Текст
ШКОЛЬНЫЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КРУЖОК ПРИ МГУ
И МОСКОВСКИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОЛИМПИАДЫ*
Каждую весну в течение уже многих лет по Москве
расклеиваются афиши, призывающие школьников посе-
посетить не театр или концертный зал, а скромные, строгие
аудитории Московского Университета. Здесь, в этих ауди-
аудиториях, умолкают звонкие детские голоса и в наступаю-
наступающей торжественной тишине начинается конкурс юных ма-
математиков — Московская математическая олимпиада.
Для всех учащихся, интересующихся математикой,
олимпиада — это большой праздник. Работники механи-
механико-математического факультета МГУ буквально с ног сби-
сбиваются, отвечая на многочисленные вопросы волнующихся
школьников и иногда не менее взволнованных учителей:
— Когда читаются лекции для участников олимпиады?
— Будут ли консультации?
— Могут ли в олимпиаде участвовать неотличники?
— Где можно достать тренировочные задачи и сколько
их необходимо решить?
— Будет ли разрешено участие в олимпиаде школьнику,
который учится только еще в VI классе?
— Можно ли приносить с собой учебники?
Поток вопросов, многие из которых могут поставить
в тупик и дюжину академиков, нескончаем.
Подготовительные задачи, задачи самой олимпиады,
а также факты, сообщаемые на консультациях и лекциях,
представляют собой ценнейший материал, своеобразный
математический фольклор, творцами которого, являются
студенты, аспиранты, профессора и преподаватели меха-
механико-математического факультета МГУ. Студенты-энту-
Студенты-энтузиасты буквально прохода не дают старшекурсникам и
преподавателям, предлагая свои задачи, яростно критикуя
*) В основу настоящего изложения положена статья, написанная
авторами по заказу издательства «Volk und Wissen» (Берлин, ГДР).
чужие и требуя придумывать все новые и новые. Иногда
эти обсуждения настолько горячи, что дрожат своды мех-
матских коридоров; иногда же обсуждающие задачу шеп-
шепчутся, заговорщически озираясь по сторонам, — это озна-
означает, что речь идет о задаче, которая может (!) попасть
на какой-либо тур олимпиады. Нередко в результате об-
обсуждения задачи настолько преображаются, что автор
первоначального варианта не узнает собственное детище.
Подготовительные задачи и задачи олимпиады являются,
таким образом, плодом коллективного творчества.
К сожалению, этот ценнейший фольклор в значительной
степени теряется, и нередко бесследно. Достаточно ска-
сказать, что составители настоящего сборника подняли на
ноги буквально всех старых деятелей олимпиад и тем не
менее не смогли собрать все задачи всех олимпиад: мы опа-
опасаемся, что содержание задач I тура IV олимпиады на-
навсегда останется секретом для человечества. Поэтому вы-
выход настоящей книги, содержащей задачный материал
27 Московских школьных математических олимпиад, мы
считаем весьма важным^ событием в деле математического
образования.
Книга, подготовка которой была приурочена к XXV
олимпиаде, имеет отчасти и юбилейный характер. Двадцать
пять олимпиад — достаточно круглое число, и в связи
с этим возникает естественное желание оглянуться назад
и подвести некоторые итоги.
Перзая Московская математическая олимпиада
К середине 30-х годов многие советские ученые-мате-
ученые-математики пришли к мысли о необходимости сотрудничества
со школой в деле подготовки математической смены. Бу-
Будущего математика необходимо воспитывать с детства,
и чем раньше — тем лучше. Никого не удивляет, что под-
подготовка будущих балерины или музыканта начинается
чаще всего в раннем детстве, с 6—8-летнего возраста.
Объясняется это тем, что успешное овладение тонкостями
балетного искусства или музыки в юношеском возрасте
невозможно без специализированной подготовки в дет-
детстве, обеспечивающей развитие слуха и чувства ритма,
гибкость суставов или подвижность пальцев и т. д.
И каждый год, упущенный в детстве, впоследствии удается
возместить лишь многими годами упорной работы.
Не следует думать, что
в науке, и особенно в мате-
математике, дело обстоит как-
либо иначе. Разумеется,
подготовку будущего мате-
математика вовсе не обязатель-
обязательно (хотя вполне возможно)
начинать с 6 — 8-летнего
возраста. Однако перекла-
перекладывать эту работу целиком
на Университет тоже не-
нецелесообразно. Здесь, так
же как в балетном искус-
искусстве или музыке, годы,
упущенные в детстве, труд-
трудно компенсировать впослед-
впоследствии. Дело в том, что
работа в области матема-
математики требует известной
гибкости ума, умения аб-
абстрактно мыслить, требует
определенной логической
культуры, отсутствие ко-
которых к моменту поступле-
поступления в Университет невоз-
Большим энтузиастом работы со
школьниками является член-коррес-
член-корреспондент АН СССР, профессор
Б. Н. Делоне. В 1934 году он воз-
возглавлял оргкомитет самой первой в
нашей стране школьной математиче-
математической олимпиады (в Ленинграде)
можно компенсировать да-
даже упорной работой в студенческие годы. Разумеется, все эти
данные (в совокупности составляющие то, что обычно назы-
называют «математическими способностями») могут развиться у
подростка в период обучения в общеобразовательной школе
без какой бы то ни было специализированной подготовки.
Это — стихийный процесс появления математических само-
самородков, конечно, имевший место во все времена и во всех
странах. Например, известнейший индийский математик
С. Рамануджан A887—1920) воспитывался в атмосфере
враждебности ко всему европейскому (и особенно англий-
английскому) и не получил в детстве по существу никакого ма-
математического образования.
Однако в 30-х годах стало ясно, что этот процесс
стихийного формирования ученых не может удовлет-
удовлетворять все возрастающие потребности страны в квали-
квалифицированных математиках. Правда, всеобщее среднее
образование позволяет надеяться на то, что одаренные,
способные дети будут заме-
замечены школьным учителем,
поддержка которого создаст
стимулы для углубленной
дополнительной работы. Од-
Однако эти надежды не всегда
оправдываются. Ведь круглые
пятерки по всем математи-
математическим предметам — весьма
маловыразительный крите-
критерий, в котором отражаются
не только (а иногда и не
столько!) математические спо-
способности, но и вниматель-
внимательность, аккуратность в рабо-
работе, прилежание и даже хоро-
хороший почерк. Напротив,
скромные оценки по матема-
математическим предметам далеко
не всегда свидетельствуют о
математической неодаренно-
неодаренности. Достаточно упомянуть о
том, что видный советский
математик, лауреат Ленин-
Ленинской премии, профессор
М. М. Постников (да
не обидится он на нас за разглашение этого секрета!) в
школьные годы не ходил в числе первых математиков
школы; в его дневнике, бывало, проглядывали и «двой-
«двойки» по математическим дисциплинам. Но даже в тех слу-
случаях, когда учитель правильно подмечает математическую
«искру» в своем ученике, он не всегда может помочь
ему в подборе дополнительных задач и дополнительной ли-
литературы, помочь раздуть эту искру в большой огонь,
освещающий дорогу в будущее.
Между тем математические дарования, подобно му-
музыкальным, проявляются обычно довольно рано. Более
того, при правильном развитии ученого-математика наибо-
наиболее крупные открытия зачастую делаются в весьма молодом
возрасте. Так например, убитый на дуэли в возрасте 20 лет
французский математик Эварист Галуа A811—1832)
успел за свою короткую жизнь создать замечательную
по глубине алгебраическую теорию, произведшую целый
Член-корреспондент АН СССР,
профессор Л. Г. Шнирельман
был одним из главных иници-
инициаторов создания городского
школьного математического
кружка.
Академик А. Н. Колмогоров всегда принимал
активнейшее участие, в работе школьного математи-
математического кружка и' в организации Московских
математических олимпиад.
переворот в последующем развитии математики. Девят-
Девятнадцатилетний К. Ф. Гаусс A777—1855) успел опу-
опубликовать свои классические исследования о построениях
циркулем и линейкой, а через несколько лет подарил
миру книгу «Disquisitiones arithmeticae», равных которой
можно немного указать в истории математической науки!
Закон двойственности, прославивший замечательного со-
советского математика, академика Л. С Понтрягина,
был найден им еще в студенческие годы.
Эти обстоятельства делают необходимым участие уче-
ученых-математиков в работе со школьниками. Инициато-
Инициаторами такой работы выступили в Ленинграде член-коррес-
член-корреспондент АН СССР, профессор Б. Н. Делоне и про-
профессор В. А. Тартакрвский, ав Москве — член-
корреспондент АН СССР, профессор Л. Г. Шнирель-
м а н и профессор (ныне член-корреспондент АН СССР)
Академик П. С. Александров
возглавлял оргкомитет 1-Й Мо.
сковской математической
олимпиады A935 год).
Л. А. Л ю с т е р н и к. Ве-
Весной 1934 года в Ленинграде
была проведена первая в
Советском Союзе школьная
математическая олимпиада.
Одновременно по инициати-
инициативе Л. А. Люстерника нача-
начала выходить серия математи-
математических книг, предназначен-
предназначенных специально для школь-
школьников («Популярная библио-
библиотека по математике»). С осе-
осени 1934 года в Москве, в
Институте математики АН
СССР, начали регулярно чи-
читаться лекции по математике
для учащихся старших клас-
классов/ Но, несмотря на то что
к чтению лекций привлека-
привлекались крупнейшие советские
математики, посещались эти
лекции довольно слабо — до-
достаточно эффективные формы
работы со школьниками не были еще найдены!
В этих условиях Правление Московского Математиче-
Математического Общества подхватило инициативу ленинградцев и
приняло решение о проведении 1-й Московской школьной
математической олимпиады. К этому мероприятию мате-
математики-отнеслись с большим воодушевлением. Достаточно
сказать, что почти все профессора-математики МГУ вошли
в оргкомитет олимпиады (А. Н. Колмогоров,
Л. А. Люстерник, Л. Г. Шнирельман,
В. Ф. Каган, С Л. Соболев, С. А. Янов-
Яновская и другие); председателем оргкомитета был прези-
президент Московского Математического Общества, член-коррес-
член-корреспондент АН СССР (ныне академик) П. С Алексан-
Александров.
В олимпиаде приняло участие 314 школьников, что
считалось тогда большим успехом. Во втором, заключи-
заключительном, туре олимпиады приняло участие 120 человек,
из которых трое (Игорь Зверев, Коля Коробов
и Аня М ы ш к и с) получили первые премии и пять школь-
школьников получили вторые премии. В качестве премий по-
бедителям были вручены
небольшие математические
библиотечки. Кроме' того,
44 школьника получили
почетные отзывы. Олимпи-
Олимпиада закончилась увлека-
увлекательной совместной поезд-
поездкой участников олимпиа-
олимпиады и членов оргкомитета
за город.
Лекции по математике
для школьников
Говорить о дальнейшей
истории московских ма-
математических олимпиад не-
невозможно в отрыве от исто-
истории школьного математи-
математического кружка при Мо-
Московском Университете.
Успех I Математической
Олимпиады способствовал
полной перестройке всей
работы со способными
школьниками. Еще до олимпиады несколько студентов-ма-
студентов-математиков Университета вели математические кружки в
школах Москвы. После проведения олимпиады было реше-
решено перенести эту работу в Университет и объединить ее
с лекциями, читавшимися ранее в Математическом инсти-
институте АН СССР. Так возник Школьный математический
кружок при МГУ. Его организаторами были Л. А. Л го-
гост е р н и к, Л. Г. Шнирельман и доцент МГУ
(ныне член-корреспондент АН СССР) И. М. Гельфанд.
Наряду с ними в работе кружка активно участвовали
многие студенты, среди которых можно упомянуть по-
погибшего во время Великой Отечественной войны Марка
Глезермана (председатель бюро кружка в 1935/36
году) и Павла Папуша (председатель бюро кружка
в 1936/37 году).
С самого начала работа кружка проводилась в двух
направлениях: чтение лекций и заседания секций кружка.
Два раза в месяц, по выходным дням, профессора и пре-
Доктор физико-математических
наук, профессор Н. М, Коробов.
В 1935 году он участвовал в
1-й Московской математической
олимпиаде и завоевал первую
премию.
подаватели Университета читали лекции по математике
для школьников. На лекции приходили десятки, а впослед-
впоследствии — сотни школьников Москвы. Состав слушателей
лекций был довольно непостоянным. В связи с этим каждая
лекция представляла собой, как правило, самостоятельное
целое. Редко две лекции служили продолжением одна
другой. Официально было принято, что лекция продол-
продолжается два часа (с десятиминутным перерывом). Однако
за соблюдением этого регламента никто не следил — все
определялось интересом слушателей и темпераментом лек-
лектора. Например, Б. Н. Делоне, весьма, часто и с боль-
большим успехом выступавший перед школьниками, никогда
не читал лекций, продолжавшихся менее трех часов;
иногда его лекции длились 4 часа и более— и, надо ска-
сказать, школьники слушали с большим интересом и внима-
вниманием! Первоначально лекции были рассчитаны на учащих-
учащихся VIII—X классов. Начиная с 1940 года одновременно
проводились по две лекции — одна для учащихся VII—VIII
классов и вторая для старшеклассников.
Тематика лекций была весьма разнообразной. Приве-
Приведем здесь, для примера, несколько десятков названий
лекций, прочитанных в разные годы работы кружка:
Л. Г. Шнирельман, Многомерная геометрия;
Л. А. Л ю с т е р н и к, Выпуклые фигуры;
И. М. Гельфанд, Основные понятия теории множеств;
Б. Н. Делоне, Вывод семи кристаллических систем;
A. Н. Колмогоров, Основная теорема алгебры;
С. Л. Соболев, Что такое математическая физика?;
П. С. Александров, Трансфинитные числа;
С. А. Яновская, Что значит решить задачу?;
Я. С Дубнов, Ошибки в геометрических доказательствах;
И. А. К и б е л ь, Математические методы предсказания погоды;
Л. Г. Шнирельман, Теория групп и ее приложение к реше-
решению уравнений 3-й степени;
B. В. Голубев, Почему летает самолет?;
А. Я. X и н ч и н, Цепные дроби;
А. И. Маркушевич, Разностные уравнения
А. О. Г е л ь ф о н д, Простые числа;
Л. А. Люстерник, Геодезические линии;
Б. Н. Делоне, Геометрическое решение неопределенных
уравнений;
И. М. Гельфанд, Принцип Дирихле;
А. Н, Колмогоров, Арифметика вычетов и ее приложение
в технике;
Н. И, Б у х г о л ь ц, Механика движения;
Я- С. Дубнов, Аксиомы геометрии; ¦
Г. М. Шапиро, Основные понятия современной алгебры;
10
Л. С. П о н т р я г и н, Что такое топология?;
И. Р, Ш а ф а р е в и ч, Решение уравнений в радикалах;
А. Г. Курош, Что такое'алгебра?;
Н. А. Глаголев, Построения с помощью одной линейки;
А. А. Ляпунов, Думающие машины;
А. И. Маркушевич, Площади и логарифмы;
Е. Б. Д ы н к и н, Автоматы и нервные сети;
А. С. К р о н р о д, Что такое программирование?;
A. И. Узко в, Построения с помощью циркуля и линейки;
B. А. Ефремович, Неевклидова геометрия;
Б* В. Г и е д е н к о, Как наука изучает случайные явления;
Н. К. Бари, Арифметика бесконечного;
Г. Е. Шилов, О производной;
Р. Л Добрушин, Математические методы лингвистики;
В. Г. Болтянский, Непрерывные дроби и музыкальная гамма;
И. М. Я г л о м, Как измерить -информацию?;
Е. М. Л а н д и с, Что талое длина кривой?;
A. М. Я г л о м, Недесятичные системы счисления и их приме-
применения;
О, А. О л е й н и к, Теорема Хелли;
B. А. Успенский; Приложения механики к математике
Приведенный список (разумеется, далеко не полный:
за многие годы работы кружка было прочитано несколько
сотен лекций для школьников) показывает, насколько
разнообразной была тематика лекций. В некоторых из них
(особенно предназначавшихся для старшеклассников) из-
излагались в популярной форме серьезные математические
результаты, иногда — научные достижения самых по-
последних лет. Можно сказать, что школьный математический
кружок при МГУ способствовал значительному переос-
переосмыслению термина «элементарная математика» (если под
этим понимать все то богатство математических знаний,
которое может быть сделано полностью доступным пони-
пониманию школьников). Так, например, в 1937 году в своей
лекции «Основная теорема алгебры» академик А. Н. К о л-
м о г о р о в изложил по существу полное доказательство
теоремы о существовании комплексного корня у всякого
алгебраического уравнения. Это доказательство (полу-
(получившее в школьном кружке наименование «Дама с собач-
собачкой») впоследствии точно в такой же форме было опубли-
опубликовано в книге Р. Куранта и Г. Роббинса [62]*.
В том же году Л. Г. Шнирельман в лекции «Тео-
«Теория групп и ее приложение к решению уравнений третьей
степени» довел теоретико-групповые соображения, вос-
*) Цифры в квадратных скобках указывают на номер книги
в списке литературы, помещенном на стр. 47 — 50.
11
ходящие по существу к Галуа, до получения явной формулы
решения уравнения третьей степени. В лекции Б. Н. Д е-
л о н е «Геометрия цепных дробей», прочитанной в 1947 го-
году, не только доказывалась довольно тонкая теорема о
наилучших рациональных приближениях иррациональных
чисел, но и излагались весьма изысканные результаты
.Гурвица об иррациональностях, наихудшим образом при-
приближающихся рациональными числами. Академик С. Л.
Соболев в своей лекции «Что такое математи-
математическая физика?» A940 г.) с большим мастерством довел
изложение (на уровне, доступном пониманию школьни-
школьников!) до классификации уравнений в частных производных
второго порядка с указанием качественных различий в
поведении их .решений.
Иногда лекции сопровождались задачами, предлагав-
предлагавшимися на дом или решавшимися на месте. Особенно
много задач предлагал своим слушателям И. М. Г е л ь-
ф а н д. Школьники, знакомые с его манерой чтения, за-
зачастую предпочитали садиться подальше от лектора, что-
чтобы не быть вызванными к доске для решения задачи. Инте-
Интересно строил свои лекции Я. С. Дубнов. Иногда он
читал цикл из двух лекций, причем на первой лекции слу-
слушателям предлагались несколько задач, составляющих
единое целое, а на второй лекции (через две недели) про-
проводилась беседа с обсуждением найденных школьниками
решений. Читая лекцию об арифметике' вычетов и алгеб-
алгебрах Буля, А. Н. Колмогоров нарисовал изображен-
изображенную на рис. I схему, позволяющую расположить у двери
и над кроватью два переключателя, каждым из которых
можно гасить или зажигать лампочку в комнате независимо
от положения второго переключателя. Заканчивая первый
час лекции, он предложил придумать во время перерыва
- переключатель 2—переключатель
Лампочка
рис. г
12
схему, позволяющую гасить или зажигать свет из п мест
комнаты.
Нередко лекторы, готовясь к встрече со школьниками,
находили новые элегантные доказательства известных тео-
теорем, получали новые обобщения ранее известных фактов
и даже делали маленькие математические открытия. К со-
сожалению, девять десятых этого ценнейшего материала
кануло в Лету, и нам, старым кружковцам, очень грустно
об этом думать. У нас в памяти сохранились воспоминания
о ряде замечательных лекций А. Н. Колмогорова,
Б. Н. Делоне, И. М. Гельфанда и других;
однако текст этих лекций (и даже достаточно полное пред-
представление об их содержании и методических особенностях)
сейчас, по-видимому, восстановить невозможно.
В 1950 -году Гостехиздат (переименованный впослед-
впоследствии в «Физматгиз» и вошедший в настоящее время в из-
издательство «Наука») начал издавать специальную серию
книг «Популярные лекции по математике». Большинство
книг этой серии возникло при обработке лекций, прочи-
прочитанных в школьном математическом кружке при МГУ
(см., в частности, книги [8], [9], [11], 1191, [22], [35], [38]),
Другие лекции были опубликованы в сборниках «Мате-
«Математическое просвещение». Из них мы упомянем: лекцию
Б. И. Сегала «Непрерывные дроби», прочитанную
18 апреля 1935 года для участников I Московской мате-
математической олимпиады (см. [48], вып. 7, стр. 46—67),
лекцию Е. М. Л а н д и с а «О длине кривой» ([49], вып. 1,
стр. 33—44), лекцию Р. Л. Добрушина «Матема-
«Математические методы в лингвистике» ([49], вып. 6, стр. 37—60),
лекцию И. М. Я г л о м а «Комплексные числа и их при-
применения в геометрии» ([49], вып. 6, стр. 61—106) и др.
Ниже мы приведем краткое содержание еще нескольких неопуб-
неопубликованных лекций, прочитанных в школьном математическом кружке
при МГУ.
Принцип Дирихле
(Лекция И, М. Гельфанда для учащихся IX—XI классов)
В начале лекции формулировалась следующая задача: На длинной
прямолинейной дороге с равными интервалами вырыты небольшие по-
поперечные канавки; расстояние между центрами крждых двух сосед-
соседних канавок равно V2 метров (рис. II). Доказать, что какими бы
узенькими эти канавки ни были сделаны, человек, шагающий по до-
13
роге и имеющий длину шага 1 м, рано или поздно попадет в одну
из канавок.
Доказательство этого утверждения вытекает из так называемого
принципа Дирихле, который в шуточной форме может быть
Рис II
изложен так: невозможно разместить семь зайцев в пяти клетках,
если в каждую клетку разрешается посадить не более одного зайца.
В самом деле, представим себе, что мы можем «намотать» дорогу на
барабан, длина окружности которого равна 1^2 метров (рис. III).
Тогда все канавки на этом барабане совместятся, а каждый шаг чело-
человека будет изображаться на окружности дугой длины 1 м. Будем по-
последовательно отмечать на окружности след человека после первого,
второго, третьего и т. д. шагов. Нам надо доказать, что хотя бы один
\ \ \ \ \ \
\
Рис. 1Ц
из этих следоа попадет внутрь заданной на окружности дуги, изобра-
изображающей канавку, какой бы малой ни была длина h этой дуги Не-
Нетрудно понять, что если нам удастся найти такие k и /, для которых
следы й-ro и (k -f- /)-го шагов
удалены друг от друга (на ок-
окружности) менее чем на h, то
требуемое утверждение докажет-
ся легко. Ведь еще после / ша-
шагов новый след (т. е. (k -f 2/)-й)
опять сдвинется на расстояние,
меньшее, h (рис. IV), затем мы
рассмотрим следующие / шагов
и т. д". Ясно теперь, что, сделав
шога
Слвд(к+Р)-го шага
С/гед К-го шага
Рис IV.
несколько раз по / шагов, мы
14
неминуемо обнаружим след, попавший в канавку (потому что, переме-
перемещаясь на одно и то же расстояние, меньшее h, нельзя «перешагнуть» ка-
канавку ширины К). Итак, нужно найти два следа, находящиеся на ок-
окружности на расстоянии, меньшем h. Вот здесь-то и помогают зайцы.
Действительно, разделим окружность на дуги, каждая из которых
имеет длину < к\ эти дуги мы назовем «клетками». Пусть их имеется
р штук. Если мы возьмем число следов, большее, чем р (заметим, что
никакие два следа не совпадают в силу иррациональности числа \^2),
то по принципу Дирихле, хотя бы в одну из «клеток» попадет более
одного следа («зайца»). Расстояние между двумя следами, попавшими
в одну клетку, меньше h; этим наше утверждение и доказано,
В качестве второго примера, относящегося к тому же кругу идей,
рассмотрим следующую задачу. Доказать, что существует степень
двойки, начинающаяся (в десятичной записи) тремя девятками:
2п = 999,.
Другими словами, требуется установить существование таких целых
чисел п и k, что
999 ¦ 10* < 2Л < 10*+з ,
или, что то же самое,
k + lg 999 < п Ig 2 < k -f 3.
Нетрудно усмотреть глубокую аналогию между этой задачей и
предыдущей. Различие лишь в том, что здесь длина «шага» равна lg 2,
а расстояние между каждыми двумя соседними «канавками» (имеющи-
(имеющими ширину 3—lg 999) равно 1. Вообще, если число р не является
степенью десятки, то среди чисел р, рг, р3, р4,. ., найдутся такие,
которые в десятичной записи начинаются с любой наперед задан-
заданной комбинации цифр.
Дальнейшее развитие тех же соображений приводит к установле-
установлению ряда интересных теорем алгебры и геометрии. Перечислим некото-
некоторые из них.
Если I — луч, исходящий из начала координат и наклоненный к
оси абсцисс под таким углом а, что tg а — иррациональное число,
то этот луч не встретит при своем продолжении ни одной точки
с целыми координатами, но будет подходить сколь угодно близко к
некоторым из таких точек.
Существует такое натураль-
натуральное число п, что sin n< 0,000 000 001,
Если числа а и $ несоизме-
несоизмеримы с к и между собой, то сум-
сумма sin/ia-j-sin/гр при некоторых
п будет принимать значения, как
угодно близкие к 2 (хотя значение
2 эта сумма ни при каком п не
принимает).
Если радиусы окружностей F
и G несоизмеримы, то при качении
окружности F по неподвижной ок-
окружности G любая точка катящей-
катящейся окружности описывает кривую
(эпициклоиду, рис. V), «острия*
которой располагаются на окруж- Рис. V.
[6
ности G всюду плотно (т. е. на любой дуге окружности G найдутся
«острия» этой кривой).
Среди других разбиравшихся вопросов упомянем о некоторых
арифметических особенностях мантисс логарифмов, о поведении геоде-
геодезических на поверхности баранки (на торе) с евклидовой метрикой
(в частности, возможность всюду плотной обмотки тора такой геоде-
геодезической) и т. п.
Лекция, заканчивалась рассмотрением некоторых количественных
оценок, связанных с принципом Дирихле. Например, в задаче о чело-
человеке, шагающем по дороге с канавками, постановка задачи заменялась
следующей: как часто шагающий человек будет ступать в канавку?
Неопределенные уравнения второй степени
(Лекция Б. Н. Делоне для учащихся IX—X классов)
Лекция начинается коротким рассказом о неопределенных уравне-
уравнениях второй степени с двумя неизвестными. Наиболее интересным среди
них является уравнение Пелля:
где Д — целое число, не являющееся точным квадратом.
Теорема. Уравнение (*) имеет бесконечно много целочисленных
решений.
\
Рис- VI
16
Для доказательства строится прямоугольная система координат
и, v, и в ней рассматриваются векторы а — {l; l}, b— {Y&> — Y& }•
Все точки М, для которых ОМ = ха -}- ##> где лс, у — целые числа,
образуют «решетку» (рис. VI), тесно связанную со свойствами уравне-
уравнения (*). Если М — одна из точек решетки, то, как легко видеть, точ-
точка М имеет (в системе и, v) координаты u = x-\-yYk, v = x~-yYA~,
и потому uv = jc3 — Д • у2. Таким образом, уравнение {*) принимает
вид uv = I, и мы приходим к следующей задаче: доказать, что на
гиперболе uv = 1 расположено бесконечно много точек решетки (эта
гипербола изображена на рис. VI пунктиром).
Одна точка, лежащая на гиперболе, непосредственно видна: это
точка Мо с координатами и — v = 1. Симметричная точка Мо' (ц = у =
= —-I) также лежит на гиперболе. Допустим, что, кроме этих двух
точек, мы нашли еще одну точку решетки Мх (аь vt), также. лежа-
лежащую на гиперболе (так что их vx = \), Рассмотрим преобразование <р
плоскости, переводящее произвольную точку А (и, v) в точку А' = у- (А)
с координатами м' = иих, v' = vvv Нетрудно видеть, что гиперболу
uv — 1 это преобразование <р переводит снова в згу же гиперболу (т. е.
гипербола при этом преобразовании смещается по себе; поэтому пре-
преобразование <р называется гиперболическим поворотом). В самом деле,
u'v' ~ ииг • vvx = uv • uxv\ = uv = 1. Далее, легко проверить, что ги-
гиперболический поворот <? переводит точки решетки снова е точки ре-
решетки. Действительно, так как Мх — точка решетки, то щ = хх -f yt Y^>
Vl = xt~~ ytY/S., где_ хь yt — целые. Если, далее, М = (и, v) =
(x-\-yY&> x — !/Y&) — еш>е °Дна точка решетки (х и у — целые), то
и'= ЦЦ1 = (х + у / Д) (*!-Ь Л ]/Д) =
= (XX], + ^Д) + (хух + хху) у~ь =Х + Y уд,
v' =wx = {x-y у~ь) [хг — ух У А) =
= (ххх + уух Д) — (хух + ххх) YA=X-YY&f
т. е. точка М' = «р (М), имеющая координаты и', Vе, также принадле-
принадлежит решетке.
Точку Мо A, 1) гиперболический поворот у переводит в точку
Мх (их, vx), а точку Мх — в некоторую новую точку М3 = <р (Мх) решет-
решетки, лежащую на гиперболе. Точка М2 переходит при гиперболическом по-
повороте ? в точку решетки М3 = <р (М<?), снова лежащую на гиперболе,
и т. д. Обратный поворот <f— i [переводящий течку {и, v) в точку с ко-
и v
ординатами и' = ——, v' = —] переводит точку Л10 в точку М—\ =>
= «р—1 (Мо), точку М—1 — а точку М—2 = т—] Ш—l), и т. д. Мы полу-
получаем бесконечное множество точек решетки:
., ., М—2, М—\, Мо, Мх, М2, Мд, .... (**у
лежащих на гиперболе и переходящих друг в друга при гиперболи-
гиперболическом повороте <р (ср. в этом сборнике задачу 115 на стр. 61).
Итак, достаточно найти на гиперболе хотя бы одну точку Мх, от-
отличную от точек Мо и Мо'. (Заметим, что если за Л#4 взять бли-
ближайшую к Мо точку решетки, лежащую на гиперболе, то, как не-
нетрудно доказать, кроме точек (**), на гиперболе uv — 1 не будет ни-
никаких других точек решетки.)
Для нахождения еще одной точки решетки, лежащей на гипербо-
гиперболе, поступим следующим образом, Отрезок, соединяющий точку
17
u=sl, y=I с точкой u==l, v = —1, будем перемегцать вправо, вдоль оси и,
пока он не «наткнется» на какую-либо точку N' решетки. Если коорди-
координаты точки N' мы обозначим через и', v', то \и'\ < 1, и прямоуголь-
прямоугольник П' с вершинами в точках (±и', ±v') содержит только три точки
решетки: начало координат О, точку N' и симметричную ей (относи-
(относительно О) точку. Теперь мы будем перемещать вдоль оси и правую
сторону прямоугольника, пока не «наткнемся» на новую точку решетки
N" {и", v ). Мы рассмотрим прямоугольник II" с вершинами в точках
! п"
i
•
•
Y//////////
y/////////////////y//A
'/^/У/У/////(У////УУУ/
у//////////
•
У//у
(У//У///
<У/////у.
•
•
У///////////)
Y////////////
•
r
?
<У/У//Улг^-
— i
V
Рис. VII.
(±и"> ±V), эатем будем смешать вдоль оси а его правую сторону,
и т. д. (рис. VII). Изящное рассуждение, восходящее к известному не-
немецкому математику Герману Минковскому, позволяет установить,
что площади прямоугольников ГГ, П" ,. . , (которые все являются це-
целыми числами) ограничены. Поэтому среди них найдется бесконечно
много прямоугольников с одинаковой площадью. Из этого, используя
некоторые свойства решеток, удается вывести существование среди
точек N',^N", . . . таких двух точек, что гиперболический поворот, пе-
переводящий одну из них в другую, переводит решетку в себя. Следова
тельно, точку Мо он переводит в отличную от нее точку решетки, ле-
лежащую на гиперболе uv — 1.
Лекция заканчивается указанием (без вывода) связей между реше-
решениями уравнения Пелля (или точками решетки) и наилучшими рацио-
рациональными приближениями числа ^
13
Недесятичные системы счисления
(Лекция А. М. Яглома для учащихся VII—VIII классов)
В начале первого часа лектор предлагает желающим сыграть с ним
на доске в следующую игру (игра «н и м»): на доске с тремя рядами
полей стоят три шашки (рис. VIII). Каждый играющий своим ходом
передвигает одну (любую) шашку на произвольное число полей вправо.
Выигравшим считается тот, кто сделает последний ход.
•
6-
L
А
п
¦
Рлс. VIII.
Лектор заранее запасся списком выигрышных позиций; используя
это, он без труда выигрывает ряд партий, играющихся на классной
доске с помощью мела и тряпки (при шумном сочувствии аудитории
играющим школьникам). Этот эксперимент убеждает слушателей в на-
наличии выигрышных и проигрышных позиций; лектор подводит школьни-
школьников к мысли об этом, играя в эту игру на небольшой по размеру доске.
Дается представление о недесятичных системах счисления {с при-
примерами перехода из одной системы в другую и примерами действий).
.Затем, с использованием двоичной системы счисления обсуждаются
выигрышные и проигрышные позиции; выводится правило: позиция
(а, Ь, с) является проигрышной, если при записи чисел a, b и с в дво-
двоичной системе счисления все суммы «цифр» трех чисел («цифры» в дво-
двоичной системе счисления равны 0 или 1), отвечающих одному и тому
же разряду, являются четными.
Второй час лекции начинается с аналогичной игры (игра
«цзяньшицзы»), с тем отличием, что рядов полей на доске два
(рис. IX) и каждым ходом играющий либо продвигает на произвольное
число полей одну шашку, либо продвигает на одно и то же (произ-
(произвольное) число полей обе шашки сразу. И здесь лектор, имеющий
таблицу выигрышных позиций, легко выигрывает у школьников После
этого начинается составление таблицы проигрышных позиций.
е-
?fcc
/7
Рис IX.
Указывается, что «система счисления» — это способ записи чисел
с помощью некоторого «базиса» иь и2, ¦ ¦ и%, . .. i
N = a^j + а2ы2 + а3«8 + • ¦ ¦ • ' (*)
19
где базис может и отличаться от последовательности степеней фикси-
фиксированного числа q. Например, если в качестве базиса взяты факториа-
факториалы, т. е. числа
1, 2, 6, 24, 120, 720, . .. (uk+l - (* + 1) uk),
то любое число N записывается в виде (*)> где k-я цифра ад не пре-
превосходит ft:
1000 = 0 • 1 + 2 • 2 + 2 • 6 + 1 • 24 + 2 • 120 + 1 • 720 = «121220».
Другим примером может служить #фибоначчиевская» система счисления,
в которой базис имеет вид
1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ... {uk+2 = uk+l + uk).
В этой системе счисления каждая цифра равна 0 или 1, причем две
единицы не могут стоять рядом:
100 = 0-1+0-2+1-3 + 0-Б+Ь8 + 0-13+ 0-21+0-34 +
+ 0 • 55 + 1 • 89 =? «1000010100».
Лекция заканчивается разбором игры «цзяньшицзы» с точки зрения
«фибоначчиевской» системы счисления. Доказывается, что пара (а, Ь),
где а <Ъ, является проигрышной, если число а оканчивается в «фи-
«фибоначчиевской» системе четным числом нулей, а число Ъ получается
из а приписыванием еще одного нуля в конце.
Секции школьного математического кружка при МГУ
Кроме лекций в МГ^, регулярно^проводились заседания
секций школьного математического кружка. Секциями
руководили, как правило, студенты старших курсов и аспи-
аспиранты механико-математического факультета МГУ. Прият-
Приятным исключением явились две секции кружка, работавшие
в 1936/37 учебном году под руководством члена-корреспон-
члена-корреспондента АН СССР Л. Г. Шнирельмана (эта секция
занималась геометрическими методами теории чисел) и
профессора (ныне академика) А. Н. Колмогорова
(секция качественной геометрии). В первые годы работы
кружка основной формой занятия секции был доклад
одного из школьников (подготовленный, разумеется, под
наблюдением руководителя секции). Доклады, считавшиеся
наиболее удачными, выносились даже на воскресные за-
занятия (пленумы) кружка.
Постепенно выяснилось, что доклады школьников явля-
являются малоэффективной формой занятий кружка. Ведь
для того чтобы сделать хороший доклад, недостаточно пол-
полностью понять все то, что сказано в отрывке математического
текста, указанном руководителем секции. Хорошо сделан-
сделанный доклад должен заинтересовать слушателей и заста-
20
На этом снимке, сделанном в 1940 г., изображена группа руководи-
руководителей и победителей VI олимпиады. Председателем оргкомитета был
тогда академик Л, С. Понтрягин {второй слева в нижнем ряду). Над
ним вы видите члена-корреспондента АН СССР, профессора Л. А. Люс-
терника — одного из организаторов и самых активных деятелей школь-
школьного математического кружка и олимпиад. В центре фотографии — один
из самых популярных руководителей кружка Д. О. Шклярский (получил
первую премию на II олимпиаде); за ним — члены оргкомитета Я- И. Хур-
гин (Н-я премия Ш-ей олимпиады), А. С. Кронрод A-я премия IV олим-
олимпиады) и член-корреспондент АН СССР, профессор А. А. Ляпунов. Во
втором ряду —члены оргкомитета и руководители кружков А. М.
Яглом A-я премия IV олимпиады), П. Н. Папуш, И. М. Яглом A-я пре-
премия IV-й олимпиады), Р. С. Гутер, Л. И. Копейкина A-я премия V-й
олимпиады). В первом ряду и в правой части снимка — школьники, по-
получившие первые премии на VI-й олимпиаде: В. Болтянский, С. Яблон-
Яблонский, Н. Цветкова, Ё. Либерман, М. Бонгард.
вить их задуматься над услышанным; в нем должны быть
выпукло преподнесены подлежащие рассмотрению задачи,
должны быть оттенены основные идеи, привлекающиеся
для их решения, ярко обрисованы, красивые, оригиналь-
оригинальные места доказательств и т. д. Хороший лектор должен
не только знать и понимать материал, но и обладать до-
достаточной громкостью голоса, известными методическими
(и даже артистическими!) навыками, должен уметь убедить
слушателей в справедливости фактов, полностью доказать
которые он не в состоянии из-за недостаточности времени
21
и подготовки слушателей (иногда — что греха таить —
для этого приходится умело обмануть слушателей, и в
этом — одно из отличий устной лекции от изложения в
книге), и т. д. Кроме того, известно, что хорошую лекцию
на какую-нибудь тему редко может прочесть, человек,
познания которого в данном вопросе ограничиваются ма-
материалом лекции. Поэтому доклад школьника не может
не только заменить, но и приблизиться по качеству к рас-
рассказу опытного руководителя. Большинство докладов
школьников на секциях кружка и пленуме оказались мало
заинтересовывающими и скучными для всех участников
кружка (кроме, быть может, самого докладчика).
Решительная перестройка работы секций кружка свя-
связана с именем студента МГУ Додика Шклярского,
талантливого математика и блестящего преподавателя,
руководившего работой кружков в 1938—1941 годах. До-
Доклады школьников на секциях Шклярского были почти
полностью отменены. Вместо этого руководитель сам читал
на каждом заседании небольшую лекцию, как правило,
содержащую законченный рассказ о небольшой матема-
математической теории. Иногда рассказ руководителя продол-
продолжался в течение двух-трех заседаний секции. Не надо
думать, что этим Шклярский убивал инициативу и
творческое развитие слушателей-школьников. На каждом
заседании секции, после лекции руководителя, значитель-
значительная часть времени отводилась для рассказа школьников
о решенных ими задачах. Часть задач, предложенных
на дом или для решения тут же на заседании, иллюстри-
иллюстрировала предшествовавший рассказ руководителя; другие
же задачи были не связаны с этим рассказом, а некоторые
являлись темами своеобразных миниатюрных научно-ис-
научно-исследовательских работ. Иногда трудная теорема расчле-
расчленялась на ряд задач, последовательно предлагавшихся
участникам. Естественно, что среди предложенных за-
задач встречались и такие, решить которые удавалось лишь
немногим школьникам, а отдельные задачи ожидали своего
решения (хотя бы одним участником кружка!) недели и
даже месяцы. Предлагались иногда даже такие задачи,
решение которых заранее не было известно руководителю.
Приведем два примера. Первый пример интересен тем, что задача,
элементарное решение которой не было известно руководителю, в тече-
течение нескольких лет предлагалась для решения участникам секции
Шклярского. Наконец, упорство руководителя было вознаграждено:
22
\
Рис. X.
в 1940 году ученица X клас-
класса Лида Копейкина (ныне
доцент Московского универ-
университета Лидия Ивановна Голо-
Головина) нашла элементарное ре-
решение
Вот эта задача:
Доказать, что ортоцен-
ортоцентры (точки пересечения вы-
высот) четырех треугольников,
образованных при пересече-
пересечении четырех прямых, лежат,
на одной прямой (предпола--
гается, что никакие две пря-
прямые не параллельны и ника-
никакие три не пересекаются в
одной точке; рис. X*)
Второй пример:
Доказать, что если две
биссектрисы треугольника
равны между собой, то тре-
треугольник — равнобедренный.
Решение этой задачи нетрудно получить, используя формулу, вы-
выражающую длину биссектрисы через длины трех сторон треугольника
Шклярский поставил задачу найти «чисто геометрическое» доказатель-
доказательство. Таких доказательств было найдено два; одно предложила в 1939 го-
году та же Лида Копейкина, второе нашел в 1940 году ученик
VIII класса Володя Болтянский. Вот эти доказательства.
1. Пусть в треугольнике ABC биссектрисы AN и ВР равны между
собой. Проведем через точки N к Р прямые, параллельные основанию
АВ> и пусть' М, Q — точки пересечения этих прямых с другими
боковыми сторонами (рис. XI). Мы докажем, что отрезки MN и
PQ совпадают Допустим противное; пусть,
для определенности, отрезок MN располо-
расположен ближе к основанию АВ, чем PQ, так
что MN > PQ. Из очевидных соотношений
? PBQ = ?РВА = ? BPQ вытекает, что тре-
треугольник BPQ — равнобедренный: Р Q= QB
Аналогично, AM = MNt Итак, д PQB и
д AMN — два равнобедренных треугольника
с равными основаниями AN и ВР. Так как
боковые стороны треугольника PQB м е н ь-
ш е, чем в треугольнике AMN, то /. PQB >
> Z AMN и, значит, Z QBP < Z. MAN,
Отсюда мы заключаем, что ,/ СВА < ? CAB,
так что в трапеции AMNB имеет место со-
соотношение AM < BN. Но тогда MN =
= AM < BN < BQ = PQ вопреки соотноше-
соотношению MN > PQ. Полученное противоречие по-
показывает, что отрезки MN и PQ совпадают
в
Рис. XI.
*) Решение этой задачи имеется, например, во 2-й части кни-
книги [41].
23
N
В
N
Рис. XII.
Рис. XIII.
(рис. XII). Таким образом, AM — MN = NB, т. е трапеция AMNB —
равнобочная, и потому /, А = Z В.
2. Пусть в треугольнике ABC биссектрисы AN и ВМ равны между
собой. Обозначим через О их точку пересечения; тогда СО — биссек-
биссектриса угла С (рис. XIII). Мы рассмотрим треугольники CAN и СВМ.
У них общий угол С, общая биссектриса СО этого угла и равные
основания AN = ВМ, Остается доказать следующий признак равенства
треугольников: если в треугольниках ACN и ВС'М равны основания
(AN = ВМ), углы при вершинах (/. С = /, С) и биссектрисы этих
углов (СО = С'О', рис. XIV), то эти треугольники равны. Для дока-
доказательства расположим эти треугольники так, чтобы их основания сов-
совпали, оба треугольника располагались по одну сторону от их общего
основания, а обе вершины С, С располагались по одну сторону от пер-
перпендикуляра DF, проведенного через середину основания (рис. XV). Так
как /, С = Z С, то описанная окружность треугольника ACN прой-
пройдет и через точку С. Далее, обе биссектрисы СО, СО' пройдут через
середину D дуги w AN. Допустим теперь, что точки С и С не сов-
совпадают — пусть, для определенности, v^ DC < ^ DC Тогда хорды DC
и DC связаны неравенством DC < DC Кроме того, ?FDC > Z FDC,
так что точка О дальше отстоит от основания перпендикуляра DE, чем
О', и потому DO > DO'. Но из соотношений DC < DC, DO > DO'
вытекает СО < CO', что противоречит условию. Таким образом, точки
С и С совпадают, т. е. д ACN = д ВС'М, и потому АС = ВС.
Наличие задач разной трудности позволяло руково-
руководителю вовлечь в активную работу практически всех участ-
участников секции. Большое количество предлагавшихся задач
(многие из которых были очень трудны) само собой со-
создавало атмосферу творческого соревнования. Рассказать
у доски придуманное решение задачи считалось большой
честью и доставляло удовольствие учащимся. К рассказу
своего решения слушатели тщательно готовились. Нередко
Шклярский еще раз повторял рассказанное школьником
решение. Этим достигались сразу два результата: слуша-
слушатели лучше усваивали решение задачи, а автор решения
получал наглядный урок методики преподавания. Участ-
Участникам кружка, наиболее удачно и продуманно излагав-
излагавшим свои решения* Шклярский иногда поручал провести
под его руководством отдельное занятие кружка (впрочем,
такие случаи были очень редки). В результате слушатели
не только узнавали новые факты, приобретали навыки в
решении задач, но и учились выступать перед аудиторией.
Изменение содержания работы кружка повлекло за
собой и изменение организационных форм. В секциях
Шклярского появились «младшие руководители» — сту-
студенты I—II курсов, помогавшие руководителю секции в
подборе и проверке задач. В тех случаях, когда часть за-
занятия кружка посвящалась решению задач на месте,
младшие руководители ходили между столиками, за ко-
которыми сидели учащиеся, отвечая на вопросы участников
секции и наблюдая за их успехами; им предоставлялось
также право выбора того из участников кружка, которому
поручался рассказ найденного решения у доски. К концу
года младшие руководители все чаще самостоятельно про-
проводили занятия, готовясь на будущий год стать руково-
руководителями других секций кружка.
Достоинства новой системы работы были проверены
прямым экспериментом. В 1937/38 учебном году Шкляр-
Шклярский проводил в своей секции занятия по описанной выше
системе, в то время как остальные секции работали по-
старинке, главным образом ограничиваясь докладами
школьников. Результат превзошел все ожидания: на
25
IV олимпиаде Q938 год)
участники секции Щкляр-
ского унесли половину
всех премий A2 из 24), в
том числе все 4 первые
премии! Этот результат
объясняется как большой
эффективностью методики
Шклярского, так и тем,
что многие кружковцы,
заинтересованные новой
формой работы, «перебе-
«перебегали» из других секций
к Шклярскому. Итоги
IV олимпиады произвели
на руководителей секций
такое ошеломляющее впе-
впечатление, что уже со сле-
следующего учебного года
практически все секции
восприняли новый опыт.
В числе последователей
Шклярского отметим та-
таких замечательных руко-
руководителей секций, как А. С. Крон род, Е. Б. Дын-
к и н, и воспитанных на традициях кружка В. И. А р-
нольда, А. А. Кирилловаидр.
С тех пор форма работы кружка, найденная Шклярским,
стала безраздельно господствующей. Ежегодно объяв-
объявляются несколько различных секций. Некоторые из них
называются секциями «общего типа»; кроме того, работают
и специализированные секции: алгебры, геометрии, теории
чисел, механики и даже секции с еще более узкой тематикой
(например, теории множеств, конечного суммирования, ре-
решения уравнений высших степеней и т. д.). За последние
годы приобрели популярность секции теории вероятностей,
вычислительных методов, программирования, «конечной» ма-
математики и др. Кроме того, секции разделяются и по клас-
классам. Секции общего типа (нередко, по инициативе Шкляр-
Шклярского, называемые также секциями «математических этюдов»)
обязательно объявляются отдельно для учащихся каждого
класса начиная с VII (иногда бывают секции общего типа
для учащихся двух смежных классов, например VIII и IX).
Доктор физико-математических
наук, профессор Е. Б. Дынкин
был руководителем одной из
самых лучших секций матема-
математического кружка при МГУ.
26
Доктора физико-математических'наук В. И. Арнольд и А. А. Кириллов
получили первые премии на XIX Московской математической олим-
олимпиаде, а впоследствии были активными деятелями кружка и олимпиад.
Специализированные секции чаще всего рассчитаны на
учащихся старших классов, но иногда такие ограничения
и не указываются. Например, в 1940/41 учебном году в
секции теории множеств, регулярно работавшей в течение
всего года, было всего три слушателя: двое учащихся вы-
выпускного, X класса и шестиклассник Юлик Ш р е й д е р,
работавший в кружке наиболее успешно, (ныне известный
советский математик Юлий Анатольевич Ш р е й д е р,
автор ряда книг и статей). Бывали годы, когда работали
до 15 различных секций, охватывавших 200—300 школь-
школьников,
В отличие от воскресных лекций секции в своей работе
ориентируются на более или менее постоянный состав
участников. Это позволяет строить занятия таким образом,
что каждое из них в какой-то мере использует материал
предшествующих занятий. При этом за год удается сооб-
сообщить учащимся много материала. К концу года число
участников секции обычно значительно сокращается (при-
(примерно вдвое), так как часть школьников не выдерживает
довольно напряженной работы в кружке. Впрочем, перед
-самой олимпиадой наплыв школьников в секции кружка
27
заметно увеличивается. По-видимому, будущие участники
олимпиады рассчитывают, посетив два-три занятия круж-
кружка (или прослушав одну-две лекции), улучшить свои
шансы на олимпиаде. Это вполне понятно, но вряд ли оправ-
оправдано. Регулярное участие в кружке и постоянное посещение
воскресных лекций, безусловно, повышают математиче-
математическую культуру учащегося и ^ конечном итоге помогают
решению задач олимпиады; однако прослушивание одной-
двух лекций не может явиться ключом к успеху на олим-
олимпиаде.
Давид Оскарович Шклярский погиб в 1942 году в
партизанском отряде, сражавшемся с немецко-фашистскими
захватчиками в тылу врага. На фронтах Великой Отече-
Отечественной войны погибли и многие другие рукрводители
школьного математического кружка при МГУ: один из
создателей кружка, М. Глезерман, замечательный
математик Михаил Б е б у т о в, молодые способные ма-
математики Альфред Герчиков, Владимир Волын-
Волынский, Виктор Джемс-Леви и другие. Но традиции
кружка, выработанные еще в предвоенные годы, живы
до сих пор. Среди этих традиций есть довольно смешные
и наивные: например, участники кружка всегда называют
руководителя только по имени (даже если его зовут Кика!),
а руководитель называет участников по фамилии." Тради-
Традиционной является и «смелость» руководителей в выборе
тематики рассказа на секции; нередко руководитель сек-
секции разъяснял школьникам тонкие вопросы современной,
математики, связанные с темой его дипломной работы или
диссертации! В свое время Додик Шклярский удивил дру-
других руководителей, излагая школьникам с полными до-
доказательствами знаменитую теорему Абеля о неразреши-
неразрешимости уравнения 5-й степени в радикалах. Впрочем, сейчас
этим уже никого не удивишь: если преподаватель универ-
университета оказывается поставленным в тупик вопросами пер-
первокурсника, относящимися к гомологической алгебре, то
он сразу догадывается, из чьей секции кружка пришел
в университет этот студент. Одному из авторов настоящего
обзора привелось как-то одновременно вести семинар для
студентов I курса МГУ по теории выпуклых фигур и сек-
секцию школьного кружка, посвященную тем же вопросам.
Как курьез отметим, что некоторые «тонкости», -опускав-
-опускавшиеся в студенческом семинаре, во всех подробностях
разбирались на занятиях со школьниками.
28
Работа кружка обычно начинается в октябре одной-
двумя лекциями видных профессоров-математиков, после
которых в одной из самых больших аудиторий универси-
университетского здания на Моховой улице (ныне проспект Маркса)
производится запись в секции. Каждый руководитель сек-
секции в течение 5—10 минут кратко рассказывает о том, чем
секция будет заниматься. По традиции, школьникам можно
обещать все что угодно, кроме, однако, гарантирования
победы на олимпиаде. Нередко руководитель будущей сек-
секции начинал свое выступление словами: «На нашей секции
мы будем заниматься всем тем, о чем уже рассказывали
ранее выступавшие руководители, и, кроме того, мы...».
Впрочем, традицией является и выполнение этих обеща-
обещаний. Число участников секции (в зависимости от класса,
характера секции и агитационного мастерства руководи-
руководителя) колеблется весьма значительно — от 2—3 участни-
участников до ста и более. Если на первое занятие секции прихо-
приходит слишком много желающих, то по традиции первые
два-три занятия намеренно делаются трудными (но не
скучными!), чтобы «разгрузить» секцию (за счет перехода
части участников в другие секции) и сделать ее более рабо-
работоспособной. Наиболее удачным представляется нам со-
состав секций от 15 до 30 участников (при наличии 1—3
младших руководителей).
Мы уже говорили о том, что много интереснейших
материалов кружковой работы (увы!) безвозвратно поте-
потеряно. Однако многое и сохранилось. Отметим, в частности,
что из десяти книг серии «Библиотека математического
кружка» восемь возникли в результате обработки мате-
материалов работы секций школьного математического кружка
при МГУ. Первые три книги этой серии «Избранные задачи
и теоремы элементарной математики» [41J содержат в основ-
основном некоторые задачи, в течение ряда лет предлагавшиеся
на секциях кружка и на первых четырнадцати олимпиадах.
В числе авторов этих трех книг первым указан
Д. О. Шклярский, формально не участвовавший
в подготовке издания, но всей своей деятельностью со-
содействовавший появлению этих книг. Отметим также пре-
превосходную книгу Е. Б. Дынкина и В. А. Ус-
Успенского [44], довольно точно воспроизводящую
содержание и стиль работы одной из секций «общего
типа».
29
Секции «Общего типа» часто довольно сильно отличались
одна от другой. В некоторых из них почти все время отво-
отводилось на решение задач, так что рассказ руководителя
касался главным образом содержания задач и попутного
разъяснения интересных методов решения. В других сек-
секциях на каждом занятии излагалась отдельная тема, не
связанная с предыдущими лекциями руководителя. Это —
секции собственно «этюдного» типа, обычно вдохновляв-
вдохновлявшиеся известной книжкой Г. Радемахера и
О. Теплица [47]. Хорошей иллюстрацией заня-
занятий таких секций могут служить две яркие заметки
В. И. Арнольда ([491, вып. 2, стр. 241—245; вып. 3,
стр. 241—250), подробно описывающие два занятия одной
из секций кружка на темы «Вариация кривой» и «Гармони-
«Гармонические функции».
Наконец, довольно обычными являлись и такие секции
«общего типа», в которых отдельные темы занимали не-
несколько занятий, так что вся работа секции распадалась
на ряд циклов. Именно такой стиль работы отражен в ука-
указанной выше книге Е. Б. Д ы н к и н а и В. А. Успен-
Успенского. Секции такого рода являлись переходными к
«тематическим» секциям, все занятия которых были на-
направлены на изучение сравнительно узкого круга вопро-
вопросов или идей.
Приведем в качестве примера взятые из разных лет работы круж-
кружка примеры программ отдельных циклов, а также программу одной из
специализированных секций.
Цикл «Геометрические вероятности»
Задача о встрече: двое условились встретиться в определенном
месте, причем каждый приходит в указанное место между 10 и 11 ча-
часами и ждет ровно 15 минут; какова вероятность их встречи? Основ-
Основная геометрическая идея: вероятность определяется площадью или
объемом фигуры, образованной в пространстве событий точками, соот-
соответствующими благоприятным событиям.
Задачи о составлении треугольника из трех отрезков. (Всевозмож-
(Всевозможные видоизменения следующей основной задачи: палка наугад распилена
на три части; какова вероятность, что из этих частей составится тре-
треугольник?)
Задача Бюффона о бросании иглы и экспериментальное определение
числа я. Бросание замкнутой выпуклой кривой на бумагу, разграфлен-
разграфленную параллельными линиями; вероятность пересечения кривой с линией
Теорема Барбье о длине кривых постоянной ширины (в качестве след-
следствия).
«Площадь» (мера) множества прямых, пересекающих данную дугу
Теорема Крофтона и основные идеи интегральной геометрии.
30
Цикл «Геометрические задачи
на максимум и минимум»
Метод спрямления в применении к решению задач о вписанных
многоугольниках минимального периметра. (Типичная задача: найти
точку, сумма расстояний которой от вершин треугольника мини-
минимальна.)
Изопериметрическая задача для ^-угольников (п = 3, 4 и общий
случай). Вписанные в окружность многоугольники наибольшего пери-'
метра; описанные многоугольники наименьшего периметра.
Изопериметрическая задача для произвольных линий. Четырехшар-
нирный метод Штейнера и его критика. Проблема существования реше-
решения задачи на минимум или максимум. Теорема Бляшке о существовании
сходящейся подпоследовательности выпуклых фигур. Обоснование ме-
метода Штейнера. Другие примеры применения теоремы Бляшке.
Вариационные методы нахождения максимальных и минимальных
фигур. (Типичная задача: через точку внутри угла провести прямую,
отсекающую треугольник наименьшей площади; решение этой задачи
методом «геометрического дифференцирования».)
Секция алгебры
(она имела подзаголовок «Расширение понятия о числе»). /
Натуральные числа — основной «строительный материал» для даль-
дальнейших построений Цитата из Л. Кронекера: «Натуральные числа
создал господь бог; все остальное — дело рук человеческих». Смысл
этой цитаты.
Вопрос о разрешимости уравнений х -\- а — Ь; вычитание. Расшире-
Расширение множества чисел, делающее вычитание всегда выполнимым. Целые
числа — материал для достаточно содержательных построений; теория
чисел. Примеры теоретико-числовых задач.
Вопрос о разрешимости уравнений ах + b = 0; рациональные числа
Число как результат измерения; числовая ось. Возможность ограни-
ограничиться рациональными числами в задачах измерения геометрических
и физических величин.
Вопрос о решении квадратных уравнений Неразрешимость уравне-
уравнения х2 — 2 = 0. Разрешимость линейных уравнений — существование
точек пересечения оси х с прямыми ох + b = у ( с рациональными
коэффициентами); отсутствие (при имеющемся запасе чисел) точки пере-
пересечения оси х с параболой у — х2 — 2. Квадратные радикалы. Разре-
Разрешимость всех квадратных уравнений с вещественными корнями (суще-'
ствование точек пересечения оси х с. параболами у = axs + bx -f- с, где
а, Ь, с — числа из имеющегося у нас запаса).
Построение точки^=|^2 (диагональ единичного квадрата). От-
Отрезки, которые можно построить циркулем и линейкой. Доказательство
неразрешимости задачи удвоения куба — парабола у = хъ — 2 «проска-
«проскакивает между известными точками оси х». Дальнейшее расширение
запаса чисел; вещественные радикалы произвольного порядка.
Вопрос о решении кубических уравнений. Доказательство того,
что кубическая парабола у = х3 — Ах — 2 «проскакивает между точ-
точками оси х» (неприводимый случай решения кубического уравнения).
Необходимость пополнения запаса чисел.
Снова вопрос о решении квадратных уравнений. Комплексные чис-
числа. Геометрические интерпретации комплексных чисел — комплексные
31
числа как точки плоскости; комплексные числа как операторы поворот-
поворотного растяжения. Формула Муавра и задачи на комплексные числа.
Снова вопрос о решении кубических уравнений; формула Кардано.
Еще одно расширение множества (вещественных!) чисел — комбинации
комплексных радикалов. Вопрос о решении уравнений 4-й степени.
¦ Уравнение 5-й степени. Доказательство того, что парабола
у=?Хъ — Ах — 2 «проскальзывает между известными точками оси х».
Необходимость нового расширения множества чисел. Всевозможные
корни всевозможных алгебраических уравнений.
Другой подход к «числам» — бесконечные десятичные дроби. Но-
Новое расширение множества чисел — доказательство того, что число
О, 1100010000000000000000010000 , . , ( = ? A0- ) не является
п=1
корнем никакого алгебраического уравнения.
Иное расширение понятия числа — кватернионы как- операторы
поворотного растяжения в плоскости и в пространстве. Геометрическая
теория кватернионов. Кватернионы и векторы; операции векторной ал-
алгебры в пространстве; задачи. Теорема Фробениуса.
Еще одно расширение понятия о числе — комплексные числа на
плоскости^ Дуальные числа и двойные числа. Геометрическая интер-
интерпретация дуальных чисел ,(как направленных4 прямых плоскости). Гео-
Геометрические приложения дуальных чисел. Понятие о теореме Гурвица*
и ее обобщениях.
[Разумеется, и в случае этой, сугубо «теоретической» направлен-
направленности работы кружка довольно много материала оставлялось для са-
самостоятельных упражнений участников секции.]
В заключение следует остановиться на вопросе о влия-
влиянии кружков и олимпиад друг на друга. Основным здесь
является следующий вопрос, который часто задают учи-
учителя и школьники: имеет ли школьник, не занимавшийся
в кружке, сколько-нибудь серьезные шансы оказаться
победителем олимпиады? На этот вопрос может быть только
один ответ: да, безусловно имеет. Среди победителей олим-
олимпиад всегда встречалось немало школьников, ранее не
являвшихся «кружковцами». Многие из участников и по-
победителей олимпиады на следующий год приходят в кру-
кружок, а затем участвуют в олимпиадах уже как «кружков-
«кружковцы». Разумеется, систематическая работа в кружке, при-
приобретенные в нем математическая культура и навыки ре-
решения задач оказываются очень полезными для участия
в олимпиаде.
Конечно, руководители секций очень «болеют» за своих
учеников и гордятся их успехами на олимпиаде. Секции
даже соревнуются между собой, сравнивая успехи своих
участников. Надолго запоминаются «рекорды» секций,
подобные достижению секции Шклярского на IV
олимпиаде или достижению секции Е. Б. Дынкина,
32
участники которой получили на IX олимпиаде три первые
премии. (Все три призера, Ф. И. Карпелевич,
В. А. Успенский, А. А. Юшкевич — ныне из-
известные советские математики.)
Московские математические олимпиады
Если кружок привлекает к систематической работе
200—300 московских школьников, то число участников
олимпиады значительно больше. Бывали годы, когда на
1-й тур олимпиады приходило до 2000 участников (а в те-
текущем, 1964 году число участников превзошло 4000!).
Внешняя форма проведения олимпиады почти не измени-
изменилась со времени 1-й олимпиады, происходившей в 1935 году.
Олимпиада проводится в два тура, по воскресеньям в конце
марта — начале апреля. 1-й тур является отборочным.
На нем каждому из участников предлагаются 4—6 сравни-
сравнительно несложных задач, причем участники уведомляются
о том, что решение двух из этих задач вполне достаточно
для прохождения во 2-й тур. Через неделю после 1-го
тура олимпиады производится разбор предложенных за-
задач с указанием различных решений и типичных ошибок и
объявляются результаты тура. Еще через неделю происхо-
происходит 2-й тур, на который приглашаются все успешно прошед-
прошедшие первый тур (обычно 30—50% участников первого тура).
Впрочем, особые «строгости» допуска ко 2-му туру не со-
соблюдаются: в отдельных случаях школьники, «провалив-
«провалившиеся» на 1-м туре, допускаются, по их желанию, к уча-
участию во 2-м туре. Задачи 2-го тура уже значительно слож-
сложнее задач 1-го тура. Для решения задач как 1-го, так и
2-го тура учащимся отводится 4—5 часов. Наконец, через
неделю после 2-го тура проводится заключительное за-
заседание, обставляемое с особой торжественностью. Для
разбора задач на нем привлекаются крупнейшие москов-
московские математики. Почти традиционным является участие
в разборе задач академика А. Н. Колмогорова.
После разбора задач все участники приглашаются в большой
зал, где председатель оргкомитета приветствует победи-
победителей, затем выступают ученые и представители обществен-
общественности МГУ. Наконец, под громкие апплодисменты побе-
победители один за другим выходят к столу президиума и по-
получают грамоты и премии. Как и на первой олимпиаде,
премии представляют собой математические библиотечки,
2 Зах. 387 33
Одним из организаторов школьного математического кружка при МГУ
является член-корреспондент АН СССР, профессор И. М. Гельфанд.
На этом снимке он приветствует победителей XVII олимпиады.
иногда настолько большие, что увенчанному премией по-
победителю бывает нелегко пожать протянутую ему руку
председателя. Многие книги имеют дарственные надписи
авторов. По традиции сначала вручаются премии учащимся
младших классов, а потом — более старшим школьникам.
Основное изменение в форме проведения олимпиады
заключается в том, что начиная с VI олимпиады A940 г.)
учащиеся разделялись на два потока: отдельно соревно-
соревновались учащиеся VII—VIII классов и отдельно — стар-
старшеклассники. Начиная с XV олимпиады A952 г.) соревно-
соревнование проводится по каждому классу в отдельности. По
существу же предлагаемых задач олимпиады изменились
за прошедшие десятилетия весьма значительно — задачи
2-го тура I олимпиады бесспорно легче задач даже 1-го
тура последних олимпиад. Среди задач олимпиады неодно-
неоднократно встречались и очень трудные; тем не менее почти
всегда каждая задача получала хотя бы одно решение.
Московские математики утверждают в шутку, что единст-
единственная надежда получить доказательство знаменитой ве-
великой теоремы Ферма, над которой математики бьются
34
Увенчанному премией победителю подчас нелегко пожать руку
председателя оргкомитета! Первую премию получает Сережа
Гельфанд A958 год).
несколько столетий, — предложить эту проблему в ка-
качестве одной из задач школьной математической олимпиады.
За последние годы чаще всего присуждаются 4—6 пер-
первых премий (по разным классам), вдвое большее число
вторых премий и втрое большее число третьих премий.
Кроме того, выдается несколько десятков похвальных
отзывов. Число премий никогда заранее не предопределяет-
предопределяется и от одной олимпиады до другой может колебаться.
Бывали случаи, когда старшеклассники не получали ни
одной первой премии, иногда число первых премий было
больше числа вторых премий и т. д.
Нередко бывает, что уверенные в своих силах школь-
школьники изъявляют желание участвовать в олимпиаде не по
своему классу, А по старшему. Таким желаниям по тради-
традиции не препятствуют. Так, вместе с семиклассниками не-
неоднократно участвовали в соревновании и ученики шестого
класса. В 1959 году ученик VI класса Дима К а ж д а н по-
получил на олимпиаде 2-ю премию по восьмым классам; в
том же году единственная 1-я премия по десятым классам
была присуждена девятикласснику Саше Мутылину,
приехавшему для участия в олимпиаде из Киева.
Остановимся еще на ряде вопросов, связанных с работой
оргкомитета олимпиады. Огромная работа по подготовке
2* 35
и проведению олимпиады целиком проводится «за закрыты-
закрытыми дверями» и скрыта от взоров непосвященных. Учащиеся
и учителя даже не подозревают, сколько сил вкладывают
студенты-энтузиасты в это большое дело. Председателем
оргкомитета традиционно является один из профессоров
университета (см. приведенную таблицу); членами орг-
оргкомитета — в основном, руководители секций кружка, сту-
студенты и аспиранты.
Работа оргкомитета начинается составлением сборника
подготовительных задач. Первый такой сборник был вы-
выпущен уже в 1935 году. В этих сборниках за годы прове-
проведения олимпиад было опубликовано несколько сотен
задач, значительная часть которых в настоящей- книге
впервые предлагается вниманию широкого круга читателей.
Дело в том, что сборники даже в последние годы издава-
издавались тиражом всего 2—4 тысячи экземпляров, причем они
не поступали в книжные магазины, а довольно случайным
образом распространялись на консультациях между учи-
учителями и учащимися. Кроме того, по традиции в каждом
следующем сборнике большинство задач обновлялось. Бо-
Более или менее полные комплекты подготовительных сбор-
сборников задач за все годы сохранились лишь у нескольких
энтузиастов школьного математического кружка и москов-
московских математических олимпиад.
Несмотря на то что на всех секциях кружка предлага-
предлагалось много разнообразных задач, составление сборника
подготовительных задач всегда было делом весьма слож-
сложным. Помимо традиционного требования новизны, на за-
задачи, печатающиеся в подготовительном сборнике, накла-
накладывалось еще одно существенное условие: эти задачи не
должны были походить на (не известные заранее!) зада-
задачи будущей олимпиады. Иначе говоря, члены оргкомитета
должны были подобрать несколько десятков задач для
подготовительного сборника и, кроме того, около 40 задач
для олимпиады, причем все эти задачи должны были
иметь различный характер. Ясно, что вся эта большая
работа была бы не под силу нескольким членам оргкоми-
оргкомитета (обычно 10—12 человек), если бы не помощь многих
десятков студентов, аспирантов и преподавателей универ-
университета, всегда с большой готовностью откликавшихся на
призыв оргкомитета,
Составление подготовительного сборника являлось пер-
первым этапом подбора задач для олимпиады. Уже в процессе
36
Номер
олимпиады
"* I
II
III
IV
V
VI
VII
VIII
IX
X
XI
XII
XIII
XIV
XV
XVI
XVII
XVIII
XIX
XX
XXI
XXII
XXIII
XXIV
XXV
XXVI
XXVII
Год
1935
1936
1937
1938
1939
1940
1941
1945*
1946
1947
1948
1949
1950
1951
1952
1953
1954
1955
1956
1957
1958
1959
1960
1961
1962
1963
1964
Председатель оргкомитета
П. С. Александров
Н. А. Глаголев
А. Г. Курош
А. Н. Колмогоров
Л. А. Люстерник
Л. С. Понтрягин
А. О. Гельфонд
И. М. Гельфанд
С. А. Гальперн
И. Г. Петровский
В. В. Немыцкий
А. И. Маркушевнч
М. А. Крейнес
Б. Н. Делоне
Д. Е. Меньшов
П. К. Рашевский
Г. Е. Шилов
С. В. Бахвалов
Е. Б. Дынкин
О. А. Олейник
В. Г. Болтянский
Е. М. Ландис
И. Р. Шафаревич
л
В. А. Ефремович
Н. В. Ефимов
А. Н. Колмогоров
И. Р. Шафаревич
*) В годы Великой Отечественной войны московские математики
провели несколько олимпиад в Ашхабаде и Казани.
37
составления сборника некоторые задачи «засекречивались»;
при этом все близкие к ним по идее задачи безжалостно
изгонялись из подготовительного сборника. Те же сообра-
соображения конспирации заставляли полностью отстранять от
предолимпиадских консультаций не только всех членов орг-
оргкомитета, но и студентов, предложивших задачи, сохраняе-
сохраняемые для олимпиады. Разумеется, это не было актом недове-
недоверия к студентам: опасность, которую старались предупре-
предупредить, заключалась не в том, что студенты проболтаются
или сознательно сообщат задачи знакомым школьникам,
а в том, что они могли машинально сообщить задачи и идеи,
родственные темам засекреченных задач. Укажем также,
что учителя московских школ, тесно связанные с участ-
участниками будущей олимпиады, никогда не привлекались к со-
составлению задач для сборников и для олимпиады.
При всей огромной помощи окружающих составление
и отбор задач самой олимпиады представляет собой одну
из самых трудных частей работы оргкомитета. Этому по-
посвящается целый ряд заседаний, затягивающихся нередко
на много часов. Члены оргкомитета спорят до хрипоты,
задачи на глазах меняются до неузнаваемости; иногда
две-три, казалось бы, совершенно разные задачи объеди-
объединяются в одну, идейно более сложную, иногда же, напро-
напротив, одна задача распадается на две-три.
Большое огорчение причиняют ежегодно встречающиеся
случаи, когда замечательная, по общему мнению, задача
с восторгом передается студентами друг другу — и, когда
она доходит до оргкомитета, оказывается, что ее знают
слишком много лиц. Несмотря на полное доверие к студен-
студентам, в таких случаях задача не может пойти на олимпиаду.
Скрепя сердце, приходится включать задачу в состав
подготовительного сборника. Примерами могут служить
задачи 23 (стр. 113) или 80 (стр. 120), не включенные в
состав задач олимпиады лишь потому, что придумавшие
их студенты не смогли удержаться от искушения рассказать
красивую задачу товарищам. Когда с задачами для олим-
олимпиады бывает особенно «туго», разрешается одну и ту же
задачу (или родственные задачи) предлагать параллельно
учащимся разных классов. Примеры этого читатель обна-
обнаружит в приводимом в этой книге списке задач олимпиад.
Помимо требований яркости, идейной содержательно-
содержательности и безусловной новизны, предъявляемых к каждой от-
отдельной задаче олимпиады, весьма серьезные требования
38
предъявляются ко всему ансамблю задач в целом. Задачи
должны быть достаточно разнообразными как по форме,
так и по лежащим в основе их решения идеям. Естественно,
что из наиболее удачных задач, отобранных для олимпиады,
более легкие предлагаются для 1-го тура, а более сложные
сохраняются для 2-го.
Ясно, что составление новых оригинальных и интерес-
интересных задач из года в год становится все более трудным
делом. Возможно, этим отчасти объясняется тот факт, что
трудность задач олимпиады неуклонно возрастает.
По мере приближения 1-го тура задачный ажиотаж
все более увеличивается. Нередко окончательный список
задач оказывается утвержденным лишь за 1—2 дня до.
тура. Наконец, задачи составлены, мехматские машинистки
под строгим надзором сразу нескольких членов оргкоми-
оргкомитета перепечатывают задачи, которые тут же заклеиваются
в конверты, скрепленные большими сургучными печатями.
Затем все это богатство (включая отобранные у всех членов
оргкомитета черновики) торжественно заключается в сейф.
Наступает момент торжественного открытия олимпиады.
Еще накануне члены оргкомитета проводят сложную на-
научно-исследовательскую работу по статистике русских
фамилий. Дело в том, что каждый год администрация
университета выделяет для олимпиады много аудиторий,
которые, однако, не одинаковы по размерам. Здесь и по-
помогает статистика, руководствуясь которой члены оргко-
оргкомитета распределяют аудитории, указывая первые буквы
фамилий тех школьников, которые в этих аудиториях
будут решать задачи. Заранее изготовляются аккуратные
таблички, например:
IX кл.
С —Щ, Э,Ю, Я
и т. д., которые к моменту прихода школьников в универ-
университет уже висят на дверях аудиторий. На одной из ауди-
аудиторий по традиции вывешивается особенно аккуратно вы-
выписанная табличка
Ы
— это комната членов оргкоми-
оргкомитета, которые не опасаются, что их потревожат школьники,
поскольку фамилий, начинающихся на букву Ы, не бы-
бывает. Здесь перед началом олимпиады проходит инструк-
39
таж всех студентов и аспирантов, обслуживающих олим-
олимпиаду, здесь же решаются возникающие вопросы и т. д.
Это—штаб олимпиады.
После краткого напутственного слова председателя
оргкомитета школьники расходятся по указанным ауди-
аудиториям, и там проводящие олимпиаду студенты взламывают
печати на конвертах с задачами и переписывают условия
задач на доске. Олимпиада началась.
Олимпиаду обслуживают до сотни дежурных-студентов,
которые помогают разойтись по аудиториям, сидят в ауди-
аудиториях (отвечая, если нужно, на вопросы в заранее пре-
предусмотренном оргкомитетом объеме), следят за тем, чтобы
коридоры и туалетные комнаты не превращались в дис-
дискуссионные клубы участников олимпиады.
Завершается первый день олимпиады общим собранием
руководителей в комнате | Ы , где собранные работы распре-
распределяются между студентами для проверки. Проверка работ
составляет самую ответственную часть работы оргкомитета.
Проверяющие работы студенты разбиваются на отдельные
группы («кусты»), в каждой из которых назначается
ответственный. После обсуждения результатов проверки
по «кустам» состоится общее собрание оргкомитета, на
котором окончательно фиксируются результаты 1-го тура-
Оценка работ производится по сложной системе, количество
баллов в которой трудно установить. Вот типичные оценки,
которые проставляются отдельно по каждой задаче:
О —задача не решалась;
— —задача не решена или решена неправильно;
—? —решение неверно и содержит очень грубые
__ ошибки;
"г- __ задача не решена, но в черновиках или чисто-
(нли е) вой работе обнаруживаются некоторые разум-
разумные соображения;
+ —задача полностью не решена, но подход к
решению правилен;
± —задача решена не полностью;
(+) — задача решена; решение содержит мелкие про-
пропуски или дефекты;
4- —задача полностью решена;
t — решение задачи содержит неожиданные (иног-
(иногда даже заранее непредвиденные оргкомите-
оргкомитетом) яркие идеи.
40
Иногда используются и другие оценки (например 1/z),
Следует отметить, что оценка (!) еще не свидетельствует
о решении задачи; например, часто ставятся оценки —\,
в!, +! и т. д. Однако даже оценка—! сильно увеличивает
шансы участника на прохождение во 2-й тур или получе-
получение премии.
Совершенно аналогично проводятся 2-й тур олимпиады
и обсуждение его результатов, завершающееся присужде-
присуждением премий. Однако, если обсуждение результатов 1-го
тура проходит довольно быстро и имеет относительно
академический характер, то ко 2-му туру страсти нака-
накаляются, заседание длится до ночи (иногда и переносится
на следующий день), а стены комнаты | Ы | содрогаются
от эмоций членов оргкомитета. Ведь на олимпиаде (в отли-
отличие, скажем, от школьной контрольной работы) учиты-
учитывается не только количество решенных задач, но и общая
математическая одаренность учащегося — вещь довольно
деликатная, которую, одни члены оргкомитета видят в од-
одном, а другие — совершенно в другом.
При обсуждении результатов 1-го тура основное за-
заключается в том, чтобы отсеять участников, совершенно
не подготовленных (не обязательно по причине слабых
знаний, но, возможно, по причине недостаточной мате-
математической культуры или отсутствия тренировки), не
утеряв при этом никого из способных школьников. Поэтому
отбор участников для второго тура проводится достаточно
либерально. Более того, нередко члены оргкомитета, хо-
хорошо знакомые по кружку с математическими данными
некоторых школьников, на свою ответственность ставят
вопрос о допуске их во 2-й тур, несмотря на сплошные
минусы в работе 1-го тура. Бывает также, что тот или иной
член оргкомитета заявляет, что в определенной работе
он усматривает способность математически мыслить, и по-
потому просит допустить ее автора (не решившего, быть
может, ни одной задачи) на 2-й тур. В таких случаях по-
положительное мнение даже одного члена оргкомитета обычно
считается достаточным основанием для допуска ко 2-му
туру. Достаточным основанием считается иногда и просьба
«провалившегося» в 1-м туре школьника.
Гораздо более сложное положение создается при об-
обсуждении работ 2-го тура. Каждую сколько-нибудь инте-
интересную работу 2-го тура читают обязательно несколько
членов оргкомитета; работы, выдвигаемые на премии или
41
на похвальный отзыв, а также все спорные работы, как
правило, читают все члены оргкомитета. При присуждении
премий учитывается все: правильность решения, четкость
математической мысли, оригинальность решения, закон-
законченность и полнота проведенного исследования, характер
изложения «тонких» мест и т. д. Однако почерк и акку-
аккуратность расположения материала, а также внешнее оформ-
оформление работы никогда не учитываются. Особенно
большое значение придается нестандартным рассуждениям,
неожиданным решениям, своеобразному толкованию усло-
условия задачи. Ясно, что разнообразие предъявленных к ра-
работам требований делает оценку каждого отдельного члена
оргкомитета довольно субъективной и лишь коллективный
характер процедуры присуждения премий обеспечивает
правильность и объективность окончательного решения.
Стремление к объективности и высокая сознательность
членов оргкомитета приводили иногда к прямым курьезам.
Укажем только один случай. На XXI олимпиаде проверяю-
проверяющие представили к первой премии работу десятиклассника
Миши Хазена, решившего четыре задачи из пяти (на 2-м
туре). К несчастью, сестра Миши, студентка Лида Хазен
являлась членом оргкомитета. Она авторитетно заявила,
что Миша знал решение одной из пяти задач еще до олим-
олимпиады (хотя решил ее сам), что он вообще не собирается
поступать на мехмат и поэтому никакой 1-й премии ему
давать нельзя. Долго члены оргкомитета убеждали Лиду
в том, что включение известной задачи в состав задач олим-
олимпиады — вина оргкомитета, а не Миши, что «случайное»
родство Миши с одним из членов оргкомитета, благодаря
чему известно, что он знал и чего не знал, не должно ста-
ставить его в более жесткие условия по сравнению с другими,
что вопрос о поступлении в университет не должен учиты-
учитываться, что, вообще, мы обсуждаем работу, а не ее автора
и т. п. Ничего не помогало. Бедная девушка чуть не рас-
расплакалась и только демократическая процедура голосо-
голосования (вероятно, через час-полтора после начала дебатов!)
заставила Лиду смириться.
Бывали случаи, когда первую премию (!) получали
учащиеся, не решившие полностью ни одной задачи. На-
Например, на IX олимпиаде 1-я премия была присуждена
ученику X класса Эрику Б а л а ш у. Все отведенное
для проведения олимпиады время Эрик потратил на ре-
решение одной задачи:
42
Дан ряд чисел
О, 1,1,2, 3, 5,8, 13,21,34, ....
в котором каждое число, начиная с третьего, равно сумме
двух предыдущих. Найдется ли среди первых 1OOOOOOO1
членов этого ряда число, оканчивающееся четырьмя нулями?
Члены оргкомитета предполагали, что школьники бу-
будут решать эту задачу с помощью сравнительно несложных
соображений, связанных с так называемым «принципом
Дирихле» (см. стр. 14). Совсем по-другому подошел к этой
задаче Балаш. Он поставил своей целью дать полное иссле-
исследование, т. е. указать номера всех тех членов ряда, кото-
которые оканчиваются четырьмя нулями. Для этого он развил
целое арифметическое исследование, которое не сумел
(или не успел) довести до конца. Эрик правильно указал,
что первым оканчивающимся четырьмя нулями является
член с номером 7501, и указал закон повторяемости таких
членов в дальнейшем. Решение получило оценку ±! и,
несмотря на то, что Балаш к решению остальных задач
и не приступал, он получил 1-ю премию. (Сейчас Э. Ба-
Балаш — аспирант Московского пединститута имени В. И. Ле-
Ленина.)
Не менее поучительным является случай, произошед-
произошедший на VIII олимпиаде. На 2-м туре учащимся VII—VIII
классов была предложена следующая задача:
Вершины Л, В и С треугольника ЛВС соединены с точ-
точками Alt Bv Cv распо-
расположенными на противопо-
противоположных сторонах (но не в
вершинах, рис. XVI). До-
Доказать, что середины от-
отрезков AAV BBV CCt не
лежат на одной прямой.
Члены оргкомитета счи- ^
тали эту задачу сравни- В D "
тельно нетрудной. В са-
мом деле, середины М,
N, Р указанных отрезков
принадлежат средним линиям DE, EF, FD треугольника
ABC и притом не совпадают с вершинами треугольника
DEF. Остюда и вытекает требуемое утверждение: ведь ни-
никакая прямая, не проходящая через вершины треуголь-
43
ника, не может пересекать все три его стороны (а не их
продолжения).
Последнее обстоятельство, по мнению членов оргкоми-
оргкомитета, следовало считать очевидным. Однако, участник олим-
олимпиады, восьмиклассник Юлик Добрушин (ныне из*
вестный советский математик, доктор физико-математиче-
ских наук Роланд Львович Добрушин), дописав решение
до этого места, добавил: «Я долго пытался доказать» что
прямая не может пересекать все три стороны треугольника
во внутренних точках, но не смог этого сделать, так как
с ужасом понял, что я не знаю, что такое прямая!» За это
чистосердечное признание в «неумении» решить задачу
Добрушин и был увенчан первой премией. Члены оргко-
оргкомитета, вероятно, лучше чем он сам, понимали смысл его
последней фразы: ведь в современной геометрии ответ на
вопрос, что такое прямая, дается лишь перечислением ее
свойств, среди которых обычно фигурирует свойство, рав-
равносильное невозможности пересечь все три стороны тре-
треугольника.
Примеров такого рода было очень много. Отметим еще,
что редко встречались школьники, которым удавалось ре-
решить на олимпиаде все задачи 2-го тура. Иногда орг-
оргкомитет даже запрещал школьникам браться за все задачи,
рекомендуя им тем самым работать более сосредоточенно
и не разбрасываться. Впрочем, это запрещение не всегда
помогало: победитель VII, VIII; IX и X олимпиад Леша
Филиппов (ныне доцент МГУ, Алексей Федорович Фи-
Филиппов) на одной из олимпиад решил — вопреки запрету —
все задачи 2-го тура и затем тоненько перечеркнул акку-
аккуратно написанное решение одной из задач, чтобы к нему
«не придирались», но при этом, чтобы все можно было про-
прочесть! Систематически решали на олимпиадах все задачи
второго тура школьники Саша Вентцель и Иосиф
Берштейн (сейчас Александр Дмитриевич Вентцель —
известный математик, пред подаватель МГУ; Иосиф Берн-
штейн— студент мехмата МГУ)-
Слово к школьнику.
Эта книга в основном посвящена московским матема-
математическим олимпиадам. Каждая олимпиада — это состя-
состязание (в данном случае в решении трудных математических
задач). Как и на всяком состязании, здесь бывают победи-
44
тели, но большинство участников не получает призов:
Однако в отличие от рыцарских турниров на математиче-
математических олимпиадах не бывает побежденных: выигрывают все.
В самом деле, ты школьник VII (может быть VIII
или IX) класса, ранее не участвовавший в математических
олимпиадах. В школе ты привык решать довольно стан-
стандартные задачи, бесспорно полезные, но очень далекие от
переднего края современной математической науки; слы-
слышал, конечно, о выдающихся ученых и их открытиях,
но о том, что собой представляет современное математи-
математическое творчество, ясного представления у тебя нет. И вот,
ты пришел на олимпиаду. Задачи, которые тебе предло-
предложили, совершенно не похожи на привычные школьные
задачи. Их новизна и неожиданность в значительной сте-
степени связана с тем, что они одухотворены свежими идеями
современной математики, и каждая из них — это малень-
маленькая научная работа. Уже само содержание этих задач
открывает перед тобой новые горизонты. Даже если ты не
добьешься успехов и не решишь ни одной задачи,— зна-
знакомство с их решениями (услышанными от товарищей
или на разборе задач) принесет много пользы. И если за- •
дачи олимпиады и их решения заинтересовали тебя, то,
даже в случае неуспеха на олимпиаде, тебе есть прямой
смысл подумать о том, не является ли математика твоим
призванием и будущей специальностью. Ведь каждый год
на Московской математической олимпиаде выдается всего
20—-30 премий по всем классам; если добавить сюда и
школьников, получивших похвальные отзывы, то это число
увеличится до 50—80. Между тем на механико-математи-
механико-математический факультет одного только Московского государствен-'
ного университета сейчас ежегодно принимается свыше 400
студентов. Ясно, что среди них, решивших- сделать мате-
математику своей будущей специальностью, многие не участ-
участвовали, а многие и «провалились» на олимпиадах.
Говоря языком, привычным для математиков, успех
на олимпиаде, как правило, является достаточным усло-
условием для возможности в дальнейшем работать в области
математики, но это достаточное условие отнюдь не является
необходимым. Мы знаем видных математиков, в свое время
не добившихся никакого успеха на олимпиаде. Ведь на
олимпиаде могут помешать и ограниченность времени,
и напряженная атмосфера соревнования, и многое другое
из того, что в дальнейшей работе будет отсутствовать
45
Одним словом, не получение премии или отзыва, а проявив-
проявившийся интерес к задачам олимпиады и их решениям —
вот тот критерий, которым ты должен руководствоваться.
И если такой интерес проявился, приходи на занятия
кружка, приходи учиться на мехмат.
Но если успех на олимпиаде совсем не является необходи-
необходимым условием для возможности успешной работы в обла-
области математики, то есть одно условие, совершенно необхо-
необходимое. Для того чтобы успешно заниматься математикой,
нужно желание много, очень много работать. Никакие,
даже самые выдающиеся способности не могут заменить
систематической упорной работы. Каждый результат, каж-
каждая «теорема», найденная специалистом-математиком,—
это сотни и даже тысячи (!) часов работы. Математик рабо-
работает не только за столом учреждения — он работает и дома,
и нередко на прогулке; случается, что нужные мысли при-
приходят в голову во время киносеанса или даже во сне. Твор-
Творческая работа специалиста-математика — это упорный и
нелегкий повседневный труд, но. это в то же время и огром-
огромное счастье.
