • 7 ’ 11; б) л - 756, d — 720.
Артель «Дары леса» заготовила 78 ц морошки, клюквы и брусники. При жм
клюквы заготовили и 5 раз больше, чем морошки, а брусники на 15 ц
больше, чем морошки. Сколько центнеров каждой шюды заготовила артель?
Масса трёх космических станций «Саяют-1» (запуск в 1971 г.), «Мир» (запуск
а 1986 i J и МКС (запуск в 1998 г.) равна 360.53 т. Найдите массу каждой
станции, если масса станции «Мир» на 105,44 г больше массы станции «Са-
лют-1», а масса МКС больше массы станции Мир на 292,95 г.
Найдите корень уравнения:
а) (г + 25.3) • 4,3 - 160,82; в) (т + 41.1) : 17.1 - 4,3;
б) (у 0,86) 0.05 - 0.0285; г) (/? 8.7) : 18.7 - 5,2.
1 24 Запишите в виде смешанною числа:
а) 31 ; 9; б) 81 : 9; в) 402 : 15; г> 1429 : 14.
За конкурс «Музыкальное приветствие» команды КВН получили следующие
оценки:
Название команды -Весёлые» 5 5 Оде 4 нки су 4 дем 3 4 4 Средний балл
Находчивые 4 5 4 4 4 4 5
-Юморные- 4 5 4 3 3 5 4
2.126
2.127
Расположи те команды mi воз рас пшаю их средних баллов.
Турист нлы-ч на байдарке 1.5 ч со скоростью 6.6 км ч и 3.3 ч шёл пешком
со скоростью 5,4 км ч. Найдите среднюю скорость ту ряста на всём нуги.
Выии. 1 ните дейст в ия:
а) (854,9 203.3) : 7.2 • 1.4 + 3.3; б) (130.4 + 87,3) : 7,8 • 2,5 4.5.
8. НАИМЕНЬШЕЕ ОБЩЕЕ КРАТНОЕ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
59
Пифагор
Древнегреческий учёный Пифагор (VI а. да и о.)
и его ученики считали что ость особенные числа.
К ним относились 6 и 28. Оги числа равнялись сумме
всех их делителей (без самого числа): 6 1 । 2 1 3,
28-1 *2+4*7+ 14. Такие числа они назвали
совершенными
Алгоритм нахождения чётных совершенных чисел
был описан другим великим математиком Евкли-
дом (III в. до и. з.) в книге IX "Начал*. По этому ал-
горитму нашли гретые совершенное число 496
и четвёртое 8128. Пятое совершенное число
33 550 336 было найдено спустя полтора тысячеле-
тия в XV в.
В настоящее время благодаря компьютерам со-
вершенные числа вычисляются намного быстрое. Например, вычислен-
ное в 2001 г. тридцать девятое совершенное число имеет 4 млн знаков.
На январь 2020 г. известно 51 четное совершенное число
Сложно сказать, когда люди впервые задумались о простых числах.
На папирусах древних египтян, сделанных более 3500 лет назад, най-
дены ряды простых чисел.
Так как простые числа эго "Строительные эле-
менты-, из которых с помощью умножения получа-
ются другие числа, то интерес к ним возни* ужо
у древних ученых.
Древние греки были первыми, кто стал изучать
простые числа. В книге IX -Начал- Евклид доказал,
что существует бесконечное множество простых чи-
сел. Он нашел и доказал другие свойства простых
чисел, которые сейчас мы воспринимаем как само
собой разумеющееся.
Во И в до и. э. древнегреческий математик Эра-
тосфен придумал простой алгоритм для поиска лро-
Еаклид стых чисел.
Запишем все натуральные числа от 1 до какого
то числа. Затем вычеркнем единицу, которая нс является ни простым,
ни составным числом, и все числа, идущие после 2, через одно (числа,
кратные 2. т. с. 4, 6. В и т. д.). Далее вычеркнем через два вес числа,
идущие после 3 (числа, кратные 3. т. о. 6. 9. 12 и т. д.). и т. д. Оста-
нуте я только простые числа
>г 2 3 А 5 7 Я 16
11 13 14 17 16 19 26
24 2? 23 24 25 26 27 28 29 36
31 32 за 34 36 37 -25 46
41 $2 43 44 45 46 47 48 49 56
54 :-2 53 54 .55 56 .57 58 59 66
Греки па папирусе числа нс вьчеркиаали, а выкалывали иглой. и та
блица * концу вычислений напоминала решето. Поэтому метод Эратос-
фена называют решетом Эратосфена». По атому же алгоритму
и а настоящее время составляют таблицы гростых чисел с помощью
компьютеров.
Примером использования простых чисел является применение их
при шифровании данных. Самые распространённые методы шифрова-
ния основаны на применении простых чисел, имеющих в составе более
грех сотен цифр. Простые числа необходимы для повседневного ис-
пользования Интернета.
60
К. ДЕЙСТВИЯ СО СМЕШАННЫМИ ЧИСЛАМИ
Проверочная работа
Восстановите алгоритм нахождения наименьшего ибшеги кратною нескольких
натуральных чисс.1, записав а нужном порядке номера действий:
1) добавить недостающие множители из разложений остальных чисел:
2) выписать множители на разложения большего из чисел:
3) найти произведение множителей;
4) разложить числа да простые множители.
2 Наиишитс несколько чисел, кратных:
а) 4 и 5; в) 10 и 12;
б) 6 и 7; г) 18 и 24.
Найдите наименьшее общее кратное чисел:
а) 28 и 35; в) 45 и 95;
б) 120 и 150; г) 200 и 300.
Миша и Лена вс:трети_шсь на школьном стадионе. Оказалось, что Миша бега-
ет раз в 3 дня. а Ленд раз в 4 дня. Через сколько дней ребята снова встре-
тятся на стадионе, если они бегают в одно и ю же время?
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА
* наименьший
общий
знаменатель
9. Приведение дробей
к наименьшему общему
знаменателю
Мы умеем приводить дроби к общему знаменателю но
ЯП я упрощения вычислений обычно дроби приводят к наи-
меньшему общему знаменателю.
Наименьший общий знаменатель равен наименьшему
общему кратному знаменателей данных дробей.
Пример 1. Найдем наименьший общий знаменатель дро-
54
□ей - и - и приведём к нему данные дроои.
б 'Э
Наименьшее общее кратное чисел 6 и 9 равно 18. Чтобы
привести дроби к этому общему знаменателю, надо найти
дополнительный множитель для каждой дроби и умножить на
него числитель и знаменатель дроби.
Для дроби дополнительный множитель 3 (делим наи-
меньшее общее кратное на знаменатель дроби: 18 : 6 ~ 3),
значит. 5 5 3 t5
6 " 6 3 " 18*
д
У дроби - дополнительный множитель 2(18 9 _ 2). значит
4 4-2 8
9 ~ 9 2 ” 18
5 _ 15 4 _ В
Итак. 6 - )В. а 9 t6-
^.ПРИВЕДЕНИЕ ДРОБЕЙ К НАИМЕНЬШЕМУ ОБЩЕМУ ЗНАМЕНАТЕЛИ Q j
алгоритм приведи
ния дробей к паи
меньшему общему
знаменателю
Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаме-
нателю надо:
1) найти иаиыеньшЕЕ обшив кратное всех знаменателей дро-
бей. г. е. наименьший общий знаменатель:
2) найти для каждой дроби дополнительный множитель, раз-
делив наименьший общий знаменатель на знаменатель каж-
дой дроби:
3) умножить числитель и знаменатель дроби на её дополни-
тельный множитель.
Для больших знаменателей наименьший общий знамена-
тель и дополнительные множители находят с помощью раз-
ложения на простые множители.
ОО 1 Q
Пример 2. Приведём дроби и — к наименьшему
общему знаменателю.
Разложим знаменатели дробей на простые множители:
252 - 2 - 2 3 • 3 • 7; 90 - 2 • 3 • 3 • 5.
Найдём наименьший общий знаменатель
2 2 3 3 7-5 = 1260
Для дроби дополнительный множитель 5, так как это
i.
число не входит в разложение числа 252. Значит,
29 _ 29 5 _ 145
252 252 5 1260
1 'I
Для дроби дополнительным множителем является
произведение 2 и 7. так как на эти множители нужно дом по-
жить 252, чтобы получить 1260. Поэтому
13 _ 13 2 7 _ 1В2
90 90 2 7 1260
Итак.
29 _ 145 13 _ 102
252 1260' 90 1260’
Можно ли привести дробь - к знаменателю 130?
Какое число называют дополнительным множителем?
Как найти дополнительный множитель?
Что является наименьшим общим знаменателем дробей? Как его
найти?
Любые ли две дроби можно привести к наименьшему общему зна-
менателю?
Чему равен наименьший общий знаменатель для дробей со взаим-
но простыми знаменателями?
ОЮО /< « Н 10 21 36
2.128 Сократите дроби —- —» — , д затем приведите их к знаменателю об.
о i oil и — 1411 4 8 15 <о>>
2.129 Можно ли дроби -« —. -« привести к знамена гелю 48?
«5 У 1 □ I I I
62
$2. ДЕЙСТВИЯ СО СМЕШАННЫМИ ЧИСЛАМИ
2.130 а) Каким должен быть знаменатель обыкновснмой дроби, чтобы её можно
было представить и виде десятичной?
б) Какие дроби можно представить а виде десятичной дроби:
3 12 £ 7 11 6
5 * 25* 3 * 12’ 15 * 21 '
2.131 Запишите в виде десятичной дробя:
2 17 9 19.
’ Г 20* 25 ’ 50*
3 13 161 173
U 8* 125* 250* 500'
2.132 Зад шиите в виде:
. „ с 3 7 13 I 17 101
а) досмяиой дроби р ,
б) обыкновенной несократимой дроби 0.3: 0.5: 0,25; 0.28: 0,45; 0.80: 0.04;
0.125; 0.25; 0,75; 0.705.
2.133 Даны углы. равные 30 . 45;. 60’. Какую часть прямого угла составляют эти
углы?
2.134 Приведите к наименьшему общему знамена юлю дроби:
О Л. ® 2L б) и ; 20 60 г) 17 20 7 и ; 25 Л. 25 56 с) и ; 12 117 з) 21 225 It и 375
гт 2.135 Вычислите, а) 14 < 0.8 б) 3 - 0.5 в) 39 0.02 г) 4 : 0,5 Д) 3 2,4
2.136 : 4 0,7 1.5 7 Найдите число по : 0,5 : 3,9 + 2,1 50 3 0.7 ? : 3 7 схеме алгоритма, если .г - 27. 1,2 5.2 - 0.4 6.7 7 х - 45; х - : 0.5 4 3.8 0.6 : 0.2 7 72.
2.130 Найдите, на сколько гроцентов увеличится площадь поля прямоугольной формы,
если длину поля увеличить на 20 %, а ширину на 35 %.
2.139 Вычислите, составив алгоритм вычисления на калькуляторе, значение выражения:
ai 3.75 14.39 2.33); б) _________________LZ_____
6,34 -17.66
9. ПРИВЕДЕНИЕ ДРОБЕЙ К НАИМЕНЬШЕМУ ОБЩЕМУ ЗНАМЕНАТЕЛЮ
63
2.140 Используя транспортир, разделите окружность, а) на 6 равных частей: 6) на 3 рав-
ные части. Соедините последовательно получившиеся точки отрезками. Измерьте
CTOpoi ь и углы построенного многоугольника. Сделайте предположение.
япакилькые Многоугольники, у которых равны стороны и равны углы, на-
многоуголъники зывают правильными (рис. 2.4).
2 141 Является ли правильным многоугольником прямоугольник, квадрат”
2.142 Найдите значение выражения и проверьте ваши вычисления с помощью калькулятора:
1) (20.826 • 46.97 : 7,7 1,725 5.61 1.78:
2) (9.25 8,4 < 44,89 : 67 55.816) : 5,37.
Я
2.143 Приведите дробь: / \
3 12
а) - к знаменателю 84; в)о“ к диамош) телю 92; \
‘й юг- 1 1° ио /
б) — к знаменателю 136; г) — к знаменателю 143.
2.144 Запишите в виде десятичной дроби: >-------
. 3 , 7 . 3 .27 .13 .5 / \
а> 5; 6’м! “’Г Г> И1 Д) 20’ *” 8’ / \
Приведите к наименьшему общему знаменателю дроби: \
. 9 21 И х ч II 7 37 \ /
а) —, — и -----; в) —, — ц —; \ /
65 50 650 15 12 60 '---------
б) 32, 7 и 11; г) Л- а и II. I Рис. 2.4 J
63 117 55 108 72 00
От двух пристаней на озере одновременно ни одному маршруту навстречу друг
другу иыш.ш катер и теплоход. Нлйдлтг их скорости, если, рассгояиме между
пристанями 58 км, скорость теплохода на 2 км ч больше скорости катера,
и встретились они через 2 ч.
Найдите значение нырамсеннм:
а) 0,55 • (623 518.2) + 1.24 ’ 68 1.96;
б) «88.74 18.54) • 0,009 0,6218) • 400.
ПРОВ^ЫЕ
Проверочная работа
Восстановите алгоритм приведения дробей к наименьшему общему зндменате*
лю, записав в нужном порядке номера действий;
1) найти для каждой дроби допщымтс.шпый множитель, разделив наимень-
ший общий гшаменаяель на знаменатель хсансдой дроби;
2) умножить числитель и знаменатель дроби на ее дополнительный множи-
тель;
3) найти наименьшее общее кратное всех знаменателей дробей, г. с. наимень-
ший общий знамеши’О.ш.
64 $2- ДЕЙСТВИЯ СО СМЕШАННЫМИ ЧИСЛАМИ
Приводите дробь:
а) — к знаменателю 156; б) —— к знаменателю 1612.
13 121
Приведите к наименьшему общему знаменателю дроби:
10. Сравнение, сложение
и вычитание
обыкновенных дробей
алгоритм ернике
ния, сложения,
вычитания дробей
В 5 классе вы уже сравнивали складывали и вычитали
дроби со знаменателями, дчя которых можно было легко
найти общий знаменатель.
Чтобы сравнить (сложить, вычесть) дроби с разными
знаменателями, надо:
11 привести дроби к наименьшему общему знаменателю:
2| сравнить (сложить, вычесть) полученные дроби.
Пример 1. Сравним дроби и '
Приведём дроби к наименьшему общему знаменателю 42:
5 _ 5 -7 _ 35. 11_ 1I-3 _ 33
6 6-7 42 14 14 3 42'
_ 35 33 5 11
Так как - > . то - > тт-
42 42 6 14
Пример 2. Выполним сложение дробей - и —.
6 14
5 И _ 35 + 33 _ 68 26 J2
6 + 14 ' 42 1 42 42 42 21*
5 11
Пример 3. Выполним вычитание дробей - и —
6 14
5 _ £1 _ 35 _ 33 _ 2 _ £
© 6 14 42 42 42 2 Г
Изученные ранее свойства сложения и вычитания дробей
помогают упрощать вычисления.
о л - 5573
Пример 4. Найдем значение суммы — + — + — + —.
Дроби с одинаковыми знаменателями сгруппируем:
28 + 14 + 2В ” 14 ’ 28 28 ' + 14 + |4
12 .8 _ 3 ь 4
28 " 14 77
Пример 5. Найдём значение выражения
38 _ । 11 + 2
45 1 45 + 5 '
Используя свойство вы* итания суммы из числа, получим
38 _ ! ££ 2 _38 _И_2_27 2 _ 3 _ 2 _ £
45 1 45 + 5 : 45 45 5 45 5 5 5 5
10. СРАВНЕНИЕ. СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДРОБЕЙ
65
t Как сравнить две дроби с разными знаменателями'7
|_Как сложить [вычесть) дроби с разными знаменателями?
^Какио законы сложения использованы в примере 4?
2.148
Какая из дробей больше:
а) - или —: б) — иди —:
' 6 21 11 19
и) — или —:
зо ю
г) — win —?
35 21
ч
Когда сравнивают дроби, то первую из них читают в именительном па
деже, а вторую а родительном. Можно добавить слово дробь и не
изменять названия дробей
Например, запись — > — читают так.
Им. п. Р. п.
• три тридцать седьмых больше пяти семьдесят четвертых.
Им. п. В. п.
• дробь три тридцать седьмых больше дроби пять семьдесят четвертых.
2.149 тт . Н 1, ... 5 ь _. 2G 16о Что меньше: л) - о) — шш -?
2.150 Что больше: а) ~ штн Н; б) или
2.151 Сравните дроби: . 3 7 ,.i 5 . 3 .. 17, . 19 „ 23 а) — и —: 6) — и —: в) - и — г) — к —. 1 12 911 5 75 12 77
2.152 Расположите в порядке возрастания дроби: 2 5 7 П_, 51 25 БЗ 7 £3 ‘,1 3’ в’ 9* 12’ ' 28* Бв’ 8* 1Г
2.153 Справедливо .ш неравенство: 1 111 ,.307 1 11 16 ' 7 700 ’ 7БО0 25 ' 825 1155
2.154 112 2 Не приводя дроби к общему знаменателю. объясните. почему - — —- 4 77 4 г? д- ('формулируя гс правило сравнения двух дробей с одинаковыми чяе.ш- гслямгг и разными знаменателями. Срлтшитс но этому правилу дроби: . 7 „ 7 . ,. 15 15 ж , 11 „ 11 а) — и —* о) и • в) и ' 81 82 ' 181 182 Г 313 315
2.155 Сравните величины двумя способами:
1) выразив их в секундах:
2) приведя дроби к наименьшему общему знаменателю:
1 2 3
а ) мин и - мин: в) .чин и ‘ мим:
3 5 30 I
I i S 11 99
б ) - МАШ А! - маш; г) — МАШ А1 — MH1L
7 20 15 12 30
66
§2. действия со смешанными числами
2.156 Зашипите шесть дробей с числителем 7. меньших р-р
2 157 Запиши 1 е асе дроби со знаменателем 13. меньшие 1,1 л большие ' . Отметь-
13 13
те эти дроби на координатной прямой.
2.158 В новом парке ~ всех деревьев занимают саженцы берёзы, а ясеня.
Каких саженцев в нарке больше: березы или ясеня?
2-159 Мастер делает необходимо© количество деталей за 6 ч. а ученик за 8 ч. Кто
делает больше деталей: ученик .за 7 ч или мастер за 5 ч?
2.160 Части какою бруса длиннее: пягиметровою, распиленною на 7 равных ча-
стей, или шестимегрового. распиленного на 10 равных частей?
2.161 Выполните построение ни алгоритму:
1) Начертите координатную прямую с единичным отрезком 24 клеткн. От-
метьте ючку Л/] ~|«
5
2) Огложите влево от точки Л/ огузок МЛ’, равный — единичною отрезка.
Запишите координату точки Л’.
3) Огложите от точки Л’ вправо отрезок Л’К, равным единичною отрезка.
Запишите координату точки К.
Как можно найти координаты точек Лг и К, нс выполняя построений?
2.162 Вычислите:
а)5 + Г a,s + I7' а>7 + °; Ж>2"Н- м)т_5’ я’т+Г
б)— + 1; г)-*-: е)-~з) Т-1; к)—«) — + —.
21 7* ' 7 9 ' 3 5 ’ б 7* 1 21 12 21
2.162 На координатной прямой отмечены точки Л 1 I, Л/ 1 а К 1 (рис. 2.5К
1л Im ) AJ
Отметьте ня координатной прямой точку с координатами:
а) 1 + *; б) } - п А 1 Л1 1 ш п * г} 1 + п 1 Аг-
М N К
0 1 т 1 л 1 Т Рис. г.д^
2.164 Найдите сумму: . 1 . 5 .7 а)6+я; ”’w + 3 25’ 11 18 + 81 ж) 15 _ П_ 56 8 Г
О) w ® 1-1 +• zh • г ’«—Г “1 |1ч1 О |--1 4- : е) 105 5 12 + д= 3) 11 _ 3 21 19*
2.165 Найдите разность: а’ё*й- в)7 —1 Д) 2G 33 “п; ж) _L_ 2_- 22 26*
3 3 . j ° 20 - 28’ 1 15 1— е» 11 21 1 г 3) 33 _ 7 40 15 ‘
10. СРАВНЕНИЕ. СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДРОБЕЙ 67
2.166 Представьте десятичную дробь и виде обыкновенной н вычислите: а) а2 + 6) - 0.26; в) Ц- + о. I; г) 0.75 -
2.167 ЖЖ Представьте обыкновенную дробь в виде десятичной и вычислите: а) 3,45 + |; б) Н - 0,25: в) 2.7 + g; г) L1 - L
2.168 Вычислите сначала а обыкновенных дробях, а потом и десятичных: 7 . 1>. -13. .31. ш 1 99 20 50 7 25 1 5 25 7 5 125
2.169 Вычислите: . 23 _ i 1 1 \ 1 3 _ 1 L 11 12 3 |. 6 2 , 1 । а) 21 6 + 1 1‘ 6J 35 + 1 5 7 Г 15 13 20 '' 18 + 9 + 27 J*
2.170 Найдите значение выражения: 7 , 11 -.27 5 . .11 7 . . 16 , 17 ‘‘ 10 ' 60’ ° 50 12’ ' 72 5 Г 1 15 60*
2.171 Вьшоаиито действия: , 19 _ 25 2 х 1 , И _ 3 । 7 _ 1 _ 2 3 21 32 18 96 г ° 12 15' 20 301 3*
2.172 Решите уравнение: аН_н_н_5 г3'( _1=и 18 12 9 12/ 20 15 0)2-1 Г) 1 _'X + _L -2. 5 1 10 5 б 60 3
2.173 Вычислите: .1^-0.119-1; e)U19-U.4-L: и)и.8_|+1; г^-ОЛ-Д.
2.174 Найдите сумму: .) 1 + А + | + А; б) 5 + 2 , 1 + <1 . в io а 16 ' 11 з в и
2.175 С. помощью свойства вычитания числа из суммы нычиелшх» значение? выраже- ния: Л т 51 1 i 5 И | 2 а) — Ч" > ~ : б) . -ь — — —« 16 О.1 16 1 18 27 । 27
2.176 С помощью свойства вычитания суммы на числа вычислите значение вы^ыжс- ния: . 5 _ 1' 3 . 3 1 23 _ 1.5 ’| 7 1 7 11 ° 36 30 36 1‘
2.177 Вычислите значение выражения +- р- при с — 1: с — 3; с — 6; с - 8.
2.178 г» п 1 Вычислите значение выражения нрн п — Ь: п - (. 11 ?!
2.179 3 2 1 I. горой ирямоутельдика равна — м, а другая на р- м бнльше. Ншгы-
те неримсгр дрямоуттьника.
68
§.2. ДЕЙСТВИЯ СО СМЕШАННЫМИ ЧИСЛАМИ
2.100
2.101
2.102
17 I "
Периметр tpcytVi.шинка АВС район — м. Сторона АВ раина Ц- ы, сторона ВС
3
на — м длиннее АВ. Найди ее сторону АС.
В первый день дорожно-строительной бршадой было отремонтировано всей
й
К 3 л н ь-
дороги, ин шторой день на — больше» ном и норный, а н третий день на
1 и-
— меньше, чем за два и|хцыд\1Цнх дня вместо» Какую часть дороги огромен-
nJ U
тировала бригада аа три для?
Первый мастер моясех ныпашмть заказ но ххошихг. карнавальнхвх костюмои за
14 ч, а второй ла 18 ч. Какую часть заказа аыиолнят оба мастера, если
первый будет1 работать 5 ч, а второй 7 ч?
2.183
Вычислите.
а) В4 : 6 6J 16 5 в) 2.3 > 3,7 г) 0,75 : 3 д) 3,9 2.5
3 14 : 3 4 0,15 2
» 13 1 11 0.8 • В •1 2.8
‘ 5 4 92 1 0.6 и : 0.В
। 49 : 14 L2 1 3 0.3
? ? ? ? ?
(В2.184
2.185
2.186
2.187
2.108
2.189
В летнем оздоровительном лагере 90 детей. На роликовых коньках умеют кататься
25 человек, на сноуборде умеют кататься 14 человек, а на скейтборде 37 чело-
век. На скейтборде и сноуборде умеют кататься 5 человек, на роликовых коньках и
на скейтборде 10 человек, на роликовых коньках и сноуборде 8. на всех трёх
4 человека. Сколько детей но умеют кататься ни на роликовых коньках, ни на сноу-
бордо, ни на скейтборде?
Вьчислите.
а) 0.52 0.42: б) 43 J4.5: в) 0.62 7; г) 3.9 : 0.13.
Запишите значение числового выражения, которое вычисляли на калькуляторе по
следующему алгоритму:
а) 1.23 0.6 2.041 > 1001 - :
6) 0,16 0.75 * 2.46 1,3 -.
Запишите смешанные числа так, чтобы их дробная часть не была неправильной
дробью.
а. 31-1 171В д27
а> Зй’ 17 Т' э”
б) 271^. 14^1.
Запишите в виде неправ ильной дроби
уменьшив целую часть на единицу:
а) 4±; 6) 3±; в) 10*
дробную часть числа, равного данному,
1) Из посёлка выехал велосипедист со скоростью 13 км/ч. Через 0,2 ч за ним вы-
ехал автомобилист со скоростью 55 км/ч. Через какое время после своего выезда
автомобилист обгонит велосипедиста на 10 км?
2) Байдарка отплыла от пристани со скоростью 6 км ч. Через 0,6 ч за ной отпра-
вилась моторная лодка со скоростью 44 км/ч. Чороз какое время моторная лодка
обгонит байдарку на 4 км?
4 ’
10. СРАВНЕНИЕ, СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДРОБЕЙ
69
2.19'' I Гопард начал догонять бегущую газель, когда между ними было 0.1 км. С какой
скоростью бежала газель, ©ели скорость гепарда 1.4 км .'мин и догнал он газель
через 15 с?
2) Катер рыбоохраны начал догонять моторную лодку браконьеров, г огда между ни-
ми было 0,7 км, и догнал се через 0.1 ч. С какой скоростью плыли браконьеры,
если катер рыбоохраны развил скорость 49 км/ч?
2.191 Выполните действия и проверьте ваши вычисления с помощью калькулятора:
I) 111 {(0.9744 0.24 1,02) 2.5 2.75);
2) 200 ((9.08 2.6628 . 0.38) 8.5 < 0.84).
2.192 Сравните дроби: ч 1 д) - и м б _L. 21’ 11 . 15’ ж) з) 2L « J25 19 __ и i 7 23 i 165* 13 1764
а) * Я А; 3 21 1 2. ®> й “ г *’> 0 17х и —: 10 31 11 зв*
е) 13 18 “
2.193 Выполните о> 4 +4: «1 1 б) | +1; действие: ->h 1 - 1* •*’ г °> 5 12 3 5 + < 15 ’ о + 11 15* 10 а 63* u 11 2 11 21 26* . А. _ т_ К’ 21 60*
В примерах х) я е) выполнехшо© вычитание ж) и к) вычитанием. промерьте сложением» и иримерях
Никита и Ярослав стреляли в гире. У Никиты нз 15 ххыстрелив были 8 по-
ххаданий, а результат Ярослава 11 попаданий нз 20 выстрелов. Чей резу.хъ-
гат лучше?
Один хенератор расходует бак солярки за 18 ч непрерывной работы, а дру-
гой за 15 ч. Какой генератор расходует больше солярки: первый за 5 ч или
второй за 4 ч?
2.196
От двух пристаней одновременно навстречу друг другу отправились два квхе-
.. S
ра. Один ил ххнх за час проходит — расстояния между пристанями. а дру-
гой Л- этого расстояния. На какую часть расстояния они сближаются каж-
дый час?
I I 9
Лена цолола первую х'рядку ч, вторую на — ч меньше, а третью пл — ч
3'5 L о
больше,. чем нерную и вторую имеете. Сколько времени ушло у Лены на при-
полку?
Хозяйка купила на рынх<с творог и сметану. Масса покупки составмха 1,7 кг.
Канова была бы масса докупки, ее.ш бы хозяйка купхыа творога на г кг
О
больше, а сметаны на — кх' меньше?
25
Вычислхгге:
*Н-
70
§2. ДЕЙСТВИЯ СО СМЕШАННЫМИ ЧИСЛАМИ
Выполните действия:
“> ТЙ*°-Г'8-Ш; 6>i + o,4-o,e.
Из двух сельских поселений, расстояние между которыми 10 км, одновремен-
но и одном направлении вышли два автомобиля грузовой и легковой. Ско-
рость впереди идущею грузового автомобиля рання 1,2 км мин, а следующего
за ним легкового автомобиля 1,7 км мин. Через сколько минут' .техновой
автомобиль догонит грузовой?
Выполните действия:
а) 36,42 • 0,1 0.996;
б) (69,77 ’ 5.8 69.67 • 5.8 + 0.42) : 0,4;
а) (12,93 + 85,47) - (0,317 -I- 1.583) 3.5 • (5.24 3,78);
I ) 214 538 (39 000 : 65 + 29 946 : 217).
Запишите смешанные числа так, чтобы их дробная часть нс была неправиль-
ной дробью:
а) 99—. 207 — ; б) 8—, 16—. 31 — .
5 101 1 9 1
Залшдмп? и индо цепраышьиой дроби дробную часть числа, ранного данному»
уменьшил целую часть на единицу:
а) 14—; б) 21 — ; в) 2—.
