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Saggi
Scienze
Gabriele Lolli
QED
Fenomenologia della dimostrazione
Bollati Boringhieri
Prima edizione marzo 2005
© 2005 Bollati Boringhieri editore s.r.l., Torino, corso Vittorio Emanuele II, 86
I diritti di memorizzazione elettronica, di riproduzione e di adattamento totale o parziale
con qualsiasi mezzo (compresi i microfilm e le copie fotostatiche) sono riservati
Stampato in Italia dalla Litografia «Il Mettifoglio» di Torino
ISBN 88-339-1588-3
Schema grafico della copertina di Pietro Pailadino e Giulio Palmieri
Stampato su carta Palatina delle Cartiere Miliani Fabriano
Indice
7 Premessa
QED
Il 1. Dimostrazioni e logica
1.1. Cosa è un teorema, 11 1.2. Cosa è una dimostrazione, 15
1.3. La dimostrazione nella filosofia, 17 1.4. La dimostrazione
nella storia, 21 1.5. La dimostrazione nella logica, 31
49 2. Le funzioni della dimostrazione
2.1. Evitare i calcoli, 50 2.2. Predire i risultati, 51 2.3. Control¬
lare lo strumento, 51 2.4. Aumentare l’affidabilità, 52 2.5. For¬
nire spiegazioni, 52 2.6. Fare economia, 54 2.7. Spiegare
mediante riconduzione agli assiomi, 54 2.8. Suggerire generaliz¬
zazioni , 56 2.9. Spiegare mediante generalità, 57 2.10. Taspor¬
tare risultati, 57 2.11. Stabilire collegamenti, 58 2.12. Spiegare
mediante sussunzione, 58 2.13. Fare due passi invece di infiniti, 61
2.14. Definire la semantica, 63 2.15. Provare la correttezza, 65
2.16. Spiegare mediante la semantica, 67 2.17. Risolvere proble¬
mi, 68 2.18. Esplicitare il contenuto costruttivo, 69 2.19. Estrar¬
re algoritmi, 70 2.20. Fare umorismo, 71 2.21. Semplificare la
vita, 72 2.22. Risparmiare risorse, 72 2.23. Sprecare risorse, 75
2.24. Creare concetti, 76 2.25. Inventare forme di ragionamen¬
to, 79 2.26. Resuscitare, 80 2.27. Spiegare «perché non», 81
2.28. Refutare, 81 2.29. Scoprire controesempi, 82 2.30. Sug¬
gerire teoremi, 84 2.31. Suggerire assiomi, 85 2.32. Suggerire
le ipotesi giuste, 85 2.33. Vedere i risultati, 86 2.34. Sostituire
l’intuizione, 86 2.35. Permettere l’intuizione, 87 2.36. Vedere
quel che non c’è, 87 2.37. Raffinare l’intuizione, 89 2.38. Con¬
fermare l’intuizione, 91 2.39. Definire l’intuizione, 91
6
INDICE
94 3. Strategie di dimostrazione
3.1. Dimostrazioni dirette, 99 3.2. Distinzione di casi, 103
3.3. Sillogismo disgiuntivo, 107 3.4. Contrapposizione e modus
tollem, 110 3.5. Dimostrazioni per assurdo, 111 3.6. Dimo¬
strazioni in avanti e all’indietro, 117 3.7. La gestione dei quan¬
tificatori, 120
134 4. Stili di dimostrazione
4.1. Alles Logische. Was ist das?, 136 4.2. Dimostrazioni e logi¬
che, 140 4.3. Purezza dei metodi, 171 4.4. Metodi di deci¬
sione, 173
177 5. Una morale
181 Indice dei nomi
Premessa
Nulla è più importante in matematica delle dimostrazioni, e
nulla paradossalmente è meno studiato. I matematici ne discutono
in continuazione, le fanno, le giudicano, le confrontano, ne valu¬
tano i rispettivi meriti, ma manca una considerazione teorica, come
invece è stata almeno tentata per le euristiche di soluzioni di pro¬
blemi.1 Non si sa neanche dare una definizione che accontenti
tutti; quelle che circolano o sono prese dalla tradizione filosofica o
deviano verso polemiche sterili sul ruolo o non ruolo della logica.
Nella filosofia della matematica si discute di questioni ontologiche
o epistemologiche, di realtà e di conoscenza, ma non delle dimo¬
strazioni.
L’insegnamento poi pretende di farne a meno, come fare a meno
della vanga nella vigna, oppure, all’università, che si imparino per
imitazione.
Per studiare le dimostrazioni occorre per prima cosa avere presen¬
ti molti esempi, e questo abbiamo fatto nell’esposizione che segue; per
impostare una teoria è necessario iniziare con una fenomenologia.
Gli esempi mostrano innanzi tutto una grande varietà di fun¬
zioni svolte dalle dimostrazioni nella costruzione della matematica,
una molteplicità di strategie logiche e una pluralità di stili. Al di
sotto delle differenze di stile stanno le diverse capacità espressive
e definitorie dei linguaggi e le diverse potenzialità deduttive delle
logiche che si usano, spesso senza esserne consapevoli. 11 Ad esempio da G. Polya, Mathematics and Plausible Reasoning, vol. 1: Induction and Ana¬
logy in Mathematics, Princeton University Press, Princeton 1954.
8
PREMESSA
Una semplice considerazione dei multiformi aspetti delle dimo¬
strazioni dovrebbe convincere chi studia, chi insegna e chi fa mate¬
matica che la logica deve essere studiata in simbiosi con la matema¬
tica, e viceversa, e che non è un sistema rigido di norme quanto un
arsenale di strumenti.
Ma gli strumenti servono per fare qualcosa. Questo libro nasce
da una frustrazione. Si insegna la logica a persone che non hanno
familiarità con Fattività dimostrativa, nel senso di sapere evocare
dimostrazioni in tempo reale, o costruirle. Si constata allora come
la logica, priva della sua materia e ragion d’essere, finisca per di¬
ventare solo un altro formalismo da affiancare ai tanti già appresi,
quelli dell’algebra, dell’analisi, della programmazione. Della diver¬
sità dei vari formalismi, a cui si aggiunge ora quello della logica for¬
male, non si capisce e non si chiede né la ragione né la funzione. Il
pluralismo dei linguaggi è una bella cosa, se li si sanno tradurre, altri¬
menti è una cacofonia. D’altra parte, coloro che ne hanno subite
troppe, imparando le teorie nella inesorabile scansione teorema-
dimostrazione..., tendono a pensare che si voglia forzare sulla loro
conseguita professionalità una sovrastruttura inutile.
L’origine occasionale remota del libro è invece in un ciclo di lezio¬
ni tenute alla scuola Epistemologia della matematica per la didattica,
Levico Terme (TN), 8-9 febbraio 1999, organizzato dal Progetto
di Didattica della matematica coordinato da F. Arzarello, dove è
stato impostato il discorso qui approfondito nel capitolo 2. Il capi¬
tolo 1 è un ampliamento e sviluppo di un intervento al convegno
Processo alla prova, CISap, Palermo, 8-9 giugno 2004. Il capitolo 3
ricalca una parte del mio corso di logica matematica.
QED
1.
Dimostrazioni e logica
1.1. Cosa è un teorema
Se si chiede a una persona comune di citare un teorema, è alta
la probabilità che si senta rispondere «2 + 2 = 4», o qualcosa di
simile. Lo stesso se si fosse chiesta una verità matematica. Le per¬
sone comuni, e anche molti matematici, non fanno differenza tra
teorema e verità matematica, e non provano alcun disagio di fronte
all’augusto concetto del Vero. La matematica per il popolo è fatta
di enunciati che sono verità assolute, qualunque cosa questo voglia
dire, non contingenti, analitiche, per chi sa di filosofia, necessarie,
certe oltre ogni dubbio.
Ma 2 + 2 = 4 non è un teorema.
I teoremi sono enunciati formali condizionali1 del tipo
se T allora A
dove Tè un enunciato o una congiunzione o un insieme di enuncia¬
ti. A è la conclusione, Tie assunzioni, cioè gli assiomi della teoria.1 2
«Formali» significa che sono formule di un linguaggio simbolico
artificiale, costruite rispettando solo regole di correttezza sintat¬
tica, e prive di un significato intrinseco, come è invece per le frasi
delle lingue naturali.
Dato un teorema «se T allora A», si usa anche dire che A è un
teorema di T; dire invece che A è un teorema incondizionato non
1 «Condizionali» significa che hanno la forma «se... allora...», connettivo per cui nella logica
formale si usa il simbolo —».
2 A può essere a sua volta un condizionale ß —» C, il cui antecedente B si chiama ipotesi e il
conseguente C tesi.
12
CAPITOLO PRIMO
ha senso. Al massimo, se non c’è T, A può essere un teorema
logico, vale a dire una formula logicamente valida, una tautologia.
2 + 2 = 4 non è un teorema ma è la conclusione di un teorema.
Quando si afferma che 2 + 2 = 4 è un teorema s’intende innanzi
tutto che c’è una definizione sintattica di questi simboli, ad esem¬
pio 2 = 0++e4 = 2++ = 0+ + + + ,nel più comune linguaggio di base
per l’aritmetica,3 e quindi:
se
2 = 0+ + e4 = 2++ = 0+ + + +
e + è iniettiva
e 0^x+ e *+ ;y+= (*+ ;y) + e * + 0 = .x
allora 0+++ 0++= 0+ + + + .
Quando A è un teorema dell’aritmetica le persone tendono a di¬
menticarsi di citare l’aritmetica. Lo stesso avviene per la geometria,
con «teoremi» del tipo «la somma degli angoli interni di un trian¬
golo è n», perché le persone pensano che esista solo la geometria
orecchiata a scuola.4
Menzionare l’aritmetica non è pleonastico perché lungi dal
valere solo per i numeri naturali5 N, 2 + 2 = 4 vale anche in altre si¬
tuazioni: se si interpreta il simbolo funzionale + come «padre di»,
e l’operazione + come la concatenazione di alberi genealogici, al¬
lora 2 + 2 = 4 significa che il nonno del nonno è il trisnonno.
Questa interpretazione forse inaspettata è possibile per il carat¬
tere formale degli enunciati: «formale» vuol dire proprio che non
hanno un significato, e si possono dare loro tutti quelli che sono
compatibili con la sintassi.
Ma c’è un popolo, nelle isole Twantsie, che ha nomi per numeri
positivi solo fino a 3: toh, tah, teh; quando una famiglia ha quat¬
tro animali, la comunità glieli sottrae, con l’idea lodevole che di¬
ventare troppo ricchi è pericoloso. In questo caso potremmo dire
che 2 + 2 = 0.
Lo stesso d’altra parte succede per noi in Z4 = {0, 1, 2, 3}, dove
2 + 2 = l + 3 = 0.Al contrario 2 + 2 = 4 vale anche in tutte le strut¬
3 II simbolo xl si legge «successore di x»; altre notazioni sono x e s{x).
4 Naturalmente quando dal contesto è chiaro agli interlocutori quale è T, e ancor prima che
c’è un T, si può anche omettere di menzionare la teoria T senza danni.
3 N = {0, 1, ..., 10, 11, ...}.
DIMOSTRAZIONI E LOGICA
13
ture Hp per p > 4; in questi sistemi numerici la funzione successore
+ è iniettiva e0^x+ su un segmento abbastanza lungo che com¬
prende 4.
Dimostrare un risultato come 2 + 2 = 4 non significa dunque
provare che è vero, o ancor peggio necessariamente vero, ma signi¬
fica trovare le condizioni T sotto cui 2 + 2 = 4 valeì come abbiamo
fatto sopra, cioè
se T allora 2 + 2 = 4.
Quando non vale la conclusione A è perché T, cioè qualcuno degli
enunciati di T, non vale.
Non tutti gli enunciati condizionali sono teoremi. Un enunciato
«se T allora A» è un teorema se A è conseguenza logica di T, vale a
dire:
Definizione A è conseguenza logica di T se in ogni interpretazione
del linguaggio formale in cui sono scritti T e A, se T risulta vero allora
anche A risulta vero.
Si abbrevia, nella notazione della logica moderna,
oppure
T\=A
1= T—> i4
che significa che T —> A è logicamente valido, cioè vero in tutte le
interpretazioni.
La definizione di «teorema» mediante 1= non è un’alternativa
logica rispetto alla nozione di verità; è l’unica definizione compa¬
tibile con la totalità della matematica.
Alla domanda di Pilato «Che cosa è la verità» (Giovanni, 18, 38)
la risposta netta dell’analisi logica è che la verità è indefinibile. Lo
hanno dimostrato Alfred Tarski e Kurt Godei derivando una con¬
traddizione dall’ipotesi che lo sia.6
Questo non significa che non si possa parlare della verità - lo si
è appena fatto nell’affermarne 1 ’ indef inibili t à - né che non si possa
usare l’aggettivo «vero», per dire ad esempio «è vero che in questo
libro ci sono errori», o anche «2 + 2 = 4 è vero in N». Significa che
6 Una dimostrazione si può vedere in G. Lolli, Da Euclidea Godei, Il Mulino, Bologna 2004.
14
CAPITOLO PRIMO
per evitare antinomie dovute all’autoreferenzialità (l’argomento di
Tarski e Godei è una rielaborazione del paradosso del mentitore)
occorre, come spesso succede quando si analizzano le più sofisti¬
cate produzioni del linguaggio, instaurare una gerarchia di livelli di
discorso. Per parlare della verità relativamente a un dominio di co¬
noscenze si deve usare un linguaggio che parla del linguaggio in cui
sono formulate quelle conoscenze - che si chiama linguaggio ogget¬
to - e assumere altre conoscenze in grado di dimostrare proprietà
relative al linguaggio oggetto e ai suoi significati. Solo con i lin¬
guaggi formali si riescono a esprimere queste distinzioni, mentre il
linguaggio naturale appiattisce e fagocita tutto (e produce antino¬
mie).
Non è dunque certamente definibile una verità in assoluto, ma
non è neanche definibile, nel senso precisato, cioè senza passare a
una teoria superiore, la verità in un dominio limitato. Nel caso del¬
l’aritmetica, per affermare che «2 + 2 = 4 è vero in N» occorre spo¬
starsi nella teoria degli insiemi e sviluppare parte della teoria degli
insiemi infiniti (come minimo per definire f^l), che pochi conoscono
tra coloro che conoscono con certezza «2 + 2 = 4».7
Resta un possibile uso metaforico, indiretto, del termine «vero»,
un uso spesso pleonastico - che potremmo dire semplicemente «in
questo libro ci sono errori» - ma utile.8 Le occorrenze del termine
«vero» nella successiva esposizione ricadono tutte in queste cate¬
gorie e sono legittime.
A qualcuno sembrerà sorprendente o eretico il fatto che alla base
della matematica - la definizione di «teorema» ovviamente è la de¬
finizione stessa della matematica - ci sia una nozione vaga e indeter¬
minata come quella di conseguenza logica.
La nozione di conseguenza logica è vaga perché si riferisce a
tutte le possibili interpretazioni di un formalismo. Per ogni inter¬
pretazione, la decisione se un enunciato è vero o no dipende dal
significato delle parole relative a quel dominio di conoscenze. Ma
le interpretazioni sono infinite, e neanche ben delimitate, se s’in¬
7 Se si sfrutta questa possibilità se ne hanno importanti ricadute, che tuttavia dipendono da
assunzioni e considerazioni astratte, contro l’apparente concretezza delle affermazioni di verità
di enunciati come 2 + 2 = 4.
8 Cosa comporti di vantaggioso dal punto di vista psicologico o della fluidità di espressione è
un argomento interessante per capire la pratica e il gergo dei matematici, che però qui non trattiamo.
DIMOSTRAZIONI E LOGICA
15
tende con «interpretazione» un’applicazione dei simboli in un lin¬
guaggio dotato di senso. Ci è venuta in mente l’interpretazione del
nonno, ma chissà quante altre si potrebbero concepire.
Ugualmente infinite sono le interpretazioni se sono concepite come
strutture, nella semantica matematica. Inoltre in alcune di esse può
essere impossibile verificare se un enunciato è vero, se sono infi¬
nite e hanno le relazioni di base non decidibili.
Si dice anche che la relazione di conseguenza logica ha carattere
infinitario. Come si fa allora ad attaccare l’etichetta di «teorema»
a un teorema?
1.2. Cosa è una dimostrazione
Quando si dice che A è un teorema di T, si può dire una cosa
vera come una falsa. O A è conseguenza logica di T o non lo è. Se
A è un teorema di T, questo è un fatto; ma è un fatto, se così si può
dire, nell’universo linguistico astratto costituito dai simboli e dalle
infinite interpretazioni, quindi apparentemente impossibile da ve¬
rificare direttamente in termini finiti. Se per stabilire che T\= A si
dovessero esaminare tutte le possibili interpretazioni, il compito
non sarebbe ben definito, e mai concluso.
Si può procedere solo in modo indiretto, attraverso qualche scor¬
ciatoia. Le scorciatoie sono considerazioni e ragionamenti che per¬
mettono di prendere in esame ed eliminare in blocco insiemi di
possibili interpretazioni, ed eventualmente arrivare a concludere
che tutte ricadono sotto il tipo di considerazioni che si sono svolte.
La via apparentemente meno indiretta è quella di provare che
non ci può essere un controesempio, un’interpretazione cioè in cui
gli assiomi T siano veri e A no; ma che neanche questa sia una
strada regia risulta dalla constatazione che in pratica si tratta di
una riduzione all’assurdo, quindi di fatto, circolarmente, di una
dimostrazione.
Tale argomentare a ogni modo, se riesce, può concludersi in un
discorso che illustra o articola l’affermazione di tipo infinito del
sussistere della conseguenza. Può anche coincidere con l’enunciato
del teorema, se esso è trasparente, come nel caso A \= A.
Questi argomenti finiti sono le dimostrazioni.
i6
CAPITOLO PRIMO
Definizione Una dimostrazione è una bolla di accompagnamento
che certifica la sussistenza di T\= A.
Non la definiamo in modo più preciso perché non è possibile;
non si può neanche dire come deve essere scritto il certificato, non
ci sono moduli prestampati; forse non è neppure necessario che sia
verbale. Nella storia e nelle diverse sottodiscipline della matema¬
tica se ne trovano di tutti i formati, ed è difficile ricondurli a uno
stile unico semplicemente esaminandole alla ricerca di quello che
hanno in comune.
Ai matematici dovrebbe piacere questa definizione, perché non
pone nessun vincolo.
Basta che sia un argomento finito, per essere trasmissibile nei
rapporti interpersonali.9 Non si può neanche chiedere che sia con¬
vincente o facile da capire, perché queste sono caratteristiche re¬
lative alle qualità soggettive di chi esamina le dimostrazioni pro¬
poste e deve sanzionarle, dire se il certificato è accettabile; oppure
delle persone che vogliono anch’esse approfondire le questioni rela¬
tive a un argomento e proseguire le ricerche. Ma nessuno capisce
tutte le dimostrazioni.
La bolla naturalmente deve essere veritiera; se la si crede veri¬
tiera e non lo è, vuol dire che ci si è ingannati. Dopo tanti controlli,
alla fine si può anche essere convinti della sua verità - si noti, non
la verità di A bensì di T\= A - ma la conoscenza che si ha è l’unica
che è possibile in considerazione del carattere impegnativo e non
direttamente verificabile della dichiarazione stessa. La convinzio¬
ne è relativa alla propria maturità ed esperienza; in ogni caso è la
conoscenza che si può avere in tutte le affermazioni umane relative
alla sussistenza di un fatto non sensibile, quindi una conoscenza
traballante e precaria, sempre da ricontrollare, qualche volta da
correggere.
Che ne è allora della mitica certezza associata alle dimostrazioni
matematiche? L’idea che ci sia una certezza speciale in matematica
è un equivoco alimentato da una svista linguistica.
9 I logici studiano anche dimostrazioni infinite, ma si tratta di ricerche sperimentali finaliz¬
zate a quesiti precisi, per estendere tecniche logiche a determinate problematiche.
DIMOSTRAZIONI E LOGICA
17
Invece di dire che A segue logicamente da T si usa ancora dire,
per vecchia tradizione, che
A segue necessariamente da T.
L’uso di questo termine modale «necessariamente» è innocuo se lo
si accetta come sostituto figurato di «logicamente». Ma se si opera
un piccolo spostamento e si dice che
necessariamente A segue da T
allora si dice cosa che non ha senso, e che tuttavia veicola la miste¬
riosa necessità dei teoremi.
1.3. La dimostrazione nella filosofia
A cosa servono le dimostrazioni? Che domanda, servono perché se
non ci fossero le dimostrazioni non ci sarebbero i teoremi. I matema¬
tici si limiterebbero a proclamare delle affermazioni: «2 + 2 = 4»,
«il quadrato costruito sull’ipotenusa è uguale alla somma dei qua¬
drati costruiti sui cateti», «il continuo ha cardinalità Kj», «le fun¬
zioni continue sono derivabili», «xn + y” = zn non ha soluzioni per
n> 2», facendo a chi grida più forte per venderle, genuine o
bacate, come al mercato. Ma al mercato di Atene si discuteva su
ogni tesi.
Ogni tanto nascono persone che vedono i teoremi senza mediazio¬
ni linguistiche. Il verbo «vedere» non è sempre appropriato - come
invece lo è la precisazione «senza mediazioni linguistiche». Può
valere per forme geometriche, e infatti era un vanto di alcuni geo¬
metri della scuola italiana di geometria algebrica, che qualche volta
peraltro non hanno visto giusto e alla fine i matematici non li hanno
più seguiti e hanno cercato altri modi di impostare e discutere i loro
problemi. Può valere per l’universo insiemistico, se ne hanno casi
tra chi si dedica alle ricerche avanzate sui nuovi assiomi dei grandi
cardinali. Non sembra valere ad esempio per le formule di Rama¬
nujan, che non è chiaro cosa voglia dire «vedere una formula».
Nessuno può dire al momento cosa succeda in questi casi den¬
tro la scatola grigia del cervello. Si tratta probabilmente di rapi¬
CAPITOLO PRIMO
dissimi collegamenti mentali, che danno l’impressione della simul¬
taneità, persino a chi li produce. Basta pensare alle velocità in tera-
flop e ai nanotempi dei calcolatori, di un altro ordine di grandezza
rispetto al mondo macroscopico, per rendersi conto che questo è
possibile, anche nel cervello, che compensa la limitata velocità neu¬
ronaie con il parallelismo. Collegamenti tra vari risultati, lontani,
raramente e difficilmente tutti presenti alla coscienza, vengono a
costituire una rete di relazioni dove c’è una sola possibilità di un
incastro coerente, da cui la risposta. Con l’esperienza tutti sviluppa¬
no in parte una capacità del genere, anche se non estrema. Le per¬
sone normali comunque hanno bisogno di dimostrazioni.
Se si interrogano matematici e filosofi, presenti e passati, a pro¬
posito della natura e della funzione della dimostrazione, quasi tutte
le risposte si collocano in uno spettro che comprende:
- verità, assoluta o necessaria, della conclusione
- certezza assoluta, verità di ragione
- certezza soggettiva, convinzione
- soddisfacimento di un’intenzione
- convenzione linguistica o sociale
con le varianti che siano rispettivamente convenzioni
- inevitabili
- utili
- superflue.
Tutte queste risposte si presentano come una caratterizzazione
esterna; esse dipendono da una concezione generale, che è quella
di considerare la dimostrazione come una conoscenza particolare
che richiede una giustificazione.
Con «giustificazione» intendiamo non l’insieme delle ragioni
che si adducono per sostenere una tesi, per affermare ad esempio
T\= A, e che noi abbiamo chiamato dimostrazione, ma il tipo di
garanzia che si accompagna a tale affermazione. Se noi concepiamo
la dimostrazione come giustificazione di Tt=A, le risposte che
stiamo considerando si riferiscono invece a una giustificazione del¬
la giustificazione, o a una fondazione. Peraltro è probabile che la
nozione di dimostrazione implicita in tali risposte sia diversa da
quella che abbiamo presentato, e sia anzi derivata da quelle, o
costruita insieme, coerentemente ad esse. Ad esempio, la dimostra¬
DIMOSTRAZIONI E LOGICA
19
zione è un prodotto della ragione discorsiva, oppure: la dimostra¬
zione è un testo che rispetta le condizioni fissate dai referee della
comunità prevalente, o altre.
Le risposte usuali rientrano dunque nella più generale questione
della giustificazione della conoscenza. Ciascuna di esse rimanda a
una filosofia di riferimento, viene elaborata all’interno di una filo¬
sofia della matematica che è parte di una filosofia della conoscenza.
Questa circostanza è palesemente la fonte di possibili distor¬
sioni. Un esempio è il seguente.
L’idea di fondazione è intesa da due lunghe tradizioni, quella
metafisica e quella razionalista, come identificazione degli elementi
ultimi, siano essi i mattoni della realtà o le basi della struttura della
conoscenza, che conferiscono verità e certezza.
In quest’ottica i principi (gli assiomi) sono importanti quanto se
non di più dell’articolazione delle dimostrazioni, la cui funzione è
soprattutto quella di ricondurre ai principi.
La matematica moderna tuttavia ha rivisto e corretto la funzione
degli assiomi declassandoli, si fa per dire, a punti di partenza non
immediati e largamente arbitrari (dal punto di vista della verità o
evidenza, non di quello delle motivazioni).
Tale sviluppo dovrebbe rappresentare un imbarazzante elemen¬
to di disturbo o di ripensamento, in quanto contraddice o svuota
più di due millenni di riflessione filosofica. Ma di solito la descri¬
zione matematica dello status degli assiomi non viene presa sul
serio; essa è preferibilmente sottaciuta, o denunciata come una par¬
ticolare filosofia della matematica in competizione con le altre.
Cornici filosofiche coerenti sarebbero varie forme di convenziona¬
lismo, che viene tuttavia bollato come inadeguato a rendere conto
della esperienza matematica nella sua interezza. Ma non è necessa¬
rio aderire alla filosofia del convenzionalismo per accettare il me¬
todo assiomatico; un matematico come Poincaré, che aveva gli
strumenti intellettuali necessari per districarsi nelle questioni dei
fondamenti, sapeva distinguere lo statuto logico convenzionale
degli assiomi, innegabile, dalle più ampie funzioni teoriche, prati¬
che e gnoseologiche della geometria.10
10 Si veda ad esempio H. Poincaré, La science et l’hypothese, Flammarion, Paris 1902, pt. 2,
L'espace, pp. 49-109 (trad. it. La scienza e l’ipotesi, Bompiani, Milano 2003).
20
CAPITOLO PRIMO
Ai matematici che, influenzati dalla filosofia, si vergognano di
essere tacciati di convenzionalismo viene proposta talvolta una
distinzione tra due tipi di teorie. Per le teorie algebriche gli assiomi
servono soltanto a individuare una classe di strutture, mentre per
altre teorie, tipicamente la teoria dei numeri o quella degli insiemi,
gli assiomi avrebbero invece una funzione fondazionale, quella di
esprimere l’essenza dei concetti di base.11
Per realizzare tale obiettivo si dovrebbero formulare assiomi che
abbiano, come minimo, un’unica interpretazione; si tratta di un de¬
siderio irrealizzabile, alla luce dei risultati della logica matematica,
dalla quale si sa che ogni teoria ha molteplici modelli non isomorfi.
Si pensa allora di cambiare la logica; discussioni infinite continua¬
no a girare intorno al problema con grande dispendio di acume e
dottrina, ma eludendo la semplice alternativa: per evitare feno¬
meni relativistici la logica deve incorporare in modo circolare con¬
sistenti dosi di teoria degli insiemi.11 12
La distinzione tra assiomi strutturali e fondazionali a ogni modo
non corrisponde alla dignità paritetica che ha il lavoro matematico
in queste diverse aree.
Il problema dello statuto degli assiomi mette in rilievo un parados¬
so, che vale anche per altre non meno nobili, se pure meno conso¬
lidate tradizioni di pensiero, che fanno riferimento ad altri fattori
come il linguaggio o il condizionamento sociale. Si tratta della cir¬
costanza che le risposte a cosa sia la dimostrazione - o la matema¬
tica - vengono cercate, anche dai matematici stessi, non nelle
opere dei matematici ma in quelle dei filosofi; e questi si pronun¬
ciano sulla base di una immagine della matematica che è un mito,
costruito dalla propria filosofia ad usum delphini, per sostenere la
filosofia con l’autorità che al modello della matematica continua a
essere attribuita dalla filosofia stessa: un complicato gioco di spec¬
chi che non si riesce a interrompere.
11 S. Feferman, Does Mathematics Need New Axioms?, in «American Mathematical Monthly»,
106, 2, 1999, pp. 99-111; Feferman distingue tra assiomi strutturali e assiomi fondazionali,
necessari «per concetti fondamentali come numero, insieme e funzione che stanno alla base di
tutti i concetti matematici». Si veda anche la susseguente discussione con interventi di H.
Friedman, P. Maddy e J. Steel in «Bulletin Symbolic Logic», 6, 4, 2000, pp. 401-46.
12 La logica del secondo ordine, che è una delle candidate, ha proprio tra i suoi assiomi prin¬
cipi di esistenza di insiemi. Assiomi che affermano l’esistenza di enti sembrano metafisici più
che logici. Russell a malincuore, dopo strenua resistenza, si rassegnò a inserire l’assioma dell’in¬
finito nel suo sistema.
DIMOSTRAZIONI E LOGICA
21
All’inizio della storia, prima della filosofia, le cose non stavano
così, i matematici erano una categoria che pretendeva di avere e alla
quale era riconosciuta l’autorità di pronunciarsi su quello che faceva.
Archimede si rivolgeva ai colleghi alessandrini perché sanzionas¬
sero le sue dimostrazioni basate sul principio omonimo e conferisse¬
ro loro con tale consenso la necessaria pistis, affidabilità; Archi-
mede si richiamava solo all’uso fattone dai predecessori. Tra l’altro
con la sua richiesta e con il riconoscimento ai colleghi dell’autorità
di conferire pistis, Archimede violava il dettato filosofico di Pla¬
tone che vedeva la pistis associata solo alla doxa.
La teoria della scienza di Aristotele si appoggia con continui esem¬
pi alla geometria e all’aritmetica pre-euclidee. Proclo (v secolo d. C.)
è un filosofo che ha cercato di fondere le visioni platonica ed ari¬
stotelica con l’impostazione della geometria; ma i suoi resoconti,
nel commento a Euclide, sono punteggiati di richiami del tipo «essi
sostengono... » dove essi sono i geometri e quello che dicono riguar¬
da il loro modo di fare geometria: «essi di solito duplicano la con¬
clusione in un certo modo... Alcuni, come i matematici della scuola
di Menecmo, ritengono invece...». Erano loro che dettavano legge
non solo sul loro lavoro, come è ovvio, ma sulla teorizzazione di
quello che facevano; e i loro motivi o semplicemente le loro deci¬
sioni erano la giustificazione.
1.4. La dimostrazione nella storia
Una costante delle discussioni moderne è che viene dato per
scontato il legame privilegiato tra dimostrazione e logica, se non l’i¬
dentità tra le due. Il legame è postulato anche, e soprattutto, da chi
assume una posizione polemica, e da questo legame ricava un facile
bersaglio nelle deficienze della logica (rispetto a una spiegazione
globale di tutti gli aspetti del fare matematica) e quindi la necessità
di una concezione o addirittura di una pratica diverse.
La discussione sui rapporti tra dimostrazioni e logica è complica¬
ta perché nelle tesi correnti si sovrappongono diverse assunzioni
che dovranno essere separate: un legame è semplicemente quello che
si esprime nei modi di dire tradizionali che identificano acriticamen¬
te razionalità, logica, e matematica; queste consuetudini linguisti¬
22
CAPITOLO PRIMO
che sono in parte giustificate dalla storia del lavoro dei matematici
e sono sanzionate dalla codifica delle regole di inferenza fatta dalla
logica. Un altro aspetto è l’eredità del lavoro fondazionale in mate¬
matica dei secoli xix e xx, svolto soprattutto dal punto di vista lo¬
gico e con strumenti logici, che viene letto come ricerca e presunto
raggiungimento del rigore perfetto.
Se si esamina la storia della matematica, il quadro che si presenta
è sorprendentemente diverso.
1.4.1.1greci
In Euclide ad esempio non si fa mai menzione della logica né di
alcuna considerazione metodologica. La terminologia non poteva
essere quella della logica, che non esisteva ancora, ma è istruttivo
considerare cosa intendevano quelli che hanno inventato la dimostra¬
zione senza avere ancora la logica.
Intanto la dimostrazione era, secondo Proclo, una parte della divi¬
sione formale di una proposizione: ogni teorema e ogni problema consi¬
ste dei seguenti elementi: enunciazione {protasis), esposizione (<ékthesis),
descrizione o specifica (diorismós), costruzione {kataskeué), dimostra¬
zione {apódeixis), conclusione [sumpérasmd).13 La dimostrazione non
aveva come appendice finale il teorema, ma era parte del teorema.
In secondo luogo occorre soffermarsi sulla parola usata per dimo¬
strazione. Vero è che Proclo dice che la dimostrazione tira le neces¬
sarie conseguenze ragionando scientificamente a partire dai fatti
riconosciuti, ma egli scrive risentendo della teoria della scienza di
Aristotele che, diventata verbo, ha influenzato l’interpretazione
della precedente metodologia.
In assenza di esplicite e consapevoli definizioni, l’etimologia delle
parole è un indizio da non sottovalutare. La parola apódeixis è poi en¬
trata nella terminologia filosofica e logica, con apodittico ad esempio
come sinonimo di necessario. Essa tuttavia ha la stessa radice del
verbo «mostrare». Socrate dice allo schiavo: deiknymi il segmento
su cui si può costruire il quadrato doppio, nel senso di «mostrami».14
u Per la spiegazione di cosa si intendeva con questi diversi termini, si veda Sir Th. L. Heath
(a cura di), The Thirteen Books of Euclid’s Elements, Dover, New York 1956, vol. 1, p. 129.
14 A. Szabó, Deiknymi als mathematischer Terminus für «Beweisen», in «Maia», n.s., 10, 2,
1958, pp. 106-31.
DIMOSTRAZIONI E LOGICA
23
Molte delle prime dimostrazioni, non solo in Grecia ma anche in
Cina e in India, consistono di una elaborata figura, con nuovi elemen¬
ti aggiunti rispetto a quelli dati, e dell’invito «Guarda!». Ancora
oggi si chiamano dimostrazioni senza parole.15
Quella del teorema di Pitagora è una delle prime vere dimostra¬
zioni (con quella del teorema di Talete). La mistica orfica nel cui
alveo si inseriva il pitagoreismo aveva come elemento di base, oltre
all’orgia, la teoria. Con tale termine si intendeva una contempla¬
zione appassionata e partecipe del divino, che portava a rivivere la
sua morte e risurrezione. Ancora oggi sul Rocci per theona viene
dato prima «spettacolo», una cosa che si guarda, e dopo «teoria».
Altri termini di origine geometrica o grafica sono significativi:
gráphein non vuole solo dire «disegnare», ma «mettere in luce», e
Aristotele parla di pseudográphein non solo per figure mal fatte ma
per paralogismi.16
L’arte di graphein comportava lo sviluppo di un’argomentazione;
Euclide avrebbe composto secondo Proclo uno scritto su pseudo-
graphémata per insegnare ai novizi come evitare i paralogismi. I ter¬
mini relativi alle figure erano insomma anche termini per l’argo¬
mentazione.
Aristotele diceva che i diagrammata sono in potenza e diventano
in atto al momento della dimostrazione. La figura che accompagna i
teoremi di Euclide è sempre una figura completa, con tutte le co¬
struzioni sovrapposte. Si può immaginare che la dimostrazione, il
gráphein, porti in atto gli elementi della costruzione.
Dunque, la dimostrazione nello sviluppo della geometria che
porta a Euclide consisteva nel mostrare, dispiegare attraverso figu¬
re. Non si vuol sostenere che i greci avessero una concezione alter¬
nativa non verbale, ma che probabilmente si interrogavano loro
stessi su «cosa stiamo facendo?». Il disegno era anche accompagnato
da un discorso di descrizione e commento, ma non si può dire che
esso seguisse le regole logiche, visto che le regole non c’erano.
Una tesi abbastanza accreditata17 sostiene che la scansione logica
delle dimostrazioni deriva dagli eleati; senza sbilanciarsi, si può
15 R. B. Nelsen, Proofs without Words, The Mathematical Association of America, Washing¬
ton 1993.
16 Si veda G. Cambiano, La démonstration géométrique, in M. Detienne (a cura di), Les savoirs
de l’écriture. En Grece ancienne, Presses Universitaires de Lille, Lille 1988, pp. 251-72.
17 Tesi sostenuta da A. Szabó.
24
CAPITOLO PRIMO
ammettere che il contributo che potrebbero aver dato consiste in
strategie argomentative, come quasi certamente la dimostrazione
per assurdo.
Un’ipotesi storiografica suggerisce che gli incommensurabili ab¬
biano portato a una prevalenza del discorso sulla figura. Nel Libro
V di Euclide infatti le figure appaiono meno rilevanti ed esso è or¬
ganizzato con proposizioni iniziali da cui le altre seguono, secondo
il modello dell’impostazione assiomatica che risale probabilmente
almeno a Ippocrate, nel lavoro sulla quadratura delle lunule; lì si
trova il procedimento che piaceva a Platone, dove non c’era un or¬
dine unico fisso delle proposizioni, ma queste fungevano ora da
principi ora come oggetto di dimostrazione.
Ma la scansione della dimostrazione per i greci non era quella
delle regole logiche, bensì di altro tipo, ad esempio quella della scom¬
posizione e riduzione dei problemi e quella dell’analisi e sintesi.
Che ci fossero problemi con la logica è provato anche dal fatto ben
noto che la descrizione di questi due procedimenti in Euclide e nei
successori è ambigua (o addirittura errata), quando confonde le
implicazioni con le equivalenze logiche.
Su tale giudizio concordano i commentatori; basta considerare
del resto il seguente passo di Proclo:
L’analisi prende quello che è cercato come se fosse ammesso e passa da esso
attraverso le sue successive conseguenze a qualcosa che è ammesso come il
risultato di una sintesi: giacché in analisi noi assumiamo quello che è cercato
come se fosse già fatto, e indaghiamo da cosa è che risulta, e di nuovo quale
è la causa antecedente e così via, rintracciando i nostri passi noi veniamo su
qualche cosa di già noto, o che appartiene alla classe dei principi primi, e tale
metodo noi lo chiamiamo analisi, nel senso di essere una soluzione all’indie-
tro. Ma nella sintesi, rovesciando il processo, noi prendiamo come già fatto
quello a cui si è infine arrivati nelle analisi e, riaggiustando nel loro ordine
naturale come conseguenze quelle che prima apparivano antecedenti, e suc¬
cessivamente connettendo i passi tra di loro, arriviamo alla fine a costruire
ciò che era cercato; e questo noi lo chiamiamo sintesi.18
Salta agli occhi una incongruenza tra «passa ... attraverso le sue suc¬
cessive conseguenze» e «indaghiamo da cosa è che risulta». Pro¬
babilmente ci sono difficoltà di traduzione, con termini forse non
ancora standardizzati, ma la prima formulazione alla lettera af¬
18 Heath (a cura di), The Thirteen Books of Euclid’s Elements cit., pp. 138-42.
DIMOSTRAZIONI E LOGICA
25
ferma che da P si passa a Q tale che P —> Q, e la seconda che da P
si cerca Q per cui Q —> P.
Le incongruenze a ogni modo sono solo nella teorizzazione, non
si manifestano mai come errori. In Euclide si trovano anche teo¬
remi aritmetici; in seguito vedremo la sua dimostrazione della infi¬
nità dei numeri primi, alla quale non si può muovere nessuna obie¬
zione dal punto di vista logico.
1.4.2. Descartes
Un altro modello importante della dimostrazione è quello di De¬
scartes, e anch’esso non si basa sulla logica.
La matematica è decollata nel Seicento proprio in polemica con¬
tro la logica, giudicata sterile e buona solo per le dispute scolasti¬
che, a differenza del metodo inventivo, delT^re invenienài rappre¬
sentata dal pensiero matematico. Il discorso sul metodo di Descartes
teorizza questa distinzione, nel famoso passo di manzoniana cadenza
«Quelle lunghe catene di ragioni, tutte semplici e facili, di cui i geo¬
metri sono abituati a servirsi per pervenire alle loro dimostra¬
zioni...».
Galileo diceva che per imparare a fare dimostrazioni non si studia
un manuale di logica, ma bisogna guardare nei libri che contengono
tante dimostrazioni, cioè i libri di matematica, non di logica.
Le regole ad directionem ingenii di Descartes sono prese dai ragio¬
namenti dei geometri. Le catene di ragioni semplici non sono tut¬
tavia catene di inferenze logiche.
Regola 3. Enumeriamo qui tutti gli atti del nostro intendimento attraverso
cui possiamo pervenire alla conoscenza delle cose senza alcun timore di er¬
rore; ce ne sono solo due: l’intuizione e la deduzione.
Con intuizione io intendo non la testimonianza mutevole dei sensi ... ma la
concezione di uno spirito puro e attento, concezione così facile e distinta che
nessun dubbio ci resta su quello che comprendiamo ...
Ora questa evidenza e questa certezza dell’intuizione non sono richieste sol¬
tanto per delle affermazioni semplici, ma anche per ogni specie di ragiona¬
mento. Così per esempio essendo dato: 2 e 2 fanno lo stesso che 3 e 1; non
solo bisogna vedere per intuizione che 2 e 2 fanno 4 e che 3 e 1 fanno ugual¬
mente 4, ma ancora che la terza proporzione si conclude necessariamente
nelle prime due.
Perciò, ci si sarà potuto domandare perché oltre all’intuizione, noi abbiamo
aggiunto qui un altro modo di conoscenza che si fa per deduzione, operazione
CAPITOLO PRIMO
26
con la quale intendiamo tutto quello che si conclude necessariamente da altre
cose conosciute con certezza. Ma è stato necessario procedere così, perché
diverse cose sono conosciute con certezza, anche se non possono essere esse
stesse evidenti, purché esse siano dedotte a partire da principi veri e cono¬
sciuti con un movimento continuo e ininterrotto del pensiero che ha una
intuizione chiara di ciascuna cosa.19
Descartes richiede alla dimostrazione l’intuizione sia dei principi
sia della consequenzialità, che consiste in un’evidenza di ordine su¬
periore: l’evidenza che un’evidenza si trasporta in un’altra evi¬
denza. La dimostrazione non è deduzione logica. Solo per le dimo¬
strazioni lunghe si parla di deduzione, che non è tuttavia logica ma
è lo sbiadire dell’evidenza, sostituita dalla memoria che ricorda di
aver percorso un cammino di evidenze. Si salva così almeno la cer¬
tezza, nel venir meno dell’evidenza.
La logica di cui parla Descartes è quella codificata dalla scolasti¬
ca, e insegnata nelle scuole. Nell’età moderna i matematici hanno
sempre pensato a una logica naturale, che si affina con l’esercizio
ma che non richiede una codifica e un insegnamento specifico con
i manuali di logica.
Il modello cartesiano ha lasciato il segno, accanto a quello eucli¬
deo, soprattutto nelle discipline diverse dalla geometria, dove le
figure avevano solo un ruolo ausiliario e le dimostrazioni consiste¬
vano prevalentemente di manipolazioni di tipo algebrico su formu¬
le; il modello dei piccoli passi si è identificato prima con il calcolo
e, via l’hobbesiano «to think is to reckon» e forse l’associazionismo
empirista, alla fine è venuto a confondersi con quello delle deriva¬
zioni della logica moderna.
1.4.3. Il rigore ottocentesco
C’è stato un momento, tra la fine dell’Ottocento e l’inizio del
Novecento, in cui i tentativi di riduzione della matematica alla lo¬
gica hanno diffuso il messaggio e portato la convinzione che la ma¬
tematica potesse esistere, allo stato puro, solo nel formato e nel for¬
malismo della logica simbolica. Il messaggio è stato amplificato dalla
susseguente filosofia formalista e dallo sviluppo della metamate¬
19 R. Descartes, Regulae ad directionem ingenii (postumo, 1701), in Id., (Euvres et lettres, Gal¬
limard, Paris 1953, pp. 42-44.
DIMOSTRAZIONI E LOGICA
27
matica (della quale si sa[peva] solo che lavora[va] sui simboli, ma non
se ne conoscevano] gli obiettivi, e li si identifica[va] con la forma¬
lizzazione della matematica).
In seguito l’identificazione è diventata l’ortodossia, da rispettare
o da contestare. I sostenitori dell’ortodossia si fanno forti del pro¬
cesso di rigorizzazione che ha caratterizzato l’Ottocento, del quale
sostengono che sia un portato. Prima di discutere della logica, è op¬
portuno disporre di questo argomento, anche perché con le polemi¬
che sulle dimostrazioni si rischia di deformare e svalutare un feno¬
meno storico importante.
L’Ottocento è in effetti considerato il secolo del rigore, ma il senso
di tale caratterizzazione è basato su resoconti poco approfonditi.
Secondo il pensiero volgare ci sarebbe una tendenza di lungo
periodo verso un maggior rigore nelle dimostrazioni, dove il rigore
è identificato con la più intensa e pedante attenzione alla correttez¬
za e purezza logica, nel senso di evitare qualunque argomento che
si appoggi a forme di conoscenza abbreviate, intuitive, sperimen¬
tali. L’Ottocento avrebbe rappresentato un’accelerazione di tale
tendenza.
Ad esempio si sostiene20 che man mano che ci si sposta verso le
parti più applicative e verso i tempi più lontani, si arriva a un punto
in cui la dimostrazione rigorosa non è più richiesta con tanta insi¬
stenza come da noi. I due fenomeni sarebbero collegati in quanto
nel passato la matematica era più vicina alle applicazioni.
Si cita Eulero e si afferma che gli standard di rigore di Eulero erano
meno stringenti di quelli di Weierstrass, non perché Eulero fosse
un oscurantista ma perché le applicazioni non possono aspettare le
dimostrazioni rigorose. Il calcolo infinitesimale non sarebbe stato
sviluppato se Newton e Leibniz avessero cercato un rigore pari a
quello di Weierstrass. Anche a Jacobi si attribuisce la frase spa¬
zientita «Non ho tempo per il rigore».
Weierstrass compare qui forse come il padre della definizione
£ — ô di limite che ha sostituito gli infinitesimi.
Eulero è chiamato in causa perché è diventato di moda parlare
dei suoi procedimenti originali come di veri e propri esperimenti
20 J. P. Burgess, Proofs about Proofs. A Defence of Classical Logic, in M. Detlefsen (a cura
di), Proof Logic and Formalization, Routledge, London 1992, pp. 8-23.
28
CAPITOLO PRIMO
empirici.21 Come esempio si cita di solito il suo calcolo della somma
della serie degli inversi dei quadrati.
Il risultato è stato ottenuto da Eulero con una ingegnosa, e ini¬
zialmente non provata, analogia tra serie e polinomi per quel che
riguarda la scomposizione in prodotto di monomi; la conseguente
trasformazione di una serie in un prodotto infinito ha avuto con¬
ferma empirica della sua utilità fornendo anche risultati già otte¬
nuti per altra via (a differenza di altre analogie tra serie e polinomi
che erano invece deleterie, come l’estensione dell’associatività, con
i ben noti paradossi sulle serie).
Eulero dichiarava:
Per il nostro metodo, che può apparire ad alcuno non sufficientemente affi¬
dabile, emerge qui una grande conferma [la somma della serie alterna degli
inversi dei dispari, dovuta a Leibniz]. Perciò, non dovremmo dubitare affatto
delle altre cose che sono derivate con lo stesso metodo.
Nel raccontare questa storia, si dimentica però una coda. Se è
vero che Eulero riteneva giustificati i suoi metodi, sulla base dei ri¬
sultati numerici e di alcune altre conseguenze che avevano una ve¬
rifica indipendente, è anche vero che ha continuato a dubitare, a
provare e a riprovare finché non ha trovato una dimostrazione
complicata ma accettabile secondo i canoni del tempo.22
L’accelerazione della ricerca del rigore dell’Ottocento nell’ottica
che stiamo presentando dovrebbe dipendere dal fatto che a quella
data si fa risalire la nascita della matematica pura; si tratta di un
mito discutibile. La geometria era matematica pura, e comunque
per secoli non è stata sotto l’assillo di applicazioni impellenti, e tut¬
tavia molte delle sue dimostrazioni lasciavano a desiderare, fino
alla revisione hilbertiana; il difetto stava in una imperfetta formu¬
lazione degli assiomi.