И если ты подумываешь о том, чтобы стать математиком,
начинай вырабатывать упорство и трудолюбие уже сейчас,
читая эту книгу. Ко всем задачам подготовительного сбор-
сборника приведены в конце книги указания или ответы, а мно-
многие задачи олимпиады снабжены подробными решениями.
Не спеши заглядывать в них! Не жалей потратить несколько
часов или даже дней на одну задачу, и лишь если упорные
раздумья не приводят к цели, загляни в ответ или решение.
Желаем тебе успехов.
В. Г. Болтянский
И. М. 0глом.
ЛИТЕРАТУРА
Серия «Популярные лекции по математике»
1. А. И. Маркушевич, Возвратные последовательности Гос-
техиздат, 1951.
2. И. П. Натансон, Простейшие задачи на максимум и мини-
минимум, изд. 2, Гостехиздат, 1952.
3. И. С. С о м и н с к и й, Метод математической индукции, изд. 4,
Гостехиздат, 1952.
4. А. И. Маркушевич, Замечательные кривые, Гостехиздат,
!952.
5. П. П. Коров кин Неравенства, Гостехиздат, 1952.
6. Н. Н. Воробьев, Числа Фибоначчи, Гостехиздат, 1951
7. А. Г. К у р о ш. Алгебраические уравнения произвольных степе-
степеней, Гостехиздат, 1951.
8. А. О. Г е л ь ф о н д. Решение уравнений в целых числах,
изд. 2, Гостехиздат, 1957.
9. А. И. Маркушевич. Площади и логарифмы, Гостех-
Гостехиздат, 1952.
10. А. С. Смогоржевский, Метод координат. Гостехиздат,
1952.
11. Я- С Дубнов, Ошибки в геометрических доказательствах.
изд. 3, Физматгиз, 1961.
12. И. П. Натансон, Суммирование бесконечно малых величин,
изд. 2, Гостехиздат, 1956
13. А. И. Маркушевич, Комплексные числа и конформные
отображения, изд. 2, Физматгиз. 1960
14. А. И. Фетисов, О доказательствах в геометрии, Гостех-
Гостехиздат, 1953.
15. И. Р. Ш а фа ре вич, О решении уравнений высших степеней,
Гостехиздат. 1953.
16. В. Г, Шерватов, Гиперболические функции, изд. 2, Физмат-
Физматгиз, 1958.
17. В. Г. Болтянский, Что такое дифференцирование?, изд. 2,
Физматгиз, 1960.
18- П М. Миракьян, Прямой круговой цилиндр, Гостехиздат,
1955.
19. Л. А- Л юс тер ник, Кратчайшие линии, Гостехиздат, 1955.
20- А. М. Лопшиц, Вычисление площадей ориентированных фи-
фигур, Гостехиздат, 1956.
21. Л. И. Головина и И. М. Яглом, Индукция в геометрии,
изд. 2, Физматгиз, 1961.
22. В. Г. Болтянский, Равновеликие и равносоставленные
фигуры, Гостехиздат, 1957.
23. А. С. Смогоржевский, О геометрии Лобачевского Гос-
Гостехиздат, 1957,
24. Б. И. А р г у н о в и Л. А. С к о р н я к о в, Конфигурацион
ные теоремы, Гостехиздат, 1957.
25. А. С Смогоржевский, Линейка в геометрических постро-
построениях, Гостехиздат. 1957. [Изд. 2, Физматгиз, 1960 — уже вне серии.]
26. А. Б. Трахтенброт, Алгоритмы и машинное решение за-
задач, Гостехиздат, 1957.
47
27. В. А. Успенский, Некоторые приложения механики к мате-
математике, Физматгиз,* 1958.
28. Н. А. Архангельский и Б. И. Зайцев, Автоматичес-
Автоматические цифровые машины, Физматгиз, 1958.
29. А. Н. К о сто вс кий, Геометрические построения одним цир-
циркулем, Физматгиз, 1959.
30. Г. Е. Шилов, Как строить графики, Физматгиз, 1959.
31. А. Г. Дорфман, Оптика конических сечений, Физматгиз, 1959.
32. Е. С. Вентцель, Элементы теории игр, Физматгиз, 1959.
33. А. С. Барсов, Что такое линейное программирование?, Физ-
Физматгиз, 1959.
34. Б. Е. М а р г у л и с, Системы линейных уравнений, Физмат-
Физматгиз, I960.
35. Н. Я. В и л е н к и н, Метод последовательных приближений,
Физматгиз, 196 К ' '
36. В. Г. Болтянский, Огибающая, Физматгиз, 1961.
37. Г. Е. Шилов, Простая гамма, Физматгиз, 1963.
38. Ю. А. Ш р е й д е р, Что такое расстояние?, Физматгиз, 1963.
39. Н. Н. Воробьев, Признаки делимости, Физматгиз, 1963.
40. С В« Фомин, Системы счисления, изд. «Наука», 1964. .
Серия ^Библиотека математического кружка»
41. Д. О. Шклярский, Н, Н. Ченцов, И. М. Яглом, Изб-
Избранные задачи и теоремы элементарной математики, ч. I, Арифметика
и алгебра, изд. 3, Физматгиз, 1959; ч. II, Геометрия (планиметрия), Гос-
техиздат, 1952; ч. Ш, Геометрия (стереометрия), Гостехиздат, 1954.
42. И. М. Я г л о м и В. Г. Б о л т я н с к и й, Выпуклые фигуры,
Гостехиздат, 195L
43. А. М. Я г л о м и И. М. Я г л о м, Неэлементарные задачи в
элементарном изложении, Гостехиздат, 1954-
44. Е. Б. Дынкин и В. А. Успенский, Математические
беседы, Гостехиздат, 1952.
45. И. М. Яглом, Геометрические преобразования, т. I, Гостех-
Гостехиздат, 1955; т. II, Гостехиздат, 1959.
46. М. Б. Б а л к, Геометрические приложения понятия о центре
тяжести, Физматгиз, 1956.
47. Г. Радемахер и О. Теплиц, Числа и фигуры, Физмат-
Физматгиз, 1962.
Сборники ^Математическое просвещение*.
48. Старая серия: вып. 1—14, ОНТИ, 1935—1938.
49. Н о в а я серия: вып 1—6, Гостехиздат •— Физматгиз, 1957—
1961.
Учебники по геометрии, алгебре и тригонометрии
50. Ж. А даммар, Элементарная геометрия, ч. I, Учпедгиз, 1957;
ч. П, Учпедгиз, 1958.
51. Д. И. Перепелки н,. Курс элементарной геометрии, ч. I,
Гостехиздат, 1948; ч. II, Гостехиздат, 1949.
52. Д. И. Ф а д д е е в и И. С. С о м и н с к и й, Алгебра, Физмат-
тиз, 1963.
48
53. И. С. С о м и н с к и й, Алгебра (дополнительные главы), Фив-
матгиз, 1963.
54. А. Ф. Бермант и Л. А. Люстерник, Тригонометрия,
Гостехиздат, 1947.
55. В. Г. Болтянский и И. М. Я г лом, Преобразования;
векторы, изд. «Просвещение», 1964
Задачники по геометрии и алгебре
56. И. И. Александров, Сборник геометрических задач на по-
построение, Учпедгиз, 1950.
57. Б. Н. Делоне и О. К. Житомирский, Задачник та
геометрии, Физматгиз, 1959.
58. О. К. Ж и т о м и р с ки й, Проективная геометрия в задачах,
Гостехиздат, 1954.
59. В. А. Кречмар. Задачник по алгебре, изд. «Наука», 1964.
60. М. Попруженко, Сборник геометрических задач (плани-
(планиметрия), изд« 5, Учпедгиз, 1939.
61. 3. А. Скопец и В. А. Жаров, Задачи и теоремы по гео-
геометрии (планиметрия), Учпедгиз, 1962,
Энциклопедические изложения математики,
рассчитанные на начинаюищх
62. Р. К у р а н т и Г. Р о б б и н с, Что такое математика?, Гос-
Гостехиздат, 1947.
63. Ф. Клей н, Элементарная математика с точки зрения высшей,
т. I (арифметика, алгебра, анализ), ОНТИ, 1935; т. II (геометрия!
ГТТИ,-1934.
64. Энциклопедия элементарной математики,
т. I, Арифметика, Гостехиздат, 1951;
т. И, Алгебра, Гостехиздат, 1951;
т. III, Функции и пределы, Гостехиздат, 1957;
т. IV, Геометрия (ч. 1), Физматгиз, 1963.
Книги по кибернетике и современным идеям математики
65. Э. Беркли, Символическая логика и разумные машины,
Изд-во иностр. лит., 1961.
66. Дж. Т. Калбертсон, Математика и логика цифровых
устройств, изд. «Просвещение», 1964.
67. Дж. К е м е н и, Дж. С н е л л, Дж. Томпсон, Введение в
конечную математику, Изд-во иностр. лит., 1963.
68. А. М. Я г л о м и И. М. Я г л о м, Вероятность и информация,
Физматгиз, 1960.
69. Сборник «О некоторых вопросах современной математики и ки-
кибернетики», изд. «Просвещение», 1965.
Книги по разным вопросам
70. И. Б. Абельсон, Рождение логарифмов, Гостехиздат, 1948.
71. И. Б. Абельсон, Максимум и минимум, ОНТИ, 1936.
72. Г. Н. Берма н, Циклоида, Гостехиздат, 1948.
73. Г. Н. Берман, Число и наука о нем, Гостехиздат, 1948.
49
74. Д. Гильберт и С. Кон-Фоссен, Наглядная геометрия,
Гостехиздат, 1952.
75. Б. В. Г н е д е н к о и А. Я- X и н ч и н, Элементарное введе-
введение в теорию вероятностей, изд. «Наука», 1964..
76. И. С. Г р а д ш т е й н, Прямая и обратная теоремы, Гостех-
Гостехиздат, 1951.
77. С. И. Зетель, Новая геометрия треугольника, Учпедгиз, 1962.
78. В. Ф. Каган, Очерки по геометрии, изд. МГУ, 1963.
79. Д. А. Крыжановскнй, Изопериметры, изд. 2, Физмат-
гиз, 1962.
80. А. Лебег, Об измерении величин, Учпедгиз, 1960.
81. В. Литцман, Старое и новое о круге, Физматгиз, I960.
82. В. Литцман, Теорема Пифагора, Физматгиз, 1960.
83. В. Литцман, Где ошибка?, Физматгиз, 1962.
84. В. Литцман, Веселое и занимательное о числах и фигурах,
Физматгиз, 1963.
85. Л. А. Л ю с т е р н и к, Выпуклые фигуры и многогранники,
Гостехиздат, 1956.
86. Л. Я- Окуне в, Комбинаторные задачи на шахматной доске,
ОНТИ, 1935.
87. Д. П о й а, Математика и правдоподобные рассуждения, Изд-во
иностр. лит., 1957.
88. М. М. Постников, Магические квадраты, Физматгиз, 1963.
89. В. С е р п и н с к и й, Пифагоровы треугольники, Учпедгиз, 1959.
90. В. Серпинский, Что мы знаем и чего не знаем о простых
числах, Физматгиз, 1963.
91. В. Серпинский, 100 простых, но одновременно трудных
вопросов по арифметике, Учпедгиз, 1961.
92. А. Я- X и н ч и н, Три жемчужины теории чисел, Гостех-
Гостехиздат, 1948.
93. А. Я Хинчин, Цепные дроби, Гостехиздат, 1949.
94. А. Я- X и н ч и н, Великая теорема Ферма, ОНТИ, 1934.
95. Ц ю л ь к е, Геометрические построения на ограниченном куске,
плоскости, ОНТИ, 1935.
96. Л. Г. Шнирельман, Простые числа, Гостехиздат, 1940.
97. Г. Ш т е й н г а у з, Математический калейдоскоп, Гостехиздат.
1949.
98. Г. Ш т е й н г а у з, Сто задач, Физматгиз, 1959.
99 Я Ш т е й н е р, Геометрические построения, выполняемые с
помощью линейки и неподвижного круга, Учпедгиз, 1939.
100. И. М, Яг л ом, Комплексные числа, Физматгиз, 1963.
ЧАСТЬ I
ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
В задачах раздела А приняты следующие обозначения:
[х] — «целая часть х» — наибольшее целое число, не превосходя-
превосходящее дг; так, например,
[5] = 5, [1,5] = I, 18/4] = О, I- 1,5] = - 2 и т. д.
га! = 1 • 2 • 3 • ... • (л -— 1) • л (читается: «л-факт'ориал»;
п — натуральное число).
По определению, 1! =0! = 1;
Bл)!! = 2 • 4 • 6 • .., • Bп — 2) • 2п;
Bл + 1)!! = 1 • 3 • 5 • ... • Bл — 1) Bя -f 1).
В § 4 имеются в виду действительные решения систем уравне-
уравнений.
В задачах §§ 8, 9,^ если не оговорено противное, предполагается
десятичная запись чисел. Вообще, о различных системах счисления
см. т. I «Энциклопедии элементарной математики».
Задачи §§ 5 и 6 раздела Б (геометрия) должны быть решены, как
обычно, с помощью циркуля и линейки — кроме задач «с ограничен-
ограниченными средствами». О том, какие построения можно производить раз-
различными инструментами (односторонней линейкой, угольником и т. п.),
см. т. IV «Энциклопедии элементарной математики».
В разделах А и Б задачи каждого параграфа распределены по
классам обучения, а внутри каждого класса — в порядке возрастания
их трудности.
Однако учащиеся младших классов могут не ограничивать свои
интересы одними только «своими» задачами; старшеклассникам же про.
сто рекомендуется порешать задачи, данные для учащихся
младших классов.
51
А. АЛГЕБРА
§ 1. Доказательство тождеств
Доказать тождества:
VII-X
классы
1.
[be У
VIII - X
классы
• 1/ Т7= т= =
5—I
X
класс
4.
1
»• «HKF-^70--I.
§ 2. Суммирование конечных последовательностей
Доказать тождества:
VIII — X
классы
X
класс
д.
"Г •••
о
log* 2 log., 4
1
= fl L
10. 1 —
2Л~1 logjf 2"
1.1 1
г
2/.
1_
2rt
2ft "
52
VII —X
классы
"^ZTT + T=2J + "' + T УТ + "^
4" ••• Н 2
2. cos -
cos 2л к
cos
+
13. sin
2/л+ 1
1
2'
• sin
Иго 1 /-.i
/ 1 \ m '
2m
^
¦•...• sin
2т +
+ ^ ^ 2/n + 1 ^m"" Bm + )
15. arcctg3 + arcctg5 + ...-{-
+ arcctg Bn + 1) = arctg 2 + arctg
4- arctg — 4-... 4- arctg
16. (O24-(Ci)a+...H
Вычислить суммы:
i i
17.
я arc tg 1.
1 -2
2<3
18.
1
1
1.2-3-4
1
2.3.4.5
n (n 4-1) (я 4- 2) (n 4- 3)
19 l Г l I
1 • 3 3 • о
* 1 ^ 21 ^ 3t ^ "
1
Bn - I) Bn H-1)*
nl
21. I • 1! 4- 2 • 21 H- 3 ¦ 3! -j- ... + « • nl
53
X
класс
VII г-X
классы
23.
24. а-\-{а+ d)q-\-(a + 2d)q*-\- ...-j-
(а + nd) ?л.
25. л + 2л;2 + З*3 + •¦• + пха.
26. « * + (п — 1) *2 + ... + 2 л:" + хп.
27. 1 • 2я + 2 • 2е-1 + ... + п • 2 + (п + 1).
28. 1 + 11 + 1П + ... + И ... 1.
/г единиц
29. 1 . 2 . 2л + 2 • 3 • 2"-1 + ... +
я(л+1J + (л+1) (л+ 2).
30. sin 9 + sin 2<p -f-... + sin n ср.
31. cos <p + cos 2<p + •• • + cos « <р-
32. sin ср + 2sin 2cp + ... + « sin n ср.
33. 1 + Cln cos ср + С^ cos 2-f + ... -f-
34. СпСт-\- СпС
С
tn ~T~ ••• \ '-•я '-'от*
§ 3. Доказательство неравенств
Доказать неравенства:
35. ad + be < ab, если a, b, с, d > 0,
36. л;2 + У2 + 22 > л:^ + xz + yz.
О/. л —p у -f- Z ^> "n't с«1И л -J- i/ -j- Z
a
= 1.
38.
39.
?- + A > 2, если аб > 0.
1
2a
oa +•¦•"] „2
54
VIII — X
классы
X
класс
40. -|-<l + -i-+-i- +
I , 1
* 9
!
25
42
1
п
1
4 '
~2/Г
4 '
43. — 1 < a1bl 4- a262 -f- ... 4- CLnbn < 1, если
fli 4- a2 4- "• 4~ an = b\ -f 62 4- ••• + 6„ = 1.
44. A 4-aj A + a.) • ... •(l+ae)>2«,
если a^g • ... • dn = 1, a^ a^, ..., ал > О
45. a4 + b* > -j-, если a + 6 > 1.
46.
47.
49.
lOg2rt
ir; 2
50. -g- + -Fja" + 3" + ~2Г + Т ~Ь ••• 4"
А§г < 2; здесь а* - аА_х + а^_8,
& = 3, 4
51. Kt!t+ l
1
n-f-1 ' re-f-2
52.
n
где а( > 0, i=l, 2, .:., «.
53.
I
JL
a*
54.
,> л2, где щ > 0, x = 1, 2, ... , tv
а + а* + - + а
2п
я
J+ gw-i > ~v~. если a >0.
55
sin
sin
sin
COS at -J- COS a2 -j- ... + COS <xn ь
если 0 < ctj < ot8 < ... < an < ~.
56. 2! • 4! • 6! • ... • Bл)! > ((п + 1)! )я.
57. ctg-|- > 1 4~ ctg <p, если О < <p <-?-.
_s cos Aa cos /^ — cos /a cos Aft
' \ COS 91 — COS (Э
fe,, / — целые числа, a Ф + p 4-
59. (/2!K>лп при п>2.
60. ab < -?• +
если
—1.
6, p( о > 0; числа р и о рациональны,
61. 2< 1+| <3.
62. D '
63. Ci ,
64. A + %) A -b aa) • ... • A + an) <
~г, где s =
S Sa
1 + -fr H- Г
- +
0, ( = 1, 2,
§ 4. Решение уравнений и систем уравнений
Решить уравнения:
IX — X
классы
65 ^i
00* з
66. (х + с) {х -Ь 2а) (л; + За) (л; -f- 4а) = Ь*.
. []/]/" л2 — 8х + 9 + V х* — 8* + 7J +
67
—8jc+ 9 —
8л;
= 21 +~Г.
56
X
класс
68. 9* — 6* = 4*+ 2.
69. у^97 — х -f Y x = 5. (Найти все дей-
действительные решения.)
70. |г| — 2= 1 + 2*.
71. sin ал; — cos Ьх = 2.
72. (tg*)sin* =
Решить системы уравнений:
VII —X
классы
73.
74.
75.
76.
JC2
= b, (abc Ф 0.)
= 0,
О ~Г
% т ^a "h •** ~г Л-юо — О,
= О,
хг + 2100 Jt2 + ... + Ш0100 ^100 -• 0.
57
IX —X
классы
X
класс
х (у 4- z) = 5,
78. < //(^42)= Ю,
z(x-\- у) = 13.
f v I ,, 3- — 7
79. л;2 4- ^3 — г2 = 37.
I
80.
81
•I
82.
х* — уь=\Ъ(х — у),
х3 4- ys == 7 (х 4- у).
= 54,
= 115.
— д:^4-У2 = 7.
+0 1 ^ _,
83. ^ х —
а; —
2 — yz = a,
84. а) \ y* — xz = b, б) ¦
2 — ух — с.
и + *> = а,
ux + vy = b,
их* + Щг = с,
их3 + vys= d.
— а2
85.
ху — а2,
( si
86. .
I si
A
sin x -}- siny — sin a,
sin 2х + sin 2j/ = sin 2a.
Решить в целых числах уравнения:
87. ху = х-\г у.
88. 11 + 214- ..
VII-X
классы
¦х —
89. 2 * 1-(/=1.
90. pq + pr + qr — pqr = 2 (р, q, r> 0).
58
VIII — X
классы
X
класс
91.
92.
93.
II-
V
3х-
f-2!
X-
+
1
5
=
- +
1.
= у*.
§ 5. Исследование уравнений, систем уравнений.
и неравенств
VIII — X
классы
94. а, Ь, с, d — положительные числа.
Если система
ах — by < О,
— сх + dy < О,
О)
имеет решение, то выполняется условие
ad — bc< 0. B)
Обратно, если выполняется условие B), то система A)
имеет решение. Доказать.
IX —X
классы
95. Решить неравенство |sin х|> (cos x|.
96. Доказать, что уравнение
1л- ¦ ~ 1/1 J г~ \v*o Л Ро ) Г" ¦ * • —j— \&.- JC ' С/*, } — • \J
А./ I \ А т/ ' ' \ /J Л/
не может иметь двух различных действительных решений,
если только a'i -f- а| Н- ... + аД ?= 0.
97. Доказать, что если уравнение вида ах4 + Ьх3 +
+ сх2 + 6а: + а — 0 имеет корень т, то оно имеет ко-
корень —.
98. Доказать, что уравнение х3 — рх + 1 =0 при р
целом и большем 2 не имеет рациональных корней.
99. Доказать, что если рн ^ нечетные, то уравнение
jc10 + рх7 + д = 0 не имеет целых решений.
100. При каких натуральных а и b корни уравнения
х2 — abx -f- a + b = 0 целые?
101. Доказать, что если уравнение ах* + Ьху + ct/2 =
= 22 (а, Ь, с — целые) имеет ненулевое целочисленное
59
решение, то оно имеет бесконечное множество попарно не
пропорциональных целочисленных решений.
102. Определить а так, чтобы один из корней уравнения
был квадратом другого.
103. р0, pv ра — положительные числа, удовлетво-
удовлетворяющие условию po-fPi + Pe=l' Если уравнение
Ро + РгХ + р2Х* = X A)
имеет корень #0, удовлетворяющий условию
0<*0<1, B)
то выполняется неравенство
>\. C)
Обратно, если выполняется условие C), то уравнение A)
имеет корень х0, удовлетворяющий условию B). Доказать.
104. Найти уравнение с целыми коэффициентами, имею-
имеющее корень х0 = у~2-\- у!Г
105. Даны два уравнения:
а) х2 — ах + 1 - 0, х2 — х -f a = 0.
Определить все значения коэффициента а, при которых
эти уравнения имеют хотя бы один общий корень.
б) Определить а так, чтобы уравнения х2 4- х 4- а = 0,
хг -\-ах-\-\ = 0 имели общий корень.
106. Каждое из чисел х±, х2, ..., х7 может принимать
два значения 0 и 1 независимо от других. Существуют ли
такие числа air каждое из которых должно быть равно
нулю или единице, чтобы при любых целых неотрицатель-
неотрицательных bv 62, .... Ьь система уравнений
аЪ1хг + аьг х% + ... 4- 057*7 =
имела не более одного решения?
60
X
класс
107. Сколько решений имеет уравнение
\gx — sinjc?
108. Доказать, что не существует таких
k k k 0 &
уу
целых чисел х, у, z, что xk + yk = zk, если г>0,
0< У<^, k — целое положительное.
109. Доказать, что уравнение хп + уп == гп не имеет
решений в целых положительных числах, если я>2 и
< +1^.
У 2—1
110. Если xv ха — корни уравнения хг — 6х + 1 =0,
то xf + х\ при любом целом значении п является целым
числом и никогда не делится на 5. Доказать.
111. При решении квадратного уравнения х% + рх +
+ 9 = 0 округлили свободный член д на 0,00001. Оценить,
насколько может измениться ответ.
112. Дано уравнение х± + хг -\- ... + хп = N, где N —
целое положительное число. Доказать, что число раз-
различных его решений в целых неотрицательных числах
равно С%1п-\.
113. Доказать, что при всех действительных v уравне-
уравнение Bи2 — 2i>4-l)z34-(i>2— и+ 3)za-f 3 (о2 — и -f I) z +
4- (v + 2) = 0 имеет корни z1( z2t z3 с отрицательной
действительной частью.
114. Доказать, что если п — нечетное число, большее,
чем 2, то все корни уравнения
COS 7Г X =
л
иррациональны.
115. Доказать, что любая пара целых чисел х, у, удов-
удовлетворяющая одному из уравнений х 4- #V^ = (9 4- 4|/5)л,
л=0, +1, ±2, ..., удовлетворяет также уравнению хг —
— Ьу% — 1, и обратно.
VH — X
классы
4- а5
§ 6. Многочлены
116. Многочлен ах 4* в$х 4*- &зУ 4-
не является произведением двух
многочленов, одного от х, другого от у, если ни один из
его коэффициентов не равен нулю. Доказать.
61
117. а) Найти сумму коэффициентов многочлена, по-
получающегося после раскрытия скобок и приведения подоб-
подобных в выражении:
A — Ъх + 2х2O43 • A + Зх — 2ж2O44.
б) Доказать, что если у каждого из данных многочле-
многочленов сумма коэффициентов равна 1, то и у многочлена,
являющегося произведением двух данных многочленов,
сумма коэффициентов равна 1.
118. Доказать, что многочлен
X
класс
где а и b — целые числа, нельзя разложить в произведение
двух многочленов с целыми коэффициентами.
119. Доказать, что если имеет место тождество
хт _|_ хт-\ _|_ _ _j_ х _|_ 1 s
= (xfc + atx^1 -f ... + ал) (xl + Ьгх1~1 -f ». + bt)
и коэффициенты многочленов в правой части — неотрица-
неотрицательные числа, то каждый из этих коэффициентов равен
либо нулю, либо единице.
120, Доказать, что при простом р многочлен
не разлагается в произведение многочленов с неотрица-
неотрицательными коэффициентами.
121. Многочлен с действительными коэффициентами
ах2 + Ьх + с, а>0
имеет чисто мнимый корень. Доказать, что его можно пред-
представить в виде
(Ах + В? + (Сх + D)\
где А, В, С, D — действительные числа.
122. Найти целое число а, при котором многочлен
(х — а) (х— 10)+ 1
разлагается в произведение (х -J- Ь) (х -f с) двух множите-
множителей с целыми Ь и с.
123. Полином Р(х) — uqX* 4- аххп~^ + ... + ап-\Х + ап
(а„а0ф0) имеет корни хх, х2 хп. Какие корни имеют
полиномы:
а) а^ — а^"-1 + а9хп~2-~ ... + (— \)яал7
б)« + 1 ?
62
124. Доказать, что корни многочлена
пхп — 1-х — jc2 — ... — хп~1
по абсолютной величине не превосходят единицы.
125. Доказать, что все рациональные корни многочлена
Р(х) = хя + аххп~1 + ... + Оп-\ х + ап
с целыми коэффициентами — целые числа (теорема
Гаусса).
126. Докажите, что многочлен хп — х9 + *4 — # + 1
при всех действительных значениях х положителен.
127. Если многочлен аохп + а1хп~1 + ... + оя, а0 ф О
при всех действительных значениях х положителен, то он
представляется в виде суммы квадратов двух многочленов.
Доказать.
128. При каких значениях а и b многочлен х*-\-ах3 +
+ Ьх2 — 8л; 4- I обращается в точный квадрат?
129. Найти остаток от деления
х1959 — 1 на (х2 +1) (х3 + х + 1).
130. Пусть Р(х) — многочлен, дающий при делении на
х — а остаток Лу при делении на х— Ь остаток В, при
делении на х — с остаток С. Найти остаток от деления
многочлена Р(х) на (д: — а) (х — Ь) (х — с). (Числа а, Ь, с
попарно различны.)
131. Определить число а так, чтобы многочлен хп —
— ахп~г-{-ах— 1 делился на (х — IJ.
132. аъ а2, ..., ап; bv Ьг, ..., Ьт— целые числа. Если
известно, что
л — апХ" + ""-! *"~1 + - + tfl* + а° —
Ьхп + Ьхт~х + + ь + b ~
т
то можно подобрать такие целые числа cv c2, ..., Ск,
dv dt, ..., dlt чтобы имело место тождество
л—
где г = х + —. Доказать.
63
dxz + d0
133. Доказать, что если отличные от нуля многочлены
P(z), Q(z), R{z) удовлетворяют соотношению P4(z) -f-
+ Q4(z) ~ i?*(z) (при всех я), то эти многочлены являются
константами.
134. Какое наибольшее число членов (после приведения
подобных) может содержать многочлен 100-й степени от
трех переменных х, у, г?
135. Доказать, что для любого р существует такой мно-
многочлен степени р с целыми коэффициентами и старшим
коэффициентом 1, что его значения при всех целых значе-
значениях аргумента делятся на р. Доказать, что при простом р
не существует многочлена меньшей степени с тем же свой-
свойством.
Примечание. Во второй части задачи требование простоты су-
существенно. Например, многочлен пятой степени я8 -+•х* + ** + 2#а +*
при всех целых х делится на 6.
136. Доказать, что если все коэффициенты в разложении
бинома (а + Ь)п нечетны, то п = 2s — I, и обратно.
137. Многочлен аб-\-ахх-\- ... + а„хправен(л;1958+л;1вб74-
+ 2)Ш9. Чему равно выражение а0 — Цг + у + аа —
о о ' в * *"
138. Найти многочлен Jt2 + рх + д, максимум абсо-
абсолютной величины которого на отрезке —1 < х < I был бы
наименьшим.
139. а) Доказать, что выражение
тя (х) = -gi- [(* + Vx^T)n + [х - V*=r
после раскрытия скобок и приведения подобных окажется
многочленом /i-й степени от х со старшим коэффициентом 1.
(Он называется л-м полиномом Чебышева.)
б) Докажите, что Тп (х) имеет п действительных корней.
в) Докажите, что все действительные корни многочлена
Тя(х) заключены между— 1 и 1.
г) Докажите, что имеет место тождество:.
Т„ {х) - х Тп_х (х) + ™ Т„^ (х) г 0.
д) Докажите, что между двумя последовательными кор-
корнями Тп (х) лежит один корень Г«_1 (х).
64
§ 7. Прогрессии
140. Даны арифметическая прогрессия
х av a2f ,.., йл и геометрическая прогрессия
bv bz, .... bn. Обе прогрессии составлены
класс
из положительных чисел, причем выполняются соотноше-
соотношения: ах = Ь^ а2 = Ь2.
Доказать, что bk > ak при к > 2,
141. Можно ли из чисел 1, -g-, j, ^ g»»-» выбрать
бесконечную геометрическую прогрессию» сумма которой
равна ^? Равнау?
142. Три простых числа, большие 10, образуют ариф-
арифметическую прогрессию. Доказать, что разность прогрес-
прогрессии делится на 6.
143. В арифметической прогрессии сумма т ее первых
членов равна сумме п первых членов (тфп). Доказать,
что сумма ее первых т + п членов равна 0.
144. Если числа о2, Ъ%, с8 различны и образуют арифме-
арифметическую прогрессию, то числа тл—» —т—, —г-т тоже
образуют арифметическую прогрессию. Доказать.
145. Члены бесконечной арифметической прогрессии,—
целые числа. Доказать, что суммы их цифр не образуют
арифметической прогрессии, как бы мы их ни перестав-
переставляли.
146. Доказать равенство:
5 ? ?
где
п
д через Sk обозначена сумма k первых членов геометри-
геометрической прогрессии.
147. Для того чтобы числа хг, х2, ..., хп образовывали
арифметическую прогрессию, необходимо и достаточно,
чтобы равенство
4-—1— 4- |
~ ад ~ "• ~
_г*А xxxk
выполнялось при любом целом k > 2. Доказать.
148. Каждый член последовательности а0, av ..., ап
равен остатку от деления на р соответствующего члена гео-
геометрической прогрессии. Найти такое наименьшее нату-
натуральное число т, что ак = ak~ m для любого к > т.
3 Зак, 387 65
149. Пусть flx,-flji, ..., an — геометрическая прогрессия.
Зная
и
Г Г ^Г
найти
Р = fljflg • .. . ' п„.
150. Если числа %, а2, ..., ak, ... составляют арифмети-
арифметическую прогрессию с отличной от нуля разностью, то числа
MN°\ MNa\ ..., MN4, ...
могут дать (при надлежащем выборе чисел М и N) любую
наперед заданную геометрическую прогрессию с положи-
положительным знаменателем. Доказать.
151. Для любой геометрической прогрессии av aa» •••»
..., ап, ... с положительными членами и возрастающей
арифметической прогрессии Ь1У 62, ..„ Ъп> ... можно так
подобрать основание > системы логарифмов а, чтобы выпол-
выполнялись соотношения:
Ьх — log« a1 = b2 — log« а2 = ... - bn — log« а„.
Доказать.
152. Даны п бесконечных (в обе стороны) целочислен-
целочисленных арифметических прогрессий, каждые две из которых
имеют общий член. Доказать, что все прогрессии имеют
общий член.
§ 8. Делимость чисел*
X
классы
а
153. Известно, что дробь -у сократима
(а и 6 — целые числа). Сократима ли дробь
¦^~ ? Если да, то верно ли обратное
утверждение*?
*) При решении задач этого параграфа часто бывают полезны сле-
следующие соотношения:
ап ~ Ъп = (а — Ь) (а*-1 + а«~а 6 -f ая~86а + - + б")
(справедливо при любом п),
ап -f Ьп = (а + 6) (а"-1 — ап~2 b + ап~аЬ2 —... + (— I)"-1 Ьл~Ч
(справедливо при нечетном п).
В справедливости этих соотношений можно убедиться непосред-
непосредственной проверкой,
66
154. Если число имеет нечетное число делителей (вклю-
(включая 1 и само число),-то оно — точный квадрат. Доказать.
155. Если ,р и q — простые числа, большие трех, то
р2 — #2 делится на 24. Доказать.
156. Остаток от деления простого числа на 30 — тоже
простое число. Доказать.
157. р и 8р2 -Ь 1 — простые числа. Найти р.
158. р, р 4- 10, р + 14 — простые числа. Определить
р (найти все решения задачи и доказать, что других нет).
159. Будет ли число 4р + 1 простым, если известно,
что числа р и 2р + 1 простые и р > 3?
160. Доказать, что наименьшее число N] взаимно про-
простое с каждым из чисел 1, 2, '..., п, есть число простое.
161. Если а, а + d, a + 2d, ..., а + (п — 1) d взаимно
просты с п, то d и п не взаимно просты. Доказать.
162. Доказать, что сумма п последовательных нечетных
натуральных чисел при п>1 является составным числом.
163. Доказать, что для любого п найдется такое х,
что число пх + 1 составное.
164. Даны три целых числа К, М, N, причем К и М —
взаимно простые. Доказать, что найдется такое целое
число х, что Мх + N делится на К-
/ ,
? 7
165. Доказать, что V — V делится на 10.
166. Доказать, что 22225Б55 + 55552222 делится йа 7.
167. Доказать, что И10 — 1 делится на 100.
168. Доказать, что П10 — 1 делится на 10Ш2.
169. а) На какую цифру кончается число 777777?
14
б) Найти две последние цифры числа 1414 .
170. Зная, что 13 717 421 = 7612 + 7 ¦ 13702 = 4392 +
+ 7 • 13902, разложите 13 717 421 на множители.
171. а) Сколько различных делителей имеет число
22 • З3 • 44 • 55?
б) Пусть pv p2, ..., Pk — различные простые числа,
aflj, a2, ..., ak—натуральные числа. Доказать, что чис-
число п = рга1, р2а* •... • pkak имеет (а±'+ 1) {а2 + 1) • ... • (ak + 1)
различных делителей (считая 1 и «).
172. Если а + b -f- с делится на 6, то a* -f- Ь3х+ с8
тоже делится на 6 (а, Ь, с — целые числа). Доказать.
173. аи Ь — целые числа. Доказать, что число Ф-\- Ь%
делится на 441, если известно, что оно делится на 21.
з* 67
174. Доказать, что при всех л число 32п+3 + 40л — 27
делится на 64.
175. Найти общий наибольший делитель всех чисел
вида 7"+2 + 82rt+1 при п целом и неотрицательном.
176. Доказать, что число 52"+» . 2*+2 -f 3*+2 • г2"-*
при л > 0 делится на 19.
177. Если целое число д>1, то 4а/г — 3^ — 7 делится
на 84. Доказать.
178. Доказать, что пъ — 5л3 + 4л при всяком целом
л>2 делится на 120.
179. Доказать, что при л>0 число lln+2+ I22n+I де-
делится на 133.
180. Докажите, что для любого целого числа л сумма
12*+i + 22А+1 + 32*+' + ... + BяJ*+1 делится на 2л + 1; k =
*— Vj у 1) ?i} «*• •
181. Доказать, что ни при каком целом л выражение
л2 -Ь Зл + 5 не делится на 121.
182. Доказать, что 1' + 2' + ... + 9' — 3A' + 6' + 80
делится на 18 при всех натуральных t.
183. Найти наименьшее целое число» начинающееся
цифрой 7, и такое, что если переставить эту цифру в конец,
то число уменьшится впятеро.
184. Найти наименьшее число, в 4 раза меньшее своего
обращенного (т. е. состоящего из тех же цифр, но записан-
записанных в обратном порядке).
185. Если для любого целого числа, имеющего нечет-
нечетное число знаков, составить обращенное и из большего
из этих двух чисел вычесть меньшее, то полученная раз-
разность будет делиться на 99. Доказать.
186. Доказать, что все числа ряда 10001, 100010001,
1000100010001, ... — составные.
187. Докажите, что для любого числа л существует
такое N, что числа N -\- \t N + 2, ..., N -\- п — все со-
составные.
188. Пусть а, Ь, *0 — любые натуральные числа. До-
Доказать, что в последовательности: х0, хг~ ах0 + Ь, х2 =
== ахх + Ь, ... — не все числа простые.
189. Найти наименьшее число, дающее остатки: 1 —
при делении на 2, 2 — при делении на 3, 3— при делении
на 4, 4 — при делении на 5, 5 — при делении на 6.
б) Найти наименьшее число, которое при делении на
л, л+ 1, л + 2, ..., л + т дает соответственно остатки
г, г + 1, ..., г i- т.
68
190. Пусть имеется шестизначное число N. Доказать,
что если разность между числами, составленными из трех
первых его цифр и из трех последних цифр (в порядке их
следования), делится на 7, то и само число делится на 7.
191. Даны три целых числа, являющиеся точными
квадратами. Если сумма этих трех чисел делится на 9, то из
них можно выбрать два, разность которых также делится
на 9. Доказать.
192. Доказать, что сумма квадратов трех целых чисел
не может при делении на 8 дать в остатке 7.
193. В какой степени все числа (кроме чисел, кратных
7) при делении на 7 дают в остатке 1?
194. Доказать, что если необходимый и достаточный
признак делимости, выражающийся через свойства цифр
числа, не зависит от порядка цифр, то это — признак дели-
делимости на 3 или на 9.
195. Вывести признак делимости на 11.
196. а и b — натуральные числа. Наименьшее поло-
положительное число d вида ах + by, где х и у — целые числа,
равно наибольшему общему делителю чисел а и Ь.
Доказать.
197. Доказать, что если (т — 1)! 4- 1 делится на т, то
т — простое число.
198. Число р — простое. Сколько существует нату-
натуральных чисел, взаимно простых с числом р3 и меньших,
чем р8?
199. Доказать, что показатель, с которым данное про-
простое число р входит в разложение на простые множители
числа п\, равен
а =
200. Найти число двоек в разложении на множители
числа (п -Ь 1) (п + 2) • ... • 2п.
201. Доказать, что п\ не делится на 2п.
202. Доказать, что (п\Уп~и1 является делителем
числа (я!)!.
203. Доказать, что Д-^ целое число, делящееся
нацело на л + 1.
204. Доказать, что если р — простое число, большее
28^— 1
трех, и п = —5—> то 2л — 2 делится на п.
69
205. а) 2р — 1 и 2^—1 взаимно просты тогда и только
тогда, когда р и q взаимно просты. Доказать.
б) Доказать, что любые два числа из ряда 22 + 1,
222 + 1, ...» 22" + 1 являются взаимно простыми.
206. Доказать, что если р простое и а не делится на р,
то оР~х — 1 делится нар (малая теорема Ферма).
207. Доказать, что, каково бы ни было натуральное
число N, существует число, записываемое единицами и
нулями, которое делится на N.
208. Существует такое число л, что я-значное число,
записываемое одними единицами, делится на 173. Доказать.
209. Пусть к — натуральное число, не делящееся на
3. Доказать, что для любого т > 9k существует число
Л, записывающееся с помощью т единиц и некоторого
количества нулей, которое делится на 111... 11.
k цифр
210. Число Л, записывающееся с помощью L единиц
и нескольких нулей, делится на 111 ... 11, где k > 9.
k цифр
Доказать, что либо L — k, либо L > к + 9.
211. Доказать, что существует число, делящееся на
7, которое записывается с помощью одних только единиц
и нулей, причем количество единиц 1961, нулей 2Ш1, пос-
последняя цифра — единица.
212. Делится ли 81-значное число, составленное из
одних единиц, на 81?
213. Если р — простое число, не равное 3, то число, за-
записываемое р единицами, не делится на р. Если р — про-
простое число, отличное от 2, от 3 и от 5, то число, записываемое
р — 1 единицей, делится на р. Доказать.
214. Найти такие натуральные числа а и Ь, меньшие
10, что остаток от деления числа 111111 • а на 1111 • Ь,
на 1000 больше остатка от деления 11111 • а на 111-6.
215. Найти все такие тройки чисел а, Ь, с, отличных
от 1, что произведение любых двух чисел тройки,. сложен-
сложенное с единицей, делится на третье число.
216. Доказать, что сумма 1* + 2k + ... + я* при нечет-
нечетном k делится на 1 + 2 + ... + л.
X класс
217. Делится ли на 7 число
218. Какое число надо прибавить к выра-
выражению (п2— II000 • (п— II001, чтобы оно делилось на п?
219. Существует ли такое положительное п, что числа
11 ... 1 УУ .., У ио ... о УУ ... У f
п цифр п цифр п цифр п цифр
11 ... 11 99 ... 99 55 ... 55 99 ... 99
п-Н . п+1 ' п+~\ п + 1
делятся на 1959?
220. Для любого простого р разность
11 ... 1 22 ... 2 33 ... 3 ... 88 ... 8 99 ... 9—123456789
р цифр р цифр р цифр о цифр р цифр
делится на р. Доказать.
221. Доказать, что для любого п > 2 разность
п —Cfni
делится на 22л.
222. Доказать, что для любых целых р, k, (, где
ир-простое число, разность С$> — Clk делится на р.
223. Доказать, что если тип взаимно просты, то чис
ло (т + п — 1I делится на произведение т\ п\
224. Доказать, что 2(зЛ)+ 1 делится на 3"+'.
225. Существует ли такое целое р, что число *р-
является целым при любом натуральном /г?
§ 9. Задачи с целыми числами
VII—X
классы
226. Числа от 1 до 1000 выписаны подряд
по кругу. Начиная с первого, вычеркивается
каждое 15-е число A, 16, 31, ...), причем при
повторных оборотах зачеркнутые числа считаются снова.
Сколько чисел останутся незачеркнутыми?
227. Докажите, что любое целое число рублей, большее
семи, можно уплатить без сдачи денежными билетами до-
достоинством 3 и 5 рублей.
228. Сколькими способами 2" можно разложить в сумму
четырех квадратов натуральных чисел?
229. Пронумеруем подряд все простые числа, начиная
с 5. Докажите, что каждое простое число будет больше
своего утроенного номера.
230. Известно, что сумма нескольких последователь-
последовательных натуральных чисел равна 1000. Найти все такие после-
последовательности.
71
231. Что больше: 200! или 100200?
232. Все числа от единицы до 10 000 000 выписаны
подряд. Каких чисел больше: тех, в написании которых
встречается хоть один раз единица, или тех, в которых
единица не встречается?
233. Какие целые числа при зачеркивании последней
цифры уменьшаются в целое число раз?
234. Одна из цифр многозначного числа — нуль. При
вычеркивании этого нуля число уменьшается в девять раз.
а) На каком месте стоит этот нуль?
б) Найти все такие числа.
235. В какой системе счисления 75 делится на 7?
236. К какому трехзначному числу достаточно припи-
приписать 3 цифры слева, чтобы получить его квадрат?
237. Число является полным квадратом и оканчивается
на 5. Доказать, что его третья справа цифра —ччетная.
238. Всеми возможными способами расставить цифры
на свободные места (вместо звездочек) в следующем ра-
равенстве:
* 00 ** = (** *)а
239. Доказать, что л-значное число при /г>1 всегда
больше произведения своих цифр.
240. Найти все двузначные числа, каждое из которых
больше числа, написанного, теми же цифрами в обратном
порядке, на точный квадрат.
241. Найти двузначное число, равное сумме квадрата
числа единиц и числа десятков.
242. Найти такое число N, что N* составлено из цифр
0, 2, 3, 4, 4, 7, 8, 8, 9.
243. Найти шестизначное число, которое при умноже-
умножении на 2, 3, 4, 5, 6 дает числа, написанные теми же циф-
цифрами, что и само число, но в другом порядке.
244. Найти 12 целых положительных чисел, сумма
которых равна их произведению. Указать все решения.
245. Дано трехзначное число, у которого первая и по-
последняя цифры разнятся не менее, чем на 2. Составляется
разность этого числа и числа обращенного (см. задачу 184).
К результату прибавляется число, ему обращенное. До-
Доказать, что полученная сумма равна 1089.
246. Показать, что числа 49, 4489, 444 889, 44 448 889,
получающиеся каждое путем вписывания в середину пре-
предыдущего числа 48, являются точными квадратами.
72
247. Восемь целых чисел ах, аа, ..., а8 подчинены усло-
условию: 0<a1<a2<-"<^8<16. Доказать, что всегда сущест-
существует такое число k, что из данных восьми чисел можно
выбрать не менее трех пар, связанных соотношением:
щ — uj — k.
248. Доказать, что
т
является целым числом при любом целом т.
249. Найти все двузначные числа, которые делятся
на произведение своих цифр.
250. Доказать, что квадрат целого числа не может
оканчиваться четырьмя одинаковыми цифрами, отличными
от нуля. Какими тремя цифрами может оканчиваться це-
целое число, квадрат которого оканчивается тремя одинако-
одинаковыми цифрами, отличными от нуля?
251. Обозначим через п? произведение всех простых
чисел, меньших /г. Доказать, что п?>я при я>4.
252. Докажите, что число 100 ... 00 50 ... 01 не яв-
49 цифр 99 цифр
ляется кубом никакого целого числа.
253. Некоторое число является точным квадратом. До-
Доказать, что сумма его цифр либо делится на 9, либо при
делении на 3 дает в остатке I.
254. Известно, что [па] -+- [пpi = [ft(a+C)l при всех на-
натуральных п. Доказать, _что а или р — целое число.
255. Доказать, что VTO [A + уТОI00 — A — /Т0I001—
целое число.
256. Доказать, что не существует таких целых положи-
положительных чисел х и у, что я3 Н- 3 — Ау (у + 1).
257. Даны четыре целых положительных числа av a2,
а3, а4. По ним составляются четыре новых числа Ьх =>
= \а1 — a,|t b2 = la2 — a3\, bs = \a3 — a41, b± = |a4 — aj.
С числами bv b2, b3, 64 поступают таким же образом и т. д.
Доказать, что на некотором конечном шаге все разности
обратятся в 0.
258. Целые числа от 1 до 1956 выписаны подряд:
123 456... 1956. Умножим первую цифру на 2, прибавим к ней
вторую; полученное число опять умножим на 2 и прибавим
73
третью цифру и т. д.; наконец, прибавим последнюю цифру.
С полученным числом проделаем то же самое, с резуль-
результатом — опять и т. д., пока не получим однозначное число.
Чему будет равно это число?
259. Среди последовательных пар цифр числа 11 001
находятся все двузначные числа, записываемые единицами
и нулями: A1, 10, 00, 01). Для каждого п построить анало-
аналогичное число, т. е. такое, среди групп последовательных п
цифр которого встречаются все л-значные числа, записы-
записываемые единицами и нулями. Какое наименьшее число зна-
знаков может иметь это число?
260. Доказать, что всякое число можно единственным
способом записать в виде:
ах • 1! + at • 2! + а3 • 31 + ... + ап • п\ @ < at < t).
261. Если число делится на 99, то сумма его цифр не
меньше 18. Доказать.
262. В 100-значном числе все цифры, кроме одной,—
пятерки. Доказать, что оно не является полным квадратом.
То же самое доказать для 1959-значного числа.
263. Из 979 различных целых' положительных чисел,
не превосходящих 1955, можно выбрать 3 таких, что сумма
двух из них равна третьему. Доказать.
264. Разность между суммами кубов п первых четных
и п первых нечетных чисел равна 2240. Найти п,
265. Найти все такие*-натуральные числа п, чтобы вся-
всякое составное число k, взаимно простое ели меньшее его,
являлось квадратом целого числа.
266. Найти наименьшую совокупность таких чисел, что
для любого k A<&<W) можно так выбрать несколько
чисел из этой совокупности, что их сумма равна k (N —
данное число).
267. Доказать, что для любого п существует сколь
угодно большое число, представимое в виде суммы двух
квадратов ровно п различными способами.
268. Все двузначные числа, не оканчивающиеся нулем,
выписывают одно за другим так, что каждое следующее
число начинается с последней цифры предыдущего. Из
многозначных чисел, которые таким образом можно по-
получить, выбирают наименьшее и наибольшее. Найти
их сумму.
74
269. а) Найти частное от деления числа
2 + -V-
(п двоек) на 2.
б) Пусть av а2 ат, ..., ап — положительные числа.
Что больше:
или
Д1
•1 1
270. Треугольником Паскаля называется числовой тре-
треугольник ^
1
1 1
1 2 1
13 3 1
14 6 4 1
в котором по краям стоят единицы, а каждое число внутри
равно сумме двух стоящих над ним в ближайшей строке
сверху. Сколько чисел, не делящихся на р, стоит в первых
рп строках? (р — данное простое число, п — любое нату-
натуральное число).
271. Найти правильную дробь, превышающую -^-, зная,
что от увеличения ее числителя на некоторое число и умно-
умножения знаменателя на то же число величина дроби не ме-
меняется.
272. Найти первые три цифры числа
0,1234 ... 5051
0,51504948... 321 '
75
273. Доказать, что при любых зндках чисел atj (каж-
(каждое из которых отлично от нуля) среди чисел
#13 #22^81» #12 ail #33» aUat3aSi
имеется хотя бы одно положительное и хотя бы одно отри-
отрицательное.
274. Найти три натуральных числа, из
попарных произведений которых можно
IX—X
классы
образовать арифметическую прогрессию.
§ 10. Разные задачи
классы
VH_X | 275. Доказать, что для любого целого
п число (У2 — 1)" представимо в виде
разности V т -\-\ — "f/m, где т — целое.
276. а) Будет ли дробь 0,1234567891011121314 ...,
которая получится, если выписать после нуля подряд все
целые числа, периодической?
б) Дано число, выраженное десятичной дробью
0,1000000001 ... (единицы стоят на первом, десятом, сотом,
тысячном, десятитысячном и т. д. местах после запятой;
остальные цифры — нули). Доказать:
1° что эта дробь — непериодическая;
2° что квадрат этого числа — тоже непериодическая
дробь.
277. Дана возрастающая последовательность целых
чисел:
Рассматриваются всевозможные дроби вида а!~У -,
где щ и uj — числа из данной последовательности и * > /.
Доказать, что произведение всех таких дробей — нату-
натуральное число.
278. Найти общий вид чисел х, обладающих тем свой-
свойством, что число —, записанное в виде десятичной дроби,
изображается начиная с первой значащей цифры теми же
цифрами и в том же порядке, что и х.
279. Целые числа 1 <«!<...< пк обладают тем свойст-
свойством, что если / < /, то десятичная запись числа л, не начи-
76
нается с десятичной записи числа п1 (например, если пг
равно 13, то rij не может равняться 135). Доказать, что
_L-L _L л-— + 4- — < 1 4- — 4- 4- —
280. Если -? правильная дробь, то она может быть
представлена в виде:
ь Я\ ЯхЯг
где glt g2, ..., qn — целые и положительные числа, причем
Яг < <7« < ... < Яп- Доказать.
281. а) Доказать, что для любого положительного числа
N можно найти такое натуральное число п; что
1 Н о I 5 Г ••• i ZT ^ ** •
л о п
6) Рассмотрим все целые числа, в' написании которых
не участвует цифра 9. Доказать, что сумма обратных вели-
величин любого количества таких чисел (без повторений) не
больше 28.
282. Доказать, что сумма
_ + _- + —4 ...+.—
ни при каком п не может быть целым числом.
IX—X
классы
283. Освободиться от иррациональности
в знаменателйх дробей:
а)
284. Все положительные рациональные числа являются
членами последовательности
1 _2_ j_ _г_ _2_ j_ j_ _з_
"Г* 1 ' 2 * 1 * 2 * з * 1 ' 2
в которой из двух чисел раньше идет то, у которого меньше
сумма числителя и знаменателя, а если суммы равны, — то,
у которого меньший знаменатель. На месте с каким номе-
номером стоит число—?
г я
77
285. Докажите, что если a, b, У а + Vb рациональны,
то У а и Уь тоже рациональны.
286. Доказать, что несократимая дробь -~ будет чистой
периодической тогда и только тогда, когда b взаимно про-
просто с 10.
287. а) Доказать, что число |^2 не может быть пред-
представлено в виде р + д У г, где р, д, г — рациональные
числа, г > 0. ._
б) Доказать, что выражение 1 -+- У% не может быть
представлено в виде суммы квадратов чисел вида а + б'/З,
где а и b — рациональные числа.
288. Найти все такие натуральные числа с, 6, с, что
289. Если среднее арифметическое п первых цифр числа
У 2 — 1 заключено между 4у и4 -у, то. это же верно
и для числа 2 — У~2. Доказать.
290. Доказать, что числоj/2f-f ]/ТГ иррационально.
291. Доказать, что если сумму простых дробей
п "•" п+1 "•" п + 2
(п — целое число) обратить в десятичную дробь, то полу-
полученная дробь будет смешанной периодической.
292. Всякое рациональное число — единственным об-
образом представляется в виде
-у - % •+¦ "гг -г зГ "т" - "Г" ~ЯР
где 0<л:А<& при ?>1. Доказать.
293. Доказать, что для любого числа а @<а<1) и
любого N найдутся такие целые т, п @<«, 0<m<n<iV),
что \ап — т\ < ~
294. Не существует такого т, чтобы сре-
среX
класс
ди чисел
было поровну четных и нечетных. Доказать.
78
295. Рассмотрим три числа:
п = С/1 -7- Lin ~г Сд 4" ... -г Сл
/- — Г2 _L_ Г5 _1_ Г8 _1_ _1_ Г13* + 2 J_
о — (_,n -j- 1_,д -j- ^я -)-,,.-j- |_,й -f ....
Доказать, что два из них равны между собой, а третье
отличается от них на единицу.
IX —X
классы
296. Доказать, что если
— 2дА „ _ л t 9
— ~~я—ZETfe—• — ^» А» '*• '
то я V п. h. п.-
ап + ]^аойо \а0 + V «о
(числа а0 и 60 положительны).
297. Доказать, что если
a? + fl2+ ... 4-сЙ = /Л 6? -t- fei -+-
%&! + «а^а ~Н ••• "+¦ апЬп
то
298. Пусть alt щ ап — положительные целые числа,
причем a1<a2<...<an<2/i. Докажите, что если наименьшее
общее кратное любых двух из этих чисел больше 2л, то
299. Доказать, что а14 + ^ — — 1, если
а2 + а + 1 =* 0.
300. Последовательность rlt г2, ... составлена по закону:
2
Представим rk в виде несократимой дроби —. Доказать,
что при всех k > 2 справедливы неравенства
79
301. Что больше: sin (cos*) или cos (sin*)?
302. Пусть а и b —два положительных числа, a<b.
Строим по этим числам две последовательности:
а0 = ау аг — Vaobo , а2 — V^ih , ... , дя = Va»~i &«-i I
и — h h — ао + ^» и — ai + &* h ~ап—г + ьп--\
и0 — и, i/j 2 > и% — 2 * "* ' я — ~" § *
Доказать, что
а<ах<аг< ... <ал < ... < 6Я < ... < fe8<&t <Ь
и что обе последовательности имеют один и тот же предел.
303. Даны несоизмеримые числа Хх и Ха. Доказать,
что как бы мы ни выбрали круг, лежащий внутри квадрата:
{| х\ < 1, |у \ < 1 \, найдется такое число /, что точка с ко-
координатами х = sin Хх t, у — sin l2t лежит в этом круге.
304. Доказать, что всякая функция f(x) может быть
представлена и притом однозначно в виде суммы четной
и нечетной функций.
305. Через точки прямой АВ проводятся пря-
прямые / под некоторым углом к этой прямой, причем
(ctgaAf — ctga^\<MN (где М и N — любые точки пря-
прямой АВ, ам и а# — углы наклона в этих точках). Доказать,
что все точки пересечения прямых удалены от прямой АВ
больше, чем на 1.
306. Известно, что
cosa + cos[J — a,
sin a + sin ? = b, аг + ЬгФ 0.
Найти cos (a +
307. Дано:
ax cos at -f tf8 cos a* + • ¦• + an
ax cos (ax -f 1) + at cos (at +1L-... + an cos (an + 1) = 0.
Доказать, что тогда при любом р имеет место равенство:
aj + р) + о9cos(aa + Р) + ... + artcos(art 4- Р) = 0.
a
О—
308. Вычислить cos-jy, не применяя таблиц
309. Если
х 4- У = и + v; х* + у* = и2 4- v",
то
хп 4- уп = ип + и".
Доказать.
80
310. Доказать, что при нечетном п из равенства
а + Ь + с
следует
ft" т с" — ап + Ъп + с"'
' 311. Доказать, что если z + — = 2 cos а, то гл + -д —
= 2 cos n а.
312. Пусть А, В и С — точки на комплексной плоскости,
изображающие комплексные числа а, р, ^ а, бис — по-
положительные числа, удовлетворяющие условию а + b +
+ с= 1. Доказать, что точка М, изображающая комплекс-
комплексное число са + Ь§ + су, лежит внутри треугольника ЛВС.
313. Найти непрерывную функцию f(x), обладающую
следующими свойствами:
314. Доказать, что cos аде + cos* — непериодическая
функция от х, если а иррационально.
315. Доказать, что функция-^Д^ является строго воз-
возрастающей при 0 < х < -у (т. е. что при возрастании х
значения этой функции увеличиваются).
316. sincp =-g-. Доказать, что sin 25 9 равняется не-
некоторой несократимой дроби ^-.
317. Найти сумму р-х степеней корней уравнения
х* — 1 = 0.
318. Доказать, что существуют такие действительные
So» ?1 •••' ?/»> что> каковы бы ни были действительные числа
аг, а2 апУ найдется такое k = 0,1, ...,гс, что неравенство
будет справедливо при всех действительных х.
319. Доказать, что при нечетном п величины
1 .2 . п — 1
arcsin —, arcsm™, ... , arcsm——
несоизмеримы с л.
81
Задачи на максимум и минимум
VII—X
классы
320. а) Доказать, что если сумма двух чи-
чисел постоянна, то их произведение принимает
наибольшее значение, когда сомножители
равны.
б) Доказать, что если произведение двух чисел постоян-
постоянно, то их сумма принимает наименьшее значение, когда
сомножители равны.
321. Найти наибольшее значение выражений;
ч Х
а) -Tj
б)
а -\-bx-
где a, b и с
IX-X
классы
сх2>
положительные числа.
322. Пусть и, v, w — положительные чис-
7
ла, не превышающие -^г, причем и + v +
-+- w — 1. Найти наибольшее и наимень-
наименьшее возможные значения выражения:
A + и)A + v){\ + ш).
323. Найти наименьшую величину выражения
324. Найти наибольшее значение выра-
выражения sin a sin p sin у при а + |) + т = «.
325. Найти наибольшую и наименьшую
величину выражений:
а) a cos х -f- b sin x;
б) a cos2 x -\-2b sin # cos д: + с sin2 я,
где a, b, с положительны.
326. Какое наибольшее значение может принимать \г\,
если известно, что комплексное число z удовлетворяет
условию \z-\ j — 1?
VII—X
классы
Б. ГЕОМЕТРИЯ
§ 1. Задачи на вычисление
1. Найти радиус окружности, касающейся
трех попарно касающихся (внешним обра-
образом) кругов, имеющих радиусы 1,2 и 3, и
заключающей эти круги внутри <;ебя.
32
VIII—X
классы
2. В прямоугольном треугольнике про-
проводится высота на гипотенузу. Из ее осно-
основания опускаются перпендикуляры на дру-
другие стороны. В получившихся треугольни-
треугольниках проделывается то же построение и т. д.— всего
1956 раз. В каждый из треугольников, на которые раз-
разбился исходный, вписывается круг. Найти сумму площа-
площадей этих кругов.
3. Дан треугольник ABC. Построим треугольник, сто-
стороны которого касаются вневписанных окружностей дан-
данного треугольника. Зная углы исходного треугольника,
найти углы построенного.,
4. BD — биссектриса треугольника АВСУ AD — а,
DC = Ь. Из середины отрезка BD восставлен перпенди-
перпендикуляр до пересечения в точке М с продолжением АС.
Вычислить отрезок MD.
5. Из вершины треугольника проведены высота, медиа-
медиана и биссектриса. Оказалось, что эти прямые разделили
угол при вершине на 4 равные части. Найти углы тре-
треугольника.
6. Диагонали описанного около окружности четырех-
четырехугольника равны 1 и взаимно перпендикулярны, а один
из углов равен 60°. Найти стороны.
7. В окружность вписан правильный
я-угольник PxPv..Pn. P — произвольная точ-
точка окружности. Найти РР\+ РР\+ ... Н- РР1.
8. Найти все прямоугольные треугольники, длины сто-
сторон которых составляют: а) арифметическую прогрессию,
б) геометрическую прогрессию.
9. В прямоугольном треугольнике биссектриса и ме-
медиана, проведенные из вершины прямого угла, разделили
противолежащую сторону на части, составляющие ариф-
арифметическую прогрессию. Найти отношение катетов этого
треугольника.
§ 2. Отыскание точечных множеств*
10. Найти множества: а) середин равных
хорд данной окружности, б) середин хорд,
проходящих через данную точку внутри
окружности.
VII—X
классы
*) Во всех задачах, где требуется найти множество точек, удов-
удовлетворяющих некоторому условию, имеется при этом в виду, что не-
необходимо найти множество всех таких точек.
83
11. Найти множество точек, из которых данный тре-
треугольник виден под данным углом.
12. На отрезке АВ выбирается произвольная точка М.
Квадраты AMDE и MBGH лежат по одну сторону от пря-
прямой АВ. Найти множество середин отрезков OOlt где О и
Ох — центры квадратов; доказать, что прямые АН и EG
пересекаются в точке N пересечения окружностей, описан-
описанных около квадратов; доказать, что всё прямые MN про-
проходят через одну точку.
13. Найти множество точек, а) сумма, б) разность
расстояний от которых до двух пересекающихся прямых
равна постоянной величине.
14. Даны два непараллельных отрезка АВ и CD. Найти
множество точек М, для которых сумма площадей тре-
треугольников МАВ и MCD равна данной величине.
15. Дан выпуклый четырехугольник ABCD. Найти
внутри него множество таких точек О, что площади четы-
четырехугольников OBCD и OBAD равны.
16. На плоскости заданы 2 точки. Най-
Найти множество точек, расстояния которых
VUI—X
классы
до заданных точек относятся как т : п.
17. Дан отрезок АВ. Доказать, что
множество точек X, для которых АХ — ВХ = I, не содер-
содержит отрезка прямой (/ Ф О, 1ф АВ).
18. Найти множество точек, разность квадратов рас-
расстояний которых от двух данных точек А и В постоянна.
19. Две прямые /х и /в равномерно и с одинаковой угло-
угловой скоростью вращаются вокруг точек Ох и Ot, лежащих
на них (соответственно). Найти множество точек их пере-
пересечения, если они вращаются в одну сторону,
20. Ог и О2 — данные окружности, AM и AN — каса-
касательные, проведенные к этим окружностям из точки А.
Найти множество точек Л, для которых AM = AN.
21. Прямой угол вращается вокруг своей вершины М,
лежащей внутри данной окружности с центром О. Найти
множество середин хорд, концами которых являются точки
пересечения сторон угла с окружностью.
22. Рассмотрим площадь^ треугольника, вершинами ко-
которого являются основания перпендикуляров, опущенных
из произвольной точки О данного треугольника ABC на
его стороны. Доказать, что множеством точек О, для ко-
которых эта площадь постоянна и равна о, являются окруж-
окружности, концентричные с окружностью, описанной около
84 • ¦ '
треугольника ABC (точнее, части этих окружностей,
лежащие внутри треугольника).
23. Дана окружность, касающаяся прямой / в точке Л.
Из точки М проведены касательные к этой окружности до
пересечения с / в точках В и С. Найти множество таких
точек М, что В А -*• С А — d, где d — отрезок заданной
длины.
24. Четыре точки: А, В, С и D лежат на одной прямой.
Найти множество точек касания двух касающихся окруж-
окружностей, проходящих: одна — через А я В, другая — через
С и D.
25. К окружности с центром О проведены из точки А
две касательные: АВ и Л С. В произвольной точке М окруж-
окружности проводим третью касательную; D и Е — точки ее
пересечения с прямыми А В и АС. Найти множество цен-
центров окружностей, описанных вокруг треугольников DOE,
26. Даны три точки А,В и С, лежащие на одной прямой.
Проведем окружности равных радиусов: через точки А
и В и через точки В и С. Эти две окружности имеют, кроме
В, еще одну общую точку М. Найти множество точек М.
27. Через точку касания А двух окружностей проведены
две взаимно перпендикулярные хорды: в одной окружно-
окружности — АВ, в другой — АС. Найти множество середин
гипотенуз треугольников ABC и множество оснований вы-
высот, опущенных на гипотенузу, если хорда АВ подвижна.
28. Найти множество точек в простран-
пространстве, равноудаленных от вершин данного
треугольника.
29. Найти множество точек, сумма^рас-
стояний которых до двух данных плоскостей равна k.
30. Вдоль двух скрещивающихся прямых откладывают
от данный точек Л и В отрезки А А' и ВВ' так, чтобы А А' —
— ВВ'. Найти множество середин отрезков А'В'.
31. Дана плоскость тг и точка М этой плоскости. Найти
множество таких точек N, что отношение расстояния от N
до 71 к расстоянию от /V до М равно заданному числу.
32. Трехгранный угол О пересекается плоскостью по
треугольнику ABC. Найти множество центров тяжести
треугольников ЛВС, если вершины Л и В закреп-
закреплены.
33. Найти множество центров сечений шара плоско-
плоскостями, проходящими через данную точку.
85
X класс
VIII—X
классы
§ 3. Задачи на доказательство
I. Прямые и многоугольники
34. Параллелограмм разбит на 4 части
прямыми, параллельными сторонам и про-
проходящими через точку на диагонали. До-
Доказать, что части разбиения, расположен-
расположенные по разные стороны от диагонали, равновелики.
35. Точка, лежащая внутри параллелограмма, соеди-
соединена со всеми его вершинами. Доказать, что суммы пло-
площадей противолежащих треугольников, на которые разби-
разбивается параллелограмм, равны.
36. Доказать, что при пересечении биссектрис внутрен-
внутренних углов параллелограмма получается прямоугольник,
диагонали которого равны разности смежных сторон парал-
параллелограмма.
37. В произвольный треугольник ABC вписан треуголь-
треугольник KLM (точки К, L, М лежат на сторонах АВ, ВС, АС
соответственно). Доказать, что площадь хотя бы одного
из треугольников KLB, LMC и КМ А не больше площади
треугольника KLM.
38. На сторонах АВ к ВС треугольника ABC во внеш-
внешнюю сторону построены квадраты ABFH и BCDK. Дока-
Доказать, что продолжение медианы BE треугольника ABC
является высотой в треугольнике BF/C.
39. Прямая, соединяющая основания высот AD и BE
треугольника ABC, перпендикулярна к радиусу ОС опи-
описанного круга (О — центр круга). Доказать.
40. Дан выпуклый четырехугольник. Доказать, что
у него существуют такие три соседние вершины А, В, С,
что у параллелограмма ABCD вершина D лежит внутри
четырехугольника или на его границе.
41. Доказать, что ограниченная фигура не может иметь
два центра симметрии.
42. Доказать, что у любого несамопересекающегося
(быть может, невыпуклого) л-угольника сумма внутренних
углов равна 2d (n — 2).
43. Внутри равностороннего треугольника ABC взята
точка М. Доказать, что сумма расстояний от точки М до
сторон треугольника не зависит от положения точки.
4 44. В равнобедренном треугольнике ABC на основании
В А взята точка УИ. Доказать, что сумма расстояний от
86
точки М до боковых сторон треугольника не зависит от
положения точки.
45. Дан правильный треугольник ABC и точка внутри
него; Mt Р и Q — проекции этой точки на высоты AD, BE
и CF соответственно. Доказать, что величина AM + ВР -\-
+ CQ не зависит от выбора точки.
46. Доказать, что во всяком треугольнике сумма трех
его медиан меньше периметра и больше полупериметра.
47. Доказать, что только в прямоугольном треуголь-
треугольнике середины высот лежат на одной прямой.
48. Доказать, что прямые, соединяющие основания вы-
высот треугольника, ограничивают новый треугольник, в ко-
котором эти высоты являются"биссектрисами.
49. Через точку пересечения биссектрис внутренних
углов при основании треугольника проведена прямая, па-
параллельная основанию. Доказать, что отрезок этой прямой,
заключенный между боковыми сторонами, равен сумме
отрезков боковых сторон, заключенных между этой прямой
и основанием.
50. Если середины сторон четырехугольника принять
за вершины нового, то получится параллелограмм. Дока-
Доказать. При каких условиях он будет прямоугольником?
Ромбом? Квадратом?
51. Доказать, что если в трапеции хотя бы одна диа-
диагональ в точке пересечения с другой делится пополам,
то эта трапеция — параллелограмм.
52. Доказать, что если отрезок, соединяющий середины
двух противоположных сторон четырехугольника, равен
полусумме двух других сторон, то этот четырехугольник —
трапеция.
53. На сторонах правильного треугольника АВ С построе-
построены во внешнюю сторону равные треугольники ADB, ВЕС,
CFA так, что AD = BE = CF, ZD = ?Е = Z/7>60°.
Доказать, что сумма расстояний от любой точки, взятой
внутри многоугольника ADBECF, до всех его сторон (или
до их продолжений) не зависит от положения точки.
54. На сторонах АВ, ВС и С А прямоугольного тре-
треугольника ABC {В — вершина прямого угла) построены
вне его квадраты, центры которых суть точки с, а, Ь (со-
(соответственно).
Доказать, что 1) Аа равно и перпендикулярно be, Cc рав-
равно и перпендикулярно ab, Bb равно и перпендикулярно ас,
2) отрезки А а, ВЬ, Сс пересекаются в одной точке.
87
55. Доказать, что треугольник равнобедренный, если
у него равны: а) две медианы, б) две высоты, в) две бис-
биссектрисы.
56. На сторонах произвольного треугольника, как на
основаниях, построены во внешнюю сторону равносторон-
равносторонние треугольники. Доказать, что их центры являются вер-
вершинами некоторого равностороннего треугольника.
57. Пусть ABCDE — выпуклый пятиугольник; CD, DE,
ЕА, АВ, ВС — стороны, противоположные вершинам А,
В, С, D и Е (соответственно); М — произвольная точка
внутри пятиугольника. Доказать, что из прямых MAt MB,
МС, MD и ME одна, три или пять (но не две и не че-
четыре) пересекают во внутренних точках стороны, противо-
противоположные вершинам, через которые они проходят.
58. В трапеции сумма углов при основании равна 90°.
Доказать, что отрезок, соединяющий середины оснований,
равен их полуразности.
59. На стороне Л В выпуклого четырехугольника ABCD
взяты произвольно точки Мх, М2, ..., Мп; на стороне ВС —
точки Nlt jV2, ..., Nn\ на стороне CD — точки Pv Р2, .... Рп
и на стороне DA —точки Qv Q2,..., Qn. Ни одна из взятых
точек не совпадает ни с какой вершиной четырехуголь-
четырехугольника ABCD. Доказать, что найдется точка' /С, лежащая
внутри всех четырехугольников MlN1P1Qv M2iVaPeQ2, ...,
MnNnPnQn.
60. Даны три равных приложенных друг к другу квад-
квадрата: ABCD, DCEF, FEPQ. Доказать, что
ZCAD -f- ZEAF + ZPAQ = 90°.
61. Доказать, что если около треугольника описать
окружность и из произвольной ее точки опустить перпен-
перпендикуляры на стороны треугольника или на их продолжения,
то основания этих перпендикуляров будут лежать на одной
прямой («прямая Симпсона»),
62. Внутри квадрата ABCD расположен квадрат
A'B'C'D'. Доказать, что середины отрезков АА', ВВ\
СС, DD' являются вершинами квадрата.
63. Дан треугольник ABC. С центром в точке А про-
проводим окружность, касающуюся ВС в точке D. Из точек
В я С проводим касательные к этой окружности: ВР, CQ
(точки Р и Q — точки касания). Прямая PQ пересекает
АВ и АС в точках В' и С. Доказать, что В'иС — осно-
основания высот треугольника ABC.
64. Выпуклый четырехугольник с площадью, большей
-5~, заключен в квадрат со стороной 1. Доказать, что най-
дется отрезок с концами на границе четырехугольника,
параллельный данной стороне квадрата и длины больше -к-
65. В круг радиуса г вписан остроугольный треуголь-
треугольник. Доказать, что его периметр не меньше, чем 4г.
66. Окружность О, вписанная в треугольник ABC,
касается стороны ВС в точке D. Перпендикуляр, восста-
восставленный в точке D к стороне ВС, пересекает окружность
в точке М. Прямая AM пересекает сторону ВС в точке Е.
Доказать, что DE = | АВ — АС\ . /
67. Дан выпуклый многоугольник и внутри него —
произвольная точка. Из этой точки опущены перпендику-
перпендикуляры на все стороны многоугольника. Доказать, что осно-
основание по крайней мере одного из этих перпендикуляров
лежит на самой соответствующей стороне, а не на ее про-
продолжении.
68. Доказать, что в многоугольнике, все углы кото-
которого равны, сумма перпендикуляров, опущенных из любой
внутренней точки О на стороны многоугольника или на
их продолжения, одна и та же для всех точек О.
69. Пусть О — точка, лежащая внутри треугольника
ABC. Доказать, что тогда по крайней мере один из углов
ОАВ} ОВС, ОСА не больше 30°.
70. Доказать, что не существует треугольника со сто-
сторонами длины 3, 4, 4 и медианой на одну из больших сто-
сторон длины 3.
71. Дан треугольник с такими сторонами а, Ь, с, что
а2 -Ь Ь2 = 5 с3. Доказать, что медианы к сторонам а и Ь
взаимно перпендикулярны.
72. Доказать, что если выпуклый четырехугольник
имеет ось симметрии, то либо около него можно описать
окружность, либо в него можно вписать окружность.
73. Доказать, что прямая, соединяющая середины диа-
диагоналей четырехугольника, описанного около круга, про-
проходит через центр этого круга.
74. Доказать, что если при пересечении сторон четырех-
четырехугольника с окружностью образуются четыре равные хор-
хорды, то суммы противоположных сторон четырехугольника
равны.
89
IX—X
классы
75. Дан треугольник ЛВС. На его сторо-
сторонах во внешнюю сторону построены подоб-
подобные между собой треугольники: АСХВ,
ВАХС, СВгА, причем так, что /.АСХВ =
СВА и ZCXAB = Z.AyBC = ВСА
BC
X г X y г
Доказать, что центры тяжести треугольников ABC и А1В1С1
совпадают.
76. На плоскости даны 4 точки А, В, С, D, являющиеся
вершинами выпуклого четырехугольника. Доказать, что
точки пересечения медиан треугольников ABC, ABD,
ACD, BCD являются вершинами.четырехугольника, подоб-
подобного данному. ,
77. На плоскости дан правильный я-угольник А1А^...Ап
и некоторая точка В. Доказать, что из отрезков AJi,
А^В, ..., АпВ всегда можно сложить какой-нибудь п-уголь-
ник.
78. Если в выпуклом четырехугольнике суммы проти-
противоположных сторон равны, то в него можно вписать окруж-
окружность. Доказать.
79. Доказать, что если существует многоугольник, сто-
сторонами которого являются данные отрезки а, Ь, с, ..., q,
то существует многоугольник с теми же сторонами, вокруг
которого можно описать окружность.
80. а) Дан четырехугольник ABCD, описанный около
окружности. Ах — центр окружности, описанной около
треугольника BCD, Вх — центр окружности, описанной
около треугольника ACD, Сх — центр окружности, опи-
описанной около треугольника ABD, ylDx — центр окружности,
описанной около треугольника ABC. Доказать, что четы-
четырехугольник AJiyCiDy^ описан около некоторой окружности,
б) Вне четырехугольника построены 4 вневписанных
окружности с центрами-Oj, О2, О3, 04. Доказать, что около
четырехугольника O^O^Oj)^ можно описать окружность.
(Окружность называется вневписанной, если она касается
одной стороны и продолжения двух соседних с ней сто-
сторон.)
81. а) На сторонах выпуклого четырехугольника во
внешнюю сторону строятся квадраты. Доказать, что их
центры суть вершины четырехугольника с равными и пер-
перпендикулярными диагоналями.
б) На сторонах выпуклого четырехугольника ABCD,
как на основаниях, лостроены во внешнюю сторону квад-
квадраты, центры которых обозначены через М, N, P, Q.
90
Доказать, что середины диагоналей четырехугольников
MNPQ и ABCD образуют квадрат.
82. На сторонах квадрата ABCD взяты четыре такие
точки М, N, P, Q (М на АВ, N на ВС, Р на CD, Q на DA),
что AM = BN = СР = DQ. Доказать, что, круг, центр
которого находится в точке пересечения диагоналей квад-
квадрата ABCD, а диаметр равен половине диагонали этого
квадрата, целиком расположен в квадрате MNPQ.
83. Дана окружность радиуса 1 и несколько точек на
плоскости: А±, Ait ..., Ап. Доказать, что на окружности
найдется такая точка М, что МАг + ... + МАп > 1. ¦
84. Если а, Ь, с — стороны треугольника, то
(а + Ь-с) (а-Ь + с) (-а + Ъ + с) .
Доказать.
85. В остроугольном треугольнике ABC проведены вы-
высоты AD, BE, CF и точки Е, D, F соединены. Доказать,
что
р __ г
Р ~ R '
где р — периметр треугольника EDF, Р — периметр тре-
треугольника ABC, r — радиус окружности, вписанной в тре-
треугольник ABC, R — радиус описанной около треуголь-
треугольника ABC окружности.
86. Во всяком прямоугольном треугольнике имеет ме-
место неравенство:
0,4 < ~ < ОД
где г — радиус вписанной окружности, a h — высота, опу-"
щенная на гипотенузу. Доказать.
87. Дан остроугольный треугольник ABC. Обозначим
через рх, ра> р8 расстояния от центра описанной окруж-
окружности данного треугольника до его сторон. Через г и R
обозначим (соответственно) радиусы вписанной и описан-
описанной окружностей. Доказать, что всегда справедлива фор-
формула
Pi 4- н + Рз = г + R-
88. Обозначим через О окружность, описанную около
некоторого треугольника Т, а через О' — его вписанную
окружность. Треугольник Т' вписан в окружность О так,
что две его стороны касаются окружности Ог. Доказать,
что его третья сторона также касается окружности О'.
91.
89. Если около четырехугольника со сторонами а, Ь,
с, d можно описать окружность и можно также вписать
в него окружность, то площадь четырехугольника равна
S == У abed. Доказать.
90. Прямая I пересекает стороны АВ и AD параллело-
параллелограмма ABCD соответственно в точках Е и F. Пусть G —
точка пересечения прямой / с диагональю АС, Доказать, что
АВ АР _ АС
АЕ + AF ~ AG '
91. Доказать, что в треугольнике биссектриса делит
пополам угод между высотой и радиусом описанного круга,
проведенным в ту же вершину.
92. Сумма квадратов расстояний от вершин правильного
/z-угольника до любой прямой, проходящей через его центр,
не зависит от выбора прямой. Доказать.
93. Доказать, что в любом треугольнике:
а) основания медиан, высот и середины отрезков высот
от вершин до ортоцентра (точки пересечения высот) лежат
на одной окружности (эта окружность называется окруж-
окружностью девяти точек);
б) радиус окружности девяти точек равен половине
радиуса описанной окружности;
в) окружность девяти точек касается вписанной и трех
вневписанных окружностей.
94. Дана окружность, на ней точки А±, Аъ, ..., Ап, М.
Через av a2, ..., ап обозначим расстояния от М до сторон
A^A%J А^А3, ..., AnAv Пусть Вх В2 ... Вп — описанный
около окружности я-угольник, стороны которого касаются
окружности в точках Alt А2, ..., Ап\ bv b2, ..., bn — рас-
расстояния от точки М до сторон этого многоугольника. До-
Доказать, что ах • at • ... • ап — Ьг ¦ &а • ... ¦ Ьп.
95. Для любой точки О, лежащей внутри правильного
/г-угольника, найдутся такие две его вершины А и В, что
180° • (l — 4~) < L АОВ < 180р.
Доказать.
96. Доказать, что основания биссектрис
внешних углов треугольника лежат на од-
X
класс
ной прямой.
97. Стороны треугольника юбразуют ариф-
арифметическую прогрессию. Доказать, что радиус вписанной
окружности равен -^- одной из высот.
92
Определение. Говорят, что два треугольника
ABC и ^iSjCj имеют центр перепек т и в ы, если
AAliBB1n CQ пересекаются в одной точке, и ось пер-
перспективы, если точки пересечения продолжений сто-
сторон АВ и AjBp ВС и BjCi, AC и АХСХ лежат на одной
прямой.
98. а) Доказать, что если два треугольника имеют центр
перспективы, то они имеют ось перспективы.
б) Доказать, что если два треугольника имеют ось
перспективы, то они имеют центр перспективы.
§ 4. Задачи на доказательство
П. Окружности
99. В круге диаметра d проведены две
взаимно перпендикулярные хорды АВ и CD.
VIII—X
классы
Доказать, что АС2 + BD2 =
100. В окружность вписан правильный
треугольник ABC. Дуги АВ и ВС разделены пополам
точками Е и D, Доказать, что отрезок ED делится сторо-
сторонами треугольника на три равные части.
101. Пусть М — середина дуги АВ в данной окружно-
окружности, МС—произвольная хорда, пересекающая отрезок
АВ в точке D. Построим окружность, касающуюся хорды
АВ в точке D и проходящую через точку С. Доказать, что
эта окружность касается данной и перпендикулярна окруж-
окружности с центром в точке М радиуса МА (см. задачу 176).
102. Дана окружность О и точки Р и Q вне ее. Прове-
Проведем через точку Р секущую РАВ и построим окружность,
проходящую через точки А, В и Q. Доказать, что все такие
окружности проходят, кроме Q, еще через одну точку.
103. Из произвольной точки круглого биллиарда пущен
шар. Доказать, что внутри биллиарда найдется такая
окружность, что траектория шара ни разу ее не пересечет.
(Примечание: шар отражается от стенки биллиарда так, что угол
падения равен углу отражения, где углами падения и отражения на-
называются острые углы, образованные траекторией шара с радиусом,.
проведенным из центра биллиарда в точку отражения.)
104. В заданном круге проведены две параллельные,
но неравные по длине хорды АА' и ВВ'. Пусть С — точка
пересечения прямых АВ а А'В', a D ~~ точка пересечения
93
касательных к окружности, проведенных из точек А и А'.
Доказать, что CD±AAr.
105. Три данные окружности Ох, Оа и О3 попарно пересе-
пересекаются: Qx и О2 в точках Л и В, О2 и 03 — в точках С и D и,
наконец, О3 и Ох — в точках Е и F. Доказать, что прямые
АВ, CD и EF пересекаются в одной точке.
106. В данной окружности проведены два радиуса ОА
и ОС, образующие острый угол (</ СО А <90°). На радиусе
ОА, как на диаметре, построена новая окружность, кото-
которая пересекает отрезок ОС в точке В. Доказать, что длины
дуг АВ и АС равны.
107. Дана окружность с центром в точке О и две ка-
касательные /х и /2 к ней. Проводится произвольная третья
касательная 13, которая пересекает прямые 1Х и /2 в точках
А я В. Доказать, что величина угла АОВ не зависит от
выбора касательной 13.
108. К двум окружностям О± и О2 проведены общие
внешние касательные АВ и CD (точки А я С — на окруж-
окружности Ох, точки В и О — да окружности О2) и общая внут-
внутренняя касательная MNt пересекающая прямые АВ и CD
в точках Р и Q. Доказать, что МР = NQ. .
109. Дана окружность, в ней хорда с серединой в точке
М и точки А я В, лежащие на окружности по одну сторону
от хорды. Прямые AM и ВМ пересекают окружность в
точках С я D. Доказать, что прямые AD и ВС отсекают на
данной хорде отрезок NP с серединой в точке М.
ПО. В окружности с центром О проведены два перпен-
перпендикулярных диаметра АВ я CD. Вне окружности взята
произвольная точка М. Из этой точки к окружности про-
проведены касательные МР и MQ. Прямые МР, MA, MB, MQ
пересекают прямую CD в точках ?, F, К, Н (соответственно).
Доказать, что EF = НК,-
111. Четыре пересекающиеся прямые образуют четыре
треугольника. Доказать, что все четыре окружности, опи-
описанные около них, пересекаются в одной точке.
112. А1В1 я А2В% — диаметры окружности Q и хорды
окружностей С2 и С3 соответственно. С2 и С, делят круг
Q на четыре криволинейных треугольника. Доказать, что
сумма углов каждого из них больше 180° (см. задачу 176).
113. Дуги трех окружностей образуют криволинейный
треугольник, сумма углов которого равна 2d. Доказать,
что эти окружности пересекаются в одной точке (см. за-
задачу 176J.
94
114. Даны две окружности радиуса г = 1, причем рас-
расстояние между их центрами также равно 1. На первой окруж-
окружности выбрана точка Л, на второй окружности — точки
Bv В2, симметричные относительно линии центров. Дока-
Доказать, что
§ 5. Задачи на построение
I. Многоугольники; построения
с ограниченными возможностями
115. Дан угол и точка М внутри него.
Провести через М прямую так, чтобы отре-
отрезок, отсекаемый на ней сторонами угла, де-
классы
лился в точке М пополам.
116. На необитаемом острове пират зарыл клад, руко-
руководствуясь следующими построениями. Пусть А, В —два
камня, С1} С2, С3 — три пальмы. Построим точку Ах так>
АгСх = ACV /iAC1A1 = 90°, и точку Bt так: ВхСг = ВСг>
/ ВС& - 90°.
Построим точку пересечения отрезков АХВ и АВХ и
обозначим ее Pv i ¦
Точки' Р2 и Р3 строятся так же, как Pv только с исполь-
использованием соответственно пальм С2 и С3. В центре окруж-
окружности, проведенной через Pv Р2 и Р3 и был зарыт клад.
Когда пират вернулся на остров, пальмы снесло штормом.
Но все же он сумел найти клад. Как?
117. Построить пятиугольник по серединам его сторон.
118. В данном выпуклом четырехугольнике ABCD найти
такую точку О, что площади треугольников ОАВ, ОВС,
0CD и ODA равны.
119. У борта прямоугольного биллиарда стоит шар.
Построить направление, по которому надо его толкнуть,
чтобы он, отразившись от трех бортов, попал в началь-
начальную точку.
120. Стороны АВ и ВС треугольника ABC пересечь
прямой так, чтобы точки пересечения D и Е (соответствен-
(соответственно) удовлетворяли условию BD = DE = ЕС.
121. Построить треугольник по центру
тяжести и серединам двух его средних линий.
95
VIII—X
классы
122. Построить равносторонний треугольник с верши-
вершиной в данной точке, две другие вершины которого лежат
соответственно на двух данных окружностях.