7 19 13
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ
Проверочная работа № 1
Расположите в порядке возрастания дроби
3 13 7 7 5
1 ’ is * 2 * 9 * ё
Сравните ироможу гки времени:
12 4 “ 15 Ч:
3 Вычислите:
а) 5 - 5 ; 1 1 1 21 в)
б) —; 11 21 г)
б) ’9 су ГОК и ** суток.
д) 9 - 2 ;
30 70 ' 22 121
11-11- e>_L-_2_
30 70 ’ 22 121
Повторяя изученные за учебный ход слова на английском языке три одно-
классника выяснили, чти Петя помнит , Витя тУ, а Миша всех
13 00 12
изученных за год слов.
а) Кю ил ребят- помнит больше английских слов?
б) Кому из ребят нужно повторить больше английских слов?
в) Сколько ясен» английских слов изучили ребята ла год. если слов моныш?
8(H)?
io Сколько английских слов нужно повторить каждому из мальчиков?
1 к ДЕЙСТВИЯ СЛОЖЕНИЯ И ВЫЧИТАНИЯ СМЕШАННЫХ ЧИСЕЛ 7 -|
Проверочная работа № 2
1
2
3
4
5
Вычислите:
3,1 1 0) 11 ‘ 28 * б) 15 3 25 ’ в) 5 + 16 1 69 4
Сравните дроби: а) - и 0.56: б) 0.2 9 И —; н v 2 ш — И 1 0.25.
Решите уравнение: “> * + 55 ’ 7,; 61 2 г 3 £ ж 1 * 1 11 U) 12
Вычислите:
S' еа г*» । irt а 7 1 5 1
9 15 18 30 *
Ширина прямоугольника раина
3
— м. a сто длина на
— м больше.
52
а) Найдите длину ирммоугольшиса.
6i .Нгншлгс периметр прямоугольника.
и) Ня сколько увеличится периметр црямиуладышкд. если ею ширину уве-
2 3
личигь на “ м, а длину увеличить на ' м?
65 78
11. Действия сложения
и вычитания смешанных
чисел
Напомним, что смешанное число — это сумма натураль-
ного числа и дроби. Сложение смешанных чисел выполняют
с помощью свойств сложения: переместительного и сочета-
тельного.
Пример 1. Вычислим сумму 14/L+17*
12 ь
Дробные части имеют разные знаменатели поэтому при-
ведём их к наименьшему общему знаменателю 12. Предста-
вим каждое смешанное число в виде суммы целой и дробной
частей. Используя свойства сложения, сложим отдельно це-
лые и дробные части чисел, а затем — полученные резуль-
таты:
Пишут
5 1 5 2
14^- + 17Z ~ 14* 7Т * 17+ тт;"
12 6 12 12
= (14 + 17) + ;А + й)_
•3,^=311?
короче:
14— + 171 _ 54 5_ + 1/2- _ 31-Z.
12 6 12 12 12’
72
§2. ДЕЙСТВИЯ СО СМЕШАННЫМИ ЧИСЛАМИ
<1 5
Пример 2. Вычислим сумму 6 + 2 ".
6- + 2- - 6—+ 2— - 8 + —- 9—
8 б 18 18 18 1В
В этом примере получили неправильную дробь — Из неё
I о
выделили целую часть и прибавили к целой части.
Если при сложении дробных частей получилась сократи-
мая дробь, то её нужно сократить.
алгоритм сложения
смешанных чисел
Чтобы найти сумму смешанных чисел, надо:
1.1 дробные части этих чисел привести к наименьшему обще^
му-^ндменаге/ир
2) отдельно выполнить сложение целых и отдельно дробных
частей;
3) при необходимости сократить дробь выделить целую
часть и прибавить ее к полученной целой части.
Вычитание смешанных чисел выполняют аналогично сло-
жению с помощью свойств вычитания числа из суммы и сум-
мы из числа.
5 к* 1
Пример 3. Вычислим разность 4- - 2у.
Приведём дробные части к наименьшему общему знаме-
нателю 12. Представим каждое смешанное число в виде сум-
мы целой и дробной частей:
4- - 4— - 4 + —'
Ч6 42 12’
2- - 2— - 2 -ь —.
4 12 12
Используя свойство вычитания суммы из числа, вычтем
отдельно их целые и дробные части, а затем полученные ре-
зультаты сложим:
Ю I
4 -4 5 - 21
б 4
- 4 + 10 - 2 - - - (4 - 2| +110 - -• - 2
12 12 ' 1 112 12
Т2 12
Пишут короче: 4| - 2^ - 4~ - 2^ - 2~.
©
7 5
Пример 4. Вычислим разность 5 - 1“.
Приведём дробные части к наименьшему общему знаме-
нателю 24:
к 7 _ КТ4 ,5 _ 15
512 524: J3 ’24-
Из дробной части числа 5;^ нельзя вычесть гак как
24 24
14 15 о
Вычтем единицу из целой части уменьшаемого
и представим дробную часть уменьшаемого в виде непра-
вильной дроби.
1L ДЕЙСТВИЯ СЛОЖЕНИЯ И ВЫЧИТАНИЯ СМЕШАННЫХ ЧИСЕЛ
73
^7 *14 х- 14 л л 14
5— “5 ”5-1- = 4 + I
12 2-1 21 24
24
24
т-1
24
ЗВ _ л 38
24 4 24 ‘
Получим
с7 .5 л ЗВ .15 о 23
5i2"1B-45f134 = 324-
Обычно пишут короче:
15 38 15 23
12 8 24 24 24 24 24
алгоритм
вычитания
смешанных чисел
Чтобы найти разность смешанных чисел, надо:
1) дробные части этих чисел привести к наименьшему обще-
му знаменателю:
2) если дробная часть уменьшаемого больше дробной части
вычитаемого, то надо отдельно вычесть целые и отдельно
дробные части и результаты сложить:
3) если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части
вычитаемого, то надо представить дробную часть уменьша-
емого в виде неправильной дроби, уменьшив на единицу це-
лую часть, и выполнить вычитание по пункту 2.
При необходимости сократить дробь.
1 Как найти сумму смешанных чисел?
На каких свойствах сложения основано правило сложения смешан-
„пых чисел?
'Как найти разность смешанных чисел9
На каких свойствах основано правило вычитания смешанных чи-
сел?
2.205 Найдите сумму:
“>45 + jT5- “>‘Ti + 18- rteiT+«i ж)Ь’4?.
e. зА + д!; г)4± + 2—: p)t1+JL: 3> 1 + :Д.
2.206 Найдите разность:
а) 1 - 7: б) 2 - 1 в) 7 - -1; г) 6 - 1^; д) 9 - 3^; с) а - 4^-.
2.207 Выиагши'го вычитлшю:
а) 5 ' - 3 : в) 6^- _ -г?* Д) з|- - З-у:
15 20 7 14 3 11
. 7 2 . _ 5 . 2 . _ 5 .. 2 6)4---: г) 7--4-; е) 7 — -3-.
12 9 7 3 12 9
2.208 Вьикхшите действие:
а) *,4 _Ц; 20 в) 2 — 12 - 1- 8
б) 1 d — 7 u г) 11- -зН:
15 9" 2 18
Д> 9тт - 4:
w 41 6 1 1
и) 2— — 1------
25 10
¥ - Л о3.
-2Т:
з) 12— _ <j!2.
12 18
74
62. ДЕЙСТВИЯ СО СМЕШАННЫМИ ЧИСЛАМИ
2.209 Вычш-ште:
«3-
2.210
Вычислше значение выражения:
а)(121-11т) + (14-9^) *>
Ч 13 - 12*1- ,13|- п=;; г)
14- - 5-1 — 3^ + 4-1 + 10--4-1:
3 9 J Я б 1 1 9 1
14-»- »-»()+ Ц-f)-
2.211 Вычислите:
а) 2? +3.4: б) 4-7- - 3.3; в) 7.2 - б|; г)5^-1»(к
_ ul 1J 1 ь.
2.212 Найдите кореш» уравнения:
..8 k _5 7 _25 , , 1 , ..3
а) х + 3— — 6; в) а — < — —; д) а — — I — 1 — + 2—;
' 13 ' 8 12 3G 12 Я
2.213 По формуле В - .г - 5-у найдите значение:
1 -г 3
и) В ври .г - 6; х - 6-: х - 7
5) х при в - б|; в - 3 ,3; в - о.
2 16
2.2 N Баржа наполняется зерном через первую срубу за б ч, а через вторую
за 8 ч. Какую часть баржи останется наполнить после совместной работы
обеих груб в течение часа?
2.21 ' Первый комбайн может убрать ноле за 16 ч. а второй ли 24 ч. Первый
комбайн работал 7 ч, а второй 11ч. Какая часть ноля осталась неубранной?
2.216 Котлован под фундамент новою здания норный экскаватор может выкопать ла
8 дней, второй за 12 дней, а третий за 15 дней. Какую часть котлована
останется выкопать после того, как норный экскаватор отработает 3 дня. вто-
рой 5 дней, а третий 2 дня?
2.217 От рулона полиэтиленовой плёнки длиной 40 м огрезА.ш кусок длиной 4- м.
Сколько метров плёнки осталось в рулоне? 5
у
2.2 10 Артём делал домашнее задание ио математике — ч. ;шданмс но русскому язы-
з 15
ку ’ ч. Сколько времени потратил Артем на подготовку задания uo jeorpa-
>
фин. если на лодкиовку всех трёх я)м:дметов он ногратш! 1.5 ч?
2.219 Когда из корзины взяли часть яблок, то в ней осталось 3 кг яблок. Сколько
килограммов но-юк осталось бы в корзине, если бы из нее взяли на кг
з *
яблок больше; на кг яблок меньше?
1 L ДЕЙСТВИЯ СЛОЖЕНИЯ И ВЫЧИТАНИЯ СМЕШАННЫХ ЧИСЕЛ
75
2.220
Запишите миоокес'гво всех чисел, меньших 4
дробной части которых ранен 12.
12
но больших 3—. знаменатель
I
2-221 Отметьте на координатном прямой (рис. 2.6) гички, координаты которых раи-
ны:
9 17
б) DE — 7 — дм, ЕЕ - 6 — дм, EK - 5— дм н DK — 7 дм.
I U I Д I «fr
2.223 Шёлковую ленту разрезали на дне части так, что длина одной части равна
£>3 м, а другой на 2 * м меньше. Какой длины была дейта нервоначалыто?
8 5
2.224 Ребёнок за мерный месяц прибавил 1-^- кг, что на -у- кт больше, чем за
второй. Сколько килограммов набрал [м.>бёнок за два месяца?
2.225 Ilana купил и магазине 5* ki картофеля, моркови на 2“ ю меньше, чем
картофеля. а репчатого лука на 11 кг больше. чем моркови. Сколько кило-
граммов овощей купил пана?
2.226 За три рейса самосвал перевёз 20 т гравия- За первые два рейса он иеревёз
14 г ; равна, за последние два рейса п Сколько тонн гравия само-
свал перевёз за каждый рейс ио отдельности?
. 227 Площадь трёх участков 13 га. Площадь первого и второю участков имеете
5 2
9— гя+ а площадь второго и третьего вместе 8— ш. Найдите площадь каж-
Ь 5
дою участка.
2.228 В первый день скосили 212- ц травы, во второй на 33- ц бсыыис. а и
2 5
3
гретый на 23’- ц меньше, чем н первый и второй дна. Сколько получится
•I
сена из скошенной травы, если масса сена составляет 20 % массы граны?
2.229 Скорость моторной лодки в стоячей воде раина 13^ км ч. а скорость течения
3 “
реки 2’ км ч. Найдите скорости моторной лодки но течению реки и про-
тив течения.
2.230 Ско|юсть теплохода но течению реки равна 292. км ч> д но озеру 26у км ч.
Найдите скорость теплохода против течения реки.
76 £2- ДЕЙСТВИЯ СО СМЕШАННЫМИ ЧИСЛАМИ
2.231
2.232
2.233
Жж
2.234
2.23S
2.236
2.237
2_238
ffTz.239
2.240
2.241
2.242
Из двух селений одновременно навстречу друг други иыш ч» грантор и гужевая
3]
ноиоака- Каждый час расстояние междч ними \ меньше юсь на 28- км. Най-
10
лиге скорость трактора, если скорость гужевой повозки /- км ч.
8
3
Мотоциклист обогнал аигобус л стал удаляться от него со скоростью — км мин.
С какой скоростью двигался моюцшошсг, если скороеть автобуса 1— км мин?
IS
Выполните действия:
а) 2?+31 +4- + ^+3-^-; u) 9__iS_ + 2_|;
в)7Д_4.75 + 31. р)(а5+.21)_в|.
Вычислите.
a) I2 8 б) 16 3 в) 1 : 2 г) 3.2 2
+ 14 . 12 0,6 5
: и 13 । 6 : 0,1
• 15 ♦ 38 • 0.7 : 1.5
. 25 : 18 - 3,4 0,01
? 7 ? 7
Найдите? числа, которых на хватает на схеме сграва.
При каких натуральных значениях /? выполняется неравен
сгво.
Каждое ребро куба уменьшили на 40%. На сколько про-
центов уменьшится объем куба?
Коля вышел из дома о 7 ч 20 мин. На дорогу до школы oi
потратил 25 мин. а вернулся из школы в 14 ч 35 мин.
Сколько времени Коля пробыл в школе, если на дооогу до
дома он потратил 36 мин?
ромб : Чстырсхуголытик с равными сторонами называют
ромбом (рис. 2.7).
a'i Является ли любой ромб квадратом?
б) Является ли любой ромб правильным многоугольником?
в) Является ли любой квадрат ромбом?
ч Рис. 2.7 j
Используя переместительное и сочетательное свойства натуральных чисел, докажи-
те переместительное и сочетательное свойства сложения для дробей с одинаковы
ми знаменателями.
Вы- числите: . 3 4 п *1. 31 17. 21 8 .
k 1 2,
»> г 7* В| 5 15' «> 0 • *' 60 45 И> 22 4 55'
5 1 1 1 . 5 2 . 23 29 „ 9
в> б' ю; г> 4 ► — 9' С) 6 4 15’ 3) 45 60' К) 19 0.
Вычислите с помощью калькулятора и результат округлите до тысячных:
0.43 3,654 2,587 0.327 • 20.384 : 8.32
1L ДЕЙСТВИЯ СЛОЖЕНИЯ И ВЫЧИТАНИЯ СМЕШАННЫХ ЧИСЕЛ
77
[(i 2.243 На филателистической выставке 27 частей количества марок было посвящено зна-
менательным событиям. 9 частей природе и одну часть представляли редкие
марки. Сколько всего марок было на выставке, если марок, посвященных природе,
было на 680 больше, чем редких?
QT2.244 Сколько можно составить шестизначных номеров телефона, которые начинаются
4— с цифр 678?
2.245 Найдите значение выражения.
h 85 1234 5625 . 75 159758 . 529,
21 4225 : 65 < 75 2454 330078 .813.
Я»
. ’ Найдито сумму 1
а) 38| + 4^; в) 47^ + 1Д; д) + 1з|; ж) 9 + 2~
6)4—ч-в—; г) 54-4-18—; е - 4- 2-: з) з££+*
|5 15 1 6 7 5 21 6
. 24 Найдите разность:
а) 1 - 1 ; в) 6 - 5 ь ; д) 4 ” - 2 3 ; ж) 17 - - 6 ‘ ;
17 II 16 И ' 3 8
»>5-П! 24,7 1ЬТ?
2.24 Решите уравнение:
fl) 1-«' = -Й+Г bU + 36-7g"2?
• Вынодшн1 действия:
ч .13 . I .. I . ,. ,,8 , _3 , 1 . . _1 „7 а, . .2 . „3 .5
-4 -+• ~ 3 1 ок 3 + 1 4" 1 п) и — *- - 2 1 г к * 2 “1
' 21 8 21 1 9 19 ' 2 12 10* ' 3 1 12
Один нагое откачал резервуара воды, а другой — этого экс резервуара.
Какую часть резервуара ноды осталось откачать?
Первая бригада может докрасить многоэтд ясный дом за 8 дней, а вторая за
12 дней. Какую часть дома останется докрасить, если первая бригада будет
работать 3 дня. а вторая 5 дней?
II, Рамивай мышление. Дуб рос на краю обрыва. Желудь, висевший на дубе,
иторшыся и через 3 с достиг земли. На какой высоте висел жёлудь, если ;ш
первую секунду он дролетел 94 м и каждую следующую секунду пролетал на
5
9 м больше? Найдите среднюю скорое 1ь надснин желудя.
5
5 3
Берёза лыше ё_ш на Зуу м« а сосна выше берёзы на 4-jy- м* Какой высоты ель
н сосна4 сели высота берёзы 12— м?
35
2.254 Вычис-игге: л> 4т + 2,6 - 5-i; б) 4^ 4- 5,3 - 2-—k
ы jL »э »?1г
2.255 Для приготовления яблочной настилы на 10 часгой яблок берут 1 часть саха-
ра (ио массе). Сколько килограммов яблок и килограммои сахара надо взять,
чтобы получить 2 Ki настилы, если при сушке масса яблочного шоре с сахаром
уменьшается в й,5 раза?
78
J 2. ДЕЙСТВИЯ CO СМЕШАННЫМИ ЧИСЛАМИ
Дил человека вышли на остановке из автобуса и отправились и иритпиоло-
ложных направлениях в свои селения, расстояние между которыми 10,6 км.
Через 1,2 ч один из них, двигаясь со скоростью 4,5 км/ч, достш селения,
а друюму оставалось ещё пройти 0,4 км. Найдите его скорость.
Вьшо/шмте действия:
а) (3,75 : 1,25 0,75) : 1.5 + 0,75:
б) (14 12,725) - 12.4 2,6 : (11,2 7,95).
2.258 Решите уравнение:
а) (.г 3,6) - 8,4 = 53,76;
б) 6.5 • (4.3 у) - 20.8;
и) 21.4 (3.4/ - 2.1/) ~ 14,8;
г) 14.22 (4,3ft 1.8ft) - 12.47.
Проверочная работа № 1
Восстановите алгоритм сложения смешанных чисел, записав и нужном поряд-
ке номера действий:
1) при шюбходимоеги сократить дробь, выделить целую часть и прибавить сё
к полуценной целой части;
2) привести к наименьшему общему знаменателю дробные части чисел;
3) отдельно иынолянть < ложедиг ш?лых к отдельно дробных частей.
2 Запишите выражение и найдите его значение:
, J Г 1 < 4 К
а) к сумме чисел 1— и о- приолвнть 4—;
2 , 1 4 3
б) к 1 7- прибавить сумму чисел 6 — и 3—.
Найдите периметр треугольника АВС, если АВ — 5 -- см, ВС — 6~ см и
• 12 ч!
АС - 41 см-
6
Проверочная работа № 2
Запиши те выражение и найдите сто значение:
а) к разности чисел 6— и 2— прибавить 3—;
.....—= .....т
Решите уравнение и сделайте проиерку:
а)х.з1=бА: =
С поля площадью 25 га собрали 1052 ц пшеницы, а с ноля штощадью 30 гл
собро-ш 1463 ц пшеницы.
а) Найдите урожайность пшеницы на каждом ноле.
б) На каком поле урожайность пшеницы выше? На сколько?
На сколько сумма чисел 4 г12— и 2^- больше разности этих чисел?
I 51 4
1 L ДЕЙСТВИЯ СЛОЖЕНИЯ И ВЫЧИТАНИЯ СМЕШАННЫХ ЧИСЕЛ
79
1
2
2* *±.
15
через л\ и иайдтпо л"
3
Проверочная работа Ns 3
Найдите значение числового выражения наиболее удобным способом:
Л)2—+1—+ 3 —; 6)3— I13.+12LI
15 SO 15 16 1 8 16?
Представьте десятичную дробь в вида смешанною числа и вычислите:
а) 2-1 1,9 ♦ 1-1; б) 2,34 + 4-
15 20 6
Запишите равенства, обозначив неизвестное
а) число прибавили к - и получили —;
8 2
б) число уменьшили на 1- и получили ft-
У 3
3 1 I
и) к числу ариблвилн 10 н црлучнли 12 ;
. 4 5 О 1
г) на ЧИСЛД вычли 4— и полечили о—.
36 ‘ 39
Моторная лодка а стоячей воде за 9 мин преодолевает расстояние в 3750 м.
Найдите скорость моторной лодки но течению и скорость против течения,
5
если скорость сечения реки равна 20- м мин.
6
вестиы чётные
,7. Эй.тер
Раздел математики, изучающий числа, называют теорией чисел.
/1 Большой вклад в становление этого раздела внесли ученые Древней
• "/® Греции: Пифагор. Евклид, Эратосфен и другие.
Пифагорейцы рассматривали только натуральные числа. Они пола-
гали, что число эго собрание единиц. Единицы располагались а ви
де фигурных чисел (треугольных, квадратных и других.1 Им были из*
и нечётные числа (признак делимости ita 2i. простые
и составные. Они ввели понятие' дружественные
и совершенные числа
Многие вопросы теории чисел легко сфо омули
ровать (они понятны даже школьнику), но трудно
найти на них ответы.
О XVIII в. знаменитый математик, член Петер-
бургской академии наук, Леонард Эйлер нашел
ответь на многие вопросы, сформулированные
древнегреческими математиками.
Например, до этого времени была известна
только одна пара дружественных чисел 220
и 284. Эйлер нашёл ещё 65 пар таких чисел. Но
общий способ нахождения пар дружественных чи-
сел до сих пор не найден.
Древне греческие учёные также установили связь между простыми
и чётными совершенными числами.
Эйлер доказал, что все чётные совершенные числа имеют вид. ука-
занный Евклидом. Но вопрос о бесконечности числа совершенных чи-
сел до сих пор не решён.
Эйлер сформулировал гипотезу, что каждое четное число, начиная
с 4. можно представить в виде суммы двух простых чисел. Эта гипоте-
за но доказана до настоящего времени.
80
§2. ДЕЙСТВИЯ СО СМЕШАННЫМИ ЧИСЛАМИ
D начале XVII а. Пьер де Ферма сформулировал гипотезу (Великая
теорема Ферма I. связанную с прости ми числами. Эта гипотеза была
доказана Эндрю Уайлсом спустя 350 лет. □ 1994 г.
В 1742 г. член Петербургской академии наук Христиан Гольдбах
сформулировал гипотезу, что любое нечётное число, большее 5, можно
представить в виде суммы трёх простых чисел. Например.
27 - 3 + 11 ♦ 13,
39 - 3 * 17 ♦ 19.
Эта гипотеза была доказана в 2013 г.
В XIX в. большой прорыв в теории чисел был сделан благодаря
Карлу Гауссу, Пафнутию Львовичу Чебышеву и Бернхарду Риману. До
сих пор но решена гипотеза Римана, которую называют важнейшей не-
решённой задачей всей математики. Эта гипотеза позволяет точно
предсказать появление следующих простых чисел
12. Действие умножения
смешанных чисел
Если задачи содержат дробные данные, то они решаются
так же. как аналогичные задачи с натуральными числами.
Задача 1. Турист идёт со скоростью 5- км/ч. Какое рас-
7 5
стояние он пройдёт за 1--- ч?
о
Решение. Чтобы найти пройденное расстояние, надо
скорость туоиста умножить на время движения, т. е. найти
произведение б] и |..
5 8
Каждое из этих чисел представим в виде неправильной
дроби и затем выполним умножение дробей:
-1 _ 26 .7 _ 15.
J5 5 ’ 8 8 ’
-1 ,7 _ 25 15 _ 26 15 _ 39 _ rt3
° 5 В 5 8 5 8 4 ’ 1 *
Ответ За Г ч турист пройдёт 9^ км
I Чтобы найти произведение смешанных чисел надо
представить их в виде неправильных дробей, а затем при-
менить алгоритм умножения дробей.
умножение
смешанных чисел
Задача 2. Линия по разливу молочных продуктов в буты-
лочки за 1 ч разливает, наклеивает этикетки и упаковывает
241- л йогурта для детского питания. Сколько литров йогур-
та разливает и упаковывает эта линия за - ч?
12. ДЕЙСТВИЕ УМНОЖЕНИЯ СМЕШАННЫХ ЧИСЕЛ
81
Решение. Решим и эту задачу умножением
24 ] 1 3 _ 9Б5- 3 _ 193 3 _ (44 3
4 5 4 5 4 4'
Ответ За - ч разливается и упаковывается 144— л
йогурта.
Если в условии задачи обыкновенные дроби выразить в де-
сятичных дробях, то получим тот же ответ: 241.25 0.6 ~ 144.75.
Для умножения смешанных чисел также справедливы пе-
оеместигельное и сочетательное свойства. Для любого зна-
чения a
а • 0 = 0 • а ~ 0; а ' 1 ~ 1 a ~ а.
Например, 13у 0 ~ 0 | -1 ~ |.
Сформулируйте правило умножения дроби на натуральное число.
Сформулируйте алгоритм умножения двух дробей.
Как выполнить умножение смешанных чисел?
Назовите свойства умножения дробей.
Чему равно произведение смешанного числа и нуля; смешанного
числа и единицы?
2.259 Найдите произведение:
а> 1. з; б) £ • 14: в) 1'50; г) 13 ’А.; Д) 1 • 4', е> 7Т ’ °*
6 21 2 13 5 15
2.260 Найдите периметр квадрата ео стороной дм.
9
2.261 Мастер изютанлмвасг 1 деталь за ч. За сколько часов он изготовит 3, 5.
I -J
15 таких же деталей?
2.262 В треугольнике PQR сторона PQ равна см, QH больше PQ в 3 раза. а PH
меньше QH на 3 см. Найдите периметр треугольника.
з 9
2.263 Вычислите: а) у ч • 2; б) — ч 4;
в) -т Ч ' 15;
1 Э
. 11
Г1 - ч • .
2.264
На идите ‘ и ро наш ;д г и л
5
С
2.265
2.266
2.267
, 2 &
3 11
Выполните
умножение:
10
11
12
. з 2
а) 7 ’.Г
т 1
01 10 15
10
I .
16
19
11
Г)
38
15
18
19
А) 25
<0
9
26
13
18‘
Выпашите
действие: а>
б) |Ь
1 е 7
тг
II
1-1
1 б.1
Ребро куба
5
равно - дм.
Найдите объём куба.
I _
5 . 5
7 б
5
9
9
5
1G '
82
§2. ДЕЙСТВИЯ СО СМЕШАННЫМИ ЧИСЛАМИ
2.268 Какой путь преодолеет всадник за — мин; — .шш, ес,ш ею скорость — км лиш?
2 3 £ П
2.269
I 07
Найдите произведение дробей — и ттг* Предстаньте зги дроби а десятичной
Ю I111}
записи и выполнил? умножение. Сравните результаты.
2.270 Вычислите значение н[ юн.введения у’уу- Выполните проверку. представив
множители в виде десятичных дробей.
2.271 Представьте десятичную дробь и виде обыкновенной и выполните умножение:
а) 0.25 • у; б) 0.9 •
2,272 Предстаньте обыкновенную дробь в виде десятичной и выполните умножение:
а) • 0.7: б) — • 7.5.
20 25
2.273 Найдите значение выражения:
и) - ♦ - • —* б) - 11 • —• и) 1 7 . 25‘ ' I 125 8 121
“ 9 1 21* ’ 5 15 22' В 5 ’ 20 ’ 28* 119 ’ 11 ’ 1000*
2.274 Найдите объём нрямоуюльного наралтеаенииеда, если ею длина равна ~ м.
ширина J м. а высота 18 м.
11 25
2.275 Представьте в виде произведения двух дробей число:
? 6) Ь ft) г) I / •
г$ Н 11 1 гт
2.276 Выио. 1 лите действ i ш:
2.277
2.278
2-279
15
3
18
71 - б5 !
6 12
ят 6
б) 25
11 _ 9 ।
'15 20 1
Найдите значение
в) 5 • 23
б) Л 16;
с$
нршмисдсиля:
2
в) 1^9:
„ 8
7 11’
0:
е)
о 1Д
1 I
Выполните
л ч3 3
ft) а7 7
1 г
действие:
б> |1|
. .. 1 5
и) 3Г й
> %-
о)
13 11
21 113'
Выполните
а) I1 • I2
' 3 5
умножение:
б) 2- • 3—
9 II
в)!1 -I7
8 9
_L
21
41
.<12 .3
Л) < -1,
. «1 .17
е) 1- • 1 —
5 18
»> I >,1
з
. .5 8
А) Ч ‘ 13
2.280 Найдите значение л но формуле нуги а - е/, если:
-1 1 2 1
a) l1 - । у км/ч, i - 3— ч: б) и - 2-т м мим, t - 1у мин.
2.281 Используя формулу объёма прямоуюлького параллелепипеда V _ abe, найди
12 3
го значение V' нрн а - 2— м, b — 1- .м, е — - м.
2 5 7
12. ДЕЙСТВИЕ УМНОЖЕНИЯ СМЕШАННЫХ ЧИСЕЛ
83
2.282
2.283
2.284
2.285
Найдите массу снмицового шарика, объём которого ранен 3^- см', если масса
1 см' сшшнн ранил 11 ~ г.
Из двух городов одновременно навстречу друт другу вышли два поезда и ветре-
3
тились через ЗД- ч. Найдите расстояние между городами. если скорость одно-
е
го поезда ранил го км ч, а скорость другого составляет — от скорости нерво-
го поезда.