Non è rilevabile nella storia un movimento di lungo periodo che
vada dalle applicazioni alla teoria pura. Chi lo sostiene peraltro si
contraddice quando afferma che «la geometria differenziale e l’a¬
21 Lo hanno fatto tra gli altri Hilary Putnam e Mark Steiner; del primo si veda H. Putnam,
What Is Mathematical Truth, in Id., Philosophical Papers, 2 voll., Cambridge University Press,
Cambridge 1975, ristampato in T. Tymoczko (a cura di), New Directions in the Philosophy of
Mathematics, Princeton University Press, Princeton 1998, pp. 49-65 (trad. it. in H. Putnam,
Matematica, materia e metodo, Adelphi, Milano 1993, pp. 80-98); del secondo M. Steiner, Mathe¬
matical Knowledge, Cornell University Press, Ithaca 1975, pp. 103-07.
22 Lo ricorda Polya, Mathematics and Plausible Reasoning cit., vol. 1, pp. 17-22.
DIMOSTRAZIONI E LOGICA
29
nalisi funzionale applicate nella teoria della relatività non sareb¬
bero state sviluppate se Riemann e Hilbert si fossero tenuti a uno
standard non maggiore di quello di Eulero».23
Questo significa allora che le applicazioni spesso hanno bisogno
di attendere le dimostrazioni rigorose, e che dalla rigorizzazione,
dalla matematica pura, deriva nuova matematica applicabile.
Piuttosto che parlare di matematica pura e di gradi di rigore, sa¬
rebbe più corretto parlare di matematica astratta, e dei problemi
che ha posto, soprattutto nell’Ottocento. Nella matematica moderna
sono stati introdotti concetti che non erano più riducibili a quelli
del discorso ordinario, o della matematica che aveva un riscontro
immediato nel mondo fisico o dei numeri. I concetti astratti non
avevano alcuna intuizione sensibile a cui appoggiarsi e che potesse
facilitare le inferenze; al contrario l’intuizione era un ostacolo, e
spesso ingannevole.
Ricordiamo solo le analisi fini del continuo e delle funzioni reali
permesse dalla considerazione degli insiemi infiniti di punti.
Le dimostrazioni relative agli insiemi infiniti di punti sulla retta
hanno dato il colpo di grazia all’intuizione geometrica statica, alla
quale tuttavia nel calcolo infinitesimale si è aderito finché è stato
utile e possibile, e hanno costruito una nuova intuizione del conti¬
nuo (retta). Nel 1882 Cantor si è accorto che si potevano definire
linee continue giacenti interamente in spazi discontinui, come l’in¬
sieme dei numeri trascendenti; la continuità non poteva basarsi sul
moto fisico continuo, e richiedeva una definizione aritmetica.
Significativa è anche la famosa dichiarazione di Cantor «lo vedo
ma non ci credo», a proposito della sua dimostrazione della ina¬
spettata equipotenza di un segmento e di un quadrato. Cantor vede¬
va la dimostrazione corretta, ma non credeva al risultato perché era
ancora sotto l’influenza dell’intuizione geometrica della dimensio¬
ne, risalente alle definizioni di Euclide (il punto non ha dimensione,
il segmento ha una dimensione, il piano due). Oggi non solo si
crede al risultato, ma lo si vede anche, perché gli occhi hanno inte¬
riorizzato la costruzione della dimostrazione di Cantor.
Il rigore non è una tendenza progressiva verso chissà quale perfe¬
zione finale. Nella storia, la freccia della rigorizzazione è sì sempre
23 Burgess, Proofs about Proofs cit., p. 10.
30
CAPITOLO PRIMO
unidirezionale, dall’intuizione alla logica, ma riparte sempre da capo,
ogniqualvolta si presenta qualche concetto nuovo, o quando l’in¬
tuizione mostra la corda nello sviluppo approfondito di una teoria.
Le esigenze del rigore si impongono nelle situazioni in cui con
concetti nuovi e nuove indagini si affrontano questioni dove la vec¬
chia conoscenza disponibile, sedimentata in una solida intuizione,
rivela i suoi limiti. L’insufficienza dell’intuizione geometrica non
ha dovuto attendere lo studio degli spazi a più dimensioni; diven¬
tava un freno già nel campo piano, o per la retta.
Nel corso dell’Ottocento si è avuto un ingolfamento di problemi,
perché oltre a quello del continuo c’erano anche i problemi delle
nuove algebre, o delle geometrie non euclidee, per citare solo quelli
noti a tutti. Dalla soluzione che è stata loro data si sono dipanate
molte novità di cui ancora risentiamo, e per questo motivo l’Otto¬
cento appare a noi il periodo per eccellenza del rigore, ma la stessa
esigenza si è proposta ripetutamente nella storia della matematica.
Si è verificata ad esempio con Archimede e il suo metodo mecca¬
nico, quando egli usava procedimenti che potrebbero essere equi¬
parati al pesare le figure, per il calcolo delle aree, ma che in seguito
con lo sviluppo della statica come teoria matematica sono diventati
legittime applicazioni della teoria matematica del baricentro. Si è
verificata con gli infinitesimi a partire dal Settecento, e con le
serie, fino alla definizione di limite di Weierstrass, a metà Otto¬
cento, e si è imposta di nuovo a fine Ottocento con la teoria del¬
l’infinito e l’insiemistica.
L’esigenza del rigore continua a riproporsi, per citare un episo¬
dio del Novecento, con l’assiomatizzazione della probabilità.
Il rigore ottocentesco è un problema storico dai precisi contorni
che ha a che fare soprattutto con i fondamenti dell’analisi. Non è
un valore assillante in sé, è un capitolo chiuso. Oggi per i fonda¬
menti dell’analisi come di ogni altra disciplina ci sono modi di pro¬
cedere stabiliti, accettati e rispettati.
Rigorizzazione significa in generale matematizzazione di idee
intuitive, o equivalentemente assiomatizzazione, con conseguente
eventuale recupero, revisione e completamento del lavoro prece¬
dentemente svolto.
Quale importante nervo, vitale per la scienza matematica, sarebbe tagliato dalla
estirpazione della geometria e della fisica matematica! Al contrario, io penso
che ogniqualvolta, dal lato della teoria della conoscenza o dalla parte della
DIMOSTRAZIONI E LOGICA
31
geometria, o dalle teorie delle scienze fisiche e naturali, emergono idee mate¬
matiche, per la scienza matematica si pone il problema di indagare i principi
che soggiacciono a queste idee e di fissarli sulla base di un sistema di assiomi
così semplice e completo che l’esattezza delle nuove idee e la loro utilizzabili¬
tà nella deduzione non siano in alcun rispetto inferiori a quelle dei tradizio¬
nali concetti aritmetici.24
In un certo senso è vero che è entrato nella storia qualcosa di
nuovo e definitivo, per quel che concerne il rigore, ma non si tratta
della forma delle dimostrazioni; è il fatto che si è imparato a utiliz¬
zare con profitto e libertà il metodo assiomatico.25
La libertà che chiedeva Cantor la matematica se Pè assicurata
interiorizzando lo spirito di Hilbert. Dalla fine dell’Ottocento è
cambiata la giustificazione dei concetti matematici, che ora è es¬
senzialmente assiomatica in modo consapevole.
La stagione dei fondamenti, iniziata con l’aritmetizzazione del¬
l’analisi e il perseguimento del rigore, non ha portato dunque a una
concezione rigida e imbalsamata delle dimostrazioni, che non
mirava a quello. La necessità e la richiesta di rendere più rigorose le
dimostrazioni non si riferivano alla utilizzazione più o meno espli¬
cita delle regole logiche, ma all’esigenza di dare definizioni precise
di concetti matematici.
1.5. La dimostrazione nella logica
La costruzione di una dimostrazione, secondo la definizione pro¬
posta nel paragrafo 1.2, richiede di trovare argomenti che diano
ragione di quello che succede in tutte le interpretazioni, e per que¬
sto è necessario riuscire a disporre di queste tutte in una volta, o
in blocchi.
Per fortuna le scorciatoie esistono, e tutta la storia della mate¬
matica è un deposito di queste scoperte, alle quali gli esseri umani
sono arrivati con grande dispiego di ingegnosità.
Non si può negare inoltre che le dimostrazioni danno anche,
quando sono approvate, certezza del sussistere del fatto affermato,
24 D. Hilbert, Mathematische Probleme (1900), in «Archiv der Mathematik und Physik», 3a sez.,
1, 1901, pp. 44-63 e 213-37 (trad. it. parziale in Id., Ricerche sui fondamenti della matematica, a
cura di V.M. Abrusci, Bibliopolis, Napoli 1978, pp. 145-62).
25 Per un approfondimento di questo tema, si veda Lolli, Da Euclidea Godeicit.
32
CAPITOLO PRIMO
e quasi permettono di vederlo, in modo ben più soddisfacente di un
autoritario «lo dico».
Ora si constata facilmente che le dimostrazioni depositate alla
storia non sono un brancolare confuso e ogni volta originale; hanno
un formato abbastanza regolare e ripetitivo. Questo significa che le
capacità argomentative umane non sono infinite, anzi a quanto pare
sono rese sempre più o meno dagli stessi schemi. La fantasia ha evi¬
dentemente un limite, forse radicato nel linguaggio.
Ma ogni nuovo caso che si presentava, nel corso della storia, era
una sfida, perché non era detto che le scorciatoie usate altrove an¬
dassero ancora bene.
E ogni volta doveva apparire come una specie di miracolo. Se non
veniva vissuto come tale, è per la capacità umana di razionalizzare
qualunque fenomeno. In particolare si sono elaborate spiegazioni
della capacità di fare matematica, dando inizio alla filosofia (come
teoria della conoscenza).
La definizione della relazione di conseguenza 1= è un contributo
recente della logica; prima si faceva riferimento implicito ad altre
nozioni, ancora meno ben definite, relazioni intensionali si dice,
espresse in termini metafisici, come quella della necessità, o come
una caratteristica intrinseca delle leggi del pensiero.
Anche in riferimento a tali nozioni naturalmente, la capacità di
trovare dimostrazioni restava, e resta, un fatto grandioso; è stata
ritenuta la prova di un carattere trascendente della mente, in grado
di cogliere la struttura dell’essere, il Vero, con la ragione o con
altre facoltà che dir si voglia, la mente, l’intuizione. Descartes ne
è una testimonianza.
La capacità di fare matematica ha sostenuto e alimentato la fidu¬
cia nella ragione umana, e ha nello stesso tempo radicato una visio¬
ne sovrumana della matematica.
Adesso è sempre più difficile sposare credenze così impegnative.
Scendiamo dalla filosofia e accontentiamoci di considerazioni meno
pretenziose ma che si riferiscono a fatti reali.
1.5.1. Ragionamenti e derivazioni
Il successo reiterato della costruzione di dimostrazioni e il fatto
che esse diano in effetti una, umana, certezza sono entrambi chia¬
riti e giustificati da una scoperta recente, la quale peraltro è indi¬
DIMOSTRAZIONI E LOGICA
33
pendente sia dalla definizione di teorema che dal lavoro dei mate¬
matici, e si sarebbe anche potuta non verificare. Tale scoperta è un
risultato che sa di magia, un risultato metalogico dovuto a Godei,
il teorema di completezza (1930).
Per illustrare il teorema, occorre preliminarmente introdurre il
concetto di derivazione in un calcolo logico.
La logica moderna ha dato due contributi alla matematica; il
primo, semantico, già ricordato, è la definizione di conseguenza
logica coincidente con quella di teorema; il secondo, sul versante
sintattico, è rappresentato da:
a) i linguaggi logici, linguaggi simbolici che, con le invenzioni di
Gottlob Frege e Giuseppe Peano, sono diventati adeguati a for¬
malizzare qualsiasi discorso; i più utilizzati, e di fatto universali,
sono i cosiddetti linguaggi del primo ordine;26
b) diversi calcoli logici, costituiti da regole sintattiche per la tra¬
sformazione delle formule di tali linguaggi.27
Una regola sintattica, per fissare le idee, potrebbe essere la se¬
guente: data una formula, se il suo segno logico principale è il con¬
nettivo congiunzione, e quindi è della forma AaB,sì scriva la for¬
mula che segue il connettivo principale, vale a dire B.
Una derivazione in uno di questi calcoli è una successione finita
di formule ciascuna delle quali è ottenuta da qualcuna delle prece¬
denti per applicazione di una delle regole del calcolo. Quelle che
non sono legate in tal modo alle precedenti sono le assunzioni della
derivazione, l’ultima è la conclusione, e si dice che la derivazione
è una derivazione della conclusione dalle assunzioni.
Nel teorema di completezza si saldano i due contributi della
logica; il teorema si riferisce a uno qualunque di una famiglia di cal¬
coli equivalenti per la logica del primo ordine28 e afferma:
Teorema di completezza Ogni volta che la relazione «A e con¬
seguenza logica di T» sussiste, anche a insaputa di tutti, a prescindere
26 Si veda un qualunque manuale di logica, ad esempio, a caso, G. Lolli, Introduzione alla
logica formale, Il Mulino, Bologna 1991.
27 Le differenze tra i diversi calcoli sono di interesse solo per gli specialisti, o per chi li usa
effettivamente nelle applicazioni, ad esempio nella dimostrazione automatica.
28 Anche per la logica del secondo ordine, di cui parleremo in seguito, o addirittura per la
teoria dei tipi.
34
CAPITOLO PRIMO
da ogni verifica, per così dire nella mente di Giove, allora esiste una
derivazione di A da T.
Una derivazione di A da T si presenta nel seguente modo: si
parte da elementi di T e li si trasforma, sezionandoli e ricompo¬
nendone nuovi con le regole sintattiche, sino a che non si arriva a
costruire A. Non si inserisce alcuna considerazione esterna, ad
esempio sulle interpretazioni degli enunciati in esame, e si resta
sempre nel linguaggio formale originario.
Le derivazioni possono essere abbreviate, inserendo nella sequen¬
za anche eventuali altri enunciati già derivati da T, ma questa è già
una deroga, che richiede puntatori a un deposito di altre derivazioni.
La derivazione formale è un oggetto finito, concreto, che vive
in uno spazio numerabile di strutture simboliche e si può cercare in
modo sistematico, e alla lunga trovarla di sicuro, se esiste.
Se T1= A dunque, esiste una derivazione di A da T.
E vero miracolo? Non è difficile scoprire il trucco. Le regole dei
calcoli logici sono formulate in termini puramente sintattici ma
corrispondono alle regole che si usano normalmente nei ragiona¬
menti deduttivi.
Alcuni argomenti e inferenze dei ragionamenti, anche non mate¬
matici, sono sempre sembrati plausibili, ed erano ricorrenti, nelle
dispute e nella ricerca: ad esempio che se A è vera la negazione di
A non può essere vera; che di ogni affermazione A, o A o la nega¬
zione di A sono vere, e non tutte e due; che se A e «se A allora B»
sono vere, anche B deve essere vera.
Si sono codificati alcuni di questi argomenti in forma di regole,
chiamate regole logiche. La più famosa è, con un simbolismo tra¬
sparente, il modus ponens
A,A^B
B
dove A e A —» B sono le premesse e B la conclusione della regola.
Molte, nella forma di tautologie, risalgono agli stoici.
Se una regola si può enunciare e presentare con uno schema sim¬
bolico, è perché ammette una descrizione sintattica delle relazioni
tra premesse e conclusione, come è il caso del modus ponens: le due
premesse sono un condizionale e il suo antecedente, la conclusione
è il conseguente.
DIMOSTRAZIONI E LOGICA
35
Lo stesso succede per l’eliminazione della congiunzione menzio¬
nata in precedenza
AaB
B
che si descrive con: la premessa è una congiunzione, la conclusione
è il secondo congiunto.29
Per regole di tale genere è facile ottenere il consenso universale
sul fatto che conservano la verità, o che sono corrette, cioè che le loro
conclusioni sono conseguenza logica delle premesse, qualunque
nozione di conseguenza si usi, antica o moderna. Nessuno riesce a
negarlo se usa il linguaggio nel modo che rende possibile la comuni¬
cazione (non i sofisti). L’unico tentativo di testardo rifiuto è rap¬
presentato nel dialogo di Lewis Carroll tra Achille e la tartaruga,
divertente ma artificiale.30
Se le premesse di una regola sono vere, anche la conclusione neces¬
sariamente lo è, oppure estensionalmente: in tutte le interpretazio¬
ni in cui le premesse sono vere, anche la conclusione lo è. Mettendo
in fila una serie di inferenze di questo tipo, plausibili e accettabili,
anche la connessione di conseguenza tra le assunzioni e la conclu¬
sione di una derivazione viene stabilita in modo affidabile (a meno
di svarioni di attenzione, possibili nel caso di eccessiva lunghezza).
Cataloghi di regole logiche, anche al di fuori di un’impostazione
formale, sono sempre esistiti, benché non ci fosse il bisogno di fare
riferimento esplicito ad esse. Nell’affrontare una dimostrazione, in
ogni nuovo caso, si ragionava convinti che il tradizionale modo di
pensare, usando magari inconsciamente queste regole, fosse suffi¬
ciente, e in ogni nuovo caso se ne aveva una riprova. Poi è venuto
a conferma il teorema di completezza.
La maggior parte delle dimostrazioni che costituiscono il patri¬
monio della matematica sono scritte nel formato di una successione
di passi che sono ciascuno un’applicazione di una regola logica.
Sono perciò tutte esempi e verifiche del teorema di completezza,
il cui enunciato si può dire che sia nato come una congettura indut¬
29 La formula che segue il connettivo a. Vale ovviamente una regola analoga per il primo con¬
giunto.
30 Si veda L. Carroll, What the Tortoise Said to Achilles, in Id., The Complete Illustrated Works,
Wordsworth, Ware 1996, pp. 1004-08, e anche D. R. Hofstadter, Gödel, Escher, Bach, Basic Books,
The mit Press, Boston 1979, pp. 192-93 (trad. it. Gödel, Escher, Bach, Adelphi, Milano 2000).
36
CAPITOLO PRIMO
tiva ben fondata. La sua dimostrazione sostituisce la verifica stori¬
ca che David Hume riteneva necessario ripetere in continuazione:
In tutte le scienze dimostrative, le regole sono certe e infallibili; ma quando
le applichiamo, le nostre facoltà fallibili e incerte sono pronte a deviare da
esse, e a cadere in errore. Dobbiamo perciò in ogni ragionamento formare un
nuovo giudizio, come una verifica o un controllo del nostro primo giudizio o
convinzione; e dobbiamo allargare la nostra visuale a comprendere una spe¬
cie di storia di tutti i casi nei quali la nostra ragione ci ha ingannato, confron¬
tandoli con quelli in cui la sua testimonianza è stata giusta e vera.31
Il teorema di completezza in sé tuttavia è un teorema difficile,
infinitario anch’esso, che richiede una matematica non elementare,
ancorché quasi universalmente accettata (proprietà dell’infinito
quali il teorema dell’ideale primo),32 e che può quindi anche non es¬
sere creduto vero o non accettato.
Chi lo rifiuta resta con qualche incertezza sulla possibilità in linea
di principio di provare che A è conseguenza logica di T quando A
è conseguenza logica di T.
A chi lo accetta, il teorema fornisce una certa sicurezza sulla ade¬
guatezza della mente ad affrontare questo tipo di problemi, dà fi¬
ducia nelle capacità di ragionamento usuali.
Il significato filosofico del teorema è forse che la mente non deve
essere trascendente per fare matematica, che le capacità manife¬
state dall’azione dei meccanismi cerebrali fisici sono in linea di
principio sufficienti alla produzione della matematica.
Se si vogliono evitare implicazioni antropomorfe, una diversa let¬
tura del teorema di completezza è la seguente: per stabilire se una
formula è logicamente valida, esiste un metodo di decisione par¬
ziale, che è un metodo meccanico: tale metodo, messo in azione su
di una qualunque formula, risponde in modo giusto, dopo un nume¬
ro finito di passi, che la formula è logicamente valida, se la formula
è logicamente valida; se invece non lo è, il metodo può dichiararlo,
ma può anche non dare mai nessuna risposta, lavorando all’infini¬
to, senza che sia possibile in generale accorgersi in nessun istante
di questo stato di cose.
31 D. Hume, A Treatise of Human Nature, Clarendon Press, Oxford 1967, parte IV, sezione I,
p. 180.
32 II teorema di completezza si dimostra di solito, per contrapposizione, nella forma: una teo¬
ria non contraddittoria ha un modello, cioè un’interpretazione in cui è vera. Per la costruzione
del modello, che in generale è infinito, occorrono ipotesi di natura insiemistica.
DIMOSTRAZIONI E LOGICA
37
In altre parole, nella terminologia della calcolabilità, il problema
della validità logica è semidecidibile.
Quando si cerca di costruire una dimostrazione, non si ha l’im¬
pressione di applicare un metodo meccanico, perché infatti non lo
si applica; la procedura implicita nel teorema di completezza con¬
siste solo nel generare sistematicamente tutte le derivazioni, ad
esempio alfabeticamente, dalle più corte alle più lunghe, e il teore¬
ma assicura che tale metodo ha le caratteristiche descritte di un
metodo di decisione parziale.33
La funzione del teorema di completezza è soprattutto psicolo¬
gica, in sé non suggerisce indicazioni operative sulla ricerca e sul
ritrovamento della dimostrazione nello spazio simbolico.34
Ancor meno dà suggerimenti per quel che riguarda la costruzio¬
ne passo per passo di una párticolare dimostrazione, in quanto di¬
versa dalla ricerca.35 Il teorema non impone neanche che si faccia
uso proprio delle regole di un sistema dimostrato completo: intanto
ce ne sono diversi, e in secondo luogo in una dimostrazione c’è di
più in generale dell’applicazione di regole logiche (ad esempio l’in¬
troduzione di nuovi termini per definizione).
A ogni modo, dal momento che le derivazioni sono un modello
formale del ragionamento, sembrerebbe naturale che le dimostrazio¬
ni possano venir presentate in un formato che appare una prepara¬
zione alla loro metamorfosi in derivazioni.
Si noti che «trasformazioni sintattiche» non è un’espressione
sconcia. Innanzi tutto la costruzione di una derivazione richiede
sempre una strategia, come vedremo dagli esempi nel capitolo 3; se
si devono usare formule già derivate, occorre individuarle, o pre¬
vederle. In secondo luogo, basta leggere le regole non alla maniera
del «taglia e incolla» dalle premesse alla conclusione, ma usando il
portentoso «implica», e subito si ha l’impressione di fare una cosa
molto più seria, di stare proprio ragionando.
Dunque è naturale che una dimostrazione si presenti quasi come
una derivazione, ma non è obbligatorio.
33 Se ne possono concepire altri, più intelligenti, ma la sostanza è la stessa.
3-1 In un certo senso i calcoli automatici basati sulla refutazione, che cercano di determinare
o un modello per Te—>Ao l’impossibilità dello stesso, sono ispirati dal teorema di completezza.
35 La ricerca sistematica nello spazio delle derivazioni è il procedimento tipico della disciplina
della deduzione automatica.
3«
CAPITOLO PRIMO
Quello che non è ovvio è che un ragionamento che voglia stabili¬
re che A segue logicamente da T debba condurre direttamente, senza
interventi di considerazioni più generali, e sintatticamente, da Tad A.
Anche se un sospetto può sorgere dalla seguente considerazione.
Per concludere che « tutte le interpretazioni... » occorre come minimo
che le ragioni addotte siano indipendenti dalla nozione non ben
delimitata o infinita di «interpretazione», e allora non restano altro
che le formule che si hanno sotto mano su cui lavorare, o al mas¬
simo altre formule.36
Le eccezioni alla presentazione di dimostrazioni in un formato pre¬
disposto alla formalizzazione si sono fatte più frequenti da quando
il linguaggio insiemistico è diventato un linguaggio semantico gene¬
rale. In ogni teoria, l’indagine su quello che segue o non segue dagli
assiomi si può ora svolgere considerando le proprietà delle strut¬
ture che sono modelli della teoria, cioè delle strutture in cui valgo¬
no gli assiomi. Allora il linguaggio in cui si svolgono le dimostra¬
zioni è in generale diverso da quello in cui sono scritti i teoremi, e
le dimostrazioni non consistono in una serie di applicazioni di re¬
gole logiche (sintattiche) che portano combinatoriamente dagli as¬
siomi alla conclusione.
Chiamiamo «quasi-derivazione» una dimostrazione di quest’ul¬
timo tipo, e «dimostrazione semantica» un ragionamento nel quale
interviene la considerazione di strutture, e quali enunciati sono
veri in esse.
Data una dimostrazione semantica, il teorema di completezza
prevede che esistano anche dimostrazioni dello stesso teorema di
tipo logico. Se la dimostrazione geometrica del teorema di Fermat
è corretta, esiste una dimostrazione del teorema che si avvale solo
del linguaggio e degli assiomi dell’aritmetica.
Esempio Facciamo un esempio di due dimostrazioni di un teo¬
rema, una che è una quasi-derivazione e una di tipo semantico.
Presentiamo un caso semplice di dimostrazione algebrica, sce¬
gliendo come teoria quella delle algebre di Boole.
36 Per ulteriori considerazioni sul teorema di completezza si veda G. Lolli, Completeness, aila
Preprints, n. 19, Milano 1995.
DIMOSTRAZIONI E LOGICA
39
Gli assiomi delle algebre di Boole sono il seguente insieme B di
enunciati:37
1Xfì Y= YHX
2XUY=YUX
3 xn(Ynz) = (xn Y)nz
4 XU(YUZ) = (XU Y)UZ
5 xn(YuZ) = (xn Y)u(xnz)
6 xu(Ynz) = (Xu Y)n(xuz)
7 xn~x=0
8 XU~X=Ü
9 xnu=x
10 XU0 = X
commutatività dell'intersezione
commutatività dell1 unione
associatività dell'intersezione
associatività dell'unione
distributività di fi rispetto a U
distributività di U rispetto a fi
legge dell'inverso per fi
legge dell'inverso per U
legge dell'elemento neutro per fi
legge dell'elemento neutro per U
Dimostriamo
XH0 = 0.
[1]
Prima dimostrazione
che prosegue quella degli
Con la seguente successione di equazioni,
assiomi (anche se non sono tutti necessari):
11 X = XH(XU~X)
12 x=(xnx)u(xn~x)
13 x=(xnx)u0
14 x=xnx
15 xn0 = xn(xn~x)
16 xn0=(xnx)n~x
17 xn0 = xn~x
18 XH0=0
dalla
Se
dalla 9
1
dalla
11
e dalla
5
dalla
12
e dalla
1
dalla
13
e dalla
10
dalla
7
dalla
15
e dalla
3
dalla
16
e dalla
14
dalla
17
e dalla
7
QED
Le regole che permettono di passare da una equazione all’altra sono
regole (o assiomi) dell’uguaglianza, di solito considerate leggi logi¬
che per i linguaggi con uguaglianza.38
In questo caso, sono le uniche necessarie, oltre all’assioma del¬
l’uguaglianza X fi 0 = X fi 0 per ottenere la 15 dalla 7.
Di passaggio, troncando la successione alla 14, si è anche dimostra¬
to X = X fi X (l’idempotenza non deve essere postulata, ma è dimo-
37 Più esattamente la chiusura universale con i quantificatori V delle seguenti formule.
Usiamo i simboli dell’algebra degli insiemi per le operazioni booleane.
38 Le vedremo nel capitolo 3.
40
CAPITOLO PRIMO
strata). Se si fosse già conosciuto il risultato, si sarebbe potuto par¬
tire dalla 14.
Seconda dimostrazione La dimostrazione semantica si avvale
del seguente fatto: un teorema di rappresentazione assicura che ogni
algebra di Boole è isomorfa a un prodotto sottodiretto39 di copie
dell’algebra 2 = {0, 1}.
Il teorema di rappresentazione non è un teorema della teoria
delle algebre di Boole; è un meta teorema sulle algebre di Boole. I
teoremi di B parlano degli elementi di una qualsiasi algebra di
Boole (ogni algebra di Boole è una particolare interpretazione degli
assiomi); il teorema di rappresentazione è un teorema di una teo¬
ria che parla di strutture, e in particolare si riferisce a strutture che
sono algebre di Boole e al prodotto di tali strutture.
Poiché la [1] è un’equazione, per verificare che vale in un pro¬
dotto è sufficiente verificare che vale nei fattori,40 quindi in 2. La
verifica in 2 è immediata:
0-0 = 0
e
1-0 = 0. QED
Si noti che questa seconda dimostrazione prova esplicitamente
che
e 1= [1]
nel senso che [1] vale in ogni algebra di Boole, assumendo proprio
come definizione di teorema quella che abbiamo dato. La prima
presuppone invece la correttezza delle regole dell’uguaglianza, per
poter affermare che vale la relazione di conseguenza.
La dimostrazione semantica non è alla portata di chi non cono¬
sce il teorema di rappresentazione e l’algebra universale, né di un
dimostratore automatico programmato ad applicare regole logiche
e trasformazioni algebriche; dai matematici è preferita per la stessa
ragione, che illustra l’utilità dei teoremi di rappresentazione.
Sembra questo un caso in cui si spara a un uccellino con un canno¬
ne, e lo è nel caso particolare; ma di fatto l’appello al metateorema
mostra come ottenere nello stesso modo un’infinità di altri teo-
Y) Sottostruttura di un prodotto diretto.
40 Per un altro teorema dell’algebra universale.
DIMOSTRAZIONI E LOGICA
41
remi, ad esempio X = ~~X, e senza il calcolo simbolico (verifican¬
do con il calcolo booleano le equazioni in 2).
Una dimostrazione che comporta una escursione nell’astrazione
può dare un risultato più concreto di una che resta confinata nel
linguaggio della teoria.
D’altra parte chi conoscesse solo la dimostrazione semantica, per
il teorema di completezza potrebbe essere sicuro che esistono
anche derivazioni come quella mostrata.
1.5.2. Dimostrazioni formali e informali
L’idea di dimostrazione più diffusa tra i matematici assomiglia a
quella che abbiamo chiamato dell’ortodossia.41 Secondo l’ortodos¬
sia, sostenuta peraltro in modo esplicito esclusivamente dai for¬
malisti, una dimostrazione è chiamata tale solo se è un testo o un
discorso scandito dall’applicazione di passaggi logici, ciascuno con
riferimento esclusivo a tappe precedenti. Tale formato si prestereb¬
be, se perfezionato nei dettagli, fino a che i passi siano solo appli¬
cazioni delle regole logiche fondamentali, alla completa formaliz¬
zazione, cioè alla scrittura della dimostrazione in un linguaggio
simbolico con le regole di un calcolo logico. Ne risulterebbe un testo
(o meglio una struttura formale) autosufficiente dal punto di vista
delle concatenazioni interne determinate dall’applicazione di re¬
gole sintattiche, verificabile o costruibile da una macchina.
Le dimostrazioni che si adeguano per quanto umanamente pos¬
sibile a questo criterio (e che prima abbiamo chiamato «quasi-deri-
vazioni») sono dette dimostrazioni formali; secondo l’ortodossia
sarebbero le uniche dimostrazioni. Quelle che non si adeguano
sono dette dimostrazioni informali.
Sotto questa etichetta cadono tuttavia sia le forme argomentati¬
ve che non sono adatte al preprocessing necessario alla formalizza¬
zione, sia quelle, pur rigorose, che si svolgono in un linguaggio
diverso (quelle semantiche, ma non solo), sia varie altre forme di
convalida o accettazione di risultati matematici che si pongono in
esplicito contrasto con il modello logico. 1111 Si veda ad esempio l’interessante capitolo Dimostrazioni, in T. Gowers, Matematica,
Einaudi, Torino 2004 (ed. or. Mathematics. A Very Short Introduction, Oxford University Press,
Oxford - New York 2002).
42
CAPITOLO PRIMO
Le due dimostrazioni proposte per il teorema X fi 0 = 0 delle al¬
gebre di Boole costituiscono un esempio di una dimostrazione for¬
male e di una informale.
Una condizione che gli ortodossi spesso dimenticano di sottolinea¬
re, se non hanno una preparazione logica, è che il discorso si svolga
nel linguaggio della teoria; anche la dimostrazione del teorema di
rappresentazione per le algebre di Boole infatti si può presentare in
un formato che rispetti i vincoli delle dimostrazioni formali, ma
spostandosi nella teoria degli insiemi. Non per questo la dimostra¬
zione che si appoggia ad esso sarebbe considerata una dimostrazio¬
ne formale di X fi 0 = 0 nella teoria delle algebre di Boole.
La definizione delle dimostrazioni formali libera chi identifica
con esse le dimostrazioni dall’impegno di ulteriori riflessioni sulla
natura della prova; non esistono altre definizioni che siano altret¬
tanto nette, semplici e precise. Si aprono tuttavia interrogativi che
non ammettono facili risposte relativamente al rapporto tra linea
di principio e realtà di fatto (qual è il grado di approssimazione am¬
missibile, visto che nessuna dimostrazione reale è una derivazione;
come giudicare quelle che se ne discostano vistosamente). Altri in¬
terrogativi, per chi è sensibile al tema, sono quelli relativi al senso,
o al contenuto delle affermazioni matematiche.42
Piuttosto che entrare in una discussione mal posta, perché la de¬
finizione di «dimostrazione» non è quella di «dimostrazione for¬
male»,43 * 45 conviene risalire alle origini della formazione di questa
costellazione di pensieri e precisare gli obiettivi fondazionali del¬
l’epoca del rigore, che in seguito nella vulgata sono stati riportati in
maniera approssimativa.
La riduzione della matematica alla logica propugnata dal logici¬
smo non riguardava in primo luogo la natura delle dimostrazioni.
La logica di Frege come quella di Russell era, o voleva essere, una
logica forte, costitutiva, che inglobasse le capacità di definizione
42 Sull’illusoria definitezza della (definizione di) dimostrazione formale si vedano i dialoghi
proposti da Keith Devlin nell’editoriale di Computers and Mathematics, in «Notices of the Ame¬
rican Mathematical Society», 39, 1992, pp. 1065-66 e da Philip Davis e Reuben Hersh in The
Mathematical Experience, Birkhaüser, Basel 1980, pp. 37-43 (trad. it. L’esperienza matematica,
Comunità, Milano 1986).
45 Si vedano a ogni modo alcuni argomenti in G. Lolli, Logica e ragionamento tra matematica
e informatica, in A. Repola Boatto (a cura di), Filosofia Logica Matematica dal periodo classico al
nostro secolo, Atti del convegno Irrsae di Ancona (25-27 marzo 1993), in «Quaderni di innovazio¬
ne scuola», 18, 1994, pp. 243-60 e Id., Morte e resurrezione della dimostrazione, in «Le Scienze»,
345, maggio 1997, pp. 50-57.
DIMOSTRAZIONI E LOGICA
43
degli enti matematici (i numeri, per citare il concetto fondamen¬
tale). I logicisti più che alle dimostrazioni erano interessati alle
definizioni, coerentemente con l’obiettivo del movimento del ri¬
gore. Le dimostrazioni dovevano naturalmente essere logiche, nel
senso di non usare nozioni intuitive o non definite; il formalismo
aiutava a controllare eventuali infiltrazioni di elementi estranei.
Ma per eliminare l’intuizione il peso maggiore ricadeva sulle defi¬
nizioni, che dovevano essere esaurienti e logiche.
Il successo più notevole e importante del logicismo è stata la
definizione di Frege dei numeri naturali (1884), per mezzo della
nozione di ancestrale di una relazione. La definizione è analoga a
quella, indipendente, di Richard Dedekind; quest’ultima era formu¬
lata nel linguaggio informale allora non ancora codificato che di¬
venterà la teoria degli insiemi. Dedekind, come i suoi contemporanei,
parlava di sistemi di cose (definite come «un qualunque oggetto del
nostro pensiero»), e assumeva che diverse cose possono essere men¬
talmente collegate in sistemi sui quali si definiscono varie opera¬
zioni, e anche si dimostrano teoremi.44
La logica del logicismo non era affatto la logica formale, che era
aborrita da Frege,45 era la logica dei concetti. I sistemi di logica
proposti, essenzialmente la teoria dei tipi, poi evoluta nella teoria
degli insiemi, volevano fissare una volta per tutte in un insieme di
principi definitivi tutte le capacità umane definitorie e deduttive,
la logica. Si è visto presto che non era possibile, come avrebbe an¬
che suggerito il buon senso, al cospetto proprio dell’evoluzione ri¬
gogliosa e creativa della matematica culminata nell’esigenza di una
fondazione.
Periodicamente il pensiero o le civiltà umane proclamano, per la
voce dei loro rappresentanti più influenti, di essere arrivati alla
fine della storia.
Non c’è neanche bisogno di fare appello al teorema di incomple¬
tezza di Godei per rifiutare l’idea di una chiusura in un sistema uni¬
co, che sia chiamato logica o altro; i sistemi come la teoria dei tipi
dovevano e potevano in modo naturale essere estesi in una serie
senza fine, anche nel transfinito, di sistemi sempre più potenti. 44 4544 Dedekind proponeva, per inveterata abitudine, una sorta di impostazione assiomatica, con
tanto di definizioni di genus e di assiomi. A quella si è poi finito pei arrivare.
45 La considerava solo un calcolo, non una lingua.
44
CAPITOLO PRIMO
Quando parliamo di logica come abbiamo fatto finora intendia¬
mo non un sistema di principi e regole, né tantomeno il sistema
delle capacità logiche umane, ma la disciplina della logica, quella che
studia i sistemi di principi e regole. Li costruisce, per vari linguag¬
gi, ne definisce la semantica, considera le relazioni tra i metodi de¬
duttivi e le interpretazioni, a quali proprietà semantiche corrispon¬
dano le forme sintattiche, quando esistono algoritmi di decisione:
tutti problemi indicati da Hilbert come oggetto della metamate¬
matica.46
La disciplina della logica non ha ambizioni fondazionali né pre¬
scrittive. Lo si vede nella definizione della semantica. Per arrivare
alla definizione estensionale della conseguenza, il «necessario» è stato
inteso come «vero in ogni modo possibile», «vero comunque stiano
le cose», «vero di qualunque cosa si parli, in ogni interpretazione
del linguaggio» (in un crescendo di spostamenti dalla metafisica ai
discorsi). Si è quindi capito che non importa che cosa e un’interpre¬
tazione ma che cosa ce in un’interpretazione, che permette e deli¬
mita la formazione dei discorsi, vale a dire come è fatto schematica¬
mente l’universo di discorso per quel che riguarda predicati, relazioni,
descrizioni, nomi; le interpretazioni sono diventate strutture insie¬
mistiche accoppiate a un’applicazione del linguaggio in tali struttu¬
re.47 Tutto il complesso della trattazione è imbevuto in modo essen¬
ziale di linguaggio matematico, a partire dai linguaggi formali per
l’aspetto sintattico e finendo con l’insiemistica per la semantica.
La disciplina della logica usa la matematica in modo circolare,
quindi non fondante. Era una convinzione di Hilbert che mate¬
matica e logica fossero presenti e inestricabili fin nelle loro più ele¬
mentari manifestazioni.48 Per evitare confusioni, si parla anche di
metalogica.49
Addirittura si può sostenere che la definizione di conseguenza lo¬
gica non sia un’invenzione della logica, ma che questa l’abbia presa
dalla matematica. Infatti è la stessa che usano i matematici, a parti¬
re dalla fine dell’Ottocento, in seguito alla precisazione del metodo
46 Si veda G. Lolli, Hilbert e la logica, in C. Mammana (a cura di), Il pensiero di David Hil¬
bert, in «Le Matematiche», 55, 2000, suppl. 1, pp. 93-126.
47 Almeno nella semantica cosiddetta tarskiana usata per la logica; altre semantiche più spe¬
cifiche sono ancora più matematiche.
48 Lolli, Hilbert e la logica cit.
49 Si veda il titolo dell’antologia di opere del Novecento Dalla logica alla metalogica (a cura
di E. Casari), Sansoni, Firenze 1979.
DIMOSTRAZIONI E LOGICA
45
assiomatico: un teorema di una teoria è un enunciato che è vero in
tutti i sistemi di cose, si diceva, in cui sono veri gli assiomi.50
Di suo la logica ha aggiunto la parte che riguarda i linguaggi, isola¬
ti come oggetti che richiedono e meritano un’attenzione particolare,
ma non nel senso di una generica precisione bensì come oggetto ma¬
tematico da trattare con operazioni matematiche. Queste sono so¬
prattutto forme di induzione, o su sequenze o su altre strutture
finite quali alberi o grafi. I linguaggi sono stati introdotti come
nuovi protagonisti nella matematica. In particolare la logica ha
definito nello stesso spirito cosa vuol dire che un enunciato è vero
in una struttura, nozione che i matematici lasciano indeterminata,
credono che si decida con l’intuizione, mentre richiede un’indu¬
zione strutturale sul linguaggio.51
La formalizzazione interessa alla logica come un modello del ra¬
gionamento e della struttura delle teorie matematiche, da utiliz¬
zarsi per compiere analisi metamatematiche su tali attività, non da
indicare al matematico come una via da seguire.
D’altra parte la tendenza all’astrazione manifestatasi nel processo
di rigorizzazione dell’Ottocento non ha assolutamente indotto un
maggior rigore nel senso di una rigidità delle dimostrazioni, al con¬
trario. Un effetto pervasivo della riorganizzazione novecentesca
della matematica è stato quello di portare insiemi e classi dentro la
matematica, come oggetto di studio matematico; l’insiemistica è il
culmine dell’evoluzione dell’analisi del xix secolo.
Il linguaggio insiemistico ha assunto una posizione preminente con
la realizzazione pratica del riduzionismo.52 Il riduzionismo insiemi¬
stico ha diverse forme; una consiste nella possibilità di definire i
concetti matematici fondamentali, i numeri naturali, in termini di
insiemi, e quindi tutti i sistemi numerici a partire dai naturali sempre con
operazioni insiemistiche. Questa riduzione tuttavia vale in linea di
principio, mentre in matematica continua a prevalere il pluralismo,
nel senso che si usano linguaggi diversi in ciascuna disciplina.
Un’altra manifestazione dell’imporsi della teoria degli insiemi
invece, meno filosofica ma più diffusa e influente, si riconosce nel
50 Si veda F. Enriques, Per la storia della logica, Zanichelli, Bologna 1922, e anche Lolli, Da
Euclide a Godei cit.
51 E la forza dell’induzione determina la forza della necessaria metateoria.
52 II riduzionismo è una posizione filosofica che afferma che certi concetti sono riducibili ad
altri, ad esempio quelli matematici a quelli logici, o quelli biologici a quelli fisici.
46
CAPITOLO PRIMO
fatto che ogni settore della matematica ora è impostato come stu¬
dio di strutture, a loro volta definite come insiemi, non solo il loro
universo ma anche le loro operazioni e relazioni.
Siccome le strutture sono presenti in tutte le aree di ricerca, e sic¬
come il linguaggio insiemistico è in effetti molto generale, una sorta
di logica intuitiva simile al linguaggio parlato, il risultato è stato un
aumento apparente del tasso di informalità.
Le dimostrazioni informali sono diventate sempre più semanti¬
che; più che il riferimento alle regole logiche è importante e pre¬
sente in modo continuo il riferimento a proprietà delle strutture
su cui si lavora e a proprietà delle costruzioni che si eseguono sulle
strutture. Cambia la logica.
Nelle discussioni sulla logica, qualche ambiguità potrebbe nascere
dal fatto che i sistemi definiti e studiati dalla logica sono anch’essi
chiamati «logiche» (come abbiamo fatto anche noi alcune righe
sopra), ma sono ambiguità facilmente risolvibili dal contesto.
Nell’insieme delle logiche, una differenza importante perché ri¬
corre in tutte le questioni fondazionali è quella tra la logica detta
del primo ordine e quelle di ordine superiore.
I loro linguaggi sono uguali per quel che riguarda i segni logici,
connettivi e quantificatori, e l’alfabeto extralogico costituito da co¬
stanti, simboli di relazione e di funzione.
La logica del primo ordine ha variabili individuali, che variano
sugli elementi del dominio delle interpretazioni. La logica del se¬
condo ordine ha variabili per gli individui e variabili per gli insiemi
di individui;53 essa è caratterizzata dall’assioma di comprensione, o
assioma di esistenza di insiemi, lo schema
3XVx(xGX<->i4(x))
in corrispondenza a ogni formula A. L’assioma54 afferma che esiste
un insieme i cui elementi sono tutti e soli quelli che soddisfano A,
e non ha un corrispettivo nella logica del primo ordine.55
53 Dovrebbero esserci variabili per relazioni e funzioni, ma con una opportuna funzione di
coppia queste si possono codificare come insiemi; se manca la funzione di coppia e si trattano
proprio solo insiemi si ha un’altra logica, detta monadica.
5-1 Presente in altra forma nel sistema di Frege, e anticipato informalmente dall’assioma di
Dedekind.
55 Le logiche di ordine superiore hanno variabili e assiomi di comprensione anche per insiemi
di insiemi, e così via fino a un certo livello. La teoria dei tipi li ha per infiniti livelli.
DIMOSTRAZIONI E LOGICA
47
Esiste una gerarchia infinita di logiche del secondo ordine, a secon¬
da del tipo di formule A ammesse nello schema di comprensione.
La logica del secondo ordine vera e propria le ammette tutte,
anche con quantificatori sulle variabili di insieme. Essa rende pos¬
sibile le cosiddette definizioni impredicative, cioè definizioni di un
insieme che fanno riferimento a una totalità di insiemi alla quale
deve appartenere quello stesso che viene definito. Una tale situazio¬
ne si verifica se A è del tipo VYB.
Se invece A può contenere solo quantificatori su individui si ha
la logica del secondo ordine predicativa, che non è sostanzialmente
più forte di quella del primo ordine.56
Ulteriori ma collegate distinzioni si hanno a seconda di come si
definiscono le interpretazioni. Un’interpretazione di un linguaggio
del primo ordine è costituita da un insieme di individui, l’universo,
su cui variano le variabili, e da alcune precise relazioni e funzioni
corrispondenti ai simboli del linguaggio. Un’interpretazione di un
linguaggio del secondo ordine oltre a un insieme di individui con¬
templa una famiglia di sottoinsiemi dell’universo, su cui variano le
variabili di insieme.
Per la logica del secondo ordine predicativa nelle interpretazioni
gli insiemi di individui possono essere solo quelli che sono defini¬
bili da formule del primo ordine, e allora di fatto le variabili per in¬
siemi, mai quantificate, diventano magari comode ma superflue;
possono essere sostituite dalle definizioni per mezzo di formule del
primo ordine.
Se si chiede che nelle interpretazioni la famiglia di sottoinsiemi
dell’universo sia la famiglia di tutti i sottoinsiemi si ha quella che
si chiama logica del secondo ordine piena\ essa è definita semantica-
mente, come insieme delle formule che sono valide in tutte le inter¬
pretazioni piene.
Se le variabili di insiemi variano solo su insiemi finiti si ha la lo¬
gica del secondo ordine debole.
56 La logica del primo ordine si chiama anche logica predicativa, nel senso di logica dei pre¬
dicati; la parola «predicativo» è tuttavia usata come sopra per significare l’esclusione delle defi¬
nizioni impredicative o circolari. La logica dei predicati d’altra parte dovrebbe più correttamente
chiamarsi logica delle relazioni, perché è la considerazione delle relazioni, in aggiunta ai predi¬
cati (a un posto), che ha fatto fare il salto decisivo alla formalizzazione; con i predicati si fanno
solo sillogismi. Guazzabugli terminologici dovuti alla sovrapposizione di stratificazioni storiche.
Useremo sempre «primo ordine» e non «predicativa» per la logica del primo ordine.
48
CAPITOLO PRIMO
Con la logica del secondo ordine si può sostenere che cambia il
concetto di logica, che non è più solo un sistema deduttivo, ma
include assiomi di esistenza di enti matematici (insiemi) e si avvici¬
na alla nozione di logica dei logicisti. Non sorprende che in una
logica con assioma di comprensione forte si possano definire strut¬
ture matematiche, ad esempio i numeri naturali, come è riuscito a
Frege, a partire da qualche assunzione di infinito. Lo stesso d’altra
parte si può fare nella teoria degli insiemi basata sulla logica del
primo ordine.
Ma non per tutte queste logiche vale il teorema di completezza.