123. Построить треугольник по двум сторонам, если
угол против большей стороны втрое больше угла против
меньшей.
124. Построить треугольник по центру тяжести, центру
описанного круга и одной из вершин.
125. Построить равнобедренный треугольник по высоте
и медиане, проведенным к боковой стороне.
126. Построить треугольник по центрам вневписанных
окружностей.
127. Построить треугольник по точкам пересечения
его высот с описанной окружностью.
128. Построить треугольник по центрам вписанного,
описанного и вневписанного кругов.
129. Даны три прямые lv lt, lit пересекающиеся в
точке Л, и точка В на прямой lv Построить такой тре-
треугольник с вершиной в точке В, чтобы данные прямые
являлись для него:
а) высотами,
б) медианами,
в) биссектрисами.
130. В треугольнике ABC обозначим: через а, Ь, с
стороны, противолежащие углам А, В, С (соответствен-
(соответственно), через hat hb, hc и ^й, pb, ^ — высоты и медианы (со-
(соответственно) этих сторон, через {3^ §ь, $с — биссектрисы
углов А, В, С (соответственно).
Построить треугольник по следующим данным:
а) a, b + с, А; е) а, Ь — с, В; л) \ia, ^, С;
б) a, b -f- с, В; ж) а, b — с, В -f С; м) а, Ь, рс;
в) а, Ь + с, 5 + С; з) а, Ь — с, В — С\ н) а, ц„ ^;.
г) а, Ь + с, В — С; и) Ля> ра, ра\ о) а, Ь, цв;
д) а, Ь — с, А; к) а, Ь, р,; п) уа, {**, iv
131. Провести на плоскости прямую так, чтобы она
отстояла на равных расстояниях от трех заданных точек.
132. Через данную точку, лежащую в плоскости тре-
треугольника, провести прямую, делящую его площадь по-
пополам.
133. Разрезать треугольник прямой линией на 2 части,
равные по периметру и по площади.
96
134. Построить четырехугольник по двум сторонам,
сходящимся в одной вершине, и двум углам, прилежащим
к ним, так, чтобы в него можно было вписать окружность.
135. Построить четырехугольник по диагоналям, углу а
между ними и
. а) двум сторонам,
б) двум углам,
в) стороне и углу.
136. Построить четырехугольник ABCD по четырем
сторонам, если известно, что диагональ АС делит угол
DAB пополам.
137. Построить трапецию по двум диагоналям и двум
боковым сторонам.
138. Заданы прямые lv lt,...t ln, перпендикулярные к
сторонам многоугольника и проходящие через их середи-
середины. Построить многоугольник.
139. Пересечь трапецию прямой, параллельной осно-
основаниям так, чтобы ее отрезок внутри трапеции делился
диагоналями на три равные части.
140. Дан выпуклый многоугольник. Построить другой
с тем же периметром, но большей площади.
141. Дан угол M0N и точки А и В. Найти на стороне
ОМ такую точку X, чтобы треугольник XYZ, где Y и
Z — точки пересечения прямых ХА и ХВ с ON, был рав-
равнобедренным. (XY = XZ)
142. Построить квадрат, если дана его вершина и две
точки, лежащие на сторонах, не проходящих через эту
вершину, или на их продолжениях.
143. Два маяка А ц В видны с корабля под заданным
углом а. Когда корабль прошел по заданному направлению
данное расстояние, те же маяки стали видны под другим
углом р. Зная положение маяков А и В, найти начальное
положение корабля.
144. Вписать в остроугольный тре-
треугольник ABC треугольник, стороны ко-
которого были бы перпендикулярны сторо-
сторонам данного. Доказать, что искомых
треугольников два и что шесть вершин их лежат на одной
окружности.
145. а) Построить прямоугольник с данной стороной
так, чтобы две его вершины лежали на данной прямой,
а две другие — на данной окружности. Найти все способы
построения.
4 Зак. 387 . 97
IX—X
классы
б) Построить квадрат так, чтобы две его вершины ле-
лежали на данной прямой, а две другие — на данной окруж-
окружности.
146, Дана прямая CD и две точки А и Б, не лежащие
на ней. Найти на прямой такую точку М, что 2/.АМС —
BMD
147. Вписать квадрат в данный сегмент так, чтобы одна
его сторона лежала на хорде.
148. В. данный треугольник вписать прямоугольник
с диагональю данной длины.
149. Вписать в сегмент правильный треугольник так,
чтобы одна из сторон была перпендикулярна основанию
сегмента.
150. Около равностороннего треугольника описать
квадрат так, чтобы обе фигуры имели общую вер-
вершину.
151. Даны три луча, выходящие из одной точки. Про-
Провести такую прямую, проходящую через заданную точку,
чтобы отрезки, отсекаемые на ней лучами, относились,
как 2 : 3.
152. Даны четыре точки. Провести через них четыре
прямые так, чтобы они образовали четырехугольник, по-
подобный данному.
153. Вокруг данной окружности описать треугольник
ABC с данной стороной АВ и данным углом В так, чтобы
вершина А лежала на данной прямой.
154. Вписать в данный параллелограмм треугольник,
подобный данному (на каждой стороне параллелограмма
должна находиться хотя бы одна вершина треугольника).
Сколькими способами это можно сделать?
155. Даны три прямые, не пересекающиеся в одной
точке. Построить треугольник, для которого эти пря-
прямые являются биссектрисами внешних углов. При каком
расположении заданных прямых задача имеет реше-
решение?
156. Вписать в данную окружность n-угольник, сто-
стороны которого проходили бы через п данных точек.
157. Восстановить я-угольник по центрам правильных
р-угольников, построенных на его сторонах. Исследовать
возможность и единственность такого восстановления.
158. В треугольник вписать две касающиеся друг
друга окружности равного радиуса так, чтобы каждая из
них касалась двух сторон треугольника.
X
класс
159. В плоскости даны три прямые, пере-
пересекающиеся в одной точке, и три точки.
Построить треугольник, вершины которого
лежали бы на данных прямых, а стороны
проходили бы через данные точки.
Построения ^ограниченными
возможностями
160. Построить биссектрису угла, вер-
VII —X
классы
VIII — X
классы
шина которого недоступна.
161. Построить медиану треугольника,
вершина которого недоступна.
162. Разделить циркулем и линейкой угол в 54° на три
равные части.
163. Удвоить и разделить пополам отрезок при помощи
одного циркуля.
164. Пользуясь одним циркулем, разде-
разделить данный отрезок на п равных частей.
165. Даны две параллельные прямые.
С помощью односторонней линейки провести
через данную точку прямую, параллельную этим прямым.
166. .Пользуясь только двусторонней линейкой:
а) разделить угол пополам,
б) восставить перпендикуляр к данной прямой,
в) опустить из данной точки перпендикуляр на данную
прямую.
167. Пользуясь двусторонней линейкой, разделить
данный отрезок:
а) на две части,
б) на п частей.
(Длина отрезка больше ширины линейки.)
168. Дан круг и,его центр. С помощью линейки раз-
разделить данный отрезок пополам.
169. Через данную точку М провести прямую в недо-
недоступную точку пересечения двух данных прямых с помощью
одной линейки.
170. Даны окружность и точка, не лежащая на ней.
Опустить перпендикуляр из этой точки на диаметр или его
продолжение с помощью одной линейки.
99
VIII — X
классы
§ 6. Задачи на построение
II. Окружности
171. Построить три попарно касающиеся
друг друга окружности с центрами в трех
данных точках.
172. Через точку внутри круга провести
хорду так, чтобы она разделилась в этой точке в данном
отношении.
173. На дуге А В данной окружности найти такую
точку М, чтобы отношение отрезков AM : ВМ было за-
заданным.
174. Из точки, взятой вне данного круга, провести
секущую, внешняя часть которой равнялась бы внутрен-
внутренней. Когда решение возможно?
175. В круге проведены два радиуса. Как провести
хорду, чтобы она делилась этими радиусами на три равные
части?
176. Даны прямая I, точка М на ней, окружность О
и угол а. Построить окружность, касающуюся прямой /
в точке М и пересекающую окружность О под углом, рав-
равным а. (Углом, под которым пересекаются две окружности,
называется угол между касательными к ним в точке пере-
пересечения.)
177. Вписать в данный треугольник три окружности,
каждая из которых касалась бы двух сторон треугольника
и двух других окружностей.
178. Даны две пересекающиеся окружности. Через
точку их пересечения провести прямую так, чтобы образо-
образовавшиеся хорды:
а) были равны,
б) имели данную сумму,
в) имели данную разность.
179. На плоскости даны: угол ABC, произвольная пря-
прямая / и точка О. Обозначим через X wY точки пересечения
окружности с центром в точке О со сторонами АВ и ВС
угла ABC (соответственно). Построить такую окружность
с центром в точке О, чтобы прямые XY и / были параллельны.
180. Дан треугольник ABC. Найти такую точку X,
чтобы существовала окружность, вписанная в четырехуголь-
четырехугольник АВСХ, и окружность, описанная около него.
181. Даны три концентрические окружности. Прове-
Провести секущую так, чтобы ее отрезки, заключенные между
100
X
класс
двумя большими окружностями, были равны отрезкам,
заключенным между средней и меньшей окружно-
окружностями.
182. Построить окружность, проходящую через данную
точку и касающуюся двух данных прямых.
183. Построить окружность, касающуюся данной окруж-
окружности и двух данных прямых.
184. Построить окружность, касательную к трем дан-
данным окружностям (задача Аполлония).
§ 7. Прямые и плоскости в пространстве
185. Если несколько прямых в про-
пространстве обладают тем свойством, что
любые две из них пересекаются, то или
все они проходят через одну точку, или
же все лежат в одной плоскости. Доказать.
186. В пространстве даны точки А, В, С, D, причем
АВ х CD, AC I BD.
Доказать, что ADi.BC.
187. Даны три скрещивающиеся прямые. Для каждых
двух из них построим общий перпендикуляр. Для каждых
двух из полученных прямых снова построим общий пер-
перпендикуляр. Доказать, что последние три прямые совпа-
совпадают с исходными.
188. Доказать, что если луч образует равные углы
с тремя непараллельными лучами, лежащими в одной
плоскости, то он перпендикулярен этой плоскости.
189. В пространстве взяты четыре точки A, B,C,D. Вер-
Верно ли, что если проекции четырехугольника ABCD на две
не параллельные между собой плоскости являются паралле-
параллелограммами, то этот четырехугольник и сам является па-
параллелограммом?
190. Сколько имеется плоскостей, равноудаленных от
четырех точек, не лежащих в одной плоскости?
191. Доказать, что сумма углов пространственного че-
четырехугольника меньше 360°.
192. Луч света отражается от трех взаимно перпенди-
перпендикулярных плоских зеркал по закону: угол падения равен
углу отражения. Доказать, что в результате его направле-
направление изменится на противоположное.
101
193. Найти все прямые в пространстве, проходящие
через данную точку М на данном расстоянии d от данной
прямой.
194. Построить отрезок, имеющий Данную длину, па-
параллельный данной плоскости, с концами на двух данных
скрещивающихся прямых.
195. Ортогональные проекции пространственной линии
на две пересекающиеся плоскости являются прямыми ли-
линиями. Можно ли утверждать, что данная линия — пря-
прямая?
196. Доказать, что если у выпуклого трехгранного
угла все двугранные углы острые, то и все плоские углы
острые.
197. Дан двугранный угол и прямая, проходящая через
его ребро. Провести через нее плоскость тс так, чтобы эта
прямая была биссектрисой угла, полученного при сечении
данного двугранного угла плоскостью тс.
198. Замкнутая пространственная ломаная составлена
из соединенных шарнирно звеньев, длину которых можно
изменять*. Если ломаную нельзя так продсформировать,
чтобы она превратилась в несамопересекающийся плоский
многоугольник, то она называется заузленной.
Какое наименьшее число звеньев может иметь заузлен-
ная ломаная?
199. Пространственным правильным л-угольником на-
называется замкнутая ломаная линия в пространстве, состоя-
состоящая из п равных звеньев, и такая, что углы между сосед-
соседними звеньями равны между собой. Доказать, что
а) все вершины правильного пространственного пяти-
пятиугольника лежат в одной плоскости,
б) при п > 2 существует правильный пространствен-
пространственный 2л-угольник, не лежащий в одной плоскости,
в) при п > 4 существует правильный пространствен-
пространственный Bл — 1)-угольник, не лежащий в одной плоскости.
200. Построить пространственный шестиугольник, у ко-
которого все диагонали равны.
201. Доказать, что не существует такого пространствен-
пространственного восьмиугольника, у которого все диагонали равны.
*) При этом запрещается изменять количество звеньев ломаной
(что можно было бы сделать, изменив длину какого-нибудь звена до
нуля),
102
X
класс
§ 8. Многогранники
202. Существует ли многогранник, все се-
сечения которого — треугольники?
203. Какое наибольшее число сторон мо-
может иметь многоугольник, получающийся
в сечении октаэдра плоскостью?
204. Какие правильные многоугольники могут полу-
получаться при пересечении куба плоскостью?
205. Не существует выпуклого многогранника, имею-
имеющего 7 ребер. Доказать.
206. Доказать, что для любого ?>7 существует много-
многогранник, имеющий k ребер.
207. Доказать, что если все диагонали параллелепи-
параллелепипеда равны, то он прямоугольный.
208. Доказать, что не существует многогранника, у ко-
которого каждая грань имеет более пяти сторон.
209. Доказать, что сумма плоских углов выпуклого
многогранника равна Ы (п — 2), где п — число его вершин.
210. Шесть биссекторных плоскостей треугольной пи-
пирамиды пересекаются в одной точке. Доказать. (Биссектор-
ной плоскостью называется плоскость, делящая двугран-
двугранный угол пополам.)
211. Дан шестигранник, все грани которого — четы-
четырехугольники, а все трехгранные углы равны или симме-
симметричны данному трехгранному углу. Доказать, что этот
шестигранник — прямоугольный параллелепипед.
212. Найти расстояние между двумя скрещивающимися
ребрами правильного тетраэдра с ребром 1.
213. Все ребра одной пирамиды соответственно меньше
ребер другой. Можно ли утверждать, что объем первой
из них тоже меньше объема второй?
214. Доказать, что периметры фигур, получающихся
при пересечении правильного тетраэдра плоскостями,
параллельными двум противоположным ребрам тетраэдра,
равны между собой.
215. Доказать, что площадь всякого треугольника,
получающегося при пересечении произвольного тетраэдра
плоскостью, будет меньше площади по крайней мере одной
из граней тетраэдра.
216. Доказать, что всякая плоскость, проходящая че-
через середины двух противоположных ребер тетраэдра,
делит этот тетраэдр на две равновеликие части.
юз
217. Данный выпуклый четырехгранный угол пере-
пересечь плоскостью так, чтобы в сечении получился паралле-
параллелограмм.
218. Доказать «пространственную теорему Пифагора»:
в прямоугольном параллелепипеде ABCDA'B'C'D' квад-
квадрат площади сечения A'BD в 8 раз меньше суммы квад-
квадратов площадей граней.
219. Доказать, что сумма квадратов расстояний от
вершин куба до любой прямой, проходящей через его центр,
не зависит от выбора прямой.
220. Имеются две концентрические окружности. Во-
Вокруг меньшей из них описан многоугольник АхАг ... Ап>
целиком находящийся внутри большей окружности. Из
общего центра на каждую из сторон АХА^ .... АпАг опу-
опускаем перпендикуляры и продолжаем их до пересечения
с большей окружностью в точках Вг, Въ, ,.., Вп. Соединяем
точку Вг с Ах и Аг, Вг — с А% и Аг и т. д., Вп — с Ап и Av
При каких условиях многоугольник АгВхАф% ... АпВп
является разверткой пирамиды с основанием АгА% ... Ап7
221. В тетраэдре О ABC все плоские углы при вершине
О прямые, О А = а, ОВ = Ь, ОС = а + Ь. Доказать, что
сумма плоских углов при вершине С равна 90°.
222. Объем правильной треугольной пирамиды с бо-
боковым ребром длины 1 равен -^-. Найти плоский угол
при вершине пирамиды.
223. Существует ли многогранник, все грани которого
являются параллелограммами и попарно параллельны,
но который, однако, не является призмой?
224. Даны три параллелепипеда. Провести плоскость
так, чтобы она разделила каждый параллелепипед на две
равновеликие части. В каком случае задача имеет неогра-
неограниченное число решений?
225. Доказать, что для объема треугольной пирамиды
справедлива формула
V — а^ V^sin p • sin (p ~~ a) sin (р — Р) sin (p —
где а, Ь, с—длины боковых ребер, а, р, -у— величины
углов между ними, 2р = а + Р + Т-
226. Пусть а, р, т — плоские углы трехгранного угла,
Доказать, что справедливо неравенство сф +Ру -f- -j-a < -тг^2*
104
227. Доказать, что каждый тетраэдр можно пересечь
ровно тремя плоскостями так, чтобы в пересечении каждой
из них с тетраэдром получился ромб. Доказать также,
что
а) если получившиеся три ромба подобны, то у тет-
тетраэдра все грани равны;
б) если эти ромбы суть квадраты, то тетраэдр — пра-
правильный.
228. Две треугольные пирамиды равны или симметрич-
симметричны, если их соответствующие ребра равны. Доказать.
229. Дан тетраэдр ABCQ. На его ребрах АВ, АС и AD
отмечаются такие точки М, Р, Q, что АВ = пАМ, АС =
= (п + 1) АР, AD = (п + 2) AQ. Плоскость, проведен-
проведенная через М, Р, Q, обозначается Рп. Доказать, что все
плоскости Pv P3, ..., Ра проходят через одну прямую.
230. Дан трехгранный угол Q. Найти необходимое и до-
достаточное условие для того, чтобы его можно было так раз-
разрезать плоскостью, что из полученных кусков снова можно
сложить угол Q, приложив их другим способом. (Секу-
(Секущая плоскость пересекает угол Q по треугольнику.)
231. Доказать, что если все грани выпуклого много-
многогранника центрально-симметричны, то и он сам центрально-
симметричен.
§ 9. Поверхности и тела вращения
х
класс
232. Определить расстояние от центра
грани правильного тетраэдра до другой
его грани, зная радиус вписанного шара.
233. Доказать, что если все ребра тетраэдра касаются
одного шара, то суммы всех пар противоположных ребер
одинаковы.
234. Доказать, что если противоположные ребра тет-
тетраэдра попарно равны, то вписанные в тетраэдр и описан-
описанный вокруг него шары концентричны.
235. Через точку сферы проведено несколько лежащих
на ней окружностей. Доказать, что касательные к ним в
этой точке лежат в одной плоскости.
236. Сколько касательных сфер можно провести к че-
четырем взаимно пересекающимся плоскостям, из которых
никакие три не проходят через одну и ту же прямую?
237. Сколько существует сфер, касающихся трех дан-
данных плоскостей и данной сферы?
105
238. Считая, что Земля имеет форму шара радиуса R,
а искусственный спутник обращается вокруг Земли по
круговой орбите на высоте h над поверхностью Земли,
определить, на какой угол ниже горизонта должно опу-
опуститься Солнце, чтобы наблюдение спутника, освещенного
Солнцем, было в данной точке земной поверхности невоз-
невозможно (даже при самом благоприятном положении спут-
спутника и его орбиты относительно места наблюдения).
239. На окружности верхнего основания цилиндра,
объем которого равен V, взята точка А. ВС — диаметр
нижнего основания, точки А и В лежат на одной образую-
образующей. MN — диаметр нижнего основания, перпендикуляр-
перпендикулярный ВС. Доказать, что объем, ограниченный поверхностью
цилиндра и плоскостью, проходящей через точки A, Mt N,
заключен между -? V и -^ V.
240. Доказать, что ограниченное выпуклое тело, имеющее
две оси вращения, — шар. (Осью вращения тела называ-
называется прямая, после поворота вокруг которой на любой
угол тело совмещается само с собой.)
241. Любое сечение тела плоскостью — круг. Доказать,
что это тело — шар.
242. Доказать, что если А — телесный угол и а, C,? —
двугранные углы данного трехгранного угла, измерен-
измеренные в радианах, то а + fJ + т — Л = тс.
243. Доказать, что разность между суммой телесных
углов двугранных углов тетраэдра и суммой телесных
углов его трехгранных углов равна 4тг.
244. Выпуклая ломаная длины d вращается вокруг
прямой, проходящей через ее концы. Доказать, что пло-
площадь поверхности полученного тела вращения меньше
§ 10. Задачи на наибольшее и наименьшее значения
245. Дан угол M0N и две точки А и В.
Найти такие точки С и D на прямых ОМ
и ON соответственно, чтобы ломаная АСОВ
VIII—X
классы
имела наименьшую возможную длину.
246. В треугольнике ABC биссектрисы пересекаются
в точке О и АС > АВ > ВС. Как кратчайшим путем,
выйдя из точки О, обойти все вершины треугольника и
вернуться в исходную точку?
106
247. Найти круг наименьшего радиуса, содержащий
три данные точки.
248. Дан треугольник и две точки внутри него. Как
кратчайшим путем пройти из одной точки в другую, по-
побывав на каждой стороне треугольника?
249. Найти на данной прямой / точку так, чтобы раз*
ность расстояний от нее до двух заданных точек А и В
была
а) наименьшей,
б) наибольшей.
250. Через точку внутри угла провести прямую так,
чтобы отрезок ее между сторонами угла имел наименьшую
возможную длину.
251. В данный угол вписать треугольник наименьшего
периметра так, чтобы одна из его вершин находилась в
данной точке внутри угла.
252. В произвольном треугольнике найти точку, сумма
расстояний от которой до вершин треугольника минимальна.
253. Четыре деревни расположены в вершинах квадра-
квадрата. Как надо провести сеть дорог, соединяющих все деревни
друг с другом, чтобы она имела наименьшую возможную
длину? (При этом одна дорога может соединять и более
двух деревень.)
254. Через точку пересечения двух окружностей про-
провести секущую так, чтобы ее часть, заключенная внутри
кругов, была
а) наибольшей,
б) наименьшей.
255. Внутри квадрата дана точка О. Всякая прямая,
проходящая через О, разрезает квадрат на две части.
Провести прямую через-точку О так, чтобы разность пло-
площадей этих двух частей была наибольшей.
256. На прямой / лежит отрезок MN. Найти на прямой
р, лежащей с / в одной плоскости, точку, из которой MN
виден под наибольшим углом.
257. Даны три концентрические окружности радиусов
1, V% УЪ< Найти на каждой окружности по такой точке,
чтобы образованный ими треугольник имел наибольшую
площадь.
107
258. Построить треугольник с наименьшим периметром,
если даны:
а) две вершины Л и Б и прямая, на которой лежит
третья вершина,
б) вершина А и прямые, на которых лежат вершины
В и С,
в) три прямые, на которых лежат вершины А, В и С.
259. Если в круге отмечены три точки А, В, С, то для
любой его точки М из расстояний MA, MB, MC можно
выбрать наименьшее — обозначим его через рм- После
этого из всех точек круга можно выбр-ать ту, для которой
величина рм максимальна (т. е. из всех чисел рм надо вы-
выбрать наибольшее — обозначим его через р). Понятно,
что число р зависит только от выбора точек А, В, С. Тре-
Требуется так выбрать точки А, В и С, чтобы величина р была
наименьшей из возможных.
260. Из всех треугольников, вписанных
в данную окружность, найти тот, который
имеет наибольшую сумму квадратов сторон.
261. Внутри круга дана точка. Требуется
провести через нее две взаимно перпендикулярные хорды
так, чтобы сумма их длин была наибольшей.
262. Внутри треугольника ABC найти такую точку О,
чтобы сумма АО2 -+- ВО2 + СО2 была наименьшей.
263. Поместить в правильный шестиугольник квадрат
наибольшей площади.
264. Доказать, что сумма расстояний точки М от
вершин правильного шестиугольника достигает . наи-
наименьшей величины, когда М совпадает с центром шести-
шестиугольника. То же доказать в случае правильного пяти-
пятиугольника.
265. Доказать, что из всех четырехугольников данного
периметра наибольшую площадь имеет квадрат.
266. Какую наибольшую боковую поверх-
поверхность может иметь прямоугольный парал-
IX—X
классы
X
класс
лелепипед, диагональ которого равна а?
267. В прямом круговом конусе образую-
образующая равна 3, а высота — ]/3. Найти максимальное (по
площади) сечение, проходящее через вершину конуса.
268. Даны трехгранный угол Q и внутри него точ-
точка О. Найти плоскость, проходящую через точку О и от-
отсекающую от Q тетраэдр наименьшего объема.
108
VIII—X
классы
§ 11. Разные задачи
269. Могут ли быть в выпуклом много-
многоугольнике три параллельные стороны?
270. На какое наибольшее число частей
могут разбить плоскость:
а) п прямых, из которых никакие две не параллельны
и никакие три не пересекаются в одной точке?
б) п окружностей?
в) два выпуклых многоугольника?
271. Доказать, что два прямоугольника разбивают
плоскость не более чем на 10 частей.
272. Покрыть плоскость не равными и не подобными
попарно прямоугольными треугольниками, стороны кото-
которых больше 1. (Плоскость должна быть покрыта полностью
и без перекрытий.)
273. Доказать, что любыми равными треугольниками,
четырехугольниками, центрально-симметричными шести-
шестиугольниками можно покрыть всю плоскость с соблюдением
требований, указанных в предыдущей задаче.
274. В выпуклом л-угольнике проведены все диагонали.
На сколько частей разобьется n-угольник, если известно,
что никакие три диагонали не пересекаются в одной точке
(кроме, быть может, вершин)?
275. Cv С2, С3 — окружности. Сх и С2 перпендикулярны
к С3 (см. задачу 176) и пересекаются друг с другом. Могут
ли обе точки их пересечения лежать внутри С3?
276. На окружности даны л точек: Av A^ ..., Ап. При
повороте на некоторый угол <х<360° точка At переходит
в А9, Л2 переходит в А3, А3 — в Л4 и т. д. Верно ли, что эти
точки делят окружность на равные части?
277. Концы отрезка АВ соединены ломаной. Доказать,
что на ней найдутся две точки, лежащие на равных рас-
расстояниях от прямой АВ, расстояние между которыми
равно ~2~.
278. В ромб вписан прямоугольник. Обязательно ли
его стороны параллельны диагоналям ромба?
279. В ром0, не являющийся квадратом, вписан квад-
квадрат. Верно ли, что его стороны параллельны диагоналям
ромба?
280. Доказать, что диаметр многоугольника не изме-
изменится, если его заменить наименьшим (по периметру) вы-
109
пуклым многоугольником, содержащим данный (см. за-
задачу 33 раздела В).
281. Два плоских зеркала образуют угол а. Направим
на одно из них луч, параллельный биссектрисе угла. Отра-
Отразившись, он попадет на другую стенку, потом снова на пер-
первую и т. д. Если угол а велик, то луч, отразившись не-
несколько раз, уйдет в бесконечность. Как мал должен быть
Za, чтобы этого не произошло?
282. Отрезок АВ имеет длину 1. Окружим его много-
многоугольником так, чтобы, двигая АВ по плоскости и не вы-
вылезая при этом его концами за пределы многоугольника,
мы смогли бы поменять местами концы А и В, т. е. повернуть
отрезок на 180°. Какое наименьшее значение может иметь
при этом площадь многоугольника?
283. Доказать, что если выпуклый многоугольник мож-
можно разрезать на центрально-симметричные многоугольники,
то он сам центрально-симметричен.
284. Существует ли правильный много-
многоугольник, одна диагональ которого равна
класс
сумме двух других?
285. Равны ли два треугольника, если они имеют по
три равных угла и по две равные стороны?
286. Многоугольник М имеет п сторон. Будем рас-
рассматривать такие треугольники, вписанные в М, что опи-
описанная окружность каждого из этих треугольников целиком
расположена в многоугольнике М. Каково может быть
наибольшее число этих треугольников?
287. Сколько раз может обертываться вокруг окруж-
окружности контур описанного многоугольника?
288. На какое наибольшее число частей могут делить
пространство
а) два куба,
б) куб и сфера,
в) два выпуклых многогранника?
289. Дан куб с ребром 1 и внутри него такая лома-
ломаная, что каждая плоскость, параллельная какой-либо
грани куба, пересекает ломаную не более чем в одной
точке.
Доказать, что длина ломаной меньше 3 и что для лю-
любого я<3 можно построить ломаную длины />а, обладаю-
обладающую вышеуказанным свойством.
110
В. СМЕШАННЫЙ ОТДЕЛ
Задачи комбинаторные, логические, задачи
на клетчатой бумаге и другие задачи
Все задачи этого раздела, кроме перечисленных ниже, предназна-
предназначаются учащимся VII—X классов. Исключение составляют:
задачи 16, 23, 26, 27, 32, 33,78, 81, предназначенные для VIII—X
классов,
задачи 15, 19, 20, 21, 50, 52, 57, 59, 60, 62, 65, 67 — для X класса
Внутри раздела задачи расположены группами, объединенными
общей тематикой, а внутри групп — в порядке нарастающей сложности,
1. Доказать, что 77 телефонов нельзя соединить между
собой так, чтобы каждый телефон был соединен ровно с
пятнадцатью другими.
2. Можно ли выложить в цепь, следуя правилам игры,
все 28 костей домино так, чтобы на одном конце оказалась
шестерка, а на другом — пятерка?
3. Каждый из людей, когда-либо живших на Земле,
сделал определенное число рукопожатий. Доказать, что
число людей, сделавших нечетное число рукопожатий,
четно.
4. Доказать, что не существует многогранника, у кото-
которого каждая грань имеет нечетное число сторон и число
всех граней нечетно.
5. Линия называется уникурсальной, если ее можно
начертить одним росчерком пера, т. е. не отрывая пера от
бумаги и не проходя два раза один и тот же ее участок.
Доказать, что линия уникурсальна тогда и только тогда,
когда число тех ее узлов, из которых выходит нечетное
число кривых, не превосходит двух.
6. На плоскости проведено п окружностей, Доказать,
что каждый из кусков, на которые при этом разбилась
плоскость, можно закрасить в один из двух цветов —
в черный или в белый, притом так, что любые два соседних
куска (граничащие по дуге окружности) будут окрашены
в разные цвета,
7. Треножником будем называть фигуру, состоящую
из трех лучей, исходящих из одной точки. На плоскости
расположены несколько треножников, причем так, что
никакие два луча, принадлежащие различным треножникам,
не лежат на одной прямой. Доказать, что области, на ко-
которые плоскость разбивается этими треножниками, можно
111
раскрасить в три краски таким образом, что любые две
области, имеющие общую сторону, окрашены в разные цвета.
8. Найти девять попарно различных квадратов, из ко-
которых можно сложить прямоугольник.
9. Разрезать квадрат прямолинейными разрезами так,
чтобы из полученных частей можно было сложить три рав-
равных квадрата.
10. Доказать, что любые л квадратов можно разрезать
так, чтобы из полученных частей сложить 1 квадрат.
11. Доказать, что из конечного числа попарно различ-
различных кубиков нельзя сложить кирпич.
12. Разрежьте плиту размером 8 X 8 X 27 на четыре
части и сложите из них куб.
13. Доказать, что из конечного числа попарно различ-
различных равносторонних треугольников нельзя сложить вы-
выпуклую фигуру.
14. Разрезать произвольный треугольник на три части
так, чтобы из них можно было сложить прямоугольник.
15. Какие выпуклые многогранники можно сложить
из правильных тетраэдров?
16. Разрезать треугольник на четыре части и сложить
из них два треугольника, подобных первоначальному.
17. Доказать, что выпуклый центрально-симметричный
многоугольник можно разрезать на параллелограммы.
Найти наименьшее число параллелограммов для тысяче-
угольника.
18. Можно ли разрезать выпуклый 17-угольник на
14 треугольников?
19. На окружности радиуса 1 от произвольной точки
откладываются в одну сторону друг за другом дуги длины 1.
Пусть Av А2, ..., Ап — последовательные концы отклады-
откладываемых дуг. Доказать, что для любой произвольно малой
дуги этой окружности найдется точка Akt лежащая внутри
этой дуги.
20. Существует ли такое множество точек на окружно-
окружности, которое при повороте окружности на 1 радиан «прячет-
«прячется в себя», т. е. переходит в свою часть?
21. По бесконечной шахматной доске с полями в виде
квадратов со стороной 1 прыгает блоха, перемещаясь
за каждый прыжок на а вправо и на р вверх. Доказать,
что если я, р н у иррациональны, то блоха обязательно
когда-нибудь попадет на черное поле.
112
22. Из города А в город В ведут две дороги, не имеющие
самопересечений. Из А одновременно выехали по этим до-,
рогам две машины, связанные веревкой длиной 20 м, и,
не порвав веревки, приехали одновременно в В. После этого
из А в В по одной дороге и из Б в Л по другой одновременно
выехали два воза круглой формы радиуса 11 м. Докажите,
что возы не смогут прибыть к своей цели, не столкнувшись.
23. Географическая карта разрезана параллельными
прямыми на квадратные куски 20 км х 20 км. Доказать,
что любой маршрут длины 310 км помещается не более
чем на 36 квадратах.
24. Четыре узла клетчатой бумаги образуют квадрат,
(со сторонами, параллельными линиям сетки), на каждой
стороне которого помещается п клеток (п>1).
Доказать, что существует ломаная из 2п звеньев, про-
проходящая через все узлы этого квадрата, включая также
узлы, лежащие на его сторонах.
25. На клетчатой бумаге нарисован параллелограмм
с вершинами в узлах сетки. Доказать, что если внутри него
и на сторонах нет других узлов сетки (такой параллело-
параллелограмм называется основным), то его площадь равна пло-
площади клетки.
26. Существует ли прямоугольный треугольник с це-
целыми сторонами, который может быть положен на клет-
клетчатую бумагу так, чтобы вершины попали в узлы, и ни одна
из сторон не совпадала с линиями бумаги?
27. Доказать, что не существует правильного много-
многоугольника, отличного от квадрата и имеющего вершины
в узлах клетчатой бумаги.
28. Доказать, что для всякого выпуклого многоуголь-
многоугольника, нарисованного на клетчатой бумаге, с вершинами
в узлах сетки, справедлива формула: S = п + ~— 1,
где 5 — площадь многоугольника, п — число узлов сетки
внутри многоугольника, т — число узлов сетки на кон-
контуре многоугольника.
29. Дано двенадцать монет, из них одна фальшивая.
Определить тремя взвешиваниями на весах с коромыслом
фальшивую монету, если неизвестно, легче она или тяже-
тяжелее других.
30. Из восьмидесяти золотых монет одна фальшивая
(более легкая). Как отделить фальшивую монету посред-
113
ством четырех взвешиваний на весах с двумя чашечками
без гирь?
31. Огород имеет форму квадрата со стороной 10. В не-
некоторой точке огорода имеется колодец. Доказать, что
общая длина труб, ответвляющихся от колодца и уложен-
уложенных так, чтобы расстояние от любой точки огорода до бли-
ближайшей трубы было не больше 1, не меньше 48.
32. Лесом называется множество цилиндрических де-
деревьев, радиуса 60 см, растущих внутри квадрата, со сто-
стороной 1 км. Лес называется густым, если всякий прямоли-
прямолинейный путь длиной 100 м имеет общую точку хотя бы с
одним деревом. Доказать, что в густом лесу не меньше
7430 деревьев.
33. Диаметром фигуры называется наибольшее расстоя-
расстояние между двумя ее точками. Требуется найти такое число
k, что любую плоскую фигуру диаметра d можно разбить
на k частей меньшего диаметра, но существует фигура
диаметра d, которую нельзя разбить на k—1 частей мень-
меньшего диаметра.
34. Доказать, что через всякие п точек на плоскости,
никакие три из которых не лежат на одной прямой, про-
проходит замкнутая и не пересекающая самой себя ломаная
с вершинами в данных точках (и только в этих точках).
35. На плоскости имеется замкнутая конечнозвенная
ломаная линия. Прямая I имеет с ней ровно 1961 общую
точку. Доказать, что существует прямая /', не проходящая
ни по одному звену ломаной и имеющая с ней более чем
1961 общую точку.
36. Треугольник разбит на несколько треугольников;
при этом выполняются следующие условия:
Г. Два треугольника разбиения либо совсем не имеют
общих точек, либо имеют одну общую вершину, либо
имеют одну общую сторону (целиком).
2°. Сторона» исходного треугольника может служить
стороной только для одного треугольника разбиения.
Доказать, что число треугольников разбиения не-
нечетно.
37. Докажите, что среди любых шести человек найдутся
либо трое попарно незнакомых друг с другом, либо трое
попарно' знакомых.
38. Имеется отрезок, к которому восставлено п пер-
перпендикуляров длины 1. На отрезке и на перпендикуля-
перпендикулярах отмечено несколько точек, причем среди них нет ни
U4
одного основания перпендикуляра. Доказать, что если на
любом пути, соединяющем концы перпендикуляров, есть
хотя бы одна отмеченная точка, то отмеченных точек не
меньше чем п — 1.
39. Найти такие цифры, которые при подстановке их
вместо букв в выражение:
forty
+ ten
ten
sixty
давали тождество (различным буквам соответствуют раз-4
личные цифры).
40. Имелось семь листов бумаги. Некоторые из них
разрезали на семь частей. Некоторые из полученных ку-
кусков снова разрезали на семь частей и т. д. Когда потом
подсчитали общее число получившихся листов бумаги (раз-
(разного размера), то оказалось, что их 1961. Докажите, что
подсчет был произведен неправильно.
41. Шахматист для тренировки играет не менее одной
партии в день; при этом, чтобы не переутомиться, он играет
не более 12 партий в неделю (календарную).
Доказать, что можно найти несколько последователь-
последовательных дней, в течение которых шахматист сыграет ровно 20
партий.
42. Для того чтобы отгадать целое число, заключенное
между 1 и 1000, можно задавать вопросы. На вопросы мож-
можно отвечать только «да» и «нет». В какое наименьшее число
вопросов можно наверняка отгадать задуманное число?
43. Двое играют в такую игру: один задумывает число,
лежащее между единицей и тысячей (включительно), а дру-
другой угадывает его, задавая первому вопросы вида: «Содер-
«Содержится ли это число среди таких-то?» (например: среди
чисел от 1 до 500 включительно?; среди четных чисел?;
среди чисел от 1 до 200?; от 550 до 600 или от 955 до 957?).
Первый имеет право дать один неправильный ответ. Дока-
Доказать, что второй может угадать число за:
а) 21 вопрос,
б) 14 вопросов.
44. Игра состоит в следующем. Имеется прямоуголь-
прямоугольный стол и достаточно большое количество одинаковых
монет. Двое играющих кладут по очереди по одной монете
на свободные места стола до тех пор, пока это возможно.
115
Играющий, положивший на стол монету последним, вы-
выигрывает. Как должен играть начинающий первым, чтобы
выиграть?
45. На клетчатой бумаге играют двое: А и В. Одним
ходом можно соединить две соседние вершины, находящие-
находящиеся на расстоянии 1. Доказать, что, если первый ход сде-
сделал А, то:
а) В может помешать А образовать из своих линий ка-
какой-нибудь замкнутый многоугольник.
б) В может помешать А соединить своими линиями две
наперед заданные точки, находящиеся на расстоянии, боль-
большем 1.
46. Жители города Правдин всегда говорят правду,
жители соседнего города Кривдин всегда обманывают.
Однажды приезжий встретил трех местных жителей А, В, С,
среди которых были один житель Правдина и два жителя
Кривдина. «Откуда вы?» — спросил приезжий у А. Житель
А ответил что-то очень тихо, так что приезжий не расслы-
расслышал ответа. «Что он мне ответил?» — спросил приезжий,
обращаясь к В и С. «Он ответил, что он житель Кривдина».
Можете ли вы на основании этого разговора установить,
где проживают А, В и С?
47. Известно, что жители города А всегда говорят
правду, жители города В всегда лгут, а жители города С
на один из двух заданных подряд вопросов отвечают прав-
правду, а на другой — ложь и -что жители всех трех городов
бывают в гостях друг у друга. Какие четыре вопроса дол-
должен задать путешественник первому встречному, чтобы
наверняка определить, где он находится и с кем разгова-
разговаривает?
48. По кругу выписаны р плюсов и q минусов. Пусть
а — число пар рядом стоящих плюсов, a b — число пар
рядом стоящих минусов.
Доказать, что \а— b\=\p — q\.
, 49. На окружности взято несколько точек: одни из
них обозначаем буквой Л, остальные — буквой В. На каж-
каждой из дуг, на которые ¦ окружность делится взятыми точ-
точками, ставим некоторое число: если обе концевые точки
дуги обозначены буквами Л, то ставим число 2; если обе
концевые точки обозначены буквами В, то ставим -^\ если
же концевые точки дуги обозначены разными буквами,
то ставим число 1. Доказать, что произведение всех по-
116
ставленных чисел равно 2а~", где а — число точек, обо-
обозначенных буквой A, b — число точек, обозначенных бук-
буквой В (причем семиклассники могут считать, что а>6).
50. Натуральные числа от 1 до п располагаются на
окружности. Это называется л-цепочкой. Рассмотрим kn
таких n-цепочек, что два числа, соседние в одной из них,
не являются соседними ни в какой другой. Какое наиболь-
k
шее значение может принимать отношение " ?
51. а) Рассматриваются всевозможные наборы xv х$,,.., хп,
состоящие из нулей и единиц. Доказать, что ника-
никакому уравнению вида axxx -\- агхг+ ... 4- апхп = Ь, где
а\ + #2 4- ... + Яд Ф 0 не могут удовлетворять более чем
2n-i Таких наборов.
б) Набор (хг, ..., jtft), состоящий из нулей и единиц,
называется правильным, если он содержит не меньше двух
единиц. Пусть N — число правильных наборов, для кото-
которых atxx 4- ... 4- a^k ~ 0, М — число остальных правиль-
правильных наборов. Доказать, что при k > 3 справедливр нера-
неравенство М > N.
52. Строится последовательность строк: 1-я строка:
х, у\ 2-я строка: х, у, у, х — и далее каждая строка полу-
получается заменой х на (дс, у) и у па (у, х). Потом вся система
нумеруется слева направо и сверху вниз последовательны-
последовательными членами некоторой арифметической прогрессии (т. е. ну-
нумеруются сперва числа первой строки слева направо пер-
первыми двумя членами прогрессии, затем — числа второй
строки слева направо третьим, четвертым и т. д. членами
прогрессии и т. д.).
Доказать, что в п-й строке сумма &-х степеней номеров
при всех х равна сумме ^-х степеней номеров при всех у,
если 0<&<л.
53. Горизонтали шахматной доски обозначаются, как
обычно, цифрами от 1 до 8, а вертикали — буквами от a
до h. Пусть теперь a, b, cy d, e, f, g, h — произвольные
числа. Напишем на каждом поле доски произведение
чисел, соответствующих горизонтали и вертикали этого
поля, например на поле el — число е • 7. Расставим на
поле 8 ладей так, чтобы они не били друг друга; они
закроют 8 чисел. Чему равно произведение закрытых,
чисел?
54. На участке клетчатой бумаги квадратной формы
в N2 клеток выбраны два поля, А и В, находящиеся рядом
Ш
друг с другом (по горизонтали). На левое поле А поставлена
фишка. Ее можно передвигать на одно поле по одному из
трех направлений: вверх, вправо и по диагонали через
нижний левый угол. Доказать, что независимо от N не-
невозможно обойти всю доску, побывав на каждом поле ров-
ровно по одному разу и прийти на поле В.
55. Пятьдесят из клеток обыкновенной шахматной доски
пронумерованы целыми числами: 1, 2, 3, ..., 49, 50. На
доске стоят 50 шашек, которые также перенумерованы.
Каждая шашка стоит или на пустом, поле, или на поле
с номером, который может совпадать или не совпадать
с номером шашки. На одном поле стоит не более одной
шашки. За один ход можно одну шашку переставить на
любое свободное место. Доказать, что для того чтобы все
шашки поставить на свои места, потребуется не больше
75 ходов.
56. Доказать, что шахматную доску с 4Н1 вер-
вертикалями и 4Н1 горизонталями можно обойти ходом
коня, побывав на каждом поле ровно по одному разу.
57. На клетчатой бумаге в узлах сетки отмечено две
точки. Сколькими способами можно пройти из одной точки
в другую, если двигаться по линиям сетки й притом самы-
самыми короткими по длине путями?
58. Сколькими способами можно раскрасить п красками
окружность, разделенную на р частей (р — простое)?
Способы, совпадающие при повороте окружности вокруг
центра, считаются одинаковыми.
59. На двух- параллельных прямых дано по п точек.
Сколькими способами можно соединить их ломаной, имею-
имеющей вершины только в этих точках? (Данные точки могут
лежать и на сторонах ломаной.)
60. Оргкомитет олимпиады состоит из 11 человек. Ма-
Материалы олимпиады хранятся в сейфе. Сколько замков
должен иметь сейф и сколькими ключами следует снабдить
каждого члена оргкомитета, чтобы, доступ в сейф был воз-
возможен, когда соберутся любые 6 членов оргкомитета, и не
был возможен, если соберется меньше шести членов?
61. На окружности взято п точек, против части из
которых поставлен знак «плюс», против остальных —
«минус». Доказать, что существует не более п^~ хорд,
соединяющих точки с разными знаками и не пересекаю-
пересекающихся внутри окружности.
118
62. В турнире принимают участие п шахматистов раз-
различной силы. Считая, что более сильный игрок всегда
выигрывает у более слабого, придумать такой порядок
игр, при котором расположение шахматистов по их силе
выяснится не более чем через к (п + 1) партий, где к —
наибольшее целое число, удовлетворяющее условию 2*<я.
63. Сколько существует различных шестигранных
игральных костей? Две кости считаются различными,
если одну из них нельзя поставить на место другой так,
чтобы числа на соответствующих гранях были равны.
64. На автобусном маршруте, действующем в одном
направлении, 14 остановок. Имеется 91 различный образец
билетов в зависимости от того, откуда и куда едет пассажир.
Пассажиры входят и выходят, но одновременно едет не
более 25 человек. Какое максимальное число сортов билетов
может быть выдано кондуктором за один рейс?
65. Сколько существует перестановок из п чисел 1, 2,
3, ..., л, в которых ни одно число к не стоит на k-огл мес-
месте; к — 1,2, ..., /г?
66. Сколькими способами можно соединить 2/г точек,
лежащих на окружности, п непересекающимися хор-
хордами?
67. На листе клетчатой бумаги размером п х п кле-
клеток расставлены числа 1, 2, 3 п2 по одному в каждой
клетке, так, что числа, стоящие на каждой вертикали
и горизонтали, образуют арифметическую прогрессию.
Найти число всех таких расположений.
6.8. У человека на голове не более 300 000 волос. Дока-
Доказать, что в Москве живут хотя бы 10 человек, у которых
число волос одинаково (население Москвы — около 6 млн.
человек).
69. Дано 2п + 1 предметов. Доказать, что из них мож-
можно выбрать нечетное число предметов столькими же спосо-
способами, сколькими четное.
70. В ящике лежат 70 шаров, из них 20 красных, 20 зе-
зеленых, 20 желтых, остальные белые и черные. Какое наи-
наименьшее число шаров надо вынуть, чтобы навернякй вьц
тащить 10 шаров какого-нибудь одного цвета?
71. Имеется sn шаров п различных цветов, шаров каж-
каждого цвета — одинаковое число. Доказать, что как бы
они ни были разложены в п ящиках по s штук в ящике,
всегда можно вынуть из каждого ящика по одному шару
так, что будут представлены все цвета.
П9
72. Доказать, что монетами в 2 и 5 копеек можно раз-
разменять 1 рубль большим числом способов, чем монетами
в 3 и 5 копеек.
73. Сколькими способами можно разменять 20 копеек
на монеты достоинством в 5,2 и 1 копейку?
74. Имеется кусок цепи из 60 звеньев. Каждое звено
весит 1 г. Какое наименьшее число звеньев надо раско-
расковать, чтобы из полученных кусков цепи можно было
составить все веса от 1 до 60 г?
75. Доказать, что с помощью стандартного набора
разновесов: 1 мг, 2 мг, 2 мг, 5 мг, 10 мг, 20 мг, 20 мг, 50 мг,
100 мг, 200 мг, 200 мг, 500 мг, I г, 2 г и т. д.— можно
составить любой вес, выражаемый целым числом милли-
миллиграммов.
76. Доказать, что, имея на руках 100 денежных знаков
двух различных достоинств, можно купить некоторое целое
число 101-рублевых вещей без сдачи.
77. На консультации было 20 школьников и разбира-
разбиралось 20 задач. Оказалось, что каждый из школьников
решил две задачи и каждую задачу решили два школьника.
Докажите, что можно так организовать разбор задач,
чтобы каждый школьник рассказал одну из решенных
им задач и все задачи были разобраны.
78. Плоскость целиком покрыта 43 полуплоскостями.
Доказать, что из них можно выбрать три так, чтобы они
также целиком покрывали эту плоскость.
79. Отрезок длины 1 полностью покрыт 43 отрезками.
Доказать, что из них можно выбрать непересекающиеся
между собой отрезки, сумма длин которых не меньше у.
8
80. Доказать, что у любого дерева можно оборвать ^-
7
его листьев, оставив при этом не менее -т^ тени, которую
давало дерево (тенью от ствола и веток пренебречь; число
листьев можно считать делящимся на 15).
81. Полусферой называется одна из двух половин,
на которые сфера разбивается большой окружностью; точ-
точки самой окружности, ограничивающей полусферу, также
причисляются к этой ¦ полусфере. Доказать, что если
1958 полусфер покрывают всю сферу, то можно выбрать че-
четыре из них, которые также покрывают всю сферу.
120
82. Даны две окружности, длина каждой из которых
равна 1957 см. На одной из них отмечено 1957 точек, на
другой — несколько дуг, сумма длин которых меньше 1.
Доказать, что эти окружности можно так наложить друг
на друга, что ни одна отмеченная точка не попадет ни на
одну отмеченную дугу.
83. Каждая точка окружности обозначена по крайней
мере одной из трех красок. Есть по крайней мере одна
точка, обозначенная двумя красками. Доказать, что най-
найдется дуга в 120°, концы которой будут обозначены одина-
одинаковой краской (и, может быть, еще другими красками).
84. Сколько раз в сутки стрелки часов образуют между
собой прямые углы?
85. Стрелки часов закреплены, а циферблат можно
поворачивать, Доказать, что циферблат можно повернуть
так, чтобы часы показали первый час (и положение часовой
стрелки соответствовало бы положению минутной).
86. В начале олимпиады, между 12 и 13 часами, школь-
школьник посмотрел на часы. Кончив работу между 17 и 18 ча-
часами, он заметил, что стрелки поменялись местами. Сколько
времени было, когда он кончил?
87. Часы испорчены, но стрелки их движутся равно-
равномерно. На сколько часов Они отстают или уходят вперед
в сутки, если показывают верное время: 1 раз в сутки?
2 раза в сутки? 3 раза в сутки?
ЧАСТЬ II
ЗАДАЧИ МОСКОВСКИХ ОЛИМПИАД
Здесь собраны задачи, предлагавшиеся на математиче-
математических олимпиадах в Москве (при МГУ) в 1935—1964 годах.
Некоторые из задач, предлагавшихся в 1952—1964 го-
годах, снабжены решениями. Номера этих задач выделены
полужирным шрифтом.
Необходимо отметить, что большинство задач первых
14 олимпиад A935—1951 гг.) разобраны в выпусках «Биб-
«Библиотеки математического кружка» и в других изданиях
(см. [41], [43], [46], [57] из списка литературы на
стр. 47—50).
/ олимпиада A935 год)
1-й тур
1. Поезд проходит мимо наблюдателя в течение tx се-
секунд, а мимо моста длиной / метров в течение /2 секунд.
Считается, что поезд проходит мимо моста, начиная с того
момента, когда локомотив въезжает на мост, и кончая
моментом, когда последний вагон покидает мост. Опреде-
Определить длину и скорость поезда.
2. Построить квадрат, три вершины которого лежали
бы на трех данных параллельных прямых.
3. Найти объем правильной четырехугольной пирамиды
со сторонами основания а и плоскими углами при вершине,
равными углам наклона боковых ребер к плоскости осно-
основания.
2-й тур
Серия А
1 Построить треугольник по точкам пересечения с опи-
описанной окружностью медианы, биссектрисы и высоты, про-
проведенных из одной вершины.
122
1
I
2. На поверхности куба найти точки, из которых диа-
диагональ видна под наименьшим углом.
Серия В
1. Сколько действительных решений имеет система:
х + у = 2,
„— 22=1?
2. Решить систему:
I x2i/— ху2 =Ь.
3. Вычислить сумму: I3 + З3 4- 53 + ... -f Bл —¦ IK.
Серия С
1. Сколькими способами можно раскрасить куб в шесть
данных цветов, если любые две различные грани должны
быть раскрашены разными красками? (Различными счи-
считаются те раскраски, которые не совмещаются при пово-
поворотах куба.)
2. Сколькими способами можно представить число п
в виде суммы трех целых положительных слагаемых?
3. Обозначим через М (а, Ь, с, ..., к) общее наименьшее
кратное, а через D (а, Ь, с, ..., k) — наибольший общий
делитель чисел а, Ь, с, ..., к.
Доказать:
а) М{а, b)-D{a, b) = об,
Л, М (а, Ь, с) - D (а, Ь) • D (Ь, с) • D (а, с) .
б) ЩГьГс) ==аЬс-
II олимпиада A936 год)
2-й тур
1. Решить систему: \
| х ц- у = а,
2. Дан угол, меньший 180°, и точка р вне его. Провести
через р прямую так, чтобы треугольник, образованный
123
вершиной данного угла и точками пересечения его сторон
с проведенной прямой, имел данный периметр.
3. Если х, у — целые числа, причем хг + у2 = 2г
(z — целое), то ху делится на 12. Доказать.
4. Сколькими способами можно разложись миллион
в произведение трех множителей?
/// олимпиада A937 год)
1-й тур
1. Решить систему:
х + у -f г = а, ¦
*2 + у2 + z2 = а\
х3 + у3 + г3 = а3.
2. Даны прямая и две точки Л и В по одну сторону от
нее. Найти на прямой такую точку М, чтобы сумма МА +
+ MB равнялась заданному отрезку.
3. По двум скрещивающимся прямым скользят два от-
отрезка. Доказать, что объем тетраэдра с вершинами в концах
этих отрезков не зависит от положения последних.
2-й тур
1. Даны три точки,. не лежащие на одной прямой.
Через каждые две из них провести окружность так, чтобы
три проведенные окружности имели в точках пересечения
взаимно перпендикулярные касательные.
2. В пространстве расположен правильный додекаэдр.
Сколькими способами можно провести плоскость так,
чтобы она высекла на додекаэдре правильный шести-
шестиугольник?
3. На сколько частей разделяют n-угольник его диаго-
диагонали, если никакие три диагонали не пересекаются в одной
точке?
IV олимпиада A938 год)
2-й тур
1. В пространстве даны точки Ov 0s, O3 и точка А.
Точка А симметрично отражается относительно точки
Од, полученная точка Аг — относительно О2, полученная
точка Ла — относительно О3.
124
Получаем некоторую точку Л3, которую также последо-
последовательно отражаем относительно 0v Ot, 03. Доказать,
что последняя полученная точка совпадает с А.
2. На сколько частей могут разделить пространство п
плоскостей?
3. Построить треугольник по основанию, высоте и раз-
разности углов при основании.
4. Сколько существует целых чисел, меньших тысячи,
которые не делятся ни на 5, ни на 7?
V олимпиада A939 год)
1-й тур
1. Решить систему уравнений;
( Зхуг — Xs — у3 — z3 = Ь9,
\ х + у + z = 2Ь,
I
2. Доказать, что eos -? + cos -g- = —s~.
3. Даны три точки А, Б, С. Через точку А провести
прямую так, чтобы сумма расстояний от точек В и С до
этой прямой была равна заданному отрезку.
4. Решить уравнение у а Y а + х — х-
5. Доказать, что во всяком треугольнике биссектриса
лежит между медианой и высотой, проведенными из той же
вершины.
2-й тур
1. Разложить на целые рациональные множители вы-
выражение
ахо + аб+1.
2. Даны два многочлена от переменной х с целыми ко-
коэффициентами. Произведение их есть многочлен с четными
коэффициентами, не все из которых делятся на 4. Дока-
Доказать, что в одном из многочленов все коэффициенты четные,
а в другом — хоть один нечетный.
3. Даны две точки Л и Б и окружность. Найти на окруж-
окружности точку X так, чтобы прямые АX и ВХ отсекли на окруж-
окружности хорду CD, параллельную данной прямой MN.
125
4. Найти остаток от деления на 7 числа
5. Дана правильная пирамида. Из произвольной точки
Р ее основания восставлен перпендикуляр к плоскости
основания. Доказать, что сумма отрезков от точки Р до
точек пересечения перпендикуляра с плоскостями граней
пирамиды не зависит от выбора точки Р на основании.
6. На какое самое большее число частей можно разбить
пространство пятью сферами?
VI олимпиада A940 год)
1-й тур
—VIII классы
1. Разложить на множители:
(Ь — cf + (с — аK + (а — ЬK.
2. Пароход от Горького до Астрахани идет 5 суток,
а от Астрахани до Горького — 7 суток. Сколько дней будут
плыть по течению плоты от Горького до Астрахани?
3. Сколькими нулями оканчивается произведение всех
целых чисел от 1 до 100 включительно?
4. Провести окружность данного радиуса, касающую-
касающуюся данной прямой и данной окружности. Сколько решений
имеет задача?
IX—X классы
1., Решить систему уравнений:
| (*3 + У9) (х2 + У2) = 2Ь\
\x-i-y~b.
2. Все целые числа начиная от единицы выписаны
подряд. Таким образом, получается следующий ряд цифр:
123456789101112131415... . Определить, какая цифра стоит
на 206788-м месте.
3. Построить окружность, равноудаленную от четырех
точек плоскости. Сколько решений имеет задача?
4. В плоскости данырдве прямые, Найти множество
всех точек, разность расстояний которых от этих прямых
равна заданному отрезку.
126
5. Факториалом числа п называется произведение
всех целых чисел от единицы до п включительно. Най-
Найти все трехзначные числа, равные сумме факториалов сво»
их цифр.
2-й тур
VII—VIII классы
1. Найти четырехзначное число, являющееся точным
квадратом, первые две цифры, а также последние две цифры
которого одинаковы.
2. Точки Л, В, С— вершины вписанного в окружность
правильного треугольника. Точка D лежит на меньшей
дуге АВ. Доказать, что AD + BD — DC.
3. Данным четырехугольником неправильной формы
настлать паркет, т. е. покрыть всю плоскость четырех-
четырехугольниками, равными данному, без пропусков и перекры-
перекрытий.
4. Сколько существует таких пар целых чисел х, у,
заключенных между 1 и 1000, что х% + у% делится на 49?
IX—X классы
1. На бесконечном конусе, угол развертки которого
равен а, взята точка. Из этой точки в обе стороны прово-
проводится линия так, что после развертки она превращается в
отрезки прямых. Определить число ее самопересечений.
2. Что больше: 300! или 100300?
3. Центр О описанной около треугольника ABC окруж-
окружности отражается симметрично относительно каждой из
сторон. По трем полученным точкам Ог, О2, О3 восстановить
треугольник АВ С, если все остальное стерто.
4. Доказать неравенство:
(av я2, ..., <V-i, па — положительные числа).
5. Сколько существует положительных целых чисел х,
меньших 10000, для которых 2х — х2 делится на 7?
127
VII олимпиада A941 год)
1-й тур
VII—VIII классы
1. Построить треугольник по высоте и медиане, выхо-
выходящим из одной вершины, и радиусу описанного круга.
2. Дописать к 523 ... три цифры так, чтобы полученное
шестизначное число делилось на 7, 8 и 9.
3. Дан четырехугольник; А, В, С, D — последователь-
последовательные середины его сторон, Р, Q — середины диагоналей.
Доказать, что треугольник ВСР равен треугольнику ADQ.
4. Через точку Р, лежащую вне окружности, прово-
проводятся всевозможные прямые, пересекающие эту окруж-
окружность. Найти множество середин хорд, отсекаемых окруж-
окружностью на этих прямых.
5. Доказать, что произведение четырех последователь-
последовательных целых чисел в сумме с единицей дает полный квадрат.
IX—X классы
1. См. задачу № 2 для VII—VIII классов.
2. На сторонах параллелограмма вне его построены
квадраты. Доказать, что их центры лежат в вершинах
некоторого квадрата.
3. Доказать, что многочлен с целыми коэффициентами
а0 хп + аг х"-1 + ... + ап_х х + а
принимающий при х — 0 и х = 1 нечетные значения, не
имеет целых корней.
4. Построить треугольник ABC по точкам М и N —
основаниям высот AM и BN — и прямой, на которой лежит
сторона АВ.
5. Решить уравнение:
| „ | 1 I I v I | о I у 1 | Q | *» _____ О | | - v \ Q
I Л **у"* 1 I J | JC ! ~Y~ О t Л """^ I I "" ¦ X I Л —~* ?g | — Л —|"~ ^>
6. Сколько корней имеет уравнение
sin х —
128
2-й тур
VII—VIII классы
1. Доказать, что из 5 попарно различных по величине
квадратов нельзя сложить прямоугольник.
2. Дан треугольник ЛВС. Требуется разрезать его на
наименьшее число частей так, чтобы, перевернув эти части
на другую сторону, из них можно было сложить тот же
треугольник ABC.
3. Дан треугольник ЛВС. Точка М, лежащая внутри
него, движется параллельно стороне Б С до пересечения
со стороной СА, затем параллельно стороне А& до пере-
пересечения со стороной ВС, затем параллельно стороне С А
и т. д. Доказать, что через некоторое число таких ша-
шагов точка вернется в исходное положение, и найти это
число.
4. Найти целое число а, при котором
(* — а) (*— 10)+ 1
разлагается в произведение (х +-Ь) - (х + с)'двух множи-
множителей с целыми b и с.
5. Доказать, что квадрат любого простого числа р > 3
при делении да 12 дает в остатке 1.
6. Построить треугольник ABC по трем точкам Я1(
#2, //3, которые являются симметричными отражениями
точки пересечения высот искомого треугольника относитель-
относительно его сторон.
IX—X классы
1. Доказать, что из шести попарно различных по ве~
личине квадратов нельзя сложить прямоугольник.
2. Некоторое количество точек расположено на плос-
плоскости так, что каждые 3 из них можно заключить в круг
радиуса г = 1. Доказать, что тогда и все точки можно
заключить в круг радиуса 1.
3. Найти такие отличные от нуля неравные между со-
собой целые числа а, Ь, с, чтобы выражение
х {х — а) (х — Ь) {х — с) + 1 s
разлагалось в произведение двух многочленов с целыми
коэффициентами.
5 Зак. 382 129
4. Решить в целых числах уравнение
х -+- у = х2 — ху -г-1/2.
5. В пространстве даны две скрещивающиеся перпен-
перпендикулярные прямые. Найти множество середин всех отрез-
отрезков данной длины, концы которых лежат на этих прямых.
6. Построить прямоугольный треугольник по двум ме-
медианам, проведенным к катетам.
VIII олимпиада A945 год)
1-й тур
VII—VIII классы
1. Разделить аш — bl2S на (а + Ь) (а* + 62) (а4 + Ь*) •
• (а8 + Ь8) (а1в + Ь16) (а32 + bai) (а64 + Ь**).
2. Доказать, что при любом целом положительном п
сумма
+ л + 2 ' "* ' 2л
1
больше
3. Двузначное число в сумме с числом, записанным
теми же цифрами, но в обратном порядке, дает полный
квадрат. Найти все такие числа.
4. Доказать, что разносторонний треугольник нельзя
разрезать на два равных треугольника.
5. К двум окружностям, касающимся извне, проведены
общие внешние касательные и точки касания соединены
между собой Доказать, что в полученном четырехуголь-
четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.
IX—X классы
\, Разделить а2* — Ьгк на
(а + Ь) (а2 + Ь*) (а4 + б4)..... (а2* + bik~~\
2. Найти трехзначное число, всякая целая степень ко-
которого оканчивается на три цифры, составляющие исход-
исходное число (в том же порядке).
130
3. Система уравнений второго порядка
имеет, вообще говоря, четыре решения. При каких значе-
значениях а число решений системы уменьшается до трех или
до двух?
4. Прямоугольный треугольник ЛВС движется по пло-
плоскости так, что его вершины В и С скользят по сторонам
данного прямого угла. Доказать, что множеством точек А
является отрезок и найти его длину.
2-й
VII—VIII классы
1. Даны 6 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5. Найти сумму всех че-
четырехзначных четных чисел, которые можно4 написать
этими цифрами (одна и та же цифра в числе может повто-
повторяться).
2. Из картона вырезали два равных многоугольника,
совместили их и проткнули в некоторой точке булавкой.
При повороте одного из многоугольников около этой «оси»
на 25°30' он снова совместился со вторым многоугольником.
Каково наименьшее возможное число сторон таких много-
многоугольников?
3. Сторона AD параллелограмма ABCD разделена на
п равных частей. Первая точка деления Р соединена с вер-
вершиной В. Доказать, что прямая ВР отсекает на диагонали
АС часть AQ, которая равна ^ части диагонали
(AQ= AC V
\ я + 1 /
4. Вершины А, В, С треугольника ABC соединены
отрезками с точками Ах, Вх, С1У лежащими на противопо-
противоположных сторонах треугольника Доказать, что середины
отрезков AAV BBX, ССг не лежат на одной прямой
IX—X классы
1. Решить в целых числах уравнение
ху -г Зх — Ъу =* — 3
б* 131
2. Некоторые из. чисел а1, а% ап равны + 1, остальные
равны —1. Доказать, что
¦2 + atV 2 + a3V 2+...+ а„/2.
В частности, при at = az = ... = ап == 1, имеем:
(i + 4 + т+г + -*Ц х - а» -этт '¦?
3. Окружность радиуса, равного высоте некоторого
правильного треугольника, катится по стороне этого тре-
треугольника. Доказать, что дуга, высекаемая сторонами
треугольника на окружности, все время равна 60°.
IX олимпиада A946 год)
1-й тур
VII—VIII классы
1. Какое наибольшее число острых углов может встре-
встретиться в выпуклом многоугольнике?
2. На прямой даны 3 точки А, В, С. На отрезке АВ
построен равносторонний треугольник ABClt на отрезке
ВС построен равносторонний треугольник BCAV Точка
М — середина отрезка AAlt точка N — середина отрезка
CCV Доказать, что треугольник BMN — равносторонний.
(Точка В лежит между точками Л и С; точки Аг и Сг рас-
расположены по одну сторону от прямой Л5.)
3. Найти четырехзначное число, которое при делении
на 131 дает в остатке 112, а при делении на 132 дает в остат-
остатке 98.
4. Решить систему уравнений:
4 ~г хь ~h
q -p -^7 "Т~
7 4- *e +
= 9
„ о
132
5. Доказать, что в произведении
A —х 4 *2 — х3 -}-... — х" + *100) A + х 4 х2 4
+ + + )
после раскрытия скобок и приведения подобных членов
не останется членов, содержащих х в нечетной степени.
IX—К классы
1. В пространстве даны две пересекающиеся плоскости а
и [3. На линии их пересечения дана точка А, Доказать,
что из всех прямых, лежащих в плоскости а и проходящих
через точку А, наибольший угол с плоскостью C образует
та, которая перпендикулярна к линии пересечения плоско-
плоскостей аир.
2. Через точку А, лежащую внутри угла, проведена
прямая, отсекающая от этого угла наименьший по площади
треугольник. Доказать, что отрезок этой прямой, заклю-
заключенный между сторонами угла, делится в точке А пополам.
3. Доказать, что я2 + Ъп 4 5 ни при каком целом
числе п не делится на 121.
4. Доказать, что для любого натурального п справед-
справедливо соотношение: -Цр- — 2а • Bп— 1I1
5. Доказать, что если а и р — острые углы и а<р, то
tg* ^ Щ ¦ '
2-й тур
VII—VIII классы
1. В шахматном турнире участвовали два ученика VII
класса и некоторое число учеников VIII класса. Два семи-
семиклассника набрали вместе восемь очков, а все восьмиклас-
восьмиклассники набрали по одинаковому числу очков. Сколько вось-
восьмиклассников участвовало в турнире? (По условиям турнира
любые два участника должны сыграть между собой одну
партию. За проигрыш партии участнику записывается О
очков, за выигрыш 1 очко, за ничью —%- очка.)
2. Доказать, что выражение х5^- 3x4i/ — 5jt3#2—\bx2t^-\-
¦f 4y4x 4- 12у& не равно 33 ни при каких целых значе-
значениях хну,
133
3. На сторонах угла ЛОВ от вершины О отложены от-
отрезки О А и ОБ, причем О А > ОВ. На отрезке О А взята
точка М, на отрезке ОВ — точка N так, что AM —BN=x.
Найти-значение xt при котором отрезок MN имеет наи-
наименьшую длину.
4. Из тридцати пунктов Av Л8, ..,, Л30, расположен-
расположенных йа прямой MN на равных расстояниях друг от друга,
выходят тридцать прямых дорог. Эти дороги располагаются
по одну сторону от прямой MN и образуют с нею следую-
следующие углы:
Я?
а
№
а
1
60°
16
75°
2
30°
17
78°
3
15°
18
115°
4
20°
19
95°
5
155°
20
25°
6
45°
21
28°
7
10°
22
158°
8
35°
23
30°
9
140°
24
25°
10
50°
25
5°
11
125°
26
15°
12
65°
27
160°
13
85°
28
170°
14
86°
29
20°
15
80°
30
158°
Из всех тридцати пунктов выезжают одновременно
тридцать автомобилей, едущих, никуда не сворачивая,
по этим дорогам с одинаковой скоростью.
На каждом из перекрестков установлено по шлагбауму.
Как только первая (по времени) машина проезжает пере-
перекресток, шлагбаум закрывается и преграждает путь всем
следующим машинам, попадающим на этот перекресток.
Какие из машин проедут все перекрестки на своем пути,
а какие застрянут? ' '
5. Автобусная сеть города устроена следующим об-
образом:
1) с любой остановки на любую другую остановку мож-
можно попасть без пересадки;
2) для любой пары маршрутов найдется, и притом един-
единственная, остановка, на которой можно пересесть с одного
из этих маршрутов на другой;
.3) на каждом маршруте ровно три остановки.
Сколько автобусных маршрутов в городе?
IX—X классы
1. В шахматном турнире участвовали ученики IX н X
классов. Десятиклассников было в десять раз больше,
чем девятиклассников, и они набрали вместе в 4,5 раза
134
больше очков, чем все девятиклассники. Сколько очков
набрали девятиклассники? Найти все решения (см. при-
примечание к задаче № 1 для VII—VIII классов).
2. Дан ряд чксел
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89...,
в котором каждое число, начиная с третьего, равно сумме
двух предыдущих. Найдется ли среди 100 Q00 001 первых
членов этого ряда число, оканчивающееся четырьмя ну-
нулями?
3. На сторонах PQ, QR, RP треугольника PQR отло-
отложены отрезки ЛВ, CD, EF. Внутри треугольника задана
точка So. Найти множество точек 5, для которых сумма
площадей треугольников SAB, SCD и SEF равна сумме
площадей треугольников SQAB, SQCD, SQEFt Рассмотреть
особо случай, когда
АВ CD EF
PQ ~~" QR ~~
4. В городе 57 автобусных маршрутов. Известно, что:
1) с любой остановки на любую другую остановку
можно попасть без пересадки;
2) для любой пары маршрутов найдется, и притом
только одна, остановка, на которой можно пересесть с од-
одного из маршрутов на другой;
3) на каждом маршруте не менее трех остановок.
Сколько остановок имеет каждый из 57 маршрутов?
5. См. задачу № 4 для VII—VIII классов.
X олимпиада A947 год)
1-й тур
VII—VIII классы
1. Найти остаток от деления многочлена
х + х3 4- х9 + х27 + *81 + *243
на х — 1.
2. Доказать, что из девяти последовательных чисел
всегда можно выбрать одно число, взаимно простое с ос-
остальными.
3. Найти коэффициенты при х11 и л:18 после раскрытия
скобок и приведения подобных членов в выражении:
A + X* + X7J0.
135
IX—X классы
1. Определить коэффициент, который будет стоять при
х2 после раскрытия скобок и приведения подобных членов
в выражении:
li^J* " 2J ~~ 2J ~~ ~'"" 2J
k скобок
2. Доказать, что из 16 последовательных чисел всегда
можно выбрать одно число, взаимно простое с остальными.
3. Сколько различных по величине или по положению
квадратов, состоящих из целого числа клеток, можно на-
начертить на шахматной доске в 64 клетки?
4. В каком из выражений
A + х* — *3I000 или A — л* + *3I000
будет стоять после раскрытия скобок и приведения подоб-
подобных членов больший коэффициент при я20?
2-й тур
VII—VIII классы
1. Некоторые из 20 металлических кубиков, одинаковых
по размерам и внешнему виду, алюминиевые, остальные —
дюралевые (более тяжелые). Как при помощи не более
чем 11 взвешиваний на чашечных весах без гирь определить
число дюралевых кубиков? (Предполагается, что все ку-
кубики могут быть алюминиевыми, но дюралевыми они все
быть не могут.)
2. Сколько цифр имеет число 2100?
3. На плоскости даны пять точек, из которых никакие
три не лежат на одной прямой. Доказать, что из этих точек
можно выбрать четыре, являющиеся вершинами выпуклого
четырехугольника.
4. Доказать, что никакой выпуклый 13-угольник нельзя
разрезать на параллелограммы.
5. Из чисел 1, 2,...,200 выбрано 101 число. Доказать,
что среда выбранных чисел найдется пара таких, что одно
из них делится на другое.
IX—X классы
1. п проволочных треугольников расположены в про-
пространстве так, что каждые два из них имеют общую вер-
136
шину и в каждой вершине сходится одно и то же число k
треугольников. Найти все значения п и kt при которых
такое расположение возможно.
2. В числовом треугольнике
1
111
12 3 2 1
13 6 7 6 3 1
каждое число равно сумме чисел, расположенных в преды-
предыдущей строке над этим числом и над его соседями справа
и слева (если не все такие числа присутствуют, то они
считаются равными нулю).
Доказать, что в каждой строке, начиная с третьей,
найдется четное число.
3. Внутри квадрата AXA^AZA^ расположен выпуклый
четырехугольник АЬА9А7А8, внутри которого взята точка
А9. Доказать, что если из девяти точек Av Ait ..., Л8, As
никакие три не лежат на одной прямой, то из них можно
выбрать пять точек, лежащих в вершинах выпуклого пяти-
пятиугольника.
4. Из чисел 1,2,...,200 выбрали одно число, меньшее
16, и еще 99 чисел. Доказать, что среди выбранных чисел
найдутся два таких, что одно из них делится на другое.
5. Доказать, что если четыре грани тетраэдра равно-
равновелики, то они равны между собой.
XI олимпиада A948 год)
1-й тур
' VII—VIII классы
1. Сумма обратных величин трех целых положительных
чисел равна 1. Каковы эти числа? Найти все решения.
2. Найти все возможные расположения четырех точек
на плоскости, при которых попарные расстояния между
этими точками принимают только два значения: а и Ь.
При каких значениях отношения у такие расположения
возможны?
3. На плоскости проведено п прямых линий. Доказать,
что области, на которые эти прямые разбивают плоскость,
137
можно так закрасить двумя красками (каждая область
закрашивается только одной краской), что никакие две
соседние области (т. е. области, соприкасающиеся по отрез-
отрезку прямой) не будут закрашены одной и той же краской.
IX—X классы
1. Если число
!=2
п
целое, то и число
—2
2п—\
целое. Доказать.
2. Доказать без помощи таблиц, что
_i_
!og2n; '
3. Даны две треугольные пирамиды ABCD и A'BCD
с общим основанием BCD, причем точка А' лежит внутри
пирамиды ABCD. Дока-
Доказать, что сумма плоских
углов при вершине А'
пирамиды A'BCD больше
суммы плоских углов при
вершине А пирамиды
ABCD.
4. Даны окружность и
точка А вне ее. Из этой
точки мы совершаем путь
по некоторой замкнутой
ломаной, состоящей из от-
отрезков прямых, касатель-
касательных к окружности, и за-
заканчиваем путь в точке А
(рис. 1). Участки пути, по
которым мы приближаемся
к центру окружности, бе-
берем со знаком «плюс», остальные участки со знаком «минус» —
по ним мы удаляемся от центра. Доказать, что алгебраиче-
алгебраическая сумма длин участков пути с указанными знаками
равна нулю.
2-й тур
VII-VIII классы
1. Решить в натуральных числах уравнение xv = ух
(х ф у). Найти все решения.
2. Доказать, что в любом треугольнике имеет место
Рис. 1.
138
неравенство: /? > 2r (# и г — радиусы описанного и впи-
вписанного кругов соответственно), причем равенство R = 2г
имеет место только для правильного треугольника.
3. Может ли фигура иметь более одного, но конечное
число центров симметрии?
IX—X классы
1. Найти все рациональные положительные решения
уравнения
2. Поместить в куб окружность наибольшего возмож-
возможного радиуса.
3. Сколько различных целочисленных решений имеет
неравенство |д;| И- \у\ < 100?
4. Каково наибольшее возможное число лучей ^в про-
пространстве, выходящих из одной точки и образующих по-
попарно тупые углы?
XII олимпиада A949 год)
1-й тур
VII—VIII классы
1. Показать, что
27 195е - 10 8878 + 10 152s
делится на 26 460 без остатка.
2. Доказать, что если плоский многоугольник имеет
несколько осей симметрии, то все они пересекаются в одной
точке.
3. Доказать, что равенство я2 + уг + г2 = 2xyz для
целых чисел х, у, z возможно только при х = у — г = 0.
4. Дана плоская замкнутая ломаная периметра 1. До-
Доказать, что можно начертить круг радиуса 1/4, покрываю-
покрывающий всю ломаную.
5. Доказать, что для любого треугольника отрезок,
соединяющий центры вписанной и вневписанной окружно-
окружностей, делится описанной окружностью пополам
139
IX—X классы
1. Найти такие целые числа х, у, г, и, что
хъ + У2 + z2 + м2 = 2л#ги.
2. Как расположены плоскости симметрии ограничен-
ограниченного тела, если оно имеет две различные оси вращения?
(Осью вращения тела называется прямая, после поворота
вокруг которой на любой угол тело совмещается само с
собой.)
3. Найти действительные корни уравнения:
4, Имеется набор из An положительных чисел. Из лю-
любых четырех попарно различных чисел этого набора можно
составить геометрическую прогрессию. Доказать, что в
таком случае в наборе имеются по крайней мере п одинако-
одинаковых чисел.
5. Доказать, что если у шестиугольника противопо-
противоположные стороны параллельны и диагонали, соединяющие
противоположные вершины, равны, то вокруг него можно
описать окружность.
2-й тур
VII—VIII классы
1. Двенадцать полей расположены по кругу. На четырех
соседних полях стоят четыре разноцветные фишки: красная,
желтая, зеленая и синяя. Одним ходом можно передвинуть
любую фишку с поля, на котором она стоит, через четыре
поля на пятое, если оно свободно, в любом из двух возмож-
возможных направлений. После нескольких ходов фишки стали
опять на те же четыре поля. Как они могут при этом пере-
переставиться?
2. Даны 2 треугольника ABC и DEF и точка О. Берется
любая точка X в треугольнике ЛВС и любая точка К в
треугольнике DEF, после чего треугольник OXY достраи-
достраивается до параллелограмма OXYZ.
а) Доказать, что все полученные таким образом точ-
точки Z образуют многоугольник.
б) Сколько сторон он может иметь?
140
в) Доказать, что его периметр равен сумме периметров
исходных треугольников.
3. Имеется тринадцать гирь, каждая из которых весит
целое число граммов. Известно, что любые двенадцать
из них можно так разложить на две чашки весов, по шесть
на каждую, что наступит равновесие. Доказать, что все
гири имеют один и тот же вес.
4. В произвольном шестиугольнике середины сторон
соединены через одну.. Доказать, что точки пересечения
медиан двух образовавшихся треугольников совпадают.
5. Если имеется сто любых целых чисел, то среди них всег-
всегда можно взять несколько (или может быть одно), так, что
в сумме они дадут число, делящееся на 100. Доказать.
IX—X классы
1. См. задачу № 1 для VII—VIII классов;
2. См. задачу № 3 для VII—VIII классов.
3. В данный треугольник вписать центрально-симме-
центрально-симметричный многоугольник. Многоугольник считается впи-
вписанным в треугольник, если все его вершины лежат на сто-
сторонах этого треугольника.
4. Доказать, что числа вида 2Л при различных нату-
натуральных п могут начинаться на любую заранее заданную
комбинацию цифр.
5. Доказать, что к квадрату нельзя приложить более
восьми не налегающих друг на друга квадратов такого же
размера.
XIII олимпиада A950 год)
1-й тур
VII—VIII. классы
1. Имеется шахматная доска с.обычной раскраской
(границы квадратов считаются окрашенными в черный
цвет). Начертить на ней окружность наибольшего радиуса,
целиком лежащую на черных полях, и доказать, что боль-
большей окружности того же рода начертить нельзя.
2. Имеется 555 гирь весом 1 г, 2 г, 3 г, 4 г 555 г.
Разложить их на три равные по весу кучи.
3. Даны три окружности О1( О2> О$, проходящие через
одну точку О. Вторые точки пересечения Ох с О%, Оа с О„
141
03 с Ох обозначим соответственно через Аг, А2, Л3. На Ог
берем произвольную точку Bv Если Вх не совпадает
с А1У то проводим через точки Вг и Ах прямую до второго
пересечения с О% в точке Вг. Если Вг не совпадает с Л2,
то проводим через точки В2 и Л2 прямую до второго пере-
пересечения с О3 в точке В3. Если В3 не совпадает с Л3, то про-
проводим через точки В3 и Л3 прямую до второго пересечения
с О1 в точке В4. Доказать, что точка В4 совпадает с Bv
4. Пусть а, Ь и с — длины сторон треугольника;
Л, В, С—величины противоположных углов. Доказать,
что
Аа + ВЪ + Се> ~- (АЬ + Лс + Да + Яс + Са + С6).
5. Из пункта А в другие можно попасть двумя спосо-
способами:
1) Выйти сразу и идти пешком.
2) Вызвать машину и, подождав ее определенное вре-
время, ехать на ней.
В каждом случае используется способ передвижения,
требующий меньшего времени. При этом оказывается, что
если конечный пункт
отстоит на
1 км
2 км
3 км
то понадобится на дорогу
10 мин
15 мин
у 171 мин
Скорости пешехода и машины, а также время ожидания
машины принимаются неизменными.
Сколько времени понадобится для достижения пункта,
отстоящего от Л на 6 км?
IX—X классы
1. Пусть Л-—произвольный угол, В и С—острые
углы. Всегда ли существует такой угол х, что
sin В • sin С ^
sin л:
1 — cos В cos С cos A '
(Из «Воображаемой геометрии» Н. И. Лобачевского.)
142
2. Из двух треугольных пирамид с общим основанием
одна лежит внутри другой. Может ли сумма ребер внутрен-
внутренней пирамиды быть больше суммы ребер внешней?
3. Имеется 81 гиря весом 1а г, 22 г, З3 г, ..., 81а г.. Раз-
Разложить их на три равные по весу кучи.
4. Решить уравнение
5. Даны п окружностей: 0v 02, 03,..., 0л, проходящих че-
через одну точку О. Вторые точки пересечения 0г с О2, 02 с 03,
..., Оп с 0х обозначим соответственно через Av Аг, ..., Ап,
На 0г берем произвольную точку Bv Если Bt не сов-
совпадает с Ах, то проводим через Лх и Вг прямую до второго
пересечения с О2 в точке В2. Если В2 не совпадает с А2, то
проводим через А2 и В2 прямую до пересечения с 03 в точке
\S3, и так далее, пока не получим точку Вп на окружности
0п. Если при этом Вп не совпадает с Ап, то проведем через
эти точки прямую до второго пересечения с 0г в точке Вп+1.
Доказать, что Впл.1 совпадает с Bv
Замечание: в случае совпадения каких-либо точек
Bk и Ak, нужно через точку Ak проводить касательную
к окружности 0k до пересечения с Ok+1 в точке Bk+V (Ср. с
задачей № 3 для VII—VIII классов.)
2-й тур
VII—VIII классы
1. В выпуклом 13-угольнике проведены все диагонали.
Они разбивают его на многоугольники. Возьмем среди них
многоугольник с наибольшим числом сторон. Какое самое
большое число сторон может он иметь?
2. Доказать, что
_L A A JL 99 j_
2 ' 4 * 6 * 8 * "• 100 ^ 10'
3. В треугольник вписана окружность, около которой
описан квадрат, так что никакая сторона квадрата не па-
параллельна никакой стороне треугольника. Доказать, что
вне треугольника лежит меньше половины периметре
квадрата.
4. На окружности расположены 20 точек. Эти точки
ИЗ
соединяются десятью хордами, не имеющими общих кон-
концов и не пересекающимися между собой. Сколькими спо-
способами это можно сделать?
IX—X классы
1. В выпуклом 1950-угольнике проведены все диаго-
диагонали. Они" разбивают его на многоугольники. Возьмем
среди них многоугольник с самым большим числом сторон.
Какое наибольшее число сторон может он иметь? (Ср. с за-
задачей № 1 для VII—VIII классов,)
2. Числа 1, 2, 3, ..., 101 выписаны в ряд в каком-то
порядке. Доказать, что из этого ряда всегда можно вычерк-
вычеркнуть 90 чисел так, что оставшиеся 11 будут расположены
в порядке возрастания или убывания.
3. Около сферы описан пространственный четырех-
четырехугольник. Доказать, что точки касания лежат в одной пло-
плоскости.
4. Можно ли провести в городе 10 автобусных марш-
маршрутов и установить на них остановки так, что для любых
8 маршрутов найдется остановка, не лежащая ни на одном
из них, а любые 9 маршрутов проходят через все оста-
остановки?
XIV олимпиада A951 год)
2-й тур
VII—VIII классы
1. Пусть ABCD и A'BfCD' — два выпуклых четырех-
четырехугольника с соответственно равными сторонами {АВ =А'В[,
ВС — В'С и т. д.). Доказать, что если Z А > Z А\ то
BB' OC DDf
2. На плоскости даны равнобочная трапеция ABCD
и точка Р. Доказать, что из отрезков PA, PBy PC, PD
можно построить четырехугольник.
3. Доказать, что сумма Is + 2s + ... + ns при всех п
есть полный квадрат.
4. Какими фигурами может быть центральная проекция
треугольника (центр проекции не лежит в плоскости тре-
треугольника)?
144
IX—X классы
\. В л-угольную пирамиду вписана сфера. Дока-
Доказать, что если совместить - все боковые грани пирамиды
с плоскостью основания (повернув их вокруг соответст-
соответствующих ребер основания), то все точки касания этих гра-
граней со сферой сольются в одну точку Н, а вершины граней
расположатся на окружности с центром Н.
2. Из всех выпуклых многоугольников, у которых одна
сторона равна а Ич.сумма внешних углов при вершинах,
не прилегающих к этой стороне, равна 120°, найти много-
многоугольник наибольшей площади.
3. Из всех ортогональных проекций правильного тет-
тетраэдра на различные плоскости найти проекцию наибольшей
площади.
4. Окружность обладает тем свойством, что внутри нее
можно двигать вписанный правильный треугольник так,
чтобы каждая вершина треугольника двигалась по этой
окружности и описывала ее целиком. Найти плоскую замк-
замкнутую несамопересекающуюся кривую с тем же свойством,
отличную от окружности.
XV олимпиада A952 год)
1-й тур
VII класс
1. В треугольник ABC вписана окружность, касающая-
касающаяся его сторон в точках L, М, N. Доказать, что треугольник
LMN всегда остроугольный.
2. Доказать тождество: (ах + by Ч- сг)ъ -Ь (bx + су -f-
-\-azf + (сх Л-ay Л- bzf.= (ex + by + azf + (b x + ay -f
+ czf + (ax + cy + bzY.
3. Если все грани параллелепипеда — равные между
собой параллелограммы, то они являются ромбами.