С" одной кочки одновременно спрыгнули лшушка и жаба и отправились в
одном направлении. Диша ярыжка жабы равна 7 1 см. что в 3^ раза меньше
прыжка лягушки. На каком расстоянии (а метрах) друг от друга окажутся
жаба и лягушка, сделав но 20 нрыжкон?
Двое друзей вышли навстречу друг другу и встретились в условленном месте.
Какое расстояние было изначально между ними, если норный шёл ч со
скоростью Зу км ч, а второй
2 » I
I77- я со скоростью 0— км/ч?
15 2
2.286
Урожайность гороха составила
ко центнеров больше собрали
*
сеянного горохом, 2i —
меньше?
г? 1
I 3
18- ц с га, а кукурузы 54 у ц с иь На сколь-
кукурузы, чем го]юхя, осли площадь поля, за-
Q 1
га, а я_1ищадь ииля, здееяшюгй кукуруаои, и раза
2-287
Вычислите:
.74 2
16 ' 9 1S?
и)
11'Г
6 1
18 1
б) —
15
— - г-'1
24 12?
И-Ф
3
2.288
Вычислите.
а) 0.9 0.9
0.6
: 7
♦ 0,03
?
6) 5.6
: а
3
5.6
0.11
в) 0.72 . 3,6
+ 3,3
: 5
• 0,7
г)
— 7
14
2.25
; 0.5
-----т
Д) з
1
♦ 1,75
0.5
------7
2.289
Найдите
а)
числа, которых не хватает в цепочке и на
схеме.
2
84
52. ДЕЙСТВИЯ СО СМЕШАННЫМИ ЧИСЛАМИ
Развивай внимание. Кто быстрее найдет в таблице последовательно все числа от
1 до 25?
а)
23 18 8 13
20 9 15 19 5
1 25 10 22 11
12 24 7 3 16
21 6 17 14 2
6)
5 19 16 3 1
б 23 9 13 22
20 25 2 1В 14
21 17 12 4 а
15 7 10 24 и
2.291
Вычислите;
4 2
а) 16- 3^;
*)42i5
* 15тг 4-
2-292
Найдите значение выражения,
а) 5 L 4 9^-7;
б) 6Э 3-
9 "
п;-|413- 21 I
151 1 15 3 1
Сколько кодовых слов из четырёх букв можно составить, используя буквы А, В. С.
D. II и V? Сколько можно составить слое, в которых буквы но повторяются?
2.294
Сколько граммов в:
а) I % килограмма;
6) 9 % килограмма.
Qi 90% килограмма.
г) 7,5% килограмма9
2.295
Сколько квадратных
а) 1 % ара:
б) 5,5% сотки
метров в:
в) 35 % гектара;
г) 0,06 % квадратного километра?
2.296
Какую часть числа составляют:
а) 1 %: в) 13%;
б) 7%; г) 25%;
Д1 10%:
с) 30%;
ж) 50 %?
Образец.
2-297
Выразите десятичной
а) 45 %:
б) 56 %;
и
в) 75%;
г) 120%:
обыкновенной дробью;
д) 150%.
45 %
--.□-X
0.45
- =
J 100 20
2J298
а
процентах:
Выразите
a) | б) 0.8; В1 0.24; г) д) А; с) 2|.
2.299
1) Туристический маршрут был рассчитан на три дня.
_ 3
В первый день туристы прошли - пути, а во вто-
8
рой А пути. Какую часть пути им осталось пройти в третий день?
2) Бассейн наполняется водой с помощью двух труб. Через одну трубу наполнилось
А всего бассейна, а через другую — бассейна. Какая часть бассейна осталась
15 9
незаполненной после отключения обеих труб?
12. ДЕЙСТВИЕ УМНОЖЕНИЯ СМЕШАННЫХ ЧИСЕЛ
85
2.300
2.301
Решите уравнение:
аИ-4^2|; б)
Упростите выражение
I) 2,&с t 3,6у • 1,7.г 5.9ц: 2) 6,4/н 4 1,7л - 2.8/м 4 3,4/г.
2.302
2.303
2.304
2.305
2.306
2.307
2.308
2.309
Найдите произведение:
,113*. .51 103. . „. 11. ... 5 а> 17'ва’ “>1оГт: д>2418: ж»3„-7;
б) г) тт ’ г: е 6 • 3^; з) й-5- 9 • 15. » 7 15 19 8 ' в 15
Выполнит е у множепие:
. ..я .3. . 15 . 9 14.1. “> JT 1» *й= *>2з 4т:
6; 12_ . 3—; г) 8|* . 12; р. 11.3® . 3*.. '23 0 ' 31 59 ' 9 7 13
Найдите значение выражения:
а) -а нри а ~ а - -h а - 2=-: а - 2^-: а - 7 ‘ 2 * 333
б) -5-6 при b - 7; Ь - Ь - 11; Ь - 2?.
J 2 5 12 5 5
Масяа 1 дреимимы ровня — т. Найдите массу - м% - м al- мя дре- 17 1
Веснина
Масса 1 см гыюминия раина 2* г. Найдатс массу адюшишево?! и-шегины,
намерения которой равны I см. 2 см. 1 м. Огнет округлите до сотых долей 1 3 5
килограмма.
О
Велосипедист едет со скоростью 12у км ч. Какое расстояние он проедет ла
2 ч. | ч и Ijy ч?
Деревянный брус имеет форму нрямоух-ол иного параллелепипеда, измерения
3 1
которого равны (i м, м и — м. Для выполнения строительных работ было
куплено 40 штук такого бруса ио цене 12 400 р. за 1 м;|. На *сакую сумму был
заку плен брус?
Найдите значение ныражения:
о
< -2Г‘Т ы^->!-з!1 1.
86
&Z ДЕЙСТВИИ СО СМЕШАННЫМИ ЧИСЛАМИ
Вычислите:
Запишите ц виде обыкновенной дроби:
а) 38%; б) 65%; и) 70%; г) 90%.
2.312 Запишите в шце нроцентоа:
а) 0,34; б) 0,6; а) 0,09; г) *; д) » • е) “
О 20 50
Автомобиль догоняет автобус. Сейчас расстояние между ними 7 км. Скорость
автобуса 43.5 км ч, а скорость автомобиля 59,5 км ч. Какое расстояние будет
между ними через 1 ч, если / - 0.1; I — 0,25; I — 0,5?
Найдите корень уравнения:
а) 11.46 (2.76 + 3.26) + 2,35 - 6,2;
б) 15d (12,Id 0,7d) + 5.6 - 20:
а) Зх + ‘ - з’х - 1*х| - 4^.
6 12 1 ,1 3
Выполните действия:
24,062 8.04 : (0,763 - 1.237) 6,25 • 2,74.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ
Проверочная работа
I Увеличьте:
1 В 9
а) в 3 рала: в) - в 18 рал;
7 У
б) Г.1 в 5 рез; г) 2 - и 13 раз.
8 13
2 Сколько метров составляет:
. 1 2 . 1 . , 7 . 3 ..
а) 77 км: ~ км: и) 77 км: г> !<м: "77 куи
10 5 15 30 55
Найдите значение выражения:
а) 2х + ^д нри х - 2 у , д - 9;
б) 2-х 1-(/ нри х - 1 —. д - 1-.
4 Упростите и найдите значение выражения:
4-т + 9—м 3-т 5—п нри /н — 1—, л — 2—.
5 75 7 II 8
2 5
5 Автобус ог станнин до деревни едет 2 ч со скоростью 60- км/ч. Каково рас-
5 6
стояние между станцией и деревней?
В комнате, ширина которой равна З1 м, а длина 4 * м. необходимо но-
'1 U
красить иол. Сколько краски понадобится, если д_ы ли краски 1 м" пола нуж-
но 120 г краски?
13. НАХОЖДЕНИЕ ДРОБИ ОТ ЧИСЛА
87
13. Нахождение дроби от числа
нахождение дроби
от числи
Напомним, что с помощью умножения на правильную
дробь можно находить часть целого (дробь от числа).
(Чтобы найти дробь от числа, нужно умножить число на
эту дробь.
Рассмотрим решения задач на нахождение дроби от чис-
ла для дробей, которые не являются правильными обыкно-
венными дробями.
Задача 1. Катя за учебный год взяла 35 художественных
книг в детской библиотеке. Из них 0.8 книг показались ей ин-
тересными. Сколько книг показались интересными Кате?
Решение. Для решения задачи надо умножить 35 на 0,8:
35 0,8 - 28.
Ответ. Кате показались интересными 28 книг.
Задача 2. Месячный оклад рабочего 60 000 р За месяц
он получил сумму, которая составила 1- оклада Сколько
рублей получил рабочий за месяц? ’’
Решение. Рабочий получил V от оклада в 60 000 р.
Дпя решения задачи умножим 60 000 на 11 ,.
Представим смешанное '-исло в виде неправильной дроби
и выполним умножение:
60 000 Ц - 60000 - - - 60°-?- 5 - 75 000 (р.).
4 4 4
Ответ За месяц рабочий получил 75 000 р.
Задача 3. Туристический маршрут составляет 120 км. На
байдарке нужно пройти 24 % маршрута. Сколько километров
пройдут туристы на байдарке?
Решение. Для решения задачи надо умножить 120 на
0.24 так как 24 % ~ 0,24 Получим
120 0,24 - 28.8 (км).
Ответ. На байдарке туристы пройдут 28.8 км
Задача 4. Вкладчик положил а банк 600 000 р. под 6%
годовых. Какая сумма будет у него на счёте через год?
Решение.
Первый способ.
Найдём сколько будет начислена денег по процентам че-
рез год:
600 000-0.06 - 36 000 (р.).
Вычислим сумму на счёте через год:
600000 + 36 000 - 636 000 (р ).
88
$2. ДЕЙСТВИЯ СО СМЕШАННЫМИ ЧИСЛАМИ
Второй способ.
Найдём, сколько процентов от исходной суммы будет на
счёте через год;
100% + 6% - 106%.
Вычислим сумму на счёте через год:
600 000- 1,06 ~ 636 000 (р.)
Ответ. Через год на счёте будет 636 000 р.
Л • Как найти дробь от числа?
; I Как найти проценты от числа?
2.-316 Вычислите:
а) or 14;
I
2.317 Вычислите:
а) 0.7 от 40;
2.316 Найди ге:
а) 1- от —;
7 8
2.319 Вычисдште:
а) 40% от 30;
б) - от 48; а) - аг _®_;
9 (27
б) 0,35 от 60;
б) I ; от 200;
•>
б) 55 % от 13.8:
г»
от
3
16*
а) 0,3 от 0.9;
□ 9
iij I— tn 4
7 з
и) 63 % or —;
9
г) 0.6 о г 5.7.
г! 3.25 от —.
13
г) 78% от 26-.
3
2
9
2.320
Найдите 45 75%. 90%. 102 7... 145%, 200 % от 250 р. Сравните полу-
ченные результаты с 250 р.
2.321 Чти больше и на сколько:
а) 24 % от 46 или 42 % от 25:
б) 76% от 120 или 112 '< ог 84;
в) 65 • от .52 или 52' от 65;
г) 0,2 ! . ог 50 или 0.5 ог 20?
2.322 а) В бочке 130 л воды- Для полива использовали 0.6 этой воды. Сколько
.штрои воды использовали для полива?
з
б) В бочке 130 л воды. Израсходовали - этой воды. Сколько литров воды
израсходовали?
в) В бочке 130 л воды, 60 этой аоды ушло на долив огорода. Сколько
лигром воды ушло на долин огорода?
2.323 На автиегомике было припарковано 20 автомобилей отечественного и зару-
бежною производства. Иномарки составляли 0,45 всех автомобилей. Сколько
автомобилей оп/чсственною производства было на стоянке?
2.324 Масса одною учебника 260 г. Масса одной гетрадя составляет 0,15 массы учеб-
ника. Чему равна масса четырёх учебников я пяти тетрадей?
2.325 В художественной школе организовали выставку детских рисунков, им котсг-
рой были представлено 144 работы. При этом графические рисунки составля-
ли ’’ всех работ, рисунки акварелью 75% остальных работ. Сколько ри-
18
сунков акварелью было представлено на выставке?
13. НАХОЖДЕНИЕ ДРОБИ ОТ ЧИСЛА
89
2.326
2.327
2.328
2.329
2.330
2.331
2.332
2.333
2.334
2.335
2.336
2-337
Расстояние между кортами Владилентока и Санкт-Петербурга через Панам-
скин канал раине около 14 тыс. морских миль. Расстояние между .ними
порхг-ми через (Чацкий канал составляет 0.864 расстояния через Панамский
капа.!, а но Северному морскому пути 66' расстояния между моргами че-
рез Суэцкий канал. Сколько километров между портами Владивостока я
Санкт-Петербурга ио Северному морскому нуги, если I морская миля равна
1852 м?
3
Длина школьного спортивного зала равна 30 и.прили ох гавляет — тыны,
5
а высота 0,3 ширины. Найдите объём и площадь спортивного ;ш.та,
В бензобаке было 42,5 л бензина. По дороге а деревню было израсходовано
0.3 бензина. Сколько литрон бензина осталось?
Ежегодно предприятие индексирует оклад сотрудников на 3'. Какой будет
оклад через год: два года работы сотрудника с окладом 48 (ММ) р.?
В интернет-магазине ноутбук стоит 36 000 р., а в магазине электроники сю
цена составляет 120 от цены а интернет-магазине. Сколько стоит ноутбук
в мах азине электроники?
В городе Камень-на-Оби х-лубина реки к началу наводка к апреле была 320 см.
За апрель уровень реки поднялся на 48 ' .. а в мае опустился на 16 % от уров-
ня подъёма а апреле. Найдите глубину реки в начале июня.
Вкладчик доложил н банк 540 тыс. р. под 5% годовых, с условием зачисления
суммы, полученной по процентам. ня агог же счет. Какая сумма будет у н<чо
через: а> 1 ход: б) 2 года?
Андрей решил 1- задач от 30 запланированных задач дня решения па недолго.
Сколько задач он решил?
На оссшною ярмарку фермер нриаёз 7* т кархчя^хеля. В зернухо неделю он
продал 0,4 всего шгрхофеля. а но вторую неделю 7- того, чти было продано
в первую. Сколько тонн картофеля <]к?рмеру осталось продать?
До обеда бригада собрала 0,65 нормы хлопка. а после обеда нормы
хлопка. собранного до обеда. Собрала ли бригада за день положенную норму
хлопка?
За три дня, ( 26 по 28 иьо.гн 2010 г., в Ново-
сибирске ньншло 87 'я месячной нормы осадков.
9
При ;>хом ник - вы наш них осадков при-
шёлся на 27 июля, я наименьшее количество
осадков 0.4 оставшейся части выпало
в третий день. Сколько проценгоп месячной
нормы осадков ньшяднло ежедневно в период
с 26 но 28 хххоля?
Если на калькуляторе есть клавиша •, то. например, найти 24,4 от числа
7.25 можно по алгоритму 7.25 24,4 • . Вычислите: а) 0.4 от 19,35; б) 89
от 15.7. Если такой клавиши хгет. го хгсрепедитс проценты в десятичные дро-
би и вычислите.
90
§2. ДЕЙСТВИЯ СО СМЕШАННЫМИ ЧИСЛАМИ
2.338
Вычислите.
а) 1,25 2 6} 14.7 : 7 е) В 0,5 г) 2* . 0.25
+ 1.7 1.6 » 3.6 1.6
1,5 * 3,3 2 : 1.2
: 9 : 2 : 0,7 । 0.8
2 ? ? О
2.339
2-340
2.341
2.342
2.343
2.344
2.345
2.346
(fi2.347
2-348
Вычислите: а) 11g-1; б) || ||; в) U I ^1-
Какое число прибавили к 1 и получили:
а) 1; 6) | в) 1 г) 1Л: д) гА,
Выполните) действия:
а> Зн ,21; 6» 37 8)4 27' 1 2i ’1
I I м J Г М V
Найдите значение произведения:
а) | • 1|: б) з| 2-1 в| 21 31
5 3 7 3 7 9
Выполните действия:
а) А 41.1. '32 , 21[ А ,1; 6)||tlj..2a6 ,g6_. А.1.
' 52 3 3 '3 5 1 37 36 5 ' 1 9 5 1 7 14 1 17 5
Найдите, между какими соседними натуральными числами расположены числа
п3 5-1 101
г5 ' 1Г 60 ’
Найдите какие-нибудь четыре решения неравенства.
а) и < 0,7, б) 3 < b < 5, в) fll < е < 91; г) 0.2 < J < 0,3.
Сколькими способами можно выбрать четырех участников марафона из 16 человек?
Для ателье закупили 36 м шерстяной ткани, бархата в рэза больше, чем
шерстяной ткани а хлопковой ткани в 21 раза больше, чем бархата. Сколько
метров хлопковой ткани купили?
13. НАХОЖДЕНИЕ ДРОБИ ОТ ЧИСЛА
91
2.349 Найдите высоту прямоугольного параллелепипеда, если его объем равен 2B.fi см3
и в основании ложи г квадрат со стороной 2.4 см.
2.353 Найдите корень уравнения;
1) I78.B7 (Ь 13,4) - 174.77 2) 243.В2 (17.1 е) = 231,32.
2.351 Вычислите и проверьте вычисления с помощью калькулятора
I) 557.55 <1.3689 ♦ 0,7311) : (3,4 15,7 47,0В).
2) 537.84 <0.9078 г 1.2922) : (2,8 14.7 36.76);
3) 164.5 7.02 : 7,8) |72 561,15 ; 8.7) 152.6
4) (16.3 6.88 : 8.6} (11.49 326.61 : 57) 513.23.
В нервом магазине цена коробки конфет 418 р.. а цена во втором магазине
составляет от цены в нервом магазине. Ни сколько рублей коробка конфет
но втором магазине дешевле?
Овощная смесь состоит из горошка и моркови. Масса моркови составляет
J.* массы горошка. Найдите массу смеси, если горошка в ней 435.3 г.
Угол -А равен 40=. а угол В составляет 135' от угла Л. Найдите градусную
меру суммы углов Л и В.
На пакетике семян огурцов указан процент всхожести 98 Сколько семян
из партии 150 штук может не взойти?
2.35; Численность населения Московской области a 2018 г. составляла примерно
7,6 млн человек. За год прирост населения составил 1,3 . Найдите числен-
ность населения Московской области в 2019 г.
Фабрика произвела 36000 нар женской и мужской обуви. В магазины было
отгружено О.7 всех пар мужской обуви и 0,8 всех дар женской обуви. Сколько
всего нар обуви оп рузидн в магазины, если мужская обувь составляет всей
обуви?
На участке сибирского леса 70’ занимает .шетвеиница, Д оставшейся пло-
щади занимай! кедр, а остальную нлошадь лиственные деревья. Сколько
гектаров занимают лиственные деревья, если площадь всего участка 720 га?
В кинотеатр на дневной сеанс пришло 240 человек. Из них дети.
0,4 от количества детей подростки, остдшные взрослые. Сколько взрос-
лых пришло на сеанс?
2 36 а) В гешишах всех тюльпанов красные, ' оставшихся тюльпанов
। 12
белые, а остальные жёлтые и розовые. Какую часть иольнанов составляют
жёлтые и розовые?
б) Сколько жёлтых и розовых тюешпанов, если всего в теплице 4830 тюльпанов?
Бюджет семьи в марго раедроде_шлся следующим образом: 70 Z. бюджета со-
ставили затраты на питшшс и на товары новсодненшию спроса. Оплата ком-
мунальных услуг и налогов составила 20 затрат на витание и товары
повседневного спроса, а остальное было израсходовано на культурный доеуч
и занятия спортом. Сколько процентов всего бюджета составили расходы
на спорт и досуг?
92
§2. ДЕЙСТВИЯ СО СМЕШАННЫМИ ЧИСЛАМИ
пирамида I
Фигуры на рисунке- 2.8 называют пирамидами, а на рисунке 2.9
развёртками пирамид У пирамид боковые грани треугольники,
а основание многоугольник. Название пирамиды зависит от того,
какой М1югоугольник лежит в её основании.
2.362 Практическая работа
Оборудование: карандаш, линейка. транспортир, плотная бумага, ножницы,
клей.
а) Задание: склейте модель грг-уго.гьнон пирамиды (рис. 2.8, а.1.
Порядок работы:
1) НЛ ПЛОТНОМ ЛИГИ? OYMil.H 1J :>Г| р.|.‘.>Р[П 1IV Г;Н'\ 1 О ГЫГ1 и! шгримлды ио
следующему нлг оритму:
1. Постройте равносторонний треугольник, используя алгоритм зада-
чи 1.136. с. 34. Сторону треугольника возьмите больше 12 см, ио меньше
20 см.
2. Разделите каждую сторону треугольника ионолам и соедините точки де-
ления отрезками.
2) Нарисуйте клапаны (рис. 2.9. и).
3) Склейте модель треугольной пирамиды.
о) Задание: сделайте модель четырёхугольной пирамиды (рис. 2.8, б).
Порядок работы:
1) На плотном листе бумаги постройте развёртку четырёхугольной пирамиды
но следующему алгоритму:
1. Постройте квадрат, стропа которого больше 6 см, но меньше 10 см.
2. На сторонах квлдрчтта постройте одинаковые равнобедренные греугольни-
кн, используя алгоритм задачи 1.136, с. 34 (сторона кнадрагв основание
равнобедренного треугольника). Боковую сторону треугольника возьмите
больше 8 см, но меньше 16 см.
2) Нарисуйте клапаны (рис. 2.9, б).
3) Склейте модель четырёхугольной пирамиды.
Найдите значение выражения:
а) 23,335 : 0.9 0.552 : 0,6 + 0.902 : 2.2:
б) (0,0256: 1.6 + 1.6 0,04)-41.25;
а) (31,941 :6,3 3.2): 0.01;
г) (4.6 - 2.5 31.5 : 3,5): 6.25.
14. ПРИМЕНЕНИЕ РАСПРЕДЕЛИТЕЛЬНОГО СВОЙСТВА УМНОЖЕНИЯ 93
Проверочная работа
1 Вычислите:
. 2 о, 2 5 .17 , 1 , „ I , 29
а) — от 21; о) — от —; и) — от 1 — ; г) 2— от 1 —.
3 *57 18 31 25 Зв
Q П
Что больше: 2— от 42 шш 1- о г 37?
7 3
В зоомагазине дредстоилено 24(H) наименований товаров. Известно, что 23
наименований товары для кошек, 17 . наименований товары для собак,
а) Сколько в зоомагазине наименований товаров для кошек?
б) Во сколько раз наименований товаров для кошек больше, чем наименова-
ний товаров для собак?
г) Сколько наименований товаров будет в зоомагазине, если его ассортимент
будет расширен на 13 %?
14. Применение
распределительного
свойства умножения
Рассмотрим на примерах, как распределительное свой-
ство умножения позволяет упрощать вычисления
Пример 1. Вычислим значение выражения | | -35
Применим распределительное свойство умножения отно-
сительно вычитания:
|-|| 35-у 35- | 3S-25-14-11
Пример 2. Вычислим значение произведения 3^ 11.
Представим число ЗД в виде суммы его целой и дроб-
ной частей: 3 — ~ 3 + тт
Применим распределительное свойство:
3-J- • 11 - : 3 + ' 11-3 - 11 + ^-11-33 + ^- 33 J.
22 221 22 2 2
алгоритм
умножения
смешанного числа
пи натуральное
число
Чтобы умножить смешанное число на натуральное
число, МОЖНО'.
1) умножить целую часть на натуральное число;
2) умножить дробную часть на натуральное число:
3) сложить полученные результаты.
Пример 3. Найдём значение выражения 6?- | + 3| • £
Используя распределительное свойство, представим эту
Л с* 3.
сумму в виде произведения суммы 6- + 3- и числа
9 9 5
6- • _ + 3- - -> 6-+ З-1 - - 10 --6
9 5 9 б '. 9 9.I 5 5
94
§2. ДЕЙСТВИЯ СО СМЕШАННЫМИ ЧИСЛАМИ
Распределительное свойство умножения позволяет упро-
5 1 2.5
щать и выражения вида дС - и -г * -дг
5 _ 1 _ 5 1. _ 5 _ 2 с. _ 3 1
Еб 3е 5 зГ 6 в Г ВГ 2е'
14 15 29
— — + — г — — г — 1 —
21 21' 21 ‘21
В простых случаях можно писать сразу:
9 7 2
— ¥-----г ~ —
11 11 11
К
4 3
7* + 7
Расскажите о двух способах
натуральное число.
умножения смешанного числа на
2.364
Выполи Л 11. ДСЙ СТ U k LH:
а) ±+-£-j-36;
' 9 36
л!
’ 1 12 18 1
.10 19 . .... .
г — ~ — - оо ;
7 11 33,1
д> + 21 -Я 30 ' 12;
L 25 26 27. 65 ' ’ 9Е
«>(т1-||’>«=
2.365 Нийдиго произведетjс:
а) 3* - 5; и) 4- 2*; д) й* *5; ж) 6- 10^;
У 5 .J и
9 14 I
б) в; ’4: г) В- 2-; в) 3^*7;
2.356 Найдите значение выражения:
a):45+‘l’9: б)| 23 + 7 1'| 6; я) 10 - 2 1 I • 11;
'99 1 I 31 11 1
и) 23* -8;
о
К) Пи 15.
г) в-1^.3;
25.
2-367
Выполните деиствия:
“> 7и 37 + 7ТТ ' 4
б)
- 10- - 3-
8 8
-3
’ I
л) J1-44 + 4--T
.J □ 5 ч>
2.368
Унростмте выражение
. 3 .2
ai -а + —а:
7 ।
HI
б) 9 п - —я;
’ll И
Г)
7х-5
В б
о) 1 <1 + а;
ж) 2 -
з) 1-/ - Т/.
I 8
^3
' 1
9
11 ,
18е ’
k 1 ,9
2.369 Упростите выражение:
ЭХ. J
5Х + 15* " Г5Х’
~ 11 2 .
2 1" 122 3* '
б) -^£1 - ^£2:
зол
Г)
-° е - I
11 'll
2.370
Вайя за одну минут;, проходит 83- м. Какое расстояние он пройдёт за 3 мин;
20 мин; 1 ч?
14. ПРИМЕНЕНИЕ РАСПРЕДЕЛИТЕЛЬНОГО СВОЙСТВА УМНОЖЕНИЯ
95
2-371
2.372
2.373
2.374
2-375
2.376
2.377
2.378
2-379
2.380
2.381
Найдите корень уравнения:
а) - - -у | * 20 - 3: в) тх + |х - 23;
' t 5 •’ 7 7
б) ®х-{'|-21=32; г) Ц-п + Ъг - J-д - 9.
I о .< I О .? л
2
Бобр живёт 15 лет. лев u 1- раза дольше бобра, а дельфин в 3 раза
о
дольше льва. Сколько ле г состандяот продолжительность жизни дельфина?
Ня дачном участке сеть сад и огород нрямоутсльпой формы. Длина сада
13^- я, а ширина 9 м. Ширина огорода 9 м, а длина 10-^ м- На сколько
площадь огорода меньше площади сада?
Маршрут равен а км. В первым день туристы прошли 1 маршрута. Какую
часть маршрута осталось нройти? Найдите значение получившеюся выраже-
ния ири я — .’>6; я — 232; я ~ 1884.
з
В первый день Маша прочитала — леей повести, но второй день — всей
повести, (.’кальке страниц прочитала Маша .та два дня, если вея повесть заш1-
мает и страниц? Составьте выражение для решения .ыдачи, упростите ею и пай
дите значение нри а - 42: а — 70: а - 98.
В двухкомнатной квартире жилой площадью и м~ одна комната составляет
0.48 ЖИ-ЮЙ площади. я другая составляет площади первой комнаты. Чему
равна площадь двух комнат вместе? Найдите значение получавшеюся выра-
жения ири п - 45; и — 70.
з
На згшранке было Л тыс* л бензина* В первый день продали — логи бодшмд,
я
uci второй 0.4 тою количества, которое продали, в мерный день, Сколько
бензина ос пьюсь па заправке? Найдите значение получившегося выражения
при b — 6.4; b — 56—.
Кладовщик н первый раз выдал 45 л имеющегося творога, во второй раз
60 остатка, Сколько килограммов творога осталось на складе, если перво-
начально было л кг? Найдите значение полечившегося выражения при
п - 2300; п - 700; л - 90.
Найдите значение выражения:
°’ !г! + 1. 4 - О и| 2+
6) ;2,31||. 120-17^1: 1)51|.
Значение какою выражения больше:
(7-^ .1-2'
Найдите значение ныраження:
з 113
а) 4-л + т при л — 1—, т - 6—;
Б 23 30
18|. з« - 38 .
9 ' । Б5 Г
5 _ 1 1
- J — I —
11 3 6
или i -(14—4 • 2 4?
б) 5л п + /«) нри п - 1, т - 2~.
4 9 У
96
52. ДЕЙСТВИЯ СО СМЕШАННЫМИ ЧИСЛАМИ
₽>
2,382 Вычислите.
а) 90 73 б| 750 . 250 в) 0,7 6 г) 5.4 : 0,9 д) 0,48 . 0,6
4 140 3.6 • 0,4 « 4,2
26 ♦ 360 + 5 ♦ 1.6 : 2,5
: 7 : 20 • 14 : 10 • 10
? 7 ? ? ?