Vedremo quali diverse conseguenze matematiche discendono dal¬
l’uso dell’una o dell’altra logica.
2.
Le funzioni della dimostrazione
Consideriamo ora la dimostrazione nella matematica. Usiamo il
termine «dimostrazione» per le dimostrazioni informali, senza vo¬
ler precostituire alcun giudizio sulla quantità di logica o di forma-
lizzabilità che contengono. Intendiamo le dimostrazioni che si usano
nella scuola o tra matematici, che sono riconosciute tali dal proces¬
so di accettazione della comunità scientifica e che si trovano scritte
ed esposte in articoli, libri, seminari.
Nel parlare al plurale di funzioni della dimostrazione ci si disco¬
sta subito dall’idea tradizionale ancora spesso ripetuta, secondo cui
l’unica funzione sarebbe quella di convalidare in un modo speciale
i risultati: «I greci antichi scoprirono che in aritmetica e in geome¬
tria era possibile dimostrare che i risultati erano veri».1 Noi siamo
meno ingenui, forse più infelici, e una funzione che non assegniamo
alle dimostrazioni è certamente quella di stabilire la verità, e tan¬
tomeno in modo esclusivo.
Molte altre e più interessanti sono le funzioni svolte dalle dimo¬
strazioni nella costruzione della matematica. Non tutte le realiz¬
zano tutte; alcune dimostrazioni si raccomandano solo per un mo¬
tivo, altre ne assommano parecchi, nessuna forse tutti. Parlando di
funzioni della dimostrazione intendiamo i diversi possibili contri¬
buti che le dimostrazioni apportano alla conoscenza, e i diversi pos¬
sibili ruoli che svolgono nella formazione sia della matematica in sé
1 J. Franklin e A. Daoud, Introduction to Proofs in Mathematics, Prentice-IIall, New York
1988, p. 1.
50
CAPITOLO SECONDO
sia dei rapporti che si instaurano con le discipline in cui la mate¬
matica trova utilizzazione.
Le dimostrazioni si possono classificare anche secondo altri crite¬
ri, ad esempio il tipo e la forma, e alcuni tipi sono più adatti a una
funzione, altri ad altre. Incominciamo a sviluppare una prima clas¬
sificazione secondo le funzioni.
2.1. Evitare i calcoli
Consideriamo i primi casi in cui una pratica matematica non di¬
mostrativa può venire a incontrarsi con la necessità o con l’opportu¬
nità della dimostrazione. Consideriamo una disuguaglianza come2
lOOO-'-lOOl-'CHT6
e la sua verifica numerica, proposta da un insegnante come esercizio.
Uno studente armato di calcolatrice portatile potrebbe avere dif¬
ficoltà impreviste e incontrollabili, perché quello che appare sullo
schermo dipende dall’aritmetica della sua macchina. Il calcolo a
mano d’altra parte può essere defatigante: con il solito algoritmo di
divisione si ottiene 0,001 per 1001-1, ma per 1001 1 si trova ini¬
zialmente 0,000999 e lo studente, che magari ha appena studiato i
numeri periodici, potrebbe avere l’intuizione del numero periodico
0,0009 e concludere trionfante che i due numeri sono uguali!
L’insegnante potrebbe spiegargli che non ha ben interpretato
l’ultimo calcolo, ma il risultato corretto 0,000999 non è di immedia-
999
ta utilizzazione, anche nella curiosa forma -. Più probabil-
999999 F
mente l’insegnante inviterà lo studente a non perdersi nei calcoli,
ma a dimostrare la disuguaglianza.
Una prima funzione della dimostrazione è quella di sostituire i
calcoli, o di evitarli.
2 Franklin e Daoud, Introduction to Proofs in Mathematics eit., p. 2.
LE FUNZIONI DELLA DIMOSTRAZIONE
51
2.2. Predire i risultati
Si danno molte ragioni per evitare i calcoli, non solo la pigrizia
o un’avversione estetica. Innanzi tutto, un calcolo, sia fatto a mano
che per mezzo di una macchina, è un vero e proprio evento natura¬
le, cosa che non si può dire della dimostrazione, qualunque cosa
essa sia. La dimostrazione che sostituisce un calcolo predice il risul¬
tato di un esperimento. Nell 'anticipare e predire eventi naturali
risultati di esperimenti la dimostrazione svolge un ruolo comune a
tutte le leggi scientifiche.
2.3. Controllare lo strumento
In secondo luogo i calcoli sono un evento naturale sui generis', gli
algoritmi possono non terminare; occorre essere preparati al pre¬
sentarsi di tale fenomeno, e nel caso decidere quando fermarsi. Al¬
goritmi che non terminano s’incontrano raramente a scuola, forse
solo la divisione, e per questa si ha un criterio di interruzione
facile, in linea di principio, solo per i numeri periodici.
Ma anche con la terminazione garantita si può porre il problema di
quando fermarsi, il problema dell’approssimazione (come nel caso
di 1001_1 sopra), data la disponibilità di tempo e di altre risorse.
L’approssimazione è un argomento complesso e delicato; l’ac¬
cettazione e l’interpretazione dei risultati dei calcoli richiede la
padronanza di conoscenze teoriche: rappresentazione dei numeri,
arrotondamenti, precisione.3
Una dimostrazione, alla stessa stregua della conoscenza teorica,
ha lo scopo di non farci dipendere passivamente dallo strumento,
materiale o intellettuale, vale a dire di controllare il comportamento
dello strumento; anche in questo la situazione non è dissimile da
quella delle scienze sperimentali.
3 II numero del gennaio 1995 del «siam News» provocò scalpore con la notizia di un errore
nel chip del Pentium, per cui ad esempio il calcolo di
r = 4195835 -
4195835
43145727
* 43145727
dava 256 invece di 0; il fenomeno non è sorprendente, in precisione semplice, ma la compagnia
produttrice pubblicizzava la sua nuova CPU come predisposta a lavorare in precisione doppia.
52
CAPITOLO SECONDO
Per i calcoli meccanici «l’arte di riconoscere quanto è vero il
risultato di un calcolatore richiede esattamente lo stesso tipo di
pensiero che è richiesto nelle dimostrazioni».4 In generale la dimo¬
strazione si colloca rispetto alla matematica del calcolo nella stessa
posizione della conoscenza teorica rispetto ai fatti naturali.
2.4. Aumentare l'affidabilità
Errori è inevitabile che si infiltrino anche nelle manipolazioni con¬
crete e che si presumono esatte, non appena i numeri in gioco sono
grandi, rispetto ai limiti di precisione della percezione e dell’atten¬
zione umana o al buon funzionamento prolungato di una macchina
fisica. Sostituire una dimostrazione a lunghi calcoli è vantaggioso
rispetto all’affidabilità almeno se la dimostrazione è molto più con¬
cisa, e quindi visualizzabile.
La condizione è generalmente verificata per le dimostrazioni che
sostituiscono i calcoli. In tal caso, la dimostrazione conferisce mag¬
giore affidabilità ai risultati. La condizione non è certo verificata
dalle dimostrazioni di 7000 pagine di cui si lamentano i sostenitori
della morte della dimostrazione; anche queste tuttavia in un certo
senso possono fornire un tipo di visualizzabilità utile se utilizzano
concetti adatti. Come esempio positivo si può menzionare la dimo¬
strazione del teorema di Fermat in termini geometrici; come esem¬
pio negativo, il teorema di classificazione dei gruppi finiti.
2.5. Fornire spiegazioni
Un calcolo fatto a macchina (o ottenuto comunque applicando
un algoritmo) dà una risposta, ma nessuna comprensione del per¬
ché quella è la risposta giusta. «Una dimostrazione rende invece
evidente perché quella è la risposta».5
4 Franklin e Daoud, Introduction to Proofs in Mathematics eit., p. 3.
5 Ibid., p. 2.
LE FUNZIONI DELLA DIMOSTRAZIONE
53
La comprensione, portata dalla spiegazione, è lo scopo della scienza,
alla pari o anche prima della previsione. L’obiettivo del «perché»,
del «dare la ragione» è fondamentale anche per le dimostrazioni.
Il «dare la ragione» è richiesto da tutte le dimostrazioni, ma
soddisfatto in grado diverso; diversi tipi di dimostrazione possono
differire sensibilmente rispetto a questa funzione. Alcune, quelle
completamente formalizzate ad esempio, secondo alcuni hanno rating
zero sotto questo aspetto, ma le derivazioni formali non sono dimo¬
strazioni, sono calcoli, oppure oggetti formali.
Consideriamo la dimostrazione della disuguaglianza di sopra,
che più o meno è di questo tipo: conviene trasformare la notazione
in quella delle frazioni, eseguire la sottrazione
_J 1 = 1001- 1000 = 1
1000 1001 1001000 1001000
e osservare che
<
1001000 1000000
perché
1000000 <1001000. QED
La dimostrazione di fatto sostituisce calcoli algebrici ai calcoli arit¬
metici: riduzione allo stesso denominatore, moltiplicazione di en¬
trambi i membri per la stessa quantità e simili. Tali manipolazioni
rientrano nella stessa definizione generale di «calcolo» ma gli stu¬
denti spesso non lo sanno; prima o poi dovranno naturalmente essere
introdotti alla nozione hobbesiana che «ragionare è calcolare».
Per ora osserviamo che anche un calcolo (in questo senso, alge¬
brico) può spiegare il «perché», ma bisogna capire in questo caso
come lo fa.
Non sarebbe soddisfacente osservare che la disuguaglianza segue
da un fatto vero e di facile accettazione, come l’ultima maggiorazio¬
ne 1000000 < 1001000; è proprio la sostituzione di questa al que¬
sito originario che appare una sorpresa. La spiegazione deve essere
contenuta nel dispiegarsi della dimostrazione, non nelle caratteri¬
stiche accidentali dei dati.
La ragione infatti è che il nuovo calcolo si svolge attraverso (fa¬
cendo appello a) una serie di proprietà generali della moltiplica¬
zione e della sua inversa.
54
CAPITOLO SECONDO
Queste proprietà sono gli assiomi della teoria, o della struttura
numerica con la quale gli studenti dovrebbero avere familiarità.
2.6. Vare economia
A cosa servono gli assiomi (se si vuole accettare di dover rispon¬
dere a questa domanda utilitaristica)? A domanda utilitaristica rispo¬
sta utilitaristica: riportare agli assiomi una proprietà, tante, tutte
le proprietà significa economia dal punto di vista della memoria.
Anche in questo caso si ha un parallelo tra le funzioni dell’apparato
teorico matematico e di quello scientifico, in quanto l’economia è
stata indicata da molti, da Ernst Mach ad esempio, come la carat¬
teristica principale del pensiero teorico.
2.7. Spiegare mediante riconduzione agli assiomi
A un primo livello, che corrisponde anche alle origini storiche delle
teorie elementari dei numeri, gli assiomi esprimono alcune pro¬
prietà semplici, giustificabili intuitivamente e di più largo uso.
Sono le proprietà che sono accettate ancor prima che si elabori¬
no algoritmi, prima che incominci a svilupparsi una teoria; incor¬
porano le conoscenze prematematiche di un dominio e suggeriscono
la possibilità stessa di una teoria matematica fornendo i primi risul¬
tati in modo ancora empirico.
Nel caso della moltiplicazione le proprietà commutativa e asso¬
ciativa, come pure quella distributiva, sono evidenti per la nozione
intuitiva di area di un rettangolo, o di una griglia quadrangolare di
punti; non è detto che siano state proprio le prime a essere indivi¬
duate come fondamentali, tanto è vero che l’assiomatizzazione delle
teorie numeriche è tarda nella storia, ma sono certamente state
quelle di maggior frequenza e uso (le difficoltà si sono avute solo
per l’estensione ai numeri negativi).
All’inizio, dal punto di vista didattico, non occorre neanche iso¬
lare gli assiomi come tali, basta che li si abbiano presenti nel loro
insieme come fatti noti e li si possa richiamare quando serve. In ogni
LE FUNZIONI DELLA DIMOSTRAZIONE
55
caso poi se si devono giustificare, o di fronte a un vuoto di memo¬
ria, una opportuna figura che riporta alle origini serve allo scopo.
Quando non bastano disegni semplici a chiarire una proprietà,
quelli più complicati, disegnati poco alla volta, sono loro stessi una
specie di dimostrazione, come insegnano i greci.
La dimostrazione di tanti risultati a partire dagli stessi pochi as¬
siomi dà un concentrato di informazione.
Una delle accuse mosse alla deduzione logica è che in una dedu¬
zione si riduce o si perde informazione, e quindi le deduzioni non
possono aumentare la nostra conoscenza.
Al rilievo si può dare forma precisa in termini di teoria dell’in¬
formazione. Nel caso della logica proposizionale ad esempio, per
considerare una situazione semplice, si definisca l’informazione di
una proposizione A come il numero di modelli di A, con segno ne¬
gativo, ovvero, se A ha n lettere, come il numero totale 2W di inter¬
pretazioni possibili meno il numero di quelle che soddisfano A.
Queste sono misure di informazione. In una derivazione logica allora,
siccome la conclusione ha almeno i modelli delle premesse, l’infor¬
mazione non cresce.
Ma questa è una buona notizia se le derivazioni si considerano
all’indietro, come nel caso che stiamo discutendo, e come sempre
si può fare: abbiamo detto che una dimostrazione è trovare le ipo¬
tesi da cui la conclusione segue; sicché riportare un enunciato agli
assiomi significa di fatto un aumento dell’informazione.
Poiché la nostra dimostrazione di 1000“1 — 1001“1 < IO“6 si ap¬
poggia alle leggi delle operazioni, nell’eseguirla è facile percepire o
rendersi conto che essa non dipende dai numeri particolari che
sono trattati. I calcoli algebrici hanno maggiore generalità di quelli
aritmetici. La ragione non consiste nel fatto che i secondi riguar¬
dano i numeri e i primi parole formali; naturalmente anche i nu¬
meri sono parole formali; la differenza consiste nel fatto che gli
algoritmi aritmetici sono modellati su una precisa rappresentazione
dei numeri, mentre le leggi fondamentali valgono per i numeri indi¬
pendentemente dalla loro rappresentazione.
5^
CAPITOLO SECONDO
2.8. Suggerire generalizzazioni
In questo modo si ottiene una prima sorta di generalità. La dimo¬
strazione libera dai vincoli del concreto e dell’inessenziale. Ci ren¬
diamo conto che la dimostrazione può essere ripetuta con lo stesso
ordine degli stessi passi e con analoga conclusione per altri numeri.
In nessun punto della dimostrazione si usa ad esempio il fatto del
tutto epidermico che in 1001 la prima e l’ultima cifra sono uguali
tra loro e alla prima di 1000. Questi sono elementi che interven¬
gono nei giochi enigmistici. Per quali altri numeri si può ripetere
la dimostrazione?
Se si chiede di generalizzare (cosa che ancora non si sa bene che
cosa significhi) uno studente potrebbe provare con 2000 e 2001,
ma cosa mettere a destra: IO“6 o ——— ? Nessuna delle due, se
2000000
ha fatto e capito la dimostrazione.
Può provare anche con 1000 e 1002 e IO-6 e si accorge che non
funziona.
Il fatto è che il riconoscimento di 1000000 < 1001000 non di¬
pende, non deve dipendere da tratti superficiali della rappresenta¬
zione decimale, ma dal fatto che dai calcoli algebrici
1000000 = 1000X1000
mentre
1001000 = 1000 X 1001 = 1000 X (1000 + 1) =
= 1000 X1000 + 1000 = 1000000 + 1000
e 1001000 compare nella dimostrazione proprio attraverso questa
formula.
Se al posto di 1001 si mette un numero maggiore, come 1002, non
si ha più questa semplice relazione.
La generalizzazione deve ricreare la situazione per cui la disugua¬
glianza è garantita semplicemente dalla proprietà distributiva, o
dal fatto che 10002 < 1000 X (1000 + 1).
Dunque la dimostrazione suggerisce le generalizzazioni giuste, nel
mentre che promette maggior generalità, e nello stesso tempo con¬
danna a priori altre congetture di generalizzazioni.
LE FUNZIONI DELLA DIMOSTRAZIONE
57
2.9. Spiegare mediante generalità
La generalità la esprimiamo dicendo che la dimostrazione potreb¬
be essere ripetuta per ogni numero (una volta trovata la generalizza¬
zione giusta, cioè quale relazione deve intercorrere tra i tre numeri
ai denominatori), ma questo è un modo di dire che dimentica i limi¬
ti umani finiti, la vaghezza che si ha con i grandi numeri. Quello che
in effetti si può fare, e che facciamo, è di ripetere gli stessi passi e
fare appello alle stesse leggi non per disuguaglianze numeriche ma
per la relazione
n~x — (» + 1 )~x<n~2
scritta con una variabile.
Si potrebbe dire che solo con le variabili si può dare una dimostra¬
zione, anche se i calcoli di un caso particolare sono isomorfi a quelli
del caso con variabili; è un altro aspetto, o conferma, della natura
formale della matematica.
2.10. Trasportare risultati
Un ulteriore aspetto, e beneficio, della generalità è la trasporta¬
bilità ad altri contesti, modulo il riconoscimento della validità degli
assiomi. Il risultato diventa indipendente non solo dai singoli nu¬
meri ma anche dalla particolare struttura numerica. La disugua¬
glianza in esame vale non solo per i razionali, ma anche per i reali,
in verità per ogni campo ordinato. Gli esempi si potrebbero molti¬
plicare. Quanta meno fatica farebbero gli studenti con i polinomi,
se si spiegasse loro la struttura di anello, mettendo in evidenza,
soprattutto per quel che riguarda la divisibilità, il parallelismo con
gli interi.
Ancora, a un livello più avanzato, un teorema sui numeri com¬
plessi che abbia una dimostrazione algebrica risulta in effetti valido
in tutti i campi algebricamente chiusi di caratteristica 0.
58
CAPITOLO SECONDO
2.11. Stabilire collegamenti
Il trasporto di risultati si manifesta talvolta nella forma di un ac¬
costamento di due problematiche apparentemente diverse. Il teo¬
rema di Bézout secondo il quale a è uno zero di un polinomio p{x)
se e solo se p(x) è divisibile per x — a stabilisce un collegamento ina¬
spettato e fecondo tra zeri e divisibilità.
I collegamenti tra domini diversi permettono o innescano le
metafore. Con una metametafora, si potrebbe dire che una fun¬
zione delle dimostrazioni è quella di porre le basi per metafore
dalle utili applicazioni. Il modo particolare di integrazione delle
equazioni del moto di Jacobi, mediante la cosiddetta equazione di
Hamilton-Jacobi, rivela l’analogia esistente tra la struttura formale
della meccanica delle particelle e quella dell’ottica geometrica di
un’onda, aprendo la strada alle leggi della meccanica quantistica.
Questa funzione della dimostrazione è largamente pervasiva e la
ritroveremo parlando della semantica.
2.12. Spiegare mediante sussunzione
Ottenuta la disuguaglianza n~1 — {n + 1)_ 1 < n~2 con n variabile,
per sostituzione otteniamo tutte le particolari esemplificazioni che
vogliamo e che siamo fisicamente in grado di scrivere.
La generalità conferita dalle dimostrazioni comporta la sussunzio¬
ne di un caso particolare sotto una legge universale.
Tale sussunzione svolge la duplice funzione di dare una spiegazio¬
ne e anche di evitare i calcoli. Si immagini il compito di calcolare
n_
J n(e~*2' sinx)dx
e lo studente sveglio che dà l’immediata risposta 0.
Perché? Perché la funzione integranda è dispari. E allora? Allora
l’area compresa tra — y e 0 è uguale, di segno opposto, a quella
compresa tra 0 e y. Chi lo dice? Per simmetria.
LE FUNZIONI DELLA DIMOSTRAZIONE
59
Questo è un esempio della differenza tra argomenti hard e argo¬
menti soft, tra calcoli e ragionamenti brevi ed eleganti.
Se non si vuole utilizzare la nozione intuitiva di area, di cui l’in¬
tegrale è la matematizzazione rigorosa, si può concedere che il
discorso sull’area era solo un’abbreviazione e richiamare o dimo¬
strare il caso generale
\‘ fdx = 0
J-a
per funzioni dispari.
Si ha un nuovo esempio di una formula con variabile (la funzio¬
ne /) che si appoggia solo sulle proprietà generali, sulle leggi del¬
l’integrale, e non comporta nessun calcolo di integrali.
La spiegazione fornita dalla sussunzione è soprattutto benvenuta
quando il caso particolare è strano, o sorprendente, e sussumendolo
sotto una legge generale insieme ad altri fenomeni analoghi si elimi¬
na la stranezza che inizialmente presentava; sussumerlo sotto una
legge è farsene una ragione.
Per illustrare questa situazione raccontiamo una storia tratta dai
recenti dibattiti sulla dimostrazione. Zeilberger6 ha sostenuto che
i vecchi matematici dediti al rigore saranno considerati in un pros¬
simo futuro come innocui eccentrici; con il calcolatore ci saranno
talmente tanti fatti interessanti da scoprire che le persone divente¬
ranno insofferenti dell’obbligo delle dimostrazioni e della richiesta
della certezza assoluta. Zeilberger pensava soprattutto alle dimo¬
strazioni che richiedono lunghi calcoli formali, ricerche esaustive,
troppo costose sia in senso materiale che morale, e quindi impossi¬
bili da eseguire in modo completo; e dall’altra parte, alle genera¬
lizzazioni induttive.
Andrews7 ha replicato che nella futurologia di Zeilberger è del
tutto trascurata l’illuminazione (insight) data dalle dimostrazioni,
e ha invitato a meditare su questo episodio.8
6 D. Zeilberger, Theorems for a Price: Tomorrow’s Semi-Rigorous Mathematical Culture, in
«Notices American Mathematical Society», 40, 8, 1993, pp. 978-81.
' G. E. Andrews, The Death of Proofs? Semi-Rigorous Mathematics? You 've Got to Be Kidding,
in «The Mathematical Intelligencer», 16, 4, 1994, pp. 16-18.
8 Tratto da J. M. Borwein, P. B. Borwein e K. Dilcher, Pi, Euler Numbers, and Asymptotic
Expansions, in «The American Mathematical Monthly», 96, 1989, pp. 681-87.
6o
CAPITOLO SECONDO
La serie di Gregory per K,
4^(- l)*_1(2i&- I)"1
troncata al 500000-esimo termine fornisce
3,141590653589793240462643383269502884197.
Questo numero non è n, la sesta cifra decimale è errata, come ci si
poteva aspettare dalla teoria delle serie di Gregory: l’errore è dello
stesso ordine di grandezza di an per il troncamento a n. Ma lo stra¬
no è che tra le prime quaranta solo le quattro cifre sottolineate
sono sbagliate.
Fenomeni simili furono registrati col calcolatore, ad esempio per
■y troncata al 50000-esimo termine:
1,5707863267948976192313211916397520520985833147388
e per log 2, con la serie 2(— ì)k + lk~l troncata al 50000-esimo ter¬
mine:
0,69313718065994530939723212147417656804830013446572.
Come osserva Andrews, si potrebbero spendere ore al calcolatore
e scoprire altri fatti del genere, ma a che scopo? Un barlume di
JZ
luce si ebbe quando fu osservato che nell’esempio di — le prime
cifre sottolineate differivano da quelle esatte per, rispettivamente,
1 -1 5 -61.
Le persone che fecero questa osservazione si accorsero anche che
questi sono i cosiddetti numeri di Eulero, e sviluppando tale intui¬
zione arrivarono a dimostrare una nuova formula asintotica che
spiega gli strani fenomeni osservati, precisamente provando che la
differenza tra y e la sua serie di Gregory troncata a y è asintoti¬
camente
y 1 1,5 61
N2m +1 N N3 N5 N7
dove gli ^2m sono i numeri di Eulero. Risultati simili valgono per le
altre serie.
LE FUNZIONI DELLA DIMOSTRAZIONE
6l
Perché questa formula spiega il fenomeno osservato? Perché è
una vittoria sopra l’implausibilità: si è osservata una regolarità lad¬
dove ci si aspettava casualità; la regolarità al posto della casualità
richiede il consumo di energia, deve essere l’effetto di qualche
causa. Un fatto improbabile richiede che se ne trovi la causa. Il
fenomeno iniziale è il prodotto di processi materiali di calcolo
senza alcuna teoria, e la meraviglia è figlia dell’ignoranza. La formu¬
la asintotica lo colloca nel contesto delle conoscenze, è la formula¬
zione di una legge.
Si potrebbe obiettare che in questo caso è la formula che dà la
spiegazione, non la dimostrazione della stessa; ma la dimostrazione
non è solo quell’insieme di passaggi che in un’esposizione iniziano
da dove compare l’avviso «Dimostrazione» fino a «qed». La for¬
mula, prima di essere dimostrata, deve essere cercata; occorre che
ci si ponga in partenza un «perché»; quindi la formula deve essere
congetturata, passando dai numeri percepiti all’idea che la diffe¬
renza deve essere una serie con determinati coefficienti in deter¬
minati posti; si cerca poi di applicare le conoscenze e tecniche sulle
serie, e poiché con quelle, ben stabilite, non si vede la risposta si
passa, se viene l’idea, alle conoscenze della teoria asintotica. Tutta
questa attività costituisce la ricerca e la costruzione di una dimo¬
strazione.
Una formula alla fin fine deve essere dimostrata. Se la dimostra¬
zione conferisce generalità, viceversa gli enunciati generali con
variabili possono solo essere dimostrati, e non certo con induzione
empirica o con infinite verifiche.
Mettere un segno (un dummy come Quine chiama le variabili) al
posto di numeri e (quindi inevitabilmente) dimostrare una formula
è il vero rito di passaggio che introduce alla matematica teorica.
2.13. Vare due passi invece di infiniti
Finora abbiamo considerato le dimostrazioni come manifesta¬
zioni di un’attività teorica paragonabile a quella scientifica in gene¬
rale. Le funzioni messe in luce e soddisfatte dalle dimostrazioni
sono tutte del tipo di quelle che si richiedono alla teoria scientifica
in ogni campo di ricerca.
62
CAPITOLO SECONDO
Ma per funzioni più specifiche occorre anche distinguere le
forme e i tipi di dimostrazione. L’osservazione che un enunciato
generale non si può stabilire con infinite verifiche è nel caso della
teoria dei numeri Vincipit dell’introduzione della dimostrazione per
induzione e della sua giustificazione con il principio di induzione.
L’induzione permette di ottenere la validità di VxA{x) nella strut¬
tura dei naturali, quindi A{n) per infiniti n, con due passi di dimo¬
strazione, la base i4(0) e il passo induttivo Vx(i4(x) —> A{x + 1)) (o
uno solo con l’induzione forte).
Come economia non ha uguali, ed è un’economia obbligata, per
fortuna realizzabile.
Le dimostrazioni per induzione sono tipiche della struttura dei
numeri naturali, soprattutto nelle fasi iniziali di costruzione assio¬
matica della teoria; dopo che sono state introdotte le operazioni e
i concetti fondamentali e si sono accumulate, con dimostrazioni
per induzione, le loro proprietà scatta la possibilità di dimostra¬
zioni di tipo algebrico.
Ma come i numeri naturali sono presenti ovunque, così il prin¬
cipio di induzione compare sempre, ospite fisso di tutte le defini¬
zioni induttive o ricorsive in strutture formali, come ad esempio
nella teoria dei linguaggi.
Quando una funzione è definita per ricorsione - ne vedremo subi¬
to un esempio - la definizione è obbligatoriamente accompagnata
dalla dimostrazione che nel passaggio da n a n + 1 (o da numeri
minori di n a ri) la funzione continua a soddisfare le specifiche della
definizione. Queste dimostrazioni sono inevitabilmente per indu¬
zione.
Per un teorema generale di Dedekind, il cosiddetto teorema di
ricorsione, ogni schema ricorsivo definisce una funzione totale; ma
se si vuole definire una particolare funzione, o se si vuole sapere
quale funzione è definita da un particolare schema ricorsivo, allora
occorre una dimostrazione del fatto che la funzione definita ricor¬
sivamente è (estensionalmente equivalente a) quella desiderata.
LE FUNZIONI DELLA DIMOSTRAZIONE
63
2.14. Definire la semantica
Per prendere l’esempio più facile, il primo che si presenta nella co¬
struzione dell’aritmetica, supponiamo che si voglia una definizione
ricorsiva dell’addizione, a partire dagli assiomi dell’aritmetica di
Peano che riguardano solo 0 e il successore *+ di ogni numero *.
Due sono i motivi per cui si vuole una definizione ricorsiva: da
una parte solo quelle sono disponibili nella costruzione formale,
non quelle insiemistiche, e dall’altra l’obiettivo è di ricavarne pos¬
sibilmente algoritmi di calcolo. Una definizione generale di addizio¬
ne è probabilmente già disponibile, o intuitivamente o data nella
teoria elementare degli insiemi come cardinalità dell’unione disgiun¬
ta di due insiemi finiti. Questa definizione è indipendente dai nu¬
meri naturali e da qualsiasi loro rappresentazione; la nozione di
cardinalità può essere data in vari modi senza fare intervenire i
numeri naturali, ad esempio come classi di equivalenza di insiemi
equipotenti. Tuttavia questa definizione non si può dare nel lin¬
guaggio puramente aritmetico.
La definizione ricorsiva usuale dell’addizione è, come è noto,
x + 0 = x
' x + y+ = (x + )>)+
che non è affatto ovvio che definisca la stessa funzione della defi¬
nizione insiemistica. Queste due equazioni in effetti si ispirano a
un’altra intuizione, quella della lunghezza della concatenazione
di stringhe, e sono legate a una particolare rappresentazione dei
numeri, quella che li descrive come sequenze di ripetizioni di un
n volte
simbolo: il numero n è il termine 0+ + + +.
La dimostrazione che si tratta della stessa operazione stabilisce
una semantica per il simbolo di somma + e le sue manipolazioni
formali rette dalle equazioni ricorsive. La parola «semantica» per
un simbolo solo è forse esagerata, basterebbe dire «significato»,
riservando «semantica» per le interpretazioni globali dei linguaggi,
ma il termine piace, soprattutto agli informatici.
Anzi la dimostrazione ne stabilisce più di una, come è da aspet¬
tarsi, e inevitabile, per qualsiasi frammento di matematica formale.
64
CAPITOLO SECONDO
Infatti dalla dimostrazione si isolano in realtà due dimostrazioni,
che sono naturalmente per induzione e stabiliscono l’una che x + y
dà il valore dell’unione di due insiemi disgiunti di cardinalità x ey,
l’altra che x + y dà la lunghezza della concatenazione di due strin¬
ghe di lunghezza x ey.
Dimostrazione Per dimostrare che c{X) + c(Y) = c(X U Y)9 quando
X e Y sono due insiemi disgiunti, occorre infatti innanzi tutto asso-
x volte y volte
dare a c(X) e a c(Y) due numeri x = 0++ + e y = 0++ +, quindi
dimostrare che x + y = c(X U Y). Ma questo richiede prima che sia
provato che x + );èun termine della forma 0++ +.
Questa dimostrazione preliminare si ottiene considerando due
x volte y volte
stringhe di +: a=++ + e ß = ++ + e provando per induzione che
x + y = 0^ a ßy dove ~ è la concatenazione di stringhe e a ß =
x + y volte
_ '++A-T'
Siccome quella delle stringhe è la semantica naturale, non ci si
accorge neanche che occorre questa dimostrazione. La semantica
è naturale perché è implicita nella costruzione sintattica dei ter¬
mini, che sono stringhe di simboli. La definizione ricorsiva della
concatenazione è letteralmente la stessa di quella dell’addizione.
La trattazione dei linguaggi formali è sempre accompagnata da
una semantica costruita con materiale sintattico e isomorfa alla sin¬
tassi, quasi a confutare la posizione formalista secondo la quale la
matematica sarebbe solo sintassi.10
Chiariti i preliminari, la dimostrazione di c(X) + c(Y) = c(XU Y)
è diretta, per induzione su y = c{Y).
Se y = 0, cioè Y = 0, allora XUY = Xex + y = x.
Se c{Y) =y+, allora 7 0 e Y=ZU {a}, con c(Z) =y. Questo
fatto però, riguardante l’aggiunta di un solo elemento, deve essere
dimostrato a parte, non rientra nella base né nell’ipotesi induttiva.
Se lo si ammette si conclude immediatamente che
c(XU Y) = c(XU(ZU{a})) = c((XU Z) U {a}) = c(X U Z)+ =
= (per ipotesi induttiva) (x + y)+ = X + y +,
9 c{X) è la cardinalità dell’insieme X.
10 Ne vedremo più avanti un altro aspetto con i modelli di termini.
LE FUNZIONI DELLA DIMOSTRAZIONE
65
La relazione c{ZU {a}) = c{Z)+ per a£Z segue dalla definizione
della cardinalità come il più piccolo numero per cui esiste una biiezio-
ne con l’insieme, e dal fatto che non esiste una iniezione dei numeri
minori di y+ in quelli minori di y (principio dei cassetti), qed
2.15. Provare la correttezza
La situazione si può anche considerare come abbiamo detto da
un punto di vista rovesciato: esiste una funzione, nota, e proponen¬
do una definizione ricorsiva si vuole introdurre un algoritmo per
calcolarne i valori.
La definizione ricorsiva si trasforma facilmente in un’iterazione
adatta a essere programmata o implementata nel sistema operativo,
e occorrono dimostrazioni che stabiliscano l’adeguatezza della sin¬
tassi rispetto a entrambe le semantiche, quella originaria matema¬
tica e quella operativa, ovvero la correttezza dell’algoritmo.
Quando si ha un algoritmo che risolve un determinato problema
si tende a dire che l’algoritmo prova che il problema ha soluzione.
Ma l’algoritmo non prova nulla, è un testo statico e formale che si può
fare girare, se scritto come programma, oppure su cui si può ragio¬
nare: è la dimostrazione di correttezza dell’algoritmo che prova che
l’algoritmo è la soluzione.
Un’altra funzione delle dimostrazioni è questa ora illustrata, ed
è tipica delle dimostrazioni di correttezza.
Le dimostrazioni di correttezza sono più frequenti di quanto si
possa pensare, anche al di fuori della teoria della programmazione,
e se ne può dare una versione generale. Questo tipo di dimostrazio¬
ne stabilisce un ponte tra due diversi domini concettuali dove le
stesse, per così dire, entità possono avere differenti rappresenta¬
zioni (o nessuna11 se la versione insiemistica è considerata prelimi¬
nare a ogni possibile rappresentazione). Due diverse entità possono
essere collegate in modo che una sia usata per esprimere la seconda,
in un particolare modo o linguaggio adeguato alla trattazione in
oggetto; quest’ultima funge allora da semantica, la prima da sin¬
tassi o calcolo.
11 Salvo quella naturale, isomorfa alla sintassi.
66
CAPITOLO SECONDO
Le nozioni semantiche di solito sono espresse in un linguaggio,
geometrico o insiemistico, che serve da interfaccia con la realtà che
si vuole studiare, che è più intuitivamente vicino ad essa; perciò le
nozioni semantiche sono in generale maggiormente ricche di riferi¬
menti intuitivi. Le nozioni sintattiche sono più orientate alla teo¬
ria e alle rappresentazioni teoriche. Il discorso semantico è spesso
più compatto, senza i dettagli procedurali tipici della sintassi, dal
momento che può sfruttare immagini o altre intuizioni.
Quando la nozione semantica non è matematizzata, il processo
attraverso il quale diventa tale ricalca le dimostrazioni di corret¬
tezza. Ad esempio si consideri la nozione di integrale come defini¬
zione rigorosa del concetto di area.
Quando si dice che
rappresenta l’area sottesa a /, a rigor di termini tale affermazione
non la si può dimostrare, se «area» non è un concetto matematico.
Ma lo è per particolari figure (rettangoli, istogrammi...) e parti¬
colari /, e per queste lo si dimostra con una vera e propria dimostra¬
zione di correttezza. Quindi l’estensione ad altre figure avviene
con un’operazione di approssimazione, anche per la nozione intui¬
tiva con un processo di limite, che è lo stesso incorporato nella defi¬
nizione dell’integrale, accompagnato da una dimostrazione di con¬
vergenza per un’ampia classe di funzioni.
In generale, ogni volta che si hanno due definizioni e si vuole di¬
mostrarne l’equivalenza, a seconda del carattere di effettività, che
dipende dalla trattazione, una può fungere da semantica e una da
sintassi.
Tuttavia la distinzione è relativa; se mostriamo la precedente
definizione dell’addizione a un informatico egli dirà che non è un
algoritmo, ma una funzione matematica, con una definizione mate¬
matica. Per l’informatico la definizione ricorsiva è la semantica,
mentre il programma sarà scritto in C o in pascal o in Java.
La dimostrazione di correttezza del programma avrà come ri¬
ferimento semantico le manipolazioni formali che deducono risul¬
tati dalla definizione ricorsiva; si tratta di un calcolo di equazioni,
in un linguaggio logico, con i numeri rappresentati in forma una-
LE FUNZIONI DELLA DIMOSTRAZIONE
67
ria naturalmente perché non è ancora possibile usare una base ^2,
del tipo
0+ + + + 0++ = 0+ + + + +
ma per l’informatico questa è matematica, non è certo codice.
Per l’informatica che costruisce e studia gli algoritmi la mate¬
matica, formale o informale, è la semantica, nonostante si possa
dire che i programmi sono oggetti concreti, loro e la loro esecuzio¬
ne, mentre la matematica di qualsiasi genere è astratta. La seman¬
tica può essere formalismo puro (e talvolta, come abbiamo osser¬
vato sopra, può essere isomorfa alla sintassi).
2.16. Spiegare mediante la semantica
Quando una dimostrazione accosta due domini diversi, la seman¬
tica che instaura fornisce una spiegazione dei risultati.
Si consideri come esempio il teorema di Wilson, che se p è primo
allora (p — 1)! + 1 è divisibile per p.
Dimostrazione A p si associa il gruppo dei resti modulo p, che
è un gruppo commutativo; si nota allora che nell’espressione
(1 • 2 •... • (p — l))2
scritta come
(1 • 2 •... • (p — 1)) • (1 • 2 •... • (p — 1))
ogni fattore del primo prodotto si può accoppiare con il suo inverso
dal secondo prodotto, quindi il quadrato vale 1. Ma se nel gruppo
dei resti vale
k • k = 1
questo significa che k2 — 1 = {k — 1) • {k + 1) è divisibile per p; sic¬
come 1 ^ k ^p — 1, allora & è o 1 o p — 1; si può escludere il primo
caso, perché in 1 • 2 •... • (p — 1) = 1 accoppiando di nuovo ogni ele¬
mento col proprio inverso resta p — 1 che è inverso di se stesso. In
definitiva
l-2*...'(p — l)=p — 1
da cui si risale al teorema, qed
68
CAPITOLO SECONDO
In questo caso la struttura del gruppo finito superimposta al pro¬
blema fornisce una spiegazione, una ragione strutturale del fenome¬
no che non risulta dalla pura trattazione numerica.
2.17. Risolvere problemi
Questa è invero una delle funzioni principali delle dimostrazio¬
ni, provare che un problema ha soluzione e che una formula o un
algoritmo ne sono la soluzione.
Naturalmente formule risolutive e algoritmi devono essere tro¬
vati; ma solo concettualmente si danno due momenti distinti e non
è detto che la dimostrazione che una soluzione è una soluzione sia
staccata dalla scoperta della stessa, o che siano in gioco facoltà di¬
verse, prima l’intuizione e poi la logica. La dimostrazione ha spesso
la funzione di trovare le soluzioni dei problemi, in una con la prova
che le soluzioni esistono.
Un esempio facile e che tutti hanno incontrato è fornito dalla for¬
mula risolutiva delle equazioni di secondo grado; la formula non è
agevole da ricordare, ed è pure infida: ci sarà un 2 a denominatore?
e se b è pari? qual è la formula semplificata nel caso b pari?12
Invece di stare a memorizzare la formula, basta ricordare la
parola d’ordine «quadrato del binomio». La ricerca delle eventuali
soluzioni, di quante e quali sono si può svolgere trasformando il
polinomio in modo da fare comparire il quadrato di un binomio: i
passaggi sono dettati dal polinomio stesso e dalla formula del bino¬
mio, essa sì facile da ricordare per la sua simmetria:
ax2 + bx + c = 0
*2 + t* + t = 0
a a
x2 + 2^-x + -j = 0
2 a a
x2 + 2-^-x +
2a
-Ì
2a
b_
2a
12 Michael Stauben riporta le difficoltà dei suoi studenti quando permutava le lettere a, b e
c per i coefficienti; si veda M. Stauben, Twenty Years Before the Blackboard, Mathematical Asso¬
ciation of America, Washington 1998.
LE FUNZIONI DELLA DIMOSTRAZIONE
69
fr+f=o
2a) a
x=--r-+J “
x = ■
b_
2a \\2a
— b + \lb2 — 4 ac
2a
QED
Questa dimostrazione con pochi passaggi permette di ricostruire
la formula risolutiva in qualsiasi momento, e oltre a fornire la so¬
luzione ha anche il vantaggio dell’economicità, nella forma di ri¬
sparmio di memoria, che ci sono altre cose più importanti con cui
riempire la testa.
2.18. Esplicitare il contenuto costruttivo
Una dimostrazione che fornisca un algoritmo è quasi sempre,
anche se chi la trova non lo sa, una dimostrazione di correttezza
dell’algoritmo. Chi la elabora di solito è alla ricerca di una solu¬
zione esplicita di un problema, e mira a una dimostrazione con un
contenuto costruttivo. Le dimostrazioni che concludono con affer¬
mazioni di esistenza in genere vengono distinte in costruttive e
non, le seconde dette anche «puramente esistenziali». Quelle
costruttive danno come risultato non solo affermazioni di esistenza
ma anche una formula, un termine, un’indicazione esplicita dell’e¬
lemento cercato.
Ad esempio la dimostrazione che
x3-2x-l = 0
ha almeno una soluzione reale può basarsi su due osservazioni: la pri¬
ma è che il polinomio tende a + 00 per * —)+»ea— 00 per x —> — 00
e si può fare appello al teorema di esistenza degli zeri; la seconda
esegue la scomposizione algebrica
x}-2x-l=x}-x-x~l
= x(x2-l)-(x + l)
= (x + l)(x(x-l)-l)
che indica esplicitamente la soluzione x = — 1. qed
70
CAPITOLO SECONDO
Le dimostrazioni non costruttive non sono prive di contenuto
esplicativo; entrambe le dimostrazioni proposte danno una spiega¬
zione: quella algebrica in termini della scomposizione del polino¬
mio, quella analitica richiamando una proprietà essenziale della
struttura di base, la completezza del campo reale.
Riportando la spiegazione dell’esistenza di uno zero alla comple¬
tezza si inquadra il risultato, lo si sussume, in un fenomeno gene¬
rale che riguarda tutte le funzioni continue. Solo che a posteriori,
quando si scopre con l’altra dimostrazione che una radice è raziona¬
le si potrebbe concludere che la spiegazione data non è quella cor¬
retta (la dimostrazione è corretta, la spiegazione no): la ragione
della risposta positiva non sta nella completezza dei reali. A questo
esempio si attaglia l’accusa che viene talvolta mossa alle dimostra¬
zioni non costruttive, di usare strumenti inutilmente potenti, ma¬
gari di dubbia affidabilità.
La dimostrazione algebrica per parte sua offre una diversa gene¬
ralizzazione, non rispetto alle funzioni ma rispetto alle strutture in
cui il fenomeno si verifica.
Esistono sempre (o quasi) diverse spiegazioni e diverse possibili¬
tà di generalizzazione. Questo è uno dei motivi per cui non c’è mai
una sola dimostrazione di un teorema.
2.19. Estrarre algoritmi
L’esempio della formula risolutiva delle equazioni di secondo
grado, per quanto semplice, è rappresentativo di un’ampia classe di
dimostrazioni che hanno dato origine a una speciale area di ricerca
chiamata estrazione ài algoritmi dalle dimostrazioni.
Quando si parla di estrazione di algoritmi da una dimostrazione
s’intende qualcosa di più di una formula risolutiva finale, e cioè che
non solo l’enunciato del teorema, ma la dimostrazione stessa possa
essere trasformata direttamente e facilmente, possibilmente in modo
addirittura meccanico, in un algoritmo per calcolare la formula o
per valutare il termine.
Perché ciò sia possibile naturalmente si devono avere dimostra¬
zioni formalizzate interamente o quasi. Si studiano anche speciali
logiche costruttive con lo scopo di facilitare l’estrazione di algo¬
LE FUNZIONI DELLA DIMOSTRAZIONE
71
ritmi dalle dimostrazioni che possono essere formalizzate in queste
logiche.
Un caso particolare importante si verifica quando una dimostra¬
zione di correttezza di un programma si trasforma in una verifica
meccanica della stessa.13
Ma perché nascesse quest’area di ricerca, ovviamente sotto l’in¬
flusso della disciplina della programmazione, occorreva che ci fosse
prima una larga esperienza di tali possibilità anche senza la forma¬
lizzazione in logiche speciali.
Anche da questo punto di vista si vede che la distinzione tra di¬
mostrazioni e calcolo è spesso usata come una linea divisoria tra due
modi di fare matematica, ma in sostanza appare poco giustificata.
La connessione tra dimostrazioni e soluzioni effettive di pro¬
blemi non ha atteso i calcolatori per essere notata. Essa data dal
tempo dei greci, che avevano sia teoremi che problemi e un paral¬
lelismo stretto tra la soluzione di un problema e la dimostrazione
di un teorema; è anche difficile, e lo era per loro, spiegare bene la
differenza, a parte casi clamorosi. La struttura delle dimostrazioni
e delle costruzioni era la stessa: riduzione di problemi o tesi a sot¬
toproblemi o ad altri enunciati, introduzione di nuovi elementi o
nella figura oppure come assunzioni ecc.
2.20. Fare umorismo
Troviamo in alcune dimostrazioni il manifestarsi di un fenomeno
frequente nella matematica, cioè Vumorismo, volontario o invo¬
lontario.
Il docente chiede di costruire la bisettrice dell’angolo compreso
tra i due lati uguali di un triangolo isoscele, e lo studente traccia la
mediana. Invece di fare una cosa se ne fa un’altra. Il permesso de¬
riva dalla dimostrazione che bisettrice e mediana coincidono.
Un’altra occasione di umorismo è fornita dal precedente caso
dell’integrale di una espressione mostruosa, finita di scrivere la quale
si dà il risultato in tempo reale, meno di quello che ci vuole per scri-
15 Un esempio di una logica apposita per ragionare sui programmi è in R. L. Constable e M.
J. O’Donnell, A Programming Logic, Winthrop, Cambridge (Mass.) 1978.
72
CAPITOLO SECONDO
vere il problema: come bucare un palloncino - la pancia del profes¬
sore - dopo che questo faticosamente si è gonfiato a dismisura. Così
devono essersi divertiti gli allievi, non il professore, se è vero l’a¬
neddoto secondo il quale il compito di sommare i primi cento nu¬
meri, con la risposta immediata di Gauss, era stato assegnato per
permettere al professore di leggersi in pace la gazzetta.
2.21. Semplificare la vita
La coincidenza di bisettrice e mediana nel triangolo isoscele per¬
mette di risolvere un problema più facile, rispetto a quello assegna¬
to. La costruzione naturalmente è più facile solo se si usa un righello
graduato, se si usa riga e compasso non c’è molta differenza.
In generale tutte le dimostrazioni geometriche, nell’imposta¬
zione originaria dei greci, riducono un problema ad altri più sem¬
plici, o che si sanno risolvere. Le dimostrazioni semplificano la vita.
2.22. Risparmiare risorse
In una direzione opposta le dimostrazioni talvolta rendono più
complicata la vita imponendo soluzioni astruse perché pretendono
di usare strumenti limitati. Cavarsela con poche risorse costringe
a fare le capriole, anche nella vita quotidiana.
La dimostrazione del pons asinorum è molto istruttiva al riguar¬
do. Il pons asinorum era il teorema secondo cui in un triangolo iso¬
scele, definito come un triangolo con due lati uguali, i due angoli
alla base sono uguali.
La dimostrazione richiede di introdurre nuovi elementi al di fuori
della figura data, ragionare su due altri triangoli, dimostrare che i
supplementari degli angoli alla base sono uguali.
Dato ABC isoscele, si prolungano i due lati uguali CA e CB e si
prendono due punti F e G alla stessa distanza da C.
Con due triangoli si può lavorare, c’è come si dice elbow room.