4. См. задачу № 2 для VIII класса; вопрос: когда должен
выйти из W пешеход С, чтобы Л я В прибыли в А^ одновре-
одновременно?
VIII класс i
1, Докажите, что если ортоцентр делит все высоты тре-
треугольника в одном и том же отношении, то треугольник
145
равносторонний. (Ортоцентром называется точка пересе-
пересечения высот.)
2. Два человека А к В должны попасть из пункта М
в пункт N, расположенный в 15 юн от М. Пешком" они
могут передвигаться со скоростью 6 км/час. Кроме того,
в их распоряжении имеется велосипед, на котором можно
ехать со скоростью 15 км/час. А и В отправляются в путь
одновременно, причем А идет пешком, а В едет на велоси-
велосипеде до встречи с пешеходом С, идущим из N в М. Дальше
В передает С велосипед и продолжает путь пешком, а С
едет на велосипеде до встречи с А, передает ему велосипед,
на котором тот и приезжает в N. С идет пешком с той же
скоростью, что А и В. Время, затраченное А и В на дорогу,
считается от момента их отправления из М до момента
прибытия последнего из них в N. Когда должен выйти
из N пешеход С, чтобы это время было наименьшим?
IX класс
!. Дана геометрическая прогрессия, знаменатель ко-
которой — целое число (не равное 0 и —1). Доказать, что
сумма двух или большего числа произвольно выбранных
ее членов не может равняться никакому члену этой про-
прогрессии.
2. Доказать, что если \х\ < 1, \у\ < 1, то
\-r~xy
3. Треугольник ABC разбит прямой BD на два тре-
треугольника. Доказать, что сумма радиусов окружностей,
вписанных в AABD и aDBC, больше радиуса окружности,
вписанной в аАВС.
4. Дана последовательность целых чисел, построенная
следующим образом: dt — произвольное трехзначное число;
at — сумма квадратов его цифр; а3 — сумма квадратов
цифр числа а2 и т. д.
Доказать, что в последовательности av a2, а3, ... обя-
обязательно встретится либо 1, либо 4.
X класс
1. Найти соотношение между arcsin cos arcsin x и
arccossin arccosA;.
2. Доказать, .что при целом п > 2 и |лс|<1 справед-
справедливо неравенство 2я > A — х)п + A + х)п.
3. В трехгранный угол с вершиной S вписана сфера
с центром в точке О. Доказать, что плоскость, проходящая
через три точки касания, перпендикулярна прямой OS.
4. Если при любом положительном р оба корня урав-
уравнения ах2 Л- Ьх + с 4- р = 0 действительны и положитель-
положительны, то коэффициент й равен нулю. Доказать.
2-й тур
VII класс
1. Решить систему пятнадцати уравнений с пятна-
пятнадцатью неизвестными:
1 — xxxt = О,
I — х%х$ = О,
1 — #14*15 = 0.
1 -^15^1 ™ 0.
(Ср. задачу № 1 для IX класса.)
2. В выпуклом четырехугольнике ABCD выполнено
соотношение: АВ + CD = ВС + AD. Доказать, что окруж-
окружность, вписанная в /\АВС, касается окружности, вписан-
вписанной в Л A CD.
3. Доказать, что если квадрат числа начинается #с
0,9... 99 A00 девяток), то и само число начинается с 0,9 ... 9
(не менее, чем 100 девяток).
4. Дан отрезок АВ, Найти множество вершин С
остроугольных треугольников ABC.
VIII класс
1. Вычислить с шестьюдесятью десятичными знаками
1/0,99 ...9.
60 девяток
(Ср. задачу № 3 для VII класса).
2. Из точки С проведены касательные СА и СВ к ок-
окружности О.
Из произвольной точки jV окружности опущены пер-
перпендикуляры ND, NE, NF (соответственно) на прямые
АВ, СА и СВ. Доказать, что ND есть среднее пропорцио-
пропорциональное между NE и NF.
147
3. Имеются семь жетонов с цифрами 1, 2, 3, 4, 5, б, 7.
Доказать, что ни одно семизначное число, составленное
с помощью этих жетонов, не делится на другое.
4. 99 прямых разбивают плоскость на п частей. Най-
Найти все возможные значения п, меньшие 199.
IX класс
1. Решить систему уравнений
п1п
1 — хпхх — 0.
и исследовать решение.
2. Поместить в полый куб с ребром а три цилиндра
диаметра — и высоты а так, чтобы они не могли менять
своего положения внутри куба.
3. См. задачу № 3 для VIII класса.
4. В равнобедренном треугольнике ЛВС угол ЛВС
равен 20° и ВС = АВ. На сторонах АВ и Б С взяты соот-
соответственно точки Р и Q, такие, что /.РАС = 50°, ZQCA —
=* 60°. Доказать, что угол PQC равен 30°.
5. 200 учеников выстроены прямоугольником по 10 че-
человек в каждом поперечном ряду и по 20 человек в каждом
продольном ряду. В каждом продольном ряду выбран са-
самый высокий ученик (если таких несколько, то выбирается
любой), а затем из отобранных 10 человек выбран самый
низкий. С другой стороны, в каждом поперечном ряду
выбран самый низкий ученик, а затем среди отобранных
20 человек выбран самый высокий. Какой из этих двух
отобранных учеников окажется выше?
X класс
1. Доказать, что сумма
cos 32* -j- aai cos3\x -f-... + a% cos 2x + аг cos x
принимает как положительные, так и отрицательные зна-
значения. (Здесь числа а[, а^у ..., а31 произвольны, но фикси-
фиксированы, а величина х меняется.)
us
2. См. задачу № 2 для IX класса.
3. Доказать, что ни при каком целом а ни один много-
многочлен вида Ъх%п + ахп 4- 2 4ie делится на многочлен
2хш + ахт + 3.
4. См. задачу № 4 для IX класса.
5. См, задачу № 5 для IX класса.
XVI олимпиада A953 год)
1-й тур
VII класс
1. Доказать, что в трапеции сумма углов при большем
основании меньше, чем при меньшем.
2. Найти наименьшее число, записываемое одними еди-
единицами, которое делилось бы на 33...33 A00 троек).
3. Разделить отрезок подолам с помощью угольника
(с помощью угольника можно проводить прямые и восста-
восстанавливать перпендикуляры, опускать перпендикуляры
нельзя).
4. При любом целом положительном п сумма /i8 + 8/i-f
-f- 15 не делится на «+4. Доказать.
VIII класс
1. Три окружности попарно касаются друг друга. Че-
Через три точки касания проводим окружность. Доказать,
что эта окружность перпендикулярна каждой из исходных.
(Углом между двумя окружностями называется угол между
касательными к ним в точке пересечения.)
2. Доказать неравенство:
2—К 2 +У2 + ...
(в числителе п радикалов, в знаменателе на один меньше).
3. См. задачу №.2 для VII класса.
4. См. задачу № 3 для VII класса.
Н9
. IX класс
1. Найти множество точек, координаты которых удовле-
удовлетворяют соотношению sin (х + у) = 0.
2. АВ и АгВх — два скрещивающихся отрезка, О и
Ох — их середины. Доказать, что отрезок ООг меньше
полусуммы отрезков ААХ и BBV
3. Доказать, что многочлен х200 • у200 + 1 нельзя пред-
представить в виде произведения многочленов от одного толь-
только х и-от одного только у, т. е. в виде f(x) • g(y).
А. А — вершина правильного звездчатого пятиуголь-
пятиугольника, угол при которой меньше развернутого. Ломаная
AAlBB1CC1DD1EEl является его внешним контуром.
Прямые АВ и DE продолжены до пересечения в точке F.
Доказать, что многоугольник ABB1CClDED1 равновелик
четырехугольнику AD^EF.
5. См. задачу № 2 для VIII класса
X класс
1. См. задачу № 1 для IX класса.
2. Даны прямой круговой конус и точка А. Найти мно-
множество вершин конусов, равных данному, с осями, парал-
параллельными оси данного конуса, и содержащих внутри дан-
данную точку.
3. См. задачу № 3 для IX класса.
4. См. задачу № 4 для IX класса.
5. См. задачу № 5 для VIII класса.
2-й тур
VI1 класс
1. Доказать, что наибольший общий делитель суммы
двух чисел и их наименьшего общего кратного равен наи-
наибольшему общему делителю самих чисел.
2. Около окружности описан четырехугольник. Его диа-
диагонали пересекаются в центре этой окружности. Доказать,
что этот четырехугольник — ромб.
3. В плоскости расположено 11 зубчатых колес таким
образом, что первое колесо сцеплено своими зубцами со
вторым, второе — с третьим и т. д. Наконец, последнее,
одиннадцатое, колесо сцеплено с первым. Могут ли вра-
вращаться колеса такой системы?
150
4. 1000 точек являются вершинами выпуклого тысяче-
угольника, внутри которого расположено еще 500 точек
так, что никакие три из этих 1500 точек не лежат на одной
прямой. Данный тысячеугольник разрезан на треуголь-
треугольники таким образом, что все указанные 1500 точек являются
вершинами треугольников, и эти треугольники не имеют
никаких других вершин. Сколько получится треугольни-
треугольников при таком разрезании?
5. Решить систему:
хх
xl
Х1
Х1
Х1
+ 2*2
+ 3*2
+ 3*2
+ 3*2
+ 3*2
+ 2*з
+ 4*з
+ 5*3
+ 5*з
+ 5*з
VIII
+ 2*4
+ 4*4
+ 6*4
+ 7*4
+ 7*4
класс
+ 2*5
+ 4*6
+ 6*5
+ 8*д
+ 9*5
= 1.
9
=з!
— 4
= 5.
1. а, Ь, с и d — длины последовательных сторон четы-
четырехугольника, 5 — его площадь. Доказать, что
S<-L(a + O (b + d).
2. 1953 цифры выписаны по кругу. Известно, что если
читать эти цифры по часовой стрелке, начиная с некоторого
определенного места, то полученное 1953-значное число
делится на 27. Доказать, что если начать читать по ча-
часовой стрелке с любого другого места, то полученное число
также будет делиться на 27. .
3. На окружности даны точки' Аг, Л2, Л3, ..., Л1в. По-
Построим все возможные выпуклые многоугольники, вершины
которых находятся среди точек Ах, А2, ..., Л1б. Разобьем
эти многоугольники, на 2 группы. В первую группу будут
входить.все многоугольники, у которых А± является вер-
вершиной. Во вторую группу входят все многоугольники,
у которых Аг вершиной не является. В какой группе
больше многоугольников?
4. В плоскости расположено п зубчатых колес таким
образом, что первое колесо сцеплено своими зубцами со
вторым, второе — с третьим и т. д. Наконец, последнее
колесо сцеплено с первым. Могут ли вращаться колеса та-
такой системы? (Ср. задачу № 3 для VII класса.)
Ш
5. Решить систему:
Н- 2*4 + 2хъ + ... + 2*100 = 1,
г + 4х4 4- 4*5 + — 4- 4*100 — 2,
Ci 4- Здг» 4- 5** + 6*4 4 6*5 4- - 4- 6*100 « 3,
4- 5*3 4- 7д:4 + 9л:5 + ... 4 199*100 =100.
/X
1. См. задачу № 2 для VIII класса.
2. В плоскости даны &АгА2А3 и прямая / вне его,
образующая с продолжениями сторон треугольника ЛХЛ2,
А2А3, А3Аг углы соответственно а3, а1( а2. Через точки
-^i» ^2> ^з проводятся прямые, образующие с / соответст-
соответственно углы 2d — av 2d — а2, 2d — а3. Доказать, что эти
прямые пересекаются в одной точке. (Все углы отсчиты-
ваются от прямой / в одном направлении.)
3. Даны уравнения:
ах2 + Ьх 4- с = 0, A)
— ах2 4-6* + с = 0. _ B)
Доказать, что если хг и дг2 (соответственно) какие-либо
корни уравнений A) и B), то найдется такой корень *3
уравнения-^-*2 4- Ьх 4- с = 0, что либо хх < *3 < *2,
либо *г > *3 > *2.
4. Дан лист клетчатой бумаги размером 101 X 200 кле-
клеток. Начиная от какой-либо угловой клетки идем по диа-
диагонали и каждый раз, дойдя до границы, меняем направ-
направление движения по правилу отражения света. Попадем ли
мы когда-нибудь в какую-либо угловую клетку?
5. Разрезать куб на три равные пирамиды.
X класс
1. Найти корни уравнения
___+____ ... + <_!) _
2. См. задачу Кп 2 для IX класса,
3. Пусть х0 - 108, хп = + 2
Доказать, что 0 < хзв — -/2 < 10
п — 1
4. Ой. задачу Ш 5 для1 IX класса.
5. На-бесконечной шахматной доске стоит конь. Найти
все клетки, куда он может попасть ровно за 2л ходов
(см. примечание к задаче XXII, II, 8, 5).
XVII олимпиада A954 год)
1-й тур
VII класс
1. Правильный звездчатый шестиугольник разрезать на
4 части так, чтобы из них можно было составить выпуклый
многоугольник.
2. Даны два выпуклых многоугольника ЛХА2 ... Ап
и Вг В2... Вп. Известно, что А1АШ = В1В& А2А3 = В%В3, ...
..., АпА1 = ВпВг и п — 3 угла одного многоугольника
равны соответственным углам другого. Будут ли эти много- ч
угольники равны?
3. Определить четырехзначное число, если деление этого
числа на однозначное производится по такой схеме:
**
**
**
а деление этого же числа на другое однозначное произво-
производится по такой схеме:
#*
*#
4. Существуют ли целые числа т и п, удовлетворяющие
уравнению т2 + 1954 = л2?
5. Определить наибольшее значение отношения трех-
трехзначного числа к сумме его цифр.
VIII класс
1. Из квадрата размером 3x3 вырезать одну фигуру,
которая представляет собой развертку полной поверхности
куба, длина ребра которого равна 1.
153
2. Из произвольной внутренней точки О выпуклого
«-угольника опущены перпендикуляры на стороны (или
на их продолжения). На каждом перпендикуляре от точки
О в направлении к соответствующей стороне построен
вектор, длина которого равна половине длины этой сто-
стороны. Определить 'ысумму построенных векторов.
3. См. задачу № 3 для VII класса.
4. Найти все решения системы уравнений
где л « 1, 2, 3.
5. См. задачу № 4 для VII класса.
IX класс
1. Доказать, что если х* + axxl -f агх\ -f а3х0 + а4= О
и 4х$ -f- 2>axxl 4- 2а2дг0 + а3 — 0, то многочлен х4 + ^jt3 +
+ «2А'2 + «Зл: + а4 делится на (х — х0J.
2. Дано число 123456789ШШ2131415... 9899100. Вы-
Вычеркнуть 100 цифр так, чтобы оставшееся число было наи-
наибольшим.
3. Дано 100 чисел av a2> ..., ат, удовлетворяющих
условиям
п! — За2 + 2а3 > О,
аа — 2>а3 + 2а4 > 0,
а99 — 3д100 + 2fl! > 0,
а100 — Зах + 2а2>0.
Доказать, что все эти числа равны между собой.
4. Дан треугольник ABC. Пусть А1У Вх, Сх — точки
пересечения прямых AS, BS, CS соответственно ср сторо-
сторонами ВС, АС, АВ треугольника ABC. Доказать, что по
крайней мере в одном из полученных четырехугольников
ABXSCX, CXSAXB, AXSBXC оба угла при Сх и В1У или Сх и
Av или А х и Вх не острые (S — любая точка внутри аАВС).
5. Существуют ли в пространстве такие 4 точки
AMtC,D, что
АВ = CD = 8 см,
= BD= 10 см,
= BC= 13 еж?
154
X класс
1. Найти все действительные решения уравнения
*2 4- 2* sin (xy) +1=0.
2. См. задачу № 2 для IX класса.
3. Дано 100 чисел av щ а100, удовлетворяющих
условиям
аг — 4<за + За3 > 0,
а* — 4а3 + За4 > 0,
>0,
ат — Аах + За2 > 0.
Известно, что ах = 1. Найти а2, а3, ..., а100 (ср. задачу
№ 3 для IX класса).
4. См. задачу № 4 для IX класса.
5. См. задачу № 5 для IX класса.
2-й тур
VII класс
1. Дан лист клетчатой бумаги, каждый узел сетки
которого обозначен некоторой буквой. Известно, что
на любом отрезке, соединяющем два узла, обозначенных
одной буквой и лежащих на одной линии, найдется по
крайней мере один узел, обозначенный другой буквой.
Какое наименьшее число различных букв требуется для
этого?
, 2. Решить систему:
10*! + 3*2 + 4*3 + *4 + *6 = 0,
11 *а + 2*з + 2*4 4 3*е + *в = О,
15*3 4 4*4 + 5*5 + 4*е + *7 = 0,
Z*j + *2 <Э*з 4 -I ^*4 "-^5 + "^6 + *7 == U»
O*j 0*2 ~г <J*g ~~ *4 ~г ^ ' *5 ~i "*6 == '
3*! + 2*2 — 3*3 + 4*4 + *5 16*в + 2*7 = 0,
4*! 8*2 + *3 + *4 + 3*5 + 1 9*7 = 0.
3. Сколько осей симметрии может иметь семиугольник?
4. Дано число N = 2 • 3 • 5 • 7 • 11 • 13 • 17 . 23 • 29 • 31
155
(произведение простых чисел). Пусть 1, 2, 3, 5 N
— все его делители, выписанные в порядке возра-
возрастания. Под рядом делителей выпишем ряд из 1 и —1 по
следующему правилу: под 1 пишем -fl, под числом, раз-
разлагающимся на четное число сомножителей, пишем 4-1,
под остальными числами пишем —1.
Доказать, что сумма чисел построенного ряда равна
нулю.
VIII класс
1. Из клетчатой бумаги вырезан квадрат 17 X 17,
В каждой клетке квадрата написано одно из чисел, 1, 2,
3, ..., 70. Доказать, что существуют четыре различные
клетки, центры которых А, В, С, D являются вершинами
параллелограмма и сумма чисел, стоящих в клетках с цен-
центрами А и С равна сумме чисел, стоящих в клетках с цен-
центрами В я D (АВ \\ CD).
2. Даны четыре прямых mv /я2, т3 и /я4, пересекаю-
пересекающихся в одной точке О. Через произвольную точку Аг пря-
прямой тг проводим прямую, параллельную /п4 до пересечения
с прямой /я2 в точке Л2. Через Л2 проводим прямую, па-
параллельную tnv до пересечения с та в точке А3. Через Л3
проводим прямую, параллельную т2 до пересечения, с
прямой т4 в точке Л4. Через Л4 проводим прямую, парал-
параллельную т3 до пересечения с пг1 в точке В.
ОА
Доказать, что ОВ <! ~~- (прямые занумерованы по
часовой стрелке относительно точки О).
3. См. задачу № 2 для VII класса.
4. См. задачу № 3 для VII класса.
5. См. условие задачи № 4 для VII класса при N =
= 2 • 3 • 5 • 7 • И • 13 • 17 • 19 • 23 • 29 • 31 • 37.
IX класс
1. На двух лучах 1г и /2, проходящих через точку О,
отложеньГ отрезки ОАХ и 0Вг на луче 1Х и ОЛЙ и ОВ% на
луче ?а; известно, что
0Аг ^ 0В2 ¦
Определить множество всех точек пересечения прямых
ААг и ВВг при вращении луча /в вокруг точки О (луч
1г — неподвижен).
2. См. условие задачи № 2 для VIII класса. Доказать,
,3. Сто положительных чисел xv x%i ..., х1М удовлетво-
удовлетворяют условиям:
х\ + ... + *?оо > Ю000,
Доказать, что среди них найдутся три числа, сумма
которых больше 100.
4. Если дана последовательность 15 чисел:
&v a2, а3, ... , а15, A)
то можно построить новую последовательность чисел:
bv b2, b3, ... , blb, B)
где bt равно количеству чисел последовательности A),
меньших ао i = 1, 2, ..., 15. Существует ли последова-
последовательность A), для которой последовательность B) выглядит
так:
1,0,3,6,9,4,7,2,5,8,8,5, 10, 13, 13?
4 5. Из точки А выходит 5 отрезков: АВг, ABit AB3,
ABit АВЬ. Из каждой точки Rt могут выходить еще 5 от-
отрезков или ни одного отрезка и т. д., причем концы ни-
никаких двух отрезков построенной системы не совпадают.
Может ли число свободных концов построенных отрезков
равняться 1001? (Под свободным концом мы понимаем
точку, из которой не выходит ни одного отрезка.)
X класс
1. Сколько плоскостей симметрии может иметь тре-
треугольная пирамида?
2. См. условие задачи № 2 для VIII класса. Доказать,
что
ОВ<
4 '
3. См. задачу № 3 для IX класса.
4V Известно, что модули всех корней уравнений:
х2 + Ах + В = 0,
х2 -f- Сх + D = 0,
167
меньше 1. Доказать, что модули корней уравнения
* + A .x+ —o
также меньше 1.
5. Рассматриваются всевозможные десятизначные чис-
числа, записываемые при помощи цифр 1 и 2. Разбить их на
два класса так, чтобы при сложении любых двух чисел
одного класса получалось число, в написании которого
содержится не менее двух троек.
XVIII олимпиада A955 год)
1-й тур
VII класс
1. Числа 1, 2, ..., 49 расположены в квадратной таблице:
12 3 4 5 6 7
8 9 10 П 12 13 14
43 44 45 46 47 48 49
Произвольное число из таблицы выписывается, после
чего из таблицы вычеркиваются строка и столбец, содер-
содержащие это число. То же самое проделывается с оставшейся
таблицей и т. д., всего 7 раз. Найти сумму выписанных
чисел (ср. задачу № 1 для IX класса).
2. Дан прямоугольный треугольник ABC. Из вершины
В прямого угла проведена медиана BD. Пусть К — точка
касания стороны AD треугольника ABD с окружностью,
вписанной в этот треугольник. Найти углы /\АВС, если
К делит AD пополам.
3. Дан равносторонний Д ABC. На сторонах АВ и
ВС взяты точки D и Е так, что АЕ = CD. Найти множество
точек пересечения отрезков АЕ и CD.
4. Существует ли такое целое п, что п% ¦+- п + 1 делится
на 1955?
5. Найти все прямоугольники, которые можно разрезать
на 13 равных квадратов.
VIII класс
I. Дано: 2я = 10а + Ь. Доказать, что если п > 3,
то аЬ делится на 6. Здесь п, а, Ь — целые положительные
числа, Ь < 10.
156
2. Дан четырехугольник ABCD. На стороне А В взята
точка К, на стороне ВС — точка L, на стороне CD — точка
М и на стороне AD — точка N, так, что KB = BL — а,
MD = DN — Ь. Пусть KL % MN. Найти множество всех
точек пересечения прямых KL и MN при изменении а
и Ь.
3. Квадратная таблица из 49 клеток заполнена чис-
числами от 1 до 7 так, что в каждом столбце и в каждой строке
встречаются все эти числа. Если таблица симметрична
относительно диагонали, идущей из левого верхнего угла
в правый нижний, то на этой диагонали встречаются все
эти числа. Доказать. (Ср. задачу № 1 для X класса.)
4. Какие выпуклые фигуры могут содержать прямую?
5. На окружности даны четыре точки А, В, С, D. Через
каждую пару соседних точек проведена окружность. Вто-
Вторые точки пересечения соседних окружностей обозначим
через Alt Blt Clt D± (некоторые из них могут совпадать
с прежними). Доказать, что точки Av Bv Cv Dx лежат на
одной окружности. - *~-—
IX класс
1. Числа 1, 2, ..., k2 расположены в квадратной таблице
1 2 k
k+1, k + 2 2k
9 4 *
(k— l)fc+l, (Jfe—
Произвольное число выписывается, после чего из таблицы
вычеркиватся строка и столбец, содержащие это число.
То же самое проделывается с оставшейся таблицей из
(k — IJ чисел и т. д. k раз. Найти сумму выписанных
чисел.
2, Найти множество середин всех отрезков с концами
на двух различных непересекающихся окружностях, ле-
лежащих одна вне другой.
3. Найти все действительные решения системы:
4. р простых чисел av a2, ..., ар образуют возрастаю-
возрастающую арифметическую прогрессию и ах> р. Доказать,
159
что если р — простое чйгсло, то разность прогрессии де-
делится на р.
5. Дан &АВС и точка D внутри него, причем АС—
— DA >1 и ВС — BD > 1. Берется произвольная точ-
точка В внутри отрезка АВ. Доказать, что ЕС — ED > 1.
X класс
1. Квадратная таблица в л2 клеток заполнена числами
от 1 до пг так, что в каждой строке и в каждом столбце
встречаются все эти числа. Если п нечетно и таблица сим-
симметрична относительно диагонали, идущей из левого верх-
верхнего угла в правый нижний, то на этой диагонали встре-
встретятся все эти числа 1, 2, 3, ..., п. Доказать.
2. См. задачу № 3 для IX класса.,
3. См: задачу № 5 для IX класса.
. 4.. Дан трехгранный угол с вершиной О. Можно ли
найти такое плоское сечение ABC, чтобы углы ОАВ, ОВА,
ОСВ, О АС, ОСА, ОВС были острыми?
2-й тур
VII класс
1. Решить в целых числах уравнение
хз _ 2f/3 __ 42з = 0.
2. Трехчлен ал:2 + Ьх + с при всех целых х является
точной четвертой степенью. Доказать, что тогда а —
= Ъ = 0.
3. Дан дАВС. Центры вневписанных окружностей Ov
Оа и О3 соединены прямыми. Доказать, что АОХО2О3 —
остроугольный.
4. В турнире собираются принять участие 25 шахмати-
шахматистов. Все они играют в разную силу, и при встрече всегда
побеждает сильнейший. Какое наименьшее число партий
требуется, чтобы определить двух сильнейших игроков?
5. Разрезать прямоугольник на 18 прямоугольников
так, чтобы никакие два соседних не образовывали прямо-
прямоугольника.
VIII класс *
1. Трехчлен ах2 -f bx + с при всех целых х является
точным квадратом. Доказать, что тогда ах% -Н Ьх + с =
(d + )\
Ш
2. Две окружности касаются друг друга внешним обра-
образом и третьей изнутри. Проводятся внешняя и внутренняя
общие касательные к первым двум окружностям. Доказать,
что внутренняя касательная делит пополам дугу, отсекае-
отсекаемую внешней касательной на третьей окружности.
3. Точка О лежит внутри выпуклого л-угольника
АхА9... Ап и соединена отрезками с его вершинами. Сторо-
Стороны л-угольника нумеруются числами .от 1 до п, причем
разные стороны нумеруются разными числами. То же самое
делается с отрезками ОАХ, ОА%, ..., 0Ап.
а) Для п — 9 найти нумерацию, при которой сумма
номеров сторон для всех треугольников AxOAif Az0A3 ,...
..., АпОАх одинакова.
б) Доказать, что при п = 10 такой нумерации осуще-
осуществить нельзя.
4. Неравенство
Аа (ВЬ + Сс) + ВЬ (Аа + Сс) + Сс (Аа + ВЬ) >
> -i- {АВс2 + ВСа2 + САЬ2)
(где я>0, 6>0, с>0 — данные числа) выполняется
при всех А > 0, В > 0, С > 0. Можно ли из отрезков
а, Ь, с составить треугольник?
5. Найти все такие числа а, что все числа [а], [2а], ...
..., [Na] различны между собой и все числа —, —, ...
— также различны между собой.
IX класс
1. Дан треугольник АВС. На сторонах A Bt ВС, С А
взяты соответственно точки Сх, Аг, Вх так, что
АСХ ВАХ ^ СВ± = J_
СХВ — АгС ~ ВЧА ~~ п '
На сторонах АгВг, ВгСг, СХЛХ треугольника А1В1С1 взяты
соответственно точки Са, Л2, В2 так, что
jj 21 ^i
Доказать, что Л2С21| АС, С2В2 \\ СВ, ВгА% \\ ВА.
2. Расположить на прямой систему отрезков длины 1,
не имеющих общих точек и общих концов так, чтобы любая
бесконечная арифметическая прогрессия (с любой разностью
6 Зак. 387 . 161
и любым начальным членом) имела общую точку с некоторым
отрезком системы.
3. Дано уравнение
хп — а^" — агхп~г — ... — ап_х х — ап = О,
где % > 0, а2 > О, ..., ап > 0. Доказать, что это уравнение
не может иметь двух положительных корней.
4. См. задачу № 2 для VIII класса
5. Пять человек играют несколько партий в домино
(двое на двое) так, что каждый играющий имеет каждого
один раз партнером и два раза противником. Найти коли-
количество сыгранных партий и все способы распределения
играющих.
X класс
1. Доказать, что, если — — несократимая рациональная
дробь, являющаяся корнем полинома
/ (х) = аохп + ах х"-1 + ... -J- ап
с целыми коэффициентами, то р — kg есть делитель числа
f(k) при любом целом k,
2. См. задачу 2 для IX класса.
3. На плоскости Р стоит прямой круговой конус. Ра-
Радиус основания его равен г, высота — h. На расстоянии Н
от плоскости и 1 от высоты конуса находится источник
света. Какую часть окружности радиуса R, лежащей в
плоскости Р и концентрической с окружностью, лежащей в
основании конуса, осветит этот источник?
4. Имеется 1955 точек. Какое максимальное число троек
точек можно из них выбрать так, чтобы каждые две тройки
имели одну общую точку?
5. Дан треугольник А0В0С0. На его сторонах А0В0,
В0С0, С0Л0 взяты соответственно точки ClT Av Bv На сто-
сторонах AyB-L, BtCx, Cj^j треугольника >5IJB1C1 взяты соот-
соответственно точки С2, Л2,\ Б2> и вообще, на сторонах А„Вп,
ВпСп, СпАп треугольника АпВпСп берутся соответственно
точки С+ь Аа+и Вп+1. Известно, что
Афх BQCt C0Al . AjB2 _ BtC2 _ СгА2 _ I
ВьСъ GXAU АгВ0 К> В2Сг СгАх ~~ Афу fta
и вообще,
АпВп+1 ВпСп+1 СпАп+1 ^ ( k\ ПРИ чеТН0М П>
вп+хСп сп+1Аа Ап+1вп I т^г-при нечетном я.
162
Доказать, что треугольник ЛВС, образованный прямыми
A0Alf B05lt COCV содержится в треугольке ЛпВпСп при
любом п.
XIX олимпиада A956 год)
1-й тур
VII класс
1. Докажите, что не существует на плоскости таких
четырех точек Л, В, С, D, что все треугольники ABC,
BCD, CD A, DAB — остроугольные.
2. Найти все двузначные числа, сумма цифр которых
не меняется при умножении числа на 2, 3, 4, 5, б, 7, 8, 9.
3. Имеется замкнутая самопересекающаяся ломаная.
Известно, что она пересекает каждое свое звено ровно
один раз. Доказать, что число звеньев четно.
4. Найти все числа, на которые может быть сократима
^ 5/4-6 .
дробь 81 ' я при целом значении /.
5. Какое наименьшее число точек можно выбрать на
окружности, имеющей длину 1956, так, чтобы для каждой
кз этих точек нашлась ровно одна выбранная точка на
расстоянии 1 и ровно одна на расстоянии 2 (расстояния
измеряются по окружности)?
VIII класс
1. На сторонах А В и СВ треугольника ABC отклады-
откладываются равные отрезки AD и СЕ произвольной длины.
Найти множество середин отрезков DE.
2. В десятичной записи положительного числа а от-
отброшены все десятичные знаки, начиная с третьего знака
после запятой (т. е. взято приближение числа а с недостат-
недостатком с точностью до 0,01). Полученное число делится на-а
и частное снова округляется с недостатком с той же точ-
точностью. Какие числа при этом могут получиться? (Указать
все значения.)
3. На окружности длины 15 выбрано п точек, так что
для каждой имеется ровно одна выбранная точка на рас-
расстоянии 1 и ровно одна на расстоянии 2 (расстояния изме-
измеряются по окружности). Доказать, что п делится на 10.
(Ср. задачу № 5 для VII класса.)
* 163
4. Пусть a, b, ct d, I — целые числа. Докажите, что
если дробь асЛ d Сократима на число k, то ad — be де-
делится на k.
5. На клетчатой бумаге написана таблица, причем в
каждой клетке стоит число, равное среднему арифмети-
арифметическому четырех чисел, стоящих в соседних клетках. Из
таблицы вырезан кусок. Доказать, что если некоторое число
больше всех остальных на этом куске, то оно стоит с края.
IX класс
1. В выпуклом четырехугольнике ABCD взят четырех-
четырехугольник KLMN, образованный центрами тяжести тре-
треугольников ABC, BCD, DBA, CD А. Доказать, что прямые,
соединяющие середины противоположных сторон четырех-
четырехугольника ABCD, пересекаются в той же точке, что и пря-
прямые, соединяющие середины противоположных сторон че-
четырехугольника KLMN.
2. В десятичной записи положительного числа а отбро-
отброшены все десятичные знаки, начиная с четвертого знака
после запятой (т. е. взято приближение числа а с недостат-
недостатком с точностью до 0,001). Полученное число делится на а
и частное снова округляется с недостатком с той же точ-
точностью. Какие числа при этом могут получиться? Указать
все значения. (Ср. задачу № 2 для VIII класса.)
3. См. задачу № 5 для VIII класса.
4. Даны положительные числа h, slt s2 и расположенный
в пространстве треугольник ABC. Сколькими способами
можно выбрать точку D так, чтобы в тетраэдре ABCD
высота, опущенная из вершины D, была равна h, а площа-
площади граней ACD и BCD равнялись соответственно sx и s2.
(Исследовать все возможные случаи.)
5. См. задачу № 4 для VIII класса.
X класс
1. В треугольник вписан квадрат так, что две его вер-
вершины лежат на основании, а две другие вершины — на
боковых сторонах треугольника. Доказать, что сторона
квадрата меньше 2г, но больше /"У2", где г — радиус окруж-
окружности, вписанной в треугольник.
164
2. В десятичной записи положительного числа а отбро-
отброшены всё десятичные знаки, начиная с пятого знака после
запятой (т. е. взято приближение числа а с недостатком
с точностью до 0,0001). Полученное число делится на а
и частное снова округляется с недостатком с той же точ-
точностью. Какие числа при этом могут получиться? Указать
все значения. (Ср. задачу № 2 для VII класса и задачу № 2
для VIII класса.)
3. См. задачу № 4 для VIII класса.
4. Дана замкнутая пространственная ломаная Л 2 Л 2... Ап.
Некоторая плоскость пересекает все ее звенья: АхАг
в точке Bv A2AS в точке В2> ..., AnAt в точке Вп. Доказать,
что
A\Bi АгВг АпВп .
ВгА2 ВгА3 •" ' ВпАх
5. Доказать, что система уравнений
— Xi = b,
имеет хотя бы одно положительное решение
*! > 0, х% > 0, х8 > 0, *4 > 0
тогда и только тогда, когда | а\ + | Ь \ < 1.
2-й тур
VIII класс
1. Груз весом 13,5 т упакован в некоторое число неве-
невесомых ящиков. Вес каждого ящика с грузом не превосходит
350 кг. Доказать, что этот груз можно перевезти на 11 по-
полуторатонках.
2. 64 неотрицательных числа, сумма которых равна
1956, расположены в форме квадратной таблицы по 8 чисел
в каждой строке и в каждом столбце. Сумма чисел, стоя-
стоящих на двух диагоналях, равна 112. Числа, расположенные
симметрично относительно любой диагонали, равны. До-
Доказать, что сумма чисел в. любой строке меньше 518.
3. Все точки данного отрезка АВ проектируются на
всевозможные прямые, проходящие через данную точку О.
Найти множество всех этих проекций.
165
4. 100 чисел, среди которых есть положительные и от-
отрицательные, выписаны в ряд. Подчеркнуто, во-первых,
каждое положительное число, во-вторых, каждое число,
сумма которого со следующим- положительна, и, в-третьих,
каждое число, сумма которого с двумя следующими поло-
положительна. Может ли сумма всех подчеркнутых чисел ока-
оказаться отрицательной? Равной нулю?
5. В прямоугольнике площадью 5 кв. ед. расположены
9 прямоугольников, площадь каждого из которых равна
единице. Доказать, что площадь общей части каких-нибудь
двух прямоугольников больше или равна 1/9.
IX класс
1. См. задачу № 1 для VIII класса.
2. В кубе, ребро которого равно 13, выбрано 1956 точек.
Можно ли в этот куб поместить кубик с ребром 1 так, чтобы
внутри него не было ни одной выбранной точки?
3. Взяли три числа: х, у, z. Абсолютные величины
их попарных разностей обозначили через хх, уг, гг. Тем же
способом по числам xt, yt, zt построили числа хг, yz> z2
и т. д. Оказалось, что при некотором п справедливы ра-
равенства: хп = х, уп = у, гп = г. Зная, что х ~ 1, найти
МИ 2.
4. Четырехугольник описан около окружности. До-
Доказать, что прямые, соединяющие соседние точки касания,
пересекаются на продолжении диагонали или параллель-
параллельны ей.
5. На клетчатой бумаге выбраны три точки Л, В, С,
находящиеся в вершинах клеток. Доказать, что если тре-
треугольник ЛВС — остроугольный, то внутри или на сто-
сторонах его есть, по крайней мере, еще одна вершина клетки.
X класс
1. Подряд выписаны п чисел, среди которых есть поло-
положительные и отрицательные. Подчеркивается каждое по-
положительное число, а также каждое число, сумма которого
с несколькими непосредственно следующими за ним числа-
числами положительна. Доказать, что сумма всех подчеркнутых
чисел, положительна. (Ср. задачу № 4 для VIII класса.)
2. См. задачу № 5 для VIII класса.
3. См. задачу № 3 для IX класса,
166
4, Доказать, что если в треугольной пирамиде любые
два трехгранные угла равны или симметричны, то все грани
этой пирамиды „ равны.
54 На продолжениях сторон АгАъ, А%А3,..., АпАг правиль-
правильного л-угольника A±At... Ап построить точки Bv ?2, ..., Вп
так, чтобы Вфъ было перпендикулярно AtAtt Вфь пер-
перпендикулярно А2А3, ..., ВпВх перпендикулярно АаАх.
XX олимпиада A957 год)
1-й тур
VII класс
• 1. Найти все равнобочные трапеции, которые разби-
разбиваются диагональю на 2 равнобедренных треугольника.
2. Известно, что ах3 + bxz + сх + d (a, b, с, d — дан-
данные целые числа) при любом целом х делится на 5. Дока-
Доказать, что все числа а, Ь, с, d делятся на 5.
3. Улитка ползет по столу с постоянной скоростью.
Через каждые 15 минут она поворачивает на 90°, а в про-
промежутках между поворотами ползет по прямой. Доказать,
что она может вернуться в исходный пункт только через
целое число часов.
4. Дана прямоугольная таблица, составленная из по-
положительных чисел, причем произведение суммы чисел
любого столбца на сумму чисел любой строки равно числу,
стоящему на их пересечении. Доказать, что сумма всех
чисел в таблице равна единице. (Ср. задачу № 4 для
VIII класса,)
5. От Л до В 999 км. Вдоль дороги стоят километровые
столбы, на которых написаны расстояния до Л и до В
0 | 999, 1 | 998, 2 J 997, ..., 999 | 0.
Сколько среди них таких, на которых имеются только
две различные цифры?
VIII класс
1. Найти множество четвертых вершин всех таких пря-
прямоугольников, три вершины которых лежат на двух дан-
данных концентрических окружностях (две вершины лежат
на одной из окружностей, а третья — на другой), а стороны
параллельны двум данным прямым.
167
2. См. задачу № 3 для VII класса.
3. Из всех параллелограммов данной площади найти
тот, у которого наибольшая диагональ мидимальна.
4. В прямоугольной таблице произведение суммы чисел
любого столбца на сумму чисел любой строки равно числу,
стоящему на их пересечении. Доказать, что сумма всех
чисел в таблице равна единице или все числа равны нулю.
(Ср. задачу № 4 для VII класса.)
5. Известно, что аХ* + Ьх3 + сх* -}- dx + е (а, Ь, с,
d, е — данные целые числа) при всех целых х делится на 7.
Доказать, что все целые числа а, Ь, с, d, e делятся на 7.
(Ср. задачу № 2 для VII класса.)
IX класс
1. См. задачу № 4 для VIII класса.
2. Решить уравнение х3 —- [х] = 3, где [х] означает
наибольшее целое число, не превосходящее х.
3. В четырехугольнике ABCD точка М — середина
диагонали ACt N — середина диагонали BD. Прямая, про-
проходящая через точки М и iV, пересекает стороны АВ и CD
в точках М' и N'. Доказать, что если ММ' = NN', то
AD II ВС.
4. Школьник едет на олимпиаду на метро, платит рубль
и получает сдачу. Доказать, что если он обратно поедет
на трамвае, то он сможет уплатить за проезд без сдачи.
Примечайи*е: до денежной реформы 1961 года проезд в метро
стоил 50 коп,, на трамвае — 30 коп. и в обращении находились моне-
монеты достоинством в 1, 2, 3, 5, 10, 15 и 20 коп.
5. Плоский многоугольник AB...CD...E составлен из
п твердых стержней, соединенных щарнирно. Доказать,
что если п > 4, то его можно деформировать в треугольник.
X класо
1. При каких целых п число 20я Ч- 16" — Зл—1 де-
делится на 323?
2. В пространстве построена замкнутая ломаная так,
что все звенья имеют одинаковую длину и каждые три по-
последовательные звена попарно перпендикулярны. Дока-
Доказать, что число звеньев делится на 6. (Ср. задачу № 3 для
VII класса.)
3. См. задачу № 3 для IX класса.
168
4. Школьник едет на кружок на трамвае, платит рубль
и получает сдачу. Доказать, что на обратном пути он сможет
уплатить за проезд в трамвае без сдачи (см. примечание
к задаче № 4 для IX класса).
5. Плоский многоугольник A1At.,,Aa-1An составлен из
п твердых стержней» соединенных шарнирно. Можно ли
его деформировать в треугольник? (Ср. задачу № 5 для
IX класса.)
2-й тур
VII класс
I. Прямые О А и ОВ перпендикулярны. Найти множе-
множество концов М всех ломаных ОМ длины /, пересекающихся
с каждой прямой, параллельной О А или ОВ, не более,
чем в одной точке.
2.. Радиолампа имеет 7 контактов, расположенных по
кругу и включенных в штепсель, имеющий 7 отверстий.
Можно ли так занумеровать контакты лампы и отверстия
штепселя, чтобы при любом включении лампы хотя бы один
контакт попал на свое место (т. е. в отверстие с тем же но-
номером)?
3. В треугольнике известны две стороны а и Ь. Какой
должна быть третья сторона, чтобы наибольший угол тре-
треугольника имел наименьшую величину?
4. В треугольник вписана окружность. Точки касания
являются вершинами второго треугольника. В него впи-
вписана окружность, точки касания которой — вершины треть-
третьего треугольника. Он имеет те же углы, что и первоначаль-
первоначальный треугольник. Найти эти углы.
5. Дана последовательность чисел 1, 2, 3, 5,8,13,21,... ,
в которой каждое число, начиная с третьего, равно сумме
двух предыдущих. В этой последовательности выбрано
8 идущих подряд чисел. Доказать, что их сумма не входит
в последовательность.
VIII класс
1. В треугольнике известны две стороны а и Ь. Какой
должна быть третья сторона, чтобы наименьший угол тре-
треугольника имел наибольшую величину? (Ср. с задачей
№ 3 для VII класса.)
169
2. Числа от 1 до 108 выписаны подряд, так что полу-
получается последовательность цифр: 1234567891011... 100000000.
Доказать, что число всех цифр в этой последовательности
равно числу всех нулей в последовательности 1, 2, 3,..., 109.
3. Внутри равностороннего треугольника ABC нахо-
находится точка О. Прямая OGt соединяющая О с центром тя-
тяжести G треугольника, пересекает стороны треугольника
(или их продолжения) в точках А', В', С. Доказать, что
А'О В'О СО __ о
A'G + B'G "+" C'G ~~ 6'
4. Решить систему уравнений:
2*?
+ *?
= х9
— X
3>
2x1
5. В неравносторонний треугольник вписана окруж-
окружность. Точки касания являются вершинами нового тре-
треугольника. В него вписана окружность, точки касания
которой — вершины третьего треугольника, в третий впи-
вписана третья окружность и т. д. Доказать, что в образовав-
образовавшейся последовательности треугольников нет подобных.
IX класс
1. Два прямоугольника положены на плоскость так,
что получилось восемь точек пересечения. Эти точки со-
соединены через одну. Доказать, что площадь полученного
четырехугольника не изменится при поступательном пере-
перемещении одного из прямоугольников.
2. Найти все действительные решения системы:
— Х2 — Х
3,
1 #98 ~ Х
\ — #99 = X j
17®
3. Штепсельный разъем имеет 20 контактов располо-
расположенных по кругу на равных угловых расстояниях и за-
занумерованных числами от 1 до 20 в произвольном порядке.
Всегда ли можно так соединить разъем, чтобы ни один
контакт не был замкнут (т. е. не попал на свое место)?
4. Разбить 1957 на 12 целых положительных слагаемых
alf д2> •••» ai8 так» чтобы Cj! • а2! • ... • ап\ было мини-
минимально.
5. Три равные окружности касаются друг друга. Из
произвольной точки четвертой окружности, касающейся
внешним образом всех данных окружностей, проведены
касательные к ним. Доказать, что сумма длин двух ка-
касательных равна длине третьей.
X класс
1. Дан четырехугольник ABCD. Вписать в него прямо-
прямоугольник с заданными направлениями сторон.
2. Найти все действительные решения системы:
1 —Х\ = Х%,
п
1—х2п =
— %п—\ — хп*
(Ср. задачу № 2 для IX класса.)
3. Точка <3 — центр шара, вписанного в правильный
тетраэдр ABCD. Прямая OG, соединяющая G с точкой О,
лежащей внутри тетраэдра, пересекает плоскости граней
в точках А', В', С", D''. Доказать, что
А'О В'О СО Р'О д
A'G * B'G ~ C'G ' D'G
4. Доказать, что число всех цифр в последовательности
1, 2, 3, ..., 10* равно числу всех нулей в последовательно-
последовательности 1, 2, 3 10*+ К (Ср. задачу № 2 для VIII класса.)
5. Дано п целых чисел: аг — 1, а2, ..., ап, причем
at < ai+ i < 2а, (i = 1, 2, ..., л— 1) и сумма всех чисел
четна. Можно ли эти числа разбить на две группы так,
чтобы суммы чисел в этих группах были равны?
171
XXI олимпиада A958 год)
1-й тур
VII класс
1. Имеется система уравнений:
*х+ *у -f * z == О,
*х + *у + *z = O.
Два человека поочередно вписывают вместо звездочек
числа. Доказать, что начинающий всегда может добиться
того, чтобы система имела нулевое решение.
2. В круге проведены два диаметра АВ и CD. Доказать,
что если М — произвольная точка окружности, а Р и Q —
ее проекции на диаметры АВ и CD, то длина отрезка PQ
не зависит от выбора точки М.
3. Сколько существует четырехзначных номеров (от
0001 до 9999), у которых сумма двух первых цифр равна
сумме двух последних цифр?
4. На плоскости даны точки А и В. Построить такой
квадрат, чтобы точки А и В лежали на его границе и сумма
расстояний от точки А до вершин квадрата была наименьшей.
5. Дана следующая треугольная таблица чисел:
0 12 . 1957 1958
13 3915
Каждое число (кроме чисел верхней строки) равно сумме
двух ближайших чисел предыдущей строки. Доказать,
что число, стоящее в самой нижней строке, делится на
1958.
VIII класс
1. Внутри треугольника ABC взята точка О. На лучах
О А, ОВ, ОС построены векторы единичной длины. Дока-
Доказать, что сумма этих векторов имеет длину, Меньшую
единицы.
2. Доказать, что если уравнения с целыми коэффи-
коэффициентами
х* + рхх + qx = 0,
*¦ + Р*х + qt = 0
имеют общий не целый корень, то рг — р8, дг — gt.
172
, 3. На круглой поляне радиуса Я растут три круглые
сосны одинакового диаметра. Центры их стволов находятся
на расстоянии -=- от центра поляны в вершинах равносто-
равностороннего треугольника. Два человека, выйдя одновременно
из диаметрально противоположных точек поляны, обходят
поляну по краю с одинаковой скоростью и в одном направ-
направлении и все время не видят друг друга. Увидят ли друг друга
три человека, если они так же будут обходить поляну,
выйдя из точек, находящихся в вершинах вписанного
в поляну правильного треугольника?
4. Решить в целых положительных числах уравнение:
1 ' •
1 * !
• IQKO
5. Проекции многоугольника на ось ОХ, биссектрису
первого и третьего координатных углов, ось 0Y и биссек-
биссектрису второго и четвертого координатных углов равны со-
соответственно 4, 3j^2\ 5, 4^2"..
Площадь многоугольника равна S. Доказать, что
S < 17,5.
IX класо
1. Бесконечная плоская ломаная A0Av,.An..., все углы
которой прямые, начинается в точке Ао с координатами
х = О, у = 1 и обходит начало координат О по часовой
стрелке. Первое звено ломаной имеет длину 2 и параллель-
параллельно биссектрисе четвертого координатного угла. Каждое
из. следующих звеньев пересекает одну из координатных
осей и имеет наименьшую возможную при этом целочис-
целочисленную длину. Расстояние ОАп обозначается через гп, сумма
длин первых п звеньев ломаной — через <$„. Доказать, что
найдется п, для которого ~ > 1958.
2. Какое наибольшее число осей симметрии может иметь
пространственная фигура, состоящая из трех прямых, из
которых никакие две не параллельны и не совпадают?
173
3. Решить в целых положительных числах уравнение:
1 1
1
1
1
I
1
(Ср. задачу № 4 для VIII класса.)
4. Отрезок длины 2>п разбивается на три равные части.
Первая и третья из них называются отмеченными. Каждый
из отмеченных отрезков разбивается на три равные части, из
которых первая и^третья снова называются отмеченными,
и т. д. до тех пор, пока не получатся отрезки длины 1.
Концы всех отмеченных отрезков называются отмеченными
точками. Доказать, что для любого целого к можно найти
две отмеченные точки, расстояние между которыми равно
k A < k < Зл).
X класс
1. См. задачу № 5 для VIII класса. Доказать, что
S > 10.
2. Доказать, что 11551958 +341958^=я3 ни для какого
целого п.
3. См. задачу № 2 для IX класса.
4. На стол кладут правильный 100-угольник, в верши-
вершинах которого по порядку написаны числа 1, 2, ..., 100.
Затем эти числа переписывают в порядке удаления от пе-
переднего края стола. Если вершины находятся на равном
расстоянии от края, сначала выписывается левое число,
затем правое. Выписаны всевозможные различные наборы
чисел, соответствующие разным положениям 100-уголь-
ника. Вычислить сумму чисел, стоящих во всех этих на-
наборах на тринадцатом месте слева.
5. Из четырех прямых на плоскости никакие две не
параллельны, никакие три не пересекаются в одной точке.
По каждой прямой с постоянной скоростью идет пешеход.
Известно, что первый пешеход встречается со вторым,
с третьим и с четвертым, а второй — с третьим и с четвер-
четвертым. Доказать, что третий пешеход встречается с четвертым.
174
2-й тур
VII класс
1. Доказать, что на плоскости нельзя расположить
больше четырех выпуклых многоугольников так, чтобы
каждые два из них имели общую сторону.
2. Имеются два набора из +1 и —1, в каждом по 1958
чисел. Доказать, что за некоторое число шагов можно пре-
превратить 1-й набор во 2-й, если на каждом шаге разрешается
одновременно изменить знак у любых 11 чисел первого
набора. {Два набор а. считаются одинаковыми, если у них
на одинаковых местах стоят одинаковые числа.)
3. Каждая грань куба заклеивается двумя равными
прямоугольными треугольниками с общей гипотенузой,
один из которых — белый, другой — черный. Можно ли
эти треугольники расположить так, чтобы при каждой
вершине куба сумма белых углов была равна сумме чер-
черных углов?
4. Доказать, что если целое п > 2, то
{n\f > п\
где п\ — 1 • 2 • 3 ¦ ... • п.
5. Сторона клетки клетчатой бумаги равна 1. По ли-
линиям сетки построен прямоугольник со сторонами т, п.
Можно ли в прямоугольнике провести по линиям сетки
ломаную, которая ровно один раз проходила бы через каж-
каждый узел сетки, расположенный внутри или на границе
прямоугольника? Если можно, то какова ее длина?
VIII /слоев
1. Из бумаги вырезан многоугольник. Через две точки
его границы проводится прямая, по которой многоуголь-
многоугольник перегибается. Доказать, что периметр многоугольника,
получающегося после перегибания не больше периметра
исходного многоугольника.
2. Доказать, что для любых чисел аг и д2, таких, что
а1> 0, <ц > 0, at + аъ = 1, можно найти такие числа
Ь1 и Ь%, что Ьх > 0, Ьг > 0, Ьг + Ьг = 1 и
175
3. Внутри Z АОВ взята точка С. Из нее опущены пер-
перпендикуляры: CD — на сторону ОА, СЕ— на сторону ОВ.
Из точек D и Е опущены перпендикуляры: DN — на сто*
рону 0В\ ЕМ — на сторону О А. Доказать, что OC±MN.
4. Доказать, что если целое л > 0, то
I1 • 22 • 3s • ... • пп < п 2 .
5. Обозначим через а наибольшее число непересекаю-
непересекающихся кругов диаметра 1, центры которых лежат внутри
многоугольника Му через Ь — наименьшее число кругов
радиуса 1, которыми можно покрыть весь многоугольник М.
Какое число больше, а или Ь?
IX класс
1. См. задачу № 1 для X класса.
2. Из точки О провести п лучей на плоскости так, чтобы
сумма всех попарных углов между ними была наибольшей.
(Рассматриваются только углы, не превышающие 180°.)
3. Игральная доска имеет форму ромба с углом 60°.
Каждая сторона ромба разделена на 9 частей. Через точки
деления проведены прямые, параллельные сторонам и ма-
малой диагонали ромба, разбивающие доску на треугольные
клетки. Если на некоторой клетке поставлена фишка,
проведем через центр этой клетки три прямые, параллель-
параллельные сторонам и малой диагонали ромба. Клетки, которые
они пересекут, будут считаться побитыми фишкой. Каким
наименьшим числом фишек можно побить все клетки
доски?.
4. Обозначим через а наименьшее число кругов радиу-
радиуса 1, которыми можно полностью покрыть заданный много-
многоугольник М} через Ь — наибольшее число непересекаю-
непересекающихся кругов радиуса 1 с центрами внутри многоуголь-
многоугольника М. Какое из чисел больше, а или 6?
5. Между зажимами А я В включено несколько сопро-
сопротивлений. Каждое сопротивление имеет входной и выход-
выходной зажимы. Какое наименьшее число сопротивлений
необходимо иметь и какова должна быть схема их соедине-
соединения, чтобы при порче любых 9 сопротивлений между
зажимами А и В цепь осталась замкнутой, но не было
короткого замыкания? (Порча сопротивления: короткое
замыкание или обрыв.)
176
X класс
1. Решить в целых положительных числах уравнение:
х2у + (х + 1Jу = (х + 2р.
2. В многоугольнике существуют такие точки А и В,
что любая соединяющая их ломаная, проходящая внутри
или по границе' многоугольника, имеет длину больше 1.
Доказать, что периметр многоугольника больше 2.
3. В школе изучают 2п предметов. Все ученики учатся
на «4» и «5». Никакие два ученика не учатся одинаково,
ни про каких двух нельзя сказать, что один из них учится
лучше другого. Доказать, что число учеников в школе не
больше, чем С^.
Примечание. Мы считаем, что один ученик учится лучше
другого, если у него по всем предметам оценки не хуже, чем у второ-
второго ученика, а по некоторым предметам — лучше.
4. Стороны параллелограмма равны а и 6. Найти отно-
отношение объемов тел, полученных при вращении параллело-
параллелограмма вокруг стороны а и вокруг стороны Ь,
- 5. На п карточках написаны с разных сторон числа:
на 1-й: 0 и 1, на 2-й: 1 и 2, ..,, на л-й: п — 1 и л. Один чело-
человек берет из стопки несколько карточек и показывает
второму одну сторону каждой из них. Затем берет из стопки
еще одну карточку и тоже показывает одну сторону. Ука-
Указать все случаи, в которых второй может определить число,
написанное на обороте последнеи показанной ему карточки.
XXII олимпиада A959 год)
1-й тур
VII класс
1, Пусть а и Ь — целые числа. Напишем число Ь справа
от числа а. Если число а четное, то разделим его на 2, если
оно нечетное, то сначала вычтем из него единицу, а потом
разделим его на 2. Получившееся число ах напишем под
числом а. Справа от числа ах напишем число 26. С числом
&L проделаем ту же операцию, что и с числом а, и, получив
число at, напишем его под числом av Справа от числа а2
запишем число 4Ь. Получив аналогичным образом число а3.
177
напишем справа от него число 8Ь и т. д. Этот процесс про-
продолжаем до тех пор, пока не получим в левом столбце
число 1. Доказать, что сумма тех чисел правого столбца,
слева от которых стоят нечетные числа, равна произведе-
произведению ab.
2. Доказать, что число 2218"9 — 1 делится на 3.
3. Можно ли расположить все трехзначные числа, не
оканчивающиеся нулями, в последовательность так, чтобы
последняя цифра каждого числа была равна первой цифре
следующего за ним?
4. Как должна двигаться ладья по шахматной доске,
чтобы побывать на каждом поле по одному разу и сделать
наименьшее число поворотов?
5. Дан квадрат со стороной 1. Найти множество всех
точек, сумма расстояний от которых до сторон этого квадра-
квадрата или их продолжений равна 4.
VIII класо
1. Даны две бочки бесконечно большой емкости. Можно
ли, пользуясь двумя ковшами емкостью 2 —1/^2 и |/2,
перелить из одной в другую ровно 1 литр?
2. Заметим, что если перевернуть лист, на котором
написаны цифры, то цифры 0, 1, 8 не изменятся, 6 и 9 по-
поменяются местами, остальные потеряют смысл. Сколько
существует девятизначных чисел, которые при перевора-
переворачивании листа не изменяются?
3. Дан выпуклый четырехугольник ABCD. Середины
сторон АВ и CD обозначим соответственно через К, и М,
точку пересечения отрезков AM и DK — через О, точку
пересечения отрезков ВМ и СК — через Р. Доказать, что
площадь четырехугольника МОКР равна сумме площадей
треугольников В PC и AOD.
4. См. задачу № 4 для VII класса.
5. Даны две непересекающиеся окружности с центрами
в точках О1 и О2. Пусть ^ и а2 — внутренние касательные
к этим окружностям, а3 и а4 — внешние касательные к
ним. Пусть, далее, аъ и ав — касательные к окружнос-
окружности с центром в Ог, проведенные из точки Оа, а7, аа —
касательные к окружности с центром в точке О2, проведен-
проведенные из точки Ох. Обозначим через О точку пересечения
прямых Oj и аа. Доказать, что можно провести две ок-
178
ружности с центром в точке О так, чтобы первая касалась
аа и а4, вторая касалась аь, as, a7, ав, причем радиус
второй в два раза меньше радиуса первой.
IX класо
1. Имеется 1959 положительных чисел alt a2, .,., Д1959,
сумма которых равна 1. Рассматриваются всевозможные
комбинации из 1000 чисел, причем комбинации считаются
совпадающими, если они отличаются только порядком
чисел. Для каждой комбинации рассматривается произве-
произведение входящих в нее чисел. Доказать, что сумма всех этих
произведений меньше 1.
2. См. задачу № 2 для VIII класса.
3. Построить окружность, проходящую через две дан-
данные точки и отсекающую от данной окружности хорду
данной длины.
4. Рассмотрим лист клетчатой бумаги со стороной клет-
клетки, равной 1. Пусть pk — число всех непересекающихся
ломаных длины k, начинающихся в точке О — некотором
фиксированном узле сетки. (Все ломаные составлены из
звеньев сетки.) Доказать, что для любого k справедливо
неравенство pk < 2 • 3&.
5. Доказать, что не существует тетраэдра, в котором
каждое ребро являлось бы стороной плоского тупого угла.
X класо
1. Доказать, что не существует таких целых чисел
ху у, z, что xk + yk = zk при условиях: г > 0, 0 < х < k,
0 < У < kf k — натуральное число.
2. См. задачу № 3 для VIII класса.
3. Существует ли тетраэдр, каждое ребро которого
являлось бы стороной плоского тупого угла? (Ср. задачу
№ 5 для IX класса.)
4. В квадратную таблицу N X N записаны все целые
числа от 1 до N2 по следующему закону: 1 стоит на любом
месте; 2 стоит в строке с номером, равным номеру столбца,
содержащего 1; 3 стоит в строке с номером, равным но-
номеру столбца, содержащего 2, и т. д. На сколько сумма
чисел в строке, содержащей 1, отличается от суммы чисел
в столбце, содержащем N2?
179
5. Дана невозрастающая последовательность поло-
положительных чисел.
a1>ai>as>... >ап> ...; аг — -^р
Доказать, что найдутся к чисел, из которых самое малень-
маленькое больше половины самого большого.
2-й тур
VII класо
1. Имеется два набора чисел:
Ol > Яа > - > пп И Ь1 > Ь* > ••• > &л-
Доказать, что
<*А + <*А + - Н- апЬп > аА + ^«-1 + - + flA-
2. Дан треугольник ABC. Найти такую точку, что если
ее симметрично отразить от любой стороны треугольника,
то полученная точка попадет на описанную окружность.
3. На какое целое число надо умножить 999 999 999,
чтобы получить число, состоящее из одних единиц?
4. Доказать, что в любом шестизначном числе можно
переставить цифры так, чтобы сумма первых трех цифр
нового числа отличалась от суммы вторых трех цифр мень-
меньше, чем на 10.
5. Дано п чисел: xlt x9, ..., хп, при этом xk= ±\, k —
— 1, 2, ..., л. Доказать, что если хгх2 + Чхз + •••+
+ xn-i хп + хпхх = 0, то п делится на 4.
VIII класо
1. См. задачу № 5 для VII класса
2. Даны 12 чисел аъ (ц, .„., а18, причем имеют место
следующие неравенства:
аг {а± — ag + as) < 0,
fln(«io — fln
Доказать, что среди этих чисел найдется по крайней
мере 3 положительных и 3 отрицательных.
180
щ
•
ш
Рис. 2.
3. Дан треугольник ЛВС;
qv Оа, О3 — его вневписан-
ные окружности. Для каждой
пары из этих окружностей
построим вторую общую внеш-
внешнюю касательную (одна такая
касательная уже проведе-
проведена — это сторона треуголь-
треугольника ЛВС). Три построенные
прямые образуют треуголь-
треугольник. Найти его углы, если
углы треугольника ЛВС из-
известны.
4. Даны два пересекающихся отрезка ЛВ и CD дли-
длины 1. Доказать, что по крайней мере одна из сторон че-
четырехугольника ABCD не меньше -k-V^"
5. Доказать, что шахматную доску размером 4x4
нельзя обойти ходом шахматного коня, побывав на каждом
поле ровно один раз.
Примечание. Одним ходом конь может попасть с поля, на
котором он стоит, на любое из восьми полей,* заштрихованных на
рисунке 2.
IX класс
1. Даны такие сто чисел хх *2, ..., дг100. сумма которых
равна 1, что каждая из абсолютных величин разностей
xk,+ i—xk меньше -^. Доказать, что из этих 100 чисел
можно выбрать 50 чисел так, чтобы их сумма отличалась
1 1'
от -у не больше, чем на
2. п отрезков длины I пересекаются в одной точке.
Доказать, что хотя бы одна сторона 2л-угольника, образо-
образованного их концами, не меньше стороны правильного
2/1-угольника, вписанного в окружность диаметра 1.
3. ^Доказать, что не более одной вершины тетраэдра
обладает тем свойством, что сумма любых двух плоских
углов при этой вершине больше 180°.
4. Доказать, что существует бесконечно много чисел,
не представимых в виде суммы трех кубов.
5. В углах шахматной доски размером 3x3 стоят
кони: в верхних углах белые, а в нижних — черные.
181
Одним ходом разрешается переставить любого коня на
любое свободное поле в соответствии с правилами шахмат
(см. примечание к задаче № 5 для VIII класса). Мы хотим
поставить белых коней в нижние углы доски, а черных
коней — в верхние углы. Доказать, что для этого потре-
потребуется не меньше 16 ходов.
X класо
1. См. задачу № 4 для IX класса.
2. Пусть ABCD — пространственный четырехугольник,
точки /Cj и /С2 делят соответственно стороны А В и CD в от-
отношении а, точки Кз и Л4 делят соответственно стороны
ВС и AD в отношении р. Доказать, что отрезки K\Kt и
/С3/С4 пересекаются.
3. Даны несколько пересекающихся кругов, занимаю-
занимающие на плоскости площадь, равную 1. Доказать, что из
них можно выбрать некоторое количество попарно непере-
неперекрывающихся, чтобы их общая площадь была не менее -д-.
4. Даны п комплексных чисел сг, съ, ..., сп> таких,
что если их представлять себе как точки плоскости, то они
являются вершинами выпуклого «-угольника. Доказать,
что если комплексное число г обладает тем свойством, что
то точка плоскости, соответствующая г, лежит внутри этого
п-угольника,
5. Два диска разного диаметра разделены на 2/г равных
секторов каждый, и каждый сектор выкрашен в белый
или черный цвет таким образом, что на каждом диске ока-
оказалось п белых и п черных секторов. Если укрепить оба
диска на одной оси, проходящей через их центры, то ока-
окажется, что окружность — край меньшего диска — окра-
окрашена дважды: изнутри и снаружи. При этом одни части
окружности окрашены в разные цвета, а остальные — в один
цвет с обеих сторон. Доказать, что можно так повернуть
меньший диск, что части первого рода составят не меньше
половины длины окружности.
182
ХХШ олимпиада A960 год)
1-й тур
VII класс
1. Указать все денежные суммы, выраженные целым
числом рублей, которые могут быть представлены как
четным, так и нечетным числом денежных билетов.
Примечание. Считать, что в обращении имеются билеты до-
достоинством в 1, 2, 3, 5, 10, 25, 50 и 100 рублей.
2. Три равные окружности с центрами Ov О2, О3 пере-
пересекаются в данной точке. Alt Л2, As — остальные точки
пересечения. Доказать, что треугольники Ох0903 и АХА2А3
равны.
3. В составлении 40 задач приняло участие 30 студен-
студентов со всех 5 курсов. Любые 2 однокурсника придумали
одинаковое число задач. Любые два студента с разных
курсов придумали разное число задач. Сколько человек
придумало одну задачу?
4. М и N — точки пересечения двух окружностей с
центрами О1 и О2. Прямая ОХМ пересекает первую окруж-
окружность в точке Av а вторую — в точке Ла. Прямая 02М
пересекает первую окружность в точке Bv а вторую —
в точке Z?a. Доказать, что прямые AtBv AtBit MN пере-
пересекаются в одной точке.
5. Доказать, что число делителей числа я не превос-
превосходит lYn.
VIII класс
1. Доказать, что число, в десятичной записи которо-
которого имеется триста единиц, а остальные цифры — нули,
не является точным квадратом.
2. В турнире каждый шахматист половину всех очков
набрал во встречах с участниками, занявшими три" послед-
последних места. Сколько человек принимало участие в турнире?
3. Через данную вершину А выпуклого четырехуголь-
четырехугольника ABCD провести прямую, делящую его площадь по-
пополам.
4. Даны отрезки АВ, CD и точка О, причем никакие
три из. точек А, В, С, D, О не лежат на одной прямой.
183
¦" Конец отрезка называется «отмеченным», если прямая,
проходящая через него и точку О, не пересекает другого
отрезка. Сколько может быть «отмеченных» концов?
5. Доказать, что существует бесконечно много натураль-
натуральных чисел, не представимых в виде р + ла* ни при каких
простых р и натуральных п и #.
IX класс
1. Доказать, что любая правильная дробь может быть
представлена в виде (конечной) суммы обратных величин
попарно различных целых чисел.
2. См. задачу № 5 для VIII класса.
3. Даны выпуклый многоугольник и точка О внутри него.
Любая прямая, проходящая через точку Отделит площадь
многоугольника пополам. Доказать, что многоугольник
центрально-симметричный и О — центр симметрии.
4. Найти множество четвертых вершин.прямоугольни-
вершин.прямоугольников, у которых две вершины лежат на данной окружности,
а третья — в данной точке внутри окружности.
X класс
1. Два равных правильных треугольника расположены
в пространстве в параллельных плоскостях Рх и Ра, при-
причем отрезок, соединяющий их центры, перпендикулярен
плоскостям. Найти множество точек, являющихся середи-
серединами всех отрезков, соединяющих точки одного треуголь-
треугольника с точками другого треугольника.
2. Если числитель и знаменатель дроби ¦ j~. , делятся
на л, то и сама дробь делится на п. Доказать.
3. См. задачу № 4 для IX класса.
4. В десятичной записи целого числа Л все цифры,
кроме первой и последней,— нули, первая и последняя —
не нули, число цифр — не меньше трех. Доказать, что А
не является точным квадратом.
5. Даны числа alt яа, ..., ak, причем для всех натураль-
натуральных нечетных п имеет место равенство
а" + аз + ... + а% - 0.
184
Доказать, что те из чисел av аг ak, которые не равны
нулю, можно разбить на пары таким образом, чтобы два
числа, входящих в одну и ту же пару, были бы равны по
абсолютной величине, но противоположны по знаку.
2-й тур
VII класс
1. Даны 4 точки: А, В, С, D. Найти такую точку О,
что сумма расстояний от нее до данных точек минимальна.
2. Доказать, что из сторон произвольного четырех-
четырехугольника можно сложить трапецию.
3. Доказать, что любой несамопересекающийся пяти-
пятиугольник лежит по одну сторону от хотя бы одной своей
стороны.
4. В каком-то году некоторое число ни в одном месяце
не было воскресеньем. Определить это число.
VIII класс
1. Каково наибольшее п, при котором можно так рас-
расположить п точек на плоскости, чтобы каждые три из них
служили вершинами прямоугольного треугольника?
2. Имеется бесконечная шахматная доска. Обозначим
через (а, Ь) поле, расположенное на пересечении горизон-
горизонтали с номером а и вертикали с номером Ь. Фишка с поля
(а,Ь) может сделать ход на любое из восьми полей: (а ± т,
b ± п), (а ± п, Ь ± /л), где т, п — фиксированные числа,
а знаки (+) и (—) комбинируются произвольно. Сделав
х ходов, фишка вернулась на исходное поле. Доказать,
что х четно.
3. См. задачу № 2 для VII класса.
4. Улитка ползет вперед (не поворачивая назад) с не-
непостоянной скоростью. Несколько человек наблюдало за
ней по очереди в течение 6 минут. Каждый начинал наблю-
наблюдать раньше, чем кончал предыдущий, и наблюдал ровно
1 мин, причем каждый заметил, что за эту минуту улитка
проползала ровно 1 м. Доказать, что за 6 мин улитка могла
проползти самое большее 10 м.
5. Дан пятиугольник ABCDE, в котором АВ = ВС =
= CD = DE, Z.B = Z.D = 90°. Доказать, что пяти-
пятиугольниками, равными данному, можно замостить плоскость
(без щелей и перекрытий).
185
IX класс
1. Имеется т точек, некоторые из которых соединены
отрезками так, что каждая соединена с / точками. Какие
значения может принимать /?
2. Дан произвольный центрально-симметричный ше-
шестиугольник. На его сторонах, как на основаниях, построе-
построены во внешнюю сторону правильные треугольники. Дока-
Доказать, что середины отрезков, соединяющих вершины со-
соседних треугольников, являются вершинами правильного
шестиугольника.
3. Доказать, что никакую прямоугольную шахматную
доску шириной в 4 клетки нельзя обойти ходом шахматного
коня, побывав на каждом поле по одному разу и последним
ходом вернувшись на исходную клетку (см. примечание к
задаче XXII, II, 8, 5).
4. Найти множество центров всех прямоугольников,
описанных около данного остроугольного треугольника.
5. В квадрате со стороной 100 расположено N кругов
радиуса 1, причем всякий отрезок длины 10, целиком рас-
расположенный внутри квадрата, пересекает хотя бы один
круг. Доказать, что N ^ 400.
X класо
1. Число А делится на 1, 2, 3, .... 9. Доказать, что если
2А представлено в виде суммы натуральных чисел, мень-
меньших 10: 2А = ах + а2 -+- ... + uk, то из чисел ах, а2, ..., ak
можно выбрать часть, сумма которых равна А.
2. бл-значное число делится на 7. Последнюю цифру
перенесли в начало. Доказать, что полученное число также
делится на 7.
3. Собралось п человек. Некоторые из них знакомы
между собой, причем каждые два незнакомых имеют ровно
двух общих знакомых, а каждые два знакомых не имеют
общих знакомых. Доказать, что каждый из присутству-
присутствующих знаком с одинаковым числом человек.
4. См. задачу № 4 для IX класса.
5. Доказать, что число различных ломаных длины 2л,
стороны которых лежат на линиях клетчатой бумаги со
стороной клетки, равной 1, равно С%п (все ломаные начи-
начинаются в одном и том же узле сетки).
186
XXIV олимпиада A961 год)
1-й тур
VII класс
1. Доказать, что если п — четное число, то числа 1, 2,
3, ...» можно таким образом расположить в квадратную
таблицу п X п, чтобы суммы чисел, стоящих в каждом
столбце, были одинаковы.
2. Имеется трехзначное число abc\ возьмем число cba и
вычтем из большего меньшее. Получим число а^с^ сде-
сделаем с ним то же самое и т. д. (случай at = 0 допускается).
Доказать, что на каком-то шаге мы получим или число
495, или 0. (Здесь под abc понимается число, записываемое
с помощью цифр а, Ь, с.)
3. Дан остроугольный треугольник Л0В0С0. Пусть точки
Av Bv Cx — центры квадратов, построенных на сторонах
В0С0, С0Л0, A0BQ. С треугольником А1Б1С1 делаем то же
самое, получаем треугольник Аф%С^ и т. д. Доказать,
что границы треугольников АпВпСп и An+i Bn + x Cn +J
пересекаются ровно в б точках.
4. Имеется 100 точек на плоскости, причем расстояние
между любыми двумя из них не превосходит 1, и если А,
В, С — любые три точки из данных, то треугольник ABC
тупоугольный. Доказать, что можно провести такую окруж-
окружность радиуса 1/а, что все данные точки окажутся внутри
нее или на ней самой.
5. На шахматной доске выбраны две клетки одинако-
одинакового цвета. Доказать, что ладья, начав с первой из этих
клеток, может обойти все клетки по разу, а на второй
выбранной клетке побывать два раза.
VIII класс
1. Даны треугольник ABC и точка О. Обозначим через
М1} М2, М3 центры тяжести треугольников ОАВ, ОВС,
ОСА соответственно. Доказать, что площадь треугольника
МгМ2Мг равна V9 площади треугольника ABC.
2. Играют двое; один из них загадывает набор из целых
однозначных чисел {хх, х2, ..., хп), как положительных,
так и отрицательных. Второму разрешается спрашивать,
чему равна сумма aLxt + аа#а + ... +лЛ*я> где (av Og,...,an)—
187
любой набор чисел. Каково наименьшее число вопросов,
за которое отгадывающий узнает задуманный набор?
3. См. задачу № 3 для VII класса.
4. Доказать, что ладья может обойти все клетки пря-
прямоугольной шахматной доски, побывав на каждой клетке
ровно один раз, и вернуться в начальную клетку, если
только число клеток на доске четно.
5. Набор чисел ах, а^, ..., ak называется отрезком на-
натурального ряда, если а2 — аг + 1, а3 = at + 2, ...
..., afc+1~ аг + k. Два отрезка натурального ряда длины
1961 подписаны один под другим. Доказать, что можно
так переставить числа в каждом из отрезков, что после
сложения чисел, стоящих друг под другом, снова полу-
получится отрезок натурального ряда.
IX класо
1. См. задачу № 1 для VIII класса.
2. См. задачу № 2 для VIII класса.
3. Доказать, что можно так расположить числа от 1
до л2 в таблицу п х я, чтобы суммы чисел каждого столбца
были равны. (Ср. задачу № 1 для VII класса.)
4. Ak человек ехали в автобусе без кондуктора. Извест-
Известно, что ни у кого из пассажиров не было медных денег
и монет крупнее 20 коп. Доказать, что если общее число
монет в автобусе меньше bk, то пассажиры не смогут пра-
правильно расплатиться за проезд. Для-числа монет bk по-
построить пример такого распределения денег, при котором
возможен правильный расчет.
5. На плоскости дано N точек. Если Л, В, С — любые
три из них, то внутри треугольника ЛВС нет ни одной
точки из данных. Доказать, что эти точки можно зануме-
занумеровать так, что многоугольник Лj Аг...Ап будет выпуклым.
X класс
1. Дана последовательность чисел uv «2, ..., ип, ...;
а± = и2 = 1, «„+2 = «л+1 + ип. Доказать, что u5k делится
на 5, при k — 1, 2, 3, ... .
2. На плоскости проведено несколько полос разной
ширины. Никакие две из них не параллельны. Как нужно
сдвинуть их параллельно самим себе, чтобы площадь их
общей части была наибольшей?
188
3. k человек ехали в автобусе без кондуктора. Извест-
Известно, что ни у кого из пассажиров не было медных денег
и монет крупнее 20 коп. Известно, далее, что каждый
пассажир уплатил за проезд и получил сдачу. Доказать,
что наименьшее число монет, которое могло для этого по-
потребоваться, равной + -j—\- (Ср.задачу4для IX класса.)
4. Окружность S и точка О лежат в одной плоскости,
причем О находится вне окружности. Построим произволь-
произвольную сферу, проходящую через окружность 5, и опишем
конус с вершиной в точке О, касающийся этой сферы.
Найти множество центров всех окружностей, по которым
конусы касаются сфер.
5. Известно, что гх + г2 + ... + гп = 0, где zt ¦— ком-
комплексные числа. Доказать, что среди этих чисел найдутся
два таких числа, что разность их аргументов больше или
равна 120°.
2-й тур
VII класс
1. Стороны произвольного выпуклого многоугольника
покрашены снаружи. Проводится несколько диагоналей
многоугольника. Каждая из этих диагоналей тоже покра-
покрашена с одной стороны, т. е. с одной стороны отрезка про-
" ведена узкая цветная полоска. Доказать, что хотя бы один
из многоугольников, на которые разбит диагоналями
исходный многоугольник, весь покрашен снаружи. (До-
(Допускается, чтобы в вершине многоугольника окраска за-
заходила внутрь.)
2. В квадрате ABCD на стороне АВ взята точка Р,
на стороне ВС — точка Q, на стороне CD — точка /<!,
на стороне AD — точка S; оказалось, что фигура PQRS .—
прямоугольник. Доказать, что тогда прямоугольник
PQRS — либо квадрат, либо обладает тем свойством, что
его стороны параллельны диагоналям квадрата.
3. Доказать, что среди любых 39 последовательных
натуральных чисел обязательно найдется такоеГ у кото-
которого сумма цифр делится на П.
4. Дана таблица 4x4 клетки. Показать, что можно
так расставить семь звездочек в клетках этой таблицы,
что при вычерчивании любых двух строк и любых двух
189
I
столбцов этой таблицы в оставшихся клетках всегда была
хотя бы одна звездочка. Доказать, что если звездочек мень-
меньше, чем семь, то всегда можно так вычеркнуть две строки
и два столбца, что все оставшиеся клетки будут пустыми.
5. Доказать, что не существует целых чисел а, Ь, с, d
удовлетворяющим равенствам:
abed — a = 1961,
abcd — b= 961,
abed — с = 61,
abed — d = 1.
VIII класс
1. Дана фигура, состоящая из 16 отрезков (рис. 3).
Доказать, что нельзя провести ломаную, пересекаю-
пересекающую каждый из отрезков ровно
один раз. Ломаная может быть
незамкнутой и самопересекающейт
| | | ся, но ее вершины не должны
—""*-— лежать на отрезках, а стороны—
Рис з. проходить через общие концы от-
отрезков.
2. С центрами в вершинах прямоугольника построены
четыре окружности с радиусами rv r2, r3, r4, причем
rx + r3 = r2 + r4 < d, где d — диагональ прямоугольника.
Проводятся две пары внешних касательных к окруж-
окружностям 1, 3 и 2, 4. Доказать, что в четырехугольник, обра-
образованный этими четырьмя прямыми, можно вписать ок-
окружность.
3. См. задачу № 3 для VII класса.
4. См. задачу № 4 для VII класса.
5. Дана четверка чисел: a, b, ct d. Из нее получается
новая: ab, be, cd, da по следующему правилу: каждое число
умножается на следующее, четвертое — на первое. Из но-
новой четверки по этому же правилу получается третья и т. д.
Доказать, что в полученной последовательности четверок
никогда не встретится вновь четверка а, Ь, с, dt кроме
случая, когда a — b = c = d=*\.
IX класс
1. Точки А и В движутся равномерно и с равными угло-
угловыми скоростями по окружностям Ох и О2 соответственно
190
(но часовой стрелке). Доказать, что вершина С правильного
треугольника ABC также движется равномерно по неко-
некоторой окружности.
2. В клетки таблицы т х п вписаны некоторые числа.
Разрешается одновременно менять знак у всех чисел не-
некоторого столбца или некоторой строки. Доказать, что,
применяя несколько раз эту операцию, можно превратить
данную таблицу в такую, у которой суммы чисел, стоящих
в любом столбце и в любой строке, неотрицательны.
3. п точек соединены отрезками так, что каждая точка
соединена с любой другой некоторым путем и нет таких
двух точек, которые соединялись бы двумя разными путя-
путями. Доказать, что общее число отрезков равно п — 1.
4. a, b и р— любые числа. Доказать, что найдутся такие
взаимно простые числа k, /, что ak + bl делится на р.
5. Коля и Петя делят 2л + 1 орехов, п > 2, причем
каждый хочет получить возможно больше. Предлагается
три способа дележа (каждый проходит в три этапа).
1-й этап: Петя делит все орехи на две части; в каждой
не меньше двух орехов.
2-й этап: Коля делит каждую часть снова на две, в каж-
каждой не меньше одного ореха.
A-й и 2-й этапы общие для всех трех способов.)
3-й этап. При первом способе Коля берет
наибольшую и наименьшую части.
При втором способе Коля берет себе обе
средние части.
При третьем способе Коля берет либо боль-
большую и меньшую части, либо обе средние части, но за право
выбора отдает Пете один орех.
Определить, какой способ самый выгодный для Коли
и какой наименее выгоден для него.
X класс
1. Доказать, что для любых трех бесконечных последо-
последовательностей натуральных чисел:
2' '** '
* ' Л'
найдутся такие номера р и q, что
р > СГ
191
ар > ад> Ьр > Ьд> Ср
2. В прямоугольник со сторонами 20 и 25 бросают
120 квадратов со стороной 1. Доказать, что в прямоуголь-
прямоугольник можно поместить круг диаметра 1,-не пересекающийся
ни с одним из квадратов.
3. См, задачу № 2 для IX класса.
4. Расстояния от фиксированной точки Р плоскости
до двух вершин А, В равностороннего треугольника ABC
равны: АР = 2, ВР = 3. Определить, какое максимальное
значение может иметь длина отрезка PC.
5. Дан произвольный набор из +1 и —1 длиной 2*.
Из него получается новый набор по следующему правилу:
каждое число умножается на следующее за ним; послед-
последнее, 2*-ое число умножается на первое. С новым набором
из +1 и —1 проделывается то же самое и т. д.
Доказать, что в конце концов получится набор, со-
состоящий из одних единиц.
XXV олимпиада A962 год)
1-й тур
VII класс
1. Дана прямая /, перпендикулярная отрезку АВ и
пересекающая его. Для любой точки М прямой / строится
такая точкам, что /NAB = 2/МАВ; /.NBA = 2/MBA.
Доказать, что абсолютная величина разности AN — BN
не зависит от выбора точки М на прямой /.
2. Правильный треугольник, одна сторона которого
отмечена, отражается симметрично относительно одной из
своих сторон. Полученный треугольник в свою очередь
отражается и т. д., пока на некотором шаге треугольник
не придет в первоначальное положение. Доказать, что при
этом отмеченная сторона также займет, исходное положение.
3. Пусть а, Ь, с, d — стороны четырехугольника, не
являющегося ромбом. Доказать, что из отрезков a, bt с, d
можно сложить самопересекающийся четырехугольник.
4. Сумму цифр числа а обозначим через S(a). Доказать,
что если S(a) = SBа), то число а делится на 9.
5. Даны п карточек; на обеих сторонах каждой карточки
написано по одному из чисел'1, 2, ..., п, причем так, что
каждое число встречается на всех п карточках ровно два
раза. Доказать, что карточки можно разложить на столе
так, что сверху окажутся все числа: 1, 2, ..., п.
192
> VIII класс
¦1. На сторонах АВ, ВС, С А правильного треугольника
ABC найти такие точки X, Y, Z (соответственно), чтобы пло-
площадь треугольника, образованного прямыми СХ, BZ, AY,
была вчетверо меньше площади треугольника ABC и чтобы
было выполнено условие:
АХ _ JSY_ _ CZ
ХВ ~ YC ~ ZA '
2. См. задачу № 2 для VII класса. ,
? Доказать, что для любого целого d найдутся такие
целые т, п, что
а _ п~ 2т + *
п
4. См. задачу № 4 для VII класса.
5. См. задачу № 5 для VII класса.
IX класс
1. Даны два' пересекающихся отрезка АВ и CD. На
отрезках выбираются точки М п N (соответственно) так,
что AM = CN. Найти положение точек М и Л\ при кото-
котором длина отрезка MN минимальна (ср. задачу № 1 для
X класса).
2. «Конем» называется фигура, ход которой состоит
в перемещении на п клеток по горизонтали и на 1 по вер-
вертикали (или наоборот). Конь стоит на некотором поле
бесконечной шахматной доски. При каких п он может
попасть на любое заданное поде? При каких п это невоз-
невозможно?
3. См. задачу № 4 для VII класса.
4. Дана система уравнений:
~ '
Какие значения может принимать л:25?
7 Зак. 387! 193
5. Доказать, что в прямоугольнике площади 1 можно
расположить непересекающиеся круги так, чтобы сумма
их радиусов была равна 1962.
X класс
!. В задаче № 1 для IX класса заменить отрезки пере-
пересекающимися лучами.
2. На сторонах квадрата, как на основаниях, построены
во внешнюю сторону равные равнобедренные треугольники
с острым углом при вершине. Доказать, что получившуюся
фигуру нельзя разбить на параллелограммы.
3. Доказать, что любое натуральное число можно пред-
представить в виде суммы нескольких различных членов по-
последовательности 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... , ап = ап_1 -j- art_2,... .
4. См. задачу № 4 для IX класса.
5. См. задачу № 5 для VII класса.
2-й тур
VII класс
1. У края биллиарда, имеющего форму правильного
2я-угольника, стоит шар. Как надо пустить шар от борта,
чтобы он, отразившись от всех бортов, вернулся в ту же
точку? (При отражении углы падения и отражения равны.)
Доказать, что при этом длина пути шара не зависит от
выбора начальной точки.
2. ABC— равнобедренный треугольник; ЛВ=ВС, ВН —
высота, М — середина стороны А В, К — точка пересече-
пересечения ВН с окружностью, проходящей через Bt M и С.
3
Доказать, что ВК = ~-^- R, где R — радиус описанной
около треугольника ABC окружности.
3. «Уголком» называется фигура, составленная из трех
квадратов со стороной ] в виде буквы «Г». Доказать, что
прямоугольник размерами 1961 X 1963 нельзя разбить на
уголки, а прямоугольник размерами 1963 X 1965 — можно.
4. Дано число 100 ... 01; число нулей в нем равно 1961.
Докажите, что это число — составное.
5. На плоскости даны 25 точек; известно, что из любых
трех точек можно выбрать две, расстояние между которыми
меньше 1. Доказать, что среди данных точек найдутся 13,.
лежащие в круге радиуса 1.
194
VIII класс
1. Проведем в выпуклом многоугольнике некоторые
диагонали так, что никакие две из них не пересекаются
(из одной вершины могут выходить несколько диагоналей).