2.383 Найдите произведение:
4 9 7_ 17 aJ 9 7 17 28’ 0> £ Ji 17 19, — , • 13 15’ е *ч мн си осн-* LO Ю| — о о|-
2.384 Выполните действия: a) 6) । ’ । . ; В) 11 if-
2.385
2.386
1 1 5 23 5
Найдите число, от которого отняли - и получили: а) 1. б) - в) г) — д'| I--
3 би 24 б
Как из числа, записанного а квадратике, получить числа, записанные в кружках?
(Ъ 2.387
2.388
Подсчитайте на своих моделях число граной, вершин, ребер у треугольной пирами
ды; у четырехугольной пирамиды. А сколько граней. вершин, рёбер у семиугольной
пирамиды'7
Корабли возвращаются в порт приписки после каждого рейса. У первого корабля
рейс длится 6 дней, у второго 5 дней, а у третьего 20 дней. Через сколько
дней корабли опять встретятся в порту, если в первый рейс они вышли одновре-
менно?
2-389 Юрий Долгорукий основал Москву в 1147 г., а Пётр I Санкт-Петербург в 1703 г.
Какой город моложе и на сколько лет?
Набережная реки Мойки
в Санкт-Петербурге
Новодевичий монастырь
о Москве
14. ПРИМЕНЕНИЕ РАСПРЕДЕЛИТЕЛЬНОГО СВОЙСТВА УМНОЖЕНИЯ
97
2.390 а) Было собрано 180 кг яблок. На приготовление сока израсходовали — всех
яблок, а остальные яблоки оставили в свежем виде на зиму. Сколько килограммов
яблок было оставлено на зиму?
б) В саду посажены 24 куста черной и красной смородины. Красная смородина
составила 0,25 всех кустов. Сколько кустов чёрной смородины было посажено
в саду?
2-39 ’. В библиотеке 2450 книг. Книги для детей составляют 0,4 всех книг. Сколько книг
для детей в библиотеке? Сколько в библиотеке книг для взрослых?
4 3
2.3 . В субботу Катя прочитала т- всей книги, причём до обеда она прочитала р про-
читанного за субботу. Какую часть книги прочитала Катя до обеда в субботу9
2.393 Музыкальный телевизионный конкурс проходил в три этапа. По результатам перво-
го этапа 40 % участников не прошли на второй этап, а по результатам второго эта-
па 75% оставшихся участников не попали на третий этап. Сколько процентов участ-
ников конкурса состязалось на третьем этале?
2-394 Со склада выдали в первый раз для штукатурки стен - имеющейся сухой смеси.
У
а во второй раз 0,4 оставшейся смеси Сколько килограммов смеси вы дали во
второй раз. если на складе первоначально было 4500 кг?
2-395 Выполните действия;
27 7 35 9 9 6, 24 45’ 12 w 1224 . 73. 31 4 . 3f- «> 5,1-
61 1'11 11 б) 44 '17 27 5 • г) 5в I2 39 Е '9 45 Г " °
2.396 Вычислите. 1) (4.51 : 1 ,1 4 5.3) (8.4 10.23 : 3.1 ); 2) <4,05 : 2,7 1,2) (2.5 • 8.37 : 2.7).
Найдите произведение:
а) 37Т ’ 7; 7 27
2.3 Вычислите:
»• <-3,2 1: “*?|06
61 V Ss ЗН: *'31Т 1
2.39’ Упростите и иайдите значение
15 19
а) _ х + ' X при х - 5 ; ;
I 11 113
,.5 3 _ 1 ,7
61 + в» ири »-1is:
з
2. Поезд шёл 5 ч со скоростью 50' кл
ко километров прошёл поезд за зги
5; г) 8-2b Д)5| ’3; о) 7^ • 1L
+ 419-<-,: Д> 12+21в) г|1 =
— -3— 3—; в) Z-- 2—-1- ,.
29 1 1 29 ’ 3 16 Я
выражения:
. 17 2,7. „ „1 . „15
!2С‘ 7С+ 1ВС “Р“ С ‘S’ V
.32 1 ,136
л -п — -п - —и при п - 1—; —.
1 3 18 ‘ 23 11
7 4 И 5 ч со скоростью 50* км/ч. Сколь-
10 ч?
98
§ 2. ДЕЙСТВИЯ СО СМЕШАННЫМИ ЧИСЛАМИ
2.401
2.402
Норная упаковка .моркови весит
Сколько моркови будет во второй
моркови?
3-^у кг. а вторая в 2 у раза больше.
8
упаковке, если и неё добавить еще Lj- кг
Маша читала рассзсаэ в точение 1 ч. а учила стихотворение на 1 ч дольше,
6 * 1
чем читала рассказ. Сколько минут Маша затратила на выполнение домашне-
го задания но литературе?
Из ~ собранных нгид чёрной смородины сварили кисель. из 70' варенье,
7
а оставшиеся яюды съели. Сколько килограммов ягод съели., если всею со-
брали 2.8 кг ягод?
В первый день убра.'ш J площади. ;]аееяшюй лодсолнечшгком. во второй лень
7
0.7 оставшейся площади. Сколько i-ектаров подсолнечника убрали за .>ти два
дня, если было засеяно с га? Найдите значение получившегося выражения нри
с — 35; с — 42.
На обувной <|>абраке было вылущено tt нар кроссовок: мужских, женских л
детских. Мужские кроссовки составляли 45 '< от общего выпуска кроссовок,
80 '< от выпуска мужских кроссовок состав ляли женские кроссовки, а осталь-
ные кроссовки были детскими. Сколько нар детских кроссовок было выпу-
щено?
Выполните действия:
а) (60,31 + 24.72 : (21.3 18.9)) : 2.3:
б) 110.864 : (4.1 • 5,2) + 3.74.
Проверочная работа № 1
Вычислите наиболее удобным способом:
а) I 7 л I 24: в) 3“ 9* 3 ~ 7;
S б 1 4 I1 717
б) 101—•25(У, г) 9— 10— 10— 9-.
50 1 2G 13 4
2 Упростите выражение:
•>
13 фермерским хозяйстве для досева фасоли иыделено гри участка площадью
20 J мЛ 27“ mj и 29’* м\ а для посева гороха дна участка площадью
ii 3 12
26-pj- м" и 31— м** Сколько килен*раммод семян <|)лсоли и семян гороха необ-
ходимо закупить фермеру, если норма нысенд ^жсоли 12 г м“\ а норма нысонн
гороха 18 г/м2?
15. ДЕЙСТВИЕ ДЕЛЕНИЯ СМЕШАННЫХ ЧИСЕЛ
99
Проверочная работа № 2
Упростите выражение л найдите еп) значение:
а) 1Р~~Р ири ^“3?:
б) 1 1 4 3 п 1 2 3 п нри w - 31 .
37 16 37 12 5
2 Решите ураныение:
В) 1-Л
8
16
11.
8
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА:
• взаимно обратные
числа
деле н ие ем е та нм ы х
Ч UCt'.'J
15. Действие деления
смешанных чисел
Напомним, что взаимно обратными числами называют
два числа произведение которых равно 1.
Числу где а т 0 и b - 0. обратно число
m - u ft
Люоые два числа вида у; и -- являются взаимно оорат-
ными. так как
a ft _ aft _ 1
ft a fitr
Пример 1. Вычислим
б 5 о 1
произведение _ 2
13 11 5
Б 5 о1 - — — 12 - 6 5 11 , _ б 1 _ Б
13 11 5 13 11 5 13 11 5 13 13 ‘
Если число г сначала умножить на число п. а лотом ум-
ножить на число, обратное числу л. го получим опять г.
Задача. Ширина прямоугольника равна 1^ дм. Чему равна
длина прямоугольника, если его площадь равна 2-В дм2?
Решение. Чтобы найти ширину прямоугольника, надо
площадь прямоугольника разделить на длину, т. е. найти част-
«б . 4
ное 2у и 1—.
Каждое из этих чисел представим в виде неправильной
дроби, а затем выполним деление:
?б Д _ 20 . 25 _ 20 21 _ 2 3 12 ^2
^7 ‘ 121 7 ' 21 7 25 1 5 5 ^5*
2
Ответ Длина прямоугольника равна 2 - дм.
5
(Чтобы найти частное двух смешанных чисел, надо
представить их в виде неправильных дробей, а затем при-
менить алгоритм деления дробей.
100
42. ДЕЙСТВИЯ СО СМЕШАННЫМИ ЧИСЛАМИ
Пример 2. Разделим — на 5.
Число обратно делителю, поэтому
9 - _ 9 1 _ 9
11 'й 11 5 55J
Какие два числа называют взаимно обратными*7 Припадите при
меры.
Какое числа обратна числу а?
ь
Какое числа обратно iнатуральному числу т?
Как записать число, обратное смешанному числу?
Как найти частное смешанных чисел?
Как разделить дробь на натуральное число?
2.407
2.408
2.409
2.410
2.411
2.412
2413
Найди го аршмнедсине:
а) 9 ’ 1. 9’ . 13 101 а) — • —: 101 13 д) — • 2-; 12 5 ж) • 3.73; 1.1
°* 23 • 23: 99 610. ’ б 10 99 ' о) 2- - —: 0 17 з) 0.6 • 1-. 3
Являются .111 числа взаимно обратными:
а) 6^ и —; 13 и) 1.2 н -; 6 д) 4- и 3 3 L 1’
б) 45 1 и —; 10 г) 21 и 0.4: е) 0 и 1?
Какое число обратно числу:
н) Д) Ч 5 9 ж) 0.6;
б) 11; Г) —; е) 8—: 23 15 з) 2.75?
Вычис. 1 л те произведение:
. 63 . ± . Z. 7 5* 6) 2.8 ^ 11 k 12 Т в) W * 9.8 ’ —- 12
Нлйли го частное:
а) 1 : 3; в) 1 : 0.2: д) 1: -Ч
12
б) 1: г} 1 : 0.7: о) 1:2-;
6 7
Выполните действия:
а) 1 + 3 |: 10Q б) ; 3 + 5 h 3?;
7 7 5 6 13
ж) I : 1.2;
з) 1 : 1.5.
г) I 8 - 2 |
21 7
10 1.
2
Решите уравнение:
. 31 . .... . .9 9
а) -х - 1; в) 0.4а - 1; д) —х - —;
б) Цр = 1; г) 0.96 - 1; с) = у.
15. ДЕЙСТВИЕ ДЕЛЕНИЯ СМЕШАННЫХ ЧИСЕЛ
101
2.414
Найдите: а) — от 15; б) 0,3 от 3-: и) =- аг 1.5; И 0.23 от 4.
1Л 3 3
2.415
Фермеру надо испахать учаегок земли размером 1— га, До обеда ин
вспахал
ю
17
этого участка. Сколько гектаров земли вспахал фермер до обеда?
2.416 Для при гит и мления блинов потребовалось “ ю муки, а для ныпсчки пирогов
в 2 ‘ рала больше. Сколько муки потребовались для аьшечкя блинов и диро-
юн вместе?
2.417 Найдите частное:
. 1 . 10. 5 . 1 . в) 12 : 25 8 , 15* г) 9 . 18 11 ' 35*
2.418 Выполните деление:
г—1 л а 4 ♦ - 1- IC а Я . 5. . f. 13 г) 7 : 1. 7 Д) 9 :1; е) 4 : -. 9
2Л19 Вычислите значение частною:
, г 1 . 1. . г, 1 . 1 3 , •’T s’ s> ^ ‘io’ д) : 1^; 1 ж) 0 :10^; 15
6} — ; 2—; г)10-:з1; 13 13 5 5 о) 5?- • : 3: 3) 5 — : 1. 16
2.420 Вычислите но формуле площади прямоугольника S - н/i значение:
a} S нри а-5г « б) b при S — 19 ин — 9^.
2.421 Найдите скорость комбайна, который убирает полосу длиной 6 км за у ч:
. I
за 1- ч.
2
2.422 Одно число в 21 раза больше другого. Найдите аги числа, если их разность
равна
2 п
2.423 Некоторое число умножили на 1—, от произведения отняли 3— и получили
23 39
Чему равно это число?
U У*
2.424 Два прямоугольника имеют ранные площади. Стороны первого прямоугольни-
ка раины см и 1? см. а одна из сторон второю 11 см. Чсм\ равна
о I I
другая сторош! второю прямоугольника?
2.425 Представьте делитель в виде десятичной дроби а найдите частное:
а) 0,75 : 1; б) 0.8 : 1; в) 0.9 : 1; г) 0.16 :
15 5 25
2.426 Представьте делитель в виде обыкновештой дроби и найдите частное:
aj — : 0.3: б) - : 0.625: в) — : 0.12; г) — : 0.25.
50 '8 25 16
102
$2. ДЕЙСТВИЯ со смешанными числами
2.427
Вычислито:
1. -41
I 7 1
а) 2-г - 2-
в)
2,42В
2.429
2.430
2.431
б)
г)
22 - l2j-6l;
15 5 1
~ 1 3 , .
7 - Ъ 14
8 5 I
Вынетшдте действия:
,<4 + 2^
Вычислите:
а) | + 0.5
4- - 1-8 ;
15 251
,, и11 -
о) 8------j —
21 12
в) 12.5 - 4 - 7,| : 11 + 4.8 ’ 9^
б) 9 :0Д8 - 3~| ’0,64
£
Решите уравнение:
2 ,1 «а „7
л) -2 - 1-; б> г» * 2 777
I 4 5 10
и)
- 1Д1Н : 0.03.
. 5 1
Г) 9Ш ~ 2 ПР
Найдите корень уравнемня:
“I
и) п -+
д)
2С--*1
3 21
г) У~
е)
> 12 +1-:
1 9 9
1
5
-1:3-;
8 I G
б) -Ду + „ у ~ 4
I’ d t
Z432
17i -1
Ч 5 6
3 t
5
I I П
1
1
1
3
2
1
1
и2Ц
1 8 г
-U + I
9 7
5
г
5
8
3
1
3
I
£
2
Реишге уравнение:
. I5 6 Г»
а> 1т i л = - : 2;
2
3
1
1
1
3
6)
1.
1’
8 *
8
2.433 Углы ЛОВ и В(Х.' вмесго сосгднлямуг развернутый угол Д(Х\ При этом угол
п
ЛОВ и 1- раза больше угла ВОС. Найдите градусные меры углов ЛОБ и ВОС\
5
Выпашите построение ;>гих утлой г: помощью транспортира.
2.434 Луч ВК долит прямой угол АВС на углы АВК и КВС. Угол ЛВК .меньше уг-
ла Л’ВС а 3^ раза. Найдите градусные .меры углов ЛВК и КВС. Постройте
эти углы.
2.435 Мать старше дочери в 4^* раза, или на 37 лег. Сколько лет каждой ил них?
2.436 Масса двух арбузов равна 13" кг. При згом масса одного прбучш составляет
_ массы друин’О арбуза, Чем> рашш масса каждого арбуза?
।
2.437 В День леса два отряда выслди.ш саженцы 780 сосен, причём первый отряд
высадил 95' числа саженцев, высаженных вторым спрядом. Сколько сосен
досадил каждый отряд?
15. ДЕЙСТВИЕ ДЕЛЕНИЯ СМЕШАННЫХ. ЧИСЕЛ
103
2.438
2.439
2.440
Когда во..лх!ииедисг отъехал от лагеря ня 23^ км„ ля лагеря выехал .чого-
6
2 3
циклист и 2ioi шы его через ~ ч* Скорость велосипедиста еостааляла ’ скоро-
3 я
сги мотоцшетистл. Найдите скорости мотоциклиста и жыосшюдт.тя.
о
I’pyuna волонтёров для уборки мусора иа Крайнем Сейере 2 “ ч летела шт вер-
15
3
голёне» а зачем еще 3*^ ч еха_ы иа вездеходе. Ирк этим иа вертолёте она про-
одолела нуть, и 3- раза больший, чем на вездеходе. С какими скоростями груд-
li
па перед вшалаеь на вертолёте и на вездеходе, если весь путь равен 504 км?
Пёс Барбос с хозяином ехали на автобусе 3 ч со скоростью 76 км ч, затем
12 ч охали на поезде л 2 ч шли пешком сп скоростью, в 19 рал меньшей ско-
рости автобуса. Найдите их среднюю скорость передвижения, если скорость
, 11
ав-нмбуса составляет 1— ско)юети поезда.
3
2.441 Вычислите.
а) 200 101 б) 200 5 в> 3 0.3 г) 0.45 9 Д) 5,6 : 0.7
: 3 130 4 4.1 . 6 : 20
+ 37 : 29 : 100 * 2,7 * 4.8
; 5 т 270 20 1 0,01 ; 26
? 7 ? 7 7
2.442 Запишите наибольшего и наименьше. мнения выражения Гг. если х - 1;
1. ,3. 3 2 * * * * 7
Г - Г - | . И -
а 4 в
2.443 Проверьте вычисления:
а) 15 2-J = 15 -2 -П5 :5 - 30 < 3 - 33;
5
б) 24 4 * - 24 4 • 24 .4 - 96 • 6 - 102;
4
2
с> 36 ^-36 * 36 . 3 - 36 । 12 - 4В,
kJ
г) 98 б - 98 98.7 - 98 14 - 84.
Ответ объясните
2.444 Найдите про наведение:
а) «| 7; в) 9? 5: а) 3 ? 3; г) 7; д) 5-Т 7.
2.445 Выполните действия.
«й'4 «>U- |.№-
2.446 Задания олимпиады по математике распечатывали на трех принтерах. На первом
принтере распечатали 35 % всех заданий, а на втором принтере 25 % всех за
даний. Сколько заданий распечатали на третьем принтере, если всего было 240 за-
даний?
104
S2. ДЕЙСТВИЯ CO СМЕШАННЫМИ ЧИСЛАМИ
2.447 Первое число на 1.8 меньше второго и о 2 раза меньше третьего. Найдите эти
числа, если их среднее арифметическое равно 6.2.
2.448 Выполните действия.
t) 21,8 । 7,7 105,6 . 4.2 : 12.1 3,25; 2) 12,6 т 5,5 176.4 2,1 ; 10,5 4.82.
2.449 Есть ли число:
а) обратное самому себе; б) нс имеющее обратного?
строгие,
нестрогие
нераненстви
Кроме строгих неравенств со знаками > и <, существуют нестро-
гие неравенства, для которых используют знаки (больше или
равно) и (меньше или равно). Неравенства 2 3 и 7 * 7 верные,
так как одно из условий выполнено: 2 меньше 3, 7 равно 7
К 450 Запишите множество натуральных чисел, которые являются решениями неравенства:
а) п 4; б) п 3; в) 3 л ~ 10, г) 2 < п < 7; д1 1 п 1,5.
2.451 Запишите число, обратное числу:
а) 6)6; в) 71; г) 0,25: д) 3,2.
2,452 Являются ли числа т и п взаимно обратными, если.
а) т - 0,5, я - 2; б) т = 1,75. п = в) т - 0.35, п =2®?
2.453 Найдите частное и результат округлите до тысячных:
а) 4.8 : 0,9; б> 25.31 ; 2,4; в) 234 21; г) 0,00539 . 1.2.
2.454 Округлите числа
а) 0.588, 2,062: 3.850; 9,3762 до сотых.
б) 0,0915; 0.7549, 2,4587. 6,59012 до тысячных.
2.455 Пчелка Лили при сборе нектара пролетела расстояние между ульем и цветком за
1 мин 15 с, а пчёлка Фили на 16% быстрее. Сколько времени летела Фили?
2.456 1| Телевизионная антенна улавливает 60 каналов. Из них 35 каналов Светс неинте-
ресны, и она их никогда не включает, 0.6 от числа остальных каналов показывают
новости. 0.2 от числа новостных каналов музыкальные, а остальные детские
и познавательные, которые Света любит смотреть. Сколько каналов любит смотреть
Света?
2) В библиотеке на стеллаже стояло 180 книг. Из них 60 учебники. 0.7 от числа
остальных книг художественная литература, 0.25 от числа книг художественной
литературы познавательная, а остальные книги сгравочная литература и эн-
циклопедии. Сколько экземпляров справочной и энциклопедической литературы
стояло на стеллаже7
2.457 Найдите корень уравнения:
п* 1) (0.3л- » 0,5х) 4.5 - 10.8, 2) (0.9.Г 0,4а-) 7.2 - 10,8; 3) (2 0.42) . 0.4 - 1.2. 4) (0,8г т г) ; 0.9 - 1.6.
2.45В Какие числа обратны шлим:
к* 13 31 13 17 10 а 36* 65’ 65' 134* 128’ 1 ’ б) 1з11, _L, зо# к)0. 1в ()43, а 7 11 10
2.459 Найдите эначеимг' выражения:
в)0,4-з1; д) (0.3 - 0,5) • 1|;
,, ,10 „ 2 б) 1— ’ 3-: г) 0,6 • 1 1 4 .1 2 е) (1.3 - 0.7) • if. •J
15. ДЕЙС ТВИЕ ДЕЛЕНИЯ СМЕШАННЫХ ЧИСЕЛ
105
2.460
2.461
2.462
2.463
2.464
2.465
2.466
2.467
2.468
2.469
2.470
Пятое из инти чисел равно 21,5, норное .меньше второго а 1,6 раза, третье
больше первого а 2.1 раза, а четвёртое больше первою а 1,8 раза. Найдите
эгги пять чисел, седи их средне© арифметическое равно 14.7.
Найдите частное:
а>5.;А: в) AL: 32; д) 9 :ж) 1’: 1-*-; Н)3А:51А;
1 13 131 52 1 7 11 19 38
б)*:*: е) 9 : 4; з) 2* : 7*; к)4*1:19^
3 9 125 3 9 36 G
Выполните действия:
в>7|:4|9: «5|;Л:2|:
Найдите значение выражения:
. 1 , I , „1 3 , . 3 . „1 .,1 .,1 ot I ..з
al ~ : 1 _ + 2- — 1:1~: г) 2 : 3~ + 3~ : 2 . 9 т;
' 5 3 37 8 '2332'5
Решите уравнение:
. 3 .. -1 г 1 г 1
а) 12 - U • т ~ 3: о) 6—р - о- - 5-р
9
С какой скоростью летел самолёт, если за “ ч он пролетел 360 км?
У велосипеда, изобретённого крепостным уральским мастером Ефимом Арта-
моновым в 1800 г., переднее колесо было больше заднего. Длина окружности
переднего колеса была равна 3- м, я заднего 1- м. Сколько оборотов
7 7
делало заднее колесо за 5? оборота переднего колеса?
I
Емкость объёмам 17) м наполняется водой через шланг за 8— ч. Сколько
кубометров воды пропускает шдаш за I ч?
Расход бензина в автомобиле при пробою но городу в 1* раза больше, чем
3
при пробеге но еко^юстной трассе. На сколько километров хватит полного
бака бензина объёмом 40 л при движении по городу, если при движении по
скоростной трасс© на 400 км нуги расходуется - бака бензина?
8
Сейчас между автомобилями. движущимися навстречу дру1 другу, 126 км,
is встретятся 1.1Ш1 через — ч. Найдите скорость каждого автомобиля, если ско-
15
рость одного ил них составляет 80 скорости другого.
Команда в со^вновации но ориентированию на местности прошла маршрут,
9 I
равный 11,5 км. причем но лугу она шла К- ч, а ни лесу 1у ч. Путь по
лесу составлял Д н\ти по луг\. Найдите скорости передвижения команды но
лесу и ио лугу.
106
&2. ДЕЙСТВИЯ CO СМЕШАННЫМИ ЧИСЛАМИ
Найдите значение выражения:
о) (1.704 : 0.8 1.73) - 7.16 2.64;
б) 227.36 : (865.6 20.8 ’ 40.5) • 8,38 + 1.12:
а) 5.4 0,01 0.1 • 0.04 + 260 - 0.001;
1) 0,08 : 0,01 0.00132 : 0.001 - 0.0332 : 0,01;
д) 0,356 : 0.01 0.08 : 0.1 + 2.03 : 0.001.
ПРОВЕРЬТЕ
Проверочная работа
Являются .ш взаимно обратными числа:
а) &3 и _т_. б> 41 u 25. В) 2i и 0,2?
7 38 6 6 I
2 Найдите х, если:
a) l±.t - б) х • 1- - 1-.
3 5 9 3
2 Выко.1 ните действ ля:
-ы 2 *
Найдите перимегр прямоугольной комнаты, площадь которой ровна 19— м‘, а
3 *
длина 3 ( м.
16. Нахождение числа
по его дроби
Напомним что с помощью деления на правильную дробь
можно находить целое по его части (число по его дроби).
ал topu.nl м нахожде
пин числа па лиане
иию его дроби
(Чтобы наити число по значению соответствующему
данной дроби, надо Это значение разделить на дробь.
Рассмотрим решения задач на нахождение числа по его
дроби для дробей не являющихся правильными.
Задача 1. Убрано 3600 га подсолнечника, что составляет
0.6 всех засеянных полей. Чему равна площадь всех засеян-
ных полей?
Решение. Так как значению 3600 соответствует дробь
0.6, то площадь всех засеянных полей равна
3600 : 0,6 - 36 000 : 6 - 6000
Ответ Площадь всех засеянных полей 6000 га.
Задача 2. Усовершенствование станка увеличило его
производительность на 15 %, что позволило изготавливать за
смену на 105 дет дней больше. Сколько деталей изготавливал
станок первоначально?
Гб. НАХОЖДЕНИЕ ЧИСЛА ПО ЕГО ДРОБИ
107
Решение. Так как 15% равно 0,15. получаем
105 0,15 - 700.
Ответ. Станок изготавливал первоначально 700 деталей
Задача 3. Андрей решил 3G задач, что составило 1* за-
дач, которые он планировал решить. Сколько задам он пла-
нировал решить?
Решение. Так как числу 36 соответствует дробь 1^-. то
получаем
36 ; С - 36 : 6 - 36 • * - 30.
5 5 6
Ответ Андрей планировал решить 30 задач
г Как найти число по значению ого дроби?
j I Как найти число по ого процентам?
К
2.472
Найдите длину сгадба, если его наземная часть равна 5— м. а н землю врыто
3
— его длины.
2.473 Первая чаегь фильма длится 1,53 ч, что составляет 0,62 времени всего фильма.
Найдите иродолжителыюсть фильма.
2.4 74 Ви время распродажи цена на товар уменьшилась на 24 , уменьшение цены
составило 57,6 р. Сколько стоил товар до распродажи?
2.475 На приусадебном участке 14 соток занимает огород, что составляет 0.36 всего
участка. Чему равна площадь приусадебного участка?
2.476 После гиги как 1 лаги гон.ijcunuiu на зиму гопа было израсходовано на корм-
ление животных, осталось 36 т. Сколько тонн гена бьыо заготовлено на
зиму?
2.477 Ни детском танцевальном конкурсе было номинировано 6 участников* чти сп-
ета шью 0*24 всех участников* Сколько всего бьыо участников на конкурсе?
2.478 Вкладчик положил деньги в банк иод 6 ' • годовых и и конце года получил
148,4 тыс* р* прибыли* Какая сумма была наложена в банк?
2.479 при подготовке к олимпиаде Кири.ш решил 25 задач* Потом он решил ещё
несколько. И?* количество составило 20 % от решенных ранее задач* Сколько
всего задач собирался решить Кирилл, если решил всех задач?
G
2.480 Лесник, объезжая верхом на лошади лесные угодья, сначала проехал 18,6 км
до сторожки» затем еще _ пройденного нутп* После итоги ему осталось про-
ехать \ всего нуги. Сколько километров составляет весь нуть лесника?
2.4В 1 Найдите числи* если известно, что .пени числа рання 0*6 от числа 18.
2.482 Найдите число* если 45 % этого числа составляют 28 *• ог чиегга 180*
108---------------- §2. ДЕЙСТВИЯ CO СМЕШАННЫМИ ЧИСЛАМИ
2.483 Город Тула знаменит своими самоварами. которые ц XIX в. ЛЕШТ
изаотавлишьш ил разных, материалов: зелёной меди (лагу-
ни), красной меди, томпака и мельхиора. Мельхиор содср-
жал 60 % меди. 25 цинка, а остальную часть сплава со- ‘
сгавлял никель. Какую массу имел мельхиоровый самовар,
сели масса никеля и нём составляла 1,8 кт? Y? i
2.484 Три бригады досадили саженцы ели для нового леса. Пор-
вая бригада досадила 35':. всех саженцев, вторая G0 % яВЛД
оставшихся саженцев, а третья остальные 520 саженцев. у___
Сколько всего саженцев насадили?
2.485 Три бригады ремингн ров или дорогу. Первая бригада отремонтировала 0,4 до-
роги, вторая 0.6 оставшегося участка дороги, а третья остальные
11,52 км. Найдию длину дороги.
2.486 Бригада же ;. мл-.-дорожников в нервыи двш» отремонтировала — всего участки
- 1
железнодорожною пути, во второй день — оставшеюся участка нути,
7
а в третий остальные 6 км. Сколько километров железнодорожною пути
отремонтировала бригада за три дня?
2,487 Если на калькулм юре есть клавиша , то. например, найти число. 3,9 % ко-
торою составляет 12.48. можно по следующему а.яоригму: 12.48 3.9 '...
Найдите но лгому алгоритму число:
я) 37.8 которою равны 5.2542: б) 4,36 ' . которого равны 7,3684.
Если такой клавиши нет, то переведите проценты в десятичные дроби а вы-
числите.
2.488 Вычислите.
а) 6 1,2 б) 1 0.79
: 8 .0,3
• 10 < 5.3
:5 : 1,5
? ?
в) 9 4.5
1 1.5
• 1.7
< 4,9
г) 10 : 2.5
• 1.5
: 12
18
?