Si hanno i criteri di congruenza, e si può in effetti osservare che
FCB è uguale a Gi4C. Quindi sono uguali gli angoli in F e in G e i
lati FB e AG.
LE FUNZIONI DELLA DIMOSTRAZIONE
73
C
Ne segue l’uguaglianza dei triangoli FAB e GAB e di conse¬
guenza degli angoli FAB e GBA, quindi degli angoli alla base del
triangolo dato, qed
La dimostrazione è piuttosto indiretta, devious, e quindi difficile
da inventare, prova ne sia il nome, attribuito nel Medioevo a que¬
sto esercizio, che è stato un classico bersaglio di coloro che volevano
denunciare le eccessive minuzie a cui porta l’esagerato senso del ri¬
gore. Pascal era tra questi, non vi ritrovava evidentemente Vesprit
de finesse.
In effetti esiste un’altra dimostrazione (di Pappo, poi ritrovata
nel Seicento) molto più semplice: dato il triangolo ABC di sinistra,
lo si ribalti in modo rigido nel triangolo BAC di destra: Ic c
ABBA
I due triangoli sono uguali per il criterio lato-angolo-lato e quindi
anche gli angoli in A e B sono uguali, qed
L’obiezione mossa a questa dimostrazione è che la geometria
piana non prevede l’operazione di ribaltamento, che si può fare
solo nello spazio. Ma forse non c’è bisogno di eseguire un ribalta-
74
CAPITOLO SECONDO
mento fisico, e neanche di ricorrere alle simmetrie. Si può compie¬
re un trucco linguistico e considerare i triangoli come dati da una
terna ordinata di punti; nel parlare i vertici si menzionano inevita¬
bilmente in modo ordinato, e lo stesso nello scrivere in un linguag¬
gio logico: ABC e BAC allora non sono lo stesso triangolo, ma due
triangoli (sovrapposti come insiemi di punti) che risultano congruenti.
Non ho mai sentito questa contro-obiezione, ma dovrebbe rendere
legittima la dimostrazione (senza interferire con il resto della tratta¬
zione), e anche farla rientrare nel catalogo dell’umorismo matematico.
A ogni modo esiste un’altra dimostrazione ancora, di Legendre,
in cui si traccia la perpendicolare e poi si usa il criterio di uguaglian¬
za dei triangoli rettangoli, che sono uguali se hanno altezza e ipote¬
nusa uguali.
c
A B QED
Oppure si piega il triangolo lungo la perpendicolare sovrapponendo
i due triangoli.
Un altro caso famoso è il teorema di Desargues sui triangoli pro¬
spettici nel piano, la cui dimostrazione è molto semplificata proiet¬
tando i triangoli da un punto fuori del piano. Ilo
Il teorema afferma che se due triangoli ABC e A'B 'C' del piano
K sono prospettici da un punto O, i tre punti in cui si incontrano
LE FUNZIONI DELLA DIMOSTRAZIONE
75
le rette che uniscono i lati corrispondenti AB e A'B\ AC e A'C\
BC e jB'C' sono allineati, come si può vedere completando la figura.
La dimostrazione è agevole se si esce fuori dal piano, nello spa¬
zio, proiettando tutta la configurazione da un punto esterno; allora
bastano gli assiomi di incidenza. Altrimenti è difficile, e richiede
come ha mostrato Hilbert i criteri di congruenza, similarità e la con¬
tinuità. QED
Una teoria più forte, o più comprensiva, facilita in genere anche
le dimostrazioni dei teoremi della teoria minore.
2.23. Sprecare risorse
In altri casi le estensioni di teorie mettono in azione proprio me¬
todi diversi, ad esempio la teoria analitica dei numeri rispetto al¬
l’aritmetica. Metodi più potenti semplificano la vita. Nella società
opulenta si vive meglio, o si viveva meglio. Se per qualche motivo
si insiste su metodi ristretti la vita invece si complica.
Tale problematica, su cui torneremo, è stata indagata a fondo da
Hilbert sotto il nome di purezza dei metodi e ha guidato sia il suo
lavoro in geometria sia il suo programma fondazionale.
Metodi più potenti danno anche risultati più forti, oltre a dimo¬
strazioni più semplici; si pensi alla fatica di Hermite e Lindemann
per dimostrare rispettivamente che e e TTsono trascendenti, o anche
al primo lavoro di Liouville sull’argomento, e la si confronti con il
risultato di Cantor che i trascendenti sono molto più numerosi degli
altri. La dimostrazione presuppone l’altro suo teorema sulla non
numerabilità del continuo.
La dimostrazione di Cantor non fornisce alcun esempio pratica¬
bile, il risultato sarebbe valido anche se non si conoscesse alcun
esempio specifico di numero trascendente. Ma in matematica non
interessano solo le dimostrazioni costruttive; qualche volta, in
determinati contesti, sono di maggior interesse quelle non costrut¬
tive. Quella di Cantor è un corollario del notevole risultato che i
numeri algebrici sono solo un’infinità numerabile, e apre la strada
all’indagine della rigogliosa topologia della retta.
76
CAPITOLO SECONDO
L’argomento delle risorse si interseca ovviamente con quello del
paragrafo 2.18 sul contenuto costruttivo. E lecito parlare di spreco
solo quando non c’è alcun vantaggio a usare metodi più forti, ma
qualche vantaggio d’altra parte c’è sempre, ad esempio di concisio¬
ne. Nel caso della dimostrazione di 2.18 che fa riferimento al teo¬
rema di esistenza degli zeri si potrebbe parlare più propriamente di
un «largheggiare» delle risorse ai fini della comodità di espressione
per un determinato obiettivo; è inutile fare i pitocchi se si deve
arrivare in fretta ad altro.
Gli strumenti si valutano sulla base della loro appropriatezza al
contesto: in un deserto ci si muove in jeep, ma girare in fuoristrada
nelle vie di una metropoli è solo esibizionismo da baüscia. L’accusa
di spreco in questo senso era una delle critiche mosse alla new math\
la matematica assiomatica non avrebbe fornito alcun vantaggio
operativo, interferendo anzi negativamente con l’aritmetica degli
algoritmi con il continuo appello alle leggi strutturali.14
Si trascurava tuttavia la funzione di spiegazione insita nel richia¬
mo delle leggi algebriche (distributiva, associativa ecc.) e quella di
preparazione al passaggio a livelli matematici superiori. L’accusa
di spreco si riferiva al fatto di dimostrare ciò che non occorre dimo¬
strare, che sarebbe in effetti un caso in cui la denuncia è giustifi¬
cata. Ma esistono casi del genere? Gli esempi di Morris Kline erano
le addizioni fatte contando, a partire dal primo addendo; è il primo
modo in cui i bambini contano, al di là della subitizzazione con
numeri minori di 4; la dimostrazione che si può sommare in que¬
sto modo è la giustificazione della definizione ricorsiva di somma,
che abbiamo visto sopra.
2.24. Creare concetti
Le dimostrazioni hanno ovviamente una funzione creativa; la
matematica si arricchisce per nuovi teoremi e soluzioni di proble¬
mi. Ma l’arricchimento e la creatività non riguardano solo formule
e algoritmi, o enunciati, riguardano anche nuovi concetti, e l’in¬
venzione di quelli che i matematici chiamano trucchi, artifici, che
sono nuove forme di ragionamento.
14 L’argomento è il pezzo forte di M. Kline, Why ]ohnny Cant Add, Vintage, New York
1974.
LE FUNZIONI DELLA DIMOSTRAZIONE
77
La matematica infatti non ha un campo di indagine fissato, ma
cresce espandendosi, colonizzando, arando nuovi territori, o gene¬
rando nuove specie. La crescita richiede nuovi concetti; questi ven¬
gono elaborati e raffinati nel corso della costruzione della teoria
matematica, attraverso le dimostrazioni.
Fin dall’inizio. La dimostrazione che V2 non è razionale ha intro¬
dotto il nuovo dominio degli irrazionali, che solo con le approssima¬
zioni non si sarebbe mai dischiuso. A proposito di questa dimo¬
strazione Shafarevich ha detto: «Qualche volta la dimostrazione
introduce i matematici in un mondo totalmente nuovo di idee
matematiche che non sarebbero mai state conosciute senza la di¬
mostrazione».15
E stato Saccheri a dire che le definizioni sono filiae plurium de-
monstrationum, e il fenomeno si verifica secondo diverse modalità,
alcune realizzate dallo stesso Saccheri.
Lakatos ha reso famoso lo sviluppo che a partire dalla prima di¬
mostrazione di Cauchy del teorema di Eulero ha portato alla pre¬
cisazione del concetto di poliedro.16 Non c’è bisogno di sposare la
ricostruzione razionale di Lakatos per riconoscere che il raffinamen¬
to, fino alla precisazione definitiva, di un concetto viene da quello
che si dimostra e da quello che non si può dimostrare, da esempi e
da controesempi.
Da una dimostrazione si può avere l’impressione che manchi
qualcosa perché il teorema si applica a ospiti indesiderati, oppure
non si applica a qualche esempio che si vorrebbe; quindi ci si rende
conto di non aver fatto un elenco esaustivo di tutte le caratteristi¬
che degli enti in questione (o degli assiomi relativi, Frege li chia¬
mava appunto note caratteristiche di un concetto).
Alla fine del processo di aggiustamento, i teoremi diventano in
un certo senso definizioni dei concetti: gli enti di cui si vuole par¬
lare sono quelli e solo quelli per cui vale un determinato teorema.
La caratterizzazione definitiva si ha quando il teorema può essere
assunto moralmente come assioma. Si ricordi che gli enti primitivi
di una teoria matematica hanno solo una definizione implicita data
attraverso gli assiomi.
15 I. R. Shafarevich, Discourses on Algebra, Springer, Berlin 2003, p. 7.
16 I. Lakatos, Proofs and Refutations, Cambridge University Press, Cambridge 1976 (trad,
it. Dimostrazioni e confutazioni, Feltrinelli, Milano 1979).
CAPITOLO SECONDO
78
«Moralmente» significa che la definizione non ha necessariamen¬
te la forma descritta sopra, per mezzo del teorema. Questo sarebbe
il modo di procedere ridicolizzato dai nemici del metodo assioma¬
tico, che dicono che quando non si sa dimostrare un teorema lo si
assume come assioma (al modo dei ladri, diceva Russell). La defi¬
nizione deve rispettare per quanto possibile l’intuizione originaria,
e deve essere data nei termini delle altre nozioni primitive del do¬
minio in cui è inserita: ma deve riuscire a isolare esattamente que¬
gli enti per cui vale il teorema.
La ricerca di ulteriori modifiche o generalizzazioni o indeboli¬
menti non è esclusa naturalmente, non è mai finita, ma un concetto
è stato intanto precisato in modo soddisfacente, e l’ulteriore ricerca
ne introdurrà eventualmente altri variamente collegati.
Un bell’esempio è fornito dalla definizione matematica di «infini¬
to». A partire almeno da Galileo era noto che in tutti gli insiemi
(ritenuti) infiniti «la parte è equivalente al tutto», ma Dedekind
trasforma questo fatto in una vera definizione: un insieme è infinito
(riflessivo) se esiste una iniezione dell’insieme sopra un suo sotto¬
insieme proprio.
Qualche volta i teoremi diventano assiomi proprio in senso let¬
terale. I teoremi di induzione e di ricorsione di Dedekind sono un
esempio calzante; per noi ora dopo il lavoro fondazionale di De¬
dekind, Frege e Peano i numeri naturali sono, per definizione, una
struttura per cui valgono quelle due proprietà.
Il teorema di induzione è stato dimostrato da Dedekind per una
struttura definita come un particolare tipo di infinito, precisamen¬
te l’intersezione di tutti gli insiemi che contengono un elemento
fissato (l’elemento 1) e sono chiusi rispetto a una operazione iniet-
tiva (il successore). Questa definizione è diventata l’assioma di in¬
duzione, che afferma, in una opportuna lettura: se un insieme con¬
tiene 1 ed è chiuso rispetto al successore, esso contiene l’intersezione
di tutti gli insiemi che contengono 1 e sono chiusi rispetto al suc¬
cessore, cioè l’insieme dei numeri naturali.
Anche il teorema di ricorsione sulla esistenza di funzioni che
soddisfino equazioni ricorsive è diventato un assioma nell’impo¬
stazione categoriale, il cosiddetto assioma di Lawvere che caratte¬
rizza l’oggetto dei numeri naturali in un topos.
LE FUNZIONI DELLA DIMOSTRAZIONE
79
Il concetto fondamentale di numero naturale è figlio di un teore¬
ma. Le dimostrazioni generano concetti.
Ma la metamorfosi non è un furto con destrezza, il teorema di in¬
duzione e quello di ricorsione restano teoremi, nel contesto insiemisti¬
co dove si possono definire strutture e dimostrare loro proprietà.
Un altro modo in cui un’idea intuitiva diventa un termine pri¬
mitivo indefinito è illustrato dalla nozione di probabilità. Falliti i
tentativi di ridurla ad altre, riscontrata un’inevitabile circolarità in
tutte le esplicazioni proposte, si danno come assiomi le proprietà di
più frequente uso e comuni alle diverse concezioni in competizione
(classica, frequentista, soggettivista).
Un concetto intuitivo non è necessariamente destinato a diven¬
tare un termine primitivo regolato da assiomi. Un concetto può es¬
sere matematizzato all’interno di una teoria, passando dall’ambito
intuitivo a quello formale, attraverso una dimostrazione di corret¬
tezza, come abbiamo visto nel caso dell’integrale.
Un diverso modo ancora in cui le dimostrazioni permettono di
introdurre nuovi concetti è attraverso la raccolta di diverse dimo¬
strazioni che fanno uso dello stesso sottoinsieme di proprietà di
una teoria generale, e suggeriscono di isolare un nuovo interessante
insieme di assiomi. Un caso potrebbe essere la nozione di anello
estratta da quella di corpo, o le strutture non commutative rispetto
alle corrispondenti commutative.
2.25. Inventare forme di ragionamento
Un altro tipo di creatività riguarda artifici argomentativi. Si
pensi alle dimostrazioni che incominciano con «si consideri il tale
termine», o «il tale insieme» o «la tale espressione». Ad esempio,
nella dimostrazione dell’infinità dei numeri primi, «si consideri il
prodotto pxp2 ••• Pn»- Ci si chiede: da dove viene questa idea? Na¬
turalmente non lo si potrà mai dire, nel senso di entrare nella testa
del primo che ha avuto l’idea, ma vedendo come funziona l’artifi¬
cio nella dimostrazione e nei ripetuti usi successivi, ci si convince
della sua ragionevolezza e quasi, a posteriori, della sua naturalità o
inevitabilità. Artifici del genere diventano tecniche dimostrative
che si aggiungono al patrimonio logico dei matematici.
8o
CAPITOLO SECONDO
Nel caso del teorema di Euclide, la ricerca di un nuovo numero
primo potrebbe essere impostata come una bruta verifica per nu¬
meri via via più grandi del massimo di quelli dati. Per avere la cer¬
tezza che la ricerca termini dopo un numero finito di prove, con
successo o insuccesso, serve un confine superiore alla ricerca. Il
confine deve essere definito usando i dati disponibili. Il prodotto
fornisce un confine abbastanza grande, ma a priori non necessaria¬
mente sufficiente.
Tuttavia la dimostrazione non consiste nel fare le progressive
verifiche; tale ricerca sarebbe piuttosto un calcolo. La considerazio¬
ne del confine scelto rivela che esso dà informazioni che rendono
superflua la ricerca: per la sua forma, esso suggerisce un numero
non divisibile per i primi dati, precisamente pxp2 ...p„ + 1, da cui
segue facilmente, in discesa, la conclusione, qed
Questa dimostrazione dunque introduce un artificio, quello del
confine superiore a una ricerca, che nella dimostrazione stessa non
viene utilizzato come tale, ma lo sarà in molte altre.
L’idea di una costruzione di stadi sempre più grandi a partire dal
basso, che se il primo confine non è sufficiente si può iterare, ha
avuto molta importanza nello studio della predicatività e della teo¬
ria degli insiemi, e ora della complessità.
2.26. Resuscitare
Creare significa portare in vita, e comprende come caso partico¬
lare il riportare in vita, o resuscitare. Le dimostrazioni talvolta risu¬
scitano concetti o tecniche che erano dimenticate (quando non suc¬
cede addirittura che si tratta di una riscoperta indipendente). Si
pensi all’uso che Godei ha fatto del teorema cinese dei resti sulle
congruenze, che viveva la sua vita modesta in teoria dei numeri:
Godei lo ha sfruttato in un contesto del tutto differente accorgen¬
dosi che la dimostrazione forniva una codifica di sequenze finite di
numeri per mezzo di numeri. Dopo questo nuovo uso di Godei il
teorema, riportato all’attenzione dei matematici, ha trovato altre
applicazioni, ad esempio per l’organizzazione dell’aritmetica modu¬
lare nella memoria dei calcolatori.
LE FUNZIONI DELLA DIMOSTRAZIONE
81
2.27. Spiegare «perché non»
Oltre alle dimostrazioni che mostrano il «perché» ci sono le dimo¬
strazioni che mostrano il «perché non», perché certi problemi non
sono risolvibili. Vi rientrano le cosiddette dimostrazioni di impos¬
sibilità: costruzioni con riga e compasso, risoluzione di equazioni
per radicali, indecidibilità ricorsiva.
Tali risultati sono rari, ma comportano profonde e decisive anali¬
si concettuali di alcune delle nozioni portanti del fare matematica:
le costruzioni geometriche, la risoluzione di equazioni, il calcolo
effettivo.
La loro motivazione generale è la stessa che si ritrova nell’idea
di realizzare un’economia concettuale e strumentale risalendo agli
assiomi, o in quella del risparmiare le risorse; in particolare voglio¬
no stabilire i limiti precisi delle potenzialità di determinati metodi
(invece che di principi), e trovare quei problemi che sfuggono a una
trattazione con i metodi in questione, rispetto ad altri più potenti.
Nella discussione dei teoremi di Godei sull’incompletezza Zerme-
lo, che non li accettava, insisteva che erano dovuti al vincolarsi a
metodi deduttivi ristretti.
Anche i teoremi sull’indipendenza di varie proposizioni in teo¬
ria degli insiemi mostrano, con la loro dimostrazione, i limiti de¬
duttivi di determinate teorie e determinate logiche.
Le dimostrazioni di indipendenza rientrano in questa categoria:
dimostrano che non si può dimostrare, e questo è l’enunciato di
fatto che si ricorda ma, nello stesso tempo, esse spiegano il perché,
di solito attraverso la semantica (molte usano proprio i modelli, ma
non necessariamente).
2.28. Refutare
Un’ulteriore funzione, invece che dimostrare in positivo, è quella
di refutare. Tale funzione è collegata a una forma particolare di
dimostrazione che è la dimostrazione per assurdo. Questa tuttavia
si può realizzare sia localmente che globalmente.
82
CAPITOLO SECONDO
Una dimostrazione per assurdo ha lo scopo di studiare le conse¬
guenze di un’assunzione spingendosi avanti fino a che non trova
una contraddizione, refutando l’assunzione; ma intere teorie pos¬
sono compiere questa indagine, e un esempio è nell’opera di Sacche-
ri, che ha investigato le conseguenze della negazione del quinto
postulato allo scopo di trovare una contraddizione, sviluppando nel
contempo una ricca serie di teoremi alternativi, che poi sarebbero
confluiti nelle geometrie non euclidee: una sorta di applicazione in
grande del metodo di riduzione all’assurdo, dove i vari passi della
prova (per parte loro dimostrazioni di qualsiasi tipo, dirette o indi¬
rette) dovevano essere teoremi, analoghi ma devianti rispetto a
quelli della costruzione assiomatica euclidea.
2.29. Scoprire controesempi
Altre dimostrazioni realizzano una refutazione non intenzional¬
mente ma scontrandosi con l’impossibilità di riuscire. Sono dimo¬
strazioni in cui non appare esserci molta scelta di strategie dimostra¬
tive, il percorso è abbastanza obbligato e si arriva a un punto in
cui un solo passaggio sarebbe possibile, ma non è legittimo, e inol¬
tre si vede il motivo per cui non lo è, perciò ricavandone un’idea
per un controesempio all’enunciato che si pensava di dimostrare.
Si consideri la situazione in cui è stata data la definizione di fun¬
zione in termini insiemistici, e si sta indagando ora la relazione di
questa nozione generale con l’algebra booleana degli insiemi. Ci si
chiede se
f{X n Y) =f{X) n/(Y)
per sottoinsiemi qualunque del dominio di /, dove f{X) = {f{x) :
:xEX}.
Esiste un modo canonico e sicuro per dimostrare un’uguaglianza
tra espressioni booleane, ed è di dimostrare l’inclusione in entram¬
bi i sensi.
f{X n Y) çf{X) n/( Y)
segue dal fatto che se z Ef{X fi Y) allora z =f{x) per un * £ X fi Y; in
particolare z =f{x) per x E. X, quindi z E f{x), e z = f{x) per x E Y,
quindi z Ef{Y) e in definitiva z Ef{X) H/( Y).
LE FUNZIONI DELLA DIMOSTRAZIONE
83
Il percorso del viceversa è anche abbastanza determinato: si con¬
sidera z E/(X) n/(Y), quindi z E/(X) e z E/( Y), da cui z =/(*) per
qualche x EX e z = /(y) per qualche 3; E T. Non abbiamo altre con¬
siderazioni da fare, non essendoci altre ipotesi.
Tuttavia noi abbiamo bisogno che sia z =f{u) per un u E X fi Y
ma non abbiamo nessun motivo di affermare che x è anche in Y o
che y è anche in X, o che ce ne siano altri.
Mentre riflettiamo in questo modo probabilmente scarabocchia¬
mo anche una specie di diagramma di Eulero per rappresentarci gli
oggetti in gioco
conx ey che non appartengono a Xfi Y, e all’improvviso vediamo
il controesempio, che possiamo proprio rappresentare con insiemi
finiti, piccoli, diciamo {*, c} per X e {y, c} per Y.
Non c’è neanche bisogno di c, perché - ci viene in mente ora -
chi lo dice che X D Y debba essere non vuota? Anche aggiungendo
tale ipotesi su X e Y la conclusione è comunque smentita dal con¬
troesempio con X = {*} e Y = {3;}. Altrimenti, se esiste c E X fi Y
basta che f{c) =£ z.
Questo caso è emblematico di una possibilità generale: esiste un
teorema logico che garantisce l’esistenza e la possibilità di una tale
costruzione del controesempio. Nel gergo logico, il teorema afferma
che se una teoria ha un modello, ha anche un modello di termini;
più chiaramente, un modello i cui elementi sono i termini del lin¬
guaggio - proprio i termini introdotti con le regole logiche a par¬
tire dall’enunciato che si vuole dimostrare: la x e la y come ele¬
menti impliciti (ed esplicitati con una regola di esemplificazione
esistenziale)17 nell’enunciato che si considera: nel nostro casox ey
da z E/(X) e da z E/(Y), e c da X fi Y =£ 0, se c’è questa ipotesi la
cui messa in evidenza è suggerita dalla dimostrazione abortita.
w La vedremo più avanti. Oltre a questi termini si devono usare anche quelli costruiti da essi
con i simboli funzionali, se presenti.
84
CAPITOLO SECONDO
Si tratta del rinomato teorema di Skolem-Herbrand che è il fonda¬
mento delle deduzione automatica, in tutte le sue varie realizzazioni.
I programmi di deduzione automatica si basano quasi tutti sulle
possibilità deduttive garantite dalla disponibilità dei modelli di
Skolem-Herbrand.
La dimostrazione del teorema di Skolem-Herbrand fornisce una
procedura per mezzo della quale, dato un enunciato, inizia una in¬
dagine al termine della quale o si ha la contraddittorietà dell’e¬
nunciato, oppure si ha materiale sufficiente, prodotto dall’applica¬
zione delle regole logiche, per costruire un modello di termini per
l’enunciato.18
Con questo non si vuole invitare a imitare le macchine, al con¬
trario ricordare che le macchine funzionano con successo perché
dopo tutto fanno le stesse cose che facciamo noi.
2.30. Suggerire teoremi
Una volta disponibile il modello per il controesempio, studian¬
dolo si ricavano altre informazioni e suggerimenti. Guardando la
figura, freschi reduci dall’aver imparato le definizioni di base, ci si
accorge facilmente che il disegno delle due frecce convergenti a z
(astraendo dai cerchi) è lo stesso usato per rappresentare una funzio¬
ne non iniettiva: la situazione indicata è possibile solo se la funzione
non è iniettiva.
Quindi la dimostrazione fallita, o la refutazione del proposto enun¬
ciato, suggerisce in modo immediato la formulazione del teorema
corretto che si può invece dimostrare, e che riguarda solo le fun¬
zioni iniettive.
18 Esposto così semplificato il risultato non è corretto, perché implicherebbe una procedura
di decisione per la logica del primo ordine, che non esiste. In effetti la procedura nel caso che
l’enunciato sia non contraddittorio può non terminare, e solo in certi casi, ragionando sul suo
andamento, si vede che al limite si può costruire il modello di termini, infinito. In altri non lo
si riesce mai a capire.
LE FUNZIONI DELLA DIMOSTRAZIONE
85
2.31. Suggerire assiomi
Un altro esempio si ricava dalla storia dell’assioma di scelta, e com¬
bina il precedente con un altro aspetto.
Quando Dedekind introdusse la nozione di insieme infinito come
insieme riflessivo, dimostrò che un insieme riflessivo è infinito nel
senso tradizionale di non finito, cioè la sua cardinalità non può
essere contata con un numero naturale. Cesare Burali-Forti si ac¬
corse che la dimostrazione dell’equivalenza delle due definizioni di
infinito si poteva portare a termine solo esplicitando la seguente
assunzione, che sarà chiamata in seguito principio di partizione:
se S è una famiglia di insiemi non vuoti, S è equipotente a una
sottoclasse dell’unione.
La dimostrazione suggerisce nuovi assiomi.
Non si accorse Burali-Forti, così come Bettazzi e altri che accet¬
tarono la (correzione della) dimostrazione con tale integrazione,
che la formulazione del principio è inaccettabile se non si aggiun¬
ge la condizione che gli insiemi della famiglia siano a due a due
disgiunti. Se ne accorgerà in seguito, da un’altra applicazione, Ber¬
trand Russell, trovando il controesempio di 5 = { {1}, {2}, {1,2}}
e U5 = {1, 2}.
2.32. Suggerire le ipotesi giuste
In particolare, molto più frequentemente che indicare nuovi as¬
siomi, una dimostrazione accoppiata a un controesempio può rile¬
vare assunzioni mancanti. E il caso della dimostrazione di Cauchy
sulla convergenza uniforme.19 Nel commento di un contemporaneo:
Partendo dalla certezza così ottenuta che il teorema non può valere in gene¬
rale, ci deve essere alla base della sua dimostrazione una qualche ipotesi
nascosta e, se si sottopone la dimostrazione a una analisi dettagliata non è
neanche difficile scoprire l’ipotesi nascosta; procedendo a ritroso, si può
19 Si veda U. Bottazzini, Il calcolo sublime, Boringhieri, Torino 1981, pp. 158-66.
86
CAPITOLO SECONDO
allora concludere che essa non può essere soddisfatta da serie che rappresen¬
tano funzioni discontinue.20
Nel corso di una dimostrazione è l’interazione tra deduzione e
modelli che permette talvolta di correggere eventuali lacune dalla
formulazione originaria. Nell’esempio di sopra di /(X D Y), il mo¬
dello che per il teorema di Herbrand doveva essere costituito solo
da x e y ha permesso di aggiungere la condizione X D Y =£ 0, anche
se poi la dimostrazione non è andata a buon fine neanche con que¬
sta correzione.
Questa funzione delle dimostrazioni è dello stesso genere, tal¬
volta compresente, di quella della introduzione o modifica di con¬
cetti discussa sopra.
2.33. Vedere i risultati
I modelli delle teorie (o di frammenti di teorie, o delle semplici
assunzioni di un teorema) hanno sostituito le figure della geometria
euclidea. I modelli fanno vedere le cose, ma sono astratti e sono
dati dalle dimostrazioni, almeno dopo Skolem e Godei, non da una
fantomatica intuizione. Spesso invece da parte dei denigratori della
dimostrazione formale si sostiene che dalla dimostrazione, che pur
si segue e si trova passo a passo corretta, non si vede il risultato, che
invece sarebbe comprensibile nei termini della struttura in cui ap¬
pare vero.
2.34. Sostituire Vintuizione
Si dà anche tuttavia l’esperienza contraria. La frase di Cantor:
«lo vedo ma non lo credo», a proposito dell’equivalenza da lui
dimostrata tra il lato e il quadrato, dopo vari tentativi tra l’altro
anche nella direzione opposta, significa una cosa sola, che quello
che vedeva in base alla dimostrazione contraddiceva quello che
20 Ph. L. Seidel, Note über eine Eigenschaft der Reihen, welche discontinuirliche Funktionen
darstellen (1848), citato da Bottazzini, Il calcolo sublime cit., p. 159.
LE FUNZIONI DELLA DIMOSTRAZIONE
87
vedeva o si aspettava di vedere con gli occhi materiali (anche se la
dimostrazione di Cantor è accompagnata da un disegno illumi¬
nante) .
2.35. Permettere Vintuizione
In ogni dimostrazione geometrica comunque la dimostrazione
aiuta a vedere, cioè a vedere solo quello che è bene vedere. Le rette
del piano lo riempiono, se uno le vede tutte non vede niente, o solo
nero. La dimostrazione porta in evidenza a poco a poco solo, si spera,
quelle che servono, i âiagrámmata in potenza di Aristotele. La
scelta di quali vedere è di solito attribuita all’intuizione (intuizione
quindi non come visione ma come guida della visione), ma se l’in¬
tuizione introduce qualche elemento alla volta, e non subito tutto,
è in effetti una dimostrazione.
Il «vedere» è un’esperienza varia e multiforme; c’è la visione
sensibile, quella educata, quella immaginifica e forse altre. L’intui¬
zione è visione ma anche cartesiana certezza, e c’è l’intuizione geome¬
trica e quella aritmetica e quella insiemistica e quella algoritmica.
2.36. Vedere quel che non c'è
Talmente forte è la potenza visualizzatrice della dimostrazione
che essa in taluni casi permette di farsi una rappresentazione di
cose che non esistono, perché la loro esistenza è impossibile. La cir¬
costanza si verifica con le dimostrazioni per assurdo, che spesso ini¬
ziano con una rappresentazione visiva delle ipotesi, inclusa quella
assunta per assurdo.
Ad esempio si consideri il teorema di Eulero sui grafi semplici
connessi che afferma che esiste un circuito euleriano se e solo se da
ogni nodo del grafo esce un numero pari di archi. Un grafo si dice
semplice se gli archi non sono orientati. Un circuito euleriano è un
circuito chiuso completo che contiene ogni arco una volta sola. Il
problema nasce dai ponti di Königsberg.21
21 Eulero diede la condizione necessaria e sufficiente, ma senza dimostrazione, osservando
che bastava una riflessione; la prima dimostrazione è del 1837.
88
CAPITOLO SECONDO
Esistono diverse dimostrazioni, tutte interessanti dal punto di
vista della problematica della visualizzabilità.22 La parte difficile è
naturalmente quella riguardante la sufficienza della condizione,
perché la necessità è facile da capire.
Una dimostrazione è per induzione sul numero dei nodi. Diamo
solo una traccia con i casi importanti.
Se vi sono n + 1 nodi, si considera un nodo a e il restante grafo
con n nodi; bisogna quindi considerare come a è collegato alla parte
restante del grafo.
Se ad esempio a è collegato a due nodi u e v che hanno un cam¬
mino non contenente a che li collega, come in figura
a
allora si considera un circuito euleriano nel grafo ottenuto eliminan¬
do a e gli archi da a a u e da a a f, che esiste per ipotesi induttiva,
e componendolo con tali due archi si ottiene un circuito euleriano.
Quindi si considera il caso in cui a sia collegato a due vertici u e
v che a loro volta non sono collegati da un altro cammino non pas¬
sante per a; si deve dunque considerare una situazione del genere
di quella illustrata nella figura seguente:
a
Se la si vede si è bravi perché non esiste. In questo caso la dimo¬
strazione prosegue infatti facendo vedere che una tale situazione
22 Per maggiori dettagli rinviamo a G. Lolli, Visione e logica in matematica, in «Lettera Pri-
stem», 18, dicembre 1995, dossier, pp. x-xx.
LE FUNZIONI DELLA DIMOSTRAZIONE
89
è impossibile. Per arrivare a un assurdo, si eseguono diverse ope¬
razioni sulla supposta configurazione, in un modo che potrebbe es¬
sere ulteriormente illustrato graficamente, come se si mettessero
le mani sul grafo: eliminato a, si identificano i due nodi u e v por¬
tando ad avere origine comune gli archi uscenti da u e v dopo averli
colorati (rosso e nero) per poterli distinguere in successive consi¬
derazioni, che mostrano come il grafo risultante, pur avendo meno
di n + 1 nodi, non può avere un circuito euleriano.
La dimostrazione, una qualunque dimostrazione di questo teo¬
rema, ha avuto tra le sue funzioni quella di evitare a Eulero di com¬
piere una vera e propria passeggiata sui ponti di Königsberg munito
di supporti materiali quali un filo di Arianna da dipanare lungo il
percorso. Altre dimostrazioni forniscono proprio un algoritmo (do¬
vuto a Fleury) per la costruzione del circuito.
2.37. Raffinare Vintuizione
Come succede per l’introduzione di nuovi concetti, le dimostra¬
zioni raffinano Vintuizione attraverso l’accumularsi di teoremi e
controesempi.
Abbiamo un’intuizione molto più acuta e profonda della conti¬
nuità dopo tutti i teoremi E — ô di quella che si aveva prima con
l’intuizione della penna che non si stacca dal foglio. Prima non si
era in grado di immaginare curve continue prive di derivata in ogni
punto, oggi siamo in grado di vedere i frattali.
La definizione weierstrassiana E — ô voleva esprimere aritmeti¬
camente23 proprietà di un’intuizione geometrica, quella del conti¬
nuo reale e della continuità, sulla base della quale si era costruita
l’analisi ma che si mostrava inadeguata per questioni più profonde
(emblematicamente: la continuità uniforme e il famoso errore di
Cauchy). Dalla definizione si è sviluppata una nuova intuizione, se
si vuole chiamare così la familiarità con il concetto e la capacità di
anticipare risultati che si conformano alla definizione.
Secondo alcuni si tratta di un approfondimento della vecchia in¬
tuizione, secondo altri di una nuova intuizione incommensurabile 2525 Analiticamente, ma nell’Ottocento si parlava di «aritmetizzazione».
go
CAPITOLO SECONDO
con quella; in ogni caso dall’addestramento analitico è nata un’in¬
tuizione, che si distingue dalla precedente anche per il diverso lin¬
guaggio in cui si esprime: il linguaggio insiemistico ha sostituito
quello geometrico, anche se è sempre un linguaggio immaginifico.
Si potrebbe sostenere che la vecchia intuizione rimane, utile, nel
dominio di ciò che è visualizzabile, come la meccanica newtoniana
e quella quantistica possono coesistere appaiate l’una per il dominio
macroscopico e l’altra per quello microscopico. La vecchia intui¬
zione della continuità è sempre utile per alcuni teoremi. Un esem¬
pio è quello dell’esistenza del rapporto aureo.
Il numero è definito come rapporto dei lati di un rettangolo tale
che se si toglie un quadrato resta un rettangolo che, ruotato, è si¬
mile a quello originario.
Per dimostrarne l’esistenza, si parte da un quadrato e gli si fa
nascere come escrescenza a fianco un piccolo rettangolo, facendolo
poi via via crescere di base in modo continuo fino a che non si rad¬
doppia il quadrato.
All’inizio il rettangolo piccolo aggiunto è molto più stretto di quello
grande; alla fine quando diventa un quadrato è più largo; per con¬
tinuità esiste un momento nella crescita in cui il rettangolo piccolo
e quello grande hanno la stessa forma.24
Nessun ausilio intuitivo del genere è disponibile per giustificare
il paradosso di Tarski secondo cui si può decomporre una sfera in un
numero finito di parti e ricomporle con movimenti rigidi in modo
da ottenere due sfere dello stesso volume di quella data.25
2-1 Da Gowers, Matematica cit., pp. 49-50.
25 Lo si può vedere in G. Lolli, Dagli insiemi ai numeri, Bollati Boringhieri, Torino 1994,
pp. 152-56.
LE FUNZIONI DELLA DIMOSTRAZIONE
91
2.38. Confermare Vintuizione
D’altra parte, le dimostrazioni ci dicono anche di aver fiducia
nell’intuizione, quando può essere affidabile. Lo abbiamo visto nel
caso di concetti come area e integrale.
Se si traccia il disegno di un triangolo con le bisettrici che si in¬
contrano in un punto, si potrebbero avere dei dubbi sulla corret¬
tezza della coincidenza, a causa dell’ampiezza delle linee. Con una
punta più sottile, o guardando al microscopio, magari si vedrebbe
che non concorrono in un punto; ma in un disegno ben fatto si
incontrano e ài conseguenza anche le linee astratte geometriche, se
si rispettano prescritti margini di errore. Questa verità segue da un
teorema generale, quello relativo alle dimostrazioni per esempi di
Jiawaei Hong.26
2.39. Definire Vintuizione
L’intuizione sensibile da sola, per quanto raffinata, non ci dà
il risultato matematico; l’intuizione sensibile tuttavia si usa nelle
dimostrazioni quando si traccia un disegno. Per spiegare come la
sensibilità possa entrare nella matematica, un’idea ingenua è che,
quando si traccia un disegno, alla mente si presenta la «corrispon¬
dente» figura matematica: quando si disegna un triangolo, la mente
veda il concetto generale di triangolo.
Kant e altri filosofi cercarono di definire il triangolo generico;
quando si disegna un triangolo «qualsiasi» come si fa a essere ca¬
paci o sicuri di aver considerato un triangolo generico? Kant si
sforzò di caratterizzare l’intuizione matematica come la capacità di
vedere un triangolo generico in un triangolo disegnato ma per que¬
sto arrivò a postulare una facoltà speciale, l’intuizione trascenden¬
tale, come fonte della conoscenza sintetica.
Non è un disegno in sé che può rappresentare il triangolo gene¬
rico, anzi il triangolo generico non esiste. Solo il discorso che segue
2h Per qualche particolare in più si veda G. Lolli, Esperimenti e dimostrazioni, in N. A. Malara
(a cura di), Educazione matematica e sviluppo sociale, Rubbettino, Soveria Mannelli 2002, pp. 89-
132.
92
CAPITOLO SECONDO
al disegno determina le sue proprietà: se in tutte le successive co¬
struzioni e ragionamenti noi di quel triangolo facciamo uso solo del
fatto che è un triangolo, e nessun riferimento ad esempio alla mi¬
sura dei lati o degli angoli, allora per quella dimostrazione il trian¬
golo è generico, per altre magari no. Nel dimostrare un teorema sui
triangoli isosceli possiamo disegnarne uno che è anche rettangolo,
ma la dimostrazione vale per tutti gli isosceli se nel corso della
stessa non interviene mai la misura dell’angolo opposto alla base.
Questa idea, che l’intuizione trascendentale è fornita dalle dimo¬
strazioni, era già chiara a Proclo, che a proposito della conclusione
del teorema affermava:
La conclusione essi [i geometri] la ripetono due volte, la prima per il caso trat¬
tato e poi traendo un’inferenza generale, passando cioè dalla conclusione par¬
ticolare a quella generale. Infatti, nella misura in cui essi non fanno uso della
individualità degli enti trattati, ma tracciano un angolo o un segmento solo
allo scopo di presentarci i dati davanti agli occhi, essi considerano che lo
stesso fatto che è stabilito nel caso della figura particolare costituisce una con¬
clusione vera di ogni altra figura dello stesso genere ... E sono giustificati in
questo passaggio perché essi usano per la dimostrazione gli enti particolari
esibiti non quâ particolari, ma quâ rappresentanti tipici di tutti gli altri. Per¬
ché non è in virtù della misura che compete all’angolo disegnato che biseco
che io effettuo la bisezione, ma in virtù del suo essere rettilineo e niente d’al¬
tro. La misura determinata è propria dell’angolo esibito, ma la sua qualità di
essere rettilineo è comune a tutti gli angoli rettilinei. Se avessi usato un
angolo retto, e se avessi usato nella dimostrazione il fatto che era retto, non
sarei potuto passare a ogni specie di angolo; ma se non uso il fatto che è retto,
ma solo che è rettilineo, l’argomento varrà ugualmente per gli angoli rettili¬
nei in generale. [Cit. da Heath, The Thirteen Books of Euclid’s Elements, cit.
vol. 1, p. 131]
Lo si confronti con la soluzione semplicistica di Platone nella Re¬
pubblica:
Essi [i matematici] si servono e discorrono di figure visibili, ma non pensando
a queste, sì invece a quelle di cui queste sono copia ... per cercare di vedere
quelle cose in sé che non si possono vedere se non con il pensiero. [Repub¬
blica, VI, 51 Od, e]
Di qui nasce la tradizione che porta non solo a Kant ma alle opi¬
nioni ingenue dei matematici - il platonismo - e anche del largo
pubblico, che hanno seguito la strada dei filosofi invece di quella
della metodologia dettata dalla matematica.
LE FUNZIONI DELLA DIMOSTRAZIONE
93
Con gli occhi sul disegno non possiamo neanche vedere un trian¬
golo, altro che il triangolo generico; solo la dimostrazione di una
qualunque proprietà di triangoli ci fa vedere nel disegno di tre pun¬
ti e tre segmenti un triangolo, e non ad esempio un grafo.
Il pensiero matematico dipende in gran parte dalla capacità di
trattare in modo astratto un’immagine o una figura. Secondo al¬
cuni psicologi del ragionamento, le persone si fanno un modello
mentale della situazione descritta dalle premesse e poi assumono
quello che è vero nel modello come conseguenza delle premesse.
L’esperienza è familiare al matematico, e il metodo potrebbe fun¬
zionare correttamente, se il modello fosse generico; nel caso della
matematica le cose stanno proprio così,27 ma solo perché i mate¬
matici nella figura vedono tutto quanto è dimostrabile relativamen¬
te ad essa dagli assiomi, e solo quello, e non descrivono in modo
indiscriminato e naturalistico quello che vedono.
2/ Un modello di termini è in un certo senso come il modello libero nella categoria dei mo¬
delli.
3.
Strategie di dimostrazione
Esaminiamo ora in dettaglio alcune semplici dimostrazioni, per
mettere in luce quali strategie di ragionamento vengano utilizzate,
e di conseguenza quali leggi logiche sostengono i vari passaggi. Uno
degli obiettivi è anche quello di fare un ripasso, oppure una intro¬
duzione alle leggi logiche di più frequente utilizzo.
Le dimostrazioni che presentiamo sono molto vicine alle dimostra¬
zioni formalizzate. Qualcuno sostiene, come si è detto, che si perde
il senso di quello che si fa e ci si smarrisce nei passaggi locali, senza
visione globale, della strategia.
Le dimostrazioni informali d’altra parte sono più difficili per i
principianti in quanto di solito richiedono molta esperienza matema¬
tica; spesso sono costituite da un accostamento di diversi domini
di discorso; le più belle sono quelle imprevedibili.
Con le dimostrazioni formali si verifica lo stesso fenomeno che
si constata quando si guarda la pelle al microscopio; diventa irri¬
conoscibile, piena di buchi, potrebbe trattarsi di un qualunque tes¬
suto, e in generale l’aspetto è repellente, quanto invece è piacevole
l’epidermide al tatto e alla vista. Una persona non dice all’amato
«guarda la mia pelle al microscopio». Ma in compenso col micro¬
scopio si vede da cosa è costituita, e i diversi strati che non si so¬
spettavano, e altro; è una questione di livelli di realtà, o di perce¬
zione.
In verità proprio la scelta e l’indicazione delle leggi e delle regole
che si utilizzano aiutano, con la loro descrizione, a mettere a fuoco la
strategia dimostrativa, e quindi a capire il senso di quello che si fa.
STRATEGIE DI DIMOSTRAZIONE
95
Lo scopo di questa presentazione non è quello di invitare a pro¬
durre sempre le dimostrazioni con tale pignola insistenza sui det¬
tagli, quanto di insegnare a esporle (a sé e agli altri) attraverso un
discorso chiaro e comprensibile. Quando si deve eseguire un passag¬
gio logico, a differenza di un calcolo numerico o algebrico, si incon¬
trano talvolta difficoltà di espressione, innanzi tutto perché ci si
deve esprimere, poi perché si ha a che fare con una materia impal¬
pabile, il linguaggio allo stato puro nelle sue articolazioni logiche
che sono indipendenti dall’argomento concreto in oggetto.
Non è del tutto corretto dire, come talvolta si sente affermare, che
nell’esposizione informale si saltano dei passaggi, mentre in quella
formale li si eseguono tutti; non ha senso, ché non è scritto da nes¬
suna parte quali debbano essere tutti i passaggi.
Succede piuttosto che nel presentare un argomento si usino forme
linguistiche compatte, non familiari a chi non è fluente nel parla¬
re, e ha quindi difficoltà a seguire il filo del discorso; lo si verifica
quando si espone una semplice dimostrazione a una matricola. Ma
tali inferenze sono valide quanto quelle più semplici.
Chi non padroneggia una lingua può anche riuscire a dire le
stesse cose di un esperto della materia, ma in modo più lungo, fati¬
coso e inelegante, accostando (con la «e») frasi elementari, senza
consecutio, senza costrutti di connessione sofisticati: è tipico di chi
è rozzo esprimersi usando solo le proprietà di base dei connettivi,
e di pochi connettivi (e non parliamo dei pronomi e dei legami che
stabiliscono tra le frasi, cioè di variabili e quantificatori).
L’obiettivo naturalmente - e l’auspicio - è che si diventi fluenti
e si abbandoni il pidgin, non quello di insegnare il pidgin.
Un aiuto può venire dal vedere come i costrutti più compatti si
traducono nel proprio linguaggio povero, cogliendone il significato
e la portata sezionandoli su casi paradigmatici.
Potrebbe essere questo un motivo per presentare le leggi logiche
in modo assiomatico, a partire da poche, essenziali. Nei cosiddetti
sistemi di deduzione naturale ci sono coppie di regole di introdu¬
zione ed eliminazione per ogni connettivo.
Ad esempio capita (si veda oltre, p. 113) che avendo ottenuto
separatamente A e B si dica giustamente che si è ottenuto «A eB».
Ma in «ottenere A» o «dedurre A» A è un oggetto, non una pro¬
posizione, e il connettivo a lega proposizioni, non oggetti, a diffe¬
renza di «e» che serve anche a formare un insieme a partire da due
96
CAPITOLO TERZO
oggetti (funziona da unione). Nondimeno il passaggio è corretto, e
lo si giustifica con la legge di introduzione della congiunzione
i4 {B -^AaB).
Siccome questo non è un trattato di logica non presentiamo un
sistema completo di regole e assiomi, rinviando a un testo specia¬
lizzato. Per comodità tuttavia, prima degli esempi di dimostrazioni
riportiamo un elenco di leggi logiche, incominciando a mettere in
luce quelle della logica proposizionale; «legge logica» è sinonimo di
formula logicamente valida.1
Leggi logiche notevoli (per i connettivi)
A ->A
A <-> —i—iA
A a B B a A
(A a B) a C A a (B a O
A vJ3 B vA
(A v B) v C A v (B v O
A aA A
A vA A
AaB—>A
A —> /I v J3
/I a (B v O (/4 a i3) v (/4 a C)
/4 v (ß a C) <-M/4 v ß) a (/l v Q
/I a(/4 vJ3) /I
/4 v(/4 aJ3) /4
-.(/4 aJ3) (—,/i v—,J3)
—i(/l vJ3) (—I /I a —IJ3)
-.(/1a-iì4)
/4 ß —i J3 -» —.yl
/I a —iA —> B
A->(B->A)
-,A -> (/I -> ß)
(/I —> B a—IJ3) —> —1/4
(/4 —>-./4) —>-./4
(-./4 —>/4) —>/4
((/4 —> J3)—>/4)—>/4
(/4 —^ ß) v (ß —^ /4)
/4 —> ((/4 —> B)—>B)
A —> (ß —> O > B —> (A —> O
(/4 —>C) a(B —>C) <—> /4 vß —^C
(/4 —» J3) a (-1 /4 —» J3) —» J3
(i4 -» (ß -» O) -> (64 -> B) -> (/4 ->0)
64->B)a(B->C)->(/1->C)
i4 ~->(B^>Q<h>(AaB)^>C
legge dell’identità
legge della doppia negazione
commutatività di a
associatività di a
commutatività di v
associatività di v
idempotenza di a
idempotenza di v
eliminazione di a
introduzione di v
distributività
distributività
legge di assorbimento
legge di assorbimento
legge di De Morgan
legge di De Morgan
terzo escluso, tertium non datur
legge di non contraddizione
legge di contrapposizione
Lewis, o ex falso quodlibet
affermazione del conseguente
negazione dell’antecedente
legge di riduzione all’assurdo
riduzione all’assurdo debole
consequentia mirabilis
legge di Peirce
legge di Dummett
modus ponens
scambio antecedenti
distinzione di casi
distinzione di casi
distributività di —»
transitività di —»
importazione/esportazione delle premesse
1 Usiamo le convenzioni abituali sull’ordine di precedenza tra i connettivi, per non appe¬
santire con troppe parentesi. L’ordine di priorità dei connettivi è: —i, a, v, —», <-».