Доказать, что найдутся по крайней мере две вершины мно-
многоугольника, из которых не проведено ни одной диагонали.
2. Как надо расположить числа 1, 2, ..., 1962 в после-
последовательности ах, az, ..., а1962> чтобы сумма:
К — Й2|+ |Оа —ав|+ .-.+ |Й1961~ «1962 1 + 1 «1962 — Oil
была наибольшей?
3. В окружность вписан неправильный я-уголдэник,
который при повороте окружности около центра на неко-
некоторый угол а Ф 2тс совмещается сам с собой. Доказать,
что п — число составное.
4. Из чисел xv х2, х3, хА, хъ можно образовать десять
попарных сумм; обозначим их через ах, а2, ..., а10. Доказать,
что, зная числа аг, а2, ..., а10 (но не зная, разумеется, сум-
суммой каких именно двух чисел является каждое из них),
можно восстановить числа хг, х2, xSf х4, хь.
5. Две окружности Ох и 02 пересекаются в точках М
и Р. Обозначим через МА хорду окружности 0v касающую-
касающуюся окружности О2 в точке М, а через MB— хорду окруж-
окружности 02, касающуюся окружности О, в точке М. На прямой
МР отложен отрезок РН = МР. Доказать, что четырех-
четырехугольник МЛНВ можно вписать в окружность.
IX класс
1. Школьник в течение учебного года должен решать
ровно по 25 задач за каждые идущие подряд 7 дней. Время,
необходимое на решение одной задачи (любой), не меняется
в течение дня, но меняется в течение учебного года по из-
известному школьнику закону и всегда меньше 45 минут.
Школьник хочет затратить на решение задач в общей слож-
сложности наименьшее время. Доказать, что для этого он может
выбрать некоторый день недели и в этот день (каждую
неделю) решать по 25 задач.
2. См. задачу № 2 для VIII класса, где вместо чисел
1, 2, ..., 1962 взяты 25 произвольных различных чисел.
3. Стороны выпуклого многоугольника, периметр ко-
которого равен 12, отодвигаются на расстояние d = 1 во
*• 195
внешнюю сторону. Доказать, что площадь многоугольника
увеличится по крайней мере на 15.
4. См. задачу № 4 для VIII класса.
5. Даны 2" конечных последовательностей из нулей
и единиц, причем ни одна из них не является началом
никакой другой. Доказать, что сумма длин этих последо-
последовательностей не меньше п • 1п.
X класс
1. На данной прямой /, проходящей через центр О
данной окружности, фиксирована точка С. Точки А и А'
расположены на окружности по одну сторону от / так, что
углы,' образованные прямыми АС и А'С с прямой / равны.
Обозначим через В точку пересечения прямых А А' и /.
Доказать, что положение точки В не зависит от точки А..
2. См. задачу № 2 для IX класса.
3. См. задачу № 3 для IX класса.
4. Как надо расположить в пространстве прямоуголь-
прямоугольный параллелепипед, чтобы площадь его проекции на го-
горизонтальную плоскость была наибольшей?
5. В шахматном турнире каждый участник сыграл с
каждым другим одну партию. Доказать, что участников
можно так занумеровать, что окажется, что ни один участ-
участник не проиграл непосредственно за ним следующему.
XXVI олимпиада A963 год)
1-й тур
, VII класс
1. Из вершины В произвольного треугольника ABC
проведены вне треугольника прямые ВМ и BN, так что
Z.ABM = Z.CBN. Точки А' и С симметричны точкам
А и С относительно прямых ВМ и BN (соответственно).
Доказать, что АС — А'С.
2. а, Ь, с — такие три числа, что а -\- Ь + с = 0. До-
Доказать, что в этом случае
справедливо соотношение
Ь0
3. Имеется 200 карто-
чек размером 1x2, на каж-
каждой из которых написаны
Рис> *¦ числа +1 и — 1 (см. рис. 4)
196
|Д1бжно ли так заполнить этими карточками лист клетчатой
^бумаги размером 4 х 100, чтобы произведения чисел в
-- каждом столбце и каждой строке образовавшейся таб-
таблицы были положительны? (Карточка занимает целиком
две соседние клетки.) (Ср. с задачей №5 для VIII класса).
4. См. задачу № 4 для VIII класса.
5. Можно ли так провести прямую по листу4клетчатой
бумаги размером 20 х 30, чтобы она пересекла 50 клеток?
VIII класс
1. av а2 ап — такие числа, что ах + а2 + ••• + ял —
= 0. Доказать, что в этом случае справедливо соотно-
соотношение:
S = Вдз + а^з 4- ... + ап_х ап < 0;
в сумму S входят все возможные произведения aflp i Ф /
(ср. с задачей № 2 для VII класса).
2. Даны выпуклый четырехугольник ABCD площади S
и точка М внутри него. Точки Р, Q, R, S симметричны
точке М относительно середин сторон четырехугольника
ABCD. Найти площадь четырехугольника PQRS.
3. Решить в целых числах уравнение
ху хг уг _ о
z "•" у ~^ х
, 4. На плоскости даны 7 прямых, никакие две из кото-
которых не параллельны. Доказать, что найдутся две из них,
угол между которыми меньше 26°.
5. Лист клетчатой бумаги размером 5хп заполнен
карточками размером 1 х 2 так, что каждая карточка за-
занимает целиком две соседние клетки. На каждой карточке
написаны числаН- 1 и—т 1 (рис. 4). Известно, что произведе-
произведения чисел по строкам и столбцам образовавшейся таблицы
положительны. При каких п это- возможно?
IX класс
1. Первый член и разность арифметической прогрес-
прогрессии — целые числа. Доказать, что найдется такой член
прогрессии, в записи которого участвует цифра 9.
2. См. задачу № 5 для VIII класса.
197
3. a, b, с — любые положительные числа. Доказать,
что
а , Ь , с
4. Из любых четырех точек на плоскости, никакие
три из которых не лежат на одной прямой, можно так
выбрать три, что треугольник с вершинами в этих точках
имеет хотя бы один угол, не больший 45°. Доказать. (Ср. с за-
задачей № 2 для X класса.)
5. Можно ли в прямоугольник с отношением сторон
9 : 16 вписать прямоугольник с отношением сторон 4 : 7
(так, чтобы на каждой стороне первого прямоугольника
лежала вершина второго)?
X класс
1. См. задачу № 1 для IX класса.
2. Из любых шести точек на плоскости (из которых
никакие три не лежат на одной прямой) можно так выбрать
три, что треугольник с вершинами в этих точках имеет
хотя бы один угол, не больший 30°. Доказать.
3. Какое наибольшее число клеток может пересечь
прямая, проведенная на листе клетчатой бумаги размером
т X п клеток?
4. а, Ь, с — такие три числа, что аЪс > 0 и а + Ь +
-Ь с > 0. Доказать, что ап + Ьп + сп > 0 при любом на-
натуральном п.
5. Дан произвольный треугольник ABC. Найти мно-
множество всех таких точек М, что перпендикуляры к пря-
прямым AM, BM, СМ, проведенные из точек А, В, С (соответ-
(соответственно), пересекаются в одной точке.
XI класс
1. Положительные числа х, у, z обладают тем свойством,
что
arctg х -}- arctg у + arctg z < тт.
Доказать, что сумма этих чисел больше их произведения.
2. Дана система из 25 различных отрезков с общим
началом в данной точке Лис концами на прямой /, не
проходящей через эту точку. Доказать, что не существует
198
Замкнутой 25-звенной ломаной, для каждого звена кото-
которой нашелся бы отрезок системы, равный и параллельный
этому звену.
3. См. задачу № 5 для X класса.
4. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 составляются всевозможные
семизначные числа, в записи которых каждая из этих цифр
встречается ровно один раз. Доказать, что сумма всех
таких чисел делится на 9.
5. Каждое ребро правильного тетраэдра разделено на
три равные части. Через каждую полученную точку деления
проведены две плоскости, параллельные соответственно
двум граням тетраэдра, не проходящим через эту точку.
На сколько частей построенные плоскости разбивают тет-
тетраэдр?
2-й тур
VII класс
1. Завод выпускает погремушки в виде кольца с наде-
надетыми на него 3 красными и 7 синими шариками. Сколько
различных погремушек может быть выпущено? (Две по-
погремушки считаются одинаковыми, если одна из них мо-
может быть получена из другой только передвижением ша-
шариков по кольцу и переворачиванием.)
2. См. задачу № 2 для IX класса.
3. Дан произвольный треугольник ABC и проведена
такая прямая, пересекающая треугольник, что расстояние
до нее от точки А равно сумме расстояний до этой прямой
от точек В и С. Доказать, что все такие прямые проходят
через одну точку.
4. Какое наибольшее количество чисел можно выбрать
из набора 1, 2, ..,, 1963, чтобы сумма любых двух выбран-
выбранных чисел делилась на 26?
5. Система точек, соединенных отрезками, называется
«связной», если из любой точки можно пройти в любую
другую по этим отрезкам. Можно ли соединить пять точек
отрезками в связную систему так, чтобы при стирании
любого отрезка образовались ровно две связные системы
точек, не связанные друг с другом? (Мы считаем, что в
местах пересечения отрезков переход с одного из них на
другой невозможен.)
19Э
. VIII класс
1. flj, a2, ..., ап — произвольные положительные числа.
Обозначим через bk количество чисел из набораalt a%,.... ап>
удовлетворяющих условию: at > k. Доказать, что
аг +'яа Н- ». -f ап = bi + 6а + - *
2. В таблицу 8x8 вписаны все целые числа от I до 64.
Доказать, что при этом найдутся два соседних числа, раз-
разность между которыми не меньше 5. (Соседними называют-
называются числа, стоящие в клетках, имеющих общую сторону.)
3. Найти множество центров тяжести всех остроуголь-
остроугольных треугольников, вписанных в данную окружность.
4. Какое наибольшее количество чисел можно выбрать
из набора 1, 2, .... 1963, чтобы сумма никаких двух чисел
не делилась на их разность?
5. По аллее,длиной 100 метров идут три человека со
скоростями 1, 2 и 3 км/час. Дойдя до конца аллеи, каждый
из них поворачивает и идет назад с той же скоростью.
Доказать, что найдется отрезок времени в 1 минуту, когда
все трое будут идти в одном направлении.
IX класс
1. Дан произвольный треугольник ЛВС и. точка X вне
его. AM, BN> CQ — медианы треугольника ABC. Доказать,
что площадь одного из треугольников ХАМ, XBN, XCQ
равна сумме площадей двух других.
2. Какое наибольшее число точек самопересечения мо-
может иметь замкнутая 14-звенная ломаная, проходящая
по линиям клетчатой бумаги так, что ни на какой линии
не лежит более одного звена ломаной?
3. В правильном 10-угольнике проведены все диагона-
диагонали. Сколько попарно неподобных треугольников может
при этом образоваться?
4. В таблицу 9x9 вписаны все целые числа от 1 до 81.
Доказать, что найдутся два соседних числа, разность
между которыми не меньше 6. (Ср. с задачей № 2 для VIII
класса.)
5. См. задачу № 5 для VIII класса.
X класс ' '
1. Доказать, что при нечетном п уравнение хп + уп — zn
не может иметь решений в целых числах, если (х + у) —
простое число.
200
8"
л 2- На листе бумаги нанесена сетка из п горизонтальных
и л вертикальных прямых. Сколько различных 2л-звенных
¦ ломаных можно провести по линиям сетки, так чтобы каж-
каждая ломаная проходила по всем горизонтальным и всем
„.вертикальным прямым?
3. Из центра правильного 25-угольника проведены век-
векторы во все его вершины. Как надо выбрать несколько
векторов из этих 25, чтобы их сумма имела наибольшую
длину?
4. А'', В\ С, D'', Ег — середины сторон выпуклого
пятиугольника ABCDE. Доказать, что площади пятиуголь-
пятиугольников ABCDE и AfBfCDfEr связаны соотношением:
Sa'B'C'D'E' > ~2~ SABCDE-
5. Последовательность чисел а1} а2, ..., ап ... образуется
следующим образом:
__ _ . 4-i+2
Доказать, что все числа в последовательности — целые.
XI класс
1. Доказать, что не существует попарно различных на-
натуральных чисел х, у, z, t, для которых было бы справед-
справедливо соотношение
Xх + уУ = ZZ + Р.
2. Доказать, что из одиннадцати произвольных беско-
бесконечных десятичных дробей можно выбрать две дроби,
разность которых имеет в десятичной записи либо беско-
бесконечное число нулей, либо бесконечное число девяток.
3. Найти все многочлены Р(х), для которых справедливо
тождество:
х • Р (х — 1) == {х — 26) • Р (*).
4. См. задачу № 4 для X класса.
5. Доказать, что на сфере нельзя так расположить три
дуги в 300° каждая, чтобы никакие две из них не имели
ни общих точек, ни общих концов.
V 201
XXVII олимпиада A964 год)
1-й тур
VII класс ¦
1. В треугольнике ABC высоты, опущенные на стороны
АВ и ВС не меньше этих сторон (соответственно). Найти
углы треугольника.
2. На данной окружности выбраны диаметрально про-
противоположные точки А и В и третья точка С. Касательная,
проведенная к окружности в точке В, и прямая АС пере-
пересекаются в точке М. Доказать, что касательная, прове-
проведенная к окружности в точке С, делит пополам отрезок
ВМ.
3. Доказать, что сумма цифр числа, являющегося точ-
точным квадратом, не может равняться пяти.
4. На листе бумаги проведено 11 горизонтальных и
11 вертикальных прямых, точки пересечения которых
называются «узлами». «Звеном» мы будем называть отрезок
прямой, соединяющий два соседних узла одной прямой.
Какое наименьшее число звеньев надо стереть, чтобы по-
после этого в каждом узле сходилось не более трех звеньев?
5. Последовательность а0> alt a2, ..., ап, ... образована
по закону:
ао=^а1 = 1; ап+1 = ап_г ап + 1, п = 1, 2, ... .
Доказать, что число а1964 не делится на 4,
VIII класс
1. См. задачу № 1 для VII класса.
2. Найти все такие натуральные числа п, что число
(п — 1)! не делится на п2.
3. Решить в целых числах уравнение:
У
х-\- V х+ ...+ V х = г.
у корней
4. В шестиугольнике ABCDEF все углы равны. Дока-
Доказать, что длины сторон такого шестиугольника удовлетво-
удовлетворяют соотношениям:
202
;-' 5. Рассмотрим суммы цифр всех чисел от 1 до 1 000 000
включительно. У полученных чисел снова рассмотрим
суммы цифр, и так далее, пока не получим миллион одно-
однозначных чисел. Каких чисел больше среди них — единиц
или двоек?
IX класс
1. Решить в положительных числах систему:
uz = х
г* = у
2. Доказать, что произведение двух последовательных
натуральных чисел не является степенью никакого целого
числа.
3. Известно, что при любом целом k Ф 27 число а — k3
делится без остатка на 27 — k. Найти а.
4. См. задачу № 4 для VIII класса. Кроме того, дока-
доказать, что если длины отрезков а1, а2, а3, aif a5, ав удовле-
удовлетворяют соотношениям
то из этих отрезков можно построить равноугольный ше-
шестиугольник.
5. В четырехугольнике А В CD из вершин Л и С прове-
проведены перпендикуляры на диагональ BD, а из вершин В
и D проведены перпендикуляры на диагональ АС. Дока-
Доказать, что четырехугольники ABCD и MNPQ подобны.
(М, N, P, Q — основания перпендикуляров.)
X—XI классы
1. Число N является точным квадратом и не оканчи-
оканчивается нулем. После зачеркивания у этого числа двух по-
последних цифр снова получился точный квадрат. Найти
наибольшее число iV с таким свойством.
2. См. задачу № 3 для VIII класса.
3. Известно, что при любом целом k Ф 27 число а — &1964
делится без остатка на 27 — &. Найти а (Ср. задачу № 3
для IX класса.)
4. См. задачу № 4 для VIII класса.
203
5. На какое наименьшее число непересекающихся те-
тетраэдров можно разбить куб?
1 2-й тур
VII класс
1. На отрезке АС выбрана произвольно точка В и на
отрезках ЛВ, ВС и АС, как на диаметрах, построены окруж-
окружности Ог, О2 и О3. Через точку В проводится произвольная
прямая, пересекающая окружность О3 в точках Р и Q,
а окружности 0х и 02 — в точках R и S (соответственно).
Доказать, что PR = QS.
2. Собрались 2п человек, каждый из которых знаком
не менее чем с п присутствующими. Доказать, что можно
выбрать из них четырех человек и рассадить их за круглым
столом так, что при этом каждый будет сидеть рядом со
своими знакомыми.
3. В квадрате со стороной длины 1 выбраны 102 точки,
из которых никакие три не лежат на одной прямой. Дока-
Доказать, что найдется треугольник с вершинами в этих точках,
площадь которого меньше, чем щ,
4. Через противоположные вершины Л и С четырех-
четырехугольника ABCD проведена окружность, пересекающая
стороны АВ, ВС, CD и AD соответственно в точках М,
N, Р и Q. Известно, что DP = DQ = ВМ = BN = R,
где R — радиус окружности. Доказать, что в таком случае
сумма углов ABC и ADC данного четырехугольника
равна 120°.
5. При каких натуральных а существуют такие нату-
натуральные числа х и у, что х2 + у2 — аху?
VIII класс
1. В п стаканов достаточно большой вместимости на-
налито поровну воды. Разрешается переливать из любого
стакана в любой другой столько воды, сколько имеется
в этом последнем. При каких п можно в конечное число
операций слить всю воду в один стакан?
2. Даны три точки А, В, С, лежащие на одной прямой,
и точка О вне этой прямой. Обозначим через .Ov О2, О3
центры окружностей, описанных около треугольников
204
ОАВ, ОВС, ОАС. Доказать, что точки 0v 0а, 03 и О лежат
на одной окружности.
3. На квадратном поле размером 99 х 99, разграф-
разграфленном на клетки размерами 1x1, играют двое. Первый
игрок ставит крестик на центр поля, вслед за этим второй
игрок может поставить нолик на любую из восьми клеток,
окружающих крестик первого игрока, и т. д. Первый
игрок выигрывает, если ему удастся поставить крестик
на любую угловую клетку. Доказать, что при любой игре
второго игрока первый всегда может выиграть.
4. Внутри равностороннего (не обязательно правиль-
правильного) семиугольника ABCDEFG взята произвольно точка О.
Обозначим через М, N, Р, Q, R, S, Т основания перпен-
перпендикуляров, опущенных из точки О на стороны АВ, ВС,
CD, DE, EF, FG, GA соответственно. Известно, что точки
М, N, Р, Q, R, S, Т лежат на самих сторонах, а н е н а
их продолжениях. Доказать, что
AM + BN + СР + DQ + ER + FS + GT =
= ВМ + CN + DP + EQ + FR + GS + ТА.
5. В квадрате со стороной длины 1 взята произвольно
101 точка (не обязательно внутри квадрата), причем
никакие три из них не лежат на одной прямой. Дока-
Доказать, что существует треугольник с вершинами в этих
точках, площадь которого не больше
IX класс
1. См. задачу № 4 для VIII класса.
2. См. задачу № 1 для VIII класса.
3. Доказать, что любое четное число 2л может быть
единственным образом представлено в виде 2п = (х + уJ +
4- 3* + у, где х и у — целые неотрицательные числа.
4. В треугольнике ABC сторона ВС равна полусумме
двух других сторон. Доказать, что биссектриса угла ВАС
перпендикулярна отрезку, соединяющему центры вписан-
вписанной и описанной окружностей треугольника.
5. На клетчатой бумаге начерчена замкнутая ломаная
с вершинами в узлах сетки, все звенья которой равны
Доказать, что число звеньев такой ломаной четно.
205
X класс
1. В п мензурок налиты п разных жидкостей; кроме
того, имеется одна пустая мензурка. Можно ли за конеч-
конечное число операций составить равномерные смеси в каждой
мензурке (т. е. сделать так, чтобы в каждой мензурке было
1 .
ровно — от первоначального количества каждой жидкости
и при этом одна мензурка была бы пустой)?
Примечание. Мензурка имеет деления1, позволяющие измерять
объем налитой жидкости
2. Дана система из п точек на плоскости, причем из-
известно, что для любых двух точек данной системы можно
указать движение плоскости, при котором первая точка
перейдет во вторую, а система перейдет сама в себя. Дока-
Доказать, что все точки такой системы лежат на одной окруж-
окружности.
3. Дан треугольник ЛВС, причем сторона ВС равна
полусумме двух других сторон. Доказать, что в таком
треугольнике вершина А, середины сторон А В и Л С и
центры вписанной и описанной окружностей лежат на
одной окружности (ср. задачу № 4 для IX класса).
4. Можно ли на клетчатой бумаге нарисовать равносто-
равностороннюю ломаную с вершинами в узлах сетки, имеющую
нечетное число звеньев? (Ср. задачу № 5 для IX класса.)
5. Имеется бесконечное количество карточек, на каж-
каждой из которых написаны какие-то натуральные числа.
Известно, что для любого натурального числа п можно
указать ровно п карточек, на которых написаны дели-
делители этого числа. Доказать, что любое натуральное число
встречается хотя бы на одной карточке.
XI класс
1. Из точки О на плоскости проведено несколько век-
векторов, сумма длин которых равна 4. Доказать, что можно
выбрать несколько векторов (или, быть может, один век-
'тор), длина суммы которых больше 1.
2. См. задачу № 3 для IX класса.
3. В треугольнике ЛВС сторона ВС равна полусумме
двух других сторон. Через точку А и середины сторон
АВ и АС проведена окружность и к ней из центра тяжести
206
треугольника проведены касательные. Доказать, что одна
из точек касания является центром вписанной окружности
треугольника ABC (ср. задачу № 4 для IX класса и № 3
для X класса).
4. Пирог имеет форму правильного /г-угольника, впи-
вписанного в окружность радиуса 1. Из середины каждой
стороны проведены прямолинейные надрезы длины 1. До-
Доказать, что при этом от пирога всегда будет отрезан какой-
нибудь кусок.
5. При дворе короля Артура собрались 2л рыцарей,
причем каждый из них имеет среди присутствующих не
более п — 1 врага. Доказать, что Мерлин — советник
Артура — может так рассадить рыцарей за Круглым Сто-
Столом, что ни один из них не будет сидеть рядом со своим
врагом. v
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ
ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫХ ЗАДАЧ
А. АЛГЕБРА
§ !. Доказательство тождеств
1. Представьте число -—¦ в виде -|- + а, гдео<а<1.
Второе решение: рассмотрите числа, делящиеся на
с и не превосходящие —-, а также числа, делящиеся на
с и не превосходящие -г- .
2. Представьте правую часть тождества в виде:
3. Двукратным умножением на сопряженное выраже-
выражение избавьтесь от иррациональности в знаменателях обеих
частей.
4. Используйте тождество
1Оа х =
(так называемый «модуль перехода» от одного основания
логарифмов к другому).
5. Приведите данное выражение к виду, содержащему
только sin 10°, и воспользуйтесь формулой: sin3a=.3sina —
— 4 sin3a.
6. Используйте соотношение
Cm {-*тп—1 t>
a = Ьл_1 -f-
208
^; § 2. Суммирование конечных последовательностей
7. Покажите, что при п = 0 равенство справедливо, и
„докажите, что при увеличении л на 1 левая часть также
увеличивается на 1.
8. Воспользуйтесь тем, что -j—г- = logba.
9. Воспользуйтесь результатом задачи 17.
10. Воспользуйтесь методом математической индукции.
П. Воспользуйтесь методом математической индукции.
12. Воспользуйтесь тем, что числа
4л;
представляют собой действительные части корней урав-
уравнения
Х2п+1 _ 1 = 0.
Второе решение: правильный Bп + 1)-угольник,
Г I 1 1
одной из сторон которого является отрезок „-, -н-
на оси абсцисс, спроектируйте на ось абсцисс.
13. Покажите, что числа sin2 ~—г-т, sin2
2n + V 2n
nn
2/Г+1
... , sin2 9 _i_ i являются корнями уравнения
1 - ж) ' Jf + ». + (— l)n ^л = 0.
14. Докажите, что Btn+\)~Ckm= Скт+2шщ-1 Ckm_t
Пользуясь этим и учитывая, что Ст — Ст + Ст — •• • +
4-1 — 1) Cm = 0, установите соотношение Sm= ^х] 5 m - i,
где Sm означает левую часть доказываемого тождества.
Затем примените метод математической индукции.
15. Воспользуйтесь формулой:
arc tgA: — arc tg у = arc ctg _„.
At У -
209
16. Выражение, стоящее в леЪой части, равно коэффи-
коэффициенту при хп, получающемуся после раскрытия скобок и
приведения подобных членов в произведении
A -f ХJп = A + х)п • A + х)п =
= {С°п + С\х 4- ... + О") [Спп + Спп~1х+ ... + Clxn).
17. 1 г-г. Указание. Воспользуйтесь равенством
1 1 1
k(k-hl) k k+V
18 1 .[1 i
1О* 3 L 6 (n + l)(n
Указание:
i
1
3
. „ ft ;¦ Указание:
2ft + 1.
1 1/1 I
2) 2 \ k k +
Замечание: Результаты задач 17, 18, 19 нетрудно обобщить:
1 1 1
+ ++
или, иначе,
1.1!, 2\ , , {п-Щ\
1
• ... • n \*
k\ "Г" (А + 1)! ^ (А + 2)! "г-"г л! -
1 Г 1 (п — k -f 1)! 1
20. 1 г ¦ Указание: ~ = tz—гг. тт
210
21. (я+1I — 1. Указание: k\k = (k + 1)! — kl
22. 1-1—г (*2n+2 — *-2n) — 2л — 1.
23. nl-Cn^J,. Указание. Умножив и разделив дан-
данную сумму на п\, вычислите сумму С° + Ci+i + ...+ C?jlJ_i,
используя соотношение Скт + С^ = Ст+\ и заменив С? на
Сл+1-
24. ^у { a (q»+i ~ 1) + d [nqW ~^г~] }•
Указание. Представьте данное выражение в виде
а A + q + <72 + ¦•• + Я") -Г d \{q + ?2Ч- ... +
+ (д2 + <73 + ... н- 9Д) + - + О?")]-
1 / *+ — л: \
25. д._1 Iпхп+х ^-—j—I. Указание. Восполь-
Воспользуйтесь результатом предыдущей задачи.
26. х
•
1-х
Указание. Воспользуйтесь результатом задачи 24.
27. 2п+2 — (п + 3). Указание. Воспользуйтесь ре-
результатом задачи 24.
~9~ \ 9 п)' ^казание- Покажите, что
имеет место равенство: l + 11 + lll-f-... + 11... \ = п-\-
п
+ 10 (п— 1)+ 100 (я— 2)+ 1000 (п — 3) + ... + 10" • 1,
и воспользуйтесь результатом задачи 24.
29. 2Л+4— (п2 + 7п + 14). Указание. Воспользуйтесь
методом математической индукции.
. Я? . (Я + 1)у
sin —g- sin 2
30. . Указание. Обозначив через г
комплексное число cos cp -f-1 sin cp, рассмотрите два выра-
выражения для суммы z + г2 + ... + zn. Первое выражение
получите, суммируя 'геометрическую , прогрессию; для
получения второго выражения воспользуйтесь формулой
Муавра: (cos ф + i sin <р)й = cos ky + i sin k cp; приравняйте
мнимые, части полученных выражений.
2И
Второе решение: в тождестве
sin kx = 2cos x • sin (k — 1) x — sin {k — 2)x
произведите суммирование по k,
. л? (и + %
sin —2~- cos g
31. . См указание к предыдущей за-
sinT
даче; приравняйте действительные части полученных вы-
выражений.
Второе решение: воспользуйтесь тождеством
cos kx = 2cos x cos (k — 1) л: — cos (k — 2) x.
n . «p Bn + l)<p
sin n cp — 2« sin -g- cos n
32. . Указание. Рас-
4sin2--|-
смотрите выражение z -\- 2z2 + З23 +...•+- лгл и восполь-
воспользуйтесь результатами задач 25 и 30.
33. 2"cosrt-~cos~. Указание. Данная сумма яв-
является' действительной частью выражения \-\-C\x-\-
-\- С2пх2 + ... 4- О" = A + х)п, где х = cos<p + i sin ?; на-
написав соотношение
A + cos ср -f (sin ср)л = f2cos2 ¦— -\- 2i cos-|- sin -|-J =
= 2п cos" -|- (cos -|- + '" sin
воспользуйтесь формулой Муавра (см. указание к задаче 30).
34. Ст+п- Указание. Рассмотрите коэффициент при
хк, который получится, если раскрыть скобки и затем
привести подобные члены в произведении
К + CU + ... 4- Ск?) (С + С х 4- ... + С°тхт) -
= A4- х)т+п (ср. с задачей 16).
212
|- § 3. Доказательство неравенств
| 35. Пусть а > Ь, тогда мы имеем неравенства:
^ Ь > с -f d, аб > ас -f arf > 6с + й^
Случай а < 6 рассматривается аналогично.
36. Воспользуйтесь неравенством: а2 + Ь2 >
37. Сделайте замену: х — ~-г + а: г/ == -^—!— р» г —
= -д- + Т и воспользуйтесь очевидным соотношением а +
+ Р + Т = О.
Второе решение: в силу результата предыдущей
задачи
3 (г5 + f + г2) > *2 4- ^ 4- г2 4-
4- 2(^4- ^ + yz) = (х + у + гJ = 1.
38. Рассмотрите очевидное неравенство
39. Замените 22 на 1-2, З2 на 2-3 и т. д. и восполь-
воспользуйтесь результатом задачи 17.
40. Замените в данной сумме:
на
на
а)
i
1
~1б~
1
о
4
и
1
3
и
- на-
т. д
¦на-
Т. Д
1 .
4 '
•
1 .
2 '
1
5 '
1
5 '
1
6
*
1
6 '
И -
1
7
1
7
на -
1
1
8
1
• 9 '
1
9 '
1
10'
1
10'
1
"•' 14
1
••*» 14
- И
И
1
15
1
15
41. Замените в данной сумме каждое из чисел k2 на
меньшее произведение (k—l)(k-\-l) и воспользуйтесь
методом задачи 17.
42. а) Данная сумма состоит из п слагаемых, каждое
из которых не меньше, чем у-.
б) Докажите, что при любом 6 = 0,1, ,.., я—1 спра-
справедливо неравенство
^Т< 2л *
213
43. Воспользовавшись неравенствами: [ х + у \ <! | х | 4-
¦\-\y\ и 21ху | < х2 -\- у2, покажите, что
ИА + оА+ ••• + <*AI< !-.
44. Воспользуйтесь неравенством: 1 + * > 2 ]/ jc, спра-
справедливым для х > 0.
45. Если одно из чисел a, b отрицательно, то нера-
неравенство очевидно. При а, Ь > 0 воспользуйтесь неравен-
неравенством аЪ < ( ^ ) и соотношением а2 + б2 = (а + бJ —
— 2ab.
46. Воспользуйтесь тождеством: \ogab = . и за-
задачей 38.
47. Воспользуйтесь результатом предыдущей задачи и
тем, что тс Ф 2.
48. Замените &! меньшим числом 2ft^x.
49. Покажите, что2)/~7гН Jl_ <2//г+ 1
К + 1
воспользуйтесь далее методом математической индукции;
для доказательства приведенных неравенств можно восполь-
воспользоваться неравенством 2ab < a2 -J- Ь2.
50. Просуммируйте почленно по k от 1 до п соотно-
соотношения
4 _f*±2_- — 9 gfe+l ;
и приведите подобные члены.
51. а) Воспользуйтесь тем, что
I l =
Ъп "»" Ъп + 1 ^ 2п •" 2n
„ 1
и замените остальные члены данной суммы на —.
б) Воспользуйтесь указанием б) к задаче 42.
52. Сначала индукцией по k докажите неравенство для
всех чисел п вида 2й; затем «обратной индукцией» — «от
т к т—1» распространите доказательство на все значе-
значения п.
53. Данное неравенство — частный случай неравенства
Коши-Буняковского:
(аА + *А+». + а АI <
< (al + at + .- + aji)(&; + ^ + •» + «).
214
|fДля доказательства неравенства Коши-Буняковского по-
пог
гложите
__
в очевидном неравенстве
. Ora-t + bxf + (лиц + ^J + •» + (*в„ + W > О
(ср. задачу 43).
54. Докажите, что 1+а2л>а-Ьа2л-1 > а2+а2л~2> ... >
> а" + ап при а > 0.
55. Воспользуйтесь возрастанием sin* и убыванием
cos х при 0 < х < -|-.
Ufi _L. 2Щ+1
56. Покажите, что Bл + 2)! > \(г^\ {у]а и восполь-
воспользуйтесь методом математической индукции.
57. Выразите обе части неравенства через tg.y.
58. Превратите данную дробь в выражение, содержащее
только синусы, и докажите неравенство
%inpz <1я
sin л;
для целых р и х Ф п тс.
59. Докажите, что (п — k -f 1)Л > л при n>k> 1,
и сгруппируйте попарно множители в выражении («!)а.
=, ?.±1
60. Так KaK-i- + i-«l..To р =, ?.±1 в
Р 1 Я Я
Р ' Я ' Q их
q ~ Е-ИЯ. = pl + ?1 f Где pv qx — целые числа, пропор-
пропорциональные р и q (соответственно); переписав доказывае-
доказываемое неравенство в виде
Pi + <?( Pi + Яг
_ _ It , „ и Pt
ab <-
положите ах = а2 = ... =а^ — a 41 , aq +1
= b Qi = b и используйте неравенство задачи 52.
215
61. а) Раскрыв данное выражение по формуле бинома
Ньютона, ограничьтесь первыми двумя членами; остальные
члены положительны.
б) В разложении бинома замените каждое слагаемое
на большее так, чтобы получилась геометрическая про-
прогрессия.
62. Воспользовавшись неравенством ( I -j ) <3 (см.
/ п 4- 1 \n+I ( п\п
задачу 61), покажите, что1—±—) :(~з~у </*-Hi и при-
примените метод математической индукции.
63. Примените результат задачи 62.
64. Воспользуйтесь результатом задачи 52 и очевидным
неравенством: (п — т)\ пт> п\.
§ 4. Решение уравнений и систем уравнений
65. #1,2 = 3 ± У21, х3 — —2, лг4 = 6. Указание.
х 4
Заменой -~ = t уравнение сводится к квадратному
относительно t.
66. #i,2,3,4 = 2~а± у ~а* ± Ya?+T*. Указание.
5
Заменой х -J- -у а == t данное уравнение сводится к би-
биквадратному.
67.^ = 0, х2 =s 7, лг3=1. Указание, Положив
V х2 — 8х + 9 ±
Ух2 — 8х + 9 — Ух2 — 8х + 7 = V,
воспользуйтесь тем, что uv — 2.
68. х = log з 2. Указание. Представьте правую часть
у
уравнения в виде 2 > ? и разделите обе части на 6*.
69. Действительные решения: ^=16; хг = 8\. Ука-
Указание. Приведите уравнение к системе
f и + и = 5,
( и4 + у4 = 97
и, сделав замену и -j- v = г, uv = t, приведите ее к квад-
квадратному уравнению относительно Л
216
70. г —1,5 — 2i. Указание. Представив г в виде
U покажите, что у — — 2, после чего составьте урав-
уравнение относительно х.
V 71. При а Ф О, # ^ 0 решение существует лишь в том
"случае, если частное-^- рационально и имеет (после со-
• 2k -4- 1
крашения) вид 4гТ2 '> в этом случае решениями будут
Bk4-\)nq
числа х = -—2q , где g— целое число, дающее при де-
делении на 4 тот же остаток, что и 2k'+ \; если хотя бы
одно из чисел a, b равно нулю, то решений нет.
72. х = ± -j- -}- nkt k = 0, + 1, +2, .... Указание.
Покажите, что либо tgjc = 1, либо sin* 4- cos* = 0.
2 2
73. * =
il
l
с
У=
1 1
1
a b ~>~ с
l l l
— i _ _i_
a ~~*~ b ~*~ c-'
Указание. Так как хФ§, у ф 0, г Ф 0 (почему?),
то можно рассмотреть вспомогательную систему уравнений:
1
ИЛИ
у
а
ху
XZ
yz с
74 у Ч *- ^ 1- fi у fi у Ч у Ч
#Т^» Л< —— tj у Ag t-/^ Л-g — \Jy A^ —* Wy Л^ J) Ла —— О.
Указание. Сложив все уравнения, получим; х14-л;6=6;
далее надо исключить все неизвестные, кроме хв,
75. хг = х2 = х3 = . .. = х99 = хт = 0. Указание.
Складывая уравнения через два, покажите, что хх -\- х2 4-
4-... 4- х99 — 0; далее, складывая все уравнения вместе,
получим хх 4- х9 + ... 4- -^юо = 0.
76. ^х = х% — ... = х100 = 0. Указание. Вычитая пер-
первое уравнение из остальных, получим систему, не содер-
содержащую х{, затем, умножая в полученной системе первое
уравнение на надлежащие числа и вычитая из остальных,
получим систему, не содержащую также и х2, и т. д. По-
217
кажите, что во всех получающихся системах коэффициен-
коэффициенты положительны. В конце концов получаем kxl00 = О,
где k Ф 0, откуда л:100 = 0. Аналогично находим значения
остальных неизвестных.
77. хг = -g-, ух — -^-\ х% = ~y, уг = -g-. У к а з а ние.
Воспользуйтесь тем, что г/ > 5.
/о. л^ — g , ^ — g > ^i — о; л:2 д-, г/2 — —^,
г3 = — 6. Указание. Раскрыв скобки и сложив урав-
уравнения, найдите ху -f- yz -j- xz; затем определите ху, yz и
л;г, после чего, перемножив полученные выражения, най-
найдите значение xyz.
79. х1 = 9, ух == 10, zx = 12; х2 = 10, г/2 = 9, га = 12.
Указание. Переписав систему в виде
xz + y* = z2-\- 37,
х3 -f r/3 = г3 + 1
и возведя первое уравнение в квадрат и в куб, исключите
х и у и найдите г.
80. хх = 0, ух = 0; х2 = 3, */3 = 2; л:3 = -^ 3, t/3= — 2;
*4 = 2, г/4 = 3; хъ = — 2, & = —3; х6 = t/6 =
7у7 8 e 8
Указание.Введите новые неизвестные: и—х+у,у—ху.
81. *х = 3, */х = 5; х„ = —3, у» = — 5; л:3 = 36,
23 23
#з = 5~; #4 = —36, г/4 = ~2"- Указание. Сложив
данные уравнения, найдите х -f- 2г/.
82. Jfj = о, i/i = 2; #2 = 2, t/2 == 3; #з == — 3, у3 == — 2;
х4 = — 2, ?/4 = — 3. Указание. Воспользуйтесь соотно-
соотношением
83. Если [ а | ф [ с | и | ас | ф 1, то система имеет че-
четыре решения:
— 2 _ 2 __ 2ас __ 2ас
*~ а —с' "*~~aj-c* 2~ с — а> У* ~~ а-^с'г
__ 2с _ 2с __ 2а _ , 2а
*3 ~ ос — 1' Уз ~~ ас + 1' ^4 ~" Г=^ос' ^* "" ~Tfac''
218
если одно из условий нарушено, то имеются два решения
(первое и второе или третье и четвертое); если, наконец,
|а| = |с| = 1, то решений нет. Указание. Введите но-
новые неизвестные: и = х~~у, у = х у.
ху ху
84. а) Вычитая из первого уравнения второе, получим
(х — у)а = а — Ь, где а = х -J- У + z. Аналогично из вто-
второго и третьего уравнений находим (у — z) о = Ь — с. Вы-
Вычитая второе полученное соотношение из первого, найдем
(а — Згу) а = а — 2b -f- с, что позволяет выразить у через о.
Аналогично выразим х и z через о. Подставив получен-
полученные выражения х, у и z в любое из данных уравнений,
получим квадратное уравнение относительно о. Ответ:
— 2а \ _ J_
а + Ь — 2с
2 = -s- К?
3 \ ff
где о находится из уравнения
о , » г о й:Ь 4- ос 4- Ьс
aiJ = a-|-C>-f-C — о \ h л. '
если а + b -f- с = 0, то решение существует лишь при
a = Ъ — с = 0; в этом случае решений бесконечно много
и все они имеют вид х — у — z.
б) Указание. Найдя из первых двух уравнений и и v,
найти затем эти же величины из последних двух уравне-
уравнений; приравнивая полученные выражения, найдем (в слу-
случае, когда х Ф у):
1 сх — d » су — d
ах — о — 5—» ау — о = —^-s—.
у ^
Эти уравнения надо вычесть, затем, освободившись в них
от знаменателей, еще раз вычесть:
с (х2 + ху + У2) ~- d (х + у) .
вводя в этих уравнениях вспомогательные неизвестные
t = ху, s = х-\- у, мы легко определим t и s, а затем и
первоначальные неизвестные.
85. л^ = у^у, i/j = |a3i; лг2 = ia3i, #2 = -^-. Указание
Введите новые неизвестные и = \gx> v = lg у.
219
86. xt = k it, yx = a + lit; xs — a + kir, #2 = /тг; x3 =
^f 1), t,3 = ^_a +
= g i« + «BA4- 1); 1/4= -| a+*B/+ 1).
Указание. Введите новые неизвестные: и = х-\- у,
v — х — у и приведите систему к виду, содержащему толь-
только cos и и cosy.
87. х1 — ух = 2; *а = yt = 0. Указание. Приведите
данное уравнение к виду {х— 1) (у— 1) = 1 и воспользуй-
воспользуйтесь тем, что х— 1 я у— 1 —целые числа.
88. #i,2=L #i,2=+ 1; #з,4 = 3, г/з,4 = ± 3. Указа-
Указание. Докажите предварительно, рассматривая последние
цифры, что х не может быть больше 4.
2^ 2 2i 2
89. х = t • —^—, у = —^—, где t — любое нечетное
о о
число, большее 1. Указание. Выразив у через —, по-
покажите, что число — 1 четно; введите новое неиз-
неизвестное t = —.
у
90. р ~ q — г = 1 и еще 6 решений, получающихся
из решения р = 2, q = 3, г — 4 перестановками. Указа-
Указание. Введя новые неизвестные а = р—1, § = q—1,
¦у =/*—1, получим относительно а, р, у уравнение: a -f-
Н- Р + Т = а?Т,» причем а, р, -j- — неотрицательные целые
числа. Полученное уравнение имеет очевидные решения:
в = р = ^ = 0 и a=i, p = 2, 7 = 3, а также решения,
получающиеся из последнего перестановками.
Покажем, что других решений это уравнение не имеет.
Пусть a < р < у и пусть a > 2; тогда яр-у > 2 • 2 • f == Фу,
в то время как a + р + у всегда меньше, чем З^; следо-
следовательно, a < 1. Вели a = 0, то, очевидно, р = у = 0.
Если же a = 1, р > 3, то ар^>3у, в то время как a-j-
+ Р + Т < Зт- Значит, р < 2.
Если р = 1, то для -у получаем противоречивое урав-
уравнение 2 + Т = Т* Следовательно, a = 1, р = 2, у = 3.
91. х = 1, #=±1, z — любое четное число; л: = 3,
#=±3, z = 2; я = 1, # = 1, z — любое нечетное число;
х— любое натуральное число, у = И -f 2! 4- ... -f *!, г= 1.
Указание. При г = 2й задача сводится к задаче 88;
для г = 2k + 1 докажите, что при д; > 8, г > 3 решений
нет.
220
92. хх = 1, ух = 2; л-2 = 2, #я = 1. Указан и е. Пере-
Перепишите уравнение в виде Ybx — 1 + УЬу — 1=5 и до-
докажите, что х < 5, у < 5.
93. хх = уг — 1; хг = 2, #а = 3. Указание. Докажи-
Докажите, что х и у — положительные числа; далее, представь-
представьте 3* — 1 в виде C — 1) (З*-1 + 3*~а + ... + з + 1) и до-
докажите, что либо х—\, либо х — четное число.
§^5. Исследование уравнений, систем уравнений
и неравенств
94. Воспользуйтесь графической интерпретацией нера-
неравенств (например, неравенство ах — by < 0 справедливо
для всех тех и только тех точек, которые лежат выше
прямой у — ~ дм.
95. -^ + kiz<x< ^- + &тг, ? = 0, ± 1, ±2,....
Указание. Решите предварительно уравнения:
.sinx = cos A-; sin x = — cosx.
96. Покажите, что если х — любое действительное ре-
решение данного уравнения, то
а^х = b-^t CL4X '^^ с*2, -•-, Qnx r=r: t?n.
97. Подставив в уравнение х = .—, приведите левую
часть к общему знаменателю.
98. Представьте х в виде несократимой дроби х = —
т3
и покажите, что число — должно быть целым, если толь-
ко х — корень данного уравнения; между тем дробь
—з несократима.
99. Покажите, что х не может быть ни четным, ни
нечетным числом.
100. ах = Ьх = 0; а2 — bz — 2; а3 = 1, 63 = 5; а4 = 5,
64 = 1. Указание. Воспользуйтесь теоремой Виета,
из которой (при а Ф О, Ь Ф 0) выведите соотношение
()( )
(L+_L)(+
101. Пусть х0, i/0, z0 — некоторое ненулевое целое реше-
решение. Тогда хотя бы одно из чисел х0, у0, г0 отлично от нуля;
221
пусть, например, zQ Ф 0. Уравнение аХ2 + bXY -{- cY2 = 1
уже имеет одно рациональное решение:
XQ = —, Yo — — Докажите теперь, что при любом ра-
циональном числе k система уравнений
имеет, кроме решения (Хо, Yo), еще одно рациональ-
рациональное решение.
102. ах = g-, a2 = -g-. Указание. Воспользуйтесь
формулами Виета.
103. Перепишите данное уравнение в виде
Ро + Рхх + Р%х? = (Ро + Pi 4
или, иначе,
104. х4— Юл;2 + 1 = 0.
105. а) ах = —2, ag = 1. б) ах = —2, ая = 1.
Указание. Составьте разность заданных уравнений.
106. Существуют; например, au = а12 — ais — a22 =а2з =
= ам = a31 = a34 = a35 = a42 = fl46 — а5з — а5в — аы — Ь
а остальные коэффициенты равны нулю. Указание. До-
Докажите, что уравнение 2xi-{- x}- — b (b — целое) не может
иметь более одного решения при наложенных ограниче-
ограничениях на xt и Xj.
107. Три решения. Указание. Постройте графики
функций ух = sin х, у% — \g х.
108. Покажите, что A -f y)k > 2yh> и, воспользовавшись
тем, что 2 > у + 1, докажите, что при данных условиях
левая часть уравнения всегда меньше правой.
109. Покажите, что zn> 2(г— 1)п, и воспользуйтесь
методом предыдущей задачи.
ПО. Раскрывая скобки в произведении
и пользуясь формулами Виета, получите соотношение
X\ -\~ X% — Ъ \X\ ~\- X2 ) — \X\ + X2 j,
далее воспользуйтесь методом математической индукции.
222
111. Пусть л:2 + рх + Я ~ 0 — исходное уравнение,
у*-\- ру -\-(q -\-е) = 0 — уравнение, полученное после округ-
округления числа q на е, где |в|< 0,00001. Вычитая эти два
уравнения, получим (х— у) (х + у + р) = — в, откуда
Л- Ух
. Е
I *i — *2 I V Р*-±Я
(так как л^ -f xt = — р).
112. Рассмотрим отрезок длины /V, Каждому решению
данного уравнения в целых неотрицательных числах соот-
соответствует разбиение отрезка на п частей, длины которых
выражаются целыми неотрицательными числами. Следова-
Следовательно, число решений данного уравнения равно числу
способов выбора из N + 1 точек (разбивающих отрезок
на части длины 1, считая и концы) каких-то п — 1 точек,
некоторые из которых могут совпадать («сочетания с пов-
повторениями»).
113. Заметим, что при v = 0 данное уравнение имеет
вид (г + IK + 1 = 0, и, следовательно, все его корни
имеют отрицательные действительные части. Если бы при
некотором значении v уравнение имело корень с положи-
положительной действительной частью, то нашлось бы и такое зна-
значение v, при котором уравнение имело бы чисто мни-
мнимый корень: z = ix.
Покажите теперь, что чисто мнимых корней уравнение
иметь не может (для чего достаточно подставить z = ix
в уравнение и приравнять к нулю действительную и мнимую
части полученного выражения),
114. Рассмотрите ъткпх, cosnnx, воспользовавшись
соотношениями:
sin п а = СА cos72 a sin а — С\ cosn~3 а sin3 а -f-
+ Сп cos"~5 а sin5 а — ...,
cos п а = Сп cos* а — С2п cos** а sin2 а -}-
и приняв
1 . , ' У п2 — 1
, sin тс х —
п ' п
Приведенные соотношения доказываются при помощи
формулы Муавра (см. указание к задаче 30).
223
Второе решение: воспользовавшись равенством
cos kx = 2 cos x cos (k —-1) x — cos (k — 2) x,
покажите, ^то если х — корень рассматриваемого уравне-
уравнения, а р— простой множитель, входящий в число п, то
coskx имеет вид несократимой дроби, в знаменатель кото-
которой входит множитель р?, следовательно, cos kx ни при
каком k не является целым числом.
115. Покажите, что если х-\- уУ 5 = (9 + AV 5)л и
х, у — целые числа, то х — у У 5 — (9 — 4 У 5)"; если
п < 0, то воспользуйтесь равенством
(9 + 4 ^)"= (9 - 4/)~".
Доказательство обратного утверждения разбивается на
следующие этапы (ср. стр. 16—18 вводной статьи). Для
удобства мы условимся называть число а + ЪУЬ «реше-
«решением», если целые числа х = а, у = Ь удовлетворяют
уравнению х2 — 5у2 = 1.
1 °. Если а-\- ЬУ Ъ и с + dV 5 — решения, то их про-
произведение и частное снова являются решениями,, причем
частное представляется в виде р -\- о У 5.
2°. Если* a-f bY Ь и c-\-dVЪ — решения, причем
а>0, Ь>0, о 0, d> 0 и а + b |/~5 < с +
то а < с, b <, d.
3°. Если а -f- b У 5 — решение, то а) если 0 < а 4-
то а > 0, б) если 1 < а + 6 /1>, то а > 0, & > 0.
4°, Покажите, что не существует целого решения,
расположенного между 1 и 9 + 4 Y 5.
5°. Покажите, что все целые решения р~
у которых р и д неотрицательны, имеют вид (9 +
где п > 0.
6°. Докажите, наконец, что последняя формула при
п = 0, ±1, ±2, ... представляет все решения.
§ 6. Многочлены
116. Пусть данный многочлен является произведением
многочленов Р(х) и Q(y). Покажите, чтр эти многочлены
должны содержать соответственно члены вида тх3 и пу3.
224
,117. а) Искомая сумма равна нулю. Указание. Сум-
Сумма коэффициентов многочлена равна его значению при
х — 1.
б) Воспользуйтесь указанием к задаче а)
118. Данный многочлен ни при каком действительном
х не обращается в нуль, поэтому многочлены р(х) и д(х),
в произведение которых он может быть разложен, не ме-
меняют знака. Рассмотрите значения многочленов р(х) и д{х)
при х — а и х — Ь и воспользуйтесь теоремой Безу.
119. Рассматривая коэффициенты при х°, хк, х1 в про-
произведении {xk + a1xk~i -f ... -f ak){xl + b1xl~l +...+ 6г),
покажите, что ak — bt — 1. Далее воспользуйтесь методом
математической индукции.
120. Воспользуйтесь результатом предыдущей задачи
и методом задачи 117.
121. Если х = ш— корень многочлена, то его корнем
является также число х — — ш; теперь по теореме Виета
Ь — 0, с = аш2, и многочлен представляется в виде
122. ах = 8; а% — 12. Указание. В равенстве
(х — а)(х— 10)+ 1 =(x-bb)(x + c)
положите д; — 10.
. а) х^, х2, ..., хл; о) ——-, ——, ..., —
*i хг х
124. Воспользуйтесь тем, что при |х|> 1, k < n имеет
место неравенство |л:*|<|хл[; примените неравенство
\a + b\<\a\ + \b\.
125. Докажите, что Р[—) не может быть целым чис-
числом (а значит, и нулем), если — несократимая дробь.
t26. Разберите отдельно случаи х<1 и х> 1; в пер-
первом случае разбейте многочлен на три слагаемых:
A — х) -f- (*4 — х9) -f л:12;
во втором случае представьте многочлен в виде
8 Зак. 387
127. Данный многочлен не может иметь действитель-
действительных корней; следовательно, его корни являются попарно
комплексно-сопряженными. Поэтому многочлен представ-
представляется в виде:
А[{х — ах) • ... *{х — ak)) {{x — аг) • ... • (x — Zk)],
где А > 0.
Если f(x) — действительная часть многочлена, получаю-
получающегося после раскрытия скобок в первой квадратной скоб-
скобке, и g(x) — его мнимая часть, то вторая квадратная скоб-
скобка представляется в виде f{x) — ig(x) (так как она комп-
комплексно-сопряжена с первой).
Данный многочлен, следовательно, равен
A [f{x) + ig(x)} [f(x) - ig{x)} = A [/»(*) + g*(x)}.
128. ax — — 8, bx — 18; a2 = 8, bt — 14. Указание.
Приравняйте коэффициенты при одинаковых степенях х
у данного многочлена и у выражения (тх2 + пх 4- РJ-
129. Остаток равен х3—1. Указание. Покажите,
что данный многочлен делится на х2 -J- х -f- 1, после чего
найдите остаток от деления многочлена
+ ^r + xe + хз + \ на
130. Остаток равен
d (x — a) (x — c) r (x ~a){x — b)
(a — ft) (a — c) ^ F — a) F — c) "* ° (c — a) (c — b) '
Указание. Подставляя в тождество
Р (х) ^(х~а)(х — b) (x — c)Q (х) + R(x)
вместо х числа а, Ь, с, получим систему уравнений для
определения коэффициентов многочлена
= /#2 + тх + п.
Докажите, что эта система имеет единственное решение,
и проверьте, что коэффициенты приведенного выше много-
многочлена ей удовлетворяют.
131. а— —2-д- (если только п > 3). Указание.
fit ¦^^-~ ^
Представьте данный многочлен в виде
(хп— \) — ах (хп~* — I)
226
и воспользуйтесь формулой
хт — 1 = (х — 1) (xm~l + xm~2 -f ..- + *+ 1)
и теоремой Безу.
132. Рассмотрите полусумму обоих выражений величи-
величины А и покажите, что эта полусумма есть частное двух
возвратных многочленов (т. е. многочленов вида
А) + Р\Х + Рхх~1 + Р*х2 + Р2х~2 4- ». 4-
Докажите, что всякий возвратный многочлен можно пред-
представить в виде*
Яо + &г + ••• + <7*2*. где z = х 4- -JL
133. Представьте данное соотношение в виде Я4 =
= (Я + Q) (Я — Q) (R -Н /Q) (Я — iQ). Предполагая, что
многочлены R и Q взаимно просты и пользуясь единствен-
единственностью разложения на множители, покажите, что каждый
сомножитель в правой части представляет собой четвертую
степень. Из этого легко вывести, что R = W, Q — V4, где
U и V — некоторые многочлены (с комплексными коэф-
коэффициентами), и потому ?/4 4- tV* — Й74- Повторяя этот при-
прием, приведите исходное соотношение к противоречию.
1ОЛ 101 • 102 • 103 ., D
134. g членов. Указание. Воспользуй-
Воспользуйтесь результатом задачи 112 и формулой:
+ П + 2! + - +
J
П+ 2!+ - + (п - 1)! =
_• 1 (я + Р)!
р4-1 ' (п—DI '
справедливой при любых натуральных п и р и легко до-
доказываемой по индукции.
135. Рассмотрите многочлен
Р(х) = (х- 1) (х- 2) (х —3)... (х-р).
Для доказательства второго утверждения задачи рассмот-
рассмотрите разность значений многочлена в точках х и х— 1:
Р(х) — Р (х—1); затем рассмотрите «вторую разность»:
[Р(х+ \) — Р(х)\ — \Р{х) — Р(х— 1)] =
= Р(х+ \) — 2Р(х) + Р{х—1),
затем третью разность и т. д.
8* 227
Докажите, что k-я разность для многочлена степени k
равна k\,, и воспользуйтесь темг что k\ не делится на р
при простом р и k < р.
136. Воспользуйтесь методом математической индук-
индукции, применив его к рассмотрению треугольника Паскаля
(см. указание к задаче 270), составленного из остатков от
деления чисел Скп на 2.
137. Искомая сумма равна 4. Для доказательства под-
подставьте в многочлен (х1958 4- ж1957 + 2I959 вместо х зна-
чение ^ + (' "V" и воспользуйтесь тем фактом, что куб
этого комплексного числа равен 1.
138. х2 —; уклонение этого многочлена от нуля на
отрезке от — 1 до 1 равно -=-. Рассмотрите наименьшее
значение многочлена х2 + рх + q (оно принимается при
р
х — jp I и разберите отдельно случаи
р
> 1 и
р_
2
139. а) Предварительно докажите, что С% + С\ +
Сп -Ь ¦¦• == 2я, для чего воспользуйтесь соотношениями
б) Раскрыв скобки по формулам бинома Ньютона,
сравните полученное выражение с формулой для cos n a
(см. указание к задаче 114), положив в ней а = arc cosx,
cos а = х, sin а = ]/1 —х2. Докажите, что уже на отрезке
от —1 до 1 функция y=-^=i cos (n arc cosx) имеет п
корней.
в) Воспользуйтесь результатами задач а) и б).
г) Положив wh2 = х ± V*2— 1 и заметив, что w^
+ ш2 = 2х, w±w2 = 1, раскройте скобки в выражении
д) Воспользуйтесь представлением многочлена Тп(х) в
виде
2п
228
=;- cos (n arc cos x).
§ 7. Прогрессии
. 140. Рассмотреть отдельно случай, когда обе прогрес-
прогрессии возрастающие, и случай,, когда обе они — убывающие.
141. Прогрессию с суммой -^ выбрать нельзя. Сумму -=-
имеет бесконечная убывающая геометрическая прогрессия
-g~; ~$г'> ~$г> ¦•• • Указание. Доказать, что если сумма
бесконечной убывающей геометрической прогрессии, со-
1
ставленной из чисел вида —, выражается несократимой
дробью, у которой числитель и знаменатель нечетны, то
знаменатель прогрессии равен ее первому члену, а сумма
имеет вид 2^—-г
142. Доказать, что разность этой прогрессии делится
одновременно на 2 и на 3. (Например, если бы разность
была нечетной, то уже второй член прогрессии делился
бы на 2.)
143. Покажите, что у рассматриваемой прогрессии сум-
сумма ах + ат+п равна нулю.
144. Покажите, что из равенства
2 —62 = &а —а2
следует
__ _ = _ _
a -f- b а + с ~~ а-\~с Ь-\-с'
145. Рассмотрите тысячный, миллионный, миллиард-
миллиардный и т. д. члены прогрессии. Покажите, что суммы цифр
чисел этого ряда, начиная с некоторого члена, не меняются.
146. Выразите разности S%n — Sn и S3n — 52л через Sn
и qn.
147. Для доказательства необходимости докажите, что
=-з-( ]> где d — разность прогрессии.
Для доказательства достаточности рассмотрите соотношения
1 +^ + + '
при k = п, п — 1, п — 2, и выведите отсюда равенство:
ап—1 — ап — ап~% an—V
229
148. рг должно быть наименьшим из чисел тпг, для ко-
которых ao(qmi— 1) делится на р.
150. N = q r, М = bQq Г , где г — разность арифме-
арифметической прогрессии, а 60 и q — начальный член и зна-
знаменатель геометрической прогрессии.
1
151. Число а должно быть равно q d {q — знаменатель
геометрической прогрессии, d — разность арифметической
прогрессии, q > 0, d > 0).
152. Воспользуйтесь методом математической индук-
индукции. Именно, выбрав из п прогрессий первые п—1 про-
прогрессий и обнаружив у них (согласно предположению
индукции) общий член А, вычтите это число из всех членов
всех п прогрессий; покажите, что в последней прогрессии
найдется член, делящийся на наименьшее общее кратное
разностей dv d2, ..., dn_x первых п — 1 прогрессий.
§ 8. Делимость чисел
153. Дробь а~. сократима. Обратное утверждение,
вообще говоря, неверно.
154. Если а — целый делитель числа п, то целое число
— также является делителем числа п; таким образом, все
делители числа #, кроме 1Лг, распадаются на пары.
155. Рассмотрите произведение (р — q) (p -f q)\ пока-
покажите, что оба сомножителя четны, хотя бы один делится
на 4 и хотя бы один из них делится на 3.
156. Покажите, что этот остаток не может делиться ни
на 2, ни на 3, ни на 5.
157. /? = 3. Указанна Докажите, что при р Ф 3
число 8р2 -Н 1 всегда делится на 3.
158. р = 3. Указание. Покажите, что если р Ф 3fe,
то одно из чисел 10 -j- р или 14 + Р будет делиться на 3.
15*9. Не будет. Указание. Рассмотрите остатки
от деления чисел 2р + 1 и Ар + 1 на 3.
160. Воспользуйтесь тем, что любой делитель рассмат-
230
риваемого числа больше п и взаимно прост с числами
1, 2, 3 п.
161. Покажите, что среди чисел а, а + dt a + 2d, ...
..., а-\- (п— \) d найдутся хотя бы два числа, дающие
одинаковые остатки при делении на п. Воспользуйтесь
тем, что разность этих двух чисел делится на п.
162. Покажите, что рассматриваемая сумма представ-
представляет собой точный квадрат.
¦ 163. Таким является, например, число х = п + 2.
164. Показать, что числа М, 2М, ЗУИ, ..., КМ дают
попарно различные остатки при делении на К. Если
остаток от деления N на К равен г, то среди чисел М,
2М КМ найдется число Мх, дающее при делении на К
остаток К — г. Число N + Мх — искомое.
165. Докажите, что последние цифры чисел 7, 72, 73,
74, ... — периодически повторяются.
166. Замените основания 2222 и 5555 их остатками от
деления на 7. Далее воспользуйтесь тем, что числа 3, З2,
З3, З4, ... (а также 4, 42, 43, 44, ...) имеют периодически
повторяющиеся остатки от деления на 7.
167. Представьте 111° — 1 в виде A1 — 1) (И9 + И8 +
-Ь ... -}- 11 + 1) и воспользуйтесь тем, что количество
слагаемых в сумме II9 -Ь II8 + ... ¦+- 11 + 1 равно 10.
168. Воспользуйтесь методом математической индук-
индукции и результатом предыдущей задачи; заметим, что
шо\ ю
169. а) На цифру 7 (см. указание к задаче 165).
6K6. Указание. Так как 1412 = A42N = 196е =
= B00 - 4N = 100А + 46 = 100? + 4096, то оба числа
1412 и 142= 196 оканчиваются двумя одинаковыми цифра-
цифрами 96. Докажите, исходя из этого, что последние две циф-
цифры чисел 14а, 143, 144,..., 1412,... периодически повторя-
повторяются с периодом 10. Затем найдите последнюю цифру
числа 1414.
170. 13717421 = 3803 . 3607. Указание. Если
dyl, то х\ — х\ = d (yl — Ух), или
У2-~±. Если числа d и хх -\- х2 взаимно прос-
~~Т~ Х2
ты, то, сократив дроби, найдем такие натуральные числа
и, v, s, t, что (хг — х2 = dut, (yt — у1 == vt,
\У* + ух = us, [х1 + Н = vs,
231
причем и и v взаимно просты; отсюда
N = -i_ (v2 4- d«2) (s2 + j
171. a) 264 делителя (считая единицу и само число)
(см. задачу б)).
б) Все делители числа отличаются друг от друга пока-
показателями, с которыми входят в их разложения на простые
множители числа рх, р2, ..., рп. Число pt может либо вовсе
не войти в разложение делителя, либо войти в него в любой
степени от 1 до at; всего имеется, стало быть, at + 1
возможность. Комбинируя эти возможности для различных
простых делителей, мы и получим требуемое.
172. Покажите, что разность а3 — а всегда делится
на 6.
173. Покажите, что квадрат целого числа может давать
при делении на 21 только следующие остатки: 0, 1, 4, 9,
16, 15, 7, 18. Воспользуйтесь тем, что никакие два из пере-
перечисленных чисел в сумме не делятся на 21, кроме пары
чисел 0,0. Воспользуйтесь далее тем, что само число должно
делиться на 21, если его квадрат делится на 21.
174. Методом математической индукции задача сво-
сводится к доказательству того, что 32/г+3 — 3 делится на 8 при
любом п. При доказательстве воспользуйтесь тем, что
32* _ 1 = 9* — 1 делится на 8.
175. Н. О. Д. = 57. Указание. При п = 0 имеем:
7«+2 -^ 82я+1 _ 57. Для доказательства того, что и при
любом п данное выражение делится на 57, представьте его
в виде 49 • 7п + 8 • 64Л = 57 • 7п + 8 • 64" — 8 • 7п.
176. Представьте данное выражение в виде 20 • 50" 4-
+ 18 • 12я. = 19 • 50л + 19 • 12" + E0л — 12").
177. Покажите, что данное выражение делится на 7,4 и 3.
178. Выражение пъ — 5л3 + An представляется в виде
(п — 2) (п — 1) п (п + 1) (п -{- 2); покажите, что из пяти
последовательных чисел одно делится на 5, хотя бы одно
делится на 3, одно —- на 4 и еще одно — на 2.
179. И«+2+ 122«+1 = 121 • Пп + 122" • 12 = 133- 11я —
— 12 • 11я -Ь 12 . 122Л = 133 • 11Л 4- 12 A44" — 11"); далее
заметьте, что 144я — 11" делится на 133 = 144 — 11.
180. Сгруппируйте слагаемые, равноотстоящие от кон-
концов данной суммы.
181. п2 + Зл + 5 = (/2 + 7) (п — 4) + 33; далее, числа п +
4- 7 и п — 4 делятся или не делятся на Ц одновременно,
232
поэтому их произведение, если оно делится на 11, должно
делиться и на 121.
182. Делимость данного выражения на 2 очевидна. Для
доказательства делимости на 9 рассмотрите отдельно слу-
случаи четного и нечетного t.
183. Будем использовать буквы для написания числа
в десятичной системе счисления. Так,
x~yz~Z7ut = х ¦ \0к'1 + у • 10*~2 + г • 10fe~3 -Ь ... + и- 10-М;
k цифр
при этом х, у, z, ..., и, t — цифры (каждая из них меньше
десяти).
В данной задаче имеем:
7ху ... zt = 5 • ху ... zfl. A)
Отсюда сразу ясно, что t = 5; это значение можно подста-
подставить в соотношение A) : 7xy...zS — 5 ¦ xy...z57; теперь
без труда можно найти предпоследнюю цифру: z — 8.
Процесс необходимо продолжать до тех пор, пока
в первый раз не получим цифру 7, которая должна быть
первой цифрой искомого числа. Ответ: 714285.
184. 2178. Указание. Пусть хуг ... uvt — искомое
число; имеем xyz...uvt • 4 = tvu...zyx Так как оба чис-
числа — искомое и обращенное — имеют одинаковое количе-
количество знаков, то х может быть равен только 0,1 или 2.
Случай х = 0 неинтересен и не дает наименьшего'числа.
Так как число tvu...zyx делится на 4, то х Ф 1. Стало быть,
х = 2. Теперь имеем: 4 • 2yz...uvt = tvu...zy2. Покажите,
что t — 8. После этого покажите, что у может быть равно
лишь 0,1 или 2. Наконец, определите у и г.
185. Воспользуйтесь тем, что число 102* — 1 делится на
10я — 1 = 99.
186. Написанные числа имеют вид: ak — 1 -j- 104 -f-
+ 108+ ... + 104fe. Рассмотрим еще числа bk = 1 -f 102 +
-+- 104 + 10e+ ... + 102A:. Мы имеем очевидные равенства:
Ю«+*— 1 = A04— 1) A + 104+ ... + \0ik),
Ю2А+2 _ i = (Ю2— 1) A + 102+ 104 + ... + 102ft).
Пользуясь этими соотношениями, покажите, что имеет
место равенство ak ¦ 101 = bk • A02А+2 + 1), и восполь-
воспользуйтесь тем, что число 101 — простое.
187. В качестве числа УУ можно взять, например,
(л + 1)! + I
233
188. Обозначив через х00 первое в нашей последователь-
последовательности число, взаимно простое с а, рассмотрите остатки от
деления чисел последовательности на x0Q и воспользуйтесь
принципом Дирихле (см. стр. 13 вступительной статьи)
и методом решения задачи 161.
189. а) 59 (см. задачу б)).
б) Искомое число равно N — п + г, где N — наимень-
наименьшее общее кратное чисел п, п ~\- 1, ..,, п + т. Для дока-
доказательства обозначьте искомое число через х и покажите,
что N = х + п — г делится на п, п 4- 1, ..., п -\- т.
190. Обозначим через а число, записанное , первыми
тремя цифрами искомого числа, а через b — число, запи-
записанное тремя его последними цифрами. Имеем: jV =
= 1000а -f b.
Прибавьте к числу N число а—Ь, по условию деляще-
делящееся на 7, и воспользуйтесь тем, что 1001 делится на 7.
191. Рассмотрите остатки, даваемые квадратами целых
чисел при делении на 9.
192. Рассмотрите остатки, даваемые квадратами целых
чисел при делении на 8.
193. В 6-й, 12-й, 18-й и т. д. Указание. Рассмот-
Рассмотрите остатки, даваемые числами а, а2, а3,... (где а = 2, 3,
4, 5, 6) при делении на 7.
Второе решение: воспользуйтесь малой теоре-
теоремой Ферма (см. задачу 206).
194. Пусть это — признак делимости на какое-то число к
и пусть число xyz...uvt делится на k. Так как перестановка
цифр не влияет на рассматриваемый признак, то можно
считать, что t ф 0. Следовательно, на k делятся числа
xyz...uvt0 и xyz..,uvOt, а значит, и их разность, равная Ы.
Если бы к делилось на 2, то признак делимости на к был
бы и признаком делимости на 2. Но это невозможно (рас-
(рассмотреть числа 12 и 21). Аналогично, к не может делиться
на 5 или на 7. Значит, к содержит только множители,
являющиеся тройками. Далее k ф 27 или 81. (Рассмотрите
числа 27 и 81.)
195. Разность между суммой цифр, стоящих на четных
местах, и суммой цифр, стоящих на нечетных местах,
должна делиться на 11.
Для доказательства вычтите из произвольного числа
указанную разность и покажите, что результат будет де-
делиться на И.
234
196. Пусть это наименьшее число равно d; тогда d =
= ах + by. Если предположить, что а не делится на d,
то а = <7^ + Л гДе 0 < г < d. Но тогда г — а — qd —
= а — q (ах -{- by) — а (\ — qx) -\- b (— qy), что проти-
противоречит минимальности числа d. Итак, а делится на d.
Аналогично, b делится на d, т. е. d — общий делитель чисел
а и Ь. Докажите далее, что любое число вида ах -\- by
(а значит, и d) делится на общий наибольший делитель
чисел а и Ь.
197. Если т — составное, т. е. т = р<?, где 1 < р< т,
1 < ^ < т, то число (т — 1)! содержит множитель р\
а значит, число (т — 1)! + 1 не делится на р. Тем более,
оно-не делится на т.
198. р3 — р2 чисел (все числа, кроме кратных р).
199. Воспользуйтесь тем, что среди чисел 1, 2, 3, ..., п
Г я 1 Г « 1
имеется — чисел, кратных р, из них —Н чисел, кратных
Р2, и т. д.
200. п двоек. Указание. Примените результат
предыдущей задачи к числам п\ и Bп)\.
Второе решение: докажите равенство
-V?L = 2"Bn— 1)!!
(умножив обе его части на л!).
201. Воспользуйтесь результатом задачи 199, очевидным
неравенством Ел:] < х и соотношением: -~ -f -^- + ... +
202. /г! первых чисел натурального ряда разбейте на
группы по п последовательных чисел в группе. Докажите,
что произведение k любых последовательных целых чисел
делится на к\. Для доказательства умножьте и разделите
произведение (а + 1) (а + 2) • .., • (а + k) на а! и пока-
покажите, что число - ~1~ '' — целое (здесь можно исполь-
использовать результат задачи 199 и неравенство [х -+- у] >
> [х] + [у\\ десятиклассникам же достаточно рассмотреть
ЧИСЛО C)
203. Покажите, что числа 4-^- и -, .,,п}' -г-. — це-
(п\у (п — 1)! (п -f 1)!
лые (см. указание к предыдущей задаче), и воспользуй-
воспользуйтесь тем, что числа п и п 4- 1 взаимно просты.
235
204. При решении задачи удобно воспользоваться двоич-
двоичной записью чисел (см. указание к задаче 42 раздела В).
Ар \
Число п = —з— — 4Р-1 + 4^~ + ••• +1 записывается
О
в виде 1010... 101 (р единиц), а число 2п—2—в виде 111..Л10
(п — 1 единица). Заметим, что число 6я записывается
в виде 111... 110 Bр единиц), и нам достаточно доказать, что
п — 1 делится на 2р; последнее следует из малой теоремы
Ферма (см. задачу 206).
205. а) Покажите, что если числа 2Р — 1 и 2? — 1 имеют
общий делитель d, причем, р > q, a p и q взаимно просты,
то и 2' — 1 делится на d, где г есть остаток от деления
р на q\ при этом числа г и q, очевидно, взаимно просты
Продолжая этот процесс, покажите, что d = 1.
Для доказательства обратного утверждения достаточно
применить подстрочное примечание на стр. 66 к разностям
2Pi°— 1 и ,
чтобы убедиться, что обе они делятся на 2а — 1.
б) Представив числа 22" — 1 в виде
22Л — 1 = B2" + 1) {22П~2 + 1) • ... - B2 -f- 1) B + 1)=
= B2П + 1) —2,
выведите отсюда что любой общий делитель чисел 22Й -)- 1
и 22* + 1 является делителем числа 2.
206. Воспользуйтесь тем, что если а не делится на р,
то числа а, 2а, За, ..., (р — 1)а дают при делении на р
попарно различные остатки, и покажите, что ар — а де-
делится на р.
207. Докажите, что среди чисел 0, 1, 11, 111, ...1L..1
N цифр
найдутся два числа, дающие одинаковые остатки при деле
нии на N; рассмотрите разность этих чисел.
208. Воспользуйтесь результатом предыдущей задачи
и тем, что число 173 взаимно просто с 10. (Разумеется, ре-
результат этой задачи сохраняет силу для любого числа,
не делящегося ни на 2, ни на 5.)
209. Подберем число а, 1 < а < 9 так, чтобы у чисел
т и а • 11..Л были одинаковые остатки при'делении на 9.
k цифр
Тогда число 10* ¦+¦ 10*.+ ... + 10^* делится на П..Л,
к цифр
236
если для каждого i = 1, 2, ..., k среди показателей qv
qs, ..., <yfe имеется ровно а дающих остаток i — 1 при делении
на k. Затем число слагаемых в сумме К/1 -+- 10^ -4-... \0iak
можно последовательно увеличивать на 9.
210. Докажите, что для любого натурального N най-
найдется такое п, что 0 < п < k и число \0N — 10" делится
на число р = 11...1. Поэтому найдется число ЮП| + Шл* -+¦
А цифр
-f ... + lOnL (где 0 <;#,•< k), делящееся на р. Если среди
показателей щ найдутся 10 одинаковых, то их можно за-
заменить одним показателем, уменьшив тем самым число L
на 9.
211. Воспользуйтесь тем, что числа 1001 и 10101 де-
делятся на 7.
212. Делится. Указание. Рассмотрите, как чередуют-
чередуются цифры частного при делении данного числа на 9
213. Воспользуйтесь результатом задачи 206.
214. я,,2 = 1, Ьх = 3, Ь% = 9; aSi4 = 4; b3 = 3, 64 = 7,
а5 = 7, 63 = 3.
215. а = 7, 6 = 3, с = 2. Указание. Покажите,
прежде всего, что числа а, Ьу с взаимно просты. Далее,
убедитесь, что ab -j- be + c# -)- 1 делится на afc1 и пото-
потому имеет место неравенство ас -\- ab -\~ be -}- \ > abc. Далее,
считая, что.а > b > с, покажите, что с <3 (ср, указание
к задаче 90). Рассмотрите отдельно случаи с — 3 и с = 2,
216. Так как 1 -Ь 2 + .. + л = п 'га^" ^, то достаточ-
но показать, что сумма 1* + 2* -f- .. + пк делится по
отдельности на -— и на (п + 1) или на п и на —к— в зави-
зависимости от четности п.
Для доказательства сгруппируйте равноотстоящие от
концов суммы слагаемые и используйте указание, данное
в сноске на стр. 66.
217. Не делится. Для доказательства примените резуль-
результат задачи 199 к числителю и знаменателю дроби -щщг
положив р = 7.
218. Достаточно прибавить число 1.
Указание. Представьте данное выражение в виде
[ („2 _ ^1000 _(П_ 1)Ш0] („ _ 1)Ю01 + [(П„ 1J001 + 1]— 1
и воспользуйтесь указанием, данным в сноске на стр. 66.
237
219. Существует; если п — такое число, что П..Л де-
п цифр
лится на 1959 (см. указание к задаче 208), то оба числа де-
делятся на 1959.
220. Воспользовавшись результатом задачи 206, пока-
покажите, что разность
kk...k 00 ...0 — А 00...0
р цифр о (9—*) цифр (9—А) цифр
делится на р при любом простом р Ф 3 и ори k < 10.
221. Покажите сначала, что С^~1 делится на 2п и не
делится на 2Л+1; затем рассмотрите коэффициент при х2"~
в выражении A — хJ/г — A — л:2J" .
222. Воспользуйтесь соотношениями из указания к за-
задаче 270.
223. Воспользуйтесь тем, что числа
(т-\-п— 1)! ___ „п (т + я— 1)! _ гт
(m-l)lnl -bm + fl-i. т|(„_1)! — W + «-i.
~ = ^да + я = ьт + „ — целые.
224. Воспользуйтесь методом математической индук-
индукции, представив число 2<зЯ> + 1 как СУММУ кУбов-
225. Не существует. Указание. Для любого це-
целого числа р рассмотрите любое целое число jV > p и по-
положите п = 2м — 1; воспользуйтесь результатом задачи
199.
§ 9. Задачи с целыми числами
226. 800 чисел. Указание. Будут вычеркнуты
только те числа, которые дают при делении на 15 в остатке
либо 1, либо 6, либо 11 (т. е. дают при делении на 5 оста-
остаток 1).
227. Достаточно заметить, что можно уплатить 8,9
и 10 рублей; далее прибавляем по 3 рубля.
228. При нечетном п разложение невозможно. При чет-
четном п существует только одно разложение:
Aa Y Л2
Указание. Рассмотрите, на какую степень двойки
могут делиться искомые слагаемые.
229. Докажите, что среди девяти последовательных
чисел 9а, 9а 4- 1, ..., 9а + 8 (а = 1, 2, 3,...) может встре-
238
титься не более трех простых; для доказательства рассмот-
рассмотрите четные числа и числа, делящиеся на 3.
230. Требуемых последовательностей существует четыре:
1000= 1000;
198 + 199 + 200 + 201 + 202 = 1000;
28 + 29+ ... + 51 +52= 1000;
55 + 56 + ... + 69 + 70 - 1000.
231. ЮО200 > 200! Указание. Воспользуйтесь не-
неравенством I—-) > л!, доказать которое нетрудно по ин-
индукции.
Второе решение. В произведении 199! =
= 1 • 2 • ... • 199 сгруппируйте множители попарно, сое-
соединяя множители, равноотстоящие от концов; каждое
из произведений меньше ЮО2, а первое явно меньше, чем
-т' 10°2-
232. Чисел, в записи которых не участвует единица,
меньше. Указание. Покажите, что существует ровно
97—1 семизначных чисел, в записи которых нет цифры 1.
(При этом под семизначными числами подразумеваются
также числа, начинающиеся одним или несколькими ну-
нулями.)
233. Все числа, оканчивающиеся на 0, и двузначные
числа: 11, 22, ..., 99; 12, 24, 36, 48; 13, 26, 39; 14, 28; 15;
16; 17; 18; 19. Указание. Покажите, что все искомые
числа, не оканчивающиеся нулем, двузначны и при зачер-
зачеркивании последней цифры уменьшаются не более чем
в 19 раз.
234. а) На втором месте. Указание. Покажите,
что вообще число не может уменьшаться в 9 раз при
зачеркивании цифры, стоящей далее, чем на втором месте.
б) 10125, 2025, 30375, 405, 50625, 6075, 70875; к каж-
каждому из этих чисел можно приписать сколько угодно ну-
нулей. Указание. Покажите, что если а0 — первая
цифра искомого я-значного числа N, то имеет место
соотношение
-^L = iV — a0 ¦ 10"-2-9.
235. Ни в какой системе счисления указанное деление
невозможно. Для доказательства достаточно представить
число 75 в виде 1а + 5, где а — основание системы счис-
счисления.
239
236. Таких чисел существует два: 625 и 376. Указа-
Указание. Поскольку число N2 оканчивается на те же три циф-
цифры, что и число N, то разность этих чисел делится на 1000;
искомые числа N, следовательно, удовлетворяют условию:
№ — N = N (JV — 1) = 1000&, где k — некоторое нату-
натуральное число.
237. Так как A0а + 5J = 100а2 + 100а 4-25, то при
любом а (четном или нечетном) число A0а + 5J — 25 де-
делится на 200.
238. Искомых способов существует четыре: 10000 =
- A00J, 40000 - B00K; 90000 = C00J; 60025 = B45J.
Указание. Поставив на первое место каждую из цифр
1, 2, ..., 9, извлекайте обычным способом квадратный ко-
корень (учитывая, что он должен извлечься точно).
239. Обозначив первую цифру п-значного числа N
через а0, покажите, что N > а0 • 10"-1; при этом для произ-
произведения цифр tz (N) имеется неравенство тг (N) < а0 • 9п~г.
¦ 240. 11, 22, 33, ...,99; 10, 21, 32, 43, ...98; 40, 51, 62,
73, 84, 95; 90 — всего 25 чисел. Указание. Предста-
Представив искомое число в виде 10а + Ь (а < 9, Ъ < 9), пока-
покажите, что разность а — Ь есть точный квадрат.
241. Искомое число равно 89. Указание. Записав
искомое число в виде 10а -f b, покажите, что либо Ь, либо
Ь — 1 должно делиться на 9.
242. Искомое число равно 27. Указание. Покажите,
что число, удовлетворяющее условиям задачи, делится
на 3 и заключено между 24 и 31.
243. Искомое число равно 142857. Указание. Если
х — искомое число, то его первая цифра равна 1 — иначе
число 6х было бы более чем шестизначным. Покажите,
что первые цифры чисел х, 2х, Зх, Ах, Бх и 6х попарно
различны.
Следовательно, все цифры числа х также попарно раз-
различны и среди них нет нуля. Покажите, что последние
цифры указанных чисел также попарно различны, и пока-
покажите, что из этих чисел только число Зл: может оканчиваться
на 1. Определив отсюда последнюю цифру числа х, получим:
х ¦ 1 = 1 ****7, х • 4 =--5**** 8,
х- 2 = 2****4, х- 5 = 7**** 5,
х- 3 = 4****1, х- 6 = 8****2. '
240
244. Существует два набора чисел (с точностью до пере-
перестановки), удовлетворяющих условиям задачи: хх = х2 =
= ... — х$ — 1, х$ = x^Q = %jj = л^12 = ^ и л;^ = дг2 = ... =
Указание. В равенстве хг • дга • ... лги • л;12 — xl -f
-}- лг2 + ... + xl2 положите^ < x% < ... < x12 и покажите,
что jq =.дга = ... я8 = 1; покажите далее, что если
jt9 = 1, то и jc10 = 1. (Примените способ, аналогичный ре-
решению задачи 90.)
245. Если данное число записать в виде 100а + 106 + с
(а > с), то обращенное число будет равно 100с + \0Ь -\- а.
Покажите, что разность указанных двух чисел равна
100(а — с — 1) + 90 + A0 — (а — с)).
246. Каждое из указанных в задаче чисел иМеет вид
44...4 88...89 - 4 • 11...1 . 10й + 8 - II 1 -}- 1.
k цифр k—1 цифра k цифр k цифр
Далее воспользуйтесь равенством 11...1 = -<н 10k — 1J.
k цифр
247. Предположив противное, рассмотрите разности
между каждыми двумя соседними числами из данного на-
набора; покажите затем, что в таком случае а8 > 17.
248. Приведя данное выражение к виду vm+ ) ~-(m-\- )^
воспользуйтесь указанием к задаче 172.
249. Такими числами являются: 11, 12, 15, 24 и 36.
Указание. Записав двузначное число в виде 10а + Ь,
покажите, что b делится на а и 10а делится на Ь
250. Квадрат целого числа может оканчиваться на
одну из следующих цифр: 0, 1, 4, 9, 6 и 5. Рассмотрев
остатки от" деления точного квадрата на 4, покажите, что
никакой точный квадрат не может оканчиваться на 11,
55, 66 или 99. Если бы квадрат оканчивался на 4444, то,
разделив на 4, мы получили бы, что точный квадрат, окан-
оканчивается на 11.
При решении второй части задачи покажите, что квадрат
искомого числа может оканчиваться только на 444, а само
число оканчивается на одну из следующих комбинаций:
...462, . .038, ...962, ...538.
251. Докажите, что если п> = п -+- 1, то п — простое
число; после этого воспользуйтесь методом математической
индукции.
241
252. Покажите, что если данное число 100...050...01 =
= 10147 + 5 • 1098 + 1 является кубом некоторого целого
числа N, то N = 1049 + а; докажите, что число а заклю-
заключено между 1 и 2 и, следовательно, не может быть целым.
Второе решение. Покажите, что остаток от
деления числа на 9 равен остатку от деления его суммы
цифр на 9 (для этого достаточно показать, пользуясь ука-
указанием на стр. 66, что разность между любым числом и его
суммой цифр делится на 9). Далее покажите, что кубы
целых чисел могут давать при делении на 9 лишь три ос-
остатка: 0, 1 или 8.
253. Любое натуральное число имеет вид 3k, 3k + 1
или 3k — 1. Возведите эти числа в квадрат.
254. В случае, когда отношение -jjj- рационально и
равно—, рассмотрите данное равенство при таких значе-
них п и п — 1, что [п а] = 1р, [п [3] = lq. Если же -^- ир-
иррационально, то воспользуйтесь тем, что величина | k ~У
может быть сделана (при надлежащем выборе целого чис-
числа k) большей, чем {a-fp}; Здесь \и) = и — [и].
255. Для доказательства рассмотрите многочлен
Р(х) = х[(\ + хI00—A —хI00] и покажите, что при за-
замене х на —х многочлен не меняется; покажите теперь,
что после раскрытия скобок и приведения подобных чле-
членов все члены, содержащие х в нечетной степени, уничто-
уничтожатся.
256. Приведите уравнение к виду х3 -— Bу — 1) Bу + 3)
и воспользуйтесь тем, что числа 2у — 1 и 2у -\- 3 взаимно
просты.
257. Рассмотрите наибольшее из чисел ах, а2, а3, а4,
наибольшее из чисел bx, b2, b3, b4 и т. д.; докажите, что за
несколько шагов это наибольшее число непременно умень-
уменьшается.
Второе решение. Покажите, что не позже,
чем через четыре шага, мы получим четверку, состоящую
только из четных чисел; не позже, чем через 8 шагов, получим
четверку, состоящую только из чисел, кратных 4, и т. д.
258. Искомое число равно остатку от деления числа
123... 1956 на 8, т. е. равно 4. Для доказательства восполь-
воспользуйтесь тем, что 10ft — 2* делится на 8.
242
259. Наименьшее число знаков равно 2Л + п — 1; число,
имеющее ровно 2" + п — 1 знаков, строится так: необхо-
необходимо сперва выписать п единиц, а затем писать 0 всякий
раз, когда это возможно (т. е. когда при этом не получается
л-значного числа, ранее уже написанного); в противном
случае писать единицу.
260. Для данного числа N выберите такие числа п и
ап, чтобы выполнялись неравенства:
п\ < N, (п + 1)! > Л/, ап • п\ < N, (ав + 1) • п\ > N,
и покажите, что ап < п.