2 489 Найдите частное от делания числа в квадратике иа число в кружочках.
2.490
[цг.491
13 1
Во сколько раз обратное число больше числа. 0.4?
f *r J
Загнийте число, которое больше соосго обратного числа в: 3 раза: 11 раз.
16. НАХОЖДЕНИЕ ЧИСЛА ПО ЕГО ДРОБИ
109
2-492 Во время ремонта пол □ кухне размером 4.2 3,6 м решили сыложить кафельной
плиткой. В магазина можно было купить плитку размером 0.3 0.3 м по цене 200 р
за штуку и размером 0.4 0,4 м по цене 320 р. за штуку. Какую плитку купить вы*
годнее? Сколько рублей составит выгода?
2.493 1} Миша шел с одной и той же скоростью. Сколько километров пройдёт Миша за
1 1 5 - О 1 п
1, ч. если за ч он прошел км?
4 12 2
2) Поезд шел с одной и гой же скоростью. Сколько километров пройдёт поезд за
1 2 1
3- ч. если за т ч он прошел 22- км?
2.4 94 Вычислите!
n I1 о1 t2 Oid1-!7-13 И I3 < 11 45 А116‘Ч5 4
11 '-124 'у 2)43 ’в IS’ 3),7 1S-47- 4| 7'37 Э
2.495 Найдите значение выражения
(7.061 2.3 2.2) 14.2 + 17,391 . 5,27);
2) (3,7 г 14.058 : 6,39) (23.641 . 4.7 4,6).
Никита прошёл мд .шоках 400 м, что составили 1 всей дистанции. Чему
равна длина дистанции?
Комбайнёр на новом комбайне убрал зерно с ноля за 56 ч и затратил времени
на 30 меньше* чем на старом комбайне. Сколько времени потребовалось бы
дин нынолнения згой работы на старом комбайне?
Найдите высоту опоры для моста, если она возвышается над водой на 3.3 м.
3 ..
что составляет — ее длины,
20
2.499 Строители в конце года сдали 432 тыс. м* жилья. чти превысило запланиро-
ванную площадь на 8 Сколько тысяч квадратных метров жилья должны
были сдать строители?
Луч ВС делит угчиг .4В£> на два угла АВС и ВВС так, что у юл АВС составля-
ет 0.45 угла DBC. Найдите градусные меры углов АВВ н DEC, если угол ЛВС
равен 13,5 .
Длина нормою из трёх участков беговой дистанции эстафеты по лёгкой атле-
тике составляла 45 длины всей дистанции, длина второго участка 0.8 от
длины первою. 4omj равна длина всей дистанция, если длина третьего участ-
ка составила 380 м?
у
Из мо[ххииышкл л столовой взяли 15,6 кг мяса и зачем iw этою к<хш-
чостшь После этою а морозильнике осталось — шшшишеги я тлм изначдль-
rj
но мяса. Сколько килограммов мяса было в морозильнике?
После гою как туристы преодолели ин байдарках 0.48 всею пути, им осталось
вройгн ещё 24 км. Чему равна протяжённость всего пути?
Элеватор в первый день отгрузил из одной колонны 40 . имеющегося зерна,
но второй день 60 оетагкя. а н трегий день последние 96 т. Сколько
зерна было н колонне элеватора?
110
§2. ДЕЙСТВИЙ СО СМЕШАННЫМИ ЧИСЛАМИ
Учащимся шестых, классом бы.ю предложено выбрать один ли грех видов спор-
га, которым они будут заниматься ио время даиаштельною часа физкульту-
।
ры. Плавание выбрали — всех шестиклассников. 0.6 от числа шншцов ны-
брй-ш гимнастику, а остальные карате. Сколько всего учащихся в шес тых
классах, если занятия кара то выбрали ня 6 человек меньше, чем нлананле?
Найдите значение выражения:
в) 0,08 : 10 + 723 : 1000 1.32 : НМ):
б) 0,357 • 100 0,0297 • 1000 0.1 • 10:
в) 209.57 1845,69 : ((81,3 78,5) • (4,2 + 2,85));
1)409,3 399,3 : ((2.95 + 3.11 ’ (47.7 41.1)).
lliil
Проверочная работа
Сколько страниц нужно прочитать ученику, если:
18 страниц составляют 15 '•<< от нужного количества страниц;
~ от нужного количество страниц составляют 40 страниц;
7
110 страниц это 1“ от нужного количества страниц;
-I 135 страниц составляют 0.9 нужного количества страниц:
прочитав 45 страниц, ученик прочитает пятую часть нужного количества стра-
ниц;
прочитав иоловлну я ещё четверть нужного количества страниц, учошш про-
читает 102 страницы?
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА
• дробное?
выражение
• числитель,
знаменатель
дробного
выражения
17. Дробные выражения
Частное двух натуральных чисел равно дроби числитель
которой — делимое, а знаменатель — делитель. Например.
3 12 3
3:7 ~ 7> 12:16” -г ~ 7 ^астное от Деления одного выра-
жения на другое также можно записать с помощью черты.
Например,
(82,3 - 45.4) (12,7 + 36.5) ” .
I £., г ” ujQ ,О
Дробным выражением называют запись частного двух чи-
сел или выражений, в которой знак деления обозначен чертой
4 5
Например, — дробные выражения.
Выражение, стоящее над чертой, называют числителем
дробного выражения, а выражение, стоящее под чертой, —
знаменателем дробного выражения. Числителем и знаме-
нателем дробного выражения могут быть числа, а также чис-
ловые или буквенные выражения.
17. ДРОБНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ
111
Действия с дробными выражениями выполняют по прави-
лам действий с обыкновенными дробями Последним выпол-
няется действие деления: значение выражения в числителе
делится на значение выражения в знаменателе.
Пример 1. Вычислим значение выражения
3
Умножим числитель и знаменатель этого дробного вы раже-
2 2
ния на 15 (наименьший общий знаменатель чисел 1“ и ... )
О О
получим в числителе и знаменателе натуральные числа:
1- 1—-15
5 _ 5 _15+6_21_21
2 2 10 W
— I □
3 3
123 1
Пример 2. Выполним умножение выражений и 2-.
2.о 3
123 21 _ 12,3 7 _ 12.3 7 _ 4.3 _ 41 _ 10 25
2 В 3 2.3 3 2.S 3 0,4 4 ’ *
„ А _ 2 5
Пример 3. Сложим выражения о э и 1^0.
2 _ 5 _ 20 50 _20+ 25 _45_5
0,9 Г 1.В 9 1В 9 9 9
При сложении дробных выражений можно сначала пред-
ставить их в виде обыкновенных дробей, а потом уже вы-
полнять сложение.
Сложить можно и так:
2 5 4-5 9 90 fc
0,9 1,8 18 18 18
Что называют дробным выражением? Приводите гример.
2а + h
Назовите числитель и знаменатель дробного выражения t..
2.507
Назоните числитель и лнлмецатель дробного нырдяачшя:
2,508
2,509
2.510
2.511
. 3,0 51 . 1,2 311 . . 4е - 8а
а> Т? б) *° мГТГ г>
7
Запишите дробное выражение, у которого числитель 5л + 4/л. а знамена-
тель 8,1е я.
Запишите частное (5.5 * 3,6 3.7) : (10,8 : 2.7 3,6) в виде дробного выра-
яаишя и найдите ого значение.
„ . 3,6 . 3,75 „ 2,8 ,
Вычислите: al -—: б ——; в) ——:
11,1 2,5 0,35
3
Найдите значение выражения: а) ! :
н
тт
0Д2
0 Д05
б) в)
5
5
9”: г)
2 ’ I 3
112
$2. ДЕЙСТВИЯ СО СМЕШАННЫМИ ЧИСЛАМИ
2-512
3
R 1й
Вычислите: al ——
1—
10
б)
21
]f? Ы)
1,6 11,1 -1.2,
7.2 3,2-373* '
1 9 1 38 а. 1
3 Д 0.73
2-513
Выполните действие:
9
а) 0.51 • |
в) 1 - 42.7
. -Z- о- •
Д) ;эЬ*2.)
15
ж)
6,3: 2у
2.514
2-515
2.516
Z517
2-51В
2.519
б) 2.816: 4
г) 0.144 :
е> Ц -9 2;
X-»□
О
6±
3.6
Найдите значение выражения:
, 3.1 6.7 2.5 4.6
«> LT + КГ = ® U
13,2
, 6,8 2.7
Й> TJ 3 6
Г)
2 .1
2,8
Вычислите значение дробною выражения:
3 1.1 - Л: ОДО
. । ь
в) | 2
0.25 - 2~
18.55 - ‘ - 4,2
•Лм
3^ • 2.12 : 70
2
0.3 • 7,1 : 0,37 |— • 0.7
б) ----------;--------И------
1 2- - 0,16 :
8
Найдите аначенмс
, .1 1 t *1 1
а) п 2— — 3-
5 7
0.01
1
11
1.°я
2,75 - + 2.2 - I | -1
0.5
* 40
выражения
^ТзЪл u₽u:
б) zj - 1,2 * (1
О Л)
« 2Д
Вычислите значение выражения —
а) а - 17,2 9.4 и с = 43 31.8:
если:
,. л .5 .,1 . -< , и1 2
61 а ~ 4 2— и с — 6— + 8
6 3 5 3
а! Значение выражения ——I?-1*.*'
L&- 13,5
3,083 1,8 ‘ 13*3 =. Выполните вычисления по этому
можно найти на калысуляторе но
15
алго-
ритму 6,3
ритму.
б) (доставьте
и выполните
. 2,8 • 10.5.
11 6- 11,8 *
LUtr
для калькулятора а.лорнгм нахождения значения выражения
ни нему вычисления:
0,85 -3,1 1,92 ь . 632,3 15 I 3 1Т1 - 9,73254
6,2-0.28 * U
б)
1J3 I - 6,25
<6,3 0-003
3.625 : 2.9
Вычислите.
а) 162 127 б) 900 : 150 □) 1.5 6 г) 7 2.1 Д) 3,6 3,2
: 7 ’ 70 : 1.8 : 7 : 0.2
19 312 0,12 1.4 33.5
* 15 : 18 < 0.44 • 0,02 ’ 9
*?
7
7
?
?
17. ДРОБНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ
113
2.520 На координатной прямой отмечены числа п и т (рис. 2.10). Отметьте на коорди-
натной прямой точку с координатой: 2п: л 1; л : —; т т ; п . -?
2 2 -3 3 I-
• 1 1 1 1 1 1 ► 0 пт ч Рис. 2.10v
(fi 2.521 Найдите значение выражения, а) |^ : *|; 6) | : |; g" g ' is 1 *
(ё}.522 Найдите произведение дробей - и — и произведение дробей, обратных данным. Каким свойством обладают эти два произведения? Проверьте ваше предположение еще на одном примере. Докажите это свойство в общем анде (с помощью буквен- ных выражений).
2.523 Сравните значения выражения при с - 1, е - е - 1= е - 1 1J / if
2.524 Составьте задачу, которая решается с помощью уравнения:
(в) 525 а) .. 4-1; 6) 21 и - |1. а) з1;4-1 Шестеро друзей ели арбуз. Первый съел шестую часть арбуза, второй пятую часть остатка, третий треть того, что оставил второй, четвертый четверть нового остатка, пятый половину того, что оставил четвертый, а шестой доел остатки арбуза. Кто из друзей съел больше всех?
2.526 4 Высота рябины составляет высоты березы. Найдите высоту березы, если высо- та рябины 2 м.
2.527 Автомат изготавливает в час 4 детали, что составляет 16% того, что надо изгото- вить. Сколько деталей требуется изготовить? Сколько времени это займет?
2.528 На клумбе 55% всех цветов составляют ирисы. Остальные 9 цветов флоксы. Сколько ирисов на клумбе?
2.529 Масса солёной рыбы составляет 68 % массы свежей рыбы Сколько нужно взять свежей рыбы, чтобы получить 616 кг солёной?
2.530 Чему равно число, если. 11 „4 а) 45% ого равны 54; б) 20 его равны 4.4, в) 0.7 его равны 2g °
2.531 , з Площадь дома равна 108 м‘ и составляет = площади всех построек на участке. О 2 Постройки составляют площади участка. Найдите площадь участка и выразите об в сотках.
2.532 Таня запланировала прочитать за неделю ВО % повести. За первый день она про- читала 16 страниц повести, что составило 20 % запланированного. Сколько страниц в повести?
2.533 1) В гостинице 200 номеров. Из них одноместные номера составляют 40 %, двух- местных номеров на 32 больше, чем одноместных, а остальные номера люкс. Сколько номеров люкс в гостинице? 2) 0 театре 800 мест. Ил них 55 % места в партере, в амфитеатре на 200 мест меньше, чем в партере, а остальные в бельэтаже. Сколько мест в бельэтаже?
114
§2. ДЕЙСТВИЯ CQ СМЕШАННЫМИ ЧИСЛАМИ
Л Q Q S
Вычислите: лI 6.76 • б)9,8:1у; и) 84-1*: U 14.3:1г-.
13 I । 8
2.534
2.535
2.536
2.537
2.538
2.539
В викторине Тапя ua6pa.ia ни 3 очка больше Маши. Сколько очков заработа-
ли Таня и Маши вместе, если Таня набрала у-, а Маши уу всех очков?
Мотоциклист движется си скоростью 90 км ч. а велосипедист 15 км ч. Ка-
кое время потребуется велосипедисту, чтобы проехать того расстояния, ко-
торое мотоциклист преодолеет за 4 ч?
Для изготовления большого красного медного самовара тульские мастера ис-
пользовали сплав меди и цинка. Какую массу имел самовар, изготовленный ил
го. ШЙ i;yt ..II мели ОбьТлюм 1,2 дм' и КМ. линий объёмом 0,8 дм\ селя масса
1 см’: меди приблизительно 9 г, а масса 1 с.м:<
линка приблизительно 7 г?
Глава повести занимает 10.5 страницы, что
составляет 0.15 всей довести. Повесть со-
ставляет у— всей книги. Сколько страниц
в книге? 1j
Вычислите значение
2.16 0,55 - 1,5,
U 2,7-0,15-1,2*
22-
дробного выражения:
1 . 0
Н7
u 1 1
21- • в--
3 1
30,6 :11 ]
32
10— - 1 —
13 11
+ 132 :1-
3
npuj.HU
2.540
5
16
Фигуры на рисунке 2.1 1 называют призмами У прямой призмы
боковыо грани прямоугольники, а верхнее и нижнее основа-
ния равные многоугольники. Название призмы зависит от того,
какой многоугольник лежит в её основании. Прямоугольный парал-
лелепипед это четырехугольная призма.
Призмы и пирамиды являются примерами многогранников. На ри-
сунке 2.12 изображены различные многогранники геометриче-
ские тела, ограниченные со всех сторон многоугольниками.
Практическая работа
Оборудование: карандаш, линейка, циркуль, транспортир, плошая бумага
ножницы, клей.
17. ДРОБНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ_______________________________________115
a) Задание. склейте модель грсуюлыюй призмы (рис. 2*11, а).
Порядок работы:
1) На плотном листе бумаги постройте развёртку треугольной призмы в на-
туральную величину (риг. 2.13, а), исно.тьзун задачу 1.136 ия с. 34 яля ии-
гтроения трек i ольюгкод.
2) Склейте модель треугольной призмы.
о) Задание: сделайте модель шесгиугильной призмы (рис. 2.11, б).
Порядок работы:
1) Ни илотом -шс1с бумаги построй те развёртку шестиугольной призмы н на-
туральную величину (риг. 2.13. б), используя задачу 2.140 на с. 63 для по-
строения шестиугольников.
2) Склейте модель шеегнутольной призмы.
ПРОВЕРЬТЕ СВЯ
Проверочная работа
15 г 25
4 ГТ X & 16 22
Найди ге значение дроошмо выражения ---— *
-11—
7 I I
Расстояние между двумя населенными пунктами а км. Пройдя четверть цуги
со скоростью с км ч+ пешеход остановился отдохнуть на 13 минут. Оставшу-
юся часть ну гм пешеход щюодатсл со скоростью на 2 км/ч большей.
а) Составьте дробное выражение дш нахождения времени, затраченнихи на
нераую четверть пути.
б) Составьте дробное ныраже>ше для нахождения времени* затрачешкмю ня
оставшуюся чаегь нуги.
в) Составьте выражение для нахождения времени, затраченное на весь цугь.
Является ли составленное выражение дробным?
г) Сколько времени занял весь путь* если расстояние между населёнными
пунктами 72 км, и с - б км/ч?
116
$2. ДЕЙСТВИЯ СО СМЕШАННЫМИ ЧИСЛАМИ
История дробей насчитывает около пяти тысячелетий. Впервые до-
/1 ли числа встречаются в египетских папирусах и на вавилонски* глиня-
-'v* пых табличках. Первой дробью, которую стали использовать, стала по-
ловика, затем появились четверть, греть и т. д. У египтян использова-
лись дроби с числителем единица: -, - и т. д. Дроби записывались
2 4 5
1 2 3
г. помощью иероглифов. Только дроби — и - имели свое оболначс-
2 3 4
ние. При расчетах дроби записывали о виде- суммы. Например,
5 141. Z = 1 + 1 +JL
8 2 В’ 15 3 8 120'
Существовали специальные таблицы, в которых дроби представля-
лись в виде суммы долей. Египтяне умели складывать, делить и умно-
жать доли числа. Египетские дроби использовались древнегреческими
учеными и математиками других стран до Средних веков.
0 Оавилоие, как вы знаете, использовали шестидесятеричные дро-
би. Вавилонскими дробями пользовались греческие и арабские уче-
ные.
Эти дроби мы используем при переводе минут и секунд в часы:
12 ч 16 мин 3 с - 12 » — । А ч.
60 6£Г
Римская система дробей была связана с мерой веса асе. Эта мера
делилась на 12 долей. асса называлась унцией.
В XVIII в. наибольшее распространение получили дроби со знамена
телом 10, так как они наиболее удобны для вычислений.
<,________________________________________________________________________>
ПРИМЕНЯЕМ МАТЕМАТИКУ
1.
2.
3.
Пегя может1 * * докрасить забор за 8 ч. а Миша за
10 ч. Успеют ли они покрасить весь забор до трени-
ровки, которая начнётся через 5 ч?
1) Фарфор может состоять из 1 час ти иолевосо шпата,
3 частей кварца и 6 частей каолина (белая глина).
Найдите массу вазы, сели в ней кварца на 0.2-1 ш
больше, чем долевою пшата.
2) Сшшвы магния используют в произнодстнс ракет и
авиационных, г. рбин, корпусов приборов, дисков авто-
мобильных колёс л др. Их существует несколько ви-
дов. Часто силан состоит из 1 части алюминия, 2 ча-
стей цинка и 18 частей мат ним. (’кальке подучилось
этого сплава, если в нём магния па 3.9 т больше, чем
цинка?
Как разделить поровну семь дынь между 12 i остями,
если кажду ю дыню можно разрезать только на ранные
част и и частей должно быть не больше 5?
Который сейчас час. если оставшаяся часть суток
2
в 1— раза больше прошедшей?
Антикварная китайская
фарфоровая ваза.
Фарфор был получен:
в 620 г. — в Китае,
и 1708 г. - в Европе,
в 1749 г. — в России
ПРИМЕНЯЕМ МАТЕМАТИКУ
117
5.
6.
7.
В небольшом городке 10 памятников архитекту-
ры (рис. 2.14). Туристу хочется посттмть их все.
не проходя дважды но одной и гой же улице.
Может ли он это сделать?
В магазине продают два сорта конфет ио цене
200 р. и 300 р. Стоимость конфет каждого сорта
для приготовления ассорти одинакова. Ио какой
цене надо продавать ассорти этих конфет, чтобы
нс обм.шуть покупателя и магазину не иметь
убытка?
Ии рецепту для приготовления трёх порций мо-
лочного коктейля требуется: 250 i молока, 8 сто-
ловых ложек мороженого и но 2 ложки иди ва-
ренья, или мёда, или сирина. Нужно приготовить
коктейль для 8 гостей. Найдите массу каждою
продукта для приготовления коктейля. Одна сто-
ловая ложка модоженого, варенья, мёда или си-
ропа содержит 15 г данною продукта. рис 2.14
Участники благотворительного концерта пере-
дали 3,7 млн р. городу. пострадавшему после наводнения. Ни ремонт школ
, 5 „ _
и детских садов было испо.гьзовяно — этой суммы, на отправку детей на от-
1б
з
дых в другие регионы этой суммы, на ремонт больниц в 2 раза боль-
ше, чем на отдых детей, оставшуюся сумму направили на ремонт сгадаонп.
Сколько денс! было направлено на ремонт стадиона и на отдых детей?
8.
9. Бандероли отнравлммпся массой от 100 г до 2 кг.
Какую наименьшую сумму потребуется запла-
тить за отправку в лагерь наборов карандашей
и наборов красок для рисования 17 детям? Мас-
са набора красок для рисования равна =
а масса набора карандашей — кг. Тарифы на
10
отправку бандероли приведены в таблице справа.
Вид бандероли и масса Цена, , Р-
Простая. 100 г 48
Заказная ТОО г 34
Каждые последующие голные/неполные 20 г любой бандероли 3,6
10. Чтобы рассчитать расстояние до телевизора, нужно умножить диагональ теле-
визора на коэффициент 1.6. Измерьте диагональ вашего телевизора и найдите
оптимальное расстояние для просмотра телепередач.
11. Эйлера. Решив все свои сбережения поделить поровну между веема
сыновьями, некто составил завещание: «Старший из моих сыновей доджем
получить 1000 рублей и восьмую часть остатка; следующий 2000 рублей и
восьмую часть новою остатка; третий сын 3000 рублей и восьмую часть
следующего остатка и г. д.». Определите число сыновей и размер завещанных
сбережений.
12. Hucittucb на гробнице знаменитого бревнего математика Диофанта состав-
лена в виде математической задачи.
Путник! Здесь арах погребём Диофанта. 11 числа поведать могут, о чудо, сколь
долог был век сю жизни. Часть шестую ею представляло прекрасное детство.
Двенадцатая часть протекла ещё жизни покрылся пухом тогда подбородок.
Седьмую и бездетном браке провёл Диофант. Прошло мяттшетие; ин был ос-
частлмвлем рожденьем прекрасного первенца сына. Коему рок подовику .тишь
118
§2. ДЕЙСТВИЯ СО СМЕШАННЫМИ ЧИСЛАМИ
жизни прекрасной н светлой лав на земле но сравненью с отцом. И в печали
глубокой старец земного удела конец военриал. цережшшш года четыре <• тех
лор. как сына лишился. Скажи. сколько лег жизни достигнув, смерть вое-
лрнял Диофант?
13. Известному писателю JL II. Толстому очень нравилась следующая задача.
Артели косцов надо было скосить два луга, одни вдвое больше другого. По-
ловину дня артель косили больший луг. После .него артель разделилась ионо-
лам: первая половина осталась на большим лугу и докосила его к вечеру до
конца; вторая же половина косила малый луг, на котором к вечеру ещё остал-
ся участок, скошенный на другой день косцом за один день работы. Сколько
косцов было в аргали?
14. Задачи Л. Ф. Магницкого. Некий человек нанял работника на год, обещан ему
дати 12 рублен н кафтан. Но тот. работав 7 месяцев, восхотел уйти и просил
достойной штаты с кафтаном. Хозяин дал ому но достоинству расчет 5 рублей
и кафтан, а вздатольно есть, а коликие цены оный кафтан был.
1 5. К табунщику пришли три казака покупать лошадей. «Хорошо, я вам продам
лошадей, сказал табунщик, нерному придам я полтабунл и ещё поло-
вину лошади, второму половину оставшихся лошадей и ещё пол-лошади,
третий также получит половину оставшихся лошадей с нолулошадыо. Себе
же оставлю голько 5 лошадей*. Удивились казаки, как это табунщик будет
делить лошадей иа части. Но после некоторых размышлений они успокои-
лись, и сделка состоялась. Сколько лошадей продал табунщик каждому из
казаков?
16. Длина маршрутной троны на гору Малое Седло а Кисловодске равна 5,4 км.
Подняться на гору можно разными способами:
1) пройти но троне пешком:
2) подняться в вагончике канатной дороги, который едет — ч. Затем пройти
16
оставшиеся 2 км.
Рассчитайте время различных вариантов похода, если обычно средняя ско-
рость восхождения на гору составляет 1,5 км ч, а спуска в два с половиной
раза больше. При этом нс забудьте добавить время ни то, чтобы наесть, до-
.нобоваться чудесными видами природы и отдохнуть.
Кисловодск. Горл Малое Седло
119
18. Отношения
Ч-? ।
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА:
♦ отношение двух
чисал
♦ отношение
величин
• взаимно обратные
отношения
Числа можно сравнивать двумя способами:
вычислением разности (на сколько. больше, меньше);
вычислением частного (во сколько раз больше, меньше.
или какую часть одно число составляет от другого)
Задача 1. Ученик решил 4 задачи из пяти Какую часть
задач он решил?
Решение. Так как всего 5 задач, то одна задача состав-
ляет ] всех задач а 4 задачи составляют - всех задач.
5 °
г* 4
Тот же ответ получим разделив 4 на 5: 4:5 - — Ответ
также можно записать десятичной дробью или в процентах.
Ответ. - ~ 0.8- 80%.
5
Частное (а : Ь) двух чисел а и b называют отношением
п
этих чисел Отношение " показывает, во сколько раз число
ь
а больше числа Ь. или какую часть число а составляет от
числа Ь.
Если значения двух величин выражены одной и той же
единицей измерения, то их отношение называют также от-
ношением этих величин (отношением длин, отношением
масс. отношением площадей и т. д.).
Задача 2. Площадь катка 480 м‘ От снега расчистили
320 м‘ катка, а) Какую часть катка расчистили от снега?
б) Во сколько раз весь каток больше расчишенной его части?
Решение, а) Чтобы найти расчищенную часть катка, со-
ставим отношение 320 : 480 и получим
320 : 480 - \
480 3
120
5 3. ОТНОШЕНИЯ И ПРОПОРЦИИ
б) Чтобы узнать во сколько раз площадь катка больше
площади расчищенной части, найдём отношение:
480 : 320 - | - 1| - 1.5.
2
Ответ а) Расчищено - катка; б) весь каток в 1.5 раза
uj
больше расчищенной части
2 3
Числа и - взаимно обратны, поэтому и отношения
2 к 3 и 3 к 2 также называют взаимно, .абрдшими..
Если однородные величины выражены разными единица-
ми измерения, то необходимо перейти к одной единице из-
мерения и затем найти их отношение.
Задача 3. Масса кошки 4.4 кг, а масса котёнка 99 г. Най-
дите отношение массы котёнка к массе кошки.
Решение Выразим массу кошки в граммах. Получим
4.4 кг ~ 4400 г Значит, отношение массы котёнка к массе
кошки равно ~ 0-0225.
Ответ. Масса котенка составляет 0.0225 или 2,25%.
массы кошки
Если рассматриваются разнородные величины, то их от-
ношение — новая величина.
Например, если расстояние измеряется в метрах, а вре-
мя — в секундах, то скорость (отношение расстояния ко вре-
мени) — в метрах в секунду (м/с) и т д. В виде отношений
могут быть выражены: концентрация раствора, производи-
тельность труда, урожайность, цена.
Задача 4. В спортивном лагере отдыхали 105 детей при-
чём число девочек относилось к числу мальчиков как 3 4.
Сколько было девочек и сколько мальчиков в лагере?
Решение. Все 105 детей составляют 3 + 4 ~ 7 частей
значит, на одну часть приходится 105:7 - 15 детей. Тогда
на три части приходится 15 -3 ~ 45 детей, а на четыре —
I5-4 - 60 детей. Значит, в лагере было 45 девочек и
60 мальчиков
Ответ. 45 девочек и 60 мальчиков.
алеоритм Зеленим
числа а Занном
отношении
Чтобы разделить число m в данном отношении а : Ь.
можно:
1) разделить число m на сумму a + Ь членов отношения.
2) результат умножить на каждый член отношения.
Что называют отношением двух чисел'’ Что оно показывает?
я [_Как можно записать отношение числа а к числу Ь?
"Как найти отношение однородных величин, выраженных в разных
единицах измерения?
Как разделить число m в отношении и Ъ?
is. отношения
121
3.1 Составьте отношения чисел: 113 к 5; 21 к 30: 11,3 к —; 6.»8 к 0.3;
2 ’ ’ 2
э- к 7,4; 0,55 к 0,77. Какие из них. равны?
3,2 Замените отношение дробных чисел ранным ему отношением целых чисел:
а) 0.5 : 2.5; б) в—: —; в) 1.65 : 6—.
17 17 12
Отношение можно прочитать разными способами Например, отноше-
ний 27 19 можно читать так:
Р. п. В. п Д. п. В. п.
• отношение числа двадцать семь к числу девятнадцать:
Р. л. В. п. В п.
• отношение чисел двадцать семь и девятнадцать,
Р. п. Д. п.
отношение двадцати семи к девятнадцати.
3.3 Тесто разделили ня две части: для пирожков с капустой 890 г и для пирожков
с мясом 980 1'. Какую часть теста взяли для нирожков с капустой? Какую
часть госта взяли для пирожков с мясом? Какую часть тесто для пирожков
с капустой составляет от теста для нирожков с мясом?
3.4 На отрезке АВ отмечена точка D, так что AD 11 см и BD - 55 см. Какую
часть от]юзка АВ составляет отрезок ВО? Какую часть отрезка АВ составляет
отрезок Л ТУ?