STRATEGIE DI DIMOSTRAZIONE
97
L’elenco è costituito dalle tautologie di uso più frequente, tanto
è vero che ognuna ha un nome di riconoscimento - se in latino,
significa che la legge è stata riconosciuta e apprezzata da tempo
sono le prime che si deducono in un qualunque sistema assiomatico
di logica, ma si possono anche assumere come assiomi, ad abun-
dantiam, e vedremo che tutte vengono usate.
Se si accettano come leggi logiche proposizionali tutte le tauto¬
logie, allora l’unica regola proposizionale necessaria, e ripetuta-
mente utilizzata, è quella del modus ponens, ma vedremo che è
comodo anche averne altre a disposizione, per ogni connettivo.
Ad esempio la regola diretta
AaB
B
si ottiene dalla tautologia AaB^B con la regola del modus po¬
nens, applicata a AaB e AaB —> B, e ha lo stesso nome «elimina¬
zione della congiunzione».2
La regola
A
AvB
si chiama «introduzione della disgiunzione», come la tautologia
A —^ AvB.
La legge di introduzione della congiunzione non è presente nell’elen¬
co ma si dimostra con la legge di esportazione da AaB —> AaB che
a sua volta è un caso della legge dell’identità.
Con tali sistemi di regole, o usando le tautologie elencate (e
anche meno), si riescono a riprodurre tutti i costrutti inferenziali
della lingua italiana che coinvolgono «e», «o», «non» «se... allora»
e le altre particelle logiche. Innanzi tutto qualunque connettivo si
definisce in termini di —1, a e v, quindi ogni tautologia si deduce
da quelle elencate: è il teorema di completezza per la logica propo¬
sizionale.
2 Quella simmetrica riguardante l’altro congiunto si ottiene da questa e dalla commutatività
della congiunzione.
98
CAPITOLO TERZO
Per le leggi logiche riguardanti i quantificatori ricordiamo:
Leggi logiche notevoli (per i quantificatori)
Vx-,/1 -,3x/l
De Morgan generalizzata
-1 Vx-i/1 3xA
De Morgan generalizzata
Vx/1 ->3x-,A
De Morgan generalizzata
Vx/l(x) -> A{t)
particolarizzazione (t ammissibile)
A(t) -> 3xA(x)
generalizzazione esistenziale (t ammissibile)
Vx/l(x) <-> \/yA{y)
rinomina, y non in A{x)
3xA(x) 3yA(y)
rinomina, y non in A(x)
Vx(/1 aB) « Vx/1 a Vxß
distributività di V su a
3x{A vß) 3xA v 3xB
distributività di 3 su v
Vx/1 v Vxß —> Vx(/4 v B)
distributività parziale diVsuv
3x(A aB) -> 3xA a3xB
distributività parziale di 3 su a
Vx(/1 ^ß) ^ Vx/1 -> Vxß
distributività parziale di Vsa->
Vx(/1 -» J3(x)) <->/!-> Vxß(x)
(x «o« libera in A)
3x{A —> B(x)) <-> A —» 3xß(x)
(x non libera in A)
Vx(/1 v ß(x)) /I v Vxß(x)
(x non libera in A)
3x(/l aB(x))o/1a 3xß(x)
(x non libera in A)
Vx(/l(x) -> ß) <-> 3x/l(x) -> ß
(x non libera in B)
3x(/l(x) -> ß) <-> Vx/l(x) -> ß
(x non libera in B)
VxVy/lfx, y) <-> VyVx/l(x, y)
scambio dei quantificatori
3x3yA{x, y) 3^3x/l(x, y)
scambio dei quantificatori
Ci riserviamo di tornare a commentarle quando necessario,3 insie¬
me alle regole riguardanti i quantificatori, che sono regole delicate
che richiedono alcuni commenti. Tutti pensano di conoscerle, e
magari le usano in modo giusto, ma la loro formulazione precisa
non è né ovvia né semplice.
Infine occorre avere presenti le leggi dell’uguaglianza, che inter¬
vengono in tutte le manipolazioni algebriche:
Leggi dell’uguaglianza
X = X
riflessività
x = y —> y = x
simmetrìa
x = y/\y = z —> x = z
transitività
t = s -»/(*) =f(s)
sostitutività per termini
t = s^(A(t)^A(s))
sostitutività per formule
dove t ed s sono termini del linguaggio in uso, f(x) un altro termine
contenente la x, e A(x) sta per una formula qualunque contenente
x libera.
3 Ricordiamo subito tuttavia che una variabile x si dice libera in A se ci sono occorrenze di
x in A che non cadono nel raggio d’azione di alcun quantificatore Vx o 3x.
STRATEGIE DI DIMOSTRAZIONE
99
Il termine f{t) indica il risultato della sostituzione di t a tutte le
occorrenze di x in/(*); la formula A{t) indica il risultato della sosti¬
tuzione di t a tutte le occorrenze libere di x in A{x), con restrizioni
su t che discuteremo più avanti.4
Nelle manipolazioni algebriche, i passaggi da un’uguaglianza a
un’altra presuppongono il modus ponens e gli assiomi di sostituti-
vita dell’uguaglianza: da t = s a f{t) = f{s) grazie a t = s f{t) = /(s),
oppure gli assiomi devono essere sostituiti da corrispondenti regole,
ad esempio
t = s
M=f{s)
o
f{t)=g{t), t = s
f{s) = g{s)
Gli esempi che seguono sono tutte dimostrazioni nella logica del
primo ordine, che è sufficiente per la matematica elementare. D’al¬
tra parte le regole per la logica del secondo ordine (che controllano
connettivi e quantificatori) sono le stesse di quelle del primo ordi¬
ne, è la semantica che cambia. Quindi questi esercizi sono un buon
allenamento per ogni tipo di logica.
3.1. Dimostrazioni dirette
Un primo tipo, molto frequente, di dimostrazione si chiama
dimostrazione diretta, ed è esemplificata dal seguente caso.
Consideriamo il teorema che afferma che se due numeri sono
divisibili per 3, anche la loro somma è divisibile per 3.
Dimostrazione II primo passo da compiere è quello della for¬
malizzazione, anche parziale, e consiste nell’indicare due numeri
con n ed m, e nello scrivere l’ipotesi
Ip. n è divisibile per 3 e m è divisibile per 3
o con un ulteriore passo di formalizzazione
Ip. ò\n e 3|m.
4 Si veda la nota 17 e dintorni.
IOO
CAPITOLO TERZO
Un secondo passo consiste nell’espandere la definizione dei con¬
cetti in gioco, definizione che ha accompagnato l’introduzione dei
concetti e dei simboli, in questo caso quello di divisibilità:
Def. 3| n se e solo se n = 3i per qualche i
e analogamente:
Def. ò\m se e solo se m = 3/ per qualche
Il passo successivo sfrutta l’equivalenza delle definizioni per
riformulare l’ipotesi in
n = 3ÌAm = 3j. [1]
La scomparsa di «per qualche i» e di «per qualche ;», e la loro ri¬
comparsa più avanti, rientra nella manipolazione delle variabili, su
cui per ora soprassediamo; procediamo come il matematico. I sim¬
boli m, n, i, ; ecc. sono variabili.
Usiamo ora una legge dell’uguaglianza, un caso particolare del¬
l’assioma di sostitutività,
n = 3i/\m = 3j n + m = 3i + 3j. [2]
Da [1] e da [2], con un’applicazione del modus ponens
n + m = 3i + 3j. [3]
Di qui, si passa a n + m = 3(i + ;), con una manipolazione algebrica
diretta delle uguaglianze. In verità questo passaggio suppone il
riferimento a un fatto noto, valido nell’universo aritmetico che
stiamo considerando, vale a dire la proprietà distributiva:
n + m = 3/ + 3; —> n + m = 3(i + [4]
una nuova applicazione del modus ponens a [3] e [4] fornisce
n + m = 3{i + j). [3]
Dalla [5] si arriva alla conclusione voluta ripristinando le defini¬
zioni, per mezzo di equivalenze, vale a dire scrivendo che, siccome
n + m = 3k per qualche k, in particolare per k = i + ;, allora 3\{n + m),
come si doveva concludere, qed
Un’altra possibilità sarebbe stata quella di inserire, dopo
n = 3ì am = 3; —> n + m — 3i + 3;
[2]
STRATEGIE DI DIMOSTRAZIONE
IOI
subito
n 4- m = òi + 3; —> n + m = 3(i + ;) [4]
e quindi, con un’applicazione della transitività del condizionale, da
[2] e [4]
n = òi/\m = òj n + m = ò{i + j) [6]
e la stessa conclusione di prima con il modus ponens da [1] e [6]. qed
Questo tipo di dimostrazione si chiama diretto, o in avanti, per¬
ché procede da proposizioni a proposizioni da esse implicate con
l’uso sostanzialmente delle leggi logiche del modus ponens
Aa(A^B)^B
e della transitività del condizionale, o sillogismo ipotetico,
(A -> jB)a(B -> C) -> (A -> Q
o meglio delle regole associate. Quella del sillogismo ipotetico si rap¬
presenta come
A —^ jB, B —> C
A^C '
Anche la legge della distributività del condizionale
(A —> (E —> Q) —> {{A —> B) —> (A —> C)),
che incontreremo in seguito in altri esempi, si può considerare nella
stessa categoria delle regole «in avanti».
Oltre a queste regole portanti dello sviluppo della dimostrazione
ne intervengono localmente altre. Ad esempio la [4] richiede sia la
distributività, supposta già dimostrata, nella forma
3 i + 3; = 3 (z 4- ;'),
sia la transitività dell’uguaglianza, nella forma
3i + 3; = 3(i + ;) am + n = òi + 3; —> m + n = 3(i + ;);
da questa, per esportazione delle premesse,
3i + 3; = 3(i + ;) —> {m + « = 3i + 3; —> m + « = 3(i + ;'))
pronta per il modus ponens.
102
CAPITOLO TERZO
In alternativa, la [4] si ottiene dalla distributività con l’assioma
di sostitutività dell’uguaglianza.
In verità non abbiamo neanche segnalato tutti i punti in cui i pas¬
saggi erano di tipo logico, e non aritmetico o riguardanti l’uguaglian¬
za. Ad esempio la prima trasformazione dell’ipotesi «J>\n e 3|m»
avviene lavorando separatamente sulle due affermazioni, per ricavare
rispettivamente un i e un /'. Questo significa che da ò\n Aò\m si
passa prima a 31 n con una mossa che è giustificata dalla legge logica
dell’eliminazione di a. Quindi da ò\n n = 3i e da 3|m m = 3;
si passa a }\nAj>\m n = J>iAm = J>j con leggi del bicondizionale
che si verificano facilmente, insieme ad altre come
(A C)a(B D) (AaB CaD).
Un’altra regola che si può far rientrare nei procedimenti in avan¬
ti è quella collegata alla legge della affermazione del conseguente, che
da A permette di dedurre B —> A qualunque sia B:
A
B^A'
Questa mossa merita un commento perché in sé sembrerebbe un
indebolimento ozioso di A. La sua funzione è quella di portare
sotto l’azione di ipotesi o fatti già stabiliti risultati che in verità
non ne dipendono, ma che devono essere combinati con altri che
ne dipendono.
Ad esempio si consideri il teorema:
Se n è dispari allora anche n2 è dispari.
Dimostrazione Si può fare appello al prodotto notevole
{2k 4- l)2 = 4k2 4- 4k + 1
e ottenere, per l’affermazione del conseguente,
n = 2k 4-1 —> (2k 4-1)2 = 4&2 4- Ak 4-1.
Questa implicazione serve perché insieme a
n = 2kJrl-ìn2 = (2k 4-1)2
STRATEGIE DI DIMOSTRAZIONE
103
permette di dedurre, con l’introduzione di a nel conseguente,
n = 2k 4-1 —> n2 = (2k 4-1)2 a {2k 4-1)2 = Ak2 4- Ak 4-1
e per la transitività dell’uguaglianza
n = 2k 4-1 —> n2 = Ak2 4- Ak 4-1
da cui segue poi n = 2k 4-1 —> n2 = 2h 4-1, cioè n2 dispari, con h =
= 2k2 + 2 k. QED
L’ultima cruciale implicazione si sarebbe anche potuta ottenere
in un altro modo; con la legge di sostitutività dell’uguaglianza:
n = 2k 4-1 -4 ((2k 4-1)2 = Ak2 4- Ak 4-1 —> n2 = 4&2 4- Ak 4-1)
quindi, per la distributività di -4
(n = 2k 4-1-4 (2k 4-1)2 = Ak2 4- Ak 4-1) -4
-4 {n = 2k 4- 1 -4 «2 = 4&2 4- Ak 4- 1),
e infine la conclusione voluta con il modus ponens dalla stessa impli¬
cazione di prima {n = 2k 4-1 -4 (2k 4- l)2 = 4&2 4- Ak 4- 1). qed
L’affermazione del conseguente si sarebbe comunque potuta evi¬
tare del tutto, qui e in generale con il seguente trucco: dal caso par¬
ticolare della sostitutività dell’uguaglianza di sopra, si sarebbe po¬
tuto scrivere
(2k 4-1)2 = Ak2 4- Ak 4-1 -4 {n = 2k 4-1 -4 n2 = Ak2 4- Ak 4-1)
con la legge dello scambio degli antecedenti, e quindi applicare il
modus ponens, con l’antecedente (2k 4- l)2 = 4k2 4- 4k 4- 1 ovvia¬
mente dimostrabile, qed
Tutte le varie alternative esaminate sono costituite da passaggi
in avanti e si possono considerare dimostrazioni dirette.
3.2. Distinzione di casi
Consideriamo ora il teorema che di tre numeri interi consecutivi
uno almeno è divisibile per 3. Per rappresentare tre generici nu¬
meri interi consecutivi - supponiamoli positivi - una possibilità è
quella di indicarli con n, n 4-1 ç. n 4-2. L’enunciato del teorema
allora diventa: o ò\n o 3\{n 4-1) o J>\(n 4- 2).
104
CAPITOLO TERZO
Dimostrazione L’usuale dimostrazione si basa sulle proprietà
della divisione e del resto, che è minore del divisore, quindi in que¬
sto caso uguale a 0, 1 o 2. Non abbiamo nessuna ipotesi esplicita
del teorema relativamente al dato che è n, ma abbiamo che per ogni
n, grazie al teorema fondamentale della divisione,
« = 3# + rconr<3 [1]
per qualche q ed r.
Di qui per semplici fatti aritmetici si può affermare5
n = òq o n = òq + 1 o n = òq 4- 2. [2]
Ci sono ora tre possibilità: se r= 0, cioè n = 3q, allora siamo a posto
(così si dice). Ma cosa significa questo rispetto all’enunciato del
teorema? Il teorema è implicato da n = 3q, ovvero da ò\nì perché
ò\n ^ ò\nvò\{n + l)vò\(n + 2)
per la legge logica di introduzione della disgiunzione. L’introduzio¬
ne della disgiunzione è un indebolimento apparente della conclu¬
sione a cui si è arrivati, e non viene in mente di citarla, ma è neces¬
sario per confrontare quello che si è ottenuto con quello che si
otterrà dopo.
Abbiamo dunque
n = òq —> ò\nvò\{n + 1) vò\{n + 2). [3]
Se invece n = òq + 1 allora n + 2 = J>q + 3 = 3(q + 1); quindi nel¬
l’universo aritmetico n = òq + 1 —> ò\(n 4- 2) e quindi di nuovo per
l’introduzione di v
n = òq + 1 —> J>\nv}\{n 4-1) v}\{n 4- 2). [4]
Analogamente si ottiene
n = òq + 2 —» ò\nv3|(« + 1) v3|(« + 2) [5]
in ognuno dei tre casi lo stesso conseguente.
5 Non stiamo più a segnalare i punti in cui si procede in modo diretto; a ogni modo, in que¬
sto caso n = òq + r con r< 3 significa n = òq + rAr< 3 cioè n - òq + >-a {r = 0 v r = 1 v ;■ = 2) e
per la distributività segue la formula di sopra.
STRATEGIE DI DIMOSTRAZIONE
105
Ora, per la legge logica della distinzione di casi, da [3], [4] e [5]
si deduce che la disgiunzione dei rispettivi antecedenti implica la
stessa conclusione, che non è altro che l’enunciato del teorema; ma
tale disgiunzione degli antecedenti è la [2], per cui per modus po-
nens si ha la conclusione.6 qed
Altre applicazioni della distinzione di casi si incontrano nelle
prime dimostrazioni relative all’algebra degli insiemi.
L’unione è caratterizzata, oltre che da YçYUZeZçYUZ,
dalla proprietà di minimalità:
se 7ÇX e ZçX allora YUZÇX.
Dimostrazione Se x E Y U Z allora per definizione x E y vx E Z;
se xE Yallora per YÇX vale xEXesexEZ allora per Z Ç X vale
pure x E X. qed
Situazioni in cui si fa naturalmente ricorso alla distinzione di
casi sono quelle in cui per un’affermazione universale sui naturali
si distinguono il caso pari e il caso dispari; oppure quando in un’af¬
fermazione universale numerica si distingue il caso positivo dal
caso negativo e dal caso nullo.
Ad esempio, per dimostrare che ogni numero reale non negativo
ha una radice quadrata si parte esplicitando il dato, un generico
numero non negativo, scrivendo O^x, che significa, per la rela¬
zione tra < e che x = 0 vx> 0.
I due casi si trattano in modo molto diverso; se x = 0 basta osser¬
vare che 0 è una radice di 0, e quindi questa esiste; se x > 0 occorre
la descrizione di un processo che genera il numero che è la radice
di x, che comunque esiste anche in questo caso; alla fine si applica
tacitamente la distinzione di casi, qed
Quando diciamo «tacitamente» intendiamo proprio che la legge
non è menzionata, perché non c’è l’abitudine, né in effetti la neces¬
sità, se uno ricorda che ha impostato la dimostrazione per distinzio¬
ne di casi, di ricordare o riassumere i casi precedenti.
6 Naturalmente le due circostanze che si verificano in questo esempio, che l’enunciato del
teorema è una disgiunzione, per cui a un certo punto interviene la legge della introduzione del v,
e che la dimostrazione si fa per casi, quindi con una disgiunzione degli antecedenti, perché anche
l’ipotesi è una disgiunzione, non hanno nessuna relazione tra loro.
io6
CAPITOLO TERZO
Un caso particolare della distinzione dei casi si ha quando i due
casi sono del tipo C e —i C, e magari sono introdotti come artificio
ad hoc, e allora apparentemente si riesce a dimostrare un risulta¬
to che non dipende da ipotesi specifiche: daC—> A e —■ C —> A e
Cv—tC —> A segue A dimostrando l’antecedente con il terzo escluso.
Supponiamo ad esempio di voler far vedere che ogni numero
reale è minore o uguale al suo valore assoluto; è da dimostrare
x^\x\.
Dimostrazione Non c’è alcuna ipotesi su x, salvo che si tratta di
un numero reale (fatto che permette di richiamare tacitamente tutte
le proprietà dei numeri reali). Ma noi introduciamo l’alternativa
x<0vx<0,
come legge logica del tertium non datur, che si trasforma agevol¬
mente (per le proprietà di <) in
x<0vx^0.
Ora se x ^ 0 allora x= |x|, quindi x ^ \x\; se x < 0 ^ |x|, allora x
< \x\, quindi |x|. qed
A volte sembra che si usi la distinzione di casi ma non è così, o
meglio, è anche così ma c’è una spiegazione più breve. Ad esempio,
consideriamo l’argomento con cui si dimostra che per p primo, se
p\{nm) allora p\n oppure p\m.
La dimostrazione di solito inizia nel seguente modo: mostriamo
che se p\n allora p\m. (L’argomento matematico poi può continuare
con un appello alla fattorizzazione dei numeri naturali: data la scom¬
posizione di nm in fattori primi, tra essi compare p, ma raccoglien¬
do quelli di n, p resta tra gli altri, cioè tra quelli di m. qed)
Se richiesto di un chiarimento sull’impostazione della partenza,
chi parla probabilmente spiega: se p\n siamo a posto, se p\n allo¬
ra..., che appare un implicito appello alla distinzione di casi.
Ma la spiegazione più semplice è che AvB è equivalente a —■ A —>
—>B, quindi p|(w7z) ~^p\nwp\m è equivalente api {nm) —> (p\n—>p\m),
e si sta procedendo in modo diretto - e non c’è bisogno di dire «se
p\n siamo a posto».
STRATEGIE DI DIMOSTRAZIONE
107
3.3. Sillogismo disgiuntivo
Cogliamo ora l’occasione per mettere ordine nella trattazione delle
relazioni d’ordine negli usuali sistemi numerici, alcune proprietà
delle quali sono familiari dall’esperienza scolastica. La relazione
d’ordine può essere introdotta in due modi diversi, a seconda che
si privilegi la relazione di ordine stretto oppure quella attenuata.
O si introduce prima7 e quindi si definisce < con
oppure si introduce prima < e si definisce ^ con
x^y<r^x<yvx = y.
Nel primo caso per la relazione ^ si hanno a disposizione le leggi
x ^ x
x^y Ay ^z —> x^z
x^y Ay^x —> x = y
oltre eventualmente a
riflessiva
transitiva
antisimmetrica
x^yvy^x
e si dimostrano le proprietà
x<x
x<y —> y <x
x<^A^<z —> x<z
oltre eventualmente a
ordine totale
antiriflessiva
antisimmetrica
transitiva
x<yvy<xv x = y ordine totale
nel secondo caso il viceversa. Questi due insiemi di leggi possono essere
assunti come definizione assiomatica delle relazioni d’ordine totale.
Diverse leggi logiche intervengono in queste dimostrazioni. Ad
esempio per dimostrare la proprietà riflessiva di a partire dalle
' Non diciamo qui come si può definire, in modo non assiomatico, ché non è rilevante, e d’al¬
tra parte si procede in modo diverso nelle diverse situazioni; ad esempio tra i naturali si usa defi¬
nire x y se esiste un z tale che x + z = y; in altri casi si definiscono prima i numeri positivi, e
poi si ponex<;yse;y-xè positivo.
io8
CAPITOLO TERZO
proprietà di <, si nota che
x = x —> x = xvx<xy
per la legge dell’introduzione di v e quindi si ottiene la conclusione
con il modus ponens da x = x, assioma dell’uguaglianza, qed
In questa dimostrazione quindi non intervengono proprietà di <.
Per dimostrare la proprietà dell’ordine totale per a partire
dalle proprietà di <, si dimostra, sfruttando la mutua definibilità
dei connettivi, l’equivalente
x^y —> y^x.
A tal fine si assume x y e si osserva che x^y è equivalente, per
la definizione di a
x<yAx=É y
per una delle leggi di De Morgan.
Poiché la proprietà di ordine totale di < è una disgiunzione, viene
a puntino il sillogismo disgiuntivo:
A, -,AvB
B
che si ottiene dal modus ponens sostituendo A —> B con l’equivalen¬
te —iA vB, e che si può considerare una regola di eliminazione della
disgiunzione.
Con due applicazioni del sillogismo disgiuntivo (precedute da
un’eliminazione di a) x<£y e x ^ y forniscono y <x che con l’in¬
troduzione del v diventa y ^ x:
x<y Axi^y
x<y
x^y
x<yvx = yvy <x
x = yvy <x
y<x
y<xvx = y. qed
Si noti che per < la proprietà antiriflessiva è conseguenza del-
l’antisimmetria, perché x < x —> x < x implica x < x per la legge di
STRATEGIE DI DIMOSTRAZIONE
109
riduzione all’assurdo debole (ma si suole citarla sempre esplicita¬
mente per la sua importanza).
Se si riesce a non perdere la bussola, si possono completare le di¬
mostrazioni delle proprietà di ^ a partire da quelle di < e viceversa.
Nella dimostrazione di |x| del precedente paragrafo siamo par¬
titi dalla tautologia x < 0 v —1 (x < 0) e abbiamo rimpiazzato x < 0
conx^O, appellandoci a proprietà di <, arrivando a x<0vx^0.
Ma quest’ultima formula, scritta comex<0vx = 0vx>0, èia pro¬
prietà di ordine totale di <, e non ci sarebbe stato bisogno di deri¬
varla facendo appello al tertium non datur e alla distinzione di casi,
come abbiamo fatto prima.
Il fatto è che la proprietà di ordine totale di < equivale proprio
a ripartire il dominio in tre insiemi disgiunti. Quando si ha il domi¬
nio ripartito in n insiemi disgiunti si possono seguire due vie equiva¬
lenti e difficilmente distinguibili. Si può usare la distinzione di casi
(generalizzata a n), oppure si può usare ripetutamente il terzo escluso
e il sillogismo disgiuntivo.
Un altro esempio di uso del sillogismo disgiuntivo è la dimostrazio¬
ne della legge booleana
X U 0 = X.
Dimostrazione Se x E X U 0 allora x E X v x E 0; ma x Ì 0,
quindi x E X. Il viceversa X Ç X U 0 è un’applicazione immediata
dell’introduzione della disgiunzione, qed
Il sillogismo disgiuntivo non è altro che una diversa formula¬
zione del modus ponens, che tuttavia ha una sua giusta autonoma
formulazione per i casi come quello dell’ultimo esempio, in cui
interviene in modo naturale una disgiunzione e la negazione di un
disgiunto; altrimenti bisognerebbe artificialmente sostituire la
disgiunzione con il condizionale (x Ì 0 —> x E X per x E X vx £ 0)
per applicare il modus ponens.
Qualche volta invece la sostituzione di una disgiunzione con il
condizionale non è innaturale, ma al contrario più elegante, come
abbiamo visto nel caso di p\{nm) ->p\ nvp\m.
I IO
CAPITOLO TERZO
3.4. Contrapposizione e modus tollens
La legge logica di contrapposizione
(A->B)<r* (-,£ -,i4)
è spesso usata quando si deve dimostrare un condizionale.
Ad esempio per dimostrare
PUQ=~(~?n~Q)
si considera il bicondizionale
*ePUQ<->*e~(~Pn~Q)
e prima si assume x E P U Q derivando x E ~ (~ P D ~ Q) (con la
distinzione di casi e ovvie proprietà della congiunzione), quindi per
la direzione inversa si assume x P U Q e si deriva x E ~ P Pi ~ Q,
dimostrando così di fatto
*EPUQ<-xE~(~Pn~Q)
attraverso
x£PUQ-**E~Pn~Q,
come richiesto, qed
La legge di contrapposizione giustifica anche la regola del modus
tollens che si schematizza con
A —> P, —tB
-IA
che si può vedere come un modus ponens relativo al condizionale
—ìB —> -u4, equivalente a A —> B, e che ha le applicazioni più varie.
Un esempio dovuto a Lewis Carroll è il seguente argomento:
a) I bambini sono illogici.
b) Le persone che sanno come trattare i coccodrilli non sono disprez¬
zate.
c) Le persone illogiche sono disprezzate.
d) Perciò i bambini non sanno trattare i coccodrilli.
STRATEGIE DI DIMOSTRAZIONE
111
L’argomento è valido in quanto la conclusione d) segue dalle pre¬
messe con questi passaggi: da b) e c) per modus tollem si ha che le
persone illogiche non sanno come trattare i coccodrilli; quindi la
conclusione segue da questo e da a) per transitività.
3.5. Dimostrazioni per assurdo
La contrapposizione è collegata alla dimostrazione per assurdo,
che si presenta in diverse varianti.
La più comune è quella in cui partendo dall’assunzione A si ar¬
riva a una contraddizione, e quindi si conclude —i A, secondo la
legge di riduzione all’assurdo.
Un esempio, dove la riduzione all’assurdo interviene come parte
finale della dimostrazione, dopo altri argomenti, che includono la
contrapposizione per modificare e meglio usare un condizionale, è
il seguente teorema:
Se n divide (« — 1)! 4-1 allora n è primo.8
Dimostrazione La conclusione che n è primo la dimostriamo
provando chep non divide n per ognip<n.9 Ovviamente conside¬
riamo p > 1.
L’ipotesi è n\{{n — 1)! 4-1). Osserviamo innanzi tutto che se p < n
allora ovviamente p\{n — 1)!. Questa condizione su p resta adesso
fissata per tutto il ragionamento, o meglio p<n implica tutte le
affermazioni seguenti.
Ricordiamo il fatto noto che
a\bAa\{b + c) —> a\c
e contrapponendo
a\c a\b v a\(b + c).
Come caso particolare
pii ->p|(»- 1)! vp/((«- 1)! + 1).
8 L’operazione fattoriale «! è definita da «! = 1 • 2 • 3 ■... • ».
9 Tale formulazione ristretta è equivalente alla definizione di primalità perché i divisori di
un numero sono minori del numero stesso. Anzi basterebbe meno, si veda oltre (p. 113).
I 12
CAPITOLO TERZO
Ma p|l, quindi
p\{n — 1)! vpì((n — 1)! + 1).
Ma p\{n — 1)!, quindi p/((» — 1)! 4-1) per il sillogismo disgiuntivo.
La conclusione parziale di questa prima parte diretta della dimo¬
strazione è che, per p<n,
p\{{n- 1)! + 1).
Ora dobbiamo provare che p non divide n, e lo facciamo per
assurdo. Assumiamo p\n. Siccome per ipotesi n\{{n — 1)! + 1), se
p\n avremo per la transitività della relazione di divisibilità che
p\{(n — 1)! 4-1), una contraddizione con la conclusione della parte
precedente della dimostrazione. Dunque p\n. qed
Torniamo un momento indietro a vedere come funziona la condi¬
zione p<n che abbiamo usato nel corso della dimostrazione, dicen¬
do che implicava tutte le successive affermazioni. Nella prima parte,
quando abbiamo detto «Ma p\{n — 1)!, quindi p\{{n — 1)! 4-1) per il
sillogismo disgiuntivo», ci siamo espressi in modo corretto ma ab¬
breviato; ci sono almeno tre modi in cui esplicitare le leggi logiche
che intervengono.
Primo modo Noi in realtà avevamo che
p\(n — 1)! vpf((« — 1)! + 1)
e inoltre
p<n —> p\{n — 1)!,
ovvero quest’ultima e
p|(» — 1)! —» pl((n — 1)! + 1).
Allora per la transitività del condizionale si ha
p<n -> pì({n- 1)! 4-1).
Secondo modo Da
p|(« — 1)! —» p\((n — 1)! + 1)
con Taffermazione del conseguente si ha
p<n {p\{n- 1)! 1)! + 1),
STRATEGIE DI DIMOSTRAZIONE
113
e con
p <n —> p\(n — 1)!
e la distributività di —> si arriva alla stessa conclusione.
Terzo modo È quello che di fatto è stato usato. Il sillogismo
disgiuntivo è sempre valido anche relativizzato a una (stessa) con¬
dizione che implica le due premesse e la conclusione:
A —> B, A —> -1 BvC
A->C
e la dimostrazione che questa è una regola valida si può fare in ge¬
nerale come nel secondo modo, qed
La più famosa dimostrazione per assurdo della storia è forse
anche la prima, quella della irrazionalità di V2, che non faremo il
torto di presentare.
Una contraddizione è normalmente un enunciato della forma
A a—iA, oppure due enunciati A e —\A, ottenuti separatamente,10 11
A qualunque perché tutte le contraddizioni sono equivalenti tra
loro (per ex falso quodlibet da una di esse si può dedurre qualunque
enunciato).
A volte si dice che certi enunciati, come 0 = 1, sono un assurdo,
o una contraddizione in sé, ma in realtà non esistono contraddi¬
zioni in sé; la formula 0 = 1 è una contraddizione solo perché tra gli
assiomi o i fatti noti si ha già 0 1. Se da A si deduce 0 = 1, allora da
0 1, per l’affermazione del conseguente, si ha anche A —> 0 ^ 1, e
ci si riporta alla contraddizione classica A—>0 = 1a0A1.Lo stesso
con altre formule.
Ad esempio, dimostriamo che per verificare se n è primo basta
provare a dividerlo per i primi che sono ^ LV^J, dove con Lv^J
indichiamo la parte intera11 della radice quadrata di n. Supponiamo
che tutti questi primi non dividano n, e dimostriamo che allora n è
primo. Supponiamo per assurdo che n non sia primo; allora n è un
prodotto di primi tutti maggiori di LV^J, prodotto che è maggiore
di n, e si avrebbe n < n, assurdo.12 qed
10 Si ricordi la legge di introduzione di a.
11 II più grande intero «V«.
12 n<n congiunta con l’antiriflessività di < dà una contraddizione.
CAPITOLO TERZO
114
La riduzione all’assurdo debole non è più debole, ma solo un
caso speciale della riduzione all’assurdo, in cui partendo da A si
arriva a —1 A, ma naturalmente anche ad A, e allora la contraddi¬
zione è data da A a—iA e la conclusione è la negazione della pre¬
messa, cioè —iA. Anzi la si potrebbe chiamare forte invece che
debole perché non ha bisogno di altro che di A. Nel caso partico¬
lare in cui si parte da —1A e si arriva a —1—1 A, per la legge della dop¬
pia negazione si può concludere A, e questa legge
(-•A -> A) -> A}
in cui si dimostra A assumendo —1A e derivando da essa A, cioè de¬
rivando quello che si vuole dimostrare dalla propria negazione, ha
talmente colpito la fantasia da essere chiamata consequentia mira-
bilis.
Un teorema in cui si può riconoscere l’argomento della riduzione
all’assurdo debole è quello con cui si stabilisce che esistono infiniti
numeri primi. Si può formulare la stessa conclusione dimostrando
che non ci sono solo k primi, qualsiasi sia k.
Dimostrazione Supponiamo che ci siano solo k primi p0, pu ...,
pk _ j. Si considera il numero
N = 1 + (2 • 3 • 5 •...
e si dimostra facilmente (con un argomento simile a uno visto in
precedenza) che nessuno dei primi p0, pl5 Pk -1 è un divisore di
N, che peraltro è maggiore di tutti questi. Ora si applica una distin¬
zione di casi. Se N è primo, è un nuovo primo; se N non è primo,
è divisibile per un primo maggiore dei p0, plt ...,pk_u e in entrambi
i casi non è vero che i numeri primi sono tutti i {p0, pu ..., Pk-\}>
o che ne esistono solo k. Quindi non esistono solo k primi.13 qed
Una riduzione all’assurdo si può vedere anche quando si applica
il modus tollens\ infatti avendo A —> B e —\B si può dire che se si
avesse A, si avrebbe per modus ponens anche B, cioè insieme a —1B
una contraddizione; quindi —\A.
15 La complicazione dell’argomento è dovuta anche all’enunciato, in forma un po’ artificiosa.
Se si fosse detto semplicemente che si intendeva dimostrare: dati k primi, ne esiste uno mag¬
giore, si sarebbe potuto fare una dimostrazione diretta.
STRATEGIE DI DIMOSTRAZIONE
115
Più esplicitamente, da —,B segue A —> —1B per la legge di afferma¬
zione del conseguente, quindi si ha sia A —> B sia A —> —ìB e si
applica la riduzione all’assurdo.
Viceversa la riduzione all’assurdo si può derivare dalla contrapposi¬
zione, perché da A —> Ba—\B contrapponendo si ha —1 BvB —> —1 A,
e B v—ìB è la legge del tertium non datur, quindi -iA.
Alcune dimostrazioni per assurdo possono dunque essere sosti¬
tuite da applicazioni della contrapposizione.
Si consideri la dimostrazione del fatto che se b e c sono interi e
se l’equazione x2 4- bx 4- c = 0 ha soluzioni razionali, queste in realtà
sono intere. Una dimostrazione in cui si usa la riduzione all’assurdo
è la seguente.
Dimostrazione Si parte da
— b± \lb2 — 4c
x= 2
e si osserva che per essere x intero occorre che il numeratore, intero
per ipotesi, sia pari. Per dimostrare che il numeratore è pari, essen¬
dovi un radicale che non è facile decidere che proprietà abbia,
viene in mente di considerare il quadrato.
Abbiamo prima dimostrato che se un numero è dispari, il suo
quadrato è dispari. Se vogliamo (provare a) fare uso di questo fatto,
possiamo impostare una dimostrazione per assurdo, assumendo che
il numeratore sia dispari. Allora il suo quadrato è dispari. Ma svol¬
gendo i conti, si vede facilmente che il quadrato è della forma 2m,
cioè pari. Dunque che il numeratore sia dispari implica una con¬
traddizione, e il numeratore è pari, qed
Altrimenti, ricordando sempre l’implicazione già dimostrata
«n dispari —> n2 dispari», si può inserire la contrapposizione «n2
pari —> n pari», che termina con la conclusione desiderata, e pro¬
vare a dimostrare che il quadrato del numeratore è pari. Elevando
al quadrato e facendo i conti, si vede che questo in effetti è il caso.
QED
Consideriamo un altro esempio. Per dimostrare che, per a e b
razionali o reali, seab = 0 allora o a = 0 o b = 0, si può per assurdo
CAPITOLO TERZO
116
negare il condizionale, e quindi supporre che
ab = 0ea::i:0ebi=0
per la legge sulla negazione del condizionale (—■ (A —> E) <-> A a—&)
e De Morgan.
Ma ora se a -=h 0 si può dividere ambo i membri della prima ugua¬
glianza per a, e si ottiene b = 0, e si ha una contraddizione, qed
Si noti in questo esempio che si potrebbe anche vedere un caso
di consequentia mirabili^, perché quando si arriva a dedurre b — 0
si può continuare con
ab = 0 —> b = 0
per l’affermazione del conseguente, quindi
ab = 0 ^ a = Qvb = 0
per l’introduzione della disgiunzione, e quindi dalla negazione del
condizionale da dimostrare si è arrivati al condizionale stesso, qed
Infine, invece, in modo diretto si può assumere ab = 0 e di¬
mostrare la conclusione, che è una disgiunzione, nella forma che
a 0 —> b = 0. Questo si ottiene come sopra dividendo ab = 0
per a. qed
La dimostrazione per assurdo è forse quella più ostica per i prin¬
cipianti, anche per l’aura di mistero nella quale si continua ad
avvolgerla, gli avvertimenti che ne accompagnano l’esecuzione, il
nome stesso; ma si potrebbe, per assurdo, sostenere che è la più im¬
portante.
Innanzi tutto dal punto di vista psicologico è la forma di dimo¬
strazione che costringe a staccarsi dall’abitudine di pensare che le
dimostrazioni procedano dal vero al vero; l’assunzione della dimo¬
strazione in questo caso è qualcosa che in nessun modo si può con¬
siderare vera, qualsiasi cosa s’intenda.
Abbiamo inoltre già osservato che il modo più diretto di dimo¬
strare T \= A sembrerebbe quello che provare che non ci può essere
un modello di T e di —■ A, invece di controllare la verità degli enun¬
ciati nelle interpretazioni che, se pur talvolta necessario, non è lo
spirito del ragionamento deduttivo.
STRATEGIE DI DIMOSTRAZIONE
”7
L’osservazione è basata sull’equivalenza
T\= A se e solo se TU {—\A} è insoddisfacibile,
ovvero TU {—>^4} non ha un modello, è un insieme contraddittorio.
In particolare B\= A se e solo se B a—iA è contraddittorio, cioè
implica una contraddizione. Questa è la base della dimostrazione
per assurdo.
Esistono diversi calcoli logici che sono basati su questa proprietà
e si sono rivelati più efficienti degli altri; del calcolo della risolu¬
zione, utilizzato a fondamento della dimostrazione automatica,
diremo dopo. Anche il metodo degli alberi di refutazione, per veri¬
ficare se B —> A è una tautologia, cerca di trovare un modello, o di
scontrarsi con l’impossibilità di farlo, per Ba—iA; si dice che si
cerca un controesempio a B A.
Le dimostrazioni per assurdo infine sono molto frequenti, proprio
nella matematica elementare. Quando si lavora con successioni e
limiti ad esempio, per dimostrare che il limite di una successione è
un numero, o il valore che interessa, spesso si ragiona per assurdo.
Il metodo di esaustione dei greci era precisamente basato su que¬
sto tipo di argomento.
Eudosso14 per dimostrare che «i cerchi stanno tra loro come i
quadrati costruiti sui loro diametri», prima dimostra che «dato un
cerchio è sempre possibile inscrivere in esso un poligono con un nu¬
mero sufficientemente grande di lati, tale che la differenza fra il
cerchio e il poligono sia minore di un’altra superficie qualunque,
piccola a piacere». Quindi osserva che se non fosse X : X' = d2 : d'2
sarebbe X : S = d2 : d'2 con S maggiore o minore di X. Supponiamo
che sia minore; si iscriva in X' un poligono di area contenuta tra S
e X' e... si arriva a un assurdo, qed
3.6. Dimostrazioni in avanti e all'indietro
Una distinzione che viene fatta tra possibili impostazioni delle
dimostrazioni è quella tra il procedere in avanti {forwards), a partire
dalle ipotesi verso la conclusione, oppure nel risalire indietro {back-
14 Si veda E. Rufini, //«Metodo» di Archimede (1926), Feltrinelli, Milano 1961.
CAPITOLO TERZO
118
wards), dalla conclusione a enunciati che implichino la conclusione,
con l’obiettivo di arrivare tra questi a trovare le ipotesi.
La distinzione non coincide esattamente con quella tra le dimo¬
strazioni dirette e le altre, anche se vi sono collegamenti; la scelta
tra le due strategie dipende spesso dalla forma delle ipotesi e della
conclusione, o dalle conoscenze che si hanno a proposito delle ipo¬
tesi stesse e di altri fatti connessi alla possibile conclusione.
Se la conclusione è un enunciato negativo, l’idea di una dimostra¬
zione per assurdo o per mezzo della contrapposizione è plausibile,
anche se il successo non è garantito. Ma ci sono altri motivi per sce¬
gliere questa strategia.
Ad esempio, per dimostrare che
Se 2" — 1 è primo, allora n è primo,
è più facile, o almeno promettente, partire dalla conclusione15 in
cui si parla di n, dal quale con operazioni aritmetiche si può arri¬
vare a 2" — 1, che non viceversa, visto che per estrarre n da 2n — 1
occorre passare attraverso un log2.
In effetti, assumendo n non primo, quindi della forma n = hk,
con h> 1 e & > 1, si può osservare che
2" — 1 = {2hf-ì = mk-l = (m- 1 ){mk '1 + ... + 1)
che, per quel che si sa sui valori di h e k, fornisce una scomposi¬
zione di 2" — 1 nel prodotto di due fattori > 1. qed
Le dimostrazioni all’indietro che non siano per assurdo come la
precedente richiedono attenzione; supponendo che si dovesse di¬
mostrare
x + “7 ^ 2 per x > 0
converrebbe partire dalla disuguaglianza da dimostrare, e compiere
su di essa manipolazioni algebriche che forniscono espressioni alge¬
briche equivalenti, fino ad arrivare a un risultato noto che vale per
ogni x> 0:
*2 + 1 S32 x2~2x+l (x-l)2
XXX
quest’ultimo vero per la regola dei segni, qed
15 Ma in un precedente teorema con analoga tesi, p. Ili, si è proceduto in avanti.
STRATEGIE DI DIMOSTRAZIONE
119
Nel caso delle trasformazioni algebriche il fatto che il legame sia
quello dell’equivalenza permette di andare sia avanti che indietro,
il che è comodo, mentre in genere non è facile andare all’indietro
divinando enunciati validi che implichino la conclusione voluta -
perlomeno non ci sono criteri generali.
Ma quando si usano equivalenze, nelle dimostrazioni all’indie-
tro, bisogna fare attenzione a non perdere il senso della direzione.
La successione delle disuguaglianze di sopra nell’ordine in cui sono
state scritte, rappresenta una analisi, nella terminologia greca; il
risalire dall’ipotesi x > 0 e dall’ultima disuguaglianza alla prima che
si doveva dimostrare, è la sintesi. La dimostrazione è diretta, ma
all’indietro.
Per gli studenti (anche universitari) dimostrazioni di questo tipo
sono tra le più difficili, o tra quelle che più li confondono. Per
dimostrare un’uguaglianza algebrica partono infatti sempre dalla
formula da dimostrare, e non sempre riescono a concludere.
Dimostrazione Dovendo dimostrare la formula
xu(xn~Y) = xu(yn(~yux))
la risposta più pulita e sensata che può capitare di vedere è qualcosa
del genere:
xu(xn~Y) = xu(7n(~yux))
x=xu(yn(~yux))
x=(xu Y)n(xu-yux)
X=(XU Y)n(XU~Y)
x=xu(yn~Y)
x=x
ma senza parole.
Ci sono vari modi di illustrare questi passaggi muti e di renderli
una dimostrazione corretta. Una possibilità è quella di affermare
che ogni riga è equivalente a quelle adiacenti sopra e sotto, e che
X = X è un assioma dell’uguaglianza, e quindi rileggerla nella sin¬
tesi dal basso in alto. Oppure si può affermare che entrambi i ter¬
mini dell’uguaglianza proposta sono uguali a X; ma allora la pre¬
sentazione dovrebbe essere diversa:
da una parte XU(XD~Y)=X per l’assorbimento,
I 20
CAPITOLO TERZO
dall’altra
xu (Y n (~ Y ux)) = (xu Y) n (xu ~ y u X)
= (XU Y)n(XU~Y)
= XU(7n~y)
=X. QED
La giustificazione non accettabile è quella implicita nel procedi¬
mento in avanti commentato da «quindi... quindi...», che invece
è quella presente nella mente degli studenti; i quali infatti se richie¬
sti di un commento come unica spiegazione riescono a dire che
«X = X è sempre vera», e non riescono a fare il collegamento con
la tavola di verità dell'implicazione, che dà «vero» anche per con¬
seguente vero e antecedente falso.
Non saprebbero spiegare perché allora ad esempio la seguente
X=Y
x=xhy dax=xnx
xux=xu(xn Y)
X = X U (X fi Y) per ìdempotenza
X = X per assorbimento
non è una dimostrazione di X = Y> anzi non sono sicuri che non lo
sia e non li si stia ingannando.
3.7. La gestione dei quantificatori
Per la dimostrazione di formule con quantificatori, a partire da
assunzioni con quantificatori, le mosse che è necessario fare e che
è sufficiente fare sono l’eliminazione dei quantificatori, per ridursi
al caso proposizionale e algebrico, e poi la reintroduzione dei quan¬
tificatori come passo finale per arrivare alla conclusione, quando
questa li contiene.
I quantificatori non sono propriamente operatori logici16 ma
dichiarazioni: la loro funzione è quella di indicare se le variabili
sono da intendere in senso universale o particolare; fatto questo,
nel modo più chiaro e utile possibile, il loro compito è esaurito ed
16 Lo sono nella versione insiemistica, di proiezione e cilindrificazione, per la definizione di
insiemi.
STRATEGIE DI DIMOSTRAZIONE
I 2 I
è meglio toglierli di mezzo; il lavoro vero e proprio si fa con i connet¬
tivi e le operazioni.
Questo è il motivo per cui nelle dimostrazioni informali, in quelle
dei matematici, raramente compaiono formule quantificate; la ge¬
stione dei quantificatori avviene all’inizio e alla fine, naturalmente
è fatta in modo corretto ma spesso non viene menzionata, e i quan¬
tificatori non si vedono, con possibili difficoltà per il principiante.
Alcune leggi sono state usate negli esempi precedenti, ma ora le
mettiamo in luce esplicitamente.