После этого к разности N — ап • п\ примените метод
математической индукции.
261. В силу признака делимости на 9 сумма цифр рас-
рассматриваемого числа делится на 9; используя признак де-
делимости на 11, покажите, что эта сумма цифр не может
быть равна 9.
262. Если данное число N является полным квадратом
и оканчивается на 5, то оно делится на 25 и, следовательно,
оканчивается либо на 25, либо на 75.
Оба случая исключите, рассмотрев остатки от деления
числа jV на 4 или на 8.
Следовательно, цифра, отличная от пятерки,— послед-
последняя. Исключите и эту возможность.
263. Если k — наименьшее из рассматриваемых чи-
чисел, то среди них можно найти не менее 978 — k чисел, от-
отличных от k и дающих в сумме с k число, не превосходя-
превосходящее 1955. Но тогда между k и 1955 (включительно) не
останется 979 чисел, отличных от всех этих сумм.
264. п = 8. Указание. Воспользуйтесь формулами
— 1),
легко доказываемыми по индукции. '
265. Наибольшим из таких чисел является число 60.
266. Такая совокупность должна содержать k чисел,
где k — число,удовлетворяющее неравенствам 2к~1 < N <2*.
Например, можно взять набор чисел 1, 2,..., 2k~{ (при
N Ф 2к+1 существуют и другие наборы из k чисел с теми
же свойствами).
243
267. Прежде всего покажите, что простое число вида
4k + 1 единственным способом представляется в виде
суммы двух взаимно простых квадратов (ср. указание
7 2 22
у у р
к задаче 170). Далее рассмотрите числа р2я, р3 • р2л~2,
pi . p2n-*t t> Где р _ простое число вида 4& + 1.
268. Искомая сумма равна 111...ПО. Указание.
162 цифры
Покажите, что цифры наибольшего числа и соответству-
соответствующие цифры наименьшего числа дополняют друг друга
до 10.
269. а) 1 + 1
4 +
1
1 +
1
4+
б) Если т четно, то больше вторая дробь, если т не-
нечетно, то — первая.
270.
Указание. Будем обозначать число, стоящее в
n-й строке на k-u месте слева, считая от нулевого, через.
Сп (см. задачу 57 раздела В). Заменим числа Скп их остат-
остатками Рп отделения на р. Числа Я* также образуют треуголь-
треугольник Паскаля. Покажите, что в этом треугольнике вся р-я
строка состоит из нулей (кроме крайних членов). Покажите
далее, что в таком случае треугольник разбивается на «эле-
«элементарные треугольники» Д{-, по р строк в каждом, при-
причем эти элементарные треугольники подчинены соотноше-
соотношениям:
а) Д*-1 + Д^ = Д*+1; б) Д? = />* • Д?.
Например, при р = 3 имеем
i\o о/о\о о/о\о о/г
\о/о о\о/о o\o/i
д А о л о Л о А о "А
244
Под суммой двух треугольников Д* 1 и Д* мы . пони-
понимаем такой треугольник, каждый член которого равен сумме
соответствующих членов треугольников Д*~' и Д*. Анало-
Аналогичный смысл имеет умножение треугольника на число.
2 2 2
271. Искомых дробей три: -g~, — и -у. Указание.
Представив дробь в виде — (п < Зт), получим для опреде-
ления т уравнение т = —~. Число т будет целым лишь
при а = 2.
272. 0,239... .
273. Воспользуйтесь тем, что произведение данных ше-
шести чисел отрицательно; в самом деле, оно равно
— {ап • а12 • а13 • а21 • а22 • а23 • а81 • а32 • а33J.
274. Искомые числа имеют вид р(р + q), 2pq, q{p -\- q)
или пропорциональны этим числам; (p,q — натуральные
числа).
§ 10. Разные задачи
275. Рассмотрите отдельно случаи четного и нечетного
п и воспользуйтесь методом математической индукции.
При доказательстве число (^2 — \)п удобно представить
в видеВ |^2—Л = УШр — УЖ или в виде Л—В
276. а) Не будет. Указание. Обозначив через п
длину предполагаемого периода дроби и через к — количе-
количество цифр до периода, найдите в дроби участок, состоящий
подряд из п + к нулей.
б) 1°. Воспользуйтесь идеей задачи а). 2°. Докажите,
что квадрат этого числа имеет вид: 0,0100000000200...
(единицы стоят на 2-м, 20-м, 200-м и т. д. местах; двойки
стоят на 11-м, 101-м, 110-м, 1001-м и т. д. местах; на осталь-
остальных местах стоят нули).
277. Докажите, что для любого целого к число разно-
разностей (/ — i), делящихся на к, не больше числа разностей
uj — аь, делящихся на к. Рассмотрите сначала случай,
когда п кратно к
278. Все такие числа имеют вид: х = 102, где к — любое
целое число.
279. Пусть, например, среди чисел п% нет семерки,
245
Тогда среди них могут быть числа: 70, 71, ..., 79. Заметим,
что '
J_4-'J-4- Л-±^±.
70 "*" 71 "•" '•' "*" 79 ^ 7 '
Если одно из этих чисел (например, 72) отсутствует,
то возможно, что в наборе есть числа 720, 721, .... 729,
при этом
J1 * х
J++ I <
720 ^ 721 ^ ¦¦• ^ 729 ^ 72 *
Обобщите приведенное рассуждение.
280. Докажите, что если -| несократимая правиль-
правильная дробь и Qj — такое число, что — < -г- < ^, то
Ял о Ц\ 1
, а \ ' аал — о
дробь-г — = -Ц- имеет числитель меньший,
чем а.
281. а) Воспользуйтесь указанием к задаче 40.
б) Докажите что чисел Nt удовлетворяющих неравен-
неравенству а - \0k < Л^ < (а Н- 1) • 10fe (где а — одно из чисел
1, 2,..., 8) и не имеющих в своем написании девятки,
имеется 9k. Поэтому сумма обратных величин этих чисел
меньше г^" ¦ 9А. Затем просуммируйте последнее вы-
выражение по k = 0, 1, 2, 3,... и по а = 1, 2,..., 8.
282. Покажите, что знаменатель дроби, полученной
при сложении чисел 1, -=-, -к-, ..., —, делится на более
высокую степень двойки, чем числитель.
283. а) Предварительно разложите на множители вы-
выражение
а3 + Ь3-\-с3 — ЗаЬс
б) Рассмотрите всевозможные выражения вида
(± V~a ± УЬ + У"с ± V~d ± ]/~е)
и покажите, что произведение всех таких выражений не
содержит знаков радикала.
284. 2-(р + 4-1H0 + 4-2) + ?.
285. Покажите, рассматривая тождество: а — b =
= (Va +Vb ) {У а —Yb ), что число У а — |/~ рацио-
рационально.
286. Покажите, что чистая периодическая дробь -"
246
a tti\ trio.... ttib /1 \
приводится к виду у = -к^_ j (k — длина периода); от-
отсюда следует, что число b взаимно просто с 10. Обратно,
если Ъ взаимно просто с 10, то найдутся такие целые р
nk, что pb = 10* — 1 (см. задачу 208).
287. а) Покажите, что если бы имело место равенство
= р -\- qY? , где р, д, г — рациональные числа, то число
было бы рациональным.
б) Покажите, что если 1 + l/З" = (а + b |/3~J +
+ (с +d ]/3> + ... + (т + п l/3~)a, то 1 — 1/3] =
= (a — b /ЗJ + (с — &УЪ J + ... + (т — л j/З J; вос-
воспользуйтесь тем, что число 1 —1/3 отрицательно.
288. b = ka, с = k (a2 — 1), где а и k — произвольные
натуральные числа, а > 1.
289. Обратите внимание на то, что оба числа положи-
положительны и в сумме дают единицу, так что их цифры соответ-
соответственно дополняют друг друга до 9.
290. См. задачу 285.
291. Покажите» что знаменатель несократимой дроби,
получающейся после сложения дробей —, —г— и —р-д, де-
ft ft ~~J— 1 ft —I— i
лится на З и на 2; воспользуйтесь результатом задачи 286.
292. Здесь п — наименьшее число, для которого п\ де-
делится на q, так что данное рациональное число — может
быть представлено в виде дроби -^ (возможно, сократимой).
Числа хг, х2, ..., хп определяются последовательным деле-
делением; так, хп есть остаток от деления числа т на п; хп_1 есть
остаток от деления числа на п — 1 и т. д.
293. Рассмотрите числа: [а], \2а], {За}, ..., \Na),
\(N -f 1)#} (здесь \х\ = х— [х]). Все эти числа располо-
расположены на отрезке от 0 до I, поэтому среди них можно най-
найти два таких числа {ka} и {1а\ {к > /), что их разность
меньше тт. Рассмотрите число (k—1)а.
294. Пусть m~2pq— 1, где р, q— целые числа, при-
причем q нечетно. Покажите, что числа Cm, C{m, ..., Cm разби-
разбиваются на q групп, каждая из которых содержит 2^ последо-
последовательных чисел одной четности. При этом первые
2р чисел: С?,, С„, ••-. С2^1 и последние 2Р чисел нечетны.
247
295. Воспользуйтесь методом математической индукции
и соотношением:
Ck . f-yk 1 Л*
296. Докажите соотношения:
ап+1 Ьп+\ = anbn = ... = аф0;
297. Покажите, что неравенство Коши — Буняковского
(см. указание к задаче 53) обращается в равенство тогда
и только тогда, когда
Qi _
Ьх Ь2 •" Ъп '
Второе решение. Используя данные соотно-
соотношения, покажите, что
i--f
298. Воспользуйтесь тем, что если число at входит в
рассматриваемый набор, то числа 2at, 3at, ... не могут в него
входить. Таким образом; каждое число, заключенное между
2л
-х- и п (включительно), как бы «вычеркивает» хотя бы одно
3
число, лежащее между — п и 2п, Покажите, кроме того,
О
2п
что число, меньшее чем-^-, «вычеркивает» не меньше двух
о
чисел на отрезке от -g- до 2л.
299. Воспользуйтесь тем, что если а2 + а + 1 = 0, то
а3 = 1.
300. Докажите по индукции соотношения:
Й —2<$=1, Л-2 = —2 (k>2).
Як
301. sin (cos л:) < cos (sin x). Приведите неравенство к
виду, содержащему только синусы, и при сравнении аргу-
аргументов покажите, что (sin <р + cos ср | < У2 < ^ (ср. за-
задачу 325, а)).
24§
302. Используйте соотношение p~^q > YpQ (справед-
ливое для неотрицательных р, q); при этом равенство
имеет место лишь при р — q. Докажите неравенства:
3L->1, 6Л_! — &„ > 0. Затем в соотношении Ьп =
_ , ъ _ ¦
^2 п * перейдите к пределу при п -> оо
2
303. Воспользуйтесь идеей решения задачи 21 из раз-
раздела В.
304. Цх) = /W + "T*> + tW-H-* .
305. Покажите, что если точка пересечения прямых
1М и In удалена от прямой ЛВ на расстояние h, то MN =
— \hctgo-M— ftctgawj; покажите затем, что h > 1.
306. cos (a + p) = q2 fe2. Указание. Покажите,
4T0 — = tg —г~- и выразите cos (a + щ через tg —^-ч
307. Представив сумму a^cos^ + 1) -f- a2cos(a2+ 1)-f-
+ ... + an cos (ал + 1) в виде (ax cosax + «2 cos a2 + ••• +
4- an cos aj cos 1 — (ах sin <xx -\- a2 sin a2 + ... + ал sin ал) sin 1
и воспользовавшись первым из данных соотношений, по-
получаем
ах sin at + a2 sin a2 -j- ... + an sin ал = 0.
308. Воспользуйтесь тем, что число z = cos -^ + / sin -j^-
есть корень уравнения г17 — 1 = 0. Затем вычислите квад-
квадраты следующих сумм:
и = х + х2 + *4 + д:8 + х16 + лЯ + *64 н- л:128;
у = х 4- я4 + *16 + *64;
w — х 4- #1в-
309. Докажите, что ху = ми. Воспользуйтесь затем
методом математической индукции, применив соотношение
(я"-1 + у"-1) (х 4- у) = (и" 4- ^и~1) (« + ")¦
310. Предварительно докажите, что какие-либо два из
чисел а, Ь, с равны по абсолютной величине и противопо-
противоположны по знаку; для этого рассмотрите соотношение
i—г—I — —г~г-,— как уравнение относительно а
а ' Ь ' с а-\-Ь+ с Jt^
(или Ь, или с).
249
311. Определив z из уравнения zH — 2 cos ос, вос-
воспользуйтесь формулой Муавра (см. указание к задаче 30).
312. Покажите сначала, что точка М, изображаемая
комплексным числом mzx -j- nz2, где т + п — 1, m > 0,
/г > 0, лежит на отрезке, соединяющем точки, изображаю-
изображающие числа гг и z2.
313. f(x) = х. У к а з а н и е. Из условия f(xy) = f(x) f{y)
вывести, положив у—\, что /A) = 1. Далее, подставляя
в равенство f(x + у) = f(x) -{- f(y) значения х — у = 1,
найдем, что /B) = 2; покажите, что вообще f(n) — п, где
п — любое натуральное число. Рассматривая соотношение
f(xy) = f(x) f(y) при х = 0, у = 2, покажите, что /@) = 0.
A \ 1 /п\
— — ^__ичто вообще f — =—»
где любое рациональное число. Используя прибли-
приближения иррациональных чисел рациональными, покажите,
наконец, что f(x) = х при всех действительных х.
314. Пусть р — период функции f(x) = cos ax + соэл:.
Положив х = 0 в равенстве cos (a p -j- а х) + cos (х + р) ==
= cos а л; + cosx, покажите, что р — 2къ, ар = 2/тг.
315. Предварительно докажите
неравенства sin х < л; < tg x при
0<л;<-^-. При доказательстве
удобно пользоваться тем, что х
есть длина дуги АВ радиуса 1,
sinx есть длина перпендикуляра,
опущенного из точки А на радиус
ОВ, и tgjt есть длина отрезка
касательной MB (см. рис. 5).
316. Покажите, что sin n ср пред-
представляется в виде многочлена /г-й
степени от sin ср (см. формулы
в указании к задаче 114).
З25
Старший член многочлена равен 224-g^, а все остальные
члены содержат в знаменателе пятерку лишь в меньшей
степени.
Рис 5
и
317. Искомая сумма равна нулю, если р не кратно п,
равна п в противном случае. Указание. Преж-
250
де всего покажите, что все корни уравнения хп— 1 =0
могут быть представлены, как целые степени одного
корня х0 fa именно, корня х0 = cos— -j- tsin—). Для вы-
вычисления рассматриваемой суммы примените формулу
суммы членов геометрической прогрессии и воспользуй-
воспользуйтесь тем, что х%= \.
318. Числа Ео, %v ..., %п можно выбрать, например,
так: ?0 = 0, ёх = 3, ?2 = 6, ..., !¦„ = Зл. Тогда для лю-
любых я точек на комплексной плоскости найдется такая
прямая z = х + ilk, что все взятые точки удалены от этой
прямой дальше, чем на 1. Воспользуйтесь далее тем, что
величина ) Рп (z0) J представляет собой произведение рас-
расстояний от точки г0 до точек, соответствующих корням
многочлена Рп(г).
319. Воспользовавшись равенством cos(& + l)*: =
= 2cos x cos kx — cos(&—\)x, докажите по индукции, что
m
если х = arc cos —, где n — нечетно и п > m > 0, то числа
n
cos л:, cos 2л:, ..., не являются целыми. Отсюда вытекает,
что kx не кратно тс ни при каком k, т. е. величина arc cos —
[а значит, и arc sin-—-) несоизмерима с тт.
320. а,б) Воспользуйтесь например, равенством х (а—х) =
321. а) ———; б) ?=-. Указание. Рассмот-
2Vdb b + 2Vac
рите выражения ^+^ = ±- + Ьх, « + »* + «* = ь +
+ ( (- сх) и воспользуйтесь предыдущей задачей.
322. Наибольшее значение равно f-^-l и достигается
при и = v = w = -g-. Указание. Воспользуйтесь не-
неравенством задачи 52 при /г = 3. Наименьшее значение
232 -18 7 1
равно —j^-— и достигается при и = v = -^, се; = -—.
251
323. Наименьшая величина равна п |/2. Указание.
Покажите, что при любых значениях чисел xlt х2, ..., xZn
имеет место неравенство Ух\ -f- A — *2J + Ух\ +О — *зJ+
При доказательстве удобно рассматривать сумму, стоя-
стоящую в левой части, как длину некоторой ломаной; требуется
показать, что расстояние между ее начальной и конечной
точками равно п У 2.
324. Наибольшее значение равно —^— и достигается
при а = 3 — y = -?L Указание, Воспользуйтесь тем,
о
что из всех треугольников, вписанных в данную окружность,
наибольшую площадь имеет правильный треугольник.
325. а) Наибольшее значение равно У а2 + ^2) наимень"
шее значение отличается от него знаком. Указание.
Для доказательства умножьте и разделите данное выраже-
выражение на У a2 -f b2 и приведите его к виду
У а2 4- Ь2 • sin (л; + <р),
где
Ь . а
COS ср = —- , Sin СР = ,
/7 1 i z4 т / if] и, /¦* i *
б) Наибольшее значение равно —~—J- у Ьг -j- -—~-,
наименьшее значение отличается от него знаком перед
корнем. Указание. При решении этой задачи вос-
воспользуйтесь методом задачи а), предварительно приведя
данное выражение к виду
т cos 2х -+¦ я sin 2л; -f P-
326. Наибольшее значение равно У и принима-
принимается при arg z— ~- + k%. Указание. Представив ком-
комплексное число z в виде z = г (cos? -j- /sincp), воспользуй-
воспользуйтесь соотношением
252
Б. ГЕОМЕТРИЯ
§ 1. Задачи на вычисление
1. 7? = 6. Указание. Треугольник с вершинами
в центрах данных кругов имеет стороны 3, 4 и 5.
2. Искомая сумма равна площади круга, вписанного
в данный треугольник. Указание. Воспользуйтесь
подобием всех образующихся прямоугольных треугольни-
треугольников и примените метод математической индукции.
3. АЛ- В — С, А —В + С, — А -\~ В + С. Ука-
Указание. Вычислите углы треугольника, образованного
центрами вневписанных окружностей, и воспользуйтесь
тем, что стороны этого треугольника являются биссектри-
биссектрисами углов между соответствующими сторонами данного
и искомого треугольников.
4. MD = .в # Указание. Проведите биссектрису
внешнего угла В и воспользуйтесь соотношениями
AD : DC = AN : CN (== АВ : ВС), где N — точка пересе-
пересечения этой биссектрисы с продолжением стороны АС.
5. 90°, 22°30' и 67°30'. Указание. Покажите преж-
прежде всего, что биссектриса расположена между медианой
и высотой. Докажите далее, что если высота и медиана
образуют с боковыми сторонами равные углы, то треуголь-
треугольник — прямоугольный.
6.1, \,уГ2—У~3,УГ2—\гЗ- Указание. По-
Покажите, что а + с = Ь -\- d, а2 + с2 = b2 + d2, где а,
Ь, с, d — последовательные стороны четырехугольника.
Выведите отсюда, что рассматриваемый четырехугольник
является дельтоидом (т. е. две его смежные стороны равны
и две другие тоже равны).
7. ЯР? + РР\ + ... + PPl - 2nR\ где R — радиус
окружности. Указание. Воспользуйтесь формулами
1 \ О
задач 30, 31 раздела А и соотношениями cos2 а = *" os g ,
sin2a= I-C2os2a .
8. Стороны всех таких треугольников соответственно про-
пропорциональны числам: а) 3, 4,5; б) 1, у 1 + V 5, 1 +^ 5
9. Катеты треугольника находятся в отношении 5:1.
253
§ 2. Отыскание точечных множеств
10. а) Окружность радиуса г = VR2 — d? , концентрич-
концентричная данной, где R — радиус данной окружности, 2d —
длина хорд.
б) Окружность, построенная, как на диаметре, на отрез-
отрезке, соединяющем центр данной окружности с данной точкой.
11. Искомое множество состоит из участков дуг сег-
сегментов, построенных на сторонах треугольника и вмещаю-
вмещающих данный угол. Части множества, соответствующие сто-
стороне АС, показаны на рис. 6.
12. а) Отрезок, параллельный данному и отстоящий от
него на расстоянии —г-, б) Рассмотрите пару углов AND
и DNH и пару углов MNG и MNE.
13. а) Четыре отрезка, образующие прямоугольник, сто-
стороны которого перпендикулярны биссектрисам углов между
/ данными прямыми; вершины прямо-
прямоугольника лежат на данных прямых,
б) Восемь полупрямых, являющих-
являющихся продолжениями сторон прямоуголь-
прямоугольника задачи а).
14. Четыре отрезка, образующие
параллелограмм с вершинами на дан-
данных прямых. Указание. Сдвиньте
отрезки АВ и CD вдоль прямых, на
которых они лежат, совместив точки А
и С с точкой пересечения этих прямых.
15. Отрезок, параллельный диаго-
нали BD четырехугольника. Ука-
Указание. Проведите диагональ BD и
рассмотрите множество вершин треугольников площади
S = \Saabd — Sabcd\ с основанием BD.
16. Окружность с центром на прямой, проходящей через
данные точки. Указание. Пусть А, В — данные точки
и М — любая точка множества; рассмотрите биссектрисы
внутреннего и внешнего угла М в треугольнике A MB.
17. Предположив противное, возьмите на отрезке три
равноотстоящие точки X, Y, Z и, вычислив медианы AY
и BY треугольников AXZ и, BXZ, воспользуйтесь нера-
неравенствами из указания к задаче 46.
18. Прямая, перпендикулярная прямой АВ и проходя-
проходящая через такую точку М этой прямой, что AM2 — ВМ2 = с.
Рис. 6.
254
19. Окружность, проходящая через' точки Ох и О2.
20. Если окружности лежат одна вне другой или ка-
касаются, это множество представляет собой прямую, пер-
перпендикулярную линии центров данных окружностей. В слу-
случае пересекающихся окружностей искомое множество пред-
представляет собой два луча, составляющих продолжение об-
общей хорды этих окружностей.
21. Окружность с центром в середине отрезка ОМ.
22. Если S — площадь треугольника ЛВС и R — ра-
радиус его описанной окружности, то радиусы искомых окруж-
окружностей равны
'1.2 =
Замечание. Отсюда, например, следует, что для
внутренних точек треугольника отношение -^- не превос-
1
ходит ~4~.
23. Искомое множество представляет собой совокупность
четырех лучей, лежащих на прямых, проходящих через точ-
точку, диаметрально противоположную точке А (см рис. 7).
Указание. Воспользуйтесь результатом задачи 66.
24. Окружность с центром в точке X, лежащей на дан-
данной прямой и определяемой из условия АХ • ВХ — СХ ¦ DX
(причем из этой окружности должны быть исключены
точки её пересечения с прямой АВ).
25. Множество представляет собой отрезок и луч, ле-
лежащие на прямой О А (рис. 8). Указание. Докажите,
что если треугольник симметрично отразить относительно
прямой ОА, то центры описанных окружностей получен-
полученного и исходного треугольников совпадают.
В
Рис. 7.
Рис. 8.
255
26. Прямая, перпендикулярная данной прямой и про-
проходящая через середину N отрезка АС, за исключением
самой точки N. Указание. Пусть М — одна из точек
множества, а 0х и б)а — центры соответствующих окруж-
окружностей. Покажите, что середина отрезка ВМ совпадает
с серединой X отрезка 0г0г. Покажите далее, что все точ-
точки X лежат на прямой, перпендикулярной отрезку АС.
27. 1) Окружность, построенная, как на диаметре, на
отрезке, соединяющем центры данных окружностей.
2) Покажите, что все прямые ВС пересекают линию
центров данных окружностей в одной и той же точке М.
Множество оснований высот треугольников ABC есть дуга
окружности, построенной на отрезке AM, как на диаметре,
28. Прямая, перпендикулярная к плоскости данного
треугольника и проходящая через центр описанной около
него окружности.
29. Бесконечная призма (без оснований), образующие
которой параллельны линии пересечения данных плоско-
плоскостей, а перпендикулярным сечением служит прямоуголь-
прямоугольник. Указание. Задача сводится к планиметрической
задаче 13.
30. Две прямые в плоскости, параллельной данным
прямым и отстоящей от них на равных расстояниях. Ука-
Указание. Спроектируйте данные прямые на указанную
плоскость и воспользуйтесь задачей XIX, I, 8, 1.
31. Поверхность конуса с вершиной в точке М и углом а
при вершине, определяемым из условия:
а расстояние от N до я ,
COS -ff = Гг Тл — COnst.
2 расстояние от /V до М
32. Прямая, параллельная ребру ОС и лежащая в од-
одной плоскости с этим ребром и серединой М отрезка АВ.
(Эта прямая получается из ОС гомотетией с центром М
и коэффициентом ~^-.)
о
33. Сфера» построенная, как на диаметре, на отрезке,
соединяющем центр данного шара с данной точкой (ср. с за-
задачей 10а).
§ 3. Задачи на доказательство
I. Прямые и многоугольники
34. Используйте равенство площадей треугольников,
на которые диагональ разбивает параллелограмм.
256
35. Основания противолежащих треугольников равны,
а сумма высот равна высоте параллелограмма.
36. Используйте свойство смежных углов параллело-
параллелограмма. Покажите, далее, что диагональ прямоугольника
параллельна стороне параллелограмма и при продолжении
образует медиану прямоугольного треугольника, образо-
образованного биссектрисами смежных углов и стороной паралле-
параллелограмма (выберите ту из диагоналей, которая параллельна
большей стороне параллелограмма).
37. Рассмотрите случай, когда все стороны треуголь-
треугольника KLM пересекают соответственные стороны треуголь-
треугольника АхВхСг, образованного средними линиями треуголь-
треугольника ABC] отдельно рассмотрите случай, когда у треуголь-
треугольников А1В1С1 и KLM есть пара непересекающихся сторон.
38. Достроив треугольник ABC до параллелограмма
АВСВ',^ докажите равенство треугольников BFK, и ВСВГ
и воспользуйтесь равенством углов Z.FKB и Z.CBB'.
39. Обозначив через Р точку пересечения высот, а че-
через М и jV — середины сторон АС и ВС (соответственно),
докажите, что четырехугольники EPDC и MONC можно
вписать в окружность; воспользуйтесь равенством углов:
,/А = /1ЕРС= ZEDC; /.А = LNOC = Z.NMC.
40. Из двух противоположных сторон четырехугольника
по крайней мере одна обладает тем свойством, что сумма
прилежащих к ней углов не меньше 180°. Из каждых двух
пар противоположных сторон выберите сторону, облада-
обладающую этим свойством; концы выбранных сторон и будут
искомыми точками.
41. Докажите, что если А и В — центры симметрии,
то точка, симметричная В относительно Л, тоже является
центром симметрии. Пользуясь.этим, установите, что если
фигура имеет два центра симметрии, то она имеет их бес-
бесконечно много.
42. Покажите, что у каждого многоугольника можно
найти диагональ, разбивающую его на два многоугольника
с меньшим числом сторон.
43. Рассмотрите выражение для суммы площадей тре-
треугольников
АМВ, ВМС и СМА.
44. Воспользуйтесь идеей предыдущей задачи.
45. Замените сумму AM + ВР + CQ суммой MD +
+ РЕ + QF и воспользуйтесь результатом задачи 43.
9 Зак. 387 • 257
46. Докажите предварительно неравенства:
где а, Ь, с — стороны треугольника, та — медиана сторо-
стороны а,
47. Воспользуйтесь тем, что середина высоты треуголь-
треугольника лежит на средней линии (ср. стр. 43 вводной статьи).
48. Обозначив данный треугольник через ABC, его вы-
высоты через AD, BE, CF и точку их пересечения через Н,
докажите, что каждый из четырехугольников AFHE,
BFHD, EHDC можно вписать в окружность.
49. Обозначив через М точку пересечения биссектрис,
а через DE — указанный отрезок, параллельный основанию
АВ (точка D лежит на АС, точка Е — на ВС), докажите, что
треугольники AMD и В ME — равнобедренные.
50. Противоположные стороны нового четырехуголь-
четырехугольника являются средними линиями в треугольниках, на
которые соответствующая диагональ разбивает данный че-
четырехугольник. Ромбом этот параллелограмм будет, если
диагонали данного четырехугольника равны, прямоуголь-
прямоугольником— если диагонали перпендикулярны, квадратом —
если они равны и перпендикулярны.
51. Обозначив основания трапеции через AD и ВС, а
точку пересечения диагоналей через М, докажите равен-
равенство треугольников AMD и ВМС.
52. Обозначим в четырехугольнике ABCD: через М —
середину АВ, через N — середину CD и через Р середину
диагонали АС. Рассмотрите треугольник MNP и покажите,
что в нем МР -f- PN = MN.
53. Воспользуйтесь идеей решения задачи 43.
54. Обозначив через М середину гипотенузы треуголь-
треугольника ABC, докажите равенство треугольников: ДсМЬ =
= дАМа, АсМС = ДаМЬ. Используя равенства ВМ —
— ЬМ=МС, докажите на основании рассмотрения треуголь-
треугольника ВСЬУ что ZbBC = 45° и потому ВЬ±ас. Воспользуй-
Воспользуйтесь затем свойством высот треугольника.
55. а) Докажите равенство половин боковых сторон.
б) Сравните два выражения для площади треугольника.
в) Докажите, что два треугольника равны, если у них
равны основания, углы при вершине и биссектрисы этих
углов (см. стр. 23—24 вводной статьи).
258
56. Если Ov 02 — центры правильных треугольников,
построенных на сторонах АВ и ВС треугольника ABC,
О — вершина правильного треугольника OtO2O, то при
симметрии сначала относительно ОО1У а затем относительно
ОО2 точка А переходит в точку С.
Второе решение. чОбратите внимание на то,
что сумма трех поворотов на углы 120° относительно цент-
центров рассматриваемых равносторонних треугольников пред-
представляет собой тождественное преобразование.
57. Воспользуйтесь тем, что все точки М, для которых
прямая AM пересекает сторону CD, лежат в треуголь-
треугольнике ACD; аналогично для остальных вершин. Проведя
затем все диагонали, рассмотрите 11 образовавшихся
частей.
58. Перенесите боковые стороны параллельно самим
себе в середину основания и воспользуйтесь свойством
медианы прямоугольного треугольника.
59. Такой точкой является, например, точка пересече-
пересечения диагоналей четырехугольника ABCD.
60. Воспользуйтесь рис. 9.
61. Если М, N, Р — основания перпендикуляров, опу-
опущенных из точки Q на стороны
АВ, ВС, АС (соответственно), то
четырехугольники ВМ QN и
AMQP можно вписать в ок-
окружность. Воспользовавшись
этим, докажите, что прямые
MN и NP совпадают.
62. Пусть MN — средняя
линия треугольника AA'D и
NP — средняя линия треуголь-
треугольника DD'A'. Рассмотрите тре-
треугольник MNP и все анало-
аналогичные треугольники.
63. Окружность, построенная на отрезке АВ, как на
диаметре, проходит через основания высот AD, BE. Точка
Р, симметричная D относительно прямой АВ, лежит на
этой же окружности. Выведите отсюда, что /.АРЕ =
= /.ABE = 90° — /А. Докажите также, что /APQ =
= 90° — /Аи поэтому точка Е лежит на прямой PQ, т. е.
совпадает с С.
64. Проведите через вершины четырехугольника пря-
прямые, параллельные данной стороне квадрата, и рассмот-
/
/¦¦¦
/
Рис. 9.
9»
259
рите площади тех треугольников и трапеций, на которые
эти прямые разбивают данный четырехугольник.
65. Докажите, что периметр данного остроугольного
треугольника не меньше периметра прямоугольного тре-
треугольника, вписанного в ту же окружность, две вершины
которого совпадают с двумя какими-нибудь вершинами
данного треугольника.
66. Докажите, что окружность, вневписанная в угол А
треугольника ЛВС, касается стороны ВС в точке Е.
67. Рассмотрите самый короткий перпендикуляр и по-
покажите, что он не может упасть на продолжение сто-
стороны.
68., Покажите, что при параллельных перемещениях
любой из сторон многоугольника он сохраняет свойство,
сформулированное в условии.
Превратите данный многоугольник в правильный и
воспользуйтесь методом задачи 43.
69. Пусть в треугольнике MNP угол MNP равен 30°.
Проведем через точку Р прямую /, лежащую вне треуголь-
треугольника и образующую со стороной РМ угол в 30°; рассмотрим
любую точку X этой прямой. Покажите, что угол MXN
достигает наибольшего значения в такой точке Хо, что
окружность, проходящая через точки М, N и Хо, касается
прямой /. Покажите далее, что даже это наибольшее
значение угла MX0N не превосходит 30°.
70. Проведите медиану на большую сторону и рассмот-
рассмотрите вопрос о подобии исходного треугольника и образо-
образовавшегося равнобедренного треугольника со сторонами
3, 3, 2.
71. Воспользовавшись теоремой о сумме квадратов диа-
диагоналей параллелограмма, вычислите медианы треугольника.
Второе решение. Обозначив через а и Ь век-
векторы, идущие по сторонам треугольника, найдите векторы,
идущие по медианам, и составьте их скалярное произ-
произведение.
72. Если ось симметрии не проходит ни через одну вер-
вершину четырехугольника, он представляет собой равнобоч-
равнобочную трапецию (или прямоугольник) и является вписанным.
В противном случае покажите, что ось симметрии про-
проходит сразу через две вершины четырехугольника, и он
является описанным (дельтоидом или ромбом).
73. Пусть Мх и М2 — середины диагоналей четырех-
четырехугольника АВ CD, лочка О — центр вписанной окружности.
260
Докажите, что имеют место равенства:
= -к-
74. Докажите, что в такой четырехугольник можно
вписать окружность (ее центр совпадает с центром данной
окружности).
75. Докажите (применяя поворот и гомотетию треуголь-
треугольника ЛВС), что_ ВА±-\- СВХ + АСХ = 0. Затем, используя
соотношение MA + MB -j- МС = 0 (где М — центр тя-
тяжести треугольника ABC), покажите, что МАХ -\- МВг +
+ МСг = 0, и потому М—.центр тяжести треугольника
76. Воспользуйтесь основным свойством медиан тре-
треугольника и покажите, что стороны нового треугольника
параллельны сторонам данного.
Второе решение. Вычислите векторы, идущие
из точки О пересечения средних линий четырехугольника
ABCD к центрам тяжести указанных треугольников, и
используйте равенство
ОА + ОВ + ОС -f 0D = 0.
77. Проведите прямую ВВг> параллельную АгА2 (точ-
(точка Вг — на прямой АпАх)\ затем проведите прямую
ВВъ!! А2А3 (точка В% — на прямой ЛХЛ2) и т. д.
Покажите, что многоугольник В1В2...Вп — искомый.
78. Предположив противное, постройте окружность, ка-
касающуюся трех сторон четырехугольника — АВ, ВС и
СА, и проведите из точки А вторую касательную к этой
окружности.
79. Рассмотрите окружность достаточно большого ра-
радиуса и от некоторой точки отложите на ней в одну сторону
наибольшую из сторон многоугольника, а в другую сто-
сторону последовательно отложите остальные стороны мно-
многоугольника (в любом порядке). Затем уменьшайте радиус
окружности. Если диаметр окружности станет равен наи-
наибольшей стороне раньше, чем ломаная «замкнется»,
то начните снова увеличивать радиус, но уже так, чтобы
центр окружности находился по другую сторону от наиболь-
наибольшей стороны, чем остальная ломаная. Покажите, что при
достаточно большом радиусе ломаная «замкнется».
261
Для этого воспользуйтесь тем, что наибольшая сто-
сторона меньше суммы остальных, ибо существует какой-то
многоугольник с этими сторонами.
80. а) Воспользуйтесь тем, что вершины четырехуголь-
четырехугольника лежат на перпендикулярах, проведенных к сторонам
и диагоналям данного четырехугольника через их середины.
Рассмотрите образующиеся подобные треугольники.
б) Докажите, что стороны четырехугольника ОХО%ОВО^
проходят через вершины данного четырехугольника и пер-
перпендикуляры его биссектрисам.
81. а,б) Пусть а, Ь, с, й-~ векторы, идущие по сторо-
сторонам четырехугольника, и а', Ъ'', cf, d'— векторы, идущие
по сторонам квадратов.
Выразите через них векторы, идущие по диагоналям,
и воспользуйтесь соотношениями; a-{-b-{-cJrd = 0,
аа = ЬЪ' = ccf ~ dd' = 0, db — а'Ь', аЬ' — — а'Ъ и т. п.
82. Докажите, что сторона квадрата MNPQ будет наи-
наименьшей, если его вершины совпадут с серединами сторон
исходного квадрата.
83. Докажите, что из любых двух диаметрально проти-
противоположных точек окружности хотя бы одна удовлетворяет
поставленному условию.
84. Воспользуйтесь формулой Герона, соотношениями:
ARS = abc, (a -f Ь -\- с) г = 2S и неравенством R > 2г.
85. Обозначив через О центр окружности, описанной
около треугольника ЛВС, докажите, что прямые ОЛ,
ОВ, ОС соответственно перпендикулярны сторонам тре-
треугольника DEF. Покажите далее, что* площадь треугольника
ЛВС выражается формулой:
5 = ~{ОЛ-EF + ОВ • DF + ОС . DE) - -±-R - р>
и воспользуйтесь соотношением 5 = -у^Я.
86. Если а, Ь, с — стороны данного треугольника (с —
гипотенуза), то имеет место соотношение -?- =—, с. .' ;
покажите, пользуясь этим, что -^- < 0,5. Далее из соотно-
соотношений а2 + b2 > 2ab, с2 — а2 -+- Ь2 выведите неравен-
неравенство (a -f- b) < c|/2 и с его помощью покажите, что
-?- > /2"- 1 > 0,4-
262
" 87. Выразите обе части равенства через стороны и углы
данного треугольника.
S8. Воспользуйтесь соотношением: d2 — R2 — 2Rrt
где R и г — радиусы описанной и вписанной окружностей
треугольника, ad — расстояние между центрами этих
окружностей.
89. Воспользуйтесь формулой Птолемея: площадь впи-
вписанного четырехугольника равна
S*=y{p-a) (p-b) (p-c) (p-d),
где а, Ь, с, d — стороны четырехугольника, ар — его по-
лупериметр.
90. Пусть М а N — такие точки на диагонали АС,
что ВМ }j DN и /. Задача сводится к доказательству соот-
соотношения:
AM AN AC
AG 7 AG AG*
Покажите, что CM = AN.
91. Обозначим через О центр описанной окружности,
а через Е точку пересечения биссектрисы угла А с этой
окружностью. Воспользуйтесь тем, что прямая ОЕ парал-
параллельна высоте AD.
92. Доказательство сводится к вычислению суммы
s*
S{nt ?) ~ cos* (—-?) + cos
cos3 B (n~1Ot <р) + cos3 Bтг
при вычислении удобно воспользоваться соотношением
cos2 а = — g0S и методом задач 30, 31 раздела А. Окон-
Окончательное выражение для суммы ? не должно зависеть от ср.
93. Центром искомой окружности является середина
отрезка, соединяющего точку пересечения высот треуголь-
треугольника с центром описанной окружности.
Примените к описанной окружности гомотетию с коэф-
коэффициентом-^- и с центром в точке пересечения высот.
94. Примените инверсию с центром в точке М для до-
доказательства следующего утверждения:
если pv pit ..., Pzn-i, Р^п — расстояния от точки М до
сторон вписанного 2п-угольника АгА2...А2п, то
Pin л =
263
Утверждение настоящей задачи получается из него, если
вершину Аг приближать к вершине Alf вершину At при-
приближать к вершине А3 и т. д.
95. Пусть А — ближайшая к точке О вершина л-уголь-
л-угольника, а В и С — две такие вершины, что точка О лежит
внутри или на границе треугольника ABC. Пусть угол
ОАВ меньше угла О АС', покажите, что угол АОВ —
искомый.
96. Пусть А1 и В1 — основания биссектрис внешних
углов А и В соответственно. Проведите через точки А, В, С
прямые, параллельные прямой Ах Вх, и рассмотрите точки
их пересечения с некоторой прямой /. Далее воспользуй-
воспользуйтесь свойством биссектрисы внешнего угла треугольника.
97. Обозначив длины сторон треугольника через a, a + d,
а + 2d рассмотрите высоту /г, опущенную на среднюю
сторону, и воспользуйтесь формулами;
где р — полупериметр треугольника.
98. а,б) Сначала докажите эти утверждения для случая,
когда треугольники лежат в1 разных плоскостях.
§ 4. Задачи на доказательство.
II. Окружность
99. Проведите диаметр СЕ и докажите, что АЕ — BD\
далее примените теорему Пифагора к треугольнику ЕАС.
100. Рассмотрите второй вписанный правильный тре-
треугольник EDF,
101. Докажите, что центр рассматриваемой окружности
лежит на отрезке, соединяющем точку С с центром данной
окружности.
102. Искомая точка X лежит на прямой PQ и опреде-
определяется из условия: РХ • PQ = k%, где k — длина каса-
касательной, проведенной из точки Р к данной окружности
(ср. например, задачу 24).
103. Покажите, что все звенья ломаной — траектории
шара — находятся на равных расстояниях от центра бил-
биллиарда.
104. Воспользуйтесь симметрией относительно диа-
диаметра, перпендикулярного хордам.
105. Воспользуйтесь результатом задачи 20.
264
. 106. Воспользуйтесь тем, что центральный угол дуги
АВ вдвое больше центрального угла дуги А С, а радиус
новой окружности вдвое меньше радиуса данной.
107. Выразите рассматриваемый угол через угол между
неподвижными касательными.
108. Воспользуйтесь тем, что касательные, проведенные
из одной точки к окружности, равны; используйте также
равенство общих внешних касательных двух окружностей.
109. Докажите равенство углов M0N и МОР (О —
центр данной окружности), для чего рассмотрите эти углы
как вписанные в окружности, проходящие соответственно
через точки О, М, N и О, М, Р.
ПО. Покажите, что эта задача эквивалентна задаче 66.
111. Рассмотрите точку пересечения двух окружностей
из четырех и покажите, что каждая из двух оставшихся
окружностей проходит через эту точку.
112. Проведите третью окружность ?, пересекающую
окружность Сх в диаметрально противоположных точках.
Подберите окружность ? так, чтобы инверсия относитель-
относительно этой окружности переводила точку пересечения окруж-
окружностей С2 и С3 в центр окружности CL. Покажите, что
образы окружностей С2 и С3 снова пересекают окружность
Сх в диаметрально противоположных точках. Подробнее об
этом см. [45], т. II, стр. 338—343.
113. Воспользуйтесь инверсией с центром в одной из
точек пересечения окружностей. ,
114. Если М — середина отрезка ВХВ2, то АВ\ -f- АВ\ —
= 2*(АМ2 + BtM2); выясните, при каком расположении
точки А сумма AM2 + BtM2 принимает наименьшее зна-
значение. '
§ 5. Задачи на построение.
I. Многоугольники. Построения с ограниченными
возможностями
115. Соединив точку М с вершиной угла А, отложите
на прямой AM отрезок МС — МА\ проведите через точку
С прямые, параллельные сторонам угла, и рассмотрите
диагональ полученного параллелограмма.
116. Покажите, что центр окружности совпадает с се-
серединой отрезка А В.
117. Постройте сначала треугольник по серединам его
сторон; затем проведите диагональ пятиугольника и вос-
воспользуйтесь результатом задачи 50.
265
118. Искомая точка является точкой пересечения от-
отрезков, параллельных диагоналям четырехугольника; один
такой отрезок построен в задаче 15.
119. Отразив биллиард относительно одного из бортов,
рассмотрите, во что перейдет при этом траектория шара;
после ряда последовательных отражений траектория долж-
должна превратиться в отрезок прямой (ср. задачу 249а)).
120. Обозначив угол ABC через а, покажите, что точ-
точка D определяется из условия:
Z BCD = ~
121. Воспользуйтесь тем, что центр тяжести делит ме-
медиану в отношении 1 : 2, а средняя линия делит медиану
пополам.
122. Произведите поворот одной из окружностей на
60° вокруг данной точки.
123. Взяв на большей стороне АС треугольника ABC
такую точку D, что AD — АВ {АВ — меньшая сторона),
покажите, что BD —DC.
124.. Постройте сначала середину стороны, противоле-
противолежащей данной вершине.
125. Построив прямоугольный треугольник с катетом
АС, равным данной высоте, и гипотенузой АВ, равной ме-
медиане, найдите на гипотенузе точку М, для которой
AM : MB = 2 : 1. Затем из М, как из центра, проведите
окружность радиуса AM. Если D — точка ее пересечения
с прямой ВСу то AD — основание искомого треугольника.
126. Покажите, что прямые, соединяющие центры вне-
вписанных окружностей, проходят через вершины данного
треугольника и перпендикулярны его биссектрисам.
127. Если ABC — искомый треугольник и Р, Q, R —
данные точки, то прямые АР, BQ, CR являются биссектри-
биссектрисами треугольника PQR (ср. задачу 48). Иначе говоря,
вершины искомого треугольника являются серединами
дуг PQ, QR, RP.
128. Докажите предварительно, что описанная окруж-
окружность делит пополам отрезок, соединяющий центры впи-
вписанной и вневписанной окружностей.
129. а) Опустим из точки В перпендикуляр на прямую
/9 и продолжим его до пересечения с прямой /З.в точке С;
из этой точки опустим перпендикуляр на прямую /2 и,
продолжив его до пересечения с прямой /2, получим точ-
точку D. Докажите, что треугольник BGD. — нскомёлй.
266
* -$ Постройте, середину стороны, противолежащей вер-
ЙШЯе В, и воспользуйтесь задачей 115. в) Воспользуйтесь
идеей задачи а) и результатом задачи 48.
130. а) Продолжим сторону Л С за вершину А на отре-
отрезок AD = АВ. Легко.видеть, что Z ADB =-~~Z ВАС.
Задача сводится, таким образом, к стандартной задаче
о построении треугольника по двум сторонам и углу против
одной из них. Аналогично решаются задачи в) д) ж).
б) Заметим, что вершина А лежит на перпендикуляре,
проведенном к отрезку BD через.его середину (обозначения
предыдущей задачи). Аналогично решается и задача е).
з) Докажите, что если в треугольнике ABC на стороне
АС выбрана такая точка Е, что АЕ = АВ, то /.СВЕ =
= Т ¦. Аналогично решается задача г).
и) Воспользуйтесь тем, что биссектриса рй пересекает
описанную окружность в той же точке, что и перпенди-
перпендикуляр, проведенный к стороне а через ее середину.
к) Если ABC — искомый треугольник иЬ — основание
биссектрисы рс, то, как известно, AD : DB = АС : СВ —
= Ъ : а. Поэтому, если точка А описывает окружность
радиуса b с центром в точке С, то точка D также описы-
описывает некоторую окружность (гомотетия с коэффициентом
а в и центром В)\ с другой стороны, CD — рс — отрезок
данной длины.
л) Воспользовавшись основным свойством медиан тре-
треугольника, примените метод подобия (ср. задачу к)).
м) При исследовании достройте треугольник до парал-
параллелограмма со сторонами а и Ь.
н) Воспользуйтесь основным свойством медиан тре-
треугольника.
о) Постройте сначала треугольник ACD, где D — се-
середина стороны ВС,
п) Достроив треугольник до параллелограмма, дока-
2 2 2
жите, что в треугольнике со сторонами -у ца, -^ р.й, -д- рс
1 11
медианы равны -^ a, -s-bt -к-с.
131. Таких прямых, вообще говоря, три; это — средние
линии треугольника, вершины которого находятся в дан-
данных точках.
267
132. Решите предварительно следующую задачу: через
данную точку провести прямую, отсекающую от данного
угла треугольник данной площади. Задача сводится к по-
построению отрезков а и Ь, удовлетворяющих уравнениям
ah1±bh2 = 2S, ab sin a 2S,
где hx и /?2 — расстояния данной точки от сторон данного
угла а, а а и b — отрезки, отсекаемые искомой прямой от
сторон угла.
133. Докажите, что прямая, делящая периметр тре-
треугольника пополам, делит площадь пополам в том и только
в том случае, когда она проходит через центр вписанной
окружности. Воспользуйтесь построением предыдущей за-
задачи.
134. В случае, когда даны стороны АВ и AD и углы
В и D, рассмотрите четырехугольник, симметричный
искомому относительно диаметра АО вписанной окруж-
окружности; в случае, если даны углы А и В (или А и D), решение
очевидно.
135. а) 1°: стороны смежные. В этом случае постройте
сначала треугольник, две стороны которого совпадают
с данными сторонами четырехугольника, а третья сторона
равна его диагонали.
2°: стороны противолежащие. Если ABCD — искомый
четырехугольник, АВ и CD — данные стороны, то построй-
постройте отрезок ВМ, равный и параллельный отрезку АС. Тре-
Треугольник BDM можно построить, так как известны две
его стороны и угол между ними.
б) 1°: углы прилежат к одной стороне, например, к сто-
стороне ВС. Проделав построения п.2° задачи а), заметим,
что углы СВА и ВСМ равны. Точка С строится теперь как
пересечение дуг двух сегментов.
2°: даны противолежащие углы. Построим на диагонали
дуги двух сегментов, вмещающих эти углы, и одну из дуг
перенесем на расстояние d2 в направлении этой второй
диагонали (которое задается углом между диагоналями).
Рассмотрите точку пересечения сдвинутой и несдвигав-
шейся дуг.
в) 1°: угол прилежит к стороне. В этом случае реше-
решение очевидно. 2°: даны угол BCD и сторона АВ. Восполь-
Воспользуйтесь построением п.2° задачи а).
136. Постройте на стороне AD точку В', симметричную
вершине В относительно диагонали АС; рассмотрите тре-
треугольник B'DC.
268
137. При помощи параллельного переноса всех данных
элементов в одну из вершин задача сводится к следующей:
Даны четыре концентрические окружности. Провести
такую прямую, чтобы ее отрезок, заключенный между пер-
первой и второй окружностями, был равен отрезку между
третьей и четвертой окружностями.
Для решения этой задачи примените метод подобия,
(ср. задачу 181).
138. Воспользуйтесь тем, что сумма симметрии отно-
относительно прямых llt /2, ..., ln переводит точку Ах в себя.
Например, пусть A±At, ..., Ап — искомый п-угольник и
Вх — какая-то точка плоскости. Отразив отрезок А1В1
последовательно от прямых lv /2, .,.,/„, мы получим отрезки
Л2?2, ..., АпВп, А1Вп+1. Тогда точка Ах лежит на перпен-
перпендикуляре, восставленном к отрезку ВгВп+1 в его середине.
139. Искомых прямых две. В трапеции с основаниями
AD и ВС одна из них проходит через точки пересечения
диагоналей с медианами треугольников ACD и ABD, про-
проведенными к стороне AD. Вторая проходит через точки
пересечения диагоналей с медианами треугольников ABC
и DBC, проведенными к стороне ВС.
140. Воспользуйтесь тем, что из всех треугольников
с данным основанием и данной площадью наименьший
периметр имеет равнобедренный треугольник.
141. Пусть точка В' симметрична точке В относительно
прямой ОМ. Покажите, что для искомой точки X справед-
справедливо равенство:
Z В'ХА = 180° — 2 Z M0N.
142. Пусть В — данная вершина квадрата ABCD, а Е,
F — данные точки на прямых AD и CD. Построим на от-
отрезке EF, как на диаметре, окружность и обозначим через К
отличную от D точку ее пересечения с прямой BD. До-
Докажите, что дуги ЕК и EF равны.
143. На отрезке А В постройте дуги сегментов, вмещаю-
вмещающие углы аи р, и первую дугу сдвиньте на данное расстоя-
расстояние в данном направлении. Рассмотрите точку пересечения
новой дуги со второй из ранее построенных дуг.
144. Постройте сначала треугольник со сторонами, пер-
перпендикулярными сторонам данного треугольника, и такой,
что только две его вершины лежат на сторонах данного
треугольника.
145. а) Построение очевидно; задача имеет до четырех
решений.
б) Пусть О — проекция центра данной окружности на
данную прямую. Постройте квадрат, гомотетичный иско-
искомому, чтобы точка О являлась серединой его стороны, ле-
лежащей на данной прямой.
146. Пусть точка А' симметрична точке А относительно
данной прямой. Докажите, что прямая ВМ касается окруж-
окружности радиуса R — ~^- А А' с центром в точке А'.
147. Воспользуйтесь методом задачи 145 б).
148. Докажите предварительно, что если перемещать
вершину В треугольника ABC параллельно основанию
АС и сохранять при этом неизменной высоту прямоуголь-
прямоугольника, то длины диагонали и основания вписанного прямо-
прямоугольника также не будут изменяться.
149. Построим касательную к дуге данного сегмента,
образующую угол в 30° с его основанием; через точку ка-
касания проведем радиус до пересечения в точке А с основа-
основанием сегмента. Докажите, что точка А — вершина иско-
искомого треугольника.
150. Воспользуйтесь методом задачи 142.
151. Решите вспомогательную задачу: даны два луча
и точка А. Провести через данную точку прямую, пересе-
пересекающую лучи в точках В и С, так, чтобы отношение отрез-
отрезков АВ к ВС было заданным. При решении воспользуйтесь
гомотетией с центром А.
152. Воспользуйтесь теоремой:
Если фигура F изменяется, оставаясь подобной сама
себе, так, что три прямые /, т, п этой фигуры, не прохо-
проходящие через одну точку, проходят все время через три не-
неподвижные точки, то каждая прямая фигуры F проходит
все время через неподвижную точку, а каждая точка фи-
фигуры описывает окружность.
Доказательство этой теоремы см. [45], т. II, стр. 126.
153. Докажите, что если отбросить требование располо-
расположения точки А на данной прямой, то множество всевоз-
всевозможных положений вершины А представляет собой окруж-
окружность, концентричную с данной. Для доказательства вос-
воспользуйтесь тем, что аналогичное утверждение можно
сделать относительно вершины В.
154. Докажите, что одна из вершин треугольника не-
непременно должна совпадать с вершиной параллелограмма.
270
gCjiH A •— эта вершина треугольника и т : п — отношение
сторон, сходящихся в вершине Л, то с центром в какой-
либо вершине М параллелограмма MNPQ совершите по-
поворот на угол А и гомотетию с коэффициентом т : п. При
_^гом сторона NP- перейдет в прямую N"P". Покажите, что
"точка пересечения прямых N"P" и PQ является вершиной
искомого треугольника.
155. Покажите предварительно, что стороны любого
треугольника ABC являются биссектрисами внешних углов
в треугольнике, вершинами которого служат основания
высот треугольника ЛВС (ср. задачу 48). Для возможности
решения данные прямые должны образовывать остро-
остроугольный треугольник.
156. Рассмотрите более общую задачу: в данную окруж-
окружность вписать /г-угольник, k идущих подряд сторон которого
проходят через к данных точек, а остальные стороны имеют
известные направления. Примените индукцию по числу к.
157. Пусть А1А%...Ап — искомый многоугольник, Мг,
Afa, ..., Мп — данные центры р-угольников. Совершим по-
последовательные повороты с центрами Mv M2, .«. на угол
а—. Тогда точка А1 после всех этих поворотов перейдет
в себя. Например, если Вх — произвольная точка, то отре-
отрезок АгВх перейдет при первом вращении в А2В2> этот отре-
отрезок перейдет при втором вращении в А3В3 и т. ду пока,
наконец, мы не получим отрезка АпВп. Этот отрезок при
последнем повороте перейдет в отрезок А ^„+1- Докажите,
исходя из этого, что вершина Ах лежит на перпендикуляре,
проведенном к отрезку ВгВп+1 через его середину.
158. Впишите в один из углов треугольника, например
в угол ВАС, произвольную окружность; постройте вторую\
окружность такого же радиуса, касающуюся первой окруж-
окружности и стороны АС', затем проведите касательную к этой
новой окружности, параллельную стороне ВС. Пусть F —
точка касания; проведите прямую AF и обозначьте через D
точку ее пересечения со стороной ВС. Совершите гомотетию
с центром в точке Лис коэффициентом k = -^р.
159. Рассмотрите вспомогательную задачу в простран-
пространстве: через три точки, данные в гранях прямого трехгран-
трехгранного угла (по одной точке на грани), проведена плоскость.
Построить стороны треугольника, образующегося при пе-
пересечении этой плоскости с гранями угла.
271
Данная задача является как бы «проекцией» этой вспо-
вспомогательной задачи.
160. Построите вспомогательный угол, стороны кото-
которого параллельны сторонам данного угла, отстоят от них
соответственно на равных расстояниях и пересекаются в
пределах чертежа.
161. Достройте треугольник ЛВС до параллелограмма
ABCD и постройте медиану треугольника BCD.
-54°).
162. Заметим, что -I- • 54°=18°=-i-. 36°=-|-(90о
Если предварительно требуется построить угол 54°, то
можно воспользоваться построением правильного вписан-
. ного десятиугольника.
163. Воспользуйтесь тем, что сторона правильного ше-
шестиугольника равна радиусу описанной окружности (при
удвоении данный отрезок яв-
является радиусом такой ок-
окружности). Процесс деления
отрезка пополам показан на
рис. 10. Здесь АС = 2АВ,
X —середина отрезка АВ.
164. Предварительно уве-
увеличьте данный отрезок в п
раз, для чего воспользуйтесь
методом предыдущей задачи.
165. Воспользуйтесь тем,
что прямая, соединяющая
точку пересечения диагона-
диагоналей трапеции с точкой пере-
пересечения боковых сторон, делит оба основания пополам.
166. С помощью двусторонней линейки удобно строить
ромбы;
а) воспользуйтесь тем, что диагонали ромба являются
биссектрисами его углов;
б) воспользуйтесь тем, что диагонали ромба перпен-
перпендикулярны,, и постройте некоторый квадрат. Используя
квадрат, можно строить перпендикуляр к любой прямой.
в) воспользуйтесь задачей б) и задачей 165.
167. Воспользуйтесь методом задачи 165 и следующей
теоремой:
если в параллелограмме ABCD точка М лежит на от-
отрезке AD, причем AM • п — AD, и прямые ВМ и АС пере-
пересекаются в точке Nt то AM • (п + 1) = АС.
Рис. 10,
272
. При доказательстве этой теоремы используйте метод
математической индукции или результат задачи 90.
168. Постройте прямоугольник, вписанный в данный
круг. Затем, пользуясь указанием к задаче 165, на данной
прямой постройте отрезок, середина которого известна.
Наконец, постройте прямую, параллельную данной.
169. Воспользуйтесь, например, следующей теоремой:
если на плоскости даны две прямые lL, /2 и точка Р, не
лежащая на них, и если из точки Р проведены три прямые,
пересекающие данные прямые в точках Л и С, соответствен-
соответственно, В и D, соответственно Е и /\ то точки пересечения
прямых AD и ВС, BE и FA, /х и /2 лежат на одной прямой.
Доказательство теоремы см. [453, т. II, стр. 369.
Можно также воспользоваться результатом задачи 98.
170. Воспользуйтесь тем, что три высоты треугольника
пересекаются в одной точке.
§ 6. Задачи на построение.
II. Окружности
171. Рассмотрите треугольник с вершинами в данных
точках и его вписанную окружность.
172. Воспользуйтесь гомотетией с центром в данной
точке.
173. Докажите, что при любом положении точки М
на данной дуге АВ биссектриса угла A MB проходит через
середину дополнительной дуги; биссектриса искомого угла,
кроме того, делит хорду АВ в данном отношении.
174. Произведите гомотетию с центром в данной точке
и с коэффициентом -^-; рассмотрите точку пересечения
исходной и полученной окружностей.
175. Пусть 0/4, ОВ—данные радиусы; отложим на
прямой А В отрезок ВС — АВ и обозначим через X точку
пересечения окружности с прямой ОС. Искомая прямая
параллельна АВ и проходит через точку X.
176. Постройте окружность О', равную данной окруж-
окружности и пересекающую прямую / в точке М под данным
углом а.
Покажите, что центр искомой окружности лежит на
перпендикуляре к линии центров 00', проведенном через
середину 00'.
177. Пусть О — центр окружности, вписанной в дан-
данный треугольник ABC, Е1( 12, Е3 — окружности, вписан-
273
вые в треугольники ЛОВ; ВОСг СО А. Проведите общие
внутренние касательные этих окружностей и покажите,
что каждая из искомых окружностей касается двух из
этих касательных.
178. а) Постройте окружность, симметричную одной из
данных окружностей относительно точки их пересечения.
б) Постройте на отрезке, соединяющем центры данных
окружностей, как на гипотенузе, прямоугольный тре-
треугольник с катетом, равным половине данной суммы.
в) Отразив меньшую окружность относительно точки
пересечения, примените метод задачи б).
179. Отразите одну из сторон данного угла относительно
перпендикуляра к данной прямой, проходящего через точ-
точку О.
180. Задача сводится к построению треугольника по
стороне, противолежащему углу и разности двух других
сторон (см. задачу 130, д)).
181. Примените гомотетию меньшей окружности с цент-
центром в любой точке внешней окружности и с коэффициентом
-Н-; рассмотрите точку пересечения средней окружности
с образом менБшей окружности.
182. Постройте сначала любую окружность, вписан-
вписанную в тот из углов, образованных данными прямыми,
в котором лежит данная точка. Воспользуйтесь тем, что
искомая окружность гомотетична построенной.
183. Сведите задачу к предыдущей, рассмотрев две пря-
прямые, параллельные данным (соответственно) и отстоящие
от них на расстоянии, равном радиусу данной окружности.
184. Решите предварительно задачи:
Г. Построить окружность, проходящую через две дан-
данные точки и касающуюся данной окружности.
2°. Построить окружность, проходящую через данную
точку и касающуюся двух данных окружностей.
§ 7. Прямые и плоскости в пространстве
185. Выберите из данных прямых любые две и рассмот-
рассмотрите положение любой прямой относительно этой пары.
186. Докажите, что проекции отрезков АВ, AC, AD
на плоскость треугольника BCD будут высотами этого
треугольника.
187. Запишите условие задачи и воспользуйтесь тем,
274
qrt У двух скрещивающихся прямых имеется е д и н с т-
венный общий перпендикуляр.
188. Перенесите начала всех лучей в одну точку плос-
плоскости и рассмотрите проекцию первого луча.
¦~ 189. Верно.
190. Имеется семь таких плоскостей: четыре плоскости,
отделяющие по одной точке от остальных, и три плоскости,
разделяющие точки на равные группы.
191. Разбейте четырехугольник диагональю на два тре-
треугольника и примените теорему о плоских углах двугран-
двугранного угла.
192. Спроектируйте путь л^ча на любую грань и дока-
докажите, что проекция прямого и отраженного лучей парал-
параллельны.
193. Все такие прямые касаются цилиндра, осью кото-
которого служит данная прямая.
194. Проведите пару параллельных плоскостей, каж-
каждая из которых проходит через одну из данных прямых,
и рассмотрите прямые т и п, по которым эти плоскости
пересекаются с данной плоскостью Р. Выберите отрезок
данной длины, концы которого лежат на прямых 1г и /2,
Искомый отрезок должен быть параллелен выбранному.
Задача имеет не более двух решений.
195. Нельзя: проекции могут быть расположены .в пло-
плоскости, перпендикулярной обеим данным плоскостям; рас-
рассматриваемая линия будет лежать в этой плоскости и
может не быть прямой.
196. Спроектируйте ребро SB трехгранного угла
SABC на плоскость SAC; обозначив проекцию через SH,
покажите, что хотя бы один из углов ASH и HSC не пре-
превосходит 90°. Если таким углом является угол ASH, то
проведите через точку 5 плоскость, перпендикулярную
ребру SA.
197. Искомая плоскость проходит через прямую, по
которой одна из граней данно-
данного двугранного угла пересекает-
пересекается с плоскостью, симметричной
другой грани' относительно дан-
данной прямой.
198. Наименьшее число
звеньев заузленной ломаной
равно шести. Покажите, что ло-
ломаная, имеющая пять звеньев Рис. и. " "
275
и изображенная на рис. 11, не может быть пространственной.
199. а) Покажите сначала, что найдутся четыре верши-
вершины (или три последовательные стороны) пятиугольника,
лежащие в одной плоскости.
б) Возьмите правильный 2&-угольник и его вершины
поднимите через одну на одну и ту же высоту над плос-
плоскостью этого 2&-угольника.
в) Bk -+- 1)-угольники получаются перегибанием (по
пунктирам) фигуры, получающейся после добавления к
прямоугольнику с отношением сторон 1 : (k — 2) пяти-
пятиугольника, все стороны которого равны, а угол при одной
из вершин равен 90° (см. рис. 12).
200. Пусть АСЕ правильный треугольник, BfD'Fr —
треугольник, получающий-
получающийся из АСЕ параллельным
переносом на вектор, пер-
перпендикулярный плоскости
треугольника АСЕ; пусть,
наконец, BDF — треуголь-
рис. 12. ник, получающийся пово-
поворотом B'D'F' в его плос-
плоскости вокруг центра этого треугольника. Вектор переноса
и угол поворота подберем так, чтобы выполнялось равен-
равенство: AD ~ AE. Тогда шестиугольник ABCDEF — искомый.
201. Если ABCDEFGH — восьмиугольник с равными
диагоналями, то тетраэдр ACEG правильный, так же как
BDFH; покажите, что тогда остальные диагонали не могут
все быть равными ребрам этих тетраэдров.
§ 8. Многогранники
202. Не существует. Указание. Возьмите сечение,
параллельное любому ребру многогранника и пересекаю-
пересекающее все ребра, имеющие общую вершину с этим ребром.
203. Наибольшее число сторон — шесть. Так, шесть
сторон имеет сечение, параллельное грани октаэдра и про-
проходящее посредине между этой и противоположной гранями.
204. Треугольник, квадрат, шестиугольник.
205. Покажите сначала, что многогранник, составленный
из семи ребер, может иметь только треугольные грани.
206. Примером многогранника с 2п ребрами может слу-
служить /г-угольная пирамида; многогранник с 2я+ 1 реб-
ребрами получается из (п — 1)-угольной пирамиды, если на
любую боковую грань поставить тетраэдр.
276
. 207. Рассмотрите диагональные сечения параллеле-
параллелепипеда
208. Докажите, что обозначив через Г, Р, В число
IP
граней, ребер и вершин многогранника, мы имеем В<—^-,
а если каждая грань имеет более пяти сторон, то Р > 3 Г.
Выведите отсюда, что Г — Р + Я < 0, и воспользуйтесь
теоремой Эйлера о многогранниках (см. [47], стр. 97).
209. Выберите в каждой грани по одной точке, соеди-
соедините эти точки с вершинами граней и подсчитайте сумму
углов полученных треугольников. Для преобразования
полученного выражения воспользуйтесь теоремой Эйлера
о многогранниках.
210. Воспользуйтесь тем, что точки биссекторной плос-
плоскости двугранного угла равноудалены от его граней.
211. Докажите, что все плоские углы данного трехгран-
трехгранного угла не могут быть одновременно острыми или одно-
одновременно тупыми. Покажите далее, что каждая грань
шестигранника имеет по крайней мере два равных плоских
угла.
V2"
212. Ц-.
213. Этого утверждать нельзя. Указание. Рас-
Рассмотрите две пирамиды с общим основанием и равными
высотами (и, значит, имеющие равные объемы); при этом
одну из пирамид возьмите прямой, а другую — «сильно
наклоненной».
214. Эти сечения представляют собой параллелограммы
с периметром, равным удвоенной длине ребра тетраэдра.
215. Если ABCD — тетраэдр и точки Е, F, G лежат на
ребрах АВ, AC, AD (соответственно), то можно показать,
что площадь треугольника EFG меньше площади одного
из треугольников AEG и CEG. (Все три треугольника
имеют общее основание.) Если этим треугольником являет-
является д CEG, то применим к нему аналогичное рассуждение,
и т. д.
216. Пусть Е — середина ребра АВ тетраэдра ABCD.
Покажите, что плоскость CDE делит объем тетраэдра на
две равные* части, причем она проходит через середины
ребер CD и АВ; рассмотрите, как изменяются объемы
при повороте этой плоскости.
217. Искомых сечений бесконечно много и все они па-
параллельны плоскости, проходящей через прямые, по ко-
277
торым пересекаются противоположные грани данного четы-
четырехгранного угла.
218. Примените обычную теорему Пифагора.
219. Воспользуйтесь тем, что расстояние от вершины
куба А до прямой /, проходящей через его центр О, равно
произведению длины ОА на синус угла, образованного
лучом О А и прямой I. Для исследования ^суммы квадра-
квадратов синусов этих углов воспользуйтесь теоремой коси-
косинусов.
220. R > 2г. Указание. Для доказательства не-
необходимости этого условия используйте теорему о плоских
углах трехгранного угла; для доказательства достаточ-
достаточности постройте пирамиду с основанием АхАг...Ап и
высотой h — VRZ — 2Z?r (/" и R — радиусы малой и боль-
большой окружностей).
221. Рассмотрите развертку тетраэдра на плоскость ABC.
222. а = 90°.
223. Существует бесконечно много таких многогран-
многогранников; в качестве примера укажем многогранник, полу-
получающийся, если два наклонных параллелепипеда с равными
основаниями поставить один на другой.
224. Воспользуйтесь тем, что любая плоскость, про-
проходящая через центр параллелепипеда, делит его объем
пополам (и обратно).
225. Докажите сперва это равенство для случая, когда
боковые ребра а, Ь, с удовлетворяют условию а = Ъ = с =
226. Воспользуйтесь соотношением а + р + т < 2тс и ре-
результатом задачи 36.
227. Проведите плоскость, параллельную двум проти-
противоположным ребрам тетраэдра, и перемещайте ее," остав-
оставляя параллельной самой сеЬе, наблюдая за изменением
отношения сторон получающегося в сечении параллело-
параллелограмма. Найдите связь между углом этого параллелограм-
параллелограмма и углом между противоположными ребрами.
228. Совместите равные (по трем сторонам) грани рас-
рассматриваемых пирамид.
229. Воспользуйтесь теоремой, приведенной в указании
к задаче 167.
230. Либо все три плоских угла трехгранного угла Q
равны, либо найдутся два плоских угла, сумма которых
меньше 180°. В первом случае сечение ЛВС следует про-
278
в так, чтобы треугольник ЛВС был правильным; во
втором случае (считая, что /.ЛОВ = а, ВОС — р, а + р<
<; 180°, где О — вершина угла Q) следует провести сечение
ABC, для которого справедливы соотношения: Z0BA — р,
™?ОВС = а.
231. Спроектируйте многогранник на плоскость, пер-
перпендикулярную любому его ребру, и воспользуйтесь ре-
результатом задачи 283.
§ 9. Поверхности и тела вращения
232. Искомое расстояние равно -=- г, где г—радиус
о
вписанного шара.
233. Воспользуйтесь равенством касательных, прове-
проведенных из одной точки к данному шару.
234. Рассмотрите треугольные пирамиды, имеющие
основаниями грани данного тетраэдра и вершинами — центр
описанной сферы.
235. Воспользуйтесь тем, что все эти касательные пер-
перпендикулярны радиусу, проведенному в точку касания.
236. Таких сфер можно провести либо 5, либо 6, либо 7,
либо 8; например, 5 сфер возможны в случае, если плоско-
плоскости образуют правильный тетраэдр; вообще говоря, будет
8 сфер.
Указание. Рассмотрите части, на которые 4 плос-
плоскости разбивают пространство; докажите, что из двух ча-
частей, не примыкающих друг к другу ни одной точкой, толь-
только одна может содержать требуемую сферу.
237. Таких сфер может быть не больше 16; количество
их зависит от того, скольким октантам принадлежат точки
данной сферы. Так, если данная сфера целиком лежит в
первом октанте, то существуют всего две сферы — одна из
них касается данной сферы снаружи, другая — изнутри.
Если же, например, центр данной сферы находится в общей
точке всех плоскостей, то существует 16 требуемых сфер —
по две в каждом октанте.
238. ф—2 arc cos DR. . .
к -\- и
239. Воспользуйтесь тем, что объем рассматриваемого
тела больше объема конуса с полукруглым основанием
и с вершиной в точке А; с другой стороны, этот объем меньше
половины объема цилиндра с полукруглым основанием и
образующей АВ. • ' .
279
240." Сначала докажите, что две оси вращения тела
всегда пересекаются (для этого можно использовать идею
указания к задаче 41). Затем покажите, что точка пересе-
пересечения осей вращения является центром симметрии фигуры,
причем все ее точки удалены от этого центра на одинаковое
расстояние.
241. Рассмотрите сечение, имеющее наибольший диа-
диаметр, и все сечения, проходящие через диаметр этого наи-
наибольшего сечения.
242. Стороны сферического треугольника лежат на боль-
больших кругах, которые разбивают сферу на три пары сфе-
. рических двуугольников; воспользуйтесь тем, что в пере-
пересечении этих двуугольников образуются два симметричных
(и, следовательно, равновеликих) сферических треуголь-
треугольника.
243. Воспользуйтесь результатом предыдущей задачи.
244. Докажите предварительно, что площадь поверх-
поверхности, образующейся при вращении ломаной длины -„- во-
вокруг прямой, проходящей через ее конец, не превосходит
-j tz сЕ2; далее разбейте данную ломаную на две ломаных
равной длины.
§ 10. Задачи на наибольшие и наименьшие значения
245. Отразите точки А и В относительно сторон угла
ОМ и ON (соответственно). Искомая ломаная должна при
этом перейти в отрезок прямой.
246. Кратчайшим путем является ломаная ОЛВСО.
Указание. Для доказательства опустите из точки О
перпендикуляры OD, OE, OF на стороны ВС, АС, АВ и
докажите, что имеют место неравенства:
ОА >ОС>ОВ, OA—AF <OC — CE <OB~BD.
247. В случае, когда три данные точки А, В, С обра-
образуют прямоугольный или тупоугольный треугольник, иско-
искомый круг имеет диаметром наибольшую сторону этого тре-
треугольника.
В случае, когда треугольник ABC—остроугольный,
искомый круг описан около него.
248. Воспользуйтесь «методом отражения» (см. задачи
245, 119). Применив этот метод, получим, вообще говоря,
280
три ломаные (по числу возможных способов отраже-
отражения); из этих ломаных нужно еще выбрать наикрат-
наикратчайшую.
249. Если прямые / и АВ параллельны, то решение
задачи а) существует: искомая точка лежит на перпенди-
перпендикуляре, проведенном к отрезку АВ через его середину;
решения задачи б) в случае / || ЛВ не существует.
Если прямые / и АВ перпендикулярны, то решения
задачи а) не существует, а задача б) имеет решение: иско-
искомая точка лежит на прямой /. Во всех остальных случаях
обе задачи имеют решение.
250. Это — прямая, для которой данная точка и осно-
основание перпендикуляра, опущенного на нее из вершины
угла, симметричны относительно середины отрезка, высе-
высекаемого прямой на сторонах данного угла.
251. Отразите данную точку относительно обеих сто-
сторон угла; контур искомого треугольника должен перейти
при этом в отрезок прямой (ср. задачу 245).
252. Все стороны треугольника видны из искомой точки
под углом 120° (если такая точка лежит внутри треуголь-
треугольника). В противном случае искомой точкой является вер-
вершина тупого угла.
253. Построим на противоположных сторонах квадрата
ABCD равнобедренные треугольники АВМ и CDN с углом
при вершине 120°; соединим вершины этих треугольников
отрезком MN. Тогда отрезки AM, MB, MN, CN, DN
образуют искомую сеть.
254. Опустите из центров окружностей перпендикуляры
на секущую и рассмотрите образовавшуюся прямоуголь-
прямоугольную трапецию. Наибольшая секущая параллельна линии
центров; наименьшая секущая является или продолжением
общей хорды, или касательной к большей из окружностей.
255. Решите вспомогательную задачу: через данную
точку внутри угла провести прямую, отсекающую от угла
треугольник наименьшей площади; покажите, что отрезок,
высекаемый сторонами угла на искомой прямой, делится
в данной точке пополам.
256. Воспользуйтесь идеей указания к задаче 69. Для
проведения требуемой окружности постройте прямую, сим-
симметричную данной прямой I относительно оси симметрии
отрезка MN.
257. Покажите, что каждая сторона искомого треуголь-
треугольника должна быть параллельна касательной, проведенной
281
к соответствующей окружности в противоположной вер-
вершине. Покажите далее, что ортоцентры (точки пересечения
высот) всех таких треугольников совпадают с общим цент
тром данных окружностей.
258. а) Рассмотрите отдельно случаи; когда точки А
и В лежат по разные стороны от данной прямой и по одну
сторону от нее.
б) Рассмотрите отдельно случаи, когда вершина А
лежит внутри тупого угла, образованного данными пря-
прямыми, и внутри острого угла; рассмотрите также случаи,
когда данные прямые параллельны или перпендикулярны.
в) Рассмотрите отдельно все возможные случаи взаим-
взаимного расположения данных прямых; в случае, когда все
прямые попарно пересекаются, рассмотрите случаи, когда
образованный ими треугольник XYZ остро-, прямо- или
тупоугольный. В первом случае вершинами искомого тре-
треугольника являются основания высот треугольника XYZ.
259. Искомые точки образуют правильный треугольник,
вписанный в окружность, концентричную данной, вдвое
меньшего радиуса.
Указание. Данная задача эквивалентна следую-
следующей: покрыть круг тремя равными кругами возможно мень-
меньшего радиуса.
260. Искомый треугольник — правильный. Указа-
Указание. Задача равносильна следующей: из всех треуголь-
треугольников, вписанных в данную окружность, найти тот, у ко-
которого сумма квадратов расстояний от центра окружности
до сторон минимальна.
261. Искомые хорды образуют равные углы с диаметром,
проходящим через данную точку. Указание. Обозна-
Обозначив через и и v расстояния от центра окружности до хорд,
сведите задачу к отысканию наибольшей величины произ-
произведения и • у; воспользуйтесь при этом тем, что и2 -f- v2 —
= d%, где d — расстояние от центра окружности до дан-
данной точки.
262. Искомой точкой является центр тяжести треуголь-
треугольника. Указание. Найдите связь между суммой АМ2~\-
+ ВМг + СМ2 (М — центр тяжести треугольника)
и суммой AN2 -f- BN2 4- CN2 (N — любая точка плоско-
кости).
263. Докажите, что сторона искомого квадрата парал-
параллельна - стороне шестиугольника.
?82
I 264. Проведите три главные диагонали шестиугольника
ji воспользуйтесь неравенствами треугольника (ср. за-
задачу XXIII. П. 7.1.).
В случае пятиугольника соедините его центр с верши-
вершинами и, предположив, что точка М находится в одном из
образовавшиеся треугольников, примените ту же идею.
265. Воспользуйтесь тем, что из всех треугольников
данного периметра с данным основанием наибольшую пло-
площадь имеет равнобедренный.
266. Наибольшая боковая поверхность равна 2а2.
Указание. Обозначив стороны параллелепипеда через
х, у, z и имея в виду, что х2 -\- у2 -\- z2 — а2, найдите мак-
максимум выражения S — ху -\- xz -\- yz (см. задачи 36, 37
раздела А).
267. Наибольшую площадь имеет сечение с прямым
углом при вершине.
268. Через ребро МА трехгранного угла Q и точку О
проведем плоскость; пусть MD — прямая, по которой эта
плоскость пересекается. с гранью ВМС угла Q. Взяв на
луче MD произвольную точку, проведем через нее прямую
/, отсекающую от .угла ВМС треугольник наименьшей
площади (см. указание к задаче 255). Тогда искомая плос-
плоскость должна высекать из угла Q треугольник, сторона
которого, лежащая в плоскости ВМС, параллельна /.
Выведите отсюда, что искомая плоскость пересекает
угол Q по треугольнику, для которого точка О является
центром тяжести.
§ 11. Разные задачи
269. Не могут.
270. а) "(%+1) +1; б)л(я-1) + 2;
в) на любое число частей, большее 2.
Указание. При доказательстве формул а), б) вос-
воспользуйтесь методом математической индукции.
271. Покажите, что два различных прямоугольника
могут пересекаться не более чем в восьми точках.
272. Прежде всего разбейте на такие треугольники пря-
прямоугольник. Затем сетью горизонтальных и вертикальных
прямых разбейте плоскость на попарно неравные и не-
неподобные прямоугольники; для этого достаточно, например,
чтобы расстояние между любыми двумя горизонтальными
283
прямыми было несоизмеримо с расстоянием между любыми
двумя другими горизонтальными прямыми и несоизмеримо
с расстоянием между любыми двумя вертикальными пря-
прямыми; для вертикальных прямых должно выполняться
такое же условие.
273. Из двух треугольников сложите параллелограмм,
а из параллелограммов — полосу; из двух четырехуголь-
четырехугольников сложите центрально-симметричный шестиугольник,
приложив их равными сторонами; из центрально-симметрич-
центрально-симметричных шестиугольников сложите «ступенчатую полосу», при-
прикладывая их по определенной паре противоположных
сторон.
274. л-угольник разобьется на {п ~ Dfr-y-an- 12)
частей. Указание. Воспользуйтесь методом матема-
математической индукции.
275. Не могут. Указание. Обе точки пересечения
окружностей С,, С% (точки. Л и В) лежат на одной прямой
с центром О окружности С3, причем ОА ¦ ОВ = Щ, где
/?3 — радиус окружности С3.
276. Вообще говоря, неверно. Например, возьмем точки
Al, Л2, Л3, Л4, как это показано на
рис. 13, и положим а == 180°.
277. Докажите следующую лемму:
если данная ломаная не имеет хорды
длины а, параллельной прямой АВ, и
не имеет хорды длины Ь, параллельной
прямой АВ, то она не может иметь
хорды длины а + Ь, параллельной пря-
прямой АВ. Далее, примените эту лемму,
положив а = о = -g-.
278. Не обязательно, если допустить, что на одной сто-
стороне ромба могут лежать две вершины прямоуголь-
прямоугольника.
279. Верно.
280. Докажите, что если расстояние между двумя точ-
точками многоугольника равно его диаметру, то обе эти точки
являются вершинами многоугольника.
281. Обратное отражение произойдет при любой вели-
величине угла а, причем прямое и обратное направления бу-
будут параллельны.
284
282. Покажите, что площадь такого многоугольника
может быть сделана как угодно малой (например, меньше
0,001 см2). При этом, конечно, многоугольник не будет
выпуклым.
283. Выделите какую-либо сторону данного многоуголь-
многоугольника и рассмотрите примыкающие к ней многоугольники
разбиения. Стороны этих многоугольников, противопо-
противоположные выбранной стороне, параллельны ей; к этим много-
многоугольникам вдоль рассматриваемых сторон примыкают
новые многоугольники, и т. д.
Построенная цепочка параллельных отрезков заканчи-
заканчивается, очевидно, некоторой стороной исходного много-
многоугольника.
284. Таким многоугольником является, например, пра-
правильный 12-угольник.
285. Равенство треугольников не обязательно. Так,
если стороны одного треугольника равны 1, а, а2, а стороны
другого — а, а1, а3 и а Ф 1, то равенство не имеет мес-
места. При этом, однако, необходимо выполнение условий
1<а2 < а+1, т. е. 1 < а < „—, или условий 1 <а2+а,
1, т. е. 0<а<^
286. Наибольшее число сторон равно С\ = п{-п~ 1^п~
Примером многоугольника, для которого это число как
раз равно Сп, является правильный /г-угольник: все тре-
треугольники должны иметь в качестве вершин середины сто-
сторон я-угольника.
287. Контур правильного описанного «-угольника при
достаточно большом п не может полностью обертываться
около окружности более одного раза; с другой стороны,
«сильно вытянутый» описанный л-угольник может иметь
сколь угодно большой периметр.
288. а) На 10 частей.
6} На 16 частей.
в) На любое число частей, большее 2 (аналогия
с задачей 270, в).
289. Воспользуйтесь идеей решения задачи XX. II. 7.1.
285
В. СМЕШАННЫЙ ОТДЕЛ
Задачи комбинаторные, логические, задачи
на клетчатой бумаге и другие задачи
1. Указ а ни е. Будем считать, что на каждой ли-
линии имеется два «ввода» — к одному и ко второму абонен-
абоненту. Подсчитайте двумя способами общее число вводов:
1) по абонентам, 2) по предполагаемым телефонным линиям.
2. Нельзя. Указание. Докажите, что при любом
расположении всех костей домино в ряд согласно правилам
игры на концах ряда окажутся равные числа.
3. Докажите сначала, что общая сумма всех чисел руко-
рукопожатий, сделанных каждым из людей, четна.
4. Подсчитайте сумму числа сторон по всем граням.
5. Проходя каждый узел, мы вычеркиваем две кривые,
входящие в него; исключения составляют начальный и ко-
конечный узлы (если они не совпадают).
6. Воспользуйтесь методом математической индукции.
7. См. указание к предыдущей задаче.
8. Возможны два (с точностью до подобия) набора из
девяти квадратов, удовлетворяющих условию; стороны
этих квадратов находятся в отношениях:
1-й набор: 1 : 4 : 7 : 8 : 9 : 10 : 14 : 15 : 18;
2-й набор: 2 : 5 : 7 : 9 : 16 : 25 : 28 : 33 : 36.
9. Решение показано на рис. 14.
286
10. Решение для случая п = 6 показано на рис. 15;
АВ~ .
И. Рассмотрите, как могут быть приложены кубы к наи-
наименьшему из кубов, примыкающих к какой-либо грани
„кирпича.
12. Разрежьте плиту на 2 части и сложите из них парал-
параллелепипед с отношением ребер 8 : 12 : 18.
13. Воспользуйтесь.идеей решения задачи 11.
14. Разбиение производится, например, средней линией
треугольника и отрезком высоты от вершины до этой средней
линии. g-
4\\\yI\\Y0>4>
о)
е)
Рис. 15.
15. Искомых многогранников два: сам тетраэдр и
«бипирамида», получающаяся прикладыванием двух рав-
равных тетраэдров. Указание. Двухгранный угол пра-
правильного тетраэдра равен arc cos -~- ~ 70°32/. Поэтому
о
больше двух тетраэдров прило-
приложить к одному ребру нельзя —
иначе полученный многогранник
окажется невыпуклым.
16. Отсечь от данного тре-
треугольника ему подобный с ко-
коэффициентом подобия .4:5.
17. —^—. Указание.
Воспользуйтесь методом матема-
математической индукции (см. рис. 16). рис- 16-
287
18. Нельзя. Указание. Рассмотрите суммы углов
семнадцатиугольника и всех треугольников разбиения.
19. Используйте иррациональность числа 2 г — длины
окружности радиуса 1 (см. стр. 14—15 вводной статьи).
20. Существует; таким является, например, множество
всех точек Ах, А%, .., А„, ..., описанных в предыдущей
задаче.
21. Используйте идею решения задачи 19.
22.. Рассмотрим прямоугольник ABCD. Будем отмечать
положение движущегося объекта (автомобиля или воза)
на первой дороге точкой отрезка АВ (в масштабе), а поло-
положение объекта на второй дороге точкой отрезка AD (в том
же масштабе). Тогда совместное положение двух объектов
на первой и второй дорогах изобразится точкой прямо-
прямоугольника ABCD. Начальному положению машин соответ-
соответствует точка В, их конечному положению соответствует
точка D.
Начальному и конечному положению возов соответ-
соответствуют две точки — А я С (соответственно). Найдите
в прямоугольнике точку, соответствующую такому поло-
положению, в котором, с одной стороны, находились машины,
а, с другой стороны, должны оказаться возы.
23. Если маршрут проходит через узел квадратной сетки,
то будем считать, что он проходит через все четыре квадрата,
сходящиеся в этом узле. Доказать, что, «выпрямляя» от-
отдельные участки маршрута, можно построить маршрут
меньшей длины, проходящий по тем же квадратам
и представляющий собой ломаную с вершинами
в узлах сетки. Доказать затем, что такая ломаная
помещается не более, чем на 36 квадратах. (Вообще, если
карта разрезана на квадраты 20 км х 20 км, то маршрут
¦ г i з 1
длины / км помещается не более, чем на 20 • т^~ -f 4
квадратах.)