3.5 Ширшш прямоугольника равна 12,4 см. На йь и те огни шеи и<* ширины к длине
прямоугольника, если его площадь равна 17,98 см2. Запишите отношение, об-
ратное полученному отношению. Что показывают эти отношения?
3.6 Начертите прямоугольники, оггюшопяс (порой которых равно: а) 2 : 1; б) 1 : 1:
ы 2 : 3. Как называется прямоугольник в случае б)?
3.7 В каком отношении и сплаве взяты олово и сурьма, если сплав содержит
3,76 кг олова и 0.8 кг сурьмы? Какую часть сплава (но массе) составляет
олово и какую часть сурьма?
3 8 Урок истории длился 45 мни. из них 25 мни ушло на просмотр документаль-
ного фильма. Какую часть урока занял просмотр фильма?
3.9 Ни клумбе 42 тюпьпаня. Из них 24 красных, а остальные белые. Какую
часть тюльпанов составляют белые втагьпаны, а какую красные? Чему рав-
но отношение числа красных тюльпанов к числу белых тюльпанов и что оно
показывает?
3.10 Две проходческие бригады стром, ш тоннель., двигаясь навстречу друг другу.
Первая бригада построила всего тоинеля, а вторая остальную часть. Во
У
сколько раз часть тоннеля, нострсм-шная первой бригадой, больше части, но-
__ строенной второй бригадой?
К 3.11 Три токаря сделали несколько деталей. Первый одела.: чегвергь всех деталей,
второй треть всех деталей, третий оставшиеся. Во сколько раз третий
токарь сделал больше деталей* чем первый? Какую часть составляют цета.ш,
сделанные вторым токарем, от деталей, еделшшых третьим токарем?
122
§ 3. ОТНОШЕНИЯ И ПРОПОРЦИИ
3.12 Картофель разложили и 3 ящика. В первый положили 0.2 всего картофеля,
но агорой 0.5 всего картофеля, л в третий 0,3 всего картофеля. Что по-
казывает отношение:
а) 0,2 к 0,5; б) 0,2 к 0,3; в) 0,5 к 0.3; г) (0,5 + 0.3) к 0.2?
3.13 а) В классе 30 учащихся, из них 6 человек получили за контрольную работу
оценку «5*. Какая часть класса подучила оценку *5»? Сколько процентов всех
учащихся это составляет?
б) Из 1000 семян моркови не взошло 20 семян. Найдите, сколько процентов
семян взошло {процент всхожести).
3.14 За жм.тнщно-коммуна.'шные услуги семья платили 3250 р. в месяц. После по-
дорожания счёт за месяц составил 3900 р. На сколько процентов подорожали
жилмщно-коммуняльные углу ГК?
3.15 '1то показывает отношение:
в) числи всех карандашей, расфасованных в каробкн, к числу коробок;
б) стоимости купленных тетрадей к их количеству;
в) количества собранного зерна к площади ноля;
г) объёма куба к его высоте?
3.15 Три отряда волонтёров собирали мусор в нарке. Первый отряд собрал мусор
с 45"и всей площади, второй с 30 ’5, а третий с 25 ч. Вычислите, округлив
ответ до десятых, сколько процентов составляет площадь, убранная:
а) первым отрядом, от площади, убранной двумя другими отрядами;
б) вторым отрядом, от площади, убранной двумя другими отрядами:
в) первым отрядом, от площади, убранной третьим отрядом;
:) вторым отрядом, от площади, убранной первым отрядом;
а) третьим отрядом, от площади, убранной вторым отрядом.
3.17 Ученик прочитал в 3 раза меньше страниц книги, чем ему осталось прочитать.
Определите:
а) какую часть страниц книги прочитал ученик, а какую осталось;
б) сколько процентов страниц киши прочитано и сколько осталось прочитать;
в) какую часть от прочитанных страниц составляют те, что осталось протягать.
3.18 л) Математику в седьмом классе изучают за 210 уроков на трёх курсах: алге-
бре, jeoMCrpua и вероятности и статистике. Найдите число уроков ио каждому
курсу, если число уроков алгебры и число уроков геометрии относятся как
3:2, а вероятность и статистика изучается 35 уроков.
6) Сплав массой 4,56 кт* состоит из олова и сурьмы, массы которых относятся,
как 47:10. Сколько в сплаве ки.ДО1*раммов сурьмы?
3.19 Найти, сколько процентов число 9,614 составляет от числа 83.6, можно, вы-
полнив вычисление на калькуляторе по <ьтгоритму 9,614 83,6 ' . Используя
калькулятор:
а) найдите, сколько процентов составляет 0,1141 от 45,64 и 20,447 от 25,4;
б) решите задачу: *На овощной базе из 426 ц овощей продали 375 ц. Сколько
нроцентов овощей продали? Сколько процентов овощей осталось продать?»
Ответ округлите до десятых долей процента.
3.20 Вычислите.
а) 15 • 10 б) 900 1 15 Q) 1 ’ 4 г) 1.4 + 3.6 Д) 3 • 1.6
< 350 •9 0.1 : 0.25 1.2
: 25 4 260 • 6 • 0,14 : 1,8
20 : 16 : 4,5 2,7 0,2
150 20 * 0.39 7.3 0,4
7 ? 7 7 7
/а. опшшешш__________________________________123
3.21
Выполните вычисления о цепочке.
3.22
3.23
3.24
(ц 3.25
На сколько надо уменьшить знаменатель дробей А чтобы получить
дробь
Выразите в процентах число: 0.3; 0,85; у. у. 2_; 1: 4: 4^. 16 уХ
Четверть от половины числа равна одной четвёртой. Найдите это число.
Развивай внимание Кто быстрое найдет в таблице последовательно все числа от
26 до 50?
>10 33 36 26 30
<11 39 28 37 31
42 47 34 29 43
44 49 35 38 46
32 48 45 50 27
б>
47 46 37 30 33
27 44 42 39 35
50 41 34 43 31
38 48 28 49 25
29 40 45 32 35
3 26 Вычислите значение выражения:
а) 0.3 • | 6) |: 0.6
С о
2--Д
В) -2—л
1 35
г)
’ 21-11
з 6
'2 16,
0,4 ОЗ’
О|
0.09
3.27 На печать художественной литературы израсходовали привезённой в типографию
2
бумаги, а на детскую литературу ушло Г) от количества бумаги, израсходованного
на художественную литературу Сколько бумаги израсходовали на детскую литера-
туру. если всего привезли 24 г бумаги9
2 а
3.28 Напольной плиткой покрыто 5 площади квартиры На пол на кухне ушло 17.5 м*
5
плитки, что составило q всей напольной плитки. Какова площадь квартиры?
3.25 Вычислите объем прямоугольного параллелепипеда, у которого
5
9) ширима 1.5 м и составляет длины, а высота в 1.8 рала меньше длины:
Б
2) длина 15.3 м и составляет 0.9 высоты, а высота в 3.4 раза больше ширины
124
АЗ^ОТНОШЕНИЯ И ПРОПОРЦИИ
Д’
Hri тренировке у Кати из 18 прыжков на льду не получились 3, а у Даши из
21 прыжка нс получились 2. Найдите. какую часть составляю!' удачные прыж-
ки от числа прыжков для каждой из девочек. Кто прыгает лучше: Катя или
Даша?
Володя и Дейне соревновалась и стрельбе а тнре. Володя сделал 60 выстрелов
л попал и мишень 42 раза, а Денис сделал 70 выстрелов и попал 36 раз. Кто
стреляет лучше?
Для тою чтобы заквасить капусту, хозяйка взяла 0,7 ki моркови и 4.0 ki
капусты, В каком отношении но массе были взяты морковь и капуста?
На пути от антовокза,1а до пункта назначения автобус сделал две остановки.
Протяжённость участка дороги до первой остановки равна 32 км, от первой
до второй остановки 28 км, а от второй, остановки до пункта назначе-
ния 40 км. Какую часть пути занимает каждый участок?
Для приготовления рассола при засолке огурцов на 1200 г воды взяли 40 г
соли. Найдите процентное содержание соли в рассоле. Рассол получился креп-
ким. поэтому добавили ещё 800 i воды. Каким стало процентное содержание
соли в рассоле?
Школьники собрали за год 720 кг макулатуры, превысив прошлогодний ре-
корд на 100 кг. На сколько процентов больше собрано макулатуры в этом
году?
Среди, ребят, занимающихся в спортивном центре, 44 занимается футболом.
27 баскетболом, остальные лёгкой атлетикой.
а) Какой процен! составляют ребята, занимающиеся футболом, ш |х.бят, за-
нимающихся игровыми видами спорта?
б) Какой процен । составляют ребята, занимающиеся футболом, oi ребят, за-
нимающихся футболом и-ш легкой атлетикой?
Измерения первого прямоугольного пара.'ыелешшеда а см, b см и с гм. а второ-
го х см. у см и г см. Найдите отношение объёма первого параллелепипеда к
объему второго и вычислите ого значение при а - 8. b - 5. с - 0,2. х - 15,
у - 4. 2 - 0,3.
Выпилите действия:
з-L 2-!- 1 10— : 12 8 12- 2-:-
11 1 12 6 я. fit _JJ «1. .. 5 . _1 7
1.1 0.6 1,5' 71 м 51:? * н9‘
22 1 9
Проверочная работа Ns 1
Найдите отношение:
а) 125 к 5; в) 0.4 к 25:
б) 5 к 125; г) 0,7 к 0,2;
. у 3 .. 1
д) 2- к 37;
I 5
е) 4^ к 0,14.
is. пропорция 125
Найдите отношение иеличин:
а) 4 кг к 1 п г) 10 а к 500 га;
б) 45 мни к 1 ч 15 мин; д) 80 л к 2 м1;
о) 28 дм к 3 м; с) 12 км к 2 ч.
Выразите и процентах отношение:
а} 2 мм к 1 см: б) 3 мин к 1 ч.
4 Верно .ш?
ai Произведение двух взаимно обратных отношений ранни 1.
б) Частное двух взаимно обратных отношений равно 1.
ui Отношение двух чисел уменьшится, если каждое из них разделать на 5.
г) Отношение н : b доказывает какую часть число а составляет от числа Ь.
Проверочная работа № 2
I Разделите число 693 а отношении:
а) 1 : 98; г) 4 : 7;
б) 2 : 7; д) 34 : 43;
в) 2 : 5; с) 2 : 3.
2 Рассмотрите рисунок 3.1 и ответьте на вопросы.
ai Какую часть площадь дима составляет от алищадн
участка?
б) Во сколько раз площадь гаража меньше площади
дома?
в) Найдите отношение площади дома к площади ого-
рода и отношение площади охчэрода к площади дома,
г) Площадь выделенную под огород планируют раз-
делить и отношении 1 : 5. Меньшую из получен-
ных площадей займёт парник. Найдите площадь пар-
ника .
х Рис. 3.1
W I
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА
* пропорция
♦ крайние члены
* средние члены
19. Пропорция
Два отношения могут быть равными или неровными. Алва
равных отношений можно соединить знаком равенства.
Например, в отношениях 5.2 : 1.3 и 9.6 : 2 4 частные рав-
ны 4. Значит можно записать равенство
5.2 : 1.3 - 9,6 : 2.4, или " fj-
Равенство двух отношений называют пропорцией
1 г с/ С
а : п - с : а. или - “ —♦
п а
Пропорцию можно читать двумя способами. Например:
• отношение 5,2 * 1,3 равно отношению 9.6 к 2.4,
5.2 так относится к 1,3. как 9.6 к 2.4
126
§3. ОТНОШЕНИЯ И ПРОПОРЦИИ
средние
f----J
а : Ь - с : d
•________г
крайние
а х с
b'-'d
основное свойство
пропорции
Отношения 4.6 : 2,3 и 52,8: 17,6 не равны, потому что
4.6 : 2,3 - 2, а 52,8 : 17,6 ~ 3, и Значит, пропорцию из этих
отношений составить нельзя.
Числа а, Ь, с и d называют членами пропорции В даль-
нейшем будем считать, что все члены пропорции не рав-
ны 0.
В пропорции о : b ~ с : d, или г-~ числа а и d на-
зывают крайними членами а числа b и с — средними чле-
нами пропорции
Эти названия условны. Если поменять правую и левую
части пропорции: с : d - а : Ь, то крайние члены станут сред-
ними и наоборот.
Найдём произведение средних членов и произведение
52 9,6
крайних членов пропорции —- ~ =-г:
I fhJ £ .*4
1,3 9.6 - 12,48; 5,2 - 2,4 - 12,48.
Следовательно, 1.3 9,6 - 5.2 2,4
(Произведение крайних членов в пропорции равно произ-
ведению её средних членов:
ad ~ b e.
Верно и следующее утверждение:
1Если для чисел а, Ь, с. d не равных нулю, выполняется
. . ас
a d ~ b е. то можно составить пропорцию - ~ —
Например, для чисел 5. 7, 15 и 21 можно составить про-
21 7
порцию -р- ~ - так как 21 • 5 ~ 15 ’ 7 ~ 105. Из пропорции
можно составить ещё семь новых пропорций Для этого, на-
пример. поменяем местами крайние члены:
5 _ 7
15 2Г
Произведение крайних и произведение средних членов не
изменились. Эти произведения не изменятся, если в данной
пропорции поменять местами средние члены.
IB пропорции можно: 1) переставлять местами средние
члены: 2; переставлять местами крайние члены 3) средние
члены сделать крайними и крайние — средними членами.
Пользуясь основным свойством пропорции, можно нахо-
дить неизвестный её член по трем известным членам.
Пример 1. Найдём неизвестный средний член х в про-
порции 0,6 : л* ~ 4 17.
Используя основное свойство пропорции, запишем
х 4 ~ 0.6 • 17. отсюда х _ ; х _ 2,55.
19. ПРОПОРЦИЯ
127
3.39
3.40
3.41
3.42
3.43
3.44
1*
„ _ „ .1 035
Пример 2. Решим уравнение ~ -у-.
По основному свойству пропорции получим
635 035
з
6 35 0.35 ~ 1 д i, отсюда I -
3
Вычислим значение t. представив
дроби 1,75 и сократив выражение на 0.35:
. _ 6j85 • 0.35
1.75
в
- 6’“ =1,37.
Что называют пропорцией?
ИпПЛП|лТП w rv-j.'ii L< /'r’WK Л i ii'
1^
4
виде десятичной
Назовите крайние и средние члены пропорции х : у - I : г.
Сформулируйте основное свойство пропорции.
Как проверить, образуют ли два отношения пропорцию?
Как найти неизвестный член пропорции?
Запишите и виде равенства утверждение:
а}
61
U)
8 так относится к 7. как 4 относи гем к 3.5:
2 1
0,6 так относится к ”, как 21 относится к 23 :
3 3
2
отношение - к 0,2 рвано отношению 1< к 15,3.
Проверьте, являются ли полученные равенства пропорциями.
3 . о тг
- :3.ii> .можно составить нронор-
Из каких ш ношений 0.5 : 2,5. 3.4 : 85,
цию?
Проверьте, верно ли
а) 2| : 1^- 28: 18;
б) 10.5:7 -5, :3 ‘;
рЛВСНСТ но, используя
Зт : 8 - 1 : 32;
6
0.13 _ О,131Л
u)
t)
член
Нл идите неиавесгный
a) t : 42.4 - 26.1 : 63.6;
r, , 1 , о2 ч 1
С)-!-
Найдите неизвестный член
12.6
a)
1.15 ’
h)
0,9 0,27
б) ЗЯ1
о
у
о .6
основное свойство пропорции:
. 32 56
4> Т - у.
2.1
дроиоршш:
в) 4,5 : 2,25 ~ у
ч 25 20 1
в : * 21 ; 7
пропорции:
1.7 _ 5J .
Р
0.08 028 ‘
2 J
J.1 0,07 ‘
Составьте ещё пропорции. нсрссташш члены данной црешоршш:
21 _ 36 . р _ (_
0) 0.4 0.6’ у Jt’
a) 4 : 16 - 7 : 28;
128
£ 3. ОТНОШЕНИЯ И ПРОПОРЦИИ
3.45 Решите пропорцию:
. 13,7 е/ . . 1,5 6,3
н । ---— : в) — ;
1 ЗЛ а + 0.03 021
б) |а : 6 - 14 : 0,7; г) 4 р 2,5 - 1 J : (0,4 + б).
3.46 Составьте восемь пропорций ил равенства 12 • 4 — 160 • 0,3.
3.47 Вычислите.
a) I6 • 10 90 : 7 - 5 - 28 ? б) 800 : 25 • 30 510 I 10 -2 ? в) 7 . 5 0.2 6 • 3.8 : 5 ? г) 0.5 20 + 2.3 : 4,1 4 5.2 1 0,2 ? Д) 4 2.8 7 : 0,4 0.01 4 3,3 ?
ЗЛ: Подставьте □место знака вопроса знак действия так. чтобы получилось верное
равенство:
6)3721-^ »)|’W; rl£7a7-T
3.49 Найдите отношение величин:
а) 2.4 см к 60 м; б) 10 т к 250 кг, в) 1 мин к 12 с: г) 600 см3 к 2 м3.
3.50 Найдите число, если = этого числа равны этого числа.
13
3.5 I Какое число надо отнять от числителя и знаменателя дроби —. чтобы получить
дробь -?
It» 3.52 Какие фигуры (рис. 3.2) являются развертками (штрихами отмечены равные от-
'к~~ резки):
а'| треугольной призмы; 6) четырехугольной призмы, в) треугольной пирамиды9
3.53 На елочной гирлянде из 60 лампочек не горит 6 лампочек. Сколько процентов со-
ставляют горящие лампочки от всех лампочек?
19. ПРОПОРЦИЯ
129
З.э4 Градусньо моры углов А/ и Аг рааны 70 и 56 . Какую часть угла .М составляет
угол Ат? Во сколько раз угол Лг больше угла XI?
3.55 В начало зимы лыжи стоили IВСЮ р., а в конце сезона 1200 р. На сколько про
центов была снижена нона7 Сколько гроцентоа новая цена составляет от прежней
цены?
3.56 В многоэтажном доме двухкомнатные и трехкомнатные квартиры, причем на каждые
3 двухкомнатные квартиры приходится одна трехкомнатная. Сколько процентов со-
ставляют двухкомнатные квартиры от общего числа квартир7 Сколько всего квартир
в доме, если о доме ЗВ4 двухкомнатные квартиры?
й
Можно ли составить пропорцию на двух отношений:
al 3,06 : 0,9 и 4,08 : 1,2: б) 0,0056 : 0,14 и 0,136 : 0,34.
Найдите неизвестный член пропорции:
">3Г27-25:,!
в)»1:,-?!!1
3 3 0 7 7 17
Продолжительность светового дня 4 февраля составила 8.4 ч. Сколько про-
центов составила продолжительность светового дня от суток?
Айя дошла из дома ди парка за 5 мин и, надев ролики, увеличила скорость
движения на 120 .и мин. Через 35 мин после выхода аз дима оказалось, что
она преодолела путь 6305 м. С какой скоростью Аня шла из дома до парка?
Найдите число, если разность этого числа а 0,4 равна 1.
3.62 Найдите значение выражения:
а) 746,2 : (5,6 • 6,5) 204.12 : (2.7 • 7.2):
б) 299,71 : {3,4 4,3) 8,06 : (2,6 • 6,2).
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ
Проверочная работа
Рассмотрите пропорцию 6,72 : Зч2 ~ _г : и выполните для неё следующие
задания:
’ Запишите крайние члены пропорции^
2 Запишите средние ч.юны пропорции*
Найдите неизвестный член пропорции. Каким свойством пропорции вы вос-
hoj хыювал ис ь?
4 Составьте ещё несколько пропорций* переставляя ее члены.
Допишите задачу так, чгибы она решалась с помощью исходной пропорции:
* Улитка проползла 6 м 72 см за 3,2 ч...*
130
§ 3. ОТНОШЕНИЯ И ПРОПОРЦИИ
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА
* пряма пропорцио-
нальные иоличины
* обратно пропор-
циональные вели-
чины
а 1 2 4 8
Р 4 8 16 32
20. Прямая и обратная
пропорциональные
зависимости
Если сторона квадрата равна а, то его периметр находят по
формуле Р ~ 4а. Для вычисления периметра надо знать вели-
чину а. т. е. Р зависит от а Между величинами а и Р суще-
ствует зависимость, которая обладает следующим свойством:
отношение этих вели1 ин остаётся постоянным - 4|
При увеличении (уменьшении) стороны квадрата в не-
сколько раз его периметр увеличивается (уменьшается) во
столько же раз (см. таблицу). Такие величины называют пря-
мо пропорциональными величинами
Две величины называют прямо пропорциональными,
если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколь-
ко раз другая увеличивается (уменьшается) во столько же раз.
Такие величины обладают следующим свойством: отноше-
ния соответствующих значений прямо пропорциональных ве-
личин равны.
Прямо пропорциональная зависимость существует между
скоростью и пройденным расстоянием, количеством товара
и его стоимостью, производительностью и сделанной рабо-
той и т. д.
©
Если стороны прямоугольника равны а и Ь. то его пло-
щадь вычисляется по формуле S _ ab. Рассмотрим прямо-
угольники, у которых площадь равна 12 м.
При увеличении (уменьшении) значения одной стороны в
несколько раз значение другой стороны уменьшается (увели-
чивается) во столько же раз (см. таблицу), а произведение
величин остаётся постоянным Такие величины называют об-;
ратно пропорциональными величtiнами
Две величины называют обратно пропорциональными,
если при увеличении (у»леньщении) одной из них в несколько
раз другая уменьшается (увеличивается) во столько же раз.
Такие величины обладают следующим свойством произ-
ведения соответствующих значений обратно пропорциональ-
ных величин равны.
Обратно пропорциональная зависимость существует меж-
ду скоростью и временем при одинаковом расстоянии коли-
чеством товара и его ценой при определённой сумме покуп-
ки и т. д.
Не всякие две величины являются прямо пропорциональ-
ными или обратно пропорциональными. Например масса ко-
тёнка увеличивается при увеличении его возраста, но эти
величины не являются пропорциональными, так как при
утроении возраста масса котёнка не утраивается.
20. ПРЯМАЯ И ОБРАТНАЯ ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ 131
Рассмотрим задачи на пропорциональные величины кото-
рые можно решить с помощью пропорции.
Задача 1. Из 3.5 кг семян подсолнечника получили
1.4- кг масла. Сколько масла получится из 9,5 кг семян?
Решение. Обозначим буквой х массу масла, полученно-
го из 9,5 кг семян, и запишем кратко условие задачи в виде
схемы:
Масса семян Масса масла
Отжим I 3,5 кг 1,4 кг
Отжим II * 9.5 кг х кг I
Если взять в несколько раз больше семян по массе, то и
масса отжатого из них масла увеличится во столько же раз,
значит, зависимость между массой семян и массой получен-
ного масла прямо пропорциональная. Такую зависимость
можно обозначить одинаково направленными стрелками.
Запишем пропорцию и найдем её неизвестный член:
= г-9-51-^зз
9.5 х ’ 3,5
Ответ 3,8 кг
Задача 2. Расстояние между двумя городами первый по-
езд проходит со средней скоростью 60 км/ч за 4 ч. За сколь-
ко часов пройдёт то же расстояние второй поезд, если его
средняя скорость 80 км/ч?
Решение. Обозначив буквой х время движения второго
поезда, запишем кратко условие задачи:
Время Скорость
Поезд I 4 ч 60 км/ч f
Поезд II I х ч 80 км/ч
Зависимость между скоростью и временем движения при
одном и том же значении расстояния обратно пропорцио-
нальная так как если увеличить скорость поезда в несколько
раз, то время во столько же раз уменьшится Обозначим та-
кую зависимость противоположно направленными стрелками.
Запишем пропорцию и найдём её неизвестный член;
4 _ ВО
х 50'
Ответ. 3 ч.
"
80
Какие величины называют прямо пропорциональными? Каким свой-
ством они обладают?
Приведите примеры прямо пропорциональных величин.
Какие величины назьвают обратно пропорциональными9 Каким
свойством они обладают?
Приведите примеры обратно пропорциональных величин.
Приведите примеры величии, у которых зависимость но является
ни прямо, ни обратно пропорциональной.
32
£ 3. ОТНОШЕНИЯ И ПРОПОРЦИИ
я*
3.63 Найдите, эаиигим^мль между какими иеличмшьми прямо прошфциоцдльпая.
обратно нрсшорцжмпыьная, а между каками не является пропорциональной:
а) время движения поезда и пройденный за это время путь яри постоянной
скорости;
б) ко.шчгсгво одинакового товара и сто стоимость;
н) число рабочих одинаковой квалификации и время выполнения определён-
ной работы;
г) масса деревшшого бруска л его длина:
д) время работы снегоуборочной техники и число единиц одинаковой техники;
е) цени товара и его количество нри определённой сумме покупки;
яс) возраст человека и его рост:
а) площадь квадрата и длшач его стороны;
и) высота прямоугольного параллелепипеда и его объём при постоянной пло-
щади основания:
к) урожайность зерна с 1 га и масса .юрка при постоянной площади посева;
л) множители при данном произведении;
м) делимое и делитель при данном частном.
Решите задачи 3.64—3.75. используя пропорцию.
3.64 Труба длиной 2.5 м имеет массу 11,8 кг. Найдигг массу такой же грубы дли-
ной -1 м.
3.65 Из 25,5 м шерстяной ткани пошили 15 юбок. Сколько ткани нужно для
5 таких юбок?
3.66 Шесть станков штампуют нужное количество деталей за 9 ч. За сколько часов
штампуют такое же количество деталей 9 таких же станков?
Из города А в город В турнет ехал на машине 6.5 ч со скоростью 56 км ч.
Сколько времени потратил бы турист, двигаясь со скоростью 65 км ч?
3.68 Из 364 выпускников музыкальной школы 91 хочет цродатжнть образование.
Какой цроцеш выпускников хочет продолжить музыкальное образование?
3.69 При модернизации производства заменили 75 ' . станков. Сколько всею стлн-
ков на производстве, если заменили 45 станков?
Из аэропорта вылетает 4(H) самолётов ежедневно. Из них 280 но внутренним
рейсам. Какой процент внутренних, рейсов и какой международных?
3.71 На jXnroBAik.’ было запланировано в год выпустить 3(Ю (Ю() автомобилей^ од-
нако тыаи был вынолнен на 115 . Сколько автомобилей выпустил АвтоВАЗ?
3.72 За 3 мечгяца шахтёры отправили на коксоперерабатывающее предприагис 72
запланированного угля, (лсолько процентов заш1лнирова1шого количества угля
отправят шахтёры за 5 месяцев, если будут работать с гой же производи голь-
ностью?
3.73 За 5 дней было собрано 22,5 всей пшеницы. Сколько дней погреб уелся, что-
бы собрать 94,5 % всей пшеницы?
3.74 При производстве яблочного шоре 9 частей шоре лрлходигоя 2 части от-
ходов. Сколько отходов шыучигоя нри производстве 24,5 i яблочного шире?
3.75 Нл ценнике указана егонмость 130 г сыра 84,37 р. Чему равна егиимоегь
430 г этого же сыра?
20. ПРЯМАЯ И ОБРАТНАЯ ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ
133
Я-
3.76 Вычислите.
а) 500 г 310 б) 910 : 13 в) 1,5 0.6 г) 6.8 4 2,2 д) 5 3.6
1 90 -18 । 2,5 : 6 -4
60 14 : 1,7 +3 : 14
120 . 160 0.6 0,2 : 0.02
: 14 350 : 0.2 : 1,8 4 0.7
? ? ? ? ?
3 7 9 5 13 I А 7 / Представьте дроби —, —. — в виде суммы двух дробей с числителем L 41^ 1 1 t О ч—nJ1
3.78 Из чисел 4. 5. 16 и 20 составьте три пропорции.
3.79 Какими могут быть средние члены пропорции, если её крайние члены 7 и 8? При-
_________ водите примеры.
fi 3.80 Найдите .г.
. х. 2х _ х х, л 4 . 4 х , х
3,1 8 16’ 0,1 16 4' °) 16 х1 Г) 7 х’ х 9'
3.81 Найдите отношение:
а) 3 ч к 20 мин. в) 0.1 т к 0,2 кг; д) 4 см3 к 0.4 дм2:
б) 0,7 дм2 к 0,1 см2; г) 6 ч к 1 сут; е) 6 га к 120 а.
3.82
Отметьте на координатной прямой число tn для пропорции ™ (рис. 3.3).
т
V
0 Р
Рис. £з)
Развивай память. Развить слуховую и зрительную память поможет пирамида из
двузначных чисел. Числа в пирамиде могут быть другие.
а) Для проверки слуховой памяти попросите кого-нибудь прочитать числа из первой
строки, после чего вы по памяти их записываете го порядку. Затем вторую строку
и т. д. Если сможете без ошибок записать числа трех строк, то слуховая память у
вас хорошая, если больше, то отличная. Если допускаете ошибки при записи первых
трех строк, то меняйте числа и тренируйтесь.
б) При проверке зрительной памяти сначала закройте всю пирамиду, а затем на
5 15 с (в зависимости от количества чисел с строке) откройте первую строку и,
закрыв сё, го памяти запишите числа по порядку. Если записали числа правильно,
переходите ко второй строке и т. д.