Per eliminare il quantificatore universale è fondamentale e di
uso continuo la legge di particolarìzzazione
\/xA{x) —> A(t),
dove A(t) si ottiene sostituendo il termine t a tutte le occorrenze
libere di x in A.17
Questa legge intuitivamente esprime il fatto che, se in una qua¬
lunque interpretazione vale VxA(x), allora A vale per un qualsiasi
individuo, in particolare quello descritto da t\ ma occorre prestare
attenzione alle insidie linguistiche non percepibili in una tratta¬
zione informale. La lettura della legge è corretta se affermando che
vale A{t) si intende che la proprietà espressa da A vale per l’indi¬
viduo rappresentato da t, sempre la stessa proprietà applicata a
diversi individui. Alcune sostituzioni sintatticamente lecite tutta¬
via modificano il senso di A(t).
Se ad esempio A{x) è la formula 3y{x y), allora è vero che,
poniamo nei naturali, ma qualsiasi interpretazione con almeno due
elementi andrebbe ugualmente bene, \/x3y{x y) e in particolare
3y(0 y), 3y(l A y), 3y(l + 1 ±y), come pure 3y{x2 y) o 3y{z A y).
Se però si sostituisce a x la variabile y allora non si ha più la
stessa proprietà affermata per y, come prima lo era per x, o per 0
o per z o per x2, ma si ha 3y(y y), che, a parte che è falsa, non ha
più lo stesso significato.
Sono necessarie quindi restrizioni perché t sia ammissibile.18 11 ‘ In verità una notazione corretta per il risultato della sostituzione di t a tutte le occorrenze
libere di x in A sarebbe A[x/t], perché altrimenti con la scomparsa di x non si capisce a quale
variabile sia stato sostituito t. Ma nei contesti come quello della legge di particolarìzzazione non
c’è rischio di confusione.
18 t non deve essere e non deve contenere variabili quantificate in A e tali che qualche occor¬
renza libera di x cada nel raggio d’azione dei loro quantificatori. I termini senza variabili, detti
«chiusi», sono sempre ammissibili. Tutti possono diventare ammissibili con una opportuna rino¬
mina delle variabili quantificate in A.
122
CAPITOLO TERZO
Le applicazioni della legge sono frequenti; gli assiomi di una teo¬
ria sono in genere enunciati che iniziano con un quantificatore uni¬
versale (oppure sono presentati come formule valide, supponendo
tacitamente una possibilità di sostituzione di termini qualsiasi alle
variabili che è di fatto un’applicazione della particolarizzazione).
Si trovano sia esempi di applicazioni in cui t è chiuso sia esempi
in cui contiene variabili.
Esempio La legge booleana dell’unicità dell’elemento neutro
dell’addizione
Vx(x + y = x) —> 3; = 0
si può dimostrare in questi due modi.
Applicando a Vx(x 4- y = x) la particolarizzazione con 0 si ottiene
0 4- y = 0 da cui con trasformazioni algebriche, utilizzando ;y + 0 = y,
si arriva a y = 0.
Applicando invece a Vx(x + y = x) la particolarizzazione con
— y si ottiene —y + y= — y} quindi 1 = — y e y = 0. qed
Nell’esempio la formula quantificata universalmente è del tipo
\/xA{x, y), e —y è ovviamente ammissibile, come qualunque altro
termine, perché A(x, y) non contiene quantificatori.
Una legge simmetrica rispetto a quella di particolarizzazione,
che si chiama anche di generalizzazione esistenziale, o di indeboli¬
mento esistenziale, e che permette la reintroduzione di un quanti¬
ficatore, afferma che è logicamente valida
A(t) -> 3xA(x)
con le stesse restrizioni su t.
Ad esempio, siccome y 4- (—y) = 0 vale negli interi, si può dedurre
che vale 3x{y 4- x = 0); qui bisogna pensare che A(t) è y 4- (—y) = 0,
con —y per t, e che A(t) è ottenuta da y 4- x = 0 per sostituzione di
— y a x. Ma potrebbe essere stata ottenuta per sostituzione di —y a
zin;y4-z = 0esi può altrettanto correttamente dedurre 3z(y 4- z = 0).
Un’applicazione di questa regola appare nella precedente dimostra¬
zione della proprietà che se due numeri sono divisibili per 3 anche
la loro somma lo è. Allora partendo da n = 3i e m = 3; e arrivando
a n + m = 3(i 4- ;) si concludeva correttamente che 3k{n + m = òk).
STRATEGIE DI DIMOSTRAZIONE
123
Per illustrare un’altra regola, consideriamo l’enunciato
se x è divisibile per 2, allora x+1 non è divisibile per 2,
che in simboli diventa
2\x —» 2f(x + 1)
e più esplicitamente
Vx(3;y(x = 2 -y) —> —13y{x 4- 1 = 2-y)).
Per dimostrare questo enunciato, dimostriamo la formula
3y(x = 2 - y) —> —13y(x 4- 1 = 2 -y)
che quantificheremo universalmente alla fine.
Siccome dobbiamo dimostrare un condizionale, assumiamo come
premessa l’antecedente e deduciamo il conseguente, regola che si
giustifica per il fatto che
T(=z4—se e solo se TU{A}\=B.
Data 3 y{x = 2-y), diciamo «sia c un elemento tale che x = 2 - c»
e scriviamo
x = 2-c
dove c è una nuova costante.
Si dice che x = 2 - c è ottenuta per esemplificazione o particolariz-
zazione esistenziale. La mossa riassume il ragionamento «introdu¬
ciamo un nome temporaneo per uno19 di questi elementi che soddi¬
sfano la formula x = 2-y», nome che non può essere uno dei nomi
propri (costanti) disponibili nell’alfabeto perché non si sa quale sia
questo elemento.20
Ora da x = 2 - c occorre dedurre —i3y(x 4-1 = 2 • y). La forma negati¬
va suggerisce di fare una dimostrazione per assurdo; si assume quindi
3 y(x 4- 1 = 2-y).
Di nuovo, sia d una nuova costante, per cui x 4- 1 = 2 • d. Il nome d
non solo deve essere nuovo rispetto alle costanti del linguaggio ori¬
19 In questo esempio particolare ce ne può essere solo uno, ma in generale, col quantifica¬
tore esistenziale, non si sa quanti ce ne sono, se uno o più.
20 Siccome c dipende da x, si dovrebbe piuttosto avere una funzione di x, o una notazione
del tipo cx, che però sarebbe inutilmente pesante.
124
CAPITOLO TERZO
ginario, ma anche rispetto a quelle introdotte nel corso dell’argo¬
mentazione; in attesa di ulteriori elaborazioni non si sa infatti e
non si può dire se l’elemento sia lo stesso o diverso.21
Ora occorre svolgere le conseguenze di x = 2 • c ax + 1 = 2 - d. Le
costanti c e d vengono da due mosse indipendenti che non permet¬
tono di sapere come sono fra loro i due elementi così denotati; si
devono quindi considerare tutte le possibilità, che c = d, che c < d,
che d < c.
c = d porta a una contraddizione x = x+l;d<c porta a una contrad¬
dizione x+l<x; c<d porta, per sottrazione, a 1 = 2 • {d — c) ^ 2;
in ogni caso una contraddizione, a partire da x = 2 • c, quindi —i3;y(x +
+ 1=2-3;), come volevasi dimostrare.22
—1+ 1 = 2 • y) è stata dedotta da x = 2 • c, ma nella conclu¬
sione non si parla di c, utilizzata come appoggio nel ragionamento;
il che è bene, perché non sarebbe opportuno concludere un teo¬
rema con una formula in cui occorre un elemento sconosciuto.
D’altra parte l’obiettivo della dimostrazione, fissato all’inizio, non
contemplava elementi sconosciuti, ma enunciati determinati. E
infine nella dimostrazione non si è usata alcuna proprietà di c, se
non il fatto che x = 2 • c.
Si conclude allora che -^(x + 1 = 2 • 3;) è stata in realtà dedotta
da 3y{x = 2'y).
Questo passaggio tecnicamente chiude l’applicazione della re¬
gola di esemplificazione esistenziale, che copre tutti i passi dal mo¬
mento in cui si dice «sia c un elemento tale che x —2c» fino a
quando scompare la c.
La dimostrazione termina poi scrivendo prima 3y{x = 2 • y) —>
—> —13y{x + 1=2-3;) e quindi poiché x era qualunque, Vx(33;(x =
= 2-y) —> -n3y(x + 1 = 2-3;)). qed
21 Se alla fine dovesse risultare che d è uguale a c, vuol dire che si sono attribuiti due nomi
allo stesso elemento, che non è inusuale, sia nella vita comune sia in matematica, ogni volta che
si dimostra che due termini sono uguali, ad esempio 0 = 0 + 0.
22 Ripasso di logica proposizionale: se da A e B segue una contraddizione C, A aB —> C, ne
segue —\{A aB), le due proposizioni sono incompatibili, ma quale salvare? -i(/l aB) è equivalente sia
ad A —> —iB sia a B —> —>A. Tuttavia dallo svolgimento della dimostrazione si vede che in realtà si è
dimostrato l’equivalente, per importazione/esportazione, A —> (B —> O, da cui A —» (—>C —> ->B)
e quindi A —> —>B (perché —>C è una tautologia), e la scelta è dunque implicita nell’impostazione
della dimostrazione.
STRATEGIE DI DIMOSTRAZIONE
125
Si noti come la dimostrazione di una stupidaggine abbia richiesto
la riduzione all’assurdo, la distinzione di casi e una sofisticata regola
dei quantificatori (oltre a proprietà aritmetiche).
La regola di esemplificazione esistenziale potrebbe sembrare di¬
versa dalla meccanica applicazione di una regola sintattica (che ha
una o due premesse e una conclusione immediata determinata dalla
forma delle premesse).
Prima di discutere questo fatto, vediamo un altro esempio: di¬
mostriamo che se un numero è divisibile per 4 allora è divisibile per
2. In questo caso l’elemento sconosciuto apparentemente si mantie¬
ne fino alla fine, nella conclusione, e allora deve essere eliminato
da questa con un’applicazione della generalizzazione esistenziale.
Da
3y{x = 4 -y)
si passa a
x = 4 * c
x=(2-2)-c
x = 2-(2-c)
Di qui si vede che x è divisibile per 2, ma non si può terminare con
questa formula. Per generalizzazione esistenziale invece, conside¬
rata la formula x = 2 • (2 • c) come formula del tipo A[y/{2 • c)], con
A(y) uguale a x = 2 • y, si può allora dedurre
per concludere
e quindi
3 y(x = 2-y)
3;y(x = 4-y) —> 3y(x = 2-y)
Vx(3y(x = 4 my) —> 3y(x = 2 • y)).
QED
La regola di esemplificazione esistenziale si può giustificare con
una serie di regole logiche usuali, nel senso che tutte le sue appli¬
cazioni possono essere sostituite da altri ragionamenti che non ne
fanno uso.
Ne diamo solo un esempio richiamando
3 y(x = 2 -y) —> —>3y(x +l = 2-y).
CAPITOLO TERZO
i 26
Poiché y non è libera nel conseguente, si può scrivere in modo equi¬
valente23
Vy(x = 2 • y —> -i3 y{x 4-1 = 2-y));
si dice: y può essere qualunque, purché soddisfi poi l’antecedente
x = 2’y.
Allora la y di x = 2 • y è trattata in questa versione della dimo¬
strazione come una variabile universale. Data una y qualunque, per
particolarizzazione, occorre dimostrare che
x = 2 • y —> —i3;y(x 4-1 = 2 • y)
ovvero
x = 2 *y —> \/y{x 4-1 =£2my).
Il quantificatore del conseguente può essere spostato nel prefisso,
dopo aver eseguito un’opportuna rinomina, e la formula da dimo¬
strare è equivalente a
Vz(x = 2 - y x + l ¥= 2 • z);
quindi possiamo provare a dimostrare
x = 2-;y->x4-1^2-z
con tutte le variabili intese in senso universale.
Per assurdo, assumiamo la negazione del condizionale, quindi
x = 2*;yAx4-l = 2*z
e con gli stessi calcoli fatti sopra, con y e z al posto rispettivamente
di c e d, arriviamo a una contraddizione.
Abbiamo quindi il condizionale
x = 2 *3; —> x+ 1 A 2
e quantificando universalmente
VxV;yVz(x = 2-y —>x+1^2-z)
da cui con le leggi logiche pertinenti
Vx(3;y(x = 2 • y) —> Vz(x 4-1 2 • z)). QED
25 Questo e i seguenti spostamenti dei quantificatori sono giustificati dalle leggi logiche di
p. 98. Gli spostamenti servono ad avere i quantificatori dove la loro dichiarazione di universa¬
lità o particolarità è più utile.
STRATEGIE DI DIMOSTRAZIONE
127
Si noti che di solito nel gergo matematico, dove non si usa indi¬
care i quantificatori, attraverso un’interpretazione (corretta) del¬
l’enunciato da dimostrare si imposta direttamente proprio
sex = 2-;y allora x 4- 1 -=h 2 • z.
Un problema delle esemplificazioni esistenziali, non logico ma
pratico, è che non c’è l’abitudine di usare coerentemente nuove
costanti, ma spesso si utilizzano le variabili, perché non si ha la con¬
cezione che il linguaggio si costruisce e si domina a seconda delle
necessità.
In riferimento all’esempio precedente, dato 3y{x = 2 • y) in un testo
di matematica si propone: «sia y un elemento tale che x = 2- y».
L’uso di variabili è legittimo, ma richiede diverse cautele.
La variabile y di «sia y tale che A(y)»y a seguito di 3yA(y), non
deve comparire libera in eventuali altre formule già utilizzate nella
dimostrazione, in quanto queste se ci sono pongono vincoli sull’e¬
lemento denotato da y, mentre di questo si sa solo, e si vuole usare
solo, il fatto che soddisfa A{y). Nel caso in esame, 3y{x = 2 • y) è la
prima assunzione da cui si parte, quindi non si presenta questo pro¬
blema, altrimenti si deve usare una nuova variabile e dire «sia
w tale che A{w)» - o fare prima una rinomina di 3yA{y) in un
3wA{w). Questo cambiamento ha anche il vantaggio, se la variabi¬
le è insolita, di ricordare il suo status speciale. Il termine usato per
l’esemplificazione esistenziale deve essere un termine, vale a dire
un’espressione che denota nelle interpretazioni un elemento (sco¬
nosciuto salvo per il fatto che deve soddisfare A). Che il simbolo
nuovo sia un c non presente nell’alfabeto, o un simbolo w presente
nell’alfabeto ma mai usato, e si chiami di conseguenza costante o
variabile non fa nessuna differenza, se lo si gestisce in modo cor¬
retto. Se è una variabile, questa variabile libera ha un senso parti¬
colare, non universale, condizione che deve essere tenuta presente
nel corso di tutta la dimostrazione, finché essa non scompare.
La variabile introdotta in un’esemplificazione esistenziale scompa¬
re nello stesso modo in cui abbiamo visto scomparire la c, ad esem¬
pio per generalizzazione esistenziale.24
24 È in genere il destino più comune delle variabili introdotte a partire da un quantificatore
esistenziale.
128
CAPITOLO TERZO
Riprendiamo la dimostrazione. Da «sia y un elemento tale che
x = 2 • 3;» si prosegue come prima: si deve dimostrare che da x = 2 • y
segue —i3^(x + 1 = 2-y).
Per assurdo, si assume x = 2 • y e 3y(x + 1 = 2 • y) e di nuovo si
applica l’esemplificazione esistenziale. La regola richiede che si uti¬
lizzi una variabile diversa da quelle che occorrono libere nella parte
precedente, in questo caso da y.
Si perviene così ax = 2- ;yAx+l = 2- zda cui segue una con¬
traddizione con gli stessi calcoli di sopra, con y e z al posto rispet¬
tivamente di c e d. QED
Altro esempio. La dimostrazione di 3y{x = 4 • y) —> 3y(x = 2-y)
si svolge come sopra assumendo 3y{x = 4 -y) ed esemplificando: sia
y uno di questi, per cui
x = 4' y
x=(2-2)-y
x = 2 • (2 • y)
3 y{x = 2-y)
quest’ultima per generalizzazione esistenziale, qed
E come se il quantificatore By, staccato dall’ipotesi, restasse a
seguire dall’alto i vari passi e trasformazioni della sua y, in questo
caso in 2 -y, per poi alla fine ripiombare nella posizione dovuta.
Tuttavia le cautele e le restrizioni per la regola di esemplifica¬
zione esistenziale non sono ancora finite.
Finché la costante o la variabile introdotte come esemplifica¬
zione di un quantificatore esistenziale non sono scomparse, l’argo¬
mento è incompleto, e non terminato, come in sospeso, per il rife¬
rimento a questo elemento sconosciuto.
Quello che bisogna assolutamente evitare è di quantificare uni¬
versalmente una variabile che sia stata introdotta come esemplifi¬
cazione di un quantificatore esistenziale (in questo l’uso di una
costante ha l’ovvio vantaggio di non indurre in tale errore).
Un abbaglio clamoroso dovuto a una simile disattenzione sarebbe
la seguente dimostrazione di 3xVy{x<y) a partire da \/x3y(x<y).
Assunto Vx3;y(x<3;), per particolarizzazione si ha 3^(x<3;); per
esemplificazione esistenziale, sia y tale che x<y. Se ora dimenti¬
STRATEGIE DI DIMOSTRAZIONE
129
candosi della natura particolare di y si affermasse V;y(x<;y) si potreb¬
be concludere per generalizzazione esistenziale che 3xV;y(x<3;).
Ma questa conclusione non è conseguenza della premessa, come
si vede dal fatto che la premessa è vera negli interi, mentre la con¬
clusione non lo è.
Anche la gestione della reintroduzione del quantificatore uni¬
versale è più delicata di quanto finora abbiamo lasciato intendere.
Si possono legittimamente (ri)quantificare universalmente le varia¬
bili libere che derivano per particolarizzazione da un quantifica¬
tore universale, ma non è questa tutta la storia. A volte sembra di
lavorare con variabili libere che non derivano da una particolariz¬
zazione, e che pure hanno un significato universale. La vera con¬
dizione è che le variabili non occorrano libere nelle premesse.
Ad esempio, se si parte da 0 < x e con un argomento corretto,
utilizzando le proprietà dei numeri reali, si conclude 3y{x = y2),
non si può affermare Vx3;y(x = y2), poiché c’è una condizione re¬
strittiva su x stabilita dalla premessa. In realtà l’argomento che por¬
ta da 0 < x a 3y{x = y2) stabilisce
0 <x —> 3^(x = y2)
per x qualunque, senza alcuna premessa (salvo le proprietà dei
numeri reali, assiomi, che sono espresse da enunciati, senza varia¬
bili libere). Quindi x non è libera nelle premesse della derivazione
di quest’ultima formula, che non ci sono, e si può correttamente
quantificarla in Vx(0 <x —> 3y{x = y2)).
Infine esiste un problema con la generalizzazione universale all’in¬
terno della esemplificazione esistenziale.
Un errore dovuto a cattiva gestione della quantificazione uni¬
versale sarebbe il seguente. Da Vx3;y(x<;y) per particolarizzazione
si ha 3y(x <y) e per esemplificazione, sia c tale che x < c. Se ora si
quantifica universalmente x si ottiene Vx(x < c) e per generalizza¬
zione esistenziale 3;yVx(x<;y). La conclusione, che afferma resi¬
stenza di un massimo per <, è palesemente falsa nei naturali, dove
invece la premessa è vera. Ma la premessa è un enunciato, e sem¬
brerebbe quindi che non vi fossero variabili libere nelle premesse
e tutte le regole fossero applicate correttamente. La spiegazione sta
nel fatto che quando si dice «sia c tale che x< c» inizia, come abbia¬
mo detto sopra, un argomento particolare, una sorta di dimostra¬
zione a parte che non si considera conclusa finché tale c non spari-
130
CAPITOLO TERZO
see legittimamente. In questa dimostrazione subordinata, x < c è
una premessa, e x è libera in x < c> e non è lecito perciò quantifi¬
care universalmente la x.
Tutte queste avvertenze non devono spaventare; nella maggior
parte dei casi non vi sono insidie nascoste e si procede diretta-
mente a eliminare i quantificatori con le due regole di particolariz-
zazione e a reintrodurli con le due regole di generalizzazione.
Come esempio riportiamo una dimostrazione sulla nozione di
convergenza uniforme. Le definizioni di continuità e convergenza
sono tali che se uno non le scrive correttamente non riesce a
gestirle,25 per cui non si pone il problema di far emergere eventuali
quantificatori nascosti dal gergo.
Una successione {/„(*)} di funzioni reali definite su un intervallo
chiuso Ia, b\ converge uniformemente a l(x)f dove / è una funzione
dello stesso tipo, se
Ve>03«E f^J V«z>«VxE [a, b](\fm(x) — l(x)\<e).
Dimostriamo che se /w(x) =x”, {fn(x)} non converge uniformemen¬
te su [0, 1] a /, dove
/(*) =
0
1
se 0 ^ x < 1
se x = 1.
Dimostrazione La negazione della convergenza uniforme è26
3e > 0 V« E N 3m > n 3x E \a, b](\fm{x) — /(x) | > e)
o, semplificata tralasciando le ovvie condizioni £> 0 e n E f^J,
3£V« 3m > «3x(|/w(x) — /(x)| > e).
Se si dimostra il più semplice
3£V»3x(|/»-/(x)|>£)
si ha anche la conclusione, con una generalizzazione esistenziale.
Il punto x non può essere 1, perché /„(l) = 1(1) \ se è minore di 1,
allora /(x) = 0 e la condizione da verificare si semplifica ulterior¬
mente in
3eVn 3x(/w(x)>£).
25 Anche Cauchy come si è ricordato a p. 85 inciampò su questa nozione.
26 Si usa una notazione comune per i quantificatori ristretti: VxEX/l per Vx(xEX —» A) e
3xEX/l per 3x(xEXa/1), e lo stesso con < al posto di E.
STRATEGIE DI DIMOSTRAZIONE
13 I
In realtà si può dimostrare un risultato più forte, perché ogni
£< 1 può andare bene per il controesempio.
Prendiamo £= 1/2. Dato n, si trova un x per cui xn^l/2 pren¬
dendo 1/^/2, o semplicemente x = 1/^2. Quanto più grande è
n, tanto più grande è x, vicino a 1. qed
Una figura, o la consapevolezza di come sono fatte le x”, ovvia¬
mente aiuta.
A partire da x = 1 /^2 si è proceduto, a parte i passaggi algebrici,
con generalizzazione esistenziale da x a 3x, generalizzazione uni¬
versale da n a V«, e generalizzazione esistenziale da 1/2 a 3£.
La convergenza puntuale di {fn{x)} a l{x) invece, cioè
VxE [a, b]\/£> 03« E N\/m ^ni\fm(x) — /(x)| <£)
si dimostra facilmente per /„, / e [0, 1] come sopra. Dati x e £, se
x = 1 si prende n = 0, se x < 1, quindi l{x) = 0, si considera un (il
primo) n per cui
xn<£;
tale n esiste perché basta prendere
n >log£/logx
(ricordando che log x è negativo). qed
A partire da n = il primo i tale che i > log£/logx, si è dimostrato
prima che m ^ n —> xT < £, quindi si è usata la generalizzazione uni¬
versale su m, la generalizzazione esistenziale su n e infine la genera¬
lizzazione universale su x ed £; le assunzioni sono enunciati, quindi
non ci sono restrizioni.
Anche quando i quantificatori scompaiono subito, tuttavia, le
variabili restano in grado di confondere i principianti se non si
padroneggiano le regole per i quantificatori e le loro motivazioni.
Lo si vede nel caso delle dimostrazioni per induzione.
Dall’assioma di induzione segue una regola dimostrativa che si
chiama propriamente principio di induzione e che si può schematiz¬
zare nel seguente modo:
A{ 0) base
Vx(A(x) —> A(x 4-1)) passo induttivo
\/xA(x)
per ogni formula A, del primo o del secondo ordine.
132
CAPITOLO TERZO
Per dimostrare VxA(x) sono sufficienti due mosse: la prima con¬
siste nel dimostrare ^4(0), e la seconda nel dimostrare Vx(j4(x) —»
->A(x+ 1)).
La dimostrazione del passo induttivo è la parte più importante
e delicata; la base di solito si riduce a calcoli di verifica. Trattan¬
dosi di un enunciato universale, la dimostrazione di solito si impo¬
sta come dimostrazione di
A{x) —> A{x 4- 1)
per un x generico.
Si assume quindi A{x), chiamandola ipotesi induttiva e si cerca di
dedurre A(x+1):
A{x) ipotesi induttiva
A(x+ 1).
Se si riesce a dedurre A(x 4- 1) dall’assunzione A(x) si stabilisce
A(x) —> A(x 4- 1) senza alcuna assunzione particolare, a parte gli
assiomi che sono enunciati, e quindi si può quantificare universal¬
mente Vx(j4(x) —> A(x 4- 1)).
Errori umoristici non infrequenti sono tuttavia i seguenti, nel
passo induttivo:
da A(x)} per sostituzione, A(x 4-1)
oppure
da j4(x), direttamente per generalizzazione VxA(x).
Qualcuno giustifica questi errori alludendo a difficoltà immagi¬
narie dovute a una pericolosa somiglianza tra quello che si deve
dimostrare e quello che si assume. Ma nella dimostrazione del
passo induttivo la tesi \/xA(x) non interviene per nulla. Quello che
si assume nel passo induttivo, A(x), è che A valga per un elemento,
ancorché non precisato; quello che si vuole dimostrare in grande è
Vxj4(x), cioè che A vale per tutti gli elementi; in piccolo, nel passo
induttivo, si vuole solo dimostrare che A vale per un altro elemen¬
to, una bella differenza, anche sintatticamente visibile, se si usas¬
sero i quantificatori.
Per i linguaggi del secondo ordine sono disponibili le stesse re¬
gole riguardanti i quantificatori, salvo varianti di notazione.
STRATEGIE DI DIMOSTRAZIONE
l33
La regola di particolarizzazione universale si enuncia come
VXA(X)->A(T0),
dove T0 non è un termine individuale ma la descrizione di un
insieme definibile, in generale della forma {x : B{x)}y purché dimo¬
strato esistente.
Valgono le altre regole per i quantificatori, di introduzione ed eli¬
minazione. I quantificatori più che toglierli e metterli non si può e
le giustificazioni per l’accettazione delle regole sono indipendenti
dalla natura degli enti su cui variano le variabili: se A{X) vale per
ogni X, vale anche per {x : B{x)}; se A{{x : B{x)})y allora si può dire
che 3XA{X), e così via.
Vedremo in seguito esempi di deduzioni in linguaggi del secondo
ordine.
4.
Stili di dimostrazione
La vaghezza della definizione di dimostrazione non impedisce
che si possano tentare distinzioni e classificazioni. Ne abbiamo viste
alcune basate sulle leggi logiche portanti dell’argomento deduttivo.
Ma esistono anche differenze di stile che sono evidenti ai matema¬
tici stessi, e talvolta caratterizzano determinati campi di indagine.
Siccome la matematica è insegnata per settori, o argomenti, i vari
livelli di insegnamento presentano immagini molto diverse del fare
matematica attraverso le dimostrazioni che propongono, o che non
propongono.
Nella scuola fino al calcolo infinitesimale praticamente si fanno
solo calcoli e da un certo punto in poi manipolazioni algebriche - le
espressioni - cioè un calcolo simbolico, calcolo di equazioni.
A lato, se la si fa ancora, si fa un po’ di geometria. La geometria
è una teoria abbastanza semplice (negli assiomi) con formule che
richiedono quantificatori. Molti concetti della metalogica sono nati
nelle ricerche di Hilbert che hanno condotto alle Grundlagen} La
geometria tuttavia a scuola è presentata non logicamente ma grafi¬
camente.
L’esaltazione che è sempre stata fatta dell’insegnamento della
geometria come allenamento logico non pare del tutto giustificata,
o perlomeno è ambigua, dal momento che di logica si usa molto poco,
nel senso di regole di inferenza, esattamente come faceva Euclide.
Alcuni passaggi, come l’eliminazione della congiunzione o la transi¬
tività del condizionale, sono impliciti nel linguaggio, e non ci si ac-
Si veda P.G. Odifreddi, Divertimento geometrico, Bollati Boringhieri, Torino 2003.
STILI DI DIMOSTRAZIONE
135
corge proprio di usare la logica. Forse solo le dimostrazioni per assur¬
do hanno una struttura logica esplicita. La logica ha nella geometria,
come ha sempre avuto per il popolo, un altro significato rispetto al¬
l’uso delle regole logiche: organizzazione, pianificazione, ordine.
Nella scuola si inizia a incontrare qualche ragionamento se si svi¬
luppa l’aritmetica elementare e si dimostrano alcune proprietà, fino
al teorema sulla scomposizione in fattori primi. Per questi risultati
intervengono formule più complicate delle equazioni, formule con
connettivi e quantificatori. Potrebbe fare la sua comparsa l’indu¬
zione. Addirittura, se ci si spinge un po’ in avanti, si incomincia a
parlare di insiemi di numeri, senza che però siano oggetti matema¬
tici, ma solo come ausilio all’espressione.
In ogni caso le dimostrazioni nella scuola, quando sono presenta¬
te, hanno solo la funzione di collegare tra di loro i successivi risul¬
tati. La ragione dell’impostazione assiomatica, se viene accennata,
è quella puramente economica.
All’università invece tutti i corsi sono (o erano) insegnati con es¬
senziale ricorso alle dimostrazioni.
Il primo corso di algebra comprende all’inizio ancora calcoli di
equazioni, anche se in un contesto più generale. Un tipico primo
risultato ottenuto in questo modo è la dimostrazione dell’unicità
dell’elemento neutro dei gruppi.
Subito tuttavia sono introdotti concetti insiemistici, come sot¬
togruppo, laterale, morfismo, quoziente.
Infine si utilizzano anche i numeri naturali, quando si parla di
ordine di un gruppo, o si vuole dimostrare qualche risultato sui
gruppi finiti.
In un libro di algebra si è controllato2 che dei 150 esercizi sugli
anelli solo 14 potevano essere formalizzati nel linguaggio del primo
ordine della teoria degli anelli, un altro richiedeva i numeri natu¬
rali, gli altri erano più complicati. Quei 14 potevano essere risolti
tutti dal dimostratore automatico Otter.
Si può dire che gli studenti incontrano seriamente le dimostra¬
zioni con questo corso3 e sono subito esposti a un miscuglio logico
2 II libro è N. Jacobson, Basic Algebra I, Freeman, New York 1985 (2‘‘ ed.); l’autore della
ricerca T. Huang, Automated Deduction in Ring Theoìj, Master’s Writing Project, Department
of Computer Science, San Jose State University 2002.
} Della logica delle dimostrazioni nel corso di analisi diremo dopo.
136
CAPITOLO QUARTO
difficilmente districabile e che molti non districheranno mai, anche
se diventeranno matematici. Dopo tale battesimo, non capiranno
più niente di questioni di logica e dimostrazioni.
Perché è pur vero che non c’è bisogno di conoscere una defini¬
zione di dimostrazione, o meglio, che la definizione è così vaga che
ci sta dentro tutto; ma quando poi si passa alle singole teorie, alle
assunzioni specifiche e a quello che ne risulta, le differenze diven¬
tano importanti.
4.1. «Alles Logische. Was ist das?»
Come si fa a dimostrare un teorema, si chiedeva Hilbert discu¬
tendo con il filosofo, già matematico, Edmund Husserl alla fine di
una conferenza, quali strumenti si possono usare?
Quando supponiamo che una proposizione sia decisa sulla base degli assiomi
di un dominio, cosa possiamo usare oltre a questi assiomi? Alles Logische. Was
ist das? Tutte le proposizioni che siano libere dalle particolarità di un domi¬
nio di conoscenza, ciò che è indipendente da tutti gli assiomi particolari, da
tutta la materia della conoscenza. [Ma allora si ha un ventaglio di possibilità:]
il dominio della logica algoritmica, il dominio del numero, il dominio della
combinatoria, quello della teoria generale degli ordinali. E infine la teoria più
generale degli insiemi non è essa stessa logica pura?4
Esemplificava in dettaglio: la logica combinatoria, con la quale in¬
tendeva quella senza quantificatori, basta per derivare lo Schnitt¬
punktsatz dal teorema di Pascal (Hilbert nelle sue approfondite ana¬
lisi sull’assiomatizzazione della geometria aveva notato che non
serve la continuità - che richiede quantificatori su insiemi), la lo¬
gica del numero interviene quando si usa il postulato di Archimede
e per esprimere il Vollständigkeitsaxiom di continuità occorre la lo¬
gica degli insiemi, la allgemeinste Mannigfaltigkeitslehre?
A seconda della logica che si usa si ha un diverso tipo di giusti¬
ficazione, che è una sorta di bilanciamento, un dare e avere tra
forza della logica e forza delle ipotesi da cui si parte.
■' Citato da J. C. Webb, Mechanism, Mentalism and Metamathematics, Reidei, Dordrecht
1980, p. 85.
5 La più generale teoria degli insiemi.
STILI DI DIMOSTRAZIONE
137
I logici hanno perfino istituzionalizzato questo tipo di indagine
nella cosiddetta reverse mathematics, che mira a calibrare esattamen¬
te lo status dei teoremi più importanti di ogni settore rispetto alla
forza degli assiomi di comprensione (esistenza di insiemi) e indu¬
zione che richiedono per essere dimostrati.
Tutti sono familiari con la distinzione generica tra dimostrazioni
costruttive e non, ma probabilmente ne conoscono solo una vaga
caratterizzazione: le dimostrazioni costruttive sarebbero quelle in
cui la conclusione 3xA{x) comporta anche l’esplicita individuazione
di un termine t per cui A{t). In realtà, come abbiamo detto nel capi¬
tolo 2, la distinzione coinvolge uno spettro di logiche costruttive,
che vanno dalla minimale all’intuizionistica, e l’ulteriore distinzio¬
ne tra il fornire un algoritmo oppure no. Le dimostrazioni costrut¬
tive non sono diverse solo alla fine, ma nel corso del loro sviluppo,
dove sono evitate regole come il terzo escluso, o la legge della dop¬
pia negazione.6
I linguaggi e le logiche classiche che si usano in matematica, in
una gerarchia semplificata, a grandi linee corrispondente a quella
indicata da Hilbert, possono distinguersi in:
- linguaggio delle equazioni, e la corrispondente logica che non è
altro che la logica dell’uguaglianza;
- linguaggio delle formule di Horn, in breve assiomi in forma con¬
dizionale, equazioni che implicano un’equazione;7 il linguaggio è
presente in vari contesti algebrici;
- linguaggi e logica del primo ordine, che in linea di principio per¬
mette la trattazione di teorie come la geometria elementare;
- logica dei numeri naturali, con il che si intende il linguaggio del¬
l’aritmetica nel quale si usano sia regole logiche, sia il principio
di induzione;
- linguaggi e logica del secondo ordine, con assiomi di esistenza
degli insiemi, che possono variare di forza e impegno ontologico;
- logica del secondo ordine piena;
- linguaggio della teoria degli insiemi, con la logica del primo or¬
dine, dove si possono usare solo gli assiomi di Zermelo Z oppure
6 Non affrontiamo l’argomento perché troppo tecnico. Si veda M. J. Beeson, Foundations of
Constructive Mathematics, Springer, Berlin 1985.
‘ Più precisamente, congiunzioni di formule atomiche che implicano una formula atomica.
138
CAPITOLO QUARTO
quelli di Zermelo-Fraenkel ZF che comprendono in aggiunta l’as¬
sioma di rimpiazzamento, o ancora altri assiomi di grandi cardinali.
L’attenzione alle logiche che si usano, o che si possono usare, non
ha solo rilevanza fondazionale, ma produce nuova matematica; ha
molteplici ricadute, che vanno dal macroscopico all’esoterico.
Tutti sanno che appena intervengono i numeri naturali scatta il
fenomeno dell’esistenza di enunciati indecidibili, enunciati cioè
che non sono né dimostrabili né refutabili. Tuttavia non ci si aspet¬
ta di incontrarli nell’esperienza quotidiana.8
Per quel che riguarda la completezza, diverse logiche ammettono
tale proprietà, soprattutto quelle più deboli, rispetto a semantiche
che possono essere diverse da quella classica, e adatte alle loro uti¬
lizzazioni. Una semantica in generale non consiste necessariamente
delle classiche strutture insiemistiche; una semantica per un lin¬
guaggio di termini ad esempio, numeri o altri termini algebrici, può
essere operazionale, cioè consistere di trasformazioni che portano
al valore dei termini.9 Nella direzione opposta, la semantica del¬
l’intuizionismo ha interpretazioni che sono famiglie di strutture,
perché la validità intuizionistica è più complicata di quella classica.
Si potrebbe dire che per quasi tutte le logiche vale un teorema di
completezza, salvo che per la logica del secondo ordine piena, an¬
che monadica, e per quella debole.
Il motivo è che i matematici cercano di lavorare con logiche per
cui siano disponibili sistemi (di assiomi e regole) deduttivi, non
certo per una deformazione logica, ma per avere la garanzia di un
metodo di decisione parziale, almeno la semidecidibilità.
La logica del secondo ordine piena e quella debole restano in
lizza perché hanno una maggiore forza definitoria, grazie alla quale
si possono definire in modo unico, a meno di isomorfismi, strutture
infinite come i naturali o i reali.10 Ma il vantaggio è compensato da
una minore controllabilità deduttiva.
8 Ma nel 1977 L. Kirby e J. Paris hanno dimostrato che un teorema della combinatoria
finita, una naturale estensione del teorema di Ramsey finito, è indecidibile nell’aritmetica di
Peano. Si veda J. Paris e L. Harrington, A Mathematical Incompleteness in Peano Arithmetic, in
J. Barwise (a cura di), Handbook of Mathematical Logic, North Holland, Amsterdam 1977,
pp. 1133-42.
9 Lo abbiamo accennato nel capitolo 2.
10 Solo i naturali nella logica del secondo ordine debole.
STILI DI DIMOSTRAZIONE
T39
L’incompletezza di una logica significa che esistono formule che
sono logicamente valide ma per le quali non esistono dimostrazio¬
ni, o meglio derivazioni, in nessun calcolo logico.11 Il problema,
con tutte le logiche incomplete, è che non si possono delimitare a
priori queste formule critiche. Se si potesse puntare il dito su una
formula logicamente valida ma non dimostrabile, dietro al gesto
dovrebbe esserci una prova che la formula è logicamente valida,
che è quello che interessa. Se poi il linguaggio è molto espressivo,
come quello del secondo ordine, capace di parlare della semantica,
probabilmente si potrebbe anche tradurre l’argomento in una deri¬
vazione. Invece l’incompletezza è inaspettata, o meglio irricono¬
scibile, è come lo Spirito che soffia quando vuole e passa accanto
ma non lo si percepisce. In infiniti casi, si continuerà a cercare di
scoprire se una formula è valida, cercandone una dimostrazione,
senza pervenire mai ai successo o alla comprensione che lo sforzo è
destinato all’insuccesso.
Un matematico potrebbe osservare con ragione che questi sono
problemi dei logici e che, come nel caso degli enunciati indecidi¬
bili dell’aritmetica, è improbabile imbattersi in tali enunciati nel¬
l’esperienza quotidiana. Lo sforzo, magari collettivo, di costruire una
dimostrazione nella maggior parte dei casi è premiato. E quando
una dimostrazione è scritta, la correttezza dei singoli passaggi è
certamente controllabile.
Ma fare dimostrazioni nella logica del secondo ordine piena com¬
porta che si accetti come chiaro e distinto il concetto di insieme
potenza12 2P(x), che invece non lo è. Anche senza essere costrutti¬
visti, e senza rifiutare l’infinito più che numerabile, non si può
dimenticare che la cardinalità di 2P(x) per x infinito non è deter¬
minata dal complesso degli assiomi insiemistici accettati, anche
oltre ZF.13 Questo risultato dovrebbe essere un memento che l’in¬
sieme delle assunzioni tacitamente interiorizzate quando si ragiona
acriticamente in matematica è provvisorio, incompleto, aperto a
possibili modifiche che di sicuro verranno (dalle dimostrazioni che
si aggiungono e si accumulano). Se non si discute più sull’accettazio-
11 E se una teoria T è formalizzata nel linguaggio della logica, esistono formule A che sono
teoremi di T ma non derivabili da T (basta considerare A T —> A).
12 Insieme di tutti i sottoinsiemi. Per un teorema di Cantor, if‘(x) ha cardinalità 2c‘irtl(v), mag¬
giore di quella di x, anche per x infinito.
15 II valore di 2c,irdlx) è dimostrato che è indecidibile.
140
CAPITOLO QUARTO
ne dell’assioma dell’infinito, come cento anni fa, si ricerca ancora
quale sia il modo verum et iustum di lavorare sull’infinito più che
numerabile.
Per quel che riguarda la logica del secondo ordine debole, essa
sembrerebbe innocua, dal momento che richiede di parlare solo di
insiemi finiti; ma la sua utilizzazione presuppone appunto che sia
chiaro e distinto il concetto di «finito». Invece non lo è, perché il
finito arbitrariamente grande sfuma nell’infinito, e questo lo hanno
notato spesso matematici, filosofi e persone comuni ma lo hanno con¬
fermato i logici con un altro metateorema: se un enunciato ha mo¬
delli finiti arbitrariamente grandi, ha anche modelli infiniti. Que¬
sto è vero almeno per la logica del primo ordine.
Preoccupazioni di questo genere si devono naturalmente mettere
da parte, dal momento che non si può restare paralizzati nell’attesa di
una soluzione, ma la situazione conferma che non esiste una logica na¬
turale. Le logiche sono strumenti costruiti per determinati obiettivi.
Il teorema di completezza ha una funzione più che altro psico¬
logica, lo abbiamo ammesso anche noi, per la parte che afferma l’e¬
sistenza di una derivazione. Ma il teorema, nel contesto della logica
del primo ordine, ha come corollario diverse conseguenze matema¬
tiche (le vedremo nel sottoparagrafo 4.2.5), che si rivelano utili
come strumenti dimostrativi.
4.2. Dimostrazioni e logiche
Il linguaggio e la logica di una teoria determinano particolari stili
di dimostrazione, che sono facilmente riconoscibili, anche da mate¬
matici alogici.
Spesso i matematici basandosi sullo stile di lavoro colgono distin¬
zioni che hanno una base meno qualitativa e sostanzialmente lo¬
gica. Ad esempio Felix Klein prima della formazione ufficiale delle
scuole fondazionali, nel 1893, aveva distinto i matematici tra lo¬
gici, intuizionisti e formalisti.14 Guarda caso, i matematici negli
14 F. Klein, Lectures on Mathematics (1893), AMS, Providence 2000. Secondo Klein, i logici
si caratterizzano per i loro poteri logici e critici, gli intuizionisti per l’intuizione geometrica, in
ogni campo, i formalisti per la ricerca di algoritmi. Nelle scuole fondazionali quella dei logici si
chiamerà logicismo.
STILI DI DIMOSTRAZIONE
141
anni successivi si sono distribuiti in tre progetti fondazionali cor¬
rispondenti a quei nomi e a quelle mentalità. Analoghe classifica¬
zioni si potrebbero fare per quel che riguarda stili di dimostrazione
e logiche.
4.2.1. Dimostrazioni algebriche
Ne abbiamo già dato un esempio nella teoria E& delle algebre di
Boole, e non facciamo che proporlo; queste dimostrazioni sono così
familiari che non è il caso di moltiplicare gli esempi.
I riferimenti sono agli assiomi B di p. 39. La numerazione parte
da 11 in quanto si presuppone l’elenco dei dieci assiomi (la prima
riga etichettata 11 sarebbe superflua, è una ripetizione dell’assioma
9 solo per comodità di lettura). La successione
11 x=xnu
assioma 9
12 x=xn(xu~x)
dalle*
13 x = (xnx)u(xn~x)
da 12 e 5
14 x=(xnx)u0
da lie 1
15 x=xnx
da 14 e 10
16 Xn0 = XH0
assioma dell’uguaglianza
17 xn0=xn(xn~x)
da 16 e 1
18 xn0=(xnx)n~x
dall e}
19 xn0=xn~x
da 18«? 15
20 xn0=0
da 19 e 7
costituisce una dimostrazione che X fi 0 = 0 è un teorema delle al¬
gebre di Boole. QED
La logica è la logica dell’uguaglianza.
Consideriamo ora un caso leggermente più complicato, quello
del teorema
X X. [1]
Dimostrazione Per la derivazione del teorema dagli assiomi (ce
ne possono essere diverse, e qualcuno potrà trovarne una più sem¬
plice di quella proposta), occorre prima dimostrare la cosiddetta
unicità del complemento, che è la formula
xny=0AXuy=u-*x=~y.
Tale formula è un esempio di formula di Horn.
[2]
142
CAPITOLO QUARTO
La dimostrazione di [2] è la seguente: deriviamo in modo pu¬
ramente algebrico X = ~ Y usando oltre a B anche XD7=0e
X U Y = U come ipotesi.
Si ottiene così la [2], e sostituendo nella [2]~Xa7,e utilizzan¬
do 8 e 9, si ottiene la [1]. qed
In questo caso nonostante la superficiale apparenza, per la somi¬
glianza dei due blocchi di equazioni, non è sufficiente lavorare solo
con equazioni e con le regole dell’uguaglianza, in quanto la [2]
coinvolge la logica dei connettivi.
Si deve usare la regola che per dimostrare A —> B si aggiunge A
agli assiomi e si deriva B.
Non sono ancora presenti in modo evidente i quantificatori, che
aleggiano, come quantificatori universali, davanti alle formule, ma
sono omessi.
Gli studenti che se la cavano con il calcolo delle equazioni mostra¬
no un chiaro disagio di fronte al compito di dimostrare un’affer¬
mazione della forma della [2]. La logica proposizionale è del tutto
diversa da quella equazionale.
La dimostrazione di X= ~~X sarebbe più diretta, dal momento
che deve condurre da equazioni (assiomi) a equazioni, se si potesse
svolgere tutta attraverso equazioni. Certo il controllo dei singoli
passaggi è facile; non altrettanto che venga in mente come costruir¬
la, passando attraverso la [2].
Del calcolo delle equazioni diremo ancora oltre, nel sottopara¬
grafo 4.2.6.
x=xnu
= Xn(YU~Y)
= (xn Y)u(xn~Y)
= 0u (xn~Y)
= (Yn~Y)u(xn~Y)
= (~yn Y)u(~Ynx)
= -YD(Y UX)
= ~Ynu
per assioma 8
per assioma 5
per ripotesi
per assioma 1
per assioma 1
per assioma 5
per l'ipotesi
per assioma 9
assioma 9
STILI DI DIMOSTRAZIONE
M3
4.2.2. Dimostrazioni aritmetiche
La tipica dimostrazione aritmetica è per induzione, in un conte¬
sto di logica del primo ordine.
Il teorema fondamentale della divisione afferma che per ogni x
e y, con y 0 esistono e sono unici due numeri q e r tali che
x = qy + r e r<y.
Dimostrazione L’induzione è su x. Per x = 0 basta prendere
q = r = 0. Per x + 1, usando l’ipotesi induttiva
x 4- 1 = (qy + r) 4- 1 = qy 4- (r 4- 1)
e quindi quoziente q e resto r+lser+Ky, altrimenti, quoziente
q 4-1 e resto 0. qed
La maggior parte delle dimostrazioni per l’aritmetica elementare si
svolgono nel linguaggio del primo ordine, non sempre per induzione.
Quando non si usa l’induzione, siccome gli altri assiomi sono equa¬
zioni o formule di Horn, le dimostrazioni sono di tipo algebrico.
Gli assiomi di Peano dell’aritmetica sono formulati nel linguag¬
gio costituito dalla costante (nome di un elemento) 0 e dai simboli
funzionali per le funzioni successore, somma e prodotto: +, 4-, •.
x*0+
x y —> x+ yf
x + 0 = x
x + y+ = {x + y)f
X* 0 = 0
x-y+ =xy + x
oltre all’assioma di induzione15
4(0) a Vx(4(x) -4 4(x+)) Vx4(x)
per ogni formula A(x) del linguaggio aritmetico del primo ordine.
15 II simbolo • non si scrive quando non è necessario per la chiarezza. Prima di scrivere il
successore come x + 1 occorre definire + e dimostrare x ' = x + 1.