24. Провести Bп — 3)-звенную ломаную по схеме1,
указанной на рис. 17, и доказать, что оставшимися тремя
звеньями можно перечеркнуть остальные узлы. Рассмот-
Рассмотреть отдельно случаи, когда п имеет вид 3k, 3k 4- I, 3k + 2.
25. Исходя из данного параллелограмма, построим
«косую сетку» из равных и параллельно расположен-
расположенных параллелограммов. Покажите, что параллелограммы
«косой сетки» равносоставлены с квадратами данной
сетки.
288
Ja-%
10
13
\\\
\\\\
\\\\
\N\S
\\\
п
8
11
второе решение: рассмотрите разбиение очень
ьшого (по площади) куска плоскости на квадраты и на
аллелограммы «косой сетки».
26. Существует; пусть р% ¦+- ф — г3,'яа + Ьг' — с*, где
Ь, с, р, <7, г — натуральные числа. Тогда существует
длины г (не параллельный линиям сетки) с концами
в узлах сетки. Отложим такой отрезок а раз в одном напра-
направлении и b раз в перпендикулярном направлении; мы по-
получим прямоугольный
треугольник с вершина-
вершинами в узлах сетки и со
сторонами ar, br> сг.
27. Если любой от-
отрезок, концы которого
лежат в узлах сетки,
сдвинуть параллельно
самому себе так, чтобы
один его конец снова
оказался лежащим в
узле, то и второй его
конец также попадет в
узел сетки. Воспользо- z п
вавшись этим, докажите,
что для правильного
л-угольника (п=5 или
п > 6), имеющего вершины в узлах сетки, существует
меньший правильный л-угольник с тем же свойством.
Отдельно докажите невозможность построения правильного
треугольника (и, следовательно, правильного шестиуголь-
шестиугольника) с вершинами в узлах сетки.
28. Разбейте многоугольник на два многоугольника с
меньшим числом сторон и проведите индукцию. Последо-
Последовательными делениями разбейте многоугольник на тре-
треугольники и воспользуйтесь результатом задачи 25.
29. При первом взвешивании поместите на каждую чаш-
чашку весов по 4 монеты.
30. При первом взвешивании положите на каждую
чашку весов по 27 монет.
31. Рассмотрите полосу ширины 2, окаймляющую сеть
труб, и докажите, что площадь этой полосы будет меньше
100, если общая длина труб меньше 48.
32. Прямыми, параллельными стороне квадрата, раз-
разбейте его на полосы ширины 1 м 20 см и докажите, что в
Рис. 17.
10 Зак. 387
289
густом лесу в каждой такой полосе растет не меньше девяти
деревьев.
33. Наименьшее число частей равно трем. На две части
меньшего размера нельзя разбить, надример, круг диа-
диаметра 1. Докажите, что для любой фигуры диаметра d суще-
существует правильный шестиугольник, целиком содержащий
эту фигуру, расстояние между противоположными сторо-
сторонами которого не больше d. Разбейте затем этот шестиуголь-
шестиугольник на три части, диаметры которых меньше d.
34. Воспользуйтесь методом математической индукции:
проведите прямую, отделяющую одну из п + 1 точек от
остальных; покажите, что хотя бы одна сторона многоуголь-
многоугольника с вершинами в этих п точках целиком видна из первой
точки.
35. Покажите сначала, что на данной прямой / лежит
нечетное число таких вершин ломаной, что оба звена,
сходящихся в этой вершине, лежат по одну сторону от
прямой /; отметьте все такие вершины (воспользуйтесь
тем, что прямая I должна столько же раз «вой-
т и» внутрь области, ограниченной ломаной, сколько
и «в ы й т и» из этой области). Далее, пусть к прямой /
примыкают в отмеченных вершинах 2k звеньев с одной сто-
стороны и 2т звеньев — с другой. Пусть k > m (число
k + т нечетно!). Сдвиньте прямую / в эту сторону.
36. Подсчитайте общее количество сторон у всех тре-
треугольников разбиения, считая каждую сторону дважды,
если она принадлежит двум треугольникам.
37. Выберем любого человека из данных шести, назо-
назовем его Л. Пусть с А знакомы k человек. Рассмотрите от-
отдельно случаи: k — \, k = 2, k > 3.
38. Пусть А и В — две соседние отмеченные точки н а
отрезке. Докажите, что среди перпендикуляров, осно-
основания которых лежат между точками А и В, самое большее
на одном нет отмеченной точки.
39. Ответ: 29786 + 850 4-850 = 31 486. Указание.
Прежде всего, заметьте, что число ten + ten оканчивается
двумя нулями, откуда п = 0, е = 5. Далее при сложении
цифр третьего разряда (г -Ь / -f t + 1) получается менее
30, т. е. в четвертый с конца разряд переходит не более
двух единиц; так как в пятый разряд тоже должна
переходить единица, то о = 9, i = 1, так что из третьего
разряда переходят две единицы. Далее докажите, что
?>6 и рассмотрите оставшиеся возможности: t = 7, t ~ 8.
290
I 40. Докажите, что подсчет должен в результате дать
1число, дающее при делении на 6 остаток 1.
7 41. Пусть шахматист сыграл за какой-то понедельник а^
партий; за этот день и следующий — at партий; за этот день
.?дза два следующих —а3 партий, и т. д. Рассмотрите 154 чис-
числа: alt at, ..., а„, at + 20, а2 + 20, ..., а77 ~\- 20. Покажите,
что наибольшее из них не превосходит 132, и докажите,
что среди этих чисел найдутся по крайней мере два одина-
одинаковых.
42. Эту задачу удобно решать, применяя так называе-
называемую «двоичную систему счисления» В общепринятой, деся-
десятичной системе счисления любое натуральное число пред-
представляется единственным образом в виде
ak ¦ 10* + ак_г • 10*-1 + ... + ах • 101 + я0 • 10°,
где коэффициенты а0, ах, ..., ak могут принимать любые
целые значения от 0 до 9. Так, например,
467 = 400 + 60 + 7 = 4 • 102 + 6 • 101 + 7 • 10°.
Аналогично, в двоичной системе счисления любое натураль-
натуральное число представляется однозначно в виде
br 2'Н- Ьг_г • 2' + ... + Ъх • 21 + Ьо. 2\
где коэффициенты b0, bx, ..., Ьг могут принимать значения 0
или 1. Так, 467 = 256 + 128 -f 64 + 16 + 2 + 1 = 1 • 28 -f-
4- 1 • Т + 1 • 26 + 0 • 2& + 1 • 24 + 0 • 23 + 0 • 22 + 1 - 21 +
+ 1 • 2°, или, сокращенно, 467 = «111010011». Заметим, что
любое число от 1 до 1023 может быть представлено в двоич-
двоичной системе счисления как десятизначное число. Так, на-
например,
1023 = «1111111111»,
1000 = «1111101000»,
513 =«1000000001»,
32 = «0000100000» и т. п.
Заметим теперь, что для выяснения любой цифры из
двоичной записи некоторого числа достаточно задать 1 во- ¦
прос. Например, для выяснения первой цифры достаточно
спросить: «Является ли задуманное число меньшим, чем
512?»
Таким образом, за 10 вопросов мы сможем узнать все
цифры двоичной записи числа, т. е. узнаем само число
iff» 291
Меньшего, чем 10, количества вопросов недостаточно,
так как для любых заданных девяти вопросов количество
возможных ответов типа «да — нет» имеется 512, что не
позволяет распознать 1000 чисел.
43. а) Достаточно просто повторять каждый вопрос пре-
предыдущей задачи и, если на какой-то дважды заданный
вопрос получены разные ответы, повторить его в третий
раз,
б) Задав сначала 10 вопросов (см. предыдущую зада-
задачу), мы затем с помощью четырех дополнительных вопросов
найдем неверную цифру и исправим ее, тем самым узнав
число (либо же выясним, что все цифры — верные). Для
выяснения неверной цифры поступим так: отделим первые
пять цифр числа (в двоичной записи) и спросим: «Эти цифры
верные?» (Заметим, что этот вопрос легко перефразировать
в требуемую условиями форму.) 'Получив отрицательный
ответ, выберем три цифры из пяти и зададим тот же вопрос,
и т. д. Покажите, что ответ «Да» в этой ситуации никогда
не может быть обманом.
44. Первый игрок должен при первом ходе положить
свою монету на центр стола, а все следующие ходы делать
так, чтобы расположение монет на столе было центрально-
симметричным.
Замечание. Начинающий игрок выигрывает эту игру и в том
случае, когда вместо прямоугольного стола взят любой стол централь-
центрально-симметричной формы (круглый, овальный, в форме правильного
шестиугольника, в форме шестиконечной звезды и т. п.).
45. а) Если игрок А соединил точки 1 и 2, находящиеся
на одной вертикали, то ответным ходом игрок В должен
соединить точки 2 и 3 (см. рис. 18).
Если же игрок А соединил точки 4 и 5, находящиеся
на одной горизонтали, то игрок В должен соединить точ-
точки 5 и 6 (см. рис. 18).
При такой стратегии иг-
игрока В начинающему игроку
никогда не удастся сделать,
двигаясь сверху вниз, «ле-
«левый поворот» с вертикали
на горизонталь — а ведь лю-
любой замкнутый многоугольник
содержит такой поворот!
б) Воспользуйтесь идеей
Рис. 18.
решения задачи а).
292
46. Жители В и С дали одинаковый ответ йа один и тот
вопрос; следовательно, они живут в одном городе —
Кривдине.
47. Вот необходимые четыре вопроса:
1. Равен ли нуль нулю?
2. Равна ли единица единице?
\ 3. Это город Л?
4. Это город 5?
;¦¦ Первые два вопроса дают возможность «опознать» со-
собеседника и, если это житель города С,— узнать, правду
*или ложь ответит он на следующий вопрос.
' 48. Докажите, что разность а — Ь не меняется при пере-
перестановке двух соседних знаков. Переставьте затем все знаки
так, чтобы плюсы шли подряд.
49. Воспользуйтесь предыдущей задачей.
50. Покажите сначала, что количество п-це.почек, удов-
¦~ летворяющих условию, не может быть больше, чем—~—,
. Далее покажите, что при всяком простом п, большем чем
; 2, это количество как раз равно п~ . Итак,-?- ^
„ . * ¦» 1".«, 2 2'
51. а) Примените метод математической индукции.
б) Рассмотрите сначала случай, когда все числа at неотри-
неотрицательны (или все неположительны). Если среди чисел at
есть и положительные, и отрицательные (например, а{> 0,
flg < 0), то при п > 3 каждому правильному набору, удов-
удовлетворяющему соотношению aixl + айх2 -\- ... -Ь апхп = 0,
можно сопоставить правильный набор, не удовлетво-
удовлетворяющий этому соотношению, по следующей схеме:
0 п г, х -+ 0 1 л:» х
-^г ^ -ы j - - jy • ¦ • 7 ft Г 7 ц$? 7 ft
1 П V V -*. 1 1 V Y
X) %J, Ag> •••> Ад—г 1,1, Ад, ..., A^j
1, 0, х3, ..„ хп, если хотя бы одно
из чисел Яд, xit ...
1, I, x3, ..., *-„->{ ..^ хп равно 1.
0, 0,1, ..., 1, в противном случае.
52. Достаточно доказать, что если [х, у, у, х, ..Л —
строка с номером п, a f(z),— aozk + axzk~1J^ ... + ak —
произвольный многочлен степени k < п, то сумма А —
= щ __ f(b + г) — /F + 2/-) + /F + Зг) — ... равна ну-
293
лю (знак И-» ставится, если в строке на соответствующем
месте стоит я, а «—» — если стоит у). Если k = 0, то
равенство Л == 0 очевидно. При к > 0 положим g(z) =
= Дг) — /(г -|- г). Тогда g(z) — многочлен степени к —1,
а сумма А имеет вид g(b) — g(b + r) — ..., где, как легко
видеть, знаки чередуются в соответствии с расстановкой
чисел х и у в (п — 1)-й строке. Далее примените индукцию.
53. Искомое произведение равно 8\-abcdefgh,
так как на одной вертикали или на одной горизонтали не
могут стоять две ладьи.
54. Обозначив через х число ходов вправо, через у —
число ходов вверх и через z — число ходов «вниз — влево»,
покажите, что для любого пути, ведущего из Л в В, спра-
справедливы соотношения
Покажите далее, что число N2 — 2 не делится на 3
55. Пусть первая шашка стоит на поле с номером kt
k-я шашка стоит на поле с номером /, 1-я шашка стоит
на поле с номером т и т. д. Возможны два случая: либо
найдется в этой цепочке шашка, стоящая на поле без но-
номера, либо найдется шашка, стоящая на поле с номером 1.
Покажите, что если в этой цепочке п шашек, то за п -f- 1
ход их можно расставить* на свои места.
56. Возьмем полосу шириной в 2 клетки, идущую по
краю доски. Покажите, что существует замкнутый путь
коня, проходящий ровно по одному разу через каждое
поле этой полосы. Разбейте далее всю доску на такие по-
полосы и начните путь с центральной клетки.
57. Если точки отстоят друг от друга на т клеток по
горизонтали и на п клеток по вертикали, то искомое число
путей равно С?+п — С^+л- Для доказательства'достаточно
заметить, что все пути имеют длину т -+- п и каждый путь
такой длины задается выбором т горизонтальных отрезков
из общего числа т -f n отрезков.
58. —~^-?- + п способами. Указание. Если бы
р
окраски, совпадающие при поворотах круга считались раз-
различными, то имелось бы пр слособов окраски.
Замечание. Так как число различных окрасок заведомо целое,
то здесь, по существу, дано новое доказательство малой теоремы Фер-
Ферма: при простом р число пР — п делится на р (ср. задачу 206 из раз-
раздела А)
294
L
. 59. Пусть на двух горизонтальных прямых даны точки
, Л2, ..., Ат и Bv В8, ..., Вп (не обязательно т = л),
фичем точка Ai+1 расположена правее, чем точка At, и точ-
sa Bf+i — правее, чем Bt.
Будем рассматривать ломаные, начинающиеся в точке
Ах и не имеющие «попятных» участков (т. е. при движении
по ломаной от точки Ау точка At с номером i </ встречает-
встречается раньше, чем точка Л,-, а точка Bt встречается раньше,
чем В.). Доказать по индукции, что число таких ломаных
\т + п — I)! ~
равно -—__ [} , . Отсюда следует, что искомое число ло-
ломаных (начинающихся в Ах или в Вг) равно 2 ,?~ 1'^-
При желании можно учесть и ломаные с «попятными»
участками.
60. Число замков равно Си — 462; число ключей у каж-
каждого члена оргкомитета равно —™— = 252.
61. Проведите любую хорду и рассмотрите отдельно
хорды, расположенные по разные стороны от нее. Приме-
Примените метод математической индукции. *
62. Пусть придуман такой порядок для числа игроков,
меньшего, чем 2к, и пусть п=2к + т, где 0 < т < 2k.
При' т < 2k — k можно разбить игроков на две группы
по 2к — 1 и по т -\- 1 игроков, выяснить их расположение
по силе в каждой группе, после чего достаточно п — 1 пар-
партий для выяснения общего расположения игроков по силе.
Если же неравенство т < 2k — k не выполнено, то надо
разбить игроков на две группы по 2й и по т игроков.
63. Существует 30 возможных игральных костей.
64. За один рейс может быть использовано, самое боль-
большее, 67 сортов билетов. Указание. Покажите, что
на участке между седьмой и восьмой остановками в п р и н-
ц и п е может использоваться 49 сортов билетов. Следо-
Следовательно, не меньше 24 сортов билетов в течение одного
рейса вообще не будут использованы, и, значит, будет
использовано не больше, чем 67 сортов билетов. Постройте
пример таких поездок, при которых за один рейс исполь-
используется ровно 67 сортов билетов.
65. Обозначим искомое число перестановок через kn.
Имеет место соотношение: &л+1 — n (kn 4- kn-1). Для доказа-
доказательства рассмотрите сначала случай, когда на первом
месте стоит некоторое число а, а на месте с номером а стоит
295
единица; далее рассмотрите случай, когда на первом мес-
месте стоит число а, а единица стоит на месте с номером Ьфа,
и поставьте на это место число а.
Покажите затем, что справедливо соотношение кл+х~
= (л 4-1) kn -Ь (—l)n+1, которое (исходя из очевидного
равенства kt — 0) позволяет последовательно вычислять
значения kn. Читатель, которому известно, что сумма бес-
бесконечного ряда
1 ГГ + ~2! ЗГ + "•+(— ^"U + •••
равна—, сможет из написанной выше формулы вывести
для kn следующее явное выражение;
. , _ Г Bп +1)! 1
66. Искомое число способов хп равно • vn T »j' • 2^.
Указание. Предварительно покажите, что выпуклый
л-угольник можно разбить непересекающимися диагона-
диагоналями на треугольники, причем число способов уп равно
Bя~5)И 9Л_2
(n-l)I •
Покажите далее, что уп+1 = \2 Bяя") у
яуп>
67. Существует только одно (с точностью до зеркальных
отражений) такое расположение. Указание. Пока-
Покажите, что числа 1 и л2 непременно располагаются в проти-
противоположных углах таблицы (на одной диагонали). Дока-
Докажите далее, что в строке и столбце, содержащих число 1,
разности соответствующих арифметических прогрессий не
превосходят п и составляют в сумме п + 1. Наконец,
обратите внимание на то, что если эти разности отличны
от 1 и от п, то в указанных строке и столбце найдутся
два одинаковых числа, что невозможно.
68. Воспользуйтесь принципом Дирихле (см. стр. .14
вступительной статьи).
69. Выбирая несколько предметов, рассматривайте
оставшиеся.
70. Необходимо взять 38 шаров.
: 71. Примените метод математической индукции по чис-
числу s > 2; при 5 = 2 утверждение легко доказывается;
при s аз 1 оно очевидно.
296 - .
72. Покажите, что среди денежных сумм 0, 5, 10, 15, ...
95, 100 копеек (остающихся от рубля, если несколько
а вычесть по 5 копеек) имеется большее число делящихся
a 2, чем делящихся на 3.
73. Существует 29 способов такого; размена.
74. Необходимо расковать три звена- Указание.
Рассмотрите вспомогательную задачу: при каком наиболь-
наибольшем п достаточно расковать k звеньев цепочки (состоящей
из п звеньев) так, чтобы из полученных кусков, учитывая
раскованные звенья, можно было составить все веса от 1
до п. Оказывается, если 2* • k < Л < 2*+1 (&-j~ 1) — 1» то
можно обойтись k разрывами цепочки» но не меньшим чис-
числом!
75. Достаточно доказать, что с помощью разновесов
в 1, 2, 2 и Ъ мг можно составить любой вес от 1 до 10 мг,
и воспользоваться методом математической индукции.
76. Пусть у нас имеется k билетов достоинством в а
рублей и / билетов достоинством в Ъ рублей, причем а > Ь,
k + I ~ 100. Рассмотрите суммы: а, 2а, За, ..., ka, ka + 6,
ka + 26, ..., ka + lb — всего сто сумм. Рассмотрите остатки
отделения этих сумм на 101. Если ни одна из этих сумм
не делится на 101 и никакие две не дают при делении на
101 одинаковых остатков, то рассмотрите еще сумму
{k—\)a+b,
77. Проведите аналогию с задачей 71.
78. Для каждой полуплоскости рассмотрите дополни-
дополнительную полуплоскость и примените к этим полуплоско-
полуплоскостям теорему: если каждые. 3 из 43 полуплоскостей имеют
общую точку, то все полуплоскости имеют общую точку.
79. Докажите предварительно, что можно отбросить
некоторые из 43 отрезков так, чтобы оставшиеся все еще
полностью покрывали отрезок длины 1, но чтобы никакая
точка не была покрыта более чем двумя отрезками.
80. Докажите, что у дерева с п листьями можно ото-
оторвать один лист, оставив при этом не менее "-~- тени *
81. Проведите аналогию с задачей 78.
- 82. Возьмем на первой окружности еще одну точку О,
наложим первую окружность на вторую и будем повора-
поворачивать первую окружность, оставляя вторую неподвижной.
Отметим все положения точки О, при которых первая из
отмеченных точек попадает на одну из заданных дуг. Эти
положения точки О заполняют несколько дуг, сумма длин
.297
которых меньше 1. Аналогично рассмотрим вторую, тре-
третью,.,, отмеченные точки,
83. Рассмотрите цвета, в которые окрашены вершины
правильного треугольника, вписанного в окружность,
если одну его вершину поместить в точку, окрашенную
двумя красками.
84. 44 раза в сутки. Указание. В течение каж-
каждого часа стрелки дважды располагаются под прямым углом
друг к другу; при этом третий и ^четвертый, девятый и де-
десятый часы приходится рассматривать особо.
85. Пусть угол между стрелками' равен а. Чтобы часы
показывали первый час, необходимо, чтобы часовая стрелка
образовывала некоторый угол х с лучом, идущим из центра
360°
к цифре 12, при этом 0 < х < .„ ; минутная стрелка обра-
образует с тем же лучом, с одной стороны, угол х -Ь a, a — с дру-
другой — \2х. Из^ уравнения \2х = х -f- а находим: х — ~.
86. Когда школьник кончил работу, часы показывали
(примерно) 17 часов, 2 минуты, 58,7 секунды. Указа-
Указание. Воспользуйтесь методом предыдущей задачи.
87. На 12 часов; на 24 часа; на 36 часов в сутки.
РЕШЕНИЯ ОЛИМПИАДНЫХ ЗАДАЧ
Обозначения: запись XIX. II. 8. 3 означает: задача № 3 для VIII
класса 2-го тура 19-й олимпиады.
XV.I.9.1. Каждый член геометрической прогрессии
представляется, как известно, в виде aqn (п > 0). Пусть,
вопреки утверждению задачи, найдутся такие различные
неотрицательные целые числа klt к , km+1, m > 2, что
aqbi -f aqK + ... + <Щкт — aqkfn+x. A)
Расположим числа kv k% ..., km, km+l в порядке воз-
возрастания:
и преобразуем
298
rvg ^s^ №н
выражение A)
aqk* - af>
С fy <...
к виду:
B)
C)
;>кратим обе части равенства C) на aqf* и в правой части
Полученного равенства вынесем д*з ~*« за скобки (что
; эозможно в силу неравенств B)):
-*•
+.„;
Мы видим, что правая часть равенства D) делится на
целое число qk$~k*, в то время как левая его часть равна 1.
Полученное противоречие показывает, что чисел klt
kt fcm+!t удовлетворяющих условию A), не существует.
XV. I. 10. 4. Пусть а > 0. Тогда график функции
у + р
представляет собой параболу, обращенную вогнутостью в
сторону положительного направления оси # («вверх»,рис. 19).
Увеличение слагаемого р, очевидно, сдвигает параболу вверх
по оси у. Сделаем р таким большим, чтобы парабола не
пересекала больше оси х. При этом значении р (и при а > 0)
действительные корни, очевидно, отсутствуют. Итак, пред-
предположение а > 0 ведет к противоречию с условием.
Рис 19
Рис. 20.
Дусть теперь а < 0. Парабола при этом обращена во-
вогнутостью «вниз» (рис. 20), и увеличение р сдвигает ее вверх
по оси у, причем так, что меньший из корней уравнения
у==ахг + Ьх + с + р = Ъ
сдвигается влево по оси х (уменьшается).
Выберем р настолько большим, чтобы этот меньший
корень уравнения у = 0 стал отрицательным.
При этом р и а < 0 мы также пришли к противоречию
с условием задачи.
29D
Итак, оба предположения: а > 0 и а < 0 ведут к протй-.
воречикк Следовательно, а = О, что .и требовалось.
XV. II. 9. 1. Из первого и второго уравнений сразу по-
получим:
#! = *«
(ибо *3, очевидно, не может быть равно нулю).
Из третьего и четвертого получаем xs = хь и т. д. Если
теперь п нечетно, то, очевидно, мы таким путем получим:
#1 = %з ~ *'• ~ *й—2 === %п'
Совершенно аналогично устанавливаем, что х2 — х& = ...
...= xn-v Из последнего уравнения находим теперь: х\ — 1,
т. е. хх = ± 1, и, подставляя это значение хг в первое урав-
уравнение, получаем:
** = — = *i(= ± !)¦
Итак, для нечетного п имеем х1 = х2 — л:3 = ... = ^л^!=
~ х„ ~ ± 1- Очевидная проверка показывает, что оба найден-
найденные решения xt — xz — ...=хп—\ и xl—xi~... — хп ~ — 1
удовлетворяют заданной системе.
Пусть теперь п четно. • Точно так же, как и раньше,
получим: ATj = л:3 = ... = хп_г\ хг — х^ = ... = хп.
Из первого уравнения находим
_ 1
х\
Пусть х3= х3= ... = ха~у= а, тогда #2= х^ ;.. =*хп=-~-.
Очевидно, что при любом а Ф 0 эти значения неизвестных
будут удовлетворять системе. Итак, система имеет следую-
следующие решения:
при нечетном п: х1 = х% = ... = х„ = ± 1; при четном п:
Xi = лг3 = ... — л^п_1 = л;
XV.11.9.5. Пусть ученик /4 — самый высокий из низких
учеников, а ученик В — самый низкий из высоких. Рас-
Рассмотрим ученика С, стоящего на пересечении того попереч-
поперечного ряда, в котором стоит А, и того продольного ряда,
в котором стоит В.
Так как ученик Л — самый низкий в своем поперечном
ряду, то А не выше С. С другой стороны, С не выше В,
так как последний является самым высоким в своем про-
продольном ряду. Следовательно, ученик А не выше ученика В.
300
и? Ясно, что могут представиться случаи, когда ученики
$>f и Ъ одного ,роста, например, когда все ученики одного
проста. С другой стороны, можно привести пример такого
' построения учеников, при котором рост ученика А ока-
окажется строго меньше роста ученика В (рис. 21).
Рост учеников на всех неотмеченных местах равен
165 см.
В этом примере рост ученика А равен 160 см, а рост
ученика В равен 170 см.
Итак, оба случая (рост ученика А равен росту ученика В
и рост ученика А меньше роста ученика В) возможны.
Поперечные ряды
/55
155 I 160 | /55
1
A
•
155
175
155
175
175
155
175
175
\17O\
175
175
175
155
\B ¦
155
155
i
Рис. 21.
XVI.1.9.3. Пусть существуют такие два многочлена
f (x) = ахп + at xn~i + а2 xn~% -f ... + ап,
g(у) « Ьут + Ьхут~х + ... + Ьт,
что
4j*20ft 200 t t /^ Ч
— * У ~г *• ' \U
Положим х = 0. Тогда многочлен f(x) примет значение
ая. При этом в силу A) будет выполнено соотношение
% * §(У) = 1 (ПРИ любом у), откуда gig) = —.
Точно так же, положив у = 0, получим (при любом х)
где Ьт —
301
Если теперь мы положим х ==> у — 0, то обнаружим,
что /@) ¦ g@) = 1, т. е. ап • Ьт — 1. Но в таком случае
при любых х> у мы имеем
что, очевидно, не равно х200 • у200-}- 1.
XVI. II. 7. 3. Пусть первое колесо вращается по часовой
стрелке. Тогда второе колесо, очевидно, вращается против
часовой стрелки (рис. 22), третье снова, как первое,— по
часовой стрелке и т. д. Мы видим, что каждое колесо с не-
нечетным номером вращается,
как и первое, по часовой
стрелке.
Но если одиннадцатое ко-
колесо вращается по часовой
стрелке, то сцепленное с ним
первое колесо должно вра-
вращаться против часовой стрел-
стрелки (вопреки нашему предло-
предложению). Мы показали тем са-
самым, что осуществить движе-
движение системы зубчатых колес
с такими условиями невоз-
Рис. 22.
можно.
XVII. I. 7. 4. Пусть п2— т2 = 1954. Если т% четно, то
п2 = 1954 + т2, очевидно, тоже четно. Если же тг не-
нечетно, то нечетно и я3.
Итак, числа /г2 и т2 одной четности, а следовательно,
числа тип также имеют одинаковую четность. Но в таком
случае числа т + п и п — т оба четны, и, значит, раз-
разность п2 — т2 = (п — т) (п + т) делится на 4. С другой
стороны, 1954 на 4 не делится.
Тем самым показано, что целых чисел тип, удовлетво-
удовлетворяющих условию п? — т2=1954, не существует.
XVII. I. 7. 5. Для чисел 100, 200 900 отношение
числа к сумме его цифр равно 100. Пусть теперь abc —
произвольное трехзначное число, отличное от перечис-
перечисленных выше, в его десятичной записи; а, Ь, с — соответ-
соответственно числа сотен, десятков и единиц. Сумма цифр
такого числа, очевидно, не меньше, чем а -\- 1, так как хотя
бы одна из цифр Ъ или с отлична от нуля. Вместе с тем само
число, очевидно, меньше, чем (а + 1) 00 = 100 • (а + 1).
302
ким образом, интересующее нас отношение _га?с.
меньше, чем
я потому наибольшее отношение трехзначного числа к сум-
сумме его цифр равно 100. Это наибольшее отношение дости-
достигается только для чисел: 100, 200, .... 900, т. е. для круглых
сотен.
XVII. I. 9. 2. Заметим, во-первых, что при вычеркивании
из данного числа 100 цифр, мы всегда будем получать числа
с одним и тем же числом знаков. Во-вторых, ясно, что из
двух чисел с одинаковым числом знаков больше то, у ко-
которого больше первая цифра; при совпадении же первых
нескольких цифр больше то число, у которого больше
первая несовпадающая цифра.
Теперь понятно, что все первые цифры искомого числа
должны быть, по возможности, девятками. Значит, для
получения требуемого числа мы должны вычеркивать слева
подряд все цифры, кроме девяток, пока это будет возмож-
возможно. После того как мы вычеркнем 84 цифры (и последнюю
из них — четверку у числа 49), у нас останется число
999995051 ... 5758596061 .... 99100,
из которого мы имеем право вычеркнуть еще 16 цифр (про-
(проверьте).
Ясно, что сделать следующую цифру девяткой мы уже
не сможем, так как для этого пришлось бы вычеркнуть
19 цифр. Ясно также, что следующую цифру нельзя сде-
сделать восьмеркой (потребовалось бы вычеркивание 17 цифр).
Но вот сделать следующую цифру семеркой мы уже можем,
вычеркивая 15 цифр: 5, 0, 5, 1,..., 5, 6, 5.
После этого мы имеем право вычеркнуть еще одну цифру;
очевидно, это должна быть цифра 5 из числа 58.
Итак, искомое число равно 9999978596061 ... 99100.
XVII. I. 9. 3. Первое решение. Допустим, что
не все числа ах, as, .... а100равны между собой, и пусть ak —
наибольшее из этих чисел. Вообще говоря, несколько со-
соседних чисел могут быть равны числу ak, но не все. Могут
представиться два случая: либо среди чисел av as, ..., ак-г
есть число, меньшее, чем ак, либо среди чисел ак+х, uk+t,...,
,.., а100 есть число, меньшее, чем ак (либо же выполнено
и то, и другое).
303
Пусть, например, имеет место первый случай, и пусть
ат— последнее из чисел а^ а^, .... aA_lf которое меньше
чем ak, т. а ат<ат+1= ... — ак. Тогда мы имеем:
<*т < am+v am+l > am+i (ибо число ат => ak — наиболь-
наибольшее), и потому
«те — За^-ц 4- 20^+2 = (а,„ — аот+1) 4- 2(ат+2 — ^л+х) < °.
что противоречит заданной системе неравенств. Таким обра-
образом, все числа alt аг,..., ап должны быть равны между собой
Второе решение.
Сложим все данные неравенства. Так как каждое число
входит в сумму с коэффициентами 1,2 и 3, то в левой части
получится нуль. Каждое слагаемое при этом было неотри-
неотрицательно: именно этот факт и записан в данной системе.
Но если сумма нескольких неотрицательных чисел равна
нулю, то, очевидно, каждое из них равно нулю.
Следовательно, в действительности мы имеем дело не
с системой неравенств, а с системой уравнений-.
2 (в,- аа
О,
или иначе
(а100— aJWiOt — at) = 0.
la, *» О,
Из первого уравнения выразим а% — аг и подставим
полученное значение во второе уравнение:
Подставляя это значение (да — а4) в третье уравнение,
получим:
«4 — я6 - х ^3 ~" а*^ " IF ^ ~" а^
и т. д. Наконец, из последнего уравнения следует:
^ а (а O) (a
что возможно лишь при условии а3 = а^. Но тогда и
а9 == а2, и а4 = о3, и т. д., так что вообще
Oj = а% == ... = о!|о0.
XVII.1.9.5, Построим треугольник ЛВС со сторонами
АВ ^8, АС= 10, ВС = 13.
Построим, далее, на стороне ВС треугольник BCD со
сторонами BD = 10, CD = 8 (возможно, не лежащий в
304
плоскости с треугольником ABC). Обозначим через М
шу стороны ВС. В треугольнике AMD, по известной
,)еме, AD < AM + MD.
I Заметим, что, когда треугольники ABC и BCD лежат
|в одной плоскости, фигура ABCD представляет собой па-
параллелограмм (ибо АВ = CD, BD = АС). Следовательно,
у в этом случае точки. Л, М и D лежат на одной прямой,
. так что AD — AM. 4- MD. Заметим теперь, что длины
отрезков AM и MD не зависят от положения точки D,
ибо AM и MD — это медианы треугольников с заданными
сторонами. Таким образом, наибольшее возможное значе-
значение длина отрезка AD принимает, когда точка D лежит в
плоскости ABC. В этом случае угол ВАС тупой, так как
АВ2 + АО = 82 + 108 < ВС2 = 133 и, следовательно,
угол ABD — острый. Но в таком случае
AD* < АВ + BD2 = 82 + 102 < 132,
т. е. AD < 13. Мы показали, что наибольшее значение,
которое может принимать длина отрезка AD (если АВ =э
= CD =_8, AC = BD = 10, ВС = 13), меньше 13, т. е. ус-
условие AD = 13 невыполнимо.
XVII.II.10.5. Пусть имеются два различных десятизнач-
десятизначных числа, в состав которых входит одинаковое количество
единиц и, следовательно, одинаковое количество двоек.
Если написать эти числа одно под другим, то в первом числе
будет такая единица, под которой окажется двойка (так
как числа различны, а единиц одинаковое количество).
Но так как под какой-то единицей первого числа будет
стоять двойка, то над какой-то единицей второго числа тоже
должна стоять двойка. Мы видим, что в записи суммы таких
чисел обязательно встретится не меньше двух троек. Итак,
числа с одинаковым количеством единиц могут быть отне-
отнесены к одному классу.
Среди наших чисел есть число Ш...11. Отнесем его к
первому классу. Число 11... 12 дает в сумме с предыдущим
только одну тройку и поэтому должно быть отнесено ко
второму классу.
К этому же классу, как мы видим, могут быть отнесены
все числа, имеющие в записи только одну двойку.
Число П..Л22 снова должно быть отнесено к первому
классу, так как в сумме числом 11... 12 оно даёт только
одну тройку.
Теперь нетрудно догадаться, каково должно быть реше-
305
ние задачи. Именно, отнесем к первому классу все числа,
в записи которых имеется четное число двоек, а ко второму —
числа, в записи которых имеется нечетное число двоек. Два
числа одного класса либо имеют одинаковое количество
двоек — в этом случае, как мы уже показали, в записи их
суммы встретится не менее двух троек,— либо в одном
числе двоек по крайней мере на две больше, чем в другом,
и тогда также в записи их суммы тройка встретится, оче-
очевидно, не менее двух раз.
Таким образом, мы произвели требуемое разбиение.
XVIII.1.7.4. Заметим, что при перемножении двух чисел
остатки от деления их на некоторое число k также перемно-
перемножаются. В самом деле, пусть остатки от деления чисел а
и b на k равны а и C, т. е.
а = km + а, Ь = Ы + р, 0 < а < k, 0 < р < к.
Тогда ab — k (a/ -\-§m-\- Itnk) -f аC, т е. остаток от деле-
деления числа аЬ на k равен af) (разумеется, если при этом
а $ > k, то надо взять не само число а§,а остаток от деле-
деления его на k).
Если существует такое п, что число п2 + п -f- 1 делится
на 1955, то п2 + п + 1 делится и на 5, и потому остаток
от деления числа n2 -f n на 5 равен 4.
Но число л2 + п = п (п -\- 1) представляет собой про-
произведение двух* последовательных чисел п и п 4- 1. Остатки
от деления чисел п и п -j- 1 на 5 тоже, очевидно, будут
двумя последовательными числами лс и л: -f- 1, т. е. это
будет либо 0 и 1, либо .1 и 2, либо 2 и 3, либо 3 и 4, либо 4 и 0.
Непосредственно проверяется, что ни в одном из этих
случаев произведение не будет иметь при делении на 5 оста-
остаток 4.
Тем самым показано, что числа п, удовлетворяющего
условию пг -\- п -f- 1 = 1955&, и даже числа пР удовлетво-
удовлетворяющего условию п2 + п -}- 1 = 5/, не существует-.
XVIII.1.7.5. Поскольку квадраты, на которые разбит
прямоугольник, по условию равны, то каждая сторона пря-
прямоугольника окажется разбитой на равные части: одна —
на т, другая — на п частей. Но тогда общее число квадра-
квадратов равно тпу откуда получаем соотношение тп = 13,
в котором тип — целые числа. Так как 13 — число про-
простое, то из этого следует, что одно из чисел rn, n равно 1,
а другое'— 13. Таким образом, единственным прямоуголь-
прямоугольником, удовлетворяющим условиям задачи, является пря-
прямоугольник со сторонами 1 и 13.
306
I . XVIII.1.9.1. Запишем таблицу в виде:
k. 0+1 fc • 0 + 2 ... k-0 + k,
k- 1 + 1 k-\ + 2 . . . k-l + k,
*(*—1) + 1 k(k—l) + 2... k(k—\) + k.
Каждое число представлено нами в виде:
ka + bt , A)
где а и b принимают значения:
а = 0, 1, 2, ... , k — 1; b = 1, 2, 3 ft.
Мы теперь отдельно просуммируем (для всех выписан-
выписанных чисел) первые слагаемые ka и отдельно вторые сла-
слагаемые b (см. A)). Так как у нас выписано k чисел, причем
из каждой строки можно, было взять только одно число
(ибо при выписывании числа все остальные числа этой же
строки вычеркиваются), то у нас выписано в точности по
одному числу из каждой строки. Но для числа, стоящего
в первой строке, первое слагаемое равно k • 0; для числа,
стоящего во второй строке, первое слагаемое равно k • 1; ...;
для числа, стоящего в последней строке, оно равно k • (k—1).
Таким образом, сумма всех первых слагаемых в выписан-
выписанных числах равна
— п 2
Аналогично, выписанные числа обладают тем свойством,
что из каждого столбца взято ровно одно число. Для числа
из первого столбца второе слагаемое равно 1, для числа
из второго столбца оно равно 2, ..., для числа из последнего
столбца второе слагаемое равно k. Таким образом, сумма
всех вторых слагаемых равна
1+2+... + ?= .
Взяв теперь сумму и всех первых, и всех вторых сла-
слагаемых, мы и получим сумму всех выписанных чисел. Иско-
Искомая сумма, таким образом, равна
k{k—\) , k{k + \) k{k*+\)
S^k 2 + 2 = 2
(и, стало быть, не зависит от способа выписывания).
XVIII. I. 9. 2. Пусть Oj, Os — центры окружностей, а гг,
г8 — их радиусы; причем гх > г2.
307
Закрепим конец А отрезка АВ, лежащий на окружности
с центром Ov и будем перемещать конец В по окружности
с центром Оа. Пусть 0' — середина отрезка АОг и М —
середина отрезка АВ. Так как О'М — средняя линия тре-
треугольника АВО%, то
Мы видим, что при закрепленном конце А длина отрезка
О'М остается постоянной (и равной-g-rg), причем очевидно,
что любая точка М, находящаяся от О' на расстоянии -у г%,
может быть получена таким образом. Это означает, что
точка М описывает окружность радиуса—^г% с центром в
точке Ог.
Исследуем теперь, как перемещается точка 0г, когда А
движется по окружности Ov Рассуждение, совершенно
аналогичное вышеизложенному, показывает, что точка О'
описывает окружность с центром в точке О, радиус которой
равен ^?T = -j- rv гАе ° — середина отрезка Ox0z (рис. 23).
Итак, чтобы получить множество точек М, мы должны
взять все окружности радиуса -у^. центры которых в свою
очередь пробегают окружность радиуса -%-тх с центром О.
Ясно теперь, что множеством точек М будет кольцо, за-
заключенное между двумя концентрическими окружностями
с центром в точке О, радиусы которых равны:
2 Z 2. Z
(см. рис. 24). Если гх = г2, то это кольцо превращается в
круг радиуса %гх (—2г2).
Рис. 2а
Рис. 24
308
Замечание. Легко понять, как по данной точке М из кольца
найги отрезок АВ, серединой которого эта точка является; нужно по-
построить окружность в кольце, проходящую через М, по ее центру
найги точку Л и по положению точки М на окружности найти
точку В.
XVIII.1.9.3. Исследуем, прежде всего, какие ограниче-
ограничения должны быть наложены на решения системы. Пусть
х < 0, тогда х3 < 0, и из первого уравнения видно, что
у3 > 1; следовательно, у > 1, г/4 > 0, и из второго уравне-
уравнения следует, что х4 < 0; но это невозможно: четная степень
действительного числа всегда неотрицательна. Пусть те-
теперь х > 1, тогда х3 > 1, у3 < 0, у < 0; в силу полной
симметрии уравнений относительно х и у этот случай также
надо считать уже исключенным. Итак,
Если бы было 0 < х < 1, то мы имели бы:
х* = х3 • х < я3 • 1 = х3.
Кроме того, t/4 <#3 (так как 0 < у < 1). Итак, х4 < я8,
у* К У3, и потому л:4 + #4 < х3 -f #3, что противоречит
данной системе.
Следовательно, неравенства 0 < х < 1 не могут быть
выполнены, и потому либо х = 0, либо дс = 1.
Таким образом, система имеет только два действительных
решения: х1 = 0, f/i == 1; *а = 1, #з = 0 (то> что эти пары
значений х, у являются решениями, проверяется непосред-
непосредственно).
XVIII. 1.10.1. Поскольку в каждой строке и в каждом
столбце встречаются по условию все числа 1,2,...,п, то,
очевидно, каждое число встреча-
встречается в любом столбце (и в любой
строке) ровно один раз. Значит,
всего в таблице ровно п единиц,
п двоек и т. д. По условию, для
каждого числа, стоящего вне ди-
диагонали, имеется такое же чи-
число, симметричное относительно
диагонали (рис. 25).
Таким образом, вне диа-
диагонали стоит четное ко-
количество единиц, четное
количество двоек и т. д.
\
а
6
ч
ч
\
й
\
с
а
и
\
s
рис.
Между тем я нечетно; следовательно, на диагонали должно
стоять нечетное количество единиц, нечетное
количество двоек и т. д., то есть, во всяком случае, не менее
одной единицы, не менее одной двойки и т. д. Но всего на
диагонали п клеток, а каждое число должно встретиться
не менее одного раза; значит, каждое число встречается на
диагонали ровно 1 раз.
XVIII. II. 7.1. Перенеся все члены, кроме х3, в правую
часть, мы обнаружим, что х3 = 2 (у3 + 2г3), так что л:3
четно; в таком случае и х должно быть четно: х = 2xv
х3 = 8*?.
Подставив это выражение для х3 в уравнение, мы при-
приведем его к виду 8л;? — 2у3 — 4г3 — 0, или 4л:? — у3 —
— 2z3 = 0. Оставляя у3 в левой части, получим у3 = 4х? —
— 2z3, и мы убеждаемся в том, что */3 и вслед за ним у
четны: у == 2уи у3 = 8у\. Точно так же можно получить.
что z3 я z должны быть четны: z = 2zy, z3 = %z\.
После подстановки полученного значения г3 в уравне-
уравнение оно примет следующий вид:
где х = 2xv у = 2ylt z = 2zt.
Итак, если числа х, yt z удовлетворяют уравнению,
то они все четны, и числа -—-, -~, -|- тоже удовлетворяют
уравнению. Но в таком случае и эти три числа должны
быть четны и т. д. Мы видим, что числа х, у, z обладают
следующим свойством: они четны и сколько бы мы ни де-
делили их на 2, всегда будут получаться целые числа.
Единственное число, обладающее подобным свойст-
свойством,— нуль.
Следовательно, единственное решение нашего уравнения:
х = 0, у = 0, г = 0.
XVIII.II.7.3. Пусть О — центр вписанной окружности,
О1( О8, О3 — центры вневписанных окружностей. Как из-
известно, точка О есть точка пересечения биссектрис углов
АСВ и ABC, а точка О2 является точкой пересечения бис-
биссектрис внешних углов треугольника ABC при вершинах
В и С (см. рис. 26).
Из очевидного равенства
Z AjP'B+ ?ВСА= 180°
310
Рис. 26
получаем
Z О2СВ + Z ВСО = ~- Z ^iCB +4" Z BCj4 = 90°-
Следовательно, ОС ± О^С и, точно так же, ОС j_ ОгС.
Полученные соотношения показывают, что точки Ог, С
и 02 лежат на одной прямой, причем O^O^lOC. Аналогично,
точки О2, В и Оъ лежат на одной прямой, причем OZO3±OB.
Покажем, теперь, что Z СО2В — острый. Так как в че-
четырехугольнике СО^ВО углы С к В — прямые, то
ZCO2?-f Z ВОС = 180°.
Следовательно,
Z СО&В = Z ОСВ + Z 05C = 4" Z ВСА + 4
<-i" 180°-90°,
т. е. Z.CO%B, или, что то же самое, ZC^OgOg—острый.
Доказательство того, что остальные углы острые, прово-
проводится аналогично.
за
XVIII.II.9.2. Выберем систему отрезков следующим об-
разом; В положительной части оси х возьмем отрезки
[1; 2], [2—; з4-]> [34-; 4Т"]» "•' а в отРИ1*ательной
части оси х симметрично. Отрезки построены так, что про-
промежутки между ними образуют убывающую геометриче-
геометрическую прогрессию: ~^-, -j-, -g~, ... (см. рис. 27).
^ 57/e
-3 -2 -1 0 1 2 21/г 3 з>/2 Ч цщ5 в
Рис 27.
Пусть теперь av a2) ..., ар, ... — произвольная арифме-
арифметическая прогрессия с положительной разностью d и пер-
первым членом ау
Какое бы ни было задано число Л, мы можем выбрать
настолько большой номер JV, что член а# рассматриваемой
прогрессии и все следующие за ним будут больше А. В са-
самом деле, при N > —^±- -\~ 1 имеем: (N —1) rf> Л—av
и потому
Обозначим через (d) наибольшее число, меньшее d\
о
далее, положим < d > = d — (d). Так, для d — 2 -j- имеем
Рассмотрим
1 1
2о ~ 1 ""
4 "
теперь
, 1
: i$ 1
прогрессию:
1 1
-, -пт ~ -г»
1
93'
••• »
1
2я *
Ясно, что для любого числа <d>, 0<<d><l
найдется такое число k > 0, что
2*+i ^ Ч а / ^ 2* '
Выберем теперь такое число М, что справа от него все
промежутки между отрезками системы меньше к з ,- Это
можно сделать, так. как промежутки между отрезками
по построению образуют убывающую геометрическую про-
прогрессию.
312
Легко видеть, что сумма всех промежутков, расположен-
справа от М> меньше, чем -г^-- (так как А а +
ЕЦ. - -f ... = по формуле суммы геометричес-
кой прогрессии .
Рассмотрим любые два последовательных члена данной
арифметической прогрессии, расположенных справа от М
(по доказанному выше, такие члены существуют). Обозна-
Обозначим эти члены через ат и ат+1; Если хотя бы одно число,
ат или amJrV лежит на каком-либо из отрезков системы,
то нам нечего больше доказывать. Пусть, напротив, оба
эти числа лежат в промежутках между отрезками системы.
На отрезке [ат\ ат+1] расположены несколько отрезков
системы и несколько промежутков (причем первый и по-
последний промежуток могут лежать на отрезке [ат; ат+1]
не полностью, а частично). Обозначим общую длину всех
таких отрезков через х, а общую длину промежутков —
через у. С одной стороны, по определению, длина отрезка
[ат\ ат+1\ равна d, следовательно, х + у — d. Так как при
этом, очевидно у > 0] то х < d. Но ведь х — целое число;
значит,
х < (d). A)
С другой стороны, в силу выбора числа М общая длина
всех промежутков, лежащих справа от М, меньше-—^-,
стало быть,
h<<d>- B)
Складывая неравенства A) и B); получаем х ¦+- у < d.
Полученное противоречие показывает, что числа ат и ат+1
не могут одновременно лежать в промежутках между отрез-
отрезками ' системы.
Остается заметить, что в случае прогрессии с отрица-
отрицательной разностью d мы повторили бы все наши рассужде-
рассуждения, используя при этом систему отрезков, лежащую в от-
отрицательной части оси х.
XIX.I.7.1. Рассмотрим сперва случай, когда точки А,
В, С, D образуют выпуклый четырехугольник. Сумма его
углов равна, как известно, 360°. Если бы все углы четырех*
313
угольника были острыми, то их сумма была бы, очевидно,
меньше 360°. Следоэательно, найдется вершина, угол при
которой не острый (тупой или прямой); пусть этой верши-
вершиной является, для определенности, точка А. В таком случае
треугольник ВАС не остроугольный.
Пусть теперь точки А, В, С, D не образуют выпуклого
четырехугольника. В таком случае одна из точек, очевидно,
лежит внутри треугольника, образованного тремя осталь-
остальными точками. Для определенности, пусть точка D ле-
лежит в треугольнике ЛВС. Сумма углов ADB, BDC, CDA
равна 360°. Следовательно, хотя бы один из этих углов
должен быть не меньше 120°. Но тогда треугольник, имею-
имеющий этот угол, — тупоугольный.
XIX.I.7.2. Пусть а — двузначное число и S(a) — сумма
его цифр. Число 9а, по условию, имеет ту же сумму цифр,
что и число а, т. е. S(a) — S(9a). Но, по признаку делимости
на 9, число S(9a) должно делиться на 9. Таким образом,
сумма цифр числа а также должна делиться на 9, а вместе
с нею должно делиться на 9 и само число а.
Итак, все искомые числа содержатся среди чисел, крат-
кратных девяти
18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99.
Легко видеть, что числа 27, 36, 54, 63, 72 и 81 не удовле-
удовлетворяют условию задачи (это проверяется умножением
соответственно на 7, 8, 7, 3, 4, 9).
Мы представляем читателю возможность самостоятельно
проверить пригодность остальных чисел: 18, 45, 90, 99.
XIXЛ.7.3. Пусть число точек самопересечения лома-
ломаной равно т. Подсчитаем число ее звеньев. Во-первых,
через каждую точку самопересечения проходит ровно два
звена: в противном случае каждое из звеньев, проходящих
через эту точку, пересекалось бы ломаной более, чем одно-
однократно. Во-вторых, на каждом звене ломаной лежит ровно
одна точка самопересечения. Следовательно, число звеньев
ломаной ровно вдвое больше числа точек самопересечения
и потому оно четно.
XIX.1.7.4. Пусть дробь 8/ Т 7 сократима на k. Это зна-
значит, что числа 5/ + 6 и 8/ + 7 делятся на &. В таком
случае и их разность
(8/ + 7) — E/ + 6) = 3/ + 1
314
Сбудет делиться на к. Но если числа 5/ ¦+¦ 6 и 3/ + 1 оба
!делятся на k, то делится на А» и число 21 + 5 =*= E/ + 6) —
— C/ 4- 1). Продолжая этот процесс, мы обнаружим, что
на k должны делиться следующие числа:
13 = (/ + 9) — (/ — 4).
Итак, если дробь 8,Т7 ¦ сократима на k, то 13 долж-
должно делиться на k. Так как 13 — простое число, то k может
принимать только два значения: 13 и 1.
Следовательно, наша дробь может быть сократима
только на 13.
Один из примеров такой дроби получим, положив
/ = 4: дробь
из примеров такой
5/+ б 26
самом деле сократима на 13.
XIX.1.7.5. Пусть на окружности уже имеется система
точек, удовлетворяющая поставленному условию, и пусть
А — любая точка этой системы. По условию, для точки А
существует точка В на расстоянии 1 и точка С на расстоя-
расстоянии 2. Если бы точки В и С были расположены по одну
сторону от точки А, то точки А и С были бы удалены от
В на расстояние 1 (рис. 28, а), что, по условию, невозмож-
невозможно. Пусть точка В расположена справа от Л, а точка С —
слева. Для точки С должна найтись теперь точка D на
расстоянии 1, причем эта точка должна лежать слева от
В
Рис. 28.
315
С (в противном случае (см. рис. 28Г <5) мы имели бы две точки:
А и С, удаленные от D на расстояние 1).
Точно так же должна найтись справа от В такая точка
Е, что дуга BE равна 2. Мы получили две дуги длины 3:
DA и АЕ (рис. 28, в). Заметим, что 1956 делится на 3; по-
поэтому, продолжая описанный выше процесс построения
новых точек, мы в конце концов получим разбиение окруж-
окружности на дуги длины 3. Очевидно, таких дуг будет 652.
Точек, делящих окружность на такие части, тоже будет 652.
Кроме того, на каждой дуге лежит еще по одной точке си-
системы. Построенная нами система содержит 2 • 652 = 1304
точки, при этом необходимость наличия каждой точки
была выведена из существования всех предыдущих. Таким
образом, наименьшее возможное число точек на окружно-
окружности, удовлетворяющее поставленному условию, есть 1304.
XIX. 1.8.1. Обозначим середину отрезка DE через М.
Проведем прямую AM и отложим на ней отрезок МР = AM.
Соединим точку Р с точками D и Е и рассмотрим четырех-
четырехугольник ADPE (рис. 29). В этом четырехугольнике
диагонали, пересекаясь, делятся пополам. Следовательно,
ADPE — параллелограмм. Стало быть, РЕ — AD. Но
по условию AD = ЕС, так что РЕ = ЕС, и треугольник
РЕС — равнобедренный. Угол между прямыми РЕ и ЕС
не меняется, так как РЕ все время остается параллельной
прямой АВ. В равнобедренном треугольнике РЕС имеем:
/?CP==-i-A80°— /ПРЕС), так что угол ЕСР также
остается неизменным.
Отсюда следует, что все точки Р лежат на прямой,
Рис. 29,
316
т >ходящей через точку С под некоторым вполне опреде-
определенным углом к стороне ВС.
Соединим точку А с любой точкой Р' этой прямой и рас-
рассмотрим середину М' отрезка АР' (см. <• рис. 30). Ясно,
^.что все такие точки Мг лежат на средней линии треуголь-
Гника АРС или на ее продолжении. С другой стороны,
по любой точке М" этой средней линии можно построить
• точку Р" на прямой PC и по ней — точки D" и Е".
Таким образом, искомым множеством является прямая,
проходящая через середину Y стороны АС параллельно
прямой PC.
Укажем способ построения этой прямой, не использую-
использующий вспомогательной прямой PC. Одну точку мы уже по-
построили, приняв AD = СЕ — 0 — это середина Y стороны
АС. Другую точку получим, отложив меньшую из сторон
АВ и ВС на большей (на рис. 30: АВ меньше ВС и
СВ' = АВ) и взяв середину X отрезка ВВ\
Заметим, еще, что вся прямая XY получится лишь
в случае, когда отрезки разрешено откладывать на продол-
продолжениях сторон за точку В и на их продолжениях за точки
Л и С. В противном случае искомым множеством является
лишь отрезок XY.
, XIX. 1.8.2. Пусть данное число равно а, округленное
равно1 а0 и а — aQ — а. Очевидно, а0 < а, так что а > 0.
С другой стороны, по определению округления, а < 0,01.
1) Если а < 0,01, имеем ао = 0, и, значит, — = 0.
2) Если а > 0,01, то мы представим число ~- в виде:
Сп п — а -ш а
а а а
При этом ао> 0,01 и, как указывалось, а < 0,01.
Следовательно, а < а0. Прибавляя к обеим частям этого
неравенства число а, получим 2а < а0 + а = а, откуда
~ < —. С другой стороны, -?- > 0, так что 0 <^ <g-.
Следовательно,
2 <. 1 ~< 1.
Покажем, что величина — может принимать любые зна-
(X
чения р, удовлетворяющие неравенству,
4
317
В самом деле, положим ао= 0,01 и рассмотрим уравне-
уравнение
а _о
0,01 + а ~ ?*
Это уравнение — первой степени относительно а, и,
очевидно, при любом fs ф 1 оно имеет решение:
001
Заметим, что при 0 < [S < -^ мы имеем
о -С ригу ^ !•
и потому
0<а<0,01.
Следовательно, величина — = 1 ~ может прини-
принимать любые значения, удовлетворяющие неравенству
2 <• а ^ х'
а также значение 0.
Если теперь снова — в соответствии с условием — округ-
округлить числа —, то, очевидно, при этом могут получаться
лишь следующие значения —:
0; 0,50; 0,51; 0,52; ...; 0,98; 0,99; 1,00,
причем каждое из этих значений, по доказанному, можно
получить при надлежащем выборе числа а.
XIX.I.8.4. То, что дробь acl\d сократима на к, озна-
означает, что числа al + b и cl + d делятся на k, т. е.
al -f b = kn,
cl + d — km.
Умножая первое равенство на с, а второе — на а и вы-
вычитая почленно полученные равенства, получим
ad — be = k (am — en).
Это и означает, что ad — be делится на k.
318
f,
XIX.t.8.5. Пусть а больше всех чисел, стоящих на
-вырезанном из таблицы куске, и пусть, вопреки утвержде-
утверждению задачи, оно стоит не с края. Это означает, что-число a
имеет четырех «соседей»: Ь, с, d> e, также принадлежащих
..таблице. Так как по условию a> b, a> с, а> d, a>e, то
и
что противоречит условиям задачи.
XIX.II.8.1. При распределении груза по машинам по-
поступим следующим образом: будем грузить ящики на пер-
первую машину, не выбирая, пока их вес не превысит
1,5 т. Последний ящик снимем и положим рядом с машиной.
После этого будем грузить ящики на вторую машину,
потом — на третью, и так до тех пор, пока не будут за-
загружены 8 машин. При этом вес ящиков, лежащих н а
машинах и рядом с ними, будет больше, чем
1,5 т • 8 = 12 тонн. Оставшиеся на складе ящики весят
меньше, чем 1,5 т (так как общий вес груза 13,5 т), и их
сможет увезти девятая машина.
В нашем распоряжении осталось еще две машины, ко-
которые должны увезти 8 ящиков (ранее снятых и лежащих
рядом). Но любых 4 ящика весят не более, чем
350-4= 1400 кг,
так что две машины могут увезти оставшиеся 8 ящиков.
XIX.II.8.2. Пусть в строке с номером k сумма чисел
равна 5 > 518. Из условия симметрии таблицы ясно, что
точно такая же сумма будет у чисел строки с номером
8 — k + 1 и у столбцов с номерами k и 8 — k -\- 1.
Сумма всех чисел, стоящих в этих столбцах и строках,
легко вычисляется: ясно, что для ее вычисления нужно
из числа 45 вычесть сумму чисел, стоящих в четырех клет-
клетках пересечения взятых строк со взятыми столбцами (ибо
эти числа учтены дважды в числе AS).
Но сумма последних четырех чисел не больше суммы
всех чисел, стоящих на диагоналях, т. е. не больше 112.
Итак, сумма чисел в двух строках и двух столбцах
таблицы не меньше, чем 45 — 112, т.е. не меньше, чем
4.518—112= 1960,
в то время как общая сумма стоящих в таблице чисел равна,
по условию, 1956.
319
в
Полученное противоречие и доказывает утверждение
задачи.
XIX. 11.8.3. Пусть М и N — две фиксированные точки
и Р—проекция точки М на некоторую прямую, прохо-
проходящую через N. Так как /LMPN = 90°, то, очевидно,
точка Р лежит на окружности, построенной на отрезке
MN, как на диаметре.
Применим это рассуждение к концам Л и Б данного
отрезка и точке О. Мы получим две окружности Ог и Ot,
построенные на отрезках АО и ВО, как на диаметрах, и
пересекающиеся в точках О и R. При этом точка R лежит
на прямой АВ, так как LARO = ZBR0 = 90° (углы,
опирающиеся на диаметры).
Пусть теперь К — любая точка отрезка АВ. Проекция
точки К описывает окружность О3, проходящую через О.
Так как AB±OR, то проекцией точки К на прямую OR
является точка R. Таким образом, рассматриваемая окруж-
окружность проходит и через точку R.
Эта окружность ни в каких дру-
других точках не пересекает ок-
окружностей Ог и 02 (в противном
. случае две различные окруж-
окружности имели бы три общие
точки). Из сказанного следует,
что окружность О3 целиком ле-
лежит внутри фигуры, состоящей
из двух «луночек», образован-
образованных окружностями О1 и О2 (см.
рис. 31, а). Эти «луночки» со-
состоят из точек, которые лежат
внутри одной из окружностей
Olt O2, но вне другой. Таким
образом, искомое множество це-
целиком принадлежит этой фигуре.
Покажем обратное: всякая
точка L фигуры, состоящей из
двух «луночек», образованных
окружностями О1 и О3, принад-
принадлежит рассматриваемому мно-
множеству. Для этого проведем
прямую OL (см. рис. 31, б) и обозначим через X и Y
точки ее пересечения с окружностями Ох и О2 ^соответ-
^соответственно. Так как ZAX0 = 90° и /.BYO =90°, то пер-
в
Рис. 31.
320
бйдикуляр к прямой OL в точке L параллелен прямым
\Х и BY и лежит между ними, а поэтому пересекает отре-
AB в некоторой точке Z. Значит, точка L является
фоекцией точки Z отрезка ЛВ на прямую 0L и, следова-
принадлежит рассматриваемому множеству
Мы доказали, что искомое множество представляет собой
описанную выше фигуру, состоящую из двух «луночек»
(рис. 31, а).
XIX.II.8.5, Пусть, вопреки утверждению задачи, общая
часть любых двух прямоугольников меньше -<р Перену-
Перенумеруем данные 9 прямоугольников в любом порядке и вы-
выясним, какую площадь они могут занимать. Второй пря-
прямоугольник' может пересекаться первым по площади, мень-
меньшей, чем-Q-; следовательно, второй прямоугольник добав-
добавляет к площади первого больше, чем-^-, т. е. общая пло-
щадь, занимаемая этими двумя прямоугольниками, больше,
чем 1-Ь -<р
Третий прямоугольник может пересекаться как с пер-
первым, так и со вторым прямоугольником, но с каждым из
них по площади, меньшей -у-, т. е. с первым и со вторым
вместе по площади, меньшей, чем-д-.
Следовательно, третий прямоугольник добавляет к пер-
вым двум прямоугольникам площадь, большую ~^-, т. е.
общая площадь, занимаемая первыми тремя прямоуголь-
прямоугольниками, больше, чем
8 7
Продолжая эти рассуждения, получим, что общая
площадь, занимаемая всеми девятью прямоугольниками,
больше, чем
1 + -д- + -д" + - + -д".
Между тем, эта сумма равна 5.
Следовательно, общая площадь данных прямоугольни-
прямоугольников больше 5, а-это противоречит тому, что все они разме-
размещены на площади, равной 5.
П Зак. 387 321
. XIX.H.9.2. Плоскостями, параллельными граням куба,
разобьем его на кубики с ребром 1. Таких кубиков будет,
очевидно, 133 = 2197.
Если бы теперь внутри каждого кубика нашлась
бы точка (из числа выбранных), то мы имели бы не менее
2197 различных точек, вопреки условию. Следовательно,
найдется кубик, внутри которого не лежит ни одной выбран-
выбранной точки.
Замечание. Если бы мы потребовали, чтобы точек не было
не только внутри, но и на границе кубика, то изложенное решение
было бы непригодно, так как одна точка могла бы «обслужить» сразу
8 кубиков.
XX.1.7.2. Положим х = 0; тогда многочлен ах3 -f
+ Ьх% + сх 4- d принимает значение d, и потому, по усло-
условию, d должно делиться на 5, т. е. d = 5dv Положив х — 1
и х = —1, получим соотношения:
а-\-Ь~\- о + Ъйг = 5т,
— а + Ь — с -f- bdx = 5rt.
Сложив написанные равенства, мы увидим, что 2Ь де-
делится на 5, значит, Ь делится на 5 и, следовательно, a -j- с
делится на 5. Положим теперь х = 2. Многочлен ах3 -f
4- bx% -f- сх + d примет значение 8а -f- 4b + 2с -f- d — 5р.
Учитывая равенства d = 5dv b = bbt и совершив формаль-
формальные преобразования, получаем:
8а + 2в = За — Зс + 5 (а + с) = 5 (р — dx — 4&J.
Отсюда ясно, что а — с делится на 5:
а — с = 5k.
Принимая во внимание доказанное ранее равенство
а -Ь с = 5/, имеем:
2a = 5(fc + 0> 2с = 5(/ — k).
Поскольку числа 2 и 5 взаимно просты, коэффициенты
а и с обязаны делиться на 5. Итак, все коэффициенты
многочлена делятся на 5.
XX.1.7.4. Обозначим сумму чисел, стоящих в k-й
строке через Sk, сумму чисел 1-го столбца — через S1,
а сумму всех чисел, стоящих в таблице — через ?.
Пусть таблица имеет т строк и п столбцов. Тогда, оче-
очевидно,
Sm = 51 + 32 + ... + 5» = S.
822
Обозначим число, стоящее на пересечении /-го столбца
и k-a строки через а{.
¦f По определению числа Sk имеем:
Кроме того, по условию задачи,
dk = Sk . S'.
Стало быть, для любого & = 1, 2, 3 т мы имеем:
5А = а\ + а! + ... + а% = S^ -f S2Sft + •» +
+ S»Sk « Sft • E.
и потому
? = Sx + Ss + ... + Sm = 5XS + S2E + ... -f SJ, =
Из соотношения Е2 = S получаем: либо S = 0, либо
S = 1. Однако равенство ? = 0 невозможно, так как
таблица заполнена положительными числами. Следователь-
Следовательно, ? = 1, что и требовалось доказать.
XX.I.9.2. Пусть [х] = х — у; по определению числа
Ы имеем:
0<у<\.
Наше уравнение запишется теперь так:
х3 — л:+ г/ = 3.
Принимая во внимание неравенство 0 < у < 1, получим:
2<*3 — *<3,
или
2<х(х2— 1)<3.
Пусть л; >-2. В этом случае л: (л;2 — 1) > 2 • 3 = 6, и,
значит, при х > 2 неравенство л: (л;2 — 1) < 3 не выпол-
выполняется.
Пусть теперь х < —1. Тогда х2 — 1 > 0 и произве-
произведение х (х2 — 1) отрицательно, что противоречит условию
л: (ж2 — 1) > 2. Остается исследовать отрезки: от —1 до 0,
от 0 до 1 и от 1 до 2.
I. Пусть — 1 ^ х < 0; в этом случае [xl — — 1, и_урав-
нение принимает вид: х3 + 1 = 3, откуда х = \f2. Но
это значение х вовсе не лежит на отрезке от —1 до 0, т. е. на
этом отрезке нет решений рассматриваемого уравнения.
и* 323
2. Пусть 0 < х < 1; в этом случае [х] = 0 и уравнение
имеет вид: х3 — 3, откуда х = у^З. Но это число больше 1,
так что на отрезке от 0 до 1 решений также нет.
3. Наконец, при 1 < х < 2 мы имеем [х] — 1, и полу-
получающееся уравнение х3 — 1 =3 имеет решение *=f/4,
которое действительно удовлетворяет неравенствам 1<х<2.
Таким образом, х = \/ 4 — единственное решение дан-
данного уравнения.
ХХЛ.9,5- Выберем любой отрезок АВ ломаной; пусть
его длина равна а. Рассмотрим точку М, делящую пополам
длину всей оставшейся ломаной. Если эта точка является
вершиной ломаной, то, распрямив ломаные AM и ВМ,
мы получим требуемый треугольник (равнобедренный в
данном случае).
Пусть теперь М не является вершиной ломаной, а при-
принадлежит какому-то ее звену CD длины b (рис. 32). Пусть
длины ломаных АС я BD рав-
ны соответственно х и у. Если
из отрезков а, х + Ь, у или из
отрезков а, у + b, x можно
составить треугольник, то за-
задача решена.
Предположим, что невозмож-
невозможно составить треугольник из
отрезков а, х 4- Ь, у и невозмож-
невозможно составить треугольник из от-
отрезков а, у + Ь, х. Напомним,
что невозможность построения треугольников из трех
отрезков означает, что один из них не меньше суммы
двух других.
Поскольку х + у + Ь > а (ломаная всегда длиннее
отрезка) их -\- b > у, у + b > х(в силу выбора точки М),
то невозможность построения треугольников из указанных
отрезков приводит к неравенствам:
x + b>a + y, y + b>a + xt
сложив которые, мы получим:
2Ь > 2а, т. е. Ь > а.
Выберем теперь & предыдущих рассуждениях в качестве
отрезка АВ наибольший из всех отрезков ломаной.
Неравенство Ь > а теперь невозможно, значит, Ь = #•
324
Неравенства л+6>о + ^ у -\- b > а + х пришь
вид: х > у, у > х, откуда х = у,
В силу условия п > 4 на одной из ломаных х или #
имеется вершина ломаной (пусть для определенности, она
имеется на ломаной х), которая разбивает эту ломаную
на две части: х — и -f v (рис. 32).
Покажем, что из отрезков a -f- и, b + v, у можно по-
построить треугольник. Нам нужно проверить выполнение
трех неравенств:
a-f« + ?/>& + c, a-\-u + b + v>y, b + v~\- y> a-\- и.
Доказательств^ этих неравенств не составляет никакого
труда, если учесть, что a— bny = x = u-{-v;
aJru-\-y~bJru-\- x~bJrU-\-u-\~v'>b-\-vy
XX.I.I0.1. Заметим прежде всего, что 323 = 17 • 19.
Пусть л четно, т. е. п — 2k. Разность 20" — 3" делится
на 20 — 3, т. е. на 17. Покажемт что разность 16Л — 1
также делится на 17. Действительно, число
16"— 1 = 162* — 1 =256* —1
делится на
256—1 -255= 17 • 15.
Число 20" — 1 делится на 20 — 1 = 19. Покажем,
что и разность 16Л — Зл делится на 19. Мы имеем:
16Л — Зл = 162* — З2* = 256* — 9*,
а это число делится на
256 — 9 = 247 = 19- 13.
Итак, при четном п сумма 20л -f- 16я — 3я — 1 делится
на 17 и на 19, а следовательно, и на их произведение (так
как это числа взаимно простые).
Пусть теперь п нечетно, т. е. п — 2k -\~ 1- Число 20п —
— 3" по-прежнему делится на 20 — 3=17. Далее, мы
имеем:
16я—1 = 162ft+1 —1 = 162**1—16-f 15= 16A62ft—1L-15.
Число 162ft — 1, как показано выше, делится на 17,
тогда как 15 на 17 не делится. "Но если из двух чисел одно
325
делится на а, а другое не делится, то их сумма не делится
на а. Отсюда следует, что число 162ft+1— 1 не делится на
17, а значит, не делится на 17 и сумма 20" + 16" — Зл — 1
при нечетном п = 2k + 1. Но тогда эта сумма не делится
и на 323.
Итак, число 20" + 16Л — 3я— 1 делится на 323 при лю-
любом четном п > 0 и не делится на 323 ни при каком нечет-
нечетном п.
ХХ.Н.7.1. Прежде всего заметим, что искомое мно-
множество, очевидно, симметрично относительно прямых ОА
и ОВ\ поэтому мы будем рассматривать лишь точки угла
ЛОВ.
Пусть точки А и В удалены от О на расстояние /. Оче-
Очевидно, что вся дуга окружности радиуса / с центром в О,
заключенная между сторонами угла ЛОВ, принадлежит
искомому множеству («ломаными» в этом случае являются
радиусы, проведенные в соответствующую точку).
Ясно также, что любая точка, лежащая вне этой окруж-
окружности, нам не подходит, так как расстояние до нее от точ-
точки О больше I.
Пусть теперь М — точка, лежащая внутри круга и
принадлежащая искомому множеству, и пустьОЛ1Л2...АпМ
— ломаная длины /, удовлетворяющая поставленному
условию. Ясно, что эта ломаная целиком лежит внутри
прямоугольника OPMQ, где Р и Q — проекции точки
М на прямые ОА и ОВ (см. рис. 33, а). В самом деле,
выйдя за пределы этого прямоугольника, ломаная должна
будет снова вернуться в него (хотя бы в точке М) и при
этом неминуемо пересечет второй раз его сторону.
То же рассуждение применимо к неполной ломаной
AkAk+v..AnM, и потому конец Ak+1 любого звена AkAk+1
ломаной расположен выше и правее,, чем его начало (рис.
33, б). Иначе говоря, точки В1} В2, ..., Вп, являющиеся
проекциями точек Alt А2, ..., Ап на сторону ОР прямоуголь-
прямоугольника OPMQ, расположены на отрезке ОР снизу вверх
в указанном порядке: Bv B%, ... Вп. Точно так же, точки
Cv С2, ..., Сп, являющиеся проекциями точек ЛХ,Л2, ..., Лп
на сторону OQ, идут слева направо. Так как каждая сто-
сторона треугольника меньше суммы двух других, то мы
имеем (см. рис. 33 а):
ОАг < ОВг + OCV АгА% < Вфг + Cfi%t А2А3 < Я2?3 +
326
^Следовательно,
. OAX + Л A +.n + AnM< (OB, + B& + ... + BnP) +
+ (ОС, + CA + »• + CeQ).
„Так как длина ломаной ОА^А% ... ЛЛЛ1 равна /, то послед-
последнее неравенство можно переписать в виде / < OP + OQ
или / < ОР + РМ
Рис 33.
Итак, если точка М принадлежит искомому множеству,
то ОР + РМ > /. Из этого легко заключить, что ни одна
точка, лежащая внутри треугольника ОАВ или на отрезке
АВ, этому множеству не принадлежит.
Действительно (см. рис 33, в),
327
ОР И- РМ < ОР + РМ' = ОР + РА=1
(Z РАМ' = ? /1ЛГР = 45°).
в
Таким образом, внутри угла АОВ искомому множеству
могут принадлежать лишь точки, лежащие внутри сегмен-
сегмента, отсеченного хордой АВ> или на дуге АВ этого сег-
сегмента.
Для любой точки Мг из этого сегмента требуемую ло-
ломаную легко построить: именно пусть (см. рис. 33, в)
точка X — точка пересечения окружностей радиуса A^Qj
с центром М1 и радиуса OR с центром О (окружности пере-
пересекутся, так как иначе расстояние 0Мх было бы больше /).
Ясно, что ломаная ОХМк — искомая, так как
ОХ + ХМ, = OR -f M1Q1 = OR + RM\ = /.
Окончательный вид множества показан на рис. 33, г.
XX.И.7.3. Обозначим две данные стороны треуголь-
треугольника через а и Ь. Пусть, для определенности, а > Ь. Ясно,
что если точки Л и С неподвижны, то при изменении сто-
стороны с вершина В опи-
описывает окружность ра-
радиуса а с центром в точ-
точке С. Понятно, что мы
можем ограничиться рас-
рассмотрением только
верхней полуплоскости.
Известно, что из
двух треугольников с
двумя соответственно
равными сторонами
третья сторона больше
у того треугольника, у
которого больше противолежащий этой стороне угол, и
обратно. Отсюда следует, что при увеличении стороны
с угол С также увеличивается. Таким образом, увели-
увеличение стороны связано с движением точки В по окружно-
окружности против часовой стрелки (см. рис 34). При этом, оче-
очевидно, угол А уменьшается-
Поскольку в треугольнике против большей стороны
лежит больший угол, а, по условию, а > Ь, то наиболь-
наибольшим углом всегда является один из углов: А или С.
В случае, когда а — с, углы А я С принимают равные
значения Ло и Со. Если а > с, то наибольшим углом яв-
является угол А и, как было показано, А > Ао. Если же
а < су то наибольшим углом становится угол С» причем
о о,
328 . '
Следовательно» наибольший угол треугольника при-
принимает наименьшее значение при условии а — с.
ХХ.Н.7.5. Пусть 5 = ak+1 + ak+i -f ... -f ak+8 — сумма
некоторых восьми идущих подряд членов последователь-
последовательности. Очевидно, S > ak+7 + ak+9 = ak+9 (так как все
члены последовательности положительны).
С другой стороны,
+ Uk+8 ~ Qk-hS + ak+8 +
что, как нетрудно заметить, больше S.
Таким образом, сумма 5 заключена между двумя после-
последовательными членами ak+$ и ak+l0 и. значит, не может быть
равна никакому члену последовательности.
XX.II.8.4. Заметим сначала, что все три неизвестных
xv x2, xs могут обращаться в нуль лишь одновременно.
В самом деле, если например, хх = 0, то (из первого урав-
уравнения) х3 = 0 и (из второго уравнения) xs — 0.
Пусть теперь хгх^х3 ф 0. Перепишем данную систему
уравнений в виде:
2 1!
х%
±
откуда
2
_L
2
T
1
Умножая обе части уравнений на 2 и производя почлен-
почленное сложение всех уравнений, получим:
или, иначе,
J L_l_L +
329
или, наконец,
Написанное равенство может выполняться лишь при
условии:
откуда находим:
Итак, данная система уравнений имеет лишь два реше-
решения:
J?j = ЛГд ==: X*} === UJ Дк]_ == Л^2 == Jfg =~ * •
XXI.1.7.2. Заметим, что через точки О, Pt M, Q можно
провести окружность, причем диаметром ее будет отрезок
ОМ (так как Z МРО = ?MQO = 90°). В построенной
окружности хорда PQ
стягивает дугу, на ко-
которую опирается угол
РО Q (или смежный с ним
угол).
Таким образом, в
равных кругах (вдвое
меньшего диаметра, чем
данный круг) некоторые
хорды стягивают рав-
равные дуги. По известной
теореме, все такие хор-
хорды равны, что и требу-
требуется.
XX1.I.9.2. Напомним,
что система из двух не-
непараллельных прямых
имеет три оси симмет-
симметрии. Именно, если про-
провести через эти прямые
параллельные плоскости
и провести еще одну
плоскость, параллель-
параллельную этим двум и удален-
удаленную от них на равные
330
расстояния, то две оси симметрии получаются как бис-
биссектрисы вертикальных углов между проекциями двух дан-
данных прямых на третью плоскость (см. рис. 35, а). Третья
ось симметрии — общий перпендикуляр данных прямых.
В случае пересекающихся прямых положение вещей ана-
аналогично (рис. 35, б).
Данная нам система состоит из трех прямых, из которых
можно образовать, очевидно, три пары: 1 и 2, 1 и 3, 2 и 3.
Каждая пара имеет три оси симметрии, так что общее число
осей симметрии не может быть больше 9, и этот случай
будет достигнут лишь тогда, когда каждая ось сим-
симметрии каждой пары является также осью симметрии
для третьей прямой, т. е. либо совпадает с этой третьей
прямой, либо ей перпендикулярна.
Сформулированное условие выполняется, как нетрудно
заметить, в случае, когда все три прямые взаимно перпен-
перпендикулярны и пересекаются в одной точке.
Итак, наибольшее число осей симметрии у фигуры,
образованной тремя непараллельными прямыми в простран-
пространстве, равно 9.
XXI.I.10.5. Обозначим плоскость, в которой лежат пря-
прямые, через а и рассмотрим перпендикуляр / к этой плос-
плоскости.
Если на прямой / откладывать время, то движение
пешехода по прямой, лежащей в плоскости а, выразится
графиком, который будет тоже, очевидно, прямой (н о
лежащей, разумеется, в пространстве).
Тот факт, что первый пешеход встречается со вторым,
означает, что графики /\ и Г% движения этих пешеходов
пересекаются. Точно так же, имеют общую точку: прямая
fj с Г3 и fit а прямая Г% — с Г3.
Рассмотрим прямые Гх и Га. Прямая fs имеет с ними
обеими по одной общей точке, причем не проходит через
точку пересечения прямых Г, и Г%. Поэтому прямая Г3
лежит в плоскости, определяемой прямыми /\, Г2.
Прямая Г4 по той же причине лежит в этой же плоскости..
Если бы теперь прямые Г3 и Г4 были параллельны,
то их проекции на плоскость а тоже были бы параллельны,
что противоречит условию. Значит, прямые Г3 и Г4 пересе-
пересекаются (лежат в одной плоскости и не параллельны).
Но, как мы уже отметили, это означает, что третий пешеход
встречается с четвертым,
331
XXI.И.8.1. Рассмотрим участки прямой АВ, целиком
проходящие внутри данного многоугольника. Эти отрезки
не "входят в состав границы многоугольника, но после
перегибания они превращаются в звенья ломаной — гра-
границы нового многоугольника (отрезки AtBlt Аф%, ...
..., AkBk; на рис. 36,а k — 5). .
Рис 36.
Проведем через каждую вершину данного многоуголь-
многоугольника прямую, перпендикулярную АВ, Каждый из отрезков
AtBt будет разбит этими прямыми на несколько «элемен-
«элементарных отрезков», целиком лежащих внутри данного много-
многоугольника.
Рассмотрим любой такой отрезок аЬ и соответствующую
полосу между прямыми, перпендикулярными АВ и про-
проходящими через точки а и Ь. В этой полосе, по построению,
не лежит ни одной вершины исходного многоугольника;
поэтому полоса «высекает» из его границы два" или более
отрезков (а не ломаных) — по обе стороны от АВ
(рис. 36, б).
s) в)
Рис. 36, б, в, г.
332
Рассмотрим отрезки lt и /а, ближайшие к прямой АВ
по разные стороны от нее (в полосе над отрезком ab). Рас-
Рассмотрим, кроме того, отрезок /' симметричный /8 относи-
относительно АВ, Если отрезки 1г и 12 не пересекаются, то один
из них, очевидно, целиком попадет внутрь нового много-
многоугольника. Если же они пересекаются, то образуется двух-
звенная ломаная XYZ, попадающая внутрь этого много-
многоугольника (рис. 36, в, г). Наконец, если отрезки /х и 1'2
совпадают, то в границе нового многоугольника учиты-
учитывается длина только одного из них, как если бы другой
проходил внутри.
Заметим теперь, что как длина любого из отрезков /г
или /g, так и длина двухзвенной ломаной XYZ не меньше
длины отрезка ab. Таким образом, если к границе много-
многоугольника и добавляется при перегибании «элементарный
отрезок» ab, то одновременно граница «теряет» ломаную
или отрезок не меньшей длины.
Применяя эти рассуждения ко всем «элементарным
отрезкам», мы и получим требуемое утверждение.
XXI.П.8.3. Продолжим отрезки CD и СЕ за вершину С
до пересечения со сторонами угла соответственно в точках
Р и Q (рис. 37).
Рис. 37.
Покажем, что PQ || MN. Заметим, что точки Е и D
лежат на окружности, диаметром которой является отре-
отрезок PQ (углы QEP и PDQ, по условию, прямые). Следо-
Следовательно,
Z EDP - Z EQP.
333
С другой стороны, окружность с диаметром ED проходит
через точки М и N, и, значит,
/. MND = Z MED.
Но ЕМ || PD (прямые ЕМ и PD перпендикулярны к
одной прямой), и потому углы EDP и DEM равны.
Следовательно,
? MND = Z EQP.
Продолжив теперь отрезок DN до пересечения с прямой
PQ в некоторой точке R, мы найдем, что /.EQP — Z.NRP
(так как NR \\ ?Q), и потому ZMND — ZNRP. Но эти
углы — накрест лежащие (при пересечении прямых NM
и PQ с секущей NR)\ из их равенства вытекает, что ЛШ jj PQ.
Рассмотрим теперь треугольник OPQ. Его высоты QE
и PD пересекаются в точке С, и, значит, ОС — тоже вы-
высота, т. е. ОС JL PQ- Но PQ j] MN; следовательно,
ОС ±
что и требовалось доказать.
XXI.Ii. 10.1. При у = 0 уравнение, очевидно, не имеет
решения При у — 1 уравнение обращается в квадратное,
имеющее лишь одно решение х = 3 (второй корень х = —1
отрицателен).
Пусть теперь у > 1. Заметим, что числа д;2^ и (х -{- 2J^
одной четности, а потому число (х + 1Jу четно, так что
л: + 1 четно: х + 1 = 2/г, откуда л: = 2& — 1, х -{- 2 =
— 2k -f- 1. Подставим эти значения в уравнение и раскроем
скобки по формуле разложения бинома:
Bk — 1Jу + B&Jу = B& + 1Jу, (I)
— 2у • (г^J^1 + ... — 2у • 2k + 1] +
2у • B^^-! -Ь ... + 2г/. 2k
Так как # > 1, то 2у > 3 и члены С|у • B^K будут суще-
существовать. Перенесем теперь все члены, кроме 2 • 2у • 2k,
в правую часть и вынесем B/гK за скобки:
2-2y-2k^ Bkf \2C% + 2С\У Bkf + ... +
или у = k • 1...1. Мы видим, что при I/ > 1 число t/ должно
делиться на k.
334
Разделим теперь слагаемые в равенстве A) на
При этом, очевидно, (l — -^W < 1, так что 1 .-+-
<2. С другой стороны, (l -Ь -^Л = 1 -f
1 \ 3 / 1 \ 2У 9
_1_ тяк ЧТО I 1 -4- —— I N 1 4- ——
2k
*
Отсюда следует, что 1 -f- -—• < 2, откуда -кг- < 1, у <С k.
Таким образом, (/ не может делиться на Jz, и, значит,
при у > 1 уравнение не имеет решений.
Итак, единственное решение уравнения: х — 3, # = 1.
XXI.II. 10.2. Пусть сначала отрезок ЛЛ целиком про-
проходит внутри или по границе многоугольника. Обозначим
через А1 точку пересечения прямой АВ с границей много-
многоугольника, лежащую на продолжении отрезка АВ за точку
А и ближайшую к точке Л. Точка Вг определяется аналогично
(см. рис. 38, а). Точки Л' и В1 раз-
разбивают границу многоугольника
на две ломаных, каждая из ко-
которых имеет длину, большую,
чем А 'В1. В свою очередь АВ <
< АГВ'. Но отрезок АВ не вы-
выходит из многоугольника, и,
значит, его длина больше 1. Пе-
Периметр многоугольника в этом
случае имеет длину, большую,
чем 2, что и требуется.
Пусть теперь отрезок АВ не
проходит целиком внутри или по
границе многоугольника, т. е. на
отрезке АВ есть точки, лежащие
вне многоугольника. В этом слу-
случае, кроме точек А1 и В', опре-
определяемых, как и раньше, выберем
еще две точки: Л"— ближайшая к
А точка пересечения отрезка АВ
с границей многоугольника; точ-
335
ка В" определяется аналогично. (Точки А" и В" непремен-
непременно различны, так как в противном случае весь отрезок АВ
проходил бы внутри многоугольника или по его границе.)
Отрезки А'А" и В"В' лежат, по построению, внутри
многоугольника и, значит, разбивают внутреннюю область
многоугольника на три части. Границей одной из них яв-
является отрезок А'А" и часть границы многоугольника —
ломаная а, Точно так же граница второй области состоит
из отрезка В'В" и ломаной р. Третья часть ограничена от-
отрезками А'А" и В'В" и частями границы многоугольника
1 и 8. Ломаные АА'^В'В и АА'ЪВ'В (рис. 38, б) не выходят
из многоугольника и, по условию, имеют длину больше 1.
Значит, периметр многоугольника А"АГ^В"В'Ъ больше 2.
Остается отметить, что периметр данного многоугольника
получается заменой отрезков А"А' и В"В' большими по
длине ломаными а и р, и потому он также больше 2.
Отметим еще, что вместо ломаных ААГ-[В"В и АА"ЬВГВ
может потребоваться рассмотрение ломаных АА'ЪВ'В и
АА"ЪВ"В (это зависит от расположения отрезков А'А"
и BfB" в многоугольнике). Последнее замечание, однако,
не создает новых трудностей (см. рис. 38, в),
XXII. 1.7.4. Мы будем говорить, что ладья движется
вдоль горизонтали (или вертикали), если при своем
ходе она перемещается с одного поля этой горизонтали
(вертикали) на другое.