26 28 46
69 38 17 42
41 74 16 53 20
65 52 81 23 46 19
37 71 91 17 77 64 33
12 84 35 25 71 59 23 30
3.84 Найдите неизвестный член пропорции:
а) 7 : 28 - 5,5 . 4х; в) 1.35 : 0,6 - 1,08 . 0.4х;
6) г)
134
§ 3. ОТНОШЕНИЯ И ПРОПОРЦИИ
3,85 Можно ли составить пропорцию из чисел:
а) 13: 9, 7: 29; б) 1; 1-, 1-?
2 2 4 В
Используя равенство произведений 14 6 - 42 2, составьте две пропорции.
3 Отрезок ЛТК рааон 24 м. отрезок L.V 6 дм. Чему равно отношение отрезков ЛТК
и L.V? Какую часть отрезка ЛТК составляет отрезок £Д
3.88 В забеге принимали участие 350 школьников. Из ник 64 % мальчики, а осталь-
ные девочки. На сколько больше участвовало в забеге мальчиков, чем дево-
чек?
3.09 Выполните действия:
<3.4-4Э.з| ’<4- 3.,25 0.В
<8.6 5,5>:Д ' (4- Д|:<— 5
11 '6 ЗГ 29
3.90 I) В каждой партии из 1500 фонариков в среднем 18 фонариков бракованные.
Какой процент всей партии составляют исправные фонарики?
2) В партии на 1200 шариковых ручек приходится 15 ручек, которые но пишут.
Какой процент от всей партии составляют пишущие ручки?
(еГз.91 В Санкт-Петербург приехали 86 туристов. Русский музей хотят посетить 48 тури-
стов, Эрмитаж 69 и оба музея хотят посетить 36 туристов Сколько человек нс
собираются посещать эти музеи"
3.92 Вычислите:
1) 3.16 0.6 ♦ 7,5744 : 3.6:
2) 7.0112 2,8 » 1,6 2.81
В приюте для животных на 25 кошек ежедневно расходу стоя 2 кт корма.
Сколько корма потребуется и день, если аз приюта заберут 3 кошек? (На каж-
дое животное выделено одинаковое количество корма.)
Пять снеюуборочных машин дочистили дорогу за 24 мин. За какое время по-
чистят эту же дорогу 8 снегоуборочных машин?
За 2.4 кх картофеля эанлатнли 86.4 р. Сколько можно купить картофеля на
126 р.?
Золото имеет 41,5’ примесей. Сколько килограммов примесей содержится
а 3,5 кг такою золота? Округлите игвет до десятых долей килограмма.
В оливках содержится 64,8 % масла. Сколько килотраммохх оливок необхо-
димо ваять, чихбы в них содержалось 40.5 ш масла?
В хшчке гнороха массой 250 г содержится 41.7 i белка. Определяю процентное
соотношение белка в твороге.
В шоколаде содержится 70 ' । какао. Схделько какао к шоколадке массой 90 г?
НаАднте значение выражения:
я) 43,32 : 0.83 + 144,18 : (132 128.76);
б) 378.87 : (92 87.62) + 83.2 : 6.5.
20. ПРЯМАЯ И.ОБРАТНАЯ ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ___________135
Проверочная работа № 1
Одну из двух прямо пропорциональных величин увеличили в 4 раза. Как из-
менится вторая величина?
2 Одну из двух обратно пропорциональных величин уменьшили в 6 раз. Как
измени гея вторая величина?
3 Занолните таблицу, если величины х и ,</ обратно нропорциональны.
Л 60 80 9,6 12
У 4 2 1.5 2.5 3!
4 Составьте задачу но схеме.
а) Масса товара Стоим ОСТЬ поку ПКИ
Покупка 1 2.5 кг 185 р.
Покупка И р х кг 407 р. ,г
б) Время Скорость
Теплоход 1 '2ч 45 мин 20 км/ч
Теплоход 11 2 ч 12 млн д- км ч v
Какая зависимость между величинами в составленных задачах? Решите со-
ставленные задачи с помощью пропорций.
Проверочная работа № 2
Рассмотрите таб.шцу и ответьте на вопросы.
Сколько нужно взять жидкости, чтобы получить 780 г рисовой жидкой каши?
2 Сколько нужно взять соли для приготовления 240 г вязкой овсяной каши?
3 Сколько нужно жидкости и соли для приготовления 500 г жидкой манной
каши?
Приготовили 455 г жидкой овсяной каши. Сколько жидкости и соли потребо-
валось?
Каша Норма на 100 г крупы Выход каши, г
Жидкость, г Соль, г
Рисовая рассыпчатая 210 4 280
вязкая 370 4 450
жидкая 570 5 650
Овсяная: вязкая 320 4 400
жидкая 420 5 500
Манная: вязкая 370 4 450
жидкая 570 6 650
136
6 3. ОТНОШЕНИЯ И ПРОПОРЦИИ
л л
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА
* масштаб
21. Масштаб
Практическим применением отношения величин явля-
ется масштаб карты, который широко используется в геогра-
фии. Например, если масштаб карты 1: 100ООО -
1UU иии
(рис. 3.4) то 1 см на карте соответствует 100 000 см - 1 км
на местности, так как I см равен одной стотысячной доле
километра.
у<| Масштабом карты называют отношение длины отрезка
на карте к длине соответствующего отрезка на местности.
1:100 000
Масштаб используют не только в картах. Прежде чем по-
строить стадион или ракету делают их чертежи на бумаге
или на компьютере. При атом уменьшают все размеры ис-
пользуя подходящий масштаб. В биологии при изображении
мелких насекомых, клеток микробов бактерий применяют
масштаб, больший единицы (рис. 3.5).
Задача 1. Длина отрезка на карте 4 см Чему равно со-
ответствующее расстояние на местности, если масштаб кар-
ты 1 : 10 000 000?
Решение. Обозначим расстояние на местности (в сан-
тиметрах] буквой х и найдём отношение длины отрезка на
карте к расстоянию на местности 4 х. Оно будет равно
масштабу карты. Значит
4: л- - 1 : 10 000 000.
Рис. 3.4
Решив уравнение, получим
л- - 4 10 000 000 - 40 000 000
Но 40000 000 см - 400 000 м - 400 км
Ответ. Расстояние на местности 400 км
Задача 2. Расстояние на местности 5,2 км. Отрезком ка-
кой длины будет изображено это расстояние на карте, сде-
ланной в масштабе 1 1 000 000?
Решение. Обозначим длину отрезка на карте буквой х,
составим пропорцию и решим уравнение:
х ; 5,2 = 1 ; 1 000 000:
х - 5,2: 1 000 000 - 0,0000052.
Но 0.0000052 км ~ 0,0052 м - 0,52 см.
Ответ Длина отрезка на карте 052 см
Что такое масштаб карты?
Чертёж детали выполнен а масштабе I . 150. Какова длина детали,
если длина детали на чертеже 1 см?
21. МАСШТАБ
137
3.101
3.102
3.103
(ВЗ.104
3.105
3.106
3.107
3.108
3.109
Расстояние между Москвой и Владимиром 180 км.
Найдите масштаб карты, если нв ней это расстояние
равно: а) 72 мм: б) 4.5 см: в) 12 с.м.
а) Определите ио карте (рис. 3.6) расстояния от ле-
са (точка Л) до посёлков Лесное ( точка В) и Ягодное
(точка С).
б) Определите размеры бткьей коровки ио рисун-
ку 3.5.
Расстояние между населёнными пунктами на карте
равно 6.5 см. Найдите расстояние между этими иун-
_ I
кгами на местности, если масштаб карты ---:—•
1 би ООО
Протяжённость территории России с запада на вос-
ток составляет примерно 10 600 км. Уместится ли
на одной странице тетради это расстояние в масшта-
бе одна дсся тимиллионнан?
На рису икс 3.7 изображены дна участка земли в
масштабе 1 : 50 000. Найдите их действительные
|дазмеры, периметр и площадь.
На клане садовою участка изображена схема водо-
провода. Протяжённость трубы, идущей от колодца
но участку, равна 36 м. что соответствует на плане
5.3 см. Чему равно расстояние от дома до колодца,
если на карте это ^йсстоянис равно 7.8 см?
Длила Байкало-Амурской магистрали 4324 км. Ка-
кой литы получится линия, изображающая эту ма-
гистраль ни карто. сделанной в масштабе:
1)1: 20 (ИЮ 000; 2) 1 : 25 ООО 000?
I: НЮ ООО
Рис.
3.6
3 см
2 см
1,5 см
1 5см
vPwc. 3.7 j
Расстояние между Солнцем и Землёй |>авно 149.6 мли км и изображено на
схеме отрезком, равным 6 см. Чему равно на этой схеме расстояние мейлу
Солнцем и Марсом, если между ними 227,9 млн км? Какое расстояние от
Солнца до Юпитера, если на схеме оно равно 31 ем? Результаты округлите до
десятых.
Ребро куба ня развёртке, сделанной в масштабе 1:4, равно 11,25 см. Чему
будет равно реб|к> этого же куба на развёртках, сделанных в масштабах 1 : 3,
1 : 5?
3.110
Вычислите.
а) 320 - 1В0 : 20 б) 630 90 60 в) 3.5 4.5 : 10 г) 0,5 1,8 0.15
• 6 < 180 0.3 : 0.3
ВО : 15 17 । 5.5
13 25 > 2,5 : 1.6
? ? ? ?
138
J 3. ОТНОШЕНИЯ И ПРОПОРЦИЯ
3.111
3.112
хпз
3.114
(Д3.115
3.116
3.117
3.118
3.119
3.120
Четыре пятых от четырёх пятых числа равны четырем пятым. Какое это число?
17 -1
От числителя и знаменателя дроби отняли число и получили дробь, равную
3-J 15
Какое число отняли0
Составьте четыре пропорции из отношений:
а) 27 : 3 и 72 : 9:
б) 1.02 . 0.34 и 7.5 . 2.5:
в) 3.6 36 и 5.4 24:
г) 0.8 1.17 и 5.2 0.18.
Сколько.
ч Рис. 3.8
а) метров в I мм;
б) аров в I м2.
в) суток в 1 ч;
г) литров в 1 см3?
Объем призмы в 3 раза больше объёма пирамиды, у которой высота и основание
равны высоте и основанию призмы (рис. 3.8). Найдите объем четырехугольной пи
рам иды. в основании которой прямоугольник со сторонами | м и | м, а высота
равна 9 м.
Для приготовления гарнира из 0.2 кг гречневой крупы нужно ваять 600 мл водь
Сколько воды потребуется, чтобы приготовить гарнир из 0.7 кг крупы?
С первого поля площадью 4.5 га собрали 15,3 т ячменя. Какова площадь второго
поля, если при одинаковой урожайности с него собрали 19.7 т ячменя?
Постройте развёрнутый угол и гроведите внутри него из вершины два луча, угол
между которыми 144 . Закрасьте угол между этими лучами. Какая часть развёрну-
того угла окажется закрашсн1Юй и какая часть останется незакрашенной?
1) Сумма двух чисел равна 6.5. Найдите эти числа, если меньшое число равно
1 большого числа.
4
2 ) Разность двух чисел рав|Щ 3,2.
большего числа.
3
2 Л и
Решите пропорцию: 1) —if- —.
61 22
5
Найдите эти числа, если меньшее число равно
2)
4- ?
0
3.121
3.122
3.123
3.124
3.125
3.126
Найдите но карге расстояние! от Москвы до Екатеринбурга.
Начертите план одной h.i комнат и вашей квартире, диме, измерив её длину
и ширит. Выберите масштаб ——.
100
Играя в нирагов. ребята закопали сокровища в 3.5 м от рябины, изобразил на
карге это расстоянии отрезком, равным 4 гм. Каков масштаб на карге ребят?
Расстояние между двумя соседними станциями метро на длине города 5 см.
Чему равно это расстояние на мсегностн, cc.ui масштаб плана 1 : 90000?
Расстояние между озёрами равно 13 км. Каким отрезком будет изображено
это расстояние на карге, масштаб которой 1 : 100000?
Один из размеров детали на чертеже, сделанном в тетради ученика в масшта-
бе 1 : 2, равен 9.6 см. Найдите, чему равен этот же размер деггши на чертеже,
сделанном учителем на доске в масштабе 5:1.
21. МАСШТАБ
139
Выноамшт- действия:
. 0.21 - 1,25 2,781 , 7325
lie 1i г 6> 2ЛГ+ -nr-
проверьте себя
Проверочная работа
В проекте «Особый взгляд на Зшютод кольцо* созданы тактильные бронзовые
модели архитектурных объектов Золотого колыша для людей с нарушением
арония. Модель выполнена н масштабе 1 : 100. Какова высота архитектурного
объекта, если высота модели 57 см?
2 Бронтозавр огромный динозавр с длинной шеей достигал в высоту 5 м.
а а длину 22 м. Определите высоту и длину модели итого динозавра, выпол-
ненной в масштабе 1 : 1000.
3 Заполните таблицу.
Расстояние между то-кам и на карте, см 3 6.5 0.5 7.2
Расстояние между точками на местно- сти. км 450 000 1 300 000 250 000
Масштаб карты 1 10 000 1 : 100 000 1 50 000
4 На плане длина прямоугольного участка равна 26,1 см. а ширина 11.3 см.
ЫВдт» шющад. участия. ашш uuu иьшшшси и масштабе Oner дайте
и квадратных метрах.
Понятие пропорции как равенства двух отношений чисел для иату-
/1 рал иных чисел было известно в древности.
Слово proportio ввел в употребление Цицерон в I в. до н. э., пере-
ведя на латынь платоновский термин avcxXoyiti, который означал -соот-
ветствие", -соотношение--. Современную запись пропорции ввел немец-
кий учёный Г. Лейбниц в 1693 г. В XVI । в. пропорцию
а : Ь - с : d
еще записывали так.
a I Ь | с | d.
Систематически пропорции начали изучать в Древней Греции. Снача-
ла рассматривали лишь пропорции, составленные иа натуральных чисел.
Первыми теорию пропорций разработали древнегреческий учёный Пифа
гор и его ученики. С пропорциями они связывали порядок и красоту при-
роды, созвучие в музыке, гармонию Вселенной. В IV в. до н. о. древне-
греческий учёный Евдокс предложил систематическое- учение о пропор-
циях применительно не только к натуральным, но и к дробным числам.
Строгая теория отношений и пропорций была построена в III а. до н. э.
древнегреческим геометром Евклидом в его знаменитых -Началах--.
140
§ 3. ОТНОШЕНИЯ И ПРОПОРЦИИ
Пропорции существуют в живой при
роде и применяются практически во
всех сферах жизни человека, искусство,
кулинарии медицине, технике и др.
Рычаг является одним из древнейших
механизмов, в котором применена про-
порциональность. Этот простейший ме-
ханизм позволял многократно увеличи-
вать физические возможности человека. . рис. 3.9
Первым рычагом, наверное, была
палка (рис. 3.9). с помощью которой человек поднимал камни, вы-
дёргивал съедобные корни. Примером рычага являются такие орудия
труда, как мотыга, метла, весло, весь, ножницы, пассатижи безмен
шлагбаум, тачка и др.
Полностью понял и сумел сформулировать принцип действия это-
го простого механизма Архимед. Ему принадлежит крылатое выраже-
ние: -Дайте мне точку опоры, и я переверну Землю-.
_ L г
Пропорция —-----р где Л/ и m массы грузов, a L и / плечи
рычага (рис. 3.10), показывает, какую выгоду даёт рычаг.
м
^Рне. 3.10^
Из многих пропорций, которыми пользовался человек, существует
одна-одинственная и неповторимая Она была известна древним гро
кам. которые называли ос делением отрезка а крайнем и среднем
отношении. Ота пропорция определяется как деление' отрезка на дос
неравные части, при котором меньшая часть так относится к большей,
как большая ко всему отрезку. Отношение такой пропорции обоанача-
5
ют греческой буквой о (-фи-), и оно приближенно равно 0,618. или ".
Эту пропорцию называли по-разному: золотой, божественной, гармо-
нической, золотым сечением, золотым числом.
Греки считали принцип золотого сечения основополагающим о ис-
кусство. Идеальные представления греков о человеческой фигуре мож-
но увидеть, например, в скульптуре бога Аполлона.
Есть ещё и другие золотые- пропорции тела. Например, пальцы
человека состоят из трёх фаланг основных, средних и ногтевых Сумма
длин двух первых фаланг пальца (за исключением большого пальца)
в соотношении со всей длиной гальиа и даёт число золотого сечения
Это же явление наблюдается и во многих знакомых нам вещах, напри-
мер. расположение листьев ив побеге тоже подчиняется золотому чис-
лу (рис. 3.11).
21. МАСШТАБ
141
В разнью века золотое сочен ио с успехом применялось а живопи-
си, музыке, поэзии, архитектуре и г. т. Например, в V в. до н. о. гре-
ками был построен Парфенон храм богини Афины 1,рие. 3.12). Для
создания гармонической композиции на холме строители сделали на-
сыть. чтобы увеличить холм в южной части. Протяжённость холма
пород Парфеноном, длина храма Афины и участка Акрополя за Пар
фено।мэм соответствуют золотой пропорции. Отношение высоты фаса-
да Парфенона к его длине также равно 0,618. Многие исследователи,
стремившиеся раскрыть секрет гармонии Парфенона, искали и нахо-
дили в соотношениях его частей золотую пропорцию.
Основные элементы церкви Покрова на Морли (построена
в 1166 г.) взаимосвязаны золотой пропорцией и определяют красоту
храма, который считается одним из величайших шедевров русского
зодчества (рис 3.13).
Церковь Вознесения в соле Коломенском (ныне Москва) построена
в 1532 г. и является архитектурным гимном золотому сечению (рис. 3.14).
При её возведении московские мастера использовали отношение мер-
ной сажени и двух малых саженей, которое даёт золотое сечение.
. Рис. 3.13 у Рис. 3,14 .
142
§ 3. ОТНОШЕНИЯ И ПРОПОРЦИИ
W i
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА
• симметричные
точки
• ось симметрии
♦ цемтрально-сим
мстричные точки
♦ центр симметрии
22. Симметрии
Проведём на плоскости прямую т и прямую а под пря-
мым углом к ней. На прямой а по разные стороны от пря-
мой т отметим точки А и В на равных расстояниях от пря-
мой т (рис. 3.15)
Точки А и В называют симметричными относительно
прямой т, а прямую называют осью симметрии этих точек.
Если точка лежит на оси симметрии то говорят, что она сим-
метрична самой себе.
Задача 1. Построить отрезок EF, симметричный отрез-
ку CD относительно прямой п (рис. 3.16).
Решение. Для решения задачи проведём через точку С
прямую год прямым углом к прямой п (рис. 3.17) Эта пря-
мая пересекает ось симметрии п в точке Р
Отложим на прямой СР отрезок РЕ, равный отрезку СР,
по другую сторону от оси. Точка Е симметрична точке С от-
носительно прямой л Аналогично строим точку F симме-
тричную точке D. Отрезок EF симметричен отрезку CD от-
носительно прямой л.
Если мы перегнем лист бумаги с чертежом по оси сим-
метрии. симметричные отрезки совпадут Значит они равны
Фигуры, симметричные относительно прямой, равны.
На фотографиях мы видим изображения ворот Летнего
сада (рис. 3.18) и здания Казанского собора (рис. 3.19)
в Санкт-Петербурге. Эти изображения состоят из двух по-
ловин, которые симметричны друг другу относительно пря-
мой.
Говорят, что фигура симметрична относительно прямой,
если эта прямая делит её на две части, симметричные друг
другу. Прямую в этом случае называют осью симметрии дан-
нр.й_.фиг.уры.
В пространстве существует зеркальная симметрия Это
симметрия относительно плоскости, с ней мы встречаемся
ежедневно когда смотрим в зеркало.
22. аШМЕШШ.1 43
vPwc. 3.20^, ^Рис. 3.21 > vPwc. 3.227
^Рис. 3.23 у
„ Рис. 3.25 ,
На фотографии (см. рис. 3.19) изображён Казанский со-
бор. который симметричен относительно плоскости, проходя-
щей через ось симметрии изображения Отражение в во-
де — пример зеркальной горизонтальной симметрии в при-
роде (рис. 3.20).
® Отметим на плоскости точку О и проведём через неё про-
извольную прямую и. На прямой отметим точки Л и В так,
чтобы ОА ~ О В (рис. 3.21)
Точки А и В называют симметричными относительно
точки О. а точку О называют центром симметрии этих то-
чек.
Задача 2. Для треугольника ЛВС построить центрально-
симметричную ему фигуру, приняв за центр симметрии точ-
ку С (рис. 3.22, а).
Решение. На луче АС отложим отрезок СК равный от-
резку АС (рис. 3.22, б). Точка К симметрична точке А от-
носительно центра симметрии С.
Аналогично строим точку М симметричную точке В. Точ-
ки К и Л/ соединим отрезком. Треугольник КМС симметри-
чен треугольнику АВС относительно точки С.
Изображение зонта (рис. 3.23) - фигура центрально-сим-
метричная: детали конструкции зонта и рисунки на нём рас-
положены центрально-симметрично относительно наконечника.
Центрально-симметричные фигуры можно совместить, по-
вернув одну из них на угол 180- вокруг центра симметрии
(проверьте на моделях!) Центрально-симметричные фигуры
равны.
® Некоторые фигуры имеют несколько осей симметрии и
центр симметрии. Например у квадрата четыре оси симме-
трии (рис. 3.24} — четыре прямые, каждая из которых делит
квадрат на две симметричные друг другу части. Точка пере-
сечения осей симметрии является его центром симметрии.
Окружность обладает симметрией относительно центра
окружности и относительно диаметра (рис 3.25).
Слово «симметрия» происходит от греческого слова -со-
размерность». Фигуры, имеющие ось или центр симметрии,
часто встречаются в природе, архитектуре технике среди
окружающих вещей. Они представляются нам более краси-
144
§ 3. ОТНОШЕНИЯ И ПРОПОРЦИИ
в
СЕНО ТОПОТ
,Рнс. a.27j
выгли. привлекательными. На фотографии Воскресенских
ворот (эти ворота — вход на Красную площадь Москвы)
проведена прямая и — ось симметрии изображения
(рис. 3.26).
На изображении лягушки (рис. 3.27. а) показана ось сим-
метрии её тела. Несколько осей симметрии и центр симме-
трии есть у снежинки (рис. 3.27, 6) Ось симметрии есть
и в записи некоторых русских слов (рис 3.27, в).
L Какие точки называют симметричными относительно прямой? Как
называют ату прямую?
Какие точки называют симметричными относительно данной точки?
_Какую точку называют центром симметрии фигуры?
Равны ли симметричные фигуры при осевой симметрии, при цен-
тральной симметрии?
Приведите примеры изображений из окружающего мира, облада-
ющих осовой, центральной или зеркальной симметриями.
3.128 а) Рассмотрите рисунок 3.28, о. Как проверить. что фигуры .V и .V на рисун-
ке симметричны относительно данной прямой?
б) На рисунке 3.28. 0 изображены две окружности. Какая прямая служит их
общей осью симметрии?
22. СИММЕТРИИ 145
3.129
3.130
3.131
3.132
3.133
3.134
3.J35
Рассмотрите рисунок 3.29. Как проверить. что
фигуры Р и П на рисунке симметричны отно-
сительно точки О.
а) На рисунке 3.30. а изображены фигуры. Ка-
кие ИЗ анх имени одну ось Симметрия, две оси
симметрии, более двух осей симметрии, имеют
цен гр симметрии?
б) Сколько осей симмечрии можно указать на
фотографии морской звезды (рис. 3.30, б)? Есть
ли у неё центр Симметрии?
Начертите а тетради чстырёхутольиик, изобра-
жённым ня рисунке 3.31. Постройте фигуру,
симметричную данной относительно оси т.
lamaienai । и и
Начертите ломаную из трёх звеньев. Постройте
симметричную ей фигуру относительно пря-
мой. проходящей через среднее звено этой ло-
маной.
Симметричен ли ни фотография фасад здания
Госу дарственной Третьяковской галереи в Мо-
скве (рис. 3.32»? Если да, ю как расположена
о< ь симметрии фасада?
Убедитесь, используя линейку, что точка .4, ле-
жащая на оси симметрия ffi. одинаково удалена
от симметричных относительно прямой н; то-
чек А/ и .V (рис. 3.33).
а) Ни чертите окружность с центром Р и пря-
мую А*, иг пересекающую эту окружность. По-
стройте окружность г центром О, симметрич-
ную этой окружности О1 восятшыю осн /г.
б) Ikx'iройте фшуру симметричную «ииосип ль-
но точки С для чегырёхутольника ABCD на ри-
сунке 3.31.
ч Рис. 3.32
vPhc. 3.33
146
§ 3. ОТНОШЕНИЯ и ПРОПОРЦИИ
(гГз.136
(ЙГз.137
(ез. 1за
р>
Могуч ли пересекаться:
а> два (предка, симметричные относительно прямой;
б) два центральио-симмсгрнчных ш-редка?
Ответы пронллюстрируй-гс рису ином.
На рис уике 3.34 изображена шахматная доска.
Есть ли у ноля шахматной доски оси симметрии:
центр симметрии?
Построили фигуру, симметричную циферблату ча-
сов (рис. 3.331 относительно:
a i центра циферблата;
б) некоторой точки, находящейся на окружности
циферблата.
Окажется ли симметричный циферблат таким же,
как исходный? Подумайте, каково будет нанракле-
Ш1С движения стрелок на симметричных часах
в каждом случае.
3.139 Вычислите.
ai 800 . 16 б) 309 * 541 в) 5 3,4 г) 2,4 + 3.6 Д) 7,5 : 25
• 7 220 • 4 : 1,5 1,6
80 : 70 4 2.7 0,125 • 0.12
: 30 • 14 : 13 < 4 ; 0.15
15 . 12 0,03 : 0,03 0.1
? 9 ? 7
3.140 Поставьте знак действия вместо знака вопроса, чтобы получилось верное- равен-
ство;
а) - ? — - — В) — ?|^-1.28; Д)3-7 2 — - 1—:
5 б 30 10 45 9 81 01
17, 4 17. 2 , 3 21. fl , 1 _ 1
б)36?9-81’ Г) 25? 15 ’ 325- 0Нд’б-11з-
'— з<
К Некоторое число прибавили к числителю и вычли из знаменателя дроби —. Най-
==“ 4 41
дите это число, если после сокращения получили дробь —-
5
3.142 Масштаб карты 10. 1000 000. Заполните таблицу.
Длина отрезка на карте 3 см 12 мм
Расстояние на местности 10 км •15 км 1.5 км
3.143 На карте капитана длина маршрута корабля равна 1В см. Найдите масштаб карты,
если корабль прошёл 720 км.
3.144 1| Изображение цветка алиссума на фото увеличено в 15 раз. В каком масштабе
дано изображение на фото?
2) Изображение детали на чертеже уменьшена в 25 раз. В каком масштабе выпол-
нен чертеж?
2Z симметрии 147
3.145
Решите задачу, составив пропорцию:
1) В 3.6 кг риса содержится 2,7 кг крахмала. Сколько
крахмала содержится в 2.2 кг риса?
2) В 4.5 т сахарной свёклы содержится 2.9 г сахара.
Сколько сахара содержится а 11,7 т сахарной свеклы?
3.146
Вычислите.
1) 2J- 23;
2) 3’ 27
□
3) 4.42 I (2.5) *
4) 30 (3,6)а:
5) Зэ 4|:
' О
« »й*
Определите по плану (рис. 3.36) размеры двухкомнатной квартиры Найдите размеры
кухни (К), лоджии (Л) и каждой комнаты (I и II), если масштаб плана 1 : 200.
п-
3.148 a) Какие мз букв на рисунке 3-37 имеют вертикальную ось симметрии- какие
имеют юризошальн} ю ось симметрии, какие имеют и вертикальную* и гори-
эонтальмую ОСИ Симметрии?
б) Какие из на рисованных букв не имеют осел симметрии?
в! Какие буквы имеют центр симметрии?
АБВГДЕЖЗИКЛМНОПРСТФХ
^Рис. 3.37^,
Проведите на лигге бумаги отрезок АВ и разделите ого ионолам с помощью
линейки. Проверьте ирйвшыюсть результата с помощью перегибания листа
бумаги.
Изобразите рисунок 3.38 в тетради. Постройте фигуру, симметричную данной
области относительно прямой т.
Начертите прямоугольник ЛВ( D в постройте с помощью линейкн его оси сим-
метрии.
Вырежьте какую-либо фигуру из сложенною вдвое листа бумаги. Разверните
лист и рассмотрите фигурч, симметричную относительно лилии сгиба.
Симметричны ли фшуры. изображённые на рисунке 3.39. относительно дан-
ной прямой?
148
5 3. ОТНОШЕНИЯ И ПРОПОРЦИИ
. Рис, 3.40
Рис. 3.41
Симметричны ли иа фотографии крылья бабочки (рис. 3.40)? Если да. то как
расположена ось симметрии?
Изображение какою цветка на <]ютографии (рис. 3.41) симметрично? Какой
вид симметрии можно предполагать?
Изобразите рисунок 3.42 а тетради. Постройте треугольник, симметричный
rpcyiодышку ЛВС: а) относительно прямой л; б) относительно вершины Л.
Начергигс трех гольник Л/Л "Г. Постройте цмлгальиик, симметричный Т]М>-
уг ельнику ЛI.\ Т: а) относи только прямой Д/Л’; 6) относительно вершимы Л'.
Рассмотрите изображение мечети в тереде Грозном (рис. 3.43). Симметрично
ли оно? Если да. го как расположеш! ось симметрии этого изображения?
^Рис. 3.43 у
За 4 ч из грубы наполнилось j ( бассейна. За какое время нз этой трубы на-
11 , ....
долнигся бассейна ?
15
Отношение высот вулканов Пичннча и Котопахи равно 47 : 39. а Оризаба
2
и Котхишхи 56- :59. Найдите высоту каждого вулкана, если Пичннча ни-
же Котопахи на 12(H) м. Ответы округлите до десятков мегрои.
. ' ’ ' Решите уравнение!
. ..2 .8 .5 . „I ..,3 „1
а) 3 :а~4 !_; в) 8 :с-13-:2-;
3 9r 1 13
б) l-:2--3-:b: i) 5-:2--2-:d.
8 3 1 ’ 3 fl 7
23. ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ И ПЛОЩАДЬ КРУГА. ШАР
149
W I
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА:
* длина окружности
* плошадь круга
* шар. сфера,
центр, радиус
и диаметр шара
23. Длина окружности
и площадь круга. Шар
Поставим стакан на лист бумаги и обведём его дно ка-
рандашом. Возьмём бумажную ленту и обогнём ею стакан
один раз (рис. 3.44 а). Затем распрямим её, тогда длина
бумажной ленты будет приближенно равна длине нарисован-
ной окружности (рис 3.44 6.I
С древних времён было установлено, что длина окружно-
сти лряма^ррпорцирнальна. длине ее диаметра. Для всех
окружностей отношение длины окружности к длине её диа-
метра является одним и тем же числом. Это число обозна-
чают греческой буквой - (читается: «пи»).
Обозначим длину окружности буквой 0, а её диаметр бук-
вой </. тогда Cd ~ Значит,
С ~ r.d.
Диаметр окружности равен двум радиусам: d ~ 2г, по-
ЭТОМУ с - 2_г
С точностью до миллионных л -- 3.141593. при округлении
до сотых значение тс равно 3,14
На рисунке 3.45, а изображён круг, радиус которого ра-
вен г, разрезанный на равные секторы.
Составим из них фигуру, показанную на рисунке 3.45, б.
На нём один из секторов разрезан пополам. Эта фигура
похожа на прямоугольник. Если разрезать круг на более
мелкие секторы, то фигура будет ещё больше походить на
прямоугольник.
У этого прямоугольника одна сторона равна радиусу, а
другая состоит из дуг половины секторов, т. е. половины
длины окружности. Поэтому она равна тсг.
Найдём площадь этого прямоугольника: г - тсг ~ л г2.
Площадь кругэ.З вычисляема 'ю.-формуле:
©
150
5 3. ОТНОШЕНИЯ И ПРОПОРЦИИ
Футбольный мяч и арбуз (рис. 3.46), а также колобок,
апельсин ягоды красной смородины глобус дают нам пред-
ставление о шаре
Поверхность шара называют сферой. Все точки сферы
одинаково удалены от центра шара Отрезок, соединяющий
центр шара с точкой сферы, называют радиусом шара
(сферы)
Отрезок проходящий через центр шара и соединяющий
две точки сферы (рис. 3.47), называют диаметром шара
(сферы) Диаметр шара, сферы равен двум радиусам.
Любое сечение шара плоскостью является кругом
(рис. 3.48).
Па каким формулам находят длину окружности?
Пропорциональна ли длина окружности ей радиусу?
-Чему равно округление числа - до сотых?
По какой формуле находят площадь круга0
-Пропорциональна ли площадь круга его радиусу?
' Что называется радиусом шара, диаметром шара?
Что такое сфера0
<аким свойством обладают все точки сферы по отношению к ее
центру0
Какие фигуры получаются в сечении шара плоскостью?
3.162 Найдите длину окружности, сели её диаметр ранен 21 см; 3,5 см; 10,5 дм.
Число л считайте равным 3^-
Формуль длины окружности и площади круга читаются так:
С - -d ’ЦЗ равно пи до»;
С - 2лг "цэ равно двум пи эр-:
S - -г' -эс равно пи эр квадрат».
Выражение - 3.14 читают так:
Пи приближённо равно трём целым четырнадцати сотым-.
3.163 Диаметр колоса детского ис.нм идедд ранен 30 см. Найдите длину окружности
этого колеса. Число - округлите до десятых.
3.16“i Найдите длину окружности, диаметр которой равен: 32 дм; 5,6 см; 30,5 мм.
Число л округлите до сотых.
3.165 Чему ровна длина (' окружности. родиус которой равен: 1,68 ем; 4.76 дм?
99
Числи 71 считайте равным
23. ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ И ПЛОЩАДЬ КРУГА. ШАР
151
3.166
3.167
3.168
3.169
@3.170
Найдите диаметры окружностей, если их длины равны 59.66 м и -10.82 дм.
Принять л _ 3.14.
Велосипедист проехал 439,6 м, при этом переднее колесо велосипеда сделало
200 оборотов. Найдите диаметр колоса. Результат округлите до сотых метра.
Принять тг ~ 3.14.
а) На рисунке 3.49 изображена половина окружное гм. ( делайте необходимые
измерения а найдите длину полуокружности.
б) Измерьте радиус каждой окружности и вычислите площадь кольца (рис. 3.50).
Диаметр увеличили на 4 дм. На сколько увеличилась длина окружности?
В Древнем Риме цирк был местом проведения конных скачек и соревнований
колесниц. Кр>н лошади, бету щей ио манежу, должен быть под одним и гем
же углом но отношению к центру манежа. 1>то было возможно при длине
окружности 40.8 м. Поэтому такой размер манежа принят во всём мире. Най-
дите диаметр к площадь арены. Принять л _ 3.
3.171
3.172
3.173
а) Площадь циферблата кре.\ыёнских курантов приближённо равна 29.21 м2
(рис. 3.511. Найдите радиус цифс^гблата.
б) Д.1ИНЯ минутной стрелки от центра курантов равна 2,54 м. Какой путь про-
ходит конец минуткой стрелки Куран гои за час? Ответы округлите до сотых
долей метра.
Сделайте необходимые измерения и вычислит.' площади закрашенных фигур,
изображённых на рисунке 3.52.
На сколько илишадь пятиугольника A'.ADLAJ (рис. 3.53) меньше шющадм чет-
верти крутя, радиус -МК которого равен 5 ем?
152
J 3. ОТНОШЕНИЯ И ПРОПОРЦИИ
3.174 в круглой беседке диаметром 4 м необходимо покрасить иол* Сколько краски
потребуется, если на 1 м- расходуется 0.16 кг краски?
3.175 Самый большой в мире вращающийся глобус «Эрга» расниложеи и городе
Ярму г, США. Огромный земной шар диаметром 12,5 м весит 2,5 т. В каком
масштабе этот глобус изображает Землю? Чему равна длина экватора и мери-
дианов иа этом глобусе? Длину экватора Земли найдите и Интернете и окру-
глите до тысяч километров.
3.176 Полярная крачка ла зимовье перелетает из Арктики в Антарктиду. Какое
расстояние она преодолевает, если полярный диаметр Земли равен 12 714 км?
3.177 Диаметр Луны приближённо равен 3,5 тыс. км. что составляет 0.275 диаметра
Земли, а диаметр и. хане гы Уран в 4 раза больше земного. Найдите диаметры
Земли и Урана.
3.178 Вычислите.
al 370 • 230 6) 720 : 1В в) 7.2 : 2.4 г) 6 4,5 Д) 8-1.2
: 50 ♦ 280 0,6 0.4 » 0.4
30 : 16 0.12 : 0.12 0.01
+ 340 50 0.125 • 7 : 0,5
» 14 ; 125 т 7,5 + 0,8 . 0.1
? ? ? ? ?
На плане изображён прямоугольный бассейн. Определите длину бассейна и его
площадь, если па плане ширима бассейна 6 см. а длина вдвое больше. Масштаб
плана I I 100.
3.180
(fi3.181
3.182
3.183
3.184
Заполните таблицу, если известно, что
о и
а 1 Ь 3 2 21 4.8 2± 4 4 5 е f? 5,2*? 3* 5 1.5
L" 3.5 1 2 1 3 2,1 2-3 4
d 15 10,5 5,2 2. В 0.7 а,6 3- 3
Вместо звездочек расставьте цифры от 1 до 9 так, чтобы выполххялось равенство
* * • *-***-* • * *
□ библиотеке устарело 2312 книг, что составляет 17% библиотечного фонда.
Сколько книг было в библиотеке?
И В классе 30 человек. Из них английский язык изучают в 2 1 раза больше уча-
3
щихся, чем французский. Сколько человек изучают английский язык и сколько
французский?
2'i В секции дзюдо занимаются 44 человека. Из них девочек в 2- раза меньше,
з
чем мальчиков. Сколько девочок и сколько мальчиков занимаются в секции?
Найдите значение выражения.
5 q 2 7 75 13 Q
l? 14Z - 351 71 ПрИ 1 " ’й’ 2) 12 ‘ ТВ" ' 60 г ПрИ 2 ~ 347'
23. ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ И ПЛОЩАДЬ КРУГА. ШАР
153
а
Вычислите длину окружности. если её радиус раней: 24 ем:
0.31 дм; 147 км. Принять jt — 3,14.
Радиус окружности увеличили па 2 см. На сколько унелм-
чится длина окружности?
3.107 За 2,5 мин колесо тепловоза сделало 750 оборотов. Найдите
скорость тепловоза, если диаметр сю колеса ранги 120 см.
Округлите отпет до десятых.
Выполните измерения и вычисли те площадь каждой закра-
шенной фигуры (рис. 3.54).
Дмшн экватора Сатурна приближённо рання 378.7 тыс. км.
Чему равен радиус Сатурна? (Результат округлите до сотен
километров.)
Экваториа.тьиый радиус Зем.ш Ji приближённо ранен 64(H) км,
а радиус /• окружности параллели па широте 60 3200 км.
На сколько длина окружности экватора больше длины
окружности шестидесятой штра^ тлели (рис. 3.55)?
О
I1 Найдите площадь ’ круга, радиус которою равен 12 см.
S
Для перевозки зерна по суше нетто.•тьзуют ваюны-зертювозы
jt авгоэерновозы. Авгозерновоз вмещает в 3,54 раза меньше
зерна, чем вагоя-зерновоз. Сколько гони зерна вмещают ав-
тозерновоо тт нагон-зерновоз, если в вагоне-зерновозе ад
50.8 т зерна больше?
3.193 Выполните действия:
а) 4,8 : 6 + 2“ : 1,6 j ♦ 5.6;
б) (426,3 : 0,21 10) - 0,4 (41,7 - 1.71 + 48.693).
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ
Проверочная работа № I
Выполните следу тощие задания, округлив число it до целых.
Найдите радиус окружности, если сё диаметр равен 15 мм.
Найдите диаметр окружности, если сё радиус равен 12.2 дм.
Найдите длину окружности, если её диаметр равен 6.5 см.
Найдите радиус окружности, если сё длина равна 159 м.
Найдите диаметр окружности, если сё длина равна 258 дм.
Найдите площадь круга, если сю радиус равен 7 см.
Найдите площадь круга, если ого диаметр равен 5 м.
Проверочная работа № 2
К Новому году ребята решили сделать открытку со снеговиком. Для этого не-
обходимо выре.гать из картчша 3 тхруглыс заюговки, у которых радиусы |мтн-
пы: 5 см, 3 см и 1.5 см. Каждую заготовку нужно покрыть художественным
глиттером (блёстками) и обклеить по контуру блестящим шнуром.
154
§ 3. ОТНОШЕНИЯ И ПРОПОРЦИИ
Д-jh расчёта материалов определите оиш икр\жиосТи и площадь каждой за-
готовки и заполните таблицу. Примять тс - 3.14.
Заготовка Радиус г, см Длина окружности С см Площадь круга S СНГ
1 КРУТ 5
II круг
III круг
2 Сколько сантиметров шнура понадобится для открытки?
Рассчитайте, сколько потребуется баночек с глиттером, еаш одной баночки
хватает на 20 слГ новорхмости.
ПРИМЕНЯЕМ МАТЕМАТИКУ
1. Чечевица содержит 18 W, белка. куриное мясо 21%. Сколько чечевицы
нужно съесть, чтобы а ней содержалось столько же белка, сколько я 150 г
куриного мяса?
2. Какой может быть наибольший радиус круглой пиццы, приготовленной ня
нротшше размером 465 375 мм? Найдите площадь мой циццы, нриняь
я ~ 3.14, Ни сколько увеличится площадь нипцы, если её сделать прямо-
угольной? Ответ округлите до сотых.
3. На рисунке 3.56 изображена схема разметки хоккейной площадки.
а) Внутри центрального круга находится центральная (синяя) точка вбрасы-
вания лиане гром 30 ем. а в нейтральной эоне находятся точки вбрасывания
(красные). диаметр которых а 2 раза бо.тьше диаметра центральной точки.
Во сколько раз площадь красной точки вбрасывания больше площади синей
точки?
Рис. 3.5^
б) Центральный круг имеет диаметр 9 м, а радиус полукруга судейской зоны
составляет 2 радиуса центрального кр\гл. Найдите площадь пол\крута судей-
3
ской зоны. Какую часть площади нентралытото круга она занимает?
в) Является ли симметричным изображение хоккейной площадки?
23. ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ И ПЛОЩАДЬ КРУГА. ШАР 155
5.
6.
Предположим, что каждый ил учащихся вашего icuiccw обошёл земной шар
но экватору. Измерьте свой рост и рассчитайте, на сколько макушка «прошла*
более д1Ш1лый п\ть. чем пятка. Радиус Земли считать равным 6400 км,
гс = 3,14.
Радиус- круглой площадки, предохраняемой 1ромоитнодом, прямо пропорцио-
нален высоте хримооххюда с коэффициентом 2. Какую площадь может защи-
тить громоотвод высотой: а) 10 м; б) 15 м; а) 20 м?
В таблице указаны диаметры колес велосиххедов, на которых катаются Игорь,
Ленд и Оля.
1) Заполните гоблину, приняв гс. ранным 22 7.
Имя Диаметр колесн, см Пройденное расстояние, см
1 оборот 2 сворота 3 оборота t оборота 5 оборотив 1 1 _ б оборотов
Игорь 42
Лена 49
Оля 63
2) Определите:
а) кто из детей проедет- дальше и на сколько, если колёса их велосипедов
сделали четыре полных оборота;
б) сколько полных оборотов должны сделать колёса велосипеда Оли, чтобы
проехать 990 ем.
3) Ленд может ездить на цтёх скоростях, которые устанямлхшахотся е помощью
нижней, средней и верхней передач. У сё велосипеда следующие передаточные
соотношения: нижнее 3:1. среднее 6:5 и верхнее 1:2. Сколько раз
Лене надо повернуть педали, чтобы проехать 600 м иа средней передаче?
Примечание. Передаточное соотношение 3:1 означает-, что нри трёх полных
поворотах педалей колесо велосипеда дслас-х одхш полный оборот.
При передаче (рис. 3.57) ведущий шкив ди-
аметром 20 см сделал 40 оборотов. Сколько
оборотов сделает ведомый шкив радиус ко-
торого равен: в) 2 см; б) 3 см? Найдите пере-
даточное соотношение в каждом еду час.
Коля, Лёша и Оля собирали смородину л по-
лучили за работу 16 кт- ягод. Сколько кило-
граммов ягод должен получить каждый, ес-
ли Коля собрал 24 кг, Лёша 16 кт и
Оля 40 ш ?
плотност t>
Отношение массы вещества к ого объему называют плотностью
вещества. Сели плотность тела меньше плотности жидкости, то это
тело будет плавать в жидкости.
9. Какие из брусков размером 50 х 40 х 50 см будут плавать в воде (плотность
1000 кх- м*), а какие ы бензине I плотность 710 кг м*), если они сделаны из:
а) алюминия (масса 270 кх): б) меди (масса 890 кг); в) гранита (масса 260 кх-);
г) льда (масса 90 кг); д) сосны (масса 40 кг); с) пробки (масса 24 кг)?
156
§ 3. ОТНОШЕНИЯ И ПРОПОРЦИИ
10. При иодмятил воды из колодца вал делает 14 оборотов. Канол длигты нужно
купить день д.тя ведра, если диаметр d вала 2й см?
11. Какого диаметра надо купить круглый стал, чтобы за ним смогли завтракать
а челииск и иа каждого сидящею нриходилоеь нс менее 60 см но краю стили?
12. Два спортсмена должны пробежать один круг но соседним дорожкам стадиона,
форма которого прямоугольник с двумя примыкающими полукругами, у
которых диаметр район 40 м. Ширина дорожек 2 м. Какое расстояние должно
быть между ними на старте, чтобы компенсировать |м1зиость длил дорожек,
гго которым они бегут?
13. Три предпринимателя аршшясст провали создание ноною мульгфггльма. Пер-
вый вложил 600000 р.. второй 900000 р.. а третий 1300000 р. За год
проката мультфгигьма они получили прибыль 2340000 р. Сколько денег полу-
чит каждый нз щгедпринима гелей дргг условии распределения прибыли про-
порционально их инвестициям?
14. Задача A. IL Киселёва. На ггять одинаковых керосинок, горевших 24 дня но
6 ч ежедневно, израсходовано 120 л кероегша. На ско.гько дней хватит 216 л
керосина, если девять таких же керосинок будут гореть по 8 ч в день?
ОТВЕТЫ
157
ОТВЕТЫ
$ 1. Вычисления и намерения
1.23. л) 0.4; б) 6,5; в) 7.1; г) 4,2. 1.28. 1) 114,03; 2) 2.21. 1.31. 36.1 ц га:
37,8 ц гй; 35,45 ц.ча и 36,45 и га. 1.33. 0.5. 1.34. 3,5 и 6.3. 1.35. 3,75 и 6.25.
1.37. 5 кг, 200 порций. 1.38. 313 тыс. баррелей. 1.39. а) 70.2: 7.8; 1300;
61 1.28; 3,752; и) 0.12: 1.506. 1.40. а) 37,385: б) 344,708. 1.72. ft) 10.1328;
ui 04.5098; в) 748; г) 10. 1.73. 3 нм ч. 1.76. 1) 2; 2) 2. 1.77. 1) 1.5; 2.4 и 4.8;
I п I
2) 4,32: 2 и 1.6. 1.78. а) б) (^: и) 8. 1.79. д) 50; б) 72 ~ . 1.84. 55 тыс. р.
1.95. 500 пионов. 1.96. а) 5; б) 13. 1.107. л) 4^; б) 6.3. 1.131. 44.1 кг.
1.132. 1966,82 т н 123 т. 1.152. 0.5 кг*. 1.153. а) б) 4^; и) г) 1?;
д) i; е) 1.161. 32 ; 64 : 84'. 1.162. а) 1|; 6) к 1.163. а) 39,6; 6) 36,11.
1.178. 1) 1011; 2) 279911. 1.179. а) 23356: 61481: б) 1065; 21939. 1.181. 44 см.
1.182. а) 3092; б) 3536. 1.186. 13 лет. 1.195. 3 человека. 1.196. а) 165;
01 275 763. 1.197. 6 и 12 карандашей. 1.198. а) 27,916; б) 0.64.
$ 2. Действия со смешанными числами
2.43. 1) 69,35 км и 87.15 км: 2) 59,35 км и 83.05 км. 2.44. 1) 3,15; 2) 0,18;
3) 10.2; 4) 11,7. 2.50. 7 ем, 11 гм. 13 см. 2.51. 460 негушков и 690 курочек.
2.54. 7,2 м2. 2.56. а) 0.154; б) 11. 2.80. 1) 30', 150 : 2) 135, 45.2.81. 1) 160 бу-
тылок; 2) 2000 ящиков. 2.90. 300, 180 и 60 сгудеггтов. 2.91. 405 см2.
2.94. и) 92,03; б) 313,64. 2.117. 1) 16,1 г; 2) 20.9 км. 2.121. 9 и, 45 и и 24 и.
2.122. 18,9 г; 124.34 г: 417,29 т. 2.123. а) 12.1: б) 1.43: в) 32,43; г) 105.94.
2.127. а) 130: б) 71,75. 2.133. На 62 .. 2.142. 1) 9.7; 2) 4.2. 2.146. 13.5 км/ч
и 15,5 км/ч. 2.147. а) 140; б) 4. 2.182. заказа. 2.189. 1) Через 0,3 ч;
2) через 0,2 ч. 2.190. 1) 1 км мин: 2) 42 км/ч. 2.191. 1) 101,05; 2) 181.99.
2.197. 1— ч. 2.198. 1,66 кг. 2.199. д> - ; б) 2; и) i) - 2.200. а) 0.66; б)
15 5 3 72 35 15
2.201. Через 20 мин. 2.202. а) 2.646; б) 2.5: в) 143.85: г) 213 800. 2.237. На
78,4".-.. 2.242. 3.358. 2.245. 1) 104 513; 2) 183 709. 2.248. а) б) 0; в)
2.249. п)1 ?; б|53 * * * *; а) 37; г I 6. 2.250. / .2.252. 17 1 м и. 2.253.9 1 м и 16ЛЗ м.
8 -1 60 12 ю 10 70
2.254. ai 1.7: б) 7,4. 2.255. 10 кг; 1 кг. 2.256. 4 км/ч. 2.257. а) 2.25; и) 15.01.
2.258. а) 10; б) 1.1: в) 1,2: г) 0.7. 2.283. 513 км. 2.281. 3,36 м. 2.299. 1} —;
21
2) 8 . 2.306. 1,67 кг. 2.308. 44 640 р. 2.309. а) 1 : б) 1: в) 1 1. 2.310. а) 36;
15 21 2 2
б) в)2|у. 2.313. 5.6 км; 3.5 км; 0 км. 2.314. а) 0,7; б) 4; в) 6. 2.315. 2,917.
2.336. 17.4 '., 58 и 11,6' . 2J-J44. а) 4^-; б) з|. 2.348. 98 м. 2.349. 5 см.
2.350. 1) 17,5; 2) 4.6. 2.351. I) 185.85; 2) 268,92: 3) 324,4; 4) 602.51.
2.352. На 22 р. 2.353. 804 г. 2.354. 94 . 2.358. 126 га. 2.359. 100 человек.
158
ОТВЕТЫ
2.360. —; из тюльшшов. 2.361. 16 . 2.363. а) 25,64: б) 3.3: в) 187: г) 0.4.
21
2.394. 1000 кг. 2.395. а) —; б) 1-L; и) 50—; г) 11-: д) —: е) —.
20 16 10 7* 125’ 61
2.396. 1) 47,94: 2) 1.68. 2.398. л) б|; 6)27; в) 75; г) 43; д) 10^-; е) X
2.400.505 км. 2.402. 35 мим. 2.403. 0,04 кг. 2.404. — е; 30- га; 36- га.
70 2 5
2.406. а) 30,7; б) 8.94. 2.439. 180 км ч и 32 км ч. 2.448. 1) 34.55: 2) 51.78.
2.457. 11 3; 2) 3; 3) 0.8; 4) 0,8. 2.460. 8: 12.8; 16,8; 14.4: 21,5. 2.462. а) 15;
б) 6; al 3 -; г) 5 . 2.463. а) 61 3; и) г) 20; д) 3; с) 3. 2.464. а) 13: б) 2.
3 12 55 8
2.469. 60 км/ч и 75 км ч. 2.470. 3,6 км/ч и 4,2 км ч. 2.471. а) 0,224:
6) 83,244; в) 0.31; г) 10: д) 2064,8. 2.480. 46.5 км. 2.483. 12 кг. 2.494. 1) J;
2» 9-; 3) -: 41 -. 2.495. 1} 6.525; 2) 2,537. 2.496. 1500 м. 2.499. 400 тыс. м2.
8 9 9
2.501. 2000 м. 2.502. 60 кг. 2.504. 400 т. 2.505. 72 человека. 2.506. а) 0.7178;
6) 5; а) 116.07; г) 399,3. 2.531. 8,1 сотки. 2.532. 100 страниц. 2.534. а) 2.6;
б) 5,6; а) 12; г) 8.8. 2.535. 66 очков. 2.537. 16,4 кт*. 2.538. 160 страниц. 2.539.
а) 11: б) 3; и) -; г) 16.
8
§3. О1Н0ШГМИЯ л пропорции
3.27. 4 т. 3.28. 78.75 м2. 3.29. 1) 2.7 см ; 2) 1300.5 см. 3.35. На 16—%.
31
3.36. а) 61^ б) 60=1 '3.38. а) 1-: б) 2: в) б|. 3.58. а) Г-; б) в) 2-:
71 73 1 3 7 G 3
11 41_. 3.60. 83 м/ммн. 3.61. 1’ - 3.62. а) 10: б) 20. 3.84. а) 5.5; б) 2: в) 1,2;
г) 0.5. 3.89. а) 7; б) 30. 3.92. 1) 4; 2) 7. 3.93. 1.6 кг. 3.94. 15 мин. 3.95. 3.5 кг.
3.96. 1.5 кг. 3.98. 16.68%. 3.99. 63 г. 3.100. а) 95,7; б) 99.3. 3.117. 5,5 га.
3.119. 1) 5.2 и 1,3; 2) 4.8 и 1.6. 3.120. 1) *2)2 2. 3.126. 96 см. 3.127. а) 0.105;
б) 3.85. 3.145. 1) 1.65 кг; 2) 7,54 г. 3.146. 1) 18; 2) 3) 20,045; 4) 17,04:
5) 48; 6) 71.3.160. 4700 м, 5640 м. 5900 м. 3.161. ai 1-1 б) 4|; u) 1J; г) 1-U
5 7 3 5 11
3.184. 1) 3; 2) 11. 3.187. 67,8 км ч. 3.192. 20 t и 70.8 г. 3.193. а) 12,88; б) 688.
7 3
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
159
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абак 18
В
Взаимно обратные отношения 120
числа 99
простые числа 51
Вычитание дробей 64
Вычитание мешанных чисел 73
д
Деление смешанных чисел 99
Диаметр шара 150
Длина окружности 149
Дробное выражение ПО
3
Зеркшшная симметрия 142
Золотое Сечение 140
К
Контрпример 45
К}тамние ‘стоны пропорции 126
Круговая диаграмма 27
М
Масштаб 136
Множество 37
II
Наибольший общин делитель 30
Наименьшее общее кратное 55
Наименьшим общим знаменатель 60
Нахождение величины
но сё процентам 20
Нахождение дроби от числа 87
процентов от величины 20
числа но сю дроби 106
Нестрогое неравенство 104
О
Обра тная и ронорц л он ал ъ лам
зависимость 130
Объединение множеств 38
Осевая симметрия 142
Основное свойство пропорции 126
ОсгроугчЗльный треугольник 32
Ось симметрии 142
Отношение 119
П
Пересечении множеств 38
Пирамида 92
Площадь кругл 149
Подмножество 38
Правильным многоугольник 63
Приведение дроби к наименьшему обще-
му знаменателю 61
Призма 114
Промилле 23
Пропорция 123
Процент 19
Прямая ароцорщпшаяьная
аанйеммоегь 130
Прямоугольный треугольник 32
Пустое множество 37
Р
Равнобедренный треугольник 32
Равносторонний треугольник 32
Радиус шара 150
Развёртка пирамиды 92
Разложение числа на множители 43
простые множители 44
Разносторонний треугольник 32
С
Сложенне обыкновенных дробей 64
смешанных чисел 71
Совершённые числа 59
Сравнение обыкновенных дробей 64
Среднее арифметическое 14
Средние члены пропорции 126
Средняя скорость 14
Сгрбсис неравенство 104
Сфера 150
Счёты 18
Т
Тупоугольный греугольник 32
У
Умножение смешанных чисел 80
ц
Центр симметрии 143
шара 150
Центральная симметрия 143
Ч
11йела-б. 1 изис цы 38
Ш
Шар 130
160
ОГЛАВЛЕНИЕ
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ ...................
Глава I.
Смешанные числа ..........................................
§1. ВЫЧИСЛЕНИЯ И ПОСТРОЕНИЯ ..............................
1. Среднее арифметическое ..........................
2. Проценты .......................................
3. Представление числовой информации в круговых диаграммах
4. Виды треугольников ...............................
5. Понятие множества ..............................
Применяем математику ...............................
$2. ДЕЙСТВИЯ СО СМЕШАННЫМИ ЧИСI ЛАМИ......................
б. Разложение числа на простые множители ..............
7. Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа ....
В. Наименьшее общее кратное натуральных чисел .....
9. Приведение дробей к наименьшему общему знаменателю ..
10. Сравнение, сложение и вычитание обыкновенных дробей ..
11. Действия сложения и вычитания смешанных чисел ...
12. Действие умножения смешанных чисел ................
13. Нахождение дроби от числа........................
14. Применение распределительного свойства умножения .....
15. Действие деления смешанных чисел........
16. Нахождение числа по его дроби ...................
17. Дробные выражения.................................
Применяем математику..............................
ОТНОШЕНИЯ И ПРОПОРЦИИ ...............................
18. Отношения ........................................
19. Пропорция .......................................
20. Прямая и обратная пропорциональные зависимости ..
21. Масштаб ..........................................
22. Симметрии ........................................
23. Длина окружности и площадь круга. Шар ..............
Применяем математику .................................
4
13
14
14
19
27
32
37
42
43
43
50
55
60
64
71
80
81
93
99
106
110
116
119
119
123
130
136
142
149
154
ОТВЕТЫ .......................... 157
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ ............ 159