144
CAPITOLO QUARTO
Quando si è accumulato un buon numero di proprietà delle ope¬
razioni di base, inizia a prevalere l’aspetto algebrico, ma le prime
dimostrazioni sono tutte per induzione.
Con aritmetica elementare si intende quella che si costruisce a
partire dagli assiomi, introducendo progressivamente le proprietà
di somma e prodotto, la divisione con resto, con il teorema ora visto,
il concetto di numero primo e così via.
Uno dei vantaggi di sviluppare la teoria in un modo rigorosamen¬
te deduttivo, a cascata, nel senso di dimostrazioni a partire dagli
assiomi e dai teoremi precedentemente stabiliti - come peraltro è
familiare dalla geometria euclidea assiomatica - è quello di vedere
come e quando si manifesta l’esigenza di introdurre nuovi concetti;
i nuovi concetti richiedono infatti nuovi simboli, con le relative
proprietà definitorie.
Nel caso dell’aritmetica questo lavoro è più delicato che nella geo¬
metria, perché le proprietà elementari dei numeri sono tutte pre¬
senti senza alcun ordine nella conoscenza di chiunque; districarle
e ordinarle appare meno necessario e naturale che con le costru¬
zioni geometriche, in quanto l’ordine non coincide con quello del¬
l’apprendimento intuitivo, dove nozioni più complicate possono
precedere nozioni più semplici. Per lo stesso motivo, lo sviluppo
della teoria appare a qualcuno eccessivamente pedante.
Si vedono in tal modo tuttavia i differenti tipi di definizione e i
loro ruoli. Alcuni concetti possono essere definibili all’interno della
teoria, altri no.
Ad esempio la parte, finora omessa, riguardante l’unicità nel teo¬
rema fondamentale della divisione si svolge informalmente nel se¬
guente modo.
Dimostrazione Supponiamo che ci siano due soluzioni diverse
per il quoziente e il resto:
* = *iy+ 'i
X = q$ + r2.
Si vede subito16 che se rx = r2 allora deve essere anche qj = q2ì e se
qx = q2 anche r1 = r2, quindi si può assumere che qx ¥= q2 e rx r2.
16 Per modo di dire; in realtà si devono usare alcune proprietà della moltiplicazione che si
dimostrano per induzione, ad esempio che se a e b sono diversi da 0 anche ab ^ 0.
STILI DI DIMOSTRAZIONE
M5
Quindi, sottraendo membro a membro
0 = (4i-42)y + (ri-r2)-
Possiamo assumere ancora rx > r2t e osservare che (rx — r2) <y. Ma
il valore assoluto di (qx — q^y è ^ (y 4-1), e quindi la somma non
può dare 0. qed
L’argomento è giusto e convincente, purtroppo presentato in
questo modo richiede la differenza e il valore assoluto, che non
sono disponibili nella teoria pura dei naturali. Tuttavia si può
aggiustare, nella stessa linea argomentativa, a prezzo di qualche
prolissità. Invece della solita differenza, è disponibile una diffe¬
renza che è definita, per ricorsione, solo quando il minuendo è
maggiore o uguale al sottraendo, ché allora il risultato è dato da
un’applicazione ripetuta del predecessore, usando il sottraendo
come contatore.
Quindi, nelle ipotesi fatte è possibile scrivere
qxy + {rx-r2) = q2y.
Per ripetere il precedente ragionamento senza ricorso ai numeri
negativi viene spontaneo ragionare in questo modo: innanzi tutto,
se rx > r2 deve essere q2>q 1 altrimenti q2y 4- y2 <(hy + ri> ne segue
q2y >qxy. Da {rx — r2)<y segue invece
qxy 4- (rx - r2) < {qx 4- 1 )y ^ q$. QED
In questo modo si è disposto del meno, ma in compenso si sono
usate ancora molte proprietà della relazione <, che non appartiene
al linguaggio.
La relazione deve essere introdotta prima con una definizione;
sono disponibili in questo caso due modi alternativi ma equiva¬
lenti, o con
x<y <-> 3z{z =£ 0 Ay = x + z)
o in modo ricorsivo
x<0 <-> xi=x
x<y4 <-> x <y vx = y.
146
CAPITOLO QUARTO
La definizione ricorsiva si può pensare come un metodo di calcolo
effettivo per la nozione più intuitiva di «essere minore = dover
aggiungere qualcosa per pareggiare».
Dal punto di vista logico, la definizione ricorsiva corrisponde in
pratica a estendere il linguaggio e ad aggiungere le due formule come
nuovi assiomi; la definizione esplicita invece è solo un’abbrevia¬
zione.
A seconda di quale definizione si adotti, cambiano le dimostra¬
zioni che coinvolgono <.
Per dimostrare ad esempio
x<y —> x4- z<y 4- z
nel caso della definizione ricorsiva si procede in questo modo.
Dimostrazione Per induzione su z. Il caso z = 0 è ovvio. Il passo
induttivo x<3; —+ <y 4-z4, ovverox<y —> (x + z)+ <(y + z)+,
segue da x < 3; ~^>x + z<y + z se si dimostra in generale che
u<v —> u+ <v+.
Questa proprietà a sua volta si dimostra per induzione sui;. Se
v = 0, u < v implica qualunque cosa, essendo equivalente a u.
Per dimostrare u<v+ —> u+ < v++ si osserva che per definizione
u<v+ u <vv u = v. Da u<v segue per ipotesi induttiva che
u+ < V+, quindi u+ < v+ f ; da u = v segue u+ = v+ (assioma di ugua¬
glianza) e quindi u+ <v+ +. qed
Nel caso della definizione esplicita invece occorre dimostrare
che da 3u(u 0 ax 4- u = y) segue 3v(v 0 ax 4- z + v = y 4- v).
Dimostrazione Ma da x 4- u = y segue x + u + z = y + z, o con gli
assiomi dell’uguaglianza o per induzione su z; se si suppone di ave¬
re la commutatività dell’addizione, si ha la conclusione con v = u,
per generalizzazione esistenziale, qed
Il linguaggio si arricchisce in itinere insieme alla teoria. Man mano
che si procede, si parla sempre meno degli enti iniziali e sempre più
di cose nuove generate da quelle. La levatrice ideale per la generazio¬
ne è l’insiemistica. Un altro fenomeno interessante dell’aritmetica
è infatti che presto viene spontaneo e comodo usare il linguaggio
insiemistico.
STILI DI DIMOSTRAZIONE
MT
Non occorre aspettare complicati discorsi sugli insiemi infiniti;
anzi il primo uso è dovuto a Euclide proprio nel tentativo di evi¬
tare di parlare di infinito.
Abbiamo già ricordato che il teorema sui numeri primi è formu¬
lato da Euclide come:
Dato un numero qualunque di numeri primi, ne esiste uno mag¬
giore.
La maniera giusta è ovviamente quella di dire non «dato un nu¬
mero» ma «dato un insieme finito di numeri primi», altrimenti si
deve dare per scontata la teoria della cardinalità, e che la cardina-
lità degli insiemi finiti è un cardinale finito.
Nella dimostrazione ricordata a p. 114 si era usata la formula¬
zione «supponiamo che esistano k numeri primi». Ma non esiste
un quantificatore «esistono k individui». Fissato k, per dire che
esistono almeno k primi17 si può scrivere
3xßx2... a ... a ... pr{xk))
dove pr{y) è un’abbreviazione per la formula che definisce «3; è
primo», ma l’enunciato, e la susseguente dimostrazione sarebbero
diversi per ogni k\ stesso schema, ma via via più lunghi. Per que¬
sta via, l’affermazione che esistono infiniti primi richiede infiniti
enunciati.
Con «dato un insieme finito» si ha una sola frase, ma che non si
può formalizzare nel linguaggio dell’aritmetica di Peano.18
Si può peraltro riformulare il teorema con l’enunciato
Vx 3y{x <y a pr{y)).
La sostanza è la stessa, ma dietro ci sono le proprietà che per ogni
x l’insieme dei numeri minori di x è finito, e che ogni insieme finito
di numeri ha un massimo. Che la sostanza sia la stessa non si dimo¬
stra nell’aritmetica di Peano, ma nella metateoria (o in una teoria
degli insiemi finiti).
La dimostrazione dell’enunciato originario come si è visto con¬
sidera i dati numeri primi e ne fa il prodotto. Per svolgere la stessa
dimostrazione rispetto al nuovo enunciato occorre avere la molti¬
plicazione generalizzata per molti fattori, e un numero finito di fat-
Per dire che ne esistono esattamente k occorre una formula più complicata.
18 Lo si può fare nel linguaggio della logica del secondo ordine debole.
148
CAPITOLO QUARTO
tori deve essere codificato da un solo numero, perché tutti i termi¬
ni numerici denotano numeri. Occorre avere un termine che denota
il prodotto ^ di tutti e soli i primi minori o uguali a x.
La definizione del termine ^LI*, per ricorsione su x, è forse poco
elegante, ma fattibile. In generale tutti gli insiemi finiti possono
essere codificati nell’aritmetica da un numero, con funzioni inverse
aritmetiche che da questo numero fanno risalire agli elementi del¬
l’insieme.
Tale possibilità offre un grande vantaggio se si è interessati a
questioni di calcolabilità, altrimenti è parecchio macchinosa; il lin¬
guaggio insiemistico è molto più naturale, dà lo stesso risultato senza
fare calcoli.
Un altro caso in cui si esegue il passaggio al linguaggio insiemi¬
stico si verifica quando data una relazione di equivalenza si consi¬
dera l’insieme delle classi di equivalenza. La relazione può anche
essere definita nel linguaggio del primo ordine, come è il caso della
relazione di congruenza modulo p, ma le classi sono insiemi infi¬
niti:
[x] = {y E f^l : x = ;y(modp)}.
Proprietà come
x = y(modp) <-> [x] = [y]
o che due classi sono sempre o disgiunte o coincidenti richiedono
per essere formulate il linguaggio insiemistico o almeno quello del
secondo ordine, con variabili X, Y, ... per insiemi di numeri e la
relazione £.
Ad esempio che due classi sono o disgiunte o coincidenti si
scrive
VX,7(3x,;y(X = [x] a 7= [y]) -> X= YvXD 7 = 0).
Si noti tuttavia che X D Y = 0 è solo un’abbreviazione per -i3x(x E
EXaxE Y), introdotta come concessione all’uso, stenografica (le
formule senza quantificatori si leggono meglio). Anche X = [x] si
può esprimere come
Vz(z E X <-> z = x(mod p))
e analogamente Y=[y], cioè con formule che hanno solo quantifi¬
catori sui numeri; sicché se si lasciano cadere i quantificatori uni¬
STILI DI DIMOSTRAZIONE
149
versali VX, Y resta una formula con solo quantificatori del primo
ordine, e parametri X e Y che si possono trattare come predicati.
Non ci si accorge neanche di usare un’altra logica. La logica del
secondo ordine interviene solo nella definizione delle classi, con
l’assioma di comprensione, per dimostrare che
Vx3XVz(zEX <-> z = x{moáp))
insieme X che sarà denotato [x].19
Se non si sa nulla di logica, si pensa di lavorare nella teoria degli
insiemi, della quale peraltro si sfrutta solo l’assioma di separazione
per giustificare il costrutto
{z^NixRz}
dove R è una relazione.
Tali dimostrazioni comunque, riferendosi a insiemi di numeri
naturali, rientrano propriamente tra quelle che sono chiamate ana¬
litiche.
4.2.3. Dimostrazioni analitiche
Nella terminologia logica le dimostrazioni analitiche sarebbero
quelle che si riferiscono a numeri naturali e insiemi di numeri natu¬
rali, e quindi si svolgono nella logica del secondo ordine. Il nome,
con l’aggettivo «analitico», viene dal fatto che un numero reale è
di fatto un insieme di numeri naturali.
In verità la costruzione dei reali appare un po’ più complicata;
molta codifica si nasconde dietro questa semplice identificazione.
In una possibile versione, con le sezioni di Dedekind, un reale è un
insieme di razionali, ma se si tiene presente che gli interi sono cop¬
pie di naturali, e i razionali coppie di interi, e che queste coppie sono
codificabili da numeri naturali, non è scorretto dire che un nume¬
ro reale si può identificare con un insieme di numeri naturali. Se
un reale è invece presentato come una successione di 0 e 1, allora
tale successione si può considerare la funzione caratteristica di un
19 Siccome la condizione che definisce l’insieme è una formula del primo ordine, si usa di fatto
l’assioma di comprensione predicativo, secondo la terminologia spiegata nella successiva nota 24.
150
CAPITOLO QUARTO
sottoinsieme di f^J, quella che vale 1 se l’argomento appartiene
all’insieme e vale 0 se l’argomento non appartiene all’insieme.20
Più in generale, si chiamano analitiche anche le dimostrazioni che
si riferiscono a numeri reali e insiemi di numeri reali, e che utilizza¬
no un linguaggio e una logica di ordine superiore, con le variabili
individuali che variano sui numeri reali.
Per fissare le idee ricordiamo il teorema di esistenza degli zeri
per le funzioni continue in un intervallo [<a, b\ con f{a)f{b) < 0.
Dimostrazione Si definisce una successione £„]} di sotto¬
intervalli di Ia, b\ per suddivisioni successive; si ottiene una succes¬
sione di intervalli incapsulati, con ampiezza tendente a zero, oppure
due successioni, una crescente limitata superiormente (estremi di si¬
nistra) e una decrescente limitata inferiormente (estremi di destra).
Si fa uso della continuità per individuare un punto c, in cui poi si
vede che deve essere f(c) = 0. qed
Che tipo di logica interviene qui?
Si usa presentare i reali come un campo ordinato completo, vuoi
come completamento dei razionali vuoi come l’unico campo ordina¬
to21 completo che ha un sottoinsieme denso numerabile. Il comple¬
tamento si può fare sia rispetto all’ordine, con le sezioni di Dedekind,
sia rispetto alla metrica, con le successioni di Cauchy.
In alternativa, agli assiomi dei campi ordinati si aggiunge l’assio¬
ma di Archimede e quello degli intervalli incapsulati. Si può anche
formulare la continuità chiedendo direttamente che valga il teo¬
rema di esistenza degli zeri, che è la proprietà fondamentale da
dimostrare grazie alla completezza, e di fatto equivalente.
In ogni caso, mentre gli assiomi per i campi ordinati sono formu¬
lati nel linguaggio algebrico del primo ordine, Archimede richiede
i numeri naturali e l’assioma di completezza il riferimento a insiemi
di reali; la logica è una logica di ordine superiore.
I naturali si possono definire in un campo ordinato di caratteristica
0 se si usa la logica del secondo ordine; si definisce N come l’inter¬
sezione di tutti i sottoinsiemi X del dominio tali che 0 E X a Vx
(xEX —> x + IEX), quindi
xEN<r-> VX((0EXaVx(xEX->x + 1EX)) ->xEX)}
20 La rappresentazione binaria vale a rigore solo per i numeri compresi tra 0 e 1; ma anche
una successione di razionali si può codificare con una tale successione.
21 Senza primo né ultimo elemento.
STILI DI DIMOSTRAZIONE
151
che richiede l’assioma di comprensione per una formula del tipo
VXA(x, X).
La completezza (o continuità) per un insieme ordinato afferma
che ogni sottoinsieme non vuoto limitato superiormente ha un estre¬
mo superiore;22 se si abbrevia la definizione che l’estremo superiore
è il minimo dei maggioranti con
sup{s, X) <-> Vx E X(x ^s)a Vy <s3xG X(y < x)
si può scrivere
VX(X=£ 0a3wVxGX(x^w) —> 3s(sup(s, X))).
Nel teorema di esistenza degli zeri, una differenza di stile si
manifesta nel modo di usare la continuità. L’assioma è sempre lo
stesso, ma la preparazione molto diversa.
Un modo tradizionale è quello di definire la successione di inter¬
valli, in modo ricorsivo:
a + b
Dato \an) b„] si considera x' = -JL——- e quindi si pone
+1> ^n + li
[a„> *']
[be',
sef(a„)f(x')<0
se/(*')/(£„) < 0
e c è l’estremo superiore di {an} (che si dimostra coincidere con l’e¬
stremo inferiore di {bn} perché (bn - a„) tende a zero), qed
Una soluzione di più marcato stile insiemistico, quasi fulminea,
è quella di considerare, supponendo f{a) < 0, l’insieme
{xGR:/(x)^0}
e c il suo estremo superiore, qed
La prima versione usa una logica (in senso intuitivo) del numero,
calcolistica, laboriosa. Il vantaggio è che la dimostrazione indica un
procedimento di approssimazione di c. Tuttavia si sa che tale algo¬
ritmo converge molto lentamente, ed è praticamente inutilizzabile.
Naturalmente per approssimare c esistono altri metodi più effi¬
cienti.
22 Ne segue anche che ogni insieme limitato inferiormente ha un estremo inferiore.
152
CAPITOLO QUARTO
L’uso delle successioni è tipico di una fase dell’analisi, fine Ot¬
tocento, in cui la mentalità insiemistica non era ancora pervasiva
e l’operazione di limite di successioni era preferita; ne sono venute
anche nozioni di interesse indipendente, come quella di continuità
sequenziale, che talvolta non sono equivalenti a quelle generali, o
richiedono forme dell’assioma di scelta per la dimostrazione di
equivalenza.
Una situazione analoga si presenta con i teoremi di punto fisso,
dove molte dimostrazioni di esistenza sono basate sulla considera¬
zione della successione
*„ =/"(*o)
dove fn indica l’iterazione di/, cioè fn + l(x) =/(/”(*)), mentre spesso
è applicabile un teorema generale di Tarski che afferma:
Se (a, è un ordine parziale in cui ogni b Ga ha un estremo su¬
periore, allora se/: æ æ è una funzione crescente esiste z tale che
z =/(z), prendendo come z l’estremo superiore di {x E a : x ^ f{x)}.
La trattazione dei reali è il punto giusto per la spiegazione della
differenza tra logica del secondo ordine e logica del secondo ordine
piena. Dal punto di vista sintattico la differenza non appare, perché
il semplice uso di variabili X, Y, ... diverse da x,y, ... non determi¬
na in sé la logica, neanche quella del secondo ordine in opposizio¬
ne al primo; potrebbero essere due tipi di variabili entrambi indi¬
viduali, come quando si usano lettere diverse per scalari e vettori.
In modo esplicito, si potrebbe usare un solo tipo di variabili e un
predicato R, per «essere un numero», e una relazione binaria E per
l’appartenenza, che si presentano in complessi del tipo R{x) a—\R(y) a
a E(x, y) per esprimere che x appartiene a y.
Se non si chiede che E denoti proprio la relazione di apparte¬
nenza, e nelle interpretazioni bisogna ammettere la massima gene¬
ralità, un’interpretazione di tale linguaggio è costituita da un domi¬
nio ripartito in due sottoinsiemi disgiunti, quello degli elementi
che soddisfano il predicato R e quello degli elementi per cui vale
—IR. Sono le interpretazioni dei linguaggi del primo ordine.
Se si decide che E deve proprio denotare l’appartenenza a in¬
siemi, e non qualche altra qualunque relazione, le interpretazioni
risultano costituite da un dominio di elementi e da una famiglia di
sottoinsiemi del dominio. Basta associare a ogni b del dominio ori¬
STILI DI DIMOSTRAZIONE
153
ginario tale che —1 R{b) il vero insieme {a : R(à)AE{a, b)}, e sosti¬
tuirlo a b, e E a E.
Rispetto a questa semantica, il teorema di completezza per la
logica del secondo ordine non sorprende più di quello per la logica
del primo ordine, anzi non sono distinguibili.
Dal teorema di completezza discendono tuttavia conseguenze
che chi non ha studiato logica non prevede, come il teorema di
Löwenheim-Skolem; ne segue un fenomeno analogo al paradosso di
Skolem della esistenza di modelli numerabili della teoria degli in¬
siemi: esiste sempre un modello numerabile della teoria e anzi, anche
partendo da un modello più che numerabile, come è quello dei reali,
esiste una sottostruttura numerabile che soddisfa esattamente tutti
gli enunciati del primo ordine che sono veri nella struttura più che
numerabile (si chiama sottostruttura elementare).
Nel caso di IR si può pensare ai numeri reali algebrici (anche se non
è evidente, ma vero, che oltre a formare un campo e a essere un in¬
sieme numerabile rispettino anche la condizione più forte di sod¬
disfare esattamente gli stessi enunciati del primo ordine veri in IR).
Queste strutture numerabili hanno soltanto una famiglia nume¬
rabile di sottoinsiemi del dominio, oltre al dominio numerabile di
individui; ma dalVintemo della struttura questi appaiono essere
tutti i sottoinsiemi del dominio; «dall’interno» vuol dire che quan¬
do si deve verificare se un enunciato con un quantificatore del se¬
condo ordine VX è vero nella struttura si devono esaminare solo
tutti i sottoinsiemi che appartengono alla famiglia della struttura.
Le strutture numerabili soddisfano anch’esse l’assioma di com¬
pletezza, ma rispetto ai sottoinsiemi che costituiscono la struttura.
I sottoinsiemi che contraddicono la completezza (e ne esistono,
perché altrimenti il dominio stesso dovrebbe essere più che nume¬
rabile)23 sono fuori dalla struttura. Nella famiglia di sottoinsiemi
del dominio ci sono praticamente solo i sottoinsiemi definibili con
formule del primo ordine.
Se ci si mette invece nell’ottica della logica del secondo ordine
piena, e si chiede che le variabili di insieme X, ... nell’assioma di
completezza varino su tutti i sottoinsiemi del dominio degli indivi¬
dui, allora due qualunque completamenti dei razionali sono iso¬
morfi, e isomorfi a IR.
2i
Lo spieghiamo qui sotto.
154
CAPITOLO QUARTO
Dimostrazione Prima si stabilisce un isomorfismo tra i rispet¬
tivi «razionali» di due campi Mx e M2, a partire dalla corrispon¬
denza tra i due 0 e i due 1 dei due campi. Quindi per ogni aE.Ml
si considera l’insieme dei razionali minori o uguali ad a, l’insieme
dei corrispondenti razionali in M2 e l’estremo superiore di questo
insieme, che esiste per l’assioma di completezza: questo elemento
di M2 è il corrispondente di a. Si verifica che in tale modo si stabi¬
lisce un isomorfismo, qed
Per portare a buon fine la dimostrazione, si applica dunque l’as¬
sioma di completezza in M2 a un sottoinsieme di M2 che è definito
facendo riferimento a Mu e che ragionevolmente non è definibile
nel linguaggio algebrico del solo M2. La garanzia che ad esso si
applica la completezza è data solo dalla parola magica «tutti».
La stessa situazione si presenta nella dimostrazione che tutti i
modelli dell’aritmetica sono isomorfi.
Dimostrazione Dato f^J con il suo successore x+ e un altro
modello dell’aritmetica M con il suo successore x', si definisce per
ricorsione una iniezione di N in M ponendo i(0) = 0M e i(x+) =
(i(x))'. Si dimostra che i è suriettiva, e infine che è un isomorfismo,
considerando in IVO l’insieme {xEM : —3y E N(i(;y) = x)}, suppo¬
sto per assurdo non vuoto, e dimostrando che non può avere un
minimo. A tale insieme si applica il principio del minimo solo per¬
ché si applica a «tutti» i sottoinsiemi di IMI. qed
Sarebbe difficile trovare altri teoremi che analogamente richie¬
dano come questi la logica del secondo ordine piena, direttamente
nella loro dimostrazione e non come conseguenza dei risultati di
unicità. L’unicità dei modelli a meno di isomorfismi si chiama an¬
che categoricità della teoria. A parte la sensazione rassicurante di
parlare di un concetto ben definito, la categoricità dei reali è con¬
siderata utile dai matematici perché permette di affermare che
se A vale in U allora A vale in tutti i campi ordinati completi
principio che è vero, ma perché c’è solo U, a meno di isomorfismi.
La logica ha elaborato altre nozioni più interessanti di quella di
isomorfismo che come vedremo permettono di non perdere il buo¬
no della categoricità, pur ammettendo tanti modelli non isomorfi,
con il vantaggio di avere più spazio di manovra.
STILI DI DIMOSTRAZIONE
155
Invece per i naturali la categoricità è interessante forse solo come
una curiosità, un’impuntatura filosofica. Ignorare i modelli non
isomorfi a f^J è un reale impoverimento, non solo per la teoria dei
numeri.
Il matematico non ci pensa, ma se si riesce a dimostrare che tutti
i modelli dell’aritmetica sono isomorfi a f^J ciò significa che per la
logica che si usa non vale il teorema di Löwenheim-Skolem-Tarski
verso l’alto, il teorema cioè che afferma che se una teoria ha mo¬
delli infiniti allora ha modelli di qualsiasi cardinalità. Tale risultato
è molto utile nello studio delle strutture, e molto usato, e una volta
messo in evidenza ci si rinuncerebbe a malincuore.
Il teorema di Löwenheim-Skolem implica che la completezza piena
(per tutti i sottoinsiemi) dei campi ordinati completi non è equiva¬
lente non solo a nessun enunciato del primo ordine ma a nessun in¬
sieme anche infinito di condizioni del primo ordine.
Questo fenomeno non è una curiosità oziosa; suggerisce di con¬
siderare la teoria che si ottiene scrivendo nel primo ordine le condi¬
zioni di completezza che interessano e che si possono scrivere, una
per ogni formula del primo ordine del linguaggio dei campi, come
si fa per l’assioma di induzione nell’aritmetica. Si preferisce for¬
mulare gli assiomi in modo equivalente con la richiesta che ogni
polinomio di grado dispari abbia almeno una radice, un assioma per
ogni polinomio, meglio per ogni grado.
Ad esempio
Va,b3x{ax + b = Q)
Va,b,c,d3x{ax} + bx2 + ex + d = 0)
Si ottiene una teoria algebrica molto interessante, la teoria dei
corpi reali chiusi, di cui diremo oltre.
Ai fini pratici la teoria del primo ordine che ne risulta, quella dei
reali, e quella del vero e proprio calcolo infinitesimale e integrale
che vi si può costruire sopra, ove alle funzioni e ai funzionali come
gli integrali si applichi la stessa restrizione predicativa, sono ade¬
guate.24
2-1 La cosiddetta analisi predicativa è caratterizzata, come la logica del secondo ordine pre¬
dicativa, della esclusione delle definizioni impredicative, cioè delle definizioni di insiemi attra¬
verso formule del tipo VX/1 nell’assioma di comprensione. Ammette solo formule del primo
156
CAPITOLO QUARTO
Cosa voglia dire «ai fini pratici» non lo sa spiegare bene nes¬
suno; probabilmente si intende che in ogni applicazione specifica i
dati sono definibili; senza entrare in dettagli, si consideri che i co¬
struttivisti25 svolgono le loro teorie in contesti di questo genere, e
sviluppano parti rilevanti della teoria classica.
4.2.4. Dimostrazioni insiemistiche
Le prime dimostrazioni in teoria degli insiemi sono semplicemen¬
te algebra booleana. A proposito dell’algebra degli insiemi si nota
un fenomeno curioso; la teoria (che parla di unione, intersezione,
complemento, differenza) nasce come introduzione del linguaggio
insiemistico, con stretti collegamenti con la logica proposizionale.
Ad esempio l’unione è definita dalla condizione
xE 7UZ <-> xG 7vxGZ
mediante la disgiunzione, e analogamente le altre operazioni.
Ma presto l’algebra degli insiemi diventa algebra; alle formule
che parlano degli elementi, per mezzo della relazione di appartenen¬
za, si sostituiscono le identità booleane, e le dimostrazioni cambiano.
Abbiamo visto ad esempio come si dimostra ancora con riferimen¬
to agli elementi (sfruttando X=Y <-> XCYaYGX) la proprietà
che Y U Z è il più piccolo insieme che contiene sia Y che Z (p. 105);
ma appena si sono dimostrate in tal modo un certo numero di iden¬
tità che comprendono gli assiomi booleani si passa alle dimostra¬
zioni algebriche, come quella di X D 0 = 0 vista sopra.
Si ha quasi l’impressione che si preferisca il meccanismo delle
deduzioni formali algebriche ai (piccoli) ragionamenti con i connet¬
tivi che occorre fare nell’altro tipo di dimostrazione. Gli studenti
certamente lo preferiscono, più regole meccaniche e meno ragio¬
namenti, credono. Non se la cavano comunque molto meglio per¬
ché le regole sono non deterministiche; quando occorre un artificio,
poniamo quello di aggiungere e togliere uno stesso termine, si deve
ordine per definire insiemi di reali. Una indagine che ha mostrato come anche con tale restri¬
zione si possano ottenere, in forma opportunamente modificata, i più importanti teoremi clas¬
sici è stata svolta da H. Weyl, Das Kontinuum, Veit, Leipzig 1918 (trad. it. Il contìnuo, Biblio-
polis, Napoli 1977).
25 Si veda ad esempio E. Bishop, Foundations of Constructive Analysis, McGraw-Hill, New
York 1967.
STILI DI DIMOSTRAZIONE
157
avere la stessa fantasia che per individuare proposizioni più com¬
plesse di quelle date in vista dell’applicazione di leggi logiche con¬
venienti.
Per quel che riguarda la teoria degli insiemi vera e propria, le
prime dimostrazioni sono semplicemente logica del primo ordine
applicata a ricavare conseguenze dalle definizioni.
Ad esempio dopo aver dato la definizione di iniettività e suriet-
tività si dimostrano proprietà come la seguente:
/: A —> B è suriettiva se e solo se g0/= h°f implica g = h
per ogni g, h : B —> X per ogni X.
Dimostrazione Siano date g, h tali che g°f= h°f. Se/è suriet¬
tiva ha un’inversa destra (già dimostrato) q : B —> A. Quindi {g°f)°
°q = {h°f)°q. Per l’associatività della composizione (già dimo¬
strata) g°{f°q) = h°{f0q)y quindi g°ìB = b° ÌB> e infine g = h.
Se / non è suriettiva, sia bE.B un elemento che non è nell’im¬
magine di/; sia X ={ 1, 2} e g e h definite come funzioni B —> X
che coincidono ovunque salvo che su b, g{b) = 1 e h{b) = 2. Allora
si verifica che g°f= h°f mentre geh sono diverse, qed
Nella teoria degli insiemi tutti gli oggetti sono insiemi e quindi
la teoria si svolge nel modo più naturale in un linguaggio del primo
ordine (con la sola relazione di appartenenza E). Questo è un pe¬
sante argomento a favore della adeguatezza pratica della logica del
primo ordine, considerando anche che tutti gli enti matematici si
possono definire al suo interno, sicché dal punto di vista della defi-
nibilità la teoria degli insiemi si può in effetti considerare, come
diceva Hilbert, la logica più generale.
Ma in ogni dimostrazione è possibile individuare localmente al¬
cuni pochi livelli insiemistici: a partire da un dominio di insiemi dati
si possono considerare i sottoinsiemi del dominio, o gli insiemi di
sottoinsiemi del dominio, o ancora un livello superiore formato dal¬
l’operazione di insieme potenza. Allora è come se si usasse una
logica del secondo o del terzo ordine, o di un ordine n finito.
Dal punto di vista psicologico la prova che non si pensa a tutto
l’universo è data dal fatto che anche in questi discorsi insiemistici
si usano due tipi di variabili, minuscole per gli insiemi che appar¬
tengono a un dominio fissato e che si trattano come individui (per¬
i58
CAPITOLO QUARTO
ché non occorre prendere in cosiderazione i loro elementi), e A,
/, ... per insiemi di individui e funzioni definite sugli individui.
Ad esempio la condizione di suriettività, per una /: A —> B, si
esprime con quantificatori su elementi di A e B:
VyEBBxE A(/(x) = y),
e il teorema visto sopra afferma
Vy3x(...)++Vg, h, X(...)
dove a destra occorrono quantificatori su insiemi e funzioni di x,
y, mentre A, 13,/fungono da parametri (tecnicamente, sono varia¬
bili libere).
Un altro indizio che i matematici preferiscono pensare a livelli
di enti non dello stesso tipo è dato dalla terminologia: si parla di
una famiglia di insiemi, quando nella teoria si intende un insieme
di insiemi.
Una funzione è definita come un insieme di coppie ordinate,
g, hQBX X. Ora B X X Ç U X)), considerando la usuale
definizione di coppia ordinata. Quindi g, h E U X))).
Bisogna salire di tre livelli, a partire da quello che comprende A,
B e X, costruiti dall’operazione potenza.
In queste trattazioni dunque si usa l’assioma della potenza un
numero finito di volte, a costituire l’ambiente entro cui si lavora,
e quindi l’assioma di separazione ristretto a questo ambiente per
definire insiemi.
Anche i matematici maturi, come i principianti alle prese con l’al¬
gebra degli insiemi, spesso preferiscono non ragionare su E e sugli
elementi. La condizione equivalente alla suriettività vista sopra è
g°f— h°f g = h
per ogni X e per ogni g, h : B —> X.
L’E è scomparso. Cambio di linguaggio, e insieme cambio di
logica, che diventa logica del secondo ordine.26 L’aspetto logico in
questo caso è strettamente connesso a una diversa impostazione
matematica.
Il teorema stabilisce un’equivalenza tra una proprietà locale, in¬
terna, e una globale, esterna; è un esempio del tipo di definizioni
26 In un altro senso, diventa una logica combinatoria di termini.
STILI DI DIMOSTRAZIONE
159
attraverso proprietà universali che sono il principio portante della
teoria delle categorie.
Un altro esempio potrebbe essere la definizione di unione. Dopo
aver dimostrato che Y U Z è il più piccolo insieme (rispetto a Ç)
che contiene sia Y che Z si osserva che un tale insieme è unico: se
X è tale
7ÇX
Zcx
VV(7ç VaZç v-»xc V)
allora
x=yuz.
Quindi si assume come definizione di unione questa condizione:27
7UZ = l’insieme che contiene Y e Z ed è il più piccolo
che li contiene entrambi.
Di nuovo una definizione viene introdotta da una dimostrazione.
A questo punto non cambia solo il linguaggio logico, ma anche la
grafica, ed è naturalmente preferibile usare, come si fa, la notazio¬
ne categoriale dei diagrammi universali.
Ad esempio per l’unione
Questi diagrammi trasformano visivamente in oggetti insiemi che
non si potrebbero rappresentare sullo stesso piano, se non in modo
inevitabilmente vago; i diagrammi di Eulero-Venn hanno la loro
utilità euristica, ma limitata, perché se punti e figure chiuse rappre¬
sentano rispettivamente elementi e insiemi l’estensione di questi,
e i loro elementi, sono indicati solo allusivamente; né si possono
anche rappresentare le funzioni tra insiemi.
Solo nelle applicazioni ai sillogismi, dove interessa esclusivamen¬
te indicare se determinate aree (intersezioni) siano vuote o no, e lo
si può fare con opportuni tratteggi, come ad esempio nella figura
2‘ Non la scriviamo in formule perché viene troppo lunga.
i6o
CAPITOLO QUARTO
dove è indicato che P D M = 0, cioè Vx(P(x) —> —>M{x)), e che
S fi M 0, cioè 3x(S(x) aM(x)), i cerchi diventano i veri, e unici,
oggetti che rappresentano predicati, senza bisogno di individui. Il
linguaggio dei sillogismi è tuttavia troppo povero.
Ma prima che nelle soluzioni grafiche è innanzi tutto dal punto
di vista logico che gli insiemi diventano oggetti, quando sono con¬
cepiti come enti su cui variano le variabili X, Y, ...
Un salto di livello si presenta ancora come si è visto quando da una
relazione di equivalenza si passa all’insieme delle classi di equiva¬
lenza. Se il linguaggio di base non è quello insiemistico il passaggio
di livello è trasparente e il cambio di notazione costituisce un vero
ampliamento di linguaggio, non solo una convenzione di scrittura.
Le dimostrazioni insiemistiche non si trovano tuttavia solo nella
teoria degli insiemi ma, come dimostrazioni semantiche, in ogni
teoria e in particolare nell’algebra astratta.
L’algebra delle strutture non si sviluppa, se non in pochi casi,
per deduzioni algebriche dagli assiomi, ma considera strutture in
cui gli assiomi sono veri, cioè i modelli della teoria.
Dire «dato un gruppo G» è la stessa cosa che dire «dato un mo¬
dello della teoria G», dove G è l’insieme degli assiomi. Quindi si
fanno operazioni varie sui modelli e si studiano relazioni tra i model¬
li. I teoremi interessanti non sono quelli che si esprimono nel lin¬
guaggio degli assiomi, ma in quello delle strutture. Nel linguaggio
degli assiomi si scrivono enunciati che si riferiscono agli elementi
di ogni gruppo, nel linguaggio insiemistico si scrivono proprietà
che si riferiscono a gruppi.
Citiamo ad esempio il teorema di Cayley, secondo cui
Ogni gruppo è isomorfo a un gruppo di trasformazioni.
Dimostrazione Dato un gruppo G, si associa a ogni elemento
E G l’applicazione x^xa di G in sé, denotata adt per «moltipli¬
cazione a destra».
STILI DI DIMOSTRAZIONE
l6l
Quindi si considera l’insieme
{adQ GxG :aE. G},
e si dimostra che questo è un gruppo di trasformazioni, che l’ap¬
plicazione a^adb 1-1, sopra e un isomorfismo, qed
Come si vede, a partire da G si considera di nuovo 9^(G X G)e
si usa l’assioma di separazione.
Quello che occorre in questa dimostrazione è tutto quanto di
semantica interviene, in generale, nelle dimostrazioni semantiche,
definite in senso lato, cioè praticamente niente. Vedremo in segui¬
to quelle da chiamarsi semantiche in senso proprio.
Un altro esempio è il teorema fondamentale sull’omomorfismo
di gruppi, che afferma che ogni gruppo quoziente di un gruppo G
è immagine omomorfa di G e viceversa ogni immagine omomorfa
di G è isomorfa a un gruppo quoziente. Anche questo è un esem¬
pio di un teorema generale utile a semplificare altre dimostrazioni:
tra le altre, esso permette una dimostrazione più diretta del teo¬
rema che due gruppi ciclici dello stesso ordine sono isomorfi.28
Il teorema, come si controlla facilmente, si dimostra restando
entro i livelli determinati da qualche applicazione della potenza alle
strutture date. Dal punto di vista della teoria degli insiemi sono
tecnicamente teoremi di Z.
Ci si può chiedere allora dove si usa la forza intera di ZF con l’as¬
sioma di rimpiazzamento. I matematici non lo saprebbero indicare,
anche perché è una presenza nascosta; i suoi usi più frequenti e
importanti sono impliciti nelle definizioni ricorsive, in quanto l’as¬
sioma interviene in modo essenziale nella dimostrazione del teo¬
rema di ricorsione (che appunto giustifica le definizioni ricorsive in
genere).
Una differenza di stile interna alla teoria degli insiemi si rileva
a questo proposito, che è analoga a quella segnalata in precedenza
e relativa all’uso delle successioni in analisi. A partire dagli anni
trenta, si è trovato il modo di evitare le definizioni per ricorsione
sugli ordinali per mezzo di principi vari di massimalità (Zorn, Haus¬
dorf f, Teichmüller-Tukey).29
28 Si veda N. Jacobson, Lectures in Abstract Algebra, Van Nostrand, Princeton 1951, pp. 44-45.
29 Si veda Lolli, Dagli insiemi ai numeri cit., pp. 138-45.
IÓ2
CAPITOLO QUARTO
La naturalizzazione del modo di pensare insiemistico, che si è rea¬
lizzata negli ultimi cento anni, e che risalta dal confronto di testi
dei due periodi, si rivela soprattutto nella scomparsa degli ordinali
(i naturali e gli ordinali infiniti) e delle tecniche acconce, la ricorsio-
ne in primis, a favore di proprietà generali di ordini parziali. Il fe¬
nomeno è curioso se si pensa che gli ordinali e la loro teoria sono
lo scheletro dell’insiemistica, ma lo si può vedere come un aspetto
della liberazione della matematica dalla schiavitù del numero.
Un’applicazione esplicita dell’assioma di rimpiazzamento è nel
teorema che afferma che ogni insieme è bene ordinabile.
Dimostrazione Dato un insieme a si considera l’insieme di tutti
gli ordini che sono buoni ordini di sottoinsiemi di a. Ce ne sono,
perché i sottoinsiemi finiti sono bene ordinabili. Si tratta di un
insieme perché ognuno di questi buoni ordini è un sottoinsieme della
potenza di a X a. A ognuno di essi si associa un ordinale isomorfo
rispetto all’ordine (già dimostrato, si suppone), e per l’assioma di rim¬
piazzamento esiste l’estremo superiore a di questi ordinali (che è
un limite se a è infinito, per proprietà dei buoni ordini).
Ora si stabilisce una corrispondenza biunivoca tra a e a. Sia c
una funzione di scelta per i sottoinsiemi non vuoti di a e si defini¬
sca (ricordiamo che tra ordinali la relazione < è E)
m=
c(a — {/(/) E æ : y E /?})
a
se {f{y)ea:Y<=ß}(Za
altrimenti
per ogni ß minore di a.
La dimostrazione si conclude mostrando con alcuni calcoli che in
effetti a non è mai nell’immagine di/, e/è quindi una biiezione,
ed è una biiezione trattele trasporta il buon ordine di a su a. qed
In alternativa, si introduce un’ordine parziale ^ tra i buoni
ordini di sottoinsiemi di a ponendo che (alf <j) ^ {a2ì <2) se ax Ç a2
e <jÇ <2, si verifica che ogni catena ascendente ha un maggio¬
rante (l’unione) e si applica il lemma di Zorn. Quindi resta da veri¬
ficare, ma è routine, che un elemento massimale è un buon ordine
di dominio a. qed
Naturalmente per dimostrare i principi di massimalità occorre
lavorare con ordinali, definizioni per ricorsione e assioma di scelta.
STILI DI DIMOSTRAZIONE
163
4.2.5. Dimostrazioni semantiche
Se chiamiamo «semantiche» le dimostrazioni che operano su
strutture, i matematici fanno dimostrazioni semantiche in continua¬
zione, quasi sempre, senza saperlo; ma è meglio saperlo, perché
ogni tanto paga il non limitarsi a parlare di enunciati veri in una
struttura - che è proprio solo semantica alla Molière - ma utilizzare
risultati generali relativi ai linguaggi e alle teorie, risultati che esi¬
stono e appartengono propriamente alla metamatematica dell’alge¬
bra. Le dimostrazioni che si appoggiano ad essi si possono allora
chiamare semantiche in senso proprio.
La logica del primo ordine è la logica più ricca da questo punto
di vista. In particolare il teorema di compattezza è un fertile stru¬
mento di generazione di teoremi relativi a diverse teorie; tali teo¬
remi si dimostrano anche indipendentemente ciascuno dagli altri
con le tecniche specifiche delle loro teorie, ma vederli come conse¬
guenze, o ottenerli come applicazione di una unica forma di ragio¬
namento aiuta a scoprire relazioni insospettate, o solo afasicamente
intuite.
Il teorema di compattezza afferma che se una teoria del primo
ordine ha modelli finiti arbitrariamente grandi allora ha un
modello infinito. In modo equivalente, se un enunciato è conse¬
guenza logica di un insieme di enunciati T, allora è conseguenza
logica di un numero finito di elementi di T.
Non ci sono restrizioni sul linguaggio, purché sia del primo
ordine; potrebbe anche essere costituito da un’infinità più che nu¬
merabile di enunciati, se il linguaggio ha tanti simboli, ad esempio
costanti per tutti gli elementi di una struttura. Non ci sono restri¬
zioni neanche sul carattere effettivo della teoria; una teoria è un
insieme di enunciati, ad esempio tutti quelli veri in una struttura
come N, anche se non è decidibile quali siano.
Il teorema di compattezza è un corollario del teorema di com¬
pletezza, e del carattere finito delle derivazioni, ma ammette anche
dimostrazioni dirette, con operazioni sulle strutture,30 senza pas¬
sare attraverso i calcoli.
30 L’ultraprodotto è una operazione algebrica introdotta dai logici a questo scopo, anticipata
da Skolem per i modelli dell’aritmetica e in alcune ricerche di analisi funzionale su anelli di funzioni.
164
CAPITOLO QUARTO
Il teorema di compattezza è in sé un risultato che ha diversi ana¬
loghi (o si ritrova letteralmente, con opportune traduzioni) in vari
campi; ad esempio la compattezza dello spazio di Cantor, o il teo¬
rema dell’ultrafiltro per le algebre di Boole.31
Ma sono soprattutto le sue applicazioni che stabiliscono collega-
menti tra varie situazioni. Per le applicazioni il teorema di com¬
pattezza deve essere combinato con altri risultati validi per la
logica del primo ordine, in particolare con alcuni teoremi che col¬
legano la forma degli enunciati con le operazioni su strutture
rispetto alle quali sono invarianti (teoremi di conservazione); uno
lo abbiamo già ricordato a proposito dei prodotti ridotti e delle for¬
mule di Horn; un altro afferma che gli enunciati che si conservano
per catene ascendenti di strutture sono equivalenti a enunciati
della forma V3; un altro ancora che una struttura M è immergibile in
un modello di una teoria T se e solo se in M sono vere tutte le conse¬
guenze universali di T (cioè gli enunciati che hanno solo quantifica¬
tori universali iniziali, quelli che di solito i matematici omettono).32
Per avvicinarsi ad applicazioni matematiche, il teorema di com¬
pattezza viene riformulato in vari modi appropriati, ad esempio:
Una struttura M è immergibile in un modello di T se e solo se
ogni sottostruttura finitamente generata di M è immergibile in un
modello di T.
Tra i teoremi che si dimostrano come conseguenza di questi
risultati metamatematici, citiamo quello secondo cui
Ogni ordine parziale può essere esteso a un ordine totale dello
stesso insieme.
Dimostrazione Si osserva che le strutture finitamente generate
di un ordine parziale coincidono con i generatori, e sono quindi
finite, ed estendibili a un ordine totale. Quindi si sfrutta anche il
fatto che la condizione di essere totale per un ordine è un enuncia¬
to universale, qed
31 In ogni algebra di Boole ogni filtro non degenere può essere esteso a un ultrafiltro.
32 Dualmente, gli enunciati esistenziali sono quelli che hanno solo quantificatori esistenziali
iniziali, ad esempio quelli che affermano che un’equazione ha almeno una soluzione.
STILI DI DIMOSTRAZIONE
165
Teoremi analoghi, nel senso che ammettono proprio la stessa
dimostrazione, sono facilmente moltiplicabili. Ad esempio
Ogni dominio d’integrità può essere esteso a un campo.
Dimostrazione Le sottostrutture finitamente generate di un do¬
minio d’integrità, se l’insieme dei generatori ha n elementi, sono
isomorfe all’anello Z[xlf ..., xn] che è immergibile nel campo delle
funzioni razionali a coefficienti interi a n indeterminate, qed
Questa è praticamente la dimostrazione classica, ma è interes¬
sante notare come rientri in uno schema generale, con il quale si
dimostra anche ad esempio che
Un gruppo abeliano può essere ordinato se e solo se è privo di
torsione.
Dimostrazione I sottogruppi finitamente generati di un gruppo
privo di torsione sono isomorfi a Z" per qualche n e possono essere
ordinati in modo lessicografico. Gli enunciati universali che de¬
vono essere soddisfatti perché un gruppo abeliano possa essere
ordinato sono gli assiomi aggiuntivi sulla torsione e siccome coin¬
volgono la nozione di numero naturale richiedono infinite condi¬
zioni, una per ogni ny \/x(xn =1 —> x = 1). qed
Ulteriori esempi richiederebbero di spiegare diverse costruzioni
e concetti specifici della teoria dei modelli.33 Alcuni nuovi concetti
sono molto semplici e applicabili a teorie familiari, anche perché
provengono da quelle per generalizzazione. Ad esempio una teoria
T si dice model-completa se dati due modelli Me Jf di T con M sot¬
tostruttura di ogni enunciato esistenziale vero in M è vero anche
nella sottostruttura M.
Si dimostra che la teoria dei campi algebricamente chiusi è una
teoria model-completa, con ragionamenti e risultati tipici della teo-
Si veda il pionieristico A. Robinson, Introduction to Model Theory and to the Metamathe¬
matics of Algebra, North Holland, Amsterdam 1963 (trad. it. Introduzione alla teoria dei modelli
e alla metamatematica dell’algebra, Boringhieri, Torino 1974) o il recente D. Marker, Model Theory.
An Introduction, Springer, New York 2002.
i66
CAPITOLO QUARTO
ria dei modelli, e si ha come corollario immediato il Nullstellensatz
di Hilbert.
Nella teoria dei modelli si trattano questioni che nella termino¬
logia paiono riferirsi a problematiche eminentemente logiche, ma
che spesso coincidono con quelle che studiano i matematici. Ad
esempio un tema trattato è quello di trovare condizioni sotto cui
una teoria ammette o non ammette un numero finito di assiomi (o,
come si dice, è finitamente assiomatizzabile). Abbiamo visto di¬
verse teorie con infiniti assiomi, dall’aritmetica a ZF; ma infiniti
assiomi non derivano solo dalla sostituzione di un assioma del
secondo ordine con uno schema infinito del primo ordine (come
per l’induzione o la completezza). Ad esempio la nozione di carat¬
teristica 0 di un campo, se si vuole restare nel linguaggio del primo
ordine e non usare la logica del numero, richiede infiniti assiomi:
—I = 0), per ogni n E f^J, dove n compare nella formula come
n volte
1 + ... + 1.
Quando si dimostra, facilmente, che tale teoria non è finita¬
mente assiomatizzabile si ha come bonus, grazie alla compattezza,
il metateorema che
Per ogni A nel linguaggio dei campi, se A vale in tutti i campi di
caratteristica 0, allora esiste un p, dipendente da A, per cui A vale
in tutti i campi di caratteristica q>p. QED
4.2.6. Dimostrazioni meccaniche
Non affrontiamo il problema delle dimostrazioni assistite dal
calcolatore, troppo ampio e specifico.34 Ricordiamo solo che i pro¬
grammi di dimostrazione automatica sono basati su calcoli logici
appositi, adatti sia alla trattazione teorica sia alTimplementazione.
Il più importante è il cosiddetto calcolo della risoluzione,35 dove le
formule logiche sono trasformate in insiemi di clausole, cioè di-
H Per una introduzione generale si può vedere G. Lolli, La Macchina e le dimostrazioni, Il
Mulino, Bologna 1987, e il più aggiornato M.J. Beeson, The Mechanization of Mathematics, in
C. Teuscher (a cura di), Alan Turing. Life and Legacy of a Great Thinker, Springer, Berlin 2004,
pp. 77-134.
>5 Si veda di nuovo un qualsiasi manuale di logica, o, espressamente dedicato, J. A. Robin¬
son, Logic: Form and Function, Edinburgh University Press, Edinburgh 1979.
STILI DI DIMOSTRAZIONE
167
sgiunzioni di formule atomiche o negazioni di formule atomiche,
e l’unica regola è la regola di risoluzione,
A1 v... vAnv-iC CvB{v ...vBm
A1v...vA„vB,v...vß„
che è una variante della transitività del condizionale (come si veri¬
fica trasformando v con —>).36
La regola così scritta non è corretta se non per la logica proposizio¬
nale; se ci sono variabili occorre eseguire anche una unificazione,
cioè una sostituzione di termini alle variabili che renda complemen¬
tari (cioè una la negazione dell’altra) due formule nelle premesse
che di per sé non lo sono.37
Nel calcolo della risoluzione, per dimostrare che T\= A si consi¬
dera TU {—1^4} e si cerca una refutazione, ovvero una deduzione
della clausola vuota (dove tutte le formule atomiche sono state eli¬
minate per risoluzione e l’ultimo passaggio ovviamente deve essere
una risoluzione applicata a due clausole unitarie C e —1C; una refu¬
tazione significa dunque che TU {—\A} è contraddittorio).
Il calcolo è completo, vale a dire che se Tt= A allora esiste una re¬
futazione di TU {—u4}; inoltre se applicato a clausole (che derivano
da formule) di Horn si semplifica notevolmente e risulta polino¬
miale, ma salvo che in casi banali il ritrovamento della dimostra¬
zione resta di complessità impraticabile, se non si interviene dal¬
l’esterno con opportune euristiche.
Si consideri il seguente teorema:
Ogni gruppo di esponente 2 è abeliano.
«Esponente 2» vuol dire che xx = 1 per ogni x.
Questo teorema è stato sottoposto ad analisi approfondite perché
rappresenta un test significativo per la dimostrazione automatica.38
Le formule sono formule di Horn. Se si scrivono gli assiomi,
inclusi quelli dell’uguaglianza, la condizione che xx = 1 e la nega¬
zione della conclusione (xy i=yx), si ottengono 12 clausole, ed esi¬
ste una refutazione di lunghezza 42.
36 Se non ci sono A„ è il sillogismo disgiuntivo.
3/ I quantificatori sono eliminati prima con una trasformazione in una forma particolare,
detta forma normale di Skolem.
38 A. Bundy, The Computer Modelling of Mathematical Reasoning, Academic Press, London
1983, pp. 82-95.
CAPITOLO QUARTO
168
Il dimostratore costruisce tutte le possibili derivazioni a partire
dalla clausola xy A yx, generando per ogni clausola via via ottenuta
quelle che si ottengono da risoluzioni della clausola stessa con altre,
e la produzione di tali derivazioni è organizzata come un albero.
Siccome ci sono circa in media 3 diramazioni a ogni nodo del¬
l’albero delle derivazioni, per trovarla provando a seguire tutte le
strade occorrerebbe generare un albero di circa 342 nodi; i calcola¬
tori passano ore senza completare il compito.
Il calcolo si può rendere più efficiente aggiungendo una regola,
la paramodulazione, che permette di effettuare sostituzioni dirette
di termini invece di realizzarle applicando, con risoluzioni, gli
assiomi dell’uguaglianza. Allora esiste in effetti una derivazione di
lunghezza 10, ma in cambio siccome ci sono più regole ogni nodo ha
in media 12 diramazioni, e si ha pur sempre un albero di 1210 nodi,
non un grande miglioramento.
Le derivazioni che abbiamo affermato esistere sono state trovate
e scritte a mano, seguendo una strategia basata sulle seguenti cono¬
scenze.
Si utilizza il concetto gruppale di commutatore, vale a dire un
termine della forma x~ly~lxy, e si considera il sottogruppo G' dei
commutatori di un gruppo G, che è il sottogruppo generato dai com¬
mutatori di G.
Un risultato noto è che
G è abeliano se e solo se G' è banale, cioè G' = {1}.
Questo enunciato si riferisce a insiemi, ma si può esprimere nel
linguaggio dei gruppi come
Vx\/y(xy = yx) <-> \/x\/y{x~ ly~ lxy = 1)
e in effetti una tecnica comune per provare che un gruppo G è abe¬
liano è provare che x- ly~ 1xy = 1 per ogni x, y E G.
La dimostrazione si può fare in modo elementare e breve
xy = lxy
= yy~1xy
= yly~lxy
= yxx~ly~lxy
= yx 1
= yx.
STILI DI DIMOSTRAZIONE
169
Ora basta osservare che dalla condizione che il gruppo sia di espo¬
nente 2 segue la condizione x = x~1 e trasformare quindi x- ly~1xy
in xyxy, ottenendo la dimostrazione
xy = 1 xy
= yy-'xy
= yly~lxy
= yxx~ly~lxy
=yxxyxy
= yx{xy){xy)
= yx 1
=yx QED
In questo caso interviene un concetto insiemistico, come quello
del sottogruppo generato dai commutatori, ma non è richiesta la
logica degli insiemi. La proprietà che il sottogruppo sia banale si
può ridurre a una proprietà espressa in termini del primo ordine, e
la dimostrazione è algebrica, elementare. La proprietà tuttavia è
stata individuata per l’abitudine a ragionare sui sottogruppi gene¬
rati da...
Non si può programmare un dimostratore a cercare aiuti in tutta
la matematica. La morale che se ne ricava è che per ottenere pro¬
grammi efficienti, come quello alla base del Prolog, il calcolo
logico deve essere modificato con vincoli che riducono grande¬
mente le alternative esaminate a ogni passo, ma che distruggono
anche la completezza; è quanto succede nel Prolog con i comandi
di controllo.39 Come diceva Turing
per alcuni sistemi logici, è stato dimostrato che non esiste alcuna macchina in
grado di distinguere le formule dimostrabili del sistema da quelle non dimo¬
strabili. Così se una macchina è costruita con questo obiettivo deve, in certi
casi, fallire. D’altra parte se un matematico fosse messo di fronte a un tale
problema, egli si guarderebbe intorno e cercherebbe nuovi metodi di prova,
per giungere alla fine a una decisione circa la formula data.40
Sicché se si vuole che le macchine mostrino intelligenza si deve per¬
mettere loro di commettere errori.
39 Si veda L. Console, E. Lamma e P. Mello, Programmazione logica e Prolog, Utet Libreria,
Torino 1991.
40 A. M. Turing, Intelligenza meccanica, Bollati Boringhieri, Torino 1994, p. 86.
CAPITOLO QUARTO
170
Qualche volta bisogna anche fornire alle macchine nuovi metodi
di prova. Spesso capita di voler sapere se una equazione è un teo¬
rema di una teoria algebrica. Nel precedente esempio la domanda
era se xy = yx fosse un teorema di G U {xx = 1}.
Se si vuole sapere se t = s è un teorema della teoria dei gruppi,
ci si trova di fronte a un caso di quello che si chiama problema della
parola (word problem) per i gruppi.
Il problema è stato dimostrato decidibile, e il metodo di deci¬
sione consiste pur sempre nel produrre derivazioni, ma che segua¬
no strade diverse, cioè con altre regole.
La terminologia è la seguente; le equazioni che sono assiomi sono
viste come regole di riscrittura, da utilizzarsi tuttavia non in entram¬
be le direzioni, ma in una sola. Talvolta si sostituisce il simbolo =
con un altro simbolo D> di conversione, ma si può continuare a usare
= applicando le trasformazioni solo da sinistra a destra. Questa restri¬
zione è facilmente realizzata, eliminando dagli assiomi la simmetria
di = e formulando con attenzione le regole nel modo opportuno.
Un sistema di regole di riscrittura si dice confluente se quando
un termine t si può riscrivere in due modi diversi tl e t2) applicando
una o più volte le regole, esiste un termine s tale che sia tx sia t2 si
possono trasformare in 5.
Se il sistema è confluente ogni termine può essere ridotto a quella
che si chiama la sua forma normale, che è unica, una forma non ul¬
teriormente trasformabile.
L’usuale insieme di assiomi per i gruppi, scritti come equazioni,
interpretate come regole di riscrittura, non è confluente, ma ne esi¬
ste un altro equivalente che lo è, almeno per quel che riguarda la
derivazione di equazioni. Ai tre classici assiomi
ìx — x
x~lx=l
x{yz) = {xy)z
si aggiungono
x~l(xy)=y
xì — x
l~l = ì
(x-')-l=x
x(x~*) = 1
x(x~ly)=y
(xy)~l =x~ly~l
STILI DI DIMOSTRAZIONE
171
con il vincolo tuttavia di usarli tutti solo come riduzioni da sinistra
verso destra.
Per ottenere le stesse equazioni dai soli primi tre, questi devono
essere usati in entrambe le direzioni (e il terzo come si vede facil¬
mente è in tal caso quello responsabile della non confluenza).
Ora per sapere se t = s basta applicare le regole di riscrittura a t
ed 5 finché si arriva alla forma normale di entrambi, e si controlla
se le due forme normali sono sintatticamente uguali o no. qed
La morale è che considerazioni metalogiche vaste e approfondite
sono necessarie per la costruzione stessa di un dimostratore.
Le dimostrazioni prodotte da un programma sono le uniche vere
dimostrazioni formali, almeno tra quelle di lunghezza consistente.
Nel caso del teorema sui gruppi di esponente 2 e della dimostra¬
zione di 10 righe, o anche di 42, la metamatematica batte la mac¬
china. Per lunghezze superiori non è possibile procedere a mano.
La dimostrazione formale di 1 4-1 = 2 nei Principia mathematica era
completa, ma prendeva due pagine, come lamentava Poincaré, e
questo sembra il limite. Le dimostrazioni più impegnative trovate
da dimostratori automatici possono essere verificate solo da altri
dimostratori e restano inevitabilmente opache.
Nel 1996 William McCune ha risolto con il suo programma eqp
la congettura di Herbert Robbins.41 La derivazione dell’equazione
critica prodotta da eqp consiste di 49 548 equazioni, anche se il
programma, piuttosto intelligente, ha prodotto solo le 13 che rite¬
neva decisive per mostrare la traccia della dimostrazione. Gli unici
controlli possibili sono stati fatti mediante repliche con Otter e altri
dimostratori.
4.3. Purezza dei metodi
Per sviluppare una teoria, per dimostrare teoremi, una volta che
la teoria sia bene definita nel suo linguaggio, non è detto che si
debba restare confinati nel linguaggio, e spesso non succede.
41 Riguarda una diversa assiomatizzazione delle algebre di Boole, con altre equazioni come
assiomi. Per provare la congettura occorreva derivare dalle nuove gli assiomi tradizionali, o altre
equazioni che li implicano.
172
CAPITOLO QUARTO
Lo si è visto in molti degli esempi precedenti. La dimostrazione
di X= ~~X ha richiesto un’estensione del linguaggio, da quello
equazionale a quello in cui le formule erano composizioni proposi¬
zionali di equazioni, per dimostrare un risultato che è formulato
nel linguaggio originario.
Lo stesso è successo per il teorema sui gruppi di esponente due.
Nei due esempi il linguaggio è esteso nella parte logica, in un caso
i connettivi, nell’altro le variabili del secondo ordine. Di tutt’altro
genere è l’estensione di un linguaggio mediante l’introduzione per
definizione di nuovi simboli non logici (relazioni o operazioni) come
si è visto nel caso dell’aritmetica, estensione che non modifica la
forza del sistema ma diminuisce solo la complessità delle formule.
Nel caso delle regole di riscrittura non si cambia il linguaggio, ma
si cambia assiomatizzazione. Non ogni insieme di assiomi ne vale
un altro, anche se sono equivalenti; dipende dal problema. Se si usa
D> peraltro anche in tal caso si configurerebbe un cambio di linguag¬
gio. Un linguaggio più ricco si rivela utile anche nelle considera¬
zioni preliminari che portano all’impostazione della dimostrazione.
Utilizzare un altro linguaggio è una manifestazione di impurità
dei metodi.
La purezza dei metodi è un concetto introdotto e valorizzato da Hil¬
bert, che gli attribuiva grande rilevanza. Con «purezza» si intende
che nella dimostrazione di un teorema intervengono solo condizio¬
ni esprimibili nel linguaggio originario degli assiomi e si usano i
metodi deduttivi prefissati consoni a quel linguaggio.
Gli esempi preferiti di Hilbert di violazione della purezza dei
metodi erano le dimostrazioni di risultati aritmetici nella teoria
analitica dei numeri, o l’uso dello spazio per la dimostrazione di pro¬
prietà della geometria piana. Dal che si capisce che egli non inten¬
deva certo promuovere una crociata contro gli impuri.42
Il motivo per cui Hilbert attribuiva importanza dal punto di vista
logico alla purezza dei metodi era che nel caso dell’aritmetica la
eventuale dimostrazione che la purezza fosse sempre rispettabile in
linea di principio comportava anche la dimostrazione che ogni enun¬
ciato aritmetico dimostrato con eventuali strumenti più forti, ad
esempio l’analisi, ovvero la logica del secondo ordine, sarebbe stato
42 Fondamentalista era invece a questo proposito Wittgenstein, come è spiegato in Lolli, Da
Euclide a Godei cit.
STILI DI DIMOSTRAZIONE
173
anche dimostrabile nell’aritmetica elementare con la logica del primo
ordine. Hilbert voleva in sostanza un altro metateorema che con¬
fermasse le aspettative dei matematici. Aveva scoperto inoltre che
questa proprietà, se dimostrata nell’aritmetica, sarebbe stata equi¬
valente alla non contraddittorietà della stessa.43
Dai successivi risultati di Godei, sappiamo che questa proprietà
non è dimostrabile per l’aritmetica; di nuovo un teorema metalogico
conferma l’esperienza (nella quale, in ogni campo, si trova tutto e
il contrario di tutto), che in generale queste dimostrazioni impure
non solo sono più brevi e semplici, più facili da concepire e da se¬
guire di quelle che restano confinate nel linguaggio della teoria, ma
qualche volta sembrano le sole disponibili.
Lo sono in particolare tutte le dimostrazioni metalogiche con le
quali si stabiliscono risultati su qualche logica. Tutti ne conosco¬
no qualcuna che stabilisce i limiti di determinati strumenti concet¬
tuali. Nel caso delle costruzioni con riga e compasso il fenomeno
del cambiamento di linguaggio si ripete due volte. Innanzi tutto si po¬
trebbe dire che gli strumenti, che sono il linguaggio del disegnatore
o dell’agrimensore, sono sostituiti dal linguaggio matematico - uno
dei più impressionanti successi della matematizzazione, forse l’o¬
rigine stessa della matematica occidentale. In un secondo momento
le dimostrazioni sulla impossibilità di alcune costruzioni classiche
sembrano richiedere in modo essenziale la versione algebrica.
4.4. Metodi di decisione
La dimostrazione che la teoria dei gruppi possiede un’assioma-
tizzazione per mezzo di un sistema confluente di regole di riscrit¬
tura fornisce un metodo di decisione per la parte equazionale della
teoria.44 Un metodo di decisione è anche più importante della com¬
pletezza della logica perché fornisce la risposta a intere classi di
problemi senza che ci si debba arrabattare ogni volta in una nuova
ricerca, e la fornisce effettivamente, non solo come invito a una
ricerca non garantita.
45 Per maggiori spiegazioni, si veda Lolli, Da Euclide a Godei cit.
44 La teoria dei gruppi è indecidibile, a differenza della teoria dei gruppi abeliani. Una teo¬
ria si dice decidibile se esiste un metodo di decisione, cioè un algoritmo che per ogni A deter¬
mina se A è un teorema o no della teoria, dando sempre la risposta.
174
CAPITOLO QUARTO
Una dimostrazione di decidibilità fornisce infinite dimostrazioni
o refutazioni, una per ogni enunciato del linguaggio della teoria (e
questa, di produrre dimostrazioni, potrebbe essere un’altra fun¬
zione che hanno alcune dimostrazioni).
Tra le teorie che si sanno essere decidibili merita una segnalazio¬
ne particolare la teoria dei campi reali chiusi, cioè l’assiomatizza-
zione al primo ordine dei reali.
Gli assiomi si ottengono aggiungendo agli assiomi dei campi or¬
dinati la condizione che ogni elemento positivo abbia una radice
quadrata e gli assiomi che affermano che ogni polinomio di grado
dispari ha almeno una radice.
Questa teoria è decidibile (si dice anche che l’algebra dei reali è
decidibile). Dalla dimostrazione risulta inoltre un’altra proprietà,
la completezza deduttiva della teoria (per ogni A, o A è un teorema
o -iA lo è).
Attraverso l’analitica, anche la geometria euclidea, come pure
quella iperbolica, risultano teorie decidibili e deduttivamente com¬
plete. Il risultato per i reali è dovuto ad Alfred Tarski.
I numeri naturali non sono quindi definibili nella teoria dei
campi reali chiusi, altrimenti ne seguirebbe l’indecidibilità della
teoria, perché l’aritmetica è indecidibile. Se la base della trattazio¬
ne dell’analisi è questa teoria algebrica, l’uso dei numeri naturali
richiede l’accostamento con l’aritmetica, cioè di fatto di lavorare
con due teorie diverse. Non ne segue alcun disagio, senonché occor¬
re fare attenzione al fatto che se gli enunciati a cui si è interessati
non dipendono dai numeri naturali allora si possono usare tutte le
tecniche che la logica del primo ordine mette a disposizione; se in¬
vece intervengono i naturali probabilmente no, nel senso che i
matematici tendono a lavorare con N definito categoricamente e
non con l’aritmetica del primo ordine.
La teoria dei campi algebricamente chiusi, fissata la caratteristica
sia p > 0 sia 0, è anch’essa decidibile e deduttivamente completa.
Se una teoria è deduttivamente completa, in due suoi modelli
qualsiasi valgono esattamente gli stessi enunciati del primo ordine.
Ne segue che per sapere se A è un teorema dei campi algebricamen¬
te chiusi di caratteristica 0 o dei campi reali chiusi è sufficiente ve¬
rificarlo rispettivamente in C o in IR (oppure naturalmente in altri
rispettivi modelli, ad esempio numerabili).
STILI DI DIMOSTRAZIONE
175
La completezza deduttiva è l’alternativa logica alla categoricità,
ottenibile senza vendere l’anima al diavolo della logica del secondo
ordine piena.
Vale la pena sottolineare che questi risultati positivi di decidi-
bilità non sono ottenuti solo in modo diretto scrivendo algoritmi di
decisione, ma si appoggiano a proprietà matematiche o, soprattut¬
to, strutturali e metamatematiche; ad esempio un ruolo importante
è giocato dalla proprietà che due campi algebricamente chiusi più
che numerabili della stessa caratteristica sono isomorfi. Il metodo
di decisione per i reali è una generalizzazione del teorema di Sturm
sulla limitazione delle radici dei polinomi in termini dei coefficien¬
ti. I teoremi sulla decidibilità delle teorie matematiche non sono un
affare riservato di informatici, ma di matematici, in particolare di
metamatematici.
Purtroppo, o per fortuna, i metodi di decisione per le teorie alge¬
briche non sono efficienti; per la teoria dei campi reali chiusi si sa
dalla teoria della complessità che ogni algoritmo di decisione non
può che essere almeno superesponenziale.
Diventa pertanto più significativa la ricerca di metodi di decisio¬
ne non tanto per teorie quanto per frammenti (sopra, il frammento
equazionale della teoria dei gruppi), o per argomenti particolari, tra
i quali ve ne sono molti sui quali gli studenti sudano con poco co¬
strutto e poco profitto.
Molte tecniche vengono applicate a mano nella scuola come fonte
inesauribile di esercizi, ma raramente si esaminano nel loro insieme
come un oggetto matematico.
Per alcuni problemi si hanno risultati interessanti, alcuni che
confermano e giustificano teoricamente l’esperienza della difficoltà,
altri che denunciano la stupidità dei programmi di insegnamento.
La prima estensione dell’algebra dei reali riguarda le funzioni
elementari. Il pesante fardello delle identità trigonometriche po¬
trebbe essere alleggerito mostrando che quelle nelle quali gli argo¬
menti delle funzioni trigonometriche sono funzioni lineari a coeffi¬
cienti interi di x, che sono in effetti quelle degli esercizi, sono tutte
verificabili con la sostituzione t= tan(x/2) che le riduce a uguaglian¬
ze tra funzioni razionali e in definitiva a uguaglianze di polinomi:45
45 J.H. Silverman e J. Tate, Rational Points on Elliptic Curves, Springer, New York 1992.
176
CAPITOLO QUARTO
«Se ve lo avessero detto a scuola, tutta la gran fatica sulle identità tri¬
gonometriche si sarebbe ridotto a un banale esercizio di algebra!»
Si sa invece che nessun algoritmo può decidere la verità di ugua¬
glianze che coinvolgono tutte le funzioni elementari, cioè polinomi,
funzioni trigonometriche, con la costante n, logaritmi ed esponen¬
ziali.
Un altro spauracchio è quello degli integrali. Se una funzione
elementare sia integrabile in termini finiti, con un integrale ele¬
mentare, è indecidibile. Per gli integrali delle funzioni elementari
esiste tuttavia un algoritmo che combina le solite tecniche, inte¬
grazione per parti e sostituzioni, in una semplice procedura che dà
sempre il risultato, quando l’integrale è elementare: è un metodo
di decisione parziale.46
La tendenza didattica tuttavia non sembra quella di iniziare a
uno studio metamatematico di questi e simili argomenti, che com¬
binerebbe matematica e informatica e rivelerebbe importanti dif¬
ferenze di complessità computazionale negli esercizi di routine;
sembra piuttosto quella di seppellire e nascondere tutto dentro la
scatola nera delle macchinette che fanno tutto loro.
46 M. Bronstein, Symbolic Integration I, Springer, New York 1997; il risultato è di R. Risch.
5.
Una morale
Dalla precedente carrellata di dimostrazioni si ricava una mora¬
le: poiché le dimostrazioni si presentano con stili ben caratterizzati
a seconda dei settori disciplinari, per imparare a fare dimostrazio¬
ni, o anche soltanto per apprezzarle, è auspicabile una frequentazione
di diversi campi della matematica (che è raccomandabile anche per
altri ovvi motivi).
Bisogna tuttavia che le persone abbiano gli strumenti per ricono¬
scere ed esplicitare le differenze che le colpiscono. Nella fruizione
artistica si presenta un analogo problema di educazione; il diverso
godimento che si prova davanti a un Van Gogh o a un Warhol non
può essere lasciato alle pure sensazioni; diventa più profondo se
diventa più consapevole, cioè se si hanno gli strumenti culturali per
confrontare non solo momenti storici, ambienti, intenzioni ma
anche le tecniche degli autori. Nel caso delle dimostrazioni le tec¬
niche sono le logiche.
Dire che le logiche sono tecniche, non significa suggerire che
siano come un paio di guanti che si infilano e si tolgono a piacere,
senza lasciare traccia. Le logiche sono il modo di funzionare della
nostra testa.
Quando ci si mette in un’ottica particolare, tutto il pensiero ne
è influenzato: come si concepisce l’oggetto della ricerca, i tipi di
definizione che si adottano, le abitudini che si formano, le imma¬
gini che accompagnano il ragionamento, i problemi che si formu¬
lano, oltre ovviamente alle soluzioni e alle strategie per trovarle.
Un esempio familiare a tutti è la geometria fatta o al modo dei greci
o secondo Descartes.
CAPITOLO QUINTO
178
Per fortuna la nostra testa è capace di funzionare in diversi
modi. Non si deve essere vincolati a una sola impostazione, soprat¬
tutto nell’insegnamento, anche se, o proprio perché, le persone
tendono ad acquiescere nel modo meno faticoso, o in quello rice¬
vuto.
Le varie riforme sperimentate nei paesi occidentali privilegiano
ora Luna ora l’altra disposizione, una volta i calcoli, una volta le
astrazioni, oppure la soluzione dei problemi. La risposta invece sta
nella loro compresenza, o addirittura contrapposizione; le persone
bisogna sorprenderle.
Sono le dimostrazioni che sorprendono, non i fatti. I matematici
si sorprendono per risultati che capiscono solo loro, ma anche per
le persone comuni sono disponibili esempi comprensibili.
Si consideri la famosa illusione ottica, che consiste nello scom¬
porre un quadrato nel modo della figura
5
3
e nel ricomporlo nel rettangolo
Ma fatti i conti, l’area del quadrato è 64, mentre l’area del ret¬
tangolo è 65.
La spiegazione del paradosso è che se il disegno fosse fatto bene,
la diagonale del rettangolo non coinciderebbe con i lati dei trian¬
goli e dei trapezi; resterebbe una zona intermedia di area 1, come
approssimativamente mostrato in figura
UNA MORALE
r79
Questo è un fatto ma, divertente o no che sia, non è sorpren¬
dente, finché si pensa solo di essere stati ingannati.
La sorpresa comincia quando il fatto non risulta isolato ma,
attraverso una dimostrazione, viene sussunto sotto un risultato
generale: si possono scegliere misure molto grandi e tali che l’area
eccedente ha sempre misura 1, sicché qualunque sia il potere di
precisione e di risoluzione dei nostri strumenti essa risulta evane¬
scente rispetto alle dimensioni, e veramente invisibile.
Questi numeri arbitrariamente grandi sono, come 3, 5 e 8, terne
di numeri di Fibonacci consecutivi, ad esempio 987, 1597, 2584.
La successione dei numeri di Fibonacci è definita ricorsivamente
da
a0 — 1
=1
*n + 2-a„ + a„+ 1
La relazione che traduce la costruzione geometrica è
aìi = (an an - Mn - \~^=an+\an~\~^
per n dispari (per n pari vale una formula analoga con il + invece
del —).
Dimostrazione Siccome in generale
an + \an - 1 = (an + an ~ 1 ~ an-2^
= an~ \an ~ ar,an - 2 ~ an ~ fln ~ 2
= aì aMnan-l) ~ an-\an-2
^«4* anan _ 3 an _ xan _ 2
basta dimostrare che
anan _ 3 an_xan_2 1
per n dispari.
i8o
CAPITOLO QUINTO
Si noti che
anan ~ò~ an-\an-2~ aAan - \ ~ ãn - 2) ~ an - \ãn - 2
= anan _ j — anan _ 2 — an _ 1arì _ 2
- 1 - Ò^n - 2
= anan - 1 “ an + \an - 2
= — (an + \an - 2 ~ anan - l)
vale a dire, nel passaggio da n a n 4-1 l’espressione anan _3 — an_lan_2
cambia solo di segno; ma per n = 3 vale 1, come si verifica facil¬
mente, e quindi vale 1 per tutti i dispari, qed
Alcune funzioni della dimostrazione sono tipiche o prevalenti in
determinate ricerche, altre in altre. Affinché tutte continuino a
manifestarsi e a essere riconosciute e sfruttate è bene che in ogni
campo si continuino a produrre dimostrazioni; che non si instauri
in certe aree l’abitudine a farne a meno, a favore di altre forme
molto approssimative di convalida.
Che tutte le funzioni della dimostrazione continuino a manife¬
starsi significa che la matematica prosegue la sua crescita in modo
ricco ed equilibrato come negli ultimi due secoli. Lo stesso auspicio
vale per l’insegnamento, naturale premessa alla continua alimenta¬
zione della matematica e alla sua diffusione culturale.
Indice dei nomi
Abrusci, V. Michele, 3In
Andrews, George E., 59 e n, 60
Archimede, 21, 30, 136, 150
Aristotele, 21-23, 87
Arzarello, Ferdinando, 8
Barwise, Jon, 138n
Beeson, Michael J., 137n
Bettazzi, Rodolfo, 85
Bézout, Etienne, 58
Bishop, Errett, 156n
Boole, George, 38-40, 42, 141, 164 e n, 171n
Borwein, Jonathan M., 59n
Borwein, Peter B., 59n
Bottazzini, Umberto, 85-87nn
Bronstein, Manuel, 176n
Bundy, Alan, 167n
Burali-Forti, Cesare, 85
Burgess, John P., 27n, 29n
Cambiano, Giuseppe, 23n
Cantor, Georg, 29, 31, 75, 86-87, 139n, 164
Carroll, Lewis, 35 e n, 110
Casari, Ettore, 44n
Cauchy, Augustin-Louis, 77, 85, 89, 130n, 150
Cayley, Arthur, 160
Console, Luca, 169n
Constable, Robert L., 71n
Daoud, Albert, 49-50nn, 52n
Davis, Philip, 42n
Dedekind, Richard, 43 e n, 46n, 62, 78, 85,
149-50
De Morgan, Augustus, 96, 98, 108, 116
Desargues, Girard, 74
Descartes, René, 25 e n, 26, 32
Detiénne, Marcel, 23n
Detlefsen, Michael, 27n
Devlin, Keith, 42n
Dilcher, Karl, 59n
Dummett, Michael, 96
Enriques, Federigo, 45n
Euclide, 21-25, 29, 80, 134, 147
Eudosso, 117
Eulero (Leonhard Euler), 27-29, 60, 77, 83,
87 e n, 89, 159
Feferman, Solomon, 20n
Fermat, Pierre de, 38, 52
Fleury, Henry, 89
Fraenkel, Abraham, 138
Franklin, James, 49-50nn, 52n
Frege, Friedrich Ludwig Gottlob, 33, 42-43,
46n, 48, 77-78
Friedman, Harvey M., 20n
Galileo Galilei, 25, 78
Gauss, Karl Friedrich, 72
Giovanni Battista, 13
Gödel, Kurt, 13-14, 33, 43, 80-81, 86, 173
Gowers, Timothy, 4ln, 90n
Gregory, James, 60
Hamilton, William Rowan, 58
Harrington, Leo, 138n
Ilausdorff, Felix, 161
Heath, Thomas L., 22n, 24n
Herbrand, Jacques, 84, 86
Hermite, Charles, 75
Hersh, Reuben, 42n
Hilbert, David, 29, 31 e n, 44, 75, 134, 136-37,
157, 166, 172-73
i82
INDICE DEI NOMI
Flofstadter, Douglas R., 35n
Hong, Jiawaei, 91
Horn, Alfred, 137, 142-43, 164, 167
Huang, T., 135n
Hume, David, 36 e n
Husserl, Edmund, 136
Ippocrate, 24
Jacobi, Karl Gustav, 27, 58
Jacobson, Nathan, 135n, 161n
Kant, Immanuel, 91-92
Kirby, Laurie, 138n
Klein, Felix, 140 e n
Kline, Morris, 76 e n
Lakatos, Imre, 77 e n
Lamma, Evelina, 169n
Lawvere, F. William, 78
Legendre, Adrien-Marie, 74
Leibniz, Gottfried Wilhelm, 27-28
Lindemann, Carl Ferdinand, 75
Liouville, Joseph, 75
Lolli, Gabriele, 13n, 31n, 33n, 38n, 42n, 44-
45nn, 88n, 90-91nn, 161n, 166n, 172-73nn
Löwenheim, Leopold, 153, 155
Mach, Ernst, 54
Maddy, Penelope, 20n
Malara, Nicolina A., 91n
Mammana, Carmelo, 44n
Marker, David, 165n
McCune, William, 171
Mello, Paola, 169n
Menecmo, 21
Nelsen, Roger B., 23n
Newton, Isaac, 27
Odifreddi, Piergiorgio, 134n
O’Donnell, Michael J., 7In
Pappo di Alessandria, 73
Paris, Jeff, 138n
Pascal, Blaise, 73, 136
Peano, Giuseppe, 33, 63, 78, 143, 147
Pilato, Ponzio, 13
Pitagora, 23
Platone, 21, 24, 92
Poincaré, Flenri, 19n, 171
Polya, George, 7n, 28n
Proclo, 21-24, 92
Putnam, Hilary, 28n
Quine, Willard Van Orman, 61
Ramanujan, Srinivasa, 17
Ramsey, Frank, 138n
Repola Boatto, Adele, 42n
Riemann, Georg Friedrich Bernhard, 29
Risch, Robert, 176n
Robbins, Herbert, 171
Robinson, Abraham, 165n
Robinson, John Alan, 166n
Rufini, Enrico, 117n
Russell, Bertrand, 20n, 42, 78, 85
Saccheri, Giovanni Girolamo, 77, 82
Seidel, Philipp Ludwig, 86n
Shafarevich, Igor R., 77 e n
Silverman, Joseph FI., 175n
Skolem, Thoralf, 84, 86, 153, 155, 163n, 167n
Socrate, 22
Stauben, Michael, 68n
Steel, John R., 20n
Steiner, Mark, 28n
Sturm, Jacques Charles François, 175
Szabó, Arpad, 22-23nn
Talete, 23
Tarski, Alfred, 13-14, 90, 152, 155, 174
Tate, John, 175n
Teichmüller, Oswald, 161
Teuscher, Christof, 166n
Tukey, J. W., 161
Turing, Alan, 169 e n
Tymoczko, Thomas, 28n
Van Gogh, Vincent, 177
Venn, John, 159
Warhol, Andy, 177
Webb, Judson Chambers, 136n
Weierstrass, Karl Theodor Wilhelm, 27, 30
Weyl, Hermann, 156n
Wilson, John, 67
Wittgenstein, Ludwig, 172n
Zeilberger, Doron, 59 e n
Zermelo, Ernst, 81, 138
Zorn, Max, 161-62
Saggi. Scienze
Mario Ageno, Le origini della irreversibilità
Albert J. Ammerman e Luigi Cavalli-Sforza, La transizione neolitica
e la genetica di popolazioni in Europa
Vladimir I. Arnol'd, Huygens & Barrow, Newton & Hooke
Vladimir I. ArnoLd, Teoria delle catastrofi
Isaac Asimov, Il miracolo delle foglie: la fotosintesi
Marcello Barbieri, La teoria semantica dell’evoluzione
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La seconda Rivoluzione scientifica c il mito della freccia temporale
Enrico Bellone, Saggio naturalistico sulla conoscenza
Silvio Bergia, Dal cosmo immutabile all’universo in evoluzione
Mario Bertolotti, Storia del laser
Cristoforo Sergio Bertuglia e Franco Vaio, Non linearità, caos, complessità
Le dinamiche dei sistemi naturali e sociali
Daniel Bovet, Vittoria sui microbi
Storia di una scoperta
Giuseppe Bruzzaniti, Dal segno al nucleo
Saggio sulle origini della fisica nucleare
Sergio Carrà, La formazione delle strutture
Ivan Cavicchi, Filosofia della pratica medica
Ivan Cavicchi, La clinica e la relazione
Alessandro Cellerino, Eros e cervello
Le radici biologiche di sessualità, estetica, amore
Jean-Pierre Changeux e Alain Connes, Pensiero e materia
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La scienza della vita artificiale
Marcello Cini, Dialoghi di un cattivo maestro
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Dai superdotati ai geni
John Leonard Cloudsley-Thompson, La zanna e l’artiglio
Strategie difensive nel mondo animale
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Le frontiere della visione scientifica
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La complessa struttura del vivente
Luciano Cresci, I numeri celebri
Eric Croddy, Armi chimiche e biologiche
In collaborazione con Clarisa Perez-Armendariz e John Hart
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Paul Davies (a cura di), Le forze della natura
Il nuovo orizzonte della fisica
Daniel C. Dennett, L’idea pericolosa di Darwin
L’evoluzione e i significati della vita
Keith Devlin, Addio, Cartesio
La fine della logica e la ricerca di una nuova cosmologia della mente
Keith Devlin, Dove va la matematica
Nuova edizione riveduta c ampliata
Keith Devlin, Il linguaggio della matematica
Rendere visibile l’invisibile
Alexander K. Dewdney, Hungry Hollow
Racconti da un luogo naturale
Alexander K. Dewdney, Il Pianiverso
Il computer e un mondo bidimensionale
Jared Diamond, Il terzo scimpanzé
Ascesa e caduta del primate Homo sapiens
Freeman J. Dyson, Armi e speranza
Freeman J. Dyson, Origini della vita
Seconda edizione riveduta c ampliata
Freeman J. Dyson, Il sole, il genoma e Internet
Strumenti di rivoluzioni scientifiche
Freeman J. Dyson, Turbare l’universo
Gerald M. Edelman, Topobiologia
Introduzione all’embriologia molecolare
Irenäus Eibl-Eibesfeldt, Etologia della guerra
Nuova edizione riveduta c ampliata
Irenäus Eibl-Eibesfeldt, L’uomo a rischio
Ivar Ekeland, A caso
La sorte, la scienza e il mondo
Ivar Ekeland, Il migliore dei mondi possibili
Matematica c destino
Niles Eldredge e Ian Tattersall, I miti dell’evoluzione umana
Claus Emmeche, Il giardino nella macchina
La nuova scienza della vita artificiale
Bernard d’Espagnat, Alla ricerca del reale
Marco Fabbrichesi, Pensare in formule
Newton, Einstein e Heisenberg
Peter Francis, I pianeti
Dieci anni di scoperte
Paolo Freguglia, La geometria fra tradizione e innovazione
Temi c metodi geometrici nell’età della rivoluzione scientifica (1550-1650)
Harald Fritzsch, Galassie e particelle
Principio e fine dell’universo
Harald Fritzsch, Quark
Harald Fritzsch, Una formula cambia il mondo
Newton, Einstein e la teoria della relatività
Alberto Gandolfi, Formicai, imperi, cervelli
Introduzione alla scienza della complessità
Murray Gell-Mann, Il quark e il giaguaro
Avventure nel semplice e nel complesso
Murray Gell-Mann, Fred Hoyle, Victor F. Weisskopf e altri, La natura
dell’universo fisico
a cura di Douglas I luff e Omcr Prewett
Ludovico F. Giulio, Le molecole del tempo
Viaggio nel presente
Enrico Giusti, La matematica in cucina
Enrico Giusti, Ipotesi sulla natura degli oggetti matematici
Donald R. Griffin, L’animale consapevole
Donald R. Griffin, Menti animali
Hermann Haken, Sinergetica
John Haugeland, Intelligenza artificiale
John L. Heilbron, I dilemmi di Max Planck
Portavoce della scienza tedesca
Werner Heisenberg, Fisica e oltre
Incontri con i protagonisti 1920-1965
Giorgio Israel, La macchina vivente
Contro le visioni meccanicistiche dell’uomo
Oleg A. Ivanov, Facile come 7t?
Introduzione alla matematica superiore
François Jacob, Il topo, la mosca e l’uomo
Alun Jones e Walter F. Bodmer, Futuro biologico
Mark Kac, Gli enigmi del caso
Vicissitudini di un matematico
John Klama, L’aggressività, realtà e mito
Un riesame alla luce delle scienze sociali e biologiche
Kurt Kotrschal, Uniti nell’egoismo?
Animali e animali-uomini: la nuova concezione del mondo della scienza del comportamento
Marc Lachièze-Rey, Oltre lo spazio e il tempo
La nuova fisica
Antonello La Vergata, Nonostante Malthus
Fecondità, popolazioni e armonia della natura, 1700-1900
Richard Leakey e Roger Lewin, La sesta estinzione
La vita sulla Terra e il futuro del genere umano
Annick Le Guérer, I poteri dell’odore
Philip Lieberman, L’origine delle parole
David Lindley, Gli atomi di Boltzmann
Martin Lockley, Sulle tracce dei dinosauri
Gabriele Lolli, QED
Fenomenologia della dimostrazione
James Lovelock, Gaia
Nuove idee sull’ecologia
James Lovelock, Le nuove età di Gaia
Una biografia del nostro mondo vivente
Salvador E. Luria, Storie di geni e di me
Roberto Marchesini, Post-human
Verso nuovi modelli di esistenza
Ernst Mayr, Un lungo ragionamento
Genesi e sviluppo del pensiero darwiniano
Paolo Mazzarello, Costantinopoli 1786: la congiura e la beffa
L’intrigo Spallanzani
Peter B. Medawar, Consigli a un giovane scienziato
Peter B. Medawar, I limiti della scienza
Peter B. Medawar, Eugene M. Lance e Elizabeth Simpson, La nuova immunologia
Con la collaborazione di Valerie Jones e Stella Knight
Alexandre Meinesz, L’alga «assassina»
Caulerpa taxìfolia: un attentato alla biodiversità del Mediterraneo
Michel Meulders, Helmholtz
Dal secolo dei Lumi alle neuroscienze
Jacques Monod, Per un’etica della conoscenza
Dalida Monti, Equazione di Dirac
Giorgio Morpurgo, Dalla cellula alle società complesse
Yuval Ne’eman e Yoram Kirsh, Cacciatori di particelle
Massimo Negrotti (a cura di), Capire l’artificiale
Dall’analogia all’integrazione uomo-macchina
Heiz R. Pagels, Il codice cosmico
Heiz R. Pagels (a cura di), La cultura dei computer
Verso una tecnologia della conoscenza
Heiz R. Pagels, Universo simmetrico
Fabrizio Palombi, La stella e l’intero
La ricerca di Gian-Carlo Rota tra matematica e fenomenologia
Heinz-Otto Peitgen e Peter H. Richter, La bellezza dei frattali
Immagini di sistemi dinamici complessi
Peter Pesic, La prova di Abel
Saggio sulle fonti e sul significato della insolubilità matematica
Marco Piccolino e Marco Bresadola, Rane, torpedini e scintille
Galvani, Volta e l’elettricità animale
Ruggero Pierantoni, Forma fluens
Il movimento c la sua rappresentazione nella scienza, nell’arte e nella tecnica
Ruggero Pierantoni, L’occhio e l’idea
Fisiologia e storia della visione
Ruggero Pierantoni, Monologo sulle stelle
Forme della luce dalle origini alle fini dei mondi antichi
Sandro Pignatti e Bruno Trezza, Assalto al pianeta
Attività produttiva e crollo della biosfera
Robert Pollack, I segni della vita
Il linguaggio e il significato del dna
Giuliano Preparata, Dai quark ai cristalli
Breve storia di un lungo viaggio dentro la materia
Ilya Prigogine, La fine delle certezze
Il tempo, il caos e le leggi della natura
Ilya Prigogine e Isabelle Stengers, Tra il tempo e l’eternità
Brian Ridley, Dalle leggi del pendolo alla particella incantata
Paolo Rossi, La scienza e la filosofia dei moderni
Aspetti della Rivoluzione scientifica
David Ruelle, Caso e caos
Arturo Sangalli, L’importanza di essere fuzzy
Matematica e computer
Giacomo Scarpelli, Il cranio di cristallo
Evoluzione della specie e spiritualismo
Alwyn Scott, Scale verso la mente
Nuove idee sulla coscienza
Gino Segrè, Una questione di gradi
Temperatura, vita, materia
Charles Seife, Zero
La storia di un’idea pericolosa
Frederick Seitz e Norman G. Einspruch, La storia del silicio
Elettronica e comunicazione
Luigi Sertorio, Storia dell’abbondanza
Luigi Sertorio, Vivere in nicchia, pensare globale
In collaborazione con Erika Renda
Eric Solomon, Programmare con i giochi
Vittorio Somenzi e Roberto Cordeschi (a cura di), La filosofia degli automi
Origini deH’intelligcnza artificiale
Volker Sommer, Elogio della menzogna
Per una storia naturale dell’inganno
Alexei Sossinsky (a cura di Franco Ligabue), Nodi
Genesi di una teoria matematica
Antonio Sparzani, Relatività, quante storie
Un percorso scientifico-letterario tra relativo e assoluto
Hugo Steinhaus, Cento problemi di matematica elementare
Ian Stewart, Che forma ha un fiocco di neve?
Numeri magici in natura
Ian Stewart, Dio gioca a dadi?
Ian Stewart e Martin Golubitsky, Terribili simmetrie
Dio è un geometra?
Tjeerd H. Van Andel, Storia della Terra
Philippe Van Eeckhout, Il linguaggio ferito
Riprendere a parlare dopo una lesione cerebrale
Umberto Villante, Al di là delle nuvole
La fisica delle relazioni Sole-Terra
Franco Voltaggio, L’arte della guarigione nelle culture umane
Wolfgang Wickler, I dialetti degli animali
Wolfgang Wickler e Uta Seibt, Maschile Femminile
11 significato della differenziazione sessuale
Clifford Will, Einstein aveva ragione?
Le prove sperimentali della relatività generale
Benjamin Woolley, Mondi virtuali
John Z. Young, I filosofi e il cervello
Bollati Boringhieri Saggi
La dimostrazione matematica è l’incubo degli studenti,
un rompicapo per la filosofìa, un mistero per le persone
comuni, che della matematica ricordano solo calcoli
e formule. Si celebrano coloro che dimostrano teoremi
(come di recente quello di Fermat), si fanno film su questi
personaggi, ma come abbiano fatto, in che cosa consista la
loro prestazione non si sa e non si prova neanche a chiedere.
Nella filosofìa, la conoscenza rappresentata dalla matematica
è stata, da Aristotele in poi, il modello di una conoscenza
certa, assoluta, garantita; per spiegarla e giustificarla
si sono costruite le metafìsiche che scandiscono la storia del
pensiero, dal platonismo al razionalismo allo psicologismo.
In questo libro, la problematica delle dimostrazioni viene
inserita in un quadro storico e filosofico, dai greci a
Descartes alla rigorizzazione dell’Ottocento, ma soprattutto
le dimostrazioni vengono discusse dall’interno, per far
risaltare il loro ruolo nella costruzione della matematica.
Con dovizia di esempi, sono messe in luce una pluralità di
funzioni, una varietà di strategie e una molteplicità di stili.
E al di sotto delle differenze di stile, tra aritmetica, algebra,
geometria, si fa vedere come agiscano le diverse capacità
espressive dei linguaggi e le diverse potenzialità deduttive
delle logiche che si usano, spesso senza esserne consapevoli.
Mostrando quali diverse leggi logiche sostengano le diverse
strategie il libro si propone quindi di essere anche
una introduzione pratica alla logica in azione.
Gabriele Lolli è professore di Logica matematica presso
l’Università di Torino. Tra le sue opere più recenti nelle
nostre edizioni: Dagli insiemi ai numeri (1994), Il riso
di Talete. Matematica e umorismo (1998) e La crisalide
e la farfalla. Donne e matematica (2000). Per il Mulino
ha pubblicato Filosofia della matematica (2002)
e Da Euclide a Godei (2004).
In copertina, Giacomo Balla Sconcertazione di stati d’animo
© Giacomo Balla by SIAE 2005
ISBN 88-339-1588-3
788
533 915883
€ 22,00
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