Допустим, что ладья совершила обход шахматной доски,
побывав при этом на каждом поле по одному разу.
Покажем, что при обходе доски ладья должна либо
хотя бы один раз двигаться вдоль каждой вертикали,
либо хотя бы один раз двигаться вдоль каждой гори-
горизонтали.
Действительно, пусть найдется вертикаль, вдоль ко:
торой ладья ни разу не двигалась. Это значит, что каждое
поле этой вертикали (на всех этих полях ладья, по усло-
условию, побывала) ладья проходила, двигаясь «поперек» вер-
вертикали, т. е, вдоль соответствующей горизонтали,
Следовательно, ладья двигалась хотя бы один раз вдоль
каждой горизонтали.
Пусть, для определенности, ладья двигалась хотя бы
один раз вдоль каждой вертикали. На каждую вертикаль
(кроме, быть может, той, с которой начинается обход, и той,
на которой обход заканчивается) ладья должна войти и
после движения вдоль вертикали — выйти с нее, При
336
,3Tqm вход и выход осуществляются обязательно с пово-
поворотами.
Таким образом, общее число поворотов не меньше, чем
6 • 2 + 1 + 1 = 14
F вертикалей со «входом» и «выходом», начальная вертикаль
только с «выходом», конечная — только со «входом»).
Итак, меньше 14 поворотов
сделать нельзя, В то же вре-
время, обходы, содержащие ровно
14 поворотов, существуют (см ,
например, рис. 39; этот вариант,
конечно, не единственный).
XXII.1.8.3. Заметим, что
площадь треугольника ABD
вдвое больше площади тре-
треугольника AKD, так как эти
треугольники имеют общую вы-
высоту, а основание одного из
них вдвое больше основания
другого: 2АК — АВ Итак,
Точно так же
Сложим равенства A) ц B):
1
1
I
1
1
I
I
Ё
1
I
1
1
I
I
-
I
I
I
w
I
I
^^
^^
H
f
¦^#?
WA
W/a
A
i
r^
1
1
1
1
1
^^
Ф^
1
i
i
1
i
г
Рис 39.
Применив аналогичное рассуждение к треугольникам AMD
ACDttK треугольникам В КС и ВАС, покажем, что
-f-
= -у Sabcd-
Следовательно,
S = Saakd +
С другой стороны,
- C)
abcp
D)
337
так как площади треугольников ВСР и AOD в сумме 5
учтены дважды. Сопоставляя равенства C) и D), получим
требуемое:
SmPKO ^ SaBCP + SaAOD'
XXII.I.9.3. Покажем сначала, что общие хорды окруж-
окружности О и каждой из окружностей, проходящих через точ-
точки Л и В, пересекаются в одной точке. Для этого проведем
через точки А я В любую окружность Ov пересекающую
данную окружность О в точках Мг и Nx, и обозначим через
Р точку пересечения прямых MlN1 и АВ. Проведем теперь
через точку Р секущую M2iV2 к окружности О и построим
окружность 02, проходящую через точки М3, iV2, А. По
известной теореме,
РМ2 . PN2 — РА • РВ' (в окружности 02),
РМй • PN2 = РМХ • PNl (в окружности О),
РМг - PNX = РА ¦ РВ (в окружности Ог),
где В' — точка пересечения прямой АВ с окружностью
02. Отсюда РА • РВ' = РА • РВ, т. е. РВ' = РВ, и по-
потому точки В и Bf совпадают. Ясно, что таким способом
может быть построена любая окружность, проходящая
через точки Л и В и пересекающая окружность О. В са-
самом деле, кроме знания точек А и В, для определения окруж-
окружности необходимо и достаточно задания еще одной точки.
Пусть это будет одна из точек пересечения искомой окруж-
окружности с окружностью 0. По этой точке М мы построим
секущую PMN и через точки М, N и А проведем окружность.
Как было показано, она непременно пройдет и через точ-
точку В.
Итак, мы показали, что любая окружность, проходя-
проходящая через точки Л и В и пересекающаяся с окружностью О,
имеет с О общую секущую, проходящую, через фиксиро-
фиксированную точку Р, которую можно построить (с помощью
любой такой окружности). Заметим теперь, что в данной
окружности все хорды данной длины лежат на одном рас-
расстоянии от центра и, значит, касаются некоторой окружно-
окружности, которую также можно построить с помощью любой
такой хорды.
Построение, завершающее решение задачи, теперь оче-
очевидно: нужно из точки Р провести касательную к вспомо-
вспомогательной окружности и по этой касательной построить
искомую окружность, как было описано выше.
338
Заметим, наконец, что в том случае, когда перпенди-
перпендикуляр, проведенный через середину отрезка АВ, проходит
через центр окружности О, общие хорды данной окружности
и каждой из окружностей, проходящих через точки А и В
уже не будут пересекаться в одной точке, но будут все па-
параллельны прямой АВ. В этом случае завершающее по-
построение состоит в проведении прямой, параллельной дан-
данной прямой АВ и касающейся вспомогательной окружности
и в последующем построении искомой окружности по этой
касательной.
XXII.I.9.5. Пусть такой тетраэдр существует. Выберем
в нем наибольшее ребро и обозначим его через а (если таких
ребер несколько, то возьмем любое из них). По условию,
должна найтись грань (треугольник), в котором ребро а
было бы стороной тупого угла. Так как тупой угол в тре-
треугольнике — заведомо наибольший, а против большего
угла всегда лежит большая сторона, то у тетраэдра суще-
существует ребро, большее, чем а, вопреки нашему выбору.
Полученное противоречие показывает, что тетраэдров с
требуемыми свойствами не существует.
XXII.1.10.4. Будем обозначать клетку, находящуюся на
пересечении строки №а и столбца №Ь, через (а, Ь). Каждое
из чисел 1, 2, ..., N встречается в такой записи всех
клеток ровно 2N раз; N раз как номер столбца и N раз
как номер строки.
Пусть теперь 1 стоит в клетке {а, х). Номер строки, в ко-
которой стоит 2, по условию, равен номеру столбца, содержа-
содержащего 1, то есть равен х. Значит, 2 стоит на поле (х, у).
Далее, 3 стоит на поле (у, z) и так далее; наконец, N2 стоит
на некотором поле (т, п).
Ясно, что номер а встречается внутри (т. е. не на первом
и не на последнем месте) цепочки
(а,*) (х,у) (y,z) ... (т,п)
четное число раз. Так как при этом а стоит в начале
цепочки и всего использован, как было замечено, четное
число раз BN раз), то этот номер должен стоять и в конце
цепочки: п = а. Итак, строка, содержащая 1, имеет тот же.
номер, что и столбец, содержащий ЛЯ
Рассмотрим любое, кроме 1 и N*, число р из столбца,
в котором стоит N2. Следующее число, т. е. р + 1, стоит,
как следует из доказанного, в строке, содержащей число 1.
Итак, каждому числу из столбца, содержащего N2, соот-
339
ветствует на единицу большее число из строки, содержа-
содержащей 1. Исключение составляет лишь Л/Л Кроме того, чис-
число 1 также не имеет себе пары в столбце. Следовательно,
искомая разность равна
XXII.I. 10.5. Пусть, напротив, среди любых k чисел на-
нашей последовательности наименьшее меньше или равно
половине наибольшего. Рассмотрим числа av я2, ..., ak.
По условию, а± — наибольшее среди них, ak — наимень-
наименьшее; согласно сделанному предположению,
Рассматривая числа ak, ak+1, ..., a2k-v точно так же
получим
1 1 1 _ 1
Й2?—I ^ ~Y ak^ ~2~ ' ~2" ai ~ ~22~ а1 ¦
Продолжая далее этот процесс, обнаружим вообще, что
&п (А—1L-1 -С -уГ av
Рассмотрим теперь сумму:
Sl — ах + аи + а<ы-\ + •» + л« (*-d+i + • •• •
Вследствие полученных выше неравенств, мы, используя
формулу суммы геометрической прогрессии, получим
Отсюда следует, что
S3 = а2 + ak+l + ... -f- an (A-i)+2 + •» < 2^,
... 4- fln(A-D+3 + ••• < 2а,,
—2 + •'•• 4- &п (A—
так как каждому слагаемому в этих суммах соответствует
не меньшее слагаемое в сумме Sv Суммируя полученные
неравенства, очевидно, будем иметь
S = 5Х 4- 52 + ... 4- S*_i < 2 • (k— 1) • ах = 2~- < 1,
340
так как ах =-%?* В то же время 5 должно быть равно I,
так как
5 = S1 + S2 -Ь ... -Ь Sk+i = а, + а2 -f- ... + ап + ••» = 1
по условию. Полученное противоречие и докязы#ает наше
утверждение.
ХХП.И.7.1. Разобьем выражения
А = аД + аД + ... + ааЬп
и
В = а^„ -f a26n_j + ... + «Л
на слагаемые следующим образом:
Л == (аД + flB6J + («2^2 + o«-]^i) + ... ,
В = (oj^ + flA) + («2^-1 + an_i62) + - •
Если п четно, то для каждого одночлена найдется «пара»,
если же п нечетно, то в обеих суммах содержится общее
слагаемое
2 ~Т~
Составим разность
Л — В = {ахЬх + апЬп — ахЬп — aabx) + {аф^ -f
+ ап~Фп-1 — а%Ьпг-\ — ппг-\Ь^ 4- ••• •
Поскольку при нечетном п член ап+{ bn+l уничтожится, то
при всех п в выражение А — В ничего, кроме скобок
вида
Ck = (аА + Qn-k+i bn-b+i — akbn~k+i — dn-k+i bk),
не войдет; при этом k < -^-. Разложим каждую такую скоб-
скобку на множители:
Ск — (ak — an-k-\-i )'Фк~- ba-k+i)-
Так как, по условию,
ak >ап_А+ь bk> bn-k+u
то Ck > 0, т. е. все слагаемые положительны и, значит,
разность А — В положительна. А это и означает, что
, А > В, т. е. axbx + аф% -\- ... -J- а„Ьп > axbn +
-Ь афп-i + ... + anbv
341
XXII.П.7.3. Запишем число 999999999 в виде
1 000 000 000 — 1. Обозначим искомое число через А и
пусть Л — десятичная запись числа А. Очевидно,
999999999 ¦ А = Ю00 000 000 А — А = Л000000000 — А.
Это число и должно состоять из одних единиц. Итак,
1000 000 000 А —А = 111...11,
откуда
Л = 1000 000 000Л—111... 11
или
Л = Л000 000 000—11 ...1. (*)
Так как последние цифры уменьшаемого известны, то мы
можем производить вычитание («в столбик»), выясняя тем
самым последние знаки самого числа А, стоящего в левой
части равенства (*). Приписывая эти знаки слева к нулям
в правой части, мы сможем продолжить вычитание, выясняя
новые знаки, и так далее, пока это возможно (т. е. пока
вновь полученные знаки числа Л не станут равными 1).
Покажем, как происходит этот процесс на примере
более короткого числа 99:
99Л = 100Л — А= 111 ...11,
так что
А = 100Л— 111... 11 =Л00— 111 ... 1.
Вот последовательное вычисление знаков:
... 00 ... 8900 . . . 778900
~ . .111 "~. . .11111 , " . .. 111111
89; 7789 ; 667789'
и так далее.
В нашем случае, как нетрудно убедиться, получится
число
Л1== 11 ... 1 22 ...2 ... 77 ...7 88 ...8 9.
9 цифр 9 цифр 9 цифр 8 цифр '
Полученное число Ах, очевидно, наименьшее, об-
обладающее требуемым свойством, так как каждый знак числа
Л! с необходимостью получался из последующих. Но это
число — не единственное, так как наш процесс можно
продолжить, дописав слева от Лх девять нулей A11... 11 —
— 111...11 — 000...00) и возобновив вычитание.
Ясно, что любое число Ап с требуемым свойством имеет
вид:
Лл =* Ах 000 ... 00 Ах 000... 00 Аг ... 0 А1 000 ... 00 Av
.9 цифр 9 цифр 9 цифр
342
XXII.П.7.5. Покажем сначала, что п четно. В самом деле,
среди п чисел (хх #2)> (х2х3), —. (хп хд Должно быть столько
же 4-1, сколько —1, так как они все равны ± 1, а их сумма
равна нулю. Итак, среди этих п чисел k раз встречается
+1 и k раз —1, т. е. п = 2k. Рассмотрим теперь все числа,
равные —1. Если хт-хт+1 = —1, то числа хт, хт+1 — раз-
разного знака. Обратно, если числа хт> хт+1 разного знака,
то хт-хт+1 = —1. Таким образом, k есть число перемен
знака в последовательности xlt x%> ..., хп, xv Но в конце
последовательности стоит то же число, что и в начале.
Значит, число перемен знака в ней должно быть четно:
k = 21. Отсюда п — 2k = 41, что и требовалось доказать.
XXII.II.9.5. Занумеруем поля доски (кроме централь-
центрального) в порядке обхода их шахматным конем (рис. 40, а);
белые кони стоят на полях 1 и 3, черные — на полях 5
и 7. Рассмотрим вспомогательную схему, изображенную
на рис. 40, б.
Положения коней
обозначены символами:
О — белый конь,
X — черный конь.
Ход коня изобража-
изображается на схеме движением
одного из символов на
один шаг по или против Q\
часовой стрелки.
Заметим, что после Рис. 40.
всех перестановок каж-
каждый конь сделает четное число ходов (так как после
одного хода меняется цвет поля, на котором стоит конь,
а все поля 1, 3, 5, 7 — одного цвета).
Пусть какой-то конь сделал за все время перестановок
только 2 хода; например, пусть белый конь 1 встал на поле 7,
пройдя через поле 8.
Так как при этдм белый конь 3 должен встать на поле 5,
а черный конь 5 на одно из полей 1 или 3, то эти два коня
должны на схеме «перескочить» один через другого или через
коня, стоящего вначале на поле 1. Но такое «перескаки-
«перескакивание» означает, что при каком-то ходе в одной клетке бу-
будут находиться сразу два коня, что противоречит пра-
правилам.
Итак, ни один конь не может сделать только 2 хода.
Это значат (ввиду четности числа ходов каждого коня),
7
6
2
3
8
5
343
что всего будет сделано не меньше, чем 4*4 =
= 16 ходов.
XXIII. 1.7.К Предположим сначала,, что мы имеем де-
денежную сумму в 10 рублей или больше. Покажем, что
любая такая сумма может быть представлена как четным,
так и нечетным количеством денежных билетов.
Именно, любая четная денежная сумма (в 10 рублей
или более) представляется, с одной стороны, четным чис-
числом билетов достоинством в 1 рубль, а с другой — одним
билетом в 10 рублей и еще четным числом билетов по
одному рублю. Точно так же, любая нечетная денежная
сумма (в 10 рублей или более) представляется, с одной сто-
стороны, нечетным числом билетов по одному рублю, а с дру-
другой — одним билетом в 10 рублей и еще нечетным числом
•билетов по одному рублю.
Рассмотрим теперь денежные суммы, меньшие 10 руб-
рублей. Для представления этих сумм в нашем распоряжении
имеются лишь билеты достоинством в 1, 3, 5 рублей — все
нечетные. Понятно, что нечетное число билетов, каждый
из которых представляет нечетную сумму, могут составить
лишь нечетную сумму; следовательно, никакую четную
сумму, меньшую 10 рублей, нельзя представить нечетным
числом билетов. Аналогично, четное число билетов, каж-
каждый из которых представляет нечетную сумму, могут
составить лишь четную сумму; следовательно, никакую
нечетную сумму, меньшую 10 рублей, нельзя предста-
представить четным числом билетов. Итак, четная сумма, мень-"
шая 10 рублей, может быть представлена лишь четным
числом билетов, а нечетная сумма (меньшая 10 рублей)
требует для своего представления нечетного количества
билетов.
Таким образом, все суммы, не меньшие 10 рублей,
удовлетворяют поставленному условию; все остальные сум-
суммы не удовлетворяют.
XXIII.1.7.2. Пусть К — общая точка всех трех окруж-
окружностей (рис. 41). Так как окружности по условию равны,
то КАХ есть перпендикуляр, проведенный через середину
Мг отрезка О2О3; далее КЛ2 — перпендикуляр, проведен-
проведенный через середину /И2 отрезка ОгО3, и KAS — перпенди-
перпендикуляр, проведенный через середину М3 отрезка Ofi^ Точки
Mlt Л42, М3 являются также серединами отрезков K.AV
KAS, КА3. В треугольниках КА%А3 и 0г0^03 отрезок МаМа
является средней линией и, следовательно,
344
02О3 =
Аналогично,
= А2Л3.
М2 = АХА%,
Отсюда и следует тре-
требуемое равенство тре-
треугольников:
Д AXAZA3 = д ОгО2О3.
XXIII. 1.7.4. Покажем
прежде всего, что точ-
точки Av N и В2 лежат на
одной прямой. В самом
деле,
Z
= Z AXNM
Z ЯЛШ
Рис. 41.
Но углы AjNM и B%NM — прямые, так как опирают-
опираются на диаметры. Итак, Z.AXNB2 — 180°, т. е. точка N лежит
на отрезке ЛХБ2. •
Рассмотрим теперь треугольник. АгМВг. Поскольку
углы Л^М и В2А2М — прямые (они опираются на
диаметры), а угол MNBZ, как показано выше,-?- тоже
прямой, то прямые MN, А1В1 и А2В% являются высотами
в рассматриваемом треугольнике АХМВ2- Следовательно,
эти три прямые пересекаются в одной точке
XXIII,1.8.1. Сумма цифр рассматриваемого числа равна
300, т. е. делится на 3. Следовательно, и само число должно
делиться на 3 (по признаку делимости на 3). Пусть теперь
х = а2, где а — целое число. Тогда а также делится на 3
(иначе и число х не делилось бы на 3), и, значит, число х
должно делиться на 9. Однако сумма цифр числа х (равная
300) на 9 не делится, а потому и л; не делится на 9. Полу-
Полученное противоречие показывает, что число х не может
быть точным квадратом.
ХХШ.1.8.2. Будем для краткости называть игроков,
занявших последние три места, «плохими», а всех осталь-
остальных — «хорошими».
Плохие игроки сыграли между собой, как нетрудно
видеть, три партии, и в этих партиях было набрано в общей
сложности три очка
345
По условию, это — половина всех очков, набранных
плохими игроками; значит, в играх с хорошими плохие
игроки набрали еще 3 очка. Но всего между плохими и
хорошими игроками было сыграно (п — 3) • 3 партий и
разыграно столько же очков (п — общее число игроков).
Из них 3 очка взяли плохие игроки, а остальные очки взяли
хорошие. Следовательно, в партиях с плохими игроками
хорошие игроки завоевали (п — 3)-3 — 3 очка, и, значит,
столько же очков хорошие игроки набрали (в общей слож-
сложности) в играх друг с другом.
Как легко видеть, между хорошими игроками было про-
(п — 3) (п — 4)
ведено ^ партии и разыграно столько же очков.
Следовательно,
(я —3) (я —4)
=» (п — 3) . 3 — 3,
о
о
1
о
о
о
откуда получаем два решения: п = 4, п = 9.
Ясно, между тем, что вариант п = 4 должен быть
исключен, так как в этом случае единственный хороший
игрок набрал все свои очки во встречах с тремя осталь-
остальными участниками. Остается одно решение: п — 9. Однако
этим задача еще не решена,
так как еще неясно, годится
ли это значение п. Для того
чтобы убедиться в этом, нуж-
нужно показать, что возможно
такое распределение очков в
турнире между девятью участ-
участниками, при котором выпол-
выполняются требования, указан-
указанные в условии задачи. При-
Пример турнирной таблицы, по-
показывающей, что такое рас-
распределение очков возможно,
приведен ниже (см. рис 42).
ХХШ.1.8.3. Проведем диагональ АС и прямую, про-
проходящую через точку В и параллельную этой диагонали.
Обозначим через Р точку пересечения этой прямой с про-
продолжением стороны DC (рис. 43, а). Треугольники A PC
и ABC имеют общее основание АС и, очевидно, равные вы-
высоты. Следовательно, их площади равны.
346
о
о
о
о
о
о
Уг
Рис. 42
Предположим сначала, что середина R отрезка DP
лежит на отрезке DC. Проведем медиану AR к стороне
DP в треугольнике ADP. Так как высота у треугольников
ADP и ADR общая и основание одного составляет поло-
половину основания другого, то
Так как при этом
SAADP = SAADC -Ь
то прямая AR — искомая.
Рис. 43.
Пусть теперь точка R окажется вне отрезка DC, т. е.
PC > CD. В таком случае проведем еще прямую, парал-
параллельную диагонали АС, и проходящую через точку D
(рис. 43, б). Если Q — точка пересечения этой прямой
с продолжением стороны ВС, то середина S отрезка BQ
заведомо лежит на отрезке ВС.
Действительно, из подобия треугольников ВСР и DCQ
вытекает, что ВС : CQ = PQ: CD, а так как PC > CD,
то PC : CD > 1 и, значит, ВС : CQ > 1. Иначе говоря,
ВС > CQ, и Потому середина 5 отрезка BQ лежит на от-
отрезке ВС.
Из этого, как и раньше, легко следует, что в рассматри-
рассматриваемом случае прямая AS — искомая.
347
XXIII.1.8.4. Проведем прямые ОА и ОВ и заштрихуем
угол АО В (т. е. тот угол, в котором расположен отрезок
АВ) и вертикальный с ним угол (рис. 44» а). Ясно, что точ-
точка С (или D) будет отмечена, если она не лежит в заштри-
заштрихованных углах, и не будет отмечена, если она лежит в
одном из заштрихованных углов.
Могут представиться следующие возможности:
1) Отрезок CD не пересекает ни одной из прямых
О А, ОВ. В этом случае обе точки А, В являются отмечен-
отмеченными. Точки же С и D лежат обе в одном и том же из четы-
четырех углов, определяемых прямыми О А и ОБ, т. е. либо
обе являются отмеченными (рис. 44, б), либо обе' не яв-
являются отмеченными (рис. 44, в). Итак, в рассматриваемом
случае отмечены либо 2, либо 4 точки.
е) J
2) Отрезок CD пересекает только одну из прямых О А,
ОВ, т. е. только одна из точек А, В является отмеченной.
Точки же С и D лежат в двух смежных углах, определяе-
определяемых прямыми ОА, ОВ (рис. 44, г), т. е. одна лежит в заштри-
заштрихованном углу, а другая — в незаштрихованном; следо-
следовательно, только одна из точек С, D является отмеченной.
Итак, в рассматриваемом случае отмечены 2 точки.
3) Отрезок CD пересекает обе прямые О А, ОВ, т. е.
ни одна из точек А, В не является отмеченной. Точки С
и D лежат в этом случае в двух вертикальных углах,
т. е. либо обе отмечены (рис. 44, д), либо ни одна из них
не отмечена (рис. 44, е). Итак, в рассматриваемом случае
либо 2 точки отмечены, либо ни одна не отмечена.
Сопоставляя все возможности, мы видим, что могут быть
отмеченными 0, 2 или 4 точки.
248
XXIII.1.8.5. Мы должны показать, что существует бес-
бесконечно много чисел т, не представимых в виде m=p-|-n2ft.
Мы покажем даже, что среди чисел, являющихся точ-
точными квадратами, бесконечно много чисел обладают
требуемым свойством. В самом деле, если мы возьмем
т = с2, то для р получим выражение:
p = a? — n*k=:(a — nk) (a -f nk).
Чтобы р было простым, необходимо теперь, чтобы один
из сомножителей был равен 1. Так как а + nk, очевидно,
больше чем а — nk, то должно выполняться именно соот-
соотношение:
а — nk = 1.
В таком случае nk = а — 1, и потому р = 1 . (а + nk) —
= а -\- (а — 1) = 1а — 1. Остается лишь заметить, что
нечетных чисел 2а— 1, не являющихся простыми, беско-
бесконечно много (таковы, например, все числа вида 36, где b
нечетно). Таким образом, можно подобрать бесконечно
много чисел т = а2, для которых число р в соотношении
т = р + n2k не может быть простым.
XXIII.1.9.3. Пусть / — некоторая прямая, проходящая
через точку О; Л и Б — точки ее пересечения с границей
многоугольника. Нам надо доказать, что О А =¦ ОВ (для
любой прямой /, проходящей через точку О). Допустим,
напротив, что отрезки ОА н ОВ не равны; пусть например,
ОА > ОБ.
Возьмем прямую /', проходящую через О и пересекаю-
пересекающую границу многоугольника в точках С и D, настолько
близко расположенных от точек Л и Б (соответственно),
чтобы было ОС > 0D и, кроме того, чтобы на участках
границы от Л до С и от Б до D не было вершин многоуголь-
многоугольника (в силу выпуклости многоугольника это всегда можно
сделать). Прямая / разбивает площадь многоугольника
на части Sx и 521 прямая V — на части S[ и S'2, причем,
по условию
$1 — ^2» ^i = 5г.
Вычитая одно равенство из другого, получим
349
Однако из равенств
Saaoc = 4" Л0 " 0С ' sin z Л0С>
Sabod = — BO-OD • sin Z BOD
в силу соотношений
ОА > OB, ОС > ОД Z АОС = Z
вытекает, что SaAOc^>SABod- Полученное противоречие
-показывает, что для любой прямой /, проходящей
через точку О, имеет место равенство О А — ОВ. Это и
означает, что О есть центр симметрии многоугольника.
ХХШЛ.9.4. Обозначим точку, заданную внутри окруж-
окружности, через А. Пусть сначала четвертая вершина D яв-
является в прямоугольнике вершиной, противолежащей
вершине А (рис. 45, а). В этом случае по теореме Пифагора
OD* = OF2 + FD2, так как OF ± CD, ОН ± BD. Учиты-
Учитывая равенства
= #А ВН = AN, FC = ON,
получаем отсюда
0D2 = OF* -f ОН2 = OF2 -f FC2 — FC2 + 0Я2 + ВН2 —
— ?tf2 = (OF2 4- FC2) + @Я2 + HB2) ~ (FC2 + BH2) =
=: /^2 4. #2 _ @#2 4. ЛДГ2) = 2R2 — 0A\
Таким образом,
т. е. длина отрезка OD не зависит от положения прямо-
прямоугольника. Это значит, что точка D лежит на окружности
радиуса|/2^3—ОА2, концентричной с данной. Заметим,
что y2R2 — АО2 > R, т. е. эта окружность лежит вне
данной окружности.
Если теперь точка D является в прямоугольнике вер-
вершиной, смежной с Л, то, как легко видеть, 0D = ОА (в силу
симметрии рисунка 45, б относительно прямой, проходя-
проходящей через центр и перпендикулярной AD); следовательно,
точка D лежит на окружности радиуса ОА, также концен-
концентричной с данной. При этом, разумеется, точка D должна
быть отличной от точки А.
350
Покажем теперь, что любая
точка каждой их этих двух ок-
окружностей, за исключением точ-
точки А, принадлежит множеству
четвертых вершин прямоуголь-
прямоугольников. Пусть X — любая точка
внутренней окружности, отлич-
отличная* от А (рис. 45,6). Соединив
X и Л, проведем перпендикуляры
АВ' и ХС к отрезку АХ до
пересечения с данной окруж-
окружностью в точках В' и С Пока-
Покажем, что АВ'С'Х—прямоуголь-
АВ'С'Х—прямоугольник. Сумма углов при верши-
вершинах В' и С четырехугольника
АВ'С'Х равна, очевидно, 180°.
С другой стороны,эти углы равны
в силу симметрии четырехуголь-
четырехугольника относительно перпендику-
перпендикуляра, проведенного из центра О
к отрезку АХ. Тем самым дока-
зано, что АВ'С'Х — прямоуголь-
прямоугольник, и, значит, точка X принад-
принадлежит рассматриваемому множе-
множеству.
Рассмотрим теперь произволь-
произвольную точку У внешней окружно-
окружности. Соединим точки Y и А и на
отрезке AY, как на диаметре,
построим окружность. Пусть
В — одна из точек ее пересече-
пересечения с данной окружностью. По
точкам А и В уже можно по-
построить прямоугольник, третья
вершина С которого, противо-
противолежащая вершине В, лежит на
данной окружности. Таких
прямоугольников будет два
(рис. 45, в), причем четвертые их
вершины, по доказанному, дол-
должны лежать на внешней окруж-
ности. С другой стороны, эти
четвертые вершины обоих прямо-
\
351
угольников должны лежать на прямой YB, так как YB j_ AB
по построению (угол YBA опирается на диаметр). Но у
прямой BY с внешней окружностью есть как раз две точки
пересечения, значит, именно они и являются четвертыми
вершинами прямоугольников. Так как одна из точек пере-
пересечения прямой BY с внешней окружностью, очевидно,
совпадает с У, то точка Y принадлежит рассматриваемому
множеству.
XXII.I.10.5. Расположим числа av a2, ,.., ak в порядке
убывания их абсолютных величин:
и соотношение
p?
разделим на p":
? + $ + ... + В = о
Обозначим через 8;+1 первое число, абсолютная вели-
величина которого отлична от абсолютной величины числа C,:
1Pil = IPi1 = ».=sIP(l>IPi+il>-..>IPft|.
Соотношение A) перепишется тогда таким образом:
1 ± 1 ± 1 ± ... ± 1 +
Выберем теперь п столь большим, чтобы [^^¦) было
меньше, чем ^т—т-. ; это всегда можно сделать, так как
последовательность
Hi \ Hi / \ Hi
представляет собой убывающую геометрическую прогрес-
прогрессию (заметим, что^-^р < 1). При таком выборе п абсолют-
ная величина суммы
будет, очевидно, меньше^-. Ясно теперь, что количество
+ 1 и —1 в равенстве B) должно быть одинаковым, так
как сумма S, меньшая -^ по абсолютной величине, не смо-
352
жет компенсировать избытка, представляющего собой (по-
(положительное или отрицательное) целое число. Итак, чис-
числа, равные по абсолютной величине числу рх, разбиваются
на пары в соответствии с утверждением задачи. Исключив
эти числа из рассмотрения (что возможно, так как их
сумма равна 0), мы проведем точно те же рассуждения
для оставшихся чисел и так далее, пока не исчерпаем всех
чисел.
XXIII.II.7.1. При решении задачи могут представиться
три возможности.
1. Точки Л, В, С, D образуют выпуклый четырехуголь-
четырехугольник. В этом случае для любой точки М имеем неравенства:
МА + МО АС,
MB-\-MD> BD,
складывая которые, мы убедимся в том, что искомой точкой
является точка пересечения диагоналей АС к BD. (Для
этой точки сумма расстояний до вершин как раз равна Л С +
-+- BD; для всех остальных точек эта сумма, как мы видим,
больше.)
2. Точки А, В, С, D не образуют выпуклого четырех-
четырехугольника, но не лежат на одной прямой. В этом случае
одна из точек — пусть это будет D — лежит внутри или
на стороне треугольника, образованного тремя остальными
точками.
Пусть точка М лежит внутри или на стороне треуголь-
треугольника BDC (если бы точка М лежала внутри или на стороне
треугольника ABD или ACD, рассуждение было бы анало-
аналогичным). Проведем прямую AM и рассмотрим ту из вершин
В, С, которая лежит по ту же сторону от прямой AM,
что и точка D; пусть это будет вершина С (рис. 46, а).
Тогда
AM + СМ > AD + CD,
DM + BM> BD.
Складывая эти неравенства, мы обнаружим, что
AM + ВМ + СМ + DM > AD + BD + CD,
т. е. для точки D исследуемая сумма минимальна.
12 Зак. 387 353
Если точка D лежит по ту же сторону от прямой AM,
что и вершина В (рис. 46, б), то написанные неравенства
заменяются следующими:
DM+CM>CD,
в
8)
Ф
Рис 46,
откуда, складывая, получаем то же соотношение. Если
точка D лежит на прямой AM (рис. 46, в), то применимы
любые из написанных неравенств. Итак, во втором случае
искомая точка — точка D.
3. Точки А, В, С и D лежат на одной прямой. Пусть,
например, точки С и D лежат между А и В (рис. 46, г);
тогда искомой точкой будет любая точка М отрезка CD
(для любой такой точки М сумма AM -f- ВМ + СМ + DM
равна АВ -\- CD; для точки М, не лежащей на отрезке CD,
эта сумма, как легко видеть, больше).
ХХШ Л1.7.2. Пусть а > Ъ > с > d. Покажем прежде все-
всего, что можно построить треугольник со сторонами а — d,
b, с. Для этого необходимо, чтобы выполнялись неравен-
неравенства
а — d < b -\- с,
b <a — d + с,
с < а — d + b.
0)
B)
C)
S54
а-й
Рис, 47.
Неравенство A) равносильно
неравенству
а< Ь-\- с+ dt
которое выполнено, так как
а, Ь, с, d — стороны четырех-
четырехугольника (в многоугольнике
каждая сторона меньше сум-
суммы всех остальных). Так как
6 < а, с — d > 0 (в силу на-
наших предположений о числах а, Ь, с, d), то выполнено и
неравенство B). Аналогично, неравенство C) следует из
того, что с < at b — d > 0. Построив теперь треугольник
со сторонами а — d, b, с, мы легко достроим его до трапе-
трапеции со сторонами а, Ь, с, d (см. рис. 47): нужно продол-
продолжить сторону а — d на отрезок d (в любую сторону, на-
например за конец стороны с) и на отрезках ct d построить
параллелограмм.
XXIII.II.7.3. Будем обходить границу пятиугольника
ABCDE так, чтобы его внутренность оставалась все время
слева. При обходе мы делаем повороты направо или налево.
Если мы делаем поворот направо, то внутренний угол в
такой вершине больше 180°, а если — поворот налево, то
внутренний угол меньше 180° (рис. 48, а, и 48, б). Так как
сумма углов пятиугольника равна 540°, то правых пово-
поворотов может быть не больше двух: если бы их было три,
то сумма углов пятиугольника была бы больше 540а. Зна-
'U///M//0///U
в)
а
Рис. 48.
355
чит, левых поворотов будет не меньше трех, и поэтому
хотя бы два из них обязательно идут подряд. Пусть такие
левые повороты произошли в двух вершинах А а В. Тогда
стороны ЛЕ и ВС лежат по одну сторону от прямой А В
(рис. 48, в).
Если точка D лежит в той же полуплоскости (относи-
(относительно прямой АВ), что отрезки АЕ и ВС, то, очевидно,
сторона АВ — искомая. Пусть точка D лежит по другую
сторону от прямой АВ. Тогда прямые AD и BD разбивают
верхнюю полуплоскость на три части (см. рис. 48, г). Вер-
Вершины С и Е могут, очевидно, лежать только в 1-й и 3-й
частях, так как иначе пятиугольник был бы самопересе-
самопересекающимся. Если точки С и Е лежат в разных частях,
то нас удовлетворит любая из сторон: CD или DE. Если же
точки С и ? лежат в одной части, то обе стороны, CD и
DE, пересекают прямую АВ по одну сторону от отрезка
АВ и нас удовлетворит та сторона, точка пересечения ко-
которой с прямой АВ отстоит дальше от ближайшего конца
отрезка (сторона DE на рис. 48, д).
XXIII.II.8.1. Выберем из всех отрезков, соединяющих
(попарно) все точки, наибольший (или один из наибольших)
и обозначим его через АВ. Очевидно, что во всех треуголь-
треугольниках, содержащих точки А и В как вершины, отрезок
АВ (как наибольший) должен лежать против прямого угла.
Таким образом, все рассматриваемые точки лежат на
окружности с диаметром АВ.
Пусть С — одна из точек. Выясним, где может лежать
еще одна точка D, если она существует.
В треугольнике ACD угол ACD не прямой, так как
иначе точка D совпадала бы с точкой В. Далее, Z.ADC Ф
Ф 90°, так как он опирается на хорду АС, не являющуюся
диаметром. Следовательно, в треугольнике ACD прямым
должен быть угол DAC; отсюда следует, что CD—диа-
CD—диаметр.
Итак, если кроме А, В, С есть еще точки, то любая из
них должна совпадать с концом диаметра, проходящего
через точку С, откуда ясно, что наибольшее возможное
значение п равно 4 (четыре точки расположены в вершинах
прямоугольника).
XXIII.II.8.4. Пусть ах — первый наблюдатель. Рассмот-
Рассмотрим всех наблюдателей, которые начали следить за улиткой
либо в тот момент, когда кончил аг, либо еще раньше (по
условию, такие наблюдатели есть).
356
Пусть а2 — последний из таких наблюдателей. Рассмот-
Рассмотрим далее всех наблюдателей, начавших следить за улит-
улиткой, не позже, чем кончил а2, и обозначим через Оц послед-
последнего из них. Аналогично выберем наблюдателя а4 и т. д.
Очевидно, что в конце концов мы дойдем до наблюдателя,
окончившего наблюдать как раз в конце шестой минуты
(если наблюдатель ak кончил наблюдать раньше, то имеют-
имеются наблюдатели, начавшие следить позже, чем ak, а потому
можно выбрать наблюдателя ak+1). Пусть av а2, ..,, ak —
все выбранные таким образом наблюдатели. Ясно, что про-
промежутки наблюдения alt а3, аь, ... не пересекаются; точно
так же не пересекаются промежутки, в которые следили
наблюдатели а2, а4, а& Действительно, если бы, на-
например, нашелся момент времени, когда наблюдали а±
и а3, то это означало бы, что наблюдатель аг выбран непра-
неправильно, так как а3 начал наблюдать позже, чем а2, но еще
до того, как кончил av Так как промежутки наблюдения
а±, с3, ... (каждый длиной в 1 минуту) не пересекаются, то
наблюдателей av as, аь, ... не больше 5, ибо весь интервал
наблюдения составляет 6 минут. Точно так же наблюда-
наблюдателей а2, а4, ... не более 5, т. е. всего наблюдателей
alt a2,
имеется не более десяти: к < 10.
ю
9
6
7
б
5
Ч
3
2
S(m)
Рис. 49,
357
Теперь у нас за улиткой все время наблюдает кто-нибудь
из людей av аъ, ..*, ak\ всего таких наблюдателей не более
10, и каждый видит, как улитка проползла 1 м. Значит,
больше 10 м улитке не проползти. Ниже (рис. 49) приведен
пример движения улитки, когда она проползает ровно
10 м (k = 10).
Улитка ползет только тогда, когда на нее смотрит
ровно один наблюдатель, и за это время проползает 1 м;
остальное время улитка не движется.
ХХШ.П.9.3. Мы представляем себе доску п х 4, имею-
имеющей 4 вертикали и п горизонталей (рис. 50). «Крайними»
мы будем называть клетки, расположен-
расположенные на первой и четвертой вертикалях;
остальные клетки назовем «средними».
Заметим, что с любой из крайних вер-
вертикалей конь за один ход может попасть
только на среднюю клетку.
Значит, если бы конь мог требуемым
способом обойти доску, то клетки, нахо-
находящиеся на крайних вертикалях, были
бы расположены в последовательности
ходов коня не подряд (именно, ника-
никакие две такие клетки не идут под-
подряд).
С другой стороны, крайних клеток
столько же, сколько средних, а конь, по
условию, обходит все клетки по одному
разу и возвращается на исходную клетку.
Ясно поэтому, что крайние клетки расположены не реже,
чем через одну, в требуемой последовательности ходов ко-
коня. (Если бы где-нибудь встретились подряд две средние
клетки, то в качестве «компенсации» должны были бы най-
найтись и две крайние, идущие подряд; последнее, однако,
невозможно.)
Мы видим, что крайние клетки должны быть располо-
расположены в требуемой последовательности ходов строго через
одну.
Но в этом случае они все были бы одного цвета, а это
противоречит устройству шахматной доски.
XXIII.П.9.4. По смыслу термина «описанный», каждая
сторона прямоугольника должна проходить через какую-
нибудь вершину треугольника. Так как- при этом вершин
у треугольника на одну меньше, чем сторон у прямоуголь-
358
з ч
Рис. 50.
ника, то хотя бы одна вершина прямоугольника должна
совпадать с одной из вершин треугольника. Мы будем
называть такую вершину «главной». Пусть А — главная
вершина треугольника, Q — совпадающая с ней вершина
прямоугольника, N — вершина прямоугольника, противо-
противоположная Q. Так как Z.CNB — 90°, то, очевидно, точка
N лежит на полуокружности, построенной на стороне ВС,
как на диаметре (полуокружность лежит вне треугольника
ЛВС). Пусть теперь R и S — середины сторон АС и АВ,
О — точка пересечения средней линии RS с медианой AL
стороны ВС; X — произвольная точка построенной полу-
полуокружности, Y — середина отрезка АХ. В треугольнике
ALX
так как OY — средняя линия.
Стало быть, точка Y лежит на полуокружности радиуса
4 ~~ 2 '
построенной на RS, как на диаметре (рис. 51, а). Заметим
теперь, что центр пря-
прямоугольника есть точка
пересечения его диаго-
диагоналей и, значит, се-
середина любой диагона-
диагонали. Пока вершина А
треугольника остается
главной, центр прямо-
прямоугольника описВ1вает,
как мы показали, ка-
какую-то часть дуги по-
полуокружности, постро-
построенной на RS, как на
диаметре. Выясним, ка-
какую именно часть по-
полуокружности описыва-
описывает центр прямоугольни-
прямоугольника. Если А — главная вершина, то сторона PN прямо-
прямоугольника образует со стороной АС треугольника тупой
угол: /.NCA > 90° (см. рис. 51, б). Этот угол становится
прямым как раз тогда, когда роль главной вершины
переходит к точке С. Точно так же угол NBA не мень-
359
N
N
Рис. 51, б.
ше 90°. Построим перпен-
перпендикуляры к сторонам А С
и АВ в точках С и Л
(соответственно); они вы-
высекают на дуге полу-
полуокружности как раз ту
ее часть, которая замета-
заметается вершиной N прямо-
прямоугольника (пока точка
А остается главной, см.
рис. 51, б). Если те-
теперь построить на сред-
средних линиях треуголь-
треугольника ABC дуги полу-
полуокружностей вдвое мень-
меньшего радиуса и выделить на них соответствующие части,
то образуется криволинейный треугольник, который и
является искомым множеством (см. рис. 51, в).
ХХШЛ1.10.2. Представим исходное число А в виде
А = 10а + Ь.
После перестановки последней цифры Ъ в начало мы по-
получим, очевидно, число
В = 106»-1 • Ь + а.
Рассмотрим число
ЗВ — А = 36- Ю^-Ч-
-f За — 10а — b = — 7а -J-
+ 6C • Ю6"-3—1).
Из двух слагаемых в пра-
правой части равенства одно
делится на 7. Покажем,
что и другое делится на 7.
В самом деле,
3 • 106"-1
1 =300..,0—1 = 299999 99 ...9.
6п—1 цифра
6 (п— 1) цифра
Легко проверить, что 299 999 и 999 999 делятся на 7,
и потому число 3 • Ю6"-1 — 1, а значит, д>В — А, делится
на 7. Поскольку ЗВ — А делится на 7 и Л делится на 7
(по условию), число ЗВ тоже должно делиться на 7. Отсюда
следует, что В кратно 7, что и требовалось доказать.
360
XXIII.H.10.3. Пусть кто-то из собравшихся — назовем
его X — имеет т — знакомых: ах, а2, ..., ат. По условию,
никакие два человека из а1( а2, ..., ат (знакомых с X) друг
с другом незнакомы. Значит, для каждых двух человек
{at, aj) должен найтись еще один общий знакомый, кроме
X. Этот человек должен быть, очевидно, не знаком с X;
при этом разным парам (at, a^) должны соответствовать
разные люди (если бы один и тот же человек был общим
знакомым одновременно для двух или более пар из числа
аг, а2, ..., ат, то он, очевидно, имел бы с X более двух об-
общих знакомых).
Мы видим, что число всех людей, не знакомых с X,
не меньше, чем число пар людей из числа а^, аг, ..., ат<
т. е. не меньше
г2 — т^т ~ *)
т 2 '
С другой стороны, каждый человек, не знакомый с X,
имеет с ним ровно двух общих знакомых — разумеется,
из числа av a2, ..., ат. При этом разным людям соответст-
соответствуют разные пары (если бы одна пара {at, a}) соответство-
соответствовала двум или более людям, то at и Оу имели бы, очевидно,
больше двух общих знакомых, учитывая X).
Таким образом, число людей, не знакомых с X, не
больше, чем Cm- Следовательно, п = 1 + tn + т ^~
л v т(т — 1)
A — это сам X, т — число его знакомых и —Ц>—- —
число людей, с ним не знакомых).
Рассматривая это выражение как квадратное уравнение
относительно т, мы видим, что оно имеет только один
положительный корень, а это и означает, что для всех X
число т знакомых этого человека постоянно.
Замечание. Из уравнения видно также, что вовсе не при всех
п число т может быть целым, а только при п = I, 2, 4, 7, 11, ... (tn
соответственно равно 0, 1, 2, 3, ...)-
*
XXIV.I.7.1. Запишем числа от 1 до 2л в две строки
следующим образом:
12 3 ... /г— 1 л ,
2л 2л— 1 2л —2 ... л 4-2 л+ 1.
Суммы чисел в каждом столбце, как видно, равны. 'Так как
361
л четно, мы можем разбить строки на пары и в первую
пару строк записать числа от 1 до 2л так, как было ука-
указано; во вторую пару — числа от 2/г + 1 до An аналогичным
способом:
2л+1 2л+ 2... Зл,
An 4л—1...3я+1,
и т. д.
В каждой паре строк суммы чисел в столбцах одинаковы,
поэтому построенная таблица удовлетворяет требуемым
условиям.
XXIV.1.8.2. Покажем, что задуманный набор можно
определить, задав всего один вопрос. Именно, достаточно
взять
аг = 100, аа = 1002, .... ап = 100л.
Тогда сообщенная нам сумма равна
5, = 100лгх + 100% + ... + \№пхп.
Рассмотрим теперь соотношение
100" ~ 100й " ' Х*
и покажем, что
100*! 4" ЮО'Ха + •- + 100л—I хП-\
v 10'
Действительно,
[100^4- 100%-Ь ... 4
< 9 • A00 4- ЮО* -f •- + 100»-i),
так как xv xt, .., хп~г — однозначные числа. Число
9A00 4- 100*4-•••• 4-100я-1), как легко понять, имеет
2п — 1 десятичных знаков и состоит из нулей и девя-
девяток, т. е. оно меньше, чем 99...999, и подавно меньше,
2п~1 цифра.
чем 102"-1.
Таким образом, интересующее нас отношение меньше,
чем
102п-1 ^Ю '-Щ i
юо" ~ 1о2/г ~~ То" *
о
Мы показали, что отношение —гт^Ьп отличается от це-
362
лого числа х„ меньше, чем на -1-; это> очевидно, позво-
позволяет однозначно определить хя. Зная х„, мы можем найти
сумму
52 = S,— ЮСУ*- = 100а;, + 100% -+- ... 4- 100я-» х„ i
и по ней найти хп—\ (разделив на 100"—1), и т. д.
Замечание. Если все числа xv x2, .... хп положительны, то Sj
представляет собой число, у которого на нечетных местах стоят цифры
xi, а на четных местах — нули, так что решение задачи в этом случае
особенно просто.
XXIV. 1.9.4. Так как проезд в автобусе стоит 5 копеек,
а ни у кого из пассажиров, по условию, нет монет мельче
10 копеек, то после оплаты проезда каждый пассажир
должен получить сдачу, т.е. после оплаты проезда у каж-
каждого на руках должна остаться хотя
бы одна монета. Таким образом, после
оплаты на руках у пассажиров
должно остаться не меньше, чем 4k
монет. Вместе с тем стоимость про-
проезда 4k пассажиров составляет 20k
копеек, и для ее оплаты даже
20-копеечными монетами (са-
(самыми крупными из имеющихся) по-
потребовалось бы не меньше, чем k
монет. Значит, в кассу автобуса
будет опущено не меньше k монет,
и общее необходимое количество мо-
монет равно 5k.
Нам осталось построить пример правильной оплаты
проезда при наличии у пассажиров ровно 5k монет. Ра-
Разобьем пассажиров на к групп по 4 человека и пусть в каж-
каждой группе деньги распределены следующим образом:
1-й пассажир: 15 коп.;
2-й пассажир: 10 + 10 коп.;
3-й пассажир: 15 коп.;
4-й пассажир: 20 коп.
E монет на каждую группу из 4 человек; всего, значит,
5k монет). Расчет в группе происходит следующим обра-
образом (рис. 52):
363
Касса |
Рис. 52.
1-й получает 10 коп. взамен 15 коп.;
2-й » 15 коп. » 20 коп.;
3-й » 10 коп. » 15 коп.;
4-й » 15 коп. » 20 коп.
В кассу опущено 20 коп. за четырех пассажиров.
XXIV.II.7.1. Нам дан многоугольник, в котором прове-
проведены какие-то диагонали. Сотрем их и будем проводить
снова, но уже по одной, по очереди.
Первая диагональ разделила многоугольник на два;
каждый из них покрашен снаружи всюду, кроме диагонали.
Но так как диагональ покрашена с одной стороны, ясно,
что один из двух многоугольников целиком покрашен сна-
снаружи (рис. 53, а).
' Проведем вторую диагональ. Если она проходит так,
что не пересекает выбранного нами многоугольника, то
ничего не меняется — выбранный многоугольник остается
окрашенным снаружи (рис. 53, б), если же диагональ пере-
пересекает многоугольник, то она снова разбивает его на две
части, одна из которых, как и раньше, окрашена снаружи
(рис. 53, в).
Рис. 53.
И каждый раз, проводя новую диагональ, мы либо
просто сохраняем уже имеющийсй многоугольник (окрашен-
(окрашенный снаружи), либо получаем новый — и так пока не про-
проведем все диагонали.
XXIV.И.7.2. Рассмотрим треугольники APS и BQP
(рис. 54, а). Так как АР LBQ и PSlPQ, то Z APS =
- Z BQP и ASP = г BPQ. Аналогично, Z BQP = ZCRQ=>
= Z DSR и Z BPQ = Z CQR = Z DRS. Поскольку в
прямоугольнике противоположные стороны равны, то спра-
справедливы соотношения: PQ = RS и QR = PS, откуда вы-
вытекают равенства: д BPQ = Д DRS и д APS =» ACQR.
Следовательно, АР - CR - х, ВР ~ DR => 1 — х; AS ™
364
— CQ = у, DS = BQ — \ ~~> у (мы считаем здесь сторону
квадрата равной 1). Выписанные соотношения верны,
таким образом, для любого прямоугольника PQRS, впи-
вписанного в квадрат ABCD.
а
Рис. 54,
Пусть теперь Р и R — любые такие точки на сторонах
А В и CD соответственно, что АР — CR = х, ВР — DR =
= 1 — х. Если мы выберем точки Q и S на сторонах ВС
и AD таким образом, чтобы выполнялись соотношения:
или
CQ = AS = xy BQ?=DS = 1-х,
BQ = DS = х, CQ = AS = 1 — x,
A)
B)
то в том и другом случае фигура PQRS будет представлять
собой прямоугольник (проверьте!). В первом случае его
стороны будут параллельны диагоналям квадрата, во вто-
втором случае он сам будет квадратом (см. рис. 54, б и 54, в
соответственно). Заметим теперь, что у любого другого
прямоугольника, вписанного в квадрат ABCD, вершины
которого Р и R лежат на сторонах А В и CD (соответствен-
(соответственно), две другие вершины должны лежать на окружности,
построенной на отрезке PR, как на диаметре,— каждая на
365
своей полуокружности. Каждая из этих полуокружностей
пересекает соответствующую сторону квадрата не более,
чем в двух точках (рис. 54, г); значит, больше двух прямо-
прямоугольников, вписанных в квадрат, с вершинами в точка*х
Р и R, не существует. Вместе с тем два таких прямоуголь-
прямоугольника мы уже построили выше. Тем самым утверждение
доказано.
XXIV.П.7.4. Пусть в таблице расставлено меньше, чем
семь звездочек. Тогда возможны два случая:
1) Может случиться, что в какой-то строке таблицы
звездочек вовсе нет; пусть это, например, первая строка.
Тогда найдется строка, в которой расположено не больше
двух звездочек. Действительно, если бы в каждой из трех
остальных строк содержалось не меньше трех звездочек,
то общее количество звездочек в таблице превысило бы 6.
Пусть для определенности, строкой, содержащей не
более двух звездочек, является вторая. Вычеркнем из таб-
таблицы третью и четвертую строки, а также столбцы, содер-
содержащие звездочки второй строки (этих столбцов, как было
показано, не больше двух).
Получившаяся таблица
вовсе не содержит звез-
звездочек.
2) Пусть теперь в таб-
таблице нет строк, не содер-
содержащих звездочек. Если бы
Рис 55 ПРИ этом в тРех строках
нашлось по две звездочки,
то число звездочек в табли-
таблице превысило бы 6. Следовательно, найдутся две строки,
в каждой из которых содержится только по одной звез-
звездочке; пусть это будет первая и вторая строки. Вычерк-
Вычеркнем третью и четвертую строки таблицы и те столбцы,
в которых стоят звездочки первой и второй строк (таких
столбцов, как мы видели, не больше двух). Оставшаяся
таблица не содержит звездочек.
Таким образом, последнее утверждение задачи доказано.
Осталось построить пример расположения семи звездо-
звездочек. Два таких примера показаны на рис. 55.
XXIV.II.8.5. Пусть, напротив, где-нибудь в построен-
построенной последовательности встретилась четверка (а, Ь, с, d).
Покажем, что в этом случае все числа данной четверки
положительны. Пусть сперва в четверке имеется одно отри-
366
*
*
*
*
-*
*
*
•*
¦х-
*
дательное число, т. е; знаки в ней расположены так: (с точ-
точностью до циклической перестановки):
+ + + -.
Рассмотрим тогда первые пять шагов исследуемого про-
процесса:
1. +++-2. ++ 3. +-+-4. 5. +4-4-+.
Мы видим, что ни на каком шагу не получается четверка,
содержащая одно отрицательное число (как исходная),
а после пятого шага вообще все числа становятся поло-
положительными.
Заметим, что мы попутно разобрали случай двух отри-
отрицательных членов: эти случаи соответствуют второму и
третьему шагам разобранного примера (отрицательные
числа стоят в четверке рядом или не рядом). Мы видели,
что и в этих случаях повторения не возникает. Случай
четырех отрицательных чисел также разобран (четвертый
шаг примера). Осталось рассмотреть тот случай, когда
лишь одно число в четверке положительно:
1. + 2. -++— 3. -+_+ 4. 5. +++ + .
Заметим еще, что чисел, равных нулю, также не может
быть, ибо это приводит к равенству нулю всех чисел чет-
четверки уже через три шага:
1. О, а, Ь, с; 2. О, ab, be, 0; 3. 0, ab2c, 0, 0; 4. 0, 0, 0, 0.
Рассмотрим теперь произведение чисел каждой четверки.
У первой четверки оно равно abed, у второй (abedJ,
у третьей (abed)*. Вообще у п-й четверки произведение
чисел равно {abcdYn~1. Пусть теперь какие-то две различ-
различные четверки — с номерами k и / — совпадают. Отсюда
следует, что (abcdJk~1 = (abcd)*l~l и, значит, abed ~ 1.
Рассмотрим далее любую четверку т, п, р, q из нашей
последовательности. Произведение ее чисел равно, как
мы видели, 1: mnpq = 1. Из двух положительных чисел
тп > 0 и pq > 0, произведение которых равно 1, одно,
очевидно, должно быть не больше 1, а другое — не меньше 1.
Пусть, для определенности, тп — а > 1, pq = — < 1-
Точно так же обстоит дело с числами пр и mq. Пусть пр =
— р > 1, /я<7 = -2-<1 и пусть, для определенности, а> р
Рассмотрим следующие три четверки:
367
т п р q
тп = а пр — р pq — — mq = -g-
« P 1
аР T" "Sp" т*
В последней четверке наибольшее число равно, очевидно,
а2, что не меньше а, так как а > 1. В предыдущей четверке
наибольшее число равно afJ, что также не меньше а.
Мы видим, что наибольшее число в четверке с каждым
шагом увеличивается, если а ^ 1 и р ^ 1.
Пусть теперь первая четверка совпала с некоторой
четверкой х, у, z, v. Если это — вторая четверка, то мы
имеем: а = х — ab, b = у = be, с = г = cd, d = v = ad,
откуда b==c — d — a— I.
Если же это — любая другая четверка, то, как мы ви-
видели, начиная со второй, четверки, наибольшее число в
четверке увеличивается, если а Ф 1, $ Ф \. Допустить
увеличения этого наибольшего числа мы не можем, так
как в итоге у нас должна получиться четверка, рав-
равная исходной. Следовательно, а = 1, р = 1, и, начиная
со второй, все четверки состоят из единиц, в том
числе и та четверка, которая совпа-
совпадает с первой. Тем самым утверждение доказано.
XXIV.n.9.2. С помощью перемен знака у чисел некото-
некоторого столбца или некоторой строки таблицы мы можем,
очевидно, получить не больше, чем 2тп, различных таб-
таблиц; Bтп — число способов выбора знаков у тп чисел).
Поскольку таких таблиц имеется конечное число, среди
них существует (может быть, не одна) таблица, сумма всех
чисел которой максимальна.
Если бы у этой таблицы сумма чисел некоторой строки
была бы отрицательна, то путем перемены знака у всех
чисел этой строки мы получили бы таблицу с большей
общей суммой (так как суммы чисел, стоящих во всех осталь-
остальных строках, при этом не меняются).
По той же причине не может быть отрицательной сумма
чисел никакого столбца таблицы.
Итак, мы должны, меняя знаки у чисел некоторых строк
и столбцов, прийти к таблице с наибольшей общей сум-
суммой — она и будет искомой,
368
XXIV.II.10.1. Докажем сперва, что из любой последова-
последовательности натуральных чисел можно выбрать неубываю-
неубывающую подпоследовательность, т. е, такую, что каждый ее
член не меньше предыдущего.
Пусть xv xt, ..., хп ,... —произвольная последователь-
последовательность натуральных чисел. Так как все члены последователь-
последовательности неотрицательны, то среди них существует наимень-
наименьший — пусть это будет хр. Если среди членов хр+1,
Хр+ъ, ..., следующих за хр, число, равное хр, встречается
бесконечно много раз, то, выбрав все такие члены, мы уже
получим требуемую подпоследовательность. Если же та-
таких членов лишь конечное число, то выберем их все. Из
идущей после последнего выбранного члена (равного хр)
части последовательности снова выберем наименьшее число
xPl (оно, очевидно, будет больше хр) и все члены, равные
xolt и так далее; получим неубывающую последовательность:
Перейдем к решению задачи. Выберем из последователь-
последовательности ах, а2, ..., ап> ... неубывающую подпоследователь-
подпоследовательность:
dl, 0,2, ¦", Ctn, ¦•• •
Г t t
Из соответствующей последовательности bit Ъч> •.., bn,...:
bv b2, ..., bu :.., 62, ..., bn* "•
в свою очередь выберем неубывающую подпоследователь-
подпоследовательность:
Ои Ьу "•» °п-
Наконец, выберем неубывающую подпоследовательность
из соответствующей последовательности с\, сг, .-, сп, ...:
«fit т
Рассмотрим теперь подпоследовательности:
а 1, <22» •••» &п> •••»
т и т
О \, О 2» •••» Оп, .,.,
и ят т
** 1» ^» ••¦» Gп> ••• •
369
Все они не убывают (по построению) и, значит, для любых
Р> Я (Р > я) имеют место неравенства:
т т Ф mm м
ар~>ад, Ьр^-Ьд, Cp~>cq.
Мы, таким образом, доказали даже больше, чем требовалось
в задаче.
XXIV.Н. 10.2. Окружим каждый квадрат со стороной 1
«пограничной полосой» ширины-у (заштрихованной на>
рис. 56, а). Площадь образовавшейся овальной фигуры,
состоящей из квадрата и" «пограничной полосы», как легко
1 1 / 1 \2
видеть, равна 1 -f- 4 • 1 - -^—f- 4 • -^- • тс f-g-) т. е. равна
3 + -^-» и, значит, меньше 3,79, ибо тс < 3,16. Все 120
таких фигур занимают площадь, не большую, чем
120 • 3,79 = 454,8 < 455.
25
! i
я—i
Рис. 56.
Далее, все точки прямоугольника, отстоящие от его кон-
контура более чем на-у-, образуют меньший прямоугольник,
размером 19 X 24 (см. рис. 56, б), площадь которого равна
19 - 24 = 456. Отсюда следует, что в этом меньшем прямо-
прямоугольнике найдется точка О, не лежащая ни внутри, ни
на границе ни одной из овальных фигур. Круг радиуса -=-
с центром в этой точке О, очевидно, не пересекается ни
с каким квадратом, так как в противном случае выбранная
точка попала бы внутрь «пограничной полосы» этого ква-
370
драта. Кроме того, круг радиуса -±- с центром в О лежит
целиком в прямоугольнике 20 х 25. Тем самым утвержде-
утверждение доказано.
XXIV.II. 10.4. Пусть А, В, С и Я — такие точки плоскости
что АВ=-ВС = СА, АР = 2,
ВР ^= 3. Проведем из точ-
точки В такой луч ВМ, что
Z СВМ = /.АВР, и отло-
отложим на этом луче отрезок
ВР' = Я? (рис. 57. а). Из
равенства углов: Z СВМ =
— Z АВР вытекает, что
/РВР' = Z,4BC = 60°, и по-
поэтому треугольник РВР' —
равносторонний (ибо РВ =
= ВР'). Следовательно, РР'~
= РВ = 3. Далее, Л ЯЛ? =
= Л Р'СВ (так как ЛБ = ВС,
РВ^Р'В, А АВР = /СВР').
Следовательно, Я'С = ЯЛ =
= 2. Таким образом, лома-
ломаная РР'С имеет длину ЯЯ'+
+ Р'С = 3 + 2 = 5, а пото-
потому длина отрезка PC не мо-
может быть больше 5. На
рис. 57,6 показано по-
построение равностороннего тре-
треугольника ABC, для которого
РС= 5 (и по-прежнему АР= Рис* 57-
— л,, иг о).
Точку А выберем произвольно на расстоянии АР = 2, от данной
точки Р.
Проведем окружности радиусов Я2 = 3, i^3 = 5 с центром в точ-
точке Р (эти окружности на рис. 57, б обозначены сплошной линией)
и повернем вторую окружность на угол 60° относительно точки А.
Пусть Р' — центр новой окружности, АР — АР' — %/ PAP' ~ 60°.
В качестве точки В выберем точку пересечения вновь построенной
окружности (обозначена на рис. 57, б пунктиром) с окружностью ра-
радиуса R± = 3, построенной ранее.
Таким образом, максимальное возможное расстояние
от точки Я до точки С равно 5.
XXIV.II. 10.5. Рассмотрим несколько первых шагов ис-
исследуемого процесса. Исходный набор:
а,, а8, а3, а
371
Набор, полученный после первого шага:
Набор, получившийся после второго шага;
axaz, а2а4, ..., а2иаг
(так как а? = 1). Итак, после двух шагов мы приходим
к набору, числа которого получаются из чисел исходного
набора умножением через одно. Еще через два
шага с этим набором произойдет то же самое, т. е. мы по-
получим набор:
а-^афь, а2а4а6, ...,
или, иначе говоря, набор:
ага5, a2aif a3a7 а^аА.
Итак, в результате четырех шагов мы приходим к набору,
числа которого получаются из чисел исходного набора умно-
умножением через 3. Еще через 4 шага с этим последним набором
произойдет то же самое, т. е. мы получим набор
2 2
u ааф
или, иначе говоря, набор
ахаь, a2alfi, a.^aily •••
Вообще, после 2Р шагов мы получим набор
что легко доказывается по индукции. В частности, после
2k—x шагов мы получим набор:
2k—1+1 * 2*~1+2 2* 2k—V
а еще после 2ft-1 шагов (т. е. всего после 2k шагов) — набор,
2 2 2
0 Uk
состоящий из одних единиц.
XXV.I.10.1. Проведем через точку М прямую, парал-
параллельную BN, и возьмем на ней такую точку Р, что ZJP || MN
(рис. 58, а). Так как BPMN — параллелограмм, и МЛ,
по условию, равно BN, , то мы получаем: AM — МР,
т. е. треугольник AMP — равнобедренный. Обозначим
через а угол между данными лучами (и, значит, между
прямыми AM и МР). В таком случае
Мы видим, что /.MAP не зависит от положения точки М
на луче АО. Это значит, что точка Р всегда лежит на не-
372
которой вполне определенной прямой (составляющей угол
Р^ 1802~а с данным лучом АО). Заметим теперь, что
РВ — MN, а мы ищем та-
такое положение точки М,
что отрезок MN минимален.
Это, очевидно, произойдет в
том случае, когда РВ ± АР
(рис. 58, б), что и определяет
выбор точки Р, а следова-
следовательно, и точки М.
XXV.II.7.3. Так как пло-
площадь «уголка» равна 3, то
площадь прямоугольника, ко-
который можно разбить на
«уголки», должна делиться
на 3. Ни одно из чисел 1961
и 1963 на 3 не делится, и по-
поэтому не делится на 3 и их
произведение 1961x1963, так
что утверждение первой половины задачи доказано.
Покажем, что второй прямоугольник разбить на «угол-
«уголки» можно. Для этого прямыми, параллельными сторонам
прямоугольника, разобьем его на прямоугольники разме-
размерами 1965 X 1958, 1956 X 5 и 5 X 9 и покажем, что
каждый из этих трех прямоугольников можно разбить на
«уголки».
У первого прямоугольника длина одной стороны четна,
длина другой делится на 3; следовательно, его можно раз-
разбить на прямоугольники размерами 2X3, каждый из
которых в свою очередь разбивается на два «уголка».
У второго прямоугольника одна сторона равна 5, длина
другой делится на 6; разобьем его на прямоугольники
размерами 5x6, каждый из которых разбивается на
«уголки», как показано на рисунке 59. Наконец, разобьем
на уголки прямоугольник 5x9 следующим образом:
ц
п
"LJ
rtsh
_г
Рис. 59.
Рис. 60.
373
XXV.FI.7.5. Пусть х — любая из заданных 25 точек-
Если все точки находятся от х на расстоянии, меньшем 1,
то нам нечего доказывать.
В противном случае обозначим через у какую-нибудь
точку, расстояние которой от х больше или равно 1.
Пусть z — любая из остальных 23 точек. В треуголь-
треугольнике xyz, по условию, есть сторона, меньшая 1. Так как
расстояние между х и у больше или равно 1, то этой сторо-
стороной должна быть или xz, или yz.
Итак, каждая точка z из остальных двадцати трех
либо лежит в круге радиуса 1 с центром в х (если сторона
xz меньше 1), либо в таком же круге с центром в у. -
Ясно, что при этом не меньше 12 точек попадет в один
круг, например в круг с центром в точке у (если бы в каж-
каждый круг попало меньше 12 точек, то общее количество
точек было бы меньше 25). Но в таком случае точка у и 12 то-
точек из круга радиуса 1 с центром в этой точке — искомые.
XXV.FF.8.5. Проведем перпендикуляры из точек Ох и
О2 к хордам AM и ВМ со-
соответственно и обозначим че-
через R их точку пересечения.
Если мы докажем, что RP1
±МР, то отсюда последует
равенство MR = RH, и мы
докажем тем самым, что R
есть центр окружности, опи-
описанной около четырехуголь-
четырехугольника АМВН (так как AR =
= MR и BR = MR по по-
построению; см. рис. 61, а).
Итак, необходимо пока-
показать, что RP± MP. Заме-
Заметим, что О2М х AM (так
как О2М — радиус, прове-
проведенный в точку касания), и,
значит, О2М II OXR. По той
же причине OLM \\ 0%R. Но
тогда O2MOXR — параллело-
параллелограмм, и потому O2R = OjM
и 0xR — 02М. Это значит, что точка R лежит на пересе-
пересечении окружностей с центрами 0х и О2, имеющих ради-
радиусы г2 и гх соответственно (рис. 61, б). Из очевидной
374 '
\
симметрии ясно теперь, что RP \\ ОхОг> т. е. RP±MPf
что и требуется.
XXV.II.9.1. Пусть aL, а2, ..., а7, а8 — число задач,
решенных школьником за некоторые идущие подряд
8 дней. По условию:
ах 4- а% + ... Н- а7 = 25,
откуда ах — а8. Итак, число задач, решаемых, школьником
за день, должно повторяться через каждые 7 дней. Школь-
Школьнику, таким образом, нужно выбрать не некоторый «об-
«общий план», а лишь «план на неделю».
Пусть alt a2, ..,а, — произвольный план на неделю. Это
значит, что каждый понедельник школьник решает ах
задач, каждый вторник — а2 задач и т. д. Если бы школь-
школьник решал все 25 задач в понедельник, то он истратил бы
на все задачи в течение учебного года некоторое время,
которое обозначим через Sv Точно так же определены числа
S2, Ss, ..., S7. Решая по понедельникам не 25, а л1 задач,
школьник за все понедельники, очевидно, по-
тратит время, равное—5Х. Точно так же, за все вторники
он потратит время -||-52 и т. д. Общее затраченное школь-
школьником время, равно, таким образом:
При этом, по условию,
«1 4- «2 + — + а7 = 25.
Ясно теперь, что, выбрав из чисел Slt 52. ..., 57 наимень-
наименьшее и полагая соответствующий коэффициент ak равным
25, а остальные — нулю, мы добьемся того, что S станет
минимальным.
XXV.II.9.5. Набор последовательностей, удовлетворяю-
удовлетворяющий условиям задачи, мы назовем «правильным».
Пусть дан правильный набор, состоящий из 2п последо-
последовательностей. Последовательности длины строго меньше п
(если такие в наборе имеются) мы будем называть «корот-
«короткими», в отличие от «длинных» — длины больше п и
«полных» — длины ровно п. Покажем прежде всего, что
если правильный набор, состоящий из 2я последовательно-
последовательностей, содержит короткие последовательности, то он не-
375
пременно содержит и длинные последовательности. Допу-
Допустим, что существует набор, не содержащий ни одной длин-
длинной последовательности, но содержащий хотя бы одну ко-
короткую. Составим по этому набору новый правильный на-
набор по следующему правилу. Все полные последовательно-
последовательности перенесем в новый набор без изменений, а все короткие
последовательности допишем всеми возможными
способами до полных и все полученные последова-
последовательности включим в новый набор. Правильность такого
набора очевидна.
Новый набор состоит только из полных последователь-
последовательностей, и потому в нем не больше, чем 2п, последователь-
последовательностей (ибо существует ровно 2п последовательностей дли-
длины п, состоящих из 0 и 1). С другой стороны, новый набор
содержит больше последовательностей, чем исходный, так
как каждая короткая последовательность порождает не
меньше двух полных. Это, однако, противоречит тому, что
в исходном наборе было 2п последовательностей.
Если теперь в наборе нет коротких последовательностей,
то нам нечего доказывать. Остается предположить, что
данный правильный набор из 2п последовательностей со-
содержит длинные, короткие и, возможно, полные последова-
последовательности.
Построим тогда по данному набору новый правильный
набор следующим образом. Возьмем самую длинную после-
последовательность (если их несколько, то любую) и зачеркнем
в ней последний знак. Если при этом набор остался пра-
правильным, то поступим с этим набором точно так же, и т. д.,
пока при некотором вычеркивании новый набор — обозна-
обозначим его через N — не станет неправильным. Последнее
произойдет в том случае, когда укороченная на один знак
последовательность совпадет с некоторой другой или станет
ее началом. Совпадение, однако, невозможно, так как в этом
случае уже шаг назад набор был неправилен: вторая по-
последовательность была началом первой (неукороченной).
Итак, в наборе N некоторая последовательность а яв-
является началом некоторой другой последовательности Ь,
При этом b лишь на один знак длиннее а, так как до уко-
укорачивания последовательность а была самой длинной.
Поскольку существует лишь две последовательности
требуемой длины с началом а: аО и al, то, кроме Ь, в наборе
N не может быть другой последовательности, для которой
376
а была бы началом (так как она имела бы своим началом
или Ь, или неукороченную последовательность а).
Вычеркнем теперь из набора N последовательность F,
тогда набор станет правильным. Кроме того, возьмем лю-
любую короткую последовательность 1, вычеркнем ее и до-
добавим в набор две последовательности: d~0 и <ГТ. Правиль-
Правильность нового набора также очевидна.
Посмотрим, как менялась при этих преобразованиях
сумма длин всех последовательностей набора. При вычер-
вычеркивании последнего знака у длинной последовательности
сумма, очевидно, уменьшалась. При вычеркивании длин-
длинной последовательности b теряется не меньше, чем
п + 1 знак^ а при добавлении вместо короткой последова-
последовательности d, длина которой не больше п — 1, двух после-
последовательностей d 0 и d 1 приобретается не больше,
чем {п — 1) + 2 = п + 1 знак. Таким образом, и в этом
случае сумма длин всех последовательностей не увеличи-
увеличивается. Общее число последовательностей в наборе неиз-
неизменно: оно равно 2".
В результате описанных преобразований мы придем к пра-
правильному набору из 2п последовательностей, в котором не
будет больше длинных последовательностей. Но, по дока-
доказанному выше, такой набор не содержит также и коротких
последовательностей, т. е. состоит из 2п последовательностей
длины п. Сумма длин исходного набора оказывается, та-
таким образом, не меньше, чем п • 2п, что и требуется.
XXV.II. 10.4. Проекция прямоугольного параллелепи-
параллелепипеда на плоскость пред-
представляет собой шести-
шестиугольник (быть может,
вырождающийся в че-
четырехугольник). Так как
проекция каждой грани
параллелепипеда есть
параллелограмм, то пло-
площадь треугольника ABC
(рис. 62) составляет ров-
но половину площади всей проекции (ибо диагональ парал-
параллелограмма разбивает его на два равных треугольника). Но
треугольник ЛВС представляет собой проекцию соответ-
соответствующего треугольника A'B'Q', «вписанного» в параллеле-
377
пипед. Расположение треугольника А'В'С очевидно, опре-
определяет расположение в пространстве всего параллелепипеда.
Как известно,
Saabc = S^a'b'c • cos a,
где А'В'С — треугольник, проекцией которого является
треугольник ABC, и а — угол между плоскостями тре-
треугольников ABC и А'В'С,
Ясно теперь, что площадь треугольника ABC будет
наибольшей (а стало быть, будет максимальной и площадь
проекции данного прямоугольного параллелепипеда), ко-
когда cos а = 1, т. е. а = 0, или, иначе говоря, когда точки
А', В' и С лежат в горизонтальной плоскости.
XXV.П.10.5. Доказательство проводится по индукции..
При числе участников, равном 2, утверждение очевидно.
Пусть мы можем расположить k участников так, как этого
требует условие задачи: аг, а2, ..., ak. Возьмем (k -\- 1)-го
участника и посмотрим, как он сыграл с av Если он вы-
выиграл или сыграл вничью, то ставим его в начало строки;
в противном случае сравниваем с игроком а2, и так до тех пор,
пока не обнаружим такого участника из числа аг, а2, ..., ак,
у которого он выиграл или сыграл вничью (а преды-
предыдущему проиграл). Найдя- такого участника, мы поставим
(k + 1)-го участника перед ним. Если же (к -Ь Ц-й уча-
участник проиграл всем шахматистам аг, а2, ..., ак, то ставим
его в конец цепочки.
XXVU.8.3. Заметив, что все числа х, у, г отличны от
нуля (так как каждое из них является знаменателем дроби),
приведем данное уравнение к виду
*У + x2z2 + t/V = Щг. A)
Если тройка чисел х0, уй, z0 является решением уравне-
уравнения A), то либо все числа х0, у0, г0 положительны, либо
одно из них положительно, а два другие — отрицательны
(иначе правая часть равенства A) будет отрицательной).
Если далее тройка чисел х0, yOf z0 является решением, то,
изменив знак у любых двух чисел из этой тройки, мы по-
получим, очевидно, снова решение уравнения. Отсюда сле-
следует, что мы можем ограничиться рассмотрением только
положительных решений: х > 0, у > 0, z > 0.
Выясним сначала, нет ли таких решений, для которых
х = у — z\ в этом случае из уравнения A) немедленно на-
находим:
Зл;4 = Ъх3, х* = х*, х = у = z = 1.
378
Предположим теперь, что не все числа х, у, z равны
между собой, и рассмотрим исходное уравнение
ху | xz^ i У?_ ___ о
~~г~ ' у х '^)
Пусть, для определенности, х < у < г. Могут предста-,
виться два случая:
1°* х < У < z. В этом случае z> у > х + \, и сла-
слагаемое у~ не меньше, чем (* + 1)Й = *' + 2* + ! ~ 2 -j- x + ~,
что, однако, больше 3, так как д; — положительное целое
число. Тем самым этот случай исключается.
2°. х = г/ < г. В этом случае, очевидно, г > 2, и сумма
-^- И = 2z превосходит 3, так что и этот случаи исклю-
исключается.
Итак, единственным положительным решением уравне-
уравнения B) является решение хх — уг — zx ~ 1, и все остальные
решения получаются из этого заменой знаков у двух неиз-
неизвестных:
„ 1 ,. - 1 • у п 1 у — 1 •
¦t 1
Второе решение.
Заметив, как и выше, что мы можем рассматривать
только положительные решения, перепишем наше уравне-
уравнение в виде
+ 2jc2z2 + 2t/2z2 = Qxyz C)
и воспользуемся известным неравенством а2 + Ь2 > 2аЬ
(которое является прямым следствием неравенства
(a— bf> 0). Имеем:
бхуг = (д:2|/2 + х2г?) + (jc2i/2 + y2z2) -f (х2г2 + i/223)>
> 2x2i/2 + 2г/2д:г + 2z*xy = 2jti/2 (jc +
так что
Так как при этом х, у, z — натуральные числа, то единст-
единственным положительным решением уравнения C) является
тройка: х = у = г — 1.
379
XXVI.I.8.4. Возьмем на плоскости произвольную точку А
и проведем через нее 7 прямых, параллельных прямым
данной системы. Заметим, что, по известной теореме об
углах со взаимно параллельными сторонами, углы между
построенными прямыми будут равны соответствующим
углам между прямыми исходной системы. Но через точку А
у нас проходит 7 прямых, которые делят угол в 360° на
ОСЛО
14 частей. Ясно, что либо все эти углы равны -^- = 255/7°,
либо найдется угол, меньший, чем 255/7°, и, следовательно,
меньший 26°.
XXVI. 1.8.5. Мы считаем, что таблица имеет столбцы
длины 5 и строки длины п. Так как произведение чисел
в каждом столбце положительно, то (—1)
встречается в каждом столбце четное
число раз, а значит, и во всей таблице
(—1) встречается четное число раз. Но
(—1) встречается в таблице столько
раз, сколько имеется карточек. Таким
образом, общее число карточек четно;
обозначим его через 2т. Тогда общее
число клеток в таблице (которое вдвое
больше) равно Am, т. е. делится на 4.
Итак, Ъп делится на 4; стало быть,
п делится на 4. Покажем теперь, что для любого
n~Ak возможно требуемое размещение карточек. Для этого
достаточно разместить карточки на листе размером 5 X 4 и
повторить это расположение k раз. Требуемый пример при-
приведен на рис. 63.
XXVI.1.10.2. Возьмем на плоскости окружность настоль-
настолько большого радиуса, чтобы она
содержала внутри себя все данные
точки, и рассмотрим любую пря-
мую /, лежащую вне этой ок-
ружности. Будем теперь прибли-
жать прямую / к нашим точкам, по-
ка она не станет проходить через
одну из них; пусть, например, она
пройдет через точку А. Соединим
точку А со всеми остальными точ-
точками — у нас образуется 5 лучей:
А В, AC, AD, AE, AF (см.
рис. 64). Рис. 64.
+;|
-'I
А
+711
-У
-'I
-7]
+/
-;
-/
Рис. 63.
380
Если при этом угол ВAF меньше или равен 120°, то лучи
AC, AD, AE разбивают его на четыре части, среди которых,
очевидно, найдется одна, меньшая или равная 30°.
Если же угол BAF больше 120°, то в треугольнике ABF
сумма углов ABF и AFB меньше 60°, и, значит, один из
них должен быть меньше 30°.
XXVI.II.8.2. Рассмотрим горизонтальную строку табли-
таблицы, содержащую число 1, и вертикальный столбец, содер-
содержащий число 64. Мы можем, двигаясь сначала по строке,
а потом по столбцу, пройти от клетки, в которой написано
число 1, к клетке, в которой написано число 64, причем
наш путь будет состоять не более, чем из 14 ходов (ходом
мы называем переход из любой клетки в соседнюю). В са-
самом деле, двигаясь по горизонтали, мы не сделаем больше
7 ходов, так как наибольшая возможная длина горизон-
горизонтального отрезка равна 8. То же самое справедливо для
вертикального участка пути.
Предположим теперь, что разность между любыми
двумя соседними числами в таблице, вопреки условию,
меньше 5. Это означает, что при каждом ходе к предыду-
предыдущему числу прибавляется не более, чем 4, а за 1.4 или мень-
меньшее число ходов, которые мы сделали при переходе от 1 к 64,
к исходному числу 1 прибавится не более, чем 14X4 = 56.
Между тем (при переходе от 1 к 64) к числу 1 должно при-
прибавиться 63. Полученное противоречие показывает, что
непременно найдутся хотя бы два соседних числа, разность
между которыми больше 4, что и требовалось доказать.
XXVI.II.8.4. Покажем, сначала, что из данного набора
можно выбрать требуемым способом 655 чисел. В самом
деле, возьмем все числа вида 3k + 1; k — 0,1, ..., 654.
Разность любых двух таких чисел, очевидно, делится на 3,
в то время как сумма любых двух из них дает при делении
на 3 остаток 2. Отсюда следует, что сумма никаких двух
чисел из выбранных нами не делится на их разность, т. е. вы-
выбор произведен правильно.
Покажем теперь, что выбор большего количества чисел,
удовлетворяющих условиям задачи, невозможен. Дейст-
Действительно, если бы мы выбрали больше, чем 655 чисел,
то нашлись бы два числа, отличающихся друг от друга
менее, чем на 3 (в противном случае разность между наиболь-
наибольшими и наименьшими числами данного набора была бы боль-
больше, чем 3 X 654 = 1962, что невозможно). Итак, должны
найтись два числа, отличающиеся друг от друга на 1 или на 2.
381
В первом случае разность между ними равна 1, а на 1 де-
делится любое число, в том числе и их сумма. Во втором
случае разность между взятыми числами равна 2, и потому
оба эти числа имеют одинаковую четность, а значит, их
сумма — четное число. И в этом случае сумма взятых чисел
делится на их разность.
Мы показали, что из данного набора нельзя выбрать
более, чем 655 чисел так, чтобы выполнялись условия за-
задачи, и построили пример того, как можно выбрать 655 чи-
чисел. Следовательно, наибольшее количество чисел, которое
можно выбрать из данного набора в соответствии с усло-
условиями задачи, равно 655.
XXVI.II.9.2. Покажем сначала, что любая замкнутая
14-звенная ломаная имеет 7 горизонтальных и 7 вертикаль-
вертикальных звеньев. Действительно, из каждой вершины ломаной
выходят одно вертикальное и одно горизонтальное звено.
По всем 14 вершинам мы насчитаем, таким образом, 14 го-
горизонтальных и 14 вертикальных звеньев. Но при таком
подсчете каждое звено мы учили дважды. Значит, имеется
7 горизонтальных и 7 вертикальных звеньев.
Занумеруем теперь горизонтальные звенья нашей лома-
ломаной «сверху вниз» и выясним,
сколько точек самопересече-
^ ния может лежать на каждом
2 звене. На первом и седьмом
j звеньях вовсе нет точек са-
самопересечения, так как выше
ц первого и ниже седьмого звена
¦5 нет вершин ломаной. Ясно,
6 кроме того, что на втором и
7 шестом звеньях может быть не
больше двух, а на третьем и
пятом звеньях — не больше
четырех точек самопересече-
самопересечения — по числу вершин лома-
ломаной, лежащих сверху (соответственно, снизу) от этих
звеньев. На четвертом звене может быть не более шести
точек самопересечения. Покажем, что на четвертом звене
может лежать на самом деле только пять точек
самопересечения, Действительно, если бы их было шесть,
то при этом каждая вершина ломаной, лежащая выше чет-
четвертого звена, оказалась бы соединенной с одной из вер-
вершин, лежащих ниже этого звена, и обратно. Таким обра-
3S2
Рис. 6S.
ф
зом, вершины, принадлежащие четвертому звену, не с чем
было бы соединять. Мы показали, что наша ломаная не
может иметь больше, чем 2 + 4 + 5+4 + 2= 17 точек
самопересечения. Пример ломаной, у которой число точек
самопересечения равно 17, показан на рис. 65.
XXVI.И Л 0.1. Из курса алгебры известно, что при нечет-
нечетном п сумма хп + уп делится на х + у. Пусть хп + уп = zn,
где х, у, z — целые числа и х + у — простое число. Мы
видим, что гп делится на простое число х + у. Следователь-
Следовательно, и само число г должно делиться на х + у, т. е. z > х + у.
Но тогда zn > (х + у)п, и мы получаем неравенство
хп + уп = zn > (х + у)п, кото-
которое, очевидно, не справедли-
справедливо; это и доказывает утверж-
утверждение задачи.
XXVI.II.10.3. Пусть мы у*ке
выбрали требуемым способом не-
несколько векторов; пусть OS —
сумма этих векторов, (рис. 66).
Проведем через точку О (центр
25-угольника) прямую /, пер-
перпендикулярную вектору OS.
Предположим, что среди вы-
выбранных векторов содержится
хотя бы один, лежащий на пря- •
мой / или по другую сторону от
прямой /, чем вектор OS. Если мы исключим_ этот вектор
из числа выбранных и вычтем его из суммы OS, то новая
сумма будет иметь большую длину. Действительно, тре-
треугольник О AS — прямоугольный или тупоугольный, и зна-
значит, SA > 05 (рис. 66, а), но \SA\ = \0S— 0A.\
Предположим еще, что в число выбранных векторов
не вошел какой-либо вектор, лежащий по ту же сторону
от прямой /, что и вектор OS. Присоединим этот вектор
к числу выбранных и прибавим его к сумме OS; новая сум-
сумма будет иметь большую длину: треугольник OBjS — тупо-
угольный и ОВ' > 05 (рис. 66, б), но \0Bf \ = \0S + 0В\.
Мы видим, что в число выбранных векторов должны
войти любые 12, идущие подряд, так как угол между край-
крайними векторами меньше 180°, а при добавлении тринадца-
тринадцатого вектора этого угол становится больше развернутого.
ОГЛАВЛЕНИЕ
В. Г. Болтянский, И. М. Я г л о м, Школьный мате-
математический кружок при МГУ и Московские математические
олимпиады . 3
Литература 47
Часть первая
Подготовительные задачи 51
. А. Алгебра
§ 1. Доказательство тождеств 52
§ 2. Суммирование конечных последовательностей ...... 52
§ 3. Доказательство неравенств 54
§ 4. Решение уравнений и систем уравнений 56
§ 5. Исследование уравнений, систем уравнений и неравенств . 59
§ 6. Многочлены 61
§ 7. Прогрессии 65
§ 8. Делимость чисел 66
§ 9. Задачи с целыми числами 71
§ 10. Разные задачи 76
Б. Геометрия
§ 1. Задачи на вычисление 82
§ 2. Отыскание точечных множеств 83
§ 3. Задачи на доказательство. I. Прямые и многоугольники . 86
§ 4. Задачи на доказательство. II. Окружности 93
§ 5. Задачи на построение. I Многоугольники. Построения с
ограниченными возможностями 95
§ 6. Задачи на построение. II. Окружности 100
§ 7. Прямые и плоскости в пространстве 101
§ 8. Многогранники 103
§ 9. Поверхности и тела вращения 105
§ 10. Задачи на наибольшие и наименьшие значения 106
§ 11. Разные задачи , 109
В. Смешанный отдел
Задачи комбинаторные, логические, задачи на клетчатой бума-
бумаге и другие задачи 111
Часть вторая.
Задачи московских олимпиад 122
Ответы и указания к решению подготовительных задач . 208
Решения олимпиадных задач 298
СБОРНИК ЗАДАЧ МОСКОВСКИХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОЛИМПИАД